Mat 2m by Mauricio Fresard

Matemática

Medio

circunferencia semejanza números reales funciones

álgebra ecuaciones

Matemá Matemática Matemática º 2 Medio

Dirección editorial

Prof. Rodolfo Hidalgo Caprile Magíster en Diseño Instruccional Pontiﬁcia Universidad Católica de Chile Doctor (c) en Educación Universidad Academia de Humanismo Cristiano

Edición Pablo Saavedra Rosas Profesor de Matemática y Computación Universidad de Santiago de Chile Magíster en Didáctica de la Matemática Pontiﬁcia Universidad Católica de Valparaíso

Cristian Gúmera Valenzuela Licenciado en Ciencias con mención en Matemática Universidad de Chile Magíster (c) en Didáctica de la Matemática Pontiﬁcia Universidad Católica de Valparaíso

Autoría Mabel Vega Rojas Profesora de Matemática Ingeniera Ejecución Química Universidad de Santiago de Chile Magíster en Didáctica de la Matemática Pontiﬁcia Universidad Católica de Valparaíso

Gabriela Zúñiga Puyol Licenciada en Ciencias con mención en Matemática Licenciada en Pedagogía y Educación Universidad de Chile

Claudia Lagos Méndez Profesora de Matemática y Computación Universidad de Santiago de Chile

Mauricio Aguilar Baeza Profesor de Matemática Ingeniero Civil de Industrias Pontiﬁcia Universidad Católica de Chile

El Texto Matemática 2° Medio – Proyecto Nuevo Explor@ndo y su correspondiente Libro de Actividades para Segundo Año de Educación Media, es una creación del Departamento de Estudios Pedagógicos de Ediciones SM – Chile. Dirección editorial Prof. Rodolfo Hidalgo Caprile Coordinación editorial Arlette Sandoval Espinoza Edición Pablo Saavedra Rosas Cristian Gúmera Valenzuela Ayudante de edición Jaime Ávila Hidalgo Autoría Mabel Vega Rojas Gabriela Zúñiga Puyol Claudia Lagos Méndez Mauricio Aguilar Baeza Asesoría pedagógica Gastón Guerrero Arcos Consultoría Erick Inda Rodríguez Desarrollo de solucionario Carla Frigerio Cortés Carolina Troncoso Gómez Corrección de estilo Carolina Ardiles Bonavia Sara Martínez Labbé Dirección de arte Carmen Gloria Robles Sepúlveda Cordinación de diseño Gabriela de la Fuente Garfias Diseño y diagramación Mauricio Fresard Lemmermann Diseño de portada José Luis Jorquera Dölz Fotografía Archivo Editorial Jefa de operaciones editoriales Andrea Carrasco Zavala www.ediciones-sm.cl

Este libro corresponde a 2° Medio y ha sido elaborado conforme al Marco Curricular vigente, del Ministerio de Educación de Chile. © 2010 – Ediciones SM Chile S.A. Dirección editorial: Coyancura 2283. Oficina 203. Providencia, Santiago. Impreso en Chile / Printed in Chile ISBN 978-956-264-797-7 Depósito legal N° 194.048. Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del Copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

Matemática El Texto Matemática 2° Medio ha sido creado pensando en tus intereses y pretende brindarte las posibilidades de emplear contenidos matemáticos en distintos contextos para que logres la comprensión de los mismos. También, se propone un desarrollo explícito de habilidades y el desarrollo del pensamiento lógico a través de la resolución de problemas. El proyecto Nuevo Explorando Matemática 2° Medio incluye un Libro de Actividades que potencia la ejercitación de los contenidos, además de ayudar a que te familiarices con el formato de preguntas de la Prueba de Selección Universitaria (PSU), prueba de carácter nacional, que deberás rendir en unos años más. Esta es la propuesta de Ediciones SM, estamos convencidos que este proyecto junto al esfuerzo y dedicación tuyo y al permanente apoyo de tu profesor o profesora serán la clave de un éxito merecido.

ÍNDICE UNIDAD 1 10 11 12 15 16 19 21 22 24 28 30 32 34 36 38 39 40 45

Inicio de unidad. Inicializando. Números reales. Aproximación de números irracionales. Raíces cuadradas y raíces cúbicas. Operatoria con raíces cuadradas y raíces cúbicas. Racionalización. Analizando disco. Raíz enésima y sus propiedades. Logaritmos. Propiedades de los logaritmos. Ecuaciones logarítmicas. Operatoria combinada. Resolución de problemas. Historial. Cargando disco. Verificando disco. Cerrar sesión.

UNIDAD 2 46 47 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 75 76 81

NÚMEROS REALES

EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS

Inicio de unidad. Inicializando. Productos notables. Factorización. Expresiones algebraicas fraccionarias: identificación y valorización. Expresiones algebraicas fraccionarias: comparación y restricciones. Amplificación y simplificación. Multiplicación y división de fracciones algebraicas. Analizando disco. Mínimo común múltiplo. Adición y sustracción de fracciones algebraicas. Operaciones combinadas. Ecuaciones racionales. Aplicaciones de ecuaciones racionales. Resolución de problemas. Historial. Cargando disco. Verificando disco. Cerrar sesión.

Evaluación integradora 1 82

Recopilando disco.

Índice

UNIDAD 3 84 85 86 88 90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 109 110 115

Inicio de unidad. Inicializando. Ecuaciones lineales con dos incógnitas. Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Herramientas tecnológicas: sistemas de ecuaciones. Método de sustitución. Método de igualación. Analizando disco. Método de reducción. Método de Cramer. Análisis de sistemas: soluciones. Aplicaciones. Resolución de problemas. Historial. Cargando disco. Verificando disco. Cerrar sesión.

UNIDAD 4 116 117 118 120 122 124 126 128 130 132 134 136 138 140 141 142 147

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

FUNCIONES

Inicio de unidad. Inicializando. Concepto de función. Representación de funciones. Función exponencial. Herramientas tecnológicas: función exponencial. Analizando disco. Función logarítmica. Herramientas tecnológicas: función logarítmica. Función raíz cuadrada. Herramientas tecnológicas: función raíz cuadrada. Composición de funciones. Resolución de problemas. Historial. Cargando disco. Verificando disco. Cerrar sesión.

Evaluación integradora 2 148

Recopilando disco.

Nuevo Explor@ndo Matemática

UNIDAD 5 150 151 152 154 158 160 162 164 166 168 170 172 174 176 178 179 180 185

Inicio de unidad. Inicializando. Semejanza. Semejanza de triángulos. Aplicación de semejanza: modelos a escala. Homotecia. Analizando disco. Teorema de Thales. División interior de un trazo. División exterior de un trazo. Teorema de Euclides. Teorema de Pitágoras. Aplicaciones. Resolución de problemas. Historial. Cargando disco. Verificando disco. Cerrar sesión.

UNIDAD 6 186 187 188 190 192 194 196 198 200 202 204 206 208 210 211 212 217

SEMEJANZA DE FIGURAS PLANAS

CIRCUNFERENCIA Y ÁNGULOS

Inicio de unidad. Inicializando. Circunferencia y sus elementos. Ángulos y circunferencia. Relación entre el ángulo del centro y el ángulo inscrito. Relación entre el ángulo del centro y el ángulo semi-inscrito. Ángulos interiores y ángulos exteriores. Analizando disco. Relación entre dos cuerdas. Relación entre dos secantes. Relación entre una secante y una tangente. Cuadriláteros y circunferencia. Resolución de problemas. Historial. Cargando disco. Verificando disco. Cerrar sesión.

Evaluación integradora 3 218

Recopilando disco.

UNIDAD 7 220 221 222 226 228 229 230 231 232 234 237 242 244 245 246 251

Inicio de unidad. Inicializando. Medidas de dispersión. Herramientas tecnológicas: medidas de dispersión. Muestreo. Muestreo aleatorio sistemático. Muestreo aleatorio estratificado. Muestreo aleatorio por conglomerados. Analizando disco. Medidas de posición. Comparación de dos o más muestras. Resolución de problemas. Historial. Cargando disco. Verificando disco. Cerrar sesión.

UNIDAD 8 252 253 254 256 257 259 260 262 264 266 267 270 272 273 276 278 279 280 285

ESTADÍSTICA

PROBABILIDAD

Inicio de unidad. Inicializando. Espacio muestral y suceso. Frecuencia relativa de un suceso. Ley de los grandes números. Herramientas tecnológicas. Probabilidad y propiedades. Variable aleatoria. Analizando disco. Técnicas de conteo. Permutación y combinatoria. Conjuntos. Complemento y diferencia de conjuntos. Cálculo de probabilidades y conjuntos. Resolución de problemas. Historial. Cargando disco. Verificando disco. Cerrar sesión.

Evaluación integradora 4 286

Recopilando disco.

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

Explorando mi Texto Antes de comenzar a trabajar, detente un momento y desarrolla las siguientes actividades para que conozcas cómo está organizado tu Texto.

Señales para aprender Ampliando memoria

Paso a Paso

Cápsula orientada a explicitar de manera verbal la resolución de un tipo determinado de actividad.

Advertencia

Cápsula orientada a explicitar y corregir posibles errores matemáticos.

Ayuda Desafíate

Cápsula de información que tiene por objetivo complementar el contenido entregado.

Cápsula de información que tiene por objetivo facilitar la comprensión de alguna actividad. Actividad de un grado mayor de dificultad.

Pistas

Información complementaria que se entrega en la evaluación de procesos.

Para grabar

Sección donde se formaliza el contenido, apoyado por diferentes tipos de registros y ejemplos.

Explor@ndo mi Texto

Nuevo Explor@ndo Matemática

¿Para qué fueron pensadas las secciones de tu Texto?

Página de inicio Para conocer los contenidos que vas a estudiar en la unidad y las metas de aprendizajes asociados a ellos.

Inicializando

(Evaluación inicial) Evaluación destinada a diagnosticar cierta habilidad a través de la resolución de un problema.

Texto introductorio de los contenidos centrales de la unidad.

Preguntas orientadas a que interpretes y analices los textos y fotografías.

La tabla indica los aprendizajes que puedes alcanzar en la unidad y te explica su propósito.

Definición de la habilidad.

Páginas de contenido En estas páginas se desarrollan los contenidos de cada unidad. En ellas encontraras la sección Para grabar y cápsulas como Ampliando memoria, Ayuda, Paso a paso, Advertencia y Desafíate.

Para grabar Cápsula que formaliza los contenidos tratados.

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

Explorando mi Texto

Analizando disco (Evaluación de proceso) Páginas orientadas a detectar el nivel de comprensión que lograste de los contenidos tratados hasta el momento. En ellas se explicita el contenido que se está evaluando. Mi estado Sección propuesta para el trabajo metacognitivo del estudiante.

Resolución de problemas Páginas destinadas al trabajo de habilidades. En ellas se propone una estrategia de resolución de problemas explicitando la habilidad que se quiere reforzar.

Historial Página que te permitirá elaborar tu propia síntesis de los contenidos trabajados en la unidad.

Cargando disco (Evaluación tipo PSU) Página que te enseña cómo responder preguntas tipo PSU.

Estructura didáctica

Nuevo Explor@ndo Matemática

Verificando disco (Evaluación final) Páginas orientadas a detectar el nivel de comprensión que lograste de los principales contenidos tratados en la unidad.

Páginas con preguntas tipo PSU.

Página con preguntas de desarrollo.

Cerrar sesión Página que te permitirá conocer el nivel de logro alcanzado en cada contenido evaluado. Tabla de cotejo de las preguntas tipo PSU.

Mi estado Sección propuesta para el trabajo metacognitivo del estudiante.

Recopilando disco (Evaluación integradora) Páginas orientadas a detectar el nivel de comprensión que lograste de los principales contenidos tratados en las unidades anteriores a esta evaluación.

Además de las secciones de este Texto, puedes complementar tu aprendizaje con las actividades propuestas en el Libro de Actividades. Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

Unidad

Números reales

1 1

A lo largo de tu enseñanza has estudiado distintos conjuntos numéricos. Por ejemplo, el de los números naturales (), el de los números enteros () y el de los números racionales (). En este nivel estudiarás el conjunto de los números irracionales (), con los que completarás el estudio de los números reales (), que corresponden a la unión entre los números racionales e irracionales.



3,14159265… Pi es un número irracional muy usado en Geometría. Principalmente lo habrás estudiado, entre otros, en el cálculo de longitudes de circunferencias y superﬁcies de círculos.

2,71828182… e es un número irracional utilizado en el trabajo con logaritmos. Lo conocerás más en profundidad a lo largo de la unidad.

 1,61803398… Phi es un número irracional involucrado en el trabajo con proporciones. Es conocido como número de oro. También lo estudiarás más adelante.

Menú de inicio ¿Qué aprenderás?

¿Para qué?

¿Dónde?

Números reales.

Resolver problemas que involucren realizar operaciones y aplicar Páginas 12 a 15. propiedades de los números reales.

Raíces.

Relacionar la raíz enésima con potencias de exponente racional y demostrar algunas propiedades.

Páginas 16 a 27.

Logaritmos.

Aplicar la deﬁnición y propiedades de los logaritmos en la resolución de problemas y relacionarlos con potencias y raíces.

Páginas 28 a 35.

Unidad 1 • Números reales

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Abrir sesión Considerando la información de la página anterior, responde: 1. ¿Qué conjuntos numéricos forman al de los números reales? 2. ¿Qué característica tienen los números irracionales que los hacen diferentes a los números racionales? 3. Averigua los valores de Pi, e y Phi con 10 cifras decimales.

s er

ció

n de p r o

r r

Inicializando

s a mel

c c

re s ol u

en c o n t i do

m as

e e

b le

uac eval ión

ulo

c o n t i do en

ció

n de p r o

Comprender consiste en construir un signiﬁcado a partir de información comunicada en forma oral, escrita y/o gráﬁca. Para comprender, es posible utilizar la representación.

eval ión uac

Dada una circunferencia de centro O y radio r, el valor de Pi corresponde al cociente entre la longitud de la circunferencia y la medida de su diámetro. Si el radio de esta mide 2 cm, ¿qué valor se considera para Pi si la longitud de dicha circunferencia es de 12,566 cm? 1. ¿Qué se quiere conocer una vez resuelto el problema?

2. ¿Qué datos son necesarios para resolver el problema?

3. ¿Es necesario conocer el valor de Pi para responder la pregunta? ¿En qué te basas para interpretar eso?

4. Representa de otra forma la situación planteada. Puedes hacerlo mediante ecuaciones o dibujos.

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

c c

n de prob ció

r r

as lem

e e

en co n t i do resol u

uac eval ión

Números reales El Papiro de Rhind es uno de los textos matemáticos egipcios más antiguos. En él ya se encontraron registros de números racionales. En el caso de los números irracionales, se dice que surgieron en la época de Pitágoras de Samos (aproximadamente 582-507 a. C.), cuando se concluyó que la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles con catetos de longitud una unidad no podía ser un valor racional. A pesar de esto, la idea de número irracional surge en el siglo XVI, al considerar la idea de número decimal no periódico, es decir, un número decimal cuyas cifras se sucedían de manera indeﬁnida sin obedecer a ley alguna. Fuente: Francisco Flores. Historia y didáctica de los números racionales e irracionales.

Para grabar

Los contenidos del Papiro de Rhind datan de 1650 a. C. aproximadamente.

La escuela Pitagórica consideraba al número como un ente perfecto que gobernaba el Universo y todo lo que en él existía.

El conjunto de los números reales () es aquel formado El conjunto de los números racionales () es aquel cuyos elementos son números que se pueden escribir de por todos los números racionales y todos los irracionales. Es decir,  =   . Observa el siguiente diagrama: a a lab forma con a, b   y b ≠ 0. Por ejemplo: –4; 0; 3,5; b 1 A este conjunto pertenecen ; 3,6 ; – 10,0162 4 ; etc.  ; 3,6 ; –; 0,0162 ; 4 3  3 todos los números naturales, todos los números enteros, 2 2 los números decimales finitos y los númelas fracciones,  a ros decimales infinitos periódicos y semiperiódicos. b  El conjunto de números irracionales () es aquel cuyos = elementos son números que1 ;no pueden ser escritos como 3,6 ; – 0,0162; 4 un número racional. Por ejemplo: π = 3,1415…; 3 e = 2,7182…;  = 1,6180…; 2 = 1,4142…; etc. Observación: que un conjunto esté contenido en otro no significa necesariamente que tenga menos elementos.

1. Ayuda Índice de Cantidad subradical. la raíz. Cuando no a =b se indica Valor de es 2. la raíz. Donde a, b   y a, b ≥ 0.

Identiﬁca si la situación implica el uso de números irracionales. Para ello, escribe en la casilla la palabra racional o irracional según el ámbito numérico en que se resuelve. a. Calcular la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1 cm. b. Medir la masa corporal de una persona en kilogramos. c. Calcular la medida de un cateto de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 5 cm y el otro cateto mide 4 cm. d. Calcular el cociente entre la longitud de una circunferencia y la medida de su diámetro. 1+ 5 e. Calcular el valor de 1+ 5 . Puedes usar calculadora. 2 2 65.536 f. Calcular el valor de 65.536 . Puedes usar calculadora.

Unidad 1 • Números reales

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Resuelve el siguiente problema. Si mADB = mCBD = mDGE = mEGF = mGDA = 90°, AD = BD = DG = 1 cm, BC = EG = 2 cm y FG = 3 cm, calcula el perímetro del heptágono ABCDEFG. Realiza tus cálculos aquí.

A B

Ayuda G

El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo la suma de las medidas de cada cateto al cuadrado es igual a la medida de la hipotenusa al cuadrado.

a. Compara tu respuesta con la de tus compañeras y compañeros. ¿Qué puedes concluir?

cat

hip cat2 + cat2 = hip2 b. Si usaras la calculadora, ¿cuál sería el perímetro del heptágono aproximadamente? Explica la aproximación que realizaste.

c. ¿El problema planteado se enmarca en el ámbito de los números racionales? ¿Por qué?

Ayuda Si a, b, c ∈: Conmutativa: a+b=b+a a•b=b•a

Analiza la siguiente información. Luego, responde.

Para grabar Algunas propiedades de los números reales son las siguientes: La conmutatividad para la adición y multiplicación. La asociatividad para la adición y multiplicación. La distributividad para la multiplicación respecto a la adición.

El neutro aditivo de cualquier número real es el cero, mientras que el neutro multiplicativo es el 1. El inverso aditivo de cualquier número real a distinto de cero es –a, mientras que su inverso multiplicativo es 1 . El inverso aditivo de cero es cero y no tiene inverso a multiplicativo.

¿Qué propiedad se aplicó en cada paso de la resolución del siguiente cálculo?

1  + 3 +2+5 3 – 3 =  +2 +  3  3 1

(

3 +5 3 – 3

( ( )

7 = + 3 + – 3 +5 3 3 7 = + 0+5 3 3 7 = +5 3 3

(

Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c a • (b • c) = (a • b) • c Distributiva: a • (b + c) = a • b + a • c Neutro aditivo: a + 0 = a Neutro multiplicativo: a • 1 = a Inverso aditivo: a + (-a) = 0 1 Inverso multiplicativo: a • = 1; a a ≠ 0.

)

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

c c

n de prob ció

r r

as lem

e e

en co n t i do resol u

uac eval ión

Analiza el siguiente ejemplo de operatoria con números reales. Luego, resuelve.

Paso a Paso

2  9 2 – π + 1– 5π =  + 1 + (–π – 5π) = – 6π  7 7 7   2   9 2  2 – 2 +1–5 2 (1)  + (2–π3–+5π – π + 1– 5π =  + 19– 15)–= 3–=6π 7  7 7 7  9,2 – π + 1,5 – φ9=  2    2 2 =  + 1 + – 2 – 5 2 (2) +5 15π–= 3 =+ 1 + (–π – 5π) = a. 9––2π +31– 3 7 – 6π  7   7  2 7 2 – 4= 9,21– 3 4 –   – 2 + –1 – 52 +2 1 – 5 2 (1) 9,2 2(1) – π + 1,5 – φ=2  8 9 – 6π  π π π π + 1 + – – 5 = – + 1– 5 =  ( ) 7 7  9 9– 7 2 3 + 15 –3 37 = 3 5 +7π – 57– 4π +2e= = –6 2  (3) 9 2    4 = 9,21– 3 45–π =– 2 + 2 2 –π 7 – π+ +1–1,5 –8φ= 1 + (–π – 5π) = – 6π =  + 1= + –+ 12+– 5– 22 – 5(2)2b. 9,2 (2) 9– 7 7 7 2 3 + 15 – 37 =  7  si7es  (1) 16 – 2,3– 4 9– – 2 = 2 Primero, seanaliza 2 5 +7π – 35 –24π +2e=  3 6π – –ππ+3+1–4 5–π–=φ–= + 4 1= + (–π – 5π) = –10 9,21– 9,2 1,5 posible asociar9términos 9– 7 7 2 3 + 15 –8 377=  7 9 3φ–= – 2 = (3) 9,2 comunes. = – 6 = 2 – 6 2 ) ––π2+,3– (316 1,5 c. 9,21– = 33 π 4 –––4 5 +7 – 5–– 4=4 3 π +2e= 2 y 5 2 7 7 9– 2 + 15 (2) En este caso, se asocian los 8 310 3 7 2 2 π32+,π 9,2 1,5 = 2= 9,21– 4 165––+7 3– números racionales y 1 y los –––84 5φ––=44 3 π–+2e= 7 7 3 10 = 9,21– 32,π 4–– 4 d. 3 5 –+7 5 –– 474 π +2e= 16 3– 8 – 10 – 2 = irracionales 2 y 5 22. y 5 2 7 (3) Luego, se resuelven las 5 – 4π–+2e= 3 165 –+7 π– 4 2= 2,3– 10 operaciones propuestas. 7 El resultado, en este caso, e. 16 – 2,3– 4 – – 2 = 1 10 / + π – 3φ 21π –1 π = 3φ – π + x queda expresado como una π = 3φ – π + x / + π – 3φ 21π – 7 operatoria entre un número 7 con una incógnita. 1 grado racional y un irracional, la cual se 5. Resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuacionesde21primer   / Aplicando la 21  π π– –1 7π π+ +ππ– 3–φ3φ= =x x podría resolver y entregar una Para ello, analiza el ejemplo. / Aplicando la p 1  21π – π = 3φ – π +x 7/ + π –3φ  aproximación. 7 1 φ153 π – 3φ = x / + π – 3153 1 21π – π= 3φ – π + x  1 7 +x / + π – 3φ 21π –  π = 3φ – π x 7π – 3φla=propiedad / Aplicando asociativa. 721π – π + π – 3φ = x 7 1   7 1   ππ+–x π +/π+π– –3φ 3φ= x 21π – π = 3φ –21 2 +xpropiedad – 7 = 2 –asociativa. 7 / Aplicando 2 +xla–asociativa. 7 =2– 7 2171π – 1 π + π – 37φ = x 153 / Aplicando la propiedad / + π – 3πφ– 3φ = x 21π– π = 3φ – π + x 3 +5 + y= 12 – 2 3  21π – 1 π + π–73φ =7x 3 +5 + y= 12 – 2 3 7 / Aplicando la propiedad asociativa. 153   4 14 π – 3φ = x 7 153  1,3 –4 + y = 3y –14 21π – 1 π + π – 3φ = x 2 +x – la7propiedad = 2 – 7 asociativa. π – 3φ =7/xAplicando 1,3 – 5+ y = 3y – 2  7  7 153  2 5 2 +x – 37+5 = 2+–y=712 – 2 3 π – 3φ = x x –π =3 –φ –π 2 +x – 7 = 2 – 7 7 x –π =3 –φ –π 153 Ayuda 3 +5 + y= 4 12 – 2 3 14 1 π – 3φ = x a. 27+x – 7 = 2 – 37+5 + y= c. e. 2,6 –1 – z = 3 – π 1,3 –3 + y = 3y – 12 – 2 Una pulgada es una medida 2,6 – 7– z = 3 – π 5 4 14 2 1,3 – + y = 3y – 7 4 1 4 inglesa equivalente a 25,4 mm; 3 +5 + y= 12 – 2 3 2 +x – 7 = 2 – 7 x – π =23 – φ – π 3 1,3 – + y = 3y –5 π 2 –3 π = 4(φ – π) + x es decir, 2,54 cm. 2 5 4 + y= 12 – 214 3 π = 4(φ – π) + x b. 1,33–+5 d. x – π =1 3 – φ – π f. 2π – 5 + y = 3y – Es frecuentemente usada en π 5 – z = 3 – 2,6 – π φ π x – = 3 – – 5 las ruedas de bicicletas, u otros 4 124 7 1 1,3 – + y = 3y – –π x – π = 3 – φ – π1 2,6 – – z = 3 vehículos, haciendo referencia 5 en tu cuaderno z = siguientes 3 – π7 2π – 3problemas. 2,62– – los 6. Resuelve π = 4(φ – π) + x a la medida de su diámetro. Por 5 x1 ––πz = 3 –– φ – π7 3 π = 3 2,6 – ejemplo, si una rueda es de π = 4(φ – π) + x 2πde – “aro 3 a. Si una71bicicleta tiene π = 4(φ –5π) + x26”, ¿cuál es la distancia (en cm) que recorre al 2π – ruedas “aro 20” signiﬁca que su π z = 3 –completa? 2,6 –una3–vuelta dar 5 diámetro mide 20 pulgadas 2π –7 π = 4(φ – π) + x (20’’), esto es, unos 50,8 cm. b. Calcula5 3la medida (en mm) de la diagonal de la tapa de un libro cuyo largo mide π – y πsu=ancho, 4(φ – π15 ) +cm. x También es usada en las 162cm; 5 pantallas de los televisores, haciendo referencia a la longitud c. Si un televisor tiene una pantalla de 7’’, ¿cuál es la medida (en pulgadas) de su largo de su diagonal. si su ancho mide 8,5 cm?

(

)

( ( ) )

¿Pudiste obtener medidas exactas? Fundamenta.

Unidad 1 • Números reales

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Aproximación de números irracionales Como ya has visto en cursos anteriores, los números racionales se pueden aproximar con estrategias como el redondeo y el truncamiento. Para aproximar los números irracionales, se puede continuar usando estas mismas estrategias, escribiéndolos como números decimales inﬁnitos. Por ejemplo, en el problema a de la actividad 6 de la página anterior se pide calcular la distancia que recorre la rueda de aro 26 en dar una vuelta completa. Perímetro (P) de la circunferencia que representa la rueda: P = 2πr = 26''π

/ 2r = 26''

= 66,04π

/ 26'' = 26 • 2,54 cm

= 207,470778...cm Como el resultado es un número irracional, se debe aproximar este valor para responder la pregunta. Luego, si en este caso se trunca o se redondea a la unidad, la distancia es de 207 cm; en cambio, si se trunca a la décima, se obtiene 207,4 cm y si se redondea a la décima, se tiene que la distancia es de 207,5 cm. ¿Cómo respondiste la pregunta en la página anterior?

La distancia que recorre una rueda al dar una vuelta completa es equivalente al perímetro de la circunferencia que la representa.

Para grabar Aproximar un número irracional consiste en encontrar un Observación: aproximación de π,  y e por defecto, por valor cercano a dicho número. Cuando el valor encontra- exceso y por redondeo, considerando 4 decimales. do es mayor que el original, se dice que se aproximó por  Aproximación e π exceso; mientras que si el valor es menor que el original, se dice que se aproximó por defecto. Defecto 3,1415 1,618 2,7182 Redondear consiste en encontrar la mejor aproximación del número original, ya sea por exceso o por defecto, según la cantidad de cifras decimales a las que se quiera redondear.

Exceso

3,1416

1,6181

2,7183

Redondeo

3,1416

1,618

2,7183

Ayuda Recuerda que: π = 3,14159265…  = 1,61803398… e = 2,71828182…

Aplica la aproximación pedida en cada caso. a.

2 = 1,414213562… considerando 5 decimales.

5 Por defecto: 2 b.

Por exceso:

Por redondeo:

5 = 2,236067978… considerando 4 decimales.

Por defecto:

Por exceso:

Por redondeo:

Desafíate

Resuelve el siguiente problema. Un estudiante resuelve la ecuación 5 + x = 3 – π + 2 y quiere aproximar el valor de la incógnita considerando 4 cifras decimales. a. ¿Qué valor obtiene si aproxima por defecto?, ¿por exceso?, ¿y por redondeo? b. Explica el procedimiento que usaste para resolver el problema.

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

c c

n de prob ció

r r

as lem

e e

en co n t i do resol u

uac eval ión

Raíces cuadradas y raíces cúbicas

Ampliando memoria 2 La siguiente construcción geométrica es conocida como 3 2 4 espiral de Teodoro y representa 3 5 las raíces de los números 2 4 6 3 2 2 naturales: 5 7 2 2 2 23 3 4 21 6 8 2 3 3 2 2 3 34 3 4 5 3 1 7 9 3 4 3 4 4 45 5 4 4 5 4 4 5 56 5 6 5 5 5 6 6 67 7 6 6 7 6 6 7 78 7 8 7 7 7 8 8 89 9 8 8 9 8 8 9 910 10 9 10 9 9 10 9 10 10 11 11 11 10 10 11 10 1112 1112 11 11 12 11 12 12 12 13 1213 12 13 13 12 13 13 14 14 14 13 13 14 13 14 14 15 1415 14 15 14 15 15 15 15 15 15

2 5 3 61 4 7 5 8 6 9 7 10 8 11 9 12 10 13 11 14 12 15 13

10 12 11 13

( )

ubicar las raíces cuadradas 2 y 3 , se puede aplicar el procedimiento usado por Teodoro de Cirene, maestro de Platón.

a = a; a ≥ 015. Propiedad que luego será demostrada.

2 2 12 +1 3 =hip

2 =hip2 2 =hip2 2 2

12 +12 =hip22 =hip

( )

2 2 =hip +12 =hip2 2

3 12 +12 =hip2 2

1 +1 =hip

2+1= hip2 23 +12 =hip2 3 =hip 3 1 2+1= hip2 2 12 +12 =hip2 2 2 3 =hip =hip 12 +12 2=hip 3 2 =hip 22=hip

( )

15 En ella, se aplica sucesivas veces el teorema de Pitágoras y se considera que

2 Los números reales se pueden ubicar en la recta numérica, sin embargo, el proceso para situar un número irracional es distinto al de situar números racionales. Por ejemplo, para

2 =hip

2 =hip2 2 2 =hip

2 =hip2 3 1 2 +12 =hip2

12 +1222+1= =hip2hip2 2 2 12 +1 3 =hip 2 +1 =hip 2 2 =hip 15 3 =hip 2 =hip2 2 2+1= hip2 =hip 2 =hip 2 2 2 1 +1 =hip 12 +12 =hip22 =hip 2 3 =hip 2 grabar +12 =hip2 2 =hip2 142 =hip2 15 Para 15 2 2 2 2 2 +1 =hip 2 +12 =hip2 2 2 =hip Se dice que 2Teodoro de Cirene a. C.), hip2 (465-399 2+1= 22=hip +1un2 =hip Ejemplo: para representar 15 se considera triángulo demostró la irracionalidad de 2 las raíces cuadradas de los 2 15 Luego, se le 14 hip 3 =hip hipson 2+1= 2+1= 1 y 14 unidades. números naturales que no cuadrados perfectos hasta rectángulo de catetos 2+1= hip2 2 2 aplica el teorema de Pitágoras. 2 el 17. Además, se le 3atribuye geométrica 2 +12 =hip =hip la representación 3 =hip 142 +12 =hip2 A 23 =hip 15 y en la recta numérica de estas raíces usando la llamada 2 15 1 + 14 = hip 2 15 2 1 “espiral de Teodoro”. 2+1= hip 2+1= hip2 Esta espiral se forma a partir de sucesivos triángulos 15C B 1+ 14 = hip 2 3 =hip 2 3 =hip 14 2 rectángulos, donde uno de sus catetos es la hipotenusa 2 2 12 + 1412 + = hip 14 = hip15 = hip del triángulo anterior y el otro cateto mide una unidad.

( )

Se dice que un número natural es cuadrado perfecto si existe un número natural que multiplicado por sí mismo resulta dicho número. Por ejemplo, 4 es cuadrado perfecto, ya que

( )

( ) ( )

Ayuda

( )

( )( ) 1+copia, 114+=(hip 1414)un==compás, Luego, el segmento con 15 CA se 1+ hiphip sobre la recta numérica, haciendo coincidir uno de sus extremos 2

con el origen de la recta.

( )

15 = hip1+1514==hiphip 2

12 + 14 = hip 2 15 = hip Identiﬁca los números que completan la siguiente recta numérica.2 Para ello, 1+ 14 = hip selecciónalos de la lista y escríbelos en las casillas. 15 = hip

22 = 4. Esto es, 4 = 2. 1

13 4 13

6 , – 12 , 38 , – 8

Unidad 1 • Números reales



1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Aplica el procedimiento usado en la espiral de Teodoro para representar 7 y 17 en la recta numérica. 17 101 2 101 2 2 2 2

a b

 a 2= b a a 7 Compara el procedimiento aplicado con el de tus compañeros.2 ¿Hay 2más = de una = b 2 = a /()2 b manera de hacerlo? 17 b2 2 a 2 = a2 /() 2 /() ¿Qué estrategia recomendarías usar para representar 101 en2la=recta numérica? b 2= a b 2 b2 Desafíate a2 2= a 2 2= 2 b2 2 b 3. Analiza la2siguiente demostración. Luego, completa la demostración propuesta y 2 2 3 responde. a 3 2 3 2 b 2 2 2 Se demostrará que 3 es un número irracional. Se demostrará que 2 es un número irracional. a 1. Supón3que 3 es 1. Supón que 2 es un número a racional. 2= a a a Entonces, se podría a escribir de la forma , Entonces, se podría2 escribir b de labforma , b b b a donde , bb ≠ 0 y la fracción es irreductible. a a, b a donde a, b a , b ≠ 0 y la fracción es /()2 2= b Estobes: b . b Esto aes: 2 = a irreductible. a 2 a a a 2= a 2= b 2= 2 2= b /() 3 = b 2. De la igualdad se tiene que: b b22 2. De la bigualdad a b2 a se tiene2que: a 3 = a2 /() /() = a a 2 /() 3= a 2= 2 /()2 2= /()2 2= b b 3= a /()b 2= b a b b 2 b 2= 2 2 ⇒ 2 b 3 a ⇒ 2b 2 a2 3= a a2 a b2 =2= 2 2= a2 a /() 3= a 2 2 2= 2= 2 b b 2= 2 b a b b2 b2 /()2 b 22= 3. De 2 se puede concluir que es múltiplo de . a 17 b 3. De 2 se puede que a2 es3par. 2= 2 concluir 2 es múltiplo de . 4. De 3 se puede b concluir 3 a 17concluir que 17 4. De 3 se puede 3 2= 2 que a es par. 3 3 . 5. Como a es múltiplo de 3, se tiene que b 5. Como a es par, se tiene que a =a2k, k  . Luego, reemplazando en 2 se tiene . 2 2 3 Luego, reemplazando en 2 3se tiene b b = 2k . 3 de 3 . 6. De 5 se concluye que b también es múltiplo 3 concluye que 3 b también es par. 6. De 5 se 7. Como a y b son múltiplos de 3, tienen factor común 3. 7. Como a y b son 2. a común 3 pares, tienen a factor 2 Lo concluido en 7 es falso porque 3 = a y/() a a Lo concluido en 7 es falsob porque b forman a b 3 b b una bfracción irreductible, por lo que a2 no pueden a tener múltiplos comunes. 3= 2 b a b a /()2 3= a a a 2 /()2 3= /()2 3= b /() 3= b b b 2 b aque irracional. a. Demuestra ena tu cuaderno 17 es un número 2 2 2 3= 3= a2 a /() a 2 3= 3= b b 3= 2 a 2 b2 b2 a ∈ , entonces a es par? 2 /()si b se concluye 23= b. ¿Por qué que a es par, tal que a b 3= 2 b 17 a2 c. ¿En qué consiste una demostración por el método "del absurdo"? 17 3= 17 17 2 b 17 17 Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

en co n t i do

uac eval ión

resol u

c c

r r

as lem

e e

n de prob ció

Analiza la siguiente información. Luego, resuelve. A

Ayuda Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo BCD, se tiene:

5 2 + 32 = hip 2

Para calcular la medida de la diagonal del rectángulo ABCD, se puede aplicar el teorema de 3 cm Pitágoras. Observa la cápsula de ayuda.

5 cm

a. Si construyeras con regla y compás el rectángulo ABCD, ¿cuál sería la longitud del segmento BD?

25 + 9 = hip 2 34 = hip 2

b. ¿Qué valor responderías si te preguntaran por la medida del segmento BD? Compara tu respuesta con la de tus compañeros y compañeras y deﬁende tu postura.

34 = hip

c. ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado de lado 8 cm?

Resuelve los siguientes problemas. Compara tus respuestas con las de tus compañeros y compañeras. a. Si el radio de un círculo mide 5 cm, ¿cuánto mide su superﬁcie?

b. Si la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo está representada por 306 cm, ¿cuánto mide uno de sus catetos, si el otro mide 15 cm?

c. Un terreno rectangular tiene una superﬁcie de 198 m2. Si su largo mide 22 m, ¿cuánto mide una de sus diagonales?

Ayuda h

d. ¿Cuánto mide la generatriz de un cono recto cuya base tiene un diámetro de 14 cm y una altura de 12 cm?

Generatriz

r r

4πr 3 V= 3

e. Si un cubo de madera tiene un volumen de 3.375 cm3, ¿cuánto miden sus aristas?

f. Si el volumen de una esfera está representado por 7.776π cm3, ¿cuánto mide su radio?

Unidad 1 • Números reales

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Operatoria con raíces cuadradas y raíces cúbicas A continuación podrás practicar cómo realizar operaciones con raíces cuadradas y cúbicas. Para ello, debes leer las secciones de contenidos y realizar todas las actividades propuestas.

Para grabar Para resolver adiciones y sustracciones que involucren Para agrupar las raíces, debes ﬁjarte que tengan igual índice raíces cuadradas y/o cúbicas, puedes aplicar un pro222 +++ de555 –––raíz 4 e5igual – 5 = cantidad –3 – 3 5 subradical. –3 2 + 5 – 444 555 ––– 555 === –3 –3 ––– 333 555 cedimiento similar al usado en la reducción de términos 333 666 ––– 666 ––– 555 === 222 666 ––– 555 semejantes, es decir, puedes agrupar números del mismo 3 6 – 6 –5= 2 6 –5 54 222 4 4 222 222 54 tipo. Por ejemplo: 4+ 54444 +++ 444 333 2 333 === ––– 54 2 +++ 2 333 ––– 444 ––– 4+ 4+ 777 + 777 3 – 4 – 4+ 777 3 = – 777 + 777 3 7 7 7 7 7 2 + 5 – 4 5 – 5 = –3 – 3 5 22,3 2 2+=1––1+ 2 2,3 2 =2 2,3 ––– 2,3 222 ––– 2,3 +++ 2,3 22219– ––– 1+ 2,3 2,3 2,3 2,3 1+ 2,3 –1+ 2,3 2,3 2,3 2,3 2,3 1+ 2,3 – 2,3 2 – 2,3 + 2,3 2 – 1+ 2,3 2,3 222 === –1+ –1+ 2,3 2,3 222 3 6 – 6 – 5 = 2 6 – 5 En este caso, no es posible determinar un valor racional 3 +2 22 π + 9π – 4 333 3 – 333 3 9,2 +++ π = 26 π – 5 33333333+0,6 +2 2 = 22 π π 26 π 22 π 2 –––+5551– 22π π +++ 999π π ––– 444 3 333 ––– 3 333 19– +π π ===226 26π π 32 2 = que represente2el resultado de la operatoria. 544Por 4lo tanto, 2 2 33 3 = – por+números 3 3 – 4 – 4+ + la expresión 44 3333 555+ 4 333 8 + 2 + 3 8 = 55 33 33 33 2,27 4 se representa con compuesta 33 5 7 7 7 7 7 88 33 33 3 +0,6 +2 2 = 4 53–– +2 5 ++ 33 55 –– 33 33 33 –– 55 33 33 ==9,2 racionales e irracionales. 33 ++ 55 –– 33 33 –– 55 33 ==19–333 2 –– 882 +331– 27 2 = 3 2,3 – 2,3 2 – 2,3 + 2,3 2 – 1+ 2,3 2 = –1+ 2,3 23 2 323= 19–3 2+ 23+81– 9,2 34 +2 3+12+0,6 = + 5+2 8+= 211= 2,27 2,5 5 +3 1 – 7 52 = 22π + 9π – 4 3 3 – 3 3 + π = 26π – 5 3 3 19– 2 2 + 1– 2 2 +2 2 = 9,2 3 +2 3 +0,6 1. Resuelve3 las siguientes adiciones y sustracciones. 2,27 + 4 3 8 +3 3+ 368 = 3 3 2,5 +3 –2 4 5 3 5 3 73 + 5+2 9,2 +2 3== 81 –532,1 π +131 +0,6 π+– 211= –8 3 + 5 –3 3 3 –5 3 3 = 2,27 + 4 3 8 + 5+ 3138 = 3 3 2 7 3 365 + 11= 3 2,5 –+ 54 +3 + 8= 3 8+1+31+–314 f. 2,27 a. 19– 2 2 + 1– 2 2 = 835 81 – 5 2,1π223 3+ – 2π –2233== 75 2,5 5 +3 11 – 135 + 11= 6 213 52 = 9,2 3 +2 3 +0,6 +2 2 = 8,3 51 – 22 3 515 + 1,8– 3+ 3== 81 ––55 2,1 +11+–314 π223 11= 2,5 +3 19– 2 2 + 1– 2 2 = 835 –52π+–223 2 3 6 33 53 13 3 3 3 + 8= + 4 8 3+ +0,6 == 81+3 – 2,1–π 3– + =π – 352 2,4 722+ – 51 b. 2,27 g. 835 9,2 8 ,3 +71,8– 19– 23 +2 2 + 1– 27 2 =+2 2 = 13 23 + 14 –51 5 223 –62 21 223 3 = 81 – 2,1π + 3 + π – 3 = 2 323= 3+314 3+ 1– 2 13 835 ––51 533–7223 ––= 2 223 == = 19– 2 2 9,2 3 +2 3 +0,6 +2 2 = 8 ,3 22 + 8 = 2,27 + 4 8 + – 3+ 2,4 2,5 5 +3 11 – 5 + 11= 1,3π+3 11–π –51 π71,8– 33 21 11π52 75 2 5 835 – 5 223 + 14 – 2 223 == 19– 23 +2 2 + 1– 2 2 =+2 2 = 8,3 51 – 22 351 + 1,8– 21 52 9,2 3 2+0,6 c. 2,27 + 4 3 8 +3 3+ 368 = 3 h. 2,4 +3 3 7 – 3 –33 7 =  3 11π – 133 2,5 +3 –2 1,3 11π2 π –51 π– 1,8– 73 + 3 5+2 3== 81 –532,1 π +131 +0,6 π+– 211= 8 ,3 – 22 3–517+ – 21 7 52 == = 125 –33,8+ 9,2 +2  2,4 +3 3 7 – –53 7 2= + 8 = 2,27 + 4 3 8 + 5 13 3– 33π – 33 11π 7 2 3 365 + 311= = 3 2,5 –+ 54 +3 1,3π+3 – 33 711–π2 1 = 2,4 3– 7 + 2,27 8+1+31+–314 835 –8 2π=–2233== 81 – 5 2,1π223 + 125 – 3,8+ 7 –  – 3 7  = 5 3 3 13 25 7  = d. 2,5 5 +3 11 – 5 + 11= i. 1,3π – 3 11π – π –233 11π 6 213 52 = 8,3 51 – 22 3 515 + 1,8– 1 3  3 35 3  3== 81 ––55 2,1 +11+–314 + –52π+–223 π223  == – 11 7π 1,3125 11π – 7 π– – 33 π ––33,8+ 835 11= 2,5 +3  21 3  33 53 13 6 3 3 35  =π – 352 2,4 722+ – 51 = 81+3 – 2,1–π 3– + 125 – 3,8+ 7 –  – 7  = 8 ,3 +71,8–  21 3  835 –51 5 223 –62 21 223 == 23 + 14 13 3 3 e. 81 – 2,1π + 3 3 + π – 3 = j. 125 – 3,8+ 7 –  – 7  = 3 13   2 835 ––51 533–7223 +–314 ––= 2 223 == = 8 ,3π+3 22 + 2,4 1,3 11–π –51 π71,8– 33 21 11π52 25 835 5 – 223 + 14 – 2 21 22352 == 8,3 –51 22 351 + 1,8– 2,4 +3 3 grabar 7 – 3 –33 7 =  1 Para 3  1,3 11π2– 73+ π –51 π– 1,8– 52 – 2111 7π == = 125 –33,8+ – 33 5• 8 7,3= +3 353–722– 351   2= –5 7 2,4 35 55 ••• 777 === o35 35dividir raíces, debes ﬁjarte que tengan igual índice de Para resolver multiplicaciones 3– 33π – 1y33divisio = Para 5multiplicar 1,3 – 373 711–π2 π 3– 7 3 11π = 2,4 +3  35 : 5 = raíz; las cantidades nes que involucren raíces5 cuadradas  35 : 5 = – 7 = 125 – 3,8+ 7 –  35 :: 55 == 777 subradicales pueden ser distintas. 3   35 1,3π se – 3multiplican 11π2– π –233 11π  = y/oacúbicas, o dividen, • b = a• b 1 3  Ejemplos: 35 aaa ••• bbb === aaa ••• bbb 3  == – 11 7π 7 π– – 33 según corresponda, 1,3125 11las π ––33,8+ π –cantidades    2   1 3  5 8 • 8 =de 5 64raíces = 5•5 8 = 40 64 40 subradicales – 7  = 555 888 ••• 888 === 555 64 125 –las 3,8+ 3 7que – tengan 64 === 555 ••• 888 === 40 40  21 3 2121 3  3 2índice. igual 21 2 21 3 21 2 3 – 7 = 125 – 3,8+ 7 – : 6 : 3 = 5 • 6 7: 3== 35 2  21 22 3 :: 2 66 :: 33 == 21 66 :: 33 == 21  6 : 3 = 2 : 6 : 3 = 7• 7 = 355 •10 7 = 35102 5 5 ejemplo: Por y 10 10 10 10 555 777 10 10 35 : 5 = 7 a 353 :• b 5 4= + a735. 2Más ab 12 ab 12 2ab 12 : • b5adelante =6 = 7ab se12 + ab 12 = aaa2ab333 ••• 12 bbb 444 +++ aaa 222 ••• bbb 666 === ab ab 12 12 +++ ab ab 12 12 === 2ab 2ab 12 12 3 3 a • b = a3• b 3 3 3 3 3 demostrará que ; 3 a 4• b3 = 3a a• b5• b3 = a •3b 8 15 125 33333• 244 15 • 5 3 33 5 3 3 3 3 15 •• 55 15 125 125 33 •• 22 15 33 88 15 =3 4 –• 333 22 –– =33 3 –55 15•• 55=333–12 – • 5 25 = • 2– 25 15 === –12 –12 25 === 3 8 ––– 15 125 === 3 • 2 ––– 15 • 5 === 333 ––– 15 + 8 • 8 = 5 2 64 = 5 •58 = 40 2 •• 52 15 –12 – • 5 25 2 5 5 donde a, b    {0} y 555 2 5 2 2 5 5 8 • 8 = 55 64 22 55 22 55 8 • = 58 •=85= 40 64 = 5 • 8 = 40 22 21 a : b = a::: b; 321(2b ≠0). 21 21 ≠ 3 a2: b = 3a:: b; a:: b; b; ((bbb ≠ ≠000)) : 6 : 3 =: 2 : 66: 6: 3:3==3 21= 26 : 36 =: 3 21= 2 aa 2:: bb == a: 10 7 10 5 1010 5 7 10 5 710 a 3 b 4 + a 2 b 6 = 12 + ab 12 = 2ab 12 • • a 3 • b 4 +aa 32••bb 46+=aab2 •12b + 6ab= ab 12 ab =122ab Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo + ab12 12 = 2ab 12 3 3 3 3 3 33 3 4 3 3 3 • 2 15 • 5 3 82 31515 • 125 3 4 3 33 54 33• 3 23–3 335 85 3• 5153 25125 3=3 8 3 •15 – 1255 3=• 2 15–• 5 = 3 – 15 = –12

c c

n de prob ció

r r

as lem

e e

en co n t i do resol u

uac eval ión

( ( ( ( (

) ) ) ) )

9 • 2 50 3 •:22 32= = 5,3 9 • 2 50 3 •:22 32= = 5,3 1 3 92,9 • 2• 93 •27 2 •3 == 5,3 50 : 2 21 2 = 1 3 9 • 2 3 • 2 3 2,9 9 27 • • 5,3 50  3: 32 2=== 3 21 1= Analiza la sección Para grabar del ﬁnal de 2,9 la página anterior y calcula el valor 3 11:93 2711 5,3 • 50 : 2• 12 == 5   3 21 numérico de cada expresión. Luego, escríbelo en3 la3casilla. 2,9 • 9 27 •  == 11 3 3 11: 3 21   5 3 3 3• 31 • 3 3 = • 2,7 3 38111: 2,9 • 9 27 11  ==3 35 3 3• 21 3  81 2,7 3 3 == • • 11:=• 24 f. 3a • 11: a. 9 • 2 3 • 2 3 = –4a  24    5   3 3 3  =• 3 =  324 • 2,7 • 113 3a3•81 11: –4a = 5,3 : 3 24  5 24 3  9 • 2 50 3 •:22 32= = a 81 • –4a –4a 24 = • 2,7 • 3 +b • 3• = a • –4a 24 : 24 = 9 • 2 50 33 •:22 312= = 3 +b 3 • –4a 24 = • –4a b. 5,3 g. 3 == • 2,7 •24 10324 aa•81 –4a 2,9 3 3: • 324 9 • 2• 93 •27 2 •321== 4 : 4 = 11,4 : 5,3 50 : 2 2 = a • –4a9 24 +b • –4a 24 = 103 1 a –4a 24 : 24 = • 3 3 3 9 • 2 33• 2 3 = 5,3 5027 : 2• 2 == : •4–4a = 24 = : 24 4+b 2,9 •9 a11,4 • –4a 3 1= 3 3 3 11: 3 3 1121 9 253 – a– 103 3 33a 125 = 1,3 3a •  5,3 50 : 2 2 = c. 2,9 • 9 527 •  = h. a11,4 4 : 4 = : –4a 24 +b • • – 4a 24 = 1 33 3 21 103 33 9 3 45 3 2,9 • 9 27 •  == : 4 = 11,4 : a– 33a 125 = 1,3 3a 25 – • 311 3 3 38111: 1• 3 = • 2,7 • 321 35 a 12103 :9b 312 5 •b –12a+1= 3 3  3 3 3  3  2,9 • 9 2711 •  == 1,3 • :3a 25 –4 : a–433a 3 11: = 125 = 11,4 : 324 =  5 3 24 35• b –12a+1= 3 –4a 3 3 21 a •  9   a 12 : b 12  d. 3 8111:• 2,7 i. 1,3 • 3a 25 – a– 33a 3 125 = • 3=  • 113 =  3 3 3  3 5 3 3 b –12a+1=  5 a •12 3 3 = • 2,7 • 113:= • 24 33a 3 125 = 1,3 3a: b2512 – •a– a •8111: –4a =  5 24 +b • – 4a 24 =  3  3 5 a 12 : b 12 • b –12a+1= 81 • 2,7 • 3 • 3 = a • –4a 243 : 324 = 2,724 • 103 • 3 3+b • 3 e. 11,4 j. a 12 : b 12 • b –12a+1= aa ••81–4a • = –4a 4: : 324 4–=4a = 24 = : 24 9 aa •• –4a 24 +b • –4a 24 = –4a 10324 : 324 = 3: •4–4a a • –4a = 3 24 = 11,4 : 243 4+b 33a 125ejercicios. = 1,3 • 3a 253 – a– 103 9resolución Analiza la de Luego, responde. 3 5: •4–4a a • –4a 24 = = los 11,4 : 24 4+b 103 3 33 9 3 433a = 125 = 11,4 : : b2512–4 •: a– 1,3 • 3a a 12 b –12a+1= 103 9 3 5 3 3 = 3 125 = 11,4 : 25 –4 : a–433a 9 27 1,3 • 3a =3 9 =3 • 3=9 Resolución1: 3 9 3 9 27 :3 3 = 5 a1,3 12 : b 12 • b –12a+1= • 3a 25 – a– 33a 125 = 3 3 3 b –12a+1= 5 a 12 33a 3 125 = 1,3 – • a– • 3a: b2512 9 27 a 12 : Resolució b 12 5• b –12a+1= n 2: 9 27 :3 3 = • 3 =3 27 • 3 =3 81=3 • 9=27 3 a 12 : b 12 • b –12a+1= 15 5 3 6 : 3 36 = 4 a. ¿Qué diferencia(s) hay entre las resoluciones expuestas?

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b. ¿Por qué crees que se obtuvo un resultado distinto?

Ayuda c. Busca una justiﬁcación de por qué la resolución 2 es la correcta.

5 2 7x = 5–2 343 x=

5–2 343 5

Resolución1:

x = 5–4 49 7 x= 625

Unidad 1 • Números reales

9 27 :3 3 =

9 27 3 3

=3 9 =3 • 3=9

9 27 x – 4 8 =32 – 8 d. A partir del Resolució =3 27 • cálculo. 3 =3 81=321+ n 2:análisis 9 27anterior, :3 3 = realiza• el3siguiente • 9=27 21+ x – 4 8 =32 – 8 3 3 3 + 5 + y= 2 5 – 2 3 15 3 3 3 3+ 5 5 6: 36 = 3 + y= 2 5 – 2123 1,5 3 9 • 3 3 3 + y = 4 – 12 4 21+ x – 4 8 =32 – 8 1,5 3 9 • 14 3 3 + y = 4 – 5 21+ x – 4ecuaciones. 8 =32 – 8 Resuelve en tu cuaderno las siguientes 14 18 • 7 2 5 3 3 + 5 + y= 2 5 – 2 3 x – 3 =3– x – 43 =3– 18 • 7 2 3 3+ 5 3 + y= 2 5 – 2123 a. 21+ x – 4 8 =32 – 8 c. 1,5 3 9 • 3 3 + y = 4 – e. 23 : - z= 98 : 2 4 12 3 23 : 5 - z= 98 : 2 1,5 3 9 • 14 3 3 + y = 4 – 5 3 3x+– 45 +8 y= 2 –5 –82 3 21+ =32 14 18 • 7 2 5 x – 3 =3– 33 3 54x =3–1 3 256 12 3 b. 3 f. 33 3 4x =3–1 3 256 3 +2y =54––2 3 d. x 3– 43 =3– 18 • 7 2 1,5 33 9+ • 5 +3 y= 2 : - z= 98 : 2 5 14 12 3 4 1,5 3 9 • 3 3 + y = 4 – 23 : 5 - z= 98 : 2 x – 3 =3– 18 7 2 • 5 14 33 3 54x =3–1 3 256 33 –1 3 4 3

3 73 3 •73 ••3 33 21 = 3 = 3 3• 3 3 1 2 3 4 5 6 7 8 3 3 5 5 5 • 5 •363 36 5 5363 36 1 2 3 4 5 6 7 8 == == 33 3 3 3 6 6356 635•6• •3633636 5 636 = = 3 6 6 3 6 • 3 36 7 7 7 • 7 •5 5 35 35 35 35 == == == 20 35 4 • 45 35 4 5 5 5 •7estos Hay fracciones en las que el denominador contiene4raíces. En puede aplicar5el método llamado racionaliza5 7 • • 5 se20 4 5 = 4 5 • 5 =casos, = = en su denominador. ción, con el que es posible convertir esta fracción en otra equivalente que ya no 5 4 5 4 5 • 5 4 • 5 20 contenga raíces 13 = 5 3 3 = 123 4 • 43 •123 12 4 34123 12 4 34123 12 4 341213 4 4 == =12 = 12 = = = =– 521 == 3 3 3 Para grabar 13 3 3 == 3 93 3 •4123 12 36 21 3 3 3 3 3 144 3 1.728 3 144 4 12 4 4 12 4 12 • 5 11 7 7 5 2=== 912 3 144 3 144 • 12 = 3 1.728 = 3 • = – 36 13 = o , , 21 3 3 Para racionalizar como: Para3 3racionalizar expresiones 311 2= 9 73 3 56 4 75expresiones 144 3 3 144 1.728 3 • 12 – 236 • 12 3como: 1321 1• 7 + 6 o 3 12 , , –32 2== 1 = 35 311 1 2 4 7 7 1 , se ampliﬁca por el 421 2 o 4 , 7 3 5, 6 , 47 5 o 113 12 o , o , 7 3 5, –32 2==7 – 6 7 – 6 7 + 6 311 , se ampliﬁca por el valor irracional 7 7 – 6 2 – 8 3 + 5 3 3 3 12 1 2 4 4= 4 5 6 3 12 3 + 5, 2 – 8 o 7– 6 3 7 , 6 47, • 5 3 3o 1221 –3242== binomio respectivo de tal manera que se convierta = = 3 3 3 12 que permite perfecto o cubo perfecto en 12 4 5 un3 cuadrado 3 + 5 2 – 8 7– 6 7+ 6 733 673obtener –3247== •• 33 = 321 en una suma por diferencia. Observa: = = subradical, 312 la cantidad según sea el índice de la raíz. Observa: 2 4 • 4 • 3 –3 –5 5 2 –3 12 457 = 4 4 7 73 = 7 •73 ••3 33 = 21321 7 – 6 3 = == =7 – 57 = 7 • =3 321 312 3 6 3 +3 4+5 5 3 + 4 •5 3 3– – 5 5 3 53 = 3 •53• 33 36 =3 5 3 36 = 7 – 5 = = 3 3 3 = 33 = 3+ 5 3– 5 7+ 6 5 3 6 3 353 3 5 • • 336 7 = = 3+ 5 2= 6 = 6 • 36 = 5 636 5 3 + 5 3 – 5 5 –3 6 == 49– 6 3 3 13 3 3 3 = • 3636 5=3 536636 5 56 =5 • 536•36 75623== 3 – 5 7+ 6 1321= 4 3 – 5 33 = 4 3– 5 3= 3 2 5 3636 3 56 3 56•3 • 36 = 5 == 4 3 – 5 = 4 3 – 5 –3710623 = 35 – 13 6 7 = 6 • 736• 365 = 6 35 43 = 3 = – 7310 3 = 521 2 == 4 2 23 – 52 2 = 4 3 – 353––5 5 6 =3 6 • 3 36 = 6 = – 13 2 16 2 3 – 5 = 4 75 = 4 75•• 55 = 4 •355 = 2035 = 21 = 3 2 – 5 2 = – 7310 3 = – 2132 = 2 165 = 3–5 = 21 47 75 = 47 •75••5 55 = 354 •355 = 352035 3 – 5 –27310163 = = 32 2 =4 – = = = 3 – 5 35 421= 4 3 – 5 7 • 5 4 •355 2035 7 = –2831016625 2== 4 45 45 4= 45 •54•5• 35124= • 5 =4203 12 4 3 12 4 3 12 3–312 2 2 5 = –2 3 – 5 = –2 3 + 35= 4 2 5 = = –2 3 – 5 = –2 3 + = = = = 4 –23 – 5 3 1625 = 3 3 3 122= 8 4 3 45 4 53 4• • 35123 4 •=5 43 320 – = – 3 2 –2 12 43 • 1212 4 3612 91234 = 5 = 3 144 = 3 144 • 12 = 3 1.728 = –2 3 – 5 = –2 3 + 2 5–28 316 = 3 = 3 = 332127= = 3 3 15625 3 43• 123 34 343 12 343 • 12 34 3612 3 –912 = –2 12 3 2 + 8= 4= 34 144 = 34 • 14412• 12 =43 121.728 4= 12 4= 12 = 12 312 8 625 = – 7= 3 5 = 4 36 3 = 3 4 • 3 123 = 3 3 12= 34 = 23+1625 912312 4 siguientes 78 = 12 9a3–las 4312•3 1212 3 en 3 •cuaderno 3 31 4 1.728 144 3 144 12 8 2 4 1.3 3 3Aplica tu la racionalización expresiones. Luego, escribe tu resultado. = 36 3 • 1 144 3= , 144 • 12 o 3= 1.728 = – 2+ 8 = = = – 57 = = 7 3 3 3 393127 6= 36 3 33144 2– • 8 12 7 – 31 61.728 3 • 12 4+ 5 3 2144 – 27+1+ 812 – 5 = == o , 7 12 3 6 3 = 7 + 5 2 7 17 43 +4 5 , =22 –2 8 o 71 – 1 6 f. –3 56 == k. – 2 + 7 8 == a. 5 – o , 7 + 12 = 2 4 5 =2 –2 8 7 – 1 6 7563 = 18717 –+7 1112= – 3 7 – 6 2 – 8 3 +3 4+5 13 4 3 – 5 • o 5, = – 17 2= 13 18732 –+ 1112= –371063 = 3 + 5521 ==2 – 4 •8 37 –– 56 17 = 2 = == 3 + 5 3 – 5 1832 – 11 = 3 4+– 13 5521 – 7310 3 = 21– 13 17 23 = b. 4– 13 g. 27 16 l. 2===4 •4 • 3 –3 –5 5 = 1832 – 11 = –2 31016 = 521 3+ 5 3– 5 43 +– 13 2 21– 13 = 5 3 = = 2 1832 – 11= = 4• 3 – 5 –27310163 = – 21– 4+ 2=521 = 3 3 + 5 3 – 5 2 3 3 513 = = 3 + –53 21 = 8310 5 625 4– 32 43 =–= 35+ 5 4 33–– 55 = – = – 4 21– 2 16 2 3 +–324 5 = 3+ 5 3– 5 35= 3 513 = 4– 8 625 3 1 h. –2 16 = m. –1+21– = =c. 4 212 = = 32 13 –32432– = 5 2 4 33––5 5 –1+4– 2 5= = 8 3 15625 = = – = – 5 = 4 3–323212 = 23+5 8 = 37– 5 4 3– 5 1–4–32 5= = 4 3 3–12 4 =5= 2 4= 3 –3 – 55 –1+ = – 82 +1625 = 3 – 5 7 3 8 3 7 – 435– = 5 =2 4 3 – 5 1–4–522 5= = = 35– 5 = – 82 +1625 44 23 33212 –7– =5 25 2 1+ 3 – 8= ==d.3 ––212 i. n. 1– 52 = = 5 5= =2–2= 3 – 5 = –2 3 + 2 5 71+7 12 3 –6 = = – 1+ 3 – 5 4 –33–2 5 2= 2 +78 = 1–5+522 = 3 57 – =5 7 + 12 17 6 = – 2 5 = 4 333 –7 = –2 3 – 5 = –2 3 + = 2 +78 = 1–5+52 2 = 4 3–3––25652 5= 717+ 12 = – 2 5 = = –2 3 – 5 = –2 3 + = 5+5 2 = 18 –7 11 = = 4 – 37–25– 235==–2 3 – 5 = –2 3 + 2 5 717+ 12 = – 3 6 e. j. ñ. 5+ 2 = = –2 2 = –2 3 – 5 = –2 3 + 2 5 1832 – 11 = –37–2 717+ 12= 10623 = = 5+ 2 1832 – 11 = 21– 13 = = – 731023 = 17 2 16 1832 – 11 = = – 7310 3 = Desafíate 21– 3– 13 27 165 18 11= = = – 32 3 = 21– 13 –2 310165 3 a–b 4–32 5 = = expresiones. =tu cuaderno la racionalización a–las 2. Aplica en siguientes =Luego, escribe tu resultado. 625 = –28310316 21– 13 = 3 2 3 35= 4– 5 = – (a–b) 2 13 1+21– –283 16 1625 = 35 4–32 5= = = – 8 625 1+ a–b 3 1 = 1–4–32 5= b. a. – 23+5 8 = = = – 2 1+ –3 8 16252 = 1–4–52 5= 2 – 3 + 5 (a–b) 2 3+ 8 = 7 1+ – 82 +1625 1– 522 = = 738 = = 1+ 2= 1 – 27++ 812 1–5+522 = == = 7 12 7 + 5+ 5 – 22–+ 17 38+ = 1– 52 2 = 7 = 5+ 2 = Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo – 717+7 12 = 5 18 – 11 = 5+ 2 = + 12 = – 18717 – 11 = 32

Racionalización

(

(( ( ( ()( )( ( )( (( )) (( ( ( )( )( ( ) )) ( (( ( ) () ) ) ( ) (( (

( ( (( )( ( ( ( )( ( )( ( ( ( ) )(()( ( ) ( (( ( ) ( ) ) ( ( ( (( ) ( ) ) ( ( ( () )( ( )) ) ( (( ) ( )) ( ( ) ( ( )( (

)) )) ) ) )) )

(

)(

)

( )

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) ) ) )) ) ) ) )) ) ) )) ) ) ) )) )

c c

n de prob ció

r r

as lem

e e

en co n t i do resol u

uac eval ión

Pistas El volumen de un cubo se calcula multiplicando las medidas de su largo, su ancho y su alto. Teorema de Pitágoras: cat2 + cat2 = hip2. El aro de una rueda de bicicleta corresponde a la medida de su diámetro. Una pulgada es una medida inglesa que equivale a 25,4 mm. La medida de una pantalla de televisión se expresa en pulgadas y corresponde a la longitud de la diagonal de dicha pantalla.

Evaluación de proceso

Analizando disco Números reales

1 Identiﬁca si la situación implica el uso de números irracionales. Para ello, escribe en la casilla la palabra racional o irracional según el ámbito numérico en que se resuelve. a. Medir con una regla la diagonal de un cuadrado de lado 3 cm. b. Calcular el volumen de un cubo de madera de arista 5 cm. c. Calcular la medida de un cateto de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 10 cm y el otro cateto mide 8 cm. 3 2 Reconoce qué propiedad se aplicó en cada paso de la resolución del siguiente cálculo. Escríbela en cada línea. 3  3 +2 2 +1+ 2 – 2 =  +1+ 2 2 + 2 – 2  5  5

(

( ( )

8 = + 2 + – 2 +2 2 5 8 = + 0+2 2 5 8 = +2 2 5

El área (A) de un círculo de radio (r) se calcula utilizando la fórmula:

(

A = πr2

)

3 3 Resuelve los siguientes problemas. a. ¿Cómo expresarías en centímetros que la pantalla de un LCD es de 32 pulgadas? b. Calcula la medida, en cm, de la diagonal de la tapa de un libro cuyo largo mide 29 cm; y su ancho, 23 cm. c. Si una pantalla de televisión tiene un largo de 41 cm y un ancho de 23 cm, ¿de cuántas pulgadas es esta pantalla aproximadamente? 3 Aproximación de números irracionales

4 Aplica la aproximación pedida en cada caso. a. π = 3,14159265… considerando 6 decimales. Por defecto:

Por exceso:

Por redondeo:

b.  = 1,61803398… considerando 5 decimales. Por defecto:

Por exceso:

Por redondeo:

Unidad 1 • Números reales

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Raíces

5 Ubica las siguientes raíces en la recta numérica. 5

78 9

30 , 13 , 133 , 3017, 13 , 133 , 17 21– 3 5 +7 – 7 21– 5 =3 5 +7 – 7 5 =

6 Resuelve los siguientes problemas.

78 –5,1 2 +2 2 – 5,5 +5 3 = –5,1 2 +2 2 – 5,5 +5 3 = Un CD se puede representar en el plano dibujando dos círculos concéntricos, donde uno de ellos tiene un diámetro de 12 cm y el otro de 1,5 cm. 30 , 13 , 133 , 17 3 –7 2 +4 3 = 7832 +24+ 53 = 7 3 2 + 5 3 – a. ¿Cuánto mide la superficie del círculo de mayor diámetro? 78 b. ¿Cuánto mide la superficie del círculo de menor diámetro? 21– 3 5 +7 – 7 5 = –5,1 1128 30 1314 ,+2,2 ,– 2–133 , 14 –5,1 14 – 11 14 =17+2,2 – 2 28 = c. ¿Cuánto mide la superficie entre los círculos? 30 , 13 , 133 , 17 78 78

–5,1 2 +2 2 – 5,5 +5 3 = 21– 3 35 +7 – 7 5 = = 26 30 ,con13 , 133 , 17 Operatoria raíces 3 2 +5 3 –7 2 +4 3 = 30 , 13 , 133 , 17 –5,1 2 +2 2 – 5,5 +5 3 = –5,1 2 +2 2 – 5,5 +5 3 = 7 Resuelve las siguientes operaciones. 2 +1 2 +1 = 21– 3 5 +7 – 7 5 = = –5,1 14 – 11 14 +2,2 – 2 28 = 7 3 c. a. 21– 3 5 +7 – 7 5 = 3 2 + 5 3 –7 2 +4 3 = 3 2 + 5 3 –77 32 + 4 3 = –5,1 2 +2 2 – 5,5 +5 3 = b. –5,1 2 +2 2 – 5,5 +5 3 = 3 2 +5 3 –7 2 +4 3 = 3 2 +5 3 –7 2 +4 3 =

21– 3 5 +7 – 73 = 5= 26

3 17 d. –5,1 1417 – 11 14 +2,2 = – 2 28 = = –5,1 14 – 11 14 +2,2 –=2 28 = 26 28 – 11 28 – 11 3

2 +1

= = 26 –5,1 14 – 11 14 +2,2 – 2 28 = 26 7 3 –5,1 la14racionalización – 11 14 +2,2 – 2a las 28 siguientes = expresiones. Luego, escribe tu resultado. 8 Aplica 2 +1 2 +1 3 17 = = b. c. a. = 7 3 3= 7 3 26 = 28 – 11 26 17 3 17 = 2 +1 = = 28 – 11 2 +1 28 – 11 7 3 = Mi estado 7 3 Evalúa 17 tus aprendizajes. De no cumplir con el nivel de logro indicado en cada actividad, se recomienda, antes de seguir adelante, que vuelvas a las páginas señaladas en cada caso y refuerces los contenidos. 17 = 28 – 11 = Contenido Nivel de logro por actividad Páginas para reforzar 28 – 11 1 2 3 Números reales 2 de 3 2 de 3 2 de 3 12 a 14 4 Aproximación de números irracionales 4 de 6 15 5 6 Raíces 3 de 4 2 de 3 16 a 18 7 Operatoria con raíces 3 de 4 19 y 20 8 Racionalización 2 de 3 21 Racionalización

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

c c

n de prob ció

r r

as lem

e e

en co n t i do resol u

uac eval ión

Raíz y=5sus propiedades 25 =5 enésima 25 =5 25

25 =5 25 =521 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 5=5 = 5 5=5 =25 1 22 2 2 =25=5 521 22=25 2 2 2 2 =25 2 = 5 2 . Luego, se puede 2 2 2 25 =5 Como sabes, ya que 5 = 25. Por otra parte, 5=5 = 5 =25 5=5 = 5 =25 1 1 1 1 1 2 2 25 =25 1 2 2 2 anterior 25 =25 afirmar que 5=5 . Lo se cumple para otras raíces21 cuadradas, por ejemplo: 2 2 2 25 =25 = 5 =25 2 25 1=25 1 2 1 1 1 225 =251 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 11 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 12 2 12 2=7=7 1 2 1 2 62=6=6 =36 =49 = 12 =144 36 =6=6 2 =36 2 = 12=12 1 22 2 2 1 2 ; 49 1 22 = 7 2 2 ; 11244 21 2 ;12etc. 2 2 = 6 =36 ; 49 =7=7 = 7 =49 ; 1 44 = 12=12 = =144 2 2 2 2 2 2 2 2 2=144 2 2 ; 144 2 2 2 2 2 2 2 2 =6=6 = 6 =36 ; 49 =7=7 = 7 =49 = 12=12 = 12 36 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 25 =25 = 6 =36 ; 49 =7=7 = 7 =49 ; 36 =6=6 = 6 =36 ; 49 =7=7 = 7 =49 ; 1 44 = 12=12 = 12 =144 36 =6=6 n 1 a Al generalizar esta1 relación entre1 raíces cuadradas 2y potencias de exponente racional, se1 1 n 1 2 1 1 1 2 2 1 a =a 1 2 n a 2 2 a =a 2 2 2 2 2 2 n a= 12=12 2 =m 122 2 =144 2 aembargo, =a = 62 esta =36relación ; 49 =7=7 =1 se 7=a 2=49 ; 144 2 =6=6 m am níndices a 1 1 tiene que 3a =a36 . Sin también cumple para de 1 4 n otros 1 1 1 3 4 1 n 3 4 41 4 3 3 m =a m 14 1 a = a 3 4 1 3 33 4 4 = 5 4 1m 1 1 3 3 ; 625 1 m 3 4 13 3 =5=5 1 4 4 3 = 3=3 =27 =625 27 = 3=3 =27 1 4 1 3 n 4 n m n 3 3 ; 3 625 3=5=5 = 33 3=27 =3 4 54 4 =625 a =4 ; nnetc. 4 =amn 4 4 =27 ; 4 625 = 5434 =4 =625 raíces. Por3ejemplo: 3a m 4 4 =a2 327 = 3=3 3nn3 aa3mm =27 ; 625 =5=5 = 5 =625 = 3=33=3 =27=3 ;34 625 =5=5 = =5=5 5 27 =625 27 =a 3=3 n = a =a = 1 a 3 =a 1 3 31 1 1 1 3 4 1 12 =12 1 = 3 12 1 3 3 27 = 3=33 = 33 3 =27 3 ; 4 625 =5=5 4 = 54 4 =625 4 33 12 =12 133 = 33 12 11 Para grabar 12 =123 = 12 4 1 4 12 =12 = 4 12 4 6 = 4 6 4 =6 44 = 6 2 Otras igualdades: n En una raíz enésima a , su índice n es un número natural y su cantidad subradi- 3 =44 6 44 = 44 6 44 =64444 = 6 n 1 7 4 64 = 4 6 =64 == 66 n 6 = a racional si n esnimpar 6 =6 a my, mayor o igual que 0 si n es par. 24 1 =1 cal a es un número m 4 3 = n n m 1 n=1 =1 n a =m n am =a n m =1 27 n 10 m =0 7 n m n 3 4=n 1 =1 n mm m + n si n es impar n a = a =a En lanrelación , a   y a    {0} si n es 4 a = a =a 0 =0 a 4 n n 1 n 1 7 n=0 =0 n 0n3=0 n 3 3 m 0 3 (a+b) = n =a nn =a; a ≥ 0. 4 a = a 7 1 12 =12 = 12 par. Además, se debe considerar que a ≠ 0 y m  . 1 4 1 m n n 1 n m nn n n m 3 n 3 12 =12n 3 = 3 12 3 1 n=an4 = n a n =an =a; a ≥ 0. 3 1 n an = 1n a =ann =a; a ≥ 0. 12 =12 = 12 a = a =a 4 7 Ejemplos: 4 (a+b) –32 n=a 143 == n1 a =a =a; a ≥ 0. 4 4 4 4 32 = a =a 1 4 6 = 6 =6 = 6 4 4 1 1 4 1 n5 13 1 4 4 44 =46 a =a 4 3 3 = 4 6 1274 (a+b) = 1nn n 3 6 =6 2n4 11 –3 6 = 6 3=624== 6 12 =12 = 12 n a =a = 3   1 a= =a n 34 7== 1 =1  –3 n 2245= n 1 4=1 n 44 7 47  4 1 =1 4 4 4  3 35 = 6 = n6 =6 0= =0 6 44 = 4 1. Representa como raízn las siguientes potencias de base y exponente =  2–54 racional. 0 =0 7 n 3 n0 =0 (a+b) = 3 = n n 7 n 3a n  = 1 =1 1 n n n a =n na =a n =a; an≥ 0.n 1 443   2–3 3 nn n n0. (a+b) = n =a ; a ≥ a = a =a a = a d.=a na. 3 2 = 3a 53 =2 = –32=a=; 3a ≥ g. (3–x) (a+b) =0. 1 0 =01 1 n 1 – n 3 5 7 1 a =a 1 3a 5 53=2 –3221 4= 321 = n n  n 1 n n 4 4n n a1 =an n (3–x) = 3 n (–2) = –3 = 2   a 3= 7==a =a =a; a ≥ 0. a =a 3  55 = 3 2   4 7  2 (3–x) = 3  4 471 b. e.  3 34 = h. (–2) 4 (–3)523 = n 1 4 4n =   2– = a =a 7 =3= 3 (a+b) 5 3a 2 5 = (–2) 71 4 13 =2 = 3 (–3) = –3 3 3 3 4 (a+b) = 2 –5 = 3a –3 = 3 3 =2 = = 3a 5 =23 = c. (a+b) f. (3–x) i.4 (–3) 1 13 = 5 21 3 3 2 –3 = 2  324 (3–x) = 3 = al transformarla a 2 –3 ¿Qué (–2)5 = condiciones debería cumplir la expresión en g para 3 13que, (3–x) = 4 5= == 3 a+b  2 45 = 2 3 de la definición? cumpla con las restricciones 5 3  3 raíz, (–2) = –43 a+b 8== = (–3)52 = 3 34 = (–2)  2 3 2 con las restricciones de la defi nición de la raíz enésima las 3a–¿Cumplen 13 = 5 = 3 5 2  2 3 = (–3) = 3  representaciones realizadas en h e i? Justifi ca. 2 2 – – 8 = a+b 3  (–3) =  3 = 6  = 13 3a–53 =2 4 =  5 5 = (3–x) = 13 = 3a 5 =3 2 – 2 8= 3 2. Representa como potencias las4siguientes raíces.  = 3 6 2 3 =  7 3 3 = (3–x) 5 5 5 a a+b = 4  (–2) = 5 2=  2  = 2 (3–x) = 3  6  = 2  2 8 == 13 5233== d. –33 a+b g. 5 (3+5x) a. (–2) 5a7 = = (–3) = 5 a+b = (–2)3 = 7 3 2= 9 7 – 2 8=5 –2 =2 = 4 13= ( ) 5 a = (3+5x) 3 =  (–3) –6  8= = 2 5 2  (–3) 13 2  5 5 4 –4 7 3 == 9 (3+5x)  = 3–2 == = b. 43 a+b e. 6  2 h. ( ) == 2 3 2 7 56  5a7 == 4 9 –4 = 4  5  –2)= = ( 3 –3 a+b 8 = 2 = 5 (3+5x) a77 = 2 = 3 4 5 c. – a+b f. 5 a = i. 3–4 = 8= = 2 7 2 6 9   = –2) = 2 = ((3+5x) –  5 8=5 (3+5x) = 7 2 9 –4 4 6 –2 =  5 (–2)7 =  7 = 9 3 = 56  2 5a = ( )   = 4 –4  3 = 2 5  7 4 –4 5 (3+5x) a = = 3 = 2 2

Ampliando memoria Al tener la relación:

( x ) =x , 2

se puede aﬁrmar que la raíz cuadrada de un número real mayor o igual que cero puede ser cero o un número real positivo.

1 2 2

( )

( () ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( () ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( () ) ( ) ( )

( )

(

Advertencia Recuerda que el uso de paréntesis es muy importante en las potencias y raíces. Por ejemplo: 1 1 11 1 221 ≠ 1 221 1 2  1 2 , ya que 4 ≠ 4  4 11  4  1 221 1 1 1 2 = 1 = 1 ; mientras que 4 = 4 =4 4 11 4 4  1 221 1 1  1 2 = 1 = 1 .  4  = 4 = 2  4  411 2 11 caso que Otro debes considerar: 221 xy ≠(xy)221 xy 2 ≠(xy)2 .

Unidad 1 • Números reales

(

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) )

( )

( ) ( () ) ( ) ( ( ) ) ( ) (( )) ( ( () ) ( ) ( ) (( ( )

( ( ) ) ( () ) ( )

(( (

)) ) (( )) () ) ))

(( (

)) )

( )

921 +821 = 92 +82 = 1 2 3 4 5 6 7 8 16+ 16+ 9 = 1 2 3 4 5 6 7 8 926+ +8216+ = 9= 1 –21 •siguientes 16 211 –2 • 16 41expresiones. = 3. Calcula en tu cuaderno el valor numérico de las Luego, escribe 26+ 26+ 9 = Paso a Paso 9 4 1+8 2 = 1 • • –2 16 –2 16 = – tu resultado. –321 –31• 81 41 = 1 1 1 2 9 4== –26+ –2–• 16 2•116 6+ 2 6 • 81 14 = –3 –3 49 – 64 49 – 6 64 1 1 3 51 1 1 1 27 1 –243–1 (1) = 1 e. –3 a. 92 +82 = == 4 = 2 2 –2 •1–2 –3 815•416 729 2 –243 27•316 729 2 11 = 1144 1 1 1 1 – 6+ 6+ 9 = 7–2 4 2 3 5 •225 –3 –3 81 = 1 –243 27 144 92 +82 = (2) = = 1 1 = • 1 1• 169 27 1 2 4 1 13 625 –21 • 16 1 –2 • 16 = 3144 225 –243 = • 5• b. 926+ f. 27169 5 26+ 9 = = 1 1 1+8 = 1 = (3)) – 113 625 25 1 1 3 1 4 2 2 27 25169 –3• •2125• 1 = = –31 –321• 81 = 4 1 144 • 16 6+ –26+ –2 • 16 = n n n 13 1 1 9 = 1 a •3 625 (1) Se convierten las potencias 2 2512 –3 •25 125 =b1 = a • b 92 1+8 = 1 6 21 –5 1 1 1 1 21 81 – 2723 –243 = • n1 n• 169 en raíces. 4 1 n n –3 • 81 == 4 = 2 a a•b a125 • a=b3 = =625 25 • 16 2 1–2 • 16 –26+ c. –3 g. 6 2 –31•13 n (2) Se calculan las raíces. En = 1 21 81 – 6+ 1 9 = 1 nn2 n1 = n 1 n 11 1 1144 2 625 b a • b = a • b b 1 – 3 5 a a caso de no resultar un número 1 1 –243 272 –3 6 = n3 22 25 = 121 81625 ––3 –3 81 4 == 41 2• 125 2•25 n n n m= b mn racional, se puede dejar • 16• 1–2 •• 16 = = –2169 a1 an =a a 1b 1 1 1 = 13144 213 5 1 625 expresado su valor en raíz. 2 6 2 n 4 81625 – 1n21 27 –243– 4 bm a3==• 4mnb27 = 4 3 • 27 = 4 81 =3 a d. –321 –3 •25 h. 81 = 1= 1 (3) Se resuelven las operaciones 1 = • •1 125 •3 = 21 n m3 4 mn n n n n n n 1 25169 –3 4 4 4 2 respectivas. En este caso, la n a • n b = n a•b =27 a= 438 625 3 •a438 144 213 5 625 3 • 27 =3 7381 =3 a • b = a•b 2713 –243 = 4 = 34 1 sustracción. n 4 4 n = 1 1 25 3 3 •3 27 = 318 n a 21 a 16 43818 3 438 • 273 =73 381 =3 81169 = a nn a 2 – 1•21 • 3 = 25 144 –31•213 125 = = = =625 =n b 33 nn Para grabar n b 3 6 729 = 3 182 3 7293 =73 438 438 b 183 729 = 1 1 b 3 2 = = 1 1 1 625 25 6 2 3 m mn nn m 1•21 81de ––3 = Ejemplos: •3 169 2 las 318 Algunas25 propiedades n m a = mn • 125 2 2 3= 243187293 2= 6 43729 3= 83 3 8 729 = =625 a = mn aa 3 1 13 = = •6 = = • utilizadas en de 1 1 el2cálculo 3 2 3 44 44 44 44 3 3 3 5 4= 5 729 4 3 • 4 27 = 4 3 • 27 = 4 81 =3 1 1 625 2 5=4 57298=235 8 25 2 25 3 • 27 = 3 • 27 = 81 =3 3 2 729 raíces son: 812 – 1216 3 =3 3 • =3 3 = 3 3 = •3 252 –3 • 125 = = 33 Racionalizando: 1 52 2 3 45 32 52 5 45 3 22855 3 225 3 438 85 32 nn nn nn 1 3 73 438 = 333 73 438 = 333 438 = = 25 = • == • == n a • n 1b = 2 n a•b 625 = = a • 2b = a6• b 3 3 3 3 5 3 3 33 33 18 3 18 81 – 121 25 2 5255 25 25 5 2 32555• 55 2 3 52125 18 18 nn = n a = = = a 3 3 3 a = nnn a 1 3 3 33 22 33 66 24 •532 5 5 23 1255 2 5 5 225 2 3 25 3 729 = 2 3 729 = 6 729 = 3 = 625 nn 3 =• 3 = 729 = 729 = 729 = 3 bb 2 =3 = 3 n b b 3 55 5 33 3 25 5 3 25 5 125 • Luego: 22 33 44 33 22 44 33 88 3 883 2 • 322 4 = 2 5 nn m mn mn 3 3 n m = = = = • • m a = mn a 3 3 3 3 3 a= a 55 • 55 = 55 • 55 = 2255 = 333 253 52= 333 32545 2 5 5 25 25 = • 44 44 44 44 4 3 • 4 27 = 4 3 • 27 = 4 81 =3 3 3 3 3 • 27 = 3 • 27 = 81 =3 22 33 55 22 33 55 5 5 35 4 22 33 55 22 3 4 7 33 = = = 3 438 = 5x3 • 5 x–4 x 2 • x– 5 x 2 – 5 x 10 10 x7 = 33 = 33 33 33 73 438 = 333 73 438 = 333 438 x7 10 4 5 2 3 25 3 25 • 3 5 3 125 10 4 = 3 4 = 7 = 3 5 = 18 = 3 = = x = x = 33 125 25 25 • 5 – –2 3 3 10 7 3 18 10 37 55 –4 10 7 3 2 27 –52 5 10 27 3 18 x x x x x • x x • x 18 33 x : x 4 3 4 7 3 10 10 5 10 5 22 33 44 22 3 55 para simpliﬁ3 car 4. Aplica en tu cuaderno las33 propiedades expresiones. Luego, escribe – – = 10 7 = 10 73 = 10 x4 = 5 x2 5 las –4 = x27 : x 25 = x 27 52 = x 10 33 22 33 66 3 •• 3 = 10 5 10 x 3 3 7 2 x x x x • x x • x 3 729 = 2 3 729 = 6 729 = 3 – tu resultado 729 = 729 en = la 729casilla. = 3 Observa 55 55 = el55ejemplo. 4 bx• : b x = x 107 : x 52 = x 107 52 = x 103 = x = 10 3 = 10 x4 = 5 x2 10 7 5 2 10 3 x x x : x= x 10 : x 5 x 10 – 5 x 10 22 2 4 3 22 44 3 88 333 88 4 8 33 2 33 4 3 3 = = = = • • b • b 3 3 3 3 b 3 4 7 = – 55 • 55 = 55 • 55 = 3 22555 = –4333 25 = 23333 25– 45 4 b8:x•b73 bx • 3xx72 =10 4 5 2 x 2 5 x 10 3 x10 x • x 25 x •25 x 10 3 = 3 3 = x = x = 7 2 = 3 = 8 == 3 22 335 55 –4 1022 333 755 5– 4522 332 55 23 – 457 2 107 10 22 10 33 – 3x 2 3 7 7 3 b 2 := x x x = = 10 10 5 10 5 x • 5x 2 = x =x33 • x33 == 33x • x= = : xx =x x =x10 x 3 x=–:10 4 33 5 37x 42 = 3 25 n 1 •xn12= x 7 37 24 5 3 33 x : 3 x • 3 x2 = 125 2555•• 3 255 43 125 25 10 3 725 10 3 –– – x 1–2 12 = xx43 •: 2 x333x–4 xb210••:xxb5 = x102 55 x 10 10 xx7 10 x73 nn–10 • n4 5 2 5 2 33 2 33 4 25 5 = 837 –24 = 37 – 42 = 73 = 10 3 = 33 =––13–2x 12== x •• 4103 7= 3 2 4 = – b x n •n 10 x7 2 55 5 2 5 bx53• : 5b5x–4 10 x d. x7 pn10 : 4p==5 2 x 10 a.5 x5 • x5= =3 x 10•:x3x 5 =3 x 10 10 = = =–3–2x4 = x = 2 8 3 34 pn 2 x 7: x2 • x 7 – = 10 3 p: p 410 7b 5 2 x x 10 5 10 5 10 bx• : b x = x x x : x 4 –3 =3 32 p5 p:44 p 3 3 – 1 12 8 = k: k 4 x : b x • x n= • n 4 = b• b = 5 p 45 2 = – 2 b. 33 xn8–:1b•3nx12 • 3 x2 n= e. kk ::5 kk4 = = 4 p–3 : p k4k2a:: • k4kb5 3= 3 2 3 n–23 3 x –:1 12 • x = x = n •n k442a: • 4k8b5 3 = 4 –3 p4 b• a p –2: p= 3 n 4 3 = 4 4 a • 8b n–1 •4n12 = 5 4 b a = • c. 4 p–3–p2: p= k : k f. = 8 4 n b• a = 2 5 4 k : k5 k4 4k : –3p p : p= 4 4 3 kk2::5 kk445 = a • b = p = 4 8 Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo 4 3 4 b• a 5 2a5• b kk :: kk4 = •

• •

•• •

( ( (

) ) )

(

) ) )

)

c c

n de prob ció

r r

as lem

e e

en co n t i do resol u

uac eval ión

Analiza la siguiente información. Luego, resuelve en tu cuaderno y escribe tu resultado en la casilla. 4 75 – 2 300 –3 3 = 4 25 • 3 – 2 100 • 3 –3 3 = 4 25 • 3 – 2 100 • 3 –3 3

Ayuda

Recuerda algunos de los productos notables: Cubo de binomio (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 Cuadrado de binomio (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Suma por su diferencia (a + b)(a – b) = a2 – b2

= 4 • 5 • 3 – 2 • 10 • 3 –3 3 –5 32 – 4 18 = 3 –3 3 = 20 3 – 20 –5 32 –24 18 = 3 50 – 63 = =–3 3 2 –5 50 32––34 63 18== 3 2 3 –7 3 27 2 – 3 12 = 3 50 – 2 43 – 7 2763 – 3= 12 = a. –5 32 – 4 18 = d. – 3 16 3+2 3 54 + 8 + 50 = 3 7 273 – 3 12 = 4 +2 54 + 8 + 50 = –2 33 –16 –35 50 32––24 63 18== 3bc – 2 a2bc – 3 abc • a = a4 3 – 3 16 +2 32 54 + 8 + 50 = = –35 50 32––24 63 18 = – 3 abc • a = aa3bc3– 2b a bc b. 2 e. 3 –7 2 b – a2bc4 – 3 a6b5c2 • a2 = 327 – 3 12 = bc 2 2 –43 abc6• 5 a2 = 2 3 450 – 63 = aba bc bc – 3 a b c • a = b3 ––2 aabc 7 3+2 273 –54 3 +12 8 = + 50 = –2 33 –16 2c ba b 3 4 7 273 – 3 12 = c. 2 f. 1 – b32–2 = a2bc4 – 3 a6b5c2 • a2 = +2 2 54 + 8 + 50 = – 33 –16 b1 – 2 2c= – 2 a bc – 3 abc • a = a4 3bc  1 – 21 = 3 3  5 –  5 + 1  = –a 16 b+2 2 54 + 8 + 50 =      3 2 4 6 5 2 2 ––2 aabc a 3bc abc   bc– 3– 3notables a •b ca =•para a =calcular blos 51  = el valor de cada expresión. 51 tu  5 + 5 – Aplica productos en cuaderno       b  5 – 51  5 + 51  = bc a2bc – 2 aa bc abc 3tu 2 –43 en 6•casilla. 5 a2 = 2 Escribe resultado la b – a bc – 3 a b c • a = x – 85 x – 85 = ba 3 bc 2 4 x– 8 x– 8 = b –2 a bc – 3 a6b5c2 • a2 = 2 x– 8 c b d. 2– a. 1 – 2 2 = 2 2 x––2–8 2= 2+ 2 = 2– 2 2 – 2– 2 2+ 2 = 3  1 – 21 2= 1 2–3 2 1 3– 2–   2 2+ 2 = 1 –5 –2 = 5 +  =    b b – 1 a 3 =  5 5 1 1       b.  5 –  5 +  = e. b 33 b – a1 33 a3 =  b b – a a  = 15 15 2 x –5 –8 x –5 +8 == a  b a4  6  6 2   + x x x x – – 3  2= 5 5  x – 8 x – 8 =  ba  ba x4 – x6  – 3 x6 + x2 2 = 2  ab 2 x––2–8 2= 2+ 2 = x– 8 c. 2– f. b  a x4 – x6  – 3 x6 + x2 = 2  b a 2– 2 2 – 2– 2 2+ 2 = 3  3 1  2 2+ 2 = b 2– b 2 3 = – 3–a2–   Analiza Luego, resuelve las multiplicaciones.  3 ela1ejemplo. 3  3 b3 b – a1 3 a = 2 ab bb – 4 a  6= 6 2   xa – x  – 3 x + x 2 = / Aplicando propiedad n a • n b = n a • b. ba ba 5 4– 1 • 6 5  + 1 = 6 5 – 12 5 + 1  x – x  – 3 x + x 2 = ba ba 4  6 6 2  x – x  – 3 x + 2x 2 =  = 5 – 1 /Re solviendo la suma por su diferencia. b a 

( ( ( ( ( ( ( (

) ) ) )( ) )( ) )( ( ) )( ) ( )( ) ( )(

) ) )

( ( (

) ) )

( ( (( ( (

)( ) )( ) ))( ( ) )( ) ( )( ) ( )(

( ((

) ) )

) ))

( ( )() ) ( ) ( ( ) ) = 5– 1 = 4 =2

a. b. c.

Unidad 1 • Números reales

2 3 –2 • 2 2 3 –2 • 2 11 – 2 • 2 3 –2 • 2 11 – 2 • 4 7 – 31 • 11 – 2 • 4 7 – 31 • a b –c • a 4 7 – 31 • a b4 – c 3• a a pb4 –– cq3• • a p –q • (pa4 ––bq)33 •• (a – b)3 •

3 +2 = 3 +2 = 11 + 2 = 3 +2 = 11 + 2 = 4 7 + 31 = 11 + 2 = 4 7 + 31 = b +c = 4 7 + 31 = b4+c =3 p +c +q= = b 4 p +q35= – b)3 == p(4a +q (a – b)5 =

/Re solviendo las potencias. 2 3 –2 • 2 3 +2 = /Re solviendo 2 3 – 2 la •a sustracción 2 3 +2 = . • 11 – 2 2= +2 = 2 3 – 2la• raíz 2 . 11 3+ / Calculando 11 – 2 • 11 + 2 = 4 117– – 231 4 +7 + • • 11 2 =31 = 4 7 – 31 • 4 7 + 31 = d. a4 b7––c •31 a• b4+c7=+ 31 = a b4 – c 3• a b4+c =3 p +c +q= = a pb – cq • • a b e. p4 – q3 • p4 +q3 = (pa4 ––bq)33 •• p(4a +q – b)35== 3 (a – b) • (a – b)5 = (a – b)3 • (a – b)5 = f.

1 1

3 34 = Aplica propiedades de potencias y raíces para3 3representar cada expresión con solo 3a 334 a == 3 34 = una raíz. Luego, responde las preguntas. 3 2 a3 5 5 5 – 2a 3 = aa 3+5a• = a 3 5 32aa+54a = 5 5 2 – a = a x y• 3 = a d. xy a. 3 34 = 5 2 a+5 5 5 – 2 a = a 4• 3 a 3 3 334 = (xya – 1x)43ya3 –=1 • 3 a – 1 = 3a a = xy x y = 3 334 = 5 5 – 2a b. 5 3 e. (a5– 1)3 3 a – 122• 3 a – 1 = 3 = a2aa+5a• = a (5a –51) 35a –51 • 3=a – 1 = 3 2 a3 5 +5 5 5 – 2 a 3 a 4a• = 3 a = a 5 3 xy x y = 5 5 5 3 5 522 = 5 2 a+54 35 5 – 2 a c. xy f. 5 5 5 522 = (aa– 1x)43y•a3 –=a1 • 3 a=– 1 = 1x) 3ya –=1 • 3 a – 1 = (xya5–¿Para 3 22 valores de a la expresión resultante de c no está deﬁnida? Justiﬁca. qué 5 5 35 5 1 1 a a – – (5 5 5 )3 5 522• 3==a – 1 = 5

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Ayuda Recuerda algunas propiedades de potencias: am • an = am + n am : an = am – n am • bm = (a • b)m am : bm = (a : b)m (am)n = amn

5 5 5 522 = Si y es un número entero positivo, ¿para qué valores de x la expresión resultante de d está deﬁnida? Justiﬁca.

Desafíate

Analiza la demostración de una de las propiedades de las raíces. Luego, demuestra las que se proponen. Hipótesis: sean n   y a, b  +  {0}. n a• b = n a • n b Tesis: n a• b = n a • n b n n nn n n a• b =(1) a •Sean ba•nba==x; a n• bn b=y. Luego, xn = ae yn =(1) a =x; n bde =y.raíz Luego, xn = .ae yn = b. / Por definición de raíz enésima. Demostración: b. /Sean Por definición enésima n n n n n n n Ayuda. • b = n an(1) • bnnSean (2)ydefinición ade / Multiplicando • bdefinición (1) aSean raíz. enésima = aeLuego, yn = b.xn/=Por b•.uyltiplicando /=Por de .raíz enésima. a =x; n xbn=y. ae (2) x =x; /x=M • y =ba=y. • b Luego,

n n n n n n xn •by=y. / Por definición raíz enésima . xn = ae yn = b./ M (2)(1)xnSean aa• b=x; • y = (2) ultiplicando .au•de = aLuego, •b ltiplicando . Una vez demostrada una de potencias. (3) bpropiedad / Aplicando propiedad • y) /=M (3) (x • y) = a • b /(xAplicando de potencias. n n n n propiedad, puedes usarla para = / Multiplicando . (3)(2)(x •xy)• y=(3) / Aplicando propiedad dn eapropiedad a •ab•nb(x • y) = an• b potencias .de potencias/. Por definición de raíz enésima. /n =Aplicando • a • ⇔ • = • (4) x y b b x y ( ) demostrar otra. n (4) (x • y) = a • b ⇔ a • b = x • y / Por definición de raíz enésima. (3) (x • ny) = a • b n n / Aplicando propiedad d e potencias . n nde definició n a• b ⇔ enésima (4) (x • y) n=(4) y a • b = x • y / Por n n de .raíz enésima. /=nPor (x • ya) • =b a=•xb•⇔ (5)definició a • bdefinición a •raíz bde / Por definición de x e y en (1). (5) na • b = n a • nn b / Por x e y en (1). n de raíz enésima . (4) / Por definició n (x • y)n = an•nb ⇔ an• b =nx • y n n n (5) na • b = a • ba • b = a • b / Por x e y en (1). (5) Por de x e y en (1). a definición b.definición • b = /a •de a • n b = n a• b. n n n n n n (5) = an • b n /n Por de x e y en (1). n =a • b a •lon btanto, Por a a definición a an• baa. • b = a• b. =n n n n = n n b a a •nn abb = naba• b. n a b = = n n n b a n bmn a nmnb b. m a = mn a a. b = a= a n mn b mn b n m a= a a = mn a n m

a = mn a

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

c c

n de prob ció

r r

Ampliando memoria

as lem

e e

en co n t i do resol u

uac eval ión

Logaritmos En la mayoría de las calculadoras cientíﬁcas encontrarás la tecla log , que representa el logaritmo en base 10 de un número. Utilizándola podrás comprobar que:

La palabra logaritmo proviene de la raíz griega logos, que signiﬁca proporción, y arithmos, que signiﬁca número.

2 = 100,30102…, 5 = 100,69897…, 500 = 102,698987

log

2 = 0,30102…,

log

5 = 0,69897…,

log

500 =2,698987...

¿Qué opinas de la aﬁrmación: "Todo número real positivo r se puede escribir como una potencia de base 10 y exponente x, es decir, 10x = r"? ¿Cómo escribirías el número 1.000 en base 10? ¿Y en base 5?

Para grabar

1 =–1 10 Si a, b  +, con a ≠ 1 y n  , entonces se tiene que: Ejemplos: log2161= 4, ya que1024–1log ==16.1 1 = – 1 10 logab = n ⇔ an = b 1 que 42 = 16. log 1016 ==2,–ya 1010 4 10 log 5 1=–1 0 1 1 log–110 1= – 1, ya que 210 = . Donde a es la base del logaritmo y b su argumento, y se 10 =10 10 0 10 lee: “Logaritmo de b en base a es igual a n”.   1 5 log 1= 0 10–15 =1= 0, ya que   =52 1. log  10  2  0 2 1 11 = –2 log  5  01= 0 = –2 log   = 1 log5 5 100 = –2 log  2 100  2  100 = 1 0 9 Luego, completa  1. Interpreta cada uno de los siguientes enunciados. con la potencia 2 9  3 9 =2 log =2 log respectiva.  5 23 4 =2 log =1  2 223 4 4 1 . e. log 0,110,1 =111, ya . a. log525 = 2, ya que = 1que =1 log 1 1.000 = 1 log 1.000 1 1.000 1.000 1.000 1.000 1 11 2 = 1 , ya que = –2 , ya que b. log . f. log . 2 2= 1 log log 100 = –2 log22 2 = 2 100 2 21 9 3 9 log =2 log 3 7= 1 1 , ya que 7 c. log 33 4 =2, ya que . g. log . log77 3 7 7= =3 2 4 3 2 25 3 1 25 =–2 log 1 2 25 =–2 =1 log . h. log . d. log 11 1.000 = 1, ya que log 225 4 4 =–2, ya que 1.000 1.000 5 4 1.000 5 1 1 log log22 2 2= =2 2. Relaciona las2 expresiones de la columna A con las de la columna B. Para ello, escribe 1 la letra en cada caso. log7 33correspondiente 7= 1 log7 7 = 3 3 Columna A Columna B 25 25 log =–2 log 22 4 =–2 5 14 –2 a. log35 9 1 25 3 b. log log53100 1 log3 9 log 1 90,001 1 c. log510 25 log5 25 log 0,001 2 d. log 1011 0,001 log 10

Ayuda Usualmente si se trabaja con un logaritmo en base 10, la notación es: log10b = log b

Unidad 1 • Números reales

1 1

2 2

Analiza la siguiente tabla. Luego, complétala y responde.

logaa

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Ampliando memoria John Napier (1550-1617) fue uno de los precursores en la utilización de los logaritmos para métodos ligados con el cálculo. Por ello, en variadas publicaciones de la época y actuales se conocen los logaritmos en base e como logaritmos “neperianos”.

loga1

5 2 1 5 log5 5 = 1 log5 1 = 0 log7 0,35 7 25 log 9 ¿qué ocurre con los valores correspondientes de cada Si el valor de a aumenta, 81 5 columna?

¿Cuál es el valor de log11? Discute con tus compañeras y compañeros.

Utiliza la información del cuadro Para grabar de la página anterior y demuestra que: a. Si a  + – {1}, entonces logaa = 1.

b. Si a  + – {1}, entonces loga1 = 0.

Analiza la siguiente información. Luego, calcula cada logaritmo.

a. log216 5 2 log7

7 25 b. log 9 81 5

Ejemplo: Calcula log41.024. 1. Por la deﬁnición de logaritmo, se tiene que 4x = 1.024. 2. Utilizando potencias, se tiene que 1.024 = 45. Luego, x = 5. 5 Por lo tanto, log41.024 = log445 = 5. 2 1 c. log7 7 25 log 9 81 5

d. log256255

Si a  + – {1}, ¿es cierto que logaan = n? Justiﬁca.

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

c c

n de prob ció

r r

as lem

e e

en co n t i do resol u

uac eval ión

Propiedades de los logaritmos Al demostrar que la aﬁrmación: “El logaritmo de un producto es equivalente a la adición entre los logaritmos de cada uno de sus factores” es verdadera, se tiene: Sean a, b, c  +, con a ≠ 1, entonces se cumple que:

loga(b • c) = loga b + logac

loga(b • c) = logab + logac. Demostración: (1) Sea logab = x, logac = y. Luego, ax = b y ay = c. (2) Usando (1), se tiene que b • c = ax • ay = ax + y. (3) Como b • c = ax + y, aplicando la deﬁnición de logaritmo, se tiene que loga(b • c) = x + y.

Advertencia Comúnmente se utilizan de manera incorrecta las propiedades del logaritmo. Por ejemplo, se considera: log2(8 + 8) = log28 + log28 Pero: log2(8 + 8) = log216 = log224 = 4 Mientras que: log28 + log28 = log223 + log223 = 3 + 3 = 6. Claramente 4 ≠ 6. En general, debes tener cuidado y considerar lo siguiente: logc(a + b) ≠ logca + logcb logca • logcb ≠ logca + logcb logc(a – b) ≠ logca – logcb log c a ≠ log c a – log cb log cb

Unidad 1 • Números reales

(4) De (1) se sabe que x = logab e y = logac. Luego, en (3) se tendrá log b a a =b loga(b • c) = logab + logac. log b a a b= b log a = log ab – log ac log b Para grabar a a bc==b log b – log c log a a a bnc b = log ab Si a, b, c  +, con a ≠ 1, se cumplen las siguientes Ejemplos: log log aa = loglog b – log ac an b propiedades. log a nc b = a 3 logn b 3 – log 2 8= log 2 3 – log 2 2 3 = log 2 3 – 3 n = log log log ab 2 2 a log b = a =b a 8 3 log 2 = log 2n3 – log 2 8= log 2 3 – log 2 2 3 = log 2 3 – 3 loga1b= 0 48 3 17 + log 9 4 17 3 = 1 log 9 17 + 3 3log 9 17 = log 9 17 log a = log ab – log ac log 9 = log 3 – log 8= log log logaac= 1 2 4 2 41 2 3 – log 2432 = log 2 3 – 3 4 23 8 17 + log log 17 = log 17 + log 17 = log 17 9 = log 5415 3 – 9log 5 5 443 = 3 9– 4 = –1 9 log 59 125 – log 5 625 log an = n log b 4 4 loglog aab n b = a 3 log 9 17 + log 9 17 = log 17 + log 17 = log 17 a aa(b=•bc) = nlogab + logac log log 5 125 – log 5 625 = log 545 3 – 9log 5 5 44= 3 9– 4 = –1 9 log b 3 4 a a2 b3===b log log 2b3––log log 2c8= log 2 3 – log 2 2 3 = log 2 3 – 3 log 5 125 – log 5 625 = log 5 5 – log 5 5 = 3 – 4 = –1 log log a 8 a a bc log a 4n = loglog b –b log c b 4 a 3 1 log 9 17 + 3 log 9 17 = log 9 17 log 9abnc b=17=nlog + alog a a 9 17 = log a 4 4 lognab n 3 4 log 5a 125 ; n =log 5 5 – log 5 5 = 3 – 4 = –1 3 b –=log 5 625 log 2 = log 2n3 – log 2 8= log 2 3 – log 2 2 3 = log 2 3 – 3 logab83==log b = 8= c log 3 – log 2 3 = log 3 – 3 logac2 3⇒ – log log 2 4 23 2 12 4 23 8 log 9 17 + log 9 17 = log 9 17 + log 9 17 = log 9 17 41 43 4 4 3 1. log Relaciona las expresiones de 17 + log 17 = log 17 + logla17columna = log 17 A con las de la columna B. Para ello, escribe 3 4 9 = log 545 – 9log 5 5 4= 3 9– 4 = –1 9 log 59 125 – log 5 625 la letra correspondiente en cada caso. log 5 125 – log 5 625 = log 5 5 3 – log 5 5 4 = 3 – 4 = –1 Columna A Columna B a. log 0,00000001

–2

b. log4165 + log44 + log41

–8

c. log7 343 – log7 343 log7 343 – log7 343 log 343 – log71343 log72 512 +log 2 1 d. log2 512 +log2 512 1 log21 512 25 +log2 512 512 log 51 25 e. log 51 25

–1,5 –16 11

f. log 0,00000001 + log 0,00000001

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Detecta el error en cada caso. Luego, corrígelo. a.

1 1 1 1 = (log 10 – log 1.000)= (1 – 3)= – 1 log 2 1.000 2 2 1 1 1 8 1 1 1 5 Error: + = log 9 – log 100 1+3log 1 2= log9 9 – • 0+ =Corrección: 9 3 5 3 15 5 5 5 2

1 1 1 1 = (log 10 – log 1.000)= (1 – 3)= – 1 log 2 1.000 2 2 1 1 1 8 1 1 1 b. log9 5 9 – log 100 1+3log 1 2= log9 9 – • 0+ = + = 3 5 3 15 5 5 5 2 Error:

Corrección:

Demuestra cada una de las siguientes proposiciones.

Paso a Paso

a. Si a   – {1}, con a ≠ 1 y n  , entonces logaa = n. +

Si a, b  +, con a ≠ 1 y n  , entonces logabn = nlogab log b

alog aab = b / ( )anlog ab = b (1)/ ( )n log b a loga aab= nb n / ( n )logn aalogb ab nn n a n =b ⇒a a =b =b ⇒ (2) an log ab = bn log ab n log ab n n a log a=bnn b ⇒ a n = blog bn a bn =laamisma De forma, b = a a . (3) log abn n log bnn n log b log bnn ban =logloaaab tanto, = a aa ⇒ nlog Por a ba ==log a ba ⇒ nlog b = lo

( ) ( )

( )

••

b. Si a   – {1}, con a ≠ 1 y n   – {0}, entonces log a b = +

log ab n

n • log ab

Analiza la siguiente información. Luego, resuelve cada una de las siguientes ecuaciones. log log acc log logbbc= c= a log c log log b b Si a, b  + – {1} y c  +, se tiene que:aa logbc= a . log ab11 3 –– log log 12 = log 10 103 log 1.718 12 log = log 12 1.718 12 2 1 2 log 1.718 12 – log = log 103 12 log 7 log 343 2 x= + log 7 =x x= og g7 343 343 –– log 343 + a. log81 9log + log c. llo c 327 = log3x 7 log 343 log 7 log 7 log 343 logbc= a llog og77343 –log 343 + log ab log log 11 2 2 log 7 log 343 1 4 4 =log x 2 x= – log–12 log2x == log 103 x= 12 log 11 256 256 –– 2 2+ + =loglog b.loglog 1.728 d. log 11 x 1 1.718 12 11 2 2 2 2 loglog 256 – 2 + 2 4 =log 1 x log 1 0,25 0,25 2 log 343 log 7 2 log 1 2 2 + log7 343 – Desafíate 0,25 2 log 7 log 343 5. Demuestra la siguiente log 1 2 proposición en tu cuaderno. 4 –1 256 –+2 + =log x Silog a, b 1   – {1}, entonces 1logab = (logba) . 1 2 2 log0,25 2

•

log ab

⇒ nlog ab = log abn (4)

(1) Se utiliza la propiedad 1 de la sección Para grabar de la página anterior. (2) Se eleva a n en ambos miembros de la igualdad y se multiplican los exponentes involucrados en la expresión de la izquierda de esta. (3) Como es una igualdad, se puede cambiar el orden de las expresiones y esta se conservará. (4) Del paso (2) y (3) se concluye lo pedido.

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

c c

n de prob ció

r r

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e e

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uac eval ión

Ecuaciones logarítmicas

En Rusia son muy populares unas muñecas llamadas matriuskas. Estas tienen como particularidad que cada una contiene en su interior otra muñeca de igual forma pero de distinto 2 tamaño. Si en un grupo de estas muñecas el volumen de cada una es del volumen de la 3 x-1 que la contiene inmediatamente, ¿cuántas muñecas habrá en el grupo si la más pequeña  1 3 3 2  tiene un volumen de 31,6 cm y la más grande uno de 360 cm ? 360 •  = 31,6 /• 2   360  3 Para responder la pregunta, puedes utilizar el logaritmo y sus propiedades: 3 x–1  2  x-1 2   = 31,6 1 / Aplicando logar  3  360 •  = 31,6 /• 360  3  360 x–1

 2     3 

Ampliando memoria Una ecuación exponencial es aquella en la que la incógnita está en el exponente. Por ejemplo:

x–1

2 log   3 

= log

31,6 360

2 31,6 (x – 1)log = log 3 360 x ≈ 7,0003854

x– 1

2 360 •    3 

x–1

31,6 = 360

= 31,6

2 31,6 log  = log 1 / Aplicando logaritmo en 10.   3base = 2;x ≠ 1 log 360 1– x 2 31,6 (x – 1)log = log 1 = 10 2 360 otencia. /Propiedad de logaritmo de 3una po 1– x x ≈ 7,0003854 1 = 100 /Calculando los logaritmos. 1– x

Una ecuación logarítmica es aquella en que la incógnita involucrada está en el argumento de una expresión logarítmica. Por ejemplo: 1 = 2;x ≠ 1 / Aplicando definición de logaritmo. log 1– x 1 = 10 2 1– x 1 = 100 1– x

/ Calculando la potencia. / • (1 – x)

1= 100 – 100x / + (–100)  1  –99 = – 100x / •–   100  x=

Ayuda Si a, b, c  +, con a ≠ 1, se tiene que: logab = logac ⇒ b = c.

99 x= Comprobación:100 log

1 1 = log 100 – 99 99 1– 100 100 1 = log 1 100 = log 100 = log 10 2 =2

Relaciona las de la columna A con las de la columna B. Para ello, escribe 1 1 expresiones = log log la letra correspondiente 100 – 99en cada caso. 99 1– 100 Columna A100 Columna B a. log3x = 4 = log 1 10.000–1 1 b. log100 x2 = 3 10.001 100 c. log4x = 3 = log 100 81 e. log

Unidad 1 • Números reales

/ • (1 – x)

99 100

d. log(x – 1) ==4log 10 2

/Calculando los l / Calculando la poten

1= 100 – 100x / + (–100)  1  –99 = – 100x / •–   100 

Por lo tanto, el grupo tiene siete muñecas.

Para grabar

/Propiedad de log / Aplicando definició

1 100

=2 2 x = log10

64 1.000

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Resuelve las siguientes ecuaciones. a. log 1 x = 64

5 6

f. log z = 1 + log (22 – z) 1

x = p +log p 3 = log 32 log 2 2 2 log m2 = 3+log 100 m 5 log 1 x = 3 1 1 log 64 y – log61 y = log 1 – log 1 1 243 81 3 3 3 3 1 b. log2 p +log2p 3 = log2 32 pm = 2 = 3+log 100 m log 1 1 – log 1 243 81 3 3

log 1 y – log 1 y3 = log 1 3

log 1 x = 64

5 6 1

log2 p +log2p 3 = log2 32 g. log m2 = 3+log 100 m 5 log 1 x = 3 m64y=– log6y = log 1 – log 1 log 1 1 1 1 243 81 1 3 3 3 3 3 log2 p +log2p = log2 32 log m2 = 3+log 100 m 1 1 – log 1 243 81 3 3

h. log 1 y – log 1 y3 = log 1

c. log u3 = log 6 + 2log u

d. log t + log 50 = log 1.000

i. log q + log q2 = –1

e. 2log r – log (r – 16) = log 102

j. log4(w + 4) – log4(w + 4) = 0

Desafíate

Veriﬁca cada una de las siguientes proposiciones.

(

) (

)

a. Si x  + – {1}, entonces log x + x2 – 1 +log x – x2 – 1 =0. a=

e4 + e e4 – e y b= 2 2

(

) (

)

Ayuda

log x + x2 – 1 +log x – x2 – 1 =0 El logaritmo natural (ln) 4 4 representa al logaritmo de base e +e e –e b. Si a, b  +, ln(a2 + 2ab + b2) = 8 y ln(a2 – b2) = 5, entonces a= . y b= e (exponencial). 2 2 En general: logea = ln a Por ejemplo: ln e2 = logee2 = 2 Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

en co n t i do

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r 28 cmr

as lem

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uac eval ión

Operatoria combinada

12 cm 28 cm

log3900 cm

28 cm 12 cm28 cm 12 cm 12 cmcm log 3 100 log 3 cm 100 cm 3log + 3 7 100 cm 3 + 37+ cm7 cm

(

) ( ( ) )

log 3 100 cm

(

)

3 + 7 cm

En la clase de Matemática, se plantea una actividad que consiste en encontrar una expresión que represente al perímetro (P) de la ﬁgura. Luego, el perímetro (P) se puede representar como:

(

)

P= log3 900+ 3 + 7 +log3 10+log3 100 + 12 + 28 cm log310 cm

  1 = log3 (9 • 100)+ 3 + 7 +log3 10+ log3 102 + 2 3 + 2 7  cm  2 

( = (2 + 4log 10 + 3

)

= log3 32 + 2log3 10 + log3 10 + log3 10 + 3 3 + 3 7 cm 3

)

3 + 3 7 cm

¿Por qué crees que algunos términos se destacaron con distinto color? ¿De qué otra forma podrías escribir el perímetro de la ﬁgura? Justiﬁca.

Para grabar Para resolver ejercicios con operatoria combinada, debes considerar el siguiente orden de resolución. 1° Paréntesis, potencias, raíces y logaritmos, identiﬁcando términos que puedas operar. 2° Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha. 3° Adiciones y sustracciones, de izquierda a derecha. Ejemplo:

(log

( (

= log

( )) ( ( )

xyz +log x 2 y – log z 2 x 3 +log 3 yz

)(

)

x y z + 2log x +log y – 2log z + 3log x +log

(

y3 z

))

1 1 1 1 1 = log x + log y + log z + 2log x + log y – 2log z – 3log x – log y – log z 2 2 2 3 3 1 7 11 = – log x + log y – log z 2 6 6

3 log2 10+log2 2.000+ 1

(

)

100 +log5 625

(

((( ( (( ((

Unidad 1 • Números reales

)

3 150+l +log 15 Relaciona las expresiones de la columna A con las de la columna–B.log Para ello,n eescribe la letra correspondiente en cada caso. 1 log 200 – log9 6.561 – log5 5–2 Columna A Columna B 5 3 log2 10+log2 2.000+ 33 1 1 log 10+log 2.000+ 1 e +2log a. 6 log + 4log 5 e – lne 3 22 22 2 2 3 log 10+log 2.000+ 1 2 3 2 10+log log 11 +log22252.000+ 625 22 log100 2.000+ 22 10+log 100 +log55 625 22 9log 9+3log 27–9 2 100 +log 625 3 b. – log –4 –10+7log 2log 15 10–7log e 100 +log e +log 15 –7ln 100150+l +logn5 625 625 e – log 150+ln55 e333 +log 15 – log log 150+l 150+lnn ee33 +log +log 15 15 8 –2 c. ––11 log log 200 150+l e +log –196+log 5 2 6.56115 – nlog – log5 5–2 –2 9 5 51 log 200 – log99 6.561 – log55 5–2 511 log 27 log 200 200 –– log log9 6.561 6.561–– log log5 5 5–2 –2 3 200 – log99 6.561 – log55 5 51 log log d. 5 51 log e +2log e – lne 21 log e +2log e – lne 109 11 log e +2log e – lne 2 ee +2log ee –– lne 5 9log log9+3log +2log27–9 lne 2 log e. 9log log e – 1 2 2 9+3log 27–9 2 10+7log 10–7log ee –7ln 9log 9+3log 27–9 9log 9+3log 9log10+7log 9+3log 27–9 27–9 10–7logeee –7ln 10+7log 10–7log eee –7ln 8 5 f. –7ln ln 10–7 10+7log 10+7log 10–7logeee ––7ln 2 10–7log 8 +log 55 5 +log 5 2 –8 8 8 +log +log 2 27 55 2 ––– 5 327 +log 2 5 27 5 log 5 3279 log 10 27 33 32799 log 10

(

))) )

(( ((

) )) )

)) ))

)

1 1

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Detecta el error en cada caso. Luego, corrígelo. 1 a. 3log2 6 + log2 9 – log6 1.296 2 1 =3log2 2 +3log2 3+ log2 32 – log6 64 1 3log2 6 + log2 9 – 2log6 1.296 =3+3log223+log2 3 – 14 1 2 4 =3log 2 +3log =3+ 4log 3 – 1 2 3+ log2 3 – log6 6 2 2 2 =2 + 4log2 3 =3+3log2 3+log2 3 – 14 =3+ 4log2 3 – 1 5 log+1254log x2 +2 3log5y2 – (–2)3 log 125 5y5 =2 2 =2log 125x +5log5y – 8log 125 5 + 40log 125y 40 2 5 log5y5 y2 – (–2) log 1253 log 5–8125 +log 5y5125y log 125125xx2 ++ 5log b. =log 245 xx2y+5log =2l o g y – 8log 125 5 + 40log 125y =log 125125 -8 5 5 =log 125x2 + 5log 5 y – log 125 5–8 +log 125y40 =log 125

2 2

x2y45 5-8

Error:

Corrección:

Error:

Corrección:

Resuelve los siguientes problemas. De ser necesario puedes utilizar calculadora. a. Para calcular el pH de cierta solución química se utiliza la fórmula pH = –logH+, donde H+ es la concentración de iones de hidrógeno presentes en la solución. ¿Cómo clasiﬁcarías (ácida, neutra o básica) una solución que presenta una concentración de H+ igual a 2,3 • 10–8?

b. El crecimiento o disminución de una población es posible calcularlo utilizando la fórmula P = P0(1 c)t, donde P0 es la población inicial, c el porcentaje de crecimiento o disminución anual y t la cantidad de años transcurridos. ¿En cuántos años la población de cierta localidad aumentará aproximadamente en 25% sabiendo que actualmente hay 90.000 habitantes y crece en 8% anualmente? ¿Y cuándo aumentará en 40%?

Ampliando memoria El pH (potencial de hidrógeno) de una solución química es la concentración de hidrógeno presente en ella. Si es mayor que 0 y menor que 7, la solución es ácida; si es igual a 7, la solución es neutra, y si es mayor que 7 y menor o igual que 14, se dice que la solución es básica.

Ayuda Para calcular el crecimiento de la población, utiliza la fórmula P = P0(1 + c)t; y para el decrecimiento P = P0(1 – c)t.

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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Trabajo de habilidades

Resolución de problemas 1 Analiza la resolución del siguiente problema.

¿Qué es comprender? Comprender consiste en construir un signiﬁcado a partir de información comunicada en forma oral, escrita y/o gráﬁca. Para comprender, es posible utilizar la representación.

¿Qué tengo que hacer para comprender un enunciado? Identiﬁcar lo que entiendes de la información. Relacionar lo que entiendes con lo que tú sabes. Expresar la información en otro tipo de formato.

Etapas de la resolución de problemas Paso 1. Comprende el enunciado. Paso 2. Planiﬁca lo que vas a realizar. Paso 3. Resuelve el problema. Paso 4. Revisa la solución.

El decibel (dB) corresponde a una unidad de referencia para medir la intensidad sonora (I) utilizando la escala logarítmica de la siguiente manera:

βdB = 10log

I0: intensidad mínima para la que se produce una sensación por nosotros perceptible (I0= 10–12 W/m2).

I I0

βdB: nivel de intensidad sonora. 10–6 βdB =10(log I – log I0 ) βdB = 10log –12 10 ¿Cuál es el nivel de intensidad sonora-6 correspondiente a una onda sonora perceptible de –6 10 10 I intensidad? 1 –6 10 W/m2 de =10log –12 =10log –6 βdB =10log =10log –6 =10 • 6 = 60 –6 I0 10 10 • 10 10 Paso 1 Comprende el enunciado I –12 –6 =10 log10 βdB =10log Identiﬁ – log10 =10(–6log10 – (–12log10)) =10(–6+12) = 60 ca lo que entiendes de la información. I0 ¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema? El nivel de intensidad sonora que corresponde a una onda sonora de 10–6 W/m2.

(

)

¿Qué información entrega el enunciado del problema? Se entrega la correspondencia que hay entre el nivel de intensidad de una onda sonora y el nivel mínimo perceptible utilizando una escala logarítmica de base 10.

Relaciona lo que entiendes con lo que tú sabes. ¿Qué signo debería tener el nivel de intensidad en este caso? El signo debería ser positivo, I ya que esI perceptible al oído. βdB = 10logβdB = 10log Expresa la información enI0otro tipoI0de formato. 10–6 10–6 βdB =10(log = 10log I –=10 log I(0log βdB –dBlog I0 ) βdB –=1210log –12 ) oIβtambién 10 10 –6 -6 –6 10 10 10 10-6 1 I 1 Paso 2 Planiﬁca lo que vas a realizarI =10log –12 –6=10log βdB =10logβdB=10log =10log =10 • 6 =–660 =10log –12=10log =10log =10 • 6 = 60 –6 –6 –6 –6 I0 I0 nivel de10intensidad 10 10 • 10 de 10 la• 1onda 010 sonora10se Primero, en la fórmulaI correspondiente al βdB =los 10log las propiedades de los logaritmos reemplazarán valores de I e II0. Luego, se I aplican –6 –12 I =10logβ =10 log10=10 – lolog10 g10–12–6 =10 –6log10 – (–12log10 =10(–6+12 – log10 =10 –6log10 –))(–12log10 ) =(6 )) =10 ( u otras que facilitenβeldB0cálculo dedB β=10log . I0 dB I0 –6 10 βdBI =10(log I – log I0 ) βdB = 10log –12 Paso 3 Resuelve el problema 10 βdB = 10log –6 I0 10 10-6 I 1 βdB =10log =10log –12 =10log =10log –6 =10 • 6 = 60 –6 –6 –6 10 10 10 • 10 10 βdB =10(log I – log I0 ) I0 βdB = 10log –12 10 –6 es 60–12 Por lo tanto, nivel deI la sonora –6 onda log10 βdBI el=10log – l-6og10 dB.=10(–6log10 – (–12log10)) =10(–6+12) = 60 10=10 10 1 I βdB =10log =10log 0 –12 =10log –6 • =10log =10 6 = 60 I0 10 10 • 10–6 10–6 Paso 4 Revisa la solución

(

)

I βdB =10log =10 log10 –6 – log10–12 =10(–6log10 – (–12log10)) =10(–6+12) = 60 I0

(

Unidad 1 • Números reales

)

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

2 Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente. En un laboratorio se tienen 2 soluciones químicas, que tienen una concentración de iones equivalente a 5,1 • 10–7 y 8 • 10–4. Si en un experimento se necesita utilizar una solución neutra (pH = 7), ¿qué concentración de iones debería tener la solución considerada? Recuerda que pH = –log H+, donde H+ es la concentración de iones de la solución.

Paso 1 Comprende el enunciado Identiﬁca lo que entiendes de la información. ¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema? ¿Qué información entrega el enunciado del problema? Relaciona lo que entiendes con lo que tú sabes. ¿Qué solución tiene mayor concentración de iones? Expresa la información en otro tipo de formato.

Paso 2 Planiﬁca lo que vas a realizar

Paso 3 Resuelve el problema

Paso 4 Revisa la solución

3 Resuelve en tu cuaderno el siguiente problema. Si para calcular el tiempo (T) en años que debe permanecer ahorrado un monto de $ 1.000 y obtener un monto ﬁnal (G) se utilizó la siguiente fórmula: T = log G, ¿cuánto tiempo debe transcurrir para que $ 1.000 se conviertan en $ 100.000? Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

Historial Una técnica que facilita la retención de lo estudiado, para después realizar un repaso eﬁciente, es el uso de cuadros sinópticos: un resumen esquematizado cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de manera estructurada y organizada. Completa el cuadro sinóptico, que muestra algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad. Contenido

Número irracional

Números reales

Aproximación de números irracionales

Raíz cuadrada de un número real

Raíz cúbica de un número real

Raíz enésima de un número real

Potencias de base real y exponente racional

Logaritmo

Ecuación logarítmica

Unidad 1 • Números reales

Deﬁnición o procedimiento

Ejemplo

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Cargando disco Analiza el siguiente ejemplo de pregunta PSU referida a la suﬁciencia de datos. Si logb n a =2, ¿cuál es el valor numérico de a + b? 1 a = =2 10.000 ⇒ logb 10.000=2 logb n (1) 10.000 n (2) n = 2 ⇒ logb 10.000=2n ⇔ b2n = 10.000 A. (1) por sí sola. 1 2 log(2) apor =2sí ⇒sola. log a=2 B. b 2 b C. Ambas juntas, (1) y (2). ⇒por logbsí a =sola, 4 (1) ó (2). D. Cada una 1 E. Se2 requiere información adicional. logb 10.000 =2 ⇒ logb 10.000=2 2 ⇒ log 10.000 = 4 ⇔ b= 10 Para responder de manerab correcta esta pregunta, primero puedes analizar cada una de las proposiciones por separado y determinar si entregan suﬁciente información por sí solas. De esta manera, al analizar la condición (1), se tiene que: Si a = 100, entonces:

logb n a =2 1 logb n 10.000 =2 ⇒ logb 10.000=2 n ⇒ logb 10.000=2n ⇔ b2n = 10.000

1 n log a =2 logb 2 a =2 log b b a=2 Por lo tanto, la información de la condición (1)⇒ no2basta para obtener el valor numérico de a + b. 1 ⇒ logban=10.000 4 =2 ⇒ logb 10.000=2 Ahora, si se considera válida la condición (2), se tiene que: n 1 2 ⇒ logb 10.000=2n ⇔ b2n = 10.000 logb 10.000 =2 ⇒ logb 10.000=2 Si n = 0,5, entonces: 2 1 = 4 ⇔ b= 10 2 10.000 logb n a =2logb⇒ alog =2 b ⇒ logb a=2 2 1 n a= 4 loglog 10.000=2 logb 10.000 =2 ⇒ ⇒ b n b 1 2 10.000=2n ⇔ b2n = 10.000 ⇒ logb=2 10.000 log 10.000=2 b De esta manera, b4 = a, entonces a + b = b4 + b.logPor lo tanto, la⇒información de la condición (2) no es suﬁciente para 2 b 1 determinar el valor numérico de a + b. logb 2 a =2 ⇒ logba=2 ⇒ logb 10.000 = 4 ⇔ b= 10 2 Finalmente, si se consideran válidas las condiciones (1) (2), ⇒ logbya = 4 se tiene que: 1 logb 2 10.000 =2 ⇒ logb 10.000=2 2 ⇒ logb 10.000 = 4 ⇔ b= 10 Luego, a + b = 10.000 + 10 = 10.010. Por lo tanto, la alternativa correcta es C, ambas juntas, (1) y (2). A

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I. 1

r r

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resol u

uac eval ión

3 1 12 + 5 1 enido de t p n r n o o c b 3 Evaluación final ció 12 + 5 3 0,5; π ; 2 35 – 5 – 35 5 3 0,5; π0;,5;2π ; 2π ; φ; 5 3 36 – 5 π π ; φ; 5 2 ; φ;2 5 36 – 5 3e 3 2 3 7; – e ; 9 3e Lee atentamente cada una de las preguntas y marca la alternativa correcta. 12 – 5 3e 7; – 7;;–12e9–; 59 2 1 e 2 20 ; – ; 11 3 2 1 2 e ¿Cuál de las siguientes alternativas muestra solo 1 ;3–por 7 =2,64575... 5 Si se20 aproxima ; defecto 11 20 ; 11 ; – ea números irracionales? e 7cuatro considerando cifras decimales, ¿qué número 4+ 7 a representa 4 + 7 ?2 a 0,,5 5;; π π ;; 2 2 A. 0 5 – 53 ≤ a ≤ 5 12 + 2 3 A. 2,6457 π 2 3≤ a ≤ 5 π ; φ; 5 + 12 +53– 55– 15 B. ; φ; 5 0≤ b ≤4 B. 12 2,6458 2 3 2 12 b+ ≤ 45 0 ≤ C. 4,6457 3 3e 3≤ a + b ≤9 1 1 3e C. 7; + 12 +533 ≤5 a + b ≤ 9 D.126,6457 9 7; –– ;; 9 – 35 5 ee 3 0 ≤ a + b ≤ 20 E. 0 6,6458 ,5; π ; 2 2 2 0 ≤ a + b ≤ 20 11 – 35 5 2 3 35 – 5 D. 20 13 cm 11 20 ;; –– ;; 11 π ee ;3φ; 3 5 1336 – 5 cm 6 Considerando π = 3,14159, ¿qué se obtiene al 2 169 resultado cm E. 0 Ninguna 3décima? ,5aa; π ; 2de las anteriores. redondear a lacm 36 – 3653e– 3π5169 481 cm 912 – 5 7; π 2 2 5– 5 3 – e3; 481 A. 3,1 cm 12 + ; φ ; 5 5 –las5siguientes afirmaciones es(son) 12 + de ¿Cuál(es) 12 + 5 2 3 3 3 B. 12 9,3 – 12522– 51 = 5 12 + verdadera(s)? ; 11 20 ; – 113e 3 C. 9,43 3 e 7 = 12 + 5 7; – 5; 9 3 I.12 +Si3 D. 9,42 7 3re  ⇒ r   7 a 4+ 7 E. 9,425. II. 1U {0} –– =25 35 3520 5; – ; 11 412 + +472+ 57– 35≤ a ≤ 5 III.  0,5; π ; 2 3 3 = eU  7 Si 3 ≤ 3a3≤≤ 5ay≤05≤ b ≤ 4 , ¿cuál(es) de las siguientes a π – 36 5 36 – I. 5 1 ; φ; 5 A. Solo afirmaciones falsa(s)? ≤34 12 +0b≤≤54bes(son) 0 ≤ ≤ a + b ≤9 2 2 3 3 B. Solo 3 12 + I y 5II.– 5 I.≤ 3a≤+ ab+≤ 3e 12 C. Solo 335 9b ≤a9+ b ≤ 20 0≤ 12 –– 3I 5 5y III. 7; – ; 9 – 5 e 1II y III. D. Solo3 b 12 +3 5 0II. ≤ 30a≤+ ab+≤120 3≤ cm20 2 0 , 5 ; π ; 2 1 E. I, II y3III. III. 9 1≤ a + b ≤ 31 7 0,5; π ; 2 20 ; – ; 11 36 7 5 cm 169 cm 13 –cm3 e π ;φ – ; 55 35 π 4+ 7 A. Solo I.169 cm 481 cm ; φ; 5 1693 cm pertenecer a ? Si a24+3+7, ¿a qué conjunto no podría 2 B. Solo 12 – II. 5 cm 481 3 aa ≤ 3≤ 5 ≤ 3e ≤5 2 481 cm 36 A.  3e 7;–– 5 ; 9 C. Solo I y II. 12 + 5 = 5– 5 12 + 312 + – ; 9 7; –≤ b 0 ≤ 4 e B.  3 0 ≤3 b ≤ 4 D. 12 Solo e + I5y III.5 = 3 2 2 + 7 1 ; ≤119 C.  1 2 E. I, II3 y III.3= 3 aa ;+ 1 20 12 – 5 3≤ ≤ +– b b ≤9 12 + 5 20 ; – ; 11 D.  e 4+ 7 3 e 3 +≤ 0 a + b ≤ 20 E.  0a≤ a + b ≤ 20 8 Si la3hipotenusa 35 – 5 ≤ a ≤ 5 de un triángulo rectángulo mide 25 cm a 713 cm 13 2cm y uno de sus catetos mide 12 cm, ¿cuál es la medida del 3 2 12++ 7 5 – 5 ≤ b ≤4 4 otro0cateto? 169 cm 5 – 5 12 + ? ¿Qué resultado se obtiene de: 1693 cm 36 – 5 3 3≤ a + b ≤9 3 ≤ 1acm ≤5 A. 13 cm 3 481 1 A. 12481 + cm 5 12 + 5 B. 0 37≤cma + b ≤ 20 012≤+3b5≤ 4 12 – 5 3 12 + 5 = 35 – a5+= b ≤ 9 C. 13 cm 3 35 – 5 B. 3 ≤ 3 3 3 D. 169 cm 7 3 0 ≤ a + b ≤ 20 36 – 5 E. 481 cm 36 – 5 C. 13 cm 4+ 7 3 3 12 + 5 3≤ a ≤ 5 cm = – 5 12169 12 – 5 D. 3 0 b 4 ≤ ≤ 481 cm 3 3 3≤ a + b ≤9 127+ 5 7 E. = 0 ≤ a + b ≤ 20 4 +3 7 4+ 7 13 cm 3≤ a ≤ 5 3≤ a ≤ 5

Verificando disco

( () )

( )

0≤ b ≤4 Unidad 1 • Números reales 3≤ a + b ≤9

( )

0≤ b ≤4 3≤ a + b ≤9

169 cm

481 cm

( )

23 7 + 3

81 81 5 5 3 3 3 4 2 43 7 7+ + 13 3 –– 233 56 56 + +3 2 2 4+ 25 1 2 3 4+ 5 3 2 2 33 7 7+ + 3 3

((

12 3 7 + 3 3

4 7 – 56 – 3 +2 2 4 3 7 – 3 56 + 3 +2 2 15 3 5 9 Si el volumen de un cubo es 4.913 dm3, ¿cuánto miden 3 5 sus aristas? 33 5 A. 17 dm

B. C.

4.913 cm

15 3 25

4.913 cm

3 3 52 1

n D. 4.913 dm a • n bm =(am • b) n E. Ninguna de las anteriores. 3 2 4.913m cmn 3 cm m+n • a a = a 2 3 4.913 cm 1 1 10 Si la base de un triángulo isósceles mide 5 cm, ¿cuál + es 500 – 5 + 40 n m • b =(a • b)n m a el área del triángulo? 4.913 dm 9 5 log 5 3 1+ . 3 cm (1) 5La altura está dada por 81 log 4 2 3 3 4 El 7 +perímetro 3 – 56 2 + 2500 (2) del+ triángulo es –2 513++ 10 40cm .

)(

)

(

))

6 6

7 7

8 8

3 12 12 33 7 7+ + 3 3 3 3 4 33 7 7 –– 33 56 3 +2 4 56 –– 3 +2 2 2 3 3 3 3 14 ¿Qué valor siguiente igualdad 144x = 12? 3 56 4 2 43 7 7 ––satisface 56 + + 3 3la+2 +2 2 A. 0,5 115 5 B. 1 333 5 5 C. 2 3 5 5 D. 3 3 3 3 E. 12 3 33 5 5 3 15 15 33 25 25 15 Si a, b 3 2+ y n, m  , ¿cuál(es) de las siguientes 3 3 33 5 522 es(son) verdadera(s)? aﬁrmaciones

•

(

)) ((

II.

11 1

m m m

n n n

m m n aa ••• nnn b bmm =(a =(amm ••• b) b) nn

m m m

m+n aa ••• nnn aa = = aamm ++ nn

2 2 2

11 11 1+ + 1

n+m III. nnn mmm aa ••• b b =(a =(a ••• b) b)nn mm 4.913log cm5 log 5 1+ Solo 1+I. 3 4.913 cm4 log 4 Solo III.log Solo II. 4.913 2 3 2I y11dm 3+ + 10 10 cm cm Solo I y III. 3 cm I, II y3III. 2 • ••

)

A. 3 9 5 2 + sí3 sola. (1)7por B. 4.913 cm (2) 81 5 12 3 7por + sí3sola. C. 3 Ambas juntas, (1) y (2). 3 3 3 3 4.913 cm D. 4 7 + 3 – 56 + 2 + 2 – 3 4 7 –una 56por Cada sí +2 sola,2(1) ó (2). E. 4.913 dm 3 Se 4 3 requiere 7 – 3 56 +información 3 +2 2 adicional. 2 7 + 3 4.913 cm 3 500 – 5 + 40 3 3 cm 16 ¿Cuál(es) de las siguientes aﬁrmaciones es(son) 315 12 7 + 3 . 4 913 cm 2 se obtiene al elevar al cuadrado la 11 ¿Qué resultado cm 3 4.913 9 5 4.913 4.913 verdadera(s)? 5 cm cm 3 3 – – 4 7 56 3 +2 2 3 500 – 5 + 40 expresión: ? 4.913 dm cm 3 4.913 3 45.913 81 4.3913 cm cm I. 5 La base de un logaritmo no puede ser negativa. 4.913 cm 3 3 4 3 7 – 3 56 + 3 +2 2 3 3 9 5 A. 405 + 3 . 4 913 cm 3 II.4 Si y a+< b,2 entonces log a > log b. cm dm 7 +a, b3–3 56 + 2 4.913 3234.913 53dm 4.913 cm 1 5 B. 495 2 2 2 81 5 4.913 dm III.3 Si x > y , entonces ln x > ln y2. 34.913 dm 3 3 15 3 25 3 cm 2 4.913 dm 500 – 5 + 40 3 cm 3 3 cm 2 7+ 3 C. 495 5 33 3 4 7 + 3 – 3 56 + 2 + 2 2 2 2 cm 3 3 I. 3 cm A. Solo 3 5 3 5 D. 9 5 – 5 + 40 12 7+ 3 3 cm 2500 500 500 – 5– +35 + 401 40 m B. Solo I y3 II. 2 2 7 + 3 3 3 n n 500 E. 81 m 40 n 5 + 3 5 5 b––m =(a – 4 7 56 – 3 +2 2 500 5 + 40 a • • b) 9 5 C. Solo I y III. 9 59 5 500 – 5 + 40 12 3 72 +3 3 3 3 3 D. 4 Solo III.+ 3 +2 2 45 7n + 3 – 56 + 2 + 15 2 25 9 7 –II 3y56 9 55 81 m 81 5 aexpresión 3 m + nse 3 obtiene al resolver 9 5 •5 a = a 12 81 ¿Qué E. I, II y III. 4 7 – 3 56 – 3 +2 23 2 15 81 33 35 81 57 3 – 31 56 1 + 2 + 32 5 4 + 3 7 + 3 4 7 + 3 – 56 + 2 + 2 + 3 ? 4 32 7 + 3 – 56 + 2 + 2 3 81 5 n m 3 m + 3 +2 2 – 33n 56 4 7• b) 1 m 3 3a • b =(a 5 4 n 17 ¿Cuál es el valor de 2log 1.000? 433 33777 7+++ + 333 3 –– 3 56 56 + + 2 2 + + n2 2a • n bm =(a4m 3• b) 3 12 3 2 7 + 3 – 56 + 2 + 2 1 5 + 3 A. 72+ 7 2 3 log 5 3 5 2 1+33333377 +– 3 356 A. 2 3 – 4 3 +2 2 2 m 77 12 3 B. 3 2 12 7+3+ +4 33 35 12 7 +log a • n a = am2+ n3 7 + 3 B. 3 5 33 3 3 3377–+3 56 3 +2 22 12 3 37–+3 3 12 3 53+ ––cm 4 3 31 + 1 C.3 74 C. 15 4 3 25 156 2–3 7 3– +–56 10 4 7 56 3 +2 +2 4 +2 2 2 n m 12 n 7m+ 3 • b =(a • b) a 3 3 3 3 3 1 5 3 3 D. 63 2 –– 3 4 7 56 +2 2 3 – 4–3 7 7 5653 33 D.3 74 + +2 –– 3 3+56 + 3 +2 +2 2 4 56 +2 2 22 4 3 7 – 3 56 – 3 +2 2E. 3 3 log 5 10 5 3 3 35 3 de 3 +las3anteriores. E. 4 Ninguna 3 3 1+ – 7 56 +2 2 1 5 – 4 7 56 + 3 +2 2 15 25 1 m 3 3 15 15 log 4 4 7 – 56 + 3 +2 2 n n m m n 3 5 3 a • b =(a • b) 315 3 5 3 3 52 5 1355 18 Se tiene que log 5  1,16. ¿Qué expresión representa el 1 5 1 2 3 + 10 cm 24 3 expresión 3 13 ¿Qué se obtiene almracionalizar ? 3 3 55 1 m den 1 + log m + 4? n 3 5 5 valor 3 3 5 3 5 n a • a =a 5 5 a • n bm =(am • b) n 1533 35 3 525 1 1 3 3 A. A. n2,32 + 2 3 53 5 m 3 5 n m 3 • b =(a • b) a 2 m n m + n 3 33 B. 1 + 1,16 3 5 3 B. 3 3 15 15 25 a • a = a 15 25525 33 5 log 5 1 m 1 1 3 3 + 2 C. 1+ 15 n23 3 3 25 2n mn m C.3 3 m n 15 25 n m 3 5 a • b =(a • b) a • b =(a • b) 3 53 5 log 4 15 25 3 2 3 m 3 52 2 11 m 2 m D. 3 1 D. 1 + 1,16–1 3 5 nn mm mlog n m n n mn m n n m5•n b) n n 2 13 + 10 cm 3 3 52 b 1+=(a aab•• =(a am •+las ba = =(a 11 • b) m a •Ninguna b) E. de anteriores. m E. Ninguna de las anteriores. 1 n n 4 1 mnnn n m n m log 1 m 2 m n 2m m 1• b) a •• nn bm2=(a + • n n m m m n m + n n m m n m+n m+n n m m a • b =(a • b) • ba=(a =2a •1222b) 41 Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo a • naaa•• = 3 + 10 cm m n m + n 2 m ma• n n a = am m1 + +n n1 11 + 11 • a 5= a + nn + mm alog m n m n m n m a • b =(an• b) a • n a = am + n m A. B. C. D. E.

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c c

n de prob ció

r r

as lem

e e

en co n t i do resol u

uac eval ión

Evaluación ﬁnal

99 100 0,5 2 2 ln xx ≈ 2 ,772 ln ≈ 2 ,772 ln x ≈ 2 ,772 ln x ≈ 2,772  A   log (A • B)+log  A  log (A •• B)+log A  A B log (A B)+log log (A • B)+log  B  B  B  2 3 K =log 3 xy +log xy 2 K =log 33 xy +log xy 22 K K =log =log xy xy +lo +log g xy xy 11 4 7 xx44yy77 11 log log 3 log log xx4yy7 3 3 ¿Cuál es el valor de x en la ecuación 9x = 7? 3 7 7 7 7 A. 9 9 11 9 9 ln ,log 11 ee55 ,log 1.000, 2log log 7 ,log 99 ln ,log 1.000, 2log 100 0,5 log 7 100 0,5 2 99 log 7 2 log 7 3 B. log log 3 log 3 log 33 0,5 11 ,, llog 2log og99 1,ln 1,ln ee55 ,log ,log 100 1.000 1.000 log 2log 0,5 99 100 log 3 2 2 log 3 C. log log49 3 11 log 49 5 log 49 ,log 11 o g 1.000,2l log 49ee5 ,log ,log99 o g ln ,log 100 1.000,2l 0,5 11 ln 0,5 2 99 100 2 3 D. 11 log 73 log 2 log 1 log777 3 3 2 2 log ,log99 11,, ln log 100 1.000,2log 1.000,2log0,5 1 ,log ln ee55 100 0,5 2 99 E. ll2o g 7 2 g33 7 llo o og g33 7 7 11 5 log cd ( ) ,ln log 1,log 1.000,2log log cd ( ) ,ln ee5 log 1,log 1.000,2log 99 100 0,5 log cd ( ) 99 0,5 2en la ecuación ¿Cuál valor100de la incógnita loges cdel 2 log (ab ln (xlog + ln 1)ab =)))x1? ( log ab ( ≈ 2 ,772 log lnab x ≈ 2,772   A. log 0  cd  A  cd  cd log log cd(A  •• B)+log  A  ab (A B)+log B. log 1log log ab   B B  ab   C. e  ab  2 3 D. 1 + K e =log K =log 3 xy xy +lo +log g xy xy 2 E. e – 1 11 log xx44yy77 log 3 3 Al resolver la ecuación: log (x2 – 4) – log (x – 2) = log 7, 7 7 resulta: 9 9 A. 2 log 7 log 7 B. 4 log 3 C. 5 log 3 log 3 3 D. 7 log 49 E. 9 log log 49 11 log7 3 3 log x ¿Cuál es 2 2 el 7valor de x en la ecuación (a • b) = c • d?

(( (

19 ¿Qué alternativa representa las expresiones: 1 1 5 ,log 1 ordenadas ln eln ,log 1.000, 2log 5 de menor a 1 ,log 100 0,5 99 5 ,log 1 e 1.000, 2log 100 1.000, 2log2 0,5 1 99 1 ln ee55 ,log 1 ,log 100 1.000, 2log 0,5 2 99 1 ,log ln ,log 1 ln e 1,log 100 1.000, 2log0,5 2 ,log 99 mayor? 100 0,5 2 99 5 2 1 , 2log l og 1,ln e ,log 1.000 5 1 0,5 100 2log llog 1,ln 1.000 20,5 211 ,,, 99 100 1.000 2log 1,ln ee55 ,log ,log 99 1,ln e5 ,log 100 1.000 log og99 0,5 2 , log 99 1,ln e ,log 100 1.000 A. 2log 2log0,5 0,5 2 99 1 1100 5 21.000,2l ,log 1 1 og0,5 ln eln ,log 5 1 ,log 99 100 5 ,log o g e 1.000,2l 99 1 100 1.000,2log20,5 1 ee55 ,log 1 ,log 99 1 100 1.000,2log 0,5 2 ,log ln ,log B. ln 0,5 2 ,log 99 1 o g ln e ,log 100 1.000,2l 0,5 100 2 1 1 5 2ln e 995 ,log 1 loglog 1.000,2log , 1 100 0,5 99 ,log 1, ln e5 1.000,2log 100 1.000,2log20,5 1 99 1, ln e5 C. log 99 1, ln e5 ,log log 1.000,2log0,5 21 ,log 100 1.000,2log 0,5 2 99 1, ln e ,log log 100 100 0,5 2 99 2 1 ,ln 11 e5 5 log99 1,log 1.000,2log 100 0,5 D. ee55 log 1,log 1.000,2log 11 ,ln 2 99 100 0,5 ,ln log 1,log 1.000,2log 1 100 1.000,2log 0,5 2 ,ln ee51 1,log ,log lnlog e599 ,log 1.000, 2log 99 100 0,5 2 ,ln log 1,log 1.000,2log 100100 0,50,5 2 99 99 2 ln x ≈ 2 ,772 2 E. ln Ninguna de las anteriores. xx ≈ 2 ,772 ln ≈ 2 ,772 ln x ≈ 2 ,772 1   5 ln x ≈ 2, l,772  Ae ,log 100 1.000 og99A1,ln log2log (A •(A B)+log 0,5  A  log B)+log • 2 20 ¿Cuál es el resultado  de ln e–2 + log e2? log (A •• B)+log  B  A A log (A B)+log B  log5 (A • B)+log  B 1 B 2 3 A. 0 B ln e ,log 1.000,2l  og20,5 ,log99 1 K =log xy +lo g xy 3100 3 xy +log xy 2 2 K =log 3 xy +log xy 2 B. K 1 =log K =log 3 xy +log xy 2 K =log xy +lo g xy 1 –2 1 C. e724 7 11 x+4y1.000,2log log ,log 1, ln e5 log 1 100 x 4 y7 0,5 5 99 log 1 3 231 log ln2 e ,log 100 1.000, 2log0,5 ,log 99 1 xx44yy77e D. + 2log log log x y e 2 3 3 E. + 2log 1 7 –2 5 3 7 ,ln e log 1,log 1.000,2log 7 99 100 0,5 1 7 2 , log99 1,ln e5 ,log 100 1.000 9 9 2log0,5 7 2 9 9 loglnlog 21 Si 97 x7≈ 2,772, ¿cuál es aproximadamente el valor de 1 log 7 5 2 log ln logxlog 3? 7  A ln e ,log 100 1.000,2log0,5 ,log99 1 7 log 3 2 log 3 • B)+log   log (A log 33 log 33  B  A.log1,386 log 1 log 3 log 3 log 1.000,2log0,5 ,log99 1, ln e5 B. log2,772 49 log49 33 2 100 log 2 Klog =log xy +log xy 49 C. log 49 1 5,544 log 49 1 11e53,log 1.000, 2log 1 ,log 1 D.log ln11,088 7 log990,51,log 100 99 1.000,2log0,5 ,ln e5 log 3 100 7 2 1211log 743 log x y 2 2 E. 330,736. log777 3 3 2 log 1 log3l2 7 1 2 5 5 x ≈ 2,772 o g 7 ,log 99 1 e3 ,log 2log 1,ln ln e2log ,log0,5100 1.000 o g 7 , log1.000, 7llln 30,5 7 100 99 o g 2 2 3 l o g 7 A loglog (cd3()cd 9log cdel))1 valor de log5 (A1• B)+log  ? 22 ¿Cuál es ( log 5 (cd) , log99 1,lnoeg,log 100 2log 1.000 log cd logln ()ab ,log 1  B  eab7,log (log log 0,5 )100 1.000,2l 0,5 99 log ( ) 2 2 ((ab ) ab (1) log ab))A = 0,2 K =log 13 xy +log xy 2 log log cd35(log 1  cd loglog B100=1.000,2l  elog g0,5 1,log ln ,log (2) 0,3 0,5 o,log cd 1.000,2log , ln e995 1 log cd 100 99 log 3ab  ab 2 cd  2 log 1 4 7  ab log49  log ab por 1 x y1 ab A. log (1) sí sola.  3 ,log ,ln 1, lnee5 5 log 1,log 1.000,2log log 1.000,2log B. 1(2)99100 por sí100sola. 0,572 0,5 99 2 log7 3 C. ln (1) y (2). 1 2Ambas x≈ 2juntas, ,7721.000,2log 9 ,ln e5 log 1,log 99 100 0,5 ó (2). D. loCada una por sí sola, (1) 2 g 7  A log 7   E. log Se3(A requiere información adicional. B)+log • ln (cd x≈ log ) 2,772  B log 3  A log 3 log ab)3• B)+log ((A log =log xy +log xy2 , ¿cuál de las siguientes 23 Si K  49  Blog   expresiones es equivalente a 3K? cd 1  4 37 log 1 2 x 4y 7xy +log xy Klog =log  log 3 A. 3log ab (x y ) 2 7 71 4 7 B. log x y log3 7 93 2 C. log log)(cd) 7 7(xy) + log (3xy log 3 2 D. log (xy) + log (x y ) 93 log (ab) E. log Ninguna de las anteriores. log 7 log 3  cd    42 Unidad 1 • Números reales log log 3 log 49  ab  log 3

( () ) ((( )))

( )

o I. llln •7 og g(c 7d) – ln (a • b) 3 3 log (cd) II. log cd log log (ab ab)   cd cd  III. log log    ab ab 

( )

)) )

A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. Solo III. Solo I y III. Solo II y III.

28 Si y = ln x, entonces ¿qué alternativa representa (ey)2? A. B. C. D. E.

y2 x e2 x2 2e2

2 2 9 93 7 – 5 cm 1 2 3 4 9 9 1 2 3 4 7 +1 7 – 5 5 log 5 cm 2 2

( ) 5 5 ( ) cm (((337 777––– 555))+15 cm log 5+ 1) cm 10log 5 cm 10log 7 7 – 5 5cm +10 log 155+ 1) cm ( ¿Cuál es el valor de x? 5 + 7 cm (( 75 +7 – 7 ))5cm +10 log 155+log10) cm (1) (log x = 4 3 7 – 5 cm (3 7 – 5 ) cm (2)(a= 2 ) 7 (log 7 7 +15 7 –– 5 5a+1 5 log log 5 5)) cm cm = A. (1) (por síesola. b B. (2)(por sí–– sola. 7 7 5 +15 log 5+ 7 7 5 5+ 11) cm cm (log juntas, 10 +15 = (1) 1 log C. Ambas y (2). ) 5 7 7 5 log D. Cada sí n sola, ((log )) cm 55+ 5+ó11(2). cm 7 una 7 –– por 5 +10 +10 log 11(1) a = E. Se requiere información adicional. m ((77 77 –– 55 +10 +10 log log 155+log10 155+log10)) cm cm

6 6

7 7

8 8

29 Sea U = log a + log b y V = log (a–1 b), ¿qué expresión 32 V es equivalente a ? a U V A. 1 1 B. aU2 a a2 1 eb C. 2 2 a –b 9 –1 10b D. –log 2 ab(a b) 9 m E. log 9 ab(a–1b) n a 2 V 9 V x–4 3 7el–valor 5 cm 30 Si 32 = 1, entonces de logx512 es: U 33 Si a, b  , ¿cuál(es) de las siguientes aﬁrmaciones V U a= 2 1 7 – 5 cm 2 3 A. 2 es(son)a=falsa(s)? 10log 5 cm 1 U 2 2 aa a B. 9a = log eebbb eeaa = a2 V 5 + 7 cm I. log 10log 5 cm 21 b e b 2 C. 9a2 –b U –b –b log 10 = b 10 5 + 7 cm 3 7 – 5 cm = 11 II. log 10 b 10 2 10b 9 1 9 n m 2 n 9 D. 239 7 – 5 cm III. log log nnn aa mm aa = = 7 7 – 5 +15 log 5 cm a m a m 9 2 2 E. –V3 7 – 5 cm 7 +1 7 – 5 5 log 5 cm 2 cm 7 7 – 5 +15 log 5+ 1 cm 9 A. Solo I. 3 7 – U5 B. Solo II. 10log 5 cmcm 9 1 3expresión 31 ¿Qué representa el perímetro 77– – 55+15 log cmla ﬁgura? 7 75+ – 1 5cm +10 log 155+ 1 de 10log 572cm C. Solo III. 2 a 5 + 7 cm D. Solo I y II. V 10log 5 cm 5+ 2 77 cm cm5log 7 – 5 +101 cm log 3 cm 7 – 5 cm 7 715–5+ 51+10 155+log10 10 log cm E. Solo I y III. U 93 57 +– 57 cm 3 7 – 75 7cm – 5 +10a= log 155+log10 cm1 10log 5 cm 2 9 2 34 ¿Cuánto tiempo (T) debe transcurrir para que 73 77– – 55+1cm 5 log 5 cm a a 5 + 7 cm a 25 +125 log 5 cm 7 7 – a= $ 10.000 se conviertan en un monto G = $ 1.000.000? log eb e = 2 b +1 log5+ 5 1cm cm5log 737 77–a – 55a5+15 cm (1) T = log G 3 7 – 5 cm 9 e =log 5+ 1log 7 7 – log 5 +15 cmb 10–b = 1 eb 10 b 9 (2) log 1.000.000 = 6 5+1 1cm 77 77––5–b5cm 10log 5+10 +15log log15 5+ ncm log 25 cm 7 +1 7 – 5 5 log 5 cm m = 1 b 10log 5 5+ 1 cm 7 7 – log 5 +10 1 log n a = 2 10 7 +10 cm log a155+log10 m A. (1) por sí sola. 7757+log cm 5 5+ 1 cm 7m–– 5125 5n+10 log 1 cm 3 7 – 5 cm 7 7 – 5 +15 log 5+ 1 log a = B.cm(2) por sí sola. 7 7 – 5 +10 log 155+log10 cm n a mcm 3 7 – 5 C. Ambas juntas, (1) y (2). a=7 7 2 – 5 +10 log 155+log10 cm 10log 57cm7 – 5 +10 log 155+ 1 cm a= 2 D. Cada una por sí sola, (1) ó (2). 7a=b7e–aa2=5a+15 log 5 cm A. log 5 + 7 cm E. Se requiere información adicional. ab b 7 7 – 5 +10 log 155+log10 cm log eb ea = ee b 7 10 –b5 a 7log – a –b +15 log 5+ 1 cm B. log b e == 1 3 7 – 5 cm 10ebb 35 Para calcular el pH de cierta solución química, se log 10b 10–b =10 1 a= 2 b n –b m utiliza la siguiente fórmula pH = –logH+, donde H+ es la 7logn 7m–b 10 5 +10 log 155+ 1 cm C. log = 1 a 7 +1 7 – 5 5 log 5 cm a = a n n 10 log eb e = concentración de iones de hidrógeno presentes en la m log n a m a = aa b n m que tiene una D. 7log7n –m a5=+10 log 155+log10 cm7 7 – 5 +15 log 5+1 1 cm solución. ¿Cuál es el+ pH de una solución log 10b 10–b = a m concentración de H igual a 9,5 • 10–12? E. Ninguna a= 2 de las anteriores. 7 7 – 5 +10m log 1n55+ 1 cm A. 12 log n a a = a m B. 9,5 log ebb ea = 7 7 – 5 +10 log 155+log10 C. cm 9,5 • 1012 b –b D. 9,5 • 10–12 log bb 10 = 1 10 a= 2 E. 12 – log 9,5 n m a a log nn a = log eb e = a m b log 10b 10–b = 1

(

( ( ( ( ( (

( ( (( ) (( () ( (( ) ( (( (( (( ((( (( ( ( ( (

)

(

)

( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) )( ) ) ) ) () ( ) ) )) ) ( ) ) )) ( )) ( ) ) ) ) ( () ) ) ) ( ) ( () ) ( ) ) ( ) ( ( (

log n a m a =

n m

)

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

c c

n de prob ció

r r

as lem

e e

en co n t i do resol u

uac eval ión

Evaluación ﬁnal

II. Resuelve los siguientes problemas. 1. Si en un triángulo rectángulo sus catetos miden 6 cm y 1 cm, ¿cuál es la medida de su hipotenusa? ¿Es un número irracional? Demuéstralo. I βdB = 10log I0

2. El decibel (dB) corresponde a una unidad de referencia para medir la intensidad sonora (I) utilizando de la siguiente manera la escala logarítmica: 6 cm I βdB = 10log I0

I0: intensidad mínima para la que se produce una sensación por nosotros perceptible (I0 = 10–12 W/m2). βdB: nivel de intensidad sonora.

¿Cuál es el nivel de intensidad sonora correspondiente a una onda sonora de 10–9 W/m2 de intensidad?

Unidad 1 • Números reales

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Cerrar sesión Contenido

Números reales y aproximación de números irracionales

Raíces

Logaritmos

Ecuaciones logarítmicas y problemas de aplicación

Número de pregunta

Habilidad

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

Recordar Evaluar Comprender Aplicar Aplicar Analizar Evaluar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Evaluar Evaluar Recordar Comprender Comprender Aplicar Recordar Analizar Analizar Aplicar Aplicar Aplicar Analizar Comprender Analizar Aplicar Aplicar Analizar Evaluar Analizar Aplicar

Clave

Nivel de logro

Mi estado Evalúa tu desempeño a partir del logro alcanzado en cada contenido. ¿Qué contenidos podrías enseñarle a una compañera o compañero que no los haya entendido? ¿Qué temas debes repasar? ¿Qué harás para reforzarlos? ¿Qué caliﬁcación te pondrías de acuerdo a lo que has aprendido a lo largo de la unidad? ¿Por qué? Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

Unidad

Expresiones algebraicas fraccionarias

2 2

7 El origen de la palabra fracción deriva del latín fráctio, que signiﬁca quebrar, partir; es por esto que 12 a las 1 se 7 ya fracciones también se les ha conocido como “números quebrados”. Se considera que las fracciones 12 3podían usaban desde el Imperio egipcio, pero solamente fracciones con numerador igual a 1 o aquellas que 1 1 7 obtenerse de alguna combinación. Por ejemplo, para representar lo hacían como la suma de y . 3 4 12 1 7 x+3 5–g 1 , , 4 3 b 4y g2– 1 1 7, x + 3, 5 – g 4 4y g – 1

7 , x + 3 , 5 – g2 b 4y g – 1 2 7, x + 3, 5 – g b 4y g – 1

son ejemplos de expresiones algebraicas fraccionarias, en las que el denominador está compuesto por una expresión algebraica.

2 10

1 2

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1 9

Menú de inicio ¿Qué aprenderás?

¿Para qué?

¿Dónde?

Productos notables y factorización.

Reforzar contenidos previos que favorecerán al aprendizaje de los conceptos introducidos en la unidad.

Páginas 48 a 51.

Expresiones algebraicas fraccionarias. Operatoria.

Aplicar diferentes técnicas adquiridas para resolver problemas que involucren este tipo de expresiones.

Páginas 52 a 67.

Ecuaciones racionales.

Resolver ecuaciones racionales y problemas en los que se pueda Páginas 68 a 71. plantear este tipo de ecuaciones.

Unidad 2 • Expresiones algebraicas fraccionarias

1 10

1 1

2 2

3 3

4 4

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Abrir sesión Considerando la información de la página anterior, responde: 1. ¿De dónde proviene la palabra fracción? Explica. 13 ? 12 3. Deﬁne con tus palabras una expresión algebraica fraccionaria. Luego, escribe tres ejemplos.

2. ¿Cómo crees que los egipcios escribían la fracción

s er

ció

n de p r o

r r

Inicializando

s a mel

c c

re s ol u

en c o n t i do

m as

e e

b le

uac eval ión

ulo

c o n t i do en

ció

n de p r o

Comprender consiste en construir un signiﬁcado a partir de información comunicada en forma oral, escrita y/o gráﬁca. Para comprender, es posible utilizar la representación.

eval ión uac

En una región europea habitada por 72.000 personas, cuyo idioma materno es el español, se sabe que un sexto de ellas habla solo su idioma materno y alemán; mientras que un octavo habla solo su idioma materno y chino. Si 3.000 personas de dicha región hablan ambos idiomas más el idioma materno, ¿cuántas personas hablan español y además alemán o chino? 1. ¿Qué se quiere conocer una vez resuelto el problema?

2. ¿Qué datos son necesarios para resolver el problema?

3. ¿Es necesario conocer la cantidad de personas que habla solo su idioma materno? ¿En qué te basas para interpretar eso?

4. Representa la información del problema y resuélvelo.

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

c c

a+b

n de prob ció

r r

as lem

e e

en co n t i do resol u

uac eval ión

Productos notables

a+b

b2 b

Existe una relación que se puede establecer entre el Álgebra y la Geometría. Especíﬁcamente, hay productos algebraicos denominados notables, ya que estos se pueden calcular sin la necesidad de recurrir a la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición. Además, estos productos se pueden representar en forma geométrica. Por ejemplo, el producto de un binomio (a + b) por sí mismo es posible representarlo como el área de un cuadrado de lado a + b (ver ﬁgura). ¿Cuál es el binomio que al multiplicarlo por sí mismo resulta a2 – 2ab + b2?

Para grabar Los productos notables son multiplicaciones de expresiones algebraicas que presentan regularidades. Por ejemplo: Cuadrado de un binomio: (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2

Ampliando memoria

Cubo de un binomio: (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3

(a – b)2 = (b – a)2 (–a – b)2 = (a + b)2

Suma por su diferencia: (a + b)(a – b) = a2 – b2 Binomios con un término común: (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

Advertencia Hay casos en los que se piensa que: (a + b)2 = a2 + b2 (a – b)2 = a2 – b2 Sin embargo, estas igualdades son FALSAS para la mayoría de los casos. Solo son verdaderas cuando a, b o ambos son cero. Por ejemplo: (5 – 1)2 ≠ 52 – 12, ya que: (5 – 1)2 = 42 = 16, 52 – 12 = 25 – 1 = 24 y claramente 16 ≠ 24.

Cuadrado de un binomio: (0,1x2 + y3)2 = 0,01x4 + 0,2x2y3 + y6 Cubo de un binomio: (0,5a – 2b)3 = 0,125a3 – 1,5a2b + 6ab2 – 8b3 Suma por su diferencia: 1  2   x – y 5  1 x + y 5  = x – y 10    5  25  5 Binomios con un término común: (m – 5)(m + 1) = m2 – 4m – 5

Calcula los siguientes productos notables. a. (t + 10)2 =

i. (w – 1)(w + 0,5) =

b. (y – 7)2 =

j. (–8 + h2)(6 + h2) =

c. (–6c + 11b)2 = d. (5 + 0,5f)2 =

 4  3  k. n– n+  =  3  4   5k3   5k3  + 0,2)(y – 12= = + 12 – 0,3) l. (y   2  2

e. (4x – 9y3)2 =

m. (10 – h)(h + 10) =

f. (x + 3)(x + 11) =

n. (a3b2 – 3c)2 =

g. (7 + j)(j – 4) =

 2 +3 11) = ñ. (f2 –411)(f n– n+  =  3  4   5k3   5k3    – 12 = + 12 o.     2  2

h. (r + 7)(r + 6) =

Ejemplos:

Unidad 2 • Expresiones algebraicas fraccionarias

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Identiﬁca los términos que faltan para que las siguientes igualdades sean verdaderas y luego escríbelos en el espacio respectivo. a. x2 – 8x + 16 = (x – b. w2 – c. d2 + 11d +

2 2

= (w – 5)(w + = (d + 3)(d +

– 36 = (

e. m2 +

)

) f. (r –

+ 6)(a –

+ 25 = (

)

)(r – 10) = r2 – 11 +

Aplica productos notables para determinar la expresión que representa al área de cada ﬁgura compuesta por paralelogramos. c.

(q + 1) cm

(y + 15) cm

Ayuda En todo paralelogramo, el área se calcula multiplicando la medida de su base por la medida de su altura. En particular, para un cuadrado de lado a, su área (A) está dada por A = a2; y para un rectángulo de lados a y b, su área está dada por A = ab.

(6 + q) cm (y + 15) cm A=

A= d.

b. (3 + m) cm

5h cm h cm

(20 + h) cm (m + 12) cm

10 cm (h + 20) cm

Resuelve en tu cuaderno. Para ello, aplica productos notables. a. (k + 3)2 + (k – 3)(k + 3)

b. (m – 10)(m + 11) + (m – 4)2

c. (3x – 2)(3x + 2) + (3x – 1)2

  k3  k3 g.  k3 + 12 k3 – 12 –(k3 – 1)2  – 12 –(k3 – 1)2 3 + 12 3  k2  2  2 + 12k2 – 12–(k3 – 1)2     225 22 5   5   + 2p  + 4p  – 2p 5 5  25 4 + 4p2 2 – 2p52 + 2p h.25  5     2   4 + 4p2  2– 2p 43 + x 5 2+ x –x22 ++2p1   3  5   2 12   5x + x 3x 3 5 + x –x2 + x1 2 i.  5x+ x 3x+ x– x + x2   5x  3x   x 

d. (q – 7)(q + 5) – (q + 1)(q – 2)

j. (x + y + z)(x – y – z) + (-x – y – z)2

e. (6v – 15)(6v + 10) – (10 – 6v)(10 + 6v)

k. (a + 3b2 – 0,5c)2 – (a + 3b2 + 0,5c)2

f. (2m – 3n)2 – (2m + 5n)2

l. ((a – b2) + 3)2 – ((b2 – a) + 3)2

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Factorización Un número puede ser escrito como la multiplicación de dos o más factores. Por ejemplo, 6 es posible escribirlo como 2 • 3, 1 • 6, 12 • 0,5, etc. Las expresiones algebraicas también pueden ser escritas utilizando factores. Observa: xy + x = x(y + 1)

x2 + 2xy + y2 = (x + y)2

¿Cómo es posible escribir y2 – 9?

Para grabar Ayuda a – b = –b + a m – n = –(n – m)

Al factorizar una expresión algebraica, puedes utilizar productos notables. Por ejemplo: Trinomio cuadrado perfecto: a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 = (a ± b)(a ± b) Diferencia de cuadrados: a2 – b2 = (a + b)(a – b) Suma y diferencia de cubos: a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ab + b2) ±

Cubo de binomio: a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 = (a ± b)3

Otras formas de factorizar expresiones algebraicas: Término común: un monomio: 16pq3 – 12pq + 8p2q2 = 4pq(4q2 – 3 + 2pq) Término común: un polinomio: 3km + 3kc + m + c = 3k(m + c) + m + c = (m + c)(3k + 1) Trinomio ordenado de la forma x2 + bx + c: x2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4) Ejemplo de trinomio cuadrado perfecto: k2 + 10k + 25 = (k + 5)2 Ejemplo de diferencia de cuadrados: j2 – 9 = (j + 3) (j – 3)

Representa solo con factores y de tres formas distintas las siguientes expresiones. a. 15 b. 24b2k3 1 c. – m3c4 2

Ayuda Todo número o expresión se puede representar como un producto entre –1 y otro factor. Observa: q3 – 9h = –1(9h – q2) También se puede escribir: q3 – 9h = – (9h – q2)

Representa las siguientes expresiones utilizando –1 como un factor. 4 a. –13 = c. x – y = e. –4 ab22c55 = – 7ab c = 7 2 3abc +2 xy22z88 = 4 b. 1 – m – 6n = d. –5a + 11k = f. 3abc + 3xy z = 3

Representa las siguientes expresiones como la multiplicación de dos factores, donde uno de ellos está dado. a. x2 + 3x3 + 10x5; por –x2. b. 4mn – m + n; por m2n2. c. k – 1 + km; por –k.

Unidad 2 • Expresiones algebraicas fraccionarias

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Aplica alguna de las formas de factorización propuestas en la sección Para grabar de la página anterior en las siguientes expresiones algebraicas. Luego, responde. a. mnp – 3mp – 6mn

f. g6f2 – 4y10

k. a8 + 1 + 2a4

b. t2 – 12t + 36

g. ab + 2a + b + 2

l. 121y2 – 25a4

c. 0,01 – x2

h. –6 + b + b2

m. –10ab – 5ab2 – 15a2b

d. y2 + 35 + 12y

i. x2 – x + 10x3

n. h2 – 45 – 4h

e. 3xm + 3xn + m + n

j. k2 – 12 + k

ñ. 4 + 25x4 – 20x2

¿Crees que todas las expresiones algebraicas se pueden factorizar? Justiﬁca.

Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno. a. ¿Cuál es la longitud de cada lado de un cuadrado cuya área es posible representar con la expresión (m2 + 14m + 49) cm2? b. Si un terreno rectangular tiene una superficie cuya medida se puede representar con la expresión (d2 + 10 + 11d) m2, ¿cuáles son las dimensiones del terreno? c. ¿Cuál es la longitud de una de las diagonales de un rombo si su área se puede  2 16 4 16   a –  2b c2  cm 4 2 representar por el binomio a – b c  cm2 y la longitud de la otra diagonal está   49  49  4 2 4  2  c cm? dada por la expresión a– ba–  cm  7 7 b c d. ¿Cuál es la medida de la superficie de una baldosa rectangular cuyas longitudes están expresadas por los binomios (z2 + 4) cm y (z2 – 4) cm? e. Si el volumen máximo de agua que se puede vaciar en una piscina como la de la imagen está representado por la expresión (150x3 – 50x2 – 136x – 24) m3; y la superficie de su suelo por (50x2 – 50x – 12) m2, ¿qué expresión representa la medida de su profundidad? f. Si consideras la piscina del problema anterior, ¿cuántos m3 de agua se pueden vaciar si x = 2? Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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Expresiones algebraicas fraccionarias: identiﬁcación y valorización En la página de inicio de unidad, se comentó las características de las expresiones algebraicas fraccionarias, también denominadas fracciones algebraicas o expresiones racionales.

¿Una fracción que está compuesta por una expresión algebraica tanto en el numerador como en el denominador, es una expresión algebraica fraccionaria? Fundamenta. De ser 1 necesario, puedes revisar la página 46 nuevamente. x+1 1 a+b x + 1 Para grabar 210x2 –a – b a + b Las expresiones algebraicas fracEjemplos en Física: d 4 a2 – b 2 cionarias son representaciones nuLa rapidez (v) se puede representar por la expresión q– , donde 1 d representa 10x t 210xd méricas compuestas por una fracción a la distancia y t al tiempo. – 1 q–q q– 9 4 cuyo denominador es una expresión 14 La fuerza de atracción (F) y2 qt) separadas 1 2 x2 algebraica. Por ejemplo: x + 1 1+ q–entre 1 dos cargas eléctricask(qq– 1 qq r – 10x 10x 1 2 a+b 2 3k 1 por una distancia (r) se–q2puede – 9 representar por la expresión q– – 9 r 2 , donde k 4 4 representa un valor constante. x+1 a2 – b 2 1–b 1+1x 1+ 1x –q– q– – 2 10x a+b d 1–b –q2 –39 3 10x q2 – 9– según 2 4 1. aIdentiﬁ algebraicas que son 1–b fraccionarias y a ellas valorízalas t – b 2 ca las expresiones k – 1–b4 4 1+1x q– 1+2x los números dados. Luego, escribe los resultados en la casilla. 2 – q q d 16 1–b – +k2 q– 1 10x 1–b k 12 2 –q2 –39 3 2 r t 1 k –4 q –9 k 4– 4 10x Ayuda , para x = –2, –1 y 3. e. 1–b , para k = –4, 1 y . a. – 1–b 1+1x2 q 1q 2 4 q– 216 +k2 2 1+ x 2 16 +k –1–b k – Valorizar la2 expresión algebraica 3 2 x21–b – 7x + 1 3 q12 – 9 r 2 q– 1 x x– 6x + 1+ 1 2– 6x 1 k2 – 4 k–4 x2 – 6x + 1 1–b fraccionaria q2 – 9 x – 101–b 1+ x2 2 x 2 x– 3x – 4– 4 , 2– 3x 2 2 162 +k 2 –1–b x – 3x – 4 16 2 1+ x 22 –+k x –37x + 1 1–b 1 1 x 7x + 1 1 – – 1 10x – . para x = – kx–2 4 – 3 31x2 – 10k – 4 1–b – 10 3 –3 2 2 32 2 4 2 1622 +k x22– 7x 16 + 10 1–b 1–b  1  1  2  1  1  +k2 2 x – 7x + 1 2 q– 21 – – 1–6–•6–• – +11+ 1 – 7x–+51 b. 1–b , para q = –2, 1 y 2. f. 1k3–2 4 , para x = 10 y –xx2 –.–4x     2 2 1 x 2 x– 6x + 1+ 1  3–33 –6 •3–33 + 1 3 2– 6x x – 10 2 q – 9 x – 6x =+ 1=  2   x – 10 2 2 2 2 2 2 2 1 x – 7x + 10 k – 4 = 1622 +k – 3x x – 7x2+ 10   x x– 3x – 4– 4   1+ x2 x 2 – 3x – 4– 1– 1 1–32–•3–• 1– 1–14– 4 x 2– 7x + 1 2 2 10x – – 7   x – 4x – 5     13 2 –x2 – 4xx ––57x + 1 –16 +k  3–3  –3 •3–3  – 4 3  3   3  x – 10 4 m23+2m+ 12 – 7x + 10 x2 1– 10 2 11–b 1 x 2 1 1 q– 1 x n+ – 7x1 + 10 + 12++21+ 1 xx222––7x +–15 22 2 –7 7 2 –2 4x +2+1 9 1–b 9 q2 – 9 – 4x – 5 == 9 3x2 +2m+ m3x22+2m+ x – 7x + 1 – 10 1 3 1 m 1= 1 2 – 1 k – 4 x –n+ 7x 1+ 10 1+ 1 2 2 x + 1+– 14– 4 x – 210 c. – 10x , para x = –2, 0 y 2. g. 722 , para x = 4 y 2 . n+x1 – 7x + 10 9 9 + 1– 4 – 16 +k – 9 3 7 x 2 – 4x – 5 2 3 +2m+ 1 24 1 1 3 2 x – 4x – 5 m – – + 3 1 1 +3 –m +2m+ 1 1–b 2 q– +3 x12 –n+ 7x 1+ 10 3 1 1 2 = =9 99 2 2 n+ 1 2 7 1–b 2 = q 1 1 x2 – 9 7x + 10 x – 4x – 5 7 3 – 3 1 2 –3 xk2–– 7x 3 +2m+ 1 –m 4x + 1 9 9 –3 m2 +2m+ 1 x1+ – 12 2– 4x – 5 9 – 2 x – 10 2 n+ 1 16 2828 3 n+ 1 7 1 +k 28 2 3 2 9 9 1 –71–b 3 == 9 –m +2m+ 1 =2626 d. 32 2 , para b = 0, 2 y 3. h. 2 , para m = –2 y n= – . 2 n+ 1 m – – 26 2 1–b+2m+ 1 xx22 –– 7x + 10 9– 9 7x + 1 9 3 k –n+ 4 1 14 14 – xx2 2––4x –5 10 2 14 = – =– 2 163 +k =133–133 –1 133 2 –712 23 2 m 1 xx22 ––+2m+ 7x 7x + + 10 1 1 52 Unidad 2 • Expresiones algebraicas fraccionarias xx2 2–n+ –4x 10– 5 3 –1

1 2 1 3 6 11 , , y 2 4 7 12 Representa con una expresión algebraica fraccionaria 1 1 1cada1 conjunto de fracciones y , , y 1, caso. escribe los valores de la incógnita usada en cada 1 43 96 1611 25 , , y 2 3 4 10 1 3 6 11 a. , , y c. , 4, 7 y 12 5 17 19 1 21 1 2 4 7 12 1, , , y 4 4169 25 100 1 1 1 1 , , 16 y 25 1, , , y Valores de la incógnita: Valores de la 1 43 96 1611 25 23 31542410 99incógnita: , , y , , y 2 34 47 10 5 7 9 21 , , y 12 5 17 19 1 21 1 4 16 25 100 b. 1, , , y d. , , y 4 4169 25 25 16 100 1 3 99 24 5 y , , 23 31542410 99 , , y Valores Valores de la incógnita: 5 7 9 de21la incógnita: 4 16 25 100 , , y 3 1la 24 99 5 valorización Aplica de expresiones algebraicas fraccionarias y señala a qué número tiende cada función a medida que el valor de n aumenta considerablemente. n n n n Ejemplo:n f(n)= si el valorf(n)= de n aumenta f(n) tiende a 1, f(n)= f(n)= considerablemente, n+ 1 n+ 1 n+ 1 n+ 1 f(n)= n ya que: nn 1 f(n)= n+ f(n)= 10 n+10 1 10 f(n)= n+ 10 =0,9090909 n = 10, f(10) = =0,9090909 ... =0,9090909 10 n+ 1111Si=0,9090909 11 11 10 =0,9090909 11 10 =0,9090909 11 =0,9090909 10 1.000 1.000 1.000 1.000 11 =0,9090909 =0,9990009 =0,9990009 Si n ==0,9990009 1.000, f(1.000) ==0,9990009 ... 11 1.000 11 1.001 1.001 1.000 =0,9990009 1.001 1.001 1.000 =0,9990009 1.001 =0,9990009 1.000 1.000.000 1.000.0001.000.000 1.000.000 1.001 =0,9990009 =0,9999999 =0,9999999... Si n = 1.000.000, f(1.000.000) = =0,9999999 =0,9999999 11.001 .000.000 1.001 1.000.001 1.000.0011.000.001 1.000.000 =0,9999999 1.000.001 111.000.001 .000.000 =0,9999999 .000.000 =0,9999999 2n+ 1 2n+ 1 1 1 2n+f(n)= 1.000.001 =0,9999999 f(n)= 2n+ f(n)= f(n)= 1.000.001 2n+ 1 1.000.001 n n f(n) tiende a: n a. f(n)= 2n+ 1 si el valor de n aumentanconsiderablemente, 11 2 +2n f(n)= 2n+ n 2n+ 2 +2n f(n)= 2 +2n 2 +2n f(n)= nnf(n)= = = f(n)= = = f(n)= f(n)= 2 +2n n 5n 5n 5n 5n = 2 +2n f(n)= = 22+2n b. f(n)= valor de n aumenta considerablemente, f(n) tiende a: 5n +2n si eln+ 1 n+ 1 = f(n)= n+ 1 n+ 1f(n)= 5n = 5n f(n)= f(n)= f(n)= f(n)= n+ 1 3n+2 5n 3n+2 3n+2 3n+2 f(n)= n+ 1 n+ 11 f(n)= 3n+2 n+ c. f(n)= si el3n valor de n aumenta 3n f(n) tiende a: 3n+2 3n f(n)= 3n+2 3nconsiderablemente, f(n)= f(n)= f(n)= 3n+2 3nf(n)= 1+6n 1+6n 1+6n 1+6n f(n)= 3n 3n f(n)= 1+6n 3n 1+6n si el valor de n aumenta considerablemente, f(n) tiende a: f(n)= 1+6n d. f(n)= 1+6n

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Ayuda El conjunto de fracciones: 1 4 9 16 25 , , , y puede 1 ser 4 9 16 25 , , , y 2 5 10 17 26 2 5 10 17 26 representado por la expresión a2 a2 algebraica fraccionaria 2 , a2 + 1 a +1 donde a = 1, 2, 3, 4 y 5.

Ampliando memoria Se dice que una función f(n) tiende a cierto número cuando su valorización se aproxima a este.

Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas fraccionarias en tu cuaderno y describe cómo lo hiciste en cada caso. Luego, compara tu(s) estrategia(s) con la(s) de tus compañeras y compañeros. 5 x2 + 5 x22 x –3 x –3 a. 5 ++ x 2 , para x = 2. 2x +2 3x –3 xx–5–33 + xxx––33 – +2 3x –3 x+1 x–1 x2x–+2 3 x3x – 3–3 2x –– x+++2 x ––3 1 3x 1 2 2x x 1 b. – x – 1 , para x = – . 3 x22+ 1 x – 1 –– x2 x +2 23 3 + – 22 +2 4x +3 x – 5 3xx + xx+2 c. , para x = 0. + 2 4xx+3 +3 xx–+2 –5 4x + 5 4x +3 x – 5

Estrategia usada

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Ayuda Para que ab = 0, se debe cumplir que a = 0 ó b = 0. Entonces, para que (x – q)(x – p) = 0, se debe cumplir que x = q o que x = p. Considerando a x como un valor desconocido y a p y q como valores conocidos.

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Expresiones algebraicas fraccionarias: comparación y restricciones Para algunos números reales, las expresiones algebraicas fraccionarias pueden o no estar 7 definidas. Por ello es necesario identificar dichos valores para establecer las restricciones f(x)= 7 +3 f(x)= el dominio y recorrido dexfunciorespectivas. Lo anterior es de gran utilidad para reconocer x + 3 7 nes que contienen expresiones algebraicas fraccionarias. Por a A de 7 ejemplo, el dominio f(x)= f(x)= 7 a 3 x + 3x=+ 0 b Esto es , es A =  – {–3}, yax +que f: A ⊆  → , si f(x)= 3 solo para x = –3. x +3 b 0 a a =0 0 es distinto de cero; si a = porque si a y b sona números reales distintos de cero, b0 y b ≠ 0, b b =0 b b a 0 se dice que la fracción se anula, es decir, =0; y si a0a≠ 0 y b = 0, se dice que no está =0 0 0 b =0 definido. b 0 b 5 –m a a 5 –m a m+2 hace 0 ¿Qué valor de m hace que la fracción algebraica se indefina? ¿Y qué valor 0 m+2 0 5 –m que se anule? 5 –m 5 –m m+2 m+2 Para grabar m+2 Si el numerador de la fracción algebraica es distinto de Si el numerador de la fracción algebraica es cero y el cero y el denominador es cero para algún valor de la denominador es distinto de cero para algún valor de la variable, se dice que la fracción se anula para dicho valor. variable, se dice que la fracción es indefinida para dicho valor.k + 7 Ejemplo: Ejemplo: k2 + 1 k+7 se anula para k = –7, ya que –7 + 7 = 0. 2y – 3 k2 + 1 es indefinida para y = 5, ya que 10 – 2 • 5 = 0. 10 – 2y 2y – 3 10 – 2y 1. Calcula el valor para el que la fracción algebraica se anula y el valor para el que la fracción se indefine. En caso de no anularse, deja el espacio en blanco. a. b. c. d. e. f. g. h.

11 se anula para x = xx –– 10 10 a+ a+ 5 5 se anula para a = a+ a+ 11 h h se anula para h = 5h– 5h– 2 2 11– kk 11– se anula para k = 2 kk2 d+ d+ 7 7 se anula para d = 2 d 1– 1– d2 2y 2y –– 5 5 se anula para y = 6 – 3 6 – 3yy 3c 3c –– 7 7 se anula para c = cc xx22 + + 11 2 se anula para x = 110 0xx –– xx2

y es indeﬁnida para x = y es indeﬁnida para a =

Unidad 2 • Expresiones algebraicas fraccionarias

y es indeﬁnida para h = y es indeﬁnida para k =

. .

y es indeﬁnida para d =

y es indeﬁnida para y =

y es indeﬁnida para c =

y es indeﬁnida para x =

2 m m2 + + 4m 4m –– 45 45 se anula para m = i. 2 2 10m+24 m –– 10m+24 m

y es indeﬁnida para m =

2x – 2 9 h+ h+ 11 –p 5h+3 2 9 9 –p 1 2 p – 19 –p1 h+ 1 2 2 2 12r p 19 p9–––p 19 Clasifica las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias en1mayores que cero, 2 12r 12r r– menores que cero o iguales a cero. Para ello, considera p – 19 los datos3 entregados. 1 r –– 1 r12r 1 3+ x con x > 1. d. 3 a. 3 con r = – . 3 2x 3+–x2 11 ––r –1 3 3i+9 5h+3 2x 3+–x2 3 3 1 2 h+– 2 1 2x 5h+3 3i+9 i– 13 b. con h < –1. e. –3i+9 con i =30. 3 9h+ 1 2 5h+3 2 i– 13 –p i– 13 2 3i+9 2 3 h+ 1 9 k 3 –p 3 22 p9 2– 19 2i–k 13 5k – 1 33 k p12r ––p 19 3 con k = 0. c. 2 con 4,5 < p < 19. f. 2 1 5k 1 5k k–– 11 p12r – 19 r– 5 113 12r31 x+4 r– 5k – 1 131 5 5 –r – las siguientes afirmaciones. Luego, escribe Evalúa si es falsa. 1 V si es verdadera5o–F3Px 31 3 – x+4 5 La expresión se indefine para5x = –2 cuando P = – . a. 3i+9 31 – 5 – 3Px 6 23i+9 3i– 13 x+4 2x + 7 5 Realiza tus cálculos –aquí: 233i+9 i– 13 5 – 3Px 6 9– 4x 32 k 2 13 i– 5 2x + 7 x+4 9 – 323k 6 5k – 1 4x 5 –9– 3Px 4 3 2 2x + 7 13 k– 1 5k 95 – 9– 4x 51 – 1 5k 46 9 2x + 7 51 b. La expresión se indefine solo para x = . 4 5 9– 4x

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

9 Realiza tus cálculos aquí: 4

Desafíate

Analiza cómo varía el valor de una expresión algebraica fraccionaria cuando las variables que están presentes en ella también cambian. Para ello, lee deﬁnitivamente la información y responde en tu cuaderno. La fuerza de atracción F entre dos cargas eléctricas q1 y q2 es directamente proporcional al producto entre ellas e inversamente proporcional al cuadrado de qq la distancia r que las separa, es decir, F =k 1 2 2 . r

Ayuda Si se tiene la expresión p2 y el valor de p se triplica, entonces la expresión resultante es nueve veces la expresión original, ya que (3p)2 = 9p2.

a. ¿Qué sucede con F si q1 se duplica y q2 se reduce a la cuarta parte? b. ¿Qué sucede con F si q1 y q2 se duplican y la distancia que los separa se reduce a la mitad? c. ¿Qué sucede con F si q1 se duplica y q2 se reduce a la mitad y la distancia que los separa aumenta al doble? d. ¿Qué sucede con F si q1, q2 y la distancia que las separa se triplica?

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

c c

n de prob ció

r r

Ayuda Para multiplicar expresiones algebraicas, se debe aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición. Ejemplos: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

as lem

e e

en co n t i do resol u

uac eval ión

Amplificación y simplificación m+3 Al amplificar una fracción numérica, su valor no varía. Una expresión algebraica fraccionam+3 m ria también puede ser amplificada, obteniéndose otra expresión equivalente. Por ejemplo, m m+3 m+3 m2 m3 +3m2 m+3 2• = al amplificar por m+3 m2, se obtiene . m+3 m2 m m=3 +3m m m2 m m3 = • 2= m+3 m m2 mm3 +3m m x22 – 36 m3 m+3 m+3 Por otro lado, si la expresión algebraica fraccionaria se simplifica, se obtiene otra expresión = = • 2 m 2 36 m x –m mdecir, m3x2cambia. +7x +6Un método para simplificar una expresión 2 3 valor 2 tampoco equivalente, es su 2 m+3 m+3 m2 m x+3m +7x +6en lo siguiente. Por ejemplo,1 al simplificar la expresión = fraccionaria • x 2 –=36 consiste algebraica m m m m3 1 (x – 6) (x +6) x – 6 2 x2 – 36 x +7x +6 2 2 = x –6 = (x – 6) 2 (x +6) x – 36 x – 36 1 x + 7x +6 = (x +6)(x + 1) x + 1 = , se obtiene . 2 x2 +7x +6 +6(x +6) (x +6)(x x2 – 36 x +(x7–x6) x – 6+ 1) x + 11 = = 1 1 x2 + 7x +6 + 1) x + 1 (x – 6) (x +6) (xx+6)(x x2 – 36 –6 1 = grabar = Para x2 + 7x +6 (x +6)(x + 1) x + 1 Para amplificar una 1fracción algebraica, tanto el numera- Para simplificar una fracción algebraica, tanto el numedor como el denominador deben ser multiplicados por una rador como el denominador se deben factorizar y luego 2 misma expresión algebraica o número distinto de cero. simplifi – 3x 3 w 2w – 3x 3comunes w 2wobtenidos. 2w –car 3x 3los factores = • = Ejemplo: Ejemplo: w – x w w 2 – xw w–x 2w – 3x 3 2w – 3x 3 w 2w 2 – 3x 3 w = • = w – x w w 2 – xw w–x

3a3 – 12a2 + 9a 3a(a – 1)(a – 3) 3(a – 3) = = Aplica algebraicas fraccionarias según las expresiones +1 a(a –cación 1)(a + 1) de aexpresiones a3 – ala ampliﬁ dadas. 3h2 a. 3h22 por pk2. 3h 5x2 3h 5x 5x 5x –1 5x 5x –– 11 b. 5x x ––11 por x – 1. 5x xxxm–––3111 m333 m 2 m c. 2 –m m + 3. –m por 2 y – y22 21––m –m 1–3 yy –– yy22 1– y y– –3yy2 1– 3y2 por y + 5. d. yy333 –– 3y y – 3y2

3a3 – 12a2 + 9a 3a(a – 1)(a – 3) 3(a – 3) = = a+1 a(a – 1)(a + 1) a3 – a

3x 15x2 = 5xf f 15xla2 2que se ampliﬁcó la expresión de 3x por Analiza las igualdades y determina la expresión = w – 13w + 42 la izquierda para obtener la de la derecha. wf – 7 5xf = 2 w +6 – 36 – 13w + 42 w – 7 w2 w = 2 2 2 –3 x +2x x – 1 3x 15x a. c. w +6= 2 w – 36 = x +2 x 2 +5x +6 5xf2 f x – 1 x +2x – 3 3x 15x 2 = 2 10 2m3 – 6m2 +20m 2 w –=7 w – 13w + 42 m – 3m+ x +2 x +5x=+6 = 5xf f 2 2 3 w +6 2 m –5 2 w – 36 – 210m m – 3m+ 10 2m32m – 6m +20m w – 7 w2 – 13w + 42 b. x – 1 =x +2x2 – 3 d. = 2 3 w +6= 2 w – 36 m –5 2m – 10m x +2 x 2 +5x +6 x – 1 x +2x – 3 3 = 10 2m – 6m2 +20m m2 – 3m+ x +2 2 x2 +5x=+6 m –5 2m3 – 10m m2 – 3m+ 10 2m3 – 6m2 +20m = m2 – 5 2m3 – 10m

Unidad 2 • Expresiones algebraicas fraccionarias

10b –26b 5a2 4pq 2p q+2pq k–3a+3ab –h 3a– h–k 2 2 10b –2 k–3a+3ab –h12 2p q+2pq h–k a5a 3a– 6b 1 2 3 4 5 6 7 8 2 2 12f 24f 1 2 3 4 5 6 7 8 k12 –h 10b ––5a –3a+3ab 2a6b 3a– h–k 22 2 12f 24f 8f 10b k4f –h 3a– 6b –3a+3ab 2––a–5a 12 22 las Aplica en tu cuaderno la simplificación para reducir 2 siguientes expresiones 12f 4f 8f 10b –24f 5a 3xm+3xn+m+n –3a+3ab 3a– 2––a6b 12 algebraicas fraccionarias. Luego, escribe tu resultado 22 2 en la casilla. 6x +2 12f 24f 4f 3xm+3xn+m+n 10b 5a –3a+3ab 2a– 8f 12 2 2 2 22 +2 12f 24f 25x y 3xm+3xn+m+n –3a+3ab a8f 1–2–6x a4f+8a+ 15 a. h. 2 2 22 2 23 –8f24f +2 4f 30yx a3xm+3xn+m+n +8a+ 159 2–a6x 1+6a+ a12f 25x y 22 2 2 2 23 2 ––6x 24f 8f15 +2 3xm+3xn+m+n aa12f +8a+ +6a+ 9 30yx 25x4pq y n4f +2n– 24 222 2 2 23 2 4f+6a+ –6x 8f+2 +8a+ 15 an3xm+3xn+m+n 9 2p 4pq q+2pq +2n– 24 30yx + 10n+24 y b. 25x i. 2222 2 23 2 2 +8a+ a 16 +6a+ 9+2 h–k 24 nan3xm+3xn+m+n ++2n– 10n+24 2p q+2pq –b6x15 30yx 25x4pq y 2222 2 2 2 +2 +8a+ 15 9 kh–k –hq+2pq +2n– 24 23 2 nabna16 ++6a+ 10n+24 –b–6x20 2p –b 30yx 25x4pq y 22 2 2 2 3 +6a+ 2 6b +8a+ 159 a–b 3a– +2n– kh–k –h + 10n+24 23 2 –b bna16 – 2024 q+2pq 4pq 30yx 25x y c. 2p j. 2m2 2 – 16m 2 9 3 +6a+ 210n+24 2 –6b an16 10b 24 n + 3a– 35a k2p –h 2 –b bm –b – 20 –+2n– 3m +16m 12m h–k q+2pq 30yx 4pq 2 2 32 422024 –3a+3ab n16 +2n– + 10n+24 10b 5a2 3a– 2 –6b bm –b –12m k2p –h ––b 3m +x16m 1– h–k q+2pq 4pq 2 2 2 2 2 3 210n+24 4 20 122–a6b n1+ + –3a+3ab 10b 5a 16 b –b m1– –x––b 16m 3a– 3m + 12m k –h x – 2x h–k 2p q+2pq d. k. 23 2 2 2 2 12f 24f 4 –220 Advertencia 12––a6b 16 –b 10b 5a m 3m + 12m x13x 1+ x–––b –16m 2x 3a– xb31– +30x k–3a+3ab –h h–k 22 2 2 223 4 4f – 8f 12f – 24f 220 –b 12–a6b 16m 3m 10b 5a Para simplificar fracciones 1+ xb3m –x1– 13x +30x x+x2––12m –2x 10x 3a– k–3a+3ab –h 22 2 3 2 4 3xm+3xn+m+n 2 4f – 8f 3m 212m 2 2 12f12–a24f algebraicas hay que considerar 3m 1– x–3–+16m –3a+3ab 1+ –x313x +30xn + 10mn 10x 5a n –2x 15m 3a–2–6b e. 10b l. x5m 2 6x 2 que no está definido dividir +2 4 2 2 3xm+3xn+m+n 3 3 23+ 12m 2 2 2 2 4f12–a–24f 8f 12f 1+ x–x1– ––x–2x x3m +30x 10x 5m n13x 15m + 10mn 5m n––n5m –3a+3ab 10b – 5a 2 2 por cero. Por esta razón, al 2 6x +2 2 42 2 2 2 a12f 3xm+3xn+m+n 3 32x 4f1+8a+ 8f 15 –a–224f –15m 2x x231+ –1– 13x +30x x 10x 4 5m 5m n – n + 10mn n– – 5m 2 –3a+3ab m2 – 25 f •3f 2 2 22 2 simplificar por m – 5, a4f +6a+ 9 +2 23 2 –6x a12f +8a+ 15 3 2 2 2 3xm+3xn+m+n 2 8f 1+ 2x +30x –5m 10x –a24f 2x 3n m–5 5m – 15m n + 10mn n– – 5m 2 x– 413x 2 1 • f f f. an222 +6a+ m.f 3 • f 2 2 solo se puede realizar si se 2 6x +2 24 9 2+2n– a12f 2 2 2 3xm+3xn+m+n x 3– 13x +30x x3 –15m 10x 4f+8a+ 8f 15 ––24f 5m n––n5m 2 + 10mn f2 –• n f1)4322–5m (x • (x + 1) 2 considera que m ≠ 5. 222 n ++6a+ 3 2 2 2 2 10n+24 9 +2n– 24 aan4f+8a+ 15 x33n5m 10x 3xm+3xn+m+n 15m n2 + 10mn –6x 8f +2 n– – 5m 2 4 25m 22– – f ••–ff1)x •–(x f(x 1 2+ 21) 2 2 222 34 3 –b n ++6a+ 10n+24 +2n– 24 9 2 aan216 +8a+ 15 6x +2 5m 15m + 10mn –n5m 3xm+3xn+m+n 2 •2 f 3n 22– 35m 3 n– f (x• –f–1) g. 2222 n. f(k 12 + 1)2 9xk •–)(x 2 b –b – 20 naan16 ++6a+ 10n+24 –b 2 3 +2n– 24 9 6x +2 – 5m +8a+ 15 243 23 n– 3•2f 2 5m f(k –))1+ 1)2 (x ––1) (k –99xkk• (x 22 3 2 2 2 –10n+24 16m b –b – 2015 –b naanm16 + 2 2 +2n– 24 +6a+ 9 +8a+ 2• (x (x –32 1) x+ –43))132+ 1) (k – 9 k x x 2 2 32 ( 2 2 2 2+ +16m b –b –12m 209 –10n+24 –b 2 n3m anm16 +6a+ +2n– 24 x9+ksimplifi –4))132 car en tu cuaderno las 223––9 (k k3+ x x 2 Aplica para 4 2 propiedades de potencias y de raíces(k 2 las 3 ( )43 2 x + 4 x 221– x 3m + 12m m – 16m b –b – 20 3 2 –b 24 nn16 ++2n– 10n+24 4 )2 3señala 3Además, (k – 9 k siguientes expresiones algebraicas fraccionarias. 2 (k –(x94+ kx2+))(x x 3x+ 4 – y3 )3 los valores para los 322 4 2 22 1– 1+ x–10n+24 2x + 12m x–16m m 4 2 b –b 20 n3m + 16 –b cuales las expresiones resultantes son iguales a(kcero. – 9+k2 ) 2 3 2 23 3 3 322 4 2 xx22(+x 4 4 ) –(xy )– 2xy + y2 ) (x xyx +) y(x 2 1– 2 +30x xm ––b 1+ x–13x 2x x–16m 3m + b –12m 20 16 –b 2x2 (x +xb2+)+4(xy23)–2 (xy32)–3 2xy + y2 ) 23 242 2 x3(x 4 •– f1+ a+•+4xy 2 1– 3xf2x13x – 10x – 2x x +30x x 3m + 12m 2 b –b – 20 – 16m a. m f. x3 +2 4x + 4 32 2 3 23 2 3 323 2 4(x + 2 2 +(xy )– y(x) – 2xy + y2 ) 23 •32 4 4 f213x •3 xy a b • a b 5m – 15m n + 10mn – 10x xfm +30x 1+ – 2x 1– x •–xfxn f3m 12m –+16m 3 y32)–3 2xy + y2 ) 3 2 +(x 323232 •2(x2 + 21)22 (x43 2a+••3xy y2 )–2 (x b (x 4 5m n– – 5m – 10x 5m n13x – 15m n + 10mn x3m +30x 1+ – 2x •––x2fx1) f223 1– f2 • f 2 2 2 2 x 12m f • f34+ (x 34 + xy 3 + y ) (x – 2xy + y ) 322 2– 12 2 22 3 bb 3 22x 2 • a 4 4 • a 3 5m n– – 5m 5m n – 15m n + 10mn x – 10x x22 1– 13x +30x (x –x1) + 1) • (x f• f 3x– 2x b. 1+ g. 43 a •f33 b2 ff 3 2•• 3ff–24293 k2 23 )32 2 2 (k 2 a 5m n– – 5m 5m n13x 10x x–2––2x –15m 1 n2 + 10mn 1+ 4 f44••f3x3bf  x2 ––xx1) +30x (x 2 + 1)  f(k332• 3f–3293 k•423(x • a b 32 2 2  f 4• 3 3f2  2 49k 5m n––n5m+ 10mn 5m – 15m (k ))+30x xf2 •–fx–n13x 6 x43:f x8 2x  x2–2•10x –(x 1 + 1)2 (x2x3–(3x1) 2 4  f4• 3 f 2 + 2 2 3k 2 ))3 n––2n5m (k –k5m 10x 5m 15m + 10mn f 2• xf––n39 2–3  642xf43:x8 x  2 (k 9 ) x – 1  b – 25 •2 b +5b +6 c. x2x3+3x43+2x24+ 4 h. 2 2 2 2 n–  6 4f x 8  ) 5m –•315m n5m+ 10mn (x 2–(–n 1)9k5m (x 3 +–1) (k )  :– 25 x2• 2b2 +5b +6 (k – 9k2 )2 3 3 3  bb4x2+3 • b – 3b – 10 (x –5m y) n– – x2x3+(x4x+x5m + 4 – 1 6 8 x   x2: x  2 2 (k2 – 9k24))2 23 2 32 3 2 2 – 25 • b +5b– 10 +6  6 bb +3 (x 2 + xy3+ 3y ) (x – 2xy + y )  x2x: 8– x •y b 2–x 3b (k 2 – 9k )(x – y ) + y x3 x+(x4+x2+)4 b – 25•• bb2 –+5b 3b –+6 102 bk 4+)2y23)2 (x32 –3 2xy + y2 ) d. (x i. 2bx+3 (k2a23 •+ – 9xy – •y b2 2 +5b x + +6 y b – 25 (x – y ) x –– 10 y 2y x bx+3 + x• yb– y– 3b x43 + 43 x + 4 a • +b b2) 23 2 32 3 2 x– y 2 x+ y (xxa2(•+x xy +(x y )–(x – 2xy + y ) y2 y x bx+3 + x• yb ––y3bx––10 y) 3 2 x– y x+ y 2 x43 2faa2+••• 43 fxb + 4 2 2 2 2 b + y ) (x – 2xy + y ) x x +x y –y x –y y (x + xy 3 3 3 x– y x+ y 4 33 43 f •f 3 f 2 (x – y ) x x +x y –y x –y y e. a2 •• b 2 2 2 2 j. 2 44+3xy + (x  y ) (x – 2xy + y ) x x +x y –y x –y y 4 fa••f3x3 fb2   3  6a • 8b 2  f4x4•f:33xf2x  4 a • 3 b  2 2  6b4x24 :–3825 Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo   f3x 2x • b +5b +6 f 2 2  6fb2• +3 8 •  b 2– 3b – 10

( ( ( ( (

)( )( )( )( )(

) ) ) ) )

c c

n de prob ció

r r

as lem

e e

en co n t i do resol u

uac eval ión

Multiplicación y división de fracciones algebraicas El procedimiento para multiplicar y dividir expresiones algebraicas fraccionarias es análogo al que has usado hasta ahora en la operatoria de expresiones algebraicas. Por ejemplo: 1

1 1

+5) (x + 4) (x + 2) 2(x 10 x +6x +8 (x•+5) (x +=4) (x + 2) 2x + 10 x +6x +8 2x + 2 • = • • 2 x +5 x(x ––42) (x+2) – 2) (x+2) x +5 x +5 x2 – 4 x(x+5 2

2 x+4 • x –2 1 2(x + 4) = x –2 2x +8 = x –2

2 x+4 = • x –2 1 2(x + 4) = x –2 2x +8 = x –2

Explica cada paso realizado en el ejemplo.

Para grabar Al multiplicar expresiones algebraicas fraccionarias se obtiene otra fracción algebraica, cuyo numerador corresponde al producto de los numeradores; y el denominador, al producto de los denominadores de las fracciones que se multiplican.

Al dividir expresiones algebraicas fraccionarias se 2 2 + 5 al+pro5+ 8 (d +d 2)(d 4) (d + 2)(d + 4) d + 5otradfracción + 6dd + algebraica, 85 d +d6d+correspondiente obtiene =• • • = • 2 2 ducto (d +el2)(d d+5 + 5 – 2) por 4 (d +dfracción) 2)(d drecíproco + –5 2) d +d5 –(primera d –del4 dividendo del divisor (segunda fracción). d+4 d+4 d≠ = , donde= d ≠–, 5donde y d ≠± 2.– 5 y d ≠± 2. Ejemplo: d–2 d–2 Ejemplo: + 6+ 3n) + 3n + 12(n + 3) n + 1 2n + 6 n + 3 2n2(n • =2 : • = : 2 2 2 d + 5 (d + 2)(d + 4) d + 5 d + 6d + 8 d+5 (d + 2)(d + 4) d + 5 d + 6d + 8 + n+ 1)n + n1 + 3n(n + 1) n + 3 n + n n + 1 n n(n = • • = • • 2) 3 2d + 5 + 5+ 2)(d –7w d + 5 d2(d–+42)(d –d2)+ 5 d(d d2 – 4 2 y= 20a ; donde n=≠–;3,donde n ≠ –n1 ≠ y –n3,≠n0.≠ – 1 y n ≠ 0. • = d+4 3 d+4 n n 10ab 21w 3 = , donde d 5 y d 2. ≠ – ≠± = , donde d ≠– 5 y d ≠± 2. 7w y 20a d–2 d–2 5f • 8b3 3 = 10ab • 21w = es recomendable factorizar, para luego – Como las3operaciones, 2 + 3) denrealizar n1 + 3 2(nantes 6n +ejemplos, + 1 7w 2(n +2n 3en n + 3observar 2n +se6puede ) +los y 20a f 4b = • : = • : = 5f •más 8b3reducidas. 2 expresiones algebraicas fraccionarias simpliﬁ 2 car, y así operar con =32 n + n n + 1 n(n +n1) + n + n3 + 1 n(n + 1) n + 3 –x10ab 32 • 21wx +3 7w f 3 4b y•• 220a = = 2 2 5f x8b+6x x 3 +9 2 n ≠0.– 3, n ≠ – 1 y nx–≠ 0.expresiones 10ab ; donde nlas 3, =n ≠; –donde 1 y nmultiplicaciones ≠–siguientes ≠ • 21w +3 x= 1. =Resuelve de 4 –12• =algebraicas fraccionarias. n n 4b 2f3 1–h 4h 5f 8b Escribe el resultado en la casilla. x =2=+9 –x2+32 ••x +6x h4b +–1 1• 8af –24x = 4h 1–h 2 x 6 –n 2 +9 • x2 +6x = 7w3y 20a 2m –2x 2 x +3 a. e. h 5+–11 • 8a • = •4 3 = 3 22 1–h 4h 10ab x6+nm 21w m m=+9 –n x 2 +6x • 3 m 2 –n –2 2 7w y 20a •4 = h4h +–11 28a 5f • 8b3 = 5 – 1)1–h 2 7x3– 3 (3x 3 –10ab2 • 21w = m +nm 6 • 2 • m=–n= 22 2 m f 4b3y 20a 928a–2 7w 9x –1 = h21x +–1––n • 7 x – (3x 1) 5f • 8b3 32 = 5 2 33 +3 x b. –x10ab f. 6+nm 2• m –n = m = • ac +bd 22 3 2 • 21w m+–ad+bc –n = 21x 9 2 9x – 1 • = 4a+ 4b = 7w y 20a 4b 2f 3 • x5f •x8b+6x 2 7x 3 =+9 – –n 3 a2 +2ab +b2 (3x – 1) c +d 32 m5++nm = 4a+ 4b • m +3 –x10ab ac ad+bc +bd 4= –12 • 21wx 2 = 2 1• = 21xy –– 9 4h 2 9x – 4b •• 1–h 2f 3 y – 9a2 +2ab y2 +2y 5 7 x – 3 (3x – 1) = x5f x8b+6x c +d• • +b=2 • 2 –2 2 +9 = –hx +3 + 1 • 8a x4= 2 ac2 + + 5ad+bc 4y –•12 4a+ y +6 +bd y22 – 4b 5y = c. 4h g. y21x f = 4b6–12 • 1–h y ––59 9xy2––19 2 y +2y 2 22 x c +d • = x +6x +9 • • = a +2ab +b m –n –2x2 2 2 + ad+bc +bd 2 ac 4a+ 4b • = 4y – 12 hx2+3 5 y +6 y – 5y y + 5+ 2 4 3 –11• 8a • = 2 2 2 m +nm m +9 –n = 1–h 4h 2 y +2y y –c5+d y – 9a2 +2ab 6 • x2 +6x +b x = • • = m –n –2 2 2 – 12 2 – 5y •7x – 3 = h +–11)28a y2 +y5–y5+6 4y (3x 5 –1 2 4 3 y2 – 9 yy2 +2y 1–h 4h = • m +nm m –n 6 • 2 • • = d. 21x h. 2 – 92 –29x=22– 1 m 2 y + 5y +6 4y – 12 y2 – 5y h +–1–n 8a•7x – 3 = (3x 1) 2 3 m –n= 4a+ 4b ac5+6+nm ad+bc +bd 2• m m ––n = 21x 92 •9x22– 1 • =2 2 c +d (3x 5 – 1) 2 7x 3– 3 a +2ab +b m –n= 4a+ 4b • m ac ++nm ad+bc +bd 21xy – 9 Unidad 2 • Expresiones algebraicas fraccionarias 52 9x2y–2 1–•9 2 y2 +2y 2 = 7•x – 3 a •+2ab (3x – 1) c +d +b= 2 = y2 – 4b • +bd 4y 5 y +6 5y yac + ad+bc 2 2 – 12 4a+ 2 21x – 9

2 10y 4 – cb :c20yb –4 = = 33 2 : 28xa 7x a 5c 2 10c4 1 2 10y 1 2 45m – c3 b+c:10m –20yb 42 = 3 :2 =:m2 = 28xa 7x 3a 4 2 5c 2m10c 10y 4 –3cb :c20yb – 4algebraicas 2 = Resuelve las siguientes divisiones de expresiones fraccionarias. Escribe el 5m =12b 2 33 + 2: 10m 4a+ a+3b 4 :m 28xa = 7x a resultado en la casilla. = : 5c 210c m 42 – 2a 2a– 3c5bc –5b 4 – 5m2 +: 10m =12b2 = 4a+ a+3b 4 :m w 2w –5 2: – 15 w = 10y2b 20yb 5c3–m 10c : = a. 3 2 : e. 2a– = 2 35b 5b2– 2a w2 + 4 w –+ 2w –4a+ 24 12b 5m 10m 7x a 28xa a+3b 2 w2 2– 2w2: –2 15 :m w –==5 10y 4 – cb :c20yb –4 = 6a+9b 4a – 9b m : = 5b – 2a 2a– 5b 2 = : 2w + 4 = 3 2: 4 wa+3b – 2w – 24 2 28xa 7x 4a+ 12b 2 5c3a2 10c 3a+2b 9a + 12ab + 4b w2 – 2w:2 – 15 w –=5 10y = 4 – 3cb c20yb – 42 = 2 6a+9b 4a – 9b 5b 2 –:2a 2a– 2 35b 4m2 + 4m 4m – 8m – 12m b. 5m33 2+: :10m4 =:m f. :24 = w + 4 w – 2w – = 2 : + 4b2 = 7x 2 28xa 2 3a+2b 5c a2m10c 9a + 12ab w – 2w – 5 10– 2m m–2–515 : w6a+9b 4a23 – 9b 10y 20yb = 4 – 3cb+:c10m –4a+ 42 = 2 – 8m2: – 12m 4m2 + 4m= 5m 12b a+3b 2 4m = : w + 4 w – 2w – 24 2 33 2 : 4 :m = xa+ ya+ xb + yb a+b = : 3a+2b 9a + :12ab +=4b2 = 7x 2 28xa 5c a5b m10c 2 m– 5b – 2a 2a– 10– 3 25 2 6a+9b12 2m 4a – 9b+m2 4a+3b –2 3c+ c10m –4a+ 4 2 12b 4m + 4m= 4m3m– 8m – 12m m+ 5m : 2 : = 2 ya+ xb9a + yb a+b c. w 3– 2w g. xa+ –415:mw = –=5 : + 4b2 = : 3a+2b + 12ab 2 = 2m : 10– 5c m10c5b –:2a = 3m– 52 2a– 1 2 + 4m w+4 3 m +m2 – 12mm+ w2 3–5b 2w – 24 2 4m 4m – 8m 5m 2 + 10m 4a+ 12b a+3b xa+ ya+ xb + yb :a+b w w26a+9b –=5 2 – 2w 2– 15:m = : 10–=2m = 2: 4a –m9b : = m– 52 3 – 2a 2a– 2 5b 5b : = m+ 1 m +m w3a+2b – 2w – 24 2w + 4 2 9a12b + 12ab + 4b2 2 4a+ a+3b xa+ ya+ xb + yb a+b 4w 8aw w 2 3––2w 5 2– 15 w – = : d. 4a h. = : = • :2a6a+9b = 2 + 4m= 3 2 4m –9b 8m:2 ––12m 4m 2a– 2 5b m+ 1 m +m 15bz 3z w3a+2b – 2w –5b 24 2 w +: 4 2 = 9a + 12ab + 4b 4w 8aw22 2 m–2–515 10– 2m x +6x +5 w w – 5 2 – 2w • x +=1 4a 3– 9b 2 • 3z = 2 : 6a+9b = 2 + 4m= 15bz 4m 4m – 8m – 12m 2 : xa+ + 2yb x +2 4w 8aw2x2 – x – 6 w+ 4 = 2 = w3a+2b –ya+ 2w –xb 24 :a+b 9a + :12ab + 4b x +6x +5 3 2 • x +=1 manera 10– 2m m– 5 Analiza las siguientes igualdades y luego complétalas que 2 m +m 2 m+ 12 = 4a22 + 4a– 2a– 1 • 3z de 3 sean 6a+9b 4a 3– 9b 2 15bz 4m + 4m 4m – 8m – 12m x +2 = • : + 2yb :a+b == x –2x – 6 verdaderas. xa+ ya+ xb 2 3a+2b x2 2a +6x+2a +5 x 2a +1 9a + :12ab +=4b 3 2 10– 2m m– 5 = 4a2 2 + 4a– 3 2a– 1 • m+2 12 m +m2 3 = x –2x – 6 x +23 • 5m– 4m + 4m 4m – 8m4w – 12m8aw a. xa+ ya+ •xb + yb d. : 2a =–1 2a = : :a+b = = +2a 2 n+21 2 +n 3 2 15bz 10– 2m 53z 2a– 4a + 4a– 3 m+ 1 mm– +m 2 = 5m– 3• 2 8aw 4w 2 2 x +6x +5 2a =–1 2a +2a x +5 x + 10x: +25 xa+ ya+••xbx++yb =1 =a+b = : 22 = n+2 2 +n: 15bz 3z 3 2 x +2 x –3 x +3 m+x2 1 – x – 6 m +m4w 8aw 5m– 3 : +25 =–1 • x +=1 x +5 x2 + 10x x 2+6x +5 b. 2a– 1 • 3z 15bz e. n+2 2 +n a= b +: 1 = 4a + 4a– 3 = x2 2 –2x – 6 : x –3 x=+3 x +2 • 2 2 2 a–b x +5 x 2a +6x +5 x2a +1 +2a a –b x + 10x +25 • = 4a22 + 4a– 3 a= b +: 1 2a– : x +231 • 5m– x –3 x= +3 = x –2x – 6 2 2 : a–b a –b 2a =–1 2a 2 +2a n+2 2 +n a 2a– 1 4a + 4a– 3 b+1 c. 5m– f. 2 2 : = = 3 • 2 2 a–b +5 x + 10x: +252a =–1 2a x+2a a –b = n+2 2 +n: x –3 x +3 5m– 3 =–1 x x2 + 10x: +25 a = +5 +:1 n+2 2b+n Resuelve en tu cuaderno los– 3 siguientes problemas. = : x +3 2 2 a–b xx +5 xa2 +–b 10x +25 b +:1 x a = a. Si 2se multiplica x=+3 porxel– 3inverso multiplicativo de su expresión recíproca, ¿qué : 2 x +a–b 1 a –b a b +obtiene? 1 resultado se 2 = – 20x : 6x 2 2 a–b a –b +1 b. ¿Por qué expresiónxalgebraica fraccionaria se debe multiplicar el binomio x + 1 para x obtener x – 1? x+1

c. ¿Por qué expresión algebraica se debe dividir la fracción algebraica obtener el binomio 10 – 3x?

6x2 – 20x para x+1

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Ampliando memoria El inverso multiplicativo o recíproco de un número es aquel valor no nulo que multiplicado por el primero da como resultado 1. Por ejemplo, el inverso x + x1 + 1 multiplicativo de x – 1x – 1 , x–1 1 con x ≠ 1, es x, –con x ≠ –1. x + x1 + 1

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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Pistas El área de todo paralelogramo se calcula multiplicando la medida de su lado base con la medida de su altura. Factorizar una expresión algebraica corresponde a expresarla como un producto entre dos o más factores. Una fracción algebraica se anula cuando su numerador es cero y es indeﬁnida cuando su denominador es cero. Recuerda que antes de resolver una multiplicación o división de expresiones algebraicas fraccionarias, si es posible, factoriza y simpliﬁca las expresiones.

Evaluación de proceso

Analizando disco Productos notables y factorización

1 Resuelve los siguientes productos notables. a. (w + 7)2 =

c. (5x – 4)(5x + 4) =

b. (h – 3)(h +11) =

d. (0,5 – 6y2)2 =

4 2 Resuelve los siguientes problemas. a. ¿Qué expresión algebraica representa el área de un rectángulo de largo (5h + 11) m y ancho (5h + 1) m? b. ¿Qué expresión algebraica representa el área de un cuadrado cuyos lados están dados por la expresión (3a + 4b) cm? c. ¿Cuáles son las dimensiones de un cubo si su volumen máximo está dado por la expresión (a3 + 9a2 + 27a + 27) cm3? 3 3 Analiza cada expresión. Luego, factorízala. a. 30a – 5a2b – 10a3b2 =

c. p2 – 2p – 120 =

b. 4x4 – 12x2y + 9y2 =

d. 0,09h2 – m6 =

4 x – 12 Expresiones algebraicas fraccionarias: identiﬁcación y valorización 3 es una fracción algebraica. Para ello, x – 12 4 4 Identiﬁca cuál de las siguientes expresiones marca Sí o No según corresponda. 3 m x – 12 4 p(p + 10) b. c. – a. Sí No Sí No Sí No 3 m 29(p + 10) 4 p(p + 10) – m 29(p + 10) 3 p(p + 10) el resultado de cada expresión algebraica según el valor que adquiere la variable. 5 Calcula – 29(p + 2210) 3m– 3m– 7m 7m , para m = –1 y m = –2. a. m– m– 11 k22 – 4 b. k – 4 , para k = 0,5 y k = –3. kk –– 11 2 x2 – 4x +2 c. , para x = 2 y x = 0,25. xx –– 2 2 3

Unidad 2 • Expresiones algebraicas fraccionarias

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

4x – 5 12 – x

Expresiones algebraicas fraccionarias: comparación y restricciones

4x – 5 x2 + 1 nen.+21 6 Calcula los casos en que las siguientes fracciones 12 – x se anulan y aquellos en que se indeﬁ10x a.

4x – 5 12 – x x2 + 1 10x +21

x2 + 1 10x +21 1– 4x2 12x +36

1– 4x2 5 12x +36 x +5

x2 3 1– 2x 2 2 1– ca 4x las siguientes expresiones 5 algebraicas fraccionarias enx mayores que cero, menores que 7 cero o iguales a cero. 7 Clasiﬁ – 12x +36 Para ello, considera los datos entregados. x +5 4x – 12 1– 2x 2 5 7 x 5 , con x < –5. b. , con x = 0. c. – , con x < 3. d. – 2 , con x = –1. a. 4x – 12 1– 2x x +5 x +1 2 5 7 x – 2 – 4x – 12 x +1 1– 2x 5 7 1– 25h22 – 2 – 1– 25h = 4 x +1 4x – 12 1+5h = 1+5h Simpliﬁcación 5 de expresiones algebraicas fraccionarias 3x – 20k – 2 3x – 20k = x + 1las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias 8 Analiza 40k – 6x = y simplifícalas. Escribe el resultado en la casilla. 40k – 6x m22 – 15m+56 1– 25h22 c. m2 – 15m+56 = a. 1– 25h = 1+5h = m2 – 14m+ 49 = m – 14m+ 49 1+5h 3x – 20k 1 – x44 1– x 3x – 20k = b. 40k – 6x = d. 1+ x22 – x – x33 = = 4 40k – 6x 1+ x – x – x 2 m2 – 15m+56 m2 – 15m+56 = = m – 14m+ 49 Multiplicación y división de fracciones algebraicas m2 – 14m+ 49 1 – x44 multiplicaciones y divisiones de expresiones algebraicas fraccionarias. Escribe tu resultado en 1 – xlas siguientes = 9 Resuelve 1+ x22 – x – x33 = la casilla. 1+ x – x – x 5 x +5

1– 2k +k22 k + 1 +k2 • k + 1 2 = a. 1– 2k 2 +k • 1–k2k 1 = 2kk–+2k 2 –1 k2 – 1 • 2k – 2k22 = 1 2k –4a 2k2 – 9 4ak22 +–12a+9 4a2 + 12a+9 : 4a22 – 9 = –9 = + 12a+9 b. 4a6ab 3a+2 +9b : 4a 6ab +9b : 3a+2 = 2 2 p6ab – q+9b 6p43a+2 – 12p3 – 18p2 p +q p222 – q22 • 6p44 –2 12p33 – 18p22 : p +q = p –– 3pq q • 6p p– 12p – 18p +q 4= +5p + 4 : pp + c. 3p +4= 3p22 – 3pq • p22 +5p + 4 : pp + 4 3p – 3pq p +5p + 4

Mi estado Evalúa tus aprendizajes. De no cumplir con el nivel de logro indicado en cada actividad, se recomienda, antes de seguir adelante, que vuelvas a las páginas señaladas en cada caso y refuerces los contenidos. Contenido Nivel de logro por actividad Páginas para reforzar 1 2 3 Productos notables y factorización 3 de 4 2 de 3 3 de 4 48 a 51 5 Expresiones algebraicas fraccionarias: identiﬁcación y valorización 4 2 de 3 2 de 3 52 y 53 7 Expresiones algebraicas fraccionarias: comparación y restricciones 6 2 de 3 3 de 4 54 y 55 8 Simpliﬁcación de expresiones algebraicas fraccionarias 3 de 4 56 y 57 9 Multiplicación y división de fracciones algebraicas 2 de 3 58 y 59 Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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Ayuda Recuerda el método de factorización prima que sirve para calcular el m.c.m. entre varios valores. m.c.m.(12, 15, 18) = 180, ya que: 12 15 18 4 5 6 2 5 3 1// 5 3 5 1// 1//

3 2 2 3 5

Mínimo común múltiplo Más adelante resolverás adiciones y sustracciones de expresiones algebraicas fraccionarias, y el procedimiento que se propone hace referencia al uso del mínimo común múltiplo (m.c.m.) entre los denominadores. Para llevar a cabo este procedimiento, debes considerar que trabajarás con expresiones algebraicas, sin embargo, la manera de calcular el m.c.m. es similar a la usada hasta ahora. Por ejemplo, el m.c.m. entre x + 1, x – 1 y x2 – 1 es x2 – 1, ya que esta expresión, al factorizarla, contiene a las otras dos. Observa: x2 – 1 = (x + 1)(x – 1)

3 • 2 • 2 • 3 • 5 = 180

¿Cuál es el m.c.m. entre x3, x3 – 25x y x2 – 10x + 25?

Para grabar El mínimo común múltiplo (m.c.m.) entre dos o más expre- Ejemplo: si se tienen las expresiones x3, x3 – 25x siones algebraicas está determinado por la expresión de mayor y x2 – 10x + 25, el m.c.m. se puede calcular de la grado que es divisible por todas las expresiones involucradas. siguiente manera: Para determinar el mínimo común múltiplo entre expresiones algebraicas, se debe factorizar cada una de ellas y considerar cada uno de los factores que componen las expresiones, dejando el de mayor grado en caso que se repitan. El m.c.m. corresponderá al producto de cada factor elevado a la potencia mayor que aparece en las factorizaciones.

1. Ampliando memoria Todo número natural se puede escribir como la multiplicación de solo números primos, esta es la denominada factorización prima.

Luego: m.c.m.(x3, x3 – 25x, x2 – 10x + 25) = x3(x – 5)(x + 5)2

Calcula el m.c.m. de los siguientes grupos de números. Para ello, utiliza el método de factorización prima. a. 36, 24 y 30.

1° x3 es un término expresado en forma de potencia. 2° x3 – 25x = x(x2 – 25) = x(x + 5)(x – 5) 3° x2 – 10x + 25 = (x + 5)2

b. 25, 20 y 40.

c. 16, 24 y 75.

d. 28, 49 y 63.

Relaciona cada expresión de la columna A con una de la columna B de tal manera que el m.c.m. sea el indicado en la columna entre ellos. Observa el ejemplo. Columna A

m.c.m.

Columna B

a+b

a3b3

a–b

a(a – b)

a2 – b2

a3b2

a + b2

a6b2

a2b3

a2 + ab2

a+b

a5b2

a3 – ab2

a6b2

Unidad 2 • Expresiones algebraicas fraccionarias

1 1

2 2

Calcula el m.c.m. entre las expresiones dadas. Escríbelo en la casilla.

3 3

4 4

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7 7

8 8

Ayuda m.c.m.(a – b, 2b – 2a, a2 – b2) 1° a – b 2° 2b – 2a = 2(a – b) 3° a2 – b2 = (a – b)(a + b)

a. m.c.m.(p2, 4p, 16)

f. m.c.m.(w2 + 4w + 3, w2 – w – 12)

b. m.c.m.(z3, 6zy, 12zy2)

g. m.c.m.(4y – 4, y – 1, y2 – 2y + 1)

c. m.c.m.(a3b4, a4b3, a4b4)

h. m.c.m.(3z4, 6z2 – 8z, 12z2 – 9z3)

d. m.c.m.(4x3, 8x, 12x2)

i. m.c.m.(n2 – 8n + 15, n2 – 10n + 25, n2 – 9)

Luego, el mínimo común múltiplo buscado es 2(a – b)(a + b) = 2a2 – 2b2.

e. m.c.m.(5d2 – 10d, 3d – 6, d2 – 4d + 4) j. m.c.m.(x2 + 2xy + y2, x2 – y2, x2 – 2xy + y2)

Resuelve los siguientes problemas. a. Tres buses viajan periódicamente desde la ciudad A hasta la ciudad B. Si la expresión que representa cada cuántos días viaja el primer bus está dada por 2a2x2; el segundo por 4ax2 días y, ﬁnalmente, el tercer bus por 2a3x días, ¿qué expresión algebraica representa el día en que viajan los tres buses simultáneamente? ¿Cada cuántos días viajan los autobuses si a = 1 y x = 2?

b. Si las áreas de cuatro terrenos rectangulares están representadas por las expresiones (x2 + 5x + 6) m2, (x2 – 3x – 4) m2, (x2 – 2x – 8) m2 y (x2 + 4x + 3) m2, ¿qué expresión representa al mínimo común múltiplo entre las áreas de los terrenos?

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

c c

n de prob ció

r r

Ayuda Antes de resolver las adiciones y/o sustracciones de fracciones algebraicas, de ser posible, simpliﬁca las expresiones, ya que esto podría facilitar la operatoria. Observa este ejemplo en aritmética: 75 312 1 1 + = + =1 150 624 2 2

as lem

e e

en co n t i do resol u

uac eval ión

Adición y sustracción de fracciones algebraicas Para resolver adiciones y sustracciones de fracciones algebraicas, se aplicará de manera similar un método usado en cursos anteriores en la operatoria de fracciones aritméticas. Observa: 5 2 1 13 2 • 6 1 • 9 13 • 2 12 9 26 12 +9– 26 = + – = – + + – = =– 18 3 2 9 3 • 6 2 • 9 9 • 2 18 18 18 18 El método usado para resolver esta operatoria entre fracciones aritméticas consiste en buscar el m.c.m. entre los denominadores, que en este caso es 18. Luego, se ampliﬁcan las fracciones respectivas de tal manera que todas tengan como denominador común al valor obtenido como m.c.m. Finalmente, se resuelven las operaciones entre los numeradores.

Para grabar Adición y/o sustracción de fracciones algebraicas con iguales denominadores:

Adición y/o sustracción de fracciones algebraicas con distintos denominadores: + b +los 2a denominadores. – b –(3b – 7a) 2a – b 3bel–m.c.m. 7a aentre b Determina En este caso se obtendrá otra fracción algebraica cuyo a + 1° – = + a – b algebraicas de a – b ca oasimpliﬁ – b ca las fracciones denominador será el denominador común; y el nume- a – b2° Ampliﬁ rador, el resultado de la operatoria respectiva de los manera que tengan ael+mismo b + 2a denominador. – b – 3b + 7a = numeradores de las fracciones que se están operando. 3° Resuelve las operaciones entre a –las b fracciones de iguales denominadores. Ejemplo: 10a – 3b = Ejemplo: a–b a + b 2a – b 3b – 7a a + b + 2a – b –(3b – 7a) – = + 2 m + 3 m – 3m (m + 3)(m + 1) m2 – 3m a–b a–b a–b a–b – = – m – 1 m2 – 1 (m – 1)(m + 1) m2 – 1 a + b + 2a – b – 3b + 7a = m2 + 4m + 3 m2 – 3m a–b = – 2 m2 – 1 m –1 10a – 3b = 2 a–b m + 4m + 3 – (m2 – 3m) = m2 – 1 m + 3 m2 – 3m (m + 3)(m + 1) m2 – 3m – 2 = – 2 m – 1 m – 1 (m – 1)(m + 1) m – 1 m2 + 4m + 3 – m2 + 3m = m2 – 1 m2 + 4m + 3 m2 – 3m = – 7m + 3 m2 – 1 m2 – 1 = 2 2 2 m –1 m + 4m + 3 – (m – 3m) = 2 m –1

Ayuda 1

y–x

y–x 1 = = = –1 x – y –( y – x ) –1 1

m2 + 4m + 3 – m2 +y3msustracciones. Simpliﬁca cuando sea posible. Resuelve las siguientes adiciones = m2 – 1 2 1– 6h 4h–h 1– 2h a. – 7m2+ 3= + 2 2 2 = 2 1–h6h 4h–h 1– 2h + h2 2 – mh2 – 1= 2 4ax – h 4c – 3a 1–h6h 3cx 4h–h 1–h2h – 2– = = + 2xm 24cm 2 4ax – 3cx – 3a 1–h6h 4h–h 1– 2h b. + h–2 – h= = 2 2 d h 4cm 4ax ––3cx – 3a hp xm h –= = p– dxm p d– d 4cm p4ax ––3cx – 3a = – = d 2 m1+b p b2p––dxm 3 p5d––b =– c. 2 –– = d 2 b1+b p bbp–––d23 p5d–2–b –– –b = – +2 = d–b2 b1+b p +2 bb2–––d23 p5–2–b – = 2 2 – b – 3 5 –b 1+b d. b – 2 – 2 –b – b +2 = b – 2 2 –b b +2

Unidad 2 • Expresiones algebraicas fraccionarias

a 2 a2 a3 a 2 a+ yy ayy + 3y 1 3y 3y22 + +3 y –– y + +211 = 3y4y+33 y – y6y+221 = = 4y 1 2 4y3 – 6y 6y2 = 1 2 6y xx 4y + 11 x+ + 11 11 –– 2= xx + 2= – 11 – 2= x –– 11 11 – 2= de fracciones algebraicas. Luego, Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones x – 111 11 = car cuando sea posible. escribe el resultado en la casilla. Recuerda simpliﬁ 3– 3– = 3– xx 1–– 11 = 3– x – 1 = – 1 x +3 x +x2 1 2 3 xx +3 e. xx + a. 1 – 22 – 33 = +2 +3 = 2+ + 3 1a1 – a2 – = x + xxx+3 2 = + –1 = x + 1 2 3 a 2 – 3 = – x + 1 + x –– 11 = a –2 a22 – a33 = x + 1 2 a a a – 12 +7m– 4 x +1 xm 3y a a+ y ay + 1 m+5 m m+5 3y222 +3 y – y +21 = m2 22 +7m– +7m– 4 4 = m+5 + + y y + 1 + b. 3y f. – = m22 ++7m– 4 = m+5 3y4y+3 y – y6y+21 = = + m+6 m 12m+36 m+6 + 12m+36 = +m 4y33 – 6y22 = m+6 m 2 + 12m+36 4y 6y m+6 m + 12m+36 6y x 4y + 11 x – 2 x +5 x –– 2 x + 11 – 2= 2 –– 2 xx +5 +5 = 11 – 2= 2 x – 11 + x x– 2 x 6x +5+8 = – 2– 2+ c. xxx + g. x – 20 x – 2= 2 2 xx2 + x – 20 x – 6x +8 = – 11 – 2= – = + x – 20 x 2 – 6x +8 xx –– 11 111 x +px+–120 x p– –6x3 +8 p p+ p ––– 2 2 3– 1 = + 11 –– 2p p –– 3 3 + 2 = + 2 p 2 p 3– x 11– 1 = p + 1 p – 3 p – 2– 3 = = 2 +5p +6 – p2 +p – 2 + p2 +2p p = 3– 2 +5p +6 – p2 +p – 2 + p2 +2p – 3 = d. 3– xx –– 11 = h. p p p 2 +5p +6 p2 +p – 2 2 +2p – 3 x +x2– 1 x +3 1 – 2 p +2p – 3 p +5p +6 1p +p x + 2 + x +3 = xxx+ xxx+3 1 1 + t = t+1 –1 = ++2 +3 21 + = + = + –1 = x+1 + Analiza lasxigualdades –– 112 +7m– 4y complétalas con tla expresión xx + t + 1 q respectiva para que sean + 11 xx m m+5 2 verdaderas. + m+5 + m2 22 +7m– 4 = q m ++7m– +7m– 4 = m+5 + mm q+ 1 m+6 4 m+5 12m+36 2 + = + m+6 + m22 + 12m+36 = q+ 1 m+6 w +2 1 m + +1 12m+36 12m+36 x –2 m x1+5 c. a. m+6 = + – x – 2 x +5 – = 1 1 w +2 1 w = w2 +5 1 +8 = 2 +5 x22 +xx=x–– 2 – 20 ––tx22 t–xx+6x + = 2 – = x22 t+ xt–+20 +8 = 1 –q xx22 –– 6x w w –1 xx + x – 20 6x +8 3x +px+–120 x p– –6x3 +8 –2 – +p – 3 + p p – 2 p + 1 = – 3x – 1 q x + 1 =x ––=3 p –– 2 p + 11+6q+ =d. – p1 22p + p22 +2p b. p22 +5p 1 p 3 p 2 p+ – +p – 2 – 3 –– p2 +p – 2 + = x+1 + p22 +2p – 3 = pq+ 2 +5p 1 +6 w 2 +p – 1 p 2 p p2 +5p +5p +6 +6– p p+2 +p – 2 p +2p +2p –– 3 3 = w +2 1 w w2 problemas. = siguientes – Resuelve los 2 w w –1 3x x2 y – 3x – 1 es elx +recíproco a. ¿Cuál del resultado de + ? 1 2 – x y x+1 x –3 x +3 x2 y 4–x + y2 x 3+ x x2 y x – 3 1 + y2 x x +3 a 1 x 2– 3 y 4 – x b. ¿Cuál es el inverso multiplicativo de la diferencia entre ? + y a+2 xy2+3 x 3+ x x2 y 4x – 3 x 1 + 2 x 3+ x a y x +3 1 x –3 14 – x x +3 a3+ x a+2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Ampliando memoria La sustracción entre dos números a y b es equivalente a decir la adición de a con el inverso aditivo (opuesto) de b. Es decir, a – b = a + (-b). Así, también la división entre dos números m y n (n ≠ 0) es equivalente a decir la multiplicación entre m y el inverso multiplicativo (recíproco) de n. 1 m Es decir, = m • . n n

4–x 11 a+2 3+ x a 1 1 c. Al sumar con otra expresión algebraica b, se obtiene . ¿Cuál es el inverso a+2 a multiplicativo 1 de b? a+2

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

c c

n de prob ció

r r

as lem

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en co n t i do resol u

uac eval ión

Operaciones combinadas En Matemática hay reglas que deben ser respetadas para que todos los que quieran resolver problemas que involucren operaciones combinadas obtengan la misma solución. De esta manera, en el caso particular de la aritmética se deben respetar reglas de prioridad en la ejecución de operaciones combinadas. Esto se puede recordar en los siguientes ejemplos. 4 + 5 • 2 = 4 + 10 = 14

18 : 6 • 3 = 3 • 3 = 9

(7 – 3)2 = 42 = 16

Para grabar En la operatoria combinada de expresiones algebraicas fraccionarias, se debe respetar el siguiente orden de resolución:

Ejemplo: a c m a+c a c a+c a c m a + c a a–– c c••• ma+++ac+ c == a –– c ++ a + c 2x 2x 2x – +xx 2x =2x 2m – • + 2xa + c 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2m x 2x 2xa2x– 2m c + == a – c + a + c a–c+a+c 1° Paréntesis. 2x = 2x 2x 1 2° Potencias. 11 1 22 aa 3° Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha. 1 1 = 1 2 a = 1 1 4° Adiciones y sustracciones, de izquierda a derecha. 3 = 11 1 1 1 4) (x + 1 1) 2 x 1 (x2 (x – 22 – 2) 33 – 2x 2 x x – 2 x xx222 –– 3x – 4 x – 2 x 1 1 ) (x – 4) (x + x – 2 x (x 3x – 4 x – 2 x – 2x 2 x 2– 2 3 1 ) (x – 4) (x + • • – – = x – 2 x (x –2) 2) xx2 –– 3x – 4 x – 2 x – 2x 1 1 ) (x – 4) (x + 1 x – 2 x (x 2) 3x – 4 x – 2 x – 2x • • – – = 2 2 1 • x22 – 1 – – x22 – 4x = = (x – 4)(x – 1) a•• (x – 1) (x + 1) –– x (x ––4) xx22 –– 5x + 4 • 5x + 4 x – 1 x – 4x (x – 4)(x – 1) (x – 1) (x + 1) x (x – 4) a 2 – 1 x2 – 4x xx2 –– 5x + 4 x = (x – 4)(x – 1) (x – 1) (x + 1) x (x – 4) 1 5x + 4 x – 1 x – 4x a (x –11 4)(x – 1)= (x – 1) (x + 1 1) x11 (x – 4) 11 xx = 1 1 2 1 1 x xx –– 2 xx22 –– 2 2 2 2 = – 22 – xx –– 2 2 xx –– 2 = = 22 – –– 1) = (x – xxx ––– 4 4 (x 1) 1. Resuelve en tu cuaderno las siguientes operaciones combinadas. 2 4 (x –– 1) 1) x – 4 2 Para ello,2analiza el (x 22 (x – –– 4) (x22 –– 2)(x –– 1) paso a paso del ejemplo. (x ––2)(x 2)(x 2 – 2)(x 2 = –– (x (x 2)(x –– 4) 4) (x 2)(x –– 1) 1) (x – 2)(x 4) (x – 2)(x 1) = 2 2 Paso a Paso = 22(x – 4) – 22 –– 1) (x –– 4)(x –– 1) = (x – (x 1) (x – 4 ) (x 4)(x 1) (x – 1)2 1 1 (x2 –– 1) 1)2 (x (x –– 4 411))4 (x (x ––3 4)(x 4)(x 2 – 1) 1 1 22 – 6x +8– x 44 – x 2 2x33 – x22 + 4x – 2 2 3 (1) Se factorizaron y xx2–––26x +8–xxx(x 4x ––22 (x – 4) (x + 1) ––2) xx2 ––3x 4– 3– ––222x 2x –– xxx2 ++ x ––26x 6x +8– +8– 2x + 4x 4x – 2 (1) xx(x 2) 3x11 ––44 • xx11––22 – xx3 ––2x 2x = (x – 4)11 (x + 1) • = = –(x = simpliﬁcaron todas las 22(x – 4) – 1) 2 2 1 2 1 = = • • – – 1 2 2 3 (x – 1) (x – 4) x – 5x + 4 x – 1 x – 4x 2 2 2 2 1 1 (x – 4)(x – 1) (x – 1) (x + 1) x (x – 4) 1 1 ) (x – 4) (x + (x – 1) (x – 4) 2 – 2) 3 – 2x x – 5x3+ 4 x – 1 x –x4x xx (x xx2 –– 3x 1) – 4) )3 •– 4) (x (x + 1(x 1)2 44(x + 1)3 (x –x1 +6 (x –(x4) expresiones posibles. x ––+2 21) (x––1 4)(x 2) (xx –(x–x 3x –– 4 4 • xxx2–––2 23x– –xx4 –2 2x x(x –) 2– 1) ––2) x –= 2–(x x– 4) ––2x 12x33 –22x 1 (x – 4) (x + 4– 2 2 2x • – 3x • • – – = 1 2) x – 2 x (x – 4 x 2 x – 2x –x 2x – 2x +6 1 1 4 3 • – – = = –x x2 –– 5x 11 xx2 –– 4x (x ––=1) x (x 2 –x –––2x 2x22 –– 2x 2x +6 +6 5x + +4 4 xxx22 ––– 5x (x •––2 4)(x 4)(x––– 1) 1) (x (x4)(x 1) –(x (x1)+ + 1) 1) (xx•––22+4) 4) (2) Se resolvió lax multiplicación = xx(x ––2–2x1) ––1) 22 x= + 4x2 4x (x –– 1) –– 4) – 4) 1 (x =(x 2(x 1 4)(x –x5x– +1 4x 11x–24x – 1 x2(x––4x x (x 1) (x 4) (x – – 1) (x – 1) (x + 1) x 1 = – 2 (x – 1) (x – 4) 1 1 1 x–2 2 (2) 1 (x – 1)1 (x – 4) =1 (x – 1) 2 – x –1 4 2 • xx 1–– 10 xx 2 xx –– 2 (x – 1)2 x – 4 2 10 22 –––3x 3x 2 – xx2 –– 2 2 • – x – 10 x 3x x–1 x–1 . = x – 2 x – 2 –x10 ••– 1)22 22 x –– x2+– 3x = (x – 1)22 – x=– 4 x – 2– 4) (x22 –x2)(x – x – 2(x –––2)(x – xx ++ 10 xx •–xxx1)22 ––– 100 10 100 2)(x – 4) – (x – 2)(x 4 – 1)2 = x –=4 (x (x – 1) x –(x 100 2 x x + 10 10 (3) x – 100 2 2 = – 2 (3) Se buscó el m.c.m. entre x – 4 (x – 1) 2 2 1) 2(x – 4) (x – (x – 4)(x – 1) 2 2 f +3 f – 25 f – 3 2 – 2)(x –(x 2–21) (x – 4) 2 (x – 4)(x – 1) (x –– 2)(x –– 4) (x 1) 2 – 25 f +3 f f – 3 2 (x 2)(x 4) (x – 2)(x – 1) – • f +3 f – 25 f – 3 = –– 2)(x –(x4)– 2)(x 2 los denominadores y luego 2)(x(x – 21)4– 2)(x3f – 1) +3–••2 22 f – 25 2(x = (x – 1)22 (x –=4(x ––4) +5 ––x3x22–––++fff4x 22 +9 2– 6x +8– x 42– 2x ff3 +5 )) – (x 4)(x –––xx1) +5 +5 2– = – + 6f 6f – 6x +8– x – 2x 4x –•2ff 2 + se ampliﬁcó cada fracción (x – 1) (x – 4(x (x – 4)(x 1) = f +5 f +5 6f +9 +9 2 f +5 ff 2 + – 1) (x – 4) 2(x – 4)(x –(x1)– 4)(x f–+5 (4) + 2 2 26f +9 1) 2 4 3 (x2–=1) (x – 4) 2 (x – 1) (x – 4) 22 – 6y –27 22 – 28y 22 + 12y +9 y 4y 3y 2 4 3 xx2 –– 6x +8– x – 2x – x + 4x – 2 algebraica para que se obtuviera (x – 1) (x – 4) 2 – 2x – x +44x – 2 3 y2 – 6y – 7 4y – 28y 3y + 1 2 y +9 2 2 2 6x +8– x –– 6y 112 = x – 6x +8– – +8– 2x –xxyy324 –+ 4x3––––7 6y 72x2::: +4y 4y –––228y 28y ••• 3y 3y + +12y 2yy +9 +9 4 = x2 –x6x 2x dicha expresión. En este caso, el –x 2x +6 4 – 2x = – 1)22 (x –=4) yy232–+7y + 12 yy2224x +8y + 16 : • (x 12y 2 +7y + 12 +8y + 16 –x – 2x – 2x +6 2 2 (x – 1) (x – 4) = 12y y +7y + 12 y +8y + 16 2 2 (x – 1) (x – 4) (5) 12y y22(x 12 y +8y + 16 = (x m.c.m. es (x – 1) (x – 4). 2 (x – 1)+7y –+4) 4 3 1) –(x 4) 22 –a–m 4m 3ma m+ aa 4a+ 4 – 2x3 – 2x +6 –x (x – 1) (x – 4) 4 3 4a+ 4m 3ma a–m m+ –x – 2x – 2x +6– 2x – 2x – m+ aa :: 4a+ 3ma = +623•••–a–m 4a+ 4m 4m a–m 2 = (x – 1)22 (x=––x (4) Se resolvieron las –x43ma 2x +6 x–x–2x x333x ––– m+ 22––:: 3x m– aa10 3m 22 6m • •4ma 4) m– 3m – 10 3x 2 = 6m 4ma – 3 2 (x – 1) (x – 4) m– a 3m 6m 4ma 2 (x – 1) (x (x –m– 4) a 3m 2 multiplicaciones entre los 6m 4ma • – – 1) xx (x x– 4) 2 – 100 x + 10  1 11 11  x – 10 x 2 – 3x  x + 10  x – 100 binomios de los numeradores. a. x – 10 •• 2 x x – 10 e. abc 11 +  111 + –– 2 – 3x x 2 – 3x 2 ++ c11 abc + x – 10f ––3 xf +3 2f–23x a + abc – 25 b • +210 xx x xx2 –– 100 abc + a b f10 +3–• f – 25  a b + cc 100 x2 x + x 10 – x100f•–x3x2 ––+100 (5) Se resolvieron las adiciones • x2 + 10 +9  a b c  f +5 f +5 3y ff –– 3 f2+5 f +5 ff2 ++6f 6f +9 2  y sustracciones del numerador. 3y  2 22 – 2 +3 • f –ff322–– 25 25 3 – ff +3 2 +3 f f–+3 25 2 2f. 3y b. f +5 – f +5 • 2 y 2–– f6y 2 3y 2 y –– y2  f – 25 f – 3  2 y +9 • 2 4y 2 – 28y 3y 2 + 12x x + 2 + 6f +9– 7   f 6y – 7f :–+4y –• 28y 3y + 12x 2y+9 xx ++ yy – yy f +5 f +5 ff+5 +y2 6f–f+9 • 2x +5 2 6f +9 y : yf22+5 f +5 f+ 16 + 6f• +9 12y 2 2 y3y + 2x1  x +y2  yy22 –– 6y + 112 +9 12y y2 22+7y +7y +yy12 12 y 2+8y +8y ++9 162 2 2–   6y –– 7 7 : y4y 4y – 28y 28y 3y + 2 +9 1 2    •  2 2 – 6y – 7 4y – 28y 3y + 1 2 y – – 2 2 – 11  11 – 2 2 2y – • 6y – 7 4y – 28y4m3y + 12g. y +9 3ma m+ aa• 4a+ 216: a–m c.12 : y222 +8y    –– 11 – 2 12y m m yy22 +7y + +      – 2  2 : • 4a+ 4m 3ma a–m m+ +7y + 12 yy +7y +8y++12 16 ––12y  m m 12y 2•• y +8y 2 :: m m + 16 3 2 m m 12y    +3 12 3m y +8y6m + 162 2 m– aay +7y 4ma 2 4a+ 4m 3ma a–m m+ a m– 3m 1 1 1 6m 4ma 2 a 4a+ 4m 3ma • a–m3ma m+  11 + 11 11 – 111+ 111 : – 2 m+ a 4a+ 4m a–m 3 – • 1 1 1 –– n1 ++ mn • :3ma – •22 a–m: – m+2 a : 4a+ 4m 11 11 11 h.  m1 ++ m– 6m 3 d. – nn + mn +n m– aa 4ma 3m abc 6m 4ma3m– a3m m m nnm  ++ ++   3m 3 6m 2  4ma mn m m  abc   m–a1 4ma 6m  a b c   m n  m n  mn  3m  1 + 11 + 11   1 1 1   a b c  abc   + + 3y abc a + b + abc 1 1 2 1  2  + +2 – 2  a b cc   a babcc3y  a2x bx + cy – y    3y 2x x + y y    23y 3y  2 2 –2 2 3y2 2  2   –    Unidad 2 • Expresiones algebraicas fraccionarias  – 2x   x + y y  11 ––2 22 – 1 2x  xx + + yy yy2x       2x  x+ y– 2y – 1  1  m m  m m  2 

a+3a+3a+3 1a+3 a+3 a(a+3) 1a+3 a+3 a+3a+3 a+ + == a(a+3) a+3 a+31 a+3 11 a– 1 = a(a+3) + a– –– a+ 1 2 3 4 5 6 7 8 a+3 a+3 1a+32 a(a+3) 1a+3 a+3 1– 1 2 3 4 5 6 7 8 a– a+3a=+3a+ a+3 a+3 a+3 1 a(a+3) 1 1 a(a+3) 1 a+3 a+ + a– – 2 = 2 aAntes, a+3 a+3 a+3 +3a+analiza 1a+3 la a2a+3 2. Resuelvea+3 en tu +3a+ Paso a Paso = cuaderno y escribe el resultado en la casilla. a +3a– 1 1 2 1 a(a+3) 1 información. +3a+ 1 a a+3 a+3 a– – (1) Se buscó el m.c.m. entre ==a+3 22 a+3 a+3 a+3 2 a+3 +3a+ 1 a a +3a– 1 a +3a– 1 los denominadores de las Cuando en una expresión algebraica fraccionaria el numerador y/o el denominador = 2 a+3 a +3a– 1 fracciones algebraicas presentes están compuestos por fracciones algebraicas, se dice que la expresión original es a+3 a+3 2= aresuelven: +3a+ 1 2 a2 +3a+ 1 compuesta. Observa cómo se tanto en el numerador como en una fracción algebraica = 2 aa+3 +3a– 1 a +3a– 1 el denominador de la expresión a+3 a+3 1 a(a+3) 1 a2 2+3a+ +3a+11 = 2 a algebraica fraccionaria que las 1 a+ + ==2 2 2 a +3a– 1 a+3 a+3 a+3= (1) aaa+3a+ 1 contiene. Luego, se ampliﬁcaron +3a– 1 +3a– 1 1 1 = = a+3 2 2 + las fracciones algebraicas 1 a(a+3) 1 aa +3a– 1 a(a+3) 1 +3a+1 1 a– –r p 11 == a+ + involucradas para tener al 2 a+3 a+3 a+3 a+3 a+3 a+3 1 11++1=1 a +3a– 1 = m.c.m. encontrado como común 2 a(a+3) 1 1+ + 1 r=1 p a +3a+ 1 1 a(a+3) +1 1 r+ 1 p 1 denominador. a– a+ a+3 = a+3 – = a+3 2 2 1+ a(a+3) 1 a+3 1 =a+3 a+3 a +3a– 1 +3a+ 1 a r p 1 1 1 1 a+ 1 1+ (2) Se resolvieron las adiciones 1+ ++m + == a(a+3) + a+3 1 1 a– a+31 = 1 a+3a(a+3) – 1 a+3 1 r1 p 1 y sustracciones presentes en los (2) a+ + = a+3 a+3 1+ = + 1+ a+3 = 2 1–1+ 2 a(a+3) 11 aa+3 1 a+3 a+3 m 1 +3a+ 1 1 m a+5 a +3a– 1 a– numeradores de las fracciones = – + 1+ +1+ =1 = a+3 a+3a(a+3) a+3 1 r p1a+3 m 1 contenidas en el numerador y 1 1 a+31+ 1–1–1+ a– – 2 = a+3 +3a+ 1 a a+5 a+3 a+3 1 denominador de la expresión 2 1 a+5a+5 m == 1– 1+ =2 a+31 + a +3a– general. Luego, se simpliﬁcó. a+5  1+  11 1 a +3a+ 1  1 1+ 1–  =(3) 1+ = a+3 a2 +3a+ 2 2 1a+5 +3a– 1  1+2 a+5 (3) Se resolvió la división de = 2 m a a+3 1 a +3a+  = = a–b ( ) = 2  a +3a– 1    fracciones.  1 a+5 1 a a+3 11  +3a–a+3 1 1– a2 +3a+ – 2   1+ 1 1 =     2  a+5 b )aa+5 = 2 = a+3 = a–b a2 +3a– 1 ((a–b )21 1== 1 1 1 1 1a +3a–   1 )  –1 = + a–b ( 1+ – –   a2 +3a+a+3 1 2 r p 1 a+5 = b–b21aa 2x  13x = aa22 +3a+ = = a. f.(a–b ) +3a– 1    1 1 1 = 1 1b11 –a 11 1+ = +  + – 2 22––   2 a2 +3a+ 3  1 1 3x 12x 1 xb 13x  r p 12 =a +3a– 6x 2x – a == 1+ (a–b)11 11 1 1  = = a2 +3a– 1 21 1 m 2x 1 3x p +7 +  – 1= 1+ + r =–p = 3– = 2 2 3 2 16x 1 11b 1 a 1 xx 6x 1– 13x p 1– – 2x = 1+ +1 3 2 = 2 p +7 a+5 pp+7 r1 p 1= 1 1+ 2x 1 = p g.– 4 6x +m b. 1+ = – 2= – + 3 +7 1 1x1 ppp6x 11+21 13x 2x r p y +2 1+ –– = + m= = 1–1+ 2 y – 1+ 2 a+5 1 1 11 pp ––p4y–4+7 a+5 –p 11p++22= – 2 = = 1+31+ 2 =2 + 1   p –p4y + 1py+y+2 6x 1+2 1 mx  y – 1+  – 1+ 1– a+51+ 1 y – 1+ y – 2  2 p +71 4– 1yp+2 a+5 yy+––211 = m (a–b) 1 1  = py ––y1+ 1– 1 = = = 1 yyy+–++2  p a+5  1  –  y 1 h– 2 h+2 –1– =1 c.2 1+ a+5 h. = –– y––yy1+  b a  2 y y+2yy–1––111 p –24 1p +a+5 h+2 h– 1+ y – = a–b ( ) 1  a+5 = =   1 1 1=1 1 y +2  1 h–2h2y–y–2h+2 +h+2 h–  y ––1+ h+2 – –  +y ––  b a21+ 2x2 3x = h–h– h+2 2h+2 h+2 y –h– 12 =1 = 2h+2 (a–b ) 1 y1 –a+5 – h– 2 == 1 1 1  12–y +  h+2 h h+2 h– 2 1 h+2 h ––22 – 2 h– 21 +h+2 3 (a–b2)–yb1– a1 =  + – == 1+ x 6x h–22 hh+2 2x  3x–y= h+2 –h+2 22 – 1 2  h– h+2 h– d.1 (a–b i. 1+ + a =  = 1 b1 )a1 p +7 h– 2 1+h+2 1 1  h––22 – h+2 h+2 h1–1 2 =  a 1++ 1 –  32x – == 1+ 1 p 6xh+2 1 x2 3x  b2= a  h– a h– 2x – 21h+2 – a – x + 3 2 1+ = 1+ 1 = 1 p –4 p+2 + 1+ p +7 2x23 – 3x 12– = h+2 h= 2 1 1a1+aa 1+ x – 2 x + – 6x1 1 + x12 1+1+ 3 = = y +2 p h– 2 –2x h+2 3x = y – 1+ – +7 1 xx++3x31+ +1+ 1xx–a–22 3 2 + ++ y–1 p + 2 x11 = 1 p2 – 4 p6x x2+a3 = x +x3x+x–3–2x2–x2x–1+ 1 3 – =2 + + 3 == e.p p1+ j. +7 y+1 x 6x y +2 – xx–+2113 x x+x–+3+211 a y– yp–2p1+ p+2 = – 4 1+ ++ = y–1 y–– 1p1+7 x + 3 1 x +x–1–232 1+ a x + 3 – 2 = = + x+ +2 = py + 2 1 p2y––y41+ h– 2 h+2 p + 1 x + 13 x x– + 21 – y –x + 23 +y –x–1– 2 + h+2 h– 2 yp–21–y4+2 x +p= 3+ 2 x +3 x –2 = y x– –1+ y + 1 = h+2 h – 2 y –x1+y1+2 h– 2 y h+2 – 1 = + – yy+ –– 1+ 1 h– 2 h+2 h+2 xy+–h– y–1 3y 2+ 1x=– 2 = h– 2 h+2 y – 1 1 h+2 h–– 2 y + 1 Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo = 1+ + h– y –2 h+2 h+2y = a h– h– 2 2h+2 –1 – 1+

c c

n de prob ció

r r

as lem

e e

en co n t i do resol u

uac eval ión

Ayuda Al comprobar el valor encontrado2para x, 1se tiene: 3 21 – 1 3 = 3 2 –11 +112+ –2=11 –112 3– =3 112 11–2 11– –116– 6 11 + 2 11 – 3 11 – 11 – 6 2 1 3 2 1 2 –3–1 = =3 – = 13 8 104 13 8 13 1048 104 33 3 =3 3 3 = 104104= 104104 104 104

Ecuaciones racionales Las ecuaciones racionales se caracterizan por tener la incógnita en el denominador de las fracciones algebraicas que componen dicha igualdad. Por ejemplo, el valor de x que hace verdadera la siguiente igualdad es 11. Observa: 2 1 3 – = 2 x +2 x – 3 x – x – 6

/m.c.m.=(x +2)(x – 3);x ≠ – 2, x ≠ 3.

2(x – 3)– 1(x +2)=3 2x – 6 – x – 2=3 x = 11 Es importante que siempre se señalen las restricciones sobre los posibles valores de la incógnita, ya que por ejemplo, en este caso el valor de x no puede ser –2 ni 3, porque con estos valores las fracciones algebraicas involucradas se indeﬁnen. Explica cada paso efectuado en el ejemplo.

Para grabar

Ayuda La división a : b no está deﬁnida para b = 0. Por lo tanto, si una expresión algebraica, por 9 – b2 , se simpliﬁca ejemplo 3–b por 3 – b, solo se puede realizar si b ≠ 3.

Ayuda En toda igualdad de fracciones algebraicas se cumple que: a c = ⇔ a • d = c • b , donde b y b d 7 x c distintos da son cero. = ⇔ xde • 2 = 7 • (x + 3) Ejemplo: xb += 3d ⇔2 a • d = c • b 2x = 7x + 21 x 7 = ⇔ x–•5x2 = 721• (x + 3) x+3 2 21 2xx = –7x + 21 – 5x = 215 21 x=– 5 Donde x ≠ –3.

Aplica el siguiente método para resolver ecuaciones racionales. 1° Determina el m.c.m. entre los denominadores de las fracciones algebraicas y establece las restricciones para las que las fracciones algebraicas presentes se indefinen. 2° Multiplica ambos miembros de la ecuación por el m.c.m. simplificando las fracciones algebraicas. 3° Resuelve la ecuación obtenida. 4° Comprueba haber obtenido la solución de la ecuación original (debes verificar que el valor obtenido no indefina alguna fracción algebraica).

Ejemplo: 6 3x / • (x – 2); x ≠ 2. + 1= x–2 x–2 1

3x (x – 2) x–2

+ 1(x – 2) =

6 (x – 2)

x–2 1

3x + x – 2 = 6 4x = 8 x=2

Pero x = 2 es un valor que indetermina las fracciones alge1–m por 2 braicas de la ecuación, lo que x = 2 no es solución de la = ecuación, es decir, la proposición 4m+3 3 es FALSA. 3(2 – 5b) –3= los valores de la incógnita. Resuelve las siguientes ecuaciones. Recuerda restringir 2b – 5 x –2 x –3 1–m 2 c. a. = = x 1–m – 3 x=–25 4m+3 3 3 4m+3 1 3(2 – 5b) p– –3= 3(2 –25b) –p p 2b – 5 –3=2 = –5 1–p 2b p +0,25 x –2 x –3 = x –2 x –3 x1–m – 3 x=–25 = x –3 x –5 3 4m+3 1 p– 1 –p p 3(2 –25b) p– b. –3=2 = p 2 = 2 –p 1–p 2b p +0,25 –5 d. 1–p p +0,25 x –2 x –3 = x –3 x –5 1 p– p 2 = 2 –p 1–p p +0,25

Unidad 2 • Expresiones algebraicas fraccionarias

5 =2 3x – 1 1 2 3 1 2 3 1 y–3 5 3 =– 1 – = y +2 y +2 8 m– 1 4 Recuerda Resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones. 1 2 3 restringir los valores que + 5+ =2 indeﬁnen las expresiones. 3– x x x=2 3x – 1 1 5 3 10 5 3 a. – = e. y – 3 – = 1 4 8 m– 1 m– 5 23=–m 1 m = – y +2 y +2 5 1 2 1 43 8 m– =2 3– +3 = 2 2 1 3x – 1 +1 w –1 w+– 1 5+ w=2 x3– x x =2 1 y–3 1 3x 1– 1 1 1 m m –10=– 5+ =3 5 =3=– 1 – = y +2 y +2 m y – 3 –x n=1 x 4 8 m– 1 m– 23=– m m 5+2 1= y1+2 1 1 1 2 3 y – = 2 + 5+ =2 2 +1 2 1 32 8 m– 4 x – 2 x + 2x – 3 b. 3– f. x1 +25+x +36 =x + x x x=2 3x – 1 1 w2 – 1 w –+1 5+w +=2 10 5 3 x x x=2 3– y – 32 – m =1 m 1 3x1– 1 1 1 m– =– 10– +5 = 3 – 1 5 3 – =x – = y +2 y +2 m y – 32x mn 1 m 1 2 1 m– 4 3 8+ m– =– 1 y +2 1 1 1 2 3 1= 2 y3 +2 xw=+– 15+w + w = = 2 =2 w – 1 2+ 2 1 2 x + 5+ x + x – 2 x + 2x – 3 x +6 = 3– x x x=2 3 + 1 w2 – 1 1 –2 1 3x 1– 1 1 1 w 1 +w =2 + – 10– +5 =3 x1 x1 x1 1 ym – 3 x– n=1 x g. – c. m– 5 231=–m 1 m 1 10– x +5n =3x 1 – = y +2 m y +2 – = + = 2 1 2 1 23 8 2 m– m– 21 m m 1 x4 + + x + 5 x 6 x – 2 x + 2 x – 3 = + 1 3 +1 1 – 21 w + 2 = 2 w w2 – 1 + 5+ =2 23 1 2 x + 5+x + 6 =x + x – 2 x + 2x – 3 3– x x x=2 1 3x 1– 1 1 1 w – 1 w + 1 w2 – 1 – 10– +5 =3 yym =– 3 x– n=1 x x =1 1 1 1 m– 2 =–m m – – + = 1 1 y +2 1 y +2 m x n x + = 1 2 3 x12 +25+x +36 =x2 +2 x – 2 x2 + 2x – 3 1 1 1 1 w –1 + 2 = 2 d. w+– 1 +w +=2 h. 2 x x x x + 5x + 6 x + x – 2 x + 2x – 3 1 1 1 1 – 10– +5 =3 m x– n= x m– 2 m m 1 1 1 = 2 2+ 2 1 23 xx =+ 5+x + 6 =x +2 x – 2 x + 2x – 3 x= w–1 w+1 w –1 1 1 1 1 – – + = Calcula x A para que se obtenga como solución el valor dado. n de m elx valor 3–

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1 1 1 +3 x –5 = 2 a. x2 + 5x– +1=6 x2 +tal que x = 2. x – 2 x + 2x – 3 Ax – 1 Ax – 1 4 3 2 1 + = – 2 2 2 2 5A y 2Ay 3Ay 6A y m m+ 1 m– 1 – = (A x –m5–2)(Am– 3 1) 0,5Am– 1 Am– 1 – 1= Ax – 1 Ax – 1 4 3 2 1 b. + = – 2 2 tal que y = –1. 2 2 5A y 2Ay 3Ay 6A y m m+ 1 m– 1 – = (Am –2)(Am– 1) 0,5Am– 1 Am– 1

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Aplicaciones de ecuaciones racionales Si una máquina A demora 4 horas en mezclar una determinada cantidad de litros de líquidos y una máquina B demora 3 horas en hacer el mismo trabajo, ¿cuántas horas tardarán en mezclar esa misma cantidad de líquidos si ambas máquinas operan juntas? 1 1 de la mezcla se hace en un Para este tipo de problema, se recomienda calcular qué parte 4 determinado intervalo de tiempo, en este caso en una hora. 4 1 1 1 1 1 3 La máquina A: hace4 de la mezcla en 3 una hora. 4 4 1 1 1 1 1 x en La máquina B: hace3 de la mezcla x una hora. 3 3 1 1 11 1 1 1 + = + = que lograrán hacer 1 de 1 4 3 se4xtendrá Si juntas demoran x horas en hacer el total 3 x x de la mezcla, x x 12 12 1 1 1 1 1 1 x = , se puede concluir que ambas la mezcla en una hora. Luego, al resolver 1+ 1= 1 ⇒ + = 7 4 +3 =x 7 4 3 x 4 3 x 12 12 12 máquinas, trabajando juntas, realizan la mezcla 12 12 en 7 ≈ 1,71 horas. 7 7 7 Por lo tanto, las máquinas tardan una hora 7y 43 minutos aproximadamente en realizar la 12 12 mezcla operando juntas. 12 7 7 7

Para grabar

Las ecuaciones racionales se pueden aplicar en la resolución de situaciones problemáticas en las que se producen acciones simultáneas. Por otra parte, también se pueden aplicar en la determinación de la ubicación de una imagen en un espejo cóncavo, entre otras.

Ayuda El objeto se ubica a una distancia p del vértice V del espejo cóncavo y su imagen se forma a una distancia q de dicho vértice. Un punto F, denominado foco, se encuentra a una distancia f (distancia focal) del vértice del espejo.

Analiza la información. Luego, responde. En la rama de la óptica, existe una relación que permite determinar la distancia de una Objeto imagen (q), con respecto al vértice (V) del espejo, que se formará por un objeto ubicado a una distancia (p) de este vértice. Entre p, q y f existe una relación matemática que se cumple para cualquier espejo cóncavo: 1 1 1 + = p q f

p F

q Imagen

a. ¿A qué distancia del vértice se formará la imagen de un objeto ubicado a 20 cm del vértice de un espejo cóncavo si este tiene una distancia focal de 15 cm? b. ¿A qué distancia del vértice de un espejo cóncavo se ubica un objeto si se sabe que la imagen que se formó se ubicó a 12 cm del vértice y su distancia focal es de 8 cm? c. ¿Cuál debe ser la distancia focal de un espejo cóncavo para que tanto un objeto como su imagen se ubiquen a 10 cm del vértice?

Unidad 2 • Expresiones algebraicas fraccionarias

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2 2

Resuelve los siguientes problemas.

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Paso a Paso

a. ¿Cuál es el número en que debe ser aumentado tanto el numerador como el 2 denominador de la fracción para que se transforme en el número 0,8? 3

Para resolver los problemas propuestos, puedes seguir los siguientes pasos: (1) Asigna una letra a lo que se está preguntando. (2) Plantea la ecuación de acuerdo a las condiciones del problema.

b. En una fracción, el numerador corresponde al número consecutivo del denominador. Si al numerador se le suman 15 unidades, y al denominador 6, se obtiene el número 2, ¿cuál es la fracción original?

(3) Resuelve la ecuación y analiza la solución en el contexto del problema para discriminar si es o no coherente. (4) Finalmente, responde la pregunta.

c. Un número aumentado en 10 unidades se divide por sí mismo, obteniéndose como cociente 4 y resto 0. ¿Cuál es el número original?

d. Una llave llena un recipiente en 5 horas y otra lo llena en 3 horas. ¿Cuántos minutos demorarán ambas llaves en llenar el recipiente si se abren al mismo tiempo?

e. Una llave llena un recipiente en 2 horas, otra lo hace en 4 horas y un drenaje lo vacía en 3 horas. Si el recipiente inicialmente está vacío, y se abren ambas llaves a la vez y se deja el drenaje destapado para que vacíe el agua, ¿en cuánto tiempo se llenará el recipiente?

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¿Qué es comprender? Comprender consiste en construir un signiﬁcado a partir de información comunicada en forma oral, escrita y/o gráﬁca.

¿Qué tengo que hacer para comprender un enunciado? Identiﬁcar lo que entiendes de la información. Relacionar lo que entiendes del enunciado. Expresar la información en otro tipo de formato.

Etapas de la resolución de problemas Paso 1. Comprende el enunciado. Paso 2. Planiﬁca lo que vas a realizar. Paso 3. Resuelve el problema. Paso 4. Revisa la solución.

Trabajo de habilidades

Resolución de problemas 1 Analiza la resolución del siguiente problema. El efecto Doppler consiste en percibir una frecuencia de un sonido, distinta de la que emite un objeto cuando este o el receptor o ambos se están moviendo. Esto explica, por ejemplo, la diferencia entre la frecuencia de sonido percibido que emite una ambulancia cuando se acerca o aleja. La frecuencia percibida (llamada f’) se calcula mediante la relación:      1  f'= f , donde f es la frecuencia del sonido emitido por la fuente, vs la rapidez de la  vs   1 ±  v fuente v s cuando se acerca a un receptor fijo y v = 340 m/s corresponde a la rapidez del 1sonido ± en el aire. v ¿Cuál 1 es la rapidez de la fuente que se acerca a un receptor si este percibe una frecuencia de 500 v Hz cuando la fuente emite un sonido de 400 Hz? 1± s v 1 Comprende el enunciado Paso v Identifica lo que entiendes de la información. 1± s   v  ¿Qué permite calcular la relación para f’?  vs  1      Permite calcular la frecuencia con que se percibe un sonido de una fuente 1– f'= fcon   a un 1  fijo a una rapidez v .    vs  v frecuencia f a medida que se acerca  f'= f receptor  1       f'= f s   11 ± v   1  v     f'= f  1 ± s   f'= vfs   1  Relaciona lo que entiendes del enunciado. v v  v  v  1 ±      s s  f' = f    1v±  1 ± s  1 ± la   mayor frecuencia percibida  v s  Si una frecuencia aguda corresponde  vav una que v v s v  1 –  1 ± el signo de la expresión 1 ± s cuando la  debe  vser v que emite la fuente, ¿cuál 1   s v v 1 ± vs  1 1 ±  fuente se acerca al receptor?   f'= f  v 1 v± v s  1 1  1   v  v 500 = 400 ± s  1   1entonces v s 1 v> 1. Suponiendo que v < v, ± s obtener f’ > f la expresión  v  v1para v s  1 ± v s  v v 1 ±1 v±s s 1± s  1 – 340  vs v v v v 1± vs 1± s v 1± v v vs 1 ± s < v1, lo que a su vez se obtiene vcon Por lo tanto, necesariamente 1 ±1 –s . 1 v vs vv vs 1– v   – 1 vtipo Expresa la información vde formato. s 1 ± sen otro  v 1 – v s  – 1  1  v   v v  f' = f     v   v s    1     1± s 1   1 –   f' = f        f' = f  v  1  v   s vfs 1 v f' = f   1 –   f' =  1 –  v     vs  v   v 1 – v s   1– s   1 –      v  v    = v400   1  Paso 2 Planifica lo que vas a realizar 500       1  vs     en el  enunciado    Interpretar la información dada del problema y escribirla en la relación 1    1 –         1  500 = 400 500la = variable 400 v .  1 340   1   v  matemática que permite la frecuencia percibida, y así despejar  f' =calcular f    = 400  1 –  s   vss  500  500 = 400     v    v s  1 –   v   340   s  1–  340  1 –  1 – s  Paso 3 Resuelve el problema  v   340   340       1  Al resolver la ecuación 500 = 400 , se obtiene que vs = 68 m/s. v s     1 – 340  Paso 4 Revisa la solución Para esto hay que comprobar la solución obtenida en la ecuación.

Unidad 2 • Expresiones algebraicas fraccionarias

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2 Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente. Resuelve el problema de la página anterior, considerando que la fuente de sonido se aleja del receptor y este percibe una frecuencia de 1.000 Hz cuando la fuente emite una frecuencia de 1.500 Hz.

Paso 1 Comprende el enunciado Identiﬁca lo que entiendes de la información. ¿Qué se quiere conocer una vez resuelto el problema?

¿Qué información entrega el enunciado del problema?

Relaciona lo que entiendes con lo que tú sabes. ¿Qué semejanza tiene este problema con el anterior?

Expresa la información en otro tipo de formato.

Paso 2 Planiﬁca lo que vas a realizar

Paso 3 Resuelve el problema

Paso 4 Revisa la solución

3 Resuelve en tu cuaderno el siguiente problema. Para determinar la frecuencia percibida (f’) por un receptor cuando tanto este como la fuente se acercan uno al otro, se  v + v  0 utiliza la fórmula f'= f , donde vo es la rapidez del receptor. ¿Cuál es la rapidez de la fuente si la del receptor es de  v – v  s

30 m/s, la que le permite percibir el sonido emitido por la fuente de 800 Hz como un sonido de 1.000 Hz?

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

Factorización

Expresiones algebraicas fraccionarias: identiﬁcación y valorización

Expresiones algebraicas fraccionarias: comparación y restricciones

Ampliﬁcación y simpliﬁcación de fracciones algebraicas

Multiplicación y división de fracciones algebraicas

Mínimo común múltiplo

Adición y sustracción de fracciones algebraicas

Ecuaciones racionales

Unidad 2 • Expresiones algebraicas fraccionarias

Deﬁnición o procedimiento

Ejemplo

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Cargando disco Analiza el siguiente ejemplo de pregunta PSU referida a la suﬁciencia de datos. Es posible calcular el valor de la expresión (1) m ≠ n (2) m + n = 10

m2 –n2 +m–n m2 –n2

si se sabe que:

m2 –n2 +m–n (m–n)(m+n)+m–n = (m+n)(m–n) m2 –n2

(m–n)(m+n+ 1) A. (1) por sí sola. = B. (2) por sí sola. (m+n)(m–n) C. Ambas juntas, (1) y (2). m+n+ 1 = D. Cada una por sí sola, (1) ó (2). m+n E. Se requiere información adicional. 2 2 m –n +m–n (m–n)(m+n)+m–n = m2 –n2 +m–n 2 –n2 trabajar(m+n)(m–n) Considerando la condición (1) es m posible con la expresión 2 2 propuesta y establecer si se puede simpliﬁcar por la m –n expresión m – n o n – m. Observa: (m – n)(m+n+ 1) 2 m=2 –n +m–n (m–n)(m+n)+m–n (m+n)(m–n) = 2 2 2 (m+n)(m–n) m –n 2 2 m2 –n +m–n m –n +m–n (m–n)(m + n)+m–n = 2 2 (m–n)(m+n+ 1) (m+n)(m–n) m2 –n2 = m –n 2 21 (m+n)(m–n) m –n +m–n (m–n)(m+n)+m–n = 2 2 2 2 (m–n)(m+n+ 1) 1 m+n+ / (1) m ≠ n = mm–n–n +m–n = (m+n)(m–n) m+n 2 (m–n) 2 (m–n)(m+n+ (m+n) 1) m –n= 1 2 2 m –n +m–n (m–n)(m+n)+m–n Para poder determinar el valor demla2 expresión, se(m–n)(m+n)+m–n debe conocer el valor de m y de n o de m + n. Por lo tanto, la condición –n2 +m–nm+n+ = (m+n)(m–n) 2 21 = (m+n)(m–n) = m –n (1) por sí sola no permite calcular el valor de la expresión. m+n+ 1 m2 –n2 m+n(m+n)(m–n) = – n)(m+n+ 1) Por otra parte, si solo se considera la información(m–n)(m+n+ de (2) se(m tiene 1) que: = m+n 11= / (2) m +n= 10 (m+n)(m–n) m=2 10 –n2 +m–n (m–n)(m+n)+m–n (m+n)(m–n) = 2 2 m2 –n +m–n (m–n)(m + n)+m–n m2m+n+ –n 1= (m+n)(m–n) 2 2 = (m+n)(m–n) m –n m+n = (m – n)(m+n+ 1) 1 (m+n)(m–n) m2 –n2 +m–n (m–n)(m+n)+m–n (m–n)(m+n+ 1) = 2 2m2 –n2 +m–n = (m–n)(m + n)+m–n / (1) m ≠ n (m+n)(m–n) m que –n si m = n = 5 se No es posible simpliﬁcar por m – n, ya estaría dividiendo por cero. Por lo tanto, la condición (2) por sí = (m+n) (m–n) m2(m –n2– n)(m+n+(m+n)(m–n) sola tampoco permite calcular el valor de la expresión. 1 1) = 1 m+n+ 1 Si ahora, se considera (1) y (2) de manera simultánea, se tiene: (m+n)(m–n) = (m–n)(m+n+ 1) 2 2 / (1) m ≠ n = +m+n m –n +m–n (m–n)(m n)+m–n = (m+n) (m–n) 2 2 11 (m+n)(m–n) m –n 1 = / (2) m +n= 10 1 10 m+n+ 1 = (m–n)(m+n+ 1) m+n / (1) m ≠ n = (m+n) (m–n) 11 = 1 / (2) m +n= 10 10 m+n+ 1 = m+n 11 = / (2) m +n= 10 10 Por lo tanto, con ambos datos es posible calcular el valor de la expresión. Así, la alternativa correcta es C, ambas juntas, (1) y (2). A B C D E

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11 xx44 –– xx22 + 1 +4 x4 – x2 + 4 1 4 22 1 4 + xx4 –– xx1 22+ 422 11  x4–2 x2 + 1 x – x1 44 – x4 x – 2x22– x ++ 4 x – 1  4  2  2 4  211  xx ––   2 22  1  x –2  11x–2 11  22  xx +  x –  1     +  2 2    2 x +  2  2 2  Lee atentamente cada una de las preguntas y marca la alternativa correcta. 2 1   2  2 xx + + 1  22 22  1   11  2 2 2x11+ x + 2   2 – x   2  – 16f8?  x  1  0,01  de +2 2factorización 6 ¿Cuál ¿Cuál es el resultado de (3b – 7c) ? –2la  2 x es 1  x –  2   2 21 2 2 x4 – x2 +   1  4) 2  2  2 4)(0,1 2 x2 –+ 4f 4 A. 9b2 – 49c2 A. (0,1 – 4f  1 x 2 –2211222 4 112 2 2 2 4 x2 –2  B. 9b + 49c B. (0,1 +xx8f  1  2+ –– )(0,1  )2  1    – 8f x –  xx + x +– 4f42 2  +  2  4  2 2 2 C. 9b2 – 21bc + 49c2 C. (0,001 4f )(0,001 )   211   2   2  2  2  2 2  2 2 4 4 x +  D. 9b – 42bc + 49c D. (0,001 x + – 4f 2)(0,001 – 4f )1  x22 (x22x22–221+) +11114 2 x2 +4  1  1  E. 9b2 + 42bc – 49c2 –2 8f )+ E. (0,001 ) +8f4 x (x x– 1++ 2   )(0,001   ( – 1 ) x x 2 2   2 1 x +  24 2  4 2 1) + 1 2 (x2 –  2  2 1) + 2x ( – xx3– x 3– 2x2 2 4 1 11 3– 2x2 2 2 4 ¿Cuál es el producto de (y – 7)(y + 6)? x (xsi–x1)=+–1? 2 (x 2 –– 11))++de xx122el xx ––es 7 ¿Cuál 1 2(xvalor 4  2 1  4 3– 2x 3– 2x 4 x – 1  2 x –  A. y – y – 42  5 1 2x22  3– 2x2 2  A. –– 5xx ––3– 3– 1 2x 5 B. y2 + y – 42 2 – 2 x–1 2 xx –– 11  2 1  C. y2 + 42y – 1 55 2 –  1 –1 x +  D. y2 – 42y + 1 1 –5 B. –– 22 – 55 2   2 – 2 2 – 211 2 E. y – 13y – 4 2 2 2 – 1 C. –01122 11 1 x2 (x2 – 1) + 1 – – 4 2 21 –2 ¿Cuál es el resultado de (3m3 – 2y)(3m3 + 2y)? 2 2 2 2 D. 51 3– 2x 5 5 1 A. 9m6 – 4y2 22 11 x–1 2 2 2 2 B. 9m6 + 4y2 55 2 2 E. a+b 5 a+b5+ + cc + +d d C. 9m9 – 4y 2 – a+b5 + c + d 5 2 2 D. 9m9 + 4y a+ 2 a+ba+ + ccc + + dd 22+ a+b a+ c 6 3 2 E. 9m – 12m y – 4y b a+b + c + d – 1 a+b ++ dd ba+ a+ a+b cc ++elccvalor 8 Para–– calcular , es necesario de b 2 a+ cc a+ c – a+ c a+ b conocer el valor de: a+ c a+ c ––a+bc 1 ¿Cuál es la factorización de w2 – 11w + 30? b a+ a+ccc bb a+ a+ –c –– 2 (1) d A. (w + 5)(w + 6) a+ c d cc a+ a+ a+ cc a+ d 5 1– B. (w – 5)(w + 6) 1–d4n 4n a+ c a+ cc 1– 4n a+ d (2) 2 C. (w + 6)(w – 5) 2n+ 2n+ d 1– 4n 4n11 dd 1– 2n+ 1 D. (w – 5)(w – 6) a+b + c + d 1– 4n 1– 4n 2n+ 1 1– 4n 2n+ 1 E. Ninguna de las anteriores. A. (1) por sí sola. a+ c 11 2n+ 1 2n+ 11 sola. B. (2) por sí 2n+ xx444 –– xx222 + 11 b xx4 –– xx2 + + – 1 C. Ambas juntas, (1) y (2). +4 4 4 2 4 2 factorización ¿Cuál de x – x + ? a+ c 2 4  es1 la D. Cada una por sí sola, (1) ó (2). 4 x – 1 22 x – 11  2 E. Se requiere información adicional. a+ c  1   2 A. xx –– 2   d x –  2  2  2  2  2  1 2 1– 4n x + 1 2 9 ¿A qué valor se aproxima la fracción cuando n 11  2 xx + 2 +    2n+ 1  1 B. x + 2 crece indeﬁnidamente? x +   2 2  2  2   2 122 A. –4 x2 – 1 2 xx22 –– 211  2 B. –2 C. x – 2   2 1    x –  2 2  2 C. 1    2 2  x22 + 11 22 D. 2 11  2 D. xx22 + 2 +    E. 4  x + 2 x2 + 1  2 2  1    2  11 E. xx222 ((xx222 –– 11)) + + 1 xx2 ((xx2 –– 11)) + 1 +4 4 4 2 x2 (x2 – 1) + 4 2 3– 2x 4 3– 2x 3– 2x22 3– 2 xx ––2x11 3– 2x xx –– 11 5 x–1 –– 5 5 2 –– 5 5 2 2 21 2 • Expresiones algebraicas –fraccionarias Unidad 2 –– 11 1 –– 2 1 2 2 en co n t i do

uac eval ión

Evaluación ﬁnal

Verificando disco

7 10 ¿Para qué valores de m la fracción – es 2 –1–m negativa? a+ 7 A. m positivo. a B. m negativo. 11 8 50 31 5 C. m igual a cero. , , , , D. Cualquier valor de m. 3 9 6 48 29 7 E. Ningún valor de m. –n+ 2 2 –1–m n a+n 7 11 Para poder aﬁrmar que la fracción es mayor que a n– 2 cero, es necesario conocer que: 8 50 31 5n–11 , 2, , , (1) a ≠ 0 3n–94 6 48 29 (2) a > 0 o a < –7 n+ 2 4y – 12 A. (1) por sí sola. n 10 – 2y B. (2) por sí sola. n 7juntas, (1) y (2). C. Ambas 7 2 –– 7 xy 7 – –1–m – (1)2 ó (2). n–2 2 D. Cada una 22por sí sola, –1–m –1–m a –1–m adicional. n– 2 E. Se requiere información a+ 7 a+ n2 – 2n+ 1 a+ 7 7 a+ 7 n– 24 aa a n – 3n a 12 ¿Cuál(es) de8 las50 expresiones representa(n) 4y – 12 al siguiente 31 11 5 31 50 8 11 5 5 ,, 11 ,, 8 ,, 50 ,, 315 11 8 50 31 Bx – 1 , 9 , 6 , 48 , 29 , , , , 10 3 7? – 2y grupo de 9 3 29 48 29 6 48 9 6 3 fracciones – 294 +22Ax 48 6 9 3 n+ 2 xy –1–m n+ n+ 2 2 n+ 2 x–3 I. n a2 n a+ 7 n n x n n22 – 2n+ 1 n a n n II. n– 2 x 2– 4x – 3 n– – 50 3n 31 5 11n8 n– 2 2 n– 2 , , x2,+ x , n– 2 6 –48 3 9 Bx 1 29 n– 2 2 III. n– 2 n– 2 x – 4x n– 4 n+ 4 2 + 2Ax+3 n– n– 4 4 2 n– 4 A. Solo4y I. –– 112 n x –x3 + x 4y 2 4y – 12 2 4y – 12 B. Solo10 II.– 2y n x x– 2x – 3 10 –– 2y 10 2y C. Solo I y II. 10 – 2y + 1– 3 n– 2x2 x–24x xy xyI2 y III. D. Soloxy xy 2 2 n– 2x x– 3x + x– 2 E. I, II yaaa22III. 2 2 a 2 2 – 2n+ 1 n– 4x2 x– 4x n + x+3 n 2 n2 ––2 2n+ 2n+ 11 n – 2n+ 1 2 2 – 3n 4y –x12 n n –– 3n x–22x + x– 3 2 n2 valor 3n de y lanfracción 13 ¿Para qué – 3n 10 – 2y2 se anula? 2x + x Bx – 1 Bx x – 2x – 3 Bx –– 11 Bx – 1 A. –5 4 + 2Ax xy 10 0xy23f+ 1 4 + 2Ax B. –3 4 + 2Ax 4 + 2Ax 2 5 a 5yf x–3 x2 – 3x – 2 C. 0 xx –– 3 3 2 x – 3 n – 2n+ 1 xx D. 3 x x2 + x 2 2 x –3 n –2 3n E. 5 xxx22 ––– 4x 4x 2 4x –– 3 3 x – 2x – 3 x – 4x – 3 2 xx xx22 + Bx – 12 + 2 x +x x +x x x + 2 4 + 2Ax3 xx22 –– 4x +3 4x +3 x –24x +3 0y f x2 – 4x +3 x – 310 xx22 + xx + 5 2 x +x x +x x 5yf xx222 –– 2 x – 3 x –22 3 2xx –– 3 x2 – 2x – 3 x2 – 4x – 3 xx22 + 1 x + + 11 x2 + 1 x2 + x xx222 –– 3x – 2 3x – 2 x –23x – 2 x2 – 3x – 2 x2 – 4x +3 xx22 + xx + x +x x2 + x x2 + x xx222 –– 2x –– 3 2x 3 x –22x – 3 x2 – 2x – 3 x2 – 2x – 3 xx22 + x +x

–1–m n a+ 7 1 n– 22 3 4 5 6 a7 8 1 n– 22 3 4 5 6 7 8 5 11 8 50 31 , , , , n– 4 3 9 6 48 29 4y – 12 n+ 2 7 10 – 2y – n –1–m2 xy n 7 Si a+en 7 la fracción 2 los valores de –– a,7x 2e y se duplican, n– 2 a –1–m –1–m2 a ocurre con el2 valor de la fracción? ¿qué n – 2n+ 1 n– 2 a+ a+ 7 7 5 11 8 50 31 2 A., Se, duplica. , , n – 3n n– 4 aa– 7 48 29 3 9Se6mantiene. 2 B. –1–m Bx – 1 8 50 314y – 12 5 11 5 , 11 n+ Se 2 cuadruplica. C. ,, 8 ,, 50 ,, 31 , 4 + 2Ax 10 – 2y 9 3 29 48 29 6 48 9 76 3 a+ D.n Se reduce a la 7mitad. – 32 –a laxcuarta xy n+ 2 2a E.n Se reduce parte. n+ 7 –1–m 7 2 – x n n5 , 11 , 8 , 50 ,a31 n– 2– –1–m222 2 –1–m a+ x72 – 4x – 3 n3 9 6 48 n29 – 2n+ 1 n n– 2a+qué ¿Para valor(es) de la variable la fracción 7 a x2 + x a+ 7 n+ 2 n– 2 2 n2 – 3n n–indefi 4 a ne? 5 11 8 50 31 n– se a n– 2 2n , , +3 , x2, – 4x Bx – 1 n– 4y 1–51211 8 50 31 A. 29 48 6 9 3 5 , 11 , 8 , 50 , 31 2 n n– 4 4 4 + 2Ax , , 6 , 48 , 29x + x n– B. 10 ––132y n+29 2 9 6 48 3 9 n– 2 2 4y –– 112 C. y3 x–3 4y 2 xy 0n+ n x – 2x – 3 n+ 2 2 n– 2 2 D.2 1 y –1 10 –– 2y 2y x 10 n x +1 a n n– 4 2 E.2 0 yn –3 2 xy x – 4x – 3 n xy n – 2n+ n– 2x – 3x – 2 n 1 4y – 2 1 2 2 2 aa x2 + x 2 n2 n– – 3n n–valor 2 x +dex x que indefi 2 Paran– calcular el ne a la expresión – 2y1 n22 10 2n+ n –– 2n+ 1 x2 – 4x +3 Bxn– – 12 n– 4 x2 – 2x – 3 n– 2 2 , es necesario conocer: nxy 3n n22–– 3n x2 + x 4 + n– 2Ax4 4y – 1x22 + x n– 4 a Bx 4y Bx2 –– 11 x2 – 2x – 3 A. x – 3(1) –10 2y 4y ––el112 2valor10de 0 y 3f n – 2n+ 1 4+ + 2Ax 2Ax B. 5 10 4 x2 + 1 x (2) 2 10 ––el2y 2yvalorxyde5yf n – 3n xx –– 3 xy 3 x2 –(1) 4xpor – 3 sí sola. A. x2 – 3x – 2 a2 xy Bx – 1 2 2 2 por sí sola. xx B. x(2) aa+2 x n2 – 2n+ 1 x2 + x 2 4 + 2Ax 2 2 2 4x –– 3 3 C.2 Ambas 2 (1) y (2). 2 – 2n+juntas, xx –– 4x x –n n4x –+3 2n+ 11 n – 3n x2 – 2x – 3 2 x – 3 D. Cada una por sí sola, (1) ó (2). 2 2 + xx 2 n2 2 – 3n xx + x– 3n Bx –1 x2 + x E. xSe+nrequiere información adicional. 2 x 2 xx ––24x 4x +3 +3 x2 – 2Bx x –––311 4 + 2Ax Bx 0y 3f x 22 – 4x – 3 10 x + x 24 + 2Ax x 4fracción ++12Ax x – 3 se amplifica porx xx+2+x+1,x¿qué5yf5 Si la xx22 ––22 x–3 3 2xx –– 3 x x2 –x3x– 3– 2 x – 4x +3 2 2 2 expresión se obtiene? x + 1 x x – 4x – 3 x +2 1 x2 +2xx x +x 2 2 2 2 – 4x – 3 2 x xx ––23x x +x 2 x – 4x – 3 3x –– 2 2 x – 2x – 3 A. D. x22 – 2x – 3 2 2 2 +x 2 x xx + +2xx x2 +2 xx + x x – 4x +3 x +1 2 2 2 xx3 2 –– 4x +3 xx2 ––22x –– 3 x + x 4x +3 2x 3 B. 0y f 22 10 E. x22 – 3x – 2 2 +x 2 x x + x x +2 x 5yf5 2 x + x x – 2x – 3 3x + x 2 xx22 –– 2 x – 3 0 10 2x – 3 x + 1 0yy23ff 10 C. x 5– 2x – 3 xx222 + 5yf + 11 x2 – 3x – 2 5yf5 2 x +x 2 xx222 –– 3x 3x –– 2 2 x +x 2 0y 3f 10 2 2 +x 2 es equivalente a ¿Qué xxexpresión ? + x x – 2x – 3 5 5yf 2 2 2 xx2 –– 2x –3 x +x 2 42x – 3 f22 A. 2y x2 + x 0y 3f B. 2y2xf-4+ x 10 3 -2 3-4 0 10 C. 2y 5yf5 0yyf3ff 10 -2 5 4 5 D. 2y 5yf 5yff5 E. Ninguna de las anteriores.

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

c c

n de prob ció

r r

as lem

e e

en co n t i do resol u

uac eval ión

Evaluación ﬁnal

2 a– 2ax22 – 7a 8 + 12 a2 – 4a+ 4 x –8 a– 4a+ x –48 x –8 a+ 2a– x +28 x +8 a– 2a– x –416 x – 16 a+ 4 a+ x +216 x + 16 a+ 2a– 3x2– 12y 3x – 12y a– 4a+4y 4–x 4y – x ¿Qué expresión se obtiene al resolver 22n 15y – 12x 4xa+ –4m 5y 14ab 4m2n 14ab :• ? 2 • 2 4 x – y a– 3xy 12mn 3x –7ab 7ab2 12mn 3b – 5y 15y – 12x 1 4x A. 3b : – –9x2 2 – 3xy x–y 32xm 2m B.x –3x 1 2m 2m – –1 C. 3x x3b 3b 1 31 3 – – ab D. ab 9x 23x 2 x + 421 –3– 4x – x2 2 E. – +ab 2 ab x – 139x x – 1 3 2 2 x – 4x +24 –3– 4x – x 2 + 5 22 ¿Cuál es el m.c.m. entre 4x, 6x3 y 12x 2 3 ab x – 1 3 ab? x – 1 x –1 2 a2 – 16 a 5– 5a+ 6 A. a2 – 16 a2 – 5a+ 6 x – 12x 3x –2 4 • 2 • 6 B.2 12x a2 – 7a + 12 a – 4a+ 4 a2 – 7a + 12 a2 – 4a+ 4 x –x12 –71 C. 12x 4 a+ 4 xa+ –3 8 D.1 12x 2 a– a– 2 1– x12x x22 –91 E. a– 4 a– 4 1 1 2 a+ 2 + y2 y 9x2 – y2? ¿Cuál – 6xy x – 11– xes el m.c.m. entre 3x – y, 9x2a+ a– 2 a– 2 A. 3x1 – y a+ 2 4 2 4 a+ B. 9x x – 1– y 2 2 2 a+ C. 9x – 6xy + y a+ 2 D. (3x – y)2(3x + y) a– 4 a– 4 E. Ninguna las–anteriores. 12x 4x – 5y de15y 4x – 5y 15y – 12x : : 2 3x – 3xy x – y 3x2 – 3xy x – y ¿Cuál es el m.c.m. entre a y 1 – a? 1 1 – – A. a x x B. 1 – a1 1 C. a–– a2 – 3x 3x D. a2 – a 1 1 E. Ninguna de las anteriores. – – 9x 9x x + 4 –3– 4x – x2 x + 4 –3– 4x – x2 + expresión ¿Cuálx es la reducida de ? + 2 –1 x –1 x–1 x2 – 1 x–4 x–4 A. 2 x –1 x2 – 1 x –3 x –3 B. 2 x –1 x2 – 1 1 1 C. 1– x 1– x 1 1 D. x–1 x–1

23 x2 – 16x + 64 19 ¿Qué expresión es equivalente a ? 2 x – 64 xx222 –– 16x + 64 x2 – 16x + 64 x – 216x 16x + + 64 64 A. –16x x +8 xx22 –– 64 x2 – 64 x –1 – 64 64 B. –16x x –8 8 xx + x +8 8 x+ +8 C. x – 8 x –8 x –8 xx –– 8 8 x +8 xx –– 8 x –8 8 8 x – D. 222 x – 16x2 – 16x + 64 xx2+ –816x + 64 x +8 x+ 16x + + 64 64 8216x +––8 x + 16 x2 – 64 2 2 64 2+– 2 x2 –xxxx16x 2– 16 –xx16 ––64 64 16x + 64 64x – 16 64 E. x22–––x16 16x + 3x – 12y 16 8 2 x +8 16 xxxx + 64 2 – 64 x + 16 + 2 16 8 +–xx8 – 64 4y –xx– 8 8 x – 3x – 12y 8 x +simpliﬁ 8 xx+––––8 812y 3x 12ycar 3x – 12y , ¿qué expresión2 se obtiene? x3x 20 Al 4m nx –14ab 4y – x 8 x – 4y – x x – 8xx4y • 8 88–– xx 2 x4y –––8 2 24 7ab 2n 14ab 2 8 x + 4m A. 3 8 x +12mn 4m n 14ab x – 8xxx4m 14ab 82n +88 4m n 14ab • –+ • 2 •• 3b B. 2 12mn xx7ab –– 16 x – 16 2 8 x + –3 12mn 7ab2 12mn 16 7ab 16 x – 12mn 7ab 8 x + C. xx3–+ 4y 2m b 16 3b x + 16 b 3+ x – 16 16 b–16 168y xxx3–+ D. 2x 2m m 2 3x – 12y 2 3x – 12y x + –3x 3x m 2m E. –12y 3y 2m 3x 12y x16 +––16 3b m 2 m 2 4y – x m 2 4y – x m– ––12y 212y 3x –3x 4y xx 4y 3 2 b 3 2 2 ab b 3 b 3 2 4m n 14ab 14ab bx 2–n 3–4y 4y4m 2 4m n • 14ab ? 4m nx•• 14ab se obtiene al resolver 21 ¿Qué expresión 3 2 3 3 2 • 12mn 2 37ab 25 2 22 7ab2 12mn 4m4m nab 14ab 12mn 2 ab ab 2 2n 7ab 12mn 14ab ab 2 • 4m n 14ab ab 2 2 • 2 b 3 • 3b 2 • 3 7ab27ab 2 3 b 12mn 3b 2 12mn 12mn 2 27ab A. 22 m ab ab 3b 2 2 2m m 23 3m ab bab 3 3 m 2 3 2m 2m 3ab 2m m 2 B. 22m 2 2 2b 3b 6 2m23 a2 – 16 a2 – 5a+ b ab 33m m 23 ab 3 • ab ab 3 + 12 a2 – 4a+ 4 2 3b 3 2 2 3ab 2 – 5a+ 6 2 a2 – 16 ab C. ab 2 – 16 2 – 5a+ 6 a –a5a+ 3aabab a2 – 16a – 7a 6 ab 2 a – 16 – 5a+ 6 • 2 3 32 • • 2 ab2 + 12 –– 4a+ aa222ab–– 7a 26 + 124 a2 – 4a+a+ 4 42 a• 2aaa–22 7a + 12 4a+ 4 7a 2 + 12 – 4a+ 4 a – 7a ab 2 2 ab 2a+ D. 2 ab 2 a– ab ab4 a+ 4 3 2 23 3a+ 4 a+ 4 a– 4 ab23a– 2 2 ab 2 a– 2 a– 2 2 3 3a– 22 E. a+ 2 33a– 4 ab a– 4 3ab 4 23 4 a– 3a– ab 2ab 2 2 2 2 a– 2 a2 – 5a+ 6 2 2 2 a+ a – 16 a – 5a+ 6 2 2 a2 – 16 2 a+ 25a+ a+ aa obtiene –– 16 aaabexpresión ––2 6 3ab3a+ 22 ¿Qué se al resolver 16 5a+ 6 • • • 3 ab 2 • 2a2222 – 4a+ 4 a+ 4 a2 – 7a + 12 a2 – 4a+ 4 2 2 12 aa– 7a6+ 22 2 a2 –aaaa– 5a+ 2 4a+ 2– 2 a– + aa–2a––16 4 ––2 2 2 –– 16 5a+ 6 +•12 12 4a+ 4 7a 27a a– ? a 16 a – 5a+ 6 ••• 2 a+ 2 a+ 4 2 +7a12+ 12 a2a+ – 4a+ 4 4 a2 –aa+ 7a 24 4a+ 2 –4 2 4 a+ 4 aa+ –4 7a + 12 aa2 –– 4a+ 27 a– 4 a– 2 2 a– a+ a+ 2 a+ a+ 4 2 a– 2 a– 4 a+ 4 a+ a+ 4x –a– 5y4 15y – 12x A. 4 a– 4 a– 2a– a– : 2 4 a– 2 2 a– 4 x – 3xy 3 2 a+ 15y – 12x 4x – 5y a+ 2 x – y 4x–––12x 5y 15y – 12x 4x a– 4a– a+ 2–– 5y a+ 15y 12x 4x24 5y :: 15y 42 : a– B. xx222 – 3xy : 3xxx2–––yy3xy x – y – 1 a– 2 3 a– a+ 2a+ 3 22–– 3xy a– x2 3xy x – y 3a– a+ x a+ 4 11 4 1 a– 2–a+ 4 a+ 4 a+ 1 2 a– – –– 1 C. xx 2 a+ – a+ 2 x a+ 4 2 a+ 4 a+ 2 x4 a+ 3x 1 4 a– 1 a– 4 a+ 2a+ ––a– 4 a–114 – 2 1 –4x 3x – 15y – 12x – 5y 3x 3x D. 4x – 5y 15y – 12x a– 4a– 4x 3x4 4–– 5y 15y –– 12x 12x 4x 5y 15y 9x a– : 112222 – 3xy ::: x1 – y 2 x 3 x–y x – 3xy 3 1 15y – 12x 4x––3 – 5y x – y x – 3xy – x –– 12x y x – 5y 3xy x + 4 –3– 4x – x2 15y –34x : de 9x E. 2Ninguna las anteriores. : 9x + 9x : 1 2 x – yx – y 2 1 x2 – 1 3x –3–x9x 13xy 2 E. Ninguna de las anteriores. – 3xy x+–4 –3– 4x ––yxx22 –3– 4x – x2 x – 1 – 4 ––xxx1+ x –3– 4x + 4 – x + –3– 4x x 1 xxx1+ 4 + + x–4 – –xx 1–– 11 + xxx222 – 11 x2 – 1 1 x –1 x –xx1– 1 2 – x – 1 ––x3x – 4 x–4 –– 4 3x 1 xx3x 4 2 • Expresiones 78 algebraicas fraccionarias 21 – –Unidad x – 3 2 211– 1 x 21– 1 x –1 1 3x––xx3x 1– 1 ––3x x2 – 1–

1 a a 2 –10 m+ 2 2+a a+ 1 2– x 1 a+ 1 a+ 1a 1 2 3a 4 5 6 2 7 8 1 2 1a+ 3– (x1 + 41)) 5 2 –62 + a7 8 1 xa+ a a+ 1 x a 1a 1 a 1+ 2a a+ – (x + 1) 1 x aa (x +aa1)– a+ 1 1+ 2a 1 1+ 2a x a+ 1 2+a 2 (x a+ 1)– a x 2 – a 2m a  1+ 2a   2m 2 –– 2m 2m la sustracción 2 – 2m , ¿qué expresión se 1– 1 2 : 1+ 1 ? 2 28 Al resolver 2 a 2 + 31 ¿Cuál es el resultado de 2 – –   2 – m+ 10 a  2 +2a1–n m+ 10 2 –a m+ 10 m+ 2 + a 1–n  obtiene? m+ 10 10 2m     2    1 1   10 1   1+12a 21– 2– 10 + 2a –  : 1+ 10 2m 10 1– n a   2m 10   m+ 10 A. –1 1–n2+a 1–n   1–n  : 1+ 1–n  2 –– 2 A. m+ 10 a     m+ 10 m+ 1  a+ 1   m+ n –12 m+ 10 10 B. 01– m+ 10 10   : 1+ 10 a 2+a 10 n n   10 10 10 – 10 n+2 1 C. a+ 11–n   1–n  a+ 10 10 m+ 10 – B. ––– m+    10 n –n 2 n–2 m+ 10 m+ 10 m+ 1– 1  : 1+ 1  m+ an m+ 10 10 m+ 10 10 10 a+   1   11 n+2 n+2 –  1–n   1–n  1 10 n a n – 2 D. 10 C. 11 m+ 10 –– an m+ 11 n2a1 m+ n m+ 1 m+ 10 n+ 1+ n+2 m+ m+ 102m m+ 11 a 1 n 2 – n 4m+ 10 n–2 10 E. 1+n2a 11 4m+ 2a 2 4m+ 10 D. 4m+ m+ 10 10 4m+2m 10 m+ 1 –1 n+ 1 n+ 2m+ – 10 m+ 10 n+2 m+ n m+ 11 10 2x+ a y m+ 10 m+ m+ 10 m+ 1010 4m+ 10 2a 2 E. Ninguna de las anteriores. 2 2 11 n+–1  2 – 21   1 10 4m+ 1n  11 10 m+ 10 4m+ 10 1– • 2x + ay m+ 10  : 1+ n  x y xx  x y ?  1–n  2 elresultado m+ 32 ¿Cuál xx 10 2 –es 10 m+ m+x 10 10 1  de 2 1–n 1   1 2 2  1 –   n+ 1 : 1+ 1– 1   1 que 29 Para11 determinar la expresión sumada con da xn–•y2 x • y    11 m+ –– (x + 11)) 10 (x +  10 – (x + 1 ) 1–n 1–n x – (x + 1 )     x y x y – (x + 1 ) –xxx 2 2 x A. y2–• x2 como resultado x + 1, esxx necesario conocer: 1 xm+ n –22 1 – 10 1 n x – y x – y 11 1 – (x + 1) x y y–x x– yy 11 m+ B. x (x + 1)– 1 (x + 1)– (x + 1 1)– n+2 x (x 1)– n –22 (x + El 1)–resultado xx 2 (1)1+ de x –– (x (x + + 11)). x 2 2 2 x – y xx • x 4m+ 10 1 n C. m+ 1 2 y – x y – x n+2 2 2 (x + 1)– 2 3 1 x y 2 1 2 2 – 2 2 –– El10 21)– – 101 . n2+ 2 = x 2 + m+ de (x 2n 4m+ 2(2) – resultado 2 (x + 1)– 2 2 y y y x–y y–x x 2 –– 2 2 2 2 n+ 1 2 3 D. 1n 2 3 2 1 2 x– 2 + a m+ 1 2 ––102 + aa 2 + 2 – + = 2 1–m aa 2 + =2 –m 2 A. (1) por2 2sí+ +sola. 2 2 2 2y 2y 2= y y 1y 22 y 1 aa por sí sola. n+ 2 ––x a 2 2 – – 2 3 1 B. (2) m+ 2 3+my – x E. Ninguna de las anteriores. aa 2+a + 2 2 =2 –m 2 –– 2 x 1–m y 1 1–m x 2 1 a+ 2 –m 2 2 C. Ambas 11 juntas, (1) y (2).a+ a+ y–y= y – (x12 ++ 1aa) 1 a+ = 2 + 1 a+ a 2 2 x m+ 1 11 una por sí sola, (1) ó (2). D. Cada x1–my2 3+m a+ 2 3 • 2 3+m1 a+ aa a+ 1 2valor –m de y en m+ – (x 2 11 + 1) a+ 33 ¿Cuál es el la ecuación + 2= ? a+ x y 1 a+ 1 = E. Se requiere información adicional. x aa 1 2 2 1 y y y (x + 1)– 1 a+ m+ aa • 2 3+m a+ 11 a x x–– y a+ 1 1 x y 2 a 2 1–m 2 –m (x aaa+ 1)– 2 a+ 1 a 2 1 A. –2 = 21 a xresultado dea+2 1– 1– y 2a 1+ x 30 ¿Cuál es el ? 2a 1+ 3+m m+ 2 2a 1+ B. –1 – 2a 1+ a 2 1+ 2a 2 2 y–– x a a 22 2 2 – C. 0 2 –aaa 1 aa a 2 + a 1 a 2 1+ 2a –y – x D. 1 aa – 2 2 + 2 2 + 2+a 1+ 2 2 1 2 3 2 2a 1+ 2a 2+ + aa 2 + a a a A. 0 E. 2 2 + =  11  a 11   1    11  aa+ y y2 y – 1–1 1  : 1+ 1  2 + a 1– a 11  ::: 1+ 1+ 1– 2 3 1  1+ 1– a 1–n   1–n  2 + = B. 1– 1–n 1–n  2 1–n  : 1+ 1–n a1 +a+ 1–m 2 –m   y y 22 y   1–n  2 + 1–n   1–n a+ 11–n 1 1 es la solución de ? 1– =    34 ¿Cuál  n   n m+ 2 3+m  1–n  : 1+ 1–n  1–m 2 –m 1– a n11  : 1+ 11  n a+ n1   : 1+ C. n 1– n1–n –– 2 = n 2 a– 2  1–n n 1 1–n   1–n n a–– 2 2 A. 2m+ 2 3+m n n+2 n+2 n 2a 2 a n+2 n1+n+2 1 n–2 D. n+2 n B. n n 1 n 1+n n –– 2 2a n2a 2 – n+2 n n 2 na n+2 2 +na n 1 n+2 n E. n+ 1 C. – n+ n n+ 11    n+ 2 + 111a n+ 2 n 1+ 1  n  : 1– 2 2   2 2 2 2 n   2 –– 2 21   D. –2 1  n –1–n   1–n  n+ 1 2  x –– yy  : 1+ x y 1 xxx1– 1–n yy   1–n  n+ E. Ninguna de las anteriores. n+ 1n 2 2 2 2 2 2 – 2 2 2 2 2n••• 2 2 2 n– –2 22• x y xx • yy – xx yy xx xyy y 2 2 n+2 nx –– 2y • xx –– yy x – y 2 2 x–y 2 • n2 x y n+2 2 • 2 xx yy2 2 2 n x–y yy ––n xx yy –– xx xx ––n+ yyy –1 x 2 n2 2 2 2 2 2 22 2 y–x n+ 3 11 1 2 2 3 2 3 11 + yy –– xx1–+ 2 = 3 = 2 3 + = 2 2 x y 2 + 22 = =y yy2 + y y y Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo yy – yyyy 22 yyy 2 2 2 3 1 2 2 x1–m y 2 + 2= •2 3 2 –m 2 –m –m 1–m 11 1–m 1–m 2 3 2 –m –m 1–m = =2 y y

c c

n de prob ció

r r

as lem

e e

en co n t i do resol u

uac eval ión

Evaluación ﬁnal

II. Resuelve los siguientes problemas. 1. Si dos máquinas demoran 10 horas en realizar un trabajo juntas y una de ellas trabajando sola demora 15 horas, ¿cuánto tiempo demora la otra máquina trabajando sola y haciendo el mismo trabajo?

2 se le suma un número x y dicho número x se le resta al denominador. Luego, a esta 3 nueva fracción se le suma 0,5, obteniendo como resultado 1. ¿Cuál es el valor de x?

2. Al numerador de la fracción

Unidad 2 • Expresiones algebraicas fraccionarias

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Cerrar sesión Contenido

Productos notables y factorización

Expresiones algebraicas fraccionarias: identiﬁcación y valorización

Expresiones algebraicas fraccionarias: comparación y restricciones Ampliﬁcación y simpliﬁcación de expresiones algebraicas Multiplicación y división de expresiones algebraicas Mínimo común multiplo Adición y sustracción de expresiones algebraicas fraccionarias

Ecuaciones racionales y aplicaciones

Número de pregunta

Habilidad

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Analizar Analizar Analizar Analizar Comprender Aplicar Comprender Aplicar Analizar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Analizar Aplicar Aplicar Comprender Aplicar Aplicar

Clave

Nivel de logro

c c

n de prob ció

r r

as lem

e e

en co n t i do resol u

uac eval ión

Evaluación integradora

Recopilando disco En estas páginas te invitamos a realizar una actividad de evaluación que integra los contenidos de las unidades 1 y 2 de tu texto.

Habilidad Integrar Reunir y organizar elementos para completar un todo.

Objetivo de la actividad: integrar los contenidos tratados y aplicarlos en la resolución de ejercicios y problemas.

Explica paso a paso la resolución del siguiente ejercicio. Escríbelos en las líneas. 5  5 +3 3 – 2 +5 3 + 1– 8 3 =  – 2 + 1 + 3 3 +5 3 – 8 3  4 4

(

1 = + 8 3 –8 3 4 1 = +0 4 1 = 4

)

7 125 +9 5 – 52 +log 100= Calcula los resultados de cada expresión. Anótalos en cada casilla. log 49+log e + log10 7 125 +9 57 7–•5ln2 +log 100=4 = 7 3 7 • ln e + log10 1 4 1 49+log 7 c. log7 + – 5 2 –log = = 10 1 12 1 –3 2 + – 5 2 –log = 101 2 7 1– 2 3 – 3 –ln 4 = + 1+ e1 73 ln e3– 2 d. 1+ – 3 –ln 4 = + e 3 ln e – 2

a. 7 125 +9 5 – 52 +log 100= log7 49+log7 7 • ln e + log104 = 3 5 – 52 +log 100= 1 7 1 125 +9 + – 5 2 –log = 10 4 = 1 – 2 7 7 • ln e + log10 b. log27 49+log

11 1 7 3 3 3 –ln 4== 1+ + + – 5 –2 –log ln2esiguientes –2 e 10 Resuelve ecuaciones. 2 31 –las a.1+23x7– 1 + = 2x +32 – 3 –ln 1 = e4 3 ln e – 2

b. 48x – 5 = 25x + 7

Identiﬁca los términos que faltan para que las siguientes igualdades  44 2y2 luego escríbelos en el espacio 22 sean 22verdaderas       respectivo. ______+24 +24  xx––66 xx––44== xx ––__  25 55 25 55 11   4 2  2 11 +3c22 ___ _____––3c ____== aa22bb33+3c 3c22 c. aa44bb66––____ a.  x – 6 x – 4 = x2–– ____ +24 +24    25  5    5 2 2 44    2 2  =22 4 x2 – ____ +24    x – 4 x – 6   bb 33bb 11 bb 1  1 4 6  5++  5++ == 25 ____++____ ____ a b – ____ =  a2b3 +3c2  ____ – 3c2 22 4422 22 44 ++____ 4 2    1 1 4 6 a b – ____ =  a2b3 +3c2  ____ – 3c2  b 3  b 1  b2   +  +  = + ____ + ____ 4 2  2 4  2 2  4  b 3  b 1  b2 b. 49x2z2 – 64z2 = (7xz – )(7xz + ) d.  +  +  = + ____++ ____  2 4  2 2  4

(

c. log 3x = 2log 5 + 3log 2

Evaluación integradora 1

((

))

(

)

51 1

2 2

3 3

4 4

Aplica la factorización de expresiones algebraicas en cada caso. 1 1 a. x2 + x + 4 64 –16x2y4 + 4xy2z –

c. 4a2 – 12ac + 9c2

e. x2 – 10xy + 25y2

z2 4 1 1 x2 + x + 4 64

b. z4 – 10.000

f. –16x2y4 + 4xy2z –

d. (xy)2 – z4

z2 4

Evalúa las siguientes aﬁrmaciones. Luego, escribe V si es verdadera o F si es falsa. x2 – 5 se indeﬁne para x = 1 cuando A = –3. 9x – 3A 3x + 1 Realiza tus cálculos aquí: logx – 10

La expresión

x2 – 5 9x – 3A 3x + 1 La expresión se indeﬁne para x = 10. logx – 10

Realiza tus cálculos aquí:

40 x+1 x–1 – 2 = + x + 5 x – 5 x – 25 Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones de fracciones algebraicas. Luego, escribe el resultado en la casilla. x +1+1 c x – 11– c 40 1 Recuerda simpliﬁcar cuando sea posible. == + – – – x1++c5+ cx2 – 51– cx32 –1– 25c 1+xc 51– c 1 2+ 40 x+1 x–1 a. c. 2 +2 – =3 – 1– = – 2 = + c + c 2 –1– xc x + 5 x – 5 x – 25 x1+ –c 4 x +1+1 c x – 11– c 40 1 – == + x1++c5+ cx2 –– 51– cx32––1– 25c 1+ c 1– c 1 b. 2 + x +2 –5 =3 – = + c 2 –1– x c 1– c x1+2 –c 4 2 + x7 5 3+ x 5 + += – = xx22 –+4 5x +26– x x +3 x +2 7 3+ x 5

2 + x7 5 3+ x 5 + += – = xx22 –+4 5x +26– x x +3 x +2 7 3+ x 5 d. 2 = – + x + 5x + 6 x +3 x +2 Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

Unidad

3 3

Sistemas de ecuaciones lineales Una ecuación lineal (o de primer grado) con una incógnita es una proposición que se cumple para un único valor de la incógnita involucrada. Cuando se plantean dos ecuaciones lineales con dos incógnitas de forma simultánea, se tiene un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Se cree que estos sistemas ya eran resueltos por los babilonios (2.500 a. C.). En las tablillas en las que los babilonios escribían, era posible encontrar escrituras en donde a las incógnitas las relacionaban con conceptos como la longitud, el área y el volumen.

Para calcular el perímetro P de un rectángulo de ancho x y largo y, se utiliza la siguiente fórmula:

P = 2x + 2y

Menú de inicio ¿Qué aprenderás?

¿Para qué?

¿Dónde?

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Reconocer ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas como modelos que surgen de diferentes situaciones o fenómenos.

Páginas 86 a 89.

Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Aplicar métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas y utilización de un software gráﬁco para la representación de las soluciones.

Páginas 90 a 101.

Análisis de soluciones y resolución de problemas.

Resolver problemas que involucren sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas y analizar la pertinencia de las soluciones obtenidas.

Páginas 102 a 105.

Unidad 3 • Sistemas de ecuaciones lineales

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Abrir sesión Considerando la información de la página anterior, responde: 1. ¿Cómo diferenciarías una ecuación lineal de una que no lo sea? Da un ejemplo. 2. ¿El punto (5, 0) satisface la igualdad 2x + 5y = 10? Justiﬁca. 3. ¿Existe otro punto (x, y) que satisfaga la igualdad anterior? Justiﬁca.

s er

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Inicializando

s a mel

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Aplicar consiste en llevar a cabo o utilizar un determinado procedimiento en una situación dada.

eval ión uac

Si el doble de la edad de Pedro aumentada en el triple de la edad de Francisca es 49, ¿qué edades tienen? 1. ¿Qué datos entrega el enunciado del problema?

2. ¿Es posible determinar las edades de Pedro y Francisca? ¿Por qué?

3. ¿Qué procedimiento puedes aplicar para responder correctamente la pregunta?

4. Responde la pregunta.

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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Sea 3x + 5y = 30. Además, considera los puntos P1, P2 y P3 del plano cartesiano. Entonces:

Ayuda El plano cartesiano es un sistema de referencia respecto de dos ejes perpendiculares que se intersectan en un punto llamado origen. Eje Y y Origen

P (x, y) x

Ecuaciones lineales con dos incógnitas

Eje X

1. Si P1(5, 3), se tiene que P1 satisface la igualdad, ya que 3 • 5 + 5 • 3 = 30. 2. Si P2(–10, 12), se tiene que P2 satisface la igualdad, ya que 3 • (–10) + 5 • 12 = 30.  10   , 4  10  P 3  3que P satisface la 3. Si P3  , 4, se tiene 3  3   10   10  ya que 3 •   + 5 • 4 = 30. igualdad,  3  3 •   + 5 • 4 = 30  3  ¿Existen otros puntos 10 que satisfagan la 10 igualdad? Justiﬁca. 3 3

Para grabar

Cada punto del plano se asocia a un par ordenado (x, y), donde su primera coordenada x se denomina abscisa y su segunda coordenada y se denomina ordenada.

Ayuda Si f:  → , se deﬁne por: f(x) = mx + n, con m, n ∈  – {0} recibe el nombre de función afín. La representación gráﬁca de una función afín es una recta que  n  intersecta al eje X en – , 0 y  m  al eje Y en el punto (0, n).

 c c     , 0, 0  a a   –10   c c  0, 0,     b b 

4 3

 10  P3  , 4  3  P3  10 3 •  P1 + 5 • 4 = 30  3  10 5 3

aa cc y y==– – x x+ + b = 5, para determinar algunos b +b4y Las ecuaciones lineales con dos incógnitas Ejemplo: en la ecuaciónb–2x c a (x e y) son igualdades de la forma ax + by = c, puntos (x, y) que satisfagan puedes despejar una de las f(x)==– –a xlax+igualdad, +c f(x) b b con a, b y c números reales, a ≠ 0 y b ≠ 0. variables y tabular los datos obtenidos. b b x 5 Estas ecuaciones se pueden representar en ⇒y y==x + +5 , se tiene: –2x+ +4y4y==5 5⇒ Por ejemplo, para –2x  c  a través de una recta que 2 2 44 el plano cartesiano  , 0  c  5 x  a  x 5 x intersecte al eje X en el punto  , 0 y al eje Y y y== + +  2 2 44  c   c   a      en el puntoc0, .  , 0   –2 0,25  , 0b  a   c    0,   –1 0,75  a  Observaciones: a  c c   b  x +0,  cartesiano pasa 0 1,25 y =c– del Por dos puntos 0, b  plano bb  y = – a x + c  una única recta. 1 1,75 b  a c a c b b – f(x) = x + Si ax + by = c ⇒ 2 2,25 a c a by =c –b x + , es posible b =– x + y = – x + b f(x) x c 5 bafín f,b b b una representarla + –2x +utilizando 4y f(x) =5⇒ ya =xfunción 3 Y – = + x 5 a c 4 2 es decir, f(x) = – x + . b –2x b+ 4y = 5 ⇒ y = + 2,5 2 4 x b5 b y = + –2x + 4y = 5 ⇒ y = x + 5 2 x x5 5 2 4 –2x + 4y = 5 ⇒ y =y = + + 2 4 1,5 x 5 2 24 4 1 x 5y = + 2 4 y= + 0,5 2 4 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 -0,5

0,5 1 1,5 2 2,5 3 X

Relaciona las columnas A y B según corresponda. Para ello, une con una línea. Columna A

Columna B

5x + 10y = 0

y = 50x – 12,5

–9x + 12y = 5 12x – 9y = 5 100x – 2y = 25

Unidad 3 • Sistemas de ecuaciones lineales

5 3 y= x+ 12 4 5 3 5 3 xy + yx = + 12 == 4–0,5x 12 4 5 3 x= y+ 12 4

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Interpreta cada enunciado. Luego, escríbelo como una ecuación lineal de dos incógnitas. a. El triple de un número aumentado en el doble de otro resulta 10. b. Los perímetros de dos cuadrados están en la razón 2 : 3. c. Se ha cancelado $ 25.000 en billetes de $ 5.000 y de $ 10.000. d. La diferencia entre lo cancelado con monedas de $ 100 y lo cancelado con monedas de $ 500 es $ 24.000.

Analiza cada igualdad. Luego, completa la tabla y graﬁca los puntos en el plano cartesiano. x y a. 4x – 2y = 5 b. + =0 4 9 x x 1 0,5 –4 4 1 y y 0 1 0,5 0 4,5 Y

Desafíate

Ampliando memoria

Analiza la siguiente proposición y utiliza las fórmulas dadas para resolver. Sean a, b y c tres números enteros no nulos (distintos de cero) tales que el máximo común divisor (d) entre a y b divide a c. Entonces, a partir de una solución b conocida (x0, y0), es posible determinar x = x0una +k •solución general (x, y) de la ecuación d ax + by = c, de la siguiente manera: a b x = x0 +k • ; y = y0 –k • ; donde k ∈ . d d Al reemplazar valores de k se obtienen soluciones particulares de la ecuación. a y = y0 –k • d a. En la ecuación 25x + 75y = 50, una solución es x0 = –1 e y0 = 1. Calcula 3 soluciones más.

Diofanto de Alejandría fue uno de los primeros en proponer expresiones simbólicas para representar sus proposiciones matemáticas. Uno de sus trabajos hace referencia a encontrar las soluciones enteras de ecuaciones lineales con coeﬁcientes enteros de más de una incógnita (ecuación diofántica).

b. En la ecuación 12x + 6y = –12, una solución es (–3, 4). Calcula 3 soluciones más.

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas Si la medida del largo de un rectángulo es el triple de la medida del ancho, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo si su perímetro P es 24 cm? Para responder la pregunta, primero puedes deﬁnir las incógnitas que presenta el problema, que en este caso son las medidas del largo y del ancho del rectángulo, y luego, representar a través de una ecuación cada una de las condiciones que presenta el problema. Finalmente, puedes representar las ecuaciones gráﬁcamente y buscar las coordenadas del punto de intersección. Observa:

Ayuda Si representas en una tabla algunos valores de x e y, podrás veriﬁcar que coinciden en el punto (3, 9). x 1 2 3 4

y 3 6 9 12

x 1 2 3 4

y 11 10 9 8

x: medida del ancho. y: medida del largo. y =3x (1) (2) 2x +2y =24

Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

(3, 9) es el punto de intersección entre las rectas que representan gráﬁcamente las ecuaciones (1) y (2) en el plano cartesiano.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X

¿El punto (3, 9) es solución de las ecuaciones (1) y (2)?

Para grabar En un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas en los números reales, las ecuaciones se resuelven simultáneamente, es decir, los valores de las incógnitas deben satisfacer ambas ecuaciones involucradas en el sistema. La representación algebraica que se utilizará es: ax + by = e , donde a, b, c, d, e y f ∈ax+ybyx e=ye son las incógnitas. cx + dy = f cx + dy = f Un sistema de ecuacionesaxlineales si no la tiene. y=1 + by =con e dos variables puede x + y =ser 1 consistente si tiene soluciónx +o inconsistente Ejemplo 1:

4x + 2y = –2Ejemplo 2:

cx + dy = f

Considera el sistema: x + y = 1 4x + 2y = –2

x+y=2 5x + 5y = 5

4x + 2y = –2x +Yy = 2 5 x+y=1 5x4+ 5y = 5 3 2 1 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4

Unidad 3 • Sistemas de ecuaciones lineales

Considera el sistema: x + y = 2 5x + 5y = 5 3Y

5x + 5y = 5

2 1

El sistema tiene una única solución, el punto (–2, 3), que corresponde a la intersección de las rectas que representan a cada ecuación.

4x + 2y = –2

–3

–2

–1

0 –1

3 X x+y=2

–2 –3 El sistema no tiene solución; esto se puede veriﬁcar gráﬁcamente, ya que ambas rectas nunca se intersectan, es decir, son paralelas.

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Verifica si los valores propuestos 2x en –cada y =5caso dan solución al sistema. Para ello, valoriza la =igualdad. 2x – ylas =5ecuaciones y comprueba x – 2y 1 x ––2yy =5 =1 (x0, y0) = (1, 3)m+n=7 Realiza aquí tus cálculos: a. 2x 2x – y =5 Ayuda m+n=7 –4m+ 4n=5 x – 2y =1 x – 2y = 1 En un sistema de ecuaciones, se –4m+ 4n=5  2 2  m+n=7  comprueba que el par ordenado (m0, n0) =  ,–  b. m+n=7 –4m+ 4n=5  2 2 5 5   (x0, y0) es solución del sistema –4m+ ,– 4n=5 5  5 2 si al reemplazarlo en ambas  2 x +2y = 0  2 ,– 2  ecuaciones se satisfacen las c.  5 (x0, y0) = (21 , –1) x +2y = 0  5 ,– 5 x +2y =–1 igualdades.  5 1 x +2y = 0 2 Además, (x0, y0) = (a, b) implica x +2y =–1 21 x +2y = 0 que x0 = a e y0 = b. =–1 1 x +2y Analiza la siguiente información. Luego, responde. =–1 2 x +2y –2x – 2y =–3 2 3 –2x x +–camente y2=y =–3 Ayuda Un sistema de dos ecuaciones lineales tiene infinitas soluciones si gráfi 2 3 cada una de las ecuaciones se puede representar a través de una misma recta, es x +y =1  Algebraicamente, dos rectas decir, dos rectas coincidentes. –2x –2y=–3 / • – 2 son coincidentes si las  2  –2x – 2y =–3 1 Ejemplo: –2x – 2y =–3 ecuaciones que las representan  –2xY–2y=–3 / • –  3 4  3  2  son equivalentes, es decir, 3 x+y= -2x – 2y = –3 x+y= x+y= 2 si al multiplicar por un valor 2 3 3 2 –2x – 2y =–3 x + 3y =  los1 miembros de una de ellas 2 (0, ) 2 3   –se obtienen 1   • –2x –2y=–3 / De la–2y=–3 primera ecuación, los miembros de y= x +puede 2 3 –2x / • –  se  2   2   2 1 obtener la segunda. Observa: la otra.  ( , 0)  1  2 3  3 –3 –2 –1 0 1 2 3 Xx + y = x + y = –2x –2y=–3 / • – 2  2   2 –1 3 3 3 x+y= –2 x+y= 2 2 2 –3 3 2 En el ejemplo, se obtuvo la segunda ecuación a partir de la primera. ¿Es posible obtener la primera ecuación a partir de la segunda? Justifica.

Aplica la información de la actividad anterior para responder en tu cuaderno las siguientes preguntas. Para ello, considera el sistema 5x – y = 1 kx – 3y = 3 a. Si k = 15, ¿cuántas soluciones tiene el sistema? b. Si k = 0, ¿cuántas soluciones tiene el sistema? Justiﬁca. c. Si k = 1, ¿en qué punto se intersectan las rectas que representan a las ecuaciones?

Desafíate

3p – 2q=–34 2p – 3q=–1

Crea una estrategia algebraica que te permita determinar si los 5x siguientes – 15y =3 sistemas de – 2q=–34 ecuaciones tienen una solución,3pinﬁ nitas soluciones o no tienen 15x –solución. 45y =9 2p – 3q=–1 1 b. 5x – 15y =3 c. x – 3y = a. 3p – 2q=–34 2 2p – 3q=–1 15x – 45y =9 x – 4y =7 5x – 15y =3 1 x – 3y = 2 15x – 45y =9 x – 4y =7 Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo 1 x – 3y = 2

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Herramientas tecnológicas: sistema de ecuaciones Graphmatica es un software de libre acceso, con el que podrás graficar distintos tipos de funciones (pídele ayuda a tu profesora o profesor para conseguirlo). Por ejemplo, para representar gráficamente las ecuaciones lineales que componen el sistema: x – 2y = – 5 . 2x – y =–7 Paso 1 Para representar gráficamente la ecuación x – 2y = –5, debes digitarla en la barra de funciones, luego presionar Enter, y visualizarás la representación en el plano cartesiano.

1. Ayuda Dos rectas en el plano pueden no intersectarse en el caso de que estas sean paralelas, o intersectarse en un punto en el caso de ser secantes.

2x + y = 1 x –cartesiano 3y = 11 Utiliza Graphmatica para representar en el plano los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Luego,2x determina de 7x+–y5=y1=–10 qué tipo son las rectas involucradas (paralelas o secantes). –7x =–6 x – 3+y5=y11 a. 2x + y = 1 x – 3y = 11

Paso 2 Para representar gráﬁcamente la ecuación 2x – y = –7, debes digitarla en la barra de funciones, luego presionar Enter, y visualizarás la representación en el plano cartesiano.

c. 7xx – 5yy==–10 3 3x +2 –7x + 5yy=–1 =–6

7x – 5y =–10 2 x – y=3 x +rectas y=4 2x +rectas y=1 Son . Son –7x + 5y =–6 3 +2 y =–1 3x x – 3y = 11 2x +3y = 12 x – y=3 2 b. 7x – 5y =–10 d. x + y = 4 3x +2y =–1 3 –7x + 5y =–6 2x +3y = 12 2 x +– y = 3 4 3 rectas Son . Son rectas y =–1 3x +2 2x +3y = 12 2 cada ecuación y responde. Para ello, utiliza Graphmatica. Analiza x+y=4 3 2x y 2x1.000x +3y = 12 + 1.000y = 8 5.000x + 5.000y = 18 – 2=– 3 3 a. ¿De qué tipo son las rectas que representan las ecuaciones propuestas?

b. ¿Hay algún punto en común entre las tres ecuaciones? De haberlo, ¿cuál es?

Unidad 3 • Sistemas de ecuaciones lineales

3x – y = 8 5x + 7y = 4 2x + 2y = 8 y 1 2 3 5xx+–74y = =8 4 1 2 3 3x – y = 8 y =4 0,3x 2xx+–2–y2=y 8 Utiliza Graphmatica para calcular el punto de intersección (solución del sistema). 2x –45y = –5 5x + 7y = 4 0,3x – 2y = 4 a. 3x – y = 8 d. 7x + 5yy =6 2x y= x –– 5= 8 –5 2x + 2y = 8 x 24 – y=4 7x 3 +35–y2=6 5x + 7y = 4 0,3x y=4 3x – y = 8 x 2 x + 4 = 2y y de intersección es – –y5= 4 –5 = yde El punto . El 2x punto intersección es . 2xx+–2y = 8 3 –33x + 4 = 0 –7y 4 7x + 5y =6 x + 4 = 2y 4 b. 5x3x+–7y = 8 e. 0,3x – 2y = 4 xy –22 = 3x –7y– – 3yx=+44 = 0 2x2x + 2yy =y 8 = x –– 5= 8 –5 33 3 4y = 4 y 5x + 7 2x 7x + 5y =6 –2 5 =x 3 y+x4 = 2y 0,3x – = y 2 4 3punto de intersección es Elxpunto de intersección es . El . 3 y 2 =8 –7y – 3x + 4 = 0 x2x – – –y5=y = 4 –5 2x 3 34 y –5= y 3 7x + =6 5 y – 2 = 3x c. 0,3x – 2xy+= 4= f. 4 2y 3 x2x2– 5y = –5 –7y– – 3yx=+44 = 0 2x –5= y 3 +35y =6 7x 3 y x3 –22 =x 3+x4 = 2y – y =de 4 El es . El punto de intersección es . –7y –33x + 4 =intersección 0 3punto 2x – 5 = y 3y – 2 =x 3+x4 = 2y Resuelve siguientes problemas. Si es necesario, utiliza Graphmatica. 3 – 3xlos –7y + 4=0 2x a. Laysuma – 5 = yde dos números es 8 y la diferencia entre ellos es 2. ¿Cuáles son los números? 3 – 2 = 3x 3 2x –5= y 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Paso a Paso Sigue los pasos para determinar gráﬁcamente la solución de: –x + 5y = 2 2x– 7y = – 2 Paso 1. En la barra de funciones digita las ecuaciones lineales que graﬁcarás.

Paso 2. En la opción Herramientas del menú principal, selecciona Encontrar intersección…

Paso 3. Presionas el botón Calcular y podrás visualizar las coordenadas del punto de intersección, que en este caso es la solución del sistema.

2x – 5y = 2 b. Si Claudia actualmente tiene dos años más que su hermano y hace 3 años tenía el x+y=8 doble de la edad de este, ¿cuántos años suman entre los dos? 4 3 2xx – 5yy==–2 2 5 5 2x – 5y = 2 x+y=8 1 x+y=8 x – 4 3y = 3 2x – 5y = 2 x –5 y =–2 4 x +y 3 8 5–6= 5y x – y==–2 2x 5 5 1 4 3 x x= – 7y = 3 x – 1 y =–2 5 5 x – 5y = 3 –10= y 5 2x – 6 = y utiliza 1 en tu cuaderno. Si es necesario Resuelve cada sistema de ecuaciones x – 5 =5y 3 x – y = 2x – 6 = y x= 7 Graphmatica. 5 3x x= 7 – 4y=–2y a. 2x – 5y = 2 c. 2x – 6 = y e. –10= 2 1 0= y – 2xx–+y =8 5y = 2 x – 5 =5y x= 7 x 3y x – =5y 5 – 3x – =–2y –10= y 4 x +y 3 =8 2 4 – 4 =–2y x – y =–2 3x 4 3 2 +0,25y = 3 4 =–2y b. 5 x – 5 y =–2 d. x – 5–=5y f. 0,5x 2 5 51 x 3y 3x – y=0 – – x=–2y x– y=3 x –3y4 =–2y 1 2 4 5 – – =–2y x– y=3 2 2 4 0,5x +0,25y = 3 2x – 65= y x 3y – – +0,=–2y 25y = 3 0,5x 2x – 6x= = 7y x– y=0 2 4 x– y=0 x= 7 0,5x +0,25y = 3 –10= y Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo 1 0= y – x– y=0 x – 5 =5y

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Ayuda El número 68 se puede escribir como: 10 • 6 + 8. Siendo 6 la cifra que representa las decenas y 8 la cifra que representa las unidades.

Método de sustitución Analiza la siguiente situación: un número de dos cifras es tal que la suma entre ellas es 8. Si se invierten sus cifras, el número que se forma es mayor que el original en 18 unidades, ¿cuál era originalmente el número? Considerando que las cifras serán valores entre 0 y 9, para responder la pregunta, puedes utilizar un sistema de ecuaciones siguiendo los siguientes pasos: 1° Un número de dos cifras se puede escribir como: 10 • x + y x: cifra que representa las decenas. y: cifra que representa las unidades. 2° Si se invierten las cifras de este número, se tiene que: x: cifra que representa las unidades. 10 • y + x y: cifra que representa las decenas. 3° Se establecen las condiciones impuestas por el problema, es decir: - La suma entre las dos cifras del número es 8. x+y=8 (1) - Si se invierten las cifras, el nuevo número es mayor que el primero en 18 unidades. 10y + x = (10x + y) + 18 (2) 4° Se agrupan las ecuaciones para formar el sistema. (1) x + y =8 (2) 10y + x =(10x + y)+ 18 5° Se resuelve el sistema. Despejando x de la ecuación (1), se obtiene: x + y = 8 /+ (–y) x=8–y

10y + (8 – y) = (10 ⋅ (8 – y) + y) + 18 10y + 8 – y = 80 – 10y + y + 18 9y + 8 = 98 – 9y / + 9y – 8 1 18y = 90 /⋅ 18 y=5

Reemplazando x = 8 – y en la ecuación (2), se tiene que y = 5 (ver cuadro). Luego en (1):

x+5=8 x=3

/ + (–5)

Por lo tanto, la solución del sistema es x = 3 e y = 5. Luego, a partir de esta solución es posible responder que el número original es 53, ya que: 10y + x = 10 • 5 + 3 = 50 + 3 = 53.

Para grabar Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con Ejemplo: considera el sistema (1) 3x + y = 6 dos incógnitas, puedes utilizar el método de sustitución (2) – x + 2y = 5 para sistemas de ecuaciones, que consiste en lo siguiente: De la ecuación (1), se tiene que: y = 6 – 3x, y luego, 1° Despeja en una de las ecuaciones una de las incógnitas. reemplazando en (2): 2° Reemplaza la expresión obtenida en la otra ecuación y –x + 2(6 – 3x) = 5 calcula el valor de la incógnita. –x + 12 – 6x = 5 3° Reemplaza el valor obtenido en una de las ecuaciones –7x = –7 del sistema, y obtendrás el valor de la otra incógnita. ⇒x=1 Finalmente, reemplazando en (1) se tiene que: 3 • 1 + y = 6 ⇒ y = 3. Por lo tanto, la solución del sistema es x = 1 e y = 3.

Unidad 3 • Sistemas de ecuaciones lineales

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Analiza la siguiente situación. Para ello, completa la resolución del sistema. (1) 2x – 3y = 13 (2) 2(x – 3)=6y +2x Paso 1. Despeja la incógnita y de la ecuación (1).

Paso 2. Reemplaza la expresión obtenida en el paso anterior en la ecuación (2) y resuelve la ecuación resultante.

Paso 3. Reemplaza el valor obtenido de la incógnita y en la ecuación (1).

Por lo tanto, la solución del sistema es: x =

ey=

Paso 4. Representa gráﬁcamente el sistema de ecuaciones y su respectiva solución. Utiliza Graphmatica para veriﬁcar tu resultado.

2x – y =5 –4x – 3y =–15

Finalmente, la veriﬁcación del sistema da7x = ey= . x2x+ –y y==5 –9 3 Resuelve los siguientes sistemas aplicando el –4x método de sustitución y comprueba tus –y3y =–15 2x + = – 7 resultados con Graphmatica. 7 2 x + y = –9 2(x – 1)+2=3(x + 1)– y c. 3 a. 2x – y =5 y + x =–2(y +2)+ 1 –3y –4x – 3y =–15 2x + = – 7 2 = 4 +3y –x +5y 7 y =5 x2x + y– = –9 3= x–4x x2(x = –51)+2=3(xy+=1)– y – 3y =–15 y = x=y–7 –3y y 2 + x =–2(y +2)+ 1 2x 7 + = –7 b. x +2y = – 9 d. –x +5y = 4 +3y 3 2(x – 1)+2=3(x + 1)– y 5 x=y–7 y 2x +–3y=+–x7=–2(y +2)+ 1 2 2 –x +5y = 4 +3y 2(x – 1)+2=3(x + 1)– y 5 x = –3y x= y= x =+ yx –=–2(y 7 y =+2)+ 1 2 –x +5y = 4 +3y Utiliza el método de sustitución para resolver los siguientes problemas en tu 5 cuaderno. x=y–7 2 a. La cifra de las unidades de un número de dos cifras es 3 unidades mayor que la cifra de las decenas. Si se invierten sus cifras, la suma del número resultante y el original es 165. ¿Cuál es la diferencia positiva de las cifras del número original? b. Si a es el antecesor de b y el doble de b es catorce unidades mayor que a, ¿cuáles son los valores de a y b? Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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Método de igualación Las edades de dos personas suman 32 años. Si hace cinco años la edad de uno era un año mayor que el doble de la edad del otro, ¿cuáles son sus edades? Para responder la pregunta, puedes utilizar un sistema de ecuaciones siguiendo los siguientes pasos: 1° Si se utilizan las incógnitas x e y para representar las edades de ambas personas, se tiene que hace cinco años las edades estarían dadas por: (x – 5) e (y – 5), respectivamente. 2° La información que entrega el problema se puede representar utilizando las siguientes ecuaciones: - Las edades de las dos personas suman 32 años. x + y = 32 (1) - Hace cinco años, uno era un año mayor que el doble de la edad del otro. (x – 5) = 2(y – 5) + 1 (2) 3° Se agrupan las ecuaciones para formar el sistema. (1) x + y =32 (2) (x – 5)=2(y – 5)+ 1 4° Se despeja en ambas ecuaciones la incógnita x. (1) x + y = 32 / +(–y) x = 32 – y

32 – y = 2y – 4 –3y = –36 3y = 36 y = 12

/ –2y – 32 / • (–1) 1 /• 3

(2) (x – 5) = 2(y – 5) + 1 x – 5 = 2y – 10 + 1 x – 5 = 2y – 9 /+5 x = 2y – 4

Luego, puedes igualar ambas expresiones que obtuviste para x, y obtendrás el valor de y (ver cuadro). 5° Se reemplaza y = 12 en una de las ecuaciones, por ejemplo en (1), y se obtiene que: x + 12 = 32 / +(–12) x = 20 Por lo tanto, las edades de las personas son 12 y 20 años.

Para grabar Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, puedes utilizar el método de igualación para sistemas de ecuaciones, que consiste en lo siguiente:

Ejemplo: considera el sistema (1) 3x + y = 6 (1) 3x = 6+ y = 6 (1)+ y 3x (2) – x + 2y = 5 (2) – x(2) + 2y– x=+52y = 5 De la ecuación (1), se tiene que: y =56+–x3x, mientras que de 5 + xy = = y = 5 + x2 . Luego: 1° Despeja en ambas ecuaciones una de las incógnitas. la ecuación (2), se tieneyque: 2 2 5+x 2° Iguala las expresiones obtenidas en el paso anterior. 65–+3xx = 6 – 3x6=– 3x = 5 + x2 3° Calcula el valor de la incógnita en la expresión obte125 +–2 6x =25 + x nida, que en este caso corresponde a una ecuación 1212––6x = x 6x12=–56x + x= 5 + x lineal. 7 =77x= 7x 7 = 7xx 7==1 7x 4° Reemplaza el valor obtenido en una de las ecuax=1 ciones del sistema y obtendrás el valor de la otra x = 1enx(1) = 1se tiene que: Finalmente, reemplazando incógnita. 3 • 1 + y = 6 ⇒ y = 3. Por lo tanto, la solución del sistema es x = 1 e y = 3.

Unidad 3 • Sistemas de ecuaciones lineales

2x +2y =24 8x +3y =5 3x x+–4y =1 y =8

3x –+2y11y +=5 4)=2 14x3(x =–29– y 2 2(x y=30 –=1y2 – x 1 ––1)3)= (y13x +4 – 8y

2 2

14x 11y =–29 –+2y 3x3(x 1 –y +=4)=2 2 2 3x+2y – 2y =5 –1)8yello, 13x 2x =24 Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones. Para –2 (y +=30 41 =utiliza y – x el x– y= método de igualación. 2(x – 3)= 4)=2 8x +3y =5y – 1 –32y+= 3x3(x 13 – y 2 2 2(x +5y)=6 14x++4y 11y==–29 d. 3x g.(y a. x – y =8 – 1) 1 2 + 41= y– y– x x – y =8 x– y= 13x––2y8y=5 =30 2x +2y =24 3– 2y 3x –x2y = 13 3x =4 2x +2y =24 2 3 – 3(x + 4)=2 y 8x +3y =5 2(x2+5y)=6 1 –y 2(x – 3)= y – 1 x– y= 8x +3y2 =5 2 y 3 3 3x + 4y = 1 (y – + 1) + =–29 4=y –x x –2y 1=3((x – 1) x =x – y =8 y = x14x =+ 4y11y x =2– = 4 y= 3x =1 y = 3 –y 2(x2+5y)=6 3x+2y – 2y=24 =5 – 2y 3x = =30 1 2x – 8y 13x 3x 3x – 2y =5 x–y 5y 2y=2(y – 2) 2(x – 3)= y – 1 1 2 = 4(x – 1) b. 8x +3y =5 e.2(x h. 4 –– 1=3( y+=4)=2 x –3(x – 3)= y–1 –y 22 3 3 3 2 2 14x + 11y =–29 3x + 4y = 1 (y – 1) + 4 = y – x 3xyx – 10=5(2y – 1) 14x 11y =–29– y x – y =8 2(x++5y)=6 ––5y =2(y – 13x 8y =30 1=3( (x ––1)2) 3x+2y – 2y=24 =5 3x ==30 1 4 22 13x–x–2y8y 2x 2y  x + 4)=2 2(x3(x – 3)= y–1 –y  x– 10 =5(2y – 1) 14 2– = 3x –  y –=2)– 1) – 3(x + 4)=2 y 8x +3y =5 2 – 10=5(2y =2(y x= xx=–23 y 3= 3 y = x=2– 5y – 1) (y +4 =yy=2 – x 2  4 14x + 11y =–29 2 2 3x + 4y = 1 (y – y1) + 4 = y – x x  – 1=3((x––y1) – 2y 3x = 1=30 2(x +5y)=6 – 8y 13x   =5(2y––1)1) 10=5(2y c. 3x – 2y =5 f. 3x –22y = 1 i. – – 10  1 2 + 4)=2 x 2y 2 – 3(x y 3x y= y–1 x –– 3)= = 4 – 2(x 1 – 2) 2 =2(y x  3 3 3 y= x4–2– 5y  – 10 =5(2y – 1) (y – 1)2 + 4 = y2 – x – 3 3  14x 11y =–29  2 2(x + +5y)=6 –y yx  – 1=3( ( x 1) – – 3x 2y = 1 2(x +5y)=6 – y – 1) – 10=5(2y 13xx – 8y =30 2 2y 2 2– =1 4 x 2y y = xx 3(x = y =– y x3x x= y= –2 y+3=4)=2 = 4 – 2) =x––5y =2(y  32 3 2 3  =5(2y – 1) –42 – 10 (y –y1) + 4 = y – x  2 x––y1) – 1=3( 2(x +5y)=6 Resuelve los(siguientes problemas. yx (x – 1)– 1) ––1=3( 3x –22y = 1 10=5(2y 2y 22 se diferencian en 25 años. Si en 10 años más la a. 3x Lasx –edades de un padre y su hijo = 4 1 – 2) –25y= 3x xque la mitad de la edad del padre, ¿cuánto suman sus 3=2(y xedad hijo será un año más 4–23 ydel  =5(2y – 2)– 1) 3 –4 – –5y10=2(y  edades? y 2   1=3((x––y1)– 1) 2(xx2+5y)=6 –– 10=5(2y x 2 – 10=5(2y – 1) x 2y 3x 2 = 4 – 2)  x––5y =2(y 3  =5(2y – 1) –4 2 – 10  x  2 – – 10 =5(2y – 1) yx  2 (x – 1)– 1) ––1=3( 10=5(2y 22 b. 3x Para caliﬁcar un examen, por cada respuesta correcta se dan cinco puntos y por cada  x  – –5y10=2(y – 2)– 1) se restan dos puntos. Si el examen consta de 30 preguntas y un respuesta incorrecta  =5(2y –4  obtuvo 94 puntos, ¿cuántas respuestas correctas e incorrectas obtuvo si  2 estudiante x respondió las 30 – 10=5(2y – 1)preguntas del examen? 2 x  – – 10 =5(2y – 1)  2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Resuelve en tu cuaderno el sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución y luego el de igualación. Luego, responde. 2x – y =3(x – 5) 10y =mx – 1 a. b. c. d.

Si m = 0, ¿la solución es la misma utilizando ambos métodos? Si m = –10, ¿cuál es la solución del sistema? Si m = 3, ¿cuál es la solución del sistema? ¿Ambos métodos de resolución son equivalentes? Justiﬁca. Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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Pistas Un determinado valor es solución de una ecuación si satisface la igualdad. Algebraicamente, el sucesor de un número x ∈  lo puedes representar con la expresión x + 1; mientras que el antecesor, con x – 1.

Evaluación de proceso

Analizando disco Ecuaciones lineales con dos incógnitas

1 Representa cada una de las siguientes situaciones utilizando una ecuación lineal de dos incógnitas. a. La edad de Leonardo aumentada en dos años equivale a la mitad de la edad de su hermano aumentada en once años. b. El triple de la cantidad de dinero que tengo es igual al doble del dinero que tenía ayer. c. La suma de las dos cifras de un número es 12.

3 2 Analiza cada expresión. Luego, completa las tablas. x 3y a. 8x + 25y = 10 b. + = 1 5 4

10 0,24

c. 0,7x + 0,25y = x

x –0,1

0 3

0 10

–2

–1

4 0

100 25

3 Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

3 Evalúa si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Para ello, escribe V o F según corresponda. Considera las siguientes ecuaciones. x (3) – + y = – 5 2 x – + y = 5 –   El punto (0, 1, 1  2 1) es solución de la ecuación (1).  2   1   El punto 1,  no es solución de ninguna de las ecuaciones.  2  El sistema de ecuaciones que se forma con las ecuaciones (2) y (3) no tiene solución.

(1) y = x + 1 a. b. c.

(2) 4(x – 3) = x + 3y

El sistema de ecuaciones que se forma con las ecuaciones (1) y (2) tiene una única solución.

La intersección entre las rectas que representan las ecuaciones (1) y (3), respectivamente, es el punto (–12, –11). 5

Unidad 3 • Sistemas de ecuaciones lineales

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

x – 2y = 1 Método de sustitución

2x – 3y =–

x – 2y = 1

5 6

x – (y + 1)=–1 5 Para ello, utiliza el método de sustitución para sistemas 4 Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones. 2x – 3y =– de ecuaciones. –2x – 1=–6 – y 6 b. x – (y + 1)=–1 –2x – 1=–6 – y

a. x – 2y = 1 2x – 3y =–

5 6

3(y – 2)= x + 3,5

x – (y + 1)=–1 x= y= –2x – 1=–6 – y 3(y – 2)= x + 3,5 –(1– x)+2= y +

Método de igualación

1 4

1 = –(1–xx)+2= yy+= 4

3(y – 2)= x + 3,5 –(1– x)+2= y + x=

1 4

x – y =7 x + y =9

2(x +2)= y +3 5 Resuelve cada uno de los siguientes sistemas x – y de =7ecuaciones. Para ello, utiliza el método de igualación para sistemas x +2=3+2y de ecuaciones. x + y =9 x y–2 =–5 b. 2(x +2)= y +3 c. – – a. x – y =7 2 3 x +2=3+2y x + y =9 x + y = 13 x y–2 2(x +2)= y +3 =–5 – – 2 x =3 xx+2=3+2y = y= y= x= y= x + y = 1 3 x y–2 =–5 – – 2 3 3 x + y = 13 6 Resuelve los siguientes problemas. a. La edad de Camila supera a la de Manuel en 5 años. Si sus edades suman 39 años, ¿cuáles son las edades de Camila y Manuel?

b. El sucesor de un número a es el doble del antecesor de otro número b. Si a + b = 39, ¿cuál es el valor de a – b?

c. Pamela dice tener 4 años más que su amiga Paola. Si hace 8 años sus edades sumaban 36 años, ¿cuántos años tendrá cada una en 12 años más?

Mi estado Evalúa tus aprendizajes. De no cumplir con el nivel de logro indicado en cada actividad, se recomienda, antes de seguir adelante, que vuelvas a las páginas señaladas en cada caso y refuerces los contenidos. Contenido Nivel de logro por actividad Páginas para reforzar 1 2 Ecuaciones lineales con dos incógnitas 2 de 3 2 de 3 86 y 87 3 Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas 3 de 5 88 y 89 4 Método de sustitución 2 de 3 92 y 93 5 6 Método de igualación 2 de 3 2 de 3 94 y 95 Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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Método de reducción En una parcela hay gallinas y conejos, que en total suman 25. Al sumar sus patas hay en total 64, entonces, ¿cuántas gallinas y conejos hay en la parcela? Para responder la pregunta, puedes plantear y resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando otro método distinto a los vistos hasta ahora, el método de reducción. Observa: 1° Si se utilizan las incógnitas g y c para representar la cantidad de gallinas y de conejos que hay en la parcela, las expresiones que representan el número de patas estaría dado por 2g y 4c, respectivamente. 2° Es posible representar la información que se entrega en el enunciado del problema utilizando las siguientes ecuaciones: - El total de animales, entre gallinas y conejos, es 25. - Hay 64 patas, contando las de las gallinas y las de los conejos.

g + c = 25 (1) 2g + 4c = 64 (2)

3° Se forma el sistema de ecuaciones. (1) g + c=25 (2) 2g + 4c=64 –2g –2c= – 50 + 2g + 4c=64 - Al multiplicar los miembros de la ecuación (1)14 por –2, resulta la ecuación: 2c=

4° Se resuelve el sistema.

(1)–2gg–+2c c=25 (3) = –50 (2) - Luego, al sumar la ecuaciones (2) y 2g (3),+ 4c=64 se obtiene que c = 7, ya que: –2g –2c= – 50 + 2g + 4c=64 2c= 14 5° Se reemplaza el valor de c en la ecuación (1), con lo que se obtiene g = 18. Por lo tanto, en la parcela hay 7 conejos y 18 gallinas.

Para grabar Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, puedes utilizar el método de reducción, que consiste en: 1° Multiplicar una o ambas ecuaciones por algún factor conveniente que permita "eliminar" una de las incógnitas del sistema. 2° Sumar las ecuaciones resultantes, obteniendo así una ecuación lineal. 3° Calcular el valor de la incógnita en esta ecuación. 4° Finalmente, reemplazar el valor de la incógnita obtenido en cualquiera de las ecuaciones y calcular el valor de la otra incógnita.

Unidad 3 • Sistemas de ecuaciones lineales

(1) 3x + y = 6 (2) – x + 2y = 5 Si se multiplican los miembros 3x de +layecuación (2) por 3, =6 =3x6=+15. obtienes la ecuación(1) (3), 3x –3x+(1)+y 6y y = 6 + – 3x + 6y = 15 Luego, al sumar los miembros ecuaciones (1) y (3) (2) – x +(2) 2yde 5+ 2y –=xlas =5 7y = 21 se tiene que y = 3, ya que: 3x + y =3x6 + y = 6 + – 3x++ 6y– 3x = 15+ 6y = 15 Ejemplo: considera el sistema

7y = 21 7y = 21 Finalmente, reemplazando el valor de y en (2) se tiene que x = 1. Por lo tanto, la solución del sistema es x = 1 e y = 3.

3x – 3y = – 3 – y = –y1 x + y =7 xx=–1+ 3 3 –3 3 +2 3 3 – 5 + x + 3y =2 x =–1+ y ⇒xx–=y–= 1,15 ; y= 3x +5y = 17 = 1 x 3y + =2 3y –=2 2 32 4 5 6 7 8 x 3 2 2x + y =1+ 3 1 2 3 4 5 6 7 8 x 1+ 3 =– 33y+2 =2 – x 3x + y = 11 2 x –3x y =– – 13y = – 3 x =–1+ y x + y =7 x –33y =9 7 3 x3––y5= – 1 33x +2=2de x–=2 + 33y = 17 utiliza el Resuelve siguientes ello, xy+⇒ + x3y x =–1+ 3y =2cada – x uno de los x+5y ––y3=–5 Paso a Paso ; y = Para = ecuaciones. =sistemas 3 x + 3y =2 x2– y = 1,15 método de reducción para sistemas de1+ ecuaciones. 2 3 3x + y = 11 3 ==– 3y =2 – x x3x1+ x – y =–1 – 3y – 33 +2 y 39 (1) Se ordenan las incógnitas del x + y =7 + 3x – 3y =x2x –– 3y 3y=9 2x + ==– x =–1+x y– y = –+1 x + 3y =2 x + 3y =2 sistema de ecuaciones. 5 2 3 3 – 3 3 3 – 5 – 3 +2 2 Ejemplo: seay x =–1+ 3x x+5y ; y3y = =2x – y = 1,15 ⇒ = = 17 =+ x + (2) Se multiplican los miembros 5(x x =–1+ 2 3x – y3y =3y – =2 3x +– x 3y =2 x 1+1+3 3=– 3 +2 7 2 – 1)+2=7(x + 1)– y 3y =2 – x 3x + y = 11 x – y =–5 de la primera ecuación por 3, 3 x 1+ 3 =– 1 – 3y =x–+ y3=7 3 +3–3y 2x y+2 = – x =–2(y +2)+9 +3y =2 x +– x 3y =2x – y = – 3x para obtener una ecuación x – 3y =9 x – y =–1 3 3 – 3y 2 9 – 3 +2 3 3 – 5 ; y = x = ⇒ x = x + 3y =2 3x +5y = 1 7 lineal que dependa solo de una xx–=–1+ y1+ = – 13y =– 3++2 x + 3y =2 3 –3 3+ 3 =– –5= 5 – (10y3 – 1) – 3 +2 72x x–y= ;5y = =2x –3y2–=–5 x= 1+1,153(2) ⇒ 2 (3) x + x 3y =2(1) ⇒ variable. Luego, se suman los 2 2 + y = 11 x + 3y3y =2 1+ 3 3 =2 –x 3x – x3y1+= – 33x 3=– 3 3=7 +2 x + y   miembros de ambas ecuaciones 5(x – 1)+2=7(x + 1)– y x  32x –y3=9 +2= –3 33 – 5 3x–– 3 3y = x –3+3y  =910y – 1 – +5 x + y =7 y = 3x ⇒ x3x = y – y– = –3y1 = 2 + –= 3x + 3y; =2 y se resuelve la ecuación lineal. +5y = 17 – x =–2(y +2)+9 =– 2 –3y 3 =2 2 3 –=317 2x+ 3 – 5 3x3+5y – 3 +2x2– y3= 1,15 + x 1+ + 3y (3) Se racionaliza el valor de 2 5 ; y= = ⇒x= x + 3y =2 +x y– = 112 337+2 y =–5 x – 0,21y = 1,3 2 a.+ x +x y+=73y =2 x 1+ 3 =– d.3x g. 0,8x la incógnita x y se reemplaza 1+ 5(x – 1)+2=7(x – 5= – (10y+–1)– 1) y x 1+ 3 =– 3 +2 3 +y= 3 3x + y = 11 2x x – 3y =9 3 3x – 3y = – 3 este valor en alguna de las 3xx+5y y = 1,8+2)+9 1+ = 317 =– 3 +2 y =73 3 – 5y 2 9 3 3 – 3 – x3++2 –3y–x – x+=–2(y x – 3y =9  ; y = = ⇒ x = ecuaciones para obtener el valor 3 +5y – 5 = 1732x – 33y +2 x –3+y–=3=– 1,15  x y =π +3x =2 3 3x = 10y – 1 ⇒+x y=x–=+11 3; y =3 732– 32 5 2 x – y = 1,15 –πxx++5  de y. – 5 3 +2 =3 31+  x2– y =–5  2 – 5=  – (10y – 1) 3 y =11 5(x ⇒x x– = 1+ 3= 3x2 + y; = =9 x – y = 1 3 – 1)+2=7(x + 1)– y =– 3 +2 x3y1+ 3 2x + y = x + y =7 3 2 2 3 1+ 3 2 9 x–+y y==7 0,8x – 0,21y = 1,3 2x+2)+9 +y= y  x – 3y =9 –3y – x =–2(y x 1,15 x xx=+ y =7 y3x = +5y = 17 x2x=+ =– y = x = +5 2 – 5= yy =– 1 = 10y –  3 3 – 3 3 3 – 5 – 3 +2 7 3xx+5y  216 –x  + y = 1,8 = x –xy2=–55 ⇒ = =317 3x=+ y = x11– y;=y1,15 7– 1) 3x 2x+5y + y = 17 3 2 – 1)+2=7(x 2 35(x – 5= – (10y + x1)– – yy=–5 h. πx + y = π 11 b. 3x + y =1+ e. 2 y 0,21y = 1,3 3 3 3 x – 3y =9 0,8x 9 y x – –+5= 3x +xy+=y11 2x + y = 2x+ –3y =7 – x =–2(y +2)+9 x  =– 7x – 3y =9 2– y–x=+1 y = 1,8 x  2 9 y  y =–5 – 2+5 =510y – 12x + =– x3x – x3y– =9 = 17 x – y = 1,15 3x+5y – y = 1,15  2x  5 πx 73 – 5= – (10y+–1)– 1) 2 πy x + y–=5= 5(x – 1)+2=7(x y x – y =–5 x – y = 1,15 3x + yy= 1139 y2x + y =3 x = = x = y = x = y= 3 5(x – 1)+2=7(x + 1)– y 16 0,8x –0 y = 1,3+2)+9 ,x21=–2(y =– 2x 2 x – y = 1 2x ++ y = –3y – 3 x –+3y y 9  x  + y = 1,8 –3y – x =–2(y +2)+9 y 2x y2==925 7 2x + =– – x +5–x  = 10y – 1 x– +5= x 2 x – y =–5 5(x – 1)+2=7(x + 1)– y 2   5 2 2– 5= y – 5= – (10y – 1) x c. 7x – y = 1,15 3 f. i. πx3+ y = π y =–5 73 x ––3y 16 – 5= (10y 1) – – – x =–2(y +2)+9 + 1)– y = 1,3 3 3 x – y =–5 0,8x ,21 y 5(x9– 1)+2=7(x  xx – –y0 = 1 32x + yy= 9 2x + =– y  +5+2)+9  =+10y –1 2 –3y – x –=–2(y =– 2x +xy – 5=  y = 1,8– x +5 = 10y – –1 2 +5= x  2x –x – (10y –21) 5 9 5 2 2x 7 + 3 =–  2  x 5(x – 1)+2=7(x + 1)– π πy x +y–y–1) =5= x – y =–5 5 2 – 5= (10y – 16– 0,21y = 1,3 0,8x  x – 1)+2=7(x  + 1)– y3 35(x –yx =–2(y x+2)+9  = 10y x – y = 1 y = 0,8x – 0,21y = 1x,3= –x =– +5 –+1–3y 5(x 1)+2=7(x 1)– y = = y= y –x + y = 1,8 y – x9=–2(y +2)+9  x   2 –3y +5= x –  =– 2x + –x + y = 1,8 – +5 = 10yx–21 –3y – x 5 =–2(yx+2)+9 π y  2– (10y  –π1)x + y–=5= 0,8xx2––05= = 1,33––1)5= ,21–y(10y 16 + y = π de reducción. Si es necesario, Resuelve los siguientes elπxmétodo 5(xx–3–1)+2=7(x +1)1)– yproblemas x 1–,3yutilizando =1 5= (10y – – –x + y = 1,8   0 21 0,8x – y = , x comprueba tus–resultados  = 10ycon y x–y=1 – 1 Graphmatica. 3x–3y – x =–2(y  +5 +2)+9  – +5= x x   –x + y = 1,8 2 π π x + y =    +5 = 10y 1 – –    2 – 5= y  a. Pedro x tiene  10y –$ 1175 en monedas de $ 10 y $ 5. Six en total tiene 20 monedas, ¿cuántas x– y== – x2+5 – 5= y monedas cada tiene? πtipo =1,π3 16  – 5= (10y – –1)0 0,8x ,x21+yy=  2  1 –de 16 3 y 0,8x – 0,21y = 1,3 x – y = 1 xx ––05= 21yy= 1,3 –x + y = 1,8 – +5= x 0,8x , y 2 y =–1,8 – +5= x  =+10y 1 – 16+5–x x π π x + y = 2  2 –x+ y = 1,8 – 5= y πxy+ y = π 16 x – y = 1 b.π0,8x xEl–+perímetro y+5= = π xy = 1de ,3 un rectángulo es 50 cm y el largo excede al ancho en 1 cm. ¿Cuál es x2––y0=,21 1 y el rectángulo? x x –área y =–x1del – y+5= x + y = 1,8 – 5= x 2 – 5= y 16 πxx16 +–y5= = πy y 16 x –y y = 1 – +5= x 2 – +5= x c. –Sixyse compran cuatro computadores de la marca A y tres de la marca B, se debe 2+5= xy – 5= pagar $ 3.573.000; mientras que al comprar tres de la marca A y cuatro de la marca 2 16 B, se debe pagar $ 3.833.000. ¿Cuál es el valor de cada computador? y – +5= x 2

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Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

cx +dy = f

c c

n de prob ció

r r

Ampliando memoria Una matriz A con coeficientes reales es un ordenamiento rectangular de números que consta de filas y columnas. Por ejemplo, una matriz cuadrada que tiene 2 filas y 2 columnas (o de orden 2) tiene la siguiente forma: a b  A =  c d

Filas

Columnas

Ampliando memoria Gabriel Cramer (1704–1752) fue un matemático suizo que, en su obra fundamental Introduction à l’analyse des courbes algébriques (1750), enunció el método para resolver sistemas de ecuaciones lineales que hoy en día lleva su nombre.

100

as lem

e e

en co n t i do resol u

uac eval ión

 a b   = e  ax +by A=  c d   =f  cx +dy   ax +by = e  ae bb  A=  a b  ax +by = e X= A=  f d  cx +dy = f  c d  cx +dy = f  c d   a b   e b   ea beasociar  ax+by = eforma ax+by =b e se Yle=puede A un sistema de la las siguientes  de ecuaciones lineales  a A= X=     c d   f d  A=   X=  c f       f d  cx +dy = f cx+dy c =df   e b   a e    a e a b   e b    X=   YA= =   a b , X= ∆ A=det =a • d–b • c   . a b     matrices cuadradas de orden 2: e    d    Y =   f d   c f   A=  c    c f   f c d d   c d       Además, a las matrices cuadradas es número ax+ byereal = eb llamado  posible único =a •ad–beun a basociarle  Y =  a e  •bc  ∆X=det a b = e • d–b • f ∆X= A=det  e b e     Ye= X=  calcula determinante Y se deA=det la siguiente manera: =a • d–b • c  ∆  c f  (Δ), que para las matrices  f  cdA,X cx+ dy cf = dfd   d   c f f d  ax + by = e   + by = e  a ee b  ax + by= e    ∆ aX =beedax–=bf e a ∆A=det a b =a • d–b • c ∆YX=det • •ef=fb ∆ a••d–b f – e •• fc = e d–b Y=det     a  x =       cx + dy ∆ = X=det =   f d ∆Y  ∆•ccA fadcx A=det cx=+ dy= f =a • d–b  c d  +edy =f  c f    c cf d   f d – bc – ∆ ed bf X Determinante Determinante   a e   para ∆Y af – ecpara la ∆ la ed – bf Determinante b = e • d–b • f ∆Y=det   a b =xa=• fx–=Xe=•eca=b b  y = a =e x = ∆X = ed – bf ∆X=det eprincipal   incógnita x incógnita   – ∆ ad bc A  ∆ • • Y=det ∆ A=det =a d–b c    •Af• c ad = X=det – bacy• f – e • c ∆ • d–b ∆A  ad – bc=e=a• d–b  A=det  f d   c f ∆∆  c f  ∆A ad – bc  f c d d   c d  ∆Y af – ec ∆  a e  y =Y = af =– ec  2x – 3y = 9 y = ∆Y = af – ec y =     = a • f – e • c grabar = e∆ ∆Y=detPara  aAade –ead bbc–bac •ef–3x A ∆ • d–b ∆X=det e b ∆∆ e+•4y c•=f – 13 ∆A ad – bc Y=det •–d–b  X=det  c f   c • ff  ==  f d   f d     2x – 3y = 9 2x – 3yconsidera = 9 el siguiente sistema Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógni- Ejemplo:  22x ––33y = 9   = 2 • 4 – (–3) • (–3) = – 1  a e –3x +–3x ∆ A = det   tas, de la forma: + 4y = – 13  –3 4y =e–a13   e  – 13 –3x + 4y =   4 ∆ = a f – c • • Y=det   Y=det  = a • f – e • c  c f ∆ ax + by = e  c  f        4– (–3) A = det2 2–3 –3= 2•=42–•(–3) 9(–3) –3det cx + dy = f – 1==– 192 • 4 –3 ∆A ∆ = det 13)=•2(–3) •4– A•==(–3) – = (–3) –3 – (  –3 –34 4∆X = det •∆     –13 4  –3 4   es posible resolverloaxutilizando el método de Cramer, +xby= =∆eX = ed – bf      donde la solución está dada∆por: –3  = 9 • 4 – (–1 13) X = det9 9–3 –3= 9•=49–•(4–13) – 2(•–(–3) ∆X ∆ = det cx + dy = fA ad – bc X =•9=(–3) det–3== –293• (–13) – 9 • (–3) = 1  –13 –134 4∆Y = det ∆    –3 –13  –13 4  ∆Y af – ec y∆=X ed=– bf     X –3 x= ∆ =A ad – bc   Y = det2 29 9=x =2•∆ =(–13) 2 •=(–13) ∆A ad – bc •=–(–3) ∆Y =∆det – 9∆ 1 = 12 9  = 2 • (–13) – Y93 =• =(–3) det  –3 –3–13 –13    –3 –13   A –1  2x – 3y = 9   –x + (–∆ y)=–2 ∆Y af – ec y = –3x +=4y = – 13 1 Y ∆ –3 X ∆ ∆X –3 ∆A ad – bc = x==–1.∆ = =22 Luego, e y +5y . X = –3 = 3 x = x = = == 3 = 3 2x –1 A ∆ –1 A ∆ ∆A –1 ∆A –1 2x – 3y = 9  2 –3  x – 1Y ∆Y1 1 ∆A = det +3y =3  = 2 • 4 – (–3) • (–3) =∆ ∆Y 1 –3x + 4y = – 13 –3 4 –x + (–y)=–2 y = y = = == –1. = –1.2 = = –1. = A –1 utilizando ely método 1. Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de∆ecuaciones A ∆–1 ∆A –1de 1     9 –3 2x +5y =22 Cramer. x – 5y = 13) •=(–3) 4 –•(–(–3) –1 = –3 ∆A∆ = Xdet=det2 –3  = 2•=49–•(–3) 2  –3 –134 4 x a. –x + (–y)=–2 b. +3y =3 c. 2x – 6y = 4  9 2 –3 9 2    = 9 =• 42–• (–13) 9 • (–3) 2x +5y =22 y 13 = – =3 1 ∆X∆ = Ydet=det (–13) –• (–3)    –3 4 –13 1 x– =  –13 x – 5y = 2 3 x 2 +3y =3 ∆X 2 –3 9   = = 3  2 • (–13) – 9 • (–3) = 1 2 ∆Yx==det – 6y = 4 ∆A –3 –1 –13  = 2x 1 ΔA = ΔA = ΔA = x – 5y = ∆Y 1 y 13 x– = 2 y∆=X –3= = –1. =A =–13 x= ∆ 2 3 2x – 6y = 4 ∆A –1 ∆Y 1 = = –1. y= ΔXx=– y = 13 ΔX = ΔX = 2 3 ∆A –1 ax +by = e cx +dy = f

Método de Cramer

ΔY =

La solución del sistema es:

Unidad 3 • Sistemas de ecuaciones lineales

1 1

2 2

Analiza el siguiente sistema. Luego, utilizando el método de Cramer, responde las preguntas. 5x +2y =3 –10kx – 4y = – 6 a. Si k = 0, ¿cuál es la solución del sistema?

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Ayuda Antes de resolver un sistema de ecuaciones lineales con el método de Cramer, se recomienda ordenar las ecuaciones. Por ejemplo, al ordenar el sistema: 2x + y = 6 3y – 5 = x 2x + y = 6 2x + y = 6 se obtiene:3y – 5 = x –x + 3y = 5 2x + y = 6 –x + 3y = 5

b. Si k = 1, ¿cuál es la solución del sistema? ¿Es única? Justiﬁca.

3 3

x + y =5 xx+–yy=5 = –3 c. Si el determinante principal asociado a un sistema de ecuaciones x – y = – 3es cero, ¿es cierto x +3y = – 6 que dicho sistema no tiene solución? Justiﬁca. x2x +3y –6 – y==5 2x – y =5 x + y =5 2(x + 1)= y +2 xx + y =5 2(x + 1)= y +2 – y = –3 x =0 –2(y – 1)+3 x – y = –3 –2(y – 1)+3x =0 Resuelve en tu cuaderno los siguientes utilizando el x +3y = –sistemas 6 5xmétodo – 1=3(y de +3)Cramer. Comprueba tus resultados con xGraphmatica. = –6 5x 2x+3y – y =5 y +– x1=3(y =2 +3) 2x – y =5 y + x =2 2(x + 1)= y +2 a. x + y =5 c. e. 2x + y =–7 xx +– yy = =5 + 1)= y +2 2x + y =–7 x =0 –2(y –2(x 1)+3 –3 y +2x =5 x – y = –3 –2(y – 1)+3x =0 y +2x =5 5x – 1=3(y +3) x +3y = – 6 x +3y = 10 = – 6 5x – 1=3(y +3) x b. x2x+3y d. f. y + x =2 – y =5 1 +3y = 10 x + y =5 – 2x – y =5 y + x =2 x 1+ y = a+b 2x + y =–7 2(x + 1)= y +2 – 2x + y =5 x2– y =2ab + 1)= y +2 + y=5 =–7 y2x+2x x =0 –2(y –2(x 1)+3 Resuelve en tu cuaderno los siguientes sistemas de ecuaciones ∆ literales. Para ello, x =0 –2(y – 1)+3 +2x xy + y ==5 a+b – 1 • 2ab a+b +2ab X (a+b) • (–1) x +3y = 10 5x – 1=3(y +3) = = x= utiliza alguno de los métodos xhasta ahora estudiados. En el ejemplo se utilizó el Ayuda ∆A 1 • (–1) – 1 • 1 2 x1yx–=+3y ya+b =2ab + 5x – 1=3(y +3) = 10 y + x =2 método de Cramer. – x + y =5 ∆+2ab Y 1 • 2ab – (a+b) a+b – 2ab Para resolver un sistema de x –21y =2ab ∆X (a+b) • (–1) – 1 • 2ab ya+b xy+++yxy==2 a+b 2x =–7 –x =x + y =5 = = = ∆A = 1 • (–1) – 1 • 1 = 2 ecuaciones literales, puedes 2∆∆ (–1)––11••2ab 1 2 –+yy=2ab x+2x a+b +2ab XA (a+b)1••(–1) =–7 x + y = a+b y2x =5 utilizar de manera análoga los ⇒ x= = = a2x – by = c 1 • 2ab – (a+b) x – y•=2ab ∆∆ 1 • (–1) – 1 • 1 a+b – 2ab 2 AY y +2x =5 (a+b) ∆ (–1) – 1 +2ab X • 2ab ya+b métodos que has estudiado 2 = 10 = = ∆A = 1 • (–1) – 1 • 1 = x =x +3y = a x +by =0 2 ∆ a+b – 2ab 1 2ab (a+b) Y • – hasta ahora, teniendo en cuenta ∆A = 10 1 •∆ (–1) 1 • 1 • (–1) – 12 X – (a+b) 1x +3y y =2 •=2ab = a+b +2ab= = = las condiciones que deben – 1 x∆+Yy =51 • x2ab a x – by = c ∆ 2 1 (–1) 1 1 A – • • ax y = – 2b ∆ 1• 1 2 • (–1)––2ab (a+b) 1a+b –A = 22 y– 2=x + y = cumplir los factores literales =5 ax2–xby +by =0 – 2ab x –by =3a = ca+b 1 • (–1) – 1 • 11 • 2ab –a(a+b) ∆Y 2 ∆A involucrados. = = y= 2 ∆A 1 • (–1) • –1 y = x1+by =0 2b 2 a. a2x – by = c b.a–ax c. x – 2y = a+5 2 =3a ax + y =2c a2x +by =0 a x – by = c axx––by y = 2b 2

x –by =3a x – 2y = a+5 ax – y = 2b a x +by =0 Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno. Para ello, utiliza el método de Cramer. =2c x –by =3a ax – y = 2b x –ax2y+=y a+5 a. La suma dexdos números es 87 y su diferencia es 19. ¿Cuáles son los números? ax + y =2c x – 2y = a+5 –by =3a b. ax Si +wyse divide entre 3 y z entre 2, la suma de los cocientes es 5; mientras que si w se x – 2y = a+5 =2c multiplica por 2 y z por 5, la suma de los productos es 174. ¿Cuál es el valor de ax + y =2c w + z? Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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Ampliando memoria En un sistema de la forma ax + by = e , se tiene que: ax + by = e cx + dy = f ax + by = e cx ++ by dy = f ax El gráfi co de la cxfigura + dy1==seef a b ≠ a + dy b =f con cx c relaciona d a ≠ b. ac ≠ bdd a b e =El gráfi ≠ co de lacafi≠ gura b 2 see ca = bd≠ e c d f a relaciona b e con acc = bdd ≠ eff . = = a = b ≠e c El dgráfifco de lacafigura = db =3 esef acc = bdd = eff relaciona con = = . c d f

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Análisis de sistemas: soluciones En los sistemas de ecuaciones lineales de la forma: ax +by = e , donde a, b, c, d, e y f son números reales distintos de cero, se tiene que: cx +dy = f ax + by = e Si las rectas que lo representan en el plano cartesiano se intersectan en un punto P, las cx + dy = f coordenadas de dicho punto son solución del sistema (figura 1); mientras que si estas no ax + by = e se intersectan, entonces se dice que el sistema no tiene solución (figura 2). Finalmente, a b si ≠ cx +sistema dy = f represenlas rectas se intersectan en infinitos puntos, es decir, las ecuaciones del c d ax + by = e a (figura tan la misma línea recta, entonces el sistema tiene infinitas soluciones b 3). a b e ≠ = ≠ cx + dy = f c d c d f Y Y Y ax + by = e ax + by = e a b 2 2 a2 b e a b e P cx + dy = f ≠ = ≠ = = cx + dy = f 1 1 c1 d f c d c d f a b 3x + X y=7 a ≠ bX a b e a b e X = = = ≠ ≠d c -1 0 1 2 3 -1 0 1 2c 3d c d -1 f c0 d f1 2 x 3 –y=1 a b e -1 -1 -1 + y = 7 a = b ≠ e a b e 3x Figura 1 Figura 2 c = d ≠ f = = Figura 3 a = 3 = 3 c d fc d f x–y=1 c 1 a b e a = b = e 3x + y = 7 a 3 Para grabar b 1 c = d= f = =3 = = –1 c d f y = 1 x – c 1 d –1 Para un sistema de dos ecuacio- Ejemplo: considera el sistema 3x + y = 7 . 3x + y = 7 a 3 nes lineales con dos incógnitas b 1 c 7 x–y=1 = =7 x – y = 1 c = 1 = 3 d = –1 = –1 y coeficientes reales distintos de f 1 a 3 cero: ax ax ++ by by == ee , se cumple que: c 7 a b a =3 = 3 b 1 Las razones en este caso son: c = 1 = 3, = = –1 y = = 7 . Como ≠ , el cx ax by cx ++ dy dy == eff f 1 d –1 c d c 1 b 1 ax by cx aa + dy bb = ef a b c 7 b 1 = = –1 Si ≠ el sistema sistema tiene una única solución. ≠ ≠ ,=entonces d = –1= –1 = = 7 cx cac + dy bdd f c d f 1 d –1 Se puede comprobar gráficamente ≠ única solución. c 7que esta solución corresponde a P(2, 1). tiene bbbd ee c =7 = 7 a b caa =una ≠ 7 ≠ ≠ = ≠ f = 1 =Y cca bddd eff c d f 41 Si a = b ≠e , entonces el a b a ≠3b ca = bd = eef = ≠ = c≠ d sistema solución. cca bdd no efftiene 2d c f P = = 3x 1 3x ca ++bdyy == 7e7f Si = = , entonces el X 3x cxx +––dyy == 171f -2 -1 0 1 2 3 4 -1 sistema tiene infinitas 3x 2x – y =5 aax +– 33y = 17 == == 33 soluciones. cacx – 31y1 = 1 3x + y =8 = =3 bbca 3111 2x – yLuego, =5 x – 2y =5 == ===3–1 –1cada uno de los siguientes sistemas. 1. Analiza responde. bdcd –1 1–1 3x + y =8 2x – 4y =6 = = –1 bdcc = 7–1 71 = 7 = ==7–1 (1) 2x – y =5 (3) 12x – 6y =–9 (2) x – 2y =5 dcff 7–111 = = 7 3x + y =8 2x – 4y =6 9 caaf ≠71bb 2x – y =– =≠ = 7 2 x – 2y =5 12x – 6y =–9 cacf 1bdd ≠ a.ca ¿Es sistema (3) no tiene solución? 9 Justifica. 2xque – 4yel=6 bd cierto 2x – y =– ≠ 2 c d 12x – 6y =–9 9 2x – y =– 2 b. ¿Cómo clasificarías los sistemas (1) y (2) según sus soluciones?

Unidad 3 • Sistemas de ecuaciones lineales

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Evalúa si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Para ello, escribe V o F según corresponda. a.

Si las ecuaciones de un sistema de ecuaciones lineales se pueden representar con rectas paralelas, entonces tienen una única solución.

Dos rectas coincidentes pueden representar un sistema de ecuaciones que tiene inﬁnitas soluciones.

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Ayuda Recuerda que puedes utilizar Graphmática para comprobar tus resultados.

Si en un sistema de ecuaciones una de las ecuaciones es equivalente a 9x – entonces 4,5y =5 el sistema tiene inﬁnitas una constante multiplicada por la otra, 9x – 4,5y =5 soluciones. 2x + y =6 2x + y =6 y +2x =6 Clasiﬁca los siguientes sistemas de ecuaciones lineales en compatible determinado, y +2x =6 compatible indeterminado o incompatible. –10x – 5y = 1 –10x – 5y = 1 3 a. 9x – 4,5y =5 c. 3 x + y =6 2 x + y =6 + y =5 =6 2 x – y =–9 9x –2x4,5y x – y =–9 2x + y =6 y +2x 5x – y = 0 – 5y =6 =1 y +2x b. –10x d. 5x – y = 0 x + 3y =–10 –10x 3 – 5y = 1 x + 3y =–10 x + y =6 2 3 la siguiente imagen. Luego, responde. Analiza x + y =6 2 x – y =–9 x ––yy=–9 5x =0

Ampliando memoria Un sistema de n ecuaciones lineales con m incógnitas se puede clasificar en: Sistema compatible determinado si tiene finitas soluciones. Sistema incompatible si no tiene solución. Sistema compatible indeterminado si tiene infinitas soluciones.

x +5x –3yy = =–10 0 x + 3y =–10

(1) x + y = 1

(3) x – y = 3 (2) 3x – y = 2 3x +2y =5 y =6 a. ¿Cuál es la solución del sistema formado por (1) y (2)? ¿Y por (2) y (3)? 5x – 4y =0 3x +2y =5 3x + y =0 b. Si se forma un sistema con (1), (2) y (3), ¿dicho sistema tiene solución? Justiﬁca. y =6 x =7 3x +2y =5 y =6

5x – 4y =0 3x + y =0

9x – 3y =0

x +2y =3 =0 x =7 Clasiﬁca en tu cuaderno cada los– 4y siguientes sistemas de ecuaciones 3x +2y =5 uno de5x 4y sus 2x según – – =–1 soluciones. Luego, resuelve aquellos sistemas que clasiﬁ caste como compatibles. 3x + y =0 9x – 3y =0 y =6 5 5 a. 3x +2y =5 y =6

b. 5x – 4y =0 3x + y =0

5x – 4y =0 3x + y =0

x =7 9x – 3y =0

x +2y =3 2x 4y

x =7 9x – 3y =0 x +2y =3 2x 4y – – =–1 5 5 x – 0,5y =0

x +2y =3 e. x – 0,5y =0 x 2x 4y – y =–4 – – =–1 2 5 5 x – 0,5y =0 x – y =–4 2

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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Aplicaciones En el transcurso de la unidad, ya utilizaste los sistemas de ecuaciones lineales para resolver distintos problemas. En estas páginas podrás reforzar su aplicación en otras áreas.

Para grabar Los sistemas de ecuaciones lineales permiten modelar distintas situaciones de la vida cotidiana. Para plantear las ecuaciones, debes identiﬁcar claramente las incógnitas y relacionarlas, teniendo en cuenta las condiciones de la situación que quieras modelar. Luego, utilizando algún método de los estudiados, podrás resolver el sistema propuesto, y así dar solución a la situación que modelaste, interpretando los valores obtenidos.

Ejemplo: considera la siguiente situación: la razón en centímetros entre el largo y el ancho de un rectángulo es 3 : 2. Si se aumenta en 8 cm el ancho del rectángulo, resulta la misma medida que disminuir en 3 cm su largo. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo? Sea x el largo e y el ancho del rectángulo, entonces: La razón entre las medidas del largo y el ancho es 3 : 2. Es decir: x 3 = ⇔ 2x – 3y = 0 y 2 x 3– y = 11 resulta la misma medida que dismiSi se aumenta en 8 cm el ancho(1)delx rectángulo, ⇔ 2x – 3y = 0 = nuir en 3 cm el largo. Es decir: y(2) + 8y2x=–x23y– 3= 0 (1) x – y = 11 (2) 2x – 3y = 0 La solución es x = 33 e y = 22. Por lo tanto, el perímetro del rectángulo es: 2 • 33 cm + 2 • 22 cm = 110 cm.

Resuelve los siguientes problemas. a. Dos números naturales están en la razón 7 : 5. Si la diferencia entre ellos es 8 unidades, ¿cuáles son los números?

b. A una función de teatro asisten 50 personas considerando niños y adultos; la entrada para niños tiene un valor de $ 2.000 y la entrada para adultos tiene un valor de $ 3.500. Si la recaudación fue de $ 130.000, ¿cuántos niños y adultos asistieron?

Ayuda Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90°. Dos ángulos son suplementarios si sus medidas suman 180°.

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c. Al simpliﬁcar una fracción se obtiene 2. Si se disminuye el numerador en 1 unidad y 1 se aumenta el denominador en 4, se obtiene . ¿Cuál es la fracción original? 2

d. Dos ángulos α y β son complementarios. Si se aumenta la medida del primero al doble y la medida del segundo disminuye en 10 grados, al sumarlos se obtiene el suplemento de 45°, ¿cuáles son las medidas de los ángulos α y β?

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Analiza la siguiente información. Luego, resuelve en tu cuaderno.

Para grabar Una técnica que puedes aplicar para resolver sistemas de ecuaciones en donde las ecuaciones involucradas no son lineales consiste en usar un cambio de variable; es decir, utilizar una variable o incógnita auxiliar, de manera que convierta el sistema a uno de ecuaciones lineales. Luego, para resolverlo, se puede aplicar alguno de los métodos estudiados.

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log x + log y = 7 Ejemplo: resuelve el sistema: log log xx+– log log yy == 73 .

log x + log y = 7 log x – log y = 3

log x – log y = 3 loglog x +xlog y =y7= 7 + log log x + log y = 7 log x + log y = 7 Se deﬁnen las siguientes variables u–=log loglog x –xlog ylog =y3=x 3y v = log log y,x –entonces: log y = 3 log x – log y = 3 logux++vlog = 7y = 7 u+v=7 == 73y = 3 loguux+––vvlog u–v=3 u–v=3 Ahora, resolviendo el sistema u +uv+=v7= 7 por el método u + vde = 7reducción, se tiene que u + v = 7 u –uv–=v3= 3 u – v = log 3 x +log y =30 – v x,= se 3 u = 5 y v = 2. Luego, como uu =+uvlog ⇒xx –log = 105, yy =60 de manera = 7 tiene que log x = 5log similar con v = log y, entonces log y = 2 ⇒ y = 102. u–v=3 2 6 – 2 =4 Finalmente, como log 105 + log 102 = 5 + 2 = 7 y log 105 – log x 10y = 5 – 2 = 3, se comprueba que x = 105 e y = 102 es la solución al sistema. log x +log y =30 1 1 + =25 3x 2y log x –log y =60 xx + yy + z=26 a. log x +log y =30 2 6 c. 2 +2 = 96 b. – = 4 8x +x4y +y 4z= 120 x y log x –log y =60 2 – 2 =32 4x +8y + 4z= 136 1 1 2 6 =25 + – =4 6 x + y + z=26 y + z=26 3xx +2y x y x + y + z=26 / • (–4) 8x + 4y + 4z= 120 x 4y + y 4z= 120 8x + 2 +2 = 96 1 1 8x + 4y + 4z= 120 + =25 4x +8y + x y 4z= 136 –4x – 4y – 4z= – 104 x + y+ +4z= z=26 3x 2y 2 – 2 =32 4x +8y 136 + +8x + 4y + 4z= 120 x x+ y y + z=26 6 x + y + z=26 8x + 4y 4z= 120 x + yx+=z=26 =y96 x =2 +2 = 6y = xx+=y + z=26 y= / • (–4) • (–4) + 4y + 4z= 120 4x +8y + 4z= 136 8x 4z= 120 8x + 4y +8x 4x =/16 4z= 120 2x+–4y 2y +=32 8x + 4y + 4z= 120 x + y +z=26 4x +8y + 4z= 136 4x +8y x ++ y+ z=26 ⇒ –4x – 4y – 4z= – 104 6 x=4 x + y + z=26 4z= 136 –4x – 4y – 4z= –/104 Analiza la siguiente información. Luego, • (–4) 8x + 4y + 4z= 120resuelve en tu cuaderno. 8x + 4y ++4z= 120 x + y + z=26 4 z= 120 8x + 4y + 8x + 4y + 4z= 120 6 x + y +z=26 6 x + y++z=26 + 8x + 4y + 4z= 120 / • (–4) 4x +8y 4z= 136 / • (–4) 4x +8y + 4z= 136 /4x• (–4) 4x–+8y 4z= 136 8x + 4y + 4z= 120 8x Paso a Paso = 16 –4x 4y4x –+4z= + 4y + 4z= 120 = 16 – 104 x + y +z=26 6 x + y + z=26 • (–4) 6 ⇒/x=4 +z=26 –44y 4z= – 104 z=–120 + 8x +–4x 4y –4x – 4y – 4z= – 104 x +–y4y (1) En este caso, se consideran – 4z= ⇒+x=4 • (–4) (1) ⇒ (2) 8x + 4y + 4z= 120 ⇒ 8x–4x + 4y + 4z= 120–/104 x + y +z=26 la primera y segunda ecuación 8x + 4y + 4z= 120 + 8y + 4z= 136 + 4x x + y + z=26 + 8x + 4y + 4z= 120+ 8x + 4y + 4z= 120 = 16 x + y +4x z=26 4x +8y + 4z= 136 / • (–4) – –4x – 4y – 4z= 104 del sistema, luego se multiplican / • (–4) 8x –4x + 4y–+4x 4z= 120 +8y + –4z= 4y –= 4z= 104136 4y =32 ⇒ x=4 4x = 16 4x +8y + 4z= 136 4x 16 los miembros de la primera 6 x + y + z=26 z= 120 + 8x ++4y + 4136 4z= 4z= 120– 4z= – 104 +4x +8y 8x + 4y +–4x ⇒ y=8 – 4y x + y + z=26 ⇒ x=4 / • (–4) ecuación de tal manera que ⇒ x=4 –4x – 4y – 4z= –/104 8x + 4y + 4z= 120 • (–4) 4x = 16 6 x + y + z=26 x + y +z=6 se eliminen dos de las tres + 8y + 4z= 136 + 4x 4x +8y 4z= 136 x + y + z=26 4x = 16 / • (–4) z=26 + 4x + 8y + 4z= 136 / • (–4) x + y +⇒ –4x – 4y – 4z= – 104 x=4 • / (–4) ⇒ (3) ⇒ (4) incógnitas, z e y. 8x + 4y +⇒ 4z= 120 y +–z=0 4x +8y + 4z= 136 x=4 –4xx––4y + 4z= 136 4y =32 4y4z= =32– 104 + 8x + 4y + 4z= 120 4x +8y (2) Se resuelve la ecuación lineal x + y + z=26 –x++8y y ++z= 4 136 –/104 –4x 4yz=26 – 4z=⇒ • (–4) x + y– + y=8 4z= + 4x –4x – 4y – 4z= – 104 –4x obtenida. – – 4y – 4z= 104 ⇒ y=8 4x +8y + 4z= 136 / • (–4) 4x = 16 z= 120 + +8y 8x ++4y +y4136 4x 4z= 2x + 2 y +3z= 1 x + +z=6 (3) Al igual que en (1), se + 4x + 8y + 4z= 136+ 4y =32 4x + 8y + 4z= 136 x + y +z=6 ⇒ x=4 –4x – 4y – 4z= – 104 consideran en este caso la x⇒ + yy=8 + 4z= 120 –y y4z= Por lo tanto,4yla=32 solución es x =– 4y 4,x4x =+16 8z=0 y– 104 z = 14. (5) –4x x – y + z=0 4y+=32 x + y + z=26 4z= 136 + 4x + 8y primera y tercera ecuación, y se +8y + 4z= 136 –x⇒+x=4 y4z= + z= 4 136 + 4x + 8y x ++yy4x +z=6 ⇒ y=8 / • (–4) –x + z= 4 ⇒ y=8 multiplican con el ﬁn de eliminar 4x +8y + 4z= 136 4y =32 x + y + z=26 –2x + 3 y + 4z= – 2 c. 2x + 2 y +3z= 1 x – y + z=0 b. x + y +z=6 4y =32 a. las incógnitas x y z. x + y +z=6 / • (–4) 2x + 2y +3z= 1 –4x – 4y – 4z= – 104 4x ⇒ y=8 +8y + 4z= 136 (4) Se resuelve la ecuación lineal –3x – 4z= – 1 1 20 x + y + 4z= –x + y + z= 4 x – y + z=0 ⇒ y=8 z=0 x + y + 4z= 120 + 4x + 8y + 4z= 136 xx–+yy++z=6 obtenida. 2y +1 3z =5 – 104136 –4x 4y4+8y – 4z= + 4z= –x + y + z= 4 +–4x +z=6 2x +8y + 2y +3z= –xx + yy + z= 4x + 4z= 136 (5) Se reemplazan los valores x – y + z=0 4y =32 8y ++4z= +x – y4x++z=0 –2x 3y +136 4z= – 2 x + y + 4z= 120 2x + 2y +3z= 1 de x e y en alguna de las 2x + 2 y +3z= 1 + 3y + 4z= – 2 –x + y + z= 4 tipo de sistemas de–2x ⇒ y=8 para resolver Observación: este ecuaciones, es posible aplicar –x + y + z= 4 –3x ecuaciones y se obtiene el valor 4y =32 – 4z= – 1 4x +8y + 4z= 136 x + y + 4z= 120 120 sistemas de dos ecuaciones x + y + 4z= –3x – 4z=lineales –1 resolver con dos x +cualquier y +z=6 método visto 2x +para 2y +3z= 1 de z. ⇒ y=8 4xincógnitas. +8y + 4z= 136 4x 2x+8y + 2y++3z= 12y + 3z =5 –2x + 32y y ++4z= –2 4z= 136 z =5 3 x – y + z=0 x + y + 4z= 120 xx++yy+z=6 + 4z= 120 –3x – 4z= – 1 –2x + 3y +4z= – 2 –2x + 3y + + 4z= 2 –x + y + z= 4 4x +8y 4z= –136 Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo – y ++z=0 4xx+8y 4z= 136 2y + 3z =5 –3x – 4z= – 1 –3x – 4z= – 1 2x + 2y +3z= 1 –2x++y3+yz= +4z= –x 4 –2

105

c c

n de prob ció

r r

as lem

e e

en co n t i do resol u

uac eval ión

Trabajo de habilidades

Resolución de problemas 1 Analiza la resolución del siguiente problema.

¿Qué es aplicar? Aplicar consiste en llevar a cabo o utilizar un procedimiento en una situación dada.

¿Qué tengo que hacer para aplicar un procedimiento? Interpretar la información entregada en el problema, utilizando la representación. Emplear el procedimiento propuesto en la resolución del problema.

Etapas de la resolución de problemas Paso 1. Comprende el enunciado. Paso 2. Planiﬁca lo que vas a realizar. Paso 3. Resuelve el problema. Paso 4. Revisa la solución.

106

Un automóvil está cargando combustible en un punto A de la carretera; mientras km que un ciclista está descansando en un punto 90 C, ubicado 240 km más adelante por h en la misma dirección y de manera la misma carretera. Si ambos retoman su viaje km km y 30 , respectivamente, ¿cuál es la distancia simultánea con una rapidez de 90 h h que logrará recorrer el ciclista antes por el automóvil? d kmde ser alcanzado v= 30 t h Paso 1 Comprende el enunciado km d v = para30responder la pregunta? ¿Qué datos son necesarios h t La fórmula que relaciona lakm rapidez, el tiempo y la distancia recorrida, y los valores x 30 = 30 asociados al problema. t h km del problema? x ¿Qué información entrega 90 30 = el enunciado h t del automóvil La distancia que separa al ciclista y la rapidez con que se mueven en la 240 + x km misma dirección. 90 = 90 t km h 90 Paso 2 Planiﬁca lo que vas a realizar 240 30t + x – x =0 h 90 = km Interpreta los datos del problema. t 90t – x =30 240 h el tiempo y la distancia recorrida 30t –relacionar x =0 En primer lugar, se debe la rapidez, d – x = Es 240 por el automóvil y el90t ciclista. decir: v = , donde v es la rapidez, t el tiempo t y d la distancia. Por otro lado, puedes expresar km la información que entrega el 30 problema con un dibujo: h x Punto de 30 = encuentro t A C E km km km 90 90 90 h240 km x h h km km 240 + x km 30el que30elkm 90 E es el punto en 90 =alcanza Donde automóvil 90al ciclista. h h t h h Así, puedes dekm ecuaciones con incógnita x (distancia entre d km plantear un sistema 30t – x = 0 d km v= 30 v =90 30 C y E) yht (tiempo transcurrido). Finalmente, al resolver el sistema se obtendrá t t h 90t – x = 240 h el valordde la incógnita x,km que corresponderá a la distancia que logrará recorrer el kmkm d 30 v = hasta ser alcanzado ciclista por el automóvil. 30 30 v= h t h h t x km x Paso 3 Resuelve km d el problema 30 = 30 = 30 30 v= t tt h Empleah el procedimiento. km x km km x 30 =la rapidez del 90 90 , entonces 30 = ; y como la del automóvil Como ciclista h es 30 t h h t 240 + x240x + x km km , entonces 90 = 90 = . Luego, el sistema es 90 90 que representa la situación t 30 = t h h 240 + x 30t – x = 0 – xkm = 0 , cuya solución descrita 240es + x = 120 y t = 4. 90 = en el problema es: 30t90 90 = t 90t – x =90t 240 – x =h 240 t 30t – x = 0 30t – x = 0 240 + x Por lo tanto, el ciclista recorre 120 km antes de ser alcanzado por el automóvil. 90 = 90t – x = 240 t 90t – x = 240 Paso 4 Revisa la solución 30t – x = 0 Remplazando x = 120 y t = 4, se90t veriﬁ cada una de las ecuaciones – x ca = 240 planteadas.

Unidad 3 • Sistemas de ecuaciones lineales

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

2 Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente. km Un atleta y un ciclista comienzan su trayecto20al mismo tiempo, pero uno al encuentro del otro. Si su partida es desde h de distancia uno del otro y el atleta se desplaza con una rapidez dos puntos diferentes que se encuentran a 160 km km km de 20 , mientras que el ciclista lo hace a 60 , ¿en cuánto tiempo se encontrarán? h h km 601 Comprende el enunciado Paso h ¿Qué datos son necesarios para resolver el problema?

¿Qué información entrega el enunciado del problema?

Paso 2 Planiﬁca lo que vas a realizar Interpreta la información.

Paso 3 Resuelve el problema Emplea el procedimiento.

Paso 4 Revisa la solución

3 Resuelve en tu cuaderno el siguiente problema. Un vendedor de celulares de dos marcas distintas (A y B) ofrece uno a $ 50.000 y otro a $ 35.000. Si durante una hora obtuvo $ 1.230.000 por la venta de 30 celulares, ¿cuántos de cada marca vendió? Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

107

Ecuaciones lineales con dos incógnitas

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Método de sustitución

Método de igualación

Método de reducción

Método de Cramer

Análisis de sistemas: soluciones

108

Unidad 3 • Sistemas de ecuaciones lineales

Deﬁnición o procedimiento

Ejemplo

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Cargando disco Analiza el siguiente ejemplo de pregunta PSU referida a la suﬁciencia de datos. El sistema

3x + 4y =7 tiene inﬁnitas soluciones si: mx +ny = – 14

3x = + 4y (1) m –6=7 (2)–6x n =+ny –8 = – 14 by = e A. (1) porax sí+sola. dy = f B. (2) porcxsí+sola. C. Ambasa juntas, b e (1) y (2). = sí sola, (1) ó (2). = por D. Cada una c d f E. Se requiere información adicional. a 3 b 4 e 7 = , = y = 3x + 4y =7 f –14 c –6 d n 3x + 4y =7 Para responder de manera correcta esta pregunta, primero puedes analizar cada una de+ny las=proposiciones por separado 3x + 4y =7 mx – 14 mx +ny = – 14 y determinar si entregan suficiente información por sí solas. mx – 8y = – 14 3x++4y 4y=7 =7 3x 3x + 4y =7 3x + 4y =7 De esta manera, (1) se tiene que: 7 b 4 laecondición a 3al analizar –6x +ny =––14 +144y =7 mx +ny =3x 3x + 4y =7 y ==– 14 = +ny = , –6x mx +ny = – 14 c m d –8 f –14 ax ++b4y y==mx e14+ny. = – 14 –=7 Si se sabe que m = –6,axla+ segunda ecuación 3x +sería 4y =7–6x + ny = –14, entonces se tienemx3x+ny 3x + 4y =7 by = e dy=7 ==3x f – 14 cx++4y + 4y =7 –6x +ny 3x –6x +ny = – 14 –6x – 8y =cx – 1+4dy = f b y= a +ny = –caso 14 no es posible + 4y =7 para –e, 14 ax =e–6x Como la3xcondición que en+ny este =+ b= b eel sistema ax + by = e tenga infinitas soluciones es que–6x 3 4 a7 = = + 4y =7 c d f + by = e mx +ny ==– 14 =c d 3x f axcx++bydy==eax cx + dy = f –6 –8 –14 f a 3 b 4 e 7 mx +ny = – 14 3x + 4y =7 a 3 b 4 e 7 e cxa+=dby =, fecx=+ dyy= f = no es posible afirmar que el sistema infinitas soluciones. Por determinarlo, ya que = , = y =a = b .=Luego, f –14 d n c = –6=tiene 3x + 4y =7 f c –14d f –6x +ny = – 14 c –6 d n fa b e e =7 a c3xb+d4y = = +ny = 3x +por 4y–6x =7 lo tanto,axla+condición (1) sí sola no– 14 es la pregunta. c a= d =3 f bc d4 f e 7 7 3 ciente b 4parae responder a sufi by = e mx = – 8y, = –=14 y = = , = y = mx – 8yax – 14 =+ a 4n3 ebf 47–14 e 7 by = e c –6 d n a c 3–6 b d f –14 d y = f cx + = 7y = Por otro lado, al analizar la condición (2) por sí sola, se tiene que: = 3, b== 4y , = a + 4y,d=7 f –14 n c =n–6 yfde = –14 c 3x=–6 b + d4y = f e 3x 7+ 4y =7 a 3 cx a b e y = = , = –14 f –8 d m c +.4y =7 = n = –8,cla segunda mx – 8y=7 =3x– 14 + 4y Si se sabe=que –sería 8y = –mx 14 – 8y = –14, entonces se tiene 3x m ad b–8ecuación e f mx–14 c d f 3x + 4y =7 = = 3x + 4yc=7d f mx – 14–48y =e– 14 7 a – 83y =bmx e 7 a 3 b 4 a 3 b 4 e 7 –6x = – 8, y ==– 14 y = = y = , = = , = y–6x = ya= – 314 b 4c m 3 be f 47–14 e 7 e d 7 –8 f –14 3m b da 4–8 a c que: f – 8–14 –6mismo d n argumento c el y = , Utilizando (1) para la condición (2), se tiene , en = = la ycondición = que =3 , 4 = =7 y, = + 4y =7 c –8m df –8 –14 = –14 f –14 d= c 3xm 7 d n3x +f4y =7 3 4c –6 3x + 4y =7 = = –6 –8 3x–14 =7m. Por lo tanto, la 4y =7 –6x – 8el y=7 =valor – 1+44yde 3x + 4y con lo que si tiene –6x –o8no y =infi – 14nitas soluciones, ya que no se conoce –83x +–14 mx –no 8yes = –posible 14 –6 establecer mx – 8y = – 143 4 –6x – 147– 8y = – 14 3 – 8y4=–6x 7 7 suficiente para e es 4 3 b sí a (2) = = condición la pregunta. = = responder = y no = sola = , por 7 4 a 3 b 4–6 e–8 7–14 3–6 4–8 37–14 c m d –8 f –14 y = = , = = = = = –8 –14 ecuación sería –6 f –14 d –8 ambas c m válidas En consecuencia, condiciones, es decir, (1) y (2), se–6tiene la segunda –14 –8que 3x + 4y =7si se consideran 3x + 4y =7 , con lo que se puede asegurar que el sistema tiene infinitas soluciones, –6x – 8y = ––14 y –el14sistema –6x 8y = –6x – 8y = – 14 7 3 4 ya que . = = 7 3 4 –6 –8 –14 = = –6 –8 –14 Por lo tanto, si se consideran ambas condiciones válidas, es posible establecer que el sistema tiene infinitas soluciones. Finalmente, la alternativa que debes marcar es C, ambas juntas, (1) y (2). A

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

109

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uac eval ión

Evaluación ﬁnal

Verificando disco

I. Lee atentamente cada una de las preguntas y marca la alternativa correcta. 1 ¿Cuál de las siguientes alternativas representa una solución de la ecuación 2x – 3y + 6 = 0? A. B. C. D. E.

x=4ey=9 x=9ey=4 x = 6 e y = –2 x = –6 e y = 2 x = –9 e y = –4

5 ¿Cuál de las siguientes rectas representa de mejor manera en el plano cartesiano la ecuación –x + 3y = –2? A.

A. B. C. D. E.

x–3=y+5 4x – 3 = y + 5 4x – 3 = y – 5 0,25x – 3 = y + 5 0,25x + 3 = y – 5

4 ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación de dos incógnitas x + 4y = 15? A. B. C. D. E.

110

0 1 2 3 Inﬁnitas soluciones.

Unidad 3 • Sistemas de ecuaciones lineales

–2

E. X

–2

X 4

–2

Solo I. Solo I y II. Solo II y III. I, II y III. Ninguna de las anteriores.

3 ¿Qué igualdad representa que la cuarta parte de la edad de una persona disminuida en 3 años es igual a la edad de otra persona aumentada en 5 años?

2 ¿Cuál(es) de las aﬁrmaciones es(son) falsa(s)?

A. B. C. D. E.

D. X

–2 I. Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene inﬁnitas soluciones. II. El punto (0, 0) siempre es solución de una ecuación lineal de dos incógnitas. III. Una ecuación lineal no siempre se puede representar como una recta en el plano cartesiano.

Y X

6 ¿Cuál(es) de las siguientes ecuaciones tiene(n) como solución P(–3, 5)?

A. B. C. D. E.

I. 2x – y = 11 II. –6x + 4y = 2 1 1 III. 0,5x + y + =0 2 5 Solo I. Solo II. Solo III. Solo I y III. Solo II y III.

7 ¿En cuántas unidades es mayor x que y? (1) y – x = –4 (2) x + y = 8 A. B. C. D. E.

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

x + y = 12 x + y = 12 2x +(y –3)=12 2x +(y –3)=12 x – y = 12 8 Si las edades de Sofía y Camila suman 1212años y además x–y= 2x=y 3 se sabe que el doble de la edad de Sofía es––igual 2x=y 3 a la edad que tendrá Camila dentro dextres + y =años, 12 ¿cuál de los x + y = 12 siguientes sistemas la situación descrita? x +representa y = 12 2x=y +3 2x=y +3 2x +(y –3)=12 A. x + y = 12 D. x – y = 12 x+ y y==1212 x – y = 12 x – + y = 12 2x +(yx–3)=12 2x=y +3 2x +(y –3)=12 2x=y +3 2x=y – 3 –3)=12 x2x– +(y y = 12 x + y = 12 B. x – y = 12x + y = 12 E. x + y = 12 x –2x=y y = 12– 3 2x=3– y 2x=y – 32x=y +3 2x=3– y x + y =x 12 x +2x=y y = 12– 3 – y=7 x + y = 12 x– y=7 x+3 – y = 12 2x +(y –3)=12 C. x +2x=y y = 12 3xx + y =25 2x=y +3 2x=y +3 x – y = 12 3xx + y =25 2 x=y +3 x – y = 12 –2x + y = 7 x – y = 12x + y = 12 –2x + y = 7 2x=y – 3 x – 2y =–8 x –2x=y y = 12+3 2x=y +3 x – 2y =–8 2x=3– y 2x=y 9 ¿Cuálx + de los12+3 siguientes xpuntos + y = 12representa y= 2(x – 1)= yla – 2solución x + y = 12x – y = 7 ? 2(x – 1)= y – 2 del sistema 2x=y +3 x +2x=3– y = 12 y y =xx – 1 2x=3– y+ y =25 y =xx – 1 x 3x x – y = 12 (1) –x + y = 2 x2x=3– – y=7 y – y =–2x 7 + y=7 (1) –x + y = 2 A. P(1,x8) 2x=y +3 =7 3xxx+– y =25 (2) 2x – y = 3 B. P(8, 3xx +1)y =25 x – 2y =–8 x + y = 12 (2) 2x – y = 3 3xx +2) –2x +yy=25 =7 C. P(9, x +6y =6 –2x 8) +y= 7 – 1)= y – 2 x +6y =6 2(x D. P(–1, 2x=3– y1 –2x =7 x –+2yy =–8 2y =–8 y =xx – 1 1 x – 3y = 1 E. P(8,xx –––1) =–8 x – y = 7 2 x – 3y = 1 2(x –2y 1)= y–2 2 2(x – 1)= y – 2–x + y = 2 (1) 1 3xx + y =25 2(x – 1)= y––12 x y =x 10 ¿Cuál de los siguientes gráﬁcosx=representa 1 e y=3 mejor al x – 1 y =x x= 4 e y=3 (2) 2x – y =–2x 3 +y= yecuaciones =x 7 4? sistema (1) de–x +xy–=12 (1) –x +xy+6y = 2 =6 1 x=4 e y= 1 x – 2y =–8 (1) –x (2) 2x + – y =32 x=4 e y= 3 (2) 2x1– y = 3 (2) 2x=6 –xy–=3y 3 = 1 2(x – 1)= y – 2 3 D. A. xx+6y Ye y= 11 +6y =6 Y 2 x=–4 4 x – 1 y =x x +6y =6 4 1 x=–4 e y= 3 1 x – 3y = 1 3 21 x – 3y x==21 e y=3 (1) –x + y2= 2 1 x=4 e y=– 1 2 x – 3y =41 X (2) 2xx=4 21 e y=– 3 X – y=3 1 x= 1 e y=3 3 x=4 e y= –2 0 2 14 e y=3 x=–4 –2 0 2 1 4 x +6yx=–4 =6 e y=– 1 3 x= 4 e y=3 –2 –2 x=–4 e y=– 3 1 4 1 1 x=4 e y= 1 3 x=–4 e y= x – 3y = 1 x=4 e y= 31 3 2E. Ninguna de las anteriores. B. x=4 e y= 3 31 1 x=–4 e y=41 Y x=–4 ex=4 y= 31e y=– x= 1 e y=3 x=–4 e y= 3 3 4 231 1 x=4 e y=– 1 1 x=–4 x=4 e y=– 31 e y=–Xx=4 e y= x=4 e y=– 3 3 3 –4 –2 031 2 x=–4 e y=– –2 1 1 x=–4 e y=– 31 x=–4 e y= x=–4 e y=– 3 3 3 C. 1 Y x=4 e y=– 3 4 1 x=–4 e y=– 2 3 X –4 –2 0 –2

x – y = 12 x + y = 12 2x=y – 3 1 y2 3 4 5 6 7 8 2x=3– 3 4 5 6 7 8 x + y =112 2 x– y=7 2x=y +3 3xx + y =25 x – y = 12 –2x + y = 7 2x=y +3 x – 2y =–8 ¿Qué valores x + y =de 12x e y corresponden a la solución del sistema 2(x – 1)= y – 2 ? 2x=3– y y =xx – 1 x– y=7 A. x = 2 (1) e y =–x 3 + y=2 3xx + y =25 B. x = –1(2) e y =2x2 – y = 3 + y–2= 7 C. x = 1 –2x ey= x +6y =6 D. x = –1 ex y– 2y = –2 =–8 E. x = –21 y x = –3 x ––3y = y1 – 2 2(x 1)= 2 y =xx – 1 Si se despeja 1 la incógnita x de la ecuación (1) del x=(1)xe+y=3 y = 12 x+y= sistema en12la ecuación 4 –x + y = 2 y se reemplaza 2x +(y 2x +(y –3)=12 (2) –3)=12 2x 1– y = 3 x=4 e y= x – yecuación 12 =6 (2), ¿qué 3 se obtiene? x – y = 12 x=+6y 1 2x=y – 3 2x=y – 3 x=–4 A. 2y + 21 –x –ye3y =y= 3= 1 3 B. 2yx–+22y–=y12= 3 x + y = 12 1 C. 2(yx=4 +2x=y 2) yy== 312 1 xxe–+ y=– +3 2x=y x ++3 yx=+12 e–+y=3 y = 12 D. 2(yx= – 2) yy==312 4 2x +(y –3)=12 x – y = 12 2x +(y –3)=12 x – y2x = +(y 12 –3)=12 2x +(y –3)=12 E. Ninguna de las anteriores. 1 1 x=–4 e+3 y=– 2x=y x=4 e y= xx –– yy = x –2x=y yx=–12 = 12 12 3 3 y+3 = 12 Si Nelson de Ana y hace cinco x +2x=y ytiene = 12–– 3 +2x=y y =2x=y 12– 3 2x=y 3el 1doble de la xedad –3 años tenía el triple, ¿cuál será la edad de Ana en x=–4 e y= 2x=3– y xx + y = 12 x +2x=3– yx=+12 + y = 12 3 y =y12 5 años más? 2 x=y +3 x2–x=y y = 7+3 1 x2–x=y y2=x=y 7+3 +3 x=4 e y=– A. 5 años. 3 y =25 x3xx––+yy = 12 y–=25 3x x x–+yx= 12 = 12 y = 12 B. 10 xaños. 1 2x=y +3 + y e=+3 7 2x=y x=–4 y=– –2x + 2x=y y =+3 7 +3 2x=y C. 15 –2x años. 3 D. 20xaños. =–8 = x x+–yx2y =+12 x x+ +–yy2y = 12 12 y=–8 = 12 E. 25 años. 2x=3– 2(x – 1)= yyy– 2 2x=3– 2(x – 1)= yy– 2y 2x=3– 2x=3– –1 xx –– yy y= 7 =x – yx$y=–300 7yx=–7y1 un producto ==x 7xtiene Un producto A un precio xde xx + =25 (1) y =ambos 2 x +3x yx–x =25 3x B de $3x 350. Si+de productos en total (1) y=2 + yy–x =25 3x +se+ y compran =25 12 unidades y se paga $ 3.950, ¿cuántas unidades se (2) 2x – y = 3 –2x (2) –2x–2x + 2x y= –2x + + yy = =7 7 +–7yy==73 compró del producto B? –– 2y xx +6y =6 x +6y – 2y =6 2y =–8 =–8 x –=–8 2y =–8 A. 3 1 2(x 1)= 1 2(x 2(x – 1)= y – 2y – 2 1)= 2 x –––3y = yy1 –– 2 B. 5 2(x x – 3y–=1)= 1 2 2 x – 1 y =x x 1x – 1 y =x C. 7 y =xx – 1 y–=x 1 1 –x + y = 2 D. 8x=(1) e y=3 (1) –x –x + + yy = =2 2 y=3–x + y = 2 x=(1) e(1) E. 12 4 4 2x – y = 3 (2) 2x 2x –– yy = =3 3 (2) (2) (2) 12x – y = 3 1 x=4x e+6y y==6 x=4 e y==6 x +6y x +6y =6 3 ¿Cuál es la solución del sistema x +6y 3 =6 ? 11 1 1 xx ––e3y = x –13y–=3y 11 = 1 3y = 11 x=–4 y= x=–4 2 2 2exy= 2 3 3 11 1 1 1 1 y=3 x=4 eeey=– y=3 D. x= y=3 x= x=4x= eey=– A. x= 4 3 4 4 e y=3 4 3 11 1 1 11 x=–4ee ey= y=– e ey= B. x=4 E. x=4 x=4 y= x=–4 y=– x=4 e 3y= 3 3 3 33 11 1 C. x=–4 x=–4 e y=e y= 1 x=–4 ee y= y= 3 x=–4 3 3 3 11 Matemática 2° medio • Nuevo 111 1 Explor@ndo 1 x=4 x=4x=4 e y=– x=4 ee y=– y=– 3 e y=– 3 3 3

c c

n de prob ció

r r

as lem

e e

en co n t i do resol u

uac eval ión

Evaluación ﬁnal

16 ¿Para qué valores de m y n, el punto P(-2, 3) es solución del sistema–mx +ny =–1 ? x –ny = 1 A. m = 1 y n = 1 B. m = –1 y n = –1 –x + 2y =6 C. m = 0 y n = –1 2 x – 3y =–4 D. m = –1 y n = 0 3 E. m = 1 y n = –1 2x +ny =–1 6 + x 12 +–mx =1 1 –mx +ny =– –mx +ny =– =–1 –mx +ny 2 =– 1 9 x –ny = 1 17 Si se despejaxxla incógnita y en cada una de las –ny –ny 6 –=x==111 12 + 2x x+ny –ny –mxdel =–1 ecuaciones sistema = –x + 2y =6 y se igualan las 9 2=6 –x+++2y 2y=6 –x –x 2y =6 x –ny =1 2 2xx– 3y =–4 x 12 – 6 + 222 = 3 – 3y =–4 3y =–4 –x x+xx–2y =6 – 3y2=–4 9 333 resultantes, expresiones se obtiene? x –¿qué 2 212x + 2x 62=–4 –x x6 +12 = 12 + x12 –+3y 2 x 666+++xxx 12 = =3== + 2x2 2 9 9 A. 222 999 6 – x 12 + 2x –6x – x+ny–12 =– 2 66+ x 1212 + –mx =+1 2x 12+++222xxx =2 66–––xxx===12 B. 2 = 9 2x –ny = 19 9 999 6 + x 12 – 2x 222 2(x=– 1)=3y + 1 22x2x+ xxx 12 + 666–++ x 2y =6 = 1212–––x 9 C. 62+ x===129– 2x 2 – 1)2 =2x2 –(y + 17) 9992 62(x 222 2x 12 – x – =–4 x–xx 12 ––2–2x2xxx– 3y –x 66+ =3y =4 12 6 12 – – 3 = 9 D. 62– x===129– 2x 2 999112 +–62x2 222 +ny 6 + x=– –mx –12=–5 + 2x –=2 x22xx – xx –=3y 6–6 ––x–xx 12 –12 + –6 –12 + = 7 –6 x –12 + 2 x – 2 9 9 2 E. 2 x –ny === = 1 222 6 – x999912 + 2x7 2(x – 1)=3y + 1 =6 –6–x–+x 2y–12 x1)=3y =––21)=3y – 2(x+ 2(x =2 2(x – 1)=3y 9 +2++1112(x – 1)2 =2x2 –(y + 17) 2 9 2 18 ¿Cuál es el2(x punto 2222 de intersección 22 –(y++17) 17) entre las rectas del =2x x – 3y 2x722–(y x––1)1) 12 –=2x 62(x +=–4 2(x =2x 2(x ––=1) 1)=3y + 1–(y–x+–17) sistema 3y?=4 3 9 2–x 2 –x–––3y 3y =4 –x =4 2 2 3y=2x =4 –(y2+ 17) 2(x 2x – 1) 6 + x 12 +6 –2x 12 – 2x–x +0,5y =6=–5 x – 3y = 2 = 2x–x–3y 7 2A. P(1, 9 – 3y =–5 3y =–5 3)–x =4 9 3 27x – 3y =–5 – x –73y =– 1 277x– x –12 + 2 12 +–6 6 –B.x P(3, 1)2 x2 – = 7 x – 3y =–5 7 = 7 2C. P(–1,93) 7––2– 9 9 2 2 D. P(1, –3) 2 6 + x 12 – 2x2 2(x – 1)=3y – 7 +1 7 = 4 9–777 de las anteriores. 2E. Ninguna 22 2 2 2(x – 1) =2x –(y + 17) 1 6 – x 12 – 222x2 – –x +0,5y =6 7 +0,5y 3 , 19 2En = =6=4 el sistema –x –=6 3y +0,5y =6 9 ––x–xx+0,5y 3 2 3 1 – x – 3y =– 1 –6 – x –12 +–2–33xxx–2–3y 2 =– 1 x3y–=6 3y131=–5 =– ––x +0,5y = x – 3y =– 9 222 7 2 3 9 – 9multiplicar la segunda ¿por2(x qué––número x – 3y 7+=– 999 1)=3y 1se1debe 4 ambas se elimine la 2– –que ecuación––para al4sumar 2(x – 1)2444 =2x22 –(y + 17) 1 15 – incógnita x? 91 7 –––1=4 1 –x – 3y 4 3 –43 33 2 A. –3 1 =e 2 ax + by 1 B. –2x – 3y –111=–5–x +0,5y =6 3 7 cx + dy =f C. –1 3333 3 7 199 – x – 3y =–91 2 D. – 9 4 2 344 9 4 15 91515 – 7 E. 15 4 4 444 2 1 4 ax + by =e 15ax+=6 –x +0,5y –by=e =e 112 Unidad ax 3ax • Sistemas de ecuaciones ++by by =e 3 cx + lineales dy =f 3 4cx + dy =f + dy =f 3y =– 1 – x –cx 1 cx++by dy=e =f ax

9 22 9 2 9 9 2x 6 – x 12 + 2x 12 + + 62–– xx 12 2 x 6 = = 12 2x 6 –– xx = 6 – x 12 + 2x 12 + + 62 = = 9 2 9 2x = 9 2 9 22 9 2 9 2 x x 12 – 6 + xx 12 xx –– 2 6 + 2 12 6 + = = 6 6 + x 12 – 2x 12 ––922xx 6+ + xx = 12 = 9 2 2 = 9 9 2 = 22 9 2 9 6 – x 12 – 2x 12 –– 2 2xx 6 –– xx 12 6 = = 12 6 –– xx = 6 – x 12 – 2x 12 ––922xx 62 = = 9 2 = 9 2 9 22 9 2 9 –6 + 2 xx –6 – x –12 + 2x –– xx –12 –6 –12 + 2 = –6 –6que xx = –12 + 2xde las – x la–12 20 cifra =número –62––Un –129+ + 22xxde dos cifras es9 tal = = = 9 9es mayor2en tres unidades 2decenas que la cifra de 22 9 2 2(x – 1)=3y + 1cifras, el nuevo 2(x9–– 1)=3y 1)=3y +se11 intercambian 2(x + las unidades. Si sus 2(x + 2(x – 1)=3y + 1 2(x –– 1)=3y 1)=3y + 11 2 2 2 2 =2x 2 2(x – 1)2 =2x –(y + 17) ¿Cuáles 2(x –– es 1) + 17) número unidades menor que el original. 22 27 22 –(y 2(x 1) =2x –(y + 17) 2 =2x 2 –(y + 17) 2(x –– 1) 2(x – 1)2 =2x2 –(y + 17) 2(x 1) =2x –(y + 17) de los de– números 3y =4 no cumplen con –x siguientes 3y =4 =4 pares–x –x –– 3y 3y –x – =4 –x – 3y =4 estas condiciones? –x – 3y =4 2 2 2 x – 3y =–5 2 3y =–5 =–5 22 xxy–– 14 A. 41 3y =–5 x – 3y =–5 7 7 xx –– 3y 3y =–5 7 77 y 25 7 B. 52 7 7 7 y 36 C. 63 – 7 ––– 77 – 2 – 22 D. 74 2 y 46 2 7 72 y 58 E. 85 7 77 7 2 2 2 2 21 Respecto del=6 sistema –x +0,5y =6 , 2 –2x +0,5y +0,5y =6 –––xxx +0,5y =6 –x +0,5y =6 +0,5y =6 3 3 3 – x – 3y =– 1 3 3y =– =– 11 – 33 xx –– 3y xx –– 3y =– 11 ––– 2 – x – 3y =– 1 2 3y =– 2 2 ¿cuál22 es el valor del determinante principal? 9 9 9 – –9 9 9 – 4 A. ––– 4 4 4 4 41 1 1 – –1 1 B. ––– 31 – 3 3 3 3 1 113 1 1 C. 31 3 3 33 3 9 9 9 9 D. 9 9 4 4 4 4 4 4 15 15 15 E. 15 15 15 4 4 4 4 4 4 + by =e ax + by =e ax ax + by =e 22 Al resolver ax un sistema de la forma ax + by =e ax + + by by =e =e cx + dy =f cx + + dy dy =f =f cx cx cx + dy =f cx + + dy dy =f =f aplicando el método de Cramer, tiene solución única si: (1) ΔX = 2 (2) ΔY = 3 A. B. C. D. E.

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

23 La edad de Amaro hace 3 años era la mitad de la edad que tenía Alonso. Si dentro de 2 años la edad de Amaro será igual a la edad de Alonso disminuida en 3 años, ¿cuál es la edad de cada uno? A. B. C. D. E.

Amaro tiene 5 años y Alonso 8 años. Amaro tiene 8 años y Alonso 13 años. Amaro tiene 6 años y Alonso 9 años. Amaro tiene 9 años y Alonso 6 años. Amaro tiene 13 años y Alonso 8 años.

5x +ky =2 3 15 2x – 3y =3 4 –2x – 3y =3 k ≠ 15 2 3 4 2x2– 53y =36 7 8 –5x +ky =2 113 2 3 4 5x3x+ky 5– 2y=2 6 7 8 2 =5 4 5x +ky =2 15 k ≠– 15 6x – 3x – 2y =5 3 – 15+ 3ky =–4 2 6x + 3ky =–42 –2 4 2 –– 2y =5 3x – 2yk=5 ≠– k≠ 3x 4 3 3x –32y =5 k6x≠+–3ky =–4 y =–4 si: 6x + 28 El sistema 3 2x – 2y =8 tiene una única32ksolución ¿Para qué valor de k el sistema 2x – 3y =3 6x≠+–3ky =–4 2x – 3y =3 k 4 2 34 5x +ky =2 kk ≠ ≠ –– kx +my =4 k ≠ –4 5x +ky =2 3 3 k ≠ –43 no tiene solución? 15 (1) m =–3x 1 – 3y =–3,3b k≠ 3 2 15 – 4 32 kk(2) ≠ – A. –5 2 ≠ –k = m3x + y =2,1c k ≠ –2 3 2 3 4 k ≠– 3 B. –3 3x – 2y =5 k ≠– –3,3b 2x – 3y =3 3 6,3c 3,3b – 2,1c 44 sí sola. 3x – 2y =5 A. (1) por C. 5 e y = k ≠ 43 kk ≠ 3y =3 ≠ –por xsí=sola. 2 6x + 2x 3ky– =–4 5x +ky =2 64 B. (2) 3 k y =–4 6x + 3 3 D. 153y =3 k ≠ 32 2x – 5x +ky =2 k ≠ 2x – 3y C. Ambas y (2). 4 3,3b ––3234 6,3c(1) – 3,3b ,1c 4 juntas, 15 =3 2 k ≠ – e y = x = 4 k ≠ – E. – k ≠ – k ≠ – 5x +ky =2 D. Cada una por sí sola, (1) ó (2). k ≠– 5x +ky 315 6 2 4 2 =2 33 3 =8 k2x ≠– 2y 3 – E. Se requiere información adicional. 3 22 2,1c – 3,3b 15 2 =8 6,3c – 3,3b 3x – 2y =5 15 2x – 2y 2 k2≠ – e y = kkx≠+my –– k ≠– x= – 2 =4 ≠– ¿Para de k el ksistema 33x – 2y =5 2 2 2 3 26x +qué =–4 3kyvalor(es) 3 =–3,3b ? kx +my ≠ –– 3y 3 29 ¿Cuál es la=4 solución del sistema k–3x 3 =8 46x + 3ky =–4 3x =5 2x – 2y =82 6 3x –– 2y 2y4 =5 2x – 2y – =4 4k ≠ –3x – 3y =–3,3b 3x–+2yy=8 =2,1c 2x k≠ tiene única solución? k ≠ 3 kk–yy =–4 6x 3 kx +my =4x y =–4 6x + + 3una 4 kx +my =4 3 k ≠– 3 3x + y =2,1c 4 3 6,3c – 3,3b 3,3b=4 – 2,1c kx +my A. x–3x =0 e y=–3,3b 1= 0 1 4 – 3y k4≠ – = – 3y =–3,3be y = 4 2 + =0,56,3c – 3,3bx–3x kk ≠ k ≠ – 3 ,3b – 2,1c ≠k––≠ – A. 3 6 D. 2y –3x – 3y 2=–3,3b 3 3 k ≠–2 B. x =3x + y 3x =2,1c e y = 3 3 3x6,3c + y =2,1c 6 2 2 3 3 3,3b – ,3b – 2,1c 2 1 3 k2≠ – x =3x + y =2,1c e y = 24 6,3c – 3,3b 3 ,3b – 2,1c k ≠ – e y =– x =– E. k ≠ – 6,3c – 3,3b e y = 3,3b – 2,1c 3,3b6– 2,1c 6,3c –23,3b k ≠k–≠ B. 3 3 = 5 e y= 9 x = 3,3b – 2,1c e y = 6,3c – 3,3b C. xx = 3 k≠ 4 33 6 2 6 2 x = 6,3c 2– 3,3b e y = 2,1c –63,3b 2x – 2y =8 4 5 2x – 2y =8 3 4 4 3 3,3b 2,1cx = 6,3c22– 3,3b e y = 3,3b62– 2,1c 6,3c – ,3b –3,3b C. kk ≠ e y =–9 x =– 3 2,1c – 6,3c – ,3b ≠k ≠ – kx +my =4 e y = x = 4 3 e y = x = 3 = 6,3c – 3,3b e y = 3,3b – 2,1c D. 3 kx +my =4 3 k ≠– 6 2 xx = 2 2 2 66 2 3 –3x – 3y =–3,3b 4 3 =4 e y= – 6 4 2 2 3 2,1c – 3,3b 6,3c – ,3b –3x – 3y =–3,3b kk ≠ – e y =–9 x = 2,1c – 3,3b ≠k–≠ – y – 3,3b x6,3c E. Ninguna y= x =2 – 6 =de 2 45laseanteriores. 3 ¿Cuál(es) rmaciones 3xk+≠y =2,1c x = 6,3c – 3,3b e y = 2,1c – 3,3b 3 3 de las siguientes aﬁ – es(son) 2 2 3x + y =2,1c x y 2 e y= x1= 1 2 verdadera(s) lineales 32,1c de dos 1 5 2x2 2– 2y =8respecto de los sistemas =0,5 + 2 2 6,3c – 3,3b 3 ,3b – 6 2 k ≠ – x = e y =– 6 2 k ≠– 1 = y = – 3,3b 30 ¿Cuál1 es = – 2,1c 3x,3b ecuaciones con dos incógnitas? 43 2x – 2y =8e6,3c solución del9sistema 3x 2 –2y =0,5 +–la 3+my =4 kx3 x= 6 =4 ? 6 2 e y= y x y x 3x 2y – 6 2 2x =8sistema que no tiene soluciones 5 kx +my =4 3y =4 1 I.–– 2y representa 2x–3x 2yUn x 3,3b – 2,1c 6,3c – 3,3b 1 1 –=8 3y =–3,3b e y =9 x =– x1=– 1 e y =– e3,3b y = – 2,1c x = – 3,3b 6,3c en el plano dos rectas paralelas. + 3 =0,53 1 kkxx +my =4 e y = x = +my =4 –3x – 3y =–3,3b 6 2 1 +51 =0,5 9 e y =– x =– 2y 3x + ysistema =2,1c que tiene solución 3x + 52y =0,5 II.3xUn 6 única representa 2 9 5 log x +log y = 9 2,1c – 3,3b 6,3c –3x =–3,3b 3x–+3y,3b =2,1cen un x3x=– 2ye y =–9 –3x –– 3y 3y3 =–3,3b en el–plano que intersectan e2,1c y =– 3,3b x =se– 3 1 y=3 3 log x –log 6,3c ,3b 6,3c – 3,3b ,3b 2,1c dos rectas 5 1 3 e y =– x =– e y = x = A. e y = x = 2 2 x =– e y =–9 3x =2,1c x =– 3 e y =– 1 3x + + yypunto. =2,1c 9 5 2x = 3,3b – 2,1c e 2y = 6,3c – 3,3b 6 2 3 x =–35 e y =– 9 6 2 soluciones III. Un sistema que tiene inﬁnitas x = 5e y =–99 6 6,3c –– 3,3b 3 ,3b –– 2,1c – =4 2 5 3 3,3b 2 6,3c – ,3b – ,1c 6,3c 3,3b 3 ,3b 2,1c 6 2 3 55 ee yy e= xx = – rectas =–9 B. xx =– = plano dos enyel coincidentes. = =x = representa x= 4y 6,3c = eey y=–9 x =– 5 e y =–9 3 3,3b 2 – ,3b – ,1c 6 2 3 6 2 x y x= 2 6 5 1 e y= x =–5 3 e y =–9 1 1 x = e y =– 6 2 3 3,3b 2 6,3c – ,3b – ,1c 3 A. Solo I. 3 3 2,1c – 3,3b 6,3c – ,3b 6,3c – 3,3b e y = 3,3b – 2,1c 1 1 + =0,5 5 9 3 xx = =–91 C. xx = = II e ye=y = =xSolo + 3x =0,5 = ee yy =– x = 3 e y =–9 2y B. 6 2 5 2 2y x = 6,3c – 3,3b e y = 2,1c – 3,3b 6 2 2 3x 9 3 x = 55e y =–9 x =–5 e y =9 C. Solo y3 II. 2 21 2,1c –– 3,3b 6,3c ––I 6 ,3b 3 1 5 2 3 2,1c 3,3b 6,3c ,3b 5 1 53 xx = x3=– e y1 =– = eey y=– D. xx =– 4 ee yy = = =Solo –II y=III. D. =9 x = 5 e y =– 1 2 6 9 2 9 3 x2 2 x =– 5 e y5=– 2y 3 9 log x +log y = 3 –9 = 4 x = e y =– E. I, II y III. 2 5x y 9 35 5 6 =14 21– 6 log x +log y = 9 log x –log y=9 =3 x5=– e y =–9 E. x =– e y =9 – + = 4=0,5 e y x =– e y =–9 x =– 5 xx3x yy 2y 1 31 log x3–log y = 3 x =– 3 e y =9 + =0,5 Se puede calcular las medidas de interiores 3 los ángulos 3 3x 2y log x +log y = 9 1 1triángulo 1 3=0,5 si:1 log x 3+log y = 9 de1 un 3x = e y =–9 + =0,5 + x = e y5=–9 31 ¿Cuál la solución x +log y = 9 ? 3x 2y loges x –log y = 3 del sistema log 3x x =– 2y 5 e y =– 9 1 3 log x –log y = 3 5 (1) Dos de ellos son complementarios. e y =– x =– 1 5 log x –log y = 3 9 11 es el doble de5xuno 3 = de e los y15=–anteriores. 5 ytercero 3 eEl (2) =– xx =– y =–9 x =–e ye=– =– x = e y3=– 5 9 9 5 3 9 5 3 A. x = 6 e y = 3 x5=–9 e y =–9 A. (1)5 por sí sola. 3 e y =9 x =– 5 3 5 e y =–9 B. x = 106 e y = 10 xx =– y =–9 x(2) = por e ey =–9 =– x =– e y3=9 B. sí sola. 3 3 C. x = 106 e y = 103 3 x = e y =–9 35 C. Ambas juntas, (1) y (2). log x +log y = 9 D. x = 1012 e y = 10-3 3 x +log y =59 1 sí sola, (1)log 3 e5 yuna =–9 xx = D. Cada por ó (2). y =– =x =e ye=–9 log x –log y = 3 E. Ninguna de las anteriores. 5 9 3 log x –logxy==53 e y =– 1 5 requiere E. Se información adicional. 9 3 5 5 e 5y =– 11 xx = e y =9 =x =– e y =– 5 3 9 3 3 9 x =– e y =9 113 Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo 3 5 log x +log y = 9 5 e y =9 xx =– =– e y =9 log x +log y = 9 3

c c

n de prob ció

r r

as lem

e e

en co n t i do resol u

uac eval ión

Evaluación ﬁnal

II. Resuelve los siguientes problemas. km 80 h 1. Dos vehículos parten en direcciones contrarias desde dos ciudades que se encuentran a 140 km de distancia. Si uno km km viaja a 80 y el otro a 120 , ¿cuánto tiempo demoran en encontrarse? h h km 120 h

2. Se corta un cable en dos trozos tales que sus medidas están en la razón 5 : 9. Si la diferencia de sus medidas es 25 cm, ¿cuál es la medida de cada trozo?

114

Unidad 3 • Sistemas de ecuaciones lineales

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Cerrar sesión Contenido

Ecuaciones lineales con dos incógnitas

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: métodos de resolución y aplicaciones

Número de pregunta

Habilidad

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Aplicar Evaluar Comprender Recordar Comprender Aplicar Analizar Recordar Aplicar Analizar Aplicar Recordar Aplicar Aplicar Aplicar Analizar Recordar Aplicar Recordar Aplicar Aplicar Analizar Aplicar Analizar Analizar Evaluar Analizar Analizar Aplicar Analizar Aplicar

Clave

Nivel de logro

115

Unidad

Funciones

4 4

En Chile, a toda persona inscrita en el Servicio de Registro Civil e identiﬁcación le corresponde un número de identiﬁcación. Esta correspondencia es única y se puede considerar como un ejemplo de lo que en Matemática recibe el nombre de función, que seguramente has estudiado en años anteriores.

El RUN ((Rol Rol Único Nacional) Nacional) es un número que se le asigna a cada persona que está inscrita en el Servicio de Registro Civil e Identiﬁcación y corresponde también al número de la cédula de identidad.

El RUT (Rol Único Tributario) es el número que le asigna a cada persona jurídica (empresa u organismo) el Servicio de Impuestos Internos (SII). En personas naturales el RUN corresponde a su RUT.

Menú de inicio ¿Qué aprenderás?

116

¿Para qué?

¿Dónde?

Concepto y representación de funciones.

Reconocer situaciones que sean modelables por una función e identiﬁcar sus distintos elementos.

Páginas 118 a 121.

Función exponencial y función logarítmica.

Utilizar estos tipos de funciones en diversas situaciones y analizar qué ocurre con la variación de sus parámetros.

Páginas 122 a 131.

Función raíz cuadrada y composición de funciones.

Identiﬁcar la función raíz cuadrada y caracterizar la composición Páginas 132 a 137. de funciones exponenciales, logarítmicas, entre otras.

Unidad 4 • Funciones

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Abrir sesión Considerando la información de la página anterior, responde: 1. ¿Qué diferencia hay entre el RUT y el RUN? 2. Describe cuál es el dominio y cuál el recorrido de la función relacionada con el número de identiﬁcación. 3. Ejempliﬁca con otra situación el concepto de función.

s er

ció

n de p r o

r r

Inicializando

s a mel

c c

re s ol u

en c o n t i do

m as

e e

b le

uac eval ión

ulo

c o n t i do en

ció

n de p r o

Aplicar consiste en llevar a cabo o utilizar un determinado procedimiento en una situación dada.

eval ión uac

Si en una localidad hay 165.500 habitantes, de los cuales 58.800 no están inscritos en el Servicio de Registro Civil e Identiﬁcación, ¿qué conjuntos representan al dominio y al recorrido de la función que relaciona a cada habitante de la localidad y su número de identiﬁcación? 1. ¿Qué datos entrega el enunciado del problema?

2. ¿Qué restricciones debería tener el conjunto que representa al dominio de la función?

3. ¿Qué procedimiento puedes aplicar para responder correctamente la pregunta?

4. Responde la pregunta.

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

117

c c

n de prob ció

r r

Ampliando memoria Los diagramas sagitales también sirven para representar una función en donde los elementos asociados se relacionan a través de ﬂechas desde el conjunto de partida al conjunto de llegada. Por ejemplo: Dom(f) = {0, 1, 2, 3} Rec(f) = {1, 2, 4, 8} A 0 1 2 3

f(x) = 2x B 1 2 4 8

as lem

e e

en co n t i do resol u

uac eval ión

Concepto de función La relación de correspondencia R que hay entre una persona inscrita en el Servicio de Registro Civil e Identiﬁcación y su RUN es una función que tiene como conjunto de partida a las personas inscritas y como conjunto de llegada a los números de identiﬁcación.

¿Por qué crees que se destacó un subconjunto del conjunto “Personas” en el diagrama?

Una relación entre dos conjuntos A y B es una función si a cada elemento x ∈ A, llamado preimagen, le corresponde un y solo un elemento y ∈ B, llamado imagen. Notación: f: A → B x → f(x) = y Al conjunto de las preimágenes de una función f se le llama Dominio de f y se denota por Dom(f), mientras que al conjunto de las imágenes de f se le llama Recorrido de f y se denota por Rec(f).

Ejemplos: Sea f:  → , deﬁnida por f(x) = 2x, es decir, a cada elemento de Dom(f) se le asigna su doble. Por ejemplo, f(1) = 2 • 1 = 2, f(2) = 2 • 2 = 4, entre otros. En este caso, Dom(f) =  y Rec(f) = {y, n ∈  / y = 2n}. 3 , entonces, 2 ∉ Dom(f), ya que la 2–x función g no está deﬁnida para x = 2.

Sea g(x) =

Relaciona las expresiones de la columna A con las de la columna B. Para ello, escribe la letra que corresponde en cada caso. Columna A

Si f: A → B es una función: 1) Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen.

Columna B

a. El área (A) de un círculo de radio x.

2πx

b. El perímetro (P) de un cuadrado de lado x.

c. El volumen (V) de un cubo de arista x.

πx2

d. El perímetro (K) de una circunferencia de radio x.

De las expresiones A, P, V y K, ¿cuáles son funciones? Justiﬁca.

Analiza cada caso. Luego, responde. f –1 0 1 2

g –1

0,5

1 2

2 16

0,5

¿Los diagramas representan una función? Justiﬁca.

Unidad 4 • Funciones

Números de identiﬁcación

Para grabar

Advertencia

118

y = R(x)

Personas inscritas

¿Qué simbolizan las letras x e y en el diagrama?

2) La imagen de cada elemento x ∈ A debe ser única, es decir, ningún elemento del dominio puede tener más de una imagen.

1 1

Calcula el valor de cada expresión. Sea f:  → , g:  →  y h:  → , con: f(x) = 4x + 2, g(x) = –5x y h(x) = ⏐x⏐. a. f(–7) + g(0) =

c. –h(–4) + f(1) =

b. h(–1,9) + h(6 ) =

1 7 d. • g  +h(-9)= 7  4 

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Ayuda La función valor absoluto se deﬁne de la siguiente manera: f:  → + ∪ {0} x, si x > 0  x → f(x) = x = 0, si x = 0  –x, si x < 0

Evalúa si cada aﬁrmación es verdadera o falsa. Para ello, escribe V o F según corresponda. Considera que las funciones están deﬁnidas en . a. Si f(x) = 2x + 5, entonces la preimagen de 1 es 7. 33 g(x)= g(x)= IxI 3 IxI b. Si g(x)= 3 , entonces 0 ∈ Dom(g). g(x)= IxI h(x)= h(x)= 2x 2x IxI 2 2 h(x)= 2x c. Si h(x)= 2x , entonces hh 55 = =10 10.

(( (( ))))

( (( )))

h 5 2 = 10  1   5  h 5 = 10  1=L– 5 L(–1)+L d. Si L(x) = –6x,  5  L(–1)+L6  =L–6 .  1  entonces 6  6 L(–1)+L 1  =L– 5  L(–1)+L 6  =L– 6  6   6+ 3I,entonces e. Si A(x) = Ix Rec(A) = + ∪ {–3, –2, –1, 0}.

Resuelve lo siguiente. a. Sea g:  →  con: g(x) = x2 + kx + 4, ¿qué valor debe tener k para que g(3) = 13?

b. Encuentra los valores de a y b (con a, b ∈ ), sabiendo que h(x) = ax2 + bx, h(–1) = 3 y h(2) = 2.

Analiza la siguiente información. Luego, responde en tu x –cuaderno. 7 f(x)= x–7 f(x)= 3x – 1 x–7 3x – 1 x–7 f(x)= Para determinar el Dom(f), donde está defi nida en , f(x)= x–7 1 3x – 1 f(x)= x3x =– 1 1 x =se puede hacer lo siguiente: 3x – 1 3 1 3 1 x=   x =   1 1 3  1– 1 = 0 ⇒ x = , entonces 3x 3 Dom(f)=  –   . Dom(f)=  –    3  3  1   3   1   Dom(f)= –   Dom(f)=  1   – x –5  3     Dom(f)= – 3   g(x)= x–5      3  g(x)= 9 x–5 7x –la función g(x)= 9 definida en , ¿cuál es el dominio x – 5de a. Si g: A → B está ? 7x – g(x)= 4 x–5 9 4 g(x)= 9 7x – 7x – x 9 4 h(x)=4 x 7x – está definida en  y a, b4∈ , determina b. Si h(x)= ax + bel dominio de h. x ax + b x h(x)= x h(x)= ax + b h(x)= ax + b ax + b

Paso a Paso Si f:  →  se deﬁne por: f(x) = (m + 1)x – 3, ¿qué valor debe tener m para que f(4) = 6? (1) f(4) = (m + 1) • 4 – 3 = 4m + 4 – 3 = 4m + 1 (2) Luego, como f(4) = 6: 6 = 4m+ 1 / +(–1) 1 5 = 4m /• 4 5 =m 4 (1) Se reemplaza el valor de x = 4 en la expresión que representa a la función. (2) Se iguala la expresión obtenida en (1) al valor de la imagen y se resuelve la ecuación.

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

119

en co n t i do

uac eval ión

resol u

c c

r r

as lem

e e

n de prob ció

Representación de funciones

Depreciación de un automóvil Tiempo (años) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …

Precio (miles de $) 7.056 6.912 6.768 6.624 6.480 6.336 6.192 6.048 5.904 5.760 5.616 …

Ampliando memoria El plano cartesiano está determinado por dos ejes perpendiculares de coordenadas y cuatro cuadrantes. El eje horizontal recibe el nombre de eje X o de las abscisas, mientras que el eje vertical recibe el nombre de eje Y o eje de las ordenadas. Las coordenadas de los puntos pertenecientes al plano cartesiano reciben el nombre de pares ordenados y son de la forma (x, y). Y Segundo cuadrante Primer cuadrante (2, 3) 3 2 Tercer cuadrante

120

 x P(x)=7.2001 – , con x ≥ 0, donde P representa el precio, en miles de pesos,  50   cuando del automóvil 1  han transcurrido x años desde la fecha de compra. P(1)=7.200 1–  =7.200 • 0,98=7.056 50 de un año de uso (x Por ejemplo,luego  = 1), x se tiene que el valor del automóvil es de P(x)=7.2001 –  $ 7.056.000, ya que:  50   1 P(1)=7.200 1–  =7.200 • 0,98=7.056  50  Por lo tanto, luego de un año, el valor del automóvil disminuyó $ 144.000.

Para grabar Hay variadas formas de representar una función. Al diagrama sagital se puede agregar el uso de tablas, de expresiones algebraicas, de gráﬁcos en el plano cartesiano, entre otras.

Por ejemplo: en el caso de la depreciación del automóvil, la representación gráﬁca de la función es la siguiente: Y 7.500 En el eje X se representa En el eje Y se representa 7.000 la variable indepenla variable dependien- 6.500 diente, que en este te, que en este caso es 6.000 caso es la variable la variable “Precio”. 5.500 “Tiempo”. 5.000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 X Sea una función f, el conjunto de los pares ordenados (x, f(x)) la representa gráﬁcamente en el plano cartesiano. Además, se tiene que x ∈ Dom(f) y f(x) ∈ Rec(f).

Analiza la siguiente información. Dos funciones pueden tener la misma expresión analítica, pero no necesariamente su representación gráﬁca será la misma. Por ejemplo:

f:  →  x → f(x) = x + 3

g:  →  Y x → g(x) = x + 3

Cuarto cuadrante

Unidad 4 • Funciones

La tabla representa la depreciación, en miles de pesos, a medida que pasan los años de cierto automóvil que nuevo costó $ 7.200.000. También es posible representar analíticamente esta situación, observa:

1 1

2 2

Aplica la información de la actividad anterior y grafica cada función. a. f(x) = 6 (f definida en ). b. g(x) = –2x + 1 (g definida en ). Y

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Ampliando memoria

En un gráfico es posible identificar si una relación es o no función. Por ejemplo: si una recta L paralela al eje Y intersecta en más de un punto al gráfico que representa la relación, entonces la relación no es una función. Y L

Analiza la información. Luego, responde. X

La siguiente tabla representa la relación entre la cantidad de litros de combustible que se compran y su respectivo precio.

Precios de combustible Cantidad de litros Precio ($)

1 650

2 1.300

3 1.950

4 2.600

5 3.250

6 3.900

7 4.550

a. Escribe una función que asocie el precio (P) del combustible con la cantidad de litros (L) comprados.

Por otra parte, cuando L no intersecta al gráﬁco que representa la relación, se debe restringir el dominio de esta.

b. ¿Cuánto se paga por 8,5 litros de combustible?

c. Si se pagó $ 10.000, ¿cuánto combustible se compró aproximadamente?

Identiﬁca si cada conjunto de pares ordenados representa una función. Justiﬁca. a. G = {(–1, 1), (–2, 3), (–2, 5), (1, 7), (2, 9)} b. H = {(0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 4)} Sí

Justiﬁcación:

Sí

Justiﬁcación:

Desafíate

Representa gráﬁcamente en tu cuaderno las siguientes funciones. Luego, compáralas con los gráﬁcos de tus compañeras y compañeros y responde. a. f: A ⊆  → B ⊆  x → f(x) = x2

b. g: D ⊆  → E ⊆  x → g(x) = x3

¿Qué elementos tienen los conjuntos A, B, D y E? Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

121

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n de prob ció

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Cadena de ayuda Etapa 0 1 2 3 4 5 6

Personas 45 135 405 1.215

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resol u

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uac eval ión

Función exponencial Un curso de 45 estudiantes, con el ﬁn de cooperar en una obra solidaria, decide realizar una campaña para reunir alimentos no perecibles. Esta consiste en que en una primera etapa cada uno de los estudiantes debe invitar a cooperar a 3 personas, de tal manera de crear una cadena de ayuda. Luego, en una segunda etapa, las tres personas contactadas deben invitar a otras 3 y así sucesivamente. ¿Cuántas personas habrán sido contactadas luego de la sexta etapa de la cadena de ayuda? La cadena se inicia con los 45 estudiantes. Primera etapa: Segunda etapa: Tercera etapa:

45 • 3 45 • 3 • 3 45 • 3 • 3 • 3

⇔ ⇔ ⇔

45 • 31 = 135 personas. 45 • 32 = 405 personas. 45 • 33 = 1.215 personas.

¿La relación f(x) = 45 • 3x es función?, ¿cuál sería su dominio? f(x) f(x – y) =Ayuda f(x) f(x – y) = f(y) Propiedades de las potencias. f(y)– y 3x f(x) Si x,f(xy,–m,y)n=∈3x. = xy = f(y) xf(xm •–xy)n == x3mx –+ yn = 33 = f(x) y m 3 f(y) x m–n mn = x xx = xn m – n n n n• m (x xx y) =xxm • y  m  xy  = xymm   =  y –m y m m  x   y   –m  m  xy  =  yx    =    y   x  (xm)n = xm • n x0 = 1; x ≠ 0.

Para grabar Si a ∈ + – {1}, las funciones de la forma f(x) = ax se denominan funciones exponenciales. Este tipo de funciones en los reales cumple con las siguientes propiedades:

Ejemplo: sea f(x) = 3x f(x + y) = 3x • 3y = 3x + y

f(0) = 30 = 1

Gráﬁco de f(x) = ax, con a > 1. Y a1 = a

a 1 –2 –1 0

f(x) f(x – y) = f(x) f(x – y) = f(y) f(y) x 3 f(x) f(x – y) = 3xx –– yy = 3yx = f(x) f(x – y) = 3 = 3y = f(y) f(n • x) = 3nx = (3x)n = (f(x))n 3 f(y) xmm m – n = x Gráﬁco de f(x) = ax, con 0 < a xx<n 1.= xm – n n m xx m xm Y   = m  yx  = yxm    y  y m m 1 1  x a–m a  –m= a  y m  x  =  y  –2 –1 0  y1 2=  x X  y   x 

f(n • x) = (f(x))n; (n ∈ )

f(x + y) = f(x) • f(y)

f(0) = 1

Analiza la tabla. Luego, complétala y resuelve.

–3

–2

–1

f(x) = 5

g(x) = 0,2x a. Esboza el gráﬁco de las funciones en el plano cartesiano. Y

b. ¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función f? ¿Y de la función g? c. ¿Qué ocurre con f(x) cuando el valor de x es muy grande?, ¿y con g(x)?

122

Unidad 4 • Funciones

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Analiza el enunciado. Luego, resuelve. La cantidad de ciertas bacterias presentes en un cuerpo se reproduce exponencialmente duplicando su población cada 3 minutos. a. Completa la tabla.

Reproducción de la población de bacterias Tiempo (minutos)

Población

500

b. ¿Qué función f modela la situación según el tiempo de reproducción?

c. ¿Cuál es el dominio y el recorrido de f?

d. Esboza un gráﬁco de f. Y

Paso a Paso Un ejemplo de resolución de 1 ecuaciones exponenciales es el 3–3y = siguiente: 81 35x – 8 = 9x + 1

35x – 8 = 32(x + 1)

Analiza la información. Luego, resuelve.

Si f es una función exponencial deﬁnida por f(x) = b , con b ≠ 1, se cumple que: bx = by ⇔ x = y Utilizando esta propiedad es posible resolver ecuaciones exponenciales. x

b. 3–3y =

a. 10x – 2 = 1

1 81

c. 25(w – 2) = 16w

35x – 8 = 9x + 1 35x – 8 = 32(x + 1) x=

5x – 8

2x + 2

5x – 8 = 2x + 2 3x = 10 10 x=

(1) (2)) y= (3) (4) (5)

5x – 8

2x + 2

5x – 8 = 2x + 2 3x = 10 10 x= 3

(1) (2)) (3) (4) (5)

(1) Se igualan las bases. (2) Se resuelve la multiplicación. (3) Se aplica y = log3x a ambos miembros de la igualdad. (4) y (5) Se resuelve la ecuación. Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

123

c c

n de prob ció

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uac eval ión

Herramientas tecnológicas: función exponencial Graphmatica es un software de libre acceso, con el que es posible graﬁcar distintos tipos de funciones. Pídele ayuda a tu profesor o profesora para conseguirlo. Por ejemplo, para graﬁcar la función exponencial f(x) = ex, puedes hacer lo siguiente:

Paso 1 Digita y = exp(x) en la barra de funciones.

Ayuda Para graﬁcar la función exponencial f(x) = ax en Graphmatica, debes digitar y = a^x, luego presionar Enter, y visualizarás el gráﬁco de la función requerida.

Paso 2 Al presionar Enter obtendrás el gráﬁco de la función exponencial f(x) = ex.

Utiliza Graphmatica para graﬁcar las funciones f(x) = 2x, g(x) = –2x y h(x) = 0,5x. Luego, responde. a. ¿Qué puntos en común tienen las funciones f y g? ¿Y las funciones f y h?

b. ¿Qué ocurre con el gráfico de f a medida que x aumenta? ¿Y con el gráfico de h? Justifica.

c. ¿Qué ocurre con el gráfico de f a medida que x disminuye? ¿Y con el gráfico de g? Justifica.

d. ¿Qué diferencias y qué semejanzas hay entre los tres gráﬁcos? Explica.

e. Esboza en un mismo plano cartesiano las funciones exponenciales: f(x) = 4x, s(x) = –4x, t(x) = 0,25x y p(x) = –0,25x. Luego, utiliza Graphmatica para veriﬁcar tu resultado. Y

124

Unidad 4 • Funciones

1 1

2 2

Analiza la imagen. Luego, responde.

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Ayuda La curva que representa el gráﬁco de una función exponencial intersecta al eje Y en el punto (0, 1).

Gráﬁco de la función exponencial real w(x).

Si a > 1, entonces la función f(x) = ax es creciente. Es decir, para x > y se tiene que f(x) > f(y).

Gráﬁco de la función exponencial real s(x).

Gráﬁco de la función real h(x) = 3x + 2.

Si 0 < a < 1, entonces la función f(x) = ax es decreciente. Es decir, para x > y se tiene f(x) < f(y).

Gráﬁco de la función real f(x) = 3x. Gráﬁco de la función exponencial real r(x).

a. ¿Es cierto que w(x) > f(x); ∀x ∈ ? Justiﬁca.

b. Si s(x) = h(x) – 3 y w(x) = s(x) + 2, ¿qué representación analítica tienen las funciones w y s?

c. ¿Es cierto que f(x) ≥ r(x); ∀x ∈ ? Justiﬁca.

Utiliza Graphmatica para graﬁcar las siguientes funciones. Luego, responde. f(x) = –2,5x g(x) = e2x h(x) = ex + 1 i(x) = 1,5x j(x) = 3,2x k(x) = 2x +2x l(x) = 2x +3x m(x) = 5x +7x

¿Qué diferencias y qué semejanzas hay entre los gráﬁcos de k(x), l(x) y m(x)? Explica.

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

125

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uac eval ión

Evaluación de proceso

Analizando disco Funciones y sus elementos

Pistas La función parte entera se deﬁne de la siguiente manera: f:  →  x → f(x) = [x] = z, con z ∈  y z ≤ x < z + 1. Para calcular el promedio entre un número ﬁnito de datos, primero puedes calcular la suma de los datos y luego dividir por la cantidad de datos. El resultado se redondea a la décima.

1 Evalúa si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Para ello, escribe V o F según corresponda. Sean A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {p, q, r, s} y la función f que satisface: f(1) = q, f(2) = p, f(3) = r, f(4) = p y f(5) = q. a.

q es la imagen de 1 y de 5.

2 es la única preimagen de p.

 es el dominio de la función f.

El conjunto B es el recorrido de la función f.

3f(1,2)+f(2,8) = 2 4 f(1)2 – 5f(2) 3f(1,2)+f(2,8) = = [x] y g(x) 2 Calcula el valor de cada expresión. Para2 ello, considera f(x) =g(2)+ g(3) = 7X. f(1)2 – 5f(2) 2f(1)– 5f(3,5) 3f(1,2)+f(2,8) = a. b. c. = = g(2)+ g(3) f(2)– 4g(1) 2 f(1)2 – 5f(2) 2f(1)– 5f(3,5) = = g(2)+ g(3) f(2)– 4g(1) 3 2f(1)– 5f(3,5) = Representación de funciones f(2)– 4g(1) 3 Identiﬁca cuál de los diagramas representa una función. Luego, marca Sí o No según corresponda. b. c. a. f g h 1 5 2 0 –2 2 1 0 –1

Sí

9 2

10 100

200

–5

Sí

5 0

9 12

Sí

No 3

4 Analiza la tabla. Luego, responde.

Caliﬁcaciones obtenidas Estudiante

Caliﬁcación

5,5

6,0

4,0

5,0

a. Define una función f que relacione a los estudiantes con la calificación obtenida. b. ¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función f? c. ¿Cuál es el promedio de las calificaciones de los cuatro estudiantes?

126

Unidad 4 • Funciones

1 1

2 2

4 4

3 3

5 5

6 6

7 7

8 8

Función exponencial

5 Analiza la siguiente situación. Luego, responde. t

 3 Al pasar t años, la cantidad P de habitantes de una localidad se calcula utilizando P(t)= 1.000 •   .  2  x+1

 2 f(x)=    5 

a. ¿La población crece o decrece al pasar los años? Justiﬁca.

 1 , g(x)= 2,5 ,w(x)=   y s(x)= ex  3  Y -x

b. ¿Cuál es la población inicial? ¿Y luego de 1, 2 y 5 años? X c. ¿El punto (1, 1.000) pertenece al gráﬁco de P? Justiﬁca.

d. Esboza el gráﬁco de la función que representa la situación. De ser necesario, puedes utilizar Graphmatica. t

 3 P(t)= 1.000 •   para graﬁcar en un mismo plano cartesiano las funciones: 6 Utiliza Graphmatica  2  x+1

 2 f(x)=    5 

 1 , g(x)= 2,5 ,w(x)=   y s(x)= ex . Luego, resuelve.  3  -x

a. ¿Qué puntos en común tienen las funciones f y g? b. ¿Qué puntos en común tienen las funciones w y s? c. ¿Es cierto que el punto (0, 1) pertenece a las funciones g, w y s? Justiﬁca.

Nivel de logro por actividad

Páginas para reforzar

Función y sus elementos

3 de 4

2 de 3

118 a 119

Representación de funciones

2 de 3

120 a 121

Función exponencial

3 de 4

2 de 3

122 a 125 Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

127

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n de prob ció

r r

Ampliando memoria Si f: A → B es una función biunívoca, es decir, si cada elemento de B está asociado con un único elemento de A, entonces existe la función inversa de f y se denota por f –1. Su dominio corresponde al conjunto B y su recorrido al conjunto A.

as lem

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uac eval ión

Función logarítmica Considerando la función f(x) = 3x, es posible hacer lo siguiente: y y log3y log3y

= f(x) = 3x = log33x =x

/log3( )

Variable dependiente.

Variable independiente.

Luego, es posible establecer una correspondencia g entre estas variables, deﬁnida por y = log3x, en donde y = g(x) representa la función inversa de f(x) = 3x.

Para grabar Si a ∈ + – {1}, se deﬁne la función logarítmica en base a como f: + → , tal que f(x) = logax. La función f cumple las siguientes propiedades: x f x  = f(x) – f(y) f(1) = 0 f(x • y) = f(x) + f(y) f(xn) = nf(x); n ∈ . f y  = f(x) – f(y)  y  Ejemplo: sea g(x) = log5x, entonces: x x f  x  = log 5  x  = log 5x – log 5 y = f(x) – f(y) f  y  = log 5  y  = log 5x – log 5 y = f(x) – f(y) f(1) = log51 = 0  y   y  f(x • y) = log5(x • y) = log5x + log5y = f(x) + f(y) f(xn) = log5xn = nlog5x = nf(x); n ∈ . Gráﬁco de f(x) = logax, con a > 1. Y 3

Gráﬁco de f(x) = logax, con 0 < a < 1. Y 3 2

Recuerda que si a, b, c ∈ +, con a ≠ 1, se tiene que: log b a a =b loga1b= 0 log logaaa ==1log ab – log ac c logaan = n; n ∈ . log ab log b n log = = log a aa(b=b•bc) b + logac a log b a a b= b n log a = log ab – log ac b log a c = log ab – log ac log bcn = nlog log b;b n ∈ . log aa n b = logaab log a n b = na ; n ∈ . n

128

Unidad 4 • Funciones

–1 0 3 1 2 3 4 X 1 –1 g(x) = log 1 x 3 81 –2 –2 1 g(x) = log 1 x 1 3 81 27 1 1 1 g(x)ello, = logcomplétala x Analiza la tabla. Para y luego responde. 1 3 81 9 27 1 1 1 1 1 3 9 x 81 27 3 9 1 1 1 f(x) = log3x 27 9 3 g( = log 1 x g(x) 1 1 3 9 3 1 1 a.81¿Cuál es el dominio 3 y cuál el recorrido de la función f? ¿Y de la función g? 1 27 1 b.9 ¿Qué ocurre con las imágenes de f a medida que x aumenta? ¿Y con las imágenes de g? 1 3 –1

Ayuda

g(x) = log 1 x

0 –1

4 X

1 2 h(x)=log 1 x 1 2 4 h(x)=log 1 x  1  4  + xf(0,1) h Para h(x)=log Calcula el valor de las siguientes expresiones. ello, considera f(x) = log x,  256 1  41   el h + resultado f(0,1) = en la casilla. g(x) = log4x, h(x)=log 1 x y w(x) = log5x. Escribe  256  w(625) 4 1  + f(0,1) = h w(625)  1  1   256   + f(0,01)= h  + f(0,1) h  256  1w(625)  256    + f(0,01) = a. f(0,01) + h(16) = d. h =  256w(25)  w(625) 1  + f(0,01) =3  h w(25)  w(1)– w(5) + f(10 )  1   256   =  + f(0,01) h g(0,25) h(16) w(1)– w(5)– + f(10=3 )  256  w(25) b. h(x)=log h(4) + g(4) e. = x – f(1) = = 3 1 3 + g(256) g(0,25) h(16) –+ f(100 ) +2w(625) w(25) w(1)– w(5) f( 1 0 ) 4 =   = 3 f(100 ) +2w(625) + g(256) 1  1  w(1)– w(5) + f(103 ) g(0,25) h(16) – f(0,01) + f(10.000) – h  = =  + f(0,1) h  3 1   256   16 g(0,25) – h(16) f(100 ) +2w(625) f(0,01) + f(10.000)+–g(256) h  = c. f. =  3  16  w(625)f(100 ) +2w(625) + g(256) =f(0,01) + f(10.000) – h 1   16   1  1  f(0,01) + f(10.000) – h   + f(0,01) h  16calculadora  256el siguiente enunciado. Utiliza  Analiza de ser necesario. = w(25)I de un sismo, medida en la escala de Richter, está dada por la relación: La intensidad E 2 w(1)– 103 ) E es la energía liberada por el terremoto medida en kWh. logw(5) + ,f(donde I(E)= = 0,007 3g(0,25) – h(16) a. ¿Cuánta energía E libera un sismo de intensidad 7 medida en la escala de Richter? f(1003 ) +2w(625) + g(256) =  1   f(0,01) + f(10.000) – h   16 

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Ayuda Recuerda que la notación log x se utiliza cuando la base del logaritmo es 10. Es decir, log10x = log x.

Ampliando memoria Se ha calculado que el terremoto ocurrido en Chile el 27 de febrero del año 2010 tuvo una intensidad aproximada de 8,8 en la escala de Richter, mientras que el ocurrido en 1985 tuvo una intensidad 7,7 en la misma escala.

b. ¿Cuántas veces la energía liberada en un terremoto de intensidad 8,8 medida en la escala de Richter es mayor que uno de intensidad 7,7?

c. ¿Crees que la intensidad de un sismo puede ser negativa? ¿Cómo se relaciona esto con el recorrido de la función log x?

Analiza la siguiente información. Luego, resuelve. Si f es una función logarítmica deﬁnida por f(x) = logax (a ∈ + – {1}), entonces se cumple la siguiente propiedad: logax = logay ⇔ x = y. Utilizándola es posible resolver ecuaciones logarítmicas. 1 log 4x =– 2 1 a. log2y = 3 c. log 1 b2 – log 1 b4 = 2 b. log 4x =– 2 5 5 2 log 1 b – log 1 b4 = 2 5

Paso a Paso Ejemplo de resolución de ecuaciones logarítmicas: log2(x + 2) + log25 = 3 (1) log2(5(x + 2)) = 3 log2(5(x + 2)) = log223 (2) log2(5x + 10) = log28 (3) 5x + 10 = 8 (4) 2 (5) x=– 5 (1) Se aplica la propiedad loga(x • y) = logax + logay. (2) Se igualan las bases de los logaritmos. (3) Se aplica y = 2x a ambos miembros de la igualdad. (4) y (5) Se resuelve la ecuación.

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

129

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Herramientas tecnológicas: función logarítmica Para graﬁcar la función logarítmica f(x) = log x, puedes hacer lo siguiente:

Paso 1 Digita y = log(x) en la barra de funciones. Paso 2 Al presionar Enter, obtendrás el gráﬁco de la función logarítmica f(x) = log x

Utiliza Graphmatica para graﬁcar las funciones f(x) = log x, g(x) = 3log x, h(x) = 10x y w(x) = 5 + log x. Luego, responde. a. ¿Qué puntos en común tienen las funciones f y g? ¿Y qué puntos las funciones h y w?

Ayuda Recuerda que la notación ln x se utiliza cuando la base del logaritmo es el número irracional e, es decir, logex = ln x.

b. ¿Qué ocurre con el gráﬁco de f a medida que x aumenta? ¿Y con el gráﬁco de h?

c. ¿Qué diferencias y qué semejanzas hay entre los gráﬁcos de las funciones? Explica.

d. Esboza en un mismo plano cartesiano las siguientes funciones: f'(x) = 0,5 log x2, g'(x) = log x3, h'(x) = ln(x) y w'(x) = log(x) + 1. ¿En qué se parecen a f, g, h y w? Y

130

Unidad 4 • Funciones

1 1

2 2

Analiza la imagen. Luego, responde.

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Ayuda

Utilizando Graphmatica se graﬁcaron las siguientes funciones en el plano cartesiano.

g(x) = log3(x)

w(x) = log5(x)

Para graficar la función f(x) = logax, con a ≠ 10, sigue los siguientes pasos: (1) Presiona Opciones desde el menú. (2) Selecciona la opción Papel gráfico, y visualizarás un menú en donde podrás elegir la base del logaritmo que quieras graficar en Opciones logarítmicas.

h(x) = log2(x)

r(x)=log 1 (x)

3 3

f(x) = log(x)

a. ¿Cuál es el dominio y cuál el recorrido de cada una de las funciones graﬁcadas?

b. ¿En qué punto se intersectan los gráﬁcos de las funciones?

c. Si a, b ∈  – {1} tal que b > a, ¿cómo veriﬁcarías gráﬁcamente si logax > logbx?

Evalúa si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Para ello, escribe V o F según corresponda. a.

La función f(x) = ln x es decreciente en .

b. c.

La función g(x) = log (x + 3) – 5 es creciente. w(x)=log 1 25 25xx , entonces el punto (0, 1) pertenece al gráﬁco de la función w. Si w(x)=log

r(x)=log 1xx, entonces (–1, e) pertenece al gráﬁco de la función r. Si r(x)=log

1 55

Ayuda La curva que representa el gráﬁco de una función logarítmica logax intersecta al eje X en el punto (1, 0). Cuando a > 1, la función f(x) = logax es creciente. Cuando 0 < a < 1, la función f(x) = logax es decreciente.

1 ee

Resuelve el siguiente problema. El nivel de intensidad sonora (βdB) medida en decibeles (dB) de una intensidad I sonora (I) se calcula utilizando la función βdB (I)= 10log –12 . Si βdB(I) = 89 dB, ¿cuál es 10 el valor de I? ¿Cuál es el nivel de intensidad de una intensidad sonora de 10–2 W/m2?

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

131

c c

n de prob ció

r r

Ampliando memoria Si se deﬁne la función f: + ∪ {0} → + ∪ {0} x → f(x) = x2, la función: g: + ∪ {0} → + ∪ {0} x → g(x) = x corresponde a la función inversa de f.

as lem

e e

resol u

en co n t i do

uac eval ión

Función raíz cuadrada La función A(x) = x2 se puede utilizar para calcular el área de un cuadrado f(x) =de xlado x. Luego, si conoces el área de un cuadrado, para calcular la medida de su lado puedes hacer lo  x  f(x)  siguiente: f  =  y  f(y) 2 2 = x2 ⇒ y = x ⇒ y = x, A(x) = y y = x2 ⇒ y = x y=x ⇒ y =x f(2 • 3) = 2 • 3 = 2 • 3 = f(2) • f(3) y donde y representaría la mediday del lado del cuadrado.  1 1 f(1) 1 = = f  = y = x y = x ¿Es posible deﬁnir la relación y = x como una función? 2  2  2 f(2)

Para grabar

f(5 3 ) = 5 3 = 5

Propiedades de la raíz cuadrada. Si x, y ∈ +:

xy == xy xx = = yy xx == xx nn xxnn ==

x xx yy xx

1 111 222 2

f0 ((x) = x f0 (x) = x f1 (x) = 1 + x f1 ((x) 100= 1 + x

( ) xx

n nnn

Unidad 4 • Funciones

( 5 ) = f(5)

( )

100 4 2  1     4 

 1     4 

16 625 1 54

108

16 625 1 54

log(1)

90.000

1 54

16 625 100 4 1 2 41  54 y evalúa si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas.  2 el enunciado Analiza  1 4  Para  escribe V o F según corresponda.    ello,  4  x + f(x)= Sean 16f:  ∪ {0} → + ∪ {0}, g: + → + y h:  → , con f(x)= x , 16 g(x)= 625 x + 1 y h(x) = IxI. g(x)= x + 1 625 1 a. 4 La función g es creciente. 15 b.54 Los puntos (4, 2) y (4, –2) pertenecen al gráﬁco de f. c. Si x ∈ +, entonces ∀x se tiene que g(x) > f(x).

132

( ) 1

00 == 00 11 == 11

1 2

La función raíz cuadrada está deﬁnida por: En el plano cartesiano, la función f(x) = x se representa f: + ∪ {0} → + ∪ {0} de la siguiente manera: x → f(x) = x . Y = x propiedades: Para esta función sex cumplen lasf(x) siguientes f(x) 8 f  =  x  f(x)   f(y) y   f(0) = 0 f  = 7  y  f(y) f(2 • 3) = 2 • 3 = 2 • 3 = f(2) • f(3) n f(1) f(x = =f(x)n2 • 3 = 2 • 3 = f(26) • f(3) f(2 •) 3) f(x) === 1 xx f(x)  1  1 f(1) 1  5 =  1 =  x•y) =f(x) f(x f(x) •ff(y) = 1 f(1) 1    f(2) 2 2    = f  = = f 2 = 4 Ejemplos: 23  y  f(y) 3 • 21  2 f(2) f0 (x) = x 3 3 3 3 f(5 ) = 5 = 5 2 = 5 = f(5) 1 3 3• f(2 •• 3) = 2 •• 3 = 2 •• 3 = f(223)) •• f(3) 3 3 f(5 ) =f(3)5 = 5 2 = 5 = f(5) f1 (x) = 1 + x 2 f (x) = x  1  f(x) = x f(1) 1 1 0 100 ff 1  == 1 == 1 == f(1) f(x) = x 1  22  22 22 f(2) f1 (x) = 1 + x f(2) 4 1 2 33 33 •• 11 f (x) = x 3 3• 2 0 0 1001 7 1X 33 33 33 2 3 4 5 6 f(5   f(5 3 )) == 55 3 == 55 22 == 55 == f(5) f(5)3 4  4  f1 (x) = 1 + x 2 f(x) f0 (x) = x  1  f(x) == xx 100 16   1. Analiza la tabla. Luego,  4  f (x) = 1complétala. + x4 625

( )

Ayuda

3•

Si w(x) = f(x) – 2, entonces Dom(w) ⊆ Dom(f).

Para cualquier x ∈ , se tiene que f(x2) < h(x).

1 2 f(x)= ax+b +c 1 2 f(x)= ax+b +c   b – ∞,–     a  – ∞,– b   Analiza la siguiente información. Luego, responde.    b a  f(x)= ax+b +c  Dom(f)= – ,+∞   b  – ,+∞   a Si se deﬁ  Dom(f)= b f(x)= ax+b +c ne ; con a, b, c ∈  y a > 0, y    – ∞,–  f(x)= ax+b a+c       a g(x)= 2x   +3 b  – ∞,– b  +3 = [c, +∞[.    b+∞[; mientras ∞,–1  y32xRec(f) Rec(f) = [c, que si a < 0, Dom(f) = –g(x)= a  f(x)= ax+b +c a Dom(f)= –  ,+∞   w(x)= 9x + +   b  a  2 49x + 1 + 3  – ,+∞   Dom(f)= b  w(x)=  ∞ – ,– – b ,+2∞  4   a  Dom(f)= a. g(x)= 2x +3 c. h(x)= a –x      +7 +1  a h(x)= –x +7 +1  1 3 2x +3 x  b 2x f(x)= ax+bg(x)= +c Dom(f)= –+ 4,+–∞ w(x)= 9x + + 5x +3 r(x)= = g(x)=  Dom(g) = 2 4 Dom(h)3=r(x)= 1 3  a =  + 4 –5 – ∞,– b  w(x)= 9x + + 3 1 3   +7 +1 w(x)= h(x)= 2 4 a –x g(x)= 2x +3 9x + 2 + 4   x  bh(x)= –x +7 +1 1 3 Dom(f)= –+ 4,+–∞ r(x)= 5 = w(x)= =h(x)= 9x + +–x +7 +1  x Rec(g) 3=  a Rec(h) 2 4 r(x)= + 4 –5 = x r(x)= = +1 + 4 – 5 3 h(x)= –x +7 g(x)= 2x +3 3 x 1 3 + 4 –5 = b. w(x)= 9x + + d. r(x)= 3 2 4 h(x)= –x +7 +1 Dom(w) = x r(x)= + 4 –5 = 3

Dom(r) =

Rec(w) =

Rec(r) =

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Resuelve el siguiente problema. ¿Cuál es el área del triángulo rectángulo?

Realiza aquí tus cálculos.

11a cm

a cm

Analiza la siguiente información. Luego, resuelve. Para f: + ∪ {0} → + ∪ {0}, con f(x)= x se tiene la siguiente f(x)=propiedad: x f(x) = f(y) ⇔ x = y. 2(x + 1) = 17 f(x)= 2(x x + 1) = 17 Utilizándola, es posible resolver ecuaciones irracionales. a+5 = 2a+3 2(xa+5 + 1) ==172a+3 f(x)= x 1 1 2a+3 a. 2(x + 1) = 17 b. a+5 =c +3 = 2c+5 c +3 = 2c+5 c. 3 3 1 a+5 = 2a+3 c +3 = 2c+5 3 1 c +3 = 2c+5 3 x= a= c=

Paso a Paso Un ejemplo de resolución de ecuaciones irracionales es el siguiente: 5x + 3 = 12 5x + 3 = 12 5x = 9 (1) 5x5x==981 (1) (2) 5x = 8181 (2) x= (3) 815 x= (3) (1) Se deja a un lado de 5la5x igualdad la expresión 5x . (2) Se eleva al cuadrado ambos miembros de la igualdad. (3) Se resuelve la ecuación.

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

133

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uac eval ión

Herramientas tecnológicas: función raíz cuadrada Para graﬁcar la función raíz cuadrada f(x)= x , puedes hacer lo siguiente:

Ayuda Recuerda que la notación y = x^0,5 es equivalente a 1

1 a la raíz y = x 2 , que representa 2 y = x 1 cuadrada de x. Es decir: y = x 2 = x 21 y = x = x.

Paso 1 Digita y = x^0,5 en la barra de funciones.

Paso 2 Al presionar Enter, obtendrás el gráﬁco de la función raíz cuadrada f(x)= x .

Utiliza Graphmatica para graficar las funciones definidas en los reales: f(x)= x, g(x)= x + 4, h(x)= x – 4 y w(x)= 4 x . Luego, responde. f(x)=–2 x a. ¿Qué puntos en común tienen las funciones f y w? ¿Y qué puntos g y h? g(x)=2 x – 5 x 2 1 x w(x)= 4 b. ¿Qué diferencias y qué semejanzas hay entre los gráficos de las funciones? Explica. h(x)=

Advertencia Si se despeja la variable y de la relación y2 = x, se tiene que: y2 = x ⇒ y = ± x

c. Si el punto (a, b) del plano cartesiano pertenece al gráfico de g, entonces ¿es cierto y = x es posible que el punto (a, b – 4) pertenece al gráfico de f? Justifica. Gráficamente, identifiycar que dicha relación =– x no representa a una función, ya que hay valores en el eje X que le corresponden dos valores del d. Esboza en un mismo plano cartesiano los gráficos de las siguientes funciones. eje Y. y2 = x ⇒ y = ± x Luego, identifica el dominio y el recorrido de cada una de ellas. f(x)= x, g(x)= x + 4, h(x)= x – 4 y w(x)= 4 x Y y= x Y f(x)=–2 x 2 y =2 – x y = x⇒y =± x g(x)=2 x – 5 4 X –2 y= x x h(x)= y=– x 2 X 1 x w(x)= Por ejemplo, en y2 = 4 se tiene 4 que y = 2 e y = –2 satisfacen la relación.

134

Unidad 4 • Funciones

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Analiza la siguiente imagen. Luego, responde.

w(x) = x2 + 2

h(x)= x +2 g(x)=– x f(x)= x – 2

h(x)= x +2 g(x)=– x

r(x)= 2x + 1 h(x)= x +2

f(x)= x – 2

g(x)=– x

r(x)= 2x + 1

f(x)= x – 2 h(x)= x +2

r(x)= 2x + 1

g(x)=– x f(x)= x – 2 r(x)= 2x + 1 a. ¿Cuál es el dominio y cuál el recorrido de cada una de las funciones graﬁcadas?

b. ¿En qué punto se intersectan los gráﬁcos de las funciones h y r?

= ax b camente que el dominio de f(x) = ax + b corresponde al c. Si a, b ∈ f(+x, )veriﬁ ca+gráﬁ  b   b  – , +∞  conjunto – , +∞ .  a   a     

Evalúa si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Para ello, escribe V o F según corresponda. a. b. c. d.

f(x)=– x – 5 La función f(x)=– x – 5 es decreciente en . f(x)=– x – 5 r(x)= 1– x f(x)=– r(x)= 1– xx x– –55 f(x)=– La función r(x)= 1– x es creciente en . h(x)= x2 r(x)= 1– x 2 h(x)= x2 x r(x)= 1– h(x)= x 1 + El dominio de h(x)= 2x2 es 1 el conjunto  ∪ {0}. g(x)= x +3 – g(x)= h(x)= x +3 x –1 2 g(x)= x +3 – 2 1  11  11 g(x)= x +32 –1  g(x)=  11x+3 – 2intersecta al eje X en – , g– . El gráﬁco de – 11    4  4  11 , g – , g11–– 1111 2 –  , g4–   4  411  411  – 4, g– 4  4  4 

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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r r

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Composición de funciones

Y h(x)= x2 X

g(x)= x

2 h(x)= Sean f: x → + ∪ {0}, definida por f(x) = x2 y g: + ∪ {0} → + ∪ {0} definida por g(x)= x . Si se considera la función h(x)= x2 , que compone a f con g, su representación gráfica sería la mostrada en la figura. g(x)= x h(x)= x2 ¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función h? ¿Se relacionan con los de f y g? h(x)= x2

Para grabar

h(x)= x2

Advertencia En general, la composición de funciones no cumple con la conmutatividad, es decir:

Sean f y g funciones tales que f: A ⊆  → B ⊆  y g: C ⊆ B → D ⊆ , entonces se deﬁne la función g o f: A ⊆  → D ⊆  con (g o f)(x) = g(f(x)), en la que x → f(x) → g(f(x)) con x ∈ A, f(x) ∈ C y g(f(x)) ∈ D. A⊆ 

(f o g)(x) ≠ (g o f)(x) Por ejemplo, si f(x) = –5x + 1 y g(x) = 3x, entonces (f o g)(x) = f(3x) = –5 • 3x + 1; mientras que: (g o f)(x) = g(–5x + 1) = 3–5x + 1.

Ayuda La composición de funciones cumple con la asociatividad, es decir, si f: A → B, g: C ⊆ B → D y h: E ⊆ D → F, entonces para h o (g o f): A → F, se tiene la siguiente igualdad:

B⊆  gof

Luego, Dom(g o f) ⊆ A y Rec(g o f) ⊆ D.

D⊆ 

Ejemplo: sean las funciones: f:  →  con f(x) = x + 3 2x la y g: + ∪ {0} → + ∪ {0} con g(x) =g(x)2x=, entonces función (g o f)(x) = g(f(x)) = g(x + 3)2(x = + 2(x 3) + 3) –3,+∞  –3,+∞      f g +∪ {0}   (g o f)(x) g(x) = 2x + Luego, Dom(g o f) ⊆  y Rec(g 2(x o+ f)3)⊆  ∪ {0}.

En este caso, Dom(g o f) = –3,+∞  y Rec(g o f) = + ∪ {0}.

Analiza cada una de las siguientes funciones. Luego, responde. Sean f: + ∪ {0} → + ∪ {0}, g: + → , h:  → [1, +∞[ funciones deﬁnidas por: f(x)= x , g(x) = Inx y h(x) = e2x. ln x h*(x)= a. Determina las expresiones algebraicas que representan a: (f o f)(x), (g o g)(x), 2 (h o h)(x), (f o h)(x) y (g o h)(x).

b. ¿Cuál es el dominio y el recorrido de las funciones (f o f)(x), (f o h)(x) y (g o h)(x)?

h o (g o f) = (h o g) o f c. Calcula el valor de (f o (h o g))(4) – ((f o h) o g)(4).

f(x)= x ln x d. Si se deﬁne la función h*(x)= , ¿qué expresión algebraica representa a (h o h*)(x)? 2

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Unidad 4 • Funciones

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Evalúa si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Para ello, analiza el enunciado y luego escribe V o F según corresponda. Sean f(x) = –log x2, g(x) = 103x – 1, h(x)= 5 – 2x y w(x) = x2 + 5, deﬁnidas en .

La función (h o w)(x) se puede representar analíticamente por 10 – 2x.

El dominio de la función (g o f)(x) es un subconjunto de +.

El punto (0, 10) del plano cartesiano pertenece al gráﬁco de la función (w o h)(x).

El recorrido de la función (w o g)(x) es el conjunto ]0, +∞[.

Analiza la imagen. Luego, responde.

w(x) = 10x + e2

h(x) = 10x + 1

r(x) = e2 g(x)= ex s(x)=– x

g(x)= ex f(x) = –32x

s(x)=– x

m(x) = –log(x)

a. ¿Cuál es el dominio y el recorrido de cada una de las funciones?

b. ¿Qué diferencias y semejanzas hay entre las funciones graﬁcadas?

c. ¿Es cierto que (r o h)(x) es una función creciente? Justiﬁca.

d. ¿Qué función representa (m o r)(x)?

e. ¿Qué ocurre al determinar la función (s o f)(x)? Justiﬁca.

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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Trabajo de habilidades

n de prob ció

Resolución de problemas 1 Analiza la resolución del siguiente problema.

¿Qué es aplicar? Aplicar consiste en llevar a cabo o utilizar un procedimiento en una situación dada.

Interpretar la información entregada en el problema, utilizando la representación.

¿Qué información entrega el enunciado del problema? La cantidad inicial de bacterias y el tipo de crecimiento que experimenta la población de microorganismos al transcurrir el tiempo.

Emplear el procedimiento propuesto en la resolución del problema.

Paso 2 Planiﬁca lo que vas a realizar Interpreta los datos del problema. Como la población de bacterias crece exponencialmente es posible utilizar la siguiente fórmula para modelar la situación:

Etapas de la resolución de problemas

N(t) = N0ekt (N0: población inicial)

Paso 1. Comprende el enunciado.

Paso 3. Resuelve el problema. Paso 4. Revisa la solución.

Y 3x10^4 2x10^4 10^4

138

Unidad 4 • Funciones

(1)

Por otro lado, se sabe que el número de bacterias aumenta de 1.800 a 3.000 en tres horas. De lo que es posible deducir que:

Paso 2. Planiﬁca lo que vas a realizar.

Paso 1 Comprende el enunciado ¿Qué datos son necesarios para responder la pregunta? Conocer la fórmula que permitiría calcular la cantidad de bacterias después de 15 horas.

¿Qué tengo que hacer para aplicar un procedimiento?

Cierta población de bacterias, que inicialmente tenía una población de 1.800 microorganismos, aumenta a 3.000 bacterias en tres horas. Suponiendo que el crecimiento de esta población es exponencial, ¿cuántos de estos microorganismos habrá al cabo de 15 horas?

15 X

N(0) = 1.800 ⇒ N0e0 = 1.800 ⇒ N0 = 1.800 (2) Luego de las tres horas, se tiene que: 1 1 1  5 3  3   3 5   1  3k k 5    3⇒1.800e  N(3) = 3.000 = 3.000  3 ⇒ e =  3  (3) 3  5    1   1 t t  1   5 3 1  3  3t     5 3    1 5       3  5 3 5       3   que: N(t) = N1 0t• ekt = 1.800 Entonces, de (1), (2) y (3) setiene   3•    3  5 3      3   3t  t         1     1     5 3   3   Paso 3 Resuelve el problema  5 3  t t        t  3  3     3   Emplea el procedimiento.  5   3  5 t   5 3    3    5 3    3  t kt = 1.800(ek)t = 1.800    , entonces al3cabo Como N(t) = 1.800e  t de 15 horas, 15 15  3   5 3  5153  3  5  3     5 3      3  15  5   la cantidad de bacterias se calcula  3  de la siguiente  5  3 manera:  33  3      15 15 5  5  5   5  3  3 5   5   55la3población N(15) = 1.800   = 1.800   ≈ 23.148,14818. Por lo tanto, será     5  3   3       5  3 3  3     t 5  de 15 horas. t 5  aproximadamente después  5  de 23.148bacterias 3  5t  3   5 3   5 3          t  53    3  Paso 4 Revisa la solución 3   5 3  3   3    t t  3   5 3  5 3   Utilizando Graphmatica  3  puedes graﬁcar la función N(t) = 1.800   y comprobar 3 que el punto (15, N(15)) = (15, ≈23.148) pertenece al gráﬁco de N.

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

2 Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente. Para calcular el monto M que se genera al depositar un monto inicial M0 por un período de t años, se utiliza la función M(t) = M0(1 + i)t, donde i representa la tasa de interés que aplica cada entidad bancaria. Si una persona deposita en el banco $ 30.000 con una tasa de interés del 20% anual, ¿en cuántos años el monto depositado se triplicará?

Paso 1 Comprende el enunciado ¿Qué datos son necesarios para resolver el problema? ¿Qué información entrega el enunciado del problema?

Paso 2 Planiﬁca lo que vas a realizar

Paso 3 Resuelve el problema Interpreta la información.

Emplea el procedimiento.

Paso 4 Revisa la solución

kt problema en tu cuaderno. 3 Resuelve el  3siguiente   N(t)=N0    2  de una población está modelado por la función N(t)=N Si el crecimiento n

 3    , donde t representa el tiempo en minutos 0   2 

N(t)  3  n individuos a los 3 minutos aumenta a 3.375? y =   , ¿cuál es el valor de n si de una población inicial (N0) de 1.000 N(t)  3  N0  2  =   N0  2  Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

139

Función

Elementos de una función

Representaciones de una función

Función exponencial

Función logarítmica

Función raíz cuadrada

Composición de funciones

140

Unidad 4 • Funciones

Deﬁnición o procedimiento

Ejemplo

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Cargando disco Analiza el siguiente ejemplo de pregunta PSU referida a la suficiencia de datos. Se define la función f(x) = b • ax, con a, b ∈ . ¿Cuál es el valor de f(5)? (1) El punto (1, 40) pertenece al gráfico de f. (2) log a = 2 A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Ambas juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) ó (2). E. Se requiere información adicional. Para responder de manera correcta esta pregunta, primero puedes analizar cada una de las proposiciones por separado y determinar si entregan suficiente información por sí solas. De esta manera, al analizar la condición (1), se tiene que: Si el punto (1, 40) pertenece al gráfico de f, entonces (1, f(1)) = (1, 40). Luego, es posible determinar que f(1) = b • a1 = b • a = 40. Por lo tanto, la información de la condición (1) no basta para obtener el valor de f(5). Ahora, si se considera válida la condición (2), se tiene que a = 100, pero no es posible calcular el valor de f(5), ya que no se conoce el valor de b. Por lo tanto, la información de la condición (2) no es suficiente para determinar el valor de f(5). Por otra parte, si se consideran válidas las condiciones (1) y (2), se tiene que: Si a • b = 40 y a = 100, entonces: a • b= 40 ⇒ b=

40 a

40 2 b=a • b==40 ⇒ b= 40 100 5 a 240 52 40 = 4.000.000 f(5)= • 100 a • b= 40b= ⇒5b= = 100 a 5 2 2 1005 = 4.000.000 40 f(5)= =el valor• de b= Finalmente, con los valores de a y b es posible calcular f(5). 100 5 5 Luego, reemplazando el valor de a, se tiene que:

2 f(5)= • 1005 = 4.000.000 5 Por lo tanto, la alternativa correcta es C, ambas juntas, (1) y (2). A

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Evaluación ﬁnal

Verificando disco e– 1 5

I. Lee atentamente cada una de las preguntas y marca la alternativa correcta. 1 Si f(x) = –5x + e, ¿cuál es la imagen de 1? A. B. C. D.

1 5–e –5 + e –5 – e

e– 1 5

4 ¿Cuál es el dominio de f(x)= A. B. C. D. E.

x+5 2 Respecto f(x)= al diagrama, ¿cuál(es) de las siguientes 9– x es(son) verdadera(s)? aﬁrmaciones f –5 –1 1 5 10

2,5 –0,5 5 –1 0,5

5 Sea f(x) = x2 + 3kx + 4, ¿cuál es al valor de k? (1) f(0) = 4 (2) f(1) = –3 A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. Solo III. Solo I y III. Ninguna de las anteriores.

A. B. C. D. E.

142

Solo I. Solo II. Solo III. Solo I y II. Solo I y III.

Unidad 4 • Funciones

y = f(x)

–2

–8

–1

I. f(x) = f(y) ⇔ x = y II. Para todos los valores de x, se tiene que: f(x) = x3. III. La función f es creciente.

3 ¿Cuál(es) de las siguientes aﬁrmaciones es(son) falsa(s)? I. Todo elemento del dominio de una función debe tener imagen. II. La relación y = x2 no es una función. III. La relación entre el radio (r) de una esfera y su volumen (V) es una función.

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

6 Respecto de la tabla, ¿cuál(es) de las siguientes aﬁrmaciones es(son) verdadera(s)?

I. f es una función. II. –0,5 ∈ Rec(f). III. El dominio de f es el conjunto {–5, –1, 1, 5, 10}. A. B. C. D. E.

  – {–5}  – {9}  – {–9}  – {–5, 9}

x+5 ? 9– x

A. B. C. D. E.

Solo I. Solo I y II. Solo II y III. I, II y III. Ninguna de las anteriores.

1 1

7 Sea f:  →  con f(x) = x3 + 3. ¿Cuál es el valor de f(–3) + f(3)? A. B. C. D. E.

0 3 6 30 60

8 Según el gráﬁco de la función, ¿cuál es el recorrido de esta? Y

–4

–16 + [4, –4] [–16, 0] [0, 16] Ninguna de las anteriores.

9 Si f es una función exponencial, ¿cuál(es) de las siguientes aﬁrmaciones es(son) verdadera(s)? I. Dom(f) =  II. f es siempre creciente. III. Rec(f) = + ∪ {0} A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. Solo I y II. Solo I y III. I, II y III.

A. B. C. D. E.

6 6

7 7

8 8

32 33 34 35 36

12 En la ecuación 13 • 3x = 117, ¿cuál es el valor de x? A. B. C. D. E.

2 3 9 13 27

 1  5x 5x 5x   = 212x + 9 ?  1 es 13 ¿Cuál el valor de x si 12x + 9  1 5x 212x  2  12x + +9 9  1  = = 2 12x + 9 2 2  = 2 5x A. –9  1  9  29   = 212x + 9 – 9  2  17 B. –– 17 9 – 17 9 175x 9 9 9   – 1 C. 9  = 212x + 9 17 17 17  17 2  9 17 9 9 9 D. 9 8 9 17 –8 8 1 17 8 9 – E. 1711 ––9 1 125 8 – 125 125 1 17 1 11 125 x 14 Si f(x) de – ? 3 91 = 5 , ¿cuál es la preimagen 125 3 3 1 8 A. –3 31 1 – –– 11 1 3 3 B. –– 3 3 125 3 1 – 1 3 C. 3 D. 3 1 – E. Ese 3 valor no tiene preimagen. 15 Respecto de la función w(x) = ex, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)? I. El punto (1; 2,71828) pertenece al gráfico de w. II. El gráfico de w intersecta al eje X en el punto (0, 1). III. La función w es creciente.

(1) a ≠ 0 (2) (5, 243) pertenece al gráﬁco de g. (1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

5 5

11 Si f(x) = 2x + 3, ¿cuál es el valor de f(5) – f(0) + 1?

10 Sea g:  → + con g(x) = ax, ¿cuál es el valor de g(4)?

A. B. C. D. E.

4 4

3 3

4 X

A. B. C. D. E.

2 2

A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. Solo III. Solo I y II. Solo II y III.

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16 Si f(x) = a • bx, con a, b ∈ +, f(–1) = 1 y f(1) = 4, entonces: A. B. C. D. E.

f(x) = 2x f(x) = 4x f(x) = 2x + 1 f(x) = 4x + 1 f(x) = 4x – 1

17 Si 8 • 27 = 6x, ¿cuál es el valor de x? A. B. C. D. E.

2 3 4 6 36

18 ¿En qué punto la función f(x) = 5 • 10–2x intersecta al eje Y?

A. (0, 5)  1 B. 0,   2  C. (5,log 0)11 D. –(1,log10) (–3) E. (0, 10) 3log 4 +log 7 log 7 – log 4 19 Un tipo de microorganismos presentes en el log a crece exponencialmente mediante ecosistema log a–logP(t) b = 4 • 22t • 103. Si t representa el la fórmula: tiempo horas, ¿a las cuántas horas habrá 64.000 log ben –log a microorganismos? 2log b A. 1log a+2log b B. 1,5 log a C. 2 –1  log a – 2log b  D. 4     E. 8 log a   f(x)=  1  2x + 5 – 10 0, esel valor de x en la ecuación 4x + 3 = 7x – 1? 20 ¿Cuál  25  A. lo –3g    2 11 log B. –  25 (–3) log log    3log 7  24 +log C. log 25 7 –log 4 log   D. –log 416a– log 49 log E. Ninguna log a–log b las anteriores.  25  de   2log log b–log 4  a 2log b log 25 log b log a+2log 4 log a 144 Unidad 4 • Funciones –1  log a – 2log b   

log (–3) 3log 4 +log 7 log 7 – log 4  1  log a 0,   2  log a–log b log b –log a log 11 – x – 1 b 2x 3)+ – {1}, tal que2alog Seanlog a, (– b∈ = b , ¿cuál de las log a+2log b expresión siguientes alternativas representa una 3log 4 +log 7 equivalente a x? log a log7 – log  4 –1 0, 1   log a – 2log b  log  a2   A. D.    log a–log b log a   log 11 log –b –log a 2 2x +b5 – 10 B. E. f(x)= log a– log log (–3) 0, 11  2log b  0, 25 3log 4 +log 7 log 2  log a+2log b C.  2 11 log 7 – log 4 log log a 11 –– log  25  log a –1–1 (– log 3)) log (–3 log  log a – 2log b   4 a–log b  alog  2 log 7(ax)2 es: 3log Si log = 2, entonces el valor 3log de 4 +log +logx7  x log  a  log b –log a 7 log 4 25––log  log 7 log 4 log  (2x) A. f(x)= 4 D. log 2x + 5 – 10 2log b 4 aa xlog log (2a) B. 60, 111  E. 2log x log 5 a+2log b log a–log 0,  0,g 2 25  b C. lo 2a log a–log b  2log   22 log a  2 log b –log 4  aa log b–log log 11 –1 log 11 log 11a –de  log  ¿A –––cuál(es) lasbsiguientes funciones pertenece el ) 2log  25 22log log b log2 5b (– 3 log  log (– 3 ) log  3 ) log(10,  (–   punto –5)? log a+2log b 2 log a loga+2log 4 4  log b 3log +log 7 3log 7 3log 4 4 +log +log 7 llog a  25 og a I.log 7 ––log 42x + 5 – 10 f(x)= log log –1 log 7 7 –log log 4 4   –1 4  log a b  a5= 7 – 2log x  log a –– 2log II. log g(x) 2log b  log log  log aa   5–x log  III. h(x) = ln e 25  log a–log b 2      log aa   b log  2log log a–log a–log b    4  a –log log b f(x)= log b f(x)= 2x 2x + +5 5 –– 10 10 A. Solo II. 25aa log log b –log –log  log2 2log 5I yb  5   2 2 log b B. Solo II. 2log b 5 lo log g  2  log loga+2log 4I y 25 C. Solo III.b log a+2log b log a+2log  b  2  D. Sololog II yaa III. llog  25  og 4    25 E. I, II ylog III.a –1 log –1  –1 log  2  – a 2log b  log    aa –– 2log  25b log2log 2log b   2   log   log a   log 25  expresión es   2, entonces¿qué Si x = log log5aa–4log  log  25  log equivalente  f(x)= 5 –– 10  4 log 22x 5a+2x? f(x)= 4  f(x)= 2x 2x + +5 5 – 10 10 log   25   25  5  4  5 5 g A. lo D. 2log   lo g 2log  4   log  2 2   2  4   25  log 2  25 log 25 5 25   log B. log E.   log  2 log 4  2 log 4 2   25   25  log log  25  C. log  4 4  4  25   25 25  2log 2log  2log  4 4 ¿Cuál es el 4 valor de x en la ecuación log log (x +25 2) – log 2x = log 1? log log 2 25 5 4 log A. 0log log 4 4 B. 1 C. 2 D. 5 E. –5

1 1

26 Si logab3x – 2 – logcc2x = -logab-3x + 2 + log164, entonces el valor de x es: A. B. C. D. E.

27 ¿Cuál de las siguientes alternativas representa mejor al gráﬁco de la función f(x)= 2 x + 1? A. Y

f(x)= D. x +1 f(x) =2 f(x) – 2 f(x)= -1 X a x +b log 2 + log 0,5 > 0

-1

Y X

f(x)= E.axNinguna de las anteriores.

II. log 2 + log 0,5 > 0 III. log 3 • log g(x)= 3x0,2 > 0 Solof(x)= I. ax Solo I y II. Solo I y III. Solo II y III. I, II y III.

Y 1 X

f(x)= 2 2x +x1+ 1 f(x)= f(x)= 28 Si f(x)=x +x1+ 1, ¿para qué valor de x se cumple que f(x) f(x)= 2? f(x)– 2 2 =2 f(x)– f(x)= 2 x + 1 f(x)= A. x =a 4ax +b D. x = –4 f(x)= x +b f(x)= x + 1 B. log x =2 3+ log 0,5 > 0 E. x = 9 log 2 + log 0,5 > 0 C. xf(x) = –3 = 2 g(x)= f(x)– 3x 2 3x g(x)= f(x)= 29 Si a axx +b, f(4) = 1 y f(1) = –1, ¿cuál es el valor f(x)=ax numérico de 3a + 2b? log 2 + log 0,5 > 0 A. 0 D. –3 g(x)= 3x B. 1 E. 3 ax C. f(x)= –1

6 6

7 7

8 8

A. 1 D. x2 B. 2x f(x)= 2 x + 1 E. x2 – 1 C. 4x f(x)= x + 1 f(x) 32 ¿Cuál(es) de las = 2siguientes aﬁrmaciones es(son) f(x) – 2 verdadera(s)? f(x)= x +b I. log 2 •alog 0,5 < 0

5 5

2x 4x 2x – 1 2x + 2 4x – 1

g(x)= 3x

4 4

31 Si h(x) = 4x – 1 y w(x) = log2x + 1, entonces ¿qué expresión representa (h o w)(x)?

Y 0

3 3

30 Si f(x) = log9x – 1 y g(x) = 34x + 2, entonces ¿qué expresión representa (f o g)(x)? A. B. C. D. E.

–0,5 –0,25 0,5 0,25 Ninguna de las anteriores.

2 2

A. B. C. D. E.

33 Si f(x) = log2(x + 2), entonces ¿cuál es el valor numérico de (f o g)(10)? f(x)= 2 x + 1 (1) g(x) = 3x f(x)= x + 1= 30 (2) g(10) f(x) A. (1) por=sí2 sola. 2 sí sola. B. f(x) (2)–por C. f(x)= Ambas a xjuntas, +b (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) ó (2). log 2 + log 0,5 > 0 E. Se requiere información adicional. g(x)= 3x 34 Si f(x)= ax y g(x) = ax, entonces ¿cuál es el valor numérico de a? (1) (g o f)(0) = 1 (2) (f o g)(1) = 5 A. B. C. D. E.

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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Evaluación ﬁnal

II. Lee atentamente y luego resuelve. Sea g(x) = ax, con a > 1. Además, se sabe que la preimagen de 9 es 2. a. ¿Cuál es el valor de a? ¿La función g(x) es una función exponencial? Justiﬁca.

b. ¿Cuál es el dominio y el recorrido de g?

c. ¿El punto (1, 1.000) pertenece al gráﬁco de g? Justiﬁca.

d. Representa en el plano cartesiano el gráﬁco de g(x), g(x + 1) y g(–x). Y

Ayuda: si es necesario, utiliza Graphmatica para comprobar.

e. ¿Qué puntos del plano cartesiano tienen en común las tres funciones?

146

Compara las funciones y realiza una conclusión a partir de esta comparación.

Unidad 4 • Funciones

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Cerrar sesión Contenido

Elementos de una función y representación de funciones

Función exponencial

Función logarítmica

Función raíz cuadrada y composición de funciones

Número de pregunta

Habilidad

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

Aplicar Evaluar Evaluar Comprender Analizar Evaluar Aplicar Recordar Evaluar Analizar Aplicar Aplicar Aplicar Recordar Evaluar Analizar Aplicar Comprender Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Analizar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Analizar Recordar Aplicar Aplicar Evaluar Analizar Analizar

Clave

Nivel de logro

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Habilidad Integrar Reunir y organizar elementos para completar un todo.

Evaluación integradora

Recopilando disco En estas páginas te invitamos a realizar una actividad de evaluación que integra los contenidos de las unidades 3 y 4 de tu texto.

Objetivo de la actividad: integrar los contenidos tratados y aplicarlos en la resolución x + y =–2 x + y =–2 de ejercicios y problemas. y – x =–16 y – x =–16 2x + 3 con =y Representa cada una de las siguientes situaciones utilizando un sistema de ecuaciones lineales 2x + 3 = y dos incógnitas. 2(3x + 1)=2y a. La edad de Roberto es tres años mayor que la edad de Felipe. Además, 2(3x + 1)=2y el doble de la edad de Felipe excede en cuatro años la edad de Roberto. x(x – 1)+ y = x22 – 1 x(x – 1)+ y = x – 1 x + y =3 b. Un número de dos cifras es tal que la suma entre ellas es 9. Además, la x + y =3 y =–2 de intercambiar 1 diferencia positiva de este número y el que xse+ obtiene 3x + 1 = y 3x + 2 = y y – x =–16 sus cifras es 45. 2 x + y =–2 1 5 2x + 3 = y 1 4 x y= 5 – Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. y – x =–16 4 x y – = 3 3 2(3x + 1)=2y 3 3 2x + 3 = y 2 1 a. x + y =–2 c. x(x – 1)+ y = x – 1 e. 1 x + y = 1 2(3x + 1)=2y 2x+y=1 2 x + y =3 y – x =–16 1 19 2 x(x – 1)+ y = x – 1 3y – 1 x = 19 1 + 3= y x +2x y =–2 3y –logx 8 x =– log 2 y =2 3x + x +=yy=3 8 2 2 2(3x + 1)=2y y – x =–16 1 1 x ++2ylog = 1 x =3 1 5 log2 1 2 + 3= y x –1 y= – 1)+ b. x(x2x d. 3xx–+4y = y f. 2yx + y = 210 2 2 3 3 2(3x +x1)=2y + y =3 2 8 11 11 5 y +2 +25x==– 4y =– log y =2 x –logx y + 3 x =– 6 1 y = x2 – 1 x(x – 1)+ x 3 y 36 32 x + y = 13 3x + = y x 1 x2+ y =3 1 1 13 log 1 1+ 2log 19 =3 + yx =ello, 1 10utiliza un cambio de variable. + = Resuelve los5siguientes sistemas de ecuaciones. 3y –xyPara 1 x y 36 2 3 2 8 2 x – 4y1 = 33x + = y3 2 5 8 2 – log y =2 logx b. 3y – +1 x ==191 c. 3x + 3y =30 a. 2 x + y = x8y 2 3 1 1 x1+ y = 15 x 2 3x – 3y =–24 x – 4+y2=log =3 log 1 1 13 32 y 3 10 +x 2+ y== 1 1 2 1 19 y + 2x 3yx =– 36 26 3y1 2– x5= 8 3 x+ y = 1 8 =2 x y + 3 + 32 =30 1 2 x ysiguientes Resuelve problemas. 3 y x+ y x =– 1 1+ y =19 3 – 3 =–246 2 x 1 sucesor 3 3y – 1x = 1de a. El +8 = 22 un número entero es menor que el doble de otro en 5 unidades. Si el mayor de estos números es disminuido 2x 3y 36en 7 unidades resulta el entero menor, ¿cuál es la suma de estos números? 2 1 y+ =–1 yx = 3x 2+x33+y =30 26 x y 3 – 3 =–24 2 1 y+ x =– 3 6 b. Si Catalina hubiese nacido 3 años antes tendría dos años menos que Francisca. Si el doble de la edad de Catalina se disminuye en 5 años se obtiene la edad de Francisca, ¿cuántos años mayor es Francisca?

148

Evaluación integradora 2

1 1

25 2

3 3

f(x)= 3x – 2 f(x)= 3x – 2 g(0,25) = g(0,25) f(3)– 1 = f(3)– 1 2 ⋅ f(9) = 1– f(9) Aplica el valor numérico de cada expresión. Para ello, considera f(x)= 3x – 2 y g(x) 2=⋅log 182x. Escríbelo en la casilla  1 – g = correspondiente. 189 g(0,25) f(x)= 3x – 2 g  =  4  91 f(3)– 1 g(0,25)3x – 2 f(x)=   – g(128)= c. e. a. f(1) – 2g(16) = f = 43 12 2 ⋅ f(9) f(3)– 1 g(0,25)  1– = f  – g(128)= =  18   3 1 2  4  2 ⋅ f(9) f(3)– 1  g  = 1– g  – f  – 2 2 =  9   32 18  1  43 2 ⋅f(9)  b. –3f(2) + g(64) : 3 = d. 1 – g  = f. g  – f  – 2 2 =    18 9  4 1  32   3  f  – g(128)= g    4   91   3  2 f  – g(128)=  1  4  4 3  21 Representa en un mismo plano cartesiano las funciones: f(x) = 2gx,g(x) –=fx y h(x) = log x. Luego, responde. f  – g(128)=  32   3  – 2 2 = 2  3 1 2  4  g  – f  – 2 2 = Y  32 3  1   4 g  – f  – 2 2 =  32   3  2

4 4

1 –2

–1

–1 –2

a. ¿Existen puntos de intersección entre los gráﬁcos de las funciones? De haberlos, ¿cuáles son?

b. Según el gráﬁco, ¿la función g es creciente? Justiﬁca.

c. ¿El gráfico de g(x) representa un eje de simetría de los otros dos gráficos? Justifica.

2 y h(x) = log3x. x–1  1 (g oh)  = d. (f o g)(h(1)) =  9   2    10  2 5f–  –hg  = g(x)= x–1  5    9  2 g(x)= 1  e. (g oh)x –1=  9   1   (goh)  =  10  2  9 g  = 5f– –h   9   5  2    10  f. 5f–  –hg  =  5    9 

Calcula el valor numérico de cada expresión. Para ello, considera f(x) = 2x – 1, g(x)=

a. f(g(–1)) =

b. (g o f)(0) =

c. (f o h)(27) =

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

149

Unidad

Semejanza de ﬁguras planas

5 5

En la historia de la humanidad, ha habido muchos personajes que se han destacado por su aporte al conocimiento cientíﬁco, cultural, tecnológico o artístico. En Matemática, por ejemplo, las contribuciones realizadas por algunos grandes sabios aún se mantienen vigentes.

Pitágoras de Samos Vivió entre los años 572 y 497 a. C. aproximadamente. Entre sus aportes, destaca en Geometría el teorema que lleva su nombre, que hace referencia a las medidas de los lados de un triángulo rectángulo.

Thales de Mileto Vivió alrededor de los años 624 a 546 a. C. Fue maestro de matemáticos como Pitágoras. Se le ha atribuido contribuciones en Geometría, particularmente en la proporcionalidad de trazos.

Euclides (vivió alrededor del año 300 a. C.) Conocido por su obra “Los elementos”, libro que reúne todos los conocimientos de la Geometría desde la época de Thales.

Menú de inicio ¿Qué aprenderás?

150

¿Para qué?

¿Dónde?

Semejanza, postulados de semejanza de triángulos, modelos a escala y homotecia.

Aplicar postulados para determinar la semejanza entre dos triángulos. Realizar cálculos de escalas para representar en el plano elementos de la realidad.

Página 152 a 163.

Teorema de Thales, división interior y exterior de un trazo.

Resolver problemas que involucren la división interior y exterior de un trazo y la aplicación del teorema de Thales.

Página 164 a 169.

Teorema de Euclides y teorema de Pitágoras.

Aplicar estos teoremas en la resolución de problemas que involucren el modelamiento matemático.

Página 170 a 175.

Unidad 5 • Semejanza de ﬁguras planas

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Abrir sesión Considerando la información de la página anterior, responde: 1. ¿Cuántos años vivió aproximadamente Thales de Mileto? ¿Y Euclides? 2. ¿Qué postula el teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos? 3. ¿Conoces otro aporte matemático histórico para destacar? ¿Cuál?

s er

ció

n de p r o

r r

Inicializando

s a mel

c c

re s ol u

en c o n t i do

m as

e e

b le

uac eval ión

ulo

c o n t i do en

ció

n de p r o

Analizar es descomponer una situación, un todo o un problema dado en sus partes integrantes y determinar cómo se relacionan unas con otras y con una estructura o propósito general. C Calcula la longitud del segmento CD y la longitud de las respectivas proyecciones de los catetos, es decir, de los segmentos AD y DB. 4 cm 4 cm

eval ión uac

1. ¿Qué datos proporciona el problema? ¿Cuáles te permiten responder la pregunta?

2. ¿De qué forma se relacionan los datos del problema?

3. Explica alguna estrategia que te permita resolver el problema.

4. Aplica tu estrategia y resuelve el problema.

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

151

en co n t i do

uac eval ión

resol u

c c

r r

as lem

e e

n de prob ció

Semejanza Los mapas y planos, generalmente utilizados en arquitectura, muestran una representación de la realidad en un tamaño proporcional menor, de manera que se distingan algunos de sus componentes. A esta representación se le conoce como modelo a escala. La escala es el cociente entre la longitud de la representación con la correspondiente medida de la zona u objeto en la realidad. Esto permite que aquello dibujado en el plano o mapa sea proporcional a lo real, es decir, que la representación y lo representado tengan la misma forma y tamaños proporcionales. La escala se denota por una razón. Por ejemplo, supón que un mapa está confeccionado a una escala de 1 : 25. Esto puede signiﬁcar que si dos puntos del mapa están a 1 cm de distancia, en la realidad están a 25 cm de distancia. Se dice que los objetos reales con los representados en mapas o planos son semejantes, esto quiere decir que tienen la misma forma, pero tamaños proporcionales. Lo que en los mapas es llamado escala, en la semejanza se llamará razón de proporcionalidad o razón de semejanza.

Para grabar Dos figuras planas son semejantes cuando tienen igual forma y sus tamaños son proporcionales. La razón de proporcionalidad o razón de semejanza (r) se obtiene calculando el cociente entre la medida de una parte de la figura que se obtiene y la longitud de su parte correspondiente en la figura original.

En el siguiente ejemplo, r es mayor que 1. Por lo tanto, la ﬁgura resultante es, proporcionalmente, de mayor tamaño. De hecho, los lados miden el doble que los lados de la ﬁgura original, ya que r = 2. C'

Si 0 < r < 1, con r ∈ , entonces la figura resultante es, proporcionalmente, de menor tamaño. Si 1 < r, entonces la figura resultante es, proporcionalmente, de mayor tamaño. Los lados (o partes) correspondientes entre dos figuras semejantes son llamados homólogos.

Ayuda

En los triángulos de la sección Para grabar la razón es 2 ya que:

3,8 cm

C 1,9 cm

3,8 cm

1,9 cm

A 1,5 cm B Figura original

3 cm Figura imagen

Utiliza la cuadrícula para reproducir la ﬁgura dibujada según la razón de semejanza dada. r = 0,5

Figura original

r = 1,5

3,8 3,8 3 = = =2 1,9 1,9 1,5 1,9 1,9 1,5 Si losrtriángulos = = 0,5 = = fueran: 3,8 3,8 3C r=

3,8 cm

C' 1,9 cm

3,8 cm

1,9 cm

A' 1,5 cm B' A Figura original

3 cm Figura imagen

3,8 3,8 3 r= = = =2 La razón1,9 de semejanza 1,9 1,5 sería: 1,9 1,9 1,5 r = = = = 0,5 3,8 3,8 3

152

Unidad 5 • Semejanza de ﬁguras planas

Explica la estrategia que utilizaste en la actividad anterior para llevarla a cabo.

1 1

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Determina el valor de la razón de semejanza (r) en cada caso. a. Figura original: ABCD. 10 cm

c. Figura original: ABCD.

C D' 5 cm

8 cm

4 cm

C' 4 cm

A' B' 3 cm

A 6 cm B

Rombo de lado 0,6 cm

Rombo de lado 12 cm D'

D A

r= b. Figura original: ABCDEF. Hexágono regular de lado 2a cm 3 5a4 E 9 cm D F

C A

d. Figura original: ABC.

2a Hexágono cmregular 3 lado de 5a4 cm 9 E' D'

Triángulo equilátero de lado (a – b) m

Triángulo equilátero de lado (a2 – b2) m C'

A A'

2 2

Resuelve los siguientes problemas. a. Si el perímetro de un triángulo equilátero es 18 cm, ¿cuál es el área de un triángulo semejante a este cuya razón de semejanza es 0,5?

b. Un rectángulo de lados 8 cm y 6 cm es semejante a otro rectángulo de lados (2x + 5) cm y (x + 4) cm. Determina el perímetro y área del nuevo rectángulo.

c. De acuerdo a los cuadriláteros ABCD y A'B'C'D' semejantes dibujados, determina las medidas de sus lados. Considera que las dimensiones están expresadas en cm.

Figura original D 10 A

12 B

Figura imagen 5

2x – 3 A'x – 2 B' 6,5 3x – 16 16 C' C

d. Un plano está dibujado en escala 1 : 50. Si el piso de una bodega es de forma rectangular y sus dimensiones en el plano son de 7 cm de largo y 5 cm de ancho, ¿cuánto mide la superﬁcie de este piso en la realidad?

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

153

c c

n de prob ció

r r

as lem

e e

resol u

en co n t i do

uac eval ión

Semejanza de triángulos

C 38° 2 cm B

3,5 cm 110° 2,5 cm

32° A

0,5 cm B' 32° 110° 0,7 cm

38° 0,4 cm

Para veriﬁcar si dos ﬁguras planas son semejantes, se debe comprobar si tienen la misma forma y las medidas de sus lados o partes son proporcionales. En particular, para asegurar que ocurre lo anterior entre dos triángulos, estos deben tener sus ángulos interiores correspondientes de igual medida y las longitudes de sus lados homólogos proporcionales, es decir, que cumplan con una razón de semejanza (r). Por ejemplo, los triángulos ABC y A’B’C’ que se muestran son semejantes, ya que: mABC = mA’B’C’ = 110° mBCA = mB’C’A’ = 38° mCAB = mC’A’B’ = 32°

A’B’ : AB = 0,5 : 2,5 = 0,2 ⇒ igual forma. B’C’ : BC = 0,4 : 2 = 0,2 C’A’ : CA = 0,7 : 3,5 = 0,2

⇒ r = 0,2.

¿Qué ocurre con dos triángulos que tienen sus ángulos interiores correspondientes de igual medida y sus lados están en razón de semejanza r = 1? ¿Siguen siendo semejantes?

¿Dos triángulos pueden ser congruentes y semejantes al mismo tiempo? Justiﬁca. ¿Crees necesario establecer que las medidas de los lados homólogos de dos triángulos son proporcionales para asegurar que los triángulos son semejantes? ¿Por qué?

Para grabar Dos triángulos son semejantes (∼) si sus ángulos correspondientes son congruentes (≅) y sus lados homólogos proporcionales. Sin embargo, hay postulados que permiten veriﬁcar la semejanza entre dos triángulos sin tener que comprobar todas las congruencias y todas las proporcionalidades. Estos son llamados postulados de semejanza. Postulado: ángulo-ángulo (AA). Dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de ángulos correspondientes congruentes. C C' a

b' A'

B' B En este caso: CBA ≅ C’B’A’ y ACB ≅ A’C’B’. Por lo tanto, ΔABC ∼ ΔA'B'C'. A

Postulado: lado-lado-lado (LLL). Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados homólogos proporcionales. C C' a a' b b' B B' c c' A' A En este caso: a’ : a = b’ : b = c’ : c = r, con r ∈ y 0 < r < 1. Por lo tanto, ΔABC ∼ ΔA'B'C'.

Postulado: lado-ángulo-lado (LAL). Dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de lados homólogos proporcionales y los ángulos correspondientes formados por los lados contiguos son congruentes. a B a' B' C C' b

A' A En este caso: a’ : a = b’ : b = r, con r ∈  y 0 < r < 1 y ACB ≅ A’C’B’. Por lo tanto, ΔABC ∼ ΔA'B'C'. Ejemplo: considera los siguientes triángulos. A' A 2 cm 4 cm 6 cm 3 cm B B' C C' Se tiene la relación A’B’ : AB = C’A’ : CA = 2, ya que AB = 2 cm, A’B’ = 4 cm, CA = 3 cm y C’A’ = 6 cm. Además, se tiene que CAB ≅ C’A’B’. Por lo tanto, aplicando el postulado LAL, se tiene que ΔCBA ∼ ΔC’B’A’.

Analiza la siguiente pregunta. Luego, comenta tu respuesta con tus compañeros. ¿Qué relación existe entre la razón de semejanza (r) y el valor del cociente entre los lados homólogos de dos triángulos semejantes entre sí?

154

Unidad 5 • Semejanza de ﬁguras planas

1 1

3 3

35°

D 92° 9 A

b. Segundo par de triángulos semejantes: Postulado usado: 4 c. Tercer par de triángulos semejantes: Postulado usado:

6 6

7 7

8 8

M J

5 E

10 6

53° 18 K

3 35°

53° Ñ

Q 4

8 10

92° N

Reconoce si los siguientes pares de triángulos son semejantes entre sí. Para ello, aplica los postulados de semejanza indicando cuál usaste en cada uno de ellos. c.

a. C

28°

7 cm 20°

100° A 4 cm B Sí:

No:

Postulado:

10 cm

62°

Sí:

No:

Postulado:

D B

40° 2,5 cm

70° A B Triángulo isósceles de base AB. Sí:

20°

5 5

4 4

Identiﬁca 3 pares de triángulos semejantes. Para ello, escribe el postulado que aplicaste. a. Primer par de triángulos semejantes: Postulado usado:

2 2

DB = 2 cm BA = 7 cm EB = 4 cm BC = 3,5 cm

A' B' Triángulo isósceles de base A'B'.

Postulado:

Sí:

No:

Postulado:

Observa los triángulos. Si ΔABC ∼ ΔA'B'C', calcula el valor de cada una de las incógnitas. x=

xm 38°

72 cm A' w

0,7 m 53°

60 cm z =

y cm 1,26 m

Realiza tus cálculos aquí:

w= k=

B Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

155

c c

n de prob ció

r r

as lem

e e

en co n t i do resol u

uac eval ión

Analiza los siguientes pares de triángulos y responde. Justiﬁca tu respuesta. a. C 24 cm

40 cm

5 cm A'

C' 3 cm

2 cm

16 cm

D α

A En a, ¿se cumple que ΔABC ∼ ΔA’B’C’? En b, ¿se cumple que ΔABC ∼ ΔEDC?

Paso a Paso Demostrar que los triángulos ACD y AEB son semejantes. E

Demuestra la proposición. Para ello, previamente identiﬁca hipótesis y tesis. a. Los triángulos ADE y ABC son semejantes. Hipótesis:

Tesis:

B C

Demostración:

Hipótesis: el triángulo ACD es rectángulo enEB D y EB es perpendicular a AC . AC

Tesis: ΔACD ∼ ΔAEB Demostración: (1) CAD ≅ BAE, por ser común a los dos triángulos.

b. Si L1 // L2, los triángulos ABC y DEC son semejantes. Hipótesis:

(2) ADC ≅ EBA, por ser rectos.

Tesis:

(3) Por (1) y (2), ΔACD ∼ ΔAEB, aplicando postulado AA.

Demostración:

c. Los triángulos PQR y TUS son semejantes. Hipótesis:

C A

R 4 cm 3 cm P 6 cm Q

Tesis: Demostración:

U 8 cm

12 cm

S 6 cm

156

Unidad 5 • Semejanza de ﬁguras planas

= 2xx +4x82 + 4x =+ 44x 2 – 10x + 16x – 40 4x 2 + 4x = 4x 2=–16x 10x– +40216x – 403 4 4 1 3 2x 2 4x = 40 6x –=40

4x 2 + 4x = 4x 2 – 10x + 16x – 40 4x = 6x – 40 40 = 2x 20 = x

Para grabar

20 = x 40 = 2x

5 5

6 6

7 7

8 8

Ampliando memoria

20 = x AB

Teorema de proporcionalidad en triángu- Ejemplo: laAC recta DE que intersecta al triángulo ABC en AB y AC es paralos: toda recta que intersecta a un triángulo lela al lado BC. Luego, ΔADE ∼ ΔABC, por lo que: AC BC en dos de sus lados y de manera paralela A BC al tercer lado determina un triángulo D E semejante al primero. AD AE DE = = AB AC BC B C 6 3+ x (1) = 3 2 7. Analiza el ejemplo. Luego, explica cada paso realizado para18=6 calcular del +2x la longitud (2) AC lado AC de la ﬁgura. 12=2x (3) AC AC 6= x AD AE DE Considera DE // BC. x 2x – 5 = = DE // BC = AB AC BC A 2x + 8 4x + 4 3+ x 6 3 cm (1) = 4x 2 + 4x = 4x 2 – 10x + 16x – 40 2 cm 3 2 E 18=6 +2x (2) 4x = 6x – 40 D x 4 cm 12=2x (3) 40 = 2x C 20AC =x 6= x B AB mide 9 cm. x Por 2x –lo5 tanto, el lado AC = AC// BC 2x + 8 4x + 4 DE (1) 2 2 BC 4x + 4x = 4x – 10x + 16x – 40 4x = 6x – 40 40 = 2x (2)

El teorema recíproco de proporcionalidad en triángulos postula: Si una recta L intersecta dos lados de un triángulo ABC y determina segmentos proporcionales a ellos, entonces L es paralela al tercer lado del triángulo ABC.

20 = x AB (3)

AC BC

Calcula en tu cuaderno el valor de x en cada ﬁgura. a.

Q 2 cm

20 cm

24 cm

9 cm

x 6 cm

5 cm

4 cm

(x + 1) cm M 4x K

4 cm N

C 40 cm

6 cm L

C E (x + 1) cm

(3x + 12) cm (2x + 4) cm

20 cm

AD AE DE C = = AB AC BC (2x + 9) cm 6 3+ x (1) = E 3 (2x – 5) cm 2 18=6 +2x B(2) x cm 12=2xD (3) (x + 8) cm A 6= x x 2x – 5 = 2x + 8 4x + 4

(2x + 2) cm

12 cm P

E 9 cm

Ayuda

A F B (3x + 3) cm (7x + 1) cm

4x 2 + 4x = 4x 2 – 10x + 16x – 40 4x = 6x – 40 40 = 2x 20 = x AB AC

BC Explor@ndo Matemática 2° medio • Nuevo

157

c c

n de prob ció

r r

Ayuda Recuerda que la razón de semejanza (r) entre figuras corresponde al cociente entre la medida de una parte de la figura imagen y la longitud de su parte correspondiente en la figura original. Esta razón es constante.

as lem

e e

en co n t i do resol u

uac eval ión

Aplicación de semejanza: modelos a escala Ya has visto que los conceptos de semejanza y proporcionalidad están muy relacionados en la confección de mapas y planos. También lo están en la construcción de modelos a escala de barcos, aviones, monumentos, entre otros. El uso adecuado de ambos conceptos es fundamental para obtener ﬁguras semejantes al objeto real. Para construir este tipo de modelos, es necesario considerar una razón de semejanza, la que permitirá relacionar de manera proporcional las partes del modelo con sus correspondientes partes en la realidad.

Para grabar Una aplicación de la semejanza es la construcción de modelos a escala. Un modelo a escala de una ﬁgura u objeto es aquella construcción que representa a dicha ﬁgura u objeto en un tamaño proporcional. Para ello, se debe considerar una razón de semejanza. Esta razón es llamada escala, por ejemplo, 1 : 50. La escala se caracteriza por mantener la misma unidad de medida en ambas magnitudes que intervienen en la razón.

Paso a Paso Supón que el plano de una casa está diseñado con una escala de 1 : 200 y, en él, uno de los dormitorios mide 1,8 cm de largo por 1,5 cm de ancho. ¿Cuáles son las dimensiones reales del dormitorio? 1 (1) 1 : 200 =1 1 : 200 = 1 200 1 : 200 = (2) Largo: 1,8 1 200 =200 ⇒ x = 360 1 1,8 x x = 360 = 1,8 ⇒ 1 200 ⇒ x = 360 200 =1 x 1,5 x= ⇒ x = 300 200Ancho: (3) 1 1,5 x x = 300 200 = 1 1,5 ⇒ 200 = x ⇒ x = 300 200 x Luego, el dormitorio mide 3,6 m de largo y 3 m de ancho.

(1) Se escribe la razón como fracción. (2) y (3) Se calcula la medida real del largo y del ancho del dormitorio, estableciendo una proporción entre la razón y las medidas dadas.

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Unidad 5 • Semejanza de ﬁguras planas

Ejemplo: la escala 1 : 500 se puede usar para representar a dos puntos que en el plano están a 1 cm de distancia uno del otro; y en la realidad, a 500 cm. También puede signiﬁcar que si los puntos están a 1 mm en el plano, en la realidad están a 500 mm. Esto depende de la unidad de medida que se use.

Analiza la resolución de los ejercicios. Luego, responde. a. Si el modelo a escala de un vehículo mide 3,8 cm de largo y fue diseñado usando una escala de 1 : 100, ¿qué medida tiene el largo del vehículo en la realidad?

b. La torre Eiffel (París, Francia) tiene una altura de 325 m. Si se construyera una maqueta de esta estructura con una escala de 1 : 25, ¿qué altura tendría la torre en esta maqueta?

c. Si en un mapa confeccionado con una escala de 1 : 5.000.000 una ciudad dista de otra en 12 cm, ¿cuál es la distancia real entre ambas ciudades? Justiﬁca la unidad de medida usada.

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Analiza la información y la imagen. Luego, responde. Las escalas vistas hasta ahora son numéricas. Sin embargo, existen también las escalas gráﬁcas. Estas últimas generalmente son representadas por una recta segmentada, la que señala la equivalencia entre dichos segmentos del plano con la medida real. a. Identiﬁca la escala usada en el mapa. Para ello, márcala con un destacador. b. ¿Cuál es la medida en centímetros de un segmento de la escala? c. ¿Cuál es la distancia real, según el mapa, entre Montevideo y Punta del Este?

La imagen corresponde a una parte de un mapa de Uruguay. d. ¿Cuál es la distancia real, según el mapa, entre Pando y Minas?

Analiza la siguiente información. Luego, resuelve la actividad 4. Una técnica que permite ampliar o reducir una figura consiste en: 1. Escoger una escala. 2. Dibujar sobre la figura original una cuadrícula con una determinada medida. 3. Según la escala elegida, copiar la cuadrícula considerando la ampliación o reducción de cada cuadro. 4. Copiar la figura cuadro a cuadro.

1:2

Por ejemplo, la imagen del rinoceronte fue ampliada usando una escala numérica de 1 : 2.

Crea una ﬁgura en cada cuadrícula. Luego, haz una ﬁgura semejante a la original. Para ello, considera la escala dada. a. 1 : 2

b. 3 : 1

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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Homotecia En Geometría, es posible encontrar distintas maneras de construir figuras que son semejantes entre sí. Una de estas maneras consiste en aplicarle a una figura original una homotecia. Esta no altera la forma de la figura a la que se le aplique; solamente puede alterar sus dimensiones, pero siempre de manera proporcional. Para aplicar una homotecia, se debe tener un centro de homotecia y una razón de homotecia.

Para grabar La homotecia es una transformación geométrica que conserva la forma de la figura a la que En este ejemplo, se tiene se le aplica, pero puede alterar su tamaño, dejándolo proporcional al de la figura original. que 1 < k. Para aplicar una homotecia, se debe considerar: – Un centro de homotecia (O), que corresponde a un punto escogido arbitrariamente, a A' partir del cual se alinearán los vértices de la figura original y de la figura imagen. – Una razón de homotecia (k), que corresponde a la comparación por división entre la distancia de cada vértice de la figura imagen al centro de homotecia con la distancia A de cada vértice correspondiente de la figura original al centro de homotecia. El valor de dicha razón es constante y se calcula resolviendo la división. Además: – Si 0 < k < 1, se habla de contracción de la figura. La figura imagen es de menor tamaño. O A'O – Si 1 < k, se habla de dilatación de la figura. La figura imagen es de mayor tamaño. k= AO – Si k = 1, las figuras son congruentes.

Calcula el valor de la razón de homotecia (k) en cada caso midiendo las distancias con una regla. Aproxima las medidas a la décima. C C' c. O a. O B A

A' B'

A H O

G' E

Unidad 5 • Semejanza de ﬁguras planas

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C' C

1 1

Aplica la homotecia que corresponda. Para ello, copia las ﬁguras en tu cuaderno y considera el centro de homotecia y la razón de homotecia dados. 1 a. k = 2

b. k = 0,6

c. k = 3

F A

C H

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Paso a Paso Para aplicar una homotecia, sigue los siguientes pasos: (1) Traza líneas rectas que contengan al centro de homotecia y cada uno de los vértices de la ﬁgura original. (2) Mide las distancias desde el centro a cada vértice. (3) Calcula la distancia que debe haber entre el centro de homotecia y la ﬁgura imagen. Para ello, considera el valor de k.

2 2

Analiza la siguiente información. Luego, resuelve la actividad 4.

Para grabar En este ejemplo de contracción, se tiene que –1 < k < 0.

Hasta ahora has estudiado homotecias con valores de k mayores que cero. Sin embargo, también es posible construir figuras semejantes a partir de k < 0. - Homotecia directa: la figura imagen queda al mismo lado de la figura original con respecto a O (k > 0). - Homotecia inversa: la figura imagen queda al lado opuesto de la figura original con respecto a O. En este tipo de homotecias se tiene que: - si –1 < k < 0, se habla de contracción de la figura. - si k < –1, se habla de dilatación de la figura. Este tipo de homotecia se asemeja a una simetría puntual, pero pudiendo cambiar las dimensiones de la figura original.

A'1 ,2

C cm

O 1,

A'O B'O C'O = = = 0,8 AO BO CO pero como la ﬁgura imagen está al lado opuesto de la ﬁgura original con respecto al punto O, se tiene que: – 1 < k < 0, k = –0,8. k=

Calcula el valor de la razón de homotecia (k) y ubica el centro de homotecia (O) que transforma la figura original (A) en la figura imagen (A’). Luego, clasifica entre homotecia directa o inversa. De ser necesario, copia en tu cuaderno. b.

A A'

Homotecia:

5 . Resuelve la actividad anterior, pero ahora considera la ﬁgura A’ como la original y la ﬁgura A como la resultante de la homotecia. ¿Qué conclusión puedes obtener? Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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Evaluación de proceso

Analizando disco Semejanza

Pistas Los triángulos se pueden clasiﬁcar según sus lados en: triángulo equilátero (todos sus lados son de igual medida), triángulo isósceles (dos lados de igual medida y el otro distinto) y triángulo escaleno (sus tres lados de distinta medida).

1 Calcula la razón de semejanza (r) en cada caso. a.

c. D

C B

F E F' G

A B

E' D C

G' H H'

Recuerda que no es necesario veriﬁcar todas las proporciones y congruencias que se dan entre dos triángulos semejantes. La razón de semejanza (r) es distinta a la razón de homotecia (k), ya que la primera siempre es mayor que cero y la segunda puede ser menor que cero.

r= 3

Semejanza de triángulos

2 Reconoce si los siguientes pares de triángulos son semejantes entre sí. De ser semejantes, escribe el postulado de semejanza utilizado.

Para calcular el valor de la razón de semejanza o la razón de homotecia, debes resolver la división entre las magnitudes.

B' C

36° C'

54°

Postulado:

5 cm A'

80° 50° A B Triángulo isósceles de base AB

0,2 cm

A' B' Triángulo isósceles de base A'B'

Postulado:

C' d. 0,42 m C 3 cm 5 cm A 12 cm B' 20 cm 4 cm A' 63 cm B 16 cm

36 cm A'

0,6 m

54 cm 70 cm

B Postulado:

Postulado: 4

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Unidad 5 • Semejanza de ﬁguras planas

1 1

2 2

3 3

5 5

4 4

6 6

7 7

8 8

Aplicación de semejanza: modelos a escala

3 Resuelve el siguiente problema. La fotografía de un curso estará a una escala de 1 : 9. Ante esto, Pedro señala que su altura en la fotografía corresponderá a 20 cm. Realiza tus calculos aquí: a. ¿Cuál es la estatura real de Pedro? b. Si la escala usada hubiera sido 9 : 1, ¿cuál sería la estatura real de Pedro? Comenta tu respuesta. c. ¿Qué escala se hubiese usado si la altura de Pedro en la fotografía fuese de 90 cm?

3 Homotecia

4 Calcula la razón de homotecia (k) que permite obtener el punto A’ a partir de A. b.

a. O

c. A A

O A' O k=

5 Calcula la razón de homotecia (k) y dibuja en el lugar que corresponda el centro de homotecia (O). a.

D C

A B

C' A' B'

A B k=

D C

D' C

B' k=

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Teorema de Thales Una persona se quiere proteger de la luz solar ubicándose en la sombra que proyecta un árbol de 6 m de altura. Si la persona mide 1,80 m y a su vez genera una sombra de 2 m, ¿a qué distancia máxima del árbol se puede ubicar esta persona para protegerse del sol?

Figura 1

1,80 m x

D Figura 2

Es posible representar la situación con un dibujo (ﬁgura 1) en el que las sombras de la persona y del árbol terminen en el mismo punto. Para esto, se considera que la persona 2 + x paralela y con la luz solar se forman dos triángulos, ambos 6 forma y el árbol se ubican de ⇒ 12 = 3,60 + 1,80x = semejantes entre sí 1,80 (ﬁgura 22). ⇒ 8,40 = 1,80x el problema involucra la semejanza de triánguLa representación propuesta para resolver los, por lo que es posible utilizar entre sus lados. Es decir: ⇒ la 4,6proporcionalidad =x

Altura árbol Longitud de la sombra del árbol = Altura persona Longitud de la sombra de la persona 6m 1,80 m AB AC BC Reemplazando y resolviendo = = (ﬁgura 2), se obtiene que la distancia máxima que debe haber DFes EF DE entre la persona y el árbol de 4,7 m aproximadamente. A 2m B xm C AB AC = 6 2+x ¿Por qué ΔABE ∼ ΔACD? ⇒ 12 = 3,60 + 1,80x = BE CF 2 1,80 AD BE + x grabar 6 2Para ⇒ 8,40 = 1,80x ⇒ 12 = 3,60AB+ =1,80x = BC 2 1,80 ⇒ 4,6 = x Teorema de Thales: si dos DF transversales intersec- Además, se pueden demostrar por semejanza otras igualDErectas 8,40paralelas, = 1,80x ⇒ = los trazos que se deter- dades. Observa: dos o másdel rectas Altura árbol Longitud de latansombra árbol BE CF = ⇒persona 4,6 = x proporcionales. Observa: minan sonde respectivamente Altura persona Longitud de la sombra la AD BE B Ampliando memoria = Longitud de la sombra del árbol AB AC BC EF L1 //Altura L2 // L3 árbol = DE D A de la Dsombra de L1 la persona = = (624-546 Altura persona Longitud Thales G DF EF a. C. DE C aproximadamente) vivió en E AC AB B C AB AC = = F = (actualmente Turquía). Mileto A B E L2 DE DF EF CF BE En Geometría, elaboró un AB AC BE AD conjunto = = de teoremas y de C F L3 BE CF BC AB BD DE EF razonamientos deductivos a = = BE AD DE partirDF de estos. Todo ello fue AC CE EG = = AB BC recopilado CF posteriormente por BE Euclides, pero se debe a Thales DE DF AD BE = 1.BE Observa cada ﬁgura. Luego, calcula el valor de x. Considera que las rectas de igual = de haber introducido el mérito CF DE EF color son paralelas entre sí. en Grecia el interés por los AD BE = estudios geométricos. Además, DE a. EF c. b. 5 cm 4 cm fue maestro de Pitágoras. 7 cm 3 cm 2 cm 2,5 cm x cm (x + 1) cm 3 cm x cm 8 cm (2x + 3) cm

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Unidad 5 • Semejanza de ﬁguras planas

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Resuelve los siguientes problemas. a. Antonia y su hermana Camila se encuentran a 50 cm de distancia una de la otra y a cierta hora Antonia genera una sombra de 120 cm. Si las sombras terminan en un mismo punto y se sabe que Camila mide 1,45 m y es más alta que su hermana, ¿cuál es la estatura aproximada de Antonia?

b. Tres árboles se encuentran alineados de forma paralela de menor a mayor tamaño. El árbol de menor tamaño mide 90 cm de altura; el de mayor tamaño, 3,6 m y la distancia entre ellos es de 4 metros. Si el árbol restante equidista a los otros, ¿cuál es su altura?

c. Un edificio genera una sombra de 100 m. A la misma hora, una casa vecina al edificio genera una sombra de 15 m. Si el edificio mide 40 metros de altura, ¿cuál es la altura de la casa si su sombra termina en el mismo punto que la sombra del edificio?

d. En la ﬁgura L1 // L2 // L3. Calcula el valor de x – y. F

AD AD BE

y cm E 15 cm ED = 6 cm C D L EC = 5 cm 12 cm 2 (x + 3) cm L3 B A

e. En la ﬁgura AD // BE // CF. Si AB : AC = 1 : 4 y EF = 2AB = 30 cm, calcula la medida del segmento BE DF. CF CF

A B C

D E F Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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División interior de un trazo

p p +q En Matemática es muy conocido φ = = un número especial llamado número de oro o razón q la letra griega φ (se lee “fi”) y es un número irracional q por áurea. Este número es denotado 1+ 5 = 1,618034... cuyo valor está dado por φ = 2 AP de oro en un trazo que ha sido dividido interiormente de Es posible representar el número r= p q tal manera que el cociente entre PB el segmento de mayor longitud y el de menor longitud es igual al cociente entre el trazo 16 2 y el de mayor longitud. APcompleto r= = = p+q PB 8 1 Un rectángulo áureo tiene la característica de que el cociente entre su largo y su ancho p p +q QA A 10 2 φ= = corresponde al número de oro.=Para=construir un rectángulo áureo, puedes hacer lo siguiente: q q AR 5 1 1+ 5 QR 1° Dibuja un cuadrado cualquiera. = 1,618034... φ= 2° Marca el punto medioQA de uno de sus lados. 2 3° Une este punto con uno de los vértices del lado opuesto y copia esta magnitud sobre el AP AR el punto medio. r= lado en el que consideraste PB 4° Dibuja el rectángulo. Observa las figuras. AP 16 2 r= = = PB 8 1 D C D G QA A 10 2 = = Rectángulo AR 5 1 p p +q áureo φ= = QR q q QA A E B F A 1+ 5 F = 1,618034... φ= AR Ayuda 2 Para grabar AP Divide interiormente el trazo AB, r= Dividir interiormente un trazo AB en una razón dada r Ejemplo: el trazo AB estáPBdividido interiormente por el cuya longitud es 18 cm, en la AP AP 16 2 consiste en encontrar un punto PAP∈ AB, tal que razón 2 : 3. APr = = = . punto P en la razón PB r = AP : PB. PB 8 1 p p +q 1° 18 : (2 + 3) = 18 : 5 = 3,6 PB φ = =PB AP QA A 10 2 B q q PB = =P A B 2° 2 • 3,6 = 7,2 y 3 • 3,6 = 10,8. 1 AB en una razón AR 5 un trazo Si quieres dividir interiormente 1+ P 5 = 1,618034... φ= 3° AP = 7,2 cm y PB = 10,8 cm. dada r = a : b, puedesQR calcular el cocienteAPentre la longitud 2 AB A + b. Luego, este cociente lo multiplide AB y el valor de aQA 4° 7,2 cm 10,8 cm AP p p +q PB AB p APpa +q Donde AP + PB = AB y r = φ = . = casAP por el antecedente = y consecuente b, y obtendrás la φ = AR A P B PB q q q Es decir, podrás longitud de AP y deq PB, respectivamente. p p +q φAP= =16 2 PB ubicar en el PB trazo AB 18 cm r = =q1+ =q5 1+el punto 5 P que lo divide interiormente φPB= 8 1 = 1,618034... p p +q = 1,618034... = φ en la razón r = a : b. Analiza φ= = 25 AP 2 el cuadro de ayuda. 1+ q q QA A φ ==AP10 = 2= 1,618034... AP PB 2 1 ARr =de5división r= 1+ 5el ejemplo 1. Analiza interior de un trazo. Luego, PB PB responde. = 1,618034... φ= QRr = AP 2 AP 16 2 2 0 cmQAr = PB = =10 cm 20 cm r = AP = 16 30= cm AP 1 8 PB PB 8 1 r= AP 16 2 =A =10 = 2 PB ARrQA QA A Q D= 8 = 1A R E P = 10 =B2 TF PB AP 16 2 1 5 AR AR 5 1 r= = = QA A 10 2 = = PB 8 el 1trazo QR está Ejemplo: interiormente por QR A en la razón 2 : 3, ya que 1 AR 5 dividido QA A 10 2 QA significa que QR = 15 cm fue dividido = = . EstoQR QA en 2 + 1 = 3 partes de 5 cm AR 5 1 AR cada QR una, donde QA considera dos de esas partes y AR solo una. QA¿Qué significa AR a. que un trazo esté dividido interiormente en la razón 3 : 2? b. AR¿Es lo mismo dividir interiormente un trazo en las razones a : b y b : a? Justifica.

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Unidad 5 • Semejanza de ﬁguras planas

TF QT QT DA = DA = = = TF TF AE 5 1 2 3 6 7 8 4 AE 4 2 3 5 6 7 8 QT 1 DA DA QT QA = = QA = QT = = TF AE AE TF = AE = AE TFsegún los segmentos que componen Calcula las razones que se piden el trazo de la DA QA QA DA DA = = DA DA = = actividad anterior. AE == = AE AE AE AP AP AEQT QA DA DAQT QA DE = = = == = a. QT c. QATF e. DE == = AE = AP APTF AE EB TF EB AE QT DA DE DEDA DADA = DR = = = DA DR DA = = = = TF AP b. d. AP AE f. RP = = EB EB AE = AE RP APQA DA DE DR DRQA DE AB = = = = QA DE = = = AB AE = AE EB = geométricos para dividir RP RPAE los siguientes procedimientos EB Analiza interiormente el trazo AB AE EB AB QA DR AB DRDA en la razón 3 : 4. Para ello, sigue los=pasos. ABDA = = DA BM DR = = BM AP = AE RP    = RP AB ABAP  AP RPDE AK Procedimiento 1 DA AB AK DE AB = cualquiera. BM BMDE1.= Traza un rayo AK Q ABEB = Paso  EB = AP A B AB AB a EB AK . Paso un segmento a de cualquier longitud, cópialo 3 veces sobre AK 2. Considerando AB DR DE DR a = = un compás. BM Luego, DR = Para esto, utiliza marca el punto P generado.BM  BM RP = EB    QT a RP P, copia 4 veces el=segmento a sobre AK . Marca el RP3. A continuación del punto Paso AK DR AB P a TF AK AB = AB punto M generado. a RP recta los puntos AB B y M. DA Paso 4. Une con una a AB = AB AB paralela a BM que pase por QT AE P. El punto Q donde intersecte esta a Paso 5. Traza una recta BM =    BM M QT TF  QA 3 : 4. divida en la razón  paralela a AB será el que loAK K = = AK TF DA AE AK BM =  DA AE DA Procedimiento 2 = = AK Paso 1. Traza dos rectas paralelas tales que una AP pase por el punto A y la otra AE por elQA = M punto B. QA AE DE a = = Paso 2. Considerando un segmento a de cualquier a AE la DA EB longitud, cópialo 3 veces sobre a = recta paralela que contiene al punto A. Marca el punto P generado. DA AP DR Q a A = sobre la recta paralela que = Paso 3. A continuación, copia el segmento a 4 veces a B AP DE RP contiene al punto B. Marca el punto M generado. a = DE EB a Paso 4. Une con una recta los puntos P y M. AB = P EB Paso 5. El punto Q donde intersecte esta recta a AB será el que lo divida en la razón 3DR : 4.= DR RP BM =  dividir interiormente el trazo RP AB Aplica alguno de los procedimientos anteriores para AK en tu cuaderno el trazo AB del dibujado según la razón r respectiva. Para ello, copia QT AB recuadro utilizando un compás. AB = BM TF  a. r = 2 : 3 d. r = 1 : 2 g. r = 1 : 6 j. r = 3 : 4 BM DA  = AK A AE AK b. r = 3 : 2 e. r = 5 : 1 h. r = 2 : 2 k. r =QT 8:7 = QA B = TF AE c. r = 2 : 1 f. r = 4 : 3 i. r = 1 : 4 l. r =DA 10 : 3 = DA = AE AP ¿Qué ventajas y qué desventajas tiene el uso de estos procedimientos? QA Explica. = DE = AE EB DA = DR = AP RP DE Calcula el valor de la incógnita que satisface cada situación. = AB EB a. Calcula el valor de x si se sabe que el punto P divide interiormente al DRtrazo AB en la = razón 7 : 5, AP = (x + 1) cm y PB = 2x cm. BM RP  b. Calcula el valor de k si se sabe que AP = 7 cm, PB = 3k cm y AB =19. AB AK c. Calcula el valor de m si se sabe que AP = 5 cm, PB = (m + 2) cm y AB está dividido interiormente en la razón 3 : (m + 1). BM  AK Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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3 3+x ⇒ 3x = 6 + 2x = 2 x ⇒x=6 2 x ⇒ 6 +estudiarás 2x=3x = páginas En estas distintas maneras de dividir exteriormente un trazo, analizarás 3 3+x 3 3+x procedimientos algebraicos y geométricos en la resolución de problemas. ⇒y3xlos = 6aplicarás + 2x = ⇒x=6 2 x

División exterior de un trazo Para14grabar 2 AQ r= = = BQ 35 5 un Dividir exteriormente trazo AB en una razón dada r consiste AB en encontrar un punto Q que pertenezca a la prolongación del trazo, tal que r = AQ : BQ. Gráﬁcamente:

⇒x=6

x 2 exteriormente Ejemplo: divide el trazo AB = 3 cm en la razón 3 : 2. Observa: ⇒ 6 + 2x=3x = 3+x 3 3 3+x ⇒ 3x = 6⇒ + 2xx = 6 3 cm = x cm 2 x 3 3+x B Q ⇒ 3x = 6 + 2x = 14 2 A AQ ⇒ x = 6 2 x r= = = 5 35 exteriormente El23 punto en dicha razón está ubicado sobre la prolon- ⇒ x = 6 x Q queBQlo divide 63x+=2x=3x = 3 + x⇒ ⇒ 6 + 2x = AB , a 9 cm de A y 6 cm de B. gación de 2 x x 23 3+x + x AB = 3 cm en la razón 2 : 3. Observa: = 3 el 3trazo ⇒ 6 + 2x=3x ⇒ x = 6 Ejemplo: divide exteriormente AB ⇒ 3x = 6 + 2x = ⇒x=6 3 3+x Si r > 1, se tiene que: 2 x AQ 14 2 ⇒x=6 + xx = 6 3 3⇒ r2== x= ⇒=6 + 2x=3x ⇒ 3x = 6 + 2x 3 cm = x cm A B Q 5 35 BQ AQ 14 2 3 3+x 2 2x x r= = = Q B A ⇒ 6 + 2x=3x = AB ⇒x=6 BQ 35 5 ⇒x=6 Si r < 1, se tiene que: 3 3+x 2 AQ Q14que cumple ElAB punto las condiciones está sobre la prolongación de AB, a x x =ubicado 2 ⇒ ⇒66 + 2x=3x = Q A B 6r =cm de=A y 9=cm de B. BQ 35 5 AB 14 2 AQ3 3+x 3 3+x r = = = ⇒x=6 ⇒AB 3x = 6 + 2x = BQ 35 5 x 1. Resuelve los2siguientes problemas. AQ 14 2 AB r = = = ⇒AB x=6 BQ 35 5 a. Luego de 2dividir x exteriormente un trazo AB, se obtuvieron las medidas 12 cm y ⇒ 6 + 2x=3x = AB es el punto de división exterior. ¿En 4 cm, de AQ y BQ respectivamente, donde Q 3 3+x qué razón fue divido el trazo AB? ⇒ x =exteriormente 6

3 3+x ⇒ 3x = 6 + 2x = 2 x ⇒x=6 2 x 3 3 + =x ⇒ 6 + 2x=3x = 3 ⇒ 3+x3x = 6 + 2x b. 2 x ⇒ x3 = 63 + x ⇒x=6 = ⇒ 3x = 6 + 2x AQ 14 22 x 2 rx=Ayuda = = ⇒ 6 +352x=3x = 5 BQ ⇒x=6 3 3+x AB Un trazo mide x ⇒ x21 = 6cm2 de ⇒ 6 + 2x=3x = longitud. AB Si un punto Q3que 3+x AQ 14 2 lo divide está ⇒ x = 6 r = exteriormente = = c. 5 ubicadoBQen la35prolongación AQ 14 2 de AB a 35 cm de B y ar 14 = cm = = 3 3+x ⇒Q3xdivide = 6BQ + 2x 35 5 de AB A, ¿en=qué razón x 2 exteriormente al trazo AB? ⇒x=6 AB Solución: 2 x ⇒ 6 + = 14 cm 21 cm2x=3x 3 3+x d. Q A B ⇒x=6 AQ 14 2 = = BQ 35 5 Luego, AB la razón de división exterior es 2 : 5. AB

Como r =

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Unidad 5 • Semejanza de ﬁguras planas

AQ 14 2 r3== 3 +=x ⇒=3x = 6 + 2x 2 BQx 35 5 AB ⇒x=6 Un trazo AB x longitud es de 2,8 cm se divide exteriormente en la razón 5 : 3. 2 cuya ⇒ 6 + 2x=3x = ¿Cuál es la distancia desde el punto de división exterior Q al extremo más cercano 3 3+x del trazo, en este⇒ caso x = 6B? AQ 14 2 r3== 3 +=x ⇒=3x = 6 + 2x 2 BQx 35 5 3 3AB+ x ⇒ 3x⇒= x6 =+ 62x = x 2 Un trazo AB 2 sex divide exteriormente en la razón 2 : 5. Si la medida del trazo es = ⇒ x⇒ = 66 + 2x=3x 27 cm, ¿cuánto 3 3+x mide cada uno de los trazos determinados con respecto al punto de división Q?x = 6 x 2 exterior ⇒ 6⇒ + 2x=3x = 3 3+xAQ 14 2 r = ⇒= x = =6 BQ 35 5 AQ 14 2 r = AB= = BQ 35 5 Un trazo AB mide 45 cm. Si se divide exteriormente en la razón 3 : 2, ¿a qué AB se ubica de A el punto de división exterior Q sobre la prolongación del distancia trazo AB?

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Analiza los siguientes procedimientos geométricos para dividir exteriormente el trazo AB en la razón 2 : 3. AB AB Procedimiento 1  AB Paso ABdel trazo AB, en este AK 1. Traza una recta cualquiera sobre uno de los extremos  AB  caso sobre A.  AB AK PA AB   sobre AK. Paso cópialo 2 veces  2. Considerando un segmento a de cualquier longitud,  AK PA MB AB Marca el punto P generado.   PA  . Marca elMB punto M  Paso 3. A continuación, copia 3 veces AK el segmento a sobre PA    MB    generado. MB PA Paso 4. Une con una recta los puntos  M y B. AB Paso 5. Traza una recta paralela a MB que pase por el punto P. El punto Q donde intersecte esta paralela a AB será el que lo divida en la razón 2 : 3.  AK Procedimiento 2  Paso 1. Traza dos rectas paralelasPA tales que una pase por el punto A y la otra por el  punto B. MB Paso 2. Considerando un segmento a de cualquier longitud, cópialo 2 veces sobre la recta paralela que contiene al punto A. Marca el punto P generado. Paso 3. A continuación, copia el segmento a 3 veces sobre la recta paralela que contiene al punto B. Marca el punto M generado. AB Paso 4. Une con una recta los puntos P y M. Paso 5. El punto Q donde intersecte esta recta a la prolongación del trazo AB será el que  lo divida en la razón 2 : 3. AK  PA Aplica alguno de los procedimientos anteriores para dividir exteriormente el trazo AB dibujado según la razón r respectiva. Para ello, copia en tu cuaderno el trazo MB AB delAB  recuadro utilizando un compás. AB AK  a. r = 2 : 5 d. r = 1 : 2 g. r = 1 : 6 j. r = 3 : 4 AK   PA b. r = 3 : 2 e. r = 5 : 1 h. r = 2 : 2 k. r = 8 : 7 PA   MB c. r = 2 : 1 f. r = 4 : 3 i. r = 1 : 4 l. r = 10 : 3 MB

M a A a

B a P K

AQ 2 = BQ 3

A P

a a

AQ 2 = BQ 3

a a a M

A B

¿Qué ventajas y qué desventajas tiene el uso de estos procedimientos? Explica.

¿Cuál de los dos preﬁeres? ¿Por qué?

Calcula en tu cuaderno el valor de la incógnita que satisface cadaAB situación. a. Calcula el valor de x si el punto Q divide exteriormente al trazo AB en la razón 9 : 2 y  se tiene que AQ = 5x cm y QB = (x + 4) cm. AB AK   está dada por b. Calcula el valor de m si se sabe que la división exterior del trazo AB PA  AQ : QB = 7 : 2, QB = (2m + 1) cm y AQ = (3m + 4) cm; dondeQ es el punto de AK MB división exterior.  PA c. Calcula el valor de w si se sabe que AB = 24 cm, QB = 7 cm y la razón  de división exterior es mayor que 1 y está dada por AQ : BQ = (3w + 1) : 2w;MB donde Q es el punto de división exterior. AB d. Calcula el valor de z si se sabe que la razón de división exterior del trazo AB es 6 : 5 y  AQ = (4z + 1) cm y QB = (z + 2) cm; donde Q es el punto de división exterior. AK  PA Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo  MB

169

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c c

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Teorema de Euclides

C γ

Considera el triángulo ABC de la ﬁgura 1. En él se tiene que ΔCBD ∼ ΔACD ∼ ΔABC. Es posible demostrar esta relación utilizando el postulado de semejanza AA. Observa:

hc β

Figura 1

(1) Como hc es altura del ΔABC rectángulo en C, se tiene que BDC ≅ CDA ≅ BCA y todos miden 90°. B

(2) Sea α = mDAC, β = mCBD y γ = mACD. (3) α + β = 90°, ya que mBCA + α + β = 180° por ser ángulos interiores de ΔABC. Así, α + γ = 90°, ya que mCDA + α + γ = 180° por ser ángulos interiores de ΔACD. (4) De (3) se puede inferir que β = γ. Luego, CBD ≅ ACD. (5) De (1) y (4) se tiene que BDC ≅ CDA y CBD ≅ ACD. Luego, por postulado AA se concluye que ΔCBD ∼ ΔACD. Demuestra que ΔACD ∼ ΔABC.

Para grabar C a

b A

p c Figura 2

En la ﬁgura 2, a y b son Teorema de Euclides: sea ABC un triángulo rectángulo en C y hc la altura trazada desde este catetos, y c hipotevértice. Entonces: nusa. Además, p y q Se cumple que el cuadrado de la medida Se cumple que el cuadrado de la medida son las proyecciones de la altura dibujada es igual al producto de un cateto es igual al producto de su de los catetos a y b de las proyecciones. proyección y la hipotenusa. sobre la hipotenusa, hc2 = p • q a2 = p • c respectivamente. b2 = q • c

Ayuda

Analiza la tabla. Luego, complétala con los datos que faltan. Para ello, debes aplicar las relaciones que se cumplen en el teorema de Euclides.

C b p

h c

Figura a

D q B

Si q = 3,6 m y p = 6,4 m, se tiene que:

A q D

4 cm

7 mm

24 mm

25 mm

A 3m D 6m

hc C

Unidad 5 • Semejanza de ﬁguras planas

9 cm

a2 = p • c = 6,4 m • (3,6 m + 6,4 m) = 6,4 m • 10 m = 64 m2. Por lo tanto, a = 8 m.

170

h2 = p • q = 6,4 m • 3,6 m = 23,04 m2. Por lo tanto, h = 4,8 m.

b = q • c = 3,6 m • (3,6 m + 6,4 m) = 3,6 m • 10 m = 36 m2. Por lo tanto, b = 6 m.

p a

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Calcula los valores de x e y en las siguientes ﬁguras. b.

a. x

30 cm y

y 16 cm 25 cm

8 cm 6 cm

40 cm

Analiza la siguiente demostración. C

Hipótesis: ΔABC rectángulo en C y hc es su altura respectiva. b Tesis: hc2 = p • q.

p A q D B Demostración: c (1) ΔCBD ∼ ΔACD. Esto fue demostrado al comienzo de página anterior. CD BD , por ser lados homólogos proporcionales. (2) De (1) se puede inferir que = BD CD CD AD = h septiene que: CD BDen (2), CD (3) De la proporcionalidad AD establecida = ⇔ c = ⇒ h2c =p • q BD CDhc pq hc 2 CD AD = ⇔ = ⇒ hc =p • q q hc AD CD Por lo tanto, el cuadrado de la medida de la altura trazada desde el ángulo recto de un triángulo rectángulo es igual al producto de las proyecciones de los catetos del triángulo.

Analiza en tu cuaderno de manera ordenada las siguientes relaciones. Para ello, considera como hipótesis que ΔABC es rectángulo en C y hc es su altura respectiva. Como recomendación, guíate mediante una ﬁgura. a. Tesis: a2 = p • c b. Tesis: b2 = q • c

a22 p p c. Tesis: a2 = = 2 b q q b aa •• b b d. Tesis: h hcc = = cc

Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas. a. En un triángulo ABC rectángulo en C se sabe que AB = 1 m, BC = 80 cm y AC = 60 cm. Calcula las medidas de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa y la altura respecto a la misma.

Ampliando memoria Las relaciones mostradas en la actividad 4c y 4d son corolarios de los teoremas vistos en la sección Para grabar de la página anterior. La diferencia entre un teorema y un corolario es que los últimos se desprenden de un teorema, por lo que su demostración depende de la demostración del teorema.

b. Los catetos de un triángulo rectángulo están en la razón 3 : 4. Si la altura respecto a la hipotenusa mide 0,84 m, ¿cuánto mide la hipotenusa del triángulo? c. La altura respecto a la hipotenusa en un triángulo ABC rectángulo en C mide 12 cm, y los segmentos que ella determina sobre la base están en la razón 9 : 16. ¿Cuál es la longitud de cada lado del triángulo? d. La base de una escultura tiene 2 m de ancho. Dos focos luminosos, uno por delante y otro por atrás, se ubican a 4 m y 6 m de distancia de la base respectivamente para iluminar la cúspide de la escultura. Los rayos de luz se intersectan formando un ángulo recto. Aproxima la altura de la escultura y las distancias a las que están los focos de la cúspide. Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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c c

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uac eval ión

Teorema de Pitágoras

a2 = p • c b2 = q • c 2 a + b2 = p • c + q • c a2 + b2 = c(p + q) a2 + b2 = c • c a2 + b2 = c2 a a b

a2 ab c 2

En cursos anteriores has trabajado con el teorema de Pitágoras en triángulos rectángulos. En estas páginas reforzarás el mismo teorema, pero profundizarás en algunos aspectos interesantes para fortalecer tus conocimientos. Dos demostraciones del teorema de Pitágoras se fundamentan en: 1.

2 c ab a 2 ab 2 2 b b

a b Figura 1 b

A partir del teorema de Euclides, relacionado con los catetos (a y b) de un triángulo ABC rectángulo en C, se tienen las relaciones: a2 = p • c y b2 = q • c; donde c es la hipotenusa del triángulo ABC y las respectivas proyecciones de cada cateto son p y q. Observa que al sumar los miembros de ambas relaciones se obtiene el teorema de Pitágoras.

2. Geométricamente puedes observar que con las ﬁguras 1 y 2 es posible veriﬁcar el teorema de Pitágoras, relacionando las áreas de los triángulos verdes y estableciendo la igualdad entre estas.

a c

b c c

Para grabar

a c

Figura 2

Interpreta las ﬁguras 1 y 2. Luego, explica la justiﬁcación geométrica del teorema de Pitágoras.

El teorema de Pitágoras establece que, en todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa. C Cateto a Cateto b B

Hipotenusa c a2 + b2 = c2

Ampliando memoria Los tríos pitagóricos corresponden a ternas de números enteros positivos (a, b, c) que satisfacen la relación a2 + b2 = c2; en la que a y b representan las medidas de los catetos y c la de la hipotenusa.

6 cm A

3,6 cm B

x + 3,6 = 6 x2 + 12,96 = 36 x2 = 23,04 x1 = 4,8 y x2 = –4,8 Como la longitud del lado se representa con un valor positivo, entonces x = 4,8 cm. 2

Veriﬁca si los siguientes tríos de números representan un trío pitagórico. a. 5, 12 y 13

Conclusión:

b. 7, 24 y 25

c. 12, 15 y 27

Conclusión:

Desafíate

Veriﬁca si los siguientes tipos de números forman tríos pitagóricos. a. x2 – y2, 2xy, x2 + y2

172

Observación: el uso de las letras a, b y c es solo para mantener una notación, pero en otros casos se pueden representar las magnitudes mencionadas usando otras letras.

Ejemplo: calcula el valor de x.

Unidad 5 • Semejanza de ﬁguras planas

b. x,

x2 – 1 x2 + 1 , 2 2

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Aplica el teorema de Pitágoras y calcula en tu cuaderno el perímetro (P) de las ﬁguras. a. ABCD cuadrado. D

b. AC = 15 cm A 6 cm

12 cm

15 cm

E 5 cm B

9 cm

Para grabar El teorema recíproco al teorema de Pitágoras establece que si la suma de los cuadrados de las medidas de dos lados de un triángulo es igual a la medida al cuadrado del lado restante, entonces el triángulo es rectángulo.

Analiza la demostración del teorema recíproco al teorema de Pitágoras. Luego, responde en tu cuaderno. Demostración: (1) (JK)2 + (KL)2 = (LJ)2. Esta relación se tiene por la hipótesis del teorema.

(2) Se traza un segmento KM de igual longitud a KL y de manera perpendicular a JK, por lo que se puede determinar el triángulo rectángulo JK KMJ.

(3) Aplicando el teorema de Pitágoras al ΔKMJ, se tiene que (KM)2 + (JK)2 = (MJ)2. (4) Por construcción en (2) se tiene que KM = KL. Luego, haciendo el reemplazo en la relación obtenida en (3), se obtiene: (KM)2 + (JK)2 = (MJ)2 ⇔ (KL)2 + (JK)2 = (MJ)2. (5) Igualando las relaciones obtenidas en (1) y (4), se tiene que: (JK)2 + (KL)2 = (KL)2 + (JK)2, con lo que (LJ)2 = (MJ)2.

(6) De (5) se puede inferir que LJ = MJ. Con lo que se tendría KM = KL, LJ = MJ y JK lado M común.

(7) De (6) se tiene que ΔKMJ ∼ ΔKLJ. Por lo tanto, JKM ≅ JKL. Finalmente, se concluye que ΔKLJ es rectángulo en K. a. ¿Cuál es la hipótesis del teorema recíproco al teorema de Pitágoras? ¿Cuál es la tesis? b. Explica con tus palabras los pasos realizados para demostrar este teorema.

Aplica el teorema recíproco al teorema de Pitágoras y determina si los siguientes triángulos son triángulos rectángulos. b.

a. 11 m

12 m

9 mm 5 mm

7 mm

3,5 cm

d. 24 m

32 m 12 cm

12,5 cm

40 m

6m Sí:

No:

Sí:

No:

Sí:

No:

Sí:

No:

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

173

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Aplicaciones La semejanza de triángulos y los teoremas de Thales, Euclides y Pitágoras también son posibles de aplicar en otro tipo de problemas geométricos. A continuación, se resumirán estos contenidos y luego estudiarás algunos ejemplos.

Para grabar El teorema de Pitágoras establece que, en todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa. C a

b A

p c Figura 1

Teorema de Thales: si dos rectas transversales intersec- Teorema de Euclides: sea ABC un triángulo rectángulo tan dos o más rectas paralelas, los trazos que se determi- en C; y hc, la altura trazada desde este vértice (ver ﬁgura nan son respectivamente proporcionales. Observa: 1). Entonces se cumple que: A D L1 L1 // L2 // L3 El cuadrado de la medida de la altura dibujada es igual al producto de las proyecciones. Es decir: h2 = p • q. El cuadrado de la medida de un cateto es igual al B E L2 producto de su proyección y la hipotenusa. Es decir: a2 AB AC BC = p • c y b2 = q • c. = = F L C DE DF EF 3

C D A

Figura 2

Analiza el siguiente ejemplo. Luego, resuelve. 4 4 Se quiere calcular la distancia de la recta que representa a la función afín y =– xy+8 =– enx +8 3 3 el plano cartesiano al origen (punto (0, 0)). Para ello, se tiene que la recta intersecta 4 4 =– si xse y+8 =– x +8 al eje X en el punto (6, 0); y al eje Y, en el punto (0, 8). Además, se tiene yque 3 considera el triángulo A(0, 0), B(6, 0) y C(0, 8), la distancia pedida corresponde a 3 4 la longitud del segmento AD, perpendicular a la recta BC (ver ﬁgura 2). Para xy+=– 4 4x+4 y =–calcular 3 3 dicha longitud, es posible aplicar el teorema de Euclides relacionado con los catetos 2 2 BC del triángulo ABC, obteniéndose AB = BD • BC y CA = DC • BC. La longitud de BC es 4 posible calcularla aplicando el teorema de Pitágoras: y =– x +8 AD AD 3 AB2 + CA2 = BC2 ⇔ 62 + 82 = BC2 ⇔ 36 + 64 = BC2 ⇒ 1004= BC2 ⇒ 10 = BC y =– x +8 3 Con lo que: 4 AB2 = BD • BC ⇔ 36 = BD • 10 ⇒ BD y==– 3,6 x + 4 3 CA2 = DC • BC ⇔ 64 = DC • 10 ⇒ DC = 6,4 BC Aplicando el teorema de Euclides, relacionado con la altura AD, se tiene:

Ampliando memoria En Matemática, la distancia entre una recta y un punto P corresponde a la longitud del segmento perpendicular a la recta que pasa por el punto P. P

174

AD2 = BD • DC ⇔ AD2 = 3,6 • 6,4 ⇒ AD2 = 23,04 ⇒ AD = 4,8 4 y =– x +8 4 recta que representa a 3 Finalmente, la distancia entre el origen del plano cartesiano x +8 y =– y la 4 3 es 4,8 unidades. y =– x +8 4 3 y =– x +8 4 3 y =– x + 4 4 3 a. Calcula la distancia entre la recta que representa a y =– x + 4 y el origen del plano 3 BC cartesiano. BC AD b. Calcula la distancia entre el punto A(1, -1) y la rectaAD que representa a y = x.

Unidad 5 • Semejanza de ﬁguras planas

1 1

2 2

3 3

5 5

4 4

6 6

7 7

8 8

Aplica el teorema de Pitágoras y resuelve en tu cuaderno. a. Determina una expresión algebraica que permita calcular la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado a. b. Determina una expresión algebraica que permita calcular la longitud de las alturas de un triángulo equilátero de lado a.

Analiza la siguiente información. Luego, responde en tu cuaderno. El teorema de Pitágoras que se aplica a triángulos rectángulos también puede ser aplicado de manera similar a cualquier tipo de triángulo. Sin embargo, hay que considerar algunas variaciones. Teorema generalizado de Pitágoras: En un triángulo acutángulo, el cuadrado de la medida del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los otros dos lados menos el doble de la medida de uno de ellos por la proyección del otro sobre él (ver ﬁgura 3).

C a

A q D

c a = b + c2 – 2cq 2

C En un triángulo obtusángulo, el cuadrado de la medida del lado opuesto al ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los otros dos lados más el doble de uno de ellos por la proyección del otro sobre él (ver ﬁgura 4).

Figura 3

Figura 4

hc b A' q A

c a = b + c2 + 2cq 2

a. ¿Qué otras relaciones se pueden obtener a partir del teorema generalizado de Pitágoras para el triángulo acutángulo de la ﬁgura 3? b. ¿Cuál es el ángulo de la ﬁgura 4 del que se habla en el teorema generalizado de Pitágoras para triángulos obtusángulos?

Calcula el valor de x. Para ello, aplica el teorema que corresponda. Redondea el resultado a la décima. a.

C 8 cm

6 cm A

5 cm A' x

B 8,5 cm

9 cm

12 cm

Aplica el teorema de Thales para resolver el siguiente problema en tu cuaderno.

Ampliando memoria

Para la construcción de un túnel a través de una montaña, un topógrafo debe medir la distancia que existe entre el punto A y B. Desde el punto C es posible observar ambos extremos de la montaña (A y B). Para medir la distancia, el topógrafo localiza otros dos puntos, D y E, de tal manera que el segmento DE es paralelo al segmento AB. ¿Qué expresión algebraica permite calcular la distancia entre los puntos A y B? Observa el dibujo que representa la situación. A

El topógrafo es la persona que, entre otras tareas, describe y delínea detalladamente la superﬁcie de un terreno.

B C D

E Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

175

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¿Qué es aplicar? Aplicar consiste en llevar a cabo o utilizar un procedimiento en una situación dada.

Trabajo de habilidades

Resolución de problemas 1 Analiza la resolución del siguiente problema. Para hacer una construcción de dos inmuebles separados a 18 m de distancia, se instalan dos pilares de manera perpendicular al suelo. La altura de uno de ellos es de 1,5 m, mientras que la del otro es de 3 m. Si en sus extremos se ata una lienza, la que a su vez es ﬁjada en el suelo, y los ángulos de inclinación de la lienza con los pilares son iguales, ¿a qué distancia se ﬁjó la lienza en el suelo?

¿Qué tengo que hacer para aplicar un procedimiento? Interpretar la información entregada en el problema, utilizando la representación. Emplear el procedimiento propuesto para la resolución del problema.

Etapas de la resolución de problemas Paso 1. Comprende el enunciado. Paso 2. Planiﬁca lo que vas a realizar. Paso 3. Resuelve el problema. Paso 4. Revisa la solución.

Paso 1 Comprende el enunciado ¿Qué datos son necesarios para resolver la pregunta? La altura de los pilares (1,5 m y 3 m) y la distancia entre ambos (18 m).

Paso 2 Planiﬁca lo que vas a realizar Primero, se realiza un dibujo que represente la situación. Luego, se asignan incógnitas a las magnitudes que se quiere calcular. A continuación, se utiliza la semejanza de triángulos para determinar la proporcionalidad entre los trazos requeridos. Para esto, se plantean ecuaciones. Finalmente, se resuelven las ecuaciones y se responde la pregunta.

Paso 3 Resuelve el problema Interpreta la información. Sean: x: distancia entre el pilar de 1,5 m de altura y el punto que ﬁja la E lienza al suelo. y: distancia entre el pilar de 3 m de 1,5 m altura y el punto que ﬁja la lienza al suelo. A

Emplea el procedimiento. Como los ángulos de inclinación son iguales y el ángulo entre ambos pilares y el suelo es de 90°, los triángulos ABE y CBD son semejantes por el postulado AA. Luego, se tiene que x + y = 18 y que 3 : y = 1,5 : x. Resolviendo el sistema de ecuaciones, se tiene que x = 20 – y en la primera ecuación. Reemplazando en la segunda ecuación, se obtiene: 3 : y = 1,5 : (18 – y) 3(18 – y) = 1,5y 54 – 3y = 1,5y 54 = 4,5y 54 : 4,5 = y Así, se tiene que y = 12. Por lo tanto, x = 6. Es decir, el pilar de 1,5 m se encuentra a 6 m del punto ﬁjo del suelo, mientras que el pilar de 3 m de altura está a 12 m de él.

Paso 4 Revisa la solución Para que la respuesta sea la solución, se debe veriﬁcar que los valores encontrados satisfagan ambas ecuaciones. Es decir: 6 + 12 = 18 y 3 : 12 = 1,5 : 6 Por lo tanto, la respuesta es correcta.

176

Unidad 5 • Semejanza de ﬁguras planas

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

2 Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente. Un álamo genera una sombra de 7 metros a las 11:30 de la mañana. Muy cercano a él, y a la misma hora, se encuentra un hombre de 1,75 metros, que genera una sombra de 80 centímetros. ¿Cuál es la altura del álamo?

Paso 1 Comprende el enunciado ¿Qué datos son necesarios para resolver la pregunta?

Paso 2 Planiﬁca lo que vas a realizar

Paso 3 Resuelve el problema Interpreta la información.

Emplea el procedimiento.

Paso 4 Revisa la solución

3 Resuelve el siguiente problema en tu cuaderno. A cierta hora, un árbol de 19,2 m de altura proyecta una sombra de x m, una persona de 1,70 m de estatura genera una sombra de 3 m y un segundo árbol, a esa misma hora, proyecta una sombra de y m. Si este último árbol está entre la persona y el primer árbol, ¿cuál es su altura si las tres sombras terminan en el mismo punto y la distancia entre los árboles es de 5 m? Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

177

Semejanza de triángulos

Aplicación de semejanza: modelos a escala

Homotecias

Teorema de Thales

División interior de un trazo

División exterior de un trazo

Teorema de Euclides

Teorema de Pitágoras

Aplicaciones

178

Unidad 5 • Semejanza de ﬁguras planas

Deﬁnición o procedimiento

Ejemplo

1 1

2 2

3 3

5 5

4 4

6 6

7 7

8 8

Cargando disco Analiza el siguiente ejemplo de pregunta PSU referida a la suﬁciencia de datos. ¿Son semejantes los triángulos de la ﬁgura? Sabiendo que mDCA = 15° y: D (1) AB // CD (2) mDBA = 75°

A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Ambas juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) ó (2). E. Se requiere información adicional.

B (PSU 2009, DEMRE).

Si se sabe que AB // CD, se tiene que mDCA = mDBA = 15°, por ser ángulos alternos internos, y que mAOB = mCOD = 90°, por ser ángulos opuestos por el vértice. Por lo tanto, ΔAOB y ΔCOD tienen dos pares de ángulos homólogos congruentes. A Luego, aplicando el postulado AA, es posible asegurar que son semejantes entre sí.

Por lo tanto, la proposición (1) por sí sola sirve para responder la pregunta. Sin embargo, antes de marcar la alternativa A, debes veriﬁcar si la proposición (2) permite responder por sí sola la pregunta planteada. B D

De esta manera, al analizar la condición (2), sin considerar lo hecho en (1), se tiene que: mDCA = 15°, mAOB = mCOD = 90°, por ser ángulos opuestos por el vértice y que mDBA= 75°. Luego, como 75° + mBAC = 90°, entonces mBAC = 15°, y como 15° + mBDC = 90°, entonces mBDC = 75°. Luego, aplicando el postulado AA, es posible asegurar que son semejantes entre sí.

15°

Por lo tanto, la proposición (2) por sí sola también sirve. 75°

Finalmente, la alternativa que debes marcar es D, cada una por sí sola, (1) ó (2).

B A

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

179

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Evaluación ﬁnal

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uac eval ión

Verificando disco

I. Lee atentamente cada una de las preguntas y marca la alternativa correcta. 1 Los cuadriláteros ABCD y EFGH son semejantes. De acuerdo a lo anterior, las medidas de los lados x, y, z corresponden a: D 3 cm

A. B. C. D. E.

H 1 cm G 2,8 cm z

y x

E 3 cm F

x = 9 cm; y = 8,4 cm; z = 2 cm. x = 1,5 cm; y = 8,4 cm; z = 2 cm. x = 1,5 cm; y = 8,4 cm; z = 18 cm. x = 9 cm; y = 8,4 cm; z = 18 cm. x = 9 cm; y = 2,8 cm; z = 18 cm.

A. B. C. D. E.

3 ¿Cuál es la razón de semejanza entre los triángulos si se sabe que ΔABC ∼ ΔDEF? C

1:2 5:1 1 : 8,9 11: 2,2 11 : 22

11 m

2,2 m

4 Si los triángulos de la ﬁgura son semejantes, ¿cuál es el valor de k? A. 3 B. 4 C. 5 1 D. 3 1 E. 5 1 2

180

3 2 2

C 36 m A

42 m

F (3k + 3) m

54 m

Unidad 5 • Semejanza de ﬁguras planas

3 2

(4k + 1) m

(4k + 7) m

C ¿Según qué postulado los triángulos ABE y DBC son semejantes?

2 De acuerdo al hexágono de la ﬁgura, el perímetro de otro hexágono semejante, con razón de semejanza 2 : 5, corresponde a: F 10 m D A. 3,14 m 3,2 m B. 7,85 m 8m C. 31,4 m G D. 78,5 m C 2,4 m E. 785 m 6m A 1,8 m B

A. B. C. D. E.

6 cm A

5 De acuerdo a la siguiente ﬁgura: E

LLL ALA LAA AA Ninguna de las anteriores.

6 ¿Cuál 1 es la razón de semejanza entre el ΔABC con respecto al ΔA'B'C'? 3 C A. 21 B. 35 A B C. 1 2 C' 3 2 D. B' A' 2 E. 3 2 7 En un plano a escala 1 : 50, una habitación de forma cuadrada dispone de un área de 25 cm2. ¿Cuál es su superﬁcie real? A. B. C. D. E.

25 m2 6,25 m2 6,25 cm2 250 cm2 625 cm2

1 1

7 DE // AB

2 3 4 4 2 DE3// AC

5 5

6 6

7 7

8 8

BD AD // BE // CF AB 8 Si ABCD y EFGH son cuadrados, el perímetro del triángulo ABE se puede calcular si: E F

(1) EC = 4DG (2) La razón entre sus áreas es 1 : 9. A. B. C. D. E.

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

9 De acuerdo a la ﬁgura: D 0

C B 16 m

¿Cuál es el valor de la razón de homotecia respecto a O? A. B. C. D. E.

1:2 1:8 3:1 8:1 Ninguna de las anteriores.

10 La siguiente ﬁgura muestra una homotecia de razón 1 AO = (2x – 3) cm y k =– , donde 1 =– 1 kk2=– 2 A'O 2 – 5) cm. ¿Cuál es el valor de x? 1 = (3x 11 7 A. 27 2 7 A 2 B. 5 2 5 0 5 5 5 2 5 C. A' 2 4 2 4 5 4 D. 5 5 5 5 4 5 E. 4 3 4 3 7 3 7 7 DE // AB DE // DE // AB AB DE // AC DE // AC BD DE // AC

11 ¿Cuál es la longitud de AD si AC = 25 cm? C 1 k =– A. 4 cm2 E 1 15 cm B. 51 cm k =– 2 3 cm 7 cm C. 16 1 2 cm D. 20 E. 25 7 5 cm A D B 2 5 12 De acuerdo a la ﬁgura, ¿cuál5es el valor de x? 2 5 4 E 18 m A 2 1 A. 85 m 7,5 m k =– 4 12km=– 1 B. 95 m B 2 2 28 m 5 m 4 m C. 42 17,5 1 1 5 3 7 D. m D x C 4 7 7 2 2 E. DE Ninguna 3 // AB5de las anteriores. 5 7 DE // AC5 1 = 49 m y 13 En el ΔABC se cumple que DE //5AB, CD 1 k =– 2 BD k =– 2 CA = 70 m. ¿Cuál es el valorDE de// x?AC 2 2 AD // BE4// CF 41 1 BD 5 C 5 AB 7 A. 73 5 AD //5BE // CF AD 2 B. 23,5 4 AB 45 D E C. 56 3 (2x +8) m 3 AD D. 514 5 7 72 E. 21 A B 20 m 2 DE // AB DE // AB 4 4 DE ABC // AC 14 En el triángulo se tiene que DE 5 // AC. ¿Cuál es la 5 longitud de BD ? 5 BD 5 AD // BE // CF 4 // BE // CFC AD 4 3m 3 AB A. 31 m E AB 7 2m B. 72 m AD AD C. 3 m DE // AB B DE // AB D. 8 m (2xDE + 2)// m AC D 4x m A E. DE 12 // m AC BD BD AD=// BE // 15 Si AD // BE // CF , DE = 0,5 cm, BC 8 cm y CF EFAB = 4 cm, ¿cuál es la medida de AB? AD A. 1 cm B. 1,5 cm C. 2 cm D. 4 cm E. 8 cm

AD A B C

D E F

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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Evaluación ﬁnal

5x 4 4 AB AB AC AC AC AC

BD BD CD CD :: DB= DB= 11 :: 2 2 20 Sea5CD= De acuerdo a la figura, el punto C divide exteriormente ABC un triángulo rectángulo en C. ¿Cuál es la AB AB 5CD=de ABla altura trazada desde el vértice ABAB en la razón 2 : 3. ¿Cuál es la longitud del al trazo longitud C si los 3 AC+ AB AC+eCD CD 3 catetos hipotenusa del triángulo ABC son a, a+1y ? trazo ABAB = = 2 D B a + 2 respectivamente? AB 2 DB ABAB A. 0,75 m C 1,5 m A B a+1 a+1 AC B. 1,75 m AC A. a+2 AC a+2 C. 2,25 m CB CB a+2 a+2 D. 2,75 CB m AB B. AB ABde las anteriores. a+1 ABAB E. Ninguna a+1 AB AB BP a(a+1) AB BPBP C. a(a+1) AB AB a+2 x Un trazo a+2 x xAB de 21 cm es dividido interiormente por un AC AB a(a+2) punto4C en la razón 3 : 4. ¿Cuáles son las medidas de 4 D. a(a+2) 4AC a+1 AC y CB? los trazos 5x a+1 5x5x CB 2 2 2 2 AB 2 2 a (a+1) 2 2 4 CB A. 6 yAB 8 cmAB respectivamente. 44 ABcm E. a (a+1)2 AB 2 AB 2 (a+ 2 ) AB B. 8 cm yAB 6 cmBP respectivamente. AB (a+ 2)2 ABABAB C. 9 cm yBP 12 cm respectivamente. p+q AB AC p+q AB BP x ABAC AC 21 En un2triángulo ABC rectángulo en C, se cumple que la D. 10 cm xy 11 cm respectivamente. AC 2 AC proyección de uno de sus catetos sobreAC la hipotenusa AB E. 12 cmAC yx9 cm4respectivamente. ACAC 4 AB 5x CB BD mide 15 cm más que la proyección del otro cateto 4 CB AB 5x CBBDBD AB 4 sobre la hipotenusa. Si la altura trazadaCD desde C 1mide AB 5x AB : DB= :2 ABAB Un AB trazo CD :4DB= 1longitud : 12: 2 x es dividido exteriormente AB AB CD : de DB= AB 3 cm más que la proyección de menor longitud, ¿cuál AB 4 P AB AB por el5CD= punto en la razón 5 : 1. La longitud del trazo BP 5CD= AB ABBP ABAB AC AB es la longitud de esta altura? 5CD= AB BP AC AC AB en función de x corresponde a: AB x AC+ CD 3 ABAC AB3 3 x CDCD = CB AB AC+ x AC+ A. 1 cm =AC CB AC = 4 2 D B A. AC 2 D B AC 4 AC B. 4 cm DB AB 2 4 AB AC5x AB a+1 BD AC 5x AC CB C. 9 cm CBa+1 5x a+1 BD BP CB 4 B. a+2 BP CD : DB= 1 : 2 BD a+2 4 D. 12 cm a+2 AB 4 AB CB 1 : 2 AB CD : DB= x a+2 AB xCD : DB= E. 17 cm 5CD= AB 1 : AB 2 C. xABa+2 BP BPa+2 5CD=AB AB BP 4 a+1 AC 45CD=AC+ D. 4x a+1 AB CD 3 AC AC xx a+1 = AC+ CD 3 5x x BP a(a+1) 5xAC+ CD=DB3 22 De acuerdo a la información que entrega la siguiente E. 5x a(a+1) AC 2 a(a+1) 4 AC AC 4 2 D B 4 4 = a+2 x figura, se puede afirmar que: 4 DB a+1 2 a+2 BD a+2 5x BD 5x a+1 5x AB a(a+2) a(a+2) Un BD trazo de420 AB a+2cm es dividido interiormente por CD : DB= 1 : 2 I. (p + q)2 = 4pq a(a+2) a+1 4 CD : DB= 1 : 2 4 a+2 4 a+1 5x un punto C en CD : a+1 DB= 1 :la 2 razón 2 : 3. Luego, el trazo AC es AC a+1 a+2 a+2 II. p + q = 2pq 5CD= AB 2 AB a+2 AB 2 exteriormente 2 4 C 5CD= AB AB dividido por el punto D en la razón a (a+1)2 2AB AC a (a+1) 5CD= III. p = q a+2 2a+1 AC a (a+1) 3 : 1. DeAC acuerdo a esto, a+12 CD AC AC+ 3 ¿cuál(es) de las siguientes ACAC+ CD = 3 (a+ 2)2 2 a(a+1) (a+ 2a+1 ) 2)3AB AC+ CD BD = (a+ BD afirmaciones es(son) verdadera(s)? =B 2A. Solo I. DB ACa(a+1) D p+q AC 1 : 2 p+q 2ACa+22 DAC Bp+q a(a+1) CD : DB= CD : DB= 1 : 2 a+1 a+2 B. Solo II. a+1 2 a(a+2) BD I.a+1BD El tiene igual medida que el 5CD= trazo BD . 2 trazo ABa+2 2 a+2AC a(a+2) 5CD= AB C. Solo I y II. a+2 DB= :: 2 a+2 CD ::a(a+2) DB= 2 II. CD CDa+2 : DB= BD11 a+1 AC+ CD 3 1 : 2 D. Solo I y III. a+1CD AC+ 3 2 q p B a+2 2 A = a+2 a (a+1) 5CD= AB AB III. 5CD= 2 a+1 5CD= AB E. I, II y III. CD2 =: DB= 1 : 2 2 D B a+1 aa+1 (a+1) DB 2 2 2 ) 3 a+1AC+ a2CD (a+1) CD 3 2AB 2(a+ a+1 AC+ CD 3 5CD= a(a+1) IV. AC+ = a+1 (a+ 2 ) a(a+1) = = 2 a(a+1)D p+q 2 B (a+ AC+ 2) 2 CD 3 23 DB a+2 2 De acuerdo a la figura, ¿cuál es la suma de los Da+2 B p+q a+2 a+2 = a+2 a+1p+q 2 perímetros de los triángulos ADC y DBE? a+1 a+2 a+1 a(a+2) A. Solo I a+2 y 2II. 2 DB a(a+2) a(a+2) a+2 2 a+1 a+1 a+2 a+1 B. Soloa+2 I ya+1 III. A. 7,2 cm a+1 a+1 a+2 2 2 C. Soloa+2 IIa(a+1) y2 III. a+2 a(a+1) a+2 2 a (a+1) B. 7,68 cm a 22(a+1) C a22 (a+1) a+1 D. Solo II y IV. a+1a+2 a+2 a+2 a+1(a+ 2)2 C. 10,56 cm 2 2 (a+ 2 ) 2 E. I,(a+ II,a(a+1) III D. 14,88 cm 2)y IV. a(a+1) a(a+2)a(a+1) E 4 cm 3 cm p+q a(a+2)a+1 p+q E. 19,68 cm a+2 a(a+1) p+q a+2 a+1 a+2 2 2a+1 2 2 a(a+2) 2 a(a+2) 2 2 a(a+2) a (a+1) a (a+1)a+2 a+1 a+1 a(a+2) (a+ 2)2 a+1 A (a+ 222)2 D 2 2 2 2 B aa (a+1) (a+1) p+q a (a+1) a+1de figuras planas Unidad 5p+q • Semejanza 2 2 2 (a+ (a+ 2 2)) 2 (a+ 2)2 2 2 a (a+1)

1 1

24 De acuerdo a la ﬁgura, ¿cuál es la longitud de la altura h del triángulo ABC? A 5m C A. 13 m 25 25 25 B. 13 m q 13 h 13 144 12 m 144 C. 144 m 13 13 p 13 5 12 • 5 5 ••• 12 12 m D. 25 B 13 13 1313 25 ••• 144 144 E. 25 25 144• 144 m 25 13169 169 13169 13 144 2 36 36 25 Si en 5 122 •un 2triángulo rectángulo la medida de uno de 36 144 13 los 72 catetos 5 es el doble que la del otro y su área 7213 5 13 5 72 5 12 • corresponde a 144 cm2, ¿cuál es la medida de su 25 144 • 12 5 12 5 5 12 • hipotenusa? 1213 5 169 AD 2513cm • 144 AD A. 12 AD 2 36 25156x • 144 169 B. 24156x cm 156x 169 52 cm 36160x C. 72 160x 160x 25 12 552 cm D. 36 72 B AD=DB B AD=DB 13 B AD=DB E. 72 AD 55 cm 12 AC // DE 144 AC // DE AC // DE 12 5 156x AD 13 AB // DE 26 ¿Cuál de AB // DE AB //los DE siguientes tríos numéricos corresponde a AD 160x 5 • 12 un trío pitagórico? 156x CD +DA= 15 CD +DA= CD +DA= 15 15 156x 13 AD=DB A. 3, 5 y 6B 25160x 25 • 144 160x B. 4 ,6 y 8 AC 13 // DE B AD=DB 169 C. 4, 5 y 8B AD=DB 144 AB // DE 258// AC DE D. 5, y 10 36 2 13 24 AC // DE +DA= 15 E. CD 10, y 26 13 AB // DE 72 5 5 • 12 144 AB // DE 15 CD +DA= 13 5 27 En relación al 15 siguiente 12 paralelepípedo, ¿cuál es la 13 CD +DA= 25 144 • 5 • 12 de la diagonal AD? longitud 169 13 D 156x E A. 36 5x 2 25 •m144 G F 160x B. 13x m 169 5m C. 72 169x 12xAD=DB m B C 4x m 12 52 m D. 36 B A 3x m AC // DE E. 72 AD 5 m AB // DE 12156x 5 CD +DA= 15 AD 160x 156x B AD=DB 160x AC // DE AD=DB B AB // DE AC +DA= // DE 15 CD

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28 El área de un rectángulo es 48 cm2. Si uno de sus lados mide 6 cm, ¿cuál es la medida de la diagonal de dicho rectángulo? A. B. C. D. E.

8 cm 25 10 cm 13 64 cm 144 100 cm 13 de las anteriores. Ninguna 5 • 12 13 se tiene que ΔABC es isósceles si: 29 En la ﬁgura 25 • 144 C (1) Triángulo ABC rectángulo. 169 (2) mBAC = 45°. 36 2 A. (1) por 72 sí5 sola. B. (2) por sí sola. A D B 12 5juntas, (1) y (2). C. Ambas D. Cada ADuna por sí sola, (1) ó (2). E. Se requiere información adicional. 156x 25 160x 30 En la ﬁgura se tiene que los triángulos ABE y DBC son 13 semejantes si:B AD=DB E D 144 (1) AC // DE β 13 (2) 5α• = β AB12 // DE B α 13+DA= CD A. (1) por sí sola.15 A B. (2) 25 por• 144 sí sola. 169 C. Ambas juntas, (1) y (2). C D. Cada una por sí sola, (1) ó (2). 36 2 E. Se requiere información adicional. 72 5 12 5 el valor de x se puede determinar si: 31 En el ΔABC, AD C 156x E D 160x (2x – 5) cm B AD=DB AC // DEA

(3x – 7) cm

(1) AB // DE (2)CD CD+DA= + DA =1515 cm A. B. C. D. E.

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

AB // DE CD +DA= 15 Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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Evaluación ﬁnal

II. Resuelve el siguiente problema. 1. Tomás quiere calcular la altura del edificio en el que vive. Para ello, se ubica en un punto A, que se encuentra a una distancia de 30 m de dicho edificio. Además, el edificio vecino, que es más bajo y tiene una altura de 20 m, está a 18 m del edificio en el que vive Tomás y se sitúa en la misma dirección y sentido que el punto A. a. Realiza una representación de la situación descrita.

b. Explica detalladamente el procedimiento que usarás para resolver el problema de Tomás, señalando los postulados de semejanza que aplicarás.

c. ¿Cuál es la altura del ediﬁcio en el que vive Tomás?

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Unidad 5 • Semejanza de ﬁguras planas

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Cerrar sesión Contenido

Semejanza, razón y postulados de semejanza

Aplicaciones de semejanza y homotecia

Teorema de Thales, división interior y división exterior de un trazo

Teorema de Euclides, teorema de Pitágoras y aplicaciones

Número de pregunta

Habilidad

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Recordar Aplicar Aplicar Aplicar Comprender Comprender Aplicar Analizar Analizar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Analizar Aplicar Aplicar Evaluar Aplicar Aplicar Analizar Analizar Aplicar Aplicar Recordar Aplicar Aplicar Analizar Analizar Analizar

Clave

Nivel de logro

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Unidad

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Circunferencia y ángulos Pi (π) es el símbolo del número 3,141592..., que expresa el cociente entre el perímetro y el diámetro de la circunferencia. A lo largo de la historia, a este número irracional se le ha calculado muchas cifras decimales, usando variados algoritmos. En la actualidad, se ha logrado obtener más de 2.500 billones de cifras decimales de Pi gracias al uso del computador.

Arquímedes (siglo III a. C.) aproximó el valor de π, aﬁrmando que estaba entre 10 1 3 y3 . 71 7

El año 2009, Fabrice Bellard, utilizando un computador Core i7 CPU, 2.93 GHz y 6 GB de RAM, logró calcular 2.699.999.990.000 de cifras decimales de Pi.

Menú de inicio ¿Qué aprenderás?

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¿Para qué?

¿Dónde?

Elementos de una circunferencia.

Identiﬁcar y relacionar los elementos de una circunferencia para resolver problemas que los involucren.

Páginas 188 a 193.

Ángulos y la circunferencia.

Identiﬁcar ángulos inscritos y del centro en una circunferencia y relacionar sus medidas estableciendo teoremas.

Páginas 194 a 201.

Aplicación de teoremas.

Aplicar teoremas relacionados con los elementos de una circunferencia y ciertos ángulos en la resolución de problemas.

Páginas 202 a 205.

Unidad 6 • Circunferencia y ángulos

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Abrir sesión Considerando la información de la página anterior, responde: 1. ¿Qué representa el número Pi? ¿Cómo se simboliza? 2. ¿Entre qué números decimales aproximó Arquímides al valor de Pi? 3. ¿Cuántas cifras decimales logró calcular Fabrice Bellard el año 2009? ¿Con qué tipo de computador lo hizo? Señala cómo se lee el número que escribiste.

s er

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Analizar es descomponer una situación, un todo o un problema dado en sus partes integrantes y determinar cómo se relacionan unas con otras y con una estructura o propósito general.

eval ión uac

La ﬁgura está compuesta solamente por semicircunferencias y con la condición de que el diámetro de una es el doble de la anterior más pequeña. ¿Cuál es la longitud de la línea verde? Considera Pi redondeado a la décima. ¿Cuál es la medida de la superﬁcie verde? Considera Pi redondeado a la centésima.

2 cm

1. ¿Qué datos proporciona el problema? ¿Cuáles te permiten responder la pregunta?

2. ¿De qué forma se relacionan los datos del problema?

3. Explica alguna estrategia que te permita resolver el problema.

4. Aplica tu estrategia y resuelve el problema.

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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Circunferencia y sus elementos El conjunto de puntos del plano que equidistan (igual distancia) de otro llamado centro forman una circunferencia cuyo radio es esta distancia. Para dibujar una circunferencia con el compás, primero se debe marcar el centro de la circunferencia, luego abrir el compás según el radio a considerar y ﬁnalmente girar el compás para marcarla.

Para grabar El centro de una circunferencia es el punto del cual todos Ejemplo: los puntos de la circunferencia equidistan.

El radio de la circunferencia es un segmento de recta que une el centro de la circunferencia con uno de sus puntos. El diámetro de una circunferencia es un segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia y contiene al centro de esta misma. La longitud del diámetro equivale al doble de la medida del radio (d = 2r).

D A

O OD

AC OD Una cuerda de una circunferencia es un segmento de BE AC OD En la ﬁgura dibujada, O es el centroAC recta que une dos puntos de la circunferencia. de la circunferencia, AB BE OD es un radio; AC, un diámetro; BE, una cuerda; y uno de Un arco de circunferencia corresponde a una parte de  , ya que los arcos en  que es distinto a  sus BA AC arcos es AB,BE AB esta. una circunferencia  se leen en sentido  antihorario. BE BA AB BA   AB BA 1. Analiza la información entregada. Luego, responde o resuelve según corresponda.  BA a. ¿Una cuerda puede ser diámetro de una circunferencia? Justiﬁca. OD

Ayuda

( )  L(AB )

 L AB

La longitud (L) de un arco AB  (AB ) de una circunferencia determinado α • π • r porun ángulo α = está dada por: AB 180°  = α•π•r α • πL• rAB = 180° 180° •π•r α  80° •LπAB • 5 cm = = 180° O 180° 20 α80° • π •B5 cm = π cm = 180° 9  A AB20 α = π cm π • ry  si=αα9=• 80° Por ejemplo, L AB 180° del arco AO = 5 cm, la longitud α  = •π•r AB es: L AB 180° 80° • π • 5 cm = 180° 20 = π cm 9

( ) ( )

188

Unidad 6 • Circunferencia y ángulos

b. ¿Toda circunferencia tiene solo un diámetro? Fundamenta.

c. ¿Crees que el punto que representa al centro de una circunferencia pertenece a ella? Explica.

d. Calcula la medida del ángulo central (α) que determina al arco AB de una  =60 π cm . circunferencia de radio r = 40 cm si se sabe que L AB

( )

e. Calcula la longitud de un arco de circunferencia de 18 cm de radio, determinado por un ángulo central (α) de 72°.

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Para grabar Ampliando memoria

Una recta es tangente a una circunferencia si la intersecta exactamente en un punto. El punto de intersección se llama punto de tangencia. En la ﬁgura, la recta M es tangente a la circunferencia en el punto T. Una recta es secante a una circunferencia si la intersecta exactamente en dos puntos. En el dibujo la recta L es secante a la circunferencia en los puntos R y S. Una recta es exterior a una circunferencia si no la intersecta.

La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia.

O R

Secante

T Tangente

O L M

Analiza la información entregada en la sección Para grabar anterior. Luego, responde. a. ¿Cuántas rectas tangentes, cuántas secantes y cuántas exteriores pueden pasar por el centro de una circunferencia? ¿Por qué?

b. ¿Cuántas rectas tangentes, cuántas secantes y cuántas exteriores pueden pasar por un punto cualquiera de una circunferencia? ¿Por qué?

Analiza la información. Luego, resuelve los problemas en tu cuaderno.

Ayuda

Un círculo es la superﬁcie contenida en una circunferencia. El perímetro (P) y área (A) de un círculo de radio r están dados por: P = 2πr y A = πr2.

Sector circular:

Un sector circular es una región del círculo limitada por dos radios y el arco απr (α). Su perímetro y área determinado por ellos, considerando el ángulo central P=2rαπ +r P=2r + 180° están determinados por: 180°2 r απ απr απr2 απ+r y A= . P=2r P=2r + 360° 180°A= 360° 180° 2 Un segmento circular es una región del círculo limitada απr por una cuerda y un arco 2απr r απ απ P=UR +cuerda. A=r cuyos extremos coinciden extremos de la P=UR + A= con los 180° Su perímetro y área 360° 180° están determinados por: 360° 2 απr απr απr2 απ+r A= – A UOR P=UR A= – A∆UUOR∆U P=UR + y . 360° 180° 360° 180°2 2απr Observa el cuadro de ayuda. απ A=r –A A= – A∆UUOR ∆UUOR 360° 360° a. Calcula el perímetro y el área del sector circular de un círculo de radio 12 cm, considerando un ángulo central α = 40°.

K α O J Segmento circular: R S

αO U

b. Calcula el perímetro del segmento circular de un círculo de radio 34 cm, considerando un ángulo central α = 150° y que la cuerda que limita al segmento circular tiene una longitud de 55 cm. c. Calcula el perímetro y el área del círculo al que se hace referencia en la pregunta a y el perímetro y área del círculo al que se hace referencia en la pregunta b. Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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c c

n de prob ció

r r

as lem

e e

en co n t i do resol u

uac eval ión

Ángulos y circunferencia En toda circunferencia es posible representar distintos tipos de ángulos. Observa las siguientes ﬁguras: α

α O

¿Qué ﬁgura crees que corresponde a un ángulo del centro, cuál a un ángulo inscrito y cuál a un ángulo semi-inscrito?

Para grabar En toda circunferencia se distinguen diferentes tipos de ángulos. Lee las deﬁniciones y analiza la ﬁgura.

Ángulos del centro: son aquellos cuyo vértice corresponde al centro de la circunferencia y sus lados son dos radios. Por ejemplo, en la figura el ángulo COB es un ángulo del centro. Ángulos inscritos: son aquellos cuyo vértice pertenece a la circunferencia y sus lados corresponden a dos cuerdas. Por ejemplo, en la figura el ángulo CDB es un ángulo inscrito. Ángulos semi-inscritos: son aquellos cuyo vértice pertenece a la circunferencia, uno de sus lados es una cuerda y el otro es tangente a la circunferencia. Por ejemplo, en la figura el ángulo FAE es un ángulo semi-inscrito.

Ángulo del centro

Ángulo inscrito D

Ángulo semi-inscrito F

Identiﬁca qué tipo de ángulos se representan en cada circunferencia. Luego, responde. a.

C A

B O

A B O

C B

Nombra los arcos que puedas reconocer en cada circunferencia. Considera los puntos escritos. a. b. c.

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Unidad 6 • Circunferencia y ángulos

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Identiﬁca el arco subtendido en cada ángulo dibujado. a.

α O

O A C b.

M δ

α H

O β

α O

β L

Calcula la medida de cada ángulo dibujado. a. La medida del ángulo AOB es un sexto c. El ángulo ACE es el complemento de de la medida de un ángulo extendido. 55°. C

B O

Se dice que un arco es subtendido por los lados de un ángulo cuando sus extremos coinciden con los extremos de los lados de dicho ángulo.

B α A

Los ángulos inscritos en una circunferencia que subtienden el mismo arco son congruentes.

A E b. La medida del ángulo ABC es un sexto de 120°.

d. mRQP = 140°. α P

B α

Ayuda

R A T

B α≅β≅γ

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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en co n t i do

uac eval ión

resol u

c c

r r

O B

Ampliando memoria

as lem

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n de prob ció

Relación entre el ángulo del centro y el ángulo inscrito La siguiente demostración establece una importante relación entre un ángulo del centro y uno inscrito en la circunferencia de la ﬁgura. Observa: Hipótesis: sean BOC un ángulo del centro y BAC un ángulo inscrito en una circunfe. rencia, tales que ambos ángulos subtienden el mismo arco, en este caso, BC Tesis: 2mBAC = mBOC AD  BC Demostración: (1) Se traza el diámetro AD, formando ΔCOA y ΔAOB. Además, se une el punto B con el punto C, formando el triángulo OBC. (2) Sean α = mCBO = mOCB, β = mACO = mOAC y γ = mOBA = mBAO, por ser ΔCOA, ΔAOB y ΔOBC isósceles de lados iguales al radio de la circunferencia. (3) De (2) se tiene que mBOC = 180° – 2α, mCOA = 180° – 2β y mAOB = 180° – 2γ. (4) mBOC + mCOA + mAOB = 360°, por formar un ángulo completo. (5) Reemplazando (3) en (4) se puede concluir que 2(β + γ) = 180° – 2α. (6) Como en (3) se tiene que mBOC = 180° – 2α y β + γ = mBAC, se puede concluir que 2mBAC = mBOC. Explica con tus palabras qué se ha demostrado. Generaliza.

La medida de un ángulo del centro de una circunferencia y la medida angular del respectivo arco que subtiende son iguales. O α A

Para grabar Teorema: si un ángulo del centro y un ángulo inscrito en una circunferencia subtienden el mismo arco, la medida del ángulo del centro es el doble de la medida del ángulo inscrito.

C α O 2α

B α

2α   KE KE    Analiza el enunciado y la ﬁEF gura. Luego, responde. EF KE   es  un tercio, mFH  (mKE FH a. Si la medida de KE ) es un noveno de la circunferencia, mEF   un sexto de la circunferencia,KE¿cuáles  son las medidas  y EF HK  siete dieciochoavos m FH EF HK    del ángulo KOF ydel ángulo KE EF AB EOH?  KE AB FH FH HK      EF FH  K  HK BA EF KE AB BA HK E      FH HK  H FH EF AB ABCA OCA BA  AB     HK  BA ED  HK FH BA ED CA  F AB BA  AB   CA  HK ED CA    BA en CA de la circunferencia y BA se divide b. Si AB es diámetro cuatro arcos de igual ED ED     longitud, ¿cuáles son las medidas angulares CA de CA y de ED? ¿Cuáles son las BA medidas del ángulo BOC y del ángulo EOB?    ED ED CA  E ED A D O

C B

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Unidad 6 • Circunferencia y ángulos

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Calcula las medidas de los ángulos dibujados. Considera O centro de la circunferencia. a.

α 90°

c. α

75° d.

b. 30° α O

O α

30°

Resuelve los siguientes problemas. Considera O centro de la circunferencia. a. Si AB es diámetro de la circunferencia, e. Si mOKJ = mJHO = 20°, ¿cuál es la ¿cuál es la medida del ACB? medida  =50° AB del HOK? AB XY  =50° K  =50° XY PQ XY B  PQ PQ QM=80° O J  O  15°  QM=80° EA= QM=80° C A  15° H AB15°  EA= EA= AB AB   =50° XY  =50° medida angular del arco XY es la mitad de f. Si AB mACB = 30° y mAB b. Si DA la es  50°, ¿cuál es la medida del XZY? PQ  100° mDA, ¿cuál es la medida del DEA? PQ KM= Z E DA     KM= 100° QM=80° QM=80° KM= AC D C 100°      EA= 15° AC EA= 15° AC AD O 0    AB  AB AD AB AB D A AB AB  =50°X   XY BDA DA XY =50°  =50° Y A  =50° XY XY  PQes diámetro y la medida c. Si PQ angular 100°, angular de KM=es100° KM= 100° g. Si la medida PQ PQ  ¿cuál es la medida del NMO?   deQM=80° es 80°, ¿cuál es la medida QM=80°  del AC  AC  QM=80° PMO?  15° QM=80°   EA=  EA= 15°  D A D A Q  EA= 15° N EA= 15°  AB  AB M AB   AB  =50° AB  XY  DA O O DA   DA DA PQ  100°  KM= KM= 100°    M 100° K 100° KM= KM= QM=80°  P  AC AC   es15°  es la cuarta d. Si la medida angular de EA= 15°, h. Si mABDAC = 40° y mAC   D A AD es el resultado de   ¿cuál  la medida del parte de mA D, ¿cuál esA AB D mEDA + mECA + mEBA? ángulo CED?  DA B E  KM= 100° E D O  AC O A A C  D A C B D Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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c c

n de prob ció

r r

O B A

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uac eval ión

Relación entre el ángulo del centro y el ángulo semi-inscrito  En la ﬁgura, AB es subtendido por AOB, que es ángulo del centro, y por ABC, que es un ángulo semi-inscrito OB ⊥ BC en la circunferencia.  ΔAOB es isósceles, se cumple que Considera mAOB = 2α. Como AB BC  = 90° – α.OB ⊥ BC mOAB = mOBA AB  Por otra parte, OB ⊥ BC ya que BC es tangente a la circunferencia en el punto B. Luego,  mOBA + mABC BC = 90°, que es equivalente a 90° – α + mABC = 90°. Por lo tanto, mABC = α. De esta manera, es posible aﬁrmar que mAOB = 2mABC. ¿Qué relación existe entre un ángulo del centro y un ángulo semi-inscrito que subtienden el mismo arco? Formaliza la demostración como se hizo en la página 192.

Para grabar Teorema: si un ángulo del centro y un ángulo semi-inscrito en una circunferencia subtienden el mismo arco, la medida del ángulo del centro es el doble de la medida del ángulo semi-inscrito.

O 2α A

α B C

Calcula la medida del ángulo α. Considera O centro de la circunferencia. a. 30° O

30°

α O

O α

Interpreta cada enunciado. Luego, responde. a. Si un ángulo del centro mide 40°, ¿cuál es la medida del ángulo semi-inscrito que subtiende el mismo arco? b. Si un ángulo semi-inscrito mide 50°, ¿cuál es la medida del ángulo del centro que subtiende el mismo arco? c. Si un ángulo semi-inscrito mide 35°, ¿cuál es la medida del ángulo inscrito que subtiende el mismo arco? d. Si un ángulo inscrito que mide 55° y un ángulo semi-inscrito subtienden el mismo arco, ¿cuál es la medida de este ángulo semi-inscrito? e. Si un ángulo del centro es el suplemento de 40° y un ángulo inscrito de vértice C  , al igual que un ángulo semi-inscrito, ¿cuál es la suma subtienden el mismo arco AB de las medidas del ángulo inscrito y semi-inscrito?

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Unidad 6 • Circunferencia y ángulos

 BA=300°    ≅ BC   BA=300° CD CA 1 2 3 4 5 6 7 8 BA=300°  1 2 3 4 5 6 7 8      CD   CD CA ≅ BC CD CA ≅ BC  140° AC= Resuelve los siguientes problemas. Considera CD O centro de la circunferencia. CD     140° AB e. AC= Si la medida angular de AC=es140° 140° y a. Si la medida angular de BA=300° es 300°,      ¿cuál es la medida del CAB? 3 : 4, ¿cuál es  ≅ BC  AB y BC están en la razón AB CD CA la medida del ACB?    BC AC= 150° CD BC   =200°  140°  150° AC= BD 150° AC= AC=   =200° BA=300°  AB// CD  BD A AB  BDC=200°     O  CD CA ≅ BC AB//BA CD O AB// CD BC   CD   150° BA CD BA AC=  140°  AC=   CD B CD BD =200°  C B A AB AB// CD   b. Si mABC = 110°, ¿cuálBA es la medida f. Si los triángulos ABO y OCD son BC  del CDB? equiláteros y la medida angular de AC= 150°  CD es 150°, ¿cuál es la medida  =200°  del DBE? BD BA=300°   ≅ BC AB// CD CD CA A B  BA CD B   E140° CD AC= C O O  D AB  BC A C D  150°  AC= BA=300°     =200°  ≅ BC   es 200°, g. SiBA=300° la medida angular de BD CD c. Si BA=300° es tangente a la circunferencia BA=300°  CA          ¿cuál es la medida del CED?  CA enCD C, CA ≅ BC y mACB = 40°,  ≅ BC  AB// CD CD CD ≅ BC BA=300° CD CA ¿cuál es la medida del DCA?      CD CD   BA AC= 140° CD CD CA ≅ BC     AC=  140° AC= Ampliando memoria CD AB 140° A CD 140° AC= B B    AB  140°  AB BC Si en una circunferencia se AC= AB   trazan dos cuerdas paralelas,  BC   O BC EBC AC= 150° 30° AB O las medidas de los arcos que    =200° AC= 150°   AC= 150° BD se forman entre ellas son BC A AC= 150° D   congruentes.  BD =200°   AB// CD BD =200° BA=300° AC= 150° C BD =200° D C  // CD B AB AB CD  ≅ BC  // BA AB// CD CD CA BD =200°    y D O CD es diámetro y mABC = 10°, d. Si BA AB// CD, mDOB = 70°, mBA h. SiBA A   ¿cuál la medida del BCD?  es140° CD  están en la razón 4 : 7, ¿cuál  es la mCD AC= BA CD C medida del CDE?     AB CD AC ≅ DB D  BC B  AC= 150° D B O  =200° BD A O AB// CD E  C BA C A  CD

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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en co n t i do

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r r

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n de prob ció

Ángulos interiores y ángulos exteriores Un ángulo interior a una circunferencia es aquel cuyo vértice pertenece a la región encerrada por la circunferencia; mientras que un ángulo exterior a una circunferencia es aquel cuyo vértice no pertenece a la región encerrada por la circunferencia ni a ella misma. Analiza las siguientes demostraciones:

D B

Teorema: en una circunferencia, la medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de los arcos que subtienden sus lados y la prolongación de ellos.

C O

B C O A

AD AD Hipótesis: centro O y radio r (C(O, r)) como la de la ﬁgura. AD y AD sea una circunferencia deAD BE AD en elAD punto C, interior a la circunferencia. BE cuerdas que se intersectan BE BE  + mED  BE   BE BA m BE  +m ED mBA + m  mBA BCA= m  mBCA= mBA + mED    m BCA=  + mED  m AD 2 BA + mED Tesis: mBCA=2 mBA 2 BCA=mBA + mED 2 BCA= mmBCA= m AE 22 BE AE AD AD2 AD Demostración: AE AD AE AD  α AE mBEA  + m=ED  AD  Se α AE BA=2 AE (1) traza la cuerda y se denomina = α y mDAE β.  α BE BA m BE BE AD BA=2  α BE BA=2 BCA= BE  α m BA=2   BE    BA=2     Deβ(1) m 2 (2) puede concluir mBA=2α ym (arco subtendido por ángulo inscrito). BE BA=2  +m  β mBA BA + mβED m+ED=2 mBA mED + m ED ED=2 αque  seBA ED=2    m BCA=  m BCA= mBCA=  BA + ED m m ED=2 β AE  m BCA=    BA + ED m m    ED=2 β (3) mBCA = α + β (por ser ángulo exterior del triángulo ACE). mBCA=2 2 ED=22βαm+2BCA=  2 2 β+ + 2α + 2β mBA + mED BA ED mm mm 22 BA ED βED=2  α + β = 2 (α  2 β2)m m BCA= =  α + β) =  BCA=  2  m BCA= + = = α β (α  α + = 2 2 m m BA + ED α + β AE BA=2 α   m BCA= + = α β  AE AE mBCA= α2+ β = (α   2 2 2 2 2 m m 2 BA + ED α + β 2 =2 α + 2 αobtener: + β2) = m2 2α++m2ED β mBA + mED . AE α2+ 2(α β βm)BA 2 BCA= (4) DeAE (2) y (3) se puede AE + αα++ 2=BCA= m2 BCA= =β) == 2 == α +m β (α AE α +α β)AE =β2β== 2(α     2  ED=2 β BA=2 α BA=2α 2 BA=2 AE α 2 2 2 2 2 BA=2 AE α  α BA=2 AE α  BA=2  AE β  + mED    β BE AE AE  BA=2 α BE ED=2 2 2 m 2 BA α + β ED=2 β ED=2 BE  β ED=2 β  BE ) m BCA= + = = α β (α  α + β = ED=2  – mDC  Teorema: en circunferencia, laBE un ángulomexterior es igual a la2 semiβmedida  ED=2 una    m+BA  + mde 2 2 BE   – mD ED=2 β2βBE mBA mBA –m DC 2 2BA + mED βBA mED α +22α2β+ 2m 2 2 ED α +  mBA m BEA=   diferencia de los arcos que subtiende.   BEA= α + β =mBA   ) m BCA= + = = α β (α α + β = ) BCA= + = = α β (α α + β = mBCA= = (α α –+m β2)DC = m2 2 m m BA + ED α + β   BEA= α + β = 2  AE mBCA= mBA mDC –m DC 2α +222β mBA 2BA +2mED BEA=2α2+ β = (α m – 2 2 2 mBCA= = α + βm2) = mBCA= m BA – DC 2 2 22 m BEA= = + mED α +2β = 2(α α +2βα) =+ 2β mBA 2m2 BEA= m α2+BEA= β = (α BCA=m αBD +2β)22= 2 2= BE BD AE AE AE 2 BD 2 la de la ﬁgura. AE y 2 Hipótesis: de centro2 O y radio r (C(O, r)) como BD AE sea una circunferencia BD  – mDC  AC BD BD AE AE ACsecantes que se intersectan BA BE BE en BE el punto E, exterior a lamcircunferencia. AC BE AC m BEA= BE  AC BE AC        D C=2 α 2 AC  BE  – mD DC=2α – mDC mBAm–BA mDC mBA – mDC  D C=2α mBA  – mDC     D C=2α mBA m BEA=  m BEA=  mBEA=    BD m BEA=  D C=2 α m m BA – DC    Dm C=2 2 β DC=2α mBEA= Tesis: βm 2  β BA –αmDC2BA=2 BA=2 2 BEA= BA=2 2 mBEA=  BA=2 β 2 AC     BD BD BA=2 β BD   BD– mDC Demostración: β – 2α mBA 2 BA=2 2ββ –BD 2α BA=2 mBA2β– mDC BD m  β – α = 2 (β – α) = 2 2 = BEA=    m BEA= β – αlas = cuerdas (β – α2) = Se –C=2 DC –se2αdenomina 2= βAC mBA m D α AC (1) trazan y y mCBD = α y mBDA = β. AC BD      2 BEA= β – α = ( BA–2–mmDC DC m –2DC 22α mBA 2β–2β–m 2αα mmBA AC =2 β – α m BEA= β2– α = (β – α2) = m2BEA= 2 2 – 2 β AC 2 –αα))== AC == m α == 2((ββ–= 2 2  m2AC BEA= β –D α = BEA= (α β – αβ)–=     2 2 C=2 BA=2 β (2) Deα (1) se puede concluir que m y m (arco subtendido por ángulo inscrito). D C=2 α D C=2 2 2  2 22 DC=2α  D C=2α D C=2 α 180° – β (por ser suplemento de BDA = β).       (3) En ΔEBD, se tiene que mBDE = D C=2 α – mDC BA=2 2 2β – 2α mBA BA=2 β β BA=2β BA=2 β  = – = m BEA= β – α = ( β α )  BA=2 β BA=2 β mBED (4) De (1) y (3) se tiene que ΔEBD, = 180° – α – 180° + β = β– α.   en  2 2 2 BA=2 β – mDC 2 α BAm–BA 2  2β – 2βα– 2m mDC 2 2β – 2α mBA – mDC  2   = – mDC –2 β=–2α = (β) = αβ) = =mBA –α m2BEA= βDC = mBEA= β – α = (β – α2) = – (m βm–2BEA= α β –mαBA mBEA= β – α = ( – 2 α   2 2 = 2 – = m BEA= β – α = ( β α )  2 2 2 2 2 2 BA – DC – 2 2 β 2 α m m = mBEA= β – α = 2(β – α) = . (5) De (4) se puede obtener: 2 2 mBEA= = β2– α = (β –2α )= 2 2 2 2 2

Para grabar

196

Unidad 6 • Circunferencia y ángulos

Teorema: en una circunferencia, la medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de los arcos que subtienden sus lados y la prolongación de ellos.

Teorema: en una circunferencia, la medida de un ángulo exterior es igual a la semidiferencia de los arcos que subtienden los lados del ángulo.

K β E

α O

H O F

 + mCD  mBA 2 + mCD  m BA   αm = FH – mKE 2 β= 2   mFH – mKE β= 2

α=

    XY KM=IJ140° XY DC=60°   IJ 140° 1 2 3  KM=  1 EF KM=140°  2 3 AB=30°   CD EF  KM= IJ IJ  BA= 140° 100° BA= 100°   110° Resuelve los siguientes problemas. Considera O centro de la circunferencia. CD DE=  EF EF IJDC=60°     DC=60°   110°   DC=60° CDtangente DE= EA=70°  a. Si la medida angular de DC=60° es 60° y la e. Si EF CD es diámetro, es y las  MA=80°  MA=80°     de DE=  de AB=30° es 30°, ¿cuál es laAB=30° medida del , EA=70° y BF =son medidas 110° 10° CD 110°  angularesDE=  XY XY ¿cuál AEB? 110°, y 10°, respectivamente,  100°   70°  EA=70°  100° BA= BF = 10° CA 110° del DCA? EA=70° BA= medida esDE= la  140° KM= 140° KM=  =     =BF   10° BD DC=60°  CA EA=70° BF 10° DC=60° IJ IJ      = 10° C D CA MA=80° BD XH=50° BF CA MA=80° EF EF       H J=60°   BD XH=50°  XY CA BD CD O E XYD CD O  F  C   140°   140° E 110° XH=50° KM= AX BD XH=50° HJ=60° KM= DE=  DE= 110°     J=60°   HBJ=60° IJ DC=60° XH=50° H AX I J EA=70° A DC=60° EA=70°  B A  EF   AX EF H J=60°  = 10° AX BF = 10° AB=30°   BF AB=30° CD   CD AX  es 120°, la  es100° BA= 100° f. Si laCA medida angular de CA b. Si lamedida angular de BA= 100° y  DE= 110°  es 100° y mAEB= 110°,  es 60°, ¿cuál esDE= 110° del ¿cuál la medida de BD DC=60° la de DC=60° BD DC=60°   EA=70° es la BEA? medida del CFD? EA=70°    XH=50° MA=80° AB=30° XH=50° MA=80°   BF  = 10° A J=60° BF  100° J=60° = 10° H XY BA= H XY  A  CA  CA   D DC=60°  140° AX KM= 140° AX KM=    BD  BD D  O  O DC=60° IJ MA=80° E F DC=60° I J   XH=50° XH=50° AB=30°  EFE  EF C XY C  AB=30° J=60°   B  H HJ=60° BA= 100°  140° CD  KM= BA= 100° CD   B   AX AX  110° DC=60° DE= 110°  DE= IJ DC=60°  es 80° y   g. Si mEOA = 120° y mDCB = 40°, c. Si la medida angular de MA=80° EA=70°  EF EA=70° MA=80° ¿cuál es la medida del BOD? mMPA = 60°, ¿cuál es  = 10° la=medida XY BF CD  BF 10° angular de XY?     110°  140° KM= CA  DC=60° DE= CA  KM= 140° E   X BD A   I J DC=60° AB=30° EA=70° IJ P BD  XH=50°  = 10°  100° EF AB=30° BF BA=   XH=50° EF  J=60° H CD   J=60° D BA= 100° CA DC=60° H CD O O    DE= 110° AX    M DC=60° Y DE= 110° BD MA=80° AX  EA=70°    A  B CXH=50° MA=80° XY EA=70°  BF = 10° J=60°   140°  = 10° H XY KM= BF d. Si mKHM = 30° y la medida angular h. Si mXCH = 100° y mKBA = 50°,   CA    de KM= es140° 140°, la medida del IJ? ¿cuál es la medida angular de AX? CA ¿cuál es   BD  EF IJ BD   K XH=50° CD EF  A XH=50°  K  J HJ=60°  110° CD DE= J=60° H H   110°  X B O AX DE= EA=70°  I AX O   = 10° EA=70° BF C  H  M BF = 10° CA J   CA BD   MA=80° DC=60°   XY AB=30°

 BD  XH=50°

 XH=50° J=60° H

J=60° H 

 AX

4 4

5 5

6 6

7 7

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

8 8

197

c c

n de prob ció

r r

as lem

e e

en co n t i do resol u

uac eval ión

Evaluación de proceso

Analizando disco

Pistas Algunas fórmulas de perímetro y área del círculo y del sector circular que puedes usar son:

Circunferencia y sus elementos

1 Resuelve los siguientes problemas. a. ¿Cuál es el perímetro del sector circular de un círculo de radio r = 10 cm, cuyo ángulo central α mide 50°? Considera π = 3.

En el círculo: P = 2πr A = πr2 En el sector circular: απr P = 2r + 180° απr 2 A= 360°

b. ¿Cuál es el área del sector circular de un círculo de radio r = 33 cm cuyo ángulo central α mide 90°? Considera π = 3.

c. ¿Cuál es el perímetro de los círculos descritos en las preguntas anteriores? Considera π = 3.

3 Ángulos en la circunferencia

2 Representa en un dibujo. Luego, escribe el nombre del tipo de ángulo formado. a.

Ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son radios.

Ángulo que tiene su vértice en el exterior de la circunferencia y sus lados intersectan a la circunferencia en dos puntos.

Ángulo que tiene su vértice en la circunferencia, un lado es una cuerda y el otro es tangente a la circunferencia.

Ángulo que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son cuerdas.

198

Unidad 6 • Circunferencia y ángulos

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Relación entre ángulos en la circunferencia

3 Resuelve los siguientes problemas.  es un quinto de la circunferencia, ¿cuál es la c. Si mMK  medida de β – α? AC K

a. ¿Cuál es la medida de COA? C

O B

25°

H  MK  d. Si AC es tangente a la circunferencia de centro O, mEBA = 60° y mCBD = 70°, ¿cuál es la medida de DOE? D C

A b. Si α + β + γ = 90°, ¿cuál es la medida de BOA? Z β

Y X

β O

B A

Ángulos interiores y ángulos exteriores

4 Resuelve los siguientes problemas.   es a. Si la medidaDC=30° angular de DC=30°  es15°  es 30° y la de AB= 15°, ¿cuál AB= 15° la medida deAEB?  BA=80° BA=80° C   DC=20° DC=20° D O E A

 DC=30°  15° AB=

 DC=30°  15°  AB= BA=80° b. Si la medida angular de   BA=80° es 80° y la de DC=20° es 20°, ¿cuál es la medida de BEA?  DC=20° A D E

c. Si mEOA = 114° y mDCB = 30°, ¿cuál es la medida de BOD? E

O D

B A

Mi estado Evalúa tus aprendizajes. De no cumplir con el nivel de logro indicado en cada actividad, se recomienda, antes de seguir adelante, que vuelvas a las páginas señaladas en cada caso y refuerces los contenidos. Contenido Nivel de logro por actividad Páginas para reforzar 1 Circunferencia y sus elementos 2 de 3 188 y 189. 2 Ángulos en la circunferencia 3 de 4 190 y 191. Relación entre ángulos en la circunferencia 3 3 de 4 192 a 195. 4 Ángulos interiores y ángulos exteriores 2 de 3 196 y 197. Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

199

en co n t i do

uac eval ión

resol u

c c

r r

as lem

e e

n de prob ció

Relación entre dos cuerdas Así como se relacionan los ángulos en la circunferencia, también lo hacen las cuerdas.

La siguiente demostración establece una importante relación entre dos cuerdas en la circunferencia de la ﬁgura. Observa: AB

B E O

Hipótesis: sean AB y CD dos cuerdas de una circunferencia de centro O y radio r, tales que se intersectan enCD el punto DE E, EAinterior DA a la circunferencia. = = BE • EA Tesis: DE • EC = DE BE DA EC BC EA Demostración: BE = EC = BC (1) Se une el punto A con el punto D y el punto C con el punto B, formando los triángulos DEA y CEB. (2) BAD ≅ BCD por subtender el mismo arco BD, y DEA ≅ CEB por ser ángulos opuestos por el AB vértice. (3) De (2) se tiene CD que ΔDEA ∼ ΔBEC por postulado AA. DE EA DA . (4) De (3) se tiene = = BE EC BC (5) De (4), si se consideran las dos primeras razones, se tiene que DE • EC = BE • EA. Explica con tus palabras qué se ha demostrado. Generaliza.

Para grabar Teorema: si dos cuerdas se intersectan en un punto interior a una circunferencia, los productos de los segmentos determinados en ellas son iguales. N

200

Unidad 6 • Circunferencia y ángulos

NA • AQ = PA • AM

A O Q

MT MT Representa conMT un dibujo MT cada enunciado. Luego, responde. PQ MT MT PQ MT MT yPQ cortan en el punto A. a. Dos cuerdas PQ seMT MT MT PQ MA PQ PQ MA= 12 cm, QA Si PA = 4 cm PQ MA MA PQy AT = 16 cm, ¿cuál es el PQ PQ MA AB MT MA AB de la longitud de MA doble ? MA AB AB MA MA MA AB CD PQ AB CD AB AB ABy CD CDse intersectan AB AB CD AE en el punto E b. MA Las cuerdas CD CD AE CD de tal manera que AE : EB = 1 : 3. Si AB = 8 cm y CD AE CD AE AE EB AB CD AE AE CEEB = 4 cm, ¿cuál es la tercera parte de la longitud AE EB EB AE AE AE EB ED CD EB de ED? EB EB ED ED EB EB EB ED XZ AE ED XZ ED ED y XZ XZ seED ED ED XZ WY intersectan en el punto K de c. EB Dos cuerdas XZ XZ WY XZ tal manera que WK = (a + XZ WY WY 3) cm, KY = (a + 6) cm, XZ XZ WY KZ ED WY XKKZ = (a + 1) cm yWY KZ = (a + 13) cm. ¿Cuál es el 50% WY KZ KZ WY WY WY KZ OM XZ de la longitud de KZ? KZ OM KZ OM OM KZ KZ KZ OM PQ WY OM PQ OM OM OM PQ una circunferencia de centro O se d. KZ El radio OM de PQ MB PQ OM PQ MB PQ PQ intersecta con la cuerda en el punto B, tal que B PQ MB MB PQ PQ MB OM MB MB y MB : BO = 2 : 3. divide al radio interiormente MB MB MB MB PQ Si PB = 20 cm y BQ = 5 cm, ¿cuál es la longitud de MB?

1 1

2 2

CE PZ Resuelve los siguientes problemas. Considera O centro dePZ la circunferencia. EF CE e. Si LE = (14 –EF2m) cm, AE a. Si AE = 8 cm, EB = 10 cm y = (m + 4) cm, TA PZ EK = (10 – 2m) cm y PE = (m + 5) cm, CE ED = 16 cm, ¿cuál es la longitud de ?  TA ¿cuál EF es la longitud de PK ? PZ PK  OA EF TA L OA B C BD  PK TA BD AC E OA PK AC O CO O BD P A OA D CO BD AC E BD BD A XY CO AC K XY MP BD CO MP AB de la XY b. Si MY = 20 cm, MP : PY = 3 : 2 y CE f. Si es diámetro, el radio BD AB circunferencia mide 10MP cm, AY = 4 cm XP = 4 cm, ¿cuál es la longitud de PZ? MP XY MP¿cuál es el triple de la y WA = 6 cm, AZ EF AB MP AZ ? longitud de  TA TA MP CE CE AB TA W PK AZ PZ PZ MP CE Y YCE X OA TA EF EF AZ PZ CE PZ P  BD M  TA TA EF O PZ TA Z O A EF CE AC  PK  TA EF PK TA PZ CO Z CE  OA OA CEPK PK TA X EF BD PZ BD PZOA CEOA CE PK BD  XY TA EFAC EF OA esAC c. Si AD = 18 cm, HD = 2 cm y EH = PZ 2HF, g. PZ SiBD perpendicular a BD, OE = 6 cm  MP PK  TA CO EF CO ¿cuál es el doble de la longitud de EF? , ¿cuál es la TA cuarta y AC BD ≅ AC parte de AB OA   PK BD ? la longitud de CO PKCO TA TA AC BD MP BD OA XY OABD PKBD PK CO XY B AZ D EAC BD MP E XY BDXY OA OA BD MP TA CO AC AB H MP ACMP BD BD XY AB F BD O CO MP A AB AC AC MP MP C O COAB XY BD AZ MP BDMP CO CO AB AZ MP XY TA A XYAZ BDAZ BD MP TA D AB MP TA MPTA XY XY AZ MP AB es perpendicular a AB, AB = 10 cm, d. Si OA = 3 cm, AP = 2 cm y MP h. MPTA AZ QA = 12 cm, ¿cuál es el 75% de la AB CP = 2 cm y MP es diámetro. MP ¿Cuál es AB longitud de TA? el perímetro de la circunferencia? AZ AZ MP MP TA TA AZ AZ Q A TA TA O

A P T

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Ampliando memoria Si un diámetro de la circunferencia intersecta perpendicularmente a una cuerda, entonces esta se dimidia. P

O A

C B

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

201

c c

B O

n de prob ció

r r

as lem

e e

resol u

en co n t i do

uac eval ión

Relación entre dos secantes

 PA    PA , sedeter Si desde un punto P exterior a una circunferencia setrazan dos secantes PA y PC PA   PC    PA minan segmentos que cumplen la siguiente relación:  P  desde  el producto de las distancias PC PA PA PC       a los puntos de intersección de cada secante con la circunferencia son iguales. Observa la PA PC         PC PA siguiente demostración basada en la ﬁgura.  PC  PA PC PA     PCPA PA    PA PC     Hipótesis: se tiene una circunferencia C(O, r); PA y PC son secantes que seintersectan    en   PA PAPC PC  B y D son el punto P, exterior a la circunferencia; puntos de intersección PA y PC con de PClosPA      PCPA DB la circunferencia respectivamente. PC   PC PA PC  PA DB   Tesis: PA • PB = PC • PD DA PD PA DBPC  = PA = PD DA   DB PC DB PBA= BC = Demostración: D PA PC PD PC PC PA  PA PD DA DA BC = PA = PD PB  (1) Se une el punto C con el punto B y el puntoDB A con el=punto D, formando los triángulos    = = BC PC PB = PA PC PC PB BC PBA BC PDA y PBC.  PA PC PD D = = PC . BC subtienden a DB PBambos (2) mAPD = mCPB y mPAD = mPCB, PC ya que  DB por postulado de semejanza AA. PA PD DA (3) De (2) se tiene que ΔPDA ∼ ΔPBC = = PA PD DA PC PB BC . (4) De (3) se puede establecer que = = PC PB BC (5) Por último, considerando las dos primeras razones se obtiene: PA • PB = PC • PD.

Para grabar Teorema: si desde un punto P cualquiera, exterior a una circunferencia, se trazan dos secantes que la intersectan en dos puntos cada una, entonces el producto de las distancias desde P a los puntos de intersección de cada secante con la circunferencia son iguales.

QP O b. En una circunferencia de centro y radio r, las cuerdas QP y TH se prolongan hasta que se intersectan TH QP TH en el punto M. Si QP = 12 cm, el QP TH mide 4 cm y segmento exterior a QPTH TH mide 6 cm, el segmento exteriorTH a TH ¿cuál es la longitud de TH? TH

Unidad 6 • Circunferencia y ángulos

T X

Q PM • PX = PQ • PT

O M

Representa con un dibujo cada enunciado. Luego, responde. a. Desde un punto A exterior a una circunferencia se trazan dos rectas secantes, de tal manera que una de ellas la intersecte en los puntos B y C; y la otra, en los puntos D y E, donde AB < AC y AD < AE. Si AB = 4 cm, CB = 11 cm y AE = 12 cm, ¿cuál es la medida del segmento DE?

202

1 1

2 2

HK LM LM Resuelve los siguientes problemas. Considera O XQ centro de la circunferencia. XQ e. Si AP es diámetro, AB = 3 cm, a. Si PL = 7 cm, LK = 3 cm y JK = 2 cm, BPBT = 4 cm, PQ = 3 cm AP y TQ = 2 cm, ¿cuál es la longitud de MJ? ¿cuál es la longitud de ? BT DE HE HE HK XE MJ XE B LM TR M DE T TR XQ J JT HK O JT K A AP HA P Q OLM L HA BT P XQ HE AP XE BT MJ b. Si AB = 4 cm, BC = 9 cm cm, f. Si HE = 18 cm, HA = 9 cm y AD = 7 cm, TRy AD = 6MJ DE ¿cuál es la cuarta MJHE parte de la longitud ¿cuál es el triple de la longitud de DE? JT del segmento HK DEXE? HK HA TR LM HK LM A D JT XQ LM B D XQ HA A AP XQ AP BT

O MJ

TR DE c. Si HK es diámetro, FH = 5 cm, JT HKes el HKLM = 8 cm y FL = 4 cm, ¿cuál HA cuádruplo de la longitud de LM? XQ XQ AP AP BT M BT HE L HE XE F O XE K H TR TR MJ JT JT DE HA HA HK d. Si XY = 3 cm, YQ = (k + 1) cm, HQ = k cm yLM MH = 6 cm, ¿cuál es la longitud de XQ?

BTX HE

E MJ

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

BT HEE XE TR

g. En la ﬁgura, TR es diámetro y JT mide lo mismo que MJ un HA JT radio de la circunferencia. Si JL = 6 cm y LP = 12 cm, ¿cuál es el DE perímetro deHA la circunferencia? HK LM XQ

AP J

TBT HEL

XE TR h. Si PT = 27 cm, PQ : QT = 2 : 7 y PH = 4 cm, JT ¿cuál es el doble de la longitud de HA?

AP BT

HE XEO TR M

Q H

Q P

O H

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

203

c c

O α A

n de prob ció

r r

β B

as lem

e e

resol u

en co n t i do

uac eval ión

 AC   PA AC DC CB DB  = =  PA AC AC  CD AD  DB DC CB DC = = PA AD  tangenConsiderado ﬁgura, la siguiente que al trazar una recta  demostración establece AC  CD laBC DC CB DB AC = manera que estas = de tal ) a una circunferencia, te (DC) y una recta  rectas se AB secante (AC  CD AD AC punto C exterior    intersecten en un a la circunferencia, el cuadrado de la distancia entre el PA BC PA CD DC punto de tangencia al producto entre la longitud de la cuerda formada por laDB  y C es igual DC CB AB DC CB DB = = secante (AB) y el segmento=exterior recta = a ella (BC). AD CD AC CD AD AC   CD    AB  Hipótesis: en una circunferencia es secante a la circunferencia y DC tangente a  DC C(O, r), AC  AB la circunferencia en D, que se intersectanPA en el punto CD C. BC BC  Tesis: (DC)2 = CB • CA AB DC CBAB DB AB  = = Demostración:  AD CD AC CD  CD D y el punto  (1) Se une el punto A con el punto D con el punto B, formando lostriángulos  DC AB DBC y DBA. AB  BCcomún entre ΔDBC y ΔDCA. (2) mDCB = mDCA = β, por serángulo AC AB (3) mCDB = mDAC = α, por serángulos   que subtienden el mismo arco. PA CD por postulado de semejanza AA. (4) De (2) y (3) se tiene que ΔDCB ∼ ΔACD  CB DB DC AB . (5) De (4) se puede establecer que = = AD CD AC  (6) Por último, considerando las dosprimeras razones se obtiene: DC • CD = CB • AC. Pero DC como DC = CD y AC = CA, se tiene que (DC)2 = CB • CA. BC

Relación entre una secante y una tangente

Para grabar

AB  CD Teorema: si desde un punto P exterior a una circunferen cia se traza una recta tangente y una recta secante AB a ella, entonces el cuadrado de la medida de la distancia desde el punto P al punto de tangencia T es igual al producto entre la medida de la cuerda formada por la recta secante y la medida del segmento exterior de ella, cuyos extremos están en la circunferencia y P.

Unidad 6 • Circunferencia y ángulos

Q P O T

Representa con un dibujo cada enunciado. Luego, responde.  a. Desde un punto A exterior a una AB circunferencia se traza la recta   tangente AB y la recta secante AD, de  tal manera que la intersecten enMP los AD    puntos C y D. Si AC = 6 cm y MP TA DC = 18 cm,  ¿cuál es la mitad de la  medida del MP  TAsegmento AB? AB AB  MP  AD AD b. En una circunferencia, la cuerda AB  MP MP se prolonga más allá de P hasta AD   intersectar a una recta tangente TA TA MP de  en el punto A, donde T es el punto MP MP TA tangencia. Si PA = 2 cm y TA = 4 cm, ¿cuál es el doble de la longitud de MP?

204

(PT)2 = PQ • PR

1 1

2 3 2LK 3

  FG  circunferencia. Resuelve los siguientes problemas. Considera O DC centro dela ED DC    e. Si DC el triángulo PTQ está inscrito en la a. Si DC es tangente a la circunferencia DC LK HJ semicircunferencia, PQ = 6 cm, enDC el punto D, AB = 5 cm y BC = 4DC cm,  HJ KL QTLK= 8 cm, TJ ¿cuál es la mitad de la longitud de DC? = a cm y HJ = (a + 3) cm, HJ ¿cuál es el cuádruple de la longitud de PJ? LK  HJ  JK    LK JK CD LK LK JK  D LK CD JK   FG LK FG H B  LK T J EDP    FG    C O ED FD DCODC FG  LK B ED   DC LA LK DC DC EDDC H Q  KL DCLK A  DC KB KL DC HJ HJ LKDC PJ DCKL    HJ PJ DC LK LK es tangente y laKLHJ f. Si CD es tangente  a la circunferencia,  b. HJPJ es diámetro,    LK CD HJ FDCD = 15 cm yFE : ED = 4 : 1, ¿cuál es la longitud de JK es JKel doble que la dePJ LK LK  JK ? longitud de LK unCD radio de LK la circunferencia. ¿Qué CD CDJK  LK H B JK    expresión, en función del radio, CD  LK BJK  FGdoble H  CDLK? representa el FD FG de la longitud de LK       BH FG FD  LK ED  BH LA  FG FGFD  ED DC     ED DC L F LA FG LK  FD KB ED LK EDLA DC DC  E  DC LK KB ED KL LA DC DC KL  LK LKKB HJ D HJ KL K KB  LK PJ OPJ J DC HJ KL KL H O   LK  PJ LK KL CD CD  HJ PJ PJ LK JK   JK CD C PJ CD CD LK JK    CD CD LK   LK CD    CD BH  BH  JK LK CD CD  g. En la ﬁgura, CD  tangente FG mide 5 cm y EF = 3 FG c. La cm. BH es tangente a la  FD FD LK = 6 FGcm  BM = 4 cm, MO B?H H es la mitad B¿Cuál circunferencia,  ED de la longitud de ED FD     H B LA  LA y BF = 5 cm. ¿Cuál es el quíntuplo de la FG ED FDDC FD  LK  LA LK longitud de FD? DC KB KB ED LA LADC LK KL  KB KL LA DC KB LK KBHJ KL H PJ F  PJ  KB HJ  KL PJ  LK E CD  CD LK PJ CD M JK CD  B CD O JK  O  CD CD LK BH  BH  LK F G CD    H B FG D FD  D FD FG BH FD ED LA LA  ED FD= 3LA  h. Si XW = 6 cm, XL = 4 cm y XK d. Si LK es tangente KB cm, KB a la circunferencia, LK LKKL = (a + 2) cm, KM = a cm y ¿cuáles son las longitudes de LA y KB? MP = 5 cm, ¿cuál es la longitud de KL? KB PJ  PJ  CD B L CD CD K  CD O  O BH BH X L FDK FD M A P LA W LA KB KB

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Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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Cuadriláteros y circunferencia Existen dos teoremas que relacionan cuadriláteros y circunferencias. Observa sus demostraciones considerando cada ﬁgura.

C γ

Teorema: en todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia los ángulos opuestos son suplementarios.

D δ

β B

α A

Ayuda En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia se tiene que la distancia entre un vértice del cuadrilátero y los dos puntos de tangencia más cercanos a él son iguales. Por ejemplo, en la ﬁgura: C F B E

O G

D H

Hipótesis: se tiene una circunferencia C(O, r) y ABCD es un cuadrilátero inscrito en ella.   α, β, δ y γ son ángulos interiores delmcuadrilátero inscrito. mBD BD α= α=  Tesis: α + γ = 180° y β + δ = 180°. 2 2 mBD α =   Demostración: mDB 2 mDB  m BD (1) α es un ángulo inscrito que subtiende BD y 2γ es un ángulo inscrito que subtiende 2 α = el arco mDB el arco DB.  2  mBD mBD 2   mBD  mDB  + mDB  = 360°. , γDB = y mBD (2) De (1) se tiene que α = m 2  2  mBD   mBD+  mDB  360°  m  mm  m360° mBD DB DB DB  mBD BD+ mDB m BD m DB α = = = + = 180° = = + = 180°. (3) De (2) se tieneque α + γ =  2mDB  2 360° 2 2 mBD+ 2 mBD 2 2 2 mBD 2 2 mDB  α= mDB = + AB = = 180°  (4) Por lo tanto, γ = 180°. α2m+DB AB  mBD 2 2 2 2 m BD     α = que  β 2+ δ = 180°. BC mBD mDB m Demuestra BD+ mDB 360° m2DB mBD = + AB = BC = 180°  α=  mDB  2 2 2 2 CD m2DB 2 mBD BC CD  mDB  AB  m Teorema: en todo cuadrilátero circunscrito aDB una circunferencia la suma de las longitum m BD+ BD 360°   DA BD mopuestos 2 mlados DBdos CDde=las DB + = 180° de los otros dos lados desmde es DA igual=a la suma longitudes 2    2  2  BC 2 2 mBD opuestos. mDB mBD mDB mBD+ mDB DA 360° AB = CD =    = 180° + m  mDB 2 360° mBD mDBmBD m 2 2 2 BD+ DB Hipótesis: se tiene una BC circunferencia C(O, r)=y18 ABCD DA = = + 0° es un cuadrilátero circunscrito a ella.      AB 2 m 2 360° 2cuadrilátero con la circunferencia. E, F,m GDB ym HBD son2puntos de intersección del mDB BD+ m DB = = CD  + = 180°  2+m   AB Tesis: DA CB =2BC CD + AB 2 2 mBD mBD+ m DB DB 360° DA = = + = 180° Demostración: 2 CD 2 2 AB BC 2 (1) AB, BC, CD y DA son segmentos tangentes a la circunferencia por ser lados del cuadrilátero a la circunferencia. BC DA CDcircunscrito (2) CD AB =DA AG + GB, BC = BF + FC, CD = CE + ED y DA = DH + HA, por ser E, F, G y H puntos de intersección del cuadrilátero con la circunferencia. DA (3) AG = HA, GB = BF, FC = CE y ED = DH, por ser congruentes los segmentos tangentes a una circunferencia. (4) De (2) se tiene que DA + CB = DH + HA + BF + FC. (5) De (3) y (4) se tiene que DA + CB = DH + HA + BF + FC = ED + AG + GB + CE = (CE + ED) + (AG + GB) = CD + AB (6) Por lo tanto, DA + CB = CD + AB.

A Se tiene: ED = DH, HA = AG, GB = BF y FC = CE.

206

Unidad 6 • Circunferencia y ángulos

Para grabar En un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos suman 180°. En un cuadrilátero circunscrito, la suma de las medidas de dos lados opuestos es igual a la suma de las medidas de los otros dos lados opuestos.

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Resuelve los siguientes problemas. Considera O centro de la circunferencia. a. ¿Cuál es la medida del ángulo ACE?

50° D

e. Si AB = 20 cm, DC = 10 cm y AD = 12 cm, ¿cuál es la longitud de BC?  mPM D

b. ¿Cuál es el valor de a + m?

B f. En la ﬁgura, KOMQ es un cuadrado de lado 5 cm. Si PK = 8 cm, MT = 4 cm y BA = 3 cm, ¿cuál es el perímetro del cuadrilátero PATQ? Q

A °

100°

O 4a +

D c. ¿Cuál es la suma de las medidas de los ángulos XWZ y YXW?

A b

0°

O 2a

BC  mPM

5°

C E

° 45

En las ﬁguras de los problemas e, f, g y h considera que las circunferencias de centro O están inscritas en los cuadriláteros correspondientes a cada caso.

g. Si el perímetro del cuadrilátero ADBC es 40 cm, ¿cuál es el resultado de DH + BG + CF + AE?

W 3a

Ayuda

10°

5 +1

K 5°

2 2

G B

= 40° y mMAT = 70°, ¿cuál h. Si AD + BC = 15 cm, EB = 3 cm y d. Si es la medida del ángulo TMP? DK = 6 cm, ¿cuál es el resultado de KC + AE? D A Q

L O

O T

A E

C H

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Trabajo de habilidades

Resolución de problemas B

1 Analiza la resolución del siguiente problema.

¿Qué es aplicar? Aplicar consiste en llevar a cabo o utilizar un procedimiento en una situación dada.

¿Qué tengo que hacer para aplicar un procedimiento?

Si la circunferencia de la ﬁgura tiene radio OB = 5 cm y mACB = 45°, ¿cuál es la medida de la superﬁcie achurada?

Paso 1 Comprende el enunciado

A ¿Qué datos son necesarios para resolver el problema? Como se quiere calcular el área de un sector circular, es necesario conocer el radio y la medida del ángulo del centro asociado al sector circular.

Paso 2 Planiﬁca lo que vas a realizar

Interpretar la información entregada en el problema, utilizando la representación. Emplear el procedimiento propuesto en la resolución del problema.

Primero se calculará la medida del ángulo central del sector asociado, luego se planteará la fórmula con la que se puede calcular el área de un sector circular y se reemplazarán los datos que se tienen. Finalmente, se calculará el área del sector correspondiente.

Paso 3 Resuelve el problema Interpreta la información. La fórmula que relaciona el área (A) de un sector circular con el radio (r) de un círculo y el ángulo del centro (α) del sector circular respectivo es:

Etapas de la resolución de problemas Paso 1. Comprende el enunciado.

Paso 2. Planiﬁca lo que vas a realizar.

α O

π • α • r2 360° 1

Emplea el procedimiento. π • α • r 2 π • 90° • (5 cm)2 π • 90° • 25 cm2 π • 90° = del = arco que el ángulo A= = Como el ángulo ACB es inscrito y subtiende el mismo 360° 360° 360° 36 centro AOB, la medida de este último es el doble que la del primero, es decir, mAOB = 90°.

Paso 3. Resuelve el problema. Paso 4. Revisa la solución. A=

π • α • r2 360°

Luego, es posible plantear la fórmula para realizar el cálculo pedido: 1

π • α • r 2 π • 90° • (5 cm)2 π • 90° • 25 cm2 π • 90° • 25 cm2 π • 25 cm2 = = A= = = ≈ 19,6 cm2 360° 360° 4 360° 360° 4

El resultado se ha aproximado, por redondeo, a la décima y se ha considerado π = 3,14.

Paso 4 Revisa la solución Como la medida del ángulo central AOB es 90°, es posible deducir que el área del sector circular corresponderá a una cuarta parte del área total del círculo. Luego: A = π • r2 = 3,14 • (5 cm)2 = 3,14 • 25 cm2 = 78,5 cm2 Pero como el área del sector circular es la cuarta parte: 78,5 cm2 : 4 = 19,625 cm2 Redondeando a la décima, se tiene que el área del sector circular es 19,6 cm2.

208

Unidad 6 • Circunferencia y ángulos

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

2 Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente.

En la ﬁgura, se tiene que el área del triángulo ACB es 18 cm2. Además, se sabe que AC = CB y que el segmento AB es diámetro de la circunferencia de centro O y radio r. ¿Cuál es el área de la superﬁcie achurada?

O A

Paso 1 Comprende el enunciado

8 8

¿Qué datos son necesarios para resolver el problema?

Paso 2 Planiﬁca lo que vas a realizar

Paso 3 Resuelve el problema Interpreta la información.

Emplea el procedimiento.

Paso 4 Revisa la solución

3 Resuelve en tu cuaderno el siguiente problema.

C E

En la ﬁgura, CE : EB = 3 : 2 y AD = 5 cm. ¿Es posible calcular la longitud del segmento DB? De serlo, calcúlala. A

6 cm x

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

209

Recta tangente y recta secante

Ángulo inscrito y semi-inscrito en una circunferencia

Ángulo del centro

Relación entre un ángulo del centro y uno inscrito en una circunferencia

Ángulo interior y exterior a una circunferencia

Relación entre dos cuerdas en una circunferencia

Relación entre una secante y una tangente

Ángulos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia

210

Unidad 6 • Circunferencia y ángulos

Deﬁnición o procedimiento

Ejemplo

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Cargando disco Analiza el siguiente ejemplo de pregunta PSU referida a la suﬁciencia de datos. En la circunferencia de centro O de la ﬁgura, se puede determinar la medida del ADB si:

B E

(1) EO : OD = 1 : 2 (2) DE ⊥ AC

A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Ambas juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) ó (2). E. Se requiere información adicional.

Para responder de manera correcta esta pregunta, primero puedes analizar cada una de las proposiciones por separado y determinar si entregan suficiente información por sí solas. De esta manera, al considerar la condición (1) es posible deducir que: r x 1 = ⇒ x = , donde x representa la medida del segmento EO. 2 r 2 2 Esta información no es suficiente para   del ADB. Es más, en las siguientes figuras se ilustran dos 3r calcular la medida 2 r   ⇒ m AB = h +   =r posibles casos que satisfacenh= esta condición. 2  2  B C B C E E

( )

O A

Por otra parte, si solo se considera la información de (2), se tiene que ocurre algo similar. Las siguientes ﬁguras ilustran dos posibles casos que satisfacen esta condición:

r x 1 x= ⇒considera Ahora,=si se (1) y (2) de manera simultánea, se tiene que el triángulo DAB es rectángulo en A. 2 r 2 A

r  3r ⇒ m AB = h2 +   =r . Por lo tanto, el triángulo BOA es equilátero y Así, h= 2  2 

( )

el ángulo ADB mide 30°.

3r 2 B r E 2

h D

Por lo tanto, con ambos datos es posible calcular el valor de la expresión. Así, la alternativa correcta es C, ambas juntas, (1) y (2) A

3r 2 r B2 C

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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Evaluación ﬁnal

Verificando disco

I. Lee atentamente cada una de las preguntas y marca la alternativa correcta. 1 Si dos circunferencias son congruentes, ¿cuál(es) de las siguientes aﬁrmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I. Sus perímetros son iguales. II. Sus radios son de igual longitud. III. Sus centros son coincidentes. A. B. C. D. E.

Solo III. Solo I y II. Solo I y III. Solo II y III. I, II y III.

2 En la circunferencia de centro O y radio r, MN es diámetro. Si MP = r y Q es punto medio del segmento r 3 MP, ¿qué expresión representa la longitud del r 21 segmento QN? MN MN MN r 3 A. rr 3 3 N r 3 2 B. rr 21 21 r 13 r 21 O rr 3 3 2 C. r 3 2 2 r 21 2 rr 13 Q M P2 13 D. 2 r 13 2 AB 2 rr 21 21 3 3 cm r 21 E. 2 2 3 7 cm 2 AB AB 3 En la ﬁgura, AB es diámetro de la circunferencia de 6 7 cm 3 cm 3 3 cm 3 centro O. ¿Cuál es la medida del ángulo x? 3 3 cm 3 6 cm 3 3 7 7 cm cm C 3 7 cm A. 20° AB 7 6 cm B. 6 40°7 cm xx 6 7 cm 20° 3 C. 3 70°6 A B 6 cm cm 2 O 3 6 cm D. 110° AB AB E. 160° AB xx x 2 2 ﬁgura, los puntos P, Q, R y S pertenecen a la 4 En la 2 circunferencia de centro O. Si QT : TP = 3 : 4, QT = 6 cm y ST = 12 cm, ¿cuál es la medida del segmento RT? P A. 4 cm R B. 6 cm O T C. 8 cm D. 9 cm Q E. 10 cm S

212

Unidad 6 • Circunferencia y ángulos

5 En la ﬁgura, los segmentos AB y CD son perpendiculares. Si el radio de la circunferencia tiene MN unaMN longitud de 13 cm y BE = 8 cm, ¿cuál es la longitud MN MN C delrrsegmento CE? 3 rr 3 3 3 21 21 A. rrrr4 cm 21 21 E A B B. 8 3 rrr cm 3 3 O 3 r C. 122cm 2 2cm D. 162 rrr 13 13 D E. 24 cm r 13 13 2 2 2 2 r 21 21 r 6 Si Orr es 21 21centro de la circunferencia, OC = 12 cm y 2 OD =2 9 cm, ¿cuál es la medida del trazo AB? 2 2 MN AB AB AB ABcm A. 7 D A r 3 B 3 cm 3 3 3 cm 3 cm cm 3 3 B. 3 7 3 cm Or 21 7 3 cm C. 3 7 cm 3 7 cm r 3 7 cm 6 D. 6 7 cm 6 7 cm cm 6 7 2 C MN 6 cm E. 3 6 cm 3 3 6 cm cm 3 6 r 13 AB r 3 AB AB AB 7 ¿Cuál z en la siguiente circunferencia?2 xxx es el valor de r 21 x r 21 2 2 2 A. 1,5 r 3 2 cm 2 z B. 2,6 cm 2 2 AB cm O C. 4 cm r 13 cm 3 63cm D. 24 cm 2 8 cm E. 40 cm 3 7 cm r 21 6 7 cm 2 8 ¿En cuál de los siguientes dibujos se veriﬁca la relación: AB 3 6 cm x2 = p • q? I. x

q p x

3 II.3 cm 3 B7 cmx

III. A

6 7pcm p 3 q6 cm AB : tangente

A. B. C. D. E.

x Solo I y II. Solo II y III. 2 Solo I y III. I, II y III. Ninguna de las anteriores.

2x p

AB x 2 q

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8  PQ

9 En la ﬁgura, O es el centro de la circunferencia dibujada. Si BC = AB, DE = 16 cm y CE = 4 cm, ¿cuál es el área encerrada por la circunferencia? A. B. C. D. E.

5π cm2 10π cm2 20π cm2 25π cm2 2,5π cm2

 10 En la figura, el PQ segmento de recta tangente a la circunferencia mide 8 cm y los segmentos πr determinados por la secante miden 4 cm y w cm. 3 ¿Cuál es la longitud del segmento representado por w? πr 8 cm A. 2 cm 6 B. 4 cm 2πr C. 12 cm w 3 D. 16 cm 4 cm r anteriores. E. Ninguna deπlas 12  11 Si en la figura, PR es tangente, PR = 6 cm y PB = 18 cm, ¿cuál es la longitud  del segmento BA? AB A. 2 cm B A B. 4 cm P C. 6 cm D. 9 cm E. 16 cm R  12 En la figura, PQ es tangente. ¿Cuál es el valor de x? A. 24 cm πr Q B. 31 cm 3 16 cm C. 96 cm πr D. 192 cm 6 P x 8 cm E. Ninguna de las anteriores. B 2πr A 3 13 Si en la circunferencia de centro O, la medida del πr ángulo AOB es la mitad de la medida del ángulo BAO, 12  ¿cuál es la medida del ángulo ACB? PR A. 18°  B. 22,5° AB C O C. 36° D. 45° E. 72° A B

πr 14 En la circunferencia de centro O de la figura, si 3 πr α + β = 32°, ¿cuál es el valor de γ? 6 A. 16° 2πr B. 32° γ α C. 48° O3 D. 64° πr β E. 96° 12   PR 15 En PQ la figura, los puntos A, B y C pertenecen a la PQ ? PQ circunferencia de radio r. ¿Cuál es la longitud de AB π πrr πr A. 3 3 3 π B πrr B. π6r 6 6r 2 πr 2π 30° C. 23πr A C 3 3 πrr D. π π r 12  12  12  E. PR Ninguna de las anteriores. PR PR   AB AB figura, la recta PT es tangente a la circunferencia 16 En la AB circunscrita al triángulo PQR. ¿Cuál es el valor de α? A. B. C. D. E.

80° 100° 120° 125° 130°

R P

30° 50°

T 17 En la circunferencia de centro O, la recta MN es tangente a ella en el punto M. Si A y B pertenecen a la circunferencia, ¿cuál es el valor de x? A. B. C. D. E.

15° 30° 60° 70° 140°

x B

60° M

18 En la ﬁgura, circunferencia de centro O y radio r, el triángulo inscrito ABC es equilátero. Si los segmentos PA, QB y TC son tangentes a la circunferencia en A, B y C respectivamente, ¿cuál es el valor de α + β + γ? A P A. 360° α B. 180° C. 90° D. 60° Q β O E. 45° γ C B T Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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Evaluación ﬁnal

19 En la ﬁgura, la medida angular del arco AC es 86°; y la del arco BD, 144°. Si P es el punto de intersección de las cuerdas AB y CD, ¿cuál es la medida del ángulo APD? A D A. 45° B. 60° P C. 62° O D. 65° C E. 135° B 20 Las medidas angulares de los arcos AB y DC son 124° y 66°, respectivamente. Si las cuerdas AD y BC se intersectan en Q, ¿cuál es la medida del ángulo AQB? C D A. 80° Q B. 82° C. 85° D. 90° O A E. 95° B 21 En la ﬁgura, las cuerdas AB y CD se intersectan en el punto P. Si el ángulo APD mide 115° y la medida angular del arco CA es 82°, ¿cuál es la medida angular del arco DB? C B A. 24° B. 41° P 115° C. 48° D. 65° A E. 164° D 22 Si la medida del arco BD es un noveno de la longitud de la circunferencia y la del arco EA es un cuarto de ella, ¿cuánto mide el ángulo ECA? A. B. C. D. E.

25° 45° 50° 65° 130°

D C

214

Unidad 6 • Circunferencia y ángulos

A. B. C. D. E.

10° 20° 40° 70° 80°

B α O

E C

25 El cuadrilátero ADJH está circunscrito a la circunferencia. Si AK = 5 cm, HM = 3 cm y MJ = 4 cm y el perímetro del cuadrilátero es 36 cm, ¿cuál es la H medida del segmento KD? M A. 6 cm B J B. 8 cm C. 12 cm D. 18 cm C A E. 24 cm K D 26 El cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia de centro O dibujada. ¿Cuál es la medida del ángulo ADC si el ángulo ABC mide 102°? C A. 66° B B. 68° O C. 77° D D. 78° E. 102° A 27 El cuadrilátero ABCD está circunscrito en la circunferencia, siendo P, Q, R y S los puntos de tangencia. Si PB = 2 cm, CQ = 3 cm, AS = 6 cm y CD = 7 cm, ¿cuál es el perímetro del cuadrilátero? A. B. C. D. E.

15 cm 16 cm 22 cm 30 cm 60 cm

D R C

A P

23 En la semicircunferencia de centro O de la ﬁgura, el ángulo COB mide 100°. ¿Cuánto mide el ángulo AED en el triángulo isósceles AED? E A. 20° B. 40° C. 50° B C D. 70° E. 80° A

24 En la ﬁgura, mBCA = 20°, AB = BC y O es centro de la circunferencia. Si AB // DE, ¿cuál es el valor de α?

1 1

28 Si BC es tangente en C a la circunferencia de centro O y radio OC, mα = 60°, OA = 2 cm y AB = 4 cm, ¿cuál es el área de la superﬁcie achurada?

(( ( ( (

)) ) ) )

(( (( ( (( (( (( (( (

)) )) ) )) )) ) )) )) )

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

32 En la ﬁgura, O es centro de la circunferencia. Se puede determinar el área de la región achurada si se conoce:

(1) La medida del ABO. 2 A. 2 2π 2 3 3 cm π –– 2 C (2) La medida de la cuerda AB. O   4 4 2 – 4 π 2 B. 2 π – 2 3π cm α 4 cm 4 2 – 3 A. (1) por sí sola. B 3  O A B. (2) por sí sola.  2π – 2 3 43  A B 2 2 2– 2 π ––22 2  2 π 3 π 4 π  C. Ambas juntas, (1) y (2).  4 2 – π  C.   cm 3  2 – 2 3 π   2π – 2 33  4 2 – 4 π D. Cada una por sí sola, (1) ó (2). 4 4 π2  4 2 – 2  4  3  E. Se requiere información adicional.  4 2 ––3 +ππ2 π 2 +2  4 2  2 3    3+  π cm 4 2 – π 4 D. 2 +2 33  3  2  4 2 – π3  3  4 2 – π 3    2 2   4  2  3 33 π 4 2 – π 2    2 – π      En la figura, la recta BC es tangente en C a la 42+2 π – 333+  π2      4 2 – π 33  cm  E. 4 3 – 2   3 circunferencia de centro O. Se puede determinar la       4 2– π  23+2 3 + 2 πmedida   3 3  2   2 del radio de la circunferencia si: 2    3  π+2 –π 33 + π π +2 33+ 42 2  – π – 3 29 ¿Cuánto mide la superfi cie achurada si ABCDEF es un  3  2 3 2 +2 3 + π   3 (1) Se conoce la longitud del segmento BD.  π 3  + π y AD = 4 cm? 2+2 3regular  hexágono    3    3 π 4 – 3  3π    (2) Se conocen las longitudes de los segmentos  4  π  3 4πcm 3  – ––23 3  A. π  BC y AB. 3       4 – 3  3– 6 3 4ππ  B F E  3 44π ––62 33 π– 3  B. π cm 3 3  – 3 ππ– – 33 2 A. (1) por sí sola. 2 A Dπ – 3 4ππ– –– 633 cm 3 2 3 C. π D B. (2) por sí sola. 3 3 DC 3 DC C. Ambas juntas, (1) y (2). B C 4π – 6 3 2 2 D. AB 4 π––– 6 43ππ 63 3 3 cm D. Cada una por sí sola, (1) ó (2). O AB C 4π – 6 3 E. Se requiere información adicional. 2 π – 3 π 4 – 6 3 DC 2π π –– 3 3 cm2 E. 2 2π – 3 AB DC A 2π – 3 DC DC 30 En la circunferencia de la figura se tiene que DC//AB, 34 En la figura, es posible calcular qué parte del círculo de AB AB DE DC = EC, el segmento AB es diámetro, DC = AB 12 cm y centro O corresponde a la región achurada si: OE AB = 6 cm. ¿Cuál es la medida de la superficie (1) mACB = 55°. achurada? E (2) r = 10 cm. D C B A. (36 + π) cm2 B. C. D. E.

(72 + π) cm2 (12 + 18π) cm2 (36 + 18π) cm2 (72 + 18π) cm2

(

)

( ) ( ( ) ) ( )

31 En la ﬁgura, por el punto P se trazan las rectas PQ y PR, tangentes a la circunferencia de centro O y radio r. Si el trazo PB contiene al diámetro AB, entonces PA = r si: Q (1) (PQ)2 = 3r2 (2) mPBQ = 30° P B A O A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. R C. Ambas juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) ó (2). E. Se requiere información adicional.

A. B. C. D. E.

(1) por sí sola. C (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

215

c c

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r r

as lem

e e

en co n t i do resol u

uac eval ión

Evaluación ﬁnal

II. Resuelve los siguientes problemas. 1. En la circunferencia de radio 6 cm y centro O de la ﬁgura, se tiene que MP = OP. ¿Cuál(es) de las siguientes aﬁrmaciones es(son) verdadera(s)? Q I. MQ = 6 cm II. PQ = 33 33 cm III. QN = 66 33 cm M N P O A. Solo I. B. C. D. E.

Solo III. Solo I y II. Solo II y III. I, II y III.

2. En la circunferencia de centro O de la ﬁgura, AB es diámetro. Si la medida del ángulo COD es 60° y el segmento DB coincide con la bisectriz del ángulo CBO, ¿cuál(es) de las siguientes aﬁrmaciones es(son) verdadera(s)? I. ΔOBC ≅ ΔAOD C D II. ΔACB ≅ ΔBDA E III. ΔAED ≅ ΔBEC A. B. C. D. E.

216

Solo I. Solo II. Solo I y II. Solo II y III. I, II y III.

Unidad 6 • Circunferencia y ángulos

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Cerrar sesión Contenido

Número de pregunta 1

Circunferencia y sus elementos

Relación entre cuerdas, secantes y tangentes en una circunferencia

Relación entre ángulos del centro e inscritos

Ángulos interiores y ángulos exteriores

Cuadriláteros y circunferencias

Aplicaciones

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

Habilidad

Clave

Nivel de logro

Analizar Aplicar Aplicar Aplicar Analizar Aplicar Aplicar Analizar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Analizar Analizar Analizar Analizar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Analizar Analizar Analizar Aplicar Aplicar Analizar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar

217

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Evaluación integradora

Recopilando disco En estas páginas te invitamos a realizar una actividad de evaluación que integra los contenidos de las unidades 5 y 6 de tu texto.

Habilidad Integrar Reunir y organizar elementos para completar un todo.

Objetivo de la actividad: integrar los contenidos tratados y aplicarlos en la resolución de ejercicios y problemas.

Analiza la información entregada. Luego, resuelve los problemas. Un mapa está dibujado a una escala 1 : 2.000.000. a. Si la distancia que une dos ciudades es 300 km, ¿cuánto mide un segmento rectilíneo dibujado sobre el mapa y que une los puntos que representan dichas ciudades?

b. Si la distancia entre los puntos que representan a dos aeropuertos en el mapa es 80 cm, ¿cuánto minutos aproximadamente demoraría un avión en viajar desde un aeropuerto a otro, a una rapidez promedio de 250 km por hora?

AD // BE // CF Calcula la longitud del segmento pedido enAD cada caso. // BE // CF a. AD // BE // CF

b. BD // CE

BD // CE AB // DE A (x + 12) cm B (3x + 6) cm C

AB // DE D (x + 2) cm E (3x – 9) cm F

A (x + 2) cm B (x – 3) cm (x + 10) cm D C (x + 1) cm E

BD // CE c. AB // DE B 3 cm A

4 cm

E 6 cm D

DF =

AE =

Resuelve los siguientes problemas. a. En un triángulo rectángulo en C su altura hc mide 36 cm. ¿Cuánto mide su hipotenusa si la proyección de uno de sus catetos sobre ella mide 9 cm? b. En un triángulo rectángulo en C la medida de cada cateto es 5 m y 12 m. ¿Cuál es la medida aproximada de su hipotenusa, de su altura hc y de las proyecciones de sus catetos sobre la hipotenusa? Redondea a la unidad.

218

Evaluación integradora 3

BD =

1 1

2 2

35 3

4 4

Resuelve los siguientes problemas. a. En un círculo de radio r =2 2 cm, ¿cuál es el perímetro de un sector circular cuyo ángulo central mide 30°?

b. En una circunferencia se inscribe un triángulo de tal manera que uno de sus lados coincide con un diámetro de la circunferencia y los otros dos lados miden 4 cm de longitud cada uno. ¿Cuál es la medida del radio de la circunferencia?

c. Los lados y prolongaciones de estos en un ángulo interior a una circunferencia subtienden los mismos arcos que los lados de un ángulo exterior a ella. Si la medida del ángulo interior es 30° y la del ángulo exterior es 20°, ¿cuál es la medida angular de los arcos comunes subtendidos por dichos ángulos?

Calcula las medidas del segmento pedido en cada caso. a. En la circunferencia de centro O, AP = 2 cm, BP = 16 cm y CP = 8 cm. ¿Cuánto mide el segmento DP?

c. La circunferencia de centro O tiene un radio de 8 cm y PB = 9 cm. ¿Cuánto mide el segmento que une los puntos P y T?

A D P O

T C A

B b. En la circunferencia de centro O, PB = 4 cm, AB = 2 cm y PD = 3 cm. ¿Cuánto mide el segmento que une los puntos P y C? Redondea a la unidad.

B O

d. La circunferencia de centro O tiene un diámetro de 19 cm. Si CP = PO y AP = 7 cm, ¿cuánto mide aproximadamente el segmento PB?

P D

B P O D

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

219

Unidad

Estadística

7 7

Hasta ahora has utilizado algunos indicadores estadísticos, como la media aritmética ( x), la moda (Mo) y la mediana (Me) para analizar el comportamiento de una muestra o una selección (x) de datos, tanto para el caso discreto como para datos agrupados.

Mo, Me

En el caso de datos discretos, la moda (Mo) de una variable estadística es el valor que presenta la mayor frecuencia absoluta; mientras que la mediana (Me) corresponde al valor central de una distribución de datos ordenados de manera creciente o decreciente.

Para el caso discreto, la media aritmética ( x ) corresponde al cociente entre la suma de los valores de una variable (xi), multiplicados por sus correspondientes frecuencias absolutas (fi), y el número total de valores (n).

Menú de inicio ¿Qué aprenderás?

220

¿Para qué?

¿Dónde?

Medidas de dispersión.

Calcular estas medidas e inferir características propias de una muestra de datos especíﬁca, ya sea de forma manual o utilizando alguna herramienta tecnológica.

Páginas 222 a 227.

Tipos de muestreo.

Emplear elementos básicos del muestreo aleatorio simple en diversos experimentos, para inferir sobre la media de una población ﬁnita a partir de muestras extraídas.

Páginas 228 a 233.

Comparación de dos o más muestras.

Analizar las características de dos o más muestras de datos haciendo uso de indicadores de tendencia central, de posición y de dispersión.

Páginas 234 a 241.

Unidad 7 • Estadística

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Abrir sesión Considerando la información de la página anterior, responde: 1. ¿De qué se trata la lectura? 2. ¿Qué otro indicador estadístico conoces? 3. ¿Por qué crees que los indicadores descritos reciben el nombre de medidas de tendencia central?

s er

ció

n de p r o

r r

Inicializando

s a mel

c c

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uac eval ión

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c o n t i do en

ció

n de p r o

Evaluar consiste en emitir juicios de acuerdo a un criterio conocido y válido.

eval ión uac

Según el Censo de 2002, los hombres contraen matrimonio a una edad promedio de 27,7 años y las mujeres lo hacen a los 24,6 años; mientras que en el estudio Estadísticas Vitales del año 2004 se establece que el promedio de edad cambió a 28,8 años para los hombres y a 26,7 años para las mujeres. Fuente: “Estudio de Fecundidad en Chile, situación reciente”, 2006. Con estos datos un estudiante aﬁrma: “Las medidas de tendencia central no varían signiﬁcativamente entre los años 2002 y 2004”. 1. ¿Cómo interpretas la información correspondiente a la edad promedio en que contraen matrimonio tanto hombres como mujeres?

2. ¿Cuál es la diferencia de la edad promedio en que contraen matrimonio hombres y mujeres en el año 2004?

3. ¿Qué crees que ocurrió con respecto a la moda y la mediana en este caso? ¿Disminuyeron o aumentaron?

4. Evalúa la aﬁrmación planteada. ¿Es correcta? ¿Por qué?

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

221

en co n t i do

uac eval ión

resol u

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n de prob ció

Caliﬁcaciones de Matemática Estudiante 1 4,3 4,5 5,5 5,7

Estudiante 2 3,0 3,5 6,5 7,0

Medidas de dispersión Las medidas de dispersión sirven para determinar si los datos se encuentran en torno a la media o si están muy dispersos. Por esto, estudiarás las más conocidas: el rango, la desviación media, la varianza y la desviación estándar. Por ejemplo, en la tabla adjunta se ( x)de Matemática. muestran las calificaciones de dos estudiantes en la asignatura 4,3+ 4,5 +5,5 +5,7 La media aritmética manera: =5,0 = ( x) ( x) para cada estudiante se calcula de la xsiguiente 4 4,3+ 4,5+5,7 +5,5 +5,7 4,3+ 4,5 +5,5 3,0+3,5 +6,5 +7,0 =5,0 =5,0Estudiante 2: x = =5,0 Estudiante 1: x = x = 4 4 4 3,0+3,5 +6,5 +7,0 3,0+3,5 x = +6,5 +7,0 =5,0 =5,0 x = 4 Aunque el promedio de ambos es 5,0, sus calificaciones son muy diferentes. 4 estudiantes Las calificaciones obtenidas por el segundo estudiante son mucho más dispersas (separadas, disgregadas, desunidas) que las del primero, ya que para este varían entre un 4,3 y un 5,7; mientras que para el estudiante 2, lo hacen entre un 3,0 y un 7,0.

Advertencia El cálculo del rango de un conjunto de datos es sencillo de realizar. Sin embargo, su utilidad para reconocer la variabilidad de los datos no es tan simple. Por ejemplo, si en el caso expuesto de las caliﬁcaciones obtenidas por los dos estudiantes, el número de caliﬁcaciones aumentara considerablemente, ya no sería tan notoria la irregularidad de uno con respecto al otro.

Para grabar El rango (R) de un conjunto de datos es una Ejemplo: en el caso anterior, si se denota por R1 y R2 los rangos de medida de dispersión y corresponde a la calificaciones de los estudiantes 1 y 2 respectivamente, se tiene: diferencia entre el mayor y el menor de los R1 = xmáximo – xmínimo = 5,7 – 4,3 = 1,4 datos de la distribución. Esta medida indica de R2 = xmáximo – xmínimo = 7,0 – 3,0 = 4 alguna manera cuán dispersos están los datos Con lo que es posible concluir que las calificaciones del estudiante 1 de la distribución. son menos dispersas que las calificaciones del estudiante 2. Es decir, R = xmáximo - xmínimo durante el proceso el primero tuvo un rendimiento más regular.

Interpreta la siguiente información. Luego, responde. Supón que los precios, sin redondear, de la bencina de 95 octanos durante las últimas dos semanas se registraron en la siguiente tabla.

Precios de la bencina por litro en las últimas dos semanas

Ayuda

Día de la semana

Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

Sábado

Domingo

Precios ($) semana 1

649,6

648,7

652,9

663,9

662,5

661,3

662,4

Precios ($) semana 2

663,7

646,8

645,8

663,2

661,7

660,1

698,5

a. ¿Cuál es el rango de precios de las dos semanas?

La sumatoria se simboliza por la letra griega sigma (∑). b. ¿En qué semana la variación de precio fue mayor? ¿Qué relación tiene esto con la Por ejemplo, si una variable x 4 dispersión de los datos? Justiﬁca. x 1 +sex 2 + x 3 + x 4 1, 2, x8i y=16, ∑) los valores ∑ (“toma” i=1 tiene que: 4 4 27 x = x (+∑x) + x + x ,=donde

∑ i=1

∑

3 i=1

x14= 1, x2 = ∑ 2, x3x==8xy x+4x= 16. + x3 + x4 i 1 2 x = 27 ∑ i i=1 Finalmente: i=1

∑ x = 27 i=1

222

Unidad 7 • Estadística

Para grabar

(x – x ) La desviación (x – x ) es la diferencia entre los valores de la variable (x ) y la media aritmética ( x ). Cada dato lleva asociado una desviación, pero al calcular la sumatoria de todas ellas resulta cero. (x) i

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Interpreta la información. Luego, responde. En la situación de las caliﬁcaciones planteada en la página anterior, se tiene que las desviaciones con respecto a la media aritmética son: Estudiante 1: 4,3

Caliﬁcación Desviación

4,5

5,5

Ampliando memoria Las desviaciones pueden ser calculadas en relación con un valor distinto a la media aritmética. En dicho caso la sumatoria de las desviaciones será distinta de cero.

5,7

4,3 – 5,0 = –0,7 4,5 – 5,0 = –0,5 5,5 – 5,0 = 0,5

5,7 – 5,0 = 0,7

∑(x – x ) =–0,7 +(–0,5)+0,5 +0,7=0 i=1

¿Cuáles son las desviaciones con respecto a la media aritmética en las caliﬁcaciones obtenidas por el estudiante 2? ¿Qué puedes interpretar de la comparación entre las desviaciones de las caliﬁcaciones de ambos estudiantes? (x i – x ) (x – x )

Para grabar

1 n 1 n Ampliando memoria xi – elx tipo de datos = Los siguientes indicadores corresponden a otras medidas de Ddispersión para discretos. ∑ xi – x D = m ∑ m n i=1 n i = 1estándar (S) se 2 La desviación media permite La desviación media (Dm) es la La varianza a la La desviación x i – x )(S ) corresponde n ( 2 n 1 2 2 determinar en cuánto varían, 1 media aritmética de los valores media aritméticaSde=los∑ cuadrala raíz cuadra2 extrayendo xi – x ) obtiene ( n x – x S = ( ) ∑ i 1 n i = 1 los n en promedio, los datos de una absolutos de las desviaciones dos de da de la varianza. n i=1 xi – x de Dmlas = desviaciones ∑ (xi (–xxi )– x(x)ide– xlos) n datos. distribución con respecto a la n datos. i=1 2 n 1 n 2 1 n x S = – x media aritmética. La varianza ( i ) S = ∑ (xi – x ) ∑ 1 1 n 1 n 2 1 n 2 n x – x Dm =D =∑ i = 1 n x – x S = D =i x∑ y la desviación estándar i=1 ∑( ) – x xi – x mn i = 1 m∑n i n i=1 i n i=1 i=1 permiten cuantiﬁcar ese grado 1 4,3 – 5 + 4,5 – 5 +D 5,5 –1 5 4,3 + 5,7 – +5 4,5 = 0–, 65 + 5,5 – 5 + 5,7 – 5 = 0, 6 1 n1 2 n 1 n 2 2 n Dm = – 5 = 2 2 2 de dispersión. m La este indicador para representar–∑ x )– x(x –en S varianza =S 2 =∑S (se x unidades cuadradas,Sy=para1 ∑ =xi representa 4 xi –4x ) existen otras nomenclaturas x ( i 2 ) ( ) ∑ n i i=1 la, por ejemplo, óσ . n i=1 2 1 i=1 n i = 1 n Var(x) 21 2 =0,7 0,37 S = 0,7 2 + 0,5 2 + 0,5 2 +S 20,7 + 0,5 2 + 0,5 2 + 0,7 2 = 0,37 = n n 2 1 4 Ejemplo: utilizando la información de la página anterior respecto de los dos estudiantes, se tiene: n 1 2 1 4 2 S =S = ∑ x ) (x – x ) S1 =(xi (–∑ Dm = 4,3 – 5 + 4,5 – 5 + 5,5 – 5 + 5,7 – 5 = 0, 6 n i =n1 ∑ S = 0,37 ≈ Estudiante 1:i = 1 n xi =i 1– x )i 2: 0, 61 4 Estudiante S = 0,37 ≈ 0, 61 1 12 1 1 2 2 2 2 1 1 – 5 ++ 0,7 3,5 – 5=+0,37 6,5 1,75– 5 + 6,5 – 5 + 7 – 5 = 1,75 D + =0,5 +30,5 – 5 –+54,3 4,5 –55 +–+54,5 5,5 –55 +–+55,5 5,7 –55 +– =5S5,7 0=,=6–05, 60,7 Dm =D = D4,3 =4,3 Dm –=5 + 37––55 +=3,5 + –4,5 + –5,5 + –5,7 m 4 = 0, 6m 4 m4 4 4 4 1 1 22 1 2 2 2 2 2 2 S = 0,37 ≈2 0, 61 2 2 2 2 2 1 2 S = 2 + 1, 5 + 1,5 + 2 S 2==3,1252 2 + 1, 5 2 + 1,5 2 + 2 2 = 3,125 S =S 2 = 0,7 2 0,7+ 0,5 2+ 0,5+ 0,7 2+ 0,5 =2+0,37 0,7 = 0,37 S =+ 0,5 4 4 4 0,74 + 0,5 + 0,5 + 0,7 = 0,37 1 4 Dm = 3 – 5 + 3,5 – 5 + 6,5 – 5 + 7 – 5 = 1,75 S = 3,125 1,77 ≈ S = S =0,37S0,37 0, ≈ 6 1 4 = ≈ 0,37 S = 3,125 ≈ 1,77 0, 6≈ 1 0, 61 1 1 1 2 2 2 + 1, 5 2 + 1,5 2 + 2 2 = 3,125 6,5 –55 +–+56,5 7+––575– =+5 1,75 Dm =D = D3 – 5=3 –+153,5 55 +–+53,5 7=–S1,75 5= =4 1,75 +3 ––3,5 + –6,5 m 4 m 3 . Analiza 4 siguiente situación. Luego, responde en tu cuaderno. 4 la 1 12 2 1 2 2 2 2 2 2 2 S = 3,125 ≈ 1,77 2 +2=12, 5+ 1,+251,5 S =SPara 22 ++1,5 =2de 3,125 un a dos tipos de automóviles se mide el tiempo, en 2+ 2 2Srealizar 11,5 ,+5test += 2rendimiento = 3,125 = + 2 3,125 4 4 4 que demoran en frenar. Para ello se realizan 8 pruebas a cada auto. segundos,

(

( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (

) ) ()

) ) )

(

)( )

)

(

) ) ) (

(

)

(

)

) ) )

S = S =3,125S3,125 =≈ 1,77 3,125 1,77 para cada tipo de automóvil? ≈ a. ¿Cuál es1,77 el≈rango

b. ¿Cuál es la desviación media para cada tipo de automóvil? c. ¿Cuál es la varianza y la desviación estándar para cada tipo de automóvil? d. ¿En cuál de los dos conjuntos de datos los valores se acercan más a la media? Observación: cuando los datos de un conjunto están agrupados alrededor de la media, la varianza tiene un valor pequeño, y cuando los datos están muy dispersos, el valor es mayor.

Tiempo que demora en frenar el automóvil A Prueba 1 2 3 4 5 6 7 8

Tiempo (s) 12 9 8 9 10 11 9 7

Tiempo que demora en frenar el automóvil B Prueba 1 2 3 4 5 6 7 8

Tiempo (s) 11 8 7 10 10 10 8 10

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

223

c c

n de prob ció

r r

as lem

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en co n t i do resol u

uac eval ión

Ayuda a+b xmc = i Recuerda que la2marca de clase (x mc ) de un intervalo i corresponde a su valor central. Por ejemplo, para el intervalo [a, b[, se tiene que: xmc = i

x mc

Analiza la siguiente información. Luego, responde. Al igual que con las medidas de tendencia central, las relaciones que se utilizan para el cálculo de las medidas de dispersión varían según el tipo de datos. Por ejemplo, para determinar la media aritmética entre datos discretos se calcula el promedio de los datos; mientras que si estos datos están agrupados en intervalos, se utiliza la siguiente relación: 1 N1 N x =x = ∑ xmcix•mcfi i • fi n i=n1 ∑ i= 1 xmc xmc es la marca de clase del i-ésimo intervalo; Donde n es el número total de datos,

( ( ) )

a+b 2

fi es la frecuencia absoluta del i-ésimo intervalo y N es el número total de intervalos.

Calcula la media aritmética para los puntajes obtenidos en el ensayo de PSU que se muestran en la tabla adjunta.

Puntajes obtenidos en un ensayo PSU

Realiza aquí tus cálculos:

Puntaje Marca de clase [330; 400[ 365 [400; 470[ 435 [470; 540[ 505 [540; 610[ 575 [610; 680[ 645 [680; 750] 715 Total: 25 (x i – x )

Para grabar

Frecuencia 2 4 7 6 4 2

(

)

1 N xmc – x • fi D = ∑ m – x ) de dispersión para el tipo de ndatos i (ximedidas Los siguientes indicadores corresponden a otras i = 1 agrupados en 2 intervalos. 1 N  1 N  2 Dm = ∑ 2 xmc – x • fi x – x S = • fi   ∑ mci i x – x  ( ) La desviación media (Dm): La varianza Landesviación estándar (S): n i = 1(S ): i i=1  N N  2  1 1 2  1 N  Dm = ∑ xmc – x • fi S 2 = ∑ xmc – x • fi  x – x S = • fi    i ∑ i mc  n i=1 n i=1   i  n 

(

)

(

)

i=1

Minutos hablados por celular

Cantidad de Marca de Frecuencia minutos clase [0; 30[ 15 10 [30; 60[ 45 15 [60; 90[ 75 25 [90; 120[ 105 8 [120; 150] 135 12 Total: 70

224

Unidad 7 • Estadística

(

)

(

)

2  2 1 N   1 N  S 2 = ∑ xmc – x • fi  S = ∑ xmc – x • fi   i  n i = la 1  siguiente información.  n i = 1  i Analiza N  2 1 adjunta se distribuye un grupo de personas según la cantidad de minutos En – x • fi  S =la tabla ∑ xsu mci  celular. En esta distribución se tiene que: n i = 1 en hablados teléfono

(

)

(

)

(

)

11 xx = 15 ••• 10+ 10+ 45 45 ••• 15 15 +75 +75 ••• 25 25 + + 105 105 ••• 8+ 8+ 135 135 ••• 12 12)) =74 =74 = 7110 ((15 15 10+ 45 15 +75 25 + 105 8+ 135 12 =74 xx = =7 0 (15 • 10+ 45 • 15 +75 • 25 + 105 • 8+ 135 • 12) =74 70 701 11 –59 • 10+ –29 • 15 + 1 • 25 + 31 • 8+ 61 • 12 = 29 D = m D = 9 •• 10+ –29 •• 15 + 11 •• 25 + 31 • 8+ 61 • 12 = 29 10 ––5 D = m 7 –5 Dmm = 7 59 9 • 10+ 10+ –29 –29 • 15 15 + + 1 • 25 25 + + 31 31 •• 8+ 8+ 61 61 •• 12 12 = =2 29 9 0 0 7 0 7 11 2 2 2 2 2 2 S (–59)222 ••• 1110+(–29) ≈ 1.425,6 S222 = = 7110 (–59) 0+(–29)222 ••• 15 15 +(1) +(1)222 ••• 25 25 +31 +31222 ••• 8+61 8+61222 ••• 12 12 ≈ 1.425,6 (–59) ≈ S = 0+(–29) 15 +(1) 25 +31 8+61 12 1.425,6 S =7 0 (–59) • 10+(–29) • 15 +(1) • 25 +31 • 8+61 • 12 ≈ 1.425,6 70 710.425,6 ≈ 37,76 ≈ S ≈ 37,76 S 1.425,6 ≈ ≈ S 425,6 ≈ ≈ 37,76 37,76 S ≈ 11..425,6

(( ( (( (

)) )

Calcula en tu cuaderno la desviación media, la varianza y la desviación estándar de los puntajes obtenidos en el ensayo de PSU mostrados en la tabla de la actividad 4.

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Analiza la siguiente situación. Luego, responde.

Conexiones

a. ¿Cuál es el promedio de horas diarias de conexión en la ciudad A y en la ciudad B? Redondea a la centésima.

Conexiones

En 35 hogares de dos ciudades (A y B), se realizó una encuesta sobre el tiempo máximo de conexión diaria a internet. Los resultados se representan en los siguientes gráﬁcos:

b. Calcula las medidas de dispersión respecto a las horas de conexión de ambas ciudades. Redondea a la centésima.

12 10 8 6 4 2 0

Conexiones a internet en ciudad A

5 6 Tiempo (horas)

Conexiones a internet en ciudad B

5 6 Tiempo (horas)

c. ¿En qué ciudad hay mayor dispersión con respecto a las horas diarias de conexión a internet? Justiﬁca.

x mc

Analiza la siguiente tabla. Luego, complétala y responde. x mc ¿A qué edad contrajo matrimonio?

Edad [16; 20[ [20; 24[ [24; 28[ [28; 32[ [32; 36[ [36; 40[ [40; 44[ [44; 48[ [48; 52]

Marca de clase (x mc )

(x (x

mci

Frecuencia absoluta (fi)

) – x) • f –x

mci

2 8 8 18 20 18 15 8 3 Total:

(x (x

mci

) – x) • f

–x

(x (x

mci

) – x) • f –x

mci

a. Calcula las medidas de dispersión en esta situación.

Ayuda b. ¿Consideras que el conjunto de datos es homogéneo? Justiﬁca.

Mientras menos disperso sea el conjunto de datos, mayor será su homogeneidad (parecido, uniformidad, similitud, etc.). Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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Herramientas tecnológicas: medidas de dispersión En ocasiones, alguna herramienta tecnológica te podrá facilitar el cálculo de los indicadores estadísticos. En este caso, se utilizará Excel con esa ﬁnalidad. Sigue los pasos. La tabla muestra las caliﬁcaciones de 20 estudiantes en una prueba de Matemática.

Paso 1: en la columna B, copia los datos de la tabla con las respectivas caliﬁcaciones registradas.

Paso 2: la función =MAX()-MIN() permite calcular el rango de variabilidad de las caliﬁcaciones. En este caso, se calcula copiando desde la celda B1 hasta la celda B21.

Caliﬁcaciones 3,5 5,5 5,2 6,0 2,2

4,2 4,9 6,7 5,5 7,0

Paso 3: la función =VAR() permite calcular la varianza de los datos entregados. En este caso, se calcula copiando desde la celda B1 hasta la celda B21.

6,0 5,2 4,6 4,8 6,5

6,2 6,6 4,5 1,0 2,0

Paso 4: la función =DESVEST() permite calcular la desviación estándar de los datos entregados. En este caso, se calcula copiando desde la celda B1 hasta la celda B21.

Resuelve el siguiente problema. Para ello, utiliza Excel si es necesario. Se midió la altura, expresada en metros, de 34 estudiantes de segundo año medio y se obtuvieron los siguientes resultados: 1,83; 1,70; 1,65; 1,62; 1,80; 1,49; 1,65; 1,71; 1,77; 1,71; 1,72; 1,55; 1,70; 1,60; 1,69; 1,72; 1,57; 1,75; 1,70; 1,55; 1,63; 1,59; 1,82; 1,82; 1,62; 1,53; 1,75; 1,63; 1,74; 1,73; 1,85; 1,62; 1,66 y 1,77. a. ¿Entre qué medidas varía la estatura de los estudiantes del curso? ¿Qué relación tiene esto con el rango?

Ayuda Para calcular la desviación media (Dm) utilizando Excel, puedes usar la función =DESVPROM().

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Unidad 7 • Estadística

b. ¿Cuál es el promedio de estatura de los estudiantes? ¿Y la desviación media?

c. ¿Cuál es la varianza de los datos obtenidos? ¿Y la desviación estándar?

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Analiza la siguiente información. Luego, si es necesario utiliza Excel para resolver.

Para grabar Ampliando memoria

El coeﬁciente de variación (CV) corresponde al cociente entre la desviación estándar y la media aritmética. S CV = • 100 x Para determinar si los datos de una distribución son homogéneos o heterogéneos, aplica el siguiente criterio: Si CV ≤ 5%, los datos se dirán muy homogéneos. Si 5% < CV ≤ 25%, los datos se dirán homogéneos.

Si 25% < CV ≤ 50%, los datos se dirán heterogéneos. Si CV > 50%, los datos se dirán muy heterogéneos.

Para participar en una olimpiada de Ciencias, se debe elegir un curso de un colegio. Las caliﬁcaciones de los 45 estudiantes de los dos cursos entre los que se escogerá al que representará al colegio en la olimpiada se ordenaron en las siguientes tablas:

Caliﬁcaciones curso A 5,9 4,3 5,0 2,7 6,0 4,9

4,0 3,4 3,3 5,5 4,0 7,0

2,5 2,0 4,4 4,6 6,5 5,0

1,8 5,3 3,5 4,8 5,8 6,6

6,0 4,5 1,0 3,6 2,2 2,5

2,9 7,0 5,8 5,5 6,7

Caliﬁcaciones curso B 5,7 5,9 6,4 4,8 4,9

4,3 5,9 4,6 6,0 5,2

4,4 7,0 5,0 1,9 7,0 5,8

4,0 3,4 2,4 5,9 4,0 6,8

3,5 4,0 5,8 4,6 5,6 7,0

2,8 5,3 3,5 4,8 6,0 6,8

5,3 4,5 2,0 6,4 4,2 4,9

3,9 7,0 5,8 5,5 6,7

4,7 4,9 6,4 5,8 4,9

4,3 4,4 2,6 6,0 5,2

El coeﬁciente de variación permite realizar comparaciones entre distribuciones distintas respecto a la dispersión de sus datos, e incluso entre variables que se miden con diferentes unidades de medida. Para asociar el coeﬁciente de variación al porcentaje, basta con multiplicar el cociente obtenido por 100. S CV = • 100 x

a. ¿Cuál es el rango de las caliﬁcaciones del curso A? ¿Y del curso B?

b. ¿Cuál es el promedio y la desviación media de las caliﬁcaciones del curso A? ¿Y del B?

c. ¿Cuál es la varianza de los datos obtenidos para cada curso? ¿Y la desviación estándar?

d. ¿Qué función utilizarías en Excel para calcular el coeﬁciente de variación para ambos cursos? Justiﬁca.

e. ¿Qué curso tiene caliﬁcaciones homogéneas? Justiﬁca.

f. ¿Qué curso crees que participará en las olimpiadas? Justiﬁca.

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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Ampliando memoria ¿Por qué elegir una muestra? Economía Trabajar con un grupo y no toda la población representa un menor gasto. Rapidez La recolección, procesamiento y análisis de muchos datos demanda esfuerzo y tiempo, por lo cual trabajar sobre una muestra reduce esas variables.

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Muestreo Una muestra es un subconjunto del cual se espera obtener información y a partir del que se inﬁeren ciertas características de la población o conjunto objeto del estudio. Por este motivo la muestra escogida debe ser representativa de la población. En la elección de la muestra debe estar presente la aleatoriedad en el proceso, es decir, cada uno de los componentes de la población debe tener las mismas posibilidades de ser escogido como parte de la muestra. Las técnicas que se emplean para la selección de una muestra se conocen como técnicas de muestreo. POBLACIÓN

MUESTRA

Por ejemplo, si al ﬁnalizar un partido de fútbol en el que participaron 22 jugadores, se seleccionan al azar 4 de ellos (dos de cada equipo) para ser sometidos al control antidopaje, ¿todos los jugadores tienen igual probabilidad de ser elegidos?

Para grabar El muestreo aleatorio simple es el proceso de selección de una muestra caracterizado por: Todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de formar parte de la muestra, incluso luego de la extracción.

Ejemplo: supongamos que se quiere hacer un estudio sobre la estatura de los 300 estudiantes de un colegio (población).

Para obtener una muestra de 40 estudiantes que sea representativa de la población, se consideran 300 bolitas que tengan escrita la estatura Los elementos de la muestra se seleccionan de manera inderespectiva de un estudiante y se introducen en pendiente, es decir, si el muestreo es con reposición, es posible una tómbola. Con el ﬁn de obtener la muestra, la repetición de elementos; si el muestreo es sin reposición, la se realizan 40 extracciones con reposición. La elección de cualquier elemento no incide en la elección de los muestra obtenida es un ejemplo de una muestra demás, excepto que el mismo elemento no puede ser seleccioaleatoria simple. nado nuevamente.

Ayuda Si se selecciona una muestra aleatoria de tamaño n de una población de N elementos, la probabilidad de que uno de sus elementos sea incluido en la n muestra es . N

Analiza la siguiente situación. Luego, responde. En un curso de 35 estudiantes, se realizará una interrogación con el ﬁn de diagnosticar las posibles diﬁcultades en la asignatura de Matemática. Para esto, se seleccionan al azar 6 estudiantes del curso. a. ¿Cuál es la población y cuál es la muestra?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante del curso sea elegido?

c. Si aumentan los estudiantes interrogados, ¿aumenta la posibilidad de ser escogido?

d. ¿La elección de la muestra es un ejemplo de muestreo aleatorio simple? Justiﬁca.

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Muestreo aleatorio sistemático El muestreo sistemático es un procedimiento que te permitirá seleccionar una muestra aleatoria de una población conocida. Por ejemplo, en una población de 50 elementos se identiﬁca a cada uno de ellos con los números del 1 al 50, y si se quiere seleccionar una muestra aleatoria de 10 elementos, es posible hacer lo siguiente: utilizando alguna herramienta tecnológica como Excel, puedes generar 10 números aleatorios entre 1 y 50 de la siguiente manera:

La función =ENTERO(ALEATORIO()*(50-1)+1) te permite generar números enteros aleatorios entre 1 y 50, que representan en este caso la selección de la muestra aleatoria. Así se generaron los 10 números aleatorios, copiando desde la celda A1 hasta la celda A10.

Este tipo de muestra también puede ser escogida siguiendo ciertos pasos. Este proceso se denomina muestreo aleatorio sistemático.

Para grabar Para seleccionar una muestra utilizando el Ejemplo: se quiere hacer una encuesta a 400 estudiantes sobre sus muestreo aleatorio sistemático, puedes preferencias deportivas. Para ello, se selecciona de manera sistemática una muestra de 15 estudiantes. seguir los siguientes pasos. 1° Ordena los elementos de la población y 1° Ordena los elementos de la población y asígnales un número correlativo. En este caso se pueden numerar los estudiantes por: 1, 2, 3, 4, …, asígnales un número correlativo. N 399 y 400. r=  2° Calcula la parte entera del cociente r n   la cantidad de elementos de la entre la cantidad de elementos N de la 2° La parte entera del cociente entre   población y el número de elementos n  400  = 26. población y la muestra es N  15    de la muestra, es decir, r =   . n 3° Selecciona aleatoriamente un número entre 1 y 26, por ejemplo, 9.   Luego, la muestra de 15 estudiantes se forma con los numerados por: 3° Selecciona aleatoriamente un número  400   = 26 m entre 1 y r y aplica los pasos 9, 9 + 1 • 26, 9 + 2 • 26, 9 + 3 • 26, 9 + 4 • 26, 9 + 5 • 26, 9 + 6 • 26, 15  anterio res para obtener los otros elementos de 9 + 7 • 26, 9 + 8 • 26, 9 + 9 • 26, 9 + 10 • 26, 9 + 11 • 26, 9 + 12 • 26, la muestra de la siguiente manera: 9 + 13 • 26 y 9 + 14 • 26. m, m + r, m + 2 • r, … , m + (n – 1) • r

Ayuda Recuerda que la expresión  x   representa la parte entera del número real x.

Muestra: {9, 35, 61, 87, 113, 139, 165, 191, 217, 243, 269, 295, 321, 347, 373}

Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas. a. En un colegio hay en total 1.000 estudiantes. Si se quiere seleccionar una muestra aleatoria sistemática de 18 estudiantes, ¿cómo lo harías utilizando Excel? ¿Y manualmente? Justiﬁca paso a paso. b. Supón que se quiere encuestar a 60 personas de una empresa en donde trabajan 2.400 empleados. Selecciona una muestra aleatoria utilizando el muestreo sistemático.

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Muestreo aleatorio estratificado Además del muestreo aleatorio simple y el muestreo aleatorio sistemático, existen otros procesos para escoger una muestra representativa de una población finita, por ejemplo, el muestreo aleatorio estratificado, en el que además de la aleatoriedad, están presentes las características que determinan a la población en estudio.

Para grabar Advertencia No siempre es posible seleccionar una muestra utilizando el muestreo aleatorio estratiﬁcado, ya que para realizarlo se debe conocer la distribución de la población según las variables utilizadas. Por ejemplo, el género.

En el muestreo aleatorio estratiﬁcado los elementos de la población se dividen en grupos o estratos. Luego, la muestra se obtiene seleccionando una muestra aleatoria simple de cada estrato. Para asegurar la representatividad de la muestra, la división en grupos o estratos debe ser proporcional a la presencia de estos grupos en la población. Es decir: n1 n2 n3 n n = = = ... i =... = N N 1 N 2 N 3 Ni

Ejemplo: se quiere determinar la estatura promedio de un curso de 2° medio que tiene 40 estudiantes, de los cuales 18 son mujeres y 22 son hombres. Aplicando muestreo estratiﬁcado para n1 nuna n3 ni 20 estudiantes, n tomar se tiene que los grupos o = 2 =muestra = ... de =... = N N1 N2 presentes N3 Nson estratos “mujeres” y “hombres”, entonces: i Número de mujeres en la muestra 20 n1 20 = ⇒ = ⇒ n1 = 9 Número de mujeres en la población 40 18 40 Número de hombres en la muestra 20 n2 20 = ⇒ = ⇒ n 2 = 11 Número de hombres en la población 40 22 40

n lo tanto, 20 la muestra aleatoria de 20 estudiantes debería mujeres muestra del20 Por Donde i es elNúmero estrato,de y para todoenNlai (tamaño = ⇒ 1 = ⇒ n1 = 9 tener 9 mujeres y 11 hombres. 40 40 Número de mujeres en la población 18 estrato i), ni es el tamaño de la muestra del estrato i. Número de hombres en la muestra 20 n2 20 = ⇒ = ⇒ n 2 = 11 Número de hombres en la población 40 22 40 1. Resuelve los siguientes problemas. a. Se quiere hacer una encuesta en un colegio de 2.000 estudiantes sobre sus preferencias deportivas. Si 1.040 estudiantes del colegio son mujeres y 960 son hombres, ¿cuántas mujeres tendrá una muestra de 100 estudiantes? ¿Y cuántos hombres?

b. Se necesita seleccionar una muestra aleatoria de 4 personas de la siguiente lista: Alejandro, Cristina, Gonzalo, Pablo, Carmen, María José, Valeria, Camilo, Vicente, Arturo, Víctor, Esteban, María Ignacia, Luisa, Cristian, Catalina, Bárbara, Camila, Paula, Sebastián, María Victoria, Eduardo, Nicolás, Luciano y Leonardo. ¿Qué tipo de muestreo utilizarías? Justiﬁca.

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Muestreo aleatorio por conglomerados En ocasiones pueden surgir diﬁcultades dependiendo del estudio que se necesite realizar, ya sea de tipo económico o por el tiempo invertido en tal caso. Por ejemplo, al estudiar el tiempo que dedican a realizar algún deporte todos los estudiantes de enseñanza media de una ciudad, posiblemente si se selecciona una muestra aleatoria de 100 estudiantes de 100 colegios distintos, surjan los siguientes problemas: 1° La diﬁcultad de no disponer de una lista de todos los estudiantes de enseñanza media de la ciudad. 2° Aunque se tuviera la lista de todos los estudiantes y se seleccionara una muestra aleatoria simple de la población, recoger la información sería complejo desde el punto de vista económico, ya que para encuestar a cada estudiante, se debe incurrir en diversos gastos, por ejemplo, el de movilizarse a cada uno de los 100 colegios. Para estos casos es posible utilizar el muestreo aleatorio por conglomerados, que se presenta a continuación.

Para grabar Para seleccionar una muestra aleatoria de una pobla- Ejemplo: considerando el caso de los 100 estudiantes, es ción en estudio utilizando el muestreo aleatorio por posible obtener la muestra realizando lo siguiente: conglomerados, puedes realizar lo siguiente: 1° Seleccionar aleatoriamente algunas comunas de la ciudad, en este caso, los conglomerados serían las comunas. 1° Analizar la población en estudio y sus diferentes distribuciones en agrupaciones o conglomerados. 2° Luego, en cada comuna seleccionar aleatoriamente algún colegio, en este caso, cada colegio correspondería a un 2° Seleccionar aleatoriamente algunos de los conglomerado. conglomerados descritos en el paso anterior. 3° Dentro de cada colegio seleccionar aleatoriamente algún 3° De cada uno de los conglomerados escogidos, curso de enseñanza media. Luego, en este curso es posible seleccionar una muestra aleatoria simple o bien seleccionar una muestra aleatoria simple de los estudianescoger a todos los individuos del conglomerado. tes, ya sea generando números aleatorios que representen 4° Finalmente, la muestra requerida será la reunión a cada uno o simplemente utilizando los números de lista. de las muestras obtenidas de cada conglomerado. 4° Repitiendo el proceso con otros cursos, se obtiene la muestra solicitada.

Ampliando memoria Los conglomerados son unidades principalmente geográﬁcas en las que se distribuyen los individuos de la población en estudio. Sin embargo, en ocasiones la población se encuentra dividida de manera natural, como en municipios, familias, colegios, etc. Entonces se seleccionan algunos de esos grupos o conglomerados, los cuales se espera que mantengan todas las características de la población.

Ayuda En el caso de escoger al azar en alguno de los conglomerados, recuerda que puedes generar números aleatorios en Excel con el fin de modelar la situación, o a través de una calculadora científica presionando la tecla SHIFT, luego la tecla RAN# y finalmente la tecla =.

Analiza la siguiente situación. Luego, responde en tu cuaderno. Una compañía de telecomunicaciones quiere posicionarse en una ciudad con gran número de habitantes. Para ello, la compañía requiere realizar un estudio previo para determinar el porcentaje de hogares que utilizarían sus servicios. a. ¿Cómo obtendrías una muestra representativa utilizando el muestreo aleatorio por conglomerados? Explica cada paso en tu cuaderno. b. ¿Qué tipo de muestreo utilizarías si el número de habitantes de la ciudad es pequeño?

Desafíate

Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas. a. Suponiendo que en un juego de azar, de un total de 41 números eligieras 6, explica por qué este tipo de elección se hace con un tipo de muestreo aleatorio simple. b. ¿Qué diferencia podrías establecer entre el muestreo aleatorio estratiﬁcado y el muestreo aleatorio por conglomerados? Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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Pistas Recuerda que la notación para el intervalo [c, d[ considera a los elementos mayores o iguales que c y menores que d. Las medidas de dispersión estudiadas son: el rango, la desviación media, la varianza y la desviación estándar.

Evaluación de proceso

Analizando disco Medidas de dispersión

1 Analiza la siguiente información. Luego, responde. La producción de una fábrica, expresada en toneladas, en sus 15 sucursales, es la siguiente: 2,5; 0,8; 1,3; 4,4; 2; 1; 1,2; 3; 1; 1; 3; 4; 1,1; 2,4; 5. a. ¿Cuáles son el rango y la desviación media de la producción de la fábrica?

b. ¿Cuáles son el promedio y la moda respecto de la producción de la fábrica?

c. ¿Cuáles son los valores de la varianza y de la desviación estándar de la producción?

3 2 Analiza la siguiente información. Luego, responde. Los estudiantes de 2° año medio registran su tiempo en la clase de atletismo en los 100 metros planos. a. ¿Cuál es el tiempo promedio de los estudiantes?

Competencia de atletismo Tiempo (segundos) [13, 15[ [15, 17[ [17, 19[ [19, 21[ [21, 23[ [23, 25] Total: 33

Frecuencia 2 5 8 9 6 3

b. ¿Cuál es el rango respecto de los tiempos de los estudiantes? ¿Y la desviación media?

c. ¿Cuál es la varianza de los tiempos de los estudiantes? ¿Y cuál es la desviación estándar?

3 3 Evalúa las siguientes aﬁrmaciones. Luego, escribe V o F según corresponda. a. b. c.

Mientras más disperso es el conjunto de datos, mayor es su rango. La marca de clase de un intervalo corresponde a la diferencia de sus extremos. La desviación estándar de un conjunto de datos se mide en unidades cuadradas. 3

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Herramientas tecnológicas: medidas de dispersión

4 Utiliza Excel para responder cada una de las siguientes preguntas. Para ello, analiza la tabla adjunta. a. ¿Cuál es la desviación media para las mujeres según su masa corporal? ¿Y para los hombres?

b. ¿Cuáles son la varianza y la desviación estándar para ambos géneros? ¿Qué puedes interpretar de esto?

Medición de la masa corporal Masa corporal (kg) [40, 50[ [50, 60[ [60, 70[ [70, 80[ [80, 90] Total

Mujeres 4 58 16 2 0 80

Hombres 2 18 52 5 3 80

c. ¿Qué grupo presenta mayor variabilidad entre sus datos? Justiﬁca.

3 Muestreo y tipos de muestreo

5 Evalúa si las siguientes aﬁrmaciones son verdaderas o falsas. Luego, escribe V o F según corresponda. a.

La ﬁnalidad del muestreo es determinar qué parte de la población se debe considerar en el estudio, para realizar inferencias sobre la población.

En el muestreo aleatorio estratiﬁcado, el tamaño de los estratos es proporcional a la presencia de estos en la población.

Para realizar el muestreo aleatorio sistemático, no necesariamente los elementos deben estar ordenados.

En el muestreo aleatorio por conglomerados, necesariamente debe haber una proporción entre cada uno de los estratos y el número considerado en la muestra.

Los conglomerados son unidades principalmente geográﬁcas en las que se distribuyen los individuos de la población en estudio. 5

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Ampliando memoria Las medidas de tendencia central proporcionan un valor central de la distribución de datos, el cual se puede considerar como representativo de la muestra; mientras que las medidas de dispersión proporcionan información sobre cuán dispersos están los datos respecto a otro, que por lo general, es la media aritmética. Además, las medidas de posición proporcionan información según la ubicación de los datos, describiéndolos a través de un conjunto ordenado de elementos.

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Medidas de posición Para analizar cierta distribución de datos, además de las medidas de tendencia central y las medidas de dispersión, es posible utilizar las medidas de posición, que ya has estudiado en cursos anteriores. Entre ellas están los cuartiles, quintiles, deciles y percentiles. Cuartiles: son los tres valores de una distribución que la dividen en cuatro partes iguales. Primer cuartil (Q1): es el valor de la variable que deja a la izquierda el 25% de los datos.

Segundo cuartil (Q2): es el valor de la variable que deja a la izquierda el 50% de los datos.

25%

Tercer cuartil (Q3): es el valor de la variable que deja a la izquierda el 75% de los datos.

50% Q1

75% Q2

Quintiles: son los cuatro valores de una distribución que la dividen en cinco partes iguales. Quintil 1 Quintil 2 Quintil 3 Quintil 4 Deciles: son los nueve valores de una distribución que la dividen en diez partes iguales. D1

Ayuda Para las medidas de posición considera las siguientes correspondencias: P25 = Q1 P50 = Q2 = D5 P75 = Q3 P20 = Quintil1 = D2

Percentiles: son los noventa y nueve valores de una distribución que la dividen en cien partes iguales. P10

P90

Caliﬁcaciones de los estudiantes Caliﬁcación

Frecuencia (f)

1 2 3 4 5 6 7

0 6 8 14 7 4 1

Frecuencia Frecuencia acumulada (F) acumulada (%) 0 0 6 15 14 35 28 70 35 87,5 39 97,5 40 100

Por ejemplo, si se quiere calcular el cuartil 2 (Q2) para el caso discreto, considera que P50 = Q2 y que el valor de la variable con la primera frecuencia acumulada mayor al 50% es la caliﬁcación 4, es decir, el 50% de los estudiantes obtuvo una caliﬁcación menor o igual a 4.

Para grabar Para calcular el percentil de orden k (Pk) de datos agrupados en intervalos, puedes seguir los siguientes pasos: k •n k •n en la tabla de frecuencias acumuladas. 1° Determina el intervalo al cual pertenece el percentil por calcular: 100 100 k •n k •n – Fi – 1 – Fi – 1 , donde Ii esPkel=límite 2° Aplica la siguiente fórmula: Pk = li + ai • 100 li + aiinferior • 100 del intervalo en el que se encuenfi fi tra k; fi es la frecuencia absoluta del intervalo en el que se encuentra k; Fi – 1 es la frecuencia acumulada anterior al intervalo donde se encuentra k, y ai es la amplitud del intervalo donde se encuentra k.

234

Unidad 7 • Estadística

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Analiza la siguiente información para datos agrupados en intervalos. n -Fi– 1 2 Para calcular la mediana (Me), puedes utilizar la fórmula Me =Ii– 1 + ai • , donde Fi -Fi– 1 n del intervalo en Ii – 1 es el límite inferior del intervalo en estudio, ai es la-Famplitud 2 i– 1 M =L + a • D1 M =I + a • al intervalo en estudio y Fi – 1 es estudio, Fi es la frecuencia acumulada perteneciente e i– 1 i Fi -Fi– 1 o i D +D la frecuencia acumulada anterior al intervalo en estudio; mientras que 1para2 calcular D1 la moda (Mo), puedes usar la fórmula Mo =Li + a • , donde Li es el límite D1 +D2 inferior del intervalo modal; a, la amplitud del intervalo modal; D1, la frecuencia absoluta del intervalo modal menos la de la clase anterior; y D2, la frecuencia absoluta del intervalo modal menos la de la clase siguiente.

3 3

Ayuda Recuerda que en la página 224 se mostró cómo calcular la media aritmética para datos agrupados en intervalos.

Aplica la información anterior para completar la tabla y responder las preguntas.

Ingresos de un grupo de familias en el mes de julio Ingresos (miles $)

Marca de clase

Frecuencia absoluta (f)

Frecuencia absoluta acumulada (F)

[200; 250[

[250; 300[

[300; 350[

[350; 400[

[400; 450] Total:

Frecuencia relativa (fr)

Frecuencia relativa porcentual fr (%)

70 350 350 =1 350 70 350 350 =1 350

a. ¿Cuál es el quintil 4? ¿Qué representa?

b. ¿Cuáles son aproximadamente la mediana y la moda de los ingresos de las familias? ¿Y el percentil 50? ¿Qué relación hay entre estos valores?

c. ¿Cuáles son las medidas de dispersión respecto a los ingresos de los grupos familiares? ¿Qué puedes interpretar de esto?

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

235

c c

n de prob ció

r r

as lem

e e

en co n t i do resol u

uac eval ión

Analiza cada paso en el siguiente estudio. Luego, complétalo respondiendo las preguntas. Se necesita estudiar la estatura de 40 estudiantes de un curso. Para ello, se divide el curso en dos grupos, hombres y mujeres. La información recogida es:

Estatura en metros de los hombres

Estatura en metros de las mujeres

1,75; 1,6; 1,65; 1,8; 1,7; 1,67; 1,7; 1,66; 1,6; 1,72; 1,71; 1,6; 1,62; 1,71; 1,78; 1,69; 1,74; 1,77; 1,79; 1,68.

1,6; 1,68; 1,62; 1,7; 1,59; 1,66; 1,69; 1,68; 1,70; 1,74; 1,67; 1,68; 1,63; 1,7; 1,58; 1,59; 1,7; 1,66; 1,69; 1,7.

Paso1. Calcula el rango de la variable. Rangohombres: 1,8 – 1,6 = 0,2

Rangomujeres: 1,74 – 1,58 = 0,16

Rango la amplitud 0,2 Paso 2. Si se clasiﬁcan los datos, por ejemplo, en de cada a1 =4 intervalos,hombres = (a) =0, 05 intervalo es: Cantidadde intervalos 4 Rangohombres

0,2 =0,05 Cantidadde intervalos 4 Rangomujeres 0,16 = a2 = =0,04 PasoCantidadde 3. Tabula cada grupo de 4datos. intervalos a1 =

a2 =

Rangomujeres

0,16 =0,04 Cantidadde intervalos 4

Estatura en metros de los hombres Estaturas (m) [1,6; 1,65[ [1,65; 1,7[ [1,7; 1,75[ [1,75; 1,8]

Frecuencia (f) 4 5 6 5

Estatura en metros de las mujeres Estaturas (m) [1,58; 1,62[ [1,62; 1,66[ [1,66; 1,7[ [1,7; 1,74]

Total: 20

Frecuencia (f) 4 2 8 6 Total: 20

a. ¿Cuál es el cuartil 3 para cada tabla del Paso 3?

b. Si calculas la moda según la información recogida al inicio del estudio, ¿coincide para hombres y mujeres? Justiﬁca.

c. Según la estatura de hombres y mujeres, ¿qué datos son más homogéneos? ¿Por qué?

d. ¿Hay diferencias entre las medidas de tendencia central de las estaturas presentadas en el inicio de la actividad y las tablas del Paso 3? Justiﬁca.

e. ¿Es cierto que el percentil 50 corresponde a la mediana? Justiﬁca.

236

Unidad 7 • Estadística

155 + 176 + 199+ 168+ 188+ 165 + 177 1 2 3 4 5 6 7 ≈ 175,43 1 2 3 4 5 6 7 7 140+ 199+ 143+ 125 + 190+ 188+ 120 x= ≈ 157,86 7 1 S2 = (–20,43)2 + 0,572 +23,572 +(–7,43)2 + 12,572 +(–10,43)2 + 1,572 ≈ 185,39 7 de igual tamaño, es posible compararlas utilizando Si se consideran dos muestras distintas S≈ las medidas de tendencia central, las13,61 medidas de posición y las medidas de dispersión. Por ejemplo, los siguientes datos2 corresponden a dos muestras de2 tamaño 72respecto2 a la 2 1 (–17,86)2 + 41 ,142 +(–14,86) 32, 14 + 30,14 +(–37,86)2 ≈ 955,27 = exportación, masa en gramos de 14 duraznosS de seleccionados de +(–32,86) una caja en+particular. 7 30–,9176 – 199 – 168 – 188 – 165 – 177 Muestra 1:S ≈ 155 50– 199 – 143 – 125 – 190 – 188 – 120 Muestra 2:p= 140 =0,5 100 Si se calcula la media aritmética ( x) para cada muestra, se tiene que: x=

8 8

Comparación de dos o más muestras (

)

(

)

155 155++176 176++199+ 199+168+ 168+188+ 188+165 165++177 177 ≈ ≈175,43 175,43 77 140+ 140+1199+ 99+143+ 143+125 125++190+ 190+188+ 188+120 120 ≈ Muestra 2: xx = = 157,86 ≈157,86 77 11 2 2 2 2 2 2 (–20,4 SS22 = 33))22 ++0 (–20,4 = de 0,57 12,57 572 ≈ ≈185 185,39 ,39 ,572 +23,57 +23,572 +(–7,43) +(–7,43)2 ++12 ,572 +(–10,43) +(–10,43)2 ++11,,57 ¿Qué puedes concluir a partir estos resultados? 7 7 165 + 177 155 + 176 + 199+ 168+ 188+ ≈ 175,43 x= ≈13,61 13,61 7SS≈ 155 + 176 + 199+ 168+ 188+ 165 + 177 Ahora,xsi=se calcula desviación (S)≈de175,43 los datos de2 cada muestra: 11 estándar 140+ 199+la143+ 125 + 190+ 188+2120 22 2 2 2 2 7SS22 = ,14 +(–14,86) (–17,86)2 ++41 ,14 +(–14,86)2 +(–32,86) +(–32,86)2 ++32 32,,11442 ++30 30,14 ,142 +(–37,8 +(–37,866))2 ≈ ≈955 955,27 ,27 = (–17,86) 41≈ x= 157,86 7 7 7 Muestra 140+1:199+ 143+ 125 + 190+ 188+ 120 x= 1 ≈ 157,86 SS≈ ≈30 30,,99 S2 = (–20,43)2 + 0,5772 +23,572 +(–7,43)2 + 12,572 +(–10,43)2 + 1,572 ≈ 185,39 50 71 50 2 =0,5 =0,5 p= (–20,43)2 + 0,572p= SS2 ≈ = 13,61 +23,57 +(–7,43)2 + 12,572 +(–10,43)2 + 1,572 ≈ 185,39 100 100 7 xx 1 2 ≈ 13,61 2 S + 41,142 +(–14,86)2 +(–32,86)2 + 32,142 + 30,142 +(–37,86)2 ≈ 955,27 S = (–17,86) Muestra 2: 71 2 + 41,142 +(–14,86)2 +(–32,86)2 + 32,142 + 30,142 +(–37,86)2 ≈ 955,27 SS2 ≈ = 30(–17,86) ,9 7 50,9 Sp= ≈ 30 =0,5 100 50 =0,5 p= ¿Qué xpuedes 100 concluir a partir de estos resultados? x x = 155 + 176 + 199+ 168+ 188+ 165 + 177 ≈ 175,43 7 por ejemplo, el percentil 50 (P ) para cada muestra, Por otra parte, si se quisiera calcular, 50 Ampliando memoria se tiene: x = 140+ 199+ 143+ 125 + 190+ 188+ 120 ≈ 157,86 7 Para calcular el percentil k (Pk) Los datos de la muestra 1 ordenados de manera2 creciente son: 1 2 2 2 2 2 2 2 de un conjunto de n datos S = (–20,43) + 0,57 +23,57 +(–7,43) + 12,57 +(–10,43) + 1,57 ≈ 185,39 7 discretos, puedes seguir los 155 – 165 – 168 – 176 – 177 – 188 – 199 S ≈ 13,61 siguientes pasos: 1° Ordena los datos de manera Los datos de 1 la muestra 2 ordenados de manera creciente son: S2 = (–17,86)2 + 41,142 +(–14,86)2 +(–32,86)2 + 32, 142 + 30,142 +(–37,86)2 ≈ 955,27 creciente. 7 k 120 – 125 – 140 – 143 – 188 – 190 – 199 2° Calcula el cociente p = . S ≈ 30,9 100 50 3° Finalmente, identiﬁca en Como p= =0,5 y [n • p + 1] = [7 • 0,5 + 1] = [4,5] = 4, entonces P50 el conjunto de datos el 100 corresponde al cuarto dato (dato central) de las muestras 1 y 2 ordenados de valor que corresponda a la x manera creciente, es decir, 176 y 143, respectivamente. posición [n • p + 1] de los valores de la variable. Luego, Pk = x[n • p + 1]. ¿Qué puedes concluir a partir de estos resultados? Muestra 1: xx = =

(

)

(

( ( ( (

)

) )

( (

)

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

237

c c

n de prob ció

r r

Ayuda La mediana (Me) en una distribución ordenada de datos discretos corresponde al valor central. Sean x1, x2, x3, …, xn, los datos de una muestra. Si estos están ordenados de manera creciente o decreciente, se tiene que la mediana está dada por: MeM= x= nx . Si n es impar,

as lem

e e

en co n t i do resol u

uac eval ión

Para grabar Otra manera de comparar dos muestras es utilizando alguna representación gráfica. Una de ellas es el diagrama de cajas (en algunos casos es llamado Box Plot o diagrama de cajas y bigotes), en el que es posible presentar las características de una población, es decir, las medidas de tendencia central, de posición y de dispersión. Sigue los siguientes pasos para construir un diagrama de cajas: 1° Ordena los datos de manera creciente. 2° Determina los valores mínimo y máximo y calcula los cuartiles de la distribución (P25, P50 y P75). 3° Ubica los valores del paso anterior en un gráfico cuya escala puedes determinar según los valores mínimo y máximo. 4° El ancho de la caja corresponderá a la distancia entre P25 y P75. Une con una línea la caja y los valores mínimo y máximo, y finalmente, marca con una línea el valor que corresponde a P50. Ejemplo: si utilizas un diagrama de cajas para representar la situación inicial de la página anterior, se tiene lo siguiente: Mínimo

e   + n1  2   + 1   2  

Diagrama de cajas muestra 1

x n x+ x+n x

Si n es par, MeM= =2

Primer cuartil

Mínimo

Máximo

Diagrama de cajas muestra 2

+ 1n n +1 2 2 2

. 22 Por ejemplo, las medianas para los datos de la página anterior son: e

Muestra 1: 176 Muestra 2: 143

120

140 160 180 200 Masa en gramos de duraznos

120

140 160 180 200 Masa en gramos de duraznos

Mediana Tercer cuartil Máximo Observación: los diagramas de cajas también pueden ser expuestos de forma vertical y en un solo gráﬁco, para así comparar las distribuciones. Tercer cuartil

Analiza el siguiente diagrama de cajas. Luego, responde. El siguiente diagrama representa la cantidad de goles convertidos por un equipo de fútbol femenino en el último campeonato realizado. Goles convertidos

0 1 2 3 4 5 a. ¿Hubo algún partido en que el equipo marcara 7 goles? Justiﬁca.

b. ¿Qué cantidad de goles convertidos representa la mediana? Justiﬁca.

c. Respecto al número de goles convertidos, ¿qué opinas del rendimiento del equipo? Discútelo con tus compañeros(as).

238

Unidad 7 • Estadística

1 1

2 2

3 3

4 4

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6 6

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8 8

Interpreta la siguiente tabla. Luego, responde.

Distribución de los salarios de dos empresas Salario (miles de $) Empresa A Empresa B 250 375 425 500 750

15 20 30 20 15

10 30 35 24 1

a. ¿Cuáles son las medidas de dispersión según los salarios de ambas empresas?

b. ¿Qué empresa reparte de manera más equitativa el salario entre sus empleados?

c. ¿Cómo crees que se concentrarían los datos de ambas empresas si se representara la información de la tabla en un diagrama de cajas?

Analiza la siguiente información. Luego, responde. Luego de una evaluación de Matemática, se registran las caliﬁcaciones obtenidas: 4,5; 6,6; 3,6; 5,5; 6,4; 5,8; 7,0; 6,5; 4,5; 3,0; 5,5; 6,3; 5,5; 6,8; 4,2; 5,6; 4,5; 2,3; 6,0; 4,7; 3,3; 2,0; 3,9; 5,5; 4,8; 5,7; 6,0; 5,8; 7,0; 6,6; 3,5; 3,5; 4,8; 5,9; 3,7. a. ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de las caliﬁcaciones de los estudiantes?

b. ¿Cuál es el valor de la mediana respecto a las caliﬁcaciones de los estudiantes?

c. ¿Cuál es el valor de cada cuartil respecto a las caliﬁcaciones de los estudiantes?

d. Construye un diagrama de cajas que represente la situación.

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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n de prob ció

r r

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en co n t i do resol u

uac eval ión

Analiza las siguientes tablas. Luego, resuelve.

Curso B

Curso A Caliﬁcación 7,0 6,8 6,1 5,8 4,5 3,7 2,9 Total

Cantidad de estudiantes 1 3 4 9 12 5 3 37

Caliﬁcación 6,6 6,0 5,6 5,5 5,2 4,5 4,0 3,7 Total

Cantidad de estudiantes 7 5 3 2 1 3 11 5 37

a. Calcula las medidas de tendencia central en cada curso.

b. Calcula los valores de los cuartiles para ambos cursos.

c. Calcula las medidas de dispersión para ambos cursos.

d. ¿Qué curso presenta mayor homogeneidad respecto a sus caliﬁcaciones? Justiﬁca.

e. Construye un diagrama de cajas que represente la información de las tablas.

240

Unidad 7 • Estadística

1 1

2 2

Analiza la siguiente información.

4 4

5 5

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Ayuda

Para grabar El número Nn corresponde a la cantidad de muestras alea- Ejemplo: si en una tómbola hay 25 bolitas numeradas torias de tamaño n que se pueden extraer con reposición del 1 al 25 y se quiere seleccionar una muestra de de una población de tamaño N, mientras que el número tamaño 5, se tiene que:   N! de tamaño 5 que pueden seleccioN Hay 25N5muestras   = N! , donde n ≤ N corresponde a la cantidad =   n!(N – n)! n  n!(N – n)! narsencon reposición.   aleatorias de tamaño n que se pueden 25 de25muestras  extraer Hay   muestras de tamaño 5 que pueden seleccio sin reposición de una población de tamaño N.  5   5  narse sin reposición.

3 3

Analiza la siguiente información. Luego, responde.

0! = 1 1! = 1 2! = 2 • 1 = 2 3! = 3 • 2 • 1 = 6 4! = 4 • 3 • 2 • 1 = 24 5! = 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120

Ampliando memoria

Los siguientes valores corresponden a la cantidad de puntos anotados por un jugador de básquetbol en una temporada de 50 partidos. 20 – 25 – 11 – 34 – 24 – 17 – 5 – 25 – 9 – 10 – 18 – 20 – 21 – 35 – 33 – 32 – 25 – 19 – 68 – 9 – 43 – 0 – 22 – 33 – 22 – 4 – 27 – 28 – 17 – 17 – 18 – 20 – 19 – 75 – 8 – 35 – 18 – 15 – 27 – 19 – 14 – 26 – 30 – 25 – 17 – 34 – 24 – 37 – 34 – 13. a. ¿Cuántas muestras de tamaño 10 se pueden seleccionar con reposición? ¿Y cuántas sin reposición?

De un conjunto de datos se pueden extraer distintas muestras, con y sin reemplazo. A su vez, de cada una de estas se puede calcular la media aritmética y el promedio de estas medias aritméticas, así se puede comparar con el promedio de la población y realizar conclusiones. Por esto, es importante determinar el número de muestras que se pueden seleccionar de cierta población.

b. ¿Cómo elegirías una muestra aleatoria de tamaño 15? Da un ejemplo.

c. Respecto de b, ¿cuál es el promedio de anotaciones según esta muestra? Compáralo con el de tus compañeros y compañeras.

d. ¿Cuál es la media aritmética de las anotaciones del jugador?

e. Escribe dos conclusiones respecto a la media de las muestras y la media del total de las anotaciones. 1. 2. Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

241

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Trabajo de habilidades

Resolución de problemas 1 Analiza la resolución del siguiente problema.

¿Qué es evaluar? Evaluar consiste en emitir juicios de acuerdo a un criterio conocido o válido.

¿Qué tengo que hacer para evaluar una afirmación? Analizar el objeto o situación que se va a evaluar. Deﬁnir el o los criterios de evaluación. Veriﬁcar si la proposición es válida. Explicitar los argumentos sobre el valor atribuido a la solución.

Etapas de la resolución de problemas Paso 1. Comprende el enunciado. Paso 2. Planiﬁca lo que vas a realizar. Paso 3. Resuelve el problema. Paso 4. Revisa la solución.

242

Unidad 7 • Estadística

Se registran los tiempos, en minutos, que demoran dos grupos de estudiantes en completar una competencia deportiva. Grupo 1: 2,35; 3,9; 4; 2,5; 3; 4,1; 5; 1,9; 2,7; 4,05; 4; 5; 3,3; 3,75; 2. Grupo 2: 3; 1,75; 3,2; 4; 2,98; 3,4; 5; 1,12; 2,5; 3; 7; 1,84; 2,76; 3; 1,5. Se aﬁrma, entonces, que los datos que representan los tiempos que demoran los estudiantes del grupo 1 son más homogéneos que los datos del grupo 2. ¿Es válida esta aﬁrmación?

Paso 1 Comprende el enunciado ¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema? Si la aﬁrmación presentada es válida. ¿Qué información entrega el enunciado del problema? Se muestran los tiempos, en minutos, que demoran en la competencia los dos grupos de estudiantes.

Paso 2 Planifica lo que vas a realizar Analiza el objeto o situación que se va a evaluar. A partir de la información entregada sobre los tiempos que demora cada grupo de estudiantes, puedes calcular las medidas de tendencia central, de dispersión o de posición, y luego, comprobar si con esta información puedes verificar la afirmación. Define el o los criterios de evaluación. Para evaluar la afirmación, se puede calcular el coeficiente de variación (CV) para cada grupo de estudiantes, y luego compararlos, para determinar qué grupo presenta los datos más homogéneos.

Paso 3 Resuelve el problema Verifica si la proposición es o no válida. 3,43671 es x = 3,4367 , mientras que el El promedio de los tiempos paraxel= grupo promedio para el otro grupo es x = 3,07 . Luego, desviaciones estándar x =las 3,07 respecto a estos tiempos tienenxlos valores aproximados = 3,4367 x = 3,4367 0,996 y 1,467, respectivamente, para los grupos 1 y 2. Finalmente, se calcula el coeficiente de x = 3,07 3,07 y CV ≈ 47,78%. Por variación para cada grupo y resulta que: CV1 ≈x = 28,98% 2 S S lo tanto, el grupo 1 presenta mayor en susS2tiempos. 1 homogeneidad 1 = CV1 y 2 =SCV x = 3,4367 x x2 x =2 CV1 y x = CVx2 = 3,4367 Explicita de manera coherente 1los argumentos 1 sobre el2 valor atribuido a la x = 3,07 de la situación planteada. solución x = 3,07 xComo = 3,4367 los tiempos promedio para cada grupo están dados por: x = 3,4367 y x = 3,07 , si se calculan las desviaciones, se tiene: S1 ≈ 0,996 y xS2=≈3,07 1,467. Finalmente, se obtienen los porcentajes 28,98% y 47,78%. Con lo que se S1 S2 S1 S = CV1 yque =laCV concluye afi2rmación es válida. = CV1 y 2 = CV2 x1 x2 x1 x2 Paso 4 Revisa la solución Es posible establecer que la afirmación es válida utilizando Excel para calcular los valores del promedio, la desviación estándar y el coeficiente de variación vistos en las páginas 226 y 227.

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

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8 8

2 Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente. Si se registran las estaturas en metros de dos grupos de personas y los resultados son los siguientes: Grupo 1: 1,85; 1,72; 1,67; 1,62; 1,80; 1,59; 1,75; 1,81; 1,77; 1,71; 1,72; 1,65; 1,70; 1,60; 1,69; 1,72; 1,57; 1,62; 1,59; 1,75; 1,70. Grupo 2: 1,55; 1,63 1,59; 1,82; 1,82; 1,75; 1,53; 1,75; 1,63; 1,84; 1,73; 1,85; 1,72; 1,66; 1,77; 1,81; 1,65; 1,59; 1,87; 1,66; 1,75. Se aﬁrma, entonces, que los datos del grupo 1 y el grupo 2 son igualmente homogéneos. ¿Es válida esta aﬁrmación?

Paso 1 Comprende el enunciado ¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema? ¿Qué información entrega el enunciado del problema?

Paso 2 Planiﬁca lo que vas a realizar Analiza el objeto o situación que se va a evaluar.

Deﬁne el o los criterios de evaluación.

Paso 3 Resuelve el problema Veriﬁca si la proposición es o no válida.

Explicita de manera coherente los argumentos sobre el valor atribuido a la solución de la situación planteada.

Paso 4 Revisa la solución

3 Resuelve en tu cuaderno el siguiente problema. Se registran las calificaciones de un grupo de estudiantes. 6,0; 7,0; 5,1; 4,4; 3,4; 5,8; 5,5; 7,0; 3,9; 5,5; 6,6; 6,4; 4,1; 4,0; 3,3; 3,7; 5,5; 6,9; 6,1; 5,9; 5,4; 3,3; 6,7; 6,0; 5,1; 6,5 6,4; 6,7; 4,4; 7,0; 3,7; 5,7; 6,8; 6,9; 6,6; 6,0; 4,0; 3,8; 3,5; 4,5; 5,1; 5,6. Se afirma que del total de las calificaciones, se pueden seleccionar 42 muestras de tamaño 20. ¿Es válida esta afirmación? Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

243

Rango

Desviación

Desviación media

Desviación estándar

Muestreo aleatorio

Medidas de posición

Comparación de muestras

244

Unidad 7 • Estadística

Deﬁnición o procedimiento

Ejemplo

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Cargando disco Analiza el siguiente ejemplo de pregunta PSU referida a la suﬁciencia de datos. Se puede determinar la mediana de una muestra de datos discretos si: (1) Los datos están ordenados de manera decreciente. (2) El promedio de los datos de la muestra es 110. A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Ambas juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) ó (2). E. Se requiere información adicional.

Para responder de manera correcta este tipo de preguntas, primero puedes analizar cada una de las proposiciones por separado y determinar si entregan suﬁciente información por sí solas. De esta manera, al analizar la condición (1), se tiene que: Si los datos están ordenados de manera decreciente, la mediana corresponde al valor central de la variable, siempre y cuando la cantidad total de los datos sea un número impar. En el caso de que el número de datos sea par, se tendrá que calcular utilizando: xn + xn Me =

2 1 n = ∑ xi = 110 Entonces, como los datos están ordenados, es posiblexestablecer cuál es el valor del dato central de la distribución y así n i= 1 obtener la mediana. Por lo tanto, la condición (1) es suﬁciente por sí sola para determinar el valor de la mediana. Por otra parte, si se considera válida la condición (2), se tiene que: xn + xn +1

2 2 Mede = datos Si se conoce solo el valor del promedio para la muestra discretos, se tiene que: 2 1 n x = ∑ xi = 110 n i= 1

A partir de esta relación, es posible reconocer que cada valor de la variable xi es una incógnita. Luego, no es posible determinar el valor de la mediana si se conoce solo el valor del promedio, que en este caso es 110. Por lo tanto, la condición (2) por sí sola no es suﬁciente para determinar el valor de la mediana en la muestra dada. Por lo tanto, la alternativa correcta es A, (1) por sí sola. A

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

245

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Evaluación ﬁnal

Verificando disco

I. Lee atentamente cada una de las preguntas y marca la alternativa correcta. 1 Si se quiere conocer cuál es la nota más obtenida por los estudiantes de un curso, ¿qué calcularías? A. B. C. D. E.

La moda. La media. El percentil 50. La desviación media. La desviación estándar.

2 Si en un estudio se obtienen los siguientes valores: x = 3 y S = 1,3, ¿cuál(es) de las siguientes aﬁrmaciones es(son) x = 38 verdadera(s)? I. yElSvalor x =21 = 11. mínimo es 1,7. II. Elyvalor es 4,3. x =21,5 S = 10máximo . III. Los x =28,2 y Svalores =9,82.se concentran entre 1,7 y 4,3. x = 28,,5 y S = 9,82. A. Solo I. x =30 S = 8,2. B. Soloy II. C. Solo III. D. Solo I y II. E. I, II y III.

5 Los precios, sin redondear, de las bencinas en una semana se registran en la tabla. ¿A qué valores corresponde el promedio y la desviación estándar, respectivamente?

A. B. C. D. E.

3,1 6 6,3 9,3 10,9

4 Para estudiar la altura de una raza de perros, se 3 toma una muestra de 30 perros xde= distintas edades, obteniéndose como resultados: x = 38 cm y S = 8 cm. ¿Qué se puede concluir de estosxresultados? =21 y S = 11. A. Los perros miden como mínimo 30 cm altura. x =21,5 y Sde = 10 . B. Los perros de mayor edad miden aproximadamente x =28,2 y S =9,82. 46 cm de altura. x = 28,,5 y S = 9,82. C. Los perros de menor edad miden aproximadamente x =30 y S = 8,2. 30 cm de altura. D. Los perros de esta raza pueden medir solo hasta 46 cm de altura. E. Los perros de esa raza miden aproximadamente entre 30 y 46 cm de altura.

246

Unidad 7 • Estadística

Día Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

Precio ($) 656,8 645,6 633,9 655,1 624,4 644,5 652,4

644,67 y 120,97. 644,76 y 4,62. 644,67 y 10,97. 644,67 y 11,86. 644,76 y 12,12.

6 Las edades de 75 personas que asisten a una obra de teatro se registran en la siguiente tabla:

Edad de los asistentes Edad [10, 20[ [20, 30[ [30, 40[ [40, 50]

3 ¿Cuál es aproximadamente el valor de la varianza para la distribución de datos: 2, 4, 5, 12, 9, 6 y 6? Redondea a la décima. A. B. C. D. E.

Precio de la bencina

f 18 25 22 10

xx = 3 = 3 =3 3 xxx = = 3 ¿Cuál es aproximadamente el promedio de edad de los xx = 38 = 38 x = 38 x = 38 asistentes la desviación estándar? xx = 38y yS = 11 . xx =21 =21 yy S = 11 =21 S = 11... yy S = 11 A. xxx =21 =21 S = 11 .10. yy S = xx =21,5 =21,5 S = 10 =21,5 y S = 10... 10 B. xx =21,5 =21,5 yyy S SS= ==9,82. 10. xx =28,2 =28,2 S =9,82. C. xx =28,2 =28,2 yyy S S =9,82. =9,82. x =28,2 =9,82. = 28, 28,,,5 5 yyy S S= = 9,,82 82.. S 9 D. xxx = = 28, 28,,,5 5 yy S S= =9 9,,82 82.. xx = , 5 y S = 9 , = 28, E. xx =30 =30 yy S S= =8 8,,2. 2.82. =30 yy S S=8 8,2. xxx =30 =30 y S = = 8,,2. 2. 7 ¿Cuál es aproximadamente la desviación media de los datos representados en la tabla?

Cantidad de respuestas correctas Respuestas correctas 5 Cantidad de alumnos 3 A. B. C. D. E.

1,54 1,94 2,41 4,02 7,16

7 2

8 5

12 2

6 6

1 1

8 ¿Cuál es la mesada promedio del siguiente grupo de estudiantes?

Mesada en miles de pesos Mesada [0, 5[ [5, 10[ [10, 15[ [15, 20[ [20, 25[ [25, 30] A. 6.500 B. 15.260 C. 17.500

Estudiantes 4 11 16 22 8 6 D. 30.000 E. 42.740

9 Respecto de la situación anterior, ¿cuántos estudiantes tienen una mesada que se ubica en el intervalo [x – S, x + S]? A.2 4 estudiantes. B. 7 estudiantes. C. 21 estudiantes. D. 38 estudiantes. E. 40 estudiantes. 10 Si en una distribución todos los datos tienen el mismo valor, entonces ¿cuál(es) de las siguientes aﬁrmaciones es(son) verdadera(s)? I. La media aritmética es cero. II. La desviación estándar es cero. III. La mediana corresponde a Q2. A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. Solo I y II. Solo II y III. I, II y III.

11 Con respecto a las medidas de dispersión, ¿cuál(es) de las siguientes aﬁrmaciones es(son) falsa(s)? I. Representan la posición de los datos en una determinada muestra. II. Son valores centrales de la distribución. III. Muestran el grado de variabilidad de los datos. A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. Solo III. Solo I y III. Solo II y III.

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

[x – S,dos x +datos S] es 2 y su 12 Si la media aritmética entre desviación estándar es 2, ¿cuál es el producto entre los datos? A. B. C. D. E.

0 1 2 3 No se puede calcular.

13 El promedio de los datos de una muestra es 120. Si de ella se extraen dos datos, el nuevo promedio se puede calcular si: (1) Los datos extraídos son 120 y 80. (2) La muestra tenía 10 datos. A. B. C. D. E.

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

14 Se puede calcular la suma de tres números si: (1) La media aritmética entre ellos es 15. (2) La mediana corresponde al valor 11. A. B. C. D. E.

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

15 Respecto a la siguiente tabla de frecuencias, ¿cuál es el percentil 50?

Edad de un grupo de personas A. B. C. D. E.

6 6,3 9,4 10 12

Edad [1, 5[ [5, 9[ [9, 13[ [13, 17]

f 5 9 10 6

16 A partir de la tabla anterior, ¿a qué intervalo pertenece el cuartil 3? A. B. C. D. E.

[1, 5[ [5, 9[ [1, 9[ [9, 13[ [13, 17[ Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

247

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Evaluación ﬁnal

17 Las ventas mensuales de una empresa que tiene cinco sucursales fue la siguiente:

Ventas de la empresa Sucursal 1 2 3 4 5

Número de ventas 9 5 6 7 6

¿Cuál es aproximadamente su coeﬁciente de variación? A. B. C. D. E.

2,29% 20,55% 22,9% 43,5% 45,3%

18 El muestreo aleatorio estratiﬁcado consiste en: A. Seleccionar de manera aleatoria una muestra entre todos los elementos de la población. B. Seleccionar de manera aleatoria una muestra proporcional a partir de subgrupos de la población. C. Seleccionar aleatoriamente grupos de interés en el estudio, y luego, de cada grupo seleccionar muestras del mismo tamaño. D. Seleccionar de manera aleatoria una muestra de toda la población eligiendo n elementos por grupo representativo de la población. E. Seleccionar de manera aleatoria una muestra sin considerar diferencias entre grupos de la población. 19 Si se quiere conocer cuántas horas al día pasan los niños y niñas viendo televisión, ¿qué tipo de muestreo sería más adecuado utilizar? A. B. C. D. E.

Muestreo aleatorio simple. Muestreo aleatorio sistemático. Muestreo aleatorio estratiﬁcado. Muestreo aleatorio por conglomerados. No es necesario utilizar ningún tipo de muestreo.

20 Para un estudio estadístico, se seleccionó una muestra aleatoria de 300 personas. El 18% de estas corresponde a un grupo etáreo especíﬁco y el resto de la muestra está formada por otros dos grupos, también de edades diferentes. ¿Qué tipo de muestreo se utilizó para la selección de esta muestra? A. B. C. D. E.

Muestreo aleatorio simple. Muestreo aleatorio sistemático. Muestreo aleatorio estratiﬁcado. Muestreo aleatorio por conglomerado. Ninguna de las anteriores.

21 ¿Cuándo no es conveniente escoger una muestra para realizar un estudio estadístico? A. B. C. D. E.

Nunca es conveniente. Cuando la población es muy grande. Solo si es una población de personas. Cuando la población es muy pequeña. Si las variables a estudiar tienen valores muy grandes.

22 Si se hace una rifa con N números distintos y estos se anotan en N bolitas introducidas en una tómbola, ¿qué tipo de muestreo relacionarías con esta situación? A. B. C. D. E.

Muestreo estratiﬁcado. Muestreo sistemático. Muestreo aleatorio sin reposición. Muestreo aleatorio con reposición. Ninguna de las anteriores.

23 Para seleccionar una muestra, se emplea un muestreo aleatorio sistemático. Si la población es de 1.000 personas y se escogen 250 de ellas, entonces la constante k que permite conocer cuántos elementos tendrá la muestra es: A. k = 4 B. k = 10 C. k = 40

D. k = 80 E. k = 100

24 Según la siguiente tabla, ¿cuál es el rango de duración de las llamadas para ambas personas?

Duración en minutos de las llamadas Persona 1 Persona 2

1,4 5

A. 7,31 y 6,11. B. 2,03 y 22,01. C. 20,92 y 14,97.

248

Unidad 7 • Estadística

3 6,8

7,9 22,01 7,8 4 2,03 17

1,09 5

D. 20,61 y 14,97. E. 44,19 y 21,75.

8 3

1 1

Utiliza la siguiente información para responder las preguntas 25 a 28.

A B C

5,4 5,5 5,6

1,6 1,9 2

Mín. Max.

3,5 2 1,8

5,8 5,9 6

4,5 4,8 5

6 6,3 6

7 7 7

25 ¿Cuáles son los rangos de puntajes del primer cuartil del 2° A y 2° B, respectivamente? A. B. C. D. E.

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

28 ¿Cuál(es) de las siguientes aﬁrmaciones es(son) verdadera(s)?

En un colegio se aplica una prueba a tres segundos medios y se obtienen los siguientes datos:

Curso

2 2

[3,5; 4,5] y [2; 4,8] [3,5; 4,5] y [1,8; 5,0] [4,5; 6] y [4,8; 6,3] [4,5; 5,8] y [4,8; 5,9] [1,6; 5,4] y [1,9; 5,5]

26 Si un estudiante del 2° A y uno del 2° B obtuvieron un 6,5, ¿cuál de las siguientes aﬁrmaciones es falsa? A. La nota del estudiante del 2° A pertenece al tercer cuartil. B. La nota de ambos estudiantes supera en 0,9 puntos el promedio del 2° C. C. La nota de un estudiante del 2° B está a un punto del promedio del curso. D. La nota de un estudiante del 2° B es mejor que cualquier nota obtenida en el 2° C. E. La nota del estudiante del 2° B es mayor en 0,5 puntos que la mediana obtenida en el 2° C. 27 Respecto de los resultados del 2° B, se puede asegurar que: A. El 50% del curso obtuvo menos de un 5,9. B. Las notas son menos dispersas que en los otros cursos. C. La nota mínima obtenida por uno de los estudiantes es un 1,8. D. La nota máxima obtenida por uno de los estudiantes es un 6,3. E. Las notas de los estudiantes varían en 1,6 puntos respecto de la media.

I. El mejor rendimiento lo tiene el 2° C, pues el promedio es 5,6. II. El curso con menor dispersión es el 2° A, pues la desviación estándar es 1,6. III. En los tres cursos el 50% de los estudiantes obtuvo nota superior a 5,5. A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. Solo III. Solo II y III. I, II y III.

29 Para comprobar si el contenido neto en gramos de los yogures que produce una fábrica corresponde al señalado en el envase, se seleccionan diez muestras al azar. Si entre las diez muestras seleccionadas se obtuvo un promedio de 124,3 g y una desviación estándar de 1,8 g, ¿cuál(es) de las siguientes aﬁrmaciones es(son) falsa(s)? I. Al aumentar el número de muestras de los yogures, la media se aproxima a la media del total de los yogures producidos por la fábrica. II. Gran parte de la producción de yogures tuvo un contenido neto entre 122,5 g y 126,1 g. III. El promedio de las medias de las muestras extraídas siempre corresponde a la media del total de la producción de yogures. A. Solo I. B. Solo II. C. Solo III.

D. Solo I y II. E. Solo I y III.

30 ¿En cuál de los siguientes diagramas de cajas los datos se distribuyen mayormente entre P25 y P50? A. D.

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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Evaluación ﬁnal

II. Resuelve los siguientes problemas. 1. Una fábrica necesita invertir cierto capital en el mercado. Para ello, debe analizar el rendimiento de las sucursales que posee. Según su producción en los últimos seis meses, ¿cuál de las dos sucursales presenta una producción más homogénea?

Producción semestral Mes 1 2 3 4 5 6

Sucursal 1 (ton) Sucursal 2 (ton) 13,4 8,5 7,5 12,5 6,5 15 9,6 22 15 17 14 8,9

2. Un curso ha ahorrado dinero durante 20 días para realizar un paseo. A continuación se muestra el registro de cada ingreso por semana, de lunes a viernes. Semana 1 Semana 2 Semana 3 Semana 4

$ 5.234 – $ 12.400 – $ 15.324 – $ 12.345 –

$ 7.356 – $ 10.666 – $ 17.563 – $ 16.653 –

$ 6.765 $ 11.540 $ 18.567 $ 19.545

– – – –

$ 9.980 – $ 19.000 – $ 12.234 – $ 19.110 –

$ 10.960 $ 11.670 $ 11.345 $ 14.760

¿Cuántas muestras de tamaño 5 sin reposición pueden obtenerse?, ¿en qué te basas para seleccionar estas muestras?

250

Unidad 7 • Estadística

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Cerrar sesión Contenido

Medidas de tendencia central, de posición y de dispersión

Muestreo

Comparación de muestras

Número de pregunta

Habilidad

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Comprender Evaluar Aplicar Analizar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Comprender Evaluar Evaluar Analizar Evaluar Evaluar Aplicar Aplicar Aplicar Recordar Comprender Comprender Comprender Comprender Analizar Aplicar Aplicar Evaluar Evaluar Evaluar Evaluar Analizar

Clave

Nivel de logro

251

Unidad

Probabilidad

8 8

Con el ﬁn de la Edad Media y a partir del avance de la Matemática entre otras ciencias, se empieza a dar una explicación coherente a muchos fenómenos que no seguían un patrón determinado, como lo eran en esa época los juegos de azar.

En 1812, Pierre Simon Laplace (1749-1827), con la Teoría Analítica de las Probabilidades, expuso la introducción de los elementos del análisis matemático en el estudio de los fenómenos aleatorios, estableciendo por ejemplo su famosa regla para calcular la probabilidad de ocurrencia de un evento.

El matemático francés Henri Poincaré (1854-1917) decía: "El azar es la medida de nuestra ignorancia".

Menú de inicio ¿Qué aprenderás?

252

¿Para qué?

¿Dónde?

Espacio muestral, experimentos aleatorios y la Ley de los grandes números.

Asignar la probabilidad de ocurrencia de un evento a partir de la repetición de experimentos aleatorios.

Páginas 254 a 259.

Probabilidad y variable aleatoria.

Aplicar estos conceptos a diferentes situaciones que involucren el azar.

Páginas 260 a 265.

Técnicas de conteo, conjuntos y probabilidad.

Aplicar operatoria conjuntista al cálculo de probabilidades.

Páginas 266 a 275.

Unidad 8 • Probabilidad

1 1

2 2

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4 4

5 5

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8 8

Abrir sesión Considerando la información de la página anterior, responde: 1. ¿En qué situaciones de la vida diaria has observado fenómenos aleatorios? 2. ¿Cómo expresarías con tus palabras la regla de Laplace? ¿Qué relación matemática usarías? 3. ¿Qué crees que quería decir Poincaré con esa frase?

s er

ció

n de p r o

r r

Inicializando

s a mel

c c

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en c o n t i do

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uac eval ión

ulo

c o n t i do en

ció

n de p r o

Evaluar consiste en emitir juicios de acuerdo a un criterio conocido y válido.

eval ión uac

En un curso de 35 estudiantes se vende una rifa de 100 números. Las 18 mujeres del curso compraron 3 números de rifa cada una; los hombres, dos números cada uno; y el profesor del curso, el resto de los números. Luego, un estudiante aﬁrma: “Es más probable que esta rifa la gane el profesor”. 1. ¿Cuántos números compraron entre todas las alumnas del curso? ¿Y entre todos los alumnos?

2. ¿Cuál es la probabilidad de que gane la rifa una alumna del curso? ¿Y un alumno del curso?

3. Evalúa la aﬁrmación hecha por el estudiante del curso. ¿Es correcta? ¿Por qué?

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

253

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Espacio muestral y suceso Dado un experimento cualquiera E, es posible deﬁnir un conjunto Ω (omega) llamado espacio muestral, al que pertenezcan todos los posibles resultados del experimento en cuestión. Por ejemplo, E: lanzar dos dados de seis caras. Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5 ,2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 5), (6, 6)}

Para grabar Un experimento aleatorio (E) es aquel experimento que depende del azar, es decir, no se puede asegurar cierto resultado aunque se repita bajo las mismas condiciones. Un experimento se dice determinístico si su resultado no depende del azar o es posible asegurar cierto resultado si se repite bajo condiciones similares. El conjunto Ω de todos los resultados posibles asociados a un experimento E es llamado espacio muestral. Un evento o suceso A es un subconjunto del espacio muestral Ω (A ⊆ Ω). Un espacio muestral es equiprobable cuando cada uno de los sucesos tiene la misma posibilidad de ocurrir.

Ayuda

La cardinalidad de un conjunto (#A) es un número que representa la cantidad de elementos del conjunto A. El símbolo  se utiliza para representar al conjunto vacío.

Ejemplo: El experimento E de lanzar una moneda al aire es aleatorio. E: lanzar una moneda Ω = {cara, sello} Sucesos: A: obtener cara y B: obtener sello.

Interpreta cada uno de los siguientes experimentos. Luego, escribe su respectivo conjunto (Ω), que representa el espacio muestral. a. E: lanzar un dado de seis caras Ω={

}

b. E: sacar una ﬁcha del dominó Ω={

}

c. E: elegir un número cuadrado perfecto de dos cifras Ω={

}

d. E: lanzar una moneda y un dado de seis caras Ω={

}

Evalúa si las siguientes aﬁrmaciones son verdaderas o falsas. Para ello, escribe V o F según corresponda. a. La cardinalidad de un conjunto es siempre un número positivo. b. Si A ⊆ Ω, entonces #A < #Ω. c. Si B: lanzar 3 monedas, entonces #B = 23. d. Si C = ∅, entonces #C = 0.

Resuelve en tu cuaderno. a. ¿Cuál es el espacio muestral asociado al experimento de elegir una carta de naipe español? ¿Y su cardinalidad? b. En el lanzamiento simultáneo de dos monedas, ¿cuántos resultados posibles hay? ¿Cuáles son?

254

Unidad 8 • Probabilidad

1 1

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4 4

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Para grabar Un suceso simple es aquel que está formado por un solo elemento del espacio muestral. Un suceso compuesto es aquel que está formado por dos o más elementos del espacio muestral. Un suceso A es seguro si como conjunto coincide con el espacio muestral, es decir, A = Ω. Un suceso A es imposible si A no pertenece al espacio muestral, es decir, A ⊄ Ω. Un suceso A’ se dice contrario o complementario del suceso A si al ocurrir el suceso A’ el suceso A no ocurre, y recíprocamente, es decir, A’ está formado por todos los elementos que no están en A.

Ejemplo: si se enumeran 50 bolitas del 1 al 50 y se realiza el experimento E: extraer una bolita. S: obtener el número 5 es un suceso simple. C: obtener el número 5 o el número 10 es un suceso compuesto. A: obtener un número entre 1 y 50 es un suceso seguro. B: obtener el número 51 es un suceso imposible. D: obtener un número par y D’: obtener un número impar son sucesos contrarios.

Clasiﬁca cada uno de los siguientes sucesos. Para ello, escribe en cada casilla seguro o imposible. a. Extraer una carta de un juego de naipe inglés. b. Elegir un Rey de corazón de un juego de naipe español. c. Obtener 7 puntos en el lanzamiento de un dado de seis caras.

Analiza la siguiente situación. Luego, responde.

Ampliando memoria

Experimento aleatorio E: lanzar tres monedas

C CC

S CS

CCC CCS CSC CSS SCC SCS SSC

Lanzamiento de 1 moneda. SS

Lanzamiento de 2 monedas. SSS

Lanzamiento de 3 monedas.

Los diagramas de árbol son una representación gráﬁca que permite organizar de mejor manera cierto tipo de información. En este caso se utilizó con el ﬁn de ordenar la ocurrencia de distintos sucesos en eventuales repeticiones de un experimento.

a. Representa el conjunto Ω. ¿Cuál es su cardinalidad? b. ¿Cuál es la cardinalidad de B: obtener a lo más dos sellos?

c. ¿Cuál es la cardinalidad del evento C: no obtener sellos?

d. ¿Cuántos casos son favorables al suceso D: obtener como mínimo una cara?

e. ¿Cómo clasiﬁcarías los sucesos B, C y D?

f. ¿Qué sucesos asociados al experimento son contrarios?

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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Frecuencia relativa de un suceso Considera la siguiente situación: Una tómbola contiene bolitas verdes, amarillas y rojas. Si se han realizado 21 extracciones, con devolución, obteniéndose los siguientes resultados: 10 verdes, 4 amarillas, 7 rojas ¿Cuáles son las frecuencias absolutas y relativas de cada uno de los siguientes sucesos? V: bolita verde, R: bolita roja y A: bolita amarilla.

Para grabar

Ampliando memoria La frecuencia relativa de un suceso A (fr(A)) es siempre un número comprendido entre 0 y 1 (incluidos). La frecuencia relativa de un suceso seguro E es igual a la unidad, es decir: fr(E) = 1.

La frecuencia absoluta (f(A)) asociada a un suceso A corresponde Ejemplo: en el caso anterior, se tiene que las al número de ocurrencias del suceso A. frecuencias absolutas asociadas a cada resultado son: La frecuencia relativa (fr(A)) asociada al suceso A corresponde a la razón entre la frecuencia absoluta f y el número total de pruebas f(verde) = 10, f(amarilla) = 4 y f(roja) = 7 f(A) realizadas. ; n pruebas Yfr (A) las =frecuencias relativasrealizadas son: n f(A) 7 10 4 ; n pruebas realizadas fr (A) = fr (verde) = , fr (amarilla) = y fr (roja) = . n 21 21 21 7 10 4 fr (verde) = , fr (amarilla) = y fr (roja) = . 21 21 21 1. Analiza la siguiente situación. Luego, responde. Al realizar el experimento aleatorio de lanzar un dado de seis caras 150 veces, se anotan los resultados en la siguiente tabla:

Lanzamiento de un dado de seis caras Número de puntos 1 2 3 4 5 6

Número de ocurrencias 23 35 22 19 32 19 Total: 150

a. Si se deﬁne el suceso A: obtener un número par, ¿cuál es el valor de fr(A)?

b. Si se deﬁne B = A’, ¿cuál es el valor de fr(B)?

c. ¿Es cierto que: fr(A) = 1 – fr(B)?

d. ¿Qué crees que ocurre con el valor de fr(A) si el número lanzamientos aumenta?

256

Unidad 8 • Probabilidad

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Ley de los grandes números Se lanza al aire una moneda 200 veces y se anota el número de veces que apareció cara (C) después de 20, 40, 60, 80,…, 200 lanzamientos. Luego, se registran los resultados en la siguiente tabla:

Lanzamientos de una moneda Número de lanzamientos

100

120

140

160

180

200

Número de caras obtenidas

101

Las frecuencias absolutas proporcionan una escasa información de cómo se comporta el suceso A: obtener cara, conforme aumenta el número de lanzamientos. Ahora, si se representan las frecuencias relativas, se tiene que:

Lanzamientos de una moneda Número de lanzamientos

100

120

140

160

180

200

Número de caras obtenidas

101

Frecuencia relativa

0,6

0,4

0,45

0,4625

0,48

0,475

0, 4 483

0,505

0,4714… 0,48125

Lanzamientos de una moneda

Frecuencia relativa 0,7

Ampliando memoria Jakob Bernoulli (1654-1705), matemático suizo, escribió el Ars conjectandi, sobre el cálculo de probabilidades y la Ley de los grandes números.

0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 20

100

120

140 160 180 200 Número de lanzamientos

Las frecuencias relativas tienden a estabilizarse en torno a 0,5, es decir, la frecuencia asociada al suceso A asume valores por exceso o por defecto en torno a 0,5, de tal manera que la diferencia entre estas se hace menor mientras el número de lanzamientos crece. Este comportamiento que experimenta fr, se conoce como la Ley de los grandes números.

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

257

c c

n de prob ció

r r

as lem

e e

en co n t i do resol u

uac eval ión

Para grabar La Ley de los grandes números establece que: “La frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse en torno a un número a medida que la cantidad de veces que se realiza un experimento aleatorio crece indeﬁnidamente”. fr (A) =

Cantidad de veces que ocurre el suceso A Cantidad de veces que se realiza el experimento

Ejemplo: la probabilidad de ocurrencia del suceso 1 A: obtener cara es , que corresponde justamente 2 al valor que tiende fr (A) luego de que el número de lanzamientos aumenta de manera considerable. Lanzamientos de una moneda

Frecuencia relativa 0,7

Si el experimento se realiza un número indeﬁnido de veces, se tiene que: fr (A) ≈

Número de casos favorables al suceso A Número de casos posibles

0,6 0,5 0,4

= P(A)

0,3 0,2

Donde P(A) denotará la probabilidad de ocurrencia del suceso A.

1. Advertencia La noción de frecuencia relativa asociada a un resultado NO siempre puede usarse en la práctica para calcular la probabilidad de ocurrencia de un suceso. ¿Podrías dar un ejemplo donde no sea conveniente?

0,1 20

100

120

140 160 180 200 Número de lanzamientos

Analiza las siguientes situaciones. Luego, responde. a. En una primera instancia se encuesta a 300 personas sobre sus preferencias entre tres empresas de telefonía móvil.

Encuesta de telefonía móvil Empresa Frecuencia absoluta

A 120

B 170

C 10

¿Cuál es la frecuencia relativa en cada caso? ¿Qué empresa es la preferida entre los encuestados? ¿Podrías aﬁrmar que, si el número de encuestados aumenta considerablemente, la probabilidad de escoger un encuestado se igualaría entre las tres empresas? b. Se lanza un dado de seis caras y se anotan los resultados obtenidos en las siguientes tablas.

Ocurrencias de 100 lanzamientos de un dado de seis caras Número de puntos Frecuencia absoluta (f)

1 16

2 21

3 25

4 18

5 9

6 11

Frecuencia relativa (fr)

0,16

0,21

0,25

0,18

0,9

0,11

Ocurrencias de 1.000 lanzamientos de un dado de seis caras Número de puntos Frecuencia absoluta (f)

1 170

2 185

3 160

4 162

5 161

6 162

Frecuencia relativa (fr)

0,17

0,185

0,16

0,162

0,161

0,162

¿A qué valor crees que tiende la frecuencia relativa del resultado de obtener un punto? ¿Qué relación tiene dicho valor con la probabilidad de ocurrencia de cada suceso?

258

Unidad 8 • Probabilidad

1 1

2 2

Herramientas tecnológicas Dependiendo del número de veces que se realice un experimento, te podrá ser útil realizar una simulación de este usando una planilla de cálculo como Excel. Analiza la siguiente situación: “Se quiere simular 300 lanzamientos de un dado de seis caras”. Sigue los pasos para simular la situación. Paso 1. La función =ENTERO(ALEATORIO()* (7-1)+1) te permite generar números enteros aleatorios entre 1 y 6, que representan en esta situación el número de puntos obtenidos en cada lanzamiento. En este caso se generaron 300 números aleatorios, copiando desde la celda A3 hasta la celda J33. Calcula la frecuencia relativa del suceso A: obtener un punto. ¿A qué número se aproxima la casilla M13 si generas 1.000 números aleatorios? Justiﬁca tu respuesta utilizando Excel.

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Paso 2. La función =CONTAR. SI(A3:J33;”6”) permite contar el número de veces que aparecerá un “6” entre las casillas A3 y J33. La condición no es única y dependerá del problema el que te enfrentes. Paso 3. La función =M7/300 te permitirá calcular el cociente entre el número de veces que aparecieron 6 puntos y la cantidad de lanzamientos del dado, es decir, la frecuencia relativa asociada al suceso.

Analiza el siguiente experimento. Luego, responde. En una tómbola se ingresan 10 bolitas numeradas del 1 al 10. a. ¿Qué funciones utilizarías en Excel para simular 500 extracciones de una bolita con reposición?

b. Si aumentas a 1.500 las extracciones, ¿a qué valor tiende la frecuencia relativa asociada a cada bolita?

Utiliza Excel para responder las siguientes preguntas. En el experimento A: lanzar una moneda, hay dos posibles resultados: cara (C) o sello (S). a. ¿Qué funciones te permitirían generar 2.000 resultados aleatorios para este experimento?

b. ¿A qué valor tienden las frecuencias relativas de cada resultado? ¿Qué relación tiene esto con los valores de P(C) y P(S)?

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

259

c c

n de prob ció

r r

Ampliando memoria Probabilidad clásica: la probabilidad de un suceso está dada por el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. Probabilidad empírica o experimental: es la probabilidad asociada a la frecuencia relativa del suceso cuando este se repite innumerables veces.

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uac eval ión

Probabilidad y propiedades Si un experimento cualquiera puede dar lugar a un número ﬁnito de resultados posibles y equiprobables, es posible utilizar la regla de Laplace para calcular la probabilidad de ocurrencia de un suceso aleatorio A en dicho experimento.

Para grabar En un experimento aleatorio E, la probabilidad de ocurrencia de un suceso A se puede calcular utilizando la regla de Laplace: P(A) = Casos favorables = #A Casos totales #Ω La probabilidad de un suceso se puede representar como número decimal, como fracción o como porcentaje.

Paso a Paso Al lanzar un dado de seis caras, ¿cuál es la probabilidad de obtener 4 puntos? Sea A: obtener 4 puntos. Se tiene que: #Ω = 6 y #A = 1. (1) 1 (2) Luego, P(A) = . 6 (1) El conjunto Ω#A = {1, 2,1 3, 4, 5, 6} = P(A) = entonces tiene 6 elementos, 1 #Ω 6 #ΩP(A) = 6 =y el conjunto A = {4} 6 tiene un elemento luego, #A = 1. #A 1 (2) P(A) = = . #Ω 6

Ejemplo: en la tómbola hay 10 bolitas entre amarillas y rojas. Considera los siguientes eventos asociados al experimento E: extraer una bolita. R: obtener una bolita roja. A: obtener una bolita amarilla. V: obtener una bolita verde. S: obtener una bolita amarilla o roja. Por lo tanto, se tiene que: 4 6 P(R) = =0,6= 60%, P(A) = = 0,4 = 40%, 10 10 0 10 P(V) = = 0== 0% y P(S) = = 1=100%. 10 10

Aplica la regla de Laplace para responder las siguientes preguntas. a. ¿Cuál es la probabilidad de extraer un As de trébol de un juego de naipe inglés?

b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara y un sello en el lanzamiento simultáneo de dos monedas?

c. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una potencia de tres en el número de puntos del lanzamiento de un dado de seis caras?

d. En una tómbola hay 25 bolitas numeradas del 1 al 25. Si se extrae una de estas, ¿cuántos elementos tiene el espacio muestral? ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bolita numerada con un múltiplo de 5?

e. En un restaurante se ofrecen tres distintos almuerzos, cinco sabores de jugo y para el postre ocho tipos de frutas o cuatro sabores de helado. Considerando que un menú consta de un almuerzo, jugo y postre, ¿cuántos menús diferentes ofrece el restaurante? ¿Cuál es la probabilidad de escoger un determinado menú del restaurante?

260

Unidad 8 • Probabilidad

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Para grabar Algunas de las propiedades presentes en el cálculo de probabilidades son las siguientes: La probabilidad de ocurrencia de un suceso A cualquiera es un número comprendido entre cero y uno, incluyéndolos. Es decir, A ⊆ Ω ⇒ 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Ejemplo: sea E: extraer una bolita de una tómbola que contiene 7 bolitas azules y 5 bolitas rojas, se pueden deﬁnir los siguientes sucesos:

7 A: obtener una bolita azul; P(A) = 7 P(A) = 12 7 7 12 La probabilidad de ocurrencia de un suceso A’, contraP(A)P(A) = = 12 5 rio al suceso A, es igual a la unidad menos la probabiliP(R) = 5 12 5 R: obtener una bolita roja; P(R) = 12 5 dad de A. Es decir: 12 P(R)P(R) = = 12 12 A, A’ ⊆ Ω y A ∩ A’ =  ⇒ P(A’) = 1 – P(A). P(V) = 12 12= 1 12 =1 P(V) = 12 12 La probabilidad de ocurrencia de un suceso imposible V: obtener una bolita roja o azul; 12 P(V)P(V) = ==121 = 1 0 A es cero. Es decir, P(A) = 0. =0 P(F) = 0 12 P(F) = 12 =0 0 0 P(F) La probabilidad de ocurrencia de un suceso seguro A F: obtener una bolita blanca; P(F) 12 = ==120 = 0 3 12 3 es uno. Es decir, P(A) = 1. 73 3 7 7 7 2. Resuelve los siguientes problemas. a. Si en una imprenta, por cada mil quinientos cuestionarios, 15 de ellos son mal impresos, ¿cuál es la probabilidad de que un cuestionario sea defectuoso? ¿Qué sucesos serían contrarios en esta situación?

b. Si la probabilidad de que mañana llueva es del 40%, ¿cuál es la probabilidad de que mañana no llueva?

c. Si se ha trucado una moneda de tal modo que la probabilidad de obtener sello (S) es 5 veces la probabilidad de obtener cara (C), ¿cuál es el valor de P(C)?

Evalúa si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Para ello, escribe V o F según corresponda. a. Si A y B son sucesos tales que: A ⊆ B, entonces P(B) ≤ P(A).

7 12 5 P(R) = c. Si A y A’ son sucesos contrarios, entonces P(A) + P(A’) = 1. 12 12 Desafíate P(V) = = 1 12 0 4. Resuelve en tu cuaderno el siguiente problema. P(F) = = 0 12 A y Si la diferencia entre el cuadrado de la probabilidad de ocurrencia de un suceso 3 el cuadrado de la probabilidad de ocurrencia del suceso contrario A’ es , ¿cuál es la 7 probabilidad de ocurrencia de A? b. Si #A = #B + #C, entonces P(A) = P(B) + P(C).

P(A) =

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

261

c c

n de prob ció

r r

Ampliando memoria Una manera de representar funciones es a través de la utilización de diagramas sagitales, donde se identiﬁca un conjunto de partida o dominio y un conjunto de llegada o recorrido. f A B a b c d

Conjunto de partida

Conjunto de llegada

as lem

e e

resol u

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uac eval ión

Variable aleatoria X Al considerar un experimento aleatorio E y su espacio Ω muestral asociado Ω, es posible determinar una CC correspondencia entre Ω y un subconjunto de . CS Por ejemplo, si E: lanzar al aire dos monedas simultáneaSC mente, se puede relacionar el espacio muestral SS Ω = {CC, CS, SC, SS} con el conjunto Y ⊆  de valores aleatorios. ¿Qué crees que representa cada elemento del conjunto Y? ¿Qué representa X? ¿La relación X es función? ¿Por qué?

0 1 2

Para grabar

e f

Si Ω es el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio E, entonces se llama variable aleatoria a cualquier función X cuyo dominio es Ω y recorrido Y, donde (Y ⊆ ).

Ejemplo: sea E: lanzar un dado de seis caras y Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, entonces es posible deﬁnir una variable aleatoria X que represente, por ejemplo, si el número de puntos obtenido en la cara superior del dado es o no primo. Es decir:

 0;si x no es primo. ; xi representa cada elemento de Ω X(xi) =   i  1; six es primo. i

En este caso, la función X asigna a cada elemento de Ω un elemento del conjunto Y = {0, 1}. Si el número de puntos obtenido es primo, se asigna 1; si no lo es, se asigna 0. X: Ω → Y ⊆  Luego, X(1) = X(4) = X(6) = 0 y X(2) = X(3) = X(5) = 1. Representando con un diagrama sagital: Suceso → X(suceso) x Ω Y 1 2 3 4 5 6

Ω CCC CCS CSC SCC SSC SCS CSS SSS

Unidad 8 • Probabilidad

Analiza cada diagrama sagital. Luego, determina un experimento aleatorio E y una variable aleatoria X que lo represente. a.

262

3 2 1 0

Ganar

Empatar

Perder

1 1

2 2

Analiza la siguiente información. Luego, responde.

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Ayuda

Si X es una variable aleatoria discreta, es posible deﬁnir una función, llamada función de probabilidad (f), que asocia una probabilidad a cada valor de la variable aleatoria. Es decir, se tiene que: f: X → [0, 1] xi → f(xi) = P[X = xi] Así, la variable aleatoria X toma los valores de su recorrido x1, x2,…, xi, …, xn. Luego, se tiene que: f(x1) + f(x2) + … + f(xn) = P(X = x1) + P(X = x2) + … + P(X = xn) = 1.

Sea E: lanzar dos veces seguidas una moneda y X: número de caras obtenidas. Es decir: X(CC) = 2, X(CS) = X(SC) = 1, X(SS) = 0. Luego, es posible deﬁnir la función de probabilidad (f) de la siguiente manera:

Sea E: lanzar tres monedas y se deﬁne X como el números de sellos obtenidos, donde X(CCC) = 0, X(CCS) = X(CSC) = X(SCC) = 1, X(CSS) = X(SCS) = X(SSC) = 2 y X(SSS) = 3.

f: X → [0, 1] xi → P[X = xi];

a. Si f es la función de probabilidad asociada a la variable aleatoria X, ¿cuál es el valor de f(0), f(1), f(2) y f(3)?

b. ¿Es cierto que f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = 1? ¿Por qué?

c. Si se lanzan tres monedas, ¿cómo deﬁnirías la función de probabilidad que representa la obtención de caras?

donde x1 = 0 representa que no se obtuvo cara; x2= 1 representa que se obtuvo 1 cara; y x3 = 2, que se obtuvo 2 caras. Luego: 11 f(0) = P[X = 0] = 44 22 f(1) = P[X = 1] = 44 1 f(2) = P[X = 2] = 1 44 2 4 1 4

Ampliando memoria

Resuelve los siguientes problemas. a. Deﬁne una variable aleatoria discreta para el experimento aleatorio E: lanzar dos dados de seis caras, de tal manera que la suma de los puntos obtenidos en sus caras superiores sea impar. Luego, escribe la función de probabilidad asociada.

Una variable aleatoria es discreta si su recorrido corresponde a un conjunto de números aislados en , es decir, si entre dos de sus elementos no hay otro que represente a la variable; mientras que la variable aleatoria será continua si su recorrido coincide con uno o más intervalos de la recta real, es decir, si entre dos elementos cualquiera del recorrido siempre hay al menos un valor que represente a la variable.

b. Deﬁne una variable aleatoria discreta para el experimento aleatorio E: lanzar 4 monedas, de tal manera que se obtengan 2 sellos. Luego, escribe la función de probabilidad asociada.

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

263

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r r

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Pistas Recuerda que la cardinalidad de un conjunto corresponde al número de elementos que este contiene. En general, se utiliza la simbología C: cara y S: sello para representar los resultados en el lanzamiento de una moneda. Para calcular la probabilidad de un suceso, debes tener en cuenta la cardinalidad del espacio muestral asociado al experimento. Escribir un conjunto por extensión consiste en nombrar explícitamente todos sus elementos.

Evaluación de proceso

Analizando disco Espacio muestral y sucesos

1 Analiza la siguiente situación. Luego, responde. Se realiza el experimento E: extraer una bolita de la tómbola de la ﬁgura. a. ¿Cuál es el espacio muestral (Ω)?

1 4

11 8 6 7

10 5

12 9

b. ¿Cuál es la cardinalidad de Ω?

c. ¿Cuál es la cardinalidad del suceso B: obtener una bolita negra?

3 2 Evalúa si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas a partir de la siguiente situación. Para ello, escribe V o F según corresponda. Se realiza el experimento aleatorio E: elegir al azar un número natural menor que 100 y se deﬁnen los sucesos A: obtener un número par y B: obtener un número impar. a.

El suceso I: obtener 0 ó 101 es un suceso imposible.

#A + #B = #Ω

Los sucesos A y B son contrarios. 3

Frecuencia relativa y la Ley de los grandes números

3 Analiza cada situación. Luego, responde. Se ha lanzado 15 veces una moneda, obteniéndose los siguientes resultados: C, S, S, C, C, C, S, S, S, C, S, C, S, C, C

n a. ¿Cuál es la frecuencia absoluta y relativa del suceso A: obtener cara y B: obtener 3 sello? ¿A qué valor tiende fr (B) si aumenta el número de lanzamientos? n n b. ¿Son contrarios los sucesos A y B? ¿Por qué? 3 5 n n n En una caja hay n bolitas, de las cuales son rojas, son verdes, son blancas 5 7 3 y el resto son azules. Si al realizar 20 extracciones sen obtienen 9 rojas, 2 azules, 5 n blancas y 4 verdes, ¿cuál es la frecuencia relativa de7los siguientes sucesos? 5 n e. V: obtener una bolita verde c. R: obtener una bolita roja 7 d. B: obtener una bolita blanca f. A: obtener una bolita azul

264

Unidad 8 • Probabilidad

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Probabilidad

4 Resuelve cada problema. Para ello, escribe por extensión el espacio muestral (Ω), el subconjunto asociado a cada suceso y calcula la probabilidad correspondiente. a. Si se lanzan 4 monedas, ¿cuál es la probabilidad de A: obtener a lo más tres caras? Ω ={

}

A ={

}

P(A) = b. Si un matrimonio quiere tener 3 hijos, ¿cuál es la probabilidad de que se cumpla el suceso B: tener tres hombres? Ω ={

}

B ={

}

P(B) = c. Si en una bolsa hay 18 bolitas numeradas del 3 al 20 y se realiza el experimento aleatorio E: extraer una bolita y anotar su número, ¿cuál es la probabilidad de ocurrencia de cada uno de los siguientes sucesos? A: obtener 3, 6, 7 u 8; B: obtener un número primo y C: obtener un número compuesto. P(A) =

P(B) =

P(C) =

3 Variable aleatoria

5 Resuelve los siguientes problemas.

Deﬁne dos variables aleatorias X para el experimento E: girar la ruleta de la ﬁgura.

c. ¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga un sector numerado con 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 u 8? ¿Son todos los casos igualmente probables?

Mi estado Evalúa tus aprendizajes. De no cumplir con el nivel de logro indicado en cada actividad, se recomienda, antes de seguir adelante, que vuelvas a las páginas señaladas en cada caso y refuerces los contenidos. Contenido Nivel de logro por actividad Páginas para reforzar 1 2 Espacio muestral y sucesos 2 de 3 2 de 3 254 y 255 Frecuencia relativa y la Ley de los 3 4 de 6 256 a 259 grandes números 4 2 de 3 260 y 261 Probabilidad 5 Variable aleatoria 2 de 3 262 y 263 Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

265

en co n t i do

uac eval ión

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n de prob ció

Técnicas de conteo

Ampliando memoria

En Chile, a principios de la década de 1980, había patentes de automóviles que tenían tres letras seguidas de tres dígitos, con el primer dígito diferente de cero.

Actualmente en Chile se utilizan las patentes con 4 letras y 2 dígitos. Sin embargo, se han eliminado algunas combinaciones particulares de estas.

ABC 123

9 posibles dígitos

° S

C O M U N A

AAAA 12

27 letras distintas en cada posición

C H I L E

10 dígitos distintos por cada cifra

¿Cuántas patentes diferentes pueden fabricarse con las 3 letras y con los 3 dígitos de la patente mostrada?

Para grabar Ejemplo: para el caso de la patente presentada al coSi un suceso puede ocurrir de n1 maneras diferentes, un segundo suceso puede ocurrir de n2 maneras diferentes, mienzo de la página, es posible calcular el total de placas diferentes que se pueden fabricar resolviendo lo siguiente: y así sucesivamente, entonces el número de maneras diferentes en que k sucesos pueden ocurrir está dado por: 27 • 27 • 27 • 9 • 10 • 10 = 17.714.700 n1 • n2 • … • nk

Ayuda Otra técnica que ayuda al conteo de las combinaciones es el diagrama de árbol. Por ejemplo, para determinar la cantidad de números distintos de 2 cifras compuestos por los dígitos 1, 2 ó 3, se puede usar el siguiente diagrama de árbol:

Esta técnica de conteo se conoce como principio multiplicativo.

° S

C O M U N A

Resuelve los siguientes problemas. a. ¿Cuántos resultados posibles hay en el lanzamiento simultáneo de 5 monedas?

b. Si se tiene cuatro camisas, tres pantalones y tres pares de zapatos, ¿de cuántas maneras distintas se podrá combinar una camisa, un pantalón y un par de zapatos?

1 1

23 ABC 123

2 3 1

Número

c. Si en un país se fabrican patentes para motocicletas con 2 letras y 3 números, ¿cuántas patentes diferentes se podrían fabricar en total?

2 3 1

2 3

Construye en tu cuaderno un diagrama de árbol para responder las siguientes preguntas. a. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos pares? b. Si se lanzan 2 dados de seis caras simultáneamente, ¿cuántos resultados posibles hay?

266

Unidad 8 • Probabilidad

1 1

2 2

Permutación y combinatoria

3 3

4 4 1°

Para determinar cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con los elementos del conjunto A = {2, 3, 5, 7, 8}, considera el esquema que se muestra. Luego, utilizando el principio multiplicativo, se tiene que la cantidad de números que se pueden formar está dado por: P5 = 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120, donde P5 representa el número de ordenaciones distintas entre 5 elementos.

5 5 2°

6 6

7 7

8 8

3°

4°

5°

5 posibilidades 4 posibilidades 3 posibilidades 2 posibilidades 1 posibilidad

Para grabar Una permutación en un conjunto de n elementos corresponde a una ordenación de estos. El número total de permutaciones u ordenaciones diferentes entre n elementos de un conjunto se denotará por Pn y se tiene que: Pn = n! = n • (n – 1) • (n – 2) •… … … • 4 • 3 • 2 • 1, n  

Ejemplo: P6 = 6! = 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 720 P4 = 4! = 4 • 3 • 2 • 1 = 24 P1 = 1! = 1

Donde n! se denomina factorial de n o n factorial.

Advertencia

Resuelve los siguientes problemas. a. En un campeonato deportivo participan 5 equipos (A, B, C, D y E). ¿Cuántas posibles clasiﬁcaciones, en cuanto a posiciones por equipo, tiene el campeonato?

Es muy común pensar que 0! = 0; sin embargo, esta proposición es FALSA, ya que se deﬁne: 0! = 1

b. ¿Cuántas palabras con o sin sentido y sin repetir letras se pueden formar con las letras de la palabra SUMA? ¿Cuántas palabras se pueden formar si las letras se repitieran?

c. ¿Cuántas palabras con o sin sentido se pueden formar con las letras de la palabra PALTOS, de tal modo que siempre comiencen con P y terminen con S?

d. Si en un estante de una biblioteca se necesita guardar 7 libros, uno al lado del otro, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden almacenar?

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

267

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resol u

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r r

as lem

n! Pknn = n! Pvkalu=ació(nn – k)! ontenido n de prob e ció (n – k)! c n! n n! P(p,q,r,...) = n P(p,q,r,...) = p! • q! • r! • .... p! • q! • r! • .... 8 P(2,3) 8 ) P(2,3)) 12 P(4,3,2) 12 P(4,3,2) Ampliando memoria n P(3,4) n PP(3,4) es un caso particular de n n! n Pkn = n! , en donde k = n, Pk = (n – k)! (n – k)! es decir:n! n! n Pnn = n! = n! = n!= Pn Pn = (n – n)! = 0! = n!= Pn (n – n)! 0!

Analiza la siguiente información. Luego, responde.

Para grabar Para determinar el número total de permutaciones que se quiere realizar con k elementos elegidos entre los n elementos de un conjunto, sin que estos se repitan, se puede aplicar lo siguiente: n! ; n ≥ k; n, k ∈  (n – k)! n! Mientras que el número total de permutaciones Pkn = n conn repetición n!n! de n elementos, de los cuales uno de ellos se repite p P = veces, otro q veces, otro r veces, y así sucesivamente, P(p,q,r,...) = está dado por: (n –kk)! n! p!(n• q!–•k)!r! • .... n n! Pn k =8 ; n!n, p, q, r, … ∈  P(p,q,r,...) =(n –n k)! P(2,3) )P p!(p,q,r,...) • q! •=r! • .... r! • .... 12 n! p! • q!sí•importa. 8nnP Observación: en una permutación el orden de)=(4,3,2) los= n! elementos P(2,3) PP(p,q,r,...) 8 k P(2,3) •)q! • r! • .... n (n –p!k)! 12 P P(4,3,2) 8 (3,4) 12 a. ¿Cuál de las expresiones P(2,3) , es mayor? Justiﬁca. n ) P(4,3,2)n! nP n = n! (p,q,r,...) P(3,4) 12P = np! • q! • r! • .... k P P(4,3,2) (n – k)! (3,4) 8 n! nPn ) PkP(3,4) =(2,3) n n! n! n! Pnn(n=–Pkk)!= = = n!= Pn 12 P(4,3,2) n!(n – (n n)!– k)!0! n! Pn knn= n! = n!= n!=n!Pn b. ¿Qué valor de n satisfacePnP=(3,4)(n=P–n144? k)! (n –nn)!= 0! = = n!= Pn n! (n –n!n)! 0! PPnnn == = = n!= Pn k (n – n)! k)! 0! Pkn =

n! n! = = n!= Pn (n – n)! 0! Resuelve los siguientes problemas. Pnn =

a. ¿Cuántos números de 7 cifras se pueden formar solo con dígitos impares no repetidos?

b. ¿Cuántos números diferentes se pueden formar con las cifras del número 255.332?

c. ¿De cuántas maneras se pueden ubicar 6 personas en una ﬁla de 6 asientos de un cine?

d. ¿Cuántas palabras diferentes con o sin sentido se pueden formar con las letras de la palabra MASO? Estas palabras no incluyen aquellas en las que se repite alguna letra.

Desafíate

Resuelve el siguiente problema en tu cuaderno. Un campeonato de ajedrez está compuesto por 12 participantes. Si juegan todos contra todos y uno de los jugadores gana todas sus partidas, ¿cuál es el número de clasiﬁcaciones posibles para los tres primeros lugares?

268

Unidad 8 • Probabilidad

n n! CC4nk == n5== n! 6 7 8 k   k! (n • k)! 7 4 kk 5 k! • (n6–– k)! 8  n! n n 7 77 •• 66 •• 5! 7! Ck =   = 5! 77 •• 66 44 7! 777  7    = = = C = =       k! (n k)! • – 7 2 42 7 6 7 6 5! 7! • • • k    2   7 n n! Para grabar 2 •• 1 Ampliando 21– 2)! 2! •• 5! = 2 22= 2! ••=(7memoria = C 2 =   = Cnk =   =  2 2• 1   k  k! • (n – k)! n 7 • 6 • 5! 27 • 62! • (742– 2)! 2! • 5! 7! n! 7 7 5de las propiedades n   Algunas de5! 5 • 4 • 3! 5 5! = = C = = El número que pueden formarse Ejemplo: en2 un grupo de 12 estudiantes de un curso, =de = 21  =  55  Ck =de combinaciones   5 C•224==•3! n==5 • 4 n!20 == 52 • 1 5!2 27 • 62! • (742– 2)! 2! • 5! == C ==    5 5!  k! (n k)! • – 5 7 7 6 5! 7! • • k   n 2     de k elementos a partir de un conjunto los cuales 5 son=hombres= y 7 son 2! • 3! 2 2! • 3! C 2 =cuatro =los números =   = serán Ck=2= combinatorios = • (5= – 2)!= 102!son: = 21mujeres, = C 72 de = n elemen= 2• 4 •debe tos está dado haber 1 5!2la directiva. 2)! 2! • 55! para  por:  52 •formar 5 –• 42)! 202! • 3! 2!n • 3! nk 2 • 1k! • (n2– k)! 3!2! • (5 5! Si en5ella 7 • 6 • 5! 27 • 62! • (742– seleccionados 7! 7 7  = C = = = = = = 10 n  = n = 1   = 21cantidad = igual = = C 2 =   = 2 de 2!n• 3! maneras 3!n cuántas 52•hombres    =7  7= 1   2! • (7 2! 2! 2)! 2 • (55y–• mujeres, • ¿de •1 2   7 • 6 • 5! 7 • 6 7! 2 2 1 2! 5! – 2)! • • 5 4 3! 5! 5! 20 4 • 2    n n! 5    = 1 0C 2 =n  = = = = distintas de = = n!ser seleccionados = npueden 10 =  integrantes = los=cuatro  = Cnk =   = ; n ≥ k;Cn,2 =k ∈ n    C = =         2 1 2! 5! 2! (7 – 2)! • • • 0 n      2    2! 3! 2! 3! 2! (5 – 2)! 2 2 • • • • 1    2  n n k! (n k)! • –   k k  5  5! 5 • 4 • 3! 5 • la4 directiva? 5! 20     = 1 nn   nn  = C52 =   = = = = k = 10k! =• (n – k)!   ==                n n 0 n En cada combinación hay k elementos.    5! 5 • 4 • 3!     27 2! • (57!– 2)! 2! • 6 = 42  7 •• 63!n•5! 2!n7• •3!6 242• 1 27 m m= 5! 7  mC 5 =nn5––m  = = = 7 7 6 5! 7! • •   =7 21  =   ==  = 1 = C 2 =   = 2    2 2! • (5 – 2)! 2! • 3! 2! • 3! = m =n – m=21 n2 • 1 2 C 2 = 2=n   n = 2!•0si5!al menos – 2)! a otra • (7distinta Una combinación n  2n 2!es   nn  nn  n+  • (7 – 2)! 2! • 5! 2 2• 1   2! n+ 11    = 1 m = n – m       = + tiene0un =elemento          5n distinto.     n+ 1 n n n n           = 1 m    =    –– 11= m 5!n  5• 4n• 3! 5 • 4 20 5!    m 5     + m m  5 5 5 4 3! = 5! 5! 20 4 • • •        C 2 =   = =  =  = C5==  ==10    =  = m – =1 m=  m= 10      m  Una combinación en cuenta 2!n•–3!mde  2n 2!no 70 n 2! – 2)! 2 • (5toma •3!mel orden • 1 2 2  n  n  n+ 1  7 n 7 2 2! •(5+ – 2)! = 2! • 3! 2! • 3! 2 • 1 2   =  C444 =  los elementos 7    considerados. m – 1 m  m  n   n  m         C =  n+ 1 n n n – m 10    4  = =  10  +   =  Por 10  n el número total de posibilidades n lo tanto,  n  =   = 1 es 21 • 10 = 210. C C 5 5 m= n – m 10 5 m – 1 m  m  =  C=7 1= 0n nn  n+ 1 C = 0 n 4 2n 5 2n  C  +   =   Cnnn2n = =      7 2n 10       n n  n+ 1 5. Calcula combinatoria. Considera n ∈ .   de cada C  el valor m = Cn = n 4 n n   Cn 5 = n –=1 nm  m  n =  +   =   C   0  = 0        C 10 7 n 2n 0m – 1 m   m  b. C5 = d. C0 = a. m4= n – m m c.nC– nm= Casos favorables favorables 7 Casos 2n n P(A)  10n= n  n+ 1 P(A)C4== = Casos favorables C C = C =          n+ 1 n n 5 n 0 Casos totales  + los =siguientes 6. Resuelve problemas. P(A) =     +   =    10 Casos totales C n C =    Casos totales    m2n–=1 m  m  5 C = m Casos m pueden favorablesformar con las letras  P(A) n a. ¿Cuántas palabras de 40 letras, con om sin– 1sentido, = se 7 n Cn2n =Ayuda Cde = Casos totales 7 Casos favorables C 4 =la palabra PLUMAS? ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger una de estas C = 0 4 P(A) = n 10 elegida LUSA? Casos totales 10 = Cpalabras = Casos sea ReglaCde favorables 0 Laplace: 5 C = 5 P(A) = Casos favorables Cn2n = Casos totales Cn2n = P(A) = Casos totales Cn0 = Cn0 = Casos favorables Casos favorables P(A) = P(A) = Casos totales Casos totales b. Si entre 11 políticos se escogerá a 6 senadores, ¿cuántas posibles combinaciones se pueden elegir? ¿Cuál es la probabilidad de escoger aleatoriamente un determinado grupo de senadores? n 1 n! 2 Cnk =   = 1 2 k  k! • (n – k)!

3 3

c. Si en un plano cartesiano hay 5 puntos no colineales (A, B, C, D y E), es decir, no pertenecen a una misma recta, ¿cuántos triángulos es posible dibujar? ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger 3 de los 5 puntos para formar un triángulo se elijan los puntos A, B y C?

d. En una reunión todos se saludaron con un abrazo. Si en total se dieron 21 abrazos, ¿cuántas personas asistieron a dicha reunión?

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

269

c c

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uac eval ión

Conjuntos

Ampliando memoria Los diagramas de Venn, que se deben al ﬁlósofo inglés John Venn (1834-1883), sirven para representar conjuntos de manera gráﬁca mediante dibujos o diagramas, que pueden ser círculos, rectángulos, triángulos o cualquier curva cerrada. Diagrama de Venn: A

En el cálculo de probabilidades, se abordarán problemas en los que existan dos sucesos o eventos relacionados entre sí. Los conjuntos, y particularmente las operaciones entre ellos, permiten representar dichas situaciones a través de los diagramas de Venn.

Para grabar Unión de conjuntos (A ∪ B): agrupa a todos los elementos de los conjuntos considerados. A

Ejemplos: sean A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} y B = {5, 6, 7, 8, 9, 10}. Una representación de estos conjuntos en un diagrama de Venn es:

A 1

U Intersección de conjuntos (A ∩ B): agrupa a los elementos comunes de los conjuntos considerados. U A

U: universo de elementos. A y B: conjuntos deﬁnidos en el universo.

Ayuda Un conjunto está escrito por extensión cuando se explicita cada uno de sus elementos. Por ejemplo: A = {1, 2, 3, 4} Un conjunto está escrito por comprensión cuando se describe por medio de una propiedad que cumplen todos los elementos del conjunto. Por ejemplo: A = {x ∈  / 1 ≤ x ≤ 4} representa al conjunto de todos los números enteros mayores o iguales que 1 y menores o iguales que 4.

4 2 6

7 10

Al conjunto A ∪ B pertenecen todos los elementos de A y todos los elementos de B. Es decir:

A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Al conjunto A ∩ B pertenecen todos los elementos comunes de A y B. Es decir:

A ∩ B = {5, 6}

Interpreta cada enunciado y responde. Sean A = {x ∈  / –3 ≤ x < 5}, B = {x ∈  / 1 ≤ x < 10}, C =  y U = . a. Representa en un diagrama de Venn los conjuntos A, B, C y U.

b. Escribe por extensión los siguientes conjuntos: A ∩ B, A ∪ B, A ∩ C, B ∩ C, A ∩ U, B ∩ U y C ∩ B. ¿Qué elementos tiene P ∩ U, donde P ⊆ ?

c. ¿Es cierto que A ∩ B = B ∩ A? Fundamenta.

Unidad 8 • Probabilidad

270

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Analiza la siguiente información. Luego, responde. Los sucesos son subconjuntos de cierto espacio muestral, por lo tanto, al realizar operaciones entre ellos, tales como el complemento de un conjunto, la unión de conjuntos y la intersección de conjuntos, estos también serán subconjuntos de dicho espacio muestral.

Para grabar Sean A y B dos sucesos de Ω (A, B ⊆ Ω), entonces se cumple que: A ∪ B representa el suceso que ocurre si y solo si ocurre A, ocurre B o ambos. A ∩ B representa el suceso que ocurre si y solo si ocurren A y B simultáneamente.

Ejemplo: sea E: lanzar dos dados de seis caras, A: obtener la misma cantidad de puntos en ambos lanzamientos y B: obtener dos puntos en el primer lanzamiento, entonces: A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} y B = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)} Luego: A ∪ B = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2 ,6), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} y A ∩ B = {(2, 2)}.

¿Cómo interpretas A ∪ B y A ∩ B en el ejemplo dado en la sección Para grabar respecto al lanzamiento de dos dados de seis caras?

Evalúa si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Para ello, escribe V o F según corresponda. Justiﬁca las falsas. a.

Si A, B ⊆ Ω, entonces A ∪ B ⊆ Ω.

Si A, B, ⊆ Ω, entonces A ∪ B = B ∩ A.

Si C, D ⊆ Ω, entonces C ∪ D ⊆ C ∩ D.

Analiza la siguiente información. Luego, resuelve en tu cuaderno. Dos sucesos A, B ⊆ Ω son compatibles si pueden ocurrir simultáneamente, es decir, (A ∩ B ≠ ). Mientras que dos sucesos C, D ⊆ Ω son incompatibles o mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir simultáneamente, es decir, (C ∩ D = ). a. Sea E: girar la ruleta de la ﬁgura y anotar el número del sector que apunte la ﬂecha. ¿Cuál es el espacio muestral de E? Da dos ejemplos de sucesos que sean compatibles y dos de sucesos incompatibles. Luego, calcula la probabilidad de ocurrencia de cada uno de ellos. b. Si se lanzan simultáneamente dos dados de seis caras y se suman los puntos obtenidos en la cara superior de cada dado, ¿los sucesos A: obtener un número primo y B: obtener un número par son compatibles? ¿Cuántos elementos tiene A ∩ B? Da un ejemplo de dos sucesos A y B, tales que A ∪ B = Ω.

1 2

7 6

3 5

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

271

c c

n de prob ció

r r

Ampliando memoria Si Ω es el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio: (Ac)c = A; ∀ A ⊆ Ω Ωc =  c = Ω A ⊆ B, entonces Bc ⊆ Ac

as lem

e e

resol u

en co n t i do

uac eval ión

Complemento y diferencia de conjuntos En el conjunto de los números reales (), el conjunto de los números racionales () y el conjunto de los números irracionales () son subconjuntos de él, donde  =  ∪ . Por otra parte,  ∩  = , entonces se dice que  es el complemento de  ( = c) o también que  es el complemento de  (c = ).

Para grabar El complemento de B (Bc) es el conjunto formado por todos los elementos Ejemplo: sea Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5} y que no están en B. Es decir, Bc = {x ∈ Ω / x ∉ B}, considerando a Ω como B = {1, 5} ⊆ Ω, entonces el conjunto el universo. Bc = {0, 2, 3, 4} ⊆ Ω. Ω Ω 3 Bc

Bc representa la no ocurrencia del suceso B. La intersección de un suceso y su complemento es el conjunto vacío, B ∩ Bc = , es decir, son sucesos incompatibles. La diferencia entre dos conjuntos (A – B) es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y no pertenecen al conjunto B. A

Si A = {0, 2, 4} ⊆ Ω, entonces A – B = {0, 2, 4} ⊆ Ω. Además, se tiene que: (Ac) c = A, (Bc) c = B; Ωc =  y c = Ω. Como A ⊄ B, entonces Bc ⊄ Ac.

1. 13

12 11

4 5

6 9

Resuelve los siguientes problemas relacionados con la ruleta dibujada. a. Al lanzar una bolita en la ruleta, escribe los elementos del conjunto que representa al suceso A: obtener un número impar. A={ } b. Describe los sucesos representados por Ac. Luego, escribe por extensión el conjunto que los representa. Ac : Ac = {

}

c. Escribe por extensión el complemento del conjunto que representa a cada uno de los siguientes sucesos.

272

Unidad 8 • Probabilidad

A: obtener un número compuesto. Ac = {

}

B: obtener un número mayor que 0. Bc = {

}

C: obtener un número divisible por 7. Cc = {

}

D: obtener un número primo en sector rojo. Dc = {

}

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Cálculo de probabilidades y conjuntos En la tabla, se muestra la distribución de los estudiantes de enseñanza media de un establecimiento educacional. Si se hace un sorteo entre ellos y se consideran los siguientes sucesos: A: gana el sorteo un estudiante de segundo año medio. B: gana el sorteo un estudiante hombre. C:: gana el sorteo un estudiante hombre de segundo año medio.

Niveles

Estudiantes de enseñanza media Hombres Mujeres 24 20 17 21 82

Primero medio Segundo medio Tercero medio Cuarto medio Total

12 23 20 15 70

Total 36 43 37 36 152

Entonces, si ocurre el suceso C, los sucesos A y B también ocurren y de manera simultánea. Esto sucede ya que C representa la intersección entre A y B, es decir, C = A ∩ B. ¿Cuál es la probabilidad de que gane el sorteo un estudiante hombre de segundo año medio? ¿Qué relación tiene este valor con P(A)? ¿Y con P(B)? ¿Cuál es la probabilidad de que no gane el sorteo un estudiante hombre?

Para grabar Si A, B ⊆ Ω, se cumplen las siguientes propiedades. #(A ∩B) P(A ∩B)= #Ω c Sea Ac ⊆ Ω, ∩B) 1P(A ) + P(A) = 1. #(Aentonces = P(A ∩B)= P(A ∪ B) = P(A) #Ω+ P(B)6 – P(A ∩ B) 3 3 1 de 5 Observación: – = que los sucesos sean P(A ∪B)= en+el caso 6 6 propiedad 6 incompatibles,6la tercera se puede resumir a: c 3 3 P(A ∪ A )= + = 1 P(A ∪ B) = 6P(A)6 + P(B), ya que A ∩ B = .

Ejemplo: en el lanzamiento de un dado de seis caras, se consideran los siguientes sucesos: A: obtener un número primo, Ac: obtener un número no primo y B: obtener un número par. En este caso, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {2, 3, 5}, ∩B) 3, 4, 5, 6} y A ∩ B = {2} 4, ∩ 6},B)= A ∪#(A B =.{2, Ac = {1, 4, 6}, B = {2,P(A #Ω Luego: #(A ∩B) 1 = P(A ∩B)= 6 #Ω 3 3 1 5 P(A ∪B)= + – = 6 6 6 6 3 3 P(A ∪ Ac )= + = 1 6 6

Interpreta la siguiente información. Para ello, completa la tabla y luego responde. La siguiente tabla muestra la cantidad de hombres y mujeres de un grupo de personas encuestadas que eligen entre dos planes de conexión a internet.

Elección de planes de conexión a internet Plan Hombres Mujeres Total A B Total

105

90 500 240

Si entre las personas que pertenecen a ambos planes se sorteara un notebook. a. ¿Cuál es la probabilidad de que el ganador sea hombre? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el ganador sea mujer y haya escogido el plan A? c. ¿Cuál es la probabilidad de que el ganador haya escogido el plan A o el plan B? d. ¿Cuál es la probabilidad de que el ganador no haya elegido ninguno de los planes? e. ¿Cuál es la probabilidad de que el ganador no sea hombre? Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

273

c c

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r r

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uac eval ión

Resuelve los siguientes problemas. a. Una tómbola contiene 15 bolitas numeradas del 1 al 15. Luego, se extrae una bolita y se anota el número obtenido. ¿Cuál es la probabilidad de A: obtener una bolita numerada con un valor impar o múltiplo de 5? ¿Cuál es la probabilidad de B: obtener una bolita numerada con un valor primo y par?

b. Considera el experimento aleatorio que consiste en extraer una carta de un mazo de 52 naipes y calcula las probabilidades de que ocurran los siguientes sucesos: A: obtener una carta mayor que 2 o múltiplo de 5.

En este juego, considera que el As es la carta de menor valor numérico, pues representa a una unidad.

B: obtener un 3 o un naipe cuya pinta sea trébol.

C: obtener un Rey o un As.

D: obtener una carta mayor que 10 o menor que 5.

c. En una determinada ciudad, hay 40,25% de probabilidad de que no llueva en los próximos 5 días. ¿Cuál es la probabilidad de que en esa ciudad llueva en los próximos 5 días?

5 7 d. Si A, B ⊆ Ω son sucesos tales que P(A ∪ B)= , P(A ∩ B)=0,25, P(Ac )= , ¿cuál es el 8 8 valor de P(A), P(B) y P(A ∩ Bc)?

e. Sean A, B ⊆ Ω, tales que P(A) = 0,15, P(A ∪ B) = 0,03 y P(A ∩ B) = 0,35. Determina P(B) y veriﬁca si A y B son o no mutuamente excluyentes.

274

Unidad 8 • Probabilidad

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Analiza la siguiente información. Luego, responde. Si A, B ⊆ Ω se dicen sucesos independientes si la ocurrencia de A no influye en la ocurrencia de B, o viceversa, entonces se cumple que: P(A ∩ B) = P(A) • P(B) Ejemplo: si se lanza una moneda dos veces, los sucesos A: obtener cara en el primer lanzamiento y B: obtener sello en el segundo lanzamiento son sucesos independientes, ya que la probabilidad de obtener cara en el primer lanzamiento no incide en la probabilidad de que se obtenga sello en el segundo lanzamiento, o viceversa. Por lo tanto, se tiene que: 1 1 1 P(A ∩ B)= • = 2 2 4 a. Una caja contiene 15 bolitas numeradas del 0 al 14. En el espacio muestral del experimento aleatorio E: extraer dos bolitas seguidas, se definen los siguientes sucesos: A: obtener en la primera extracción una bolita numerada con un valor impar y B: obtener en la segunda extracción una bolita numerada por un múltiplo de 2. ¿Son independientes los sucesos si se repone la bolita obtenida en la primera extracción? Justifica.

b. Respecto al problema anterior, ¿qué ocurre con la independencia de los sucesos A y B si no se repone la bolita?

c. Se lanzan dos dados y una moneda y se deﬁnen los sucesos A: obtener en ambos dados el mismo número de puntos y B: obtener cara en el lanzamiento de la moneda. ¿Cuál es el valor de P(A ∩ B)? ¿Y cuál es el de P(A ∪ B)?

Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno. a. El 25% de los habitantes de una ciudad escucha uno de los noticieros de la radio por la mañana, el 35% escucha uno de los noticieros de la noche y el 10% escucha ambos. Si se escoge una persona al azar de esta ciudad, calcula la probabilidad de que esta: escuche el noticiero de la mañana o el de la noche. no escuche noticieros. escuche solo el noticiero de la mañana o el de la noche. b. De un total de 40 estudiantes encuestados sobre el uso que le dan al pendrive, 24 de ellos dicen utilizarlo para oír música, 16 para almacenar imágenes, 18 para guardar trabajos, 5 para almacenar imágenes y trabajos, 9 para oír música y guardar trabajos y 7 para oír música y almacenar imágenes. Además, todos los encuestados le dan algún uso al pendrive. Realiza un diagrama de Venn que represente la situación. Determina la cantidad de estudiantes que le dan al pendrive los tres usos antes mencionados. Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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¿Qué es evaluar? Evaluar consiste en emitir juicios de acuerdo a un criterio conocido o válido.

Etapas de la resolución de problemas Paso 1. Comprende el enunciado. Paso 2. Planiﬁca lo que vas a realizar. Paso 3. Resuelve el problema. Paso 4. Revisa la solución.

Trabajo de habilidades

Resolución de problemas 1 Analiza la resolución del siguiente problema. Se realiza reiteradamente el experimento aleatorio de lanzar 2 veces una moneda, obteniéndose los siguientes resultados: SC, CS, CC, SC, SS, CS, CS, SC, SC, CC, SS, SS, CC, SC, CC, CS, SS, SC, SS, CC; donde C representa la obtención de cara; y S, la de sello. Se aﬁrma, entonces, que la probabilidad de ocurrencia del suceso A: obtener CS es 0,2. ¿Es válida esta aﬁrmación?

Paso 1 Comprende el enunciado ¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema? Si la aﬁrmación presentada es válida. ¿Qué información entrega el enunciado del problema? Se describe el experimento aleatorio involucrado, los resultados obtenidos luego de un número determinado de repeticiones y la aﬁrmación a evaluar.

Paso 2 Planifica lo que vas a realizar Analiza el objeto o situación que se va a evaluar. Como el experimento es aleatorio y se realizan 20 repeticiones de este, es posible calcular las frecuencias relativas asociadas a cada suceso. Además, como cada resultado es equiprobable, es posible utilizar la regla de Laplace para calcular la probabilidad de ocurrencia de cada suceso. Define el o los criterios de evaluación. Para evaluar la validez de la afirmación, se puede utilizar la regla de Laplace para calcular la probabilidad de ocurrencia del suceso CS.

Paso 3 Resuelve el problema Veriﬁca si la proposición es o no válida. Debido a que el espacio muestral (Ω) asociado al experimento aleatorio se puede representar como: Ω = {CC, SS, CS, SC}, donde cada suceso es equiprobable, es posible establecer que la aﬁrmación no es válida. Explicita de manera coherente los argumentos sobre el valor atribuido a la solución de la situación planteada. Como Ω = {CC, SS, CS, SC} y A: obtener CS, entonces #Ω = 4 #A = 1. Entonces, aplicando la regla de Laplace, se tiene que: P(A) =

Casos favorables #A 1 = = 0,25 . = #Ω 4 Casos totales

Por lo tanto, la aﬁrmación no es válida.

Paso 4 Revisa la solución Es posible establecer que la aﬁrmación no se cumple, ya que P(A) = 0,25 ≠ 0,2.

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Unidad 8 • Probabilidad

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2 Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente. En un curso en el que todos practican algún deporte, el 60% de los estudiantes juega fútbol o básquetbol y el 10% practica ambos deportes. Además, el 60% del curso no juega fútbol, entonces se aﬁrma que la probabilidad de escoger al azar un estudiante que solamente juegue básquetbol es 0,3. ¿Es válida esta aﬁrmación?

Paso 1 Comprende el enunciado ¿Qué se quiere conocer una vez resuelto el problema? ¿Qué información entrega el enunciado del problema?

Paso 2 Planiﬁca lo que vas a realizar Analiza el objeto o situación que se va a evaluar.

Deﬁne el o los criterios de evaluación.

Paso 3 Resuelve el problema Veriﬁca si la aﬁrmación es o no válida.

Explicita de manera coherente los argumentos sobre el valor atribuido a la solución de la situación planteada.

Paso 4 Revisa la solución

3 Resuelve en tu cuaderno el siguiente problema. Se lanzan dos dados de seis caras. Sean los sucesos A: que la suma de los puntos obtenidos sea impar y B: obtener 2 puntos al menos en uno de los dados, ¿es cierto que P(A ∩ B) + P(A ∪ B) = 1? Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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Espacio muestral

Sucesos

Frecuencia relativa de un suceso

Ley de los grandes números

Probabilidad

Variable aleatoria

Permutación

Combinatoria

Operatoria de conjuntos

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Unidad 8 • Probabilidad

Deﬁnición o procedimiento

Ejemplo

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Cargando disco Analiza el siguiente ejemplo de pregunta PSU referida a la suﬁciencia de datos. En una localidad hay 2.800 habitantes. Si se elige de manera aleatoria a uno de ellos y la probabilidad de que sea mujer es mayor a la probabilidad de que sea hombre, ¿cuántas mujeres hay en la localidad? (1) P(mujer)=

4 7

(2) P(hombre)= 3 7 A. (1) por sí sola. 4 P(mujer)= B. (2) por sí sola. 7 C. Ambas4juntas,n (1) y (2). D. Cada una=por sí sola, (1) ó (2). 7 2.800 E. Se requiere información adicional. 3 4 P(hom m bre)= 4 P(mujer)= 7 7 correcta esta pregunta, primero puedes analizar cada una de las proposiciones por separado ParaP(mujer)= responder7 de manera m 3 3 y determinar si =entregan 4 32.800 suficiente información por sí solas. P(hombre)= 7 P(mujer)= De P(hombre)= esta manera, al analizar 7 la condición (1), se tiene que: 7 7 3 4 3 4 ⇒ P(mujer)= 1– = P(hombre)= 4 3 4 P(mujer)= 7si se denota por n7 al 7número de habitantes que son mujeres, es posible P(mujer)= P(hombre)= entonces, establecer la siguiente (1) P(mujer)= 7 7 77 4 3n 4 n = 4 . Luego, se tiene que n = 1.600. proporción: P(hombre)= P(mujer)= = 4 7 2.800 7 7 7 2.800 P(mujer)= 3(1) es suficiente para responder la pregunta. Por lo tanto, 7 la4condición n 4 3mbre)= P(hom P(mujer)= = P(hom mbre)= 37 7 7 2.800 7 P(hombre)= m 37 n 4 3 3 = m = P(hom mbre)= = si se Ahora, 4 7considera 2.800 válida la condición (2), se tiene que: 2.800 7 7 7 2.800 P(mujer)= 3 4 3 7 3 al4 número 33 , si m corresponde ⇒ P(mujer)= 1– = de habitantes hombres de la localidad, entonces 3 = m . Luego, P(hombre)= (2) P(hom m bre)= ⇒ = P(mujer)= 1– P(hombre)= n 4 7 7 7 7 2.800 7 7 77 = 2.800m 7 3 3 3 = P(hombre)= ⇒ P(mujer)= 1– = m = 1.200, y3con este dato es posible calcular el número de habitantes que son mujeres. 2.800 7 7 7 P(hom mbre)= 7 3 3 4 ⇒ P(mujer)= 1– = P(hombre)= m 3 7 7utilizando la condición (2) es: = manera de 7responder la pregunta Otra 7 2.800 3 4 3 P(hombre)= ⇒ P(mujer)= 1– = , que corresponde a la condición (1), que ya es suficiente para responder la pregunta. 7 7 7 Luego, la condición (2) por sí sola también es suficiente para responder la pregunta. Por lo tanto, la alternativa correcta es D, cada una por sí sola, (1) ó (2). A

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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Evaluación ﬁnal

Verificando disco

I. Lee atentamente y marca la alternativa correcta. 1 Si A, B ⊆ Ω, ¿cuál(es) de las siguientes aﬁrmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I. #B = #Ω – #A II. #Ω > #A + #B III. #Ω ≥ #A y #Ω ≥ #B A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. Solo III. Solo I y II. Solo I y III.

2 Sea el experimento aleatorio E: lanzar tres monedas, ¿cuál es la cardinalidad del conjunto que representa al suceso A: obtener 3 sellos? A. B. C. D. E.

1 3 4 6 8

3 Si en una tómbola hay 100 bolitas numeradas del 1 al 100, ¿qué alternativa representa un suceso seguro para el experimento aleatorio E: extraer una bolita? A. B. C. D. E.

S: obtener un número par. S: obtener un número compuesto. S: obtener un número mayor que uno. S: obtener un número mayor que cero. No se puede determinar.

A partir de la siguiente situación, responde las preguntas 4, 5 y 6. Se lanza un dado de seis caras 20 veces, obteniéndose los siguientes resultados: 5, 4, 1, 1, 6, 6, 5, 4, 5, 4, 1, 3, 6, 2, 2, 3, 4, 3, 6 y 4. 4 ¿Cuál es la frecuencia relativa del suceso A: obtener 6 puntos?

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A. 4 B. 6 1 C. 6 4 D. 20 11 E. Ninguna de las anteriores. 20 Unidad 8 • Probabilidad 3 6

1 6 Si B:4obtener un número par de puntos, ¿qué valor está asociado 20 a fr(B)? A. 3111 6 20 B. 11 34 C. 1 20 6 611 D. 1 20 64 20 31 E. Ninguna de las anteriores. 11 6 3 ¿A 20 qué 1 valor tiende la frecuencia relativa del suceso 3 C: obtener un número impar de puntos si el número de 6 3 lanzamientos aumenta indeﬁnidamente? 615 11 1 3 36 A. 6 6 618 14 4 1 3 36 B. 20 20 11111 315 21 11 16 6 C. 0,33 20 36 6 20 D. 0,4 3 4 3 84 4 318 E. 0,5 15 20 20 6 36 15 20 6 11 36 11 117 21 11 Si se20 lanzan dos dados de seis caras, ¿cuál es la 18 20 6 36 23 20 6 probabilidad de que la resta de los puntos del primer dado 3 36 318 y los31 puntos del segundo dado sea un número negativo? 21 6 6 3 15 23 6 3 A. 0,5 36 1117 B. 6 8 6 3 23 6 3 1118 15 15 C. 315 7 3 36 23 3 36 111 23 18 D. 318 8 3 36 3 36 15 23 15 21 21 E. 15 36 36 36 36 18 18 8 18 8 tómbola hay 15 bolitas verdes y 8 bolitas rojas. En una 36 36 15 36 15 que un participante gana un punto si no extrae Se dirá 21 7 21 una21 7bolita verde, ¿cuál es la probabilidad de que gane 36 36 23 un punto? 36 23 8 8 8 8 A. 15 15 23 15 23 7 7 B. 7 23 23 23 8 8 C. 8 23 23 23 D. 1 E. 1 – P(roja)

1 1

9 ¿Cuál es la probabilidad de ocurrencia del suceso A? (1) P(B) + P(C) = 1 – P(A) (2) B ∩ C = 

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

12 Respecto a la elección al azar de un estudiante de segundo medio, ¿cuál(es) de las siguientes aﬁrmaciones es(son) falsa(s)? I. Es menos probable elegir un hombre. II. Es más probable elegir un estudiante de 2° A. III. La probabilidad de elegir un hombre que no sea de 2° B es de 0,25.

A. B. C. D. E.

(1) 35 por sí sola. (2) 77 por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). 18 Cada una por sí sola, (1) ó (2). 35 Se requiere información adicional. 18 40 Utiliza la información de la tabla para responder las 18 10 , 11 y 12 . preguntas 77 En un colegio hay dos segundos medios cuya distribución 2 por género se describe en la siguiente tabla: 7 22 Distribución de estudiantes de 2° medio 35 2° A 2° B 42 Género 77 Hombre 18 22 42 18 17 20 77 Mujer 35 18elige al azar un estudiante de 2° A, ¿cuál es la 10 Si se22 77 40 probabilidad de que este sea hombre? 1 18 35 35 A. 36 77 77 2 218 18 B. 36 7 35 35 3 22 18 35 18 C. 35 36 42 40 77 40 77 3 42 18 D. 18 30 77 35 77 35 35 22 218 18 E. 2 77 7 40 7 40 64 14 18 22 11 Si se22 18elige al azar un estudiante de segundo medio, 77es la probabilidad de que sea de 2° B? 36 42 77 42 ¿cuál 77 2 42 2 42 2 A. 36 7 77 777 3 22 22 22 B. 36 77 42 77 42 311 42 C. 42 36 30 77 36 77 2 35 22 22 D. 2 36 77 36 77 77 64 34 E. 311 77 36 36 3 2 3 2 30 36 30 36 35 3 35 3 77 36 77 36 64 3 64 4 34 77 30 77 30

2 2

A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. 35 Solo 35 I y II. Solo II y III. 77 77 I,18II y III. 18 35 35 13 En una caja hay en total 20 bolitas, entre amarillas y 18 18 azules. Si la probabilidad de extraer una bolita amarilla 40 4030%, ¿cuántas bolitas azules hay en la caja? es del 18 18 A. 4 77 77 B. 6 2 2 C. 8 7 7 D. 10 22 22 E. 14 42 42 42 42 tómbola hay 36 bolitas numeradas del 1 al 14 En una 77 36. 77 Si se extrae una bolita aleatoriamente, ¿cuál es la 22 22 probabilidad de obtener una bolita numerada por un 77 múltiplo 77 de 10 y mayor o igual que 20? 11 A. 36 36 2 2 B. 36 36 3 C. 3 36 36 3 D. 3 30 30 35 E. Ninguna de las anteriores. 35 77 77 4 15 Si la64 probabilidad de ganar un juego es del 35%, ¿cuál 64 4 es la77 probabilidad de no ganar? 77 A. 35 B. 35% C. 75% D. 0,65 E. 0,65%

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

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Evaluación ﬁnal

3 16 Si se1 lanza un dado de seis caras dos veces, ¿cuál es la6 probabilidad de que en el primer lanzamiento se obtenga a lo menos 3 puntos y en el segundo 1 lanzamiento más de 5 puntos? 9 21 A. 9 3 1 1 B. X(1)= X(6)= 6 6 11 C. 64 9 21 D. 128 9 36 E. X(1)= X(6)= 1 4 6 Utiliza la1siguiente información para responder las 64 117 y 18 . preguntas 1 3 Según el experimento aleatorio E: lanzar un dado de seis 1 128 caras, se define la variable aleatoria X: número de puntos 6 36 superior del dado. en la cara 4 1 17 ¿Cuál(es) 9 de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? 2 9 I. X(0) =0 1 II. X(1)= X(6)= 6 III. X(1) = 1, X(2) = 2, X(3) = 3, X(4) = 4, X(5) = 5 y 1 X(6) = 6. 64 A. Solo I.1 B. Solo128 II. C. Solo36 III. D. Solo4I y II. E. Solo II y III. 18 Al definir la función de probabilidad (f) asociada a la variable aleatoria X, ¿cuál es el valor de f(1) + 2 • f(2) + 3 • f(3) + 4 • f(4) + 5 • f(5) + 6 • f(6)? A. B. C. D. E.

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1 3 3,5 4 4,5

Unidad 8 • Probabilidad

19 En una tienda deportiva venden 7 tipos de camisetas, 8 tipos de pantalones deportivos, 4 tipos de calcetas y 10 tipos de zapatillas. ¿Cuántos tipos de equipos distintos se pueden formar? A. B. C. D. E.

7 56 224 2.224 2.240

20 Considerando la repetición de cifras, ¿cuántos números pares de 4 cifras se pueden formar utilizando los dígitos 2, 3, 5 y 7? A. B. C. D. E.

16 32 64 128 256

21 ¿Cuántos números naturales de cinco cifras distintas se pueden formar con los dígitos impares? A. B. C. D. E.

25 120 125 625 3.125

22 En el experimento aleatorio E: extraer tres cartas de una baraja de naipe español (40 cartas). ¿De cuántas maneras diferentes se pueden extraer las tres cartas, con reposición? A. B. C. D. E.

340 maneras. 403 maneras. 3 • 2 • 1 maneras. 39 • 38 • 37 maneras. 40 • 39 • 38 maneras.

23 ¿Cuántos números de siete cifras se pueden formar con la siguiente serie de números: 1, 1, 9, 9, 4, 4 y 4? A. B. C. D. E.

49 210 420 1.680 5.040

28    4 

1 1

28    3  1 6 1 24 ¿Cuántas palabras diferentes, con o sin sentido, se pueden formar con todas las letras de la palabra 15 CONJUNTO? 7 A. 24 15 B. 180 6 C. 2.520 15 D. 5.040 2 E. 10.080 52 4  7    25 ¿Cuántos grupos diferentes de 7 ﬁchas se pueden   52 combinar con las 2828 piezas del dominó? 4 28  7    A. 663  7  28 7 28 663   28  B.    4   78  28 663 28   C.   1  3   P(S)= 4 4 1 28    1 D. P(R)= 6  3  4 1 14   15 E.   628 7 1 9 hay bolitas numeradas 15 En una caja del 1 al 15. Utiliza esta 15 15 información para responder 6 las preguntas 26 y 27 . 7 15 26 Si se15extrae una bolita al azar y se deﬁne el suceso 2 A: obtener una bolita numerada por un valor par mayor 6 52  que15 10, ¿cuál es el complemento de A?  7   4  28 A. A27c: obtener una bolita numerada por un valor impar 52   mayor  que 10.  52 28 4  28 c  B. A4 : obtener una bolita  7  numerada por un valor impar menor 7 28 7  que 10. 663 52  28  c    7  numerada por un valor par C. A28 74: obtener una bolita 28  4  que 10. 663 menor   28 28 663 c  D. A : no obtener una numerada por un valor par 8 bolita 28   7 4  que 10.   7 mayor 663 3  numerada por un valor impar c  663 E. A : obtener una bolita 28 28 1   P1(S)= 10. 8  o igual que menor 4 3 4 4 6 663  1  28 128  1 una bolita P(R)= 1 al azar, ¿cuál es la probabilidad 27 Si se extrae P(S)= 4 3  63 de obtener 15  por un valor primo? 4 una numerada  74  111 1 28 D. A. P(R)= 15 6 6 15 4 711  9  4 B.   E. 6 15  15 15 15 15 28 6 7 7 2 C. 9 15 15 15 52 15 6 62 4 52 15 15 52

2 2

3 3

4 4

5 5

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7 7

8 8

 7   7 7  28 28 28 28 28  28 Sean A y C sucesos de un experimento aleatorio. Si  7 7  7 C) P(A ∩  = 0,25, ¿cuál es la probabilidad de ocurrencia 28 28 del suceso 28 A?  4   4 4 P(A) • P(C) = 0,15. (1) 28 (2) 28A y C son compatibles.   7  28 3    3 A. (1) 3 por sí sola. 28 11 por sí sola. B.  (2) 71  28 (1) y (2). 6 C.  Ambas juntas,    6 28 6   D. Cada unapor 11 7 sí sola, (1) ó (2). 1 E. 28 Se información adicional. 15requiere 28   15   15  77   7 4  7extraen sucesivamente Si se15 y sin reposición dos cartas  28 15 naipe inglés (52 cartas), ¿cuál es la 15 baraja28 deuna de  6   6  4 6   probabilidad un 4 en la primera extracción de 3 obtener 15 15 28 y un 8 en la segunda extracción?  15 1 2   32 2  6 A. 52 52 52 14 1 4 4 B. 652 15 52 152 7 4 4 4 C. 15 15 663 663 7663 6 7 7 D. 157 15 663 663 6663 2 8 E. 8 8 15 52 663 663 2663 1 4 11 azar consta de dos etapas. Si la probabilidad Un P juego de (S)= P (S)= 52 52 P (S)= 4 de ganar la4 es 0,6; de ganar la segunda es 0,8 y 4 primera 4 4 1 de ganar es 0,5, ¿cuál es la probabilidad de que 11 P(R)=ambas P(R)= 663 P(R)= 4 un52 participante no gane ninguna etapa? 4 44  4 7 4 A. 0,1 4  28 663  B. 663 0,2 28 728 8 C. 0,5 9 9 9 663 D. 0,7 663 15 15 E. 0,9 15 8 1 P(S)= 663 4 1 1 Si P(S)= y P(R)= , ¿cuál es el valor de P(S ∪ R)? 4 4  4 incompatibles. 1 R son (1) S y   P(R)=  0. (2) P(S 4 ∩ R) 28=   4    9 A. (1)por sí sola. 28 15 B. (2) por sí sola. C. 9Ambas juntas, (1) y (2). D. 15 Cada una por sí sola, (1) ó (2). E. Se requiere información adicional.

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

283

c c

n de prob ció

r r

as lem

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uac eval ión

Evaluación ﬁnal

II. Resuelve los siguientes problemas. 1. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir aleatoriamente un número de 7 cifras, usando los dígitos 0, 2, 4, 5, 6, 7 y 9, tenga el número 2 como unidad de mil y el 0 como unidad?

2. Al lanzar dos dados de seis caras y sumar sus puntos, un jugador A apuesta porque suman 7, mientras que el jugador B apuesta porque suman 10. ¿Quién tiene mayor probabilidad de acertar? Justiﬁca tu respuesta.

284

Unidad 8 • Probabilidad

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

Cerrar sesión Contenido

Experimentos aleatorios, espacio muestral y sucesos Frecuencia relativa de un suceso y la Ley de grandes números

Probabilidad (regla de Laplace) y variable aleatoria

Técnicas de conteo, permutaciones y combinatoria

Probabilidad y conjuntos

Número de pregunta

Habilidad

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Evaluar Aplicar Recordar Aplicar Aplicar Recordar Aplicar Aplicar Analizar Aplicar Aplicar Evaluar Recordar Aplicar Aplicar Aplicar Evaluar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Recordar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Aplicar Analizar Aplicar Aplicar Analizar

Clave

Nivel de logro

285

c c

n de prob ció

r r

as lem

e e

en co n t i do resol u

uac eval ión

Habilidad Integrar Reunir y organizar elementos para completar un todo.

Evaluación integradora

Recopilando disco En estas páginas te invitamos a realizar una actividad de evaluación que integra los contenidos de las unidades 7 y 8 de tu texto. Objetivo de la actividad: integrar los contenidos tratados y aplicarlos en la resolución de ejercicios y problemas.

Interpreta la siguiente información. Luego, responde.

Tiempo de viaje desde el hogar al colegio Estudiante Javiera Nicolás

Lunes 45 minutos 0,7 horas

Martes 40 minutos 0,5 horas

Miércoles 50 minutos 0,72 horas

Jueves 35 minutos 0,75 horas

Viernes 50 minutos 0,65 horas

a. Calcula el rango, la varianza, la desviación media y la desviación estándar para cada uno de los estudiantes.

b. Calcula el coeﬁciente de variación para ambos casos, compara los resultados e indica cuál de los dos estudiantes tiene tiempos de viaje más homogéneos.

Analiza la información entregada en la siguiente tabla. Luego, complétala y responde.

Número de contactos en el correo electrónico Número de contactos

Marca de clase

Frecuencia absoluta (f)

[30, 40[ [40, 50[ [50, 60[ [60, 70[ [70, 80]

20 35

Frecuencia absoluta acumulada (F)

100 30

a. ¿Cuál es el cuartil 3? ¿Cómo interpretas este valor?

b. Calcula la moda, la mediana y la media. Interpreta los resultados.

c. Calcula las medidas de dispersión e interpreta los resultados.

286

Evaluación integradora 4

Frecuencia relativa (fr)

0,2

Frecuencia relativa porcentual fr (%)

1 1

2 2

3 3

54 4

Analiza la siguiente situación y luego responde. Se ponen en una caja 10 bolitas numeradas y se seleccionará al azar una de ellas. a. Escribe el espacio muestral del experimento descrito anteriormente. ¿Cuál es su cardinalidad? Ω={

}

#Ω =

b. Sea el suceso A: obtener una bolita numerada con un valor mayor que 4, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra A?

c. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bolita numerada con un valor mayor que 5 y múltiplo de 3?

d. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bolita numerada con un valor múltiplo de 2 o un número menor o igual a 8?

e. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bolita esté numerada por un valor que tenga menos de 4 divisores?

Resuelve los siguientes problemas. a. Se dispone de una repisa en la que caben 6 libros, uno al lado del otro. Si se tienen 9 libros, ¿cuántos grupos distintos de 6 libros se pueden ordenar en la repisa?

b. Cinco personas se ubicarán en una ﬁla de asientos de un cine, una al lado de la otra. Si dos de ellas tienen la misma edad, ¿cuál es la probabilidad de que no queden juntas?

Matemática 2° medio • Nuevo Explor@ndo

287

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