Exercices Nombres réels

Rationnels et irrationnels Exercice 1

Montrer que la somme d’un nombre rationnel et d’un nombre irrationnel est un nombre irrationnel.

Exercice 2

Montrer que

Exercice 3

2  Calculer  2  . En déduire l’existence d’irrationnels a ,b > 0 tels que a b soit rationnels.  

2 n’est pas un nombre rationnel 2

Exercice 4

Soit f : ℚ → ℚ telle que ∀x , y ∈ ℚ, f (x + y ) = f (x ) + f (y ) . a) On suppose f constante égale C quelle est la valeur de C ?

On revient au cas général. b) Calculer f (0) . c) Montrer que ∀x ∈ ℚ, f (−x ) = −f (x ) . d) Etablir que ∀n ∈ ℕ, ∀x ∈ ℚ, f (nx ) = nf (x ) et généraliser cette propriété à n ∈ ℤ . e) On pose a = f (1) . Montrer que ∀x ∈ ℚ, f (x ) = ax .

Nombres réels 1 2 (a +b 2 ) .

2

Exercice 5

Montrer ∀a ,b ∈ ℝ , ab ≤

Exercice 6

Montrer ∀a ,b , c ∈ ℝ , ab + bc + ca ≤ a 2 + b 2 + c 2 .

Exercice 7

Soit a ∈ [1, +∞[ . Simplifier

Exercice 8

a + 2 a − 1 + a − 2 a −1 .

1) ∀ (x , y ) ∈ ℝ 2 , f (x + y ) = f (x ) + f (y )  Soit f : ℝ → ℝ une application telle que : 2) ∀ (x , y ) ∈ ℝ 2 , f (xy ) = f (x ) f (y )  3) ∃x ∈ ℝ, f (x ) ≠ 0 a) Calculer f (0) , f (1) et f (−1) . b) Déterminer f (x ) pour x ∈ ℤ puis pour x ∈ ℚ . c) Démontrer que ∀x ≥ 0, f (x ) ≥ 0 . En déduire que f est croissante. d) Conclure que f = Id ℝ .

Partie entière Exercice 9

Montrer que la fonction partie entière est croissante.

Exercice 10 Montrer que ∀x , y ∈ ℝ , E (x ) + E (y ) ≤ E (x + y ) ≤ E (x ) + E (y ) + 1 .

Exercice 11 Montrer que, pour x , y ∈ ℝ , E (x ) + E (x + y ) + E (y ) ≤ E (2x ) + E (2y ) .

 E (nx )  Exercice 12 Soit n ∈ ℕ∗ et x ∈ ℝ . Montrer que E  = E (x ) .  n  n −1

Exercice 13 Montrer que ∀x ∈ ℝ , ∀n ∈ ℕ∗ ,



k

∑ E x + n  = E (nx ) k =0

Exercice 14 Soit a ≤ b ∈ ℝ . Etablir Card([a ,b ] ∩ ℤ) = E (b ) + E (1−a ) .

Exercice 15 Soit n ∈ ℕ∗ . a) Montrer qu’il existe (an ,bn ) ∈ ℕ∗2 tel que (2 + 3)n = an + bn 3 et 3bn2 = an2 −1 . b) Montrer que la partie entière de (2 + 3)n est un entier impair.

Borne supérieure, borne inférieure 1   Exercice 16 Soit A = (−1)n + / n ∈ ℕ .   n +1 Montrer que A est bornée, déterminer inf A et sup A .

Exercice 17 Soit A et B deux parties non vides et bornées de ℝ telles que A ⊂ B .

Comparer inf A,sup A,inf B et sup B .

Exercice 18 Soit A et B deux parties non vides de ℝ telles que ∀ (a ,b ) ∈ A×B , a ≤ b .

Montrer que sup A et inf B existent et que sup A ≤ inf B .

Exercice 19 Soit A et B deux parties de ℝ non vides et majorées.

Montrer que sup A,sup B et supA ∪ B existent et sup A ∪ B = max(sup A,sup B ) .

Exercice 20 Soit A et B deux parties non vides et majorées de ℝ .

On forme A + B = {a + b /(a ,b ) ∈ A×B } .

Montrer que A + B est majorée et sup(A + B ) = sup A + sup B .

Exercice 21 Soit (un ) une suite réelle. Pour tout n ∈ ℕ , on pose vn = sup u p et wn = inf u p . p ≥n

p ≥n

Etudier les monotonies des suites (vn ) et (wn ) .

Exercice 22 Pour n ∈ ℕ , on pose fn (x ) = x n (1− x ) . Déterminer lim sup fn (x ) n →+∞ x ∈[0,1]

  1 1 Exercice 23 Déterminer inf  (x1 + ⋯ + x n )  + ⋯ +  / x1 ,…, x n > 0 .    x1 x n   

Equations et systèmes Exercice 24 Résoudre les équations suivantes d’inconnue x ∈ ℝ : a) x = 2x −1 [1] b) 3x = 2 − x [ π ]

c) nx = 0 [ π ] (avec n ∈ ℕ∗ ).

Exercice 25 Observer que x = 3 20 + 14 2 + 3 20 −14 2 est solution d’une équation de la forme

x 3 = αx + β avec α, β ∈ ℝ . Résoudre cette dernière et déterminer x .

Exercice 26 Résoudre les systèmes d’inconnue (x , y ) ∈ ℝ 2 :

x 2 + 2y 2 = 1 a)   2  x + xy = 0

x 2 + y 2 = 1 b)    2xy = 1

x 2 = y c)   2 y = x

Exercice 27 Résoudre les systèmes suivants d’inconnue (x , y , z ) ∈ ℝ 3 :

x + 2y − z = 1 a)   x −y + z = 2  xyz = 0 

x + 2y − z = 1 b)  x − y + 2z = 2   3x − y + z = 3

 x + y + z = 1 c)  x − y + 3z = 2 .  2x − y + z = 3

x −ay + z = 2 3 Exercice 28 Résoudre le système  x + (a + 1)z = 3 d’inconnue (x , y , z ) ∈ ℝ , a désignant un paramètre réel.  x + ay + 3z = 4 david Delaunay http://mpsiddl.free.fr