DEFINIÇOES E TEOREMAS

Cap´ıtulo 1 ˜ DEFINIC ¸ OES E TEOREMAS JUSTIFICANDO AS ˜ CONSTRUC ¸ OES ´ GEOMETRICAS No Desenho Geom´etrico procuramos desenhar elementos geom´etricos em uma superf´ıcie adequada. Normalmente as figuras representadas tem medidas que devem ser reproduzidos com fidedignidade e s˜ao solu¸c˜oes para um problema real. Os desenhistas quando trocam informa¸c˜oes devem utilizar uma linguagem comum e t´ecnica: a da Geometria Euclidiana Plana e Espacial.

Isto posto temos, a seguir, uma se¸c˜ao de defini¸c˜oes dos entes geom´etricos que deve ser entendida e utilizada por todos. A seguir uma se¸c˜ao de resultados da Geometria Plana que ser˜ao utilizados para justificar as constru¸c˜oes feitas. Alguns alunos desprezam essas justificativas e s´o d˜ao importˆancia `a “receita” apropriada para cada quest˜ao. Justificamos a existˆencia da se¸c˜ao referida lembrando que o entendimento da constru¸c˜ao evita que os procedimentos sejam “decorados“.

1.1

˜ DEFINIC ¸ OES

Na Geometria Plana os entes geom´etricos PONTO, RETA e PLANO n˜ao tem defini¸c˜ao. Definir um objeto significa explic´a-lo utilizando um outro objeto mais simples. Essa ”descida“ n˜ao pode ser infinita e fatalmente chegamos aos elemen1

tos mais simples de todos: aqueles citados acima.

Um ponto pode ser obtido quando fazemos uma marca no papel com um l´apis ou quando consideramos duas linhas que se cruzam. Uma reta pode ser obtida quando fazemos um risco no papel utilizando uma r´egua. Um plano pode ser vislumbrado na superf´ıcie de sua carteira, no quadro-negro ou no ch˜ao da sala.

Todos os demais objetos geom´etricos podem ser definidos a partir de PONTO, RETA e PLANO. A seguir, algumas defini¸c˜oes que n˜ao pretendem ser completas e nem sempre em ordem de dificuldade.

• RETAS PARALELAS: Duas retas s˜ao paralelas quando coincidem ou quando n˜ao tem ponto de interse¸c˜ao algum.

Para indicar que r e s s˜ao paralelas escrevemos r s.

• SEMI-RETA: Seja r uma reta e O ∈ r um ponto. Cada parte da reta determinada por O ´e chamada semi-reta.

A O B

• SEGMENTO: A parte de uma reta situada entre os pontos distintos A e B ´e chamada de SEGMENTO AB.

B

A

ˆ ˆ • ANGULO: Angulo ´e a figura geom´etrica convexa formada por duas semiretas com a mesma origem O.

agudo

reto

obtuso

• RETAS PERPENDICULARES: Dizemos que duas retas s˜ao perpendiculares quando se cortam formando 4 ˆangulos iguais.

Para indicar que r e s s˜ao perpendiculares escrevemos r ⊥ s.

ˆ • ANGULO RETO: Quando duas retas se cortam formando quatro ˆangulos ˆ iguais dizemos que cada um dos ˆangulo ´e um ANGULO RETO. A medida de um ˆangulo reto depende do sistema: 90◦, 100 gr ou π2 rad nos sistemas sexagesimal, centesimal e natural, respectivamente.

Se um ˆangulo ´e menor que um reto, dizemos que ele ´e AGUDO. Ser´a chamado OBTUSO se for maior que um reto.

Para o Desenho Geom´etrico o maior ˆangulo poss´ıvel ´e o RASO, dobro de um RETO.

• POLIGONAL: Chamamos POLIGONAL `a figura geom´etrica formada por SEGMENTOS consecutivos e n˜ao colineares.

Se os pontos inicial e final s˜ao distintos a poligonal ´e aberta, caso contr´ario ´e fechada.

fechada aberta

Uma poligonal fechada, convexa e sem auto-interse¸c˜oes ´e um POL´IGONO.

Exemplos de poligonal fechada convexa (1), n˜ao convexa (2) e com autointerse¸c˜ao (3) :

Um POL´IGONO ´e chamado REGULAR se todos os seus lados s˜ao iguais, bem como seus ˆangulos internos.

ˆ ´ TRIANGULO REGULAR: EQUILATERO

QUADRADO

Nomenclatura para pol´ıgonos: Lados 5 6 7 8 9 10 12 20

Nome pent´agono hex´agono hept´agono oct´ogono ene´agono dec´agono dodec´agono icos´agono

ˆ • TRIANGULOS Um triˆangulo ´e um pol´ıgono com 3 lados. Se os 3 lados do triˆangulo s˜ao iguais o triˆangulo ´e chamado equil´atero. Se dois lados do triˆangulo s˜ao iguais temos um triˆangulo is´osceles. Se os lados s˜ao diferentes, temos um triˆangulo escaleno. ˆ [ chamamos de bis• BISSETRIZ DE UM ANGULO: Dado o ˆangulo AOB, −→ setriz interna dele `a semi-reta OC que o divide em duas partes iguais. Ver figura a seguir.

´ • QUADRILATEROS: S˜ao pol´ıgonos com quatro lados. Se os lados s˜ao paralelos dois a dois o quadril´atero ´e um paralelogramo. Se dois lados opostos s˜ao paralelos o quadril´atero ´e um trap´ezio. Os trap´ezios podem ser retˆangulos se possuem dois ˆangulos retos consecutivos, e, is´osceles, se os lados n˜ao paralelos s˜ao iguais.

Quanto aos paralelogramos podem ser retˆangulos, losangos, quadrados ou paralelogramo.

Na pr´oxima figura temos 3 trap´ezios:

Na figura a seguir 4 paralelogramos: • ALTURAS: Dado um triˆangulo podemos tra¸car suas 3 alturas: um seg-

mento de um v´ertice e perpendicular ao lado oposto ou seu prolongamento. No caso de um quadril´atero com dois lados paralelos a altura ser´a a distˆancia entre as retas paralelas. Para um quadril´atero sem lados paralelos n˜ao ´e poss´ıvel definir altura. Na figura a seguir temos um triˆangulo, um paralelogramo e duas alturas, bem como um trap´ezio e sua altura.

ˆ ´ o seg• BISSETRIZES INTERNAS E EXTERNAS DE UM TRIANGULO E mento sobre a bissetriz que une o v´ertice do ˆangulo at´e o lado oposto (bissetriz interna) ou seu prolongamento, no caso da bissetriz externa. Se um triˆangulo ´e is´osceles n˜ao ´e poss´ıvel tra¸car uma de suas bissetrizes externas.

As figuras a seguir mostra uma bissetriz interna e uma externas de um

triˆangulo:

ˆ • MEDIANAS DE UM TRIANGULO: S˜ao segmentos que une um v´ertice ao ponto m´edio do lado oposto. Na figura vemos as 3 medianas do triˆangulo.

• C´IRCULOS: Chamamos c´ırculo ao conjunto de pontos de um plano que equidistam de um ponto fixo P . A distˆancia de um dos pontos at´e P ´e o raio do c´ırculo e P ´e o centro do mesmo. Na figura temos um c´ırculo, um raio, um diˆametro e uma corda.

ˆ • POTENCIA DE UM PONTO: A potˆencia de P , externo, em rela¸c˜ao ao c´ırculo C ´e o n´umero p(P ) = d2 − r 2 onde d ´e a distˆancia entre os centros e r ´e o raio do c´ırculo.

• EIXO RADICAL Quando dois c´ırculos se interceptam a reta que passa pelos pontos de interse¸c˜ao ´e chamada eixo radical

ˆ • ANGULOS NUM C´IRCULO: Dado um c´ırculo de centro O, temos: ˆ ´ o ˆangulo cujo v´ertice ´e o centro O do c´ırculo; – Angulo Central: E

ˆ ´ o ˆangulo cujo v´ertice pertence `a circunferˆencia do – Angulo inscrito: E c´ırculo: ˆ ´ o ˆangulo cujo v´ertice est´a na circunferˆencia, – Angulo de segmento: E um dos lados ´e tangente ao c´ırculo e o outro corta o c´ırculo em 2 pontos; ˆ ´ um ˆangulo cujo v´ertice – Angulo excˆentricos internos ou externos: E est´a no interior ou no exterior do c´ırculo, respectivamente.

´ um con• FEIXE DE PARALELAS CORTADAS POR TRANSVERSAIS: E junto de retas paralelas, no m´ınimo duas, cortadas por transversais, no m´ınimo uma.

ˆ ˆ • NOMENCLATURA PARA TRIANGULOS RETANGULOS: Num triˆangulo retˆangulo ´e praxe denotar a hipotenusa por a, os catetos por b e c, a altura relativa `a hipotenusa por h e as proje¸c˜oes de b e c sobre a, respectivamente por m e n, conforme figura:

ˆ • TRIANGULOS SEMELHANTES Os triˆangulos △ ABC e △ XY Z s˜ao b = X, b semelhantes se os ˆangulos correspondentes (*) s˜ao iguais, isto ´e: A b = Yb e C b = Z. b Na pr´atica isto significa que um dos triˆangulos ´e uma B amplia¸c˜ao do outro.

1.2

TEOREMAS

Nesta se¸c˜ao apresentamos alguns teoremas, sem demonstra¸c˜ao, que ser˜ao usados para justificar algumas constru¸c˜oes geom´etricas. Os alunos est˜ao convidados a fazer as demonstra¸c˜oes dos resultados, o que tornar´a o aprendizado muito mais s´olido.

• T1: No △ABC, is´osceles, com v´ertice A temos as seguintes equivalˆencias: AH ´e altura ⇔ AH ´e bissetriz de Aˆ ⇔ AH ´e mediana de BC • T2: Se P ´e um pol´ıgono regular de n lados ent˜ao a soma dos ˆangulos internos ´e Si (n) = 180(n − 2) (em graus). Cada ˆangulo interno mede ai = Snn . A soma dos ˆangulos externos ´e Se = 360◦ e cada ˆangulo externo mede ae = 360 . n

• T3: Dois triˆangulos s˜ao iguais quando tem 3 lados respectivamente iguais (LLL), ou, quando tem dois lados iguais formando ˆangulos iguais (LAL), ou quando tem 2 ˆangulos iguais nos extremos de lados iguais (ALA).

• T4: Num paralelogramo dois ˆangulos consecutivos sempre s˜ao suplementares: 2 ˆangulos opostos sempre s˜ao iguais; os lados opostos s˜ao iguais; e, as diagonais se cortam nos seus pontos m´edios • T5: Num retˆangulo valem todas as propriedades de paralelogramos e todos os ˆangulos s˜ao retos e a diagonais s˜ao iguais.

• T6: Num losango, valem todas as propriedades de paralelogramo e as diagonais s˜ao perpendiculares.

• T7: Num quadrado valem todas as propriedades de retˆangulo e as diagonais s˜ao perpendiculares.

• T8: As 3 alturas (bissetrizes internas, medianas) de um triˆangulo concorrem em um mesmo ponto. O ponto comum das alturas chama-se ORTOCENTRO; o ponto comum das bissetrizes internas chama-se INCENTRO, e, o ponto comum das medianas chama-se BARICENTRO ou CENTRO DE GRAVIDADE do triˆangulo. Alem disso, as mediatrizes dos lados tem um ponto comum chamado CIRCUNCENTRO. O c´ırculo com centro no INCENTRO e tangente a um lado do triˆangulo tamb´em tangencia os outros dois lados; o c´ırculo com centro no CIRCUNCENTRO e passando por um v´ertice do triˆangulo, tamb´em passa pelos outros dois, e, o BARICENTRO divide cada mediana em duas partes, proporcionais a 1 e 2 sendo maior a parte do v´ertice at´e o CG.

• T9: Num c´ırculo, se AP B e CP D s˜ao duas cordas passando por P ent˜ao AP .P B = CP .P D. • T10: Num c´ırculo, se P ´e ponto externo e P AB ´e uma secante ent˜ao P B.P A ´e uma constante igual `a potˆencia de P em rela¸c˜ao ao c´ırculo. Se 2 P T ´e uma tangente ao c´ırculo, tirada de P , ent˜ao P T tamb´em iguala a potˆencia de P .

• T11: O eixo radical de dois c´ırculos ´e perpendicular ao segmento que une os centros. Os pontos do eixo radical tem a mesma potˆencia em rela¸c˜ao aos dois c´ırculos.

• T12: Um ˆangulo central tem medida igual `a do arco que define; um ˆangulo

inscrito tem medida igual `a metade da medida do arco que determine; o mesmo vale para um ˆangulo de segmento.

• T13: Se um feixe de duas retas paralelas ´e cortado por uma transversal ent˜ao os ˆangulos correspondentes s˜ao iguais, os ˆangulos alternos internos e os alternos externos tamb´em s˜ao e os colaterais internos e externos s˜ao suplementares. A ocorrˆencia de qualquer um desses resultados garante que a retas do feixe s˜ao paralelas.

• T14: Se um feixe de paralelas corta uma transversal determinando segmentos iguais, far´a o mesmo com qualquer outra transversal; um feixe de paralelas determine em duas transversais segmentos proporcionais.

• T15: Num triˆangulo retˆangulo de hipotenusa a, catetos b e c, altura h e proje¸c˜ao dos catetos m e n, valem as seguintes rela¸c˜oes: – m+n=a – b2 = am – c2 = an – h2 = mn – bc = ah – a2 = b2 + c2