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Edición
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Prof. Rodolfo Hidalgo Caprile Magíster en Diseño Instruccional Pontificia Universidad Católica de Chile Pablo Saavedra Rosas Profesor de Matemática Universidad de Santiago de Chile Magíster en enseñanza de las ciencias con mención en Didáctica de la Matemática P. Universidad Católica de Valparaíso Cristian Gúmera Valenzuela Licenciado en ciencias con mención en Matemática Universidad de Chile
Autoría
Francisca Morales Guajardo Profesora de Matemática y Computación Universidad de Santiago de Chile Magíster en enseñanza de las ciencias con mención en Didáctica de la Matemática P. Universidad Católica de Valparaíso Carolina Fernández Pastene Profesora de Matemática y Computación Universidad de Santiago de Chile Magíster en ciencias de la educación con mención en currículum y evaluación Universidad Mayor Ilich Aguayo Escobar Profesor de Matemática Ingeniero en ambiente Universidad de Santiago de Chile Mauricio Aguilar Baeza Profesor de Matemática Ingeniero Civil de Industrias P. Universidad Católica de Chile
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Mund s El texto Matemática 7 - Proyecto CreaMundos para 7° Básico, es una creación del Departamento de Estudios Pedagógicos de Ediciones SM – Chile. Dirección editorial: Rodolfo Hidalgo Caprile Edición: Pablo Saavedra Rosas Cristian Gúmera Valenzuela Ayudante de Edición: Jaime Ávila Hidalgo Autoría: Francisca Morales Guajardo Carolina Fernández Pastene Ilich Aguayo Escobar Mauricio Aguilar Baeza Asesoría pedagógica: Gastón Guerrero Arcos Corrección de estilo: Alejandro Cisternas Ulloa Dirección de arte: Carmen Gloria Robles Sepúlveda Diseño de portada: Álvaro Torres Ruiz Diseño y diagramación: Mauricio Fresard Lemmermann Ilustraciones: Carlos Urquiza Moreno Producción fotográfica: Archivos fotográficos Ediciones SM
www.ediciones-sm.cl Este libro corresponde a 7° Básico y ha sido elaborado conforme al Marco Curricular Vigente, del Ministerio de Educación de Chile. © 2009 – Ediciones SM Chile S.A. ISBN: 978-956-264-742-7 / Depósito legal: N° 185.843 Dirección editorial: Coyancura 2283, piso 2. Providencia Impreso en Chile / Printed in Chile E-mail: chile@ediciones-sm.cl Servicio de Atención al Cliente: 600 381 13 12 Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del “Copyright”, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.
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Presentación B
ienvenido y bienvenida a 7° año básico. En tus manos tienes un material que hemos desarrollado pensando en ti, con el objeto de entregarte los contenidos y habilidades pertinentes a este nivel. El proyecto CreaMundos te ofrece una manera de aproximarte a los conocimientos de la Matemática a través de situaciones, conceptualizaciones, ejercitación, actividades y evaluaciones. El Texto te invita a aplicar, profundizar e integrar tus conocimientos por medio de los diferentes tipos de páginas que te proponemos. Te entregamos espacios para que puedas ser responsable de tu propio aprendizaje e incluimos secciones especiales para que puedas utilizar diferentes herramientas tecnológicas, aprender de los errores y ampliar tus conocimientos en esta maravillosa área. A lo largo de las unidades que estructuran este Texto podrás conocer el conjunto de los números enteros y parte de la operatoria dentro de él. Luego, podrás vincular el concepto anterior con el de potencia de base natural y su respectiva extensión a potencias de base un número fraccionario o decimal positivo y sus propiedades. Así, también
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identificarás expresiones algebraicas en distintos contextos y utilizarás el concepto de ecuación en la resolución de problemas. Conjuntamente, estudiarás los tipos de proporcionalidad que hay entre dos variables y los aplicarás a situaciones donde utilices los porcentajes. Asimismo, conocerás y trabajarás los conceptos de área y volumen aplicándolos a figuras geométricas que construirás y relacionarás con elementos reales de tu entorno. Al final del texto, reconocerás conceptos fundamentales en los estudios estadísticos y te acercarás al concepto de probabilidad de ocurrencia de un suceso observando su relación con la frecuencia relativa asociada. El Proyecto CreaMundos activa tu aprendizaje a partir de habilidades propias de la Matemática, como por ejemplo, aquellas dirigidas a la resolución de problemas. Además, podrás ejercitar a partir de una evaluación continua los contenidos aprendidos en las unidades. CreaMundos te ayudará a descubrir una nueva forma de aprender, juntos podremos recorrer los conocimientos de la Matemática de una manera entretenida y participativa.
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ÍNDICE UNIDAD
1
10 11 12 14 16 18 20 22 24 28 29 30 32 34 36 38 40 42 46 47
UNIDAD
3
82 83 84 86 88 90 92 96 98 100 102 104 106 108 110 114 115
4
Números enteros Inicio de unidad Evaluación inicial Números positivos y negativos Orden y recta numérica Valor absoluto Adición de números enteros Propiedades de la adición de números enteros Evaluación intermedia Sustracción en Z Multiplicación en Z División en Z Uso de paréntesis Operaciones combinadas Resolución de problemas Herramientas tecnológicas Para no equivocarse Ampliando mis conocimientos Evaluación final Resumen Solucionario de evaluación final
Álgebra y ecuaciones Inicio de unidad Evaluación inicial Expresiones algebraicas Lenguaje algebraico Reducción de términos semejantes Evaluación intermedia Ecuaciones de primer grado con una incógnita Ecuaciones con coeficientes fraccionarios y decimales Ecuaciones literales Planteamiento de problemas Resolución de problemas Herramientas tecnológicas Para no equivocarse Ampliando mis conocimientos Evaluación final Resumen Solucionario de evaluación final
UNIDAD
2 48 49 50 52 54 56 58 60 60 62 64 66 68 70 72 74 76 80 81
UNIDAD
4
Potencias Inicio de unidad Evaluación inicial Potencias de base y exponente natural Potencias de base fraccionaria o número decimal positivo y exponente natural Multiplicación de potencias División de potencias Evaluación intermedia Otras propiedades de las potencias Potencias con exponente negativo Potencias de base 10 y números decimales Raíz cuadrada Operatoria combinada Resolución de problemas Herramientas tecnológicas Para no equivocarse Ampliando mis conocimientos Evaluación final Resumen Solucionario de evaluación final
Proporcionalidad
116 117 118 120 122 124 126 128 130 132 134 136 138 140 144 145
Inicio de unidad Evaluación inicial Razones Proporciones Proporcionalidad directa Proporcionalidad inversa Evaluación intermedia Porcentaje Aplicaciones de porcentajes Resolución de problemas Herramientas tecnológicas Para no equivocarse Ampliando mis conocimientos Evaluación final Resumen Solucionario de evaluación final
146
Evaluación integradora 1
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ÍNDICE UNIDAD
5 148 149 150 151 152 154 156 158 160 164 166 168 170 172 174 176 178 182 183
UNIDAD
7
Construcciones geométricas Inicio de unidad Evaluación inicial Rectas Ángulos Construcción de ángulos Construcción de rectas paralelas Construcción de rectas perpendiculares Evaluación intermedia Construcción de triángulos Construcción de paralelogramos Construcción de segmentos congruentes Construcción de ángulos congruentes Resolución de problemas Herramientas tecnológicas Para no equivocarse Ampliando mis conocimientos Evaluación final Resumen Solucionario de evaluación final
Área y volumen
218 219 220 221 222 224 226 228 230 232 234 236 238 240 242 244 246 250 251
Inicio de unidad Evaluación inicial Unidades de medida de longitud Unidades de medida de superficie Perímetro y área de polígonos Área de prismas rectos Área de pirámides regulares Evaluación intermedia Unidades de medida de volumen Volumen de prismas rectos Volumen de pirámides regulares Volumen de cuerpos compuestos Resolución de problemas Herramientas tecnológicas Para no equivocarse Ampliando mis conocimientos Evaluación final Resumen Solucionario de evaluación final
252
Evaluación integradora 2
UNIDAD
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184 185 186 188 190 192 194 196 198 200 202 204 206 208 210 212 216 217
UNIDAD
8 254 255 256 258 260 262 264 266 268 270 271 272 274 276 278 280 282 286 287
Triángulos y teorema de Pitágoras Inicio de unidad Evaluación inicial Clasificación de triángulos Bisectrices de un triángulo Alturas de un triángulo Transversales de gravedad de un triángulo Evaluación intermedia Simetrales o mediatrices de un triángulo Medianas de un triángulo Teorema de Pitágoras Aplicaciones del teorema de Pitágoras Resolución de problemas Herramientas tecnológicas Para no equivocarse Ampliando mis conocimientos Evaluación final Resumen Solucionario de evaluación final
Datos y azar Inicio de unidad Evaluación inicial Población y muestra Representatividad de una muestra Tablas de frecuencias Gráficos de frecuencias Construcción de gráficos Evaluación intermedia Experimentos aleatorios Lenguaje del azar Frecuencia de un suceso Probabilidad Resolución de problemas Herramientas tecnológicas Para no equivocarse Ampliando mis conocimientos Evaluación final Resumen Solucionario de evaluación final
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Conociendo mi texto YECTO
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Antes de comenzar a trabajar, te invitamos a que desarrolles las siguientes actividades que te permitirán conocer tu Texto.
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1 Completa la ficha con los datos de tu Texto.
La ficha de mi texto Título: Autores:
Editorial: Año de creación: N° de páginas:
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¿De qué se trata mi texto? 2 En parejas, observen el índice de su texto (páginas 4 y 5) y relacionen cada situación con la unidad en la cual creen que aprenderán a resolverla. Los ingresos mensuales (en pesos) de una fábrica se calculan usando la siguiente expresión: x2 – 5 • x , donde x representa las unidades vendidas en el mes. ¿Cuáles son los ingresos de la fábrica si se venden 1.000 productos? Un delfín se encuentra a 12 metros bajo el nivel del mar. Luego desciende 5 metros y posteriormente asciende 8 m. ¿Qué número entero representa la profundidad a la que queda el delfín?
Construye un triángulo en el que las medidas de dos de sus lados sean 3 cm y 5 cm, y la medida del ángulo comprendido entre ellos sea 80°. Usa regla, compás y transportador. Se quiere hacer una encuesta en una fábrica de muebles, donde hay 1.500 trabajadores, sobre la infraestructura y seguridad de la empresa. Si en la fábrica hay 1.300 operarios y 200 ejecutivos, ¿cuántos operarios debería tener una muestra de 50 trabajadores de la fábrica elegida de manera proporcional a los cargos de la fábrica? En un rombo, las diagonales se dimidian perpendicularmente, es decir, el punto de intersección divide a cada diagonal en dos segmentos congruentes y forman cuatro ángulos rectos. Si las diagonales de un rombo miden 6 cm y 8 cm respectivamente, ¿cuál es el perímetro y cuál es el área de este paralelogramo? Se quiere envasar 5,4 litros de jugo en cajas con forma de prisma recto de base cuadrada, en las cuales la medida de la arista de la base es 6 cm y la altura es 12,5 cm. ¿Cuántas cajas se utilizarán para envasar todo el jugo? Una casa puede ser construida en 28 días con 60 hombres trabajando todos por igual una determinada cantidad de horas diarias. ¿Cuántos hombres se necesitarían para construir la casa en 12 días en las mismas condiciones? Matías tiene 33 naipes de un juego de estrategia y Benjamín 32 veces la cantidad de naipes de Matías. ¿Cuántas cartas tiene Benjamín? Expresa tu resultado como una potencia de base 3. • Comparen sus resultados con los de tus compañeros. • ¿Cuántas unidades tiene tu texto?
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¿CÓMO SE ORGANIZA TU TEXTO?
Inicio de unidad Dos páginas de inicio que presentan los contenidos de la unidad que vas a estudiar por medio de una imagen y de los aprendizajes esperados. Además, se propone una evaluación inicial destinada a diagnosticar una habilidad propia de Matemática.
Contenido Páginas que te presentan los contenidos y actividades propios de tu nivel.
Evaluación intermedia Dos páginas de evaluación intermedia que se insertan entre los contenidos. En ellas te invitamos a realizar variadas actividades que evalúan el grado de comprensión de los contenidos tratados hasta el momento.
Resolución de problemas
Dos páginas que te enseñan a resolver paso a paso una habilidad propia de la Matemática por medio de la resolución de problemas.
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Herramientas tecnológicas
Dos páginas en las que podrás utilizar herramientas tecnológicas para reforzar o profundizar el aprendizaje de algún contenido.
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Ampliando mis conocimientos
Dos páginas orientadas a que identifiques, corrijas y expliques errores en la resolución de ciertos ejercicios y problemas, para que no los cometas a futuro.
Dos páginas orientadas a que desarrolles habilidades como diseñar, construir, crear o formular hipótesis, por medio de diversas actividades que además te ayudarán a profundizar y ampliar tus conocimientos.
¿CÓMO SE ORGANIZA TU TEXTO?
Para no equivocarse
SIMCE
Te proponemos cuatro páginas de evaluación tipo SIMCE que se dividen: tres páginas de preguntas de alternativas y una página con tres preguntas de desarrollo.
Resumen
Solucionario de Evaluación Final Te proponemos una página en la que podrás conocer una técnica para sintetizar los contenidos de la unidad con el fin de fortalecer tus aprendizajes logrados en la unidad.
En esta página podrás evaluar tus respuestas de alternativas por medio de una tabla que especifica la cantidad de preguntas, el contenido al que corresponde cada una de ellas y sus respectivas habilidades. También podrás evaluar tus logros registrando las respuestas correctas.
Además de las secciones de este Texto, puedes complementar tu aprendizaje con las actividades que componen el Libro de actividades.
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Números enteros
El día que comienza la cuenta ininterrumpida del calendario maya corresponde al 13 de agosto del 3114 a. C.
El conocimiento ancestral del calendario guiaba la existencia de los mayas a partir de su nacimiento y era muy poco lo que se escapaba a su influencia.
En esta unidad aprenderás... ¿Qué?
¿Para qué?
Números enteros, orden y representación Representar en la recta numérica números enteros, establecer en la recta numérica. relaciones de orden entre ellos y reconocer algunas de sus propiedades.
10
Adiciones y sustracciones de números enteros.
Resolver adiciones y sustracciones con números enteros y aplicarlas en diversas situaciones.
Multiplicación y división de números enteros.
Resolver diversos problemas utilizando dichas operaciones.
¿Dónde? Páginas 12 a 17.
Páginas 18 a 27. Páginas 28 a 33.
Números enteros
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Después de leer Considerando la información de la página anterior, responde. 1) ¿De qué se trata el texto? 2) ¿En qué año se inicia el calendario maya? 3) ¿Con qué tipos de números puedes relacionar las fechas correspondientes a hechos ocurridos antes del nacimiento de Cristo?
Evaluación inicial Interpretar consiste en convertir la información presentada de una manera a otra. Transformar ciertas palabras en otras también es interpretar. En Egipto, el uso del número cero data del año 1700 a. C., en el papiro Boulaq; en Babilonia, su escritura en tablillas de arcilla se remonta al año 2000 a. C., y en la cultura maya desarrollaron este concepto hacia el año 36 a. C. ¿Cuál de estas fechas se encuentra más próxima al año del nacimiento de Cristo? 1) ¿Qué se desea conocer para poder contestar correctamente la pregunta?
2) ¿Qué datos son necesarios para resolver el problema?
3) ¿Crees que se logre precisar una respuesta exacta? ¿Por qué?
4) ¿Cuál de los tres hallazgos es el más antiguo? ¿Por qué?
5) Representa las fechas entregadas en una recta numérica y responde la pregunta.
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Números positivos y negativos La imagen representa una situación, que se puede expresar utilizando números positivos, negativos o cero.
A partir de la imagen se puede afirmar que el pelícano está volando a 6 metros sobre el nivel del mar y la tortuga está a 6 metros bajo el nivel del mar.
6m
Ambas posiciones están relacionadas con el número 6; sin embargo, son diferentes. Se le asigna el número +6 (seis positivo) a la posición del pelícano y –6 (seis negativo) a la posición de la tortuga respecto del nivel del mar, que corresponde a la posición representada por el cero.
5m
• ¿Cuál es el número que representa la posición de los otros elementos de la imagen?
4m
Gaviota:
Pez:
3m
Buzo:
Flotador:
2m 1m
Para grabar
0m
El conjunto de los números enteros () está formado por los números positivos (naturales), el cero y los números negativos (inversos aditivos de los números naturales).
1m 2m 3m 4m 5m 6m
Conjunto de los números enteros. = {...–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3…} • El número –2 se lee “dos negativo o menos dos”. • El número 7 se lee “siete positivo o siete”. • El cero no se considera positivo ni negativo.
Ejemplos: Números positivos: • La temperatura máxima fue de 30 °C. • Tengo un saldo a favor de $ 35.000 Números negativos: • La temperatura es de 4 °C bajo cero (–4). • Tengo un saldo en contra de $ 15.000 (–15.000).
Ejercita
1. Identifica si cada afi rmación es verdadera (V) o falsa (F). Para ello, escribe V o F según corresponda. a. El número 36 es un número natural y también un número entero. b. El número 0,5 es un número natural. ¿Por qué crees que el número –2 se lee “menos dos”?
c. El número –3,4 es un número entero. d. El número –8 es un número entero. e. El número –101 es un número natural. 2 f. El número – es un número entero negativo. 3 g. El número –18 es un número entero negativo. h. El número 0 es positivo. i. El número –3 es el inverso aditivo de 3.
12
Números enteros
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2. Interpreta cada una de las siguientes situaciones. Para ello, represéntala y completa con el número entero que corresponda. Situación
1
Número entero
a. La temperatura ambiente es de 2 °C bajo cero. b. La temperatura máxima fue de 10 °C. c. La ciudad se encuentra a 800 m sobre el nivel del mar. d. El buzo está nadando a 20 m de profundidad. e. Estamos justo al nivel del mar. f. Julián tiene una deuda de $ 5.000. g. El avión está volando a 9.500 metros de altura.
3. Representa en un dibujo los elementos de cada situación. Para ello, observa el ejemplo. 5 4 3 2 a. Una estrella de mar está a cuatro metros 1 de profundidad. 0 b. Un pez está a un metro de profundidad. -1 -2 c. Un pelícano vuela a cinco metros de altura. -3 d. Una gaviota vuela a tres metros de altura. -4 -5 e. Un pulpo está a un metro bajo el nivel del mar. -6 El ancla del barco está a cinco metros de profundidad.
4. Representa en los siguientes termómetros las temperaturas que se indican en cada caso. a.
b.
c.
°C
°C
°C
5 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4
5 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4
5 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4
Hoy hubo una temperatura máxima de 5 °C.
La temperatura mínima fue de –2 °C.
Se pronostican 4 grados bajo cero. Matemática 7
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Orden y recta numérica El término magnitud es utilizado por los astrónomos para describir lo brillante que es un cuerpo celeste. La escala que utilizaron los griegos asociaba la magnitud 1 a las estrellas más brillantes, que correspondían a las que aparecían en el cielo al ocaso, y la magnitud 6 a las apenas perceptibles. ¿Qué magnitud le corresponde al Sol?
En esta escala los números menores se asocian a estrellas más brillantes, por lo que el brillo del Sol debe estar asociado a un número negativo, ya que es la estrella más brillante de nuestro Sistema Solar. En efecto, el Sol tiene magnitud –27, aproximadamente. Por otro lado, la Luna tiene magnitud –13, Venus –4 y Marte –3, aproximadamente. La situación anterior se puede representar de la siguiente manera:
-30 -28 -26 -24 -22 -20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2
0
2
4
6
8
Observa que los números que están a la izquierda de un valor de referencia son menores que él, y los que se encuentran a su derecha son mayores que él.
Para grabar El conjunto de los números enteros () se puede representar en forma ordenada en la recta numérica.
–3 < –2
2<5
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 De izquierda a derecha, los números van • 5 es mayor que 2. 5>2 en aumento. • –3 es menor que -2. –3 < -2
2
3
4
5
6
7
Ejercita
1. Analiza cada caso y luego completa con los símbolos > o <, según corresponda.
Para saber más Hiparco de Nicea (190-120 a. C.) fue un matemático y astrónomo griego. Elaboró el primer catálogo celeste, que contenía aproximadamente 850 estrellas, las que diferenció por su brillo en seis categorías o magnitudes. Esta clasificación aún se utiliza.
14
a. 2
6
c. –15
b. 8
7
d. 0
e. –12
–9
f. –6
–3
–17 –9
2. Reconoce si las relaciones de orden son o no correctas. Marca Sí o No según corresponda. a. 3 < 6
Sí
No
e. –15 > –11
Sí
No
b. 5 > 7
Sí
No
f. –29 > –12
Sí
No
c. –5 > 4
Sí
No
g. –17 < –8
Sí
No
d. 2 > –3
Sí
No
h. 0 < –100
Sí
No
Números enteros
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1
3. Representa los siguientes números en la recta numérica. 0; –2; 5; –5; 6; 7; –1; –8
4. Representa en una recta numérica todos los números enteros comprendidos entre los números dados. a. –3 y 5
b. –7 y 0
c. –4 y 4
5. Aplica el orden en y ordena los siguientes números de menor a mayor. a. 5, –3, 0, –1
<
<
<
b. –3, 1, –2, –4
<
<
<
c. 2, 3, –3, –2
<
<
<
6. Identifica si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F). Para ello, escribe V o F según corresponda. a. El número –16 es menor que 18.
b. El número 24 es menor que 45.
c. Hay tres números enteros entre –3 y 3.
d. El entero –5 es mayor que el entero –2.
e. Hay cuatro números enteros mayores que –4 y menores que 1.
7. Analiza los valores de la recta numérica y responde. a. ¿Cuántos números naturales hay entre –6 y 6? ¿Cuáles son? b. ¿Cuántos números enteros hay entre –12 y 8? ¿Cuáles son?
8. Evalúa y corrige el error. a. –3 < –4 < –5 < –6
b. Hay tres números enteros entre –3 y 0.
Error:
Error:
Corrección:
Corrección: Matemática 7
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Valor absoluto En la construcción de algunas casas se utilizan fierros desde los cimientos hasta la última cadena previa a la techumbre.
En la situación anterior, los fierros se encuentran a un metro de profundidad, lo que se representa con el número entero –1. Si se habla de distancia, se dice que la distancia desde uno de los extremos de los fierros a la superficie es de 1 m. Observa que este valor no considera el signo negativo. Profundidad (m) 1 Analiza la siguiente imagen: 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 • ¿Qué número entero se relaciona con la profundidad a la que se encuentra el buzo? • ¿Cuál es la distancia que lo separa del nivel del mar?
Para grabar El valor absoluto de un número entero (|z|) es el valor que representa la distancia entre este número y el cero, por lo que el valor absoluto solo puede tomar valores positivos o cero.
Ejemplos: • |2| = 2 • |0| = 0 • |–5| = 5
|–3| = 3 -4 -3 -2
|3| = 3
-1 0 1 |–3| = |3| = 3
2
3
Ejercita
1. Calcula el valor de los siguientes valores absolutos. a. |–4| =
c. |12| =
e. |–10| =
g. |–12| =
b. |7| =
d. |8| =
f. |–8| =
h. |10| =
2. Interpreta la siguiente situación y responde las preguntas. En un campeonato de esgrima los competidores avanzan y retroceden cierta distancia según la técnica empleada.
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
1
2
3 4 5
6
7 8
m
a. ¿Cómo se representa, utilizando números enteros, la posición del esgrimista de la izquierda? Guíate por la posición del pie que está adelante. b. ¿Cómo se representa, utilizando números enteros, la posición del esgrimista de la derecha? c. ¿A qué distancia se encuentran los esgrimistas con respecto al cero? d. ¿Cuál es el valor absoluto de –3 y 1?
16
Números enteros
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3. Interpreta la siguiente situación y responde las preguntas. Rodrigo se encuentra en la biblioteca, cuya posición se asocia con el número cero. Supón que la distancia entre dos números consecutivos es 100 m.
1
Restaurante Museo –4
–3
Biblioteca –2
–1
0
Cine 1
2
3
4
100 m a. Si Rodrigo caminara al restaurante, ¿cuál sería la distancia que recorrería? b. Si Rodrigo caminara hacia el museo, ¿a qué distancia se encontraría de la biblioteca una vez que llegue? c. ¿Qué lugar le queda más lejos a Rodrigo, el museo o el cine? d. ¿Qué distancia representa la suma |–3| + |2|? e. ¿Qué suma de valores absolutos representa la distancia entre el cine y el museo? f. Si Rodrigo va al museo, luego al cine y por último al restaurante, ¿qué distancia total recorrió?
4. Analiza la siguiente situación y responde. La temperatura de una ciudad bajó 12 °C. a. ¿Qué número entero representa la variación de la temperatura? b. ¿Cuántos grados bajó la temperatura? c. ¿Cuál es el valor absoluto de –12?
5. Aplica el orden en y completa cada cuadro con los símbolos >, < o =. a. |5| b. |–15|
|–7| |15|
c. |–3|
|–6|
e. |2|
| –2|
d. |–8|
|–4|
f. |–4|
|–3|
6. Analiza cada expresión y determina tres números enteros que hacen verdadera la relación. a. |x| < 2
d. |x | > 5
b. |x| < 4
e. |x| > 0
c. |x| < –5
f. |x| > –4
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Adición de números enteros La cuenta corriente de Camila tiene un saldo de –560.000 pesos. Al finalizar el mes, ella deposita 450.000 pesos.
Para cada una de las transacciones que haga el titular, el banco está obligado a realizar los pagos correspondientes mientras haya dinero en la cuenta o exista una cantidad de dinero disponible en una línea de crédito asociada a la cuenta. Al utilizar la línea de crédito, el titular estará en deuda con el banco, por lo cual el saldo de la cuenta puede ser representado por números negativos. El saldo de Camila se puede obtener al aplicar la suma de números enteros: –560.000 + 450.000 = –110.000 Observa que la deuda es mayor al depósito, por lo que Camila debe más de lo que deposita. En consecuencia, queda debiendo $ 110.000, valor que puede ser representado por el número entero –110.000.
Para grabar ¿Qué saldo tiene la cuenta después del depósito?
Para sumar números enteros de igual signo se conserva el signo de los sumandos y se suman sus valores absolutos.
Ejemplos: 4+2=4+2=6
Una cuenta corriente es un contrato que se establece entre una persona o empresa, llamado titular, y un banco, mediante el cual el primero deposita dinero para luego girar (sacar dinero de la cuenta) o pagar por bienes adquiridos o servicios prestados.
18
-5
6 2
-2
4 -1
Para saber más
–3 + (–2) = –5
0
1
2
-3 3
Para sumar números enteros de distinto –3 + 5 = –3 + 5 = 2 signo se resta el valor absoluto menor al valor 5 absoluto mayor. El signo -3 de la suma será igual al signo del sumando con mayor valor absoluto. -4 -3 -2 -1 -0
4
5
6
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
3 + (–3) = 0
2
–3 3 1
2
3
-1
0
1
2
3
4
5
6
Ejercita
1. Representa las siguientes adiciones de números enteros en la recta númerica y calcula su resultado. a. 6 + 2 =
c. 7 + (–2) =
b. –6 + 5 =
d. –4 + (–2) =
Números enteros
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2. Calcula cada una de las siguientes adiciones de números enteros. a. 5 + (–4) =
c. –8 + 2
=
e. –12 + 12 =
b. 6 + 7
d. –4 + (–5) =
f. 10 + (–18) =
=
1
3. Analiza el ejemplo y luego resuelve las siguientes adiciones de más de dos sumandos.
Para saber más
–15 + (–3) + 6 + (–1)
Para resolver adiciones de más de dos sumandos se realiza la operación de izquierda a derecha.
= –18 + 6 + (–1) = –12 + (–1) = –13 a. 3 + (–5) + 7
b. 26 + (–3) + (–26) + 3
c. –12 + 4 + (–8) + (–2) + 10
4. Representa cada enunciado como suma de números enteros según la condición pedida. a. 25 como suma de dos números enteros positivos. b. –10 como suma de dos números enteros negativos. c. –1 como suma de un número entero positivo y otro negativo. d. 13 como suma de un número entero negativo y otro positivo. e. –15 como suma de 3 números enteros negativos. f. 14 como la suma de dos números enteros positivos y uno negativo.
5. Resuelve los siguientes problemas. a. Por Por la mañana el termómetro de una escuela marcó 4 °C. Después, la temperatura bajó 5 °C y, más tarde, volvió a bajar tres grados más. Representa la situación como suma de números enteros y calcula la temperatura que marca el termómetro finalmente.
b. Un delfín se encuentra a 12 metros bajo el nivel del mar. Luego desciende 5 metros y posteriormente asciende 8 m. ¿Qué número entero representa la profundidad a la que queda el delfín?
Matemática 7
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19
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Propiedades de la adición de números enteros Los números enteros cumplen con algunas propiedades respecto de la adición. Entre estas, la propiedad de clausura, que postula: “Al sumar números enteros, el resultado es un número entero”.
Si consideras los números enteros respecto de la adición, se tiene que: • 10 y 400 ∈ y 400 + 10 ∈ . En efecto, 400 + 10 = 410 ∈ . • –10 y –400 ∈ y –10 + (–400) ∈ . En efecto, –10 + (–400) = –410 ∈ . • 10 y –400 ∈ y 10 + (–400) ∈ . En efecto, 10 + (–400) = –390 ∈ . • –10 y 400 ∈ y –10 + 400 ∈ . En efecto, –10 + 400 = 390 ∈ . • 35 y –35 ∈ y 35 + (–35) ∈ . En efecto, 35 + (–35) = 0 ∈ .
Para grabar Propiedades de la adición en el conjunto de los números enteros Clausura: al sumar números enteros, el resultado es un número entero. ∀ a, b ∈ , a + b ∈ .
Para saber más Los símbolos matemáticos ∈ y ∉ se leen en lenguaje común como "pertenece" y "no pertenece", respectivamente. Hacen alusión a la pertenencia o no pertenencia de un elemento respecto de un conjunto. Mientras que el símbolo " ∀" significa "para todo".
20
2 y –8 ∈ ⇒ 2 + (–8) = –6 ∈
Conmutatividad: el orden de los sumandos no altera la suma. ∀ a, b ∈ , a + b = b + a.
4 + (–7) = –3, y a su vez –7 + 4 = –3, entonces: 4 + (–7) = –7 + 4
Asociatividad: independiente de cómo se agrupan los sumandos al resolver, la suma no se altera. ∀ a, b, c ∈ , (a + b) + c = a + (b + c).
Como [(–2) + 3] + (–8) = 1 + (–8) = –7 y (–2) + [3 + (–8)] = (–2) + (–5) = –7, entonces: [(–2) + 3] + (–8) = (–2) + [3 + (–8)]
Elemento neutro: la adición del cero con un número entero resulta el mismo valor. ∀ a ∈ , a + 0 = a.
0 + (–4) = –4 –4 + 0 = –4
Elemento inverso: para todo número entero existe otro número entero que al sumarlos resulta cero. ∀ a ∈ , a + (–a) = 0.
8 + (–8) = 0 –7 + 7 = 0
Ejercita
1. Identifica cada una de las propiedades de la adición y une con una fl echa según corresponda. a. Propiedad asociativa
–9 + 0 = –9
b. Elemento neutro
–4 + 4 = 0
c. Propiedad conmutativa
2 + (–6) = –6 + 2
d. Clausura
[–8 + 4] + (–6) = –8 + [ 4 + (–6)]
e. Elemento inverso o inverso aditivo
–10 + (–3) = –13 ∈
Números enteros
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1
2. Reconoce las propiedades utilizadas en cada resolución y escríbelas donde corresponda. a.
b.
20 + (–3) + (–17) = [20 + (–3)] + (–17) = 17 + (–17) =0
15 + (–8) + (–15) = 15 + (–15) + (–8) = [15 + (–15)] + (–8) = 0 + (–8)= -8
3. Evalúa si las siguientes afi rmaciones son verdaderas o falsas. Para ello, escribe V o F según corresponda. a. Al resolver –25 + 25, el resultado es el elemento neutro para la adición. b. 3 + (–2) (–2) + 3. c. Que el orden de los sumandos no altere la suma corresponde a la propiedad asociativa. d. La suma de dos o más números enteros es siempre un número natural. e. Al sumar un número entero con el elemento neutro para la adición resulta el elemento neutro. f. El inverso aditivo de un número entero es el mismo número, pero de distinto signo. g. Un número entero y su inverso aditivo tienen igual valor absoluto. h. El valor absoluto de un número entero siempre tiene un inverso aditivo negativo.
4. Detecta el error en cada caso y, luego, corrígelo. a. [–5 + 7] + (–2) = 2 + (–2) = 4 Error:
Corrección:
b. –14 + (–6) + 5 = [–8 + (–6)] + 5 = –14 + 5 = –9 Error:
Para saber más
Corrección:
Para realizar ejercicios con paréntesis debes resolver las adiciones que se encuentran en su interior. Ejemplo: [3 + (–2)] + 12 + (–8) = 1 + 12 + (–8) = 13 + (–8) =5
5. Recuerda las propiedades de la adición y plantea un ejemplo en cada caso. Observa el ejemplo. a. Propiedad asociativa
Ejemplo:
b.
Ejemplo:
c.
Ejemplo:
d.
Ejemplo:
e.
Ejemplo:
(2 + (-3)) + 5 = 2 + ((–3) + 5)
Matemática 7
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21
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EVALUACIÓNINTERMEDIA 1 Identifica cuáles son números enteros. Marca con los símbolos pertenece (∈) o no pertenece (∉), según corresponda.
Números enteros.
a. 15
c. 9
e. –6
b. –12
d. –3,2
f.
7 5
2 Analiza cada caso y escribe los números enteros que se encuentran entre ellos. a. Entre 0 y 4.
c. Entre –2 y 3.
b. Entre 7 y 8.
d. Entre –7 y –12.
3 Representa en la recta numérica el siguiente grupo de números. 5; 11; –9; 4; 6; –5; –7; 1.
4 Resuelve el siguiente problema. Orden, recta numérica y valor absoluto.
El filósofo Platón nació en el año 427 antes de nuestra era y su discípulo, el más grande filósofo de la antigüedad, Aristóteles, nació el año 384 antes de nuestra era. ¿Cuál es la edad que tenía Platón cuando nació Aristóteles?
5 Aplica la relación de orden que existe en los enteros y escribe >, < o = según corresponda. a. –2 b. –12
5 –8
c. 19
e. |–12|
–19
d. |–18|
|–19| + |0|
12 + |18|
f. |–40| + |20|
|40| + |–20|
6 Resuelve las siguientes adiciones de números enteros. Adición de números enteros.
a. 4 + (–6) =
c. –5 + 15 =
e. 16 + (–25)
b. –12 + (–9) =
d. –9 + 8 =
f. –8 + 15 + (–|–5|) =
=
7 Resuelve las siguientes adiciones de números enteros. a. [–6 + (–12) + 4] + [(–12) + (–1)]
22
b. [–8 + 15 + (–8)] + [(–5) + 7 + (–13)]
Números enteros
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1 8 Aplica las propiedades de la adición para resolver. En cada paso, indica el nombre de la propiedad que utilizaste.
Propiedades de la adición y problemas.
a. –12 + 15 + (–15)
b. –35 + 43 + 19 + (–72)
9 Resuelve los siguientes problemas. a. César Augusto es considerado como el más importante de los emperadores romanos. Durante su gobierno transformó a la República Romana en el Imperio Romano. Nació el año 63 a. C. y falleció el año 14 d. C. ¿Cuántos años vivió?
b. Una bomba para impulsar agua extrae el líquido desde un estanque ubicado a 18 m bajo el nivel del suelo y descarga el agua en otro estanque situado a 21 m sobre el nivel del suelo. ¿Cuántos metros debe recorrer el agua para pasar desde un estanque al otro?
c. A las 2 de la madrugada el termómetro marcó la temperatura mínima de 4 grados bajo cero y a las 16 horas señaló la temperatura máxima de 12 grados Celsius. Calcula cuál fue la variación de temperatura durante ese día.
d. Un buzo se encuentra a una profundidad de 31 metros. Al ascender 17 metros descubre un pequeño coral incrustado en una roca. ¿A qué distancia de la superficie se encuentra el coral?
Matemática 7
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23
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Sustracción en Se toma cada dos horas la temperatura en una ciudad del norte de Chile. Los resultados se muestran a continuación. Hora
Temperatura
24:00
17 °C
02:00
15 °C
04:00
13 °C
06:00
13 °C
08:00
14 °C
10:00
16 °C
12:00
22 °C
14:00
23 °C
• Entre las 24:00 y las 04:00 horas la temperatura disminuyó en 4 °C, es decir, –4 °C. Esto se calcula de la siguiente forma: (13 – 17) °C = (13 + (–17)) °C = –4 °C. • Entre las 06:00 y las 14:00 horas la variación de la temperatura fue de: (23 – 13) °C = (23 + (–13)) °C = 10 °C. Entonces, se puede afirmar que la temperatura aumentó en 10 °C. ¿Qué ocurre si al medir la temperatura se registran –6 °C y tres horas más tarde se registra una temperatura de –1 °C?
Para grabar La sustracción de números enteros se puede realizar a través de la adición entre el minuendo y el inverso aditivo del sustraendo.
Sean a y b números enteros: Inverso aditivo del sustraendo
Ejemplo: 2 – 4 = 2 + (–4) = –2 5 – (–7) = 5 + 7 = 12
a – b = a + (–b) Minuendo
Sustraendo
Ejercita
1. Representa cada sustracción en la recta numérica y calcula su resultado. Observa el ejemplo.
–7 – (–3) = –7 + 3 = –4 ¿Qué significa la palabra sustracción? Encuentra dos sinónimos.
–4 3 –7
–13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
a. 6 – 2 =
b. –7 – 4 =
c. 0 – (–9) =
24
d. 0 – 8 =
=
e. 8 – (–6) =
=
=
f. –4 – (–2) =
0
1
=
=
=
Números enteros
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1
2. Resuelve las siguientes sustracciones. a. 37 – 29
=
f. 28 – (–15) – 20 =
b. 15 – 24
=
g. –46 – 77 – 35
=
c. 1.000 – 1.049 =
h. (–19) – (–16)
=
d. 120 – (–78)
i. –15 – (–19) – 1
=
=
e. 130 – (–210) =
j. –500 – (–200) =
3. Analiza el ejemplo. Luego, resuelve. –3 + 5 – (–7) + (–4) = –3 + 5 + 7 + (–4) = [5 + 7] + [–3 + (–4)] = 12 + (–7) =5
a. 12 + (–6) – 8 – (–2) + 4 – (–1)
=
b. (–5) – (–1) + (–9) – 4 + (–4) – 3 =
c. 5 – 4 – 6 – 21 + 14 – (–3)
=
d. 12 – 15 + (–9) – (–15) – 12
=
e. –10 + (–8) + 7 – 6 + (–12) – 0
=
4. Evalúa cuál de las siguientes afi rmaciones es verdadera (V) o falsa (F). Para ello, escribe V o F, según corresponda. En la recta numérica, x, y, w y z son números enteros. x a. x – y < 0 – w
–3
y
–1
0
1
w
3
z
5
e. w – z > x
i. z – w = w
b. 0 – y – z = 2
f. 1 – w < 0
j. –3 – x – z = –3
c. y – (0 – w) = 0
g. w – y = 0
k. 5 – y – 2 – w < 4
h. –15 + x = 0 – z
l. w – y – (–4) = 5 – y
d. –2 + (–3) < x – y
Matemática 7
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25
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5. Evalúa las siguientes expresiones. Luego, resuelve. Considera a = –4; b = –2; c = 0 y d = 8. a. a – b – c – d
=
b. c – d – a
=
c. a – b + c + d
=
d. b – a – c + d
=
e. a – b + a + c – a =
6. Analiza la siguiente información. Luego, completa y responde las preguntas. COPA AMISTAD Bases del torneo: 1. Juegan los equipos todos contra todos. 2. El ganador será el que tenga mayor puntaje. 3. En caso de que dos o más equipos tengan igual cantidad de puntos, será campeón el que tenga mejor diferencia de goles (goles a favor — goles en contra). 4. El último lugar no jugará en el próximo torneo. Resultados obtenidos por equipo Equipo
Partidos jugados
Partidos ganados
Partidos Partidos Puntaje empatados perdidos
Goles a favor
Goles en Diferencia contra de goles
Los Sauces
4
3
0
1
9
10
10
Huracanes
4
3
0
1
9
12
5
Los Verdes
4
3
0
1
9
13
7
Catamarca
4
0
1
3
1
6
12
América
4
0
1
3
1
7
14
–6
a. ¿Qué equipo ganó la Copa Amistad?
b. ¿Por cuántos goles de diferencia le ganó al que obtuvo el segundo lugar?
c. ¿Qué equipo no jugará el próximo torneo?
d. ¿Cuántos goles le faltaron para no haber sido eliminado del próximo campeonato?
26
Números enteros
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7. Evalúa cada afi rmación y determina si es verdadera o falsa. Escribe V o F, según corresponda. a. La sustracción en el conjunto de los números enteros cumple con la propiedad de clausura.
1
b. Si a y b son números enteros con a < b, entonces (b – a) es un número entero positivo. c. Si a y b son números enteros positivos con a > b, entonces (b – a) es un número entero positivo. d. La resta entre un número entero y su inverso aditivo es un número entero positivo. e. La sustracción en el conjunto de los números enteros cumple con la propiedad conmutativa. f. Al restar un número entero negativo a un número entero positivo el resultado es positivo. g. Si se restan dos números negativos distintos, el resultado NO puede ser cero. h. Al restar un número negativo a cero, el resultado es negativo.
8. Resuelve los siguientes problemas. a. A las 18:00 horas de cierto día la temperatura registró –8 °C y, seis horas más tarde, registró –13 °C. ¿Cuál es la variación de la temperatura?
b. Un buzo se encuentra a 12 metros bajo el nivel del mar y baja 10 metros más. Representa la situación como sustracción de números enteros. ¿Cuál es el número entero que representa la posición final del buzo respecto del nivel del mar?
c. La cuenta corriente del padre de Emilio registra un saldo de $ 1.250.300. Si paga con tarjeta de crédito $ 300.000 y extiende tres cheques al día por los siguientes montos: $ 550.000, $ 405.000 y $ 650.430. ¿Cuál es el saldo que registrará su cuenta si los cobros se hacen efectivos?
d. En un juego, dos amigas obtienen los siguientes puntajes: Camila 15 puntos a favor y 8 en contra. Francisca 32 a favor y 26 en contra. ¿Quién fue la ganadora? ¿Y por cuántos puntos venció?
Matemática 7
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Multiplicación en En el buceo se deben tener en cuenta los tiempos de inmersión y ascenso, ya que un mal cálculo puede acarrear graves riesgos para la salud.
Un buzo desciende a razón de 2 metros por cada 5 segundos, ¿a qué profundidad se encontrará luego de 1 minuto? Como un minuto corresponde a 12 veces 5 segundos, entonces el buzo ha descendido doce veces dos metros, lo que se puede representar con la siguiente suma de números enteros: –2 + (–2) + (–2) + (–2) + (–2) + (–2) + (–2) + (–2) + (–2) + (–2) + (–2) + (–2) = –24 Doce veces –2. Lo anterior es equivalente a 12 • (–2) = –24. En consecuencia, el buzo está a 24 m bajo del nivel del mar.
Para grabar Para multiplicar dos números enteros se calcula el producto entre sus valores absolutos, y el signo se rige por lo siguiente: • Al multiplicar dos números enteros de distinto signo, su producto será un número negativo. • Al multiplicar dos números enteros de igual signo, su producto será un número positivo.
Ejemplo: • 10 • 5 = 50 • –5 • (–4) = 20 • 6 • (–7) = –42 • –3 • 9 = –27
Ejercita
1. Calcula el valor de las siguientes expresiones. a. 6 • 9
Ayuda Una técnica que te puede ayudar en el cálculo de productos se resume en la siguiente regla de los signos:
+•+=+ –•–=+ +•–=– –•+=–
d. 4 • (–24)
=
g. 47 • (–12)
=
b. –12 • (–7) =
e. –9 • 45
=
h. –18 • (–75)
=
c. –15 • 12 • 1 =
f. –8 • 13 • (–5) =
=
i. –124 • 76 • (–1) =
2. Evalúa cada expresión, completa las tablas y luego responde. x
y
–4
12
–7
–6
19
–21
–x
–y
x
y
z
3
4
–9
–8
–6
7
–9
–2
–5
x•y
(x • y) • z
y•x
x • (y • z)
– x • (–y)
(x • (–y)) • z
– y • (–x)
x • (–y • z)
• Según tus resultados, ¿se cumple en el conjunto de los números enteros la propiedad conmutativa para la multiplicación? ¿Y la asociatividad? Justifica.
28
Números enteros
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División en Para determinar las pérdidas en ese periodo por mes, se puede realizar una división de números enteros, es decir:
Una empresa, en un informe semestral, mostró que la pérdida en ese periodo fue de $ 2.400.000.
–2.400.000 : 6 = –400.000 Pérdida de la empresa.
Número de meses.
1
Variación de dinero mensual.
Con lo anterior, se puede afirmar que la empresa tuvo una pérdida aproximada de $ 400.000 mensuales.
Para grabar Para dividir dos números enteros se calcula el cociente entre sus valores absolutos y el signo se rige por lo siguiente: • El cociente de dos números enteros de igual signo será positivo.
Regla de los signos: +:+=+ –:–=+ +:–=– –:+=–
Ejemplos: • 10 : 5 = 50 • –28 : (–4) = 7 • 63 : (–7) = –9 • –36 : 9 = –4
• El cociente de dos números enteros de distinto signo será negativo.
Ejercita
1. Calcula el valor de las siguientes expresiones. =
g. –640 : 64 =
b. –12 : (–4) =
e. 45 : (–9) =
h. 0 : (–75) =
c. –169 : 13 =
f. –1.000 : 10 =
i. –124 : (–2) =
a. 11 : (–1)
d. –32 : 16
=
Ayuda
2. Evalúa cada expresión, completa las tablas y luego responde. x
y
z
8
4
2
1.000
–100
10
108
9
–3
12
2
3
(x : y) : z
x : (y : z)
a. Según tus resultados, ¿se cumple en el conjunto de los números enteros la propiedad asociativa para la división? Justifica.
Para resolver divisiones consecutivas se debe aplicar la asociatividad de izquierda a derecha. 36 : 3 : 4 : 3 = (36 : 3) : 4 : 3 = 12 : 4 : 3 = (12 : 4) : 3 =3:3 =1
b. ¿Cuál es el resultado de la división 80 : (–1) : 40 : 5? Compara tu resultado con tus compañeros.
Matemática 7
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Uso de paréntesis Para un proceso de control de calidad en la elaboración de un producto, se tomó la temperatura en tres oportunidades. Estas fueron –12 °C, 5 °C y –8 °C. ¿Cuál fue la temperatura promedio? -18
°C
Recuerda que para obtener el promedio de un grupo de datos se debe dividir el resultado de la adición de estos por el número total de datos. El promedio de las temperaturas del proceso de elaboración del producto se puede obtener mediante la siguiente expresión. Para resolverla se les da prioridad a las operaciones que están al interior de los paréntesis: [(–12 + 5) + –8] : 3 = [(–7) + (–8)] : 3 = –15 : 3 = –5 Finalmente, la temperatura promedio en la elaboración del producto es de –5 °C. ¿Qué paréntesis se resolvió primero, el interior o el exterior?
Para grabar La utilización de paréntesis en los ejercicios matemáticos Ejemplo: permite indicar la prioridad de la operatoria por realizar. [{(–3 + 2) – (7 + 4)} : 3] + (6 – 2) Así, las operaciones que se encuentran entre los = [{–1 – 11} : 3] + (6 – 2) paréntesis que están al interior de otros se deben resolver = [–12 : 3] + (6 – 2) primero. = –4 + 4 =0
Ejercita
1. Calcula el resultado de las siguientes expresiones.
30
a. 2 + (–9 + 5) =
d. {–7 + (–4 – 5) + 3} =
b. 10 – (3 + 2 – 8) =
e. –13 – [–4 + (–15 – 8)]
c. – 5 – (20 + 10) – 7 =
f. {–16 + (24 – 31)} – [–21 – 42]
Números enteros
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2. Analiza la tabla y complétala aplicando la prioridad que indican los paréntesis. a
b
c
–3
–4
–6
–5
–3
3
2
–10
6
1
2
4
–2
7
–1
a – (b – c)
{ [(–c ) + b] – a} + (2 • a)
{–a – (b + c) + a} : 2
1
3. Detecta el error en cada caso. Luego, corrígelo. a.
{–3 – (4 – 1) + 5} = {–3 – 4 – 1 + 5} = –8 + 5 = –3
b. {–7 – [(5 + 2) – 1] + 2} = {–7 – 5 – 2 + 1 + 2} = –13 + 2 = –11
Error:
Error:
Corrección:
Corrección:
4. Resuelve los siguientes problemas. a. Tres amigos realizan una rifa para juntar dinero para un paseo, la que consta de 60 números con un valor de $ 500 cada uno. Si los venden todos, en premios gastan $ 9.500 y el dinero recolectado se repartirá en partes iguales entre los tres, ¿cuánto dinero aproximado le corresponde a cada uno si antes de la rifa tenían reunido $ 30.000?
b. Camila recibe $ 1.500 de su mamá y $ 1.000 de su papá, con los que debe cancelar $ 800 como cuota de curso, $ 300 de un préstamo y $ 300 en unos lápices. ¿Cuánto dinero le quedará a Camila?
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Operaciones combinadas En la clase de Matemática se resuelve el siguiente ejercicio:
En este caso se debe considerar la prioridad establecida para las operaciones. Entonces, el ejercicio se resuelve como se muestra a continuación
2 • 3 + (–20) : 4 – 7 • (–2)
Para la operación combinada 100 : 2 • (–5), ¿qué operación realizarías primero?
2 • 3 + (–20) : 4 – 7 • (–2) = 6 + (–5) – (–14) = 1 + 14 = 15
Para grabar Para resolver ejercicios de operatoria combinada se debe respetar lo siguiente:
¿Por qué crees que se debe respetar la prioridad de las operaciones?
• Se resuelven primero las multiplicaciones y divisiones. Y los grupos de ellas, de izquierda a derecha.
Ejemplo: –15 : [10 – (1 – 3 • (– 2)) – 8] = –15 : [10 – (1 – (–6)) – 8]
• Se resuelven luego las sumas y restas. Y los grupos de ellas, de izquierda a derecha. • En el caso de haber paréntesis que agrupen operaciones, estas tendrán mayor prioridad que los dos casos anteriores.
= –15 : [10 – 7 – 8] = –15 : [(10 – 7) – 8] = –15 : [3 – 8] = –15 : [–5] =3
Se resuelve la multiplicación y luego la resta que contiene el paréntesis redondo ( ). Se resuelven de izquierda a derecha las restas que aparecen en el paréntesis cuadrado [ ]. Se resuelve la división, obteniendo el resultado final.
Ejercita
1. Evalúa las siguientes expresiones considerando que x = –1, y = –2 y z = 2. a. –{–x – [–y – ( z – y)] – x}
32
b. x – [(x + y – z) – (2 – z : y)]
c. [(x – y) + (z + 2 • x)] : (x + z)
Números enteros
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2. Detecta el error y, luego, corrige. a. 17 + {–12 : 2 – 3 + [–2 • (3 – 5) – 3] + 1} = 17 + {–12 : (–1) + [–2 • (–2) – 3] + 1} = 17 + {12 + [–2 • (–5)] + 1} = 17 + {12 + 10 + 1} = 17 + 23 = 40
b.
2 – 14 : 2 – 8 • 3 – 4 + [8 + (–17)] – 2 = –12 : 2 – 24 – 4 + [8 + (–17)] – 2 = –6 – 24 – 4 + (–9) – 2 = –30 – 4 + (–9) – 2 = –34 + (–9) – 2 = –45
Error:
Error:
Corrección:
Corrección:
1
3. Analiza la siguiente situación. Luego, resuelve. En un tour participan 26 personas. El costo del pasaje contempla el traslado ida y vuelta en avión, más un traslado en bus. El valor del pasaje (ida o vuelta) en avión es de US$ 600 por persona y el del pasaje en bus es de US$ 12 (solo ida o vuelta). a. ¿Qué operaciones se deben realizar para obtener el total en dólares ida y vuelta por persona? b. Escribe una expresión de operatoria combinada que represente la solución. c. Escribe una expresión que represente la cantidad de dólares que debe pagar en total el grupo de 26 personas. d. Si se incorporan 5 personas al tour, ¿en cuánto dinero aumenta el costo por el grupo?
e. Si el grupo decidiera quitar el traslado en bus y agregar un costo de US$ 200 por concepto de alimentación, ¿cuánto dinero debería pagar cada persona para participar en el tour?
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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. Analiza la resolución del siguiente problema. Un día de invierno amaneció con una temperatura de –3 °C. Hasta las 11 de la mañana la temperatura subió 8 °C, y desde esa hora hasta las 4 de la tarde subió 2 °C cada hora. Después, desde las 4 de la tarde hasta las 11 de la noche bajó 6 °C, y por último, desde las 11 de la noche a las 7 de la mañana del próximo día, la temperatura bajó 1 °C cada 2 horas. ¿Qué temperatura hubo a las 7 de la mañana?
Paso
Comprender el enunciado
Para comprender el enunciado de un problema puedes hacerlo por medio de la interpretación. Para ello, debes: • Identificar lo que entiendes de la información. ¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema? Se quiere dar a conocer la temperatura en grados Celsius que hubo a las 7 de la mañana del segundo día. ¿Qué información entrega el enunciado del problema? Las variaciones de temperatura que ocurrieron durante cierta cantidad de horas. • Relacionar lo que entiendes con lo que tú sabes. Las variaciones de temperatura se pueden representar con operatoria combinada de números enteros. • Expresar la información en otro tipo de formato. Cinco horas pasaron desde las 11 a las 4 de la tarde, por lo que en ese tiempo la temperatura aumentó 5 veces 2 °C. Desde las 11 de la noche a las 7 de la mañana del otro día disminuyó 4 veces 1 °C, por lo que las variaciones de temperaturas se pueden representar como: –3 + 8 + 5 • 2 – 6 – 4 • 1
Paso
Planifica lo que vas a realizar
Se aplica la prioridad de las operaciones entre números enteros sobre la expresión –3 + 8 + 5 • 2 – 6 – 4 • 1, para obtener la temperatura de las 7 de la mañana del segundo día.
Paso
Resuelve el problema
Aplicando la prioridad de las operaciones, resulta: –3 + 8 + 5 • 2 – 6 – 4 • 1 = –3 + 8 + 10 – 6 – 4 = 5 + 10 – 6 – 4 = 15 – 6 – 4 =9–4 =5
Paso
Amanecer
11 de la mañana
Aumento de la temperatura 8 °C
Aumento de la temperatura 5 veces 2 °C Temperatura (°C)
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Revisa la solución
Se puede revisar utilizando la recta numérica.
Disminución Disminución de 2 °C por de 6 °C cada 2 horas 4 de la tarde (8 horas)
7 de la mañana del siguiente día
34
4 de la tarde
11 de la noche
Números enteros
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1 Resolución de problemas
2. Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente. Un ciclista está ubicado a 7 m a la derecha de un punto A, luego avanza 23 m, retrocede 36 m, vuelve a avanzar 19 m y retrocede 6 veces 36 m. ¿A qué distancia y en qué sentido se encuentra el ciclista respecto del punto A?
Paso
Comprende el enunciado
• Identifica lo que entiendes de la información.
¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema?
¿Qué información entrega el enunciado del problema?
• Relaciona lo que entiendes con lo que tú sabes.
• Expresa la información en otro tipo de formato.
Paso
Paso
Paso
Planifica lo que vas a realizar
Resuelve el problema
Revisa la solución
3. Resuelve el siguiente problema. En la primera parada de un bus suben 17 personas, en la segunda suben 5 y bajan 8, en la tercera suben 9 y bajan 13, en la cuarta parada baja la mitad de los pasajeros que quedan. ¿Cuántos pasajeros permanecen en el bus? Matemática 7
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HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS Con el programa Excel del computador se pueden realizar diversos tipos de cálculos. En estas páginas aprenderás a valorar expresiones algebraicas con números enteros.
1. Comprueba los siguientes pasos y realízalos en tu computador. Se quieren evaluar los siguientes valores en la expresión algebraica: 2•x–3•y–x•z
a. x = 3; y = 15; z = –4 b. x = –6; y = 0; z = 2
c. x = –8; y = –25; z = –3 d. x = 4; y = 30; z = –7
Paso
Paso Al abrir el programa Excel escribe los títulos de las columnas en las celdas A1, B1, C1 y D1. Para ello, selecciona cada celda con el cursor del mouse. Luego, ingresa los valores de x, y, z respectivamente en las celdas correspondientes y en la columna A escribe las letras a, b, c y d que indican los ejercicios por realizar.
Escribe la expresión algebraica (=2*B2-3*C2-B2*D2) que se quiere evaluar en la celda E2.
Paso Para calcular el valor debes presionar Enter y en la celda aparecerá el valor -27, que es el resultado de evaluar la expresión algebraica con los valores correspondientes. Para calcular los demás valores, copias desde la celda E2 hasta la celda E5 y vuelves a presionar Enter.
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Números enteros
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1 poder evaluarla con los valores entregados. Fórmula:
• ¿Qué valores se obtienen?
3. Evalúa con los valores que se indican la siguiente expresión y luego comprueba tus resultados utilizando Excel. 3 • (2 • p + q) : 4 – (p – 2 • q + (2 • r – p)) – p • q • r
a. p = 2; q = 6; r = 8.
c. p = –6; q = –12; r = 8.
Herramientas tecnológicas
2. Analiza la siguiente tabla escrita en Excel y escribe la fórmula que debes incorporar en las celdas de la columna E para
b. p = 8; q = 0; r = –12.
d. p = 17; q = –2; r = –15.
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PARA NO EQUIVOCARSE 1. Analiza las soluciones planteadas para un mismo ejercicio y responde.
Resolución 1
Resolución 2
–2 – {3 –[–5 • (–1) + 1]} = –2 – {3 –[–5 • 0]} = –2 – {3 – 0} = –2 – 3 = –2 – 3 = –5
–2 – {3 – [–5 • (–1) + 1]} = –2 – {3 – [5 + 1]} = –2 – {3 – 6} = –2 – {3 – 6} = –2 – {–3} = –2 + 3 =1
a. ¿Cuál es la solución correcta? b. ¿Cuál es el error cometido en la resolución incorrecta?
2. Analiza la resolución planteada y responde: Resolución [|–2| • |2| + 10 : |–2|] – [–|3| – |–3|] = [2 • 2 + 10 : 2] – [–3 + 3] = [4 + 10 : 2] – 0 = [4 + 5] – 0 =9–0 =9 a. ¿Es correcta la resolución planteada? b. ¿Cuál es el error cometido si la resolución es incorrecta?
c. Escribe la resolución correcta, una resolución distinta o equivalente según corresponda.
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Números enteros
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3. Analiza la siguiente resolución. Luego, responde. • Un ascensor sube desde el primero al noveno piso, baja al segundo, sube al décimo, baja al octavo, baja al tercero, sube al noveno, baja al tercero, baja al primero, luego sube al décimo y por último baja nuevamente al primero. Si cada piso tiene una altura de 3 metros, ¿cuánto se desplazó el ascensor? Un estudiante indica que al sumar los números de los pisos a los que sube el ascensor se obtiene el total de veces que se desplazó el ascensor subiendo. Por consiguiente, este habría subido 9 + 10 + 9 +10 = 38. Por otro lado, suma los números de los pisos que este bajó para obtener el número total de pisos que descendió 2 + 8 + 3 + 3 + 1 = 17. Finalmente, afirma que el ascensor se desplazó en total 17 + 55 = 53 pisos, por lo que el desplazamiento total fue de 55 • 3 = 165 m. a. ¿Es correcta la explicación y el resultado que plantea el estudiante? Justifica.
b. Dibuja la situación planteada en la recta numérica que se muestra a continuación. 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Para no equivocarse
1
c. Resuelve el problema aplicando operatoria de números enteros.
4. Crea un ejercicio en el cual aparezca un error, muéstraselo a un compañero y pídele que lo analice y que encuentre el error.
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AMPLIANDO MIS CONOCIMIENTOS 1. Analiza la información entregada y, luego, resuelve. El conjunto de los números enteros surge de la necesidad de dar respuesta a las restas de números naturales en las que el minuendo es menor que el sustraendo: 6 – 15 = –9 Los números racionales nacen de la necesidad de dar respuesta a las divisiones de números enteros en las que el dividendo no es múltiplo del divisor: 12 : 7 = x Es por eso que el conjunto de los números racionales () está compuesto por todos los valores numéricos que se puedan expresar como fracción, donde el numerador y el denominador son números enteros; y este último, distinto de cero. a = / a,b ∈ ,b ≠ 0 b a. Da dos ejemplos de números que no sean racionales. Justifica tu elección. 2 a a 3 0/ ∈ ,b=≠ = / a,b ∈ ≠ a,b ,b 0 1 b a b = / a,b ∈,b ≠ 0 – a b 12 a 2 a 0 = / a,b ∈ ,b ≠20 b = 2b / a,b ∈=,b≠ 10 ∈ ,b ≠ 0 / a,b 3 3 ba 0 2 ∈ ,b ≠ 0 1= / a,b 1 3 2 a – –2 ,b b 3 3 12 12 ≠ 0 3 = – b1 / a,b ∈ 3 2 2 1 10 1 12 10 – 1 – 2 6 12 0 12 10 –30 – 12 3 5 1 10 3 10 0 –3 10 1 1 2. Analiza los ejemplos y luego representa 0 los siguientes 2números –0 3 racionales 212 en la recta numérica. 0 12 2 10 3 63 2 6 3,4 –2,7 3,2 –0,8 – – 3 10 1 05 2 52 – 6 – 2 2 31 6 1 06 5 a – 6 – 1 3 = / a,b ∈ ,b ≠ 05 2 5 1 –2 – 2 b 5 3 6 1 121 2 –1,3 ––1 1 a – 2 6 6 5 = / a,b ∈ ,b ≠ 0 2 2–2 – 1 – 2 b 2 3 5 5 11 1 11 2 – –3 –2 3 –1 – –10 1 1 3 4 –221 1 2 2 32 – –3 – – 21 12 3 2 1 621 3 –– 61 – – 10 – 1 1 1 Luego 3. Analiza los siguientes pares de números 2 6 3 racionales. 5– 3 completa –con – – 5 >, < o =, según corresponda. – 3 0 12 2 5 6 5 3 31 –6 – 4,1 e.– – 61 a. 2,3 – 3 10 2 3 5 2– 5 – 3 –2 – 5 2 0 3 3 6 3 13 2 – 31 – – – 6 3 – 6 1 5 2 5– 2 – 1 –5 – –1 b. –6,2 2,5 f. 0,01 0,00010 2 5 2 5 2 3 1 5 2 –– 21 – – – 31 1 6 5 3– 5 – 2 –2 – 3 51 5 2 2 2 3 1 c. –1,2 7,04 g.–1–0,2 2 ––121 – 1 1 –1 3 – 52 – –23 –1 1 3 2 2 5 2 1 1 2 – 1 –1 1 2 2 d. – 1 h. –1 –13 – – 2 21 3 2 3 –1 6 1 1 2 – –1 40 Números– 3enteros 5 2 3 6 – – 2 5 U1_7º_Mat_v4.indd 40 1 3
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4. Analiza los ejemplos y luego resuelve. La operatoria con números racionales mantiene las reglas consideradas para la operatoria de números enteros.
Ejemplo 1: –0,8 + (–0,5) = –1,3
a. 0,7 + (–0,12) =
2 5 2 5 2 5 4+ 15 19 = –– = + = + = 6 6 3 2 3 2 3 2 2 1 b. – – = 5 3 3 3 +– = 11 121
Ejemplo 2:
2 5 2 5 2 5 4+ 15 19 = –– = + = + = 6 6 3 2 3 2 3 2
2 1 – – = 5 3 3 3 +– = c. –2,4 : 0,6 = 11 121 2 5 2 5 2 5 4+ 15 19 = –– = + = + = 6 6 3 2 3 2 3 2 2 1 – – = 5 3 3 3 d. +– = 11 121
5. Resuelve los siguientes problemas. a. La temperatura que registra un termómetro es de –3,2 °C. Si su temperatura aumenta en 7,8 °C, ¿qué temperatura registra luego de este aumento?
Ampliando mis conocimientos
1
b. La fosa de las Marianas, ubicada en el océano Pacífico, es la que tiene la mayor profundidad del planeta: 11.034 km bajo el nivel del mar. La mayor altura sobre el nivel del mar alcanza los 8.848 km, y corresponde al monte Everest, que se encuentra en el Himalaya. ¿Cuál es la distancia entre estas dos magnitudes?
c. A un número se le resta 2,6, luego se suma 1,5 y finalmente se agrega la mitad del número original más 2 unidades. Si el resultado obtenido es –3, ¿cuál es este número?
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EVALUACIÓNFINAL I. Lee atentamente y marca la alternativa correcta.
1 ¿Qué tipo de número es –3? A. Un número natural. B. No es un número entero. C. Un número natural negativo. D. Un número entero negativo.
2 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta
A. |–3| < –3 B. |–3| = |3| C. |–3| < |3| D. –|–3| < –3
8 ¿En cuál de los siguientes conjuntos los números
respecto del conjunto de los números enteros?
están ordenados de menor a mayor?
A. Contiene el número cero. B. Tiene solo números positivos. C. Tiene solo números negativos. D. Tiene solo números positivos y negativos.
A. 0, |–1|, |2|, –3, –4. B. –5; –1; |–2|; |–3|; 5. C. –2, |2|, –3, |–5|, 4. D. |–1|; –2; |–3|; –4, –5.
3 ¿Cuál de los siguientes valores es el mayor? A. –1 B. –3 C. –5 D. 0
4 ¿Qué grupo tiene sus números ordenados de menor a mayor? A. –3; –1; 1; 3; 5; 7 B. –5; 2; –1; 0; 1; 4; 7 C. 0; –1; 1; –2; 2; –3; 3 D. –1; –3; –5; –7; –9; –10
5 ¿Qué valor es el más cercano a cero? A. –15 B. –8 C. –9 D. 15
6 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA? A. |8| = –8 B. |–8| = –8 C. |–8| = 8 D. –|8| = 8
42
7 ¿Cuál de las siguientes expresiones es VERDADERA?
9 ¿Cuál es el resultado de |–7| + |–7|? A. –14 B. –7 C. 0 D. 14
10 ¿Cuál es el resultado de –|–5| – |5|? A. –10 B. 0 C. 5 D. 10
11 ¿Cuál es el resultado de |–15 + 9| – |–12 + 5|? A. –13 B. –1 C. 1 D. 13
12 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA? A. –3 < –2 B. –3 < –4 C. 7 < –7 D. –1 > 0
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13 Si a = –5; b = 2; c = –3, ¿cuál de las expresiones es VERDADERA? A. a + b < c B. a – b > c C. b + c < a D. c < b – a
14 ¿Cuál es el número que se ubica a la misma distancia en la recta numérica de los números enteros –8 y 4? A. –4 B. –2 C. 0 D. 12
15 ¿Cuál es el resultado de –3 + 5 – 7? A. 5 B. –15 C. –5 D. –1
16 ¿Cuál es el resultado de –(–3) + (–5)? A. –8 B. –2 C. 2 D. 8
17 ¿Cuál es el resultado de [–8 + (–5 + 1)] – [4 – 0]? A. –16 B. –11 C. –7 D. –6
18 ¿Qué valor se obtiene al resolver 2 – [–3 + (–8 – 2) – (5 – 7)]? A. –11 B. –9 C. 13 D. 17
19 ¿Qué valor obtienes al multiplicar –7 y –1? A. –8 B. –7 C. –6 D. 7
20 ¿Cuál es el valor de la expresión 2 • 3 – 10? A. –14 B. –8 C. –4 D. 16
21 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?
Evaluación final
1 A. Al multiplicar un número entero positivo por uno negativo, el resultado es negativo. B. Al multiplicar un número entero negativo por su inverso aditivo, el resultado es negativo. C. Al dividir un número entero negativo por uno negativo, el resultado es negativo. D. Al dividir un número entero positivo por su inverso aditivo, el resultado es negativo.
22 ¿Cuál es el resultado de 4 + 20 : 2 – 30? A. –18 B. –16 C. 12 D. 44
23 ¿Cuál es el doble del resultado de –2 – 3 • 2? A. –18 B. –16 C. –10 D. –8
24 ¿Por qué número debes dividir –(6 + 4 • 2) para obtener 2? A. –10 B. –7 C. 7 D. 10
25 ¿Cuál es el antecesor del resultado de 2 – [4 • 5 : (–2)]? A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
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EVALUACIÓNFINAL 26 ¿Cuál es el valor de 2 • (3 – 8) – 3 • (–5 – 1)? A. B. C. D.
–28 –8 8 28
27 ¿Cuál es la mitad del resultado de 12 : (–2) + 5 • 2? A. B. C. D.
1 2 3 4
28 ¿Qué valor se obtiene al resolver –1 – {–1 – [–1 – (–1 – 1)]}? A. B. C. D.
–5 –1 0 1
29 ¿Cuál es el sucesor del resultado de 16 – {–13 – [–18 – 17]}? A. B. C. D.
–7 –6 –5 –4
30 ¿Cuál es el número que debes multiplicar por –6 para que el resultado sea el antecesor del antecesor de 20? A. B. C. D.
–4 –3 3 4
31 Un buzo se sumerge a razón de 3 m por minuto. ¿Cuánto demorará en llegar a –18 m respecto del nivel del mar? A. B. C. D.
6 minutos. 15 minutos. 18 minutos. 54 minutos.
33 Un estanque contiene 300 litros de agua. Si ingresan 10 litros por minuto y salen 7 litros por minuto, ¿cuántos litros contiene a los 15 minutos? A. B. C. D.
303 litros. 315 litros. 345 litros. 450 litros.
34 Si Pitágoras nació el 582 a. C. y murió el 497 a. C., ¿cuántos años vivió? A. B. C. D.
82 años. 85 años. 97 años. 108 años.
35 El buzo A se ubica a –13 m respecto del nivel del mar; el buzo B a –10 m; el buzo C a –4 m, y el buzo D a –2 m. ¿Cuál de ellos está más cerca de un pez ubicado a –8 m? A. B. C. D.
Buzo A. Buzo B. Buzo C. Buzo D.
36 La temperatura del aire baja 9 °C cada 300 m de ascenso. ¿A qué altura vuela un avión si la temperatura del aire es de –72 °C y a nivel del piso hay 18 °C? A. B. C. D.
1.800 m 2.400 m 2.700 m 3.000 m
37 Si la temperatura máxima de un día fue 22 °C y la mínima –7 °C, ¿cuál fue la diferencia de temperaturas durante ese día? A. B. C. D.
–25 °C –11 °C 11 °C 29 °C
32 ¿Cuántos grados hay entre la mínima –8 °C y la máxima 17 °C? A. B. C. D.
44
9 °C 11 °C 17 °C 25 °C
Mi desempeño Buenas Malas Omitidas
Números enteros
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II. Resuelve los siguientes problemas.
1 Un estanque con capacidad para 55.000 litros de agua comienza a ser llenado mediante un grifo que tiene un
Evaluación final
1 caudal de 25 litros por minuto. Calcula en cuántos minutos el agua habrá alcanzado un nivel para que solo le falten 300 litros para su capacidad máxima. Representa la situación con operatoria de números enteros. ¿El estanque se llena en más o menos de un día?
2 Ana María tiene $ 30.000 en su cuenta corriente y retira la cantidad de $ 18.000 para un pago; luego el banco paga un cheque de $ 26.000 a cargo de la cuenta de Ana María y finalmente le descuentan una comisión por mantenimiento de la cuenta equivalente a $ 2.500. ¿Cuál es el saldo en su cuenta corriente?
3 Escoge un número de tres cifras y forma otro repitiendo el primero. Por ejemplo: 234.234. Divide este número por 7; después, el cociente por 11 y, por último, el nuevo cociente por 13. Obtienes divisiones parciales exactas y al final tu número inicial, ¿verdad? ¿Por qué crees que ocurre esto?
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RESUMEN Una técnica que facilita la retención de lo estudiado para después realizar un repaso eficiente es el cuadro sinóptico. Se trata de un resumen esquematizado, cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de manera estructurada y organizada. Completa las tablas que muestran algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad. Concepto
Definición
Ejemplo
Procedimiento
Ejemplo
• Al multiplicar dos números enteros de distinto signo, su producto será un número negativo.
2 • (–4) = –8
Números enteros en ().
Orden en .
Concepto
Valor absoluto.
Adición en .
Sustracción en .
Multiplicación en .
• Al multiplicar dos números enteros de igual signo, su producto será un número positivo.
–7 • (–8) = 56
División en .
Uso de paréntesis.
Operatoria combinada.
46
Números enteros
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Número de pregunta
Contenido
Habilidad
1
Números enteros
Recordar
2
Números enteros
Recordar
3
Orden y recta numérica
Analizar
4
Orden y recta numérica
Analizar
5
Orden y recta numérica
Analizar
6
Valor absoluto
Evaluar
7
Valor absoluto
Evaluar
8
Valor absoluto
Analizar
9
Valor absoluto
Aplicar
10
Valor absoluto
Aplicar
11
Valor absoluto
Aplicar
12
Orden y recta numérica
Analizar
13
Orden y recta numérica
Evaluar
14
Orden y recta numérica
Analizar
15
Operatoria en
Aplicar
16
Operatoria en
Aplicar
17
Operatoria en
Aplicar
18
Operatoria en
Aplicar
19
Operatoria en
Aplicar
20
Operatoria en
Aplicar
21
Operatoria en
Aplicar
22
Operatoria en
Aplicar
23
Operatoria en
Aplicar
24
Operatoria en
Aplicar
25
Operatoria en
Aplicar
26
Operatoria en
Aplicar
27
Operatoria en
Aplicar
28
Operatoria en
Aplicar
29
Operatoria en
Aplicar
30
Operatoria en
Aplicar
31
Operatoria en
Aplicar
32
Operatoria en
Aplicar
33
Operatoria en
Aplicar
34
Operatoria en
Aplicar
35
Operatoria en
Aplicar
36
Operatoria en
Aplicar
37
Operatoria en
Aplicar
Clave
Mi revisión
Nivel de logro
14 Números enteros, orden y valor absoluto
Solucionario de evaluación final
1
SOLUCIONARIO DE EVALUACIÓN FINAL
23 Operatoria en
Matemática 7
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47
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Potencias
2
Edwin Hubble, creador de la “Ley de Hubble” sobre la expansión del Universo, entre 1923-1924 examinó la nebulosa de Andrómeda y descubrió que la distancia desde esta a la Tierra era de 800.000 años luz (AL).
El año luz se utiliza para medir grandes longitudes, y corresponde a la distancia que recorre la luz en un año. 1 AL equivale aproximadamente a 9,46 • 1012 km.
En esta unidad aprenderás... ¿Qué?
48
¿Para qué?
¿Dónde?
Potencias de base y exponente natural y su respectiva extensión a potencias de base fraccionaria o número decimal positivo.
Interpretar el concepto de potencia como la multiplicación de factores iguales.
Páginas 50 a 53.
Propiedades de las potencias de base racional positiva y exponente natural.
Aplicar estas propiedades y resolver problemas que las involucren.
Páginas 54 a 61.
Potencias de base 10 y números decimales. Raíz cuadrada y operatoria combinada.
Aplicar las potencias de base 10 y números decimales e interpretar la raíz cuadrada de un número en la resolución de problemas.
Páginas 62 a 67.
Potencias
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Después de leer Considerando la información de la página anterior, responde. 1) ¿De qué se trata el texto? 2) ¿A qué se refiere la “Ley de Hubble”? 3) ¿A cuántos kilómetros equivale aproximadamente un año luz?
Evaluación inicial Interpretar consiste en convertir la información presentada de una manera a otra. Transformar ciertas palabras en otras también es interpretar. La Vía Láctea es la galaxia donde se encuentra nuestro Sistema Solar. Según observaciones, tiene un diámetro de 100.000 AL, aproximadamente. ¿Cómo expresarías esta medida en metros? 1) ¿Qué se necesita conocer para poder contestar correctamente la pregunta?
2) ¿Qué datos son entregados en el enunciado para resolver el problema?
3) ¿Cuál es el diámetro de la Vía Láctea expresado en kilómetros? ¿En qué te basas para interpretar eso?
4) Expresa el diámetro de la Vía Láctea, en metros, como una multiplicación de un número decimal por una potencia de base 10.
Matemática 7
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49
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Potencias de base y exponente natural La bacteria Escherichia coli, que forma parte de nuestra flora intestinal, se reproduce por fisión binaria. Es decir, cada bacteria se divide en otras dos idénticas bajo ciertas condiciones y en un tiempo determinado. Si en condiciones óptimas esta bacteria se reproduce una vez cada 20 minutos, ¿cuántas bacterias, a partir de una, se habrán generado a los 80 minutos?
2 = 21 4 = 2 • 2 = 22 8 = 2 • 2 • 2 = 23 16 = 2 • 2 • 2 • 2 = 24 La cantidad de veces que se reproduce en 80 minutos es 4 (representado por los exponentes), por lo que el número de bacterias que habrá al término de este periodo se puede representar mediante una potencia de base 2. Luego, a los 80 minutos habrá 24 = 16 bacterias.
Para grabar an = a • a • a • … • a
Una potencia corresponde a la representación de una multiplicación iterada de un número por sí mismo cierta cantidad de veces. Exponente
n veces a como factor Donde a, n ∈ .
Ejemplos: 54 = 5 • 5 • 5 • 5 = 625 35 = 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 243 91 = 9
a =c n
Base Valor de la potencia
Ejercita
1. Identifica la base y el exponente de cada potencia. Luego, calcula su valor. a. 28
b. 34
Base:
Base:
Exponente:
Exponente:
Valor:
Valor:
2. Representa cada multiplicación como una potencia. a. 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 =
c. 9 • 9 • 9 • 9 • 9 • 9 • 9 • 9
b. 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7
d. 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 =
=
=
3. Representa cada potencia como multiplicación iterada de un número y calcula su valor.
50
a. 63 =
=
c. 110 =
=
b. 46 =
=
d. 105 =
=
Potencias
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2
4. Calcula el número que falta para que se cumpla la igualdad. Escríbelo en el recuadro. a. 2 = 128
c. 10 = 10.000
e. 7 = 343
b.
d.
f.
3
= 64
3
= 125
3
= 1.000.000
5. Analiza los valores que aparecen en la tabla y complétala. Base
Exponente
3
7
Multiplicación iterada
Potencia
Valor de la potencia
2•2•2•2•2 3
64
10
100.000
6. Evalúa y corrige el error. a. 35 = 3 • 5 = 15
b. 64 = 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 = 4.096
Error:
Error:
Corrección:
Corrección:
7. Representa en un diagrama de árbol la siguiente situación y resuelve. En el año 2000 se estrenó una película en la que un alumno creó una cadena de favores con el objetivo de hacer un mundo un poco mejor. Esta cadena consistía en que el alumno realizaba un favor a tres personas y cada una de ellas debía hacer un favor a otras tres personas más, y así sucesivamente. Si el tiempo que tardaba una persona en concretar los tres favores era de un día, ¿cuántos favores se hicieron al cabo de 4 días?
Ayuda Un diagrama de árbol es una representación gráfica que te puede permitir visualizar de una mejor manera el concepto de potencia. Por ejemplo: para potencias de 2.
8. Evalúa los procedimientos realizados para resolver el siguiente problema. Luego, responde. Se ha diseñado un cuadernillo de texto de 8 páginas. En cada página hay 8 párrafos; en cada párrafo, 8 líneas de texto, y en cada línea de texto, 8 palabras. ¿Cuántas palabras contiene el cuadernillo? Respuesta 1: hay 8 • 8 • 8 • 8 = 84 = 4.096 palabras en el cuadernillo. Respuesta 2: hay 82 párrafos en total y 82 palabras en cada párrafo, por lo que existen 82 • 82 = 64 • 64 = 4.096 palabras en el cuadernillo. a. ¿Son correctas las repuestas propuestas? ¿Por qué? b. ¿Se puede afirmar que 82 • 82 = 84? Explica. Matemática 7
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Potencias de base fraccionaria o número decimal positivo y exponente natural 1 m 2
2
1 1 1 1 m • m= m2 = m2 4 2 1 2 2 m 1 a n 2 a m potencia El área de un cuadrado se obtiene calculando el valor de la 2 de Si el lado de una 1 22 1 2 la exponente 2 cuya base es igual a la medida del lado.1 Si del b 1 longitud m 2 m= m • cerámica cuadrada mide 1 2 1 2 1 2 1 = 4 m 2 2 2 lado de un cuadrado es a, entonces su área es a . m • m= m =a m 1 a 2 m, ¿cuál es el área 4 2 2 n Esta expresión se puede leer: “a al cuadrado” o “a elevado a b a dos”. 2 n 1 que puede cubrir esta 2 m esta cerámica es: 1 2 1 2 b a n a a a a an Por lo tanto, el área que puede cubrir 1 1 = • • ........... cerámica? 2 m • m= m = m b b b .b.....• b = bn 2 4 2 2 2 a 1 2 1 2 1 1 1 a n m • m= m = b ma a 2 m 1 4 n 2 1 1 2 2 b m mm n a b a 1am b 2 = • • ................. • a =n a 2 2 n 2 1 2 2 1 2 a 1 1 1 b 7 b2 2b7 7 7 2 ba 49bn a a a an 2 2 m m m = m= m • = = • • ........... . ..... • a 1 1 12 1 11b 21 1 1 2 2 1 1 2 2 = • = = 2 1 Para 2 2 m • 2 2 grabar mm = •mm m= 1 b 2b 1 2 b bn = =m ma1 5 1 5 5 1 52 b25 4 m m m= •m= m • m= m = m b 2 2 2 2 242a 2 22 4 4 m 1potencias 2n 2de 4 2 a 2 2 1 1 1 n Ejemplo: Las base fraccionaria o número decimal 2 2b 49 n m• a = m n n n m= m a a a 1 a a = • • ................. • = 2 n 2 b a a 2 2 2 4 b 1 a , con b ≠ 0, m 17 2517 7a 17 2 49 n b b b positivo bson expresiones de la forma 2 2 m b b b a n a a n •= m= 2 b b n m = = • a 2a 32 b 2 2 7=24 m7 7 7 2 49 a 2 5 5 5 25 a = • • ................. • = n cm 5 = • = = a donde es laabase y el número natural 1 1 1 1 b b 5 5 5 52 25 b b n4 a a n elbexponente m • m= b m2 = m2b a Si se escribe como decimal: 49 b 4 2 2 2 a 1 bn b a n b de la potencia. 2 a a n a b = 1,96 = 49 a a a 25 n 7 7 7 7 2 n49 b2 =21,4 •m 1,4 = • • ................. • = nn n n1,4 = • = a= n b a a a a a 2 a a a a a a ...... • =a a 3 251 b b b= • • ........... b b ......b• n =a= n =• a2 •• ........... a an 5 5 5 52 25 • .................2• =n n a cm 2 a a a m n b b b b bb7 bb b7 7 7b bb49b = = • • ........... . ..... • n b b b a a a 4 7 = b1,96 . b b32cm b bn = • = Por lo tanto, = = • • .................a • a = a b 2 49 41 a a 5 5 5 52 25 1 2 1 2 1 n 5 a b b b 1 b a bn n b n factores a 2a m a a 25 2 = • • ................. • a21=ma • 2 m= 2 m = 4 m b b 49 2 b b 2 2 mn a b 2 b bb 7 7 2 7 7 492 3 2 2 b2 b n 2 2 n = = = • cm 2 a a a n 25 7 7 7 7 49 7 7 7 7 49 7 = 1,96 7 7 7 a272 49 = • b• ................. • a = a 5 5 5= 5• 2 =25 = 7= =• 7 •=7 = =7 = 49 4 = • 7= = Ejercita 5 5 5 52 255 5 35 55 552 2 25 25 n a5 2 b b b b 5 cm 7 7 7 b7 2 4949 5 5 5 b5=2 1,96 1 25 = • = = b 2 m 5 49 49 4 a 2 2 5 5 5 52 2525 49 2 a 7 7 49 1. Calcula el área (A) de los siguientes cuadrados. 1 2 = • 7 = 7 = 49 25 25 b m 2 25 7 3 49 5 5 25 = 1,96 5 52 A25=b 2 3 mm A = 3 3 2 b. 7 7 7 7 2 49 a. 4 cm0,4 n 5 2 n cm 3 cmcm a a a = • 25 7 cm = • • ................. • a = a 49 4 4 4 5 5 5 3= 52 = 25 1 = 1,96 4 0,4 mm b b b b bn 2 m 1 cm 1 1 5 25 2 m 2 1 m 2 2 m 4 49 2 m a 3 2 2 2 2 cm 2 1 25 7 2 2 2 2 m b 4 7 7 =1,96 2 7 = 1,96 7 2 3 2 5 = 1,96 = 1,96 2 1 cm 5 5 2. Resuelve los siguientes problemas. 5 2 2 m 5 = 1,96 7 = 7 • 7 = 7 = 49 7 4 2 2 = 1,96 2 5 en5 m52 y 5cm a. ¿Cuál es el área de un cuadrado de lado 0,03 m? Expresa tu resultado .25 1 5 2 2 m 7 = 1,96 49 2 5 2 25 7 = 1,96 3 5 cm 4 1 b. José desea pintar una pared de forma cuadrada cuyos lados miden 2 m y cuenta con 2 2 tarros de pintura que le alcanzan para 6 m2 cada uno. ¿Cuántos tarros 7 de pintura necesita si quiere pintar 2 veces la pared para que quede mejor? = 1,96 5
52
Potencias
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3. Evalúa si cada afi rmación es correcta. Justifi ca. a. “El área de una figura medida en m2 está relacionada con la cantidad de cuadrados de lado 1 m que la componen”.
2
b. “Para cubrir un piso rectangular de dimensiones 5 m de ancho y 10 m de largo se necesitan 50 baldosas, cada una de 100 cm2 de superficie”.
4. Resuelve los siguientes problemas. El volumen (V) de un cubo de arista a se calcula resolviendo a • a • a. Es decir, V = a3. a. Calcula el volumen (V) de cada cubo formado por otros de 1 m de arista. Plantea la potencia.
4m 2m 1m
V =
V =
V =
b. ¿Existe una relación entre la cantidad de cubos de 1 m3 y el volumen de cada cubo formado a partir de ellos? De ser así, ¿cual es esta relación?
c. ¿Cuál es el volumen de un cubo de arista 2,5 m?
8 d. Si el volumen máximo que puede contener una caja cúbica es de cm3, ¿cuál es la 125 medida de su arista?
Matemática 7
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53
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Multiplicación de potencias ¿Como expresarías el área de cada rectángulo usando el concepto de potencia?
El área de un rectángulo se puede calcular multiplicando las medidas de su largo por la de su ancho. Por lo que el área del rectángulo amarillo es de 36 cm2, ya que: 32 • 22 = 3 • 3 • 2 • 2 = 9 • 4 = 36. Esta multiplicación también se puede expresar como sigue:
2 cm 2
32 cm
32 • 22 = (3 • 2)2 = 62 = 36.
2 cm 3
El área del rectángulo azul es de 32 cm2, ya que: 2 cm 2
23 • 22 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 23 + 2 = 25 = 32. Por lo tanto, se tiene que: 32 • 22 = (3 • 2)2 y 23 • 22 = 23 + 2
Para grabar
Para saber más El conjunto formado por las fracciones y números decimales positivos se representa por el símbolo +.
Propiedad: La multiplicación de potencias de igual exponente se puede expresar como una potencia que conserva el exponente original, y su base es la multiplicación de las bases originales.
Ejemplos: 0,13 • 103 = (0,1 • 10)3 = 13 = 1
a • b = (a • b) n
n
n 3
con a, b , n . +
2
Propiedad: La multiplicación de potencias an • am = an + m de igual base se puede expresar como una potencia que conserva con a +, n, m . la base, y su exponente es la suma de los exponentes originales.
Ejercita
3
1 3 1 1 • 2 = 1 • 2 3 3 3
2+3
3
4 = • 2 3
3
8 512 26 = = = 18 3 27 27
5
2 2 2 32 • = = = 3 3 3 3 3 243 3 3 1 3 1 4 8 512 26 2 = 18 • 2 = 1 3 +•12 = 4 • 2 = = 133• 5,2 = 5,2 = 5,2 = 731,1616 1 5,2 27 3 3 3 27 • 1 3 2 2 2 3 2+3 5 2 2 2 2 32 • = = = 2 3 3 3 3 243 1 1 • 41 22= 1 3 4 • 2 2 2 3
2 1 1 • 42 = 1. Representa cada expresión como una potencia. Para ello, utiliza las propiedades 4 anteriores.
a. 52 • 22
=
f. 33 • 23 • 43
b. 23 • 33
=
c. 42 • 4
=
3 3 g.23 • 3324 • 22 =33 3 3 26 512 1 11 • 233 = 1 11 • 2 = 44 • 2 = 88 = 512 18 26 1 • 2 = 1 • 2 = • 2 = = == 18 27 27 33 33 33 27 33 27 2 3 2+3 5 2+3 5 2 32 •1,2 2 3• 1,2 22= 2 32 h.1,2 2 •• 2 == 2 == 2 == 32 243 33 33 33 33 243 2 3 2 3 11 • 11 i. • = 2 2 2 2
d. 0,23 • 0,22 =
e. 0,1 • 10 4
54
4
=
=
2 1 2 1 j. 11 •• 4 422 = = = 4 4
Potencias
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2
2. Resuelve los siguientes problemas. a. Si un terreno rectangular mide 53 m de largo por 23 m de ancho, ¿qué potencia de base 10 representa al área del terreno?
b. Matías tiene 33 naipes de un juego de estrategia y Benjamín 32 veces la cantidad de naipes de Matías. ¿Cuántas cartas tiene Benjamín? Expresa tu resultado como una potencia de base 3.
3. Representa cada expresión como una potencia de base 10 e identifi ca la mayor. a. 102 • 103 = La potencia
b. 27 • 57 =
c. 10.000 =
es la mayor, ya que
.
4. Calcula cada producto utilizando el concepto de potencia. Observa el ejemplo. 8 = 2 • 2 • 2 = 23 4 = 2 • 2 = 22 Entonces, 8 • 4 = 23 • 22 = 23 + 2 = 25 = 32. a. 3 • 27
=
b. 6 • 36 =
c. 25 • 125 =
¿Por qué crees que se propone un ejemplo para la actividad 4?
1 1 d. 1 •• 1 = 221 •441 211 4• 11 • 100 1 10.000 1 e. 100 • 10.000 = 1 11 10.000 1100 •• 125 1 551 • 125 2 8 25 125 8 f. •• = 3 27 2 8 3 •27 3 27
5. Verifica si las siguientes afi rmaciones son verdaderas. Justifi ca tu respuesta. a. Si dos potencias tienen la misma base, la de mayor exponente es la mayor.
b. Si dos potencias tienen bases iguales mayores que 1, la de mayor exponente es mayor.
Matemática 7
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55
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División de potencias Para determinar la medida del ancho del escenario se puede calcular el cociente 25 : 8. Observa los siguientes procedimientos: La superficie del piso del escenario tiene forma de rectángulo y su área es de 25 m2. Si su largo mide 8 m, ¿cuánto mide su ancho?
Procedimiento 1:
Procedimiento 2:
25 23 2 = 3 • 2 = 1 • 22 =22 = 4 25 : 8 = 25 : 23 = 25 – 3 = 22 = 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Por lo tanto,7 se tiene que el ancho del piso mide 4 m. 10 107 : 57 = 7 5 25 :8=25 :23 =
Para grabar
Propiedad: La división entre dos potencias de igual base se puede expresar como una potencia que conserva la base, y su exponente corresponde a la diferencia entre los exponentes originales.
an : am = an - m
Ejemplos: 712 : 710 = 712 – 10 = 72 = 49
con a +, n, m y n > m.
Propiedad: La división entre dos potencias de igual exponente se puede expresar como una potencia que conserva el exponente, y su base corresponde al cociente entre las bases originales.
25 23 2 = 3 • 2 = 1 • 22 =22 = 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2
25 :8=25 :23 =
an : bn = (a : b)n
107 : 57 =
a, b +, n .
107 = (10 : 5)7 = 27 = 128 57
Ejercita
1. Representa las siguientes expresiones como una potencia y calcula su valor. Para ello, aplica las propiedades anteriores. Observa el ejemplo.
82 : 22 = (8 : 2)2 = 42 a. 103 : 1003 =
=
c. 1.0002 : 2502 =
=
b. 22 : 2
=
d. 510.000 : 59.996 =
=
=
2. Resuelve el siguiente problema. El ancho de un rectángulo mide 73 m y su área es de 79 m2. ¿Cuánto mide el largo del rectángulo?
56
Potencias
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2
3. Calcula la longitud del lado que falta en cada caso y escríbelo en el recuadro. a.
b. Área 100.000 m2
Área 302 cm2
102 m
52 cm
4. Calcula el valor las siguientes expresiones. Observa el ejemplo. 3 1,23 : 2,43 = (1,2 : 2,4)3 = 0,5 = 0,125 8 5 1 1 8 : 5 51 51 8 : 5 15 152 1 d.952: : 52 = a. 0,154 : 0,034 = 31 92 : 2 413 4 923: 2 4 : 4 = 32 3 23 b. 0,013 : 0,00013 = e. 4 : 4 = 32 5 23 3 1 : 1 = 2 5 :3 3 41 5 : 41 3 8 5 142 14 1 1 c. : = f. 1 : 2 =1 5 5 4212 :z4 = 36 2 : z2 = 1 2 12 22 36 1 2 1 9 : p2: :2z2== 9 5. Resuelve el siguiente problema utilizando las propiedades de las potencias. 2 36 3 25 p2 : 2 = 9 4 4 Una de arista 27 cm está llena 3caja 2cúbica 5 2 2 bolitas 8p : 5 : de = con radio 0,5 cm. 1 15 = 9 2 3 ¿Cuántas cajas de arista 3 cm, como : 5 3 máximo, 1 se pueden llenar con las bolitas? 5 5 8 : 1 5 2 4 2 1 1 : 14 9 : 5 2 5 6. Aplica las propiedades de las potencias y determina el valor de la incógnita 3 1 2 1 : z2 = en cada ecuación. Calcula en tu cuaderno. 4 4 3 2 22 1 36 9 : : = x= q= d.q22: 52 3 =625 a. 2x : 233 =2 16 2 2 4 4 5 3 p3 : 52 = 9 1 1 : = : 2 3 4 5 4 r 2 2 b. 0,3 5 : y =3 100 y = e. 0,06 : 0,06 = 0,000216 r = 2 1 1 1 2 1 : : z = 2 36 4 4 2
1 1 c. : z2 = 2 36
2
z=
2 f. p : = 9 5 2
p=
2
2 p : = 9 5 2
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Matemática 7
57
26/11/09 09:29:57
EVALUACIÓNINTERMEDIA 1 Identifica la base y el exponente de cada potencia. Luego, calcula su valor. a. 35
c. 122
Base:
b. 43
Exponente:
Exponente:
Valor:
Valor: d. 1003
Base:
Potencias de base y exponente natural.
Base:
Base:
Exponente:
Exponente:
Valor:
Valor:
2 Representa cada expresión como una potencia. a. 6 • 6 • 6 • 6 • 6
c. 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 =
=
b. 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 =
d. 11 • 11 • 11 • 11 • 11
=
3 Resuelve el siguiente problema. Una camioneta puede transportar 4 cajas. Cada una de ellas contiene 16 herramientas. ¿Cuántas herramientas pueden trasladar 4 camionetas si cada una hace 4 viajes? Expresa tu resultado como una potencia.
4 Calcula el valor de cada potencia. Para ello, escríbela como multiplicación de factores iguales y Potencias de base fraccionaria o número decimal positivo y exponente natural.
58
Potencias
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luego, resuélvela.
3
3
2 4 = c. 0,1 5
3
2 a. = 5
= 33
3
32 2 = b. 0,4 4
=
2 5
3
33
3 d. 2 = 4
2 5
= 3
3 2 4
=
3 1 2 x3 = 1 1 3 3 125 4 verdadera la x igualdad. = 5 Calcula x = el valor de la incógnita x que hace 125 125 1 4 1 1 x= x= a. x34= 0,001 c. x33 = e. x0,5=x 1= 0,0625 x = 1 4 6 x = x = 125 16 x 16 2 1 x 44 x = 32 x = x = x= x = b. 1,2 d. f. 2 x = 1,44 32 2 32 3 243 = = 1 6 3 243 3 243 x 2 x 32 = 3 243
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2
1 4
2
6 Aplica las propiedades de la multiplicación de potencias y calcula. a. 23 • 22 =
d. 22 • 32
b. 5 • 53
2 1 1 e. 1 •• 1 = 44 44
=
2
=
2
c. 4 • 2 = 3
Multiplicación y división de potencias.
3
1
2 1 22 22 f. •• 55 55 2
7
=
30 30 30 30 212 • 133 potencias Aplica las propiedades de la división4de y calcula. ••4 33 22 2
1
2 5
2 2
1 4
•
1
2 • 5
2
2 1213011330 • • g. 4 •4 = 43 4 2 2 11 2 222 2212 24 3 20• • 20 h.0,5 2 = 5 : •55 53 4 30 30 30 30 30 30 22230 32330 2 •2• 2 2 i. 433•4 :•24 2 • 4 = 3 3 2 2
2 2
2 2 44 3232 4: : 4 33 : 45 0,4 30 30 30 30 30 30 221 2 22 g. : : 2 3 3 :625 325 3 2 22 2 4 2 4 0,44 : : h.0,4 55
2210 = 2 2122 :20,3 d.0,3 = 44 •::33 533 5 44 30 30 30 30 2 430 330 7 7 4 2 2 b. 5 : 5 = e.0,1 = = 2 : •100 2 33 ::23 3 3 2 22 2 2 11 4 3 22 :625 :625222 = 44: :22 = c. 83 : 43 = f. 0,4 i. 0,4 25 25 3 :4 55 30 30 2 22 2 1 resolver : :625 22 cada problema. 8 Aplica las propiedades de las potencias 1 para 325 3 25 :625 2 a. Si un terreno rectangular tiene una superficie de 0,3 km2, ¿cuál es la medida del largo si su ancho 2 2 mide 0,3 km? 0,44 : 5 a. 43 : 42 =
2
1 :6252 25
b. Un niño quiere repartir en cantidades iguales 44 naipes de un juego entre sus 24 amigos. ¿Cuántos naipes le corresponden a cada uno?
c. Una cuerda de 26 m se divide en 4 trozos de igual longitud. ¿Cuánto mide cada trozo?
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Otras propiedades de las potencias ¿Cuál es el volumen que ocupa una caja con forma de cubo de arista 32 cm?
32 cm
El volumen del cubo de arista 32 cm está dado por la potencia de base 32 y exponente 3, y que al calcular su valor resulta: V = (32)3 = 32 • 32 • 32 = 32 + 2 + 2 = 33 • 2 = 36 = 729 Por lo tanto, se puede concluir que (32)3 = 33 • 2 = 36. • ¿Qué potencia de base 2 es equivalente a la expresión (23)4? • ¿Qué número representa la expresión 20? La interpretación de la expresión 20 es el valor que se obtiene de multiplicar el número 2 cero veces por sí mismo. Esto parece no tener sentido, pero aun así es posible calcular dicho valor. Observa: 2n =1 2n 0 En consecuencia, 2 = 1. 3 2 6 1 1 1 = = 2 2 64 Para grabar 2n 0 n m n•m 5 Propiedad: (a ) = a Ejemplos: 2n = 1 23 n 7 La potencia de una potencia se puede 2 n 6 + 1 2 1 1 expresar como una potencia de igual con a , n, m . 4 6 = 3 = 1 base a la original, y su exponente 2 22 646 1 1 1 2 corresponde al producto de los = = 0 5 2 2 64 exponentes dados. 5 =1 1 3 2 7 n 0 Propiedad: a0 = 1 2 5 6 5 El valor de una potencia con base 24n = 1 7 1 3 distinta de cero y exponente cero es con a +. 2 2 4 6 6 1 1 1 1 uno. 5 = = 2n 23 2 64 21 2 2n 0 3 Ejercita 2 6 55 1 3 5 1 1 1 2=1 = = 7 1. Representa como una potencia las siguientes expresiones. 2 2 64 56 4 0 1 3)5)2 = 5 4)6 = a. (33)3 = c. (0,3 e. ((2 = 1 2 7 5 6 1 3 4 1 b. (42)0 = d. = f. 2 = 2 5
20 = 2n – n = 2n : 2n =
Ayuda 273 = (33)3 = 39
5
1 3 2 2. Aplica las propiedades de las potencias y completa con >, < o =, según corresponda. 5 8 3 6 3 7 5 3 0
a. 2
8
b. 2
c. 4
4
d. (5 )
8
1
3. Representa cada expresión como una potencia de base 5 y ordénalas de menor a mayor. a. 57 + 1 =
c. 252 =
e. 52 • 53 =
b. (52)3 =
d. 125 =
f. (5 • 5 • 5)6 : 57 =
<
60
<
<
<
<
Potencias
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4. Representa como potencia de una potencia las magnitudes pedidas en cada caso. a. El área (A) del cuadrado.
54 cm
b. El volumen (V) del cubo.
A=
2
V= 45 cm
5. Aplica las propiedades de las potencias y completa. a. 53 • 5 = 57
c. (27) = 214
e. (0,0122 )22 = 1
b. 32 • 9 = 38
d. 36 : 9 = 34
f. 3 : 3 = 9 4 2 2
100
2 2
6. Evalúa si la resolución es correcta. Corrige si es necesario. Las longitudes del alto, ancho y largo de una caja son, respectivamente, 26 cm, 44 cm y 83 cm. Si su volumen (V) se obtiene multiplicando dichas magnitudes, exprésalo como una potencia de base dos. Resolución:
Error(es):
V = alto • ancho • largo = 26 • 44 • 83 = 26 • (22)2 • (23)3 = 26 • 24 • 26 = 216
Resolución correcta:
7. Calcula el valor de la expresión pedida. Para ello, guíate por el ejemplo. (23 • 32)2 = (23)2 • (32)2 = 26 • 34 = 64 • 81 = 5.184 a. (52 • 23)2 • (4 • 102) =
b. (36 • 53) • (9 • 23 • 5) =
8. Analiza cada igualdad y completa. a. (a )2 = a8
c. (a : b) = a2 : b2
b. y5 • y = y9
d. h5 • h = h5
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61
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Potencias de base 10 y números decimales Neptuno, uno de los planetas de nuestro sistema planetario, llamado Sistema Solar, se encuentra a una distancia aproximada de 4.500.000.000 km del Sol.
Los grandes números, como el que representa la distancia entre el Sol y Neptuno, tienen muchas cifras, por lo que en ocasiones es necesario escribirlos, con ayuda de las potencias, de una forma más reducida. Observa: 4.500.000.000 = 4,5 • 1.000.000.000 = 4,5 • 109 Otro ejemplo de esto puede observarse con el tamaño de la bacteria Mycoplasma pneumoniae, causante de enfermedades respiratorias. Su tamaño es de 0,0000002 m aproximadamente. Esta medida puede ser representada utilizando potencias: 1 2 1 =2• 7 = 7 10.000.000 10 10 1 73,1= 7 • 10 + 3 • 100 + 1 • 10
2 • 0,0000001= 2 •
Para grabar
Propiedad: El valor de una potencia de base 10 tiene la cantidad de ceros que su exponente indique. Propiedad: El valor de una potencia de base 10 cuyo exponente es un número entero negativo tiene la cantidad de cifras decimales que indica el valor absoluto del número del exponente.
10n = 100...........0 n ceros
Ejemplos: 23.000.000 = 23 • 106
con n . 10-n = 0,00...........01 n cifras decimales
0,00000007 = 7 • 10–8
con n .
Ejercita
1. Representa los siguientes valores como una multiplicación entre un número decimal
Ayuda
menor que 10 y mayor que 1 y una potencia de base 10.
Un número decimal es un número a. 5.000 en el que cada dígito está escrito en base 10 según su posición. Con una 1 1 2 • 0separa ,0000001 2 • de la =b.2 •2.000.000 = 7 coma2se la parte = entera 7 10 10 parte decimal. Por ejemplo: 10.000.000
73,1= 7 • 10+ 3 • 100 + 1 •
1 10
=
d. 0,001
=
=
e. 0,0000034
=
c. 310.000.000 =
f. 0,0000000123 =
2. Calcula el valor de cada expresión. Luego, responde. a. 13,05 • 105
=
c. 0,00012 • 104
=
b. 1,56 • 10–3
=
d. 12,30 • 10–3
=
• ¿Qué ocurre con la posición de la coma en los resultados respecto de la posición original?
62
Potencias
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3. Representa como un número decimal multiplicado por una potencia de 10 cada una de las siguientes expresiones. a. 31 • 108
=
e. 100.043 • 106 =
b. 103 • 10–5
=
f. 21.003 • 10-7 =
c. 45.602 • 104
=
g. 2 • 10–5
d. 1.000.000 • 103 =
2
=
h. 100.018 • 10-2 =
4. Resuelve los siguientes problemas. a. La distancia entre el Sol y Saturno es aproximadamente de 1.430.000.000 km. ¿A cuántos centímetros corresponden? Expresa tu resultado como una multiplicación entre un número decimal de una cifra entera y una potencia de base 10. Lee los problemas de la actividad 4 y busca el significado de aquellas palabras que no conozcas.
b. La unidad más pequeña de la materia es el átomo, y su núcleo está formado por protones y neutrones que tienen cerca de 1 • 10–15 m de diámetro y una masa aproximada de 1,7 • 10–27 kg. Representa estas medidas como números decimales.
• ¿Crees que es útil la representación con potencias de base 10? Explica.
5. Representa como una multiplicación entre un número de una cifra decimal por una potencia de base 10. Observa el ejemplo.
0,003 • 105 • 2 • 106 = 0,003 • 2 • 105 • 106 = 0,006 • 1011 = 0,6 • 10-2 • 1011 = 0,6 • 10-2 + 11 = 0,6 • 109 a. 104 • 1.000.000
b. 2 • 104 • 3 • 106
c. 0,02 • 104 • 4 • 103
Matemática 7
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63
26/11/09 09:30:27
(( nn ))
Raíz cuadrada Roberto debe instalar cerámicas cuadradas de lado 1 m en un patio cuadrado cuya superficie mide 49 m2. ¿Cuántas cerámicas debe poner a lo largo y a lo ancho del patio?
(( ))
nnn 100 == 10 10 100 2 Como el área (A) de un cuadrado de lado x es A = x , entonces, se tiene que: 222 = n 0 = 0 ⇔ x = n nnn === xxx ⇔ x 0 = 0 ⇔ x =n A = x2 = 49 m2 xx =6 25 = 5 25 = 5 =6 25 = 5
=8 100que 10Roberto debe instalar axxlo=8 Por lo tanto, la cantidad de cerámicas largo y a lo 100 10 100 === 10 2 ancho es nn 7, ya que 7 = 7 • 7 = 49. 00 == 00 = 16 16 0 =0 xx = 22 = 10.000 10.000 =6 ⇔ xx 2 == nn xxx =6 nn == xx ⇔ xx = =6 1 =8 25 == 55 xxx =8 25 =1 =8 xx = 5 5 = 16 16 100 == 10 10 = 16 xxx = 100 =0,4 xx =0,4 = 10.000 10.000 xxx = 00 == 00 = 10.000 441 441 111 =6 xx =6 = xxx = =5 1.225 5 1.225 5 x =8 =8 x Para grabar n 2 =0,4 =0,4 xxx =0,4 2 xx = = 16 16 2 Ejemplos: 0,25 441 441 n n = x ⇔ x 22 =0,25 La raíz cuadrada de un número n n , donde n 0+ , 441 = 10.000 10.000 xx = 2 1.225 52 = 25. corresponde1a unnúnico valor (x 0+ ), tal que 1.225 25 = 5 , ya que1.000.000 1.000.000 2 x = n. 1.225 1 ⇔ = n n = x x = xx = 0,3102 = 100. 2 + . 100 == 10 10, ya que 5 n = x ⇔ x 2 = n ; donde, x, n 2 2 0,3 100 5 0 25 = 5 81 0,25 =0,4 0,25 El número n se conoce 02 = 0. xx =0,4 00 == 00, ya que81 25 = 5 como cantidad 100subradical. = 10 0,25 121 1.000.000 441 1.000.000 441 x =6 121 = 10 ejemplo, también Observación: en100 el primer cumple con –5, ya que (–5)2 = 25, pero –5 0+ . 0 = 0 se1.000.000 169 0,3 1.225 0ejemplo 1.225 x =8 169 Con el segundo ya 0,3 que (–10)2 = 100. = 0 sucede lo mismo, x =6 0,3 21 12 81 2 = 16 16 81 12 xx = 2 x =6 n21 x =8 81 676 121 0,25 x =8 = 10.000 10.000676 121 0,25 xx = Ejercita 2 x = 16 121 n400 1 n= x ⇔ x = n 169 1.000.000 169 1 1.000.000 400 169 x = 16 x= x = 10.000 n 25n = 5 22 5 1. Calcula mentalmente la raíz cuadrada de cada número. 5 289 2 1 12 0,3 2 1 12 n = x ⇔ x2 = n 2 1 12 289 0,3 x = 10.000 1 x =0,4 =0,4 n100 2 10 x = n = x = x=⇔ x n = x ⇔=x = n 841 676 a. 81 d.5 n676 g. 841 81 = 676 1 25 = 5 = = x n 025 ==05 441 5 1.225 400 121 = n==x5⇔=x 22 = n x =0,4 400 b. 121 e. n25 h. 100 = 10 = 1.225 400 2 x =6 1.225 100 = 10 100 = 10 n= x = ⇔xx=0,4 =n 289 169 441 289 10.000 =0 289 c. n169 f. n25 i. 010.000 = ==x5⇔=x 2 = n 2 x0 =8 =0 2 441 0 = 0 25 = 5 22 841 12 2 1 n 1.225 25 841 x =6 841 x =n 2=1x ⇔estrategia ==510 la actividad? Comenta. • n12 ¿Qué usaste para100 realizar 0,25 x= 16 =6 0,25 1.225 x01.225 =6 100 = 10 1.225 676 2 x =8 = 0= 10 1.225 676 100 n25==x5⇔ x 2 = n = 10.000 2. Calcula en cada caso el valor de la cantidad subradical x. 1.000.000x =8 =8 0400 =0 2 10.000 400 0,25 xx010.000 x = 16 =6 100 10.000 =0 25 ==510 1 0,3 e. xx = 16 0,25 a. x289 c. xx =8 = 16 = 10.000 =6 1.000.000 x = 0289 = 0 x =6 100 = 10 5 81 x = 10.000 81 1.000.000 xx = = 16 10.000 x841 =8 841 0,3 1 x0 =6 =0,4 x =8 =0 xx = 1 121 1 121 = 16 0,3 x=5 1.225 81 xx = xxx1.225 =8 4415 = 10.000 16 =6 5 x =0,4 169 x10.000 = 10.000 121d. 1 = 16 81 b. xx10.000 f. 10.000 x1.225 =0,4 =8 xx = = =0,4 12 211 441 1 121 12 2 5 169 1 x= 2 441 = 10.000 16 = xx441 676 5 169 1.225 =0,4 676 1 5 12 2 1 0,25 1.225 10.000 = xx = 1.225 =0,4 2 441 400 21 51 12 676 x =0,4 1.000.000 2 2 3. Utiliza una calculadora para calcular las siguientes raíces cuadradas. Redondea a la milésima. = xx441 =0,4676 289 0,25 1.225 441 5 400 0,3 0,25 1.225= 841 e. 1.000.000 = c. 0,25 = a. x441 841 400 1.225 =0,4 289 2 81 1.000.000 1.000.000 1.225 f. 0,3 = d. = b. 2 0,25 1.225 =289 1.225 2 441 841 121 0,3 0,3 0,25 1.000.000 2 10.000 81 0,25 1.225 841 1.225 169 81 81 1.000.000 121 0,3 0,25 1.225 1.000.000 2 10.000 12 21 121 121 0,3 169 81 1.000.000 10.000 0,3 0,25 676 169 169 81 26/11/09 12 21 121 0,3 81 1.000.000
(( ))
( )
Para saber más 0+ = + {0}
( ( (
Ayuda Algunas calculadoras básicas contienen la tecla , que permite calcular raíces cuadradas. Para obtener el valor de la raíz cuadrada de un número debes digitar el número y luego presionar esta tecla.
64
Potencias
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⇔ xx 222 == nn nn == xx ⇔ 25 == 55 25
) ) )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ( (
) ) )
09:30:42
2
4. Resuelve los siguientes problemas. a. Un parque de forma cuadrada tiene una superficie de 10.000 m2. Si para entrenarse un atleta da 5 vueltas a su alrededor, ¿cuántos metros recorre?
b. El piso de una sala de clases tiene una superficie cuadrada que mide 196 m2. ¿Cuánto miden sus lados? ¿Y su perímetro?
c. Se quiere cercar un campo de superficie cuadrada que mide 3.249 m2. ¿Cuántos metros de cerca se necesitan?
aa • cc = aa •• cc ab • cd = ab••cd b • d= b • d b d b • ddeterminar la cantidad de cerca? • Si la superficie del campo mide 3.248 m2, ¿podrías
144 144 144 5– 11 5– a c a•c 5– 1 5. Calcula el valor de cada expresión. • = 225 225 ba dc ba •• dc 225 • = 1 d. 1 = a. ab 144 cd ab •=• cd 1 • = 9 9 b 5–1 d b•d 144 981 81 b. 144 e. 81 = 5–1 = 225 25 25 5–1 25 225 1 64+36 64+36 91 64+36 c. 225 = f. = a c a•c a c a •11c • = • = 9 4 181 •d b d b•d b d b 14 4 25 981 144 144 6. Analiza cuáles de las siguientes afi rmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). Para 64+36 25 81 ello, escribe V o F según corresponda. 5–1 5– 1 1 64+36 25 a. Todo número natural tiene un número natural. 225 como raíz cuadrada 225 4164+36 1 1 4 1 raíz cuadrada de todo número cuadrado perfecto es otro número b. La 9 9 4 natural distinto. 81 81 25 25 c. La raíz cuadrada de un número siempre es menor que dicho número. 64+36 64+36 1 1 d. La raíz cuadrada de es mayor que . 4 4 ¿Por qué? Comenta.
Ayuda Recuerda que: a c a•c , con b, d ≠ 0. • = b d b•d
144 5– 1 225 1 9
Para 81saber más 25
Un número cuadrado perfecto es 64+36 aquel cuya raíz cuadrada es un número natural. 1
4
e. Respecto de las raíces cuadradas de los números naturales menores o iguales que 100, existen solamente 10 cuyo valor es un número natural. Matemática 7
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Operatoria combinada ¿Cuál es el valor de las expresiones que aparecen a continuación?
Para resolver estos ejercicios en los que aparecen operatorias combinadas y paréntesis, se debe respetar la prioridad de las operaciones:
{
}
3+ 22 +3 • 32 - 23 :22 +(23 )2 3 1 3+ 4+3 – 2 +26
53 + 23 • 33 – 4 • (23)2 + 54 : 52 125 + 63 – 4 • 26 + 52
{
}
a. 5 + 2 • 3 – 4 • (2 ) + 5 : 5
2
125 + 6 – 2 • 2 + 5
b. 3 + {22 + 3 • 32 – [23 : 22]} + (23)2
3+ {4+27–2} +26
125 + 216 – 256 + 25
3+ {4+27–2} +64
341 – 256 + 25
3+ {31–2} +64
85 + 25 110
3+29+64 32+64 96
3
3
3
3 2
4
2
3
2
6
Para grabar Para resolver ejercicios con operatoria combinada debes respetar la siguiente prioridad de aplicación de las operaciones. 1° Paréntesis, potencias y raíces. 2° Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha. 3° Adiciones y sustracciones, de izquierda a derecha.
Ejercita
1. Calcula el valor de cada expresión. a. (2 • 3)2 – 5
2 • 36 +(22 • 32 )
c. 2 • 36 +(22 • 32 ) 7–2 • 22 9 : 3+(32 )2
e. 7–2 • 22 9 : 3+(32 )2 4 cm
4 cm
(
)
2
210 – 2 • 23 – 81
(
)
2
b. 210 – 2 • 23 – 81
(2+
)
2
(
)
2
d. 2+ 49 –37 : 33
f. (2 • 27 : 25)0 + (2 • 3)3
2 2 • 34 –30 +2 • 22 +34 : 3= 2 • 81– 1+2 • 24 +35 2 4 0 4 4 5 2 81– • 2 5+3 1+2 2 • 3 –3 +2 • 2 +3 : 3= 2 • = 2 • 81– 1+ 2 +243 = 2 • 81– 1+32 +243 = 2 • 81– 1+ 25 +243 = 2 • 81–33 +243 = 2 • 81– 1+32 +243 = 2 • 48+243 = 2 • 81–33 +243 = 96+243 = 2 • 48+243 = 339 = 96+243 2 2 2 : (0,6)2 – 1 +2 • 10–2 = 339 3 3 2 2 2 2 1 : (0,6) – +2 • 10–2 2
49 –37 : 33
( )
( )
66
Potencias
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2
2. Calcula el perímetro (P) de la figura. P= 2 • 36 +(22 • 32 ) 7–2 • 22 9 : 3+(32 )2 22 • 32 cm 4 cm 33 cm
(22)2 cm
(
(
)
2
)
2
210 – 2 • 23 – 81
210 – 2 • 23 – 81
2+ cometido 49 ) –3 :errores. 3 –3 :cálculos 3 3. Evalúa se (han Para ello, resuelve correctamente en la casilla. (2+ 49en) qué 2
2
7
3
7
3
(
)
2 2 10 3 4 0 2 4 42 – 52 • 2 2 4 0 – 81 4 4 5 2 +3 : 3= 2 • 81– 1+2 • 2 +3 2 • 3 –3 +2 • 2 2 • 3 –3 +2 • 2 +3 : 3= 2 • 81– 1+2 • 2 +3 2 81– 1+ 25 +243 2+ 49 –37 : 33 5 2 • = 2 10 3 = 2 •281– 1+ 2 +243 – 2 • 2 – 81 2 = 2 • 81– 1+32 +243 2 • 34 –30 +2 • 22 +34 : 3= 2 • 81– 1+2 • 24 +35 = 2 • 81– 1+322 +243 7 3 2+ 49 –3 : 3 = 2 • 81–33 +243 5 = 2 • 81–33 +243 = 2 • 81– 1+ 2 +243 2 4 0 4 2 81– 1+2 • 24 +35 +3 : 3= 2 • 2 • 3 –3 +2 • 2 = 2 48+243 • = 2 • 48+243 = 2 • 81– 1+32 +243 = 96+243 = 96+243 5 = 2 • 81– 1+ 2 +243 = 2 • 81–33 +243 = 339 = 339 2 2 = 2 2 • 81– 1+322 +243 = 2 • 48+243 2 2 1 2 –2 2 1 –2 : (0,6 +2 : 0,6 – • 10 ( ) +2 10 – • ) 3 +243 3 3 = 96+243 3 = 2 • 81–33 = 339 2 =2 • 48+243 2 2 2 1 1 3 2 1 1 3 2 2 20+2 8 • – 1– • 3 + 2+3 2 20+=96+243 8 • – 1– • 3 + 2+3 4 3 : (0,6)2 – 1 +2 • 10–2 4 3 el valor de cada expresión. 4. Aplica lo aprendido y determina 3 3 =339 2 2 2 2 2 1 2 1 1 a. : (0,6) – +2 • 10–2 b. 20+8 • – 1– • 33 + 2+32 3 3 4 3 2 2 1 1 20+8 • – 1– • 33 + 2+32 4 3
( )
( )
(
(
(
)
)
( )
)
( )
(
(
)
)
(
(
)
)
Matemática 7
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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. Analiza la resolución del siguiente problema. ¿Cuál es la máxima capacidad de la caja de la imagen? Utiliza las propiedades de las potencias para resolver y escribe tu resultado como una potencia de base 2.
24 dm 82 dm
Paso
42 dm
Comprende el enunciado
Para comprender el enunciado de un problema puedes hacerlo por medio de la interpretación. Para ello, debes: •
Identificar lo que entiendes de la información. ¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema? Se quiere dar a conocer la capacidad máxima de la caja, expresando el resultado como una potencia de base 2. ¿Qué información entrega el enunciado del problema? El texto entrega, respecto de la caja, las medidas del largo (82 dm), ancho (42 dm) y alto (24 dm).
• Relacionar lo que entiendes con lo que tú sabes. ¿Qué cuerpo geométrico tiene la forma de la caja? La forma de la caja se asemeja a la de un paralelepípedo. • Expresar el problema en otro tipo de formato. Se desea calcular el volumen de un paralelepípedo cuyo largo, ancho y alto miden, respectivamente, 82 dm, 42 dm y 24 dm. Luego, su volumen (V) está dado por: V = largo • ancho • alto
Paso
Planifica lo que vas a realizar
Se pueden escribir las magnitudes (largo, ancho y alto) de la caja como potencias de base 2, y a partir de las propiedades de las potencias, escribir la potencia de base 2 que representa el volumen del paralelepípedo asociado a la caja.
Paso
Resuelve el problema V = largo • ancho • alto = (82 • 42 • 24) dm3 = ((23)2 • (22)2 • 24) dm3 = (26 • 24 • 24) dm3 = (26 + 4 + 4) dm3 = 214 dm3
Paso
Revisa la solución
Para comprobar el resultado puedes calcular los valores de las potencias que representan al ancho, largo y alto de la caja, luego calcular el producto entre ellos y, por último, comparar el resultado con el valor de la potencia de base 2 y exponente 14 que obtuviste al aplicar las propiedades de las potencias.
68
Potencias
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2. Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente.
Resolución de problemas
2 Si se desea repartir 273 kilogramos de arroz entre 92 localidades del país, ¿cuántos kilogramos de arroz le corresponden a cada localidad?
Paso
Comprende el enunciado
• Identifica lo que entiendes de la información.
¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema?
¿Qué información entrega el enunciado del problema?
• Relaciona lo que entiendes con lo que tú sabes.
¿Qué operación matemática permite resolver problemas en donde una cantidad de elementos se debe repartir en partes iguales?
• Expresa el problema en otro tipo de formato.
Paso
Paso
Paso
Planifica lo que vas a realizar
Resuelve el problema
Revisa la solución
3. Resuelve el siguiente problema en tu cuaderno. El ancho, largo y el alto de una caja miden, respectivamente, 23 cm, 34 cm y 62 cm. ¿Cuál es su capacidad máxima? Para resolver, utiliza las propiedades de las potencias y posteriormente escribe tu resultado como la multiplicación de dos potencias, una con base 2 y la otra con base 3. Matemática 7
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HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS
Potencias en la calculadora científica La calculadora científica del computador, como la de la imagen, tiene una tecla que permite calcular el valor de una potencia. Por ejemplo, para calcular 83 puedes presionar:
8
x^3
512
x^y
8
x^3
o bien puedes hacer lo siguiente:
1o
8
x^y
2o
3
=
• ¿Cuándo usarías
1.
512 x^y
y cuándo
x^3
? Explica.
Expresa la secuencia de teclas que se debe presionar para calcular el valor de cada expresión. Para ello, dibújalas en cada recuadro. Fíjate en los ejemplos. Ejemplo 1: 74 7
x^y
4
Ejemplo 2: (2 + 1)3 =
2
+
1
=
x^3
a. 92
d. 102 + 53
b. (7 – 4)3
e. 35 – 25
c. 1212
f. (13.571 – 13.570)100
2. Utiliza la calculadora del computador para comprobar si los resultados de las secuencias están correctos. Luego, responde.
1o
7
x^y
5
=
x^3
2o
5
x^y
7
=
x^3
a. ¿En qué se diferencian las secuencias? b. Al intercambiar base por exponente, ¿se mantiene el valor de la potencia?
70
Potencias
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3. Utiliza la calculadora científi ca del computador para realizar los siguientes cálculos. a. 11 + 1111 + (1111)11 =
d. (8,4 – 2,7)5
=
b. (1.000 + 999)10 =
e. 1222 – 1000 – 173
=
c. (250 – 50)15
f. 3003 – 2003 – 1003 =
=
4. Calcula manualmente los resultados de las siguientes operaciones. Luego, compruébalos con la calculadora del computador. a. (432 – 321)2 =
c. (11 + 22 + 33 – 44)2 =
b. (3,6 – 1,2 – 0,4)3 =
d. (1,45 + 2,55)4 – 2561 =
5. Analiza la siguiente secuencia de teclas. Luego, digita las teclas indicadas para determinar el resultado. 4
x^y
a.
9
x^y
0
,
5
=
b.
1
6
x^y
0
,
5
=
0
,
5
Herramientas tecnológicas
2
2
=
c.
2
5
x^y
0
,
5
=
d.
1
0
0
x^y
0
,
5
=
• ¿Qué relación tiene el resultado de cada secuencia digitada con la raíz cuadrada de un número? Explica tu respuesta.
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PARA NO EQUIVOCARSE 1. Evalúa las siguientes igualdades y determina en cuál de ellas se ha cometido un error. Luego, escribe la corrección. a. ((32)0)1 = 33 Error:
d. (23 : 32)4 = 212 : 38 Corrección:
b. (42 • 43) : 44 = 46 : 44 = 42 Error:
Corrección:
e. (23 + 32)2 = (23)2 + (32)2 = 26
Corrección:
c. 3 + 3 + 3 = 33 Error:
Error:
Error:
Corrección:
f. 255 : 55 = (25 : 5)5 = 55 Corrección:
Error:
Corrección:
2. Evalúa las resoluciones que se plantean para el problema que se muestra a continuación y luego responde. ¿Cuál es el valor de la expresión 53 + 53 + 53 + 53 + 53? • Resolución 1: 53 + 53 + 53 + 53 + 53 = 5 • 53 = 253 • Resolución 2: 53 + 53 + 53 + 53 + 53 = 5 • 53 = 51 + 3 = 54 a. ¿Cuál de las resoluciones es la correcta?
b. ¿Cuál es el error cometido en la resolución incorrecta?
c. ¿Qué consejo les darías a tus compañeros para que no cometan este error?
72
Potencias
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3. Analiza la resolución del siguiente cálculo. Detecta el(los) error(es) y corrige. 32 • 44 • 62 • 92 = 32 • (22)4 • (2 • 3)2 • (32)2 = 32 • 26 • 22 • 32 • 34 = 32 • 32 • 34 • 26 • 22 = 32 + 2 + 4 • 26 + 2 = 38 • 28 = 68
Resolución correcta:
• ¿Que error se ha cometido?
4. Evalúa el procedimiento que describe la resolución de cada problema. Luego, corrige según corresponda o resuélvelo de otra manera. a. En un jardín hay 4 hileras de 4 rosales cada una y cada rosal tiene 4 ramas, cada una con 4 rosas. ¿Cuántas rosas se pueden contar en 4 jardines con las mismas características?
Corrección o nueva resolución:
Para no equivocarse
2
Resolución: la situación planteada se puede relacionar con una potencia de base 4 y exponente 5 (45), ya que el total de rosas se puede representar como la multiplicación 4 • 4 • 4 • 4. b. El área de un rectángulo es 93 cm2 y su ancho mide 27 cm. Calcula el largo del rectángulo utilizando propiedades de las potencias.
Corrección o nueva resolución:
Resolución: el largo se puede obtener dividiendo el área del rectángulo por el ancho. Para ello, estas magnitudes se pueden escribir como potencias de base 3 y luego aplicar la propiedad de las potencias referida a la división de potencias de igual exponente. c. Calcula el valor de la siguiente expresión: (212 + 2500)0.
Corrección o nueva resolución:
Resolución: primero, se calculan los valores de cada potencia y luego se suman; por último, se calcula la potencia con exponente cero.
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AMPLIANDO MIS CONOCIMIENTOS Regularidades y aplicaciones de las potencias Entre las siguientes igualdades se puede observar un orden lógico o regularidad que las relaciona.
23 – 2 = 1 • 2 • 3 33 – 3 = 2 • 3 • 4 43 – 4 = 3 • 4 • 5
Se puede verificar que esta regularidad también se cumple para otros números naturales, por ejemplo: 83 – 8 = 7 • 8 • 9 En efecto, ya que 83 – 8 = 512 – 8 = 504 y 7 • 8 • 9 = 504. Si el producto entre tres números consecutivos es equivalente a la expresión 123 – 12, ¿cuáles son estos números? Usando lo anterior, ¿se podrían determinar tres números consecutivos que al multiplicarse resulte 123 – 12? En efecto, es posible afirmar que el trío de números pedidos es el 11, 12 y 13, ya que: 123 – 12 = 11 • 12 • 13.
1. Reconoce la regularidad y responde. a. Dadas las siguientes igualdades: 32 = 12 + 4 • 1 + 4
42 = 22 + 4 • 2 + 4
• ¿Se cumple esta igualdad para 752?
• ¿Es válida esta igualdad para cualquier número natural? Justifica.
b. Distribuye las potencias 7, 72, 73, 74, 76 y 79, de tal forma que al dividir las potencias de dos casilleros contiguos de una misma fila, el resultado corresponda a la potencia ubicada en el casillero de abajo.
• ¿Cuántas soluciones distintas se pueden obtener? Justifica.
74
Potencias
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2. Analiza la situación planteada y luego, responde. Al criar una pareja de conejos se tiene que a los tres meses hay el triple de ellos, y a los tres meses siguientes, nuevamente se triplicaron. Si el patrón de reproducción se mantiene: a. ¿Después de cuánto tiempo habrá 162 conejos?
b. Si el corral de los conejos está completo al décimo mes, ¿en qué mes está hasta su tercera parte?
3. Interpreta la tabla. Para ello, complétala y luego, responde las preguntas. Exponente Base 1
0
1
2
3
4
5
12 = 1
2
24 = 16
3 4
43 = 64
5 6 a. ¿Qué regularidades puedes observar al completar la tabla? Explica al menos 3. Regularidad 1:
65 = 46.656
Ampliando mis conocimientos
2
Regularidad 2: Regularidad 3: b. ¿Qué regularidad ocurre con los valores de las potencias de base 3? (opera con sus dígitos)
c. ¿Qué relación existe entre las unidades de los valores de las potencias de base 4 y sus exponentes?
d. ¿Qué relación existe entre los valores de las potencias de base 5 y sus exponentes?
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EVALUACIÓNFINAL I. Lee atentamente y marca la alternativa correcta.
1 ¿Cuál es el valor de 53?
7 Dada la potencia 26, ¿en cuál de las siguientes potencias resulta el mismo valor?
A. 15 B. 25 C. 100 D. 125
2 ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a la potencia 34? A. 4 • 4 • 4 B. 4 + 4 + 4 C. 3 • 3 • 3 • 3 D. 3 + 3 + 3 + 3
8
3 Si la base de una potencia es 4, ¿cuál es el exponente para que su valor sea 256? A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
9
4 Si el exponente de una potencia es 4, ¿cuál es la base para que su valor sea 81? A. 3 B. 6 C. 7 D. 9
10
5 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A. 110 = 1 B. 22 = 2 • 2 C. 33 = 3 • 3 • 3 D. 31 • 31 = 3 + 3
6 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA? A. El valor de una potencia de exponente uno es uno. B. El valor de una potencia de base impar es un número par. C. El valor de una potencia de base uno es igual al valor de su base. D. El valor de una potencia de base par y exponente cero es un número par.
76
11
A. 62 B. 43 C. 83 D. 162 2 11 2 2 1 7 ¿Cuál 7 es el valor de la potencia ? 7 11 A. 1 14 14 14 2 B. 2 2 14 14 14 1 C. 1 1 49 49 49 2 2 D. 2 49 49 49 27 27 27 Si la 64 64base de una potencia es 0,9, ¿cuál es su 64potencia sea 0,81? exponente para que el valor de la 3 3 3 2 22 2 A.28 1 811 8 B. 33 377 7 3 C. 64 4 1 4 D. 9911 9 14 9 14 14 16 16 3 2 ¿Cuál es el valor de la potencia 0,03 16 ?2 29 9 14 9 14 A. 0,0027 14 64 64 1 B. 0,00027 64 1 1 C. 0,000027 49 49 49 D. 0,0000027 2 2 2 49 49 es la base Si el49 exponente de una potencia es 3, ¿cuál 27 27que el valor de dicha potencia sea 27 ? para 64 64 64 3 3 A. 3 8 8 8 3 3 B. 3 4 4 4 9 9 9 C. 16 16 16 9 9 9 D. 64 64 64
Potencias
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4
17
y exponente natural mayor que 1, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A. Si el numerador es uno, el valor de la potencia es mayor que uno. B. Si el numerador es igual al denominador, el valor de la potencia es uno. C. Si el numerador es mayor que el denominador, el valor de la potencia es mayor que la base. D. Si el numerador es menor que el denominador, el valor de la potencia es menor que la base.
18
13 ¿Cuál de las siguientes potencias NO tiene el mismo valor que 0,24? 4 11 4 A. 5 5 2 11 2 B. 25 25 1
11 11 C. 625 625 2
11 22 D. 125 125
19
4
44 4 valor? 4
11 de las siguientes potencias tiene el MENOR 14 ¿Cuál 7
7 A.1311 2 B. 0,1 4 3 4 C. 0,2 3 3 1 4 D. 0,3 1 4 4 15 ¿Cuál 1111de las siguientes potencias es equivalente al 11 producto de 25 • 22? 4 A.243 3 3 B. 2711 C. 21106 16 D. 47 11 11 11 de las siguientes potencias representa el 16 ¿Cuál 16 16 cociente de la división 103 : 53? 5 5 2 2 A.23 3 3 B. 26 2 3 2 C. 52 26 D. 53 3
20
Evaluación final
12 Respecto de una potencia de base fraccionaria
2
1 4 44 1 5111 44 1 5 5 2 5 5 2 51 22 1 22 25 1 1 11 1 25 25 4 25 251 1 25 3 3 1 44 11 1 ¿Cuál de 0,5 5 • 4 ? 11 111es11el resultado de la multiplicación 625 1 625 4 A. 2625 625 5 51 2 1 1 2 625 625 2 B. 4 2222 1 111 22 5 25 111 C. 6125 125 2 125 4 D. 825 125 25 1 1 1 125 125 1 4 1 4 1 1444 1 1 25 625 1 4 11 1 de una división es . Si eldivisor El cociente 4 625 1 4 7 4 1 1 2 4 625 4 1 7 es el es 117777,22¿cuál de las siguientes potencias 625 125 4111 1 1 4 2 4 3 125 dividendo? 4 125 1 1 4 4 3 41 3344 1 125 4 411 33 11 11 4 4 A. 4 4 1 1 7 4 4 11 1 111177 1 4 4 411 1111 11 4 B. 4 3 7 1 1 3 4 4 4 1 3 3333 1 4 4 11111633 11 16 C. 4 11 3 16 6 1 1 11 111416 6 11 11111111 1 4 4 16 1111111 D. 111 4 16 11 16 16 45 1 1 3 16 2 16 5 55 33 2 55 3 2 1 4 ¿Cuál de la multiplicación de las 16 2 2 21es el producto 4 4 3 3 3 116 potencias 3 62 0,01 y 1.000 ? 1 1 11 3 2 2 3 22 1111 2 A. 1.000 16 16 2 1122 2 3 2 2 3 B. 10.000 11 16 3 3 3 16 1 2 5 3 3 C. 100.000 2 35 3 335 2 3 D. 1.000.000 2 16 3 2 2 3 2 3 3 5 7 3 2 2 2 3 2 3 7 7 2 y ? ¿Cuál 2 7772es el cociente entre las potencias 2 3 3 2 3 2 A. 02 3 2 3 3 2 2 3 3 B. 1 3 3 2 3 3 3 2 C. 3 3 3 2 2 7 7 2 7 3 3 D. 2 7 3 3 2 3
3
2 33 2 3 3 7
2 77 2 3 3 U2_7º_Mat_v7.indd 77
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6
EVALUACIÓNFINAL 21 Dada la ecuación 46 • x6 = 64, ¿qué número la hace
26
VERDADERA?
22
23
24
25
78
A. 2 B. 4 C. 1 1 2 2 D. 1 1 4 4 5 1 5 7 • = 1 1 5 7 1 7 la• igualdad Dada 2 32 • = , ¿qué número la 7 2 32 6 6 6 hace 6 2 VERDADERA? 6 5 :0,4 = 1 2 :0,46 = 1 A. 2 5 B. 310 55 5 10 C. 4 9 D. 5 9 5 1 5 5 1 ¿Cuál expresiones NO es equivalente 3 de las siguientes 3 a las demás? 10 10 10 1 A. 213 : 2 32 2 B. 9 : 3 3 5 4 C. 41 : 4 33 2 552 1 22 3 2 D. : 6 : •• 4 5 1 1 12 20,25 0,25 : • 4 4 4 2 1 ¿Cuál 11 de las siguientes igualdades es FALSA? 1 4 1 23 5 2 25 A. 4 415 • 25= 7 5 1 4 B. 415 : 2•1==12 2 = 1 7x+ =10,3 4 7 324 x+ 1 = 12 2 C. 0,3 : 0,3 4 • 2 = 2 +9= 10 6- 1) 7 (x 552 7 6 32 1 (x - 1)2 +9= 10 D. 621 :0,4 ==1 • 2 7 62 32 5:0,4 5 66 5 = 1 2 de Si el largo un rectángulo mide 0,35 m y el ancho 6 10 6 5 :0,4 = 1 10 5 9m, ¿cuál es su área? 9 5 55 10 551 2 A.1 339m B. 310 m2 3 5510 1 2 10 C. 1 3 m 3 10 3 10 1 5 2 1 2 D. m : 3 • 4 0,25 3 5 1 4 2 : • 4 0,25 4 33 1 0,2555 : 1 • 4 22 4 1 4 4 x+ 1 = 12 1 x+(x 1 = 122 4 - 1) +9= 10 (x -x+ 1)21 +9= = 12 10
Potencias
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27
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29
2 5 6 1:0,4 7= 1 1 5 • = 7 2 32 5 10 6 2 6 9 :0,4 = 1 5 5 1 5 10 3 9 10 1 5 1 ¿Qué 3 3 resulta al resolver la expresión 1 3 2 1 510 1 2 : • 4 ? 0,25 1 3 4 4 3 A. 1 1 5 2 1 7 5 1 1 • 4 0,25 : B. 2 4 4 • = 7 2 32 C. 1 4 x+ 1 = 12 6 2 1 2 D.(x - 1)2 +9= 10 :0,46 = 1 1 4 5 4 x+ 1 = 12 5 6 Si en 10 sus 9 5 un juego se reparten 3 naipes entre 1 7 2 1 10 potencia representa participantes, 9 el número de =+9=¿qué (x • - 1) naipes le32corresponde a cada uno? 7 2que 5 1 61 A. 3 2 2:0,46 = 1 3 B.5 3 3 10 C. 3 5 1 D.1034 3 9 ¿Cuál es el valor de la raíz cuadrada de 169? 3 1 2 5 5 A.1 12 0,25 : • 4 4 B.3 13 C. 14 10 1 1 D. 16 4 3 de x en la ecuación x+ 1 = 12 ? 3 ¿Cuál es elvalor 2 25 1 12 : • 4 0,25 (x - 1)2 +9= 10 A. B. 132 4 C. 1 143 D. 169 4
x+ 1 =es12el valor de x en la siguiente ecuación 30 ¿Cuál (x - 1)2 +9= 10 ? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Mi desempeño Buenas Malas Omitidas
(x - 1)22 +9= 10
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II. Resuelve los siguientes problemas.
1 Un envase de crema se distribuye en cajas que pueden contener 6 display de 6 unidades cada uno. ¿Cuántos
Evaluación final
2 envases de crema se distribuyen en 63 supermercados si cada uno solicita 36 cajas? Expresa tu resultado como la multiplicación de un número natural por la potencia de base 36 de mayor exponente posible.
2 El área de un triángulo se obtiene calculando la mitad del producto entre la medida de su base (b) y su altura (h). ¿Cuál es el área del triángulo que se muestra a continuación? C 210 m A
42 m
B
3 Por una herencia, se debe repartir un terreno rectangular entre 6 herederos, de tal modo que todos reciban lo mismo. ¿Qué superficie del terreno le corresponde a cada uno si el ancho y el largo de este miden 24 m y 34 m, respectivamente?
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RESUMEN Una técnica que facilita la retención de lo estudiado para después realizar un repaso eficiente es el cuadro sinóptico. Se trata de un resumen esquematizado, cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de manera estructurada y organizada. Completa las tablas que muestran algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad. Concepto
Definición
Ejemplo
Procedimiento
Ejemplo
Potencias de base natural y exponente natural. Potencias de base racional positivo y exponente natural.
Raíz cuadrada.
Concepto Multiplicación de potencias de igual exponente.
División de potencias de igual exponente.
Multiplicación de potencias de igual base.
Si a ∈ + y n, m ∈ , entonces: an • am = an + m
45 • 42 = 45 + 2 = 47
División de potencias de igual base.
Potencia de una potencia.
Potencias de base 10 y números decimales.
Operatoria combinada.
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Potencias
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2
Número de pregunta
Contenido
Habilidad
1
Potencias
Recordar
2
Potencias
Recordar
3
Potencias
Comprender
4
Potencias
Comprender
5
Potencias
Evaluar
6
Potencias
Evaluar
7
Potencias
Analizar
8
Potencias
Recordar
9
Potencias
Analizar
10
Potencias
Aplicar
11
Potencias
Comprender
12
Potencias
Evaluar
13
Potencias
Evaluar
14
Potencias
Evaluar
15
Propiedades de las potencias
Aplicar
16
Propiedades de las potencias
Aplicar
17
Propiedades de las potencias
Aplicar
18
Propiedades de las potencias
Analizar
19
Propiedades de las potencias
Aplicar
20
Propiedades de las potencias
Aplicar
21
Propiedades de las potencias
Evaluar
22
Propiedades de las potencias
Evaluar
23
Propiedades de las potencias
Evaluar
24
Propiedades de las potencias
Evaluar
25
Propiedades de las potencias
Aplicar
26
Propiedades de las potencias
Aplicar
27
Propiedades de las potencias
Aplicar
28
Raíz cuadrada
Aplicar
29
Raíz cuadrada
Aplicar
30
Raíz cuadrada
Aplicar
Clave
Mi revisión
Solucionario de evaluación final
SOLUCIONARIO DE EVALUACIÓN FINAL Nivel de logro
14 Potencias
13 Propiedades de las potencias
3 Raíz cuadrada
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3
Álgebra y ecuaciones
El término “álgebra” proviene de la palabra árabe (al-Jabr) y se define como la rama de la Matemática en la que se usan letras o símbolos para representar relaciones aritméticas.
El álgebra clásica se ocupa principalmente de resolver ecuaciones, y para ello utiliza símbolos, en vez de números específicos, junto a operaciones aritméticas que permiten determinar un valor que satisfaga dichas ecuaciones.
En esta unidad aprenderás... ¿Qué? Expresiones algebraicas.
¿Dónde?
Usar el lenguaje algebraico para traducir expresiones en Páginas 84 a 87. lenguaje natural y viceversa.
Operaciones con expresiones algebraicas. Caracterizar y reducir términos semejantes y usar distintas propiedades de la operatoria involucrada.
Páginas 88 a 91.
Plantear y resolver ecuaciones de primer grado en diferentes contextos.
Páginas 92 a 101.
Ecuaciones de primer grado.
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¿Para qué?
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Después de leer Considerando la información de la página anterior, responde. 1) ¿De qué se trata la información entregada? 2) ¿Cuál es el origen de la palabra álgebra? 3) ¿De qué se ocupa el álgebra clásica principalmente?
Evaluación inicial Aplicar consiste en llevar a cabo o utilizar un procedimiento en una situación dada.
El perímetro de un jardín de forma rectangular es de 24 metros. Si el largo es de 8 metros, ¿cuál es la medida del ancho? ¿Cuál es el área del jardín? 1) ¿Qué se desea conocer para poder contestar correctamente las preguntas?
2) ¿Qué procedimiento debes llevar a cabo para responder correctamente las preguntas?
3) Aplica el procedimiento anterior y resuelve el problema.
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Expresiones algebraicas
b •h 2 b •h A partir de la expresión A= puedes calcular el área de cualquier triángulo si conoces 2 b •h A=la las medidas de la altura (h),by• hde 10base cm • 3del cmtriángulo2 (b). Por ejemplo, si la medida de la = 15 cm = 2 A= 2 3 cm, entonces el área (A) está dada por: base es 10 cm y la medida de2la altura b • h es 1 7 3A= 2 •a •b 9 b • h 10 cm • 3 cm = 15 cm2 = A= 2 2 1 7 3 •a •b 9 A=
En geometría, para representar las fórmulas se utilizan expresiones que generalizan ciertos conceptos. Por ejemplo, el área (A) de un triángulo mediante la b •h fórmula A= . 2 b •h Para grabar A= 2 h es un conjunto de números Ejemplo: b • h 10 cm • 3 cm Una expresión algebraica 2 = 15 cm = A= y símbolos relacionados entre sí por los signos de las Expresión algebraica 2 2 operaciones: adición, sustracción, multiplicación y 1 7 3 división. •b a •b Factores literales 9 Una expresión algebraica está compuesta por términos algebraicos, los que están separados entre sí por los 4 • x2 • y + 0,5 • z signos + o –. Coeficientes numéricos. Cada término algebraico consta de un coefi ciente numérico y un factor literal.
Ejercita
1. Analiza cada expresión algebraica. Luego, completa la tabla. b •h Término algebraico Coeficiente numérico A= 2 5 • a3b••bh A= 2 0,7 •bx•2h = 10 cm • 3 cm = 15 cm2 A= 2 2 1 7 3 •a •b 9
Factor literal
10 • z3
2. Clasifica las siguientes expresiones algebraicas según su número de términos.
Ayuda
a. 9x2 + 8y3 + 1
b. 7xy + 12x2y
Clasificación de expresiones algebraicas según su número de términos. Monomio: un término. Binomio: dos términos. Trinomio: tres términos. Polinomio: cuatro o más términos.
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Álgebra y ecuaciones
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3
3. Analiza la siguiente información. Luego, completa la tabla y responde. En una expresión algebraica las letras o símbolos representan valores numéricos. Para determinar el valor numérico de una expresión algebraica debes sustituir los factores literales por los números dados y estarás evaluando o encontrando el valor numérico que representa dicha expresión algebraica. Ejemplo: Considera la siguiente expresión: 7 • x + 10 – a + 2. Si los valores de x y a son 3 y 5 respectivamente, su valor numérico es: 7 • 3 + 10 – 5 + 2 = 21 + 10 – 5 + 2 = 28
Expresión algebraica
a
b
3•a+7•b–c
10
0
2 1 • c – • a Valor numérico 5 3 c de la expresión 2•a algebraica – 8•b c a3 c + – (0,5 • a+0,25 • c) 2 4 51 2 1 4
1 0,32 •1 •bc––22••aa+ c 0,3 2 •c– •a 5 3 5 3 2•a 2•a – 8•b 1.000 1.000 – 8•b c c a c a + c – (0,5 • a+0,25 • c) + – (0,5 • a+0,25 • c) 15 10 12 2 4 2 4 5 5 ¿Qué 2 valor2 numérico obtienes si evalúas en la expresión algebraica de la última fila 5 10 a = 10 1 y c1= 10 ? ¿Cómo es este valor con respecto a cualquier valor de a y c? ¿Por qué crees 4que ocurre esto? 4
Ayuda Al sustituir –2 en la expresión –c, el valor que obtendrás es –(–2), lo que corresponde al inverso aditivo de –2, que es 2.
4. Resuelve los siguientes problemas. a. Los ingresos mensuales (en pesos) de una fábrica se calculan usando la siguiente expresión: x2 – 5 • x, donde x representa las unidades vendidas en el mes. ¿Cuáles son los ingresos de la fábrica si se venden 1.000 productos?
b. El profesor de matemática muestra la siguiente fórmula a sus estudiantes: A = • r2, la que les permitirá calcular el área (A) de un círculo de radio r, con ≈ 3,14. ¿Cuál es el área si r = 10 cm? ¿El valor de A puede ser negativo? ¿Por qué?
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85
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Lenguaje algebraico Patricio tiene en su cuenta bancaria $ 200.000. El día lunes deposita $ 100.000 y el día miércoles deposita $ 35.000.
El monto final de la cuenta (M) luego de los depósitos hechos está dado por: M = $ 200.000 + $ 100.000 + $ 35.000
Depósito día lunes.
Depósito día miércoles.
Patricio se da cuenta de que el monto de su cuenta hubiera sido el mismo si el día lunes hubiese depositado $ 35.000 y el día miércoles $ 100.000. Esto se debe a la conmutatividad en la adición de números enteros ((), que se puede expresar en lenguaje algebraico algebraico. Si a, b ∈ , entonces, a + b = b + a.
Para grabar El lenguaje algebraico es un conjunto de letras, números y signos que permite generalizar distintas expresiones, tanto de la vida cotidiana como de otros ámbitos.
Ejemplos Ejemplos: Lenguaje natural “El doble de un número aumentado en diez unidades”. “El perímetro de un cuadrado de lado a”.
Lenguaje algebraico 2 • x + 10
4•a
Ejercita
1. Representa en lenguaje algebraico cada uno de los enunciados. Para ello, observa el ejemplo.
“El triple de la suma de un número y una unidad”.
3 • (x + 1)
a. El sucesor de a.
Para saber más También se utiliza la coma (,) para diferenciar entre algunas expresiones. Por ejemplo: 2 • x + 1 “El doble de un número aumentado en una unidad”. 2 • (x + 1) “El doble de, un número aumentado en una unidad”.
86
b. El doble de un número aumentado en siete. c. El tercio de un número. d. El producto de dos números consecutivos. e. El cuádruplo de la diferencia de un número y su triple. f. La mitad de, un número más un tercio de este. g. El 25% de un número natural n.
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3
2. Representa en lenguaje natural las siguientes expresiones algebraicas. Para ello, observa el ejemplo.
x2 – 3
El cuadrado de un número disminuido en tres unidades.
a. 5x – 2 b. 2x2 + 10
Para saber más
c. a + b + c
Las expresiones algebraicas 2 • x y 2x son equivalentes.
d. 5a + 4b e. (x + y)2 f. 2(x2 + 10) ¿Qué diferencia hay entre la expresión algebraica de la letra b) y la f)? ¿Cómo las diferenciaste al escribirlas en lenguaje natural?
3. Representa en lenguaje algebraico el perímetro (P) de las siguientes fi guras. a.
b.
d
w
z x
c
y b
a P=
P=
¿Cuál es el área de las figuras anteriores? ¿Se puede determinar en ambos casos? Justifica.
Para saber más m
4. Resuelve en tu cuaderno el siguiente problema. m , aplicada sobre s2 un cuerpo es proporcional a la aceleración que adquiere dicho cuerpo”. m La Segunda ley de Newton postula que: “la fuerza F, medida en kg •
Algebraicamente, se puede escribir:
s2
F=m•a
m Si un cuerpo tiene una masa de 20 kg y acelera a 25 2 , ¿cuál es la magnitud de la s fuerza F que se le aplicó?
Como F = m • a, y kg es la unidad de s2 medida de la masa (m) de un cuerpo m la y 2 es la unidad de medida dem s s2 aceleración de gravedad (a), la unidad m de medida de la fuerza es kg • 2 , que s es equivalente a un Newton (N).
m
s2
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Matemática 7
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Reducción de términos semejantes ¿Cuál es el perímetro (P) de la siguiente figura?
Al calcular el perímetro (P) de la figura se tiene que:
P = 2b + 2a + 4a + 3b + 2a 3b
4a Agrupando, se cumple que: P = 2b + 3b + 2a + 4a + 2a
2a
P = 5b + 8a
2a 2b
Es decir, se pudieron efectuar operaciones aritméticas para reducir aquellos términos algebraicos que tenían el mismo factor literal.
Para grabar Los términos semejantes son aquellos que tienen el mismo factor literal. Reducir términos semejantes consiste en sumar o restar los coeficientes numéricos, conservando el factor literal que tienen en común.
Para reducir una expresión Ejemplo: algebraica puedes seguir los La expresión: 5x2 – 3x + 8x + 10x2 + 12y siguientes pasos: 1° Identifica aquellos términos que sean semejantes. 2° Agrúpalos según su factor literal y resuelve las operaciones correspondientes.
1° Identificar. 5x2 – 3x + 8x + 10x2 + 12y 2° Agrupar y resolver. 5x2 + 10x2 – 3x + 8x + 12y = 15x2 + 5x + 12y
Ejercita ¿Cuál crees que es el significado de la expresión “reducir términos semejantes”?
1. Reduce los términos semejantes en cada expresión algebraica. a. 5x – 2x + 15x + x
b. 2a – 3b + 8c + 5b + 2c + 7a
c. 0,5w + 8y + 10y – 7w
88
1 3 1 2 2 10 2 3 3 7 xy + + x y+ yx + y x+ 2 4 3 2 3 5 1 8x–5y+3a– 12xy + x 3 1 3 1 2 2 10 2 3 3 7 xy + + x y+ yx + y x+ 2 4 3 2 3 5 1 e. 8x–5y+3a– 12xy + x 3
d.
f. 10w2 – 5a3 + 7w + 20a2 + 7a2w2 + 8w – 2a2
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3
2. Representa en lenguaje algebraico el perímetro (P) de las siguientes fi guras. a.
b. x2 + 2x
3x2
P=
x
2x + 5
7x – 8
P= 3x – 1
3. Analiza la siguiente información. Luego, reduce los términos semejantes en cada caso. Para “eliminar los paréntesis” de una expresión algebraica puedes seguir los siguientes pasos: 1° Si un paréntesis está precedido de un signo +, lo puedes quitar dejando igual los términos que están en su interior. 2° Si un paréntesis está precedido de un signo –, puedes quitar los paréntesis escribiendo el inverso aditivo de cada término que está en su interior. 3° Si un paréntesis está precedido por algún coeficiente numérico, debes multiplicar todos los términos interiores por dicho coeficiente numérico. Ejemplos: 1. –[3(5a – b + 7) – (–4a + 1)] 2. 5 – [3 – 2 + (3 – 1)] = –[15a – 3b + 21 + 4a – 1] = 5 – [3 – 2 + 3 – 1] = –15a + 3b – 21 – 4a + 1 =5–3–2–3–1 = –15a – 4a + 3b – 21 +1 =2 = –19a + 3b – 20 a. (2x + 3y) + (8y + 10x)
Ayuda Como estrategia, puedes ir quitando paréntesis desde los que están en el interior de otros.
c. (10x + 2y) – (4x – y)
b. –(7a + w) – (4w – 7b) + (8a + 3w – 5b) d. –(5a2b – 2ab + 5b2a) + 2(a2b + 7ab2 + 3ab)
4. Representa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados. a. Un cuarto de la diferencia entre un número y el doble de 3. b. La mitad de la suma de a y b. c. El triple de la suma de x e y disminuido en 7. d. El triple de x aumentado en y disminuido en 7. ¿En que se diferencian c) y d)?
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EVALUACIÓNINTERMEDIA 1 Analiza cada término algebraico. Luego, completa la tabla. Término algebraico
Coeficiente numérico
Factor literal
10 • x2 • y5 –2 • a • b • x
2
Lenguaje algebraico y expresiones algebraicas.
7 •w 2 x –w 2 Representa en wlenguaje algebraico las siguientes expresiones escritas en lenguaje natural. +5w–3xy 3 Lenguaje natural Lenguaje algebraico 2 8 1 w+ 10+5c+ c+ w–7 3 5 número. 3 en el doble de un Quince disminuido La suma entre el doble de un número y su triple. El doble de la suma de un número y diez. Un cuarto de un número disminuido en el doble de tres.
7 •w 2 expresiones algebraicas, donde x = 1; y = 3 y w = –2. 3 Calcula el valor numérico de las siguientes x a. x – y + w c. 7 –w e. (4x + 7y)2 2 •w 2 w x +5w–3xy 3 –w 2 2 8 1 w 10+5c+ c+ w–7 b. y2 + x + w d. 3 w+ f. (w + 2)3 +5w–3xy 3 5 3 2 8 1 w+ 10+5c+ c+ w–7 5 3 3 7 •w 2 semejantes. 4 Analiza cada expresión algebraica. Luego, reduce los términos x 2 a. 8x – 4x + 3x – x c. –3x–wy + 8x2 – 5yx + 2yx2 – 3x2 2 w +5w–3xy 3 2 8 1 b. 0,3x + 2x + 3w + 3x + 0,7w + 7x2 – 1 d. w+ 10+5c+ c+ w–7 5 3 3
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3 5 Calcula el perímetro (P) de las siguientes figuras. a.
a+7
a
b.
a a
3a
c.
a a
a
b
2b + a
2b
a 2a + 2b
P=
P=
P=
6 Detecta el error en cada caso. Luego, corrígelo.
Reducción de términos semejantes.
a. –[(5a + 2b) – (3b + a)] = –5a – 2b – 3b – a = –5a – a – 2b – 3b = –6a – 5b
b. 2(3x – 4y) – (–8x + 2y) = 6x – 4y + 8x – 2y = 6x + 8x – 4y – 2y = 14x – 6y
Error:
Error:
Corrección:
Corrección:
7 Analiza cada expresión algebraica. Luego, reduce los términos semejantes. a. (8x – w) + [–(10x + 5w) + (20w + 50x)] Resolución:
b. 3x + 2y – {2x – [3x + (2y – 3x) – 2x] – y} Resolución:
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Ecuaciones de primer grado con una incógnita Una persona se inscribe en una competencia de atletismo que consiste en correr 42 km.
Para saber cuántos kilometros le falta para terminar la carrera, puedes plantear lo siguiente: Total de kilómetros de la competencia.
15 + x = 42 Cantidad de kilómetros recorridos
Cantidad de kilómetros que faltan para llegar a la meta.
La solución de la ecuación es 27, ya que: 15 + 27 = 42 Por lo tanto, al competidor le falta por recorrer 27 km para llegar a la meta. Si el competidor toma un descanso después de avanzar 15 km, ¿cuánto le falta por recorrer para terminar la carrera?
Para grabar Una igualdad entre dos o más expresiones algebraicas significa que estas representan la misma cantidad o valor.
Ejemplo: Si –35 + 5 = x + 15, entonces, x = –45, ya que –35 + 5 = –45 + 15.
Una ecuación es una igualdad en la que aparecen uno o Por lo tanto, el número –45 es solución de la ecuación –35 + 5 = x + 15. más términos desconocidos, llamados incógnitas. El valor de la incógnita que cumple la igualdad recibe el nombre de solución de la ecuación.
Ejercita
Ayuda
1. Analiza la información de la tabla. Luego, complétala.
5x + 6 – 3 = 2x + 15 3x + 3 = 15
/ + (–2x) /+ (–3)
Ecuación
3x = 12 x=4
/•
1 3
x+3=5
Incógnita
Resolución
Solución
7 + 5 = 4y – 3 3 = 2z 0 = 5a – 4 2x + 9 = 9 + x
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3
2. Analiza cada situación y responde las preguntas. Para ello, justifica en cada caso. a. ¿Es 3 la solución de la ecuación 2x + 7 = 13?
b. ¿Es 5 la solución de la ecuación 3 = 8x – 1?
c. Si multiplicas los miembros de la ecuación 7w – 1 = 4 por 3 se obtiene la ecuación 21w – 3 = 12. ¿Ambas tienen la misma solución?
3. Crea una ecuación de primer grado con una incógnita que cumpla con la condición solicitada. Luego, resuélvela y compara tu solución con las de tus compañeros. a. Que tenga el número 7 como solución.
b. Que tenga el número –2 como solución.
c. Que tenga la misma solución que 2x + 3 = 7.
4. Resuelve los siguientes problemas. Determina en cada caso la longitud de x, si se sabe que AC mide 250 cm.
a. A
B
x
b.
A
C
x=
dm.
x=
cm.
0,7 dm B
cm.
B
x
x= C
2,35 dm
A
c.
x
105 cm
C
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5. Resuelve las siguientes ecuaciones. a. 15x + 2 = 30x – 5 Resolución:
b. 5w = 3w + 20 Resolución:
c. 8y – 1.500y = 7 + y Resolución:
d. 2a – 15 + 5a = –3a – (7 + 8a) Resolución:
6. Resuelve los siguientes problemas. a. Dos amigos deciden completar un álbum de 225 láminas. Si compran 20 sobres con 7 láminas cada uno para llenar el álbum vacío, ¿cuántas láminas venían repetidas en los sobres si todavía les faltan 100 para llenar el álbum?
b. Un computador tiene 180 GB de memoria en el disco duro. Si al instalar unos programas se utilizaron 18 GB, ¿qué cantidad de memoria permanece libre si se borran las tres cuartas partes de los programas instalados?
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7. Analiza la construcción de la secuencia y la información entregada. Luego, responde.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura n
3
Figura 4
Figura
Segmentos
Vértices
1
3
3
2
5
4
3
7
5
4
9
6
n
2 • n +1
n+2
a. ¿Qué representan los recuadros que están bajo cada columna de la tabla?
b. Si observas la construcción de las figuras, ¿cuál sería la cantidad de segmentos y vértices que tendría la figura 9.999?
8. Analiza la siguiente secuencia. Luego, responde.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
a. Completa la siguiente tabla. Figura N°
1
2
3
4
5
6
7
8
Cantidad de segmentos b. ¿Cuántos segmentos tendrá la figura número 100? ¿Y la figura número 304?
c. Determina una expresión algebraica que represente la cantidad de segmentos que tendrá la figura n.
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33 xx=21 =21
//• • 33 3
x =7 xx=7 =7 x x x + x = 20 / • 2 + x = 20 / • 2 2 2 + x2= 20 / • 2 2x2x 2x + 2x = 40 + 2x ==4040 2 2 2 + 2x 2x = 40 x x++2x2xx=+=40 40 9 x 5x 5x + 1= 9 + x + + 1= 1 1/ • 1 2se 3 6 3xx = /40 Para resolver la ecuación planteada puede hacer lo siguiente: 3x x = 40 • 3 2 6 3x x = 40 / • El profesor de 3 3 9 x 5x 5x + 1= 9 + x / • m.c.m. (2, 3, 6) = 6 3x 40 3 Matemática plantea la 63x 4040= 6 + 1= 2 + 35x + 1= 9/+• xm.c.m. (2, 3, 6) =3x == Los siguiente ecuación en la 2 3 6 3 6 x 2 3 33denominadores 3 9 5x 3 3 pizarra. +6 • x 6 • 5x +6 • 1=6 • 9 5x 40 x 9 5x 6 • 6 +6 • 1=6 • 2 +6 • 3 9 x 40 x3,=+6) =un 1=40tienen / • m.c.m.+ 6 x x=(2, 3 + 2 + 1= 6 2 33 6 =3mínimo 3 – 6) 2/+(–2x 6 5x +6=27 +2x 3 5x +6=27 +2x 9 /+(–2x – 6) 19 x x múltiplo x 5x + 1= + x 91 x5x x– 1+1=1= –5-x=+5-x común / • m.c.m. (2, 3, 6) = 6 +6 +6 1=6 • • • • 6 1 = 5-x – 3x =21 6 / • 2igual 2 /3• 2 2 3a 6. 3 446 24 3x =21 2 3 9 x 5x x–x6) 5x x95 x x 9 x3 5x +6=27 9 x 5x x5x +6 + 1= + 5+=• =x6+6 x =7 5x + • –2– / • /+(–2x (2, 3, 6) + 1= + +2x + 1= + • x–2– •x=1=6 6m.c.m. 2 3 6 x =7 4 12 3 2 6 =46 +12 2 3 6 2 3 6 2 6 –2– 2 1 6 4 12 x / • 2 5x3+6=27 9 x 5x x + x =5x 20 / • 2 3x =21 21 7 1 7+2x x 9 =x6 9 5x /+(–2x – 6) 21 1 3 / • m.c.m. (2, 3, 6) + 1= + 3 Para grabar + x = 20 / 2 • 1 3 x– / • m.c.m. = •6 +6 • + 1= + +63,• 6) 1=6 2 6 • (2, == 21–=– 7xx– x x– 2 3 6 x– 2 3 2 3 6 6 1 33 333 3 44 41212 12 x =72 2x 3x =21 /• Para resolver ecuaciones con Verifi cación: Ejemplo: x 9 5x 2x + 2x = 40 40 5x +6=27 +2x /+(–2x – 6) x 9 5x 3 4040 6 • +6 • 1=6 • +6 • x +6 • 1=6 • +6 • puedes 2 + 2x = 40 6 •coefi cientes fraccionarios 3 2 6 + x = 20 / • 2 40 40 40 2 3 40 40 40 3 2 6 1 3 3 + 40x=+=7 40= :40 2+ amplifi car cada término de la ecuación x + 2x = 40 3x2 =21 /• +32 =33 : 2: 2+3+3 3 5x +6=27 +2x /+(–2x –5x 6) x + 2x–=6) 40 +6=27 +2x /+(–2x 2 3 3 2 x3 3 por el mínimo común múltiplo de 2x 1 + x =4020 40 / • 2400 +=7 2x = 40 40 1 los denominadores de las fracciones 1 0 3x • x = 40 / x 1 40 40 0 2 = += + 3x =21 /• 3xx = 40 / •2 3 /• =6 +6 3 3 presentes3xen=21 la ecuación. 3 x x3+ 2x = 40 2x 6 33 3x 40 + x = 20 / • 2 + 2x =120 40 120 x =7 Luego, resuelves la ecuación equivalente 40 3x = x =7 2 2 = 120= 1 = = resultante, la que tendrá coeficientes 33 33 2x 6 3x x = 40 / • x x + 2x =640 x 6 + x = 20 / • 2 3 40 + 2x = 40 + x = 20 / 2 • enteros. 2 ==2020= 20 1 x = 40 2 3x 40 x= 3 2 3xx =4040 40/ • 2x 3 x + 2x = 40= 2x 3 x=es solución, + 2x = 40 3 3 x=x= 40 x 1 Luego, ya + 2x = 40 3 2 x – 1 = 5-x 3 2 1 40 3x 3 40 = 5-x – 4 2 3xx = 40 x= /• x + 2x = 40 4 2 4040 403 = 3 x + 2x = 40 3 3 x 5 x x 340+ 40 = 20 . x –2– x = 5 + x3x 40 1 3 3 + 40 que: 1 = 2040 3xx = 40 / • 2 –2– 6 = 4 + 12x –=1 = 5-x + 3x • x = 40 / 2 x==320 3 2 12 4 6 2 3 3 2 3 3 1 21 743 2 3 3 3 x– 1 = 21 – 7 x 40 3x 40 40 3x 1 x = 4 x– 12 = 3 –x 3 xx =x = 5 + x – = 5-x Ejercita3 = 3 4 12 3 3–2– 3 3 4 2 6 3 4 12 2 40 40 40 40 x 5 x ca la x 7 40 40 x3– 140=15-x21 x= 3 + 40 1. Resuelve las siguientes ecuaciones con coefi x = –2– = + – x + 40 = cientes fraccionarios y luego verifi = 40 : 2 x– 3 3 : 2 + 6 4 12 2 2 + 3 = 3 44 2312 3 3 solución. 3 3 2 3 3 x 1 5 x x x 1 x 21 7 1 3 400 40 40–2– – = 5-x b.= 40 c. x– = – x a. – = 5-x + 400 = + 4 2 = 26 + 336 404 4012 40 4 2 4 12 3 3 6 3 + = : 2+ x 5 x x 3 2 1 3 21 37 x 5 x x 3 40 120 –2– = + –2– = + = 120x– = –40 x 40 ¿Una ecuación como 4 12 6 tener 2 puede 0 = 46 12 3 3 3 + 40 = 40 : 2 + 40 6 4 12 2 = + solución a3una fracción? 6 1 21¿Y a7un 3 2 3 3 40 1 21 7 3 6 3 = 20 x– = – x número decimal? x– = – x = 20 40 40 4 12 3 3 40 40 40 0 4 12 3 3 403 + = = :120 2+ = + 40 x= 40 3 3 3 2 6 3 40 6 x= 3 3 3 + 40 = 40 : 2 + 40 400 40 40 40 40 120 = 20 3 + = : 2+ 40 = + = 3 2 3 3 40 6 403 3 2 3 3 6 3 40 20 x= 40 400 3 ++ 40 == 20 40 40 120 0 = 20 = + 3 2 3 = + = 2 3 6 3 6 3 6 40 40 x= 120 = 20 120 40 3 = 3 + = 20 = 6 6 2 340 40 x= = 20 = 20 3 + 40 = 20 3 40 2 3 40 40 x= x= 3 3 + 40 = 20 3 40 3 – 0,5 = 5 – x? ¿Qué relación tiene esta solución ¿Cuál 40 es la solución de la ecuación2 0,25x 3 + 40 = 20 40 con el ejercicio a)? ¿Por qué? 3 + = 20 2 3 2 3
Ecuaciones con coeficientes fraccionarios y decimales
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3
1 8 2. Analiza la información. Luego, resuelve. 1 1 1 8 1 4 En la primera, recorre Un ciclista divide su recorrido 8 dos lugares en 4 etapas. 1 entre 8 2 1 4 del trayecto total; en la segunda, del total; en la tercera, del total, y en la última,1 6 4 2 4 los 18 kilómetros restantes. ¿Cuántos kilómetros recorre en x 2x x total? 2 6 1 + + + 18= x 2 8 4 6 6 2x x x 8 + + + 18= x - Al plantear la ecuación: 6 1 1 2 8 4 x6 + x + 2x + 18= x 1 , y x x 2x 8 4 6 + + + 18= x 1 1 28 4 6 4 , y 8 4 6 x–4 2 1 1 8 4 6 , y 0,5(x–2)= a. ¿Qué representa x?2 1 1 2 5 8 4x–46 , y 6 0,5(x–2)= 4 6 8 8x–3 x–4 5 x x 2x 0,5(x–2)= 10xx + = x+3 x–4 18= x + + +8x–3 4 5 0,5(x–2)= 6x + 8 4 10x = x+3 5 x–5 410xx + 8x–3 = x+3 1 1 2 = x 100x+ 8x–3 b. ¿Qué representan , y ? x–5 10 4 10xx + = x+3 6 8 4 100x+ =x 4 x–5 10 x–4 =x 100x+ x–5 0,5(x–2)= 10 =x 100x+ 5 10 1 8x–3 c. Resuelve el problema. 10xx + = x+3 8 4 1 1 x–5 = x 100x+ 8 4 10 1 1 2 8 4 6 1 2 x x 2x + + + 18= x 4 6 8 4 6 2 x x 2x 1 1 2 + + + 18= x , y 6 8 4 6 8 4 6 x x 2x 1 1 2 x–4 + + + 18= x , y 0,5(x–2)= 8 4 6 8 4 6 5 1 1 2 x–4 8x–3 , y 0,5(x–2)= 10xx + = x+3 3. Resuelve las siguientes ecuaciones. 8 4 6 5 4 x–4 8x–3 x–5 a. 0,5(x–2)= b. 10xx + c. 100x+ = x+3 =x 5 4 10 Ayuda 8x–3 x–5 10xx + = x+3 =x 100x+ 4 10 Una estrategia para resolver ecuaciones que contengan fracciones x–5 =x 100x+ y números decimales consiste en 10 transformar todos los números decimales a fracción o viceversa.
Matemática 7
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Ecuaciones literales El número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice en un polígono cualquiera está dado por la fórmula: d = n – 3.
En la expresión d = n – 3 hay dos incógnitas; n, que representa el número de lados, y d, que representa al número de diagonales del polígono. Por ejemplo, para un hexágono (polígono de 6 lados) se tiene que: d = 6 – 3 = 3, es decir, desde cada vértice se pueden trazar a lo más tres diagonales. También es posible encontrar el número de lados de un polígono sabiendo el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice. d =n–3 d+3=n
/+3
Luego, se obtiene una fórmula para el número de lados, que depende de las diagonales.
Para grabar Una ecuación literal es aquella en que además de la incógnita intervienen letras que representan cantidades conocidas. Su solución es una expresión algebraica.
Ejemplo: El área (A) de un rectángulo es igual al producto entre la medida de la base (x) por la medida de la altura (h).
Si A = 25 cm2, ¿qué expresión a+b+c representa la medida del largo (x) del P= a+b+c 3 rectángulo? P= 3 A1 = x • h ;h≠0 1 h =x•h / • ;h≠0 25 h 25 =a 25 h h =a h
A=x•h x
Ejercita
1. Analiza la información del recuadro. Luego, responde. Para calcular el promedio (P) entre a, b y c, se usa la siguiente fórmula: P=
a+b+c 3
1 ;h≠0 h a. Si P = 90 y a = 0, ¿cuál es el valor de c? 25 =a h
b. Si a = b = 1, ¿cuál es el valor de P?
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3x 15 12b 2. Resuelve las siguientes ecuaciones literales en donde la incognita es la letra x. ⇒ x = 5+4b = + Observa el ejemplo.
a. cx – 2 = 2c + 5
b. 15x – 8a = b + 1
3 3 3 ax –3= a+ 1 2 n(n-3) –9b + 3x = 15 + 3b /D= + 9b 2 –9b + 9b + 3x = 15 + 3b + 9b 1 3x = 15 +12b /• 3 3x 15 12b ⇒ x = 5+4b = + 3 3 3 ax –3= a+ 1 2 n(n-3) D= 2 c. 7 + 7x + 2a = 3a + 8 1 3
3
3x 15 12b ⇒ x = 5+4b = + 3 3 3 d. ax –3= a+ 1 2 n(n-3) D= 2 1 3
3x 15 12b
⇒ x = 5+4b = + 3. Analiza la siguiente información. Luego, responde las preguntas. 3 3 3 ax (D) de un polígono de n lados se utiliza Para calcular el número total de diagonales –3= a+ 1 2 la siguiente igualdad: n(n-3) D= 2 1 a. ¿Cuál es el número de diagonales que3tiene un polígono de 6 lados?
b. Si un polígono tiene 350 diagonales, ¿cuántos lados tiene el polígono?
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Planteamiento de problemas Si la suma de las edades de 3 hermanos es 19 años y el mayor tiene 4 años más que el del medio y este tiene 3 años más que el menor, ¿qué edad tiene cada uno?
Para responder la pregunta, primero se identifican las incógnitas del problema; en este caso, las edades: Edad del hermano Edad del mayor. hermano menor. x + x + 3 + (x + 3) + 4 = 19 Suma Edad del de las hermano edades. del medio. x + x + 3 + x + 7 = 19 3x + 10 = 19 3x + 10 – 10 = 19 – 10
/+ (–10)
3x = 9
/•
1 3
x = 10 El hermano menor tiene 3 años, el del medio tiene 6 años y el mayor tiene 10 años.
Para grabar Para resolver un problema aplicando ecuaciones de primer grado con una incógnita debes seguir los siguientes pasos: 1° 2° 3° 4° 5° 6°
Lee atentamente el problema para comprender el enunciado. Designa la incógnita o variable del problema. Traduce a lenguaje algebraico el problema y plantea la ecuación correspondiente. Resuelve la ecuación. Verifica los resultados. Da la respuesta del problema.
Ejercita
1. Analiza en cada una de las siguientes afi rmaciones qué representa la incognita x. a. El volumen de un cubo es 64 centímetros cúbicos. ¿Cuál es la medida de su arista? x b. Un terreno rectangular se quiere cercar con una reja. Si el ancho del terreno es de 9 metros y el largo es de 12 metros, ¿qué cantidad de reja se utilizará aproximadamente? x c. Una persona compra dos productos electrónicos en $ 120.000. Si uno de ellos costó la mitad que el otro, ¿cuánto se pagó por el más caro? x
100
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2. Resuelve cada uno de los siguientes problemas mediante una ecuación de primer grado con una incógnita según los pasos descritos en la página anterior. a. El perímetro de una foto rectangular es de 58 cm. Si el lado mayor mide 11 cm más que el lado menor, ¿cuáles son las dimensiones de la foto?
3
b. La suma de las edades de dos tíos de Florencia es de 106 años. Si el mayor excede al menor en 8 años, ¿qué edad tiene el mayor?
c. La suma de dos números consecutivos es 115. ¿Cuáles son los números?
d. Rosario guardó tres archivos en su pendrive: uno de Word, uno de Excel y otro de PowerPoint, que ocuparon 325 KB. El archivo PowerPoint pesa 80 KB más que el de Excel, y el archivo Word pesa 25 KB menos que el archivo Excel. ¿Cuánto pesa el archivo Word?
e. Ignacio reunió $ 17.500 en tres días de una colecta para ayudar a ancianos. Si cada día juntó la mitad de lo del día anterior, ¿cuánto recaudó el tercer día?
f. ¿Qué número disminuido en
3 es igual a su doble disminuido en 11? 8
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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. Analiza la resolución del siguiente problema. Hace 10 años, la edad de Nicolás era el triple de la edad de Vicente. Si hoy Vicente tiene 15 años, ¿cuál es la edad de Nicolás actualmente?
Paso
Comprende el enunciado
¿Qué datos son necesarios para reponder la pregunta? Conocer la relación que hay entre las edades de Vicente y Nicolás.
Paso
Planifica lo que vas a realizar
Para calcular la edad de Nicolás, primero se debe plantear una ecuación en la que se establezca cada una de las características que entrega el problema.
Paso
Resuelve el problema
Aplicar es usar un procedimiento aprendido en una situación para resolver otra no enfrentada previamente. Para ello, debes: • Interpretar la información. Como hace 10 años la edad de Nicolás era el triple que la de Vicente, puedes plantear lo siguiente: La edad de Nicolás = x, luego: Edad
Nicolás
Vicente
Hace 10 años
x – 10
15 – 10
x
15
Actual
x – 10 = 3(15 – 10)
• Aplicar el procedimiento. Para calcular la edad de Nicolás, primero se debe plantear una ecuación en la que se establezca cada una de las características que entrega el problema Primero resuelves la ecuación: x – 10 = 3(15 – 10) x – 10 = 45 – 30 x – 10 + 10 = 15 + 10 x = 25
/ + 10
Por lo tanto, Nicolás tiene 25 años.
Paso
Revisa la solución
Si la edad actual de Nicolás es 25 años, reemplazando en la ecuación se tiene que: 25 – 10 = 15, que corresponde justamente a la edad que tenía Vicente hace 10 años, ya que 3(15 – 10) = 15.
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3 Resolución de problemas
2. Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente.
Entre dos amigos reunieron $ 56.400 para organizar una fiesta. Si uno de ellos juntó la mitad de lo que recaudó el otro, ¿cuál es la cantidad de dinero que reunió cada uno?
Paso
Comprende el enunciado
¿Qué datos son necesarios para reponder la pregunta?
Paso
Paso
Planifica lo que vas a realizar
Resuelve el problema
• Interpreta la información.
• Aplica el procedimiento.
Paso
Revisa la solución
3. Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno. a. Una persona pagó $ 45.600 por cuatro prendas de vestir. Por una de ellas canceló $ 19.000, y por las otras tres, en promoción, un solo valor. ¿Cuánto costó cada prenda en promoción? b. Actualmente Francisca tiene 10 años más que la edad actual de Rodrigo. Hace 15 años la edad de Rodrigo era un tercio de la edad de Francisca. ¿Qué edad tendrá Francisca en 5 años más? Matemática 7
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HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS Realiza los siguientes pasos, que te permitirán verifi car si algunos valores son o no solución de ecuaciones con una incógnita.
Paso Escribe en la primera fi la Ecuación, x y Lado izquierdo de la ecuación y Lado derecho de la ecuación.
Paso Ingresa en la celda D3 el lado derecho de la ecuación =10-2,5 B3.
Paso Ingresa la ecuación x – 5 = 10 – 2,5x en la celda A3 y en la celda B3 ingresa un número; por ejemplo, 1. Luego, en la celda C3 ingresa el lado izquierdo de la ecuación =B3-5.
Paso Al presionar enter podrás visualizar que en las celdas C3 y D3 los números que aparecen no son iguales. Por lo tanto, x = 1 no es solución.
• Resuelve manualmente la ecuación x – 5 = 10 – 2,5x y verifi ca la solución que encontraste utilizando Excel.
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3 Herramientas tecnológicas
1. Resuelve paso a paso las siguientes ecuaciones de primer grado con una incógnita con coefi cientes decimales. Luego, utiliza Excel para verifi car tu solución. Resolver la ecuación
Verificación de la solución
a. 5x + 0,27 = 3,81x + 2,93
b. 4,837 + 0,3x – 1,25 = 0,001x + 8,4
Los coeficientes fraccionarios, de una ecuación los puedes transformar a números decimales y utilizar la calculadora para 1 1 su resolución. Por ejemplo, resolver la ecuación x+ +5x = 7 es equivalente a resolver la ecuación 0,5x + 0,25 + 5x = 7. 2 4 1 1 + + 5x = 7 2. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado con una incógnita con coefi cientes fraccionarios. Utiliza Excel 2 4 para verifi car tu solución. 7 4 9 x+ = x+7 1 1 7 x+ +5x = Resolver la ecuación 2 5 8 Verificación de la solución 2 4 1 1 a. 1+ +15x = 7 4 +5x = 7 2 x+ 2 4 7 4 9 1 x +1 = x + 7 2 + 5+ 5x8= 7 2 4 7 4 9 b. x + = x + 7 2 5 8
3. Utiliza Excel para caracterizar las soluciones de las siguientes ecuaciones. Luego, comprueba manualmente tus conclusiones. a. x + 1 = x
b. x + 3 = x + 3
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PARA NO EQUIVOCARSE 1. Analiza cada resolución, luego completa. a. Se plantea la siguiente expresión algebraica para representar el enunciado: “El doble de la suma entre un número y su triple”. Como el número por considerar puede ser cualquiera, se representará por una letra; en este caso por x, con lo que se tiene: 2•x+3•x • El error cometido es: • ¿Por qué crees que se cometió este error? • Corrección:
b. Luego de reducir los términos semejantes de la expresión algebraica 2a2b + 5ab2 + 7ab – 3ba2, se afirma que: 2a2b + 5ab2 + 7ab – 3ba2 = 4a2b + 7ab. • El error cometido es: • ¿Por qué crees que se cometió este error? • Corrección:
c. Al reducir y evaluar la expresión –2xy + 3x2y – 9xy + 4 • (2 – x – (2 + x)), conocidos x = –2 e y = 3, resulta: –2xy + 3x2y – 9xy + 4 • (2 – x – (2 + x)) = –11xy + 3x2y + 4 • (2 – x – 2 + x) = –11xy + 3x2y + 4 • 0 = –11xy + 3x2y –11xy + 3x2y = –11 • (–2) • 3 + 3 • (–2)2 • 3 = 66 + 3 • (–4) • 3 = 66 + (–12) • 3 = 66 + (–36) = 30 • ¿Qué errores se han cometido? Evaluando, se tiene:
• ¿Por qué crees que se cometieron estos errores? • Corrección:
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d. Se plantea la siguiente resolución para la ecuación 8x + 3 = 2x + 1. 8x + 3 = 2x + 1 8x + 3 = 2x – 2x + 1 8x + 3 = 1 8x + 3 – 3 = 1 – 3
• Los errores cometidos son:
8x = 1 1 x= 8
/ + (–2x) / reduciendo / + (–3) / reduciendo 1 /• 8
• Estos errores se cometieron porque:
• Corrección:
Para no equivocarse
3
e. Para verificar si x = 2 es solución de la ecuación 3x – 2 + x = x + 4, se plantea lo siguiente: 3x – 2 + x 3•2–2+2 3•0+2 0+2 2
=x+4 =2+4 =6 =6 =6
Como la igualdad no es verdadera, entonces 2 no es solución de la ecuación 3x – 2 + x = x + 4. • El error cometido es:
• Este error se cometió porque:
• Corrección:
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AMPLIANDO MIS CONOCIMIENTOS En esta sección aprenderás a multiplicar algunas expresiones algebraicas, pero antes debes conocer cómo se clasifican. Clasificación 1. Monomios: son aquellas expresiones algebraicas que constan de un solo término.
7a
2. Binomios: son aquellas expresiones algebraicas que constan de dos términos.
7x – 28x2
3. Trinomios: son aquellas expresiones algebraicas que constan de tres términos.
a + b + c
Ejemplos: 7 c 3 –2x2y31 0,3a – b 3 1 2 2 a• a b 3 5 7 2 7 2 2 • (3a– 0,3xy –a2xy + 3xy7 a2 + a3 – 1) 4 5 3
4. Polinomios: son aquellas expresiones algebraicas que 2x2 + 3xy – 8y2x + 1 constan de 2 o más términos.
2x – 3y2 + a + 2
• Multiplicación de monomios: para multiplicar monomios, multiplicas sus coeficientes numéricos entre sí y sus factores literales entre sí, utilizando en este caso la propiedad de multiplicación de potencias de igual base (an • am = an + m). Ejemplo: 2a2b • 5ab3 = 2 • 5 • a2 • a1 • b1 • b3 = 10a2+1b1+3 = 10a3b4 • Multiplicación de un monomio por un polinomio: la multiplicación de monomios por polinomios considera la propiedad de distributividad de la multiplicación sobre la suma para su resolución. Esta indica que: a • (b + c) = a • b + a • c Ejemplo: 3x • (5x3 – xy2 + 5y3 +7) = 3x • 5x3 – 3x • xy2 + 3x • 5y3 + 3x • 7 = 15 x4 – 3x2y2 + 15xy3 + 21x
1. Resuelve las siguientes multiplicaciones de expresiones algebraicas. a. 5wx3y2 • 2wx7
c. 2,3a2b3 • 7b7
e. bw2 • (5aw – 8b3w2 + 15b + 3)
7 c 3 7 c 3 1 0,3a – b 3 1 2 b. a • a2b 3 5 7 2 7 2 a • (3a– a2 + a3 – 1) 4 5 3
d. a • (a + ab2 – 3ac + 5)
108
1 0,3a – b 3 1 2 2 a• a b 3 5 7 2 7 f. a2 • (3a– a2 + a3 – 1) 4 5 3
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3 Ampliando mis conocimientos
2. Resuelve las siguientes multiplicaciones de expresiones algebraicas. Guíate por el ejemplo. (a + b) • (2a – b) = 2a2 – ab + 2ab – b2 = 2a2 + ab – b2 d. (0,3x – 1) • (5x + 2) =
a. (a – 1) • (a + 2) =
e. (a + 0,2) • (a – 0,2) =
b. (2a + 3) • (a – 2) =
f. (a + b + c) • (a + b + c) =
c. (a + b) • (a + b) =
3. Resuelve los siguientes problemas utilizando la multiplicación de expresiones algebraicas. a. ¿Cuál es el área del rectángulo?
3 mcm 4 (m – 10) cm
b. ¿Cuál es el área del triángulo?
(a + b) cm c. Un estudiante trajo (2x + 4) veces la cantidad de (x + y – 3) dulces. ¿Cuántos dulces trajo en total?
(3a – 2b) cm
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EVALUACIÓNFINAL I. Lee atentamente y marca la alternativa correcta.
1 ¿Cuál es el factor literal del término 3
ax2b7 3 2 7 ax b ? algebraico 5 5 3 A. 3 2 7 3 5 ax b 5 5 B. 3 axb 2 7 3ax b 3 ax2b7 2 7 C. 5 ax b 5 5 5 2 3x ba 5 2 D. 4 ax2b7 x ba 4 5 1 1 b5= 2 se podría 2 ¿Cómo x2ba b = 2 representar el enunciado: “El triple 4 número disminuido en 14”? de un 1 A. xb –=14 B. 3x –214 C. x – 3 • 14 D. 3(x – 14)
3 ¿Cómo escribirías la expresión algebraica 2x + 3 en lenguaje natural? A. El doble de un número aumentado en tres unidades. B. El doble de, un número aumentado en tres. 3 2 7 C. El ax doble b de la suma de un número y tres dobles de 5 número por tres. un 3 doble de un número disminuido en tres. D. El 5 4 ¿Cuál 3 de los siguientes términos algebraicos NO es ax2b7 semejante al término algebraico 2abx2? 5 5 2 x ba 4 B. 3xba1 b= C. 0,7bax 2 D. –5axb
A.
5 ¿Qué expresión se obtiene al reducir la expresión 3x2b – 2xb + 5bx2 + 7bx + 3?
6 ¿Qué expresión se obtiene al reducir los términos semejantes en la expresión (2x + 2y) – (5x + 3y)? A. 3x + y B. –3x – y C. –3x + y D. 7x + 7y
7 ¿Cuál es la medida del perímetro de la figura?
2x2 – 1
10x + 3
5x – 1 A. 17x – 2 B. 17x2 – 2 C. 15x + 2x2 + 1 D. 2x2 – 15x + 1
8 ¿Qué expresión se obtiene los términos 3 al2 reducir 7 ax b semejantes en la expresión 5 (3w – 4c) – [5w – (2w – c)]? 3 A. –5c 5 B. w – 5c 3 2 7 ax b C. –4w – 3c 5 D. 6w – 3c 5 2 x ba 9 ¿Qué valor se obtiene al4evaluar la expresión 1 9a – 2 + b2, para a = 10, b = ? 2 A. 88 B. 88,25 C. 88,5 D. 88,75
A. 13x2b + 3 B. 8bx2 + 5bx + 3 C. 8b2x + 9bx + 3 D. 8bx2 – 5bx + 3
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10 ¿Qué valor se obtiene al evaluar la expresión
(a+b)2 4 + para a = 1 y b = – 2? – 5 5 22 4 (a+b) 3 1– A. + 5 5 5 4 3 B. 5 5 4 C.3 25 5 14 3 D. 9 25 11 ¿Qué 1414 ecuación NO tiene la misma solución que la – ecuación 5x + 3 = 1? 99 14 A. 10x – +6=2 B. 5x9= –2 C. 15x = –6 D. 5x = 1
12 ¿Cuál de los siguientes números es solución de la ecuación 2x + 3 = 9? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
13 ¿Cuál de las siguientes ecuaciones NO tiene al número 5 como solución? A. 2x = 10 B. 3x(a+b) – 1 =216 4 – C. x – 75= –2+ 5 D. 2x + 5 = 15 3 5 14 ¿Cuál es la solución de la ecuación 15x4– 23 = 2x + 5 – x? 5 A. 2 3 B. –2 25 14 C. 9 14 D. – 9
15 ¿Cuál es la solución de la ecuación 3x + 10 + (2x – 5) = –(–4x – 14)? A. –9 B. –1 C. 1 D. 9 Con el siguiente enunciado responde las preguntas 16, 17 y 18. Analiza la secuencia de figuras. Figura 1
Figura 2
Figura 3
Evaluación final
3
16 Si se continua con el patrón, ¿qué expresión algebraica te permite generalizar la cantidad de segmentos para la figura n, con n ∈ ? A. 6n + 3 B. 6n – 3 C. 3n + 3 D. 3n – 3
17 ¿Cuántos segmentos tiene la figura 15? A. 48 B. 71 C. 79 D. 93
18 ¿Cómo generalizarías la cantidad de vértices para la figura n, con n ∈ ? A. 2n – 3 B. 2n + 3 C. 3n + 2 D. 3n – 2
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EVALUACIÓNFINAL x 1 6 2 x 1 A. 3– x – 1 = 5 –2x –1 – = 5 –2x 6 2 B. –36 2 3 1 1 C. 1 3 –3 3 1 1 D. – –x –2 x –5 3 = 3 3 2 x –2 x –5 x –2 x –5 ¿Cuál es=la solución de la ecuación p–3w= ? 3 3 2 2 x 1 5 A. 4–p–3w – = 5 –2x p–3w B. –46 2 p–5x 5 1 5 C. 16 3 p–5x p–5x D. –16 3 x x 3 +2x+3= +2 13 2 4 –x x x x ¿Cuál es el valor+2 de w en la ecuación p+2x+3= = 3w + 5x? 3+2x+3= +2 4 2 2 4 4 x –5 x –2 A. 3w + 5x 9 4 42 –=5x)3 B. 3(p 4 9 –9 p–3w 9 C. 4 4 –9 – 5 9 9 p–5x 4 D. 9 9 3 9 –4 4 x x 4 $ 3.700. Si +2x+3= A+2 Dos personas, y B, tienen entre ambas 9 29 4 – – 2b–4 A tiene $ 500 más que B, ¿con que ecuación podrías 4 4 4 b determinar 2b–4 el dinero de cada una? 2b–4 9 1.000 A. A +b (B + 500) = 3.700 x =b 4 250 B. B– + 1.000 (B + 500) = 3.700 1.000 9 x = x = 1 C. A – 1.850 250 = 3.700 x = 250 D. B9– 1.850 = 3.700 25 1 1 x= 5 x4= 25 9 25la información del problemax = Usando anterior, 4 – 5 5 ¿cuánto x= x4 = dinero tiene A? 4 4 A. $2b–4 1.600 b B. $ 1.850 C. $ 2.100 1.000 x= D. $ 2.850 250 1 x= 25 5 x= 4
19 ¿Cuál es la solución de la ecuación – – = 5 –2x ?
20
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3 x 1 5 –2x –p–3w x – 1 =x –5 x1 –2 1 –6 – 2 = = 5 –2x – 32 65 2 3 3 1 11 p–3w p–5x x –2 x –5 –3 = 3335 3 2 1 x –5 x x –2 –p–5x 1 p–3w = –3+2x+3= +2 3 4 23 23 5 x –2 x –5 p–3w 4 x –2 = x –5 x p–5x = 3 +2 2+2x+3= 3 4 9 25 2 3 p–3w p–5x p–3w 4 4 – 5es la solución de la ecuación x +2x+3= x +2 ? ¿Cuál 9935 2 4 p–5x x9 x p–5x 4 4 A. – +2x+3= +2 3 2 4 493 9 x x 1 4 x+2x+3= x +2 9x9 1 x 4 B. ––2 +2x+3= 5 –2x – = 4 +2 – 2 = 5 –2x 9 6–2 24 4 4 6 9 4 114 4 2b–4 9 9 C. –9 3 9b 394 4 4 1 1.000 94 –2b–4 1= 9 D. ––x 9 – 39b 250 43 4 9 xx99–2 1.000 1 elxx –5 –5 –2 ¿Cuál es valor de x en la ecuación bx + 5 = 2b + 1? 2b–4 –x4= = = 3 250 25 442 b A. 2b92– 4 3 2b–4 –p–3w 1 9 5 1.000 B. 2b –4 xp–3w =+ 6 x= 54 25 4b5 250 2b–4 C. p–5x 1.000 2b–4 5 p–5x 1 x =b x= 3 b4250 3 25 D. b(2b1.000 – 4) 1 xxx= 1.000 x 5 x =+2x+3= 250 x +2 +2x+3= +2 x = suman Las2 edades de Camila, Andrea y Paulina 25 250 4 2 1 4 4 90 xaños. = 51 Si Camila tiene 4 años más que Andrea y 4 4 25 7 años más que Paulina. ¿Cuál es la edad estax9=tiene 4 25 9 5 de Camila? x4 =5 4 4 ––x9=años. A. 24 94 B. 30 años. 9 9 C. 31 años. 4 4 años. D. 35 9 –– 9 Si un 4 4número x se multiplica por mil y se le restan 250, el resultado es 1.000, ¿cuál es el número? 2b–4 2b–4 A. x =b b750 1.000 1.000 B. xx = = 250 250 11 C. xx = = 25 25 5 5 D. xx = =4 4
Mi desempeño Buenas Malas Omitidas
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Evaluación fifinal
3 II. Resuelve los siguientes problemas.
1 Si la suma de tres números consecutivos es 3.597, ¿cuál es el número mayor?
2 Diego tiene actualmente 8 años más que Cristóbal. Si hace 5 años las edades de Diego y Cristóbal sumaban 16 años, ¿qué edad tiene actualmente cada uno?
2 3 1 2 3 Un campesino planta en de su huerto papas y en hortalizas. Si aun tiene sin plantar 400 m2 5 3 ¿Cuál es la superficie total 1 de la huerta? 5
Matemática 7
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RESUMEN Una técnica que facilita la retención de lo estudiado para después realizar un repaso eficiente es el cuadro sinóptico. Se trata de un resumen esquematizado, cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de manera estructurada y organizada. Completa las tablas que muestran algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad. Concepto
Definición
Ejemplo
Conjunto de números y símbolos relacionados entre sí por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación y división.
8a3b + 7x2
Procedimiento
Ejemplo
Término algebraico.
Expresión algebraica.
Términos semejantes.
Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Concepto Reducción de términos semejantes.
Ecuaciones con coefi cientes fraccionarios.
Ecuaciones con coefi cientes decimales.
Ecuaciones literales.
Planteamiento de un problema.
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Número de pregunta
Contenido
Habilidad
1
Lenguaje algebraico y términos semejantes
Recordar
2
Lenguaje algebraico y términos semejantes
Analizar
3
Lenguaje algebraico y términos semejantes
Analizar
4
Lenguaje algebraico y términos semejantes
Analizar
5
Lenguaje algebraico y términos semejantes
Evaluar
6
Lenguaje algebraico y términos semejantes
Analizar
7
Lenguaje algebraico y términos semejantes
Recordar
8
Lenguaje algebraico y términos semejantes
Aplicar
9
Lenguaje algebraico y términos semejantes
Aplicar
10
Lenguaje algebraico y términos semejantes
Aplicar
11
Ecuaciones
Evaluar
12
Ecuaciones
Aplicar
13
Ecuaciones
Aplicar
14
Ecuaciones
Aplicar
15
Ecuaciones
Aplicar
16
Ecuaciones
Aplicar
17
Ecuaciones
Aplicar
18
Ecuaciones
Aplicar
19
Ecuaciones
Aplicar
20
Ecuaciones
Aplicar
21
Ecuaciones
Aplicar
22
Ecuaciones
Aplicar
23
Ecuaciones
Analizar
24
Ecuaciones
Aplicar
25
Ecuaciones
Analizar
26
Ecuaciones
Analizar
27
Ecuaciones
Analizar
Clave
Mi revisión
Nivel de logro
10 Lenguaje algebraico y términos semejantes
Solucionario de evaluación final
3
SOLUCIONARIO DE EVALUACIÓN FINAL
17 Ecuaciones de primer grado con una incógnita
Matemática 7
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4
Proporcionalidad “De acuerdo al informe entregado en junio de 2009 por la Subsecretaría de Telecomunicaciones, aproximadamente 88 de cada 100 chilenos tienen celular”. Este y otros indicadores confirman la rapidez con que los chilenos se insertan en las nuevas tecnologías. Fuente: www.subtel.cl
En esta unidad aprenderás... ¿Qué?
116
¿Para qué?
¿Dónde?
Razones y proporciones.
Interpretar una proporción como la igualdad de dos razones.
Proporcionalidad directa e inversa.
Resolver y analizar situaciones problemáticas que involucren proporcionalidad directa o inversa. Páginas 122 a 127.
Porcentaje.
Aplicar el cálculo de porcentaje en la resolución de problemas.
Páginas 118 a 121.
Páginas 128 a 131.
Proporcionalidad
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Después de leer Considerando la información de la página anterior, responde. 1) ¿De qué se trata el texto? 2) ¿Qué quiere decir que aproximadamente 88 de cada 100 chilenos tienen celular? 3) ¿Qué importancia le atribuyes a la rapidez con que los chilenos adoptamos las nuevas tecnologías?
Evaluación inicial Aplicar consiste en usar un procedimiento aprendido en una situación para resolver otra. Aproximadamente el 75% de la matrícula escolar tiene acceso a internet, y de ella, el 67% accede a una conexión de banda ancha. Si se encuesta a 450 alumnos y alumnas de diferentes lugares del país, ¿cuántos NO tendrían acceso a internet? Fuente: www.enlaces.cl 1) ¿Qué se debe conocer para poder contestar la pregunta?
2) ¿Qué procedimiento puedes usar para responder correctamente la pregunta?
3) Aplica el procedimiento y responde la pregunta que se plantea en el problema.
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Razones Dos amigos recolectan latas de bebidas como una manera de juntar dinero para una campaña de beneficencia. Matías juntó 50 latas, y Francisco, 100.
Las cantidades de latas que recolecta cada uno de estos amigos se pueden comparar por diferencia o por cociente. Por diferencia: • Francisco recolectó: 50 latas más que Matías, ya que 100 – 50 = 50. • Matías recolectó: 50 latas menos que Francisco, ya que 50 – 100 = –50. Por cociente: 100 100 = 2. 50 50 50 11 • Matías recolectó la mitad de latas que Francisco, ya que 50 = = . 100 100 22 100 100 aa 50 Para grabar 50 bb 50 1 20 50 1 20 Ejemplo: = Una razón es una comparación entre La razón entre a y b se escribe: = 100 2 5 2 y 100 dos cantidades mediante la división. 5 Si en una fiesta hay 20 mujeres a a la El cociente de esta división se a:b o 55 5 hombres, la razón entre b cantidad de mujeres denomina valor de la razón. 30 by hombres es: 30 20 20 En ambos casos se lee “a es a b”. 20 : 5 o 5 5 Además, a : b es distinto que b : a. 5 Estas se leen “20 es a55” y su valor 30 es 4. 30 100 Ejercita 50 1 1. Representa en cada caso la 50 razón = pedida, escribe su notación y la forma en que se lee. 2 100 Observa el ejemplo. a b La razón entre 5 y 30.20 5 Se lee: Notación: 5 “5 es a 30” 5 : 30 o 30 • Francisco recolectó el doble de latas que Matías, ya que
¿Por qué crees que en el problema de Francisco y Matías se destacaron las palabras “cociente” y “diferencia”?
a. La razón entre las masas corporales de dos personas, una de 56 kg y otra de 55 kg. Notación:
Se lee:
b. La razón entre el precio que pagó Catalina y el que pagó Javier por la compra de un pendrive. Si ellos pagaron $ 10.000 y $ 8.500, respectivamente. Notación:
118
Se lee:
Proporcionalidad
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12 24 2. Calcula el valor de cada razón y exprésalo como número decimal. 12 12 3 24 12 12 : 0,25 = a. 24 = d. 25 g. 0,5 12 : 100 = 3 24 3 4,9 24 12 3 12 70 3 4,9 b. 10 : 3 = e. = h. = 12 4,9 24 12 70 4,9 70 144 4,9 24 70 24 1,2 c. = f. 170 : 0,2 = i. 144 = 24 144 0,3 24 1,2 144 1,2 144 1,2 el siguiente enunciado y luego responde las preguntas.0,3 3. Analiza 0,3 1,2 0,3 0,3
4
“En el curso de Rodrigo hay 15 hombres y 26 mujeres”.
a. ¿Cuál es la razón entre el número de mujeres y el de hombres del curso de Rodrigo?
b. ¿Cuál es la razón entre la cantidad de hombres y el total de estudiantes del curso de Rodrigo?
c. ¿Cuál es la razón entre el número total de estudiantes del curso y el total de mujeres?
4. Analiza la situación que se plantea a continuación y luego responde.
En el taller de básquetbol de un colegio, conformado por 40 jóvenes, la cantidad de balones por número de estudiantes se relaciona según la tabla.
Balones por estudiantes Cantidad de Número de balones estudiantes 1 4 2 8 3 12 4 16 5 20 6 24 7 28
a. ¿Cuál es el valor de la razón entre la cantidad de balones y el número de estudiantes?
b. ¿Cuántos balones se utilizan en este taller?
c. ¿Cuántos balones más se necesitarían si ingresan 8 nuevos jóvenes al taller, de forma que la razón entre el número de balones y la cantidad de personas se mantenga?
Matemática 7
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Proporciones Las edades de una niña y su madre son, respectivamente, 9 y 36 años.
La madre dice: “Por cada uno de tus años yo tengo 4”. La niña responde: “No, mamá. Por cada 3 de mis años tú tienes 12”. ¿Quién está en lo correcto?
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Proporcionalidad
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3 31 1 = ==0,25 =0,25 12 124 4 3 31 1 = = 12 124 4 a a b b c c d d La niña y su madre están en lo correcto, ya que sus afirmaciones son equivalentes. aAl= ac c = b bd d comparar los valores de las razones asociadas se tiene que: 20 20 • “Por cada uno de tus años yo tengo 4”: 5 5 a ac c Años de la hija. = =⇔ a⇔ • da=•bd •=cb • c 1 =0,25 b bd d 4 1 13 3 Años de la madre. = = 3 1 = =0,25 5 515 15 1 12 4 • “Por cada 3 de mis años tú tienes 12”: 5 5 =0,25 4 3=1 1 9 9 =0,25 1Años de la hija. 3 12 1 4 1=0,25 4 10 10 =0,25 = =0,25 12 a 41 3 1 44 18 18 =0,25 = Años =0,25 33 de11 la madre. 3 b 14 12 41 =0,25 == =0,25 16 16 = =0,25 12 c 43 1 12 44 3 41 12 3 3 Por lo tanto, como = 3 , ambas = =0,25 11 están en lo correcto. a d 12 4 12 4 =331== =0,25 18 18 4 44 b a = 3c 1 12 a 12 12 4 4 a Para grabar1 b 3 =a1 d =4 c b 12 0,1 0,1 1 =0,2512 b 4 d 20 a c Si losbvalores de las razones Ejemplo: 4 =0,25 Una proporción es una 0,001 0,001 4 a cc 5c de igualdad entre razones. b 45 estudiantes, 9 participarán7en un 13 =d 1 =0,25 y son iguales, entonces: En un acurso = 7 1 b d 3=0,25 Si los valores1 de dos4 concurso coaque preparara su colegio. d=cc ⇔ b acientífi d a 4 c=0,25 12 = =0,25 •d = b•c 0,07 = 0,07 4 razones son4iguales,112 La razón 20 bentre 3=0,25 b 11 d c aa==cc o a : b = c : d dd el número de estudiantes que 1 3 9 = 9 1 43 =20 1 =0,25 3 =0,25 entonces forman una 5 1en=el participa y el total del curso es: c a3 concurso 4 d bb dd 12 = 4 =0,25 = 12 4 = 45 45 proporción.12 1 4 312 14 a c20 a 5c b15 d 20 a31 =5 1 =0,25 3 =0,25 = Valores 3extremos ⇔ a = • d = b • c 9 91 1 a = En ambos casos se lee “a es Y se puede =0,25 4 1=12 b 5d formar 20 la siguiente proporción: = =. b4 a 44 c b d55 = 12 12 ⇔ a = • • d = b c 455 4555 5 aa ccc es a d”. a : b 12 =c3 : d4 3b1 b 1 d a20b como 1 93 5 3 =ca1 ==0,25 aa••dd==bb••cc == ⇔ = ⇔ c a 12 =124 4 5 bb dd 5 1015 a c Valores medios 12 bd4 1 3 = ⇔ a•d = b•c b 3 aad1 c = a c11 33 5 18 b d a =c = 5 15 = ⇔ = a •d = b•c = c 12 ba4 c b d55 1515 9 16 1 3 Propiedad fundamental b db = 5dde toda proporción: La igualdad = es verdadera, ya que: d b d a c 5 3 1 En toda proporción, 10 3 5 15 9c ael producto c 20 =de5los valores extremos es = de los5valores bc d20 9 15 equivalenteaal=producto medios. 1 • 15 = • 3.5 185 18 9 d d b5 10 5 b cd aa cc 5 1010 16 4 9 a c20= 18 20 d = ba = dc ⇔ a9• d =1818b • c 3 0,110 d ⇔ a•d = b•c b db5 =16 b d 10 1616 5 a c20 18 0,001 18 20= a1 c3 a bc d51 == 3⇔ a18• d =33b • c 4 7 16 = 5 ⇔b5 a=• 18 d15= b • c Ejercita b 20 d a5 c15 16 18 0,10,073 a c51 = 43⇔ a • d =18b • c = da • d =3b • c4 1 53= b5⇔ 0,001 9y 18determina si cada par de 4 b d59 150,1 fundamental 1. Aplica la5 =propiedad de las proporciones 9 3 18 0,1 a15 c110 0,1 7 45 0,001 4 1 = 35⇔ a • d proporción. = b•c razones forman = una 5 b = d510 15 4 0,001 9 1 0,001 18 0,1 0,07 5 159 7 = 9 1 531618 0,1 7 7 5 9 455 0,001 Razones Propiedad fundamental Respuesta 5 = 10 0,07 10 5 15 9316 0,0010,07 0,07 7 45 9 18 9 3 18 5 10 7 9 18 9 10,07 9 10 y 16 45 = 16 9 1818 0,07 45 4 455 5 9 18 3 9 1 45 3 10 1640,1 = 9 9 1 9= 1 16 18 455 5 45 = 18 18 y 3 0,1 45 5 45 455 55 9 1 4 3 0,001 = 4 16 180,001 9 1 7 18 0,1 455 5 = 0,13 4 7 455 5 0,07 4 y 0,001 0,001 18 0,07 0,1 0,1 97 9 7 4 0,001 45 0,0010,07 0,07 0,1 45 7 7 99 = 1 9 1 9 0,0010,07 455 = 5 0,07 45 45 7 9455 5 9 9 1 26/11/09 09:40:45 9 0,07 1 45 =
10 4 x 5 4 10 5 10 1,5 10 20 x 10 5 1,5 2. Calcula en1,5xcadax102 proporción el20valor de x. Observa el ejemplo. x 5 1,5 2 1,5 2 21,5 x = ⇔ 1,5 • 10 = x • 2 ⇒ 15 = 2x Razones Propiedad fundamental Solución x x 10 10x 104x 1,5 2 1,5 15 x2 y x25 = ⇔ 1,5 • 10 = x • 2 ⇒ 15 = 2x x= x 10 x 410 2 10 410 15 2x5 5x10 x= y 2 10 4 10420 10 x10 5 1055 y 420 10 10 20 x 1,5 2 5510 510 x : 310 y 0,6 : 1,2= ⇔ 1,5 • 10 = x • 2 ⇒ 15 = 2x x20 x20x 10 10 52 152 5 1,5 1,5 x • 215⇒ 15 = 2x = 2x = x ==⇔ 1,5⇔• 101,5=•x10• 2=⇒ x 210 xx siguientes 10 3. Resuelve 20 los problemas. 51,5 151,5 2 15 2 1,5=niñas xes 2⇒ 2x hay 20 niños, ¿cuántas niñas son? =niños •x10 • 15 1,5⇔ = 2x =x = ⇔ • 10y • 2=⇒ x =entre a. La razón 4 :155.=Si x x 2 10 x 2 10 1,5 152 15 x == x =⇔ 1,5 • 10 = x • 2 ⇒ 15 = 2x x 210 2 15 x= b. La razón entre mesas y sillas de una oficina es 2 : 12. Si hay 16 mesas, ¿cuántas 2 sillas hay?
4
c. La razón entre la edad de un padre y su hijo es 8 : 3. Si el padre tiene 40 años, ¿cuántos años tiene el hijo?
4. Identifica en cada caso si en las variables es posible establecer una proporción. Justifica.
Ayuda
a. La cantidad de años de una persona y la cantidad de sus familiares. Dos variables se relacionan de manera proporcional si para cada par de valores de la variable es posible establecer una proporción.
b. El número de kilogramos de azúcar y el espacio que ocupan en un supermercado.
c. Horas de estudio para la prueba de matemática y la calificación obtenida.
d. El número de los asistentes a un cine el día domingo y el dinero recaudado por el cine.
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Proporcionalidad directa Cuatro amigos calculan que gastarán $ 60.000 por las entradas para un partido de fútbol. Si el número de amigos que asistirá al partido aumenta al doble, ¿cuánto deberán gastar ahora?
Al aumentar al doble la cantidad de amigos, el dinero que deben pagar será el doble. Ocurre algo similar si el número de amigos se reduce a la mitad. Observa la tabla: Gasto para un partido de fútbol Costo total de las entradas ($)
30.000
60.000
120.000
Número de amigos asistentes
2
4
8
A medida que el número de asistentes aumenta, el costo aumenta.
Por lo tanto, los 8 amigos deberán pagar $ 120.000 por las entradas. Además, con los valores de la tabla se pueden establecer las siguientes igualdades: 30.000 60.000 120.000 = 15.000 = = 8 4 2 100 50 = = 25 4 2 Para grabar y =k Dos variables (x e 30.000 y) están en proporcionalidad directa Ejemplo: 120.000 60.000 x = 15.000 = = si al aumentar (o disminuir) 2 una en4cierto factor,8la otra Si el costo de 4 fotocopias es de $ 100, ¿cuál es la aumenta (o disminuye) en el mismo factor. Es decir, el mitad del valor de 2 fotocopias? 100 50 = 25 = relacionados cociente entre sus valores es constante. 120.000 Al disminuir a la mitad la30.000 cantidad=de60.000 fotocopias, 4 2 = 15.000 = el 8 4 costo disminuye a la mitad,2$ 50. y = k (k constante) Además, se tiene que: 100 = 50 = 25 x 4 2 y =k x Ejercita
1.
Para saber más El gráfico que representa la proporcionalidad directa entre dos variables es una recta que pasa por el origen (O). Y y3 y2 y1
a.
Horas en un estacionamiento Número de horas 1 2 3 4 5
Total a pagar ($) 630 1.260 1.890 2.520 3.150
Realiza tus cálculos aquí. O x1 x2 x3
122
Interpreta la información de cada tabla y determina si las magnitudes son directamente proporcionales. Verifica si el cociente entre ellas se mantiene constante. b.
Plan de telefonía celular Precio ($) 8.000 9.000 10.000 11.000 12.000
Número de minutos para llamar 100 120 140 160 180
Realiza tus cálculos aquí.
X
Proporcionalidad
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2. Representa gráficamente la información de cada tabla. Luego, indica si las magnitudes presentes son directamente proporcionales. a.
b.
Perímetro de un cuadrado Medida del lado (cm)
Perímetro (cm)
0 2 3 4 5
0 8 12 16 20
Archivos en un disco duro Capacidad (GB)
Cantidad de archivos
0 80 160 240 320
0 16 32 48 64
Perímetro de un cuadrado
4
Y
O
X
Archivos en disco duro Y
O
X
3. Identifica si en las siguientes situaciones las magnitudes son directamente proporcionales. Justifica. a. La cantidad de estudiantes ordenando los libros de la biblioteca y el tiempo que demoran en hacerlo.
b. El lado de un cuadrado con respecto a la medida de su superficie.
c. La longitud de los lados de un rectángulo con respecto a su perímetro.
4. Resuelve los siguientes problemas. a. Tres poleras del mismo tipo cuestan $ 17.970. ¿Cuánto se pagará por 10 de ellas?
b. Un poste de 6 metros de longitud genera una sombra de 1,2 metros. ¿Cuál será la altura de un edificio que a la misma hora origina una sombra de 6 metros?
Matemática 7
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Proporcionalidad inversa Para calcular el número de días se debe dividir el total de gramos de pellets con los que se cuenta (3.000 g) por la cantidad de gramos que consumen 2 perros (400 g).
Un criador de perros de raza dachshund le da 200 gramos de pellets diarios a cada uno de sus perros.
Duración de alimento para perros Cantidad de perros 1 2 3 4 5
Número de días 15 7,5 5 3,75 3
A medida que la cantidad de perros aumenta, los días que durará el alimento disminuye.
Además, al multiplicar los valores relacionados de cada variable, el producto se mantiene constante. Es decir: 1 • 15 = 2 • 7,5 = 3 • 5 = 4 • 3,75 = 5 • 3 = 15
Para grabar Dos variables (x e y) están en proporcionalidad inversa si al aumentar (o disminuir) una en un factor, la otra disminuye (o aumenta) en un factor igual al recíproco del aumento (o disminución) de la primera magnitud o variable considerada. Es decir, el producto entre sus valores relacionados es constante.
Si se cuenta con 3 kilogramos, ¿para cuántos días alcanza el alimento si tiene 2 perros dachshund?
x•y=k
Ejemplo: Un automóvil que viaja con una rapidez constante de 100 km/h demora, entre un pueblo y otro, 4 horas. ¿Cuánto demoraría si por un desperfecto viaja de forma constante a solo 50 km/h? Respuesta: Al disminuir a la mitad la rapidez, el automóvil demorará el doble de tiempo, es decir, 8 horas, ya que: 100 • 4 = 50 • y ⇒ y = 8.
(k constante)
Ejercita
1.
Para saber más
a.
El gráfico que representa la proporcionalidad inversa entre dos variables es una curva que no pasa por el origen (O) y no intersecta los ejes. Y y1 y2 y3 O
124
Interpreta la información de cada tabla y determina si las magnitudes son inversamente proporcionales. Verifica si el producto entre sus valores es constante. Tiempo en realizar una obra Cantidad de trabajadores 1 2 3 4 5
Entradas sin vender de un partido de fútbol
Número de días
Número de asistentes
120 60 40 30 24
1.500 3.000 4.500 6.000 12.000
Realiza tus cálculos aquí. x1 x2 x3
b.
Cantidad de entradas sin vender 7.500 6.000 4.500 3.000 180
Realiza tus cálculos aquí.
X
Proporcionalidad
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2. Representa gráficamente la información de cada tabla. Luego, indica si las magnitudes involucradas son inversamente proporcionales. a.
Venta de manzanas Precio ($)
Cantidad de manzanas
12 15 18 20
15 12 10 9
Venta de manzanas Y
O b.
4
X
Gasto mensual de luz
Gasto mensual de luz Y
Cantidad de ampolletas
Gasto ($)
9 8 7 6 5
1.800 1.600 1.400 1.200 1.000
O
X
3. Identifica si en las siguientes situaciones las magnitudes son inversamente proporcionales. Justifica. a. Número de estudiantes en un campamento y la cantidad de carpas que usarán.
b. Tiempo que tarda un auto en recorrer cierta distancia y su velocidad.
c. Cantidad de pintura que se debe utilizar para pintar un muro y la superficie de este.
4. Resuelve los siguientes problemas. a. Rodrigo puede comprar 7 entradas para el cine si cada una de ellas cuesta $ 2.800. ¿Cuántas podrá comprar si las entradas suben a $ 3.920?
b. Una casa puede ser construida en 28 días con 60 hombres trabajando todos por igual una determinada cantidad de horas diarias. ¿Cuántos hombres se necesitarían para construir la casa en 12 días en las mismas condiciones?
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EVALUACIÓNINTERMEDIA 12 40 120,7 A la fiesta de cumpleaños de Vicente asistieron1210 mujeres y 7 hombres. 40 40 0,35 a. Razón entre el número de mujeres y el de hombres. 0,7 12 0,7 12 25 40 0,35 0,35 40 125 12 25 0,7 257 0,7 b. Razón entre el total de asistentes y el número de mujeres. 40 125 0,35125 0,35 12 2 12 0,7 12 7 14 25 25 el valor de las siguientes razones. 7 2 Calcula 40 40 0,35 2 40 125 2 4 125 0,7 12 c. 0,7 25 = e. 7 148 = a. 370,7 :5= 12 14 0,35 40 0,35125 4 0,35 2 45 2 40 0,7 25 0,7 12 25 14 8 3 7 25 8 14 b. = d. 0,4 : 0,16 = f. 2,8 0,35 125 : 11,2 = 40 125 2 4 52 125 5 4 0,35 7 25 7 14 3 8 31 70,7 25 8 2 125 0,35 2 4 2 5 22 2 5 125 14 7 3 Evalúa 8 3 1 15 sí o no según 25 7en cada caso si las siguientes14razones 14 1forman una proporción. Responde 3 corresponda. 4 2 4 5 2 2 30 125 4 2 2 2 8 14 8 3 1 15 2 7 14 15 x b. 4 y c. 5 y a. 81 y = 5 2 2 3025.000 37.5 5 4 30 2 500 3 8 x 2 3 15 8 1 14 315 x 2 1 =5 = cada caso. = 2 5 la igualdad en el valor de x para que se cumpla 4 Calcula 25.000 500 2 30 5 2 4 2 25.000 37.5 500 30 630 x 37.5 1 3 1 15 2 1x 55 x 81 23 5 1 x b. a. = = x= x= x= 2 c. == 2 2 30 630 x x 500 630 25.000 5 2 2 37.5 25.000 500 20 12 37.5 15 1 15 2 x 5x 1 x5 5 3151 1 5 = = = 30 = = 2 630 12 x 20 2 5 Resuelve 30 2 xlos siguientes problemas. 30 25.000 20500 12 37.5 630 x 2 15 2 1 1x 2 15 5Sixen total son 8 pantalones, 5 = poleras tiene? x ¿cuántas 5 porxcada pantalón tiene 2 poleras. a. Fernanda == = = = 37.5 25.000 500 30 25.000 2 x 500 630 37.5 12 20 25.000 500 20 37.5 12 30 5 1 x 2 1 x 5= 5 x 151 = 52 = = = = 630 x 25.000 37.5 500 630 12 x 20 37.5 30 25.000 500 x 630 x 5 5 1 x =5 5x = x 2 51 = x == = 12 20 630 12 20 25.000 x 500 20 37.5 12 630 x 5 1 x5 5 = == 12 20 630 12 x 20 x 5 = 12 20 b. Gonzalo y Agustina le compran un regalo a su padre. La razón de la cantidad de dinero que aportó cada uno de ellos fue de 3 : 2. Si el regalo costó $ 15.000, ¿con cuánto dinero contribuyó cada hijo?
1
Razones.
Proporciones.
126
Identifica la razón que se pide en cada caso.
Proporcionalidad
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4 6 Analiza la información de la tabla, complétala y representála en el gráfico. Venta de bebidas
Proporcionalidad directa.
Cantidad de bebidas 1 2
Venta de bebidas
Precio ($)
Y
800 1.600
5
O
X
7 Resuelve los siguientes problemas. a. Tres pendrives del mismo tipo cuestan $ 29.970. ¿Cuánto se pagará por 7 pendrives de estos?
b. Por 80 mensajes de texto de cierta compañía de telefonía celular se pagan $ 3.600. ¿Cuánto se pagará por enviar 50 mensajes si las magnitudes actúan en forma directamente proporcional?
8 Analiza la información de la tabla, complétala y representála en el gráfico. Construcción de una casa
Proporcionalidad inversa.
Número de trabajadores 10 8
Tiempo en realizar el trabajo (horas)
Construcción de una casa Y
15 20
4 60
O
X
9 Resuelve los siguientes problemas. a. David organiza parte de sus juguetes para regalarlos a un hogar de menores. Si en este viven 12 niños, podrá regalar 2 juguetes para cada uno. ¿Cuántos juguetes por niño podrá regalar si en el hogar viven 8 niños?
b. En 2 horas 4 estudiantes logran plantar 12 árboles en el patio del colegio. ¿En cuántas horas habrían plantado la misma cantidad de árboles 6 estudiantes trabajando de igual manera?
Matemática 7
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Porcentaje El 20% de los estudiantes de un curso obtuvo la calificación máxima en la prueba de Matemática. Si 40 estudiantes rindieron la prueba, ¿cuántos obtuvieron la calificación máxima?
Para saber más Todos los organismos vivientes (vegetales, animales y seres humanos) que habitan el planeta están formados por una cierta proporción o porcentaje de agua. Por ejemplo, en los seres humanos representa entre un 65% a 75% de su masa corporal. Fuente: http://www.mineduc.cl/biblio/ documento/101_LibroAgua.pdf
128
El 20% de los 40 estudiantes que rindieron la prueba es equivalente a calcular el producto: 20 100 20 800 • 40 = =8 100 100 Representa 800 a 20 el 20%. = Cantidad 100 40 100a la cual se le calcula el porcentaje pedido. a 20 20 • 40 800 = =8 = a= 100rindieron100 40 que 100 lograron el puntaje máximo. Por lo tanto, 8 de los 40 estudiantes la prueba 20 • 40 800 20 1 20 = a = = 8 • 40 = • 40 =20 a= 8 ¿Cuál es el valor de la razón entre el número de estudiantes obtuvo puntaje máximo 100 100 100 5 que 100 100 y el total de ellos? ¿Tiene relación este20resultado pedido? 1 con el porcentaje 800 800 a= • 40 = • 40 = 8 5 100 100 100 Para grabar aa 20 20 == del El porcentaje se refiere al número El 20% de 40 como proporción: Cálculo 20% de 40: 40 100 40 100 de partes que cumplen con una 20 40 800 Cantidad 20 Porcentaje (%) • aa == 20 •• 40 == 800 == 88 característica de un total de 100. 100 100 100 100 En otras palabras, si hubiese 100 a 100 20 20 1 800 elementos, cuántos tienen la aa == 20 •• 40 40 == 88 40 == 1 •• 40 40 100 • 00 100 característica. 55 1100 a 20 El porcentaje es un caso particular = • a = 0,2 • 40 = 8 de proporcionalidad directa. 40 100 20 • 40 800 =8 = a= 100 100 Ejercita 20 1 a= • 40 = • 40 = 8 5 1 00 1. Calcula los siguientes porcentajes. a. 25% de 50.
b. 20% de 2.430.
c. 3% de 15.
2. Calcula lo que se pide en cada caso. a. ¿Qué porcentaje es 205 de 1.000?
d. ¿De qué cantidad 20 es el 5%?
b. ¿Qué porcentaje es 15 de 105?
e. ¿De qué cantidad 12,3 es el 4%?
c. ¿Qué porcentaje es 50 de 25?
f. ¿De qué cantidad 57,6 es el 120%?
Proporcionalidad
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3. Resuelve los siguientes problemas. a. Andrea coopera con el 30% de su sueldo mensual para los gastos de su casa. Si gana $ 360.000, ¿cuánto dinero aporta en tres meses?
4
b. De los 42 estudiantes de un 7° básico, 36 están registrados en facebook. ¿Qué porcentaje de los estudiantes del curso no lo están?
c. El 15% de los integrantes de una familia son escolares. ¿Cuántas personas componen la familia si tiene 3 escolares?
d. Un televisor cuesta $ 250.000. Si una persona lo compra en cuotas terminará pagando $ 400.000. ¿En qué porcentaje aumentó el costo del televisor?
¿Qué palabras en esta página están en cursiva? ¿Por qué crees que se destacan?
4. Evalúa los procedimientos realizados para resolver el problema planteado a continuación y determina cuál de ellos es incorrecto. Justifica. Unos jeans que tenían un costo de $ 25.000 se están liquidando con una rebaja del 30%. Luego de un tiempo, el valor del jeans aumentó en 30%. ¿Cuál es el precio actual del jeans? Procedimiento 1
Procedimiento 2
El 30% del valor del jeans es 0,3 • $ 25.000 = $ 7.500, por lo que queda a un precio de rebaja de $ 25.000 – $ 7.500 = $ 17.500. Si luego se aumenta el precio en un 30%, el jeans quedará en el valor original de $ 25.000.
El precio del jeans luego de la rebaja del 30% es 0,7 • $ 25.000 = $ 17.500, y el precio luego del aumento del 30% es: 1,3 • $ 17.500 = $ 22.750.
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Aplicaciones de porcentajes El Índice de Precios al Consumidor, IPC, es una variación en los precios de una cesta definida de productos. Variación IPC (Enero – Junio 2009) Variación mensual 1,5 1,0 0,5
En la cesta o canasta utilizada en diciembre del 2008 se consideraron algunos de los siguientes bienes y servicios: Algunos bienes y servicios presentes en la canasta Alimento Vestuario y calzado Equipamiento de la vivienda Salud Transporte Comunicaciones Recreación y cultura Educación
0,0
Para grabar
– 0,5 – 1,0
ENE FEB MAR ABR MAY JUN Fuente: www.ine.cl
Una aplicación del porcentaje corresponde al Índice de Precios al Consumidor (IPC). Este índice mide la variación de los precios de una canasta de bienes y servicios consumida por un hogar.
Ejemplo: Los trabajadores de una empresa recibirán un bono según la variación anual del IPC. Si el sueldo de un trabajador fue de $ 350.000 y la variación del IPC fue de un 5%, ¿cuánto recibirá de sueldo ese trabajador? 5 1° $ 350.000 • = $ 17.500 100 2° $ 350.000 + $ 17.500 = $ 367.500 Por lo tanto, el trabajador recibirá $ 367.500.
Ejercita
1.
Analiza la siguiente información. Luego, responde. Cuando se hace el cálculo del IPC y el INE (Instituto Nacional de Estadística) informa el porcentaje de variación del costo de la cesta respecto del mes anterior, este puede ser positivo, negativo o cero. Si el valor es positivo, el costo de la canasta es más caro. Por el contrario, si su valor es negativo, el costo es más barato; en el caso de que sea cero, se puede decir que el costo de la cesta no ha variado. 1,0 IPC (%) 0,5
Jun - 10
May - 10
Abr - 10
Mar - 10
Feb - 10
Ene - 10
Dic - 09
Nov - 09
Oct - 09
Sep - 09
Ago - 09
Jul - 09
Jun - 09
May - 09
Abr - 09
Mar - 09
Feb - 09
Ene - 09
Dic - 08
Nov - 08
Oct - 08
Sep - 08
Ago - 08
-1,0
Jul - 08
-0,5
Jun - 08
0,0
Variación mensual
a. ¿En qué meses se obtuvo un IPC negativo? b. ¿Qué mes se registró el IPC más alto? c. ¿En qué meses del año el IPC tiene sus mayores alzas respecto del mes anterior?
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Proporcionalidad
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2. Resuelve los siguientes problemas. a. En una empresa reajustan anualmente los sueldos de sus empleados de acuerdo con la variación anual del IPC. Si un año el IPC es de 5,3%, ¿cuál será el nuevo sueldo de un empleado que ganaba $ 485.000?
4
b. Si el Índice de Precios al Consumidor (IPC) tiene una variación de 0,6% y una familia, en promedio, gasta $ 500.000, ¿en cuánto dinero se podría estimar el gasto familiar si su consumo se mantiene respecto del mes anterior?
c. A raíz de una sequía, alimentos como las verduras experimentaron un alza considerable en sus precios, con lo que el IPC se incrementó aproximadamente en 2% entre el mes de marzo y abril. Si una familia gastó aproximadamente $ 50.000 en verduras el mes de marzo, ¿en cuánto aumentará su gasto el mes de abril si mantienen su gasto en ese ítem?
d. Producto de una crisis financiera, el IPC tuvo una variación negativa de 0,8% entre marzo y mayo de un mismo año. Si una familia gastó en marzo $ 580.000, ¿cuánto menos se puede estimar que gastará en mayo si consume aproximadamente los mismos bienes y servicios que en el mes de marzo?
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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1.
Analiza la resolución del siguiente problema. La diferencia entre las edades de Cristián y Felipe es 14 años. ¿Cuánto suman sus edades si están en la razón 5 : 3?
Paso
Comprende el enunciado
¿Qué datos son necesarios para resolver el problema? La razón entre sus edades y la diferencia entre ellas.
Paso
Planifica lo que vas a realizar
Para calcular la suma de las edades, primero se debe saber cuántos años tiene cada uno. Para ello se debe plantear y resolver una ecuación relacionada con la diferencia entre sus edades.
Paso
Resuelve el problema
Aplicar es usar un procedimiento aprendido en una situación para resolver otra no enfrentada previamente. • Interpreta la información. Como las edades de Cristián y Felipe están en la razón 5 : 3, entonces: Cristián tiene 5 • x años y Felipe tiene 3 • x años. Con esto se puede afirmar que 5x – 3x es la diferencia de los años entre ambos, por lo que: 5x – 3x = 14. • Aplica el procedimiento. 5x – 3x = 14 / términos semejantes 1 2 35 35 : 7 5 x=7 = = 21 21 : 7 3 Como x = 7, entonces la edad de Cristián es 5 • x = 5 • 7 = 35 y la de Felipe es 3 • x = 3 • 7 = 21. Por lo que la suma de sus edades es 35 + 21 = 56 años. 2x = 14 / •
Paso
1 2 35 35 : 7 5 La razón entre las edades de Cristián y Felipe es = y la diferencia entre ellas es 35 – 21 = 14. Con esto se confirma = 21 21 : 7 3 que el cálculo de las edades de ambos es correcta, ya que concuerda con lo especificado en el enunciado del problema.
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Revisa la solución
Proporcionalidad
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2. Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente. Una camioneta puede trasladar 250 kg más que otra de un modelo anterior. Si la razón entre las masas que pueden trasladar es 7 : 9, ¿cuántos kg en total pueden transportar estas camionetas en 5 viajes?
Paso
Comprende el enunciado
Paso
Planifica lo que vas a realizar
Paso
Resuelve el problema
• Interpreta la información.
• Emplea el procedimiento.
Paso
Resolución de problemas
4
Revisa la solución
3. Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno. a. La razón entre las alturas de dos edificios es 8 : 11. Si uno mide 54 m más que el otro, ¿qué altura tiene el más pequeño? b. La suma del dinero donado por dos amigos es $ 14.760. Si las cantidades aportadas por ellos están en la razón 5 : 7, ¿cuánto dinero donó cada uno? Matemática 7
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HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS Las calculadoras básicas tienen la tecla % , que permite calcular el porcentaje de una cantidad.
1234567890
Para calcular el 20% de $ 3.500 debes presionar las siguientes teclas: 3
5
0
0
X
2
%
0
con lo que la pantalla de la calculadora mostrará el número 700. Si deseas aumentar la cantidad en un 20%, debes presionar las siguientes teclas: 3
5
0
0
X
1
2
0
%
con lo que obtendrás por pantalla el número 4.200.
1.
Calcula los siguientes porcentajes. Para ello, utiliza la calculadora. a. El 34% de 350.
d. El 67% de 2.456.
b. El 12,6% de 989.
e. El 250% de 123.964.
c. El 0,9% de 2.000.000.
f. El 150,5% de 12.000.000.
2. Analiza cada ejercicio. Luego, dibuja las teclas que te permiten obtener el resultado. a. El 64% de 75.
b. El 78,8% de 1.234.
c. El 200% de 1.
d. El 2,5% de 123.456.
e. El 0,5% de 7.000.000.
f. El 350% de 15.000.
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Proporcionalidad
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3. Analiza el ejemplo y dibuja la secuencia de teclas que debes presionar en la calculadora para obtener el resultado. Se realizará un descuento de 30% sobre el precio de unos discos compactos de música. Si uno de ellos cuesta originalmente $ 15.700, ¿cuál es su valor luego del descuento? Para resolver este problema se deben presionar las teclas de la calculadora en la siguiente secuencia: 1
5
7
0
0
X
–
3
0
%
con lo que en la pantalla de la calculadora aparecerá el número 10.990.
a. Disminuir 34.000 en un 15%.
b. Disminuir 45.500 en un 18,5%.
c. Disminuir 19.000.000 en un 65,9%.
d. Aumentar en 40% el número 23.000.
e. Aumentar en 25% el número 12.500.
Herramientas tecnológicas
4
f. Aumentar en 12,6% el número 450.000.
4. Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno. a. Un vehículo cuesta $ 13.190.000, pero tiene un bono de descuento del 6% si se paga al contado. Si el padre de David compra el vehículo al contado, ¿cuánto pagó por él? b. Rosario comprará un equipo de música que cuesta, al contado, $ 350.000 + IVA (19% del precio original). ¿Cuánto pagará por el equipo incluido el impuesto? c. Un colegio adquirirá un notebook que al contado cuesta $ 450.000, pero como lo pagará en cuotas, su valor se incrementará en 45% respecto del costo original. ¿Cuánto es el dinero que finalmente se invertirá en este computador? d. Francisco venderá una guitarra eléctrica con 45% de ganancia. ¿En cuánto la venderá si a él le costó $ 125.000? e. El precio de una camioneta es de $ 9.489.915 + IVA. Si se compra en cuotas, se debe dar un pie de $ 5.945.670 y 48 cuotas iguales de $ 198.144. ¿Cuánto dinero se paga adicionalmente al comprarla con esta modalidad? Matemática 7
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PARA NO EQUIVOCARSE 1.
2 Evalúa la resolución de cada problema. Luego, responde. 13 2 26 a. ¿Se puede formar una proporción con las razones y ? 13 4 Respuesta: Sí, ya que 2 • 26 = 13 • 4 = 52. 26 4 • ¿Cuál es el error cometido?
• ¿Por qué crees que se produjo el error?
• Corrección:
b. La edades de Nicolás y de Vicente están en la razón 4 : 5. Si la suma de sus edades es 63, ¿cuántos años tiene cada uno? Para el problema se plantea la siguiente resolución: • Se calcula la suma de los términos de la razón: 4 + 5 = 9. • Luego se calcula el cociente 63 : 9 = 7. • Finalmente, la edad de Nicolás es 4 + 7 = 11 y la de Vicente 5 + 7 = 12. • ¿Cuál es el error cometido?
• ¿Por qué crees que se produjo el error?
• Corrección:
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Proporcionalidad
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c. El precio de un vestido, luego de un descuento de 40%, es de $ 20.000. ¿Cuál era el valor del vestido antes de realizar el descuento? 20.000 40 20.000 40 = . Resolución: La proporción relacionada con el problema es = 100 x 100 x 2.000.000 2.000.000 = 50.000 Entonces, 20.000 • 100 = 40 • x, luego x = se afirma que el vestido = 50.000 x = . Finalmente, 40 40 costaba $ 50.000 antes del descuento. 12 • 4 12 • 4 8 8 • ¿Cuál es el error cometido?
• ¿Por qué crees que se produjo el error?
• Corrección:
Para no equivocarse
4
20.000 40 = d. Ocho trabajadores realizan un trabajo en 12 días. ¿Cuántos trabajadores más, trabajando al mismox ritmo,100 2.000.000 se necesitan para realizar un trabajo similar en 4 días menos? = 50.000 x= 40 12 • 4 = 6. Las variables se relacionan en proporcionalidad inversa, por lo que 8 • x = 12 • 4. Entonces, x = 8 Por lo tanto, se necesitan 6 trabajadores más para realizar el trabajo en 4 días menos. • ¿Cuál es el error cometido?
• ¿Por qué crees que se produjo el error?
• Corrección:
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AMPLIANDO MIS CONOCIMIENTOS Como has visto, las razones se aplican en diversas situaciones de la vida cotidiana real. También se utilizan en la elaboración de planos, los que pueden describir objetos de la realidad, como una casa, las calles de una ciudad, herramientas, maquinarias, etc. A continuación se muestra el plano de una casa en el que se puede visualizar claramente la distribución de los espacios para sus diferentes dependencias.
Dormitorio 2
Baño 1 Dormitorio 1
Cocina
Baño 2
Living comedor
Frente de la casa.
Escala 1 : 200
Observa que a la izquierda del plano aparece la razón o escala (1 : 200). Esta indica que un centímetro en el plano equivale a 200 centímetros de la casa. Si mides con una regla el segmento del plano que corresponde al frente de la casa y luego reemplazas este valor en la proporción, que relaciona las magnitudes del plano y de la realidad, podrás calcular la medida real que tiene la casa en su frente. Lplano Lrealidad
=
1 200
1 5,7 cm = Lrealidad 200
Lplano : medida en el plano. Lrealidad : medida en la realidad.
Lreallidad =200 • 5,7= 11,4 m El frente de la casa tiene 11,4 m de longitud.
1. Analiza el plano anterior y luego responde. a. ¿Cuánto mide aproximadamente la superficie de la casa? b. ¿Cuál es la superficie de las habitaciones de la casa? c. ¿Cuántos metros cuadrados construidos tiene la casa?
138
Proporcionalidad
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2. Analiza la figura. Luego, responde. a. Calcula la altura del refrigerador.
b. ¿Cuál es el ancho del refrigerador?
c. ¿Cuál es la capacidad aproximada del freezer?
d. ¿Cuál es la superficie total del refrigerador?
Escala 1 : 16
3. Representa en un plano a escala 1 : 150 la superficie de tu sala de clases. Compárala con la representación de tus compañeros.
Ampliando mis conocimientos
4
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EVALUACIÓNFINAL I. Lee atentamente y marca la alternativa correcta.
1 ¿Mediante qué operación las razones comparan cantidades? A. La adición. B. La división. C. La sustracción. D. La multiplicación.
2 Ricardo tiene 5 libros de matemática y 7 libros de lenguaje. ¿Cuál es la razón entre la cantidad de libros de lenguaje y la cantidad de libros de matemática? 5 A. 5 77 7 B. 7 55 5 C. 5 12 12 77 D. 12 12 11 3 Respecto a la pregunta anterior, ¿cuál es la razón 55 entre la cantidad de libros de matemática y el total 44 de libros de Ricardo? 10 10 5 5 5 A. 5 7 7 33 7 10 10 B. 7 5544 12 55 xx C. 12 yy 12 12 21 77 21 77 D. 12 12 11 4 Rodrigo y Francisca compran 2 entradas para el cine 55 y gastan en total $ 5.600. Lo aportado por cada 44 uno está en la razón 2 : 3. ¿Cuánto dinero aportó 10 10 Francisca? 5 5 A. $31.120 B. $3 2.240 10 C. $102.800 D. $443.360 12 xx 12 yy 21 77 21
140
5 La razón entre las edades de Ignacio y Catalina es 2 : 7. Si Ignacio tiene 10 años, ¿cuántos años tiene Catalina? A. 10 años. B. 17 años. C. 25 años. D. 35 años.
6 ¿Qué dice la propiedad fundamental de las proporciones? A. En toda proporción, la adición de los términos medios es igual a la adición de los términos extremos. B. En toda proporción, la sustracción de los términos medios es igual a la sustracción de los términos extremos. 5 C. En de los términos 5 toda proporción, el producto 5 medios es igual al producto de los términos 7 7 extremos. 7 7 de los términos D. En toda proporción, la división 5 5 5 los términos medios es igual a la división de 5 5 5 extremos. 12 12 7 ¿Cuál 7 de las siguientes razones permite formar una 7 proporción con la razón 2 : 5? 7 12 12 12 1 1 A. 1 5 5 4 B. 4 4 10 10 10 5 5 C. 5 3 3 10 10 10 D. 4 4 4 12 12 xx 12 x y 8 ¿Cuál 21el valor de x para que y formen una 7 es 7 21 proporción? A. 7 B. 36 C. 40 D. 252
Proporcionalidad
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9 ¿En cuál de las siguientes situaciones actúan
13 Si 5 entradas al estadio cuestan $ 34.000, ¿cuánto
magnitudes proporcionales?
cuestan 3 entradas?
A. Cantidad de años de una persona y su estatura. B. Número de artículos en una cartera y su masa. C. Velocidad de un auto y el tiempo que demora en llegar de un lugar a otro. D. Número de asistentes a un partido de fútbol y el resultado obtenido por los equipos.
A. $ 20.000 B. $ 20.400 C. $ 34.000 D. $ 36.000
10 ¿Cuál de los siguientes pares de razones NO forman una proporción?
14 Con $ 600 se pueden comprar 5 láminas de un álbum. ¿Con cuánto dinero se puede comprar el cuádruple de láminas? A. $ 2.000 B. $ 2.200 C. $ 2.400 D. $ 2.600
A. 2 yy 3 3 2 1 5 B. 1 y 5 5 25 5 25 18 y 6 C. y 3 1 52 104 52 y 104 D. y 14 7 14 7
15 Un árbol de 3 metros proyecta una sombra de
Evaluación final
4
0,5 metros. ¿Cuál será la altura de un poste que a esa misma hora proyecta una sombra de 2 metros?
11 ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor la relación entre magnitudes directamente proporcionales?
16 Si un plano está diseñado en escala 1 : 50 y la
C. Y
A. Y
distancia entre dos puntos es de 3 cm, ¿cuál es la distancia real entre ellos? A. 50 cm B. 100 cm C. 150 cm D. 200 cm
X
X D. Y
B. Y
A. 3 metros. B. 6 metros. C. 8 metros. D. 12 metros.
17 Si en la información presente en la tabla actúan magnitudes que se relacionan en forma inversamente proporcional, ¿cuál es el valor de a y b, respectivamente? X
X
x y
12 Si las variables x e y se relacionan en forma directamente proporcional, ¿cuál es el valor de a y b, respectivamente? x y
10 a
20 80
b 120
40 160
3 24
a 12
9 8
12 b
A. 6 y 6 B. 6 y 12 C. 12 y 6 D. No se puede determinar.
A. 40 y 40 B. 40 y 30 C. 30 y 40 D. No se puede determinar. Matemática 7
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EVALUACIÓNFINAL 18 Una obra se construye en 10 días con 6 trabajadores. ¿Cuántos hombres, trabajando al mismo ritmo que los anteriores, se necesitan para construir una obra de iguales características en 3 días? A. 18 B. 20 C. 30 D. 60
19 Con respecto a dos magnitudes que se relacionan en forma inversamente proporcional, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A. Si dos magnitudes son inversamente proporcionales, se cumple que al aumentar una de ellas la otra disminuye en la misma proporción. B. Un gráfico que representa la relación de magnitudes inversamente proporcionales es una curva llamada hipérbola. C. Si dos magnitudes son inversamente proporcionales, entonces el cociente de los valores que se relacionan es constante. D. Si dos magnitudes son inversamente proporcionales, se cumple que al disminuir una de ellas la otra aumenta en la misma proporción.
20 Una persona tiene alimento para 8 perros. Si a cada uno le da la misma cantidad de alimento, este le alcanza para 15 días. Al regalar 3 perros, ¿para cuántos días más le alcanzará? A. 3 días. B. 9 días. C. 21 días. D. 24 días.
21 Un agricultor envasa porotos en bolsas de 3 y 5 kilogramos. Si lo hace 50% en bolsas de 3 kg, ocupará 1.000 bolsas. ¿Cuántas bolsas necesitará si la producción la envasa 50% en bolsas de 5 kilogramos?
22 Cuatro amigos desean comprar una torta, para lo cual todos aportan la misma cantidad de dinero. Si se agregan dos amigos, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA con respecto al dinero que cada uno aportará? A. Aumentará. B. Disminuirá. C. Se mantendrá. D. Faltan datos.
23 ¿De qué número 3.978 es el 26%? A. 14.000 B. 14.300 C. 15.000 D. 15.300
24 ¿Qué porcentaje es 2.700 de 4.500? A. 50% B. 60% C. 65% D. 70%
25 El 85% de los estudiantes de un curso visitará un museo. Si el curso tiene 40 estudiantes, ¿cuántos de ellos NO irán? A. 4 B. 6 C. 30 D. 34
26 Nueve de las 60 personas asistentes a una fiesta son menores de edad. ¿Cuál es el porcentaje de las personas MAYORES que asistieron a la fiesta? A. 9% B. 15% C. 60% D. 85%
A. 500 B. 600 C. 800 D. 900
Mi desempeño Buenas Malas Omitidas
142
Proporcionalidad
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Evaluación final
4 II. Resuelve los siguientes problemas.
1 Tres hermanos recibirán un premio de $ 68.000.000, el que se repartirá en forma directamente proporcional a la
edad de cada uno. Si las edades de los hermanos son 7, 12 y 15 años, respectivamente, ¿cuánto dinero recibirá cada uno?
2 Rodrigo desea ordenar 45 fotografías en las que aparece cuando era un bebé. Para ello, cuenta con 15 sobres. Si al
momento de guardarlas observa que 6 de ellos están rotos, ¿cuántas fotografías deberá guardar por sobre ahora?
3 La siguiente tabla muestra la distribución de los alumnos de séptimo básico de un colegio por curso y género. Distribución de alumnos Curso 7° A 7° B
Sexo Mujeres Hombres
18 21
24 19
a. ¿Cuál es el porcentaje de mujeres pertenecientes a séptimo básico?
b. ¿Cuál es el porcentaje de estudiantes que NO siendo del 7° B son mujeres?
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RESUMEN Una técnica que facilita la retención de lo estudiado para después realizar un repaso eficiente es el cuadro sinóptico. Se trata de un resumen esquematizado, cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de manera estructurada y organizada. Completa la tabla que muestra algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad. Concepto
Razones.
Definición o procedimiento
Ejemplo
Una razón es una comparación entre dos o más cantidades mediante la división.
La razón entre el perímetro (P) de un cuadrado P 36 cm de lado 9 cm es: =4 = 9 cm 9 cm
Proporciones.
Proporcionalidad directa.
Proporcionalidad inversa.
Porcentajes.
IPC.
144
Proporcionalidad
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Número de pregunta
Contenido
Habilidad
1
Razones
Recordar
2
Razones
Recordar
3
Razones
Recordar
4
Razones
Aplicar
5
Razones
Aplicar
6
Proporciones
Recordar
7
Proporciones
Aplicar
8
Proporciones
Aplicar
9
Proporciones
Recordar
10
Proporciones
Aplicar
11
Proporcionalidad directa
Recordar
12
Proporcionalidad directa
Aplicar
13
Proporcionalidad directa
Aplicar
14
Proporcionalidad directa
Aplicar
15
Proporcionalidad directa
Aplicar
16
Proporcionalidad directa
Aplicar
17
Proporcionalidad inversa
Analizar
18
Proporcionalidad inversa
Aplicar
19
Proporcionalidad inversa
Recordar
20
Proporcionalidad inversa
Aplicar
21
Proporcionalidad inversa
Aplicar
22
Porcentaje
Aplicar
23
Porcentaje
Aplicar
24
Porcentaje
Aplicar
25
Porcentaje
Aplicar
26
Porcentaje
Aplicar
Clave
Mi revisión
Nivel de logro
5 Razones
5 Proporciones
6 Proporcionalidad directa
Solucionario de evaluación final
4
SOLUCIONARIO DE EVALUACIÓN FINAL
5 Proporcionalidad inversa
5 Porcentaje
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EVALUACIÓN INTEGRADORA Habilidad
Integrar: reunir y organizar elementos para completar un todo.
1
En estas páginas te invitamos a realizar una actividad de evaluación que integra los contenidos de las unidades 1, 2, 3 y 4 de tu Texto. Objetivo de la actividad: integrar los contenidos tratados y aplicarlos en la resolución de ejercicios y problemas.
Representa en la recta numérica los siguientes valores. a. –32; 4; |–1|; 2,5; 0,52; –23.
2
1
b. –2,6; 03; 2,10; |–2 • (–1)|3; 5; –2.
Analiza cada enunciado y determina el valor que representa. a. El producto de los cuadrados de los antecesores de –5 y 6.
b. El producto entre el sucesor y el antecesor de 0.
c. La suma entre el antecesor de –3 con el sucesor del cuadrado del producto entre –2 y el sucesor de 50.
3
Aplica las propiedades de las potencias para calcular el valor de cada expresión. 4
2
a. 6006 : 3006 =
2 3 c. : 3 2
b. 1210 : (62 • 22)4 =
32 6 d d. –2 2 )• b= –6 –•(2 : +a 2
=
e
4
Calcula el valor de las siguientes expresiones. Para ello, reemplaza los valores de a, b, c, d, y e. Sean a = 6, b = –5, c = 0, d = 12 y e = 2. a. c – 6 • b + c2
c. (a + b)(a – b) + (a + b)e
4
2 3 b. 2 • (b – c + d • 2) – d • a
146
2
3 : 2 e
d d. –6 – +a • b 2
Evaluación integradora
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5
6
7
Analiza cada expresión. Luego, reduce los términos semejantes en cada una de ellas. a. 4 – a – (b + c) – 2c + (–5)
c. {2x – 3y – [2y – (x – y) + 3] + (– 33) – y}
b. 3 – 2a + 4 • [2 + (–4)] : [(–2) + 3a]
d. 12 : (–4) • [6b – 2a] – 2ab • [3 + (–5)]
1 – x+2= 2x– 1 2 1 a. 2x – (x – 5) = 13x – 4 x= c. –1 x+2= 2x– 1 x= – x+2= 2x– 1 2 2 2 1 1 1 x–2 b. x – 1 = 3x + d. x= x= 2 – 1= 2x+ 2 3 3 1 x–2 1 x–2 – 1= 2x+ – 1= 2x+ 3 3 en cada caso. Reconoce el tipo de proporcionalidad que hay entre las variables Luego, escribe directa o inversa 3 3 según corresponda. Resuelve las siguientes ecuaciones.
a.
8
A
B
2 4
b.
C
D
6
2
3
12
6
c.
E
F
12
1
18
4
d.
G
H
4
5
6
4
7,5
4
2
Resuelve los siguientes problemas. a. En un curso hay 2 mujeres por cada 3 hombres. Si la diferencia entre la cantidad de hombres y la de mujeres es 6, ¿cuántas mujeres y cuántos hombres forman el curso? b. Un automóvil que viaja a 80 km por hora, demora 50 minutos en recorrer una distancia. Si aumenta su velocidad en un 50%, ¿cuánto demorará aproximadamente en recorrerla? c. Si gasto un tercio de mi dinero me quedará el doble de lo que tengo disminuido en $ 1.200, ¿cuánto dinero me falta para tener $ 1.000?
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5
Construcciones geométricas
La Geometría es una de las ciencias más antiguas. Los primeros conceptos geométricos fueron atribuidos a la observación del medio y la naturaleza.
Los griegos se ocuparon preferentemente de la construcción geométrica. Sin embargo, hubo algunas construcciones geométricas que no pudieron realizar usando solo regla y compás, tales como: la trisección de un ángulo, la duplicación del cubo y la cuadratura del círculo.
En esta unidad aprenderás... ¿Qué? Ángulos, rectas paralelas y rectas perpendiculares. Triángulos y cuadriláteros.
¿Para qué? Construir estos elementos usando regla y compás.
¿Dónde? Páginas 150 a 159.
Reconocer y construir estas figuras geométricas usando regla y Páginas 160 a 165. compás. Congruencia de segmentos y ángulos. Construir segmentos y ángulos congruentes. Páginas 166 a 169.
148
Construcciones geométricas
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Después de leer Considerando la información de la página anterior, responde. 1) ¿A qué se pueden atribuir los primeros conceptos geométricos? 2) ¿Qué construcciones geométricas los griegos no pudieron realizar solo con regla y compás? 3) Menciona tres construcciones geométricas que conozcas.
Evaluación inicial Analizar es descomponer una situación, un texto o un problema dado en sus partes integrantes y determinar cómo se relacionan unas con otras y con una estructura o propósito general. Un pintor desea pintar las paredes de una habitación de 2,2 m de alto, 3,80 m de largo y 3,12 m de ancho. Si en una de las paredes hay una puerta de 1,20 m de ancho por 2,10 m de alto, y una ventana de 2 m de largo por 1,20 m de alto, ¿cuántos metros cuadrados de la habitación se deben pintar? 1) ¿Qué datos proporciona el problema? ¿Cuáles te permitirían responder la pregunta?
2) ¿De qué forma se relacionan los datos del problema?
3) Propón una estrategia que te permita resolver el problema.
4) Aplica tu estrategia y calcula los metros cuadrados que se deben pintar.
5) Analiza nuevamente el problema. ¿Existe otra forma de calcular lo pedido?
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Rectas Para hacer los planos de una casa un arquitecto debe utilizar segmentos de recta que le ayuden a delimitar cada sector de la casa.
AB BA r AB BA t Una recta se puede considerar como un conjunto infinito de puntos que se extienden indefinidamente en sentidos opuestos a partir tde un punto P. Recta AB AB P B A PA AP PA PB PB PA PB Semirrecta PA Semirrecta PB AB AB AB PB AB AB BA PA PA yPB Una queda AB dos porciones en que PA yPB dividida una recta por cada una de las semirrectaes caso el punto P, llamado cualquiera de en este BA puntos, ABsus r PB AB origen del rayo o semirrecta. PA yPB AB BA r se puede AB identificar el segmento AB AB . En AB también AB AB . PA yPB r AB BA AB . AB AB AB BA t ABPara grabar AB AB AB UnaAB recta. es BA un conjunto que se extienden indefinidamente en ambos sentidos.PA t t infinito de puntos AB de las dos regiones AB a una recta. AB Una en que un punto P separa semirrecta es cadauna t t AB PB r son los extremos delsegmento. UnAB segmentoes una por dos puntos, que parte de la recta delimitada AB r contiene. Doso más puntos se dicen colineales (A, P y B) si hay una recta que los t AB PA AB AB AB AP r AB A P B AB PA PB PA yPB AB AB PB AP AB AB PB AB AB r ,PB y AB denotan la misma Observa AB recta. que AP PA PA yPBAB . AB PBAB AB PB PA yPB AB AB AB AB AB Ejercita AB AB. AB PA PA yPB AB . 1. Interpreta la siguiente información. Luego, completa los recuadros correspondientes. AB PB AB AB AB AB ABr AB . AB AB AB En una recta, dos puntos pueden determinar un segmento y dos PA yPB AB AB r semirrectas. Por ejemplo, los puntos A y B determinan en la recta ABAB: B A AB rAB AB AB . AB , AB , BA AB •AB AB r BA r AB AB AB r AB AB En la recta AB se tiene que: AB BA r C B BA t A AB t t AB t AB AB AP Segmentos: AP PB PB AB Semirrectas: AB
( )
( )
( )
(( ))
( ) ( ) ( )
( )
Para saber más Por un punto (P) pueden pasar infinitas rectas.
( )
( )
P
Por dos puntos en el plano solo se puede trazar una recta. A
( )
( )
B
( ) ( )
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Construcciones geométricas
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5
Ángulos A En los computadores, la mayoría de los monitores tienen la pantalla de forma rectangular, es decir, cada uno de sus bordes se puede asociar a un ángulo recto.
El ángulo se simboliza AOB y se lee: “ángulo AOB”. Además, es muy usual denotarlo con alguna letra griega. Por ejemplo, (alfa), (beta) y (gama).
O
B
Un ángulo está formado por dos rayos, llamados lados del ángulo, que tienen un extremo en común, llamado vértice (O). La medida de un ángulo corresponde a la abertura que se forma entre los dos lados que lo conforman.
Para grabar Clasificación de ángulos:
Elementos de un ángulo: A Lado
Amplitud o apertura
Vértice Lado O B Para medir los ángulos se puede utilizar el sistema sexagesimal, en el que la unidad de medida es el grado (°).
Agudo: entre 0° y 90°
Recto: 90°
Obtuso: entre 90° y 180°
Extendido: 180°
Completo: 360°
Ejercita
Ayuda
1. Utiliza el transportador para medir los siguientes ángulos. a.
b. A
A
B
C
Una manera de medir los ángulos en grados (°) es usando el transportador.
c. Q
O
A 40°
P O
B 0°
O
2. Representa en la siguiente fi gura cada uno de los ángulos.
X
Observa el ejemplo.
B
W
XPW
P B
a. PBN
c. WPB
b. ABR
d. ANP
A
N
R Matemática 7
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Construcción de ángulos Para la construcción de un logotipo, una empresa decide usar el siguiente diseño.
Usando regla y compás es posible construir un ángulo de 60°. Observa: 1° Traza OL .
O
L
OD
PQ OC 2° Marca un punto A entre O y L, y dibuja un arco de radio OA y centro O.
60°
Los diseñadores deben dibujar un círculo, y luego, sacarle un sector que está determinado por un ángulo de 60°. ¿Cómo construirías con regla y compás un ángulo de 60°?
Ayuda
ejemplo, si OD es bisectriz del ángulo AOB, se tiene que:
A
D
110° O
3° Con el mismo radio dibuja un arco con centro en A y marca el punto B (una intersección de los dos arcos) y luego, traza el rayo con origen en O y pasa por B. Finalmente obtienes el AOB = 60° pedido. Verifica con el trasportador que este ángulo mide 60°.
B
m(AOD) = m(DOB) = 55°
L
A
L
B 60° O
La construcción de algunos ángulos es posible hacerla a partir de la construcción del ángulo de 60°. • Un ángulo de 120° es posible construirlo luego de construir en forma consecutiva dos ángulos de 60°. • Un ángulo de 90° se puede construir usando dos ángulos de 60°, y bisectar uno de ellos. • Un ángulo de 30° se puede construir bisectando un ángulo de 60°. Se llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta que tiene su origen en el vértice del ángulo y lo divide en dos ángulos de igual medida o congruentes. 1° Con centro en O y una abertura cualquiera del compás marca un arco de circunferencia en los rayos con origen OL en gura 1) el punto O, determinando los puntos P y Q. (ver fiOL OD 2° Con el compás haciendo centro en P, luego en Q y considerando una abertura mayor a la mitad de la medida de OD PQ, traza dos arcos de circunferencia que se intersecten en C. (ver figura 2) PQ(O) y que pasa por C. De esta manera se han formado Luego, traza el rayo que va desde el vértice del ángulo OC dos ángulos congruentes. (ver figura 3). Finalmente, OC es bisectriz del ángulo AOB. B
B
O
P Figura 1
B
Q
Q
152
A
Para grabar
Recuerda que bisectar un ángulo dos ángulos de consiste en formar OL igual medida a partir de otro dado. Por
PQ OC
O
A
O
P Figura 2
Q A
O
P Figura 3
C A
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1. Aplica el procedimiento explicado en la página anterior para bisectar los siguientes ángulos. a. Ángulo extendido.
c. Ángulo recto.
5
A
A
O
O
B
B
b. Ángulo obtuso.
d. Ángulo agudo.
A
A
O
O
B
B
2. Analiza la siguiente información. Luego, realiza las construcciones pedidas. 1° Traza un rayo, 2° Haz coincidir el vértice 3° Traza un rayo cuyo (O) y el centro del origen sea el vértice O y marcando el vértice transportador y marca que pase por el punto A del ángulo y un punto un punto (A) en la que marcaste. cualquiera (B). medida 60°. A
A 60°
O
B
O
a. 45°
B
O
B
b. 240°
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Construcción de rectas paralelas Los carriles de la vía del tren siempre deben estar separados a la misma distancia, es decir, se asemejan a rectas paralelas, de lo contrario el tren, probablemente, se descarrilaría.
Dos rectas L1 y L2 son paralelas si los ángulos correspondientes que forman con una tercera recta secante L3, que las intersecta, tienen la misma medida. L1
L2
Los ángulos y se dicen correspondientes entre paralelas. L3
Simbólicamente se tiene que: L1 // L2
Para grabar Para construir una recta paralela a otra dada puedes realizar los siguientes pasos: 1° Traza una circunferencia con radio cualquiera y centro en un punto A de una recta L1. Luego, marca los puntos B y C de intersección entre la circunferencia y la recta. (ver figura 1). 2° Con centro en B y luego en C traza dos circunferencias con igual radio que la primera que intersectan a la circunferencia de centro en A en 4 puntos (•). Al trazar una recta L2 que pase por P y Q, esta será paralela a la recta L1. (L1 // L2) (ver figura 2). P C
¿Qué elementos de la vida cotidiana podrías relacionar con el título de la página?
A
B
L1
Figura 1
C
L2
Q A
B
L1
Figura 2
Ejercita
1. Analiza cada situación. Luego, explica. a. Desde un punto cualquiera que no pertenece a una recta dada ¿es posible construir dos rectas paralelas a la recta dada?
M b. Si la recta M es paralela a la recta L y la recta L es paralela a la recta T, entonces ¿M // T ? N T M N T c. Si una recta L intersecta a la recta N, entonces, ¿una recta M paralela a N no intersecta a L?
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5
2. Construye con regla y compás una recta paralela a la dibujada. a.
b. L1 L2
3. Evalúa, a partir de la siguiente fi gura, si cada afi rmación es verdadera (V) o falsa (F). Para ello, marca V o F según corresponda. a. Las rectas L1 y L2 son paralelas.
L1 b. La recta L3 intersecta en un solo punto a la recta L4. L2
L4
L3
c. Las rectas L4 y L1 forman 4 ángulos iguales.
d. Las rectas L4 y L3 son paralelas.
4. Analiza cada situación. Luego, utiliza regla y compás para realizar cada construcción. a. Un triángulo equilátero y luego construye una recta paralela a cada uno de sus lados.
Ayuda Recuerda que en un triángulo equilátero sus ángulos interiores miden 60° cada uno.
b. Un rectángulo y luego construye una recta paralela a cada uno de sus lados.
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Construcción de rectas perpendiculares En el siguente mapa de la red del metro, el segmento que representa el tramo que va desde la estación E5 a E1 es perpendicular al segmento que representa el tramo que va desde la estación H1 a H10.
Dos rectas son perpendiculares si se intersectan y forman cuatro ángulos con la misma medida, es decir, cada ángulo formado mide 90°. El símbolo de perpendicularidad es .
E5
L1
H10
L2
H1
Ejemplos:
E1
En este caso: L1 L2.
Para grabar Para construir una recta perpendicular a otra dada puedes realizar los siguientes pasos: 1° Se traza una recta cualquiera, y en ella se marcan dos 3° Con la misma abertura del compás, dibuja un arco con centro en B y marca los puntos P y Q. puntos A y B.
P
A
B
A
B
Q
Para saber más El punto medio de un segmento corresponde al punto que equidista de los extremos. Al construir una recta perpendicular a un segmento AB, esta necesariamente pasa por el punto medio.
2° Con el compás, dibuja un arco de circunferencia de radio AB o mayor que la mitad del segmento AB.
4° La recta perpendicular se traza por los dos puntos de intersección de los arcos. (C es punto medio de AB)
P
A
B
A
C
B
Q
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1. Evalúa a partir del siguiente dibujo si cada afi rmación es verdadera (V) o falsa (F). Para ello, marca V o F según corresponda. L5
5
a. Las rectas L1 y L2 se intersectan en un solo punto.
L4 L1
L3 L2
b. La recta L5 es paralela a la recta L4.
c. La recta L3 es perpendicular a la recta L2.
d. La recta L2 es perpendicular a L5.
e. La recta L5 y L3 son secantes entre sí.
2. Analiza cada situación y luego responde. a. Dada una recta L, ¿cuántas rectas perpendiculares a ella se pueden trazar? ¿Por qué? M M L L M M T T T MM L L T b. Si M // L ; LT y T // N, entonces ¿M y N son paralelas o perpendiculares? Justifi ca. L L T T T T T T T T N N T NN T MN c. Una recta L es perpendicular a la recta M. Si la recta N intersecta a L, entonces, N ¿L intersecta a M? Justifi ca. L T T T T N N 3. Representa cada una de las siguientes situaciones en tu cuaderno. Para ello, utiliza regla y compás. a. Una recta vertical y luego construye una recta perpendicular a ella. b. Una recta oblicua y luego construye una recta perpendicular a ella. c. Un triángulo rectángulo y luego construye una recta perpendicular a la hipotenusa. d. Un triángulo y luego construye una recta perpendicular a uno de sus lados y que pase por uno de sus vértices.
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EVALUACIÓNINTERMEDIA 1 Construye un ángulo de 135°. Para ello, utiliza regla y compás.
Construcción de ángulos.
2 Aplica un procedimiento que te permita construir dos ángulos congruentes al ángulo dado. Para ello, utiliza regla y compás.
A
B O
3 Describe el procedimiento que realizarías para construir un ángulo de 45°.
4 Construye una recta paralela a la recta L de la figura.
Construcción de rectas paralelas.
L
5 Construye una recta paralela a la diagonal (D) del trapecio que pase por el punto P. P D
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5 6 Identifica en la figura las rectas pedidas en cada caso. Para ello, escríbelas en las casillas. L3
60°
L2
L1
60° L4
Construcción de rectas perpendiculares.
a. Dos rectas secantes que no sean perpendiculares.
b. Dos rectas paralelas.
c. Dos rectas perpendiculares.
d. Dos rectas secantes que formen un ángulo de 30°.
7 Construye una recta perpendicular a las rectas dibujadas. Para ello, utiliza regla y compás. a.
b.
8 Construye una recta perpendicular al segmento AB de la figura y que pase por el punto medio de este. Para ello, utiliza regla y compás.
A
B
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Construcción de triángulos
AB
Algunas estructuras se realizan basadas en vigas de acero y para aumentar su resistencia se disponen en forma triangular. Por ejemplo, la torre Eiffel.
AB BC Un triángulo es un polígono de tres lados, tres ángulos BC AC AB vértices. interiores y tres BC AC AB En el triángulo ABC (ABC) de la figura se identifican: AC AB BC • Tres lados: AB, BC y CA. • Tres ángulos CAB, ABC y BCA. CA BCinteriores: • Tres vértices: A, B y C. CA
C
A
B
Los triángulos se pueden clasificar según la medida de sus lados o la medida de sus ángulos.
Para grabar Cuando AB conoces los tres lados de un triángulo, puedes construirlo con regla y compás realizando los siguientes pasos: BC AB AB 3° Se traza otro arco con centro en B y con una abertura 1° Sean AC , AB y BC los lados del triángulo. igual a la longitud del lado restante, en este caso BC , AB BC AC A C que intersecte al arco anterior en el punto C. AC BC AC AB A B AB CA AB BC C BC B C BC CA CA CA Se dibuja uno de los tres lados. Por ejemplo, AB . BC AC
Para saber más Clasificación de los triángulos según sus lados: Equilátero: todos sus lados de igual medida. Isósceles: solo dos de sus lados de igual medida. Escaleno: todos sus lados de distinta medida.
AB BC
A
A
CAB
AB 2° Se traza un arco con centro en A y con una abertura BC a la longitud de otro de sus lados, del compás igual por ejemplo, AC .
B
4° Se trazan los otros dos lados del ABC. C
AB BC CA AB BC A
AC AB
A B
B
BC CA
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5
1. Aplica el procedimiento anterior para construir los siguientes triángulos. a. Triángulo equilátero de lado 4 cm.
b. Triángulo rectángulo de lados 3 cm, 4 cm y 5 cm.
• ¿Qué sucede si aplicas el procedimiento de construcción de triángulos para un triángulo isósceles cuyos lados miden 5 cm, 5 cm y 10 cm?
2. Analiza los datos entregados en la tabla. Luego, complétala. Medidas de lados de un triángulo
Suma de dos lados comparada con el tercer lado
a
b
c
a+b
b+c
10
6
8
16 > 8
14 > 10
11
7
4
9
5
5
c+a
¿Se puede construir el triángulo?
Para saber más En un triángulo, la medida de uno de sus lados siempre es menor que la suma de las medidas de los otros dos y mayor que la diferencia.
b
c
a a<b+cya>c–b
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3. Analiza la siguiente construcción. Luego, realiza lo pedido. AB Para construir un triángulo en el que las medidas de dos de sus lados, AB y BC, sean BC 4 cm y 6 cm, respectivamente, y el ángulo comprendido entre ellos sea de 40° puedes AB seguir los pasos que se detallan a continuación: AC 3° Dibuja sobre la recta L el vértice 1° Dibuja uno de los lados AB . C, que determina el lado BC del triángulo. L C
( )
6 cm
4 cm
A
B
2° Dibuja una recta L que contenga el extremo B del segmento AB y que forme con este un ángulo de 40°.
B
4° Dibuja el segmento AC, con lo que se concluye la construcción del triángulo. C
C
6 cm
6 cm
4 cm
40°
B
a. Construye un triángulo en el que las medidas de dos de sus lados sean 3 cm y 5 cm, y la medida del ángulo comprendido entre ellos sea 80°. Usa regla, compás y transportador.
A
4 cm
40°
B
b. Construye un triángulo dados dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos. Utiliza solo regla y compás. A A
162
40°
L
L
A
4 cm
A
B
C
100° C A B
Construcciones geométricas
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5
4. Analiza la siguiente construcción. Luego, realiza lo pedido. Para construir un triángulo en el que uno de sus lados, AB, mida 6 cm y las medidas de los ángulos adyacentes a este sean 45° y 55° puedes seguir los pasos que se detallan a continuación: 1° Dibuja el lado AB del triángulo.
3° Dibuja una recta M que contenga el extremo B del segmento AB y que forme con este un ángulo de 55°.
M
Ayuda Dos ángulos son adyacentes si tienen un lado y un vértice común.
L o
45°
6 cm
A
B
2° Dibuja una recta L que contenga uno de los extremos, en este caso A, del segmento dibujado AB y que forme con este un ángulo de 45°.
A
55°
6 cm
B
4° Determina el punto C, que es la intersección entre las rectas L y M, y que corresponde al tercer vértice del triángulo. Además, se tiene que m (BCA) = 80°. M C
L
Para saber más La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°. + + = 180°
L
b
c
45° A
6 cm
a. Construye un triángulo en el que uno de sus lados, AB, mida 5 cm y las medidas de los ángulos adyacentes a este sean 60° y 30°. Usa regla, compás y transportador.
45° B
A
6 cm
a
55° B
b. Construye un triángulo dados uno de sus lados y los ángulos del triángulo adyacentes a este. Utiliza solo regla y compás. 70° B 30° A A
B
Matemática 7
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Construcción de paralelogramos La tecnología ha avanzado a tal punto, que ya se cuenta con reproductores de video cuya pantalla no supera las dos pulgadas.
La pantalla de un ipod se puede representar con un cuadrilátero. Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados y se puede clasificar según sus lados. Paralelogramo: cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos. Ejemplos:
Romboide
Rectángulo
Cuadrado
Rombo
iPod
Musica Videos Fotos Podcasts Extras Ajustes Canciones aleat. Ahora suena
Cuadriláteros
Trapecio: cuadrilátero que tiene solo dos lados paralelos. Ejemplos:
Trapecio Trapecio isósceles Trapezoide: cuadrilátero que no tiene lados paralelos. Ejemplo:
MENU
Trapezoide
Para grabar Para construir un cuadrado o un rectángulo puedes seguir los siguientes pasos: 1° Dibuja un segmento AB de longitud cualquiera que corresponderá a un lado del paralelogramo. A
B
2° En los extremos de él (en los puntos A y B) traza una recta perpendicular al segmento.
A
B
3° Con centro en A y en B y radio cualquiera, dibuja arcos de circunferencia que intersecten a las rectas perpendiculares. Estos puntos corresponderán a los otros dos vértices (C y D) del paralelogramo. Luego, une los puntos para formar el paralelogramo. D
C
A
B
Ejercita
1. Clasifica cada uno de los siguientes cuadriláteros entre paralelogramo, trapecio o trapezoide. Compara tu clasifi cación con la de tus compañeros. a.
b.
164
c.
Construcciones geométricas
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5
2. Diseña una estrategia que permita construir cada uno de los siguientes paralelogramos. a. Un rectángulo cuyos lados miden 3 cm y 5 cm.
Ayuda El rectángulo es un paralelogramo que tiene todos sus ángulos de igual medida (90°) y dos pares de lados de igual longitud.
b. Un rombo de lado 4 cm.
El rombo es un paralelogramo que tiene sus lados de igual longitud y sus ángulos opuestos congruentes, dos de ellos agudos y dos obtusos.
c. Un romboide de lados 2 cm y 6 cm.
El romboide es un paralelogramo que tiene sus ángulos y lados opuestos congruentes.
3. Analiza y luego responde. a. ¿Es posible construir un único cuadrado si solo se conoce la medida de su diagonal?
b. ¿Es posible construir un único rombo si solo se conoce la medida de su lado y la medida de uno de sus ángulos?
c. ¿Es posible construir un único rectángulo si solo se conoce la medida de su diagonal?
Matemática 7
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AB
Construcción de segmentos congruentes BC
AB
BC
AB En el triánguloABABC las medidas de los segmentos ABA'B' y BC son congruentes. AB ≅ BC C
(
Dos segmentos son congruentes cuando tienen la misma longitud. En el triángulo ABC de la imagen, se tiene que la abertura del compás coincide con la distancia entre los extremos de los segmentos AB y BC.
)
C
A A
B
B
B
¿Cómo construirías dos segmentos de igual longitud usando regla y compás?
Para grabar Para construir dos segmentos congruentes (de igual longitud) puedes seguir los siguientes pasos: 1° Dado el segmento AB, se traza una recta L que no lo 3° Mantén la abertura del compás, y con centro en A’, contenga y se marca con A’ uno de los puntos de L. traza un arco que intersecta a L en el punto B’. AB A B A B AB BC AB A'
BC AB L
BC
AB BC
AB
BC AB
BC
AB AB A'
2° Toma la medida de AB con el compás.
4° AB y A'B' son segmentos congruentes.
(
AB
)
A'B' ABA≅ BC
(AB ≅ BC)
A'B'
(AB ≅ BC) A
B
A'
A'
L
B'
B
L
B'
L
Ejercita
1. Construye un segmento congruente en los siguientes casos. Para ello, utiliza el procedimiento anterior. a.
b.
E
F
166
B
A
Construcciones geométricas
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2. Identifica si las siguientes fi guras están compuestas por segmentos congruentes. Para ello, utiliza regla y compás. a.
D
G
b.
C
c.
L M
E
B
K J
H A
5
I
F
3. Construye un triángulo equilátero cuyos lados tengan una longitud de 6,5 cm.
4. Construye un triángulo isósceles tal que dos de sus lados tengan una longitud de 7 cm.
Matemática 7
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Construcción de ángulos congruentes El triángulo de la figura se llama triángulo isósceles y tiene 2 de sus ángulos congruentes.
Dos ángulos se dicen congruentes (≅) si tienen la misma medida. En este caso, al medir los ángulos con el transportador resulta:
(ABC ≅ CAB) C C
A
C
B
A
B
Por lo tanto, ambos ángulos tienen la misma medida, en este caso, 44° ¿Cómo construirías a partir de un ángulo otro ángulo congruente?
Para grabar Para construir dos ángulos congruentes (≅) puedes seguir los siguientes pasos: 1° Dado el ABC, traza con centro en B un arco y marca los puntos M y N que intersectan a los lados del ángulo ABC.
3° Con centro en N’ y abertura de compás MN, traza un arco que intersecte al arco anterior yBN determina el punto M’.
A M'
M En el cuadro “Para grabar”, ¿por qué crees que están destacadas ciertas letras?
B
N
C
2° Traza un rayo cualquiera con origen en un punto cualquiera B’ y con abertura del compás BN, dibuja un arco que intersecte al rayo y determine un punto N’.
B'
N'
C'
4° Traza un rayo cuyo origen sea B’ y pase por el punto M’.
A' M' B'
N'
C'
B'
N'
C'
Por lo tanto, se tiene que: ABC ≅ A’B’C’
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Construcciones geométricas
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1. Identifica en la siguiente fi gura qué ángulos son congruentes. Para ello, utiliza regla y compás. A
5
E
B
C
D
2. Construye un ángulo congruente al ABC. Para ello, utiliza regla y compás. a.
C
A
B
b.
C
A
B
3. Construye un triángulo en tu cuaderno que tenga dos ángulos congruentes que midan 45°. ¿Qué tipo de triángulo es? Matemática 7
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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. Analiza la resolución del siguiente problema. Se quiere construir un polígono de tres lados tal que dos de sus lados midan 4 cm y el otro 2 cm.
Paso
Comprende el enunciado
¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema? La construcción de un polígono que cumpla con las condiciones dadas. ¿Qué información entrega el problema? El número de lados de la figura; en este caso, un triángulo y las medidas de estos.
Paso
Planifica lo que vas a realizar
Para resolver el problema debes analizar sus componentes, relacionarlos y diferenciarlos. Para esto, debes: • • •
Organizar la información. Se representa con un dibujo la situación. Luego, se comienza con la construcción del triángulo. Identificar las partes que la componen. La figura está compuesta por tres lados con sus medidas respectivas. Determinar de qué manera se diferencian las partes. Las lados del polígono se diferencian según sus medidas. 4 cm
A B C
Paso
2 cm
B
C 4 cm
A
Resuelve el problema
Se procede a la construcción del triángulo.
A
1° Con centro en B y luego en C se trazan dos arcos de radio 4 cm. 2° La intersección de los dos arcos determina el vértice A del triángulo. Se unen A, B y C y queda definido el triángulo isósceles.
Paso
Revisa la solución
4 cm
B
4 cm
2 cm
C
Con una regla se puede medir la distancia y comprobar que los lados del triángulo corresponden a las medidas dadas inicialmente.
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2. Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente. Construye la bisectriz de un ángulo que mide 144°.
Paso
Comprende el enunciado
Paso
Planifica lo que vas a realizar
Paso
Paso
Resuelve el problema
Resolución de problemas
5
Revisa la solución
3. Resuelve el siguiente problema en tu cuaderno. Construye un triángulo tal que las medidas de sus lados sean 3 cm, 4 cm y 5 cm. ¿Qué tipo de triángulo es? Matemática 7
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HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS
Geogebra Geogebra es un programa que da la posibilidad de construir figuras geométricas, experimentar, analizar, comprobar resultados, etc. Una de las características más importantes es que permite la interactividad, ya que luego de construir una figura se puede mover cualquiera de los objetos que la conforman y automáticamente se modifican los elementos que dependen de él. Para construir un ángulo de 45° se deben seguir los siguientes pasos:
Paso
Paso Si está marcada la opción sin visualizar ejes. Al abrir el programa observarás la siguiente pantalla.
En el ícono que contiene la forma de ángulo elige la opción “ángulo dada su magnitud”.
Paso Marca dos puntos y aparecerá un recuadro en la pantalla donde podrás determinar la medida del ángulo y su sentido aparecerá la medida del ángulo y un tercer punto correspondiente al extremo (horario o antihorario). Si presionas Enter, aparecerá la medida del ángulo y un tercer punto correspondiente al extremo del otro lado del ángulo. Para visualizar el ángulo, con la herramienta “segmento entre dos puntos” dibuja sus lados.
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1. Utiliza el programa Geogebra para construir un triángulo y comprobar que la suma de las medidas de sus ángulos interiores es 180°.
Paso
Paso Presiona el ícono para seleccionar Polígono. Luego, marca tres puntos, que corresponderán a los vértices del triángulo.
Presiona el ícono para seleccionar la opción Ángulo. Luego, marca los vértices del triángulo en sentido antihorario. Finalmente, si sumas estos ángulos resulta 180°.
2. Representa cada una de las situaciones descritas. Para ello, utiliza Geogebra. a. Dibuja un cuadrilátero y comprueba que la suma de las medidas de los ángulos interiores es 360°. b. Construye un octágono y determina la suma de sus ángulos interiores.
3. Analiza los siguientes pasos realizados con el programa Geogebra. Luego, responde en tu cuaderno. Paso
Herramientas tecnológicas
5
Paso
• ¿Qué fi gura se formó? • ¿Cuánto suman las medidas de sus ángulos interiores? • ¿Cómo son las medidas de los lados del polígono? Matemática 7
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PARA NO EQUIVOCARSE 1. Analiza cada resolución. Luego, responde. a. Se afi rma que es posible construir un triángulo de medidas 7 cm, 4 cm y 2 cm, argumentando que 7 cm + 4 cm es mayor 2 cm. • El error cometido es:
• Corrección:
b. Un alumno hace el siguiente comentario: “la ÚNICA forma de construir un ángulo de 120° es mediante la construcción consecutiva de dos ángulos de 60°”. • El error cometido es:
• Corrección:
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c. Se afi rma que si una recta L es paralela a una recta M y la recta M es perpendicular con una recta N, entonces, necesariamente la recta N es paralela con la recta L. • El error cometido es:
• Corrección:
Para no equivocarse
5
d. La construcción de un triángulo, utilizando regla y compás, que tiene como medidas de dos de sus lados 8 cm y 6 cm y uno de sus ángulos mide 40° es posible, ya que dicha construcción es única. • El error cometido es:
• ¿Qué triángulos se pueden construir con la información del problema? Hazlos y explica lo que pasa.
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AMPLIANDO MIS CONOCIMIENTOS Un polígono es una fi gura geométrica plana limitada por líneas rectas. Por ejemplo: Polígonos regulares
Pentágono
Polígonos irregulares
Hexágono
Heptágono
Octágono
1. Analiza la información de la tabla. Para ello, complétala y responde las preguntas. Polígono
Número de lados
Suma de medidas de ángulos interiores
Suma factorizada
Triángulo
3
180°
180° • 1
Cuadrilátero
4
360°
180° • 2
Pentágono
5
Hexágono
6
Heptágono
7
Octágono
8
Decágono
10
Endecágono
11
Dodecágono
12
Tridecágono
13
180° •
a. ¿Cuál es la suma de las medidas de los ángulos interiores de un decágono?
b. ¿Cuál es la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono de 15 lados?
c. ¿Cuál es la relación que permite determinar la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono de n lados?
d. Comprueba en tu cuaderno, utilizando Geogebra, las respuestas que diste en las letras a y b.
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2. Analiza el siguiente recuadro. Luego, resuelve. Construcción de un hexágono regular 1° Dibuja una circunferencia con cualquier radio y centro en O. Traza el segmento OP.
2° Se marca el ROP con su 3° Se traza el segmento que une los puntos P y R, y respectiva medida; en este con la ayuda del compás se traslada la medida en la caso, 60°. circunferencia.
R O
O P
P
4° Se marcan los demás lados del polígono.
R O
60°
O P
a. Construye un hexágono regular de lado 4,5 cm.
Ampliando mis conocimientos
5 60°
b. Construye un pentágono regular de lado 6 cm.
c. Propón en tu cuaderno una estrategia que te permita construir un polígono de n lados. Compárala con la de tus compañeros. Matemática 7
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EVALUACIÓNFINAL I. Lee atentamente y marca la alternativa correcta.
1 Si un ángulo obtuso se divide en dos ángulos
5 Si se traza una recta perpendicular a otra y luego se
congruentes, entonces, ¿cómo son ellos?
aplica el procedimiento que permite dividir un ángulo en dos ángulos congruentes, ¿cuál de los siguientes ángulos se puede construir?
A. Rectos. B. Agudos. C. Sus medidas suman 90°. D. Sus medidas suman 180°.
2 Si un ángulo extendido se divide en dos ángulos congruentes, entonces, ¿cómo son ellos?
A. 60° B. 75° C. 105° D. 135°
6 Si en el plano se tienen una recta y un punto fuera de
A. Rectos. B. Agudos. C. Sus medidas suman 200°. D. Sus medidas suman más de 180°.
ella, ¿cuántas rectas distintas paralelas a esta y que pasen por dicho punto se pueden trazar?
3 En la figura se muestra una recta que pasa por A y B y un ángulo de 120°, correspondiente al ángulo DCA. Luego, se construyó la bisectriz CE del ángulo BCD. Entonces, ¿cuál es la medida del ángulo ECA?
A. Una. B. Dos. C. Infi nitas. D. Ninguna.
7 ¿Cuál de las siguientes alternativas presenta una característica propia entre dos rectas paralelas? A. No tienen puntos en común. B. Tienen dos puntos en común. C. Solo tienen un punto en común. D. Tienen infi nitos puntos en común.
D E
8 ¿Cuál es la medida del ángulo que forman dos rectas
120° B
C
perpendiculares? A
A. 90° B. 120° C. 150° D. 180°
4 Si solo se sabe construir ángulos de 60° y dividir un ángulo en dos ángulos congruentes, ¿cuál de los siguientes ángulos se puede construir? A. 70° B. 75° C. 80° D. 85°
178
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
9 Se sabe que entre las rectas M, N y L se cumple que: M // N y N L. Entonces, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA? A. M // L B. M L C. M y L son coincidentes. D. M y L se intersectan, formando un ángulo agudo.
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10 En la figura se han construido cuatro rectas. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? L M
14 En la figura se muestra el resultado de la construcción de un triángulo una vez conocidas las longitudes de sus lados. Según la figura, ¿cuál es el valor para “m”?
5
m 16
T
N
A. L M B. T // N C. N // M D. M T
11 ¿Cuál de los siguientes grupos de datos corresponde a las medidas de los lados de un triángulo? A. 3, 5 y 8 cm. B. 7, 15 y 8 cm. C. 6, 11 y 20 cm. D. 10, 12 y 9 cm.
A. 80 B. 21 C. 17 D. 10
15 En la figura se muestra el resultado de la construcción de un triángulo una vez conocidas las longitudes de sus lados. Según la figura, ¿cuál es un posible valor para “b”?
12 ¿Cuál de los siguientes grupos de datos NO
b
corresponde a las medidas de los lados de un triángulo?
y “q”, ¿qué relación SIEMPRE se cumple entre ellas? A. m + p = q B. m – p = q C. m + p > q D. m + p < q
4 7
A. 6, 3 y 6 cm. B. 12, 7 y 5 cm. C. 10, 8 y 6 cm. D. 11, 5 y 9 cm.
13 En un triángulo cuyas medidas de lados son “m”, “p”
Evaluación final
5
A. 2 B. 10 C. 11 D. 28
16 Si las medidas de dos lados de un triángulo son 3 cm y 11 cm, ¿cuál es la menor medida que debe tener el otro lado del triángulo para que este se pueda construir, sabiendo que corresponde a un número natural? A. 8 cm B. 9 cm C. 13 cm D. 14 cm Matemática 7
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EVALUACIÓNFINAL 17 Si las medidas de dos lados de un triángulo son 4 cm y 7 cm, ¿cuál es la mayor medida que debe tener el otro lado del triángulo para que este se pueda construir, sabiendo que corresponde a un número natural? A. 3 cm B. 4 cm C. 10 cm D. 11 cm
18 ¿Qué información se necesita conocer para poder construir un único triángulo? A. Las medidas de sus tres ángulos. B. Las medidas de dos de sus lados y la de un ángulo. C. La medida de un lado y las de dos de sus ángulos. D. Las medidas de dos de sus lados y la del ángulo que ellos forman.
19 ¿Cuál de los siguientes datos NO sirve para construir un único cuadrado? A. La medida del área. B. La medida de su perímetro. C. Las medidas de sus ángulos. D. La medida de una de sus diagonales.
20 ¿Qué información se necesita conocer para poder construir un único rectángulo? A. La medida de su área. B. Las medidas de sus lados. C. Las medidas de sus ángulos. D. La medida de su perímetro.
21 ¿Qué información se necesita conocer para poder construir un único rombo? A. La medida de su perímetro. B. Las medidas de sus diagonales. C. La medida de uno de sus lados. D. La medida de una de sus diagonales.
22 ¿Qué información se necesita conocer para poder construir un único romboide? A. Su área. B. Su perímetro. C. Las medidas de sus lados. D. Las medidas de sus lados y el ángulo que forman dos de ellos.
23 Si se construyen dos rectas paralelas para poder construir un rectángulo, ¿qué se debe hacer a continuación? A. Trazar dos paralelas a las rectas dadas. B. Trazar una tercera paralela a las dos dadas. C. Trazar una perpendicular a las rectas dadas. D. Trazar una perpendicular a las dadas y luego una paralela a esta última.
24 Para construir un trapecio se trazan dos rectas paralelas. ¿Qué se debe trazar a continuación? A. Una nueva recta paralela a las trazadas. B. Dos rectas perpendiculares a las rectas trazadas. C. Una recta perpendicular a una de las rectas paralelas. D. Dos rectas paralelas cualquiera que intersecten a las rectas paralelas en ángulos distintos a 90°.
25 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA? A. Dos rectas son paralelas si entre ellas forman un ángulo extendido. B. Un rombo es un polígono que tiene todos sus ángulos interiores congruentes. C. Al marcar un punto en una recta, este determina dos semirrectas. D. La intersección entre dos rectas perpendiculares determina a lo menos dos puntos.
Mi desempeño Buenas Malas Omitidas
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Evaluación final
5 II. Resuelve los siguientes problemas.
1 Construye un ángulo de 150°.
2 Usa regla y compás para construir un cuadrado de perímetro 12 cm y sobre su diagonal un triángulo cuyas medidas de sus lados sean congruentes a la medida de la diagonal del cuadrado.
3 Usando regla y compás, construye un romboide sabiendo que uno de sus lados mide 8 cm y otro de sus lados mide 4 cm. ¿Se tiene una única solución? Explica.
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RESUMEN Una técnica que facilita la retención de lo estudiado para después realizar un repaso eficiente es el cuadro sinóptico. Se trata de un resumen esquematizado, cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de manera estructurada y organizada. Completa la tabla, que muestra algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad. Concepto
Definición o procedimiento
Ejemplo
Recta.
Ángulo.
Rectas paralelas.
Rectas perpendiculares.
Polígono.
Cuadrilátero.
Triángulo equilátero tiene sus tres lados de igual medida. Triángulo.
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Un triángulo es un polígono de tres lados.
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Número de pregunta
Contenido
Habilidad
1
Rectas y ángulos
Recordar
2
Rectas y ángulos
Recordar
3
Rectas y ángulos
Analizar
4
Rectas y ángulos
Analizar
5
Rectas y ángulos
Analizar
6
Rectas y ángulos
Recordar
7
Rectas y ángulos
Evaluar
8
Rectas y ángulos
Recordar
9
Rectas y ángulos
Evaluar
10
Rectas y ángulos
Analizar
11
Triángulos y cuadriláteros
Analizar
12
Triángulos y cuadriláteros
Analizar
13
Triángulos y cuadriláteros
Analizar
14
Triángulos y cuadriláteros
Analizar
15
Triángulos y cuadriláteros
Analizar
16
Triángulos y cuadriláteros
Analizar
17
Triángulos y cuadriláteros
Analizar
18
Triángulos y cuadriláteros
Recordar
19
Triángulos y cuadriláteros
Evaluar
20
Triángulos y cuadriláteros
Analizar
21
Triángulos y cuadriláteros
Analizar
22
Triángulos y cuadriláteros
Analizar
23
Triángulos y cuadriláteros
Analizar
24
Triángulos y cuadriláteros
Analizar
25
Triángulos y cuadriláteros
Evaluar
Clave
Mi revisión
Nivel de logro
10 Rectas y ángulos
Solucionario de evaluación final
5
SOLUCIONARIO DE EVALUACIÓN FINAL
15 Triángulos y cuadriláteros
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6
Triángulos y teorema de Pitágoras
Las medidas de los lados del triángulo sagrado egipcio, llamado Isíaco en honor a la diosa Isis, son 15, 20 y 25 codos. La razón entre estas medidas es 3 : 4 : 5.
Los agrimensores y constructores de pirámides utilizaron una cuerda con 12 nudos para obtener perpendiculares en el plano.
En esta unidad aprenderás... ¿Qué?
184
¿Para qué?
¿Dónde?
Clasificación de triángulos.
Reconocer distintos tipos de triángulos según las medidas de Páginas 186 a 187. sus lados y ángulos interiores.
Elementos secundarios del triángulo: bisectrices, alturas, transversales de gravedad, simetrales y medianas. Teorema de Pitágoras.
Identificar y construir elementos secundarios del triángulo. Páginas 188 a 199. Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas.
Páginas 200 a 203.
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Después de leer Considerando la información de la página anterior, responde. 1) ¿De qué se trata la información entregada? 2) ¿Qué característica tiene el triángulo sagrado egipcio que les permitía obtener perpendiculares? 3) ¿Clasificarías el triángulo sagrado de los egipcios como un triángulo rectángulo? Justifica.
Evaluación inicial Analizar es descomponer el material en sus partes integrantes y determinar cómo se relacionan unas con otras y con una estructura o propósito general. Analiza la siguiente figura y determina la cantidad de triángulos rectángulos que aparecen en ella. C F G A
D
E
B
1) Dibuja los triángulos rectángulos que están formados por solo un polígono.
2) Dibuja los triángulos rectángulos que están formados por dos polígonos.
3) ¿Cuántos triángulos rectángulos están formados por 3 polígonos o más? 4) ¿Cuántos triángulos rectángulos se observan en la figura?
Matemática 7
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Clasificación de triángulos ¿Cuántos triángulos se pueden observar en esta figura? C
En la figura se pueden observar 5 triángulos, estos son: C
C E
E
E
A D
D
E
E
A A
D
B
¿Cuáles de ellos tienen un ángulo interior que mida 90°?
B
A
B
A
B
De estos, 3 tienen un ángulo de 90°, los que reciben el nombre de triángulos rectángulos, y son: ABC, DBE y ADE. Comprueba con tu transportador.
Para grabar Los triángulos se Según sus lados: pueden clasificar Equilátero: todos sus lados tienen igual según la medida medida. de sus lados en: C equiláteros, isósceles y escalenos; y según 60° la medida de sus ángulos interiores en: acutángulos, 60° 60° rectángulos y B A obtusángulos. Los ángulos interiores de este triángulo miden lo mismo. Isósceles: dos de sus lados tienen igual medida y el tercero, de distinta medida, se denomina base.
Según sus ángulos: Acutángulo: todos su ángulos interiores miden menos de 90°. Es decir, son agudos. C A
B
Rectángulo: uno de sus ángulos interiores es un ángulo recto. A
C
C B
A
B
Los ángulos interiores adyacentes a la base miden lo mismo. Escaleno: todos sus lados tienen distinta medida.
Obtusángulo: uno de sus ángulos interiores es un ángulo obtuso. C
C A B A B
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6
1. Analiza cada situación. Luego, determina lo que se pide en cada caso. a. La medida del lado de un triángulo equilátero de perímetro 21 cm.
Ayuda b. El perímetro de un triángulo isósceles cuya base mide 6 cm y otro de sus lados mide 5 cm.
En un triángulo, las medidas de sus ángulos interiores suman 180° y las medidas de sus ángulos exteriores suman 360°. ’
c. La medida de un ángulo interior agudo en un triángulo rectángulo si el otro ángulo mide 15°.
'
’
+ + = 180° ’ + ’ + ’ = 360°
d. La medida de los ángulos interiores de un triángulo rectángulo isósceles.
2. Analiza cada situación. Luego, responde. a. ¿Es posible que un triángulo sea rectángulo y equilátero? ¿Por qué?
b. El perímetro de un triángulo es 12 cm. Si uno de sus lados mide 4 cm, ¿es posible afirmar que es un triángulo equilátero?
c. Los ángulos interiores de un triángulo son tales que el segundo es el doble del primero y el tercero el triple del primero. ¿Se puede decir que este triángulo es rectángulo? ¿Por qué?
d. Un ángulo exterior de un triángulo mide 160° y uno de los ángulos interiores no adyacentes a él mide 80°. ¿Se puede asegurar que el triángulo es isósceles? Justifica.
e. Si dos de los lados de un triángulo son perpendiculares y uno de los ángulos exteriores es obtusángulo, ¿es posible afirmar que el triángulo es acutángulo? Justifica.
Matemática 7
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Bisectrices de un triángulo Las bisectrices de los ángulos interiores de todo triángulo se intersectan en un punto llamado incentro. C A
Recuerda que las bisectrices son rectas que dividen un ángulo en dos ángulos congruentes, es decir, en dos ángulos de igual medida. En un triángulo, por lo general, se considera como bisectriz al segmento de la recta que está al interior del triángulo. C
B
Punto de intersección
B
Punto de intersección.
A
El punto de intersección entre las bisectrices de un triángulo se encuentra siempre al interior de este.
Para grabar
Para saber más
Las bisectrices de un triángulo son las rectas que dividen sus ángulos interiores en dos ángulos congruentes (de igual medida). Estas se intersectan en un punto llamado incentro, que corresponde al centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.
C E I
Una circunferencia está inscrita en un triángulo si intersecta en un solo punto a cada uno de los tres lados del triángulo.
D
F
A
Circunferencia inscrita
B
Incentro
Ejercita
1. Representa con un dibujo la situación descrita. Para ello, utiliza regla, compás y transportador. Sobre el triángulo equilátero traza una de sus bisectrices. Observa que en el interior de este se forman dos triángulos. Mide los ángulos interiores de cada uno de ellos y determina qué tipo de triángulos se formaron.
C
Ayuda Recuerda que en la página 152, en la unidad 5, aprendiste a trazar la bisectriz de un ángulo.
A
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B
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6
2. Analiza, dibuja y responde respecto de cada situación. a. En un cuadrado se trazan las bisectrices de todos sus ángulos interiores. Mide los ángulos de los triángulos que se forman en el interior del cuadrado. ¿Qué tipo de triángulos son? C D
B A b. Si en un triángulo rectángulo isósceles se traza la bisectriz del ángulo recto hasta el lado opuesto, ¿qué tipo de triángulos se forman en su interior? A B
C
3. Calcula el valor pedido utilizando la información entregada. Escribe cada resolución en tu cuaderno.
AD
AD
KJ de base KJ a. En el triángulo ABC, AD es bisectriz del c. En el triángulo isósceles IJK ángulo CAB. ¿Cuál es la medida de m? KJ se ha trazado la bisectriz JL . ¿Cuál esJLla mitad de la medida de x?EF JL EF K J C EF FG FG m FG EH EH AD AD x D EH QM QM KJ L AD KJ AD QM JL 80° KJ JL 20° KJ 60° EF JLA EF B I JL
Ayuda Tres puntos A, B y C son colineales si existe una recta L que los contiene. A
B
C
L
FG FG b. EnEFel triángulo EFG, EF es perpendicular d. En la figura, A, P y Q son colineales y EH QLP se ha trazado la en el triángulo a FG, y EH es bisectriz FGdel ángulo GEF. bisectriz QM. ¿Cuál es la medida de y? ¿Cuál el triple deEH la medida de a? EH es QM E A L QM QM y M 70° a P 50°
F
105° H
G Q Matemática 7
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Alturas de un triángulo En la construcción se utiliza el término plomar, que se refiere a examinar si las paredes están construidas verticalmente. Para ello, se deja caer una piola con un peso o plomo que forma una perpendicular con la horizontal.
Las caídas del techo de una casa están construidas a diferentes ángulos de la horizontal. Si un carpintero deja caer una piola con un plomo desde el vértice del techo a su base, ¿qué ángulo debe formar la piola con la base del techo?
Techo
Base
Para grabar La altura en un triángulo es una recta que contiene uno de sus vértices y que es perpendicular al lado opuesto o extensión de este.
C
En un triángulo se pueden dibujar tres alturas, las que se intersectan en un punto llamado ortocentro.
H
No siempre el ortocentro está en el interior del triángulo.
B Ortocentro
A
Ejercita
1. Representa con un dibujo. Luego, responde.
Ayuda Recuerda que en la página 156 aprendiste a construir rectas perpendiculares.
a. Un triángulo rectángulo y todas sus alturas. ¿En qué lugar está ubicado el ortocentro? Descríbelo. Respuesta:
b. Un triángulo obtusángulo y todas sus alturas. ¿En qué lugar está ubicado el ortocentro? Descríbelo. Respuesta:
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6
AC IF FH
2. Analiza la información entregada y completa. AM MP d. El triángulo ABC es rectángulo en C. Si a. En el triángulo ABD se ha trazado la altura AC . ¿Cuál es el doble de la medida DC es altura, ¿cuál es la medida de q? de x siIFel ángulo BAD mide 80°? JF D
x
FH C AM
JH A FB
MP
AC
DC
DE
JF
25°
JH
A
C
40°
q AC D
B
.
AC
n F
DE H
IF
FH
MP DCB MP DC JF DC.
La medida de q es:
JFde JH e. El triángulo FAJ es isósceles base JF y se han trazado las alturas JH y FB desde JH los vértices J y F, respectivamente. FB AC ¿Cuál FB es el triple de la medida de a? AC DE AC DE J DE B AC a AC IF
IF b. El triángulo EGI es equilátero y IF es una de sus alturas. Si FH es altura FHdel triángulo FGI, ¿cuál esAM el valor de la AM mitad de la medida n? MP MP DC DC I JF JF E JH JH FB FB AC
AC
IF
FH AM FH AM MP AM
FB AC El dobleDE de la medida de x es: AC
AC IF
IF
FH
AC
FH
AM 50°
DE
AM
MP
MP H DC
DC
AC
F
G AC IF La mitad de la medida de n es: IF FH
.
A
JF
JF JH El triple de la medida de a es: JH FB
.
FB c. FH En el AM triángulo QAM isósceles de base f. En el rectángulo ABCD AC se ha trazado la diagonal AC y la altura DE del triángulo AM , MP es altura. ¿Cuál es el 25% de la ACD. ¿Cuál medida de y? DE es la medida de x? MP DC DC JF M JF JH JH FB FB
D
70°
y
AC
E
AC DE DE
C
x
A
B
La medida de x es:
.
35° P
Q
El 25% de la medida de y es:
A .
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Transversales de gravedad de un triángulo Se cuenta con una placa de forma triangular construida con un material homogéneo. ¿Existe un punto en la placa que permita suspenderla sin que oscile y permanezca en equilibrio?
Las transversales de gravedad de un triángulo son rectas que pasan por un vértice del triángulo y llegan al punto medio del lado opuesto. Estas rectas se unen en un punto al interior del triángulo. Al suspender la placa, por el punto de intersección de sus transversales de gravedad, esta permanecerá en equilibrio. A
c
b
c
Punto de equilibrio B
b
a a
C
Para grabar En un triángulo, una transversal de gravedad es una recta que pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto a dicho vértice. Las transversales de gravedad de un triángulo son tres y se intersectan en un punto llamado baricentro o centro de gravedad.
¿Qué significa la palabra homogéneo?
C E G A
F
D
B Baricentro
Ejercita
1. Analiza y luego dibuja las transversales de gravedad del triángulo que se muestra a continuación. Para ello, utiliza compás y regla. Para encontrar el punto medio de un segmento debes marcar primero con el compás arcos de circunferencia con centros en los extremos del segmento y radio constante mayor que la mitad de este. Luego, utilizando la regla, debes unir los puntos de intersección de los arcos, con lo que determinarás el punto medio del segmento.
A
C
A B
Punto medio del B segmento.
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Triángulos y teorema de Pitágoras
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2. Resuelve los siguientes problemas. a. Se tiene un triángulo equilátero con sus tres transversales de gravedad. ¿Cómo son las tres transversales de gravedad en relación con sus longitudes?
6
C
A
B
b. Se tiene un triángulo con sus tres transversales de gravedad. Mide los segmentos que componen cada transversal y compara sus medidas. Respecto de una transversal, ¿cuál es la relación de las medidas entre el segmento definido por el vértice y el baricentro, y el definido por el baricentro y el punto medio del lado del triángulo opuesto a este vértice?
C
B
A
c. En el triángulo PTR se traza la transversal de gravedad desde T hasta el punto medio, denominado Q, del lado PR. Si TQ = PQ = QR y la medida del ángulo TPQ es 40°, ¿cuál es la medida del ángulo PTR? P
T
R
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EVALUACIÓNINTERMEDIA 1 Analiza cada situación. Luego, escribe el nombre del triángulo correspondiente en cada caso. a. Tiene sus tres lados de igual medida. b. Tiene un ángulo interior obtuso y dos lados de igual medida. c. Tiene todos sus lados de distinta medida y un ángulo interior recto. d. La medida de uno de sus ángulos exteriores es 130° y la de uno de sus ángulos interiores es igual a 40°.
2 Interpreta la información entregada. Luego, responde. a. ¿Cuál es la medida del ángulo interior que no es adyacente a la base de un triángulo isósceles que tiene un ángulo basal con medida 40°?
Clasificación de triángulos y bisectrices.
b. ¿Cuál es la medida de los ángulos exteriores de un triángulo equilátero?
c. ¿Cuáles son las medidas de cada uno de los ángulos interiores de un triángulo isósceles si uno de sus ángulos exteriores mide 30°?
3 Analiza cada situación. Luego, responde. a. En el rectángulo ABCD se ha trazado la bisectriz del ángulo DAB y también la bisectriz del ángulo AEC. ¿Cuál es la medida de q? D
E
b. En la figura, A, B y C son colineales, y BE es bisectriz del ángulo DBA. ¿Cuál es la suma de las medidas de x e y? D x
C E
q A
F q=
194
B
y
110° B
C
30° A x+y=
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6 4 Reconoce, utilizando regla y compás, qué rectas componen cada figura. Luego, escribe sus nombres. A
C
C
A Alturas y transversales de gravedad.
B B
EB
5 Calcula los valores pedidos en cada caso. a. En la figura, A, E y D son colineales, y EB es altura del triángulo ACE. ¿Cuál es la medida AD de x? BE A
BF 70°
B
BD
E
EB
AD
c. AD y BE son alturas del triángulo ABC. Si las medidas BE BF de los ángulos ACB y CAB son 70° y 80°, respectivamente, ¿cuál es la medida del BF BDAFB? ángulo BD C D
D
x
E A
F
27° EB
C EB
x=
m (AFB) =
AD
BEal igual b. En la figura, E, D y B son colineales, que A, B y C; además, AD = DB y BF es altura del triángulo ABD. ¿Cuál es la medida BD del ángulo FBC? E
B
AD BE
d. En el triángulo ABD se han BF trazado las alturas desde los vértices B y D. Si BD es bisectriz del ángulo CDA, ¿cuál es la medida del ángulo ABE? C
D
100° D
75°
F
A
B
B m (FBC) =
E
C
A m (ABE) = Matemática 7
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Simetrales o mediatrices de un triángulo Un albañil construye un muro que divide la superficie de un terreno en dos partes iguales.
Si un muro se construye en forma perpendicular al suelo y además divide en dos partes un terreno, entonces, la línea que representa al muro es perpendicular a la línea que representa al suelo y está en el punto medio del segmento correspondiente al frente del terreno. Se pueden hacer los siguientes bosquejos para esta situación: Terreno Muro Muro Mirado desde arriba.
Mirado desde el frente.
Para grabar Simetral o mediatriz de un triángulo es una recta que intersecta a un lado del triángulo en su punto medio, formando un ángulo recto. Las simetrales en un triángulo son tres y se intersectan en un punto llamado circuncentro, que corresponde al centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. No siempre el circuncentro está en el interior del triángulo.
Q D P E
Circuncentro
C F
R Donde PD = DQ; QE = ER; RF = FP.
Ejercita
1. Analiza la información. Luego, dibuja la circunferencia circunscrita al triángulo del recuadro. Para dibujar la simetral de un segmento, primero puedes marcar con el compás arcos de circunferencia con centros en los extremos del segmento y radio constante mayor que la mitad de este. Luego, si utilizas la regla, puedes dibujar la recta que contiene los puntos de intersección entre los arcos. Esta recta es la simetral del segmento. A
A
B C
B
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2. Resuelve los siguientes problemas. a. Se tiene un triángulo equilátero con sus tres simetrales. ¿Cómo son las simetrales en relación con sus longitudes? Para ello, dibújalas.
6
C
A
B
b. Se tiene un triángulo rectángulo. ¿Dónde está el circuncentro? Dibújalo. A
C
B
3. Analiza cada situación. Luego, responde. a. En el triángulo ACE rectángulo en EDB se ha trazado la simetral DB del lado AC . ¿Cuál es la medida delAC ángulo EDA? BD D E BD 30° C EB EB 60°
DB AC ACE se ha trazado la c. En el triángulo simetral BD. Además, ED = FD. ¿Cuál es la medidaEBdel ángulo m? E D
B
F 75°
A
A
m(EDA) = DB
DB m =AC
AC ACE se ha trazado la b. En el triángulo simetral BD. ¿Cuál es la medida del ángulo x?EB E x D
x=
70°
B
B
50°
H
C
BD ACD se ha trazado la d. En el triángulo simetral EB. Además AB = BD = BC, ¿Cuál es la medida del ángulo EBD? D E
140° A
A
m
30°
B
C
C m (EBD) = Matemática 7
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Medianas de un triángulo Los incas practicaban la agricultura en las laderas de los cerros por medio de terrazas que posibilitaban sembrar la tierra. Estas terrazas eran paralelas a la base del cerro.
Si un cerro se modela como un triángulo y las terrazas como segmentos, es posible visualizar la siguiente imagen.
Terrazas
Base del cerro
Si uno de los segmentos une los puntos medios de dos de los lados del triángulo, entonces ese segmento corresponderá a una mediana del triángulo.
Para grabar La mediana en un triángulo es un segmento que une los puntos medios de dos de sus lados.
C D
Toda mediana es paralela al lado del triángulo que no intersecta y su longitud es la mitad de la longitud de este lado.
E
B F
A • AB //ED;
BC //FE; AC //FD. 1 1 1 • ED = AB; EF = BC; FD = AC. 2 2 2
¿Qué quiere decir el título de esta página?
Ejercita
1. Describe un procedimiento que permita construir las medianas de un triángulo y aplícalo para dibujarlas en el triángulo que se presenta a continuación. Para dibujar las medianas de un triángulo puedes: C
B A
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2. Resuelve los siguientes problemas. Para ello, analízalos y representa con un dibujo si es necesario. a. Se tiene un triángulo rectángulo escaleno en el que se encuentran dibujadas las medianas correspondientes a los catetos. ¿Qué cuadrilátero se forma entre las medianas y los catetos?
Ayuda En un triángulo rectángulo los lados que entre sí forman un ángulo recto se llaman catetos.
b. Un triángulo rectángulo isósceles tiene dos medianas dibujadas correspondientes a los catetos. ¿Qué cuadrilátero se forma con las medianas y los catetos?
Cateto
Hipotenusa
Cateto
DB
3. Calcula con la información entregada.
DB FB
DB FB a. En el triángulo ACE se ha trazado la c. El triángulo ACE equilátero tieneBD como mediana DB. Si el ángulo EAC mide 65° perímetro (P) 12 cm. Si FB, BD y DF son y el ángulo ECA mide 40°, ¿cuál es la medianas, ¿cuál es el perímetro del BD DF FD FB medida del ángulo EDB? triángulo BDF? DF FD BD E E FD DF D D C FD F A
B
DB
C
B A
FB m(EDB) =
P=
BD
DF en A se d. El triángulo ACE es isósceles de base b. En el triángulo ACE rectángulo EA = 10 cm. Si EC = 8 cm y DB es han trazado las medianas FD y DB. Si mediana del triángulo ACE, FB ¿cuál es el los catetos miden 6 cm y 8 cm,FB ¿cuál es perímetro (P) del trapecio EABD? el área (A) y cuál el perímetro (P) del BD BD cuadrilátero ABDF? DFC DF E E D FD
FD F
D B
A
B
C A
A=
P=
P= Matemática 7
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Teorema de Pitágoras Pitágoras fue un filósofo y matemático griego que vivió aproximadamente entre los años 582 a 507 a. C. Se le atribuye la frase “todo es número”, ya que creía que el Universo estaba hecho a base de números.
A Pitágoras se le atribuye también el famoso teorema que lleva su nombre. Sin embargo, este ya se usaba en culturas como la babilónica y la india. Pero fue en su escuela, la pitagórica, en donde se demostró. Este teorema se enuncia a partir de un triángulo rectángulo. B c
a
b
C CA
CA
A
Recuerda que en él los lados de BC menor longitud, CA y BC en este caso, se denominan hipotenusa. catetos; y el de mayor longitud, AB, se denominaBC AB AB
Para grabar El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.
Ejemplo:
5 cm
B c
a
4 cm b
C
A
a2 + b2 = c2
Para saber más En Nicaragua circula un sello postal en el que se hace referencia al teorema de Pitágoras.
42 cm2 + 32 cm2 = 52 cm2 16 cm2 + 9 cm2 = 25 cm2 25 cm2 = 25 cm2
Ejercita
1. Calcula la longitud del lado que falta en cada triángulo. a. Con PQ = 9 cm y RP = 12 cm.
P QR =
b. Con AB = 25 cm y CA = 15 cm. C
R
200
3 cm
Q
B
A BC =
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2. Analiza las siguientes tablas. Luego, responde. Tabla 1
Tabla 2
Cateto 1
Cateto 2
Hipotenusa
Cateto 1
Cateto 2
Hipotenusa
3
4
5
5
12
13
6
8
10
10
24
26
21
28
35
50
120
130
a. Comprueba si los tríos de números considerados para las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo son tríos pitagóricos.
Ayuda b. ¿Cuál es el número que al multiplicarlo por los valores de la primera fila de la tabla 1 resultan los números de la segunda fila? ¿Y cuál para la tercera fila? Responde estas preguntas para la tabla 2. Luego, genera 4 tríos pitagóricos más.
Existen tríos de números naturales que cumplen el teorema de Pitágoras; estos reciben el nombre de tríos pitagóricos.
3. Analiza la afi rmación y luego, sin utilizar el teorema de Pitágoras, determina si los tríos de números pueden ser las medidas de un triángulo rectángulo. Marca según corresponda. a. El trío 15, 20 y 25.
Sí
No
c. El trío 9, 12 y 16.
Sí
No
b. El trío 15, 36 y 39.
Sí
No
d. El trío 75, 180 y 195.
Sí
No
4. Calcula el área (A) y el perímetro (P) de cada triángulo. Puedes utilizar una calculadora. a.
b. H
A 26 cm 10 cm B
270 mm
C
I
A=
A=
P=
P=
360 mm
J
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Aplicaciones del teorema de Pitágoras La pantalla de un televisor mide 13,6 pulgadas de ancho por 10,2 pulgadas de alto. ¿Cuánto mide la diagonal de la pantalla del televisor?
El tamaño de una pantalla de televisión o de un computador se mide en pulgadas. Así, un televisor de 14 pulgadas significa que la línea diagonal de la pantalla mide esta longitud (14’’). Utilizando el teorema de Pitágoras es posible calcular la longitud de la línea diagonal del televisor antes presentado. 13,62 + 10,22 = d2 184,96 + 104,04 = d2 289 = d2 El número natural que multiplicado por sí mismo resulta 289 es 17. Por lo tanto, la pantalla del televisor presentado es de 17 pulgadas (17”).
Para grabar Al utilizar el teorema de Pitágoras se debe tener la certeza de que el triángulo sobre el cual se aplicará sea rectángulo. Además, se deben identificar correctamente su hipotenusa y sus catetos.
Ejercita
1. Detecta el error en cada caso. Luego, corrígelo. a.
b.
h
Para saber más El recíproco del teorema de Pitágoras postula que: al considerar tres segmentos a, b y c que cumplan con: a2 + b2 = c2, entonces, el triángulo formado a partir de esos segmentos es un triángulo rectángulo.
4 cm
5 cm h2 = (4 + 5)2 h2 = 92 h=9 Corrección
h
5 cm
12 cm h2 = 122 cm2 + 52 cm2 h2 = 169 cm2 h = 13 cm Corrección
2. Resuelve el siguiente problema. En un rombo, las diagonales se dimidian perpendicularmente, es decir, el punto de intersección divide a cada diagonal en dos segmentos congruentes y forman cuatro ángulos rectos. Si las diagonales de un rombo miden 6 cm y 8 cm respectivamente, ¿cuál es el perímetro y cuál es el área de este paralelogramo?
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3. Calcula lo pedido en cada caso según la información entregada. Utiliza tu calculadora si es necesario. a. En el rectángulo ABCDDB se ha dibujado la d. En la figura se ha dibujado el cuadrado diagonal DB. Si el lado BC mide 5 cm y el PQAB de área 64 cm2. Si PR = 14 cm, ¿cuál es el perímetro (P) y cuál es el perímetroBC (P) del rectángulo CD es 34 cm, área (A) del trapecio PRAB? ¿cuál es la medida de la diagonal (d)? AE CD B A D C BD AE BD DF
d DF AE
AE
A
6
B P
d=
Q
R
A= P=
DB
BC e. Si en el romboide FKLM, KL = 15 cm, b. En el triángulo ABC se ha trazado la LM = 20 cm y JK = 8 cm, ¿cuál es el altura CD. Si DB = 15 cm; CD = 8 cm y perímetro (P) y cuál es el área (A) del AC = 10 cm, ¿cuál es el perímetro (P) y AE paralelogramo? cuál es el área (A) del triángulo ABC? BD C DF L M AE
A
B
D
F DB
DB A= DB BC P =BC CD
BC CD
K
B
C
DB BC CD
A=
AE
AE P =
CD AE c. En el trapecio ABCF se han trazado las alturas AE y BD . SI ED = 10 cm, EF = 5 cm, BD FCDF= 24 cm y FA = 13 cm, ¿cuál es el perímetro (P) y cuál es el AE área (A)DFdel trapecio ABCF? AE F E D
A
J
BD
BDel triángulo isósceles DFA DF de base f. En DF se ha trazado la altura AE. Si AEAD = 25 cm y EF = 15 cm, ¿cuál es el perímetro (P) y cuál es el área (A) del triángulo DFA? A
D
E
A=
A=
P=
P=
F
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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. Analiza la resolución del siguiente problema. En un rectángulo de lados 12 cm y 16 cm se traza una de sus diagonales y tomándola como base se construye un triángulo isósceles con una altura de 24 cm. ¿Cuál es el perímetro y cuál es el área del triángulo isósceles construido?
Paso
Comprende el enunciado
¿Qué se quiere conocer una vez resuelto el problema? El área y el perímetro de un triángulo isósceles. ¿Qué información entrega el enunciado del problema? Las medidas de los lados de un rectángulo y la altura de un triángulo isósceles con respecto a la base.
Paso
Planifica lo que vas a realizar
Para resolver el problema debes analizar sus componentes, relacionarlos y diferenciarlos. Para esto, debes:
• Organizar la información. Primero, puedes representar con un dibujo la situación descrita en el enunciado del problema. • Identificar las partes que la componen. La medida de la diagonal del rectángulo se puede determinar usando el teorema de Pitágoras y para construir el triángulo isósceles, la altura debe pasar por el punto medio de la diagonal descrita.
24 cm
• Determinar de qué manera se diferencian las partes. El perímetro del triángulo isósceles se calcula sumando las medidas de sus lados. El área del triángulo isósceles formado se puede calcular dividiendo por 2 el producto entre la medida de la altura y la medida de la base del triángulo.
Paso
12 cm
16 cm
Resuelve el problema
Por trío pitagórico (3; 4; 5), la diagonal d mide 20 cm. Luego, la mitad de la base del triángulo mide 10 cm. Usando otro trío pitagórico (5; 12; 13), la medida del lado del triángulo es 26 cm. 20 • 24 Entonces, el perímetro del triángulo es P = 26 + 26 + 20 = 72 cm y el área es A = = 240 cm2. 2
Paso
Revisa la solución
Con una calculadora y planteando el teorema de Pitágoras comprueban los cálculos que realizaste. Además, confirma que las medidas cumplan con las condiciones de existencia de triángulos.
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AD CE 2. Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente. AD
AD
Resolución de problemas
6
CEA se ha trazado la transversal de gravedad AD, DB donde D pertenece al lado CE . Luego, En el triángulo ACE rectángulo en desde D se ha trazado la altura DB del triángulo ACD con B perteneciente al lado DB es CE AC, y además, el segmentoDB transversal de gravedad del triángulo ACD. Si AD = 5 cm, EA = 6 cm y EC = 10 cm, ¿cuál es el perímetro (P) y cuál es el AC DB AC AC área (A) del triángulo DBC? AC AC DA AC DA AC DA Paso
Comprende el enunciado
Paso
Paso
Paso
DA
Planifica lo que vas a realizar
Resuelve el problema
Revisa la solución
3. Resuelve el siguiente problema en tu cuaderno.
AD
AD
CE
CE
DB
DB
AC
AC
AC a la hipotenusa En el triángulo ABD rectángulo en A se ha trazado laAD bisectriz AC del ángulo en A con C perteneciente del triángulo rectángulo. Luego, se traza la bisectriz CE del ángulo DA DCA con E perteneciente al lado DA. Si el ángulo ABD mide el doble del ángulo BDA, ¿cuál es la medida DB del ángulo DEC? AC AC
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HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS
Geogebra Geogebra es un programa que da la posibilidad de construir figuras geométricas, experimentar, analizar, comprobar resultados, etc. Una de las características más importantes es que permite la interactividad, ya que luego de construir una figura es posible mover cualquiera de los objetos que la conforman y automáticamente se modifican los elementos que dependen de él. Para construir las simetrales de un triángulo y la circunferencia circunscrita a él se deben seguir los siguientes pasos:
Paso Al abrir el programa se desplegará la siguiente pantalla. Observa que puedes cerrar la sección que aparece a tu izquierda presionando x. Y puedes eliminar los ejes cartesianos seleccionando la opción Ejes que aparece al presionar la opción Vista o Visualiza de la barra de herramientas.
Paso Para dibujar la simetral respecto de uno de los lados debes seleccionar la opción Mediatriz que aparece en el menú que aparece en el menú que se despliega al presionar el botón de la barra de herramientas. Dibuja las simetrales de los tres lados del triángulo. Marca el punto de intersección entre las simetrales utilizando la opción Nuevo simetrales utilizando la opción punto que aparece al A seleccionar el botón de la barra de herramientas.
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Paso Dibuja un triángulo. Para ello, debes seleccionar la opción que aparece en el menú que se despliega al Polígono que aparece en el menú que se despliega al presionar el botón de la barra de herramientas.
Paso Por último, dibuja una circunferencia con centro en el circuncentro y que contenga uno de los vértices del triángulo. Para ello, selecciona el botón que trae predeterminada la opción Circunferencia dado su centro y punto que cruza.
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6 Herramientas tecnológicas
1. Utiliza Geogebra para realizar las siguientes construcciones.
a. Dibuja un triángulo y sus respectivas alturas. Para ello, utiliza la opción Recta perpendicular que viene predeterminada al presionar el botón . Mueve cualquiera de los vértices del triángulo seleccionando primero el botón que viene predeterminado con la opción Desplaza. Observa como los demás elementos se mueven en conjunto sobre uno de los vértices del triángulo.
b. Construye un triángulo y sobre este dibuja sus medianas. Para ello, utiliza la opción Punto medio o Centro que aparece en el menú que se despliega al presionar el botón A de la barra de herramientas. c. Utilizando la opción Distancia o longitud que aparece en el menú que se despliega al presionar el botón barra de herramientas, mide las medianas y los lados del triángulo.
de la
d. Respecto de los resultados que obtuviste anteriormente, ¿qué pudiste verificar?
2. Utiliza Geogebra para comprobar si las siguientes afi rmaciones son verdaderas o falsas. Para ello, marca V o F según corresponda. a. Las simetrales de un triángulo obtusángulo se intersectan en un punto del plano que está en el exterior del triángulo.
V
F
b. Las alturas en un triángulo rectángulo se intersectan en el lado de mayor longitud (hipotenusa).
V
F
c. Las bisectrices de cualquier triángulo se intersectan en la región interior de este.
V
F
d. Las transversales de gravedad de cualquier triángulo se intersectan en uno de sus lados.
V
F
e. Las simetrales de un triángulo rectángulo se intersectan en el punto medio de la hipotenusa.
V
F
f. Las alturas de un triángulo acutángulo se intersectan en la región interior de este.
V
F
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PARA NO EQUIVOCARSE 1.
Analiza cada una de las siguientes afi rmaciones. Luego, responde. a. Conocidas las medidas de dos lados de un triángulo, 3 cm y 4 cm, entonces el tercero mide 5 cm. • El error cometido en la afirmación anterior es:
• ¿Qué se puede hacer para no volver a cometer este error?
b. Se comenta que en un triángulo obtusángulo solo se puede trazar una de sus alturas. • El error cometido en el comentario anterior es:
• ¿Qué se puede hacer para no volver a cometer este error?
c. Se afirma que las bisectrices dividen al lado que interceptan en dos segmentos de igual medida. • El error cometido en la afirmación anterior es:
• ¿Qué se puede hacer para no volver a cometer este error?
d. Se concluye que las bisectrices de un triángulo se intersectan en un punto que es el centro de la circunferencia circunscrita. • El error cometido en la conclusión anterior es:
• ¿Qué se puede hacer para no volver a cometer este error?
e. El centro de la circunferencia inscrita en un triángulo es el punto de intersección entre las transversales de gravedad. • El error cometido en la afirmación anterior es:
• ¿Qué se puede hacer para no volver a cometer este error?
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2. Analiza cada resolución. Luego, responde. E
a. En el triángulo ACE de la figura, EB es bisectriz del ángulo CEA. ¿Cuál es la medida de x? BC A. 20° B. 40° C. 50° D. 80°
CD A
x
60° B
100° C
D
Una persona lo resolvió de la siguiente manera: m (ECB) = 80°, entonces, m (BEC) = 40°. Como EB es bisectriz, m (AEB) = 40° y, por otro lado, m (EBA) = 60°, entonces, la medida de x es 80°. BC Por lo tanto, la respuesta correcta es la alternativa D. CD • ¿Cuál es la respuesta correcta? Justifica:
• El error que se ha cometido es:
Para no equivocarse
6
• Este error se cometió porque: EB EB
BC
b. En el triángulo isóceles ABC de base BC se ha trazado la bisectriz CD. Entonces, ¿cuál es la medida del ángulo CD CDB?
C
Se plantea la siguiente solución: Como el triángulo es isósceles, m (CAB) = 50° y entonces, m (ACB) = 80°. Luego, m (BCD) = m (ACD) = 40°; por lo tanto, m (CDB) = 90°. Sin embargo, la respuesta es errónea. • ¿Cuál es la respuesta correcta? A D
50°
B
• El error cometido en la resolucion anterior es:
• Este error se cometió porque:
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AMPLIANDO MIS CONOCIMIENTOS 1. Analiza las siguientes situaciones para obtener importantes conclusiones.
CB
a. Si se tienen dos rectas paralelas “cortadas” por una secante y luego se trazan las bisectrices CB y AB como se muestra en la figura, ¿cuál es la medida del ángulo CBA? AB En la figura, las rectas L1 y L2 son paralelas intersectadas por la recta secante L3 que contiene a los puntos C y A. Como los ángulos internos dibujados al mismo lado de las paralelas son suplementarios, es decir, la suma de sus medidas corresponde a 180°, se puede afirmar que:
B
2 + 2 = 180° + = 90° Por otro lado, en el triángulo ABC se cumple que:
L1
C
L2
A L3
+ + m (ABC) = 180° Ya que + = 90°, luego: 90° + m (ABC) = 180° m (ABC) = 90° Escribe una conclusión:
b. Si se tienen dos ángulos (CBD y DBA) adyacentes suplementarios como en la figura, ¿cuál es la medida del ángulo EBF formado por las bisectrices de ambos ángulos? Para encontrar la medida del ángulo que se está pidiendo se debe determinar la medida de + . D
Como DBA y CBD son adyacentes suplementarios, la suma de sus medidas es 180°. Entonces: 2 + 2 = 180°
F
+ = 90° De acuerdo a lo anterior, escribe una conclusión.
210
E
A
B
C
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c. En un triángulo ACD se traza, desde uno de sus vértices, una transversal de gravedad, la que determina, en el lado opuesto al vértice desde donde se traza, dos segmentos de igual medida que la transversal. ¿Qué tipo de triángulo cumple con estas características?
Ampliando mis conocimientos
6 AD Para responder observa que el triángulo ABD es isósceles de base AD. Análogamente, el triángulo CDB es isósceles de base CD . Entonces, se cumple que: CD D a a m (DAB) = m (BDA) = y m (ABD) = 180° – 2. 2 2 b Por otro lado, en el triángulo CBD: b 90°– 2 2 m (CBD) (por ser ángulo exterior) y aAD=b 2a+b a b a+b + = + = 2 2CD2 2 2 2 m (BDC) = m (BCD) = 90° – . AD AD AD a 180°– 2 2 90°– CD De esta manera: FG FG 2 A B C a GC b GC m (ADC) = + 90° – = 90° 2 2 FC FC b Escribe una b a+b a conclusión: + = 2 2 2 2 a b a+b + = AD 2 2 2 FG AD GC d. Si en el trapecio de laAD figura se conocen FG las medidas de sus lados paralelos, ¿cómo determinar la longitud de la AD mediana FC? CD GC CD a En la figura se ha trazado la mediana aFC, cuya longitud se E a D 2 vez conocidas las longitudes de sus desea determinar una 2 lados paralelos ED = ba y AB = b. b 2 AD 2 del trapecio; Para esto, se traza una de las diagonales en este F C a b a+b = se forman + notar, G AD a+b a b algunos triángulos, caso, AD. Como puedes CD + = 2 2 2 en particular los triángulos ADE y ABD. AD 2a CD 2 2 CD AD AD CD 2 a a En el triángulo ADE, FG es mediana, luego mide . A B b FG b 2 a2 GC 2 b luego 2 b Análogamente, en el triángulo ABD, GC es mediana, FC b FC FC = a +2b = a+b . mide 2 . Como FC = FG + GC, entonces 2 a2 b 2 a+b 2a b a+b + = + = a+b a2 ab2modo 2 de la mediana de un trapecio si se conocen las medidas AD2la 2medida Escribe, 2 de conclusión, cómo determinar + = de susAD 2 2 paralelos. 2lados FG AD AD FG GCFG FG GC GC FC
FC GC FC
FC
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EVALUACIÓNFINAL I. Lee atentamente y marca la alternativa correcta.
1 ¿Cuáles características NO permiten construir un
6 ¿A cuál de los siguientes elementos del triángulo
triángulo? A. B. C. D.
corresponde una recta que divide a un ángulo en dos ángulos de igual medida?
Rectángulo - escaleno Rectángulo - equilátero Acutángulo - isósceles Obtusángulo - isósceles
A. B. C. D.
2 La descripción “triángulo que tiene solo dos lados de igual medida”, ¿a qué tipo de triángulo corresponde? A. B. C. D.
A. B. C. D.
igual medida? Escaleno. Isósceles. Equilátero. Rectángulo.
30°
D
C
8 ¿A cuál de los siguientes elementos del triángulo
y la base mide 10 cm, ¿cuál es la medida de uno de los otros dos lados del triángulo? 6 cm 12 cm 18 cm 24 cm
BC
Altura. Simetral. Mediana. Transversal de gravedad.
9 ¿En cuál de los siguientes tipos de triángulos dos
equiláteros. Si D es punto medio del lado EB, ¿cuál es la medida del ángulo DEC? E
15° 30° 45° 60°
corresponde el segmento que une un vértice con su lado opuesto o extensión de este en forma perpendicular? A. B. C. D.
5 En la figura, los triángulos ABE y BCD sonBD
A. B. C. D.
100° 120° 140° 150° A
4 Si el perímetro de un triángulo isósceles es de 34 cm
A. B. C. D.
7 En la figura, los puntos A, C y D son colineales y en el triángulo ADB, el segmento BC es bisectriz. ¿Cuál es la medida del ángulo DCB? BD B EB
Escaleno. Isósceles. Equilátero. No es posible clasificarlo.
3 ¿Cuál es el triángulo que tiene sus tres ángulos de A. B. C. D.
Simetral. Mediana. Bisectriz. Transversal de gravedad.
C
D
alturas siempre se intersectan en el exterior del triángulo? A. B. C. D.
Equiláteros. Acutángulos. Rectángulos. Obtusángulos.
BC
10 En el triángulo ABC, el segmento BD es altura. Si el ángulo BCA mide 80° y el ángulo EB ABC mide el triple del ángulo CAB, ¿cuál es la medida del ángulo DBA?
A
B
A. B. C. D.
D C
25° 60° 65° 75° A
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B
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11 ¿A cuál de los siguientes elementos del triángulo corresponde el segmento que une un vértice con el punto medio de su lado opuesto? A. B. C. D.
Altura. Simetral. Mediana. Transversal de gravedad.
12 En un triángulo rectángulo no isósceles se dibuja la transversal de gravedad respecto de la hipotenusa dividiendo al triángulo rectángulo en dos triángulos. ¿Qué tipo de triángulos son estos respecto de las medidas de sus ángulos interiores? A. B. C. D.
Dos rectángulos. Dos acutángulos. Dos obtusángulos. Un acutángulo y otro obtusángulo.
13 En el triángulo ABD el segmento AC es transversal de gravedad. Si DB = 16 cm y AB = BE20 cm, ¿cuál NO puede ser una medida para la transversal de EC gravedad? D A. B. C. D.
10 cm 13 cm 16 cm 19 cm
C
de sus lados? A. B. C. D.
Los triángulos equiláteros. Los triángulos acutángulos. Los triángulos rectángulos. Los triángulos obtusángulos.
17 El triángulo ADF es rectángulo en A y la recta BE es simetral. Si el ángulo BCD mide 140°, ¿cuál es la medida del ángulo AFD? F A. B. C. D.
40° 50° 140° 150°
E
A
C
D
B
18 ¿A cuál de los siguientes elementos corresponde el segmento que une los puntos medios de dos lados? A. B. C. D.
Mediana. Simetral. Bisectriz. Transversal de gravedad.
AC BE
19 En el triángulo ABD se ha trazado la mediana EC. B
14 ¿A cuál de los siguientes elementos del triángulo escaleno corresponde la recta que intersecta a uno de sus lados en su punto medio y en forma perpendicular? Altura. Simetral. Mediana. Bisectriz.
15 ¿Cuál de los siguientes elementos se intersectan siempre en el interior de un triángulo? A. B. C. D.
16 ¿Qué tipo de triángulos tienen el circuncentro en uno
Si DE = 6 cm, EC = 7 cm y CD = 5 cm, ¿cuál es el perímetro del cuadrilátero ABCE? A
A. B. C. D.
Evaluación final
6
Simetrales. Bisectrices. Transversales de gravedad. B y C son correctas.
D A. B. C. D.
22 cm 32 cm 36 cm 43 cm
E
A
C
B
20 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA? A. El baricentro es el punto de intersección de las bisectrices de un triángulo. B. El circuncentro es el punto de intersección de las transversales de gravedad de un triángulo. C. Las alturas de un triángulo se intersectan en un punto llamado ortocentro. D. En un triángulo, las medianas son perpendiculares a sus respectivos lados.
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EVALUACIÓNFINAL 21 Respecto de las medianas, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A. Son paralelas al lado del triángulo que no intersectan. B. Miden la mitad del lado del triángulo que no intersectan. C. Las tres medianas de un triángulo se intersectan en un punto. D. En un triángulo rectángulo, solo una de ellas NO es perpendicular a uno de sus catetos.
25 En la figura, BCDE es un rectángulo de área 30 cm2. Si A, B y C son colineales, BC = 6 cm y AB mide el doble de BC, ¿cuál es el perímetro del polígono ACDE? A A. B. C. D.
36 cm 42 cm 47 cm 60 cm
B
E
C
D
22 En el triángulo rectángulo de la figura, ¿cuál es la medida de la hipotenusa?
26 En la figura, ABCE es un rectángulo con A. B. C. D.
6 cm 21 cm 30 cm 42 cm
18 cm
AB = 13 cm y DB = 12 cm. Si DB = 3 • ED, ¿cuál es el área del rectángulo?
E
D
C
24 cm
23 En el triángulo rectángulo de la figura, ¿cuál es la medida del otro cateto? B
A A. B. C. D.
50 cm 100 cm 150 cm 200 cm
260 cm
240 cm
A. B. C. D.
39 cm2 78 cm2 156 cm2 La figura no tiene las medidas adecuadas.
27 La siguiente imagen representa las caídas de agua 24 ¿Cuál es el perímetro del rectángulo de la figura? A. B. C. D.
75 cm 102 cm 138 cm 150 cm
del techo de una casa. Un carpintero utiliza un plomo para medir la altura del vértice del techo respecto de su base. ¿Cuánto mide esta altura?
36 cm 39 cm
A. B. C. D.
3,6 m 4,8 m 6,4 m 10 m
6m
8m
3,6 m Mi desempeño Buenas Malas Omitidas
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Evaluación final
6 II. Resuelve los siguientes problemas.
1 Dibuja todas las alturas del siguiente triángulo.
A C B
2 Sobre cada uno de los lados de un triángulo equilátero de perímetro 12 cm se dibujan triángulos rectángulos de hipotenusa 5 cm y uno de los catetos corresponde a uno de los lados del triángulo equilátero. Construye la figura utilizando regla y compás. ¿Cuál es el perímetro de la figura resultante?
3 El punto A dibujado en la cuadrícula es desplazado verticalmente hacia arriba () 35 km hasta llegar a B, luego desde este punto se avanza horizontalmente hacia la derecha () 24 km para llegar a C y desde C, el punto es movido 25 km verticalmente hacia abajo () para llegar al punto D. Si se unen los puntos A, B, C y D por segmentos de recta, representa el polígono ABCD. Calcula su perímetro y su área. km 40 35 30 25 20 15 10 5
A 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 km
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RESUMEN Una técnica que nos facilita la retención de lo estudiado para después realizar un repaso eficiente son los cuadros sinópticos, resumen esquematizado cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de manera estructurada y organizada. Completa la tabla que muestra algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad. Concepto
Definición
Ejemplo
Clasificación de triángulos.
Bisectriz.
C
A
Altura.
La altura en un triángulo es una recta que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto o extensión de este.
D B
Transversal de gravedad.
Simetral.
Mediana.
Teorema de Pitágoras.
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Triángulos y teorema de Pitágoras
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Número de pregunta
Contenido
Habilidad
1
Clasificación de triángulos
Analizar
2
Clasificación de triángulos
Recordar
3
Clasificación de triángulos
Recordar
4
Clasificación de triángulos
Aplicar
5
Clasificación de triángulos
Aplicar
6
Elementos secundarios del triángulo
Recordar
7
Elementos secundarios del triángulo
Aplicar
8
Elementos secundarios del triángulo
Recordar
9
Elementos secundarios del triángulo
Analizar
10
Elementos secundarios del triángulo
Aplicar
11
Elementos secundarios del triángulo
Recordar
12
Elementos secundarios del triángulo
Analizar
13
Elementos secundarios del triángulo
Analizar
14
Elementos secundarios del triángulo
Recordar
15
Elementos secundarios del triángulo
Analizar
16
Elementos secundarios del triángulo
Analizar
17
Elementos secundarios del triángulo
Aplicar
18
Elementos secundarios del triángulo
Recordar
19
Elementos secundarios del triángulo
Aplicar
20
Elementos secundarios del triángulo
Evaluar
21
Elementos secundarios del triángulo
Evaluar
22
Aplicación del teorema de Pitágoras
Aplicar
23
Aplicación del teorema de Pitágoras
Aplicar
24
Aplicación del teorema de Pitágoras
Aplicar
25
Aplicación del teorema de Pitágoras
Aplicar
26
Aplicación del teorema de Pitágoras
Analizar
27
Aplicación del teorema de Pitágoras
Aplicar
Clave
Mi revisión
Nivel de logro
5 Clasificación de triángulos
16 Elementos secundarios del triángulo
Solucionario de evaluación final
6
SOLUCIONARIO DE EVALUACIÓN FINAL
6 Aplicación del teorema de Pitágoras
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7
Área y volumen
La pirámide del Louvre, toda de acero y vidrio, inaugurada oficialmente en 1989, fue construida usando las mismas proporciones de las pirámides de Keops.
El Museo del Louvre, ubicado en Francia, es uno de los más importantes del mundo. Lo visitan aproximadamente 8.000.000 de personas al año. En él se exponen alrededor de 35.000 obras, entre las que destacan la Mona Lisa de Leonardo Da Vinci y la Venus de Milo.
En esta unidad aprenderás... ¿Qué? Área de polígonos, prismas rectos y pirámides regulares con sus respectivas unidades de medida. Volúmenes de prismas y pirámides con sus respectivas unidades de medida.
218
¿Para qué?
¿Dónde?
Calcular áreas de polígonos, prismas y pirámides aplicadas a situaciones significativas.
Páginas 220 a 229.
Calcular volúmenes de prismas, pirámides y cuerpos compuestos aplicados en la resolución de problemas.
Páginas 230 a 239.
Área y volumen
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Después de leer Considerando la información de la página anterior, responde. 1) ¿De qué se trata el texto? 2) ¿Dónde está ubicado el Museo del Louvre? 3) ¿Qué cuerpo geométrico puedes reconocer en la imagen del Museo del Louvre?
Evaluación inicial Analizar es descomponer el material en sus partes integrantes y determinar cómo se relacionan unas con otras, y con una estructura o propósito general. Analiza la siguiente información y, luego, responde. La pirámide que se encuentra en el frontis del Museo del Louvre tiene una base cuadrada de lado 35 m aproximadamente y una altura de 21,6 m. ¿Cuál es el perímetro y el área de la base de esta pirámide? 1) ¿Qué datos proporciona el problema? ¿Cuáles te permitirían responder la pregunta?
2) ¿De qué forma se relacionan los datos del problema?
3) Propón una estrategia que te permita resolver el problema.
4) Aplica tu estrategia y resuelve el problema.
Matemática 7
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219
26/11/09 10:14:14
Unidades de medida de longitud El área de la superficie rectangular del piso de la habitación de Nicolás es de 60.000 cm2. Si la medida del ancho del piso es de 2 m, ¿cuál es la medida del largo expresada en metros?
Para calcular la medida del largo del piso de la habitación, puedes hacer lo siguiente: • Transforma los 2 m que mide el ancho del piso a centímetros: 2m • 100 cm =200cm 1 m • Calcula el cociente entre el área del piso de la habitación en cm2 y la medida del ancho en cm: (60.000 cm2) : (200 cm) = 300 cm Luego, puedes concluir que el largo del piso de la habitación de Nicolás es de 300 cm, que es equivalente a 3 m.
Para grabar • 10
km
• 10
hm
: 10
• 10
dam
: 10
• 10
m
: 10
• 10
• 10
dm
: 10
cm
: 10
mm
: 10
Ejercita
Ayuda
1.
Analiza el ejemplo. Luego, completa con las equivalencias pedidas en cada caso.
La unidad básica para medir longitud en el Sistema Internacional de Unidades es el metro (m). Algunas equivalencias: Kilómetro (km) = 1.000 m Hectómetro (hm) = 100 m Decámetro (dam) = 10 m Decímetro (dm) = 0,1 m Centímetro (cm) = 0,01 m Milímetro (mm) = 0,001 m
430 dm = (430 : 10 : 10 : 10) hm = 0,43 hm
a. 4 m
=
cm
f. 150.000 mm
=
dam
b. 30 dam
=
dm
g. 12,8 km
=
dm
c. 120 hm
=
m
h. 1.320.000 mm =
hm
d. 1.500 dm =
km
i. 145 dm
=
hm
e. 12.000 cm =
dam
j. 3,67 cm
=
dam
2. Resuelve el siguiente problema en tu cuaderno. Si el área de un cuadrado es 10–4 km2, ¿cuál es la medida de su lado expresado en mm?
220
Área y volumen
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26/11/09 10:14:30
Unidades de medida de superficie La unidad básica para medir la superficie es el metro cuadrado (1 m2), que se obtiene al calcular el área (A) de un cuadrado de lado un metro (1 m).
La superficie de Chile continental, antártico e insular, es de 2.006.096 km2.
7
1m
Fuente: www.gobiernodechile.cl
A = 1 m2
1m
Para grabar Para transformar de una unidad a otra, puedes multiplicar o dividir por 100 las veces que sea necesario, como se representa a continuación. • 100 • 100 • 100 • 100 • 100 • 100
km2
hm2
: 100
dam2
: 100
m2
: 100
dm2
: 100
cm2
: 100
mm2
: 100
Ejercita
1.
Analiza el ejemplo. Luego, completa con las equivalencias pedidas en cada caso.
4,06 hm2 = (4,06 • 100 • 100 • 100) dm2 = 4.060.000 dm2
a. 6 m2
=
cm2
d. 720.000 mm2 =
b. 18 dm2
=
mm2
e. 2,7 km2
=
dm2
c. 210 hm2
=
dam2
f. 7.300.000 mm2 =
hm2
dam2
2. Resuelve el siguiente problema. El área de un rectángulo es de 300 mm2. Si su largo es de 2 cm, ¿cuál es el ancho del rectángulo expresado en metros?
Matemática 7
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221
26/11/09 10:14:47
Perímetro y área de polígonos Paulina quiere sembrar un terreno rectangular que tiene las siguientes dimensiones.
50 m
El perímetro del terreno rectangular original mide (50 + 50 + 10 + 10) m = 120 m, y el del terreno que siembra finalmente es:
20 m
10 m
Si finalmente siembra un terreno que mide el doble del largo y del ancho que el original, ¿cuánto varió su perímetro?
100 m (100 + 100 + 20 + 20) m = 240 m, que corresponde al doble del perímetro del terreno original. • El área, al igual que el perímetro, ¿varía al doble del terreno original?
Para grabar Una línea poligonal es la unión de segmentos que tienen un extremo común. E C F
D
A
El perímetro (P) de un polígono es la El área (A) de un polígono es la medida suma de las longitudes de todos sus lados. de la región o superficie encerrada por un polígono. Ejemplo: El área total (AT) de un polígono se 3,2 m puede calcular sumando las áreas de los triángulos o rectángulos que lo componen. 2,5 m 2m 3 cm 4 cm
B
A1
4,7 m Los polígonos son figuras geométricas que están P = 2 m + 4,7 m + 2,5 m + 3,2 m = 12,4 m limitadas por líneas poligonales cerradas. A
6 cm
A2 A3
E
B
2 cm AT = A1 + A2 + A3
D
6•2 2 6•3 2 cm cm +(6 • 4)cm2 + 2 2 = (9 + 24 + 6) cm2
AT=
C
= 39 cm2
Ejercita
1.
Identifica en cada caso si la figura geométrica corresponde a un polígono. Para ello, marca sí o no, según corresponda. a.
Sí
No
d.
c.
b.
Sí
No
Sí
No
Sí
No
¿Cuál es el mínimo número de segmentos que pueden formar un polígono?
222
Área y volumen
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26/11/09 10:14:50
7
2. Calcula el perímetro (P) de cada polígono. a.
12 cm
b. 3,5 m
4 m
6 cm
6 cm 4,8 cm
El área de un triángulo se puede calcular multiplicando la medida de su base por la medida de su altura respectiva y luego dividiendo el resultado por 2.
3 m P =
P =
Ayuda
3 m
5 m
3. Calcula el área (A) de cada polígono. Aplica el teorema de Pitágoras si es necesario. a.
6 m
8 m
h
c. 1 cm
b
6 m
A=
3 cm 2 m 1 cm
3 cm
b•h 2
2 cm
A =
A = b.
d.
6 cm 5 cm 18 cm
5 cm
3 cm 4 cm
Ayuda
A =
A =
4. Analiza cada situación. Luego, responde. a. Si la medida del lado de un cuadrado aumenta al doble, ¿el perímetro aumenta al doble? ¿Qué ocurre con su área?
En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de su hipotenusa. Esto se conoce como teorema de Pitágoras. B c
a
b. Si calculas el perímetro de un polígono de n lados, todos de igual medida, ¿el perímetro sería igual al producto entre el número de lados y la medida de ellos? Justifi ca.
C
A
b a2 + b2 = c2
Matemática 7
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223
26/11/09 10:14:59
Área de prismas rectos ¿Cuál es el área de la caja?
15 cm
Si observas la caja, te darás cuenta que está formada por dos bases cuadradas y 4 caras laterales que corresponden a rectángulos. Además, su altura mide 15 cm. Para calcular el área de la caja puedes sumar las áreas de las superficies, por lo que el área (A) se puede calcular:
7 • 15 7•7
7 • 15
7•7
7 • 15
A= 2 • (7 cm • 7 cm) + 4 • (15 cm • 7 cm) = 2 • 49 cm2 + 4 • 105 cm2
7 • 15
= 98 cm2 + 420 cm2 = 518 cm2
7 cm
El área total de la caja es 518 cm2 y la figura que aparece a la derecha es la red que permite construirla.
7 cm
Para grabar Los prismas son cuerpos geométricos limitados por tres o más caras laterales, que son paralelogramos, y dos caras basales, que son polígonos congruentes.
Ejemplo: prisma recto de base hexagonal y su red de construcción en el plano. Cara basal
Los prismas se pueden construir a partir de dibujos en el plano, denominados redes de construcción de cuerpos geométricos.
Para saber más Los prismas rectos se diferencian de los prismas oblicuos, ya que las aristas laterales de los primeros son perpendiculares a las basales. Prisma recto
Prisma oblicuo
Para calcular el área total (AT) de un prisma recto, se calculan las áreas de los polígonos que lo delimitan y se suman.
A7
Cara lateral
A1 A2 A3 A4 A5 A6
A8
Red de construcción del prisma
Cara basal
AT = AL + AB; AL: área lateral; AB: área basal AT = (A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6) + (A7 + A8)
Ejercita
1.
Identifica en cada caso si los siguientes cuerpos geométricos son prismas. a.
b.
c.
Ángulo no recto
Sí
224
No
Sí
No
Sí
No
Área y volumen
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7
2. Calcula el área lateral (A ) y el área total (A ) de los siguientes prismas rectos. L
T
a.
b.
7,9 cm
7 cm
3 cm
6,9 cm
10 cm
c.
3 cm
14 cm
13 cm
8 cm 3 cm
AL =
AL =
AL =
AT =
AT =
AT =
3. Analiza cada red de construcción y dibuja el prisma que se construye con ella. a.
c.
b.
d.
4. Analiza la siguiente información y, luego, responde. Si en un prisma recto de base cuadrada el perímetro de la base disminuye a la mitad y su altura se mantiene constante. a. ¿Qué ocurre con su área basal? b. ¿Qué ocurre con su área lateral? c. ¿Qué ocurre con su área total? d. ¿Qué ocurre con las áreas: basal, lateral y total si el perímetro de la base aumenta al doble y su altura se mantiene constante?
e. ¿Qué ocurre con el área lateral si el perímetro de la base se mantiene constante y la altura disminuye a la mitad?
Matemática 7
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225
26/11/09 10:15:13
Área de pirámides regulares Cada cara lateral de la pirámide del Louvre está compuesta por cristal, cables y barras de acero.
Considerando la base cuadrada de la pirámide del Louvre, su área total (AT) corresponde a la suma entre el área lateral (AL) y el área basal (AB). El área lateral es 4 veces el área del triángulo, cuya base mide 35 m y su altura 27 m, aproximadamente. AL
AB 35m
21,6 m
27 m
35m
27m 35m
35 m
35 m
35 • 27 +35 • 35m2 =3.115m2 AT =4 • 2 AL =
Para grabar
Pbase
•a=
Pbase • a
2 2 Una pirámide es un poliedro cuya base es un polígono y sus caras laterales son triángulos. Apotema lateral a Área basal Las pirámides regulares son aquellas en las que la base es un polígono regular. El pie de su altura (h) coincide con el centro del polígono basal. Las caras laterales son triángulos isósceles congruentes. ¿Qué otra pirámide famosa conoces?
AL =
Pbase
•a=
Pbase • a
2 2 Pbase: perímetro de la base. a: apotema.
Altura
h
35 • 27 +35 • 35m2 =3.115m2 AT =4 • 2L): Área lateral (A
Área total (AT): AT = AL + AB AL: área lateral. AB: área de la base.
AB
La altura de cada cara lateral se llama apotema lateral (a).
Ejercita
1.
Identifica cuál de las siguientes figuras corresponde a una pirámide. a.
b.
Sí
226
No
c.
Sí
No
d.
Sí
No
Sí
No
Área y volumen
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7
2. Calcula el área lateral (A ) y el área total (A ) de las siguientes pirámides regulares. L
a.
T
b.
c.
Ayuda 6 cm
7,8 cm
El área de un polígono regular de n lados está dada por:
10 cm
3,46 cm
x
4 cm
12 cm
4,3 cm 5 cm
AL =
AL =
AL =
AT =
AT =
AT =
12 cm
a
x • a A= • n 2 x: longitud de cada lado. a: apotema del polígono regular.
3. Analiza y luego resuelve. Para calcular la medida de la apotema de la cara lateral de la pirámide regular que se muestra a continuación, se puede utilizar el teorema de Pitágoras, en el cuál los catetos son la apotema del polígono regular y la altura de la pirámide, y la hipotenusa, la apotema de la cara lateral. a a2 = (52 + 122) cm2 a2 = (25 + 144) cm2 a2 = 169 cm2 a = 13 cm
12 cm
Luego, la apotema mide 13 cm.
5 cm
7,26 cm a. ¿Cuál es el área lateral de la pirámide?
b. Calcula el área total de la siguiente pirámide regular.
4 cm
6 cm
3 cm Matemática 7
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227
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EVALUACIÓNINTERMEDIA 1 Calcula la equivalencia entre cada una de las siguientes unidades. =
cm
d. 102.000 cm =
mm
b. 12 km =
cm
e. 5,8 km
=
dm
f. 520.000 mm =
hm
a. 5 m Unidades de longitud y superficie.
c. 48 hm =
dam
2 Calcula la equivalencia entre cada una de las siguientes unidades. d. 120.000 cm2 =
a. 4 m2 =
cm2
b. 12 dm2 =
mm2
e. 2,7 km2
=
m2
c. 110 hm2 =
dm2
f. 2.300.000 mm2 =
km2
dam2
3 Calcula el perímetro (P) de cada polígono. a.
b.
5 cm
8 cm
c.
10 mm
5 mm
4 cm 10 cm 15 cm
Perímetro y área de polígonos.
9 cm
7 cm
5 mm
8 mm
6 cm P =
P =
P =
4 Calcula el área (A) de cada polígono. a.
3 dm
b.
3 cm
2 dm 4 cm 6 dm 8 dm
A =
228
5 cm
A =
Área y volumen
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7 5 Calcula el área lateral (AL) y total (AT) de los siguientes prismas rectos. Prisma recto
Área lateral
Área total
a. Base 10 cm 14 cm
3 cm
b.
12 cm Área de prismas rectos y pirámides regulares.
6,1 cm
7 cm
Hexágono regular
6 Calcula el área lateral (AL) y total (AT) de las siguientes pirámides regulares. a.
b.
AL =
AL = 15 cm
5 cm
AT =
4 cm
AT =
8 cm 9,2 cm
7 Resuelve los siguientes problemas.
a. ¿Cuál es el área total de una pirámide regular de base hexagonal cuya arista basal mide 10 cm; su apotema lateral, 12 cm, y su apotema basal, 8,7 cm?
b. ¿Cuál es el área total de una pirámide regular de base cuadrada si el área de su base es de 49 cm2 y su apotema lateral es de 7,8 cm?
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229
26/11/09 10:15:43
Unidades de medida de volumen El volumen (V) es la medida que ocupa un cuerpo en el espacio. Por ejemplo, para calcular el volumen de un cubo de arista 1 m, se multiplica la medida del ancho por el largo y por el alto:
El metro cúbico (m3) es la unidad de medida básica de volumen para el Sistema Internacional de Unidades. Como un metro es equivalente a 100 cm, se tiene que: 1 m3 = 1 m • 1 m • 1 m = 100 cm • 100 cm • 100 cm = 1.000.000 cm3 De forma similar, como 1 m = 1.000 mm, se tiene que: 1 m3 = 1 m • 1 m • 1 m = 1.000 mm • 1.000 mm • 1.000 mm = 1.000.000.000 mm3
1m
Para grabar 1m
1m
V=1m•1m•1m=1m
3
Para transformar de una unidad a otra, puedes multiplicar o dividir por 1.000 las veces que sea necesario, como se representa a continuación. • 1.000 • 1.000 • 1.000 m3
dm3
: 1.000
cm3
: 1.000
mm3
: 1.000
Ejercita
1.
Analiza el ejemplo. Luego, completa con las equivalencias pedidas en cada caso.
40.000 mm3 = (40.000 : 1.000 : 1.000) dm3 = 0,04 dm3 a. 30 dm3
m3 e. 300.000 m3
=
b. 12.000 cm3 =
mm3 f. 500 cm3
=
mm3
=
dm3
c. 4 m3
=
cm3 g. 180,03 dm3
=
m3
d. 3,4 dm3
=
cm3 h. 1.000.000.000.000 mm3 =
m3
2. Calcula las siguientes equivalencias. Para ello, utiliza tu calculadora. a. 1.000.000.000 km3
230
=
m3
b. 9.999.999.999.999 m3 =
cm3
Área y volumen
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7
3. Analiza y luego completa la siguiente tabla. m3
dm3
cm3
mm3 500.000
3,7 100 235 8 7
4. Analiza la información y, luego, responde. Si la capacidad de una caja cúbica de arista 10 cm (1 dm) corresponde a un litro (L) (1.000 cm3 = 1 L). 10 cm 10 cm
10 cm
a. ¿A cuántos litros corresponden 2,5 m3?
b. ¿A cuántos cm3 corresponden 8,5 litros?
c. Si un litro equivale a 1.000 mililitros (mL), ¿a cuántos mL corresponden 200 cm3?
d. ¿Cuántas botellas de 750 cm3 se necesitan para envasar 15 litros de leche?
e. Una piscina con forma de prisma recto con base rectangular tiene una capacidad maxima de 12,5 m3. ¿Con cuántos litros se llena?
Matemática 7
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231
26/11/09 10:15:55
Volumen de prismas rectos Rodrigo debe transportar 35 m3 de arena y cuenta con un camión cuyo lugar de carga tiene un espacio útil con la forma de prisma recto de base rectangular cuyas medidas son:
4,5 m
1,3 m 2,2 m
Si necesita saber cuántos viajes debe realizar para poder transportar los 35 m3 de arena, primero debe calcular la capacidad útil del camión, que corresponde al volumen del prisma de base rectangular: Vprisma = Área de la base • altura = (2,2 m • 4,5 m) • 1,3 m = 9,9 m2 • 1,3 m = 12,87 m3 Rodrigo, entonces, para calcular el número de viajes, puede dividir la cantidad de arena que debe transportar por la capacidad del camión y tal cociente representará los viajes que debe realizar: 35 m3 : 12,87 m3 ≈ 2,7 El camión deberá hacer 3 viajes para lograr trasladar los 35 m3.
Para grabar La medida del volumen (V) de un prisma recto se puede Ejemplo: calcular multiplicando el área basal (AB) por la altura (h) Prisma de base cuadrada. del prisma. Vprisma = Área de la base • altura = AB • h
20 cm
Altura (h)
7 cm
Área de la base (AB)
8 cm
V = 56 cm2 • 20 cm = 1.120 cm3
Ayuda Las medidas utilizadas deben estar en la misma unidad; si no es así, calcula las equivalencias correspondientes.
Ejercita
1.
Calcula el volumen (V) de los siguientes prismas rectos. a.
b.
6 cm
6,9 cm 4 cm 13 cm
232
V =
13 cm
0,08 m
V =
Área y volumen
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7
2. Calcula lo que se pide para cada prisma recto. Luego, responde. a.
b. 1,6 m 50 cm 1 m
Ayuda 4 m
2,5 m
10 cm
10 cm
Para calcular el volumen de un prisma puedes seguir los siguientes pasos:
AL =
AL =
1° Calcula una de las áreas de las bases.
AT =
AT =
2° Multiplica el valor obtenido por la medida de la altura (h) del prisma.
V =
V =
c. ¿Qué ocurre con las áreas basal y total si el perímetro de la base aumenta al doble y su altura se mantiene constante?
d. ¿Qué ocurre con el área total si el perímetro de la base se mantiene constante y la altura disminuye a la mitad?
e. ¿Qué ocurre con el volumen de un prisma recto si el área de la base disminuye a la mitad?
3. Resuelve los siguientes problemas. a. ¿Cuál es la altura de un prisma recto de base cuadrada si su volumen es 150 cm3 y la medida de la arista de su base es 0,05 metros?
b. Se quiere envasar 5,4 litros de jugo en cajas con forma de prisma recto de base cuadrada, en las cuales la medida de la arista de la base es 6 cm y la altura es 12,5 cm. ¿Cuántas cajas se utilizarán para envasar todo el jugo?
Matemática 7
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233
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Volumen de pirámides regulares Si consideras un recipiente con forma de prisma de base rectangular lleno de agua y quisieras vaciar el contenido en otro recipiente representado por una pirámide que tiene la misma base y altura, ¿cuál sería tu resultado? ¿Cómo lo harías?
Si se vaciara el agua contenida en el recipiente, se tendría lo siguiente:
La cantidad de agua del recipiente corresponde a tres veces la que puede contener el recipiente representado por la pirámide.
Para grabar El volumen (V) de una pirámide regular corresponde a un tercio del producto entre el área de su base (AB) y la altura (h) de la pirámide.
Ejemplo: Pirámide cuya base es un pentágono regular de lado 6 cm.
Altura (h)
8 cm
V=
Área de la base (AB) V=
AB • h
4,1 cm
3
5 • 6 • 4,1 •8 492 3 cm = 164 cm3 V= = 2 cm3 = 3 3 3 AB • h
3
5 • 6 • 4,1 •8 492 3 2 cm = 164 cm3 V= = cm3 = 3 3 3 AB • h
Ejercita
1.
6 cm AB • h
Calcula el volumen (V) de las siguientes pirámides regulares. a.
b.
c.
15 cm
7 cm
8 cm 5,2 cm
8 cm
6 cm
3,4 cm
9,2 cm V =
234
V =
5 cm
V =
Área y volumen
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2. Analiza los siguientes casos. Luego, dibuja cada situación y responde las preguntas. Pirámide regular de base cuadrada cuyo perímetro es 12 cm y altura 5 cm.
El perímetro de la base disminuye a la mitad y la altura se mantiene.
El perímetro de la base aumenta al doble y la altura se mantiene.
Volumen =
Volumen =
Volumen =
7
a. ¿Varía el volumen de las pirámides resultantes? Si es así, ¿existe alguna relación en la variación?
b. ¿Qué ocurre con el volumen si el perímetro de la base se mantiene constante y la altura disminuye a la mitad o aumenta al doble?
c. Si una pirámide regular y un prisma recto tienen igual base e igual altura, ¿cuál de los dos cuerpos tiene mayor volumen? ¿Cuántas veces mayor es el volumen de dicho cuerpo?
3. Resuelve los siguientes problemas. a. ¿Cuál es el volumen de una pirámide regular de base cuadrada si el perímetro de su base es 24 mm y su altura es el doble de la medida de su arista basal? Expresa el volumen en centímetros cúbicos.
b. ¿Cuál es la altura de una pirámide regular recta de base pentagonal si el área de su base es 84,35 cm y su volumen es 105 cm3?
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235
26/11/09 10:16:12
Volumen de cuerpos compuestos ¿Cuál es el volumen de la siguiente maqueta de una casa?
Observa que la casa se puede descomponer en dos prismas, uno de base rectangular y el otro de base triangular. El volumen total (VT) de la casa se obtiene sumando los volúmenes de estos prismas: Base Base
3,5 dm Volumen del prisma Volumen del prisma de base triangular de base rectangular
2,5 dm 6 dm
8 dm
6 • 3,5 3 • 8+6 • 8 • 2,5dm V= 2 =84 dm3 + 120 dm3 =204 dm3 El espacio que ocupa la casa es de 204 dm3.
Para grabar El volumen de un Ejemplo: cuerpo compuesto corresponde a la suma de los volúmenes 4m de los cuerpos geométricos en los cuales se puede descomponer. 4m
6m
6m 4m
10 m
4m
10 m
4m
10 m
V (prisma de base rectangular) = 4 • 10 • 6 = 240 m3 V (prisma de base triangular) = 8 • 10 = 80 m3 VTotal = 320 m3
Ejercita
1.
Analiza y reconoce cuál de las siguientes descomposiciones corresponde al cuerpo que se muestra a continuación. Destácala.
8 cm 10 cm a. 8 cm
236
b.
4 cm 5 cm 2 cm
c.
5 cm 8 cm 5 cm 8 cm 5 cm 2 cm 2 cm 2 cm 4 cm 2 cm 2 cm 6 cm 10 cm 6 cm 4 cm 4 cm 4 cm
Área y volumen
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2. Analiza y luego completa la siguiente tabla. Cuerpo
Descomposición
Volumen
7
5 cm 15 cm
9 cm
8 cm
12 cm
15 mm 30 mm 20 mm 20 mm 3 cm 6 cm
2 cm ¿Hay solamente una forma de descomponer un cuerpo geométrico?
2 cm 10 cm
6 cm
90 cm 2,5 m
1m
2m
3. Analiza y luego escribe el procedimiento que debes realizar para calcular el volumen del siguiente cuerpo compuesto.
6 cm 9 cm 6 cm 3 cm
3 cm
4 cm
Matemática 7
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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. Analiza la resolución del siguiente problema. ¿Cuál es el volumen de una pirámide regular de base hexagonal, como la que se representa en la figura, cuya altura es igual a la altura de un prisma recto de base cuadrada cuyo volumen es 63 cm3 y el perímetro de su base es igual a 12 cm? 4,3 cm
Paso
Comprende el enunciado
¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema? El volumen de una pirámide regular de base hexagonal.
5 cm
¿Qué información entrega el enunciado del problema? La medida de la altura de la pirámide, que es igual a la altura de un prisma recto dado.
Paso
Planifica lo que vas a realizar
Para resolver el problema debes analizar sus componentes, relacionarlos y diferenciarlos. Para esto debes:
• Organizar la información. El problema consiste en calcular el volumen de una pirámide regular de base hexagonal, considerando que su altura corresponde a la altura de un prisma recto de base cuadrada, cuyo volumen es 63 cm3 y el perímetro de su base es 12 cm. • Identificar las partes que la componen. La pirámide tiene una arista basal que mide 5 cm y apotema basal de 4,3 cm. Estos valores permiten calcular el área de su base. El dato que falta para calcular el volumen de la pirámide es su altura, la que se puede obtener utilizando los datos del prisma. • Determinar de qué manera se diferencian las partes. El perímetro de la base del prisma recto es un cuadrado de lado 12 cm. Esto permite concluir que la arista basal mide 3 cm. El volumen de un prisma recto se calcula multiplicando el área de la base (AB) por su altura (h), entonces: V = 9 cm2 • h. Como el volumen del prisma es 63 cm3, se tiene que: 63 cm3 = 9 cm2 • h, luego h = 7 cm.
Paso
Resuelve el problema
Con el valor de la altura de la pirámide obtenido y el valor del área de la base, se calcula su volumen: A • h 64,5 cm2 • 7 cm = 150,5 cm3 V= B = 3 3 6 ⋅ 5 cm • 4,3 cm 129 cm2 = = 64,5 cm2 2 2 Paso Revisa la solución AB • h 64,5 cm2 • 7 cm 451,5 3 2 2 cm = 150,5 cm3 = V = =3 A h • cm • 7su cmárea3se3calcula ABes • hun 64,5 cm64,5 cm • 7regular, B Como laVbase hexágono multiplicando la cantidad de lados del polígono, que es 6, por la 3 3 = 150,5 cm V = = = 150,5 cm = = 3 5 cm,3y por su apotema, que mide 4,3 cm, y luego se divide el resultado por 2. 3 lado,3que es medida de cada 2 ⋅ 5 cm 12cm 6 ⋅ 5 cm 6 cm• 4,3 • 4,3 9 cm2129 cm 2 Entonces, A = = = 64,5 cm = 64,5 cm2 . = 2 2 2 2 2 h • 64,5 cm2 • 7451,5 cm 451,5 AB • h A 64,5 cm 7 cm • 3 3 cm3 =cm =cm3 = 150,5 150,5 Luego, V = V == B = . cm = 3 3 3 3 3 3
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Área y volumen
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7 Resolución de problemas
2. Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente.
Una caja de leche tiene la forma de un prisma recto de base cuadrada, cuya altura corresponde al 50% de la medida del perímetro de un cuadrado de lado 17,5 cm. Si la capacidad de la caja es de 1,4 litros de leche, ¿cuánto mide la arista basal?
Paso
Comprende el enunciado
¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema?
¿Qué información entrega el enunciado del problema?
Paso
Planifica lo que vas a realizar
Paso
Resuelve el problema
Paso
Revisa la solución
3. Resuelve el siguiente problema en tu cuaderno. Un prisma cuyo volumen es de 54 m3 tiene la misma base que una pirámide. Si la altura de la pirámide mide la mitad que la altura del prisma, ¿cuál es el volumen de la pirámide? Matemática 7
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HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS Limix Geometric es un programa de libre acceso, con el que podrás calcular el área y el volumen de cuerpos geométricos. Pídele ayuda a tu profesor o profesora para conseguirlo.
Paso Para comenzar debes seleccionar la opción Seleccione figura que aparece en el menú principal y así podrás elegir si vas a trabajar con figuras geométricas en dos o en tres dimensiones.
Paso Si seleccionas la opción Prisma, te encontrarás con la siguiente pantalla:
240
Paso Si seleccionas figuras en tres dimensiones, podrás observar la siguiente pantalla.
Paso Si deseas calcular el volumen del prisma recto con base cuadrada de 7 cm y altura 15 cm, debes completar: el recuadro Arista con la longitud de la arista basal; el recuadro Lados, con el número de lados de la base, y el recuadro Altura, con la altura del prisma. Por último, presionas el botón Calcular y aparecerán los valores del área y volumen del cuerpo geométrico correspondiente:
Área y volumen
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1.
Utiliza Limix Geometric para completar la tabla. Luego, responde las preguntas. Considera una pirámide regular de base cuadrada de altura 10 cm. Arista basal (cm)
Lados
Altura
Volumen
1
4
10
3,333
2
4
3 4 a. ¿Cuántas veces aumenta el volumen con respecto al inicial? Plantea una conclusión.
b. ¿Qué ocurre si el perímetro de la base se mantiene constante y la altura va variando? Arista (cm) Altura (cm) 5 10 5 20 5 30 5 40
Volumen
c. ¿Qué ocurrirá al realizar el estudio anterior en un prisma recto de base pentagonal de altura 12 cm? Arista basal (cm)
Lados
Altura
1
5
12
2
5
Volumen
Herramientas tecnológicas
7
3 4 d. ¿Cuántas veces aumenta el volumen con respecto al inicial? Plantea una conclusión.
e. ¿Qué ocurre si el perímetro de la base se mantiene constante y la altura va variando?
Matemática 7
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241
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PARA NO EQUIVOCARSE 1.
Analiza cada resolución y completa, según corresponda. a. Calcula el volumen del siguiente prisma recto. El volumen del prisma recto se calcula multiplicando el área de la base por la altura. El área de la base es 3,5 cm • 1,5 cm = 5,25 cm2, y al multiplicar este producto por la altura, resulta: 5,25 • 70 = 367,5. Por lo tanto, el volumen es 367,5 cm3. • El error cometido en la resolución es:
70 mm 1,5 cm 3,5 cm
• Este error ocurrió porque:
• Corrección:
b. Calcula el área lateral de la siguiente pirámide regular. El área lateral de la pirámide se calcula multiplicando el perímetro de la base por la apotema y luego dividiendo este producto por 2, 24 m • 3m = 36m2 . de lo que se obtiene: AL = 2 • El error cometido es:
4 cm
6 cm • Este error ocurrió porque:
• Corrección:
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Área y volumen
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Para no equivocarse
7 c. Calcula el volumen de la siguiente pirámide. V = 6 cm • 5,2 cm • 7 cm = 218,4 cm3 • El error cometido es:
6 cm
7 cm
• El error se cometió porque: 5,2 cm
• Corrección:
d. ¿Cuál es el área total del prisma recto de la fi gura? Primero se calcula el área lateral AL = AB • h = (30 • 10) m2 = 300 m2. Luego, se calcula el área total AT = AL + 2AB = (300 + 2 • 30) m2 = 360 m2. Por lo tanto, el área total del prisma es 360 m2.
10 m
• El error cometido es:
5 m • El error se cometió porque:
6 m
• Corrección:
Matemática 7
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AMPLIANDO MIS CONOCIMIENTOS Para calcular el volumen (V) de una pirámide regular de base hexagonal cuentas con la A A• h • h fórmula V =V =B B . El problema, en este caso, es calcular el área de la base (AB), ya que 3 3 •a•a ) cm (6(•64•)4cm la fórmula necesita el valor de la apotema (a) para ser aplicada y en los ABA=B = 22
7 cm
12 ≈ x =x =12 ≈ 3,53,5 datos que se entregan en el dibujo no aparece. 2 2 2 2 x2 x+2+2 = 4=24 2
= 16–4 x2 x= 16–4
4 cm
≈ 3,5 ≈ 3,5 x =x =12 12 Al dividir el hexágono de la base de la pirámide en triángulos, como se muestra a ≈ 3,5 continuación, estos 6 triángulos son congruentes (tienen igual forma y tamaño) y son ≈ 3,5 x =x =12 12 2 2 equiláteros, esto quiere decir que sus tres lados tienen igual medida. 4 cm • 3,5 cmcm 6 •64•cm cmcm8484 • 3,5 2 = 42 = ≈ A = 42 cmc2m = AB ≈B 22 22 Para calcular la apotema de estos triángulos se puede utilizar el teorema de Pitágoras de 2 2 42 cm 7 cm • 42 cm • 7 cm 3 3 = 98 V≈ la siguiente forma: = 98 cmcm V≈ 3 3 4 cm
4 cm
2 cm 2 cm x
4 cm 2 cm
1° Dibuja la altura, que corresponde a la apotema, en uno de los triángulos que forman el hexágono.
2° Reconoce el triángulo rectángulo que se forma, en el cual uno de sus catetos, en este caso, mide 2 cm, su hipotenusa mide 4 cm y el cateto restante corresponde a la apotema que deseas encontrar.
Aplica el teorema de Pitágoras, que consiste en lo siguiente: B
V=
AB • h
El resultado es:
a
AB =
C 3 (6 • 4) cm • a 2
x = 12 ≈ 3,5 2
2
x +2 = 4
2
c b
V= a2 + b2 = c2 •h AA h • V== B B VA 33 ) cm• a• a (6(6• 4• 4) cm = AA = B B 22 x x== 1212≈≈3,53,5 2 22 +2==442 2 x2x+2
x2 = 16–4
16–4 x x==16–4
x = 12 ≈ 3,5
3,5 x x== 1212≈≈3,5
22
A
AB • h
3 Ayuda (6 • 4) cm • a =
B Usa tu calculadora 2para comprobar
que: x = 12 ≈ 3,5
x2 +22 = 42 x2 = 16–4
x = 12 ≈ 3,5 x = 12 ≈ 3,5
6 • 4 cm • 3,5 cm 84 cm2 = 42 cm2 = x = 12 ≈ 3,5 3,5 2 2 x x== 1212≈≈3,5 22 6 • 4 cm • 3,5 cm 84 cm2 42 cm2 • 7 cm 84cm cm 6• 4 cm• 3,5 cm 84 • 3,5cm 2• 4 6 cm 2 2 = 42 c = m A ≈ = 98 cm3 V ≈ 42cm cm y el volumen de la pirámide A ≈ Finalmente, el área de la base es aproximadamente ==42 == B 2 AB B≈ 2 3 22 22 2 2 • 7 cm 42 cm2 • 7 cm 42 cm 33 = 98 cm3 . VV≈≈42 cm • 7 cm ==98 es aproximadamente V ≈ 98cm cm 3 3 3
244
AB ≈
Área y volumen
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1. Calcula la longitud de la apotema (a) de los siguientes hexágonos regulares. Para ello, usa tu calculadora. b.
a.
12 cm
c.
5 cm
d.
1 cm
10 cm
a =
a =
a =
2. Calcula el área total (A ) y el volumen (V) de los siguientes cuerpos geométricos. T
a. Prisma recto de base hexágono regular. AT =
8 cm
V =
6 cm
b. Pirámide recta de base hexágono regular.
a =
Ampliando mis conocimientos
7
AT =
13 cm V =
14 cm
Matemática 7
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EVALUACIÓNFINAL I. Lee atentamente y marca la letra de la alternativa correcta.
1 Al sumar la longitud de un segmento de 73 mm con uno de 2,7 m, ¿cuál de las siguientes longitudes se obtiene? A. 10 m B. 34,3 cm C. 100 mm D. 277,3 cm
6 ¿Cuál es el área del siguiente hexágono regular? A. 52,25 cm2 B. 104,5 cm2 C. 313,5 cm2 D. 627 cm2
9,5 cm 11 cm
2 ¿A cuántos centímetros cuadrados corresponde
7 ¿Cuál es el área lateral del siguiente prisma recto?
1 mm2? A. 0,1 cm2 B. 0,01 cm2 C. 0,001 cm2 D. 0,0001 cm2
3 ¿Cuál de las siguientes magnitudes es equivalente a
A. 70 m2 B. 72 m2 C. 76 m2 D. 82 m2
7 m
2,33 cm2? A. 2.330 mm2 B. 23.300 mm2 C. 0,000233 m2 D. 0,00233 m2
3 m
2 m
8 Respecto de la red que se muestra a continuación, ¿cuál es el cuerpo geométrico que se puede formar? ¿Y cuál es su área total?
4 ¿Qué característica(s) define(n) a un polígono
3,46 cm
regular? 4 cm 4 cm 4 cm
A. Tiene sus ángulos interiores de igual medida. B. Se puede determinar su área y su perímetro. C. Tiene algunos de sus lados de igual medida. D. Tiene todos sus lados y sus ángulos de igual medida.
12 cm
5 ¿Cuál es el área del rectángulo que se muestra a continuación?
20,5 mm 5,7 cm A. 116,85 mm2 B. 116,85 cm2 C. 1.168,5 mm2 D. 1.168,5 cm2
246
A. Pirámide de base rectangular con área 144 cm2. B. Prisma de base triangular con área total 144 cm2. C. Pirámide de base rectangular con área 157,84 cm2. D. Prisma de base triangular con área total 157,84 cm2.
9 El perímetro de la base del prisma regular recto, que se muestra a continuación, es aproximadamente 10,4 cm. ¿Cuál es su área lateral? A. 36 cm2 B. 46,4 cm2 C. 56,8 cm2 D. 62,4 cm2
6 cm
Área y volumen
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10 ¿Cuál es el área total del siguiente prisma recto? A. 96,4 m2 B. 110,4 m2 C. 128,4 m2 D. 182,4 m2
8 m 4,9 m 4,5 m
4 m 11 ¿Cuál es el área total de un prisma recto de base cuadrada cuyo perímetro basal es 20 cm y la medida de su altura 15 cm? A. 300 cm2 B. 325 cm2 C. 350 cm2 D. 375 cm2
pirámide que tiene como base un pentágono regular con arista basal de 7,27 cm, apotema basal de 5 cm y altura 12 cm? A. 327,1 cm2 B. 344,8 cm2 C. 544,5 cm2 D. 580,8 cm2
15 ¿A cuántos metros cúbicos corresponden 135 cm3? A. 0,135 m3 B. 0,0135 m3 C. 0,00135 m3 D. 0,000135 m3
16 ¿Cuántas botellas llenas de 750 cm3 se necesitan para envasar 12 litros de agua?
12 ¿Cuál de las siguientes redes permite formar una pirámide de base cuadrada?
A.
14 ¿Cuál es aproximadamente el área total de una
Evaluación final
7
17 ¿Cuántos litros (L) de capacidad tiene una caja de
C.
A. 12 B. 14 C. 15 D. 16 volumen 1 m3?
B.
A. 100 L B. 1.000 L C. 10.000 L D. 1.000.000 L
D.
18 ¿Cuál es el volumen del siguiente prisma recto que tiene como base un pentágono regular?
13 ¿Cuál es el área total de la siguiente pirámide de base cuadrada? A. 7 cm2 B. 16 cm2 C. 64 cm2 D. 124 cm2
30 cm
A. 10,5 cm3 B. 26,25 cm3 C. 31,5 cm3 D. 78,75 cm3
5 cm
3 cm 2,1 cm
2 cm
Matemática 7
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EVALUACIÓNFINAL 19 El perímetro de la base de un prisma recto de base rectangular es 24 m. Si los lados están en razón 1 : 2 y su altura es de 300 cm, ¿cuál es el volumen del prisma?
23 ¿Cuál es aproximadamente el volumen de la siguiente pirámide regular recta?
10 cm
A. 96 m3 B. 384 m3 C. 9.600 m3 D 38.400 m3
A. 579,6 cm B. 1738,8 cm3 C. 1.104 cm3 D. 3.312 cm3 3
6,3 cm
20 ¿Cuántos litros puede contener un recipiente con forma de un prisma recto de base cuadrada de área 4 m2 y una altura que mide 200 cm? A. Hasta 800 L. B. Hasta 8.000 L. C. Hasta 80.000 L. D. Hasta 8.000.000 L.
9,2 cm
24 ¿Cuál es el volumen de una pirámide regular recta de base cuadrada con arista basal 10 cm y altura 300 mm?
21 ¿Cuál es el volumen de la siguiente pirámide regular de base cuadrada? 8 cm A. 13,3 cm 13,3 3 B. 40 cm 66,6 C. 66,6 cm3 D. 200 cm3 3
A. 300 mm3 B. 300 cm3 C. 1.000 cm3 D. 1.000 mm3
25 ¿Cuál es el volumen del siguiente cuerpo geométrico formado por un prisma recto y una pirámide regular recta? 3 cm
5 cm
22 ¿Cuál es el volumen de una pirámide recta de base
A. 25 cm3 B. 150 cm3 C. 175 cm3 D. 200 cm3
7 cm
5 cm
cuadrada si el perímetro de su base es 36 cm y su altura es dos tercios de la medida de su arista basal? A. 27 cm3 B. 81 cm3 C. 162 cm3 D. 288 cm3
5 cm
26 ¿Cuál es el volumen del siguiente cuerpo geométrico formado por prismas rectos?
A. 96 m3 B. 120 m3 C. 216 m3 D. 312 m3
4 m
12 m
4 m 3 m 10 m
Mi desempeño Buenas Malas Omitidas
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Área y volumen
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Evaluación final
7 II. Resuelve los siguientes problemas.
1 ¿Cuál es el área total de un prisma recto de base cuadrada si su altura es 20 cm y su volumen 160 cm3?
2 ¿Cuál es el volumen de una pirámide regular de base hexagonal cuya arista basal mide 7 cm y su altura es de 12 cm? Puedes usar tu calculadora.
3 Calcula el área lateral(AL), el área total (AT) y el volumen (V) del siguiente cuerpo geométrico. V (cubo) = 1 cm3
Matemática 7
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RESUMEN Una técnica que facilita la retención de lo estudiado para después realizar un repaso eficiente es el cuadro sinóptico. Se trata de un resumen esquematizado, cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de manera estructurada y organizada. Completa las tablas que muestran algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad. Concepto
Definición
Ejemplo
Procedimiento
Ejemplo
Unidad de longitud.
Unidad de superficie.
Unidad de volumen.
Área.
Volumen.
Concepto Área de prismas rectos.
Área de pirámides regulares.
Altura (h)
10 cm
Volumen de prismas rectos. Área de la base (AB) Vprisma = Área de la base • altura = AB • h
AB = 15,4 cm2 Vprisma = AB • h = (15,4 • 10) = 154 cm3
Volumen de pirámides regulares.
Volumen de cuerpos compuestos.
250
Área y volumen
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Número de pregunta
Contenido
Habilidad
1
Unidades de medida de longitud y superficie
Aplicar
2
Unidades de medida de longitud y superficie
Recordar
3
Unidades de medida de longitud y superficie
Aplicar
4
Polígonos
Recordar
5
Polígonos
Aplicar
6
Polígonos
Aplicar
7
Áreas y redes de prismas rectos
Aplicar
8
Áreas y redes de prismas rectos
Analizar
9
Áreas y redes de prismas rectos
Aplicar
10
Áreas y redes de prismas rectos
Aplicar
11
Áreas y redes de prismas rectos
Aplicar
12
Áreas y redes de pirámides regulares
Analizar
13
Áreas y redes de pirámides regulares
Aplicar
14
Áreas y redes de pirámides regulares
Aplicar
15
Unidades de volumen
Aplicar
16
Unidades de volumen
Aplicar
17
Unidades de volumen
Aplicar
18
Volúmenes de prismas rectos
Aplicar
19
Volúmenes de prismas rectos
Aplicar
20
Volúmenes de prismas rectos
Aplicar
21
Volúmenes de pirámides regulares
Aplicar
22
Volúmenes de pirámides regulares
Aplicar
23
Volúmenes de pirámides regulares
Aplicar
24
Volúmenes de pirámides regulares
Aplicar
25
Volúmenes de cuerpos compuestos
Analizar
26
Volúmenes de cuerpos compuestos
Analizar
Clave
Mi revisión
Nivel de logro
3 Unidades de medida de longitud y superficie
3 Polígonos
8 Prismas rectos y pirámides regulares
6
Solucionario de evaluación final
7
SOLUCIONARIO DE EVALUACIÓN FINAL
Unidades de volumen y volúmenes de prismas rectos
6 Volúmenes de pirámides regulares y cuerpos compuestos
Matemática 7
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251
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EVALUACIÓN INTEGRADORA
En estas páginas te invitamos a realizar una actividad de evaluación que integra los contenidos de las unidades 5, 6 y 7 de tu Texto.
Habilidad
Integrar: reunir y organizar elementos para completar un todo.
1
2
Objetivo de la actividad: integrar los contenidos tratados y aplicarlos en la resolución de ejercicios y problemas.
Construye un triángulo que tenga como lados los segmentos que se muestran a continuación. Luego, realiza lo que se pide. A
B
B
C
C
A
a. Clasifi ca el triángulo según las medidas de sus lados y de sus ángulos.
b. Construye rectas paralelas a los lados del triángulo que unan los puntos medios de estos. ¿Qué elementos secundarios son las rectas que dibujaste? c. Comprueba que los segmentos que unen los puntos medios de los lados del triángulo miden la mitad del lado que no intersectan. Completa según corresponda. 1 1 1 = AB = BC = CA 2 2 2
2
Construye un triángulo que tenga como lados los segmentos que se muestran a continuación formando entre ellos un ángulo de igual medida que el ángulo MQJ. Luego, realiza lo que se pide. M
J P Q
Q Q R
a. Clasifi ca el triángulo según las medidas de sus lados y de sus ángulos. b. Construye la circunferencia inscrita al triángulo. ¿Qué nombre recibe el punto que es centro de esta circunferencia? c. Construye la circunferencia circunscrita al triángulo. ¿Qué nombre recibe el punto que es centro de esta circunferencia?
252
Evaluación Integradora
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3
Resuelve los siguientes problemas. Para ello, utiliza tu calculadora si es necesario. a. Sea ABCD un cuadrilátero formado por dos triángulos rectángulos, como se muestra en la fi gura. ¿Cuál es el área del cuadrilátero?
D 10 cm
C
26 cm
b. ¿Cuál es el área total de la fi gura? 4 cm
A
B
D
A 3 cm B 13 cm C c. ¿Cuál es el volumen de la pirámide regular de la fi gura? ¿Qué estrategia usaste para calcularlo? 13 m
24 m d. Se apilarán, en una bodega, 26 cajas con forma cúbica cuya cara tiene como diagonal un segmento con longitud 80 cm. ¿Cuánto espacio de la bodega ocuparán?
e. Si se construye una piscina según el plano que se muestra a continuación, ¿cuántos litros puede contener? 400 cm
80 cm
200 cm 300 cm
800 cm
Matemática 7
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253
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8
Datos y azar En febrero de 2007, la red de Metro se incorporó al nuevo sistema integrado de transporte urbano de la Región Metropolitana, denominado “Transantiago”, lo que significó un aumento significativo de su demanda. Fuente: www.ine.cl
El 15 de septiembre de 1975 se inicia la operación comercial del servicio del Metro de Santiago entre las estaciones San Pablo y La Moneda. Fuente: www.metro.cl
En esta unidad aprenderás... ¿Qué? Población y muestra. Tablas y gráficos de frecuencias. Experimentos aleatorios y probabilidad.
254
¿Para qué? Seleccionar y reconocer una muestra de una población en estudio. Construir e interpretar tablas y gráficos que representen distintas situaciones. Interpretar frecuencias relativas asociadas a la probabilidad de ocurrencia de un evento en un experimento aleatorio.
¿Dónde? Páginas 256 a 259. Páginas 260 a 267. Páginas 268 a 273.
Datos y azar
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Después de leer A partir de la información entregada en la página anterior, responde. 1) ¿De qué se trata el texto? 2) ¿Entre qué estaciones operaba el Metro de Santiago en el año 1975? 3) ¿Por qué aumentó tan considerablemente la demanda de pasajeros en el año 2007?
Evaluación inicial Crear consiste en reorganizar la información en un nuevo modelo o estructura, formando un todo coherente o funcional. Construye un gráfico que represente la información de la siguiente tabla. Pasajeros transportados en el Metro de la Región Metropolitana 2006-2008 Año
Número de pasajeros
2006
331.000.000
2007
600.000.000
2008
642.000.000 Fuente: www.ine.cl
1) ¿Qué variables están involucradas en la tabla? 2) Si representas en un gráfico los datos entregados en la tabla, ¿qué tipo de gráfico utilizarías? ¿Por qué?
3) Crea aquí tu gráfico.
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Población y muestra Un grupo de científicos estudió la variación de las masas corporales de una manada de leones. Para ello, tomaron una muestra aleatoria de 20 leones y midieron sus masas.
En el análisis realizado por el grupo de científicos, la población del estudio estadístico es el conjunto total de leones de la manada; la muestra, los 20 leones escogidos aleatoriamente, y la variable de estudio o variable estadística es la “masa corporal” de los leones. Luego de realizar la medición, obtuvieron los siguientes resultados: Masa corporal de 20 leones Masa corporal (kg)
Cantidad de leones
180
12
210
8
Para grabar La población es el conjunto de todos los elementos que cumplen una o varias características o propiedades que pueden ser objeto de estudio. Una muestra es un subconjunto de elementos de una población, cuya característica principal es la representatividad. Una variable estadística es una característica o propiedad que se estudia en una población.
Ejemplo: Se desea estimar el porcentaje de hogares en Chile que usan gas natural. Para ello, se escogen aleatoriamente 1.000 hogares de todo el país. Población: hogares de Chile. Muestra: 1.000 hogares del país. Variable: tipo de gas.
Ejercita
1.
Evalúa qué muestra recomendarías en cada caso. Justifica. a. Determinar el promedio final en la asignatura de Matemática de 5 compañeros.
Para saber más El tamaño de una muestra corresponde a la cantidad de elementos que la componen.
b. Determinar qué porcentaje de la población chilena tiene menos de 15 años.
c. Determinar entre todos los estudiantes de los colegios de tu comuna cuántos tienen celular.
d. Determinar si los integrantes de una familia realizan algún deporte.
• ¿Crees que el tamaño de una muestra puede ser igual que el de la población? Justifica.
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8
2. Analiza cada caso y determina qué muestra sería la más adecuada para un estudio. Para ello, marca con una X tu elección. a. Se quiere investigar cuál es en la actualidad el grupo musical que tiene la mayor popularidad entre los adolescentes. • Un grupo de 50 personas encuestadas al azar a la salida del Metro. • Un grupo de 50 personas entre 5 y 10 años escogidas al azar. • Un grupo de 50 estudiantes de enseñanza media de diferentes colegios. b. Se quiere investigar acerca del mejor dibujo animado del año. • Un grupo de 3 estudiantes de enseñanza básica elegidos de un colegio. • Un grupo de 40 estudiantes de enseñanza básica elegidos de diferentes comunas. • Un grupo de 30 trabajadores de una empresa.
Para saber más Los métodos para seleccionar una muestra se pueden clasificar según: - El tamaño de la muestra. - La manera usada para seleccionar los elementos que pertenecen a la muestra.
c. ¿Cómo justificarías tu elección en cada caso?
3. Evalúa si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F) con respecto a la situación planteada a continuación. Para ello, escribe V o F, según corresponda. Se quiere investigar sobre los colores preferidos por las mujeres para la confección de un afiche publicitario en el que se promocionará una nueva línea de vestidos que se venderá en los centros comerciales. a. La muestra debe ser representativa de las personas que acuden al centro comercial a comprar. b. Mientras mayor sea el número de mujeres encuestadas, mejor será la aproximación de los resultados obtenidos. c. La muestra debe considerar solo mujeres. d. Mientras más pequeño sea el tamaño de la muestra, mayor certeza se tendrá sobre lo que ocurre en la población. e. Con una muestra de 5 personas se puede estimar correctamente el comportamiento de la población.
4. Analiza cada situación e identifica la población, muestra y variable. a. En una fábrica de ampolletas se efectúa un control de calidad sobre 100 unidades para estimar cuántas son defectuosas. Población
Muestra
Variable
b. Se desea estimar el promedio de estatura de todos los estudiantes de un colegio. Para ello, se mide a 42 estudiantes. Población
Muestra
Variable Matemática 7
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Representatividad de una muestra Se quiere tomar una muestra representativa de 80 estudiantes de un colegio que tiene 640 estudiantes, de los cuales 400 son de enseñanza media y 240 de enseñanza básica.
En este caso se escogerá una muestra que sea proporcional a los 640 estudiantes del colegio. Habrá que repartir entonces a los 80 estudiantes en dos cantidades, a y b, que sean proporcionales a 400 y 240, respectivamente. Estudiantes de enseñanza media
Estudiantes de a 400 enseñanza básica = ⇒ a=50 640 80 400 a 240 b = ⇒ a=50 = ⇒ b=30 640 80 640 80 240 b 2100 21 a = ⇒ b=30 = ⇒ a= =6 640 80 35 10 35 Tamaño de Tamaño de 2100 21 a 140 14 b ⇒ a= =6 ⇒b= =4 la= muestra la= muestra 35 10 35 35 35 10 140 de enseñanza media y 30 de enseñanza básica. b 14 estudiantes La muestra obtenida tendrá 50 =4 = ⇒b= 35 35 10 Para que a partir de una muestra sea posible estimar algunas características de la población, esta debe ser representativa de la misma.
Para grabar Muestra proporcional o estratificada Ejemplo: Se quiere determinar la estatura promedio de un curso de 7° básico que tiene 35 estudiantes, de los 400 y a14 son hombres. Para tomar cuales 21 son mujeres = ⇒ a=50 640 80 que sea proporcional al una muestra representativa curso, de 10 estudiantes 240 bse debe elegir 6 mujeres y • Proporcional o estratificada: los individuos de la muestra 4 hombres. 640 = 80 ⇒ b=30 deben conservar la misma proporción que en la población. 2100 21 a • Sistemática: se ordenan previamente los elementos de = ⇒ a= =6 35 10 35 la población asignándole un número que represente la 140 b 14 posición. Luego, se elige uno al azar y a continuación de =4 = ⇒b= 35 35 10 este, en intervalos constantes, se eligen todos los demás, hasta completar el tamaño de la muestra. La representatividad de una muestra depende del tipo de elección de esta, que siempre debe incluir la aleatoriedad (cada individuo de la muestra tiene la misma posibilidad de ser escogido) en su selección. Esta se puede asegurar usando los siguientes criterios dependiendo de la población en estudio:
¿Qué quiere decir el título de esta página?
Ejercita
1.
Evalúa si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F). Para ello, escribe V o F según corresponda. a. Mientras mayor sea la cantidad de individuos considerados en una muestra, esta será más representativa de la población. b. Una muestra aleatoria es aquella en que los individuos que la constituyen no son elegidos al azar. c. Si en un curso de 45 estudiantes 25 son hombres, una muestra proporcional de 9 estudiantes tendría 4 mujeres. d. Para hacer una encuesta sobre la preferencia musical entre los jóvenes menores de 20 años, una muestra proporcional a la población sería tomar 5 estudiantes que vivan en la Región Metropolitana.
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2. Analiza cómo obtener una muestra sistemática. Se quiere hacer una encuesta en un colegio de 200 estudiantes sobre sus preferencias musicales. Para ello, se selecciona de manera sistemática una muestra, cuyo tamaño es de 10 estudiantes.
8
1° Ordena los elementos de la población, en este caso, enumerados del 1 al 200. Posición del elemento
1, 2, 3, 4,……………., 199, 200
población 200 = 20 indicará cómo se hará la elección de los = 10 muestra elementos de la población. Luego, se selecciona un primer elemento al azar entre 1 y 20, por ejemplo 5. Por lo tanto, la muestra se formará con los datos que tienen las siguientes posiciones.
2° El cociente
5; 5 + 1 • 20; 5 + 2 • 20; 5 + 3 • 20; 5 + 4 • 20; 5 + 5 • 20; 5 + 6 • 20; 5 + 7 • 20; 5 + 8 • 20; 5 + 9 • 20. Es decir, la muestra estará formada por los elementos que ocupen las posiciones: 5; 25; 45; 65; 85; 105; 125; 145; 165; 185. a. Selecciona una muestra aleatoria de manera sistemática que tenga 25 elementos con respecto al ejemplo anterior.
b. Si se encuesta a 40 estudiantes, ¿cuáles son las posiciones de los datos a considerar en la muestra?
c. En este caso, ¿por qué la elección de la muestra no se hace de manera estratificada? Justifica.
3. Resuelve los siguientes problemas. a. Se quiere hacer una encuesta en un colegio de 1.000 estudiantes sobre sus preferencias musicales. Si 530 estudiantes del colegio son hombres y 470 son mujeres, ¿cuántas mujeres tendrá una muestra de 100 estudiantes?
b. Determina una muestra de manera sistemática para el caso anterior.
4. Resuelve el siguiente problema en tu cuaderno. En un centro deportivo de alto rendimiento se necesita encuestar a 50 deportistas para saber sus preferencias con respecto a las marcas de vestuario que usan. En la siguiente tabla aparece la cantidad de deportistas en cada rama de deporte. a. ¿Cuántos futbolistas debería tener una muestra que sea proporcional a la población? b. ¿Cuántos deportistas dedicados a la natación tiene la muestra?
Preferencia deportiva Deporte
Cantidad de deportistas
Fútbol
150
Básquetbol
70
Atletismo
130
Tenis
60
Natación
40
Vóleibol
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Tablas de frecuencias En un colegio de 1.000 alumnos y alumnas se toma una muestra de 20 estudiantes para conocer las preferencias entre 5 de sus asignaturas. Luego de la encuesta, se obtuvo el siguiente resultado: Matemática, 5 estudiantes; Ciencias Sociales, 4; Deportes, 6; Inglés, 3; y Lenguaje, 2 estudiantes.
El número de veces que se repite un valor en un conjunto de datos se denomina frecuencia absoluta. También es posible determinar la frecuencia relativa y la frecuencia acumulada. Por ejemplo, las respuestas obtenidas al preguntar a 20 estudiantes acerca de su asignatura preferida se representaron en la siguiente tabla. Número de estudiantes Asignatura Matemática C. Sociales Deportes Inglés Lenguaje
Frecuencia absoluta 5 4 6 3 2
Frecuencia relativa (%) 25% 20% 30% 15% 10% Porcentaje de preferencia de los estudiantes por asignatura.
Para grabar Las tablas de frecuencias te permiten organizar los datos de tal forma que podría facilitar la comprensión de estos. La frecuencia absoluta (f) es el número de veces que se repite cierto dato. La suma de todas las frecuencias absolutas de los datos es igual al total de datos de la muestra. La frecuencia relativa (fr) es el número que se obtiene al dividir la frecuencia absoluta por el número total de datos de la muestra. La frecuencia relativa se puede expresar en forma de fracción, decimal o porcentaje. La frecuencia acumulada (F) es la suma sucesiva de las frecuencias absolutas de los datos.
Ejercita
1.
Analiza la siguiente información. Luego, completa la tabla de frecuencias y responde. Las respuestas de 15 personas acerca de la cantidad de televisores que tienen en sus hogares fueron: 4; 3; 2; 1; 3; 5; 1; 1; 3; 1; 1; 2; 4; 3; 2. Cantidad de televisores por hogar Cantidad de televisores Frecuencia absoluta (f) Frecuencia acumulada (F) 0 1 2 3 4 5
3
8
Frecuencia relativa (fr) (decimal)
0,2
a. ¿Qué porcentaje de la encuesta representa el número de personas que no tiene televisor en su hogar? b. ¿Qué porcentaje representa la cantidad de personas que tienen 3 televisores? c. ¿Cuántas personas tienen menos de 5 televisores? Justifica.
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2. Analiza la información de cada tabla. Luego, complétala y responde las preguntas. a. Se encuestó a 46 personas sobre sus preferencias al momento de arrendar una película en DVD y se obtuvieron los siguientes resultados:
Arriendo de películas en DVD Tipos de películas f fr(decimal) Comedia 8 0,17 Suspenso 14 Acción 9 Terror 9 Musical 6 0,13 Total 46 1
• ¿Qué tipo de película es el más arrendado según esta encuesta? ¿A qué parte decimal del total corresponde?
• ¿Qué porcentaje representa a las personas que arriendan películas de terror?
• ¿Qué representan los números encerrados en la tabla?
b. Se preguntó a un grupo de estudiantes por su deporte favorito. La información se organizó en la siguiente tabla:
Deporte favorito Deporte f fr(%) Fútbol 24 48% Básquetbol 2 Vóleibol 7 Hándbol 8 Tenis de mesa 4 8% Natación 5 Total
fr(fracción)
• ¿Cuál es la variable en estudio de esta encuesta? ¿De qué tipo es?
Ayuda • ¿A cuántos estudiantes se encuestó? ¿Cuál es el deporte favorito de estos? ¿Y a qué fracción del total representan?
Las variables estadísticas pueden ser de dos tipos: cualitativas (no numéricas) y cuantitativas (numéricas).
• ¿Qué relación hay entre las casillas de la tabla marcadas de amarillo y el total de estudiantes encuestados?
3. Construye en tu cuaderno una tabla de frecuencias con la siguiente información. Los kilogramos de basura que produce una familia en dos semanas son los siguientes: 2; 3; 1; 3; 2; 4; 5; 0; 4; 3; 1; 3; 1; 2. Matemática 7
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Gráficos de frecuencias
158
26
¿Cómo podría el director representar esta información de otra forma?
El gráfico de barras simples representa datos estadísticos mediante barras del mismo ancho, paralelas, colocadas en forma vertical u horizontal entre dos ejes perpendiculares.
Cantidad de estudiantes
Para saber más
Preferencia deportiva Fútbol 34%
200 150 Tenis de mesa 17%
100 50
l Fú
tbo 100
El gráfico circular representa características de un conjunto de datos en un círculo. Básquetbol 26%
Preferencia deportiva
0
Para determinar la porción del gráfico circular correspondiente a cada porcentaje (p), puedes usar la siguiente igualdad.
Ángulo del centro =
Deporte
Para grabar
250
p • 360
tb ol
Básquetbol
a
17
sq ue
100
es
Tenis de mesa
0
m
23
Bá
137
de
Vóleibol
50
is
34
le i
200
Te n
Fútbol
100
Vó
fr (%)
Fú t
f
150
ibo Ten l is d em es a Bá sq ue tbo l
Deporte
200
bo l
Preferencia deportiva
Preferencia deportiva
250
bo l
Cantidad de estudiantes
Para completar la exposición al colegio decide presentar la información en un gráfico de barras de la siguiente manera:
Deporte
Vóleibol 23% La frecuencia relativa de cada dato representa una porción del círculo.
Vó le
El director de un colegio expone la siguiente información acerca de las preferencias deportivas de los estudiantes del establecimiento.
Ejercita
1.
Analiza el gráfico de barras simples presentado al inicio de esta página. Luego, responde. a. ¿Qué deporte prefieren los estudiantes? ¿Qué parte del total representan? b. ¿Qué porcentaje de estudiantes prefiere como deporte el tenis de mesa? c. Si se aumenta el número de estudiantes en un 50%, ¿crees que el gráfico se mantendría? ¿Por qué?
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2. Analiza la siguiente información. Luego, responde.
160 140 120 100 80 60 40 20 0
Tiempo en realizar 3 ensayos
El siguiente gráfico de barras múltiples representa la cantidad de emails que reciben Juan y Mario entre los días jueves y domingo. Cantidad de Emails
Tiempo (min)
El siguiente gráfico de línea representa el tiempo que demoró un estudiante en realizar 3 ensayos SIMCE.
Ensayo 1 Ensayo 2 Ensayo 3 Ensayo
25 20
8
Correos recibidos por Juan y Mario Juan Mario
15 10 5 0
Viernes Sábado Domingo Día
Jueves
a. ¿Cuánto tiempo demoró el estudiante aproximadamente en el segundo ensayo? b. ¿Qué puedes concluir con respecto al tiempo que demoró el estudiante a medida que realizó los ensayos? c. ¿Aproximadamente cuántos emails recibe Juan al día domingo? d. ¿Por qué crees que se usó este tipo de gráficos en cada una de las situaciones anteriores?
3. Analiza el gráfico. Luego, responde. a. ¿Qué día de la semana hay una mayor venta de colaciones? ¿Por qué puedes interpretar esto? b. ¿Qué día(s) se vendieron más de 20 colaciones?
Viernes
Jueves
Miércoles
c. ¿Entre qué días se produce la mayor disminución de las ventas? Martes
30 25 20 15 10 5 0
Lunes
Colaciones vendidas
Venta de colaciones en una semana
Día
4. Analiza el gráfico circular. Luego, responde las preguntas.
Porcentaje de participación de 40 estudiantes en talleres extraprogramáticos Música 25%
a. ¿Cuántos estudiantes participan en el taller de danza? b. ¿Qué taller tiene menor participación? Justifica. c. ¿Qué cantidad de estudiantes participan en pintura o música?
Danza 10%
Deporte 45%
Pintura 20%
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Construcción de gráficos Juan quiere organizar en una tabla de frecuencias la información que registra al lanzar 30 veces un dado.
Al construir la tabla, Juan ubica en la primera fila los resultados posibles de los lanzamientos, es decir: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Resultados de 30 lanzamientos de un dado Resultados
1
2
3
4
5
6
Número de ocurrencias (f)
5
4
5
3
7
6
Luego de registrar los resultados en la tabla, Juan decide representarlo gráficamente usando Excel.
Para grabar Para construir un gráfico usando Excel, puedes seguir los siguientes pasos: 1° Copia la tabla que represente la situación a graficar. Por ejemplo:
3° Presiona con el botón del mouse la opción Siguiente y podrás ver en pantalla el gráfico que representa la situación de la tabla. Si vuelves a presionar Siguiente, podrás seleccionar el título del gráfico y asignar un nombre para cada eje.
2° Luego, selecciona la fila que represente la frecuencia. 4° Luego, al presionar nuevamente Siguiente, En este caso, “Número de ocurrencias”, y presiona el visualizarás una nueva ventana, en la cual podrás elegir la manera de guardar el gráfico construido. ícono . En la pantalla, visualizarás lo siguiente: Luego, presiona Finalizar y obendrás el gráfico que Selecciona la opción representa la situación. “Columnas” como tipo de gráfico.
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1.
8
Utiliza el programa Excel para representar gráficamente cada una de las siguientes situaciones. Luego, realiza un bosquejo de los gráficos pedidos en el recuadro correspondiente. a. Tres ciudades del norte de Chile registran las siguientes temperaturas durante el mes de julio.
Gráfico de barras:
Temperaturas del mes de julio Ciudad Temperatura (° C) A 18 B 14 C 20 D 19 E 25 b. Realiza un bosquejo de un gráfico circular que represente la situación anterior. Para ello, utiliza Excel.
Gráfico circular:
• ¿Qué gráfico representa mejor la información? Justifica.
• ¿Cómo se relacionan las variables de la tabla? ¿Cuál depende de la otra?
c. Dos librerías registran durante 6 meses las ventas de un libro muy popular entre los jóvenes. Ventas de dos librerías por un período de seis meses Librería
Octubre Noviembre Diciembre
Enero
Febrero
Marzo
A
850
700
800
900
1.800
800
B
600
450
1.000
1.000
900
1.400
Gráfico de barras múltiples:
Ayuda En Excel puedes construir gráficos de barras múltiples; por ejemplo, de dos barras, seleccionando ambas filas o columnas para su construcción.
• ¿Qué ventaja tiene este gráfico sobre el gráfico circular y de barras simples?
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EVALUACIÓNINTERMEDIA 1 Analiza las siguientes situaciones y argumenta qué muestra considerarías para realizar cada estudio.
a. Las preferencias respecto a una determinada fruta entre tus compañeros de curso. Población y muestra.
b. Una encuesta sobre preferencias televisivas en Chile.
2 Resuelve los siguientes problemas. a. Se quiere hacer una encuesta en una fábrica de muebles, donde hay 1.500 trabajadores, sobre la infraestructura y seguridad de la empresa. Si en la fábrica hay 1.300 operarios y 200 ejecutivos, ¿cuántos operarios debería tener una muestra de 50 trabajadores de la fábrica elegida de manera proporcional a los cargos de la fábrica?
b. Para controlar la calidad de algunos productos lácteos, una fábrica decide analizar 20 de ellos, de un total de 500 fabricados ese día. Determina la muestra analizada de manera sistemática.
Tablas de frecuencias.
3 Analiza la siguiente tabla. Luego, complétala y responde las preguntas. Cantidad de habitantes por hogar Cantidad de habitantes
f
0
0
1
1
2
3
3
7
4
10
5
10
6
8
F
fr(%)
a. ¿Qué representan los valores de la columna “f”? b. ¿Cuántos hogares fueron considerados en el estudio? c. ¿En cuántos hogares habitan, como máximo, 5 personas?
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8 4 Analiza la situación descrita en la tabla de frecuencias. Luego, complétala y responde. Participantes de una competencia escolar por edad Edad (años)
f
11
1
12
8
13
15
14
2
fr (porcentaje)
a. ¿Qué porcentaje de participantes de 11 años hubo en la competencia? Tablas y gráficos.
b. ¿Entre qué edades se concentró la mayor cantidad de participantes? c. Construye un gráfico que represente la situación de la tabla. Luego, justifica tu elección.
5 Analiza cada situación. Luego, resuelve.
Preferencias musicales
a. La siguiente tabla muestra la distribución de un grupo de 80 estudiantes, separados por género, sobre sus preferencias musicales.
Género
Romántica
Rock
Pop
Hip-hop
Mujeres
15
8
7
10
Hombres
5
15
10
10
• Construye un gráfico que represente la información de la tabla. Luego, justifica tu elección.
b. Un alumno que corre los 200 metros planos representando a su colegio, registra las siguientes marcas en las últimas 4 competencias. Construye un gráfico de línea que represente la situación. Marcas de las últimas 4 competencias Número de competencia
1
2
3
4
Tiempo (min)
1,2
1,13
1,09
1,01
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Experimentos aleatorios Al lanzar una moneda al aire, es posible que aparezca sello, pero también es posible que aparezca cara.
El experimento (A) de lanzar una moneda al aire tiene dos posibles resultados, que son: cara y sello. Representación del conjunto de los posibles resultados del experimento “lanzar una moneda”.
A = {C, S} Cara
Sello
Como no se puede predecir con exactitud el resultado del experimento “lanzar una moneda”, cada vez que este se realice, se dice que es un experimento aleatorio. Sin embargo, hay algunos experimentos cuyos resultados son siempre predecibles. Estos experimentos se denominan determinísticos.
Para grabar Un experimento aleatorio es aquel en el cual no es factible anticipar el resultado, ya que este puede variar dentro de una gama de posibilidades. Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se le llama espacio muestral. Un experimento determinístico es aquel cuyo resultado se puede predecir.
Ejemplo: Aleatorio: lanzar un dado de seis caras. Determinístico: soltar una pelota de tenis desde el tercer piso de un edificio.
Ejercita ¿Cuándo crees que un experimeto es aleatorio? ¿Cuándo no lo es?
1.
Clasifica cada uno de los siguientes experimentos como aleatorio o determinístico. Para ello, marca con una X la casilla correspondiente. a. Lanzar una moneda al aire.
Aleatorio
Determinístico
b. Acertar el nombre de una persona al conocer su RUT.
Aleatorio
Determinístico
c. Elegir al azar un número primo menor que 1.000.
Aleatorio
Determinístico
d. Sacar al azar una bolita de una tómbola que contiene solo 10 bolitas de color rojo.
Aleatorio
Determinístico
2. Evalúa si cada afirmación es verdadera o falsa. Para ello, escribe V o F, según corresponda. a. El conjunto E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} representa el espacio muestral del lanzamiento de un dado de seis caras. b. El número de elementos de un espacio muestral no depende del experimento que represente. c. Calcular el perímetro de un rectángulo de ancho 4 cm y largo 6 cm es un experimento aleatorio. d. Determinar el resultado del lanzamiento de una moneda al aire es siempre predecible.
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8
3. Analiza cada una de las siguientes situaciones. Luego, completa con la palabra que corresponda. a. Lanzar 4 veces una moneda está relacionado con un experimento
porque
. b. Calcular el IVA de un producto determinado es un experimento
porque .
c. Registrar el tiempo que dura el recorrido de un bus es un experimento
porque .
4. Analiza la información. Luego, responde. El experimento aleatorio de lanzar dos monedas al aire simultáneamente se puede representar con el siguiente diagrama:
Para saber más
Si cara se simboliza por C y sello por S, se tiene que el espacio muestral del experimento de lanzar dos monedas al aire simultáneamente será:
El espacio muestral también se puede simbolizar con la letra griega , que significa omega.
C
E = {CC, CS, SC, SS}
S
CC CS SC SS a. ¿Cuál es la cantidad de elementos del espacio muestral? ¿Cómo aumentaría esta cantidad si se lanza una tercera moneda de manera simultánea? b. ¿Qué relación hay entre el concepto de potencia y la cantidad de elementos del espacio muestral del experimento “lanzar n monedas”? c. ¿Qué puedes decir del resultado CS y SC? ¿Son iguales?
Ayuda La cardinalidad de un conjunto se representa con el símbolo # y corresponde al número de elementos que tiene el conjunto. Por ejemplo, la cardinalidad del espacio muestral (E) del experimento “lanzar 3 monedas al aire” es de 8. #E=8
5. Analiza cada uno de los experimentos aleatorios de la tabla. Luego, complétala. Experimento aleatorio
Espacio muestral (E)
#E
Lanzamiento de un dado. Lanzamiento de una moneda al aire. Elegir un número entero positivo menor que 10. Escoger un alumno de un total de 8 estudiantes.
6. Representa en tu cuaderno el espacio muestral correspondiente a cada experimento aleatorio. a. Sacar una bolita de una tómbola en la que hay 15 bolitas numeradas del 1 al 15. b. Lanzamiento de 5 monedas al aire de manera simultánea.
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Lenguaje del azar En un curso de 7° básico se hace una rifa con fines benéficos, para lo cual se reparten equitativamente 100 números entre los 45 estudiantes del curso y el profesor.
El curso tiene 45 estudiantes, por lo que cada uno de ellos participará con dos números de rifa y los 10 números sobrantes los comprará el profesor. Entonces, la probabilidad de ganar la rifa está relacionada con la cantidad de números que tenga cada participante. Por ejemplo, para Juan, un alumno del curso, se tiene que: Números comprados por Juan
Números comprados por el profesor
2
10
Por lo tanto, es más probable que gane el profesor a que gane Juan.
Para grabar La probabilidad de ocurrencia de un evento tiene relación con la certeza de que este suceda. Un evento se puede clasificar como: seguro, posible o imposible.
Ejemplo: - Es seguro obtener un número positivo menor que 7 en el lanzamiento de un dado de 6 caras. - Es imposible obtener un 9 en el lanzamiento de un dado de 6 caras. - Es posible obtener un número menor que 5 en el lanzamiento de un dado de 6 caras.
Ejercita
1.
Clasifica cada evento. Para ello, marca con una X según corresponda. a. Elegir una mujer de un curso solo compuesto de hombres.
Seguro
Posible
Imposible
b. Elegir una manzana verde entre manzanas rojas y verdes.
Seguro
Posible
Imposible
c. Que mañana salga el Sol.
Seguro
Posible
Imposible
d. Que una persona se queme si expone un dedo al fuego.
Seguro
Posible
Imposible
e. Que una persona obtenga cara o sello al lanzar una moneda.
Seguro
Posible
Imposible
2. Crea en tu cuaderno dos eventos seguros, dos experimentos posibles y dos imposibles. Luego, comenta con tus compañeros.
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Datos y azar
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150 35 = 0,165 200 43 = 0,172 2500 48 = 0,16 300 52 = 0,1486 Al calcular la frecuencia relativa acumulada de la aparición 350 Dos niños lanzan un del número 6, se obtiene lo siguiente:65 dado y registran la = 0,1625 frecuencia acumulada 400 Resultados a los 400 lanzamientos con que aparece el 1 = 0,16 número 6 por cada 50 6 Número de Frecuencia Frecuencia relativa f fr lanzamientos. lanzamientos acumulada (F) acumulada (Fr) 16,6 1010 10 101010 =0,2 0,2 0,2 0,2 ====0,2 Del 1 al 50 10 10 50 50 50 50 65 50 5 1515151515 =0,15 0,15 0,15 0,15 ====0,15 Del 51 al 100 5 15 100 100 100 10 100 65 100 = 0,2 20 20 20 20 5 20 50 =0,13 0,13 0,13 0,13 ====0,13 10 Del 101 al 150 5 20 = 0,2 150 150 150 15 150 65 150 = 0,15 50 35 35 15 35 35 35 100 =0,165 0,165 0,165 0,165 ====0,165 15 Del 151 al 200 15 35 = 0,15 200 200 65 200 20 200 200 = 0,13 100 43 43 43 43 8 43 150 =0,172 0,172 0,172 0,172 ====0,172 20 Del 201 al 250 8 43 = 0,13 250 250 35 0000 250 65 250 0250 = 0,165 150 48 48 5 48 48 48 200 =0,16 0,16 0,16 0,16 ====0,16 35 Del 251 al 300 5 48 = 0,165 300 300 65 43 300 300 300 = 0,172 200 52 52 52 52 4 52 2500 =0,1486 0,1486 0,1486 0,1486 ====0,1486 43 Del 301 al 350 4 52 = 0,172 350 350 350 48 350 65 350 = 0,16 2500 65 13 65 65 65 65 300 =0,1625 0,1625 0,1625 0,1625 ====0,1625 48 Del 351 al 400 13 65 = 0,16 400 400 65 400 52 400 400 = 0,1486 300 11111 350 =0,16 0,16 0,16 0,16 ====0,16 52 = 0,1486 Para grabar 65 66666 = 0,1625 350 16,6 relativa 16,6 16,6 16,6 16,6 400 se puede observar que la frecuencia En65el ejemplo del comienzo de la página La frecuencia relativa = 0,1625 1 1010 101010 de la ocurrencia de acumulada (Fr) se acerca al valor = 0,16 cuando la cantidad de lanzamientos 400 un evento, de un 6 65 65 65 65 65 aumenta significativamente. 1 = 0,16 experimento aleatorio 16,6 5 5 555 6 puede decir, entonces, que al lanzar un dado de seis caras, los 6 puntos Se tienen un realizado una gran 65 65 65 10 65 65 cantidad de veces, tiende 16,6 % de resultar. 55555 65 (se acerca) a un valor 10 Resultados a los 400 lanzamientos 65 65 65 5 65 65 Fr mayor o igual que cero 65 0,25 15 15151515 65 y menor o igual que 1, 5 0,2 65 65 65 5 65 65 que se puede interpretar 0,16 65 como la posibilidad 88888 0,15 65 5 (probabilidad) que 65 65 65 15 65 65 0,1 65 este ocurra al realizar el 5 5555 65 0,05 experimento una próxima 15 65 65 65 8 65 65 vez. 0 65 Lanzamientos 44444 50 100 150 65 200 250 300 350 400 8 65 65 65 5 65 65 65 Ejercita 1313131313 65 5 65 65 65 4 65 65 1. Analiza cada situación. 65 Luego, responde. 65 4 a. Construye en tu cuaderno una tabla en la cual 13 registres el número de caras obtenidas 65 de 50 en 50 ocasiones, hasta llegar a 500. al lanzar una moneda 65 13 b. Representa tus resultados en un gráfico de línea. 65 c. Estima la posibilidad o probabilidad del evento obtener una cara.
Frecuencia de un suceso
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Probabilidad En una encuesta realizada a 80 asistentes a una sala de cine, se preguntó acerca del tipo de película favorito.
La encuesta arrojó los siguientes resultados: Preferencia de tipo de película Tipo
Aventura
Comedia
Terror
Infantiles
Musicales
Ciencia ficción
Número de personas
15
10
18
12
6
19
Al elegir al azar a una de las personas encuestadas, es más probable que el tipo de película que prefiera sea de ”Ciencia ficción”, ya que es el que tiene mayor preferencia dentro del grupo de personas encuestadas: 19 de las 80 personas lo prefieren.
Para grabar Para calcular la probabilidad de Probabilidad de un evento A: ocurrencia de un evento o suceso “A”, se divide la cantidad de casos número casos favorables P(A) = favorables al evento A por el número casos posiblees número total de de casos que tenga 2= 1 el espacio muestral del experimento 6 3 aleatorio. Estos casos se denominan casos posibles.
Al lanzar un dado de seis caras la probabilidad de que el número de puntos que resulte sea múltiplo de 3 es: Casos favorables: 3 y 6. número casos favorables Casos posibles: P(A) = 1, 2, 3, 4, 5 y 6. número casos posiblees P(A) = 2 = 1 6 3
Ejercita
1.
Analiza el experimento “lanzar un dado de seis caras”. Luego, responde. a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par de puntos?
b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número de puntos múltiplo de 4?
c. ¿Cuál es la probabilidad de No obtener números de puntos menores que 3?
d. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número de puntos mayor que 6?
e. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número de puntos positivo?
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2. Evalúa cada una de las siguientes afirmaciones con respecto a la siguiente situación. Para ello, marca V o F, según corresponda. “En un curso de 35 estudiantes, 12 quieren ir de paseo de fin de año a la playa y el resto, a la montaña”. a. Es más probable que al seleccionar aleatoriamente a un estudiante, este quiera ir a la montaña. b. De los 35 estudiantes 28 quieren ir de paseo a la montaña. c. Aproximadamente, la probabilidad de escoger un estudiante que quiera ir a la montaña es de 0,66. d. Aproximadamente, la probabilidad de escoger un estudiante que quiera ir a la playa es de 0,034.
3. Analiza el siguiente experimento aleatorio. Luego, responde. Se lanzan un dado y una moneda al mismo tiempo. a. ¿Cuál es el espacio muestral?
b. ¿Cuál es la probabilidad de NO obtener un número primo de puntos?
Ayuda c. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara junto con un número par de puntos?
4. Analiza la siguiente información. Luego, responde. Si se quiere tener una estimación de la probabilidad de que al elegir aleatoriamente a un estudiante del colegio éste tenga ojos claros, se puede examinar a 50 estudiantes y contar cuántos tienen los ojos claros. Luego, si 13 de esos 50 tienen ojos claros, se puede estimar que la probabilidad de que al elegir al azar un estudiante del colegio este 13 tenga ojos claros, es de 50 =0,26= 26% . a. ¿Cuál será la probabilidad de que al elegir un estudiante del colegio este no tenga los ojos claros?
Los números primos son números naturales que tienen solo dos divisores. Ejemplo: • El 11 es primo, ya que sus divisores son dos, el 1 y el 11. • El 8 no es primo, ya que tiene 4 divisores, estos son: 1, 2, 4 y 8. • El 1 no es primo, ya que tiene solo como divisor al número 1.
b. ¿Cuándo la estimación será más certera, cuando se examinen a más o a menos estudiantes? Justifica.
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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1.
Analiza la resolución del siguiente problema. El profesor de Matemática de un 7° básico, luego de una evaluación, decide estudiar los resultados obtenidos en su curso, los cuales son: 3; 4; 4; 3; 2; 5; 3; 4; 3; 5; 4; 4; 5; 6; 4; 6; 2; 4; 5; 4; 4; 2; 5; 3; 4; 5; 5; 5; 2; 4; 4; 3; 4; 2; 7; 6; 3; 5; 5; 4; 4; 3; 3; 5; 5. ¿Qué porcentaje de estudiantes del curso obtuvo una nota sobre 4?
Paso
Comprende el enunciado
¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema? El porcentaje de estudiantes que obtuvo una nota sobre 4. ¿Qué información entrega el enunciado del problema? La cantidad de estudiantes con respecto a sus notas. ¿Qué se debe considerar para calcular dicho porcentaje? La suma de las frecuencias relativas de las notas 5, 6 y 7, expresada en porcentaje.
Paso
Planifica lo que vas a realizar
Para resolver un problema se debe crear una estrategia que reorganice la información en un nuevo modelo o estructura, formando un todo coherente o funcional. • Crea una tabla para que puedas reorganizar la información en donde aparezca la frecuencia relativa porcentual.
Paso
Calificación de los estudiantes Notas
Cantidad de estudiantes
fr (%)
2 3 4 5 6 7
5 9 15 12 3 1
11 20 33 27 7 2
Resuelve el problema
El porcentaje se puede calcular sumando las frecuencias relativas porcentuales de las notas 5, 6 y 7, es decir: Porcentaje de Nota 5 + Porcentaje de Nota 6 + Porcentaje de Nota 7 = 27% + 7% + 2% = 36%. Por lo tanto, el 36% de los estudiantes obtuvo una nota sobre 4.
Paso
Revisa la solución
Para revisar la respuesta puedes sumar los porcentajes: Porcentaje de Nota 2 + Porcentaje de Nota 3 + Porcentaje de Nota 4 = 64%, entonces: 100% – 64% = 36%.
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2. Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente. Cinco amigos se reúnen para participar en un juego de cartas. El ganador es aquel que termine con la menor cantidad de cartas y tenga el menor porcentaje. Calcula el porcentaje de cartas de cada jugador.
Paso
Comprende el enunciado
Cantidad de cartas por jugador Jugador Cantidad de cartas 1 27 2 30 3 12 4 19 5 48
¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema?
¿Qué se debe considerar para conocer al ganador del juego?
Paso
Paso
Paso
Planifica lo que vas a realizar
Resolución de problemas
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Resuelve el problema
Revisa la solución
3. Resuelve el siguiente problema en tu cuaderno. Se encuestó a un grupo de 20 estudiantes sobre el puntaje obtenido en un videojuego que tiene como máximo 100 puntos y se obtuvo el siguiente resultado: 5; 100; 25; 25; 50; 75; 5; 75; 50; 50; 100; 0; 75; 100; 0; 25; 50; 50; 0; 25. Contruye una tabla de frecuencias y obtén dos conclusiones.
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HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS
Construcción de gráficos con Excel El software Excel es una herramienta que permite, entre otras cosas, organizar datos en tablas (tabular) y, a partir de esto, generar las representaciones gráficas asociadas. Considera la siguiente situación: Se encuesta a 30 estudiantes y se les pregunta por el número de hermanos que tienen. Las respuestas fueron: 1; 0; 4; 2; 1; 5; 3; 3; 5; 4; 2; 0; 3; 2; 1; 1; 4; 3; 2; 2; 4; 1; 0; 5; 2; 3; 1; 4; 1; 1. Cantidad de hermanos de un grupo de 30 estudiantes Número de hermanos
Frecuencia relativa porcentual
0 1 2 3 4 5 Total
10% 26,70% 20% 16,70% 16,70% 10% 100%
Para construir un gráfico circular no siempre es necesario hacerlo con la frecuencia absoluta. También es posible crearlo considerando las frecuencias relativas. Para ello, puedes seguir los siguientes pasos:
Paso Copia la tabla que representa la información del problema en Excel.
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Paso Selecciona con el mouse la columna en donde aparece la frecuencia absoluta, desde B3 hasta B8.
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Paso
Paso Presiona el ícono
Herramientas tecnológicas
8 y elige el gráfico circular marcando la primera opción.
Si presionas Siguiente, aparecerá en la pantalla la opción de elegir columna o fila; vuelve a presionar Siguiente y podrás rotular los datos del gráfico; por ejemplo, con el porcentaje.
Paso Al presionar Siguiente y luego, Finalizar podrás visualizar el gráfico circular pedido.
1. Utiliza el programa Excel para representar lo solicitado en cada caso. Para ello, completa la tabla. En la siguiente tabla se muestra el resultado que arrojó una encuesta que un profesor hizo en su curso para conocer la cantidad de horas que sus estudiantes dedican a ver TV en sus hogares. a. Realiza un gráfico de barras simples. b. Realiza un gráfico de barras múltiple. c. Realiza un gráfico circular.
Cantidad de horas 1 2 3 4
Horas frente a la TV f 4 9 15 7
fr(%)
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PARA NO EQUIVOCARSE 1.
Analiza cada resolución. Luego, responde. a. En un colegio de 800 estudiantes, 315 provienen de la comuna A, 200 de la comuna B y 285 de la comuna C. Como el colegio tiene un total de 800 estudiantes, al representar la frecuencia relativa se tiene que:
Estudiantes por comuna
285 =0,35625 Comuna A: fr = 800 200 =0,25 Comuna B: fr = 800 285 Comuna C: fr = =0, 35625 800 • ¿Cuál es el error cometido?
Comuna
Número de estudiantes (f)
A B C
315 200 285
fr
• ¿Por qué se produjo el error? • Corrección:
Tiempo de estudio a la semana Día Tiempo (h) Lunes 1,5 Martes 2 Miércoles 1,25 Jueves 1 Viernes 0 Sábado 2,1 Domingo 0
Tiempo (h)
b. Según la siguiente tabla, se construye un gráfico de barras simple.
2,5 2 1,5 1 0,5 0
Tiempo de estudio a la semana
Lunes Martes Miércoles Jueves Sábado Día
• ¿Cuál es el error cometido? • ¿Por qué se produjo el error? • Corrección:
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c. La siguiente tabla muestra cómo se distribuyen los estudiantes de un colegio según su curso, de 5° básico a 8° básico. Distribución de los estudiantes Curso Cantidad de estudiantes Quinto 75 Sexto 89 Séptimo 86 Octavo 90
Si se elige al azar un estudiante del colegio, se afirma que: Elegir un estudiante de 6° básico es más probable que elegir uno de 5°. Además, como la cantidad de estudiantes de 6° es mayor que la de 7°, al momento de la elección siempre será más probable elegir un estudiante de 6° básico.
• ¿Cuál es el error cometido? • El error se produjo porque: • Corrección:
Para no equivocarse
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d. Dos amigos quieren calcular la probabilidad de obtener una cara y un sello al lanzar dos monedas simultáneamente. Uno de ellos cree tener la solución y plantea que existen solo tres casos posibles presentes en el espacio muestral, y son los siguientes: E = {(C, C); (C, S); (S, S)}, es decir: “salen las dos caras; un sello y una cara, o dos sellos” Por lo que afirma que la probabilidad de obtener una cara y un sello al lanzar dos monedas 1 simultáneamente es de . 3 • ¿Cuál es el error cometido? • El error se produjo porque: • Corrección:
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AMPLIANDO MIS CONOCIMIENTOS Regla de Laplace Según Laplace, “la probabilidad de que un suceso ocurra es igual al cociente entre el número de casos favorables al suceso y el número de casos posibles”, es decir: Elementos que forman el suceso.
casos favorables casos posibles Elementos que forman el espacio muestral. 3 1 P(A)= = 6 2 Para poder aplicar la regla de Laplace es necesario que los experimentos den lugar a sucesos equiprobables, es decir, que todos tengan la misma probabilidad. P(A)=
La regla de Laplace cumple con lo siguiente:
Para saber más Si la probabilidad de que un suceso A ocurra es P(A), la probabilidad de que el suceso A no ocurra es 1 – P(A).
1° La probabilidad de un suceso seguro es 1, P(A) = 1. 2° La probabilidad de un suceso es siempre positiva o cero, es decir, 0 ≤ P(A) ≤ 1. 3° La probabilidad de la unión de dos sucesos independientes, A y B, es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos. P(A U B) = P(A) + P(B).
1. Analiza la siguiente resolución. Luego, responde. Al realizar el experimento aleatorio de lanzar un dado y observar el resultado de la cara superior de este, el espacio muestral es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. casos favorables P(A)= Si A = “obtener un número par de puntos”, entonces, usando la regla de Laplace se tiene que: casos posibles 3 1 P(A)= = 6 2 a. ¿Cuál es la probabilidad de que A no ocurra? ¿Qué tiene que ver con el suceso de obtener un número impar?
b. Si B = “obtener un número primo de puntos”, ¿qué valor tiene la expresión P(B)?
c. ¿Cuál es el valor de la expresión P(C), donde C = A U B?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número par de puntos y múltiplo de tres?
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2. Resuelve los siguientes problemas. a. Si en un curso de 7° básico hay 32 estudiantes, al elegir un número de la lista al azar, es igual de probable que este corresponda a una niña o a un niño. ¿Cuántos niños hay en el curso? Justifica.
b. En un estante de una librería hay 5 libros de ficción, 8 de textos escolares, 3 de biografías y 4 de cuentos. Si uno de los empleados de la librería escoge uno de los libros al azar, ¿cuál es la probabilidad de que elija un texto escolar? ¿Cuál es la probabilidad de que no elija uno de biografía?
Ampliando mis conocimientos
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c. En una tómbola hay 9 bolitas numeradas del 1 al 9. Si se extrae una de ellas, se anota su número, se devuelve a la tómbola y a continuación se extrae otra bola y se anota su número a la derecha del anterior, ¿cuál es la probabilidad de que el número formado por los anotados en cada extracción termine en 2 ó 3?
d. Lanzar dos dados al aire y sumar el resultado de ambos puntajes, ¿es un experimento aleatorio? ¿Cuál es su espacio muestral? ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea múltiplo de 3?
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EVALUACIÓNFINAL I. Lee atentamente y marca la alternativa correcta.
1 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A. La elección de una muestra debe ser representativa de la población en estudio. B. El tamaño de una muestra representativa es siempre menor que el tamaño de la población. C. La muestra es un subconjunto de la población. D. La muestra puede ser considerada como la población en algunos estudios.
5 De acuerdo a la información de la tabla, ¿cuántos jugadores del equipo tienen menos de 14 años? Edad de los jugadores del equipo A. 4 B. 10 C. 14 D. 18
2 ¿En cuál de los siguientes estudios es mejor considerar una muestra menor que la población?
3 ¿Cuál de las siguientes alternativas representa mejor una muestra elegida proporcionalmente con respecto a la población? A. Todos los elementos son elegidos al azar. B. La población siempre es menor que la muestra. C. De la población se conserva la misma proporción en la muestra. D. Se ordenan los elementos de la población, después se elige uno al azar y a continuación de este, en intervalos constantes, se eligen todos los demás, hasta completar la muestra.
11 12 13 14 15
2 5 3 4 4
¿qué porcentaje de jugadores tiene 15 años? A. 20% B. 21% C. 22% D. 22,2%
7 De acuerdo a la información que presenta el gráfico de barras simples, ¿cuántos estudiantes se encuestaron?
A. 7 B. 20 C. 24 D. 28
4 ¿Qué tipo de variable es la edad en años de un grupo de personas? A. Cualitativa. B. Cuantitativa. C. Cualitativa y cuantitativa. D. No se puede determinar.
Cantidad de jugadores
6 Con la información de la tabla anterior,
Cantidad de estudiantes
A. En la elección del presidente de tu curso. B. Preferencias musicales de tus padres. C. Gustos gastronómicos de todos los estudiantes de tu colegio. D. Preferencias televisivas de los integrantes de tu familia.
Edad (años)
8 6 4 2 0
Número de hermanos
1
2 3 4 5 6 Número de hermanos
7
8 Con la información del gráfico anterior, ¿qué porcentaje de los encuestados tiene a lo menos 4 hermanos? A. 9% B. 20,83% C. 37,5% D. 62,5%
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De acuerdo a la información proporcionada por el gráfico, responde las preguntas 9, 10, 11 y 12.
Cantidad de litros
5
Litros de leche consumidos diariamente
13 Al aplicar una encuesta a 200 personas acerca de
cómo evaluaría el sistema de transporte se obtuvo el siguiente resultado: Malo Muy malo Muy bueno 6% 16% 12%
4 3 2,5
2
Regular 35%
1
Lu n Ma es r Mi tes érc ole s Jue ve Vie s rne Sá s ba Do do mi ng o
0 Día
9 ¿Cuántos litros de leche se consumieron en los tres primeros días de la semana? A. 3 B. 5,5 C. 8 D. 9,5
10 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A. El día de menor consumo fue el jueves. B. El viernes se registró el mayor consumo. C. La mayor variación de consumo se registró los dos primeros días. D. Los días martes, jueves y sábado se consumió la misma cantidad de leche.
11 ¿Cuántos litros de leche se consumieron esa semana? A. 15,5 L B. 16,5 L C. 17,5 L D. 18,5 L
12 ¿Qué porcentaje aproximado de la leche de la semana se consume durante los días sábado y domingo?
Evaluación final
8 Bueno 31%
¿Cuántas personas evalúan como bueno el sistema de transporte? A. 31 B. 32 C. 62 D. 94
14 Usando el gráfico anterior, ¿cuál de los siguientes conceptos NO se puede determinar a través de este? A. Frecuencia absoluta. B. El tamaño de la población. C. Frecuencia relativa. D. Frecuencia absoluta acumulada.
15 ¿Cuál de los siguientes experimento NO es aleatorio? A. Jugar lotería. B. Encender un papel. C. Lanzar una moneda. D. Escoger una carta de un mazo del naipe inglés.
16 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A. Encender una vela es un experimento determinístico. B. En un experimento aleatorio siempre se puede predecir el resultado. C. Las posibles resultados de un experimento aleatorio pertenecen al espacio muestral del mismo. D. En el espacio muestral asociado al lanzamiento de una moneda hay dos posibles resultados.
A. 30% B. 31% C. 35% D. 40%
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EVALUACIÓNFINAL 17 Si la frecuencia relativa porcentual de un suceso A es del 17%, ¿cuál es la frecuencia relativa de que este suceso NO ocurra? A. 71% B. 83% C. 90% D. No se puede determinar.
18 Al lanzar un dado, ¿cuál de las siguientes alternativas representa mejor la probabilidad de obtener un número primo? 4 4 A. 6 6 3 B. 3 6 6 2 C. 2 6 6 2 D. No 2 se puede determinar. 36 36 19 ¿Cuál 3 3 de los siguientes sucesos tiene una frecuencia relativa asociada del 50%? 36 36 A. Escoger aleatoriamente dos días de la semana. 4 4 B. Escoger un mes del año y que este sea verano. 36 36 C. Lanzar un dado y obtener un número menor que 6. 5 5 D. Lanzar dos monedas y obtener un sello y una cara. 36 36 11 20 ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral 15 15 asociado a lanzar 5 veces una moneda? 5 5 A. 5 15 15 B. 10 5 5 C. 25 20 D. 32 20 3 3 21 ¿Cuál 15 15 es la probabilidad de que, de los tres hijos de un matrimonio, los dos mayores sean mujeres y el 5 5 menor sea hombre? 35 35 14 A. 12,5% 14 B. 25% 35 35 C. 33% 16 16 D. 50% 35 35 19 19 3 35 5
4 4 6 6 3 3 4 6 4 6 6 2 6 es la probabilidad de que al lanzar dos dados la 22 ¿Cuál 2 3 6 3 obtenida sea superior a 10? suma 6 6 62 2 A. 36 2 2 36 4 43 6 6 3 B. 6 62 36 2 36 3 34 36 36 4 C. 6 6 3 36 3 36 2 2 36 5 36 5 D. 6 6 4 36 4 36 2 2 11 urna que contiene 15 bolitas, de las cuales 5 36 23 De 36 una 36 36 5 5rojas y 10 amarillas, ¿cuál es la probabilidad de son15 15 3 3 36 extraer 5 36 5 una bolita roja? 36 36 11 15 4 A. 15 4 15 5 15 5 36 36 5 20 5 B. 20 5 5 15 3 15 3 36 36 5 5 15 C. 15 11 20 5 20 5 15 15 3 3 35 D. 35 5 5 15 14 15 14 15 15 5 35 5 curso se plantea la posibilidad de que escojan 24 En un 35 5 5votación un deporte entre fútbol y vóleibol. 35 por35 16 16 20 20 De 35 acuerdo a los resultados que muestra la tabla, 14 14 35 3 ¿cuál 3 es la probabilidad de que al consultarle a un 35 19 35 19 15 estudiante este haya elegido vóleibol? 15 165 3 316 5 5 5 Elección deportiva 35 A. 35 35 35 19 Vóleibol Estudiante Fútbol 19 14 14 3 5 Hombre 13 5 B. 35 35 35 Mujer 3 14 16 16 C. 35 35 19 D. 19 3 35 5
Mi desempeño Buenas Malas Omitidas
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Datos y azar
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II. Resuelve los siguientes problemas.
1 La siguiente tabla muestra cómo se distribuyen en 4 grupos, según su edad, los habitantes de cierta localidad. Si se quiere realizar una encuesta a 120 personas mayores de 10 años, ¿cómo elegirías la muestra tal que esta sea representativa y proporcional al total de habitantes de la localidad? Personas de la localidad Grupos según edad Menores de 10 años Entre 11 y 30 años Entre 31 y 60 años Entre 61 y 90 años
Cantidad 150 550 350 300
Evaluación final
8 2 Un vendedor de una tienda comercial registra en una tabla de frecuencias las ventas de 5 productos en particular. Representa en un gráfico circular la situación descrita en la tabla. Ventas por producto Producto 1 2 3 4 5
Ventas 45 20 30 40 50
3 Al lanzar un dado 10 veces se obtienen los resultados 2; 1; 4; 4; 5; 6; 1; 2; 2; 1. Construye la tabla de frecuencias que represente el problema. ¿Cuál es la frecuencia relativa asociada al suceso que aparezca 1 punto? ¿Puedes estimar a partir de este lanzamiento cuál es la probabilidad de que aparezcan 3 puntos?
Matemática 7
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RESUMEN Una técnica que nos facilita la retención de lo estudiado para después realizar un repaso eficiente son los cuadros sinópticos que son un resumen esquematizado cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de manera estructurada y organizada. Completa la tabla que muestra algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad. Concepto
Definición o procedimiento
Ejemplo
Una muestra es un subconjunto de elementos de la población.
Se desea conocer el promedio de estatura de todos los futbolistas profesionales. Para ello, se toma una muestra de los futbolistas de la Región Metropolitana.
Población.
Muestra.
Muestra representativa.
Frecuencia absoluta.
Frecuencia relativa.
Experimentos aleatorios.
Gráficos de barras simples y múltiples.
Gráfico circular.
Probabilidad.
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Datos y azar
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Número de pregunta
Contenido
Habilidad
1
Población y muestra
Evaluar
2
Población y muestra
Analizar
3
Población y muestra
Analizar
4
Población y muestra
Comprender
5
Tablas y gráficos de frecuencias
Analizar
6
Tablas y gráficos de frecuencias
Analizar
7
Tablas y gráficos de frecuencias
Analizar
8
Tablas y gráficos de frecuencias
Analizar
9
Tablas y gráficos de frecuencias
Analizar
10
Tablas y gráficos de frecuencias
Analizar
11
Tablas y gráficos de frecuencias
Evaluar
12
Tablas y gráficos de frecuencias
Analizar
13
Tablas y gráficos de frecuencias
Analizar
14
Tablas y gráficos de frecuencias
Comprender
15
Probabilidad
Analizar
16
Probabilidad
Analizar
17
Probabilidad
Comprender
18
Probabilidad
Aplicar
19
Probabilidad
Analizar
20
Probabilidad
Comprender
21
Probabilidad
Aplicar
22
Probabilidad
Aplicar
23
Probabilidad
Aplicar
24
Probabilidad
Analizar
Clave
Mi revisión
Nivel de logro
4 Población y muestra
10 Tablas y gráficos de frecuencias
Solucionario de evaluación final
8
SOLUCIONARIO DE EVALUACIÓN FINAL
10 Probabilidad
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Portada Texto Mat 7mo.indd 2
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