Réduction des endomorphismes Soit E un K -espace vectoriel non réduit au vecteur nul et u , v ∈ L(E ) . I. Sous-espaces stables 1°) Définition Déf : Un sous-espace vectoriel F de E est dit stable par u ssi u (F ) ⊂ F i.e. ∀x ∈ F , u (x ) ∈ F . Prop : Si u et v commutent alors Im u et keru sont stables par v . Prop : Si F et G sont stables par u alors F +G et F ∩G aussi. Théorème : Si F est stable par u et v alors pour tout λ ∈ K , F est stable par λu , u + v et u v . Ainsi l’ensemble des endomorphismes laissant stable F est une sous-algèbre de L(E ) . Cor : Si F est stable par u alors F est stable par u n (pour tout n ∈ ℕ ) 2°) Endomorphisme induit Soit F un sous-espace vectoriel stable par u . On peut considérer la restriction de u au départ de F et à l’arrivée dans F , restriction qui est clairement linéaire. Déf : L’endomorphisme ainsi défini est appelé endomorphisme induit par u sur F , on le note uF . Prop : Si F est stable par u alors ker uF = ker u ∩ F . Prop : Si F est stable par u alors Im uF ⊂ Im u ∩ F . Théorème : Si F est stable pour u et v alors pour tout λ ∈ K , (λu )F = λuF , (u + v )F = uF + vF et
(u v )F = uF vF . Cor : (u n )F = (uF )n . II. Eléments propres d’un endomorphisme 1°) Valeur propre et vecteur propre Prop : Une droite vectorielle D = Vect(x ) (avec x ≠ 0 ) est stable pour u ∈ L(E ) ssi il existe λ ∈ K tel que
u (x ) = λx . Déf : On dit que λ est valeur propre de u ssi il existe x ≠ 0 , u (x ) = λx . On dit alors que x est vecteur propre associé à la valeur propre λ . 2°) Spectre d’un endomorphisme Déf : On appelle spectre de u l’ensemble des valeurs propres de u , on le note Sp(u ) . Prop : Si u ∈ GL (E ) alors Sp(u −1 ) = {1 λ / λ ∈ Sp(u )} . 3°) Sous-espaces propres Déf : Pour λ ∈ K et u ∈ L(E ) , on pose Eλ (u ) = ker(u − λ Id) .
Eλ (u ) est le sous-espace vectoriel formé des vecteurs x ∈ E tels que u (x ) = λx . Théorème : On a équivalence entre : (i) λ est valeur propre de u , (ii) Eλ (u ) ≠ {0} , (iii) l’endomorphisme u − λ Id n’est pas injectif. Déf : Si λ est valeur propre de u alors Eλ (u ) est appelé sous-espace propre associé à la valeur propre λ . Prop : Soit F un sous-espace vectoriel stable par u . Sp(uF ) ⊂ Sp(u ) et pour tout λ ∈ K , Eλ (uF ) = Eλ (u ) ∩ F -1/3-