Θέματα Πανελλαδικών: Μιγαδικοί Αριθμοί

Κώστας Κουτσοβασίλης

Θέματα Πανελλαδικών Εξετάσεων Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

2000-2013 Ημερήσια και Εσπερινά Λύκεια Ομογενείς

Θέματα Πανελλαδικών

Μιγαδικοί Αριθμοί

Θέμα 1 Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z=3-4i. Να βρείτε : α. Το πραγματικό μέρος Re(z) και το φανταστικό μέρος Im(z) του μιγαδικού αριθμού β. Το ν συζυγή του μιγαδικού αριθμού z γ. Το μέτρο |z| του μιγαδικού αριθμού z Εσπερινό 2000 Θέμα 2 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί : z1  1  2i και z 2  3  4i . z α. Αν 2  x  yi με x, y  R , να αποδείξετε ότι x=-1 και y=2 . z1 β. Αν η μία ρίζα της εξίσωσης x 2  x  2  0 , β, γ  R είναι η

z2 , να βρείτε τις z1

τιμές των β, γ . γ. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των αριθμών z για τους οποίους ισχύει : | z  2z1 || z 2 | Ομογενείς 2002 Θέμα 3 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z1=-1+i ,z2=3-4i α. Να υπολογίσετε τον μιγαδικό αριθμό z1+5z2 z β. Να υπολογίσετε τον μιγαδικό αριθμό 2 z1 γ. Να υπολογίσετε τον μιγαδικό z18 Εσπερινό 2002 Θέμα 4 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z=α+βi όπου α,β IR και w=3z- i z  4 α. Να αποδείξετε ότι: Re(w)=3α-β+4 , Ιm(w)=3β-α β. Να αποδείξετε ότι, αν οι εικόνες του w στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=x–12, τότε οι εικόνες του z κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=x–2. γ. Να βρείτε ποιος από τους μιγαδικούς αριθμούς z, οι εικόνες των οποίων κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=x–2, έχει το ελάχιστο μέτρο 2003 http:// perikentro. blogspot.gr

-1-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Θέματα Πανελλαδικών

Μιγαδικοί Αριθμοί

Θέμα 5 α. Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο Σ των εικόνων των μιγαδικών αριθμών Σ των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z που ικανοποιούν τις σχέσεις : | z | 2 και Im(z)  0 β. Να αποδείξετε ότι αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού z κινείται στο σύνολο Σ , 1 4 τότε η εικόνα του μιγαδικού αριθμού w   z   κινείται σε ευθύγραμμο 2 z τμήμα το οποίο βρίσκεται στον άξονα x x . Επαναληπτικές 2003 Θέμα 6

zi , όπου z μιγαδικός με z  0 . z α. Αν | f (z) || f (z) | να αποδείξετε ότι ο z είναι πραγματικός .

9. Δίνεται η συνάρτηση f (z) 

β. Αν | f (z) | 1 , να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο . γ. Αν Ref (z )  2 , να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z βρίσκονται σε κύκλο του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα . Ομογενείς 2003

Θέμα 7 Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z=x+yi, όπου x,y πραγματικοί αριθμοί και w 

i(i  z ) με iz

z  i . Να αποδείξετε ότι

2x 1  x 2  y2 α. w  2  i x  ( y  1) 2 x 2  ( y  1) 2 β. Αν ο w είναι πραγματικός τότε η εικόνα του z ανήκει σε κύκλο κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας ρ1=1 γ. Αν ο z είναι πραγματικός αριθμός , τότε η εικόνα του w ανήκει σε κύκλο κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας ρ2=1 Εσπερινό 2003

http:// perikentro. blogspot.gr

-2-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Θέματα Πανελλαδικών

Μιγαδικοί Αριθμοί

Θέμα 8 Έστω ο μιγαδικός z με z  i και z  -i . Ο μιγαδικός w δίνεται από τη σχέση z w 2 . z 1 α. Να αποδείξετε ότι αν ο w είναι πραγματικός , τότε ο z είναι πραγματικός ή |z|=1 . z 3 β. Να λύσετε στο σύνολο των μιγαδικών την εξίσωση 2  . z 1 3 γ. Αν z1 , z 2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης του (β) ερωτήματος , να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

 z1z 2 3  i K 4  z1  z 2 2

δ. Να υπολογίσετε τον αριθμό

K 2004

Ομογενείς 2004

Θέμα 9 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z=x+yi, όπου x,y πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους υπάρχει α  IR ώστε να ισχύει: 2

2

zz zz      i    (1  )i 2 2 i     Να αποδείξετε ότι: α. Αν Im(z)=0 τότε α=1 β. Αν α=0 τότε z2+1=0 γ. Για τον πραγματικό αριθμό α ισχύει : 0    1 δ. Οι εικόνες Μ των μιγαδικών αυτών αριθμών z στο μιγαδικό επίπεδο ανήκουν σε κύκλο , του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. Εσπερινό 2004 Θέμα 10 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z  x  yi , όπου x,y πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους υπάρχει   R ώστε να ισχύει : x=3-κ και y=2κ+1 . Να αποδείξετε ότι : α. Αν 3Re(z)+4Im(z)=3 , τότε κ=-2 β. Αν | z  1 | 5 τότε | z | 10 . http:// perikentro. blogspot.gr

-3-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Θέματα Πανελλαδικών

Μιγαδικοί Αριθμοί

γ. Οι εικόνες Μ των μιγαδικών z στο μιγαδικό επίπεδο ανήκουν σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση . Επαναληπτικές Εσπερινό 2004

Θέμα 11 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z1,z2,z3 με |z1|=|z2|=|z3|=3 9 α. Δείξτε ότι : z1  z1 z z β. Δείξτε ότι ο αριθμός 1  2 είναι πραγματικός . z 2 z1 1 γ. Δείξτε ότι : | z1  z 2  z 3 | | z1z 2  z 2 z 3  z 3 z1 | 3 2005 Θέμα 12 α. Αν z1, z2 είναι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει z1+z2=4+4i και 2z1  z 2  5  5i , να βρείτε τους z1,z2. β. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z, w ισχύουν | z  1  3i | 2 και | w  3  i | 2 : i. να δείξετε ότι υπάρχουν μοναδικοί μιγαδικοί αριθμοί z, w έτσι, ώστε z=w και ii. να βρείτε τη μέγιστη τιμή του

z–w . Επαναληπτικές 2005 Θέμα 13

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί : z1  3  i και z 2  1  3i α. Να αποδείξετε ότι : z i. 1  i και | iz1  z 2 |2  0 z2

ii. z12006  z 2006 0 2 z1  iz 2 , όπου   R  1. z 2  z 2 Να αποδείξετε ότι για κάθε   R  1 ισχύει Im(w)=-1 Ομογενείς 2005 β. Θεωρούμε τον μιγαδικό αριθμό : w 

http:// perikentro. blogspot.gr

-4-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Θέματα Πανελλαδικών

Μιγαδικοί Αριθμοί

Θέμα 14 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί: z=λ2-2+(3-2λ)i , λ IR και w=k+4i, k>0 Για τους z ,w ισχύουν: Re(z)+Im(z)=0 και |w|=5. α. Να αποδείξετε ότι z=-1+i β. Να αποδείξετε ότι: k=3 γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μ IR , για το οποίο ισχύει z  z  3i  w Εσπερινό 2005 Θέμα 15

x  3i , x  IR 2i α. Να βρείτε το x ώστε ο αριθμός z να είναι φανταστικός Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z 

β. Αν x=-6 να αποδείξετε ότι ο z είναι πραγματικός αριθμός γ. Αν x=4 να βρείτε το | z | Επαναληπτικές Εσπερινό 2005

Θέμα 16 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z1 , z2 , z3 με |z1|=|z2|=|z3|=1 και z1+z2 +z3 = 0 α. Να αποδείξετε ότι: i. |z1-z2|= |z3-z1|= |z2-z3| ii. |z1-z2|2 ≤ 4 και Re(z1 z 2 )  1 β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z1,z2,z3 στο μιγαδικό επίπεδο, καθώς και το είδος του τριγώνου που αυτές σχηματίζουν.

2006

Θέμα 17 Έστω ότι για τον μιγαδικό z ισχύει (5z-1)5=(z-5)5. α. Να αποδείξετε ότι : i. | 5z - 1 || z - 5 |

ii. | z | 1 http:// perikentro. blogspot.gr

-5-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Θέματα Πανελλαδικών

Μιγαδικοί Αριθμοί

β. Αν w=5z+1 , να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων Μ(w) στο μιγαδικό επίπεδο . Ομογενείς 2006 Θέμα 18 Δίνεται η εξίσωση x  4 x  13  0 (1) α. Να λύσετε στο σύνολο των μιγαδικών την εξίσωση (1) .

2

β. Αν z1 , z 2 οι ρίζες της εξίσωσης (1) τότε να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

A | z1 |2 2 | z1z 2 |  13 | z 2 | i 2006 . γ. Αν z1  2  3i , τότε να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει η σχέση : | z  z1 | 5 . Εσπερινό 2006 Θέμα 19 Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z 

2  i ,  R   2i

α. Να αποδειχθεί ότι η εικόνα του μιγαδικού z ανήκει στον κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ=1. β. Έστω z1, z2 οι μιγαδικοί που προκύπτουν από τον τύπο 2  i z   2i για α=0 και α=2 αντίστοιχα. i. Να βρεθεί η απόσταση των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z1 και z2 ii. Να αποδειχθεί ότι ισχύει: z1 2   z 2  για κάθε φυσικό αριθμό ν.

2007

Θέμα 20 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z1=α+βi και z 2 

2  z1 , όπου α,β IR με β  0 2  z1

Δίνεται επίσης ότι z2-z1 IR α. Να αποδειχθεί ότι z2-z1=1 http:// perikentro. blogspot.gr

-6-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Θέματα Πανελλαδικών

Μιγαδικοί Αριθμοί

β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z1 στο μιγαδικό επίπεδο. γ. Αν ο αριθμός z12 είναι φανταστικός και αβ>0 να υπολογισθεί ο z1 και να δειχθεί ότι (z1  1  i) 20  (z1  1  i) 20  0 Επαναληπτικές 2007

Θέμα 21 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z1=i , z2=1, z3=1+i. α. Να αποδείξετε ότι: | z1 |2  | z 2 |2 | z 3 |2 β. Αν για το μιγαδικό z ισχύει |z-z1|=|z-z2|, τότε να αποδείξετε ότι: i. Re(z)=Im(z) z z ii. Για z  0 να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α=  z z Ομογενείς 2007 Θέμα 22 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z=(λ-2)+2λi , όπου   R α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z

1 β. Αν ισχύει z  z  2 να βρείτε το Re  z γ. Αν |z|=2 και Im(z)  0 να βρείτε το λ Εσπερινό 2007 Θέμα 23 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει |z-1+i|=|iz| α. i. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων Μ των μιγαδικών z ii. Να βρείτε ποια από τα σημεία Μ απέχουν από την αρχή Ο(0,0) απόσταση ίση με 5 β. Αν Re(z)=0 τότε να δείξετε ότι z=-i. Επαναληπτικές Εσπερινό 2007

http:// perikentro. blogspot.gr

-7-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Θέματα Πανελλαδικών

Μιγαδικοί Αριθμοί

Θέμα 24 Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z και w ισχύουν

| (i  2 2 )z | 6 και | w  (1  i ) || w  (3  3i) | τότε να βρείτε α. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z . β. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w . γ. την ελάχιστη τιμή του |w| δ. την ελάχιστη τιμή του |z-w|.

2008 Θέμα 25 Δίνεται ότι μιγαδικός αριθμός z1 

1 i 3 είναι ρίζα της εξίσωσης z2 +βz+γ=0 2

όπου β, γ πραγματικοί αριθμοί . α. Να αποδείξετε ότι β=-1 και γ=1 β. Να αποδείξετε ότι z13  1 γ. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού αριθμού w για τον οποίο ισχύει: | w || z1  z1 | Επαναληπτικές 2008

Θέμα 26 A. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z=k+(k+1)i , k IR α. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία y=x+1 β. Ποιοι από αυτούς τους μιγαδικούς αριθμούς έχουν |z|=1; Β. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α ,β ισχύει α2+β2+8=(1-i)4β-(1+i)4α να δείξετε ότι α=2 και β=-2 Ομογενείς 2008

http:// perikentro. blogspot.gr

-8-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Θέματα Πανελλαδικών

Μιγαδικοί Αριθμοί

Θέμα 27 Δίνεται η εξίσωση 3z2+λz+μ=0 , λ,μ IR Α. Αν ο αριθμός z1=1+i είναι ρίζα της εξίσωσης , να αποδείξετε ότι λ=-6, μ=6 και να βρείτε τη δεύτερη ρίζα z2 της εξίσωσης Β. Να αποδείξετε ότι; α. z12  z 22  0 β. z12008  z 2008  21005 2 Εσπερινό 2008 Θέμα 28 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z=(2λ+1)+(2λ−1)i ,

λ IR

Α. α. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z, για τις διάφορες τιμές του λ  IR β. Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός αριθμός z0 =1-i έχει το μικρότερο δυνατό μέτρο Β. Να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί w οι οποίοι ικανοποιούν την εξίσωση |w|2 + w  12  z 0 όπου z0 ο μιγαδικός αριθμός που αναφέρεται στο προηγούμενο ερώτημα.

2009

Θέμα 29 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z1=2+3i και α. Να αποδείξετε ότι z2=1+i

z2=(1-i)2+3i2009+1

β. Να βρείτε το μέτρο του μιγαδικού αριθμού z1  z 2 γ. Να εκφράσετε το πηλίκο

z1 στη μορφή κ+λi, κ, λ IR z2 Εσπερινό 2009

http:// perikentro. blogspot.gr

-9-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Θέματα Πανελλαδικών

Μιγαδικοί Αριθμοί

Θέμα 30 Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z 

1 i(i  3)  1 i 2

α. Να αποδείξετε ότι :  z  1  i, z 2  2i, z 3  2  2i β. Αν Α , Β ,Γ είναι οι εικόνες των μιγαδικών  z, z 2 , z 3 αντίστοιχα , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές.

2

γ. Να αποδείξετε ότι: | z 3  z 2 |2 | z 2  z |  | z 3  z |

2

Ομογενείς 2009 Θέμα 31 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει: (2-i)z+(2+i) z -8=0 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z=x+yi οι οποίοι ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση β. Να βρείτε τον μοναδικό πραγματικό αριθμό z1 και τον μοναδικό φανταστικό z2 οι οποίοι ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση. γ. Για τους αριθμούς z1 , z2 που βρέθηκαν στο προηγούμενο ερώτημα να αποδείξετε ότι | z1  z 2 |2  | z1  z 2 |2  40 . Επαναληπτικές 2009

Θέμα 32

2  2 όπου z  C με z  0 z α. Να βρείτε τις ρίζες z1 και z2 της εξίσωσης . Δίνεται η εξίσωση z 

β. Να αποδείξετε ότι z12010  z 2010 0 2 γ. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει |w-4+3i|=|z1-z2| τότε να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο δ. Για τους μιγαδικούς αριθμούς w του ερωτήματος γ να αποδείξετε ότι 3 | w | 7 2010 http:// perikentro. blogspot.gr

- 10 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Θέματα Πανελλαδικών

Μιγαδικοί Αριθμοί

Θέμα 33 Έστω ο μιγαδικός αριθμός z=x+yi ,x,y IR α. Αν ισχύει 2 z  i z  3 τότε να βρείτε τον μιγαδικό αριθμό z β. Αν z=2+i να βρείτε τον Γ.Τ των μιγαδικών w όταν ισχύει: |w+z|2=|z|2 γ. Αν z=2+i και u 

z  iz να αποδείξετε ότι: u2010=-1 z 1 Εσπερινό 2010 Θέμα 34

Έστω ότι οι μιγαδικοί z1 ,z2 είναι οι ρίζες εξίσωσης δευτέρου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές για τις οποίες ισχύουν z1+z2=-2 και z1z2=5. α. Να βρείτε τους μιγαδικούς z1 , z2 β. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει η σχέση | w  z1 |2  | w  z 2 |2 | z1  z 2 |2 να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο είναι ο κύκλος με εξίσωση (x+1)2+y2=4 γ. Από τους μιγαδικούς αριθμούς w του ερωτήματος β. να βρείτε εκείνους για τους οποίους ισχύει 2Re(w)+Im(w)=0 δ. Αν w1, w2 είναι δύο από τους μιγαδικούς w του ερωτήματος β. με την ιδιότητα |w1-w2|=4 να αποδείξετε ότι |w1+w2|=2 Επαναληπτικές 2010 Θέμα 35 Θεωρούμε την εξίσωση z2-6z+γ=0 με γ IR , η οποία έχει ρίζες τους μιγαδικούς z1, z2 με Im(z1)>0 και |z1|=5 α. Να αποδείξετε ότι γ=25 β. Αν γ=25 να βρείτε τις ρίζες της παραπάνω εξίσωσης γ. Αν για τον μιγαδικό w ισχύει |w-z1|=|w-z2| να αποδείξετε ότι w IR δ. Να υπολογίστε την τιμή της παράστασης (z1-2-3i)8+(z2-4+5i)8 Επαναληπτικές Εσπερινό 2010 http:// perikentro. blogspot.gr

- 11 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Θέματα Πανελλαδικών

Μιγαδικοί Αριθμοί

Θέμα 36 Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z για τους οποίους ισχύει: |z|=|z-2i| α. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z στο μιγαδικό επίπεδο είναι η ευθεία με εξίσωση ψ=1 β. Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z να βρείτε εκείνους που έχουν μέτρο ίσο με 2 γ. Έστω z1=1+i και z2=-1+i οι μιγαδικοί αριθμοί που βρήκατε στο ερώτημα β. Να αποδείξετε ότι: z14  z 42  8 Ομογενείς 2010 Θέμα 37 Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z και w με z  3i , οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις: 1 | z  3i |  | z  3i | 2 και w  z  3i  z  3i α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z β. Να αποδείξετε ότι z  3i 

1 z  3i

γ. Να αποδείξετε ότι ο w είναι πραγματικός αριθμός και ότι:  2  w  2 δ. Να αποδείξετε ότι: |z-w|=|z| 2011

Θέμα 38 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, w οι οποίοι ικανοποιούν αντίστοιχα τις σχέσεις: |z-i|=1+Im(z) (1) w ( w  3i)  i(3w  i) (2) α. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z 1 είναι η παραβολή με εξίσωση y  x 2 4 β. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w http:// perikentro. blogspot.gr

- 12 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Θέματα Πανελλαδικών

Μιγαδικοί Αριθμοί

είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ(0,3) και ακτίνα ρ= 2 2 γ. Να βρείτε τα σημεία Α και Β του μιγαδικού επιπέδου τα οποία είναι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z ,w με z=w. δ. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές και στη συνέχεια , να βρείτε τον μιγαδικό αριθμό u με εικόνα στο μιγαδικό επίπεδο το σημείο Λ έτσι ώστε το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία Κ,Α,Λ,Β να είναι τετράγωνο. Επαναληπτικές 2011

Θέμα 39 Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z και w με z  3i , οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις: 1 | z  3i | 1 και w  z  3i  z  3i α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z β. Να αποδείξετε ότι z  3i 

1 z  3i

γ. Να αποδείξετε ότι ο w είναι πραγματικός αριθμός και ότι:  2  w  2 δ. Να αποδείξετε ότι: |z-w|=|z| Εσπερινό 2011

Θέμα 40 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, w οι οποίοι ικανοποιούν αντίστοιχα τις σχέσεις: |z-i|=1+Im(z) (1) w ( w  3i)  i(3w  i) (2) α. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z 1 είναι η παραβολή με εξίσωση y  x 2 4 β. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ(0,3) και ακτίνα ρ= 2 2

http:// perikentro. blogspot.gr

- 13 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Θέματα Πανελλαδικών

Μιγαδικοί Αριθμοί

γ. Να βρείτε τα σημεία Α και Β του μιγαδικού επιπέδου τα οποία είναι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z ,w με z=w. δ. Αν Λ είναι η εικόνα του μιγαδικού αριθμού u=-i στο μιγαδικό επίπεδο , τότε να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία Κ, Α, Λ, Β είναι τετράγωνο Επαναληπτικές Εσπερινό 2011 Θέμα 41 Έστω w  z 

4 όπου z μιγαδικός αριθμός με z  0 z

Β1. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς z1, z2 για τους οποίους ισχύει w=2 Β2. Αν z1  1  i 3 και z 2  1  i 3 είναι οι μιγαδικοί αριθμοί που βρήκατε στο ερώτημα Β1 , τότε να αποδείξετε ότι z13  z 32  8 Β3. Αν z1 και z2 είναι οι μιγαδικοί αριθμοί του προηγουμένου ερωτήματος τότε να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z1 , z2 και z13 z3  στο μιγαδικό επίπεδο είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου 4 Β4. Αν |z|=2 τότε να αποδείξετε ότι ο αριθμός w είναι πραγματικός Ομογενείς 2011 Θέμα 42 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z και w για τους οποίους ισχύουν οι επόμενες σχέσεις : |z-1|2+|z+1|2=4 (1) |w-5 w |=12 (2) Β1. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z στο επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ=1 Β2. Αν z1 , z 2 είναι δυο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z με | z1  z 2 | 2 τότε να βρείτε το | z1  z 2 | Β3. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w x2 y2 στο επίπεδο είναι η έλλειψη με εξίσωση   1 και στη συνέχεια να βρείτε 9 4 τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του |w|. Β4. Για τους μιγαδικούς αριθμούς z,w που επαληθεύουν τις σχέσεις (1) και (2) να αποδείξετε ότι: 1 | z  w | 4 2012 http:// perikentro. blogspot.gr

- 14 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Θέματα Πανελλαδικών

Μιγαδικοί Αριθμοί

Θέμα 43 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z και w για τους οποίους ισχύουν οι επόμενες σχέσεις : |z-3|2+|z+3|2=36 (1) |2w-1|=|w-2| (2) Β1. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z στο επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ=3 Β2. Αν z1 , z 2 είναι δυο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z με | z1  z 2 | 3 2 να βρείτε το | z1  z 2 | B3. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w στο επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ=1 Εσπερινό 2012 Θέμα 44 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z, με z  1 για τους οποίους ο αριθμός z 1 w είναι φανταστικός. z 1 Να αποδείξετε ότι: Β1. |z|=1 4

1  Β2. Ο αριθμός  z   είναι πραγματικός z  1 1  Β3.   z1  z 2   4 όπου z1 , z 2 δυο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς  z1 z 2  z Β4. Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών u για τους οποίους ισχύει i u  ui   w , w  0 ανήκουν στην υπερβολή x2-y2=1. w Επαναληπτικές 2012 Θέμα 45 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z, με z  1 για τους οποίους ο αριθμός z 1 w είναι φανταστικός. z 1 Να αποδείξετε ότι: Β1. |z|=1 4

1 1  Β2. z  και ότι ο αριθμός  z   είναι πραγματικός z z  1 1  Β3.   z1  z 2   4 όπου z1 , z 2 δυο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς  z1 z 2  z Επαναληπτικές Εσπερινό 2012 http:// perikentro. blogspot.gr

- 15 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Θέματα Πανελλαδικών

Μιγαδικοί Αριθμοί

Θέμα 46 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει |iz-1|=1 Β1. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z είναι κύκλος που έχει κέντρο το σημείο Κ(0, -1) και ακτίνα ρ=1 Β2. Για τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z να αποδείξετε ότι | z | 2 Β3. Αν z1 , z2 είναι δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς z με | z1  z 2 | 2 και Α ,Β οι εικόνες των z1 , z2 αντίστοιχα , τότε να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΑΒ όπου Κ(0,-1) είναι ορθογώνιο. Ομογενείς 2012 Θέμα 47 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει: z - 2 z  2  | z  2 | 2 Β1. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z είναι κύκλος με κέντρο Κ(2,0) και ακτίνα ρ=1 Στη συνέχεια , για κάθε μιγαδικό z που ανήκει στον παραπάνω γεωμετρικό τόπο να αποδείξετε ότι | z | 3





Β2. Αν οι μιγαδικοί αριθμοί z1 ,z2 που ανήκουν στον παραπάνω γεωμετρικό τόπο είναι ρίζες της εξίσωσης w2 +βw +γ=0, με w μιγαδικό αριθμό ,   R και |Im(z1)-Im(z2)|=2 τότε να αποδείξετε ότι β=-4 και γ=5 Β3. Θεωρούμε τους μιγαδικούς α0 , α1 , α2 οι οποίοι ανήκουν στον γεωμετρικό τόπο του ερωτήματος Β1, Αν ο μιγαδικός αριθμός v ικανοποιεί τη σχέση: v 3   2 v 2  1v   0  0 τότε να αποδείξετε ότι: | v | 4 2013 Θέμα 48 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει: z - 2 z  2  | z  2 | 2 Β1. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z είναι κύκλος με κέντρο Κ(2,0) και ακτίνα ρ=1 Στη συνέχεια , για κάθε μιγαδικό z που ανήκει στον παραπάνω γεωμετρικό τόπο να αποδείξετε ότι | z | 3





Β2. Αν οι μιγαδικοί αριθμοί z1 ,z2 που ανήκουν στον παραπάνω γεωμετρικό τόπο είναι ρίζες της εξίσωσης w2 +βw +γ=0, με w μιγαδικό αριθμό ,   R και |Im(z1)-Im(z2)|=2 τότε να αποδείξετε ότι β=-4 και γ=5 http:// perikentro. blogspot.gr

- 16 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Θέματα Πανελλαδικών

Μιγαδικοί Αριθμοί 2013

 z i Β3. Για τους μιγαδικούς αριθμούς z1  2  i , z 2  2  i και u   1   z2  i  Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές τις εικόνες των μιγαδικών αριθμών z1 , z2 και u Εσπερινό 2013 Θέμα 49 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z , w για τους οποίους η εξίσωση 2x 2  | w  4  3i | x  2 | z |, x  R έχει διπλή ρίζα , την x=1 Β1. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των z στο μιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ1 =1 καθώς επίσης ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο Κ(4,3) και ακτίνα ρ2 =4 Β2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός μιγαδικός αριθμός , η εικόνα του οποίου ανήκει και στους δύο παραπάνω γεωμετρικούς τόπους Β3. Για τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z ,w του ερωτήματος Β1 να αποδείξετε ότι: | z  w | 10 και | z  w | 10 Β4. Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z του ερωτήματος Β1 να βρείτε εκείνους , για τους οποίους ισχύει | 2z 2  3z  2z z | 5 Επαναληπτικές 2013 Θέμα 50 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z , w για τους οποίους η εξίσωση 2x 2  | w  4  3i | x  2 | z |, x  R έχει διπλή ρίζα , την x=1 Β1. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των z στο μιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ1 =1 καθώς επίσης ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο Κ(4,3) και ακτίνα ρ2 =4 Β2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός μιγαδικός αριθμός , η εικόνα του οποίου ανήκει και στους δύο παραπάνω γεωμετρικούς τόπους Β3. Για τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z ,w του ερωτήματος Β1 να αποδείξετε ότι: | z  w | 10 και | z  w | 10 Επαναληπτικές Εσπερινό 2013 http:// perikentro. blogspot.gr

- 17 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης