1
Retas
Na sequˆencia de nossos estudos trataremos das retas. Lembramos do axioma da Geometria que garante: “Dois pontos distintos determinam uma ´ unica reta”. Isso significa que conhecidos dois pontos ´e poss´ıvel tra¸car uma ´ unica reta por eles. Tamb´em significa que dada uma reta podemos dispor de pontos dela. Ver Figura 1 a seguir, que mostra as proje¸co˜es de uma reta no PH (r1)e no PV (r2).
Figura 1:
1.1
Tipos de retas
Classificamos as retas por sua posi¸c˜ao em rela¸c˜ao aos planos (PH e PV) de proje¸c˜ao.
1.1.1
Reta paralela ao PH
S˜ao retas, que conforme o nome diz, s˜ao paralelas ao plano horizontal de proje¸c˜ao. Todos os pontos dela possuem a mesma cota o que garante que a proje¸c˜ao dela no plano vertical ´e paralela `a linha de terra. S˜ao chamadas retas horizontais. Ver Figura 2. A proje¸c˜ao da reta horizontal no plano horizontal pode ser qualquer. Dependendo dessa proje¸c˜ao ela pode ser: Paralela ao PV Nesse caso a reta ´e paralela `a linha de terra. Ver Figura 3, a seguir. Perpendicular ao PV Nesse caso a reta ´e chamada reta de topo. Sua proje¸c˜ao no PV se reduz a um ponto. Ver Figura 4, a seguir.
Figura 2:
Figura 3: 1.1.2
Reta paralela ao PV
S˜ao chamadas retas frontais.Ver Figura 5 Paralela a linha de terra Se a proje¸c˜ao da freta frontal no PH for paralela `a linha de terra teremos o caso acima, de reta paralela a linha de terra. reta vertical Se a proje¸c˜ao no PH se reduz a um ponto, isto ´e, a reta ´e perpendicular ao PH ent˜ao ela ´e chamada reta vertical. Ver Figura 6.
1.1.3
Reta de perfil
´ o nome que damos `as reta perpendicular `a linha de terra mas n˜ao perpendicular E ao PH ou PV. Ver Figura 6. Suas duas proje¸co˜es, no PH e PV s˜ao perpendiculares `a linha de terra.
Figura 4:
Figura 5: 1.1.4
Reta qualquer
´ o nome dado `a reta que n˜ao se enquadra em nenhuma das situa¸co˜es anteriores: E n˜ao ´e paralela a qualquer um dos planos de proje¸c˜ao, n˜ao ´e perpendicular a qualquer ´ inclinada em rela¸c˜ao `a linha de terra. Ver Figura; 7 a seguir. um deles. E
1.2
Tra¸cos de uma reta
Chamamos tra¸co de uma reta `a interse¸c˜ao dela com um plano. Os casos mais interessantes s˜ao os tra¸cos no PH, no PV, no PL e nos planos bissetores par e impar. Quando uma reta “fura” o PV no ponto P, ent˜ao P est´a no PV e seu afastamento ´e nulo, isto ´e, P1 est´a na linha de terra; Quando uma reta “fura” o PH no ponto Q, ent˜ao Q est´a no PH e sua cota ´e nula, isto ´e, P2 est´a na linha de terra.
Figura 6:
Figura 7: Na Figura: 8 acima, a reta r fura o plano PV em P, na parte superior e fura o plano PH em Q, na parte posterior.
1.3
Retas Paralelas e Retas Perpendiculares
Se as retas r e s s˜ao paralelas, conven¸ca-se que r1//s1 e que r2//s2, podendo ocorrer que as proje¸co˜es coincidam. Se r ⊥ s, conven¸ca-se que n˜ao ´e necess´ario que r1 ⊥ s1 e nem que r2 ⊥ s2. Para isso considere a reta r passando por A=(0,0,2) e B=(1,1,5) e a reta s passando por A e C=(1,2,1). Elas s˜ao perpendiculares mas sua proje¸co˜es nos planos PH e PV n˜ao s˜ao.
1.4
Interse¸c˜ ao de duas retas
Dadas duas retas (r1 e r2) e (s1 e s2) pode ocorrer que elas:
Figura 8:
Figura 9: Tenham interse¸c˜ao Ou seja, possuem um ponto comum P. Assim P1 est´a em r1 e s1, P2 est´a em r2 e s2 e alem disso P1 e P2 est˜ao na mesma “linha de chamada”. Caso isso n˜ao ocorra Sem interse¸c˜ao e paralelas As retas podem ser paralelas, caso r1//s1 e r2//s2 ou, Sem interse¸c˜ao e Reversas As retas n˜ao s˜ao paralelas mas n˜ao tem ponto em comum.
1.5
Exerc´ıcios
1. Desenhe a ´epura da reta r que passa pelos pontos A=(0,3,4) e B=(2,4,6). 2. Determine os tra¸cos da reta acima nos planos PH e PV. 3. Determine o tra¸co da reta do exerc´ıcio 1 no plano bissetor impar. 4. Determinar os tra¸cos horizontal e vertical da reta s, paralela `a reta r do exerc´ıcio 1, sendo que s passa por P=(-1,2,2). Antes, desenhe a ´epura de s.
Figura 10:
Figura 11:
Figura 12:
5. Desenhe a ´epura da reta t, de perfil, que passe por A=(0,2,4) e B=(0,6,2). Determine os tra¸cos de t. Talvez seja necess´ario considerar o PL de proje¸c˜ao. Resp: P0 P 1 = 10; Q0 Q2 = 5. 6. Desenhe a reta r cujos tra¸cos s˜ao A=(-1,2,0) e B=(2,0,6). 7. Reconsidere todas as retas dos exerc´ıcios anteriores. Desenhe a parte vis´ıvel delas com linha cheia, e com linha pontilhada o restante, indicando o diedro na qual est´a contida cada trecho. 2 −2 8. Verifique se P = ( −14 a na reta r do exerc´ıcio 1. Verifique que P 3 , 3 , 3 ) est´ est´a no plano bissetor par. Conclua.
9. Verifique se as retas de perfil r, passando por A=(2,1,3) e B=(2,3,5) e s, passando por C=(2,4,4) e D=(2,0,1) s˜ao paralelas. Observe que as proje¸co˜es r1 e s1 s˜ao paralelas, bem como r2 e s2. 10. Verificar se as retas r e s se interceptam,s˜ao paralelas ou reversas. A reta r passa por A=(2,3,4) e B=(3,5,6) e a reta s passa por C=(0,0,3) e D=(1,2,2). Resp: Reversas. 11. Sejam: r a reta passando por A=(2,1,6) e B=(2,3,5) e s a reta passando por C=(3,1.2) e D(3,2,1). As duas s˜ao retas de perfil. Decida se s˜ao paralelas ou n˜ao. Dica: Assuma que r//s. Ent˜ao elas determinam um plano. As retas por A e C (ou D) e por B e D (ou C) s˜ao retas desse plano, Se n˜ao forem paralelas devem ter um ponto comum. A ´epura constru´ıda confirma isso? Caso sim, as retas ser˜ao paralelas e caso n˜ao as retas s˜ao reversas. 12. Construa a ´epura de uma reta r qualquer. Determine r3, a proje¸c˜ao de r no plano lateral (PL). Dica: Marque dois pontos em r e determine a proje¸c˜ao deles no PL. A seguir, trace r3. 13. Determine a distˆancia da reta r paralela `a linha de terra `a linha de terra. Dica: ´ a hipotenusa de um triˆangulo cujos catetos s˜ao o afastamento e a cota dos E pontos de r. 14. O ponto A=(0,3,5) ´e um dos extremos do segmento AB de comprimento 3 cm e paralelo ao PV. Determine B e as proje¸co˜es A1B1 e A2B2 . 15. Mesmo exerc´ıcio acima, exceto que AB ´e paralelo ao PH. 16. Mesmo exerc´ıcio acima, exceto que AB ´e paralelo `a LT. 17. O segmento AB ´e paralelo ao PH e obl´ıquo em rela¸c˜ao ao PV. Desenhe sua ´epura, sabendo que: a) A cota de A ´e 3 cm; b) o afastamento dos pontos extremos s˜ao 3 cm e 6 cm; e c) o comprimento de AB ´e 9 cm.