Suites numériques

Suites numériques I. Suites réelles 1°) Définitions générales Déf : On appelle suite réelle toute application u : ℕ → ℝ .

Pour tout n ∈ ℕ , u (n ) , usuellement notée un , est appelé terme d’indice n de la suite. Une telle suite est notée u , (un ) ou (un )n ∈ℕ .

On note ℝ ℕ ou F (ℕ, ℝ ) l’ensemble de ces suites.

Déf : On appelle suite réelle définie à partir du rang n 0 ∈ ℕ toute application u : {n ∈ ℕ / n ≥ n 0 } → ℝ .

Une telle suite est notée u , (un )n≥n0 ou (un ) .

Déf : Une suite réelle u = (un ) est dite constante ssi ∃C ∈ ℝ , ∀n ∈ ℕ, un = C .

Cette suite est alors dite constante égale à C et est notée C .

Déf : Une suite réelle u = (un ) est dite stationnaire ssi ∃C ∈ ℝ , ∃N ∈ ℕ, ∀n ≥ N , un = C .

Cette suite est alors dite stationnaire égale à C .

Déf : Soit u = (un ) une suite réelle.

On appelle valeur absolue la suite notée u de terme général un .

Prop : Soit u = (un ) une suite réelle. On a équivalence entre : (i) u est bornée (ii) ∃M ∈ ℝ + , ∀n ∈ ℕ, un ≤ M . (iii) la suite u est majorée.

2°) Opérations sur les suites réelles Déf : Soit u = (un ) et v = (vn ) deux suites réelles et λ ∈ ℝ .

On note λ.u la suite de terme général λun .

On note u + v la suite de terme général un + vn .

On note uv la suite de terme général un vn .

Prop : Soit u et v des suites numériques et λ ∈ K .

Si u et v sont bornées alors λ.u , u + v et uv le sont aussi.

3°) Suite arithmético-géométrique Déf : On appelle suite arithmético-géométrique de raisons q et r ∈ ℝ toute suite u = (un ) telle que

∀n ∈ ℕ, un +1 = qun + r .

Si r = 0 , on parle de suite géométrique de raison q , on a un = q nu 0 .

Si q = 1 , on parle de suite arithmétique de raison r , on a un = u0 + nr .

Si q ≠ 1 : on cherche α ∈ ℝ tel que vn = un − α soit géométrique. On parvient à un = q n u0 +

q n −1 r q −1

II. Limite d’une suite réelle

u = (un ) , v = (vn ) et w = (wn ) désignent des suites réelles 1°) Limite finie a) définition Déf : On dit que la suite u tend vers ℓ ∈ ℝ ssi ∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ, ∀n ∈ ℕ, n ≥ N ⇒ un − ℓ ≤ ε .

On note alors u → ℓ , un → ℓ ou un → ℓ . n∞

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Prop : Soit u = (un ) et ℓ ∈ ℝ . On a équivalence entre : (i) un → ℓ , (ii) un − ℓ → 0 . b) convergence et divergence Déf : On dit que la suite u converge ssi ∃ℓ ∈ ℝ , un → ℓ .

Sinon on dit que la suite u diverge.

Théorème :(Unicité de la limite) Si la suite u converge alors ∃!ℓ ∈ ℝ , un → ℓ .

Ce réel ℓ est alors appelé limite de la suite u et on note ℓ = limu , ℓ = lim un ou ℓ = lim un . ∞ n

c) limites finies et relation d’ordre Théorème : Toute suite réelle convergente est bornée.

Prop : Soit u une suite réelle telle que un → ℓ et a ,b ∈ ℝ .

Si a < ℓ alors ∃N 0 ∈ ℕ, ∀n ≥ N 0 , un > a .

Si ℓ < b alors ∃N 1 ∈ ℕ, ∀n ≥ N 1 , un < b Si a < ℓ < b alors ∃N 2 ∈ ℕ, ∀n ≥ N 1 ,a < un < b .

Théorème : On suppose que un → ℓ et vn → ℓ ′ .

Si à partir d’un certain rang un ≤ vn alors ℓ ≤ ℓ ′ .

2°) Limites infinies a) définition Déf : On dit que la suite u tend vers +∞ ssi ∀A ∈ ℝ , ∃N ∈ ℕ, ∀n ≥ N , un ≥ A .

On note alors un →+ ∞ ou un → +∞ . ∞ n

Déf : On dit que la suite u tend vers −∞ ssi ∀B ∈ ℝ , ∃N ∈ ℕ, ∀n ≥ N , un ≤ B .

On note alors un →−∞ ou un → −∞ . ∞ n

Prop : un → +∞ ⇔ −un → −∞ . b) limites infinies et relation d’ordre Prop : Si un → +∞ alors u est minorée, non majorée.

Si un → −∞ alors u est majorée, non minorée.

Déf : Si un → +∞ (resp. un → −∞ ) alors on dit que u diverge vers +∞ (resp. −∞ ) et on note

lim un = +∞ (resp. lim un = −∞ ). ∞ ∞ n

n

3°) Opération sur les limites a) somme Théorème : 1) Si un → ℓ ∈ ℝ et vn → ℓ ′ ∈ ℝ alors un + vn → ℓ + ℓ ′ .

2) Si un → ℓ ∈ ℝ et vn → +∞ alors un + vn → +∞ .

3) Si un → ℓ ∈ ℝ et vn → −∞ alors un + vn → −∞ .

4) Si un → +∞ et vn → +∞ alors un + vn → +∞ .

5) Si un → −∞ et vn → −∞ alors un + vn → −∞ . lemme : Si u est minorée et vn → +∞ alors un + vn → +∞ .

Cor : Par passage à l’opposé, on obtient les règles relatives aux différences de limites.

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b) produit Théorème : 1) Si un → ℓ ∈ ℝ et vn → ℓ ′ ∈ ℝ alors unvn → ℓℓ ′ . +∞ si ℓ > 0 2) Si un → ℓ ≠ 0 et vn → +∞ alors un vn →  .  −∞ si ℓ < 0

−∞ si ℓ > 0 3) Si un → ℓ ≠ 0 et vn → −∞ alors un vn →  .  +∞ si ℓ < 0 4) Si un → +∞ et vn → +∞ alors unvn → +∞ .

5) Si un → +∞ et vn → −∞ alors unvn → −∞ .

6) Si un → −∞ et vn → −∞ alors unvn → +∞ . c) passage à l’inverse Déf : Soit u une suite réelle et ℓ ∈ ℝ . On note un → ℓ + (resp. un → ℓ− ) pour signifier que un → ℓ et un > ℓ à partir d’un certain rang (resp. un < ℓ ).

Théorème : 1) Si un → ℓ ≠ 0 alors 1 un → 1 ℓ .

2) Si un → 0+ alors 1 un → +∞ .

3) Si un → 0− alors 1 un → −∞ .

4) Si un → +∞ alors 1 un → 0+ .

5) Si un → −∞ alors 1 un → 0− .

Cor : On en déduit les règles de calculs relatives aux rapports de limites. d) composition de limites Théorème : Soit f : D ⊂ ℝ → ℝ et u = (un ) une suite réelle telle qu’à partir d’un certain terme général un ∈ D .

Si un → a ∈ ℝ et f (x )  → ℓ ∈ ℝ alors f (un ) → ℓ . x →a 4°) Théorèmes d’existence de limite a) théorèmes de comparaison Théorème : Si à partir d’un certain rang un − ℓ ≤ vn et si vn → 0 alors un → ℓ .

Prop : Si un → ℓ alors un → ℓ .

Prop : Si (un ) est bornée et vn → 0 alors un vn → 0 .

Théorème : On suppose qu’à partir d’un certain rang un ≤ vn .

Si un → +∞ alors vn → +∞ .

Si vn → −∞ alors un → −∞ . b) théorème des gendarmes Théorème : On suppose qu’à partir d’un certain rang vn ≤ un ≤ wn . Si vn → ℓ ∈ ℝ et wn → ℓ alors un → ℓ . c) théorème de convergence monotone Théorème : Si u est une suite croissante et majorée alors u converge.

Si u est une suite croissante non majorée alors u diverge vers +∞ .

Si u est une suite décroissante et minorée alors u converge.

Si u est une suite décroissante non minorée alors u diverge vers −∞ .

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5°) Suites adjacentes Déf : Deux suites réelles a et b sont dites adjacentes ssi a est croissante, b est décroissante et lim( bn −an ) = 0 . ∞ n

Théorème : Si a et b sont deux suites réelles adjacentes alors elles convergent vers une même limite ℓ et ∀n ∈ ℕ,a n ≤ ℓ ≤ bn .

Théorème : (des segments emboîtés) Si ([an ,bn ]) est une suite décroissante de segments tels que bn −an → 0 alors

∩ [a

n

,bn ] est un singleton.

n ∈ℕ

6°) Suites extraites Déf : On appelle suite extraite (ou sous-suite) d’une suite u = (un ) toute suite v = (vn ) telle qu’il existe ϕ : ℕ → ℕ strictement croissante (appelée extractrice) pour laquelle ∀n ∈ ℕ, vn = uϕ (n ) .

Une telle suite est alors notée (uϕ (n ) )n ∈ℕ ou encore (uϕ (n ) ) .

Prop : Si w est une suite extraite d’une suite v elle-même extraite de u alors w est une suite extraite de u .

Prop : Toute suite extraite d’une suite de limite ℓ ∈ ℝ tend aussi vers ℓ .

Théorème : Si (u 2n ) et (u 2n +1 ) tendent vers une même limite ℓ ∈ ℝ alors un → ℓ .

Théorème : de Bolzano-Weierstrass De toute suite réelle bornée on peut extraire une sous-suite convergente.

III. Extension aux suites complexes 1°) Définition Déf : On appelle suite complexe toute application z : ℕ → ℂ .

Une telle suite est notée z , (z n ) ou (z n )n ∈ℕ .

L’ensemble des suites complexes est noté ℂ ℕ ou F (ℕ, ℂ) .

Déf : Soit z = (z n ) une suite complexe.

On appelle partie réelle de z la suite Re(z ) de terme général Re(z n ) .

On appelle partie imaginaire de z la suite Im(z ) de terme général Im(z n ) .

On appelle conjuguée de suite z la suite z de terme général z n .

On appelle module de suite z la suite z de terme général z n .

Déf : Une suite complexe z = (z n ) est dite bornée ssi ∃M ∈ ℝ + , ∀n ∈ ℕ, z n ≤ M .

Prop : Une suite complexe z est bornée ssi Re(z ) et Im(z ) le sont.

2°) Convergence Déf : Soit z une suite complexe et ℓ ∈ ℂ . On dit que z tend vers ℓ ssi z n − ℓ → 0. ∞ n

On note alors z n → ℓ ou z n → ℓ . ∞ n

Déf : On dit qu’une suite complexe z converge ssi ∃ℓ ∈ ℂ, z n → ℓ . Sinon on dit que z diverge.

Théorème : Si une suite complexe z converge alors ∃!ℓ ∈ ℂ, z n → ℓ .

Ce complexe ℓ est alors appelé limite de la suite z et on note ℓ = lim z n ou ℓ = lim z n . ∞ n

3°) Théorèmes liés à la convergence Prop : Si z n → ℓ alors z n → ℓ et z n → ℓ .

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Théorème : Toute suite complexe convergente est bornée.

Théorème : Soit z et z ′ deux suites complexes.

Si z n → ℓ ∈ ℂ et z n′ → ℓ ′ ∈ ℂ alors z n + z n′ → ℓ + ℓ ′, z n z n′ → ℓℓ ′ De plus si z n → ℓ ≠ 0 alors 1 z n → 1 ℓ .

Théorème : Soit z une suite complexe et ℓ ∈ ℂ .

On a équivalence entre : (i) z n → ℓ , (ii) Re(z n ) → Re(ℓ ) et Im(z n ) → Im(ℓ ) . n

4°) Nature de (qn) avec q complexe Prop : Soit q ∈ ℂ .

Si q < 1 alors q n → 0 .

Si q = 1 alors q n → 1 .

Si q ≥ 1 et q ≠ 1 alors (q n ) diverge.

Supposons (q n ) converge vers un certain ℓ ∈ ℂ .

Comme q n +1 = q .q n , à la limite ℓ = q .ℓ d’où ℓ = 0 (sachant q ≠ 1 ).

Or q n ≥ 1 et donc q n → / 0 . Absurde. Donc (q n ) diverge.

5°) Suites d’éléments de R² a) distance euclidienne Déf : Soit a = (x , y ) ∈ ℝ 2 et b = (x ′, y ′) ∈ ℝ 2 .

On appelle distance euclidienne de a à b le réel : d (a ,b ) = (x ′ − x ) 2 + (y ′ − y ) 2 .

Prop : ∀a ,b ,c ∈ ℝ 2 : d (a ,b ) = 0 ⇔ a = b , d (a ,b ) = d (b ,a ) et d (a ,c ) ≤ d (a ,b ) + d (b ,c ) . b) suite Déf : On appelle suite d’éléments de ℝ 2 toute application u : ℕ → ℝ 2 .

Déf : Soit u = (un ) une suite d’éléments de ℝ 2 .

Pour tout n ∈ ℕ , on peut écrire un = (x n , yn ) .

Les suites réelles (x n ) et (yn ) sont appelées suites coordonnées de (un ) .

c) convergence Soit u = (un ) une suite d’éléments de ℝ 2 .

Déf : On dit que u tend vers ℓ ∈ ℝ 2 , et on note un → ℓ , ssi d (un , ℓ ) → 0 .

On dit que la suite u converge ssi ∃ℓ ∈ ℝ 2 tel que un → ℓ .

Prop : Si u converge alors ∃!ℓ ∈ ℝ 2 tel que un → ℓ .

ℓ est alors appelé limite de la suite u et on note ℓ = lim un .

Prop : Une suite u = (un ) d’éléments de ℝ 2 converge ssi ses suites coordonnées x = (x n ) et y = (yn ) convergent.

De plus si tel est le cas : lim un = (lim x n ,lim yn ) .

IV. Comparaisons de suites numériques Les suites considérées ici, sont réelles ou complexes, définies à partir d’un certain rang.

1°) Suite négligeable devant une autre α et β désignent des suites de termes non nuls à partir d’un certain rang.

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Déf : Une suite u est dite négligeable devant α ssi

un →0. αn

On note alors un = o∞ (αn ) , un = o (αn ) ou un << αn . n

Prop : un = o (αn ) si et seulement si on peut écrire un = αn εn avec εn → 0 Prop : Si un = o (λαn ) (avec λ ≠ 0 ) alors un = o (αn ) .

Si un = o (αn ) et vn = o (αn ) alors un + vn = o (αn ) .

Si un = o (αn ) alors un βn = o (αn βn ) .

Prop : Si un = o (αn ) et vn = o (αn ) alors un = o (αn ) .

2°) Suite dominée par une autre α et β désignent des suites de termes non nuls à partir d’un certain rang.

u  Déf : Une suite u est dite dominée par α ssi  n  est bornée. On note alors un = O (αn ) ou un = O∞ (αn ) .  αn  n Prop : un = O (αn ) si et seulement si on peut écrire un = αnbn avec (bn ) bornée.

Prop : Si un = O (λαn ) alors un = O (αn ) .

Si un = O (αn ) et vn = O (αn ) alors un + vn = O (αn ) .

Si un = O (αn ) alors un βn = O (αn βn ) .

Prop : Si un = o (αn ) et αn = O (βn ) alors un = o (βn ) .

Si un = O (αn ) et αn = o (βn ) alors un = o (βn ) .

Si un = O (αn ) et αn = O (βn ) alors un = O (βn ) .

3°) Croissance comparée des suites de référence Prop : (comparaison des suites de même type) Pour α < β on a n α = o (n β ) et (ln n )α = o ((ln n )β ) .

Pour 0 < a < b on a a n = o (b n ) .

Prop : (comparaison des suites de limite +∞ ) Pour α, β > 0 et a > 1 on a :

(ln n )α = o (n β ) , n α = o (a n ) et a n = o (n !) .

Prop : (comparaison des suites de limite nulle) Pour α, β > 0 et 0 < a < 1 on a :  1  1 1 1 . = o (a n ),q n = o  α  et α = o   n  n! n  (ln n )β  lemme :Si u et v ne s’annulent pas à partir d’un certain rang : 1 1 un = o (vn ) ⇒ = o   . vn  un  4°) Suites équivalentes Les suites considérées ici ne s’annulent pas à partir d’un certain rang. a) définition Déf : Une suite u est dite équivalente à une suite v ssi un vn → 1 . On note alors un ∼∞ vn ou encore un ∼ vn . n

Prop : Si un ∼ vn alors vn ∼ un . Si un ∼ vn et vn ∼ wn alors un ∼ wn .

Prop : Soit (un ) et (vn ) deux suites. On a équivalence entre : (i) un ∼ vn , (ii) un = vn + o (vn ) .

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b) applications des équivalents Théorème : Si un ∼ vn et vn → ℓ ∈ ℝ ou ℓ ∈ ℂ alors un → ℓ .

Théorème : Soit u et v deux suites réelles.

Si un ∼ vn alors, à partir d’un certain rang, un et vn ont même signe.

Prop : Si un ~ vn alors un = O (vn ) et vn = O (un ) .

Prop : Si un ∼ vn et vn = o (wn ) alors un = o (wn ) .

Si un ∼ vn et vn = O (wn ) alors un = O (wn ) .

Si un = o (vn ) et vn ∼ wn alors un = o (wn ) .

Si un = O (vn ) et vn ∼ wn alors un = O (wn ) .

c) détermination d’équivalents Théorème : Si un ∼ vn et wn ∼ tn alors un wn ∼ vntn et

u n vn ∼ . Si un ∼ vn alors ∀p ∈ ℤ, unp ∼ vnp . w n tn

Théorème : Soit (un ) et (vn ) deux suites de réels strictement positifs.

Si un ∼ vn alors ∀α ∈ ℝ , unα ∼ vnα .

Prop : Si un → 0 alors sin un ∼ un , tan un ∼ un et ln(1 + un ) ∼ un .

Prop : Soit u et v deux suites de réels strictement positifs.

Si un ∼ vn et vn → ℓ avec ℓ = 0+ , ℓ = +∞ ou ℓ ∈ ℝ + * \ {1} alors ln un ∼ ln vn .

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