Espirais e Ovais

Estudaremos as seguintes curvas especiais importantes para a Arquitetura: espirais, falsas espirais e ovais.

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Espirais

A definic¸a˜ o de espiral, da wikip´edia, e´ : Espiral s.f. (Matem´atica) Curva aberta que descreve v´arias voltas em torno de um centro. Curva plana cujo raio polar e´ uma func¸a˜ o constantemente crescente (ou decrescente) do aˆ ngulo polar.

Algumas exemplos s˜ao: espiral de Arquimedes e espiral logar´ıtmica entre outras, que cumprem a condic¸a˜ o acima “. . . func¸a˜ o constantemente crescente ou decrescente . . . ”. Essas espirais possuem equac¸oes ˜ em coordenadas polares razoavelmente simples. As equac¸oes ˜ em coordenadas cartesianas s˜ao muito mais complicadas. As espirais s˜ao denominadas dextrogiras ou sinistrogiras conforme se desenvolvam no sentido hor´ario ou anti-hor´ario.

Exemplos de espirais podem ser vistos em : http://pt.wikipedia.org/wiki/Espiral

1.1 Espiral de Arquimedes Uma espiral de Arquimedes tem equac¸a˜ o polar do tipo ρ = a + b.θ onde θ e´ a vari´avel que mede o aˆ ngulo girado (em radianos) , no sentido antihor´ario e ρ mede o afastamento (distˆancia) do polo. A Figura 1 a seguir e´ o gr´afico polar da espiral ρ = 0 + π1 .θ onde θ assume os valores π 2.π 8.π 0, , ,..., 4 4 4 e, em consonˆancia, ρ assume os valores 1 1 0, , , . . . , 2 4 2 ´ Mas como nossa disciplina e´ DESENHO GEOMETRICO precisamos de meios para desenhar uma espiral de Arquimedes sem apelar para c´alculos aritm´eticos. Quando θ varia de 0 at´e 2.π ( que corresponde a um giro completo) ρ varia de a at´e a + 2b.π ou seja b.2π de variac¸a˜ o total. O c´ırculo de centro O = (0, a) e raio R = b.2π e´ chamado c´ırculo principal (ou auxiliar).

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Figura 1: Vamos dividir esse raio R em “n” partes (n = 6, 8, 10,12 s˜ao os preferidos) e o c´ırculo principal tamb´em em “n” partes iguais. Usando n=8 obtemos uma figura como a Figura 2 abaixo, onde os pontos de divis˜ao s˜ao indicados por 1, 2, etc.

Figura 2: O primeiro ponto da espiral e´ o ponto central. Com a ponta seca do compasso no centro e abertura at´e 1 trac¸amos o arco at´e o raio 1, obtendo o segundo ponto. Com a ponta seca no centro e abertura at´e 2 trac¸amos o 2

arco at´e o raio 2, e assim por diante. Obtemos os 8 pontos da espiral, como na figura. Ligando-os , a` m˜ao livre, terminamos a construc¸a˜ o de uma “espira” da curva. Poder´ıamos continuar.

1.1.1 Exerc´ıcio a) Qual e´ a diferˆenc¸a entre espiras e espirais? b) Construa duas espiras da espiral de Arquimedes cujo c´ırculo auxiliar tem 6 cm. Dividir o raio e o c´ırculo em 12 partes iguais.

1.2 Falsas espirais S˜ao curvas planas que descrevem v´arias voltas em torno de um ponto, mas n˜ao cumprem “sempre crescente ou . . . ”. Podemos classific´a-las pelo numero ´ de centros: 2, 3, 4, etc centros.

1.2.1 Falsa espiral de dois centros Para construir uma falsa espiral de dois centros, comec¸amos por marcar os dois centros (1 e 2) e trac¸ar a reta por eles.

Com centro em 2 e abertura at´e 1 trac¸amos um arco at´e a reta, no ponto P.

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Mudando o centro para 1 e raio at´e P trac¸amos outro arco at´e a reta, no ponto Q. Voltamos o centro para 2 e com raio at´e Q, trac¸amos um arco at´e a reta em R, e assim por diante.

A figura a seguir e´ uma falsa espiral de 2 centros.

1.2.2 Exerc´ıcio Desenhe uma falsa espiral de centros A e B que distam 1,5 cm um do outro.

1.2.3 Falsa espiral de trˆes centros Para construir uma falsa espiral de trˆes centros, comec¸amos por marcar o triˆangulo de v´ertices (1. 2 e 3) e prolongar os lados do mesmo no sentido 1 para 3 no caso de falsa espiral sinistrogira e no sentido 3 para 1 no caso de falsa espiral dextrogira.

Vamos com a sinistrogira: Com centro em 1 e abertura at´e 3, trac¸amos arco at´e o prolongamento 21: ponto A; com centro 2, abertura at´e A, trac¸amos arco at´e B no prolongamento 32; centro 3 abertura at´e B, trac¸amos o arco at´e C no prolongamento 13 e assim por diante.

Veja a figura a seguir: 4

1.2.4 Exerc´ıcio Desenhe uma falsa espiral de 3 centros A, B e C v´ertices de um triˆangulo equil´atero ded lado 1 cm.

1.2.5 Falsa espiral de quatro centros Analogamente, para a falsa espiral de quatro centros, comec¸amos por marcar os pontos 1, 2, 3 e 4. Prolongamos os lados do quadril´atero no sentido solicitado.

Supondo que a falsa espiral e´ sinistrogira, com centro 2 e abertura at´e 1, trac¸amos um arco at´e A no prolongamento 32.

Mudando o centro para 3 abertura at´e A trac¸amos o arco AB, B no prolongamento 43 e assim sucessivamente, at´e obter a curva abaixo.

1.2.6 Exerc´ıcio Desenhe uma falsa espiral de 4 centros A, B, C e Dque s˜ao v´ertices de umquadfrado de lado 1,5 cm.

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Ovais regulares e irregulares

Uma oval e´ uma curva fechada, arredondada, parecida com um ovo, raz˜ao de seu nome. Uma oval pode ser regular ou irregular.

A figura a seguir apresenta uma oval regular e uma irregular, bem como a nomenclatura pertinente e algumas propriedades.

Observe que na oval regular, tanto a parte superior como a inferior s˜ao partes de um arco abatido de 3 centros.

Para a oval irregular, imagine-a girada em 90o no sentido hor´ario. Ent˜ao a parte acima do eixo menor e´ um arco superelevado de 3 centros.

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2.1 Ovais Regulares Vamos estudar as ovais regulares via resoluc¸a˜ o de alguns problemas.

2.1.1 Problemas Problema 1: Construir uma oval regular com eixo menor medindo 8 cm. ( O comprimento do eixo maior fica livre.)

Resoluc¸a˜ o: Precisamos construir (para a parte superior da oval) um arco abatido de 3 centros com a´ pice a 4 cm.

A soluc¸a˜ o e´ , como sabemos:

Fazendo a reflex˜ao da parte superior em relac¸a˜ o ao eixo maior, teremos a oval pedida.

2.1.2 Exerc´ıcio Desenhe a oval do problema 1 mudando seu eixo menor para 6 cm.

Problema 2: Construir uma oval regular com eixos medindo 5 cm e 8 cm.

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Resoluc¸a˜ o: Para a parte superior precisamos desenhar um arco abatido com v˜ao 8 cm e flecha 2, 5 cm.

Na figura acima fizemos a numerac¸a˜ o de -1- at´e -5- mostrando as etapas.

2.1.3 Exerc´ıcio Desenhe a oval do problema 2 mudando seus eixos para 6 cm e 9 cm.

Problema 3: Construir uma oval regular com eixo maior medindo 10 cm. ( O eixo menor 8

pode ter qualquer medida, menor que 10 cm, evidentemente).

Resoluc¸a˜ o: Precisamos de arco abatido com v˜ao de 10 cm. Uma soluc¸a˜ o e´ a da figura a seguir:

2.1.4 Exerc´ıcio Desenhe a oval do problema 3 mudando seu eixo maior para 6 cm.

2.2 Ovais irregulares Como anteriormente vamos estudar as ovais irregulares atrav´es da resoluc¸a˜ o de alguns problemas.

2.2.1 Problemas Problema 1: Desenhar uma oval irregular com eixo menor medindo 6 cm, e eixo maior livre.

Como j´a destacamos, se olharmos para uma oval irregular com eixo maior na vertical, podemos observar na parte inferior um arco romano e na parte superior um arco superelevado.

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2.2.2 Exerc´ıcio Desenhe a oval irregular do problema 1 mudando seu eixo menor para 5 cm.

Problema 2: Construir uma oval irregular com eixo maior medindo 8 cm, e o eixo menor livre.

Resoluc¸a˜ o: Precisamos arbitrar, de sa´ıda, a medida do eixo menor para poder desenhar o arco romano. Digamos que o eixo menor tenha 5 cm. A figura abaixo e´ o resultado final.

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2.2.3 Exerc´ıcio Desenhe a oval do problema 2 com eixo maior 6 cm.

Problema 3: Construir uma oval irregular com eixos medindo 4 cm e 7 cm.

A soluc¸a˜ o e´ a seguinte:

2.2.4 Exerc´ıcio Desenhe a oval irregular com eixos medindo 5 cm e 6 cm.

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