Tangência e concordância

ˆ ˆ TANGENCIA E CONCORDANCIA

1

A partir de agora vamos tratar dos seguintes problemas: tra¸car uma tangente a um c´ırculo, passando por um ponto P da circunferˆencia do c´ırculo ou fora dele; desenhar dois c´ırculos tangentes externa ou internamente; “concordar” um segmento de reta e um arco de c´ırculo; e, concordar arcos de c´ırculos.

1.1

Teoremas Relacionados:

Vamos enunciar alguns teoremas que s˜ao aplicados `as quest˜oes que ser˜ao tratadas:(Ver Figura 1) T1 Se P ´e um ponto da circunferˆencia de um c´ırculo de centro O e r ´e uma reta tangente em P ent˜ao OP ⊥ r ou seja, o raio ´e perpendicular `a reta ]tangente,(fig 1) T2 Se dois c´ırculos s˜ao tangentes (interna ou externamente) ent˜ao a reta que une os centros contem o ponto de tangˆencia. (fig 2 e fig 3) T3 Se r e s s˜ao retas concorrentes e tangentes a um c´ırculo ent˜ao o centro do c´ırculo est´a na bissetriz de um dos ˆangulos formados por r e s. (fig 4)

Figura 1:

1.2

Tangˆ encia reta x c´ırculo

Em termos gerais, uma reta tangencia uma curva no ponto P se, nas vizinhan¸cas de P n˜ao h´a outros pontos comuns. Em termos mais precisos, no ponto P a normal `a curva ´e perpendicular a reta (Conceitos de C´alculo Diferencial e Integral).

No caso de um c´ırculo, uma reta ´e tangente se tem apenas um ponto comum com o c´ırculo.

1.2.1

Problemas:

• Problema 1 Dado um c´ırculo e um ponto P na circunferˆencia, desenhar a reta tangente em P .

Solu¸c˜ao: Com base no [T1] citado acima, desenhamos o raio do ponto P e uma perpendicular, em P , a esse raio. Ver Figura 2

Figura 2: • Problema 2 Dado um c´ırculo e um ponto P no seu exterior, tra¸car a reta tangente (tra¸car as duas tangentes poss´ıveis).

Solu¸c˜ao: S˜ao conhecidos o raio R do c´ırculo, seu centro O e a distˆancia d de P a O. Observe a Figura 3 a seguir e perceba que do triˆangulo retˆangulo △P OQ precisamos determinar o cateto P Q. Determinado esse comprimento, podemos determinar Q no c´ırculo, (duas possibilidades) recaindo no problema anterior,

Figura 3: • Problema 3 Dada uma reta r e um ponto O fora dela, construir o c´ırculo de centro O tangente a r.

Solu¸c˜ao: Lembrando o [T1] acima, o raio OP deve ser perpendicular a r • Problema 4 Dada uma reta r e um ponto P ∈ r, desenhar um c´ırculo de raio R dado, tangente a r no ponto P . Ver Figura 4 Solu¸c˜ao: O raio de medida R deve ser desenhado perpendicular a r no ponto P.

Figura 4: • Problema 5 Dada uma reta r, P ∈ r e Q ∈ / r, desenhar o c´ırculo contendo Q e tangente a r em P . Figura 5 Solu¸c˜ao: Precisamos encontrar o centro do c´ırculo. Ele est´a na reta perpendicular a r em P e na mediatriz da corda P Q do c´ırculo.

Figura 5: • Problema 6 Dadas duas retas concorrentes r e s, desenhar o c´ırculo de raio R tangente `as duas retas. Figura 6 Solu¸c˜ao: O centro do c´ırculo est´a na bissetriz do ˆangulo adequado formado pelas retas r e s, al´em de estar numa reta paralela a r (e s) `a distˆancia R.

Figura 6: • Problema 7 Dadas 3 retas r, s e t duas delas nunca paralelas, desenhar o c´ırculo tangente `as 3 retas. Figura 7 Solu¸c˜ao: Lembrando o problema anterior, o centro do c´ırculo est´a nas duas bissetrizes. Encontrado o centro, reca´ımos no P3.

Figura 7:

1.3

Tangˆ encia entre c´ırculos

Dois c´ırculos s˜ao tangentes quando tem apenas um ponto em comum (e uma reta tangente comum nesse ponto). Os dois c´ırculos podem ser tangentes exteriormente

ou tangentes interiormente.

1.3.1

Problema:

Problema 1 Dado o c´ırculo de centro O e um ponto P em sua circunferˆencia, desenhar c´ırculos tangentes interiores e exteriores tangentes em P e com raio R dado.

Solu¸c˜ao: Se R ´e menor que o raio do c´ırculo dado, trace a semi-reta OP e marque o comprimento R `a direita e `a esquerda de P, obtendo X e Y . Com centro em cada um desses pontos trace os c´ırculos passando por P . Ver Figura 8

Figura 8: Problema 2 Dado o c´ırculo C(O, R) de centro O e raio R, M ∈ C e N ∈ / C, desenhe o c´ırculo tangente a C em M , de modo que esse c´ırculo passe por N . Figura 9 O centro do c´ırculo procurado est´a na reta OM , conforme [T2]. Al´em disso a mediatriz da corda M N tamb´em passa por ele.

Figura 9: Problema 3 Seja C(O, R) um c´ırculo e M ∈ / C. Desenhe o c´ırculo de raio r, tangente exteriormente a C e que passe por M . Figura 10 Seja P o centro desse c´ırculo. Ent˜ao d(O, P ) = R + r e portanto P est´a no c´ırculo de raio R + r. Como d(M, P ) = r, P est´a no c´ırculo de centro M e raio r. A interse¸c˜ao desses c´ırculos contem P (e um outro ponto que fornece outra solu¸c˜ao).

Figura 10: Problema 4 Dados o c´ırculo C(O, R) e a reta s, desenhe o c´ırculo de raio r que tangencie simultaneamente a reta s e o c´ırculo C. Figura 11 O centro do c´ırculo procurado est´a no c´ırculo C(O, R + r) e dista r da reta s.

Figura 11: Problema 5 Dados os c´ırculos C(O, R) e C(P, r) construir o c´ırculo de raio a que tangencie ambos, externamente. Figura 12 O centro Q do c´ırculo procurado est´a nos c´ırculos C(O, R + a) e C(P, r + a).

Duas solu¸co˜es.N˜ao h´a solu¸c˜ao se d(O, P ) > R + r + a.

Figura 12: Problema 6 Dados os c´ırculos C(O, R) e C(P, r) construir o c´ırculo tangente externamente aos dois, sendo M um dos pontos de tangˆencia. Figura 13

Figura 13: Problema 7 Dados os c´ırculos C(O, R) e C(P, r) construir o c´ırculo tangente aos dois, sendo um deles interno, com M um dos pontos de tangˆencia. Figura 14

Figura 14: Comece tra¸cando a semi-reta OM , sobre a qual est´a o centro Q do c´ırculo procurado. Marque N de modo que M N = P R = r, o menor dos raios.

Os pontos M e P equidistam de Q, logo devem estar na mediatriz de M P .

Obtido Q, trace o c´ırculo procurado, que passa por M Problema 8 Dado um c´ırculo C de raio R e centro O, uma reta secante r e um ponto P ∈ r interno ao c´ırculo, tra¸car o c´ırculo tangente a r no ponto P e tangente a C internamente. Observa¸c˜ao: este problema ´e importante no desenho de Arcos Abatidos de 3 ou de 5 ou mais centros.

Para resolver, fa¸ca uma figura `a m˜ao livre que solucione a quest˜ao. Marque P, Q (ponto de tangˆencia dos dois c´ırculos), R o centro do c´ırculo interno (que deve estar na perpendicular a r por P. As distˆancias RP e RQ s˜ao iguais (*), mas isso n˜ao ajuda pois n˜ao conhecemos R. Mas se tra¸camos os segmentos QRO = P RX e considerarmos a informa¸c˜ao (*) segue que RO = RX ,ou seja, o triˆangulo ORX ´e is´ osceles e R est´a na mediatriz da base OX. Encontrado R, desenhe o c´ırculo.

Figura 15:

1.4

Concordˆ ancia

Dizemos que duas curvas C1 e C2 concordam num ponto comum P se a tangente nesse ponto a uma das curvas tamb´em tangencia a outra.

Nossos casos de estudo s˜ao trˆes: 1) concordar um segmento com um arco de c´ırculo; 2) concordar dois arcos de c´ırculo e, 3) concordar v´arios arcos e semi-retas ou segmentos..

A figura a seguir apresenta curvas concordantes na parte I e n˜ao concordantes na parte II

Figura 16: ´ preciso lembrar que n˜ao existe apenas um arco concordando com um segmento E ou outro arco. A figura a seguir mostra 3 arcos concordando com um segmento e ao lado 3 arcos concordando com um outro.

Figura 17:

1.4.1

Concordˆ ancia segmento x arcos

Um segmento e um arco de c´ırculo somente s˜ao concordantes em um ponto comum se o segmento tangenciar o arco.

Problema 1 Dado um segmento AB construa um semi-c´ırculo de raio 2 cm em con-

cordˆancia com ele. Ver Figura 18 Problema 2 Dado um segmento CD construa um arco de c´ırculo que passe pelo ponto P dado e que concorde com o segmento· Ver Figura 18

Figura 18:

1.4.2

Concordˆ ancia entre arcos

Dois arcos est˜ao em concordˆancia em um ponto P se os c´ırculos que os contem s˜ao tangentes em P . Assim, a linha dos centros passa por P .

Problema 1 Desenhe arcos com raios 2 cm e 3 cm que tenham o mesmo sentido e sejam concordantes. Repita a constru¸c˜ao para arcos de sentido contr´ario.

Solu¸c˜ao: No caso de arcos de mesmo sentido desenhe um semi-c´ırculo de raio 3 cm e outro de raio 2 cm tangente internamente. No caso de sentidos contr´arios o segundo semi-c´ırculo deve ser tangente externamente. Ver Figura 19 a seguir:

Figura 19: Problema 2 Desenhe um arco passando por P e que seja concordante e de mesmo sentido ( ou de sentido contr´ario) com o arco AB dado.

Solu¸c˜ao: Os pontos B e P pertencem ao semi-c´ırculo procurado logo o centro dele est´a na mediatriz de P B. Como os semi-c´ırculos devem ser tangentes em B o centro do semi-c´ırculo procurado est´a no raio tirado de B ou seu prolongamento. Ver figuras f1 e f2 na Figura 20 seguir.

Figura 20: Problema 3 Concorde dois arcos de c´ırculo com um arco de sentido contr´ario, sendo M um dos pontos de concordˆancia.

Solu¸c˜ao: Considerando os c´ırculos completos, procuramos o c´ırculo tangente comum aos dois (Problema P6 da se¸c˜ao anterior). Ver Figura 21

Figura 21: Problema 4 Concorde dois arcos de c´ırculo com um arco de mesmo sentido que um deles, sendo M um dos pontos de concordˆancia.

Solu¸c˜ao: Ver o problema P7 da se¸c˜ao anterior. Ver Figura 22

Figura 22:

1.4.3

Concordˆ ancia entre v´ arios arcos e segmentos

.

Vamos aplicar os conceitos vistos acima a situa¸co˜es variadas apresentadas como problemas.

Problema 1 Concordar os dois segmentos de reta AB e CD, paralelos com um arco com mesmo “n´ıvel de origem” (chamado arco romano).]

Solu¸c˜ao: O arco deve tangenciar os segmentos em B e D. Assim BD ´e seu diˆametro. Ver Figura 23

Figura 23: Problema 2 Dados os segmentos paralelos AB e CD onde B e C tem o mesmo “n´ıvel de origem”, concord´a-los com dois arcos de mesmo raio mas com sentidos contr´arios.

Solu¸c˜ao: A “linha de n´ıvel” (segmento que une os pontos de n´ıvel) deve ser dividida em 4 partes iguais. O primeiro e terceiro pontos servir˜ao de centros para os arcos.Figura 24

Figura 24:

Problema 3 Mesmo problema acima, mas com os raios dos arcos na propor¸c˜ao 1 : 2.

Solu¸c˜ao: O diˆametro de um dos arcos ser´a Executando, obtemos a Figura 25 a seguir:

1 3

da linha de n´ıvel e o outro

2 3.

Figura 25: Problema 4 Concordar duas semi-retas paralelas de sentido opostos, origens A e B e sem n´ıvel de origem, com dois arcos de sentido contr´ario e mesmo raio com pontos de concordˆancia em A e B..

Solu¸c˜ao: Se M ´e o ponto m´edio do segmento AB ent˜ao os pontos de concordˆancia ser˜ao A, B e M. O arco de A at´e M tem centro G na perpendicular `a semi-reta de origem A e tamb´em na mediatriz de AM . Coisas an´alogas valem para o centro H do arco que vai de B at´e M. Veja Figura 26 a seguir:

Figura 26:

Problema 5 Mesmo problema acima, mas com os diˆametros dos arcos iguais a AN e N B. Solu¸c˜ao: Inteiramente an´aloga `a anterior. A Figura 27 ´e:

Problema 6 Dadas duas semi-retas ortogonais de origens A e B, concord´a-las nesses pontos com dois arcos de sentido contr´ario.

Solu¸c˜ao: Os centros C e D est˜ao nas perpendiculares `as semi-retas por A e por B. Os arcos procurados est˜ao em c´ırculos tangentes o que implica em C, D e B alinhados. A Figura 28 a seguir ´e a solu¸c˜ao.

Problema 7 Concordar duas retas secantes por um arco de c´ırculo de raio AB dado.

Solu¸c˜ao: O centro do c´ırculo deve estar na bissetriz do ˆangulo escolhido.

Al´em disso deve distar AB de cada reta. Determinado o centro A do arco, desenhamos o arco que deve ir de uma reta `a outra. Desenhamos duas solu¸co˜es das 4 poss´ıveis Figura 29.

Observe que nesta constru¸c˜ao os pontos de concordˆancia n˜ao foram dados.

Problema 8 Concordar uma reta r com um arco de centro T e raio s, usando um arco de c´ırculo de raio conhecido AB de sentido contr´ario. Ver Figura 30 com os dados:

Solu¸c˜ao: O centro do arco de concordˆancia est´a numa paralela a r `a distˆancia AB dela. Alem disso est´a a AB + s de T, pois os dois c´ırculos s˜ao tangentes.

Com isso achamos o centro do arco. Basta tra¸car o arco de seu in´ıcio na reta r at´e seu extremo no c´ırculo de centro T. Figura 31

Problema 9 Mesmo problema acima, mas com os dois arcos de mesmo sentido.

Solu¸c˜ao: An´alogo ao anterior exceto pelo fato da distˆancia de T at´e o centro do c´ırculo ser AB − s Figura 32