1
´ LUGARES GEOMETRICOS
Um dos m´etodos para resolver problemas de constru¸c˜oes de figuras geom´etricas ´e o m´etodo dos lugares geom´etricos: LG. A partir de agora vamos sistematiz´a-lo.
1.1
Defini¸c˜ ao
Chamamos “lugar geom´etrico” a um conjunto C de pontos de um plano (ou do espa¸co) com as seguintes caracter´ısticas : 1) Todo ponto de C tem uma mesma propriedade; 2) Nenhum ponto fora de C tem a propriedade acima referida.
1.2
Principais Lugares Geom´ etricos
L1 - C´ırculo O “lugar geom´etrico” dos pontos do plano situados `a distˆancia R de um ponto fixo O ´e a circunferˆencia de um c´ırculo.
L2 - Retas Paralelas O “lugar geom´etrico” dos pontos de um plano `a distˆancia d de uma reta fixa r ´e o par de retas paralelas s, t `a distˆancia d·
L3 - Bissetriz O “lugar geom´etrico” dos pontos do plano equidistantes de duas retas concorrentes ´e o par de retas perpendiculares que s˜ao bissetrizes dos ˆangulos determinados pelas duas retas.
L4 - Reta Paralela O “lugar geom´etrico“ dos pontos do plano equidistantes de duas retas paralelas ´e a reta paralela `as duas e situada a igual distˆancia entre elas. L5 - Arco capaz O ”lugar geom´etrico“ dos pontos do plano que ”enxergam“ um segmento dados AB sob ˆangulo dado α ´e o arco-capaz de α. L6 - Mediatriz O ”lugar geom´etrico“ dos pontos do plano equidistantes de dois pontos fixos A e B ´e a mediatriz do segmento AB,
1.3
Aplica¸c˜ oes
Vamos agora resolver alguns problemas ilustrativos. N˜ao se preocupe se algum problema for muito simples. Treinaremos com eles, para os mais dif´ıceis. Problema 1 Construir o triˆangulo cujos lados a, b e c s˜ao dados. Solu¸c˜ao: Come¸camos por tra¸car uma reta e marcar nela um dos 3 lados dados, digamos a. Ent˜ao j´a sabemos a posi¸c˜ao de dois v´ertices B e C. O v´ertice A est´a `a b unidades do v´ertice C e `a c unidades do v´ertice B, e ent˜ao, por L1, A est´a na interse¸c˜ao de dois c´ırculos. O problema pode n˜ao ter solu¸c˜ao se os c´ırculos n˜ao se interceptarem ou se se tangenciarem. Afora essa situa¸c˜ao, teremos duas solu¸c˜oes vistas na figura a seguir
Problema 2 Construir o triˆangulo cujos lados a e b e altura hA s˜ao dados. Solu¸c˜ao: Come¸camos por marcar a numa reta r. Os pontos B e C ficam determinados. O ponto A est´a `a distˆancia b de C (L1) e `a distˆancia hA da reta r. Teremos 0 solu¸c˜oes se hA > b e duas ou quatro solu¸c˜oes nos demais casos. Veja a figura a seguir: • Problema 3 Dado um triˆangulo com as medidas AB = 9 cm, BC = 12 cm e AC = 11 cm intersect´a-los por um c´ırculo, de modo que resulte sobre cada um de seus lados uma corda de 6 cm de comprimento. (E.E.M.-1950) Solu¸c˜ao: Suponha o problema resolvido e fa¸ca um rascunho denotando o centro do c´ırculo por O. Conven¸ca-se que O equidista dos segmentos (retas)
AB, AC e BC. Aplique o L3. Ache um ponto do c´ırculo e desenhe-o.
• Problema 4 S˜ao dadas duas retas paralelas t e t’ e, entre elas, um ponto P. Construir c´ırculos tangentes a t e t’ e que passem por P (C.Marmo, Livro 2: M´etodos I,p´agina 60) Solu¸c˜ao: O diˆametro de cada c´ırculo poss´ıvel ´e a distˆancia entre as retas t e t’. Obtenha essa distˆancia tra¸cando uma reta perpendicular comum a t e t’. O centro do c´ırculo, por L4, est´a na reta paralela `a igual distˆancia entre t e t’. Para obtˆe-la, trace a mediatriz do segmento perpendicular entre t e t’.
• Problema 5 ˆ hA e os pontos m´edios Mb e Construa o triˆangulo ABC, conhecendo A, Mc dos lados AB e AC. Dados:
Solu¸c˜ao: O segmento Mb Mc ´e paralelo `a base BC `a distˆancia h2A de A (L2). Alem disso A ”vˆe“ Mb Mc sob ˆangulo Aˆ (L5). Uma solu¸c˜ao desenhada ´e a seguinte: • Problema 6 ˆ D ˆ e sabendo Construir o quadril´atero ABCD conhecidos os lados AB, BC, B, que AD = BD.
Solu¸c˜ao: Fa¸ca uma figura rascunhada da situa¸c˜ao. O △ABC pode ser constru´ıdo. O triˆangulo △ABD ´e is´osceles e portanto D est´a na mediatriz de AB. Para completar, D enxerga o segmento AC que j´a foi desenhado. • Problema 7 Desenhe um triˆangulo △ABC conhecidos BC = 10 cm, hA = 6 cm e mA = 7 cm. Solu¸c˜ao: O ponto A est´a a 6 cm da base (L2) e a 7 cm do ponto m´edio da base. • Problema 8
Construir um triˆangulo conhecidos o lado a, a mediana mA tirada de A e ˆ Os dados est˜ao na figura abaixo: o A. Solu¸c˜ao: O ponto A ”vˆe“ o lado a sob ˆangulo conhecido e est´a `a distˆancia conhecida do ponto m´edio de a. No livro Curso de Desenho, livro 2 de C. Marmo est˜ao muitos exemplos de exerc´ıcios resolvidos e muitos exerc´ıcios propostos.