Polionima

Κώστας Κουτσοβασίλης

Άλγεβρα Β Λυκείου ο

Κεφάλαιο 4

ΠολυώνυμαΠολυωνυμικές Εξισώσεις ◘ 1η Ενότητα: Πολυώνυμα ◘ 2η Ενότητα: Διαίρεση Πολυωνύμων ◘ 3η Ενότητα: Πολυωνυμικές Εξισώσεις και ανισώσεις ◘ 4η Ενότητα: Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε Πολυωνυμικές

2x4+3x3+0x2-4x+5 x2-1 -2x4 +2x2 2x2+3x+2 3x3+2x2 -4x+5 -3x3 +3x 2 2x -x +5 -2x2 +2 -x+7

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Πολυώνυμα

1η Ενότητα

 Πολυώνυμα

 Η έννοια του πολυωνύμου Βαθμός ν

Μονώνυμο του x αxν Κύριο μέρος xν

Συντελεστής α

 Ορισμός: Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφής αxν, όπου α είναι ένας πραγματικός αριθμός , ν ένας θετικός ακέραιος και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή από το IR. Παράδειγμα: Το 7x3 είναι μονώνυμο του x με συντελεστή 7,κύριο μέρος x3 και βαθμό 3.  Ορισμός Καλούμε πολυώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφής : ανxν+αν-1xν-1+…+α1x+α0 όπου ν είναι ένας φυσικός αριθμός και α0,α1,…,αν είναι πραγματικοί αριθμοί . Ένα πολυώνυμο του x συνήθως το συμβολίζουμε με P(x) ,Q(x), f(x) κ.λ.π.  Σταθερά πολυώνυμα Λέγονται οι πραγματικοί αριθμοί δηλαδή τα πολυώνυμα της μορφής α0.  Μηδενικό πολυώνυμο Λέγεται το σταθερό πολυώνυμο 0 Στοιχεία Πολυωνύμου P(x)= ανxν+αν-1xν-1+…+α1x+α0

Όροι: Λέγονται τα μονώνυμα ανxν, …,α0

Σταθερός όρος: Είναι ο όρος α0

Βαθμός: Είναι ο εκθέτης ν

Συντελεστές: Λέγονται οι πραγματικοί αριθμοί α0,α1,…,αν

, αν  0

Αριθμητική τιμή: Λέγεται ο αριθμός P(ρ)= ανρν+αν-1ρν1 +…+α1ρ+α0 που προκύπτει αν στο P(x) αντικαταστήσουμε το x με τον αριθμό ρ.

Ρίζα: Ένας αριθμός ρ λέγεται ρίζα του P(x) αν και μόνο αν P(ρ)=0

Σχόλιο 1: Για το μηδενικό πολυώνυμο δεν ορίζεται βαθμός Σχόλιο 2: Κάθε σταθερό και μη μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό 0

http://www.perikentro.blogspot.gr/

1

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Πολυώνυμα

 Ισότητα Πολυωνύμων Δύο πολυώνυμα του x λέγονται ίσα αν ,και μόνο αν, είναι του ίδιου βαθμού και οι συντελεστές των ομοβάθμιων όρων τους είναι ίσοι. Αν P(x)=αμxμ+αμ-1xμ-1+…+α1x+α0 και Q(x)=βνxν-1+βν-1xν-1+…+β1x+β0 είναι δύο πολυώνυμα του x με μ  ν, θα λέμε ότι είναι ίσα όταν: α0=β0, α1=β1, ...,αν=βν και αν+1=αν+2=…αμ=0 Παράδειγμα: Τα πολυώνυμα P(x)=αx3+βx2+γx+δ α=0, β=-3 ,γ=2 και δ=-7.

και Q(x)=-3x2+2x-7 είναι ίσα , αν και μόνο αν,

 Πράξεις με πολυώνυμα Μεταξύ των πολυωνύμων γίνονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, και του πολλαπλασιασμού με βάση τις ιδιότητες των πραγματικών αριθμών. Προσοχή: Στην πρόσθεση (αφαίρεση) πολυωνύμων πρέπει να προσθέτουμε μεταξύ τους μόνο τα όμοια μονώνυμα που είναι όροι των πολυωνύμων αυτών. Παράδειγμα: Τα μονώνυμα 3x4 ,7x2 δεν μπορούμε να τα προσθέσουμε ,γιατί δεν είναι όμοια, ενώ τα μονώνυμα 4x3 ,6x3 προστίθενται και το άθροισμά τους είναι 10x3 Παρατήρηση 1: Αν το άθροισμα δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι μη μηδενικό πολυώνυμο , τότε ο βαθμός του είναι ίσος ή μικρότερος από το μέγιστο των βαθμών των δυο πολυωνύμων. Παρατήρηση 2: Ο βαθμός του γινομένου δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι ίσος με το άθροισμα των βαθμών των πολυωνύμων αυτών. Παρατήρηση 3: Αν βαθμός P(x)=ν και βαθμός Q(x)=μ τότε:  Βαθμός [P(x)]2 =2ν  Βαθμός P(P(x))=ν2  Βαθμός P(Q(x))=νμ Παρατήρηση 4:  Ο σταθερός όρος ενός πολυωνύμου P(x) είναι πάντα ίσος με P(0).  Το άθροισμα των συντελεστών ενός πολυωνύμου P(x) είναι πάντα ίσο με P(1)

http://www.perikentro.blogspot.gr/

2

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

1η Ενότητα

Πολυώνυμα

Λυμένα

παραδείγματα

Παράδειγμα 1: Να βρεθούν οι τιμές του α ώστε η τιμή του πολυωνύμου P(x)=3x4-2x3+3αx+2α2 -1 για x=2 να είναι ίση με 27. Λύση: Είναι: P(2)= 3  2 4  2  2 3  3  2  2 2  1  27  48-16  6  2 2  1  27  2 2  6  31  27  2 2  6  4  0   2  3  2  0  1  2 ή α2=-1 Παράδειγμα 2: Δίνονται τα πολυώνυμα P(x)=2x3-x2+5x-1 και Q(x)=5x3-6x+7. Να βρείτε το πολυώνυμο Α(x)=3P(x)-Q(2x) και να προσδιορίσετε το βαθμό του. Λύση: Είναι: Α(x)= 3P(x)-Q(2x)=3(2x3-x2+5x-1)-[5(2x)3-6(2x)+7]= 6x3-3x2+15x-3-40x3+12x-7=-34x3-3x2+27x-10 Το πολυώνυμο είναι 3ου βαθμού. Παράδειγμα 3: Να βρεθεί ο βαθμός του πολυωνύμου P(x)=(κ3-4κ)x3 +(κ+2)x2 –(κ-2)x-κ για τις διάφορες τιμές του κ  IR Λύση: Ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου x3 είναι κ3-4κ Αν κ3-4κ  0  κ(κ2-4)  0  κ(κ-2)(κ+2)  0 δηλαδή αν κ  0 και κ  2 και κ  -2 το P(x) είναι 3ου βαθμού Αν κ3-4κ=0  κ(κ2-4)=0  κ(κ-2)(κ+2)=0  κ=0 ή κ=2 ή κ=-2 τότε: i). Για κ=0 τo P(x)=2x2 +2x είναι 2ου βαθμού ii). Για κ=2 το P(x)=4x2-2 είναι 2ου βαθμού iii) Για κ=-2 το P(x)=4x+2 είναι 1ου βαθμού. Παράδειγμα 4: Να προσδιορίσετε τον αριθμό λ ώστε: i). Το πολυώνυμο (λ3-8)x3-(λ2-3λ+2)x+3λ-6 να είναι το μηδενικό πολυώνυμο ii). Τα πολυώνυμα P(x)=(λ2-5λ+6)x2-x+2λ και Q(x)=(λ-3)x3+(λ2-10)x+λ+3 να είναι ίσα Λύση: i). Πρέπει να ισχύουν οι ισότητες: 3  8  0  2    2  3  2  0    1 ή   2    2  3  6  0  2 

http://www.perikentro.blogspot.gr/

3

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Πολυώνυμα

ii). Πρέπει να ισχύουν οι ισότητες: 3  0  3  2    5  6  0   3 ή   2    2  10  1     3 3  2    3  3     Παράδειγμα 5: Να βρείτε ένα πολυώνυμο P(x) για το οποίο να ισχύει: (x2+1)f(x)=2x4+3x3+4x2+3x+2 Λύση: Το ζητούμενο πολυώνυμο P(x) πρέπει να είναι 2ου βαθμού ώστε το γινόμενο (x2+1)f(x) να είναι 4ου βαθμού. Άρα P(x)=αx2+βx+γ. Τότε: (x2+1)( αx2+βx+γ)= 2x4+3x3+4x2+3x+2  αx4+βx3+γx2+αx2+βx+γ=2x4+3x3+4x2+3x+2  αx4+βx3+(α+γ)x2+βx+γ=2x4+3x3+4x2+3x+2 Άρα πρέπει 4 α=2 ( για να είναι ίσοι οι συντελεστές του x ) β=3 ( για να είναι ίσοι οι συντελεστές x3 και x ) γ=2 ( για να είναι ίσοι οι σταθεροί όροι ) Επίσης α+γ=4 που ισχύει άρα είναι ίσοι και οι συντελεστές του x2 Άρα P(x)=2x2+3x+2 Παράδειγμα 6: Έστω P(x) ένα πολυώνυμο. Αν ο αριθμός ρ είναι ρίζα του πολυωνύμου Φ(x)=P(x)-x να αποδείξετε ότι ο αριθμός ρ είναι ρίζα και του πολυωνύμου F(x)=P(P(x))-x Λύση: Ισχύει: Φ(ρ)=0  P(ρ)-ρ=0  P(ρ)=ρ (1) Για να είναι ο ρ ρίζα του πολυωνύμου F(x)=P(P(x)-x αρκεί να είναι F(ρ)=0 Έχουμε F(ρ)=P(P(ρ)-ρ= P(ρ)-ρ (από την (1) =ρ-ρ (από την (1) =0. Άρα ο ρ ρίζα του F(x). Παράδειγμα 7: Έστω το πολυώνυμο P(x)=(κ2-9)x-κ+3. Να βρείτε το κ ώστε το P(x) να είναι: α). Σταθερό πολυώνυμο β). Μηδενικό πολυώνυμο γ). Μηδενικού βαθμού Λύση: α). Πρέπει: κ2-9=0  κ2=9  κ=3 ή κ=-3  2  9  0   3 ή   3 β). Πρέπει:    3   3    3  0  

 2  9  0    3 ή   3 γ). Πρέπει:      3   3    3  0   http://www.perikentro.blogspot.gr/

4

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

1η Ενότητα

Πολυώνυμα

Ερωτήσεις

Κατανόησης

Α. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό(Σ) ή Λάθος(Λ) τις παρακάτω προτάσεις Για το πολυώνυμο P(x)= ανxν+αν-1xν-1+…+α1x+α0 ,αν  0 ισχύουν: α. Οι πραγματικοί αριθμοί αν ,αν-1, …, α1, α0 είναι οι συντελεστές β. Είναι σταθερό αν α1=α2=…=αν=0 γ. Είναι σταθερό και μηδενικό αν α0=α1=α2=…=αν=0 δ. Ο βαθμός του P(x) , όταν είναι μηδενικό πολυώνυμο είναι μηδέν. ε. Η τιμή του P(x) για x=λ είναι P(λ)= ανλν+αν-1λν-1+…+α1λ+α0 στ. Η τιμή του P(x) είναι ένα πολυώνυμο. ζ. Αν η τιμή του P(x) για x=ρ είναι το μηδέν , τότε το ρ είναι ρίζα του πολυωνύμου η. Αν το P(x) είναι το μηδενικό σταθερό , τότε έχει μια ρίζα. Β. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: 1. Το πολυώνυμο P(x)=(λ5-1)x3+(λ2-3λ+2)x +λ-1 είναι το μηδενικό πολυώνυμο όταν ο πραγματικός αριθμός λ ισούται με : Α. -1 Β. 0 Γ. 1 Δ. -5 Ε. 5 2. Αν το πολυώνυμο P(x)=(λ2-4)x2+(λ-2)x-(λ+2),λ  IR είναι πρώτου βαθμού τότε το λ μπορεί να είναι: Α. -2 Β. -1 Γ. 0 Δ. 1 Ε. 2 3. Έστω P(x) ένα σταθερό πολυώνυμο και P(1)=2009. Τότε ο αριθμός P(2010) είναι: Α. 1 Β. 0 Γ. 2 Δ. 2009 Ε. 2010 4. Ο βαθμός του πολυωνύμου P(x)=(3x-2)10(2x2-4x)4+5x2-7 είναι: Α. 21 Β. 18 Γ. 80 Δ. 83 Ε. 3 5. Αν το πολυώνυμο P(x)= ανxν+αν-1xν-1+…+α1x+α0 έχει ρίζα το 0 , τότε για το α0 ισχύει: Α. α0=1 Β. α0>0 Γ. α0<0 Δ. α0=-1 Ε. α0=0 6. Αν ν ο βαθμός του πολυωνύμου P(x) , τότε ο βαθμός του [P(x)]4000 είναι: Α. 4000 Β. ν4000 Γ. 4000ν Δ. ν+4000 Ε. (4000)ν 7. Ο βαθμός του πολυωνύμου P(x)=(λ2-|λ|2)x3 +7x-6 είναι ίσος με: Α. 1 Β. 2 Γ. 3 Δ. 4 Ε. 0 8. Αν ο σταθερός όρος ενός πολυωνύμου είναι 0 τότε το πολυώνυμο έχει ρίζα τον αριθμό: Α. 1 Β. 0 Γ. -1 Δ. 2 Ε. -2 http://www.perikentro.blogspot.gr/

5

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

1η Ενότητα

Πολυώνυμα

Προτεινόμενες Ασκήσεις

1. Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=αx3 +(α-1)x2 +(2α2-1)x+3 . Να βρείτε το α  IR ώστε P(2)=-3 και στη συνέχεια το βαθμό του P(x) για κάθε τιμή του α που βρήκατε.

2. Δίνονται τα πολυώνυμα P(x)=(x-1)2000 και Q(x)=x2000-1 α. Να εξετάσετε αν τα πολυώνυμα P(x) και Q(x) έχουν ρίζα το 0. β. Να εξετάσετε αν τα πολυώνυμα P(x) και Q(x) είναι ίσα.

3. Να υπολογίσετε τις τιμές του λ  IR για τις οποίες τα πολυώνυμα P(x)=-8x3+4x2+λ2-2λ-8 και Q(x)=(λx)2 –(2x)3 είναι ίσα.

4. Να βρείτε τους αριθμούς Α και Β ώστε για κάθε x IR  2,3 να ισχύει 2x  1 A    x 2  5x  6 x  2 x  3 5. Να βρεθεί ο βαθμός του πολυωνύμου P(x)=(4λ2-1)x3 +(2λ-1)x+5 για τις διάφορες τιμές του λ  IR .

6. Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=αx4+βx6+γx8+δx10 α. Να υπολογίσετε τα P(-1) και P(1). β. Αν P(2009)=κ να υπολογίσετε το P(-2009) γ. Να βρείτε τη διαφορά P(x)-P(-x). δ. Αν ο αριθμός ρ είναι ρίζα του P(x) να βρείτε και μια άλλη ρίζα του.

7. Αν τα πολυώνυμα g(x) και p(x) δεν έχουν κοινή ρίζα , να δείξετε ότι δεν έχουν κοινή ρίζα και τα πολυώνυμα F(x)=g(x)+p(x) και Η(x)=g(x)p(x) 8. Δίνεται το πολυώνυμο: P(x)=(κ2-κ)x-κ3+1. Να βρείτε το κ ώστε το P(x) να είναι: α. Σταθερό πολυώνυμο β. Μηδενικό πολυώνυμο γ. Μηδενικού βαθμού.

9. Αν το πολυώνυμο P(x) έχει ρίζα το 3 να δείξετε ότι το πολυώνυμο Q(x)=5P(2x+1)+(x3+x)P(4x-1) έχει ρίζα το 1 10. Έστω το πολυώνυμο P(x) τέτοιο ώστε: P(2x+1)=2P(x)+3 για κάθε x IR και P(0)=0. Να υπολογίσετε το P(15).

11. Να βρεθεί πολυώνυμο P(x) , 2ου βαθμού ώστε να ισχύει: P(x)-P(x-1)=x και P(0)=0.

http://www.perikentro.blogspot.gr/

6

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

1η Ενότητα

Πολυώνυμα

10 Κριτήριο Αξιόλογησης ΘΕΜΑ 10

A. α. Τι καλούμε μονώνυμο του x; β. Τι καλούμε πολυώνυμο του x; γ. Πότε δυο πολυώνυμα του x λέγονται ίσα; Β. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό(Σ) ή Λάθος(Λ) τις παρακάτω προτάσεις : α. Το 2x3-5x2+x-1 είναι πολυώνυμο του x β. Κάθε σταθερό και μη μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό 0 γ. Ο βαθμός του γινομένου δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι ίσος με το γινόμενο των βαθμών των πολυωνύμων αυτών. δ. Αν βαθμός P(x)=ν και βαθμός Q(x)=μ τότε: Βαθμός P(Q(x))=νμ ΘΕΜΑ 20 Α. Αν ισχύει λ2+1=2λ να δείξετε ότι το πολυώνυμο P(x)=(λ-1)x3 +(λ3-2λ2+λ)x είναι μηδενικό πολυώνυμο. Β. Να βρείτε το α ώστε το πολυώνυμο P(x)=α2x3 -5αx+7x-3α να έχει ρίζα το 1 ΘΕΜΑ 30 Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=(x3+x-1)2009+x-1. Να βρείτε: α. Τον σταθερό όρο του P(x) β. Το άθροισμα των συντελεστών του P(x)

http://www.perikentro.blogspot.gr/

7

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Πολυώνυμα

1η Ενότητα

20 Κριτήριο Αξιόλογησης ΘΕΜΑ 10

A. Έστω ένα πολυώνυμο P(x). Να δώσετε τους παρακάτω ορισμούς: α. Ρίζα του P(x).

β. Βαθμός του P(x).

γ. Τιμή του P(x) για x=ρ

Β. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό(Σ) ή Λάθος(Λ) τις παρακάτω προτάσεις : Έστω το πολυώνυμο P(x)=αx3 +βx2 +γx +δ.

1. Αν P(0)=5 τότε δ=5 2. Αν P(1)=0 τότε δ=0 3. Αν α=5 τότε το P(x) είναι 5ου βαθμού 4. Αν το 2 είναι ρίζα , τότε 8α+4β+2γ+δ=0 ΘΕΜΑ 20 Να βρεθεί για τις διάφορες τιμές του λ  IR ο βαθμός του πολυωνύμου P(x) αν P(x) =(λ5-16λ)x2 –(λ2-4)x-λ+2 ΘΕΜΑ 30 Α. Αν για το πολυώνυμο P(x) είναι P(1)=2 , να δείξετε ότι το πολυώνυμο Q(x)=P(x7-3x4+3)+3P(x2+2)-3P(5x-2)-2x έχει ρίζα το 1 Β. Να βρεθεί ,αν υπάρχει, η τιμή του λ ώστε τα πολυώνυμα P(x)=(λ-1)x4 +(λ+1)x2 +5x+λ+3 και Q(x)=2λx2+5x+6 να είναι ίσα.

http://www.perikentro.blogspot.gr/

8

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

2η Ενότητα

Πολυώνυμα

 Διαίρεση Πολυωνύμων

 Αλγοριθμική Διαίρεση Θεώρημα (Ταυτότητα της διαίρεσης) Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x) με δ(x)  0 υπάρχουν δυο μοναδικά πολυώνυμα π(x) και υ(x) τέτοια ώστε: Δ(x)=δ(x)π(x)+υ(x) όπου το υ(x) ή είναι το μηδενικό πολυώνυμο ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του δ(x).

Διαιρετέος

υπόλοιπο

Δ(x) δ(x) π(x) υ(x) πηλίκο

διαιρέτης

Δ(x)=δ(x)π(x)+υ(x)

Σχόλιο:  Αν σε μια διαίρεση είναι υ(x)=0, τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια και η ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται: Δ(x)=δ(x)π(x).  Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το δ(x) διαιρεί το Δ(x) ή ότι το δ(x) είναι παράγοντας του Δ(x) ή ότι το Δ(x) διαιρείται με το δ(x) ή ότι το δ(x) είναι διαιρέτης του Δ(x)  Διαίρεση πολυωνύμου με x-ρ Θεώρημα: Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x-ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x=ρ . Είναι δηλαδή υ=P(ρ) Απόδειξη: Η ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύμου P(x) με το πολυώνυμο Δ(x) x-ρ x-ρ γράφεται: P(x)=(x-ρ)π(x)+υ(x). π(x) υ(x) Επειδή ο διαρέτης x-ρ είναι 1ου βαθμού , το υπόλοιπο της διαίρεσης θα είναι ένα σταθερό πολυώνυμο υ. Έτσι έχουμε: P(x)=(x-ρ)π(x)+υ (1) Αν θέσουμε στην (1) x=ρ έχουμε: P(ρ)=(ρ-ρ)π(ρ)+υ=0+υ=υ δηλαδή P(ρ)=υ(2) Επομένως από τις σχέσεις (1),(2) έχουμε: P(x)=(x-ρ)π(x)+P(ρ). Θεώρημα: Ένα πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντα το x-ρ αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του P(x), δηλαδή αν και μόνο αν P(ρ)=0. Απόδειξη: o Έστω ότι το x-ρ είναι παράγοντας του P(x). Θα δείξουμε ότι το ρ είναι ρίζα Είναι P(x)=(x-ρ)π(x) . Αν θέσουμε x=ρ έχουμε: P(ρ)=(ρ-ρ)π(ρ)=0 που σημαίνει ότι το ρ είναι ρίζα του P(x). o Έστω ότι το ρ είναι ρίζα του P(x) δηλαδή ισχύει: P(ρ)=0 (1).Θα δείξουμε ότι το x είναι παράγοντας Είναι P(x)=(x-ρ)π(x)+P(ρ). Λόγω της (1) γίνεται P(x)=(x-ρ)π(x) που σημαίνει ότι το x-ρ είναι παράγοντας του P(x).

http://www.perikentro.blogspot.gr/

9

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Πολυώνυμα

 Σχήμα Horner Το σχήμα Horner είναι μια μέθοδος με την οποία βρίσκουμε :  Το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x): (x-ρ) χωρίς να κάνουμε τη διαίρεση.  Την αριθμητική τιμή του πολυωνύμου P(x) για x=ρ δηλαδή το P(ρ). Για την κατανόηση της μεθόδου παραθέτουμε το παράδειγμα Παράδειγμα: Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης (x4-3x3+6x2-10x+16):(x-4) Λύση:  Βήμα 10: Κατασκευάζουμε πίνακα με τρείς γραμμές. Στην πρώτη γραμμή γράφουμε τους συντελεστές του P(x) ,αφού πρώτα διατάξουμε το P(x),κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του x,και στην τελευταία θέση τον αριθμό ρ(για το παράδειγμα ρ=4). Αν το P(x)είναι ελλειπές τότε βάζουμε 0 τους συντελεστές που δεν υπάρχουν  Βήμα 20: Η πρώτη θέση της δεύτερης γραμμής παραμένει πάντα κενή, ενώ στη πρώτη θέση της τρίτης γραμμής , γράφουμε τον πρώτο συντελεστή του P(x)(για το παράδειγμα το 1)  Βήμα 30: Κάθε στοιχείο της 2ης γραμμής από την 2η θέση και δεξιά,προκύπτει με πολ/σμό του στοιχείου της 3ης γραμμής που βρίσκεται στην προηγούμενη ακριβώς στήλη με το ρ (για το παράδειγμα το 4) Κάθε στοιχείο της τρίτης γραμμής από την 2η θέση και δεξιά προκύπτει από το άθροισμα των στοιχείων 1ης και 2ης γραμμής που βρίσκονται στην ίδια στήλη.( Βλέπε τον διπλανό πίνακα) Συμπέρασμα:  Το στοιχείο της τελευταίας θέσης στην 3η γραμμή είναι η αριθμητική τιμή του P(x) δηλαδή το υπόλοιπο της διαίρεσης.  Τα στοιχεία της 3ης γραμμής , εκτός του τελευταίου ,είναι οι συντελεστές του πηλίκου.  Ο βαθμός του πηλίκου μιας τέτοιας διαίρεσης είναι πάντα κατά μια μονάδα μικρότερος από το βαθμό του P(x).

1

-3

6

-10

16

4

1

-3

6

-10

16

4

-3

6

-10

16

4

4

4

40

120

1

10

30

136

1

1

1

Απάντηση: Το πηλίκο είναι: x3+x2+10x+30 και το υπόλοιπο P(4)=136

Σχόλιο: Αν ο διαιρέτης είναι της μορφής x+ρ γράφουμε: x+ρ=x-(-ρ)

Παρατήρηση 1: Αν το πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντα το (x-α)(x-β) τότε το P(x) έχει παράγοντες τους x-α και x-β δηλαδή είναι P(α)=0 και P(β)-0. Παρατήρηση 2: Αν το x-α είναι παράγοντας του P(x) και το x-β είναι παράγοντας του π(x), όπου π(x) το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x-α, τότε το P(x) έχει παράγοντα το (x-α)(x-β). http://www.perikentro.blogspot.gr/

10

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Πολυώνυμα

2η Ενότητα

Λυμένα

Παράδειγμα 1: Να κάνετε τη διαίρεση και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης (3x3+2x4-4x+5): (x2-1) Λύση: Βήμα 10: Γράφουμε τα πολυώνυμα κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του x ,και επειδή λείπει ο όρος x2 , προσθέτουμε στο πολυώνυμο τον όρο 0x2 και τα τοποθετούμε κάνοντας το σχήμα της διαίρεσης. Βήμα 20: Διαιρούμε το μεγιστοβάθμιο όρο 2x4 του Δ(x), με το μεγιστοβάθμιο όρο x2 του δ(x) και ότι βρίσκουμε αποτελεί τον πρώτο όρο 2x2 του πηλίκου. Βήμα 30: Πολλαπλασιάζουμε το πηλίκο 2x2 με το δ(x)=x2-1και το γινόμενο 2x4-2x2 με αλλαγμένα πρόσημα το γράφουμε κάτω από το Δ(x)= 2x4+3x3+0x2-4x+5 και προσθέτουμε. Βρίσκουμε έτσι το πρώτο μερικό υπόλοιπο 3x3+2x2 -4x+5 Βήμα 40: Επαναλαμβάνουμε τα βήματα 2 και 3 με διαιρετέο το 3x3+2x2 -4x+5 και διαιρέτη το x2-1 και βρίσκουμε έτσι το δεύτερο μερικό υπόλοιπο 2x2-x+5 Βήμα 50: Επαναλαμβάνουμε τα βήματα 2 και 3 με διαιρετέο το 2x2-x+5 και βρίσκουμε έτσι το τελικό υπόλοιπο –x+7.

παραδείγματα Όταν θέλουμε να διαιρέσουμε δυο πολυώνυμα, ακολουθούμε μια διαδικασία ανάλογη με αυτή στη διαίρεση ακεραίων αριθμών

2x4+3x3+0x2-4x+5

x2-1

2x4+3x3+0x2-4x+5

x2-1 2x2

2x4+3x3+0x2-4x+5 x2-1 -2x4 +2x2 2x2 3x3+2x2 -4x+5 2x4+3x3+0x2-4x+5 x2-1 -2x4 +2x2 2x2+3x 3x3+2x2 -4x+5 -3x3 +3x 2 2x -x +5 2x4+3x3+0x2-4x+5 x2-1 -2x4 +2x2 2x2+3x+2 3x3+2x2 -4x+5 -3x3 +3x 2 2x -x +5 -2x2 +2 -x+7

Άρα το πηλίκο είναι π(x)=2x2+3x+2 και το υπόλοιπο υ(x)=-x+7 Η ταυτότητα της διαίρεσης είναι: 2x4+3x3-4x+5=(x2-1) (2x2+3x+2) –x+7. (Διαιρετέος) = (Διαιρέτης)(πηλίκο) +(υπόλοιπο)

Σχόλιο: Η διαίρεση τελειώνει, όταν το υπόλοιπο γίνει μηδέν ή ο βαθμός του γίνει μικρότερος από το βαθμό του διαιρέτη. Όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν λέγεται τέλεια http://www.perikentro.blogspot.gr/

11

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Πολυώνυμα

Παράδειγμα 2: Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης (xν-αν):(x-α) Λύση: Κατασκευάζουμε το σχήμα Horner 1

1

0

-αν

α2

αν-1

αν

α2

αν-1

0

0

0

α α

…

α

Το πηλίκο είναι: xν-1+αxν-2+α2xν-3+…+αν-1 και το υπόλοιπο είναι υ=0 Παράδειγμα 3: Να δείξετε ότι το πολυώνυμο x+1 είναι παράγοντας του P(x)=x2ν-1,για κάθε ν   * Λύση: Αρκεί για κάθε ν   * P(-1)=0 Είναι P(-1)=(-1)2ν-1=1-1=0 Παράδειγμα 4: Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=2x3-5x2+7x+3. Να βρείτε: α). Το υπόλοιπο υ1 της διαίρεσης του P(x) με το x-1 β). Το υπόλοιπο υ2 της διαίρεσης του P(x) με το x+2 Λύση: α). υ1=P(1)= 2 13  5 12  7 1  3  7 Άρα υ1=7 β). Είναι x+2=x-(-2). Τότε: υ2=P(-2)=2(-2)3-5(-2)2+7(-2)+3=-16-20-14+3=-47 Παράδειγμα 5: Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=2(λ2-2λ-2κ)x2009 +(κ2-λ2)x2010+4x+4 Να υπολογίσετε τους αριθμούς κ και λ ώστε το P(x) να έχει παράγοντα το x-1. Λύση: Για να έχει το πολυώνυμο P(x) παράγοντα το x-1 πρέπει να είναι P(1)=0. Έχουμε: P(1)=0  2(λ2-2λ-2κ)+κ2-λ2+4+4=0  2λ2-4λ-4κ+κ2-λ2+4+4=0    2  0   2 λ2-4λ+4+κ2-4κ+4=0  (λ-2)2+(κ-2)2=0      2   2  0 Παράδειγμα 6: Αν ισχύει η σχέση P(x)=P(4x+3) (1) να δείξετε ότι το πολυώνυμο Q(x)=P(x)-P(1) διαιρείται ακριβώς με το 2x+1 Λύση: Για να διαιρείται το Q(x) με το 2x+1 , αρκεί το 2x+1 να είναι παράγοντας του 1 1 1 Q(x) δηλαδή το x=- ρίζα του. Είναι Q( )  P( )  P(1) (2) 2 2 2 1 1 1   Για x=- η (1) γίνεται: P(- )  P 4( )  3   P(1) (3).

2 2 2   1 Από τις (2) και (3) έχουμε: Q( )  P(1)  P(1) =0 2 http://www.perikentro.blogspot.gr/

12

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

2η Ενότητα

Πολυώνυμα

Ερωτήσεις

Κατανόησης

Α. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό(Σ) ή Λάθος(Λ) τις παρακάτω προτάσεις 1. Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x+ρ είναι ίσο με P(ρ) 2. Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x είναι ίσο με P(0) 3. Το πηλίκο της διαίρεσης δυο πρωτοβάθμιων πολυωνύμων είναι σταθερό πολυώνυμο 4. Αν ένα πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντα το x-ρ , τότε θα έχει παράγοντα και το ρ-x 5. Το πολυώνυμο xν+αν έχει παράγοντα το x+α μόνο όταν ν άρτιος 6. Αν ένα πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντες τα x-1,x-2,x+2, τότε είναι τουλάχιστον τρίτου βαθμού.

7. Το σχήμα Horner εφαρμόζεται μόνο για διαιρέτες της μορφής x-ρ.

8. Αν για το πολυώνυμο P(x) είναι P(ρ)  0 τότε το P(x) δεν έχει παράγοντα το x-ρ.

9. Αν ο διαιρέτης σε μια διαίρεση πολυωνύμων είναι 2ου βαθμού , τότε το υπόλοιπο είναι της μορφής αx+β 10. Αν το πηλίκο μιας διαίρεσης πολυωνύμων είναι 4ου βαθμού και ο διαιρέτης είναι 3ου βαθμού τότε ο διαιρετέος είναι 6ου βαθμού. Β. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: 1. Δίνεται πολυώνυμο P(x) για το οποίο ισχύουν: P(1)=1 και P(-2)=0. Ποιο από τα παρακάτω είναι παράγοντας του P(x); Α. x-1 Β. x+1 Γ. x-2 Δ. x+2 2. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου x2009-3x2011+2 με το x+1 είναι: Α. 0 Β. -4 Γ. 4 Δ. 2 Ε. 1 3. Αν η διαίρεση ενός πολυωνύμου P(x)με το διώνυμο 2x+1 είναι τέλεια τότε το P(x) έχει ρίζα τον αριθμό: 1 1 Α. 2 Β. -2 Γ. 1 Δ. Ε.

2 2 4. Το πολυώνυμο P(x)=x10+x6+x4+2 το διαιρούμε με το x-ρ. Αν υ είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης αυτής, τότε: Α. υ>0 Β. υ<0 Γ. υ=0 Δ. υ  0 Ε. κανένα από αυτά 5. Αν το πολυώνυμο P(x)=x101+λx+1 έχει παράγοντα το x+1 , τότε το λ είναι: Α. 1 Β. -1 Γ. 0 Δ. 2 Ε. -2 6. Ο βαθμός του υπόλοιπου σε μια διαίρεση πολυωνύμων που δεν είναι τέλεια είναι μικρότερος από τον βαθμό: Α. του διαιρέτη Β. του πηλίκου Γ. του διαιρετέου http://www.perikentro.blogspot.gr/

13

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

2η Ενότητα

Πολυώνυμα

Προτεινόμενες Ασκήσεις

1. Να γίνουν οι διαιρέσεις και να γραφούν οι ταυτότητες των διαιρέσεων: α). (2x3+x2-5x+1): (x-2) β). (x4-7x3+2x-15):(x3+5) γ). (3x3-2x2-3x+2):(3x-2) δ). (x6+2x):(x4+1).

2. Να γίνει η διαίρεση (x4 +3x3-7x2+αx+β):(x2-3x+5) και μετά να βρεθούν τα α και β ώστε η διαίρεση να είναι τέλεια.

3. Να βρείτε τα υπόλοιπα των διαιρέσεων: α). (x2010-2x2009+3x2008+x2007-x2006+2006):(x+1) β). [(x-2)25-5(2x-3)20+3x2-10]:(x-2).

4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=9λx3-5λ2 x2 +4λx-8. Να υπολογίσετε τις τιμές του αριθμού λ για τις οποίες το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x): (x-1) είναι μηδέν.

5. Να βρείτε το α ώστε το πολυώνυμο P(x)=x3+αx2-20x+6 να έχει παράγοντα το x-3.

6. Να αποδείξετε ότι καθένα από τα παρακάτω πολυώνυμα δεν έχει παράγοντα της μορφής x-ρ α). P(x)=x2000+x2010+x2020+2009 β). P(x)=-(ημ4α+2009)x10-(συν4α)x8-1 7. Να βρείτε τα α , β  IR ώστε το πολυώνυμο P(x)=αx3+(2β-1)x2+3αx+2 να έχει παράγοντες τους x+1 και x-2 8. Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x3+5αx2-2βx+3. Να βρείτε τα α , β  IR ώστε το P(x) να έχει παράγοντα το x+1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x-2 να είναι 15.

9. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Q(x) με το x-2 είναι 3 και για το πολυώνυμο P(x) ισχύει P(x+1)=xQ(x-1)+2x-4 να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x-4.

10. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρείτε τα πηλίκα και τα υπόλοιπα των διαρέσεων: α). (2x5-7x3-3x2+2x-5) : (x+2) β). (x5-3x2+x+1) : (x-1) γ). (2x3-x2+7x+5) : (x+1) δ). (5x4-3α2x2 +α4) : (x+α) ε). (-2x4+5x3+8x2+17x-12) : (x-3).

http://www.perikentro.blogspot.gr/

14

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Πολυώνυμα

11. Να αποδείξετε ότι: α). Το υπόλοιπο υ(x) της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x2-1 είναι: P(1)  P(1) P(1)  P(1) ( x )  x 2 2 β). Το πολυώνυμο P(x) διαιρείται με το πολυώνυμο x2-1 αν και μόνο αν P(1)=P(-1)=0 12. Έστω το πολυώνυμο f(x) βαθμού ν  2 για το οποίο ισχύει: f(x)=f(3-x) και f(0)  0. Να αποδείξετε ότι το f(x) διαιρούμενο με το g(x)=x2-3x αφήνει σταθερό υπόλοιπο.

13. Αν το πολυώνυμο P(x) διαιρείται με το x-5 , να δείξετε ότι το πολυώνυμο Q(x)=P(3x-1) διαιρείται με το x-2.

14. Να βρείτε τα α , β  IR ώστε το πολυώνυμο P(x)=αx3-5x2+βx+12 να έχει παράγοντα το (x-2)2 15. Έστω το πολυώνυμο P(x)=x27-32x26+32x25-32x24+32x23-…+32x-1. Να βρεθεί το P(31) 16. Έστω τα πολυώνυμα P(x) και Q(x). Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x-3 είναι 5 και ισχύει Q(3x)=P(2x+5)+8x+3 να δείξετε ότι το x+3 είναι παράγοντας του Q(x).

17. Αν για το πολυώνυμο P(x) ισχύει: P(x)-2P(1-x)=4x2-1 να βρεθούν α). τα P(0) και P(1) β). Το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο 2x2-2x.

18. Το πολυώνυμο P(x) διαιρούμενο με το x-2 αφήνει υπόλοιπο 10 και διαιρούμενο με το x+3 αφήνει υπόλοιπο 5. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το (x-2)(x+3) 19. Έστω ένα πολυώνυμο P(x) τέτοιο ώστε τα υπόλοιπα τω διαιρέσεων P(x):(x-α) και P(x):(x-β) ,α  β να είναι ίσα. Να αποδείξετε ότι η διαίρεση του πολυωνύμου P(x) με το γινόμενο (x-α)(x-β) δίνει επίσης το ίδιο υπόλοιπο.

20. Το πολυώνυμο P(x) διαιρούμενο με x2+3x-10 δίνει υπόλοιπο 2x-1. Να βρείτε το υπόλοιπο των διαιρέσεων P(x): (x-2) και P(x): (x+5).

21. Αν P(x)=x2+3x-2 να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο P(x)+2 διαιρεί το Q(x)=P(P(x))+P(x)+6

http://www.perikentro.blogspot.gr/

15

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

2η Ενότητα

Πολυώνυμα

Κριτήριο Αξιόλογησης

ΘΕΜΑ 10 Α. Να γράψετε το θεώρημα της ταυτότητας της διαίρεσης πολυωνύμων. Β. Να αποδείξετε ότι: ένα πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντα το x-ρ αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του P(x), δηλαδή αν και μόνο αν P(ρ)=0. Γ. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό(Σ) ή Λάθος(Λ) τις παρακάτω προτάσεις 1. Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x-ρ είναι ίσο με P(ρ) 2. Το μηδενικό πολυώνυμο δε διαιρεί κανένα μη μηδενικό πολυώνυμο 3. Για το πολυώνυμο P(x)=2x2000+x2002+20 ισχύει ότι P(2)=0 4. Το σχήμα Horner είναι μια μέθοδος με την οποία βρίσκουμε :Το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x): (x2-ρ) χωρίς να κάνουμε τη διαίρεση.

ΘΕΜΑ 20 Α. Να βρείτε το α ώστε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου P(x)=(α+1)x3 +(2α -1)x2 –αx+α με το x+1 να είναι 4 Β. Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=-x3 +4x2-4x+318 . Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρείτε το P(-12) ΘΕΜΑ 30 Έστω P(x) ένα πολυώνυμο το οποίο όταν διαιρείται με το Q(x)= x2-4x+3 δίνει υπόλοιπο υ(x)=3x-5. Α). Να βρείτε τα υπόλοιπα των διαιρέσεων P(x) : (x-1) και P(x) : (x-3).

B). Να βρείτε τα πηλίκα π1(x) και π2(x) των παραπάνω διαιρέσεων ως συνάρτηση του πολυωνύμου π(x) Γ). Να αποδείξετε ότι: π1(3)= π2(1)

http://www.perikentro.blogspot.gr/

16

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

3η Ενότητα

Πολυώνυμα

 Πολυωνυμικές Εξισώσεις  Πολυωνυμικές Ανισώσεις

 Ορισμός: Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής ανxν+αν-1xν-1+…+α1x+α0=0 ,αν  0 , α0 , α1 , α2,….αν  IR ,ν N *  Ορισμός: Ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσωσης ονομάζεται κάθε ρίζα του πολυωνύμου P(x)= ανxν+αν-1xν-1+…+α1x+α0 δηλαδή κάθε αριθμό ρ για τον οποίο ισχύει: P(ρ)=0 Λύση Πολυωνυμικής Εξίσωσης o Αν είναι της μορφής αx+ β, α  0 δηλαδή πρώτου βαθμού τότε έχει μοναδική ρίζα  x= o Αν είναι της μορφής αx2 +βx+γ=0 , α  0 δηλαδή δευτέρου βαθμού και είναι   Δ  0 τότε έχει ρίζες x 1, 2  2 o Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x)=0 βαθμού ν>2 παραγοντοποιούμε το P(x) οπότε: P( x )  0  P1 ( x )  P2 ( x )  ...  P ( x )  0,    και έτσι η λύση της εξίσωσης ανάγεται στη λύση των εξισώσεων P1(x)=0 ή P2(x)=0 ή ….Pκ(x)=0 δηλαδή στην επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων μικρότερου βαθμού o Η παραγοντοποίηση θα γίνεται με όλους τους γνωστούς τρόπους ή με το σχήμα Horner. Στην περίπτωση που χρησιμοποιούμε σχήμα Horner είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε μια ρίζα της εξίσωσης . Στην εύρεση μιας τέτοιας ρίζας , μας βοηθάει το παρακάτω θεώρημα.  Θεώρημα (ακέραιων ριζών) Έστω η πολυωνυμική εξίσωση ανxν+αν-1xν-1+…+α1x+α0=0 ,με ακέραιους συντελεστές . Αν ο ακέραιος ρ  0 είναι ρίζα της εξίσωσης , τότε ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α0 Απόδειξη: Αν ο ρ  0 είναι ρίζα της εξίσωσης , τότε διαδοχικά έχουμε: ανρν+αν-1ρν-1+…+α1ρ+α0=0  α0= -ανρν-αν-1ρν-1-…-α1ρ  α0=ρ(-ανρν-1-αν-1ρν-2-…-α1) Επειδή ρ,α1,α2,…αν είναι ακέραιοι έπεται ότι και ο -ανρν-1-αν-1ρν-2-…-α1 είναι ακέραιος. Από την τελευταία ισότητα συμπεραίνουμε ότι ο ρ είναι διαιρέτης του α0 

Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει

http://www.perikentro.blogspot.gr/

17

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Πολυώνυμα

3η Ενότητα

Λυμένα

παραδείγματα

Παράδειγμα 1: Να λυθεί η εξίσωση: x4+3x3-x2-3x=0 Λύση: Έχουμε διαδοχικά: x4+3x3-x2-3x=0  (x4-x2)+(3x3-3x)=0  x2(x2-1)+3x(x2-1)=0  (x2-1)(x2+3x)=0  (x-1)(x+1)x(x+3)=0  x-1=0 ή x+1=0 ή x=0 ή x+3=0 δηλαδή x=1 ή x=-1ή x=0 ή x=-3 Παράδειγμα 2: Να λυθεί η εξίσωση: 2x3+9x2-13x+2=0 Λύση: Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες του 2 δηλαδή οι:  1,2 Με το σχήμα Horner εξετάζουμε αν κάποια από αυτές είναι ρίζα Διαπιστώνουμε ότι το 1 είναι ρίζα 2 9 -13 2 1

2

2

11

-2

11

-2

0

Αν η ανάλυση ενός πολυωνύμου P(x) σε γινόμενο είναι δύσκολη τότε εργαζόμαστε ως εξής: 10: Βρίσκουμε τις πιθανές ακέραιες ρίζες του P(x) (Διαιρέτες του σταθερού όρου) 20: Με τη βοήθεια του σχήματος Horner ελέγχουμε αν κάποια από αυτές είναι ρίζα 30: Μόλις βρούμε μια ρίζα ρ τότε το P(x) αναλύεται ως εξής: P(x)=(x-ρ)Π(x) όπου Π(x) το πηλίκο

Έτσι η εξίσωση γράφεται: (x-1)(2x2+11x-2)=0 δηλαδή x-1=0  x=1 ή  11  137  11  137 2x2+11x-2=0  x= ήx  4 4  11  137  11  137 Άρα οι ρίζες είναι : x=1 ή x= ήx  4 4 Παράδειγμα 3: Βγάλαμε κοινό Να λυθεί η εξίσωση: x4-4x3+x2+6x=0 (1) 4 3 2 3 2 Λύση: Έχουμε διαδοχικά: x -4x +x +6x=0  x(x -4x +x+6)=0 παράγοντα το x Τότε: x=0. ή x3-4x2+x+6=0 (2) Λύνουμε την εξίσωση (2) Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες του 6 δηλαδή οι:  1,2,3 Με το σχήμα Horner εξετάζουμε αν κάποια από αυτές είναι ρίζα 1 -4 1 6 2 Έτσι η (2) γράφεται: (x-2)(x2-2x-3)=0  x=2 ή x2-2x-3=0  x=2 ή x=-1ή x=3 2 -4 -6 Άρα οι ρίζες της (1) είναι: x=-1 ή x=0 ή x=2 ή x=3 1 -2 -3 0 http://www.perikentro.blogspot.gr/

18

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Σχόλιο:

Πολυώνυμα

Επίλυση πολυωνυμικής ανίσωσης

 Για να λύσουμε ανίσωση P(x)>0 βαθμού μεγαλυτέρου του 2ου 0 1 : Παραγοντοποιούμε το πολυώνυμο P(x) του πρώτου μέλους με τον τρόπο που αναφέρεται στη μέθοδο επίλυσης πολυωνυμικής εξίσωσης δηλ. P (x)= P1 ( x )  P2 ( x )  ...  P ( x ) 20: Από την παραγοντοποιημένη μορφή του P(x) προσπαθούμε να βρούμε το πρόσημο του P(x) για τις διάφορες τιμές του x.

 Πως βρίσκουμε το πρόσημο του P(x)  Βρίσκουμε τις ρίζες των πολυωνύμων P1(x), P2(x),…Pν (x) και τις τοποθετούμε πάνω σε ένα άξονα  Στο διάστημα που είναι δεξιά της μεγαλύτερης ρίζας θέτουμε ως πρόσημο του P(x) το πρόσημο του γινομένου των συντελεστών των μεγιστοβάθμιων όρων των παραγόντων P1(x), P2(x),…Pν (x) (με την προϋπόθεση ότι είναι πρωτοβάθμιοι)και στα υπόλοιπα διαστήματα το πρόσημο καθορίζεται ως εξής:  Όταν το γινόμενο των συντελεστών είναι θετικός αριθμός ,τότε στο πρώτο δεξιά διάστημα βάζουμε + και στη συνέχεια τα πρόσημα εναλλάξ.  Όταν το γινόμενο των συντελεστών είναι αρνητικός αριθμός ,τότε στο πρώτο δεξιά διάστημα βάζουμε - και στη συνέχεια τα πρόσημα εναλλάξ.  Αν στο 10 μέλος της ανίσωσης υπάρχει παράγοντας της μορφής (x-ρ)κ τότε  Αν κ άρτιος στα δυο διαστήματα αριστερά και δεξιά του ρ το πρόσημο δεν αλλάζει.  Αν κ περιττός τότε στα δυο διαστήματα αριστερά και δεξιά του ρ το πρόσημο αλλάζει.

Παράδειγμα 4: Να λυθεί η ανίσωση: (x-1)(2-x)(x-3)>0 Λύση: Είναι (x-1)(2-x)(x-3)=0  x-1=0 ή 2-x=0 ή x-3=0 .Δηλαδή x=1 ή x=2 ή x=3 1ος τρόπος: Τοποθετούμε τις ρίζες με αύξουσα σειρά σε άξονα. Το πρόσημο του γινομένου των συντελεστών των μεγιστοβάθμιων όρων των παραγόντων είναι:(+)(-)(+)=Άρα στο πρώτο δεξιά διάστημα (3, +  ) το πρόσημο είναι «-» και στη συνέχεια εναλλάξ. Έχουμε έτσι τον παρακάτω πίνακα: - 1 2 3 + +

-

+

-

Άρα η ανίσωση αληθεύει για τα x IR με x<1 ή 2<x<3 2ος τρόπος: x 1 2 3 x-1 + + 2-x + + x-3 (x-1)(2-x)(x-3) + + Άρα x<1 ή 2<x<3 Ή με άλλον τρόπο x (,1)  (2,3) http://www.perikentro.blogspot.gr/

19

+ + -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Πολυώνυμα

Παράδειγμα 5: Να λυθεί η ανίσωση: (x-1)3(x-2)10(x-4)2009(x+3)>0 Λύση:  ( x  1) 3  0  x  1  0  x  1  ή   ( x  2)10  0  x  2  0  x  2 3 10 2009 Είναι: (x-1) (x-2) (x-4) (x+3)=0   ή  2009  0  x4  0  x  4 ( x  4) ή   x  3  0  x  3 Το πρόσημο του γινομένου των συντελεστών των μεγιστοβάθμιων όρων είναι «+» Έχουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμων -

-3

1

-

2

+

-

4 -

+ +

Άρα x (-3,1)  (4,+  ). Παράδειγμα 6: Να λυθεί η ανίσωση x3-7x-6  0 Λύση: 1ος τρόπος: Είναι x3-7x-6  0  x3-x-6x-6  0  x(x2-1)-6(x+1)  0  x(x-1)(x+1)-6(x+1)  0  (x+1)[x(x-1)-6]  0  (x+1)(x2-x-6)  0  (x+1)(x+2)(x-3)  0 Άξονας προσήμων - -2 -1 3 + Το τριώνυμο x2-x-6 έχει -

+

-

+

ρίζες x1=3 και x2=-2 Άρα x2-x-6 =(x+2)(x-3)

Άρα x (,2]  [1,3] 2ος τρόπος: Οι πιθανές ακέραιες ρίζες του πολυωνύμου P(x)=x3-7x-6 είναι:  1,2,3,6 . Με το σχήμα Horner έχουμε: 1

1

0

-7

-6

-1

1

6

-1

-6

0

-1

Αρα P(x)=(x+1)(x2-x-6) =(x+1)(x+2)(x-3).

Δηλαδή η ανίσωση γράφεται: (x+1)(x+2)(x-3)  0 Σύμφωνα με τον προηγούμενο πίνακα βρίσκουμε: x (,2]  [1,3] . http://www.perikentro.blogspot.gr/

20

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

3η Ενότητα

Πολυώνυμα

Ερωτήσεις

Κατανόησης

Α. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό(Σ) ή Λάθος(Λ) τις παρακάτω προτάσεις 1. Δίνεται η εξίσωση: 2x3+2x-3=0 α). Το 2 αποκλείεται να είναι ρίζα της εξίσωσης β). Το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης αφού διαιρεί το 3 γ). Το θεώρημα των ακεραίων ριζών μας εξασφαλίζει πάντα μια ρίζα της εξίσωσης 2. Δίνεται η εξίσωση x4+3x3+2x2+x+2=0 α). Η εξίσωση έχει το πολύ 4 ρίζες. β). Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι -1, -2.

3. Το σχήμα Horner είναι μέθοδος παραγοντοποίησης 4. Κάθε πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν>2 επιλύεται αφού γίνει γινόμενο πρωτοβάθμιων και δευτεροβάθμιων παραγόντων. Β. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: 1. Ποια από τις παρακάτω εξισώσεις δεν έχει ακέραια ρίζα: Α. x4-2x2+1=0 B. x5-2x3+1=0 Γ. x4+x2+1=0 Δ. x5+1=0 2. Η εξίσωση x3-3x2+κx+2=0 ,κ Z αποκλείεται να έχει ρίζα τον αριθμό: Α. -1 Β. 1 Γ. -2 Δ. 2 Ε. 3 3. Αν η εξίσωση x3+βx2-x+α=0 α,β Z έχει ρίζα το 3 τότε ο α αποκλείεται να είναι Α.6 Β. 10 Γ. 12 Δ. 15 Ε. 18 4. Το μέγιστο δυνατό πλήθος ακέραιων ριζών της εξίσωσης αx5+βx2-3=0,α,β  Z είναι: Α. 3 Β. 4 Γ.2 Δ.5 5. Η πολυωνυμική εξίσωση αx3+βx2+γx+δ=0 με θετικούς συντελεστές α, β ,γ, δ δεν έχει: Α. Πραγματική ρίζα Β. Θετική ρίζα Γ. Αρνητική ρίζα 6. Το θεώρημα των ακέραιων ριζών αναφέρεται σε πολυωνυμικές εξισώσεις Α. Με ακέραιους συντελεστές Β. Με πραγματικούς συντελεστές Γ. Με ρητούς συντελεστές Δ. Δεν αναφέρεται σε συντελεστές.

http://www.perikentro.blogspot.gr/

21

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

3η Ενότητα

Πολυώνυμα

Προτεινόμενες Ασκήσεις

1. Να λυθούν οι εξισώσεις: α). x3 +2x2+3x+6=0 γ). x3+3x2-x-3=0

β). x3-3x2-3x+1=0 δ). x4-x3+x-1=0

2. Να λυθούν οι εξισώσεις: α). x3 -4x2+x+6=0 γ). x4 -2x3-x+2=0

β). 2x3-7x2 +7x-2=0 δ). x4 -3x3+x2+3x-2=0

3. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις δεν έχουν ακέραια ρίζα α). x4+x3-2x2-3x-3=0 β). 2x2ν +7αx-1=0 με ν φυσικός αριθμός και α  Z* 4. Να λυθούν οι ανισώσεις: α). x3-2x2-x+2>0 γ). 2x3-8x<x4-3x2-4

β). x3 +3x  5x2-9 δ). x4-x3+x2-3x-6>0

5. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2x3-4x2-2x-4 α). Να βρείτε τα σημεία τομής του άξονα x x με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης β). Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x 6. Να βρείτε τα διαστήματα του x .για τα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=x3-x2-10x-8 βρίσκεται : α). κάτω από τον άξονα x x β). πάνω από τον άξονα 7. Να βρείτε τα διαστήματα του x για τα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=6x4-15x βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x)=5x3-19x2-3 8. Αν το πολυώνυμο Ρ(x)=4x4+λx3-9x+2 έχει ρίζα το -1 , να δείξετε ότι αυτή είναι και η μοναδική ακέραια ρίζα του.

9. Να αποδείξετε ότι τα πολυώνυμα P(x)=7x4-3x3+4x2-5x+1 και Q(x)=3x6+4x5+x4+12x3+4x2+x+5 δεν έχουν κοινή ρίζα 10. Δίνονται τα πολυώνυμα P(x)=x2-3x+2 και Q(x)=x2+5. α). Να λυθεί η εξίσωση P(x)+Q(x)=9 β). Να λυθεί η ανίσωση P(x)>Q(x).

11. Αν η εξίσωση x3 –(α-4)x+3=0, α Z έχει ακέραια ρίζα ρ ,ρ>2 να βρείτε το α.

http://www.perikentro.blogspot.gr/

22

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

12. Να λυθούν οι εξισώσεις 2 3 1 α). - x3+ x2+ x-1=0 3 2 6

Πολυώνυμα

β).

1 3 3 2 1 x  x  x 1  0 2 8 8

13. Δίνεται η πολυωνυμική συνάρτηση f(x)=x4+x3-3x2 και η ευθεία ε: y=4x+4 α). Να βρεθούν τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας ε β). Να βρείτε τα διαστήματα του x, που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την ευθεία ε.

14. Δίνεται το πολυώνυμο P(x)= x4+κx3+λx2+2x+4 το οποίο έχει παράγοντες τους x-2 και x+1 α).Να δείξετε ότι κ=-1 και λ=-4 β). Για τις τιμές αυτές των κ ,λ να λύσετε την ανίσωση P(x)>0 15. Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=αx3+(β-α)x2-x+3. α). Αν το x-1είναι παράγοντας και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x): (x-2) είναι ίσο με -11 να δείξετε ότι α=-1 και β=-2 β). Για α=-1 και β=-2 να λυθεί η εξίσωση P(x)=0 16. Αν το πολυώνυμο Ρ(x)=x3+κx2+λx+μ έχει παράγοντα το (x-1)2 να δείξετε ότι: α) κ+λ+μ=-1 και 2κ+λ=-3 β) Αν το μ είναι ρίζα της εξίσωσης x3+x-2=0 να δείξετε ότι μ=1 και κ=λ.

17. Α. Να βρείτε πολυώνυμο Ρ τέτοιο ώστε (x2-3x+1)Ρ(x)=4x3-13x2+7x-1. Β. Να λυθεί η ανίσωση 4x3-13x2+7x-1>0.

18. Δίνεται το πολυώνυμο F(x) = x3 - x2 + 3x - 3 α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του F(x) με το x-2 . β) Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του F(x) με το x-1 . γ) Να λύσετε την εξίσωση: F(x)=0 19. Μια πισίνα σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου έχει μήκος κατά 2 μέτρα μεγαλύτερο από το πλάτος της και βάθος κατά 3 μέτρα μικρότερο από το πλάτος της. Αν για να γεμίσει χρειάζεται 5 ώρες με αντλία που την τροφοδοτεί με 14 cm3 νερό την ώρα , να βρεθούν οι διαστάσεις της πισίνας.

20. Μια ώρα μετά τη λήψη x mg αντιπυρετικού , η μείωση της θερμοκρασίας ενός 1 ασθενούς δίνεται από την συνάρτηση: Τ(x)=x2- x3, 0<x<3. Να βρείτε ποια 4 πρέπει να είναι η ελάχιστη δόση ώστε, μια ώρα μετά τη λήψη του αντιπυρετικού η θερμοκρασία να έχει μειωθεί κατά 2 βαθμούς.

http://www.perikentro.blogspot.gr/

23

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

3η Ενότητα

Πολυώνυμα

Κριτήριο Αξιόλογησης ΘΕΜΑ 10

Α. Έστω η πολυωνυμική εξίσωση ανxν+αν-1xν-1+…+α1x+α0=0 ,με ακέραιους συντελεστές . Αν ο ακέραιος ρ  0 είναι ρίζα της εξίσωσης , τότε ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α0 Β. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό(Σ) ή Λάθος(Λ) τις παρακάτω προτάσεις: 1. Το πολυώνυμο P(x)=x3+2x2+x-4 έχει ρίζα το 1.

2. Η εξίσωση x5-κx+12=0 ,k  Z αποκλείεται να έχει ρίζα τον αριθμό 7 3. Αν το πολυώνυμο P(x) έχει δυο πραγματικές ρίζες και το Q(x) έχει 3 πραγματικές ρίζες τότε η εξίσωση P(x)Q(x)=0 έχει ακριβώς 5 πραγματικές ρίζες.

4. Αν ο ακέραιος ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου ενός πολυωνύμου P(x) με ακέραιους συντελεστές , τότε ο ρ είναι ρίζα του Ρ(x).

ΘΕΜΑ 20 Να βρείτε τα σημεία τομής : α). Της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x)=x4-6x2-9x με τον άξονα x x β). Των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων g(x)=2x3+5x2 και h(x)=4x+3

ΘΕΜΑ 30 Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=αx3+(β-1)x2-3x-2β+6 ,α,β IR α). Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου P(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x+1 είναι ίσο με 2 , να βρείτε τα α και β. β). Για α=2 και β=4 να λύσετε την ανίσωση P(x)  0

http://www.perikentro.blogspot.gr/

24

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

4η Ενότητα

Πολυώνυμα

 Εξισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

 Πολυωνυμικές εξισώσεις που λύνονται με βοηθητικό άγνωστο Κάποιες πολυωνυμικές εξισώσεις ,συνήθως μεγάλου βαθμού, λύνονται δύσκολα με τις παραπάνω μεθόδους. Τότε κάνουμε αντικατάσταση κατάλληλης παράστασης του x με νέο άγνωστο ω και καταλήγουμε σε εξίσωση που είναι ευκολότερο να λυθεί με τις μεθόδους που αναφέραμε.  Οι εξισώσεις της μορφής αx4+βx2+γ=0, α  0, α,β,γ IR λέγονται διτετράγωνες και επιλύονται ως εξής:  Θέτουμε x2=ω (1), ω  0 οπότε προκύπτει η εξίσωση αω2+βω+γ=0 (επιλύουσα)  Βρίσκουμε τις ρίζες τις επιλύουσας  Από την (1) βρίσκουμε ,αν υπάρχουν, τις ρίζες της διτετράγωνης.

 Εξισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Υπάρχουν εξισώσεις που δεν είναι πολυωνυμικές , αλλά με κατάλληλη διαδικασία η λύση τους ανάγεται στη λύση πολυωνυμικών Δυο τέτοια είδη εξισώσεων είναι : οι ρητές και οι άρρητες.  Ρητές εξισώσεις Είναι οι εξισώσεις στις οποίες ένας όρος τουλάχιστον είναι ρητή παράσταση του x Για τη λύση τους ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:  Θέτουμε περιορισμούς, για τις παραστάσεις που βρίσκονται στους παρονομαστές (να είναι διάφοροι του μηδενός)  Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών και λύνουμε την αντίστοιχη πολυωνυμική εξίσωση  Ελέγχουμε ποιες από τις ρίζες που βρήκαμε ικανοποιούν τους αρχικούς περιορισμούς.  Άρρητες εξισώσεις Είναι οι εξισώσεις στις οποίες εμφανίζεται ο άγνωστος x κάτω από το ριζικό Για τη λύση τους ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:  Θέτουμε περιορισμούς για τις υπόρριζες παραστάσεις (να είναι μεγαλύτερες ή ίσες του μηδενός)  Υψώνουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης σε κατάλληλη δύναμη ,με στόχο να διώξουμε τα ριζικά και να καταλήξουμε σε πολυωνυμική εξίσωση  Λύνουμε την πολυωνυμική εξίσωση και ελέγχουμε αν οι ρίζες ικανοποιούν τους περιορισμούς , αλλά και την αρχική εξίσωση.

http://www.perikentro.blogspot.gr/

25

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Πολυώνυμα

4η Ενότητα

Λυμένα

παραδείγματα

Παράδειγμα 1: Να λυθεί η εξίσωση: x4-5x2+4=0 Λύση: Θέτουμε x2=ω ,ω  0 (1). Η αρχική εξίσωση γράφεται ω2-5ω+4=0  ω=1 ή ω=4 Από την (1) έχουμε: x2=1  x=  1 x2=4  x=  2 Άρα οι ρίζες της είναι: x=  1 ή x=  2 Παράδειγμα 2: Να λυθεί η εξίσωση: (x2+x+1)2-4(x2+x+2)+7=0 Λύση: Θέτουμε x2+x+1=ω (1) τότε x2+x+2=ω+1 Η αρχική εξίσωση γράφεται ω2-4(ω+1)+7=0  ω2-4ω+3=0  ω=1 ή ω=3 Από την (1) έχουμε: x2+x+1=1  x2+x=0  x(x+1)=0  x=0 ή x=-1 x2+x+1=3  x2+x-2=0  x=1 ή x=-2 Άρα οι ρίζες της είναι: x=0 ή x=-1ή x=1 ή x=2 Παράδειγμα 3: Να λυθεί η εξίσωση :

3x 2  1 2 x 2  3x  2  2  x 1 x  x x

Λύση: Το Ε.Κ.Π. είναι x(x-1). Με x  0 και x  1 έχουμε: 3x 2  1 2 x 2  3x  2    x 1 x 2  x x

Περιορισμοί: x-1  0  x  1 και x2-x  0  x(x-1)  0  x  0 και x  1

3x 2  1 2 ( x  1)( x  2)    x  1 x ( x  1) x 3x 2  1 ( x  1)( x  2) 2 x(x-1) -x(x-1) =x(x-1)  x(3x2-1)-2=(x-1)2(x-2)  x 1 x ( x  1) x 3 2 3 3 2 3x -x-2=(x -2x+1)(x-2)  3x -x-2=x -2x -2x2+4x+x-2  2x3+4x2-6x=0  2x(x2+2x-3)=0  x=0 ή x2+2x-3=0  x=-3 ή x=1 Από τους περιορισμούς δεκτή η x=-3 Παράδειγμα 4: Να λυθεί η εξίσωση: Λύση:

7  x  x 1

http://www.perikentro.blogspot.gr/

26

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Πολυώνυμα

10ς τρόπος: Υψώνουμε και τα δυο μέλη της εξίσωσης στο τετράγωνο και έχουμε:



Περιορισμός: Πρέπει 7+x  0  x  7

2

7  x  ( x  1) 2  7+x=x2+2x+1  x2+x-6=0  x=2 ή x=-3 Με επαλήθευση διαπιστώνουμε ότι δεκτή ρίζα είναι μόνο η x=2 20ς τρόπος: 7  x  x  1  7+x=(x+1)2  7+x= x2+2x+1  x2+x-6=0  x=2 ή x=-3 x=-3 απορρίπτεται λόγω περιορισμού Άρα δεκτή ρίζα x=2

Περιορισμός: Πρέπει  7  x  0  x  7  x+1  0  x  1 -  -7 -1

+

Άρα x  1 Παράδειγμα 5: Να λυθεί η εξίσωση : 2 x  3  x  1  1 Λύση: Υψώνουμε και τα δυο μέλη της εξίσωσης στο τετράγωνο και έχουμε:



  2



2

Περιορισμός: Πρέπει  2x  3  0  x  

3 2

 x+1  0  x  1 - -3/2 -1

+

2x  3  x  1  1  2x+3=x+1+1+2 x  1  x+1=2 x  1  (υψώνουμε στο τετράγωνο) Άρα x  1 (x+1)2=4(x+1)  x2+2x+1=4x+4  x2-2x-3=0  x=-1 ή x=3 Με επαλήθευση διαπιστώνουμε ότι και οι δύο ρίζες είναι δεκτές Παράδειγμα 6: Να λυθεί η εξίσωση : 2 x  6  x  4  1 Λύση: Για x  3 έχουμε διαδοχικά



  2



2

2x  6  1  x  4  2x+6=1+2 x  4  x  4  x+1=2 x  4 (1) (υψώνουμε στο τετράγωνο) (x+1)2=4(x+4)  x2-2x-15=0  x=-3 ή x=5 Από τον περιορισμό δεκτή ή ρίζα x=5

Περιορισμός: Πρέπει  2x  6  0  x  3  x+4  0  x  4 - -4 -3

+

Άρα x  3 Από (1) πρέπει x+1  0  x  1 -  -3

-1

+

Είναι x  1

http://www.perikentro.blogspot.gr/

27

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Πολυώνυμα

Παράδειγμα 7:

Περιορισμός: Πρέπει  x 2  1  0 ισχύει για κάθε x IR  5x-5  0  x  1 Άρα x  1

2

Να λυθεί η ανίσωση : x  1  5x  5 Λύση: Για x  1 έχουμε διαδοχικά (υψώνουμε στο τετράγωνο)

 x  1   5x  5  2

2

2

 x +1>5x-5  x -5x-6>0  x<2 ή x>3 Συναλήθευση των λύσεων με τον περιορισμό: 2

2

-

1

2

3

+

Άρα η ανίσωση έχει λύση για κάθε αριθμό x με : x  [1,2)  (3,) Παράδειγμα 8: Να λυθεί η ανίσωση: x 2  x  1 x 2  2 x  3x 2  1   x x 3 x 2  3x

Περιορισμός: Πρέπει  x 0  x-3  0  x  3  x2-3x  0  x ( x  3)  0  x  0 και x  3 Άρα x  0 και x  3

Λύση: Επειδή το Ε.Κ.Π. είναι x(x-3) και δεν έχει σταθερό πρόσημο, δεν κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών. Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο 10 μέλος ,και αφού μετατρέψουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα, τα προσθέτουμε καταλήγοντας έτσι σε ανίσωση της μορφής P( x )  0  P( x )Q( x )  0 . Επομένως Q( x )

x 2  x  1 x 2  2 x  3x 2  1 x 2  x  1 x 2  2 x  3x 2  1     2 0  x x 3 x x 3 x 2  3x x  3x ( x 2  x  1)( x  3)  x ( x 2  2)  ( x  3x 2  1) 0 x ( x  3) x 3  3x 2  x 2  3x  x  3  x 3  2 x  x  3x 2  1 x2  x  2 0 0 x (x  3) x ( x  3) (x2-x-2)x(x-3)<0  (x+1)(x-2)x(x-3)<0 Σχηματίζουμε το πίνακα: -

-1 +

0 -

2 +

-

3 -

+

Άρα η ανίσωση αληθεύει για τα x IR με -1<x<0 ή 2<x<3. http://www.perikentro.blogspot.gr/

28

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Πολυώνυμα

Παράδειγμα 9: Να λυθεί η εξίσωση: 6x4+5x3-38x2+5x+6=0 Λύση: 6x4+5x3-38x2+5x+6=0  ( διαιρούμε με x2 (x  0)) 5 6 6x2+5x-38+  2  0  x x 1 1 6(x2+ 2 )  5(x  )  38  0 (1) x x 1 1 Θέτουμε x    (2) Τότε: x 2  2  2  2 x x

Οι εξισώσεις της μορφής αx4+βx3+γx2+βx+α=0,α  0 λέγονται αντίστροφες.(Δηλ. για κάθε ρίζα τους ρ με ρ  0 1 και ρ   1, η είναι επίσης  ρίζα. Για τη λύση τους διαιρούμε με x2 (x  0) και στη συνέχεια θέτουμε 1 x  x

Η (1) γίνεται: 6(ω2-2)+5ω-38=0  6ω2-12+5ω-38=0  6ω2+5ω-50=0  5 10 1 5 1 10 ω1= ή ω2=  Από την (2) έχουμε: x   (3) ή x    (4).

2 3 x 2 x 3 1 Από την (3) έχουμε: 2x2+2=5x  2x2-5x+2=0  x=2 ή x= 2 1 Από την (4) έχουμε: 3x2+3=-10x  3x2+10x+3=0  x=-3 ή x=  3 (για x=0 η αρχική εξίσωση δεν αληθεύει άρα η x=0 δεν είναι λύση της εξίσωσης)

4η Ενότητα

Προτεινόμενες Ασκήσεις

1. Να λυθούν οι εξισώσεις: 3x  2 3 2 α).   x 2 x 1 x 1 x 1 2. Να λυθούν οι ανισώσεις: x2 4 2 α).   2 x 1 x 1 x 1

β).

x 1 x2  3 x 2  5x  2  2  x  1 x  4x  3 x 3

β).

x 3  2x  4 1 x2

3. Να λυθούν οι εξισώσεις: α). 2ημ3x+5ημ2x+5ημx+2=0

β).

x 2  4x  4  2x  3 γ).

2x  8  x  5  1

4. Να λυθούν οι ανισώσεις: α). x  2  x  4

β).

2  x  2  x  4 γ). x-1  x  5

5. Να λυθούν οι εξισώσεις: α). x4-4x3+6x2-4x+1=0 β). (3x+1)8-15(3x+1)4-16=0 http://www.perikentro.blogspot.gr/

29

γ). x6-9x3+8=0

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Πολυώνυμα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα ΘΕΜΑ 10 A. Να δείξετε ότι: Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x-ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x=ρ . Είναι δηλαδή υ=P(ρ) Β. α).Τι ονομάζεται πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν; β).Τι ονομάζεται ρίζα πολυωνυμικής εξίσωσης; Γ. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: 1. Το πολυώνυμο P(x)=(x-1)3-x3+5 είναι: α). Μηδενικού βαθμού β). 2ου βαθμού γ). 3ου βαθμού δ) 1ου βαθμού 2. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου P(x)=x4-x3+2x-4 με το x-1 είναι α). 2 β). -2 γ). -1 δ). 3 ε). 0 2010 2009 3. Το πολυώνυμο P(x)=(4x+5) +x έχει παράγοντα το: α). x-2 β). x-1 γ). x+1 δ). x 4. Αν το πολυώνυμο P(x) έχει ρίζα το 1, τότε το πολυώνυμο Q(x)=P(3x-8) έχει ρίζα τον αριθμό α). 1 β). 2 γ). 3 δ) 4 ε) -1 ΘΕΜΑ 20 Δίνονται τα πολυώνυμα P(x)=2x3-2 και Q(x)=x3+x2-4. Έστω το πολυώνυμο Α(x)=P(x)-Q(x). α). Να δείξετε ότι: Α(x)=x3-x2+2 β). Να δείξετε ότι το x+1 είναι παράγοντας του Α(x) γ). Αν Β(x)=α2x3-αx2+α+1 να βρείτε το α ώστε να είναι Α(x)=Β(x) ΘΕΜΑ 30 Το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου P(x) με το x2-3x+2 είναι υ(x)=-x+3 α). Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x-2 β). Να βρείτε το πολυώνυμο P(x) αν το πηλίκο της διαίρεσης P(x): (x2-3x+2) είναι ίσο με το υπόλοιπο υ(x)=-x+3 γ). Να δείξετε ότι το πολυώνυμο A(x)=x2-3x+3 είναι παράγοντας του P(x) δ). Να λύσετε την ανίσωση P(x)<0 ΘΕΜΑ 40 A. Δίνεται το πολυώνυμο P(x)=x3+κx2-5x+λ α) Να βρείτε τα κ ,λ ώστε να έχει παράγοντες τους x-1 και x+3 β). Για κ=1 και λ=3 να λυθεί η εξίσωση P(x)=0 Β. Να λυθεί η εξίσωση x  1  2 x  1  x http://www.perikentro.blogspot.gr/

30

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης