Planos

1

Estudo dos planos

Lembramos que um plano ´e um ente geom´etrico primitivo. Deve ser pensado com se estendendo infinitamente. Se pensarmos em projetar um plano no sistema PH/PV n˜ao teremos nada especial para apresentar a n˜ao ser nos casos de planos perpendiculares a PH ou PV. Por essa raz˜ao quando tratarmos com planos, consideraremos como sua ´epura os seus tra¸cos com PH e PV, que chamaremos forma padr˜ao da ´epura. Lembramos que os tra¸cos de um plano com o PH, se existir, ser´a uma reta no PH e seu tra¸co com o PV, uma reta no PV. Lembramos ainda que: 1) Duas retas paralelas distintas determinam um plano; 2) Duas retas que se interceptam determinam um plano; 3) Trˆes pontos n˜ao alinhados determinam um plano; e 4) Uma reta e um ponto fora dela determinam um plano.

Segue portanto que um plano pode ser determinado, na ´epura, em cada um desses casos.

Assim, se α ´e um plano, sua ´epura pode ser como a seguinte: ver Figura: 1

Figura 1: 01

1.1

Tipos de planos

Os planos recebem nomes em acordo com sua posi¸c˜ao em rela¸c˜ao a PH e PV. Assim, temos: ´ o plano paralelo ao PH. Seu ´unico tra¸co ´e no PV. Ver Figura: 2 Plano Horizontal ou de n´ıvel E ´ o plano paralelo ao PV. Se ´unico tra¸co ´e no PH. Ver Figura: 3 Plano Frontal ou de Frente E ´ qualquer plano perpendicular ao PH. Possui tra¸cos no PH e no PV a menos Plano Vertical E que seja Frontal . Ver Figura:4 ´ qualquer plano perpendicular ao PV. Possui tra¸cos no PH e no PV, a menos Plano de Topo E que seja Horizontal. Ver Figura: 5

Figura 2: 02

Figura 3: 03

Figura 4: 04

Figura 5: 05

Figura 6: 06 ´ um plano perpendicular `a LT (automaticamente perpendicular a PH e PV).

Plano de Perfil E Possui tra¸cos com PH e com PV. Ver Figura: 6 ´ um plano paralelo `a LT e com tra¸cos no PV e PH. Ver Figura: 7 Plano de Rampa E Plano contendo a Linha de Terra Como o nome diz, ´e o plano de cont´em a Linha de Terra. ´ o plano que n˜ao se enquadra nos casos anteriores. Ver Figura: 8 Plano Inclinado E

1.2

Determina¸c˜ ao da ´ epura padr˜ ao de um plano

Um plano, como vimos acima, pode ser determinado de v´arias maneiras: duas retas paralelas, duas retas se interceptando, trˆes pontos n˜ao alinhados ou por uma reta e um ponto fora dela.

Todas essas situa¸co˜es podem ser levadas `a de duas retas paralelas. Vejamos porque.

Retas Secantes Escolha uma das retas ( r ) e um ponto na outra. Por esse ponto trace uma reta paralela a r. Temos duas retas paralelas...

Trˆes pontos n˜ao Alinhados Unindo dois deles temos uma reta. Pelo outro tra¸camos uma paralela...

Uma reta e um ponto fora dela J´a explicado no item anterior.

Problema: Determinar os tra¸cos do plano α determinado pelas retas r e s paralelas.

Dada a ´epura inicial onde temos r1, r2, s1, s2 procuramos pelos “tra¸cos” das duas retas. Se temos dois tra¸cos no PV ent˜ao (como est˜ao nas retas) eles est˜ao no plano procurado. E como est˜ao no PV, unindo-os teremos o tra¸co no PV. Com igual racioc´ınio obtemos o tra¸co no PH. Outro exemplo:

Figura 7: 07

Figura 8: 08

Figura 9: 09

Figura 10: 10

Figura 11: 11 e um outro

1.3

Determina¸c˜ ao de retas e pontos num plano

´ dado um plano via sua ´epura padr˜ao e precisamos determinar • Problema 1: E pontos nesse plano bem como determinar retas contidas nele.

Pontos do plano pertencentes aos tra¸cos s˜ao f´aceis de determinar. Marcados dois deles, distintos, podemos determinar uma reta contida no plano.

Resolu¸c˜ao do Problema: Dado o plano α, via sua ´epura padr˜ao, determinamos dois pontos dele A=(A1,A2) e B=(B1,B2) e depois, unindo A1 com B1 e A2 com B2, uma reta nele contida.

Na figura acima marcamos um ponto X, no plano e que n˜ao est´a nos tra¸cos do plano.

• Problema 2: Desenhe uma reta contida no plano inclinado cuja ´epura padr˜ao ´e conhecida.

Resolu¸c˜ao: Escolha uma proje¸c˜ao r1 (ou r2) qualquer. S´ o precisamos saber a outra proje¸c˜ao.

A Figura: 13 a seguir mostra a ´epura padr˜ao de α e a proje¸c˜ao r1 de uma reta nele contida. Como r1 corta o tra¸co α1 em B=(B1,B2) e a linha de terra em A=(A1,A2), basta ligar A2 e B2 para obter r2.

Observe que dependendo do tipo de plano a escolha de r1 (ou r2) pode ter restri¸co˜es. Por exemplo, se α ´e um plano vertical ent˜ao r1 s´ o pode ser escolhido coincidindo com α1.

Um bom exerc´ıcio, neste momento ´e: Quais tipos de retas podem estar contidas num plano do tipo T, (T horizontal, vertical, de frente, de rampa, de perfil, inclinado)?

Figura 12: 12

Figura 13: 13

Figura 14: 14 A Figura: 14 a seguir mostra a ´epura de α e a proje¸c˜ao r1 de uma reta r frontal nele contida. Como r1 corta o tra¸co α1 em A=(A1,A2) e como r est´a contida num plano frontal (paralelo ao PV) segue que r2 tem que ser paralela ao tra¸co α2 A Figura:15 a seguir mostra o mesmo plano α e a proje¸c˜ao r2 de uma reta r horizontal. Como r est´a contida num plano horizontal (e em α) est´a na interse¸c˜ao deles. Assim r1 deve ser paralela a α1.

• Problema 3: Temos uma reta qualquer r = (r1, r2) e precisamos determinar um plano que a contenha.

Resolu¸c˜ao: Qualquer plano que contenha r dever´a passar pelos tra¸cos dela.

Escolhendo aleatoriamente um terceiro ponto O (na Linha de Terra, para facilitar) determinamos o plano, cuja ´epura padr˜ao est´a na Figura: 16 a seguir.

A Figura:17 a seguir mostra uma reta frontal e queremos um plano α que a contenha.

Resolu¸c˜ao: S´ o podemos determinar um tra¸co da reta A=(A1,A2) . Escolhendo O na linha de terra, j´a podemos determinar o tra¸co α1, unindo A1 e O1. O tra¸co α2 do plano deve passar por O2 e ser paralelo a r2.

• Problema 4: Conhecido um plano α = (α1, α2) desenhar uma horizontal do plano e uma frontal do plano quando isso for poss´ıvel.

As retas procuradas s˜ao chamadas, `as vezes, de principais do plano.

No caso da horizontal do plano, sua proje¸c˜ao r2 ´e paralela `a Linha de Terra e sua proje¸c˜ao r1 ´e paralela a α1 j´a que r est´a contida num plano horizontal que ´e paralelo ao PH. Ver Figura: 18 a seguir.

No caso da frontal do plano, uma reta contida num plano paralelo ao PV, r1 ´e paralela a Linha de Terra e r2 paralela a α2. Ver Figura: 19 a seguir.

Figura 15: 15

Figura 16: 16

Figura 17: 17

Figura 18: 18

Figura 19: 19

Figura 20: 20

1.4

Reta de M´ aximo Declive

Considere um plano inclinado em rela¸c˜ao ao PH (ch˜ao). Marque um ponto P nesse plano e n˜ao no PH. Fa¸ca o seguinte experimento: Posicione uma bola de gude em P e solte-a, sem exercer for¸ca alguma. Repare que a bola rola pelo plano, sempre pelo mesmo caminho retil´ıneo, o mais curto entre P e o ch˜ao. Tal reta ´e chamada reta de m´aximo declive ou m´axima declividade do plano.

No caso de um plano α dado pela ´epura padr˜ao, a reta de maior declividade em um ponto do tra¸co P do tra¸co α1 ´e perpendicular a ele. Se Q ´e um ponto do tra¸co α2 ent˜ao a reta r cuja proje¸c˜ao vertical r2 ´e perpendicular a α2 ´e chamada reta de m´axima inclina¸c˜ao por alguns autores.

Em algumas aplica¸co˜es considera-se a semi reta de m´axima declividade, sendo sua origem um ponto de algum tra¸co do plano.

Figura 21: 21

Figura 22: 22 • Problema 1: Dado um plano α via sua ´epura, desenhar uma reta de m´axima declividade num ponto P do tra¸co α1.

• Problema 2: Dado um plano α via sua ´epura, desenhar uma reta de m´axima declividade num ponto P do tra¸co α2 (m´axima inclina¸c˜ao).

• Problema 3: Dada a semi reta de maior declividade de um plano α determinar sua ´epura padr˜ao.

• Problema 4: Dado um plano α via sua ´epura, desenhar uma reta de m´axima declividade passando pelo ponto P de α.

1.5

Aplica¸c˜ oes

Vamos estudar algumas aplica¸co˜es importantes, via exerc´ıcios.

1. Exerc´ıcio 1 Conhecemos um plano α via duas retas ( r e s) paralelas dele. Conhecemos tamb´em as proje¸co˜es de um pol´ıgono A2B2C2D2 no PV. Encontrar

Figura 23: 23

Figura 24: 24

a proje¸c˜ao A1B1C1D1 do pol´ıgono no PH. Resolu¸c˜ao: A figura 25 complementa os dados do problema.

Figura 25: Identifique os pontos M2. N2, O2 e P2, interse¸co˜es de r2 ou s2 com A2B2C2D2.

Com as linhas de chamada, identifique M1, N1, O1 e P1 nas proje¸co˜es r1 ou s1 correspondentes. Prolongando M 1N 1 podemos obter A1 e B1, usando as linhas de chamada. Prolongando B1O1 e usando as linhas de chamada obtemos C1. Prolongando C1P 1 e usando as linhas de chamada encontramos D1 e o exerc´ıcio est´a completo. A Figura 26 a seguir, embora muito carregada, poder´a ajudar no entendimento.

Figura 26: 2. Exerc´ıcio 2 Temos 4 pontos A, B, C e D no espa¸co e suas proje¸co˜es A1B1C1D1 e A2B2C2D2. Com base nessas informa¸co˜es determine se o pol´ıgono ´e plano ou n˜ao. Dados: Resolu¸c˜ao: Os pontos A, B e C determinam um plano. S´ o precisamos decidir se D est´a nesse plano ou n˜ao. Desenhe a reta BC, ligando B1 a C1 e B2 a C2. A proje¸c˜ao B1D1 corta A1C1 enquanto B2D2 corta A2C2. Ocorre que esses pontos n˜ao est˜ao na mesma linha de chamada. Assim, as retas BD e AC n˜ao s˜ao concorrentes e D n˜ao est´a no mesmo plano

Figura 27: que A,B e C. Sugiro que vocˆe verifique que os pontos m´edios M,N,P e Q de AB, BC, CD e DA est˜ao no mesmo plano. Esse ´e um resultado da Geometria Plana que pode ser verificado agora. Ver Figura:27

Figura 28: 3. Exerc´ıcio 3 Dado um plano via sua ´epura, desenhar nele uma reta horizontal (vertical) distante 3 cm do PH (do PV).

Resolu¸c˜ao: Trata-se de desenhar as “principais” do plano. Lembre-se da distˆancia 3 cm....

4. Exerc´ıcio 4 S˜ao dados: um plano α via sua ´epura e uma das proje¸co˜es do pol´ıgono ABCD contido em α. Pede-se determinar a outra proje¸c˜ao.

Resolu¸c˜ao: Trace as “horizontais” do plano passando por A2, B2, C2 e D2.

Com as linhas de chamada, determine A1. B1, C1 e D1.

1.6

Exerc´ıcios

1. Encontre um plano que contenha a reta r que passa por A=(2,1,3) e B=(4,2,4).

Figura 29: 2. Encontre um plano vertical que passe por A e B dados acima, se poss´ıvel.

3. Encontre um plano de topo que passe por A e B do exerc´ıcio 1, se poss´ıvel.

4. Encontre um plano horizontal que passe por A e B do exerc´ıcio 1, se poss´ıvel.

5. Encontre a ´epura padr˜ao do plano α que passa por A=(-2,0,0), B=(3,3,0) e C=(3, 0, 2). Dica: O primeiro ponto est´a na LT, o segundo no PV e o terceiro no PH. Os tra¸cos de α podem ser imediatamente desenhados.

6. Encontre a horizontal do plano α acima.

7. Encontre a vertical do plano α acima.

8. Determine o plano α (´epura padr˜ao) determinado pelas retas r = (r1, r2) e s = (s1, s2), nos seguintes casos: a) r passa por A=(2,2,1) e B=(3,1,5) e s passa por A e por C=(0,2,3); b) r passa por A=(0,0,2) e B=(0,3,0) e s passa por A e C=(3,2,2); c) r passa por A=(0,0,2) e B=(0,3,0) e s passa por C=(2,1,2) e ´e paralela a r; 9. Encontre a ´epura padr˜ao do plano determinado pelos pontos A=(2,1,1), B=(3,1,2) e C=(4, 3,3), se poss´ıvel.

10. Quais s˜ao as retas (tipos) que podem estar contidas nos v´arios tipos de planos?

Por exemplo, num plano horizontal podemos ter retas paralelas `a linha de terra, mas n˜ao podemos ter retas verticais. Lembre-se que a interse¸c˜ao de dois planos (quando existe) ´e uma reta que est´a em ambos...

11. Dada uma reta r = (r1, r2) encontrar um plano α que a contenha, nos seguintes casos: (a) A reta r ´e frontal e α ´e de topo, se poss´ıvel; (b) A reta r ´e qualquer e α ´e vertical, se poss´ıvel; (c) A reta r ´e de perfil e α ´e de rampa, se poss´ıvel; (d) A reta r ´e vertical e α ´e horizontal, se poss´ıvel; (e) A reta r ´e paralela `a linha de terra e α ´e inclinado, se poss´ıvel.

Figura 30: exerc´ıcio 11 12. Encontre a reta que ´e interse¸c˜ao dos planos α e β cujas ´epuras s˜ao as seguintes: 13. Fa¸ca a ´epura da interse¸c˜ao de um plano de rampa com um plano vertical.

14. Fa¸ca a ´epura da interse¸c˜ao de um plano horizontal com um plano vertical.

15. Fa¸ca a ´epura da interse¸c˜ao de um plano de rampa com um plano de perfil.