Θεωρία-Μεθοδολογία-Λυμένα Παραδείγματα-Προτεινόμενες Ασκήσεις

Κώστας Κουτσοβασίλης

Τάξη Γ Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Μιγαδικοί Αριθμοί Θεωρία-Μεθοδολογία Λυμένα Παραδείγματα Προτεινόμενες Ασκήσεις  Το σύνολο C των Μιγαδικών Αριθμών  Πράξεις στο σύνολο Cτων Μιγαδικών  Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

1

Συνοπτική Θεωρία Ονομασία

Παρατηρήσεις

Ορισμού ή

Γεωμετρική Ερμηνεία

Διατύπωση-Απόδειξη

Θεωρήματος Το Σύνολο C των Μιγαδικών Αριθμών

Μιγαδικός Αριθμός

Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του συνόλου IR των πραγματικών αριθμών, στο οποίο:  Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού έτσι, ώστε να έχουν τις ίδιες ιδιότητες όπως και στο IR, με το μηδέν (0) να είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το ένα (1) το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού,  Υπάρχει ένα στοιχείο i τέτοιο, ώστε i2 =-1  Κάθε στοιχείο z του C γράφεται κατά μοναδικό τρόπο με τη μορφή z    i , όπου ,  IR. Είναι κάθε αριθμός της μορφής

z    i ,με ,  IR και i2 =-1 Ο  λέγεται πραγματικό μέρος του z και σημειώνεται Re(z) , ενώ ο  λέγεται φανταστικό μέρος του z και σημειώνεται Im( z ) . Παρατηρήσεις: 1. Στο C κάθε πραγματικός αριθμός  εκφράζεται ως   0i , ενώ κάθε φανταστικός αριθμός  i εκφράζεται ως 0  i .

http:// perikentro. blogspot.gr

-1-

Γνωρίζουμε ότι η εξίσωση x2=-1 δεν έχει λύση στο IR. Για να ξεπεράσουμε αυτή την αδυναμία ¨μεγαλώσαμε¨ το σύνολο IR σε ένα σύνολο C, ώστε να έχει τις ίδιες πράξεις με το IR, τις ίδιες ιδιότητες και στο οποίο να υπάρχει ένα στοιχείο i τέτοιο ώστε i2=-1

Το σύνολο των φανταστικών αριθμών συμβολίζεται με το γράμμα Ι, δηλαδή Ι=  i /   IR

z=α+βi Re(z)=α

Im(z)=β

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

2. Το σύνολο C έχει ως στοιχεία όλους τους πραγματικούς αριθμούς Άρα κάθε πραγματικός είναι και μιγαδικός αριθμός . Μιγαδικός Αριθμός

Ισότητα Μιγαδικών Αριθμών .

Γεωμετρική Παράσταση Μιγαδικών.

Σχόλιο: Έστω ο μιγαδικός z=α+βi, α,β IR Ο z είναι πραγματικός αριθμός αν και μόνο αν β=0 δηλαδή Im(z)=0 O z είναι φανταστικός αριθμός αν και μόνο αν α=0 δηλαδή Re(z)=0 Αν z1=α+βi και z2=γ+δi με α,β,γ,δ IR τότε οι δυο αυτοί μιγαδικοί είναι ίσοι αν: α=γ και β=δ ή αλλιώς Re(z1)=Re(z2) και Im(z1)=Im(z2) Δηλαδή ισχύει:   i    i     και    . Ειδικά ισχύει: z=0  Re(z)=0 και Im(z)=0 Σε κάθε μιγαδικό z=α+βi μπορούμε να αντιστοιχίσουμε το σημείο Μ(α, β) ενός καρτεσιανού επιπέδου και αντίστροφα σε κάθε σημείο Μ(α,β) ενός καρτεσιανού επιπέδου μπορούμε να αντιστοιχίσουμε το μιγαδικό z=α+βi. Το σημείο Μ λέγεται εικόνα του μιγαδικού z και συμβολίζεται Μ(z).

Παρακάτω όταν λέμε ¨ο μιγαδικός z=α+βi¨ θα εννοούμε ότι α,β  IR.

z=α+0i z=0+βi Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών δεν έχει νόημα η διάταξη δηλαδή δεν γράφουμε z1>z2 ή z1<z2. Γράφουμε μόνο z1=z2 ή z1  z2

y

β

Ο

M(α,β) ή Μ(z)

α

x

▪Επειδή η εικόνα ενός μιγαδικού , είναι ένα σημείο ,  Ένα επίπεδο του οποίου τα σημεία όταν έχουμε δυο μιγαδικούς , είναι εικόνες μιγαδικών αριθμών έχουμε δυο σημεία και η ονομάζεται μιγαδικό επίπεδο. μοναδική «σύγκριση» μεταξύ  Αν z  IR τότε η εικόνα του είναι σημείων είναι να εξετάσουμε αν αυτά ταυτίζονται , δηλαδή αν της μορφής Μ(α,0) άρα Im(z)=0 . δυο μιγαδικοί είναι ίσοι . Δεν  Αν z  I τότε η εικόνα του είναι μπορούμε να «πούμε » ότι ένα της μορφής Μ(0,β) άρα Re(z)=0 σημείο είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από ένα άλλο σημείο  Ένας μιγαδικός z=α+βi ▪Στο σύνολο των μιγαδικών παριστάνεται επίσης και με την δεν έχει νόημα η έννοια 

διανυσματική ακτίνα O , του σημείου Μ(α,β).  Ο άξονας x x λέγεται πραγματικός άξονας  Ο άξονας y y λέγεται φανταστικός άξονας. http:// perikentro. blogspot.gr

-2-

θετικός ή αρνητικός μιγαδικός Έστω ότι i>0 , τότε -1=i2= i  i >0 άτοπο. Έστω ότι i<0 , τότε i<0  i  0 άρα -1= (-i)(-i)>0 άτοπο ▪ Όταν z>0 ή z<0 τότε Im(z)=0 και Re(z)>0 ή Re(z)<0

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Πράξεις στο Σύνολο C των Μιγαδικών

Μιγαδικοί Αριθμοί

Έστω οι μιγαδικοί : z1     i, z 2    i, , ,  ,   IR Πρόσθεση : z1  z 2     i    i  (   )  (  )i Αφαίρεση : z1  z 2     i  (   i)  (   )  (  )i Πολλαπλασιασμός : z1  z 2  (  i)  (   i)  (α - βδ)  (α  βγ)i z Διαίρεση : (Για να εκφράσουμε το πηλίκο 1 , z 2  0 z2 στη μορφή κ+λi πολλαπλασιάζουμε τους όρους του κλάσματος με τον συζυγή του παρονομαστή)

Οι ιδιότητες των πράξεων που ισχύουν στο IR ισχύουν και στο C.

z1    i (   i)(   i) (  )  (  )i     z 2   i (   i)(   i)  2  2 (  ) (  )i  2  2  2   2

Γεωμετρική  Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των Ερμηνεία μιγαδικών z 1     i , z 2    i , α, β, γ, δ  R της είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων Πρόσθεσης τους . Απόδειξη: Αν 1 (, ) και  2 ( , ) είναι οι εικόνες των α+βi και γ+δi αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο τότε το άθροισμα   i    i  (   )  (  )i παριστάνεται με το σημείο M (   ,   ) . 



y M(α+γ,β+δ) M2(γ,δ)

M1(α,β) Ο

x



Επομένως    1   2 Γεωμετρική  Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των Ερμηνεία μιγαδικών z 1     i , z 2    i , α, β, γ, δ  R της είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους . Αφαίρεσης Απόδειξη: Αν 1 (, ) και  2 ( , ) είναι οι εικόνες των α+βi και γ+δi αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο, τότε η διαφορά (   i)  (   i)  (   )  (  )i παριστάνεται με το σημείο M (   ,   ) . 



y

Μ2(γ,δ)

Μ1(α,β) Ο

x Ν(αγ,βδ)

Μ3(γ,δ)



Επομένως    1   2 http:// perikentro. blogspot.gr

-3-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

Συζυγής Αν z=α+βi τότε συζυγής του z λέγεται μιγαδικού ο μιγαδικός α-βi και συμβολίζεται z , δηλαδή z    i .  Για δύο συζυγείς μιγαδικούς αριθμούς z    i και z     i μπορούμε εύκολα, με εκτέλεση των πράξεων, να διαπιστώσουμε ότι:

z  z  2 z  z  2 i Ιδιότητες των συζυγών μιγαδικών :

 Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες M (, ) και M(,) δύο συζυγών μιγαδικών z    i και z     i είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα. y

 Αν z1     i και z 2    i είναι δυο μιγαδικοί αριθμοί, τότε: 

z1  z 2  z1  z 2 (1)



z1  z 2  z1  z 2

M(z)

Ο

x

M( z )



z1  z 2  z1  z 2



 z1  z1     z 2  z2

Απόδειξη της (1).

z1  z 2  (   i)  (   i)  (   )  (  )i  (   )  (  )i  (  i )  (   i)  z1  z 2 Επίσης ισχύουν:

z1  z 2  ...  z   z1  z 2  ...  z  z1  z 2  ...  z   z1  z 2  ...  z 

z   z 



Δύναμη Οι δυνάμεις μιγαδικών αριθμών με εκθέτη Μιγαδικού ακέραιο ορίζονται ακριβώς όπως και στους πραγματικούς αριθμούς. Δηλαδή αν z  C ,ορίζουμε: z0=1 (z  0 ) z1=z  z 2= z  z http:// perikentro. blogspot.gr

-4-

Ιδιότητες δυνάμεων στο IR με εκθέτη ακέραιο.           :             () 

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Δυνάμεις του i

Μιγαδικοί Αριθμοί

 z   z  1  z για κάθε ν  IN με ν  2 1 Αν z  0 ορίζουμε z    για κάθε z ν IN * Για τις δυνάμεις των μιγαδικών αριθμών ισχύουν οι ίδιες ιδιότητες που ισχύουν και για τις δυνάμεις των πραγματικών αριθμών Είναι: i0=1 i4=(i2)2=1 i1=i i5=i4i=i2=i i2=-1 i6=i5i=ii=i2=-1 i3=i2i=-i i7=i6i=-1i=-i i8=i7i=-ii=-i2=1 κ.τ.λ Παρατηρούμε ότι οι δυνάμεις του i μετά το i4 επαναλαμβάνονται μέχρι το i8, και αν προχωρήσουμε μέχρι το i12 η επανάληψη θα συνεχιστεί.κ.ο.κ Επειδή οι διαφορετικές δυνάμεις του i είναι τέσσερις , για τον υπολογισμό του iν (ν>4) θεωρούμε την Ευκλείδεια διαίρεση του ν με το 4 και εκφράζουμε το ν στη μορφή ν=4ρ+υ, όπου υ το υπόλοιπο της διαίρεσης Έχουμε: iν=i4ρ+υ=(i4)ρiυ=1iυ=iυ οπότε

1 i   i   1  i

   0 ή



       

 

 

  

Παράδειγμα: i2010=(i2)1005= (-1)1005=-1 Ή 2010

4

2 502 Είναι 2010= 4  502  2 Άρα i2010=i=-1

  4

   1 ή   4  1    2 ή   4  2 

  3 ή   4  3

 Δυνάμεις του –i Είναι (-i)ν=(-i)4ρ+υ=(-i)4ρ(-i)υ=(-i)υ οπότε:

1  i   (i )    1  i http:// perikentro. blogspot.gr

   0 ή

  4

   1 ή   4  1    2 ή   4  2 

  3 ή   4  3

-5-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

Σχόλιο: Αν θέλουμε να βρούμε τη μορφή του ν , ν N ώστε το iν ή το (-i)ν να παίρνει μια από τις τιμές : 1,-1,i, -i τότε π.χ για το iν χρησιμοποιούμε τις ισοδυναμίες:  i   1    4

i   1    4  2  i   i    4  1

i   i    4  3

Παράδειγμα: Αν i5ν+1=i να βρεθεί ο ν N Είναι: i5ν+1=i  i5νi=i  i5ν=1  (i5)ν=1  iν=1  ν=4ρ, ρ N

 Δυνάμεις της μορφής (α+βi)ν Είναι:  (α+βi)2=α2-β2+2αβi

Παράδειγμα: (1-i)17=(1-i)16(1-i)= [(1-i)2]8(1-i)= (-2i)8(1-i)= 256(1-i)=256-256i

 (α+βi)3=α3-3αβ2+(3α2β-β3)i

Επίλυση της εξίσωσης Η εξίσωση :αz2+βz+γ=0, α,β,γ IR με τη μέθοδο συμπλήρωσης αz2+βz+γ=0, τετραγώνων , γράφεται : α,β,γ IR ,   z 2   z    0  z 2  z   0  α 0  

    z    z2  2 z    2 2 2      z2  2 z 2   2  2  4 4 z2 

2

  2  4    2 (1) με Δ=β2-4αγ z    2 2  4 4  α) Αν Δ>0 τότε η εξίσωση (1) έχει δυο ρίζες: z1, 2 

  2

β) Αν Δ=0 τότε η εξίσωση (1) έχει μια διπλή ρίζα : z1, 2  

 2 2

 (1)( ) i 2 (   ) 2  i     , η γ) Αν Δ<0 τότε επειδή :     2  4 2 4 2 ( 2 ) 2  

http:// perikentro. blogspot.gr

-6-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί 2

Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού

2 i       . Άρα οι λύσεις είναι : εξίσωση (1) γράφεται  z     2  2     i  z1,2  .

2 Παρατήρηση : Ισχύουν οι τύποι:   z1  z 2   και z 1 z 2    y Έστω M( x, y ) η εικόνα του μιγαδικού z  x  yi στο μιγαδικό M(x,y) β επίπεδο. Ορίζουμε ως μέτρο του z |z | την απόσταση του M από την αρχή O , δηλαδή Ο

2

| z |  | OM |  x  y

α

x

2

Παρατηρήσεις

Ιδιότητες 

| z |  | z |  | z |



1. Αν θέλουμε να βρούμε το μέτρο ενός μιγαδικού | z |2  z  z z , τότε: | z1  z 2 |  | z1 |  | z 2 | και γενικά α. Γράφουμε τον z στη μορφή z=α+βi , οπότε | z1  z 2  ...  z  || z1 |  | z 2 | .... | z  | , |z|=  2   2 ν 2



| z  || z |







z1 | z1 |  z2 | z2 | || z1 |  | z 2 | |  | z1  z 2 |  | z1 |  | z 2 |  Αν z  C να | z |  | z |  | z |

αποδείξετε

ότι:

β. Αν ο z δίνεται σε μορφή παράστασης που περιέχει γινόμενα ή πηλίκα ή δυνάμεις μιγαδικών τότε εφαρμόζουμε τις ιδιότητες των μέτρων.

2.Αν έχουμε ισότητα της μορφής |f(z)|=|g(z)| (1) Απόδειξη: και θέλουμε να βρούμε Έστω z  x  yi , x,y  IR τότε το |φ(z)|, τότε θέτουμε z  x  yi και  z   x  yi . Eπομένως φ(z)=w, λύνουμε ως προς z και αντικαθιστούμε | z | x 2  y 2 (1) στην (1) οπότε βρίσκουμε το |w|.

2 2 2 2 | z |  x  ( y)  x  y (2) 3.Αν θέλουμε να http:// perikentro. blogspot.gr

-7-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

|  z | ( x ) 2  ( y ) 2  x 2  y 2 (3) Επειδή τα δεύτερα μέλη των σχέσεων (1),(2),(3) είναι ίσα έχουμε

| z |  | z |  | z |  Αν z  C | z |2  z  z

να

αποδείξετε

λύσουμε μια εξίσωση με άγνωστο το μιγαδικό z και περιέχει το συζυγή του z ή το |z| , τότε θέτουμε z=x+yi και αντικαθιστούμε στην εξίσωση.

ότι: 4. Αν z=w τότε |z|=|w| το αντίστροφο δεν ισχύει.

Απόδειξη: Έστω z  x  yi , x,y  IR τότε z  x  yi Είναι

x

 x

Αν έχουμε ισότητα μιγαδικών με «μεγάλους» ή «άγνωστους » εκθέτες , z  z  ( x  yi)(x  yi)  τότε (2) 2 2 2 2 x  ( yi)  x  y ( συνήθως) μας συμφέρει από ισότητα μιγαδικών να Από τις σχέσεις (1) , (2) προκύπτει: πηγαίνουμε σε ισότητα | z |2  z  z μέτρων.

| z |2 

2

 y2

2

2

 y 2 (1)

 Αν z1 ,z2  C να αποδείξετε ότι: | z1  z 2 |  | z1 |  | z 2 | Απόδειξη:

| z1  z 2 |  | z1 |  | z 2 |  | z1  z 2 |2  | z1 |2  | z 2 |2

 (z1  z 2 )(z1  z 2 )  z1  z1  z 2  z 2  z1  z 2  z1  z 2  z1  z1  z 2  z 2 Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι ίσο με την

Δηλαδή αν Μ 1 ,Μ 2 είναι οι εικόνες των μιγαδικών z 1 , z 2 αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο ισχύει: (Μ 1 Μ 2 )=|z1 -z2 | Απόδειξη:

http:// perikentro. blogspot.gr

-8-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

απόσταση των εικόνων τους.

Μιγαδικοί Αριθμοί

1 oς τρόπος:

y M2(z2)

Από το διπλανό σχήμα έχουμε: 







M1(z1)

 2  1   Άρα |  2 1 ||  | x

Ο

Οπότε (Μ 1 Μ 2 )=|z 1 -z 2 | N(z1 z2 ) M3(z2)

2 oς τρόπος: Έστω z 1 =x+yi, z 2 =α+βi, x,y,α,β  IR και M 1 (x,y) ,M 2 (α,β) οι εικόνες τους στο μιγαδικό επίπεδο. Είναι |z 1 -z 2 |=|(x+yi)-(α+βi)|=|(x-α)+(y-β)i| = ( x   ) 2  ( y  ) 2  (  1  2 ) . Η εξίσωση |z-z0 |=ρ ,ρ>0 παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο Κ(z0 ) και ακτίνα ρ Η εξίσωση |z-z1 |=|zz2 |(1)

παριστάνει τη μεσοκάθετ ο του τμήματος με άκρα τα σημεία Α(z1 ) και Β(z2 )

Απόδειξη: Έστω z=x+yi και x,y,x0 ,y0  IR Είναι |z-z 0 |=ρ  |(x+yi)-(x0 +y0 i)|=ρ  |(x-x0 )+(y-y0 )i|=ρ

z 0 =x0 +y0 i,

 (x  x 0 ) 2  ( y  y 0 ) 2    (x-x0 )2 +(y-y0 )2 =ρ 2 Άρα κύκλος με κέντρο Κ(x0 ,y0 ) και ακτίνα ρ Απόδειξη: Από το διπλανό σχήμα έχουμε; (ΑΜ)=|z-z 1 | (ΒΜ)=|z-z 2 | Επειδή |z-z 1 |=|z-z 2 | από την (1) έχουμε (ΑΜ)=(ΒΜ) δηλαδή το Μ ανήκει στη μεσοκάθετο του τμήματος ΑΒ

http:// perikentro. blogspot.gr

-9-

y

M(z)

B(z 2) A(z1)

Ο

x

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

Μέγιστη και ελάχιστη τιμή: Έστω Μ, Ν ,Λ οι εικόνες των μιγαδικών z, z1,z2 στο μιγαδικό επίπεδο α). Αν το σημείο Μ διατρέχει μια ευθεία ε τότε min|z|=(ΟM) =d(Ο,ε)

min|z-z1|=(NΜ)=d(N,ε) y

y

ε

Ν

Μ

Μ

Ο

Ο

χ

χ

β). Αν το σημείο Μ διατρέχει έναν κύκλο (Κ,ρ) τότε: min|z|=(OA)=|(OK)-ρ| max|z|=(OB)=|(OK)+ρ|

min|z-z1|=(NA)=|(KN)-ρ| max|z-z1|=(ΝΒ)=|ΚΝ+ρ| y

y

B B

K

ρK

A

Ν

ρ A

Ο

Ο

χ

χ

γ).Αν τα σημεία Ν ,Λ διατρέχουν δυο ευθείες ε1,ε2 παράλληλες τότε ε1 min|z1-z2|=d(ε1,ε2) d ε2

δ). Αν τα σημεία Ν ,Λ διατρέχουν ένα κύκλο τότε max|z1-z2|=2ρ

Ν ρ Κ Λ

http:// perikentro. blogspot.gr

- 10 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

ε). Αν τα σημεία Ν ,Λ διατρέχουν την ευθεία ε και τον κύκλο (Κ,ρ) τότε min|z1-z2|=(AB)=|d(K,ε)-ρ| Β ρ

Α

Κ ε

στ). Αν τα σημεία Ν ,Λ διατρέχουν δυο κύκλους (Κ,ρ) και (Π,R) με (ΚΠ)>ρ+R τότε min|z1-z2|=(BΓ)=(ΚΠ)-ρ-R max|z1-z2|=(ΑΔ)=(ΚΠ)+ρ+R Α

http:// perikentro. blogspot.gr

- 11 -

Π

R Β

Γ

Κ

Δ

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

Μεθοδολογία

Λυμένα Παραδείγματα

Προτεινόμενες Ασκήσεις

http:// perikentro. blogspot.gr

- 12 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

1

Μεθοδολογία Ονομασία

Μιγαδικοί

Περιγραφή Μεθόδου  Πραγματικό και φανταστικό μέρος μιγαδικού αριθμού : z  x  yi  Re(z )  Im(z)i , z  z  2 Re(z ) , z  z  2 Im(z)i

πραγματικοί  z  IR  Im( z)  0 , φανταστικοί  z  I  Re(z )  0 ,

z  IR  z  z ,

z  IR | z |2  z 2

z  I  z  z ,

z  I | z |2   z 2

 Για να αποδείξουμε ισότητες που περιέχουν το πραγματικό (Re(z)) και το φανταστικό μέρος (Im(z)) ενός μιγαδικού : α. Πολλαπλασιάζουμε με 2 ή 2i κατά περίπτωση ώστε να έχουμε2Re(z) ή 2iIm(z) β. Αντικαθιστούμε σύμφωνα με τους τύπους _

_

2 Re( z)  z  z , 2iIm(z)  z - z

Συζυγείς Μιγαδικοί

Προσδιορισμός παραμέτρων ώστε δυο μιγαδικοί να είναι συζυγείς .

1.Γράφουμε του μιγαδικούς , έστω z και w , σε κανονική μορφή  Re(z)  Re( w ) 2.Λύνουμε το σύστημα  Im(z )   Im( w )

Τέχνασμα με Πολλές φορές είναι χρήσιμο τον μιγαδικό z=α+βi να τον γράφουμε στη μορφή το 1=-i2 2 z=α+βi=-i α+βi=i(β-αi)

2

z 2  z  ( z  z ) 2  2z z

3

z 3  z  (z  z) 3  3z z (z  z)

 z 2  z  ( z  z ) 2  2z z

2

Ταυτότητες  z 3  z  (z  z) 3  3z z (z  z)

Επίλυση Εξισώσεων

3

 Όταν έχουμε μια εξίσωση της μορφής f (z, z )  0 δηλαδή να περιέχει τους z και z θέτουμε z=x+yi , x,y IR οπότε θα προκύπτει ένα σύστημα ως προς x,y το οποίο και θα λύνουμε.

http:// perikentro. blogspot.gr

- 13 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

 Αν η εξίσωση περιέχει μόνο το z και είναι 1ου βαθμού τη λύνουμε όπως στο IR  Αν είναι 2ου βαθμού τότε αν Δ<0 έχει δυο ρίζες συζυγείς.

zν=1

 Λύση δευτεροβάθμιων εξισώσεων στο C ειδικής μορφής . Η ισότητα α2+β2=0 γράφεται α2+1β2=0  α2-i2β2=0  (α-iβ)(α+iβ)=0  Γενικά z 2  w 2  0  z  iw v  Αν z  1 ,τότε ο φυσικός αριθμός ν λέγεται περίοδος του μιγαδικού z v  Σε ασκήσεις που εμφανίζεται ο όρος z  1 , συνήθως , μας συμφέρει τους εκθέτες του z να τους εκφράζουμε , συναρτήσει του ν .

3 3 2 2  Χρήση των ταυτοτήτων α) z  w  ( z  w )(z  zw  w ) β) z 3  w 3  (z  w )(z 2  zw  w 2 ) Αν έχουμε μια παράσταση της μορφής z 2  zw  w 2 =0 τότε πολλαπλασιάζουμε όλα τα μέλη με z+w οπότε έχουμε (z  w )(z 2  zw  w 2 )  0  z 3  w 3  0

Αν στην εκφώνηση της άσκησης μας δίνεται : ο w είναι Μιγαδικός πραγματικός αν και μόνο αν f(z)=.. Πραγματικός Τότε αυτό που πρέπει να κάνουμε είναι : με δεδομένο ότι w  IR να δείξουμε με ισοδυναμίες ότι :f(z)=.. ή Οπότε επειδή w  IR έχουμε Im(w )  0  w  w  0  w  w Φανταστικός και ξεκινάμε με την ισότητα : w  w  ... Αντίστοιχα αν w  I έχουμε Re(z )  0  w  w  0  w   w ξεκινάμε με την ισότητα w  w  .... και καταλήγουμε στην επιθυμητή σχέση .

Μέτρο μιγαδικού

 Όταν ζητείται το μέτρο ενός μιγαδικού ή το μέτρο μιας παράστασης τότε: α. Φέρνουμε τον μιγαδικό ή την παράσταση στην μορφή z=x+yi οπότε υπολογίζουμε το μέτρο που είναι x 2  y 2 β. Όταν η παράσταση προσφέρεται εφαρμόζουμε τις ιδιότητες του μέτρου.  Αν στην υπόθεση δίνεται |z|=1 τότε | z |2  1  z  z  1  Αν η υπόθεση ή το συμπέρασμα είναι σχέση μεταξύ μέτρων μιγαδικών ,υψώνουμε και τα δυο μέλη στο τετράγωνο και

http:// perikentro. blogspot.gr

- 14 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

χρησιμοποιούμε την ιδιότητα | z |2  z z  Όταν ζητείται να λυθούν εξισώσεις ή ανισώσεις που περιέχουν μέτρα μιγαδικών

Μέτρο μιγαδικού

α. Θέτουμε z=x+yi , εφαρμόζουμε τον ορισμό του μέτρου και οδηγούμαστε σε άρρητες εξισώσεις με αγνώστους x,y IR τους οποίους προσδιορίζουμε. β. Υψώνουμε στο τετράγωνο και κάνουμε χρήση της ιδιότητας | z |2  z z γ. Μπορούμε να λύσουμε γεωμετρικά τις εξισώσεις –ανισώσεις κάνοντας χρήση της γεωμετρικής ερμηνείας του μέτρου  Αν έχουμε ισότητα της μορφής |f(z)|=|g(z)| (1) και θέλουμε να βρούμε το |φ(z)|, τότε θέτουμε φ(z)=w, λύνουμε ως προς z και αντικαθιστούμε στην (1) οπότε βρίσκουμε το |w|.  Αν z=w τότε |z|=|w| το αντίστροφο δεν ισχύει. Αν έχουμε ισότητα μιγαδικών με «μεγάλους» ή «άγνωστους » εκθέτες , τότε ( συνήθως) μας συμφέρει από ισότητα μιγαδικών να πηγαίνουμε σε ισότητα μέτρων.  Όταν ζητείται η μέγιστη ή ελάχιστη τιμή του μέτρου |f(z)|, χρησιμοποιούμε την τριγωνική ανισότητα || z1 |  | z 2 | |  | z1  z 2 |  | z1 |  | z 2 | ή τη γεωμετρική ερμηνεία του μέτρου του μιγαδικού.

Ισόπλευρο τρίγωνο

Πυθαγόρειο θεώρημα

 Επειδή μέτρο της διαφοράς δυο μιγαδικών, μας δίνει την απόσταση των εικόνων τους στο μιγαδικό επίπεδο, για να δείξουμε ότι ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο, αν οι κορυφές Α,Β,Γ είναι εικόνες των μιγαδικών z1,z2,z3 αντίστοιχα οι οποίες δεν είναι συνευθειακά σημεία αρκεί να δείξουμε ότι: |z1-z2|=|z1-z3|=|z2-z3|.  Το μέτρο της διαφοράς δυο μιγαδικών z1, z 2  C μας δίνει την απόσταση των εικόνων τους στο μιγαδικό επίπεδο | z1  z 2 | (A) . Άρα αν έχουμε τη σχέση | z  3i |2  | z  3i |2 =36 (1) και Μ , Α(0,-3) ,B(0,3) οι εικόνες των z , 0-3i , 0+3i αντίστοιχα , τότε (MA) | z  3i | , (ΜΒ)=|z-3i| και (ΑΒ)2=36 οπότε η (1) γράφεται : (MA)2+(MB)2 =(AB)2 η οποία εκφράζει το πυθαγόρειο θεώρημα σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΜ με υποτείνουσα ΑΒ=6 .

http:// perikentro. blogspot.gr

- 15 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

Εικόνα Μιγαδικού- Γεωμετρικοί τόποι  Αν θέλουμε να βρούμε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του μιγαδικού : π.χ z=α+1+(α-2)i , τότε : η εικόνα του z είναι το σημείο M(α+1,α-2) , οπότε :  x    1   x  1  άρα ο γ.τ. της εικόνας του z είναι η  y    2 y  x  3   ευθεία : y=x-3

Γεωμετρικοί Τόποι

▪ Αν η εικόνα του μιγαδικού z=α+1+(α-2)i βρίσκεται στην ευθεία y=2x-1 τότε το σημείο M(α+1,α-2) βρίσκεται στην ευθεία y=2x-1 άρα α-2=2(α+1)-1.

▪ Μην ξεχνάτε ότι : ημ2x+συν2x=1 Γεωμετρικοί τόποι Αν έχουμε μια σχέση της μορφής w=f(z) και θέλουμε να βρούμε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του w , τότε συνήθως θέτουμε z=x+yi και φέρνουμε τον w στη μορφή w=α+βi οπότε αν θέλουμε i. ο w να είναι πραγματικός τότε : Im(w)=0 ii. o w να είναι φανταστικός τότε :Re(w)=0 και με τους κατάλληλους περιορισμούς προκύπτει γνωστός γεωμετρικός τόπος.

Γεωμετρικοί  Αν μας δίνουν μια σχέση της μορφής |z-z1|>|z-z2| με z1=α+βi , z2=γ+δi και ζητάνε να βρούμε το γεωμετρικό τόπο στον οποίο Τόποι βρίσκεται η εικόνα του z τότε Mετατρέπουμε την ανισότητα σε ισότητα |z-z1|=|z-z2| όποτε ο γ.τ. της εικόνας του z είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με Α(α,β) , Β(γ,δ) . Αν Μ η εικόνα του z τότε επειδή η σχέση |z-z1| παριστάνει την απόσταση της εικόνας του z από την εικόνα του z1 ισχύει |z-z1|=(ΜΑ) . Αντίστοιχα |z-z2|=(ΜΒ) . Άρα η σχέση |z-z1|>|z-z2| γράφεται (ΜΑ)>(ΜΒ) . Δηλαδή θέλουμε όλα εκείνα τα σημεία Μ των οποίων η απόσταση από το Α είναι μεγαλύτερη από την απόσταση τους από το Β . Όποτε ο γ.τ που ψάχνουμε είναι ,το ημιεπίπεδο που ορίζει η μεσοκάθετος στο ΑΒ και το σημείο Β

http:// perikentro. blogspot.gr

- 16 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

Βασικοί γεωμετρικοί τόποι ▪ Ευθεία που τέμνει τους άξονες : y=λx+β .

▪ Ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων : y=λx .

▪ Ευθεία παράλληλη στον άξονα x  x : y=y0.

▪ Ευθεία παράλληλη στον y  y :x=x0.

▪ Η εξίσωση του κύκλου στο επίπεδο είναι : (x-x0)2+(y-y)2=ρ2 ▪ Η γενική εξίσωση κύκλου είναι : x2+y2+Αx+Βy+Γ=0 (1) Για να είναι η (1) εξίσωση κύκλου πρέπει Α2+Β2-4Γ>0  A B Το κέντρο του κύκλου (1) είναι K   ,  και έχει ακτίνα  2 2

A 2  B 2  4  2 Έστω τα σημεία A ( x1 , y1 ) , B(x 2 , y 2 ) , Γ(x 3 , y 3 ) .

Συνευθειακά Σημεία





διάνυσμα  είναι AB  x 2  x1 , y 2  y1   Αν τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά τότε έχουμε : x 2  x1 y 2  y1    det AB,    0  0 x  x y  y   2 1 3 1

 Το

x 2  x1 y3  y1   x 2  x1 y 2  y1   0 

Έλλειψη

Υπερβολή

Εικόνα του μιγαδικού z=x+yi είναι το σημείο Μ(x,y)

 Η εξίσωση της έλλειψης στο μιγαδικό επίπεδο είναι: z  z1  z  z 2  2 , με z1 , z2 σταθερούς μιγαδικούς αριθμούς και α σταθερός θετικός πραγματικός αριθμός.  Η εξίσωση της υπερβολής στο μιγαδικό επίπεδο είναι: | z  z1 |  | z  z 2 |  2 με z1,z2 σταθερούς μιγαδικούς αριθμούς και α σταθερός θετικός πραγματικός αριθμός

http:// perikentro. blogspot.gr

- 17 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

Λυμένα Παραδείγματα Παράδειγμα 1: Να βρεθούν οι x,y IR , αν ισχύει: (x+i)2+(y+i)2=0 Λύση: ( x  i ) 2  ( y  i ) 2  0  x 2  2 xi  i 2  y 2  2 yi  i 2  0 

x 2  2 xi  1  y 2  2 yi  1  0  x 2  y 2  2  2( x  y)i  0   x 2  y 2  2  0  x 2  y 2  2 2 x 2  2  x  1ήx  1        x  y  2( x  y )  0  xy  xy Επομένως οι λύσεις του συστήματος είναι x=1 και y=-1 ή x=-1 y=-1 Σχόλιο: Αν z1,z2  C και z1  0ήz 2  0 τότε μπορεί να ισχύει: z12  z 22  0 Παράδειγμα 2: Να βρείτε τον μιγαδικό z για τον οποίο ισχύει: z=2Im(z)+(Re(z)-2)i Λύση: Έστω z=x+yi, x,y IR Είναι 2Ιm(z)=x και Re(z)-2=y Δηλαδή 2y=x (1) και x-2=y (2) Άρα από (1) ,(2) είναι 2y-2=y  y=2 Τότε από (2) έχουμε x=4 Επομένως: z=4+2i Παράδειγμα 3: Αν z=x+yi, x,y IR * α) να βρείτε το πραγματικό και φανταστικό μέρος του μιγαδικού w  z 

1 z

1 1 β) Να δείξετε ότι : Re(z  )  Re(z)  Re( ) z z Λύση: α).

1 x  yi x y w  x  yi   x  yi  2  x  yi   i x  yi x  y2 x2  y2 x 2  y2 x y (x  2 )  (y  2 )i 2 x y x  y2 Άρα Re(w)= x 

x y (1) και Im( w )  y  2 (2) 2 x y x  y2 2

http:// perikentro. blogspot.gr

- 18 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

1 1 x  yi x  yi x y    2   i z x  yi ( x  yi)( x  yi) x  y 2 x 2  y 2 x 2  y 2 1 x Τότε Re( )  2 (3) z x  y2

β). Είναι

(3) 1 ( ) x 1 Άρα: Re(z  )  Re(w )  x  2  Re(z)  Re( ) 2 z z x y

Παράδειγμα 4 :

 z   z   z   Να αποδείξετε την ισότητα Re   i Im   z  w  (1) z w z  w     Λύση: Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της (1) με 2 , οπότε γίνεται :  z   z   z   z   z       Re   i Im   2 Re   2i Im z w z  w z w z  w z  w          

 z   z  z z  z   z    2 2       z  w z  w z  w z  w z  w       zw z z z z z  z   z      2  2   2  , ισχύει . zw zw zw zw zw zw zw

Παράδειγμα 5. Δίνεται ο μιγαδικός z  ( x  i )( 2  i) 2 , x R α) Να γράψετε τον z στη μορφή α+βi β) Να βρεθεί ο x R ώστε ο μιγαδικός να είναι πραγματικός . γ) Να βρεθεί ο x R ώστε ο μιγαδικός να είναι φανταστικός . Λύση: α) z  ( x  i )( 2  i) 2  ( x  i )( 4  4i  i 2 )  ( x  i )( 4  4i  1)  ( x  i)(3  4i )  3x  4 xi  3i  4  (3x  4)  ( 4 x  3)i 3 β). Για να είναι πραγματικός πρέπει Im(z)=0  4 x  3  0  x   4 4 γ). Για να είναι φανταστικός πρέπει Re(z)=0  3x  4  0  x  3 Παράδειγμα 6. Να βρεθούν οι x,y  IR για τους οποίους οι μιγαδικοί z1  x 2  y  4i , z2  3  x 2 yi είναι συζυγείς . Λύση:





http:// perikentro. blogspot.gr

- 19 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

Για να είναι οι z 1 , z 2 συζυγής πρέπει

 x 2  y  3  y  3  x 2  y  3  x 2  y  3  x 2    4   2 2 2 4   x 2 (3  x 2 ) x  3 x  4  0  4   x y  4   x y   y  3  x 2 οπότε  2 2 x  1 ήx   4  y  3  4  y  3  1  y  4   ή 2 άρα (x,y)=(1,-4) ή (x,y)=(-1,-4)  2  x  1  x  4 αδύνατη  x 1

Παράδειγμα 7. Να υπολογίσετε την παράσταση : (3  3i)15 Λύση:



(3  3i)15  315 1  i 3



5



 315 13  3 12  i  3 1  i 2  i 3



5



315 1  3i  3  i 5  315  2  2i 5 



 315 (2) 5 (1  i) 5  315  2 5 1  i 4 (1  i )  315 2 5 1  i 2



 315  2 5 1  2i  i 2



2



2



 315  2 5 (1  2i  1) 2  315  2 5 2i 2 

 315  2 5  2 2 (1)  315  2 7 Παράδειγμα 8. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : Α= (x  yi) 2008  ( y  xi) 2008 . Λύση: Έχουμε ( y  xi ) 2008  (1  y  xi ) 2008  (i 2 y  ix ) 2008   i( x  yi)2008 

(i ) 2008 ( x  yi) 2008  i 2008 ( x  yi) 2008  i 4502 ( x  yi) 2008  ( x  yi) 2008 Οπότε (x  yi) 2008  ( y  xi) 2008  ( x  yi) 2008  (x  yi) 2008  0 . Παράδειγμα 9. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α=(1+i)2012-(1-i)2012 Λύση: 10ς τρόπος:



  (1  i) 2012  (1  i ) 2012  (1  i ) 2



1006



 (1  i) 2



1006

 (1  i 2  2i)1006  (1  i 2  2i)1006  21006  i1006  (2)1006  i1006  21006 i1006  21006 i1006  0

http:// perikentro. blogspot.gr

- 20 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

20ς τρόπος: Α=(1+i)2012-(1-i)2012=(-i2+i)2012-(1-i)2012=[i((-i+1)]2012-(1-i)2012=i2012(1-i)2012-(1-i)2012 =(i2)1006(1-i)2012-(1-i)2012=(1-i)2012-(1-i)2012=0 30ς τρόπος: Αν z=1-i τότε iz=i(1-i)=i-i2=i-(-1)=1+I, Επομένως Α=(1+i)2012-(1-i)2012=(iz)2012 –z2012=i2012z2012-z2012=(i2)1006z2012-z2012=0] 40ς τρόπος: Α=(1+i)2012-(1-i)2012=(1+i)2012-1(1-i)2012=(1+i)2012-i2012(1-i)2012=(1+i)2012-[i(1-i)]2012 =(1+i)2012-(1+i)2012=0

Παράδειγμα 10:

 x  i  Αν α,x  R να δείξετε ότι για κάθε ν  Ν ισχύει    1  xi  *

4v

 i  x     1  xi 

4v

 2.

Λύση:

 i  x     1  xi   x  i     1  xi  οπότε  x  i     1  xi 

4v

4v

4v

  x  i    1  xi   i  x     1  xi 

4v

4v

  1

 x  i     1  xi 

  i 2 x  i       1  xi 

 x  i  Άρα    1  xi 

4v

x  i     1  xi 

4v 

4v

 i  x     1  xi 

4v

 x  i     1  xi 

 x  i     1  xi 

 i(1  xi )    1  xi 

4v

4v

4v

4v

οπότε

 x  i   2 Re   1  xi 



 i 4v  i 4

 x  i   2 Re   1  xi 

4v

v

4v

 1v  1

4v

 2 Re(1)  2 1  2

Παράδειγμα 11: Έστω ο μιγαδικός z για τον οποίο ισχύει z 

1  1 . Δείξτε ότι z

z 3  1 και z 3v  2  z 6 v 1  1  0 . Λύση: 1 z   1  z 2  1   z  z 2  z  1  0  (z  1)  (z 2  z  1)  0 z

 z3  1  0  z3  1 έχουμε z 2  z  1  0 (1) και z 3  1 άρα

http:// perikentro. blogspot.gr

- 21 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

 

 

v

z 3v  2  z 6 v1  1  z 3v z 2  z 6 v z  1  z 3 z 2  z 3 (1)

2v

z 1 

.

1 z 2  1 z  1  0 Παράδειγμα 12: Να λύσετε την εξίσωση : (1  i)z  2  i  z  5  3i Λύση: Έστω z  x  yi , x, y  R τότε :

(1  i)z  2  i  z  5  3i  (1  i)( x  yi)  2i (x  yi)  5  3i  x  yi  xi  y  2 xi  2 y  5  3i  x  3y  xi  5  3iό x  3y  5 3  2 y  5  y  1   z  2i  x  3 x  3 x  2    Παράδειγμα 13: Να λυθεί η εξίσωση x 2  2() x  1  0 Λύση . Η εξίσωσης x 2  2() x  1  0 είναι δευτέρου βαθμού με πραγματικούς 2

συντελεστές    2   4  1  1  4 2  4  4(1   2)  4   2 <0  (2)  2i  x1    i x1,2   2 x 2    i Παράδειγμα 14: Αν μια ρίζα της εξίσωσης  2x 2  x    0 (1) με ,   R είναι ο μιγαδικός 1  2i , να βρείτε τα α,β . Λύση: Επειδή η εξίσωση  2x 2  x    0 έχει πραγματικούς συντελεστές και μια ρίζα της εξίσωσης είναι ο μιγαδικός z1  1  2i , έχουμε ότι και ο z1  1  2i είναι ρίζα της (1) . Οπότε   z1  z1    1  2i  1  2i     4 2 2    z1  z1   (1  2i)  (1  2i)   1  4     10 . 2 2 2 Παράδειγμα 15: Να λυθεί η εξίσωση z4=1 Λύση: z 4  1  (z 2 ) 2  1  0  (z 2  1)(z 2  1)  0  (z  1)(z  1)(z 2  1)  0 Άρα z=1 ή z=-1 ή z=i ή z=-i http:// perikentro. blogspot.gr

- 22 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

Παράδειγμα 16: Να λυθεί η ανίσωση : z 2  4z  8  0 . Λύση: Έστω z  x  yi , x, y  R τότε

z 2  4z  8  0  x  yi 2  4( x  yi)  8  0  x 2  2 xyi  y 2  4 x  4 yi  8  0 





 x 2  y 2  4 x  8  2 xy  4 y i  0 , (1) Για να έχει νόημα η (1) πρέπει :  x 2  y 2  4 x  8  0 x 2  y 2  4 x  8  0 x 2  y 2  4 x  8  0           2 xy  4 y  0  2 y( x  2)  0  y0 ήx 2    οπότε x 2  y 2  4 x  8  0 x 2  4 x  8  0  έχουμε x 2  4 x  8  0 ,   16  0 οπότε  y0 y0   x 2  4 x  8  0 για κάθε x  R . Άρα (x , y)  (x ,0) , x  R και  x 2  y 2  4 x  8  0 2 2  y 2  4  2  8  0  y 2  4  2  y  2     x2 x2  x2   x2

Παράδειγμα 17: Αν z, w  C να δείξετε ότι : α) ο αριθμός   z  w  w  z είναι πραγματικός iz iz β) ο αριθμός    είναι φανταστικός . w w Λύση: α).   z w  w z  z w  w z  zw  wz   , άρα α IR β).

 iz iz  iz iz  iz  iz  iz iz                 άρα β  w w w w w w w w

Παράδειγμα 18: Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός z είναι πραγματικός ,αν και μόνο αν, ο w 

z 3 z3

είναι πραγματικός Λύση:

http:// perikentro. blogspot.gr

- 23 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

z 3 z 3   (z  3)(z  3)  (z  3)(z  3)  z3 z3 z z  3z  3z  9  z z  3z  3z  9  z  z  z  IR w  IR  w  w 

Παράδειγμα 19: Αν α,β IR και ν IN * να δειχτεί ότι ο (α+βi)2ν+1  I , αν και μόνο αν, ο (β+αi)2ν+1  IR . Λύση: Αφού (α+βi)2ν+1  I θα είναι (α+βi)2ν+1 =κi 2 1ό

 i(  i) 2 1  i  i 2 1 (  ) 2  1  i   i(  i ) 2  1    Δηλαδή (β-αi)2ν+1  IR οπότε και ο συζυγής του (β+αi)2ν+1  IR .

Παράδειγμα 20: Να δειχθεί ότι οι μιγαδικοί z=(κ+1)+(2κ-1)i ανήκουν σε ευθεία ε και να βρεθεί η εικόνα του μιγαδικού που βρίσκεται πλησιέστερα στην αρχή των αξόνων. Λύση: Είναι z=(κ+1)+(2κ-1)i  x+yi=(κ+1)+(2κ-1)i . Έχουμε: x   1   x 1   y  2x  3 Άρα ε: y=2x-3 y  2  1 y  2( x  1)  1 1 Είναι ΟΜ  ε        1      2 1 Άρα ΟΜ: y=- x .

2 y  2x  3 6 3 Από τη λύση του συστήματος 1 βρίσκουμε ότι x= , y=  y x 5 5 2 Άρα ο μιγαδικός που βρίσκεται πλησιέστερα στην αρχή των αξόνων είναι ο 6 3 z=  i 5 5 y

3/2

O

χ

M

-3

Παράδειγμα 21: Αν η εικόνα του μιγαδικού z=α-1-2βi ,α,β IR κινείται στην ευθεία ε: y=x-2 να βρείτε που κινείται η εικόνα του w=-i z  1  i Λύση: Η εικόνα του z είναι το σημείο Μ(α-1,-2β). Επειδή το σημείο Μ κινείται στην ευθεία ε έχουμε: -2β=α-1-2  2β=3-α (1) Είναι: w=-i z  1  i =-i(α-1+2βi)+1-i=2β+1-αi Άρα η εικόνα του w είναι το σημείο Ν(1+2β,-α). Έστω Ν(x,y) . Έχουμε; x  1  2 (1) x  1  3   x 4 4x      y  4  x  y  x  4 y   y   y   y Άρα η εικόνα του w κινείται στην ευθεία η: y=x-4 http:// perikentro. blogspot.gr

- 24 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

Παράδειγμα 22:

1 1 Δίνονται οι μιγαδικοί z και w=  . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων z z των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: Re(w)=1. Λύση: Έστω z=x+yi 1 1 z  z x  yi  x  yi 2x Είναι : w=  =   2 οπότε έχουμε z z zz ( x  yi)( x  yi) x  y 2 2x Re(w)=1  2  1  x 2  y 2  2 x  0 . Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος 2 x y με κέντρο Κ(1,0) και ακτίνα ρ=1. (εξαιρείται το σημείο Ο(0,0))

Παράδειγμα 23: Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους οι εικόνες των μιγαδικών z, z  i, z  1  2i είναι σημεία συνευθειακά. Λύση: Αν z=x+yi με εικόνα Α(x,y) τότε z  i =(x-yi)i=y+xi με εικόνα Β(y,x) και z  1  2i =x-yi-1+2i =(x-1)+(2-y)i με εικόνα Γ((x-1),(2-y)). Είναι Α ,Β ,Γ συνευθειακά άρα     yx xy AB// A  det(AB, A)  0   0  ( y  x )(2  2 y)  x  y  0 x 1  x 2  y  y  ( x  y)(2 y  2  1)  0 από όπου προκύπτουν οι ευθείες: 1 ε1: y=x και ε2: y= 2 (Μπορούμε να δουλέψουμε και με συντελεστές διεύθυνσης)

Παράδειγμα 24: Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει 1 η ισότητα: Re(z  )  2 Im(z  i) z Λύση: Πρέπει z  0 . Eστω z=x+yi 1 1 x  yi x y Είναι z   x  yi   x  yi  2  x  yi   i z x  yi x  y2 x 2  y2 x 2  y2 x y (x  2 )  ( y  )i x  y2 x2  y2 Επίσης z  i  (x  yi)i  y  xi . Αρα 1 x x Re(z  )  2 Im(z  i)  x  2  2 x   x  x ( x 2  y 2  1)  0 2 2 2 z x y x y http:// perikentro. blogspot.gr

- 25 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

 x=0 ( y y ) ή x2+y2=1 κύκλος κέντρου Ο(0,0) , ρ=1 , εκτός του σημείου Ο(0,0). Παράδειγμα 25: Δίνεται η εξίσωση : z2-2(1+συν2α)z+2(1+συν2α)=0, α IR α). Να λυθεί η εξίσωση β). Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των ριζών της. Λύση: α). Είναι: Δ=4(1+συν2α)2-8(1+συν2α)=-4ημ22α  0 Τότε: z1,2=1+συν2α  ημ2α  i

 x  1   2  2  x  1 β). Αν z1=x+yi τότε:    y   2   2  y Είναι: συν22α+ημ22α=1  (x-1)2+y 2=1

 x  1   2  2  x  1 Αν z2=x+yi τότε:    y   2   2   y Είναι: συν22α+ημ22α=1  (x-1)2+(-y )2=1  (x-1)2+y 2=1 Επομένως ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο Κ(1,0) και ακτίνα ρ=1 Παράδειγμα 26: Αν |z1|=|z2|=|z3|=α>0 με z1  z 2  z 3 και z1+z2+z3=0 να δείξετε ότι : |z1-z2|=|z2-z3|=|z3-z1| . Δώστε γεωμετρική ερμηνεία Λύση: 1ος Τρόπος: με τη βοήθεια της γεωμετρική ερμηνείας . Έστω Α,Β,Γ οι εικόνες των μιγαδικών : z1 , z 2 , z 3 αντίστοιχα τότε από τη σχέση : z1  z 2  z 3    0 συμπεραίνουμε ότι οι εικόνες των μιγαδικών βρίσκονται σε κύκλο με κέντρο Κ(0,0) και ακτίνα ρ=α . Η σχέση z1  z 2  z 3 μας δίνει ότι τα Α,Β,Γ δεν είναι συνευθειακά σημεία , διότι : Επειδή τα Α,Β,Γ βρίσκονται στον ίδιο κύκλο , αν είναι συνευθειακά πρέπει π.χ τα Α,Β να είναι αντιδιαμετρικά σημεία και το Γ να ταυτίζεται με το Α ή το Β . Αυτό δεν μπορεί να γίνει αφού z1  z 2  z 3 . Άρα τα Α,Β,Γ δεν είναι συνευθειακά , οπότε δημιουργούν τρίγωνο .  

   Από τη σχέση z1  z 2  z 3  0 με  ,    1 έχουμε  

http:// perikentro. blogspot.gr

- 26 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 









Μιγαδικοί Αριθμοί 









OA  OB O  0    ( ), ό |  ||   | 

2







2

2

 2





 2

|  | |   | |  |    2      



 2   2  2 |  ||  | 1   2  2    1   2  0  1  

1 2

 

   1 Όμοια αν  ,    2 τότε  2   2    

   1 και αν  ,    3 τότε 3   . Άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο .

2   Οπότε z1  z 2  z 2  z 3  z 3  z1

2ος Τρόπος : Αλγεβρικά . z1  z 2  z 3  0  z1  (z 2  z 3 ) | z1 || z 2  z 3 | | z1 |2 | z 2  z 3 |2 

 2  (z 2  z 3 )(z 2  z 3 )   2  z 2 z 2  z 2 z 3  z 3 z 2  z 3 z 3    2 | z 2 |2  z 2 z 3  z 3 z 2  | z 2 |2   2   2  z 2 z 3  z 3 z 2   2  z 2 z 3  z 3 z 2   2 (1) | z 2  z 3 |2  (z 2  z 3 )(z 2  z 3 ) | z 2  z 3 |2  z 2 z 2  z 2 z 3  z 3 z 2  z 3 z 3  2

2

2

2

2

2

(1)

| z 2  z 3 | | z 2 |  z 2 z 3  z 3 z 2  | z 2 | | z 2  z 3 |    (z 2 z 3  z 3 z 2 )    | z 2  z 3 |2   2   2   2 | z 2  z 3 |  3 όμοια |z1-z2|=α 3 και |z3-z1|=α 3

άρα z1  z 2  z 2  z 3  z 3  z1

 z1   z 2  z 3  3ος Τρόπος z1  z 2  z 3  0  z 2   z1  z 3 z   z  z 1 2  3 | z1  z 2 || z 2  z 3 || z1  (z1  z 3 ) || ( z1  z 3 )  z 3 || 2z1  z 3 ||  z1  2z 3 | | 2z1  z 3 || (z1  2z 3 ) || 2z1  z 3 || z1  2z 3 || 2z1  z 3 | 2 | z1`  2z 3 |2  (2 z1  z 3 )(2z1  z 3 )  (z1  2z 3 )(z1  2z 3 )  .....  5 2  5 2 Όμοια z 2  z 3  z3  z1  5 2  5 2

http:// perikentro. blogspot.gr

- 27 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

Παράδειγμα 27: Αν |z |=1 να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης |z+8-6i| Λύση :

z  8 - 6i  z  (8  6i)  z  8  6i  1  82  6 2  11 άρα η μέγιστη τιμή της παράστασης είναι 11. Παράδειγμα 28:

1 , z  0 . Αν η εικόνα z του μιγαδικού αριθμού z κινείται σε κύκλο με εξίσωση : x 2  y 2  4 να αποδείξετε 17 ότι : α) η εικόνα του w κινείται σε έλλειψη . β) | w |2  | w 2  4 | 2 Λύση: α). Η εικόνα του μιγαδικού αριθμού z κινείται σε κύκλο με εξίσωση : x 2  y 2  4 Έστω οι μιγαδικοί z,w που συνδέονται με τη σχέση w  z 

οπότε | z | 2 και  2   2  1 Έστω z=α+βi, α,β IR τότε 1 1   i   i   i w  z   α  βι     i  2     i      i   z α  βi 4   2 | z |2

    5 3     i   i (1) 4  4 4 4 Έστω w=x+yi τότε από την (1) έχουμε :   4x 16 x 2 5     2  16 x 2 16 y 2  x    x 2 y2 2 2 4  5 25         4   4y 2 3 25 9 25 9 16 y 2 y      9   4  3 16 16  

x 2 y2   1 25 9 4 4 Άρα η εικόνα του w κινείται σε έλλειψη με και επειδή β2=α2-γ2 έχουμε 25 9 16  2   2  2     4    2 . Οπότε η έλλειψη έχει εστίες 4 4 4 Ε(2,0) , Ε΄(-2,0) .

β) Από τα παραπάνω έχουμε ότι , η εξίσωση της έλλειψης με τη βοήθεια των μέτρων γράφετα

http:// perikentro. blogspot.gr

- 28 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

5 2 w  z1  w  z 2  2  w  2  w  2  2   w  2  w  2   5 2  2 2



2







w  2  2 w  2 w  2  w  2  25  w  2  w  2  2 w 2  4  w  2  w  2  25 2

 w w  2 w  2 w  4  2 w 2  4  w w  2 w  2 w  4  25  2 w  8  2 w 2  4  25  2 | w |2 8  2 w 2  4  25 | w |2  w 2  4 

17 2

Παράδειγμα 29: Αν z  C να αποδείξετε ότι η εξίσωση: (1  iz )  

2  3i δεν έχει πραγματική ρίζα.

2 3 i

Λύση: Υποθέτουμε ότι η εξίσωση έχει πραγματική ρίζα έστω ρ . Άρα η ρίζα επαληθεύει 2  3i την εξίσωση (1  i)   2 3i 2  3i 13 άρα | (1  i) | | | ... | 1  i |   1  2  1    0 2 3i 13 για ρ=0 η εξίσωση γράφεται : 2 3  2 2  3i 2  3i (1  0i)   1  2 3  i  2  3i   που 2 3 i 2 3 i  1  3  είναι άτοπο. Άρα η εξίσωση δεν έχει πραγματική ρίζα

Παράδειγμα 30: Αν z  C   i να αποδείξετε ότι

z i  1  Im(z)  0 zi

Λύση:

z i  1 | z  i || z  i || z  i |2 | z  i |2  (z  i )(z  i)  (z  i)(z  1) zi  z z  iz  i z  1  z z  iz  i z  1  0  2iz  2i z  0  2i (z  z)  0  2i2 Im( z)i  0  4 Im( z)  Im( z )  0

http:// perikentro. blogspot.gr

- 29 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

Προτεινόμενες Ασκήσεις Μιγαδικοί Αριθμοί

Διδακτική Ενότητα: Πράξεις στο σύνολο C

1

1.1 Για το μιγαδικό αριθμό z είναι γνωστό ότι z=3Im(z)+(Re(z)+1)i . Να βρείτε το μιγαδικό z 1.2 Αν z=2+5i να υπολογιστεί η παράσταση Re(z+1) +Im(iz) 1.3 Για τους μιγαδικούς z , w να αποδειχθούν οι ισότητες . z  z   w   z   z  i) Re   Re   1 ii) Re   i Im  zw zw z-w zw zw 1.4 Έστω οι μιγαδικοί z1 , z 2 με z 2  0 . Να αποδείξετε ότι :

 z  z  z 2  z1  z 2 α. Re 1   1 2z 2  z 2  z2 

 z  z  z 2  z1  z 2 β. Im 1   1 2  i  z2  z2  z2 

1.5 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις

A  1  i 20 , B  1  i 6 , Γ 



2  2i

10

1.6 Να βρεθεί η τιμή των παραστάσεων

 3  zi  i)    z  3i 

4 v3

 3  zi      z  3 i  

4 v3

 1- i  ii)   1  i 

2 v 1

1.7 Έστω ο μιγαδικός z  0 για τον οποίο ισχύει z  α) z 3  1

β) z 20 

1 i    1 i 

2 v 1

1  1 . Να αποδείξετε ότι z

1  1 . z 20

1.8 Έστω ο μιγαδικός z για τον οποίο ισχύει z 2  z  1  0 . Να αποδείξετε ότι : α) z 3  1 β) z100  z 50  1  0 .

1.9 Έστω ο μιγαδικός z για τον οποίο ισχύει z 2  z  1  0 . Δείξτε ότι z 3  1 και z 3v  2  z 6 v1  1  0

http:// perikentro. blogspot.gr

- 30 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

Μιγαδικοί Αριθμοί

Διδακτική Ενότητα: Πράξεις στο σύνολο C

2.1 Έστω ο μιγαδικός z  0 για τον οποίο ισχύει z  α. Να βρεθεί ο z 3 και z 6

2

1  1. z

β. Δείξτε ότι z 6 v 2 

1 z 6 v 1

 1

2 2.2 Έστω z ένας μιγαδικός αριθμός για τον οποίο ισχύει: z    με κ θετικό z 2004 z 3 3 πραγματικό αριθμό. Να δείξετε: α. z    β.   1 z   2.3 Να λύσετε τις εξισώσεις α. z 2  4z  4  0

β. z 2  iz  6  0

2.4 Αν z, w  C να δείξετε ότι : α. ο αριθμός   z  w  w  z είναι πραγματικός iz iz β. ο αριθμός    είναι φανταστικός . w w 2.5 Αν z , w είναι μιγαδικοί αριθμοί να δείξετε ότι είναι φανταστικοί οι αριθμοί _

i) w 

(z  i) 2  (z  i) 2 _

_

ii) w 

( z  i ) 3  ( z  i) 3 _

iii) w 

zu _

z u

_

z u _

1 z u

zu  1 z  u

_



zu _

zu

iv) w 

z z  z z

2.6 Αν ισχύει z z  w w  1 να δείξετε ότι ο μιγαδικός u 

z  w v v

z w

v

είναι

πραγματικός . _

u  zw u 2.7 Αν z z  w w  1 να δείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός zw αριθμός . z  z2 2.8 Έστω z1 , z 2  C με z1 z 2  IR και w  1 . Να δείξετε ότι ο w είναι z1  z 2 πραγματικός . http:// perikentro. blogspot.gr

- 31 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

Μιγαδικοί Αριθμοί

Διδακτική Ενότητα: Πράξεις στο σύνολο C

3.1 Αν w 

2  iz , να αποδείξετε ότι , αν w  R τότε ο z είναι φανταστικός 1  iz

3.2 Αν για τον μιγαδικό w  1ισχύει w  w  1 , να δειχθεί ότι ο z 

3 1 w 1 w

είναι φανταστικός .



5 

5

3.3 Δίνεται ο μιγαδικός z  5  2i  5  2i . Να δείξετε ότι ο z είναι πραγματικός .

3.4 Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z=2+λ+(λ2-4)i . α. Να βρείτε το πραγματικό και το φανταστικό μέρος του μιγαδικού αριθμού . β. Να βρείτε το λ ώστε ο μιγαδικός να είναι πραγματικός . γ. Να βρείτε το λ ώστε ο μιγαδικός να είναι φανταστικός . δ. Να βρείτε το λ ώστε ο η εικόνα του μιγαδικού να βρίσκεται στην αρχή των αξόνων ε. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του z είναι η παραβολή y=x2-4x .

3.5. Θεωρούμε τον μιγαδικό αριθμό z     i , ,   R και τον μιγαδικό

w  (z  3)(2z  1) . α. Να βρείτε τον w β. Αν ο w είναι πραγματικός αριθμός , να αποδείξετε ότι η εικόνα Μ(α,β) του z είναι σημείο της ευθείας με εξίσωση y  0 .

3.6. Δίνεται ο μιγαδικός z  6i  (3  4i) x  3yi  (4  2 y)i , x,y  R α. Να γράψετε τον z στη μορφή α+βi β. Να βρείτε τα x,y ώστε ο μιγαδικός να είναι πραγματικός . γ. Να βρείτε τα x,y ώστε ο μιγαδικός να είναι φανταστικός .

3.7 Θεωρούμε τον μιγαδικό αριθμό z  (1  )  (2   1)i ,   R . α) Ποίο σημείο είναι η εικόνα του μιγαδικού z ; β) Να αποδείξετε ότι η εικόνα του μιγαδικού z βρίσκεται στην ευθεία με εξίσωσης y=-2x+5.

3.8 Αν η εικόνα του μιγαδικού z στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκεται στην ευθεία ε:y=x+1 , να βρείτε που βρίσκεται η εικόνα του μιγαδικού w  1  i z  z  i .

http:// perikentro. blogspot.gr

- 32 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

Μιγαδικοί Αριθμοί

Διδακτική Ενότητα: Πράξεις στο σύνολο C- Γεωμετρικοί Τόποι

4

2  i .

1 i α. Να γράψετε τον z στη μορφή α+βi β. Αν η εικόνα του z βρίσκεται στην ευθεία y=x+3 να βρείτε το z . γ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του z . δ. Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ αν i)z  I ii)z  R

4.1 Δίνεται ο μιγαδικός z 

zi . z 1 Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του z , αν ο w είναι φανταστικός

4.2 Δίνονται οι μιγαδικοί : z     i , ,   R , w 

zi 1  iz α. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο , αν ο w είναι πραγματικός . β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w στο μιγαδικό επίπεδο , αν ο z είναι φανταστικός .

4.3 Έστω οι μιγαδικοί z  i , w 

4.4 Έστω οι μιγαδικοί z1  x  2  yi , z 2  x  yi , x, y  R . Να βρεθεί ο z γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x,y) αν ο μιγαδικός w  1 , z 2  0 z2 είναι φανταστικός.

2z  1 . Να αποδείξετε ότι αν w  R τότε η z2 εικόνα Μ(z) του μιγαδικού z διατρέχει κύκλο από τον οποίο έχουν εξαιρεθεί τα σημεία (0,0) και (1,0) .

4.5 Έστω z=x+yi , y  0 και w 

z2 ανήκει στο R να βρεθεί ο γεωμετρικός z i τόπος των εικόνων των μιγαδικών z

4.6 Αν ο μιγαδικός αριθμός w 

1 1 4.7 Θεωρούμε τον μιγαδικό αριθμό z με z  0, Re( )  . z 4 Να αποδειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος .

http:// perikentro. blogspot.gr

- 33 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

Μιγαδικοί Αριθμοί

Διδακτική Ενότητα: Πράξεις στο σύνολο C -Γεωμετρικοί Τόποι

5

5.1 Έστω Μ(x,y) η εικόνα του μιγαδικού z με z  0 . α. Να προσδιορίσετε συναρτήσει των x,y τις συντεταγμένες των μιγαδικών 1  z και z 1 β. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών z, z, είναι συνευθειακά z σημεία 5.2 Δίνεται ο μιγαδικός z=x+yi με z  0 και x, y  R . α. Να εκφραστεί ο μιγαδικός

1 z

στη μορφή α+βi .

1  1 β. Να αποδειχθεί ότι : Re z    Re(z )  Re  . z  z γ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους 1 οποίους ισχύει Re(z  )  10 Re(z ) . z 5.3 Δίνεται ο μιγαδικός z=x+yi με z  0 και x, y  R . Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του z για τον οποίο ισχύει 8  Re z    Im(i  z)  0 . z  5.4 Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z που ικανοποιούν τη σχέση 1 Re(z  )  2 Im( z i ) . z 5.5 Έστω ότι η εικόνα του z=α+2+4βi, α,β IR κινείται στην ευθεία y=x+1.

1 α. Να βρείτε που κινείται η εικόνα του w=z+1+ . i β. Να βρείτε τον μιγαδικό w του ερωτήματος (α) του οποίου η εικόνα είναι πλησιέστερα στο Ο(0,0) .

5.6 Έστω ότι η εικόνα του z=α+βi, α,β IR κινείται στην ευθεία y=2x+2. α. Να βρείτε που κινείται η εικόνα του w= z  2  i 5 . β. Να βρείτε τον μιγαδικό w του ερωτήματος (α) του οποίου η εικόνα είναι πλησιέστερα στο Ο(0,0)

http:// perikentro. blogspot.gr

- 34 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

Μιγαδικοί Αριθμοί

Διδακτική Ενότητα: Πράξεις στο σύνολο C-Γεωμετρικοί Τόποι

6

6.1 Έστω Μ ,Ν οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z και w αντίστοιχα , οι οποίοι 8 συνδέονται με τη σχέση w  z  , z  0 . Αν το Μ κινείται σε έναν κύκλο με z κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα 2 , να αποδειχθεί ότι το Ν κινείται σε έλλειψη 6.2 Έστω οι μιγαδικοί

1  2 , x , y,   IR ,   0 1  i Να δείξετε ότι αν το λ μεταβάλλεται στο IR* και z1  z 2 , τότε η εικόνα του z=x+yi κινείται σε υπερβολή . z1  (x  y)  ( x  y)i, z 2 

6.3 Έστω οι μιγαδικοί

1  42 , x , y,   IR   0 1  2i Να δείξετε ότι αν το λ μεταβάλλεται στο IR* και z1  z 2 , τότε η εικόνα του z=x+yi κινείται σε έλλειψη. z=x+yi, z1  ( x  2 yi)  i z, z 2 

6.4 Έστω Α και Β οι εικόνες των μιγαδικών z και w αντιστοίχως , για τους οποίους i 2007 5 ισχύει : w  i z  . Αν το Α κινείται στον μοναδιαίο κύκλο , να δείξετε ότι z το Β κινείται σε ευθύγραμμο τμήμα .

2 z και το Μ κινείται στον μοναδιαίο κύκλο να βρείτε την εξίσωση της γραμμής που κινείται το Ν.

6.5 Έστω Μ και Ν οι εικόνες των μιγαδικών z και w αντίστοιχα. Αν w  z 

6.6 Να βρείτε την εξίσωση της γραμμής που κινείται η εικόνα του μιγαδικού z για τον οποίο ισχύει: α. z=2+συνθ+i(1-ημθ) , θ IR β. z=2συνθ-3iημθ , θ IR 6.7 Να βρείτε το Γ.Τ. των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: (z  z) 2  (z  z ) 2  z z  15 http:// perikentro. blogspot.gr

- 35 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

Μιγαδικοί Αριθμοί

Διδακτική Ενότητα: Μέτρο Μιγαδικού

7

7.1. Να βρείτε το μέτρο του μιγαδικού z για τον οποίο ισχύει: z | z | 2  (|  z | 1)i

z 2  iz 7.2 Αν z  C και z  z  1 να βρείτε το μέτρο του w  1  iz 7.3 Να αποδείξετε ότι για κάθε z1,z2  C ισχύει: | z1 | 2  | z 2 | 2  2 Re(z1 z 2 ) 7.4 Αν z είναι ένας μιγαδικός αριθμός να δείξετε ότι: i. | Re(z ) || z | και | Im( z) || z | ii. Αν ισχύει | Im( z) || z | τότε ο αριθμός z είναι φανταστικός

z2  z 7.5 Έστω z ένας μιγαδικός αριθμός με z  0 και f(z)= | z |2 Να δείξετε ότι: ι) Ο f(z) είναι πραγματικός ιι) f(z)=f( z ) ιιι) | f (z) | 2

2

όπου z συζυγής του z

7.6 Να βρείτε το μέτρο του z αν ισχύει: |2z-i|=|2+iz| 7.7 Αν z  C και |z-10|=3|z-2| να δείξετε ότι: |z-1|=3 7.8 Αν για τον μιγαδικό z ισχύει |z-4|<2 να αποδείξετε ότι: α). |z+3i|<7 β). |z2-16|<20

1 7.9 Έστω ο μιγαδικός z=α+βi α>0,β IR * και α>β. Αν ισχύει | z || z  | z να δείξετε ότι: α). Re(z2)=-

1 2

β). αβ<0

7.10 Αν z,w C και ισχύουν |z|=2, |w|=3 και |z+w|=4 να βρείτε το |z-w| 7.11 Αν z C να δείξετε ότι: z2-z+1=0  |z|=|z-1|=1 7.12 Να λυθούν οι εξισώσεις α). |z+i|=2 z

3

β). z 7  z  1

7.13 Αν z1,z2 C και |z1|<1, |z2|<1 να δείξετε ότι: |z1-z2|<|1- z1z 2 | http:// perikentro. blogspot.gr

- 36 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

Μιγαδικοί Αριθμοί

Διδακτική Ενότητα: Μέτρο Μιγαδικού

8

8.1 Αν για τον μιγαδικό z ισχύει: α. |1-z|>|z| να δείξετε ότι Re(z)<

1 2

zi  1, z  i να δείξετε ότι Im(z)<0 z i z 1 γ.  1, z  1 να δείξετε ότι Re(z)>0 z 1 β.

8.2 Αν για τον μιγαδικό z ισχύει |z|=1 να δείξετε ότι: 1 α. Ο αριθμός w  z  είναι πραγματικός z 1 β. Ο αριθμός v  z  είναι φανταστικός z γ. w  2v  4 8.3 Αν οι μιγαδικοί z1,z2,...,zν έχουν μέτρο 1 να δείξετε ότι: 1 1 1   ...   z1  z 2  ...  z    z1 z 2 z 8.4 Αν z1,z2,z3 C και |z1|=|z2|=|z3|=2006 να δείξετε ότι : 1 z1  z 2  z3  z1z 2  z 2 z3  z3z1 2006 8.5 Αν z1,z2 C και |z1+z2|=|z1|+|z2| να δείξετε ότι: |z1-z2|=||z1|-|z2|| 8.6 Αν z C με |z|  1 να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της παράστασης |z-4|

8.7 Αν z C και |z-3-2i|=7 να δείξετε ότι: 2  z  2i  12

8.8 Αν z1,z2 C με z1  z 2  0 και τα σημεία Α ,Β, Γ είναι οι εικόνες των μιγαδικών z1+z2, z1-z2, z1+iz2 3 αντίστοιχα να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο http:// perikentro. blogspot.gr

- 37 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

Μιγαδικοί Αριθμοί

Διδακτική Ενότητα: Μέτρο Μιγαδικού

9

9.1 Έστω Α,Β οι εικόνες των μη μηδενικών μιγαδικών z,w με z  w z w και   1 . Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ (Ο η αρχή των αξόνων) w z είναι ισόπλευρο 9.2 Να δείξετε ότι η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο την εικόνα του z0 και 2

2

ακτίνα ρ είναι: z  2 Re(z z 0 )  2  z 0  0 9.3 Έστω Μ1,Μ2 οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης z2-z+λ=0,λ  R στο μιγαδικό επίπεδο . Αν Μ η εικόνα του w=1-i να βρείτε το λ ώστε: (ΜΜ1)(ΜΜ2)= 3 9.4 Έστω z=2x+yi x,y R |z|=2 α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο C των σημείων Μ(x,y) β) Αν τα Μ1 , Μ2  C είναι συμμετρικά ως προς το Ο και εικόνες των w1 ,w2 να βρείτε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή του μέτρου|w1-w2| καθώς και τους μιγαδικούς w1 ,w2 που παρουσιάζει το μέτρο τη μέγιστη τιμή 9.5 Έστω z,w C με |z-1|=|z-i| και |w-2|=1. α) Αν Α, Β οι εικόνες των z,w αντίστοιχα να βρείτε τις συντεταγμένες τους ώστε το |z-w| να γίνεται ελάχιστο. β) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του |z-w| 9.6 α) Να βρεθεί ο Γ.Τ. της εικόνας του μιγαδικού z για τον οποίο ισχύει: |z-2i|=3|z+2i| z  2i z 2  2i β) Αν για τους μιγαδικούς z1,z2  -2i ισχύει 1   3 να βρεθεί z1  2i z 2  2i η μέγιστη τιμή του |z1-z2| 9.7 Δίνεται ο μιγαδικός z=2λ-1+(λ+3)i α) Να βρεθεί ο Γ.Τ. της εικόνας του μιγαδικού z β) Να βρεθεί ο μιγαδικός z που απέχει ελάχιστη απόσταση από την αρχή των αξόνων.

9.8 Αν |z1|=1 , |z2|=2 και |z3|=4 να δείξετε ότι: z1+z2+z3  0

http:// perikentro. blogspot.gr

- 38 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

Μιγαδικοί Αριθμοί

Διδακτική Ενότητα: Μέτρο Μιγαδικού

10

10.1 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί α, β, γ με α+β+γ  0 ,α2+β2+γ2=0 και |α|=|β|=|γ|=1. Να αποδείξετε ότι: α) |αβ+βγ+γα|=|α+β+γ| β) |α+β+γ|=2 γ) |α-β|  2 , |β-γ|  2 , |γ-α|  2 10.2 Δίνονται οι μιγαδικοί z1=2006+i ,z2=1-2006i α) Να δείξετε ότι:

z1 i z2

β) Να δείξετε ότι: z12007  iz 2007 0 2 γ) Αν Α, Β οι εικόνες των μιγαδικών z12007 και z 2007 αντίστοιχα και (0,0) 2 η αρχή των αξόνων, να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές z  iz 2 δ) Θεωρούμε τον μιγαδικό αριθμό w= 1 ,   IR  1 Να δείξετε ότι για z 2  z 2 z κάθε λ IR  1 ισχύει w= 2 z1 10.3 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, w με z  w  0 για τους οποίους ισχύει:

| z  w || z  w | Να αποδείξετε ότι: α. Re(z  w)  0 2

β. ο αριθμός 2



2

2



z είναι φανταστικός w

γ. z  w  z  w  2 z  w δ. το τρίγωνο με κορυφές τις εικόνες των z , w στο μιγαδικό επίπεδο και την αρχή O των αξόνων, είναι ορθογώνιο στο O .

10.4 Έστω z μιγαδικός αριθμός με z  0 για τον οποίο ισχύει | 2z  1 || z  2 | α. Να αποδείξετε ότι z  1 .

1 β. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w  z  είναι πραγματικός. z γ. Να αποδείξετε ότι 4  z+3+4i  6

http:// perikentro. blogspot.gr

- 39 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

Ερωτήσεις Κατανόησης Α. Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής 1. Αν Μ είναι η εικόνα του μιγαδικού z=4-3I τότε ποιος είναι ο μιγαδικός που έχει εικόνα συμμετρική της Μ ως προς την ευθεία y=x; Α. –4+3i Β. 3-4i Γ. –3+4i Δ. 4+3i Ε. 3+4I 2. Ποιο πρέπει να είναι το y ώστε η εικόνα του μιγαδικού z=4-3yi να ανήκει στην ευθεία με εξίσωση x+y=2 A. 2 B. 2/3 Γ. 3/4 Δ. –2/3 Ε. –2 3. Ο Γεωμετρικός Τόπος των εικόνων των μιγαδικών z με Re(z)=-2 είναι: Α. η ευθεία y-2=0 B. η ευθεία x-2=0 Γ. η ευθεία y+2=0 Δ. η ευθεία x+2=0 Ε. η ευθεία x+y-2=0 4. Ποια από τις παρακάτω εξισώσεις παριστάνει στο μιγαδικό επίπεδο τον φανταστικό άξονα: Α. z=0 Β. z  0 Γ. z+ z  0 Δ. z+ z  1 Ε. z- z  0 5. Αν w=(1+i)40-(1-i)40 τότε είναι: Α. w=0 Β. w=1 Γ. w=-1 6. Ο μιγαδικός i2002είναι ίσος με: Α. 2002 Β. 1 Γ. -1

Δ. w=I

Δ. w=i

Ε. w=-i

Ε. w=-i

7. Οι μιγαδικοί z με z+ z  10 έχουν εικόνες τα σημεία της ευθείας Α. x=1 Β. x=10 Γ.x=-10 Δ. y= 5 Ε. x=5 8. Οι ρίζες της εξίσωσης z2-6z+25=0 είναι: Α. 12  17i B. 10  15i Γ. 8  6i

Δ. 3  4i

Ε. 4  3i

9. Αν x,y IR και x-3+5i=7+(y-2)i τότε το (x,y) είναι ίσο με: Α. (1,2) Β. (-3,4) Γ. (3,2) Δ. (0,0) Ε. (10,7) 10. Αν z 1 =1+i και z 2 =2-2i τότε το σωστό είναι: Α: |z 1 z 2 |=2

Β: |z 1 |= 2 |z 2 |

Γ: |z 1 z 2 |=4

Δ: |z 1 |=2|z 2 |

11. Αν z1=2+i και z2=2+ 3 -2i τότε η απόσταση των εικόνων των μιγαδικών z1 και z2 ισούται με : Α:

3

Β: 2 3

http:// perikentro. blogspot.gr

Γ: 3

Δ:12 - 40 -

Ε:3+ 3 Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

Β. Ερωτήσεις τύπου Σωστό – Λάθος--Αντιστοίχισης α. Αν z1  3  4 i , z 2  1 - 3 i, να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε αριθμό το γράμμα της Στήλης Β έτσι, ώστε να προκύπτει ισότητα Στήλη Α

Στήλη Β

1.

z1  z 2

α.

4

2.

z12

β.

2

3.

z2

γ.

25

4.

 z1

δ.

–5

5.

i z2

ε.

–2

στ.

5

ζ.

10

2

β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

1.Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει: α.

2

z zz

β. z 2  z 2 γ. z  - z

δ. z  z

ε iz  z

2. Αν z1, z2 είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει πάντα z1  z 2  z1  z2  z1  z 2 3. Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος δύο μιγαδικών αριθμών είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους.

4. Αν z1, z2∈ℂ ισχύει z1  z 2  z1  z 2 5. Ισχύει z1 = z2  1  Z 2 .

6. Αν z = α + βi=0 τότε α = 0 ή β = 0.

http:// perikentro. blogspot.gr

- 41 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

ΤΑΞΗ Γ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

Θ Ε Ω Ρ Ι Α ¨Μιγαδικοί Αριθμοί¨ 1. Αν z1,z2 μιγαδικοί αριθμοί να δείξετε ότι z1  z 2  z1  z 2 Απάντηση:…………………………………………………………………………….. ………………................................................................................................................ ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………......................................

2. Να εκφράσετε το πηλίκο

  i στη μορφή κ+λi   i

Απάντηση:…………………………………………………………………………… ………………................................................................................................................ ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….......................................

3. Δίνεται η εξίσωση αz2+βz+γ=0 α,β,γIR α  0 Αν Δ<0 να δείξετε ότι οι λύσεις i  της δίνονται από τον τύπο z1,2  2 Απάντηση:……………………………………………………………………………. ………………................................................................................................................. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… http:// perikentro. blogspot.gr

- 42 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………....................................... ………………………………………………………………………………………… ………………… ……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

4. Πως υπολογίζουμε τη δύναμη iν με ν φυσικό; Απάντηση:…………………………………………………………………………… ……………….............................................................................................................. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

5. Να δείξετε ότι: |z|2=z  z Απάντηση:…………………………………………………………………………… ………………................................................................................................................. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

6. Να δείξετε ότι : |z1z2|=|z1||z2| Απάντηση:…………………………………………………………………………… ……………….............................................................................................................. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………….

http:// perikentro. blogspot.gr

- 43 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

7. Τι ονομάζεται μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού z=x+yi; Απάντηση:…………………………………………………………………………… ………………............................................................................................................... ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

8. α. Με τι ισούται το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών; β. Τι παριστάνει η εξίσωση |z-z1|=|z-z2| ; Απάντηση:…………………………………………………………………………… ………………................................................................................................................ ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

9. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις α. Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α+βi και γ+δi είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους β. α+βi=0  α=0 ή β=0 γ. z+ z  2Re(z) δ. z- z =2Im(z) ε. Οι εικόνες δυο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα

10. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις α. Οι λύσεις της εξίσωσης αz2+βz+γ=0 α,β,γIR α  0 είναι συζυγείς β. Αν στο σύνολο των μιγαδικών ισχύει u2+v2=0 τότε u=v=0 γ. z  IR  z   z

 

δ. (z )  z ε. Η εξίσωση |z-z0|=ρ ρ>0 παριστάνει κύκλο 11. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις α. ισχύει: |z|=|-z|=| z | β. |zν|=|z|ν γ. ||z1|+|z2|| | z1  z 2 || z1  z 2 | http:// perikentro. blogspot.gr

- 44 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

Θέματα από Σχολικό Βιβλίο ΤΑΞΗ Γ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 10 Διαγώνισμα ¨Μιγαδικοί Αριθμοί¨ Θέμα 1 Α. Αν z1,z2 μιγαδικοί αριθμοί να δείξετε ότι z1  z 2  z1  z 2 Β. Να εκφράσετε το πηλίκο

Μονάδες 10

  i στη μορφή κ+λi   i

Μονάδες 5

Γ. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις α.Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α+βi και γ+δi είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους β. α+βi=0  α=0 ή β=0 γ. z+ z  2Re(z) δ. z- z =2Im(z) ε. Οι εικόνες δυο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα Μονάδες 5x2=10 Θέμα 2 Α. Αν μια ρίζα της εξίσωσης 2x2+βx+γ=0 είναι 3+2i να βρείτε τις τιμές των πραγματικών β,γ Μονάδες 15 Β. Να λυθεί η εξίσωση z2-2z+3=0

Μονάδες 10

Θέμα 3 Α. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α=(1+i)2006+(1-i)2006

Μονάδες 13

Β. Να δείξετε ότι : (α+βi)10+(β-αi)10=0

Μονάδες 12

Θέμα 4 Α. Αν z1 

z z 1 1 και z 2  να δείξετε ότι ο αριθμός v= 1 2 είναι z1 z2 1  z1z 2

πραγματικός Β.Να βρεθεί ο Γ.Τ. των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει:

Μονάδες 12

1 Re(z  )  5 Re(z) z

Μονάδες 13 http:// perikentro. blogspot.gr

- 45 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

Θέματα από Σχολικό Βιβλίο ΤΑΞΗ Γ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 20 Διαγώνισμα ¨Μιγαδικοί Αριθμοί¨ Θέμα 1 Α. Δίνεται η εξίσωση αz2+βz+γ=0 α,β,γIR α  0 Αν Δ<0 να δείξετε ότι οι λύσεις της δίνονται από τον τύπο z1, 2 

i   2

Β. Πως υπολογίζουμε τη δύναμη iν με ν φυσικό;

Μονάδες 10 Μονάδες 5

Γ. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις α.Οι λύσεις της εξίσωσης αz2+βz+γ=0 α,β,γIR α  0 είναι συζυγείς β.Αν στο σύνολο των μιγαδικών ισχύει u2+v2=0 τότε u=v=0 γ. z  IR  z   z  δ. (z )  z  ε. Η εξίσωση |z-z0|=ρ ρ>0 παριστάνει κύκλο Μονάδες 5x2=10 Θέμα 2 Α. Πόσες τιμές διαφορετικές μπορεί να πάρει η παράσταση Κ=iν+i-ν Μονάδες 12 2 2 Β. Αν z +w =0 να δείξετε ότι z=wi ή z=-wi Μονάδες 13 Θέμα 3 1 x

Δίνετα η εξίσωση x+ =1 (1) α. Να λυθεί στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών η εξίσωση (1) β. Έστω z μια οποιαδήποτε ρίζα της (1) 1). Να δείξετε ότι z3=-1 2). Να υπολογίσετε την παράσταση Α=z0+z9+z18

Μονάδες 8 Μονάδες 8 Μονάδες 9

Θέμα 4 Α. Να δείξετε ότι για κάθε μιγαδικό z ισχύει: 2 | z || Re(z) |  | Im(z) | (1) Μονάδες 10 Β. Αν για τους μιγαδικούς z1,z2,...zν ισχύει z1  i z 2  i z i   ...   1 z1  i z 2  i z  i

να δειχθεί ότι κανένας από αυτούς δεν είναι πραγματικός.

http:// perikentro. blogspot.gr

- 46 -

Μονάδες 15

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

Θέματα από Σχολικό Βιβλίο ΤΑΞΗ Γ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 30 Διαγώνισμα ¨Μιγαδικοί Αριθμοί¨ Θέμα 1 Α. Να δείξετε ότι: |z|2=z  z Β. Να δείξετε ότι : |z1z2|=|z1||z2| Γ. Τι ονομάζεται μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού z=x+yi;

Μονάδες 5 Μονάδες 7 Μονάδες 3

Δ. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις α. ισχύει: |z|=|-z|=| z | β. |zν|=|z|ν γ. ||z1|+|z2|| | z1  z 2 || z1  z 2 | Μονάδες 3x2=6 Ε. α) Με τι ισούται το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών; β). Τι παριστάνει η εξίσωση |z-z1|=|z-z2| ;

Μονάδες 2 Μονάδες 2

Θέμα 2. Για τον μιγαδικό z ισχύει: |2z-1|=|z-2| α. Να δείξετε ότι η εικόνα του z ανήκει σε κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ=1 Μονάδες 13 1 1 β. Να δείξετε ότι η εικόνα του w= ανήκει στην ευθεία x=  z 1 2 Μονάδες 12 Θέμα 3.

1. Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z που ικανοποιούν τη σχέση z  2  z (1) Μονάδες 12 2. Να αποδείξετε ότι αν ο z ικανοποιεί την (1) τότε η εικόνα του w= στον κύκλο με κέντρο Κ(1/2,0) και ακτίνα ρ=1/2

1 ανήκει z

Μονάδες 13

Θέμα 4 1. Να δείξετε ότι : |z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2 Μονάδες 12 2. Να αποδείξετε ότι για κάθε ζεύγος μη μηδενικών μιγαδικών z1,z2 ισχύει: 2

2

z1 z z z  2  1  2 4 | z1 | | z 2 | | z1 | | z 2 |

http:// perikentro. blogspot.gr

- 47 -

Μονάδες 13

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Μιγαδικοί Αριθμοί

Θέματα από Σχολικό Βιβλίο ΤΑΞΗ Γ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 40 Διαγώνισμα ¨Μιγαδικοί Αριθμοί¨ Θέμα 1. Αν για τον μιγαδικό z ισχύει |z-(2+2i)|= 2 να βρεθεί: 1. Ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του z στο μιγαδικό επίπεδο. Μονάδες 12 2. Η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του |z|

Μονάδες 13

Θέμα 2. Αν για τους μιγαδικούς z ισχύει |z|=1 να βρείτε που ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w με w=2z+1 Μονάδες 25 Θέμα 3.

1 Α. Έστω ο μιγαδικός z με z  0 . Να αποδείξετε ότι : Ο w= z  είναι z πραγματικός αν και μόνο αν ο z είναι πραγματικός ή |z|=1 Μονάδες 12

Β. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των λύσεων της εξίσωσης (1-z)ν=zν είναι 1 σημεία της ευθείας x= Μονάδες 13 2 Θέμα 4. α. Αν |z|=1 να δείξετε ότι: z 

1 z

Μονάδες 5

β. Αν για τους μιγαδικούς z1.z2,...zκ ισχύει |z1|=|z2|=...=|zκ|=1 να αποδείξετε 1 1 1 ότι: |z1+z2+...zκ|=   ...  Μονάδες 10 z1 z 2 z γ. Έστω ότι για τους μιγαδικούς z1,z2,z3 ισχύει |z1|=|z2|=|z3|=1. Να δείξετε ότι: |z1+z2+z3|=|z1z2+z2z3+z3z1| Μονάδες 10 http:// perikentro. blogspot.gr

- 48 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης