Fe ola by mathkostas

Κώστας Κουτσοβασίλης

Θετική –Τεχνολογική Κατεύθυνση

Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί Φύλλα Εργασίας

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Φύλλο Εργασίας

Μιγαδικοί Αριθμοί

Διδακτική Ενότητα: Η έννοια του Μιγαδικού-Πράξεις στο σύνολο C

1.1. Πως ορίζεται το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών; Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..……………

1.2. Τι είναι και πως συμβολίζεται το σύνολο των φανταστικών αριθμών ; Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… 1.3. Τι ονομάζεται μιγαδικός αριθμός; Τι λέγεται πραγματικό μέρος, φανταστικό

μέρος και πως συμβολίζονται; Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..……

1.4. Στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών ισχύει η έννοια της διάταξης;

Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… …………………………………………………………………………………………………………….

1.5. Τι ονομάζεται μιγαδικό επίπεδο; Ποιος είναι ο πραγματικός και ποιος ο φανταστικός άξονας; http://www.perikentro.blogspot.gr/

-1-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Μιγαδικοί Αριθμοί

1.6. Στο σύνολο των μιγαδικών έχει νόημα η έννοια θετικός ή αρνητικός μιγαδικός; Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..…

1.7. Τι λέμε τετραγωνική ρίζα ενός μιγαδικού αριθμού; Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… …………………………………………………………………………………………………………….

1.8. Έστω ο μιγαδικός z=α+βi α,β IR . Πότε ο z είναι πραγματικός και πότε φανταστικός; Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… …………………………………………………………………………………………………………….

1.9. Έστω οι μιγαδικοί: z1     i, z 2    i, , , ,   IR .Να συμπληρωθούν οι ισότητες

z1  z 2  ................................................................... z1  z 2  .................................................................... z1  z 2  ...................................................................... 1.10. Να συμπληρωθούν οι ισότητες

  i    i  .........................................................   i  0  ................................................................

http://www.perikentro.blogspot.gr/

-2-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Μιγαδικοί Αριθμοί

1.11. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z1=κ-1+(λ-2)i και z2=3-2i Να βρείτε τις τιμές των κ ,λ ώστε: α. Re(z1)=3 και Im(z1)=-3 β. Οι z1 και z2 να είναι ίσοι γ. Ο z1 να είναι i. Πραγματικός ii. Φανταστικός. Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..……

1.12. Να βρείτε τον μιγαδικό z για τον οποίο ισχύει: z=4Im(z)+(Re(z)-1)i Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..……

1.13. Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z που ικανοποιούν τις σχέσεις α. Re(z)=1 β. Im(z)=-2 γ. Re(z)+Im(z)=0 Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… 1.14. Έστω ο μιγαδικός αριθμός z=2λ-1+(4λ-7)i ,λ  R Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των z Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… http://www.perikentro.blogspot.gr/ -3Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Φύλλο Εργασίας

Μιγαδικοί Αριθμοί

Διδακτική Ενότητα:

Η έννοια του Μιγαδικού-Πράξεις στο σύνολο C

2.1. Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών z1    i και z 2    i , α, β, γ, δ  R είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους Απάντηση: y …………………………………………………………………………………………………………..… M(α+γ,β+δ) ………………………………………………………………………………………………………..…… M2(γ,δ)

……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… M1(α,β) ………………………………………………………………………………………………………..…… Ο x ……………………………………………………………………………………………………..………

…………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..……………

2.2. Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών z1    i και z 2    i , α,β, γ, δ  R είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους. Απάντηση: y

…………………………………………………………………………………………………………..… Μ (γ,δ) 2

………………………………………………………………………………………………………..…… Μ1(α,β)

……………………………………………………………………………………………………………. Ο

…………………………………………………………………………………………………………..… Ν(αγ,βδ) ………………………………………………………………………………………………………..…… Μ (γ,δ) ……………………………………………………………………………………………………..……… 3

2.3. Τι ονομάζουμε συζυγή ενός μιγαδικού αριθμού z     i ; Να γράψετε τις ιδιότητες των συζυγών αριθμών Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… http://www.perikentro.blogspot.gr/

-4-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Μιγαδικοί Αριθμοί

2.4. Αν z1    i και z 2    i , α, β, γ, δ  R να εκφράσετε το πηλίκο z1 , z 2  0 στη μορφή κ+λi z2 Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..……………

2.5. Να αποδείξετε ότι: z1  z 2  z1  z 2 Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..……

2.6. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: Απάντηση:

α. z  z  4

β. z  z  16i

 2  0

γ. z 2  z

…………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..………………… ………………………………………………………………………………………..……………………. http://www.perikentro.blogspot.gr/

-5-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Μιγαδικοί Αριθμοί

2.7. Να βρεθεί ο λ R αν οι εικόνες των μιγαδικών z1=2+3i, z2=4+3i, z3=λ+(λ-3)i στο μιγαδικό επίπεδο είναι σημεία συνευθειακά Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..……

2.8. Δίνεται ο μιγαδικός z=ημθ-1+(συνθ+2)i. Να βρείτε που βρίσκονται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..…

2.9. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z για τον οποίο ισχύει

z  z 2  z  z 2  3zz  9 Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..……

2.10. Να αναλύσετε τον μιγαδικό z=5+3i σε άθροισμα δύο μιγαδικών z1 και z2 που οι εικόνες τους βρίσκονται στις ευθείες ε1: y=x+1 και ε2: y=2x-1 αντίστοιχα. Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… http://www.perikentro.blogspot.gr/

-6-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Φύλλο Εργασίας

Μιγαδικοί Αριθμοί

Διδακτική Ενότητα: Η έννοια του Μιγαδικού-Πράξεις στο σύνολο C

3.1. Πώς ορίζεται η δύναμη μιγαδικού και πως υπολογίζουμε τις δυνάμεις του i ; Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..……

3.2. Να αποδείξετε ότι iν= iυ όπου υ το υπόλοιπο της διαίρεσης ν/4 Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..…………

3.3. Στο σύνολο R η παράσταση x 2  y 2 , x, y  R δεν παραγοντοποιείται. Συμβαίνει το ίδιο και στο σύνολο C; Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… …………………………………………………………………………………………………………….

3.4. Στο σύνολο C η ισοδυναμία z12  z 22  0  z1  z 2  0, z1 , z 2  C ισχύει; Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… http://www.perikentro.blogspot.gr/ -7Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Μιγαδικοί Αριθμοί

3.5. Να βρείτε τα x,y  R ώστε οι μιγαδικοί z1=2x+(3x+2y)i και z2=y-1-9i να είναι συζυγείς Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..……

3.6. Να υπολογίσετε το    όταν ισχύει καθεμία από τις παρακάτω ισότητες: α. i ν 5  1 β. i 3ν 3  i 6 Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..……………

3.7. Α. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α=(1+i)2014+(1-i)2014

Β. Να δείξετε ότι : (α+βi)10+(β-αi)10=0 Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..………………… ………………………………………………………………………………………..……………………. http://www.perikentro.blogspot.gr/

-8-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Μιγαδικοί Αριθμοί

3.8. Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α=i Απάντηση:

ν+1

+i-ν-1

3.9. Έστω οι μιγαδικοί z1 , z2 για τους οποίους ισχύουν z14  z 42  0 και z1   z 2 Να αποδείξετε ότι: z12018  z 2018 0 2 Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..…………

3.10. Έστω ο μιγαδικός z για τον οποίο ισχύει z 2  z  1  0 . Να αποδείξετε ότι : α) z 3  1 β) z100  z 50  1  0 . Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… http://www.perikentro.blogspot.gr/

-9-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Φύλλο Εργασίας

Μιγαδικοί Αριθμοί

Διδακτική Ενότητα: Η έννοια του Μιγαδικού-Πράξεις στο σύνολο C

4.1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αz2+βz+γ=0, α,β,γ IR , όταν Δ<0 i  έχει δυο ρίζες που δίνονται από τον τύπο z1,2  2 Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..…………………

4.2. Για ένα μιγαδικό z να αποδείξετε ότι: • Ο z είναι πραγματικός αν και μόνο αν z  z • Ο z είναι φανταστικός αν και μόνο αν z  z Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..…………………

4.3. Αν μια ρίζα της εξίσωσης 3x2+2βx+γ=0, ,   R είναι ο 2-3i να βρεθούν οι β , γ.

http://www.perikentro.blogspot.gr/

- 10 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Μιγαδικοί Αριθμοί

1 x

4.4. Δίνεται η εξίσωση x+ =1 (1)

α. Να λυθεί στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών η εξίσωση (1) β. Έστω z μια οποιαδήποτε ρίζα της (1) i. Να δείξετε ότι z3=-1 ii. Να υπολογίσετε την παράσταση Α=z0+z9+z18 Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… _

4.5. Αν z z  w w  1 να δείξετε ότι ο αριθμός α =

u  zw u είναι πραγματικός zw

- 11 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Μιγαδικοί Αριθμοί

4.6. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός z είναι πραγματικός ,αν και μόνο αν, ο w 

z 3 z3

είναι πραγματικός Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..……………

4.7. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους 1 ισχύει η ισότητα: Re(z  )  2 Im(z  i) z Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………..……………………………………………………………………………… …………………………..………………………………………………………………………………… ………………………..…………………………………………………………………………………… http://www.perikentro.blogspot.gr/

- 12 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Φύλλο Εργασίας

Μιγαδικοί Αριθμοί

Διδακτική Ενότητα: Η έννοια του Μιγαδικού-Πράξεις στο σύνολο C

5.1. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί : z1  1  2i και z 2  3  4i . z α. Αν 2  x  yi με x, y  R , να αποδείξετε ότι x=-1 και y=2 . z1 β. Αν η μία ρίζα της εξίσωσης x 2  x  2  0 , β, γ  R είναι η

z2 , να βρείτε τις z1

τιμές των β, γ Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..…………………

5.2.

Για τους μιγαδικούς z , w να αποδειχθεί ότι:

 z   w  Re   Re  1 zw zw Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..………………… ………………………………………………………………………………………..……………………. http://www.perikentro.blogspot.gr/ - 13 Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 5.3.

Μιγαδικοί Αριθμοί

Έστω οι μιγαδικοί z για τους οποίους ισχύει: (1  i)z  (1  i) z  2 (1) α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z που ικανοποιούν την (1) β. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό z1 και τον φανταστικό αριθμό z2 που ικανοποιούν την (1) γ. Αν z1 , z2 οι αριθμοί του ερωτήματος β. να βρείτε τον ελάχιστο θετικό 

ακέραιο για τον οποίο ισχύει: z1  z 2   z1  z 2   0 Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..………………… ………………………………………………………………………………………..……………………. ……………………………………………………………………………………..……………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

2 5.4. Έστω Μ και Ν οι εικόνες των μιγαδικών z και w αντίστοιχα. Αν w  z  και το z Μ κινείται στον μοναδιαίο κύκλο να βρείτε την εξίσωση της γραμμής που κινείται το Ν. Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… http://www.perikentro.blogspot.gr/ - 14 Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Μιγαδικοί Αριθμοί

5.5. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z=x+yi, όπου x,y πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους υπάρχει α IR ώστε να ισχύει: 2

zz zz      i    (1  )i 2 2 i     Να αποδείξετε ότι: α. Αν Im(z)=0 τότε α=1 β. Αν α=0 τότε z2+1=0 γ. Για τον πραγματικό αριθμό α ισχύει : 0    1 Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..………………… ………………………………………………………………………………………..……………………. …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..………………… http://www.perikentro.blogspot.gr/

- 15 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Φύλλο Εργασίας

Μιγαδικοί Αριθμοί

Διδακτική Ενότητα: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού

6.1.Τι λέμε μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού ; Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..……

6.2. Αν z  C να αποδείξετε ότι: | z |  | z |  | z | Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..………

6.3. Αν z  C να αποδείξετε ότι: | z |2  z  z Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..………

6.4. Αν z 1 ,z 2  C να αποδείξετε ότι: | z1  z 2 |  | z1 |  | z 2 | Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… http://www.perikentro.blogspot.gr/

- 16 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Μιγαδικοί Αριθμοί

6.5. Αν z  C να αποδείξετε ότι: z  i  z  i  z  R Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..………………

6.6. Αν ισχύει z  3  2 z  2 να υπολογίσετε το |z-1| Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..……

6.7. Δίνονται οι μιγαδικοί z ,w με z 

3  2z 1 1  και w  Να βρείτε το 1 3w 2 4 6z  3

6.8. Αν 2z  2z 

1 1 όπου z  x  yi, x , y  R * να δείξετε ότι: Re( z 2 )  z 4

http://www.perikentro.blogspot.gr/

- 17 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Μιγαδικοί Αριθμοί

 14  27z11 να δείξετε ότι z 25  R

6.9. Αν για τον μιγαδικό z ισχύει z Απάντηση:

6.10. Αν z    i ,   R * και 2z  3

 z  52012 να βρείτε τον α

- 18 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Φύλλο Εργασίας

Μιγαδικοί Αριθμοί

Διδακτική Ενότητα: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού

7.1. Να γράψετε τις ιδιότητες του μέτρου μιγαδικού αριθμού. Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..……

7.2. Η ανισότητα z1  z 2 , z1 , z 2  C δεν έχει νόημα στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών, μπορούμε να πούμε το ίδιο και για τη σχέση z1  z 2 , z1 , z 2  C ; Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..…

7.3. Από ισότητα μιγαδικών αριθμών μπορούμε να περάσουμε σε ισότητα μέτρων; Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… …………………………………………………………………………………………………………….

7.4. Αν z1 , z 2  C και z12  z 22 τότε είναι σωστό z1  z 2 Απάντηση:……………………………………………………………………………………………… …………..………………………………………………………………………………………………… ………..…………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………..…

7.5. Να λυθούν οι εξισώσεις α. |z+i|=2 z

http://www.perikentro.blogspot.gr/

 3  1

β. z 7  z

- 19 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Μιγαδικοί Αριθμοί

7.6. Αν για τους μιγαδικούς z ,w ισχύει: z  w  z  w να δείξετε ότι: Re(z w )  0 Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..………

7.7. Αν z1,z2 C και |z1|<1, |z2|<1 να δείξετε ότι: |z1-z2|<|1- z1z 2 | Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… http://www.perikentro.blogspot.gr/

- 20 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Μιγαδικοί Αριθμοί

7.8. Δίνονται οι μιγαδικοί z1, z2, z3 με z1  z 2  z 3  1 και

z z  z 3 Re 1  2  3    . Να δείξετε ότι z1+z2+ z3=0 2  z 2 z 3 z1  Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..………………… ………………………………………………………………………………………..……………………. …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… …………………………………………………………………………………………………..…………

7.9. Να δείξετε ότι ο αριθμός w  z 

2 είναι φανταστικός αν και μόνο αν ο z είναι z

φανταστικός ή z  2 Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..………………… http://www.perikentro.blogspot.gr/

- 21 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Φύλλο Εργασίας

Μιγαδικοί Αριθμοί

Διδακτική Ενότητα: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού

8.1. Αν για τον μιγαδικό z ισχύει |z|=1 να δείξετε ότι: 1 α. Ο αριθμός w  z  είναι πραγματικός z 1 β. Ο αριθμός v  z  είναι φανταστικός z γ. w  2v  4 Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..…………………

8.2. α. Να δείξετε ότι : |z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2

β. Να αποδείξετε ότι για κάθε ζεύγος μη μηδενικών μιγαδικών z1,z2 ισχύει: 2

z1 z z z  2  1  2 4 | z1 | | z 2 | | z1 | | z 2 | Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… http://www.perikentro.blogspot.gr/ - 22 Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Μιγαδικοί Αριθμοί

8.3. Να βρεθεί ο μιγαδικός z για τον οποίο ισχύει z  z  i  1 Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..………………… ………………………………………………………………………………………..…………………….

8.4. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z ,w με |z|=4 και w= -5+12i. Να δείξετε ότι

9  z  w  17 Απάντηση:……………………………………………………………………………………………… …………..………………………………………………………………………………………………… ………..…………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..………

8.5. Αν z  C και z  4  2i  3 να δείξετε ότι: 2  z  i  8 Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… http://www.perikentro.blogspot.gr/ - 23 Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Μιγαδικοί Αριθμοί

8.6. Αν z, w  C z  2i  3 και w  4  5i  1 να δείξετε ότι: z  w  9 Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..………………… ………………………………………………………………………………………..…………………….

8.7. Δίνονται οι μιγαδικοί z1, z2, z3 με |z1|=1, |z2|=2, |z3|=3. Να δείξετε ότι

z1  z 2  z 3 

1 4 9   2 z1 z 2 z 3

Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..………………… ………………………………………………………………………………………..……………………. …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… http://www.perikentro.blogspot.gr/

- 24 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Φύλλο Εργασίας

Μιγαδικοί Αριθμοί

Διδακτική Ενότητα: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού-Βασικοί Γεωμετρικοί Τόποι

9.1. Να αποδείξετε ότι το μέτρο της διαφοράς δυο μιγαδικών είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων τους Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..…………………

9.2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση |z-z 0 |=ρ ,ρ>0 παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο Κ(z 0 ) και ακτίνα ρ Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..…………………

9.3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση |z-z 1 |=|z-z 2 |(1) παριστάνει τη μεσοκάθετο του τμήματος με άκρα τα σημεία Α(z 1 ) και Β(z 2 )

http://www.perikentro.blogspot.gr/

- 25 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Μιγαδικοί Αριθμοί

9.4. Αν για τον μιγαδικό z ισχύει: z  3  4i  2 τότε: α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του z β. Να αποδείξετε ότι 3  z  7 γ. Ποιος μιγαδικός αριθμός z έχει το ελάχιστο και ποιος το μέγιστο μέτρο; δ. Αν z1, z2 είναι δυο μιγαδικοί του προηγούμενου γεωμετρικού τόπου να αποδείξετε ότι: z1  z 2  4 Απάντηση:……………………………………………………………………………………………… …………..………………………………………………………………………………………………… ………..…………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..………………… ………………………………………………………………………………………..……………………. ……………………………………………………………………………………..……………………… ………………………………………………………………………………….…………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………..…. ………………………………………………………………………………………………………..…… http://www.perikentro.blogspot.gr/ - 26 Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Μιγαδικοί Αριθμοί

9.5. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z που ικανοποιούν τη σχέση: z  2  3i  5 Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..………………

9.6. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z που ικανοποιούν τη σχέση: z  2  8i  z  1  5i Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..………………… ………………………………………………………………………………………..……………………. …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..………………… ………………………………………………………………………………………..…………………… http://www.perikentro.blogspot.gr/

- 27 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Φύλλο Εργασίας

Μιγαδικοί Αριθμοί

Διδακτική Ενότητα: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού-Βασικοί Γεωμετρικοί Τόποι

10.1. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών 2010

αριθμών z όταν ισχύει: 2z  1

 z  12010

10.2. Αν z  C και ισχύει iz  3  z  4 να βρείτε α. Το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z β. Την ελάχιστη τιμή του |z| Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..…………………

10.3. Αν για τους μιγαδικούς z ισχύει |z-1|=2 να βρείτε που ανήκουν οι εικόνες

των μιγαδικών w με w=3z-2

http://www.perikentro.blogspot.gr/

- 28 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Μιγαδικοί Αριθμοί

10.4. Ποιος από τους μιγαδικούς z έχει το ελάχιστο και ποιος το μέγιστο μέτρο α. iz  2  1 β. z  i  z  1  2i Απάντηση:……………………………………………………………………………………………… …………..………………………………………………………………………………………………… ………..…………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..………………… ………………………………………………………………………………………..…………………….

10.5. Για τον μιγαδικό z ισχύει: |2z-1|=|z-2|

α. Να δείξετε ότι η εικόνα του z ανήκει σε κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ=1 1 1 β. Να δείξετε ότι η εικόνα του w= ανήκει στην ευθεία x=  z 1 2 Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… http://www.perikentro.blogspot.gr/ - 29 Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Μιγαδικοί Αριθμοί

10.6. α. Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών

αριθμών z που ικανοποιούν τη σχέση z  2  z (1) β. Να αποδείξετε ότι αν ο z ικανοποιεί την (1) τότε η εικόνα του w=

1 z

ανήκει στον κύκλο με κέντρο Κ(1/2,0) και ακτίνα ρ=1/2 Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..………………… ………………………………………………………………………………………..……………………. …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..………………… ………………………………………………………………………………………..…………………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… http://www.perikentro.blogspot.gr/

- 30 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Φύλλο Εργασίας

Μιγαδικοί Αριθμοί

Διδακτική Ενότητα: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού-Βασικοί Γεωμετρικοί Τόποι

11.1. Αν z, w  C να βρείτε α. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z ώστε ο αριθμός

z2 να είναι πραγματικός z  2i

β. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w που ικανοποιούν τη σχέση w  w  1  i γ. Τη ελάχιστη τιμή του z  w Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..………………… ………………………………………………………………………………………..……………………. ……………………………………………………………………………………..……………………… ………………………………………………………………………………….…………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… 11.2. Αν z, w  C να βρείτε

α. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z που ικανοποιούν τη σχέση (1  i)z  3  i  2 β. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w που ικανοποιούν

11 13  i 5 5 γ. Τη ελάχιστη τιμή του z  w τη σχέση w  1  i  w 

http://www.perikentro.blogspot.gr/

- 31 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Μιγαδικοί Αριθμοί

Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..………………… ………………………………………………………………………………………..……………………. ……………………………………………………………………………………..……………………… ………………………………………………………………………………….…………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………..…

11.3. Δίνονται οι μιγαδικοί z, w που ικανοποιούν τις σχέσεις ( z  5)  2(z  5)i  6 5 και i w  2  5i  4 α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w γ. Να αποδείξετε ότι z  w  20 Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..………………… ………………………………………………………………………………………..……………………. http://www.perikentro.blogspot.gr/

- 32 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Μιγαδικοί Αριθμοί

…………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..………

11.4 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z1, z2, z3 διαφορετικοί ανά δύο με εικόνες αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο τα σημεία Α ,Β ,Γ . Αν ισχύουν οι σχέσεις |z1|=|z2|=|z3|=ρ και z1+ z2+ z3=0 να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο με πλευρά  3 Απάντηση:……………………………………………………………………………………………… …………..………………………………………………………………………………………………… ………..…………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..………………… ………………………………………………………………………………………..……………………. ……………………………………………………………………………………..……………………… ………………………………………………………………………………….…………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………..…. ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………. http://www.perikentro.blogspot.gr/

- 33 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Φύλλο Εργασίας

Μιγαδικοί Αριθμοί

Διδακτική Ενότητα: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού-Βασικοί Γεωμετρικοί Τόποι

12.1. Αν για τον μιγαδικό αριθμό z ισχύει z  4  z  4  10 τότε α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z β. Να αποδείξετε ότι 3  z  5 . Πότε ισχύουν οι ισότητες; γ. Να αποδείξετε ότι z  4z  15 Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..…………. ………………………………………………………………………………………………..……………. ……………………………………………………………………………………………..………………. …………………………………………………………………………………………..…………………. ………………………………………………………………………………………..……………………. ……………………………………………………………………………………..………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………..….. ……………………………………………………………………………………………………..……….. ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… 12.2. Αν για τον μιγαδικό αριθμό z ισχύει | z  5 |  | z  5 |  8 τότε

α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z β. Να αποδείξετε ότι z  4 . Πότε ισχύει η ισότητα; γ. Αν z1 , z 2 είναι δύο μιγαδικοί του προηγούμενου γεωμετρικού τόπου που οι εικόνες τους είναι σημεία συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων τότε να αποδείξετε ότι z1  z 2  8

http://www.perikentro.blogspot.gr/

- 34 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Μιγαδικοί Αριθμοί

Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..……. ……………………………………………………………………………………………………..………. …………………………………………………………………………………………………..…………. ………………………………………………………………………………………………..……………. ……………………………………………………………………………………………..………………. …………………………………………………………………………………………..…………………. ………………………………………………………………………………………..…………………….. ……………………………………………………………………………………..………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………..….. ………………………………………………………………………………………………………..……. ……………………………………………………………………………………………………..………. ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

12.3. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z για τους οποίους ισχύει: |z|=|z-2i| α. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z στο μιγαδικό επίπεδο είναι η ευθεία με εξίσωση ψ=1 β. Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z να βρείτε εκείνους που έχουν μέτρο ίσο με 2 γ. Έστω z1=1+i και z2=-1+i οι μιγαδικοί αριθμοί που βρήκατε στο ερώτημα β. να αποδείξετε ότι: z14  z 42  8 Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… http://www.perikentro.blogspot.gr/ - 35 Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Μιγαδικοί Αριθμοί

12.4. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z και w με z  3i , οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις: 1 | z  3i |  | z  3i | 2 και w  z  3i  z  3i α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z 1 β. Να αποδείξετε ότι z  3i  z  3i γ. Να αποδείξετε ότι ο w είναι πραγματικός αριθμός και ότι:  2  w  2 δ. Να αποδείξετε ότι: |z-w|=|z| Απάντηση:……………………………………………………………………………………………… …………..………………………………………………………………………………………………… ………..…………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..………………… ………………………………………………………………………………………..……………………. ……………………………………………………………………………………..……………………… ………………………………………………………………………………….…………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………..…. ………………………………………………………………………………………………………..…… http://www.perikentro.blogspot.gr/

- 36 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Φύλλο Εργασίας

Μιγαδικοί Αριθμοί

Διδακτική Ενότητα:

Μιγαδικοί Αριθμοί

13.1 Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις

α. Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α+βi και γ+δi είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους β. α+βi=0  α=0 ή β=0 γ. z+ z  2Re(z) δ. z- z =2Im(z) ε. Οι εικόνες δυο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα Απάντηση:

13.2. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z1, z2, z3 διαφορετικοί ανά δύο που ικανοποιούν τη σχέση

z1  z 2 1 3   i . Αν Α ,Β ,Γ οι εικόνες τους αντίστοιχα στο z 2  z3 2 2

μιγαδικό επίπεδο να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..…………. ………………………………………………………………………………………………..……………. ……………………………………………………………………………………………..………………. …………………………………………………………………………………………..…………………. ………………………………………………………………………………………..……………………. ……………………………………………………………………………………..………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………..….. ……………………………………………………………………………………………………..……….. http://www.perikentro.blogspot.gr/

- 37 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Μιγαδικοί Αριθμοί

13.3. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης z3-8=0 στο μιγαδικό επίπεδο είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου. Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..……. ……………………………………………………………………………………………………..………. …………………………………………………………………………………………………..…………. ………………………………………………………………………………………………..……………. ……………………………………………………………………………………………..………………. …………………………………………………………………………………………..…………………. ………………………………………………………………………………………..…………………….. ……………………………………………………………………………………..………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………..….. ………………………………………………………………………………………………………..…….

13.4. Δίνονται οι μιγαδικοί z1=2006+i ,z2=1-2006i α. Να δείξετε ότι:

z1 i z2

β. Να δείξετε ότι: z12007  iz 2007 0 2 γ. Αν Α, Β οι εικόνες των μιγαδικών z12007 και z 2007 αντίστοιχα και (0,0) η αρχή 2 των αξόνων, να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… http://www.perikentro.blogspot.gr/

- 38 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Μιγαδικοί Αριθμοί

13.5. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z1, z2, z3 με εικόνες αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο τα σημεία Α, Β, Γ για τους οποίους ισχύει: z1+2z2=3z3 και |z1|=|z3|=1, |z2|= 2 α. Να αποδείξετε ότι Re(z1  z 2 )  0 2

β. Να αποδείξετε ότι z1  z 2  z1  z 2 γ. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο Απάντηση:……………………………………………………………………………………………… …………..………………………………………………………………………………………………… ………..…………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..………………… ………………………………………………………………………………………..……………………. ……………………………………………………………………………………..……………………… ………………………………………………………………………………….…………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………..…. ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… http://www.perikentro.blogspot.gr/ - 39 Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Φύλλο Εργασίας

Μιγαδικοί Αριθμοί

Διδακτική Ενότητα:

Μιγαδικοί Αριθμοί

14.1 Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις

α. Οι λύσεις της εξίσωσης αz2+βz+γ=0 α,β,γIR α  0 είναι συζυγείς β. Αν στο σύνολο των μιγαδικών ισχύει u2+v2=0 τότε u=v=0 γ. z  IR  z   z  δ. (z )  z  ε. Η εξίσωση |z-z0|=ρ ρ>0 παριστάνει κύκλο Απάντηση:

 2005  z 2008  1 (1)

14.2. Έστω οι μιγαδικοί z για τους οποίους ισχύει z α. Να βρείτε το |z| β. Να αποδείξετε ότι z  z 2 γ. Να λύσετε την εξίσωση (1) Απάντηση:

…………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..…………. ………………………………………………………………………………………………..……………. ……………………………………………………………………………………………..………………. …………………………………………………………………………………………..…………………. ………………………………………………………………………………………..……………………. ……………………………………………………………………………………..………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………..….. ……………………………………………………………………………………………………..……….. ……………………………………………………………………………………………………………… http://www.perikentro.blogspot.gr/

- 40 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Μιγαδικοί Αριθμοί

14.3. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z, με z  1 για τους οποίους ο αριθμός z 1 w είναι φανταστικός. z 1 Να αποδείξετε ότι: α. |z|=1 4

1  β. Ο αριθμός  z   είναι πραγματικός z  1 1  γ.   z1  z 2   4 όπου z1 , z 2 δυο από τους παραπάνω μιγαδικούς  z1 z 2  αριθμούς z δ. Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών u για τους οποίους ισχύει i u  ui   w , w  0 ανήκουν στην υπερβολή x2-y2=1. w Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..……. ……………………………………………………………………………………………………..………. …………………………………………………………………………………………………..…………. ………………………………………………………………………………………………..……………. ……………………………………………………………………………………………..………………. …………………………………………………………………………………………..…………………. ………………………………………………………………………………………..…………………….. ……………………………………………………………………………………..………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………..….. ………………………………………………………………………………………………………..……. ……………………………………………………………………………………………………..………. ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… http://www.perikentro.blogspot.gr/

- 41 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Μιγαδικοί Αριθμοί

14.4. Έστω η εξίσωση z2+αz+β=0 ,   R που έχει ρίζες z1  

2 και z2 i

α. Να βρείτε τους ,   R και τη ρίζα z2 β. Να βρείτε το   R , ώστε z1ν  z 2  16i γ. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z όταν ισχύει: 2

z  z1  z  z 2  16 (1) δ. Αν για τον μιγαδικό z ισχύει η (1) να βρείτε την ελάχιστη τιμή του

z  4  4i Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..………………… ………………………………………………………………………………………..……………………. ……………………………………………………………………………………..……………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………..……………………. ……………………………………………………………………………………..……………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………..……………………. ……………………………………………………………………………………..……………………… ……………………………………………………………………………………………………………… http://www.perikentro.blogspot.gr/

- 42 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Φύλλο Εργασίας

Μιγαδικοί Αριθμοί

Διδακτική Ενότητα: Μιγαδικοί Αριθμοί

15.1 Α. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις

α. ισχύει: |z|=|-z|=| z | β. |zν|=|z|ν γ. ||z1|+|z2|| | z1  z 2 || z1  z 2 | Β. α. Με τι ισούται το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών; β. Τι παριστάνει η εξίσωση |z-z1|=|z-z2| ; Απάντηση: Α

Β…………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………

15.2. Αν z, w  C να αποδείξετε ότι: α. z 

zw  zw 2

β. w 

zw  zw 2

γ. z  w  z  w  z  w Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..…………. ………………………………………………………………………………………………..……………. ……………………………………………………………………………………………..………………. …………………………………………………………………………………………..…………………. ………………………………………………………………………………………..……………………. ……………………………………………………………………………………..………………………. http://www.perikentro.blogspot.gr/ - 43 Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Μιγαδικοί Αριθμοί

15.3. Δίνονται οι μιγαδικοί z, w  0 για τους οποίους ισχύει zw  z  w  0

z α. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός   w

2010

είναι αρνητικός πραγματικός αριθμός

β. Να αποδείξετε ότι οι διανυσματικές ακτίνες των μιγαδικών z, w τέμνονται κάθετα γ. Να δείξετε ότι z  w  z  w Αν επιπλέον

z w   2i w z

i. Να βρείτε την απόσταση της εικόνας του μιγαδικού

z ii. Να βρείτε το μιγαδικό   w

z από το σημείο Α(1,0) w

2012

Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..……. ……………………………………………………………………………………………………..………. …………………………………………………………………………………………………..…………. ………………………………………………………………………………………………..……………. ……………………………………………………………………………………………..………………. …………………………………………………………………………………………..…………………. ………………………………………………………………………………………..…………………….. ……………………………………………………………………………………..………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………..….. ………………………………………………………………………………………………………..……. ……………………………………………………………………………………………………..………. ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… http://www.perikentro.blogspot.gr/

- 44 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Γ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Μιγαδικοί Αριθμοί

z2  4 15.4. Έστω ο μιγαδικός z με z  2i και η συνάρτηση f (z )  (1) z  2i α. Να βρείτε το Im f (1  i)  β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο για τους οποίους ισχύει f (z )  R γ. Να δείξετε ότι f (z )  z  2i δ. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο για τους οποίους ισχύει f (z  5i)  f (z  i)  10 (2) ε. Για τους μιγαδικούς z που ικανοποιούν τη (2) να βρείτε τους μιγαδικούς με το μέγιστο μέτρο. Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………………..…… ……………………………………………………………………………………………………..……… …………………………………………………………………………………………………..………… ………………………………………………………………………………………………..…………… ……………………………………………………………………………………………..……………… …………………………………………………………………………………………..………………… ………………………………………………………………………………………..……………………. ……………………………………………………………………………………..……………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………..……………………. ……………………………………………………………………………………..……………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………..……………………. ……………………………………………………………………………………..……………………… http://www.perikentro.blogspot.gr/ - 45 Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης