0.1
POL´IGONOS REGULARES INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS
Vamos agora tratar das constru¸c˜oes dos pol´ıgonos regulares inscritos e dos circunscritos. Antes de mais nada ´e bom saber que poucos pol´ıgonos regulares podem ser desenhados de ”modo exato“. Para a grande maioria os m´etodos s˜ao aproximados. ´ bom que o arquiteto saiba que se precisar desenhar um pol´ıgono regular, poder´a E utilizar o AutoCAD e ficar´a muito satisfeito com o resultado. Podemos desenhar, com exatid˜ao (ao menos teoricamente) os pol´ıgonos de 3.2n , n ∈ N lados (3, 6, 12, 24, 48, . . . ), os de 2n+2 , n ∈ N lados (4, 8, 16, 32, . . . );os de 5.2n , n ∈ N lados (5, 10, 20, . . . ) e os de 17.2n , n ∈ N lados (17, 34, 68, . . . ) ainda que, neste ´ultimo caso, o n´umero de passos para a figura ´ prefer´ıvel uma constru¸c˜ao seja muito grande e o erro fatalmente aparecer´a. E aproximada neste caso. 1. Constru¸c˜oes aproximadas de pol´ıgonos inscritos • Teoria: A figura a seguir mostra parte de um pol´ıgono regular de n ◦ lados, destacando o ˆangulo central cn = 360 , o lado ln e o raio R do n c´ırculo.
Pela lei dos co-senos, temos: ln2 = R2 + R2 − 2R2 cos α ou seja,
ln2 = 2R2 − 2R2 cos α ou, ln2 = 2R2 (1 − cos α) ou, finalmente, α 180 ln = 2R sen( ) = 2R sen( ) 2 n j´a que 1 − cos (α) = 2 sen2 ( α2 ) • Pesquisa do ”melhor 2R“ Com emprego de uma r´egua ´e dif´ıcil marcar segmentos com comprimento com mais que duas casas decimais. Por exemplo, marcamos bem segmentos com 1,2 cm mas cometemos erros com segmentos de, digamos, 1,24 cm. Para evitar um pouco esses erros ´e bom que o comprimento do segmento a ser desenhado tenha a segunda casa decimal igual a 0, 1 (que ser´a arredondado para 0) ou 9 (que ser´a arredondado a maior para 0). Vamos a seguir organizar uma tabela contendo os valores de n e do ”melhor“ valor de 2R, para uma constru¸c˜ao com menor erro. Vocˆe deve calcular ln . n 2R 7 3 9 5 11 5 13 5 14 4 15 1 17∗ 6 18 4 • Constru¸c˜ao: Construa o c´ırculo de diˆametro 2R encontrado. Trace um diˆametro dele. Desenhe `a parte o ln ”´otimo“ e, com o compasso transporte essa medida a partir dos extremos do diˆametro ( se n for par) ou a partir de um dos extremos apenas (se n ´e impar), no sentido hor´ario e anti-hor´ario (para espalhar o erro ao inv´es de concentr´a-lo na u ´ltima marca¸c˜ao). • Exemplo: Constru¸c˜ao do pol´ıgono regular de 17 lados. Vimos que o valor ”´otimo“ para 2R ´e 6. Ent˜ao tra¸camos um c´ırculo de raio 3. Como l17 = 1, 10249, vamos aproxim´a-lo por l17 = 1, 1. Tra¸camos um diˆametro do c´ırculo e aplicamos l17 nos dois sentidos, a partir de um dos extremos do diˆametro, para obter: Deixamos na figura as duas ´ultimas aplica¸c˜oes do compasso para mostrar o erro da constru¸c˜ao.
• Questionamento: E se o pol´ıgono procurado tem que estar inscrito num c´ırculo de raio 12? Nesse caso, desenhamos o c´ırculo de raio 12, com o mesmo centro do anterior, depois do desenho anterior estar completo. Cada v´ertice j´a desenhado dar´a origem a um v´ertice novo, pelo prolongamento dos raios. Da´ı teremos
2. Constru¸c˜oes aproximada de pol´ıgonos circunscritos • Teoria: A figura a seguir mostra um c´ırculo de raio R, um lado Ln de . um pol´ıgono circunscrito e metade do ˆangulo central 180 n
´ imediato que cos( 180 ) = R donde tiramos w = R.sec( 180 ). Em E n w n seguida 180 2 Ln ) ( )2 + R2 = (R.sec( 2 n que d´a 180 Ln = 2R.tg( ) n A seguir vamos `a pesquisa pelo melhor 2R para uma constru¸c˜ao com poucos erros. Segue a seguir uma tabela com alguns valores bons para 2R. n 2R 7 5 9 3 11 3 13 4 15 8 17∗ 7 • Constru¸c˜ao: Como exemplo vamos construir um hept´agono regular circunscrito. Pela tabela, um bom valor para o diˆametro ´e 5 cm. O valor de Ln = 2, 40787 que ser´a arredondado para 2, 4 cm. Tra¸camos um c´ırculo de raio R = 5 cm, um diˆametro, e por uma extremidade tra¸camos uma perpendicular. A partir da extremidade, sobre a perpendicular marcamos 1, 2 cm para cima ou para baixo, obtendo P . Tra¸camos outro c´ırculo com o mesmo centro e passando por P. Neste novo
c´ırculo, a partir de P, aplicamos L7 = 2, 4 cm nos dois sentidos, para encerrar.
3. Pol´ıgonos com constru¸c˜ao poss´ıvel com r´egua e compasso Come¸camos com os pol´ıgonos da foram 2n+2 , n ∈ N. O primeiro deles ´e o quadrado, depois oct´ogono, de 16, 32, 64, 128 lados, etc. • Quadrado Inscrito Num c´ırculo, com raio R adequado, tra¸camos dois diˆametros perpendiculares. Unindo esses 4 pontos obtemos o quadrado inscrito¿ A seguir a figura:
• Quadrado Circunscrito: Mesma constru¸c˜ao acima, at´e obter os 4 pontos. A seguir trace retas perpendiculares aos diˆametros, por cada um dos 4 pontos A seguir a figura:
Passamos agora aos pol´ıgonos do tipo 3.2n , n ∈ N. O primeiro deles ´e o triˆangulo, depois o hex´agono, dodec´agono, pol´ıgono de 24, 48,96 lados, etc. • Hex´agono Inscrito: No c´ırculo de raio R dado desenhe um diˆametro. Sem mudar a abertura do compasso, a partir de cada extremo, acima e abaixo, marque mais 4 pontos. Unindo esses 6 pontos teremos um hex´agono regular inscrito. Veja a seguir a figura: • Hex´agono Circunscrito: Fa¸ca a mesma constru¸c˜ao at´e obter os 6 pontos. A seguir trace os 3 diˆametros determinados pelos 6 pontos. Para completar trace perpendiculares aos diˆametros em cada um dos 6 pontos. Veja a figura a seguir: • Triˆangulo Equil´atero Inscrito ou Circunscrito: Fa¸ca a mesma constru¸c˜ao feita para o hex´agono at´e obter os 6 pontos. Una-os alternadamente, (pulando um) e obter´a o triˆangulo. Na figura que segue, temos o hex´agono inscrito (em azul), o circunscrito (em vermelho), o triˆangulo inscrito em preto e o triˆangulo circunscrito (em amarelo).
Finalmente, vamos `a constru¸c˜ao dos pol´ıgonos regulares do tipo 5.2n , n ∈ N. O primeiro deles ´e o pent´agono, depois o dec´agono, icos´agono, com 40, 80,160 lados. • Dec´agono inscrito: – Teoria: Observe o triˆangulo △OAB que ´e is´osceles, formado por dois raios consecutivos e um lado do dec´agono. O ˆangulo central mede b ˆ = Cˆ = 72◦ . Trace AC a bissetriz interna do ˆangulo A. 36◦ , B ◦ No △ACD que ´e is´osceles, temos: Aˆ = 36 , B = C = 72◦ . Assim △OAB ∼ = △ACD. Observe, finalmente, os segmentos a e b na figura.
Pelo teorema da bissetriz interna, temos: R l10 = a b Como a = l10 , resulta
l10 R = l10 b o que pode ser traduzido em: l10 ´e o maior segmento de uma divis˜ao ´aurea de R (todo o segmento est´a para o maior assim como o maior est´a para o menor). – Constru¸c˜ao: Vamos dividir o raio R dado em m´edia e extrema raz˜ao e utilizar o segmento maior que ´e l10 .
• Dec´agono circunscrito: Ap´os desenhado o dec´agono inscrito, ache os pontos m´edios dos seus lados. Trace os raios que passam por esses pontos m´edios, os quais determinar˜ao os pontos de tangˆencia do dec´agono circunscrito. Por esses pontos trace as retas paralelas ao dec´agono inscrito.
• Pent´agono inscrito: Proceda como se estivesse construindo um dec´agono, at´e obter os 10 pontos. Desenhe o pent´agono inscrito ligando os pontos alternadamente (pulando um...). • Pent´agono circunscrito: Proceda como no desenho do dec´agono circunscrito at´e obter os 10 v´ertices dele. Obtenha o pent´agono inscrito e aproveitando os pontos
de tangˆencia do dec´agono desenhe os lados do pent´agono circunscrito tra¸cando paralelas ao pent´agono inscrito.
• Os outros pol´ıgonos construt´ıveis: Podem ser obtidos por duplica¸c˜ao no n´umero de lados aplicados sucessivamente. Mais explicitamente, a partir do quadrado obtemos os pol´ıgonos de 8, 16, 32, 64 lados, etc. A partir do triˆangulo equil´atero obtemos o pol´ıgono de 6, 12, 24, 48 lados, etc e a partir do pent´agono obtemos os pol´ıgonos de 10, 20, 40, 80, etc, lados. Com exemplo construiremos o pol´ıgono inscrito de 16 lados. Come¸camos pelo quadrado, passamos pelo oct´ogono e chegamos ao pol´ıgono pedido.