1
ˆ CONICAS
Vamos agora estudar as cˆonicas, curvas que tem muitas aplica¸c˜oes em todas as ´areas da ciˆencia, muito usadas na Arquitetura e Engenharia. Essas curvas podem ser obtidas pela interse¸c˜ao de um plano com uma superf´ıcie cˆonica, raz˜ao para serem chamadas cˆonicas. (Figura 1)
Figura 1: ´ ´ As cˆonicas s˜ao classificadas como C´IRCULO, ELIPSE, HIPERBOLE ou PARABOLA. Algumas cˆonicas s˜ao degeneradas: um ponto, uma reta, duas retas paralelas ou 2 duas retas concorrentes.
1.1
C´IRCULO
Considere um cone. Corte-o por um plano perpendicular ao eixo. Vamos obter uma curva chamada C´IRCULO, j´a estudado suficientemente. (Figura 2)
Figura 2:
1.2
ELIPSE
Uma elipse pode ser obtida pela interse¸c˜ao do cone com um plano que corte o eixo da elipse. Quando o plano for perpendicular ao eixo temos a elipse circular. Quando o ˆangulo n˜ao ´e 90◦ temos uma elipse n˜ao circular. (Figura 3) A Figura 4 a seguir ´e de uma elipse. Aproveitamos para apresentar os elementos da mesma:
Figura 3:
Figura 4:
Focos Os pontos F 1 e F 2; V´ertices Os pontos A e A’, B e B’; Centro O ponto O; Eixos AA′ ´e o eixo maior e BB ′ ´e o eixo menor; Semi-eixos OA = OA′ semi-eixo maior e OB = OB‘ semi-eixo menor.
A principal propriedade de uma elipse, e que `as vezes ´e usada como sua defini¸c˜ao ´e: “A soma da distˆancia de um ponto P a F1 com sua distˆancia ao ponto F2 ´e constante e designada por 2a. Assim, a partir da figura acima, temos: d(P, F 1) + d(P, F 2) = 2a (onde d(A, B) significa distˆancia do ponto A at´e o ponto B). Na disciplina de Geometria Anal´ıtica ou no C´alculo Diferencial e Integral ´e visto que a equa¸c˜ao de uma elipse ´e x2 y 2 + 2 =1 a2 b onde, se a2 > b2 ent˜ao a ´e o comprimento do semi-eixo maior e b o do semi-eixo menor. Caso b2 > a2 ent˜ao a elipse tem seus focos no eixo y e o eixo maior mede b e o menor mede a. (Figura 5)
Figura 5: No que segue vamos supor que o semi-eixo maior ´e a. Caso contr´ario tire as conclus˜oes de modo an´alogo ao exposto. As coordenadas dos pontos extremos da elipse s˜ao A = (−a, 0) e A′ = (a, 0), onde estamos supondo que a > 0, e portanto d(A, A′ ) = 2 a
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de modo que a distˆancia entre os v´ertices ´e igual `a soma das distˆancias d(P, F 1) + d(P, F 2) = 2a As coordenadas dos pontos extremos do eixo menor s˜ao B = (0, −b) e B ′ = (0, b) onde b ´e suposto positivo. Se asp coordenadas dos focos s˜ap o F 1 = (−f, 0) e F 2 = (f, 0) ent˜ao d(B, F 1) = b2 + f 2 e d(B, F 2) = b2 + f 2 . Como a soma dessas distˆancia ´e 2 a, temos: p p b2 + f 2 + b2 + f 2 = 2 a isto ´e, b2 + f 2 = a2 ou f 2 = a2 − b2 . Conclu´ımos que a semi-distˆancia focal ´e um cateto do triˆangulo retˆangulo de hipotenusa a e outro cateto b. Ver Figura 6:
Figura 6: Suponha que conhe¸camos os dois focos e um ponto da elipse. Como constru´ı-la? Os sistemas CAD tem a solu¸c˜ao imediata para essa situa¸c˜ao. Primeiro vamos determinar os pontos extremos do eixo maior. Como conhecemos um ponto e os focos podemos determinar graficamente o valor 2 a. Podemos tamb´em determinar o centro O da elipse, que ´e ponto m´edio entre os pontos focais. Com o compasso com abertura a e centro O, determinamos na reta que une os focos as posi¸c˜oes dos v´ertices. Com centro em um dos focos e abertura a determinamos os pontos B e B’ extremos do eixo menor localizados na mediatriz de AA′ . Ver Figura 7
Figura 7: Outros pontos da elipse podem ser obtidos como explicado a seguir. Suponha que queremos desenhar uma elipse conhecidos os dois focos e a constante 2 a. Come¸camos por encontrar os pontos A e A’,( como explicado acima) e o centro O. Marcamos um ponto auxiliar X entre O e A. Ent˜ao AX e XA’ tem comprimentos que somados d˜ao 2 a . Com abertura AX e centro em F1 e depois em F2 tra¸camos dois c´ırculos. Com abertura XA’ e centro nos focos tra¸camos mais dois c´ırculos. Os 4 pontos de interse¸c˜ao dos c´ırculos (E1, E2, E3 e E4) s˜ao pontos da elipse. Escolha outro X e encontre mais 4 e assim por diante at´e que fique satisfeito com o total de pontos obtidos. Ligue-os `a m˜ao livre e temos a elipse. Ver Figura 8 com os pontos E1, ..., E4.
Figura 8:
1.3
´ HIPERBOLE
Uma hip´erbole pode ser obtida pela interse¸c˜ao da superf´ıcie cˆonica com um plano paralelo ao eixo dele. Veja, Figura 9, que o plano corta as duas partes do cone.
Figura 9: A Figura 10 a seguir ´e uma hip´erbole. Os principais elementos de uma hip´erbole s˜ao os seguintes: Focos S˜ao os pontos F1 e F2 na figura acima; V´ertices S˜ao os pontos V1 e V2 da figura; Eixos Temos dois: 2 a ´e o eixo real (ou transverso, ou principal) e 2 b ´e o eixo imagin´ario (ou n˜ao transverso) Distˆancia Focal ´e o segmento F1 F2 de comprimento 2 f ; ´ o segmento V1 V2 de comprimento 2 a; Diˆametro E ´ o ponto m´edio do diˆametro. (N˜ao est´a marcado na figura acima). Centro E
Figura 10: A principal propriedade de uma hip´erbole, e `as vezes usada para defin´ı-la, ´e: ”Uma hip´erbole ´e o Lugar Geom´etrico dos pontos do plano cuja diferen¸ca de distˆancias a dois pontos fixos F 1 e F 2 ´e constante e igual a 2 a.“ Na disciplina de Geometria Anal´ıtica ou no C´alculo Diferencial e Integral ´e visto que a equa¸c˜ao de uma elipse ´e x2 y 2 − 2 = 1(1) a2 b ou ent˜ao
x2 y 2 − 2 = −1(2) a2 b
Se a equa¸c˜ao tem a forma (1) ent˜ao seu eixo real ´e horizontal. No caso da forma (2) o eixo real ´e vertical e os focos e v´ertices est˜ao nesse eixo. A Figura 11 a seguir mostra as hip´erboles gr´afico.
x2 4
2
− y9 = 1 e
x2 4
2
− y9 = −1 no mesmo
Figura 11: Suponha que conhe¸camos os dois focos e um ponto da hip´erbole. Como constru´ıla? Os sistemas CAD tem a solu¸c˜ao imediata para essa situa¸c˜ao. Primeiro vamos determinar os v´ertices da hip´erbole. Como conhecemos um ponto e os focos podemos determinar graficamente o valor 2 a. Ver Figura 12.
Podemos tamb´em determinar o centro O, que ´e ponto m´edio entre os focos. Com a o compasso centrado em cada foco e abertura 2 f −2 encontramos os v´ertices. 2 Ver Figura 12:
Figura 12: Suponha que queremos desenhar uma hip´erbole conhecidos os dois focos e a constante 2 a. Come¸camos por encontrar os pontos V1 e V2 e o centro O , como explicado acima. Marcamos um ponto auxiliar X `a direita de F2. Ent˜ao V1 X e V2 X tem comprimentos que diferem por 2 a. Com abertura V1 X e centro em F1 e depois em F2 tra¸camos dois c´ırculos. Com abertura V2 X e centro nos focos tra¸camos mais dois c´ırculos. Os 4 pontos de interse¸c˜ao dos c´ırculos (E1, E2, E3 e E4) s˜ao pontos da hip´erbole. Escolha outro X e encontre mais 4 e assim por diante at´e que fique satisfeito com o total de pontos obtidos. Ligue-os `a m˜ao livre e temos a hip´erbole. Ver Figura 13 at´e o ponto de obter E1, ..., E4. Observa¸c˜ao: conv´em apagar os c´ırculos logo ap´os obtidos os pontos E1, E2, E3 e E4 para evitar a polui¸c˜ao visual.
Figura 13:
1.3.1
Eixos de uma hip´ erbole
Uma hip´erbole tem o eixo real de medida 2 a e o eixo imagin´ario com medida 2 b. A rela¸c˜ao entre a, b e f ´e f 2 = a2 + b2 . Assim fica f´acil determinar graficamente o semi-eixo b. 1.3.2
Ass´ıntotas de uma hip´ erbole
Uma hip´erbole admite duas ass´ıntotas, que s˜ao retas que se aproximam da hip´erbole mais e mais sem no entanto cort´a-la. Para desenh´a-las, levante perpendiculares a partir dos v´ertices e intercepte-as com as paralelas (duas: uma abaixo outra acima) ao eixo real `a distˆancia b. Os quatro pontos de interse¸c˜ao formam um retˆangulo. As ass´ıntotas s˜ao as retas que contem as diagonais desse retˆangulo. Ver Figura 14
Figura 14: Se desenhamos as ass´ıntotas primeiro, fica mais f´acil desenhar a hip´erbole.
1.4
´ PARABOLA
Para obter uma par´abola como interse¸c˜ao do cone com um plano, devemos utilizar um plano paralelo `a geratriz do cone. Figura 15
Figura 15: A Figura 16 a seguir ´e uma par´abola. Os elementos principais de uma par´abola, identificados na figura abaixo s˜ao: Foco O ponto F ; V´ertice O ponto V ; ´ o eixo d; Diretriz E ´ a reta e que passa pelo v´ertice e pelo foco. Eixo E A principal propriedade de uma par´abola, e que `as vezes ´e usada para defin´ı-la, ´e: ”Chamamos par´abola ao lugar geom´etrico dos pontos que equidistam de F e de uma reta d chamada diretriz.“ Na disciplina de Geometria Anal´ıtica ou no C´alculo Diferencial e Integral ´e visto que a equa¸c˜ao de uma elipse ´e y 2 = 2px
(1)
x2 = 2py
(2)
ou ent˜ao
Se a equa¸c˜ao da par´abola tem a forma (1) ent˜ao seu eixo ´e horizontal. No caso da forma (2) o eixo ´e vertical e o foco e o v´ertice est˜ao nesse eixo. A Figura 17 a seguir mostra as hip´erboles y 2 = 4x e x2 = 4y no mesmo gr´afico.
Figura 16:
Figura 17: Suponha que conhe¸camos o foco e a diretriz da par´abola. Como constru´ı-la? Os sistemas CAD tem a solu¸c˜ao imediata para essa situa¸c˜ao. ˆ ´e o ponto m´edio entre o foco F e Primeiro vamos determinar o v´ertice dela. Ele o p´e da perpendicular `a diretriz tirada de F. Para obter mais pontos da par´abola vamos usar a defini¸c˜ao: Trace uma paralela `a diretriz passando por qualquer ponto na semi-reta VF de origem V e passando por F. Suponha que tal reta ´e r na Figura 18 a seguir.
Ent˜ao a distˆancia da diretriz at´e um ponto P de r ´e conhecida (digamos que seja D) . Se essa distˆancia for igual a d(F, P ) ent˜ao P est´a na par´abola. Com o compasso em F e abertura igual a D, obtemos M e N na reta r e na par´abola. Trace outra reta para obter outros dois pontos e quando estiver satisfeito com a quantidade, ligue-os `a m˜ao livre . `a m˜ao livre.
Figura 18: Se queremos construir a par´abola com equa¸c˜ao do tipo y 2 = 2px, p > 0, temos: Seu eixo ´e horizontal (o eixo x). Seu v´ertice ´e V = (0, 0). A reta diretriz ´e vertical e tem por equa¸c˜ao x = −a onde a ´e positivo a determinar. O p´e da perpendicular tirada de V ´e P = (−a, 0). Assim, como V ´e o ponto m´edio entre (0,0) e o foco, devemos ter F = (a, 0). √ S´o falta determinar a para que tudo fique determinado. Ora, B = (p, p 2) est´ p a na par´abola e sua distˆancia `a d ´e p + a e sua distˆancia at´e F = (a, 0) ´e (p − a)2 + 2p2 Assim (p − a)2 + 2p2 = (p + a)2 ou seja p2 − 2ap = 0 ou seja p = 0 ou p = 2a. S´o ´e poss´ıvel esta ´ultima. Assim a = 2p . Portanto a diretriz ´e x = − 2p e o foco F = ( p2 , 0). Outros pontos podem ser constru´ıdos como explicado acima.
1.5
ˆ CONICAS DEGENERADAS
Uma cˆonica degenera em um ponto quando o plano que corta a superf´ıcie cˆonica passa pelo v´ertice dela. Uma cˆonica degenera em duas retas concorrentes quando o plano passa pelo seu v´ertice e contem o eixo da mesma. Se, numa hip´erbole, os focos se afastam dos v´ertices, os ramos da mesma tendem a duas retas paralelas.