Mat 4m txt ecat by Mauricio Fresard

Matemática Matemática

Medio Estadística y probabilidad Geometría espacial

Inecuaciones Funciones

Matemática Matemática

Medio

Autoría Susan Schwerter Felmer Licenciada en Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile Licenciatura en Matemática

Carlos Castro Maldonado Licenciado en Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile Licenciatura en Matemática

El Texto Matemática – Proyecto Nuevo Explor@ndo para 4to Año de Educación Media es una creación del Departamento de Estudios Pedagógicos de Ediciones SM – Chile. DIRECCIÓN EDITORIAL Arlette Sandoval Espinoza JEFATURA EDITORIAL Georgina Giadrosic Reyes COORDINACIÓN ÁREA MATEMÁTICA Pablo Saavedra Rosas EDICIÓN Marco Linares Rodríguez Carla Frigerio Cortés AYUDANTE DE EDICIÓN Carlos García Escuti AUTORÍA Susan Schwerter Felmer Carlos Castro Maldonado ASESORÍA PEDAGÓGICA Gastón Guerrero Arcos CONSULTORÍA Ilich Aguayo Escobar Anakena Ibaceta Díaz CORRECCIÓN DE ESTILO Paula Vera Solís DIRECCIÓN DE ARTE Carmen Gloria Robles Sepúlveda DISEÑO DE PORTADA Mauricio Fresard Lemmermann DISEÑO Y DIAGRAMACIÓN María Elena Nieto Flores Jennifer Contreras Vilches Mauricio Fresard Lemmermann FOTOGRAFÍA Archivos fotográficos SM PRODUCCIÓN Andrea Carrasco Zavala

www.ediciones-sm.cl

Este libro corresponde al Cuarto Año de Educación Media y ha sido elaborado conforme al Marco Curricular vigente del Ministerio de Educación de Chile. © 2014 – Ediciones SM Chile S.A. Dirección editorial: Coyancura 2283, oficina 203 - Providencia, Santiago. Printed in Chile / Impreso en Chile ISBN 978-956-349-625-3 Depósito legal Nº 237246 E-mail: chile@ediciones-sm.cl Servicio de Atención al Cliente: 600 381 13 12 Este libro se terminó de imprimir en los talleres de Salesianos Impresores S.A. Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del Copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

Matemática El Texto Matemática 4° Medio del proyecto Nuevo Explorando fue creado pensando en brindarte la posibilidad de emplear contenidos matemáticos en distintos contextos, para que logres comprenderlos a cabalidad. En él se propone el desarrollo explícito de habilidades y del pensamiento lógico a través de la resolución de problemas. Este proyecto incluye, junto con el Texto, un Libro de actividades para que potencies la ejercitación de los contenidos vistos en clases y te familiarices con el formato de preguntas de la Prueba de Selección Universitaria (PSU), examen de carácter nacional que deberás rendir cuando egreses de 4° Medio. La unidad 1 del Texto abarca la función potencia, tipos de progresiones y crecimiento, funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas y la existencia de función inversa. La unidad 2 trata los distintos tipos de inecuaciones. Luego, en la unidad 3 estudiarás la geometría espacial por medio de representaciones de puntos, vectores, rectas y planos. Además, calcularás el área y el volumen de cuerpos geométricos. Finalmente, la unidad 4 de estadística y probabilidad engloba los conceptos relacionados con funciones de densidad, distribución normal y binomial y, representatividad de muestras, entre otros. Con este proyecto innovador de Ediciones SM, sumado a tu dedicación y al permanente apoyo de tu profesor o profesora, estamos seguros de que tu esfuerzo se verá recompensado.

Marco curricular Unidades

Objetivos Fundamentales (OF)

Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO)

1. Modelar situaciones o fenómenos cuyo modelo resultante sea la función potencia. 2. Analizar las condiciones para la existencia de la función inversa.

1. Análisis de la función potencia f(x) = axn con a y x en los reales y n entero, en situaciones que representen comparación de tasas de crecimiento aritmético y geométrico y cálculo de interés compuesto, mediante el uso de un software gráfico. 2. Identificación de funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas y determinación de la función inversa cuando proceda.

1. Modelar situaciones o fenómenos cuyo modelo resultante sean inecuaciones lineales y sistemas de inecuaciones. 2. Resolver problemas utilizando inecuaciones lineales o sistemas de inecuaciones.

1. Representación de intervalos mediante lenguaje conjuntista y uso de las operaciones con conjuntos para resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita. 2. Resolución de problemas que implican el planteamiento de inecuaciones y de sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita; representación de las soluciones usando intervalos en los reales; discusión de la existencia y pertinencia de las soluciones de acuerdo con el contexto. Representación de las situaciones usando un procesador simbólico y gráfico de expresiones algebraicas y funciones.

Funciones

Inecuaciones

MARCO CURRICULAR

Nuevo Explor@ndo Matemática

Unidades

Objetivos Fundamentales (OF)

Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO)

1. Comprender que puntos, rectas y planos pueden ser representados en el sistema coordenado tridimensional y determinar la representación cartesiana y vectorial de la ecuación de la recta en el espacio. 2. Determinar áreas y volúmenes de cuerpos geométricos generados por rotación o traslación de figuras planas en el espacio.

1. Deducción de la distancia entre dos puntos ubicados en un sistema de coordenadas en tres dimensiones y su aplicación al cálculo del módulo de un vector. 2. Identificación y descripción de puntos, rectas y planos en el espacio; deducción de la ecuación vectorial de la recta y su relación con la ecuación cartesiana. 3. Formulación y verificación, en casos particulares, de conjeturas respecto de los cuerpos geométricos generados a partir de traslaciones o rotaciones de figuras planas en el espacio. 4. Resolución de problemas sobre áreas y volúmenes de cuerpos generados por rotación o traslación de figuras planas.

1. Evaluar críticamente información estadística extraída desde medios de comunicación, tales como periódicos, artículos de revistas o desde Internet. 2. Relacionar y aplicar los conceptos de función de densidad y distribución de probabilidad, para el caso de una variable aleatoria continua. 3. Argumentar acerca de la confiabilidad de la estimación de la media de una población con distribución normal, a partir de datos muestrales.

1. Interpretación del concepto de variable aleatoria continua y de la función de densidad de una variable aleatoria con distribución normal. 2. Estudio y aplicación de elementos básicos de la distribución normal, a partir de diversas situaciones en contexto tales como: mediciones de peso y estatura en adolescentes; puntajes de pruebas nacionales e internacionales; datos meteorológicos de temperatura o precipitaciones. Relación entre la distribución normal y la distribución normal estándar. 3. Realización de conjeturas sobre el tipo de distribución al que tienden las medias muestrales; verificación mediante experimentos donde se extraen muestras aleatorias de igual tamaño de una población, mediante el uso de herramientas tecnológicas. 4. Estimación de intervalos de confianza, para la media de una población con distribución normal y varianza conocida, a partir de una muestra y un nivel de confianza dado. 5. Análisis crítico de las inferencias realizadas a partir de encuestas, estudios estadísticos o experimentos, usando criterios de representatividad de la muestra. 6. Descripción de los resultados de repeticiones de un experimento aleatorio, aplicando las distribuciones de probabilidad normal y binomial mediante el uso de herramientas tecnológicas. 7. Aproximación de la probabilidad binomial por la probabilidad de la normal, aplicación al cálculo de experimentos binomiales.

Geometría espacial

Estadística y probabilidad

Matemática MATEMÁTICA 4° MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

Nuevo Explor@ndo ÍNDICE

Unidad

Funciones

10 12 14 18 26 28 30 32 34 36 37 38 40 42 44 46 48 52 56 57 58 63

Inicio de unidad Inicializando Funciones Función potencia Traslaciones de la función potencia Interés compuesto Analizando disco Progresión aritmética Progresión geométrica Crecimiento aritmético y geométrico Crecimiento potencial Tasas de crecimiento Analizando disco Función inyectiva Función sobreyectiva Función biyectiva Función inversa Resolución de problemas Historial Cargando disco Verificando disco Cerrar sesión

ÍNDICE

64 66 68 70 72 73 76 78 80 82 84 86 88 90

Inecuaciones

96 100 104 105 106 111

Inicio de unidad Inicializando Intervalos en 핉 Unión e intersección de intervalos Desigualdades Propiedades de las desigualdades Valor absoluto Analizando disco Inecuaciones de primer grado con una incógnita Inecuaciones racionales de primer grado con una incógnita Inecuaciones con valor absoluto Inecuaciones de segundo grado con una incógnita Analizando disco Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas Sistemas de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas Programación lineal Resolución de problemas Historial Cargando disco Verificando disco Cerrar sesión

112

Recopilando disco 1

92 94

Nuevo Explor@ndo Matemática

Unidad

124 126 128 129 130 132 134 136 138 142 144 146 147 148 150 152 154 156 160 161 162 167

Unidad

Geometría espacial

Inicio de unidad Inicializando Puntos en el espacio Distancia entre dos puntos en el espacio Vectores en el espacio Producto escalar y producto vectorial Forma vectorial de una recta en el plano Forma vectorial de una recta en el espacio Planos en el espacio Relaciones entre planos Analizando disco Traslación y cuerpos geométricos Rotación y cuerpos geométricos Prismas Cilindro Cono Esfera Resolución de problemas Historial Cargando disco Verificando disco Cerrar sesión

Estadística y probabilidad

168 170 172 174 178 180 182 184 186 190 194 197 200 204 205 206 211

Inicio de unidad Inicializando Variable aleatoria Función de densidad Distribución normal Distribución normal estándar Tendencia de las medias muestrales Analizando disco Intervalos de confianza Representatividad de una muestra Experimentos aleatorios y distribuciones Probabilidad binomial y normal Resolución de problemas Historial Cargando disco Verificando disco Cerrar sesión

212 223

Recopilando disco 2 Tabla de tipificación

MATEMÁTICA 4° MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

Explorando mi Texto

Menu de inicio Para conocer los principales contenidos que vas a estudiar en la unidad, las metas de aprendizajes asociadas a ellos y las páginas donde se encuentran.

Inicializando (Evaluación inicial) Para diagnosticar el dominio de conceptos previos, necesarios para instalar los contenidos de la unidad. Incluye una sección de autoevaluación denominada Mi Estado.

Contenido

Resolución de problemas

Para desarrollar los contenidos en profundidad. Estos se complementan con las secciones: Para Grabar, Ayuda, Ampliando Memoria, Desafíate, Paso a Paso y Advertencia.

Para desarrollar el trabajo de habilidades. En ellas se propone una estrategia de resolución de problemas, explicitando la habilidad considerada. Finalmente, se plantea una serie de problemas para que el estudiante practique.

I CONOGRAFÍA Mi ESTADO Puedes revisar los avances obtenidos en el trabajo de la unidad a través de los indicadores de logro de tus aprendizajes en Mi estado.

EXPLORANDO MI TEXTO

Desafíate Actividad de mayor grado de dificultad o profundización del contenido o tarea.

Para GRABAR Cápsula de síntesis y formalización de contenidos conceptuales y procedimentales.

Paso a paso Orientación específica en la resolución de alguna tarea.

Nuevo Explor@ndo Matemática

Historial (Síntesis) Para representar, en un organizador gráfico, los contenidos vistos en la unidad.

Analizando disco y Verificando disco (Evaluación de proceso y final)

Cargando disco (Síntesis)

Para evaluar los contenidos y habilidades trabajados hasta ese momento en la unidad. Constan de preguntas con alternativas y de desarrollo, y consideran la sección de autoevaluación Mi Estado.

Cerrar sesión Para conocer el nivel de logro alcanzado en la evaluación final y un modelo para autoevaluar el rendimiento logrado a lo largo de la unidad.

AYUDA

Ampliando MEMORIA

Cápsula que aporta información para realizar una actividad determinada.

Información adicional cuyo objetivo es complementar el contendo entregado.

Para mostrar cómo resolver preguntas de suficiencia de datos, justificando paso a paso cada opción.

Recopilando disco (Evaluación semestral) Para evaluar integradamente con preguntas de alternativas contenidos que se han visto hasta ese momento en el Texto.

Advertencia

nuevoexplorando.edicionessm.cl

Información cuyo objetivo es que el estudiante evite cometer errores frecuentes relacionados con un tipo de tarea o contenido.

Para que ingreses a esta página web, en la que encontrarás más recursos que reforzarán y ampliarán tus conocimientos.

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

Unidad

Funciones

1 2 3 4

MENÚ de inicio ¿Qué aprenderás?

¿Para qué?

¿Dónde?

Funciones reales, función potencia y su gráfico.

Modelar y resolver problemas que involucren una función potencia.

Páginas 10 a 27.

Cálculo de interés compuesto.

Calcular interés compuesto en distintos tipos de aplicaciones.

Páginas 28 y 29.

Progresiones, crecimiento aritmético, geométrico y potencial.

Analizar el comportamiento de una tabla de datos y modelar su crecimiento.

Páginas 32 a 39.

Función inyectiva, sobreyectiva, biyectiva e inversa.

Analizar la existencia de la función inversa de una función dada y sus características.

Páginas 42 a 51.

10 UNIDAD 1 • FUNCIONES

ABRIR sesión

El concepto de función es, sin duda, uno de los más importantes y utilizados tanto en Matemática como, incluso en otras Ciencias. No fue fácil entender este concepto y muchas mentes brillantes dedicaron enormes esfuerzos durante siglos para que tuviera una definición consistente y precisa. Entre esas personas estuvo Galileo (1564-1642); quien fue uno de los primeros en usar el concepto −aunque no en la forma que actualmente se conoce−, además de Newton (1642-1727) o Leibniz (1646-1716). Este último, en 1673, fue el primero en usar la palabra "función" para referirse a la relación de dependencia entre dos variables o cantidades. Euler (1707-1783) es quien le dio su formulación moderna y = f(x). El estudio de las propiedades de las funciones está presente en todo tipo de fenómenos. Así, es posible nombrar el crecimiento demográfico, aspectos económicos; como la inflación o el comportamiento bursátil, fenómenos físicos, químicos o naturales; como la variación de la presión atmosférica, la velocidad y la aceleración, la gravitación universal, las leyes del movimiento, la función de onda de una partícula a escala cuántica, la desintegración de sustancias radiactivas o la reproducción de especies vegetales y animales; casi todo es susceptible de ser modelado a través del planteamiento y estudio de una o varias funciones que gobiernan los mecanismos internos de los procesos en todas las escalas y niveles. Otra cosa distinta y mucho más difícil es determinar cuáles son las funciones que intervienen en cada proceso en concreto. Esta, en suma, es la tarea de los científicos: descubrir la dinámica que rige a cada fenómeno y expresarla en términos de una función matemática. Considerando la información, responde: 1. ¿Quién fue el primer matemático en utilizar la notación actual de función? 2. ¿En qué ámbitos es posible reconocer funciones? Da ejemplos. 3. ¿Qué funciones has estudiado en años anteriores?

nuevoexplorando.edicionessm.cl

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

Evaluación inicial

I nicializando

Lee atentamente y luego resuelve los ejercicios. 1. Calcula el valor de las siguientes expresiones. Para ello, considera a = –1, b = 2 y c = –2. a. a2 + b5 – c3 b. (a + b + c)

a + c − 3ac ( ___________ ) a−b

g. √a + b − c + 1

b √______ (a − c)

a+ b+ c ( ________ abc )

a2 b − c · _____ _____ a− b c2

2a + b + c + 2 c

a5 + c2 c. ______ 5b5

__________

______ 4

−2

abc _________

b __

2. Aplica propiedades de potencias para reducir las siguientes expresiones.

( )

a. 23 · 22 · (–2)4

3 · __ 3 · __ 2 3 · __ 2 c. __ 2 3 24 3

b. 34 · 32 · 3–2

5 · 4−3 · 5−4 · 40 d. 5_____________ 46 · 52 · 4−9

52 · 27−3 · 5−3 · 812 e. 2________________ 125−1 · 45 · 56

−5

125 · 365 · 46 ______________ 81 · 484 · 244 · 72

3. Analiza los diagramas. Luego, responde. I.

II.

III.

p q w x y z

h A

B w

x b

a. ¿Cuál(es) de los diagramas representa(n) una función? Justifica. b. ¿Qué relación debe existir entre z e y para que h sea una función de A en B? c. ¿Cuál es el dominio y recorrido de f y g? f(b) − f(d) d. Calcula el valor de _________2 (f(e) · f(c)) 4. Analiza las siguientes reglas de formación de funciones reales. Luego, calcula. • f(x) = 2x

12 UNIDAD 1 • FUNCIONES

• g(x) = √x − 1

• h(x) = log(x)

a. g(9) − h(100)

c. f(−3) − g(4)

b. i(−8) + f(2)

1 + f(−1) d. h(0,1) + 2g __ 4

( )

• i(x) = 1 − І x І e. i(5) + i(4) − 3i(3) + i(2) f.

( )

(

1 − __ 1 h ____ 1 h ___ 10 2 100

)

5. Analiza las siguientes funciones definidas en ℝ. Luego, grafícalas. a. f(x) = x – 2 y

b. g(x) = x2 + x – 2 y

4 3 2 1

c. h(x) = І x + 1 І y

4 3 2 1

-4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4

4 3 2 1

-4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4

6. Analiza el gráfico de la función real f. Luego, evalúa si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Para ello escribe V o F según corresponda. y a. La gráfica de f interseca 5 al eje y en (1, 0). 4 f(4) – f(–4) = –7. b. 3

La imagen de x = 4 es y = –4. f(–3) – f(0) · f(2) = 7.

1 -5

-4

-3

-2

-1

-2 -3 -4 -5

Si –2 ≤ x ≤ 1, entonces, f(x) = 1. f(–2) + f(2) = 0.

f(–1) < f(2) .

7. Identifica la función representada. Para ello, escribe en cada gráfico la expresión que corresponde. • g(x) = 3x + 1 y

• p(x) = √x − 1 y

-1 0 -1

1 -3 -2 -1

____

• h(x) = (x – 1)2 y

0 -1

-2 -3

Mi ESTADO En estas actividades:

1 -4 -3 -2 -1

0 -1

•

¿Qué te resultó más fácil? ¿Por qué?

•

¿Qué te resultó más difícil? ¿Por qué?

•

¿Reconoces los contenidos trabajados?

•

¿Cuál de esos contenidos crees que debes repasar antes de continuar?

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

Funciones Ampliando MEMORIA

Sea f: A ⊆ ℝ → B ⊆ ℝ una función definida por y = f(x), entonces su gráfico está formado por el conjunto de pares ordenados: {(x, f(x)) / x ∈ A}

Las funciones son fundamentales en matemática para describir y analizar situaciones reales en las que una cantidad depende de otra. Por ejemplo, la relación entre el área A y el radio r de un círculo se puede representar: – Gráficamente. – Mediante una descripción en palabras.

A 18π

“El área de un círculo es directamente proporcional al cuadrado de su radio, con constante de proporcionalidad π”.

16π 14π

Utilizando una tabla con algunos valores: r

A(r)

4π

9π

16π

12π 10π 8π

– A partir de una fórmula. A(r) = πr2

6π

Luego, a cada número real r, mayor o igual que cero, se le puede asociar un valor de A. Entonces, se dice que “A depende de r”.

4π 2π 0

AYUDA • x se llama preimagen y f(x) imagen.

Sean A y B dos subconjuntos de ℝ. Una función real f de A en B es una relación que asigna a cada elemento de A un único elemento de B. Esta relación se denota como: f: A ⊆ ℝ → B ⊆ ℝ x → y = f(x)

Donde x ∈ A e y ∈ B. Además, A es el dominio de f (dom(f)), B su recorrido (rec(f)), y ℝ su codominio (cod(f)).

1. Identifica en los siguientes diagramas sagitales, el dominio, codominio, recorrido y regla de formación de las siguientes funciones. f

a. 1 2 4 6

14 UNIDAD 1 • FUNCIONES

Para GRABAR

• El recorrido de f es el conjunto rec(f) = {f(x) / x ∈ A}. • Si de una función real solo se conoce su regla de formación “y = f(x)”, entonces se considera su dominio como el conjunto de números reales, para los cuales f(x) es también un número real, y a su codominio como ℝ.

b. 2 4 6 8 10 12

g –4 –2 0 1 3

8 4 0 –2 –6

dom(f) =

rec(f) =

dom(g) =

rec(g) =

cod(f) =

Regla:

cod(g) =

Regla:

1 2. Analiza las siguientes funciones. Luego, completa. a. Sea f: {1, 2, 3} → ℝ con f(x) = 2x – 3. f(1) = f(2) = f(3) =

c. Sea h(x) = –x. h(1) = h(4) =

dom(f) =

dom(h) =

rec(f) =

rec(h) =

b. Sea g: {–1, 0, 8} → ℝ con g(x) = 2 – 3x. g(–1) = g(0) = g(8) =

d. Sea p(x) = x. p(–2) = p(0) =

dom(g) =

dom(p) =

rec(g) =

rec(p) =

3 2 1 -5

-4

-3

-2

-1

0 -1 -2 -3

Dos funciones con distinto dominio se consideran distintas, incluso si tienen la misma regla de formación.

h(25) =

Por ejemplo, las funciones f: ℝ → ℝ, f(x) = x2 y g: ℝ+ → ℝ, g(x) = x2 son distintas, ya que dom(f ) = ℝ y dom(g) = ℝ+.

p(1) =

a. ¿Cuántos ceros tiene el gráfico de la función representada? b. ¿Cuál es el dominio de la función? c. ¿Para qué valores de x, f(x) < 0? ¿Y para cuáles f(x) > 0? d. ¿Cómo puedes identificar gráficamente el recorrido de f? Explica. e. ¿Cuántas preimágenes tiene y = 1? Explica.

4. Analiza cada regla de formación y escribe el dominio de la función real respectiva.

AYUDA • x0 ∈ dom(f) es un cero de f si f( x0 ) = 0.

AYUDA

a. c(x) = x2 + 2x

x−3 e. f(x) = _____ x+3

• Recuerda que la división por cero no está definida.

1 b. m(x) = __ x

x2 f. g(x) = _____ 2 x −1

• Si x ∈ ℝ +0 , existe un único p ∈ ℝ +0 tal que p2 = x. Dicho número real p se llama raíz cuadrada de x y se representa _ por √ x .

____

c. p(x) = √x − 3

x−1 _____ g. k(x) = _______ √ 2x − 3

x____ −3 d. h(x) = ______ √x + 3

1 h. n(x) = __________ 3x2 + 3x − 6

Advertencia

3. Analiza el gráfico. Luego, responde. y

• Se define la función raíz cuadrada como f: ℝ +0 → ℝ +0 _ con f(x) = √x .

5. Evalúa si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Para ello, escribe V o F según corresponda.

Un número y, perteneciente al recorrido de la función f, puede tener más de una preimagen. En una función, una preimagen puede tener más de una imagen.

La función real f definida por f(x) = x + 1 es creciente.

Si f(x) = x y dom(f ) = ℝ, entonces su recorrido es ℝ+.

La gráfica de una función puede intersecar en más de un punto al eje x.

Si una gráfica interseca en más de un punto al eje y, entonces no representa una función. Si dos funciones tienen la misma regla de formación, entonces son iguales.

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

6. Analiza la información. Luego, escribe la regla de formación correspondiente a cada función real graficada.

• Función exponencial: f(x) = ax, con a ∈ ℝ+ – {1}, dom(f ) = ℝ y rec(f ) = ℝ+.

• Función logarítmica: f(x) = loga(x), con a ∈ ℝ+ – {1}, dom(f ) = ℝ+ y rec(f ) = ℝ. _

• Función raíz cuadrada: f(x) = √ x , con dom(f ) = ℝ +0 y rec(f ) = ℝ +0 . • Función cuadrática: f(x) = x2, con dom(f ) = ℝ y rec(f ) = ℝ +0 . _

• g(x) = x2 + x – 3

• f(x) = √x

a. Función:

• h(x) = log(x)

• p(x) = 3x

c. Función: y

4 3 2 1

-5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4

b. Función:

d. Función: y

4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4

4 3 2 1 1

-5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4

7. Analiza las reglas de formación. Luego, completa las tablas. a. f(x) = x2 – 9 x

–4

–3

–2

–1

–3

–2

–1

–0,5

0,5

–1

–0,75

0,21

0,96

1,25

1,56

5,25

0,0001

0,001

0,01

0,1

100

1.000

10.000

y = f(x)

b. g(x) = 4x x y = g(x) ____

c. h(x) = √x + 1 x y = h(x)

d. i(x) = log(x) x y = i(x)

16 UNIDAD 1 • FUNCIONES

9 10

8. Analiza las funciones reales. Luego, completa y grafica según corresponda. a. f(x) = 2x + 1 – 4 y x

f(x)

–4

–1

-4 -3

-2

-1

x 0

-1

-2

-3

dom(f) =

AYUDA

rec(f) =

Cuando el gráfico de una función real f:

Interseca al eje y en:

• interseca al eje y, lo hace en el punto cuya abscisa es 0.

Interseca al eje x en:

• interseca al eje x, lo hace en el o los puntos cuya ordenada es 0.

-4

b. g(x) = log2(x + 4) – 1 x

Sean h, k ∈ 핉:

g(x)

dom(g) =

–3,5

–3

–2

Ampliando MEMORIA

-4 -3

-2

-1

x 0

-1

-2

-3

rec(g) = Interseca al eje y en:

Interseca al eje x en:

-4

____

• Si g(x) = √ x − h + k es una _ traslación de f(x) =√ x , entonces dom(g) = [h, ∞[ y rec(g) = [k, ∞[.

h(x)

dom(h) =

–2

–1

• Si g(x) = loga(x – h) + k es una traslación de f(x) = loga(x), entonces dom(g) = ]h, ∞[ y rec(g) = 핉.

• Si g(x) = (x – h)2 + k es una traslación de f(x) = x2, entonces dom(g) = 핉 y rec(g) = [k, ∞[.

c. h(x) = x2 + x – 2 x

• Si g(x) = ax – h + k es una traslación de f(x) = ax, entonces dom(g) = 핉 y rec(g) = ]k, ∞[.

-4 -3

-2

-1

x 0

-1

-2

-3

rec(h) = Interseca al eje y en:

Interseca al eje x en:

-4 ____

d. p(x) = √ x + 2 − 2 y x

p(x)

–1

dom(p) =

–2

-4 -3

-2

-1

x 0

-1

-2

-3

rec(p) = Interseca al eje y en: Interseca al eje x en:

-4

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

Función potencia AYUDA El volumen V de un paralelepípedo de dimensiones a, b y c es:

Los envases de Tetra Pak que comúnmente almacenan leche, jugos, etc., están conformados por capas que evitan el contacto con el medio externo, lo cual protege las cualidades de los alimentos. Ciertas normas establecen que un tipo de estos envases debe tener base cuadrada y altura igual al doble de la longitud de la arista basal: 2x

V = abc

4.000

V (cm3)

3.600 x

(12, 3.456)

3.200

Algunos valores posibles y su representación gráfica son: Volumen de envases Tetra Pak de base cuadrada

2.800 2.400 2.000

(10, 2.000)

1.600

Arista basal (cm)

Volumen (cm3)

250

800

1.024

400

1.458

2.000

3.456

(9, 1.458)

1.200

(8, 1.024)

x (cm) (5, 250) 6 8 10 12 14

Luego, el volumen V depende de la longitud de la arista x, ya que V = x · x · 2x, es decir, V(x) = 2x3. Una función real con esta regla de formación es un ejemplo de función potencia.

Para GRABAR Una función potencia es una función real de la forma f(x) = axn, donde a ∈ ℝ – {0} y n ∈ ℤ. Su dominio es ℝ, y su recorrido depende de a y de n.

Por ejemplo, las funciones reales cuyas reglas de formación son:

• f(x) = 4x4

• g(x) = –5x−3

• h(x) = 0,2x−2

• i(x) = 1,2x5

son funciones potencia.

1. Analiza las funciones reales dadas por las siguientes reglas de formación. Luego, calcula. • f(x) = 4x4

• h(x) = 0,2x–2

a. g(3) – h(2)

d. h(0,1) + g(–2) + h(1)

b. f(–1) + i(–1) – h(–1)

e. i(1) · f(2) · g(0,2)

( ) ( )

5 1 + i __ c. f __ 2 6

18 UNIDAD 1 • FUNCIONES

• g(x) = –5x–3

f. i(0,5) – h(0,1) · f(–0,1)

• i(x) = 1,2x5

2. Analiza la siguiente información. Luego, responde. El gráfico representa las funciones reales definidas por f(x) = x2, g(x) = x4 y h(x) = x6. En todas ellas el coeficiente numérico a es positivo y el exponente n es un número par positivo. a. ¿Cuál es el valor de a en las tres funciones?

AYUDA Las funciones f, g y h están escritas de la forma f(x) = axn, y sus gráficas intersecan al eje x solo en el punto (0, 0).

b. ¿Cuál es el dominio y el recorrido de las tres funciones?

4 3

c. ¿En cuál intervalo las funciones son crecientes?

Ampliando MEMORIA

d. ¿En cuál intervalo las funciones son decrecientes? e. ¿Qué ocurre con los gráficos de las funciones a medida que el exponente aumenta? Analiza cada caso.

1 –4

–3 f(x) = x2 g(x) = x4 h(x) = x6

–2

–1

x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)

–1

• Una función real es estrictamente decreciente en [a, b] ⊆ A, si para todo x1, x2 ∈ [a, b]:

–2

• x ∈ ] –∞, –1[ ∪ ]1, ∞[.

• Una función real es estrictamente creciente en [a, b] ⊆ A, si para todo x1, x2 ∈ [a, b]:

• x ∈ ] –1, 1[.

x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)

3. Analiza la siguiente información. Luego, responde. AYUDA

El gráfico representa las funciones reales definidas por f(x) = –x2, g(x) = –x4 y h(x) = –x6. En todas ellas el coeficiente a es negativo y el exponente n es un número par positivo. a. ¿Cuál es el valor de a en las tres funciones? b. ¿Cuál es el dominio y recorrido de las tres funciones? c. ¿En cuál intervalo las funciones son crecientes? d. ¿En cuál intervalo las funciones son decrecientes? e. ¿Qué ocurre con los gráficos de las funciones a medida que el exponente aumenta? Analiza cada caso. • x ∈ ] –∞, –1[ ∪ ]1, ∞[.

y f(x) = –x2 g(x) = –x4 h(x) = –x6

1 –4

–3

–2

–1

Recuerda que (−x)2 ≠ −x2, con x ≠ 0.

x 4

–1 –2 –3 –4 –5 –6

• x ∈ ] –1, 1[.

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

4. Analiza la siguiente información. Luego, responde. El gráfico representa las funciones reales definidas por f(x) = x3, g(x) = x5 y h(x) = x7. En ellas el coeficiente a es positivo y el exponente n es un número impar positivo. a. ¿Cuál es el dominio y el recorrido de las tres funciones? b. ¿En cuál intervalo las funciones son crecientes? c. ¿En cuál intervalo las funciones son decrecientes? d. ¿Qué ocurre con los gráficos de las funciones a medida que el exponente aumenta? Analiza cada intervalo. • x ∈ ] –∞, –1[

4 f(x) = x3 g(x) = x5 h(x) = x7

3 2 1

–4

–3

–2

–1

–1 –2

• x ∈ ] –1, 0[

–3

• x ∈ ]0, 1[

• x ∈ ]1, ∞[

–4

5. Analiza la siguiente información. Luego, responde. El gráfico representa las funciones reales definidas por f(x) = –x3, g(x) = –x5 y h(x) = –x7. En ellas el coeficiente a es negativo y el exponente n es un número impar positivo. a. ¿Cuál es el dominio y el recorrido de las tres funciones? b. ¿En cuál intervalo las funciones son crecientes? c. ¿En cuál intervalo las funciones son decrecientes? d. ¿Qué ocurre con los gráficos de las funciones a medida que el exponente aumenta? Analiza cada intervalo. • x ∈ ] –∞, –1[ • x ∈ ] –1, 0[ • x ∈ ]0, 1[

• x ∈ ]1, ∞[

20 UNIDAD 1 • FUNCIONES

y f(x) = –x3 g(x) = –x5 h(x) = –x7

3 2 1 –4

–3

–2

–1

0 –1 –2 –3 –4

x 1

6. Analiza la siguiente información. Luego, responde. El gráfico representa las funciones reales definidas por f(x) = x–2, g(x) = x–4 y h(x) = x–6. a. ¿Cuál es el coeficiente a en las funciones? ¿A qué conjunto pertenece? b. ¿Qué tienen en común los exponentes? c. ¿Cuál es el dominio y el recorrido de las tres funciones? d. ¿En cuál intervalo las funciones son crecientes? ¿En cuál intervalo las funciones son decrecientes? e. ¿Qué ocurre con los gráficos de las funciones a medida que el exponente aumenta? Analiza cada intervalo: • x ∈ ] –∞, –1[

5 4 3 2 1 –4

–3 f(x) = x–2 g(x) = x–4 h(x) = x–6

–2

–1

–1 –2

• x ∈ ] –1, 0[ • x ∈ ]0, 1[

• x ∈ ]1, ∞[

7. Analiza la siguiente información. Luego, responde. El gráfico representa las funciones reales definidas por f(x) = –x–2, g(x) = –x–4 y h(x) = –x–6. a. ¿A qué conjunto pertenece el coeficiente a? b. ¿Qué tienen en común los exponentes? c. ¿Cuál es el dominio y el recorrido de las funciones? d. ¿En cuál intervalo las funciones son crecientes? ¿En cuál intervalo las funciones son decrecientes? e. ¿Qué ocurre con los gráficos de las funciones a medida que el exponente aumenta? Analiza cada intervalo: • x ∈ ] –∞, –1[ • x ∈ ] –1, 0[ • x ∈ ]0, 1[

y f(x) = –x–2 g(x) = –x–4 h(x) = –x–6

1 –4

–3

–2

–1

x 4

–1 –2 –3 –4 –5 –6

• x ∈ ]1, ∞[

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

8. Identifica las asíntotas de las funciones. 12

AYUDA

1 –1

x 1

–6

–4

–2

–1

–3

–2

–4

–6

x 2

–1

Por ejemplo, la recta x = 1 es asíntota de la gráfica de la función y = log(x – 1).

Si la gráfica de una función tiende a una recta, se dirá que esta es una asíntota de la gráfica de la función.

–8

–2

–10

–4

–12

–2 –3

9. Analiza la siguiente información. Luego, responde. El gráfico representa las funciones reales definidas por f(x) = x–1, g(x) = x–3 y h(x) = x–5. a. ¿A qué conjunto pertenece el coeficiente a? b. ¿Qué tienen en común los exponentes? c. ¿Cuál es el dominio y el recorrido de las tres funciones? d. ¿En cuál intervalo las funciones son crecientes? ¿En cuál intervalo las funciones son decrecientes? e. ¿Qué ocurre con los gráficos de las funciones a medida que el exponente aumenta? Analiza cada intervalo: • x ∈ ] –∞, –1[ • x ∈ ] –1, 0[ • x ∈ ]0, 1[

• x ∈ ]1, ∞[

22 UNIDAD 1 • FUNCIONES

4 f(x) = x–1 g(x) = x–3 h(x) = x–5

3 2 1

–4

–3

–2

–1

0 –1 –2 –3 –4

x 1

10. Analiza la siguiente información. Luego, responde. El gráfico representa las funciones reales definidas por f(x) = –x–1, g(x) = –x–3 y h(x) = –x–5. a. ¿A qué conjunto pertenece el coeficiente a? b. ¿Qué tienen en común los exponentes? c. ¿Cuál es el dominio y el recorrido de las tres funciones? d. ¿En cuál intervalo las funciones son crecientes? ¿En cuál intervalo las funciones son decrecientes? e. ¿Qué ocurre con los gráficos de las funciones a medida que el exponente aumenta? Analiza cada intervalo: • x ∈ ] –∞, –1[

y f(x) = –x–1 g(x) = –x–3 h(x) = –x–5

3 2 1 –4

–3

–1

–2

–1 –2 –3 –4

• x ∈ ] –1, 0[ • x ∈ ]0, 1[

• x ∈ ]1, ∞[

11. Identifica las asíntotas de las gráficas de las funciones. 8

–6

–4

–2

x 2

–6

–4

–2

–4

–6

–8

x 2

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

Para GRABAR Sea f(x) = axn con a ∈ ℝ – {0} y n ∈ ℕ, entonces: • Si n es par:

• Si n es impar:

Si a < 0: dom(f ) = ℝ rec(f ) = ℝ −0

Si a > 0: dom(f ) = ℝ rec(f ) = ℝ +0 Creciente en ]0, ∞[ Decreciente en ]–∞, 0[

Si a > 0: dom(f ) = ℝ rec(f ) = ℝ

Creciente en ]–∞, 0[ Decreciente en ]0, ∞[

Si a < 0: dom(f ) = ℝ rec(f ) = ℝ

Creciente en ℝ

Decreciente en ℝ

Sea f(x) = ax–n con a ∈ ℝ – {0} y n ∈ ℕ, entonces: • Si n es par:

• Si n es impar:

Si a < 0: dom(f ) = ℝ – {0} rec(f ) = ℝ−

Si a > 0: dom(f ) = ℝ – {0} rec(f ) = ℝ+

Creciente en ℝ− Decreciente en ℝ+

Si a > 0: dom(f ) = ℝ – {0} rec(f ) = ℝ – {0}

Creciente en ℝ+ Decreciente en ℝ−

Asíntotas: x=0ey=0

Si a < 0: dom(f ) = ℝ – {0} rec(f ) = ℝ – {0}

Decreciente en ℝ – {0}

Creciente en ℝ – {0}

Asíntotas: x=0ey=0

12. Evalúa la veracidad de las siguientes afirmaciones. Para ello, escribe V o F según corresponda. a.

El dominio de la función real definida por f(x) = 3x4 es ℝ +0 .

La función real definida por g(x) = –5x–3 es estrictamente creciente en ]0, ∞[.

Si f(x) = axn y g(x) = –axn, entonces las gráficas de f y g son simétricas respecto al eje y. La gráfica de la función real definida por f(x) = 1__ x 5 tiene asíntotas x = 0 2 e y = 0.

13. Analiza los gráficos. Luego, responde. a. Respecto a f(x), ¿qué sucede en cada caso con la gráfica de las funciones a medida que l a l aumenta? ¿Y si l a l disminuye? 6

–4

1 –4

–3

–2 f(x) = x2 g(x) = 2x2 h(x) = 5x2

24 UNIDAD 1 • FUNCIONES

–1

0 –1 –2

x 1

p(x) = 0,5x2 q(x) = 0,1x2

–3

–2

f(x) = –x3 g(x) = –2x3 h(x) = –5x3 p(x) = –0,5x3 q(x) = –0,1x3

–1

0 –1 –2 –3 –4

x 1

b. Respecto a f(x), ¿qué sucede con la gráfica de las funciones a medida que l a l aumenta? ¿Y si l a l disminuye? 4

y f(x) = x g(x) = 2x–3 h(x) = 5x–3 p(x) = 0,5x–3 q(x) = 0,1x–3

3 2 1 –4

–3

–2

–1

–3

1 –4

–3

–2

–1

x 1

–1

x 1

–2

–1

–3

–2

–4

–3

–5

–4

–6

f(x) = –x–2 g(x) = –2x–2 h(x) = –5x–2 p(x) = –0,5x–2 q(x) = –0,1x–2

Para GRABAR Sea la función f(x) = axn.

• Si n > 0, la gráfica de las funciones se abre a medida que l a l disminuye y se cierra a medida que l a l aumenta.

• Si n < 0, la gráfica de las funciones se abre a medida que l a l aumenta y se cierra a medida que l a l disminuye.

14. Evalúa la veracidad de las siguientes afirmaciones. Para ello, escribe V o F según corresponda y considera las siguientes funciones reales: 1 x7 1 x7 • f(x) = −3x7 • h(x) = − __ • g(x) = − __ 4 2 a. b. c. d.

• p(x) = –5x7

g(–1) > g(1) h(18) > f(18) p(–1,2) < g(–1,2) f(3,14) < p(3,14)

15. Clasifica cada función en par o impar.

Ampliando MEMORIA

a. y = 2x–5

e. y = –2,4x2

b. y = –0,7x–3

f. y = –6x–3

Una función real f:

c. y = x6

g. y = 3x7

d. y = –0,4x–4

h. y = 0,4x–8

• es par si f(–x) = f(x), para todo x ∈ dom(f). Además, su gráfico es simétrico con respecto al eje y.

• ¿Qué puedes concluir?

• es impar si f(–x) = –f(x), para todo x ∈ dom(f). Además, su gráfico es simétrico con respecto al origen.

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

Traslaciones de la función potencia Observa el gráfico de las funciones reales f y g, definidas por f(x) = x3 y g(x) = x3 – 3x2 + 3x.

Paso a paso (1) g(x) = x3 – 3x2 + 3x – 1 + 1 (2)

= (x – 1)3 + 1

(3)

= f(x – 1) + 1 (1) Como los términos x3, –3x2 y 3x corresponden a los tres primeros del desarrollo de un cubo, se suma un “cero conveniente”, en este caso, 1 – 1, para obtener el cuarto término de dicho desarrollo, –1. (2) Se factoriza x3 – 3x2 + 3x – 1 = (x – 1)3. (3) Como f(x) = x , entonces, (x – 1)3 = f(x – 1). 3

Es posible observar que las curvas que representan ambas funciones son idénticas, ya que mediante la traslación de una es posible obtener la otra.

y 4 f(x) = x3 3 2

El gráfico de g se puede obtener trasladando una unidad hacia la derecha y una unidad hacia arriba el gráfico de f. Algebraicamente, se tiene: x3 – 3x2 + 3x = (x – 1)3 + 1

-3

-2

g(x) = x3 – 3x2 + 3x

-1

x 4

-1

= f(x – 1) + 1

-2

= g(x)

-3

En este caso, f(x – 1) corresponde a una traslación horizontal hacia la derecha de f(x); mientras que f(x – 1) + 1 corresponde a una traslación vertical hacia arriba de f(x – 1).

-4

Para GRABAR Sean f y g f unciones reales. El gráfico de g(x) = a(x – h)n + k, con a, h, k ∈ ℝ – {0} y n ∈ ℤ, es una traslación del gráfico de f(x) = axn:

• horizontal en l h l unidades:

• vertical en l h l unidades:

Por ejemplo:

• El gráfico de g(x) = 3(x + 2)4 – 5

a la derecha, si h > 0.

es una traslación en 2 unidades a la izquierda y en 5 unidades hacia abajo del gráfico de f(x) = 3x4, es decir:

hacia abajo, si k < 0.

g(x) = f(x + 2) – 5

hacia arriba, si k > 0.

• El gráfico de g(x) = (x – 4)−5 + 3

a la izquierda, si h < 0.

Además, la relación entre los gráficos se puede denotar como: g(x) = f(x – h) + k

es una traslación en 4 unidades a la derecha y en 3 unidades hacia arriba del gráfico de f(x) = x−5, es decir: g(x) = f(x – 4) + 3

1. Describe la traslación de los gráficos de las funciones reales, a partir de f(x) = 5x−6. a. g(x) = 5(x + 1)−6

►

b. h(x) = 5x−6 – 3

►

c. i(x) = 5(x – 6)−6

►

d. m(x) = 5x−6 + 2

►

e. p(x) = 5(x – 2)−6 – 1 ► f. q(x) = 5(x + 5)−6 – 6 ►

26 UNIDAD 1 • FUNCIONES

2. Representa gráficamente las funciones a partir del gráfico dado. a.

b. g(x) = (x – 2)

g(x) = (x – 1)4

−1

h(x) = x−1 – 1

h(x) = x4 + 1

p(x) = (x – 2)−1 – 1

p(x) = (x – 1)4 + 1 y

f(x) = x–1

1 -4

-3

-2

-1

f(x) = x4

-1

-4

-3

-2

-1

-2

-1

-3

-2

-4

-3

3. Analiza los siguientes gráficos. Luego, relaciónalos con la función dada. y

y = g(x)

-2

2 y = f(x) 1

y = p(x)

-1

y = f(x)

1 -3

y = h(x)

-1

-4

-3

-2

-1

-2

-1

-3

-2

-4

-3

y = h(x)

y = p(x) 2

D esafíate

x 4

Investiga si existe una función que sea par e impar a la vez.

y = g(x)

-4

= 0,1x5 + 2

= 0,1(x – 1)5

= 2x4

= 2x4 – 3

= 0,1x5

= 0,1(x – 2)5 + 3

= 2(x + 2)4

= 2(x – 2)4 + 1

• ¿Cuáles de las funciones son pares? • ¿Cuáles de las funciones son impares?

4. Identifica el dominio y el recorrido de cada función real. a. b. c. d.

f(x) = 3x2 + 8 f(x) = 2(x – 4)–3 f(x) = –x–5 – 2 f(x) = 5,1(x + 7)3 – 1

e. f. g. h.

f(x) = –4(x + 1)4 + 2 f(x) = (x + 3)–1 – 1 f(x) = –(x – 4)–5 + 3 f(x) = –(x + 2)–4 – 5

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

Interés compuesto Luego de ganar un concurso, Carlos recibe como premio 5 millones de pesos y decide depositarlo en un banco por dos años, con una tasa de interés anual del 4 %, capitalizable cuatrimestralmente, es decir, el pago de interés se realiza cada cuatro meses. Observa: 4 meses Capital inicial

Capital final 4 % de 5.000.000 5.000.000 + __ 3

5.000.000

5.066.667

El interés capitalizado después de los primeros 4 meses corresponde a la tercera parte del interés anual (4 %), y anualmente este proceso se realizará 3 veces. De este modo, al cabo de los primeros 4 meses Carlos tiene, producto de los intereses, $5.066.667 en el banco.

Advertencia

• ¿Cuál será el capital final de Carlos en dicho banco luego de dos años?

La tasa de interés (i) en:

(

)

k·n

C = C0 1 + _i k es el valor del porcentaje expresado en número decimal. Por ejemplo, en el caso de los $5.000.000 de Carlos, el interés es del 4 %, luego: 4 = 0,04 i = ___ 100 Es común que a menudo se cometa el error de considerar i = 4; lo que generará un error de cálculo.

Para GRABAR El interés compuesto representa el costo, beneficio o utilidad de un capital inicial C0 a una tasa de interés i por un período n, en el cual los intereses se capitalizan k veces por período, produciendo un capital final C, a partir de:

(

C = C0 1 + _i k

)

k·n

En el caso de los $5.000.000 de Carlos:

• C0 = 5.000.000 Entonces:

(

• i = 0,04

0,04 C = 5.000.000 · 1 + ____ 3

)

3·2

•k=3

• n=2

≈ 5.413.573

Es decir, al cabo de 2 años, Carlos tendrá $5.413.573 aproximadamente.

1. Identifica las variables involucradas en los siguientes enunciados. Enunciado Se depositan $6.000.000, por tres años y medio, capitalizables trimestralmente, con una tasa de interés del 4 % anual. Durante 3 años y medio, un capital de $3.000.000 generó intereses capitalizables cuatrimestralmente en un banco, con una tasa de interés del 1,8 % anual. Un capital de $1.200.000 es depositado a 5 años, con una tasa de interés anual del 8 %, capitalizable semestralmente. Un banco entrega un interés anual del 2 % para los $2.000.000 de pesos que se quieren depositar por 3 años con capitalización anual.

28 UNIDAD 1 • FUNCIONES

2. Resuelve los problemas. a. Se depositan $600.000 al 3 % anual de interés compuesto. ¿Cuál será el capital que se obtiene a los 10 años con una capitalización anual?

b. Un capital de $300.000 con interés anual y capitalización semestral genera, a los 7 años, un capital final de $1.500.000. ¿Cuál fue la tasa de interés aplicada?

AYUDA Si en un problema de interés compuesto no se hace referencia al período de capitalización, se entenderá que es el mismo que el de la tasa de interés.

c. Si en 5 años se obtiene un capital final de $12.600.500 al invertir un cierto capital al 6 % de interés compuesto anual, ¿cuál es el valor del capital inicial?

d. ¿Cuánto debe depositar Felipe en su cuenta el 1 de marzo para pagar su matrícula de la universidad el 31 de enero del siguiente año, si su matrícula es de $400.000 y la tasa de interés aplicada por su banco es del 2 % mensual?

e. ¿En cuánto tiempo se triplicará una inversión si la tasa de interés aplicada es del 6 % mensual?

D esafíate • Investiga la deducción de la fórmula: k·n C = C0 1 + __i k • Responde:

(

f. Si una inversión de $5.000.000, realizada hace 12 años, tiene hoy un valor de 45 millones de pesos, ¿cuál fue la tasa de interés pactada?

)

Dado un capital inicial ( C0 ), una tasa de interés (i), un período (n) y una capitalización (k), ¿se obtiene el mismo capital final (C), si se considera el mismo capital inicial y la misma tasa de interés, pero el doble del período y la mitad de la k? capitalización, es decir, 2n y __ 2

g. Isabel desea invertir $5.000.000 en algún banco. El banco A le ofrece una tasa de un 5 % de interés compuesto anual y el banco B le ofrece una tasa de un 3 % de interés compuesto capitalizable trimestralmente. Si la intención de Isabel es mantener el dinero durante 10 años, ¿dónde le conviene invertir? Justifica.

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

A nalizando disco I.

Evaluación de proceso

Lee atentamente y marca la alternativa correcta.

Funciones

1. Con respecto a la función real f definida por f(x) = 2x – 5, es verdadero que: I. La imagen de 1 es –3. II. Su gráfica es una recta. III. La preimagen de 0 es −5. A. B. C. D. E.

Solo I Solo II Solo I y II Solo II y III I, II y III

2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? A. B. C. D. E.

La función real f(x) = log(x) tiene un cero. El dominio de la función real f(x) = x2 es ℝ. El recorrido de la función logarítmica es ℝ+. La función real definida por f(x) = 3x es creciente. La función real definida por y = 2x + 1 no tiene ceros.

5. Sea f: ℝ → ℝ, definida por f(x) = 2x − 3. ¿Cuál es el recorrido de f? A. B. C. D. E.

ℝ ℝ+ ]3, ∞[ [−3, ∞[ ]−3, ∞[

2 ? 6. ¿Cuál es el dominio de la función real f(x) = ________ x2 + x − 2 A. ℝ B. ℝ − {1, 2} C. ℝ − {−1, 2} D. ℝ − {−2, 1} E. ℝ − {−2, −1} Función potencia

7. A partir del gráfico, ¿cuál(es) de las afirmaciones es (son) verdadera(s)? y g(x) = bxn

____

3. Con respecto a la función real f(x) = √x − 2 , es verdadero que: I. f(4) = 2. II. Tiene un cero. III. Su dominio es [0, ∞[. A. B. C. D. E.

Solo II Solo III Solo I y III Solo II y III I, II y III

____

{ 1 − x si x ≥ 0

√ 4. Si f(x) = 6 − x2 si x < 0 , ¿cuál es el valor de

f(−10) + f(0) · f(5)? A. B. C. D. E.

−120 −22 −20 28 30

f(x) = axn

I. a > b. II. n es par. III. g es una traslación de f. A. B. C. D. E.

Solo I Solo II Solo I y II Solo I y III Solo II y III

8. Dada la función real definida por f(x) = x−1, es verdadero que: I. Es creciente. II. dom(f ) = ℝ − {0}. III. Su gráfica solo tiene una asíntota. A. Solo II B. Solo III C. Solo I y II

30 UNIDAD 1 • FUNCIONES

D. Solo II y III E. I, II y III

9. Si f(x) = −x−5 y g(x) = −(x – 2)−5 + 3, entonces, la gráfica de g es una traslación del gráfico de f en: A. B. C. D. E.

2 unidades a la derecha y 3 hacia arriba. 2 unidades a la derecha y 3 hacia abajo. 3 unidades a la derecha y 2 hacia arriba. 3 unidades a la izquierda y 2 hacia abajo. 2 unidades a la izquierda y 3 hacia arriba.

10. Si el gráfico de g es una traslación del gráfico de f, entonces: Y 4 3 y = g(x) 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4

A. B. C. D. E.

y = f(x) 1

g(x) = f(x – 3) – 1 f(x) = g(x – 3) – 1 f(x) = g(x + 3) – 1 g(x) = f(x + 3) – 1 g(x) = f(x – 3) + 1

11. Si h(x) = axn es una función potencia par con a < 0 y n > 0, entonces es verdadero que:

A. B. C. D. E.

I. h(2) = –h(–2). II. Su recorrido es ℝ +0 . III. Su gráfica es simétrica con respecto al eje y. Solo II Solo III Solo I y III Solo II y III I, II y III

12. Dada la función real definida por f(x) = 2(x − 1)−4 + 3, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. Es una función par. II. Su recorrido es ]−∞, 3]. III. La recta x = 1 es asíntota. A. Solo I D. Solo I y II B. Solo II E. Solo II y III C. Solo III

Interés compuesto

13. ¿Cuál de las siguientes expresiones permite calcular el capital anual obtenido al depositar $400.000 durante 5 años, con un interés de 4 % anual? A. B. C. D. E.

400.000 · 45 400.000 · 55 400.000 · 0,045 400.000 · 1,054 400.000 · 1,045

(

)

0,02 6 14. La expresión C = C0 · 1 + ____ permite calcular el 3 capital final C a partir de un capital inicial C0 con: A. Interés anual del 2 %, por 2 años y capitalizable trimestralmente. B. Interés anual del 2 %, por 2 años y capitalizable cuatrimestralmente. C. Interés anual del 3 %, por 2 años y capitalizable semestralmente. D. Interés anual del 2 %, por 3 años y capitalizable cuatrimestralmente. E. Interés anual del 3 %, por 2 años y capitalizable cuatrimestralmente. II. Resuelve los problemas. 15. ¿En cuánto tiempo se duplica un capital inicial de USD 2.000, si la tasa de interés es del 16 % anual, con capitalización semestral? 16. Un capital de 4 millones de pesos, depositados durante 2 años, con capitalización semestral generó un capital final aproximado de $4.245.454. ¿Cuál fue la tasa de interés aplicada?

Mi ESTADO Anota el nivel de logro de tus aprendizajes hasta ahora, según las categorías de desempeño dadas: 1. Por lograr; 2. Medianamente logrado; 3. Logrado. Analicé funciones y sus elementos. (Preguntas 1, 2, 3, 4, 5 y 6)

Analicé funciones potencia y sus elementos. (Preguntas 7, 8, 9, 10, 11 y 12)

Apliqué interés compuesto. (Preguntas 13, 14, 15 y 16)

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

Progresión aritmética Producción año siguiente

Una empresa realizó un estudio sobre su producción para el próximo año, proyectando un aumento de 400 unidades mensuales. Si en enero producirá 8.800 unidades, ¿cuántas unidades producirá en diciembre?

Período (meses)

Producción total

8.800

9.200

9.600

10.000

10.400

10.800

11.200

10.000

11.600

9.000

12.000

8.000

12.400

12.800

13.200

A partir de la tabla es posible obtener el siguiente gráfico: Producción año siguiente 15.000 14.000

12.000 11.000

Producción

13.000

Período (meses)

La producción de un mes se obtiene al sumar 400 unidades a la producción del mes anterior, considerando como primer valor de producción a 8.800. Así, la producción en diciembre será de 13.200 unidades.

Para GRABAR Ampliando MEMORIA Una progresión aritmética, en el plano cartesiano, es representada por puntos aislados. Además: • es creciente si d > 0. • es decreciente si d < 0.

Una progresión aritmética (PA) es una sucesión de números reales en que cada uno de ellos (salvo el primero) se obtiene sumando al anterior un número fijo llamado diferencia (d). En una PA de n términos se cumple: an = a1 + d(n – 1); con n ∈ ℕ y d ∈ ℝ – {0}

• an + 1 = an + d • an = a1 + d(n – 1) Para la actividad 2 determina el primer término de la PA, busca el valor de a1 y d y reemplázalos en: an = a1 + d(n – 1)

32 UNIDAD 1 • FUNCIONES

nos, con a1 = 2 y d = 3.

• 1, 2, 3,…, n es una PA de n tér• 7, 3, –1, –5,…11 – 4n es una PA de n términos, con a1 = 7, d = –4 y an = 11 – 4n. Observa que: 11 – 4n = 7 – 4(n – 1)

Además, se cumple que an + 1 = an + d. Para la actividad 1 utiliza las relaciones:

• 2, 5, 8, 11, 14 es una PA de 5 térmi-

minos, con a1 = 1, d = 1 y an = n.

Donde a1 es el primer término de la progresión y an el término n-ésimo, conocido también como término general.

AYUDA

Por ejemplo:

1. Reconoce la PA en cada caso y escribe sus cinco primeros términos. a. a1 = 12 y d = 5 b. a3 = 8 y d = –3

c. an = 6 + 3n d. an = 1 – n

2. Identifica el n-ésimo término de las siguientes PA. a. 0, 7, 14, 21,… b. 8, 3, –2, –7,… 13 , ___ 19 ,… 7 , ___ 1 , __ c. __ 2 2 2 2

1, d. __ 3 1, e. __ 3

5 , __ 4 , ___ 11 ,… __ 6 3 6 61 ,… 41 , ___ 7, ___ 3 3

f. –10, –1, 8, 17,…

e. a8 = 10 y d = 2 f. a6 = 1 y d = –5

3. Identifica la diferencia de la PA. Luego, calcula la suma de sus primeros 10 términos. a. 3, 9, 15,…

d. bn = 2 – 5n

13 , ___ 23 , ___ 10 ,… b. ___ 3 6 3

9 ,… 5 , ___ 17, ___ e. __ 2 10 10 3 , −2,… 1 , −2__ f. −3__ 2 4

c. an = 4n + 1

4. Representa gráficamente las progresiones aritméticas y responde. • an = 2n

• bn = 7 – 3n

• cn = 2n + 3

• dn = 1 – 3n

AYUDA

a. ¿Cuáles de las sucesiones son crecientes y cuáles decrecientes? b. ¿Cómo es el gráfico al unir los puntos de cada representación?

• Tres números a, b y c están en PA si 2b = a + c.

5. Resuelve los problemas.

• La suma (S) de los n términos de una PA puede obtenerse reemplazando los valores respectivos en una de las siguientes expresiones: n 2a + (n − 1)d Sn = __ ) 2( 1 n a +a Sn = __ 2( 1 n )

a. Dada la tabla: Venta de jugo Litros

Precio ($)

1.580

3.160

4.740

6.320

7.900

9.480

11.060

• ¿Cuánto dinero se debe pagar por 58 litros de jugo? • ¿Es creciente la PA formada? Justifica. b. Para su gira de estudio, Nicolás reunirá $20.000 la primera semana, mientras que cada semana siguiente juntará $3.000 más de lo que ahorró la semana anterior. • ¿Cuánto dinero juntará Nicolás en la semana 15? • ¿Cuánto dinero tendrá Nicolás al finalizar la semana 15? • ¿Cuánto dinero reunirá Nicolás desde el inicio de la semana 10 hasta terminar la semana 30? c. Dada la tabla: Crecimiento bacteriano Minuto

Cantidad de bacterias

750

2.000

3.250

4.500

5.750

7.000

8.250

• ¿La progresión es creciente? Justifica. • ¿El crecimiento de la cantidad de bacterias por minuto representa una PA? Justifica. • ¿Qué cantidad de bacterias se observará en el minuto 67? d. En la siguiente secuencia: 1°

2°

3°

4°

5°

• La cantidad de hexágonos que hay por figura ¿es una PA? Justifica. • ¿Cuántos hexágonos habrá en la figura 120?

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

Progresión geométrica Eliana necesita contratar un maestro para reparar el sistema eléctrico de su casa. Los dos únicos maestros disponibles, Cristian y Patricio, le ofrecen los siguientes tratos: Maestro

Trato

Cristian

Puede realizar el trabajo en 30 días y cobra $15.000 por cada día trabajado.

Patricio

Puede realizar el trabajo en 20 días y cobra $2 el primer día de trabajo; $4, el segundo; $8, el tercero; es decir, cada día cobra el doble de lo pedido el día anterior.

A partir de los tratos, los cobros por día serán: Día Maestro

…

Cristian

15.000

…

15.000

…

15.000

Patricio

…

524.288

1.048.576

• ¿Qué maestro le conviene contratar a Eliana? Justifica. Ampliando MEMORIA

Para GRABAR

• es decreciente si 0 < r < 1.

Una progresión geométrica (PG) es una sucesión de números reales en que cada uno de ellos (salvo el primero) se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo llamado razón (r).

• es alternante si r < 0.

En una PG de n términos se cumple:

Una progresión geométrica, en el plano cartesiano, es representada por puntos aislados. Además: • es creciente si r > 1.

Por ejemplo:

• 1, –5, 25, –125 es una PG de 4 términos, con a1 = 1 y r = –5.

• 2, 4, 8, 16,…, 2n es una PG de n términos, con a1 = 2, r = 2 y an = 2n.

• 54, 18, 6, 2,…, an es una PG de n términos,

an = a1 · rn – 1; con n ∈ ℕ y r ∈ ℝ – {0, 1}

( )

con a1 = 54, r = __1 y an = 54 · __1 3 3

n−1

162 = ___ 3n

Además, se cumple que an + 1 = an· r.

1. Reconoce la PG en cada caso y escribe sus cinco primeros términos. a. a1 = 2 y r = 3

c. an = 4n

e. a6 = 16 y r = 4

1 b. a3 = 8 y r = __ 2

d. an = 5 · 3n + 1

1 f. a4 = 1 y r = __ 3

2. Identifica el n-ésimo término de las siguientes PG. a. 1, 6, 36, 216,… b. 135, 45, 15, 5,…

34 UNIDAD 1 • FUNCIONES

1 , ___ 1 , ___ 1 ,… c. 1, __ 4 16 32 1 ,… 1 , ___ d. 5, 1, __ 5 25

32, ____ 128,… 8 , ___ 2 , ___ e. __ 5 15 45 135 f. –4, 20, –100, 500,…

1 3. Identifica la razón de la PG. Luego, calcula la suma de sus primeros 10 términos. a. 4, 8, 16,…

d. bn = 2 · 4n

15 , b. ___ 4

5 ,… 1 , __ 1 , __ e. ___ 10 4 8 5 , −2__ 5 ,… 3 , −3__ f. −5__ 4 6 9

5, __ 2

5 ,… __ 3 4 n c. an = 2 __ 5

( )

• bn = 3n + 1

• cn = 2 · 3n – 1

Ampliando MEMORIA • La suma (S) de los n términos de una PG puede obtenerse reemplazando los valores respectivos en la expresión: 1 − rn S = a1 · _____ 1−r • En una PG de infinitos términos, si –1 < r < 1, la suma de sus términos puede obtenerse reemplazando los valores respectivos en la expresión: a1 S = ____ 1−r • Tres números a, b y c están en PG si b2 = a · c.

4. Representa gráficamente las progresiones geométricas y responde. • an = –3 · 3n

• dn = 32 – n

a. ¿Cuáles de las sucesiones son crecientes y cuáles decrecientes? b. ¿Cómo es el gráfico al unir los puntos de cada representación?

5. Resuelve los problemas. a. En la PG 7, 14, 28, 56,…, ¿es el número 7.168 un término de esta progresión? En caso de serlo, ¿qué término representa? b. Dada la tabla: Dinero ahorrado por un curso Semana

Dinero ahorrado

$500

$1.500

$4.500

$13.500

$40.500

$121.500

• ¿Cuánto dinero ahorrarán la novena semana? • ¿Es creciente la progresión? Justifica. c. Dada la tabla: Cultivo de bacterias Hora

Cantidad de bacterias

218.700

72.900

24.300

8.100

2.700

900

300

• ¿Es creciente la progresión? Justifica. • ¿La cantidad de bacterias por hora representa una PG? Justifica. d. En la siguiente secuencia: 1°

2°

3°

4°

D esafíate

• ¿Es una PG la cantidad de cuadrados que hay por figura? Justifica.

Investiga el uso del concepto de PG para transformar números decimales periódicos y semiperiódicos en fracciones.

• ¿Cuántos cuadrados hay en la figura número 70? • ¿Cuántos cuadrados hay desde la figura 1 hasta la figura 10?

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

Crecimiento aritmético y geométrico Ampliando MEMORIA De la tabla 1 es posible reconocer una función cuyo dominio es {1, 2, 3, 4, 5} y su recorrido es {1,1; 2,8; 4,8; 7,2; 9,3}. De manera similar, es posible reconocer otra función a partir de la tabla 2.

Observa las siguientes tablas y gráficos de funciones reales: y

10 9

Tabla 1 x

1,1

–2

–0,8

2,8

–1

–0,5

4,8

0,3

7,2

1,8

9,3

8,4

3 2

Los crecimientos del tipo aritmético y geométrico no son los únicos tipos de crecimiento. También existe el crecimiento logarítmico, potencial, etc.

x 1

Tabla 2

8 f(x) = 3x – 1 7

Tabla 2

f(x) = 2x – 1

Ampliando MEMORIA

Tabla 1

4 3 2 1

–3 –2 –1 0 1

Los pares ordenados de las tablas (puntos grises en los gráficos) se pueden ajustar a las funciones reales f y g, definidas por f(x) = 2x – 1 y g(x) = 3x – 1. Así, se dirá que f y g modelan el comportamiento de los pares ordenados de las tablas 1 y 2, respectivamente.

Para GRABAR El crecimiento de una función real f es del tipo:

• Aritmético, si es posible modelar su representación mediante una recta. • Geométrico, si es posible modelar su representación mediante el gráfico de una función exponencial. La función más adecuada para modelar cierto conjunto de pares ordenados es aquella que los representa de la mejor manera posible.

1. Identifica el tipo de crecimiento que representan las siguientes tablas. Para ello, grafica los valores de dicha tabla. a.

x y

1 –0,9

x y

–2 4,9

2 1,8 –1 3,2

3 5,2 0 0,9

4 8,3

5 10,8

x y

–1 1,4

1 –1,1

2 –2,8

x y

–1 0,06

0 2,1 0 0,3

1 2,7 1 1

2 5,1 2 3,7

3 8,9 3 15

2. Analiza las siguientes afirmaciones y escribe V o F según corresponda. Justifica.

36 UNIDAD 1 • FUNCIONES

Una función lineal tiene crecimiento del tipo aritmético.

Una PG tiene crecimiento del tipo geométrico.

La función cuadrática f(x) = x2 tiene crecimiento del tipo geométrico.

Si una función f no crece geométricamente, entonces lo hace aritméticamente.

La sucesión cuyo término general es an = 4n + 1 tiene crecimiento aritmético.

La función real f, definida por f(x) = 5–x tiene crecimiento del tipo geométrico.

Crecimiento potencial Para modelar los pares ordenados tabulados, se han propuesto las siguientes funciones: Tabla

–3

–26

–2

–7,8

–1

–1,2

0,2

1,3

8,5

25,8

y = 3x – 1 –4

–3

–2

y = x3

y = 3x

–1

–10 –20 –30

• ¿Cuál de ellas utilizarías para modelar los valores de la tabla? Justifica. Para GRABAR Una función real f tiene crecimiento potencial si es posible modelar su representación mediante el gráfico de una función potencia.

1. Analiza los gráficos y determina cuál de las funciones modela su comportamiento. Justifica.

• y = x4 a.

• y = –x2 + 1

• y = x3

• y = –x5

-3

-2

-1

-2

-1

d. 40

20 -2

–4

-4

–3

–5

-6

–2

–1

5 -3

x 2

-3

-2

-1

–20

–10

–40

–20

–60

–30

–80

–40

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

Tasas de crecimiento Cuando se pretende estudiar el crecimiento de una población es necesario disponer de algún método que permita analizar dicho crecimiento en el transcurso del tiempo.

Ampliando MEMORIA Una tasa de crecimiento (Tc), también denominada tasa de crecimiento porcentual, porcentaje de cambio, tasa de cambio, etc., es un indicador porcentual que sirve para determinar si la población en estudio está creciendo o disminuyendo en un área específica. Se calcula por medio de la expresión:

(

)

Cantidad final − cantidad inicial · 100 Tc = _____________________ cantidad inicial

• ¿Qué métodos crees que existen para predecir el crecimiento poblacional? Para GRABAR Una tasa de crecimiento aritmético (Tca) es un indicador porcentual asociado a los crecimientos aritméticos, es decir, aquellos que varían linealmente en una unidad de tiempo, y permiten realizar ciertas proyecciones demográficas. Dichas proyecciones son posibles de hacer con: ra · n Pn = P0 1 + ____ 100 Pn: población final. P0: población inicial. n: período de proyección de la población en unidad de tiempo. ra: tasa de crecimiento aritmético (Tca). Pn − P0 · 100 ra = ______ P0 · n

(

)

Una tasa de crecimiento geométrico (Tcg) es un indicador porcentual asociado a los crecimientos geométricos, es decir, a crecimientos correspondientes a un porcentaje uniforme de la población actual del período. Para realizar proyecciones demográficas es posible utilizar: rg n Pn = P0 1 + ___ 100 Pn: población final. P0: población inicial. n: período de proyección de la población en unidad de tiempo. rg: tasa de crecimiento geométrico (Tcg). __ Pn n __ − 1 · 100 rg = P0

(

)

(√ )

1. Analiza los siguientes problemas resueltos.

La tabla muestra tres censos realizados en una misma ciudad, en distintos períodos. Censos en una ciudad Año

1971

1981

2011

Población

12.125

13.356

19.827

Problema a. ¿Cuál es la tasa de crecimiento aritmético poblacional entre los años 1971 y 1981? ¿Y entre los años 1981 y 2011? De acuerdo a la información entregada, se tiene que P0 = 12.125, P1 = 13.356 y P2 = 19.827. Así, la tasa de crecimiento aritmético entre los años 1971 y 1981, con n = 10, es: 13.356 − 12.125 · 100 ≈ 1,02 % anual ra(1971 y 1981) = _____________ 12.125 · 10 Por otra parte, la tasa de crecimiento aritmético entre los años 1981 y 2011, con n = 30, es: 19.827 − 13.356 · 100 ≈ 1,24 % anual ra(1981 y 2011) = _____________ 17.356 · 30 Se puede observar que en la ciudad estudiada, en el período de 1971 a 1981, la tasa de crecimiento poblacional fue de 1,02 % anual, pero entre los años 1981 y 2011, la población presentó una tasa de crecimiento poblacional del 1,24 % anual; lo que representa un ritmo de crecimiento más rápido.

38 UNIDAD 1 • FUNCIONES

Problema b. ¿Cuál podría ser una estimación de la población para el año 2030 en la ciudad? Se tiene P0 = 19.827, Pn = población en el año 2030 y n = (2030 – 2011) = 19. Además, en la actividad anterior se obtuvo ra(1971 y 1981) ≈ 1,02 y ra(1981 y 2011) ≈ 1,24. Para estimar la población de la ciudad en el año 2030, se considera una ponderación de las tasas de crecimiento entre los años 1971 y 1981 y, entre los años 1981 y 2011. Esto se calcula de la siguiente forma: ra(1971 y 1981) · (1981 − 1971) + ra(1981 y 2011) · (2011 − 1981) = ra___________________________________________ (1981 − 1971) + (2011 − 1981) 1,02 · 10 + 1,24 · 30 = ________________ 40 = 1,185 % anual De esta manera, la población estimada para el año 2030 es de 24.291 habitantes, ya que:

(

)

1,185 · 19 Pn = 19.827 1 + _______ ≈ 24.291 100 Problema c. Repite las actividades a y b para el caso de tasa de crecimiento geométrico. La tasa de crecimiento geométrico entre los años 1971 y 1981, con n = 10, es: rg(1971 y 1981) =

_____

13.356 − 1 · 100 ≈ 0,97 % anual ( √______ ) 12.125 10

De manera análoga, la tasa de crecimiento geométrico entre los años 1981 y 2011, con n = 30, es: _____ 30 ______ rg(1981 y 2011) = 19.827 − 1 · 100 = 1,33 % anual 13.356 rg 19 La población estimada para el año 2030 en la ciudad es Pn = 19.827 1 + ____ , donde: 100 rg(1971 y 1981) · (1981 − 1971) + rg(1981 y 2011) · (2011 − 1981) rg ___________________________________________ = (1981 − 1971) + (2011 − 1981)

(√

(

)

(

)

0,97 · 10 + 1,33 · 30 = ________________ 40 = 1,24 % anual

rg Luego, Pn = 19.827 1 + ____ 100

)

(

1,24 = 19.827 1 + ____ 100

)

≈ 25.058.

Por lo tanto, para el año 2030, en la ciudad se proyecta una población de 25.058 habitantes.

Ampliando MEMORIA

2. Responde las siguientes preguntas considerando la actividad anterior. a. ¿Qué diferencias existen entre las tasas de crecimiento aritmético y geométrico? b. ¿Cuál de ellas resulta más efectiva para analizar el crecimiento de la población de la ciudad? Fundamenta.

Al comparar las tasas de crecimiento, debes tener presente que el crecimiento aritmético presenta un ritmo constante, que se puede representar gráficamente por una recta. Por otro lado, el crecimiento geométrico se puede representar gráficamente por una curva exponencial.

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

A nalizando disco I.

Evaluación de proceso

Lee atentamente y marca la alternativa correcta.

Progresión aritmética

1. Si el término general de una PA es an = 2n + 3, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

A. B. C. D. E.

I. Es creciente. II. Su diferencia es d = 3. III. El primer término es a1 = 5. Solo I Solo III Solo I y III Solo II y III I, II y III

2. ¿Cuál es el término número 20 de la progresión 565, 561, 557, 553,…? A. B. C. D. E.

485 489 493 641 645

3. ¿Cuál es la suma de los 100 primeros números pares mayores que 3? A. B. C. D. E.

202 204 10.100 10.300 10.400

5. Si b3 = 4 y b5 = 64, ambos términos de una PG, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? A. B. C. D. E.

6. El término general de una PG es an = 2 · 4n - 1. ¿Cuál es la suma de los primeros 20 términos? 1 ( 420 − 1 ) A. __ 4 1 ( 419 − 1 ) B. __ 2 1 ( 420 − 1 ) C. __ 2 2 ( 419 − 1 ) D. __ 3 2 ( 420 − 1 ) E. __ 3 Crecimiento aritmético, geométrico y potencial

7. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa un crecimiento geométrico? A.

Progresión geométrica

4. ¿Cuál de las siguientes sucesiones de términos no es una progresión geométrica?

A. 2, 4, 8, 16, 32,… 1 , __ 1 , __ 1 , __ 1 , ___ 1 ,… B. __ 2 4 6 8 10 3 , __ 9 , ___ 81 ,… 27 , ___ 1 , __ C. __ 5 5 5 5 5 1 , __ 1 , ___ 1 , ___ 1 ,… 1 , __ D. __ 2 4 8 16 32 1 ,… 1 , ___ E. 16, 4, 1, __ 4 16

40 UNIDAD 1 • FUNCIONES

La PG es creciente. El cuarto término es 16. La razón de la PG es r = 4. El primer término es negativo. Puede ser modelada mediante una función exponencial.

125

162

486

8. A partir del gráfico se puede inferir que: y 6 5 4 3 2 y = g(x) 1 -3 -2 -1 0 -1 -2

A. B. C. D. E.

11. Una ciudad tenía 56.320 habitantes en 1998 y 65.254 en 2008. ¿Cuál de las siguientes expresiones permite calcular la tasa de crecimiento geométrico de la ciudad entre 1998 y 2008? A.

f y g crecen de forma geométrica. Ambas crecen de forma aritmética. g tiene crecimiento geométrico y f aritmético. g tiene crecimiento aritmético y f geométrico. g tiene crecimiento geométrico y f potencial.

9. ¿Cuál de las siguientes funciones modela mejor los datos de la tabla?

A. B. C. D. E.

Tasas de crecimiento

y = f(x) 1 2 3 4 5

0,95

4,03

8,9

15,87

24,99

_____

65.254 − 1 · 100 ( √______ ) 56.320 10

65.254 − 56.320 · 100 B. _____________ 56.320 · 10 C. D.

_____

56.320 − 1 · 100 ( √______ ) 65.254 10

56.320 ( ( ______ 65.254 )

(

)

− 1 · 100

10 E. 56.320 · 1− ____ 100

)

100

II. Resuelve los problemas. 12. La suma de tres términos consecutivos de una progresión aritmética es 42. Además, el primero es igual a la suma de los otros dos, menos 8 unidades. ¿Cuáles son los números?

y = x2 y = 2x y = 2x2 _ y = √x y = x2 − 1

10. Según el gráfico, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

13. Un pueblo tenía 12.500 habitantes en 2005 y 13.200 en 2010. Estima la cantidad de habitantes que tendrá el pueblo en 2020, considerando un crecimiento aritmético.

5 4 3 y = f(x) 2 1 y = g(x) -3 -2 -1 0 1 2 3 -1 -2

Mi ESTADO x

I. f tiene crecimiento geométrico y g potencial. II. f(x) > g(x) para x ∈ [–3, 1]. III. f puede modelar una PG y g una PA. A. B. C. D. E.

Solo I Solo II Solo III Solo I y II Solo II y III

Anota el nivel de logro de tus aprendizajes hasta ahora, según las categorías de desempeño dadas: 1. Por lograr; 2. Medianamente logrado; 3. Logrado. Reconocí PA y sus propiedades. (Preguntas 1, 2, 3 y 12)

Reconocí PG y sus propiedades. (Preguntas 4, 5 y 6)

Identifiqué distintos tipos de crecimiento. (Preguntas 7, 8, 9 y 10)

Identifiqué tasas de crecimiento y estimé población. (Preguntas 11 y 13)

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

Función inyectiva Perímetro de un cuadrado a (cm)

P (cm)

Perímetro de un cuadrado

P(a)

La relación entre el perímetro P y la longitud a de cada lado de un cuadrado es posible representarla por la función real P, definida por P(a) = 4a. La tabla y gráfico construidos representan esta función, para algunos valores de a.

24 22 20 18

¿Existen dos cuadrados de distintas dimensiones que tengan el mismo perímetro?

Sean dos cuadrados cuyas longitudes de sus lados son a1 y a2, con a1 ≠ a2, tales que P(a1) = P(a2). Luego:

P(a1) = P(a2) ⇒ 4a1 = 4a2

⇒ a1 = a2

6 4

Como por hipótesis se tenía que a1 ≠ a2, entonces dichos cuadrados no existen.

a 0

Ampliando MEMORIA Otra forma de definir la inyectividad de una función real f, consiste en plantear la expresión recíproca de la definición dada en la sección Para grabar, es decir:

Para GRABAR La función f: A ⊆ ℝ → ℝ definida por y = f(x) es inyectiva (uno a uno) en A, si cada imagen tiene solo una preimagen. Algebraicamente: f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2; ∀ x1, x2 ∈ A

f: A ⊆ ℝ → ℝ definida por y = f(x) es inyectiva (uno a uno) en A, si:

Es decir, si dos elementos del dominio tienen la misma imagen, entonces dichos elementos son iguales.

x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2), ∀ x1, x2 ∈ A.

Gráficamente, si en el plano cartesiano cualquier recta paralela al eje x interseca a la gráfica de f en, a lo más un punto, entonces f es una función inyectiva.

1. Identifica cuál(es) de los siguientes diagramas representa(n) una función inyectiva. Para ello, marca un ✓ según corresponda. a.

1 2 3 4 c.

C 1 2 3 4

42 UNIDAD 1 • FUNCIONES

Sí

K 1

Sí

1 2 3 4

2 3

H 0 1 –1 2

–1 –10

D –5

G 1

E 1 4 9 16

Sí

J 0

Sí

L –1 –2 –3 –4

2. Identifica gráficamente cuál(es) de las funciones es (son) inyectiva(s). Para ello, marca un ✓ según corresponda. a. 7 6 5 4 3 2 1

Sí

-3 -2 -1 0 1 2 3 -1

b. 4 3 2 1

y No

D esafíate Sí

-3 -2 -1 0 1 2 3 -1

-3 -2 -1 0 1 2 3 -1 -2 -3 -4

7 6 5 4 3 2 1

x Sí

6 5 4 3 2 1

¿En qué casos crees que no es efectivo utilizar el método gráfico para reconocer si una función es inyectiva? Da un ejemplo.

Sí

-4 -3 -2 -1 0 1 2 -1 -2

AYUDA

3. Analiza las demostraciones. Luego, verifica si las funciones reales dadas son o no inyectivas.

La función real definida por f(x) = 2x + 1 es inyectiva. Demostración: sean a, b ∈ dom(f ) = ℝ. 3

f(a) = f(b) ⇒ 2a3 + 1 = 2b3 + 1

/+ (–1)

⇒ 2a3 = 2b3

/ · __1 2 /+ (–b3)

⇒ a3 – b3 = 0

/factorizando

⇒ a3 = b3

La función real definida por f(x) = 3x + 4 no es inyectiva. Demostración: sean a, b ∈ dom(f ) = ℝ. 2

f(a) = f(b) ⇒ 3a2 + 4 = 3b2 + 4

⇒a=b

⇒ a2 – b2 = 0

/factorizando

• f(b) = f(–1) = 3 · (–1)2 + 4 = 7 Donde se tiene que f(1) = f(–1). Sin embargo, como 1 ≠ –1, f no es inyectiva.

⇒ a = –b ∨ a = b

única solución real a = b = 0.

Por lo tanto, f no es inyectiva.

a. f(x) = 3x – 5

c. h(x) = 2x + 3

x+1 e. n(x) = ______ 2x − 3

b. g(x) = 1 – 2x3

d. m(x) = l x + 3 l

f. p(x) = log(x – 3)

4. Identifica en cada caso un dominio A, para que las funciones dadas sean inyectivas. a. b. c. d.

• f(a) = f(1) = 3 · 12 + 4 = 7

⇒a+b=0∨a–b=0

Por lo tanto, f es inyectiva.

/ · __1 3 /+ (–b2)

Para la función real f, definida por f(x) = 3x2 + 4 es posible considerar a = 1 y b = –1. Luego:

⇒ (a + b)(a – b) = 0

⇒ a – b = 0 ∨ a + ab + b = 0 2

⇒ 3a2 = 3b2 ⇒ a2 = b2

⇒ (a – b)(a2 + ab + b2) = 0

/+ (–4)

Para demostrar que una función no es inyectiva, también es posible dar un contraejemplo. Observa:

f: A ⊆ ℝ → ℝ, f(x) = x4 g: A ⊆ ℝ → ℝ, g(x) = l x l h: A ⊆ ℝ → ℝ, h(x) = x2 – 1 m: A ⊆ ℝ → ℝ, m(x) = l 1 + x l

e. f. g. h.

n: A ⊆ ℝ → ℝ, n(x) = 1 – x – 3x2 p: A ⊆ ℝ → ℝ, p(x) = l 2x – 3 l q: A ⊆ ℝ → ℝ, q(x) = x2 + 2x + 1 r: A ⊆ ℝ → ℝ, r(x) = l 3 – x l

Ampliando MEMORIA

Sea f: A⊆ ℝ → ℝ, una función no inyectiva, es posible restringir su dominio A, de tal forma que en esa restricción f sea inyectiva. Por ejemplo:

La función real f, definida por f(x) = x2, no es inyectiva si su dominio es ℝ; sin embargo, sí lo es considerando, por ejemplo, dom(f ) = ℝ+.

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

Función sobreyectiva Un vehículo partió de Santiago, rumbo a Viña del Mar, a las 14:00 h. Trayecto Hora

Distancia (km)

14:00

14:15

14:25

14:45

15:15

100

En la tabla están representadas las distancias a las que se encuentra el vehículo luego de partir de Santiago; mientras que el gráfico representa las mismas distancias, pero modeladas con la gráfica de una función. Al observar el gráfico, es posible afirmar que cualquier distancia corresponde a una determinada hora. Por ejemplo, aproximadamente a las 14:36 h el vehículo se encontraba a 70 km de Santiago.

Trayecto

120 100 80 60 40 20

Hora 0

14:00 14:12 14:24 14:36 14:48 15:00 15:12 15:24

Para GRABAR La función f: A ⊆ ℝ → C definida por y = f(x) es sobreyectiva (o epiyectiva) en C, si todo elemento de C es la imagen de un elemento de A, es decir, el codominio C es también el recorrido de f. Algebraicamente: ∀ y ∈ C, ∃ x ∈ A / y = f(x)

Ampliando MEMORIA Una función real f es sobreyectiva si rec(f ) = cod(f ). Generalmente, cuando no se indica el codominio, se considera ℝ.

Es decir, rec(f) = C.

1. Identifica cuál(es) de los siguientes diagramas representa(n) una función sobreyectiva. Para ello, marca un ✓ según corresponda. a.

1 2 3 4 b.

1 4 9 16 k

1 2 3 4 c.

C 1

44 UNIDAD 1 • FUNCIONES

Sí

–5 5

Sí

K 1 2 3 4

J 10

1 2 3 4

I 1 2 3 4

H –1 –2 –3 –4

Sí

F 1

–1 n

L 2 3 5 7

2. Identifica cuál(es) de las funciones es (son) sobreyectiva(s). Para ello, marca un ✓ según corresponda.

a. f: [–3, 3] → [–2, 2]

b. g: ℝ → ℝ

2 1

-3 -2 -1 0 -1

-2 -3

Sí

c. h(x): ℝ → ℝ

-3 -2 -1 0 -1

-2

-3

Sí

3. Analiza las demostraciones. Luego, verifica si las funciones reales dadas son o no sobreyectivas si su codominio es ℝ.

La función f: ℝ → ℝ definida por f(x) = 5x + 8 es sobreyectiva. Demostración: sea f(x) = y. Luego:

La función g: ℝ → ℝ definida por g(x) = 2x no es sobreyectiva. Demostración: sea g(x) = y. Luego: g(x) = 2x ⇒ y = 2x

f(x) = 5x + 8 ⇒ y = 5x + 8 y−8 ⇒ x = ____ 5 y−8 Como la expresión ____ está definida para cual5 quier número real y, se tiene que rec(f ) = ℝ. Por otra parte, cod(f ) = ℝ; luego, rec(f ) = cod(f ) = ℝ.

AYUDA

⇒ x = log2(y)

• Una expresión se indefine cuando no es posible obtener un valor como resultado. Por x + 1 se ejemplo, la expresión _____ x−1 indefine para x = 1, ya que no está definida la división por cero.

Como la expresión log2(y) no está definida para y ≤ 0, se tiene que rec(g) = ℝ+. Por otra parte, cod(g) = ℝ; luego, rec(g) ≠ cod(g). Por lo tanto, g no es sobreyectiva.

Por lo tanto, f es sobreyectiva.

a. f(x) = 1 – 3x

c. h(x) = log(x)

e. m(x) = x3

b. g(x) = x2

x+3 d. n(x) = _____ x−5

f. p(x) = √x

4. Analiza los siguientes gráficos. Luego, determina los conjuntos A y B para que las funciones dadas sean sobreyectivas. a. f: A ⊂ ℝ → B ⊂ ℝ

b. g: A ⊂ ℝ → B ⊂ ℝ

2 1

3 2

-4

1 -3

-2

-1

X 1

-3

-2

-1 0 -1

X 1

-2 -3

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

Función biyectiva x . Observa el gráfico de la función f: ℝ – {–1} → ℝ – {1} definida por f(x) = _____ 1+x 6

5 4 3 2 1 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1

10 11

-2 -3 -4

AYUDA La función: f: ℝ – {–1} → ℝ – {1}, definida por: x es inyectiva, ya que: f(x) = _____ 1+x b a = _____ f(a) = f(b) ⇒ _____ 1+a 1+b ⇒ a + ab = b + ab ⇒a=b Además, f es sobreyectiva, ya que, si f(x) = y, con x ≠ –1, entonces: x ⇒ y + xy = x y = _____ 1+x ⇒ y = x − xy ⇒ y = x(1 − y) y ⇒ x = _____ 1−y y La expresión _____ está definida 1−y para cualquier valor real distinto de 1.

Gráficamente, es posible observar que la función f, cuyo dominio es ℝ – {–1} y cuyo codominio es ℝ – {1}, es inyectiva y sobreyectiva de manera simultánea. Es decir, a cada número real del dominio de f le corresponde un único número real del codominio de f, y a cada valor del codominio de f le corresponde un único valor del dominio.

Para GRABAR La función f: A ⊆ ℝ → B ⊆ ℝ, definida por y = f(x), es biyectiva si es inyectiva y a la vez sobreyectiva, es decir, si para todo elemento del codominio existe un único (∃!) valor del dominio con el cual se relaciona. Algebraicamente: ∀ y ∈ B, ∃! x ∈ A / y = f(x)

1. Identifica cuál(es) de los siguientes diagramas representa(n) una función biyectiva. Para ello, marca un ✓ según corresponda. a.

A 1 2 3 4

E 1 2 3 4

46 UNIDAD 1 • FUNCIONES

–4 –8 –12 –16 h

–2

Sí

3 4 d.

Sí

K 1 2 3 4

H 4 9 16 25

D –1

Sí

L 3 5 7

2. Grafica las funciones. Luego, verifica si son biyectivas. Marca un ✓ donde corresponda.

[

[ [

[

3 , ∞ → − __ 1 , ∞ , f(x) = x2 a. f: − __ 4 2 Sí

d. n: ]–4, ∞[ → ℝ, n(x) = log2(x + 4) + 1 Sí

____

b. g: ℝ → ]–3, ∞[, g(x) = 3x – 3 Sí

e. m: [1, ∞[ → [2, ∞[, m(x) = √x − 1 + 2 Sí

AYUDA

x−2 f. p: ℝ − { −1} → ℝ − {1}, p(x) = _____ x+1

c. h: ]–∞, –2[ → ]5, ∞[, h(x) = |x – 2| + 1 Sí

Sí

Para ayudarte a graficar puedes utilizar programas de libre acceso como Geogebra, que puedes descargar en:

3. Representa gráficamente una función biyectiva, según la información dada en cada caso.

a. f: [–4, 4] → [–2, 2], f(–2) = 0, f(0) = –1.

b. g: [–5, 3] → [–3, 3], g(0) = 1, g(3) = –3.

O también puedes graficar en línea, ingresando a: www.wolframalpha.com/

1 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1

www.geogebra.org/

x 1

-5 -4 -3 -2 -1 0 -1

-2

x 1

-2

-3

-4

-5

4. Analiza la información. Luego, resuelve. Para verificar si dos conjuntos son equivalentes, debe ser posible identificar una función biyectiva entre ellos. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales (ℕ) y los números naturales pares (P) son equivalentes, ya que es posible identificar una función biyectiva f, que asocia cada número natural par con un único número natural. Observa: f: ℕ → P

x → f(x) = 2x

Así, 1 es posible relacionarlo con 2, 2 con 4, 3 con 6, 4 con 8, etc. a. Demuestra que la función f: ℕ → P definida por f(x) = 2x es biyectiva. b. Demuestra que el conjunto de los números naturales impares es equivalente a ℕ. c. Demuestra que ℤ – y el conjunto de los números naturales impares son equivalentes.

D esafíate Investiga si ℝ y ℕ son conjuntos equivalentes.

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

Función inversa AYUDA La presión absoluta P de un objeto, al interior de un fluido, se obtiene como:

La siguiente tabla muestra la relación aproximada entre la presión absoluta P de un objeto, a una profundidad h bajo el nivel del mar: Presión absoluta y profundidad en el mar

P = P0 + ρgh donde P0 es la presión atmosférica (medida en atm) en la superficie del fluido, ρ es la densidad del fluido, g es la aceleración de gravedad y h es la profundidad a la que se encuentra el objeto. Esta ecuación se conoce como la ecuación fundamental de la hidrostática.

h (m)

P (atm)

Para realizar los cálculos se utilizó la ecuación fundamental de la hidrostática, considerando valores aproximados de P0 = 1 atm, g = 10 m/s2 y ρ = 1.030 kg/m3.

• Verifica los valores obtenidos. Para ello, recuerda que: 1 atm ≈ 101.300 Pa Además, el producto ρgh puede ser expresado en pascales (Pa); por lo que para transformarlo a atmósferas (atm), se debe dividir por 101.300. A partir de la tabla, se pueden obtener los siguientes modelos de gráficos y de funciones:

• Si se considera la presión absoluta P en función de la profundidad h: P(atm)

1 ·h P(h) = 1 + ___ 10

6 5

Por ejemplo, aproximadamente la presión absoluta de un objeto, a una profundidad de 15 m, es 2,5 atm, ya que:

4 3 2 1

1 · 15 P(15) = 1 + ___ 10 = 2,5

h(m) 0

• Si se considera la profundidad h en función de la presión absoluta P: 60

h(m) h(P) = 10P − 10

50 40

Ampliando MEMORIA Observa que las gráficas de las funciones P y h son simétricas con respecto a la recta y = x.

Por ejemplo, aproximadamente la profundidad de un objeto que está sometido a una presión de 3,8 atm es 28 m, ya que:

30 20

h(3,8) = 10 · 3,8 – 10

P(atm) 0

= 28 m

Las funciones P y h relacionan las mismas variables, pero de forma inversa, es decir, la variable independiente de una es la variable dependiente de la otra y viceversa. Además, de los gráficos se puede observar que el dominio y recorrido de P son el recorrido y el dominio de h, respectivamente 48 UNIDAD 1 • FUNCIONES

1 Para GRABAR A partir de la función biyectiva f: A ⊆ ℝ → B ⊆ ℝ, se puede definir la función (también biyectiva) g: B ⊆ ℝ → A ⊆ ℝ, tal que: (f ◦ g)(x) = (g ◦ f)(x) = x

Esta nueva función g se denomina función inversa de f y se denota f -1. Por ejemplo:

• Las funciones biyectivas f: ℝ + ⋃ {0} → ℝ + ⋃ {0} definida por f(x) = x 2 y _

g: ℝ+ ⋃ {0} → ℝ+ ⋃ {0} definida por g(x) = √x son inversas, ya que:

(g ◦ f)(x) = g(f(x))

(f ◦ g)(x)= f(g(x)) _

= f( √x ) _

= ( √x )2

= f(10x) = log(10x)

= g(log(x)) = 10log(x)

(f ◦ g)(x) = f(g(x)) Por ejemplo, si f(x) = x – 5 y g(x) = 3 + 5x2, entonces: • (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(3 + 5x2) = 5x2 – 2

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) y

Si f y g son dos funciones reales, la composición de ellas, denotada por (f ◦ g)(x) es:

= √x2

• Las funciones biyectivas f: ℝ+ → ℝ definida por f(x) = log(x) y g: ℝ → ℝ+ definida por

Ampliando MEMORIA

= (3 + 5x2) – 5

g(x) = 10x son inversas, ya que: (f ◦ g)(x) = f(g(x))

= g( x2 ) __

Además, generalmente se tiene: f◦g≠g◦f • (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(x – 5) = 3 + 5(x – 5)2 = 3 + 5x2 – 50x + 125 = 5x2 – 50x + 128

1. Analiza cada par de funciones. Luego, comprueba que g = f−1. x−3 a. f(x) = 2x + 3, g(x) = _____ 2

1 − 5x 1 − x , g(x) = ______ d. f(x) = ______ 2x + 5 2x + 1

x − 1, g(x) = 5x + 5 b. f(x) = __ 5

e. f(x) = 3x + 2, g(x) = log3(x) – 2

2 , g(x) = 3 + __ 2 c. f(x) = _____ x x−3

f. f(x) = √ x − 2 + 4, g(x) = (x – 4)3 + 2

____

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

2. Identifica el dominio y recorrido de f -1. Luego, obtén la regla de formación de f -1. AYUDA

a. f: [0, ∞[ → [3, ∞[, f(x) = x2 + 3

d. f: ]2, ∞[ → ℝ, f(x) = log(x – 2) + 1

b. f: ℝ → ]–1, ∞[, f(x) = 5x – 1

e. f: [1, ∞[ → ℝ0+, f(x) = √x − 1

x+1 c. f: ℝ – {3} → ℝ – {1}, f(x) = _____ x−3

f. f: ℝ → ℝ, f(x) = (x + 1)3

Para obtener la regla de formación de f -1 a partir de la regla de formación de f, se puede despejar la variable x de la expresión y = f(x), y luego intercambiar las variables. Por ejemplo, como la función real f, definida por f(x) = 3x – 2, es biyectiva, entonces: • despejando la variable x: y = 3x − 2 y + 2 = 3x

____

/+2 1 / · __ 3

y+2 _____ =x 3 • intercambiando las variables: x+2=y _____ 3 x + 2. −1 Luego, f (x) = _____ 3

3. Analiza las tablas. Luego, complétalas. a. f -1(x) = x + 3 x

d. f -1(x) = log(x – 1)

f−1(x)

3 −1

f(x)

50 UNIDAD 1 • FUNCIONES

11 3

5 1

101

1,1

____

x f−1(x)

c. f -1(x) = 2x + 2 x

e. f -1(x) = √x − 8

f(x)

b. f -1(x) = x2 + 5 x

72 −3

f. f -1(x) = (x + 2)3 + 1

16 0

64 1

x f−1(x)

–4

0 0

En el plano cartesiano, las gráficas de una función real y su inversa son simétricas con respecto a la recta y = x.

y=x

f(x) = x2

6 5

Por ejemplo, las gráficas de la función f: ℝ 0+ → ℝ 0+ definida por f(x) = x2, y de su inversa f −1 : ℝ 0+ → ℝ 0+ definida por _ f−1(x) = √x son simétricas con respecto a la recta y = x.

Ampliando MEMORIA

La función f : ℝ → ℝ definida por f(x) = x se llama función identidad o simplemente identidad.

f –1(x) = √x

3 2

Esta relación geométrica entre los gráficos de f y f -1 justifica que:

• dom(f ) = rec(f -1)

–1

• rec(f ) = dom(f -1)

4. Representa gráficamente f -1 a partir de la gráfica de f dada. a.

3 2

1 -3

-2

f(x) = x3 0

-1

-4

-3

-2

-4

3 2

2 f(x) = 3 – 1 x

1 -2

-3

-2

-3

-4

-1

-2

-5

x 0

-1

f(x) = log(x + 1) + 2

-1

x 5

-4

-3

-2

-1

-2

-3

-4

f(x) = (x − 1)5 + 1 1

-5

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

R esolución de problemas ¿QUÉ ES COMPRENDER? Comprender consiste en construir un significado a partir de información comunicada en forma oral, escrita y/o gráfica.

¿QUÉ TENGO QUE HACER PARA COMPRENDER UN ENUNCIADO? • Identificar lo que entiendes de la información. • Relacionar lo que entiendes del enunciado. • Expresar la información en otro tipo de formato.

ETAPAS DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Paso 1:

Comprende el enunciado.

Paso 2:

Planifica lo que vas a realizar.

Paso 3:

Resuelve el problema.

Paso 4:

Revisa la solución.

1. Analiza la resolución del siguiente problema. Nicolás depositará en un banco USD 60.000, con una tasa de interés anual de 8 %, capitalizable cuatrimestralmente por un período de 2 años y 6 meses. ¿Cuál será su capital final? Paso 1 Comprende el enunciado

• Identifica lo que entiendes de la información. Los USD 60.000 depositados por 2 años y medio generarán un nuevo capital.

• Relaciona lo que entiendes del enunciado. Cada cuatro meses los intereses generados se abonarán a la cuenta, las cuales pasarán a ser el nuevo capital inicial para el período siguiente.

• Expresa la información en otro tipo de formato. El capital inicial es C0 = 60.000, con un interés anual de i = 0,08. Como la capitalización es cuatrimestral durante los 2 años y medio, se tiene 3 capitalizaciones anuales (k = 3) y 2,5 períodos (n = 2,5). Paso 2 Planifica lo que vas a realizar Reemplaza los datos obtenidos del enunciado en la expresión de interés compuesto y calcular. Paso 3 Resuelve el problema kn Si C = C0 1 + __i con C0 = 60.000, i = 0,08, k = 3 y n = 2,5 se tiene: k

(

)

(

0,08 C = 60.000 · 1 + ____ 3

(

2 C = 60.000 · 1 + ___ 75

( )

77 C = 60.000 · ___ 75

)

3 · 2,5

7,5

C ≈ 60.000 · 1,218 C = 73.080 Por lo tanto, el capital final de Nicolás será de aproximadamente USD 73.080. Paso 4 Revisa la solución Para revisar la solución puedes considerar i, k y n para obtener el capital inicial C0 = 60.000 de la siguiente forma: 0,08 7,5 ⇒ 73.080 = C · 1,218 73.080 = 60.000 73.080 = C0 1 + ____ ⇒ C0 = ______ 0 3 1,218

(

52 UNIDAD 1 • FUNCIONES

)

2. Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente. _

Utiliza una progresión geométrica para demostrar que 0,9 = 1. Paso 1 Comprende el enunciado

• Identifica lo que entiendes de la información. • Relaciona lo que entiendes del enunciado. • Expresa la información en otro tipo de formato.

Paso 2 Planifica lo que vas a realizar

Paso 3 Resuelve el problema

Paso 4 Revisa la solución

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

esolución de problemas 3. Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas. a. A partir del gráfico de la función real f: y 4 3 2 1 -4

-3

-2

-1

x 1

-1 -2 -3

• Calcula el valor de f(–1). • Estima el valor de f(2). • ¿Cuántas preimágenes tiene y = 0? • Estima dom(f) y rec(f). • Estima en qué intervalos f es creciente. • Estima en qué intervalos f es decreciente. b. Utiliza los gráficos de f y g para resolver: • Estima el valor de f(1) y g(3). • Estima para qué valores f(x) = g(x). • Estima en qué intervalo f(x) > g(x). • Estima dom(f), dom(g), rec(f) y rec(g). • Estima en qué intervalos f y g decrecen.

y 4

y = f(x)

3 2 1 y = g(x) 0 -2 -1

x 1

-1 -2

c. Considera la función que a cada número le asigna su cubo aumentado en 1. Escribe su expresión algebraica y calcula la imagen de –1, 1 y 2. Calcula también las intersecciones con los ejes coordenados. d. Si en una progresión aritmética, el sexto término es 15 y la diferencia es 3, calcula el primer término y la suma de los 9 primeros términos. e. Calcula la suma de los 15 primeros términos de una progresión aritmética en la que a3 = 20 y a7 = 1. f. En un edificio, el primer piso es de 7,4 m de altura y, desde el segundo piso, la distancia entre dos pisos consecutivos es de 3,8 m: • ¿A qué altura está el décimo piso? • Obtén una fórmula que permita calcular a qué altura se encuentra el n-ésimo piso.

54 UNIDAD 1 • FUNCIONES

g. Las medidas de los ángulos interiores de un triángulo están en progresión aritmética. Sabiendo que la medida del mayor de ellos es 105°, ¿cuál es la medida de los otros dos? h. Calcula la suma de los seis primeros términos de una progresión geométrica en la que a2 = 20 y a4 = 500. i. En una progresión geométrica con a3 = 8 y r = 0,5, calcula la suma de todos sus términos. j. Una máquina costó 32.000 euros. Luego de unos años fue vendida en 16.000 euros y posteriormente, vendida de nuevo, pero a la mitad del último precio. Si se sigue el mismo patrón de venta: • ¿Cuánto le costó la máquina al cuarto propietario? • Si el total de propietarios ha sido 8, ¿cuál es la suma total pagada por esa máquina? k. Mediante una función potencia, modela las siguientes tablas. Luego, responde. Tabla A

Tabla B

Tabla C

Tabla D

–4

15,8

–4

–63,7

–4

16,3

–4

64,1

–2

4,1

–2

–8,3

–2

3,8

–2

8,4

0,3

–0,2

0,2

–0,2

3,9

7,9

–4,3

–7,7

16,2

64,6

–15,8

–63,6

• ¿Cuáles de las tablas se pueden modelar utilizando una función potencia par o una función potencia impar? • Según el modelo determinado para la tabla A, ¿cuál podría ser la imagen de x = 1? • ¿Qué diferencias puedes observar entre la tabla B y la tabla D? ¿Y entre las funciones que las modelan? • A partir del modelo determinado para la tabla C, ¿cuál podría ser una preimagen de y = –1? l. Margarita tiene un capital de x pesos y lo deposita en un banco, a un 6 % de interés compuesto anual, y al cabo de 3 años tiene acumulado en el banco $14.292.192. Calcula el valor de x. m. Determina durante cuánto tiempo se deberá invertir un capital de USD 100.000 al 18 % anual capitalizable mensualmente, para obtener el doble del valor acumulado de otro capital de USD 100.000, depositado durante el mismo tiempo al 10 % anual capitalizable semestralmente. n. Demuestra que las siguientes funciones son biyectivas. Luego, determina su inversa. • f: [2, 3] → [4, 9], f(x) = x2. • g: [–1, 1] → [–6, 2], g(x) = (x – 1)3 + 2.

• h: [1, 5] → [4, 64], h(x) = 2x + 1. ____ • p: [–2, 2] → [–1, 1], p(x) = √x + 2 − 1.

x es biyectiva. ¿Qué ñ. Demuestra que la función f: ]–1, 1[ → ℝ definida por f(x) = _____ 1 − x2 puedes concluir?

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

H istorial

Síntesis

El siguiente organizador gráfico resume las relaciones entre los principales conceptos abordados.

dominio

codominio

recorrido

regla de formación

interés compuesto

se componen de

tienen

Funciones

aplicaciones

como calcular

crecimiento poblacional

del tipo

algunas son

inyectivas

sobreyectivas aritmético

Biyectivas

tienen

función inversa

56 UNIDAD 1 • FUNCIONES

geométrico

potencial

C argando disco

Modelamiento de pregunta PSU

Analiza el siguiente ejemplo de resolución de un tipo de pregunta PSU. En el diagrama de la figura, f es una función biyectiva si:

(1) x = y = z

(2) b = c

A. B. C. D. E.

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) o (2). Se requiere información adicional.

x y

A continuación, analicemos las alternativas: Al considerar juntas las proposiciones (1) y (2), se tiene que b y c representan una única preimagen y x, y y z representan una única imagen de dicha preimagen. Entonces, a partir del diagrama, se tendrían solo dos preimágenes, y cada una con una única imagen. Luego, f sería una función inyectiva y sobreyectiva, es decir, biyectiva.

Para responder este tipo de pregunta se debe analizar cada una de las proposiciones por separado y determinar si entregan la información suficiente para resolver el problema. La proposición (1) establece que x = y = z. De esta forma b y c tienen la misma imagen, entonces, f no sería inyectiva ni biyectiva. Es decir, con la información de la proposición (1) por sí sola, no se establece la biyectividad de f. Por lo tanto, se descartan las alternativas A y D como correctas.

Por lo tanto, con las proposiciones (1) y (2), ambas juntas, es posible resolver el problema, por lo que la alternativa correcta es C.

La proposición (2) establece que b = c. Entonces, b tendría tres imágenes distintas, con lo que f no sería función. Por lo tanto, con la proposición (2) por sí sola no es posible resolver el problema. Entonces, la alternativa B es incorrecta.

Luego, se descarta también la alternativa E.

Entonces, la alternativa correcta es C. A

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

V erificando disco I.

Evaluación final

Lee atentamente y marca la alternativa correcta.

1. En la figura se observa el diagrama de la función f. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. El recorrido de f es B. II. Si x ∈ A, entonces f(x) = x2. f(2) + f(1) 1 III. ________ = __ . A f(3) + f(4) 5 A. B. C. D. E.

Solo I Solo II Solo III Solo II y III I, II y III

f B

3 4

3 9

25 16

2. Sea g una función real definida por g(x) = 3x – 7. g(x + h) − g(x) Entonces, ____________ es: 3h A. 1 1 B. __ 3 C. x + h 3h + 7 D. ______ 3h 3h − 14 _______ E. 3h

5. ¿Cuál es el dominio de la función real definida por f(x) = (x + 2)−2 + 9? A. B. C. D. E.

6. ¿Cuál función real tiene por representación el gráfico siguiente? y A. B. C. D. E.

–3 ∈ dom(f ) 0 ∈ rec(f ) ℝ+ ⊆ dom(f ) dom(f ) = ℝ – {3} f(0) = –1

A. B. C. D.

E. Solo III y IV 58 UNIDAD 1 • FUNCIONES

3 2 1 -3

-2

-1

-3 -4

7. ¿Cuál de los siguientes gráficos no representa una función potencia? A.

y = f(x)

y y = f(x)

4. ¿Cuál(es) de las rectas es (son) asíntota(s) de la gráfica de la función real definida por f(x) = −(x − 3)−5 − 2: I. x = 3 II. y = 2 III. y = −2 IV. x = −3 Solo I y II Solo I y III Solo I y IV Solo II y IV

f(x) = –(x – 1)3 + 1 f(x) = –(x + 1)3 – 1 f(x) = –(x + 1)3 + 1 f(x) = –(x – 1)−3 – 1 f(x) = –(x + 1)−3 + 1

-2

x + 3 , ¿cuál 3. Si una función real está definida por f(x) = _____ x−3 de las siguientes afirmaciones es falsa? A. B. C. D. E.

ℝ ℝ+ ℝ – {2} ℝ – {−2} [9, ∞[

y = f(x) 0

y y = f(x) 0

8. Si el dominio de las funciones reales f, g y h es ]0, 1[ y están definidas respectivamente por: 1 x4, g(x) = __ 1 x5, h(x) = __ 1 x6 f(x) = __ 5 5 5 entonces: A. B. C. D. E.

f(x) < g(x) < h(x) h(x) < g(x) < f(x) h(x) < f(x) < g(x) g(x) < f(x) < h(x) g(x) < h(x) < f(x)

Figura 2

Figura 3

9. ¿Cuántos cuadrados tendrá la figura 15? A. B. C. D. E.

12. ¿Cuál es la suma de los primeros 10 términos de la progresión aritmética 10, 7, 4,…? A. B. C. D. E.

–79 –35 21 79 87

13. ¿Cuál es el término número 56 de la PG 81, 27, 9,…?

Las preguntas 9 y 10 están asociadas a la secuencia que se muestra a continuación. Figura 1

15 45 314 315 316

10. ¿Cuál es la suma de todos los cuadrados de las primeras 20 figuras? A. 60 B. 320 320 C. ___ 2 3 (320 − 1) D. __ 2 1 (320 − 1) E. __ 2 9 …? 11 , 5, __ 11. ¿Qué lugar ocupa el término −6 en la PA 6, ___ 2 2 A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 E. 26

A. 359 1 51 B. __ 3 1 55 C. __ 3

( ) ( )

1 56 D. 81 · __ 3 1 55 E. 81 + __ 3 14. ¿Cuál es la suma de los 100 primeros números naturales que son divisibles por 3? A. B. C. D. E.

300 5.050 15.150 15.750 30.300

15. Claudia tiene un capital de x pesos y lo deposita en un banco a un 6 % de interés compuesto anual, y al cabo de tres años tiene acumulado una cantidad y de dinero. Una relación entre x e y es: A. B. C. D. E.

y = x · 1,063 y = x(1,063 – 1) xy = 1,063 x = y · 1,063 x = y(1,063 – 1)

16. Se deposita un capital (C) con cierta tasa de interés compuesto anual (i), capitalizable anualmente. ¿En cuánto tiempo se duplicará el capital? (1) i = 2 % (2) C = $2.000.000 A. B. C. D. E.

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) o (2). Se requiere información adicional. MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

erificando disco

Evaluación final

17. Juan invierte $1.000.000 con un interés compuesto anual del 4% capitalizable trimestralmente. ¿Cuál es el capital al cabo de 4 años? A. B. C. D. E.

106 · 216 106 · 1,014 106 · 1,0116 106 · 1,0416 106 · 1,007516

18. El interés compuesto semestral que triplica el capital inicial en 4 años, es: _

A. 100 (√3 − 1) % 4

B. 100 (√3 − 1) % C. 100 (√3 − 1) _

4 D. √3 − 1

21. De los siguientes diagramas, ¿cuál(es) representa(n) una función inyectiva? I.

A. B. C. D. E.

20. ¿Cuál(es) de las siguientes funciones es (son) inyectiva(s)?

A. B. C. D. E.

I. f: ℝ → ℝ+, f(x) = x4 + 16 II. g: ℝ → ℝ, g(x) = 1 – x3 III. h: ℝ+ → ℝ+, h(x) = | x − 5 | Solo I Solo II Solo III Solo I y II Solo II y III

II.

–1 0 1 2

III.

1 2 3 4

5 1

100

Solo I Solo II Solo III Solo I y II I, II y III

1 2 3 4

A. B. C. D. E.

B 0 1 2

II.

C 1 2 3

III.

23. Si dom(f ) = rec(f ) = ℝ, ¿cuál de las siguientes funciones no es biyectiva? A. B. C. D. E.

f(x) = x f(x) = 2x f(x) = x3 f(x) = 2 − x f(x) = x5 + 1

24. Si f: [–5, –2] → [–4, 5], definida por f(x) = x2 + 4x, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

A. B. C. D.

Solo I Solo II Solo I y II Solo I y III I, II y III

I. f es una función. II. El gráfico de f es parte de una parábola. III. f es función biyectiva. Solo I Solo II Solo III Solo I y II

E. I, II y III

60 UNIDAD 1 • FUNCIONES

22. ¿Cuál(es) de los siguientes diagramas representa(n) una función sobreyectiva?

E. √3 − 1

I. Si el codominio de una función es igual a su recorrido, entonces la función es inyectiva. II. Si cada imagen de una función tiene una sola preimagen, entonces la función es sobreyectiva. III. Toda función real sobreyectiva tiene inversa. Solo I Solo II Solo III Solo I y II I, II y III

1 2 3 4

_ 8

19. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) falsa(s)?

25. De los siguientes gráficos, ¿cuál(es) representa(n) una función inyectiva? y

3 2 1 1

y f

-5 -4 -3 -2 -1 0 -1

27. ¿Cuál de los gráficos representa una función y su inversa? A.

-2 -3

-4 -5

II.

y 0

5 4

0 g

3 2 1

-5 -4 -3 -2 -1 0 -1

-2

-3 -4

-5

III.

y 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1

x 1

-2 -3 -4 -5

A. Solo I B. Solo II C. Solo III

D. Solo I y III E. Solo II y III

26. El dominio de la función real definida por x + 3 es: _____ f(x) = _______ √2 − |x| A. B. C. D. E.

]–∞, –2[ ∪ ]2, ∞[ ]–2, 2[ ℝ ℝ – {–2, 2} [–2, 2]

28. ¿Cuál de las siguientes funciones, con dominio y recorrido [1, 3] y [5, 9] respectivamente, es una función biyectiva? A. B. C. D. E.

f(x) = x g(x) = 2x h(x) = 2x + 3 i(x) = log(x) ____ j(x) = √x + 3

29. Si A = {1, 2, 3} y B = {a, b, c}, ¿cuántas funciones biyectivas de A en B es posible definir? A. B. C. D. E.

1 3 5 6 9

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

Evaluación final

II. Resuelve los siguientes problemas. 1. Se dispone de dos opciones para invertir un capital de USD 10.000. Una de ellas implica depositar el dinero durante 2 años al 3 % de interés compuesto anual y la otra, depositar ese mismo dinero por 1 año al 5 % anual de interés compuesto anual. ¿Cuál es la opción que generará un mayor capital?

1 _____ x + 1 es biyectiva y, determina su dominio 2. Demuestra que la función real f definida por f(x) = __ ) 2( x + 2 y recorrido.

62 UNIDAD 1 • FUNCIONES

C errar sesión

Revisa tus respuestas de alternativas. Pregunta

Contenido evaluado

Habilidad

Funciones

Analizar

Comprender

Comprender Función potencia

Recordar

Comprender

Aplicar

Progresiones

Aplicar Aplicar

Analizar

Comprender Interés compuesto

Aplicar Aplicar

Analizar

Recordar

Recordar Funciones biyectivas y función inversa

Analizar

Omitidas

Aplicar

23 24

Incorrectas

Comprender

Correctas

Logro alcanzado

Aplicar

Mi revisión

Analizar

Clave

Analizar Analizar Comprender

Aplicar

Comprender

Analizar

Mi ESTADO Anota el nivel de logro de tus aprendizajes de la unidad según la categoría de desempeño dada: 1. Por lograr; 2. Medianamente logrado; 3. Logrado. Analicé funciones potencia, algebraica y gráficamente, y estudié sus traslaciones en el plano cartesiano. Reconocí características de funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas y determiné funciones inversas. Calculé términos y la suma de ellos en progresiones aritméticas y geométricas. Calculé interés compuesto.

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

Unidad

1 2 3 4

Inecuaciones

MENÚ de inicio ¿Qué aprenderás?

¿Para qué?

¿Dónde?

Intervalos.

Representar conjuntos de números en ℝ utilizando lenguaje conjuntista.

Páginas 68 a 71.

Desigualdades e inecuaciones.

Resolver problemas que involucran el uso de inecuaciones.

Páginas 72 a 91.

Gráfico de una región en ℝ2.

Resolver gráficamente un sistema de inecuaciones.

Páginas 92 a 95.

Programación lineal.

Resolver problemas que involucran la optimización de funciones.

Páginas 96 a 99.

64 UNIDAD 2 • INECUACIONES

ABRIR sesión

Un modelo matemático tiene por objetivo fundamental reproducir un fenómeno real de la forma más fiel posible para así comprender su funcionamiento, obtener respuestas a determinadas acciones y, por sobre todo, tomar decisiones. La programación lineal es un modelo matemático que se desarrolló a partir de la Segunda Guerra Mundial, para resolver cierto tipo de problemas de asignación de recursos en distintas actividades. Después de la guerra, sus aplicaciones modelaron y resolvieron una amplia variedad de problemas, de manera que hoy se utilizan en diversos campos, como la ingeniería, la economía, la gestión y en muchas otras áreas de la ciencia, la tecnología y la industria. Las bases de la programación lineal fueron formuladas por el físico y matemático George B. Dantzig (1914-2005), alrededor de 1947, durante su trabajo en la Fuerza Aérea de Estados Unidos como consejero matemático encargado del desarrollo de sistemas automáticos de planificación temporal de despliegue, entrenamiento y abastecimiento logístico. Fue ahí donde presentó un problema de programación lineal y propuso un método de resolución. Pero fue T.C. Koopmans (1910-1985), economista y matemático, quien utilizó por primera vez el término de programación lineal en el verano de 1948 cuando colaboraba con el propio Dantzig. Hoy en día, la programación lineal estudia la optimización (minimización o maximización) de una función lineal que satisface un conjunto de restricciones lineales de igualdad o desigualdad. Considerando la información, responde: 1. ¿Con qué fin crees que la matemática intenta modelar diversas situaciones? 2. ¿En qué contexto histórico comenzó a desarrollarse la programación lineal? 3. ¿Cuáles son actualmente los ámbitos de aplicación de este modelo? 4. ¿Qué significa que este modelo sea lineal?

nuevoexplorando.edicionessm.cl

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

I nicializando

Evaluación inicial

Lee atentamente y luego resuelve los ejercicios. 1. Representa como conjunto cada enunciado. a. b. c. d. e.

Números naturales mayores que 542. Números reales menores o iguales a –25. Números racionales mayores que z y menores que w. Números reales menores o iguales a 577 y mayores que –63. Números reales menores o iguales a –32 y mayores o iguales a –58.

2. Identifica los valores de x en cada caso. Para ello, escribe en la columna B la letra que corresponde de la columna A. Columna A

Columna B

a. | x | = 18

_____ x = – 4 o x = 20

b. | –x | = 105

_____ x = 18 o x = –18

c. | x – 3 | = 5

_____ x = 13 o x = –13

d. | 8 – x | = 12

_____ x = 8 o x = –2

e. | 3x | = 39

23 _____ x = 6 o x = − ___ 3

_____ x = –105 o x = 105

| 2x – 1 | = 8

9 7 o x = __ _____ x = − __ 2 2

g. | 6x + 5 | = 41 3. Resuelve las ecuaciones.

a. 8x + 12 = –5

1 + _____ 1 = ______ 1 h. _____ 2

b. 27 – 5x = 8x + 19

c. 4x – 3 = 5(2x – 1) + 6

j. (x + 3)(x + 6) – 4 = 0

d. x(8x – 2) = (2x – 8)(4x + 3)

k. x2 – 4x – 9 = 0

x + 17 = x + 5 e. __

l. 6x2 + 7x + 2 = 0

7 =2 _____

2x + 5 x + 4 = _______ g. _____

66 UNIDAD 2 • INECUACIONES

x+3

x −9

21 − 8x = ___ 5 − ___ 8 − __ 1 ________ 6x

m. x2 + 4x + 4 = 0

x −3

x−3

n. x2 – 2x − 8 = 0

4. Resuelve los sistemas de ecuaciones. d.

{

5x − 10y = 6 −30y + 15x = 18

{

4x − 6y = 1 7 = 8x − y

{

− x + y = 16 2x − 3y = 3x

{

x − 5y = −12 4x + 2y − 10 = 0

{

−7x + 2y = −5 4x − 6y = 9

{

2x − y = 3 3x + 4y = 8

{

{ {

2x − 2y = 6 x+y=1 2x + y = 8 __ 5 2y = 5 3x − __ 3 11x + 3y = −4 22x − 6y = 3

5. Resuelve los problemas. a. Lucía trabajó tres días y ganó un total de $175.000. Si cada día recibió el doble de lo obtenido el día anterior, ¿cuánto dinero ganó cada día?

b. Un asta de bandera perpendicular al suelo se quebró y su extremo superior quedó tocando el suelo a 1 m de la base. Si la longitud del asta es 3 m, ¿a qué altura se produjo el quiebre?

c. La longitud de la base de un triángulo es el triple que la de su altura respectiva. Al disminuir en 1 cm las longitudes de la base y la altura, el área inicial del triángulo disminuye 7,5 cm2. Calcula el área inicial del triángulo.

d. Mariela compró unos lápices rojos que costaban $130 cada uno y unos azules que costaban $95 cada uno. Si en total compró 20 lápices y gastó $2.320, ¿cuántos lápices de cada color adquirió?

Mi ESTADO En estas actividades: e. Se realizó una prueba de alternativas con 80 preguntas. Por cada respuesta correcta se obtienen tres puntos y por cada incorrecta se descuentan 0,25 puntos. Si un estudiante contestó 62 preguntas y obtuvo 108 puntos, ¿cuántas preguntas respondió en forma incorrecta?

•

¿Qué te resultó más fácil? ¿Por qué?

•

¿Qué te resultó más difícil? ¿Por qué?

•

¿Reconoces los contenidos trabajados?

•

¿Cuál de esos contenidos crees que debes repasar antes de continuar?

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

Intervalos en ℝ En la siguiente recta numérica se representó el conjunto de todos los números reales mayores que –3 y menores que 4:

–5

–4

–3

–2

–1

_ 4 , π, etc., ya que cada uno de ellos es mayor que Algunos de sus elementos son: –2, −√ 3 , 0, __ 7 –3 y menor que 4. ¿Podrías nombrar uno a uno todos los elementos de este conjunto? Justifica. Para describir los elementos de este conjunto sin necesidad de nombrarlos, puedes utilizar los símbolos >, <, ≥ y ≤, con los que ya trabajaste en años anteriores.

Para GRABAR Ampliando MEMORIA

Un intervalo es un conjunto de infinitos números reales. Para representarlos, observa:

Para representar si un intervalo es abierto o cerrado, se utilizará en su gráfico un círculo sin color y uno con color, respectivamente. Por ejemplo: abierto –2

–1

]–2, 3] cerrado 0

Intervalos de la forma ]a, b] y [a, b[ se llaman semiabiertos. Mientras que los del tipo ]a, ∞[ y ]–∞, b[ se llaman no acotados.

Intervalo

Conjunto

Gráfico

]a, b[: intervalo abierto.

{x ∈ ℝ / a < x < b}

[a, b]: intervalo cerrado.

{x ∈ ℝ / a ≤ x ≤ b}

[a, ∞[: intervalo no acotado.

{x ∈ ℝ / a ≤ x}

]–∞, b]: intervalo no acotado.

{x ∈ ℝ / x ≤ b}

Donde a, x, b ∈ ℝ con a < b. De esta forma, un número real x pertenece a un intervalo si cumple con la condición dada. Por ejemplo, x = 2 pertenece al intervalo abierto ]–3, 4[, ya que –3 < 2 y 2 < 4; mientras que x = 5 no pertenece a ]–3, 4[, ya que –3 < 5, pero 5 ≰ 4. Estas situaciones se denotan como: 2 ∈ ]–3, 4[

5 ∉ ]–3, 4[

1. Representa los intervalos como conjunto y geométricamente. a. [–4, 5[

►{

}►

b. ]–3, 6[

►{

}►

c. ]1, ∞[

►{

}►

d. ]–∞, 4[ ► {

}►

]

8 , ___ 11 ► { e. – __ 3 2

68 UNIDAD 2 • INECUACIONES

}►

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0

1 2. Representa cada conjunto como intervalo. a. {x ∈ ℝ / –3 < x ≤ 5}

{

1<x c. x ∈ ℝ / – __ 2

e. {x ∈ ℝ / –1 < x ≤ 0}

{ {

√2 f. x ∈ ℝ / –√3 < x < ___ 2 _ √3 g. x ∈ ℝ / x ≤ ___ 2

►

}

►

d. {x ∈ ℝ / –3 ≤ x ⋀ x < 0} ►

}

h. {x ∈ ℝ / √3 < x ⋀ x ≤ 2}

Sean a, b ∈ ℝ, con a ≤ b. La expresión a ≤ x ≤ b es equivalente a:

► ►

a≤x⋀x≤b

► ►

3. Analiza las representaciones. Luego, exprésalas como intervalo. a.

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0

y⇔⋀

0⇔⋁

Se llaman conectivos lógicos.

► ► ► ►

f. –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

En lógica se utilizan las siguientes equivalencias:

►

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0

Ampliando MEMORIA

►

AYUDA

►

b. {x ∈ ℝ / –3 ≤ x < 0}

4. Analiza la siguiente tabla. Luego, completa escribiendo ∈ o ∉ según corresponda. x

[–1, 2]

]

3 , √5 – __ 2

]

]–4, 5[

[

√3 ___ ,π 3

Intervalo

[

[0, ∞[

]

√3 1__ , ___ – ___ √2 2

[

[–∞, 1[

[ 0,9; __37 [ _

1 _

√2

π –1

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

Unión e intersección de intervalos Paso a paso

Sean los intervalos A = [–2, 5[ y B = ]–4, 2].

(1)

El intervalo de todos los elementos de A y todos los de B: –6 –5–4 –3–2 –1 0 1 2 3 4 5 6

(2) –6 –5–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 A∪B

–6 –5 –4 –3 –2 –1

{x ∈ ℝ / x ∈ A ⋁ x ∈ B}

{x ∈ ℝ / x ∈ A ⋀ x ∈ B}

El intervalo de los elementos comunes de A y B:

(3) –6 –5–4 –3–2–1 0 1 2 3 4 5 6 A∩B

–6 –5 –4 –3 –2 –1

• ¿Cuál de los gráficos crees que corresponde a una unión y cuál a una intersección de A y B?

(4) –6 –5 –4–3 –2–1 0 1 2 3 4 5 6

(1) Representa el intervalo [–2, 5[.

Para GRABAR

(2) Representa el intervalo ]–4, 2].

La unión de los intervalos A y B es un conjunto que contiene a todos los elementos de A y a todos los de B y se denota A ∪ B.

(3) Considera todos los valores de A y todos los de B para la unión. (4) Considera solo los valores comunes de A y B para la intersección.

La intersección de los intervalos A y B es un conjunto que contiene a todos los elementos comunes de A y B y se denota A ∩ B. Ejemplo: Si A = [–3, 3[ y B = ]–2, 5[: A∪ B A B • A ∪ B : [–3, 5[ ►

–6 –5 –4 –3 –2 –1 A

• A ∩ B : ]–2, 3[ ►

Ampliando MEMORIA Dos intervalos se dicen disjuntos si A ∩ B = ∅.

–6 –5 –4 –3 –2 –1

A∩ B 0

B 2

1. Representa cada conjunto en la recta numérica. Luego, de ser posible, exprésalos como intervalo.

a. [–3, 6[ ∪ ]0, 5[

►

b. ]–5, 1[ ∩ [–3, 1]

►

c. [–6, 1] ∪ [2, 4]

►

d. ]–∞, 2] ∩ [1, ∞[

►

e. ]–∞, 0[ ∪ ]0, ∞[

►

] – __29, 1 ] ∩ [1, 2]

►

[ [ ]

[

15 ∪ –1, ___ 1 , ___ 11 ► g. __ 2 8 2

70 UNIDAD 2 • INECUACIONES

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

1 2. Expresa gráficamente. Luego, si es posible, como intervalo. a. {x ∈ ℝ / –6 < x ≤ 10} ∪ {x ∈ ℝ / 0 ≤ x < 2}

El conjunto ℝ se puede expresar como el intervalo ]–∞, ∞[.

►

}

√2 7 ∩ { x ∈ ℝ / –√_ c. x ∈ ℝ / – ___ ≤ x < __ 3 < x < 1} 2 3

{

El conjunto de la forma [a, a] corresponde al conjunto de un solo elemento, {a}.

{

Ampliando MEMORIA

►

b. {x ∈ ℝ / x ≤ –1} ∩ {x ∈ ℝ / –2 ≤ x < –1}

►

}

__ √7 d. x ∈ ℝ / –π < x ≤ ___ ∩ { x ∈ ℝ / –√10 < x ≤ 6 } 2

►

0 _

e. {x ∈ ℝ / x ≤ –3} ∩ {x ∈ ℝ / –√ 8 < x ≤ 5}

►

0 _

f. {x ∈ ℝ / –√2 ≤ x < 2} ∪ {x ∈ ℝ / x < –2}

►

3. Analiza los siguientes conjuntos. Luego, completa la tabla escribiendo ∈ o ∉. • A = [–5, 0[ x

• B = {x ∈ ℝ / –5 < x ≤ 1}

• C = ]–1, 1[

• D = {x ∈ ℝ/ –1 ≤ x ≤ 0}

Conjunto A ∩ B B ∪ D A ∩ C D ∪ C B ∩ C A ∪ D A ∩ B ∩ D (B ∪ C) ∩ D A ∪ (B ∩ D)

–5 –1 0 1 –2 0,5 –0,5

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

Desigualdades Ampliando MEMORIA

Existe un subconjunto de ℝ, llamado conjunto de números reales positivos, denotado por ℝ+, con las siguientes propiedades: I. Es cerrado para la adición, es decir, si a, b ∈ ℝ+, entonces a + b ∈ ℝ+. II. Es cerrado para la multiplicación, es decir, si a, b ∈ ℝ+, entonces a · b ∈ ℝ+. III. Ley de tricotomía. Para cualquier a ∈ ℝ se cumple una y solo una de las siguientes afirmaciones: • a=0 • a ∈ ℝ+

Uno de los teoremas importantes para números reales establece que el cuadrado de todo número real es mayor o igual a cero, esto es, si a ∈ ℝ, entonces a2 ≥ 0. Esta expresión es fundamental en matemática para poder determinar muchas otras relaciones. Por ejemplo, de ella se deriva el siguiente resultado: “Si x, y ∈ ℝ, entonces x2 + y2 ≥ 2xy” Considera cualquier par de números reales y verifica que esta relación es verdadera.

Para GRABAR Una desigualdad en ℝ es una relación entre dos números que utiliza los símbolos <, >, ≤ o ≥.

Ejemplo: • 0 < 1 es una desigualdad verdadera. • x + 1 ≥ 0 puede ser verdadera o falsa, dependiendo del valor de la variable x.

Una inecuación es una desigualdad que involucra variables, y puede ser verdadera o falsa, según el valor de la(s) variable(s).

• a2 < 0 es una desigualdad falsa, ya que el cuadrado de cualquier número real es mayor o igual a cero.

• –a ∈ ℝ+

1. Verifica si las desigualdades son verdaderas o falsas. _

d. ( 1 − 0,9 ) > 0

a. (2 – 3)3 < 0 _

g. ( 1 − √2 )2 > 3

( ) ( )

b. √2 + √3 ≥ √5

98 e. 2,17 ≤ ___ 45

5 4 3 > __ h. __ 5 4

c. (1 – 9)100 < 0

f. 90180 < 18090

3 > 2 + √_ 3 + √_ 3 i. ______ 3 − √3

2. Analiza la siguiente tabla. Luego, escribe V o F si la desigualdad es verdadera o falsa para los valores dados. Desigualdad x2 > 1 2x ≥ 2 x+1 ≥x ( ____ 2 ) 2

x + __1x ≥ 2

D esafíate Sean x, y ∈ ℝ. Demuestra que x2 + y2 ≥ 2xy.

1 ≤1 _____ x2 + 1

2x < 5x 1 + 2x ≥ x

72 UNIDAD 2 • INECUACIONES

x –3

–1

1 − __ 4

1 __ 3

Propiedades de las desigualdades Para trabajar con desigualdades se deben considerar ciertas propiedades. A continuación se enuncian algunas de ellas, donde x, y, z son números reales. Aunque solo se considera el símbolo <, estas propiedades también se aplican para >, ≤ y ≥.

x<y∧y<z⇒x<z II. Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un mismo número, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido. x<y⇒x+z<y+z III. Si los dos miembros de una desigualdad son multiplicados o divididos por un número positivo, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido. x y x < y ∧ z > 0 ⇒ x · z < y · z ⋁ _z < _z IV. Si los dos miembros de una desigualdad son multiplicados o divididos por un número negativo, se obtiene otra desigualdad con sentido opuesto. y x < y ∧ z < 0 ⇒ x · z > y · z ⋁ _xz > _z

Ejemplo: • 1 < 3 y 3 < 5, entonces 1 < 5.

• La relación ≤ (≥): - es reflexiva, es decir, a ≤ a. - es antisimétrica, es decir, si a ≤ b y b ≥ a, entonces a = b.

• –4 < 0 y 0 < 4, entonces –4 < 4.

Ejemplo: • 1 < 3 / + 2, entonces: 1 + 2 < 3 + 2 3<5 • –5 < 1 / – 4, entonces –5 – 4 < 1 – 4 –9 < –3 Ejemplo: • 1 < 5 / · 2, entonces 1 · 2 < 5 · 2 2 < 10 • –6 < 9 / : 3, entonces –6 : 3 < 9 : 3 –2 < 3 Ejemplo: • –2 < 5 / · (–3), entonces –2 · (–3) > 5 · (–3) 6 > –15 • 4 < 8 / : (–2), entonces 4 : (–2) > 8 : (–2) –2 > –4

1. Analiza las siguientes desigualdades. Luego, completa el desarrollo e identifica la propiedad aplicada según el cuadro anterior. a.

5x + 2 > 6 /

–2x + 5 ≤ 9 /

Propiedad 5x > 4 / 4 x > __ 5

Propiedad –2x ≤ 4 /

Propiedad

Propiedad x ≥ –2

Sean a, b ∈ ℝ.

• La relación < (>): - no es reflexiva, es decir, es falso que a < a. - no es simétrica, es decir, si a > b, es falso que b > a.

Para GRABAR I. La relación de orden es transitiva, esto es, si un primer número real es menor que un segundo, y este es menor que un tercero, entonces el primero es menor que el tercero.

Ampliando MEMORIA

c. x + 2 < 5/ __ 2 Propiedad x <3/ __ 2

Ampliando MEMORIA Dos desigualdades son equivalentes si al aplicar propiedades a una de ellas se obtiene la otra. Además, tienen el mismo conjunto solución.

Propiedad

x<6

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

AYUDA De la propiedad V se puede desprender que el producto y el cociente de dos números reales son negativos si uno de ellos es positivo y el otro negativo. Esto es: x · y < 0 ⋀ __yx < 0 ⇔ x>0⋀y<0 ⋁ x<0⋀y>0

Para GRABAR V. El producto y el cociente de dos números reales son positivos si y solo si ambos números son positivos o ambos negativos. x · y > 0 ⋀ _yx > 0 ⇔ x, y > 0 ⋁ x, y < 0 VI. Si los dos miembros de una desigualdad son ambos positivos o ambos negativos, sus inversos multiplicativos invierten el sentido de la desigualdad. x < y (x, y > 0 ⋁ x, y < 0) ⇒ __1x > __1y

Ejemplo: • 5 > 0 y 3 > 0, entonces 5 · 3 > 0 15 > 0 −8 > 0 • –8 < 0 y –4 < 0, entonces ___ −4 2>0 Ejemplo: • 2 < 5, entonces __1 > __1 2 5 • –6 < –3, entonces – __1 > – __1 6 3

VII. Si se suman los miembros de los mismos lados de dos desigualdades de igual sentido, se obtiene una desigualdad que mantiene el sentido. x<y z<w ⇒ x+z<y+w

Ejemplo: • 1 < 5 ⇒ 1 – 3 < 5 + 2 ⇒ –2 < 7 –3 < 2

VIII. Si se multiplican los miembros de los mismos lados de dos desigualdades de igual sentido, se obtiene una desigualdad que mantiene el sentido, donde x, y, z, w ∈ ℝ+. x<y z<w ⇒ x·z<y·w

Ejemplo: • 2 < 4 ⇒ 2 · 1 < 4 · 3 ⇒ 2 < 12 1<3

{

•

{ –2–1<<–10 ⇒ –1 – 2 < 0 – 1 ⇒ –3 < –1 {

{

• 1 < 3 ⇒ 1 · 7 < 3 · 8 ⇒ 7 < 24 7<8

2. Analiza las resoluciones e identifica la propiedad aplicada según el cuadro anterior. 1 < __ 1 a. Si x > 3, entonces __ x 3. Propiedad

b. Si (x – 3)(x + 4) > 0, entonces: • x – 3 > 0 ∧ x + 4 > 0 ⇒ x > 3 ∧ x > –4 ∨ • x – 3 < 0 ∧ x + 4 < 0 ⇒ x < 3 ∧ x < –4 Propiedad

{

2x + y < 4 , entonces: x – 2y < –10 • (2x + y) + (x – 2y) < 4 – 10 3x – y < –6

c. Si

Propiedad x – 1 < 0, entonces: d. Si _____ x+2 • x – 1 > 0 ∧ x + 2 < 0 ⇒ x > 1 ∧ x < –2 ∨ • x – 1 < 0 ∧ x + 2 > 0 ⇒ x < 1 ∧ x > –2 Propiedad

74 UNIDAD 2 • INECUACIONES

Para GRABAR IX. Si se calcula la raíz cuadrada de cada miembro de una desigualdad de números positivos, se obtiene una desigualdad con el mismo sentido. _

0 < y < x ⇒ 0 < √y < √x

X. Si cada miembro de una desigualdad de números positivos se eleva al cuadrado, se obtiene una desigualdad con el mismo sentido. 0 < y < x ⇒ 0 < y2 < x2

Ejemplo:

• 4 < 9, entonces √4 < √9 ⇒ 2 < 3 • 1 _< 6,25___ entonces √ 1 < √ 6,25 ⇒ 1 < 2,5 Ejemplo: • 1 < 5, entonces 12 < 52 ⇒ 1 < 25

( ) ( )

2 2 • __1 < __1 , entonces __1 < __1 ⇒ __1 < __1 3 2 3 2 9 4

Ejemplo:

XI. Si un número real es mayor que 1, entonces su inverso multiplicativo es positivo y menor que 1. x > 1 ⇒ 0 < __1x < 1

• 3 > 1, entonces __1 < 1 3 1 <1 • 10 > 1, entonces __ 10

XII. Si un número real positivo es menor que 1, entonces su inverso multiplicativo es mayor que 1. 0 < x < 1 ⇒ __1x > 1

Ejemplo: • __1 < 1, entonces 2 > 1 2 100 > 1 99 < 1, entonces ___ • ___ 100 99

3. Analiza las siguientes afirmaciones para x, y, z ∈ ℝ y escribe V o F. Luego, crea un ejemplo o contraejemplo, según corresponda. a.

Si x < y, entonces x2 < y2.

Si x < y y x < z, entonces y < z.

1 < −1. Si x < –1, entonces __ x

Si 0 < x < 4, entonces √x < 2.

Si y < 0 < x, entonces y2 < x2.

Si x < 2 e y < 3, entonces xy < 6.

Si x < y < 0, entonces √3 x < √3 y . h.

Si –1 < x < 1, entonces x2 < 1.

D esafíate Determina a, b ∈ ℝ, no nulos, con 1 1 a < b, tal que __ < __. a b

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

Valor absoluto Para encontrar los números reales que satisfacen la desigualdad |x| < 1 se deben buscar todos los valores de x que en la recta numérica están a una distancia menor que 1 del 0. Gráficamente, corresponde al conjunto:

–3

–2

–1

Se puede expresar como el conjunto {x ∈ ℝ / –1 < x < 1}, es decir, como el intervalo abierto ]–1, 1[.

Para GRABAR El valor absoluto de un número x ∈ ℝ se define como: |x| = x si x ≥ 0 −x si x < 0

Ejemplo:

Observación:

• |−5| = −(−5) = 5, ya que –5 < 0.

{

|x| = √x2 ;

• |3| = 3, ya que 3 > 0. • |0| = 0, ya que 0 = 0.

x∈ℝ

1. Representa gráficamente y como intervalo las siguientes desigualdades: AYUDA

a. |x| < 3

c. x2 < 16

b. |x| ≤ 3

d. x2 ≤ 25

La notación |x| = √x2 es importante para comprender desigualdades como x2 ≤ 4. Observa: x2 ≤ 4 __

/√

√ x2 ≤ 2

|x| ≤ 2 Entonces, los números que cumplen con x2 < 4 forman el conjunto: –3 –2 –1 0 1 2 3

Es decir, el intervalo [–2, 2].

2. Representa gráficamente y como intervalo los siguientes conjuntos:

}

►

2 < x < __ 2 d. x ∈ ℝ / – __ 5 5

b. {x ∈ ℝ / –6 ≤ x ≤ 6}

►

e. {x ∈ ℝ / –7 < x < 7}

►

f. {x ∈ ℝ / –√5 ≤ x ≤ √ 5 } ►

{

1 < x < __ 1 c. x ∈ ℝ / – __ 3 3

76 UNIDAD 2 • INECUACIONES

{

a. {x ∈ ℝ / –5 < x < 5}

}

►

► _

Ampliando MEMORIA

Para GRABAR Sean x, y ∈ ℝ:

Dados a, b ∈ ℝ +0 :

V. |x · y| = |x| · |y|

• Si a2 = b2, entonces a = b.

II. |x| = |−x|

VI. |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a, con a ∈ ℝ+0

• Si a2 ≤ b2, entonces a ≤ b.

III. −|x| ≤ x ≤ |x|

VII. |x + y| ≤ |x| + |y| (Desigualdad triangular)

IV. |x| = 0 ⇔ x = 0

VIII. |x| ≥ a ⇔ x ≥ a ⋁ − x ≥ a, con a ∈ ℝ+0

|x| ≥ 0

Observa la demostración de algunas propiedades del valor absoluto. II. |x| = |−x|, con x ∈ ℝ.

Demostración: Si x ∈ ℝ, por tricotomía se tiene: x > 0 ∨ x = 0 ∨ x < 0. • Si x > 0, entonces –x < 0, luego, |x| = x ∧ |−x| = − (−x) = x, es decir, |x| = |−x|. • Si x = 0, entonces |0| = |−0| = 0. • Si x < 0, entonces –x > 0, luego, |x| = −x ∧ |−x| = −x, es decir, |x| = |−x|. Luego, |x| = |−x|.

AYUDA VII. |x + y| ≤ |x| + |y|, con x, y ∈ ℝ.

Demostración: Como x, y ∈ ℝ, entonces: |x + y|2 = (x + y)2

Además, como |x| = √x2 , elevando al cuadrado en ambos términos se tiene: __

/ ya que x + y ∈ ℝ

= x2 + 2xy + y2

/ cuadrado de binomio

≤ |x|2 + 2|xy| + |y|2

/ ya que 2xy ≤ 2|xy|

= ( |x| + |y| )2

/ cuadrado de binomio

|x|2 = (√x2 )2 = x2

Luego, por transitividad |x + y|2 ≤ ( |x| + |y| ) 2 y aplicando raíz cuadrada; |x + y| ≤ |x| + |y|. VIII. |x| ≥ a ⇔ x ≥ a ⋁ −x ≥ a, con a ∈ ℝ +0 .

Demostración: Sea x ∈ ℝ. Para una equivalencia (⇔), se demuestra en dos sentidos: Si x ≥ 0, entonces |x| = x, luego x ≥ a. • (⇒) Supongamos que |x| ≥ a: Si x < 0, entonces |x| = −x, luego −x ≥ a.

{

• (⇐) Supongamos que x ≥ a ⋁ −x ≥ a:

{

Si x ≥ a, entonces |x| ≥ x ≥ a, luego |x| ≥ a. Si −x ≥ a, entonces − x = |x| ≥ −x, luego |x| ≥ a.

3. Analiza la siguiente propiedad. Luego, compruébala para los valores dados. Propiedad ||x| − |y|| ≤ |x − y|

x = –2, y = 3

x = 1, y = 1

x = 0, y = 2

x = –3, y = 3

D esafíate Si x, y ∈ ℝ, entonces: ||x| − |y|| ≤ |x − y|

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

A nalizando disco I.

Evaluación de proceso

Lee atentamente y marca la alternativa correcta.

Intervalos, unión e intersección

1. ¿Cuál(es) de las siguientes representaciones corresponde(n) a un intervalo semiabierto?

]

I. II. III.

A. Solo I B. Solo II C. Solo III

D. Solo I y II E. Solo II y III

2. La expresión {x ∈ ℝ / –8 ≤ x < 10} equivale al intervalo: A. B. C. D. E.

]

]–8, 10[ ]–8, 10] [–8, 10] [–8, 10[ [–10, 8[

4. ¿Cuál de los siguientes números no pertenece al __ √2 1__ , ___ ? intervalo − ___ √3 2 _ √2 A. ___ 2 1 __ B. 6 _ √5 C. − ___ 4 1_ D. − ___ √3

]

E. −0,51

78 UNIDAD 2 • INECUACIONES

]

] −√2 , 20 [

I. ]–∞, 17] ∩ ]–4, ∞[ II. ]–4, 0] ∪ ]–2, 17] III. ( ]–5, 0[ ∩ ]–4, 20[ ) ∪ ]0, 17] A. Solo I D. Solo I y II B. Solo II E. I, II y III C. Solo III 7. {x ∈ ℝ / –8 < x ≤ 5} ∩ {x ∈ ℝ / 0 ≤ x < 10} gráficamente se representa por: A.

A. Un intervalo es un conjunto de infinitos números reales. B. La intersección de dos intervalos puede ser un solo número real. C. Dos intervalos son disjuntos si su unión es vacía. D. El intervalo ]–∞, ∞[ representa al conjunto de los números reales. E. El intervalo ]a, ∞[ es no acotado.

[

6. El intervalo ]–4, 17] se puede obtener de:

3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

]

3 , 20 con [ − √2 , 0 ] se obtiene: 5. Al unir − __ 4 _ 3 , 20 A. [ −√2 , 20 ] D. − __ 4 _ 3 , 20 B. − __ E. ] −√2 , 20 ] 4

D. E.

-8

Desigualdades y propiedades

8. ¿Cuál de las siguientes desigualdades es falsa? A. (–5)2 > 0 _ _ B. √8 ≤ 2√2 C. (4 – 9)25 > 0 1 D. 0 < − ___ −5 E. 1020 > 2010 9. Si a, b ∈ ℝ, con a > b, entonces: A. B. C. D. E.

ab > 0 a(a – b) < 0 b(a – b) > 0 a–b<0 b–a<0

10. Si 0 < x < 1, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I. x–1 > 1 II. x2 > x III. x2 < 1 A. Solo I B. Solo II C. Solo I y II

11. ¿En cuál(es) de los siguientes conjuntos siempre se _ _ cumple que x ≤ y ⇒ √x ≤ √y ? I. ℝ– II. ℝ+ III. ℝ IV. ℝ +0 A. Solo I B. Solo II C. Solo IV

D. Solo I y III E. Solo II y IV

12. ¿Cuál de las siguientes desigualdades no es equivalente a x ≥ 8? A. B. C. D. E.

3 – x ≤ –5 3x – 9 ≥ 15 x–1≤7 –x ≤ –8 2x ≥ 16

Valor absoluto

13. Si x < 0, ¿cuál de las siguientes expresiones es mayor? A. B. C. D. E.

|x – 1| |x + 1| |–x| |x| –|x|

14. ¿Cuál de las siguientes desigualdades representa al intervalo [–10, 10]? A. B. C. D. E.

|x| ≤ 10 |x| ≥ 10 |x| = 10 |10| ≤ x |10| ≥ x

15. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a x ∈ ]–∞, –2[ ∪ ]2, ∞[? A. |x| < 2 B. |x| > 2 C. |x| = 2

D. Solo I y III E. I, II y III

D. |2| < x E. |2| > x

16. Si x ∈ ℝ, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) verdadera(s)? I. |x| = –x; si x < 0. II. –|x| ≤ x, ∀ x III. x ≤ |x|, ∀ x A. Solo I B. Solo II C. Solo III

D. Solo II y III E. I, II y III

17. ¿Cuál de las siguientes expresiones es falsa? D. |x · y| = |x| · |y| E. |x + y| ≥ |x| + |y|

A. |x| ≥ 0 B. |–x| = |x| |x| ,y≠0 C. | __yx | = ___ |y| II. Resuelve los problemas.

18. Escribe un ejemplo de cada tipo de intervalo y represéntalo gráficamente. 19. Escribe tres desigualdades verdaderas y tres desigualdades falsas. 20. Representa como intervalo y gráficamente las expresiones |x| ≥ 8 y |x| ≤ 8.

Mi ESTADO Anota el nivel de logro de tus aprendizajes hasta ahora según las categorías de desempeño dadas: 1. Por lograr; 2. Medianamente logrado; 3. Logrado. Reconocí intervalos y resolví operaciones entre ellos. (Preguntas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 18)

Reconocí desigualdades y apliqué sus propiedades. (Preguntas 8, 9, 10, 11, 12 y 19)

Utilicé correctamente el valor absoluto y sus propiedades. (Preguntas 13, 14, 15, 16, 17 y 20)

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

Inecuaciones de primer grado con una incógnita Para participar en un torneo de básquetbol es requisito que el promedio de edad de los cinco jugadores sea inferior a 16 años. Las edades de cuatro jugadores de un equipo son 16, 16, 17 y 15 años. ¿Cuántos años debe tener como máximo el quinto integrante para que su equipo cumpla el requisito? Si x representa la edad del quinto integrante, se tiene: 16 + 16 + 17 + 15 + x < 16 __________________ 5 64 + x < 16 / · 5 ______ 5 64 + x < 80 / − 64 x < 16

Ampliando MEMORIA Para resolver una inecuación de primer grado con una incógnita se deben aplicar las propiedades de las desigualdades.

De esta forma, la edad del quinto integrante debe ser menor que 16 años. Observa que cada una de las desigualdades anteriores son equivalentes, ya que se aplicaron propiedades a partir de la primera para obtenerlas. Además, cada una de ellas es verdadera solo si x < 16.

Para GRABAR Una inecuación de primer grado con una incógnita es una desigualdad que presenta solo una variable y de exponente uno, cuya veracidad depende de los valores que tome la variable. Los valores de la variable, para los cuales la desigualdad es verdadera, son un intervalo no acotado de ℝ, llamado intervalo solución (S) o simplemente solución.

Ejemplo: • x + 5 ≥ 2, donde S = [–3, ∞[ • 2x – 1 < 0, donde S = –∞, __1 2 • 1 – 3x > 1, donde S = ℝ−

]

[

1. Comprueba si los valores dados son solución de la inecuación. Para ello, escribe ✓ o ✗ según corresponda.

b. –x – 5 ≤ 3x + 1 x = –2 :

a. 2x – 3 < x + 5 x = –8 :

c. 1 – 5x ≥ 2 – 7x x = 0,5 :

x=0

x=8

x = –1

x = 0,75 :

x = 10

x = –1,5 :

x = –0,5 :

2. Representa como intervalo, conjunto y gráficamente la solución de cada inecuación. b.

__x + 1 < x 2 − __2x + 1 < 0 − __2x < −1 x>2

Intervalo:

–3x + 4 ≥ 7 + 5x / – 5x –8x + 4 ≥ 7 /–4 –8x ≥ 3 / : (–8) 3 __ x≤– 8 Intervalo:

Intervalo:

Conjunto:

Gráfico:

2x + 5 > 2 – x 3x + 5 > 2 3x > –3 x > –1

80 UNIDAD 2 • INECUACIONES

/+x /–5 /:3

/−x /−1 / · (−2)

1 3. Resuelve las inecuaciones.

AYUDA

a. 1 – 5x ≥ 2 – x

2 (2x − 5) ≤ __ 1 − __ 1x e. __ 3 6 9

b. 2x + 3 < 11 – 6x

2 − 3x x + 2 − 1 > ______ f. _____ 4 2

Para resolver una inecuación del tipo: 3x 3 x − 2 > __ 1 − __ __ 4 2 2 puedes multiplicar por el mcm de los denominadores: 3x 3 x − 2 > __ 1 − __ __ /∙4 4 2 2 3x − 8 > 2 − 6x 9x > 10 10 x > ___ 9 10 Luego, S = ___, ∞ . 9

]

c. –3(x – 2) ≤ 12x – 9

x – 3 + 2 ≥ _____ x+1 g. ____ 3 8

3 x − 1 > __ 5x 1 − __ d. __ 5 4 2

7 (2x + 1) − 9 < 0,1x − 2 h. __ 5

[

4. Resuelve los siguientes problemas. Para ello, plantea y resuelve una inecuación. a. La masa total de una camioneta cargada no debe exceder los 2.500 kg para su buen funcionamiento. Si la masa de la camioneta es de 1.350 kg, ¿cargas de qué masas pueden transportarse? b. Para su gira de estudio de 4.° Medio, Pedro debe tener USD 3.000. Si en este momento él solo tiene USD 750, ¿cuánto dinero como mínimo le falta por juntar? c. La función de utilidades de una cierta empresa se modela por U(x) = 2x – 5.000, donde x es la cantidad de unidades vendidas. Determina la cantidad mínima por vender para que existan utilidades. d. Si a Matilde le regalan $35.000, tendría como máximo en su alcancía $105.000. ¿Qué conclusión se puede obtener de la cantidad de dinero ahorrado por Matilde? e. Un vendedor de notebooks gana $300.000 fijos más $9.000 por unidad vendida al mes. ¿Cuántos notebooks debe vender como mínimo para generar en un mes un sueldo mayor que $950.000? f. El triple de la edad de Martín aumentado en 5 años es mayor o igual al doble de su edad aumentado en 10 años. ¿Qué conclusión se puede obtener con respecto a su edad? g. Priscilla tiene 27 años más que el menor de sus dos hijos, cuyas edades se diferencian en 6 años. ¿Qué edad como máximo tendrá Priscilla para que su edad supere al doble de la suma de las edades de sus hijos aumentado en 3 años?

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Inecuaciones racionales de primer grado con una incógnita Ampliando MEMORIA Entre los conectivos lógicos y los operadores de conjuntos existe la siguiente equivalencia: ∧⇔∩ ∨⇔∪

2x − 12 < 0 significa que dicho cociente es negativo, lo que se verifica a partir La inecuación _______ 3x + 6 de las propiedades de las desigualdades cuando el numerador y el denominador tienen distinto signo: Caso 2:

Caso 1: 2x – 12 < 0 ∧ 3x + 6 > 0

2x – 12 > 0 ∧ 3x + 6 < 0

⇒ ]–∞, 6[ ∩ ]–2, ∞[

⇒ ]6, ∞[ ∩ ]–∞, –2[

A∩∅=∅ A∩ℝ=A A∪∅=A A∪ℝ=ℝ

⇒ x > 6 ∧ x < –2

⇒ x < 6 ∧ x > –2

Además, si A es un intervalo, entonces:

⇒ S2 = ∅

⇒ S1 = ]–2, 6[

Luego, la solución de la inecuación es S = S1 ∪ S2 = ]–2, 6[ ∪ ∅ = ]–2, 6[.

Para GRABAR Una inecuación racional de primer grado con una incógnita es una desigualdad fraccionaria que puede ser expresada de la siguiente forma: ax + b < 0 _____ cx + d Donde a, b, c, d ∈ ℝ, con c ≠ 0. Válida también para >, ≤ y ≥.

Ejemplo: 2 >0 • ____ x−1 x−3≥0 • ____ x 5x − 8 ≤ 0 • _____ 3x − 1 2x − 5 < 0 • _____ x−1

3x + 1 ≤ 2. 1. Analiza los métodos para encontrar la solución de la inecuación racional ______ x+2

Ampliando MEMORIA El denominador de una fracción siempre debe ser distinto de cero. Es decir, si: ax + b ≤ 0 ______ cx + d Entonces, en la solución de la inecuación se debe excluir el valor d . Este valor es la restricción x = − __ c de la inecuación.

Método I

Paso 1: Asociar en un mismo lado de la desigualdad todos los términos involucrados y obtener una fracción relacionada con 0: 3x + 1 − 2 ≤ 0 ⇒ _____ x−3≤0 ______ x+2 x+2 con x ≠ 2.

Paso 3: Representar en una recta numérica las soluciones obtenidas y elegir un valor arbitrario en cada uno de los intervalos definidos. intervalo 1 x2 intervalo 2 x1 intervalo 3

Paso 2: Calcular por separado las soluciones de la ecuación del numerador y la del denominador igualados a 0.

Paso 4: Evaluar los valores elegidos y verificar la desigualdad. Los intervalos para los cuales la desigualdad es verdadera son parte de la solución de la inecuación.

x – 3 = 0 → x1 = 3

x + 2 = 0 → x2 = –2

−5 −4 −3 −2 −1 0

1 2

valores elegidos

• Si x = –4: −4 − 3 = __ 7≰0 ______ −4 + 2 2 Es falsa.

• Si x = 0: 0 − 3 = − __ 3≤0 _____ 0+2 2 Es verdadera.

• Si x = 5: 5 − 3 = __ 2≰0 _____ 5+2 7 Es falsa.

Paso 5: Los valores extremos del o de los intervalos para los que la desigualdad es verdadera se consideran como solución solo si la desigualdad utiliza ≤ o ≥, ya que ellos satisfacen la igualdad, pero sin considerar la restricción. Así el conjunto solución 3x + 1 − 2 ≤ 0 es S = ]–2, 3]. de ______ x+2 82 UNIDAD 2 • INECUACIONES

Método II Paso 1: Asociar en un mismo lado de la desigualdad todos los términos involucrados y obtener solo una fracción relacionada con 0. 3x + 1 − 2 ≤ 0 ⇒ _____ x−3≤0 ______ x+2 x+2

Paso 3: Resolver cada inecuación.

Paso 2: Imponer la condición de los signos para el cociente, en este caso, numerador y denominador tienen distinto signo. Si la inecuación presenta ≤ o ≥, solo el numerador lo mantiene, ya que el denominador siempre debe ser distinto de 0.

Paso 4: Graficar las intersecciones respectivas de intervalos.

x–3≤0∧x+2>0 ∨

x ≤ 3 ∧ x > –2 ∨ x ≥ 3 ∧ x < –2

}

]–∞, 3] ∩ ]–2, ∞[ ∪ [3, ∞[ ∩ ]–∞, –2[

]−∞, 3] ∩ ]−2, ∞[ ]−2, 3] -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ]−∞, −2[ ∩ [3, ∞[ ∅ -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x–3≥0∧x+2<0 Paso 5: Unir los intervalos obtenidos de las intersecciones anteriores. Este intervalo es la solución. ]−2, 3] ∪ ∅ = ]−2, 3]. 3x − 1 − 2 ≤ 0 es S = ]−2, 3]. Luego, el conjunto solución de ______ x+1

2. Resuelve las inecuaciones propuestas utilizando uno de los dos métodos anteriores. x+1>0 a. _____ x+2

3x ≤ 4 e. ______ 2x − 1

AYUDA 2 <0 Para resolver la inecuación _____ x+1 solo debes considerar que x + 1 < 0, ya que 2 es positivo.

x+7≤0 b. _____ x−6

3x − 5 ≤ −5 f. ______ 2 − 3x

Por otro lado, si la inecuación –3 < 0 solo debes considerar es _____ x+5 que x + 5 > 0, ya que –3 < 0. Análogo para >, ≤ y ≥.

D esafíate x−2≥2 c. _____ x−1

2 ≤6 g. − _____ x+1

6 + x > __ 1 d. _____ 6−x 2

1 > 1 + _____ x h. _____ 1−x 1−x

¿Cuál es la solución de x2 + 6x − 16 __________ ≥ 0? x2 + 7x + 12

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Inecuaciones con valor absoluto Resolver la inecuación |x| ≤ 3 significa encontrar todos los números que están en la recta numérica a una distancia menor o igual a 3 unidades del 0. Gráficamente, estos valores son: –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

Como puedes observar, este conjunto se puede expresar como: x ≥ −3 ⋀ x ≤ 3 ⇔ [−3, ∞[ ∩ ]−∞, 3]

⇔

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

Por otro lado, encontrar la solución de |x| > 2 significa hallar el conjunto de todos los números que están en la recta numérica a una distancia mayor que 2 unidades del 0. Gráficamente son: |x| > 2

Ampliando MEMORIA Para |x| ≤ a, las equivalencias x ≥ –a y x ≥ a se pueden expresar como –a ≤ x ≤ a. En esta última expresión es posible aplicar las propiedades de desigualdades, considerando tres miembros. Por ejemplo: |x + 5| ≤ 1 −1 ≤ x + 5 ≤ 1 −6 ≤ x ≤ −4 Luego, S = [–6, –4].

/ −5

⇔

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

Luego, este conjunto se puede expresar como: x < −2 ∨ x > 2

⇔

]−∞, −2[ ∪ ]2, ∞[

Para GRABAR Para encontrar el conjunto solución de una inecuación con valor absoluto, considera que: • Para |x| ≤ a, los valores que hacen verdadera la desigualdad son x ≥ –a y x ≤ a. • Para |x| ≥ a, los valores que hacen verdadera la desigualdad son x ≤ –a o x ≥ a. De forma análoga para |x| < a y |x| > a. Ejemplo: • Si |x + 5| ≤ 1

• Si |x − 2| > 1

{ {

x + 5 ≥ –1 ⇒ x ≥ –6 ⇒ S1 = [–6, +∞[ x + 5 ≤ 1 ⇒ x ≤ –4 ⇒ S2 = ]–∞, –4] x – 2 < –1 ⇒ x < 1 ⇒ S1 = ]–∞, 1[ x – 2 > 1 ⇒ x > 3 ⇒ S2 = ]3, ∞[

}

S = S1 ∩ S2 = [–6, –4]

S = S1 ∪ S2 = ]–∞, 1[ ∪ ]3, ∞[

1. Resuelve las siguientes inecuaciones.

84 UNIDAD 2 • INECUACIONES

a. |x| ≤ 5

g. |4x − 1| − 3 ≤ 2

b. |x| > 1

h. |x − 1| + 4 ≤ 1

c. |x + 3| < 5

i. |x − 5| + 5 > 1

d. |x − 3| > 3

j. |2 − 5x| > 1

e. |2x − 1| > 1

k. |2x − 5| ≤ 0

f. |4 + 3x| ≤ 2

l. |x − 7| > −2

5x + 1 < 1. Luego, 2. Analiza la resolución de la inecuación racional con valor absoluto | ______ 3x + 9 | resuelve las propuestas.

5x + 1 < 1 e intersecar sus soluciones. 5x + 1 > −1 y ______ Resolver esta inecuación es equivalente a encontrar la solución de ______ 3x + 9 3x + 9 Al desarrollar cada una utilizando el método II se tiene: Paso 1: 5x + 1 > −1 ______ 3x + 9

⇒

5x + 1 + 1 > 0 ______ 3x + 9

Paso 1: 5x + 1 < 1 ______ 3x + 9

8x + 10 > 0 ⇒ _______ 3x + 9

Paso 2:

(]

5x + 1 − 1 < 0 ______ 3x + 9

2x − 8 < 0 ⇒ ______ 3x + 9

Paso 2:

(8x + 10 < 0 ∧ 3x + 9 < 0) ∨ (8x + 10 > 0 ∧ 3x + 9 > 0) Paso 3:

⇒

(

)

(

Paso 3:

)

5 ∧ x < −3 ∨ x > − __ 5 ∧ x > −3 x < − __ 4 4 5 ∩ ]−∞, −3[ ∪ 5 , ∞ ∩ ]−3, ∞[ −∞, − __ − __ 4 4

[

Paso 4:

)

(]

]

[

5, ∞ ]−∞, −3[ ∪ − __ 4

Paso 5:

]

(x < 4 ∧ x > −3)

)

∨

(x > 4 ∧ x < −3)

( ]−∞, 4[ ∩ ]−3, ∞[ ) ∪ ( ]4, ∞[ ∩ ]−∞, −3[ )

Paso 4: ]−3, 4[ ∪ ∅

[

5, ∞ S1 = ]−∞, −3[ ∪ − __ 4 5 –1 0 –5 –4 –3 –2– __ 4

(2x – 8 < 0 ∧ 3x + 9 > 0) ∨ (2x – 8 > 0 ∧ 3x + 9 < 0)

Paso 5:

[

S2 = ]−3, 4[

(

–5 –4 –3 –2 –1

[)

]

[

]

5 , ∞ ∩ ]−3, 4[ = − __ 5 , 4 , ya que: Luego, la solución es S = S1 ∩ S2 = ]−∞, −3[ ∪ − __ 4 4

–5

2x − 2 ≥ 1 | ______ x+2 |

–4

5 –1 –2– __ 4

–3

2+x <5 | _____ 2x |

1−x >5 b. ______ 2x − 1

x − 1 ≥ −1 g. _____ x+5

x c. | ______ ≤2 2x − 1 |

2x − 1 < −2 h. ______ 1 + 3x

x−6 <3 | ______ 5x + 1 |

2x − 3 > 2 | ______ 4x + 1 |

3−x <3 e. ______ 2x − 4

D esafíate Encuentra la solución de: |x| + |x − 1| > 1

1 + 4x > 4 d. ______ 1 − 4x

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

Inecuaciones de segundo grado con una y=x –x–2 incógnita 2

Paso a paso Si f(x) = x2 – x – 2, entonces la parábola asociada: (1) Tiene su vértice en el punto 9 . 1 , − __ __ 2 4

(

)

(2) Interseca al eje y en (0, –2). (3) Interseca al eje x en (–1, 0) y (2, 0). (4) Abre hacia arriba. (1) El vértice corresponde a

b _______ 4ac − b ( − ___ 2a , 4a ), con a = 1, 2

b = –1 y c = –2.

(2) La parábola interseca al eje y en (0, c). (3) Sus raíces se obtienen de ______ −b ± √ b2 − 4ac . x = _____________ 2a (4) Ya que a = 1 > 0.

En el gráfico de f(x) = x2 – x – 2, observa los intervalos para los cuales f(x) es positivo y para los que es negativo. Es decir:

• x2 – x – 2 > 0 ⇒ S = ]–∞, –1[ ∪ ]2, ∞[

5 4 2

• x2 – x – 2 < 0 ⇒ S = ]–1, 2[

x2 − x − 2 > 0

Es decir, gráficamente la solución de x2 – x – 2 > 0 corresponde a los valores de x cuyas imágenes están sobre el eje x, y la solución de x2 – x – 2 < 0 son los valores de x cuyas imágenes están bajo el eje x.

-4

x2 − x − 2 > 0

]−1, 2[

-3 -2 -1 0 ]−∞, −1[ -1 -2

3 4 ]2, ∞[

5 x

2 -3 x − x − 2 < 0

Otra forma de resolver la inecuación es considerando que x2 – x – 2 = (x + 1)(x – 2). Luego, aplicando la propiedad de los signos para el producto se tiene: x+1>0∧x–2>0 ∨ • (x + 1)(x – 2) > 0 ⇒ ⇒ S = ]–∞, –1[ ∪ ]2, ∞[ x+1<0∧x–2<0 x+1>0∧x–2<0 ∨ x+1<0∧x–2>0

• (x + 1)(x – 2) < 0 ⇒

⇒ S = ]–1, 2[

Para GRABAR Ampliando MEMORIA De las inecuaciones de segundo grado, solo las que utilizan ≤ o ≥ incluyen las raíces de su ecuación asociada en su solución, ya que estos valores hacen verdadera la desigualdad. Por ejemplo: x2 – x – 2 ≤ 0 ⇒ S = [–1, 2] Mientras que: x2 – x – 2 < 0 ⇒ S = ]–1, 2[

ax2 + bx + c < 0

• 2x2 – x + 1 > 0

• –3x2 ≥ 1

• x2 + 6x ≤ 2

• x2 + 3x < 0

Son inecuaciones de este tipo:

Donde a, b, c ∈ ℝ, con a ≠ 0. Análogo para >, ≤ o ≥.

1. Analiza las siguientes parábolas. Luego, determina a partir del gráfico la solución de la inecuación propuesta. y = x2 + x – 2 4 3

-4 -3

y = –x2 − 2x + 3

y = x2 – 3x + 3

4 3

-2 -1 0 -1

-2 -3

x2 + x – 2 > 0 ⇒ S:

3 x -5

-4 -3

-2 -1

0 -1 -2

2 x

-2 -1

0 -1

-2

–x2 – 2x + 3 > 0 ⇒ S:

x2 – 3x + 3 > 0 ⇒ S:

–x2 – 2x + 3 < 0 ⇒ S:

x2 – 3x + 3 < 0 ⇒ S:

x2 + x – 2 ≥ 0 ⇒ S:

–x2 – 2x + 3 ≥ 0 ⇒ S:

x2 + x – 2 ≤ 0 ⇒ S:

–x2 – 2x + 3 ≤ 0 ⇒ S:

x2 + x – 2 < 0 ⇒ S:

86 UNIDAD 2 • INECUACIONES

Ejemplo:

Una inecuación de segundo grado con una incógnita es una inecuación que se puede expresar de la forma:

x2 – 3x + 3 ≥ 0 ⇒ S: x2 – 3x + 3 ≤ 0 ⇒ S:

5 x

2. Analiza el siguiente método para resolver la inecuación x2 – 5x ≥ – 4. Luego, resuelve. Paso 1: Asociar en un mismo lado de la desigualdad todos los términos involucrados, luego, reducir y obtener una expresión relacionada con 0. x2 – 5x ≥ –4 ⇒ x2 – 5x + 4 ≥ 0

Ampliando MEMORIA

Paso 3: Representar en una recta numérica las soluciones obtenidas, generando distintos intervalos, y elegir arbitrariamente un valor en cada uno de ellos. x1 x2 intervalo 1 intervalo 2 intervalo 3 −2 −1 0

Si △ es el discriminante de la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0, asociada a la inecuación ax2 + bx + c ≤ 0, cuya solución es S, entonces: • △ > 0 ⇔ S ≠ ∅ y puede ser un intervalo o la unión de dos intervalos.

• △ = 0 ⇔ S = {r} o ℝ, donde r es la raíz de la ecuación.

valores elegidos Paso 2: Encontrar las raíces de la ecuación asociada. x2 – 5x + 4 = (x – 1)(x – 4) = 0 Entonces: x1 = 1 ∧ x2 = 4

Paso 4: Evaluar los valores elegidos de cada intervalo y verificar la desigualdad. Los intervalos para los que es verdadera, son parte de la solución de la inecuación. • Si x = 0:

• Si x = 2:

• Si x = 5:

02 – 5 · 0 + 4 = 4≥0

22 – 5 · 2 + 4 = –2 ≱ 0

52 – 5 · 5 + 4 = 4≥0

Es verdadera.

Es falsa.

Es verdadera.

• △ < 0 ⇔ S = ∅ o S = ℝ. Análogamente para ≥.

Paso 5: Los extremos del o de los intervalos para los que la desigualdad es verdadera se consideran como solución solo si la desigualdad utiliza ≤ o ≥. x2 – 5x ≥ –4 ⇒ S = ]–∞, 1] ∪ [4, ∞[ a. (x – 3)(x + 5) > 0

g. x2 – 12x + 36 ≤ 0

m. 6x2 – 5x < 4

b. (x + 6)(x – 8) ≤ 0

h. x2 + 8x + 16 > 0

n. 2x2 + 2x ≥ –(1 + x)

c. (1 – x)2 > 0

i. 2x2 – 8x + 11 > 0

ñ. (x + 2)(x – 1) > –1

d. x2 + 3x ≥ 0

j. –3x2 + 12x – 13 ≥ 0

o. (3 – x)2 + 2(3 – x) ≤ 0

e. x2 – 9 ≤ 0

k. 9x2 – 13x + 3 < 0

p. x(x – 3) < 2(x – 2)2

f. 16x2 – 25 < 0

l. x(x + 3) ≤ 2x

q. (x + 1)2 – 9 ≥ 0

3. Resuelve los problemas. a. ¿Para qué valores de m la ecuación (m + 3)x2 – 2mx + 4 = 0 tiene soluciones reales? b. Para cercar un terreno rectangular se tienen 450 m de alambre. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno si el área delimitada debe tener al menos 3.150 m2?

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

A nalizando disco I.

Evaluación de proceso

Lee atentamente y marca la alternativa correcta.

Inecuaciones de primer grado con una incógnita

1. ¿Cuál de los siguientes intervalos representa al conjunto solución de 5x – 2(x + 3) ≤ x? A. ]–∞, –3] B. ]–∞, 0] C. ]–∞; 1,5]

D. ]–∞, 2] E. ]–∞, 3]

2. ¿Cuál inecuación no tiene como solución el intervalo representado en el siguiente gráfico?

A. 4 – 2x < –6 1x+1 1 x − 3 > __ B. __ 2 3 C. 2(3x + 4) > 5(1 + x) + 8 D. (x – 1)2 – 7 > (x – 2)2 E. 46 < 2x + 36

4. Al resolver 3x < 2x + 8 ≤ 4x + 5 se obtiene: 3<x≤8 A. __ 2 3<x<8 B. __ 2 3≤x<8 C. __ 2 3≤x≤8 D. __ 2 E. Ninguna de las anteriores. 5. Un camión está cargado con dos contenedores de igual masa y otro bulto de 6 toneladas. ¿Entre qué valores puede variar la masa de cada contenedor si el camión tiene una carga máxima de 20 toneladas? ]–∞, 7[ ]–∞, 7] ]0, 7] ]0, 7[ ]0, 14]

88 UNIDAD 2 • INECUACIONES

7. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa la solución 5x ? 1 + x ≤ ______ de la inecuación _____ x − 2 4 − 2x

D. p ≥ 5 E. p = 5

2x − 3 > 1 D. ______ x+1 2x −3<1 E. ______ x+1

2x + 3 > 1 A. ______ x+1 2x −3>1 B. ______ x−1 2x + 3 > 1 C. ______ x−1

3. ¿Qué condición cumple p en la inecuación 3x – 7 > –3p + x + 8 si sus soluciones pertenecen a ℝ+?

A. B. C. D. E.

6. ¿Cuál de las siguientes inecuaciones tiene como solución al conjunto ]–∞, –1[ ∪ ]4, ∞[?

A. p < 5 B. p > 5 C. p ≤ 5

Inecuaciones racionales

2 − __ 7

8. ¿Cuál de los siguientes valores no pertenece al x − 1 > 2? conjunto solución de la inecuación _____ x+5 A. –6 D. –10 B. –7 E. –11 C. –8 9. ¿Qué valor(es) no puede tener x en la x + 8 ≤ ______ 2x + 4 ? inecuación _____ x−6 x+2 I. 6 II. 2 III. –2 A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. Solo I y II E. Solo I y III

10. ¿Cuál es la restricción para la inecuación x2 − 4 ≥ 0? _____ x+6 A. x ≠ – 6 B. x ≠ –2 C. x ≠ 0

D. x ≠ 2 E. x ≠ 6

A. ]–∞, –2[ B. ]6, ∞[ C. ]–2, 6[

A. |x| ≤ a ⇔ –a ≤ x ≤ a B. |x| ≥ a ⇔ –a ≥ x ≥ a C. La solución de |x| ≤ a es la intersección de las soluciones de –a ≤ x y x ≤ a. D. La solución de |x| ≥ a es la unión de las soluciones de x ≤ –a y a ≤ x. E. |–x| ≤ a ⇔ –a ≤ x ≤ a 12. |8 – 3x| ≤ 10 corresponde a: –10 < 8 – 3x < 10 –10 ≤ 8 – 3x ≤ 10 –8 + 3x ≥ 10 8 – 3x ≥ 10 –10 < –8 + 3x < 10

[

C. ] −∞, −1 [ ∪ ] 1, ∞ [

] ]

D. [–2, 6] E. ]–∞, –2[ ∪ ]6, ∞[

16. ¿Cuál de las siguientes inecuaciones tiene como solución el conjunto vacío? A. x2 – 4x + 4 < 0 B. x2 – 6x + 9 ≤ 0 C. x2 – 4x + 4 > 0

D. x2 – 4x + 4 ≥ 0 E. x2 – 6x + 9 > 0

17. El conjunto solución de la inecuación (x − 1)2 ≥ 16 es: A. B. C. D. E.

[–3, –5] [5, ∞[ ]–∞, –3] ]–∞, –3] ∪ [5, ∞[ ]–∞, –3[ ∪ ]5, ∞[

II. Resuelve los problemas.

1 − 3x > 1 es: 13. El conjunto solución de la inecuación ______ 2 1 __ A. −∞, − 3 1 B. −∞, __ 3

[

15. ¿Cuál es el conjunto solución de la inecuación x(x – 2) < 2(x + 6)?

11. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

] ]

Inecuaciones de segundo grado

Inecuaciones con valor absoluto

A. B. C. D. E.

[ [ ] [

1 ∪ ] 1, ∞ [ D. −∞, − __ 3 1 ∪ __ 1, ∞ E. −∞, − __ 3 3

14. ¿Cuál expresión representa al conjunto solución de la x < − 1? inecuación | 1 − __ 3| A. x > 6 B. x < 0 C. x > 6 ⋁ x < 0 D. x < 6 ⋁ x > 0 E. ⌀

18. Camila tiene $550 más que Andrea y Lorena tiene $300 más que el triple de lo que tiene Andrea. Si el dinero de Camila y el de Andrea juntos no exceden lo que tiene Lorena, ¿cuánto dinero puede tener Andrea? 19. ¿Cuál es el conjunto solución de la inecuación | x2 − 5x | ≥ 6?

Mi ESTADO Anota el nivel de logro de tus aprendizajes hasta ahora según las categorías de desempeño dadas: 1. Por lograr; 2. Medianamente logrado; 3. Logrado. Resolví inecuaciones de primer grado con una incógnita. (Preguntas 1, 2, 3, 4, 5 y 18)

Resolví inecuaciones con incógnitas en el denominador. (Preguntas 6, 7, 8, 9 y 10)

Resolví inecuaciones con valor absoluto. (Preguntas 11, 12, 13, 14 y 19)

Resolví inecuaciones de segundo grado. (Preguntas 15, 16 y 17)

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita Se debe construir un rectángulo, un triángulo equilátero y un cuadrado de acuerdo a las siguientes medidas:

AYUDA Si P representa el perímetro, entonces: a

2 cm

b ⇒ P = 2a + 2b

x cm

Rectángulo a Triángulo equilátero

⇒ P = 3a

a ⇒ P = 4a

x cm

x cm x cm

x cm

Además, el perímetro del rectángulo debe ser mayor que el del triángulo equilátero y menor que el del cuadrado. ¿Qué valores puede tomar x para cumplir con estas condiciones? Como los perímetros son (4 + 2x) cm, 3x cm y 4x cm, respectivamente, al aplicar las condiciones se tiene el siguiente sistema:

{ 43x+<2x4 <+ 4x2x

Cuadrado

⇒

{ 2x << 4x

Luego, para cumplir ambas condiciones, x debe ser mayor que 2 y menor que 4. Es decir, x ∈ ]2, 4[.

Para GRABAR Un sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita corresponde a un conjunto de dos o más de estas inecuaciones, cuya solución verifica simultáneamente a cada una de ellas. Su solución se obtiene de la intersección de las soluciones de cada inecuación.

Ampliando MEMORIA La solución de un sistema de inecuaciones de primer grado puede ser: • vacía: ∅ • un punto: {a} • un intervalo.

El siguiente es un sistema de este tipo: 2x + 3 > 1 1 − 4x ≤ 3

{

[

{

h. 4x − 6 > 3 − 2x 1 − x ≤ 7 − 4x

{

{ 3 5+−4xx≤>−x x

{

{ 5x1 −− 3x1 ≤<2x−+3x2

{

k. 2x − 9 ≤ x + 3 16 − x ≤ x − 8

{ 35x−+2x2 >≥ 01

c. 3x − 5 < x x+5≤1

e. 9 − 5x < 0 x−1≤0 f.

{ 102x− 6x− 6≤≤−111

{ 2xx +−53>≤21

b. 3x − 5 ≥ 1 1 − 3x < 2

[

Cuya solución es − __1 , ∞ . 2

1. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones.

d. 8 − 4x ≥ −2 5x − 6 ≤ 1

90 UNIDAD 2 • INECUACIONES

Ejemplo:

{

{ x 1−−1 x≤>2x−+8 3

2. Analiza el siguiente problema resuelto. Luego, utiliza un sistema de inecuaciones para resolver los problemas propuestos.

La edad de Daniela disminuida en 6 años es, a lo más, 21 años. Mientras que en 5 años, el doble de su edad será más de 59 años. ¿Cuántos años podría tener Daniela? Supongamos que x representa la edad de Daniela, entonces, según las condiciones, se tiene: x − 6 ≤ 21 x ≤ 27 x ≤ 27 ⇒ ⇒ 2x + 10 > 59 x > 24,5 2(x + 5) > 59

{

Entonces, x ∈ ]24,5; 27]. Por lo tanto, Daniela podría tener 25, 26 o 27 años. a. Para un bono de Navidad una empresa dispone de 26.000 euros. Si el bono fuera de 300 euros por trabajador, faltaría dinero, y si fuera de 240 euros, sobrarían más de 4.940 euros. ¿Cuántos trabajadores tiene la empresa?

b. Calcula la cantidad posible de trabajadores en una oficina considerando que si la cuarta parte de ellos toma vacaciones, quedan menos de 18, y que si lo hace la tercera parte, quedan más de 14 trabajadores.

c. Si una tienda vende 12 refrigeradores, le quedarían por vender más de la mitad. Por otro lado, si reciben 10 unidades más desde la bodega y venden 18, quedarían menos de 25 por vender. ¿Cuántos refrigeradores tenía inicialmente la tienda?

d. En un examen de 40 preguntas se asignan 2 puntos por cada respuesta correcta y se descuentan 0,5 puntos por cada respuesta errónea. Para aprobar el examen se necesitan por lo menos 45 puntos y para tener opción de repetir el examen se necesitan al menos 35 puntos. Si un estudiante que respondió todas las preguntas debe repetir el examen, ¿cuántas respuestas correctas pudo obtener?

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas Paso a paso

En una tienda solo venden dos tipos de productos: notebooks y tablets a $340 mil y $180 mil, respectivamente. Sus dueños necesitan vender como mínimo 8 millones de pesos mensuales para generar utilidades. ¿Qué cantidad de cada uno de estos productos permiten alcanzar dicho monto? La siguiente tabla muestra algunas de dichas cantidades:

(1) 340x + 180y ≥ 8.000 17x + 9y ≥ 400 (2) 50

Producto

(30, 30)

30 20 10 -20 -10 0 -10

10 20

30 40 x

-20

(3) x = 30 e y = 30 satisfacen la inecuación. (4) Los puntos de la recta 17x + 9y = 400 pertenecen a la solución.

Cantidad

Notebook

Tablet

Total (millones)

8,8

8,1

9,4

9,6

8,6

9,0

Como puedes ver, no es posible representar en una tabla todos los pares de valores que cumplen con la condición. Sea x: número de notebooks vendidos e y: número de tablets vendidas. Entonces, a partir de sus precios, en miles, se debe cumplir que: 340x + 180y ≥ 8.000 En el gráfico se representan los pares (x, y) que cumplen con esta condición. Observa que se generan tres zonas a partir de estos datos: Y 60

(1) Simplificando por 20.

340x + 180y < 8.000

(2) Se grafica la recta asociada: 17x + 9y = 400. (3) 17 · 30 + 9 · 30 = 780 ≥ 400. (4) Ya que la inecuación utiliza el símbolo ≥.

La región amarilla representa los pares que cumplen con 340x + 180y < 8.000

Para identificar cuál de los semiplanos generados por una inecuación representa su solución, basta con evaluar un punto de uno de ellos en la inecuación. Si se hace verdadera la desigualdad, entonces ese semiplano es solución; si no, es el otro.

La región verde representa los pares (x, y) tales que 340x + 180y > 8.000

40 30 20 10

-30 -20 -10 0 -10

AYUDA

340x + 180y > 8.000

340x + 180y = 8.000 10

Como puedes observar, la recta asociada a la inecuación generó dos semiplanos, cuya frontera es dicha recta. Las zonas que hacen verdadera la desigualdad son la verde y la recta, pero debes considerar que los pares representan cantidad de unidades, por lo que para este problema, no todos los pares son solución. Por ejemplo (40, –10) satisface la inecuación, pero no resuelve el problema, ya que no se puede vender –10 tablets. Para GRABAR Una inecuación de primer grado con dos incógnitas es una inecuación que se puede expresar como: ax + by + c < 0 con a, b, c ∈ ℝ, a y b no nulos y x e y las incógnitas. Su solución es la región de pares ordenados (x, y) del plano cartesiano que hacen verdadera la desigualdad. La definición es análoga para >, ≤ y ≥.

92 UNIDAD 2 • INECUACIONES

1 1. Representa gráficamente la solución de las siguientes inecuaciones. a. 2x – 5y < 10 b. x – y ≥ 0 c. –4x + 2y > 8

AYUDA •x<2

d. 5x + 10y ≤ 10 e. x + y < 0 f. 3x + y ≥ –6

y 2 1

2. Representa algebraicamente la inecuación a partir de cada gráfico. Para ello, determi-

-1

na la ecuación de la recta que corresponda. a.

5 x

-3

-2

-1

-2

-3

-1

3 x

1 -1 -3

d. 2

1 -2

-1

0 -1

-2

-1

0 -1

-4

-3

-2

-1

0 -1

-2

-3

-4

-1

-2

Observa que en el gráfico de x < 2 la frontera x = 2 se representa por medio de una línea segmentada, mientras que para x ≤ 2, se representa con una línea continua.

1 1

•x≤2

-1 0 -1

-2

0 -1

1 -5

-4

-3

-2

-1

0 -1

1 x

-2

3. Representa el conjunto solución de los problemas mediante un gráfico. Para ello, plantea la inecuación correspondiente.

a. Se debe construir un rectángulo cuyo perímetro sea como mínimo de 10 cm. ¿Qué condición deben cumplir las medidas de sus lados? b. Una empresa vende dos productos cuyos valores son USD 100 y USD 250. ¿Qué relación satisfacen las cantidades de unidades por vender de cada uno de ellos si se debe realizar una venta superior a USD 15.200? c. El triple de un número entero, disminuido en el doble de otro, es menor que 100. ¿Qué relación cumplen dichos números?

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

Sistemas de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas En una industria se fabrican dos productos, A y B. Cada uno pasa por tres procesos: diseño, corte y ensamblado. El tiempo que se ocupa en ellos en las diferentes áreas es el siguiente: Producto

Horas por área Diseño

Corte

Ensamblado

Los tiempos disponibles de la industria para cada una de las áreas, para esta semana, son 30, 32 y 36 horas, respectivamente. ¿Cuántas unidades de cada producto se pueden fabricar durante esta semana? Como los productos A y B requieren 5 y 6 horas, respectivamente, en el área de diseño, y el tiempo disponible en esa área es de 30 horas, la cantidad de unidades a y b de los productos deben satisfacer la desigualdad: 5a + 6b ≤ 30 (1) Análogamente, las desigualdades asociadas al corte y ensamblado son: 7a + 5b ≤ 32 (2)

Ampliando MEMORIA La solución de un sistema de inecuaciones de este tipo puede ser una región del plano acotada, no acotada, vacía o un punto. Si la región es acotada, ella forma un polígono del que se pueden identificar los vértices.

9a + 5b ≤ 36 (3)

Además, se debe cumplir que a ≥ 0 (4) y b ≥ 0 (5), ya que representan cantidad de unidades.

7 6

Luego, los valores de a y de b deben satisfacer cada una de las inecuaciones anteriores. Gráficamente, los pares (a, b) que satisfacen simultáneamente todas las inecuaciones corresponden a la región de intersección de todas las soluciones. El gráfico representa esta región. Cualquier par de valores de la región satisface simultáneamente todas las desigualdades. Por ejemplo, el par (2, 3) pertenece a la región, ya que al reemplazar en las inecuaciones se tiene: (1) 5 · 2 + 6 · 3 = 10 + 18 = 28 ≤ 30 ✓

5 4 3 2 1 -1

-1

(2) 7 · 2 + 5 · 3 = 14 + 15 = 19 ≤ 32 ✓ (3) 9 · 2 + 5 · 3 = 18 + 15 = 33 ≤ 36 ✓ (4) 2 ≥ 0 ✓ (5) 3 ≥ 0 ✓ Por lo tanto, una combinación posible de productos que se pueden fabricar son 2 unidades de A y 3 de B.

Para GRABAR Un sistema de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas corresponde a un conjunto de dos o más de estas inecuaciones, cuya solución verifica simultáneamente a cada una de ellas. Su solución gráfica se obtiene de la intersección de las soluciones de cada inecuación. 94 UNIDAD 2 • INECUACIONES

1. Determina si los siguientes sistemas tienen solución. Para ello, represéntalos gráficamente. a.

{

2x − 3y ≥ 2 x + 4y < 5

{ {

−5x + 3y ≥ 4 6x − 6y < 2 x+y<1 2x − 9y < 1 −5x − 7y ≤ 5 x−y≤4

{

5x − 6y ≥ 10 −7x − 6y < 3 g. x<3 y ≥ −2

{

4x + 3y ≤ 10 h. x−y<0 5x + 3y > 12

2x − 5y < 2 b. 3x + 7y ≥ 3

{

3x + 5y < 1 −5x + 3y ≥ 1 c. x > −3

{

7x − 9y > 6 d. 4x + 5y < 2 −x − 3y ≥ 1

{

2x + 4y ≤ 8 x − 2y > 0 y≥1

{

{ {

5x + 2y ≤ 2 3x − y > 5 6y + x < 1 y<2

6x + 2y ≥ 3 2x − 3y < 9 3x + y > 0 x≤0 4x + 6y < 2 5x + y > 0 3x − y ≤ 1 x>1

2. Representa algebraicamente los sistemas de inecuaciones a partir de los gráficos de sus soluciones. a.

b. 4 y

2 y

1 -2

-1 0 -1

-4 1

4 x

-3

-2

-1

-2 0

-1 -2

-1

0 -1

-2 -3 -4

3. Resuelve gráficamente los problemas. Para ello, plantea y resuelve un sistema de inecuaciones.

a. En un plan de telefonía, el minuto de llamada cuesta $120 y el mensaje de texto, $60. Si se puede pagar como máximo $15.000, ¿qué condición cumple la cantidad de minutos y la de mensajes de textos que se pueden utilizar? b. Un complejo turístico construirá cabañas para 6 y 4 personas. A partir de su planificación, se sabe que no es bueno tener más de 50 cabañas para 6 personas, y un máximo de 70 cabañas en total. ¿Cuántas cabañas de cada tipo pueden construir? c. Cierta dieta solo incluye dos alimentos: A, con 400 calorías y 30 g de proteínas y B, con 600 calorías y 20 g de proteínas. El producto A cuesta USD 2 y B USD 3, y se tienen como máximo USD 20. ¿Cuántas unidades de cada producto puede incluir en la dieta considerando una ingesta mínima de 3.000 calorías y 80 g de proteínas?

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

Programación lineal Una empresa de reparto le paga a Pedro $40 por cada sobre del tipo X entregado y $56 por cada sobre del tipo Y. En la mochila de Pedro caben 120 sobres del tipo X y 100 del tipo Y. Como máximo, cada día puede repartir 150 sobres.

Ampliando MEMORIA Una función lineal de dos variables tiene la forma:

• ¿Qué cantidad de sobres de cada tipo puede repartir diariamente? Esta pregunta puede ser respondida planteando un sistema de inecuaciones y obteniendo su solución gráfica. Sea x la cantidad de sobres del tipo X e y los del tipo Y. Luego, del enunciado se tiene:

F(x, y) = ax + by +c

120

Donde a, b, c ∈ ℝ. Su gráfico en el plano es una recta.

100

{

x ≤ 120 y ≤ 100 x + y ≤ 150 x≥0 y≥0

60 40 20 0

100

120

140 X

Entonces, en la región solución se observan los pares de puntos que satisfacen las inecuaciones, por ejemplo: (10, 90), (50, 60), (100, 20), que representan la cantidad de sobres del tipo X y los del tipo Y, respectivamente. Ahora, la pregunta importante para Pedro es:

• ¿Cuántos sobres de cada tipo tendrá que repartir para que su beneficio diario sea máximo? A partir del enunciado, la respuesta es 50 del tipo X y 100 del tipo Y. La demostración formal de esta respuesta es: Como el pago es de $40 por sobre del tipo X y $56 del tipo Y, la ganancia se calcula como 40x + 56y. Esta expresión se puede representar como una función lineal de dos variables, en este caso x e y, de la siguiente forma: F(x, y) = 40x + 56y Entonces, utilizando conceptos matemáticos, Pedro necesita maximizar esta función, es decir, buscar qué par ordenado (x, y) de la región anterior tiene la mayor imagen. Si evaluamos los pares obtenidos anteriormente, se tiene: (10, 90) ⇒ (50, 60) ⇒ (100, 20) ⇒

F(10, 90) = 40 · 10 + 56 · 90 = 5.440 F(50, 60) = 40 · 50 + 56 · 60 = 5.360 F(100, 20) = 40 · 100 + 56 · 20 = 5.120

⇒ ⇒ ⇒

Pedro recibe $5.440 Pedro recibe $5.360 Pedro recibe $5.120

Considerando solo estos tres pares, a Pedro le conviene repartir 10 sobres del tipo X y 90 del tipo Y. Pero ¿existirá otro par cuya imagen sea mayor a las calculadas?

96 UNIDAD 2 • INECUACIONES

1 Para GRABAR

Ampliando MEMORIA

El valor máximo o mínimo de una función lineal de la forma F(x, y) = ax + by + c, cuyo dominio es una región del plano cartesiano generada por un sistema de inecuaciones, es la imagen de uno de sus vértices a través de F.

Optimizar una función significa determinar sus valores máximos o mínimos, es decir, los valores del dominio que tienen la mayor o menor imagen, respectivamente.

La función F se llama función objetivo, mientras que cada una de las inecuaciones se llama restricción. Este proceso, el de optimizar una función de este tipo, se conoce como programación lineal. Volviendo al problema y considerando la información del recuadro anterior, se debe identificar cada uno de los vértices de la región considerando las rectas asociadas a cada inecuación: Observando el gráfico, los vértices son A(0, 100), B(0, 0), C(120, 0), D(120, 30) y E(50, 100).

120

Luego, estos pares ordenados se deben evaluar en la función objetivo para determinar el valor máximo:

x = 120

100

x + y = 150

A(0, 100) ⇒ F(0, 100) = 40 · 0 + 56 · 100 = 5.600 B(0, 0) ⇒ F(0, 0) = 40 · 0 + 56 · 0 = 0

x=0

C(120, 0) ⇒ F(120, 0) = 40 · 120 + 56 · 0 = 4.800

y = 100

D(120, 30) ⇒ F(120, 30) = 40 · 120 + 56 · 30 = 6.480

E(50, 100) ⇒ F(50, 100) = 40 · 50 + 56 · 100 = 7.600

Por lo tanto, el valor máximo de F ocurre para el par (50, 100). Luego, a Pedro le conviene repartir 50 sobres del tipo X y 100 del tipo Y para recibir la ganancia máxima, que asciende a $7.600.

100

C 120

140 X

y=0

Como se puede ver también, la ganancia mínima es de $0, y ocurre para el par (0, 0), es decir, al no repartir ningún sobre.

1. Aplica el procedimiento anterior para optimizar las siguientes funciones en la región dada.

b. F(x, y) = 12x + 5y

a. F(x, y) = 4x – 7y 4

1 -3

-2

-1 0 -1

-4 1

-2

6 x

-3

-2

-1

Paso a paso y

(1) Las coordenadas de E son (50, 100), ya que pertenece a las rectas y = 100 y x + y = 150.

-2 -3

Máximo: _____; en el par ( , )

Mínimo: _____; en el par ( , )

5 x

(2) Las coordenadas de D son (120, 30), ya que pertenece a las rectas x = 120 y x + y = 150. (1) Como y = 100 se reemplaza en x + y = 150 y se obtiene x = 50. (2) Como x = 120 se reemplaza en x + y = 150, se obtiene y = 30.

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

2. Representa gráficamente la solución de los siguientes sistemas de inecuaciones. Luego, optimiza la función dada en la región obtenida. y

AYUDA

En un problema de programación lineal, solo los vértices que corresponden a la intersección de líneas continuas son candidatos a ser máximo o mínimo. Por ejemplo en la región: y

B -1

{

F(x, y) = 3x + 9y

1 -3

-2

-1

solo el vértice D se puede considerar, ya que, en rigor, los vértices A, B y C no pertenecen a la región.

{

Máximo: ___, en el par ( , ) Mínimo:___, en el par ( , )

20y − 30x ≤ 600 b. −10x − 30y ≤ 300 30x + 10y < 300 y ≤ 20 x ≥ −20

3 x

-3

3 x

-1 C

-2

D 0

-1

1 -2

2x − 3y ≤ 5 2x + 7y ≤ 6 −8x + 9y < 6 y ≥ −2

F(x, y) = –50x + 65y

10 -30 -20 -10

0 -10

30 x

Máximo: ___, en el par ( , ) Mínimo: ___, en el par ( , )

-20 -30

15 10

{

15y − 15x ≤ 225 c. 15x + 5y ≤ 75 y ≥ −10 x ≥ −15

F(x, y) = 12x – 18y

5 -15 -10

-5

15 x

Máximo: ___, en el par ( , ) Mínimo: ___, en el par ( , )

-10 -15

150

100

{

150y − 100x ≤ 15.000 d. 150x + 50y ≤ 7.500 y ≥ 100 x ≥ −200

98 UNIDAD 2 • INECUACIONES

F(x, y) = 25x + 25y

50 -150 -100 -50

0 -50

-100 -150

50 100 150 x

Máximo: ___, en el par ( , ) Mínimo:___, en el par ( , )

3. Resuelve los problemas de programación lineal. a. Una industria produce automóviles y motocicletas. El triple de la producción diaria de automóviles es siempre menor o igual que la de motocicletas aumentada en 9 unidades. Por otro lado, tres veces la producción de automóviles más cuatro veces la de motocicletas es como máximo 24 unidades. Determina el número de automóviles y de motocicletas que se deben producir diariamente para maximizar las ganancias, si el precio de un automóvil es $8 millones y el de una motocicleta, $2 millones.

b. Una industria ensambla dos tipos de calculadoras: estándar y científica. Se utilizan dos máquinas que emplean 2 minutos en ensamblar las de tipo estándar y 3 minutos en las científicas. La cadena de ensamblado puede funcionar como máximo 300 minutos diarios. Además, cada máquina puede procesar 125 unidades al día, y no más de 90 calculadoras estándar ni más de 80 científicas. La utilidad por cada calculadora estándar es de $500 y $750 por cada una de las científicas. ¿Cuántas calculadoras de cada tipo se deben ensamblar diariamente para maximizar las utilidades?

c. Una pastelería prepara dos tipos de tortas: la premium y la gold. Para preparar la premium se utiliza medio kilogramo de azúcar y ocho huevos, y se vende a $25.000. La gold, en cambio, necesita un kilogramo de azúcar y ocho huevos, y se vende a $21.000. Si un día solo quedan 10 kg de azúcar y 120 huevos en la pastelería, ¿cuántas unidades de cada torta conviene preparar para que las utilidades sean máximas?

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

R esolución de problemas ¿QUÉ ES APLICAR? Aplicar consiste en llevar a cabo o utilizar un procedimiento en una situación dada.

1. Analiza la resolución del siguiente problema. En una biblioteca se tiene un presupuesto de $500.000 para comprar libros de poesía y de filosofía. Cada ejemplar de poesía cuesta $12.000 y cada libro de filosofía $7.500. ¿Cuántas unidades de cada uno se pueden comprar utilizando el total del presupuesto? Paso 1

¿QUÉ TENGO QUE HACER PARA APLICAR?

• ¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema? La cantidad de unidades de dos tipos de libros que se pueden comprar con un presupuesto.

• Identificar la situación y las variables involucradas.

• ¿Qué información entrega el enunciado del problema?

• Asociar las variables al procedimiento.

ETAPAS DE LA RESOLUCIÓN

Comprende el enunciado

El costo de cada libro y el presupuesto total para comprar. Paso 2

Planifica lo que vas a realizar

• Identifica la situación y las variables involucradas.

DE PROBLEMAS

Las variables involucradas son x: número de libros de poesía e y: número de libros de filosofía.

Paso 1: Comprende el enunciado. Paso 2: Planifica lo que vas a realizar.

• Asociar las variables al procedimiento. La relación entre las variables es: 12.000x + 7.500y ≤ 500.000. Es decir, la solución de la inecuación contiene los pares (x, y) que resuelven el problema. Además, se debe considerar que x > 0 e y > 0, ya que representan cantidades. Es decir, se debe resolver el sistema:

Paso 3: Resuelve el problema. Paso 4: Revisa la solución.

{ Paso 3

12.000x + 7.500y ≤ 500.000 x>0 y>0

Resuelve el problema

• Determina los elementos pedidos aplicando los procedimientos vistos. La solución gráfica del sistema es: y

70 60

Pero solo los pares naturales de la región solucionan el problema

50 40

60 50 40

20 10

20 10 0

10 20 30 40 50 x

Luego, se pueden comprar 10 libros de poesía junto con 10, 20, 30, 40 o 50 de filosofía; 20 de poesía junto con 10, 20 o 30 de filosofía, y 30 de poesía junto con 10 de filosofía. Paso 4

Revisa la solución Para revisar la solución se debe reemplazar cada uno de estos pares en el sistema y comprobar que verifican cada una de las inecuaciones.

100 UNIDAD 2 • INECUACIONES

2. Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente. Un agricultor debe suministrar diariamente, como mínimo, 4 kg de minerales del tipo M1 y 6 kg del tipo M2 al suelo de su huerto. Para ello, dispone de dos tipos de abono, A1 y A2, cuyos contenidos de mineral por kilogramo son: A1 contiene 0,2 kg de M1 y 0,6 kg de M2; y A2 contiene 0,4 kg de M1 y 0,3 kg de M2. El precio del kilogramo de A1 es $320 y el de A2 es $480. ¿Cómo deben mezclarse los abonos para que el costo sea mínimo?

Paso 1

Comprende el enunciado

• ¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema? • ¿Qué información entrega el enunciado del problema?

Paso 2

Planifica lo que vas a realizar

• Identifica la situación y las variables involucradas.

• Asocia las variables al procedimiento.

Paso 3

Resuelve el problema

• Determina los elementos pedidos aplicando los procedimientos vistos.

Paso 4

Revisa la solución

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

101

esolución de problemas 3. Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas. a. Considera la recta y = –2x + 7 y determina el intervalo para y cuando x ∈ [–1, 4]. y

b. La figura muestra un cuadrado de lado x. Si se quiere trazar una paralela a un lado, como se muestra, de modo que el área de la región A sea al menos el triple del área de la región B, ¿cómo se relacionarían x e y?

c. ¿Qué condición debe cumplir y para que el cuadrado dibujado quede dividido en dos regiones, como muestra la figura, de manera que el área de la región B sea a lo más la mitad del área de la región A?

B x

d En sus tres primeras pruebas de Matemática Nicolás obtuvo las siguientes notas: 5,9 – 4,2 – 6,5 y aún debe rendir dos pruebas más. ¿Cuáles son las notas mínimas que debe obtener si quiere tener como mínimo promedio 6,0? Considera la escala de notas de 1,0 a 7,0 y el redondeo a la décima. e. Un comerciante compra al por mayor camisas para vender. Cada unidad le cuesta $3.500 y al venderlas cobra $5.500 por cada una. Si sus costos fijos son $250.000 mensuales, ¿cuántas camisas debe vender como mínimo para que su utilidad sea superior a $200.000 en un mes de 30 días? f Considera las siguientes figuras con el mismo perímetro (P). Luego, completa la tabla y ordena las figuras en forma creciente según su área. Figura

Perímetro

Área

Triángulo equilátero de lado a. Cuadrado de lado b. Círculo de radio r.

g. Considera las siguientes figuras con igual área (A). Luego, completa la tabla y ordena las figuras en forma creciente según su perímetro. Figura Triángulo equilátero de lado a. Cuadrado de lado b. Círculo de radio r.

102 UNIDAD 2 • INECUACIONES

Área

Perímetro

h. Un bus está a 150 km de su ciudad de destino. ¿Cuántos kilómetros debe recorrer para encontrarse a menos de 20 km de esta ciudad? Observa que esto puede ocurrir ya sea que el bus se esté acercando o alejando de la ciudad una vez que haya pasado por ella. i

Dos vehículos transitan por la carretera. Uno de ellos se dirige hacia el norte y el otro hacia el sur. En cierto momento, el vehículo que viaja hacia el norte se encuentra a 20 km de una ciudad y el que viaja hacia el sur se encuentra a 18 km de la misma ciudad. Si ambos vehículos se desplazan a 100 km/h, ¿cuántos kilómetros deben recorrer para estar ambos vehículos a 5 km o menos de dicha ciudad?

j. Considera que los vehículos del ejercicio anterior ahora se desplazan a distinta velocidad. Si el vehículo que viaja hacia el norte lo hace a 80 km/h y el que viaja hacia el sur a 90 km/h, ¿cuánto tiempo debe transcurrir para que ambos vehículos estén a menos de 5 km de la misma ciudad? k. Si la edad actual de María disminuye en siete años, el resultado es superior a nueve. Y si a la tercera parte de su edad se le agregan dos años, el resultado es menor que ocho. ¿Cuántos años tiene María? l. En una viña se producen dos tipos de vino, uno que cuesta $2.400 el litro y el otro, $4.200. Si se desea producir 500 L de una variedad que considere ambos tipos de vino, de modo que la mezcla no cueste menos de $3.000 ni más de $3.600, ¿cuántos litros del primer tipo de vino se deben utilizar? m. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba con cierta rapidez en m/s. La distancia y entre la pelota y el suelo después de t segundos está dada por y(t) = 100t – 20t2. ¿En qué intervalo de tiempo la pelota estará a más de 120 metros de altura? n. Para hacer dos tipos de mezclas de té, una empacadora recibe mensualmente 600 kg de hojas de boldo y 700 kg de hojas de cedrón. La primera mezcla consta de dos partes de boldo y una de cedrón y la segunda, de una parte de boldo y dos de cedrón. Si por la primera mezcla se ganan $132 y por la segunda $156, ¿qué cantidad de mezcla de cada tipo se debe preparar para que la ganancia sea máxima? ñ. Para abonar una plantación de papas se necesitan como mínimo 8 kg del compuesto N y 12 kg del compuesto F. Una tienda cuenta con un producto A que cuesta $180 el kilogramo y que contiene 10 % del compuesto N y 30 % del compuesto F, y un producto B que cuesta $240 el kilogramo y que contiene 20 % del compuesto N y 20 % del compuesto F. ¿Qué cantidad de cada producto se debe comprar para abonar la plantación con el menor costo posible? o. Una fábrica de telas tiene en bodega 2.340 m de lanilla, 3.600 m de seda y 1.500 m de algodón. Para su distribución a las sastrerías hacen dos tipos de paquetes, A y B. El paquete A contiene 18 m de lanilla, 30 m de seda y 10 m de algodón y el paquete B contiene 15 m de lanilla, 20 m de seda y 10 m de algodón. Si el paquete A cuesta $135.000 y el B $110.000, ¿cuántos paquetes de cada tipo debe hacer para maximizar sus ganancias? p. Una persona debe consumir dos tipos de vitaminas, A y B. De la vitamina A necesita consumir como mínimo 70 unidades y de la vitamina B como mínimo 120 unidades. En la farmacia venden dos tipos de pastillas, una de las cuales contiene 2 unidades de A y 3 unidades de B, y la otra, 1 unidad de A y 2 unidades de B. Si la primera pastilla cuesta $250 y la segunda $145, ¿cuántas pastillas de cada tipo debe comprar para que su gasto sea el más bajo?

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

103

H istorial

Síntesis

El siguiente organizador gráfico resume las relaciones entre los principales conceptos abordados.

con una o más

propiedades

intervalo

tienen

su solución es un

desigualdades

son

incógnitas

Inecuaciones

pueden tener

permiten resolver problemas de

programación lineal

dos incógnitas

una incógnita

primer grado

104 UNIDAD 2 • INECUACIONES

racionales

con valor absoluto

segundo grado

C argando disco

Modelamiento de pregunta PSU

Analiza el siguiente ejemplo de resolución de un tipo de pregunta PSU. Dentro de 7 años, Matilde tendrá 10 o más años. ¿Cuál es la edad actual de Matilde? (1) En 2 años tendrá menos de 8 años. (2) Su edad es un número impar. A. B. C. D. E.

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) o (2). Se requiere información adicional.

A continuación, analicemos las alternativas: La proposición (2) establece que la edad actual de Matilde puede ser 1, 3, 5, 7 años, etc. Luego, con los datos del enunciado, la edad actual de Matilde puede ser 3, 5, 7 años, etc. Es decir, no se puede resolver el problema con la proposición (2) por sí sola. Por lo tanto, se descarta la alternativa B como correcta.

Para responder este tipo de pregunta se debe analizar cada una de las proposiciones por separado y determinar si entregan la información suficiente para resolver el problema. Sea x: edad actual de Matilde. Del enunciado se tiene que: ⇒

x + 7 ≥ 10

x≥3

De esta forma, también se descarta la alternativa D, ya que (1) y (2) no resuelven el problema por sí solas.

Es decir, actualmente Matilde tiene 3 o más años. La proposición (1) establece que: x+2<8

⇒

Al considerar las proposiciones (1) y (2) ambas juntas, se tiene que la edad de Matilde puede ser 3 o 5 años. Es decir, no se puede resolver el problema con las proposiciones (1) y (2), ambas juntas. Luego, se descarta la alternativa C como correcta.

x<6

Luego, junto con los datos del enunciado, la edad actual de Matilde puede ser 3, 4 o 5 años. Es decir, no se puede resolver el problema con la proposición (1) por sí sola. Por lo tanto, se descarta la alternativa A como correcta.

Por lo tanto, se requiere información adicional para resolver el problema.

Entonces, la alternativa correcta es E. A

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

105

V erificando disco I.

Evaluación final

Lee atentamente y marca la alternativa correcta.

]

3 puede escribirse como: 1. El intervalo − 5, __ 4 3 A. x ∈ ℝ / −5 ≤ x ≤ __ 4 3 B. x ∈ ℝ / −5 ≤ x < __ 4 3 C. x ∈ ℝ / −5 < x ≤ __ 4 3 D. x ∈ ℝ / −5 < x < __ 4 3≤x≤5 E. x ∈ ℝ / − __ 4

{ { { { {

} } } }

}

2. ¿Qué tipo de intervalo representa el siguiente gráfico? 0 A. B. C. D. E.

Abierto. Semiabierto por la derecha. Semiabierto por la izquierda. No acotado por la derecha. No acotado por la izquierda.

3. El conjunto {x ∈ ℝ / x < 6 ⋁ x ≥ 9} es representado gráficamente por: A. B. C. D. E.

4. ]0, 14[ ∪ ] –6, 8] es equivalente a : A. B. C. D. E.

{x ∈ ℝ / –6 < x < 14} {x ∈ ℝ / –6 ≤ x < 14} {x ∈ ℝ / –6 < x ≤ 14} {x ∈ ℝ / 0 < x ≤ 8} {x ∈ ℝ / –6 < x < 0 ⋁ 0 < x < 14}

106 UNIDAD 2 • INECUACIONES

5. [–25, –10] ∩ ]–15, 0[ es equivalente a: A. B. C. D. E.

[–25, 0[ ]–25, 0] [–15, –10] ]–15, –10[ ]–15, –10]

6. ¿Cuál de las siguientes desigualdades es verdadera? A. (3 – 8)3 > 0 1 < − __ 1 B. − __ 9 8 _ 2 C. ( 1 − √ 3 ) < 1 _

D. √2 + √5 ≤ √7 16 4 > ___ E. __ 5 20

7. ¿Cuál de las siguientes desigualdades es equivalente a x < 3? A. x2 > 9 3 x < − __ B. − __ 4 4 1 1 __ __ C. x < 3 D. x – 12 > –9 E. 3x < 9 x 1 − __ y 8. La expresión _____ x es mayor que cero, si: 1 + __ y (1) x, y ∈ ℝ+ (2) x < y A. B. C. D. E.

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) o (2). Se requiere información adicional.

9. La solución de |x| < 21 es: A. B. C. D. E.

[–21, 21] ]–21, 21[ ]–21, 21] ]–∞, –21[ ∩ ]21, ∞[ ]–∞, –21[ ∪ ]21, ∞[

10. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a {x ∈ ℝ / x ≤ –1 ⋁ x ≥ 1}? A. B. C. D. E.

|x| ≥ 1 |x| ≤ 1 |x| = 1 |1| ≥ x |1| ≤ x

A. B. C. D. E.

x = –20 x = –4 x = –1 x=5 x = 17

12. ¿Cuál es el conjunto solución de la 2 − 8x ? x + 7 − 2x ≤ − 5 − ______ inecuación _____ 6 3 A. x ≤ 23 B. x ≥ 23 23 C. x ≤ − ___ 3 23 ___ D. x ≤ 9 23 ___ E. x ≥ 9 13. Carla tiene $10.000 y quiere comprar calcetines. Si cada par cuesta $1.700 y dejará $2.500 para almorzar, ¿cuántos pares de calcetines puede comprar como máximo? A. B. C. D. E.

2 3 4 5 6

C. D. E.

1,5

x−1 ≤0 A. ______ 3 − 2x 3 − 2x ≤ 0 B. ______ x−1 ______ C. x + 1 ≤ 0 3 − 2x ______ D. 3 − 2x ≤ 0 x+1 2x −3≤0 E. ______ x+1 16. ¿Cuál es el conjunto solución de la inecuación 6x − 1 ≤ − 2? − − ___ 5 5 ∨ x ≤ − __ 5 A. x ∈ ℝ / x ≥ __ 6 2 5 ∧ x ≤ − __ 5 B. x ∈ ℝ / x ≥ __ 6 2 5 ∨ x ≤ __ 5 C. x ∈ ℝ / x ≥ − __ 2 6 5 ∧ x ≤ − __ 5 D. x ∈ ℝ / x ≥ __ 2 6 5 ∨ x ≥ − __ 5 E. x ∈ ℝ / x ≥ __ 6 2

{ { { { {

} } } } }

17. ¿Cuál es el conjunto solución de la inecuación −(x + 1)(x − 1) ≥ 0? A. B. C. D. E.

[1, ∞[ [−1, 1] ]−1, 1[ ]−∞, −1] ∪ [1, ∞[ ]−∞, −1[ ∪ ]1, ∞[

18. Al resolver –3x2 + 15x + 18 < 0 se obtiene:

x − 2 ≤ 0 es: 14. La solución de ______ 2x + 5 5, ∞ A. − __ 2 B. ]–∞, 2]

]

15. ¿Cuál inecuación tiene por solución los valores del siguiente intervalo? 1

11. ¿Para cuál de los siguientes valores de x se cumple que |x| ≤ 3?

[

] − __25, ∞ [ ∪ ]–∞, 2] ] − __25, ∞ [ ∩ ]–∞, 2] ] − __25, 2 [

A. x < –1 B. x > 6 C. x > –1 ∨ x < 6

D. x < –1 ∧ x > 6 E. x < –1 ∨ x > 6

19. ¿Cuál inecuación no tiene por solución un intervalo en ℝ? A. B. C. D. E.

x2 – 2x + 5 > 0 x2 – 2x + 5 < 0 x2 – 5x + 2 < 0 x2 + 5x – 2 < 0 x2 – 2x – 5 < 0

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

107

Evaluación final

erificando disco

20. ¿Qué intervalo representa al conjunto solución del sistema 3x + 2 ≥ x − 4 ? 5−x≥−2 A. ] –3, ∞[ B. ] –∞, 7] C. ]–3, 7[ D. [–3, 7] E. ] –3, ∞[ ∪ ] –∞, 7[

{

21. ¿Cuál de los siguientes sistemas tiene como solución el conjunto vacío? A. B. C. D. E.

{ 2x3x −+ 14 ≥≥ 38 { 6x2x− 5−≥62x≤ 4+ 3 { −42x +≤ 62x≤+186 { 3x2x +− 42 ≥≥ xx ++ 61 { 2xx −−61><−3−3

24. ¿Cuál inecuación tiene por solución el conjunto mostrado en el siguiente gráfico? y _7 5 _7 3

A. B. C. D. E.

3x + 5y = 7 3x + 5y ≤ 7 3x + 5y < 7 3x + 5y > 7 3x + 5y ≥ 7

25. ¿Cuál gráfico representa la solución de la inecuación 2x – y < 4 – x? y

_4 x 3

-4

_4 x 3 -4

22. ¿Cuál gráfico representa a la desigualdad –2 ≤ x? y

-2 0

-2

-2 0

-2

_4 x 3

-4

y x

_4 x 3

A. B. C. D. E.

-4

23. La solución del sistema x≥4 x≥0 x > –1 –1 < x ≤ 4 0≤x≤4

108 UNIDAD 2 • INECUACIONES

_4 x 3

y -2

-4

{

x≥0 es: 2 − x ≥ −2 2x + 1 > −1

26. Beatriz prepara diariamente dos tipos de pasteles. Del pastel A puede hacer hasta 6 unidades y del pastel B, hasta 3 unidades. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el total de pasteles que hace Beatriz diariamente? Considera a y b la cantidad de pasteles del tipo A y B, respectivamente. A. B. C. D. E.

a+b≥9 a+b≤9 a+b<9 a+b>9 a+b=9

27. ¿Cuál de los gráficos representa de mejor manera la solución del siguiente sistema de inecuaciones? 4x + 3y ≤ 7 2x − y ≥ 1

{

D. x

A. B. C. D. E.

1 0

A. B. C. D. E.

I. El sistema tiene infinitas soluciones. II. El sistema consta de dos inecuaciones. 1 , __ 1 es una solución del sistema. III. El punto __ 2 2 Solo I Solo II Solo III Solo I y III I, II y III

(

)

(24, 0) (4, 5) (0, 25) (0, 0) (3, 3)

30. Una empresa fabrica dos productos diarios, X e Y. Cada producto pasa por preparación, reposo y embalado, para las cuales se dedican 11 h, 15 h y 6 h, respectivamente. El producto X necesita 3 h de preparación, 1,5 h de reposo y 2 h de embalado; el producto Y necesita 3 h de preparación, 6 h de reposo y 1 h de embalado. ¿Cuál de los sistemas permite mostrar las cantidades de X e Y que se pueden producir?

29. Si las restricciones de la función objetivo F(x, y) = 10x + 30y son: x ≥ 0, y ≥ 0, x + 4y ≥ 24, 5x + y ≥ 25, ¿cuál par minimiza la función?

28. El siguiente gráfico representa la solución de un sistema de inecuaciones. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

{

{ {

3x + 3y ≤ 11 1,5x + 6y ≤ 15 2x + y ≤ 6 3x + 3y ≤ 32 1,5x + 6y ≤ 32 2x + y ≤ 32 x≥0 y≥0 x≥0 y≥0

{ {

3x + 3y ≤ 11 1,5x + 6y ≤ 15 2x + y ≤ 6 x≥0 y≥0 3x + 3y ≤ 32 1,5x + 6y ≤ 32 2x + y ≤ 32 x ≥ 32 y ≥ 32

31. En un taller de carpintería se fabrican dos tipos de mesitas, A y B. El taller cuenta con las secciones de carpintería y pintura, donde se invierten un máximo de 90 h y 80 h, respectivamente. Cada mesita del tipo A requiere 1 h en carpintería y 2 h en pintura; y una mesita del tipo B, 3 h en carpintería y 1 h en pintura. ¿Cuántas mesitas de cada tipo hay que fabricar para maximizar las ganancias, si por la mesita A se ganan $2.000 y por la mesita B, $3.000? A. B. C. D. E.

0 del tipo A y 30 del tipo B. 20 del tipo A y 30 del tipo B. 25 del tipo A y 25 del tipo B. 30 del tipo A y 20 del tipo B. 40 del tipo A y 0 del tipo B.

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

109

Evaluación final

II. Resuelve los siguientes problemas. 1. Representa gráficamente la solución del sistema

{

2x + y > 0 x−y>0 3x + y < 2

2. Lorena quiere comprar cajas de caramelos y cajas de chocolates para vender en su colegio. Las cajas de caramelos cuestan $200 y las de chocolates, $500. Si tiene $7.000 para gastar y puede guardar hasta 20 cajas en su casillero, ¿cuántas cajas de cada tipo tiene que comprar para maximizar su ganancia, si por cada caja de caramelos gana el 40 % y por cada caja de chocolates el 25 % del precio de compra?

110 UNIDAD 2 • INECUACIONES

C errar sesión

Revisa tus respuestas de alternativas. Pregunta 1 2 3 4 5

Contenido evaluado

Habilidad

Intervalos, unión e intersección

Comprender Recordar Aplicar Aplicar Aplicar

Evaluar

Aplicar

Omitidas

Logro alcanzado

Aplicar

Valor absoluto

Aplicar

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Aplicar

Analizar Aplicar Aplicar Aplicar

Inecuaciones con una incógnita

Sistemas de inecuaciones con una incógnita

Inecuaciones y sistemas de inecuaciones con dos incógnitas

29 30

Mi revisión Incorrectas

Analizar

8 10

Correctas

Analizar

Desigualdades y propiedades

Clave

Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Analizar Aplicar Aplicar Aplicar Analizar Analizar Analizar Analizar

Analizar Programación lineal

Analizar Analizar

Mi ESTADO Anota el nivel de logro de tus aprendizajes de la unidad según la categoría de desempeño dada: 1. Por lograr; 2. Medianamente logrado; 3. Logrado. Representé intervalos en ℝ, sus uniones e intersecciones, e identifiqué y apliqué propiedades de las desigualdades y del valor absoluto. Resolví inecuaciones y sistemas de inecuaciones con una y dos incógnitas. Resolví problemas que involucran programación lineal.

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

111

R ecopilando disco

Evaluación semestral 1

Para responder, ennegrece el óvalo de la alternativa que consideres correcta en la hoja de respuestas. 1. Sea f: A ⊆ 핉 → {4, 6, 7, 9, 10, 11} definida por f(x) = 2x – 1. ¿Cuál de los siguientes elementos no pertenece al dominio de f? 9 I. __ 2 II. 3 5 III. __ 2 A. Solo I B. Solo I y II C. Solo I y III D. Solo II y III E. I, II y III 2. Observa el siguiente gráfico de la función real f y responde: 4 2

–2

–1

–2 –4

¿Para qué valor de x, f(x) < 0? A. B. C. D. E.

x = −1,5 x = −0,5 x=0 x = 0,5 x=4

2x − 4 está dado por el conjunto de todos los _____ 3. El dominio de la función g( x ) = _________ √x − 3 − 2 números x reales tales que: A. B. C. D. E.

112 EVALUACIÓN SEMESTRAL 1

x≥3 x ≥ 3, x ≠ 7 x ≥ 3, x ≠ 0 x > 0, x ≠ 3 x > 2; x ≠ 7

H oja de respuestas

Evaluación semestral 1

IDENTIFICACIÓN DEL POSTULANTE APELLIDO PATERNO

APELLIDO MATERNO

NOMBRES

Desprende la hoja y utilízala para responder la evaluación semestral.

RESPUESTAS 1

MATEMÁTICA 4º MEDIO

NUEVO EXPLOR@NDO

Evaluaciรณn semestral 1

RESPUESTAS 21

Mi revisiรณn*

Total

I O C Mi revisiรณn* I: incorrectas

O: omitidas

MATEMร TICA 4ยบ MEDIO

C: correctas

NUEVO EXPLOR@NDO

x ? 4. ¿Cuál de los siguientes gráficos se puede asociar a la función k( x ) = − __ 4 A. 4 y 2

3 2 1 –1

0 -1

B. 3

2 1 –2

–1

0 -1

-2

C. y 1 –3 –2 –1

0 -1

-2 -3 -4

D. y –2

–1

0 -1

-2 -3 -4

E. y 1 –2

–1

0 -1 -2

x Continúa ejercitando en la web.

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

113

ecopilando disco

Evaluación semestral 1

5. En la imagen se muestra la gráfica de la función f. ¿Cuál es su dominio? y 3 2 1 –3

–2

–1

0 –1

–2 –3

A. B. C. D. E.

[−3, 1] ]−1, 3[ ]−3, −1[ [−3, 1[ [−3,−1[ U ]−1, 1]

6. ¿Cuál es el recorrido de la función real g definida por g(x) = 3x – 2 – 1? A. B. C. D. E.

핉− 핉+ ]–∞, 1] ]1, ∞[ ]–1, ∞[

7. En una progresión aritmética a10 = –3 y a2 = 1,8. ¿Cuál es el valor de a5? A. B. C. D. E.

0 0,6 1 −0,6 −1,2

8. En la progresión aritmética 7, 10, 13…, ¿qué término es el número 115? A. B. C. D. E.

a30 a36 a37 a38 a115

9. En la progresión geométrica 4, 8, 16, 32…, ¿a qué número corresponde el término a20? A. B. C. D. E. 114 EVALUACIÓN SEMESTRAL 1

218 219 220 221 222

10. Tres números están en progresión geométrica. Si el segundo de ellos es la mitad del tercero, entonces se cumple que el primero es: I. la mitad del segundo. II. un cuarto del tercero. III. la mitad del tercero. A. B. C. D. E.

Solo I Solo III Solo I y II Solo I y III Solo II y III

11. ¿Cuál de los siguientes tipos de crecimiento describe mejor a los pares ordenados del siguiente gráfico? y 5 4 3 2 1 –3

–2

–1

–1 –2 –3

A. B. C. D. E.

Lineal. Potencial. Aritmético. Geométrico. Exponencial.

12. Un banco tiene una tasa de interés anual del 1 %. Si se depositan 2 millones de pesos, ¿cuál es la ganancia aproximada luego de 3 años? A. B. C. D. E.

0,04 millones 0,06 millones 2,04 millones 2,06 millones 2,6 millones

Continúa ejercitando en la web.

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

115

ecopilando disco

Evaluación semestral 1

13. Cuál(es) de las siguientes funciones reales es (son) inyectiva(s)? I. f(x) = 5(x2 – 1) + 2 II. g(x) = 4x + 2(3 – 2x) III. h(x) = x(x2 + 1) A. B. C. D. E.

Solo I Solo II Solo III Solo I y II Solo I y III

14. ¿Cuál(es) de los siguientes diagramas sagitales representa(n) una función sobreyectiva? f

I. 1 2 3 4

A. B. C. D. E.

II. a

III. a

Solo I Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III

4 . Si g es sobreyectiva, ¿cuál es su 15. Sea g: 핉 − {5} → C ⊆ 핉, dada por g(x) = _____ 5−x recorrido? A. B. C. D. E.

핉+ 핉 핉 – {0} 핉 – {4} 핉 – {5}

16. ¿Cuál(es) de las siguientes funciones es (son) biyectiva(s)? I. f: 핉 → 핉, f(x) = x2

II. g: 핉+ → 핉, g(x) = log(x)

III. h: 핉 → 핉+, h(x) = 3x + 2 A. B. C. D. E.

116 EVALUACIÓN SEMESTRAL 1

Solo I Solo II Solo III Solo I y II Solo II y III

17. Sea f dada por el siguiente gráfico: y 4 3 2 1 –1 0 –1

Y sea g(x) = f(x + 1), ¿cuál de las siguientes alternativas muestra la función inversa de g? A.

–2

–1

x –2

–1

–2 1

1 –2

–1

3 2 1 –2

–1

x + 2 es biyectiva, entonces f−1 está dada por: 18. La función f(x) = _____ x−3 x − 3 _____ -1 A. f (x) = x+2 x _____ -1 B. f (x) = + 2 x−3 3x ______ -1 C. f (x) = + 2 1−x 3x ______ D. f-1(x) = + 2 x−1 3x −2 E. f-1(x) = ______ x+1

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117

ecopilando disco

Evaluación semestral 1

19. Sea f(x) = log2(x) + 3 y sea g función tal que (f o g)(x) = x. Entonces, g(x) está dada por: A. B. C. D. E.

g(x) = log3(x+2) g(x) = 2x – 3 g(x) = 2x−3 g(x) = 3x−2 g(x) = log2(x−3)

20. Luego de 2 años, el capital final de una inversión con una tasa de interés compuesto anual de 5 % es de $11.025.000. ¿Cuál era el capital inicial? A. B. C. D. E.

$1.000.000 $1.100.000 $1.110.000 $10.000.000 $11.000.000

21. ¿Qué intervalo está representado en la siguiente recta numérica? –6 –5 –4 –3 –2 –1

A. B. C. D. E.

[3, 5[ [−5, 3] ]−5, 3[ [−5, 3[ ]−5, 3]

22. Al intersecar los intervalos ]−2, 3] y ]−3, −2] se obtiene: A. B. C. D. E.

⌀ {−2} [−2, 3] ]−3, 3] [−3, 3]

23. Sean A = {x ∈ ℝ / 3 < x ≤ 5} y B = ]2, 4]. ¿Cuál de los siguientes elementos no pertenece a la intersección entre A y B? I. 2 II. 4 III. 5 A. B. C. D. E.

118 EVALUACIÓN SEMESTRAL 1

Solo I Solo II Solo III Solo I y III Solo II y III

24. ¿Cuál(es) de los siguientes números es (son) solución de 7 – 3x > −2? I. 2 II. 3 III. 4 A. B. C. D. E.

Solo I Solo II Solo III Solo I y II Solo I y III

25. Si a, b y c son números reales y a < b < c < 0, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A. B. C. D. E.

ac < cb c(a – b) > 0 c3 > ac a–c>b–c ab < bc

n +m ? 26. ¿Qué condición deben cumplir n y m para que nm ≥ _______ 2 A. m > 1, n < –1 B. m = 0, n ≠ 0 C. 0 < m < n D. n < 0 < m E. n = m 2

27. ¿Cuántos números enteros negativos tienen valor absoluto menor que 6? A. B. C. D. E.

3 4 5 6 7

28. Si a < 0, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera? A. B. C. D. E.

a = |a| |a| < a a2 < |a|2 |a| < a2 |a| = |−a|

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119

ecopilando disco

Evaluación semestral 1

29. ¿Cuál es el conjunto solución de la inecuación | 3 – x | < 7? A. B. C. D. E.

]−4, 10[ [−4, 10] ]−10, 4[ 핉 – [−10, 4] ]−∞, −4[ U ]10, ∞[

30. ¿Cuál de las siguientes inecuaciones tiene la misma solución que 2x + 3 < 5? A. B. C. D. E.

2–x<1 5 – 3x > 2 1 < 5x – 4 14 < 12 + 2x −2(x + 3) < −8

31. ¿Qué inecuación representa la siguiente situación? En una empresa se producen 3 artículos como base al día, y cerca de 6 más por hora. Además, la producción diaria máxima de la empresa es de 50 artículos. A. B. C. D. E.

3 + 6x ≤ 50 3x + 6 ≤ 50 6(x + 3) ≤ 50 3(6x) ≤ 50 (x + 3)6 ≤ 50

x ? 32. ¿Cuál es el conjunto solución de la inecuación 0 > ______ 2x + 8 A. ⌀ B. ]−4, 0[ C. ]0, ∞[ D. ]−∞, −4[ E. ]−∞, −4[ U ]0, ∞[ 33. ¿Cuál de las siguientes inecuaciones tiene solución distinta de ⌀? I. |4 – 2x| + 5 < 2 II. 2|x + 5| > 4 III. 8 − |3x + 2| > 9 A. B. C. D. E.

120 EVALUACIÓN SEMESTRAL 1

Solo I Solo II Solo III Solo I y II Solo II y III

34. ¿Cuál es el conjunto solución de la inecuación x2 – 4 ≥ 0? A. B. C. D. E.

[−4, 4] [−2, 2] 핉 − [−4, 4] ]−∞, −2[ U ]2, ∞[ ]−∞, −2] U [2, ∞[

35. ¿Cuál es el conjunto solución del siguiente sistema? x+3<4 0 < 3(x − 1) A. ⌀ B. ℝ C. {1} D. ℝ – {1} E. ]−1, 1[

{

36. ¿Qué inecuación representa de mejor forma la región del plano de la imagen? x

2 _3 2 1 _3 4 –1

A. B. C. D. E.

−4x – 2y < 3 2x – 4y > −3 2x + 4y < 3 4x – 2y > −3 4x + 2y < 3

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121

ecopilando disco

Evaluación semestral 1

37. ¿Cuál de las siguientes imágenes representa el gráfico de la inecuación x ≥ 1? A.

y –1

–2

–1

–1 –2

y –1

–2

–1 –1 –2

y –1

–2

–1 –1 –2

y –1

–2

–1 –1 –2

y –1

–2

–1 –1 –2

122 EVALUACIÓN SEMESTRAL 1

38. ¿En qué punto de la región descrita por el sistema de inecuaciones, la función F(x, y) = 2x + y adquiere el máximo valor?

A. B. C. D. E.

(0, 0) (0, 1) (0, −1) (1, 0) (−1, 0)

{

y − x≤1 y+x≤1 y − x ≥ −1 y + x ≥ −1

39. ¿Cuál(es) de los siguientes puntos pertenece(n) a la región determinada por el 2x + y < 2 ? sistema 2x + 3y > −2

{

I. (0, 1) II. (1, 1) III. (1, 0) A. B. C. D. E.

Solo I Solo II Solo III Solo I y II Solo I y III

40. Cierto alimento A aporta 50 g de carbohidratos y 25 g de proteínas por porción. Otro alimento B aporta 30 g de carbohidratos y 45 g de proteínas por porción. Si el consumo diario no debe superar los 50 g de proteínas y 70 g de carbohidratos, ¿cuánto dinero al día se debe gastar para comer el máximo de cada alimento, si por la porción del alimento A se pagan $500 y por la del B $400? A. B. C. D. E.

$700 $720 $750 $850 $900

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123

Unidad

1 2 3 4

Geometría espacial

MENÚ de inicio ¿Qué aprenderás?

¿Para qué?

¿Dónde?

Puntos, vectores, rectas y planos en el espacio.

Analizar y describir las rectas y planos en el espacio.

Páginas 128 a 143.

Cuerpos geométricos.

Identificar cuerpos geométricos generados por traslación o rotación de figuras planas en el espacio. Calcular sus áreas y volúmenes.

Páginas 146 a 155.

124 UNIDAD 3 • GEOMETRÍA ESPACIAL

ABRIR sesión

La Geometría es la rama de la Matemática que estudia las propiedades y medidas de las figuras en el plano o en el espacio. Esta disciplina ha fascinado al hombre desde sus inicios tanto por su desarrollo axiomático, que es un reto al razonamiento, como por sus múltiples aplicaciones en la vida real. Por ejemplo: el diseño y construcción de edificios, puentes y el sistema de posicionamiento global que permite localizar objetos en la Tierra. La Geometría les permite a otras ciencias como la Física, Topografía e Ingeniería diseñar modelos para estudiar diversos fenómenos. Por ejemplo: en Física, sirve para estudiar el movimiento de los cuerpos; en Topografía, para diseñar representaciones gráficas de la superficie terrestre y en Ingeniería, para diseñar puentes, edificios o automóviles. Considerando la información, responde: 1. ¿Qué es la Geometría? 2. ¿Qué entiendes por desarrollo axiomático? 3. Nombra 3 disciplinas científicas que utilizan la Geometría en el diseño de modelos para estudiar ciertos fenómenos. 4. ¿En qué consiste el sistema de posicionamiento global?

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125

I nicializando

Evaluación inicial

Lee atentamente y luego resuelve los ejercicios. 1. Calcula la distancia entre cada par de puntos. a. A(0, 2) y B(3, 4)

e. I(5, 1) y J(–4, –5)

b. C(0, 0) y D(2, 3)

c. E(4, 8) y F(5, –2)

3 y N − __ 3 , − __ 1 g. M 0, __ 4 3 8

d. G(2, –1) y H(5, –10)

h. P( √3 , 2 ) y Q( −√ 3 , −2 )

(

) (

3 2 , 3 y L − __ 1 , __ K − __ 3 2 5

( ) ( _

)

2. Representa los vectores en el plano cartesiano. Considera O como el origen del plano cartesiano. __› y a. OA = ( 4, 0 ) __› 4 b. OB = ( 4, 2 ) 3 __› 2 c. OC = ( −3, 4 ) ___› 1 d. OD = ( −2, −1 ) 0 1 2 3 4 x __› –4 –3 –2 –1 –1 e. OE = ( 4, −1 ) __› –2 f. OF = ( 1, 2 ) –3 ___› –4 g. OG = ( −3, −3 ) 3. Calcula el módulo de cada vector. __› a. OA = ( 0, 2 )

___› d. OD = ( −3, 5 )

__› b. OB = ( −3, −4 )

__› e. OE = ( 1, −9 )

__› c. OC = ( −3, −5 )

__›

OF = ( 13, −7 )

4. Analiza los datos de la tabla. Luego, complétala. Ecuación principal

Ecuación general

Ecuación canónica

Pendiente

Término libre

–8

y = 5x – 2 4x + 3y – 5 = 0 y = __1 x − 4 2

__x + __y = 1 2 5 2x − 4y + 1 = 0 y _x + __ =1 6

126 UNIDAD 3 • GEOMETRÍA ESPACIAL

−3

5. Representa en el plano cartesiano el polígono ABCD de vértices A(–2, 2), B(–2, –1), C(–1, –2) y D(1, 1). Luego, trasládalo según el vector (3, –2) y rótalo en –90° con centro en el origen del plano coordenado. y 4 3 2 1 0 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4

6. Calcula el área (A) o el volumen (V) según corresponda. a. Cuadrado de lado 5 cm.

d. Triángulo equilátero de lado 10 cm.

b. Círculo de radio 4 m.

e. Cubo de arista 5 m.

c. Triángulo de base 7 cm y altura 8 cm.

Paralelepípedo de 12 cm de altura, 4 cm de ancho y 7 cm de largo.

7. Identifica cada cuerpo. Luego, escribe su nombre en el espacio asignado.

Mi ESTADO En estas actividades: •

¿Qué te resultó más fácil? ¿Por qué?

•

¿Qué te resultó más difícil? ¿Por qué?

•

¿Reconoces los contenidos trabajados?

•

¿Cuál de esos contenidos crees que debes repasar antes de continuar?

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127

Puntos en el espacio Ampliando MEMORIA Para representar puntos en el espacio puedes trazar un paralelepípedo. Por ejemplo, para graficar el punto A(2, 3, 1):

z 2

1 0

Plano yz

Para localizar un objeto en el espacio es necesario disponer de un sistema de referencia, dado por la posición de un observador.

z1 Trayectoria

En la imagen, la posición del avión está determinada por las coordenadas (x1, y1, z1) con respecto a un observador ubicado en O.

Plano xy y1

O x1

• ¿Qué crees que representa cada una de las coordenadas? ¿Cuáles crees que son las coordenadas del punto O?

Plano xz

Para GRABAR Un sistema de coordenadas tridimensional está formado por tres rectas perpendiculares entre sí llamadas ejes de coordenadas, las cuales forman tres planos llamados planos coordenados, que a su vez dividen el espacio en 8 regiones llamadas octantes. Los ejes de coordenadas se denominan eje x (o abscisas), eje y (u ordenadas) y eje z (o cotas) y su intersección, O, corresponde al punto (0, 0, 0) llamado origen.

Ampliando MEMORIA • El espacio tridimensional formado por los puntos (x, y, z), donde, x, y, z ∈ 핉 se denota por 핉3. • Si a, b ∈ 핉, entonces: (a, 0, 0) ∈ eje x. (0, a, 0) ∈ eje y. (0, 0, a) ∈ eje z. (a, b, 0) ∈ plano xy. (0, a, b) ∈ plano yz. (a, 0, b) ∈ plano xz.

Un punto en el espacio se representa de la forma (x, y, z), donde x (primera coordenada) corresponde a la abscisa, y (segunda coordenada) a la ordenada, y z (tercera coordenada) a la cota.

1. Analiza si las proposiciones son verdaderas o falsas con respecto a un sistema de coordenadas tridimensional. Luego, escribe V o F según corresponda. a.

Los planos coordenados se intersecan en el punto (1, 1, 1).

El eje z y el plano xy se intersecan solo en el punto (0, 0, 0).

Un sistema coordenado tridimensional consta de ocho cuadrantes.

El punto (0, –3, 10) pertenece al plano yz.

El punto (–127, 0, 10) pertenece al plano xz.

Si (k, 0, 6) pertenece al eje z, entonces k ≠ 0.

2. Representa los puntos en el sistema coordenado. a. A(0, 0, 2)

b. B(0, –2, 0)

c. C(2, 0, 0) d. D(0, 3, 1)

1 -4

-3

-2 2

e. E(1, 0, –1) f. F(2, –2, 2)

-1 1 0 -1 -2 -3 -4

g. G(3, –1, –2) 128 UNIDAD 3 • GEOMETRÍA ESPACIAL

-1 1

-3

-2 2

-4

Distancia entre dos puntos en el espacio

Para calcular la distancia entre los puntos__ P(x1, y1, z1) y__ Q(x2, y2, z2) en el espacio, se puede formar el triángulo PQR. Como QR // eje z y PR // plano xy, entonces el ΔPRQ es rectángulo en R. Aplicando el teorema de Pitágoras, se obtiene: (PQ)2 = (PR)2 + (QR)2

Donde QR = z2 – z1. Además, si se traslada PR al plano xy se observa que (PR)2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2.

Reemplazando:

Q y1

(PQ)2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2

Si se aplica raíz cuadrada a la expresión anterior, se obtiene la distancia entre los puntos P y Q.

x 4

4 z 2 3

y2 4

y2 – y1 x2 – x1

Para GRABAR Si P(x1, y1, z1) y Q(x2, y2, z2) son dos puntos de 핉3, la distancia entre P y Q, denotada d(P, Q), se calcula mediante la expresión: _____________________

d(P, Q) = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2

1. Calcula la distancia entre cada par de puntos.

(

)

7 , 2 y L( 0, 5, 0 ) a. K −5, __ 9

c. U( 0, 3, −1 ) y V( 2, −5, 2 )

b. M(–1, –2, –5) y N(3, 4, 5)

d. Y( 10, −3, 6 ) y Z( −2, 8, 11 )

2. Calcula el perímetro de las figuras. a.

b. F(0, 0, 2)

C(0, 0, 1)

B(0, 1, 0)

E(0, 4, 2)

C(2, 0, 0)

D(2, 4, 0)

A(1, 0, 0)

x x 3. Analiza la información. Luego, determina el punto medio de cada segmento. __

Si P(x1, y1, z1) y Q(x2, y2, z2) son dos puntos de ℝ 3, el punto medio del segmento PQ tiene coordenadas: x1 + x2 _____ y + y z1 + z2 M__ = _____ , 1 2 , _____ PQ 2 2 2

(

)

a. M__ , con A(1, 0, 0) y B(0, 0, 1) AB

, con G( 2√ 3 , 3, √5 ) y H(0, 0, 0) c. M___ GH

b. M___ , con C(2, 3, 5) y D(4, 2, 3) CD

2 , 3, 10 y J(6, 7, –2) d. M_IJ, con I __ 3

(

)

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

129

Vectores en el espacio

z 3

Observa la imagen. __ Por los puntos P y Q se pueden › trazar los vectores PQ de origen P y extremo Q y __› QP, de origen Q y extremo P. Ambos vectores tienen igual módulo y dirección, pero distinto sentido.

3 2 1 0 2

y 1

__› Un vector PQ, representado por un segmento dirigido, con origen en el punto P(x1, y1, z1) y extremo en el punto Q(x2, y2, z2) se caracteriza por tener: • dirección, que está determinada por la rec ta que contiene al segmento o cualquiera paralela a ella.

1. Calcula la magnitud de los vectores. __› a. AB, con A(1, 0, 0) y B(0, 0, 1) __› b. CD, con C(–5, 8, 10) y D(–9, 8, 7) __› c. EF, con E(1, 2, 3) y F(3, 2, 1)

z z1

_›

P(x1, y1, z1)

x1 x

_›

Donde p = ( x1, y1, z1 ) y

z z2

______

‖ p› ‖ = √x2 + y2 + z2 .

130 UNIDAD 3 • GEOMETRÍA ESPACIAL

__›

PQ z1 P

__›

El vector posición asociado a _› P(x1, y1, z1), denotado p , está representado gráficamente por una flecha con inicio en el origen del sistema coordenado y extremo en el punto P.

Para GRABAR

• magnitud o módulo, denotado ‖ PQ ‖, que es la distancia entre P y Q.

Ampliando MEMORIA

• sentido, que está determinado por la orientación de la flecha que representa al vector, en este caso, de P hacia Q.

• ¿Cuál es el origen de OA? ¿Cuál es su extremo?

__›

Dos vectores son iguales si tienen igual dirección, sentido y magnitud.

Los vectores no están definidos por su ubicación. Por ejemplo, si› O__ es el__punto de coordenadas __› __ › › (0, 0, 0), OA = PQ y OB = QP.

Ampliando MEMORIA

x1 x

(

) (

› 2 , __ 1 y H 0, __ 1 , − __ 1 d. GH, con G 0, − __ 3 4 3 2

_›

)

e. IJ , con I( 1, √ 2 , √3 ) y J( −1, −√ 2 , 0 ) __› __ _ f. KL con K( 8, √5 , 3 ) y L( 2, −√20 , 10 )

2. Representa los vectores posición en el sistema coordenado tridimensional. _› a. a = (0, 0, 3) _› b. b = (0, 1, 0) _› c. c = (2, 0, 0) _› d. d = (1, 2, 0) _› e. e = (0, 2, 1) _› f. f = (2, 0, 2) _› g. g = (2, 3, –3) _› h. h = (3, –2, 4)

z 4 3 2 1 -1 -4

-3 4

-2 3

-1 1

0 -1 -2 -3 -4

-2 2

-3 3

-4

1 3. Analiza si las proposiciones son verdaderas o falsas con respecto a un sistema de coordenadas tridimensional. Luego, escribe V o F según corresponda. __› __› a. Los vectores AB y BA son iguales. b.

Cada punto del espacio se puede representar por un vector posición.

Dos vectores que tienen igual dirección y magnitud son iguales.

La magnitud de un vector no puede ser un número negativo.

_› _› Si v = (1, −1, k) con ‖ v ‖ = 2, entonces k = 0.

Si dos vectores son iguales, entonces tienen el mismo punto de origen.

Ampliando MEMORIA Sean P( x1, y1, z1 ) y Q( x2, y2, z2 ) dos puntos en el espacio.__ El vector › posición asociado a PQ se obtiene como:

__› _› _› PQ = q − p

= ( x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1 )

_› _›

q-p

4. Identifica el vector posición asociado a cada vector.

_›

__› a. LM, con L(5, 7, –1) y M(2, 3, –8).

) (

__›

)

__› 5 , ___ 8 y P 5, __ 1 , − __ 2 , − __ 1 . b. NP, con N __ 2 4 15 3 3 ___› c. WX, con W(12, 0, –8) y X(0, 14, 20).

(

_›

__› d. RQ, con Q(–3, –2, –6) y R(7, 9, –12). __› 3 , −8, 12 y Z __ 2 , 2, 1 . e. ZY, con Y __ 5 5 __›

(

) (

)

AYUDA

_› Si λ ∈ 핉, a = (x1, y1, z1) y _ ›

3 . 2 , __ 1 , − __ 1 y J −1, 0, − __ f. AJ, con A __ 7 3 2 4 _

b = (x2, y2, z2), entonces la adición de vectores y la multiplicación de un vector por un escalar se calculan de la siguiente forma: _› _› a +_b = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) › λ · a = (λ · x1, λ · x2, λ · x3)

g. BC, con B( √2 , −√ 3 , 0 ) y C( −√3 , 0, √ 2 ).

_ _ _ _ √3 √2 √2 ___ ___ ___ h. KL, con K − , 1, − y L √ 3 , 2, . 4 2 3

(

) (

)

_›

5. Resuelve considerando a› = (1, 2, 3), b = (–9, 10, –6), P(7, –8, –15) y Q(5, 0, –12). _› _› a. a + b __› b. 5 · PQ _› _› __› c. ‖ a + b + PQ ‖ __› d. ‖ PQ ‖ __› e. ‖ 3 · PQ ‖ __› _› f. 5 · a + 2 · PQ _ 2 · _a› + __ 1 · b› g. __ 4 3

_› __› _› h. 2 · a − 3 · b + 5 · PQ _› _› _› _› i. ‖ a + b ‖ + ‖ a − b ‖ _› __› _› j. ‖ PQ ‖ + ‖ a ‖ + ‖ b ‖ __› _› _› _› k. ‖ PQ − a ‖ + ‖ a − b ‖ __› _› __› _› l. ‖ PQ ‖ · a + ‖ PQ ‖ · b _› __› _› m. ‖ a ‖ · ‖ b ‖ · PQ _› _› 1 1 n. ____ _› · b _› · a + ____ ‖a‖ ‖b‖

‖

‖ ‖

‖ MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

131

Producto escalar y producto vectorial _› _› Dados dos vectores p y q :

• ¿Cómo determinar si son perpendiculares? • ¿Cómo determinar un tercer vector que sea perpendicular a ambos? Para GRABAR

_› _› Si p = (x1, y1, z1) y q = (x2, y2, z2) son dos vectores en 핉 3, se definen los siguientes productos: _› _› Producto punto o escalar (denotado por p · q ) es un número real y se calcula como: _› _› p · q = x 1 · x2 + y1 · y2 + z1 · z2 _› _› Además, si el ángulo comprendido entre los vectores _› p_›y q es de medida α se obtiene: p · q cos(α) = _________ _› _ ‖ p ‖ · ‖ q› ‖ De esta forma, dos vectores son perpendiculares (ortogonales) si su producto punto o escalar es cero. _› _› _› _› Producto cruz o vectorial (denotado por p × q ) es un vector y se calcula como: pxq _› _› p × q = ( y1 · z2 − y2 · z1, x2 · z1 − x1 · z2, x1 · y2 − x2 · y1 ) _› _› _› q Este vector es perpendicular a p y a q . _›

1. Aplica el producto punto o el producto cruz en cada _ caso.

(

)(

)

(

)

c. ( 6, 2, −1 ) × ( −2, 5, 3 )

√2 2 · 6, __ 1 , −5 , −6, __ e. ___ 2 3 2 6 , −7, −3 · ( −2, 3, −4 ) f. __ 5 1 , __ 1 , − __ 1 g. ( 5, −5, 5 ) × __ 2 2 2

3 1 , __ 7 × 1, 0, − __ d. 4, __ 4 5 2

h. ( 8, 11, −14 ) × ( 6, 18, 20 )

a. ( 0, −1, 8 ) · ( −12, 4, 3 )

(

5, 8 7 , __ b. ( 0, 1, 0 ) · __ 8 2

) (

(

)

2. Analiza para qué valores de k cada par de vectores son perpendiculares.

AYUDA Para calcular a qué ángulo corresponde cierto valor de coseno, puedes utilizar la función cos−1 de la calculadora científica.

D esafíate • ¿Es lo mismo calcular _› _› _› _› p · q y q · p? • ¿Es lo mismo calcular _› _› _› _› p × q y q × p?

132 UNIDAD 3 • GEOMETRÍA ESPACIAL

_› _› a. e = ( 3, 8, k ) y f = ( 4, 1, 4 ) _ _› 1 , 0, −6 y h› = k − 2, − __ 1 , __ 2 b. g = __ 2 2 3 _› _› c. r = ( k, −k, 1 ) y s = ( k, −1, k + 1 ) __› › 10 , 0, k y _ n = ( k + 3, −12, −20 ) d. m = _____ k+1

(

)

(

)

3. Calcula el ángulo entre cada par de vectores. _ _ _› _› a. p = ( 1, 0, √ 2 ) y q = ( −2, 1, √2 ) _ _› _› b. r = ( √3 , 1, 0 ) y s = ( 1, 0, 0 ) __› _› c. m = ( 3, 5, 8 ) y n = ( −6, −10, −16 ) _› _› d. r = ( 4, 0, 4 ) y t = ( 0, 4, 4 )

4. Analiza la información. Luego, calcula el área de la figura definida por los siguientes vectores.

_› _› Esta secuencia se construye a partir de los vectores p y q : _›

_›

‖ p ‖ sen (α)

_›

‖p‖

‖ q› ‖

_›

‖ q› ‖

‖ p› ‖ sen (α)

_›

‖p‖

_›

‖ q› ‖

Luego, _› _› el área _› del_›paralelogramo definido por los vectores p y q es ‖ p ‖ · ‖ q ‖ · sen(α). _

‖ p› ‖ = 5; ‖ q› ‖ = 1; α = 30°

‖ p› ‖ = 4; ‖ q› ‖ = 4; α = 45°

‖ p› ‖ = 2; ‖ q› ‖ = 4; α = 60°

‖ p› ‖ = 3; ‖ q› ‖ = 6; α = 90°

_› _› e. p = ( 5, −1, 1 ) y q = ( 1, 0, 0 )

Ampliando MEMORIA

_› _› f. p = ( −1, 0, 1 ) y q = ( 3, 0, −2 )

El producto vectorial cumple la siguiente propiedad:

_ _ _ _ ‖ p› × q›‖ = ‖ p›‖ · ‖ q›‖ · sen(α)

_› _› g. p = ( 2, 1, 4 ) y q = ( 0, 1, 2 )

Donde α es la medida del ángulo _› _› comprendido entre p y q .

_› _› h. p = ( −4, 4, 0 ) y q = ( 3, 0, 2 )

5. Determina un vector perpendicular a cada par de vectores.

(

) (

)

b. ( 2, 0, −3 ) y ( −1, 2, −3 )

3 , __ 2 , − __ 1 y − __ 1 , __ 1 3 , __ e. __ 3 2 2 4 3 4 _ _ f. ( √2 , 1, −1 ) y ( −1, √2 , 1 )

c. ( −1, 4, 2 ) y ( 0, 2, −7 )

g. ( 0, √5 , 1 ) y ( √5 , −√5 , √5 )

1 , − __ 1 , 0 y 0, 1, __ 1 d. __ 2 2 2

h. ( 3√2 , 2√3 , −3√ 2 ) y ( √6 , −2√2 , 2√3 )

a. ( 4, −1, 0 ) y ( 5, 6, −2 )

(

) (

)

6. Resuelve los problemas.

_›

a. Si p = ( a, 1, b ) es perpendicular a los vectores t = ( 6, −5, 2 ) y u = ( 2, −7, −10 ), ¿cuáles son los valores de a y b ? _›

__›

_› __›

b. Sean z = ( k, −1, −2 ) y w = ( 1, m, 2 ). ¿Cuáles son los valores de k y m si z y w son perpendiculares y tienen igual módulo? _›

_›

__›

c. ¿Cuál es el área del paralelogramo definido por j = ( 0, −3, −1 ) y k = ( 1, −1, 0 )? d. ¿Cuál es el área del triángulo ABC definido por AB = ( 2, −2, −3 ) y AC = ( 2, 0, 3 )?

D esafíate Investiga sobre la demostración de la propiedad: _ _ _ _ ‖ p› × q› ‖ = ‖ p› ‖ · ‖ q› ‖ · sen(α) _› _› donde α es la medida del ángulo comprendido entre p y q .

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

133

Forma vectorial de una recta en el plano y

Observa el _gráfico. En él se representan el punto A(a1, a2) › y el vector d = (d1, d2).

L P(x, y)

A(a1, a2)

• ¿Cuántas rectas en el plano contienen al punto A y tie_› nen la misma dirección que d ?

_›

d = (d1, d2)

Para GRABAR

AYUDA Al asignar diferentes valores reales al parámetro λ (lambda), se obtienen distintos puntos de la recta.

La ecuación _vectorial de la recta L que contiene al punto A(a1, a2) y cuya dirección es igual a › la del vector d = (d1, d2) es: _› __› L: AP = λ · d , λ ∈ 핉 donde P(x, y) es un punto cualquiera que pertenece a la recta. Si se desarrolla esta expresión, se obtiene: L: (x – a1, y – a2) = λ · (d1, d2),

λ ∈핉

⇒ L: (x, y) = (a1, a2) + λ · (d1, d2), λ ∈ 핉 Despejando x e y se generan las ecuaciones paramétricas de la recta: x = a1 + λd1 y = a2 + λd2

{

Al despejar λ de cada ecuación e igualarlas, se genera la ecuación continua de la recta: y – a2 x – a1 _____ _____ = d1 d2

1. Representa_›la ecuación de la recta que contiene al punto A y tiene la misma dirección del vector d . Para ello, completa la tabla.

Ampliando MEMORIA_

› Un vector normal n de una recta L es un vector perpendicular a ella. Luego, la ecuación vectorial de la recta L que contiene _› un punto A y con vector normal n es: __› _› L: AP · n = 0

_›

(3, 7)

(0, 4)

(2, –2)

(1, 1)

(1, 3)

(–5, 8)

(1, 1)

(–2, 3)

(5, –3)

_›

a. A(1, 2) y n = (3, 7) _›

b. A(–1, 2) y n = (3, –7)

(1, 2)

Ecuación vectorial

_›

c. A(–1, 0) y n = (2, –8) _›

d. A(–5, 8) y n = (–3, –5) 134 UNIDAD 3 • GEOMETRÍA ESPACIAL

Ecuaciones paramétricas

Ecuación continua

_›

_› Vector d

2. Determina la recta que contiene al punto A con vector normal n›.

P(x, y)

A(a1, a2)

Punto A

_›

e. A(–10, 7) y n = (–1, –10) _›

f. A(0, 9) y n = (–7, –1)

( ) ( ( )

)

› 1, 0 y _ 1 , __ 1 n = − __ g. A __ 2 2 2 › 3 y_ 2 , − __ n = (0, 1) h. A − __ 3 2

3. Analiza la información. Luego, determina la ecuación general y principal de la recta en cada caso.

De la ecuación continua de una recta se puede obtener su ecuación general de la siguiente forma: y – a2 x – a1 ____ ____ = ⇒ (x – a1) d2 = (y – a2) d1 ⇒ d2x – d1y + d1a2 – d2a1 = 0 (1) d1 d2 Considerando d2 = A, –d1 = B y d1a2 – d2a1 = C, se obtiene la ecuación general Ax + By + C = 0. Por otro lado, despejando y en (1) se obtiene: d d d2x – d1y + d1a2 – d2a1 = 0 ⇒ d1y = d2x + d1a2 – d2a1 ⇒ y = __2 x + a2 – __2 a1 d1 d1 d2 d2 __ __ Considerando = m y a2 – a1 = n, se obtiene la ecuación principal y = mx + n. d1 d1 y+4 x − 6 = _____ a. _____ 5 2 y_____ −3 b. x − 1 = − 2 c. x = 2 + 5λ y = 1 − 7λ

{

d. (x, y) = (2, 5) + λ(2, –2) e. (x – 1, y + 3) = λ(1, 3)

f. (x + 3, y – 5) = λ(–4, 1) y−2 x + 8 = _____ g. − _____ 5 4 1 , −1 + λ 1, __ 1 h. (x, y) = __ 2 2 2 , y + __ 1 = λ − __ 1, 1 i. x – __ 4 _ 3 3_ y − √2 x + √2 = ______ j. ______ 4 2

(

) ( ) ) ( )

4. Determina la ecuación vectorial de la recta que contiene al punto Q y es paralela a la recta L. a. Q(6, –1) y L: ( x, y ) = ( 8, −1 ) + λ( 2, −9 )

{

AYUDA Dos rectas cuyas direcciones __› __› son las de los vectores d1 y d2 , respectivamente, son paralelas si __› __› d1 = k · d2 , con k ∈ ℝ.

b. Q(0, 4) y L: x = −2 + λ y = 4 − 7λ c. Q(–12, 7) y L: 2x – 3y + 1 = 0 3 x + __ 3 d. Q( −4, 9 ) y L: y = __ 8 2

5. Determina la ecuación vectorial de la recta que contiene al punto R y es perpendicular a la recta L. a. R(15, 5) y L: (x, y) = (1, 3) + λ(1, −5) b. R(3, 5) y L: 3x + 5y – 1 = 10

(

)

AYUDA Dos rectas cuyas direcciones __› son las de los vectores d1 y __ › d2 , respectivamente,__›son __›

perpendiculares si d1 · d2 = 0.

3x − 5 4 , −5 y L: y = __ c. R __ 5 2 d. R(1, 1) y L: x = 1 − 8λ y = −λ

{

D esafíate Utiliza la ecuación vectorial para demostrar que dos rectas no paralelas al eje x son perpendiculares si el producto de sus pendientes es –1.

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

135

Forma vectorial de una recta en el espacio z

Observa la imagen. En ella se representa en el espacio la recta L que contiene los puntos A y _› P con vector dirección d .

P(x, y, z) A(a1, a2, a3)

• ¿De qué forma se puede obtener la ecuación vectorial de L?

_›

• ¿Qué diferencia crees que tendrá la ecua-

d = (d1, d2, d3)

ción de una recta en el espacio con una del plano?

AYUDA Al asignar diferentes valores reales al parámetro λ , se obtienen distintos puntos de la recta.

Plano xy

Para GRABAR La ecuación vectorial de la recta L que contiene al punto A(a1, a2, a3) y cuya dirección es la del _› vector d = (d1, d2, d3) es: _›

__›

L: AP = λ · d , λ ∈ 핉 donde P(x, y, z) es un punto cualquiera que pertenece a la recta. Si se desarrolla esta expresión, se obtiene: L: (x – a1, y – a2, z – a3) = λ · (d1, d2, d3),

⇒ L: (x, y, z ) = (a1, a2, a3) + λ · (d1, d2, d3),

λ ∈핉

Despejando x, y, z se generan las ecuaciones paramétricas de la recta:

{

x = a1 + λd1 y = a2 + λd2 z = a3 + λd3

Al despejar λ de cada ecuación e igualarlas, se genera la ecuación continua de la recta: z – a3 x – a1 _____ y – a2 _____ _____ = = d1 d2 d3

1. Representa_›la ecuación de la recta que contiene al punto A y tiene la misma dirección del vector d .Para ello, completa la tabla. Punto A

_› Vector d

(1, –3, 5)

(1, 2, 1)

(4, 2, 1)

(2, –2, 4)

(1, 0, 2)

(1, 3, –2)

(–1, 2, 1)

(4, 1, 1)

(4, –2, 3)

(1, –1, 1)

( __21, 0, −1 )

(−1, 0, 1)

(−3, 6, −4)

136 UNIDAD 3 • GEOMETRÍA ESPACIAL

( 0, − __31, __32 )

Ecuación vectorial

Ecuaciones paramétricas

Ecuación continua

2. Analiza el ejemplo. Luego, verifica en cada caso si el punto P pertenece a la recta L. El punto A(6, 2, –7) pertenece a la recta L: (x, y, z) = (3, –4, 2) + λ(1, 2, –3), ya que al reemplazar cada coordenada de A en L se obtiene un mismo valor de λ: 6=3+λ⇒λ=3

2 = –4 + 2λ ⇒ λ = 3

–7 = 2 – 3λ ⇒ λ = 3

El punto B(1, 4, 2) no pertenece a L, ya que al reemplazar se obtienen distintos valores para λ: 1 = 3 + λ ⇒ λ = –2

4 = –4 + 2λ ⇒ λ = 4

c. P ( 1, −5, 2 )

a. P(7, –41, 32) L: ( x, y, z ) = ( 7, −1, 0 ) + λ( 0, −5, 4 )

(

)

13 , __ 6, 0 b. P ___ 4 5 3 , __ 5 2 , −5, 1 + λ 0, − __ L: (x, y, z) = __ 4 4 3

) (

(

2 = 2 − 3λ ⇒ λ = 0

(

) (

5 , 2, − __ 3 4 , 3 + λ __ L: (x, y, z) = 2, − __ 5 4 4

)

d. P(–4, 5, –26) L: ( x, y, z ) = ( 2, 1, −10 ) + λ( 3, −2, 8 )

)

3. Utiliza el vector dirección de cada recta L para determinar una recta paralela y una perpendicular a ella que contenga el punto dado.

) (

(

2 , 4, __ 1 + λ 8, __ 2 , − __ 7 b. L: ( x, y, z ) = − __ 5 5 9 2 B( 0, −1, 1 )

(

)

1 , 2, −3 + λ( 9, 4, 7 ) c. L: ( x, y, z ) = __ 3 C( −5, 4, −4 )

a. L: ( x, y, z ) = ( 3, 5, −2 ) + λ( 1, 0, −3 ) A(–5, 8, 3)

)

d. L: ( x, y, z ) = ( 6, 3, 1 ) + λ( −2, 5, −1 ) D(3, 6, 8)

4. Identifica si las rectas de la columna A son paralelas o perpendiculares a las rectas de la columna B. Luego, escribe dicha relación en la columna respectiva. A

(x, y, z) = (–1, 0, 3) + λ(3, –9, 12)

(

(x, y, z) = (2, −6, 8) + λ − _1 , 6, _2 2 3

Relación

x = –4 – λ , y = 4 + 3λ , z = 5 – 4λ

)

(x, y, z) = (8, –3, 25) + λ(–16, –4, 24)

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

137

Planos en el espacio

_›

En la figura se puede observar una región

n (n1, n2, n3)

plana de ℝ 3 que contiene a los puntos A(a1, a2, a3) y P(x, y, z). Además, el vector _› n = ( n1, n2, n3 ) es perpendicular a dicha región, y es llamado vector normal.

A(a1, a2, a3) _›

_›

__› _›

• ¿Cuál es el resultado del producto AP · n ? __› • Si se considera el vector BP, con B y P en el mismo ¿qué se obtiene del pro__› plano, _› ducto BP · n ?

P(x, y, z)

Para GRABAR La _› ecuación vectorial de un plano (π) que contiene al punto A(a1, a2, a3) con vector normal n = ( n1, n2, n3 ) es: __› _›

π: AP · n = 0

donde P(x, y, z) es un punto cualquiera del plano. Desarrollando la ecuación, se obtiene: π: ( x − a1, y − a2, z − a3 ) · ( n1, n2, n3 ) = 0 Resolviendo el producto punto se genera la ecuación canónica del plano: n1( x − a1 ) + n2( y − a2 ) + n3( z − a3 ) = 0 Luego, multiplicando se genera la ecuación general del plano: n1x + n2y + n3z + d = 0, con d = –n1a1 – n2 a2 – n3a3

1. Determina la ecuación vectorial del plano que contiene al punto P y cuyo vector nor_ ›

mal es n .

_›

a. P(2, 0, 3) y n = (1, –1, 0) _›

b. P(–2, 1, 0) y n = (2, 5, –4)

(

)

(

› 1 y_ 1 , −1, 0 c. P 4, 7, − __ n = __ 2 2

_›

)

d. P(1, 0, 5) y n = ( –4, –1, 2 )

(

)

(

› 1 , 1, − __ 1 y_ 1 e. P − __ n = −2, 1, __ 3 2 3

(

)

(

› 2 , 2, −2 y _ 1, 5 f. P __ n = −4, __ 3 2

_›

)

g. P( √ 2 , −√2 , 0 ) y n = ( −1, 1, 2 )

(

_ _› √6 h. P( 1, −√ 6 , 6 ) y n = ___ , −1, 0 3

138 UNIDAD 3 • GEOMETRÍA ESPACIAL

)

2. Determina la ecuación canónica del plano que contiene al punto P y cuyo vector nor_ ›

mal es n .

_›

a. P(0, 1, 3) y n = (0, 2, –5) _›

b. P(–1, 1, 1) y n = (2, –1, 1)

(

)

› 1 , 2, 8 y _ 1 , 2, −1 c. P − __ n = __ 4 6

_›

)

d. P(–2, 1, 3) y n = ( –1, 2, 3 )

(

)

(

› 1 , 1, 0 y _ 1, 1 e. P − __ n = −2, __ 3 2

(

)

(

› 2 , 4, −2 y _ 1, 4 f. P __ n = −5, __ 3 3

)

3. Determina la ecuación general del plano que contiene al punto P y cuyo vector normal _ ›

es n .

_›

a. P(1, 0, 1) y n = (0, 1, –1) _›

b. P(–5, 0, 4) y n = (8, 1, –2)

(

)

(

› 2, 9 y _ 2 , −1, −6 c. P 8, − __ n = __ 7 3

)

_›

d. P(2, 4, 2) y n = ( –7, 1, 6 )

(

)

(

› 1 , 0, 3 y _ 2, 0 e. P − __ n = −1, __ 2 3

(

)

(

› 3 , 5, −1 y _ 3, 1 f. P __ n = −7, __ 4 4

)

4. Identifica un vector normal para cada plano. a. x + 4y – 7 = 0

g. −x + 3y − z + 6 = 0

3 x + 2y − __ 1z − 8 = 0 b. __ 4 3

2 x + __ 1z−2=0 h. __ 3 3

3 y + __ 1 z + 12 = 0 c. x − __ 4 5

3 y + __ 3z=0 1 x − __ i. __ 4 2 8

d. 2x – 10y + 4z = 0

j. √3 x + √2 y − √6 z = 0

2z = 0 e. 5y + __ 3

5 y − 2√_ k. __ 2z+5=0 7

f. 8x – 7y + 4z – 3 = 0

√5 z+1=0 l. πx − 3y + ___ 2

AYUDA

_›

Un vector n normal al plano ax + by + cz + d = 0 es _ › n = ( a, b, c ).

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

139

5. Determina la ecuación vectorial y la ecuación general del plano que contiene a los

Ampliando MEMORIA La ecuación vectorial del plano que contiene tres puntos no colineales A, B y C es:

__› __› __›

puntos A, B y C. 3 , 4, 0 , B 5, −8, __ 1 y C __ 4 , −3, − __ 1 a. A __ 5 5 6 2

(

) (

)

π: AP · ( AB × AC ) = 0

donde P(x, y, z) es un punto cualquiera del plano. __›

__›

(AB × AC)

A P

b. A(–5, 7, 9), B(10, –8, 5) y C(5, 9, –3) C

y x

__›

__› __›

AP ⊥ ( AB × AC )

c. A(5, –5, 7), B(2, 3, 10) y C(–8, –6, 5)

__› __› __›

⇒ AP · ( AB × AC ) = 0

6. Analiza la información. Luego, determina la ecuación del plano que interseca a los ejes de coordenadas en los puntos dados.

La ecuación del plano que interseca a los ejes coordenados en los puntos (a, 0, 0), (0, b, 0) y (0, 0, c) es:

z C(0, 0, c)

y _z _x + __ a b+ c=1 con a ≠ 0, b ≠ 0 y c ≠ 0.

B(0, b, 0)

a. A(0, 0, 9), B(0, –8, 0) y C(5, 0, 0)

(

) (

)

3 , 0, 0 , B 0, 0, __ 1 y C( 0, −3, 0 ) b. A __ 5 6 c. A(0, –5, 0), B(2, 0, 0) y C(0, 0, 5)

(

)

2 , B( −9, 0, 0 ) y C( 0, −1, 0 ) d. A 0, 0, __ 3

(

)

1 , 0, 0 , B( 0, 0, 4 ) y C( 0, −5, 0 ) e. A __ 2

(

4 f. A( 0, 2, 0 ), B( −7, 0, 0 ) y C 0, 0, − __ 3

140 UNIDAD 3 • GEOMETRÍA ESPACIAL

)

A(a, 0, 0)

7. Analiza la información. Luego, obtén la ecuación vectorial del plano determinado por _ _ ›

›

los vectores u y v y el punto P.

La ecuación vectorial del plano que contiene al punto P(p1, p2, p3) y es paralelo al _› _› plano que contiene a los vectores no paralelos u y v se obtiene de: _›

_›

(x, y, z) = (p1, p2, p3) + t u + k v , donde t, k ∈ 핉. _›

_›

(

1 a. P( 1, 1, 1 ), u = ( 5, −7, 2 ) y v = 8, 1, − __ 4 _›

_›

)

b. P(–3, 4, 12), u = (8, –1, 3) y v = (16, 2, 6) c. P(2, –5, –3), u = (–5, 8, 0) y v = (0, 8, 6)

(

)

(

)

› 1, 9 , _ 1 , 6 y _v› = ( 0, 0, 7 ) d. P 0, − __ u = 14, − __ 6 3

(

)

_› › 2 , −5, −2 , _ e. P __ u = ( 6, −2, 4 ) y v = ( 4, −1, 0 ) 5 _›

_›

f. P(3, –4, 5), u = (6, –5, 8) y v = (15, 10, –2) _

8. Obtén la ecuación general del plano determinado por los vectores u› y v› y el punto P dados. Para ello, observa el ejemplo.

Para obtener la ecuación general del plano que P(1, 0, 3) y es _› contiene al punto _› paralelo al plano que contiene a los vectores u = (−1, 2, 0) y v = (1, 2, −1), puedes realizar lo siguiente: Primero, determina la ecuación vectorial: (x, y, z) = (1, 0, 3) + t(–1, 2, 0) + k(1, 2, –1), t, k ∈ 핉. Luego, cada coordenada es x = 1 – t + k, y = 2t + 2k, z = 3 – k A continuación, despeja uno de los parámetros t o k en alguna de las tres coordenadas. En este caso se despejará k de la expresión z = 3 – k, quedando k = 3 – z. Se reemplaza k en las expresiones que representan a las otras dos coordenadas y luego se despeja t: x=1–t+3–z⇒x=4–t–z⇒t=4–x–z y y = 2t + 2(3 – z) ⇒ y = 2t – 2z + 6 ⇒ t = _ – 3 + z 2 Luego, igualando t se obtiene la ecuación general del plano. y 4 – x – z = _ – 3 + z ⇒ 2x + y + 4z – 14 = 0 2 _›

_›

a. P(1, 0, 1), u = (2, –1 , 1) y v = (0, 4, –1) _›

_›

b. P(–2, 1, 0), u = (3, –2, 1) y v = (1, 1, 1)

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

141

Relaciones entre planos Para determinar si dos planos son paralelos o perpendiculares se puede observar la relación entre sus vectores normales.

Para GRABAR

__› __›

Dos planos en 핉3 π1 y π2, con vectores normales n1 y n2, respectivamente, son: __› __› __› __› • Perpendiculares si n1 · n2 = 0 • Paralelos si n1 = k n2, k ∈ ℝ. _›

π1

_›

π1 _›

π2

_›

π2

1. Analiza si los planos son paralelos o perpendiculares. a. –x + y + z – 2 = 3; x – y + 2z = –1

b. –2x + 3y + 5z – 6 = 0; 8x + 7y – z – 3 = 0

3 y − __ 5 z = − 22 c. 4x − 3y − 10z = 12; x − __ 4 2

d. 5x + 2y – z – 2 = 0; 3x – 5y + 5z = 20

e. x – 2y + z + 8 = 0; 4x – 8y + 4z – 63 = 0

13 = 0 f. −5x + 2y + 8z − 2 = 0; 2x + 3y + __z − ___ 2 2

1 y + 4z = − __ 2 g. −3x + y − 12z − 1 = 0; x − __ 3 3

142 UNIDAD 3 • GEOMETRÍA ESPACIAL

_›

2. Analiza si las proposiciones son verdaderas o falsas. Luego, escribe V o F según corresponda. a.

La intersección de dos planos siempre corresponde a una recta.

Los vectores normales de dos planos paralelos son perpendiculares.

Si dos planos no son perpendiculares, entonces son paralelos.

Se puede determinar la ecuación de un plano a partir de dos puntos.

Los vectores normales de dos planos perpendiculares son perpendiculares.

El vector normal de un plano es perpendicular a todos los vectores de dicho plano.

Siempre se puede determinar la ecuación de un plano a partir de tres puntos.

3. Resuelve los problemas. a. Determina la ecuación del plano que contiene al punto P(5, –3, 2); paralelo al plano de ecuación 5x + 3y – 2z – 5 = 0.

b. Determina la ecuación del plano que contiene al punto P(−1, 2, 0); perpendicular a la recta (x, y, z) = (2, 0, –1) + t(1, 1, –1).

c. Calcula el valor de k para que los puntos A(k, 0, 2), B(0, 1, 3), C(2, 5, 6) y D(7, 4, 2) estén en un mismo plano.

d. Considera los planos 3x + ky – 6z – 5 = 0 y –2x + 6y + 4z + 8 = 0. ¿Cuál es el valor de k para que los planos sean paralelos? ¿Y para que sean perpendiculares?

D esafíate

{

x = a1 + λd1 La recta L: y = a2 + λd2 pertenece al plano π: ax + by + cz + d = 0 si al reemplazar cada z = a3 + λd3 coordenada de L en π, esta última expresión se transforma en una identidad, es decir, el parámetro λ se anula. Verifica que L:

{

x = 1 − 2λ y = 1 − λ pertenece al plano π: 2x – y + 3z + 2 = 0. z = −1 + λ

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

143

A nalizando disco I.

Evaluación de proceso

_›

Puntos en el espacio

1. ¿Cuáles son las coordenadas del punto R? z A. (0, 3, –2) 4 3 B. (–2, 0, 3) 2 -3 C. (0, –2, 3) -3 -2 -1 1 -1-2 y D. (3, –2, 0) 1 -11 2 3 2 -2 3 R E. (–2, 3, 0) 4 x 2. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto a un punto que se ubica en el eje z de un sistema tridimensional? I. Su primera coordenada es 0. II. Su segunda coordenada es 0. III. Su tercera coordenada es 0. A. Solo I D. Solo I y III B. Solo II E. Solo II y III C. Solo I y II

A. B. C. D. E.

D. En el plano xy. E. En el plano xz.

D. 27√3 E. 243

_› _›

A. B. C. D. E.

I. _a = ( 12, 13, 12 ) › II. b = ( −12, 13, −12 ) _› III. c = ( −12, −13, −12 ) Solo I Solo II Solo I y III Solo II y III I, II y III

‖m × n‖ A. _______ 2

__›

___›

_›

B. ‖ m × n ‖ z

A -3 -2 -1

144 UNIDAD 3 • GEOMETRÍA ESPACIAL

I. u · v = 17. _› _› II. u y v son perpendiculares. _› _› III. u es perpendicular a r = ( 26, −49, −22 ). Solo I Solo II Solo III Solo I y II Solo I y III

10. ¿Cuál de las siguientes expresiones permite calcular __› _› el área del triángulo definido por los vectores m y n ?

D. (11, –7, –8) E. (–11, –7, –8)

6. Las coordenadas del vector OA son: (5, –2, 3) (3, –2, 5) (–2, 3, 5) (3, 5, –2) (3, 2, 5)

__ _

› › C. ‖ m · n ‖

5 4 3 2 1 0 1 2 3

IV. 9

_›

5. Las coordenadas del vector posición asociado al __› vector BA si A(–8, 2, 1) y B(3, –5, –7) son:

A. B. C. D. E.

III. 3

9. ¿Cuál(es) de los siguientes vectores es (son) _› perpendicular(es) a t = ( −4, 12, −9 )?

Vectores en el espacio

A. (–5, –3, –6) B. (–11, 7, 8) C. (–24, –10, –7)

II. −3

8. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) _› ( 3, −2, 8 ) y u = verdadera(s) con respecto a _› v = ( −5, −4, 3 )?

4. La distancia entre P(2, –5, 3) y Q(–7, 4, –6) es: A. √3 _ B. 9√3 C. 27

I. −9 Solo II Solo III Solo IV Solo I y IV Solo II y III

Producto escalar y producto vectorial

A. B. C. D. E.

3. ¿Dónde se ubica el punto (3, 0, –1)? A. En el eje x. B. En el eje y. C. En el plano yz.

_›

7. Sea v = ( 4, −12, z ). Si | v | = 13, ¿cuál es el valor de z?

Lee atentamente y marca la alternativa correcta.

__ _

› › ‖_______ m · n‖

__ 2 _

‖ m› × n› ‖ E. ________ __ _ ‖ m› ‖‖ n› ‖

11. ¿Cuál es la medida del ángulo se encuentra entre _› que __ _› ( ( ) √ los vectores a = −5, 0, 0 y b = 3 , 1, 0 )? y

A. 30º B. 60º C. 90º

D. 120º E. 150º

Forma vectorial de una recta en el plano

Planos en el espacio

12. Una ecuación vectorial que no representa a y = –12x + 3 es:

17. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto al plano de ecuación –4x – 2y + 5z + 3 = 0?

A. B. C. D. E.

(x, y) = (–1, 15) + t(3, –36) (x, y) = (0, 3) + t(–1, 12) (x, y) = (2, –21) + t(–1, –12) (x, y) = (–2, 27) + t(5, –60) (x, y) = (1, –9) + t(1, –12)

(

) (

)

1 , 2 , B −4, __ 2 y C(0, 1), ¿cuál 13. Dados los puntos A __ 4 3 es la ecuación vectorial de la recta que pasa por A y __›

tiene dirección BC? 1 , 2 + t 4, __ 1 A. (x, y) = __ 4 3 2 + t 4, __ 1 B. (x, y) = −4, __ 3 3 1 + t __ 1, 2 C. (x, y) = 4, __ 4 3 D. E.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , 2 + t −4, __ (x, y) = ( __ ( 31 ) 4 ) 15 , __ 8 1 , 2 + t − ___ (x, y) = ( __ 4 ) ( 4 3)

v = (5, –1, 8) _› v = (1, –2, 3) _› v = (4, 1, 5)

_›

D. v = (6, –3, 11) _› E. v = (5, 2, 24)

(3, –2, 1) (1, 2, 1) (2, 0, 1) (–1, 2, 0) (0, 4, 1)

16. Una recta perpendicular a (x, y, z) = (4, –1, 6) + t(2, –4, 5) es: A. B. C. D.

5x – 3y + 2z + 18 = 0 –3x + y + 18 = 0 5x – 3y + 2z – 12 = 0 8x – 2y + 2z = 0 5x – 3y + 18 = 0

19. Determina la ecuación canónica del plano que contiene los puntos A(3, 5, 8), B(0, 4, – 6) y C(–1, 5, 0).

15. ¿Cuál de los siguientes puntos no pertenece a la recta (x, y, z) = (2, 0, 1) + t(–1, 2, 0)? A. B. C. D. E.

18. La ecuación del plano que contiene al punto _› P(–3, 1, 0) y con vector normal n = (5, –3, 2) es:

II. Resuelve los problemas.

14. ¿Cuál es un vector dirección de la recta (x, y, z) = (1, –2, 3) + t(5, –1, 8)? _›

I. Un vector normal es (–4, –2, 5). II. Es paralelo al plano 8x + 4y – 10z + 15 = 0. III. El punto (5, –7, 3) pertenece a él. A. Solo I D. Solo I y II B. Solo II E. I, II y III C. Solo III

A. B. C. D. E.

Forma vectorial de una recta en el espacio

A. B. C.

(x, y, z) = (8, –1, 2) + t(–1, 3, 2) (x, y, z) = (2, 4, 1) + t(5, 5, 2) (x, y, z) = (6, 5, 1) + t(1, 3, 5) (x, y, z) = (–4, –2, 1) + t(5, –3, 4)

E. (x, y, z) = (–1, –1, 2) + t(–4, –1, 4)

20. Determina la ecuación general del plano que contiene al punto P(–1, _4, 7) y es paralelo _› al plano que › contiene a los vectores u = (3, –2, 1) y v = (0, –1, 5).

Mi ESTADO Anota el nivel de logro de tus aprendizajes hasta ahora, según las categorías de desempeño dadas: 1. Por lograr; 2. Medianamente logrado; 3. Logrado. Identifiqué, representé y calculé la distancia entre puntos en el espacio. (Preguntas 1, 2, 3 y 4) Identifiqué coordenadas de vectores en el espacio. (Preguntas 5, 6 y 7)

Calculé producto escalar y vectorial entre vectores en el espacio. (Preguntas 8, 9, 10 y 11) Representé en forma vectorial ecuaciones de la recta en el plano. (Preguntas 12 y 13) Representé en forma vectorial ecuaciones de la recta en el espacio. (Preguntas 14, 15 y 16) Identifiqué características y determiné la ecuación de planos en el espacio. (Preguntas 17, 18, 19 y 20)

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

145

_›

Traslación y cuerpos geométricos

Al trasladar una figura plana en el espacio según un vector no paralelo a ella, es posible asociar esta traslación a la generación de un cuerpo geométrico. Por ejemplo, la traslación de un pentágono puede asociarse a la generación de un prisma pentagonal.

Para GRABAR Un cuerpo geométrico es un conjunto de puntos en el espacio que está limitado por una o más superficies. La generación de algunos cuerpos geométricos puede ser asociada a la traslación en el espacio de una figura plana según un vector no paralelo a ella.

Ampliando MEMORIA Si el vector es perpendicular al plano que contiene a la figura, entonces se genera un cuerpo recto. Si no, se genera un cuerpo oblicuo.

1. Analiza la figura. Luego, dibuja el cuerpo geométrico asociado al trasladarla según el vector dado. a.

d. _›

_›

2. Identifica el polígono trasladado asociado al cuerpo geométrico y píntalo. Luego, dibuja el vector de traslación respectivo.

146 UNIDAD 3 • GEOMETRÍA ESPACIAL

Rotación y cuerpos geométricos Al rotar una figura plana en el espacio alrededor de un eje, se genera un cuerpo geométrico denominado sólido de revolución. Por ejemplo, al rotar un rectángulo en torno a la recta que contiene uno de sus lados se genera un cilindro.

Para GRABAR Un sólido de revolución es un cuerpo geométrico que se obtiene al rotar en el espacio una figura plana en torno a un eje, el cual se denomina eje de revolución. La generatriz es la figura que rota para formar un sólido, mientras que la directriz es la recta en torno a la cual rota la generatriz.

Generatriz h

h r

r Directriz

1. Analiza la figura. Luego, dibuja el cuerpo geométrico que resulta al hacer rotar cada figura en torno al eje indicado. a.

AYUDA b.

Un sólido de revolución puede tener más de una generatriz y directriz. Por ejemplo, para generar una esfera, se puede rotar un círculo o un semicírculo en torno a una recta que contenga al diámetro.

2. Identifica una generatriz y una directriz en cada caso. Para ello, dibújalas. a.

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

147

Prismas La traslación de un polígono en el espacio según un vector, puede ser asociada a la generación de un prisma. Observa:

• ¿Qué características tiene un prisma?

Para GRABAR Los prismas son cuerpos geométricos que tienen dos caras paralelas y congruentes llamadas bases y sus caras laterales son paralelogramos. Su área (A) y su volumen (V) se obtienen de: A = 2Ab + AL

V = Ab · h h

donde Ab es el área de la base, AL es la suma de las áreas de las caras laterales y h es la altura.

1. Analiza la figura. Luego, dibuja el prisma asociado a la traslación según el vector dado. a.

2. Analiza la siguiente información. Luego, calcula la altura (h) del prisma generado en cada caso.

Para calcular la altura del prisma generado cuando el vector de traslación no es perpendicular al plano que contiene a la figura, puedes aplicar trigonometría. Observa:

AYUDA β

El módulo del vector es 5, luego:

h sen( 60º ) = __ 5

⇒ h = 5 · sen( 60º )

148 UNIDAD 3 • GEOMETRÍA ESPACIAL

b. h

3 cm 45º

5 60º

5√ 3 ⇒ h = ____ 2

b a sen(α) = __ c b cos(α) = __ c a tg(α) = __ b b sen(β) = __ c a cos(β) = __ c b tg(β) = __ a

60º

7 dm 4m 60º

3. Calcula el área (A) y el volumen (V), según correponda, del prisma generado. a. Un polígono de área 54 cm2 es trasladado según un vector de módulo 12 cm, perpendicular al plano que contiene a la figura.

b. Un triángulo equilátero de lado 8 m es trasladado según un vector de módulo 5 m, perpendicular al plano que contiene a la figura.

V= c. Un polígono de área 25 m2 es trasladado según un vector de módulo 7 m, que forma un ángulo de 30º con el plano que contiene a la figura.

V= d. Un rectángulo de lados 12 cm y 6,5 cm es trasladado según un vector de módulo 1,5 cm, que forma un ángulo de 45º con el plano que contiene a la figura.

AYUDA

4. Analiza la siguiente información. Luego, calcula el área y el volumen de las pirámides. El área y el volumen de una pirámide se pueden calcular: 1A ·h V=_ 3 b

A = Ab + AL

Por ejemplo, calcular el área de un pentágono regular de lado 10 cm.

Donde Ab es el área de la base, AL es la suma de las áreas de las caras laterales y h es la altura.

Si se conoce la longitud del lado de un polígono regular, su área se puede calcular dividiéndolo en triángulos y calculando la apotema (Ap), que corresponde a la altura de cada uno.

36º 5 cm

9 mm

8 cm

3 mm

4 cm 2,5 m

5 cm Ap = ______ tg(36°) ≈ 6,88 cm Luego, el área del pentágono es la suma de las áreas de los 5 triángulos: APentágono = 5 · ATriángulo

≈5·

10 · 6,88 ______ cm2 2

≈ 172 cm2 MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

149

Cilindro Si un círculo de área 10 cm2 es trasladado 5 cm por un vector perpendicular al plano que contiene al círculo, se puede asociar a un cilindro.

_›

• ¿Qué características tiene un cilindro? • ¿Qué relación tienen sus medidas con el círculo y el vector?

Para GRABAR La traslación de un círculo según un vector, es posible asociarlo a la generación de un cilindro circular. Este cuerpo geométrico tiene bases circulares congruentes y paralelas. Si el vector es perpendicular al plano que contiene al círculo, se asocia a un cilindro circular recto. Si r es la longitud del radio y h la de la altura, el área (A) y el volumen (V) de un cilindro circular recto se obtienen de: V = πr2h

A = 2πr2 + 2πrh

donde πr corresponde al área de una base y 2πrh, al área del rectángulo que forma el manto lateral del cilindro.

La generación del cilindro circular recto puede ser asociada a una traslación o a una rotación. Cilindro por traslación

D esafíate Justifica las expresiones para calcular el área y el volumen de un cilindro de radio r y altura h utilizando la siguiente red de construcción.

_›

h r

Por traslación, el cilindro recto se obtiene cuando un círculo es trasladado en la dirección normal al plano donde se encuentra.

Cilindro por rotación Por rotación, el cilindro recto se obtiene cuando un rectángulo es rotado en torno a la recta que contiene uno de sus lados, o bien, en torno a un eje de simetría.

1. Calcula el área y el volumen de cada cilindro. 10 cm

8 cm

Figura 3 cm

Área lateral Área total Volumen

150 UNIDAD 3 • GEOMETRÍA ESPACIAL

1m 6 cm

2,5 m

2. Completa la tabla calculando el área y el volumen de cada figura que se obtiene a partir de la figura plana de color, ya sea por traslación o rotación según corresponda. 6 cm

Figura

7 cm

13 cm

15 cm

8 cm 3 cm

15 cm 7 cm

10 cm

2 cm

Área lateral Área total Volumen

5 cm

3. Responde las preguntas.

10 cm

65 cm

a. ¿Qué sucede con el área lateral de un cilindro circular recto si su altura se duplica? b. ¿Qué sucede con el área lateral de un cilindro circular recto si su radio se duplica? c. ¿Qué sucede con el volumen de un cilindro circular recto si su altura se duplica y su radio se reduce a la mitad?

Figura 1

4. Resuelve los problemas en tu cuaderno. a. Calcula el área y el volumen del cilindro que se obtiene al trasladar un círculo de 1,5 cm de radio, según un vector de módulo 1,5 cm, perpendicular al plano que contiene al círculo. b. ¿Cuál es el volumen y el área del cuerpo geométrico que se obtiene al rotar un rectángulo de lado 5 cm y diagonal 13 cm, respecto al lado de mayor longitud? c. Un estanque con forma de cilindro circular recto contiene 576 L de agua. Si el agua ocupa el 40 % del volumen del estanque y el diámetro es 1,2 m, ¿cuál es su altura? d. La figura 1 muestra dos cilindros circulares rectos concéntricos. Calcula el volumen que representa la zona amarilla. e. Un cilindro circular recto está inscrito en un cubo de arista 6 cm, como muestra la figura 2. ¿Cuál es el área y el volumen del cilindro? ¿Cuál es el volumen que no está ocupado por el cilindro dentro del cubo? f. Calcula el volumen del cuerpo asociado a la traslación de la figura formada al inscribir un hexágono regular a un círculo (figura 3). g. Un círculo de área 18 cm2 se traslada según un vector de módulo 12 cm, que forma un ángulo de 60º con el plano que contiene a la figura. ¿Cuál es el volumen del cuerpo geométrico asociado? h. Calcula el volumen del cuerpo generado asociado a la traslación de un círculo de radio 5 dm según un vector de módulo 6 dm, que forma un ángulo de 45º con el plano que contiene a la figura.

Figura 2

5 cm

2 cm Figura 3

Ampliando MEMORIA El volumen de un cilindro oblicuo de radio r y altura h es V = πr h.

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

151

Cono En la imagen se puede observar lo que sucede cuando se vierte un líquido desde un recipiente cónico a uno cilíndrico de igual radio r y altura h.

r h

_1 h 3

• ¿Qué relación puedes observar entre el volumen de ambos recipientes? • ¿Qué figura al ser rotada puede ser asociada a la generación de un cono? Para GRABAR Es posible asociar la generación de un cono circular recto a la rotación de un triángulo rectángulo en torno a la recta que contiene a uno de sus catetos, o bien, a la rotación de un triángulo isósceles en torno a su eje de simetría.

Si el cono tiene radio r, altura h y generatriz g, su área y su volumen se obtienen de: vértice A = πr2 + πrg V = __1 πr2h 3 altura (h) donde πr2 corresponde al área de la base y πrg al área del manto.

generatriz (g)

r base

1. Calcula el área y el volumen de cada cono. 30º

Figura

D esafíate

12 cm

10 cm 5 cm

Justifica la expresión para calcular el área de un cono de radio r, altura h y generatriz g utilizando la siguiente red de construcción: g

Área manto lateral Área total

g r r

152 UNIDAD 3 • GEOMETRÍA ESPACIAL

Volumen

15 cm 9 cm

2. Analiza la información del recuadro. Luego, calcula el área y el volumen de los conos truncados.

La rotación de un trapecio rectángulo en torno a la recta que contiene al lado que está entre ángulos rectos, es posible asociarla a la generación de un cono truncado.

Si el cono truncado tiene radios basales R y r, altura H y generatriz G, su área y su volumen se obtienen de:

2 dm

12 m

2 cm _

√ 3 cm

13 m

4 dm

10 m

1 π H (R2 + r2 + Rr) V=_ 3

A = πG(R + r) + πR2 + πr2 a.

6 cm 3 cm

5 dm

30º

A= 4 cm

V= Figura 1

3. Resuelve los problemas en tu cuaderno. a. ¿Cuál es el área y el volumen del cuerpo asociado a la rotación del trapecio isósceles de la figura 1? b. Si las diagonales de un rombo tienen longitudes 10 cm y 8 cm: • ¿Cuál es el volumen del cuerpo asociado a la rotación del rombo en torno a la diagonal mayor? • ¿Cuál es el volumen del cuerpo asociado a la rotación del rombo en torno a la diagonal menor? c. ¿Cuál es el volumen del cuerpo asociado a la rotación del triángulo rectángulo de la figura 2? d. El cono y el cilindro de la figura 3 tienen igual altura. Si el volumen del cilindro es 552π cm3, ¿cuál es el volumen entre el cono y el cilindro?

4 cm

3 cm

Figura 2

D esafíate Demuestra que el área total de un cono truncado es: πG(R + r) + πR2 + πr2 y el 1 πH(R2 + r2 + Rr). Utiliza el volumen es: _ 3 esquema:

H R

Figura 3

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

153

Esfera Al rotar un círculo de radio 8 dm en torno a la recta que contiene un diámetro:

• ¿Qué cuerpo geométrico se genera? • Y si se rota una circunferencia, ¿qué figura se genera? Para GRABAR La rotación de un círculo o semicírculo de radio r en torno a la recta que contiene un diámetro, es posible asociarla a una esfera de radio r. Su área (A) y su volumen (V) se obtienen de: A = 4πr2 V = __4 πr3 3 r

1. Calcula el área y el volumen de cada esfera. 3 cm

Figura

9 mm

4 cm

Área Volumen

2. Calcula el volumen del cuerpo asociado a la rotación de la parte de color de cada figura.

a. ∆ABC equilátero

b. AB diámetro

c. AB diámetro

C B 1 cm

6 cm A

60º A

5 cm

4 cm

154 UNIDAD 3 • GEOMETRÍA ESPACIAL

3. Analiza la información del recuadro. Luego, responde. El siguiente cuerpo está formado por un cono y una semiesfera de radios iguales. Para calcular su volumen total (Vt) se puede considerar por separado cada cuerpo de la siguiente forma: Vt = Vcono + Vsemiesfera

(

)

1 π · 22 · 8 + _ 1·_ 4 π · 23 cm3 Vt = _ 3 2 3 Vt = 16π cm3

2 cm

8 cm

2 cm

a. Desarrolla y justifica cada uno de los cálculos realizados.

b. Calcula el área de la figura.

4. Calcula el área y el volumen en cada caso, si cada figura está formada por cilindros, conos o semiesferas. a.

c. 3 cm

8 cm

10 cm

4,5 m

d. 10 cm

8 cm 20 cm

5 cm

30 cm

Figura 1

5. Resuelve los problemas. a. Una esfera está inscrita en un cilindro como muestra la figura 1. Si el radio de la esfera es 7 cm, ¿cuál es el volumen que no está ocupado por ella? b. ¿Cuál es el volumen de la esfera circunscrita a un cubo cuya diagonal tiene 10 cm de longitud? c. Un tarro de forma cilíndrica tiene dos pelotas de tenis como muestra la figura 2. Si el 343 π cm3, ¿cuál es el radio de cada volumen que no está ocupado por las pelotas es ____ 6 pelota?

Figura 2

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

155

R esolución de problemas ¿QUÉ ES COMPRENDER? Comprender consiste en construir un significado a partir de información comunicada en forma oral, escrita y/o gráfica.

1. Analiza la resolución del siguiente problema. Un triángulo rectángulo de catetos 6 m y 8 m es rotado en torno a la recta que contiene a la hipotenusa. ¿Cuál es el volumen del cuerpo asociado? Paso 1

• Identifica lo que entiendes de la información.

¿QUÉ TENGO QUE HACER PARA COMPRENDER UN ENUNCIADO?

La rotación del triángulo rectángulo en torno a la recta que contiene a la hipotenusa se asocia a dos conos con base común.

• Relaciona lo que entiendes del enunciado.

• Identificar lo que entiendes de la información.

Se desconoce el radio y la altura de cada cono, pero como es un triángulo rectángulo se pueden determinar aplicando el teorema de Euclides.

• Relacionar lo que entiendes del enunciado.

• Expresa la información en otro tipo de formato.

• Expresar la información en otro tipo de formato.

Con los datos dados se puede obtener el siguiente dibujo, donde h1 y h2 son las alturas de los conos y r es el radio común.

ETAPAS DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Paso 1: Comprende el enunciado.

Paso 2

6m h1

10 m

Planifica lo que vas a realizar Aplicar el teorema de Euclides para calcular r, h1 y h2. Luego, calcular el volumen de los conos y finalmente sumar estos valores para obtener el volumen del cuerpo generado.

Paso 2: Planifica lo que vas a realizar. Paso 3: Resuelve el problema.

Comprende el enunciado

Paso 3

Paso 4: Revisa la solución.

Resuelve el problema Aplicando el teorema de Euclides: m · 8 m = 4,8 m r = 6_________ 10 m ( 6 m )2 = 10m · h ⇒ h = 3,6 m ( 8 m )2 = 10m · h ⇒ h = 6,4 m 1 1 2 2 1 __ 2 Luego, reemplazando r y h1 en V = π r h se obtiene el volumen de un 3 cono: 1 π( 4,8 m )2 · 3,6 m = 27,648π m3 V1 = __ 3 1 πr2h se obtiene el volumen del segundo Y reemplazando r y h2 en V = __ 3 cono: 1 π( 4,8 m )2 · 6,4 m = 49,152π m3 V2 = __ 3 Sumando ambos volúmenes: 27,648 π m3 + 49,152π m3 = 76,8π m3 Por lo tanto, el volumen del cuerpo generado es 76,8π m3.

Paso 4

Revisa la solución Para revisar la solución puedes realizar los cálculos nuevamente.

156 UNIDAD 3 • GEOMETRÍA ESPACIAL

2. Resuelve el problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente. 1 y es perDetermina la ecuación continua de la recta que contiene al punto 2, −1, __ 2 pendicular al plano x – 6y + 4z + 1 = 0.

(

Paso 1

)

Comprende el enunciado

• Identifica lo que entiendes de la información.

• Relaciona lo que entiendes del enunciado.

• Expresa la información en otro tipo de formato.

Paso 2

Planifica lo que vas a realizar

Paso 3

Resuelve el problema

Paso 4

Revisa la solución

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

157

esolución de problemas 3. Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas. a. Calcula la longitud de la diagonal E, del prisma recto, en la siguiente figura: z

6 cm

4 cm

12 cm

_›

b. Si el módulo del vector v = ( −2, k, 6 ) es 11, ¿cuál es el valor de k? __›

__›

c. Dados los puntos R(4, 0, 3) y S(–2, 1, 0), calcula RS y SR y determina la relación entre ellos. __

d. ¿Cuál es el valor de k si la distancia entre los puntos T(k, –1, 2) y U(4, k, –1) es √ 26 ? _›

_›

_› _›

‖ ‖ = 3, ‖ v ‖ = 4 y el ángulo entre ellos es 60°, ¿cuál es el valor de u · v , e. Si _› u _› _› _› u · u y v · v? _›

_›

f. Comprueba que el vector a = ( 2, 4, 7 ) es perpendicular a los vectores t = ( 2, −1, 0 ) _› y u = ( 5, 1, −2 ).

{

g. Las ecuaciones paramétricas de una recta son x = 5 + 3t . ¿Cuál es su ecuación y=2+t general? h. Dada la recta (2, –5, 6) + t(1, –4, –8) determina una recta paralela y otra perpendicular a ella. x = 2t i ¿Cuál es la ecuación del plano que contiene a P(2, –1, 2) y a la recta L: y = 3 + t z=1−t j. Determina el valor de k para que el punto Q(1, k, 5) pertenezca al plano que pasa por los puntos A(1, 7, –2), B(4, 5, 0) y C(6, 3, 8).

{

_›

k. _ Determina la ecuación general del plano paralelo a los vectores s = ( 5, 2, −1 ) y › t = ( 0, −2, 3 ) y que contiene al punto A(2, 0, 4). l. Un macetero tiene forma de semiesfera. Si su diámetro interior es de 40 cm, ¿cuánta tierra se necesita para llenarlo? m. Si un estanque cilíndrico tiene una altura de 72 cm y puede contener hasta 650 L de agua, ¿cuál es su radio? n. Una pieza metálica hueca tiene la forma que muestra la figura. ¿Cuál es el volumen del metal?

5 cm

2 mm

158 UNIDAD 3 • GEOMETRÍA ESPACIAL

5 mm

ñ. Calcula el área y el volumen de la Tierra, suponiendo que es esférica, si su radio es 6.370 km. o. Un lápiz tiene la forma y las dimensiones indicadas. ¿Cuál es su volumen?

1,4 cm

10 cm 0,9 cm

p. Si el área de una esfera es 32,8 m2, ¿cuál es su volumen? q. El diámetro de una manguera es 5 cm y su largo es 18 m. ¿Cuántos litros de agua puede contener? r. ¿Cuántos litros de aire se necesitan para inflar ocho balones de básquetbol de 30 cm de diámetro? s. Un cilindro de 8 cm de altura está inscrito en un cono cuya generatriz es de 15 cm y su altura 12 cm, como muestra la figura. ¿Cuál es el área y el volumen del cilindro?

t. ¿Cuál es el volumen de la siguiente pieza industrial si al paralelepípedo recto se le ha taladrado un cilindro de 3 cm de radio? 10 cm

10 cm 20 cm

u. Calcula el volumen del cuerpo asociado a la rotación de siguiente figura:

3 cm

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

159

H istorial

Síntesis

El siguiente organizador gráfico resume las relaciones entre los principales conceptos abordados.

prisma

cilindro

cono

traslación

esfera

rotación

algunos se pueden generar por

rectos

Cuerpos geométricos

algunos pueden ser

oblicuos Geometría espacial

Espacio 핉3 se pueden determinar

puntos

vectores

rectas

las operaciones son

planos

su ecuación se puede escribir de forma

se puede determinar

sus elementos son

distancia

módulo

adición

vectorial

punto medio

dirección

ponderación

paramétrica

canónica

sentido

producto punto

continua

general

producto cruz

general

principal

160 UNIDAD 3 • GEOMETRÍA ESPACIAL

C argando disco

Modelamiento de pregunta PSU

Analiza el siguiente ejemplo de resolución de un tipo de pregunta PSU. El volumen del cuerpo asociado a la rotación del rombo ABCD en torno a una de sus diagonales, se puede calcular si: A (1) AC : BD = 2 : 3.

(2) El rombo se rota respecto a la diagonal AC y BD = 9 cm. A. B. C. D. E.

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) o (2). Se requiere información adicional.

A continuación, analicemos las alternativas: Para responder este tipo de pregunta se debe analizar cada una de las proposiciones por separado y determinar si entregan suficiente información por sí solas.

Es decir, no es posible resolver el problema con la proposición (1) por sí sola. Por lo tanto, se descartan las alternativas A y D como correctas.

La rotación de un rombo en torno a una de sus diagonales se asocia a un cuerpo que corresponde a dos conos congruentes unidos por las bases.

La proposición (2) establece que el rombo se rota respecto a la __ diagonal AC y que BD = 9 cm. Luego, considerando solo la información aportada por el enunciado y por la proposición (2), no se puede calcular la longitud __ de la diagonal AC. Es decir, no es posible resolver el problema con la proposición (2) por sí sola. Por lo tanto, se descarta la alternativa B como correcta.

Como las diagonales de un rombo son perpendiculares se tienen triángulos rectángulos, siendo los catetos la mitad de las diagonales. De esta forma, para responder la pregunta, se necesita la longitud de las diagonales y saber respecto a cuál de ellas se realiza la rotación.

Al considerar las proposiciones (1) y (2) ambas juntas, se tiene que las longitudes de las diagonales son 6__cm y 9 cm y la rotación se realiza en torno a la diagonal AC. Es decir, se puede resolver el problema con las proposiciones (1) y (2), ambas juntas.

La proposición (1) establece que: AC : BD = 2 : 3 Luego, no se puede calcular las longitudes de las diagonales y no se puede saber respecto a cuál de ellas se realiza la rotación.

Entonces, la alternativa correcta es C. A

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

161

V erificando disco I.

Evaluación final

Lee atentamente y marca la alternativa correcta.

(

1. ¿Cuáles son las coordenadas del punto P? z 4

B. (–4, 8, –2)

5. ¿Cuál de los siguientes vectores no tiene la misma _› dirección que v = (4, –8, 2)? 1 , −1, __ 1 A. (2, –4, 1) D. __ 4 2

1 0

y 1

2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera? A. Un sistema de coordenadas tridimensional tiene seis ejes. B. Un punto que se ubica en el eje y de un sistema de coordenadas tridimensional es de la forma (a, 0, 0). C. Un sistema de coordenadas tridimensional forma ocho planos. D. El origen de un sistema tridimensional tiene coordenadas (0, 0). E. Un punto que se ubica en el plano xz tiene la segunda coordenada igual a cero.

A. El punto B se ubica en el plano xy. B. La distancia de A al origen es √38 . __

(

)

7, 1 . D. El punto medio de AB es 3, − __ 2 E. Los puntos A y B tienen igual abscisa.

A. B. C. D. E.

El producto vectorial es conmutativo. El resultado del producto escalar es un vector. _› _› _› _› Si u · v = 0 entonces u y v son perpendiculares. _› _› a × a = ( 1, 1, 1 ). _› _› a · a = 1.

(

)

162 UNIDAD 3 • GEOMETRÍA ESPACIAL

√ 53

2 1 4 3

)

1 2 3 4 5 6

x 7. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

8. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) _› ( 5, −1, 0 ) y u = verdadera(s) con respecto a _› v = ( −1, −2, 4 )? _› _›

I. u · v = 3 _› _› II. u × v = ( −4, −20, −11 ) _› _› _› _› III. u × v es perpendicular a u y v . Solo I Solo II Solo III Solo I y III Solo II y III _›

1 , 0, __ 2 y 4. ¿Cuál es la distancia entre los puntos __ 2 3 1 , − __ 1, 0 ? − __ 2 2 __ √ 61 5 __ ____ D. A. 6 __ 6 √ 61 25 B. ____ E. ___ 36 36 61 C. ___ 36

7 6 5 4 3 2 1

53 _ 2√ 6 24 11

A. B. C. D. E.

3. Dados los puntos A(3, –5, 2) y B(3, 2, 0), ¿cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

___›

6. ¿Cuál es el módulo del vector OQ?

D. (2, 1, 3) E. (1, 3, 2)

C. La distancia entre A y B es √53 .

E. (8, –16, 4)

( −1, 2, __21 )

A. (2, 3, 1) B. (1, 2, 3) C. (3, 1, 2)

)

9. _ Un vector perpendicular a p = ( 3, −2, 1 ) y › q = ( −5, −1, 3 ) es: A. B. C. D. E.

(–2, –3, 4) (–5, –14, –13) (–8, 1, 2) (–15, 2, 3) 3 , 2, __ 1 − __ 5 3

(

)

10. ¿Cuál de las siguientes rectas pasa por los puntos A(12, –5) y B(0, 6)? A. B. C. D. E.

(x, y) = (12, –5) + t(12, –11) (x, y) = (12, –5) + t(12, 1) (x, y) = (12, –5) + t(0, –30) (x, y) = (12, –5) + t(0, 6) (x, y) = (12, –5) + t(–12, –11)

11. ¿A qué recta pertenece el punto C(2, –8)? A. B. C. D. E.

(x, y) = (–2, 8) + t(5, 1) (x, y) = (4, –1) + t(1, 9) (x, y) = (5, 3) + t(–3, –11) (x, y) = (12, 6) + t(4, –1) (x, y) = (–1, –2) + t(3, 7)

12. ¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a la y−2 x − 5 = _____ = z + 1? recta _____ 2 3 A. (7, 5, –1) D. (–2, –3, –1) B. (–5, –2, 1) E. (2, 3, 1) C. (5, 2, –1) 13. ¿Cuál de las siguientes rectas contiene al punto (5, 4, –6) y tiene la misma dirección que el vector _ › v = (–1, 0, 3)? A. B. C. D. E.

(x, y, z) = (–1, 0, 3) + t(5, 4, –6) (x, y, z) = (5, 4, –6) + t(4, 4, –3) (x, y, z) = (5, 4, 6) + t(–1, 0, 3) (x, y, z) = (4, 4, –3) + t(5, 4, –6) (x, y, z) = (5, 4, –6) + t(–1, 0, 3)

14. ¿Cuál de las siguientes rectas pasa por los puntos R(3, 8, 1) y S(2, –1, 0)? A. B. C. D. E.

(x, y, z) = (3, 8, 1) + t(2, –1, 7) (x, y, z) = (2, –1, 0) + t(3, 2, 1) (x, y, z) = (3, 8, 1) + t(5, 7, 1) (x, y, z) = (4, 17, 2) + t(1, 9, 1) (x, y, z) = (5, 7, 1) + t(1, 9, 1)

15. ¿Cuál de las siguientes rectas es perpendicular a (x, y, z) = (5, –2, 10) + t(6, 0, –2)? A. B. C. D. E.

(x, y, z) = (2, –1, –1) + t(2, 0, 6) (x, y, z) = (3, 8, 5) + t(–12, 0, 4) (x, y, z) = (6, 0, 1) + t(6, 0, –2) (x, y, z) = (3, 2, 0) + t(–6, 0, 2) (x, y, z) = (6, 12, 1) + t(3, 0, –9)

16. ¿Cuál de los siguientes planos contiene al punto _› A(–1, 4, 2) y tiene vector normal n = ( 2, 1, −3 )? A. B. C. D. E.

–x + 4y + 2z + 4 = 0 2x – y – 3z + 4 = 0 –2x + 4y – 6z = 0 2x + y – 3z + 4 = 0 x – 3y – 5z = 0

17. El plano 3x + 2y – 3z + 8 = 0 corta al eje y en el punto: A. Q(0, 8, 0)

( (

8 , 0, 0 B. T − __ 3 8 C. R 0, 0, __ 3 D. U(0, 4, 0)

)

E. S(0, –4, 0) 18. ¿Cuál de los siguientes vectores no es normal al plano 3x + 2y – z + 4 = 0? A. B. C. D. E.

(3, 2, –1) (6, 4, –2) (–3, –2, –1) (–6, –4, 2) (–3, –2, 1)

19. ¿Cuál(es) de los siguientes puntos no pertenece(n) al y __ x + ___ + z = 1? plano __ 2 −2 3 A. (2, 0, 0) B. (2, –2, 3) C. (0, –2, 0) D. (2, 2, 3) E. (0, 0, 3) 20. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto al plano –9x + 3y – 2z + 5 = 0?

A. B. C. D. E.

I. El punto (1, 2, 1) pertenece a él. _› II. Un vector normal al plano es n = ( −9, 3, −2 ). III. Un plano paralelo al él es 27x – 9y + 6z + 8 = 0. Solo I Solo I y II Solo II y III Solo I y III I, II, III

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

163

Evaluación final

21. ¿Cuál de los siguientes cuerpos no se puede asociar a una traslación? A. B. C. D. E.

Cilindro. Cono. Cubo. Prisma recto triangular. Prisma oblicuo rectangular.

22. ¿Cuál(es) de los siguientes cuerpos es posible asociar a la traslación de un cuadrado? I. Cubo. II. Prisma recto. III. Prisma oblicuo. A. Solo I B. Solo I y II C. Solo I y III

D. Solo II y III E. I, II y III

24. ¿Cuál de los siguientes cuerpos se puede asociar a una traslación o una rotación? A. B. C. D. E.

Cono. Tronco de cono. Cilindro. Esfera. Cubo.

25. ¿Cuál es el volumen del cuerpo asociado a la traslación de un hexágono de área 12 cm2, según un vector de módulo 3 cm que forma un ángulo de 45º con el plano que contiene al hexágono? A. B. C. D. E.

6√2 cm3 12 cm3 18 cm3 _ 18√2 cm3 36 cm3

164 UNIDAD 3 • GEOMETRÍA ESPACIAL

A. B. C. D. E.

(1) Tienen la misma altura. (2) El volumen del prisma es 328 m3. (1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas (1) y (2). Cada una por sí sola (1) o (2). Se requiere información adicional.

27. Observa la imagen. ¿Cuál es el área total del cuerpo asociado a la traslación de la figura según el vector?

23. Si la traslación de un triángulo se asocia a un prisma recto, ¿qué figura(s) puede(n) ser sus caras laterales? I. Triángulo. II. Cuadrado. III. Rectángulo. A. Solo I B. Solo II C. Solo III

26. Una pirámide y un prisma tienen la misma base. Es posible calcular el volumen de la pirámide si:

A. B. C. D. E.

20 cm2 47 cm2 60 cm2 70 cm2 94 cm2

5 cm 3 cm 4 cm

28. ¿Cuál es el volumen de una pirámide de base cuadrada de arista 4 m y altura 2,4 m? A. B. C. D. E.

3,2 m3 9,6 m3 12,13 m3 12,8 m3 38,4 m3

29. ¿Cuál es el volumen del cilindro asociado a la rotación del siguiente rectángulo en torno a la recta que contiene al lado mayor? 6 cm 15 cm

A. B. C. D. E.

180π cm3 252π cm3 288π cm3 540π cm3 1.350π cm3

30. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto a un cilindro si su radio aumenta al doble y su altura disminuye a la mitad?

A. B. C. D. E.

I. El área lateral no varía. II. El área total aumenta 1,5πr cm2. III. El volumen aumenta al doble. Solo I Solo III Solo I y II Solo I y III I, II y III

31. Un cilindro está inscrito en un prisma recto de base cuadrada, como muestra la figura. Aproximadamente, ¿cuál es el volumen no ocupado por el cilindro? A. B. C. D. E.

116,1 cm3 398,7 cm3 423,9 cm3 426,96 cm3 540 cm3

15 cm

6 cm

32. Para que en un cono el área lateral sea equivalente al área basal, ¿qué relación deben cumplir el radio y la generatriz? A. B. C. D. E.

r = 2g r=g 2r = g r = 3g 3r = g

33. ¿Cuál es el volumen del cuerpo asociado a la rotación que se observa en la imagen? A. B. C. D. E.

768π cm3 592π cm3 444π cm3 324π cm3 111π cm3

9 cm 4 cm 12 cm

34. ¿Qué relación existe entre el radio r de un cono y su πh3 ? altura h si su volumen es ____ 9 A. h = 3r B. r = 3h C. h = 9r _ D. r = √3 h _ E. h = √3 r 35. El volumen del cuerpo asociado a la rotación de la siguiente figura es: 288π cm3 A. _____ 3 2 cm 256π _____ 3 B. cm 3 4 cm 224π cm3 C. _____ 3 2 cm 48π cm3 D. ____ 3 32π cm3 E. ____ 3 36. Dentro de una caja cúbica de 216 cm3 de volumen se guarda una pelota que es tangente a las caras del cubo, como muestra la figura. ¿Cuál es el volumen de la pelota? A. B. C. D. E.

3π cm3 6π cm3 27π cm3 36π cm3 288π cm3

37. Es posible calcular el volumen de un cilindro de radio r y altura h si: (1) h = 36 cm (2) h = 4r A. B. C. D. E.

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) o (2). Se requiere información adicional.

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

165

Evaluación final

II. Resuelve los siguientes problemas. 1. Determina si la recta (x, y, z) = (2, 3, 5) + t(3, 4, –1) está contenida en el plano que pasa por el punto R(4, –2, 7) y es paralelo al plano –4x + 5y – 2z + 1 = 0.

2. Dibuja el cuerpo asociado a la rotación de un triángulo rectángulo isósceles en torno a la recta que contiene a su hipotenusa de medida 6 cm. Luego, calcula su área y su volumen.

166 UNIDAD 3 • GEOMETRÍA ESPACIAL

C errar sesión

Revisa tus respuestas de alternativas. Pregunta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

Contenido evaluado

Puntos en el espacio

Vectores en el espacio

Rectas en el plano y rectas en el espacio

Planos

Traslación y rotación

Prismas y pirámides

Cilindro, cono y esfera

Habilidad

Clave

Mi revisión Correctas

Incorrectas

Omitidas

Logro alcanzado

Recordar Comprender Comprender Aplicar Comprender Aplicar Comprender Comprender Aplicar Aplicar Analizar Analizar Comprender Analizar Aplicar Aplicar Comprender Comprender Analizar Analizar Comprender Comprender Comprender Recordar Aplicar Analizar Aplicar Aplicar Aplicar Analizar Aplicar Comprender Aplicar Analizar Aplicar Aplicar Analizar

Mi ESTADO Anota el nivel de logro de tus aprendizajes de la unidad según la categoría de desempeño dada: 1. Por lograr; 2. Medianamente logrado; 3. Logrado. Identifiqué coordenadas de puntos y vectores y reconocí las características de ecuaciones de rectas y planos en el espacio. Reconocí características de cuerpos generados por rotación o traslación y calculé su área y volumen.

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

167

Unidad

1 2 3 4

Estadística y probabilidad

MENÚ de inicio ¿Qué aprenderás?

¿Para qué?

¿Dónde?

Variable aleatoria continua y función de densidad.

Relacionar y aplicar los conceptos de variable aleatoria continua y función de densidad en diversas situaciones que involucran experimentos aleatorios.

Páginas 172 a 177.

Distribución normal y normal estándar.

Resolver problemas que involucran cálculo de probabilidades en distribuciones normales.

Páginas 178 a 181.

Tendencia de medias muestrales, intervalos de confianza y representatividad de muestras.

Estudiar el comportamiento de una población mediante muestras. Estimar la media poblacional.

Páginas 182 a 193.

Experimentos aleatorios y distribuciones de probabilidad binomial y normal.

Resolver problemas que involucran cálculo de probabilidades en distribuciones binomiales.

Páginas 194 a 199.

168 UNIDAD 4 • ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

ABRIR sesión

Existen muchas situaciones en las que es posible identificar aplicaciones del cálculo de probabilidades. Por ejemplo, un supermercado recibe una cantidad regular de clientes diariamente, que compran cierto listado de productos. Al querer pagar, los clientes eligen la caja que creen les tomará menos tiempo, pero ¿qué consideraciones toman para elegir una u otra caja? Probablemente, miran las compras que llevan los otros clientes de la fila y eligen la que tiene menos productos delante de ellos, pero si los clientes conocieran datos como: ¿cuántas cajas están disponibles al público?, ¿cuál es la distribución de llegada de los clientes?, ¿cuántos productos compra cada cliente?, ¿cuánto tiempo demora cada cliente en recolectar los productos que busca? y ¿cuánto tarda un cajero o cajera en atender a un cliente?, la decisión sobre qué caja escoger para demorar menos tiempo en pagar sería más acertada. Otro ejemplo posible de mencionar se da al buscar atención médica en algún centro asistencial. El tiempo de espera es una cuestión siempre incierta, por lo que se hace muy difícil calcularlo. Sin embargo, si se conocieran datos como por ejemplo: la cantidad de doctores que están atendiendo, el tiempo entre la llegada de los pacientes, el tiempo de atención a cada paciente, la clasificación de las enfermedades; según las molestias presentadas y la peligrosidad de estas, y las prioridades dadas según esta clasificación, probablemente los pacientes podrían estimar un rango más certero sobre el tiempo que tardarán en ser atendidos. Considerando la información, responde: 1. ¿Te son conocidos los ejemplos dados? Fundamenta. 2. ¿Qué variable es objetivo de estudio en ambos ejemplos? 3. ¿Por qué crees que los ejemplos dados corresponden al cálculo de probabilidades? 4. Comenta con un compañero o compañera otra situación que ejemplifique el cálculo de probabilidades.

nuevoexplorando.edicionessm.cl

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

169

Evaluación inicial

I nicializando

Lee atentamente y luego resuelve los ejercicios. 1. Resuelve los siguientes problemas. a. Un grupo de amigos se reúne para lanzar un dado de seis caras numeradas del 1 al 6 y luego lanzar dos monedas. ¿Cuál es el espacio muestral del experimento? ¿Cuál es la cantidad de eventos que contienen un número par de puntos y exactamente un sello? b. Se quiere crear un comité de 5 personas, entre un total de 30. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar? c. En un restaurante se puede formar un menú con entrada, plato de fondo y postre. Si se cuenta con 6 tipos de entradas diferentes, 10 platos de fondo y 12 postres, ¿cuántos menús se pueden formar en total? 2. Analiza la siguiente función definida en ℝ. Luego, grafícala en la casilla y calcula lo pedido.

{

x − 1 si x < −1 si x = −1 f(x) = −2 x2 − 1 si x > −1 ____ x+1 a. f(–5) + 2f(–1) – f(4) = 1 [ f( 1 ) + 2f( 2 ) + f( −3 ) ]= b. __ 3

3. Calcula el área de la figura sombreada. 7 5 3,5 3

7,5

4. Interpreta la información de la tabla. Luego, responde. Estatura de los 35 estudiantes de un curso Estatura (cm)

]150, 155]

]155, 160]

]160, 165]

]165, 170]

]170, 175]

]175, 180]

Frecuencia

a. ¿Cuál intervalo es el que presenta mayor frecuencia? b. ¿Cuál es el promedio de estatura del curso? ¿Cuál es la desviación estándar? c. ¿Cuántos estudiantes del curso tienen una estatura superior a 160 cm? ¿Y cuántos una inferior a 150 cm?

170 UNIDAD 4 • ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

5. Calcula el valor numérico de cada expresión. 7! = a. ________ 4!( 5 − 3 )! b.

( 36 ) =

( )

c. 7 9 = 3 d.

( 26 ) + ( 129 ) =

( ) ( )

e. 5 3 + 5 9 = 7 0 f.

( 04 ) + ( 14 ) + ( 24 ) + ( 34 ) + ( 44 ) =

6. Resuelve los siguientes problemas. a. La tabla representa los valores de la función de probabilidad asociada a una variable aleatoria discreta X. ¿Cuál es el valor de a? Escríbelo como fracción. Función de probabilidad xi

P(X = xi)

0,9a

1,2a

1,1a

1,5a

b. Una urna contiene 5 bolitas numeradas del 1 al 5. Representa gráficamente la función de distribución para la variable aleatoria X: suma de los números obtenidos si se extraen aleatoriamente dos bolitas de la urna.

Mi ESTADO En estas actividades: •

¿Qué te resultó más fácil? ¿Por qué?

•

¿Qué te resultó más difícil? ¿Por qué?

•

¿Reconoces los contenidos trabajados?

•

¿Cuál de esos contenidos crees que debes repasar antes de continuar?

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

171

Variable aleatoria En cursos anteriores has estudiado variables aleatorias discretas con respecto a experimentos aleatorios, asociándolas a funciones de probabilidad y funciones de distribución. Así, por ejemplo, al considerar el experimento aleatorio “Lanzar tres monedas” se obtiene el espacio muestral Ω = {CCC, CCS, CSC, SCC, SSC, SCS, CSS, SSS}; donde C: cara y S: sello. Considerando la variable aleatoria discreta X: número de caras obtenidas, se tiene que: Ω

SSS SSC SCS

Ampliando MEMORIA Una variable aleatoria es discreta si corresponde a una función cuyo recorrido es un subconjunto de números enteros. Por ejemplo: cantidad de hermanos, número de puntos obtenido, etc.

CSS CCS

CSC SCC CCC

Además, se tiene la siguiente función de probabilidad asociada a X, y su gráfico respectivo: f: A = {0, 1, 2, 3} → [0, 1]

AYUDA P(X ≥ 2) = 1 – P(X < 2) = 1 – 0,5 = 0,5

si = 0 si = 1 si = 2 si = 3 en otro caso

Probabilidad

⎧ 0,125 ⎪ 0,375 x → f(x) = ⎨ 0,375 ⎪ 0,125 ⎩0

Función de probabilidad 0,5 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0

De ella, pueden deducirse afirmaciones como “la probabilidad de obtener 2 caras es 0,375”, lo que se representa algebraicamente por P(X = 2) = 0,375, o “la probabilidad de obtener 3 caras es 0,125”, lo que se representa algebraicamente por P(X = 3) = 0,125. Por otra parte, también se tiene la función de distribución acumulada asociada a X con su respectivo gráfico: F: 핉 → [0, 1] si x < 0 si 0 ≤ x < 1 si 1 ≤ x < 2 si 2 ≤ x < 3 si x ≥ 3

Función de distribución F(x) = P (X ≤ x)

⎧0 ⎪ 0,125 x → F(x) = ⎨ 0,5 ⎪ 0,875 ⎩1

1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

2 x

De ella, pueden deducirse afirmaciones como “la probabilidad de obtener menos de 3 caras es 0,875”, lo que se representa algebraicamente por P(X < 3) = 0,875, o “la probabilidad de obtener al menos 2 caras es 0,5”, lo que se representa algebraicamente por P(X ≥ 2) = 0,5. 172 UNIDAD 4 • ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Así, ambas funciones tienen relación con la probabilidad de ocurrencia de cualquier suceso del espacio muestral del experimento aleatorio “Lanzar tres monedas”, considerando la variable aleatoria discreta X: número de caras obtenidas. La relación anterior también es posible realizarla en experimentos aleatorios que involucren variables aleatorias continuas.

Para GRABAR Una variable aleatoria es continua si corresponde a una función cuyo recorrido es un intervalo de números reales. Por ejemplo: la estatura, el tiempo o la temperatura.

1. Identifica cuáles de las siguientes variables son continuas. Para ello, marca un ✓ donde corresponda.

a. Número de hijos.

f. Nivel de colesterol.

b. Temperatura diaria.

g. Cantidad de estudiantes.

c. Tiempo de duración.

h. Estatura.

d. Cantidad de gasolina.

i. Masa corporal.

e. Número de acciones vendidas.

j. Dinero reunido.

2. Analiza cada experimento aleatorio, declara una variable aleatoria y determina su do-

minio y recorrido. Luego, completa el diagrama. b. Extraer dos bolitas de una urna que a. Lanzar un dado de ocho caras numecontiene tres bolitas numeradas del radas del 1 al 8. 1 al 3. Ω

X: dom(X) = rec(X)=

Y: dom(Y) = rec(Y) =

3. Representa en tu cuaderno la función de probabilidad asociada a cada variable aleatoria que declaraste en la actividad anterior.

4. Representa en tu cuaderno la función de distribución acumulada asociada a cada función de probabilidad representada en la actividad anterior.

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

173

Función de densidad Para comprender este concepto es necesario tener claras algunas ideas: 1° El histograma sirve para representar datos cuantitativos correspondientes a variables continuas. El siguiente histograma representa el tiempo en minutos que tarda un vendedor de un almacén en atender a un cliente. Para esto, se consideran 100 clientes. Atención por persona de un vendedor

AYUDA

• x ∈ ]a, b[ ⇔ a < x < b • x ∈ [a, b[ ⇔ a ≤ x < b • x ∈ ]a, b] ⇔ a < x ≤ b

Frecuencia absoluta

Recuerda que en un intervalo es posible considerar o no sus valores extremos.

• x ∈ [a, b] ⇔ a ≤ x ≤ b

]0, 2]

]2, 4]

0 ]4, 6]

]6, 8] ]8, 10] ]10, 12] ]12, 14] ]14, 16] ]16, 18] ]18, 20]

Tiempo (min)

En este caso, la variable aleatoria “Tiempo (min)” es continua, ya que a cada cliente le corresponde un intervalo de tiempo en el que fue atendido (en este caso, de amplitud 2 min). De él es posible interpretar que hubo 2 clientes que fueron atendidos en 2 o menos minutos; 3 que fueron atendidos en 4 o menos minutos y más de 2 minutos; 14 que fueron atendidos en 6 o menos minutos y más de 4 minutos, etc.

Recuerda que la frecuencia relativa se calcula mediante la división entre la frecuencia absoluta y el número total de datos. Así, la frecuencia relativa del 2 = 0,02; la del intervalo ]0, 2] es ____ 100 intervalo ]2, 4] es 0,03; la de ]4, 6] es 0,14, etc.

Atención por persona de un vendedor 0,12

Altura de cada rectángulo

AYUDA

2° El área de cada rectángulo del histograma corresponde a la probabilidad de que la variable se encuentre en el respectivo intervalo, es decir, la frecuencia relativa de cada intervalo.

0,11

0,1 0,08

0,07

0,06 0,04 0,02 0

0,14 0,01 0,02

0,015 0,03

0,085

0,09

0,17

0,18

0,065

0,13

0,22

0,04 0,08

0,01 0,02

0,005 0,01

]0, 2] ]2, 4] ]4, 6] ]6, 8] ]8, 10] ]10, 12]]12, 14] ]14, 16] ]16, 18] ]18, 20] Tiempo (min)

Como la frecuencia relativa de cada intervalo es igual al área del rectángulo respectivo, si a es la amplitud del intervalo, h es la altura del rectángulo y fr es la frecuencia relativa del intervalo respectivo, se tiene que: a · h = fr Así, al resolver 2 · h = 0,02, se tiene que la altura del primer rectángulo es 0,01.

174 UNIDAD 4 • ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Por otra parte, al asociar la frecuencia relativa con probabilidad, se tiene que la probabilidad de que un cliente sea atendido en 2 o menos minutos es 0,02, es decir, P(0 < X ≤ 2) = 0,02. También se tiene que P(2 < X ≤ 4) = 0,03; P(4 < X ≤ 6) = 0,14; P(6 < X ≤ 8) = 0,13, etc. 3° Si la variable aleatoria es continua, la probabilidad de que ella adquiera un valor exacto es cero. Considera el tiempo en minutos que tarda el vendedor del almacén en atender a un cliente, ¿crees que podrías decir exactamente cuánto tiempo tardó? Ocurre que si ese tiempo es medido por un reloj de horas y minutos, seguramente será distinto al tiempo que registraría un cronómetro con centésimas de segundo, y este a otro que considere milésimas de segundos. Es decir, el tiempo dependerá del instrumento con el cual sea medido; sin embargo, será posible “ubicarlo” en un intervalo de tiempo. Así, ante la pregunta “¿cuál es la probabilidad de que un cliente sea atendido en 5 minutos?”, la respuesta es 0. La pregunta que sí podría ser respondida es “¿cuál es la probabilidad de que un cliente sea atendido entre 2 y 10 minutos?” 4° La función de densidad permite calcular la probabilidad de un intervalo. Para calcular la probabilidad de que un cliente sea atendido entre 2 y 10 minutos, se pueden sumar las áreas de los rectángulos del histograma correspondientes a los intervalos involucrados, en este caso: ]2, 4], ]4, 6], ]6, 8] y ]8, 10]. Observa: Atención por persona de un vendedor 0,12

Altura de cada rectángulo

0,1 0,085 0,08

0,07

Ampliando MEMORIA

0,065

Al sumar las áreas de todos los rectángulos, el resultado es 1.

0,06 0,04

0,14

0,13

]4, 6]

]6, 8]

0,17

0,015

0,02

0,03

0 ]0, 2]

]2, 4]

]8, 10]

]10, 12]

]12, 14]

]14, 16]

]16, 18]

]18, 20]

Tiempo (min)

Así: P(2 < X ≤ 10) = 0,015 · 2 + 0,07 · 2 + 0,065 · 2 + 0,085 · 2 = 0,03 + 0,14 + 0,13 + 0,17 = 0,47 Por lo tanto, la probabilidad de que un cliente sea atendido entre 2 y 10 minutos es 0,47.

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

175

AYUDA Si la amplitud de intervalo es 1, la frecuencia relativa de cada intervalo coincide con la altura del rectángulo asociado en el histograma.

5° Al considerar intervalos de menor amplitud, la representación gráfica con histogramas permitirá un mejor acercamiento al valor exacto de la probabilidad de ocurrencia en un determinado intervalo. Continuando con el ejemplo del vendedor, si los datos recogidos son agrupados en intervalos de amplitud 1, se obtendrán 20 rectángulos; con 0,5, se conseguirán 40 rectángulos, etc. Es decir, mientras menor sea la amplitud de intervalo, habrá mayor cantidad de rectángulos y, por lo tanto, el cálculo de probabilidades será más exacto.

Para GRABAR Ampliando MEMORIA La función de densidad sirve para calcular probabilidades de la forma P(X ≤ a) o P(X < a), con a ∈ 핉, que gráficamente corresponde a casos como el que se muestra.

La función cuya representación gráfica es una curva que se obtiene al asociar los valores de una variable aleatoria continua, agrupados en intervalos de cierta amplitud, con la probabilidad de cada uno de ellos es denominada función de densidad y permite obtener la probabilidad de que un valor de la variable aleatoria se encuentre entre dos puntos.

f(x)

El área total bajo la gráfica que representa la función de densidad es 1.

1. Analiza el siguiente ejemplo. Luego, resuelve el problema propuesto. •

¿Para qué valor de k el gráfico corresponde al de una función de densidad?

Como el área total bajo la gráfica que representa la función de densidad es 1, se tiene que: 0,5k (3 − 2)k ____ + (2 − 0,5)k + _______ = 1 2 2

0,5

4. Resolviendo la ecuación, se obtiene que k = __ 9

•

¿Para qué valor de k el gráfico corresponde al de una función de densidad? k=

0,5

0,3

176 UNIDAD 4 • ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

0,45

0,74

2. Analiza el siguiente ejemplo. Luego, resuelve los problemas propuestos. En un taller mecánico, el tiempo en horas necesario para reparar un automóvil es una variable aleatoria continua, cuya función de densidad de probabilidad está dada por: f(x) =

{

x _ si 0 < x ≤ 1 3 x +_ 2 si 1 < x ≤ 6 − __ 15 5 0 en otro caso

• ¿Cuál es el valor de P(2 ≤ x ≤ 5)?

Considerando el gráfico de la función de densidad, el valor P(2 ≤ x ≤ 5) se puede obtener restando las siguientes áreas del gráfico: f(2) 2

f(5)

)

(

El gráfico de f es:

f(x)

Tiempo probable de reparación

5 + __ 2 + __ 2 = ___ 4 y f(5) = − ___ 2 = ___ 1. Donde f(2) = − ___ 15 5 15 15 5 15 8 y A = ___ 8 − ___ 4 · 4 : 2 = ___ 1 · 1 : 2 = ___ 1 . Por lo tanto, A – A = ___ 1 = __ 1. Así, A1 = ___ 2 1 2 15 15 15 15 30 2 30

(

AYUDA

_1 3

)

Tiempo (min)

Luego, P(2 ≤ x ≤ 5) = 0,5.

• ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de atención sea superior a 4 horas? Considerando el triángulo correspondiente, al calcular la probabilidad de que el tiempo de atención sea superior a 4 horas, se tiene: f(4) · (6 − 4) 2 = ___ 4 + __ 2 P(x ≥ 4) = __________ = f(4) = − ___ 15 5 15 2 a. El tiempo en minutos que tarda cierto medicamento en hacer efecto es una variable aleatoria continua, cuya función de densidad está dada por: 1 __ si 0 < x ≤ 0,5 2 x si 0,5 < x ≤ 1 f(x) = 4 7 __ __ − x + si 1 < x ≤ 1,75 3 3 0 en otro caso

{

• Construye el gráfico de f. • ¿Cuál es la probabilidad de que el medicamento tarde entre 0,3 y 1,2 minutos en hacer efecto?

• ¿Cuál es la probabilidad de que el medicamento tarde exactamente 1 minuto en hacer efecto?

• ¿Es cierto que la probabilidad de que el medicamento actúe dentro de los primeros 30 segundos es superior a que haga efecto en cualquier otro intervalo de tiempo? Justifica. b. La función de densidad del tiempo en minutos de espera en la fila de cierto supermercado está dada por:

f(x) =

{

x2 __ 3 2 __ 9 0

• Construye el gráfico de f. • ¿Cuál es el valor de P(2 < x < 3)?

si 1 < x ≤ 2 si 2 < x ≤ 3 en otro caso

• ¿Qué ocurre si quieres calcular P(1 < x < 2)? MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

177

Distribución normal En una distribución, los datos que la conforman pueden estar dispuestos de muchas formas diferentes. Observa algunos casos:

Ampliando MEMORIA Abraham De Moivre (1667-1754)

30 Y 27 24 21 18 15 12 9 6 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 Y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

12 10 8 6 4 2

30 Y 27 24 21 18 15 12 9 6 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 Y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 Y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Matemático de origen francés exiliado en Londres, donde publicó en 1733 una obra en la que aparece por primera vez la curva de distribución de los errores, que con el tiempo conocemos como “distribución normal de Gauss”.

Para GRABAR La distribución de probabilidades en que los datos de una variable aleatoria continua se concentran alrededor de la media (μ) con cierta desviación estándar (σ) es conocida como distribución normal o gaussiana. La representación gráfica de esta distribución es denominada campana de Gauss.

68,3 % μ-σ

AYUDA Aproximadamente, el 68,3 % de la distribución de consolas tiene una duración entre 4 y 6 años.

68,3 %

μ+σ

Aproximadamente, el 68,3 % de la distribución se encuentra en el intervalo:

95,4 % μ - 2σ

99,7 % μ + 2σ

Aproximadamente, el 95,4 % de la distribución se encuentra en el intervalo:

μ - 3σ

μ + 3σ

Aproximadamente, el 99,7 % de la distribución se encuentra en el intervalo:

]μ – σ, μ + σ[ ]μ – 2σ, μ + 2σ[ ]μ – 3σ, μ + 3σ[ A modo de notación, cuando una variable se distribuya de forma normal con media μ y desviación estándar σ, se escribirá N(μ, σ). Cierto tipo de consola de videojuegos dura en promedio 5 años, con una desviación estándar de 1 año. Si la duración de estas consolas sigue una distribución normal, ¿qué porcentaje de estas consolas duran menos de 4 años? ¿Y qué porcentaje dura más de 6 años? Como aproximadamente el 68,3 % de las consolas dura entre 4 y 6 años, la duración aproximada del 15,85 % de las consolas es de menos de cuatro años; mientras que el 15,85 % restante dura más de 6 años.

178 UNIDAD 4 • ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

1. Resuelve los siguientes problemas. a. Los puntajes obtenidos por estudiantes en una prueba siguen una distribución normal con media de 650 puntos y una desviación estándar de 50 puntos. Para aprobar es necesario obtener 600 puntos. ¿Qué porcentaje de los estudiantes reprobó?

b. En cierto proceso industrial, el comprador establece en sus especificaciones que el diámetro del repuesto que adquirirá debe ser mayor que 4,94 mm y menor que 5,06 mm; así, si no cumple con esta condición, no llevará el repuesto. Si se sabe que el diámetro de los repuestos se distribuye N(5,0; 0,02), ¿qué porcentaje de los repuestos será rechazado?

c. Se encontró que un conjunto de calificaciones de exámenes finales seguía una distribución normal con media de 50 puntos y desviación estándar de 4 puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger una de estas calificaciones sea menor o igual a 58 puntos? ¿Qué porcentaje de estudiantes obtuvo una calificación entre 46 y 54 puntos?

D esafíate Si X es una variable aleatoria continua que sigue una distribución normal, tal que P(X < 10) = 0,6915 y P(X < 7) = 0,1587, ¿cuál es su media? ¿Cuál es su desviación estándar?

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

179

Distribución normal estándar Para calcular probabilidades de variables aleatorias continuas que se distribuyen de forma normal N(μ, σ), es posible transformarla a una cuya media sea 0 y su desviación estándar sea 1, para luego utilizar una tabla de valores asociada a dicha distribución.

Para GRABAR Cualquier variable aleatoria continua X que se distribuya N(μ, σ) es posible transformarla a una variable Z de distribución N(0, 1) mediante la siguiente relación: X−μ Z = _____ σ A esta distribución se le denomina estándar o tipificada, y al cambio de variable se le conoce como estandarización o tipificación y permite calcular probabilidades utilizando una tabla de valores (Ver página 223).

1. Analiza los siguientes ejemplos. Ejemplo 1: La estatura en centímetros de un grupo de 200 personas se distribuye N(161, 11). ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger una persona del grupo su estatura sea mayor que 168 cm? ¿Aproximadamente cuántas personas del grupo son de estatura mayor que 168 cm? Sea X la estatura de una persona. Luego, la probabilidad de que sea mayor que 168 cm es posible representarla por P(X > 168). Además, como X se distribuye N(161, 11), se tiene: 68,3 %

150

161

95,5 %

139

172

161

99,7 %

183

128

161

194

Y como se pide P(X > 168), se debe calcular la siguiente área sombreada: 68,3 %

168 − 161 = ___ 7 ≈ 0,64. Al tipificar se obtiene Z = _________ 11 11 168

Luego, se tiene P(Z > 0,64) = 1 – P(Z < 0,64) = 1 – 0,7389 = 0,2611. Observa:

AYUDA Entre las filas de la tabla dada en la página 223 debes buscar el valor de Z, considerando la parte entera y el dígito de las décimas; por ejemplo, en el caso de Z < 0,64, el valor que debes buscar en las filas es 0,6; mientras que entre las columnas, debes buscar 0,04, ya que 0,6 + 0,04 = 0,64.

180 UNIDAD 4 • ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

z 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

0,00 0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7257

0,01 0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591 0,6950 0,7291

0,02 0,5080 0,5478 0,5871 0,6255 0,6628 0,6985 0,7324

0,03 0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664 0,7019 0,7357

0,04 0,5160 0,5557 0,5948 0,6331 0,6700 0,7054 0,7389

Por lo tanto, la probabilidad de que al escoger una persona del grupo su estatura sea mayor que 168 cm es cerca del 26 %, que corresponde a 52 personas aproximadamente.

1 Ejemplo 2: Si el tiempo en horas que un estudiante de 4º medio dedica diariamente a estudiar Matemática sigue una distribución N(3, 2) y el 25 % de estos alumnos estudia más de x horas diarias, ¿cuál es el valor de x? Sea X el tiempo en horas que un estudiante de 4º medio dedica diariamente a estudiar Matemática. Como sigue una distribución N(3, 2) y el 25 % de estos alumnos estudia más de x horas diarias, se tiene lo siguiente:

25 % 3

Estandarizando

AYUDA No olvides que puedes utilizar lo siguiente: P(Z > z) = 1 – P(Z < z)

25 % 0

Donde P(Z > z) = 0,25; lo que es equivalente a 0,25 = 1 – P(Z < z); de donde se obtiene que P(Z < z) = 0,75. Así, utilizando la tabla de tipificación de la página 223, se tiene que z ≈ 0,675. Observa: z 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

0,00 0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7257

0,01 0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591 0,6950 0,7291

0,02 0,5080 0,5478 0,5871 0,6255 0,6628 0,6985 0,7324

0,03 0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664 0,7019 0,7357

0,04 0,5160 0,5557 0,5948 0,6331 0,6700 0,7054 0,7389

0,05 0,5199 0,5596 0,5987 0,6368 0,6736 0,7088 0,7422

0,06 0,5239 0,5636 0,6026 0,6406 0,6772 0,7123 0,7454

0,07 0,5279 0,5675 0,6064 0,6443 0,6808 0,7157 0,7486

Advertencia

0,08 0,5319 0,5714 0,6103 0,6480 0,6844 0,7190 0,7517

Recuerda tipificar para calcular probabilidades y apoyarte en la tabla de tipificación de la página 223. No olvides que en algunos problemas, luego de encontrar el valor de z debes reemplazarlo en la fórmula de tipificación para encontrar el valor de x.

Una vez encontrado el valor de z, se debe buscar el valor de x, ya que es la interrogante del problema. Entonces, se tiene que: x − 3 ⇒ 1,35 = x − 3 ⇒ x = 4,35 0,675 = _____ 2 Finalmente, se tiene que el 25 % de los estudiantes de 4º medio dedica más de 4,35 horas diarias para estudiar Matemática.

AYUDA

2. Calcula la probabilidad en cada caso, dada una distribución N(0, 1). a. b. c. d.

P(Z < 1,2) P(Z < 0,75) P(Z > 2,41) P(Z > 0,8)

e. f. g. h.

P(a < Z < b) = P(Z < b) − P(Z < a)

P(0,4 < Z < 1,5) P(Z < −0,63) P(Z > −1,84) P(−0,05 < Z < 0,05)

AYUDA

3. Calcula el valor de z en cada caso. a. P(Z < z) = 0,8159 b. P(Z > z) = 0,0314

La tabla de tipificación muestra la probabilidad de Z < z para valores positivos de z. Si z es negativo, puedes realizar lo siguiente:

c. P(Z > z) = 0,3372 d. P(Z < z) = 0,3156

P(Z < −0,5) = P(Z > 0,5)

4. Resuelve el problema.

= 1 − P(Z < 0,5)

La masa en gramos de cierto modelo de teléfono celular sigue una distribución N(112, 20). a. ¿Cuál es la probabilidad de que la masa de uno de estos teléfonos sea mayor que 114 g? b. ¿Cuál debe ser la desviación estándar de la distribución de las masas de los teléfonos celulares de ese modelo, para que la compañía que los fabrica pueda garantizar que el 99,9 % de los aparatos tiene una masa menor que 114 g?

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

181

Tendencia de las medias muestrales Ampliando MEMORIA Para obtener el número de muestras se puede aplicar la fórmula de combinatoria. Por ejemplo, para el caso de los cajeros se tiene:

En cierto banco, de los cinco cajeros que atienden a público general regularmente, se tomó diariamente el tiempo en minutos que cada uno estuvo atendiendo clientes. El resultado de una semana fue registrado en la siguiente tabla: Tiempo semanal de atención efectiva Cajero Tiempo (min) 1 988 2 1.200 3 1.400 4 1.190 5 992

5! C 52 = ______ = 10 2! · (5 − 2)!

Si se eligen aleatoriamente dos de los cinco cajeros, es posible obtener 10 muestras aleatorias diferentes. Observa las siguientes tablas: Tiempo semanal de atención efectiva por dos cajeros Cajeros Tiempo (min) Media 1, 2 2.188 1.094 1, 3 2.388 1.194 1, 4 2.178 1.089 1, 5 1.980 990 2, 3 2.600 1.300

Tiempo semanal de atención efectiva por dos cajeros Cajeros Tiempo (min) Media 2, 4 2.390 1.195 2, 5 2.192 1.096 3, 4 2.590 1.295 3, 5 2.392 1.196 4, 5 2.182 1.091

Si ahora las medias muestrales son organizadas en una tabla de frecuencias, se tiene: Tabla de frecuencias de medias muestrales Media Frecuencia absoluta Frecuencia relativa [985, 1.065[ 1 0,1 [1.065, 1.145[ 4 0,4 [1.145, 1.225[ 3 0,3 [1.225, 1.305[ 2 0,2

Al calcular la media aritmética de las medias muestrales se obtiene 1.153, y al calcular la media poblacional se obtiene 1.154, valores que son casi iguales. Al observar las frecuencias relativas de la tabla de frecuencias de las medias muestrales es posible apreciar que estas se concentran en mayor parte en los intervalos centrales; justamente donde se encuentra la media poblacional.

Para GRABAR Si de una población se consideran todas las muestras de un determinado tamaño (en el caso de los cajeros del banco las muestras analizadas son de tamaño 2), las medias muestrales se distribuyen de forma normal. Además, la media aritmética de dichas medias muestrales tiende a la media poblacional.

182 UNIDAD 4 • ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

1. Analiza cada situación y resuelve. a. Se observa un grupo de 40 estudiantes de 4º medio y se analizan los resultados en una evaluación. • ¿Cuántas muestras distintas de 3 estudiantes se pueden obtener?

• La siguiente tabla considera las medias de 10 muestras distintas de 3 estudiantes: Muestra Media

1 4,2

2 5,1

Media aritmética de 10 muestras 3 4 5 6 7 5,5 4,9 5,6 4,3 3,2

8 5,2

9 4,2

10 6

Si la media poblacional es 4,9, ¿cuál es la máxima y la mínima diferencia entre la media poblacional y las medias de estas muestras?

• ¿Cuál es la media aritmética de las muestras? • Construye una tabla de frecuencias y un histograma con las medias muestrales. b. Un fin de semana, cierto supermercado cuenta con 12 cajas disponibles para los clientes. Observa la tabla: 1 Caja Tiempo (min) 2,8

Tiempo promedio de atención por cliente 2 3 4 5 6 7 8 9 3,6 3,1 4 3 3,6 3,3 3,6 3,2

10 3,4

11 3,3

12 3,8

• Calcula la media poblacional de los tiempos promedios de atención. • Escoge al azar 20 muestras de 3 cajas y completa las tablas: Cajas

Tiempo

Media

Cajas

Tiempo

Media

• Construye una tabla de frecuencias y un histograma con las medias muestrales obtenidas.

• Compara el promedio de las medias muestrales con la media poblacional.

• ¿Cuáles son los 2 intervalos de medias muestrales con

Tiempo promedio en que hace efecto el medicamento 16 14 12

Frecuencia

c. Se suministró un medicamento a una población de 1.000 individuos, concluyendo que el tiempo promedio en que este comienza a hacer efecto es aproximadamente de 48 minutos. Se formó aleatoriamente grupos de 45 individuos y se calculó la media aritmética de cada uno de ellos, obteniendo el siguiente gráfico. • ¿Cuántas muestras de 45 individuos se escogió?

10 8

mayor frecuencia?, ¿cómo se relacionan con el valor de la media poblacional?

• Considerando el gráfico, ¿podrías afirmar que el tiempo

promedio en que hace efecto el medicamento sigue una distribución normal? Fundamenta.

Tiempo MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

183

A nalizando disco I.

Evaluación de proceso

Lee atentamente y marca la alternativa correcta.

A. B. C. D. E.

Variable aleatoria continua

1. ¿Cuál de las siguientes variables aleatoria es continua?

A. B. C. D. E.

I. La estatura en centímetros. II. La temperatura máxima diaria. III. La cantidad de goles marcados. IV. La cantidad de público asistente. Solo I Solo I y II Solo II y III Solo II y IV Solo I, II y IV

5. Si una variable aleatoria continua se distribuye N(µ, σ), ¿aproximadamente, qué porcentaje de la distribución de probabilidades se encuentra en el intervalo ]µ – σ, µ + σ[?

Considera el siguiente gráfico para responder las preguntas 2, 3 y 4:

1,5

2. Si el gráfico representa una función de densidad, ¿cuál es el valor de k? A. 0 B. 0,5 C. 1 1 D. __ 3 2 E. __ 3 3. ¿Cuál es la probabilidad de que X sea 1,5? A. B. C. D. E.

0 0,125 0,375 0,5 0,625

184 UNIDAD 4 • ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

0,125 0,375 0,5 0,625 0,875

Distribución normal

Función de densidad

0,5

4. ¿Cuál es la probabilidad de que X sea mayor que 0,5?

A. B. C. D. E.

34,15 % 50 % 68,3 % 95,4 % 99,7 %

6. Cierto tipo de ampolletas dura en promedio 11 meses, con una desviación estándar de 15 días. Considerando meses de 30 días, y que la duración de estas ampolletas se distribuye de forma normal, ¿qué porcentaje de estas duran menos de 9 meses y 15 días? A. B. C. D. E.

0,15 % 0,3 % 2,25 % 95,5 % 99,7 %

7. ¿Cuál de las alternativas representa mejor al dibujo?

168

A. B. C. D. E.

P(X = 168) P(X > 168) P(X < 168) P(X > 168) = 15,85 P(X > 168) = 84,15

Distribución normal estándar

Tendencia de las medias muestrales

Para responder las preguntas 8 y 9, considera la siguiente tabla de valores para variables tipificadas:

11. De un grupo de 20 personas que asisten a una consulta médica, ¿cuántas muestras de 3 pacientes se pueden obtener?

z 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

0,00 0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7257 0,7580

0,01 0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591 0,6950 0,7291 0,7611

0,02 0,5080 0,5478 0,5871 0,6255 0,6628 0,6985 0,7324 0,7642

0,03 0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664 0,7019 0,7357 0,7673

0,04 0,5160 0,5557 0,5948 0,6331 0,6700 0,7054 0,7389 0,7704

0,05 0,5199 0,5596 0,5987 0,6368 0,6736 0,7088 0,7422 0,7734

8. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) verdadera(s)?

D. 1.114 E. 1.140

II. Resuelve los problemas. 12. Una máquina automática expendedora de jugo lo vierte sobre un vaso de 200 cc de capacidad. Si la cantidad de líquido vaciado se distribuye N(190, 30), ¿cuál es la probabilidad aproximada de que la máquina vierta más de 200 cc en un vaso? 13. Tras la rendición de la prueba PSU, se observó que las puntuaciones obtenidas se distribuyeron de forma normal, cuya media fue de 493 puntos y la desviación estándar, 75 puntos. Si se quiere clasificar a los examinados en tres grupos, de modo que al primero pertenece un 26 % de la población, al segundo, un 55 % y al tercero, un 19 %.

I. P(Z < 0,55) = 0,7088 II. P(Z > 0,61) = 0,2709 III. P(Z < z) = 0,58515 ⇒ z = 0,215 A. Solo I D. Solo II y III B. Solo I y II E. I, II y III C. Solo I y III 9. Sea una variable X, que se distribuye N(140, 10). ¿Cuál es la probabilidad aproximada de que X sea mayor que 146? A. B. C. D. E.

A. 6 B. 7 C. 114

0 0,2743 0,6 0,7257 1

a. ¿Cuáles fueron las puntuaciones que marcaron el paso de un grupo a otro? b. Si un grupo de 5.000 personas realizara el examen, y se considerara la misma media y desviación estándar, ¿cuántas personas quedarían en cada nivel?

Mi ESTADO Anota el nivel de logro de tus aprendizajes hasta ahora según las categorías de desempeño dadas:

10. ¿Cuál(es) de las siguientes distribuciones está(n) estandarizada(s)? I.

II.

1. Por lograr; 2. Medianamente logrado; 3. Logrado. Identifiqué variables aleatorias continuas.

III.

(Pregunta 1) 25 % 0

A. B. C. D. E.

Solo I Solo II Solo I y II Solo I y III I, II y III

Interpreté el gráfico de una función de densidad y calculé probabilidades.

25 % 3

(Preguntas 2, 3 y 4)

Resolví problemas que involucran los conceptos de distribución normal y normal estándar. (Preguntas 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12 y 13)

Calculé el número de muestras posibles de obtener de un grupo. (Pregunta 11)

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

185

Intervalos de confianza Como ya se ha dicho, al considerar varias muestras aleatorias de una población, sus medias tienden a la media poblacional. Por lo mismo, al analizar solo una muestra no es posible afirmar que su promedio corresponde a la media poblacional, pero sí es una estimación.

Para GRABAR Un intervalo de confianza es un rango de valores que se usa para estimar el valor real de un parámetro de la población a partir de una muestra. El nivel de confianza (1 – α) · 100 % es la proporción de veces que el intervalo obtenido realmente contiene el parámetro. Por ejemplo, estimar la media poblacional con un nivel de confianza de 95 % significa que si el proceso se realiza muchas veces con distintas muestras, en el 95 % de los casos el intervalo obtenido realmente contiene a la media poblacional. Los valores que establecen los límites del intervalo de confianza se denominan límites de confiabilidad. Así, un intervalo de confianza de (1 – α) · 100 % para la media poblacional μ, con σ conocida es: _ _ σ__, x_ + z σ ___ IC(μ) = x − z1 − __α · ___ α · __ ; donde n es el tamaño de la muestra y x es su promedio. 1 − __ 2 √n 2 √n

[

]

1. Analiza el ejemplo. Luego, resuelve los problemas propuestos. Encuentra un intervalo de confianza del 95 % para la media poblacional, cuya desviación estándar es 2,5. Para ello, considera una muestra de 40 estudiantes, con un promedio de 11,6. El intervalo de confianza pedido está dado por: _ σ__ , _x + z σ ___ IC(μ) = x − z1 − __α · ___ α · __ 1 − __ √ n 2 2 √n

]

[

_ 2,5 σ__ = ____ ___ ≈ 0,4. Además, como (1 – α) · 100 % = 95 %, entonces: Donde n = 40, x = 11,6 y ___ √n √ 40 1 – α = 0,95 ⇒ α = 0,05

D esafíate ¿Qué significa aplicar la fórmula de IC(µ) para encontrar un intervalo de 100 % de confiabilidad?

Luego: z1 − __α = z1 − ___ 0,05 = z 0,975 2

Luego, se debe buscar en la tabla para qué valor de z se obtiene P(Z < z ) = 0,975. Así, se obtiene que z0,975 = 1,96. Luego, el intervalo de confianza pedido es: _ σ__ , _x + z σ__ ___ IC(μ) = x − z1 − α__ · ___ __ · 1−α √ n 2 2 √n

]

[

= ]11,6 − 1,96 · 0,4; 11,6 + 1,96 · 0,4[ = ]10,816; 12,384[ Finalmente, es posible afirmar con un nivel de confianza del 95 %, que la media poblacional pertenece al intervalo ]10,816; 12,384[.

186 UNIDAD 4 • ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

a. En una universidad se estudió el gasto mensual que los estudiantes hacen para almorzar en el casino de la institución. Para estimar el gasto medio, se tomó una muestra de tamaño 84, de donde se obtuvo que los estudiantes gastaron en promedio $55.840. Si se sabe que la desviación estándar de la población es de $11.580, construye un intervalo de confianza del 95 % para estimar el gasto promedio mensual de los estudiantes de la universidad.

b. Sea X: el número de horas que dura la batería en reposo de un equipo electrónico; una variable aleatoria continua que sigue una distribución normal, con una desviación estándar de 0,8 horas. Se tomó una muestra aleatoria de 8 de estos artículos y se registró el tiempo que duró su batería en reposo, donde se obtuvo lo siguiente: 14,82 h – 12,38 h – 14,92 h – 15,86 h – 13,51 h – 14 h – 17,21 h – 15,38 h Construye un intervalo de confianza del 90 % para X.

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

187

2. Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas y escribe la solución. a. Se sabe que cierta variable aleatoria continua distribuye N(µ, 16). Para estimar su media se selecciona una muestra aleatoria de tamaño 200, cuyo promedio es 49. Estima µ mediante un intervalo de confianza del 95 %.

b. Para cierta población, se quiere estimar el promedio del número de latidos del corazón por minuto. Para esto se seleccionó una muestra aleatoria de 100 individuos, y se obtuvo un promedio de 90 latidos por minuto. Si la desviación estándar es 10 latidos por minuto, construye un intervalo de confianza del 95 % para estimar la media poblacional.

c. Un supermercado estudió el tiempo de espera de sus clientes en las cajas. Para esto, decidió tomar una muestra de 35 clientes y registrar el tiempo que tuvieron que esperar para ser atendidos, obteniendo un promedio de 30 minutos. Si el tiempo de espera se distribuye N(µ, 5), construye un intervalo de confianza del 95 % para estimar su media poblacional.

d. Considerando el problema anterior, compara el intervalo de confianza obtenido con otro del 90 % de confiabilidad. ¿Crees que la diferencia es significativa? Fundamenta tu respuesta.

D esafíate ¿Crees que a mayor nivel de confianza se obtiene una mayor amplitud del intervalo de confianza? Fundamenta tu respuesta.

188 UNIDAD 4 • ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

3. Resuelve el siguiente problema. Luego, comenta tu respuesta con un compañero o compañera y acuerden cuál es la solución al problema.

El dueño de una fábrica de tornillos escogió al azar 8 tornillos fabricados de una misma máquina, y al medir sus longitudes, obtuvo: 1,7 mm – 1,6 mm – 1,8 mm – 1,88 mm – 1,5 mm – 1,64 mm – 1,82 mm – 1,7 mm Si las longitudes de los tornillos se distribuyen N(µ, 0,45), estima la longitud media para la población de tornillos fabricados por la misma máquina.

4. Crea tres problemas en los que se deba determinar un intervalo de confianza para

estimar la media poblacional de cierta variable. Luego, resuélvelos e intercámbialos con los problemas de otro compañero o compañera. Problema 1:

Solución: Problema 2:

Solución: Problema 3:

Solución:

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

189

Representatividad de una muestra Cuando se quieren realizar conclusiones o inferencias acerca de un determinado fenómeno de investigación dado en una población mediante un estudio estadístico, aplicando encuestas o realizando experimentos, en numerosas ocasiones se hace necesario seleccionar una muestra. Sin embargo, esta selección debe responder a ciertos criterios preestablecidos, de tal forma que la hagan representativa de la población. Por ejemplo, si se quiere estudiar el grado de satisfacción que tienen las personas sobre el uso de un teléfono celular de cierta marca y modelo, probablemente no sería representativo escoger aleatoriamente “n” individuos que caminan por la calle para aplicarles una encuesta, ya que es probable que al no tener dicho teléfono, se les hace imposible opinar sobre el grado de satisfacción; o si se quiere estudiar qué candidato presidencial tiene mayor preferencia y se selecciona una muestra aleatoria de tamaño “n”, pero todos los encuestados pertenecen a un mismo partido político.

Ampliando MEMORIA Descripción general de pasos para seleccionar una muestra: Paso 1: Definir la población de estudio. Paso 2: Identificar los elementos que pueden pertenecer a la muestra.

Para GRABAR Antes de seleccionar una muestra, se debe asegurar su representatividad con respecto a la población a la que pertenece. Para esto, se pueden establecer una serie de criterios que aseguren dicha representatividad. Se entenderá por elemento de una muestra la unidad acerca de la cual se solicita información. Los elementos pueden ser los individuos, empresas, familias, productos, almacenes, etc.

Paso 3: Determinar el tamaño de la muestra.

Los elementos de cualquier muestra dependerán de los objetivos del estudio. Por ejemplo, ante un estudio de preferencias sobre candidatos a la presidencia, un niño no puede considerarse como un elemento de la muestra, ya que la ley no le permite votar.

Paso 4: Seleccionar una técnica de muestreo.

1. Analiza la siguiente situación y luego comenta con un compañero o compañera si

Paso 5: Seleccionar la muestra.

hubieras considerado otro criterio para seleccionar la muestra.

Una empresa de radiotaxis estudió el grado de satisfacción que tienen sus usuarios acerca del servicio que les presta. Para esto, les aplicó durante una semana una encuesta que incluyó varias preguntas: • ¿Desde cuándo usa nuestro servicio? • ¿Con qué frecuencia usa nuestro servicio? • ¿Cuál es su grado de satisfacción con el servicio dado? • ¿Cambiaría nuestro servicio por el de otra empresa? • ¿Cómo evalúa la rapidez de respuesta del servicio? • ¿Cómo evalúa la atención de los conductores? • ¿Considera que la calidad de los vehículos es la apropiada? • ¿Recomendaría a otras personas que usaran nuestro servicio? En este caso, el criterio para seleccionar la muestra consistió en seleccionar a personas usuarias del servicio. Sin embargo, también podrían haberse considerado criterios de selección a usuarios que vivieran o trabajaran en el sector donde tiene cobertura el servicio, la edad de los usuarios, solo los usuarios que pagan y no sus acompañantes, etc.

190 UNIDAD 4 • ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

2. Analiza las siguientes situaciones. Luego, responde. a. Una fábrica de lácteos desea establecer el impacto en la población de uno de sus nuevos productos. Para esto, piensa ubicar diferentes personas en distintos supermercados de Chile, registrando cuántos productos son comprados en un intervalo de tiempo definido. • ¿En qué regiones pondrías más personas para contabilizar? ¿Por qué?

• ¿En qué horarios decidirías registrar las compras? ¿Por qué?

• ¿Se podría establecer con este estudio qué grupo etario se inclina mayormente por este producto?

b. Un grupo de canales de televisión utiliza el sistema conocido como “people meter” para decidir cómo conformar su programación, agregando o quitando programas. Este sistema, básicamente, es una herramienta que proporciona datos numéricos (rating) sobre la preferencia que está obteniendo un programa de televisión, según cierta cantidad de televisores de diferentes hogares del país. Por ejemplo, si un programa de televisión obtiene 25 puntos de rating, significa que un 25 % de la población lo está sintonizando. Supongamos que en un país se consideró una muestra de 4.000 hogares, utilizando como criterio la región en la que se ubican, resultando lo siguiente: Región Cantidad de televisores

A 1.000

B 1.000

C 1.000

D 1.000

• Si el país tiene 10 regiones, ¿consideras que esta muestra es representativa de la población? ¿Por qué?

• ¿Cómo crees que se seleccionó a cada hogar observado? Fundamenta.

• ¿Qué criterio crees que se consideró para observar la misma cantidad de hogares de cada región? Justifica.

• Discute con tus compañeros y compañeras sobre la validez de sacar o no un programa, de acuerdo al rating registrado, según la muestra descrita.

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

191

c. Cierta fábrica de ampolletas produce diariamente 1.500 unidades, considerando cuatro tipos de voltajes. Para el control de calidad, necesita saber cuánto tiempo máximo y mínimo de durabilidad tienen bajo condiciones normales. • ¿Considerarías la totalidad de la producción? ¿Por qué?

• Si escoges una muestra, ¿bajo qué criterios lo harías? Explica.

• ¿Cómo calcularías el tiempo promedio máximo y el tiempo promedio mínimo de durabilidad de una ampolleta producida por esta fábrica?

d. El Instituto Nacional de Estadísticas (INE) se encarga de desarrollar estudios estadísticos relacionados con la población nacional para analizar sus distintos comportamientos, cambios y tendencias. En una encuesta aplicada para establecer cómo las personas, por género, distribuyen su tiempo los fines de semana, se obtuvo el siguiente gráfico: Distribución de horas promedio por grandes grupos de actividad diaria, durante fines de semana, por género 0,2

0,6

Mujeres 1,3

3,8

2,2 0,2

1,8

12,8

1,2

2,7

12,6

1,2

1,1

Hombres 2,3 0%

2,0 10 %

1,9 20 %

30 %

ACTIVIDADES REMUNERADAS VIDA SOCIAL CUIDADOS PERSONALES

40 %

50 %

60 %

70 %

TRABAJO NO REMUNERADO OCIO Y RECREACIÓN DESPLAZAMIENTOS

80 %

90 %

100 %

ESTUDIOS USO DE MEDIOS DE COMUNICACIÓN

• ¿Qué criterios habrías aplicado para determinar la muestra de este estudio? Justifica.

192 UNIDAD 4 • ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

e. Una estación radial eligió la mejor canción de la década. Para esto, realizó una encuesta telefónica durante dos días a una muestra seleccionada de 1.000 personas. • Escribe un criterio, que a tu juicio, debió ser considerado en la selección de la muestra. Fundamenta.

• ¿Crees importante que uno de los criterios haya sido que las personas que forman la muestra deben escuchar dicha estación radial? ¿Por qué?

3. Analiza la veracidad de las siguientes afirmaciones. Luego, comenta con tus compañeros y compañeras.

• Seleccionar una muestra considerando criterios inapropiados implica que los resultados obtenidos no serán representativos de la población. • Considerar una mayor cantidad de criterios para seleccionar una muestra asegura que las conclusiones realizadas son aplicables también a la población. • Para realizar un estudio del consumo de carne en un país de 7 regiones, bastaría con encuestar a la totalidad de habitantes de cuatro de ellas.

4. Analiza la siguiente tabla proporcionada por el INE en su informe anual de calidad de vida. Luego, responde las preguntas.

¿Toma desayuno? Indicador

Frecuencia

Porcentaje

Todos los días A veces Nunca Total

3.454.574 928.274 206.344 4.589.192

75,3 20,2 4,5 100,0

Porcentaje acumulado 75,3 95,5 100,0

a. ¿Cuál crees que es la población de estudio considerada por el INE? Fundamenta.

b. Si el alcalde de una municipalidad propone replicar la encuesta para su comuna y quiere hacerlo considerando una muestra, determina tres criterios de selección. 1. 2. 3.

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

193

Experimentos aleatorios y distribuciones Supón que la variable aleatoria asociada a un experimento aleatorio se distribuye N(21, 3). Observa cómo representar con una hoja de cálculo los resultados de repeticiones de dicho experimento: 1 Para numerar 30 filas del 1 al 30, debes escribir 1 en la casilla A1 y luego completar, como muestra la imagen, la ventana que se despliega al seleccionar “Series…” en la opción “Rellenar”.

2 Para generar los 30 datos de la muestra, escribe la fórmula de la imagen en la casilla B1 y presiona Enter. Así, los datos generados seguirán un comportamiento normal. Luego, copia la fórmula en las demás celdas, arrastrando B1 desde el extremo inferior derecho.

3 Luego de generar los datos, que siguen una distribución N(21, 3), los representarás gráficamente. Para esto, insertarás un histograma, ingresando la amplitud de cada intervalo. Observa la columna D. Esta amplitud es arbitraria, por lo que puedes elegir cualquiera.

194 UNIDAD 4 • ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Ahora, con la función FRECUENCIA, es posible calcular la frecuencia absoluta de cada intervalo. Para esto, selecciona todas las casillas destacadas de la columna E y digita la fórmula de la imagen. Luego, presiona Control + Shift + Enter.

Para insertar un histograma, desde la pestaña “Insertar”, selecciona el tipo de gráfico que corresponde. En este caso, el de columnas.

6 Finalmente, para generar la curva que representará la distribución de probabilidad normal de los datos generados, debes seleccionar las barras del gráfico, presionar el botón derecho del mouse, seleccionar “Agregar línea de tendencia…” y seleccionar “Media móvil”, como muestra la imagen.

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

195

Ahora, considera el experimento aleatorio “registrar el número de caras al lanzar siete monedas”. Observa cómo representar, en una planilla de cálculo, los resultados obtenidos: 1

2 En la columna A escribe el número de caras posibles de obtener; mientras que en la B, la probabilidad de obtener cada una de estas cantidades. Por ejemplo, a partir de la imagen se puede afirmar que la probabilidad de obtener 3 caras al lanzar 7 monedas es 0,27 aproximadamente. Para esto, digita la función de la imagen, presiona Enter y copia la fórmula.

Para graficar las probabilidades, selecciona las celdas de ambas columnas, busca en la pestaña “Insertar” el tipo de gráfico de la imagen y selecciona el que se destaca.

El gráfico obtenido es una curva representativa de una distribución normal; esto ocurre porque al lanzar una moneda, es posible obtener solo dos resultados, cara o sello, y cada uno de ellos tiene la misma probabilidad de ocurrir. Si esa probabilidad fuese distinta, la curva no sería simétrica.

1. Representa gráficamente los resultados de un experimento aleatorio, sabiendo que siguen una distribución N(12; 2,5).

2. Representa gráficamente el experimento aleatorio “responder un examen al azar”, considerando que consta de 10 preguntas, cada una con tres alternativas.

3. Interpreta el gráfico de la actividad anterior, ¿cuál es la probabilidad de acertar 6 respuestas correctas?

196 UNIDAD 4 • ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Probabilidad binomial y normal Si un experimento aleatorio tiene resultados dicotómicos, es decir, solo dos posibilidades de ocurrencia (éxito y fracaso) es denominado experimento de Bernoulli. Por ejemplo, extraer una bolita de una urna que contiene tres bolitas azules y dos rojas tiene solo dos posibilidades, o se extrae una bolita roja o una azul. Si un experimento de Bernoulli puede ser realizado las veces que se quiera, el resultado de cada ensayo es independiente de los otros y la probabilidad de obtener éxito en cualquier ensayo es siempre la misma, se dirá que dicho experimento sigue una distribución binomial. Por ejemplo, el experimento mencionado (extraer una bolita de una urna que contiene tres bolitas azules y dos rojas) seguirá una distribución binomial si es que la extracción es con reposición, ya que de ser sin reposición, no sería posible realizarlo las veces que se quiera, el resultado de cada ensayo dependería de la extracción anterior y, la probabilidad de éxito no sería la misma en cada ensayo. Si un experimento sigue una distribución binomial, es posible obtener la probabilidad de que la variable aleatoria asociada (Y) adquiera un determinado valor (y) con la fórmula:

( )

P( Y = y ) = ny · py · ( 1 − p )n − y

AYUDA Recuerda que:

Donde n es el número de ensayos, p es la probabilidad de éxito y 1 – p es la probabilidad de fracaso.

n! = n · (n – 1) · (n – 2) · … · 2 · 1, con n ∈ 핅. Además:

Por ejemplo, en el caso de la urna con tres bolitas azules y dos rojas, se extrae una bolita con reposición. Si se realiza el experimento 3 veces, ¿cuál es la probabilidad de extraer exactamente 2 veces una bolita azul?

Con k ∈ 핅 ∪ {0} y n ≥ k.

n! ( nk ) = ______ k! · (n – k)!

Se define la variable Y: número de bolitas azules extraídas. 3 = 0,6 (probabilidad de obtener una bolita azul al Si y = 2 (obtener dos bolitas azules), p = __ 5 realizar una vez el experimento) y n = 3 (número de extracciones), entonces: P( Y = 2 ) = ( 32 ) · 0,62 · ( 1 − 0,6 )3 − 2 = 0,432

Por lo tanto, la probabilidad de obtener dos bolitas azules y una roja, al extraer tres veces una bolita de la urna, es 0,432. Sin embargo, cuando el número de ensayos es grande, el cálculo de la combinatoria, sin calculadora, se puede hacer un poco difícil. Para estos casos, es posible aproximar la probabilidad binomial por una probabilidad normal.

Para GRABAR Sea Y una variable aleatoria asociada a un experimento aleatorio, que sigue una distribución binomial B(n, p), donde n es el número de ensayos y p es la probabilidad de éxito, entonces, ____ esta distribución binomial se puede aproximar a una normal de la forma N( np, √npq ), donde q = 1 – p. Lo anterior se simboliza: ___

B(n, p) ↝ N( np, √npq ) Para calcular probabilidades, es necesario aplicar un ajuste, denominado corrección de Yates. Así:

• • • • •

P(Y = y) = P(y – 0,5 < x < y + 0,5) P(Y ≤ y) = P(x < y + 0,5) P(Y < y) = P(x < y – 0,5) P(Y ≥ y) = P(x > y – 0,5) P(Y > y) = P(x > y + 0,5)

Ampliando MEMORIA Antes de aproximar una distribución binomial a una normal verifica que se cumplen las siguientes condiciones: • np ≥ 5 • n(1 – p) ≥ 5

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

197

1. Analiza el siguiente ejemplo. Ejemplo: el 4 % de los clavos de 2 pulgadas producidos por una empresa salen defectuosos. Si se produce un lote de 1.200 clavos: • ¿cuál es la probabilidad de que menos de 60 clavos de 2 pulgadas sean defectuosos? Sean Y: número de clavos defectuosos producidos y p: probabilidad de que el clavo sea defectuoso. Luego, Y se distribuye B(1.200; 0,04), ya que n = 1.200 y p = 0,04, y se quiere calcular P(Y < 60). Como np = 48 y n(1 – p) = 1.152, ambos mayores que 5, es posible aproximar de buena manera la probabilidad _________ binomial de Y pedida por una probabilidad normal de media np y desviación estándar √ np(1 − p) . Es decir: _______

____________

N( np, √ np(1 − p) ) = N( 1.200 · 0,04; √ 1.200 · 0,04 · 0,96 ) = N( 48; 6,79 )

Aplicando el ajuste de Yates respectivo se tiene: P(Y < 60) = P(X < 60 – 0,5) = P(X < 59,5) Luego, estandarizando:

(

)

59,5 − 48 X − 48 < ________ P ______ = P( Z < 1,69 ) 6,79 6,79

Utilizando la tabla de tipificación de la página 223, se obtiene P(Z < 1,69) = 0,9545, que corresponde a la probabilidad aproximada de que en un lote de 1.200 clavos, menos de 60 sean defectuosos. • De los 1.200 clavos producidos, ¿cuál es la probabilidad de obtener 25 o más y 55 o menos clavos defectuosos? Considerando nuevamente que Y se distribuye B(1.200; 0,04), se quiere calcular el valor de P(25 ≤ Y ≤ 55), que es igual a calcular P(Y ≤ 55) – P(Y < 25).

AYUDA P(Z < –3,46) = P(Z > 3,46) = 1 – P(Z < 3,46)

Considerando que np ≥ 5 y n(1 – p) ≥ 5, y que X se distribuye N(48; 6,79), es posible ajustar con la corrección de Yates, obteniendo: P(Y ≤ 55) – P(Y < 25) = P(X < 55,5) – P(X < 24,5) Estandarizando, se tiene:

−3,46

3,46

(

) (

)

55,5 − 48 24,5 − 48 X − 48 < _______ X − 48 < _______ P _____ − P _____ = P( Z < 1,1 ) − P( Z < −3,46 ) 6,79 6,79 6,79 6,79 Luego, utilizando la tabla de tipificación de la página 223, se obtiene P(Z < 1,1) = 0,8643 y que: P(Z < –3,46) = 1 – P(Z < 3,46) = 1 – 0,9997 = 0,0003 Por lo que al restar ambos valores se tiene que 0,864 corresponde a la probabilidad aproximada de que en un lote de 1.200 clavos, se produzcan entre 25 y 55 clavos defectuosos, incluyendo dichos valores.

198 UNIDAD 4 • ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

2. Calcula las probabilidades de las siguientes distribuciones binomiales mediante la aproximación normal correspondiente.

• Si X ∿ B(100; 0,2), calcula P(Y < 56), P(33 < Y < 87) y P(Y = 13).

• Si X ∿ B(1.000; 0,05), calcula P(40 < Y), P(Y ≤ 48) y P(Y = 54).

• Si X ∿ B(50; 0,9), calcula P(33 ≤ Y) , P(Y < 45) y P(Y = 40).

• Si X ∿ B(120; 0,3), calcula P(Y > 40), P(Y ≤ 35) y P(Y = 41).

3. Resuelve los problemas propuestos. a. Se estima que el 10 % de la población mundial es zurda. Si en una empresa trabajan 800 trabajadores, ¿cuál es la probabilidad de que haya más de 70 zurdos?

b. Un operador de telefonía celular encontró que el 60 % de sus clientes nuevos renuevan su servicio en el siguiente año. Si en un día ingresan 80 clientes nuevos, ¿cuál es la probabilidad de que 60 o más renueven el servicio el siguiente año?

c. En las elecciones de un país, se sabe que el 25 % de la población que vota no fue a votar. Si se seleccionan 100 individuos al azar, ¿cuál es la probabilidad que al menos 25 no haya votado?

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

199

R esolución de problemas ¿QUÉ ES EVALUAR? Evaluar consiste en emitir juicios de acuerdo a un criterio conocido o valido.

¿QUÉ TENGO QUE HACER PARA EVALUAR?

1. Analiza la resolución del siguiente problema. Si el 7 % de los celulares de cierta marca tiene algún defecto y se empaqueta en cajas de 80 unidades para distribuirlos, ¿cuál es la probabilidad de que en una caja haya más de 10 celulares defectuosos? Paso 1

• ¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema?

• Analizar el objeto o situación que se va a evaluar.

La probabilidad de encontrar más de 10 celulares defectuosos en una caja.

• ¿Qué información entrega el enunciado del problema?

• Definir el o los criterios de evaluación.

ETAPAS DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Que el 7 % de los celulares tiene algún defecto y se empaqueta en cajas de 80 unidades. Paso 2

Planifica lo que vas a realizar

• Analiza el objeto o situación que evaluarás y define cómo realizarás esta evaluación.

Paso 1: Comprende el enunciado.

La situación a considerar es obtener celulares defectuosos o no y se trata de un experimento dicotómico. Luego, la variable aleatoria sigue una distribución binomial B(80; 0,07) que se puede aproximar a una distribución normal.

Paso 2: Planifica lo que vas a realizar. Paso 3: Resuelve el problema. Paso 4: Revisa la solución.

Comprende el enunciado

Paso 3

Resuelve el problema

• Verifica si la proposición es válida o no. La variable se distribuye de forma binomial B(80; 0,07), siendo np = 5,6 > 5 y n(1 – p) = 74,4 > 5. Luego, se puede aproximar a una distribución normal N(5,6; 2,28).

• Explicita los argumentos sobre el valor atribuido a la solución de la situación.

Considerando la información del enunciado se quiere calcular P(Y > 10). Luego, P(Y > 10)

P(X > 10,5)

X − 5,6 10 − 5,6 P _____ > ______ 2,28 2,28

= = = =

P(Z > 2,15) 1 − P(Z < 2,15) 1 − 0,9842 0,0158

(

)

Por lo tanto, la probabilidad de que en una caja haya más de 10 celulares defectuosos es 0,0158. Paso 4

Revisa la solución Puedes calcular 1 − (P(Y ≤ 10)) = 1 − (P(Y = 0) + P(Y = 1) + … + P(Y = 10)).

200 UNIDAD 4 • ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

2. Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente. En un colegio se estima que 1 de cada 8 estudiantes prefiere matemática sobre otras asignaturas. Si se elige a 60 estudiantes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que en ese grupo haya más de 10 que prefieran matemática? Paso 1

Comprende el enunciado

• Identifica lo que entiendes de la información.

• Relaciona lo que entiendes del enunciado.

• Expresa la información en otro tipo de formato.

Paso 2

Planifica lo que vas a realizar

Paso 3

Resuelve el problema

Paso 4

Revisa la solución

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

201

esolución de problemas 3. Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas. a. Una población se distribuye normal N(90, 15). Calcula:

• P( x ≤ 85) • P(85 < x < 100) • P(65 < x < 80) b. La duración media de cierto producto es 8 años y su desviación estándar es 0,5 años. Sabiendo que su vida útil se distribuye normal, ¿cuál es la probabilidad de que al adquirir uno de estos productos dure más de 9 años? c. Cierto tipo de ventilador tiene una duración de 4 años con una desviación estándar de 0,5 años. Si la duración de los ventiladores sigue una distribución normal:

• ¿Qué porcentaje de ventiladores se espera que duren entre 2 y 5 años? • Si un ventilador lleva funcionando 4 años, ¿cuál es la probabilidad de que dure menos de 5 años? d. La distribución normal de los puntajes obtenidos por estudiantes en una primera etapa de un concurso de talentos tuvo una media de 725 puntos y una desviación estándar de 60 puntos. Si todos los estudiantes que obtuvieron menos de 616 puntos quedaron descalificados, ¿qué porcentaje de participantes quedó descalificado en esta etapa? e Considerando el problema anterior, si al 15 % de los estudiantes con mayor puntuación se les bonificará con 10 puntos para la siguiente etapa del concurso, ¿qué puntaje debe sobrepasar un participante para obtener esta bonificación? f. Se realizó un estudio sobre el efecto del calor en un aparato electrónico. De una muestra escogida aleatoriamente, se analizó el tiempo que transcurre hasta que el aparato deja de funcionar. Luego, para una muestra de 30 aparatos, se obtuvo que el tiempo promedio en que dejaron de funcionar fue 1,15 horas. Si X es el tiempo promedio en que el aparato deja de funcionar y se distribuye de forma normal con una desviación estándar de 0,5 horas, construye un intervalo de confianza del 95 % para estimar la media poblacional de X. g. Se quiere estimar la media de grasa de una carne específica. Para esto, fue seleccionada aleatoriamente una muestra de 15 piezas de carne, obteniendo un promedio de 25,56 g por cada 100 g de carne. Supón que la población en estudio se distribuye N(µ; 0,3). Construye intervalos de confianza para la media poblacional del 90 %, 95 % y 99 %. h. Considerando el problema anterior, si se toma otra muestra, pero de tamaño 40 y el promedio se mantiene en 25,56 g por cada 100 g de carne, ¿qué ocurre con los intervalos de confianza obtenidos en el punto anterior?, ¿varían mucho con respecto a los nuevos? i. Gracias a los controles de tránsito de cierta ciudad, se ha estimado que el 35 % de los conductores controlados excede el límite de velocidad permitido. Si en un mes se controlan un total de 650 personas:

• ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 230 haya cometido esta infracción? • ¿Cuál es la probabilidad de que 250 personas hayan excedido el límite de velocidad? • ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más 245 personas haya cometido esta infracción?

202 UNIDAD 4 • ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

j. Para cada una de las siguientes distribuciones binomiales, indica si se pueden o no aproximar a una normal. En caso negativo, explica por qué, y en caso afirmativo, determina a qué distribución normal se aproxima, calculando su media y desviación estándar.

• • • •

B(10; 0,1) B(40; 0,8) B(32; 0,4) B(48; 0,9)

k. Una máquina tiene una probabilidad igual a 0,01 de fabricar un artículo defectuoso. Si la máquina produce 35.000 artículos:

• ¿cuál es la probabilidad de que haya menos de 330 artículos defectuosos? • ¿cuál es la probabilidad de que haya más de 500 artículos defectuosos? • ¿cuál es la probabilidad de que haya entre 300 y 400 artículos defectuosos? l. La probabilidad de que un estudiante de ingeniería obtenga su título es de 0,3. Si un año entran 500 estudiantes a dicha carrera, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 160 de ellos se titulen? m. Si un tirador al blanco acierta el 70 % de sus tiros, calcula la probabilidad de que en 20 tiros acierte a lo más 15 veces.

• Mediante la distribución binomial. • Mediante la aproximación a la normal. • Compara ambos resultados. n. Si uno de cada diez estudiantes de un colegio son de un determinado equipo de fútbol y se escogen 50 estudiantes al azar, calcula la probabilidad de que:

• A lo más 6 estudiantes sean de ese equipo de fútbol. • A lo menos 3 estudiantes sean de ese equipo. ñ. En una ciudad se calculó que la probabilidad de nacer mujer es de 0,53. Si en un mes cualquiera ha habido 200 nacimientos:

• ¿Cuál es la probabilidad de que el número de niñas sea mayor que 95? • ¿Cuál es la probabilidad de que el número de niñas esté entre 110 y 125? o. En una ciudad se detectó una epidemia de gripe. Si se sabe que el 35 % de la población de la ciudad está enferma:

• ¿Cuál es la probabilidad de que en una sala de cine con 200 personas, al menos 65 de ellos estén contagiados con el virus? • ¿Cuál es la probabilidad de que en una sala con 150 estudiantes haya exactamente 48 contagiados? p. Un profesor de universidad tiene 300 estudiantes un semestre. La probabilidad de que uno de ellos apruebe es de 0,7.

• ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 150 estudiantes escogidos al azar, más de 100 apruebe?

• ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 100 estudiantes escogidos al azar, menos de 52 no aprueben el ramo?

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

203

H istorial

Síntesis

El siguiente organizador gráfico resume las relaciones entre los principales conceptos abordados. Experimentos aleatorios si tiene

resultados dicotómicos se llama

experimento de Bernoulli y puede seguir una

desviación estándar 1

Media 0 con

distribución normal estándar N(0,1)

desviación estándar σ

media μ con

se puede transformar a

distribución normal N(μ, σ)

distribución binomial puede tener una

puede tener una

Variable aleatoria continua

sigue una

media muestral

tiene una

muestra

tiende a

debe ser

media poblacional

representativa

en un

que se asegura por

criterios de representatividad

que tiene

204 UNIDAD 4 • ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

probabilidad por medio de su

intervalo de confianza

límites de confiabilidad

se puede calcular la

nivel de confianza

función de densidad

C argando disco

Modelamiento de pregunta PSU

Analiza el siguiente ejemplo de resolución de un tipo de pregunta PSU. Se puede determinar el valor de k si:

(1) El gráfico corresponde a una función de densidad. (2) 0 < k < 1. A. B. C. D. E.

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) o (2). Se requiere información adicional.

0,6

1,2

1,8

A continuación, analicemos las alternativas: Para responder este tipo de pregunta se debe analizar cada una de las proposiciones por separado y determinar si entregan la información suficiente para resolver el problema.

Luego, se puede determinar el valor de k. Es decir, se puede resolver el problema con la proposición (1). Por lo tanto, se descartan las alternativas B, C y D, como correctas.

La información relevante para determinar el valor de k está presente en el gráfico que se muestra en la figura.

La proposición (2) establece que:

De esta forma, para responder la pregunta, se necesita alguna indicación acerca del gráfico para establecer una relación que nos permita determinar k.

Esto significa que existen infinitos valores que puede tomar k y por ende no se puede determinar su valor. Es decir, no se puede resolver el problema con la proposición (2) por sí sola. Por lo tanto, se descarta la alternativa D como correcta.

0<k<1

La proposición (1) establece que: El gráfico corresponde a una función densidad.

De esta forma, se puede resolver el problema solo con la proposición (1).

Esto significa que el área bajo la curva debe ser 1 y se puede establecer la siguiente relación: 1 · 0,6 · k + 0,6 · k + __ 1 · 0,6 · k = 1 __ 2 2

Entonces, la alternativa correcta es A. A

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

205

V erificando disco I.

Evaluación final

Lee atentamente y marca la alternativa correcta.

1. Si X es una variable aleatoria continua, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I. P(X ≤ x) = P(X < x) II. P(X > x) = 1 − P(X < x) III. P(X < x) = 1 − P(X < −x) Solo I Solo II Solo I y II Solo I y III I, II y III

A. B. C. D. E.

4. ¿Cuál es el valor de P(1,25 < X < 1,6)? A. B. C. D. E.

0,14 0,175 0,28 0,35 0,4

Considera la siguiente situación para responder las preguntas 5, 6 y 7. El tiempo de espera, medido en minutos, en la fila de un supermercado es una variable aleatoria continua. Se observa esta situación en un supermercado de una pequeña localidad y se obtiene la siguiente función de densidad de probabilidad.

{

Responde las preguntas 2, 3 y 4 considerando el siguiente gráfico:

1x __ 6 1 __ 3 f(x) = 5 1 x + __ − __ 6 6 0

Y 1

si 0 < x < 2 si 2 ≤ x < 3 si 3 ≤ x en otro caso

5. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona espere más de 3 minutos?

A. 0 0,5

1,25

1,6

2. Si el gráfico corresponde a una función de densidad, ¿qué valor debe tener k? A. B. C. D. E.

0 0,7 0,8 0,875 1

3. ¿Cuál es la probabilidad de que X sea 0,5? A. 0 7 B. ___ 40 1 C. __ 5 4 D. __ 5 E. 1

206 UNIDAD 4 • ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

1 B. __ 6 1 C. __ 3 __ D. 2 3 E. 1 6. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona espere entre 2 y 3 minutos? A. 0 1 B. __ 6 __ C. 1 3 __ D. 2 3 E. 1

7. ¿Cuál es el gráfico correspondiente a la función de densidad? A.

Y _1 3

8. Si una variable aleatoria continua se distribuye N(μ, σ), ¿aproximadamente, qué porcentaje de la distribución de probabilidades se encuentra en el intervalo ]μ − 3σ, μ + 3σ[? A. B. C. D. E.

4,6 % 31,7 % 68,3 % 95,4 % 99,7 %

9. Sea X una variable que se distribuye N(200, 30). ¿Cuál es el valor aproximado de P(X > 260)?

Y _1 3

A. B. C. D. E.

0,023 0,046 0,23 0,46 0,954

10. Una variable aleatoria X se distribuye de forma normal. Es posible calcular P(X < 30) si:

_1 3

(1) σ = 5 (2) P(X < 25) = 0,5 1

Y _1 3

A. B. C. D. E.

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) o (2). Se requiere información adicional.

11. Sea X una variable que se distribuye en forma normal, con una desviación estándar de 5. Si P(X < 52) es aproximadamente 0,8415, ¿cuál es la media de X? A. B. C. D. E.

43 44 45 46 47

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

207

Evaluación final

12. Sea Z una variable que sigue una distribución normal estándar, tal que P(Z < z) = a. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

A. B. C. D. E.

15. La variable X se distribuye en forma normal, con media 300 y desviación estándar 20. ¿Cuál es el valor aproximado de P(X < 307)? A. B. C. D. E.

I. P (Z > −z) = a II. P(Z > z) = 1 − a III. P(Z < −z) = 1 − a Solo I Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III

16. Se desea escoger una muestra de tamaño 4 de un grupo de 30 personas que asisten a una consulta médica. ¿Cuál de las siguientes expresiones permite calcular la cantidad de muestras que es posible obtener?

Para responder las preguntas 13, 14 y 15 considera la siguiente tabla: z 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

0,00 0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7257 0,7580

0,01 0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591 0,6950 0,7291 0,7611

0,02 0,5080 0,5478 0,5871 0,6255 0,6628 0,6985 0,7324 0,7642

0,03 0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664 0,7019 0,7357 0,7673

0,04 0,5160 0,5557 0,5948 0,6331 0,6700 0,7054 0,7389 0,7704

0,05 0,5199 0,5596 0,5987 0,6368 0,6736 0,7088 0,7422 0,7734

13. Dada una distribución normal estándar, ¿qué valor debe tener k para que P(Z < k) = 0,5910? A. B. C. D. E.

k = 0,03 K = 0,15 k = 0,20 k = 0,23 k = 0,32

14. Dada una distribución normal estándar, ¿cuál es el valor de P(Z > −0,41)? A. B. C. D. E.

0,3409 0,4100 0,4443 0,5557 0,6591

208 UNIDAD 4 • ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

0,35 0,3632 0,6217 0,6368 0,65

A. B. C. D. E.

304 30! ___ 4! 30 · 4 30! ______ 4! · 26! 30 · 29 · 28 · 27

Considera la siguiente información para responder las preguntas 17 y 18. Un fin de semana, cierta tienda cuenta con 8 cajas disponibles para sus clientes. El tiempo promedio de atención en cada caja se muestra en la siguiente tabla: Caja Tiempo (min)

1 2,5

2 3

3 6

4 2,9

5 4

6 3,6

7 3

8 3

17. ¿Cuántas muestras de tres elementos se pueden obtener? A. B. C. D. E.

24 42 56 168 336

18. ¿Cuál es el tiempo promedio de atención de las cajas del supermercado? A. B. C. D. E.

3,2 min 3,5 min 4,1 min 4,5 min 4,8 min

19. Lee la siguiente afirmación: Si se consideran muestras de una población, la variable aleatoria X: promedio de cada muestra, tiene una distribución normal. Esta afirmación es verdadera si:

A. B. C. D. E.

I. Todas las muestras tienen el mismo tamaño. II. La población se distribuye en forma binomial. III. Si la media de X es igual a la media poblacional. Solo I Solo II Solo III Solo I y II Solo I y III

20. ¿Cuál de las siguientes expresiones permite determinar un intervalo con 95 % de confianza para la media muestral de una población con desviación estándar 4, a partir de una muestra de tamaño 100 con promedio 25?

] ] ] ] ]

[

4 , 25 + z · ___ 4 A. 25 − z0,95 · ___ 0,95 10 10 4 , 25 + z · ___ 4 B. 25 − z0,975 · ___ 0,975 10 10 2 , 25 + z · ___ 2 C. 25 − z0,975 · ___ 0,975 10 10 2 , 25 + z · ____ 2 D. 25 − z0,95 · ____ 0,95 100 100 4 , 25 + z · ____ 4 E. 25 − z0,975 · ____ 0,975 100 100

[ [

[

21. Respecto a los intervalos de confianza, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre falsa(s)?

A. B. C. D. E.

I. A mayor nivel de confianza, mayor amplitud del intervalo. II. Mientras mayor sea el tamaño de la muestra, la amplitud del intervalo de confianza aumenta. III. Mientras mayor sea la desviación estándar de la población, la amplitud del intervalo de confianza es menor. Solo I Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III

22. ¿Cuál de las siguientes distribuciones binomiales no conviene aproximarla a una distribución normal? A. B. C. D. E.

B(36; 0,5) B(40; 0,9) B(48; 0,4) B(54; 0,1) B(60; 0,7)

23. Dada una distribución binomial de parámetros B(24; 0,6). ¿A cuál de las siguientes distribuciones normales es mejor aproximarla? A. B. C. D. E.

N(9,6; 2,4) N(9,6; 5,76) N(14,4; 1,6) N(14,4; 2,4) N(14,4; 5,76)

Utiliza la información de la siguiente tabla para responder la pregunta 24. z 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7

0,02 0,8461 0,8686 0,8888 0,9066 0,9222 0,9357 0,9474 0,9573

0,03 0,8485 0,8708 0,8907 0,9082 0,9236 0,9370 0,9484 0,9582

0,04 0,8508 0,8729 0,8925 0,9099 0,9251 0,9382 0,9495 0,9591

0,05 0,8531 0,8749 0,8944 0,9115 0,9265 0,9394 0,9505 0,9599

0,06 0,8554 0,8770 0,8962 0,9131 0,9279 0,9406 0,9515 0,9608

0,07 0,8577 0,8790 0,8980 0,9147 0,9292 0,9418 0,9525 0,9616

24. En los hospitales de un país se comprobó que el 10 % de los pacientes que toman un determinado analgésico sufren efectos secundarios. Para efectos de una investigación sobre este tema, se escogió al azar una muestra representativa de 900 pacientes de los hospitales de todo el país. ¿Cuál es la probabilidad aproximada de que sufran efectos secundarios menos de 100 pacientes entre los escogidos? A. B. C. D. E.

0,0156 0,0594 0,8554 0,9406 0,9591

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

209

Evaluación final

II. Resuelve los siguientes problemas. 1. De un total de 47 productos, ¿cuál es la probabilidad de que a lo menos haya 20 defectuosos, si el 40 % de ellos presenta fallas normalmente?

2. El dueño de un negocio de frutas y verduras sabe que el 80 % de sus clientes regresa a comprar. Si en un mes hay 100 nuevos clientes, ¿cuál es la probabilidad de que 70 o más regresen en otra oportunidad a su negocio?

210 UNIDAD 4 • ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

C errar sesión

Revisa tus respuestas de alternativas. Pregunta

Contenido evaluado

Habilidad

Comprender

3 4

Aplicar

Comprender

Recordar

Aplicar

Analizar Distribución normal

Comprender Comprender

Aplicar

Comprender

Incorrectas

Omitidas

Logro alcanzado

Tendencia de medias muestrales

Aplicar

Correctas

Comprender Aplicar

Mi revisión

Comprender Variable aleatoria continua y función de densidad

Clave

Aplicar Aplicar

Analizar

Recordar Intervalo de confianza

Analizar

Comprender

Distribución binomial

Comprender Aplicar

Mi ESTADO Anota el nivel de logro de tus aprendizajes de la unidad según la categoría de desempeño dada: 1. Por lograr; 2. Medianamente logrado; 3. Logrado. Analicé funciones de densidad y calculé probabilidades. Analicé distribuciones normales y binomiales y calculé probabilidades.

MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

211

R ecopilando disco

Evaluación semestral 2

Para responder, ennegrece el óvalo de la alternativa que consideres correcta en la hoja de respuestas. 1. Observa la figura. ¿Cuáles son las coordenadas del punto A? z 4 3

2 1

-1 -4

-3 4

-2 3

-1 1 0 2 -1

-2 2

-3 3

-4 4

-2 -3 -4

A. B. C. D. E.

(2, 1, 3) (1, 2, 3) (2, 3, 1) (1, 3, 2) (3, 1, 2)

2. Sean P y Q dos puntos de 핉3. Si Q = (1, 3, −2) y el punto medio entre P y Q es 1 , __ 1 , 0 . ¿Cuáles son las coordenadas del punto P? __ 2 2 A. (0, −2, 2) B. (0, 2, 2) C. (1, 2, 2) D. (1, −2, 2) E. (1, −2, −2)

(

)

_›

3. Sean los vectores a = (2, 2, 4), b = (0, 4, 3) y c = (1, 5, 1). ¿Cuál de las siguientes alternativas es correcta? A. B. C. D. E.

_›

‖ a› ‖ < ‖ b ‖ < ‖ c› ‖ _ ‖ b› ‖ < ‖ _c› ‖ < ‖ _a› ‖

‖ c› ‖ < ‖ a› ‖ < ‖ b ‖ _› _ _ ‖ c› ‖ < ‖ b ‖ < ‖ a› ‖ _› ‖ b ‖ < ‖ _a› ‖ < ‖ _c› ‖

_›

4. Si el producto escalar entre los vectores v = (1, 2, 1) y u = (2, 1, x) es 3, ¿cuál es el valor de x? A. B. C. D. E.

212 EVALUACIÓN SEMESTRAL 2

3 2 1 0 −1

H oja de respuestas

Evaluación semestral 2

IDENTIFICACIÓN DEL POSTULANTE APELLIDO PATERNO

APELLIDO MATERNO

NOMBRES

Desprende la hoja y utilízala para responder la evaluación semestral.

RESPUESTAS 1

MATEMÁTICA 4º MEDIO

NUEVO EXPLOR@NDO

Evaluaciรณn semestral 2

RESPUESTAS 21

Mi revisiรณn*

Total

I O C Mi revisiรณn* I: incorrectas

O: omitidas

MATEMร TICA 4ยบ MEDIO

C: correctas

NUEVO EXPLOR@NDO

5. Si una ecuación paramétrica de la recta L en el plano es (x, y) = (1, 3) + λ(1, 1), ¿cuál es su ecuación principal? 1x A. y = __ 2 B. y = x – 2 C. y = x + 2 D. y = 2x + 2 1x+2 E. y = __ 2 _›

6. El vector n = (2, 1, 1) es normal a un plano que contiene al punto B = (4, 2, 1). Si la ecuación general de dicho plano es 2x + y + z + k = 0, ¿cuál es el valor de k? A. B. C. D. E.

−11 −8 8 10 11

7. Considera el plano π dado por 3x − 2y + z + 8 = 0. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) correcta(s)? I. El plano α : 2x + 3y – z + 4 = 0 es perpendicular a π.

II. El plano β : 6x – 4y + 2z + 10 = 0 es paralelo a π.

III. El plano φ : −3x + 2y – z + 12 = 0 es paralelo a π. A. B. C. D. E.

Solo II Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III

8. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I. Tres puntos definen un único plano. II. La intersección de dos planos distintos genera una recta. III. La intersección de una recta y un plano es un punto. A. B. C. D. E.

Solo I Solo II Solo III Solo I y II Solo II y III

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213

ecopilando disco

Evaluación semestral 2

A partir de la siguiente información responde las preguntas 9 y 10. Sean A = (1, 2, 0), B = (0, 2, 2) y C = (1, 0, 1) puntos pertenecientes al plano π. 9. ¿Cuál de los siguientes vectores es normal al plano π? A. B. C. D. E.

(–4, –1, 2) (−1, −2, 4) (4, 1, −2) (4, −1, 2) (4, 1, 2)

10. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde al plano π? A. B. C. D. E.

4y + 2z – 8 = 0 4x – y + 2z – 2 = 0 4x + y + 2z – 6 = 0 –x + 4y + 2z – 7 = 0 –x – 2y + 4z + 5 = 0

11. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I. Un cilindro puede ser asociado a la traslación de un círculo. II. Un cono puede ser asociado a la rotación de un triángulo. III. Una esfera puede ser asociado a la rotación de un círculo. A. B. C. D. E.

Solo I Solo II Solo I y III Solo II y III I, II y III

12. El área del manto de un cilindro de altura 7 cm es 42π cm2. ¿Cuál es el volumen de dicho cilindro? A. B. C. D. E.

42 cm3 63 cm3 21π cm3 42π cm3 63π cm3

13. La longitud de un cateto de un triángulo rectángulo es 7 cm y la de su hipotenusa es 25 cm. ¿Cuál es el volumen del cono asociado a la rotación del triángulo en torno a la recta que contiene al cateto mayor? A. B. C. D. E.

214 EVALUACIÓN SEMESTRAL 2

49π cm3 56π cm3 168π cm3 392π cm3 1.176π cm3

14. Un círculo de radio 4 cm es trasladado según un vector de módulo 5 cm, perpendicular al plano que contiene al círculo. ¿Cuál es el área total del cuerpo asociado? A. B. C. D. E.

40π cm2 52π cm2 56π cm2 72π cm2 80π cm2

15. Un rectángulo se rota en torno a la recta que contiene su lado menor, de longitud x. Si el lado mayor es el triple del menor, ¿cuál de las siguientes expresiones muestra el área del cuerpo asociado? A. B. C. D. E.

3x2π 3x3π 9x2π 24x2π 27x2π

16. _ Un triángulo equilátero de lado 6 cm es trasladado según el vector __ › √ v = ( 3 , 0, 1 ), perpendicular al plano que contiene al triángulo. En la cara superior del prisma asociado, se adosa un tetraedro regular de manera que coincidan sus caras. ¿Cuál es el área del cuerpo obtenido? A. B. C. D. E.

36 √3 cm2 _ 72 √3 cm2 _ ( √ 3 + 36 ) cm2 _ ( 36 √ 3 + 1 ) cm2 _ 36 ( √3 + 1 ) cm2

17. Se hace rotar la figura en torno a la recta L. ¿Cuál es el volumen obtenido por el área ennegrecida? L

2 cm

4 cm

16 π cm3 A. ___ 3 32 π cm3 B. ___ 3 40 π cm3 C. ___ 3 48 ___ D. π cm3 3 53 π cm3 E. ___ 3

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215

ecopilando disco

Evaluación semestral 2

18. Un cono recto está inscrito en un cilindro recto de manera que sus bases coinciden. ¿Cuál es el volumen del cono? (1) La altura del cilindro es 7 cm. (2) El diámetro de la cara basal del cilindro es 6 cm. A. B. C. D. E.

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) o (2). Se requiere información adicional.

19. Un cono truncado es tal que su altura es igual a su radio mayor R. Además, 3R = 4r, donde r es el radio menor. ¿Cuál es la expresión que representa el volumen en función del radio mayor? 37 πR3 A. ___ 16 37 πR3 B. ___ 48 13 πR3 C. ___ 16 1 πR3 D. ___ 16 13 πR3 E. ___ 48 20. Un cono y una esfera tienen igual volumen si: (1) tienen igual radio. (2) la altura del cono es 4 veces el radio de la esfera. A. B. C. D. E.

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) o (2). Se requiere información adicional.

21. En el experimento de lanzar dos monedas, se define la variable aleatoria X: número de sellos obtenidos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I. P(X = 1) = 0,25 II. P(X < 2) = 0,75 III. P(X ≥ 1) = P(X = 2) A. B. C. D. E.

216 EVALUACIÓN SEMESTRAL 2

Solo I Solo II Solo I y II Solo II y III I, II y III

22. Se define el experimento aleatorio E: lanzar tres monedas, la variable aleatoria X: número de caras obtenidas y la función de probabilidad f(x). ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. dom(f ) = {CCC, CCS, CSC, SCC, SSC, SCS, CSS, SSS}

A. B. C. D. E.

II. rec(X) = {0, 1, 2, 3} 3 1 , __ III. rec(f ) = 0, __ 8 8 Solo II Solo III Solo I y II Solo I y III Solo II y III

{

}

23. De las siguientes variables, ¿cuál no es continua? A. B. C. D. E.

Temperatura diaria. Cantidad de hermanos. Capacidad de una botella. Masa corporal de una persona. Tiempo de demora de atención.

Considera el siguiente gráfico para responder las preguntas 24, 25 y 26. f(x) 1

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8

24. Si el gráfico representa una función de densidad, ¿cuál es el valor de k? A. B. C. D. E.

0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

25. ¿Cuál es la probabilidad de que X sea 0,8? A. B. C. D. E.

0 0,3 0,5 0,7 0,8

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217

ecopilando disco

Evaluación semestral 2

26. ¿Cuál es la probabilidad de que X sea menor que 0,4? A. B. C. D. E.

0,07 0,15 0,22 0,4 0,7

27. La función de densidad, en horas, del tiempo de espera en una consulta médica está dada por el siguiente gráfico: f(x) 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,2

1,4

1,6

1,8

¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de espera sea entre 1 y 1,5 horas? A. B. C. D. E.

0,24 0,34 0,42 0,5 0,6

28. Una variable aleatoria continua se distribuye N(a, b). Aproximadamente, ¿qué porcentaje de la distribución de probabilidades se encuentra en el intervalo ]a – 2b, a + 2b[? A. B. C. D. E.

34,15 % 50 % 68,3 % 95,4 % 99,7 %

29. Los puntajes en una competencia constituyen una distribución N(55, 7). ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. Aproximadamente el 31,7 % no se encuentra en el intervalo ]48, 62[. II. Aproximadamente el 95,4 % se encuentra en el intervalo ]41, 69[. III. Aproximadamente el 0,3 % obtuvo más de 78 puntos. A. B. C. D. E. 218 EVALUACIÓN SEMESTRAL 2

Solo I Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III

30. Si la variable aleatoria continua X se distribuye de manera normal, ¿qué representa el siguiente gráfico?

A. B. C. D. E.

P(X = 25) P(X < 25) P(X > 25) P(X < x) = 25 % P(X > x) = 25 %

Para dar respuesta a las preguntas 31, 32 y 33, considera la siguiente tabla de valores para variables tipificadas. z 0,0 0,1 0,2 0,3

0,4 0,5 0,6 0,7

0,00 0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7257 0,7580

0,01 0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591 0,6950 0,7291 0,7611

0,02 0,5080 0,5478 0,5871 0,6255 0,6628 0,6985 0,7324 0,7642

0,03 0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664 0,7019 0,7357 0,7673

0,04 0,5160 0,5557 0,5948 0,6331 0,6700 0,7054 0,7389 0,7704

31. En la expresión P(Z > z) = 0,409, ¿cuál es el valor de z? A. B. C. D. E.

0,591 0,59 0,52 0,23 0,2

32. En una distribución normal estándar, ¿qué porcentaje de los valores de la variable aleatoria son menores que –0,31? A. B. C. D. E.

0,3783 % 0,6217 % 31 % 37,83 % 62,17 %

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219

ecopilando disco

Evaluación semestral 2

33. Sea X una variable aleatoria continua que se distribuye N(70, 5). ¿Cuál es la probabilidad aproximada de que X sea mayor que 72? A. B. C. D. E.

0,3446 0,4207 0,5793 0,6554 0,7257

34. De 16 estudiantes, ¿cuántas muestras de 4 es posible obtener? A. B. C. D. E.

1.820 3.640 5.430 43.680 65.536

35. ¿A cuál de las siguientes distribuciones conviene aproximar una binomial B(21; 0,7)? A. B. C. D. E.

N(4,41; 2,1) ___ N(4,41; √14,7 ) N(14,7; 2,1) ___ N(14,7; √6,3 ) N(14,7; 4,41)

36. Si el intervalo de confianza del 95 % para la media poblacional es ]10,816; 12,384[, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. La probabilidad de que la media poblacional esté en el intervalo es 0,95. II. La amplitud del intervalo corresponde al valor de la media poblacional. III. Uno de los límites de confiabilidad es 12,384. A. B. C. D. E.

Solo I Solo II Solo III Solo I y II Solo I y III

37. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) correcta(s)? I. Para seleccionar una muestra existen distintas técnicas. II. Los elementos de una muestra dependen de los objetivos del estudio. III. La representatividad de una muestra se asegura a partir de su tamaño. A. B. C. D. E.

220 EVALUACIÓN SEMESTRAL 2

Solo I Solo II Solo III Solo I y II Solo II y III

38. Ordena los pasos para seleccionar una muestra. a. Seleccionar una técnica de muestreo. b. Definir la población de estudio. c. Seleccionar la muestra. d. Identificar los elementos que pueden pertenecer a la muestra. e. Determinar el tamaño de la muestra. A. B. C. D. E.

b, d, e, a, c d, b, e, a, c b, e, d, c, a d, b, e, c, a b, d, e, c, a

Considera la siguiente situación para contestar las preguntas 39 y 40. En cierto momento del día se tomó el tiempo (en minutos) de atención de las 8 cajeras en un supermercado: Cajera 1 2 3 4 5 6 7 8

Tiempo (m) 7 5,5 6 6,5 4,5 5 6,5 7

39. ¿Cuántas muestras de 3 cajeras se pueden formar? A. B. C. D. E.

7 8 56 112 336

40. ¿Cuál es la media poblacional? A. B. C. D. E.

4,5 5,5 6 6,19 6,5

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221

222 ANEXO

Tabla de tipificación para distribuciones normales (P(Z < z)) Z 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9

0,00 0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7257 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192 0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713 0,9772 0,9821 0,9861 0,9893 0,9918 0,9938 0,9953 0,9965 0,9974 0,9981 0,9987 0,9990 0,9993 0,9995 0,9997 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 1,0000

0,01 0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591 0,6950 0,7291 0,7611 0,7910 0,8186 0,8438 0,8665 0,8869 0,9049 0,9207 0,9345 0,9463 0,9564 0,9649 0,9719 0,9778 0,9826 0,9864 0,9896 0,9920 0,9940 0,9955 0,9966 0,9975 0,9982 0,9987 0,9991 0,9993 0,9995 0,9997 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 1,0000

0,02 0,5080 0,5478 0,5871 0,6255 0,6628 0,6985 0,7324 0,7642 0,7939 0,8212 0,8461 0,8686 0,8888 0,9066 0,9222 0,9357 0,9474 0,9573 0,9656 0,9726 0,9783 0,9830 0,9868 0,9898 0,9922 0,9941 0,9956 0,9967 0,9976 0,9982 0,9987 0,9991 0,9994 0,9995 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,03 0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664 0,7019 0,7357 0,7673 0,7967 0,8238 0,8485 0,8708 0,8907 0,9082 0,9236 0,9370 0,9484 0,9582 0,9664 0,9732 0,9788 0,9834 0,9871 0,9901 0,9925 0,9943 0,9957 0,9968 0,9977 0,9983 0,9988 0,9991 0,9994 0,9996 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,04 0,5160 0,5557 0,5948 0,6331 0,6700 0,7054 0,7389 0,7704 0,7995 0,8264 0,8508 0,8729 0,8925 0,9099 0,9251 0,9382 0,9495 0,9591 0,9671 0,9738 0,9793 0,9838 0,9875 0,9904 0,9927 0,9945 0,9959 0,9969 0,9977 0,9984 0,9988 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,05 0,5199 0,5596 0,5987 0,6368 0,6736 0,7088 0,7422 0,7734 0,8023 0,8289 0,8531 0,8749 0,8944 0,9115 0,9265 0,9394 0,9505 0,9599 0,9678 0,9744 0,9798 0,9842 0,9878 0,9906 0,9929 0,9946 0,9960 0,9970 0,9978 0,9984 0,9989 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,06 0,5239 0,5636 0,6026 0,6406 0,6772 0,7123 0,7454 0,7764 0,8051 0,8315 0,8554 0,8770 0,8962 0,9131 0,9279 0,9406 0,9515 0,9608 0,9686 0,9750 0,9803 0,9846 0,9881 0,9909 0,9931 0,9948 0,9961 0,9971 0,9979 0,9985 0,9989 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,07 0,5279 0,5675 0,6064 0,6443 0,6808 0,7157 0,7486 0,7794 0,8078 0,8340 0,8577 0,8790 0,8980 0,9147 0,9292 0,9418 0,9525 0,9616 0,9693 0,9756 0,9808 0,9850 0,9884 0,9911 0,9932 0,9949 0,9962 0,9972 0,9979 0,9985 0,9989 0,9992 0,9995 0,9996 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

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MATEMÁTICA 4º MEDIO • NUEVO EXPLOR@NDO

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