Arcos

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ARCOS

Na Matem´atica tratamos de arcos de CIRCULO, de ELIPSES, e de arcos de curvas mais gerais.

Para a Arquitetura o termo ARCO tem um significado diferente. ”O termo arco, do latim arcus, designa um elemento construtivo em curva que ´e arredondado, normalmente em alvenaria, que emoldura a parte superior de um v˜ao (abertura, passagem) ou reentrˆancia suportando o peso vertical do muro em que se encontra.

Das diversas aplica¸c˜oes que um arco pode ter, observa-se principalmente a sua utiliza¸c˜ao em portas, janelas, pontes, aquedutos, como elementos de composi¸c˜ao tri-dimensional de ab´obadas e at´e em paredes de reten¸c˜ao ou barragens (onde a press˜ao se efetua horizontalmente). Tamb´em em forma¸c˜oes geol´ogicas aturais se podem encontrar arcos como resultado da eros˜ao.

Mas al´em da sua fun¸c˜ao pr´atica de distribui¸c˜ao da carga o arco possui tamb´em ´ uma forte componente decorativa permitindo uma grande variedade formal. E neste sentido est´atico que o arco se torna um elemento ´util `a identifica¸c˜ao e classifica¸c˜ao dos diversos movimentos art´ısticos na arquitetura”. (http://pt.wikipedia.org/wiki/Arco arquitetura) Vamos estudar a figura de um arco numa vis˜ao frontal.

1.1

Elementos de um arco

Na figura a seguir damos a nomenclatura dos elementos importantes de um arco.

Os pontos de origem ou nascen¸ca s˜ao os pontos A e D, extremidades superiores dos suportes (na Arquitetura chamados de colunas ou pilastras). Esses dois pontos s˜ao extremos de arcos circulares que devem concordar com os suportes.

Os pontos de origem podem ter o mesmo n´ıvel, isto ´e, mesma altura em rela¸c˜ao a uma reta horizontal (n´ıvel do mar).

A distˆancia entre os pontos de origem (segmento AD) ´e o v˜ao. O centro do v˜ao (ponto F) ´e o ponto m´edio do segmento AD. O ponto do arco situado na vertical do centro do v˜ao (ponto G) , ou o ponto mais elevado do arco, ou o ponto do arco que equidista dos pontos origens ´e o ´apice do arco.

Finalmente, o segmento F G chama-se flecha do arco. Por quest˜oes pr´aticas vamos chamara o arco acima de arco BAGDE.

G G

A

A D F

F

E B

B Arco Pleno \\

1.2

Arco abatido

Alguns tipos de arcos

S˜ao muitos os tipos de arcos utilizados na Arquitetura. Vamos estudar os arcos plenos, os arcos abatidos, arcos superelevados e os arcos ogivais. Consulte o site www.mat.uel.br/geometrica na se¸c˜ao Desenho Geom´ etrico, aula 8, arcos para conhecer outros tipos de arcos. N˜ao deixe de consultar tamb´em os Exerc´ıcios Propostos e a resolu¸c˜ ao dos Exerc´ıcios Propostos.

1.2.1

Arcos plenos ou Romanos

S˜ao arcos cuja flecha ´e igual `a metade do v˜ao. Visto de outra maneira, o arco pleno ´e um semi-c´ırculo de diˆametro igual ao v˜ao. O primeiro exemplo mostra um arco pleno.

Exemplo: Construir o arco pleno cujo v˜ao mede 6 cm.

Constru¸c˜ao: Desenhe um segmento AB com 6 cm, horizontalmente, representando o v˜ao. Pelas extremidades trace perpendiculares com qualquer medida, representando os suportes. Determine o ponto m´edio C do segmento AB. Com a ponta seca do compasso em C e com raio AC trace o semi-c´ırculo unindo A e B. A figura a seguir ´e o resultado final.

1.2.2

Arcos abatidos

A caracter´ıstica principal de um arco abatido ´e ter a flecha menor que meio v˜ao.

Um arco abatido pode ser conseguido com a concordˆancia de um n´umero impar de arcos circulares, sendo que um deles contem o ´apice, e os demais se distribuem lado a lado dele aos pares.

Exemplo: Construir o arco abatido de v˜ao AB = 6 cm e flecha CD = 2 cm com 3 arcos de c´ırculo (com 3 centros).

Constru¸c˜ao: N˜ao se esque¸ca que arcos concordando significa c´ırculos tangentes e portanto o ponto de concordˆancia (de tangˆencia) est˜ao alinhados com os centros dos c´ırculos.

Como antes, desenhe o segmento v˜ao, o centro do v˜ao C e os suportes. Na perpendicular tirada em C marque CD = 2 cm, obtendo o ´apice D. Trace o semi-c´ırculo de centro C e raio CD obtendo X e Y no segmento AB. Trace os segmentos AC e BC .

Com o compasso, transporte a distˆancia AX sobre AC e BC, obtendo os pontos Z e W . As mediatrizes dos segmentos AZ e BW fornecem o centro O do arco que contem o ´apice.

Desenhe-o, entre uma mediatriz e outra (arco RS). As mediatrizes tra¸cadas anteriormente cortam AB nos pontos O1 e O2, centros dos arcos iguais (arco AR e arco SB). A figura a seguir mostra o resultado final, bem como as passagens mais importantes.

A constru¸c˜ao de um arco abatido n˜ao ´e ´unica e o “receitu´ario” acima apenas leva a uma das poss´ıveis solu¸c˜oes. Veja como se pode resolver o mesmo problema de outra maneira: Desenhe o segmento v˜ao, o centro do v˜ao C e os suportes. Na perpendicular tirada em C marque CD = 2 cm, obtendo o ´apice D. Escolha um centro E para o arco que contem o ´apice de modo que o raio seja suficiente para que as nascen¸cas fiquem no interior do c´ırculo. Encontre agora o c´ırculo tangente a esse arco e que passe por A ( e outro passando por B).

Para isso reveja o problema 8 da se¸c˜ao 1.3 do texto Tangˆencia e Concordˆancia.

Pronto. Marque os pontos de concordˆancia e reforce os tra¸cos com um l´apis mais mole. Veja a figura onde numeramos 1, 2 e 3 para a ordem de execu¸c˜ao.

D A

3

3 2 O2

C

2 O1

B 1

1 E

Outro exemplo: Construir um arco abatido de 5 centros, com v˜ao 6 cm e flecha 2 cm.

Praticamente n˜ao h´a referˆencias a respeito na Internet. A referˆencia bibliogr´afica que usei foi “Desenho Geom´etrico”, de Pl´acido Loriggio, um livro artesanal com a mesma linha de racioc´ınio que a minha, embora muito mais completo.

Constru¸c˜ao: Comece por desenhar o v˜ao, o centro do v˜ao, o ´apice e os suportes.

Arbitrariamente desenhe um arco contendo o ´apice e com raio maior que meio v˜ao. Escolha um ponto nesse arco e desenhe um c´ırculo tangente interior com raio suficiente para que a origem fique em seu interior.

Arremate desenhando o c´ırculo tangente interiormente a este u ´ltimo e tangente `as pilastras na origem. Repita todas estas etapas para o lado da outra origem.

Infelizmente, ´e poss´ıvel que as escolhas feitas tornem a quest˜ao imposs´ıvel. Resta ent˜ao analisar as escolhas e promover mudan¸cas nelas.

Veja a figura onde numeramos as v´arias etapas.

2

2 3 B

A 3 2

2 1

1.2.3

Arcos superelevados

S˜ao arcos com 3, 5 , 7 etc centros, concordantes entre s´ı sequencialmente e com a flecha maior que a metade do v˜ao.

A constru¸c˜ao ´e an´aloga `a de arcos abatidos, raz˜ao pela qual vamos dar apenas uma figura como exemplo. a an´alise an´aloga `a acima, para a figura.

2

1

D

O1

A

O2

1.2.4

B

O3′ O3

Arcos ogivais

S˜ao arcos cuja flecha ´e maior que metade do v˜ao. Os dois arcos concordam com os suportes mas n˜ao concordam entre si. Alguns tipos de arcos ogivais s˜ao: equil´atera, ferradura, e ogival g´otica. ´ o arco no qual o triˆangulo pelos pontos suportes • Arco ogival equil´atero E e ´apice ´e equil´atero.

Exemplo: Construir o arco ogival equil´atero com v˜ao de 6 cm.

Constru¸c˜ao: Desenhe os suportes e o v˜ao de extremos A e B. Com centro A e raio AB trace √ um arco. Com centro B e raio AB trace outro arco. A flecha mede 3 3.

D

B A

• Arco ogival comum Neste tipo de arco a flecha deve medir mais que a metade do v˜ao. Os arcos tem centro na reta que contem o v˜ao e nas mediatrizes das cordas (que s˜ao hipotenusas de triˆangulos com um catetos iguais a metade do v˜ao e o outro igual `a flecha) .

Com todos esses detalhes s´o falta a figura desenhada.

Exemplo: Construir um arco ogival de v˜ao 5 cm e flecha 3 cm.

Constru¸c˜ao: Desenhe os suportes, o v˜ao e a flecha. Trace as mediatrizes indicadas acima e obtenha os centros sobre a reta que contem o v˜ao. Trace os arcos.

• Arco ogival ferradura Neste tipo de arco a parte acima acima dos suporte tem a aparˆencia de ferradura, o que justifica o nome. Os arcos tem um n´umero par de centros (4, 6, etc) e n˜ao h´a concordˆancia arco x suporte, nem entre os arcos que determinam o ´apice. A concordˆancia ocorre somente entre os arcos `a direita (2, 3, etc) e entre os arcos `a esquerda.

Exemplo: Desenhar um arco ogival de ferradura com v˜ao de 6 cm.

Constru¸c˜ao: Os centros dos arcos s˜ao A, B e D onde D est´a na mediatriz de AB `a distˆancia igual a meio v˜ao.

Comece, como sempre, marcando A, B, o centro C do v˜ao e os suportes.

Com centro em C trace o semi-c´ırculo de raio AC. Com a mediatriz, determine D. Trace retas por A e D e por B e D. Com centro em D e raio AD, trace arcos AR at´e uma das retas e arco BS at´e a outra reta.

Com centro em A e raio AS e em B com raio AS trace arcos (concordantes com os dois j´a desenhados) que determinam o ´apice e est´a terminado.

• Ogiva g´otica Os arcos tem um n´umero par de centros (4 ou mais) que concordam entre si, `a direita e `a esquerda. Os dois ´ultimos arcos devem ter curvatura em sentido contr´ario aos demais. N˜ao h´a concordˆancia com os suportes e tampouco no ´apice, Exemplo: Desenhar uma ogiva g´otica de 4 centros e com v˜ao medindo 6 cm.

Constru¸c˜ao: Os centros dos arcos ser˜ao A, B, M e N, onde M e N ser˜ao descritos a seguir.

Comece desenhando o v˜ao (AB), os suportes, o centro do v˜ao C e a reta que contem a flecha. Trace o semi-c´ırculo de centro C e raio AC. Chame D o ponto comum entre o semio-c´ırculo e a reta que contem a flecha.

Trace a reta r por A e D e a reta s por B e D. Centro em A e raio AB trace o arco de B at´e G na reta r e, com centro em B e raio AB trace o arco de A at´e F na reta s.

Marque M na reta s de modo que GM ≥ BD e N na reta s com a mesma condi¸c˜ao (F N = GM ).

Com centro em M (e N) trace o arco GH ( arco FH ), e est´a terminado.

A literatura trata de muitos outros tipos de arcos. Por exemplo, no site www.mat.uel/geometrica na se¸c˜ao de Desenho Geom´etrico/arcos podemos encontrar referˆencia `a arco mourisco,arco Tudor, arcos geminados, arco trilobado e arco ferradura.