Suites numériques I. Suites réelles 1°) Définitions générales Déf : On appelle suite réelle toute application u : ℕ → ℝ . Pour tout n ∈ ℕ , u (n ) , usuellement notée un , est appelé terme d’indice n de la suite. Une telle suite est notée u , (un ) ou (un )n ∈ℕ . On note ℝ ℕ ou F (ℕ, ℝ ) l’ensemble de ces suites. Déf : On appelle suite réelle définie à partir du rang n 0 ∈ ℕ toute application u : {n ∈ ℕ / n ≥ n 0 } → ℝ . Une telle suite est notée u , (un )n≥n0 ou (un ) . Déf : Une suite réelle u = (un ) est dite constante ssi ∃C ∈ ℝ , ∀n ∈ ℕ, un = C . Cette suite est alors dite constante égale à C et est notée C . Déf : Une suite réelle u = (un ) est dite stationnaire ssi ∃C ∈ ℝ , ∃N ∈ ℕ, ∀n ≥ N , un = C . Cette suite est alors dite stationnaire égale à C . Déf : Soit u = (un ) une suite réelle. On appelle valeur absolue la suite notée u de terme général un . Prop : Soit u = (un ) une suite réelle. On a équivalence entre : (i) u est bornée (ii) ∃M ∈ ℝ + , ∀n ∈ ℕ, un ≤ M . (iii) la suite u est majorée. 2°) Opérations sur les suites réelles Déf : Soit u = (un ) et v = (vn ) deux suites réelles et λ ∈ ℝ . On note λ.u la suite de terme général λun . On note u + v la suite de terme général un + vn . On note uv la suite de terme général un vn . Prop : Soit u et v des suites numériques et λ ∈ K . Si u et v sont bornées alors λ.u , u + v et uv le sont aussi. 3°) Suite arithmético-géométrique Déf : On appelle suite arithmético-géométrique de raisons q et r ∈ ℝ toute suite u = (un ) telle que
∀n ∈ ℕ, un +1 = qun + r . Si r = 0 , on parle de suite géométrique de raison q , on a un = q nu 0 . Si q = 1 , on parle de suite arithmétique de raison r , on a un = u0 + nr . Si q ≠ 1 : on cherche α ∈ ℝ tel que vn = un − α soit géométrique. On parvient à un = q n u0 +
q n −1 r q −1
II. Limite d’une suite réelle
u = (un ) , v = (vn ) et w = (wn ) désignent des suites réelles 1°) Limite finie a) définition Déf : On dit que la suite u tend vers ℓ ∈ ℝ ssi ∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ, ∀n ∈ ℕ, n ≥ N ⇒ un − ℓ ≤ ε . On note alors u → ℓ , un → ℓ ou un → ℓ . n∞
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