Nuevo Explor@ndo
Matemática
1
º
Medio
Dirección editorial Prof. Rodolfo Hidalgo Caprile Magíster en Diseño Instruccional Pontificia Universidad Católica de Chile Doctor (c) en Educación Universidad Academia de Humanismo Cristiano
Edición Pablo Saavedra Rosas Profesor de Matemática y Computación Universidad de Santiago de Chile Magíster en enseñanza de las ciencias con mención en Didáctica de la Matemática Pontificia Universidad Católica de Valparaíso
Autoría Rossana Herrera Concha Profesora de Matemática P. Universidad Católica de Chile Magíster en enseñanza de las ciencias con mención en Didáctica de la Matemática Pontificia Universidad Católica de Valparaíso
Mabel Vega Rojas Profesora de Matemática Ingeniería ejecución química Universidad de Santiago de Chile Magíster en enseñanza de las ciencias con mención en Didáctica de la Matemática Pontificia Universidad Católica de Valparaíso
Patricio Loyola Martínez Licenciado en Ciencias con mención en Matemática Universidad de Chile Profesor de Matemática Universidad Andrés Bello
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El Texto Matemática 1° Medio – Proyecto Nuevo Explor@ndo y su correspondiente Libro de Actividades para Primer Año de Educación Media, es una creación del Departamento de Estudios Pedagógicos de Ediciones SM – Chile. Dirección editorial Prof. Rodolfo Hidalgo Caprile Edición Pablo Saavedra Rosas Ayudante de edición Cristian Gúmera Valenzuela Gabriela Zúñiga Puyol Autoría Rossana Herrera Concha Mabel Vega Rojas Patricio Loyola Martínez Consultoría Gastón Guerrero Arcos Manuel Salazar Córdova Luis Marchant Calderón Corrección de estilo: Alejandro Cisternas Ulloa Dirección de Arte Carmen Gloria Robles Sepúlveda Diseño y diagramación Mauricio Fresard Lemmermann Pablo Aguirre Ludueña Diseño de portada Equipo de diseño Ediciones SM Fotografía Archivo editorial Getty images
www.ediciones-sm.cl
Este libro corresponde a 1º Medio y ha sido elaborado conforme al Marco Curricular vigente, del Ministerio de Educación de Chile. © 2010 – Ediciones SM Chile S.A. Dirección editorial: Coyancura 2283. Piso 2. Providencia. Impreso en Chile / Printed in Chile ISBN 978-956-264-733-5 Depósito legal Nº 187881. Impreso en Chile / Printed in Chile Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del Copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.
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PRESENTACIÓN Al ingresar a 1° Medio comienzas una nueva etapa y con ello, asumes responsabilidades que marcarán tu futuro y que permitirán aportar a la sociedad desde la perspectiva que tú decidas. Con esta finalidad, el Texto pretende brindarte las posibilidades de emplear contenidos matemáticos en distintos contextos para que logres la comprensión de los mismos. También, se propone un desarrollo explícito de habilidades y el desarrollo del pensamiento lógico a través de la resolución de problemas. Con el mismo objetivo hemos incorporado en todas las unidades nuevas herramientas para que puedas enfrentar situaciones problemáticas y puedas aplicar tus conocimientos. El proyecto Nuevo Explorando Matemática 1° Medio incluye, además, un Libro de Actividades que potencia la ejercitación de los contenidos, además de ayudar a que te familiarices con el formato de preguntas de la Prueba de Selección Universitaria (PSU), prueba de carácter nacional, que deberás rendir en unos años más. Esta es la propuesta de Ediciones SM, estamos convencidos que este proyecto junto al esfuerzo y dedicación tuyo y al permanente apoyo de tu profesor(a) serán la clave de un éxito merecido.
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Nuevo Explor@ndo ÍNDICE
UNIDAD 1 10 11 12 13 14 16 18 20 22 24 26 28 30 35 36 36 37
NÚMEROS RACIONALES
Inicio de unidad. Inicializando. Números racionales. Representación en la recta numérica. Densidad y clausura en . Números decimales en . Aproximación en . Analizando disco. Adición y sustracción de números racionales. Propiedades. Multiplicación y división de números racionales. Propiedades. Herramientas tecnológicas: redondeo y truncamiento con Excel. Resolución de problemas. Verificando disco. Historial. Organizar favoritos. Herramientas. Cerrar sesión.
UNIDAD 3 68 69 70 71 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 95 96 96 97
ECUACIONES
Inicio de unidad. Inicializando. Lenguaje algebraico. Ecuaciones e identidades. Ecuaciones con coeficientes enteros. Ecuaciones con coeficientes fraccionarios y/o decimales. Problemas de planteo. Analizando disco. Ecuaciones literales. Ecuaciones en Física. Ecuaciones en Geometría. Análisis de soluciones. Resolución de problemas. Verificando disco. Historial. Organizar favoritos. Herramientas. Cerrar sesión.
Evaluación integradora 1 98
4
UNIDAD 2 38 39 40 42 44 46 48 52 54 56 58 60 65 66 66 67
Inicio de unidad. Inicializando. Potencias de base entera y exponente natural. Potencias de base entera y exponente entero. Potencias de base racional y exponente entero. Analizando disco. Propiedades de la multiplicación y de la división de potencias. Potencia de una potencia. Potencias: operaciones combinadas. Aplicaciones. Resolución de problemas. Verificando disco. Historial. Organizar favoritos. Herramientas. Cerrar sesión.
UNIDAD 4 100 101 102 104 106 108 110 112 114 116 120 122 124 126 128 133 134 134 135
POTENCIAS
ÁLGEBRA Y ECUACIONES RACIONALES
Inicio de unidad. Inicializando. Expresiones algebraicas. Valoración de expresiones algebraicas. Reducción de expresiones algebraicas. Uso de paréntesis. Multiplicación de expresiones algebraicas. Productos notables. Analizando disco. Factorización. Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas. Ecuaciones racionales. Comprobación de ecuaciones racionales. Resolución de problemas. Verificando disco. Historial. Organizar favoritos. Herramientas. Cerrar sesión.
Recopilando disco.
Índice
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UNIDAD 5 136 137 138 139 140 141 142 143 144 146 148 150 152 154 156 158 160 162 167 168 168 169
Inicio de unidad. Inicializando. Transformaciones isométricas. Transformaciones isométricas con el computador. Simetría axial. Simetría central o puntual. Traslación. Rotación. Plano cartesiano. Vectores en el plano cartesiano. Adición de vectores. Analizando disco. Reflexión en el plano cartesiano. Traslación en el plano cartesiano. Rotación en el plano cartesiano. Composición de transformaciones isométricas. Resolución de problemas. Verificando disco. Historial. Organizar favoritos. Herramientas. Cerrar sesión.
UNIDAD 7 206 207 208 210 212 214 216 218 220 222 224 226 228 233 234 234 235
TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS
CONGRUENCIA DE FIGURAS PLANAS
Inicio de unidad. Inicializando. Congruencia. Transformaciones isométricas y congruencia de figuras planas. Postulados de congruencia de triángulos. Congruencia y elementos secundarios en el triángulo. Demostraciones y congruencia. Analizando disco. Congruencia y paralelogramos. Congruencia y trapecios. Aplicaciones de la congruencia de figuras planas. Resolución de problemas. Verificando disco. Historial. Organizar favoritos. Herramientas. Cerrar sesión.
UNIDAD 6 170 171 172 174 176 178 180 182 184 186 186 188 190 192 194 196 201 202 202 203
FUNCIONES
Inicio de unidad. Inicializando. Concepto de función. Dominio y recorrido. Representación de funciones. Función lineal. Función afín. Analizando disco. Función constante. Función identidad. Función definida por tramos. Función valor absoluto y función parte entera. Composición de funciones. Aplicación de la composición de funciones a transformaciones isométricas. Resolución de problemas. Verificando disco. Historial. Organizar favoritos. Herramientas. Cerrar sesión.
Evaluación integradora 2 204
Recopilando disco.
UNIDAD 8 236 237 238 240 241 242 244 248 250 252 253 255 256 258 262 264 269 270 270 271
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Inicio de unidad. Inicializando. Interpretación de gráficos. Encuestas y agrupamiento de datos. Tablas de frecuencias. Representación de datos. Medidas de tendencia central. Medidas de posición. Analizando disco. Azar y experimentos aleatorios. Probabilidad y regla de Laplace. Técnicas de conteo y probabilidad. Permutación y combinatoria. Media aritmética en muestras aleatorias. Resolución de problemas. Verificando disco. Historial. Organizar favoritos. Herramientas. Cerrar sesión. Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
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Nuevo Explor@ndo
Mi Texto
Antes de comenzar a trabajar, detente un momento y desarrolla las siguientes actividades para que conozcas cómo está organizado tu Texto.
1. Completa la ficha con los datos de tu texto.
LA FICHA DE MI TEXTO Título Autores Editorial Año de edición N° de unidades N° de páginas
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Explor@ndo mi Texto
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Conoce tu Texto Nuevo Explor@ndo ¿Para qué fueron pensadas las secciones de tu Texto? Unidad
5
1 1
Transformaciones isométricas
2 2
3 3
4 4
6 6
5 5
7 7
Páginas de inicio
8 8
Abrir sesión Considerando la información de la página anterior, responde: 1) ¿De qué se trata la lectura? ¿Cómo se relaciona con la imagen? 2) Da tres ejemplos, distintos a los mencionados, de elementos de la naturaleza que representen figuras simétricas.
Es muy frecuente relacionar las transformaciones isométricas con elementos de la naturaleza, desde el diseño de las alas de una mariposa hasta nuestro propio cuerpo.
Para conocer los contenidos que vas a estudiar en la unidad y las metas de aprendizajes asociados a ellos. Además, se incorpora una evaluación destinada a diagnosticar cierta habilidad a través de la resolución de problemas.
3) ¿Qué opinas sobre considerar las imágenes simétricas como un referente de belleza?
Las imágenes simétricas transmiten una sensación de orden, armonía y equilibrio que muchas veces se toma como criterio de belleza.
Inicializando Aplicar consiste en llevar a cabo o utilizar un determinado procedimiento en una situación dada.
Cada símbolo está formado por dos figuras, y una de ellas es la imagen simétrica de la otra, tomando como referente un eje. Dibuja el eje de simetría en cada símbolo y describe la secuencia formada por las figuras a las que se les aplicó la simetría axial.
11
22 33 44 55 66 77
1) ¿Qué se debe conocer para resolver el problema?
2) ¿Qué procedimiento llevarás a cabo para solucionar el problema?
3) Aplica el procedimiento descrito en la pregunta anterior y resuelve el problema.
Menú de inicio Me ¿Qué?
¿Para qué?
136
¿Dónde?
Identificar y aplicar transformaciones isométricas a figuras planas.
Transformaciones isométricas en figuras planas.
Página 138 a 143.
Vectores y plano cartesiano.
Representar magnitudes en el plano cartesiano.
Página 144 a 149.
Transformaciones isométricas en el plano cartesiano.
Aplicar transformaciones isométricas a figuras planas teniendo en cuenta sus coordenadas, y así introducir la geometría cartesiana.
Página 152 a 162.
Unidad 5 • Transformaciones isométricas
137
Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
Páginas de contenido
evaluación
contenido
resolución
e e
c c
r r
P , + * ) ( Æ, Æ+ Æ* Æ) Æ(
Æ( Æ) Æ*
En estas páginas se desarrollan los contenidos de cada unidad. Contiene la sección Para grabar y cápsulas como Para saber más, Ayuda y Desafío.
1 1
Vectores en el plano cartesiano 9
8 ' (
+# )
r l )
*
+ , O
2.
Imagina que el movimiento de una partícula está representado por el gráfico. En él, el punto A(1, 2) corresponde a la posición de la partícula en el inicio��de � su movimiento y el punto B(5, 4), al punto final de su desplazamiento. El vector AB se llama vector de desplazamiento, y sus coordenadas o componentes son (4, 2), ya que es posible visualizar que la abscisa del punto A se incrementa en 4 unidades (1 + 4 = 5) y que su ordenada se incrementa en 2 (2 + 2 = 4). Luego, para determinar las coordenadas o componentes de un vector de desplazamiento se restan las abscisas de los puntos final e inicial y luego se restan las ordenadas de los mismos. ��� AB = (5, 4) – (1, 2) = (5 – 1, 4 – 2) = (4, 2)
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
��� a. AB; si A(1,1; 3) y B(4,1; 3). ��� b. CD; si C(–1, 3) y D(–4, 5). 1 3 4 ��� c. EF; si E , 4 y F ,– . 2 5 7
3.
� El vector u, que tiene origen o inicio en el punto��(0, � 0) y extremo o final en (4, 2), se denomina vector posición y corresponde a AB trasladado al origen del plano cartesiano.
Para grabar Un vector es un segmento de recta dirigido que se caracteriza por tener magnitud o módulo, dirección y sentido.
2 2
Calcula las coordenadas o componentes de los siguientes vectores.
Representa gráficamente en el plano cartesiano los vectores que permiten trasladar un punto según las siguientes indicaciones. ��� a. AB: la abscisa, dos unidades en sentido positivo, y la ordenada, tres unidades en sentido positivo. ��� b. CD: la abscisa, cuatro unidades en sentido negativo, y la ordenada, una unidad en sentido negativo. ��� c. EF: la abscisa se mantiene y la ordenada, cinco unidades en sentido negativo. ��� d. GH: la abscisa, tres unidades en sentido negativo y la ordenada se mantiene.
Y
Las coordenadas o componentes de un vector AB son las coordenadas del extremo (B) menos las coordenadas del origen (A). Es decir, si A(x1, y1) y B(x2, y2), las componentes de AB están dadas por: AB = (x2, y2) – (x1, y1) = (x2 – x1, y2 – y1).
P , + * ) (
�
u
�
v ��
w
En adelante, cuando se haga referencia a las componentes vector del plano, se utilizará de un la notación: AB = u = (u1, u2); v = (v1, v2); etc.
X
Æ, Æ+ Æ* Æ) Æ(
Æ( Æ) Æ* Æ+
��� � AB = (–5, 1) – (–1, –2) = (–4, 3) = u ��� � CD = (3; 2,3) – (3, 0) = (0; 2,3) = v ��� � EF = (5, 3) – (1, 4) = (4, –1) = w
Donde u1 = x2 – x1 y u2 = y2 – y1. Además, si el origen del vector coincide con el origen del plano cartesiano (0, 0), se hablará de vector posición.
4.
' (
)
*
+ , O
Resuelve el siguiente problema. Un vector representa un desplazamiento desde el punto A(1, 4) hasta el punto B(–2, 3). Determina sus componentes y represéntalo gráficamente.
1. Y
Identifica las coordenadas de los puntos extremos de cada vector. Luego, determina las coordenadas de sus respectivos vectores posición. Vector rojo: Vector amarillo: Vector café:
X
Para grabar
evaluación
contenido
resolución
e e
c c
r r
En esta sección se formaliza el contenido, apoyado por diferentes tipos de registros y ejemplos.
Vector celeste: Vector 1 azul: 2
1
3 3
2
Vector morado:
Simetría axial
Simetría central puntual Unidad 5 • Transformaciones isométricas 146 o
La imagen muestra el polígono ABCDEFGH “reflejado” respecto del lado AH, generando otra figura geométrica, de vértices A’ B’ C’ D’ E’ F’ G’ H’, que conserva el tamaño y la forma de la primera.
En la imagen se tiene el cuadrilátero ABCD y su homólogo A’B’C’D’, en una simetría respecto del punto E. Los puntos A, E y A’ (homólogo de A) son colineales (pertenecen a la misma recta). Lo mismo ocurre con B, E y B’; con C, E y C’ y con D, E y D’. Además, el punto E es el punto medio del segmento que une los puntos homólogos. Este tipo de transformación isométrica se denomina simetría central o puntual.
En este caso, el segmento AH, considerado para realizar la reflexión, está contenido en la recta AH, denominada eje de simetría; mientras que los puntos A’, B’, C’, D’, E’, F’, G’ y H’ están a igual distancia del eje de simetría que los puntos A, B, C, D, E, F, G y H. Los primeros, se denominan puntos homólogos o de la figura homóloga y a los segundos, puntos de la figura original.
6 6
7 7
8 8
Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
Dos figuras planas se dirán simétricas si hay un eje de simetría que las refleje. Según la posición de esta recta, la simetría puede ser interior, exterior o de contorno.
Simetría de contorno
Simetría interior
Además, el punto de la figura original, su homólogo y el centro de simetría son colineales.
1.
Ejemplo:
1° AF = FA’; BF = FB’; CF = FC’; DF = FD’; EF = FE’.
2° F ∈ AA’ ; F ∈ BB’; F ∈ CC’; F ∈ DD’; F ∈ EE’.
Desafío
Identifica, cuando sea posible, el punto o centro de simetría en las imágenes que muestran la figura original y su figura homóloga. Fundamenta. a.
Identifica cuáles de las siguientes figuras parecen ser simétricas respecto a la recta L. De serlo, clasifícala en simetría interior, exterior o de contorno. L L
b.
c.
d.
e.
Cápsula que propone actividades que te permitirán profundizar los contenidos tratados.
L
2.
Aplica la simetría central respecto de cada punto O pintado de color rojo.
Aplica la simetría axial respecto de cada eje pintado de color rojo. O O
evaluación
contenido
resolución
e e
c c
r r
1 1
isométricas 140 Unidad 5 • Transformaciones Transformaciones isométricas con el computador
Son muchos los casos en los que es posible observar las transformaciones isométricas. Por ejemplo: en el reflejo de un espejo, en el funcionamiento de una cámara fotográfica o de una fotocopiadora, en la forma de algunas plantas, etc.
Utilizando el software Geogebra se pueden realizar traslaciones, rotaciones y reflexiones (simetría axial y central). Pero antes, debes aprender a hacer figuras geométricas planas. Puedes descargar el programa en http://www.geogebra.org.
La figura que se obtiene luego de aplicar una transformación isométrica se denomina figura homóloga. Ejemplos de transformaciones isométricas son las traslaciones, rotaciones y reflexiones.
1.
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8 Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
Simetría axial
Traslación
Figura homóloga
Figura homóloga
A
a=2
Botones de selección Figura original
Figura original
Rotación
1.
Simetría central Figura homóloga
Selecciona el botón y luego, en el área de trabajo, genera el polígono que desees. Para ello, presiona el botón izquierdo del mouse y se irá dibujando. Cuando quieras cerrar el polígono, haz clic en el primer punto (vértice) que dibujaste.
Figura homóloga P Figura original
O
Señala botón seleccionado y cómo llevar a cabo la tarea.
Utiliza Geogebra para dibujar el polígono ABCDEF.
Ayuda
Figura original
Clasifica las siguientes imágenes. ¿Son una traslación, rotación, simetría o no corresponden a una transformación isométrica de figuras planas? Luego, responde. 0
a.
C`
b. C`
C
A A`
Cápsula de información que tiene por objetivo facilitar la comprensión de alguna actividad.
Área de trabajo
c.
A`
A
B C
B
B`
B`
2.
Utiliza Geogebra para realizar el siguiente dibujo. Para ello, emplea los botones:
¿Cómo clasificaron tus compañeros la imagen de las manos? ¿Coincide con tu respuesta? Corrobora con tu profesora o profesor.
2.
141
Observa que en la barra principal de este software se pueden encontrar los siguientes elementos:
En las transformaciones isométricas aplicadas a figuras planas se conservan la forma y el tamaño de la figura original. Por lo tanto, este tipo de transformaciones permite obtener otra figura a partir de una dada.
Para saber más
2 2
Transformaciones isométricas
Para grabar
Recuerda d que la l simetría axiall y la simetría central son tipos de reflexiones.
147
¿Qué diferencias y qué semejanzas observas respecto de la simetría axial?
La simetría central o puntual es una transformación isométrica en la que a cada punto de la figura original se le asocia otro que está a igual distancia de un punto llamado punto o centro de simetría.
Simetría exterior
2.
5 5
Para grabar
Para grabar La simetría axial es una transformación isométrica en la que a cada punto de la figura original se le asocia otro punto que está a igual distancia de la recta llamada eje de simetría.
1.
4 4
Aplica la transformación isométrica señalada. Luego, responde. a. Simetría axial respecto de la recta L. L
b. Simetría central con respecto al punto P.
P
Antes de realizarlo, borra el dibujo de la actividad anterior. Para esto, selecciona . Luego, arrastrando el mouse, selecciona toda la figura y de la el botón ventana que se despliega al presionar el botón derecho del mouse sobre la figura selecciona Borrar.
¿Qué estrategia utilizaste para realizar las transformaciones pedidas?
138
Unidad 5 • Transformaciones isométricas
Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
139
Para saber más Cápsula de información que tiene por objetivo complementar el contenido entregado. Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
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Conoce tu Texto Nuevo Explor@ndo Analizando disco e e
en c o n t i do
c c
evaluación formativa
luc reso ión
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Evaluación formativa
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Analizando disco
Transformaciones isométricas.
Páginas orientadas a detectar el nivel de comprensión que posees de los contenidos tratados hasta el momento.
Plano cartesiano.
1 Aplica la reflexión a cada trío de letras según el eje dibujado.
NOM
NON
4 Identifica las coordenadas de cada punto. Luego, en el papel milimetrado escríbelas donde corresponda. Y
MOM
a. A(
,
)
d. D(
,
)
b. B(
,
)
e. E(
,
)
c. C(
,
)
f. F(
,
)
A D C
2 Aplica las transformaciones isométricas señaladas. a. Traslación respecto del vector u. c. Simetría central respecto del punto O. E D
B
D F
E
C
C
Vectores en el plano cartesiano y adición de vectores.
A
O
B
A
B
u
5 Representa gráficamente la operación entre los vectores dados junto a su vector resultante. Luego, escribe sus componentes. a. u + v. Si u = (2, 4) y v = (0, –5) b. u – v. Si u = (–1, 0) y v = (–1, 6)
Sección destinada a explicitar el contenido que se está evaluando.
d. Rotación en torno al punto O y –45°.
b. Simetría axial respecto de la recta L. D
X
F
E
C
E A
B
E
D C
6 Calcula las coordenadas del vector resultante de la adición y sustracción entre los vectores dados. Luego, completa la tabla.
O
F G
L
B A
3 Aplica dos simetrías centrales consecutivas a la figura 1, ambas respecto de P. Luego, busca entre las figuras y encierra la que se obtiene. Figura 1
P
150
P
P
P
u
v
(–3, –9)
(4, –8)
(–5, 7)
(0, 0)
2, 1 8
(–4, 20)
1 , 3 2 4
–2, 4 3
(–5,3; 2,1)
(0,6; 0,6)
Unidad 5 • Transformaciones isométricas
u+v
u–v
151
Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
en co n t i do
uac eval ión
ión de probl
r r
s ema
c c
e h
resol uc
uac eval ión
Trabajo de habilidades
1 1
Resolución de problemas
¿Qué es aplicar? Aplicar consiste en llevar a cabo o utilizar un procedimiento en una situación dada.
5 Los vértices de un triángulo son A ,0, B(4, 5) y C(–1, –3). Si se le aplica una 2 5 rotación en torno al punto (0, 0), el vértice A queda en A' 0, , B en B’(–5, 4) y 2
Resolución de problemas
6 6
7 7
8 8
¿Qué información entrega el enunciado del problema?
Paso 2 Planifica lo que vas a realizar
Paso 2 Planifica lo que vas a realizar Resolviendo de manera gráfica, primero se interpretará la información entregada en el enunciado del problema a través de una representación gráfica del triángulo y su imagen al ser rotado en 90° con respecto al origen. Luego, se trazarán rectas que unan cada vértice con el (0, 0) y este con la imagen del punto original, es decir, A con (0, 0) y este con A’; B con (0, 0) y este con B’, y C con (0, 0) y este con C’. Finalmente, utilizando el transportador se miden los ángulos AOA’, BOB’ y COC’, cuya medida es el ángulo de rotación pedido. Algebraicamente, basta con aplicar la relación R(O, 90°) (x, y) = (–y, x), estudiada en los contenidos de la unidad.
Paso 1: Comprende el enunciado. Paso 2: Planifica lo que vas a realizar. Paso 3: Resuelve el problema. Paso 4: Revisa la solución.
5 5
¿Qué datos son necesarios para resolver el problema?
¿Qué datos son necesarios para resolver el problema? Conocer el ángulo de rotación aplicado al triángulo. ¿Qué información entrega el enunciado del problema? Las coordenadas de los vértices del triángulo ABC y las coordenadas del triángulo A’B’C’.
Etapas de la resolución de problemas.
Páginas destinadas al trabajo de habilidades. En ellas se propone una estrategia de resolución de problemas explicitando la habilidad que se quiere reforzar.
4 4
Paso 1 Comprende el enunciado
Interpretar la información entregada en el problema utilizando la representación. Emplear el procedimiento propuesto en la resolución del problema.
3 3
Paso 1 Comprende el enunciado
C en C’(3, –1). ¿Cuál es el ángulo de rotación aplicado al triángulo ABC?
¿Qué tengo que hacer para aplicar un procedimiento?
2 2
2 Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente. 1 Los vértices de un polígono son A– , 1, B(3, 1), C(4, 3) y D(–5, 2). Si se le aplica una traslación con respecto 3 4 al vector u, el vértice A queda en A'– ,3, B en B’(2, 3), C en C’(3, 5) y D en D’(–6, 4). ¿Cuáles son las 3 componentes del vector de traslación asociado?
1 Analiza la resolución del siguiente problema.
Paso 3 Resuelve el problema
Paso 3 Resuelve el problema Interpreta la información.
Emplea el procedimiento.
Y
Y
-4
-4
-3
-3
-2
-2
-1 -5
-4
-3
-2
-1
-1
-1 1
0
2
3
4
5
-5
X
-4
-3
-2
-2
-1
-1
0
1
2
3
4
5
X
-2
-3
-3
-4
-4
Paso 4 Revisa la solución
Por lo tanto, el ángulo de rotación es 90°.
Paso 4 Revisa la solución Algebraicamente se tiene que R(O, 90°) (x, y) = (–y, x). Por lo tanto, las 5 5 coordenadas de A ,0, B(4, 5) y C(–1, –3) son, respectivamente, A' 0, , 2 2 B’(–5, 4) y C’(3, –1).
c c
ión de prob
r r
evaluación sumativa
1 1
1 ¿En cuál de las siguientes figuras es posible dibujar infinitas rectas, de tal manera que cada una represente un eje de simetría interior? A. Rombo.
4 Sea el �ABC, con A(5, 6); B(–1, 2) y C(2, 3). Al aplicar una traslación según el vector u = (6, 4), ¿qué coordenadas tiene el punto B’? A. (–1, 2)
B. Cuadrado.
B. (6, 4)
C. Hexágono.
C. (7, 6)
D. Rectángulo.
D. (5, 6)
E. Circunferencia.
E. (2, 3)
2 Si un triángulo rectángulo isósceles es reflejado con respecto a su hipotenusa, ¿qué polígono pueden representar ambos triángulos juntos? A. Rombo. B. Triángulo. C. Cuadrado. D. Romboide. E. Rectángulo. 3 ¿En cuál de las alternativas se representa de mejor manera una simetría central con respecto al punto O? A.
D. O
O
B.
O
O
6 Si el punto A(x, y) es trasladado según el vector v = (–4, –1), su nueva ubicación es el punto A’(5, –3). ¿Cuáles eran sus coordenadas originales?
8 Si el punto A(–6, –1) es trasladado según el vector v = (4 –2), se obtiene el punto A’. ¿Cuáles deben ser las componentes de otro vector de traslación u para que A’ se ubique sobre el origen? A. u = (–2, –3) B. u = (2, 3) C. u = (–2, 3) D. u = (2, –3) E. u = (0, 0)
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
9 ¿En cuál de los siguientes puntos la abscisa corresponde a las tres cuartas partes de la ordenada?
Páginas orientadas a detectar el nivel de comprensión que posees de los principales contenidos tratados en la unidad.
E. (2, –4) 13 Si el punto M(–3, –5) es rotado en 270° con respecto al origen del plano cartesiano, ¿cuáles son sus nuevas coordenadas? A. (3, 5) B. (5, 3) C. (–5, 3)
C. R(6, 8)
D. (5, –3)
D. S(8, 6)
E. (–5, –3)
E. T(4, 3) 10 Si en el plano cartesiano se unen todos los puntos cuya abscisa es el doble de su ordenada, ¿qué se forma?
A. (1, –4)
A. Un triángulo. B. Una línea recta. C. Una línea curva.
D. (–9, 2)
D. Dos líneas rectas.
7 ¿Qué coordenadas tiene el vector v que permite trasladar al punto M(–5, 3) al punto M’(0, –4)? A. v = (0, –4) B. v = (–4, 0) C. v = (5, 0) D. v = (5, 7) E. v = (5, –7)
Verificando disco
A. (–4, 2) B. (4, 2) C. (–2, 4) D. (–2, –4)
B. Q(4, 8)
B. (–9, –2)
161
8 8
12 Un punto A, al ser rotado en –180° con respecto al origen del plano cartesiano, queda ubicado en el punto A’(4, –2). ¿Cuál era su ubicación antes de la rotación?
A. P(3, 8)
C. (9, –2)
Los vértices de un triángulo son A(–2, –1), B(0, –5) y C(–2, –5). Si se le aplica una rotación en 180° y en torno al vértice A y luego una reflexión con respecto al eje X, ¿cuáles son las coordenadas del triángulo rotado y luego trasladado? ¿Cuánto mide su superficie? Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
14 Si a un triángulo se le aplica una traslación, luego una rotación y finalmente una simetría axial, ¿qué sucede con su área? A. Se triplica. B. Se reduce a su tercio. C. Se reduce en un tercio. D. Se mantiene constante. E. Falta información.
E. Una circunferencia. 11 Si el punto P(–1, 3) es rotado en 90° con respecto especto al origen del plano cartesiano, ¿cuáles son sus nuevas coordenadas? A. (1, –3) B. (1, 3) C. (3, 1) D. (3, –1) E. (–3, –1)
15 Si el punto M(–3, 5) es re reflejado con respecto al eje Y, se obtiene el punto M’. ¿Cuál es el vector v que permite trasladar el punto M’ al origen? tenido de p evaluación sumativa A. vco=n (3, 5) ión rob B. v = (–3, –5) C. v = (3, –5) D. v = (5, –3) E. v = (–5, –3) 16 Si el punto N(1, –2) es rotado 90° con respecto al origen del plano cartesiano y luego, desde esta nueva posición, se traslada según el vector s = (–2, –1), ¿cuáles son las nuevas coordenadas de dicho punto?
uac eval ión
c c
e e
r r
163
B. N”(2, 1)
19 Si al punto A de la figura se le aplica una rotación con centro en el origen y ángulo de rotación –90°, ¿qué coordenadas tiene el punto luego de ser rotado? A. (3, 2)
Y 3
A
–3 –2 –1
17 ¿Cuál(es) de las siguientes figuras representa(n) una traslación? II.
III.
–1
D. (–3, –2)
–2
E. (–2, –3)
–4
0 1
2
3
4 X
A. (3, 1)
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
A. Solo I.
D. (–3, –1) E. (–1, –3)
Y 4 3 2
D. (–5, –2)
1 –3 –2 –1
A.
D.
B.
E.
2 1 –3 –2 –1
–1 –3
2
3
4 X
Observa el gráfico. Luego, responde las preguntas 21 y 22. B L
26 ¿Qué Qué se obtiene al aplicar una rotación de centro en O y un ángulo de rotación otación de 90° a la siguiente figura? 0 1
2
3
4 X
C
–3 –4
24 Se dibuja en el plano cartesiano un segmento AB y se le aplica una traslación, obteniéndose el segmento A’B’. Se pueden determinar las coordenadas del vector de traslación si: A. Se conocen las coordenadas de A y A’.
21 Si al triángulo ACB se le aplica una reflexión con respecto a la recta L (paralela al eje Y), ¿cuáles son las coordenadas del vértice A reflejado?
D. Se conocen las coordenadas de A’ y B’. E. No es posible determinar las coordenadas del vector de traslación.
E. (2, –10)
D. (–4, 0) E. (–4, –2)
Unidad 5 • Transformaciones isométricas
B.
E.
ión de prob
r r
evaluación sumativa
II. Lee atentamente los problemas. Luego, resuelve. a. Al trasladar el punto P(3, 6) según el vector u = (2, 1) se obtiene el punto P’(x, y), y a continuación, se traslada el punto P’ según el vector v = (–2, 1), obteniendo el punto P”(z, w). Determina las componentes del vector que realiza la composición de ambas traslaciones. ¿Qué coordenadas tendrá el punto P”?
C. Se conocen las coordenadas de A’ y B.
B. (0, 4) C. (0, –4)
B. (10, 2)
D.
B. Se conocen las coordenadas de A y B’.
A. (4, 0)
C. (8, –2) D. ( 10, –2)
c c
e e
O A.
as lem
–1
en c o n t i do
uac eval ión
1
A
A. (5, –2)
B. Solo I y II.
C.
Y 3
–2
4 X
E. I, II y III.
2
–4 –3 –2 –1
3
I. El vector de traslación tiene por componentes (2, 0). II. Las coordenadas de los vértices del cuadrado no varían. III. El área del cuadrado permanece constante.
D. Solo II y III.
D. Solo I y II. E. Solo I y III.
2
–4
C. Solo I y III.
B’
–4
18 ¿Cuáles son las componentes del vector de traslación aplicado al rectángulo de color rojo para obtener el rectángulo de color celeste?
0 1
–3
A. Solo I.
0 1
–2
C. Solo III.
–1 –2
23 ¿Qué alternativa representa mejor la reflexión de la figura con respecto a la recta de color rojo?
Y 3
B. (1, 3) C. (1, –3)
164
3 3
25 El cuadrado ABCD de la figura ha sido trasladado según un vector dado, obteniéndose el cuadrado de color verde. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) VERDADERA(S)?
E. (–7, –2)
–3
20 El punto B’ fue obtenido luego de aplicarle al punto B una reflexión con respecto al eje X. ¿Cuáles son las coordenadas del punto B?
B. Solo II.
A. (2, 7) C. (2, –5)
1
E. N”(0, 0)
22 Considerando la transformación descrita en la pregunta 21, ¿cuáles son las coordenadas del vértice C reflejado? B. (2, 5)
2
B. (–3, 2) C. (–2, 3)
C. N”(1, 2) D. N”(–2, 1)
I.
2 2
Verificando disco
A. N”(–1, –2) Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
Unidad 5 • Transformaciones isométricas
1 1
as lem
C.
5 Si el punto P(–3, 7) es trasladado al punto P’(4, –1), ¿cuál es el vector v de traslación? A. v = (1, 6) B. v = (–4, 11) C. v = (6, 1) D. v = (7, –8) E. v = (8, 7)
E. (–1, 4)
E.
O
162
2 2
Verificando disco
I. Lee atentamente cada una de las preguntas y marca la alternativa correcta.
3 Resuelve en tu cuaderno el siguiente problema.
Unidad 5 • Transformaciones isométricas
resol uc
en co n t i do
resol uc
e e
as lem
uac eval ión
resol uc
160
C.
Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
165
b. Un segmento cuyos extremos son los puntos K(3, -1) y M(-1, 5) es trasladado según el vector m = (–4, 1), obteniéndose el segmento K’M’. Determina las componentes de otro vector de traslación v que permita trasladar el extremo K’ al origen del plano cartesiano.
c. Un punto de coordenadas A(2x + 1, 5y – 3) es trasladado según el vector v = (x – 7, 2y + 1 ) al punto A’(–2, –3). ¿Cuáles son las coordenadas del punto A y del vector v?
166
8
Unidad 5 • Transformaciones isométricas
Estructura didáctica
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1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
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8 8
Historial Una técnica que facilita la retención de lo estudiado para después realizar un repaso eficiente es el cuadro sinóptico. Se trata de un resumen esquematizado, cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de manera estructurada y organizada. Completa la tabla que muestra algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad. Contenido
Definición o procedimiento
Ejemplo
Historial
Transformaciones isométricas.
Simetría axial.
Simetría central.
Página que te permitirá elaborar tu propia síntesis de los contenidos completando una tabla.
Traslación.
Rotación.
Plano cartesiano.
Reflexión en el plano cartesiano.
Traslación en el plano cartesiano.
Rotación en el plano cartesiano.
Composición de transformaciones isométricas.
Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
167
Organizar favoritos, herramientas y solucionario Página que te permitirá conocer el nivel de logro alcanzado en los ejes evaluados.
Sección que te permitirá elaborar tu propia síntesis de los contenidos realizando un mapa conceptual. Cuadro resumen de las conceptualizaciones más relevantes de la unidad.
Recopilando disco Evaluación integradora orientada a detectar el nivel de comprensión que posees de los principales contenidos tratados en las unidades anteriores a esta evaluación.
Además de las secciones de este Texto,, puedes complementar tu aprendizaje con las actividades propuestas en el Libro de Actividades. Ya conociste la estructura de tu Texto y estás listo(a) para comenzar a trabajar.
Envíanos tus comentarios a: explorandomatematica@ediciones-sm.cl Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
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9 27/1/10 17:12:14
Unidad
Números racionales
1 1
Los números han surgido a lo largo de la historia por la necesidad del hombre de contar, medir, repartir, entre otras cosas. El conjunto de los números enteros, por ejemplo, no fue suficiente para representar todas las situaciones cotidianas relacionadas con ellos. Por esta razón aparecieron otros conjuntos numéricos, como el de los números racionales. En la vida diaria es 2frecuente el uso de fracciones. Por ejemplo, si se tiene que una receta 6 6 personas y se quiere preparar una cena para dos, entonces se deben de cocina rinde para 1 2 tomar , es decir, de cada ingrediente y así adaptar para 2 personas la receta inicial. 3 6 1 3
Menú de inicio ¿Qué?
10
¿Para qué?
¿Dónde?
Conjunto de los números racionales (), representación, clausura y densidad.
Identificar números racionales en diversos contextos.
Páginas 12 a 15.
Números decimales periódicos y semiperiódicos. Aproximación por redondeo y truncamiento.
Representar números racionales con números decimales y viceversa.
Páginas 16 a 21.
Adición, sustracción, multiplicación y división en . Propiedades.
Aplicar diversos procedimientos que involucren cálculos en el conjunto .
Páginas 22 a 25.
Unidad 1 • Números racionales
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1 1
2 2
3 3
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Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
11
Abrir sesión 2 Considerando la información de la página anterior, responde: 6 2 1 1) Justifica por qué la expresión “ , es decir, ” es cierta. 6 3 1 2) ¿En qué actividades de la vida diaria es posible utilizar 1 3 situaciones. 1 Ejemplifica con 1 7 3fracciones? A = 8; ; 1; ; 5; ; 7; ; 0; –5; –5,3;– 6 necesarias? 2 9 ¿Son realmente 4 cotidiana? 6 vida 3) ¿Qué opinas sobre la utilización3 de fracciones en la 7 3 1 1 1 ¿Por qué? A = 8; ; 1; 1 ; 5; ; 7; ; 0; –5; –5,3;– 6 4 6 2 9 2 1 1 9 2 Comprender consiste en construir signifi cado a partir de información comunicada en forma oral, 21 escrita y/o gráfica. Para comprender es posible utilizar la representación. 9 6 1 Dado el siguiente conjunto, resuelve lo que se pide. 3 2 7 3 1 1 1 A =68; ; 1; ; 5; ; 7; ; 0; –5; –5,3;– 6 4 2 9 6 2 1 1 3 1) Al ordenar el conjunto anterior6en forma decreciente, ¿qué número ocupa la quinta posición? 2 1 7 3 1 1 1 1 A = 8; ; 1; ; 5; ; 7; ; 0; –5; –5,3;– 6 4 2 9 3 6 9 1 7 3 1 1 1 A = 8; ; 1; ; 5; ; 7; ; 0; –5; –5,3;– 2 6 4 2 9 6 1 1 2) Si se comparan las fracciones y , ¿qué número es mayor? ¿Por qué? 2 9 1 9
Inicializando
3) Representa los elementos del conjunto de manera ordenada. Para ello, ubícalos en la recta numérica.
0
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33
33 11 11 0,33...= 0,33...=xx3== 3 33 a evaluación contenido resolución = x / x = , a ∈ y b ∈ ; b ≠ 0 1 1 1 1 11 =0,33... b =0,33... 33 33 33 3 11 11 1 0,33...= 0,33...= 1 5 0,33...=xx== 33 33 0,33...= 33 1 11 11 – ; 0,3; – 1,24; 1; 0; etc a =0,33... ==xx // xx== a ,,aa∈ ∈ yybb∈ ∈ 2 =0,33... 33 33 b b 6 Tres amigos comparten una pizza de manera equitativa. El primero dice 11 que le 311 1 x = 0,33...= 3 7 x= corresponden 0,33… partes de la pizza; el segundo dice que le corresponde 33 0,33...= 3 13 de 5la 7 53 1 1 pizza; el tercero dice que ambos están 1en lo correcto. ¿Es verdad lo1 que afirma 1 =0,33... 3= xel/ x 1=1 a1a, a ∈ y b ∈ ; b ≠ 0 2 =0,33... =x /––x =;;0,3; y 1;b0; ∈etc ; b ≠ 0 , a –∈1,24; 0,3; 0,33...= 3 33 tercer amigo? 3 1 3 22 1b3b – 1,24; 1; 0; etc 1 1 0,33...= 1 11 1 3111 3 1 66 3 0,33...= 0,33...= 3 que3verificar que 0,33...= 3 . Luego: 5 0,33...= Si es cierto lo que afirma el tercer amigo, habría 0,33...= 3 3 3 3 1 3 1 3 55 3 77 1 1° Sea x = 0,33….0,33...= 3 1 11 0,33...= 11 – 13 a1a 1 7 1 0,33...= 1 3 2° Si se multiplica por 10, se tiene: 10 • x = 3,33…. xx //–xx=1=; 0,3; 71,24; 3 3 =0,33...= ,,aa–∈ yy1;bb0;∈ ;;bb≠ 00 5 = ∈ ∈ ≠ etc x = 33 3 3 10x – x1= 3,33… – 0,33… 3 3 –22 ; b30,3; 3° Si se resta 2° –11°, se tiene que: b 13–221,24; 1; 0; etc a x = 1 1 1 1 1 11 1 6 3 1 1 1 9x = 3 3 3 0,33...= 1 x = / • 1 6 3 3 0,33...=x3= b 3x3= 3 3 0,33...= 33 3 1 33 77 13 =0,33... 5 5 1 a 5 5 x= 1 1 11 =0,33... 11 1 11 1 x= x= 1 1 1 1 3 3 7 0,33...= 1 0,33...= =0,33... = – 71,24; 1; 0;–etc 1 ;x0,3; 33 1 b =0,33... 3 3 –– =0,33... 0,33...= 3 3 3 3 3 3 ; 0,3; – 1,24; 1; 0; etc – 3 3 3 31 3 1 3 32 2210,33...=5513. 3 Para verifi 11 1 : 3.1 Por1 lo 2tanto, 1 11la1 división 1 1car que 11 con 11 realizar 1 3 =0,33... basta =0,33... 1 – =0,33... 1 66 =0,33... 0,33...= 0,33...= aa 3 a 0,33...= 3 33 311 0,33...=x3 4 x3==0,33...= 0,33...= x =30,33...= 3 3 3 el tercer 3 =x / x =a , a ∈ y b ∈ ; b ≠ 3 3 3 Entonces, amigo 1sí estaba en lo correcto. 3 3 3 3 3 3 55 bb1 b 7 1 1 –5 = x / x = , a ∈ y b ∈ ; b ≠ 1 1 1 71 0,33...= 1 10,33...=11 11 1 que es 1 tipo 0,33...= 0,33...= 1 1 de representación más a 0,33...= 1 a 0,33...= 0,33...= a3le b 3 ¿Qué crees adecuada para interpretar 33loa1que 7 x = 0,33...= x = =0,33... 0,33...= 7 = ∈ ∈ ≠ , a y b ; b 0 x / x = 3 3 2 =0,33... = x / x = , a ∈ =0,33... y b ∈3 ;b≠ 03= x / x––= 33, a∈a y b ∈ ; b ≠ 0 3 amigo? 3 3 3 3 3 3 3 a3 cada 3 b 3 corresponde ¿Por qué? b 3 2 1553b bb a 13 –4 y b 1∈1;b ≠ 0 5 a 1 = x / x =11 , a ∈ = x 1/ x= a , a ∈1a1 y1b 2∈ 1 11 ≠ ; b 0 1 xx = =0,33...= 1 , a ∈3=0,33... y b1=∈ 0, a33∈ y b ∈ ; b ≠ 0 ax3a5;/bx≠ x = 33 =0,33... b 0,33...= xb/ x = 0,33...= x =Para 0,33...= 1 = 3 3 = 0,33...= 1 grabar 3 33 3 33 3b3 3 3 – ; 0,3; 3 b –– – 1,24; 1; 0; etc 3 2 11 55 3 3 555 1 3 1bb 1 21 44 1 1 3 11 1 xde x() = surge – 1,24; 1; 0; etc aa El conjunto racionales 3 =1 1333 aaxa–=23; 0,3;–5 –5 x=0,33... = =1 los números 0,33...= =0,33... 0,33...= ==3xx=0,33... yy1;bb0;∈∈xetc , ,Ejemplo: aa–∈∈1,24; ; ;puede bb≠ 00interpretar //–xx11==; 0,3; 5 5 =0,33... se como 3 partes de ≠ 6 – = ∈ , a y b ∈ ; b ≠ 0 x / x = 3 3 5 3 por la necesidad que no – ; 0,3; –– ;30,3; –31,24; 1; 0; etc tienen 3 3 3 de resolver problemas bb – 1,24; 1; 0;5 etc3 3 2 5 b 5 b 3 25 1 los números enteros 1 y se2 1 22 b167 solución en de 1 1 iguales. 1 de 51partes 1 1el conjunto un total 1 a a 1 ; 0,3; – 1,24; 1; 0; etc – =0,33... =0,33... 1 1 6 =0,33... –x1,24; – ; 0,3; 373 ,a ∈ –4y =0,33... 0,33...= =aa/ xx=1/ x, =a– 3∈ ∈ ≠; 0b ≠ 0 y b1;–4 ;∈b 6 = 1; 0;etc= x=0,33... = x6 etc –4 2 0,33...=333 0,33...= define 0,33...= de3la3 siguiente manera: –71,24; 0;betc 2 – 23; 0,3;3– 1,24; 31; 0; – b; 0,3; 3 3 – b 33 3 5 bb 2 4742 331 –2 5 7 71 7 5 6 1 0,33...= 1 1 a16 a aa 7 0,33...=2 1 x /=0,33... 1=1 0 b ∈=0,33... 600y0,33...= ; b ≠3 013 7aa 6 –5 , a;;∈ x3 / yyx1;bb=0; ∈ ,, aa=∈ bb ≠ 71,24; 0,33...= =0,33...= b==∈xx ;//b–xx≠ x = ,7a ∈ y 2 –52 5 ∈ ∈ ≠ = ; 0,3; – etc 7 3 3 0;b etc números –2 ;bb0,3; 3 como5 – 5; 0,3; – 1,24; 1; 0;1etc, 3 3 3b –21,24; 1;Además, 7 2 7 b a 2 2 a 7a 2 215 55 a dealos /1x = , a ∈ 7 y b 7∈ ; b≠ 0 11 a2 1 b 1 Es decir,3 el conjunto números racionales está = =; b≠ x x / x= , a ∈ y b ∈ ; b ≠ 0 3 6 3 –4 7y–b1,24; 33 = x / xracionales. b∈ b≠ sonnúmeros =0,33...= 3 ;6 y by∈ b;≠ 0,33...= –4 =x/x x/ =x =2, a,∈a ∈ b 5etc 001 b también –=6b; 0,3; etc033 b ;–0,3; –, a 1∈ 1; 30; 1,24; 1;∈0; – 2 todos los compuesto por números que pueden b – b 32 2 4 2 3 2 77 5 5 55 5 33 –3 –4 –4 a 5 1 7 54 5 1 ser escritos3comouna fracción cuyo numerador y 3 3 – 1 a a 6 –5 11 y b ∈77; b1≠ 03 13 = x / 5 –20 3– 1,24; 1; 0; etc 3 = x /6x 7 3∈ 1 y b22∈ 5 b ; b ≠–2 = , a–5 , a––∈son = cero) ; 0,3; –enteros. 1;xde denominador (distinto números ; 0,3; – 1,24; 1; 0; etc a – ; 0,3; – 1,24; 0; etc – 5 ; 0,3; 5 5 – 1,24; 1; 0; etc 7 b7– 2 5 5 55 b 22 22 2 – 5 25 5 –3 5 3 55 5 a1 b 2 52 3 1 – 31 7 7 –4 3 –33 ; 0,3; –aa1,24; 1; 0; etc 6 6 1– 13; 0,3; – 1,24; – asiguientes 0,3; –11 ; 6 1; 0; etc 6 regiones 6 – – 3 ; 0,3; –decimales. 5 1,24;1 1; 0;a–4 etc– – ; 0,3; – 1,24; 1; 0;1; 0; etcetc 1. Representa mediante los–a1,24; números 5 2 2ba 525 2 5 2 b33 5 –4 55 7 bb 7 7 2 25 8 7 ab bb –4 a a 6 6 a 6 6 7 33 7 aa 76 1 1 c. 1 31 a22 a –2 7 –2b 3 aa 5 a. –b. – ; 0,3; – 1,24; 1; 0; etc 7 – ; 0,3; – b1,24; 1; 0; etc b 7 – – b 7 7 5 5 b55 b 55 –3 bb 2 55 2 bb 27 2 2 3 2 a 5 4 a 7 a 76 1 3 3 333 a a7a– 1 17 7 6 a –3 3 1 a 3 –3 –6 a 4 – ¿Es posiblebhacer una representación gráfi ca del número – ? Justifi ca – –5 – b b2 2 5 – 2 tu ––4 2 5 5 2 5 5 b b 4 7 7 5 5 b1 respuesta. 4 3 b1–52 66 4b b –4 3 – 3 1 1 a a a –5–2 3 aa 3 –5 31 7 – –2 – 3 aa 2–4 88 8 – 7 4 – –5 –3 – 4 5 – 4 5 5 b b b 255 4 b5b –4 55 5 bb 5 22 55 2 2 3 5 –5 –5 –5 3a cada intervalo. 3 la 33 2. Evalúa y marca que corresponde a a 3a –4 3 a –3 –4 a a– 3– 31las fracciones –5 – – 1 a 3 –4 33 a –3 6 32 2 – –– 5 2 5 – 2 55 b 4b b3b 2 662 44 b 33 bb –6 b 5 55 Desafío –5 –4 5 –6 –4 –4a a a a 3 3a –5 aa 8 5 a a numérico 3 3 –5 a 22 Justifi 8 ca por qué: Intervalo Intervalo 3 – –5– 2a –4 b85 3 5 – – 3 3bnumérico b b 42 45bb 3 55 3 2 b 5 bb 8 bb 5 5 a –a a 2 2 2a a2 3 5 a –4 8 – = = ; aa –5 –5 a –4 3 3 3 –3 3 –4 – 3 3–4–2 33 b b –b –4 3–3 2 5 0 > a> –1 –– 3 – < –1 5 b b 5b b 2 3 2–466 5 –6 con a, b , b ≠ 0. 33 4 –4 44 6 4b b b –4 3 –6–2 5 6 3 33 3 3 3 –42 –4–288 3 5–5 2–2 –5 –2 –5 –5 –5 3– a a –5 –2 5a –5 – < < 0 –4 –1 –4 1–4<– 4 4 4 4 3 2 3 5 555 –4 88a 55 5 24b b 22 88 –2 –2 –2–5 –5 –4 5 –5 b 2 2 3 –4 3 a –a a a 3 –4–5–5 3 –2 3 –4 3 a 3b a 3 a3 5 –a == –a == a – – 5 2 2 – 52 4 5 –45 b–6 –4 33 –b 32 2 4 Unidad 1 • Números racionales –4 3 bb 12 bb bb –b –6 5 6–4 6 ab a a –4 a –4 –4 3 3 –2 a55 a –5 –2 22 2 –4 –5 –5 –2 2 aa –5b –3 b b b3 3 3 3 –4 5 –4 5 5 8 b 8 53 2 b 2 5 5 b 8 8 a b 5 a 2 2 –36 U1_1ºM_Mat_v4.indd 12 a2 –2 –2 3 a a 3 –3 3 a –a a 29/1/10 18:07:30 32 2 0,33...=
e e
1 3
c c
r r
Números racionales
2 3 4 5 6 7 8 –151 –11 2 3 4 5 6 7 8 3 3 –1 –1 1 –1 –1 1 –1 3 3 2 3 –1 31 2 3 1 3 1 –1 3 1 3 –1 1 2 2 –1 –1 4 2 3 1 2 4 En la siguiente recta numérica se 3 2 3 3 3 3 –1 30 111 < 33 –1 1 2 ubicaron algunos números entre –1 y 1. 3 3 1 4 1 <4 1 3 4 –1 22 Para los valores. 3 41 3 2 44 4 1 3 2–1 hacerlo, se compararon 2 –1 –1 2 1 –1 –1 3 31 3 <Ayuda < 3 4 3 1 3 3 1 3puedes aplicar 3 determinar el orden en los números 1> < Para racionales el siguiente 2 4 4 2 3 < 1 > 3 3 3 3 < –1 3 2 1 4 24 1 3 método: 2 34 4 4 21 1 4 3 41 –1 Recuerda < 4 1 1 1 >que todo número 3 a 4 2 1a 3 3 3 1> 3 4 2 3 12 3 3 4 < 1> –12 • 3. De la misma 1 3 forma,3 12>2 , ya1 que >44>21 • 3. Esta entero a se puede escribir de la < , ya que: 1 • 4–1< 1 34 11 •2 211 4 técnica 4 < 3 4 < 4 a 23 4 1 a 2 4 3 3 2 241 33 3 3 31 > producto cruzado. forma a c. a 3ca 4 se4suele conocer como 4 a a c a a 3 2–1 > 1c ⇔ a • d > b • c a d<b c 1 ><< ⇔ <1 4 4 3 ⇔ a •• d < b •• c > d ⇔ a•d>b•c 11 4 34 1> 3 3 b d b 1 4 1 4 2 1 > a 1 43 3 1 c b ad c b d 1> 1 a c < c a a 2 3 < 4 31 a •3da<2b • ca4 c1 3> ⇔ a • d > b • ca< c⇔ a • d < b • c 1 41 3 3 44 31< ⇔ 2 > ⇔ a•d> 2 Para grabar < < < < 1 a dc a c 2 ; – 4 <; – 1⇔ a c a 2 4 41 1< ba •• cd > b •bc >d ⇔ a • d > b • c b d ;ba3>;adc–•1;⇔ d 1 > b a ⇔ a d < b c < • • ; – 1; 1 ; ; – ; – 33 2 24 4 • c2 4 155 a •b77d > bd22•bc44 d 4 2 > 4⇔ a c 1 >b 3< d ⇔ a • d1<<b 3 a c 3 1 elementos 2b 4d 1 3 1Para > ⇔ a • d >3b 3• c1 2 4b2 d4 3;b– 1 ;d33 ; 4 < ⇔ a• den< bla•1c Ejemplo: 2< 3 1 > ubicar 4del4 conjunto ; – ; – ; ; – 1; 1 – 1; 1 ; – 4 c a c a 3 1 4 2 a 1 >4 1 >1 3 4< ⇔ ab cd con respecto b d 12 >1 4> a1 c3 c 4numérica debes compararlos arecta ; – a •; d– < b; • c; – 1; 1 > 5⇔ 7a • d2> b4• c 7 4; – 2 ;44números 52 siguientes ; – 1; 1 ; – 4 4 ; – 1; 1 ; ; – ; – < ⇔23a • d4< b • c 1 12<>3 34⇔ a1 • d3> b • ac < c ⇔ Ubica en la recta numérica los 3 c a c a 7 a •2d >4b • c b d4 1 a5•ad• d>7b< b• c•2c 4b8 > ⇔ a • d <ab • c <b d Para ello, puedes 8 d>5 ⇔ d números baaotros 4a a 3 del conjunto. ; –4 ; – ; ; – 1;b1 d racionales:5a a 7 b2b <d41d>⇔ 2 4 4 2 4 2 d b 11>método 1 2 44 a1 c3 c a 4 4 7 2 cruzados. de los 5productos 1 4 el 3 2utilizar – 1; a1 • d > b • c 8 ; – ; – >; ;⇔ a1• d < b • c2 < 81 1⇔ 3 2 4 1 3 a 41c 1 3 ; – ; – 1 ; 4;3– 1; 1 a 3 4 2 16 78 b2 d4 c a 1 > 5 d b ; – 1; 1 ; ; – ; – 4 1 > < c a c a 8 8 c ac • d ;<–b • ;c– 2a; ;c–>aa1; 1 ⇔ 2 a4• 4 5 <7 ⇔ 2 a16 • d > b • c a ca c a2 d<b•c 4>4 ⇔ a • d > b5• c 7 2 4 b <ad a⇔ 5a • da1 •7<2db <• 2bc2 d3<>acca>⇔ 4cd–12 4• 4c<b1 ⇔ ⇔ a a a ⇔ d• c> b • c > < a b c < < <⇔⇔ •⇔ ••d•d2 •>bdb•>•cbc • c> ⇔ • d >ab•16 8b d –12 4b d 1 3 2 4 aa b db d b 4bd 1d 34 a 5 ;c–16 b; – 2dbb; 4 b;dd– 1;8d1 3 16 c a 2 1 > 7 2 3 ⇔ a • d < b • c 3 > ⇔ a • d > b • c –12 < 16 82 ; – 4 ;a– 1 ;c4 a c ; – 1;a •1• d <1 b1•• c 8•• d > b ••c 5–1; –16 1 2 72; 4– 24; 418; –31b1;431 d 0–12 2 42 14 3 1 3–12 Donde , . ⇔ ⇔ a > < – 1; ; – 1 1; 1; – ;;–– ;; –212 ; –; 1; 1b; – 1;d1 ; ; ; – ; – ; – ; – 16 –12 12 25 7 ba 2 d4 –12 3 a a c< c ⇔ba • dd < b • c2 a a c> c ⇔4a 5• d 5>7b •7c22 422 4 4 35 1 735 27 4–3 2 43 16 8 –12 ⇔ ⇔ a d > > a d < b c < • • • b • c 4 ; – ; 3– ; ; – 1; 1 –3 16 12 21 4 1 3 b b d d 16 b b d d 8 43 4 16 5 2 7 1242 44 14 12 ; – ; – ; ; – 1; 1 3 –12 12 8 14 –12 12 –3 5a 7c 2 4 2 2 4 4 1 1a3 3 c –12 8 8 –12416 –38 8 ;••–c; –; – ; ; >; –;1;–⇔ 36 –3 11; 1 a •• d > b •• c 2 –3 –3 6 32 4b < d ⇔ a •• d5<;5b–12 14 3 22 2 2 12 4 4d 7 7 2 2bracionales 3 8–1214 –10,9 16 14 1. Compara los números dados. Luego, completa con los signos –3 14 –10,9 1216 82 4 1 3 4 4 14 6 6 12 –121616 12 2 3 616 16 –3 >, < o; –= ;según corresponda. – 2 6 ; – 1; 1 ; – 14 –12 –3 6 –12 –2 –10,9 25 7 2 4 8 8 –3 –12 –12 –12 14 –31612 –10,9 3 6 –10,9 6 3 –10,9 14 –10,9 6 16 4 –2 14 –2 22 12 3 3 14–12 –3 –23 3 6–0,3–2 c. 2,3 e. –10,9 612 a. –12 –0,3 –2 8 6 6 1616 –312 12 6 314 612 12 –10,9 10 6 –3 – 2 –10,9 6 3 –12 6 2 10 –0,3 –12 –10,9 –3 –3 126 –0,3 14–3–3 –10,9 – 2 4 –0,3 6 –0,3 –214 12 –0,3 16 4 10 33 –2 1014 14 6 1414 –2–3–10,9 64 10 –0,3 12 66 –3 –12 10 4 10 12 6 6 6 14f. 46 6 4 6 b. d. –11 –10,9 –2 10 4 –0,3 –10,9 10 143 –0,3 –3 4 10 4 –10,9 6 4–10,9 4 –3 –10,9 –0,3 –0,3 6 –2–10,9 7 1 1 8 17 64 1 5 10 4 12 1 5 1 6 4 10–2 6 ; 3,5; ; –1; 2; ; ; – – 8 ; 17 – 14144 10 7 ;; –– 1 ;; 0,076; –2–2 10–10,910 –2 –2 10 ; 3,5; ; –1; 2; ; ; – 0,076; – – 6 2 4 2 3 7 ; 11 14 1 1 –0,310 4 1410 3 2 –10,9 –3 41 6 2 1 1815 17 10 46 Compara 1 7 11 7 6 64 7 1 5 1 6 6 6 6 – 2 2. los siguientes números y ubícalos en la recta numérica. 4 racionales –0,3 ; – 7–; ;; 1–1; 2; ; 3,5; 4 ; 7–1;5 2; 412 5 7 ;8– 117; –10,076; 8 17; – 6y1 4 10 1–; 13,5; 6 ; 1– 31 ; 5 4 12 –10,9 4–0,3 –14 6–0,3 1 5 10 ––0,3 2 ;–52; 4 – ;2 2–; 17 3– 8 14 –10,9 ; ; 3,5; ; –1; 2; ; ; ; 0,076; 2 4 2 11 7 14 1 1 –0,3 –0,3 4 ; – ; 3,5; ; –1; ; ; – ; 0,076; – 6 y ; ; ; 0,076; – – ; 3,5; ; –1; 2; ; ; – – 13 614 54 3 2 2 11 4 107 1 4 4 14 7 11 1 1 5 8 4173 210 6 13 7 1112 5 42 7 1111 1010 66 2 6 11 5 2 12 4 5 –2––2 ; – ; ; –1; ;1410 – ; 30,076; ; – 102; ; 3,5;4 10 10 10 –0,3 y ; 10 y ; 1 7 1 5 17 1 8 6 4 5 12 4 212 511 4 5 11 4 127 6 4 –0,3 –10,9 16 14 73 21 6 4 1 85 17 1 5 6 13 6; –5 ; 0,076; – ; ; y ; –1; 2; ; 3,5; y 5 – 1 ; 8– ; 17 ;51 4 4 2; 4 –; ; ;4–1; ; – ; –0,076; ; 3,5; ;4 y1 ; 3,5; – ; – ; ; –1; 2; 6 12 8 17 610107113 4 7 11 14–; 13 ; – ;3672;5– 1 ; 0,076; ; – ; –1; 0,076; 4 5 4 5 6 13 3,5; ; 2; ; ; – – 2; 11 – 11 7 1 1 5 2 6 4 13 3–2 2 14 10 –0,3 –0,3 ; y 23 4211 4 124 57 4112 711 1 14 3 2 10 4 4 4 144 6 11 7 1 1 5 8 17 13 6 5 12105 446 ; ; –1; ;2; y ; 3,5; ; – ; 0,076; – ; – 10 – 4;10 12 5 4 1010 1010 1 12 ; y 4 5 1 7 1 5 17 8 6 5 6 13 2 11 4 2 3; 3,5; 7 11 ; y 8– 17; – ; ; ; –1;14 y 13– 66 ; ––0,3 451 ; 5 ; –1; 2;4 41 ; 3,5; 7 ; – 1 13 ; 0,076; 6 5 –0 ; 14 6 63 113 1 1 1– 77;8 118717 1 171 1 611 25;17– 1751 ; 10,076; 5 2;55 464 15 8 17 8 17 10 6 2 12 ––1; ; ; 3,5; 3,5;; 3,5; ;; –1; – ; ; ;–1;–; 2; ; 0,076; ;2;;0,076; – ;–;– ;; ;–0,076; ; 0,076; – ;– ; –2;y 2;–; ;– 3,5; 2 11 4 3 2 7 –11– ; –; –; ; ; –1; 14 10 4 10 4 43 232 21 11 114 7 4 127 721111 1111 8 17 7 11 7 11 1 4514 62 6 14 5 1443 3–2 13 12 14 5 4 ; – ;5 ; –1; 2; ; 3,5; ; – ; 0,076; – ; 3.12 Resuelve ; 812y5 17 7 en1 tu cuaderno. 1problema 51010 ; –y46 ; – 1el; siguiente 4 4 4 4 5 5 5 12 12 12 2 11 7 11 ; – ; 0,076; 13 –6; ; ;5y y 14 3 ; 2y; y 4 5 3 2 ; –1;6 2; 41 ; 3,5; 13 6 14 16 11 7 131713 5 2 111 17 8 4 7 5 17 1 8 6 5 5 5 5 6 6 6 13 13 12– 5 ; 3,5; ; –; – ; 0,076; ; –1;2;2; ; 3,5; ; 0,076; – ; – ; ; ; –1; ;y;4 de la tarea ; –7 Si Paula, 4 – 1414;y –Joaquín 12 2 1111 4respectivamente, 3 2 2 hacen, 10 5 Marcela 2 4 11 3 7 511 6 13 ; y 1366 51en5clases, 7 los 1tres avanzó8más? 14 17 propuesta ¿quién de 12125; 5 y4 – ; – ; ; –1; y ; 3,5; ; – ; 0,076; – ; ; 2; 7 11 2 11 14 3 213136 6 545 12 ; 5 y 4 13 6 5
Representación en la recta numérica
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evaluación
contenido
resolución
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c c
r r
Densidad y clausura en Evalúa la siguiente afirmación: “Para todo par de números racionales existe otro que se encuentra entre ellos”. Esto se puede anotar de la siguiente forma:
Ayuda Ten en cuenta la siguiente simbología: : para todo. : existe. / : tal que. ⇒ : implica.
Para saber más El conjunto de los números reales () corresponde a la unión de los números racionales con los irracionales. = ∪ .
∀ a, b , a < b, c / a < c < b 1 La propiedad anteriormente enunciada se conoce como densidad de los números racionales. Por lo tanto, se dice que el conjunto 2 es denso. 1 1 Encuentra un número racional entre y . ¿Cuántos puedes hallar? 2 3 1 1¿El conjunto es denso? Justifica. ¿Existe un número entero entre –3 y –4? 3 3 11 1 1 Para grabar 22 3 2 11 La propiedad de clausura en un conjunto (X) 1 Por es cerrado respecto de 5 ejemplo, el1 conjunto respecto de una operación (*) quiere decir que si se2 la6 adición. Es 2decir, 3 3 dados dos números racionales operan dos elementos (a y b) pertenecientes a X, el5 cualesquiera, su1suma es un número racional. 1 1 resultado seguirá siendo un elemento de X. 3 3 ⇒ a + b = k; k a, b 6 3 Es decir: 1 11 Por ejemplo, y2 son números racionales y su a, b X ⇒ a * b = k; k X 3 2 5 Por lo tanto, el conjunto X es cerrado para *. suma, es decir,1 ,5también es un número racional. 266 5 6 1. Analiza la información del recuadro. Luego, determina la veracidad de las afirmaciones. En caso de ser una afirmación falsa, justifica mostrando un ejemplo. Números naturales
Números enteros Números racionales
a. Si a y b , entonces, a + b = k; k . b. ( ) = c. Si a , entonces, a . d. Si a, b , entonces, a – b = k; k . e. Si a, b , entonces, a + b = k; k . f. ¿El conjunto de los números racionales es cerrado respecto de la sustracción? Fundamenta.
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Para grabar Propiedad de clausura en respecto de la multiplicación El conjunto es cerrado respecto de la multiplicación. Es decir, dados dos números racionales cualesquiera, su producto es un número racional. a, b ⇒ a • b = k; k
2.
Analiza la siguiente afirmación. Luego, responde.
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
4 4 5 Ejemplos: 5 2 4 2 3 el producto sigue Al multiplicar por , ambos números racionales, 5 3 8 siendo un número En este caso, . 2 racional. 8 15 3 15 8 15
a, b ⇒ a : b = k; k a. Traduce a lenguaje natural la afirmación propuesta.
b. Da tres ejemplos en los que se cumpla la afirmación.
c. ¿Es verdadera la afirmación propuesta para cualquier par de números racionales? Fundamenta.
3.
Analiza la siguiente información. Luego, responde.
0 a c a, b / b = a + 1 ⇒ c a, b / b = a + 1 ⇒ c
b
a. ¿Qué sucede con c si a, b , tal que b = a + 1? b. Determina 3 posibles valores de a, b y c. c. ¿Qué opinas de la afirmación: “Entre dos números racionales siempre existe otro número racional.”?
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r r
Ayuda 3 = 3 : 4 = 0,75 4 67 = 67 : 8 = 8,375 8 181- 1 180 20 = 1,81= = 99 99 11 782 - 78 704 352 = = 7,82 = 90 45 90 782 391 = 7,82= 100 50 1 125 = 0,0125= 10.000 80 1,81 7,82 1,7 1,59 1,77 =
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17 - 1 16 = 9 9 52 33
Números decimales en Además de la representación en la recta numérica, los números racionales pueden ser representados como números decimales. Esto lo puedes hacer dividiendo el 3 numerador por el denominador. = 3 : 4 = 0,75 En los números decimales se pueden encontrar4 los finitos e infinitos, ya que su 3 parte decimal tiene un número nito o infinito67de= 67 cifras. A su vez, estos números : 8 = 8,375 = 3 : 4 =fi0,75 8 4 decimales infinitos pueden ser periódicos o semiperiódicos. Los números decimales 180 20 3a=otro 181- 1pertenecen 67 infinitos que no sean periódicos ni semiperiódicos 3 : 4 =conjunto 0,75 = = 1,81= = 67 : 8 = 8,375 4 numérico, denominado8conjunto de los números99 irracionales (). 99 11 3 67 = 3 : 4 = 0,75 704 352 782 78 180 1811 20 4= 67 : 8 =el8,375 Para transformar un 1,81= número decimal a fracción, número sin = 8escribir =puedes 7,82 = = = finito 4567 que tenga tantos 90de 10 90 99 11 99 el denominador, coma en el numerador, y en la potencia = 671: 8 =180 8,37520 ceros como cifras decimales número inicial. Luego, si 8es181posible, 782 3911,81= 704 el 352 782 - 78tenga = =simplifica. = 7,82= = = 7,82 = 99 99 11 Por ejemplo: 100 50 181- 1 180 20 90 45 90 1,81=782 - 783= = 704 352 3 : 4= = 0,75 1 125 782 391 7,82 = 99 4 =99 =11 = 0,0125= = 7,82= 90 45 90 10.000 80 782 -67 78 704 352 100 50 == 8,375 = 7,82 = 782 = 67 3: 891 1 125 1,81 7,82= 90 8 =90 45 3 = = 3 : 4 = 0,75 0,0125= 100 50 782 10.000 80 7,82 181- 1391180 20 4 Para grabar 7,82= 1,81=3125= = 1 = 1,81 = 0,0125= 10099 50 67 decimales en . 1,7 Números = 3 : 4 =99 0,75 11 = 67 : 8 = 8,375 80 10.000 1 125 4 83 352 782 - 78= 704 7,82 1,59 0,0125= Periódicos = = 7,82 = 1,81 = 3 : 4 = 0,75 67 80 10.000 181- 1 180 20 90 45 1,7 =90 67 : 8 = 8,375 17 - 1 16 = 1,81=4 = 7,82 Infinitos 8 = 1,77 = 1,81 99 99 11 782 391 1,59 67 9 9 = 20 7,82= 1,7181-100 = 67 8,375 1 180 352 decimales 782 - 78: 8 = 704 Números Semiperiódicos 50 7,82 = 1,81= = 52 = = 7,82 =8 17 - 1 16 99 99 11 1 = 1,77 = 1,59 45 90 90 125 1,7 Finitos 181- 1 180 20 33 9 9 = 0,0125= = 3=91 1,81= 782 352 78 704 80 16 17 782 - 1 -10.000 7,82 99 99 = 11 7,82= 52 1,7 = = 90 = 45 7 = =1,59 90 9 9 1,81 782 - 100 78 70450 352 16 17 - 1 782 33 = los= números 7,82 = 1. Interpreta decimales. Para ello, completa la tabla. 1,77 =7,82= = 7,82 = 391 1 125 52 90 = 45 90 0,0125= 9 9 100 50 10.000 33 782 39180 1,7 Representación Representación 52 = 7,82= 1 125 Número1,81decimal Tipo = 0,0125= 100 50 decimal fraccionaria 33 1,59 10.000 80 7,82 1 125 17 - 1 16 = 0,0125= 1,77 = 1,81 = Infinito periódico 1,77… 1,7 80 10.000 9 9 7,82 1,81 1,59 52 1,7 7,82 2,09090909… 17 - 1 16 33 1,77 = = 1,59 9 9 1,7 17 - 1 16 52 1,59 1,77 = = 9 9 33 17 - 1 16 1,77 = = 52 9 9 33 52 Describe con tus palabras el procedimiento usado para transformar un núme33 ro decimal periódico a fracción y un número decimal semiperiódico a fracción.
Unidad 1 • Números racionales
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2.
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
Representa los siguientes números racionales en una recta numérica. 2,303; –0,808;
4 7 ; –0,8; 2,03; –0,808; 2,31; – ; –0 0,08 5 3
1 + 0,5 5 1.794-17 1.777 = 1,794 = 990 990 1.777 1,794 = 4 7 Luego, responde. Evalúa la siguiente racionales. 990 adición de números 2,303; –0,808; ; –0,8; 2,03; –0,808; 2,31; – ; –0 0,08 5 3 1 1 990 3,23 + + 0,5 5 1.777 x= 1.794-17 1.777 990 = 1,794 = 990 presentada? 990 1.777 a. ¿Qué tipo=de números componen la adición 1,7 794 1.777 990 1,794 = 990 1.777 1,794 = 1 b. ¿Qué harías990 para resolver la adición: transformar los sumandos a números decimales; transformarlos a990 fracciones o dejarlos tal como están y sumar 17 1,8= directamente? Justifica. 1.777 9 x= 990 1.777 = 1,7 794 7 990 4 7 2,31; – 4 ; –0 2,03; –0,808; 2,303; –0,808; ; –0,8; ,08 ; –0,8; 2,03; 0–0,808; 2,31; – ; –0 2,303;1.777 –0,808; 0,08 5 3 1,794 = 5 3 4 7 4 7 –0,808; 72,03; 990 1 información –0 ; –0,808; –0,8; –0,808; 2,31; – 7; 2,31; 2,303; 0,08– 4 ; –0 Analiza la3,23 siguiente junto a 1tu profesor(a). Luego, resuelve. ; –0 ; –0,8; 2,03;–0,808; – 2,03; 0,08 4 ; 2,31; –0,8; –0,808; 2,303; 0,08 + 0,5–0,808; 3,23 + 2,303; + 0,5 + 5 3 2,303; –0,808; ; –0,8; 5 2,03; –0,808; 2,31; – 5 3 17 3 5 5 5 3 1,8= 1 1 1.777 1.794-17 +3,23 0,5 + 1 +1.777 3,23 +9 1.794-17 + 0,5 3,23 + 1 = = procedimiento Se justifi1,794 cará el que = 0,5 , mostrando 1,794 5= 3,23 + se + 0,5 9905 990 990 5 990 5 1.777 1.794-17 1.777 1.794-17 1.777 1.794-17 1.777 = 1,794 = 1.777 = 1.794-17 1.777 = 1,794 = 990 cumple 1,794 =1,794 =. 990 1,794 = 990 = 990 990 990 1,794 = 990 990 990 990 4 7 1.777 1.777 1.777 – ; –0 –0,8; 1,794 2,03; –0,808; 2,31; 2,303; –0,808; 0,08 1 1,7943=;Luego, 1.777 Sea x = 1,7949494… 10 • x1 ==17,9494… y 1.000 • x = 1.794,9494… 1,794 = 5 990 1,794 = 990 990 se tiene 990 De lo anterior, que: 1.000x – 10x = 1.794,9494… – 17,9494… 990 990 1 1 1 0,5 1 3,23 + +1.777 1.777 1 x5= x = 990x990 990 = 1.777 /• 990990 990 990 1.794-17 1.777 1.777 = 1,794 =1.777 x = 1.777 x =1.777 x = 1.777 1.777 990 990 = 1,7 794 794990 990= 1,7 x= 990 990 990 990 1.777 1.777 1.777 1.777 1,794 = 1.777 = 1,7 7 94 1.777 Por otra 1,794 parte, el numerador 794 se puede mostrar=dividiendo 1.777 por 794 990= 990 = 1,7 1,794 = 990 1,7 990 = 1,7 794 990 990 990 1 1.777 17 Por lo 1.777 el denominador. tanto, 1,794 =17 1,794 . = 1.777 1.777 990 1,8= 1,794 = 990 1,8= 990 1,794 = 990 9 9 990 1.777 17 17 17 x= 1,8= 1,8= 17 1,8= 990 el procedimiento 9 para 1,8= 9 a. Describe utilizado justifi 9 car la igualdad anterior. 9 1.777 = 1,7 794 990 1.777 1,794 = b. Justifica990 en tu cuaderno, considerando la información presentada, la igualdad 17 1,8= . 9 3,23 +
3.
4.
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evaluación
contenido
resolución
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Aproximación en Para trabajar con números decimales infinitos o números finitos con muchas cifras decimales, la aproximación proporciona una gran ayuda. Estas aproximaciones se pueden llevar a cabo utilizando el redondeo o el truncamiento, entre otros criterios. Tanto en la aproximación por redondeo o por truncamiento, el número resultante puede ser menor o mayor que el original; de ser menor, se dirá que la aproximación es por defecto; mientras que si es mayor, se dirá que la aproximación es por exceso.
Para grabar Caso 1: redondea 5,67487654 a la centésima. Redondear un número en una determinada cifra consiste en considerar solo ciertos dígitos de la parte 5,67487654 5,67 decimal del número. En algunos casos se harán modificaciones en la cifra anterior a la determinada Luego, 5,67487654 redondeado a la centésima es 5,67. (Por defecto). en el redondeo y en otros no. El criterio que se define es el siguiente: Considerar la cifra decimal inmediatamente siguiente Caso 2: redondea 2,33375689… a la milésima. a la que determine la aproximación: 2,33375689… 2,334 - Si dicha cifra es menor que 5, no hay modificacioLuego, 2,33375689... redondeado a la milésima es nes en las cifras que se conservan. 2,334. (Por exceso). - Si dicha cifra es igual o mayor que 5, la cifra por aproximar se debe aumentar en una unidad.
1.
Aproxima los siguientes números por redondeo según corresponda en cada caso. Luego, determina si la aproximación fue por defecto o por exceso.
Número
Redondeo a la…
Aproximación
Aproximación por…
0,356483258
milésima
0,356
Defecto
897,46 897,46 897,46 34, 34, ,715 7715 34, 715 11, 1 11,11,1 1
2.
Ayuda Si se aproxima por redondeo a la décima el número 3,78, se obtiene 3,8. Luego, el error absoluto es: a = |3,78 – 3,8| = |–0,02| = 0,02
18
diezmilésima centésima décima
Analiza la siguiente información. Luego, resuelve. En la aproximación de números decimales, ya sea por defecto o por exceso, se produce cierto margen de error. El error absoluto (a) corresponde al valor absoluto de la diferencia entre el valor exacto y la aproximación: a = |x – xa| Donde x es el valor exacto del número, y xa el valor aproximado. Considera el número 8,781. Redondea a la milésima y luego encuentra el error absoluto. Redondeo: a:
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Para grabar Truncar un número consiste en Ejemplo 1: trunca 0,01199453 a la considerar solo una parte de las milésima. cifras decimales que componen el 0,01199453 0,011 número decimal completo. Luego, 0,01199453 truncado a la milésima es 0,011.
3.
Ejemplo 2: trunca –12,315 a la centésima. –12,3151515… –12,31 Luego, –12,315 truncado a la centésima es –12,31.
Utiliza tu calculadora científica para determinar qué sucede cuando el resultado de una operación entre dos o más valores es un número de 10 o más cifras. A modo de ejercicio, resuelve lo siguiente: 23.567.895 • 410 – 12.555.980 a. ¿Qué número se muestra como resultado en tu calculadora? b. ¿El número es finito o infinito? Justifica. c. Si es finito, escribe el número completo. d. Trunca el número obtenido en la calculadora a la centésima. Luego, inventa una situación en la que puedas escribir este valor truncado.
e. Si el número resultante en la calculadora lo redondeas a la centésima, ¿se obtiene la misma aproximación realizada en d.? Justifica.
f. Si ahora calculas 2 : 7, ¿se obtiene un número decimal finito o infinito? Justifica.
g. ¿Crees que la calculadora está programada para redondear o truncar ciertos tipos de números? Para responder, haz la prueba resolviendo varias operaciones entre dos o más valores.
4.
Crea una situación en la que redondees un número y otra en la que trunques un valor. Luego, explica por qué en la primera es más relevante redondear y por qué en la segunda es más relevante truncar. Situación 1:
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Situación 2:
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Analizando disco
Números racionales y representación en la recta numérica.
1 Analiza las figuras divididas en partes iguales. Luego, completa. a. El número racional que se representa en la imagen es: b. Si se pintaran los triángulos restantes en ambas figuras, el número racional sería: c. ¿Cómo representarías el número racional 0 con las mismas figuras que se muestran en la imagen? ¿Es posible? Justifica y dibuja en caso de que lo sea.
2 Analiza la siguiente situación. Luego, responde. Un edificio tiene una altura de 15,5 metros. Pedro baja al primer subterráneo y desde ahí dice: “el edificio ha aumentado su altura, ahora mide 18 m”. a. ¿Qué opinas de la afirmación de Pedro? Conversa con tus compañeras y compañeros de curso y determina la validez de la afirmación realizada. ¿Cuál crees que sería la explicación que Pedro daría para defender su postura?
3 Ubica en la recta numérica los siguientes números racionales. 8 3 7 ; –1; 1; –0,707; – ; 1,7; –0,7; 0; –0,7; 1,75; 1 4 4 45
Densidad y clausura en .
4 Resuelve los siguientes problemas. a. Encuentra un par de números racionales, x e y, cuyo producto sea un número natural. b. Encuentra un par de números racionales, x e y, cuyo cociente sea cero. c. Encuentra un par de números enteros distintos, x e y, cuyo cociente sea un número decimal semiperiódico.
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–2,153 4,25 0,376 de forma fraccionaria. Luego, si es posible, simplifica. 5 Representa como un número racional4,25 –2,153 –2,153 102,07 4,25 c. 0,376 e.0,376 a. 4,25 –0,47 4,25 102,07 –2,153 –2,153 102,07 10,3602 –2,153 –0,47 44 0,376 4,25 1 2 9 0,376 –0,47 0,36; – ; 0,36; – ; 0,36; – ; –0,45; 0,376 3 5 20 b. 102,07 d. 10,3602 f. 10,3602 99 102,07 –2,153 102,07 1,3 1 2 44 1 9 –0,47 44 0,376 2 9 –0,47 ; 0,36; – ; –0,45; – ; 0,36; – 0,364 ; –0,4; ; –0,45; 0,36; – ; 0,36; – ; 0,36; –0,36; –0,47 25, 34 99 3 3 5 20 99 de números. 20 10,3602 102,07 10,3602 en la recta numérica el siguiente conjunto 6 Ubica 10,3602 1,3 1,3 11,2316 1 44 1 9 –0,47 44 2 9 ; 0,36; – ; –0,45; ; –0,4; 0,364 – ; 0,36; – 0,364 ; –0,4; ; –0,45; 0,36; –0,36; 0,36; – ; 0,36; – ; 44 1 2 9 2 , 34 2 , 34 0, 9 5 3 – ; 20 0,364 3 –0,45; ; –0,4; 0,36;20– ; 0,36;5 – ;990,36; 10,3602 99 3 11, 316 5 99 20 1,3 1,3 11, 1 2 316 44 9 1,3 – ; 0,36; – ; –0,45; ; –0,4; 0,364 0,36; – ; 0,36; 0, 9 25, 34 2, 34 0, 9 3 99 20 2, 34 11, 316 1,3 11, 316 0 11, 316 0, 9 2, 34 0, 9 0, 9 7 Resuelve 11, 316 el siguiente problema. Números decimales infinitos periódicos y semiperiódicos.
0, 9 necesita 1,3 metros de género para confeccionar una cartera. ¿Es posible comprar 1,3 metros? ¿Es Carla la mejor forma de representar una medida? ¿Cómo le recomendarías que solicitara la cantidad de género 4,25 que necesita? –2,153 4,25 4,25 0,376 –2,153 –2,153 102,07 0,376 0,376 Aproximación–0,47 en . 102,07 102,07 10,3602 8 Realiza los procesos de aproximación vistos en la unidad. Para ello, completa la tabla. –0,47 –0,47 44 1 2 9 0,364 – ; –0,45; ; –0,4;Truncamiento 0,36; – ; 0,36; – ; a0,36; 10,3602 Redondeo la a la 3 5 99 20 10,3602 Número Error absoluto Error absoluto milésima décima 1 2 44 9 1,3 1 2 44 9 0,36; –0,4; 0,364 0,364 –0,45; 3 ; ; –0,4; 0,36; ––5 ; ; –0,45; 0,36; ––99 ; ; 0,36; 0,36; ––20 ; ; 0,36; 22,, 34 3 5 99 20 1,3 1,3316 11, –1,35572 22, 34 0,,934 11,11,316 316 0,0,99 ¿Qué sucedió en el último caso? ¿Por qué crees que ocurre esto?
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Adición y sustracción de números racionales Propiedades En cursos anteriores ya has estudiado cómo resolver adiciones y sustracciones de fracciones y números decimales; además, has verificado propiedades como la clausura, conmutatividad, asociatividad y elemento neutro de la adición. Para resolver adiciones y sustracciones en el conjunto de los números racionales se conservarán dichas estrategias ya vistas.
Para grabar Para saber más La manera de resolver adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones de fracciones es aplicable a la operatoria de números racionales. Asimismo, en este conjunto numérico se conservan las propiedades de clausura, asociatividad, elemento neutro y conmutatividad, además del elemento inverso y la propiedad distributiva de la adición sobre la multiplicación.
Adición y sustracción de fracciones con igual denominador.
Ejemplos:
5 – 10 5 55 10 –– 10 == 5 – 10 == –– 5 Se conserva el denominador y se 99 99 599 10 995 – 10 5 – 2 =5 – 10 =2– 5 2 5 7 resuelve la adición o sustracción de 22 55 10 59 = 10 2 – 5555–5–91010 10 – – ===2– ––595–– 5 == 2 ++ 5 == 7 5 – 10 10 5 5 5 – 10 10 5 – los numeradores, considerando que –––= = – 10 ––– ==– = –==910 9 9 959 10 9 510–995910– 102 99=5–95–5 1990 299 99 5 99 2 5 7 los valores de los numeradores son 9=99 9== –=– – 9 = – – = + = 999 999 9 929–95– –9510 955 2966 95–9110 29 59 29 59 79 9 92259•• 33– =10 números enteros. •• 5529 9 5=9––10 9 2 10 2211 –2255= 1110 1100=9–– 22–==––59 –5510= 222–5–5 577= 2+ 5= 7 –– =–– 29=2=–––259––5–510 = 15 – ==2915 –5–––9–1150 ===29 ++– 59–== =29 5+9 =79 9 3 5 3 5 3 5 • • Adición y sustracción de fracciones Ejemplos: 915= =2159–•923–51559–91=0 6=99–92–991–95=99 = +92 +=95 = 97 993 599 399• 51–92–952–9•=–953 1–•99510 = – 9 =– 9 9 9 9 – con distinto 6 9 16 59 4415 441 2 44 1 •779531 9252944• 93319••445595•• 449256••97733•• 933 15 1 921 5 – 10 5 5 10denominador. 21 944 9 37 1615 37 9 1 5 2 1 2 3 • • 1 5 2 1 6 5 2 3 • • = – = – + – 11 ==5– 6– ––6==– 1– ++1 == –– – 10 = 5 – 10 = – 5 – == + 13–==–2–5 ––=13=•=•55 ––2–5++••33==––=515 – 5 – 1215 1 11224 13 13 1315=76•–12 13 12 13=•423 7331 15••–544 415244•=••333415 • 15 Se igualan = 5 –910 = – 59 de las 109 denominadores 59 – los –45 13 3 55 33 33••44554–31 5–513 15 =3 –15 •5 155 • 3 15 313 •53= 315 16 + 1221 = 4 – 37 – = – + – – = + – = = – = – 9 9 9 9 3 5 3 15 15 15 5 3 5 • • 4 37 5 5 –9hace 10 fracciones. 743 • 5481 21 4 16 7415•• 33 15 13 45 •343433 2=buscando 10 7737 1237 13 1221= 13 10 95 – 10 = 2 – – 5 = =442 44+••5412 95 =– se 952 –– Esto 41216+37 4 4••3–13 4•• 4415 3713 1344453=4+48 12 481 48 – 21 4 16 4 7 37 4 4 •–4= •–33433 7 4 7 3 4 4 • • 7 21 16 7 4 4 • • – = + – – = = – = 10 29 59 =29 13––•5912++–79 12 =4134– 37 –156 el mínimo múltiplo + =––43156 – 21 =•=13–43=––156 ••=4=4 7+–4–••33++=413==–1612 + + – = + – 9 ––91100 los 7 4 4 –910= 229 – 555entre 52299 –común 4 13 12 13 1 2 109559 – 510 9 = + = = 2 – – 5 2 13•5312 12 +4156 156 16 3= 12213 4 471212••433 •7=•4156 4 •481 = = cando 13 4–4••48 + 121212= 13 –4 1313 +413 –4 37 337 3 7412•–413•1312 – – = y9amplifi denominadores = 92 – – 95 = 1313 +2 13= 12– 12 = –12 +=• 3– 3 113 –333•3–4• 13 92 + 95 = 97413= 1313–3 3–4+3•4413= =13 12 92 – 95 –910cada 48 4 1 9 99921 –– 29995 –– 110 6 2 3 37 13 433 4 12 481 • • 9 9 9 9 9 9 9 9 5 =6 – –1 = 3 4+ •212= 637 •1313• 12 • 5 = 2que 3433 3– •156 4481=4– •156 433 13 12 12 13 12 1•313=13 15648 el número 433 481 fracción por •–3 convenga. 4+• 12– 37==• 134 •12348 –4812437•481 •95 – 29• 35=–9150 – 629 =– 159 ==5 2931 – 2559= 3110 29 + 595 –––795 ==413••12=12 = – – = – = – – = = – – 37 13 433 481 48 • 12 156 156 156 1 3 • 15 15 15 5 3 5 • • Luego, se 1 –realiza 5 –la 6 12 =– 2 •– = de = 6 =– –– 1 = 5 + 5= 5 3•• 11313 37156 13 433 481 48 2 =– 1 •la5operación 156 342• 12 –156 = – 156 – 156 3 = 156 ••1= 156 – 529•• 33 =9155 – 1569 = – 1519 921313•9• 12121 9 =1212 – =• 1156 – =+• 212• –12156 – =156 31 9•• 55en 31 – 529= que 14 12 13 156 156 3 misma 9manera el caso de “igual 6 3 14 1 2 16 21 3756=12 • 13 156 156 156 4135•2–12 34 – 5 4= 3 •75 – 54• 3 =415• 4– 157=• –315 4 3 665==3+= +21 = 4 – 415• 4 +157 • 3 15 = 4 ––3–3+16––223+–+ – 37 4 denominador”. 313 3 + = – + 14 ––25 43 ++31 ••7455 == 2513 • 3 35• 6 4 • 1 13 6–514= 2 3 5 5 3 3 3 1255+ 21 12 155 2 =2 4 – 4= 7 – 4 – =4 • 4– + 7=•–3 = 4 55– 16 4– ––15237 = + 56 == 5313 + – + + – – = + – – = = – 14 + 7 1 3 4 3 12 13 13 4 3 12 3 4 13 13 1 2 • • 34 5 4 3 •75 54• 3 415• 4 15 7 • 315 4 3+161 –2175=23 45 31 37 5 3 + 437 •=1313 – 483 • 4481 13 4 • 12 4 • 3433 14 = 13 –22y+12sustracciones. –==5213– –5112 11+–1214 + 5314 = caso de ser posible, + adiciones 1. Resuelve En –las =••–3433 =413 4–•12 = 4843 •–4481 –8 = 8 + –13 37 = ++ –12 16 32–3= 14 •siguientes 413––8 314 4 3 37 13 4 12 13 13 1 2 8 8 8 7 21 4 7 4 4 7 1 1 2 12 156 13 12 156 156 1 3 • • + – – = 3 3 3 3 3 3 3 3 3 – 37 =• 13 =– 48 – 481 = – 433 = 4– • 12ca. =–+ ––6– += = = –1 3+ 10 + + simplifi =13 134 •• 12 16 =7 33133+83 13 31 –1213 +12710 12•• 113313= 156 156 312 – 437 837=3 4814=•–3433 483 •–4156 1 –+78=3+ + 1–312= – =3 13+•212––612=• 13 = 156 – 156 = – 156 37 + = + 7– 37= + 1871 7–810 6 212 6 3 12 • 13 156 87 156 433 8 887 d.887818 48 481 –+ = +3– 378 87 = 537 5 413 + = = 13 = 156 +••2512––6 a. =3 – + = – – 871 783 10 68810 6 = – + 4 5 1 5 5 5 7 7 8 8 3 1 6 2 3 4 5 7 12 156 13 12 156 156 1 3 • • + 76= 2 1 14 3 –– 10––1– 63 1+ + 10 = == + = = + + – –52+–51–+514 67 = 10 7 + 2 + 217 +2–3773=+ 2 – 2 2 410 3= 76 = 7 +7 + 77 77 2771–71+2–577+ –3523+–2531–+6514 == + = – – 7 7 7 7 + – –33 = 3 3 72 7 2 1 14 6 1 53 25–7 4 247 6421=71+775 53 e. 11 + b. –53+–513–+57 3= = ––4 = –7– 7 = = + 7 1 3 – + = – – + – + – 4 5 1 21 1 23 3= –562 4 4 2–4 227== 814 823+ 8131– 7 4 4 4 4 3 + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 –8 +–8 –+8 = = 21 +2+3 ––26 =2– = 710 313 813 8 11 11 2 3= 6 2 2 8 4 4 – + = + – 6 3 1 – 3 + 10 + 6 = 1 – 3 + 6 =1+ 23– 462 = 2 = +314 6 5 –24 = –– 3 ++4 38 141= 7= 7 + 6 7 +7810 711 – 813 3 4 5 6 c. 7 + = –3 4 +–1 4 441 445f. 44114 – 73–+810 7= + 7 –== +1 + 4 6= 8 2 1 4 4 5 1 1 3 4 5 7 7 7 711 – 8 5 + 4 + 7 = +11 ––22 4 = 4 4 2= 1– 1+ ––11 –+ == 3 = –145 + = ++ 5 – 7 7 – 7 67= 71 +537–10 2 1 4 3 7 3 5 1 1 1 2 –+ 4 21 –+5 2 – + +1 – = 4 33– –51 +– 4 72== 32 == 55 4 + 3 511 31 4 5 – las 311 En caso de ser posible, 2 27 –siguientes 2. Resuelve adiciones11 1y– sustracciones. 721 +2 3 4 57 77= 5+ 1+ 745– 531= 1 1– 5 11–115= 21 + 2 2 3– 62 = + = – – + – = simplifi –4 211–3= + 8– 2 4 + 8 537 1–511 = = 72 –6 2 3ca. 2 4 14 +524 5 1 1 5 – + – = 7 3 3 7 5 ––3+ 7+ – 51== 4= 1 ++ 3––6 – = 521 413 3173 = – + 1 4 241 214 =37 2 2 211–1–18 333– 2 1 +3 6 3 24 5 1= + 4 4 =5–38= +12 = a. 1 –+ 1 +– 2 == –+–2 –++c.314–= 7 7 4= 4+ 236 4 +3 221=1 –1538 4 288 3 11 – 413 5 2214 4 – = = – 3 == 4 +–38–2+ 51 1–+44 2411 15+ 3 2 1 23–823 4 2271 4 4 5 1 3 1 2– 51= 1 1 3 1 + = + – – 1 + 5 – 11 = = – – + + – 17– + 32=–23 –15 = 7 –23151 = –51 31– +41 5 1 –3 –2 1= + 5 3 2 7 7 5 3 2 7 +– 5== b. – 31 + 7 d. +2–33 5–5 = 2 7 5 1 1 7 2 3 5 37 +–351 == –513–+4 1 1431 3 7 5 5 1 1 21 = 8+ 3 –2 –41 ––+8 == + 3 1 7 3 5 Unidad 1 • Números racionales 22 41 – 38 + 21 =1 4 +338–221 – 1 = 2 –+23 –=51 = 711 + – 3 51 = 71 +2 8– 3 4 2 – 5 7 + 23 – 3 U1_1ºM_Mat_v4.indd 22 29/1/10 18:08:38 – =
2 2
51 1
3.
4.
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
Analiza el ejemplo. Luego, resuelve y escribe el resultado.
3 213– 21 1 192 1 32 5 32 2 37 1 32 59 + 32 3 213– 21 1 192 0,3+2,13= 290 37= 3 + 90 = 3 + 15 = 15 + 15 = 15 =2,46 = + = + = =2,46 = + 0,3+2,13= + 3 – 15 3 90 1,24 90 9 0,31=15 15 15 32 5 32 1 1 –192 37 3 213– 21 1,24 2 = + = + = =2,46 = + 0,31= 0,3+2,13= + 0,1– 3,41+5,2= 15 15 90 31 32 31 3,41+5,2= 90 15 9 152 37 5 32 192 3 213– 21 0,1– = + = + = =2,46 = + 0,3+2,13= + 4,2 – 5 +0,1= a. 1,24 – 0,31=9 c. 15 15 3 90 3 90 15 15 4,2 – 5 +0,1= 3 3 213– 21 1 192 1 32 5 = + = = + 0,3+2,13= + 0,1– 1,24 3,41+5,2= – 0,31= 3 3 90 3 15 15 90 9 1 2 5 b. 0,1– 3,41+5,2= d. 1,7 – – +0,34 4 =1,24 – 0,31= 2 1 21 9 1 192 4,2 – +0,1= 32 5 32 6 1 213– 3 2 37 4 = 1,7 – – +0,34 3 = + = =2,46 + = + = + 0,3+2,13= 5 4,2 – +0,1= 9 6 0,1– 3,41+5,2= 90a fracción? 9 1 3 90 3 15 15 15 15 qué ¿Por transformar números decimales importante es 1,7 – = 1,7 – 23– 31 +0,34 1 1,24 5– 0,31= 421 = 1,7 32 1 –192= 1 32 2 37 6 4,2 – 5 +0,1= + 213– + = + = + = =2,46 = 0,3+2,13= 6 9 1 6 3 15 1,7 – 2 – 9 +0,34 3 90 15 15 0,1–15 3,41+5,2= 3 4 = 3 90 1,3– 2,15 + = 19 6 3 1,24 7 = 1,7 –– 0,31= 5 1,3– 2,15 + = 1,7 – 2 – 1 +0,34 4 = +0,1= 4,2 – 61 7 0,1– 9 6 3 1 1 1,7 –3,41+5,2= = calculadora 3 = Luego, describe la estrategia – 7,1– 2,5 + Utiliza para resolver las siguientes operaciones combinadas. 62,15 1,3– una 1 1 + = 3 5 1 4,2 –5 +0,1= = 2 1 2,5 + – 7,1– 1,7 aplicada. 1,7 – = 7 3 +0,34 – – 4 = 1,3– 2,15 5 3 9 6 3 + = 6 7 1 que para este tipo de procedimientos, el uso de la calculadora científica permite utilizar paréntesis y recuerda Indicación: 2,5 +21– 7,1– = 2,15 + 3 = 4 = de qué manera representarás 1 1,7 – 3 –Debes fracciones. los números racionales que se muestran. 1 +0,34 1,3– 51decidir = 1,7 – 1 7 2,5 +9 – 7,1– 6 = 6 5 3 1 1 3 1 a. 1,7 – = b. 1,3– 2,15 + = c. 2,5 + – 7,1– = 5 3 7 6 1 1 2,15 + 3 = 1,3– tu estrategia: 2,5 + – 7,1– = Describe aquí 7 5 3 1 1 2,5 + – 7,1– = 5 3 ¿Qué hiciste para poder escribir los números periódicos y semiperiódicos en la calculadora? Describe.
5.
Verifica en tu cuaderno si se cumplen las siguientes propiedades para la adición de números racionales. Para ello, considera solo números decimales infinitos periódicos y semiperiódicos. a. Propiedad conmutativa a + b = b + a; a, b . Sí
6.
b. Propiedad asociativa (a + b) + c = a + (b + c); a, b, c
No
Sí
No
c. Elemento neutro a + 0 = 0 + a = 0; a . Sí
No
Resuelve el siguiente desafío en tu cuaderno. Dos amigos se disponen a comer unos pasteles. El primero tiene 5 pasteles y el segundo, 3. Justo cuando van a comenzar, llega un tercer amigo, sin pastel alguno, y les dice: “¿qué les parece si repartimos sus 8 pasteles de manera equitativa y a cambio yo les doy $ 800 y ustedes se reparten el dinero de una manera que encuentren justa?” Los dos amigos se miraron y aceptaron. ¿Cómo repartieron los $ 800 los dos amigos? Observación: la respuesta no es $ 500 y $ 300.
Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
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evaluación
contenido
resolución
e c r 6 5 6 5 30 15 = – = –r – = – 7e 4 7c4 28 14 •
•
•
Multiplicación y división de números racionales Propiedades
4 3 4 3 23 4 • 3 • 23 1 • 1 • 23 23 =– =– • – • 2,5 = • – • = – 9 8 9 8 9 9 • 8 • 9 3 • 2 • 9 54
a c c a Para multiplicar y dividir números racionales se puede utilizar su representación ·b • d =+ d • b–; b,d ≠: 0. + – fraccionaria o decimal. Sin embargo, debes transformar los números decimales a c+ e –a c+ e + – + • • = • • ; b, d, f ≠ 0. infinitos a fracción para multiplicarlos o dividirlos por otro número racional. b d f b d f Además, debes aplicar la regla de los signos vista en para número racionales. – – + – – + a a • 1= ; b ≠ 0. Para grabar b b a c e a c a e Para multiplicar dos fracciones se Ejemplos: 6 • – 5 = – 6 •• 5 = – 30 = – 15 • + = • + • ; b, d, f ≠ 0. multiplican los numeradores con los b d f b d b f 6 5 6 • 5 30 15 7 • 4 7 •• 4 28 14 =– =– • – = – numeradores y los denominadores 1 2 7 4 7 • 4 28 14 4 3 4 3 23 4 •• 3 •• 23 1 •• 1 •• 23 con los denominadores. • = 5 6 • 5 30 1 •115 • 6 – = =– 2,5 = • •• – •• = – • 6 5 30•–3• 23 •=5– 4= 4 3 • 66–• 4– =55–=3 – 6623 9 •• 8 •• 9 3 •• 2 •• 9 81515 1 • 1 • 923 823 • 5= – 930 9 = – 14 28 7 4 4 7 • – = – = – – = – 2,5 = • • • • 3 3 7 •–44308=–77•15 4 = –28• 8 =• 9–1414 3 • 2 • 9 54 • • (–8)= 6 69•5– 58=6 –• 56•7659=30 30c2 c15 a 5 =15– 69••45 a93 28 – 6 5 6 • 5 30 15 • – = – 4 = 3–•– =–= –4 3= 23≠ 0.1 • 1 • 23 23 – ••23 4 2 ===23–– 4•• • 34; b••,d 15 30 6 5 5 6 • 14 28 7 4 4 7 • 3 4 3 4 3 •=23– 1 • 1 • =23– 2323 = – = – = – – • =6– • 5 = 30 –7 28 =14 7••44– b•28 • 2,5 • 2,5 7la multiplicación a 4c c7 • a•4de 14 4 15 5– propiedades 6 •7las d b d 3 4 3 23 4 = – – – = – – – = • • • Hasta ahora, vistas para fracciones son: – 9 • 9=•–8 • •93 • 23=3=•–2– •1 •91 • 23=54 14 • = 9• ; b,d8•≠– 0. • 2,5 =4– 7 • 74=•–4 28=28 8 9 3 2 – •7 – 4 = • 14 4b d 3 d b 9 483 23 9 4•a83•c239 e 1 • 9a1 ••23 3 8 •c9 e23 • 2 • 9 = –54 54 67 • 45 30 • – = 15 6 14 28 7 91 • 1 • 2349 •83 •23 9 54 9 31 • 12••23 4 94 •3–8323 494• 3• 2383 23 23 23 = 3– = –4 = –3 423• –•34–••32,5 • a2,5 5 3 Si a, b, c, d,• e,–4f , =; b,– d, f ≠ 0.= – a•• •2,5 =23 –== – •9•–8•••=9•–••= –==3 –• 2••=•9– =•• – 54 –c1c•–23 = 1ac=•a•11•9•c•23 23• 9=4–a•3•c823 • 23 23 44 4= 283•3– 2314 74 4 43•3– 7••2,5 e e c a 8 9 = – = – ; = ≠ b ,d 0. • • b d f b d f 8•=8c23 9≠ 8• 98 39• 2 • 99 • 8 54 3 • 2 • 9 54 9• 0. •9 9b,a;54 –• 38••23 • = 1–=•91 •a9•23 •62,5 • – 15 • 9= 4 •3•dc2= b;d,b,d,df ≠ • 5 = 30 6 •5– •2,5 •–b9–••;Asociativa 2 10 ≠0.0. •d• 9d== 3=68 –•58 = =430–9• –93=158–•8239= –94a•9b3••c8923d•• 98c=• –9fba1 •31bdb•• 23 6 4•59•––9Conmutativa 54 2 f d b – • • (–2)= 23 2b,d dca ba c e a • 1= a ; b ≠ 0. • 7–9= 4 –8 7 c•==4–a9 • =28––8 • 149 =a–• 9c••=8 •c9=• =a •;–b3a,d;•b≠ ca•9•≠dc=e0.=– 54 7 4 ; eb,0.•d, f ≠ 0. 140. 9 4 a• 28 7 94a•–ac8• 7c••c=2,5 e •• a; b•,dc≠ ≠ •2a•a0. •cc=54 a a d b b d 8 3 9 9 9 8 9 • • • ; b ,d d b ;1b•b1≠ b• •df23 a c•3b=cd a• d 4; bb,d≠30. 23 b4 • d3 • •231= • •dbe==b ad• •fc• •be; b,; b,d,bd,f f≠≠0.0. 23 0. a c d 4 • • =4 •–3 • 23ba c =1 •b–1e• 23ab =23 d f b dd af f c e a c a e • d• b4a=b; b,d•≠ 4 ba•3b•–cd d= •cd2,5 3–0.23 = – a c =• – e • a= =c•–ba ce–d•ce ;feb, d,baf ≠ c e – 2,5 = • • b b • 9– • •8= 8 9 3 2 9 9 9 8 9 • • • • a c e a c e a a ;fb,•d, af=≠e0.• 0.• •• ; b,+d, f≠= 0. •• + •• ; b, d, f ≠ 0. • 54 a=≠ c ad 0.•dcf3 •=2feb•9••b1= a adaab•54 9 b8aadc c d•e• eb9•;ab,d 8cc•0.e9e • ;9b,•d,8b•f•9≠ d b ; b 0. ≠ b d f b d b f a;+bf≠ •0.b ; bd, d,(•ff,≠ a•b b• c •bc • d•a = =fneutro f ≠0.0. • + b = • b1= +)0. •f dDistributiva •b • • d;b,;fb,d,d,f ≠ • a cb•Elemento ; b 0. 1= ≠ • • b da f bbb dbb b f cd0.d ef f a c•ba c=cd ad •ef ;fb,d ba b•≠ c a a ; ba≠ 0.ca e a a c a1 • e2= • ; b, d, f ≠a 0.a • 1= • b =d• •ad •; bb,d=a≠ 0. ;b ≠ 0. •• a ; eb,d, f ≠ 0. 1= • a a 1 2; bb≠ 0.• aab• +•c1= d b b d b b d f b d f ; b≠ 0. a •1= •a1=; b ≠ a b c+b=eeb= • ada• +cc6 b b + 5a• e; b, d, f ≠ 0. 0. = • f b d a 0. c e a •c1= e; b ≠ • •d +f =b•db+bf •f ; b, d, f ≠ 0. b b b d, f ≠ 0. 3ba fe b c a • cba•b• e •=baab=• c• •e •; b,d,; b,f≠ a a6c c5e e a bacacdc a feae eba dc3 ≠ •• 0.•••(–8)= b e0.d af c 0.a e• 3• + 3+ = 1= •2 ••+ ++• •=; b, d,; b•f, d,≠f+0. b •d1= a f; bc ≠ 2d2d b fbf fb d4 b•1bdb1 = dff ≠f 0. 2b f ; b, d, f ≠ 0. a b b dbaa•fc cb• b+e e+d= a=fac• c • +a+a e• e •b; b,b;d,db,f•d,≠ (–8)= • 0. = • • b f b d f b d 6 5 ;b, d, f ≠ 20. = b• d+ b• multiplicaciones. a b• a d+ las •5 = ca el resultado 1. a Resuelve 66Simplifi b•c c•a 3 • 2 en caso de ser a cd ; bef≠f 0.siguientes 2 ba • cd + ba • ef f;b1, d,124 ba• 1= 5 1 2 3 3 • – = ; b 0. 1= ≠ •posible. = • = + f ≠ 0. • b b1 2 = c Para a saber más 5 3 b b1b12d2• f = b d b f 6 •653 = 5– 2 = •336•••3(–8)= 3 • (–8)= • 5 5 a c a e 4 2 • a •c •6=e= 5 0.3 3 44 •22 • (–8)= a c6 b bpropiedad •c 2 10 +5 =a c • a+ e • ; b, 3d, f 3≠ •16e2 Otra de la 3 5 = 3c. 32•3 •(–8)= – •• •• (–2)= • (–8)= =f 3 • b +d • b ; bf ,d, f ≠•0. •• (–8)= • b +•d 3 a. 2 3 – • 3 =2 multiplicación de números d b f b d633f533• b • (–8)= 7 4 a• c c = 4 4–222• 10 •5(–2)= 4•3•–2 •4 •2(–8)= • es la del elemento – = (–8)= • • 1 2 racionales 3 5 b b a c 3• 4 3 3 3 •72– 24 = 53 32 1 24 2=2 2 • • a– c= 2 10• – = •6 =5• 3• (–8)= inverso: 2 3 5 3 3 – • 2 10 a (–2)= •10 •2–2• – = = (–2)= b b 4 5 6 5 3 5 3 2 • • • – • 0=0 3 b.3 5•3–5 3 Elemento inverso b2 b10 7d.–74 • 4 • (–2)= a • b b • c = b 3 33 2 • • (–8)= 3 5 72 10 4 2 10 • (–2)= • (–8)= •4 • •2 – 2 =10 – –•a7••b•4(–2)= b •a c•ac– c• • (–2)= c a a b 2 10 4 2 3 5 (–2)= • • – a c 7 4 • b b•7• 4 • =1 2 10 •7 • (–2)= – 2 3 4 c a –•2–7• la b a a•b =• (–2)= 2.3Analiza tabla. Luego, completa. a ac• c a • bbba bbbc• c – 2 10 7 44 •= •5 a c 3 • • a b (–2)= • – a •••bb bb••cc b c c• 5 a37a•c 4 b bb •b b•a• c abSigno b b a b b c del Signo del Signo del • c a a >2–02ba10 >b•b10 aa>•ba •>b0b••>bcc•ac bac• b ba• c 0 > a > •b > c c>ab•c• b(–2)= b • b c •a b •a producto producto – • 7 a• ••4(–2)= b • b • c c • a producto c c a• ab ca••c b a 7 ba4• bbbc•b b••c• ca
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Unidad 1 • Números racionales
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a c • a ca• •c bca bba• ca •b ab •b• b ba c •bb ca a • b• b • c a • b ba bb•b•c cca c• • a b c b a aacb ••cb•bc • a a b • a bb• ab• c• c c b•c a• a •b cc c• a a b cbc • c• a•c • a a b bb • c a bc b• •bb ab• c• c b • c• ac••ca c b • c ba a•cc•bca• cc c• c a b• b c a•ab• bc • bc b •b b •a•c • 0=0 b ba•bac• 0=0 bc b a •a cb• 0=0 a • c b c •a b b• •a0=0 bb• =1
b•c c•a b c ba cb a ab• b •bc c a a a• • b b c• b • bcb•acc •c••ac •ba b b • c a b b •ac c •ba a b ••cc• cc• ca •c a a• a • b b • c c ••a b bcb•••cc a c • a • c c •ba a b a • bcbc bcb••acc • b • c a • c• c b bba •• 0=0 c ab• c•b •cc b• c c b b b •b a a • c c• a ab• c bc a• b aa • • 0=0 b b• b =1b b • 0=0 b b • 0=0
b a b a a • 0=0 a bba • 0=0 • a =1b• 0=0 b b b aab• • b=1=1 bb aa a ba • b =1 a b • =1 • =1 b a
c a • b b•c a• c c • b b
a • 0=0 • b a b •• =1 b a
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: 9: – = 7 3 0,3 • 3 + 11,2 5 = 2 7 – • 4,23 3 2
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4 2 – + Para • 2,16grabar 3 7 = racionales es Dividir números Ejemplos: dos 7 2 equivalente 1,5: –a multiplicar el primero por el 3 5 3 1 3 3 3 5 3 1 3 33 3 3 multiplicativo :5= : = • = :: 55 == 3 :: 5 == 3 •• 1 == 3 inverso del segundo. 23 51 23 51 103 23 22 11 22 55 10 22 10 a d ad a c : 5= : = 1 •1 = a, b, c, d y : ⇔3 • =3 5 , con 22 14 22 33 22 22142 1 222•• 33 5 21033 3 11 ••11 2 33 2 •11 ••311 •• 33 3 33 1 • 1 3 1 • 1 • 3 3 1 3 b d b: 5 =c :bc = • = :– –0, 6 =• – • –= – : – • –= – == • –= = – :: –– 14 :: –0 , 6 = • – : : –– = = 11 • 7 • – 2 = 11 • 7 • 2 = = – • 14 • 332– 2 =14–3 11 •7 •32– 2 33 –0, 6 = 33 • – 14332 : – 314 33 21111•• ••14 377 •• 22 23154 b, c, d ≠32 0. 32 51 32 51 10 = – 1 • 1 • – 3 = 1 • 1 • 3 = 33 33 2 11 7 2 33 14 : –33 : 33 33 14 • • 3 –0 • – : – = – • – 154 11 , 6 7 = = = : : 5 = • 3 1 • 1 3 331 •19•33 3 33 14 3 33 • 14 2 11 • 7 2 11 • 7 • 2 2 1: –02, 6 5= 210• – 3 : – 2 = – 3:2 • –3 9 22 : – 14 = = = – – •= • – 3: 9 = – 14 3 3: – = 2 11 • 7 2 11• 75•2 154 33 33 2 143 1 3 1 • 19• 3 3 3 2 332 •• 3145 3 1 •ca 2 divisiones. 5•–simplifi 3. Resuelve las siguientes Luego, = – : – : –0, 6 = • – : – = – =posible. •si –es 3: – == 33 93 33 14 3 33 • 142 2 11 • 7 2 11• 725•2 154 3: – = 2 7: – = 7: = 7: –– 7 = 5 9 72 7 c. 7: – = a. 3: – = 5 2 2 7 2 2 :2= 7:– = :2= :2= 7 5 2 5 2 5 :2= 7: – = 85 1 2 7 8 8 : 9: – 11 = b. :2= d. 9: – = : : 9: – 3 = 31 7 5 7 8 2 7 3 9: – = : :2= 8 1 3 3 7 5 3 0,3 : 9: – = 3 + 11,2 • + 11,2 0,3 • 4. Verifi dela multiplicación de fracciones recordadas en la + 11,2 • propiedades 7 ca en31tu 0,3las cuaderno si se cumplen 53 5 8 5 los=números0,3 grabar = = : 9:Para – sección de la página anterior para racionales. + 11,2 • = 7 3 23 753 5 3 1 3 2 7 0,3 • 3+11,2 –: 5 = • 4,23 2 7 : = =• = – • 4,23 • 4,23 – 322 27 2 neutro. 5 1 2 5 10 3 2 a. Conmutativa. b. Asociativa. c. Elemento d. Distributiva (· , +). 3 3 2 – • 4,23 0,3 • + 11,2 = 2 3 2 2 • 3 3 1 • 1 3 1 • 1 • 3 342 22 14 2 75 2 4 : –0 : – = : – – , 6 = • – • – = – • – = 4 2 – • 4,23 Sí + 3•2,No 16 Sí–– + – 33Sí •• 2, +No 2,116 6 33 14 3 Sí 33 • 14 No2 11 • 7 2 11 • 7 • 72 2 No = 3 23 7 3 7 4 3 7 – + • 2,16 = = = 3 34– 232 •54,23 3 79 2 3 3 1 7 2 –: 5 =+ : •=2,16• = 3: la –= números 7 – 2 propiedad – los 1,5: 1,5: = 5. Verifi ca en tu cuaderno si se cumple siguiente racionales. Justifica. para 1,5: 3 – 3 5 32 3 22 7 1 2 5 10 3 2 4 7 3 3 – + • 2,16 = – 1 • 1 3 11,5: • 1• 33 d33 ad 2 3 2 – 1477: –02, 6 = 2 • – 3 : – 2 = – aa2 •cc3 • –aa 3 dd = –ad c a a : = – = • (a + b) : c = a : c +:: b⇔ : c •• == ad (a – b): 7: : c⇔ c= – b : c 1,5: – –•=2 a• =:154 ⇔ 33 33 3 = 33 14 3 33 2 11 7 11 7 2 14 • • • b c bc ba dc 7ba cd bc d b ad 7 2 bc d b c b 1,5: – : ⇔ • = a c 9 3a d3 ad b 2d b c bc 3::–ca: ⇔ = • = :2= Justifi ba cd 5 ba dc bc 5 ad : ⇔ • = 8 1 b c bc b7: d– 2 = : 9: – = 7 3 7 y ayudándote 2 6. Resuelve 0,3 • 3 + 11,2 con la calculadora. :2= los siguientes ejercicios combinados manualmente Recuerda lo visto con respecto a las operaciones con números infinitos. 5 5 decimales = 2 7 8 1 – • 4,23 : 9: – = 3 2 7 3
(( ))
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
0,3 • 3 + 11,2 5 a. = 2 7 – • 4,23 3 2
4 2 – + • 2,16 3 7 b. = 1,5: 7 – 2 3 3
4 2 a d ad a c – + • 2,16 : ⇔ • = 3 7 bc b c ca. b d Justifi c. ¿Qué sucede = en el ejercicio b? ¿Puedes llegar a una respuesta? 1,5: 7 – 2 3 3 a d ad a c : ⇔ • = b d b c bc Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
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evaluación
contenido
resolución
e e
c c
r r
Herramientas tecnológicas: redondeo y truncamiento con Excel A continuación se muestra cómo redondear y truncar números decimales infinitos utilizando el programa Excel. Estas aproximaciones pueden facilitar el trabajo, por ejemplo, en estadística, en que debas analizar un conjunto de datos. Para aproximar por redondeo un listado de datos en una planilla Excel se verán dos métodos que proporciona este programa. El primero es una función estándar de Excel llamada REDONDEAR y el segundo consiste en la aplicación del ícono { }, que se encuentra en la barra de herramientas de Excel. Antes de detallar ambos métodos, digita los siguientes números decimales (en este caso, en la columna C): 23,65564; 59,2548864; 99,25431. En este ejemplo se aproximarán los números propuestos por redondeo a la milésima.
Método 1 Paso 1: En la misma fila que el primero de los números ingresados (en este caso, en la columna E), digita =redondear(. En seguida, selecciona el primero de los números ingresados (columna C). Verás que aparecerá el nombre de la celda donde está ubicado dicho número. Para finalizar, digita ;3), ya que la aproximación por redondeo a la milésima tendrá 3 cifras decimales.
Paso 2: Presiona Enter y aparecerá el número seleccionado redondeado a la milésima. Luego, para redondear el resto de los números ingresados (en este caso, en la columna C), debes situar el cursor sobre la esquina inferior derecha de la celda y “arrastrarla” hacia abajo. Así verás los otros números redondeados a la milésima.
Método 2 Luego de ingresados los números (en este caso, en la columna C), si seleccionas el número que se desea aproximar y presionas la tecla , aproximará dicho número utilizando el redondeo a la última cifra decimal digitada. Para realizar la operación contraria se presiona la tecla .
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Para aproximar por truncamiento (en este caso, a la centésima) se utilizará una función que proporciona Excel. Al igual que en la página anterior, antes de detallar el procedimiento, digita los siguientes números: 35,6565; 24,35967; 78,5543271.
Paso 1: En la misma fila que el primero de los números ingresados (en este caso, en la columna E), digita =truncar(. En seguida, selecciona el primero de los números ingresados (columna C). Verás que aparecerá el nombre de la celda donde está ubicado dicho número. Para finalizar, digita ;2), ya que la aproximación por truncamiento a la centésima tendrá 2 cifras decimales.
Paso 2: Presiona Enter y aparecerá el número seleccionado redondeado a la centésima. Luego, para redondear el resto de los números ingresados (en este caso, en la columna C), debes situar el cursor sobre la esquina inferior derecha de la celda y “arrastrarla” hacia abajo. Así verás los otros números redondeados a la centésima.
1.
Analiza la siguiente tabla. Complétala utilizando Excel y luego responde. Observa el ejemplo.
x
xr
xt
r = ⎢x - xr⎢
t = ⎢x - xt⎢
⎢t - r⎢
0,36542
0,4
0,3
0,03458
0,06542
0,03084
23,7258 7,5864512 0,056 14,3265 0,103 xr : número redondeado a la décima; xt : número truncado a la décima. a. ¿Qué representa la última columna?
b. ¿Qué debiera ocurrir para que en la última columna se obtuviera el valor 0? Justifica.
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c c
n de prob ció
r r
as lem
e h
en co n t i do resol u
uac eval ión
¿Qué es comprender? Comprender consiste en construir significado a partir de información comunicada en forma oral, escrita y/o gráfica. Para comprender es posible utilizar la representación.
¿Qué tengo que hacer para comprender un enunciado? Identificar lo que entiendes de la información. Relacionar lo que entiendes con lo que tú sabes. Expresar la información en otro tipo de formato.
Etapas de la resolución de problemas. Paso 1: Comprende el enunciado. Paso 2: Planifica lo que vas a realizar. Paso 3: Resuelve el problema. Paso 4: Revisa la solución.
Trabajo de habilidades
Resolución de problemas 1 Analiza la resolución del siguiente problema. Somos hermanos –dijo el más viejo– y recibimos, como herencia, esos 35 camellos. Según la expresa voluntad de nuestro padre, debo yo recibir la mitad; mi hermano Hamed Namir una tercera parte, y Harim, el más joven, una novena parte. No sabemos, sin embargo, cómo dividir de esa manera 35 camellos, y a cada división que uno propone, protestan los otros dos, pues la mitad de 35 es 17 y medio. ¿Cómo hallar la tercera parte y la novena parte de 35 si tampoco son exactas las divisiones? Malba Tahan, El hombre que calculaba. (Observación: el amigo del hombre que les solucionará el problema tiene un camello)
Paso 1 Comprende el enunciado Identifica lo que entiendes de la información. ¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema? Una repartición justa de los 35 camellos heredados a los 3 hermanos. ¿Qué información entrega el enunciado del problema? La cantidad de camellos y la parte que le corresponde a cada hermano. Relaciona lo que entiendes con lo que tú sabes. ¿Qué tipo de número debería ser la cantidad de camellos? El número de camellos debería ser divisible por 2, por 3 y por 9. Expresa la información en otro tipo formato. 35 : de 3 =11,6 35 : 2 = 17,5
35 : 3 =11,6
35 :9 = 3,8
35 :9 = 3,8
11,6
Paso 2 Planifica lo que vas a realizar
11,6 3,8 Primero, se calculará el mínimo común múltiplo de 2, 3 y 9. Según el número 3,8 o quitarán camellos a los 35 dados para completar el que resulte, se agregarán número buscado. Luego, se calcula la cantidad de camellos que le corresponde a cada hermano y se realiza el reparto justo.
Paso 3 Resuelve el problema El m.c.m. entre 2, 3 y 9 es 18. Sin embargo, 18 < 35. Por lo tanto, hay que buscar un múltiplo de 18 que esté más cercano a 35. De lo anterior, se obtiene 36. Justamente el amigo del hombre que les solucionaría el problema tenía un camello, por lo que el hombre propuso agregarlo a la herencia, con lo que se juntarían en 36 camellos. Luego, la repartición queda: 35 : 3 =11,6 36 : 2 = 18 (antes eran3517,5 camellos. Luego, es más de lo que le corresponde : 3 =11,6 :9 =no3,8 al hermano mayor, por lo35que protesta). 35 :9 = 3,8 36 : 3 = 12 (antes eran 11,6 camellos. Luego, es más de lo que le corresponde 11,6lo que no protesta). al segundo hermano, por 3,8 36 : 9 = 4 (antes eran 3,8 camellos. Luego, es más de lo que le corresponde al hermano menor, por lo que no protesta). Finalmente, los tres hermanos encuentran justa la repartición. Mientras que el hombre le pudo devolver el camello a su amigo y él obtuvo otro para sí.
Paso 4 Revisa la solución Al hermano mayor le corresponden 18 camellos; al segundo, 12, y al menor, 4. Cantidades que suman 34. Por lo tanto, sobran 2 camellos, uno como pago para el hombre que les solucionó el problema y el otro para devolvérselo a su amigo.
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51 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
2 Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente. Fernanda ha dividido cada una de las tortillas que tiene en 8 trozos iguales. Se sabe que ella se ha comido la cuarta parte de los trozos de una tortilla y que Felipe se ha comido el doble que Fernanda. Por otra parte, Camilo dice que él se ha comido la mitad de lo que han comido juntos Fernanda y Felipe. ¿Cuántos trozos han comido Fernanda y Felipe juntos? ¿Está en lo correcto Camilo?
Paso 1 Comprende el enunciado Identifica lo que entiendes de la información. ¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema? ¿Qué información entrega el enunciado del problema? Relaciona lo que entiendes con lo que tú sabes. ¿Quién ha comido más trozos de tortilla? Expresa la información en otro tipo de formato.
Paso 2 Planifica lo que vas a realizar
Paso 3 Resuelve el problema
Paso 4 Revisa la solución
3 Resuelve en tu cuaderno el siguiente problema. 4 de la superficie total de la finca, y la 7 segunda corresponde a la mitad de la primera. ¿Qué fracción de la finca representa la tercera parcela?
Una finca se divide en tres parcelas. La primera corresponde a los
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I. 1
2
3
resol u
c c
e e
r r
as lem
uac eval ión
0,2 5 7 – e n de t p i d n r n ob o co 0 ció evaluación sumativa 0,2– 2 5 5 0,20,2 7 3 – – 0,3 5 5 0 7 7 2 0,1 Lee atentamente cada una de las preguntas y marca la –alternativa – – correcta. 0 0 5 0,01 3 5 2 2 un número 3 4 –Si2a–es ¿Cuál de los siguientes números pertenece al , c=– que –1, ¿cuál , b=– menor – a=– racional 8 6 las fracciones? 3 entre conjunto de los números racionales? es5 la5relación correcta 0,3 0,2 3 0,2 3 3 0,1p= 3 , t = 3 ,0,2 r= – – A. 5 a- 1 5 a+ 1 5 0,30,3 0,01 a 7 0,2 7 0,1p0,1 73 2 a + d5 A. < t < 0,2 r P= B. ––– 0 – , c=– , b=– a=– 0 5 0 B. r0,01 < p < t5 3 b 6 0,01 08 22 7 C. t < r < p a 2 2 2 75 3T5= 3+3d3 3 C. –– – , p–b=– a=–a=– p=, c=– ,r= – , ,t c=– = 55 D. r3 < ,tb=– < 0 c 3 0 51 6 a6 8a-81 a+ E. p < r < t P 2 D. ––– 33 3 3 3 2 3 3 3 3 a ∈ – – p= p=, t =, t –= , r =+, rd= P= 0,3 5 0,3 a a a- 51a-bT1 a+ a+ 1 1 0,3 5 Sean a, b, c, d distintos de cero. Si 3 0,1 1 E. 0,1 0,1 – a a – 3a P= P=+ d +ydT = 4 + d, ¿cuál(es) de las siguientes 0,3 0,01 0,01 0,01 b b 0,3c 3 5 2 0,1 3 3 5 2 igualdades es(son) siempre VERDADERA(S)? 3 5 ,, c=– ¿Cuál es2el orden, de menor a mayor, de los a a P0,1 ,,, b=– a=– 3 5 2 b=– a=– , c=– c=– b=– a=– + d T = + d T = ∈ , b=– , c=– a=– 8 6 3 0,01 8 8 6 3 siguientes racionales? 8 6 3 números c =0,01 I. Pc – T k; k . T 8 6 3 33 33 2 33 5 3 P P 1 2 33 5 3 3 p= , b=– , c=– a=–,, rr = II. ∈ ∈ a=– p= a ,, tt = = = a, b=– , c=– p= , t = ,r= 8 a a+ 116 a- 11 3 a+ T T 4 3 8a 6 a+ 1 a- 1 III. P1 • T 3 3 A. a < aab < c p= 3 , t = 3 , r = 3 1 3 3 P= p= , t = , r = P= a + d + dd P=<bc + B. b a a+ 1 a- 1 4 I. 8 a 4 Solo b <a A. a+ 1b a- 1 C. b < aaa < c a 3 B. Solo II. 3 + = a a +d d P= + d T< =a < T = D. cT T= +d ccc + db b C. II. + d 8 I yP= 8 Solo c b E. c < b < a D. Solo II y III. PP a P a ∈ ∈ T= c +d E. I, II y III.T = + d ∈ T T T c ¿Cuál(es) de las siguientes afi rmaciones 111 P 1 P es(son) VERDADERA(S)? ∈ 6 Sebastián, Francisca y Florencia compran queso ∈ 4 4 T 4 4 compró 260 g, para hacerTuna pizza. Sebastián I. Si 33 m ,1entonces, m . 3 1 II. Si b y a , entonces a + b = k; k . Francisca kg y Florencia kg. ¿Cuál(es) 8 4 8 8 4 III. Si x y3w , entonces x • w = k; k . de las siguientes afirmaciones es(son) 3 A. Solo I. 8 VERDADERA(S)? 8 B. Solo II. I. Sebastián compró menos queso que C. Solo III. Francisca. D. Solo I y II. II. Florencia compró más queso que Francisca. E. Solo II y III. III. Sebastián compró más queso que Florencia.
Verificando disco
A. B. C. D. E.
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Solo I. Solo II. Solo III. Solo I y II. Ninguna de las anteriores.
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7 Para un trabajo que se hace en tres etapas se dispone de 60 hombres. En la primera etapa trabaja la cuarta parte del total de hombres 2 disponibles y en la segunda, del resto. Si 3 en la tercera etapa trabajan los hombres que 1 quedaron, ¿cuántos trabajaron solamente en la 5 tercera etapa? 2 A. La mitad del total. 3 B. Un tercio del total. 7 C. La mitad de los que trabajaron en la segunda 6 etapa. 9 D. La mitad de los que trabajaron en la primera etapa. 2 E. Un tercio de los que trabajaron 23 en la segunda etapa. 12 1,313 8 Al transformar a número decimal, ¿cuál de 1,31 las 2 siguientes fracciones se representa por un 2 2 2 2 número decimal infinito periódico? 1,13 3 3 3 3 31 1,131 1 A. 211 5 1,313 3 5 5 5 2 1 2,153 2 B. 2 2 2 3 5 3 32 23 3 3 3 7 2 7 150 C. 7 7 6 3 212 6 6 6 9 7 9 9 900 D. 9 9 2 6 2 646 2 2 2 23 9 23 3 E. 23 23 212 1.398 12 12 12 1,313 23 1,313 9 El número a: decimal 1,313 es equivalente 9 1,313 1,313 1,31 12 1,31 2.153 1,31 A. 1,31 1,31 1,313 1,13 990 1,13 1,13 B. 1,13 1,31 2 1,131 1,131 ; 0,6; 0,65; 1,131 C. 1,131 3 1,13 1,313 1,313 1,313 1,313 1,313 D. 1,313 1,92 2,153 1,131 2,153 2,153 2,153 2,153 0,6407 32 23 3 E. 1,313 32 2 32 23 32 2 3 32 2 3 173 150 2,153 150 150 150 150 90 212 32 23 212 212 212 1 1 900 150 900 + 900 900 646 3 3 646 212 646 – 0,25 – 0,75 646 646 8 8 3 900 3 3 3 3 8 1.398 646 1.398 1.398 1.398 1.398 3 39 9 9 9 15 2.153 2.153 1.398 2.153 2.153 2.153 3 990 9 990 990 990 990 16 2 2.153 2 2 2 0,65; 2 ;;; 0,6; ; 0,6; 0,65; 0,6; 0,65; 0,65; 3 0,6; 3 990 3 3 3 16 92 1112,,,92 1,92 – ; 0,6; 0,65; 1,92 92 3 0,6407 3 0,6407 0,6407 0,6407 U1_1ºM_Mat_v4.indd 31 1 1173 ,92
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11
12
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3 5 9 9 6 9 3 3 5 9 2 9 5 7 22 21 2 9 1 2 3 2 3 23 2 6 323 3 2 23 5 5 23 3 7 1 23 3 9 1 23 122 51 712 3 4 5 6 7 2 2 712 12 6 5 7 12 2 51,313 1 2 3 4 5 6 7 1,313 6 12 3 1,313 3 1,313 6 9 2 1,313 6 2321,31 9 1,31 1,313 1,31 7 7 9 2 3 9 1,31 1231,31 2 1,13 1,13 1,31 1,13 6 6 2 23 7 1,13 2 1,313 71,13 23 1,131 1,131 1,13 9 23 1,131 12 9 6 23 1,131 61,131 1,31 12 1,313 1,313 2 1,131 2 1,313 ¿Qué representa al 1,313 912 fracción 12número decimal 9 1,313 1,131,313 1,313 23 23 1,313 infinito 2,153 1,313 2 2,153 ? 2,153 1,313 21,31 2,153 1,31 1,131 2,153 123 12 1,31 32 2 3 32 2 23 2,153 1,13 32 2 3 1,31 23 A. 32 2 3 1,13 1,313 1,313 1,313 32 2 3 150 1,13 150 12 32 2 3 1,131 12150 1,13 150 1,131 2,153 1,31 1,31 150 212 212 1,313 1,131 150 212 1,313 1,313 1,131 212 B. 212 32 231,31 1,313 1,13 1,13 900 900 212 900 1,313 1,31 2,153 900 1,313 900 1501,13 646 646 2,153 1,131 1,131 900 646 2,153 1,13 646 32 23 2,153 212646 C. 3 32 23 3 1,313 646 1,313 1,131 32 23 3 3 150 1,131 32 23 3 9001.398 150 3 1.398 1.398 2,153 2,153 1,313 150 1.398 212 1,313 1.398 150 6461.398 9 923 212 9 D. 2,153 32 32 23 212 9 900 212 2,153 9 3 900 2.153 9 2.153 2.153 150 150 900 2.153 646 32 23 990 2.153 900 1.398 32 2 3 990 646 2.153 990 212 212 990 E. 9646 3 150 646 990 2 150 2 3; 0,6; 990 2 0,65; 900 900 ; 0,6; 0,65; 3 2 1.398 ; 0,6; 0,65; 212 2 3 2.153 212 ;; 0,6; 0,65; 3 3646 1.398 2 3 0,6; 0,65; 646 1.398 3 9 ; 0,6; 0,65; 900 1.398 3 990 113,,92 900 ¿Cuál 92promedio entre los siguientes datos: 9es1,el 3 9 3 11646 ,,92 92 2.153 92 9 2 646 0,6407 0,6407 12.153 ,2.153 920,65; ? 0,6407 ; 0,6; 1.398 1.398 990 0,6407 3 2.153 3 0,6407 3990173 173 0,6407 173 9 990 9 2 1.398 173 990 1,92 A. 0,6 1.398 ; 0,6; 0,65; 173 290 90 173 2.153 2 ;90,6; 0,65;2.153 390 90 2 9; 0,6; 0,6407 390 1 1 1 0,65; 1 990 ; 0,6; 0,65; 390 B. 12.153 ,9211 990 + +11 3 2.153 1 11 32 + 173 13 , 92 + 32 1 3 13 ,92 + ––;0,25 –– 0,75 0,6407 – 0,25 –;0,75 990 3 3 +3 0,6; 0,65; 0,6; 0,65;1,92 0,25 0,75 3 3 90990 C. 8 8 – 0,25 – 0,75 0,6407 8 8 3 3 3 3 8 8 – 0,25 –– 0,75 0,6407 2 173 8 8 0,75 81 – 0,25 281 ; 0,6; 0,6407 173 1,0,65; 92 81,92 ; 0,6;8+ 0,65; 8 173 3 8 90 173 D. 3 3 38 3 30,6407 90 8 3 0,6407 – 0,25 – 0,75 1 , 92 90 1 1 3 3 90 8 1,92 15 115 8+ 1 3 15 173+de3173 1 1 15 E. Ninguna las anteriores. 3 0,6407 15 1 1 8 0,6407 3 + 3 – 0,25 33 – 0,75 15 + 90 8 3 90 33 – 0,75 – 0,25 8 173 3 3 3 173 16 – 0,25 16 83 – 0,75 16 18 8 +1 1 8 –10,75es:8 – 0,25 16 8 90 El15resultado de 16 + 90 3 3 8 16 3 3 3 31 3 8 3 1 8– 0,25 3 – 0,25 – 0,75 – 0,75 3 3 1 1 16 16 + 3 16 + ––3 8 8 8 8 – 3 16 15 3 3 3 16 1516 3 0,25 3 –0,75 0,75 3 A. 3–––4 83 8–8–0,25 –16 15 3 3 8 15 3 8 33 18 3 111 t = tt8 3 3 3= 16 = 1 3 16 8t = 3 1 153 15 3 = –B. tt16 16 3 3 = 3 16 3 33rr3=0,3 3r =0,3 3 3=0,3 rr115 =0,3 16 3 =0,3 3 15 –r 16 t –r C. –r t = r––ttt=0,3 16 = 16 = 16 3 –r 3 = 16 33–tt –r rr3 = r3 –r – 3 3 1= r 16 = 3 rD.=0,3 16t =rr 1 t3= 31 – 16 – 16 1 t –r3t = 3 t= 3 3 3 r= =0,3 16 3 E.r– r–16 =0,3 1 1 rt=0,3 –r 3 r =0,3 t= t3–r = 3 t = 3 t –r r1 1= t –r t =r y=r =0,3 ,r entonces, Si t = = =0,3 r33 r r0=0,3t –r = t –r = A.r =0,3 r t –r r B. t –r 0,3 = = C. r0,03 r D. 0,0333…. E. Ninguna de las anteriores. Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
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c c
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e e
en co n t i do
n de prob ció
r r
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uac eval ión
evaluación sumativa
Verificando disco
2 9 3,51– :: 2 9 3,51– 6 de 14 El resultado 6 3,51– : es: 2 9 9 2 6 6 : 2 :: 9 3,51– 3 3,51– 2 : 93,51– 2 696 9 2 3 3,51– A. 3,51– 6 : 6 3 3,51– : 6 6 6 6 6 6 45 6 6 3 45 3 11 3 3 3 B. 45 11 45 45 15 45 15 4511 45 15 11 11 13 11 13 1115 11 C. 15 13 15 45 15 45 1513 15 45 1313 13 1345 13 345 D. 3 13 45 45 3 45 45 45 13 4513 45 313 13 11 13 11 3 13 45 E. 3 3 11 3 3 45 45 15 3 45 15 4511 45 15 311 11 31 11 11 bebe la31mitad 15 litro de jugo por 15 Un 3 niño de 3 un 3315 15 15 15 1 1 la mañana, y en31la tarde,1 de lo que quedaba. 5 511 3 5 3 3 6 3 al fi3nal 6 ¿Cuánto jugó bebió 3 5 del día? 6 51 5 56 5L 1 A. 6 6 6 61 61 6 11 1 16 1 1 B. 6 L 3 6 6 3 61 6 3 211 1 13 2 C. 3 L 3 3 32 3 3 2 2 4 2 4 23 2 4 L D. 3 35 3 5 34 3 5 4 41 1 1 4 4 4 E. 35 L+ 6 •• 2 •• 1 + 1 • 1 • 5 5 51 1 1 51 1 1 11 + 1 • 1 • 31 61 21 1 +1 •1 • • 1 + 1el••• 1resultado • •3 16 Calcula 1 + de + 6• .2• 6 2 2 •• 3+ 6 3 4 3 6 23 1 6 2 4 31 6 2 4 1 A. 11 14 1 4 9 4 41 41 9 1 2 1 2 19 B. 1 2 9 3 9 9 3 92 9 3 2 2 2 2 23 C. 2 2 3 15 3 32 32 15 2 5 2 5 215 D. 2 5 15 15 12 15 12 155 15 12 5 5 2 2,6 – 3,8 • 5 512 E. 5• 2 • 2,6 – 3,8 12 12 2 ,6 •• 6 + 3,8 12 122 • 2,6 – 3,8 12 2 •• 2,6 2,6 –– 3,8 3,8 2,6 • 6 + 3,8 2 2 2,6 – 3,8 • 3 0,3 1,3 • 2,6 –+ 3,8 32 •• 2,6 0,3–•3,8 1,3 2• ,6 •6 3,8 17 El resultado de 3 0,3 • 21,3 a la redondeado 2,6 ,6 6+ + 3,8 3,8 • •• 6 2 2,6• 6 + 3,8 0,03 2 ,6 • 6 + 2 3,8 2,6• 60,03 + 3,8 • 3 0,3 • 1,3 milésima 3 0,3es: ••• 1,3 2 0,03 • • 1,3 0,3 0,03 3 •• 0,3 • 1,3 3 • 0,3 • 31,3 2 • 2 • 0,03 3 A. 0,7 2 0,03 2 0,03 2 0,03 3 B. 0,07 2 3 3 4 3 4 3 3 2 C. 2 0,074 4 2 9 2 9 2 2 D. 0,745 4 9 4 11 4 49 E. 0,744 4 11 9 4 9 911 9 4 11 Unidad 0 1 •,93 Números racionales 32 11 11 0 ,93 11 11 4 0,93 4 4 4 31 40,93 431 31 0,93 0,93 0,93 U1_1ºM_Mat_v4.indd 32 033 ,93 31
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20
21
1 3 1 2 5 3 3 9 9 3 6 5 5 2 2 2 1 6 6 3 3 15 6 111 2 6 2 5 1 6 6 15 1 15 12 3 1 5 5 2 • 2,6 – 3,8 2 3 3 3 12 2 12 2,6 • 6 + 3,8 3 2 2 2 2,6 – 3,8 • 3 2 • 2,6 4 3 3 –3,8 0,3 • 1,3 3 es: El resultado de • 2 ,6 • 6 + 3,8 4 2,6 •26 + 3,8 5 4 0,03 3 5 1• 0,3 1 • 31,30,3 1 11 5 A. 3 • 1,3 + • • • 2 1 1 1 0,03 B. 22 3 16+ 21 • 1 2 + •• ••• 20,03 + 6 2 2 3 6 1 3 C. 31 6 2 3 4 4 21 2 9 1 4 4 4 11 D. 1 9 911 9 4 9 2 9 11 9 11 0,93 E. 2 3 24 31 4 3 2 0 3 ,93 0,93 33 Al se obtiene: 2 15 resolver 231 31 2 1 15 5 15 1533 33 3 5 12 51 A. 20,09 1 21 12 2 • 2,6 12 3 – 3,8 2 3 3 B. 0,99 2 –– 3,8 C. 2,60,93 + 3,8 2• 61•• 2,6 2,6 3,81 2 2 2 D. 9,3 2 ,6 • 6 + 2 3 3 ••61,3 ,6 + 3,8 3,8 3 20,3 3 E. • 93 •• 1,3 0,3 2 23 32•0,03 0,3 1,3 2 12 • 2 2 0,03 23persona 3 recorrer 12,3 kilómetros 0,033 debe 2 Si 3 una 2 3 y2 ya13 2 3 17.850 metros, ¿cuántos 3ha caminado 1 faltan 3 kilómetros le 2 4 2 3 3 por recorrer? 2 1 4 4 A. km 1 3 2 9 34,45 4 3 3 B. km 3 3 9 11 4,55 9 2 km 2 C. 11 11 4 35,55 11 D. 5,45 3 km3 3 4 0,93 4 4 E. 0 6,62 km 310,93 ,93 31 33 31 Juan tiene un bidón de 5 litros de capacidad con 1 33 33 de agua. ¿Cuántos litros le faltan para 2 litros 3 2 11 2 llenarlo? 3 1 3 2 11 2 A.3 2 23 2 3 2 3 2 2 2 B.3 2 2 3 2 3 1 2 3 C. 1112 1 3 3 3 3 3 3 111 D. 3 2 3 3 3 3 2 2 33 E. 3 3 3
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1 1 2 22 Si a = – • , entonces: 3 4 3 1 111 – 2111 • 2221 1 2 A.–a > ––• 1 •• 1– • 1> 4 33 4 3 3 4 a> 4 333 4 3 3 B. 1 -11 >2a 1 2 1 11 – 1>•a> 1 1 131 21> a> 1> 1> C. 1> a> 411 a> 3 a> 2 2a>– ––2 1>•••22 2 3 22 3 41 31111 3111 14 1 a> 1> >2a>– D.> a>– 1 1 > a>– 1 – 2 2 2>1 a>–1 2 2 2 a> 1> 2 212222 1 2 1 1 1 1 > a>– 1 E. >2 a>–1 –2 –>––11 a>–1 a>–1 a>–1 – 11 >1 a>–1 a>>a>– *b= 2> 2 22 2a • b 1 2 > a>–12 2 1 1 1 – >a2a>–1 *b= adefi 3 1 . Entonces, el resultado de a*b= *b= 11 neaa•4b 23 aSe 2*b= *b= 2 * – * –– a> baa••bb a • b >1•a>–1 a>–1 738 2 24 44 33 4 3 a *b= 4 ***1es: 2–***a3–––*• b3 2 – * 2 * 22 * 1 7 77 8 88 7 8 7 8 aa *b= *b= 4 3aa••• b 23* 333– 7 * 3b 7 8 3 7 A. 2 * – 4 4 3 277 * – 7 7** 8 7 7 3 7 3 7 8 7 77 B. 3 7 7 3 3 333 – 3 7 7 7 3 –7333 C. 7 –3 –3 ––7 7 – 7 7 77 3 7 33 3 7 7 7 7 – – 7 D. – 7 –– 3 –1 3 ––333 31 = 7 Ninguna 7 7 1 E. 1+ 1 11 de=1las anteriores. – = 1== 3 7 = 7 1 1+ 111 1 1+ 1+ 1 1+ –1+ 1+ 3 31 1 1+ 24 111 1 1+1 = 1+ 211+ 1+ 1+ 1 1+ 1 = 1 1+ 1+ 11+ 1+ 1 1+ 1 5 1 11 = 1+ 22 2 1+ 2 1+ 31+ 1 21 1 5 55 5 1+ 1+ 5 5 1+ 1 2 A. 3 1333 3 5 5 2 5 5 52 5 B. 2 5 3 5 5 55 5 5 5 5 3 2 2 23 2 C. 5 3 2 5 5 5 55 1 5 2 5 33 D. 3 35 3 3 5 2 1 2111 2 1 3 5 E. 3 353 3 7 3 1 3 22 2 23 2 3 711 9 4 7 77 8 7 2 3 344 49 4 6 94 9 7 99 8 288 8 8 4 76 21 96 7 66 18 6 8 214 9214 21 21 4 21 6 9188 18 18 188 21 18 21 6 64 4 4 4 60 4 18 21 21 21 21 21 21 50 21 18 4 60 18 60 60 60 21 60 21 50 4 4 50 50 50 74 50 60 21 21 21 21 21 21 21 50 60 60 74 74 74 74 74 U1_1ºM_Mat_v4.indd 3321 50 –0,05 50 = 21
25
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=1+ 3 5 3 5 5 3 5 12 1+ 1 5 5 1+ 5 2 5 2 5 2 5 512 2 5 2 5 2 5 5 1+ 5 5 2 5 5 5 3 1 2 5 1+ 2 5 3 2 5 2 5 2 3 4 3 5 6 7 8 3 5 351 5 3 2 1 22 33 4 1 5 6 7 8 3 1315 5 5 5 1 5 3 11 5 3 5 3 3 3 113 3 3 3 25 3 1 2 1 3 1 2 3 2 1 5 2 3 2 5 3 2 2 7 3 2 3 7 7 3 35 7 2 7 2 7 4 2 5 24 4 7 9 4 2 1 7 9 2 9 74 3 Al a los de se obtiene: 4 9 8 9 7 restar 74 8 9 8 8 7 31 8 564 4 8 9 49 4 6 9 A. 4 6 9 36 8 98 6 8 23 6 9 821 8 21 6 21 8 21 72 6 21 1 6 18 6 21 6 18 21 18 18 6 4 18 B.21 21 3 21 7 18 9 4 21 4 18 4 8 4 21 4 18 4 18 4 21 18 2 18 21 4 21 18 21 69 21 74 4 8 21 C.4 60 4 60 21 60 4 60 21 60 214 216 60 50 21 9 21 18 50 60 50 21 50 60 50 8 60 21 50 21 60 60 21 D. 50 21 60 21 418 50 21 6 21 74 5050 50 74 21 74 50 74 21 74 21 21 4 74 21 21 21 21 21 74 21 21 21 6021 E. 74 21 18 21 –0,05 74 74 74 = 21 –0,05 74 –0,05 –0,05 = 21 –0,05 4 21 – 5 50 = 60 –0,05 = 0,5 – 5 = 21 0,5 21 –0,05 = 0,5 – 5 21 0,5 – 5 21 –0,05 0,5 – 5 = 21 – 5 =50 –0,05 0,5 –0,05 11–0,05 = 0,5 –=5 74 1 –0,051 0,5 – 5 =21 1 60 = 1 0,5910,5 –5 –5 9 2174 0,5 – 59 9 11 50 9 9 1 1 1 1 A. 911 –0,05 1 1 21 21 = 9 1 8 1 9 89 81 111 0,5 –5 9 81 74 –0,05 8 111 8 –1 1 –1 B. 8 –1 1 0,5 – 5 1= –1 8 21111 –1 8 –1 81 81 81 81 –1 81 81 81 –0,05 9 1 –1 81 –1 10 = C.–1 81 –1 10 81 10 –1 10 0,5 – 5 19 10 81 81 10 81 81 10 81 81 81 81 81 10 81 110 81 1 81 D. 10 10 10 10 10 –1 10 –81 10 81 – 8110 8 1 10 – 81 81 –––9 81 81 10 81 81 81–1 81 10 81 E. 10––9110 81 10 9 10 9 10 – 89 81 –81 9 1 81 – 81 9 8111 81 11 9 11 81 11 8110 9 11 –1 91 9 11 9 1 11 1 9 10son equivalentes 11111 de 33 Los 81 a de: 81 – 10 11 11 11 10 11 10 10 11 81 10 1 10 103 3 3 1 A.1 0,27 10 –: 3 – 01,6 3 3 3 9 + 0,6 10 : – 0,6 3 3 + 0,6 : 3+– 0,6 81 10 81 – + 0,6 : 0 ,6 3 3 0 ,6 2 : 2 –– 0 + 0,6 ,6 B.102,7 2 2 3 3 0,6 0 ,6 2 10 119:: 2 10 3 3 2 2 2 2 10+ – + 0,6 0 ,6 3 3 3 27 2 2 C. – + 0,6 : 0 ,6 3+ 0,6 : 13: –203–,60 ,6 –+5 2 0,6 11 2 –03,6+0,6 + 0,6 : 2 5 5 : 3 – 05 81 2 2 D. 5 ,6 2 270 2 2 10 2 2 2 13 5 13 5 13 9 E. Ninguna de 13 1 las anteriores. 5 13 5 5 13 5 13 3 13 310 11 13 + 0,65: –13 0,6 5 13 13 13 13 2 3 13 2 35 5 5 1 13 5 : – 0,6 es: 13 + 0,6 5 El de 13valor 13 5 13 5 10 5 2 2 5 5 A. 035 3 5 13 5 B. 1 2 + 0,613 : 2 – 0,6 13 C. –1 5 5 13 D. 13 5 13 E. 5
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c c
resol u
e e
en co n t i do
n de prob ció
r r
as lem
uac eval ión
evaluación sumativa
II. Lee atentamente el problema. Luego, resuelve. 1 1 – – 1. Analiza el siguiente3diagrama y luego3responde. Entrada
1,27 1,27 123 1 123 1 Restar Dividir por 2344 2344
1 3 1,27 123 1 Suman 2344 –
¿Es mayor que 1? 1 – 3 NO 1,27 123 1 Restar 2344
SÍ
Salida
Salida 1 a. ¿Cuál es el valor que se obtiene al ingresar – en el esquema? 3 1,27 123 1 2344
1 3 b. ¿Cuál es el valor que se obtiene al ingresar 1,27 en el esquema? 123 1 2344 –
c. Si ingresas un número entero el esquema, ¿siempre se obtiene un número entero? ¿Y en el caso de los racionales? Explica y ejemplifica. Escribe aquí tus ejemplos.
34
Unidad 1 • Números racionales
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Historial Una técnica que facilita la retención de lo estudiado para después realizar un repaso eficiente es el cuadro sinóptico. Se trata de un resumen esquematizado, cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de manera estructurada y organizada. Completa la tabla que muestra algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad. Contenido
Definición o procedimiento
Ejemplo
Números racionales.
Clausura en .
Números decimales infinitos periódicos.
Números decimales infinitos semiperiódicos.
Aproximación en por redondeo.
Aproximación en por truncamiento.
Adición y sustracción de números racionales.
Multiplicación y división de números racionales.
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Organizar favoritos Ahora que tienes claras las ideas principales, elabora un mapa conceptual que te permita relacionar algunos conceptos clave trabajados en la unidad. Conceptos clave
Número racional Clausura en Números decimales infinitos periódicos Números decimales infinitos semiperiódicos Aproximación en por redondeo Aproximación en por truncamiento Adición y sustracción de números racionales Multiplicación y división de números racionales
237 – 2 235 237 – 2 235 = = 2,37= 99 99 99 99 1.375 - 13 1.362 227 - 13 1.362 2 1.375 2 227 =– =– –1,375=– –1,375=– =– =– 990 990 165 165 990 990 7 10 2 15 5 7 10 2 15 5 + – = = + – = = 9 –92 32359 9 9 9 237 2379– 2 92353 3 1 1 • 8 –=3 •2,37= 1 2,37= 3+1 1 •312 1 1= • 8 – 3 • 3+ 1 • 12 99 – +99= 99 – + =99 2 8 3 8 2 1.375 -24 3 13 1.362 - 13 241.362 21.375227 2 227 =– –1,375=– –1,375=– =– =– 8 – 9+ 12 11 8 – 9+ 12 11 =– 165 990 = 990 = 990 990 =165 =Herramientas 5 10 242 15 245 15 7 10 2 24 7 24 = 12 = 4+ 4 fundamentales de esta unidad. No los olvides, pues te 2 6+ 2 –• 6 te 2 6 – 2=• 6 =12 datos A continuación, 3 •9 =9 algunos 9= 3 = 9• =9 9= 9presentamos =9 9 1 5siendo 1593 51 • 1129 •15• 8 –45 seguirán 145 3 • 3+151 • 12 3 9 •15 útiles. • 8 – 31• 3+ = = + + – – 4 2 48 7 4 2 8 4 3 7 237 – 2 235 3248: – 2 = Números =– infinitos periódicos Números infinitos =2 • – =– : – 8racionales • – 24 Números semiperiódicos = 2,37= 7 7 5 2 3 5 3 5 5 8 –2 9+ 5 235 237 – 2 512 Anteperiodo 11 11 8 – 9+ 12 99 99 ∈ 235 237 – 2 = 2,37= = = = = = 2,37= 99 1.375 - 13 1.362 23799 – 2 235 2 227 2 1 24 1 24 2 24 24 99 99 =– –1,375=– = =– 2,37= – 2 37 13 75 – 2 37 13 75 1.362 1.375 13 227 2 4 entera Periodo 1.375 - 13 1.362 2 • 6 12 2 346 5 2 • 6 12 Parte 99 =–990 =– 990 165 99 3 2 5 6distinto 2 227 –1,375=– =de 0= • = = = • = =– Parte=– –1,375=– 990 165 990 entera Periodo 15 2 5 227 1.375 - 13 2 1.362 7 10 9 5 9 • 5 45 9 155 9 • 5 45 15 990 990 Transformación de un número ∈ –1,375=–165 + – =–= = =– 5 15 2 10 7 9 3 165 9 990 9 9 990 de un número 237 – 2 235 7 10 2 a 15 5Transformación 8infinito periódico 2 4 7 4en la2 recta 4 87 4 decimal Representación 2,37= 9 + 9 –=9 = 9 = 3 + – = = infi : – = • – =– : – = • – =– 1 • 8 – 3 • 3+ 1 • 12 10 2 1 153 5a 1fracción 9 9 9 9 3 nito7 semiperiódico 7 35 5 2 5 7 5 352 5 fracción. numérica +99 – =99– =+ = 1 8 – 3 1 3 1 • • 3+ 12 24 237 –1 2 3 235 3 9 8 1.362 32 2 1 •227 9 + 9-=13 1 1 • 8 – 3 • 3+ 19 • 12–1.375 = 2,37= 2 1 2 1 =– –1,375=– =– = + – –1 – 2 37 013 75 – 2137 13 75 993 8 99 3990 12 1 •88––9+ 12 1 • 11 •24 3+ 12 2 24 13– 38+990 3 5 3 5 == = 165 235 237 – 2 11 8 – 9+ 12 1.362 1.375 13 227 2 2 5 2424 24 7 103= 28 15 8 –=9+ =– 12 11 =– 2,37= –1,375=– + – =24 =en=24 =990 en 99 =990 Multiplicación 99 Aproximación en Adición y237 sustracción 165 23 11 6 2 • 6 12 4 8 – 9+ 24 9 9= 9 912 = – 2 23524 = = • = = 2,37= 1.362 1.375 13 227 2 2 6 2 6 • 1099 2 2 15 7–1,375=– 912 5121 •= •45 45 15 24 1= • 8 – 39•= 3+ 4 3 1 • 24 6 12 1=– 6= 52 •=– 99 = – + Ejemplo: 0,768932783… • Igual denominador + = =990= – 165 = 45 5 2 •5 913 9 9-•990 9 9 1.375 3158 292• 65= 29• 6 2412 5 391.362 8 • 5 245 227 7= 414 4= • Por redondeo (a la milésima) = : – • – =– =– –1,375=– =– 5 15 2 10 7 1=• 8 – 3 1 +3 –1 990 • 3+ 1 • 12 911• 54 452 15 8 9412 5 7 en 8 –89+ = 990 165 4 2 División 4 7 + = 0,769 : –= = 5 • – 2=–5 7 35 3= • – = 9 : 9– 24 9– 8 9 =– 2 3 45 27 835 45 7224 7 10 2 155 5 2 5 7 3524 • Por truncamiento (a la : – = 2• –– 1 2 =– + 18 ––39+=12 1 •11 8 – 3 • 3+ 1 • 12 1 = 2 • 612 125 47 37313 2 6 52 • Distinto 5 75 9+ 9=2= 31 9 =9– denominador milésima) 0,768 3 5 = = = • 3 8 2 2413 75 9 5 9 •–5 245 37 131575 2 37 3 • 3+ 1 3 124 1 • 8 ––24 1 • 12 23 15 3 5 =2 •12 – 2 +86– 9+ 11 – 2 37 13 75 = 12 8 3 8=• 2= 6 = 4 73 54 2 24= 4 = : – • – =– 24 24 45 9 5 9 5 1 5 • 8 – 9+ 12 11 5 2 5 7 35 2 • 6 12 4 = 2 6 = 8 2 4 7 424 • = 24= = 2 1 9 • 5• –45 =–15 9: –5 = – 2 37 13 75 5 2 5 2 6 2 • 6 12 74 35 3 5 • 4= 7 = 4 = 2 8 9 52 : 19–• 5 = 45• – 15 =– 7 35 13 Unidad 1 • Números racionales 5 75 5– 2237 36 8 4 3 7 5 4 2 : –2 = • – =– 1 7 75 35 5 2– 2537 13 3 5 U1_1ºM_Mat_v4.indd 36 29/1/10 18:10:43 2 1 2,37=
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Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
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Número de pregunta
Habilidad
Números racionales y clausura.
1 2 3 4 5 6 7
Recordar Comprender Evaluar Analizar Evaluar Evaluar Aplicar
Números decimales infinitos periódicos y semiperiódicos.
8 9 10 11
Comprender Comprender Aplicar Aplicar
Operatoria en : adición, sustracción, multiplicación y división.
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Comprender Aplicar
Clave
Nivel de logro
7
4
17
Mi estado Evalúa tu desempeño a partir del logro alcanzado para cada contenido. ¿Qué contenidos podrías enseñarle a una compañera o compañero que no los haya entendido? ¿Qué temas debes repasar? ¿Qué harás para reforzarlos? ¿Qué calificación te pondrías de acuerdo a lo que has aprendido a lo largo de la unidad? ¿Por qué?
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Unidad
Potencias
2 2
El origen del ajedrez está rodeado de discrepancias y desacuerdos entre historiadores y estudiosos del tema. A todo ello hay que añadir las numerosas leyendas y anécdotas que acompañan al juego. Una de ellas tiene relación con la popular leyenda india del rey Ladava, quien quiso recompensar a un joven sacerdote brahmán, Lahur Sessa, por haberle sacado del estado de angustia en el que se encontraba mediante el uso del ajedrez. El rey le ofreció joyas, palacios y territorios. Sin embargo, el joven solo quiso un grano de trigo por la primera casilla del tablero del juego, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta y así sucesivamente, hasta llegar a la última casilla. La leyenda cuenta que todo el trigo del reino no alcanzó para satisfacer su petición.
Menú de inicio ¿Qué?
38
¿Para qué?
¿Dónde?
Potencias.
Extender las potencias de base racional y exponente natural a Páginas 40 a 47. base racional y exponente entero.
Propiedades de las potencias.
Aplicar las propiedades de las potencias de base racional y exponente entero.
Operaciones combinadas y aplicaciones.
Resolver problemas que involucren potencias y contextualizar Páginas 54 a 57. las soluciones.
Páginas 48 a 53.
Unidad 2 • Potencias
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1 1
2 2
3 3
5 5
4 4
6 6
7 7
8 8
Abrir sesión Considerando la información de la página anterior, responde: 1) ¿De qué se trata la lectura? 2) ¿Qué expresión permite calcular la cantidad de granos de trigo que Lahur Sessa le pidió al rey Ladava? Utiliza potencias de base 2. 3) ¿Cómo se lee el número 18.446.744.073.709.551.615?
Inicializando Aplicar consiste en usar un procedimiento aprendido en una situación para resolver otra no enfrentada previamente. Si en el puente de la figura se tiene que a cada cable lo sigue otro cuya 5 longitud es del anterior, ¿cuál es la longitud de cada uno de los cuatro 6 cables considerando que el pilar que se observa en la figura tiene una 5 longitud de 50 m y el largo del cable 1 también es del largo del pilar? 6
Pilar Cable 1 Cable 2 Cable 3
Cable 4
1) ¿Qué se desea conocer al resolver el problema?
2) ¿Qué datos son necesarios para resolver el problema?
3) ¿Se logrará precisar una respuesta exacta? ¿En qué te basas para interpretar eso?
4) Representa la información del problema planteando expresiones que contengan potencias.
5) Si a continuación del cable 4 el puente tuviera tres cables más, ¿qué longitud tendría cada uno de ellos?
Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
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evaluación
contenido
resolución
e e
c c
r h
Potencias de base entera y exponente natural Si a ∈ , n ∈ , es posible expresar una multiplicación de n factores a de la siguiente manera: a • a • .....• a = an n veces a como factor La expresión an representa una multiplicación iterada que se define como potencia, donde a es la base de la potencia y n es el exponente de la potencia. Si se resuelve la multiplicación iterada, su producto se conoce como valor de la potencia.
Para grabar Ayuda (–2)6 ≠ –26 64 ≠ –64 = {1, 2, 3,…} 0n = 0, n ∈ .
Al multiplicar en forma iterada un mismo factor se tiene: a • a • .... • a = an; a ∈ ; n ∈ n veces a como factor
(–2)3 = (–2) • (–2) • (–2) = –8 23 = 2 • 2 • 2 = 8
an se llama potencia. a es la base. n es el exponente.
1.
2.
3.
–34 = –(3 • 3 • 3 • 3) = –81
Representa como potencia las siguientes multiplicaciones iteradas. a. 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 =
d. 111 • 111 • 111 • 111 =
b. (–6) • (–6) • (–6) =
e. (–8) • (–8) • (–8) =
c. (–3) • (–3) • (–3) • (–3) =
f. 12 • 12 • 12 • 12 • 12 =
Representa como una multiplicación iterada las siguientes potencias. a. –116 =
d. 443 =
b. –25 =
e. (–22)3 =
c. (–7)4 =
f. 1234 =
Relaciona la potencia de la columna A con su valor en la columna B. Para ello, escribe en la columna B la letra que corresponda. Columna A
40
Ejemplos:
Columna B
a. –74
–625
b. (–7)5
–64
c. –54
–16.807
d. (–6)3
256
e. (–4)3
–216
f. (–2)8
–2.401
Unidad 2 • Potencias
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1 1
4.
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8 8
Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
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25 2
3 3
4 4
5 5
6 6
Analiza la siguiente tabla. Luego, complétala según corresponda.
Potencia
Base
Exponente
Producto de factores iguales
Valor de la potencia
43
2•2•2•2•2 (–5)4 (–3) • (–3) • (–3) • (–3) 6
2
–243 –73 16
2 –1
10
–1.000
5.
Representa cada número como una potencia de base positiva y también como una potencia de base negativa. Luego, responde. a.
49
c.
121
b.
64
d.
169
¿Por qué las potencias anteriores de cada caso tienen el mismo valor, independiente si la base es positiva o negativa? Explica en forma detallada.
6.
Resuelve los siguientes problemas. a. Si la base de una potencia es mayor que cero y su exponente es par, ¿su valor es mayor o menor que cero? ¿Y si su exponente es impar? Justifica tu respuesta.
b. Si la base de una potencia es menor que cero y su exponente es par, ¿su valor es mayor o menor que cero? ¿Y si su exponente es impar? Justifica tu respuesta.
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evaluación
contenido
resolución
e e
c c
r h
Potencias de base entera y exponente entero
En la sección anterior se recordaron las potencias de base entera y exponente natural. Ahora se estudiará el caso en que su exponente es un número entero. Esto Ayuda pone de manifiesto la importancia de definir en qué conjunto numérico se está trabajando. Luego: Recuerda que el conjunto de Si n > 0, an = an. los números enteros () Si n = 0, an = 1; con a ≠ 0. corresponde a la unión entre los números enteros positivos, los 1 Si n < 0, an = –n ; con a ≠ 0. números enteros negativos y el a cero. Es decir: 0 1 que a ≠ 0. Esta interesante Para el caso a se tiene que su valor es 1, siempre = = – ∪ {0} ∪ + 3 está determinado. propiedad se demostrará más adelante. El6valor de 00 no nn Donde: 1 a Si n > 0. – 5= nn – = {-1, -2, -3, …} a = 1 Si n = 0. 3 + = {1, 2, 3, …} Para grabar 1 1 = –n–n Si n < 0. 6 Ejemplos: Se denomina potencia de base entera y exponente10 a n entero a toda expresión de la forma a , donde: 1 1 1 an Si n > 0. = 7 –3–3 = 3 = 6 3 n 9 7 343 a si n > 0 an = 1 Si n = 0. 1 1 si n = 0; a ≠ 0 1 1 = (–5)–5–5 = 5 = – an = 1 5 siSi nn<<0;0.a ≠ 0 (–1)4 3.125 (–5) a–n 1 1 1 = –2-3-3 = – 3 = – 1 1 5 –3 (–2) 23 8 7 = 3= 7 343 1 1 = 1 1 –5 (–3)3 (–5) = 5 = – a–n 3.125 (–5) 1 1 = = 1 Luego, 1 1. Expresa como potencias de exponente entero –2positivo. calcula su valor. 4 -3 (–5) =– 3 =– 631 –4 2 e.8 3–2 = a. 7–5 = c. 8–4 = g. (–3) –n 1 = 1 a – 5= 3 1 a–n = 13 1 6 = = 1016 631 – 5= 1 a–n1–6 = b. 5–4 = d. 101 –6 = f. –12 = h. –73–2== 961 31 5 a–n = = 1 1016 = 613 = = 4 (–1) 1 1061 631 = – 5= 13 1 961 = a–n1 = = – 5 5potencia de exponente entero 2. Expresa su1 valor. 961 negativo. Luego, calcula(–2) 3 a–n cada expresión como una 1 = = 16 14 13 = 1 (–1) 10 6 c. e. g. a. 3 = = = = 4 3 (–1) (–3) 1016 61 1 1 = = –1 5 = –n 1 1 5 (–2) 961 = 3= –a 5 = = 5 4 961 (–2) (–5) 1 1 13 = = = = 14 (–3)3 (–1) 1016 = 613 = = 4 3 (–1) 1016 (–3) 1 1 1 = = b. –1 5 = d. f. h. = 5 61 1 (–5)4 (–2) 9 3= = = 5 4 961 (–2) (–5) 1 1 = = = 14 (–1) 1016 = (–3)3 = 4 3 (–1) (–3) 1 1 1 = = = 61 5 1 9 (–2) = (–5)4 = 5 4 42 (–2) (–5) 1Unidad 2 • Potencias 1 = = 14 (–1) (–3)3 = 3 (–3) 1 1 = = U2_1ºM_Mat_v6.indd 4 1 5 42 (–2)
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1 1
3.
4.
7 7
8 8
1 512 1 1 1 3 1 –2 • –5 = • – 2 =8 • – 2 =512 • – =– -3 25 25 5 1 5 8 c. 8–1 • 8–5 = f. 10–5 • 10–5 = 3 1 512 1 3 1 1 1 –2 • –5 = 8 • – 2 =8 • – 2 =512 • – =– -3 25 25 5 1 5 81 – 1 –3 • (–3)–2 = 13 1 –2 8 • – en =8 – 1 =512 7 •Luego, Analiza la resolución del siguiente problema. resuelve tu3 cuaderno y • – 1 =– 512 • –5 = 25 25 52 52 8-311 escribe tu resultado en la casilla. –28 1 – –3 • (–3) = )=13 1 1 512 17 –5 • (–2 8 –2 3 1 (–4) • • – 2 =8 • – 2 =512 • – =– –5 = -3 25 25 5 1 5512 1 1 1 3 81 11 –2 =– • –5 = • – 2 =8 • –– 25 =512 •1–28–= • (–3) (–2 )= • 3 -3 –3 –3 – • = 1 5 8 25 5 –5 8 –2 25 (–4) 7 1 (–9) 512 1 1 1 3 3 1 –2 8 • – 2 =512 • –511 =–1–28 • –5 = • – 2 =8 ––3 = )= • (–225 25 5 5 = 1 –8 •1•–(–3) 8-3 • (–2–2 )= –(–4) 1 2 (–9) 7–3 –5 –2 3 – –3 1 512 1 = 3 1 1 81 • (–3) –2 – =8 • – =512 • –(–6) 1 =– 1 8 7 • • –5 = –• (–225–8)= -3 525 52 52 = –1•1–5 –3 1 1 8 –2 ••(–2 – 2 (–9) 1 a. – –3 • (–3) = 3 8 e. (–4) 4–3–2=)= –3 (–2 )= • (–6) 5 1 1 1 17 1 1 2 –2 – 5) =– • –5 (–4) = 8 –5• – 2 =83 • – 2 =512 • –(– 1 -3 525 –1•1– –1–3 1 25 –2–8)= –3 = 8 11 5 5 –28 – –2 ••(–2 4 (–2 )= • 2–(–9) = – –3 –5• (–3) =5 3 1 • 12 = –3 (–6) –3 5 ) –(– 8 –3 – • = 1 3 1 1 4 512 17 1 (–4) –2 • – 2 =512 • – 1 =– – 2–2 =8 • –5 = • (–9) -31 –1 –8 )= –1 1 –2 25 1 25 8 • (–3)1 8= 5 –2 • 2–••(–2 5 –12 4–3 = • (–2 )= ––3 3 b. ––35–3• –5 f. – = =1 = 1 –3 3 (–6) • – –(–3) –8 5 ) –(– –2 8 7 4 (–4) (–9)– 2 • (–2 )= (–11) –2 –1 (–6) 11 • (–2 –1–3 =1 1–28–8= 5 1 )= • ––33– •4–3 = 12–2 –1 ––3 )= = •–(–3) •4– –(–3) –3• –5 –1 • –(–4) (–2 5 ) –(– –2 –3 –3 • (–11) –2)–2–7 == – –( 7 2 (–9) • 4 = (–6) –3 (–10) –1 1–(–5) 511 =1 –7 = • –3–• – 12–2 –1 –1• –• (–2–38–8)= = c. –3 g. –(–3) –3 –2)–2 = ••(–2 –(–4)–5 )= –32 (–9) 4 –2= –1 – –( • 4 –3 (–11) 12–2 • – –3 = (–6) 5) –(– (–10) 1 1 –11–3–8 4 5–1 – 3 –1 • – –7 = = –(–3) –2• – • (–2 ––3 )= = – 2) – –( • •2– • 4–3 –2= 12(–6) –3 (–11)–2 –3 • – 1 = (–10) –(–5)–3 (–9) 4 –(–3) (–11)–2 –11 –1–3–8 –1 –7 d. –12–2 • ––33–••(–2 h. – 4 = =)= 1 • –(–2) = 2 –3 – –1–2 = –(–3) 5) •4–3 –(– (–6) (–10) • –(–2)–7 = –(–11) –3 –1 –1 (–10) –3 • –3– •4 =1 –7 12–2 –1 –(–3) ––(–5)–3–3•4•––3 –( –2) == (–11)–2 (–10) –1 1 = –7 = • –3–• – 12–2 –1 –(–3) 4•–3 –( – –2)–2 = (–10)–3 (–11) 1 –1–3 ––(–3) –3• •– –(–2)–2–7 == Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo (–10) (–11)
43
25 2
3 3
4 4
5 5
6 6
Calcula el valor de las potencias. Luego, resuelve la adición. a. 3–4 + 3–2 =
d. –5–2 + 5–3 =
b. 6–2 + 6–3 =
e. –4–4 + 4–2 =
c. 2–2 + 2–4 =
f. –104 + 102 =
Calcula el valor de las potencias. Luego, resuelve la multiplicación. a. 3–4 • 3–2 =
d. (–6)–2 • (–6)–2 =
b. 5–2 • 5–3 =
e. –12–3 • (–12–5) =
( )
( )
5.
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
(
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(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
–1 –7 • –(–2) = (–10)–3
(
)
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contenido
resolución
e e
c c
r h
Potencias de base racional y exponente entero
Ahora que ya has trabajado con potencias de base y exponente entero, a medida que avances en tus estudios ocuparás distintos conjuntos numéricos. A continuación, se definirá qué ocurre cuando se tiene como base un número racional, es decir, si pertenece al conjunto , y su exponente es un número entero. c Si se tiene una potencia cuya c es un elemento del conjunto y su exponente c cbase d es un número entero n, se tiene Ayuda n n d d dque: c c n c n nn n n = Sin>0, =c ; c, d ∈ , d ≠ 0 . cc cc Recuerda que el conjunto de los ==c= d d Sin>0, Sin>0, Sin>0, .c.d . dd dd=dnd; c, d ∈ , d ≠ 0 n números racionales () es de la c nc nd siguiente forma: n n = 1; con c ≠ 0. = 0, cc c n c c Sin c con 1;d= d 1; con Sin ≠ 0. d ≠ 0. =0,=0,=1;=ccon SinSin ≠ 0. = 0, c d d = ; c, d ∈ , d ≠ 0 dd d d nn n –n d d n –n –nc c d n n –n = ; con c ≠ 0. ncSin<0, Si n> 0 . c c d c c d c d n == =;con d c d ;con d;con0. Sin<0, ≠0. ≠ 0. Sin<0, c Sin<0, dddcc nnccd ≠ d Si n> 0 . d d c d 2 3 3 3 3 Si n = 0, c ≠ 0. = 1 n 2 ¿Se observan diferencias 2entre valores cd de 2 los laspotencias c d de base entera y 5 c n = 1 Si = 0, ≠ 0. entero? Justifica. racional –n–n ynexponente 55 5 de base exponente entero y las potencias Si n> 0. d d –2 dc d –n 3Si n<0, ≠ 0. –2 –2 –2 33 3 n dc 7 c d c c c Si n<0, ≠ 0. = 1 77 7 ≠ 0. Si n = 0, Para grabar d c dc 7 d d c c 7 7 7 c 9 d≠≠00racional , d, base ; c,; c,d d∈∈de ==potencia 99 9y n Se denomina Ejemplos: n d –n d c c d 5 c c d de la d Si n<0, ≠ 0. 44 exponente entero a toda expresión c = Sin>0, d 3 3 3 3 6d3n 81dn . c 55 5 n n d 4 = d • • 2 • c = c cc 6 6 6 forma , donde: 7 3 Sin>0, 7 3 7–3 7 3 7n = 82.401 3 1 n . c d d –2– 2 = • • 3• dc=n d – 2 c ccon 22 1; 3 3 7 2 –2–27 Sin>0, 7= 70, 7 3n2.401 Sin 3 . 9≠ 0. = 3 n d n –3 – = – =d •d– 3 =d c c – c c –2 2 12 4 –3 –3 3con 3 = 2–0,32n = 1; 2–n 9 4≠ 0. SiSin>n>0.0. –3 12 2 3 Sin 3 3 3 3 3 81 n 12 12 = • • • = – – – – = – =3–d c • – d= d c c ≠ 0. 33 c n n d d 7 7 7 7 7 2.401 3 3 3 3 5 –3–3 Sin 2 = 2n4= Sin<0, 4–n4; con 1;2con ≠4 0. 64 0, 4 3 dc c d c – –3 = – 3 9=c– •d– •d– d c= – c ==1 1 SiSin n==0,0,c c≠≠0.0.3 3 3 –2 2 45 ; con 5 4 Sin<0, 5– 4n5 = 5 ≠ 0. d n 12 25 2 3 3 3 9 4 4 3 n 9 –n dd c c dd– 9–9– – = –2 =4–d • – c • – =d– 64 – = – = – • – = c c d 12250. nn nn 5 5 = 5 ; con c –n–n = . 4 4 4 En 3 2 2 2 4 Sin>0, 4general: c5 3 5 ≠ c Sin<0, ddd n dnc c d d c n = 2 c ≠≠0.0. n<0, d c SiSin<0, –3 3 cd cndnn 3–2 c c n = nd. d 5 4 4 4 4 64Sin>0, = ;5con c – = – = – • – • – = – dc d 3 d, n , d ≠ 0 y n > 0. d dn 2 . ≠ 0. 1;ccon 4 5 5 5 5 1225Sin>0, Sin = 0, –2 = n d 5 cc 7 d d c c 3 n = 1; con ≠ 0. Sin = 0, d c cn d 7 n –n 7 –2 = d d d 9 c de c de las siguientes 44 c una 3 1. Calcula el valor cada potencias. d dn Sin 3 8; con 3 3 3 3n3=31;3 con 181≠ 0.≠ 0. 7 3 3 ===0, Sin<0, 5 = d d c=–n 7 c7• • 7••d c 9 7 7 7 7••d Sin<0, 2.401 ; con ≠ 0. 7 n7= 7 7–n2.401 7 6 3 2 c 52 d 2 –2 –2 d 9 3 3 c ≠ 33 ;con 223= c332= d – 6 = a. Sin<0, d. 0. 9 9 3 –2 ==–d– ==–c– ••–– =d= –5 –52 33 2 2 2 2 2 2 44 6–3 5 3–2 3 2 12 3 –3 –3 3 3 2 55–2 44 44 44 44 6464 – –3 –7 3 3 – ==–– ==–– ••–– ••–– = =– – 5 3 5 5 5 5 5 5 5 5 12212525 – 12 = b. 44–2 = e. 7n 933–3 7 9 n 3 12 n n c c7 c c – 3 7 5 = 4 d9d= dndn – 93 3 6 5 7 4 92 9 c. – = f. – = 52 3 6 4 – 3 6–3 12 – 2 33–3 – 12 44 Unidad 2 • Potencias 33–3 9 – 12 433 9 – 4 3 U2_1ºM_Mat_v6.indd 44
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2.
3.
–2 –4 – –5 (–3)–5 3 –2 –1.001 (–1) –2 –12 –(–3)–5–1.110 –5 –2 – (–1) –15 3 (–1–)5–13.001 –2 1 3 4 5 6 7 8 25 (– )–5–5 –2 – –4 –1.110 2 1 3 4 5 6 7 8 –2–1.001 5 – –351))–5 –(– 3)1) (– –23–5–13.001 –(–(– 110 (– (–(– 131))––12.001 1) –4 5 –2 – –(– – – 3 1 110 – . ) 3 Calcula el valor de las siguientes expresiones. –12 , 31))–13.110 (– –(–31)–1.001 (0 –4 –2 3 (– ) 1 ––(2,–86 5 3) –2 ––––15 4 –2 –34 –1.110 –(–12 –5 2 –) 1 –5 – – –2 (– 3 13 ))–5–2 a. = e. ––53153 = (– 312 – 5 – 2 – –4–)2 –2 (– (–13 –(–(– 131))––14.001 –23–)5 –2 –5 –––512 –2 –5 15 1 001 – . – 3 – 12 – 5 – 3 5 – (–1) (–0, )–2 –5 – –1)4–1.110 –2 (– – 3–5) –1.110 –2 –15 (––2 3)–5 (–13 ) –2–2 ––(– –515 5 – 1 001 – . (– –(2–,12 86 ) –5––51.001 –(– 163)–5 (––2 )11)) 3(– –3 2 – –2 b. – –5–1.001 = (–(–31)) f. (–0–,53)–5 = (––13 –534–)2–2 3 – –5–––511..110 (–(– 3(– (–13 )–2 –2 –3 1)–)14)–1.110 –15 n (––2 31)) 001 (– 13 110 – – ––11..001 –( 2 , 86 (– )–4 ) 13 c cn (–(– ,333)–23 0 ––2–5––5–113..001 3 (– ) 1 2 – 2 (– 13 ) 110 3 (–(– 31)) –2 = n – –4–1.110 ((– ,53)–––535 0–13 2–, 3,12 –4–5––51.001 ––2 –(– (–(0 ))–43)–2 3 –2 86 d d (– 5 ) 1 2 – 110 – 4 3 – –4–312 (– (– 31)) –– –2 (– ) 13 –4 –2 – 5 – – 5 – 4 n 3 110 (–213,86 ) )–5 = –( c.–– 3 = g. –( –––2 –10 ,15 86 (–213 )4 ) c c cn –3) –34 –2 (–(– 31))––5–113..001 –(– 16 nc ( , ) 0 3 ––55 – 15 2 – 5 – – 4 3 – – 4 –225 = c• •=... •c –113..001 – –12 (– (–13 ) –2 (––13 – 3–4 (– ) 3 110 ) 5 15 – – 12 ) 1 – 3 –3 –2–2 d d dd d –(–(– 2,86 –2 – –34 ––11..001 –4 )–5 –––12 –(– dn –5 515 4 2–2 16 ) 13 3 ) 11))3110 – 4 –(– 13 (– ) 12 (– 5 ) – 15 (– – ––22 23 –5 – –34 –1.110 – -–2–35 –5 –2 n (–313 )4–5 ––12 15 13 3 c c c –4 5–2) = ––(– 2 –) 1 d.–(– h. = – 12 c 15 ( ,73–)4 )16) 0–(– (– (– 5 ) – 5 – 4 – 4 (0 2 – – 3 – 3 3 = • • ... • – 3 -2 –25 3 ) –5 –(–2–(– 13 15 ,–32))–2 – –12 4 2 – 16 ) ––513 (– 15 d 31416 d d d (––(– ) ) –( 10 4–5 –534 (– )–2–2 –––13 – 23,86 –2 2–3 –2 35 –4 32 1 • 1 • ... • 1 (– ) 2 –5 –0 52 2 –2 ––5312 3 – = (c c ... c) • • • • (– 13 15 (–( , 3),–86 ) ) 2 3 ) 15)4 –5 con (–17 –(– d d (–(– 0,13)–2de la columna A y relaciónalas –– –(– Calcula––23–las su en la columna valor d – 13 5 –2 potencias 3 16) 4 – 12 10 –2– 35 15 ) 13 2 2 (– 13 ) 3 –4 2 ((– , 0 3 (– ) –2–2 –( 2 , 86 ) – 5 2 (– 5 ) (– ) 13 – (0 B. Para–3ello, escribe la 3 la –(–313)B. 2–, 3,12 ) letra que corresponda(–en –( 86 2 columna 315 –2– –515 –13 (–(0(– )))––)54–2 (– 5)))-24 23 –2 (– 13 2, 3,13 86 (–10 54)44–5–2 1 – (– ) – 5 (– 7 (––( , 0 3 – – 2 , 86 ) 3 2 (– 13 ) (– –B 1642) 4 ––515 –2– ––52 210 = (c • c • ... • c) • • – 23 A (– 5 ) –4 5–) – Columna Columna 4 2 – –( 2 , 86 – – 2 – 5 (– 15 ) (– )––45 13 10 –2) (–(– , 3,86 02 (–14)-24 –( –(– d –1313)–)5 –5 ((– –)2 ) n 13 (–316 (– 5)2))2 ––23 2) – 5 2 (– 7 –4 –5) (– 15 – 2 (– ) 13 Desafío 1 –(– 16 3 (–315 5)) (– –5 (–(02, 3,86 (–13)–4 –17 24-2 = cn • (–13 )––––4235) 9 2-2 –4 – 3 –4–5 –5 a. –(– (– 10 – ) 13 14 ) –2 (– 5 ) – ( , ) 0 3 d 3 – 5 3) Considera que: (–13 (– 57 4 n –( 213–,86 –5)–5 –)416) 3 2 2 –(– 2 (––(– )4 –3) c n cnn 256-2-2 16 – – 33 –5 –5 -2 (– 15 ) – 2 ( , ) 0 3 c = c (– –(–213 4 ––4 –( ,86 1 (– 14 (– –55)–5 n 16) 32–4 177)2 –2 )16 3– (– 175))) 4 d = dnn porque:= cn • –(– ) –––(– –2 3 (– ) 16 2 (– 5 ) 4–5 – 2 n -2 –4 5) n 1 –( 2 , 86 – 3 3 (– 14 ) – d (– 5 ) d – 4 3 – –5 –5 -2–2 d = c • –(– (–17 14 32 16) (–313 33–) 10) 4 16 d 16 n (–73)2) –2 –5 ) – – 33 44 b. –(–2–(– (– 2 2 n n 4 –4 13 ) – 5 10 c c c c c –5 3(–5) 3 17 (––(– 13 (– ) 16 4 3–) 2 (– 15 ) 4 3 289 c • c • ... • =c ) 3 5)16 c = (– 2 17 –– 3 4 2 9 )-–22 – 14 –4 1 –5 = d • d • ... • d d n 15))4 13 )2 –2 ––(––(– d –(–3(– 3) 3–) 2(–5 4 )–5 (– 4 10 4 = cn • n 9 (– 5 16 d 3 16 2 d d d ) (– 3105) –5 2 256 – 4422 –– (– d – 27 -2––22 –5 c (–15 3 )–2 55))) 17 3–4 (– –(– (– 315 (– n factores –– (– 5)16 )424 )–5 2 (–716 3) )) n 1916 (– 10 – 1042 -2 c. (– – – – c 9 3 –2 3 – 256 – 8 -2–2 d (– –(– ) 3 16 1057)))2 (–(– 15 315 = n (–(– 14 2 (–3) 5))2)424 93)) 10 (–(– 16 5 – 3 2 2 – 2 – d 1 2) – -2 3 424 3 (– 14 2 (– ) 16 (– 15 ) 1 1 1 (–(–57) ) 215 11 (– 5)))-22 9 289 (– 10 256 – 5 – 9 – (– 7 17 1 1 = – 23 424 2 – – 16 = (c (c •• cc •• ...... •• c) c) •• d d•• d •• ...... •• dc 17 (–3)–2 (– 5)2-2 -2 (– 5)))2--22 (– 10 256 1 (– 15 9 (– 5 714) d. (– 256 7 3 d d d 14 ) – – 424 n factores c 289 (– 52))2-2-2 9 (– 73))-22-2 1 10 (– 14 (– 15 27 17 16 (–14 57))4 1 –2 1 –(– 2-2 –– 9 1710 –– (–16) )22-22-2 (– n factores 256 –2 ) 15 16 289 1714 8 (– (– 5 ) 16 –2 7)2 14 (–17 216) d –3(– (–3) 315 )22-2-2 27 (– 1 ––22 289 17 n (– 5 ) 9 289 7 – – (– 3)) e. (–17 16 1 n 3(– )2-2)–2 9 314 (– n 8 16 (– 5716 ))2)-2 9 –3 9 ––22 27 – = c n • 1 –(– (– 9 14 = c • d -2–2–2 – 17 (– 163)) (– 3 256 – 289 (– (– (– 716 27 3)2))-)2 – 256––22 d 8 27 14 –(–17 – (– ) 16 -)2––22 1 9 – (– ) 3 3 9 1 (– 16 –– 1 –2 932)) 8 14 (–(– –8 = ccnn •• 1n – 17 2 – 3 (– ) 3 2 – = 16 9 256 27 (– 32)) f. 256 1.024 ddn (–916 – – 16 – –17 –22 3 n 289 91 – 256 8 (– cc n (– 1916 3)) 256 ––289 3 ––22 = –– (– 9 256 116 = ) 16 (– 193) –2 dd nn 256 – 9 – 16 – 2 – 27 1 (– ) 289 16 16 ¿Qué (– cc restricciones deben tener 193) 16 g. –289 256 – – 27 – (–3)–2 8 16 289 9 c, – 256 289 19 dd d y n? 16 9 – 8 289 927 256 11 27 919 16 – –289 – 98 27 256 1 16 27 dd 289 – – 98 27 8 1 16 27 98 – ––289 8 16 289 98 27 –289 27 98 – 98 27 – 27 –8 8 Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo 45
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c c
resol u
e e
en co n t i do
n de prob ció
r r
as lem
uac eval ión
evaluación formativa
Analizando disco
Potencias de base entera y exponente natural.
1 Representa como potencia las siguientes multiplicaciones iteradas. a. 2 • 2 • 2 =
c. 8 • 8 • 8 • 8 =
e. 15 • 15 • 15 • 15 • 15 • 15 =
b. 12 • 12 • 12 =
d. 4 • 4 • 4 • 4 • 4 =
f. 250 • 250 • 250 • 250 • 250 =
2 Representa como potencia. Luego, calcula su valor. a. Base 3, exponente 5.
e. Base 2, exponente 7.
b. Base 8, exponente 2.
f. Base 12, exponente 3.
c. Base 5, exponente 4.
g. Base 15, exponente 3.
d. Base 10, exponente 6.
h. Base 25, exponente 2.
3 Resuelve el siguiente problema. Unos chocolates son empaquetados por docena en bolsas. Si se ponen 12 de estas bolsas en una caja pequeña, y para su distribución, 12 cajas pequeñas van en una grande, responde: a. ¿Cuántos chocolates contiene cada caja pequeña y cuántos, cada caja grande?
b. Si se transportan 12 cajas grandes, ¿cuántos chocolates contiene el transporte?
Potencias de base entera y exponente entero.
4 Calcula el valor de cada expresión.
46
a. (–3)–4 =
e. –(–2)–10 =
i. –(–3)–4 =
b. –8–3 =
f. –(–3)–5 =
j. (–2)–11 =
c. 6–4 =
g. –(–1)–100 =
k. –(–8)–3 =
d. 5–5 =
h. –11.025 =
l. (–7)–4 =
Unidad 2 • Potencias
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66 –4 – 3 3 – 4 –4 4 3 –4 1 –4 – 2 55 1 4 – 2 2 – 253 5 3 –4 1 4 5 6 7 8 2 –4 –4 22 11 3 3 –4 –2 1 4 5 6 7 8 –4 1 4 1 11 –2 – 4 1 – 11 1 222 ––3 1 –266 –– 3 4 66 2 –2 –4 –2 1 11 –2 31 –1 –4–2 11 –11 –2 311–4 – – 5–1 – – – 3 2 6611 66 – 66 –– 35 – 4 66 – – 66 –2–4–4 4 –1 4de base racional y exponente entero. Potencias 1133–4 4 5 5–4 –– 3 –4 –– –5 235 – – 3 –27 4 4 –5 ––– 2el valor de las siguientes expresiones. 44 5 Calcula 66 – –27 34 –4 – –9 –5 –4 3–4–4 322555 –9 –27 11–4 5 4 – –2 =5 4 d. g. –(–27 a. 21= ) = – – 2 43 –22– 1 –9) (–27 3 – 3 ––33 –9 3 –2 5 3 4 –2 –9 )–5 (–27 –2 44 2 1 11 4–1–1 11 (–25) 1 4 1 –5 ––––––– 1 = b. –– 51 = e. h. (–25) –9 –5 = –– 5 66 ––66 3–333– (–5) –5 3 4 3 (–5)–5 (–25) –2.002 4 –1 4–4 –4 –1 –4 –1 (–1) 1 5 –2.002 33 –1–5 –(–5) (–1)–5 –1 5 =–5 –––––––555 –11 = c. ––––27 f. = i. – (–2) –11 44 –2.002 –44––27 3–4 – (–2) (–1) –1 4 –9 4 – 8 –9 –5 5 –5 5 –11 5 5–27 –5 z 33 (–2) =– 8 22 ) las –5 siguientes ecuaciones. –27 6 Resuelve –5 –27 (–27 z =– 27 – – –– –27 –27 ) ––(–27 ––9 –9 8 –9 3 p 27 4 –3–9 z 13 =– p –9 1 –94–5 –9 1 =27 –5 (–27 (–27 ))) 2 = 41 (–25) 1x44–5 = 81 x = g. t = a. (–3) (–27 –27 (–25) p – 1 )–5 ) – –9 (–27 ––(–27 – –5 21 -3 41 –9 –9 –9 3 (–5) = (–5) 3 –9 2–5 –5 –9 –5 –2.002 -3 4 –5 (–25) (–25) 3 –1 (–25) –2.002 =r –5 –1 b. –y(–25) =51.331 y= h. u = –5 –1 –5 (–27 ) (–1) (–1) (–25) –5 –15 -3 =r –5 5 –11 –5 ––(–2) (–5) – (–5) (–5) –5 –(–5) – 4–5 –11 –15 –5 –9 –2.002 (–5) (–2) –2.002 –7 tt =r 4 8 –2.002 –5 (–1) (–1) (–1) –2.002 –2.002 (–25) 8 –5 c. zz3(–1) z= i. j = –15 3 =– –5 ––– (–1)–11 –7 =9 –5 –11 –11 =–27 –27 –5 (–2) ––27 –2 – (–2) –11 1t =9 –11 (–5)(–2) 27 –– (–2) –2 –71 (–2) p 88 –9 1–9 p 1 33 –2.0028 3 (–1) u =– 13 = 81 2–2=111 =9 =– zzz =– 8 – 3 u 27 d. (–27 p= k =2 = 4 z2 =– 27 j. (–27 )= 4 z –11 =– 27 (–2) 4 pp 2 ) 27 27 413 p –9p -3-3 111 8p 111 2u–5 = 3 3 –9 = –5 == 1 –5 4 = j –5 1 z =– 1–5 –5 –5 (–25) –15 = j 44 k. 222127 = 4 =q ==r e. (–25) 1 q = a = =r (–15) 3 –15 –15 4 2 –5 4 2 (–5) –5 –5 w p –15 -3 -3 -3 1 –5 (–5)–5t-3 = j –5.200 1 -3 –5 –5 –2.002 w t (–1) –2.002 = =r –15 –7 –2.002 =r –5 =r –5 2–15 –5.200 4 –7 =9 =64 f. ––(–1) r = l. w = =r –15 =r –15 =9 –1.300 w =64 –11 –11 –11 1 –2 –15 (–2) –15 -3 ttt ––1.300 5.200 –2 1 (–2) –5 =64 1 –7 –7 t8 –7 t 1 1 333uu–7 18 –7 =r 1–1.300 =9 =9 =9 z =– 2 = z =– V si es verdadera o F si es falsa. 111con 7 Evalúa –2 427 –2 =9 4 –15 =9 afirmación. Luego, completa 2 =cada –2 4 –2 41 –2pp1427 1 t 3 4 –7uuu 111 4 11–5 p 3 11 – cuya 22 = = 44 – = 1 El valor de toda potencia base es distinta de cero y su exponente es cero será cero. a. u–5 2 =9 = 1 – = j 9 == = j 22–15 44 –212 u = 9 4 444 9 4 2–15 – 333 4 -3 –5 –5 3 -3 –5 -33 w 9 1 w u = j –5 – 5 .200 = j –5 –5 = j exponente es –4, su valor es un número entero negativo. =rSi b. –5.200 la base de una potencia2 es =–15 –5 y su =j =64 =r –15 4 = j –15 –15 –15 –1.300 w =64 –15 3 –1.300 –15 ww t –5 – 5 .200 w w .200 5.200 es tt 5 ––menor 11–7 = j =64 Si la base de una potencia que cero y su exponente es un número par, su valor es mayor c. –7 –5.200 =64 =64 =9 –1.300 –15 4–5.200 =64 –1.300 =64 =9 –1.300 que cero. –2 –1.300 –2 –1.300 4 11 w 1 4 1 –51.200 –4 =64 1 y exponente base menor que cero es siempre mayor que cero. d. 22–uuu19== 11 El valor de una potencia de 4 4 4 –1.300 9 4 44 444 3 1 –––4 4 –5 4 33 99 e. ––5 ==jjSi la base de una potencia4es9 – y su exponente es –1.000, su valor es un número racional mayor 9 9 –15 –15 que cero. 4 w w – ––55.200 .200w 9 representa si el valor de la potencia es un número racional o no. =64 exponente de una potencia f. El=64 –1.300 –1.300 11 Si la base de una potencia es un número racional y su exponente es un número entero positivo, g. 44 su valor siempre es un número entero. 4 4 –– 9 Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo 47 9 4
–4 3144 –– – 1 ––43 3 –1 5 –1 5 –1 25 ––––3 4 4 –5 4 –5 –27 1 –5 –27 ––––9 3 –9 –1 (–27 5)) (–27 ––9 – –94 –5 –5 (–25)–5 –5 (–25) –27–5–5 –5 (–5) –(–5) –2.002 –9–2.002 (–1) –2.002 (–1) – –11 –(–27) –11 (–2)–11 (–2) –9 8 z333 =– =––58 z(–25) 27 27 –5 p p (–5) p 1 11 –2.002 (–1) =1 = –2 4 2 4 –11 (–2) -3 -3 –5 -3 3 8 z –5 =r =– =r –15 27 –15 p tt 1 t 1 –7 –7 ==9 =9 2 11 4 –2 –2 -3 uuu–5 11 2 2 = = =r 4 –15 4 33 –5 t3 –5 = jj –7 = –15 =9 –15 –21 w w w 5.200 .200 ––u5 1 (–3) =64 =64 = k = 729 –1.300 2 –1.300 4 3 11–5 –3 = j 4–15=–8 a4 4 4 w –––5.200 9 9 –1.300 =64
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evaluación
contenido
resolución
e e
c c
r h
Propiedades de la multiplicación y de la división de potencias En páginas anteriores se ha explicado y practicado el cálculo del valor de una potencia. Además, en cursos previos has aplicado algunas propiedades de las potencias, relacionadas con las operaciones básicas. A continuación se presentará una justificación de estas propiedades.
Para grabar Multiplicación de potencias Igual base y distintos exponentes
Distinta base y exponentes iguales
Propiedad: para multiplicar potencias de igual Propiedad: para multiplicar potencias de distinta base base y distintos exponentes se conserva la base e iguales exponentes se multiplican las bases y se y se suman los exponentes. conservan los exponentes. an • am = an + m = am + n Donde a ∈ , n, m ∈ y se excluyen los casos 00 y 0n, con n < 0.
Donde a, b ∈ , n ∈ y se excluyen los casos 00 y 0n, con n < 0.
Ejemplo: 65 • 68 = 65 + 8 = 613
Ejemplo: 34 • 54 = (3 • 5)4 = 154
1.
Analiza las siguientes justificaciones de las propiedades presentadas.
Para saber más La propiedad recíproca es: a = a • a , con a y m, n . m+n
m
n
an • bn = (a • b)n = (b • a) n
Multiplicación de potencias de igual base y exponentes distintos Se considerarán las potencias an y am, donde a ∈ , n, m ∈ y se excluyen los casos 00 y 0n, con n < 0. an = a • a • ... • a y am = a • a •... • a
Como:
n factores a
Se tiene que:
an • am = a • a ... • a • a • a ... • a = a • a • ... • a • a • a ... • a = an+m n factores a
Por lo tanto:
Para saber más La propiedad recíproca es: (a • b) = a • b , con a, b y n . n
n
n
m factores a
m factores a
n + m factores a
an • am = an+m
Multiplicación de potencia de distinta base y exponentes iguales Se considerarán las potencias an y bn, donde a, b ∈ , n ∈ y se excluyen los casos 00 y 0n, con n < 0. Como:
an = a • a • ... • a y bn = b • b •... • b n factores a
Se tiene que:
n factores b
an • bn = a • a • ... • a • b • b • ... • b / agrupando n factores a
n factores b
= (a • b) • (a • b) • ... (a • b) n factores (a • b)
= (a • b)n Por lo tanto:
48
an • bn = (a • b)n
Unidad 2 • Potencias
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2.
3.
4.
3 2 2 3 2 5 5 –3 –3 5–3 211 5–3 8 8 3 ••• 2 92 2 3 9 4 –7 2 5–7 52 1 6 7 8 25 11 43• 0,5 31 5 5483 35 5 3 4 5 • 2 21 3• 0,5 1 6 7 8 •4• 5 4 5 94 4 2 • 2 4 –3 2 –3 0,5 –7 –7 2 –7 2 –3•2 2–7 –7–7–3 25 23 3 25 3 2 3 • Aplica las propiedades anteriores para resolver las siguientes operaciones. Escribe el–3resultado. 2 3 –3•5 2 3 • 44 4 3 •5 4 2 5 4 31 55 82–7 –2 –1–15 1 4 1 –7 –7 –2 5 5 3 2 25 2 5 –7 a. –6 • (–6 ) = d. • 0,5 = g. 1 5 • 12285 = 5 • 0,5 • 9 •• 4 21 • 1 8 2 2 2 –7• 58 9 2 4 –3 –3 –3 –3 –3 –2–2 23–793–3 2 3 2 3 –2 2–1–126 •2 • • 2 65–2 3 3 4 –7 2 3 2 24) = 4 •••= 13–5 • (–2 b. –59 • (–53) = e. –2 h. 4 3 •13 3 9 94 5 • 0,5 4 –7 •384 –7 5 5 5 5 2 4–7 25 4–3 1 8 21 8 –2 –2 4 •2–3–3–7 • • –2–2 4 6 2 25 –3 –3 –3 •• 5 –70,75 4 •–7 0,75 2 9 22 9 • 25 3 2 3 c. 27 • 34 = f. –7• 2 = i. 5 –1•34 –2 9 =3 –7 2 33 23 –2 –2 52–1 4 –2 –2 3 3 1 • 5 52 • • 2 4 –2 –3 2 5 5 –3 5 5 –1 –2 -2 • 4 4 4 4 0,75 -2• 4 8 4• escribe 1 y relaciónalas 8 2 Para 5• ello, Calcula las expresiones de la columna A con las de la columna1B. en la columna 3 4 18 –3 • 4 –2 –7• –7 –7 –7 B la letra correspondiente. 64 –3 –2 28–3 2 25 22 9 –2 –2 –3–228 •7 • 25 756 8–2 • 2 5 –7 2 3 –3-2 9•B–2•• Columna Columna 35 34 5 4 A 7 •8 8 6 2 • 3 • 9 4–27 –1 –2 –1 –2 42 45 3 4 9 –3 –2 –2 2 5 –3 1 • 47•–34 –28 –2 0,75 a. 1 • 4 –7 –7 –3 3 3• 28 4 0,75–3 3 • 4 8 4 • 25 8 7 0,75 • –2 –13 –3 –2 –1 5 –3 4–2 3 7 2 6 2 7 2 • 6 -255 • 42 –2 b. • –1 –2 8–2 3 9 32 9 -25 • 34 28 1 • 5 -2 –3 • 4 –1 3 –2 –2 –13–2 8 4 8 7 –34 1 1 4 7 –3 4 –3 –2 278–2 •2 0,75 • –2 c. 0,75 • 7 –3 –3 27–2 8 2 63 3 7 •828 8 • –2 • 73333 –2 4 4 71 2 9 3 5 2 8 4 4 226 • 33 -2 • –2 d. -25 • 3 52 4 4 5 4 –3 4 3 –1 0,75 • 53 5 –3 –2 –3 –2 37 –1 3 3 3 7 8 7 83 4 7 • 8 –1 e. • 7 2 8 7–2 8 8 7 3 25 5 2 -2 • 8 1 3 55 2 3 4 4 4 2 21 3 f. 12 • 32 • 24 –3 –2 3 2 21 2 37 8 3 –1 • –1 423 7 87 7 Analiza el siguiente ejemplo. Luego, resuelve. 4 3 4 8 8 5 4 5 103 • 204 = (5 • 2)3 •3(10 • 2)4 = 53 • 233 • (5 • 2 • 2)4 = 53 • 23 • 54 • 24 • 24 5=553 + 4 • 23 + 4 + 4 = 57 • 211 3 1 3 5 2 1 2 –1 3 5 2 2 7 2 3 2 3 4 51 10 3 a. 15 • 25 = d. 42 • 84 = 843 2 4 3 5 51 2 5 5 b. 543 • 485 = e. 1502 • 153 = 3 32 3 2 42 5 c. 406 • 502 = f. 993 • 1215 = 5
5.
3 Verifica las siguientes igualdades sin calcular el valor de las potencias. Luego, responde. 2 a. 22 + 22 = 23
b. 33 + 33 + 33 = 34
c. 44 + 44 + 44 + 44 = 45
¿Cómo se expresa 2324 mediante la adición iterada de una potencia de base 23? Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
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contenido
resolución
e e
c c
r h
Para grabar División de potencias de igual base y exponentes distintos Propiedad: para dividir potencias de igual base y distintos exponentes se conserva la base y se restan los exponentes. an : am = an – m; donde a ∈ – {0}, n, m ∈ . Caso 1: Si n > m:
Caso 3: Si n = m:
Caso 2: Si n < m:
an : am = an – m; donde n – m > 0.
an : am = an – m; donde n – m = 0, an : am = an – m; donde n – m < 0, n m 0 1 1 n : am que = a–(m–n) an : a=m =ma––(m–n) = m – n se tiene que a : a = a = 1. seatiene n 8 6 8–6 2 9 : 9 = 9 = 9 = 81 a a (–3)4 : (–3)4 = (–3)4 – 4 = (–3)0 = 1 1–2 1 1 4 6 –2 4 16 7 : 7 = 7 7 =: 7 2 = 7 = 2 = 7 49 7 49 1 1 0 6. Analiza la siguiente justifi0cación 0de0 la propiedad presentada.
División de potencias de igual base y exponentes distintos Se considerarán las potencias an y am, donde a ∈ – {0}, n, m ∈ . Como:
an = a • a • ... • a y am = a • a •... • a n factores a
Se tiene que:
m factores a
an : am =(a • a • … • a):(a • a • … • a)=
n factores a
a • a • a • a • a • a •... • a a • a • a • a • a • a • ... • a
an : am = an•factores a • a • a a• a • am• factores ... • a= aan-m m factores a 1 1 1 n m Luego, si n > m y se simplifi factores a = m –n =n – m = an–m a : a can = m factores a, se tiene: –(n–m) a • a • a • a • a • a • ... • a a a a • a • a • a • a •n a– m•... • a n na• •a)= a • a • aa•a•… • a •• ... a • a • … • a)= aa •• aa •• aa •• aa •• aa •• : amn–n=(a n an : am =an : aan =a =aan•0:aa•m…=• a):(a : aamma=(a =(a a •••… …a•• = a):(a a : •aa a):(a a ••…a • a)= a a a a • a •• ... • • • • n m 0 n m n Como a : a = a y a : a = 1, se tieneque a0 = 1aa •• aa •• aa •• aa •• aa •• a Mientras que, si n < m ynse msimplifi can n factores a, se tiene: n m n-m n n n m n-m • • • • • a : a = a a a a a a • • ... a= a a : a =a : a = n = 1 = aa •• aa •• aa •• aa •• aa •• aa •• ... aan :: aam = ... •• a= a= aan-m a a • a • a • a • a • a •... • a 1 1 1 11 11 n m an : am =(a • a • … • a):(a • a • …6• a)= 2 an : am = = –(n–m)11= an–m = = = 1 1 a • a • a • a • aa••aa••...a••aa • a • a • ... aa• na::=aam m= –n = = = aa = m –n –(n–m) a aa •• aaa•• aa •• aa •• aa •• aa •• ... : m –n –(n–m) •a a a ... • a a a an-m an : am = a • a • a • a • a • a • ...•3a= 3 an : am =an : an =an–n = a0 nn mm nn nn n–n =an–n = = aa00 m - n factores a a a :: aa =a =a ::maa =a n 0 n m 0 –9 5 1 1 1 1, se tieneque n–m n m Como a : a = a anny a : a =Como 5 = 5 Como ann :: aamm = = aaa00 yy=aa1nn an n m = na n a = aDel : amismo = n m n n a n = m, se tiene que: : a =a : a = n = 1 aan :: aam =a =an :: aan = = n= = 11 a • a •modo, a • a • asi • a • ...• a :am –n aa–(n–m) a n 2 2 a a a • a • a • a • • a a • a • a • a • a • aa ••... ... •• aa 6 2 • … • a):(a • a • … • a)= an : am =an : an =an–n = a0 6 aann ::aamm=(a • a 6 2 =(a • a):(a • a • …• a)= 6 2 •a • … 2 n m 1 0 1 n m 11 a0aa=11•• aa1 .•• aa •• aa •• aa •• aa •• ... ... •• aa n -5a Como a : = a y a : a = 1, se tieneque : a : :0,5 n m n n n m n-m: n m n-m a : a =a : a = n = 1 4 •• a aa ::aa3 = 3 3 3aa 3 = aa 3 a •• aa •• aa •• aa •• aa •• ... ... •• a= a= a –9 5 –9 5 1 –7 –2 1 11 –9 5 5 n–m 1 = an–m 6 2 2 6 aann ::aa5mm= = 5 m1–n= 5 –(n–m) 1 1 = = =a = 5 5 : m –n –(n–m) : : • a : 2 aa••2aa•• aa •• aa •• aa •• aa •• ... a a : ... •de a cada la propiedad descrita 2a potencia. 2 a 7. 3Aplica el valor 2 nn mmdeterminar 3 9para 2 n 3 n : an n =an–n n–n = a0 0 aa :: aa =a 6 2 =a : a-5=a n = a 2 66nn mm 00 nn mm –9 5 :0,5 :: aa -5 = aa yy aa :: aa = 1, se tieneque aa00 = 5a. 10 55:104 = -5 n Como 2 aa :0,5 –4 4 Como = = 1, se tieneque = 11 a n m n n a d. -3 : (-3 ) = g. = : n : an = aan ::aa4m=a = 11 4 :0,5 =a : a = = n 2 2 an 4 –7 –2 a –7 –2 6 2 –7 –2 6 11 62 11 : 2 6 2 2 6 6 2 7 -5 2 : b. e. 3:: 9= h. : = –2 :0,5: (–2 ) = 3 9 9 4 3 3 3 3 3 –7
–2
2 6 c. : :4–2 = 9 3 49
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Unidad 2 • Potencias
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–9
5
5 –9 5 5 5 : 5 f. : = 2 2 2 2 6 2 6 2 :0,5-5 -5 4 :0,5 4 –7 –2 2 –7 6 –2 2 : 6 :
i. 16 : 23 =
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1 1
25 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
Para grabar División de potencias de distinta base y exponentes iguales Propiedad: para dividir potencias de distinta base e iguales exponentes se dividen las bases y se conservan los exponentes. an : bn = (a : b)n, donde a ∈ , b ∈ – {0} y n ∈ . Caso 1: Si a = 0 y n > 0:
Caso 2: Si a = 0 y n = 0:
Caso 3: Si a = 0 y n < 0:
an : bn = (0 : b)n = 0n = 0.
an : am no está determinado, ya que se llega a la forma 00.
an : am no está determinado, ya 1 que se llega a la forma 0 . 0
08 : 68 = (0 : 6)8 = 08 = 0
8.
Analiza la siguiente justificación de la propiedad presentada.
División de potencias de distinta base y exponentes iguales Se considerarán las potencias an y bn, donde a ∈ , b ∈ – {0}, n ∈ . Como:
an = a • a • … • a y bn =b • b • …• b
a • a • a • a • a • a • …• a n factores b • b • … • b)= an :bnn factores =(a • a•a… • a):(b b • b • b • …• b an = a • a • … • a y bn =b • b • …• b b • b • b n• factores a a •b a b • a • a • a • a • a • a • …• a n= acn•:b Se tiene que: c •da• … • a):(b • b • … • b)= d =(a an = a • a • … • a ny bnn=b •ab• •a…• a• b• a • a • a • …• a ab • ba • b • ab • b • b • … • b n aa •:b =(a:b) b b =an factores a n factores b = • • …n• factores b • (a:b) • … • (a:b)=(a:b) = b•• b • b • b • ba• •ba••…a••ba • ab • ab• …• ab n an = a • a • …an• a:byn b=(a =b• a• •bc…••… • b c 3• d •d3a):(b b • … • b)= b • b • b • b • b • b • …• b 2 5 n: a • a •• aa •• aa•• aa •• aa • … a a ••…a • a a a … •b)= =3 = • • …• =(a:b) • (a:b) • …• (a:b)=(a:b)n a b •ab3n•:b an :bn =(a •aa••b… • a):(b aplicando = • , luego, Recuerda que b •bb ••bb ••bb•esta b •bb••bpropiedad b••b…••… b • bb seb tiene: c•d c d 36 3 a •b a b 5 6 a • aa•2a3• a: :0, a a • a • a • …• a a = • n nn factores n ,5 a :b = = • •… • … • (a:b)=(a:b) • =(a:b) • (a:b) c•d c d n n 4 3 3 b • b • b • b • b • b • …• b b b a = ba • a • … • a y b =b • b • …• b a • a • a • a • a • a • …6•n a an a an = a • a • … • a y bnn =b • b • …• b n an :bn = 2 3 5 3 2a =(a:b) = • 2• …•aan = • (a:b)=(a:b) •n a y b• … • b • …• b a • an• …• (a:b) =b a • a • a • a • a • a • …• a 3b 3 •::0, ,56b =b b •b •b: • b• b •b • … b b • a • … • a):(b • b • … • b)= a :b =(a a a a • • n n n3 b4 a 3 an :bn =(a • a• … • a):(b • b • … • b)= a • a • ab•••aba•••aba•••aab••… ••a•ab • … • b •…b an2=3a • a5•3…•3aynbfactores =b • bb• …• b • a • … • a):(b • b • … • b)= a :b =(a : a •b a b bb••bb••bb••bb••bb••bb••……••bb p q+p n q n n n 3 n 6 ba• •da2• a • ca •• aa• a • …•=a • nc2aa 3b 3 6 b) Por loan3tanto, a : b = (a : . a b • a b :b =(a •a• … • a):(b • b • …• b)= = a • b =ac ••db c d 4 :0,,5 db•b : :a ab•• c= b3 b • bb=• b•• … • b • b • d 6 a 3 cc••dd ccn ddn a • a • a • a • a • a • …• a a a 6 a valor :b =•de = • a • …• =(a:b) • (a:b) • …• (a:b)=(a:b)n a 5b n a • b :0, n q p q+p 9. Analiza el cada potencia. a a a • a a • a • a • a • … • a c2 a para n n b determinar • 2a 3bdescrita 4 =la ,propiedad a • ba b ab =(a:b) • a• b • … b • (a:b) • …• (a:b)=(a:b)nn •b an== a • a • ab•• ab ••ab••ab• … •:b • : • d = aacn :b • (a:b) • … • (a:b)=(a:b) : = b •3 b • b 3• b • b • b • …• b== b•• b••……•• b=(a:b) c • d cendla casilla. Escríbelo nb a d3 b a • c d • b b2 • b • 5b• b • b • b • …• b b b b n n 3b a •a • a • a • a • a • …• a a a a 33 33 : n an2a :b =: = 2 q = q+p • • … •22=(a:b) 3 • …• (a:b)=(a:b) 53• (a:b) p 5 4 4b •b • b •b • : b b b b • … • b : 5 = c. = a. 10 c b d c a a • • b a 3 = 3 : 3 : 3 3 • 3 33 6 2 5q d bp a • c q+p d • b :0,,56 c :a b • d c • a 66 = 33 466 3 • 3 : :0,,5 ,5 = a • c d • b b. 9d–2 :6b3–2 = d. 4 :0, 4 n 3b n 2 3 2a n :0,,56 n 2an 3bn : 2 = 2a 3 b = 4 las siguientes igualdades y verifica 10. Analiza cumplen. 2asise :3b Justifica. bb : aa =q 33 p q+p n n c a b • d c • a 2a 3b 2 q p q+p ; a, b, c, d ∈ ; q, p ∈ , a, b, c, d 0. a. : = ; a, b ∈ ; n ∈ , a, b 0. b.q • :p =q+p d c • a b a 3 cc aa dbbb••d •• : : =a=•c • a d • b dd bb aa••cc dd••bb q p q+p c a b • d c • a • : d b a • c = d • b Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
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c c
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Potencia de una potencia Así como se analizaron las propiedades de la multiplicación y división de potencias ahora se estudiará la propiedad de una potencia cuya base es otra potencia. Al igual que en las anteriores, se presentará la propiedad y luego se propondrá una justificación de ella.
Para grabar Potencia de una potencia Se denomina potencia de una potencia a aquella cuyo exponente es otra potencia. Por ejemplo, (22)3, ((-4,5)3)-1, etc. En este tipo de potencias se puede aplicar la propiedad de conservar la base y multiplicar los 3 2 2• 3 6 3 3 3 exponentes. 729 – = – = – = 4n, m ∈.4 4 4.096 (an)m = an • m; a ∈ – {0}, 3
2 3 – 4
2• 3
3
-2 1 – 2
6
3 3 729 = – = – = 4 4 4.096
3
1: -2 -2• 3 -6 Caso 1 1 1 n, m =≠–0: = – = (–2)6 = 64 Si a=– 0, 2 2 2 n m (a ) = 0
1.
-2• 3
1 = – 2
-6
1 = – = (–2)6 = 64 2
Caso 2: Si a 0, n = 0 y/o m = 0: (an)m = 1
Analiza la siguiente justificación de la propiedad presentada. Se considerará la potencia an, donde a ∈ – {0} y n ∈ . Como:
an = a • a • ... • a n factores a m veces n factores a
Sea m ∈ , entonces: (an)m = a • a • ... • a • a • ... • a • a ... • a • ... • a • a = an • m n factores a
2.
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Unidad 2 • Potencias
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n factores a –2
n factores a
0,2–2 0,2–2 n m n•m Por lo tanto: (a ) = a 3 –2 3 5 5 0 –9 las siguientes potencias. Aplica la propiedad anterior para calcular elvalor de 1 –9 0 Escribe tu resultado. 5 5 51 5 2 –2 –6 0,2–2 0,75 5 –3 d. (–6 ) a. 0,2 –2 = –6 = 0,75–6 –2 3 –6 0,2 –2 3 3 –2 3 55 4 3 4 3 0 0 4 3 5 1–9–9 2 4 1 0 5 b. 5 –9 = e. 2 = 3 551 3 5 5–6–6 0 0,75 0,75 –5 0 7 –5 –6 3–6–6 7 0,75 f. 2 = c. 3 –6 = 44 2 3 4 33 4 4 22 343 32 3 00 7–5–5 7 2–50 2
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3.
10 –5–22 26 0 13 –5 –2 –8 15–5 1 –5 1–2–213 –5 26 1 21 11 –2 210 –5 26 1 –2–2 2 0 –5 11 –5 21 –8 1 0 –8 0 21–21 13 2 -3 2 1 13 –8 22 3 4 5 6 7 25 13 26 2 2 1 2–2–5 –2–222 6 2 3 4 5 6 7 -3 26 1 55 –5–5 –22 6 –5 26 –5–80 3 25 -3 2 1 13 -3 11 –5 6 10 3 10 10–5–5 –22 el valor de las siguientes 26 123-3 Calcula mentalmente potencias. 2 513–5–5 13 2 2 –5 11 -3 -3 39 2 1 10 -3 2 6 2 1 3 6 -3 22 39–22 62 –2 –5 0 3 2 45 39 –8 0 –2 3 1 –80 -3–2 –2 1 –8 3 13 d. -3-3 2 a. 11–2 –2 13 45 13 2 9 13 2 –2 6 -3 26 –2 1 –2 9–3 45 26 26 3 113 11 0 39 1 –5 3 2 –8 39 9 –5 –5 1 –3 2 39 1 2 13 2 1 -3 1 –3 5 –2 2 2 –2 26 2 –5 –2 45 2 13–2 –5 –2 2 –2 2 1 2 5 –5 45 5–8 0,5 5 5 2 –5 2 45 39 9–5 -3 2 10 5 0,5–8 –3 9 10 661 -3-3 2 9 2 10 1 1–5 –2 –8 b. –5–5 0,5 e. 45–3 6 2 –3 21 11–5 33 11 5 3 1 –5-3-3 2 9 2 2 –2 22 1163-3-3 5 5 –3 –8 (–3) 2 01133 ( )–2 0,5 –81 2 2 –8 0 –8 39 0,5 3 (–3) –8 0 –5 0,5 39 ( ) 2 –3 –5 13–8 39 13 1 15–5 –3 13 (–3)2-3–2–222 0,125 1 –2 13 –2–22 26 45 2 26 2 –8 0,375 0,125 45 –3 0,5 26 –5 39 45 2 c. 1 –5 f. 2 –5 9 2 –5 –2 2 9 2 11 0,125 0,375 (–3) 9 1 2 –2 –3 ( ) –2 –3 2 –2 2 –3–3 (–3) 2 )) ( (–3) 22 –3 –3 2 1 ( 45 2 0,375 2 11 22 2 2 2 –3 -3 2 5 2 –3 11 0,125 –2 2 5 6-3-3 2 9 –3 2 (–3) 0,125 6 6 5–8–32 0,125 ( ) 11 0,5 Calcula de la–6columna B. 0,375 –8 de la columna A y relaciónalas 3lasexpresiones 22 1–8 con las 0,5 –1 0,375 3 0,5 0,375 –3 Para ello, 3 escribe la columna B la letra correspondiente. 2 5–5–5en –3 5 –12 –6 13 -3-3-3 111 0,125–3 –5 1 5 2 –3 22 113 2 Columna 1 –8 –6 A 3 Columna B15 22 0,375 22 –1 39 0,5 15 22 2 39 5–5 111 39 11 2 2 –2–2 2 –2 11 2–3 a.–2–2 2 ((–3) 115 (–3) 1 –1 –6 2 )) 45–2 2 ((–3) 729 22 –6 5 45 2 –1 –6 45 –3 1 729 511–1 2 99 0,125 1 –222–3–3 5 15 9 2 0,125 15 64 –3 0,125 1 (–3) ) –3 –3 (729 0,375 11b. 15 –1–6 Ayuda 0,375 64 11 1 10,375 2 –3 5 1 55 0,125 –3 1 3 1 2 5 64 81 729 22 22–3–3 2 2 = 28 23 15 2 3 –8 729 3 –8 22 0,5–8 2 2 ≠ (2 ) 729 22 0,375 81 32 3 1 0,5 6 3 2 8 c. 4 1 0,5 –5 (22 )= 2= 2 23 11 1 2 3 23 11 –3 –5 11 11 2 ≠ (2 ) 3 64 11–5 2n 3 6n 2 81 En general: 64 (a2m )≠= 2am 729 –1 –6 12 22 64 –6 3 ( )n 1 2 d. 325 –1–1–6 1 2 n 1 m 5 1 511 –2 81 a ≠ (am ) 2 –2 15 2 )–2 (–3) 81 3 ((((–3) 64 81 (–3)2 ) 15 32 ) –315–1–6 233 21 3 2–315 3 e. 22 –311 6.561 0,125 0,125 81 15 0,125 729 3 729 0,375 729 0,375 32 11 –1 –2 0,375 f. –3 –(–2 ) 729 11 2 –3 64 2 64 222 –3 729 64 22 22 11 siguiente 11 Resuelve problema. 11 el 11 11 81 81 8123 –6 64 3 –1 –6 regular Un hexaedro tiene una capacidad de 64 cm3. Si una de sus aristas 223 5 –1–1 –6 3 3 1 3 5 1 cm, ¿cuál es la potencia que representa al nuevo volumen? disminuye 5 15 81 15 15 323 1 11 729 729 729 1 11 64 64 64 1 11 81 81 3 81 322233 3 Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo 3
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27 • 2 = 5 • 23 5 8 •27 2 • 7 5 = 3 82• •298 • 7 2 •6 98 –5= evaluación contenido resolución 3 6 : 3 –5 = 3 4 3 : 4 4 5 4 =5 –5 2 9 1 – 5 • – 5 • – –5 = 2 9 31 – 3 • – 4 • – = 3 34 4 3 1,5–4 Ya fueron algunas propiedades de potencias con sus respectivas 4 • presentadas = 2 3 0,25 1,5–42 justifi • =Ahora se plantean un par de páginas en las que trabajarás estas caciones. 2 2 –3 0,25de propiedades manera simultánea. 5 –3 • 2,5–3 = 5 2 • 2,5–3 = grabar 23 Para 2 • 2,5–3 • 8 = 3 En2ejercicios contengan potencias y operatoria combinada intenta aplicar propiedades que permitan –4 –3 que • 2,5 •8 • 32 3,5 = simplifi car los cálculos. –4 23 3 • 5 ••32 (2 23 )2 • 55 23,5 3 • 32 • (32 )3 Ejemplos: 23 3 3 3 38 2 4 5 = = 2 2 2 • •55 • •(2 5 2 )• 5• 5 • 9 9 13 3 3 8 4 1 = 1 3 •232 ••532• 23 •35• 93 3 3 1 4 • 32 • 93 • 8 = 2 2 = 3 • 3 5• 3 = 3 • 593 = 32 = 81 27 • 25 9 • 9 = 9 = 9 = 3 = 271 2 5 4 81 27 –48 • 2 • 703 95 • 91 995 92–4 27 3 3 3 3 4 • –4 0 = 4 –4 –2 4 3 1,5–4 3 23 23 23 2 •98 3 4 • –4 = 4 • = • = 2 = 1 = 1 –2 = 4 2 = 166 23 0,2 6 –5 • 1,5 5 2 = 23 • 21 2 = 2 1 22 3= 2132 = 112 = 41 = 4 2 = 166 2 2 2 2 2 = : 4 2 0,25 2 1 4 41 4 414 41 4 4 5 5 –5 2 4 94 1 – 2 • –2 3 • – = 3 •33 • (3 4) 3 = 5 1. Aplica las propiedades descritas en las páginas anteriores para calcular el valor de las siguientes expresiones. 4 •9 9 –4 3 2 1,5 2 2 3 Puedes 3 • 3ayudarte • (3 ) con una calculadora si lo necesitas. 4 •3 •• 93 • 8 = = 2 0,252 = 5 9 •9 27 • 25 2 3 –3 4• 3 • 9 • 8 35• 32 • (33 2–3 )53 = a. • 2 • 7 8 e. 5• 2,5 === 27 • 25 2 9 • 9 2 •298 3 2 25 3 3 38••32 ••7(3) –3 • 8 43• •362,5 •9 •–58 = 2 == 5 = 5 3 3 2 9 • 9 –4 • 98 27: • •232 = 3,5 43 4 5 4 • 362 • 93 –5• 8 82 • 2 •373 3 2 5 3 35 = 2 • 55 • (2 2 )5 • 5 =–5 27: • 2 = 23•983 98= 34• 32 •(432 )53 –2 • 5•–4–•2 • 5• 4––61 = = f. (–0,7) (–0,7) 8 • 2 • 73 = 36 • 4 3 2 2 –5 33 55 5 –5 = b. 29 •9 9 1 33• 34 •: 33 =3 • 9 3 3 1 – 2•298 • – = = 2= = –4= • 9–3• 8 4 3 • • 3 4 3 4 = 95 495 ••91,5 3 9 81 27 6 –5 = 5 2 5 0,252 5 3 27 –5 3 • 2 4 2 9 13 –4 3 4 3 –4 3 0 33•3 2 : 33 2–4)53 = –3 4 = 4•2•••7(1,5 8 –2 –534 • ––44–3 • –4 3 = • 2 2 95 0,25 • 9 =5 3 • •1,5 2,5 == 3 • 2 = 2 2 = 2 = 1 = 1 = 4 2 = 166 –5 2 •598 2–32 39 1 2 2 2 2 4 0,2 5 2–4 2 1 2 1 1 1 4 • 8 • – = 2 – –•36 ••9 3 1,5 45 –5 = –3 •2,554 3 • –3 • 82 = 23 • 2,5 3 = 3 327 •2 4 4 4 0,25 4 2 g. = 2 = c. 4 : –4 –4 5 • 3,5 32 8 43 4 1,5 –3 3 23 523 3 –33 2 5 • 2•• 7–3 •82== 5 5 –5 2 • 2,5 (2 2= ) •5 2 • 5• 2•,5 0,25 9 = 1 2 •–498 3,5 2 3 3 8 4 = – –5 • – = – –36 ••32 2 •5 •2 •5 5233 3 4–33 2 53 3 –3 23• 5•23 •,(2 2 )= • 5 • 22,5 2 •38 2 5 2 34 : 3 –48 = 4 = = 3 3 • 3 –4• 3 3 4•2 • 5 3,5 • 32 = 3 • 9 = 3 = 3 = 1 42 ••5 1,5 5 –3 3 2 = 39 • 9 95 92 81 27 223 •22,5 5 5 –5 3 • 23 • 0,25 2 •98=3 •93 1 3 3 1 23 )2 • 55 22 • 53 • (2 3 4 –4 0 h. = –4 – = • – = == = d. –3,5–3–4••32 234 • 53 • 28 • 54 4 3 3 • 3 3 53 395 • 9 4–3 95 3 92 81 27 –2 2 •32,5 3 =2 5 3 2 1,52–4 3 3 2 2 2 2 2–4 ) • 5 1 1 2 4• 5 • (2 2 –4 4 –4 0 3 3 3 3 • • = • • = = = = = 2 3 •9 3 2 3 1 2 = 4 = 166 3 3 3 3 3 8 4 2 2 2 3243 ••51,5 = = = = • 2 •=5 4 2 5 0,25 2 5 1 2 1 1 4 • –2 –3–4 •382 3 2 2323• 2,51,5 9 •9 9 9 81 271 1 1 2 2 2 2 3 •32•–4• 0,25 2 = 3• = 4 = 16 6 = = = = = 4 4 3 –4 4 –4 4 0 4 –3 • 32 2 2 2 23,5 32•9 32 3 1 2 4 5 0,2 1 1 53 5 = =1 = = 1 3 3 • 3 3 –33 2 5 5 2 9 •32 Potencias 4 –2 4 54 2Unidad 92•,•5 95 92 81 27 = –4 • (2 2 ) • 5 3 1,5 1 1 3 2 2 2 2 2 =4 –4 44 –4 4 0 4 = = = = 4 2 = 166 = = • 3 3 8 4 • 2 2 2 2 2 • • • 2 5 2 5 3 3 3 3 2 0,25 2 1 • 1 1 1 4 23 •42,5–3–4•38 4 –2 2 33•32 –4• 1,5 3 3 2 2 2 2 = 1 1 2 3,5 4 4 4 4 54• •3322 = 3 •9 • 3 2 =3 1 2 = U2_1ºM_Mat_v6.indd 1/2/10 08:46:12 = 4 = 16 6 = = 2 2 = = = =
e e
c c
r h
Potencias: operaciones combinadas
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
5
2.
3.
4.
59 17 = 1 = 1 59 9 59 10 2 9 = 10 10a 2 9 = 10 10 10 a 10 5= 102v 0 2 4 10 5 a5 : 26v = 72 0 8 4 523 5 : 236 v = 723 0 8 2 2 2 3 14 : 3 =–x 3 4 25 3 81–x 3= 5 4 14 3 : 5 4 81 25 9 14 : 5 –x = 5 3 25 9 : 81 5 = 3 6 896 45 3 j. 8 m =84 64 86 =84 64m2=8 n 64 m 3 2 n 25 3 2 n = 25 9 k. 5 3 = 25 5 k = 9 5 9 9 9k3 =729 81 9k3 =729 l. 813 =729 81
1 t 0 5 :2 =b ;b ≠ 0. 3 25 1 t 01 4 5 :2 =b 1;b ≠ 0. 2 3 1 t 0 4 :2 2=b ;b ≠ 0. p 417 2 p = 1 59 2 17 Resuelve las siguientes ecuaciones. p = 1 59 17 9 = 1 10 2 3 x 7 z 5 0 d. 11 : 11 = 11 g. 59 a. 5 • 5 = 5 9 = 10 a 10 109 = 102 10a5 0 2v 10 2 v 2 0 2 a5=10 10 2 : 2 = 2 5 3 5 : 3 v = 3 0 1r)3 = t212 0 b. (152)y = 152 e. (2 h. 2 2 :2 =b ;b ≠ 0. 2 3 3 3 14 25 4 : 81=–x 5 4 3 4 3 14 3 –x : 81 = 5 25 2 9 3 4 5 5 p 14 –x 25 : 81 = 5 1 t 0 17 9 5 c. :2 =b ;b ≠ 0. f. = 1 i. 86 : 4 = 3 59 96 =8 5 3 4 8m 4 64 2 9 86m =8 p n 4 10 64 2 17 <mo=8 según corresponda. =para 102 completar con >, Aplica de potencias 64 propiedades 25 3 2 = =1 n a las 10 3 n = 25 59 5 v 0 5 2 = 9 5 2 38 25 89 3 4 2 2 9 272 8 c. 9 : =3 e.35 g. 96 a. 210 k 2 = 3 3 3 9 = 10 =729 5 9 10a 9k3 14 –x 4 81 5 v 0 25 81 5 9k3 =729 2 2 2 : =2 81 4 7 5 b. 4 d. 7 9 5 49 3 f. 573 =729 1253 h. 144–2 : = 16 81 3 3 3 14 –x 4 86 25 81 5 =84 : = m Resuelve 64 problemas. 5 siguientes 9 los 3 n 12 2 2 6 25 es la medida de sus lados? 3 , ¿cuál a. Si8el área4 de un cuadrado es 10 = cm =8 5 9 64m n k 2 9 3 25 =729 = 813 5 9
272
24–2
9k =729 3 2 b. Una 813 figura rectangular tiene una superficie de 20 cm . Si uno de sus anchos mide 64 cm, ¿cuánto mide uno de sus largos? Expresa tu respuesta como una potencia de exponente 3.
c. Se tienen 2 cuadrados cuyas áreas son 9 cm2 y 16 cm2. Si se dibuja un tercer cuadrado cuyo lado mida la suma de las longitudes de dos lados de los cuadrados anteriormente descritos, ¿cuál es el área que tendría el nuevo cuadrado dibujado?
d. Si una pared tiene forma cuadrada y una fila de baldosas que la compone tiene 52 baldosas de 202 mm de lado cada una, ¿cuáles son las dimensiones de la pared?
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evaluación
contenido
resolución
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1 Ec = mv2 2 m2 kg • 2 s m s
Aplicaciones
2
m 1 1 Ec = mv2 = • 700kg • 30 2 2 anteriores s aplicado En algunas de las actividades planteadas en páginas se han las potencias a la Geometría, pero no tan solo a esa área, sino también a otras, m2 como g =350 k • 900 • 2 a la Física. La energía cinética (Ec) corresponde a aquella que se manifiesta s en los objetos que se mueven. La expresión asociada a la energía cinética de una masa m2 (m) está dada por: =315.000kg • 2 s 1 2 Ec = mv 2 2 kg • m s2 m2 1 kg • Ec = mv2 1 2 s2 m 2 la que se Donde m se expresa en kg y laErapidez 1 = 2mv(v) en . Por lo que, la medida en 2 m Ec = c mv s m2 2 2 kg • m expresa la energía cinética es: kg s2 cinética m2• 2 .sPor ejemplo, para calcular la2energía kg • 2 s m m 1 1 sque se (Ec) de un automóvil de 700 kgm rapidez• de 30 se realiza lo Ecmueve = mv2a=una• 700kg 30 s s 2 2 m s 2 siguiente: m s 1 2 1 2 m2 700kg 30 mv = E = • • 900 • 2 c =350kg •2m 1 1 • m 30 Ec1 = 2mv21 = • 700kg 2 2 s s 2 2 = • 700kg Ec = mv • 30 s s m2 2 2 m2 2g • =315.000k g 900 =350 k • • m 2 =350 kg • 900 s2 m2• 2 s 2 kg • 900 • =350 s m m2 s2 2 kg • 2 =315.000kg • 2 m s =315.000k g2• 2 s m g • =315.000k s 2 m 2 m s kg • 2 m2 s 2 kg s m• kg • 2 s2 m Para grabar s m d m ocupar potencias para, a juicio de algunos, facilitar vs= los cálculos y En diversas ramas de la ciencia se suelen s t permitir realizar una escritura de lassfórmulas de manera más ca y simple. específi d 1 2 v = cinética mv E c =de una Teorema de Pitágoras Rapidez Energía Volumen t 2 esfera d 1 4πr 3 E c = mv 2 v= V= c2 = a2 + b2 2 t 3 4πr 3 1 2 V= E c = mv 1 3 2 Ec = mv2 1. Resuelve los siguientes problemas de energía cinética. 3 2 4πr V= 2 m a. La energía cinética de un 3móvil es de 2,25 • 105 kg • 2 . Si la masa del móvil s es de 500 kg, ¿cuál es su rapidez? m s 2 m 1 2 1 1 2 1 2 Ec = mv = • 700kg • 30 Ec = mv E = mv s 2 2 2 c 2 m2 m2 m2 kg • 2 kg • 2 =350 kg • 900 • 2 b. ¿Cuánto disminuye la energía cinética de un automóvil de 400 kg si su s s s m m m2 rapidez varía de 25 a 15 ? g • 2 =315.000k s s s 2 2 2 1 2 11 2 1 m m m • •30 = ••700kg Ec = mv E == mv • 700kg 30 kg 2 s s2 s 2 c 22
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Unidad 2 • Potencias
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kg •
m2 2
2 mm m2 =350 kg=350 • 900k•g • 900 • s2 s s2 m2 m2 g• 2 g• 2 =315.000k =315.000k s s 2 m
kg •
2
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1 1
2.
25 2
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4 4
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Analiza la siguiente información. Luego, responde. Ley de gravitación universal: dos cuerpos de masa m1 y m2, separados por una distancia r, se atraen con una fuerza (F) directamente proporcional a las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos. Es decir: m •m F =G • 1 2 2 r Nm2 en metros. G se denomina Las masas m1 y m2 se expresan en kg r 2se–11expresa m1 y• m G=6,67 10 • F =G • y su 2 constante de gravitación universal corresponde a: r2 valor kg G=6,67 • 10–11
Nm2 kg2
a. Calcula con qué fuerza (F) se atraen la Tierra (5,98 • 1024 kg) y la Luna (7,14 • 1022 kg), sabiendo que la distancia entre ellas es de 384.000 km, aproximadamente. Transforma los km a m.
Para saber más La fuerza de atracción (F) entre dos cuerpos depende de la masa que estos tengan y de la distancia que los separa. N (Newton) es la unidad de medida de la fuerza y corresponde a: m N = kg • 2 s
b. Calcula con qué fuerza (F) se atraen dos cuerpos en el espacio masas son de 1 kg y 2 kg y están situadas a 0,5 m de distancia una de la otra.
c. Si la distancia entre los cuerpos en el espacio del problema anterior aumentara al doble, ¿cómo varía la fuerza de atracción (F) entre ellas? Justifica. Realiza tus cálculos aquí.
Justifica aquí:
d. ¿Crees que la conclusión obtenida en la pregunta anterior se mantendrá para cualquier par de cuerpos en el espacio? Justifica.
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n de prob ció
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uac eval ión
Trabajo de habilidades
Resolución de problemas Potencias y resolución de problemas
¿Qué es aplicar? Aplicar consiste en llevar a cabo o utilizar un procedimiento en una situación dada.
¿Qué tengo que hacer para aplicar un procedimiento?
1 Analiza la resolución del siguiente problema. Un tipo de bacteria se triplica cada hora en el organismo de un animal. Si en el momento que le diagnostican la enfermedad el animal tenía 20 bacterias, ¿cuántas bacterias tendrá el animal transcurridas 8 horas?
Paso 1 Comprende el enunciado ¿Qué datos son necesarios para resolver el problema? La cantidad de bacterias que se triplican día a día, teniendo presente que en el principio hay 20 bacterias.
Interpretar la información entregada en el problema utilizando la representación. Emplear el procedimiento propuesto en la resolución del problema.
¿Qué información entrega el problema? El número de bacterias en un comienzo.
Paso 2 Planifica lo que vas a realizar Se debe determinar la cantidad de bacterias al cabo de 8 días. Para ello, puedes ocupar potencias de base 3 y exponente 8, ya que se entrega la información de que estas se triplican cada día.
Etapas de la resolución de problemas. Paso 1: Comprende el enunciado.
Paso 3 Resuelve el problema Aplicar consiste en usar un procedimiento aprendido en una situación para resolver otra con la que no se está familiarizado. Para ello, debes:
Paso 2: Planifica lo que vas a realizar. Paso 3: Resuelve el problema.
Interpreta la información.
Paso 4: Revisa la solución.
Emplea el procedimiento.
Periodo
Cantidad de bacterias
Periodo
Representación en potencias
Cantidad de bacterias
0
20
0
30 • 20
20
1
3 • 20
1
31 • 20
60
2
3 • 3 • 20
2
32 • 20
180
3
3 • 3 • 3 • 20
3
33 • 20
540
4
3 • 3 • 3 • 3 • 20
4
34 • 20
1.620
5
3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 20
5
35 • 20
4.860
6
3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 20
6
36 • 20
14.580
7
3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 20
7
37 • 20
43.740
8
3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 20
8
38 • 20
131.220
Por lo tanto, al cabo de 8 horas, el animal tendrá 131.220 bacterias.
Paso 4 Revisa la solución Al calcular 38 • 20 se tiene que: 38 • 20 = 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 20 = 131.220.
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1 1
3 3
25 2
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
2 Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente. Se sabe que la población de cierto tipo de insectos se cuadruplica cada año. Si la población en este año es de 64 insectos: Calcula la población para el quinto año. Utiliza potencias para escribir una expresión que permita calcular el número de insectos que habrá al cabo de 10 años (se supone que todos los insectos permanecen vivos).
Paso 1 Comprende el enunciado ¿Qué datos son necesarios para resolver el problema?
¿Qué información entrega el enunciado del problema?
Paso 2 Planifica lo que vas a realizar
Paso 3 Resuelve el problema Interpreta la información.
Emplea el procedimiento.
Paso 4 Revisa la solución
Y
3 Resuelve en tu cuaderno el siguiente problema. ¿Qué expresión representa de mejor manera la curva graficada? Justifica.
50
a. y = 60 • 0,4t
30
b. y = 60 • 0,8t
10
c. y = 60 • 1,2t
1
3
5
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25 b2n a2n en uac n de prob a2n co n t i do eval ión ció evaluación sumativa 22 2n b b2 22 2 a b2n 22n 2n a I. Lee atentamente cada una de las preguntas y marca la alternativa correcta. 2n 2n+ 2 b 2 2n 1 ¿Cuál de los siguientes números NO puede ser 6 ¿Cuál dealas siguientes alternativas es 2 1 escrito como potencia de exponente 3? –n – a 12 equivalente A. 1 =(–5)22a 2 2b , con a, b ≠ 0? 31 25 B. 8 2n 2n –4 108 C. 27 b 4 – A. 2n –5 D. 169 a62n 8 2n E. 216 5 a 2n 2 2 2–2 +3–3 B. 2 2n 2n 1b 2 ¿Cuál de las siguientes expresiones es 2–2 • 3–3 2 2 b 2 equivalente a (–4) • (–4) • (–4) • (–4) • (–4)? –3 C. 292 22 (–8)2 a 1 A. –54 – b2n 4 2n 5 –3 (– 2) 2n 9 2n B. (–4) 2 D. 2n 2n –2 C. (–5)4 a –1 1.000.000 • 0,00012 25 2n 2n+ 2b2n D. –(–4)5 2n+ 2 4 5 2n E. 2 10 E. 5 • (–4)5 a2n –2 –1 3 2 • • 3 5 1 –1 –1 3 ¿Qué alternativa representa mejor al valor de la – 225 –8 •equivalente 5–1 2 expresión 7 ¿Qué es al producto de –1 potencia ((–3)6)-1? –2 6 –1 0–4 25 •33115 • 3 • 2 •22 ? 3 2 • –1 A. Es igual a cero. 0 3 2 1 108 A. B. Es mayor que cero. 4 –1–5 = 2 B. 26 2 –5 C. Es menor que cero. 9 4 C. 3 4 D. No se puede determinar. 54 4 4 D. 5 – 1 E. Ninguna de las anteriores. E. 6184 33 22 32 • –2• 91 3 1 2 3 9 4 ¿Qué valor de x satisface la igualdad 21 332 23 8 ¿Cuál1 de expresiones representa – las siguientes 2 x 2x = 256? 2 3 2 4 2 2 – 22 9 cuyo lado mide 8 cm? al área de un cuadrado 9 = A. 7 27 54 135 2 87 –2 –2 A. 16 cm–1–1 3 153 41 – 1 B. 8 3 28 82 8 8 –2 22 2 2 B (2 ) cm 425 C. 16 2 N= (p ) • (–p) 2 3 C. 2 5cm p4 D. 128 3 2 2 D. (–2) 2 • 2(–3)cm –1 E. 512 –1 –1 1 225 3 –1 2 p= E. (2 + 23) cm 10 –1–1 5 ¿Cuál de las siguientes igualdades se cumple? 15 9 ¿Cuál es–1–1 el valor de A. 45 = 210 3 • 1016 • (–2) • 10–2 • (–5) • 10–2? 7 5 12 B. 2 : 2 = 2 2–1 A. 25 • 102 1 =(–5)2 C. 444•102 B. 30 25 – 1 –2 C. 30 8– 1•10 D. 2 b32n• (–2)5 = (–2)8 D. –30 • 102 3 5 8 –2 –2 E. ((–2) a2n ) = (–2) 1 3 • 1102–23 9 3 E. –30 – a2n 2 2 2 3 2 4 2 22 2n b 27 54 87 135 153 1 1 2 – 2b 4 8 8 8 8 2 2 2 2 322 a 23 2n b 2 2 (–3) 22n 2n (–2)(–3) a b2n 22n+ 2 2n a 60 Unidad 2 • Potencias 1 – 2 31
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–2 10 Si a = 4–2 y c = 2–2, ¿cuál es el valor de 1 2 ,b= 2 =(–5) a : b25• c? A. 1b2n 1 B. 2a2n 2 –n 2 C. 2 2n a 2 , con a, b ≠ 0 a D. 212–1 2n 22 2b –2b=(–5) E. 225 2 –4 b 2n 4 2b22n 2 el valor de 11 ¿Cuál es – ? a 2n 8 a2n 2n b 2n a2n A. 2162n 2–2 +3–3 2 2n 222 a2n –n B. 32b 2n 2–2 a• 3–3 2n 2 –3 , con a, b ≠ 0 2n+ 22 b C. 2–32 22 b 2b2 2n (–8) 2 D. –16 22 a a –4 4 1 2n (–42) –3 E. – 2n – b 2n 222n 2n 8 a 2n 1.000.000 • 0,00012 31 2n –2 2n 2 +3–3 104 b 2n+ 2n+22 12 ¿Cuál es el valor de ? 2108 2n 2n 23–2••33–2–3 • 5–1 –5 a 2 6 –3 2 –1 A. 1 1 (–8) •5 –8 –5 2 B. 312 –4 –n 4 2 –3 3 a 2 2 ,(– 0 131 2) con a, b ≠ 2b 3 • 2 C. 9 1.000.000 •=0,00012 108 2 –5 –5 –4 1 9 4 –6 4 10 D. 9 – 23 •34–2• 5–1 5 –2 8 –1 3 E. Ninguna de las anteriores. 2• 25–1 32 1 25 22–2 +3–3 3 –8 • • 9 5–n –2 –3 21 –432 223 •3 3 2 representa a esla 2potencia 13 ¿Cuál que la 2 1 , con a, b–3≠0 2 • x –1 9 2 –2b –1 (–8)2 3 =2 225 ? 3 2 4 = 9–4 expresión 9 4 4 15–1 –1–1–2–2 –3 –2 2 2 – (– 2) (4p ) • (–p) –1 8 25–27 N= 1 1.000.000 •30,00012 A. (–2) p24 2 5–3–12 –2 3 2 3 –1 B. (–2) 2 +3 2 1041 • 12 • 3 –1 –1 –2 –3 –39 2 3 2 –1 C. (–2) –1 3 –2 –1p= 2 •225 434 –3–15 2 • 3 • 5 210 x D. (–2) 9 –1 2– 1 –1 –1 2 (–8) 815 –8 •las 5 anteriores. = E. de Ninguna 3 4 –1 –1 2 –4 4 –2 23 9 33 1–33 1 2 (– 2) 1 –2 2 2 –1–1valor se obtiene 14 ¿Qué • al simplifi car la expresión 222 – 2 332 4 22N= (p ) • (–p) 4 = 1.000.000 • 0,00012 p 444 4 9 2 ? 1 87 135 153 1 27 54 10 8–2––11 –1 p= –1 2 4 •85 8 84 8 2 10 23 •3 A. 1232 –2 3 2 2–2 –1 21,2 2 33 1 •35 1 23 3• 9 B. –8 – 22 1 2• 3 (–3) –4 3 22 0,12 2 2 32 32 2 4 C.2 (–2) D. 0,012 2 x • 2 135153 3 27 54 9 1 1 2 87 E. 1.200 = = – 2 49 8 83 8 48 2 2 3322 –2 2 2 24 N= (p ) • (–p) 2 (–3) (–3)2 p4 33 (–2) 22 32 • • 21 32 23p= 1 2 x 10 2 9 = 3 4 U2_1ºM_Mat_v6.indd 61
(p–2 )2 • (–p)2
b – b2n 2 8 2 2b 2b 2 2 a22 2–2 +3–3 a 2n 2–2 • 3–3 2n 2n b 2n b 2 2 a2n 1 3 2 –3 4 5 6 7 25 (–8) a2n 2 1 3 4 5 6 7 2n 2n 4 2n+ 2 b b –3 (– 2) 2 22n+ 2 a2n a2n 1.000.000 • 0,00012 1 –– 1 2 104 2 –2 –1 3 31 31 es el valor de 2 • 3 • 5 ? 15 ¿Cuál 108 –8 • 5–1 108 –5 2 –4 –5 A. 96 2 3 6 • 2 B. 95 3 2 5 = C. –9 2 11 9 D. 9 4 9 E. – 11 33 22 32 –9 • • 9 –2 21 32 23 –2 –1 –1 2 x 25 siguientes las 16 ¿Cuál de representa 9 2 expresiones 25 = 5 al área de un rectángulo cuyo largo mide 68 m y 3 4 5 8 su ancho 4–1 m? 225–1–1 –1 (p–2 )2 • (–p)2 6 225 N= A. 10 m2 8 –1–1 2 p4 B. 1015 15m –1 2 1 C. 248 m –1 p= 116 2 D. 61–1 m 10 2–16 2 2 m E. 41 444 4 las siguientes afirmaciones es 17 ¿Cuál 8–– 11de 8 VERDADERA? –2 –2 11 2 11 3 A. Toda base distinta de cero y 23 39 9 3 3de 3 – potencia – 2 3 2 4 2 2 2 exponente igual a 2 2 2 3 2 4 2 1 tiene valor igual a 1. B. Si la base de una potencia y su exponente 27 27 54 54 87 87 135 135 153 153 11 – 11 son números racionales – su resultado puede 4 8 8 8 2 42 un 8 número 8 8 8 entero. 8 2 2 2 ser 32 3 2 C. 2 Si el exponente de una potencia es un entero (–3)22 negativo y su base un racional, su resultado (–3) (–2) (–2) es siempre un entero. D. A y B son falsas. E. B y C son falsas.
8 8
18 ¿Cuál es el valor de (–4)a+2 • 42? A. B. C. D. E.
(–4)a – 2 (–4)a + 2 (–4)2a 162a (–16)a + 2
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2 1 31 6 –5 2–2 +3–3 1 –1a2n–1 –225 1 – 108 5 2–2 • 3–3 2 1 2 –115–1 2 –59 –3 =(–5) 31 6 2 31 2 1 1 (–8) 25 –1 en do ión de pro 5 – cont i108 2n 1 c2 b evaluación sumativa 108 4 1b31 9 9 –3 –5 =(–5) (– 2) –1–5 108 –2 25a2 62n 6 1 1 –1 4–5 5 9 – 251.000.000 2n 1 b2n 6 • 0,00012 9 4 2 5 2 a =(–5) 2 4 5 –1 25a2n 8 10 1 – 1 –1–2 15b 2n 25 3 –1 –2 –1 2n 2n b 2 a b2 2–1 • 3 • 5 –2 9 9 225 –2 2 291122n3 1 2 3 9 3 5 2n –1 • 5es 1 23–1 ¿Cuál –1 –8 19 a¿En9bcuál potencias su valor es el resultado de la expresión 1a2– de las siguientes 25 15 – 2n –1 –1 –4 –2 22 2n2 3 2 4 2 2 9 2 a2número un racional negativo? b 5225 91 b –12 3 2 2 2n 2n – –21–1 • 272 54 87 1 –2 135 153 1 b2 –115 3 2 –1 – a9 a2n 25 2 –12–1–1 25 2n 2 4 8 8 8 8 2 –2 b b–12n 225 2 b2n –1 2 = ? 2 2A. 2n+ 2 5 2 22 325 5 2n –1144 9 a a2n 15 –1 a2 2n 5 (–3) –12–1– 1 4 (–2)b2n–1 –1 B. 2n b –18 225 12 2 22n+ 225 3 2 2 2n 2n –1 1 4 A. – –1 a 2 a–1–1 –14 3 •12 • 3 –2 15 225 15 2 –11 3 211 2323 923 3 C. b2n – 2n+ 1 2 31 –1 –18 B. –1 2 – 15 1 4 4 2 2 2 23 2 4 x2 2n 1 –2 a 2108–1 –1 1 3 1 22 3=9 9 3 – 1 27 54 –1–5 2 1 87 135 153 1 1 8 – C.3 4 1 31 2 – –D. 6–1 2 3 2 4 2 2 2 44 4 8 8 –2 82–2 8 22 2 244 2108 1 3 12 2 3 9 (p 3) • (–p) 5–5 1 1 D.87 135 8– 1 27–2354N= 153 31 68 –41 4 – 4 2 p8 2 24 283 282 4 8 1 E. 2 2 (–3) – 1 108 –2 58 (–2) –2 2 1 3 1 2 3 9 3 1 3 27254 87 –59 153 1 – 1 p= E. 135 – 6 1 3 – 1 2 3 9 3 –2 1 1 13 1 2 3 9 3 120 8 2 2 2 2 3 2 4 2 2 4 8 (–3)8 8 2las 3 2alternativas 4 2 –2 2de 20 ¿Cuál es equivalente a la (–2) – 59 32 92542expresión? 27254 87 153de1 las1 siguientes potencias es equivalente 3 2135 4 153 2 1 1 2 siguiente 24 135 ¿Cuál 27 87 – –2 1 1 – 2 –1 (–3) 4 (–2) 8 8 a8la expresión 8 2 2 63 + 63 + 63 + 63 + 63 + 63? 3 42554 87 135 153 1–2 •2122 – 27 8 8 8 8 2 8 • 4 2 – 9 932 23 43 5 8–2 8 8 8 2 2 A. 63 2 A. 1 2322 –1 2 –B. 25 B. 64 2 27 (–3) (–2)(–3) –1 9 (–2) –1 22 C. 618 3 –2(–3) C. (–2) 85225 –1 3 –1 D. 363 D. 2514 15 –13 –1 E. 225 E. 3615 –1 5 64 151–1 –1–1x 25 Si n es un número entero, ¿cuál(es) de las –1 = 10, ¿cuál debe ser el valor de x para 21 Si 0,01 225 2–1 siguientes igualdades es(son) siempre se que 4 cumpla la igualdad? –11 4 15 VERDADERA(S)? –1 A. 21–18– 1 1 4 I. n2 • n3 = n5 B. 4–1 –2 II. 2n + 3n = 5n 2–1 1 3 1 2 3 9 3 –1 C. 8 – III. 2n • 3n = 6n 44 2 2 2 3 2 4 2–2 A. Solo I. 3 1 2 3 9 3 153 1 1 8–11 27 D. – 54 87 135 – B. Solo I y II. 2 24 283 2 8 4 8 2–2 8 2 2 C. Solo I y III. 12 2 3 9 3 153 1 1 13 – 354 87 135 E.272 D. Solo II y III. 2 24 283 282 4 8 2 8 2 – 2 (–3) E. I, II y III. (–2) 2 272354 87 135 153 1 1 22 Un tipo2de bacteria–se reproduce de acuerdo 26 Si t = 2k + 2, ¿cuál(es) de las siguientes 4 8 (–3)8 8 8t 2 2 a32(–2) la expresión 2 , siendo t el tiempo expresado expresiones es(son) igual(es) a t? 2en horas. ¿En cuánto tiempo se tendrán 1.024 (–3)2 I. 2k • 22 bacterias? (–2) II. 8k A. 8 horas. III. 2k • 4 B. 9 horas. C. 10 horas. A. Solo I. D. 11 horas. B. Solo III. E. 12 horas. C. Solo I y III. D. Solo II y III. E. I, II y III.
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2 2222n2 b 1 – 1 –1 –2 –n 1.000.000 • 0,00012 a 4 a a2n5 9 9 25 –1 2 , con a, b ≠10 0 –1 225 2n 2n b 5–2 2b 23 • 3–2 • 5–1 22n22n+2n21b – 1 25 –1 –1 15 a 9a2n 9 –1 –1 –4 –8 • 5–1 –1 4 5–2225 2n 1 3 4 5 2 6 7 25 –4 12 b 1 –1 1 22n+ 1 –28 3 24 53 6 7 – –2n 25 15–1–1 –1 –1 2 • 2 a 9 225 3 2 –1 5–2 –1 2–2 +3–3 1 = 2 – 31 25 15–1 144 9 2–2 • 3–3 2108 –1 –12–1 – 1 5 225 –1 8 –3 4 –5 2 31 1 6 15–1 44 (–8) –2 –1 –1 5 – 1 1 3 1 2 3 9 3 –n 24 33 222 32 ¿Cuál es el cociente entre 2 • 103 y 4 • 10108 ?5–5 225–1 322–1 El –3 1 •–n 2 • 3 es: – delaexpresión a 2) (– –1 1 4 8resultado 2 3 2 4 2 2 2 –2 a2a,b3≠ 02 6 2 ,2con –2 A. 2 • 10 1 15 –14 2b 2 , conx a, b ≠ 0 2b –2 1 2 3 9 3 1 3 –12 – 1 27 54 87 135 1.000.000 B. 5 • 10 1 1 •0,00012 591 – 153 9 2 = 1 2 48 A. – 4 –4 2 3 2 4 2 2 2 C. 2–1 • 10–1 =(–5) –4 10 4 2 4 8 8 8 8 2 –2 1 251 –1 – 4 3 –2 –143 4 1 54 232 387 9 135 3 153 D. 2–1 • 10–2 – 2n 2 8– 1 1 327 – 2 821 •–31 •5– B. –2 2 2 91b9 2 E. Ninguna de las anteriores. 2 8 (p ) • (–p) 4 =(–5) –1 44–2 2 2 42 38 2(–3) 2 N= 2 8 8 2 –28 • –8 5 1 2n –2 –3 a –1–1 1 3 1 2323(–2) –2 –3 9 135 3 153 21 +3 p4 –25 258 27 1 –4 2 2 +3 54 87 2n – 2 x+1 2x – 6 2n 9 b 2 a 2 2 2 C. – •23–3 3 –2 –3 1 Si 4 • 2 = y, ¿cuál(es) de las siguientes 38 2 84 2 28 8 22–2 5 –2 •3 2 –3• 2 p= (–3)–2 expresiones es(son) igual(es) a y? a2n2 b–12n1 3 1 2432 (–2) 3 2 2 2 –310 9 3 25 –27 2 3 87 1 54 135 153 1 (–8) 2 (–8) = –1 2a2nb 22–1 2 – 2 3 2 D. I. 22x + 2 • 22x – 6 4 94 228 8 2 2 225 2 4 5 2 8 8 (–3) 2 4 (2x + 2) • (2x – 6) 2n –3 (–2) II. 4 2–1 –3 b15 32 87 (– 2) 135 153 1 1 (– 2) 4 2a 27 –1 54 2 4x – 4 E. –1 III. 2 – 225 –1 22b2n b2n 2 2 1.000.000 4 8 8 8 2 (–3)2 8 • 0,00012 33 22 1.000.000 3• 0,00012 2 21–1 2n2 (–2) 15 • • a 3 4 a 4 33 1 2 3 En la siguiente ecuación, ¿cuál es el A. Solo I. 2–12n2 10 valor de x? 2 3 102 2n –1 b –2 –1 3 2 2n b (–3) B. Solo III. 2 2 4 2(–2) 2n+ 2 • 32 • 5 23x• 3–2 • 5–1 1 4a2n 2n 9 2 = –1 C. Solo I y III. –8 • 5–1 2–1 a • –8 5 8– 1b2n 24 3 D. Solo II y III. 12 2n+ –4 2 –4 24 4 – 2 (p3–2)22• (–p) 23 E. I, II y III. –2 2 a2n • N= 1 • 8–11 3 1 2 3 9 3A. 3 2 p34 2 1 31 – B. –2 = – 2 2está = El número de bacterias (B) en cierto cultivo 2 3 2 4 2–2 2 2 C. –1 2 9 t 100 1 108 1 1 2 3 9 3 3 9 dado por la expresión B = 100 • 100 , donde 153 1 1 p= 27– –5 54t 87 135 31 4 10 4 26 2el3 2 4 2 D. – es el tiempo expresado en horas. ¿Cuál2será 4 8 8 8 8 2 2 1082 número de bacterias al cabo de 4 horas? 33 22 3233 22 32 87 135 153 1 1 27253–5 54 • • E. – • • 6 A. 100400 21 32 2321 32 23 4 1 8 (–3)82 8 8 2 2 104 (–2) 2 x B. 100 25329 2 xresponde las 2expresión. Analiza la siguiente = 9 2 Luego, 9 C. 104100 1 1(–3)2 preguntas 34 y 35. 3 4 3 = 4 100 (–2) D. 400 – 9 9 E. 4 • 100100 (p–2 )2 • (–p)(2p–2 )2 • (–p)2 –2 N= 1 N= – 25 –1 p4 p4 x+2 x 9 Si 3 = 243, ¿cuál es el valor de 3 ? 1 5 –2 p=de N si p= 1 ? –1 34 ¿Cuál es el valor A. 3 25 10 10 –1 –1 B. 9 225 5 A. 0,01 C. 12 15–1 –1 B. 0,001 D. 27 225–1 –1 C. 10.000 E. 36 151–1 –1 D. 100.000 2 –1 E. 1.000.000 ¿Cuál es el valor de la expresión 5b : (–5b –14)? 44 2–1 A. 54 35 ¿Qué valor tiene N cuando p = –1? 8– 1 B. 5–4 44 –2 C. –54 1 8–11 3 1 2 3 9 3A. –4 – D. –5 B. 2 2 3 2 4 2 2 2–2 2b + 4 E. –5 1 3 1 2 3 9 3 C. –1 27– 54 87 135 153 1 1 2 2 2 3 2 4 2 D. – 4 8 8 8 8 2 2
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2 272354 87 135 153 1 1 E. – 4 8 (–3)82 8 8 2 2 (–2) 2 23 2
(–2)(–3)
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evaluación sumativa
II. Lee atentamente el problema. Luego, resuelve. Una máquina realiza la siguiente operación: “Cuando ingresa un valor se multiplica por 2–2, el resultado obtenido se multiplica por 103 y finalmente el resultado lo divide por 4”. a. Si a la máquina se ingresa el valor 43, ¿cuál es el número que se obtiene?
b. Si a la máquina se ingresa el valor 0,0032, ¿cuál es el número que se obtiene?
c. Si el número que se obtiene de la máquina es 8.000, ¿cuál es el valor ingresado inicialmente?
Explica el procedimiento utilizado para responder cada pregunta.
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Historial Una técnica que facilita la retención de lo estudiado para después realizar un repaso eficiente es el cuadro sinóptico. Se trata de un resumen esquematizado, cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de manera estructurada y organizada. Completa la tabla que muestra algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad. Contenido
Definición o procedimiento
Ejemplo
Potencias de base entera y exponente natural.
Potencias de base entera y exponente entero.
Potencias de base racional y exponente entero.
Multiplicación de potencias de igual base.
División de potencias de igual base.
Multiplicación de potencias de igual exponente.
División de potencias de igual exponente.
Potencia de una potencia.
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Organizar favoritos Ahora que tienes claras las ideas principales; elabora un mapa conceptual que te permita relacionar algunos conceptos clave trabajados en la unidad. Conceptos clave
Base Exponente Potencia
Número natural Número entero Multiplicación
División Positivo Negativo
Herramientas A continuación, te presentamos algunos datos fundamentales de esta unidad. No los olvides, pues te seguirán siendo útiles. 00 no está determinado, por lo que no se considerará ese caso. El denominador de una fracción es siempre distinto de cero. Potencias de un número. an = a • a • ... • a
Potencias con exponente 1. a1 = a
a0 = 1
n factores a Potencias de exponente negativo.
Multiplicación de potencias de igual base.
Multiplicación de potencias de igual exponente.
1 n ; a ≠0. an n a n n n de Divisiónade potencias igual :b =(a:b) = b base.
an • am = an + m
an • bn = (a • b)n
1de potencias de igual División a–n = n a exponente. n n n n a a :b =(a:b) = ; b ≠0. b
Potencia de una potencia
a–n =
a :a =a n
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Potencias con exponente 0 y base distinta de 0.
m
n–m
(an)m = an • m
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Cerrar sesión Contenido
Número de pregunta
Habilidad
Definiciones y conceptos básicos de potencias.
1 2 3 7 9 17 19
Comprender Comprender Recordar Aplicar Aplicar Aplicar Recordar
Propiedades de potencias.
4 11 13 18 20 24 25 27
Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Analizar Analizar Recordar Analizar
5 6 8 10 12 14 15 16 21 22 23 26 28 29 30 31 32 33 34 35
Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Analizar Recordar Analizar Analizar Recordar Analizar Analizar Recordar Analizar Analizar Recordar Analizar Analizar Recordar Analizar
Potencias, operaciones combinadas y aplicación de potencias.
Clave
Nivel de logro
7
8
20
Mi estado Evalúa tu desempeño a partir del logro alcanzado para cada contenido. ¿Qué contenidos podrías enseñarle a una compañera o compañero que no los haya entendido? ¿Qué temas debes repasar? ¿Qué harás para reforzarlos? ¿Qué nota te pondrías de acuerdo a lo que has aprendido a lo largo de la unidad? ¿Por qué?
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Unidad
Ecuaciones
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Las ecuaciones están presentes en distintas áreas de estudio, por ejemplo, en Física, Química, Biología, entre otras. Pueden describir situaciones y ayudar a organizar la información de un problema para permitir su resolución. En la Antigüedad, equivalencias y ecuaciones se representaban con una balanza de platillos, como la que muestra esta antigua imagen egipcia.
Menú de inicio ¿Qué?
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¿Para qué?
¿Dónde?
Lenguaje algebraico, ecuaciones e identidades.
Comprender conceptos asociados a las ecuaciones.
Páginas 70 a 71.
Ecuaciones con coeficientes enteros, fraccionarios y/o decimales.
Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Páginas 72 a 75.
Problemas de planteo, ecuaciones literales y aplicaciones
Aplicar ecuaciones en áreas como la física y la geometría.
Páginas 76 a 85.
Estudio de soluciones de ecuaciones.
Analizar la solución de una ecuación y su pertinencia con el contexto del problema.
Páginas 86 a 87.
Unidad 3 • Ecuaciones
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Abrir sesión Considerando la información de la página anterior, responde: 1) ¿De qué se trata la lectura? 2) ¿En qué área de estudio, diferente a las nombradas, crees que se pueden utilizar las ecuaciones? Explica. 3) En la Antigüedad, ¿cómo se representaban las igualdades y las ecuaciones?
Inicializando Aplicar consiste en usar un procedimiento aprendido en una situación para resolver otra no enfrentada previamente. Si la balanza que se muestra en la imagen se encuentra en equilibrio y las masas de las manzanas son iguales, ¿cuál es la masa, expresada en gramos, asociada a cada manzana?
1) ¿Qué se desea conocer?
2) ¿Qué datos son necesarios para resolver el problema?
3) ¿Se logrará precisar una respuesta exacta? ¿En qué te basas para interpretar eso?
4) Resuelve el problema planteando una ecuación de primer grado con una incógnita.
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Lenguaje algebraico Al calcular el perímetro (P) de un rectángulo de largo a y ancho b se puede utilizar la fórmula P = 2(a + b); para calcular el área (A) de un círculo de radio r, A = πr2; para calcular el área (A) de un cuadrado de lado a, A = a2; para calcular el volumen (V) de un cilindro de radio basal r y altura h, V = πr2h; etc. Las expresiones anteriores se han representado en lenguaje algebraico y se pueden traducir a lenguaje natural como: el perímetro de un rectángulo corresponde al doble de la suma entre su largo y su ancho; el volumen de un cilindro se calcula multiplicando el área de su base por la altura del cilindro, etc.
Para grabar En el lenguaje algebraico se utilizan expresiones algebraicas (expresiones compuestas por números y símbolos (letras) relacionadas entre sí por las operaciones básicas) para representar a otro tipo de expresiones, ya sean en lenguaje natural o numérico.
Ejemplos: Un número disminuido en 5 unidades. w – 5
El3(xdoble + 4) de la suma de un número y dos unidades. 2(n + 2) El doble 4 de un número, aumentado en 2 unidades. 2n + 2 p 2 + 4) p3(x + La cuarta parte del triple de la suma de un número y 44 En el lenguaje algebraico intervienen cuatrop 1unidades, o bien, las tres cuartas partes de la suma de un 2c2 + – d letras, que se denominan variables, p número 34 y cuatro unidades. ya que se les pueden asignar distintos 3x 1 valores. + 4 La cuarta parte del triple de un número aumentada en 2c 4 – 3d cuatro unidades. 3x +4 4 1. Representa en lenguaje algebraico. a. La adición entre tres números consecutivos. b. La adición entre tres números consecutivos, comenzando desde 2x + 7. c. El triple de la adición entre un número y su tercera parte. d. El cuadrado de la diferencia entre un número y el doble de la raíz cuadrada de otro. e. El volumen (V) de una pirámide de base cuadrada corresponde a la tercera parte del producto entre el área de su base y su altura.
2.
Representa en lenguaje natural. a. 4(x – 1) 3(x ++ 4) 4) 3(x b. 2x2 – x3 44 p c. pp22 + +p 4 4 1 2c –– 1 dd d. 2c 33 3x 3x + 4 ++4 (2y + 2) + (2y + 4) e. 2y 44
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Ecuaciones e identidades Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas (combinación de números y letras relacionados por las operaciones básicas), que puede tener una única o varias soluciones. Una ecuación es de primer grado con una única incógnita si el exponente de dicha incógnita es 1. Cuando una igualdad es verdadera para cualquier valor, esta se conoce como identidad.
En proposiciones como:
Para grabar Ecuaciones de primer grado con una incognita.
1.
2.
Para saber más a+3=a+2
Identidades.
2y + 1 = 6 y = 2,5
a + 3a = 2a + 2a
w + 1 = 2w – 2 + w + 7 w = –2
10 + 2x = x + 2 + x + 8
x + 3(5 + x) = 18 + x + 5 + 2x x = 8
1 + y + 3 – 4y = 4 + 3y – 6y
2 – x = 3 – x, etc. Se dirá que ningún valor hace verdadera la proposición, por lo tanto, esta es falsa.
Clasifica entre ecuaciones e identidades las siguientes igualdades. a. 7(x + 8) = 6x + 56 + x
d. 7(8 – y) + 5(5 + y) = 9(9 + y)
g. 1,5 – 1,8w = 1,5 – 1,8w
b. 5y – 25 = 5(5 – y)
e. 12(a – 8) + 8(a + 6) = 4(5a – 12) h. 75(–8 – q) = 25(24 – 3)
c. 14 + p – 84 = 2(p + 30)
f. 7,4 + 0,6q = 2(0,3q + 3,7)
i. 0,5(1 – x) + 0,2(1 + x) = x
Representa con una ecuación las siguientes expresiones. a. El producto entre un número y 6 es igual a 72. b. Un número aumentado en 5 unidades resulta 25. c. Las tres cuartas partes de un número aumentadas en 7 unidades equivalen a 1. d. La adición entre dos números consecutivos es 27. e. La mitad de la suma de un número y 3 unidades equivale al mismo número disminuido en 3 unidades.
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Ecuaciones con coeficientes enteros Una ecuación puede contener adiciones, sustracciones, multiplicaciones y/o divisiones. Se dirá que las ecuaciones con coeficientes enteros son aquellas que involucran solo números enteros. Para resolverlas debes calcular el valor de la incógnita. Recuerda que debes “despejar” la incógnita aplicando las propiedades de las operaciones a ambos miembros de la ecuación para conservar la igualdad. Para comprobar que el valor encontrado es el correcto, puedes reemplazarlo en ambos miembros de la ecuación y verificar que se cumple la igualdad.
Ayuda La regla de los signos para la multiplicación de números positivos (+) y negativos (–) es: +•+=+ –•–=+ +•–=– –•+=– Esta regla es análoga para la división.
1.
2.
Para grabar En una ecuación con Ejemplo: coeficientes enteros x +8 = 4(x +8) intervienen solo valores x +8 = 4x + 32 que pertenecen al x +8 – x – 32 = 4x + 32 – x – 32 conjunto de los números enteros (). –24 = 3x = + {0} – 1 1 + = {1, 2, 3, …} –24 • = 3x • 3 3 – = {–1, –2, –3, …} –8 = x
Verificación: x + 8 = 4(x + 8) / +(–x – 32) 1° –8 + 8 = 0 2° 4(–8 + 8) = 0 /•
1 3
Por lo tanto, como 0 = 0, x = –8 es solución de la ecuación x + 8 = 4(x + 8).
Resuelve las siguientes ecuaciones. Luego, compruébalas. a. 2(x + 5) = 7(x – 5)
c. 6(a + 524) = 2a + 320
e. 12y + 2.540 + y = 8y + 1.549 – 7y
b. 4y + 8 = 3y – (y + 5)
d. 7x – 725 + 2x – 21 = 3(x + 9)
f. 1.780x + 7.350 = 1.250 + 1.000x
Representa los siguientes enunciados con una ecuación de primer grado con una incógnita. Luego, resuélvela. a. El doble de la suma de tres números enteros consecutivos es –42.
b. Al agregar 154 unidades a un número, resulta el triple del mismo número disminuido en el doble de 9.
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Resuelve los siguientes problemas. a. Si el perímetro de la figura es 66 cm, ¿cuál es la medida de su superficie? D
C (x – 4) cm
A
4.
(x + 5) cm
B
b. Si el perímetro del triángulo isósceles de base AB es 450 cm, ¿cuál es el área del triángulo ABC? 4 – 3 C 1 – 3 (12x + 41) cm 2 75 cm 3 1 8 A (4x + 172) cm B 2 2 –4 3 3 Relaciona las ecuaciones de la columna A con su4solución en la columna B. 4 Para ello, escribe la letra que corresponde. 1 Columna A 2 Columna B a. 40 – 7(x + 8) = 5(8 + x)
b. 9x – (3x – 5) = 8 – (5 – 9x) c. 15 – 4(x + 7) = 5(9 – 4x) + 18 d. 7x + 2(4 – x) = 8(3 – x) – (8x – 5) e. 5 – (3 – x) – (9 + x) = 15 + 4(3 – x) f. 2(x + 5) – (x + 2) = 5(x + 4) – (x + 8) g. 7 + (5 – x)3 = 17 – (3 + x) + 2(3 + x) h. 5(x – 3) – 3(x – 4) = x(4 – x) + x(x + 7)
1 AB AB 4 –AB 4 AB 3 –AB 4 31 –AB 4 31 –4 31 –AB 4 –3 41 –2 1 23 –2 331 –2 3311 –2 331 8 3321 82 3 21 82 3 212 8 –4 3 212 8 3 –4 2 8 3 –42132 3 8 –4 4 232 3 –4 4 24 2 3 3 –4 41 4 32 –4 41 4 33 4 21 4 33 4 21 4 3 21 4 4 21 4 21 2 2
Desafío Encuentra cinco valores que cumplan la siguiente relación: 3x – 4 > x + 6 ¿Es una ecuación? Justifica.
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Desafío ¿Cómo resolverías las siguientes ecuaciones? x(x – 5) – 8 = –(5x + 4) x(x + 4) + 3 = 4x + 5 ¿Ambas tienen solución en ?
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Ecuaciones con coeficientes fraccionarios y/o 2x + 13 decimales 2x + 13 = 0,7(x – 10)
5=2x 0,7(x + 13– 10) Así como hay ecuaciones de primer 7 = 0,7(x – 10) 2x + 13cientes 2xgrado + 13 con una incógnita con5coefi 5 (x – 10) / • m.c.m.(5, 10) = 10 = = 0,7(x – 10) 7 2x + 13 + 13 enteros, también existen ecuaciones 2x son fracciones. Para 5=2x +(x 5cuyos= coefi 0,7(x –cientes 10) 1310– 10)7 / • m.c.m.(5, 10) = 10 5 2x de resolver2x este car cada miembro ecuación / • m.c.m.(5, 10) = 10 = 7 (x – 10) + 13 tipo de ecuaciones se2xpuede 7 + 1310la + 135 amplifi 10(x – 10) = 0,7(x – 10) (x – 10) / m.c.m.(5 107 • tal = • 10 • , 10) = 10 por el mínimo y luego simplifi 2x + 13 car,5= de + 13 7 2x +5 13 común múltiplo de los2xdenominadores 10 5 10+• 13 (x10– 10)7 10 • , 10) =5=102x / • m.c.m.(5 = (x – 10) = 0,7(x – 10) manera que los coefi cientes correspondan enteros. Esto 10 =–1010)• (x – 10) 5 10+ya 5 a10números • 13)lo= estudiaste 2x5+ 13 7 2(2x 7(x 7 2x + 13 5 en páginas anteriores. En caso de que la ecuación contenga números decimales (x – 10) / m.c.m.(5 = • , 10) = 10 (x – 10) = 10 • • 10 2(2x + 13) = 7(x – 10) 10 7 2x + 13 2x +5 13 710 10 5 (x – 10) = 10 • • 10 4x + 26 = 7x (x – 10) / m.c.m.(5 = • , 10) = 10 como coeficientes numéricos, puede ser una buena estrategia transformarlos 2(2x + 13) =– 70 7(xa – 10) / + (70 - 4x) 10 5 10 5 4x + 26 = 7x – 70 / + (70 - 4x) 7 2x + 13 2(2x +descrito. 13) = 7(x – 10) fracciones recién 4x +=26 = 7x – 70 / • 1 / + (70 - 4x) – 10) = 10 • 7 el(x método 10 • 2x +y13aplicar 2(2x + 13) = 7(x – 10) 96 3x 1 4x + 26 = 7x – 70 / + (70 - 4x) 96 = 3x 10 • 5 = 10 • 10(x – 10) 3 1 /• 10 5 4x + 26 = 7x – 70 / + (70 4x) 3 96 = 3x /• Para 2(2x + 13) =grabar 7(x – 10) 32 = x 1 3 2(2x + 13) = 7(x – 10) 96 = 3x /• 1 32 = x 4x + 26 7x – 70 Ejemplo: / + (70 - 4x) 96 = 3x /3• 64=+x13 2 • 32 +cación: 13 32 Una ecuación de=primer Verifi 4x + 26 = 7x – 70 / + (70 - 4x) 3 1° 2 • 32 + 13 64=+ 13 1 + 13 32 = x grado con una incógnita 52 =• 32 + 13 5 64 + 13 1° 96 = 3x / •2x 32 =x 13 577= 5 = 0,7(x – 10) 1° con coeficientes 96 = 3x / • 5 2 • 32 + 13 64 + 13 5 5 = = 1° 3 77 2 • 32 + 13 64 + 13 fraccionarios32puede = x ser 5 77 = =5 1° 75 2x + 13 32cando = x sus resuelta amplifi = (x5 – 10)77 5/ • m.c.m.(5, 10) = 102° 0,7(32 – 10)5 = 0,7=• 22 2 • 32 + 13 64 + 13 10 5 1° 2 • 32por miembros el =m.c.m. = 77 2° 0,7(32 – 10) = 0,7 • 22 5 64 + 13 + 13 5 5 5 = = 1° 7 2x + 13 2° 0,7(32 –=10)7 =• 0,7 de los denominadores 22 • 22 – 10)5• 22 = 10–• 10)(x= 0,7 10 • 2° 0,7(32 5 5 7 77 10 = 22 • para convertir la ecuación 10 5 7 =77 2° 0,7(32 – 10) = 0,7 • 22 10 7 = • 22 = 5solo a una que contenga 2(2x + 13) = 7(x – 10) 7 = •722 5 • 22 7 = • 1110 10) = 0,7 2° 0,7(32 coefi cientes–enteros. 10 = • 115 7 = /• +22(70 - 4x) 4x + 26 = 7x – 70 2° 0,7(32 – 10) = 0,7 • 22 5 77= • 11 7 7 10 1 En caso de que sus 5 = 7 • 22 = •711 77= 96 = 3x coeficientes sean= 10• 22 5 77 5= /• •113 = 5 = 107 decimales, es posible 77 5 3x–4 32 = x 11 = • = =x+65 3x–4 77 75 transformarlos a=fracción. 5 4 =x+6 = • 11 3x–4 2 • 32 + 13 64 + 13 42x 5 577 =x+6 =3x–4 1° 4 5 en 5 +6=0,75 =x+6 5(x – 2) 2x 1. Resuelve =las el espacio disponible. 3x–4 775 siguientes ecuaciones 5 2x 5(x – 2) 4 +6=0,75 =x+6 = 77 5 +6=0,75 5(x – 2) =2x 4 3x–4 5 51 1 (z – 10) +6=0,75 5(x – 2) a. 3x–4 =x+6 c. 52x e. 0,5(z +3z)= 4 =x+6 +6=0,75 5(x – 2) 0,5(z +3z)= (z3– 10) 1 0,75• 22 2° 0,7(32 – 10) = 5 3 4 0,5(z 2x 1 –y – 3+3z)= 3 (z – 10) +6=0,75 5(x – 2) (z – 10) 0,5(z +3z)= 7 –y – 3 =6(y – 6) 2x = •+3z)= 22 3 1 (z – 10) 5 +6=0,75 3=6(y 0,5(z 5(x – 2) –y – 3– 6) 10 3 3 5 1 –y – 3 4y 5y 3 =6(y – 6) 0,5(z +3z)= 1 (z – 10) – 6) 7 –y –=6(y 4y 5y+ =–(y – 1,5) = •311 3 =6(y – 6) 6 5y– 1,5) +6 4y =–(y 0,5(z +3z)= 3(z – 10) 5 6 6 + =–(y – 1,5) –y – 3 3 4y 5y3 3z 62z 6z 2z + 5=–(y 77 3z 2z+ z= 2z– 4y y – 1,5) –y – 3 =6(y – 6) b. 3 =6(y – 6) d.6= +6 =–(y – 1,5) – 2 z4 2z =3 2z +2 3z f. 5 6 4 2 3 2 6 + 4y 35y 3z 2z z 2z 1 =2– 4 3 2 + =–(y – 1,5) – = + 3x–4 1 3z 2z z 2z 4y =x+6 6 + 56y =–(y – 1,5) 2 +3 2 2 1 – = 4 4 2 2 31 2 4 63z 6 2z z 2z 2 + = z –2z 2x 1 3z +6=0,75 5(x2– 2) 3 = 2– 4 2 + 2z 5 2 2 3 12 4 1 12 0,5(z +3z)= (z – 10) ¿Qué debiste hacer para que3la resolución de las ecuaciones cupiera en el 2 espacio asignado? Explica. –y – 3 =6(y – 6) 3 4y 5y + =–(y – 1,5) 6 6 3z 2z z 2z + = – 2 3 2 4 1 2 1/2/10 08:50:03
2.
3.
–(x +3x) 2 = (x – 2) 1 2 2 35 3 4 5 3 1 4 5 12 – 2 4 0,75(y +3y)= (y – 5) 5 0 20 y =– 11 w 1 2 w +5 – = + 3 5 3 2 101 – 5 5 0,25z + 4= (z – 3) 6 3 cm 4 3 (x +12)+84cm 4
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–(x +3x) 2 = (x – 2) 2 3 1 –(x +3x)para 2 la ecuación Verifica si el valor dado es solución planteada. – = (x – 2) 2 2 3 4 1 –(x +3x) 2 c. 0,75(y a. +3y)= = (x – 2) x = – –(x +3x) 2 (y – 5) = (x5– 2) 2 2 3 2 3 0 4 20 1 0,75(y (y––15) – –(x +3x)+3y)= 2 = (x 5– 2)– 11 2 2 2 3 w 1 2 w +5 20 0 4 – = + 4 – 0,75(y +3y)= (y – 5) 1 –(x +3x) 2 0,75(y 3 5 +3y)= 3 2 (y – 5) – 11 = (x5– 2) 5 2 2 3 w 1 2 w +5 101 20 0 – = + 4 – 20 –1 0 5 0,75(y – 11 3 5 +3y)= 3 2(y – 5) 11 5 2 5 101 w 1 2 w +5 0,25z – 3) –20 – = + 4 w 1 + 4= 2 w(z+5 0 – = +6 0,75(y 3 5 +3y)= 3 2 (y – 5) – 5 3 5 3 2 11 5 3 5 101 cm 0,25z – 20 w 1 + 24= w(z +5– 3) 101 0 –4 – = +6 – 5 3 5 3 2 5 11 3 5 5 3 (x +12)+84 cm x +30cm cm 0,25z – 3) 5 101 w 1 + 4= 2 w(z+5 0,25z + 4= (z – 3) b. w = –4 d. 4 z = 13 2 – = +6 6 5 3 5 3 2 3 3 5 cm 3 x +30cm 5 cm 101 (x +12)+84 0,25z 4= (z2 – 3) 2cm –4 4–(x++3x) 42) 6 5 = (x – 3 2 3 (x +12)+84 5 3 x +30cm 5 cm 3 (x +12)+84cm 0,25z 4 + 4= (z– 3) 1 2cm 4 4– 6 35 2 3 x +30cm (x +12)+84cm 4 5 x +30cm 2cm 4 40,75(y +3y)= (y2– 5) 5 3 5 (x +12)+84cm 0 20 –(x +3x) 2 –x +30cm = (x – 2) 4 2 11 2 3 –(x +3x) 2 5 = (x – 2) x +30 w 1 1 2 w +5 2 cm 3 –– = + 2 3 25 3 2 1 – Resuelve los siguientes problemas. 101 4 2 – 0,75(y +3y)= (y – 5) 2 5 5 a. La superfi de la4fi(y gura 0,75(ycie +3y)= – 5)mide 21 cm . ¿Cuánto mide su perímetro? 5 0 20 5 – + 4= (z – 3) D C0,25z 6 11 0 20 – 3 w 1 2 w +5 11 cm– = + 2 43 5 3 w 1 2 w +5 – = + 101 A B 3 3 5 (x 3+ 4) cm 2 –(x +12)+84cm 4 5 101 – 5 50,25z +4= 5 (z – 3) x +30cm 6 5 2 0,25z + 4= (z – 3) 3 6 b. Si el perímetro del triángulo es cm de 240 cm, ¿cuál es la medida de cada uno de 4 sus 3lados? cm 3 4 (x +12)+84cm 3 (x +12)+84cm C 4 4 5 x +30cm 5 2 x +30cm 2 A (30x – 16) cm B
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Problemas de planteo Las ecuaciones permiten modelar diversas situaciones y, con ello, determinar la solución al problema planteado. Para esto, debes definir las variables que ocuparás, adecuándolas al contexto del problema. Observa el siguiente ejemplo: “El largo de un terreno rectangular mide 10 metros más que su ancho. Si el terreno tiene un perímetro de 60 m, ¿cuánto mide su superficie?”. Debido a que el ancho del terreno está en función de su largo, es posible definirlo con la letra x. Por lo que la longitud del largo del terreno se podría representar por x + 10, ya que tiene 10 m más de longitud. A su vez, el perímetro (60 m) corresponde a la medida del contorno, por lo que la ecuación que lo representa es:
2x + 2(x + 10) = 60
4x + 20 = 60 4x + 20 – 20 = 60 – 20 4x = 40 40 x= 4 x = 10
Luego, la medida del ancho del terreno es de 10 m y su largo mide 20 m. Por lo tanto, la superficie mide 10 m • 20 m = 200 m2
Para grabar Al resolver ciertos problemas, es posible realizar un modelamiento aplicando ecuaciones de primer grado con una incógnita. Para ello, se deben definir las variables que se utilizarán en la resolución del problema.
1.
Analiza cada problema y escribe la variable que utilizarías para resolverlo. Luego, plantea una ecuación que modele el problema. a.
La suma de dos números es 148. Si el mayor excede en 20 unidades al menor, ¿cuáles son los números? Variable:
b.
Si se compran cuatro chocolates en $ 4.200, ¿cuánto se pagaría por 7 chocolates? Variable:
c.
Ecuación:
Una motocicleta tiene un precio de venta de $ 1.490.000. Si se cancela en 36 cuotas de $ 65.589 cada una, ¿cuánto más se pagará por sobre el precio original? Variable:
76
Ecuación:
Un celular tiene un valor de $ 110.000. Si este monto disminuye un 10%, ¿cuál es el nuevo precio? Variable:
e.
Ecuación:
Un edificio tiene 95 pisos. Si cada piso tiene 10 departamentos, ¿cuántos departamentos tiene el edificio? Variable:
d.
Ecuación:
Ecuación:
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Resuelve los siguientes problemas. a. La suma entre el sucesor de un número y el mismo número es 4.295. ¿Cuál es la quinta parte del sucesor del número?
b. Un estudiante lleva una cantidad de dinero al colegio y el doble de esa cantidad lo deja en casa. Si en total tiene $ 6.993, ¿cuánto dinero deja en su casa?
c. El doble de un número, que se disminuye en 24 unidades, es 80. ¿Cuál es la mitad del número?
d. El perímetro de un rectángulo es 480 cm. Si un lado mide el quíntuple de otro, ¿cuál es la superficie del rectángulo?
e. Un vehículo tiene un precio de venta de $ 4.990.000. Si se ha comprado en 36 cuotas de $ 179.990 cada una, ¿cuál es la cantidad de dinero que se pagará en intereses?
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evaluación formativa
Analizando disco
Lenguaje algebraico.
1 Relaciona la expresión escrita en lenguaje natural de la columna A con la expresión algebraica de la columna B. Para ello, anota en la columna B la letra correspondiente. Columna A
Columna B
a. Un número par.
y + 1; y + 2; y + 3
b. Un número impar.
2n + 1
c. El triple de un número.
k2
d. Números consecutivos.
2w
e. El cuádruple de un número.
n 3
f. El cuadrado de un número.
3p
g. La tercera parte de un número.
d + 2e
h. Un número aumentado en el doble de otro número.
4n
Ecuaciones con coeficientes enteros.
2 Resuelve las siguientes ecuaciones.
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a. 2x + 4 – (x + 4) = 2x – 3
c. 2(p – 7) + 2p = 3(p + 1) – 2
e. 4x + 3 – (2x – 1) = x + 5
b. 7x + 8(x – 9) = 17x + 3(x + 7)
d. 15(7 – x) = –15(8 – x) + 75
f. 25x + 5 – (87 – x) = –x + 17
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2x +6 = x + 16 8 Ecuaciones con coeficientes fraccionarios y decimales. 2x +6 7 1 2 2 1 = x + 16 x – x = x +5 – 1 3 Resuelve las siguientes ecuaciones. 8 3 5 15 3 5 7 1 2 2 1 7p +8 2x +6 b. x – x = x +5 – 1 c. a. =0,,6(p +8) = x + 16 3 5 15 3 5 9 8 7p +8 2p +6 7 1 2 2 1 =0,,6(p +8) = p – 8; p=8 x – x = x +5 – 1 9 3 3 5 15 3 5 2x +6 + 16 2p +6 11 7q+5 = x3q+7 7p +8 = p – 8; p=8 ;q = 8 = =0,,6(p +8) 3 5 3 2 9 7 1 2 2 1 2x +6 x – x5 = 7x x +5 – 1 40 + 16 11 7q+5 = x3q+7 2p +6 ;q = 30,75x5+ = 15 + 1;3x =5 = p – 8; p=8 8 = 5 3 2 7 5 91 3 7p +8 2x +6 7 1 2 2 1 , 6(p +8) =0, = x + 16 x – x = x +5 – 1 40 5 7x 11 7q+5 3q+7 0,75x 9 ;q = 8 = 3 5+ =15 + 1;3x =5 7 5 91 5 3 2 2p +6 7 1 2 2 1 7p +8 = p – 8; p=8 x – x5= 7x x +5 – 1 40 =0,,6(p +8) 3 0,75x 3 5+ =15 + 1;3x =5 9 7 5 91 11 7q+5 3q+7 7p +8 2p +6 = ;q = =0,,6(p +8) = p –de 8; p=8 las ecuaciones planteadas. 4 Verifi9ca si los siguientes valores son soluciones 5 3 2 3 5 7x 40 2p +6 11 7q+5 3q+7 b. c. 0,75x + = + 1; x = a. = p – 8; p=8 = ;q = 7 5 91 3 5 3 2 11 7q+5 3q+7 5 7x 40 = ;q = 0,75x + = + 1; x = 5 3 2 7 5 91 5 7x 40 0,75x + = + 1; x = 7 5 91
Problemas de planteo.
5 Resuelve los siguientes problemas. a. Un número y su sucesor suman 27. ¿Cuál es el cuadrado del número menor, menos el cuadrado del número mayor?
b. Si a un número se le suman dos unidades, resulta el triple del mismo número, disminuido en 10 unidades. ¿Cuál es el cuadrado del número?
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ax – 2 = 4a ax = 4a + 2 Para saber más 4a + 2 ; a ≠en0.las ecuaciones x= Generalmente, a 4a + 2 literales se representan con las – primeras a 2 = 4a letras del abecedario a (a, b, c, d, etc) las constantes 4a + 2 – literales 2 = 4a y con las últimas letras (v, 4a =w,4ax, y, z), a las incógnitas. Pero esta notación dependerá de 4a + 2 ejemplo, en Física cada a≠ 0 x = caso. ;Por a la fórmula se utiliza d v = para calcular la rapidez t (v), distancia (d) y tiempo (t). En ella, cualquiera de las tres letras puede representar a la incógnita.
Ecuaciones literales En algunas ecuaciones hay una o más letras además de la incógnita, y su valor dependerá de cada una de estas letras adicionales, conocidas como constantes literales. En este caso, se hablará de una ecuación literal. Para resolverla se procede de la misma manera que para las ecuaciones vistas anteriormente, teniendo claridad en que el valor de la incógnita podrá estar expresado por las constantes literales que haya(n) en la ecuación. En caso de despejar la incógnita y que una o más de las constantes literales queden en el denominador, se debe especificar que ax –– 22 == 4a 4a estas son distintas de cero. ax ax == 4a 4a ++ 22 ax Para grabar 4a ++ 22 4a ; a ≠ 0. Verificación:xx == Una ecuación literal es aquella Ejemplo: a ; a ≠ 0. a en que hay una o más letras 4a + 2 Determina el valor de x: (constantes literales) además aa 4a + 2 –– 22 == 4a 4a ax – 2 = 4a aa de la incógnita. Para hallar ax = 4a + 2 la solución de este tipo de 4a ++ 22 –– 22 == 4a 4a 4a ecuaciones se puede aplicar el 4a + 2 4a == 4a 4a 4a ; a ≠ 0. x= mismo procedimiento utilizado a 4a ++ 22 4a para ecuaciones con coeficientes ≠ 00 , es Por lo tanto, xx == a ;; aa ≠ 4a + 2 – 2 = 4a literal a debe ser enteros o fraccionarios. a La constante a a de cero. distinta d solución de lav ecuación. d v == t 4a + 2 – 2 = 4a t 1. Resuelve las siguientes ecuaciones 4a = 4aliterales. Recuerda escribir la restricción si corresponde. 4a + 2 ; a≠ 0 x= a. x – 4ab = 28(x + b) – 3(ab + b) a d. y – 3(a + p) = 5(y – 8a + p) d v= t
a=
b. 4x + 2a = 144 – 6(7b + x) – 2(x + y)
x=
c. 7(a + x – b) – 8(a – x – b) = –(s – x)
b=
80
a=
e. –5(y + p) – (q – 7y) = –(y + 8b)
y=
f. –2(y – 3bp) – 4ax = 12(8 – 7bp)
p=
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Resuelve las ecuaciones según la incógnita indicada y verifica si coincide con la solución que se da. 7–12a–ab x= a. 3a(x + 4) – a(x + b) = a(x + 7) c. 7x(p – q) + px – qxa = 2(px – 4) 8qx – 8 7–12a–ab Solución: x = ; a 0. Solución: p= ; x 0. 6x a 8qx – 8 7xp–8p p= x= p= a= 6x 6x 7xp–8p 24 – 19p a= q= 6x 11 7–12a–ab x = 24 – 19p q= a 11 8qx – 8 7–12a–ab p= x= 6x a 8qx – 8 7xp–8p p= a= b. 7x(a + p) + x(p 6x – a) = p(x + 8) d. 9(p + q) = 8(q +6x3) – 10(q + p) 7xp–8p 24 – 19p ; x 0. Solución: q= . Solución: a= 6x 11 24 – 19p q= a= q= 11
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Desafío ¿Cuál es valor de x en la siguiente ecuación? ax – 2 = bx – 4
Resuelve los siguientes problemas. a. Si el perímetro de un rectángulo es (8x + 4p) cm y uno de sus lados mide (3x + p) cm, ¿cuál es la medida de sus lados restantes?
b. Si el perímetro de un triángulo isósceles es de (7x + 2(p + q)) cm, y su base mide (3x + 2p) cm, ¿cuál es la medida de sus otros dos lados?
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Ecuaciones en Física
La Física es la ciencia que estudia la forma en que se relacionan ciertas variables, por ejemplo, tiempo, distancia, aceleración, rapidez, entre otras. Para ello, se ocupan fórmulas que utilizan el lenguaje algebraico para representar las relaciones entre las variables ya nombradas. d Para calcular la rapidez (v) de un móvil se emplea la fórmula v = , donde d es t la distancia, medida por lo general en metros (m), y t es el tiempo, m m 100m d medido =(100:9,58) = 10,,44 ; apr = la rapidez habitualmente en segundos (s). Así, por ejemplo, si se quierev= calcular s s t 9,58 s con que Usain Bolt recorrió la carrera de los 100 metros planos en el Mundial de d d 2009, en el que registró un tiempo de 9,58 Atletismo de Berlín v =segundos, se realiza v= t lo siguiente: t d v v = v= d = 100m =(100:9,58)dm = 10,,44 m ; aproximadamente. λ= t f v= s t 9,58 s s=dd vv= m t d 100m m d tt = 10,,44 10,44 =(100:9,58) = Bolt ; aproximadamente. d recorrió tm = un segundo. Es decir,v= Usain aproximadamente metros en m td v =9,58 s s =(100:9,58) d sv= d = 100m m m dd 100m m 100m v= 10,,44 ; aproximadamente. m v = t ==10, =(100:9,58) 10,,44 = =(100:9,58) v= = aproximadame v= ,44 ;;aproximadame v= sv t 9,58 s s t dt s 9,58 s s t s 9,58 s t s v f= vPara = λgrabar d = m dmv =100m λ m dt 100m m d d = 10,,44 ; aproximadamente. v= = = 10,,44=(100:9,58) ; aproximadamente. v= = f =(100:9,58) v = v = t Algunas fórmulas utilizadas 9,58 s s t ssiguientes: s en Física son las tv 9,58 tt s F= k • qs1 • q2 λ= t= d v d λ= vv d2 df v λ = λ = (2) λ= (1) v = v= d f 1 t ff t= t f = v yt = y0 + v0t + gt2 d v v dd 2 De (1) tambiénv se puede λ obtener d = vλ•=t, y t = ; mientras quett=de = (2), se puede obtener v = λ • f, y λ=v v f v k • qλ1 •esq2la longitud de la onda,v f es la frecuencia vy v es la rapidez de la onda. también f = f ;F= donde d vv dλ 2 t= f = λ ff== t = k •q •q d λλ 1 2 v F=v 12 2 k • q1 • q2 gt y = y + v t + v kk••qq11••qq22 v dt 0 0 f = F=Luego, 2 despeja f = las siguientes 2fórmulas. F= F=la variable 1. Analiza indicada. d λ 1 dd22 yt =λy0 + v0t + gt2 k • qy1 = • qy2 + v t + 1 gt2 k • q1 • q2 2 11 22 2 F= t 0 0 c. yy = gt , despeja v0. =yy00++vv00tt++ gt , despeja d . a. F= 2 2 tt 2 d 22 d 1 1 yt = y0 + v0t + gt2 yt = y0 + v0t + gt2 2 2
¿Qué permiten calcular las fórmulas de la actividad 1?
b. S = S0 + v • t, despeja t.
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d. F = K(L – L0), despeja L.
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2.
d Evalúa en cada fórmula las magnitudes asociadas a cadavvariable. Luego, responde cada pregunta. = t d m • v2 a. v = c. Ec = t 2 d v= 2 m d m• v v: rapidez. Ec: energía cinética. t v =0,5 = Ec = d: distancia. m: masa. s t 2 m • v2 E = 2 t: tiempo. v: rapidez. c m m •∆vv 2 F c=m v =0,5 E = • s 2∆t m Si d = 180 m y t = 1,5 s, ¿cuál es el valor de v? Si m5= 2,25 kg y v =0,5 , ¿cuál d es el valor de Ec? ∆v m sv = m= F =m • v =0,5kg t 2 s ∆t ∆v F =m • m • v2 5 ∆v m E = ∆ t v =0,75 c m=d kg F∆=m • d 2 v= ∆t s v= 2 5 t kg m= t m ∆tt =0,5 m d 5 s 2 v =0,5 ∆v =0,75 m= kg m • v2 m • v2 v = s s t Ec = Ep =m 2 • g•h Ec = m ∆v =0,75 2 ∆v ∆tt =0,5 d2 s m • v2 F =m s • mm ∆ v =0,75 v = m Ec = m ∆t g =9,8 v =0,5 s Evp=0,5 =mt• g • h 2 ∆tt =0,5 s 2 s s 2 s 5 ∆t t =0,5 s m Ep =m • gm= • h kg mv• vv =0,5 m Ec = ∆ ∆v 2 v g =9,8 F =m • b. F =m • 22 d. Ep =m • g • h s m ∆t ∆ s tm g =9,8 ∆v =0,75 m v ∆v m F =m • v =0,5 5 5 F: Egp=9,8 : energía potencial. s2 s v fuerza. m= kg ∆t kg s m= m: masa. 2 m: masa. 2 2 ∆t t =0,5 s s v ∆v 5 v gravedad. Δv:F =m variación de la g: aceleración de kgvelocidad. m= • m m Ep =m • g • h v ∆ v =0,75 2 ∆ t ∆ v =0,75 v Δt: variación h: altura. s s del tiempo. m 5 v m Si Δv =0,75 y∆t Δt =0,5 s, ¿cuál es el Si m = 0,1 kg, h = 12 m y g =9,8 , ¿cuál es el valor ∆ttm= =0,5kg s ,∆ s 2 s2 Ep =m • g • h Ep =m • g • h∆t t =0,5 s valor F? m de Ep? ∆vde =0,75 v m m E s=m • g • h g =9,8 p g =9,8 v ∆tt =0,5 s2 s2 s m g =9,8 v v Ep =m • g • h s2 v v g =9,8 mv s2v v v
3.
Analiza la siguiente información. Luego, responde. En un problema que involucre la distancia se cumple la siguiente ecuación de movimiento: x = x0 + v • t, que relaciona la posición inicial (x0), la rapidez (v) y el tiempo (t). a. Determina las fórmulas asociadas a: v=
t=
x0 =
b. Calcula la rapidez de una partícula si la posición inicial es de 10 m, el tiempo transcurrido fue de 20 s y se produce un avance de 30 metros.
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Ecuaciones en Geometría Así como las ecuaciones son aplicadas a la Física, también se pueden aplicar a la Geometría. Por ejemplo, se tiene una goma de borrar que puede ser representada por un prisma rectangular cuya altura es 12 cm; su largo, 8 cm, y su volumen, 576 cm3. ¿Cuál es la medida de su ancho? Si se representa gráficamente la situación y luego se plantea la ecuación respectiva, se tiene: V prisma = A base • Altura (h) 576 cm3 = 8 cm • x • 12 cm 576 cm3 = 96 cm2 • x 576 cm3 =x x 96 cm2 576 cm3 8 cm =x 64 πcm r3 = x 96 cm2 V = Luego, el ancho de la goma de3 borrar es de 63 cm. 3 576 cm 4 πr = x V = πr 2h 3 96 cm2 V= Para grabar 3 576 cm3 πr 2h 4 πr 3 = x V = V = Algunas fórmulas utilizadas en Geometría para calcular el volumen son: A •h 3 96 cm2 3 V = base V = Abase • h A •h 4 πr 3 V =3 Aπr2 • h πr 2h V = base V= V= 3 3 3 2 A •h πr hde Volumen Volumen de Volumen de Volumen de Volumen V= V = basede una esfera. un cono.3 una pirámide. un cilindro. un prisma. 3 A base • h V= 1. Analiza3 los siguientes cuerpos geométricos. Luego, responde. h = 12 cm
Para saber más Las fórmulas de volumen de los cilindros y de los prismas se diferencian en que en los primeros las bases son círculos, mientras que en los segundos son polígonos.
a.
b. h
5m 7m AB
Si el volumen (V) del cilindro es Si el volumen (V) de la pirámide es 490 m3, ¿cuánto mide su altura (h)? 750 m3, ¿cuánto mide su área basal (AB)?
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Resuelve los siguientes problemas. a. Una pirámide de base cuadrada tiene un área basal de 2.304 m2. Si el volumen de la pirámide es de 7.680 m3, ¿cuál es la medida de la mitad de su altura?
b. El área de una de las bases de un prisma recto es de 21 cm2. Si el volumen del prisma es de 147 cm3, ¿cuánto aumentaría su volumen si la altura se triplica?
c. Las dimensiones de una caja con forma de paralelepípedo son: 36 cm, 24 cm y 30 cm (largo, ancho y alto). En esta caja se quieren introducir paquetes cuyas dimensiones son 9 cm, 6 cm y 5 cm (largo, ancho y alto). ¿Cuántos de estos paquetes caben, como máximo, en la caja?
d. Un depósito tiene forma de cono y su radio basal es de 30 m de longitud. Si contiene líquido hasta el 60% de su capacidad, que corresponde a 48.600 L de agua, ¿cuál es la altura del depósito? Considera = 3.
e. Si el volumen de una esfera es de 2.916 cm3 y se considera = 3, ¿cuál es la medida de su radio? Conservando la medida de su radio y considerando = 3,14, ¿en cuántos cm3 varía su volumen? Redondea a la décima.
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Análisis de soluciones En esta unidad trabajaste el lenguaje algebraico y las ecuaciones, procedimientos y estrategias de resolución en problemas de planteo, debiendo contextualizar la solución encontrada. Es por esto que es necesario analizar la solución obtenida en una ecuación y verificar el contexto en el que está planteada. Por ejemplo: “Los alumnos y alumnas de un curso han donado alimentos no perecibles a una localidad necesitada. Si en total donan 81 huevos y serán organizados en docenas, ¿cuántas docenas de huevos formarán?” 81 La ecuación que se puede plantear es: 81 = 12x ⇒ = x ⇒ x = 6,75 12 km Luego, los 81 huevos serán organizados en 6,75 docenas. 80 h sentido hablar de La respuesta obtenida satisface la ecuación, pero no tiene 6,75 docenas de huevos. Por esto, la solución se debe contextualizar de acuerdo al problema planteado. En este caso, se puede interpretar diciendo que se formarán 6 docenas, y que en otra bandeja habrá 9 huevos.
Para grabar Analizar la solución de una ecuación consiste en determinar si la respuesta encontrada es solución del problema planteado a partir del contexto de la situación modelada. Para verificar si una solución es adecuada para el problema planteado se debe revisar la pregunta y responder dentro del contexto.
1.
Resuelve los siguientes problemas contestando la pregunta de manera adecuada. 81 =x 12un vehículo recorre una distancia de 150 km con una rapidez constante de a. Si km 80 , ¿cuánto tiempo se demora en recorrer dicho trayecto? (Expresa el h tiempo en horas, minutos y segundos).
b. Si una sala de clases tiene una altura de 3 m y se desean apilar verticalmente cajas de útiles escolares cuyas alturas son de 35 cm cada una, ¿cuántas de estas cajas se pueden apilar como máximo?
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c. Un padre reparte entre sus tres hijos $ 28.000. El menor recibe la mitad de lo que recibe el segundo, y este, la tercera parte de lo que recibe el mayor. ¿Cuánto dinero recibe cada uno?
d. Si el perímetro de un triángulo isósceles es 32 cm y su base mide la mitad de cada uno de los lados que tienen igual medida, ¿cuál es la medida de cada lado del triángulo?
e. Si un rectángulo tiene un perímetro de 92 m y uno de sus lados mide 10,4 m más que otro, ¿cuántos cuadrados de lado 4 m se pueden dibujar como máximo en el interior del rectángulo?
f. Las casas de Alejandro, Manuel y Sandra están situadas en los vértices del siguiente triángulo: Manuel (x + 40) m xm
Alejandro
(x + 10) m
Sandra
Si cuando Alejandro va a buscar a Manuel recorre 0,1805 km, ¿cuántos metros hay entre las casas de los tres amigos?
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¿Qué es aplicar? Aplicar consiste en llevar a cabo o utilizar un procedimiento en una situación dada.
¿Qué tengo que hacer para aplicar un procedimiento? Interpretar la información entregada en el problema utilizando la representación. Emplear el procedimiento propuesto en la resolución del problema.
Etapas de la resolución de problemas. Paso 1: Comprende el enunciado. Paso 2: Planifica lo que vas a realizar.
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Trabajo de habilidades
Resolución de problemas 1 Analiza la resolución del siguiente problema. Un estudiante realiza una prueba de Matemática compuesta por 20 problemas. Por resolver correctamente un problema obtiene 8 puntos y por responder un problema de manera incorrecta se le descuentan 2 puntos de su puntaje total. Si el estudiante obtiene 120 puntos, ¿cuántos problemas resolvió correctamente y cuántos de manera incorrecta?
Paso 1 Comprende el enunciado ¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema? La cantidad de problemas resueltos de manera correcta y la cantidad de problemas resueltos de manera incorrecta. ¿Qué información entrega el enunciado del problema? La cantidad de problemas que componen la prueba, el puntaje asignado a cada resolución correcta y a cada resolución incorrecta y el puntaje final obtenido por el estudiante.
Paso 2 Planifica lo que vas a realizar Se debe plantear la ecuación que representa la situación. Previamente se debe definir la incógnita que se debe encontrar. Finalmente, se resuelve la ecuación planteada y se contextualiza la solución al problema planteado.
Paso 3 Resuelve el problema Aplicar consiste en usar un procedimiento aprendido en una situación para resolver otra con la que no se está familiarizado. Para ello debes:
Paso 3: Resuelve el problema. Paso 4: Revisa la solución.
Interpretar la información. x
20 – x
20 problemas
Emplear el procedimiento. Si x representa la cantidad de problemas resueltos correctamente por el estudiante, entonces 20 – x representará la cantidad de problemas resueltos de manera incorrecta. Luego, una ecuación que representa la situación es 8x – 2(20 – x) = 120. Su resolución es: 8x – 2(20 – x) = 120 8x – 40 + 2x = 120 10x =160 x = 16
/ resolviendo y sumando 40 1 /• 10
Lo que significa que el estudiante resolvió 16 problemas correctamente y 4 de manera incorrecta.
Paso 4 Revisa la solución Si el estudiante resolvió correctamente 16 problemas, entonces obtuvo 16 • 8 = 128 puntos. Sin embargo, como resolvió de manera incorrecta 4 problemas se le descontaron 4 • 2 = 8 puntos. Finalmente, se tiene que el estudiante obtuvo 128 – 8 = 120 puntos.
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2 Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente. Si las edades de cuatro hermanos suman 129 años, ¿cuáles son sus edades si la del primero es el doble que la del cuarto; la de este es 5 años menor que la edad del tercero, y la edad del segundo es cuatro tercios la edad del tercero?
Paso 1 Comprende el enunciado ¿Qué datos son necesarios para resolver el problema? ¿Qué información entrega el enunciado del problema?
Paso 2 Planifica lo que vas a realizar
Paso 3 Resuelve el problema
Paso 4 Revisa la solución
3 Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas. a. En una bolsa hay solo monedas de $ 100 y $ 500. Si en total hay 35 monedas en la bolsa, completando un total de $ 10.300, ¿cuántas monedas de $ 100 y cuántas monedas de $ 500 hay en la bolsa? b. En una parcela hay solo gallinas y conejos. Si en total hay 130 patas de animales, y se sabe que hay 44 animales, ¿cuántos pollos y cuántos conejos hay en la parcela?
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evaluación sumativa
n 4 4 n una de las preguntas y marca la alternativa correcta. I. Lee atentamente cada 4 – 7 1 ¿Qué alternativa representa, 5 ¿Cuál es la solución de la ecuación de primer en lenguaje 1 grado con una incógnita 2x + 3 = 4x – 5? natural, la expresión x ? 5 A. x = –4 A. Un número a la quinta. B. x = –2 B. El quíntuplo de un número. C. x = 0 C. La quinta parte de un número. D. x = 2 D. Un número disminuido en cinco unidades. E. x = 4 E. Un número aumentado en cinco unidades.
Verificando disco
2 ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el perímetro de un cuadrado cuyo lado mide n cm?
6 Si la balanza se encuentra en equilibrio, ¿qué ecuación representa la situación?
A. 4n cm B. n2 cm n n cm C. 4 4 4 D. 4 cm n n 2 – 4n) cm E. (n4 –– 4 7 7 3 ¿Cómo 11 se puede representar el triple del cubo de la xxdiferencia entre dos números? 5 5 A. 3x3y3 B. 3x3 – y3 C. 3(x – y)3 D. 3(x3 + y3) E. 3(x3 – y3) 4 ¿Qué ecuación representa que al doble de la suma entre un número a y un número c le falten 4 unidades para ser 18? A. B. C. D. E.
2a + c + 4 = 18 2a + c – 4 = 18 2(a + c) – 4 = 18 2(a + c) + 4 = 18 4 – 2(a + c) = 18
A. B. C. D. E.
7 ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es de primer n una incógnita? grado con 4 I. x2 – 1 = x2 + 6x + 5 4 II. 0,25xn – x = 0,75 4 III. y = – 7 A. Solo1I. x B. Solo5II. C. Solo I y II. D. Solo II y III. E. I, II y III. 8 ¿Cuál de las siguientes ecuaciones tiene la misma solución que 6x – 3 = 15? A. B. C. D. E.
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500x = 2.000 500 + x = 2.000 500 – x = 2.000 x + 2.000 = 500 –2.000 – x = 500
3x – 1 = 7 4x – 3 = 15 5x + 2 = 13 6x + 3 = 12 7x – 10 = 11
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9 Si bx + b = ba + b, ¿cuál es el valor de a + x? A. B. C. D. E.
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a 2 2a 1+a 1–a
10 ¿Cuál es la solución de la ecuación 2(x – 3) = 4(x – 2)?
15
A. B. C. D. E.
x = –2 x = –1 x=1 x=2 x=3 2 – 11 ¿Cuál5es el valor de x en la siguiente ecuación? 3(x –12) – 2(x – 1) = –5 – 4x – A. 3 5 1 B.– 2 55 32 C.– –1 5 52 –5 1 D. 1–x5+ 2x = 7 5–351 2 E. 3–415 2 5 5–5315 31 7 x–5 +512x = 7, ¿cuál es el valor de x? 12 Si –3 35 35 5x1 +42x = 7 A.41z= 1 5 3 a B. 33x5 + 2x = 7 3 4 10 C.773 3 z= 5 3 a 4 3 D. 5 x3 4 7 4 2x = 7 z=– x+ z= 3 +a 2x 73 a =7 E. 3 4 3 10410 z= 4 z=– z= 13 Si a 3 04a ya z 0, ¿cuál es el valor de z en la z= 3 a 7 ecuación az +– 1) 3 = 7? 10 x – 14 a 2(x z= =x + 7 z=– 32 10 a 3 a 3= 44 A. zz= 4 1 5 a4 10 z= z=– +p + = 2p –4 z=– a z= a4 3 12 B. z=– 4a a 10 10 xz= –11 10a2(x – 1) z=– =x +a z= C. 218 a10 z=–a4 3 x – 15 a2(x –41) 1 4 z=– +4 + == x 2p x92–– 14 a+p 2(x3–31) 12 D. z=– =x +10 a 4 1 5 102 3 12p z=– – 10+p + = E. 18z=– 3 12 1 4 5a 11 4 = +p + 2p x81––1 4a2(x – 1) 3 = x12 4x – 1 + 2(x – 1) 3 2 =x 31 + 918 2 5 3 4 1 4 185 – +p + = 2p 10 x5= 4,5 4 1 2p 9 – 4 +p + 3 = 12 100 114 3 12 1 4 10 50 9 U3_1ºM_Mat_v7.indd 91 8 1 x = 450
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3 5–7 32 4 x5 z= 3+5 2x = 7 a 3–x 1 4 + 2x = 7 10 4z= 35 a 1 2 z= 5 6 7 35 a 4 1 3 1 2 4 5 6 7 342 10 4 z= – 5 z=– 735 a a 3 4 37 1 10 –z=– 5 z=– 3 4 z=5 a a x a410 + 2x = 7 1 z= x – 1 2(x – 1) z=– 3 a a la ecuación Al resolver = x, ¿cuál es + 5 10 z= 3 2 el valor de x? 4 10 a x – 1 2(x – 1) 3 z= = x 2p – 5 +p + 4 = 1 + A. z=– 5532 4a 3 3 12 4 B. 67 a4 1 4 5 x z=– 1 +p 2x = 7+ = C. 72p 3 +–10 3 12 18 4a 3 z=– D. 9 4a10 41 z= z=– 4 E. x11 – 1 a 2(x – 1) 18 3 +a =x 9 x2–es 110la2(x 3 – 1) 4 ¿Cuál solución de la 7 z= =x + 10ecuación con incógnita 4 1 5a 3 2 9 3 – +p + = ? 11 p: 2p 5 34 121 10 –444 z=– +p + = 2p 8 z= 111 4a 12 3 A. 0 a 3 18 81 1010 z=– 5 B. 4z= a x = 4,5 18 a 3 100 x5– 1 2(x – 1) 94 C. z=–x+4= 4,5 = x 50 10 x = 450 92 a 3 100 100 1 4 5 1110 50– 10+p + = D. 2p x = 450 3 12 8z=– 11 100 4a 381 E. x – 1 2(x – 1) 18 352 + 3 = x x = 4,5 45 100 4 1 x5= 4,5 + la=ecuación a – 2y = 1 – y es: 2p El valor y en 9 – de+p 50 100 x4= 450 3 12 50 A. 100 y10 = 1 0x = 450 B. y100 11= 1 18 C. y8= –a 4 D. y3 = 1 + a E. y95= a – 1 10 x = 4,5 100de las siguientes ecuaciones es ¿Cuál 11 50 equivalente a la ecuación 0,05x = 4,5? 8 x = 450 100 A. 0,5x 3 = 450 5 x = 4,5 B. 100 50 C. x = 450 100 D. 5 • 10-3 • x = 45 • 10–2
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E. 0,5 • 10–2 • x = 0,45 • 10–1
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9 3 9 – – 8 2 8 2 – 3 9 9 3 – 2 8 t–r 8 r 3 3x 22 Si el9ancho de un rectángulo mide cm y el 2 2 largo mide el doble del ancho, ¿cuánto 9x mide su t – r perímetro? 2 r A. 3x 9x2 3x B. 6x cm 2 2 C. 9x 9x D. 2 9x2 E. 2
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evaluación sumativa
Verificando disco
18 ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones tienen igual solución? x 1 + =6 3x 21 + =6 II. 2x = 36x 3 +=233,3 0,2 x 3,3 III. 0,2 = 3 1 – =x9 3I y II. A. Solo∆ 1 – =9 9 x 1II y III. B. xSolo – ++1∆==66 C. 3Solo 329 22I yx III.1 + =6 D. I,–22 II y 3,3 III. 3,3 3 2 – 0,2 = 0,2 = E. Ninguna las anteriores. 92 xx de 3,3 – 3933 0,2 = x 19 Si 11––– ==99, entonces el valor de es: 83∆ ∆ 3 – 8998 1 – ∆ = 9 A. –– 38 22 9 93 2 –2 2 B. –– 299 2 t233– r – 9 C. –– t8r– r 3 8 – 883xr cm 8 D. 2 333x cm8 9x 9 92 3 E. 2 229x 9 2 tt9x –2–rr 2 20 Si t = 0,9, ¿qué valor de r hace verdadera la r 2 t–r 9x r2 igualdad = 1? 3x2 3x r cm cm A. 0,45 22 3x cm B. 9x 0,9 9x 2 C. 1,1 22 D. 1,822 9x 9x 2 de las anteriores. E. 9x Ninguna 22 9x2 21 En la ecuación 2 50t + 20(2 – t) = 82, donde t representa el tiempo en horas, ¿cuál es el valor de t que satisface la ecuación? I.
A. B. C. D. E.
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23 Si el largo de un rectángulo mide 10 unidades más que su ancho, ¿cuál de las siguientes expresiones representa el perímetro del rectángulo si y es la medida del ancho? A. B. C. D. E.
y – 10 2y – 10 2y + 10 4y – 20 4y + 20
24 El largo de un rectángulo mide (3x + 2y) cm. Si su perímetro es de (10x + 6y) cm, ¿cuánto mide el ancho del rectángulo? A. B. C. D. E.
2x + y x + 2y 4x + 2y 7x + 4y 27x + 2y
25 Jorge compró en $ (4a + b) tres artículos distintos. Si el primero le costó $ a y el segundo $ (2a – b), ¿cuánto le costó el tercero? A. B. C. D. E.
$a $ 7a $ (3a – b) $ (3a + 2b) $ (a + 2b)
1 hora y 4 minutos. 1 hora y 6 minutos. 1 hora y 12 minutos. 1 hora y 24 minutos. 1 hora y 40 minutos.
Unidad 3 • Ecuaciones
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26 Si una pirámide cuya base es un cuadrado de lado 5 cm tiene una altura de 6 cm, ¿cuál es su volumen? A. B. C. D. E.
15 cm3 25 cm3 50 cm3 75 cm3 150 cm3
27 ¿Cuánto mide el perímetro de la figura? A. B. C. D. E.
3p + 2q 3p + 3q 4p + 3q 4p + 4q No se puede determinar.
p–q q p
p
q
28 En la ecuación 3x – 3xk – 6k = –9, ¿cuál debe ser el valor de k para que la solución de la ecuación sea x = –1? A. B. C. D.
2 4 –4 –2
2 E. ––2 33 112 11 11 29 Si –A++ B== x, ¿cuál es el valor de x? A3 B x 2 1 – A. A11• B1 1 3 + = A+B +B B. AA A + BB x1 1 1 + = +B 1 AA+B A B x C. A•+B •BB A A 1 • A B A +B A •B A +B D. A +B A B • A +B A +B A •B A •1B1 E. zz== 2 A +B 2 A •B Q• •qq Q A siguientes +B =K 1 • •las e=K 30 ¿Cuál VV de ecuaciones tiene por ze= r r 2 1 solución aQz = ? VVe e• •KK• •Q Q • q2 • Vee =K q Q• q A. 4z q+ 8 = r0 K •q•qQVe =K • V•ee•Q•Q B. K4z –K•8 =0 r C. 18z VVeqe+ 9 = Ve0• K • Q D. 36z – 18 = 0 Ve•• •Q VK KK••qq q e E. 2(z + 5) = 2(5 – z) VQee K • Q • q Q m Ve • K •–S q Vm v=(6 v=(6 –Soo––t)t)e s Q Ve • Ks• q +S0m mm 66+S 0 –Q t) vvv=(6 == –S o s t m t s s v=(6 –So – t) 6 +S m m s 6 ––SS00m vv== t 0 ss6 +S m 0 t v =s t s U3_1ºM_Mat_v7.indd 93 6 – S
q
– 1 1 1 3 3 + = A B x 1 + 1= 1 + = 1 A B x A +B 11 1 2 4 5 6 7 35 3 1 2 4 5 6 7 A +B A +B A +B A •B A A +B +B A •B A A •• B B A +B A A •• B B 1 A 31 ¿Qué expresión representa a r en la siguiente A +B +B z= 2 fórmula? 11 zz = =2 Q• q Ve =K • 2 r Q• q • Q • q V •K • Q Vee =K A. V • K • ee e r q V •K • Q B. Veee • K • Q K •Q•q q Ve K •Q•q C. Ve • K • q 2Veee ––V2 • K Q •q V3 3eee • K • q D. 1 Q1 1 m 1 +Q1 = 1 v=(6 –So – t) + = m anteriores. s A A B B –Sxx de m E. Ninguna las v=(6 –– t) v=(6 –S t) o o o 11 ssv = 6 +S0 m cilindro mde un 32 El volumen (V) t s se calcula +S A 6 A +B +B 6 +S 0 m 0 vv = mediante = tla0fórmula: A A +B +B t ss 6 – S0 m v= V= r2h A A ••B B6 m t s –– S 6 S 0 0 0 = ••B de uncilindro Si elvvA volumen es 45 cm3 y A= B t s 6 – S0 m h? r=A 3 cm, v =el valor de +B A +B ¿cuál es 6 – S0 m –t s 0 11 0 A. 5 vz = =cm –t s 6 – S m z = B. 7,5 2 0 2cm v =– C. 15 cm 6 –QS• q m t s • Q •000q m =K vVee=– D. 42 cm t rr s s anteriores. t de las E. Ninguna V Veee •• K K •• Q Q 33 La ecuación de movimiento rectilíneo q q uniforme (S) K •• Q •• q es: V S = S0 + v • t Ve
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ee
•• q Si SV V=ee ••6K Km, q ¿cuál fórmula permite calcular el valor de v? Q Q m m A. v=(6 v=(6 –S –Soo –– t) t) ss 6 +S m 6 +S00 m = B. vv = tt ss
6 S000 m 6 –– S m = C. vv = tt ss 6 6 –– S S0 m 0 m D. vv = = ––tt ss
6 S00 m 6 –– S m E. v =– =– tt ss
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II. Lee atentamente el problema. Luego, resuelve. 1. A partir de cartones cuadrados de 10 cm de lado, se desean construir piezas quitándoles un cuadrado de lado x que se recorta como muestra la figura. x
10 a. Determina una expresión que permita calcular el área de la pieza que se obtiene.
b. Calcula el área de la pieza para x = 0. ¿Cómo sería la pieza obtenida en este caso? Explica en forma detallada.
c. ¿Cuál es el mínimo y cuál el máximo valor que se le puede asignar a x? Fundamenta tu respuesta.
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Historial Una técnica que facilita la retención de lo estudiado para después realizar un repaso eficiente es el cuadro sinóptico. Se trata de un resumen esquematizado, cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de manera estructurada y organizada. Completa la tabla que muestra algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad. Contenido
Definición o procedimiento
Ejemplo
Ecuaciones con coeficientes enteros.
Ecuaciones con coeficientes fraccionarios y decimales.
Ecuaciones literales.
Aplicaciones en Física y en Geometría.
Análisis de soluciones.
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Organizar favoritos Ahora que tienes claras las ideas principales, elabora un mapa conceptual que te permita relacionar algunos conceptos clave trabajados en la unidad. Conceptos clave
Lenguaje algebraico Ecuaciones con coeficientes enteros Ecuaciones con coeficientes fraccionarios Ecuaciones con coeficientes decimales
Ecuaciones Aplicación de ecuaciones Ecuaciones literales Análisis de soluciones
Herramientas A continuación, te presentamos algunos datos fundamentales de esta unidad. No los olvides, pues te seguirán siendo útiles. Ecuaciones de primer grado con una incógnita. 2y + 1 = 6 y = 2,5 a + 3a = 2a + 2 a = 1 Identidades x + 3 = 2x – x + 3 5x – 2 = 5x – 5 + 3
Ecuaciones literales. ax – 2= 4a ax = 4a+ 2 x=
/ +2 2 1 /• a
4a+ 2 ; a ≠ 0. a
Ecuaciones con coeficientes Ecuaciones con coeficientes enteros. fraccionarios y decimales. x+8= 4(x+8) x+8= 4(x+8) x+8= 4x+32 / +(–x–32) 2x + 13 x+8= 4x+32 / +(–x–32) =0,7(x–10) / • 10 x+8–x–32= 4x+32–xx –32 5 x+8–x–32= 4x+32–xx –32 1 2(2x + 13)= 7(x – 10) –24 = 3x /• 1 –24 = 3x /• 3 4x + 26= 7x – 70 3 –8= x 96= 3x –8= x 32= x 1° –8 + 8= 0 1° –8 + 8= 0 2° 4(–8 + 8) = 0 2° 4(–8 + 8) = 0 x =–8 es solución delaecuación. x =–8 es solución delaecuación. Ecuaciones en Geometría. Ecuaciones en Física. d vd v A A • h• h 4π4r3πr3 πr2πhr2h (1) v = (2) (1)λv== (2)dλ = (1) (1) V = V = (2) (2) V = V = (3)(3) V =V =basebase v d v t f t f 3 3 3 3 3 3 (1) v = (2) λ(1) = v = (2) λ = f 2 tv d f v4πt r3 d A •h πr h t= f = t= (1)fV== (3) V = base dλ v (2) V = d λv v v t= f = 3 3 3 t= f = v λ v λ d=v•t
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v=λ•f
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Cerrar sesión Contenido
Número de pregunta
Habilidad
Lenguaje algebraico.
1 2 3 4
Comprender Comprender Comprender Comprender
Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 29 30
Aplicar Comprender Evaluar Evaluar Analizar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Analizar Evaluar Aplicar Evaluar
Aplicación de ecuaciones de primer grado.
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 31 32 33
Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Analizar Analizar Analizar Aplicar Aplicar
Clave
Nivel de logro
4
16
13
Mi estado Evalúa tu desempeño a partir del logro alcanzado para cada contenido. ¿Qué contenidos podrías enseñarle a una compañera o compañero que no los haya entendido? ¿Qué temas debes repasar? ¿Qué harás para reforzarlos? ¿Qué calificación te pondrías de acuerdo a lo que has aprendido a lo largo de la unidad? ¿Por qué?
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evaluación integradora
Recopilando disco
1 Compara los siguientes números racionales y ubícalos en la recta numérica. 9 –32 11 1 1 ,9, , ,0, a. –1, , 4 4 2 4 2 2 2 5 12 ,(–2)2 2, 5 , -3 , 4 , 1 ,– 11 1 1 9 –3 –1, 6 ,0,6 6 ,9, 12, 6 6 , 2 4 2 45 4 11 –5 = 52 -32 4 1 12 2)2 , , b. 4,(– , , ,– 2 6 6 1 6 6 6 2 9 –322 1 5 –1, 9 , –3 ,9, 11 , 11 ,0, 11 11 3 11 = ,9, 2 , 4 ,0, 2 , –1, 4 – 9 = 2 4 2 4 4 4 4 5 2 2 5 5 ,(–2)22, 552 , -3 1 2 3 12 -32 , 4 4 , 11 ,– 12 ,(–2potencias. , ,– 6calcula ) , 6 , 122 , 6Luego, – 1 :-3 como una multiplicación iterada las siguientes su valor. 6 2 Representa 33 = = 6 6 6 1 6 6 6 9 5 4 115 3 74= 11 5 36 c. a. (–7) – – 1 • 3 = = – 4 = – 6 :-3 4 = 49 2 3 1 2 1 4 3 b. 0,05 d. 339 = 73 = 36 = – • = 9 6 49 5 1 5 3 – 1 :-3 3 = 3 Representa los siguientes enunciados con una ecuación = grado con una incógnita. Luego, –33de:-3primer resuélvela. 4
3
7 4 36 3 36 – 7 del mismo a. Un número aumentado en 92 unidades equivale al tercio = número, disminuido en 7 unidades. –6 •• 49 = 6 49
b. El doble de la suma de un número y la mitad del mismo número equivale a la cuarta parte de 162 unidades. 9 –322 11 9 , –3 ,9, 11 , 11 ,0, 11 –1, –1, 4 , 4 ,9, 2 , 4 ,0, 2 4 4 2 4 2 2 2 5 5 ,(–2)22 , 5 12 -32 , 4 4 , 11 ,– 12 52 , -3 2 , , ,–disminuido , 6 , 1número 6 ,(–al2)mismo c. El cociente entre el quíntuplo de un número y 23 equivale en 8 unidades. 6 6 6 6 6 6 6 12 6 5 115 – 11 = – 4 = 4 2 1 2 3 1 = 3 9 = 4 Analiza cada expresión. Luego, escríbela como potencia. 9 5 1 5 3 8 8 1 c. –– :-3 a. 0,0009 : (–0,0003) = 3 = 3 :-3 = 3 4 3 7 4 36 3 7 36 b. 122 • (42 • 32)5 = d. –– 6 •• 49 = 6 49 =
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Evaluación integradora
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51 1
(
22 x–33
5 Resuelve las siguientes ecuaciones. a.
(
22 x–33
)+
4 0,25(p–3) 0,75 22 x–33
42 (x–1)
+
3
=
16 0,3(1+p) 3
x (–1) x + 15 5 =1
(
) + 4 (x–1 4 ) (–1) x + =
(
)
2
3
x 15
5 4 ) 12(16 3–y) (6y+4 – – 2 =0 0,25(6 p–3) 0,3 1+p ( ) + 3 –5 = 1 3 2 5 3 2 0,7 3z-3 15(0,5+z ) = 0,22 – 4 2 63 52 22 x–3 42 (12x–1 ) x (–1)3 x 6y+4 3–y ( ) ( ) –2 b. – y4 : y3+ – 16 2 = =05 + 15 6 4 y y–13: y–5 y–1– 5 y–6 1 –6–7 0,25 3 (p–3) 2 = 0,3(1+p= ) = = 13 2–7 = y 2 –63z-3 + 15 –6 (0,5+z –6 – 1 ) = 1 0,2 y :y y – y 3: y 2 y = y 0,75 2 6 5 4 y–2 3 6y+4 : y) 12(3–y) ( – y – y2–1 : y4 =0y–1– 5 y–6 1 = = = = y–6–7 = 13 6 3 –5 –6 –6 –6 – 1 –7 y :y y :y y y y 23 3z-32 15(0,5+z) 0,22 – = 6 Detecta 2 Luego, corrígelos. 6 los errores 52 cometidos. y–2 3 : y y y–1 : y4 y–1– 5 y–6 1 = = = = y–6–7 = 13 –6 –6 –6 – 1 –7 y :y y :y y y y
(
)
(
(
)
c.
) + 4 (x–1) = (–1) x + 2
4 0,25(p–3)
16 0,3(1+p)
5
=1 3 4 (x–1) (–1)3 x 4 = + + 5 4 16 6y+4 12 3–y ( ) ( ) =0 –0,25(p–3)– 0,3 2 (1+p) 6 + 3 –5 =1 52 3 23 0,7 3z-3 15(0,5+z ) 0,22 – = 4 2 6 52 6y+4 12 3–y ) =0 –y(–2 3 ) – ( : y 2 y 6 –1 3 4–5 y : y y–1– 5 y–6 2 = –6 = 23 –63z-32 = –6 15(0,5+z ) – 1 0,2 –7 d. y : y –y : y 2 y = y 2 6 5 y–2 3 : y y y–6 y–1 : y4 y–1– 5 = = = y–6 : y y–6 : y y–6 – 1 y–7 0,75 2 x–33
(
)
(
)
(
)
2
+
3
2
2 2
x 15
x 15
= y–6–7 =
1 y13
= y–6–7 =
1 y13
)
Errores:
Corrección:
7 Resuelve los siguientes problemas. a. Un terreno rectangular tiene un perímetro de 255,6 m. Si la medida de su ancho es la mitad de la medida de su largo, ¿cuáles son las medidas del terreno? ¿Cuál es el área del terreno?
b. El área de un cuadrado es 9 • 10–6 mm2, ¿cuál es la medida de uno de sus lados?
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Unidad
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Álgebra y ecuaciones racionales Francois Viéte (1540-1603), en una publicación de 1591, introdujo el uso de letras en las fórmulas algebraicas, dejando atrás el lenguaje común en este contexto, conocido como álgebra retórica. Así, por ejemplo, esto se puede aplicar si se quiere representar algebraicamente la suma del área de un círculo de cierto radio con el área de un cilindro que tiene el mismo radio, entre otras representaciones de relaciones geométricas.
Menú de inicio ¿Qué?
100
¿Para qué?
¿Dónde?
Expresiones algebraicas, valoración, reducción y uso de paréntesis.
Representar en lenguaje algebraico expresiones escritas en lenguaje natural y realizar operaciones con expresiones algebraicas.
Páginas 102 a 109.
Multiplicación de expresiones algebraicas, productos notables y factorización.
Aplicar propiedades de la multiplicación de expresiones algebraicas.
Páginas 110 a 119.
Mínimo común múltiplo y ecuaciones racionales.
Resolver ecuaciones racionales, considerando la pertinencia de su solución.
Páginas 120 a 125.
Unidad 4 • Álgebra y ecuaciones racionales
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Abrir sesión Considerando la información de la página anterior, responde: 1) ¿Qué se entiende por álgebra retórica? 2) ¿Qué expresión algebraica puede representar la suma del área de un círculo de cierto radio con el área de un cilindro que tiene el mismo radio? 3) ¿Qué otra expresión algebraica utilizada en Geometría conoces?
Inicializando Aplicar consiste en usar un procedimiento aprendido en una situación para resolver otra no enfrentada previamente. Un tercio de cierto número equivale a la mitad del mismo número aumentada en 3 unidades. Si tal número es aumentado en 8 unidades, ¿cuál es el triple de este nuevo valor? 1) ¿Qué se debe tener presente para representar correctamente en lenguaje algebraico la expresión enunciada en lenguaje natural?
2) ¿Qué procedimiento puedes aplicar para responder correctamente la pregunta?
3) Responde la interrogante que se plantea en el problema.
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Expresiones algebraicas Para representar algunas situaciones es necesario usar expresiones algebraicas. Por ejemplo, en una campaña de reciclaje de envases realizada en un colegio se asignan 15 puntos por reciclar un envase de plástico y 20 puntos por reciclar un envase de vidrio. Para representar la situación utilizando una expresión algebraica que permita calcular el puntaje obtenido por un estudiante según el número de envases de vidrio y/o plástico que recicla, se puede utilizar la letra V para el número de envases de vidrio y P para el número de envases de plástico. Por lo tanto, si T representa el puntaje obtenido por un estudiante, se tiene que: Puntaje = 20 • (número de botellas de vidrio) + 15 • (número de botellas de plástico) T = 20 • V + 15 • P
Para grabar
Para saber más En cursos posteriores se considerará además como polinomio a los monomios, binomios y trinomios.
Ejemplo: considera la siguiente Una expresión algebraica es una combinación de números y símbolos (letras) relacionados entre sí por las operaciones básicas. expresión de dos términos: Se pueden clasificar, según la cantidad de términos algebraicos que 4x3y2z2 – 5a3c3 contengan, en: 4x3y2z2 –5a3c3 Monomio: un término algebraico. Coeficiente Binomio: dos términos algebraicos. 4 –5 numérico Trinomio: tres términos algebraicos. Factor x3y2z2 a3c3 Polinomio: más de tres términos algebraicos. literal Cada término algebraico está compuesto por el coeficiente Grado del numérico y el factor literal. Además, el grado de un término término 7 6 algebraico corresponde a la suma de los exponentes que algebraico contenga el factor literal. Grado de la Por otra parte, el grado de una expresión algebraica expresión 7 corresponde al mayor grado entre los términos algebraicos que la algebraica componen.
1.
Analiza la siguiente tabla. Luego, complétala creando un término algebraico e identificando su factor literal.
Grado 7
102
Coeficiente Letras del numérico factor literal 2 7
Término algebraico
Factor literal
x; y; z
2
9
m; n
5
3,3
p
6
1
a; b; c
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Evalúa si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). Para ello, escribe V o F según corresponda. a. El grado de la expresión
x 2 y3 + 1 es 3, ya que 3 > 2. 4
b. La expresión algebraica xy2 + xy + x2 es un trinomio de grado 3. c. Un trinomio siempre tiene 3 términos. d. El grado del polinomio x + y12 + z2 – x2y2z3 es 12.
3.
Analiza la siguiente información. Luego, responde. Se construye la siguiente secuencia de figuras utilizando círculos rojos.
Figura 1 Figura 2 Figura 3
a. ¿Qué cantidad de círculos rojos tendrá la figura 8?
b. ¿Qué expresión algebraica representa la cantidad de círculos de la figura n?
c. Si la cantidad de círculos rojos siguiera el siguiente patrón numérico: 8, 27, 64, …, ¿qué expresión permitiría calcular la cantidad de bolitas de la figura n?
4.
Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno. a. Marta tiene 3 hijos y quiere repartir $ 10.000 en la razón 3 : 3 : 4. Plantea una ecuación de primer grado con una incógnita para determinar el dinero que recibió cada uno de sus hijos. ¿Cuánto dinero recibió cada uno? b. Si el avalúo de una casa es de $ 47.500.000 y se quiere vender para repartir el dinero entre 5 personas en la razón 1 : 2 : 3 : 4 : 5, ¿cuánto dinero le corresponderá a cada persona si los montos se redondean a la unidad? c. El largo de cierto rectángulo mide el doble de su ancho. Determina una expresión algebraica que represente su área a partir del ancho. d. Dos números consecutivos suman 57. ¿Cuáles son estos números? e. El cuadrado de cierto número aumentado en una unidad equivale a un tercio del cubo del mismo número disminuido en 3. ¿Cuál es la expresión que representa esta situación?
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Valoración de expresiones algebraicas Matías tiene un plan de telefonía móvil cuyo costo (C) en pesos está determinado por la siguiente expresión: C = 9.000 + 75x + 45z Cantidad de minutos hablados (x).
Cantidad de mensajes de texto enviados (z).
Si en el mes de marzo Matías habló 95 minutos y envió 36 mensajes, para determinar el pago de marzo se puede valorizar la expresión algebraica considerada para el cálculo de la cuenta telefónica. C = 9.000 + 75 • 95 + 45 • 36 = 17.745 Por lo tanto, Matías debió pagar $ 17.745 por el mes de marzo.
Para grabar Valorizar una expresión algebraica corresponde a determinar el valor numérico que representa para ciertos valores de las letras o variables que la componen. Para ello, se deben reemplazar dichos valores en la expresión y luego calcular el resultado.
1.
Ejemplo: 1 Si a = 4 y d = 3, el valor numérico de a2 – d2 +5(a– d) se obtiene de la 2 siguiente manera: 32 – 9+ 10 33 9 1 = 4 2 – • 32 +5(4 – 3) = 16 – +5 • 1= 2 2 2 2
Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas. Para ello, considera a = 2; b = 5; c = –3; d = –1 y f = 0. c – d a+b a. 5a2 – 2bc – 3df d. + 7 2
b. 3(a – b) + 2(c – d)2
e.
7 1 2 3 a – c– b + f 8 2 5 4
f
c. (2(a + b)) – 0,5(c – d – f) 2
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2
5 2 20 3 f. a + c – b + f 7 9 5 12
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2.
2 2
Analiza la siguiente operación binaria ♣. Luego, calcula el valor de cada expresión.
a. 2 ♣
–2
= 5 1,3 ♣ 3=
7 –23 2 ♣♣ = = 3 57 ♣2,3= 1,3♣ 3= e. –2
b. 1,3 ♣ 3= 2♣1 –2 ♣ 2,3= 27♣ –231= 3,5♣ = 3 ♣575= 1,3 ♣ 3= 1 2♣1 –2 x =♣ 2,3= 7 2 31 c. 3,5♣ ♣ = = x3= 32,1 75
2♣1
1 3,5 ♣ 3 = 7 ♣ 5 = 3 7 1 x =♣ 2,3= –2 2
1 de cada una de las expresiones 1 1 el diagrama. Luego, determina el valor 3 . Analiza PQ PQ x= según 7 el 2 valor indicado para x. 1 7
6 6
7 7
8 8
1 x = 32,1 ♣ = f. 3,5 5 1 PQ1 x7= 2 x = 32,1
1 ♣1 2,3= –2 x =PQ 7 2 1 ♣ = 3,5 x = 32,1 5
x = 32,1
5 5
Una operación binaria es aquella que se realiza entre dos elementos de un conjunto. Por ejemplo, la adición de números racionales es una operación binaria, ya que solamente se puede sumar entre dos valores. Aunque se escriba 2 + 5 + 7, la adición no se puede resolver con los tres sumandos de manera simultánea.
2♣1
27♣ –23 = ♣5 = 3 7
54 4
Para saber más
a ♣ b = ab – (a + b)2 con a, b ∈ . –2 2♣ = d. (1♣1)51♣1 = 1,3 ♣ 3=
2♣1
3 3
7
R=x–2
PQ
P=R–Q –2 2 ♣Q = = R+T 5 1,3 ♣ 3= 2♣1
5 7 T =32x♣+ –2 ♣ == 5 3 7 a. 2P + 3Q, si x =–2.
S=Q–T
Desafío Se dice que Carl Friedrich Gauss calculó de una manera muy rápida la suma de los cien primeros números naturales, cuyo valor es 5.050. Investiga qué expresión algebraica permite calcuar la suma de n números naturales. Justifica.
1,3 ♣ 3= –2 ♣ 2,3= 2♣1
17 3 3,5 ♣ =♣ = 53 7 1 b. –3PQ + 4Q, si x = .–2 ♣ 2,3= 2 1 3,5 ♣ = x = 32,1 5 1 PQ x = 1 7 2 c. P + Q + R + S + T, si x = 32,1 . 1 7
PQ
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Reducción de expresiones algebraicas En la expresión mostrada, los términos destacados en rojo y en verde tienen el mismo factor literal. Es por esto que es posible reducirla realizando las operaciones correspondientes. –9y 2 x +5x2 y+8yx2 +3xy 2
–9yy 2 x+5 x +5xx2 y+8 yy+8yx +8yx2 +3xy +8yx +3xy 2
–9y 2 x +5x2 y+8yx2 +3xy 2 2 2 2 2 Entonces, 5x y+8yx = (5+8)x y = 13x y
5x2y+8yx2 = (5+8)x2y = 13x2y –9y2x+3xy2 = (–9+3)xy2 =–6xy2
–9y2x+3xy2 = (–9+3)xy2 =–6xy2 –9y2x+5x2y+8yx2 + 3xy2
Ayuda Recuerda que la multiplicación de números racionales es conmutativa, es decir: ab = ba
2 2 2 2 = 13x y–6xy2 inicial: –9yla x+5x y+8yx + 3xy2 a partir de Así, se obtiene siguiente igualdad la expresión 2 = 13x2y–6xy2 –9yy2x+5 xx+5x +5xx2yy+8yx2 + +3 3xy2 3 2 = 13x2y–6x y–6xy y– 6xyy2 2 2 3 5a2b + 3abx + 6a2b 3 – ba2 = 5 – a2b + 3abx + 6a2b 3 polinomio 3 3 Entonces, el número de términos 2 2 3 2 2 del 2 3 se redujo al número de 5 – 2 a2b + 3abxinicial ba = + 6a b 5a b + 3abx + 6a b – 3 términos de un binomio. 13 3 = a2b + 3abx + 6a2b 3 3 13 = a2b + 3abx + 6a2b 3 3
Para grabar
Se denominan términos semejantes de una expresión algebraica a todos aquellos términos que tienen igual factor literal.
2 Ejemplo: en la expresión 5a2b + 3abx + 6a2b3 – ba2. 3
Términos semejantes Reducir términos semejantes consiste en agrupar dichos términos algebraicos y luego 2 2 3abx + 6a 6a2b 3 – ba2 = 5 – a2b + 3ab 33abx abxx + 6a2b 3 operar los coeficientes numéricos según las 5a2b + 3abx 3 3 operaciones que los relacionen, conservando 13 el factor literal. = a2b + 3abx + 6a2b 3 3
1.
Aplica la reducción de términos semejantes en cada una de las siguientes expresiones algebraicas.
Expresión algebraica
Reducción de términos semejantes
Grado
3xy + 2xy2 + 6xy – 3xy2
2mx – 6m – 3n – 65xm + 7n – 3m
0,7x2y – xy – 3x2y + 6yx
abc + a2bc + ab2c + abc2 + a2b2c
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Evalúa si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). Para ello, escribe V o F según corresponda. a. El término 5xy es semejante con 5x2y.
3.
3 1 b. – uw2 +3wu2 +w2u= uw2 +3wu2 4 4 1 c. La uvw + vwu xy+2ab+yx–4ba+ – expresión 2xano se puede reducir. 3 d. Si z 1= p = 1.000, entonces el valor de (z + p)(z – p) es 20.000. 1 x = ; w =– ;y =0,1; t= 1. 3 1 4 2 – uw2 +3wu2 +w2u= uw2 +3wu2 Reduce las siguientes expresiones algebraicas.4 4 1 a. 3bx + 4y – 6bx + 3y + 9xb + bx c. – xy+2ab+yx–4ba+ 2xa 3 1 1 x = ; w =– ;y =0,1; t= 1. 4 2
b. –5b2z + 6r + 7b2z + 4r + 25b2z
d. 3xw – 2yt + 8xw + 7yt – 3xw – yt
3 1 – uw2 +3wu2 +w2u= uw2 +3wu2 4 4 1 – xy+2ab+yx–4ba+ 2xa 3 1 1 Valoriza la expresión obtenida en d utilizando x = ; w =– ;y =0,1; t= 1. 4 2
4.
Representa con una expresión algebraica el perímetro (P) de cada uno de los polígonos. Para ello, utiliza reducción de términos semejantes. a.
b. a+b
2a + 2
x2 + y 5x2 x+ y a + 3b
5b
y2 4a
P=
P=
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Uso de paréntesis En la unidad anterior utilizaste el lenguaje algebraico para representar expresiones escritas en lenguaje natural como la siguiente: “El doble de la edad de Carla aumentada en 4 es 16.” Para determinar la expresión algebraica que representa esta situación debes considerar dos casos: 2(x + 4) = 16
2x + 4 = 16
¿Qué diferencia encuentras entre ambas expresiones? ¿Cuál es la correcta? ¿Se obtiene el mismo resultado a partir de las dos expresiones?
Para grabar En una expresión algebraica, el uso de paréntesis permite agrupar términos y ordenar con ellos las operaciones que se quieren realizar. Además, si el signo que antecede al paréntesis es positivo, se conserva la expresión que está en su interior y se "elimina" el paréntesis; mientras que si es negativo, se suma el inverso aditivo de la expresión entre paréntesis, en otras palabras, se “elimina” el paréntesis y se cambian todos los signos de los términos que están en su interior.
1.
Ejemplos: 9x + (12y + x – 1) = 9x + 12y + x – 1 = 10x + 12y – 1 –[a + x – 3] + 2a = –a – x + 3 + 2a = a – x + 3
Analiza cada expresión y elimina los paréntesis según corresponda. a. –{[–b]}
d. –(x + 1) – 2 + [x – 3]
b. a – {–[–(b + c) + d]}
e. –{c2 – [–(a2 + c) – b2] + b}
c. –(x – y) + [–(z + w)]
f. –{–[–(c – a)]} – (a – b)
Ayuda Si en una expresión algebraica hay paréntesis dentro de otro, se empiezan a "eliminar" desde el que está más al interior.
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Reduce los términos semejantes en cada una de las expresiones. a. 3(x2 – y2) + 2x(y – x) – x(3y – x)
d. (2a + c – 3b) – (7a + 4b – 8c)
b. a + (b – c) + 2a – (a + b)
e. a – 5b – [–3b – (a – b) + 2a]
c. 12m3 – [0,5m2 + m – 1 – (m3 + 2m2 – 3m + 7)]
f. x2 – (–7xy + [–y2 + (–x2 + 32xy – 2y)])
Analiza el siguiente recuadro. Luego, resuelve.
Otra técnica para eliminar paréntesis antecedidos por un signo negativo consiste en realizar el siguiente procedimiento: 1 1 1 1 2 1 – (x–2)=– • x– • (–2)=– x+ =– x+ 1 2 2 2 2 2 2 Multiplicas el factor por cada término en el interior del paréntesis, y si es posible, reduces términos semejantes y simplificas. Reemplaza las expresiones P y1Q1y 2luego términos 1 2 1 reduce 1 1 1 1 1 que 1representan x+ x+ 1 1 =– =– x+ x+ (–2)=– (–2)=– x– x– (x–2)=– (x–2)=– – – • • • • semejantes. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 3 2 2 3 3 P =P= – –x –x –y+y4+ 4yQ =Q =x –x –(y +(y5+) 5) 3 34 4 3 3 2 2 2 a. – (P + Q) 3
2 2 – –(P +(PQ+)Q) 3 3
b. P – 0,5(P – Q – 2Q)
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Multiplicación de expresiones algebraicas 9x5z cm
En la figura, las dimensiones del rectángulo se representan por monomios. Si se quiere calcular el perímetro (P) del rectángulo, basta con sumar las longitudes de sus lados, es decir: P = 2 • 9x5z cm + 2 • 2x3yz cm = (18x5z + 4x3yz) cm Luego, para calcular el área (A) del rectángulo, puedes multiplicar el largo por el ancho. Entonces se tiene que:
2x3yz cm
Producto de los coeficientes numéricos.
Ayuda El producto de dos monomios se obtiene multiplicando los coeficientes numéricos entre sí y las partes literales entre sí.
A = 2x3yz cm • 9x5z cm = 18x8yz2 cm2 Producto de los factores literales.
Para grabar Para multiplicar expresiones algebraicas se utilizan propiedades de potencias, entre otras. Ejemplo: multiplicación de un monomio por un trinomio.
Ejemplo: multiplicación de un binomio por otro binomio.
5ab(4a2 + 8a3b + b4)
(7x + 5y)(10x – y)
= 5ab • 4a2 + 5ab • 8a3b + 5ab • b4 = 20a3b + 40a4 b2 + 5ab5
= 7x • 10x + 7x • (–y) + 5y • 10x + 5y • (–y) = 70x2 – 7xy + 50xy – 5y2 = 70x2 + 43xy – 5y2
1.
110
Relaciona las columnas A y B según corresponda. Observa el ejemplo. Columna A
Columna B
(x – y)(x2 + xy + y2)
x4 + x2 + 1
(a + b)(a3 – a2b + ab2)
x3 – y3
(x2 – x + 1)(x2 + x + 1)
a4 + ab3
(x + y)(x2 – xy + y2)
x3 + y3
(a + b)(a3 – a2b + ab2)
a4 + ab3
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Resuelve las siguientes multiplicaciones. a. (2x – 2y)(x + y) =
xy+ab x2y2 –abxy+aa2b2 = f. 2 3
1 1 1 b. x–mx mx–x– = 2 3 2
g.
c. (x – y)(x2 + xy + y2) =
h. (a + b)(a + b) =
xy+ab b x2y2 +a2b2 d. = 3 2
i. (a + b + c)(a + b + c) =
e. (3x – 3y + 1)(x + y + 2) =
j. (a + b + c)(a + b – c) =
2 1 3 1 3 x – y (xx+y+1) = 3 4 2
Calcula el área (A) y el perímetro (P) de cada una de las siguientes figuras. a.
c.
e.
2x + 4y x
x + 4y x
x x
Figura formada por cuadrados de lado x. b.
Figura formada por cuadrados de lado x.
d.
f. 7y
4x + 4y
4y 2y
4x + 4y
x 2x
4x + 4y
x
7x
4y
2x 4x
x
2x
x
2y 2x + 2y x
4.
x
y
3x
3x
2y 2y
2y
4y
2y
Resuelve los siguientes problemas. a. Si la base de un triángulo isósceles excede al triple de la altura en 3 cm, ¿qué expresión determina el área del triángulo? b. Si las dimensiones de un rectángulo son (a + b) cm y (a2 – ab + b2) cm, ¿qué expresión algebraica representa el área (A) del rectángulo? c. Si 2n + 1 representa un número natural impar, ¿cuál es el promedio de los tres números naturales impares 2n + 1, 2n + 3 y 2n + 5?
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Productos notables Si se calcula el área (A) de un cuadrado de lado “a + b”, ¿cuál es el área del cuadrado?
a+b a
Observa que el cuadrado se puede descomponer de la siguiente manera:
A = (a + b)2
a+b
=
a2
+
2ab
+
=
+
b2
+
b De lo anterior se puede confirmar que: A = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ¿De qué otra manera podrías calcular (a + b)2?
Para grabar Los productos notables son multiplicaciones de expresiones algebraicas que presentan regularidades. Por ejemplo:
Ejemplo: 2
2
El cuadrado de un binomio: (a b)2 = a2 2ab + b2
1 1 1 2 1 Cuadrado de un binomio: x + = x 2 + 2x • + = x 2 + x + 3 3 3 9 3
El cubo de un binomio: (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3
Cubo de un binomio: (y – 2z)3 = y3 – 3 • y2 • 2z + 3 • y • (–2z)2 – (2z)3
La suma por su diferencia: (a + b)(a – b) = a2 – b2 Binomios con un término común: (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
= y3 – 6y2z + 12yz2 – 8z3 Suma por su diferencia: (t + 5)(t – 5) = t2 – 25 Binomios con un término común: (x + 3)(x – 1) = x2 + 2x – 3
1.
Identifica el producto notable en cada caso. Luego, resuélvelo. a. (x + 5)2 =
h. (7x2 – 2y3)(7x2 + 12y3) =
b. (7a2 + b)(b – 6a2) =
i. (3x4 + 5y2)3 =
c. (1 – 4y)3 =
j. (x + 5)(x + 5)(x + 5) =
2
1 1 k. x – x + = 8 8
2
1 1 l. x – x + = 2 4
1 d. x + = 2 1 e. x – = 2 2
3
3 f. x + y == 4
3 m. x – y = 4
3 3 g. x + yx – y = 4 4
2 5 n. x – yx + y = 7 2
¿Es cierta la igualdad a3 b3 = (a b) (a2 ab + b2)? Justifica.
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Analiza cada figura. Luego, responde. x cm
4 cm
4 cm
x cm
x cm
x cm
4 cm 4 cm
x cm 4 cm
Figura 1
x cm 4 cm
Figura 2
a. ¿Qué parte de la figura 1 se representa por x2 – 16? Justifica.
Ayuda
b. ¿Cuál es el volumen de la figura 2? ¿Qué relación tiene con el área total del cubo de la figura 2?
3.
Relaciona las columnas A y B según corresponda. Observa el ejemplo. Columna A
4.
Recuerda que el área total de un cubo se obtiene sumando las áreas de sus caras.
Columna B
x2 – y2
(x2 + y2)(x – y)(x + y)
(x3 – y3)2
(x + y)3
x4 – y4
x6 – 2x3y3 + y6
(x – y)2 + (x – y)2
2(x – y)2
(y + x)2(x + y)
(x + y)(x – y)
Diseña una estrategia que te permita completar el recuadro. Luego, responde. (x + y + z)2 = x2 + y2 + 2xy… a. ¿Cuántos términos tiene el resultado de (x + y + z)2? b. Aplica tu estrategia para resolver (x – y – z)2? Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
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Analizando disco
Valoración de expresiones algebraicas.
1 Analiza la información de la tabla. Luego, complétala según corresponda.
Valores
Expresión algebraica
a2 –b – b 2 a+b + c a2 –b 2 a+b + c (a –b) –b 2 b 2 – 2a (a –b) 2 b 2 – 2a
(a + b + c)3
a = 3; b = 2, y c = 1.
a = –1; b = 0,5, y c = 3. 4 a = ; b = 2 y c = –0,3. 7 1 1 1 a= ; b= y c=– . a = 433; b = 222 y c = –5.5 a = ; b = 2 y c = –0,3. 1 V1 =7 xy2z2 3 1 1 1 a= ; b= y c=– . 2 3 5 1 2 2 V1 = xy z 3
Reducción de expresiones algebraicas y uso de paréntesis.
2 Reduce los siguientes términos semejantes de cada expresión. a. 3x2 + 5yx – 22xy =
d. (x – y)3 – (x + y)3 =
b. 0,9a3 + 3a2 + 8ab2 – 2a3 =
e. 9(p2 – 2) – ((3p)2 – 4) =
c. 11z2 + z2 – b3 – 12b3 =
f. 25(x2 – y) + (5(x – y)2) =
4 a = ; b = 2 y c = –0,3. Resuelve el siguiente problema. 3 7 1 1 1 a= ; b= y c=– . 2 3 5 1 V1 = xy2z2 3
¿Cuál es el volumen total (V) de la figura?
V2 = 2(xy2 + xy2z2 + xz2)
V3 = 3xy2z2
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5 5
6 6
Multiplicación de expresiones algebraicas.
4 Calcula el producto en cada caso. a. 2a(3a + 4b + 2c)
c. (2x + 3y – 1)(4x + 5y + 6)
e. (5x + 2y – 1)(5x + 2y + 1)
b. (–3a2b)(a + 2b – ab)
d. (2x – 8x3y)(9x2 + 2y + 4xy)
f. (x + 8y – 2)(–x + 8y – 2)
Productos notables.
5 Analiza cada expresión. Luego, complétala para que se cumpla la igualdad. a. (a + 3)2 = a2 + b. (2m + y)2 = c. (x – 7)2 =
+
+
–
d. (x + 9)2 = x2 + e. (
f. (x –
+ 9
– 8)2 = x2 –
+ 49 + +
)2 =
– 14x +
g. (x + 5)(x + 12) =
+
+ 60
h. (x –
)(x + 13) = x2 +
– 26
i. (x +
)(x –
)=
j. p(p – 2pq + 3q) = p2 –
– 225 +
6 Analiza la figura. Luego, responde. 5 cm
a. ¿Qué expresión algebraica representa el área de la región pintada de amarillo?
b. ¿Qué expresión algebraica representa el área de la región pintada de celeste?
c. ¿Qué expresión algebraica representa el área de la figura completa?
p cm
5 cm p cm
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evaluación
contenido
resolución
e e
c c
r r
Factorización “La suma de tres números naturales consecutivos es divisible por tres”. Sean n, n + 1 y n + 2 tres números naturales consecutivos; entonces, n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3. Además, se tiene la siguiente igualdad: 3n + 3 = 3(n + 1) Factor común Si n ∈ , ¿por qué la expresión 3(n + 1) es divisible por 3?
Para saber más El factor común de una expresión algebraica corresponde al máximo común divisor (m.c.d.) de los términos algebraicos que la componen.
Para grabar Factorizar una expresión algebraica consiste en escribir como multiplicación de factores algebraicos dicha expresión. Para factorizar, debes identificar algún factor común entre todos los términos de la expresión, ya sea numérico y/o literal. Ejemplo: para factorizar la expresión 5x4 – 25x2 + 10x: 1° Se identifica el factor común de los términos que componen la expresión; en este caso, 5x. 2° La expresión se escribe como multiplicación de factores, en el que uno de ellos es 5x. 5x4 – 25x2 + 10x = 5x(x3 – 5x + 2)
1.
2.
116
Relaciona cada expresión algebraica con su respectiva factorización. 8a2 – 12ab
a2(a2 – ab – b2)
abc + abc2
5a2(3a + 4b2)
15a3 + 20a2b2
4a(2a – 3b)
a4 – a3b – a2b2
abc(1 + c)
Identifica en cada una de las siguientes expresiones un factor común y escríbelo en el recuadro. a. 9a + 9b
e. z4 + z3 – z2
b. 2ab + a2b
f. 0,5x + 0,25x2 + x3
c. 3xy – 6xz + 27x
g. 2a2b2c2 + 4ab2c2 - 5a3b3c3
d. a9 + a10 + a11
h. 9xy2 + 3x2y +90x2y2
Unidad 4 • Álgebra y ecuaciones racionales
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3.
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3 3
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Analiza la siguiente información. Luego, completa la tabla.
Los términos de una expresión algebraica pueden tener como factor común un binomio. Por ejemplo: 8ax – 5by + 9az + 9bz – 5ay + 8bx = 8x(a + b) – 5y(a + b) + 9z(a + b) = (a + b)(8x – 5y + 9z)
Expresión algebraica
Factor común
Factorización
–3a(x + y) – 7b(x + y) 2mn(2x – 3y) + 5p(2x – 3y) –10(a – 1) + 8q(a – 1) a4(3 – 5t) – 9a(3 – 5t) x7y8(z – x) – (z – x) + 0,5(x – z) (abc + 3) + x(3 + abc) – 6 – 2abc ¿Qué estrategia usaste para completar las últimas filas de la tabla?
4.
5.
Analiza cada expresión algebraica. Luego, encierra los factores que corresponden a su factorización. a. 6y – 4x – 3xy + 2x2
(2 + x)(3y – 2x)
(2 – x) (3y – 2x)
(2 – x)(3y + 2x)
b. 3a3 – 1 – a2 + 3a
(3a2 + 1)(3a + 1)
(a2 + 1)(3a + 1)
(a2 + 1)(3a – 1)
c. x + x2 – xy2 – y2
(x2 – y2)(1 + x)
(x – y2)(1 + x)
(x – y2)(2 + x)
d. 4a3x – 4a2b + 3bm – 3amx
(4a2 + 3m)(ax – b)
(4a2 – 3m)(ax – b)
(4a2 + 3m)(ax – ab)
Resuelve los siguientes problemas. a. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo ABCD?
D
b. ¿Cuál es el área del rectángulo ABCD? Escríbela como producto de dos factores.
C
3p
3x A
ap
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B
2ap
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evaluación
contenido
resolución
e e
c c
r r
Para grabar Al factorizar una expresión algebraica, puedes utilizar productos notables. Por ejemplo: a2 2ab + b2 = (a b)2 = (a b)(a b)
Trinomio cuadrado perfecto.
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
Diferencia de cuadrados.
a3 b3 = (a b)(a2 ab + b2)
Suma y diferencia de cubos.
a3 3a2b + 3ab2 b3 = (a b)3
6.
7.
Cubo de binomio. 11 9y2 – x2 25 1 1 x2 – x+ Representa cada expresión algebraica como producto de factores. Para ello, utiliza los 2 16 productos notables del 2 cuadro “Para grabar”. x –x+1 4 2 3 2 h. x – 343 ñ. a + 12a2 + 36 a. x – 4x + 4 z4 3 2 –z +z 4 11 11 9y2 – 4 x2 b. 9y2 – x2 i. 9 – 12k + 4k2 o. 4x2 – 25 11 25 2 11 9y –1 9 x21 9y2 – x2 32 1 1 x+ xt – 25 11 2 x+ x2 – 25 –12 16 9y2 –21 x16 82 1 3 1 1 x+ c. x22 – 25 j. p2 – 8p + 16 p. x125 d x2 – 2– x+ x 21 16 1 16 4 –x+1 1 t42– x+ xx422 ––x+1 x 16 16 2 z44 –x+1 4 –x+1 zx42 3 2 –z3 +z2 –z +z 4 3 2 4 d. z44 –x+1 k. x – 27 q. 0,01x + 0,22x + 1,21 z 3 –z +z2 4 –z3 +z2 2 4 4 – 4 4x z44 2 – 3 2 4x 9 –z 4 +z 9 2 4 2 3 – 4x 4 4x – t t3 2y –4 –1 9 l. 9y 3x22y– –1127y r. e. 6x 99x3y x2 –1 2 3 8 4x t 25 t83 – 9 –1 –1 1 1 84 – 1 1 2 t 43 8 x – x+ t – 16 –1 1 2 16 3 16 2 1 4 + 18x + 27x m. 8y2 6 – 32y5 + 32y4 s. t4 – f. 3x t8 – 16 x 16 1 –x+1 t4 – 4 16 4 z g. x4y + 6x3y + 9x2y n. –z3 +z2 t. 0,04a2 – 0,09b2 4 4 4x2 – Resuelve el siguiente problema. 9 3 t La figura está formada por dos cubos. –1 8 4 cm a. ¿Cuál es el volumen de la figura? 1 4 t – 16
b. ¿Qué expresión algebraica factorizada representa al volumen?
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(x + 1) cm
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Analiza el siguiente procedimiento. Luego, resuelve. Un trinomio de la forma x2 + bx + c puede ser factorizado como el producto de dos binomios con un término común (x + p)(x + q), donde p y q deben cumplir simultáneamente las siguientes condiciones: 1° Que al multiplicarlos se obtenga c, que es el término libre (sin variable) de la expresión, es decir, p • q = c. 2° Que al sumarlos se obtenga el coeficiente b, que es coeficiente numérico o literal de x, es decir, p + q = b. Ejemplo: factorizar el trinomio x2 + 7x – 30. 1° Primero, se deben encontrar dos números tales que su producto sea –30. 2° Luego, ese par de números debe cumplir con que su suma sea 7. Los números son –3 y 10. Por lo tanto, el trinomio se puede factorizar de la siguiente forma: x2 + 7x – 30 = (x + 10)(x – 3) Factoriza los siguientes trinomios utilizando el procedimiento anterior. a. a2 – 12a + 20 =
g. s2 – 5s – 84 =
b. y2 + 8y – 20 =
h. r2 + 16r + 60 =
c. x2 – 13x + 42 =
i. z2 + 2z – 63 = 7 3 7 3 j. xx22 + +2= + 2 xx + 2 2 4 2 5 4 5 + 3 bb –– 9 = k. bb2 + 3 9 16 6 2 6 aa –– 16 +– 50,7x l. aax22 + + 0,12 = 25 5 25
d. m2 + m – 12 = e. x2 – x – 6 = f. a2 – 5a – 6 =
9.
Resuelve los siguientes problemas. a. Si P = a2 – 2ab + b2 y Q = a – b, ¿cuál es el valor de P si Q = 9?
b. La figura representa una pared rectangular y la medida de su superficie se expresa de la siguiente manera: A = (x2 + 2x – 80) cm2. ¿Qué expresión representa la altura de la pared? x + 10 cm
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evaluación
contenido
resolución
e e
c c
r r
Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas En una carrera, tres ciclistas parten simultáneamente y se demoran en dar una vuelta completa al velódromo 10, 12 y 15 segundos. ¿Al cabo de cuánto tiempo se encontrarían por primera vez los tres ciclistas en el punto de partida si mantuvieran estos tiempos? Para resolver el problema, puedes determinar el mínimo común múltiplo entre 10, 12 y 15. Por lo tanto, los tres ciclistas se encontrarán por primera vez en el punto de partida a los 60 segundos de iniciada la competencia.
Para grabar El mínimo común múltiplo (m.c.m.) entre dos o más expresiones algebraicas está determinado por la expresión de mayor grado que es divisible por todas las expresiones involucradas. Para determinar el mínimo común múltiplo se puede calcular primero entre los coeficientes numéricos y luego entre los factores literales, para lo que debes considerar cada uno de los factores que componen las expresiones, dejando el de mayor grado en cada caso. Ejemplo: si se tienen las expresiones 2x2y; 30x2y2; 9ay3, entonces para calcular el mínimo común múltiplo entre ellas puedes hacer lo siguiente: 1˚ m.c.m. (2, 30, 9) = 90. 2˚ Los factores literales son: x, y, a. El mayor grado en cada caso es x2; y3; a. Por lo tanto, el mínimo común múltiplo está dado por: m.c.m. (2x2y; 30x2y2; 9ay3) = 90ax2y3.
1.
Calcula el mínimo común múltiplo de cada grupo de expresiones algebraicas. a. 5m2nr; 25mn3
d. 5a2b; 15ab2; 20a3b
b. 14xy3z3; 21x3yz3; 42xyz2; 7x2y2z4
e. 7p3q2r; 3r4p5q; 2q2r3p3
c. 10xz; 2x2y; 22yz2; 12x2y2z2
f. 3abc; 6a6b; 9a3bc
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Analiza la siguiente información. Luego, calcula el mínimo común múltiplo en cada caso. A continuación se muestra otra estrategia para calcular el m.c.m. entre expresiones algebraicas. pq – q2 p2 – pq p(p – q) p 1//
3.
q(p – q) q q 1//
(p – q) p q
Luego, m.c.m.(p2 – pq; pq – q2) = pq(p – q).
a. x2 – x; x2 – 1
d. x + 4; x2 + x – 12; x2 – 6x + 8
b. a2 + ab; ab + b2
e. x + 3; x – 2; 2x2 + 2x – 12
c. 2p2 – q2; 10p – 10q
f. a + 5; a + 5; a2 + 10a + 25
Analiza la siguiente información. Luego, resuelve. Para sumar 2 o más fracciones que contengan incógnitas en su denominador, puedes utilizar el concepto de mínimo común múltiplo. Por ejemplo: 3 5 8 + + a a2 3 2 2 5 8 3 entre 3 a,5a2 y83, 3es• 3a 9a 15la suma 8a2 de 9a+15+8a • 3 8para • a calcular El mínimo común múltiplo 3a2. 5 Luego, las + 2 + los denominadores + 2 + + 2+ = = + + = a a 3 fracciones se tiene: a a 3 a • 3a a • 3 3 • a2 3a2 3a2 3a2 3a2 2 2 2 3 5 8 3 • 3a 5 • 3 83• a 5 9a 15 8a 9a+15+8a + 2 + +2 =+ 82 + 2 + 2 = + 2+ = a a 3 a • 3a a • 3 3a• a a2 3a 3a2 3 3a 3a 3 5 8 5 4 1 3 5 8 + 2+ + + = + 2+ 3 a a x2 x 4 x a a 3 3 5 8 + . a. Explica detalladamente la para resolver 5 estrategia 4 1 8 •usada 2 la adición 2+ 2 5 3 a 3 5 8 3 • 3a 9a 15 8a 9a+15+8a • a a2 3 + 2 + = x2 ++ x42 + x+= 2 = 2 + 2 + 2 = a a 3 a • 3a a • 3 3 • a 3a 3a 3a 3a2 3 5 8 3 • 3a 5 • 3 8 • a2 9a 15 8a2 9a+ + + + + = = + + = a a2 3 a • 3a a2 • 3 3 • a2 3a2 3a2 3a2 3 5 8 + + a a2 3 3 5 8 + + 5 4 1 a a2 3 b. Resuelve 2 + 4 + = x x x 5 4 1 + + = x2 x 4 x Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
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evaluación
contenido
resolución
e e
c c =2
r r / (x + 3)
5 • x+3 5 • (x + 3) = 2 • (x + 3) x+3 5 Ayuda = 2(x + 3) 5 = 2x + 6 / +(–6) Una expresión algebraica fraccionaria corresponde/ • 1 –1= 2x a aquellas fracciones que 2 1 contienen incógnitas en su – =x denominador. 2 5 1 Ejemplo ; ; etc. x+3 y
Ecuaciones racionales
Al analizar la igualdad planteada en la pizarra, podrás notar que 3 – 1 = 0 / • m.c.m. (x + 1; x – 2) = (x + 1)(x – 2) la incógnita x se encuentra en • x 3+ 1 – x -1 2 = 0 / • m.c.m. (x + 1; x – 2) = (x + 1)(x – 2) el denominador de algunos x 3+3 1 x -12 1 1 3 = 0– 2)– / • m.c.m.••(x(x++1;1)(x – 2) (x + 1; x – 2)términos = (x + 1)(x de – 2) la igualdad. –x – –2)2)===(x00+/ 1)(x • m.c.m. ••–(x + 1)(x xx3++11• (xx+- 21)(x – 2)– x –1 2 • (xx ++ 11)(xx –- 22) = 0 Entonces, para encontrar el o los x +13 –1 2)– (x + 1) 3= 0 x –112 3 3 3(x 1 valores que la satisfacen puedes =• (x 0 /+•1)(x m.c.m. (x 02)/+=•1)(x (x(x++–1)(x (x=–+0–2)2)– 1; x – 2) =•(x(x++1)(x – – + 1; x=•–(x 2) 1)(x––2)2) = 0 – 2)– •m.c.m. 1)(x 3(x (x + 1) = 0 multiplicar en ambos lados xx-+–2–612)– x 2 x + 1 3x x + 1 x + 1 x – 2 x – 2 – x – 1= 0 de ella por el mínimo común 3 3x 1 + 1) = 0 – 7x –(x1=+01)31= 0 3(x– 6– 2)– 3(x – 2)– (x 2) = 0 • (x + 1)(x – 2) = 0 • (x +x1)(x – 2)– • (x + 1)(x – 2)– ⇒ = múltiplo de los denominadores x + 1 3x – 6 –7x – 1=x0–+21 3x – 6 – x – 21= 0 ⇒x= 2 involucrados. 3(x – 2)– (x + 1)27= 0 3(x – 2)– (x + 1) = 0 7 ⇒x= x =0 En el ejemplo observa que 3x – 6 –⇒ x – 1= 2 3x – 6 – x – 1= 0 2 x ≠ –1 y x ≠ 2. ¿Por qué? 7 7 ⇒x= ⇒x= 2 2 Para grabar 2 5 1 1 – + = + Las ecuaciones racionales son aquellas que involucran Ejemplo: 3x 6 2x 5 2 5 1 1 expresiones algebraicas fraccionarias en uno o más de sus 2 5 1 1 – 2 + 5–= 1+ + =1 + /3x 5) = 530x;conx ≠ 0. – + = + • m.c.m.(3x; 2 5 1 1 5 2x 6 3x2x6;6 2x; términos. – + 2= 5 + 1 1 3x 6 2x 5 2 5 1 1 2 5 1 1 / • m.c.m.(3x; 5) = 30x;conx Para resolver una ecuación racional, puedes transformarla –3x –+6 =+2x =+5 +–2 • 10 + 5 • 5x = 1 • 15 +6x – 2 + 5–= 1+ + =1 +/ • m.c.m.(3x; 6; 2x; 5)6;= 2x; 30x;conx ≠ 0. ≠ 0. 5 2x 6 3x 3x2x 6 5 2x 5 56 1o2x 1 5 23xenteros 6 3x en una ecuación de primer grado con coeficientes m.c.m.(3x; 2x;+6x 5) = 30x;conx – + 2= 5 + 1 1/ • –20 ≠ 0. + 25x =6; 15 / +(–6x+ 10 + 520) 5x+6x = 1 • 15 +6x 2 5 +2x1el=5 1 + fraccionarios multiplicando ambos lados de la igualdad –2 15 •• 5x = •• ≠ / • m.c.m.(3x; 2x;=• 10 5) =+–2530x;conx 0. / • m.c.m.(3x; 6; 2x;6;5) 30x;conx = + –3x –+6 por ≠1 0. 1 2x –20=+1525x / +(–6x+ 5 5 6= 1 •62x mínimo común múltiplo (m.c.m.) de todos–2los + 53x• 5x3x 15 +6x • 10denominadores / •+ 25x 19x = 35 –20 +6x= 15 +6x / +(–6x+ 20) 20) 19 –2 10 + 5 =•155x • 15 +6x involucrados. –2 –20 1 +6x 151+6x • 10 ++• 525x • 5x= •= 1 / +(–6x+ 20) 19x = 35 / • 1 / • 35 19x = 35 15 +6x/ +(–6x+ / +(–6x+ 20) –20 +–20 25x+=25x 15 =+6x 20) 19 x= 1 19 /• 19x = 35 19 1 35 1 35 19x =19x 35= 35 / •19 / • 3 x x = x = 19 19 192 = +3 35 19 x =ca en35qué caso2x 2 1. Identifi la igualdad corresponde a una ecuación racional. 35 19 Ayuda 3 x3 = x +3 x= x= 2 = 2x+3 2w+1= w+2 2 2 3 x19 19 Sí2a No Sí No c. 2x m2 + 2m – 3 = 2 a. 2 =3 +3x 5 3 x 2w+1= w+2 =2 / • (x + 3) 2x =2 =+3 +3 = a–1 2w+1= w+2 2 x+3 a 2 2 2x2 2xw+2 2w+1= 2a 2a = a–1 5 3 = a–1 Sí Sí No No b. d. 2w+1= w+2 • (x + 3) = 2 • (x + 3) 2w+1= a =4 2a w+2 a x+3 = 2a a–1 x+1 3 a2a = a–1 3 = a–1 5 = 2(x + 3) =4 –5ecuaciones3 racionales. 2. Resuelve las siguientes = 4 a x+1 =–1;x ≠ 3a 5 = 2x + 6 / +(–6) =4 2 x+1 –5 2x+3 3 3 =4 x+1 3 ≠3. –5b. =–1;x a. = 4; x ≠ –1. 1 ≠ =–1;x 2 –1= 2x /• 3 –5x+1x+1 2x+3 2x+3 2 ≠ =–1;x 2 3 –5 3 –5 2x+3 =–1;x ≠2 ≠ =–1;x 1 2x+3 2 2 2x+3 – =x 2 5 1 ; ; etc. x+3 y
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Unidad 4 • Álgebra y ecuaciones racionales
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10= x+
2 2 15 15 x = x= 2 2 2 3 / •8x(3x+1) 1 2 3 54 3 =5 2 6= / • x7(3x+1) x6 3x+1 4 x 53x+1 1 2 3 7 8 10 1 9x+1=2x / • (x+5); x ≠ –5 10= 1 9x+1=2x 10 / • (x+5); x ≠ –5 x+5= 12= / • (x+5); x ≠ –5 7x = 1 2 x+5 3. Detecta el error en cada resolución. Luego, corrige. 7x = 1 x+5 2 5 10= x+ 5 1 5 1 x= 10= x+ 2 10 1 10= x+ 2 7 a. 10 = 1 / • (x+5); x ≠ –5 Corrección: x = Error: 152 7 x+5= 2 / • (x+5); x ≠ –5 1 1 1 15 10 x =x15 x+5 2 1 = ; x ≠ –1 1 2 5 / • (x+5); x ≠ –5 = = x = x –1 = ; ≠ x+1 2 10= x+ x+53 22 22 x+1 2 1010=1x+ 52 =3 5 2 / • x(3x+1) x 2x + 4 10= 1 2 / • (x+5); x ≠ –5 3x x+ ; x ≠ –2; x ≠ 2 x 2x + 4= 2 /(3x+1) =2 • x(3x+1) / • (x+5); x ≠ –5 1 10 =2 15 3x+1 x+5 10= 2 / x = • =x 2–4 ; x ≠–4 –2; x ≠ 2 / • (x+5); x ≠ –5 3x+1 x 2 x+5x = 15 2 2 x 3x+1 9x+1=2x x –4 x –4 x+5 x =x+225 7 4 10= 9x+1=2x 5 15 2 9x+1=2x = 10 7 ; x≠ 4 10= 3 x+ 7x 225 x == 1 ; ≠ = 10 x 10= 3 3x–7 1 2 2 / • x(3x+1) 3 =15x+ 7x =7x12= 3 3x–7 b. 2 / • x(3x+1) Corrección: Error: x 3x+1 1 xx== 3x+1 3 7 15 3x = 2 1 =–1; x =215 3 7 x≠ 9x+1=2x / • x(3x+1) = 17= =–1; x≠ x = x = x3x+1 2x–7 2 2 9x+1=2x 7 37x = 12 2x–7 2 7 1 1 = 1 2 / • x(3x+1) y–5 3 3 = ; x ≠ –1 9x+1=2x – = 1; y ≠ –1 / • x(3x+1) y–5 3 2 x7x3==3x+1 1 1 12= 1 ; x ≠ –1 x+1 1 = 1; y ≠ – / x = ( 3x+1) • = ; x2≠ –1 5 –1 xx = 13x+1 10 1y+1 7x = 1 x+1 5 y+1 9x+1=2x / • (x+5); x ≠ –5 = 3x+1 x 2 x+1 x 2x + 4 x= 7 9x+1=2x x+5 2 5 x =2x 2x +;4x ≠ –2; x ≠ 2 1 7 2 2 9x+1=2x x + 4 5 y– = y+2; y ≠ 0 7x1 = 1 1 ; x ≠ –2; x ≠ 2 x –4 x –4 x2 = = = 2 ; x ≠ –2; x ≠ 2 y+2; y– = 5 7x = 11 ; x ≠ –1 y y≠0 2 x –4 2 x –4 17x 7 10= = 1 yx+ x –4 4 x –4 7 x+1=1 2; x ≠ –1 2 = 10; x ≠ 7 x = las 1 v –v 4. Resuelve ecuaciones racionales. 3x–7 x+1 Desafío 7≠ 41 4= 1=; x10≠; x–1 1 siguientes v f –a= vo f o 3 x x =722x +4 ; ≠ = 10 x 15 x = ; ≠ ; ≠ x –2 x 2 7 +4 3x–7 x 12x t – to x+1 21 x = a= 37 3 3x–7 3 2 ¿Qué condición = 72 –4 ; x ≠ –2; x ≠ 2 tf – todebef cumplir –4 2 x ≠ ≠ –1 a. xx2 –4 . d. x 3 =–1; . 1 = x;x12x–4 7 +4 7 m las x para poder resolver 3 = 2x=–1; ≠ –1 x; ≠ 2x–7 x+1 x2≠ –2; x ≠ 2 7 41 =2 1 ;; xx ≠ 5 2 m 2 3 =–1; 2 2x–7 2x ≠ –1 2 x+1 ; ≠ = 10 x 2 x –43 x –4 2 ecuaciones? = 5 2 / • xs(3x+1) 2x–7 y–5 x4 2+; 4x ≠ 73 x+1=2x 3x–7 10 3x+1 x s ≠ = 1; y –1 – = ; ≠ ; ≠ x –2 x 2 x 2x + 4 3 y–5 7 4 2 y–5 x2 1 x =x22x + 4 ;73x ≠ –2; x ≠ 2 . e. . b.x3x–7 ≠ = 1; y –1 y+1– 35–= 2 –4 –4 ; ≠ = 10 x 23 2 1; y ≠ –1 3 =1 x9x+1=2x 1 2– = x2 x–4 ≠ 7; x ≠ –2; x ≠ 2 5 y+1 x23–4 =–1; 3x–7 = 1 x–1 – y+1 55 72 x4 –4=–1; x x–4 2x–7 ≠ 2 (x – 1) (x – 1)7x x=–11 4 = 10; x ≠ 7 3y–5 =5y+2; y7≠ 0 2x–7 4 3 = 10; x ≠327 3 1 1 3x–7 y–5 = y+2; y ≠ 0 y– =–1; x ≠ y 0. y– =yy+2; y ≠ 10y; ≠ x≠ f. 2x–7 c.y–5 3= + 11 1 –1 3 . –3 = 1; 3x–7 2 x = = +1– x 2x x – x 2 3 – 5= 1; y ≠ –1 7 3 y v –v 3x–7 y+1 f o 35=–1; x ≠ 7 1– x7 x x – x 3 y–5 y+1 vvf –1 – vo 3 5 =–1; x ≠2 7 2x–7 = a= 1;v fty–≠ – a= – t o =–1; x ≠ 1 1 2x–7 20 y≠ y–35 =ely+2; y+1 5a= f t –o t 5. y–5 Resuelve siguiente = ; x ≠ –1 2x–7 2 problema. tm – tof o y– ==1;y+2; y ≠ –1y ≠ 0 – yy3 f y–5 2 x+1 5 5 m y–≠ y–5 5– 3 = 1; y+1 = y+2; y– uniformemente v –1 La fórmula la aceleración (a), en un movimiento ms52 y ≠ 0 acelerado, está dada – 5 = 1;vde x por 2x +la4ecuación: y+1 fy ≠o–1 y 5 s2 = ; x ≠ –2; x ≠ 2 y+1 5 5a= v f – v o 2 tf –yto≠ 0 = y+2; y– a= x2 –4 x2 –4 x 2 2 1 vs – v 5 t f – to y ≠ 0 y–y 5 = y+2; 1= 1f o 2 x – 7 4 y– y = y+2; m y≠0 – =1 1 t=–1 t (xx – 1)2– 2x1–a= = 10; x ≠ y v5fm–2 v o x–1 f o (x 2 – 1) x – 1 3 3x–7 (x – 1) 3 1 1 a= 5 vs2f – v o 1=1m+1 3 23 a=tfsv–f t–ov o 2 3 7 1 1 a= fitnal 1– x=5 x+2= x+–txf: tiempo vx2f: rapidez vo: rapidez inicial final inicial –t =–1;t0x: tiempo ≠ x 2 – 1 =m1 tff – too 1– xxs x x2 – x 2 2x–7 2 1– x x–x – x – 1= 1 mde la fórmula anterior. (x – 1)Despeja x2 1 f (xa. – 1)2 x – 15 s52vm y–5 3 = 1 – 1 5 1s2 3 – = 1; y ≠ –1 2 + = 2 3 x – 1 2 (x – 1) 1 1 y+1 5 x 2 11– x = xs+ x – x 2 x2 – 1x= 1 x x – x 2 3 1 1 5 – 11 = 1 (x – 1)x 2 2 x––1– = + y– = y+2; y ≠ 0 2 (x – 1)2 x – 1 = 1 x 1– x x – x x – 1 y (x – 1) 1 1 3 32 1= +1 + = 3 1 1 v –v 1– x x x – x 2 1– x = x + x – x a= f o 1– x x x – x 2 t f – to m b. Si un vehículo que estaba detenido comenzó a moverse con aceleración constante de 5 2 , ¿qué rapidez s adquiere a los 10 s de iniciar el movimiento? 2 x 1 =1 – 2 (x – 1) x – 1 3 1 1 = + 1– x x x – x 2
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evaluación
contenido
resolución
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Comprobación de ecuaciones racionales 1 5 = , aplicando la equivalencia de fracciones. 3x x 1 5 = ⇒ x = 15x 3x x ⇒ 14x =0 ⇒ x =0
Observa la resolución de la ecuación
Ayuda Dos fracciones son equivalentes si: a c = ⇔ a • d = b • c ; b, d ≠ 0 b d
¿Qué sucede al evaluar la solución obtenida en la ecuación? Al evaluar la solución en la ecuación se obtiene una división por 0, en ambos miembros. Es decir, los dos denominadores de las expresiones fraccionarias son 0. Por lo tanto, como la división por 0 no está definida, se dirá que la ecuación no tiene solución.
Para grabar Al resolver una ecuación racional se debe comprobar que la solución satisfaga la ecuación. Para esto, una vez obtenida la solución, puedes evaluarla en la ecuación; si al hacerlo se anula alguno de los denominadores involucrados en la ecuación, se dice que la ecuación no tiene solución. Esto sucede porque las soluciones de las ecuaciones transformadas no siempre son solución de la ecuación original. Ejemplo: 1 1 = / • x(x -1) se obtiene como solución x = 1. x –x x–1 Al evaluar la solución obtenida en la ecuación, se tiene lo siguiente: Al resolver
2
1 1 1 = → 1 –1 1 –1 0 lo cual implica una contradicción, ya que la división por cero no está definida.
1.
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Resuelve las siguientes ecuaciones racionales. Para ello, determina la pertinencia de la solución que obtuviste en cada caso. a.
6x 2x+3 = 2x–6 x–3
c.
15x 3x+4 = 3xx –6 x–2 3
b.
2x–9 5 = x–7 x–7
d.
2x–5 11 = x–8 x–8
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7 7
8 8
Evalúa si las siguientes ecuaciones racionales tienen o no solución. Para ello, resuélvela en el recuadro correspondiente. 1 1 4 – = x 2x x–1
d.
3 7 =– 3x 5x
3 x =3 b. – – 7 x–2
e.
x+1 1+x = x–1 – 1 1+x
3 4 5 + + =1 x x x
f.
x +3 x+1 = x – 1 x–8
a.
c.
3.
Resuelve la siguiente ecuación. Luego, responde. 1 1 – =0 2 2 ax –a x ax
4.
¿Qué valores debe tener a para que la ecuación tenga solución?
Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno. a. Determina una ecuación racional que no pueda tener como solución a los números –1 y 2. Explica cómo determinaste tu respuesta. b. Determina una ecuación racional que no pueda tener como solución el número 0. Explica cómo determinaste tu respuesta. c. Determina una ecuación racional que no pueda tener como solución a los números –2, 3 y 5. Explica cómo determinaste tu respuesta.
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Trabajo de habilidades
Resolución de problemas 1 Analiza la resolución del siguiente problema.
¿Qué es aplicar? Aplicar consiste en usar un procedimiento aprendido en una situación para resolver otra no enfrentada previamente.
¿Qué tengo que hacer para aplicar un procedimiento?
d La ecuación de la rapidez promedio está dada por v = . De ella se pueden despejar t las variables tiempo t y la distancia d. Por ejemplo: un aeroplano vuela 1.062 km con el viento a favor en un tiempo t; en el mismo tiempo t, puede volar 738 km con el viento en contra. Si la rapidez del aeroplano cuando no sopla viento es de km 200 , ¿cuál es la rapidez promedio del viento? h
Paso 1 Comprende el enunciado ¿Qué datos son necesarios para resolver el problema? La ecuación que relaciona las magnitudes rapidez, distancia y tiempo. km Luego, el valor de la rapidez del aeroplano, 200 , ya que se conocen las h distancias recorridas y el tiempo t empleado.
Interpretar la información entregada en el problema utilizando la representación. Emplear el procedimiento propuesto en la resolución del problema.
Paso 2 Planifica lo que vas a realizar Interpreta los datos con una tabla
Distancia
Rapidez promedio
Tiempo
Viento a favor
1.062
200 + v
t
Viento en contra
738
200 – v
t
Etapas de la resolución de problemas. Paso 1: Comprende el enunciado. Paso 2: Planifica lo que vas a realizar. Paso 3: Resuelve el problema.
Paso 3 Resuelve el problema
Paso 4: Revisa la solución.
d d la variable t; entonces, t = y v t 1.062 738 yt= . reemplazando los datos del problema se tiene que: t = 200+v 200 00 –v Se puede despejar de la ecuación v =
Emplea el procedimiento Los tiempos son iguales, de modo que: 1.062 738 = ⇒ 1.062(200–v) =738 =7 (20 00 0 +v) +v 200+v 200–v ⇒ 212.400–1062v =147.600+738v ⇒ 1.800v = 64.800 ⇒ v = 36 La rapidez del viento es de 36
km . h
Paso 4 Revisa la solución Para que la respuesta sea correcta, ambos tiempos deben ser iguales. t1 =
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1.062 1.062 738 = = 4,5h y t2 = = 4,5h 200+36 236 200–36
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7 7 F=
8 8 m a
2 Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente. kg • m m F= m F = 20 2 F = , donde a La fuerza F necesaria para mover un cuerpo de masa m, se puede calcular usando la fórmula a s a kg • m m representa la aceleración del cuerpo. Si se aplica una fuerza F = 20 2 sobre un objeto que acelerakg7,5 •m , F = 20 2 s2 s s ¿cuál es la masa del objeto si su aceleración disminuye a la mitad? m 7,5 2 m 7,5 2 s Paso 1 Comprende el enunciado s ¿Qué datos son necesarios para responder la pregunta?
Paso 2 Planifica lo que vas a realizar
Paso 3 Resuelve el problema Interpreta la información.
Emplea el procedimiento.
Paso 4 Revisa la solución
3 Resuelve en tu cuaderno el siguiente problema. El volumen (V) de un recipiente que tiene la forma de un prisma de base rectangular está dado por: V = (x3 + 8x2 + 17x + 10) m3. Si la altura se puede expresar por (x + 5) m, ¿cuál es la medida de la superficie de la base? Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
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evaluación sumativa
Verificando disco
I. Lee atentamente cada una de las preguntas y marca la alternativa correcta. 1 Un comerciante ganó durante cuatro años consecutivos una suma de dinero “a” anualmente; durante los siguientes tres años ganó una suma “b”. Si el capital inicial del comerciante era “x”, ¿qué expresión representa la ganancia obtenida durante el período? A. B. C. D. E.
x + 4a + 3b x – 4a + 3b x + 4a – 3b x – 4a – 3b x – (4a + 3b)
2 Si en un juego se utilizan 32 naipes y se sacan en un primer turno “x + 3” naipes, y en un segundo turno se saca el doble de naipes que en el primer turno, ¿qué expresión representa la cantidad restante de naipes? A. B. C. D. E.
32 – (x + 3) – 2(x – 3) 32 + (x + 3) – 2(x + 3) 32 – (x + 3) + 2(x + 3) 32 – (x + 3) – 2(x + 3) 32 + (x + 3) – 2x + 3
3 ¿Qué resultado se obtiene al sumar 4(4x + 11) y 5(5x – 13)? A. B. C. D. E.
41x – 2 41x – 21 61x + 25 41x – 109 41x + 109
4 Si a = b + 3, ¿cuál es el valor de 3a – 2? A. B. C. D. E.
b+1 b+9 2b + 3 3b + 7 3b + 9
5 Si x = 2y – 5, ¿cuál es el valor de 9x + 5? A. B. C. D. E.
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18y 18y – 45 18y – 40 9(2y – 5) 81y – 45
6 Al analizar la construcción de la siguiente secuencia:
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) VERDADERA(S)? I.
La décima figura de la secuencia está formada por 21 círculos. II. Cualquier figura de la secuencia tendrá un número impar de círculos. III. La diferencia positiva en cuanto a la cantidad de círculos entre dos figuras consecutivas es 2. 7 11 x–6x–2x+ 7 x–6x–2x+ xx 4 4 4 4 15 15 –– 2 2 373 373 8 numérico de la 8 7 Si x = 1,25, ¿cuál es el valor 777 111 365 7365 1 7 xxx 1 x–6x–2x+ x–6x–2x+ x–6x–2x+ expresión x? x–6x–2x+ x 4 4 4 4x–6x–2x+ 32 4 4 432 4 4 4 15 15 275 15 275 15 A. ––––15 D. –– – 222 32 32 2 2 373 373 373 373 32 B. 373 E. –– 32 8 8 275 275 8 88 365 365 365 365 aa C. 365 32 32 32 2 2 32 32 275 275 275 275 a+b a+b –––275 – – 32 32 8 ¿Cuál32 es la cuarta 32 4 la diferencia entre 4 32 parte de “2b +32 3a” y “2b – a”? 32 32 aa 32 ––– 32 – – 275 275 4 275 275 A. a275 4 aaa a a B. 222 2 2 a+b a+b a+b a+b a+b C. 4 44 4 4 aa a D. aa 4 44 4 4 E. 2a A. B. C. D. E.
Solo I. Solo I y II. Solo I y III. Solo II y III. I, II y III.
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a22x22 +2axz+z22 y= a(ax+z)22 x22 +b22 y= (x–b)22 b a2x2 +2axz+z2 b–(a+b) , ¿cuál es el valor de y si Si y = 2 aa(ax+z) 3b a∆b= + a = 2?x2 +b 22 4 y= 1 2 A. –1 1 (∆ x–b) 2b 3 B. 0,5 1 C. b–(a+b) 2 xz2 2 a2 3b 2 2 2 a∆b= aa22xx22 + +2axz+z +2axz+z 1 y = D. y– = 2 4 222 a(ax+z) 12 21 a(ax+z) 2 2 2 ∆ – 2 xx +b E. yNinguna 49 +b2de las anteriores. 2 3 = y = (x–b)222 25 1 (x–b) Si a =2 4b y d = 3, ¿cuál es el valor numérico de la 97 xz b a2 – 2d2 + 5(a – d)? expresión 45 b–(a+b) 1 b–(a+b) – A. 3 1 a 3b 2∆b= a + 3b B. –aa–3 ∆ + 72b= 2 4 2 4 C. 49 2d 1 1 7 1∆ 1 D. 25 ––––2d ∆ 25 2 97 E. –13 2 3 3 a2x2 +2axz+z2 111 y= 45 2 a(ax+z) Si xxz es el valor numérico de 4=122232 y b = 41, ¿cuál xz –1 1 x2 +b2 72 1 y = la expresión ? –– 2 52 x–b) ( 7 2 –49 1 b 25 49 A. –25 b–(a+b) 4 125 a 3b 4–97 971 a∆b= + B. 45 6 2 4 145 1 1 1 1 – ∆ C. 5–– 1 72 5 2 3 1 –172 7 1 D. ––47 2125 xz2 –2125 E. Ninguna de1las anteriores. 16 – 4 3 2 1 4 Si x–1= 5, ¿cuál es el valor de la expresión 2 49 (x2 ––155x + 10)(x + 3)? 3 25 15 5 A. 28 111 97 – B. 2––5 4 16 45 4 C. 101 1 31 – D. ––80 72 26 6 E. ––80 1 7 ––31 – 5 25 1 –15 1 116 2 4 2 2 1 2 3 5 3 2 1 –– 2 – 3 4 3 1 1 –– 1 – 16 6 16 1 – 5 129 1
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b–(a+b) 11 3b a 3b ∆222b= + b= a + xz∆ aaxz 4 2 4 2 1 –– 111 11 ∆ 2∆ –– 2 2 3 3 1 2 3 5 6 7 8 54 2 49 49 4 1 2 3 5 6 7 8 11 25 2 2 2 2522 a x +2axz+z xz xz y= 97 97 a(ax+z)2 11 ––45 45 x2 +b2 21 2 y= 1 –49 (x–b)2 Si a–49 +72 72b = –5 y a = –4, entonces, ¿qué valor 257 b 25 7 resulta ––97 97 al valorizar la expresión b–(a+b) ? 25 25 45 a 3b 45 11 a∆b= + A. 4 11 2 4 ––4 72 1 1 72 11 – ∆ 7 B. –5 7 2 3 –5 2 2 2 25 1 25 a x +2axz+z 11 y= 2 C. ––11 xz2 a(ax+z) 4 4 41 4 1 x2 +b2 1 – y= D. ––11 2 6 (x–b)2 6 5 49 51 b E. –– 111 25 b–(a+b) –– 5 54 97 4 11 a 3b Si se 11define a∆b= + , entonces, 45 ¿cuál es el ––2 2 2 4 6 1 2 26 1 1 – 11 – ∆ ? resultado de 72 3 2 3 ––3 5 7 5 2 2 1 – – 1 – A. 013 25 3 xz2 2 1 B. 12 11 1 ––2 2 – 4 16 16 2 C. 0,5 3 1 3 49 2 2 5 D. –– 25 3 3 1 97 – 11 4 E. –– 45 16 1 16 1 – ¿Qué expresión – resulta al reducir6los términos 72la expresión: semejantes de 1 7 + (–a) + x – (–2a– + 1)]}? –{–1 + a – x –– [2 5 25 1 A. 2 1 B. 4 2 4 C. 2 – 2x 2 D. 2 + 2x 1 3 5 E. 4 – 2a + 2x 2 1 – – 3 es ¿Cuál de las siguientes expresiones 4 1 • (–y)]? equivalente a 1la expresión –[–x –– (–x) – 16 6 A. 0 1 B. –y – C. –x – xy 5 D. x + xy 1 E. x – xy 2 2 3 2 – 3 1 – Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo 129 16
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evaluación sumativa
Verificando disco
17 Al reducir los términos semejantes de la expresión 2 – x – 7x – (9x – (3 + 6x)). ¿Qué expresión se obtiene? A. B. C. D. E.
5x – 1 –5x +1 –(5x + 1) 5x + 1 Ninguna de las anteriores.
18 La medida del largo de un rectángulo es (3x + 2y) cm. Si su perímetro es (10x + 6y) cm, ¿cuál es la medida del ancho del rectángulo? A. B. C. D.
(2x + y) cm (4x + 2y) cm (7x + 4y) cm (x + 2y) cm
E. (3,5x+2y)cm 2 2 x+ de (x – 3)(x2 + 2x – 5)? 19 ¿Cuál es elproducto 3 y 3 x– y 3 2 A. –x 43 2+ x2 2 – 11x + 15 B. x x+ –y x – 11x + 30 C. x33 – x2 – 11x + 15 2 2 D. x43 x–2 x–y – 11x – 15 3 2 9 E. x + x – 11x – 15 2 2 2 x –y 20 ¿Qué 9 expresión es equivalente a la expresión (a +4b)22 – (a – b)2? x –y2 6 A. 4a B. 2ab C. 4ab D. –2ab ((3,5x+2y E. –4ab 3,5x+2y cm 3,5x+2y))cm cm (3,5x+2y)cm 2 2 2 x+ y 2 x– y yy x– x+ x– yy de 2 x+ y 2 x– y? x+ 21 ¿Cuál es el producto 3 3 3 3 3 3 4 4 4 22 222 4 2 2 A. 3 xx2 –y –y x –y 3 3 3 4 4 2 222 4 2 2 B. 4 xxx22 –y –y –y 9 x –y 9 9 9 2 2 2 222 C. 2 xx22 –y 2 2 2 –y 9 x –y 9 9 9 4 2 2 4 xx222 –y D. 4 4 2 2 x –y –y2 6 x –y 6 6 6 E. Ninguna de las anteriores.
130
22 El cuadrado ABCD, de lado 8 cm, tiene en sus esquinas cuatro cuadrados de lado x cm cada uno. ¿Cuál es el área sombreada?
A. B. C. D. E.
A x x
x D x
x B x
x x C
(8 – x) cm2 (64 – 4x2) cm2 (64 – x2) cm2 (8 – x2) cm2 (8 – 2x)2 cm2
23 ¿Qué expresión se obtiene al resolver (a + x)2 – x2? A. B. C. D. E.
a(a + 2x) a2 – 2x 2xa – x a2 – 2ax Ninguna de las anteriores.
24 ¿Qué expresión se obtiene al factorizar la expresión 25x2 – 121y2? A. B. C. D. E.
(5x2 – 11y)(5x2 – 11y) (5x + 11y)(5x + 11y) (5x2 + 11y)(5x2 – 11y) (5x + 11y)(5x – 11y) Ninguna de las anteriores.
25 ¿Cuál de las siguientes alternativas es equivalente a la expresión 8a3 – 36a2b + 54ab2 – 27b3? A. B. C. D. E.
(a + b)3 (2a – 3b)3 (a + b)2 (a2 – b2)3 Ninguna de las anteriores.
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26 Se sabe que a y b son números enteros positivos y a > b. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) VERDADERA(S)? b a b
a
I.
El área del cuadrado de lado (a + b) es igual al área pintada de amarillo. II. (a + b)(a – b) es igual a la diferencia de las áreas del cuadrado de lado a y del de lado b. III. a(a + b) > a2 + b2 A. B. C. D. E.
Solo I. Solo II. Solo I y III. Solo II y III. I, II y III.
27 ¿Qué expresión es equivalente a: a2 – (m + n)a + mn? A. B. C. D. E.
(m + a)(n – a) (a – m)(a – n) (m – a)(n – a) (a2 + m)(a – n2) Ninguna de las anteriores.
28 Si el área de un rectángulo está dada por la expresión (2x2 + 2x – 24) cm2 y uno de sus lados mide (x – 3) cm, ¿cuál es la medida del otro lado? A. B. C. D. E.
(x + 8) cm 2(x + 8) cm 2(x – 4) cm 2(x – 3) cm 2(x + 4) cm
29 ¿Cuál es el mínimo común múltiplo entre x2 – 16 y x2 – 2x – 24? A. B. C. D. E.
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(x – 6)(x + 4)(x + 4) (x – 6)(x – 4)(x – 4) (x + 6)(x + 4)(x – 4) (x – 6)(x + 4)(x – 4) Ninguna de las anteriores.
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30 Dada la expresión x2y2 + x2y + xy + x, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) factor(es) de ella? I. xy + 1 II. x + 1 III. x A. B. C. D. E.
Solo I. Solo II. Solo III. Solo I y III. Solo II y III.
31 ¿Cuál es el mínimo común múltiplo entre x2 + 10x + 25 y x2 + 12x +35? A. (x + 5)2(x + 7) 3 55 B. (x3+ 5)(x + 7)2 + =0 + 2 =0 2 x+2 2 + 7) x+2 C. (x – 5)(x 11 2 13 D. (x13 + 5)(x = 11– 7) = x+3 2x–3 x+3 E. Ninguna de las anteriores. 2x–3 11 22 = 3 5 = 32 ¿Cuál + =0 ? xx la solución de la ecuación aa es 2 x+2 5 5 11 13 A. 16 = 16 2x–3 x+3 16 16 B. 5 1 2 = 5 x a 5 C. –– 5 5 16 16 16 16 D. – 16 16 –5 3 5 5 5 + =0 E. Ninguna de las anteriores. x+2 2 5 – 13 33 ¿Cuál es la solución de la ecuación 16 = 11 ? 2x–3 x+3 16 A. 0 –1 2 5= B. 4 3 5a x + =0 C. 8 x+2 2 5 D. –8 11 13 E. Ninguna de las anteriores. = 16 2x–3 x+3 16 1 2 5 34 El valor de x en la ecuación = es: a x 5 – A. a 5 16 B. 2a 16 16 – C. a – 1 16 5 D. a + 1 5 E. No existe. 5 – 16 16 – 5 Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo 131
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II. Lee atentamente los problemas. Luego, resuelve. 1. En la siguiente figura:
D
F
C a
b
A
E
b
a
B
a. ¿Es verdadera la afirmación, “el área del rectángulo BCFE es a2 + ab”? Justifica tu respuesta.
b. ¿Es verdadera la afirmación, “el área del rectángulo AEFD es b2 + ab”? Justifica tu respuesta.
2. En la siguiente igualdad. 3–
8 1 = x+ 1 3
a. ¿Cuál es el valor de x? ¿Qué valor(es) no puede "tomar"x?
b. El valor que obtuviste, ¿es solución de la ecuación? Comprueba.
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Historial Una técnica que facilita la retención de lo estudiado para después realizar un repaso eficiente es el cuadro sinóptico. Se trata de un resumen esquematizado, cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de manera estructurada y organizada. Completa la tabla que muestra algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad. Contenido
Definición o procedimiento
Ejemplo
Expresiones algebraicas.
Valoración de expresiones algebraicas.
Reducción de términos semejantes.
Multiplicación de expresiones algebraicas.
Productos notables.
Factorización.
Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas.
Resolución de ecuaciones racionales y su comprobación. Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
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Organizar favoritos Ahora que tienes claras las ideas principales, elabora un mapa conceptual que te permita relacionar algunos conceptos clave trabajados en la unidad. Conceptos clave
Expresiones algebraicas Binomios Valoración de expresiones algebraicas Multiplicación de expresiones algebraicas Factorización Ecuaciones racionales
Monomios Polinomios Reducción de términos semejantes Productos notables m.c.m. de expresiones algebraicas Comprobación de soluciones
Herramientas A continuación, te presentamos algunos datos fundamentales de esta unidad. No los olvides, pues te seguirán siendo útiles. Expresión algebraica. Coeficiente numérico 9
grado 2 + 2 = 4
9a2b2
Valoración de expresiones algebraicas. Se le asigna un valor numérico a cada uno de los factores literales de la expresión.
factor literal a2b2 3x2y + 5xy2 Binomio
Grado 3
• Un término: Monomio • Tres términos: Trinomio • Cuatro o más: Polinomio. Factorización. Se determina el factor común y se reescribe la expresión. 2xy + 2xz = 2x(y + z) También puedes utilizar los productos notables. 4x2 –12x + 9 = (2x + 3)2 Cuadrado de binomio.
134
Adición de expresiones algebraicas.
Multiplicación de expresiones algebraicas. 1 3 xy(2x +3y)=x2y+ = xy2 2 2 3 1 = y–2 y+2 Productos notables.
(a b)2 = a2 2ab + b2 3xy – (4y + 2xy) = 3xy – 4y – 2xy (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 + b3 = 3xy – 2xy – 4y (a + b)(a – b) = a2 – b2 Términos = xy – 4y semejantes m.c.m. de expresiones algebraicas. El m.c.m. entre 2x + 8y; 4x + 16y es 4(x + 4y); ya que los factores del primer binomio son 2(x + 4y) y los factores del segundo binomio son 4(x + 4y).
Ecuaciones racionales. Contienen la incógnita en 1 denominadores 3 alguno de los xy(2x +3y)=x2y+ = xy2 de la ecuación. 2 2 3 1 = y–2 y+2 Las soluciones encontradas deben ser comprobadas.
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Habilidad
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Analizar Recordar Aplicar Comprender Recordar Evaluar Comprender Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Analizar Analizar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Evaluar Aplicar Aplicar Aplicar Evaluar
Factorización.
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Analizar Evaluar Analizar Analizar Comprender Evaluar Comprender
Ecuaciones racionales.
32 33 34
Aplicar Aplicar Aplicar
Contenido
Expresiones algebraicas, valoración de expresiones algebraicas y reducción de términos semejantes.
Multiplicación de expresiones algebraicas y productos notables.
Clave
Nivel de logro
18
6
7
3
Mi estado Evalúa tu desempeño a partir del logro alcanzado para cada contenido. ¿Qué contenidos podrías enseñarle a una compañera o compañero que no los haya entendido? ¿Qué temas debes repasar? ¿Qué harás para reforzarlos? ¿Qué calificación te pondrías de acuerdo a lo que has aprendido a lo largo de la unidad? ¿Por qué? Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
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Unidad
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Transformaciones isométricas Es muy frecuente relacionar las transformaciones isométricas con elementos de la naturaleza, desde el diseño de las alas de una mariposa hasta nuestro propio cuerpo. Las imágenes simétricas transmiten una sensación de orden, armonía y equilibrio que muchas veces se toma como criterio de belleza.
Menú de inicio ¿Qué?
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¿Para qué?
¿Dónde?
Transformaciones isométricas en figuras planas.
Identificar y aplicar transformaciones isométricas a figuras planas.
Página 138 a 143.
Vectores y plano cartesiano.
Representar magnitudes en el plano cartesiano.
Página 144 a 149.
Transformaciones isométricas en el plano cartesiano.
Aplicar transformaciones isométricas a figuras planas teniendo en cuenta sus coordenadas, y así introducir la geometría cartesiana.
Página 152 a 162.
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Abrir sesión Considerando la información de la página anterior, responde: 1) ¿De qué se trata la lectura? ¿Cómo se relaciona con la imagen? 2) Da tres ejemplos, distintos a los mencionados, de elementos de la naturaleza que representen figuras simétricas. 3) ¿Qué opinas sobre considerar las imágenes simétricas como un referente de belleza?
Inicializando Aplicar consiste en llevar a cabo o utilizar un determinado procedimiento en una situación dada.
Cada símbolo está formado por dos figuras, y una de ellas es la imagen simétrica de la otra, tomando como referente un eje. Dibuja el eje de simetría en cada símbolo y describe la secuencia formada por las figuras a las que se les aplicó la simetría axial.
11
22 33 44 55 66 77
1) ¿Qué se debe conocer para resolver el problema?
2) ¿Qué procedimiento llevarás a cabo para solucionar el problema?
3) Aplica el procedimiento descrito en la pregunta anterior y resuelve el problema.
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Transformaciones isométricas Son muchos los casos en los que es posible observar las transformaciones isométricas. Por ejemplo: en el reflejo de un espejo, en el funcionamiento de una cámara fotográfica o de una fotocopiadora, en la forma de algunas plantas, etc.
Para grabar En las transformaciones isométricas aplicadas a figuras planas se conservan la forma y el tamaño de la figura original. Por lo tanto, este tipo de transformaciones permite obtener otra figura a partir de una dada.
Para saber más Recuerda que la simetría axial y la simetría central son tipos de reflexiones.
La figura que se obtiene luego de aplicar una transformación isométrica se denomina figura homóloga. Ejemplos de transformaciones isométricas son las traslaciones, rotaciones y reflexiones.
1.
Simetría axial
Traslación
Figura homóloga
Figura homóloga
Figura original
Figura original
Rotación
Simetría central Figura homóloga
Figura homóloga P Figura original
O Figura original
Clasifica las siguientes imágenes. ¿Son una traslación, rotación, simetría o no corresponden a una transformación isométrica de figuras planas? Luego, responde. 0
a.
C`
b. C`
C
A A`
A`
A
B C
c.
B
B`
B`
¿Cómo clasificaron tus compañeros la imagen de las manos? ¿Coincide con tu respuesta? Corrobora con tu profesora o profesor.
2.
Aplica la transformación isométrica señalada. Luego, responde. a. Simetría axial respecto de la recta L. L
b. Simetría central con respecto al punto P.
P
¿Qué estrategia utilizaste para realizar las transformaciones pedidas?
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Transformaciones isométricas con el computador Utilizando el software Geogebra se pueden realizar traslaciones, rotaciones y reflexiones (simetría axial y central). Pero antes, debes aprender a hacer figuras geométricas planas. Puedes descargar el programa en http://www.geogebra.org. Observa que en la barra principal de este software se pueden encontrar los siguientes elementos: A
a=2
Botones de selección
1.
Señala botón seleccionado y cómo llevar a cabo la tarea.
Utiliza Geogebra para dibujar el polígono ABCDEF. Selecciona el botón y luego, en el área de trabajo, genera el polígono que desees. Para ello, presiona el botón izquierdo del mouse y se irá dibujando. Cuando quieras cerrar el polígono, haz clic en el primer punto (vértice) que dibujaste.
Área de trabajo
2.
Utiliza Geogebra para realizar el siguiente dibujo. Para ello, emplea los botones:
Antes de realizarlo, borra el dibujo de la actividad anterior. Para esto, selecciona . Luego, arrastrando el mouse, selecciona toda la figura y de la el botón ventana que se despliega al presionar el botón derecho del mouse sobre la figura selecciona Borrar.
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Simetría axial La imagen muestra el polígono ABCDEFGH “reflejado” respecto del lado AH, generando otra figura geométrica, de vértices A’ B’ C’ D’ E’ F’ G’ H’, que conserva el tamaño y la forma de la primera. En este caso, el segmento AH, considerado para realizar la reflexión, está contenido en la recta AH, denominada eje de simetría; mientras que los puntos A’, B’, C’, D’, E’, F’, G’ y H’ están a igual distancia del eje de simetría que los puntos A, B, C, D, E, F, G y H. Los primeros, se denominan puntos homólogos o de la figura homóloga y a los segundos, puntos de la figura original.
Para grabar La simetría axial es una transformación isométrica en la que a cada punto de la figura original se le asocia otro punto que está a igual distancia de la recta llamada eje de simetría.
Simetría exterior
Dos figuras planas se dirán simétricas si hay un eje de simetría que las refleje. Según la posición de esta recta, la simetría puede ser interior, exterior o de contorno.
Simetría de contorno
1.
Identifica cuáles de las siguientes figuras parecen ser simétricas respecto a la recta L. De serlo, clasifícala en simetría interior, exterior o de contorno. L L
2.
140
Simetría interior
L
Aplica la simetría axial respecto de cada eje pintado de color rojo.
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Simetría central o puntual En la imagen se tiene el cuadrilátero ABCD y su homólogo A’B’C’D’, en una simetría respecto del punto E. Los puntos A, E y A’ (homólogo de A) son colineales (pertenecen a la misma recta). Lo mismo ocurre con B, E y B’; con C, E y C’ y con D, E y D’. Además, el punto E es el punto medio del segmento que une los puntos homólogos. Este tipo de transformación isométrica se denomina simetría central o puntual. ¿Qué diferencias y qué semejanzas observas respecto de la simetría axial?
Para grabar La simetría central o puntual es una transformación isométrica en la que a cada punto de la figura original se le asocia otro que está a igual distancia de un punto llamado punto o centro de simetría. Además, el punto de la figura original, su homólogo y el centro de simetría son colineales.
1.
1° AF = FA’; BF = FB’; CF = FC’; DF = FD’; EF = FE’.
2° F ∈ AA’ BB’; F ∈ CC’; DD’; F ∈ AA' EE’. AA' ; F ∈ AA' AA' F ∈ AA'
Identifica, cuando sea posible, el punto o centro de simetría en las imágenes que muestran la figura original y su figura homóloga. Fundamenta. a.
2.
Ejemplo:
b.
c.
d.
e.
Aplica la simetría central respecto de cada punto O pintado de color rojo.
O O
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Traslación En el ajedrez, cada pieza puede ser movida de cierta forma. Por ejemplo, la reina ( ) puede desplazarse los casilleros que se desee en cualquier dirección, y la torre ( ), solo en dos direcciones, de manera similar a la indicada en el tablero.
8 7 6
En la imagen están marcados los movimientos que se pueden realizar con una reina y una torre, y cada casillero por el que pasa una flecha azul o roja es un posible lugar donde se pueden posicionar dichas piezas.
5 4
Dibuja en el tablero las flechas rojas que representan el movimiento de cada torre y las flechas azules que representan los posibles movimientos de cada reina puesta en el tablero.
3 2 1 A
B
C
D
E
F
G
H
Para grabar La traslación es una transformación isométrica que corresponde al movimiento de una figura en una dirección, en un sentido y en una magnitud dada. Dicha dirección, sentido y magnitud de desplazamiento están representados por un vector de traslación (u). u
Ejemplo:
Su dirección está dada por la recta que lo contiene u otra paralela.
uu
Su sentido es uno de los dos sentidos posibles sobre la recta que lo contiene y está señalado por la punta del vector. Su magnitud o módulo corresponde al valor numérico de la longitud del vector.
1.
El vector uutiene FG, magnitud FG dirección FG y sentido FG FG.
Aplica el vector de traslación a cada figura. Luego, nombra los vértices de cada una de ellas. Destaca con distinto color la figura trasladada. A
A E
B
L
B C
J
D C
D
K I
E F
H G
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Rotación Usando compás, regla y transportador, observa como se puede rotar en sentido antihorario (positivo) una figura con respecto a un punto y en un ángulo de 60°. 1° Fijando el compás en el punto que representa el centro de rotación, en este caso O, se trazan las circunferencias que pasan por los vértices del polígono, en este caso, el triángulo ABC.
2° Se trazan las líneas segmentadas que unen el centro de rotación con cada vértice del polígono original. Luego, con el transportador, y sobre cada una de estas líneas segmentadas, se dibuja el ángulo en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj, en este caso de 60°, de tal manera que el otro lado de este ángulo intersecte a cada circunferencia dibujada a partir de su punto homólogo. Por ejemplo, el ángulo de vértice O y lado OA generará un punto A’, correspondiente a la intersección de este lado con la circunferencia de radio OA.
3° Al unir los nuevos puntos, en este caso A’, B’ y C’, se obtiene la traslación del polígono, el triángulo A’B’C’, con respecto al centro de rotación O y en un ángulo de 60o.
Para grabar En el dibujo, los puntos P y P’ pertenecen a un arco de circunferencia de centro O y ángulo central α. La transformación isométrica que asigna a P su punto homólogo P’ se llama rotación, de centro O y ángulo de rotación α. P’
P’
P P
P
α
P’
–α
α
0
Si el punto P rota hacia P’ en sentido contrario al que giran las manecillas del reloj, se dice que el sentido de rotación es positivo. Si gira en el sentido de las manecillas del reloj, se dice que la rotación es en sentido negativo.
1.
Construye geométricamente las rotaciones indicadas. a. Rotación de centro O y ángulo de rotación 240°.
b. Rotación de centro O y ángulo de rotación -120°.
A
A
C
C B
O
B
O
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Plano cartesiano Dibuja un punto A sobre una hoja para impresión de papel blanco. ¿Qué indicaciones podrías dar a un compañero o compañera para señalar la ubicación del punto dibujado? ¿Cuáles serían tus puntos de referencia? Como ves, por muy sencilla que parezca la actividad, no lo es. Sin embargo, René Descartes (1596-1650), filósofo y matemático francés, creador de la geometría analítica, estableció un sistema que permite identificar y reconocer la ubicación, en este caso, de este punto A: el sistema de coordenadas ortogonales, conocido en la actualidad como plano cartesiano.
Para grabar El plano cartesiano está determinado por dos rectas llamadas ejes de coordenadas y cuatro cuadrantes.
Y
El eje horizontal recibe el nombre de eje X o de las abscisas.
II
El eje vertical recibe el nombre de eje Y o de las ordenadas.
X
Las coordenadas de los puntos son representadas por el par ordenado (x, y), donde x (primera coordenada) corresponde a los valores de las abscisas e y (segunda coordenada) al de las ordenadas.
1.
P
A
III
El punto de intersección de los ejes recibe el nombre de origen.
Y
I
B
IV
Por ejemplo, el punto A está en el cuadrante III y tiene coordenadas (–1, –1). Mientras que el punto B, que está en el cuadrante I, tiene por coordenadas (1, 1).
Identifica las coordenadas de cada punto. Luego, escríbelas donde corresponda.
X
Q
a. C (
,
)
f. A (
,
)
b. G (
,
)
g. D (
,
)
c. F (
,
)
h. H (
,
)
d. E (
,
)
i. B (
,
)
e. P (
,
)
j. Q (
,
)
¿Pudiste ubicar sin problemas todos los puntos?
2.
Representa en el plano cartesiano los siguientes puntos. 3 2 a. A(0, 3) d. F– , 4 5 b. B(3, 0) c. C(–2, 2)
144
1 e. G–2,25; 3 15 35 f. H– ,– 8 9
3 2 1
–3
–2
–1–1
1
2
3
–2 –3
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Identifica en qué cuadrante del plano cartesiano se ubican los siguientes puntos y completa la tabla con los signos de las coordenadas de cualquier punto que pertenezca a cada cuadrante. a. Ñ(–1,–π)
d. Q(0,–3)
15 b. P ,–3 4
e. R(3,–c); c ∈ .
II
4 , ab ; a, b ∈ +. f. V– a
III
(
c. S
2,– 8
)
Cuadrante
Abscisa
Ordenada
I
–
IV
¿Qué conclusión puedes obtener de esta actividad? Fundamenta.
4.
Analiza los pasos que te guiarán en la formación de polígonos en el plano cartesiano a partir de las coordenadas de sus vértices utilizando el software Geogebra. Paso 1
Paso 2
Primero debes configurar el área de trabajo del programa para que se vea el plano cartesiano. Para esto, presiona Cuadrícula desde el menú Vista. Observarás una imagen como la siguiente.
Presiona A y luego mueve el cursor sobre el área de trabajo. Podrás observar que aparece una señal + y las coordenadas del punto donde esté esta señal. Al seleccionar un punto, presiona el botón izquierdo del mouse. En el ejemplo, se han dibujado los puntos A(–2, 3), B(0, 0) y se está por dibujar el punto C(2, 3).
Para dibujar el polígono recuerda utilizar el botón .
5.
Utiliza Geogebra para ubicar los puntos. Luego, señala qué figura se forma al unirlos con la herramienta . a.
A(3, 7), B(5, 4) y C(8, 6)
b.
1 3 J(0,0),K , 1,L(–1,–2),M(–2,0) yN– , 1 2 2
c.
3 3 3 V(0,0),W– ,0, X0, e Y ,0 2 2 2
1 2 1 3 d. J– , ,K , ,L(2,3) y M(0, 1) 3 3 2 2
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e e
c c
r r
Y 6 5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1
–1 –2 –3
Vectores en el plano cartesiano B
A 0 1
(4, 2)
u 2
3
4 5 X
Imagina que el movimiento de una partícula está representado por el gráfico. En él, el punto A(1, 2) corresponde a la posición de la partícula en el iniciode su movimiento y el punto B(5, 4), al punto final de su desplazamiento. El vector AB se llama vector de desplazamiento, y sus coordenadas o componentes son (4, 2), ya que es posible visualizar que la abscisa del punto A se incrementa en 4 unidades (1 + 4 = 5) y que su ordenada se incrementa en 2 (2 + 2 = 4). Luego, para determinar las coordenadas o componentes de un vector de desplazamiento se restan las abscisas de los puntos final e inicial y luego se restan las ordenadas de los mismos. AB AB = (5, 4) – (1, 2) = (5 – 1, 4 – 2) = (4, 2) El vector u, 0) y extremo o final en (4, 2), u que tiene origen o inicio en el punto(0, se denomina vector posición y corresponde a AB AB trasladado al origen del plano cartesiano.
Para grabar Un vector es un segmento de recta dirigido que se caracteriza por tener magnitud o módulo, dirección y sentido. Las coordenadas o componentes de un vector AB AB son las coordenadas del extremo (B) menos las coordenadas del origen (A). Es decir, si A(x1, y1) y B(x2, y2), las componentes de AB AB están dadas por: AB AB = (x2, y2) – (x1, y1) = (x2 – x1, y2 – y1). En adelante, cuando se haga referencia a las componentes vector del plano, se utilizará de un la notación: AB AB = uu = (u1, u2); vu = (v1, v2); etc. Donde u1 = x2 – x1 y u2 = y2 – y1. Además, si el origen del vector coincide con el origen del plano cartesiano (0, 0), se hablará de vector posición.
1. Y
Y
u u
vu
w w
X
AB AB =AB(–5, AB1) – (–1, –2) = (–4, 3) = uu AB CD AB =AB(3; 2,3) – (3, 0) = (0; 2,3) = vu AB AB EF AB= (5, 3) – (1, 4) = (4, –1) = wu
Identifica las coordenadas de los puntos extremos de cada vector. Luego, determina las coordenadas de sus respectivos vectores posición. Vector rojo: Vector amarillo: Vector café:
X
Vector celeste: Vector azul: Vector morado:
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1 1
2.
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
Calcula las coordenadas o componentes de los siguientes vectores. a. AB; AB si A(1,1; 3) y B(4,1; 3). b. CD; AB si C(–1, 3) y D(–4, 5). 1 3 4 c. AB EF; si E , 4 y F ,– . 2 5 7
3.
Representa gráficamente en el plano cartesiano los vectores que permiten trasladar un punto según las siguientes indicaciones. a. AB AB: la abscisa, dos unidades en sentido positivo, y la ordenada, tres unidades en sentido positivo. b. AB CD: la abscisa, cuatro unidades en sentido negativo, y la ordenada, una unidad en sentido negativo. c. AB EF: la abscisa se mantiene y la ordenada, cinco unidades en sentido negativo. d. GH: AB la abscisa, tres unidades en sentido negativo y la ordenada se mantiene. Y 6 5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1
–1 –2 –3 –4
4.
0 1
2
3
4 5 X
Resuelve el siguiente problema. Un vector representa un desplazamiento desde el punto A(1, 4) hasta el punto B(–2, 3). Determina sus componentes y represéntalo gráficamente.
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r r
Adición de vectores Como sabes, los vectores corresponden a segmentos orientados. Observa dos procedimientos que te permiten sumar, geométricamente, dos vectores. Procedimiento 1: formar un triángulo.
Procedimiento 2: formar un paralelogramo.
zu
vu uu uu + vu
w u
zu + w u w u
vu
uu
zu ¿En qué crees que consiste el procedimiento realizado para determinar uu ++v v? u+ v Explica. ¿En qué crees que consiste el procedimiento realizado para determinar zzz+++ww w? Explica.
Para grabar Adición de vectores Forma de paralelogramo
Forma triangular 1° Traslada uno de los vectores hasta hacer coincidir el punto final de uno de ellos con el punto inicial del otro.
1° Traslada uno de los vectores hasta hacer coincidir su punto inicial con el punto inicial del otro.
2° Forma un triángulo con un tercer vector (vector resultante o vector suma) cuyo punto inicial coincide con el punto inicial del primer vector y su punto final coincide con el punto final del vector agregado.
2° Forma un paralelogramo con segmentos paralelos a estos vectores. El vector resultante de la adición corresponderá a aquel que coincida con la diagonal del paralelogramo desde el punto inicial de los vectores que se suman.
1.
Aplica uno de los procedimientos para sumar los siguientes pares de vectores. Luego, determina las componentes o coordenadas del vector resultante.
Y
–
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3
X
2
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2.
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
Resuelve el siguiente problema. Un estudiante debe sumar tres vectores. ¿Qué estrategia le aconsejarías para hacerlo? Justifica tu respuesta con un ejemplo.
3.
Analiza el siguiente procedimiento para obtener el vector resultante de la resta entre dos vectores. Luego, responde. ¿Qué semejanza y qué diferencia observas con la suma de vectores?
Y A O
AA + AB B A
X
Para grabar Adición de vectores Además de las formas geométricas vistas para sumar vectores, es posible hacerlo a partir de sus componentes. Sea uu == (u (u1,, uu2))y vu == (u (v1,, vu2),) luego: 1 2 1 2 up + vp = pp = (u1 + v1, u2 + v2) Es decir, la primera componente del vector resultante pp corresponde a la suma de las primeras componentes, y la segunda componente del vector resultante es la suma de las segundas componentes.
Ejemplos: • Si uu == (2, (2,––3) 3) y vu == (–5, (2, –0), 3) entonces: uu += vu(2,==–(2, (23)+– 3) (–5), –3 + 0) = (–3, –3) 1 1 , 5,=entonces: • Si uu == (2, –, –3)4 =y uv == (2, 2– 3) 2 1 1 3) –+3) , – 4 + 5 = (1, 1) uuu=++(2, uvv==–(2, 2 2
4.
Resuelve en tu cuaderno las adiciones y sustracciones de los siguientes 33 22 5555 w3== 2,,––2 ,z3z=5–25– ,5, 5 5 3 2 5 5 u=(2, 0), v =(–4, 5), u=(2, 0), v =(–4, 5), w vectores, sabiendo que uu=(2, =u=(2, (2, 0), v = (–4, 5), w =,–3 v=(–4, =,,zu=(2, , z= –=,=––, 0), –. , 5), w = , – , z = – , 0),0), v u=(2, =(–4, 5), 0),5), w v =(–4, =w = 5), , z= v =(–4, , –w 3 2 5 352333222 5 5555 555 3 2 5 5 a. u +vvv b. uu+ +vw – vvv d. z v e. uu++vu+ vu+ + vw w + u+ z v f. u u – vu+ z +vzu+ v u+ u+ u+ w c. u u+ u+ u+ w w + u+ u++vu+
5.
Evalúa la veracidad de las siguientes afirmaciones. Justifica cada una en tu cuaderno. a. La adición de vectores cumple con la propiedad conmutativa. b. La representación gráfica del vector resultante de la adición entre u u+=v(1, –1) y vu+=v(–1, 1) es el vector cuyas componentes son (0, 0). 3 2 5 5 c. La representación gráfiu=(2, ca de0), losv vectores =–v(–4, , 4) es la =(–4, 5), w w ==(4,, ––4), yz =zu+ misma. 3 2 5 5
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uac eval ión
e e
en co n t i do
c c
evaluación formativa
luc reso ión
r r
Analizando disco
Transformaciones isométricas.
1 Aplica la reflexión a cada trío de letras según el eje dibujado.
NOM
NON
MOM
2 Aplica las transformaciones isométricas señaladas. a. Traslación respecto del vector u. c. Simetría central respecto del punto O. u E D
D F
E
C
C B
A
A
O
B
u u b. Simetría axial respecto de la recta L. D
d. Rotación en torno al punto O y –45°.
C
E A
B
E
D C
O
F G
L
B A
3 Aplica dos simetrías centrales consecutivas a la figura 1, ambas respecto de P. Luego, busca entre las figuras y encierra la que se obtiene. Figura 1
P
150
P
P
P
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1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
Plano cartesiano.
4 Identifica las coordenadas de cada punto en el papel milimetrado. Luego, escríbelas donde corresponda. Y
a. A(
,
)
d. D(
,
)
b. B(
,
)
e. E(
,
)
c. C(
,
)
f. F(
,
)
A D C
B F
E
X
Vectores en el plano cartesiano y adición de vectores.
5 Representa gráficamente la operación entre los vectores dados junto a su vector resultante. Luego, escribe sus componentes. a. uu–+v.u– v.SiSiv.u=(–1, uSi=u=(–1, vy=v0v.=(–1, v. Si Siv.u=(–1, u v v= 6) u––v.u– )0) y0vy)=(–1, u– Si=u=(–1, v.(–1, Si0u=(–1, yu– 0=(–1, v. )(–1, y6Siv) =(–1, u=(–1, 6) 6)0) y v =(–1, 6) ) y0yv)=(–1, 6v)–5) u– v.(2, Si04) u=(–1, u– )(0, ySi u=(–1, =(–1, 6) 60)) y v =(–1, 6) b. u
6 Calcula las coordenadas del vector resultante de la adición y sustracción entre los vectores dados. Luego, completa la tabla. u u
vu
(–3, –9)
(4, –8)
(–5, 7)
(0, 0)
1 2, 8
(–4, 20)
1 3 , 2 4
4 –2, 3
(–5,3; 2,1)
(0,6; 0,6)
u u + vu
u u – vu
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resolución
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c c
r r
Reflexión en el plano cartesiano La simetría axial también puede ser realizada en el plano cartesiano. Observa los siguientes ejemplos: Y
Y
X
X
¿Cuál es el eje de simetría en cada imagen? ¿Qué semejanzas y qué diferencias puedes observar entre las coordenadas de los vértices de las figuras en cada imagen?
Para grabar
Para saber más
La reflexión de un punto (x, y) del plano cartesiano respecto del eje X puede ser definida como una función Rx, tal que a cada punto del plano cartesiano lo asocia con un único punto del mismo.
Recuerda que una función es una relación que asocia a cada elemento de un conjunto un único elemento de otro conjunto.
Y
Por ejemplo: Rx (3, 1) = (3, –1) Se dice que (3, –1) es el punto simétrico de (3, 1) respecto del eje X.
X
Rx (x, y) = (x, –y) La reflexión de un punto (x, y) del plano cartesiano respecto del eje Y puede ser definida como una función Ry, tal que a cada punto del plano cartesiano lo asocia con un único punto del mismo.
Y
Por ejemplo: Ry (3, 1) = (–3, 1) Se dice que (–3, 1) es el punto simétrico de (3, 1) respecto del eje Y.
X
Ry (x, y) = (–x, y)
Y
1.
Aplica las siguientes reflexiones. Luego, represéntalas gráficamente. 3 9 a. Rx (2, 0) = c. Ry ,– = 8 4
X
b. Rx (–2, 4) =
152
2 d. Ry –2 ;–2,5 = 3
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1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
Para grabar La reflexión de un punto (x, y) del plano cartesiano respecto del origen (0, 0) puede ser definida como una función R0, tal que a cada punto del plano cartesiano lo asocia con un único punto del mismo.
Por ejemplo:
Y
Rx (3, 1) = (–3, –1) Se dice que (–3, –1) es el punto simétrico de (3, 1) respecto del origen (0, 0) del plano cartesiano.
X
R0 (x, y) = (–x, –y)
2.
Aplica las siguientes reflexiones.
3.
4 c. Ry –1 ;–0,5 = 3
3 1 b. R0 ,– = 4 4
a. R0 (–3, 4) =
Aplica, sin graficar, las reflexiones señaladas y determina las coordenadas de la figura resultante.
Ayuda
a. Triángulo de vértices A(0, 0), B(3, 8) y C(–2, 1) respecto del eje X. A’
, B’
Para realizar reflexiones de polígonos puedes aplicar dicha transformación a cada vértice de la figura.
y C’
1 2 1 b. Cuadrilátero de vértices P(–4, –3), Q ,– , R(2, –2) y S– ,– 7 con 8 3 8 respecto al eje Y. P’
4.
, Q’
, R’
y S’
Analiza la información que te permitirá realizar reflexiones a figuras geométricas utilizando el programa Geogebra. Luego, resuelve. Y
1° Dibuja una figura en el área de trabajo. 2° Si la reflexión es respecto de un eje de simetría o de un punto, dibújalo. 3° Presiona el botón correspondiente al elemento por el que se aplicará la reflexión (eje
o centro de
). Luego, selecciona la figura y el eje o el simetría centro de simetría. a. Especifica qué tipo de transformaciones fueron aplicadas a los polígonos ABCD y A’B’C’D’.
X
b. Verifica que se cumplen las funciones: Rx (x, y) = (x, –y), Ry (x, y) = (–x, y) y R0 (x, y) = (–x, –y). Observa los datos encerrados con rojo. c. ¿Cómo son las medidas de la figura reflejada con respecto a la original?
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c c
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Traslación en el plano cartesiano
Y
El polígono A’B’C’D’E’F’G’H’I’ se ha obtenido desplazando el polígono ABCDEFGHI respecto del vector u. u
uu
¿Cuáles son las coordenadas del vector de traslación? Completa la imagen con las coordenadas de los vértices del polígono original y luego con las del trasladado. X
¿Qué semejanzas y qué diferencias puedes observar entre las coordenadas de cada imagen?
Para grabar La traslación de un punto (x, y) en el plano cartesiano respecto de un vector uu == (u (u1,, uu2)) puede ser definida como una función Tu1 , tal2 que u a cada punto del plano cartesiano lo asocia con un único punto del mismo. Tuu(x, y) = (x + u1, y + u2) Es decir, la primera coordenada del punto trasladado es la suma entre la primera coordenada del punto original y la primera componente del vector de traslación; mientras que la segunda coordenada del punto trasladado es la suma entre la segunda coordenada del punto original y la segunda componente del vector de traslación. Además, la traslación de un punto (x, y) se puede asociar a la adición del vector posición, de componentes (x, 0), con el vector posición, de componentes (0, y). (x, 0) + (0, y) = (x, y)
Ejemplo 1: Si uu = (1, 2), Tu (3, 1) = (3 + 1, 1 + 2) u = (4, 3)
Y 3 2 1
u u
(3, 1)
0 1
2
–3 –2 –1 0 1 –1 vv
2
–3 –2 –1
Se dice que (4, 3) es el punto trasladado de (3, 1) respecto de uu = (1, 2).
–1
3
4 X
–2 –3
Ejemplo 2: 1 5 Si vuv== , – , 3 2 1 5 Tuv(3, (3,1)1)== 3 + , 1 + – u 3 2 10 3 = , – 3 2
(4, 3)
u u
Y 3 2 1
(3, 1)
–2 –3
v
3 v4 X
10 3 , – 3 2
10 3 Se dice que= , – es el punto trasladado 3 2 1 5 de (3, 1) respecto de uvv = , – . 3 2
Para realizar traslaciones de polígonos se puede aplicar dicha transformación a cada vértice de la figura.
1.
Y 3 2 1 –3 –2 –1
–1
0 1
2
3
Aplica las siguientes traslaciones. Luego, represéntalas gráficamente. 1 2 v = –2 (0,–, –2),, TTv(0, (02, 0,– ) =) = (–2, –5) b. Si v a. u = (0, –2), T u= 2,– uu (– u= (0(,0–,2–),2),Tu (– 2,– 5)5=) = u ==(0u, = – 24), Tu5(– 2,–u (– 5) =0)5=
4 X
–2 –3
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1 1
2.
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
Calcula las coordenadas del vector de traslación (u) u que permite obtener cada punto trasladado (P) a partir del respectivo punto original dado (A). a. A(–6, –6), P(0, –1).
c. A(4, 2), P(3, –7).
uu==
b. A(7, –1), P(5, 0). uu==
3.
2 2
uu==
1 1 d. A , , P(5, –1). 3 2 uu==
2 7 e. A(6, 7), P– ,– . 7 2 uu==
f. A(0,8; –1,2), P(1,2; 0,8). uu==
Representa en un plano cartesiano cada una de las siguientes situaciones. a. La base de un triángulo isósceles tiene como extremos a los puntos A(1, 1) y B(5, 1), y la ordenada del vértice opuesto a AB es –1. Traslada el triángulo respecto del vector b =(– = (–4, 4, 5)5). b. Las coordenadas de tres vértices de un rectángulo son P(–1, –1), Q(1, –1) y T(1, 4). Traslada el rectángulo respecto del vector bc =(– = (3, 4, –3). 5) c. La diagonal de un cuadrado EFGH tiene como puntos extremos a H(–1, 2) y F(–4, 5). Traslada el cuadrado EFGH respecto del vector d = (5, b =(– 4, –1). 5)
4.
Analiza la información que te permitirá realizar traslaciones a figuras geométricas utilizando el programa Geogebra. Luego, resuelve. 1° Dibuja una figura en el área de trabajo. 2° Dibuja el vector de traslación
.
, correspondiente a la traslación. 3° Presiona el botón Luego, selecciona la figura y el vector dibujado. a. Especifica qué tipo de transformación fue aplicada al polígono ABCDE. b. Verifica que la función: Tu(x, y) = (x + u1, y + u2) se cumple para los puntos del polígono ABCDE. Tu (x, y) = (x + u1 , y + u2 ) c. ¿Cómo son las medidas de la figura trasladada con respecto a la orignal?
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c c
r r Y
Rotación en el plano cartesiano A B
Al igual que las demás transformaciones isométricas, la rotación también se puede efectuar en el plano cartesiano. Las rotaciones más comunes son aquellas que se efectúan en ángulos de 90°, múltiplos de este ángulo y respecto del origen.
D C
0
En el siguiente plano cartesiano, rota la figura ABCD en 90°, 180° y 270°. ¿Qué observas en relación con sus coordenadas?
X
Para grabar La rotación de un punto (x, y) del plano cartesiano respecto de un centro de rotación O y un ángulo de rotación () puede ser definida como una función R(O, ), tal que a cada punto del plano cartesiano lo asocia con un único punto del mismo. Rotación en sentido positivo: el objeto por rotar lo hace en sentido contrario al que giran las manecillas del reloj. Rotación en sentido negativo: el objeto por rotar lo hace en el mismo sentido al que giran las manecillas del reloj.
Algunas rotaciones mayormente usadas de un punto (x, y) respecto del origen (O) del plano cartesiano son: R(O, 90°) (x, y) = (–y, x) R(O, 180°) (x, y) = (–x, –y) R(O, 270°) (x, y) = (y, –x) R(O, 360°) (x, y) = (x, y)
R(O, -90°) (x, y) = (y, –x) R(O, -180°) (x, y) = (–x, –y) R(O, -270°) (x, y) = (–y, x) R(O, -360°) (x, y) = (x, y)
Ejemplo: A’(–3, 4)
Ejemplo: Y 3
A’’’(–3, 4) A(4, 3)
2 1
1 1
2
3
4 X
–3 –2 –1 0 –1
–2 A’’(–4, –3)
–3 –4
90°
1
2
3
4 X
–2 A’’’(3, –4)
R(O, 90°) A(4, 3) = A’(–3, 4) R(O, 180°) A(4, 3) = A’’(–4, –3) R(O, 270°) A(4, 3) = A’’’(3, –4) R(O, 360°) A(4, 3) = A(4, 3)
1.
A(4, 3)
2
90°
–3 –2 –1 0 –1
4 3
A’’(–4, –3)
–3
A’(3, –4)
–4
R(O, -90°) A(4, 3) = A’(3, –4) R(O, -180°) A(4, 3) = A’’(–4, –3) R(O, -270°) A(4, 3) = A’’’(–3, 4) R(O, -360°) A(4, 3) = A(4, 3)
Identifica la alternativa que corresponde a la imagen de la figura encerrada en el rectángulo rojo después de aplicarle una rotación con centro en O y un ángulo de 180°. O
a.
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b.
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2.
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
0 1
2
8 8
Resuelve los siguientes problemas. a. Al punto A(–4, –6) se le aplica una rotación respecto del origen del plano cartesiano en un ángulo de rotación de 90°. Determina las coordenadas del punto resultante.
b. Si las coordenadas de un punto al ser rotado respecto del origen en –270° son (–4, 0), ¿cuáles son las coordenadas del punto antes de aplicarle la transformación?
3.
Aplica las rotaciones señaladas a cada figura. a. Centro de rotación C y ángulo de rotación 90°.
b. Centro de rotación K y ángulo de rotación –180°.
Y
Y
K
X
X
4.
Diseña una estrategia para rotar una circunferencia de centro O(2, 2) y radio 1 unidad, en un ángulo de 270° respecto del origen del plano cartesiano. Determina las coordenadas del centro O’ de la circunferencia rotada.
Y 3 2 1 –3 –2 –1
5.
Analiza la información que te permitirá realizar rotaciones a figuras geométricas utilizando el programa Geogebra. Luego, resuelve.
–1
3
4 X
–2 –3
1° Dibuja una figura en el área de trabajo. 2° Presiona el botón , correspondiente a la rotación. Luego, selecciona la figura, el centro de rotación y escribe el ángulo de rotación en la casilla. a. Especifica qué punto se consideró como centro de rotación y en qué ángulo se ha rotado el polígono ABCDEF. b. Si el ángulo de rotación es 90°, 180°, 270°, 360° o sus correspondientes negativos, verifica que se cumple la relación respectiva. Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
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resolución
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r r
Composición de transformaciones isométricas Dentro de las transformaciones isométricas has estudiado reflexiones (Rx, Ry, R0), traslaciones (T Tuu) y rotaciones (R(O, α)) de manera separada; sin embargo, estas funciones pueden suceder de manera dependiente una de la otra. Por ejemplo, observa las siguientes transformaciones.
Y
Y
vu
uu
vu
uu
uu + vu
uu + vu
X
X
¿Qué transformaciones isométricas se han realizado? ¿Qué relación tiene la traslación con la adición de vectores? Explica. ¿Qué coordenadas deberá tener el vector de traslación que hace posible trasladar la figura ABCD a la posición de la figura A’’B’’C’’D’’? Comenta.
Para grabar Y
La composición de transformaciones isométricas es la aplicación sucesiva de transformaciones isométricas sobre un punto o una figura, es decir, al resultado de la primera transformación se le aplica una segunda y así sucesivamente.
En el gráfico se muestra la figura ABCD, primero trasladada respecto del vector uu, obteniéndose la figura A’B’C’D’, luego, esta es reflejada respecto del punto G, generando la figura A’’B’’C’’D’’ y, finalmente, esta nueva figura es reflejada respecto del eje X, originando la figura A’’’B’’’C’’’D’’’.
X u
1. Ayuda
Identifica qué transformaciones se muestran en el siguiente gráfico. a.
b. Y
A
Utiliza las representaciones Rx, Ry, Ro,TTu, R(o, ) u
Y
2 1 –3
–2
0
–1 –1
A’
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A’’
3
1
2
3
4
X
X
–2 –3
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2.
2 2
3 3
4 4
6 6
5 5
7 7
8 8
Representa en el plano cartesiano. Luego, responde. a. Al triángulo formado por los vértices E(1, 0), F(5, 1) y G(4, 3) se le aplica la función R0, obteniendo E’F’G’, y después, a la figura resultante, se le aplica la función Rx,obteniendo E’’F’’G’’. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo luego de las dos reflexiones? E’’ (
,
)
F’’ (
,
)
G’’ (
,
)
Representa gráficamente la situación.
b. Al cuadrilátero cuyos vértices son los puntos P(–6, –2), Q(–1, –2), R(3, 4) y S(–6, 1) se le aplica una reflexión con respecto al punto O(–1, 0), y después, a la imagen resultante, P’Q’R’S’ se le aplica una traslación, de tal manera que el vértice S’’ (imagen de S’) queda ubicado en el origen del plano cartesiano. ¿Cuáles son las coordenadas del cuadrilátero luego de ser reflejado y trasladado? P’’ (
,
) Q’’ (
,
) R’’ (
,
)
S’’ (
,
)
Dibuja el vector de traslación.
c. Al triángulo cuyos vértices son los puntos D(–5, 4), E(–5, –2) y F(–3, 5) se le aplica la función R(O, 90°), y después, a la figura resultante, se le aplica una reflexión con respecto a la recta y = x.
Ayuda La recta y = x puede representarse por:
¿Cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo luego de aplicarles ambas transformaciones? D’’ (
,
)
E’’ (
,
)
F’’ (
,
)
Y
y=
x
X
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Trabajo de habilidades
Resolución de problemas 1 Analiza la resolución del siguiente problema.
¿Qué es aplicar? Aplicar consiste en llevar a cabo o utilizar un procedimiento en una situación dada.
¿Qué tengo que hacer para aplicar un procedimiento?
5 Los vértices de un triángulo son A ,0 , B(4, 5) y C(–1, –3). Si se le aplica una 2 5 rotación en torno al punto (0, 0), el vértice A queda en A' 0, , B en B’(–5, 4) y 2 C en C’(3, –1). ¿Cuál es el ángulo de rotación aplicado al triángulo ABC?
Paso 1 Comprende el enunciado ¿Qué datos son necesarios para resolver el problema? Conocer el ángulo de rotación aplicado al triángulo. ¿Qué información entrega el enunciado del problema? Las coordenadas de los vértices del triángulo ABC y las coordenadas del triángulo A’B’C’.
Interpretar la información entregada en el problema utilizando la representación. Emplear el procedimiento propuesto en la resolución del problema.
Paso 2 Planifica lo que vas a realizar Resolviendo de manera gráfica, primero se interpretará la información entregada en el enunciado del problema a través de una representación gráfica del triángulo y su imagen al ser rotado en 90° con respecto al origen. Luego, se trazarán rectas que unan cada vértice con el (0, 0) y este con la imagen del punto original, es decir, A con (0, 0) y este con A’; B con (0, 0) y este con B’, y C con (0, 0) y este con C’. Finalmente, utilizando el transportador se miden los ángulos AOA’, BOB’ y COC’, cuya medida es el ángulo de rotación pedido. Algebraicamente, basta con aplicar la relación R(O, 90°) (x, y) = (–y, x), estudiada en los contenidos de la unidad.
Etapas de la resolución de problemas. Paso 1: Comprende el enunciado. Paso 2: Planifica lo que vas a realizar. Paso 3: Resuelve el problema. Paso 4: Revisa la solución.
Paso 3 Resuelve el problema Interpreta la información.
Emplea el procedimiento.
Y
-5
-4
-3
-2
-1
Y
-4
-4
-3
-3
-2
-2
-1
-1
-1
0
1
2
3
4
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X
-5
-4
-3
-2
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-1
-2
-2
-3
-3
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1
2
3
4
5
X
Por lo tanto, el ángulo de rotación es 90°.
Paso 4 Revisa la solución Algebraicamente se tiene que R(O, 90°) (x, y) = (–y, x). Por lo tanto, las 5 5 coordenadas de A ,0 , B(4, 5) y C(–1, –3) son, respectivamente, A' 0, , 2 2 B’(–5, 4) y C’(3, –1).
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2 Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente. 1 Los vértices de un polígono son A– , 1, B(3, 1), C(4, 3) y D(–5, 2). Si se le aplica una traslación con respecto 3 4 al vector u, u el vértice A queda en A'– 3 ,3, B en B’(2, 3), C en C’(3, 5) y D en D’(–6, 4). ¿Cuáles son las componentes del vector de traslación asociado?
Paso 1 Comprende el enunciado ¿Qué datos son necesarios para resolver el problema?
¿Qué información entrega el enunciado del problema?
Paso 2 Planifica lo que vas a realizar
Paso 3 Resuelve el problema
Paso 4 Revisa la solución
3 Resuelve en tu cuaderno el siguiente problema. Los vértices de un triángulo son A(–2, –1), B(0, –5) y C(–2, –5). Si se le aplica una rotación en 180° y en torno al vértice A y luego una reflexión con respecto al eje X, ¿cuáles son las coordenadas del triángulo rotado y luego trasladado? ¿Cuánto mide su superficie? Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
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evaluación sumativa
Verificando disco
I. Lee atentamente cada una de las preguntas y marca la alternativa correcta. 1 ¿En cuál de las siguientes figuras es posible dibujar infinitas rectas, de tal manera que cada una represente un eje de simetría interior?
4 Sea el ABC, con A(5, 6); B(–1, 2) y C(2, 3). Al aplicar una traslación según el vector uv = (6, 4), ¿qué coordenadas tiene el punto B’?
A. Rombo.
A. (–1, 2)
B. Cuadrado.
B. (6, 4)
C. Hexágono.
C. (7, 6)
D. Rectángulo.
D. (5, 6)
E. Circunferencia.
E. (2, 3)
2 Si un triángulo rectángulo isósceles es reflejado con respecto a su hipotenusa, ¿qué polígono pueden representar ambos triángulos juntos? A. Rombo. B. Triángulo. C. Cuadrado. D. Romboide. E. Rectángulo. 3 ¿En cuál de las alternativas se representa de mejor manera una simetría central con respecto al punto O? A.
D.
5 Si el punto P(–3, 7) es trasladado al punto P’(4, –1), ¿cuál es el vector vv de traslación? A. vv =(–4, = (1, 6) 11) B. vv =(–4, = (–4,11) 11) C. vv =(–4, = (6, 1) 11) D. vv =(–4, = (7, –8) 11) E. vv =(–4, = (8, 7) 11) 6 Si el punto A(x, y) es trasladado según el vector vv = (–4, –1), su nueva ubicación es el punto A’(5, –3). ¿Cuáles eran sus coordenadas originales? A. (1, –4)
O
O
B. (–9, –2) C. (9, –2) D. (–9, 2)
B.
O
O
C. O
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E. (–1, 4)
E.
7 ¿Qué coordenadas tiene el vector vv que permite trasladar al punto M(–5, 3) al punto M’(0, –4)? A. vv =(–4, = (0, –4) 11) B. vv =(–4, = (–4,11) 0) C. vv =(–4, = (5, 0) 11) D. vv =(–4, = (5, 7) 11) E. vv =(–4, = (5, –7) 11)
Unidad 5 • Transformaciones isométricas
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8 Si el punto A(–6, –1) es trasladado según el vector vv = (4 –2), se obtiene el punto A’. ¿Cuáles deben ser las componentes de otro vector de traslación u para que A’ se ubique v sobre el origen? A. uv =(–4, = (–2,11) –3) B. uv =(–4, = (2, 3) 11) C. uv =(–4, = (–2,11) 3) D. uv =(–4, = (2, –3) 11) E. uv =(–4, = (0, 11) 0) 9 ¿En cuál de los siguientes puntos la abscisa corresponde a las tres cuartas partes de la ordenada? A. P(3, 8) B. Q(4, 8) C. R(6, 8) D. S(8, 6)
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
12 Un punto A, al ser rotado en –180° con respecto al origen del plano cartesiano, queda ubicado en el punto A’(4, –2). ¿Cuál era su ubicación antes de la rotación? A. (–4, 2) B. (4, 2) C. (–2, 4) D. (–2, –4) E. (2, –4) 13 Si el punto M(–3, –5) es rotado en 270° con respecto al origen del plano cartesiano, ¿cuáles son sus nuevas coordenadas? A. (3, 5) B. (5, 3) C. (–5, 3) D. (5, –3) E. (–5, –3)
E. T(4, 3) 10 Si en el plano cartesiano se unen todos los puntos cuya abscisa es el doble de su ordenada, ¿qué se forma? A. Un triángulo. B. Una línea recta. C. Una línea curva. D. Dos líneas rectas.
14 Si a un triángulo se le aplica una traslación, luego una rotación y finalmente una simetría axial, ¿qué sucede con su área? A. Se triplica. B. Se reduce a su tercio. C. Se reduce en un tercio. D. Se mantiene constante. E. Falta información.
E. Una circunferencia. 11 Si el punto P(–1, 3) es rotado en 90° con respecto al origen del plano cartesiano, ¿cuáles son sus nuevas coordenadas? A. (1, –3) B. (1, 3) C. (3, 1) D. (3, –1) E. (–3, –1)
15 Si el punto M(–3, 5) es reflejado con respecto al eje Y, se obtiene el punto M’. ¿Cuál es el vector vv que permite trasladar el punto M’ al origen? A. vv =(–4, = (3, 5) 11) B. vv =(–4, = (–3,11) –5) C. vv =(–4, = (3, –5) 11) D. vv =(–4, = (5, –3) 11) E. vv =(–4, = (–5,11) –3)
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evaluación sumativa
Verificando disco
16 Si el punto N(1, –2) es rotado 90° con respecto al origen del plano cartesiano y luego, desde esta nueva posición, se traslada según el vector sv = (–2, –1), ¿cuáles son las nuevas coordenadas de dicho punto? A. N”(–1, –2)
19 Si al punto A de la figura se le aplica una rotación con centro en el origen y ángulo de rotación –90°, ¿qué coordenadas tiene el punto luego de ser rotado? A. (3, 2)
Y 3
A
2
B. (–3, 2)
B. N”(2, 1)
1
C. (–2, 3)
C. N”(1, 2) D. N”(–2, 1)
–3 –2 –1
D. (–3, –2)
–2
E. (–2, –3)
–4
I.
II.
III.
0 1
2
3
4 X
–3
E. N”(0, 0) 17 ¿Cuál(es) de las siguientes figuras representa(n) una traslación?
–1
20 El punto B’ fue obtenido luego de aplicarle al punto B una reflexión con respecto al eje X. ¿Cuáles son las coordenadas del punto B? A. (3, 1)
Y 3
B. (1, 3)
2
C. (1, –3) A. Solo I.
D. (–3, –1)
B. Solo II.
E. (–1, –3)
1 –3 –2 –1
–1
0 1
2
3
4 X
–2 –3
C. Solo III.
B’
–4
D. Solo I y II. E. Solo I y III.
Observa el gráfico. Luego, responde las preguntas 21 y 22.
18 ¿Cuáles son las componentes del vector de traslación aplicado al rectángulo de color rojo para obtener el rectángulo de color celeste?
B L
Y 3 2 1
–4 –3 –2 –1
–1 –2
0 1
2
3
4 X
C
–3 A
A. (5, –2)
–4
21 Si al triángulo ACB se le aplica una reflexión con respecto a la recta L (paralela al eje Y), ¿cuáles son las coordenadas del vértice A reflejado?
B. (10, 2)
A. (4, 0)
C. (8, –2)
B. (0, 4)
D. ( 10, –2)
C. (0, –4)
E. (2, –10)
D. (–4, 0) E. (–4, –2)
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1 1
22 Considerando la transformación descrita en la pregunta 21, ¿cuáles son las coordenadas del vértice C reflejado? A. (2, 7) B. (2, 5)
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
25 El cuadrado ABCD de la figura ha sido trasladado según un vector dado, obteniéndose el cuadrado de color verde. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) VERDADERA(S)? Y 4
C. (2, –5)
3 2
D. (–5, –2)
1
E. (–7, –2)
–3 –2 –1
–1
0 1
2
3
4 X
–2
23 ¿Qué alternativa representa mejor la reflexión de la figura con respecto a la recta de color rojo? A.
D.
–3 –4
I. El vector de traslación tiene por componentes (2, 0). II. Las coordenadas de los vértices del cuadrado no varían. III. El área del cuadrado permanece constante. A. Solo I.
B.
E.
B. Solo I y II. C. Solo I y III. D. Solo II y III. E. I, II y III.
C. 26 ¿Qué se obtiene al aplicar una rotación de centro en O y un ángulo de rotación de 90° a la siguiente figura? 24 Se dibuja en el plano cartesiano un segmento AB y se le aplica una traslación, obteniéndose el segmento A’B’. Se pueden determinar las coordenadas del vector de traslación si: A. Se conocen las coordenadas de A y A’.
O A.
D.
B.
E.
B. Se conocen las coordenadas de A y B’. C. Se conocen las coordenadas de A’ y B. D. Se conocen las coordenadas de A’ y B’. E. No es posible determinar las coordenadas del vector de traslación.
C.
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evaluación sumativa
II. Lee atentamente los problemas. Luego, resuelve. 1. Al trasladar el punto P(3, 6) según el vector uu=(2, = (2,1)1) se obtiene el punto P’(x, y), y a continuación, se traslada el punto P’ según el vector u=(2, v = (–2, 1), 1) obteniendo el punto P”(z, w). Determina las componentes del vector que realiza la composición de ambas traslaciones. ¿Qué coordenadas tendrá el punto P”?
2. Un segmento cuyos extremos son los puntos K(3, -1) y M(-1, 5) es trasladado según el vector m = (–4,1)1), obteniéndose el segmento K’M’. Determina las componentes de otro vector de traslaciónu=(2, v m=(–4, 1) que permita trasladar el extremo K’ al origen del plano cartesiano.
3. Un punto de coordenadas A(2x + 1, 5y – 3) es trasladado según el vector vu=(2, = (x 1) – 7, 2y + 1 ) al punto A’(–2, –3). ¿Cuáles son las coordenadas del punto A y del vector v? u=(2, 1)
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Historial Una técnica que facilita la retención de lo estudiado para después realizar un repaso eficiente es el cuadro sinóptico. Se trata de un resumen esquematizado, cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de manera estructurada y organizada. Completa la tabla que muestra algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad. Contenido
Definición o procedimiento
Ejemplo
Transformaciones isométricas.
Simetría axial.
Simetría central.
Traslación.
Rotación.
Plano cartesiano.
Reflexión en el plano cartesiano.
Traslación en el plano cartesiano.
Rotación en el plano cartesiano.
Composición de transformaciones isométricas.
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Organizar favoritos Ahora que tienes claras las ideas principales, elabora un mapa conceptual que te permita relacionar algunos conceptos clave trabajados en la unidad. Conceptos clave
Transformaciones isométricas Simetría axial Simetría central Vector de traslación
Traslación Rotación Eje de simetría Plano cartesiano
Herramientas A continuación, te presentamos algunos datos fundamentales de esta unidad. No los olvides, pues te seguirán siendo útiles. Traslación
Simetría axial
Simetría central
Rotación
P’
P’
v
P
α 0
Simetría interior
Simetría exterior
Simetría de contorno
P
P
α
P’
–α
Plano cartesiano Y
II
I
III
IV
X
Transformaciones isométricas en el plano cartesiano Reflexión Rx(x, y) = (x, –y)
Traslación Tu (x, y)=(x +u1 , y +u2 ) Adición de vectores posición
Ry(x, y) = (–x, y) R0(x, y) = (–x, –y)
168
(x, 0) + (0, y) = (x, y)
Rotación R(O, 90°) (x, y) = (–y, x)
R(O, -90°) (x, y) = (y, –x)
R(O, 180°) (x, y) = (–x, –y)
R(O, -180°) (x, y) = (–x, –y)
R(O, 270°) (x, y) = (y, –x)
R(O, -270°) (x, y) = (–y, x)
R(O, 360°) (x, y) = (x, y)
R(O, -360°) (x, y) = (x, y)
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Cerrar sesión Contenido
Número de pregunta
Habilidad
Reflexión y plano cartesiano.
1 2 3 20 21 22 23
Comprender Comprender Recordar Aplicar Aplicar Aplicar Recordar
Traslación y plano cartesiano.
4 5 6 7 8 17 18 24 25
Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Analizar Analizar Recordar Analizar Evaluar
Rotación y plano cartesiano.
11 12 13 19 26
Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar
Plano cartesiano.
9 10
Recordar Comprender
Composición de transformaciones isométricas.
14 15 16
Analizar Aplicar Aplicar
Clave
Nivel de logro
7
9
5
2
3
Mi estado Evalúa tu desempeño a partir del logro alcanzado para cada contenido. ¿Qué contenidos podrías enseñarle a una compañera o compañero que no los haya entendido? ¿Qué temas debes repasar? ¿Qué harás para reforzarlos? ¿Qué calificación te pondrías de acuerdo a lo que has aprendido a lo largo de la unidad? ¿Por qué?
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Unidad
Funciones
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Una de las aplicaciones importantes que se pueden realizar en Matemática es modelar distintas situaciones de la vida diaria. Por ello, es muy frecuente encontrar el concepto de función relacionado con diferentes fenómenos. Por ejemplo, la distancia recorrida por un vehículo en cierto tiempo a una rapidez constante o el precio que se debe pagar por cierta cantidad de alimentos, etc.
Menú de inicio ¿Qué?
170
¿Para qué?
¿Dónde?
Función.
Comprender el concepto de función, identificar sus partes y reconocer distintas representaciones.
Páginas 172 a 177.
Tipos de funciones.
Identificar diferentes tipos de funciones y analizar sus diversas representaciones y aplicaciones.
Páginas 178 a 189.
Composición de funciones.
Aplicar la composición de funciones; por ejemplo, en transformaciones isométricas.
Páginas 190 a 193.
Unidad 6 • Funciones
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2 2
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4 4
5 5
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Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
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6 6
Abrir sesión Considerando la información de la página anterior, responde: 1) ¿En qué situaciones de la vida diaria utilizas variables? 2) ¿Qué quiere decir que dos elementos estén relacionados? 3) ¿En qué situaciones de la vida cotidiana reconoces alguna relación matemática? Comenta.
Inicializando Analizar es descomponer una situación, un todo o un problema dado en sus partes integrantes y determinar cómo se relacionan unas con otras y con una estructura o propósito general. Un estudio de mercado en una empresa determina que su ganancia mensual en dólares depende de la venta de sus productos. Si estos se venden a US$ 200 cada uno y el costo invertido por la empresa mensualmente es de US$ 20.000, ¿qué función permite calcular la ganancia (G) de la empresa según la cantidad (x) de productos vendidos? ¿Qué ganancia obtiene la empresa si se venden 150 unidades? 1) ¿Qué datos proporciona el problema? ¿Cuáles te permiten responder la pregunta?
2) ¿De qué forma se relacionan los datos del problema?
3) Determina y expresa una estrategia para resolverlo.
4) Aplica tu estrategia y resuelve el problema.
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evaluación
contenido
resolución
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Concepto de función Es habitual establecer reglas de correspondencia que asocien elementos de un conjunto con los elementos de otro. Por ejemplo, a cada automóvil registrado le corresponde una única placa patente.
Para grabar Una función f de un conjunto A en un conjunto B (f: A ➞ B) es una relación (regla o correspondencia que asocia dos elementos) en que a cada elemento x ∈ A, llamado preimagen, le corresponde un único elemento y ∈ B, llamado imagen, que se denota y = f(x). Se puede denotar: f: A ➞ B x ➞ y = f(x)
Ejemplo: La longitud x de la arista de un cubo y su volumen V se pueden relacionar usando la función V(x) = x3. En este caso, la longitud de la arista es la variable independiente y el volumen es la variable dependiente, es decir, el volumen del cubo depende de la longitud de la arista. Variable independiente V(x) = x3
En general, a la variable x se le llama independiente y a la variable y, dependiente. Además, en el conjunto de la preimágenes no puede "sobrar" ningún elemento, mientras que en el de las imágenes sí.
1.
x cm
Variable dependiente
Analiza cada relación. Luego, responde. a. Sea g(x) = 2x + 25. ¿Cuál es el valor de g(1)? ¿Y cuál es el de g(–1)?
Ayuda Sea f(x) = x3. Luego: f(–2) = (–2)3 = –8.
Si se considera que g: ➞ , ¿crees que g es función? ¿Por qué?
4 b. El volumen V de una esfera de radio r se calcula según la fórmula V(r)= πr3. 3 Si se considera π = 3,14, ¿cuál es el volumen de una esfera si su radio mide 7 cm? Redondea a la unidad.
r
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Si V(r) = 87,808 cm3, ¿cuál es la medida del radio de la esfera considerando π = 3?
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2.
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3 3
4 4
5 5
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7 7
8 8
Analiza la secuencia. Luego, responde.
Figura 1 (5 segmentos, 4 vértices) Figura 2 (9 segmentos, 6 vértices)
Figura 3 (13 segmentos, 8 vértices)
a. Si continúa el mismo patrón, ¿cuántos segmentos y cuántos vértices tendrá la figura 4? b. ¿Qué función S permite calcular la cantidad de segmentos de la figura n? c. ¿Qué función V permite calcular la cantidad de vértices de la figura n?
3.
Resuelve los siguientes problemas. a. Si en un triángulo equilátero de lado x cm una de sus alturas mide h cm, ¿qué expresión permite calcular la medida de uno de sus lados si se conoce el área (A) del triángulo y la medida de una de sus alturas (h)?
b. Un alambre que tiene una longitud de 50 cm se debe cortar en dos pedazos: con uno, de longitud x cm, se puede construir un cuadrado, y con el otro, un círculo. Expresa en términos de x el área (A) de cada figura.
c. Una persona pagará $ 60 por fotocopiar cada página de un libro. Si además por el anillado le cobran $ 1.200, ¿cuál es la función D que permite calcular el dinero que pagará por fotocopiar y anillar un libro de n páginas?
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resolución
e e
c c
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Dominio y recorrido f: ➞ x ➞ y = f(x) = 2x
Esta notación significa que la función f definida en el conjunto de los números naturales relaciona cada elemento de este conjunto con su doble, que en este caso, también pertenece a este conjunto. Luego, se puede afirmar que el conjunto de las preimágenes y el de las imágenes corresponde a .
Para grabar Si f: A ➞ B es una función con y = f(x), donde x ∈ A e y ∈ B, se define el dominio de f (Dom(f)) o conjunto de las preimágenes x como el conjunto de valores que puede “tomar” la variable independiente x perteneciente al conjunto A. Mientras que el recorrido de la función f (Rec(f)) corresponde al subconjunto de las imágenes y ∈ B una vez aplicada la función f (y = f(x)). f: A ➞ B x ➞ y = f(x) Preimagen
1.
Imagen
Ejemplo: 1 definida en . 1+ x 1 defi1 nido, es 1 ya que f(–1) no está –1 ∉ 1Dom(f), = f(x) =∈ Rec(f),ya que f(1) = decir,2f no 1+ xestá definida para 1x+=1 –1. 2 1 a 1 1 ∈ Rec(f),ya que f(1) = = . 2 b 1+ 1 2 Observación: no todas las funciones tienen a 2 = 1,41421356... que denotarse con la letra f. b
Sea f(x) =
2 = 1,41421356...
Evalúa si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F). Para ello, escribe V o F según corresponda. Considera que las funciones están definidas en . a. Sea f(x) = x2, entonces se cumple que f(1) = f(0) – 1. 1 y f está definida en , se tiene que 0 ∉ Dom(f). x 2x +5 c. Si f(x)= g(x) = x, entonces g(n) = n • g(1), con n ∈ . x+1 1 f(x)= Analiza el siguiente responde. 3x+4 ejemplo. Luego, x f(x)= x–5 2x +5 Sea la función f definida en por f(x)= . Para determinar qué valores x+1 no pertenecen al dominio de f se puede3x+4 igualar a cero el denominador, ya f(x)= que no está definida la división por cero. x–5 Luego, para x = –1, f no está definida, entonces, Dom(f) = – {–1}, es decir, todos los números reales menos el –1. b. Si f(x)=
Para saber más Recuerda que el conjunto de los números reales () corresponde a la unión de los números racionales con los irracionales. = ∪ I.
2.
a. ¿Cuál sería el dominio de f si estuviera definida en los números naturales? Justifica. 1 f(x)= x 2x +5 f(x)= x+1 3x+4 b. ¿Cuál es dominio de la función f(x)= definida en los números reales? x–5
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1 1
3.
2 2
Analiza la siguiente información. Luego, resuelve.
1
–2
2
–4
3
–5
4
–6
–2 –3
1 1 24 – 24 39
1 1 24 – 24 39
–4
4.
1
1 1 24 – 24 39
Dom(f) =
Dom(g) =
Rec(f) =
Rec(g) =
65 6
7 7
8 8
Los siguientes diagramas no representan una función. A
R
B
1
3
2
5
R no es función ya que R(1) = 3 y R(1) = 5 A
R
B
1
3
2
5
3
R no es función ya que R(3) no está definido.
1
1 1 24 – 24 39
Ayuda h
0
0
A 3
4
4
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5
6
7
8
9
10
B
11 13
Completa cada uno de los diagramas de acuerdo a la función y valores dados. a.
5 5
3
Identifica el dominio y el recorrido de las funciones representadas en los diagramas sagitales. a. f b. g C A B D –1
4 4
Para saber más
Una manera de representar una función son los diagramas sagitales. Los elementos relacionados se muestran mediante flechas que parten desde los elementos del primer conjunto a los elementos del segundo. En este tipo de representación se puede identificar el dominio o conjunto de partida y el recorrido o conjunto de llegada. f A B Dom(f) = A = {1, 2, 3, 4} Rec(f) = B = {–2, –4, –5, –6}
3 3
En este caso: Dom(h) = A = { 3, 5, 7, 9} Rec(h) = { 4, 6, 8, 10}
b. f(x) = x + 10
g(x) = 2x2 + 7
3
A
B
C
D
–1,5
–1
9 10 7 11
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ón.
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Representación de funciones Un deportista registró en una tabla la distancia recorrida durante 6 horas de entrenamiento. El siguiente gráfico en el plano cartesiano representa la función que modela la situación del deportista en el tramo de las 6 horas.
Distancia recorrida por un deportista
13 12 10 8
Tiempo (h) Distancia (km) 3
2
5
3
8
4
10
5
12
6
13
El eje X o eje de las abscisas representa a la variable independiente, y el eje Y o eje de las ordenadas, a la variable dependiente.
Distancia (km)
1
Distancia recorrida por un deportista Y
5 3 0
X 0
Para grabar
2 3 4 5 Tiempo (h)
Si el precio que se paga por fotocopiar una página por un lado es de $ 15 y este valor no varía según la cantidad de fotocopias, la función que modela la situación se puede representar de la siguiente forma: Precio por fotocopia
Precio por fotocopia
Y
Cantidad de fotocopias
Precio ($)
0
0
1
15
2
30
⋅⋅ x
⋅⋅ 15 ⋅ x
60
40
20 X
0 0
1
2
3
4
Cantidad de fotocopias
Algebraicamente, la situación se puede modelar con la función f(x) = 15x.
1.
6
Ejemplo:
Precio ($)
Existen diferentes formas de representar una función, ya sea utilizando el lenguaje algebraico, los gráficos, las tablas o una descripción verbal.
1
Diseña una estrategia para identificar si un gráfico realizado en el plano cartesiano corresponde a una función. Para ello, analiza los siguientes gráficos. a. b. c. 4 Y 4 Y 4 Y 3 2
2 X
0 –4
0
–2
2
4
2
–4
0
–2
1 0
X
0 2
4
–2
–2
–2
–4
–4
–4
Sí representa una función.
No representa una función.
X 0 1
–4 –3 –2 –1
2
3
4
Sí representa una función.
Describe tu estrategia:
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Analiza la siguiente información. Luego, resuelve.
Graphmatica es un software de libre acceso con el que podrás graficar distintos tipos de funciones, entre otras aplicaciones. Pídele ayuda a tu profesor(a) para conseguirlo. Por ejemplo: f(x) = 4x.
Debes digitar la función y = 4x y luego presionar Enter. Visualizarás el gráfico de la función ingresada.
Utiliza Graphmatica para representar las siguientes funciones: a. f(x) = 2x + 1
b. g(x) = 2x2
c. h(x) = 2x3 – 1
¿Qué semejanzas y qué diferencias tienen los gráficos de las funciones f(x) = 9x y g(x) = –9x?
3.
Utiliza Graphmatica para representar las siguientes funciones. Luego, compara los gráficos. a. f(x) = 3x, f(x) = 3x + 1, f(x) = 3x – 1. b. f(x) = x2, f(x) = x2 + 1, f(x) = x2 – 1. c. f(x) = x2, f(x) = (x + 1)2, f(x) = (x – 1)2. d. f(x) = x3, f(x) = x3 + 1, f(x) = x3 – 1. e. f(x) = x3, f(x) = (x + 1)3, f(x) = (x – 1)3. Explica en qué se parecen y en qué se diferencian los gráficos.
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Función lineal La fuerza F necesaria para estirar un resorte es proporcional a la longitud de su estiramiento x, es decir: F=k•x Donde k es la constante de proporcionalidad y no depende de x, sino del tipo de resorte que esté involucrado en el problema. Esta relación se conoce en Física como ley de Hooke.
Para grabar Una función f definida en los números reales se dice que es lineal si cumple con las siguientes propiedades: 1° Propiedad aditiva: para todo par de números reales x e y se tiene que: f(x + y) = f(x) + f(y).
Ejemplo: Se verificará si la función f(x) = 2x es lineal. 1°
f(x + y) = 2(x + y) = 2x + 2y = f(x) + f(y).
2° f(k • x) = 2kx = k(2x) = k • f(x) Por lo tanto, f es una función lineal. Además, su representación gráfica en el plano cartesiano es:
2° Propiedad homogénea: para todo x se tiene que: f(k • x) = k • f(x) con k . (((gráfico)))
• Representación gráfica: el gráfico que representa una función lineal es una recta que pasa por el origen del plano cartesiano.
3z – 3 1. Analiza cada función. Luego, marca con una X si5es o no una función lineal. 2 Sí Sí No No d. h(x)= x a. f(x) = 4x 5 j(z)=
2.
b. g(x) = 0
Sí
No
c. d(x) = –3x + 7
Sí
No
3z – 3 5 2 f. h(x)= C(p) = px– 100 5
e. j(z)=
Sí
No
Sí
No
Representa cada enunciado en lenguaje algebraico. Luego, responde. a. La función g asigna a cada elemento x de su dominio su tercera parte. b. La función h asigna a cada elemento x de su dominio el cubo de su valor. ¿Cuál de las funciones corresponde a una función lineal? ¿Por qué?
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3 3
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Analiza la siguiente información. Luego, responde.
La función lineal f(x) = k · x se conoce también como función de proporcionalidad directa, y la constante k, como constante de proporcionalidad.
y ⇒ =k = k, para cada valor de x e y según corresponda. y = f(x)=kx ⇒ x 2 g(x)= x a. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad en la función f(x) = 0,5x? ¿Hay proporcionalidad entre sus 4 variables? Justifica.
b. Si el gráfico de una función g: A → B es una recta que pasa por el punto (0, 0) y el punto (1, 4), ¿cuál es la constante de proporcionalidad k asociada a g? Explica el procedimiento que utilizaste para responder.
4.
y función definida en los reales. Calcula en cada caso la constante de proporcionalidad (k) asociada a cada y = f(x)=kx ⇒ =k Luego, grafica cada una de ellas en el plano cartesiano y determina su dominio y recorrido. x a. f(x) = –x
b. g(x)=
k=
2 x 4
k=
Y
Y
0
0
X
X
¿Cómo cambiaría el gráfico de cada función si la constante de proporcionalidad se multiplicara por –1?
5.
Resuelve el siguiente problema en tu cuaderno. Un automóvil recorre, con una rapidez constante, 70 km en una hora. La siguiente tabla muestra cómo varía la distancia recorrida para los distintos tiempos. Distancia recorrida en cierto tiempo
X (distancia recorrida (km))
70
140
210
280
350
…
Y (tiempo (horas))
1
2
3
4
5
…
a. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad entre las variables X e Y? b. Construye un gráfico utilizando los valores de la tabla entregada. c. Representa algebraicamente una función que muestre la situación y permita determinar cuánta distancia recorrerá en n horas si mantiene la rapidez. Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
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Función afín En cierto experimento, la temperatura inicial de una sustancia era de 20 °C, y luego aumentó en 3 °C cada minuto. ¿Cuál es la función que representa la relación entre la temperatura y el tiempo? En esta situación, si y = T(x) representa la temperatura de la sustancia en un determinado tiempo x, la función que relaciona a ambas variables se puede expresar algebraicamente de la siguiente manera:
Para saber más Afín: próximo, contiguo. www.rae.es
y = T(x) = 3x + 20 Temperatura final
Temperatura inicial
Aumento de la temperatura por minuto
Para grabar Una función de la forma f(x) = mx + n (m, n ≠ 0) recibe el nombre de función afín. • El gráfico que representa una función afín es una recta que intersecta al eje Y en el punto (0, n). • y = f(x) = mx + n es una función afín de la función lineal asociada f(x) = mx. • La constante m de la función afín y = mx + n indica el cambio en la variable dependiente, y por cada unidad de variación en la variable independiente x, m recibe el nombre de constante de proporcionalidad o pendiente de la función f(x) = mx + n. Ejemplo: si la recta que representa una función afín pasa por los puntos (0, 2) y (2, 10), es posible determinar la expresión algebraica que la representa. y varía 4 unidades por cada 1 10 – 2 m= =4 unidad de x. 2–0 (((gráfico)))
Como pasa por el punto (0, 2) = (0, n), entonces n = 2. Por lo tanto, la expresión algebraica para la función es: y = f (x) = 4x + 2
Función afín de la función lineal asociada y = f (x) = 4x.
Además, se tiene que f(0) = 2 y f(2) = 10.
1.
Analiza la siguiente tabla. Luego, responde.
x
0
5
10
15
f(x)
2
0
–3
4
a. ¿En qué punto, según la tabla, se intersecta la función f con el eje X? ¿Y con el eje Y? b. ¿Existe alguna función afín que cumpla con los valores de la tabla? Justifica.
c. ¿El gráfico de una función afín puede pasar por el origen? Justifica.
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2.
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3 3
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Representa las siguientes funciones en un plano cartesiano. Luego, verifica con Graphmatica que los gráficos sean los adecuados y responde. a. y = x – 5
1 c. f(x) = – x – 4 2
b. f(x) = –x – 5
d. y = –0,5x + 4
¿Qué relación notaste entre los gráficos a y b? ¿Y entre los gráficos c y d? Comenta con tus compañeros(as).
3.
Resuelve los siguientes problemas. a. En un plan telefónico se pagan $ 950 de cargo fijo y $ 25 por minuto. Representa algebraicamente la función P que permite determinar el pago de una cuenta con respecto al total de minutos usados. Especifica el significado de cada variable que uses.
b. Una estación de peaje cobra $ 2.300 por cada automóvil que transite por él. Expresa el dinero recaudado (D) en un día por el peaje si a este monto se descuentan $ 100.000 por pago de impuestos.
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Analizando disco
Funciones y representación de funciones.
1 Evalúa si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera (V) o falsa (F). Para ello, escribe V o F según corresponda. a. En una función, el “conjunto de partida” corresponde al conjunto de las imágenes. b. Si a ∈ Dom(f), entonces existe b ∈ Rec(f) tal que f(a) = b. c. Si f(x) = 2x, entonces f(0) = f(k) – k para cualquier valor de k. d. Existe una función, tal que a todo elemento del dominio le corresponda la misma imagen. 2 Representa cada enunciado en lenguaje algebraico. Luego, responde. a. Una función p que asigne a cada número natural x su doble. b. Una función h que asigne a cada número entero x su triple, aumentado en dos unidades. c. Una función f que asigne a cada número racional x su cuadrado, menos cinco unidades. ¿Cuál es el recorrido de cada función? Justifica.
3 Analiza cada representación. Luego, responde. g –1
0,5 1
–9 –100
f
100
0
1
10
1,5
11
2 a. ¿Cuál de los dos diagramas representa una función?¿Por qué?
b. ¿Representa una función el siguiente gráfico ? Justifica.
Y
0
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X
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Función lineal y función afín.
4 Resuelve el siguiente problema.
km . h a. Completa la tabla. b. Grafica los datos de la tabla.C(x) = 900 Distancia recorrida en cierto tiempo Y 900 + 65(x - 180) Tiempo (h) Distancia recorrida (km) y = 0,5 x si x ≤ 1 − 1 2 1,2 −x + 1 six > 1 2 2 0 X y = −x si x ≤ 2 Representa algebraicamente una función V que modele la situación. 3 six > 2
Un vehículo recorre cierta distancia entre dos ciudades a una rapidez promedio de 60
si 0 ≤ x ≤ 180 si x > 180
5 Utiliza Graphmatica para graficar las siguientes funciones. Luego, responde. a. f(x) = –0,2x + 9
b. h(x) = 0,2x + 9
¿Tienen algún punto en común las funciones f y h? Justifica.
6 Resuelve el siguiente problema. Si en el detalle de una cuenta de luz se tiene que el cargo fijo es de $ 980 y por consumo de kWh se cobran $ 13,8 aproximadamente, ¿qué función permite representar el pago P de una cuenta de luz dependiendo de los x kWh consumidos?
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Función constante Cuando en una función f(x) = y = ax + b el valor de a es cero, la función queda determinada por la expresión f(x) = b. El gráfico que representa a esta función es una recta paralela al eje X o de las abscisas. ¿Cuál de los siguientes gráficos presentados corresponde a una función de la forma y = ax + b, donde a = 0? Y
3
Y
2
2
1 –2
Para grabar
–1
1
2
3
1 X
0 –3
–2
3 2
1 X
0 –3
Y
3
–1
1
2
X
0
3
–3
–2
–1
1
–1
–1
–1
–2
–2
–2
–3
–3
–3
2
3
Una función de la forma f(x) = b, b recibe el nombre de función constante y su representación gráfica es una recta paralela al eje X o de las abscisas (eje en el que se ubican los valores de la variable independiente). Ejemplo: la función y = 2 es una función constante y tiene la siguiente representación en el plano cartesiano.
y=2
Al gráfico de la función constante f(x) = b pertenecen todos los puntos de la forma (x, b) con x, b ∈ .
En las rectas de un gráfico, la punta de flecha representa que estas no varían su comportamiento.
1.
Analiza cada uno de los siguientes gráficos. Luego, escribe la expresión algebraica que los representa e indica si es una función constante. a.
3
b.
Y
3
–2
2
2
1
1
1
–1
0 1
–1
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3
2
0 –3
c.
Y
2
3X
–3
–2
–1
0 1
–1
Y
2
3X
–3
–2
–1
1 –1
–2
–2
–2
–3
–3
–3
2
3X
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3 3
4 4
5 5
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Función identidad La información de la tabla muestra la distancia recorrida en cierto tiempo. El gráfico que representa los datos es el siguiente:
Distancia recorrida en cierto tiempo
Distancia recorrida en cierto tiempo Distancia (m) 200
Y
Tiempo (s)
Distancia (m)
1
1
2
2
100
3
3
50
.
.
.
.
.
.
n
n
150
0 50
100
X 150 200 Tiempo (s)
Para grabar Cuando en una función y = f(x) = mx + n; m,n se tiene que m = 1 y n = 0, la función queda determinada por la expresión f(x) = x. Es decir, el valor de la imagen es idéntico al de su respectiva preimagen. A esta función se le denomina función identidad. Representación gráfica:
Al gráfico de la función identidad pertenecen todos los puntos de la forma (x, x), con x ∈ .
1.
f (x) = x
(((gráfico)))
Utiliza Graphmatica para graficar la función identidad y la función y = –x. Luego, responde en tu cuaderno. a. ¿Cuáles son las semejanzas entre ambas gráficas? Justifica.
b. ¿Cuáles son sus diferencias? Justifica.
c. ¿Cómo explicas dichas semejanzas y diferencias?
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Función definida por tramos Una empresa que suministra conexión a internet ofrece un plan en el que establece que la cuenta mensual del cliente dependerá exclusivamente de los minutos de conexión que utilice. Este plan tiene un costo fijo de $ 900 por 180 minutos de conexión y por cada minuto adicional se cobrarán $ 65. Para representar esto mediante una función, considerando que x es la cantidad de minutos de conexión, se tiene lo siguiente: Si x es menor o igual que 180, se tiene que el costo C por el plan será de $ 900. Si x es mayor que 180, el costo C será de 900 + 65(x – 180). Por lo tanto, la función C que representa el costo según los minutos de conexión es:
900 C(x)= 900 + 65(x – 180)
si 0 ≤ x ≤ 180 si x > 180
Para grabar
Ayuda El símbolo ≥ ”mayor o igual que” representa: a ≥ b ⇔ a > b o a = b. Análogamente, el símbolo ≤ “menor o igual que” representa: c ≤ d ⇔ c < d o c = d.
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y = Una función definida por tramos es aquella que utiliza 2 o más expresiones para su definición y cada una de ellas emplea un determinado subconjunto del dominio de la función principal. Y Ejemplo: y = x si x ≤ 3 x si x ≤ 3 3 f(x) = x si x > 3 C(x)= 2 – 2 – x si x > 3 2 f(x) = x (x, y) : representa que el punto x 1 X pertenece al gráfi–co de f. si x ≤ 1 2 –3 –2 –1 0 2 3 4 5 6 7 1 el punto (x, y) no : representa –1 1 y= que x +de f. si x > 1 pertenece C(x)= algráfi–co –2 2 f(x) = 2 – x –3 y= C(x)= y= 1. UtilizaGraphmatica para realizar los gráficos de las siguientes funciones. x si x ≤ 1 – x – 2 si < 2 2 a. y = b. y = 1 3 si ≥ 2 si x > 1 –x + 2 x aquí tus gráficos –Realizasiaquí x ≤tus 1 gráficos y =Realiza 2 1 –x + si x > 1 2 x – si x ≤ 1 2 1 –x + si x > 1 2
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f(x) = 3x x + 1 si x < 0 f x = 0 2x – 1 ( si) x ≥3x 2x – 1 si x ≥ 0 x +1 x –1 x +si 1 x <0 x –1 f(x) = 3x x + 1 si si xx < 0 <0 = 3x g(x1 ) = 2 1 3 4 5 7 8 3x 65 ff(xx) = 6 2x –1 si x ≥ 0 1 2 g3(x) =4 1 5 7 8 2x –– 11 si si xx ≥ 0 ≥0 2x 3x +1 3x +1 x –1 xx –1 –1 ≤ si x –1 +el11gvalor las1 expresiones. xx + 2. Analiza la información. Luego, calcula de x = ( ) si x 0 < sig gx(xx<)0 = 11 = 3x si –1< x < 1 si x ≤ –1 = 3x ff(xx) = 3x +1 <x<1 si –1 3x +1 +1 2xla–– 11siguiente si xx≥ 0manera: ≥0 si 1≤ x el valor Sean f y g dos funciones definidas Calcula de la expresión: 3x 2x si de si x ≤ –1 1≤• 0– x 1)+(–1– 1) f(0)+ g(–1) si(2 –1 si ≤ –1 si xx ≤ –1 xx + + 11 xx –1 = =–3 si xx < 0 <0 x<1 f(0)+ g(–1) (2 • 0– 1)+(–1– 1) si 1 si –1< ( g 0) 1 ff(xx) = = 3x g x = < < si –1 x 1 3x ( ) = =–3 g x = 1 si –1< x < 1 ≤ si 1 x ( g 0) 1 f(3)– g(3) 3x 2x –– 11 si si xx ≥ 0 ≥0 3x +1 si ≤ xx si 11≤ 2x +1 ( f 0)+ g(–1) (2 • 0– 1)+(–1– 1)g(4) =f(3)– g(3) f(5)– = =–3 = ( f 0)+ g(–1) (2 • 0– 1)+(–1– 1) xx –1 –1 f(0)+ g(–1) = (2 • 0– 1)+(–1– 1) ≤ –1 si xx ≤ –1 si =–3 g(0) 1 f(–1) + g(1) =–3 f(5)– g(4) = g((0) 0) g(xx) = = 11 g 11 < xx < < 11 f(3)– g(3) g si –1 –1< = si 4g(f(2)) + f(–2)) = f(1) + g(2)c. f(–1) + g(1) = = f(3)– g (3) a. g(2) – b. 3x +1 f(3)– g(3) = ≤ xx si 11≤ 3x +1 si f(5)– g(4) f(1) + g(2) = f(5)– g(4) f(5)– g(4) 0)+ g(–1) g(–1) f(–1) (2 •• 0– 0– 1)+(–1– 1) 1) ≤ –1 si xx ≤ –1 ff((0)+ 1)+(–1– si g(1) = (2f+ =–3 = =–3 = (–1) (1) + g Realiza aquí tus cálculos Realiza aquí tus cálculos Realiza aquí tus cálculos (–1) (1) f + g ( g 0) 1 < < si –1 x 1 ( g 0) 1 = si –1< x < 1 f(1) + g(2) = (1) + (2) +g g(2) ff(1) f(3)– g g(3) (3) ≤ xx si 11≤ f(3)– si = = f(5)– g(4) f(5)– 0)+ g(–1) g(–1) (2 (2 •• 0– 0– 1)+(–1– 1)+(–1– 1) g(4) ff((0)+ 1) = =–3 = (–1) + (1) +=–3 g(1) g((0) 0) g g 11 ff(–1) = = (1) (2) f(1) +g g(2) f(3)– g (3) f + f(3)– g(3) = = f(5)– g(4) f(5)– g(4) (–1) + (1) +g g(1) ff(–1) = = (1) + (2) ff(1) +g g(2)
3.
Analiza los siguientes gráficos. Luego, escribe en la casilla la función por tramos que representa a cada uno de ellos. Y
a.
10 6 5 2 –3
–2
0
–1
1
2
3
4
5 X
–5 b. Y 6 4 2
–6
–4
–2
0
2
4
6
X
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Función valor absoluto y función parte entera A continuación, estudiarás la función valor absoluto y la función parte entera. Observa sus gráficos:
Función valor absoluto
Función parte entera
y
–7 –6
–5 –4 –3
–2
y
3
3
2
2
1
1
–1
1
2
3
4
5
6
7 x
–7 –6
–5 –4 –3
–2
–1
1
–1
–1
–2
–2
–3
Ayuda Con Graphmatica puedes graficar la función valor absoluto escribiendo: y = IxI = abs(x)
2
3
4
5
6
7 x
–x si x < 0 xx ==–3–x si x < 0 x si x ≥ 0 x si x ≥ 0 xx •• yy == xx •• yy Para grabar x La función valor absoluto f(x) = IxI está definida de la Ejemplos: xx = x –x si x < 0 y = y siguiente manera: y = –(–2) y =2 I–2I I3I = 3 x = x si x ≥ 0 ≤ Ejemplo de xxlas++propiedades: –x si x < 0 xx ++ yy ≤ yy –x si x < 0 x = xx = si x ≥ 0 x • y = x • y a. –2 (–3) == –2 –2 •• –3 –3 == 22 •• 33 == 66 –2 •• (–3) x si x ≥ 0 Propiedades x •0y =absoluto x • y de un valor: x x –x del si x valor < –4 4 x •y = x • y = x = ––44 = –4 = 4 = 44 Sean x, y y y x∈ .si x ≥ 0 x b. 3 = 3 = -3 = 3 x 3 3 -3 3 = x x c. x + y ≤ x + y a. x • y = x • y y b.y = ≤ –1 =4 –1 ++ 33 ≤ –1 ++ 33 == 11 ++ 33 =4 y y c. –1 • (–3) = –2 • –3 = 2 • 3 = 6 –2 x x+y ≤ x + y x x+y ≤ x + y = y y –2 • (–3) = –2 • –3 = –24• 3 =–64 4 4 –2 • (–3) = –2 • –3== 2 • 3= = 6 = 1. xAnaliza Luego, escríbela como se hizo en la sección 3 3 por -3 tramos, + y ≤ x cada + y función. – 4 4 4 3 –4 grabar – 4 4 anterior Para con la función valor absoluto. 4 = –4 = = –2 • (–3) = –2 •3–3 = 32 • 3==-36 =3 –1=+ 3 ≤ –1 + 3 = 1 + 3 =4 a. f(x) = Ix – 2I 3 3 = I2x + 1I 3 -3b. g(x) – 4 4 –1 + 43 ≤ –1 + 3 = 1 + 3 =4 –4 = = = –1 + 3 ≤ –1 + 3 = 1 + 3 =4 3 3 -3 3
c. h(x) = I–30 + 10xI
–1 + 3 ≤ –1 + 3 = 1 + 3 =4
2.
Utiliza Graphmatica para graficar las siguientes funciones. Luego, responde. a. f(x) = IxI b. g(x) = Ix + 3I c. h(x) = Ix – 3I d. i(x) = I2x + 1I e. j(x) = I2x – 1I ¿Qué ocurre con el gráfico de la función f(x) = IxI si f(x) = Ix + kI? Explica.
Desafío ¿Qué ocurre con el gráfico de la función f(x) = IxI si f(x) = Ikx + nI; con k, n ?
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¿Qué ocurre con la función f(x) = IxI si f(x) = IkxI? Explica.
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Para grabar La función parte entera [x] se define En otras palabras, la función parte El gráfico de la función f(x) = [x + 2] es: entera asigna a cada número real x el como: mayor de los números enteros menores [x] : → o iguales a él. x → [x] = z, con z ∈ Ejemplos: Donde x ∈ [z, z + 1[. [2,1] = 2 El dominio de la función parte entera [–2,231] = –3 es y el recorrido, . [8,15] = 8 [p, q[ : representa a un intervalo de valores que incluye a p pero no a q. [9,999] = 9 Donde: [-32,13] = –33 f(0) = [2] = 2; f(–1) = [1] = 1; f(-1,3) = [0,7] = 0; f(–2) = [0] = 0; etc.
3.
Analiza las tablas y complétalas con los valores correspondientes. a.
x
–1,5
–1
0
1
Ayuda Para graficar con Graphmatica la función parte entera puedes hacer lo siguiente:
1,5
f(x) = 3 • [x]
[x] = int(x) b.
x
–10
–1,3
0
1,7
3,2
f(x) = x – [x]
4.
Calcula el valor de las siguientes expresiones. Sabiendo que f(x) = [1 + x]2 y g(x) = [1 – x2]. a. [f(2) + 3g(2)] + f(–2)
b. g(3) – [4f(1) + f(5)]
c. f(0) + [5g(–1) – 3f(1)]
x+1 1– x 5. Analiza cada función definida en . Luego, determina su dominio, restringiéndolo si es necesario. x+1 x b. g(x) = a. f(x)= 1– x 1+ x2 f(x)=
x g(x) = Dom(f) = 1+ x2
Dom(g) =
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Composición de funciones Una persona decide comprar por internet un computador que tiene un precio en dólares. Considerando que su valor es de US$ 1.000 y se pagan US$ 5 adicionales por cada GB de memoria que se le quiera agregar, la función que representa el precio P en dólares del computador está dada por: y = P(x) = 5 • x + 1.000 Precio en dólares
Precio del computador
GB adicionales
Para hacer la conversión a pesos del precio P del computador, considerando que 1 dólar equivale aproximadamente a $ 505, se puede emplear la función: C(y) = 505 • P(x) = 505 • y Precio en pesos
Precio en dólares
Ahora, si se quisiera determinar el precio en pesos del computador, se podría expresar esto en una sola función que dependerá de las funciones P y C, y se puede calcular de la siguiente manera: C(P(x)) = 505 • (5x + 1.000) = 2.525x + 505.000 Comprueba que al comprar el computador con 10 GB adicionales, el precio que se paga es $ 530.250.
Para grabar Sean f y g dos funciones tal que, f: A → B y g: B → C, entonces la función compuesta g o f: A → C se define como: (g o f)(x) = g(f(x))
A
f
También se puede leer “g compuesta con f”.
B
g
C
gof
Ejemplo: sean f: → y g: → , definidas por f(x) = 3x + 1 y g(x) = –x, entonces, al componer las funciones g con f, se tiene que: (g o f)(x) = g(f(x)) = g(3x + 1) = –(3x + 1) = –3x – 1. Observación: al componer f con g, se tiene que (f o g)(x) = f(g(x)) = f(–x) = 3(–x) + 1 = –3x + 1. Propiedad 1: la composición de funciones cumple con la asociatividad, es decir, si f: A → B, g: B → C y h: C → D, entonces se tiene la siguiente igualdad: (h o g) o f = h o (g o f) Observación: en general, la conmutatividad en la composición de funciones NO se cumple, es decir: (f o g)(x) ≠ (g o f)(x)
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Analiza cada caso. Luego, responde. a. Sean f: → y g: → , las funciones definidas por: f(x) = x2 + 5x y g(x) = 3x + 1. Determina las expresiones algebraicas que representan a: (f o f)(x), (f o g)(x), (g o g)(x) y (g o f)(x).
Calcula el valor de (f o (f o g))(–1).
9x , g(x)= x2 y h(x)= x+1 funciones definidas en . 9x 2 f(x)= , g(x)= x2 y h(x)= x+1 f(x)= 2 ¿Cuál esel dominio de3 las funciones f, g y h? x si x ≥3 f(x)= x si x ≥3 4x+1 si 1 < x < 3 3 9x 4x+1 si 1 < x < 3 f(x)= , g(x)= x2 y h(x)= x+1 x si x ≤ 1 2 x ≤ 1representan a: (f o g)(x), (f o h)(x), (h o g)(x) y (h o (g o f))(x). x sique Determina g(x)= las expresiones algebraicas f(x)= –3x si x ≥ 1 x si x ≥3 3 g(x)= 9x9x x+1 si0 ≤ x < 1 –3x si x ≥ 1 9x 9x 9x 9x 2 2 , g(x)= xyxyh(x)= yh(x)= h(x)= x+1 x+1 f(x)= f(x)= sixx12x2< < 3 , g(x)= ,g(x)= g(x)= yh(x)= x+1 x+1 f(x)= f(x)= , ,g(x)= ,g(x)= xyxy22h(x)= h(x)= x+1 x+1 f(x)= f(x)= 4x+1 2 2 2 2 x+1 si0 ≤ x < 1 2 2 x+1 si x < 0 x si x ≤ 1 f(x)= f(x)= f(x)= f(x)= f(x)= f(x)= si x < 0 x+1 xxxxsi xsix≥3 x≥3 xsixsixsisi x≥3 3≥3 x≥3 33≥3 333 g(x)= –3x si x ≥ 1 4x+1 4x+1 g(x)= 1< si 1x< x< x< 4x+1 sisisi 1sisi x< < x< 3< 4x+1 1< 11< x< 33< 333 4x+1 4x+1 9x 9x 9x 2 22 9x 9x x+1 si0 ≤ x < 1 2 2 , g(x)= x y h(x)= x+1 f(x)= , g(x)= x y h(x)= x+1 f(x)= , g(x)= x y h(x)= x+1 f(x)= g(x)= xxxejemplo. ,2g(x)= , g(x)= x en yx h(x)= y h(x)= x+1 x+1 f(x)= f(x)= xel xsi x≤ si x11≤ Calcula el valor cada caso. Observa xsisi xsisi 1≤ ≤ x≤ xx≤ 11 1 de las expresiones 22 2pedidas 2 x+1 si x < 0 f(x)= f(x)= f(x)= g(x)= g(x)= g(x)= g(x)= g(x)= g(x)= f(x)= f(x)= Considerando: xxx3≥3 333 xxsixsi –3x –3x –3x –3x xsi x≥ xx xsi –3x sisisi xsisi x≥ 1≥ –3x x≥ x≥ 11≥ 11 1 xsi si≥3 ≥3 3≥3 ≥3 f(x)= 4x+1 4x+1si 1si<1 x<<x3< 3 x+1 x+1 x+1 si0 si0 x≤ x< si0 si0 ≤ x≤ ≤ x< 1< si0 si0 ≤≤ x< x< 11< 11 1 4x+1 f(x)= 4x+1 g(x)= x+1 x+1 x+1 4x+1 si 1si si<11x< <<xx3< <33 x+1 x+1 si ≤ xxx1≤ xsi x+1 si xxsi x< si x00< 0 < xx< < 000 xx xsi xsi xsi si ≤ 1≤ ≤111 x+1 x+1 si si x< x+1 g(x)= g(x)= g(x)= g(x)= g(x)= f(g(1)), –3x–3x si x ≥ 1 si x ≥ 1 Ejemplo: para calcular (f o g)(1) = primero ubica en qué –3x si x ≥ 1 de g se ubica el valor 1; en este caso, en rama si xsi≥x1≥ 1 f(x)= –3x–3x g(x)= g(x)= g(x)= g(x)= g(x)= g(x)= función •≤ 1 =≤< –3. Luego, aplicala f(g(1)) = f(–3), valor que se encuentra g(x) = –3x, si x ≤ 1. Por lo tanto, g(1) = –3 x+1 si0 si0 xxx1< si0 x+1 x+1 x+1 si0 si0 ≤x≤ x≤< 1< <111 x+1 en la rama f(x) = [x], si x ≤ 1, entonces, (f o g)(1) = f(g(1)) = f(–3) = [–3] = –3. < x+1 xxx0 < 00 si < x+1 x+1 sisi xsi x+1 x+1 x si < 0 < 0 a. (f o g)(2) = d. f o (gog)(–2) = f(x)= f(x)= f(x)= f(x)= f(x)= f(x)= g(x)= g(x)= g(x)= g(x)= g(x)= b. g(–18) = e. (g o g)(0) = f(x)= f(x)= f(x)= f(x)= f(x)= c. (g o (g o f))(–4) = f. (f o (f o (f o f)))(–1,5) = b. Sean f(x)=
2.
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Aplicación de la composición de funciones a transformaciones isométricas
Y
3 2
Como viste en la Unidad 5, se pueden aplicar distintas transformaciones isométricas en el plano cartesiano y también composiciones de estas.
A(1, 2)
1 0 –3 –2 –1
–1
X 1
2
3
4
–2 A’’(–1, –2) –3
Por ejemplo, al ubicar el punto A(1, 2) en el plano cartesiano y aplicarle una reflexión en torno al eje X (RX), se tiene que RX (1, 2) = A’(1, –2). Ahora, si a este punto se le aplica una reflexión en torno al eje Y (RY), se obtiene como imagen el punto A’’(–1, –2). Por otra parte, RO(1, 2) = (–1, –2), que coincide con A’’(–1, –2). Por lo tanto, es posible establecer la siguiente composición de transformaciones isométricas:
A’(1, –2)
(RY o RX)(1, 2) = (–1, –2) = RO(1, 2)
Para grabar En la composición de transformaciones isométricas se tienen las siguientes igualdades:
Ejemplos: (R(O, 180°) o R(O, 90°))(3, –4) = (R(O, 180°)(R(O, 90°)(3, –4))) = (R(O, 180°)(4, 3)) = (–4, –3)
Reflexión: (RY o RX)(x, y) = (RX o RY)(x, y) = RO(x, y) (RX o RO)(x, y) = (RO o RX)(x, y) = RY(x, y) (RY o RO)(x, y) = (RO o RY)(x, y) = RX(x, y)
Además, R(O, 270°)(3, –4) = (–4, –3), entonces, (R(O, 180°) o R(O, 90°))(3, –4) = R(O, 270°) (3, –4).
Traslación: y) y) = T (x, (Tu o Tv)(x, u +v u, v u, v u, vuu, ,vv y) = (T o T ) (x, y) (Tu o Tv)(x, v u u, v u, v
u, v u, v
Rotación: si α, β tienen el mismo sentido: (R(O, α) o R(O, β))(x, y) = R(O, (α + β))(x, y)
1.
Si uu ,=v(–1, 5) y uv ,=v(8, –5), entonces, 3) = T(T (9, 3)) 1° (Tu o Tv)(9, u, v u, v uu , vuv , v –2) = (16, 3) = Tu(17, u, v 3) = (16, 3) 2° u + v = (7, 0) ⇒ Tu +v (9, u, vu, v u, vu, v 3) = T (9, 3) = (16, 3) Luego, de 1° y 2° se tiene: (Tu o Tv)(9, u+v u, v u, v
u, vu, v
Evalúa si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera (V) o falsa (F). Para ello, escribe V o F según corresponda. a. La composición de traslaciones no es conmutativa. b. La composición (RY o R(O, –90°))(x, y) = R(O, 180°)(x, y). c. Si RO(x, y) = (5, 6), entonces RY(x, y) = (5, –6).
u, vu, v
y)). d. Si u, v son vectores del plano cartesiano, se cumple que (Tu o Tv)(x, y)=(Tv + u(x, u, v
u, v
u, v u, v
e. Si a un punto (x, y) del plano cartesiano se le aplica (R(O, 90°) o R(O, 270°))(x, y), se obtiene (x, y).
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Representa en el plano cartesiano. Luego, responde.
R ))(P), donde P(x + 5, y – 3) y u = (–5, 3)? a. ¿Qué punto del plano cartesiano representa (R(0, 90°) o (Tu o x u, v u, v
1 2
b. ¿Qué punto del plano cartesiano representa (RY(R(0, –270°) (Rx o Tu )))(A), donde A(10, 1) y u u,=v ,–1 ? u, v
3.
Analiza el siguiente gráfico. Luego, responde. 4 Y C´´
2
B´´
–4
–3 C´
B´
0 –2
–1
B´´´ –1 –2
A´ Figura 2
B
1
A´´ Figura 3 –5
C
3
A
En la secuencia de figuras se utilizaron distintas transformaciones isométricas.
Figura 1
Simbología:
C´´´ 1
A´´´
2
3
4
5 X
– Reflexión (R). – Traslación (T). – Rotación (Rα).
Figura 4
–3 –4
a. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices de las figuras 1, 2, 3 y 4?
b. ¿Qué transformaciones usaste para obtener la figura 4 a partir de la figura 1?
c. Escribe algebraicamente la composición de transformaciones isométricas que utilizaste. Luego, compárala con la de tus compañeros. Utiliza la simbología.
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c c
n de prob ció
r r
¿Qué es analizar? Analizar es descomponer una situación, un texto o un problema dado en sus partes integrantes y determinar cómo se relacionan unas con otras y con una estructura o propósito general.
¿Qué tengo que hacer para analizar un problema? Organizar la información. Identificar las partes que lo componen.
as lem
e h
en co n t i do resol u
uac eval ión
Trabajo de habilidades
Resolución de problemas 1 Analiza la resolución del siguiente problema. Si un vendedor de una automotora tiene un sueldo base mensual de $ 250.000 y de comisión por venta obtiene un 5% del precio del vehículo, ¿qué función permite calcular el sueldo S del vendedor con respecto a los automóviles vendidos? ¿Qué sueldo obtuvo el vendedor si durante el mes vendió 2 automóviles que tenían un precio de venta de $ 5.490.000 cada uno?
Paso 1 Comprende el enunciado ¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema? La función que permita calcular el sueldo y el sueldo que obtiene luego de vender 2 automóviles de cierto valor. ¿Qué información entrega el enunciado del problema? El sueldo base del vendedor, el porcentaje de comisión que obtiene por venta y la venta que hizo un mes en particular.
Paso 2 Planifica lo que vas a realizar Organiza la información.
Determinar de qué manera se diferencian las partes.
Primero, señala que el 5% de un valor se puede representar numéricamente
Etapas de la resolución de problemas.
automóviles en $ 5.490.000 cada uno.
Paso 1: Comprende el enunciado. Paso 2: Planifica lo que vas a realizar. Paso 3: Resuelve el problema. Paso 4: Revisa la solución.
como
5 = 0,05 . Además, otro dato del problema es que se venden 2 100
Identifica las partes que la componen. Puedes identificar que el sueldo del vendedor se compone de un sueldo base de $ 250.000 y por la venta x de cada auto se le pagará un 5% de esta, es decir, 0,05 • x. Determina de qué manera se diferencian las partes. Como el sueldo base no varía, este no depende de las ventas hechas.
Paso 3 Resuelve el problema La función S se puede escribir de la siguiente manera: Número de autos vendidos S(x) = 250.000 + 0,05x Sueldo base
Comisión por venta
Luego, como vende 2 automóviles de $ 5.490.000, se tiene: 2 • 5.490.000 = 10.980.000. Así, al evaluar en la función se tiene que: S(10.980.000) = 250.000 + 0,05(10.980.000) = 250.000 + 549.000 = 799.000 Por lo tanto, el sueldo del vendedor en ese mes es de $ 799.000.
Paso 4 Revisa la solución
194
Unidad 6 • Funciones
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Puedes calcular el 5% de 5.490.000, que equivale a 274.500, y multiplicarlo por 2. Entonces, 2 • 274.500 = 549.000 y a ese valor sumar el sueldo base. Por lo tanto, 250.000 + 549.000 = 799.000.
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3 3
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5 5
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7 7
8 8
2 Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente. Un hospital cuenta con 30 ambulancias y cada una de ellas recorre aproximadamente 200 km por día y gasta en promedio 1 litro de combustible por cada 12 km. Si el precio de un litro de combustible es de $ 670, ¿qué función podría relacionar los datos para posteriormente calcular el dinero que se paga en combustible para las ambulancias en el hospital?
Paso 1 Comprende el enunciado ¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema?
¿Qué información entrega el enunciado del problema?
Paso 2 Planifica lo que vas a realizar Organiza la información.
Identifica las partes que la componen.
Determina de qué manera se diferencian las partes.
Paso 3 Resuelve el problema
Paso 4 Revisa la solución
3 Resuelve en tu cuaderno el siguiente problema. En una biblioteca, por cada libro que se presta se cobran $ 1.000, y por retraso se cobran $ 900 diarios. Si Leonardo pidió 8 libros, ¿cómo expresarías la función que permite calcular el pago de Leonardo en función de los días de retraso en su entrega? Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
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Verificando disco
I. Lee atentamente cada una de las preguntas y marca la alternativa correcta. 1 La relación entre la medida del lado de un cuadrado y el área de este es A(x) = x2. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) VERDADERA(S)?
4 Si f(x) = 2x + 1, ¿cuál es el valor de f(9)?
I. A no es función. II. A es una función que depende de x. III. x es variable y A solo toma valores positivos. A. B. C. D. E.
Solo I. Solo II. Solo I y II. Solo II y III. I, II y III.
A. B. C. D. E.
3 ¿Cuál de los siguientes diagramas NO representa una función? A
B
D.
A
B
2 3 –2 –3
3 2
7 Según el gráfico de la función definida en , ¿cuál es el dominio de la función?
1
1 2
b 2a 2b a–b a+b
6 Si f es una función definida por f(x) = tx + 1 y f(–2) = 5, ¿cuál es el valor de t?
8π 16π 64π 640π Ninguna de las anteriores.
A.
1 9 10 18 19
5 Si f(x) = ax + b, ¿cuál es el valor de f(–1) + f(1)? A. B. C. D. E.
2 Si A(r) = π • r2, ¿cuál es la imagen de 8? A. B. C. D. E.
A. B. C. D. E.
2
2
Y
2 3
3
3 B.
C.
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A
B
1
1
2
2
3
3
A
B
1
1
2
2
3
3
E. Ninguno de los anteriores. –4 A. B. C. D. E.
0
4
X
3 8 [–4, 4] Ninguna de las anteriores.
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1 1
8 Según el gráfico, ¿cuál es el recorrido de la función definida en [–5, 5]?
2 2
3 3
4 4
5 5
7 7
65 6
8 8
12 ¿Qué tipo de función representa el gráfico? Y
Y
2
5 0 1 –5
A. B. C. D. E.
0
5
X
[0, 5] ]0, 5] ]–5, 5[ [–5, 5] Ninguna de las anteriores.
9 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA respecto al gráfico de una función? A. Con él puedes determinar el dominio y el recorrido de la función que representa. B. No siempre se puede graficar una función. C. Una función siempre se puede representar con una línea recta. D. Siempre es necesario unir los puntos que se ubican en el plano. E. Todas las anteriores son verdaderas.
A. B. C. D. E.
25x 125x 25x2 125x2 Ninguna de las anteriores.
11 En relación con la función y = 9x definida en , ¿qué afirmación es FALSA? A. B. C. D.
Su gráfico pasa por el origen. Cuando x = 1, se tiene que y = 9. Su representación gráfica no es una recta. Su dominio es el conjunto de los números reales. E. –3 pertenece al recorrido de la función.
A.
B.
C.
D.
A
B
1
1
–1
2
4
1
3
6
2
4
4
8
–2
–4
A
B
A
B
–0,2
0,04
–1
1
0
0
4
16
A
B
–0,5
0,25
0,5
–0,25
0
0
4
–8
E.
A
–0,4 –9
B
1
0,016
9
81
14 En relación con el gráfico de la función afín f(x) = 1 – x, ¿qué afirmación(es) es(son) correcta(s)? I. Pasa por el punto (0, 0). II. Es una recta perpendicular a la recta y = –x. III. Intersecta al eje X en el punto (1, 0). A. B. C. D. E.
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Función afín. Función lineal. Función constante. Función identidad. Función definida por tramos.
13 ¿Cuál de las siguientes representaciones corresponde a la función f(x) = x2 de acuerdo a los elementos dados de A?
10 Si f(x) = 5x, entonces, 5f(x) es equivalente a: A. B. C. D. E.
X
Solo II. Solo III. Solo I y II. Solo II y III. I, II y III.
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Verificando disco
15 Si el nivel de agua en un estanque es de 12 m y baja 0,5 m cada semana, ¿cuál de las siguientes funciones representa la situación descrita relacionando el nivel de agua (y) con el número de semanas (x)? A. B. C. D. E.
y = 0,5x + 12 y = –3,5x + 12 y = –0,5x + 12 y = 12x – 0,5 y = 0,5x – 12
10 B 8 6
2 A –4 –2
0
2
4X
I. La pendiente de la recta es 5. II. El punto (1, 15) pertenece a la recta. III. La ecuación de la recta es y = 5x – 10.
1
2
3
4
10
f(x)
–0,5
–1
0
1
2
3
4
10
¿Qué función cumple con los valores de la tabla? Función afín. Función identidad. Función constante. Función por tramos. Función valor absoluto.
Y X 0 –6
Y
2
17 ¿Cuál es la representación algebraica de la función graficada?
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0
4
Solo I. Solo II. Solo III. Solo I y II. Solo I y III.
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–1
I. f(–2) > f(4) II. f(–1) + f(3) = f(–3) III. f(–5) – f(8) = 2
–2
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–0,5
20 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) correcta(s) respecto al gráfico de la función f(x) en la figura?
4
y=6 y = –6 x = –6 y = 6x y = 6x + 1
Una recta paralela al eje X. Una recta paralela al eje Y. Es una función lineal con pendiente 1. Una recta que pasa por el origen (0, 0). Ninguna de las anteriores.
x
A. B. C. D. E.
12
A. B. C. D. E.
A. B. C. D. E.
19 Con respecto a la siguiente tabla de valores:
16 Con respecto al siguiente gráfico, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) VERDADERA(S)? Y
A. B. C. D. E.
18 ¿Cuál de las siguientes características representa al gráfico de una función constante?
–2x –2x ++ 33 X f(x) f(x) == –2–2 –5 –3 –1 3 6 8 A. Solo I. x +x + 11 –2f(x) B. Solo II. f(x) = = 22 C. Solo III. D. Solo I y II. 1717 E. Solo II y III. 22 –2x + 3 1111 f(x) = –2x + 3 –– 21 Si f(x) = 2 de f(7)? –2 , ¿cuál es el2valor –2 x+1 1111 A. f(x) 4 =x + 1 D. f(x) = 2 22 2 17 1717 B. 17 E. – – 2 22 2 11 C. ––11 2 2 11 11 2 2 17 –17 – 2 2 1/2/10 09:11:34
1 1
22 De acuerdo al gráfico de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) VERDADERA(S)? Y
A. B. C. D. E.
X
–2 –1
1
2
A. B. C. D. E.
Solo I. Solo II. Solo I y II. Solo II y III. I, II y III.
23 ¿Cuál de los siguientes gráficos representa parte de la función y = [x + 1]? A.
D.
Y
B.
2
1
1 –1 –2
1
2
X
–2 –1
D.
Y
2 1 –1
1
2
3 X
1
2
X
2 1 –1
1
2
65 6
7 7
8 8
–2 –1
A. B. C. D. E. –1 –2
(g o f)(x) = –2x – 6 (g o f)(x) = –2x + 6 (g o f)(x) = –2x – 3 (g o f)(x) = –2x + 3 (g o f)(x) = –2x + x – 3
1
2
X
f(x) =
–2x + 3
–2 x+1 26 Dadas las siguientes funciones: f(x) = , 2 g(x) = 2x y h(x) = x + 1. ¿Cuál es17el valor de la función compuesta (h o g o f)(3)? 2 A. 4 11 – B. 4,5 2 C. 5 11 D. 5,5 E. 6 2 17 27 ¿Qué punto del plano cartesiano– representa 2 (R o R )(0, –5)? Y
(–5, 0) (5, 0) (0, –5) (0, 5) (5, –5)
28 ¿Qué punto del plano cartesiano representa Ro o (Tu=(–3, o R(0, –270°))(4, 7)? 5) A. B. C. D. E.
Y
5 5
y = 1.000[x] + 150 y = 150[x] + 1.000 y = 150[x – 1] + 1.000 y = 1.000[x – 1] + 150 y = 1.000[x + 1] + 150
X
Y
1
–2
–2 –1
–1 –2
2
–2 –1
C.
Y
2
–2 –1
4 4
25 Dadas las funciones f(x) = –2x, g(x) = x – 3, ¿cuál es la función (g o f)(x)?
I. f(–1) + f(1) = f(0) II. 3 • f(–2) – f(0) = 2 • f(2) III. f(–2) – f(1) = f(2) – f(–1) A. B. C. D. E.
3 3
24 Si un taxista cobra como cargo fijo $ 150 y, además, $ 1.000 por cada km recorrido, la función que relaciona el cobro (y) con los kilómetros recorridos (x) es:
2 1
2 2
u, v
(9, 10) (10, 9) (–10, 9) (10, –9) (–10, –9)
3 X
–2
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II. Lee atentamente los problemas. Luego, resuelve. 1. En una fábrica de bebidas se determinó que la ganancia mensual en un mes de verano (21 dic-21 mar) aumentaba en 20% con respecto a otras estaciones del año. En el mes de febrero se invirtió en la elaboración del producto 40% de la ganancia obtenida el mes de enero. Si el mes de enero se obtuvo una ganancia de $ 2.000.000 y el precio de venta del producto era $ 550, ¿qué función permite calcular la ganancia del mes de febrero dependiendo de la cantidad de unidades vendidas si se sabe que la ganancia corresponde a lo vendido menos lo invertido?
2. En una granja se quiere construir un pozo con forma de cilindro, cuyo diámetro medirá 2 metros. a. Haz una tabla que considere el volumen del pozo dadas tres profundidades distintas. 2m
x
b. Si la profundidad del pozo es el triple del diámetro menos un metro, ¿cuál es su volumen?
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Historial Una técnica que facilita la retención de lo estudiado para después realizar un repaso eficiente es el cuadro sinóptico. Se trata de un resumen esquematizado, cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de manera estructurada y organizada. Completa la tabla que muestra algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad. Contenido
Definición o procedimiento
Ejemplo
Función.
Dominio y recorrido.
Función lineal.
Función afín.
Función constante.
Función identidad.
Función definida por tramos.
Función parte entera.
Función valor absoluto.
Composición de funciones.
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Organizar favoritos Ahora que tienes claras las ideas principales; elabora un mapa conceptual que te permita relacionar algunos conceptos clave trabajados en la unidad. Conceptos clave
Variable dependiente Función Recorrido Función lineal Función constante Función definida por tramos Función valor absoluto
Variable independiente Dominio Representaciones (algebraica, tablas, gráficas) Función afín Función identidad Función parte entera Composición de funciones
Herramientas A continuación, te presentamos algunos datos fundamentales de esta unidad. No los olvides, pues te seguirán siendo útiles. Función
Función lineal
Función afín
f: A ➞ B x ➞ f(x) = y
f(x + y) = f(x) + (y)
f(x) = mx + n; m, n ≠ 0
Función constante
Función identidad
f(k • x) = k • f(x)
f(x) = x
f(x) = b
Función definida por tramos Ejemplo: f(x) =
Función parte entera ([x])
Función valor absoluto (|x|)
[x] : ➞ x ➞ [x] = z
–x si x < 0 x = x si x ≥ 0
xx 22 –– xx
si x ≤ 3 si x ≤ 3 si xx> >33 si
Composición de funciones g f A➞B➞ C gof
x•y = x • y
Aplicación de la transformación de funciones a las transformaciones isométricas • (RY o RX)(x, y) = (RX o RY)(x, y) = RO(x, y) • (RX o RO)(x, y) = (RO o RX)(x, y) = RY(x, y) • (RY o RO)(x, y) = (RO o RY)(x, y) = RX(x, y)
x
x
y) • (Tu o =Tv)(x, y) = Tu +v (x, uy, v u, vy u, vu, v • (Tu o Tv)(x, y) = (Tv o Tu)(x, y) u, v u, v
• (R(O, α) o R(O, β)) (x, y) = R(O, (α + β))(x, y)
u, v u, v
x+y ≤ x + y
–2 • (–3) = –2 • –3 = 2 • 3 = 6 202
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–4 3
=
–4 3
=
4 -3
=
4 3
–1 + 3 ≤ –1 + 3 = 1 + 3 =4
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Cerrar sesión Contenido
Número de pregunta
Habilidad
Función.
1 2 3 4 5 6
Evaluar Aplicar Evaluar Aplicar Aplicar Aplicar
7 8 9 12 13 10 11 14 15 16
Analizar Analizar Evaluar Recordar Evaluar Aplicar Analizar Analizar Analizar Evaluar
Función constante e identidad.
17 18 19
Recordar Analizar Comprender
Función definida por tramos y parte entera.
20 21 22 23 24
Evaluar Aplicar Analizar Analizar Analizar
Composición de funciones.
25 26 27 28
Analizar Aplicar Aplicar Aplicar
Representación de funciones.
Función lineal y afín.
Clave
Nivel de logro
6
5
5
3
5
4
Mi estado Evalúa tu desempeño a partir del logro alcanzado para cada contenido. ¿Qué contenidos podrías enseñarle a una compañera o compañero que no los haya entendido? ¿Qué temas debes repasar? ¿Qué harás para reforzarlos? ¿Qué calificación te pondrías de acuerdo a lo que has aprendido a lo largo de la unidad? ¿Por qué?
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evaluación integradora
Recopilando disco
1 Calcula el valor de las siguientes expresiones algebraicas. Para ello, considera que a = 22, b = –5, c = –42; d = (–1)3 y f = 0. a. 1 – 6a3 + 2dc + 22df
f
f c–d a+b c. + d 2 7
3 2 1 7 a– d– b+ f 22 4 5 8 121 4y2 – x2 f 36 f c–d a+b + 2 625 9x d –2 7 144 b. 4d(a – b) – 2(c – d)2 + f100 39 2 1 7 2 2 c+ d. y–7 +3y+2 a– d– b+ f 24 4 5 8 121 1 x2 4 2– t4y – 8136 3 tf 2 –1 625 9x f c–d a+b 8 – 8 144 + 93 7 fz–4 df c–d 2 a+b y2 +3y+ + =(–2) 2 z+2 f d2 c+ 2 3 a– 7 d– 1 b+ 7 f4 –7 f c–d a+b f f 2 1 Representa cada expresión algebraica como producto de factores. 4 2 8 51– 7 4 t x+1 23 2 f c–d+ a+b f c–d a+b =2 2 + d 2 + 7 f b+ –7 c+ d– a– 81 2 72 f 7 2 121 2 4 2x–4 c–d 22 xa+b 8 8x + 16 d. f4y g. 9d– 12k a. xd2– 2 f 35 – 36 3+ 4k2 1 7 2 + a+bt1 –21 1 f c–d –7 c+ 32 a– 2d– 1b+ 7f 22 121 3 2 1 7 +2 7 + = 2 d4y –7 c+ a–4 d–5 b+8 f –72 c+ 2 a– d– b+ f x – 2 8 8 5 3 x 625 2 d2 –2 36 7 4 5 8 4 f5 8 2 2 9x 3 2 z–4 1 7 2 2 121 2 3 a+b 144 f c–d121 f b+ –7 c+ d– a– x 4y – =(–2) 7 3 1 2 625 121 2 – +x2 5 b+8 f –72 22 c+ 9x – 2229a–4 d–z+2 4y2 –36 x2 4y 7 d 2 4 5 8 144 36 36 2 y +3y+ x+1 2 625 2 121 4 2 9x – x 4y – =2 3 2 1 7 625 2 2 12192 3625 b. –7 e. y4y h. 9x 8 –2 z–144 +3y+ –136 x 9x22c+ – 2 a– d– b+ f 2x–4 4 1449 4 5 8 36 4 144 2 t – 625 1 2 1 2 2 81 y +3y+ 9x – = + 1 9 9 625 121 4 2 2 3 – –144 t9x y2 +3y+4 y2 +3y+ x 3 5 4y – x2 1 t 4 36 4 –811449 1 4 23 8 8 t – y +3y+ 1 1625 t2 1 9 t4 –81 t4 –2 – yz–4 –+3y+4 3 9x 81 81144 4 8 18=(–2) t33 1 4 z+2 c. zt232 + 2z f. tz–4 i. – – 1 1 t 1 – 963 t4x+1 –81=(–2)3 8 –8 y +3y+ – 81 z+2 8 8 8 8 4 3 z–4 1 =2 t2x–4 3 3– 1 z–4=(–2) 3 tx+11 z–4 4 3 z+2 =(–2) t – =(–2) 81 –82 =2 1 2x–4 z+2 8+ 8 = z+281 x+1 z–4 3 5 3 x 3 =(–2) 1 2 1 x+1 =2 x+1 z–4 t 1 3 = + =(–2) 2x–4 =2 z+2 – =2 3 Resuelve xz+23 5 2x–4 8 8 las siguientes ecuaciones. 2 1 12x–4 x+1 =2 1+ 2= 1 1 2 1 3 x+1 z–4 = a. + =(–2) b. 2x–4 =2 c. x +3 =5 x 3 5 x 3 5 z+2 2 1 12x–4 = + 1 2 1 x+1 x +3 =5 =2 x 3 5 2x–4 1 2 1 + = x 3 5 –72 c+
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Evaluación integradora
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1 1
25 2
4 Calcula en cada caso la constante de proporcionalidad. Luego, grafica cada función en el plano cartesiano. (–1)6 x k= 3 3 h(x) = – x 4 1 g(–1)+ f(7)+h 3
a. f(x) = –42x k =
b. g(x) =
Y
Y
X
X
(–1)6 de cada expresión. Para ello, reemplaza los valores correspondientes en cada 5 Calcula el valor x caso. g(x) = (–1)6 3 x g(x) = 3 3 f(x) = 2x – 5 g(x) = IxI + 12 h(x) = – x 3 4 h(x) = – x 1 4 g(–1)+ f(7)+h 1 3 a. g(–1)+ f(7)+h b. g(3) + h(–10) – g(100) 3
6 Analiza las siguientes trasformaciones isométricas. Luego, responde.
C''
3
Figura 3 B''
a. ¿Qué transformación isométrica se aplicó a la figura 1 para obtener como imagen la figura 2?
Y Figura 4
A''
2
A'''
B'''
1
2
C'''
b. ¿Qué composición de transformaciones isométricas permite obtener como imagen la figura 3 a partir de la figura 1?
1
–3
–2
–1
0 –1
B' C'
Figura 2
A' –2 –3
0
3
A Figura 1
X c. ¿Qué composición de transformaciones isométricas permite obtener como imagen la figura 4 a partir de la figura 1?
B C
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Unidad
Congruencia de figuras planas
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Las figuras geométricas se caracterizan por su forma y su tamaño. Por ejemplo, en una teselación regular del plano, cada figura que la compone debe tener la misma forma y el mismo tamaño, es decir, si esta teselación se hace con un polígono, este debería ser regular. Maurits Cornelis Escher (1898-1972) realizó trabajos en los que se pueden apreciar teselaciones o embaldosamientos del plano con otro tipo de figuras.
Menú de inicio ¿Qué?
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¿Para qué?
¿Dónde?
Congruencia.
Reconocer congruencias entre distintas figuras geométricas. Páginas 208 a 211.
Congruencia de triángulos.
Aplicar los postulados de congruencia de triangulos.
Páginas 212 a 219.
Relaciones de congruencia en otras figuras geométricas.
Utilizar estas relaciones y reconocer ciertas propiedades en los polígonos.
Páginas 220 a 225.
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Abrir sesión Considerando la información de la página anterior, responde: 1) ¿Cómo se caracterizan las figuras geométricas? 2) ¿Qué caracteriza a los polígonos que componen una teselación regular? 3) ¿Qué otro tipo de teselación conoces? ¿Qué la caracteriza?
Inicializando Evaluar consiste en emitir juicios de acuerdo a un criterio conocido y válido. Se quiere teselar el plano utilizando un polígono regular, es decir, una teselación regular. Para ello, se presentan las siguientes figuras geométricas: 4 cm 60° 60° 4 cm 60°
4 cm
5 cm
108°
5 cm 108° 5 cm
108° 5 cm
108° 108°
5 cm
6 cm
98°
100° 2 cm 90°
5 cm 72° 5 cm
1) ¿Con cuál de estas figuras es posible hacer una teselación regular del plano? Justifica.
2) ¿En qué te basaste para responder la pregunta anterior?
3) Evalúa tus respuestas utilizando regla y transportador. ¿Son correctas?
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Congruencia 5
Y
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X 10
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Si superpones las figuras, ¿cuales ocuparían la misma región en el plano cartesiano? A esas figuras, ¿las llamarías congruentes, equivalentes o semejantes?
Para saber más Por lo general, se utilizan los siguientes símbolos en geometría:
Para grabar En geometría se usan habitualmente los términos congruencia, equivalencia y semejanza. Dos figuras geométricas se considerarán Ejemplo: congruentes () si y solo si tienen la Dos polígonos son congruentes si cada uno de sus ángulos misma forma y tamaño. interiores y lados correspondientes tienen la misma medida. Dos figuras geométricas se considerarán D 3 cm 108° 3 cm equivalentes si tienen el mismo E tamaño, es decir, áreas iguales. I 3 cm H 108° 108° C 108° 108° Dos figuras geométricas de diferente 3 cm 3 cm 3 cm 3 cm 108° 108° tamaño pero de igual número de lados 108° 108° A 3 cm B se considerarán semejantes si tienen G J 108° ángulos interiores congruentes y lados 3 cm 3 cm proporcionales. F Luego, ABCDE FGHIJ.
: triángulo. : ángulo. : congruente. : no congruente.
Para saber más Se dirá que dos polígonos tienen igual forma y tamaño si sus lados y ángulos interiores correspondientes miden lo mismo. Por ejemplo: 1,8 cm
C γ
2 cm
β B 1,5 cm F γ 1,8 cm 2 cm A
D
α
α
β E 1,5 cm
En este caso, ABC DEF, lo que es distinto a ABC EFD.
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1.
Analiza las siguientes figuras y responde las preguntas. S T F R C U G Q J E P K L D A B H I a. ¿Cuáles figuras son congruentes?
O N M
b. ¿Qué estrategia utilizaste para responder?
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Representa la situación descrita con un dibujo. Luego, responde.
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Ayuda
Cuadrilátero cuyas diagonales se dimidian (intersectan en el punto medio de cada diagonal), son perpendiculares y miden 6 cm y 8 cm, respectivamente.
Los elementos homólogos son los que tienen la misma posición en figuras de igual forma.
a. ¿Qué figuras geométricas se forman en el interior del cuadrilátero? b. ¿Qué elementos son homólogos en las figuras formadas? Escribe al menos cuatro. c. ¿Son congruentes? ¿Por qué?
3.
Resuelve los siguientes problemas. a. El pentágono regular ABCDE está inscrito en una circunferencia de centro O. ¿Cuál es la medida de los ángulos centrales AOB, BOC, COD, DOE y EOA? ¿Y de los ángulos OBC y CDE? D C O
E
B A b. Sean ABCD un cuadrado y ABP un triángulo equilátero. ¿Cómo podrías verificar que los triángulos APD y BPC son congruentes? D
A
C P
B Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
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Transformaciones isométricas y congruencia de figuras planas Al aplicar una transformación isométrica a una figura plana, la figura resultante tiene la misma forma y tamaño que la original, y se denomina figura homóloga.
Para grabar Ejemplo:
Si se tienen dos figuras geométricas y después de aplicarle a una de ellas una o más transformaciones isométricas se obtiene la otra, entonces se dice que tales figuras son congruentes.
Y
2
1,5
1
Figura 1 0,5
–3,5
–4
–3
–2,5
–2
–1,5
–1
0
–0,5
X
–0,5
–1
Figura homóloga
1.
–1,5
Analiza cada situación. Luego, responde. a.
¿Cuáles son las coordenadas de la figura 1 y de la figura 2?
Y D Figura 1 C
2
¿Qué transformación se aplicó sobre la figura 1 para obtener la figura 2?
1
A
B
0 –2
–1
0
B' Figura 2 A'
1
2
X
¿Son congruentes la figura 1 y la figura 2? ¿Por qué?
–1
–2
C'
D'
b.
¿Qué transformación se aplicó sobre la figura 1 para obtener la figura 2?
Y 4
3
2
Figura 1
¿Son congruentes? Justifica.
Figura 2
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–2
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3
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Para grabar Utilizando transformaciones isométricas es posible obtener una figura geométrica congruente a otra dada. Traslación: al trasladar el triángulo ABC, se obtiene el triángulo A’B’C’ congruente, es decir, ABC A’B’C’.
Rotación: al rotar el triángulo DEF, se obtiene el triángulo D’E’F’ congruente, es decir, DEF D’E’F’. Y
Y
Reflexión: al reflejar el triángulo GHI, se obtiene el triángulo G’H’I’ congruente, es decir, GHI G’H’I’. Y
F
E’
C
I’
I
E
B
X H’
A X
F’
D’
X
C’
H
D G’
G
B’ A’
2.
Resuelve los siguientes problemas. a. Si A(1, 1), B(5, 4), C(3, 5) y D(1, 5) son vértices de un cuadrilátero y se aplica RX(x, y) sobre el cuadrilátero, ¿cuáles son las coordenadas de la figura resultante? ¿La figura que se obtiene es congruente a la figura original? ¿Por qué? Y
0
X
b. Si los vértices de un triángulo son A(3, 5), B(–7, 8) y C(0, 0) y además A’ = R(O, 90°)((3, 5)), B’ = RY((–7, 8)) y C’=(Tu (0, 0)), con u = (1, –2), ¿qué figura geométrica se forma al unir los puntos A’, B’ y C’? ¿Es congruente al triángulo ABC?
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Postulados de congruencia de triángulos Hay postulados (según la RAE, son supuestos que se establecen para fundar una demostración) que establecen si dos triángulos son congruentes sin necesidad de verificar que sus tres lados y sus tres ángulos lo sean. Por lo común, basta con asegurar la congruencia de tres de estos seis elementos.
Para grabar
AB DE Para determinar la congruencia entre triángulos no necesitas comprobar que todos sus elementosBChomólogos lo sean. Muchas veces solo necesitas EF comparar algunos de ellos utilizando un postulado de congruencia. AB DE AB DE AC DF Postulado LLL (lado - lado - lado): dos triángulos son congruentes si Postulado LAL (lado - ángulo - lado): dos triángulos son congruentes BC EFentre ellos respectivamente EF ABCy ∆DEF comprendido tienen sus tres ladosBC respectivamente congruentes. si tienen dos ∆ lados el ángulo AC DF AC DF Si AB DE congruentes. Si CA FD BC EF
∆ABC ∆DEF
AC DF
CA FD
∆ABC C∆DEF BCA EFD CA FD
BC EF
BCA EFD ∆ABC ∆DEF
AB DE F BC EF
C ∆ABC ∆DEF BCA EFD
AB DE
AC DF
BC EF ∆ABC ∆DEF BCA EFD ∆ABC ∆DEF AC DFE CA FD B D BC EF ABC DEF BCA EFD ∆ABC ∆DEF A ∆ABC ∆DEF BC EF CA FD BC EF ALA (ángulo BCA -lado EFD - ángulo): dos triángulos ABC DEF Postulado ∆ABCy ∆DEF son congruentes si tienen dos ángulos el lado comúnaBCA ellos EFD ABC DEF ∆ ∆ BC EF BC EF respectivamente congruentes. Si ABC DEF BCA EFD CA FD ∆ABC ∆DEF BC EF ∆ABC ∆DEF BC EF BCA EFD ABC DEF CA FD BCA EFD ∆ABC ∆ F DEF BC EF BC CEF ∆ABC ∆DEF CA FD BCA EFD BCA EFD ∆ABC ∆DEF BC EF ∆ABC ∆DEF CA FDE BCA EFD B D ∆ABC ∆DEF BC EF A BCA EFD
1.
CA FD F
BC EF
BC EF ABC DEF AB DE AB DE ∆ABC ∆DEF BC EF A
E
BC EF EFB ABC D DEF BCA BC EFD DF BC EF AC DF ∆ABC AC ∆DEF
Ejemplo:
BCA ∆ABC EFD ∆DEF CA∆ABC FD ∆DEF ABC isósceles deBC base y DEF FD ∆isósceles CAbase FD . ABC ∆deDEF CA EF F C EFD CA FDBCA EFD BCABCA EFD EF 1,8 BCcm EF BC 40°BC ∆DEF 40° EF 1,8∆ cmABC AB DE ∆ABC ∆DEF BCA ∆ABC EFD ∆DEF BC EF ABC DEF ∆ABC ∆ABC DEF DEF A B D AC DF BC EF BC EF E En este caso, ABC DEF, ya que: ∆ABC ∆DEF BCA EFD BCA EFD CA FD ∆ABC ∆DEF ∆ABC ∆DEF BCA EFD Postulado CA FD CA FD LAL BC EF BC EF BC EF ∆ABC ∆DEF ∆ABC ∆DEF BCA EFD BCA EFD Analiza cada par de triángulos y verifica cuáles son congruentes entre sí. Para ello, utiliza regla y transportador. ABC DEF ∆ABC ∆DEF ∆ABC ∆DEF C a. b. BC EF C B F F BCA EFD
72°
∆ABC A ∆DEF CA FD BC EF A
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D
E
45°
45°
E
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BCA EFD ∆ABC ∆DEF
72°
B
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Verifica en qué caso los triángulos son congruentes. Para ello, utiliza uno de los postulados de congruencia y completa con o según corresponda. a.
c. A
Z
F
72°
D
B
Y C
70°
D
E X
DEF
YZX
CBA
D
b. A
58°
C
B
M
DAB
3.
O
d.
57°
DAB
DCB
N
P
MPO
NPO
Analiza la información del recuadro. Luego, responde. Dados el ABC y el DEF rectángulos en C y F, respectivamente. A
D
F
AC DF FE CB B AB AC DF AC
C
E
FE CB DF a. Si AB DE , ¿es cierto que el ABC DEF? ¿Por qué? AC
FE
CB, ¿ABC DEF? ¿Por qué? b. Si DF AC DF DE FE CB
FE ABse cumplen las condiciones a y b, ¿los triángulos ABC y DEF son c. Y si CB AC congruentes? ¿Por qué? DF
4.
DE Analiza la veracidad de cada enunciado. Luego, dibuja en tu cuaderno un FE para cada caso. ejemplo CB a. Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres ángulos respectivamente congruentes. b. Dos triángulos son congruentes si sus respectivos lados son congruentes. c. Dos triángulos son congruentes si tienen un par de ángulos interiores respectivamente congruentes y los lados correspondientes opuestos a uno de estos ángulos miden lo mismo Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
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Congruencia y elementos secundarios en el triángulo En el triángulo, aparte de los vértices, ángulos y lados, es posible identificar distintos elementos, tales como alturas, transversales, bisectrices, simetrales y medianas. Por ejemplo, si se trazan algunos de estos elementos en un triángulo equilátero, se puede observar lo siguiente: Bisectriz que pasa por el vértice B (bB).
Altura trazada desde el vértice C (hC).
C
tA
bB hC
Transversal de gravedad que pasa por el vértice A (tA).
A
Si se traza la altura que pasa por el vértice B, ¿coincidirá con la bisectriz trazada? ¿Qué pasa con los otros elementos? ¿Coinciden?
Para saber más Incentro:: punto donde se intersectan las bisectrices de un triángulo. Ortocentro: punto donde se intersectan las alturas de un triángulo. Centro de gravedad: punto donde se intersectan las transversales de gravedad de un triángulo. Circuncentro: punto donde se intersectan las simetrales de un triángulo.
B
Para grabar Elementos secundarios del triángulo: 1) Bisectriz: es la recta que divide a uno de sus ángulos interiores en dos ángulos congruentes (de igual medida). 2) Altura: es el segmento de recta que contiene a uno de sus vértices y que es perpendicular al lado opuesto o extensión de este. 3) Transversal de gravedad: es la recta que pasa por un vértice y por el punto medio del lado opuesto a dicho vértice. 4) Simetral o mediatriz: es la recta que intersecta a un lado del triángulo en su punto medio, formando un ángulo recto. 5) Mediana: es un segmento de recta que une los puntos medios de dos de sus lados.
1.
Ejemplo: bisectrices de un triángulo. C γ γ
bB
bA
β β
α α A
B
bC
Aplica uno de los postulados de congruencia. Luego, completa con o según corresponda. CD a.
C
CD bisectriz del ángulo ACB. BD ACD BCD
b. BD transversal de gravedad. ABD BCD
C 60°
D
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A
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Analiza la siguiente información. Luego, responde. En el triángulo rectángulo ABC, se traza la altura que pasa por el vértice C. C
A
D
B
a. Si se cumpliera CA BC , ¿qué tipo de triángulo es el ABC? b. Si se cumpliera ADC BDC, ¿cuál sería la medida del ABC? c. Si el triángulo ABC es rectángulo isósceles, ¿qué postulado usarías para establecer que ADC DBC?
3.
Evalúa si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). Para ello, escribe V o F según corresponda. a. Si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos a estos lados son congruentes. b. Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces los lados opuestos a estos ángulos son congruentes. c. Si dos lados de un triángulo no son congruentes, el ángulo de mayor medida es el opuesto al lado de mayor medida.
Ayuda Recuerda que los triángulos pueden clasificarse según sus lados en: equiláteros (3 lados de igual medida), isósceles (2 lados de igual medida y uno de distinta medida), escalenos (3 lados de distinta medida), y según sus ángulos interiores en: acutángulos (sus ángulos interiores son agudos), rectángulos (uno de sus ángulos interiores mide 90°) y obtusángulos (uno de sus ángulos interiores es obtuso).
d. La altura correspondiente a la base de un triángulo isósceles es también mediana y bisectriz. e. En un triángulo rectángulo, la transversal de gravedad del ángulo recto mide lo mismo que la hipotenusa. f. La altura de un triángulo pasa por el punto medio de un lado. g. Dos triángulos isósceles que tienen las bases congruentes y las alturas congruentes son congruentes. h. Al trazar las medianas en un triángulo se forman cuatro triángulos congruentes.
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Demostraciones y congruencia Con su libro Elementos, Euclides (siglo III a. C.) fue el primero en presentar la Geometría de una manera organizada y lógica, con base en definiciones y postulados o axiomas. En él se demuestran los teoremas mediante el razonamiento deductivo.
Para grabar Los elementos que intervienen en una demostración:
Ayuda En las proposiciones condicionales p⇒q, p es la hipótesis y q es la tesis. Por ejemplo, en la proposición: “Si un triángulo es equilátero, entonces sus ángulos son congruentes”. Hipótesis: un triángulo equilátero (lados de igual medida). Tesis: sus ángulos son congruentes.
AC BC AC BC Ejemplo:
AC BC CD yBCD es punto medio ACAB CD Teorema: Si en el ABC, CD AC BC Teorema: es una proposición que puede ser BC AC.AB CDCD ⊥ AB de AB, entonces, AC BC demostrada. CD Hipótesis: ⊥ y D es punto medio ABAB CD CDCD CD ⊥ ABEn ABC, Hipótesis: datos del enunciado del teorema que de AB ⊥ ABBC AB ABAB CDAC AB. se asumen verdaderos. C CD BCCD ACAB Tesis: . ⊥ AB ⊥ CDAC ABBC AC ⊥ BC AD BD Tesis: lo que se quiere demostrar. AB CDBD AB ABAD ACBD BC AD Para llegar de la hipótesis a la tesis se utiliza un procedimiento llamado demostración. ABBC AC BC AC BC AD BD ACAC BC Demostración: es una sucesión finita de ⊥ ABAD BD CDBD AD BD CDAD afirmaciones fundamentadas por definiciones, AC BC AB AB axiomas y postulados ligados mediante un CDD B AC BC A AC BC razonamiento lógico que conduce a la tesis. CD ⊥ AB AC BC Demostración: como CD AB, entonces AB AD BD m(ADC) = m(BDC) AB= 90°. ⊥ AB CD es lado CDAdemás, AC BC común y como D es punto medio, se tieneAB que CD ⊥ AB AB AD BD. Por lo tanto, usando el postulado de AB que:AC BC CD ⊥ AB congruencia LAL, se tiene DCA DCB, entonces . AB AC ACBC ADBCBD AC BC CDBD 1. Identifica tesis e hipótesis en los siguientes enunciados. AD Para ello, destaca con AD BD color rojo la hipótesis y con azul la tesis. AB a. Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
CD ⊥ AB
AB b. La diagonal de un cuadrado lo divide en dos triángulos isósceles congruentes. AC BC c. Al trazar cualquier altura en un triángulo equilátero, se forman 2 triángulos AD BD congruentes. d. Las alturas correspondientes a los lados congruentes de un triángulo isósceles son congruentes.
2.
Completa la tabla. Para ello, guíate por el ejemplo.
Proposición Ningún triángulo tiene dos ángulos rectos.
Forma condicional Si un polígono es un triángulo, entonces no tiene dos ángulos rectos.
Todo segmento es congruente consigo mismo. Las diagonales de un rectángulo son congruentes. Las alturas correspondientes a los lados congruentes de un triángulo isósceles son congruentes.
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Analiza la siguiente información. Luego, responde. Se quiere demostrar que la altura correspondiente a un triángulo isóscelesAB es también transversal de gravedad. Hipótesis: AB sea ABC isósceles de base AB y altura CM. AC BC AB de gravedad. CM Tesis: CM es transversal
C
BC ABAM BM que AC BC comoCM , setiene Demostración: ABC es isóscelesAC debase AM BMCM CA CAMAM CBM y AC BC. AB BM AB CA BD BM (CM es perpendicular CA como CMAM - Además, es altura a BC AC
AB),BD entoncesAB se BD BMC. AM BM CA BCque: AMC ACtiene AC BC AB CMla suma de - Por los ángulos se tiene que: BM interiores AMBD AM BM CAACM BCM. CM CM A B M AC BC CA yBC AB CA BC Luego, como CAM CMB, AC AC ACM BCM. UtilizandoBD criterio de congruencia ALA, se tiene AM BM BD BD AM BM que AMC BMC y, por lo tanto, y es transversal de gravedad del segmento AB. CM AM BM CA CA BC de congruencia. Realiza una nueva demostración otroAC criterio CAutilizando BD AM BM BD BD CA BD
4.
AB AB Analiza cada proposición. Luego, demuéstralas. CM CM a. La bisectriz del ángulo determinado por los lados congruentes de un triángulo isósceles divide al triángulo en AC BC BC AC dos triángulos congruentes. AM BM AM BM CA ABC isósceles de base CA. Hipótesis: BD bisectriz del ABC. BD Tesis: C Demostración:
B
D A
b. Los triángulos DCA y ECB son congruentes. C
Hipótesis: Tesis: Demostración:
A
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n de prob ció
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uac eval ión
evaluación formativa
Analizando disco
Congruencia de figuras planas.
1 Completa en cada caso con los elementos homólogos correspondientes. a. A E CAB C ECD ABC B
D
AB CD EC OM
O
b.
P
Q
PQ NOM RQ AB
M
N
CD MNO EC R
OM PQ RQ
AB AB CD CD EC EC OM OM PQ PQ RQ RQ RPQ AB AB CD CD EC EC OM OM PQ PQ RQ RQ
2 Analiza la figura. Luego, responde. a. ¿Qué condiciones se deben cumplir para que los 8 triángulos pintados sean congruentes? Justifica utilizando transformaciones isométricas.
b. ¿Qué condiciones deben cumplir los triángulos para que la figura del centro sea un octágono regular? Explica.
3 Evalúa si cada una de las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). Para ello, escribe V o F según corresponda. a. Dos triángulos rectángulos con un cateto respectivamente de igual medida son congruentes. b. Si dos triángulos rectángulos tienen la hipotenusa en común, son congruentes. c. Si dos triángulos rectángulos tienen dos ángulos respectivamente de igual medida, son congruentes. d. Si dos rectángulos tienen dos lados correspondientes de igual medida, son congruentes. e. Si en un triángulo equilátero se traza una simetral, esta determina dos triángulos congruentes.
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Demostraciones y congruencia de triángulos.
4 Ejemplifica cada una de las siguientes proposiciones. Para ello, dibuja. a. En todo triángulo isósceles, la transversal de gravedad y la altura con respecto a la base son congruentes.
b. En un triángulo equilátero de lado a cm, la medida de una de sus alturas es
a 3 cm. 2 AD CF BE AB
a 3 2 Para 5 Crea una demostración en cada caso. AD CF ello, BEexplicita cada uno de los pasos descritos. a. Si el ABC es isósceles de base AB, entonces AGD BFE. Hipótesis:
C
Tesis: Demostración: D
E
a 3 2 b. Si el ABC es equilátero, E y F son puntos medios y AD CF BE , entonces ADF BED.
A
F
G
B
AB
C
Hipótesis: Tesis: Demostración:
F
A
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Para saber más Los ángulos interiores de los rombos son distintos de 90°. Lo anterior también sucede en los romboides. En tanto, en los rectángulos y cuadrados los ángulos interiores miden 90°.
1.
Congruencia y paralelogramos Los criterios de congruencia de triángulos son muy importantes para organizar los argumentos de una demostración. Incluso, para deducir propiedades de figuras que no son triángulos. Observa como se demuestra que los lados opuestos de cualquier paralelogramo AB CD yDA son BC congruentes. AB CD yDA BC Hipótesis: ABCD paralelogramo. AB AB CD yDA BC D C BC BC AB CD CDyDA yDA BC AB CD yDA BC AB CD yDA AB BC CD yDA AB CD yDA BC β2 AB CD yDA BC BD AB CD yDABC BC . Tesis: CD BC AB yDA CD AB yDA β1 AB CD yDA BCAB CD yDA BCBD BC AB CD CD AByDA yDA BC BD AB BDyDA al BD AB CD BCtrazar Demostración: diagonal AB BC AB CD laCD AByDA yDA BD BC en el AB BD CD yDA BC CD AB paralelogramo ABCD, quedan determinados CD AB BD AB AB BD CD yDA BC AB los triángulos ABD y CDB. Luego, α2 BD CD AB CD DA CD AB CD DA BD AB α α1 β , ya que son ángulos alternos 1 2 AB DA CD DA BC DA CD DA BC internos entre AB y CD, que son paralelos. A B DA BC BD BCmanera, α2 β1, ya queCD De igual son BC DA BC BD CD DA BC, que son paralelos. ángulos AB BDalternos internos entre DA yBD BC BD AB Además, BD es un DA BC triángulos. Luego, utilizando el criterio lado común de ambos ALA de AB congruencia BC AB BD CD AB AB BD CD BCtiene BDque ABD y CDB son congruentes. Por lo tanto, como de triángulos, se AB CD AB CD CDson opuestos a ángulosBD CD AB y CD congruentes, resulta: AB CD. Análogamente, BD AB AB AB CD AB CD , como D A AB BC CD AB CD se quería demostrar. CD CD DA BC AB CD CD DA AB CD DA BC AD D D BC BC AB CD AABC AD CD AB CD Para grabar AB D CD A BC AD AAE AD D AD BC AE CD D A de BCcuatro ladosAD Un paralelogramo esAB un polígono con dos pares de lados opuestos paralelos. LosAE postulados DA AD BC AE AE DA AD BC deAD congruencia de triángulos permiten lasAE características y propiedades asociadas a cada reconocer AD AE paralelogramo. AE AD AE AE Romboide: paralelogramo Rectángulo: Cuadrado: AE Rombo: yDA BC AB CD paralelogramo que tiene de lados congruentes paralelogramo que paralelogramo que tiene BC opuestos AB CD sus lados opuestos y yDA y ángulos tiene sus cuatro ángulos sus lados y ángulos CD yDA BC sus ángulosBD opuestos congruentes. interiores congruentes. congruentes. AB congruentes. AB CD yDA BC AB BD CD DA
AB
BC
CD
BD
DA
BC AB completa Analiza el siguiente paralelogramo. Luego, según corresponda. Justifica en cada caso. BD CD C D AB CD AB ABCD paralelogramo. DA BC CD AB CD a. AD
E
DA BC AE b. BCD AD
A
B
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c.
AE
d.
ABC ¿Es cierto que ABE CDE?
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2.
2 2
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5 5
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57 7
Demuestra cada una de las siguientes proposiciones. Para ello, utiliza los criterios de congruencia de triángulos. a. Las diagonales de un rombo se intersectan en el punto medio. D
C Hipótesis: Tesis:
O
Demostración:
A
B
b. Las diagonales de un rectángulo son congruentes entre sí. D
C Hipótesis: Tesis: Demostración:
A
c. D
B
G
H
A
3.
C
F
E
Hipótesis: ABCD rectángulo; además, E, F, G y H son puntos medios. Tesis: EFGH es un rombo. Demostración:
B
Demuestra las siguientes proposiciones en tu cuaderno. a. Si cada diagonal de un paralelogramo bisecta el correspondiente ángulo del vértice, entonces el paralelogramo es un rombo o un cuadrado. b. Si las diagonales de un paralelogramo son congruentes, entonces el paralelogramo es un rectángulo o un cuadrado. Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
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evaluación
contenido
resolución
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Congruencia y trapecios
Desafío
Un trapecio isósceles es un cuadrilátero que posee solo un par de lados paralelos, y AB las medidas de sus lados no paralelos son iguales. Observa cómo es posible demostrar que las diagonales de un trapecioCD isósceles son de igual medida. AC BD D C AB AB sea AB AB AC Hipótesis: ABCD, trapecio isósceles
Investiga cómo se demuestra que los ángulos basales agudos de un trapecio isósceles son congruentes. Luego, demuestra que los ángulos basales obtusos del trapecio isósceles también son congruentes.
de bases CD AB CDAB y CD.
CD
BD
BD CD CD AB BD AC BDAC Tesis:AC , lados homólogos. BD AC AC BD ACAC AC Demostración: se trazanCD las diagonales BD AC . AC y BD BD AC BD
AC BD
AB
AC
AD
A BD AB
B
DE
AB trapecio AB BD ABCD AC ABBDes un Como isósceles de bases AB y CD, se tiene que DA BC y DAB ABC. AB AD BD ADAB AD AD AC BD AB AD DE que AB es lado común enDE DE el ABD SiAD además DEconsideras AC y en el ABC, por CD postulado seDA tiene: si los triángulos son congruentes, DE BCABC DE DA AD BAD. Luego,DA DALAL BC BC BD BC BD. AC los lados correspondientes también lo son. Es decir, DA BC DA BC DE AB AC ¿Puedes encontrar otra manera anterior? DA BCde demostrar la proposición AD BD DE Para grabar AB DA BC El trapecio es un cuadrilátero con solo un par de lados paralelos. LosAD lados paralelos se llaman bases y la distancia entre ellos, h, altura. DE Un trapecio con dos ángulos interiores rectos se Un trapecio que no lados de igual medida ni ángulos DAtiene BC llama trapecio rectángulo. rectos se llama trapecio escaleno. D
C
D
AB
A
1.
CD
A
C
B
B
AB AC BD Analiza la siguiente figura. Luego, completa según corresponda. Justifi CDca en cada caso. AC D
AC BD BD ABCD trapecio isósceles. AC AB BD a. AD
C E
AB DE b. BEC AD DA BC c. DE A
B
d.
DA BC ABE
¿Es cierto que BCE ADE? ¿Por qué?
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1 1
2.
Demuestra cada una de las siguientes proposiciones.
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Hipótesis:
a. Los ángulos interiores opuestos de un trapecio isósceles BF son suplementarios. AE AE BF FA CB FA CB
Tesis: Demostración:
ABMNDNMB
ABMNDNMB
MN
MN
AB CD
2 2
AB CD
CD FE
CD FE AB b. Si ABCD es un trapecio isósceles de bases AB y CD, el punto de intersección de las diagonales CD del trapecio es punto medio de la recta paralela a las bases del trapecio que lo contiene.
Hipótesis: Tesis: Demostración: AE BF FA CB ABMNDNMB MN
c. F
E
D
AE BF FA CB AE BF B ABMNDNMB FA CB
A
MN ABMNDNMB MN AB CD AE BF
3.
AB CD FE
AB CD
C
Hipótesis: ABDE rectángulo, CD FE AE BF AB Tesis: FA CB CD ABMNDNMB Demostración: MN AB CD CD FE AB CD BF BF AEAE
Resuelve el siguiente problema. FA CB
CD AB FE CB CB FAFA ABMNDNMB ABMNDNMB Si ABCD es trapecio isósceles de bases AB y CD, AB = a cm, CD = b cm, ABMNDNMB // y M, N son puntos medios, ¿cuál es la medida de MN? CD MNMN
D
AB CD
ABAB CD CD
CD FE
FE FE CDCD
AB
ABAB
C
CD M
A
CDCD N
B
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evaluación
contenido
resolución
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Aplicaciones de la congruencia de figuras planas Una de las aplicaciones puede observarse en una cancha de fútbol. En ella, es posible identificar diversas figuras geométricas congruentes. Marca con diferentes colores al menos 3 pares de figuras geométricas congruentes que se representen en la cancha de fútbol.
Para grabar En una aplicación que tenga relación con la congruencia de figuras planas, en particular en los polígonos, puedes utilizar transformaciones isométricas según sea el caso y, si es posible, descomponer la figura en triángulos y usar los postulados de congruencia según corresponda.
1.
Ejemplo: es posible generar un hexágono regular aplicando una transformación isométrica de la siguiente manera. Rotación de 60° en torno al punto O. 0
0
0
Triángulo equilátero. 0 Hexágono regular.
Analiza los siguientes polígonos. Luego, responde. D
D’ E’
E C
C’
Desafío Construye en tu cuaderno un dodecágono regular de lado 4 cm utilizando una transformación isométrica adecuada.
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0
A
A’ B
Si ABE A’B’E’, BCE B’C’E’ y CDE C’D’E’.
B’
¿Es cierto que los polígonos ABCDE y A’B’C’D’E’ son congruentes? Justifica.
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Analiza la siguiente información. Luego, responde.
ABCD es un trapecio isósceles, tal que AB = a cm y CD = b cm. Al aplicar una rotación en torno al punto medio O del lado BC, se observa lo siguiente: D
A Rotación de 15° en torno al punto O.
C B'
A’
O B C'
Rotación de 180° en torno al punto O.
D’
Rotación de 90° en torno al punto O.
a. Si la altura h del paralelogramo AD’A’D de la figura anterior mide 10 cm, ¿cómo expresarías el área del trapecio ABCD en términos de a y b?
b. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área del trapecio ABCD de altura h?
3.
Resuelve el siguiente problema. Sean ABC y DEF equiláteros congruentes de 6 cm de lado cada uno. Si el perímetro del triángulo equilátero GBF es 9 cm, ¿cuál es la suma del perímetro de las regiones pintadas?
C F
A
G D
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n de prob ció
r r
¿Qué es evaluar? Evaluar consiste en emitir juicios de acuerdo a un criterio conocido y válido.
¿Qué tengo que hacer para evaluar? Analizar el objeto o situación que se va a evaluar. Definir el o los criterios de evaluación.
Etapas de la resolución de problemas. Paso 1: Comprende el enunciado. Paso 2: Planifica lo que vas a realizar. Paso 3: Resuelve el problema. Paso 4: Revisa la solución.
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en co n t i do resol u
uac eval ión
Trabajo de habilidades
Resolución de problemas D C 1 Analiza la resolución del siguiente problema. DE Si ABCD esDE un paralelogramo, DE CF/////DE /DE, entonces se es altura y CF CF / /DE cumple que DE DEAED BFC. ¿Es DE válida estaCF proposición? CF DE DE CF DE A E B F AB BC CD CD AByy AD AD BC CD AB y AD BC Paso 1 Comprende el enunciado DEDE ⊥ ⊥AB CF CF AB ⊥ AB una vez ¿Qué se quiere dar CF a conocer resuelto el problema? DE CF CF / / /DE AD BC BCQue AD y y BC BC DA DA la demostraciónBCpresentada válida./DE AD y BCesDA /DE DEDEdel problema? ⊥ ⊥AABB CF CF ¿Qué información entrega elDE enunciado ⊥ /AB CFCF DE DE CF CF DE DE es altura y // . EF EFABCD CD CD paralelogramo CF / /DE EF CD CF / /DE CF DE BC BC CD CD AB AB y AD y AD CF CF DE DE DEDE DE DE DE Paso 2 Planifica lo que vas a CF realizar BC CD yDE ADCF ⊥ AB ⊥ AB CF BC BC AD AD CFCF / /DE / /DE CFque ADAB CF DE Analiza el objeto o BC situación se va a evaluar. ⊥ CF AB BC BC AD AD y BC y BCDADA CF CF DE DE DE DE CD AB y AD BC CF DE Como se trata de un paralelogramo, se tiene que: CD AB y AD BC . BC AD DA ⊥ A⊥BAB DE Además, CF CF // DE , entonces, . CF CFy⊥BCABCF CF ⊥ AB ⊥BC B AD EFyCD EF AB de Aevaluación. AB y AD yCF AD BC BC BCCDDABC AD y BC DA Define elCD o CD los criterios CF DE DEque AED BFC. ⊥ ⊥ AB EF CD CF CF ⊥ ABCF Para evaluar la AB proposición se CF debería demostrar CF ⊥ AB CF DE BC BC AD AD AD AD BC BC y BC y BCDADA EF CD EF CD Paso 3 Resuelve el problema BC AD DE DE ⊥ A⊥BAB CF CF CF DECF CF CF DE Verifica si la proposición es o no válida. CF DEBC AD EF CD EF CD BCelementos AD de la figura, Apoyándose en argumentos teóricos sobre algunos CF CF DE DE CF DE es posible establecer que, efectivamente, se cumple de CFlacongruencia DE DE DE triángulosBC pedida. BC AD AD DEDE DE CFCF/ //DE /DE Explicita de manera coherente los argumentos el valor CF CF DE DE DE CFsobre CF / /DE / /DE CFDE/ /DE DE atribuido a la solución de la situación planteada. DE DEDE CF / /DE DEDE DE CFCFDEDE CF / /DE / /DE CF /CF /DE DE es altura y CF CF DE // DE . - Hipótesis: ABCD paralelogramo, CF DE AB CD CD AB y yAD AD BCBC DE DE DE - Tesis: AED BFC. CF DE D AB AB BC BC C CDCD y AD y AD ⊥AB CD AB DE CFCF⊥ ABy AD BC DE - Demostración: CF CF DEDE DE DEDE CFDE BC CD AB y ADCF ⊥ AB ⊥ AB CF ⊥ AB CF 1. CF BCBC AD ADy/BC y /DE BC//DA DA , por CF /BC/DE CD CD AB AB y AD y AD BC CD AB y AD BC CF CF / /DE /DA /DE AD AD BC BC y BC y BCDADA ser ABCD CF / /DE CF ⊥ AB BC AD BC ⊥A CF CF⊥ A BDE Byparalelogramo. DE DE DE ⊥ ⊥ CF CF AB AB ⊥ CF AB DE DE BC AD y BC CF DA ⊥ A⊥BAB CF , por 2. EF ⊥CD CFEFCD ABCF DE ser DE CFDA DE CF CF / /DE /DE /DE yAD BC BCAD BC AD y BC y BC DA BC DA CF CF DE altura y // . B EF CD EF CD EF CD BC CF ⊥ A CD AB yCF ADDE CFCF DEDE CD AB y AD BC DE DE ⊥ ⊥ CF CF A B A B ⊥ CF A B AB AB BC ABCEF CDCD y AD y AD F 3. CF EFCD paralelogramo, CDBCE CF CF DE DE B DE CF BCBC AD AD⊥ AB CD AB y AD CF ⊥ AB CF DE DE // y // . por ser CF EF CD EF CD EF CD ⊥ AB ⊥ AB ⊥ AB CF DE CF CF BC BC AD AD BC AD BC AD yCF BC DA CFCF DE DE BC AD y BC DA CD AB AB yAD AD yDE AD BC BC CF CF DE DA DE .DA 4. De 3. seCD infi ere CF BC BC AD y BC y BC BC DA AD CF CF DE DE CF DECF ⊥ AB BC AD y BC CF ⊥ A B paralelas. ⊥ ⊥ CF AB AB BC BC AD AD BC AD 5. DAE CF CBF, por ser correspondientes entre ⊥ A⊥BACF CF CF B ⊥ AB CF DE EF CD EF CD BC AD AD y BC yDE BC DA DA CF CF DE DE el complemento CF 6. EDA BC FCB, por ser ambos de DAE y CBF, EF CD EF CD EF CD CF DE respectivamente. CF DE ⊥ CF BADE B CFCF CF A⊥ DE CF DE BC AD 7. AED BFC, por postulado LAL: BC AD (de 1), EDA FCB EF EF BCCD BC CD AD AD BC 4). AD (de 6), CF DE (de CF DE CF CFCF CF DE DE DE DE CF DE BC BC AD AD Paso 4 Revisa la solución CF CF AED DE DE BFC, se deduce que la proposición es válida. Al demostrar que
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2 Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate AC por BC los pasos estudiados anteriormente.
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C
En el triángulo ABC de la figura, AC BC. Si CD es bisectriz del BCA, entonces se afirma que: PQ CD 1) El triángulo ABC es equilátero.PQ 2) ADC BDC.
QR
QR
¿Ambas afirmaciones son válidas? A
Paso 1 Comprende el enunciado
D
B
¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema? ¿Qué información entrega el enunciado del problema?
Paso 2 Planifica lo que vas a realizar Analiza el objeto o situación que se va a evaluar.
Define el objeto o los criterios de evaluación.
Paso 3 Resuelve el problema Verifica si la o las afirmaciones son o no correctas.
Explicita de manera coherente los argumentos sobre el valor atribuido a la solución de la situación planteada.
Paso 4 Revisa la solución
AC BC Resuelve en tu cuaderno el siguiente problema. 3 CD
AC BC BC AC CD CD
PQa PQ lo intersecta en el punto M. La El triángulo PQR es isósceles de base PQ. La altura correspondiente del triángulo en el punto S. El ángulo bisectriz del RPQ intersecta a esta altura QR en el punto O y al lado QR QR SOM mide 115°. Determina las medidas de los tres ángulos interiores del triángulo PQR. Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
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evaluación sumativa
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Verificando disco
I. Lee atentamente cada una de las preguntas y marca la BC alternativa correcta. BC 1 ¿Cuándo dos figuras planas son congruentes? A. B. C. D.
Si tienen la misma forma. Si sus áreas son equivalentes. Si la suma de sus ángulos interiores es igual. Si una es transformación isométrica de la otra. E. Ninguna de las anteriores.
2 Si los cuadriláteros ABCD y PQRS son congruentes, ¿cuál es el lado homólogo al lado BC? QR PQ D
C B
S
R
RS SP
P BC DB ADBC BC A BC BC QR TN PQ QR QR QR QR A. PQ PQ PR TM PQ PQ B. PQ RS RS NM QR C. RS RS RS SP D. SP BC SP SP SP QS E. QS ACDF QS QS QS AD DB AD BC DB AD DB BC 3 Si PQR TNM, entonces ¿cuál de las AD BC DB AD DB PQ TN PQ TN QR siguientes TN PQ TNproposiciones es FALSA? QR PQ QR TN PQ PR TM PR M PQ RTM PR TM PQ PR PQ TM PR TM QR NM QR NM RS QR NM RS QR RS NM QR NM BC BC SP BC SP BC SP BC N ACDF ACDF QS ACDF QS ACDF QS ACDF P Q T DB AD AD AD DB DB PQ TN PQ TN TN A. PQ PR TM B. PR TM PR TM C. QR NM QR QR NM NM D. BC QRP NMT BC E. BC PQR TMN ACDF ACDF ACDF QS
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Q
BC QRQR QR 4 Si se quiere construir un rectángulo congruente PQ PQ dado, ¿qué información es necesaria PQ para a otro RS RS construcción? dicha RS SP SP A. El área del rectángulo. SP B. El perímetro del rectángulo original. QSQS QS C. La medida de las diagonales del rectángulo DB DB ADAD AD DB original. PQ PQ TN TN D. Los ángulos que se forman en la intersección PQ TN deTM sus diagonales. PR PR TM PR TM E. En todos los casos falta información. NM NM QRQR QR NM BC BC 5 Si en la figura, ABC DEF con D BC, ACDF ACDF // , m(BDE) = 80° y m(ACB)ACDF = 40°, ¿cuál es la medida del DEF? A B A. 40° BC B. 60° D E QR C. 80° D. 90° PQ E. No se puede determinar. RS C SP
DC ⊥ ADF
6 QS El triángulo ABC es isósceles de base CB ⊥ AB y las siguientes AD DB. Entonces, ¿cuál(es) deDF afi rmaciones es(son) VERDADERA(S)? PQ TN AB I. ADE PR TM BDE. BD II. AEC BEC. QR NM NT AC III. ADC BDC. BC DE EF C ACDF AB BC CA
E A A. B. C. D. E.
D
B
Solo I. Solo II. Solo III. Solo I y II. I, II y III.
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7 ¿En qué tipo de triángulo se forman dos triángulos congruentes al trazar una bisectriz? A. B. C. D. E.
Isósceles. Escaleno. Equilátero. Rectángulo isósceles. Ninguna de las anteriores.
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10 Dados dos trapecios congruentes se puede afirmar que: I. Sus diagonales respectivas tienen la misma medida. II. Los triángulos respectivos formados al trazar las diagonales son congruentes. III. Sus áreas son iguales.
8 Si ABC es un triángulo cualquiera y D un punto del segmento AB, ¿qué condición se debe cumplir para que ADC y DBC sean congruentes? C
A D B AC AC AC A. AC CB . CB CB B. CB ADCAC sea isósceles. AC C. ABC sea equilátero. AC BDmedio ACpunto BD del segmento D. D BD AB. DClasDC E. BD No están condiciones mínimas de DC congruencia. AB AB DC AB AB CE CE 9 Si en el ABC de la figura, CE es transversal CE EA EA , ¿cuál es la medida del CE de gravedad y CE CE EA ángulo CE x? EA A
A. B. C. D. E.
Solo I. Solo II. Solo I y II. Solo I yAC III. I,AC II y III.CB
AC 11 Si elCB cuadrilátero de la figura es un romboide con AC y BD sus diagonales, ¿cuál(es) de las siguientes relaciones de congruencia es(son) BD DC VERDADERA(S)? D C DC AB I. ABC ADC AB CE E II. AED CEB CE CE EA III. CED AEB A. B. C. D. E.
CE EA Solo I. Solo II. Solo I y II. Solo II y III. I, II y III.
A
B
12 En la figura, EFGH es un rectángulo. Si AHD CFB y DGC BEA, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) VERDADERA(s)? (DEMRE 2006) C
70° 70°
E
B A. B. C. D. E.
20° 40° 75° 90° 140°
x
C
AC
ACD CB
CB
AC
AC
BD
BD
DC
H E
G F
B
A
I. DC AB II. DCB DAB AB CE III. DCG ADG CE CE EA A. B. C. D. E.
Solo CE I.EA Solo II. Solo I y II. Solo II y III. I, II y III.
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Verificando disco DC ⊥ AD
13 En la figura, DC ⊥ AD y CB ⊥ AB . Si DAC BAC, ¿en DF qué orden el triángulo CB ⊥ ABDC ⊥ AD DAC es congruente con el triángulo ABC? DF CB ⊥AB AB A. ACD AB D DF BD B. ADC BD C C. CAD AB NT AC D. DCA NT AC BD DE A EF B E. CDA DE EFNT AB BC CA AC DC ⊥ AD ABDEF, BCDE CA 14 En el triángulo EF y m(DFE) = 50°. CB ⊥ AB ¿Cuál es la medida del AB ángulo BC DEF? CA DF A. 25° AB B. 30° ⊥ DC AD C. 40° BD D. 50° DC ⊥ AD CB ⊥NT AB AC E. 80° CB ⊥ AB DF DE EF AB AB BC CA; E es En el triángulo deDFla figura,
17 Si se aplica una traslación Tu (x, y) con u =(–1, –1) a un triángulo escaleno ABC, ¿qué figura resulta? A. Un rectángulo de igual área al ABC. B. Un triángulo isósceles de igual área al ABC. C. Un triángulo rectángulo de igual área al ABC. D. Un triángulo congruente al triángulo ABC. E. Ninguna de las anteriores. 18 Con respecto a los postulados de congruencia de triángulos, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA? A. Si dos triángulos tienen un ángulo respectivamente congruente, entonces dichos triángulos son congruentes. B. Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivos y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente congruentes. C. Si dos triángulos tienen dos ángulos correspondientes congruentes, entonces dichos triángulos son congruentes. D. Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres ángulos interiores respectivos congruentes. E. Ninguna de las anteriores.
punto medio de AB , y BD es bisectriz del ángulo ABC. Responde las BD preguntas NT AC15 y 16. NT CAC DE EF
y BC CA DE EF AB D AB BC CA x
A
E
B
15 ¿Cuál es la medida del ángulo x? A. B. C. D. E.
60° 80° 100° 120° Ninguna de las anteriores.
16 ¿Cuál es la medida del ángulo y? A. B. C. D. E.
230
15° 30° 60° 90° Ninguna de las anteriores.
19 Si el ABC MNT y además se tiene que m(CAB) = 40° y m(MNT) = 80°, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? DC ⊥ AD C T CB ⊥ AB DF AB A
BD A. B. C. D. E.
B
M
N
NT AC ABC DE EF≅ MNT m (NTM) = 60° AB(TNM) BC CA m = 80° MNT es escaleno
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QP PR BD AD DB 20 En la figura, QRP DFE. Si QP PR , ¿cuánto mide el ángulo FED? BD Q A. B. C. D. E.
62° 64° 74° 106° 116°
58°
R
CF FE ED
DE EA E D CE EB DE EA A
AD DB
N E
90° 100° 120° 130° 140°
30° 50° 60° 70° 80°
DB CD A A. B. C. D. E.
B
30° 45° 60° 90° Ninguna de las anteriores.
25 Los triángulos ABC y BAD son congruentes. ¿Qué dato es necesario para conocer la medida del BEA? C
D E
22 En el triángulo ABC, CBD DBA, QP PR = 50°. ¿Cuál es la m(CAB) = 70° y m(BCA) medida del ángulo x? BD C AD DB A. B. C. D. E.
C
xCE EB DE EA A
CE EB
40°
A. B. C. D. E.
EDE EA
AD DE EC CB
CF FE ED 21 En el triángulo de la figura, DEF MNF. AD DB ¿Cuál es medida del ángulo EFD? DB CD F
D
D
F AD DB P
M 50°
24 Si ABCD rectángulo y AD DE EC CB , ¿cuál es la medida del x? CE EB
AD DE EC CB D EB CE x EA DE CE EB DE QP EA A PR
A A. B. C. D. E.
B
m(BCA) QP PR = 40° m(BDA) = 40° BD m(BAD) = 40° AD DB m(CAE) = 40° AD DE EC CB m(ABD) = 90° CE EB
A CF FE ED BD B DEABC, EA AEF BEF. ¿Cuál(es) de las 26 En el AD DB en C, AD DB. 23 El triángulo ABC es rectángulo siguientes rmaciones CE EBafi DE EA A es(son) correctas(s)? Si m(CAD) = 50° y DB CD, ¿cuálAD es la DE EC CB C I. CF FE ED medida del ángulo DCB? CE EB II. AD DB C DE EA III. DB DBF DAF CD F CE EB DE EA A A. Solo I. CF FE ED E B. Solo II. A D B AD DB C. Solo I y II. D. Solo II y III. DB CD A. 5° A B D E. I, II y III. B. 20° C. 25° D. 30° E. 40° Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
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evaluación sumativa
II. Lee atentamente los problemas. Luego, resuelve. 1. ABCD es un rectángulo. AM MC; AE BD ; m ( EAC) = 20°. Calcula las medidas de los ángulos del triángulo CEM. AC E D
CD AB C
M
A
B
AM MC; AE BD 2. Si en un cuadrilátero ABCD se traza la diagonal AC , queda dividido en los triángulos ACD y ABC. ¿En qué tipo de cuadriláteros esos triángulos son congruentes? CD AB
AM MC; AE BD AM MC; AE BD
AC
AC
CD
3. Demuestra que CD es altura y transversal de gravedad del triángulo isósceles ABC de base AB. AB
C
A
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D
B
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Historial Una técnica que facilita la retención de lo estudiado para después realizar un repaso eficiente es el cuadro sinóptico. Se trata de un resumen esquematizado, cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de manera estructurada y organizada. Completa la tabla que muestra algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad. Contenido
Definición o procedimiento
Ejemplo
Congruencia.
Transformaciones isométricas y congruencia de figuras planas.
Congruencia de triángulos.
Demostraciones y congruencia.
Congruencia y paralelogramos.
Congruencia y trapecios.
Aplicaciones de la congruencia de figuras planas.
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Organizar favoritos Ahora que tienes claras las ideas principales, elabora un mapa conceptual que te permita relacionar, al menos, los conceptos clave trabajados en la unidad. Conceptos clave
Congruencia. Criterios de congruencia de triángulos. Elementos homólogos. Congruencia y paralelogramos. Transformaciones isométricas. Congruencia y trapecios. Demostraciones. Congruencia de triángulos. Aplicaciones de la congruencia de figuras planas.
Herramientas A continuación, te presentamos algunos datos fundamentales de esta unidad. No los olvides, pues te seguirán siendo útiles. Congruencia.
Elementos homólogos. AB C F AB DE
Dos figuras geométricas se considerarán congruentes () si y solo si tienen la misma forma 1,8 cm y tamaño. A
Postulados de congruencia de triángulos.
2 cmAB1,8DE cm BC 2 cm AB DE BC EF B D E 1,5 cm cm DE BC EF 1,5CA AB
Trapecio isósceles. Trapecio rectángulo. Trapecio escaleno.
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Dos figuras relacionadas mediante una transformación isométrica son congruentes.
AB y DE , BC y EF, CA y FD son lados homólogos. EF CAFD DE BC Demostraciones BC EF CA FD y congruencia. Congruencia y paralelogramos.
EF Hipótesis: CA FD datos que se LLL (lado – lado – lado) verdaderos. CAsuponen FD ALA (ángulo – lado – ángulo) Tesis: lo que se quiere FD demostrar. LAL (lado – ángulo – lado) Demostración: afirmaciones lógicas que conducen a la tesis. Tipos de trapecios.
Transformaciones isométricas y congruencia.
En rombos y romboides, los ángulos interiores opuestos son congruentes y distintos de 90°. En cuadrados y rectángulos, todos sus ángulos interiores son congruentes e iguales a 90°.
Elementos secundarios del triángulo. En los triángulos equiláteros coinciden las alturas, bisectrices, simetrales y transversales de gravedad.
Unidad 7 • Congruencia de figuras planas
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Número de pregunta
Habilidad
Congruencia de figuras.
1 2 4 9 14 15 16 17 21 22 23
Evaluar Analizar Analizar Aplicar Analizar Analizar Aplicar Analizar Analizar Analizar Analizar
3 5 6 7 8 12 13 18 19 20 24 25 26
Evaluar Analizar Evaluar Recordar Analizar Evaluar Recordar Evaluar Evaluar Aplicar Evaluar Evaluar Evaluar
10 11
Analizar Analizar
Congruencia de triángulos.
Congruencia de trapecios y paralelogramos.
Clave
Nivel de logro
11
13
2
Mi estado Evalúa tu desempeño a partir del logro alcanzado para cada contenido. ¿Qué contenidos podrías enseñarle a una compañera o compañero que no los haya entendido? ¿Qué temas debes repasar? ¿Qué harás para reforzarlos? ¿Qué calificación te pondrías de acuerdo a lo que has aprendido a lo largo de la unidad? ¿Por qué?
Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
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Unidad
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Estadística y probabilidad En diversos contextos, la información obtenida es representada a través de gráficos que permiten resumirla y organizarla en distintas áreas del saber humano. Los gráficos pueden ser de diferentes tipos, entre los cuales están los de líneas, circulares, de barras, etc.
Menú de inicio ¿Qué?
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¿Para qué?
¿Dónde?
Histogramas, polígonos de frecuencias y polígonos de frecuencias acumuladas.
Organizar y representar información mediante este tipo de gráficos.
Páginas 238 a 243.
Medidas de tendencia central y posición.
Interpretar estas medidas en histogramas, polígonos de frecuencias y polígonos de frecuencias acumuladas.
Páginas 244 a 251.
Probabilidad de experimentos aleatorios y técnicas combinatorias.
Resolver problemas que involucren el cálculo de probabilidades.
Páginas 252 a 257.
Media aritmética y muestras aleatorias.
Formular y verificar conjeturas acerca de la relación entre Páginas 258 a 261. la media poblacional y las medias muestrales.
Unidad 8 • Estadística y probabilidad
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Considerando la información de la página anterior, responde: 1) ¿De qué se trata la lectura? 2) ¿Qué puede representar un gráfico? 3) ¿Para qué tipo de información utilizarías cada gráfico? Explica cada caso.
Inicializando Crear consiste en reorganizar la información en un nuevo modelo o estructura, formando un todo coherente o funcional. Hace algunos años el Instituto Nacional de Estadísticas (INE) realizó un estudio acerca del consumo de gas licuado en el país. Para ello, recopiló información de años anteriores y obtuvo el siguiente gráfico: Consumo final de gas licuado 2003-2007 80.000
Kg por mil habitantes
70.000 60.000 50.000 40.000 30.000 20.000 10.000 0 2003
2004
2005
2006
2007
Año
Fuente: www.ine.cl
Uno de los estudiantes de un curso considera que con el gráfico se puede identificar fácilmente el año de mayor consumo, pero no así el de menor consumo. Con respecto al gráfico presentado, crea una estrategia que te permita responder las preguntas que aparecen a continuación. 1) ¿En qué año el consumo se encuentra entre los 60.000 y 70.000 kg por mil habitantes? Fundamenta.
2) ¿Es correcto afirmar que el año 2006 el consumo fue inferior a los 60.000 kg por mil habitantes”? Fundamenta.
3) ¿Se logrará precisar una respuesta exacta? ¿En qué te basas para interpretar eso?
4) ¿Cuál fue la estrategia que utilizaste para responder las preguntas?
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Interpretación de gráficos Mediante los gráficos se puede representar, de manera resumida, cualquier tipo de información. Así, por ejemplo, en el gráfico que se muestra a continuación están los datos recopilados en el Censo del año 2002 con respecto a la población urbana y a la rural. A través de él se puede leer e interpretar distinta información de importancia. Población total por área urbana y rural, según regiones. Censo 2002 Urbana
POBLACIÓN
7.000.000
Rural
6.000.000 5.000.000 4.000.000 3.000.000 2.000.000 1.000.000 0
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
XI
X
XI
XII
RM
XIV
XV
REGIÓN
Fuente: www.ine.cl
Algunas conclusiones que se pueden inferir del gráfico son: La mayor población urbana se concentra en la Región Metropolitana. La población rural no supera el millón de habitantes en cada región.
Para grabar Para interpretar los distintos tipos de gráficos existentes, debes analizar los datos representados para así poder obtener la información deseada o requerida.
1.
Analiza el gráfico que aparece a continuación. Luego, anota 4 conclusiones. a.
Población total por sexo, según regiones. Censo 2002 Hombres
POBLACIÓN
Mujeres
3.500.000 3.000.000
b.
2.500.000 2.000.000 1.500.000 1.000.000
c.
500.000 I
II
III
IV
V
VI
VII VIII REGIÓN
XI
X
XI
XII
RM
XIV XV
d.
Fuente: www.ine.cl
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2.
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1
Analiza el siguiente gráfico. Luego, responde. a. ¿Cómo se representa en el gráfico que la variación es positiva?
Índice de producción física industria manufacturera (Var. % 12 meses) 4
Variación % 12 meses índice de producción física
2 0
b. ¿Cómo se representa en el gráfico que la variación es negativa?
–2 –4 –6 –8 –10 –12
c. ¿Cómo fué la variación en los 12 meses?
–14 Oct. 08
Dic.
Feb. 09
Abr.
Jun.
Ago.
Oct. 09
(Base: promedio año 2002 = 100)
Fuente: www.ine.cl
3.
Porcentaje de desechos recolectados por ítem, en Cabo Shirref. 2004-2005
Analiza la siguiente información y luego responde. El Instituto Antártico Chileno (INACH) ha realizado diversas investigaciones científicas destinadas a conocer y diagnosticar el estado actual de la contaminación de las costas del Territorio Antártico Chileno, en especial de los residuos sólidos. El gráfico que aparece a continuación representa la información obtenida en el periodo 2004-2005 en Cabo Shirref, en el que se encontraron 1.023 desechos de distintos tipos.
Papel 4%
Vidrio 1%
Plástico
Metal 1%
Papel Vidrio Metal Plástico 94%
Fuente: www.ine.cl
a. ¿Cuál es el total de desechos de plástico encontrado?
Ayuda
b. ¿Cuál es el total de desechos de papel, de metal y de vidrio registrado en el estudio?
El 32% de 45.000 se puede calcular de la siguiente manera: 32 • 45.000 = 14.400 100
c. Plantea 2 conclusiones extraídas del gráfico.
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Diseñar la encuesta.
Recopilar la información.
Analizar los resultados.
Encuestas y agrupamientos de datos A través de las encuestas es posible recopilar mucha y variada información, lo que permite tener una mejor apreciación de algún tema determinado. Para esto, generalmente se diseña un cuestionario y luego se analizan los datos recogidos, agrupándolos según los estándares que sean de interés en el estudio.
Para grabar Una encuesta es un conjunto de preguntas tipificadas (estandarizadas, homologadas), dirigidas a una muestra representativa, para averiguar estados de opinión o diversas cuestiones de hecho.
1.
Analiza parte de una encuesta aplicada por el Instituto Nacional de Estadísticas (INE) destinada a estudiar la percepción de la ciudadanía frente a su seguridad. Luego, responde.
De acuerdo con su percepción, ¿cuál diría usted que son las principales causas de los niveles de delincuencia que actualmente existen en nuestro país? ¿Y en segundo lugar?
Causas
1°
2°
Causas
1°
2°
La falta de vigilancia policial.
01
01
Consumo problemático de alcohol.
09
09
La falta de prevención y organización de parte de la población.
02
02
Sanciones débiles que aplican los jueces a los delincuentes.
10
10
La falta de preocupación y control de los padres.
03
03
Ausencia de programas de rehabilitación para drogadictos.
11
11
La falta de disciplina en las escuelas.
04
04
Escasa posibilidad de reinserción de los delincuentes.
12
12
El consumo de drogas.
05
05
La ley no contempla penas más duras para delincuentes.
13
13
La falta de oportunidades de trabajo.
06
06
La mala calidad de la educación en las escuelas.
14
14
Las condiciones de extrema pobreza.
07
07
No sabe.
88
88
Deficiente investigación de la policía.
08
08
No responde.
99
99
Fuente: www.ine.cl
a. ¿Qué información se quiere obtener a partir de las preguntas de la encuesta? b. Extrae dos conclusiones de la parte de la encuesta mostrada. c. ¿Qué crees que significan los números en las casillas?
2.
Analiza una encuesta desde el sitio www.ine.cl. Luego, completa. Título de la encuesta: Conclusión 1: Conclusión 2: Conclusión 3:
3.
Responde las siguientes preguntas. a. ¿Por qué crees que son importantes las encuestas? b. ¿Cuándo crees que es necesario aplicar una encuesta? Ejemplifica.
4.
Crea una encuesta con información recopilada en tu curso o colegio. Luego, realiza dos conclusiones. Conclusión 1: Conclusión 2:
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Tablas de frecuencias Al organizar en una tabla (tabular) grandes cantidades de datos, puede resultar útil agruparlos en intervalos o clases para determinar cuántos datos pertenecen a un intervalo determinado. Así, surgen conceptos como frecuencia absoluta (f), frecuencia relativa (fr), frecuencia absoluta acumulada (F) y frecuencia relativa porcentual (f%), entre otros.
Para grabar Tabla de frecuencias: es un tipo de representación que permite organizar datos. Frecuencia absoluta (f): es el número de veces que se repite un dato o el número de datos incluidos en un determinado intervalo. Frecuencia absoluta acumulada (F): es la suma de las frecuencias absolutas de los valores menores o iguales al valor de la variable en cuestión. El último valor de esta debe ser igual al número total de datos. Frecuencia relativa (fr): es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos o tamaño de la muestra. Frecuencia relativa porcentual (f%): es el porcentaje de la frecuencia absoluta con respecto al tamaño de la muestra. Ejemplo: Una empresa de transportes traslada diferentes tipos de encomiendas, las que clasifica por su masa (ME), distribuyéndolas de hasta un máximo de 30 kg. La tabla adjunta resume la información. Traslado de encomiendas
En el intervalo ]0; 6], 0 es el límite inferior y no se considera, y 6 es el límite superior del intervalo y se considera. Rango es la diferencia entre el mayor (24) y el menor (0) valor. En este caso, es 24. Mientras que la amplitud del intervalo es la diferencia entre el límite superior y el inferior. En este caso, 12 – 6 = 6.
1.
ME (kg)
f
F
]0; 6]
6
6
]6; 12]
8
14
]12; 18]
12
26
]18; 24]
10
36
Total
36
fr
f%
6 36 8 36 12 36 10 36
16,67% 22,22% 33,33% 27,78%
1
100%
Estos valores se interpretan como: 6 de 36 encomiendas, es decir, el 16,67% del total de encomiendas tiene una masa entre 0 y 6 kg, sin ser 6 kg.
Este valor representa 6 encomiendas, cuyas masas varían entre 0 y 6 kg.
14 + 12 = 26
Analiza la siguiente tabla. Complétala y luego responde en tu cuaderno. Rango de precios de ciertos artículos
Precios (P)
f
F
]0; 1.000]
45
45
]1.000; 2.000]
55
100
]2.000; 3.000]
90
190
fr
f%
¿Cuál es el rango de la variable precio? ¿Y cuál es la amplitud de intervalo? ¿Cuántos artículos fueron incluidos en la tabla? ¿Cuántos de ellos tenían un precio menor o igual a $ 2.000? ¿Podrías representar los datos en algún gráfico? ¿Qué datos ocuparías? Explica detalladamente. Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
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Representación de datos Luego de tabular los datos agrupados en intervalos, en tablas de frecuencias, estos pueden ser representados por medio de histogramas, polígonos de frecuencias y polígonos de frecuencias acumuladas. Por ejemplo: en una prueba realizada a 300 estudiantes de 1° medio se obtuvieron los siguientes puntajes ya agrupados en intervalos. Puntajes obtenidos en una prueba
Puntaje (x)
Marca de clase
f
F
]0, 10]
5
15
15
]10, 20]
15
30
45
]20, 30]
25
40
85
]30, 40]
35
60
145
]40, 50]
45
70
215
]50, 60]
55
55
270
]60, 70]
65
30
300
Puntajes obtenidos en una prueba 400
Cantidad de estudiantes
Cantidad de estudiantes
80 60 40 20 0
]30, 40] ]40, 50] ]50, 60]
200 100 0
Puntaje ]0, 10] ]10, 20] ]20, 30]
300
]60, 70]
Puntaje ]0, 10] ]10, 20] ]20, 30]
]30, 40] ]40, 50] ]50, 60]
]60, 70]
La línea roja representa el polígono de frecuencias, que resulta al unir los extremos superiores de las barras (marca de clase con frecuencia absoluta). Mientras que el polígono de frecuencias acumuladas se construye uniendo la marca de clase de cada intervalo con su correspondiente valor de frecuencia acumulada (línea azul).
Para grabar Un histograma es una representación gráfica en forma de barras, en las que sus alturas son proporcionales a la frecuencia absoluta de los valores representados. Este tipo de gráfico sirve para expresar información sobre datos agrupados en intervalos. Para elaborar manualmente un histograma debes dibujar los ejes de sistemas coordenados. En el eje de las abscisas se especifican los intervalos y en el eje de las ordenadas se representa la frecuencia absoluta correspondiente. El polígono de frecuencias es una representación gráfica que forma un polígono compuesto por la línea poligonal, que se obtiene al unir los puntos referidos a las marcas de clase, y el eje de las abscisas. Para la construcción de un polígono de frecuencias es importante anotar en la tabla de frecuencias la marca de clase de cada intervalo. También anota la frecuencia acumulada, que permitirá construir el polígono de frecuencias acumuladas.
Para saber más La marca de clase (MC) de un intervalo corresponde al promedio entre el límite inferior y el límite superior.
1.
Representa en un histograma, en un polígono de frecuencias y en un polígono de frecuencias acumuladas los datos que aparecen en las tablas.
Calificación final de 180 estudiantes
Rango de precios de ciertos artículos
Calificación
Marca de clase
f
F
Precios (P)
f
f
]1,0; 2,0] ]2,0; 3,0] ]3,0; 4,0] ]4,0; 5,0] ]5,0; 6,0] ]6,0; 7,0]
1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5
4 6 17 101 40 12
4 10 27 128 168 180
]0; 1.000]
45
45
]1.000; 2.000]
55
100
]2.000; 3.000]
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2
1
Utiliza Excel para realizar histogramas. Para ello, analiza los datos y lleva a cabo los pasos señalados.
Una casa discográfica realiza un estudio sobre la cantidad de discos que distribuye a las tiendas según las ventas. Este estudio consta, de una encuesta telefónica aleatoria en la que se pregunta por la cantidad de discos que se han vendido el presente mes. Los datos obtenidos se muestran en la tabla.
Paso 1
Luego, presiona el ícono selecciona columnas.
Distribución de discos
Cantidad de discos
f
[80 – 90[
4
[90 – 100[
8
[100 – 110[
4
[110 – 120[
4
[120 – 130[
5
Paso 2
Para realizar un histograma debes “abrir” Excel e ingresar la tabla.
3.
4
6
2.
3
7
2
8
1
y
A continuación elige el rango de datos que quieres graficar y luego selecciona la opción Filas.
Paso 3 Así aparecerá el gráfico pedido.
Utiliza Excel para realizar polígonos de frecuencias. Para ello, lleva a cabo los pasos señalados. Considerando la información de la actividad anterior. Paso 1
Para realizar un polígono de frecuencias debes “abrir” Excel e ingresar la tabla y luego seleccionar líneas en la opción tipo de gráfico. Sin embargo, se agregarán dos filas para poder generar el polígono.
4.
Paso 2 A continuación, elige el rango de datos que quieres graficar y luego selecciona la opción Columnas.
Paso 3 Así aparecerá el gráfico pedido.
Verifica si los gráficos construidos en la actividad 1 de la página anterior coinciden con los que puedes crear en Excel. Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
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Medidas de tendencia central Las medidas de tendencia central: media aritmética, moda y mediana permiten estudiar los valores centrales de una distribución.
Para grabar La media aritmética ( x )=de datos no agrupados en intervalos es el cociente entre la suma de los productos de los valores de una variable (datos) (xi) por sus correspondientes frecuencias absolutas (fi) y el número total de datos (n).
Para saber más Propiedades de la media aritmética. Si se suma una constante a todos los valores de una variable, su media aumenta en dicha constante. Si se multiplican todos los valores de una variable por una constante, la media aritmética queda multiplicada por dicho valor.
x=
x 1 • f1 + x 2 • f2 + x 3 • f3 + ... + xn • fn n
Al estar los datos agrupados en intervalos, la media aritmética se calcula sumando los productos de las marcas de clase de los intervalos (xmc) por sus frecuencias absolutas y luego dividiendo esa suma por el total de datos (n).
x=
xmc11 • f1 + xmc2 • f2 + xmc33 • f3 + ... + xmcNN • fN ; donde N es el número total de intervalos. n
Ejemplo: en el caso de los puntajes obtenidos por los 300 estudiantes propuesto en la página 242, se tiene que el puntaje promedio, aproximado a la centésima, es de = 39,16, ya que:
x=
5 • 15 15 + 15 • 30 + 255 • 40 40 + 35 • 60 + 45 45 • 770 + 55 • 55 + 65 65 • 330 11.750 = = 39,16 300 300
Lo que se puede interpretar como que el puntaje promedio en la prueba fue de = 39,16 puntos, aproximadamente.
1.
Calcula la media aritmética para los datos de las siguientes tablas. a. Cantidad de hermanos
b. Distancia de salto
Número de hermanos
f
Longitud de salto (m)
Marca de clase
f
0
2
[0; 0,3[
0,15
0
1
4
[0,3; 0,6[
0,45
2
2
3
[0,6; 0,9[
0,75
3
3
7
[0,9; 1,2[
1,05
5
4
4
[1,2; 1,5[
1,35
12
5
4
[1,5; 1,8[
1,65
13
6
2
[1,8; 2,1[
1,95
6
x=
x=
¿Cómo interpretas esta medida en cada caso?
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1
Para grabar La moda (Mo) de una variable estadística de datos no agrupados es el valor que presenta la mayor frecuencia absoluta. Puede haber más de una moda, pero si todos los datos de la distribución tienen la misma frecuencia, entonces se dice que la variable no tiene moda. Para determinar la moda en una muestra de datos agrupados debes hallar el intervalo modal (intervalo de D mayor frecuencia absoluta) y utilizar la siguiente fórmula: Mo = L i + a • 1 D1 + D2 Donde Li es el límite inferior del intervalo modal; a, la amplitud del intervalo modal; D1, la frecuencia absoluta del intervalo modal menos la del intervalo anterior, y D2, la frecuencia absoluta del intervalo modal menos la del intervalo siguiente. Ejemplo: en el caso de los puntajes obtenidos por los 300 estudiantes (página 242), se tiene que la moda de los puntajes es 44, ya que: 10 Mo = 40 + 10 • = 40 40 + 10 • 0,4 = 40 + 4 = 44 10 + 15
Ayuda En el caso de la distribución de discos mostrada en la actividad 2 de la página 243, el intervalo modal es ]90 – 100] y la moda de los datos es 95, ya que: Mo = 90 + 10 •
4 = 95 4+4
Este dato se puede interpretar como que el puntaje más obtenido es 44 puntos.
2.
Calcula la moda para los datos de la actividad 1 de la página anterior. a. Cantidad de hermanos.
Mo =
b. Distancia de salto.
Mo =
¿Cómo interpretas esta medida en cada caso?
Para grabar La mediana (Me) de una variable con datos no agrupados, una vez ordenados los datos, corresponde al valor central de la distribución si está compuesta por un número impar de datos; si está compuesta por un número par de datos, la mediana corresponde a la media de los valores centrales de la distribución. El cálculo del valor central de una distribución de datos ordenados (mediana) para datos agrupados en intervalos se realiza de la siguiente manera: 1° Se establece el número total de datos (n). n 2° Se busca el primer intervalo (I) en el que la frecuencia acumulada sea mayor que . 2 3° Luego, se aplica la siguiente fórmula: n – Fi - 1 Me =I = Ii-1 + ai • 2 fi Donde Ii – 1 es el límite inferior del intervalo en estudio; ai es la amplitud del intervalo en estudio; fi es la frecuencia absoluta del intervalo en estudio, y Fi – 1 es la frecuencia acumulada anterior al intervalo en estudio. Ejemplo: en el caso de los puntajes obtenidos por los 300 estudiantes (página 242), se tiene que la mediana de los puntajes es 40,71 puntos, ya que: 150 – 145 5 5 Me = 40 + 10 • = 40 40 + 10 • = 40 + = 40,71 70 70 7 Este dato se puede interpretar como que el puntaje central es 41 puntos, aproximadamente.
3.
Ayuda En el caso de la distribución de discos mostrada en la actividad 2 de la página 243, el intervalo de estudio es ]100 – 110] y la mediana de los datos es 101,25, ya que: 25 – 12 Me = 100 + 10 • 2 = 101,25 4
Calcula la mediana para los datos de la actividad 1 de la página anterior. a. Cantidad de hermanos.
Me =
b. Distancia de salto.
Me=
¿Cómo interpretas esta medida en cada caso? Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
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4.
Analiza los gráficos. Luego, responde. a. El siguiente polígono de frecuencias acumuladas representa la estatura de los estudiantes de primer año medio.
Estaturas de estudiantes de 1° medio
Determina la media, moda y mediana.
Cantidad de estudiantes 20 17
12 9
5 Estatura (cm) 150 152,5 155 157,5 160 162,5 165 167,5 170 172,5 175
Construye un histograma y un polígono de frecuencias asociados al gráfico anterior. ¿Las medidas de tendencia central son las mismas que en el gráfico anterior? Histograma
Polígono de frecuencias
De los 2 tipos de gráficos: polígono de frecuencias e histograma, ¿cuál crees que representa de mejor manera la información recopilada? ¿En cuál de ellos es posible determinar de manera más eficiente las medidas de tendencia central? Comenta con tus compañeras, compañeros y profesor(a).
Anota 3 conclusiones con respecto a la actividad realizada. 1. 2. 3.
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b. El siguiente polígono de frecuencias muestra la cantidad de pacientes por edad que se encuentra en una determinada clínica. Pacientes por edad de cierta clínica Determina la media, moda y mediana. 19 18
Cantidad de pacientes
15 13 12 11 10 7 6
2
Edad 10 12,5 15 17,5 20 22,5 25 27,5 30 32,5 35 37,5 40 42,5 45 47,5 50 52,5 55 57,5 60
¿Consideras que la información representada en el polígono de frecuencias podría interpretarse de mejor manera en un histograma o en un polígono de frecuencias acumuladas? Justifica.
Anota 3 conclusiones con respecto a las medidas de tendencia central calculadas. 1. 2. 3. c. El siguiente histograma representa las calificaciones obtenidas por los estudiantes de 1° medio en 5 colegios. Calcula la media, moda y mediana. Calificaciones de 1° medio Cantidad de estudiantes 60 57 48 42 35
18
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0 Calificación
Anota 2 conclusiones con respecto a las medidas de tendencia central calculadas. 1. 2. Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
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Medidas de posición Al tener una serie de datos ordenados en forma creciente, estos se pueden dividir en partes iguales.
Para grabar Los cuartiles son los tres valores de una distribución que la dividen en cuatro partes iguales. Primer cuartil (Q1): es el valor que separa el 25% de los datos de la distribución ordenada de menor a mayor. 25%
Segundo cuartil (Q2): es el valor que separa el 50% de los datos de la distribución ordenada de menor a mayor. 50%
Q1
Para saber más La mediana de una distribución de datos coincide con Q2 y con P50. Las medidas de tendencia central y de posición, no siempre corresponden a valores de la variable en estudio.
75% Q2
Q3
Los quintiles son los cuatro valores de una distribución que la dividen en cinco partes iguales. El primer quintil separa el 20% de los datos de la distribución ordenada de menor a mayor, el segundo quintil separa el 40%, el tercer quintil separa el 60% y el cuarto quintil el 80%. Quintil 1 Quintil 2 Quintil 3 Quintil 4 Los deciles son los nueve valores de una distribución que la dividen en diez partes iguales. El primer decil (D1) separa el 10% de los datos de la distribución ordenada de menor a mayor, el segundo decil (D2) separa el 20%, el tercer decil (D3) el 30%, etc. D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 Los percentiles (Pn) son los noventa y nueve valores de una distribución que la dividen en cien partes iguales. Cada uno de ellos equivale a un 1% de la distribución.
1.
Analiza la información y el ejemplo. Al tener una tabla de frecuencias, el percentil de orden k (Pk) se calcula:
Desafío Diseña y explica una estrategia que permita determinar los cuartiles sin conocer los percentiles.
1° Se determina el intervalo al cual pertenece el percentil por k •n calcular: en la tabla de 100 frecuencias acumuladas. 2° Luego, se aplica la siguiente fórmula: k •n –Fi– 1 ; donde Ii es el Pk =I = Ii + ai • 100 fi límite inferior del intervalo en el que se encuentra k; fi es la frecuencia absoluta del intervalo en el que se encuentra k; Fi – 1 es la frecuencia acumulada anterior al intervalo donde se encuentra k, y ai es la amplitud del intervalo.
248
Tercer cuartil (Q3): es el valor que separa el 75% de los datos de la distribución ordenada de menor a mayor.
Longitud de un trozo de madera
Longitud (cm)
f
F
]0; 50]
20
20
]50; 100]
15
35
]100; 150]
8
43
]150; 200]
4
47
Ejemplo: se calculará P75 = Q3. 1° El intervalo es ]100; 150], ya que como n = 47, el 75% de 47 es 35,25, valor que según F pertenece a ]100; 150]. 2° Al aplicar la fórmula se tiene: 75 • 47 – 35 P75 = 100 + 50 • 100 = 100,29 43 Es decir, el 75% de los trozos de madera miden menos o igual que 100,29 cm.
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1
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Analiza la siguiente tabla. Luego, responde. Salarios de los trabajadores de una empresa
Sueldo (S) en miles de pesos
Frecuencia absoluta
Frecuencia absoluta acumulada
]180; 240]
23
23
]240; 300]
32
55
]300; 360]
43
98
]360; 420]
22
120
]420; 480]
10
130
a. ¿Cuál es el percentil 50? ¿Cómo lo interpretas?
b. Aproximadamente, ¿qué cantidad de personas tienen un sueldo sobre el tercer cuartil? Justifica.
c. Determina el noveno decil. Anota 2 conclusiones con respecto a este valor.
3.
Analiza el siguiente histograma. Luego, responde. Con respecto a los puntajes obtenidos en la PSU de matemática por un grupo de estudiantes. Responde. Puntajes obtenidos en la PSU Frecuencia a. ¿Cuál es el percentil 35? 70 65 55
b. ¿Cuál es tercer cuartil?
45
c. ¿Como se interpreta el percentil 75?
15 5 200
300
400
500
600
700
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Analizando disco
Interpretación de gráficos.
1 Analiza el siguiente gráfico. Luego, responde. El gráfico que aparece a continuación representa el tiempo mensual que destinan dos grupos de igual cantidad de alumnas y alumnos de octavo básico, segundo y cuarto medio a practicar deportes dentro y fuera del colegio. a. ¿Qué grupo practica más deporte? ¿Cuál menos?
Tiempo que practican deporte Grupo 1 Grupo 2
Tiempo (h)
60 50 40
b. Anota 2 conclusiones del gráfico.
30
51,8 41,5
20
24
10
24,4 10,2
16,7
0
8° básico
Tablas de frecuencias.
2° medio
4° medio
Curso
2 Analiza la siguiente tabla. Luego, responde. Tamaño de árboles de una parcela
Altura (m)
f
F
]1,1; 1,6]
5
5
]1,6; 2,1]
10
15
]2,1; 2,6]
30
45
]2,6; 3,1]
55
100
Total
100
fr 5 100 10 100 30 100 55 100 1
f% 5% 10%
30% 55% 100%
a. ¿Qué cantidad de árboles tiene una altura menor a 2,6 metros?
b. ¿Cuál es el rango de los datos?
c. ¿En qué intervalo se concentra la menor cantidad de árboles?
d. ¿Qué porcentaje de árboles superan los 2,1 metros de altura?
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1 Representación de datos.
3 Representa en un histograma y en un polígono de frecuencias la tabla del problema 2 de la página anterior.
4 Analiza el siguiente histograma. Luego, resuelve. Anota 3 conclusiones y explica por qué las consideras importantes. Pirámide de población
Grupos de edad (en años)
Censo 1992 85–89 80–84 75–79 70–74 65–69 60–64 55–59 50–54 45–49 40–44 35–39 30–34 25–29 20–24 15–19 10–14 5–9 0–4
Hombres
Para saber más
Mujeres
Este tipo de histograma se llama pirámide. A menudo caracteriza a países con fuerte natalidad y mortalidad media. Fuente: www.ine.cl 800 600
400
200
0
200
400
600
800
Población (miles de personas)
Medidas de tendencia central.
5 Analiza la siguiente tabla y luego responde. Calcula y explica qué representa cada medida de tendencia central.
Libros leídos en un año
Cantidad de libros leídos
f
F
[0, 2[
100 100
[2, 4[
80
180
[4, 6[
50
230
[6, 8[
20
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Medidas de posición.
6 Analiza la siguiente información y luego responde. Determina el percentil 25.
Cantidad de hijos de 100 familias
Número de hijos
f
F
0
5
5
1
30
35
2
40
75
3
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Azar y experimentos aleatorios El azar está presente en experimentos como lanzar una moneda o un dado, hacer girar una ruleta, etc., los que reciben el nombre de experimentos aleatorios. A su vez, al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio se le llama espacio muestral, que generalmente se anota con la letra griega Ω (omega).
Para grabar
Para saber más Otros tipos de sucesos que estudiarás en cursos posteriores son los sucesos compatibles, incompatibles, dependientes, independientes y contrarios.
Los experimentos determinísticos son aquellos en los que se obtiene el mismo resultado, siempre que el experimento se realice en condiciones similares. Por ejemplo, calentar agua a 100 °C, soltar una pelota de tenis desde el segundo piso de un edificio, etc. Los experimentos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de ellos va a observarse. Además, todos los posibles resultados del experimento son conocidos con anterioridad y los experimentos aleatorios pueden realizarse las veces que se quiera bajo condiciones similares. Por ejemplo, acertar el resultado de un partido de fútbol, determinar el tiempo de duración de la próxima llamada telefónica, etc. Al conjunto o colección de los resultados de un experimento aleatorio se le llama espacio muestral (Ω). Un suceso o evento (E) es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio. Un suceso se llamará elemental si no se puede descomponer en otros más sencillos; compuesto, si consta de dos o más elementos de Ω; seguro, si está compuesto por todos los elementos de Ω; e imposible, si no contiene elementos de Ω.
1.
Clasifica los siguientes experimentos en aleatorios o determinísticos. Para ello, marca la casilla correspondiente.
2.
a. Estimar la estatura de una persona.
Aleatorio
Determinístico
b. Poner una cubeta con agua en el congelador.
Aleatorio
Determinístico
c. Extraer una carta de un juego de naipes y adivinar su valor.
Aleatorio
Determinístico
Identifica y escribe el espacio muestral de cada experimento aleatorio.
3.
a. Lanzar 2 dados y anotar la suma de sus puntos.
b. Extraer una bolita de una caja con 3 bolitas y determinar su color.
Ω={
Ω={
}
}
Analiza la siguiente situación. Luego, responde en tu cuaderno. Se realiza un experimento en una concurrida avenida, que consiste en pedirles a los transeúntes que hagan girar una ruleta, como la que se muestra en la figura, y en el momento previo predigan el color que aparecerá una vez que se detenga la ruleta. a. ¿Qué tipo de experimento es? Explica. b. ¿Cuál es su espacio muestral? c. Un transeúnte observa la tabla en la que se han anotado 100 resultados y afirma: “con seguridad el próximo color que saldrá no será negro”. Sin conocer esta tabla, ¿estás de acuerdo con la afirmación? Explica en forma detallada.
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Probabilidad y regla de Laplace Se tiene un juego de naipes inglés y se pide a una persona que extraiga una carta sin mirar. Si quien extrae la carta afirma que la probabilidad 1 de obtener un rey es de , mientras que la de extraer una carta que 13 5 represente un número par es de , ¿es posible afirmar que es más 13 probable extraer una carta que represente un número par que una que represente a un rey? ¿En qué te basas para señalar lo anterior?
Para grabar Si un experimento cualquiera puede dar lugar a un número finito de resultados posibles y no existe razón que privilegie un resultado por sobre otros, se puede calcular la probabilidad de un evento aleatorio A, según la regla de Laplace, mediante el cociente entre el número de casos favorables y el de los casos posibles del experimento: Número de casos favorables P(A) = 0 ≤ P(A PP(A) (A)) ≤ 1 Número de casos asos posibles Por ejemplo, en el juego de naipes descrito a comienzos de página, la probabilidad de que ocurra el evento 1 aleatorio “A: extraer un rey” es de , ya que: 13 Número de casos favorables 4 1 P(A) = = = Número de casos posibles 52 13
Se considerará que un juego de naipes inglés tiene 52 cartas, distribuidas en cuatro pintas, cada una de las cuales tiene 13 cartas numeradas.
Desafío En un experimento aleatorio, ¿es siempre posible definir el número de casos favorables? Si no lo es, da un ejemplo.
Si en un experimento todos los eventos tienen la misma probabilidad de ocurrir, se dice que los eventos son equiprobables. La probabilidad de un suceso mide el grado de incerteza de la ocurrencia de dicho suceso.
1.
Analiza los siguientes experimentos aleatorios. Luego, calcula en tu cuaderno. a. De un juego de naipes inglés se extrae al azar una carta. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una que represente un número par de puntos?, ¿cuál la de extraer un número primo de puntos?, y ¿cuál la de extraer un as? b. Se lanzan 2 dados de seis caras. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia, en valor absoluto, de los puntos obtenidos sea menor que 6?, ¿cuál la de obtener una suma mayor que 12?, ¿cuál la de obtener 6 como producto?, y ¿cuál la de obtener 1 como cociente entre el número de puntos mayor y el número de puntos menor? c. Un grupo de estudiantes ha realizado 100 lanzamientos de una moneda y los datos se han registrado en la tabla de frecuencias que se muestra a continuación. Lanzamiento de una moneda
Moneda
Frecuencia
Cara
62
Sello
38
Para saber más • Un evento cierto o seguro tiene probabilidad 1. Es decir, siempre ocurre. • Un evento imposible es el que tiene probabilidad 0. Es decir, nunca ocurre.
Según la tabla, ¿cuál es la probabilidad de obtener cara? Según la regla de Laplace, ¿cuál es la probabilidad de que salga sello? ¿Por qué crees que se obtienen diferentes resultados? Justifica. Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
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2.
Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno. a. En un colegio hay 8 cursos de primer año medio, de los cuales 4 están compuestos por 38 estudiantes, 2 por 41 estudiantes y el resto de los cursos tiene 45 estudiantes cada uno. Si la probabilidad de escoger al azar a una 5 alumna es , ¿qué cantidad de alumnas y alumnos hay en el colegio? 9 b. En una tómbola se tienen 36 bolitas numeradas del 1 al 36. Si se extrae aleatoriamente una bolita, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número par? Con respecto a la probabilidad obtenida en la pregunta anterior, ¿es igual a la probabilidad de extraer una bolita con un número impar? ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bolita con un número compuesto? ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bolita, esta corresponda a un número primo? ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bolita esta esté numerada con un múltiplo de 3? ¿Qué evento tiene una mayor probabilidad de ocurrir? Justifica.
Para grabar Hay sucesos de experimentos aleatorios a los que no se les puede aplicar la regla de Laplace para determinar la probabilidad de ocurrencia. En estos casos, el experimento puede realizarse un número finito de veces y determinar una “tendencia” de la probabilidad de cierto evento.
3.
Por ejemplo, en el experimento aleatorio “hacer girar la siguiente ruleta y anotar el número del sector en el que cae la flecha” no se puede aplicar la regla de Laplace, ya que todos los sectores no tienen la misma probabilidad de ocurrir. Es decir, los distintos sucesos posibles no son equiprobables.
2 1
3
8
4 5
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7
Identifica en cuál de los siguientes experimentos aleatorios es posible aplicar la regla de Laplace para calcular la probabilidad de un determinado suceso y en cuáles habría que realizar el experimento. Para ello, escribe Laplace o experimento en la casilla según corresponda. a. Lanzar una moneda. b. Lanzar un dado cargado en una de sus caras. c. Hacer girar una ruleta que está dividida en 4 sectores congruentes. d. Hacer girar una ruleta que está dividida en 3 sectores de distinta área.
4. 3 1
Resuelve el siguiente problema. Un estudiante quiere calcular la probabilidad de que al hacer girar una ruleta como la que se muestra a continuación la flecha quede ubicada en el sector 3. a. ¿Cómo crees que se calcula esta probabilidad? Resuelve. b. Compara tu respuesta con las de tus compañeras y compañeros.
2
c. ¿Qué conclusión puedes obtener respecto a esta comparación? d. ¿Qué hiciste para responder la pregunta a?
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Técnicas de conteo y probabilidad El dueño de una tienda desea ordenar sus distintos tipos de productos. Para ello, comenzará ocupando el primer nivel de un estante que tiene capacidad para 8 productos. Si los productos que se ordenarán son 3 latas de tomate (t1, t2, t3), 3 tipos de pasta (p1, p2, p3) y 2 tipos de jugos (j1, j2), ¿de cuántas formas posibles se pueden ordenar?
Para grabar Principio multiplicativo Si una operación puede efectuarse de n1 maneras diferentes, y una vez realizada cualquiera de ellas una segunda operación puede llevarse a cabo de n2 maneras distintas, entonces el número total (N) de maneras diferentes en que se pueden realizar ambas operaciones simultáneamente es: N = n1 • n2 En general, para k operaciones con nk maneras distintas de realizarlas se tiene que: N = n1 • n2 • n3 • • • nk; k ∈ . Por ejemplo, para calcular la probabilidad de escoger un número impar de 3 dígitos se resuelve:
C
1 1 P(A) = = = 0,002 9 • 10 • 5 450
1.
D
U
9 posibilidades (1, 2, 3, 4, 5 6, 7, 8 y 9)
Resuelve los siguientes problemas. a. En una repisa se quieren ordenar 10 libros. De ellos, 2 son de Biología, 3 de Lenguaje y 5 de Matemática. ¿De cuántas formas es posible hacerlo? b. Un estudiante tiene 5 chaquetas, 3 poleras, 4 pantalones y 2 pares de zapatillas. ¿De cuántas formas puede combinar su ropa para vestirse? c. Con respecto a la palabra PLATO, ¿de cuántas maneras puede combinar las letras para escribir distintas palabras, con o sin sentido y sin que estas se repitan?
10 posibilidades (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) 5 posibilidades (1, 3, 5, 7 y 9)
d. En un torneo de fútbol se tienen 4 equipos, A, B, C y D, los que se disputan el primer y segundo lugar. ¿De cuántas formas posibles estos equipos pueden quedar ubicados en la tabla de posiciones? e. Considerando del 0 al 9 y sabiendo que el 0 no puede ir al principio, ¿de cuántas maneras se puede formar un número telefónico de 7 dígitos? f. ¿Cuántas patentes para automóviles es posible formar si estas deben constar de 4 letras, todas ellas consonantes, y 2 dígitos? Considera que las letras y números se pueden repetir. g. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir al azar un número de 5 dígitos, este quede formado solo por cifras impares?
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Permutación y combinatoria En una competencia de atletismo, 4 estudiantes (A, B, C, D) se disputan el primer lugar. ¿Cuáles podrían ser las posiciones finales?
1°
2°
3°
Para responder la pregunta puedes aplicar el principio multiplicativo visto antes, por lo que se tienen 4 • 3 • 2 • 1 = 24 posibles ordenamientos diferentes.
4°
4 posibilidades
Sin embargo, también se puede resolver aplicando el concepto de permutación, que según la Real Academia de la lengua Española (RAE) se refiere a cada una de las ordenaciones posibles de los elementos de un conjunto finito. Luego, el número total de las posibles ordenaciones son:
3 posibilidades 2 posibilidades
P4 = 4 • 3 • 2 • 1 = 24 1 posibilidad
Donde P4 representa el número de ordenaciones de las posiciones de los 4 estudiantes. Ahora que ya conoces el número de ordenaciones posibles, escríbelas.
Para grabar Ayuda En las permutaciones, el orden de los elementos del conjunto sí importa. Es decir, dos permutaciones son diferentes si tienen al menos un elemento distinto o si están ordenados de forma distinta.
Una permutación en un conjunto de n elementos corresponde a una ordenación de estos. El número total de permutaciones u ordenaciones diferentes entre n elementos de un conjunto se denotará por Pn, y se tiene que: Pn = n! = n •(n – 1) • (n – 2) ·… … … · 4 • 3 • 2 • 1, n ∈ . Donde n! se denomina factorial de n o n factorial. Además se acepta que O! = 1. Si se quiere determinar el número total de permutaciones que se quieren realizar con k elementos elegidos entre los n elementos del conjunto, sin que estos se repitan, se puede aplicar la fórmula: n! Pkn = , n ≥ k; n, k ∈ . (n – kk)! Mientras que si en los n elementos hay algunos que se repiten, por ejemplo, si uno de ellos se repite p veces, otro q veces, otro r veces y así sucesivamente, el total de permutaciones está dado por: n P(p,q,r,...) =
1.
Calcula el valor de cada permutación. Observa el ejemplo. P46 = a. P5
2.
n! ,coonn p +q+r +... = n p! • q! • r! • ....
6!
6 • 5• 4 • 3• 2• 1 6 • 5• 4 • 3• 2• 1 = = 6 • 5 • 4 • 3= 360 (6 - 4)! 2! 2• 1 =
6
b. P3
c. P46
10
d. P(2 (2, 3, 5)
Resuelve el siguiente problema.
En un curso se quiere escoger a la directiva, compuesta por presidente, tesorero y secretario. Si para esta elección hay 7 estudiantes que se disputan los 3 puestos, ¿Cuántas posibles ordenaciones hay?
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1
3.
2
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1
Analiza la siguiente información. Luego, responde.
Los experimentos aleatorios se pueden realizar con o sin reposición. Por ejemplo, en una tómbola hay bolitas numeradas desde el 1 hasta el 15. Es posible realizar el experimento: “extraer una bolita, anotar su número y devolverla a la tómbola”. a. ¿Cómo determinarías la probabilidad de que al realizar el experimento dos veces se obtenga la misma bolita? b. ¿Cómo determinarías la probabilidad de que al realizar el experimento 3 veces se obtengan 3 bolitas distintas numeradas con números impares?
Para grabar El número de combinaciones que pueden formarse de k elementos a partir de un conjunto de n elementos está dado por:
n n! Cnk = = k k! • (n – kk)! ; n ∈ , k ∈ 0 y k ≤ n.n. • Una combinación es distinta a otra si al menos tiene un elemento distinto. • Una combinación no toma en cuenta el orden de los elementos considerados.
4.
Ejemplo: En el problema de la actividad 2 de la página anterior, si se hubiera pedido determinar la cantidad de grupos distintos que podrían formar la directiva, la respuesta sería 35, ya que:
7 7! 7! C 73 = = = 3 3!(7 – 3)! 3! • 4! = 35
Calcula el valor de cada combinatoria. a. C34 = b. C24 = c. C53 = d. C52 =
5.
Resuelve los problemas. Para ello, analiza el siguiente ejemplo.
Si en el problema de la directiva de la página anterior los 7 estudiantes que se disputan los cargos son 4 mujeres y 3 hombres, ¿cuál es la probabilidad de que la directiva esté compuesta por 3 mujeres? Solución: como no importa el orden de las mujeres, sino que sean tres las que compongan el grupo, se debe calcular el número de combinaciones que cumplan con esta condición. 4 4! 4! Luego, C34 = = = 3 3!(4 – 3)! 3! • 1! = 4 son las posibles combinaciones. Por otra parte, como son 35 posibles grupos de 3 estudiantes que pueden componer la directiva, se aplica la regla de Laplace y se obtiene que la probabilidad de que 4 esté compuesta por 3 mujeres es de = 11,4% aproximadamente. 35 a. De una población con 6 elementos, ¿cuántas muestras distintas de 4 elementos se pueden escoger? b. ¿Cuántas palabras de 4 letras, sin que necesariamente tengan sentido, se pueden formar con las letras de la palabra LAPIZ? No puedes repetir letras. c. Para ir a ver una obra de teatro se ordenarán por cada fila 3 hombres y 4 mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de que las 4 mujeres no queden separadas? Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
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Media aritmética en muestras aleatorias Se tienen todas las estaturas (en metros) de los 3 primeros medios pertenecientes a un colegio, las que se anotan en la siguiente tabla:
1° A 1,70 1,55 1,61 1,70
– – – –
1,66 – 1,66 – 1,63 – 1,65 –
1,55 1,59 1,51 1,55
1° B – 1,56 – 1,60 – 1,71 – 1,48
– – – –
1,71 1,58 1,71 1,66
1,60 – 1,49 – 1,57 – 1,53 –
1,72 – 1,69 – 1,58 – 1,53 –
1,65 1,59 1,51 1,52
1° C – 1,66 – 1,68 – 1,70 – 1,55
– – – –
1,70 1,60 1,61 1,56
1,73 – 1,65 – 1,60 – 1,66 –
1,56 – 1,56 – 1,58 – 1,60 –
1,65 1,59 1,61 1,67
– 1,68 – 1,60 – 1,59 – 1,49
– – – –
1,72 1,59 1,65 1,70
Se seleccionará al azar; sin repetición, una muestra de cada curso. Para ello, se pueden usar diferentes estrategias. Por ejemplo, ocupar papeles o determinar un componente de la muestra cada cierto número de elementos. En este caso, se escogerán las estaturas cada 2 estudiantes. De esta forma, se tienen 3 muestras de tamaño 10. 1° A
1° B
1° C
1,70 – 1,55 – 1,71 – 1,66 – 1,60 1,61 – 1,51 – 1,71 – 1,65 – 1,48
1,72 – 1,66 – 1,49 – 1,59 – 1,60 1,58 – 1,70 – 1,53 – 1,52 – 1,56
1,73 – 1,65 – 1,72 – 1,56 – 1,60 1,60 – 1,61 – 1,65 – 1,60 – 1,49
Al calcular la media aritmética de cada muestra se tiene: 1° A: x
1° B: x
1° C: x
Calcula la media aritmética de los promedios obtenidos por las muestras. Anota una conlusión con respecto a la media aritmética de cada muestra y el promedio de las muestras.
Para grabar Al tener varias muestras pertenecientes a una población, puedes calcular la media aritmética de cada una de estas y posteriormente compararlas con el la media aritmética entre ellas. Esto permite tener una aproximación con respecto al promedio de la población total.
1.
Analiza el ejemplo dado anteriormente. Luego, resuelve. a. Selecciona muestras de tamaño 5 con reposición, para cada curso. Comenta y explica con tus compañeros(as) la estrategia utilizada para seleccionar cada muestra. b. Al calcular la media aritmética de cada muestra se tiene: 1° A: x
1° B: x
1° C: x
c. Calcula la media aritmética de los promedios obtenidos por las muestras. d. Anota una conlusión con respecto a la media aritmética de cada muestra y el promedio de las muestras.
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Resuelve los siguientes problemas. a. Si se tiene el conjunto A = {n ∈ , tal que 6 < n < 12} ¿Cuántas muestras de tamaño 2, con y sin reposición, pueden obtenerse? ¿Cuál es la media aritmética de los elementos de A? Si se tiene la siguiente muestra {7; 10; 11} y se calcula su media aritmética, ¿qué puedes concluir con respecto a la media aritmética de la muestra y de A? b. En un curso se obtuvieron las siguientes calificaciones en una prueba de matemática: 7,0 – 6,5 – 6,1 – 4,4 – 3,4 – 5,7 – 5,4 – 7,0 – 2,9 – 5,5 – 6,6 – 6,4 – 4,1 – 4,0 – 3,3 – 3,7 – 5,5 – 6,9 – 6,1 – 5,9 – 3,3 – 6,7 – 7,0 – 5,1 – 5,6 – 6,4 – 6,7 – 4,4 – 7,0 – 3,7 – 5,7 – 6,8 – 6,9 – 5,5 – 6,0 – 4,5 – 3,8 – 3,5 – 4,5 – 5,1 – 5,4 – 5,6. ¿Cuántas muestras de 4 calificaciones, sin reposición, puedes obtener? ¿Cuántas muestras de 7 calificaciones, con reposición, puedes obtener? Escoge 3 muestras de 4 calificaciones sin reposición y calcula la media aritmética de cada una de ellas. Luego, compáralas con la media aritmética del curso y anota 2 conclusiones. c. Los precios de distintos juegos de Play Station III se han registrado en el recuadro. $ 40.990 – $ 39.990 – $ 19.990 – $ 28.990 – $ 45.990 – $ 36.890 – $ 45.980 – $ 29.990 – $ 30.990 $ 31.990 – $ 40.990 – $ 39.990 – $ 29.990 – $ 41.990 – $ 39.990 – $ 35.990 – $ 41.990 – $ 33.990 ¿Cuántas muestras de 5 precios, sin repetición, puedes obtener? ¿Cuántas muestras de 7 precios, con repetición, puedes obtener? Escoge 4 muestras de 5 precios sin reposición y calcula la media aritmética de cada una de ellas. Luego, compáralas con la media aritmética de todos los precios y anota 2 conclusiones. Comenta con tus compañeros.
3.
Analiza la siguiente situación. Luego, responde. Se desean estudiar los distintos tipos de sueldos existentes en una empresa. Para dicho estudio se escogerán muestras de distintos departamentos de la empresa. Se escoge el departamento de finanzas, bodega, contabilidad e informática. En cada uno de estos departamentos trabajan 8 personas. Además, la empresa tiene un personal de 56 empleados distribuidos en 7 departamentos con igual número de trabajadores. Una vez determinada la media aritmética en estos distintos departamentos, se obtuvo lo siguiente:
Departamentos Finanzas
Bodega
Contabilidad
Informática
$ 450.000
$ 410.000
$ 445.000
$ 480.000
Para completar el estudio se determinó la media aritmética de toda la empresa, resultando: $ 565.750
Con respecto a esta información, responde: a. ¿Crees que la muestra obtenida es representativa? Explica. b. ¿Qué crees que ocurriría si se escogen otras muestras? Fundamenta tu respuesta. c. ¿En qué cambiaría si se consideran todas las muestras posibles de tamaño 7? Explica detalladamente. Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
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evaluación
contenido
resolución
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4.
Analiza la siguiente situación. Luego, responde. A continuación se presentan los puntajes obtenidos por todos los estudiantes de primer año medio de un determinado colegio. El puntaje mínimo es 0 y el máximo, 100 puntos.
10 – 15 – 71 – 84 – 34 – 47 – 54 – 75 – 99 – 100 – 7 – 12 – 21 – 45 – 33 – 72 – 65 – 79 – 68 – 9 – 43 0 – 22 – 33 – 44 – 58 – 67 – 78 – 79 – 87 – 97 – 100 – 9 – 75 – 90 – 45 – 88 – 95 – 75 – 19 – 14 – 96 30 – 55 – 67 – 64 – 74 – 37 – 84 – 90 – 79 – 85 – 46 – 24 – 19 – 50 – 63 – 74 – 5 – 100 – 15 – 89 – 13 37 – 50 – 61 – 86 – 94 – 96 – 14 – 75 – 77 – 67 – 98 – 89 – 85 – 80 – 45 – 78 – 87 – 54 – 16 – 4 – 100 70 – 55 – 1 – 34 – 54 – 87 – 94 – 90 – 99 – 65 – 86 – 95 – 91 – 90 – 83 – 76 – 51 – 89 – 71 – 39 – 30 66 – 78 – 95 – 96 – 100 – 7 – 4 – 79 – 79 – 77 – 88 – 79 – 54 – 90 – 95 – 98 – 95 – 95 – 91 – 94 – 96 70 – 85 – 59 – 44 – 64 – 37 – 74 – 80 – 99 – 15 – 46 – 94 – 31 – 50 – 83 – 87 – 19 – 99 – 91 – 94 – 63 77 – 77 – 89 – 56 – 64 – 67 – 44 – 70 – 37 – 76 – 100 – 69 – 55 – 60 – 45 – 38 – 35 – 56 – 1 – 5 – 56 a. Completa en tu cuaderno las tablas, escogiendo las cantidades de muestras de tamaño 5 pedidas para cada caso. Explica de qué forma seleccionaste los datos para completar cada una de ellas.
Tabla A (sin reposición) Muestra
1
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3
Tabla B (con reposición) 4
5
Muestra
Puntaje 1
Puntaje 1
Puntaje 2
Puntaje 2
Puntaje 3
Puntaje 3
Puntaje 4
Puntaje 4
Puntaje 5
Puntaje 5
Promedio
Promedio
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3
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b. Calcula la media aritmética del promedio de las muestras. Tabla A
Tabla B
c. ¿Cuál es la media poblacional (promedio de todos los datos)? d. ¿Cuál de las tablas crees que es más representativa? Explica en forma detallada. e. ¿Por qué crees que una de las tablas se aproxima más a la media poblacional? Fundamenta. Anota 2 conclusiones: 1. 2. f. A continuación, en tu cuaderno realiza tablas como las que se mostraron anteriormente. Para ello, debes escoger muestras de tamaño 8, 15 y 20 puntajes. No olvides especificar qué técnica ocupaste para seleccionar los datos y responde las mismas preguntas que aparecen en a, b, c, y d.
Para grabar De un conjunto de datos se pueden extraer distintas muestras, con y sin reemplazo. A su vez, de estas se puede determinar la media aritmética y el promedio asociado a las medias aritméticas. Así, se pueden comparar con el promedio de la población y realizar conclusiones.
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1
Analiza las siguientes situaciones. Luego, responde. a. En un colegio se anota la cantidad de celulares que los estudiantes tienen por curso. Los resultados se resumen en el siguiente recuadro. 40 – 35 – 41 – 34 – 44 – 37 – 44 – 45 – 39 – 30 – 41 – 32 – 31 – 45 – 43 – 32 – 35 – 39 – 38 – 39 – 43 20 – 32 – 33 – 34 – 38 – 37 – 48 – 35 – 27 – 40 – 30 – 29 – 25 – 30 – 45 – 18 – 25 – 25 – 19 – 14 – 26 30 – 45 – 37 – 34 – 14 – 17 – 14 – 39 – 39 – 25 – 16 – 24 – 19 – 30 – 53 – 22 – 15 – 10 – 15 – 29 – 13 Completa en tu cuaderno las tablas, escogiendo las cantidades de muestras de tamaño 3 pedidas para cada caso. Explica de qué forma seleccionaste los datos para completarlas.
Tabla A (sin reposición) Muestra
1
2
3
Tabla B (con reposición) 4
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Puntaje 1
Puntaje 1
Puntaje 2
Puntaje 2
Puntaje 3
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Promedio
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¿Cuál es la media aritmética de los promedios en las tablas A y B? En tu cuaderno realiza una tabla parecida a la mostrada anteriormente, pero esta vez utiliza muestras de tamaño 10, 15 y 20. ¿Cuáles son los valores de las medias aritméticas de cada uno de los promedios en las tablas realizadas en tu cuaderno? ¿Qué sucede con los valores de las medias aritméticas a medida que aumenta el tamaño de la muestra? ¿Cuál es la diferencia existente entre los promedios de las medias aritméticas en las tablas realizadas sin repetición y con repetición? b. La tabla muestra la superficie (m2) que se tiene en distintos sectores. 5,48 – 3,85 – 4,91 – 6,34 – 6,44 – 4,37 – 8,44 – 5,45 – 5,39 – 6,30 – 7,49 – 6,77 – 8,39 – 4,75 – 4,93 39,8 – 45,7 – 3,87 – 39,4 – 10,14 – 17,77 – 51,74 – 38,9 – 30,8 – 25,8 – 16,88 – 24,88 – 19,87 – 30,99
Tabla A (sin reposición) Muestra
1
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Tabla B (sin reposición) 3
Muestra
1
2
Tabla C (con reposición) 3
Muestra
Puntaje 1
Puntaje 1
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Puntaje 2
Puntaje 2
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Puntaje 3
Puntaje 3
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Promedio
Promedio
Promedio
1
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¿Cuáles son los valores de las medias aritméticas de cada uno de los promedios en las tablas realizadas en tu cuaderno? ¿Cuál es la diferencia existente entre los promedios de las medias aritméticas en las tablas realizadas sin reposición y con reposición? ¿Qué relación tiene la media poblacional con las medias aritméticas de las muestras? Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
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¿Qué es crear? Crear consiste en reorganizar la información en un nuevo modelo o estructura, formando un todo coherente o funcional.
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Trabajo de habilidades
Resolución de problemas 1 Analiza la resolución del siguiente problema. Se desea conocer cuál es la probabilidad de escoger al azar un número de 7 cifras compuesto por los dígitos 0, 1, 3, 5, 7, 8 y 9, con la condición de que el dígito final sea 5 y que no se repitan dígitos.
¿Qué tengo que hacer para crear una estrategia? Comprender el enunciado del problema. Interpretar la información entregada en el problema utilizando la representación.
Etapas de la resolución de problemas. Paso 1: Comprende el enunciado. Paso 2: Planifica lo que vas a realizar.
Paso 1 Comprende el enunciado Identifica y relaciona lo que entiendes de la información entregada. ¿Qué datos son necesarios para resolver el problema? La cantidad total de números que se pueden formar con 7 cifras distintas y la cantidad de números que terminen en 5. ¿Qué información entrega el enunciado del problema? La cantidad de cifras que debe contener el número por escoger y las condiciones de terminar en 5 y estar formado solo por dígitos 0, 1, 3, 5, 7, 8 y 9.
Paso 2 Planifica lo que vas a realizar Crea una estrategia. Primero, se debe considerar que el orden de los dígitos de los números que se formen sí importa, ya que basta con cambiar de posición uno de ellos para obtener otro (1.307.895 ≠ 1.307.985). Además, del enunciado se puede inferir que las cifras de los números deben ser solamente las indicadas y no repetir ninguna. Luego, para determinar el número total de casos favorables y posibles se puede utilizar el principio multiplicativo.
Paso 3 Resuelve el problema
Paso 3: Resuelve el problema. Paso 4: Revisa la solución.
Casos favorables
5
5 5 4 3 2 1 Valor fijo Luego, los casos favorables son 5 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 600. En el primer cuadro no se cuenta el dígito 0. Casos posibles 6 6 5 4 3 2 1 Luego, los casos posibles son 6 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 4.320. Finalmente, aplicando la regla de Laplace, se tiene que la probabilidad de escoger al azar un número de 7 cifras compuesto por los dígitos 0, 1, 3, 600 = 0, 1138. 5, 7, 8 y 9, donde el dígito final sea 5 es 4.320
Paso 4 Revisa la solución Para verificar, también es posible calcular el número de casos favorables resolviendo 5 • P5 = 5 • 5! = 5 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 600. De igual manera, es posible calcular el número de casos posibles resolviendo 6 • P6 = 6 • 6! = 6 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 4.320. Luego, la probabilidad pedida es 600 : 4320 = 0, 1138.
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2 Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente. Cinco amigos van al cine. Si de ellos 2 son mujeres, ¿cuál es la probabilidad de que al sentarse en una misma fila queden ubicadas una al lado de la otra?
Paso 1 Comprende el enunciado Identifica y relaciona lo que entiendes de la información entregada. ¿Qué datos son necesarios para resolver el problema?
¿Qué información entrega el enunciado del problema?
Paso 2 Planifica lo que vas a realizar Crea una estrategia.
Paso 3 Resuelve el problema
Paso 4 Revisa la solución
3 Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas. a. Se quiere determinar la probabilidad de obtener un número de 8 cifras distintas considerando los números del 0 al 7, con la condición de que la centena de mil sea el dígito 0. b. De 7 libros, 5 de ellos se colocarán en un estante, uno al lado del otro. ¿De cuántas formas es posible ordenar los 7 libros? Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
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evaluación sumativa
Verificando disco
I. Lee atentamente cada una de las preguntas y marca la alternativa correcta. Analiza el siguiente gráfico. Luego, responde las preguntas 1 y 2.
Analiza la siguiente tabla. Luego, responde las preguntas 3 y 4. Estatura de estudiantes de 1° medio
Número de funciones de espectáculos de artes escénicas y otros, por tipo de espectáculos. 2006-2008 6.000
2006
Número de funciones
2007
Estatura (m)
f
F
]1,5; 1,56]
18
18
]1,56; 1,6]
A
43
]1,6; 1,65]
B
76
]1,65; 1,7]
44
C
2008
5.000 4.000 3.000 2.000 1.000 0
Teatro Teatro Ballet Danza Danza Música Ópera Música Circo infantil público moderna folclórica docta popular general
Tipo de espectáculo
Recital Otros de poesía
1 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA? A. La cantidad de espectáculos en el año 2006 de Ballet es mayor que las de ópera en el mismo año. B. El número de funciones de ópera es menor en todos los años con respecto a otros. C. El número de funciones de música docta en todos los años es menor que el de música popular. D. En el teatro infantil del año 2008 hubo mayor cantidad de espectáculos que en el mismo año con respecto al teatro público general. E. Todas son verdaderas. 2 ¿Cuál(es) de la siguientes afirmaciones es(son) FALSA(S)? El número de funciones de música popular de cada uno de los 3 años se encuentra entre 2.000 y 3.000.
I.
II. Por año, todos los números de funciones de circo fueron menores a 2.000. III. El año 2007 en todas las artes escénicas y otros el número de funciones es menor a los otros 2 años. A. B. C. D. E.
264
Solo I. Solo II. Solo III. Solo I y II. Solo II y III.
3 ¿Cuál es el valor de A + B – C? A. B. C. D. E.
26 32 62 –62 Ninguna de las anteriores.
4 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) VERDADERA(S)? La frecuencia relativa correspondiente al 11 intervalo ]1,6; 1,65] es . 40 II. f% correspondiente al intervalo ]1,65; 1,7] es 36,6%.
I.
III. El valor correspondiente a B es mayor que el valor de A y menor que el de C. A. B. C. D. E.
Solo I. Solo II. Solo I y II. Solo I y III. I, II y III.
5 El histograma representa los sueldos de los empleados de una determinada empresa. ¿Cuál es el promedio redondeado a la unidad? A. B. C. D. E.
$ 240.000 $ 204.324 $ 225.135 $ 227.838 Ninguna de las anteriores.
Sueldos de la empresa frecuencia 15 12 8
2 120 180 240 300 360 Sueldo (miles de pesos)
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I. La moda aproximada a la centena es 21,92. II. La mediana truncada a la centena es 24,41. III. El promedio aproximado a la centésima es 21,05. A. B. C. D. E.
Solo I. Solo II. Solo III . Solo I y II. I, II y III.
9 ¿Cuál de las siguientes alternativas es FALSA? A. B. C. D. E.
P30 = D3 Q2 = D5 D7 = P70 Q3 = D3 Q1 = P25
1 20
2
20
3
]10; 15]
4
F
5
f
6
7
6
A. $ 151.251 B. $ 240.000 C. $ 251.250 D. $ 258.000 E . $ 300.000
X
5
Puntaje
f
F
]400; 450]
8
8
]450; 500]
9
17
]500; 550]
18
35
]550; 600]
33
68
]600; 650]
55
123
]650; 700]
50
173
]700; 750]
20
193
]750; 800]
17
210
10 ¿Qué representa el percentil 45? A. B. C. D. E.
45% obtuvo entre 580 y 600. 45% obtuvo más de 606,31. 45% obtuvo menos de 614,09. 45% obtuvo menos de 624,09. 45% obtuvo menos de 611,04.
11 Si B = {p ∈ / –3 ≤ p <10}, ¿cuántas muestras de tamaño 3 sin reposición pueden obtenerse? A. B. C. D. E.
720 810 1.336 1.504 1.720
12 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) VERDADERA(S)? I.
En una población de tamaño finito SIEMPRE es posible obtener una muestra. II. La media aritmética de una población de tamaño finito es igual a la media aritmética de una muestra de esta. III. De un conjunto de 10 elementos se pueden obtener 90 muestras de tamaño 2 sin reposición. A. B. C. D. E.
Solo I. Solo II. Solo III. Solo I y III. Solo II y III. Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
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85
Resultados ensayo PSU
7 Considerando el histograma de la pregunta 5, ¿Cuál es la moda?
Edad del encuestado
4
Con la siguiente tabla responde la pregunta 10.
$ 127.500 $ 211.500 $ 232.500 $ 236.786 $ 240.000
8 Con respecto a la siguiente tabla de frecuencias, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) FALSA(S)?
3
7
A. B. C. D. E.
2
8
6 Considerando el histograma de la pregunta 5, ¿cuál es la mediana?
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evaluación sumativa
Verificando disco
13 ¿Qué representa que un estudiante haya obtenido un puntaje superior al D8 en una evaluación? I.
Que su puntaje es menor que Q3.
II. Que está dentro del 20% de los puntajes más altos. III. Que supera al 80% de los puntajes de los otros estudiantes. A. B. C. D. E.
Solo I. Solo I y II. Solo I y III. Solo II y III. I, II y III.
14 En el experimento de lanzar dos dados de seis caras simultáneamente, ¿cuántos elementos tiene el espacio muestral? A. B. C. D. E.
6 12 18 21 36
15 De los siguientes experimentos, ¿cuál NO es aleatorio? A. B. C. D. E.
Lanzar una moneda. Sacar una carta de un naipe español. Sin mirar, elegir una bolita de una tómbola. Lanzar dos dados y una moneda. Ninguno de los anteriores.
16 Una urna contiene cuatro bolas rojas, tres bolas verdes, dos bolas blancas y una bola amarilla. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bola amarilla? A. B. C. D. E.
0,1 0,2 0,5 1 10
17 ¿Cuál es la probabilidad de extraer una carta del naipe inglés que no sea de corazones? 11 A. 4 4 33 B. 4111 4 4 4 43 3 C. 3 3 13 13 13 4 4 41 11 D. 3 3 3 52 52 13 13 13 11 11 E. 11 111 52 52 52 52 52 2 2 11 11 18 La probabilidad de obtener 2 caras al lanzar 3 11 3 3 monedas simultáneamente es: 52 52 52 22 2 2 2 8 A. 8 3 3 3 33 2 2 2 8 B. 8 8 8 83 3 3 3 3 C. 16 16 16 8 8 82 2 23 3 3 D. 32 32 16 16 16 2 2 E. 2 32 32 32 19 ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar utilizando los dígitos 5, 6, 7 y 8? A. B. C. D. E.
20 ¿Cuántos números impares de 5 cifras se pueden formar con los dígitos del 0 al 9 sin que estos se repitan? A. B. C. D. E.
266
4 8 16 64 256
15.120 22.680 29.160 52.448 59.049
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6 (n+3)! C + P36 3
1
14 22 ¿Cuántas palabras de 10 letras distintas con o 2 sin sentido pueden formarse con las letras de la palabra MATEMATICA?11 3 A. 40.320 11 B. 151.200 5 C. 302.400 D. 362.880 14 8! E. 3.628.800 9 5! 25 23 ¿Cuál es el valor de C 36 + P36?
0,01
(n+ 1)! 20 1 (n+3)! 120 6 140 3 5 924 14 Ninguna de las anteriores. 6 2 1 24 Si se elige al azar un 11número de 5 cifras, ¿cuál 36 es la probabilidad de3escoger un número par? A. B. C. D. E.
5
A. B. C. D. E.
11 0,1 216 5 0,4 1 0,5 14 216 0,6 8! 9 1 Ninguna de las anteriores. 5! 25 6
(n+2)!
6
C66 + P66
+ P333 contiene 30,01 25 UnaC333urna bolas 1blancas y 2 bolas rojas. se agregan 91 bolas blancas, ¿cuál es la (n+Si1)! n(n+1) probabilidad una roja? (n+3)! (n+3)! de extraer 6 1 3 5 3 A. (n+1)(n+2) 14 6 1 2 1 B. (n+ + 2)(n+3) 11 36 1 5 C. 3 (n+3) 11 216 D. 5
14
1
216 E. Ninguna de las anteriores. 9 1 25 25 (n+2)!
0,01 11 6 6
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5 5
E.
2
3
3
(n+ 1)! (n+3)!
4
C36 + P36
5
15 48 56 336 1.680
es:
5!
6
A. B. C. D. E.
8!
(n+1)(n+2)
14
1
9
+ 2)(n+3) (n+
25
1
(n+3)
7
21 El valor de la expresión
85 8
3 8! (n+ 1)! 8! 14 5! (n+3)! 5! 26 1 2 3 4 5 6 7 6 C C3336 + +P P336 11 14 (n+ (n+ 1)! 1)! 3 2 (n+3)! (n+3)! 11 8! 113 3 5 5! 3 26 La probabilidad de que al escoger un número de 146 + P 6 C14 3 3 11 2 cifras sea primo y que termine en 2 es: 2 29 (n+ 1)! 5 11 11 25 A. 0 (n+3)! 14 3 3 B. 0,01 0,5 3 9 11 C. 0,11 11 1 14 25 D. 0,01 5 6 2 E. 0,01 14 14 5 11 19 9 27 Un 6 dado se lanza en forma consecutiva 3 veces, 3 25 6 25 ¿cuál es la probabilidad de que en el primer 111 5 0,01 lanzamiento se obtengan 5 puntos? 0,01 36 5 61 15 A. 14 1 6 69 216 36 5 5 1 B. 25 5 6 6 216 0,01 216 11 C. 1 1 1 36 36 (n+2)! 6 216 5 D. 55 11 216 216 8! n(n+1) 6 (n+2)! 1 1 5! E. 1 1 216 216 C36 + P36 (n+1)(n+2) 36 n(n+1) 11 5 11 (n+ 1)! 28 ¿Cuál es la expresión que representa ? (n+2)! (n+2)! (n+ + 2)(n+3) (n+3)! 216 (n+1)(n+2) 1 11 1 3 A n(n+1) 1 n(n+1) (n+3) 216+ 2)(n+3) 14 (n+ 11 1 2 B. (n+1)(n+2) 1 (n+1)(n+2) (n+2)! 11 (n+3)11 3 1 C. (n+ + 2)(n+3) (n+ + 2)(n+3) 11 n(n+1) 11 5 1 D. (n+3) (n+3)
0,01 1 6
5 6 1 36
5 216
1
n(n+1) 1
(n+1)(n+2)
1
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c c
resol u
e e
en co n t i do
n de prob ció
r h
as lem
uac eval ión
evaluación sumativa
II. Lee atentamente el problema. Luego, resuelve. 1. Un juego de dominó tiene 28 fichas. Si se extrae una ficha al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de sus puntos sea un número impar?
2. El polígono de frecuencias que se muestra a continuación representa la cantidad de dinero ahorrado durante el año por estudiantes de un primero medio en distintas actividades realizadas. a. Determina las medidas de tendencia central asociadas al gráfico. b. Construye el polígono de frecuencias acumulada. Dinero ahorrado Frecuencia
7 5
2 145.900
268
150.000 145.100
162.300
Pesos
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5 5
4
6
7
6
4
3
7
2
3
1
Historial
2
85 8
1
Una técnica que facilita la retención de lo estudiado para después realizar un repaso eficiente es el cuadro sinóptico. Se trata de un resumen esquematizado, cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de manera estructurada y organizada. Completa la tabla que muestra algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad. Contenido
Procedimiento o definición
Ejemplo
Interpretación de gráficos.
Tablas de frecuencias.
Representación de datos.
Medidas de tendencia central.
Medidas de posición.
Azar y experimentos aleatorios.
Regla de Laplace.
Permutación y combinatoria.
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Organizar favoritos Ahora que tienes claras las ideas principales, elabora un mapa conceptual que te permita relacionar algunos conceptos clave trabajados en la unidad. Conceptos clave
Gráficos de frecuencias Mediana Percentil Experimentos aleatorios Combinatoria
Encuestas Moda Quintil Probabilidad Regla de Laplace
Tablas de frecuencias Promedio Permutación
Herramientas A continuación, te presentamos algunos datos fundamentales de esta unidad. No los olvides, pues te seguirán siendo útiles. El número de permutaciones de un subconjunto de r elementos de un conjunto de n elementos está dado por: Prn =
n! (n–r)!
Percentiles k de N datos. k •N
–Fi–1 P =Li + 100 •a i k fi
270
El número de combinaciones que pueden formarse de k elementos a partir de un conjunto de n elementos está dado por:
n n! ; n≥k Cnk = = k k!(n–k))!! Moda entre datos agrupados por intervalos: D1 Mo =Li +a • D1 +D2
Regla de Laplace. P(A) =
Número de casos favorables Número d dee casos posibles 0 ≤ P(A) (A) ≤ 1
Mediana para datos agrupados por intervalos:
n
–Fi–1 Me =li–1 + 2 •a i fi
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1
Aplicar Evaluar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Comprender Comprender Aplicar
2
Probabilidad.
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
3
Evaluar Evaluar Analizar Analizar Comprender Comprender Comprender Evaluar Analizar Aplicar Aplicar Evaluar Evaluar
4
Estadística.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Clave
5 5
Habilidad
4
6
7
6
Número de pregunta
3
7
Contenido
2
85 8
Cerrar sesión
1
Nivel de logro
13
15
Mi estado Evalúa tu desempeño a partir del logro alcanzado para cada contenido. ¿Qué contenidos podrías enseñarle a una compañera o compañero que no los haya entendido? ¿Qué temas debes repasar? ¿Qué harás para reforzarlos? ¿Qué calificación te pondrías de acuerdo a lo que has aprendido a lo largo de la unidad? ¿Por qué?
Matemática 1° medio • Nuevo Explor@ndo
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