Mat 8b txt ecat by Mauricio Fresard

MATEMÁTICA Segundo Año EDUCACIÓN MEDIA

MATEMÁTICA

Segundo Año EDUCACIÓN MEDIA

El texto Matemática 8 del Proyecto Sé Protagonista es una creación del Departamento de Estudios Pedagógicos de Ediciones SM Chile.

Dirección editorial Arlette Sandoval Espinoza Jefatura editorial Georgina Giadrosić Reyes Coordinación área matemática Pablo Saavedra Rosas Edición Marco Linares Rodríguez Ayudantía de edición Carlos García Escuti Autoría Carlos Castro Maldonado Alexis Curiche Aguilera Mabel Vega Rojas Asesoría pedagógica Gastón Guerrero Arcos Consultoría Miguel Muñoz Jara Corrección de estilo y prueba Sergio Andrade Legua Jefatura de arte Carmen Gloria Robles Sepúlveda Montaje de portada Eduardo Cuevas Romero Diseño y diagramación Mauricio Fresard Lemmermann Ilustración Rafael Nangarí Bade Fotografías Latinstock Archivos fotográficos SM Jefatura de producción Andrea Carrasco Zavala

www.ediciones-sm.cl

Este libro ha sido elaborado conforme al Marco Curricular Vigente, del Ministerio de Educación de Chile. © 2014 - Ediciones SM Chile S.A - Coyancura 2283, oficina 203 Providencia. ISBN: 978-956-349-602-4 / Depósito legal: 237526 E-mail: chile@ediciones-sm.cl Servicio de Atención al cliente: 600 381 13 12 Impreso en Chile / Printed in Chile - QuadGraphics. Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización de los titulares del “Copyright”, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público. Sé protagonista © Ediciones SM

Presentación El texto Matemática 8 del Proyecto Sé Protagonista fue pensado para acompañarte en el desafío que emprenderás este año y acercarte al conocimiento de la Matemática. Sé Protagonista es una propuesta integral, desarrollada para contribuir a tu formación como ciudadano activo, capaz de integrarte y dejar huella en la sociedad. Este proyecto se articula en cinco ejes: 1. Nueva estructuración de la Educación Media 2. Aprendizaje eficaz y desarrollo de habilidades 3. Evaluación para el aprendizaje 4. Desarrollo de valores 5. Desarrollo de habilidades digitales En Matemática, el proyecto Sé Protagonista fomenta el desarrollo del pensamiento matemático, entendido como la aplicación de la Matemática en diversos ámbitos y como la comprensión de situaciones cotidianas mediante la resolución de problemas, lo que favorece el desarrollo de una actitud reflexiva y abierta al debate, y permite comprender los razonamientos y conceptos.

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Índice

Números

12 Evaluación inicial LECCIÓN

14 16 18 20 22 24

Números enteros Multiplicación de números enteros división de números enteros operaciones combinadas Aplicaciones de números enteros Evaluación

LECCIÓN

26 28 30 32 34 36 38 40

LECCIÓN

60 64 68 70 72 74

2 Números racionales Números racionales orden y comparación decimales y racionales Adición de números racionales Multiplicación de números racionales división de números racionales Evaluación taller de TIC

LECCIÓN

42 44 46 48 50 52 54 56 58

1 Números enteros

3 Potencias y raíces Potencias de base y exponente natural Potencias de exponentes 2 y 3 Multiplicación de potencias división de potencias Valor de una potencia Raíz cuadrada de un número natural Propiedades de la raíz cuadrada Aproximaciones de la raíz cuadrada Evaluación

4 Variaciones porcentuales Porcentajes Variaciones porcentuales Evaluación Taller de Resolución de problemas Modelamiento de pregunta tipo SIMCE® Evaluación final

Unidad

6 Conoce tu texto

Álgebra y funciones

80 Evaluación inicial LECCIÓN

82 84 88 92 94 LECCIÓN

96 100 104 106 110 112 114 LECCIÓN

116 118 120 122 124 126 128 130 132 LECCIÓN

134 136 138 140 142 144 146 148 150 152

5 Expresiones algebraicas Reducción de expresiones algebraicas Multiplicación de expresiones algebraicas Factorización de expresiones algebraicas Aplicaciones Evaluación

6 Ecuaciones e inecuaciones Ecuaciones con coeficientes racionales Modelación con ecuaciones Representación gráfica de una ecuación inecuaciones con coeficientes racionales Modelación con inecuaciones Evaluación Taller de Resolución de problemas

7 Función lineal Función dominio y recorrido Representación en tablas Representación en gráficos Reglas de formación Función de proporcionalidad directa Función lineal Representación gráfica de una función lineal Evaluación

8 Función afín traslación de una función lineal Función afín Representación gráfica de una función afín Variación de una función Crecimiento y decrecimiento Variación constante Evaluación Taller de Tic Modelamiento de pregunta tipo SIMCE® Evaluación final

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Geometría

158 Evaluación inicial LECCIÓN

160 164 166 168 170 172 174 176 178 LECCIÓN

180 182 184 186 188 190 192 194 197 200 202 204 206

9 Geometría en el plano teorema de Pitágoras Recíproco del teorema de Pitágoras transformaciones isométricas: traslación transformaciones isométricas: reflexión transformaciones isométricas: rotación Composición de transformaciones isométricas Simetría de polígonos Evaluación Taller de TIC

Geometría en el espacio

Cilindro: redes y sus elementos Área de un cilindro Volumen de un cilindro Prismas: redes y sus elementos Área de un prisma Volumen de un prisma Aplicaciones transformaciones isométricas en el espacio: traslación transformaciones isométricas en el espacio: rotación Evaluación Taller de Resolución de problemas Modelamiento de pregunta tipo SIMCE® Evaluación final

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210

Unidad

156

Probabilidad y estadística

212 Evaluación inicial LECCIÓN

214 216 219 222 224 226 228 230 232 LECCIÓN

234 236 238 241 244 246 248 250 252

Representación de datos

datos Representación de datos categóricos Representación de datos cuantitativos Medidas de posición: percentiles y cuartiles Medidas de posición e inferencia diagrama de cajón diagrama de cajón e inferencia Evaluación Taller de resolución de problemas

Probabilidad

Ley de Laplace Probabilidad de un evento simple Principio multiplicativo Probabilidad de un evento compuesto Aplicaciones de la ley de Laplace Evaluación Taller de TIC Modelamiento de pregunta tipo SIMCE® Evaluación final

256 Evaluación tipo SIMCE®

Conoce tu texto

A continuación, te invitamos a revisar el detalle de los tipos de páginas y secciones que encontrarás en cada una de las unidades del texto. Inicio de unidad Objetivo Para dar inicio a la unidad, se presenta una imagen central y preguntas relacionadas al tema.

Evaluación inicial Objetivo tiene como propósito diagnosticar los conocimientos y habilidades que posees. incluye preguntas de conceptos y procedimientos estudiados anteriormente. Secciones que encontrarás Me evalúo: es una instancia que te permitirá revisar tus fortalezas y debilidades en la evaluación.

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Lecciones de unidad Objetivo Los contenidos de la unidad se organizan y se desarrollan en breves lecciones. Secciones que encontrarás Ejercicios resueltos: actividades resueltas cuyo objetivo es lograr la comprensión de cierto tipo de tareas y conceptos. Ejercicios propuestos: planteo de actividades para que practiques los contenidos estudiados en la lección. Conectando con…: relaciona los contenidos con otras disciplinas, ámbitos del saber o la vida cotidiana. Ayuda: aporta información que puede resultar útil para llevar a cabo una actividad o comprender un concepto. Sé más: profundiza y amplía contenidos. Desafío: presenta una o más preguntas desafiantes para trabajar a partir de los contenidos estudiados. ¿Qué opinas de esto?: se invita a la opinión y reflexión a partir de un determinado tema. Evaluación de lección Objetivo Es una página doble donde se ejercitan los contenidos estudiados en la lección. • Cuando encuentres una pregunta destacada en un cuadrado, significa que tendrás que poner en juego más de un contenido estudiado.

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Conoce tu texto

Talleres Objetivo Taller de Matemática aplicada Se proponen preguntas de alternativas para poner a prueba una determinada habilidad y responder las preguntas, marcando alguna de las opciones dadas. Taller de estrategias Se propone el trabajo de estrategias paso a paso para aprender diversas técnicas de trabajo matemático y lograr una mayor comprensión y afianzamiento de los contenidos.

Modelamiento de pregunta tipo SIMCE® Objetivo Se enseña a responder preguntas de alternativas tipo SiMCE®.

Evaluación final Objetivo tiene como propósito medir los conceptos y procedimientos estudiados en cada unidad. incluye preguntas de alternativas y de desarrollo tipo SiMCE® de los principales contenidos de la unidad.

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Taller de TIC Objetivo El propósito de este taller es capacitar en el uso de diferentes herramientas tecnológicas; por ejemplo, la calculadora científica, hojas de cálculo o GeoGebra.

Taller de Resolución de problemas Objetivo desarrollar la habilidad de solucionar problemas, mediante una resolución paso a paso de un ejercicio que involucra contenidos vistos en la unidad.

En el texto encontrarás referencias a códigos web, como el siguiente: SP8m037. Para acceder a los links sugeridos, ingresa cada código en la página web del proyecto Sé Protagonista:

http://protagonista.proyecto-se.cl

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SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

Unidad

Números

1 2 3 4

Números enteros Números racionales Potencias y raíces Variaciones porcentuales

Los electrones son uno de los tipos más importantes de partículas subatómicas. Se pueden combinar con protones y generalmente con neutrones para crear átomos. Los electrones son mucho más pequeños que los neutrones y protones. La masa de un neutrón o protón es más de 1.800 veces la masa de un electrón, que aproximadamente es 9,11 · 10-28 gramos.

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UNIDAD

Evaluación inicial

Resuelve la siguiente evaluación para iniciar la unidad de Números. 1. Resuelve las operaciones combinadas. ___ + 3 ___ = a. 1___ + 1___ − 1 2 3 4 2 1 + 1___ = ___ − ____ b. 1 12 6 2

(

)

4. Evalúa si las proposiciones son verdaderas o falsas. Para ello, escribe V o F según corresponda. Justifica las falsas. a.

La adición y multiplicación de números naturales es conmutativa.

Dos variables son proporcionales cuando ambas crecen o ambas decrecen.

El gráfico que representa dos variables directamente proporcionales es una línea recta que contiene al punto (0, 0) del plano cartesiano.

c. –[–2 – [2 – 1] – 2] – [–2 + 2 – 2] = d. 1 + [–1 – 1 – [–1 – 1] + 1 – [1 + 1] – 1] = e. 2,5 : 0,5 + 0,02 · 0,03 = 4 10 _____ 1 ___ 3 ___ f. ___ 5: 3 + 6·4= 2. Ordena de menor a mayor las secuencias. a. 3,41; 4; 3; 3,14; 3,141; 3,114

3 5 ___ 3 ___ 2 ___ 4 ___ 4 ___ b. ___ 4; 4; 2; 3; 5; 3 3 1___ 2 ___ c. ___ 5 ; 0,1; 3 5 ; 5 ;

5. Analiza las tablas que muestran los valores de dos variables directamente proporcionales. Luego, calcula el valor de las incógnitas. a.

1___ ; 0,8 5

x= b.

3. Resuelve las operaciones. Para ello, considera que:

a4b = a – (b – a) a. –241

w= c.

120

Decimal

0,3

Decimal Fracción Número mixto

0,15

0,04 3 ___ 4

7 ___ 8

2 __ 5

Fracción

6. Representa fracciones y números decimales. Para ello, completa.

d. 24(–243)

e. (–24–2)41

b. 34–5

c. –14–1

1,5

2,25 15 ____ 8

7 __ 5 1 3 ____ 10

___ 61 4

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Resuelve los ejercicios de porcentaje. a. ¿Cuál es el 30 % de 50? b. ¿Qué porcentaje es 20 de 400? c. ¿Cuál es el número cuyo 15 % es 6?

b. La prueba semestral que rindió Cristóbal constó de 25 preguntas y él está seguro de que contestó correctamente cuatro quintos de ellas. • Según Cristóbal, ¿cuántas preguntas contestó correctamente?

d. ¿Cuál es de 12 % de 600? 8. Resuelve los problemas. a. Un agricultor cosechó 350.000 alcachofas ___ las vendió en distintas ferias de las cuales 2 5 de Santiago y el resto a una cadena de supermercados.

• ¿A qué porcentaje corresponden las preguntas que cree haber contestado correctamente?

• ¿Cuántas alcachofas se vendieron en las ferias?

• ¿Qué porcentaje de alcachofas se distribuyeron en la cadena de supermercados?

• Si una de las preguntas que contestó correctamente se eliminó, ¿en cuánto varía el porcentaje de respuestas correctas?

Me evalúo Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las siguientes categorías de desempeño: Por lograr (P.L.), Medianamente logrado (M.L.) y Logrado (L.). Indicador Resolví operatoria y comparé números enteros, fracciones y decimales.

(Preguntas 1, 2 y 3)

Identifiqué y apliqué proporcionalidad directa. (Preguntas 4 y 5)

Expresé números decimales como fracción y viceversa. (Pregunta 6)

Calculé porcentajes. (Pregunta 7)

Resolví problemas que involucran fracciones y porcentajes. (Pregunta 8)

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Lección

Brahmagupta 8, 5, 3… y aquí ninguna... Pero, ¿qué escribo si no hay manzanas?…¡ya sé!

Brahmagupta, ¿cómo te fue con la cuenta?

Números enteros ↘ Números enteros

Números enteros

↘ Multiplicación de números enteros ↘ División de números enteros

El conjunto de los números enteros, denotado por 핑, está formado por los números enteros negativos (핑–), el cero y los números enteros positivos (핑+), es decir: 핑 = 핑– ∪ {0} ∪ 핑+

↘ Operaciones combinadas ↘ Aplicaciones de números enteros

핑 = {…,–4 , –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4,…} Se pueden representar en una recta numérica: –7

–6

Sé más De la definición de ℤ se tiene que: • ℤ+: es el conjunto de los números naturales (ℕ) y sus elementos se llaman números positivos. • ℤ –: es el conjunto de los opuestos aditivos de los números naturales y sus elementos se llaman números negativos. • El cero no es positivo ni negativo. De esta forma: ℤ = ℤ – ∪ {0} ∪ ℤ+

–5

–4

–3

–2

–1

핑–

핑+

Gráficamente, el valor absoluto de un número entero a (⎪a⎪) corresponde a la distancia en la recta numérica que hay entre ese número y el cero. Para sumar dos números enteros se debe considerar: ◾ Si tienen signos iguales, se suman sus valores absolutos y el resultado mantiene

el signo de los sumandos.

◾ Si tienen diferentes signos, se restan sus valores absolutos (el mayor menos el

menor) y el resultado mantiene el signo del número de mayor valor absoluto.

Ejercicios resueltos 1. Completa cada igualdad.

a. |2| = 2 b. |–3| = 3

c. |0| = 0 d. |–1| = 1

e. |8| = 8 = |–8| f. |5| = |–5| = 5

g. 6 = |6| = |–6| h. |–7| = 7 = |7|

2. Resuelve las adiciones de números enteros.

a. –14 + 6 b. –5 + (–8) c. 9 + (–15) d. –1 + (–9)

→ Signos distintos. Luego, |–14| – |6| = 14 – 6 = 8. Por lo tanto, –14 + 6 = –8, ya que |–14| > |6|. → Signos iguales. Luego, |–5| + |–8| = 5 + 8 = 13.

Por lo tanto, –5 + (–8) = –13. → Signos distintos. Luego, |–15| – |9|= 15 – 9 = 6. Por lo tanto, 9 + (–15) = –6, ya que |–15| > |9|. → Signos iguales. Luego, |–1| + |–9| = 1 + 9 = 10. Por lo tanto, –1 + (–9) = –10.

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¿Qué significa esto?…¿un canasto con huevos?

8, 5, 3,… ¿y qué?…¿hay un canasto con huevos?

¡Muy bien jefe!

¿Cómo?

Mmmm…ahora entiendo…no es un huevo…jajaja,…es un cero jefe.

Cue Man nta 1 c an z an a s: a 1 can sto con 8 a 1 can sto con 5 a 1 can sto con 3 asto co n 0

Brahmagupta Su obra más importante fue el Sistema revisado de Brama, un texto de Astronomía que contiene varios capítulos sobre Matemática. En la obra aparece sistematizado, por primera vez en la historia, el cálculo con números negativos y el cero. Para conocer más, ingresa el código SP8m015 en la página web del proyecto Sé Protagonista.

3. Resuelve los problemas utilizando una recta numérica.

a. El precio de un producto baja 300 pesos y luego vuelve a bajar otros 500 pesos. ¿Cuántos pesos bajó en total?

–500

–300

–1.000–900 –800 –700 –600 –500 –400 –300 –200 –100

▷ Por lo tanto, el precio del producto ha bajado 800 pesos.

100 200

b. A las 6 a. m. la temperatura de cierta ciudad era –3 °C y 5 horas después subió 10 °C. ¿Qué temperatura había en dicha ciudad a las 11 a. m.? +10 –3 –4

–3

–2

–1

▷ Por lo tanto, la temperatura en dicha ciudad a las 11 a.m. era de 7 °C.

Ejercicios propuestos

Sé más

1. Resuelve las adiciones.

Si a ∈ ℤ, entonces:

a. 5 + 3 + (–8) + (–7) b. 4 + (–10) + (–22) + 51 c. 21 + 81 + (–21) + (–81)

• a + (–b) = a – b

d. –25 + (–22) + (–1) + (–3) e. 28 + 51 + (–25) + (–33) f. –45 + (–21) + (–1) + 7

• a – (–b) = a + b

2. Analiza los diagramas. Luego, utilízalos para calcular. b

a–b–c

–2

–5 3

x–y

8 –9

–1 –5 –9

–4

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Lección 1: Números enteros

Multiplicación de números enteros Sé más

El producto de dos números enteros se obtiene:

En lenguaje matemático, las propiedades de la multiplicación de números enteros se expresan de la siguiente forma: Si a, b, c ∈ ℤ, entonces: • Clausura: a · b ∈ ℤ. • Conmutativa: a · b = b · a. • Asociativa: a · (b · c) = (a · b) · c. • Elemento neutro: 1 · a = a. • Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c.

◾ Multiplicando los valores absolutos de los factores. ◾ El producto es positivo si ambos factores tienen el mismo signo o negativo si los

factores tienen distintos signos.

Ejercicios resueltos 1. Calcula el producto de las multiplicaciones.

a. b. c. d.

3 · (–7) –4 · (–8) 6·5 –9 · 2

→ → → →

|3| · |–7| = 3 · 7 = 21. Como son de signos distintos, 3 · (–7) = –21. |–4| · |–8| = 4 · 8 = 32. Como son de signos iguales, –4 · (–8) = 32. |6| · |5| = 6 · 5 = 30. Como son de signos iguales, 6 · 5 = 30. |–9| · |2| = 9 · 2 = 18. Como son de signos distintos, –9 · 2 = –18.

2. Analiza la tabla. Luego, escribe un ejemplo de cada propiedad. Propiedades de la multiplicación de números enteros Propiedad Clausura

Descripción de la propiedad

Ejemplo

El producto de dos números enteros es un número entero.

5 · (–8) = –40 ∈ ℤ

Conmutativa El orden de los factores no altera el producto.

Ayuda Para obtener el signo del producto de números enteros se puede utilizar la regla de los signos: +·+=+ +·–=– –·+=– –·–=+

7 · (–2) = –14 = –2 · 7

Asociativa

La multiplicación de tres o más números enteros se puede agrupar de cualquier forma y el producto no se altera.

–9 · (2 · (–5)) = (–9 · 2) · (–5) –9 · (–10) = –18 · (–5) 90 = 90

Elemento neutro

El producto de cualquier número entero por 1 es el mismo número.

1 · (–8) = –8

Distributiva

El producto de un número entero por una adición es equivalente a la adición de los productos del número y los sumandos.

–3 · (–5 + 1) = –3 · (–5) + (–3) · 1 –3 · (–4) = 15 + (–3) 12 = 12

3. Resuelve los problemas.

a. Emma gasta semanalmente $1.200 en golosinas. ¿Cuánto dinero gasta en dos meses? ¿Cuánto dinero ahorraría en un año si dejara de comer golosinas? ▷ Considerando que dos meses corresponden a 8 semanas y que un año tiene 52 semanas: –1.200 · 8 = –9.600

1.200 · 52 = 62.400

Es decir, en dos meses Emma gasta $9.600 en golosinas, y en un año podría ahorrar $62.400 si dejara de comerlas.

b. Un virus informático infecta diariamente 3 computadores de una empresa. ¿Cuántos computadores estarán infectados al cabo de 12 días? ▷ Como se infectan 3 equipos por día, entonces: –3 · 12 = –36 Es decir, al cabo de 12 días habrá 36 computadores infectados por dicho virus. 16

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Ejercicios propuestos 1. Escribe el factor que falta en las multiplicaciones de números enteros. a. 12 · b.

= –60

f. –36 ·

· 16 = –48

c. –8 · d.

· (–15) = 255

· 9 = –117

j. –13 ·

= –216

g. 27 ·

= 104

· (–24) = 120

= 221

= 729

· (–14) = 196

· (–256) = 512

· (–7) = 343

2. Resuelve los problemas utilizando las listas de precios y descuentos de dos librerías.

a. Fernanda debe comprar 3 cuadernos y 5 estuches. ¿En cuál de las librerías le b. c. d. e.

conviene comprar? Justifica. Carlos necesita comprar cada uno de los productos de las listas. ¿Cuál de las librerías le ofrece un mayor descuento en el total de la compra? ¿Qué productos es más conveniente comprar en cada librería si se debe adquirir por lo menos uno de cada tipo? ¿Por qué? Marcela tiene $10.000 y necesita comprar la mayor cantidad de cuadernos posible. ¿En cuál de las librerías le conviene comprar? En la librería A implementan la oferta de llevar 5 productos iguales y pagar 3, mientras que en la librería B la oferta es llevar más de 8 pagando la mitad del total. Si Sofía necesita comprar 10 cuadernos, 5 reglas y 7 plumones, ¿en cuál librería le conviene comprar?

3. Analiza los diagramas. Luego, resuelve. b a

a·b–c·a

b. –3

8 –9

–4

Cuaderno Estuche Lápices Block Reglas Plumón

$1.500 $1.000 $1.200 $1.600 $2.500 $900

$200 $150 $250 $250 $600 $100

Librería B Producto Precio Descuento Cuaderno Estuche Lápices Block Reglas Plumón

$1.400 $1.200 $1.100 $1.800 $2.200 $750

$250 $200 $100 $150 $500 $50

–5 –2

Producto Precio Descuento

x·y

a. –1

Librería A

–6

–2

–1

–4

4. Analiza las afirmaciones. Luego, escribe V o F según corresponda. a. b. c. d. e. f. g. h.

Si a, b ∈ ℤ–, entonces, a · b > 0. Existen a, b ∈ ℤ distintos, tales que a · b = 1. Si x < 0 < y con x, y ∈ ℤ, entonces, x · y < –1. Para cualquier x, y, z ∈ ℤ se verifica que x · y – x · z = –x (y + z). El producto de tres números enteros es un número entero. Si –2 · x ∈ ℤ–, entonces, x es un número entero positivo. El producto de tres números enteros positivos consecutivos es un múltiplo de 6. Si x ∈ ℤ, entonces, x2 > 1.

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Lección 1: Números enteros

División de números enteros Ayuda

El cociente de números enteros se obtiene:

Dividendo Divisor a:b=c d// Resto Cociente

◾ Dividiendo los valores absolutos de los números enteros. ◾ El cociente es positivo si ambos números tienen el mismo signo o negativo si los

números tienen distintos signos.

Ejercicios resueltos 1. Resuelve los problemas, dividiendo números enteros.

a. Calcula un número que multiplicado por –11 resulte –132. ▷ Dividiendo se tiene que: –132 : (–11) = 12 Por lo tanto, el número buscado es 12, ya que: 12 · (–11) = –132 o –11 · 12 = –132

b. El producto de dos números es –144. Si uno de los factores es 6, ¿cuál es el otro factor? ▷ Si uno de los factores es 6, el otro se obtiene de:

–144 : 6 = –24 Luego, el factor buscado es –24, ya que: 6 · (–24) = –144 o –24 · 6 = –144 Temperaturas mínimas diarias durante una semana Día

Lunes

–5 °C

Martes

–8 °C

Miércoles

–10 °C

Jueves

–2 °C

Viernes

–6 °C

Sábado

–7 °C

Domingo

–4 °C

2. Analiza los problemas. Luego, resuélvelos.

a. En cierta ciudad se registraron las temperaturas mínimas de una semana en la

tabla de la izquierda. Calcula la temperatura mínima promedio de dicho período. ▷ Para calcular el promedio, se deben sumar los valores y dividir el resultado por el número total de ellos, en este caso 7 (días de una semana): –5 + (–8) + (–10) + (–2) + (–6) + (–7) + (–4) –42 _________________________________________________________ = ______ = –6 7 7 Por lo tanto, la temperatura mínima promedio durante la semana fue –6 °C.

b. Un andinista se encuentra en la ladera de un cerro a 3.850 msnm (metros sobre

el nivel del mar). Luego de 4 horas, se encuentra a 2.760 msnm. ¿Cuántos metros por hora recorrió el andinista? ¿Su recorrido fue en ascenso o descenso? ▷ Para calcular cuántos metros por hora recorrió el andinista, se debe restar a la posición final la posición inicial y dividir por 4: 2.760 – 3.850 __________ –1.090 ___________________ = = −272,5 4 4 Interpretando el resultado, se tiene que el andinista recorrió 272,5 m/h en descenso, ya que el cociente es negativo.

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Ejercicios propuestos 1. Escribe el dividendo o divisor que falta en las divisiones de números enteros. a. 96 : b.

= –8 : 9 = –16

c. –153 : d.

= 17

f. –252 :

= –7

g. 147 :

= –21

: (–15) = 25

: (–4) = 12

: 9 = –18

j. –247 :

: (–256) = –4

= –19

: (–18) = 3

: (–7) = –15

2. Resuelve los problemas utilizando la información de la tabla. Considera que el vaciado es constante y que los estanques están inicialmente llenos.

Ayuda

Tiempo de vaciado de estanques con agua Estanque

Capacidad (L)

Tiempo (min)

8.000

15.000

160

25.000

200

12.000

120

a. ¿Cuál de los estanques se demora menos en ser vaciado? b. ¿Cuánto tiempo demora el estanque B en vaciar la mitad del agua que contiene? c. Para vaciar un cuarto del agua contenida en el estanque C, ¿cuánto tiempo se

Para obtener el signo del cociente de números enteros, se puede utilizar la regla de los signos de la multiplicación. +:+=+ +:–=– –:+=– –:–=+

necesita? d. Si los 4 estanques comienzan a ser vaciados simultáneamente, ¿cuánta agua se pierde en total luego de 20 minutos?

3. Observa el diagrama. Luego, completa la tabla. >0 x <0 x

100

–30

: (–5)

< –10

> –10 :(–1) < 10 : (–2) > 10 :(–3) –12

–24

–6

200

4. Analiza las afirmaciones. Luego, escribe V o F según corresponda. a.

La división de dos números enteros siempre es un número entero.

Si a, b ∈ ℤ – {0} con a : b = b : a, entonces a = b.

c. d. e. f.

–10

Desafío Investiga qué propiedades de la multiplicación de números enteros se aplican para la división en dicho conjunto.

Si x, y ∈ ℤ con x : y = y, entonces, y = 1.

Para todo x ∈ ℤ – {0} se cumple que 0 : x = x.

(a + b) : c = a : c + b : c para todo a, b, c ∈ ℤ con c ≠ 0. El resultado de 8 : 4 : (–2) es el mismo de (8 : 4) : (–2).

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Lección 1: Números enteros

Operaciones combinadas Para resolver operaciones combinadas, se debe respetar la siguiente secuencia de prioridades: Multiplicación y/o división de izquierda a derecha

Paréntesis de interior a exterior

En la guía de ejercicios de Felipe aparece el ejercicio 6/2(2 + 1). Lo ha resuelto varias veces obteniendo dos resultados distintos: 9 y 1.

Adición y/o sustracción de izquierda a derecha

Ejercicios resueltos 1. Calcula respetando la prioridad de las operaciones.

a. –25 · [(–81 : 9 + 5) – 12] – 4 · [(3 · (–2) + 3) : 3] b. 25 : (–5) + [3 · (–4 · 3 + 8) : (–2)]– 7 –25 · [(–81 : 9 + 5) – 12] – 4 · [(3 · (–2) + 3) : 3] = –25 · [(–9 + 5) – 12] – 4 · [(–6 + 3) : 3] = –25 · [–4 – 12] – 4 · [–3 : 3] = –25 · [–16] – 4 · [–1] = 400 + 4 = 404

25 : (–5) + [3 · (–4 · 3 + 8) : (–2)] – 7 = 25 : (–5) + [3 · (–12 + 8) : (–2)] – 7 = 25 : (–5) + [3 · (–4) : (–2)] – 7 = 25 : (–5) + [–12: (–2)] – 7 = 25 : (–5) + 6 – 7 = –5 + 6 – 7 =1–7 = –6

2. Valoriza las expresiones algebraicas según la información dada. P = –5

Q=2

R = –8

a. P + Q – R

→

–5 + 2 – (–8) = –5 + 2 + 8 = –5 + 10 = 5

b. (P – R) + (Q + P)

→

(–5 – (–8)) + (2 + (–5)) = (–5 + 8) + (2 – 5) = 3 + (–3) = 3 – 3 = 0

c. –R – (Q + P)

→

–(–8) – (2 + (–5)) = 8 – (2 – 5) = 8 – (–3) = 8 + 3 = 11

d. R : Q + P · Q

→

–8 : 2 + (–5) · 2 = –4 + (–10) = –14

e. –3R + 4P – 5Q

→

–3 · (–8) + 4 · (–5) – 5 · 2 = 24 + (–20) – 10 = 4 – 10 = –6

3. Identifica si se aplicó correctamente la prioridad de las operaciones. Explica.

a. 10 : (–2) · 3 = –5 · 3 = –15 ▷ Se aplicó correctamente, ya que se operó de izquierda a derecha.

b. –50 : 10 : (–5) = –50 : (–2) = 25 ▷ No se aplicó correctamente, ya que se operó de derecha a izquierda.

c. 12 · 6 : 4 · (–3) = 72 : (–12) = –6 ▷ No se aplicó correctamente, ya que se operó (12 · 6) y (4 · (–3)) y se dividieron sus resultados.

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Ejercicios propuestos

Ayuda Considera que –(a – b + c) = –1 · (a – b +c) Luego, de la distribución:

1. Calcula considerando la prioridad de las operaciones. a. (18 : (–9) + 6 · 3) – 5

e. [2 – 3 · (4 · 4 – 1) : 1] – 5

–1 · a –1 · (–b) –1 · c = –a + b – c

b. 1 – 25 : 5 + 3 · (–9) + 1

f. {1 – [1 – (2 – 3) + 1] + 1} – 3

c. 4 · (18 – 12) : 3 – 5 · 3

g. {3 · [8 – (2 · (–9))] – 3} · 4

d. 1 – [–4 : (–2) + (3 · (–6) + 5)]

h. 5 – {[–4 · (7 – 4 · 8) – 5] – 2 · 3}

2. Analiza las operaciones combinadas. Luego, completa con paréntesis para verificar la igualdad.

a. 4 + 4 · 5 – 8 = 32

e. 30 : 5 + 10 · 2 = 4

b. 10 – 9 · 2 + 5 = –13

f. 18 : 3 · 3 = 2

c. 24 : 2 – 4 – 8 = –20

g. 8 – 5 – 3 + 2 = 8

d. 18 : 3 · 6 – 1 = 30

h. 10 + 5 – 2 – 9 = 22

↘

Taller de Matemática aplicada

Habilidad: analizar

Analiza el diagrama de operaciones combinadas: x

:2–8

· (–5) + 1

–4+1

Si ingresa el valor x = –12, ¿cuál es el valor de y? A. –11 B. 8 C. 45 D. 68

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Lección 1: Números enteros

Aplicaciones de números enteros Para resolver problemas que involucren números enteros, debes considerar que: ◾ Los números positivos se pueden asociar a expresiones como: ganar, subir,

obtener, etc.; mientras que los números negativos se pueden asociar a expresiones como: perder, bajar, regalar, etc.

Durante cierto mes, el precio de la bencina de 95 octanos aumentó 2 veces $12 por litro y una vez $19; mientras que disminuyó $17 por litro en una oportunidad. ¿Qué variación tuvo el precio ese mes?

Conectando con... La Cámara Chilena del Libro

De esta forma, puedes expresar el enunciado de un problema y expresarlo como operatoria de números enteros, resolverlo y solucionar el problema. Recuerda que de la misma forma, debes interpretar el signo del resultado.

Ejercicios resueltos 1. Identifica un número negativo o positivo asociado a cada situación.

a. b. c. d. e. f.

Catalina tiene en su cuenta del banco $65.000. Julián estacionó su automóvil en el segundo subterráneo. El avión se encuentra a 1.850 m de altura. Vivo en el décimo piso de un edificio. La temperatura descendió 12 °C durante la noche. El precio de un producto tiene un descuento de $7.500.

→

65.000

→

1.850

→

–12

→

–2

→

–7.500

2. Resuelve los problemas.

a. Para el aniversario del colegio, el curso de Daniel vendió bebidas y jugos.

Compraron 1.000 bebidas a $200 cada una y 500 jugos a $150 cada uno. ¿Cuánto dinero ganaron si vendieron todas las bebidas a $800 cada una y todos los jugos a $500 cada uno? ▷ Para obtener las ganancias se debe calcular la resta:

Con el propósito de velar por la libre circulación de ideas y promover la difusión del libro y la lectura, ha sido la principal promotora y organizadora de ferias del libro en Chile, a nivel regional, comunal e internacional, destacando la Feria Internacional del Libro de Santiago (FILSA). Para obtener mayor información sobre este tema, ingresa el código SP8m022 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

(1.000 · 800 + 500 · 500) – (1.000 · 200 + 500 · 150) = (800.000 + 250.000) – (200.000 + 75.000) = 1.050.000 – 275.000 = 775.000 Por lo tanto, el curso de Daniel ganó $775.000.

Dinero de Dinero de – ventas compras

b. Tres amigos juntaron $50.000 en total cortando pasto. El dinero lo destinarán para comprar libros. Felipe quiere dos de historia, Daniela tres de ciencia y Miguel dos de arte. Considerando la tabla, ¿alcanza el dinero para dichas compras? ▷ El análisis se obtiene de: Precios de cada libro

50.000 – (2 · 8.500 + 3 · 12.500 + 2 · 9.000)

Tipo

Precio

= 50.000 – (17.000 + 37.500 + 18.000)

Historia

$8.500

Ciencia

$12.500

= 50.000 – 72.500

Arte

$9.000

= –22.500

Por lo tanto, el dinero no les alcanza, ya que a los tres amigos les faltan $22.500 para sus compras.

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Ejercicios propuestos

¿Qué opinas de esto?

1. Escribe situaciones que representen los números enteros dados. a. –5: b. 85: c. –1.200: d. 450: e. –900: 2. Resuelve los problemas.

100 g de una hamburguesa pueden llegar a contener 18,3 g de grasa, mientras que 100 g de acelgas contienen 0,3 g de grasa.

a. La mamá de Luis fue al supermercado para comprar verduras frescas. Necesita

comprar 2 acelgas, 5 betarragas, 4 choclos, 2 kg de tomates y 2 kg de paltas. Si lleva $10.000, ¿le alcanza para comprar lo que necesita?

Precios del supermercado

Acelga Betarraga Choclo Tomate Palta

$640 c/u $250 c/u $500 c/u $900 kg $1.800 kg

b. Un curso tiene disponible para su gira de estudio $4.000.000. Para el traslado se debe cancelar $25.000 por estudiante y $30.000 por adulto. Para la alimentación y estadía se gastarán $56.000 por persona. Si el curso tiene 40 estudiantes y los acompañarán 3 adultos, ¿cuánto dinero tendrán disponible luego de cancelar el traslado, alimentación y estadía?

c. Don Fermín venderá en su almacén aceite a granel, obtenido de una mezcla de 35 litros de aceite de $550 por litro y 40 litros de uno de $700 por litro. Determina el precio al que debe vender el litro de la mezcla de aceites don Fermín para ganar $200 por litro.

Desafío Investiga sobre el algoritmo de la división y utilízalo como método de comprobación.

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Lección 1

Evaluación

Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos. 1. Calcula el valor numérico de las expresiones, considerando a = –3, b = 2, c = –1 y d = 4. a. a + b + c + d

e. (a + b) – (c + d)

b. –a – b – c – d

f. (a – b) + (c – d)

c. b + (c – d)

g. [a – (b · c) + d]

d. b + (a – 5c)

h. {a – [d + (d – c)]}

2. Escribe el nombre de la propiedad de la multiplicación de números enteros utilizada. a. 8 · (4 – 5) = 8 · 4 – 8 · 5

4. Completa la tabla de divisiones de números enteros. Tabla de división Dividendo

Divisor

–12

–3 –5

2.225

–24

–4 4

–125

380

5. Analiza el diagrama. Luego, calcula y completa la tabla de valores según corresponda. >0

: (–2) + 3 =

: (–3) – 3 =

c. 5 · (–3 · 2) = (5 · (–3)) · 2 d. –6 · 1 = –6

Tabla de valores

e. –8 · 5 = 5 · (–8)

3. Completa la tabla utilizando la información del diagrama según corresponda. ·4

8 –7 5 –12

–1 <0

· (–2) =

6. Escribe los paréntesis en cada ejercicio para que sean válidas las igualdades.

Tabla de multiplicación x

Resto

–89

–120

b. 12 · 0 = 0

Cociente

a. 6 + 3 : –1 · –3 = 3 b

–3

b. 6 + 3 : –1 · –3 = 15

4 22 –12

c. 6 + 3 : –1 · –3 = 27

50 –14

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b. Suma –70

Calcula el valor numérico de cada expresión, considerando que:

a ♣ b = –a · (–b) a ♥ b = a : (–b)

–7

a. (2 ♣ 3) + (–4 ♥ 2) =

–6

b. (16 ♥ –2) : (2 ♣ –2) =

9 Resuelve los problemas.

c. (–7 ♣ 2) – (–6 ♥ –2) =

a. En una cuenta de ahorros hay un saldo inicial de $200.000. Unos días después se descuentan dos cheques de $36.000 cada uno y se transfieren $50.000 a otra cuenta. ¿Cuál es el nuevo saldo?

d. (–2 ♥ –2) · (–5 ♣ –4) = e. (–5 ♣ 2) ♣ (10 ♥ –5) = f. (–48 ♥ 3) ♥ (–6 ♥ 3) = 8. Completa los cuadrados de valores considerando que la suma de filas y columnas es la indicada. a. Suma 3 –6

6 2 0

b. Un ascensor se detiene cada 2 pisos. Después de tres paradas en su camino descendente y una ascendente se encuentra en el 4.° piso. ¿En qué piso estaba inicialmente? c. El dueño de un carrito de algodones ganó diariamente $15.000 durante tres semanas. Luego, producto de las lluvias, perdió $5.000 diarios durante una semana. ¿Cuál fue su balance final al cabo del período mencionado? d. Un estanque se puede llenar a razón de 5.000 L/h. En el mismo instante de inicio del llenado sufre una ruptura dejando salir agua a razón de 500 litros por hora. ¿Cuánta agua habrá en el estanque luego de 3 horas?

Me evalúo Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las siguientes categorías de desempeño: Por lograr (P.L.), Medianamente logrado (M.L.) y Logrado (L). Indicador Resolví operaciones de números enteros. (Pregunta 1)

Identifiqué propiedades de la multiplicación de números enteros. (Pregunta 2)

Calculé productos y cocientes de números enteros. (Preguntas 3, 4, 5, 6 y 7)

Resolví problemas con números enteros. (Pregunta 8 y 9)

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Lección

¿Y si utilizo números para representar su duración?…

Pitágoras

Números racionales

Tantantantantiintiintuuun… ¿Cómo poder representar estos maravillosos sonidos?… ¡Tan tan tan…tin tin… tun…!

↘ Números racionales ↘ Orden y comparación

Números racionales

↘ Decimales y racionales

El conjunto de los números racionales, denotado por ℚ, está formado por todos los números que se pueden escribir como una fracción de números enteros: a / a, b ∈ ℤ, b ≠ 0 ℚ = __ b

↘ Adición de números racionales ↘ Multiplicación de números racionales ↘ División de números racionales

{

}

Para representar un número racional en una recta numérica, se divide cada unidad en las partes que indica el denominador y se consideran tantas partes según indique el numerador, teniendo en cuenta su signo.

Ejercicios resueltos 1. Explica por qué los siguientes números son racionales. a. 2__3 → Ya que 2 y 3 ∈ ℤ y 3 ≠ 0. 3 b. 0,3 → Ya que 0,3 = ____ con 3 y 10 ∈ ℤ y 10 ≠ 0. 10 –7 c. –7 → Ya que –7 = ____ con –7 y 1 ∈ ℤ y 1 ≠ 0. 1 13 1 1 __ __ d. 4 3 → Ya que 4 = ____ con 13 y 3 ∈ ℤ y 3 ≠ 0. 3 3 2. Identifica a qué número racional corresponde cada una de las representaciones gráficas. Número racional

5 ___ 4

3 ___ 6

5 ___ 8

3 __ 5

Representación gráfica

Sé más Algunas propiedades de ℚ son: • Tiene infinitos elementos. • No tiene primer ni último elemento. • Es denso, es decir, entre dos racionales existen otros racionales.

3. Representa en una recta numérica los números racionales según corresponda. ____ → a. 13 8

13 0 8

5 – ___ → 4

13 ____ 8

1 8 5 – ___ 4

–2 4

–1 4

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__ El tun es 1, el tin es 1 2 1 ___ y el tan es … Tan tan 4 tan…tin tin… tun…!

¡Qué increíble, la música es pura matemática!

Pitágoras Fue el primero en utilizar el término cosmos para describir el orden y la armonía del universo. Para obtener mayor información sobre este tema, ingresa el código SP8m027 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

Ejercicios propuestos 1. Dibuja regiones para representar los números racionales. a. 7__5

8 c. ___ 4

10 b. ____ 13

d. 5__3

2. Analiza el diagrama. Luego, escribe V o F según corresponda.

ℚ

a. b. c. d. e.

ℤ 핅

Existen números racionales que no son enteros. Si a ∈ ℤ, entonces, a ∈ 핅. 핅⊂ℤ⊂ℚ ℚ∩ℤ=ℤ ℤ∪핅=ℚ

3. Analiza la información. Luego, determina un racional entre los números dados. a < __ c , entonces: Si dos números racionales distintos cumplen con __ b d a < _______ a + c < __ c __ b b+d d

a. 2__3 <

b. − 1__2 <

5 < ___ 4 ___ < −1 8

c. 5__3 <

7 < ___ 4 __ < −1 3

____ < d. − 11 2

f. − 7__3 <

¿La cardinalidad de ℚ es mayor que la cardinalidad de ℤ o de 핅?

Ayuda Para los racionales a , es de la forma – __ b conveniente considerar el signo negativo en el numerador para realizar algún tipo de comparación.

13 <− ____ 12 __ < −2 5

9 e. −___ < 7

Desafío

4. Ubica en la recta los números racionales. Para ello, únelos con una línea según corresponda.

17 ____ 20

– 1__ 2

–1

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1 ____ 20

9 – ____ 10

3 – ___ 4

1 ___ 4 0

3 __ 5

4 –____ 10

3 ___ 4

__ –1 5 1

Lección 2: Números racionales

Orden y comparación

Dos camiones mineros trasladan material para ser procesados en una planta. Uno de ellos ____ de se cargó con 11 13 su capacidad y el otro 10 de su capacidad. con ____ 11 ¿Cuál está más cargado?

Sé más a se dice: La fracción __ b • Propia si a < b. • Impropia si b < a. Además, si la fracción es impropia, se puede expresar como un número mixto.

a y __ c cumplen En ℚ existe una relación de orden, es decir, dos números racionales __ b d una y solo una de las siguientes relaciones: a < __ c a = __ c a > __ c __ __ __ b d b d b d Utilizando esta relación, los números racionales se pueden ordenar y comparar. Para ello, se pueden emplear fracciones equivalentes (amplificando o simplificando) con el fin de igualar los denominadores o sus representaciones en la recta numérica.

Ejercicios resueltos 1. Escribe < o > según corresponda. Para ello, utiliza la representación gráfica de los números racionales. 5 3 8 – __ – __ –____ 7 5 15

____ –1 – 10 11

4 2 ____ –____ – ___ –2 0 13 9 15

2 1 ____ ___ 13 4

5 7 ___ 4 ____ ___ 9 13 8

7 ___ 9

2 > −3 __ a. − ____ 5 15

2 <1 ___ d. ____ 13 4

4 2 g. −_____ < − ____ 15 13

7 ____ 7 b. ___ > 9 13

5 2 e. − ___ < − ___ 7 9

5 ___ 4 h. ___ > 8 9

8 > − ____ 10 c. −_____ 15 11

7 _____ > ___ f. 11 12 9

2 < ____ 2 i. – _____ 15 13

11 ____ 1 12

2. Compara y ordena los números racionales. 4 3 a. ___ y __ → Amplificando por 5 y 7, respectivamente: 7 5 4 5 20 y 3 ___ __ · 7 __ = 21 ____ · __ = ____ 7 5 35 5 7 35 4 3 Comparando los numeradores: 20 < 21. Luego, ___ < __ . 7 5 3 5 b. − ___ y − ____ 8

Ayuda El m.c.m.(6, 4, 8) = 24. Además: 6 · 4 = 24 4 · 6 = 24 8 · 3 = 24 Los números 4, 6 y 3 son los utilizados para amplificar los números racionales en el ejercicio resuelto 2c.

→ Amplificando la primera fracción por 2: 3 __ 6 = − ____ − ___ · 2 16 8 2 3 5 Comparando los numeradores: –6 < –5. Luego, − ___ < − ____ . 16 8

5 ___ 3 7 c. ___ , y ___ 6 4 8

→ Amplificando por 4, 6 y 3, respectivamente: 3 6 18 5 ___ 7 3 ____ 4 20 ___ ___ · = ____ = ____ y ___ · __ = 21 , · ___ 6 4 24 4 6 24 8 3 24 Comparando los numeradores: 18 < 20 < 21. Luego: 5 7 3 ___ ___ < < ___ 4 6 8

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Ejercicios propuestos

Conectando con...

1. Ordena los grupos de números racionales de acuerdo al criterio dado. a. De forma creciente 2 __ 5

4 – ___ 7

La minería

b. De forma decreciente __ –1 2

3 ___ 4

3 ___ 8

2 – ___ 9

10 ____ 27

__ –1 5

2. Resuelve los problemas. a. Un grupo de amigos comprará un regalo a Pablo por su cumpleaños. Camila solo

Chile es el mayor productor de cobre del mundo y posee cerca del 9 % de las reservas mundiales. Para obtener mayor información sobre este tema, ingresa el código SP8m029 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

3 ___ del precio, Héctor 2 __ , Elías ___ puede pagar 1 y el resto lo pagará Sofía. ¿Quién 7 9 8 aportará más dinero?

b. Se terminó la venta del álbum de fútbol Súper Balón. Pedro alcanzó a

7 1 del álbum. ¿Cuál de los completar ___ de este y a Loreto le faltó por completar ____ 10 8 dos jóvenes estuvo más cerca de completar el álbum?

c. Para una prueba geológica en busca de cobre, una empresa realizó tres

perforaciones con las máquinas A, B y C en el norte de Chile. La máquina A 13 15 9 perforó ____ km, la B ____ km y la C ___ km. ¿Cuál de las máquinas perforó más? 7 13 9

↘

Taller de Matemática aplicada

Habilidad: comparar

Los estudiantes de un curso deben leer Subterra, para una evaluación. Dos semanas antes de dicha evaluación, cuatro amigos del curso tienen las siguientes fracciones del libro leídas: Fracción leída de Subterra Estudiante

Pedro

Antonia

Javier

Clara

Fracción

9 ____ 11

5 __ 7

8 ___ 9

4 ___ 5

¿Cuál de los estudiantes está más atrasado en la lectura? A. Clara. B. Javier. C. Pedro. D. Antonia.

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Lección 2: Números racionales

Decimales y racionales Si se divide el numerador por el denominador de la representación fraccionaria de un número racional, se obtiene un número decimal. Mediante esta división, se pueden obtener tres tipos de decimales: ◾ Decimal finito: su parte decimal tiene una cantidad finita de cifras. ◾ Decimal periódico: su parte decimal es un número que se repite infinitas veces,

llamado período.

Para llevar una vida saludable, Sergio bebe diariamente 1,8 L de agua, mientras que su 9 amiga Paola bebe ___ L. 5 Cada uno piensa que diariamante bebe más agua que el otro.

◾ Decimal semiperiódico: su parte decimal se compone de un número que no

se repite, llamado anteperíodo, seguido de otro que se repite infinitas veces, el período.

Ejercicios resueltos 1. Completa la tabla. Para ello, expresa como decimal los números racionales dados en cada caso. Lista de compras

Sé más

Con fracciones

Para expresar un decimal periódico o semiperiódico de forma abreviada, se escribe un segmento sobre el período. Por ejemplo: _ • 2,444… = 2,4 _ • –1,8999… = –1,89

División

Con decimales

1 __ kg de pan 2

1 : 2 = 0,5

0,5 kg de pan

1 ___ kg de nueces 4

1 : 4 = 0,25

0,25 kg de nueces

5 ___ L de helado 4

5 : 4 = 1,25

1,25 L de helado

2. Representa como número decimal cada número racional. Luego, clasifícalo como decimal finito, periódico o semiperiódico. a. 2__5 → 2 : 5 = 0,4, decimal finito. _ b. 2__3 → 2 : 3 = 0,666… = 0,6, decimal periódico, con período 6. _ c. – 1___ → –1 : 6 = –0,1666… = –0,16, decimal semiperiódico, con 6 anteperíodo 1 y período 6.

d. –2 1__5 Desafío Un tipo de decimal que no se asocia a los números racionales son los decimales infinitos no periódicos. Investiga acerca de su estructura y representación.

→

____ ; –11 : 5 = –2,2, decimal finito. – 11 5

3. Analiza las conversiones de decimal a fracción. Luego, describe los pasos. Decimal periódico a fracción

Decimal semiperiódico a fracción

__ 125 – 1 124 1,25 = __________ = ______ 99 99

__ 1.475 – 14 1.461 –1,475 = – ______________= – ________ 990 990

El denominador tiene tantos 9 como cifras tenga el período. El numerador es la diferencia entre el número decimal sin considerar la coma y el número que queda afuera del período.

El denominador tiene tantos 9 como cifras tenga el período y tantos 0 como cifras tenga el anteperíodo. El numerador es la diferencia entre el número decimal sin considerar la coma y el número que queda afuera del período.

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Ejercicios propuestos 1. Completa la tabla. Decimal

Tipo de decimal

Fracción

Dos métodos para comparar y ordenar números decimales son: • Convertir a fracción y comparar:

1,8 _

2,12 _

–3,151

_ 16 99 1.584 0,17 = _____ ⋅ ____ = _________ 90 99 8.910 __ 17 90 1.530 0, 17 = ____ ⋅ ____ = ________ 99 90 8.910

0,3 __

1,66

–1,1

2. Ordena de menor a mayor cada secuencia de números decimales. _

___

a. −1,26; −1,26; −1,267; −1,267; −1,2; −1,27

Ayuda

Luego, 0,17< 0,17 • Comparar una a una las cifras de los números: _

0,1 7 = 0,177777... __

0, 17 = 0,171717... __ _ Luego, 0,17< 0,17, ya que la tercera _ cifra decimal de 0,1 __ 7 es mayor que la de 0,17.

b. 7,56; 7,55; 7,56; 7,5; 7,56; 7,6; 7,6

3. Resuelve los problemas. a. De la extracción de cierta cantidad de mineral, la 0,007 parte corresponde a

cobre. ¿Qué fracción representa dicho número? b. Para reparar las cortinas de su dormitorio y del living, la mamá de Diego 7 necesita comprar 2,2 m y ___ m de tela, respectivamente. ¿Para cuál de las 4 cortinas necesita comprar más tela? c. Del total de trabajadores de una empresa, un 25 % llega en locomoción pública, ____ partes lo hacen caminando. ¿Cuál es la forma 0,27 partes en sus vehículos y 12 25 de transporte menos utilizada? d. En una competencia escolar de salto alto, los tres primeros lugares registraron las marcas representadas en la tabla. ¿Qué lugar obtuvo cada deportista?

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Marcas de salto alto Deportista

Marca (m)

Lorena

14 ____ 9

Josefa

13 ____ 8

Lucía

17 ____ 12

Lección 2: Números racionales

Adición de números racionales Para obtener la suma de dos números racionales expresados como fracciones, se deben considerar dos casos: ◾ Si tienen igual denominador, se suman los numeradores y se conserva el

denominador.

◾ Si sus denominadores son distintos, se amplifica cada fracción con el fin de

igualar los denominadores. Luego, se aplica el caso anterior.

Ejercicios resueltos

Carolina tiene 12 años, y es recomendable que ingiera 2.050 kilocalorías por día. De dicha cantidad, cierto día consumió un quinto al desayuno, un cuarto al almuerzo y un octavo en la once. ¿Qué parte de las calorías necesarias consumió Carolina ese día?

Sé más Si x, y, z ∈ ℚ, entonces: • Clausura: x + y ∈ ℚ • Conmutativa: x+y=y+x • Asociativa: x + (y + z) = (x + y) + z • Elemento neutro: x+0=0 • Inverso aditivo: x + (–x) = 0

1. Analiza la deducción de la expresión que permite sumar las fracciones de a y __ c . Luego, explica cada paso. distinto denominador __ b d c = _______________ a·d+c·b a + __ __ b d b·d

c = __ a · __ d + __ c · __ b = _______ a · d + _______ c · b = _______________ a·d+c·b a + __ __ b d b d d b b·d d·b b·d Se amplifican las fracciones por d y b.

Se igualan los denominadores.

Se suman las fracciones.

2. Resuelve las adiciones de fracciones con igual o con distinto denominador. + 3 ___ 4 a. 1__5 + 3__5 = 1_______ = 5 5 3 4 1_______ −4 b. 1__7 − ___ = = − __ 7 7 7 5 2 5 · 3 + 2 · 8 15 + 16 31 c. ___ + __ = ________________ = __________ = ____ 24 24 8 3 8·3 5 1 5 · 3 − 1 · 9 15 − 9 6 ___ d. ___ − __ = _______________ = _________ = ____ =2 27 27 9 9 3 9·3 3. Analiza la tabla. Luego, escribe un ejemplo de cada propiedad. Propiedades de la adición de números racionales Propiedad

Descripción de la propiedad

Ejemplo

( )

Clausura

La suma de dos números racionales es un número racional.

1__ + – 2 1 ∈ℚ __ = ____ 5 2 10

Conmutativa

El orden de los sumandos no altera la suma.

0,1 + 2 = 2 + 0,1 = 2,1

Asociativa

La adición de tres o más números racionales se puede agrupar de cualquier forma y la suma no se altera.

3 3 ___ ___ 3 3 __ + 1 ___ + ___ = __ + 1 + 2 4 8 2 4 8 3 3 __ + 5 ___ = 7 ___ + ___ ____ = 17 ____ → 17 2 8 4 8 8 8

Elemento neutro

La suma de cualquier número racional y 0 es el mismo número.

1,5 + 0 = 1,5

Inverso aditivo

Todo número racional (no nulo) tiene un inverso aditivo tal que la suma de ellos es 0.

5 __ + – 5 __ = 0 3 3

(

) (

)

( )

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Ejercicios propuestos

Ayuda

1. Resuelve las adiciones de números racionales. 4 2 a. ___ + __ 7 5

c. 3 1__2 + 1__3

e. 2 + 3__5

4 2 __ g. ___ − __ + 1 9 7 3

3 1 − ___ b. ___ 4

3 5 − 4 __ d. ___ 4 7

f. 2__5 − 5

7 h. 2 3__5 − 4 + ___ 9

2. Resuelve los problemas. 2 partes, Carmen 1 ___ y a. De un trabajo grupal para el colegio, Martín ha realizado ___ 4 9

__ . ¿Qué parte del trabajo llevan realizado en total? ¿Cuánto les falta por Andrea 1 7 realizar? b. Cuatro maestros pintaron por completo una casa. Uno pintó un quinto de ella, otro un sexto, otro dos séptimos y el último pintó el resto. ¿Qué parte de la casa pintó el último de los maestros? c. Del total de los estudiantes de un colegio, se sabe que un décimo participa en el Taller de deportes, dos onceavos en el Taller de ciencias y tres quinceavos en el Taller de teatro. Si cada estudiante puede participar solo en uno de los talleres, ¿qué parte de los estudiantes del colegio no participa en ninguno de los talleres? 3 ____ corresponde a vehículos particulares, ____ d. Del total del parque automotriz, el 22 25 50 a vehículos de carga y el resto a vehículos colectivos. ¿Qué fracción del parque automotriz corresponde a vehículos colectivos?

↘

Taller de Matemática aplicada

Habilidad: analizar

Utilizando el inverso aditivo de un número racional: c = __ a + − __ c a − __ __ b d b d Es decir, el sustraendo en una resta se puede considerar como su inverso aditivo.

( )

¿Qué opinas de esto?

Según el INE, los vehículos motorizados en el país en el año 2012 eran 3.973.913. Cerca del 41 % de ellos se concentró en la Región Metropolitana, lo que significa que para el año 2020 la velocidad promedio en Santiago será 20 km/h.

En un curso se hizo una encuesta sobre el pasatiempo favorito de los estudiantes, en la cual solo se podía elegir una preferencia. Los resultados de las categorías se representan como fracción en el siguiente gráfico: Pasatiempo favorito

1 __ 5

1 ____ 10

1 ___ 4 9 ____ 20

Escuchar música Practicar deporte Leer Estudiar

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A. Dos novenos del curso prefieren leer o estudiar. B. Más estudiantes prefieren escuchar música que leer. C. Menos de la mitad del curso prefieren hacer deporte. D. 0,75 partes del curso no tienen como pasatiempo favorito escuchar música.

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Lección 2: Números racionales

Multiplicación de números racionales Para multiplicar dos números racionales expresados como fracciones, se debe multiplicar los numeradores entre sí y los denominadores entre sí.

Ejercicios resueltos De los asistentes a una __ son obra de teatro 2 3 menores de 18 años; de 3 ellos, __ tienen 13 años. 7 __ de los 2 __ Es decir, 3 3 7 tienen 13 años.

1. Realiza las siguientes multiplicaciones según corresponda. 4 1______ · 4 ____ 4 6 a. 1__3 · ___ = c. 3⋅ 2__5 = 3__1 · 2__5 = ___ = 5 3 · 5 15 5 2 · (−4) ____ 4 4 4 __________ 44 8 −8 2 1 11 ___ ___ __ ___ ____ ____ ____ b. 9 · − 3 = 9 · 3 = 27 = − 27 d. −2 5 ⋅ 7 = − 5 ⋅___ 7 = − 35

( )

2. Analiza la secuencia de una multiplicación de fracciones positivas. Luego, explica cada paso. 4 2 ___ · __ 5 3

8 = ____ 15

Se representó gráficamente la 4 fracción ___. 5

Sé más La multiplicación en ℚ posee las propiedades de clausura, conmutatividad, asociatividad, elemento neutro, inverso multiplicativo y distributividad. El elemento neutro es el 1. Así, el inverso a∈ℚ multiplicativo de __ b b ∈ ℚ, ya que: es __ a a · __ b=1 __ b a

Se subdividió cada parte según el denominador 2 , en este caso de __ 3 3.

De cada subdivisión se consideró 2 subpartes. Dicho valor es el 2. numerador de __ 3

Luego, el producto es la fracción representada.

3. Resuelve los problemas.

a. Patricia dedica dos tercios de su tiempo libre a leer. De ese tiempo, lee sobre

ciencias una quinta parte. ¿Qué fracción de su tiempo lo dedica Patricia a leer sobre ciencia? __ para responder la pregunta. ▷ Hay que calcular 1__ de 2 5 3 2 . __ = ____ Para ello, se multiplican las fracciones: 1__ · 2 5 3 15 Es decir, Patricia dedica dos quinceavos de su tiempo libre a leer sobre ciencia.

b. De los 1.620 trabajadores de una empresa minera, siete novenos trabajan

directamente en las faenas de extracción y el resto en labores administrativas. ¿Qué cantidad de trabajadores trabaja directamente en la extracción? 7 ▷ Se deben calcular los ___ de 1.620. 9 1.620 . Para ello, se considera que 1.620 = ________ 1 11.340 7 1.620 Luego, ___ · ________ = __________ = 1.260. 1 9 9 Por lo tanto, 1.260 trabajadores de la empresa trabajan directamente en labores de extracción.

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Ejercicios propuestos 1. Resuelve las multiplicaciones de números racionales y simplifica el resultado.

(

4 a. 2__3 · ___ 7

26 · − 15 ____ c. ____ 45 13

7 ____ b. − ___ · 1 6 21

3 ____ 64 d. − ___ · 8 9

)

____ · 16 ____ e. 2__5 · 15 4 25

(

2. Representa gráficamente cada uno de los productos. a. 1__3 · 1__5

)

32 49 7 f. ___ · − ____ · ____ 21 16 8

3 1__ b. ___ · 2 8

c. 3__7 · 1__2

3. Analiza la información. Luego resuelve. Antes de calcular el producto de fracciones, es conveniente simplificar cada fracción o simplificar numeradores y denominadores de fracciones distintas. Por ejemplo: 3

27 9 ____ · 15 ____ = 27 ____ · 15 ____ = 3 __ · 3 __ = ___ 25 9 25 9 5 1 5 50 ____ · ____ a. 81 25 27

39 ______ 44 ____ · _____ · c. − 22 13 121 143

64 343 ____ b. ____ · ______ · 16 21 49

____ · − 108 ______ d. − 17 51 36

128

(

Ayuda

· 15 27 ____ · 15 ____ = 27 __________ 25 9 25 · 9 15 · 27 = __________ 25 · 9 15 27 = ____ · ____ 25 9 3 3 9 = __ · __ = ___ 5 1 5

)

4. Resuelve los problemas. a. En un maratón, en la categoría 42 km, Manuel tuvo una lesión luego de haber corrido la sexta parte de las tres cuartas partes del recorrido total. ¿Qué distancia le faltó recorrer a Manuel para terminar el maratón? b. Para envasar el agua mineral procesada durante un día, una empresa tiene 3 ___ L. ¿Cuánta agua pueden 1.000 botellas de ___ L, 1.800 de 1__ L y 2.600 de 1 1 4 4 2 embotellar ese día? c. En un curso de 42 estudiantes, dos tercios obtuvo nota superior a 5,0 en una evaluación. De estos, solo dos séptimos obtuvieron nota mayor o igual a 6,5. ¿Qué fracción del curso obtuvo nota mayor que 5,0 y menor que 6,5 en dicha evaluación?

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Lección 2: Números racionales

División de números racionales Para dividir dos números racionales expresados como fracciones, se debe multiplicar el dividendo por el inverso multiplicativo del divisor. El 8.° C de un colegio aportó 85,5 kg de legumbres para una colecta solidaria organizada por el colegio. Cada estudiante ___ kg. del curso aportó 2 1 4 ¿Cuántos estudiantes tiene el curso?

Ayuda Recuerda que amplificar una fracción significa multiplicar numerador y denominador por un mismo número. La fracción original y la final son equivalentes.

Ejercicios resueltos 1. Identifica el inverso multiplicativo de cada número racional. 1 a. 2__3 → 3__2 c. 3 → 1__ e. −12 → − ____ 12 3 9 4 1 → 13 b. −___ → −___ d. − 1__5 → −5 f. ____ 4 9 13 2. Resuelve las divisiones de números racionales. 3 5 4 2 4 3 ____ ___ : __ = ___ · __ = 12 = __ a. ___ c. 5 : ___ =6 5 3 5 2 10 5 4 1

( )

3 5 3 4 6 ____ = −____ b. ____ : − ___ = ____ · −___ = − 12 4 5 10 10 50 25

3 5 : ___ = __ 4 1

4 ____ 20 · ___ 3= 3

7 7 3 7 7 − __ : 3 =− __ : __ = − __ · 1__ = − ____ 5 5 1 5 3 15

3. Analiza la demostración. Luego, justifica cada paso. c es equivalente a __ a · __ d. a : __ Sean a, b, c , d ∈ ℚ, no nulos. Demuestra que __ b d b c a __ c = ___ b a : __ __ c b d __ d

→

Ya que todo cociente se puede expresar como una fracción.

a · __ a __ d __ b = _______ b c ___ c __ __ c __ d d d·c

→

d. Se amplifica por __ c

→

Se calcula el producto entre las fracciones, considerando d son inversos que __c y __ d c multiplicativos.

→

Ya que cualquier número dividido por 1 es el mismo número.

a · __ a · __ d __ d __ b c = _______ b c _______ 1 c · __ d __ d c

a · __ d __ a · __ d b c = __ _______ 1 b c a : __c = __ a · __d. ▷ Por lo tanto, __ b d b c

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Ejercicios propuestos 1. Resuelve las multiplicaciones y divisiones según corresponda. 4 1 a. 2__3 · 1__5 − ___ : __ 3 3

___ : (−1) f. 1 : ( − 1___ −1 4) 4

5 4 4 ___ b. −___ : 8 + __ · ____ 7 5 2 15

g. 2__3 · 2__3 : 1___ + 1___ 6 9

(

)

[

(

[

(

)

)]

8 : 4 : ____ 1 c. −___ 5 16

4 6· 1 __ : ___ h. 2 − ___ −1 5 3 9

3 4 d. 3 1__7 : ____ + 5 · ____ 14 21

i. 2 : 3__5 − 2 : 3__5 − 1 : 2__3

4 · 24 e. 8 : 1__5 + ___ 6

___ : 1__ +1 j. 1__2 : 1___ 4 4 2

)]

2. Resuelve los problemas.

3 a. Carlos necesita cortar un alambre de 21 m de largo en trozos de 1 ___ m para 4

b. c.

arreglar su jardín. ¿Cuántos trozos puede obtener? Javiera leyó las tres cuartas partes de su libro en 6 días. Si cada uno de esos días leyó la misma cantidad de páginas, ¿qué parte del libro leyó cada uno de esos días? Un camión cargado con sacos de sal se dirige desde una salina hacia la industria 3 procesadora. Si en total lleva 12.375 kg de sal en sacos iguales de 24 ___ kg, 4 ¿cuántos sacos lleva? Una empresa agrícola procesa diariamente 1.200 kg de porotos. Para la venta, 3 tres décimos de lo procesado se envasa en bolsas de ___ kg y el resto en bolsas de 4 ___ kg. ¿Cuántas bolsas en total necesita la empresa para envasar la producción 11 4 de 7 días? Para una fiesta de cumpleaños Joaquín cotiza en la tienda A vasos plásticos a $140 cada uno por un total de $5.880. En la tienda B el precio del mismo vaso 7 corresponde a ___ del precio del vaso cotizado en la tienda A. ¿Cuántos vasos más 8 podría comprar en la tienda B con respecto a la tienda A?

3. Completa escribiendo el número que falta según corresponda. Utiliza una fracción irreducible. 7 a. ___ ·

8 = ___ 7

c. 2 1___ : 4

b. 1 :

5 = − ___ 4

d. 3 ·

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___ = −1 4 __ = −1 3

7 e. − ___ : 8

f. 1__2 ·

=2 =1

Conectando con... La salud

Nuestro organismo está genéticamente programado para consumir menos de 1 g de sal al día. En nuestro país, el consumo diario de sal asciende a 9,8 g, según la reciente Encuesta de Salud del MINSAL. Para obtener mayor información sobre este tema, ingresa el código SP8m037 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

Lección 2

Evaluación

Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos. 1. Observa la figura. Luego escribe la fracción correspondiente y responde.

4. Ordena de menor a mayor los números decimales. ____

a. 1,1121 ;

____

b. −2,1423 ;

c. 1,14; Color

Rojo

Café

Verde

___

1,1121;

___

−2,1423;

−0,115;

Azul

1,1121;

___ ; 12 7

1,1121

−2,1423;

−2,1423

3 − ___ 4

Fracción

a. ¿Qué fracción representa la suma de las áreas de las regiones de color rojo y café con respecto al área total del polígono? b. ¿Qué fracción del área de la región azul es el área de la región roja?

5. Completa la tabla de acuerdo a la conversión necesaria. Tabla de conversión Fracción

Número mixto

2 __ ; 3

1 ___; 8

–1

1__ ; 5

3 − ___; 4

3 ___ ; 8

Finito

3 5 ___ 4 Infinito periódico

8 –___ 3 __

1,237

251 – ______ 150

8 ____ 16 4 ___ 5 8 ___ 4 2 ___ 8

1,25

__ –2 1 2

3 − __ 5

5 4 ___ 6

3. Escribe en cada caso el signo >, < o = según corresponda. a. 1___ 2 3 ___ b. 4 3 c. 1 ___ 4 2 d. ___ 7

17 e. ____ 15 23 f. − ____ 13 2 ___ g. 5 7 ____ h. −4 11 13

Tipo de decimal

7 – __ 2

c. Si la región azul se dividiera en tres partes iguales, ¿qué fracción del área total representaría el área de cada una de ellas? 2. Representa sobre la recta los siguientes números. Luego, intercala un número racional entre cada dos consecutivos.

Número decimal

33 ____ 31 ____ − 61 37 21 ____ 4 ____ − 81 14

6. Resuelve las adiciones de números racionales. _ _ _ 3 _____ a. 1___ + 0,1 − 2 1___ d. 0,0 − 2,2 1 + 5 5 2 90 _ _ _ 7 ___ b. − ___ + 1,6 + 1 1 e. 1,19 + 2,9 − 4 1___ 5 3 9 _

c. 0,3 + 1,6 − 2

f. 0,1 + 0,01 + 0,001

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Resuelve los ejercicios de multiplicaciones y divisiones de números racionales. 3 3 1___ ___ 4 3 1___ ___ d. − ___ a. ___ 4: 2−5· 2 4:2+1: 2 5 3 4 ___ · 1___ + 7 ___ ___ b. 2 : ___ − 2 · ___ e. 5 1 4 4 3 4:9 8 5 1 ___ : 1 ___ + 31 c. −2 1___ · 1___ : 10 f. −1 : ___ − _____ 2 2 6 4 2 10

8 Resuelve los problemas. a. Don Luis va a construir su casa en un terreno de ___ del terreno, y el resto 350 m2. Para ello ocupó 2 7

d. Luego de realizar el inventario de las bebidas en un supermercado se obtiene la siguiente información: Botella

Cantidad 1.850

c. Paola compró un libro en $12.600. Este monto ___ del dinero que llevaba para la representa 2 3 compra. ¿Cuánto dinero le sobró?

3.120

1.060

3.050

e. El gráfico representa el continente de origen de los 120 pasajeros de un hotel: Origen de los pasajeros de un hotel Cantidad de pasajeros

b. A la fiesta de despedida de 8.° asisten 56 personas, de las que un cuarto son adultos. El resto son estudiantes que se dividen en 6 grupos para las distintas tareas de organización. ¿Qué parte de los asistentes representa cada grupo de estudiantes?

2.560

__ L 21 2

¿Cuántos litros de bebida tiene dicho supermercado?

lo repartió en partes iguales entre sus cinco

hijos. ¿Qué cantidad de terreno le corresponde a cada uno de sus hijos?

Inventario de bebidas 3 3 1 __ L ___ __ L L 11 1 ___ L 4 4 2 2

90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Europa

Asia

Oceanía

Continente

¿Qué fracción del total representan los pasajeros de cada continente? ¿Qué fracción representan los pasajeros de Europa con respecto a los de Asia?

Me evalúo Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las siguientes categorías de desempeño: Por lograr (P.L.), Medianamente logrado (M.L.) y Logrado (L.). Indicador Identifiqué distintos tipos de representación gráfica de un número racional. (Preguntas 1 y 2)

Comparé y ordené números racionales. (Preguntas 3 y 4)

Representé números racionales de distintas formas. (Pregunta 5

Resolví operaciones combinadas de números racionales. (Preguntas 6 y 7)

Analicé y resolví situaciones que involucran números racionales. (Pregunta 8)

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UNIDAD

↘ Taller de TIC

Calculadora científica

Realizar cálculos con fracciones en una calculadora Para realizar cálculos de este tipo, se pueden llevar a cabo los siguientes pasos:

Para escribir una fracción debes digitar el numerador seguido de la tecla ab/c y finalmente el denominador. Por ejemplo: __1 2

ab/c

Si se trata de un número mixto, ingresas la parte entera seguida de ab/c el numerador seguido de ab/c y finalmente el denominador. Por ejemplo: 3 1___ 1 ab/c 3 ab/c 4 4

2 3 4 5 6

1 ab/c

1 ab/c 3 ab/c 4

–

1 ab/c 3

11 . Presionando = se obtiene 1 11 12 que representa 1____ 12

11 a fracción impropia debes presionar Para transformar 1 ____ 12 23 corresponde a la fracción ____ . 12

SHIFT

ab/c y se obtiene 23 12 que

Si deseas transformar este resultado a número decimal, debes presionar ab/c obteniendo: _

1,9166... = 1,916

SHIFT

ab/c y para transformar Para transformar un decimal mayor que 1 a fracción debes presionar a número mixto solo presionar ab/c . Por ejemplo, si el resultado de una operación es 1,75: • Presionando ab/c obtienes 1 3 4. SHIFT

• Presionando

3 __ Si la operación que deseas realizar es 1__ + 1 ___ − 1 debes ingresar: 4 3 2

ab/c obtienes 7 4.

3 1 ___ 4 7 ___ 4

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1. Utiliza una calculadora científica para completar las tablas según corresponda. a.

Conversión de fracciones propias Fracción propia

5 __ 7

2 __ 5

Decimal

0,04

5 ___ 9

21 ____ 22 0,9

0,28

7 ____ 16 0,96

Conversión de fracciones impropias Fracción impropia Número mixto Decimal

33 ____ 16

7 __ 3

18 ____ 5 4 4___ 5

9 3____ 11

1 5 ____ 10 6,4

10,12

2,05

2. Utiliza una calculadora científica para resolver las operaciones combinadas. Luego expresa el resultado como fracción y como decimal. 2 ___ + 2 __ − ___ a. 1 8 7 9

3 1 ___ : 3 __ + ___ b. 1 · ___ 8 5 4 6

( 1___9 + 5__3 ) − ( 2 1__3 + 1___6 )

1 d. 1 + ________ __ 2+ 1 3 7 e. 1 − _________ __ 3 − 41 3 f.

__ − 3 1 ___ 2− 1 4 3 ______________ 1 __ 4 − 3 + 1__ 2 2

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Lección

Galileo y Rubik

¡Qué interesante!

Potencias y raíces ↘ Potencias de base y exponente natural ↘ Potencias de exponentes 2 y 3 ↘ Multiplicación de potencias ↘ División de potencias ↘ Valor de una potencia ↘ Raíz cuadrada de un número natural ↘ Propiedades de la raíz cuadrada ↘ Aproximaciones de la raíz cuadrada

Sí, y eso no es todo.

Más interesante aun

Potencias de base y exponente natural Si a y n ∈ 핅, la multiplicación de n factores a se puede expresar como: a · a · a · … · a = an n veces el factor a La expresión a se llama potencia de base a (natural) y exponente n (natural). Por definición se tiene que: n

a0 = 1 (a ≠ 0) y a1 = a

Ejercicios resueltos 1. Completa las tablas escribiendo una potencia o una multiplicación. Potencia

Multiplicación

Potencia

Multiplicación

5·5·5·5·5·5

12 · 12 · 12 · 12

4·4·4

6·6·6·6

7·7·7·7·7

11 · 11 · 11 · 11

2·2·2·2·2·2

1·1·1·1·1·1·1

105

10 · 10 · 10 · 10 · 10

1·1·1·1

2. Analiza las resoluciones. Luego, responde.

a. 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 100 · 100 · 100 10.000

Desafío ¿Cuántos ceros tendrá el valor de 10100?

· 100

1.000.000 Entonces, 106 = 1.000.000.

b. 10 · 10 · 10 · 10 · 10 100 · 100 · 10 10.000

· 10

100.000 Entonces, 105 = 100.000.

a. ¿Cuántos ceros tiene el valor obtenido al calcular la potencia de base 10 y exponente 6? ▷ El valor tiene 6 ceros.

b. ¿Cuántos ceros tiene el valor obtenido al calcular la potencia de base 10 y exponente 5? ▷ El valor tiene 5 ceros.

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Cada cara tiene un número cuadrado perfecto de cuadraditos…

De los cubos lo sé todo. Me llamo Ernö Rubik, su creador.

Creo que hay algo que no sabes… Puedo armar cualquier cubo.

9, 16, 25… tienes razón. No lo había notado.

Soy muy buen observador me llamo Galileo.

Ejercicios propuestos 1. Completa la tabla según corresponda. Potencia

Base

Exponente

Multiplicación

Valor

10.000

128

18 8·8·8·8 10

Galilei y Rubik Las invenciones de Galileo han sido desde siempre increíblemente importantes para el estudio del cosmos y de la Astronomía. Ernö Rubik es un escultor, arquitecto y diseñador húgaro. Para obtener mayor información sobre este tema, ingresa el código SP8m043 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

2. Resuelve los problemas. a. Calcula la cantidad de cubitos que forma cada cara de los cubos Rubik.

Secuencia

Cantidad de cubitos

b. Una bacteria se duplica cada minuto. Si se considera una bacteria inicial, completa la tabla dibujando y calculando según corresponda. Tiempo

0 min

5 min

Secuencia

Cantidad de bacterias SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

Lección 3: Potencias y raíces

Potencias de exponentes 2 y 3 Las potencias de base y exponente natural se pueden utilizar en geometría. Por ejemplo: ◾ Las potencias de base natural y exponente 2 sirven para representar el área de

un cuadrado donde la longitud de la arista corresponde a la base de la potencia.

◾ Las potencias de base natural y exponente 3 sirven para representar el volumen

de un cubo donde la longitud de la arista corresponde a la base de la potencia.

Gastón tiene 100 cubitos iguales. ¿Cuántos cubos de distinto tamaño puede formar?

Ejercicios resueltos 1. Expresa como potencia el área (A) y volumen (V) según corresponda. Luego responde.

a. Cuadrado ABCD D

2 cm A

C 1 cm 1 cm B

A = 22 cm2 = 4 cm2

• ¿Qué representa el exponente de la potencia 22 en este caso? ▷ Representa el cálculo del área de un cuadrado de lado 2 cm. • ¿Cuántos cuadrados de lado 1 cm se pueden formar en el cuadrado ABCD? ▷ Se pueden formar exactamente 4 y corresponden al área del cuadrado ABCD. • ¿Cuál es el número cuadrado perfecto que aparece en el ejercicio? ▷ El cuadrado perfecto es 4, ya que se puede escribir como 22.

b. Cubo 1 cm

4 cm

V = 43 cm3 = 64 cm3

• ¿Qué representa el exponente de la potencia 43 en este caso? ▷ Representa el cálculo del volumen de un cubo de arista 4 cm. • ¿Cuántos cubitos de arista 1 cm se utilizaron en el cubo de arista 4 cm? ▷ Se utilizaron exactamente 64 y corresponden al volumen del cubo. • ¿Cuál es el número cubo perfecto que aparece en el ejercicio? ▷ El cubo perfecto es 64, ya que se puede escribir como 43. 2. Completa escribiendo los números según corresponda.

a. Cuadrados perfectos menores o iguales a 100: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

b. Cubos perfectos menores o iguales a 1.000: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1.000. 44

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↘ Ejercicios propuestos 1. Representa con cuadrados o cubos de arista

1 unidad y expresa como potencia el área (A) y el volumen (V) según corresponda.

a. Cuadrado

c. Cuadrado

3 cm

6 cm

d. Cubo

5 cm

Utilizar figuras en cartulina para calcular área de cuadrados

Practica esta estrategia. Para esto, considera el enunciado y sigue cada paso. ¿Cuánto debe aumentar cada lado de un cuadrado de área 64 unidades cuadradas para que su área sea 100 unidades cuadradas? ↘ Paso 1 Reunir los materiales

b. Cubo

Taller de estrategias

3 cm

2. Analiza el Taller de estrategias y resuelve. a. Si cada lado de un cuadrado aumentara en

2 unidades, ¿en cuánto aumentaría su área?

b. La arista de un cubo disminuyó en 5 unidades, ¿en

Junto con tu equipo de trabajo, reúne los siguientes materiales: - Dos pliegos de cartulina de distinto color. - Regla. - Tijera. ↘ Paso 2 Dibujar y recortar cuadrados Dibuja 100 cuadrados de la medida que estimes conveniente en los dos pliegos y recórtalos. Lo importante es que no sean ni muy pequeños ni muy grandes y que todos sean iguales. ↘ Paso 3 Crear el cuadrado inicial Como el cuadrado inicial tiene área igual a 64 unidades cuadradas, se necesitan 64 de los cuadrados recortados para formarlo, es decir, 8 filas con 8 cuadrados cada una:

cuánto disminuyó su volumen?

c. Para que el área de un cuadrado de lado 5 cm

aumente 11 cm2, ¿en cuánto debe aumentar cada lado?

↘ Paso 4 Agregar cuadrados Se deben agregar cuadrados de tal forma que siempre se obtenga un cuadrado, hasta llegar al área de 100 unidades cuadradas:

d. Si se quiere disminuir 488 unidades cúbicas

el volumen de un cubo de arista 10 unidades, ¿cuántas unidades debe disminuir su arista?

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La figura que resulta tiene área de 100 unidades cuadradas y lados de 10 unidades. De esta forma, el cuadrado inicial debe aumentar en 2 unidades sus lados para que se produzca el aumento pedido. 45

Lección 3: Potencias y raíces

Multiplicación de potencias Sean a, b, n y m ∈ 핅. Para multiplicar potencias se pueden considerar las siguientes propiedades: ◾ Multiplicación de potencias de

bases iguales:

◾ Multiplicación de potencias de exponentes

iguales:

an · am = an + m Algunos científicos afirman que la cantidad de estrellas de una galaxia puede variar entre 107 y 1012. Además, estiman que hay más de 1011 galaxias en el universo. Con estos datos, ¿cuántas estrellas hay aproximadamente en el universo?

an · bn = (a · b)n

Ejercicios resueltos 1. Analiza la información. Luego, responde. Producto de potencias de bases iguales y exponentes distintos con n, m ∈ 핅

Producto de potencias de exponentes iguales y bases distintas con n ∈ 핅

an am a ·a =a·a·a·…·a·a·a·a·…·a

an bn a · b = (a · b) · (a · b) · (a · b) · … · (a · b)

n + m factores a Luego, an · am = an + m.

n factores a · b Luego, an · bn = (a · b)n.

an · am = a · a · a · … · a · a · a · a ·… · a

an · bn = a · a · a · … · a · b · b · b · … · b

a. ¿A qué conjunto numérico pertenece la base a · b? ▷ Pertenece al conjunto de los números naturales, ya que a, b ∈ 핅.

b. ¿Qué ocurriría si las bases y los exponentes fueran iguales?

▷ Se podría considerar cualquiera de los dos desarrollos para calcular el producto. 2. Aplica las propiedades estudiadas para resolver las multiplicaciones de potencias.

a. 34 · 32 · 30 = 34 + 2 + 0 = 36 = 729 b. 52 · 53 · 5 = 52 · 53 · 51= 52 + 3 + 1 = 56 = 15.625 c. 43 · 42 = 43 + 2 = 45 = 1.024 d. 103 · 23 · 53 = (10 · 2 · 5)3 = 1003 = 1.000.000 e. 52 · 72 = (5 · 7)2 = 352 = 1.225 f. 32 · 22 · 52 = (3 · 2 · 5)2 = 302 = 900 3. Expresa como multiplicación de potencias de igual base. Luego, calcula.

a. 10 · 10 · 10 · 100 · 100 = 103 · 1002 = 103 · (102 · 102) = 103 + 2 + 2 = 107 = 10.000.000 b. 125 · 25 = 53 · 52 = 53 + 2 = 55 = 3.125 c. 8 · 64 · 16 = 23 · 26 · 24 = 23 + 6 + 4 = 213 = 8.192 d. 36 · 216 = 62 · 63 = 62 + 3 = 65 = 7.776 e. 9 · 27 · 9 = 32 · 33 · 32 = 33 + 2 + 2 = 37 = 2.187

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4. Observa la información. Luego, calcula.

Sé más

Sean n, m ∈ 핅: m factores an

n factores a

(a n) m = a n · a n · … · a n = a · a · … · a · a · a · … · a · a · a · … · a = a n · m

Una potencia de la forma (an)m se llama potencia de una potencia. Ademas: (an)m = an · m

m · n factores a

a. (23)3 = 23 · 3 = 29 = 512

c. (42)2 = 42 · 2 = 44 = 256

b. (34)2 = 34 · 2= 38 = 6.561

d. (102)0 = 102 · 0 = 100 = 1

Ejercicios propuestos 1. Expresa como una potencia las multiplicaciones. Luego, calcula su valor. a. 23 · 24 · 21

c. 38 · 32 · 30

e. 63 · 62

b. 53 · 52

d. 4 · 44 · (42)2

f. (71)2 · 74 · 71

2. Resuelve los problemas expresando la solución como una potencia. a. Una tienda vende cajas con 4 estuches de cremas con 4 cremas en cada estuche. Si vende 3 cajas diarias, ¿cuántas cremas vende en 4 días? b. Un camión transporta 46 cajas con 26 ampolletas cada una. Si cada ampolleta se venderá en 36 pesos, ¿cuánto dinero se obtendrá por la carga completa del camión?

↘

Taller de Matemática aplicada

Habilidad: analizar

La siguiente secuencia, creada por Waclaw Sierpinski, se construye retirando, desde un triángulo equilátero, un triángulo equilátero central. Luego, a partir de cada triángulo equilátero que resulta, se repite el mismo proceso anterior.

Figura 1 1 triángulo

Figura 2 3 triángulos

Figura 3 9 triángulos

...

Figura 4 Figura 5 Figura 6 27 triángulos 81 triángulos 243 triángulos

¿Cuántos triángulos habrá en la Figura 15? A. 15 B. 42 C. 143 D. 314 SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

Lección 3: Potencias y raíces

División de potencias Conectando con... La Astronomía

Sean a, b, n y m ∈ 핅. Para dividir potencias se pueden considerar las siguientes propiedades: ◾ División de potencias de bases

iguales:

◾ División de potencias de exponentes

iguales:

an : am = an – m

an : bn = (a : b)n

Ejercicios resueltos El valor actual de la velocidad de la luz fue adoptado en la Conferencia General de Pesos y Medidas del año 1983 y es 299.792.458 m/s. Para obtener mayor información sobre este tema, ingresa el código SP8m048 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

1. Calcula el cociente de las divisiones.

a. 24 : 23 = 24 – 3 = 21 = 2

66 = (16 : 8)6 = 26 = 64 d. 1_____ 6

4 b. 5___2 = 54 – 2 = 52 = 25 5

e. 503 : 253 = (50 : 25)3 = 23 = 8

c. 38 : 34 = 38 – 4 = 34 = 81

f. 124 : 34 = (12 : 3)4 = 44 = 256

2. Resuelve los problemas.

a. Si una lona rectangular puede cubrir 1.764 m2 y su largo es 62 m, ¿cuál es la medida de su ancho? ▷ Como el área (A) de la lona es el producto de las medidas de su ancho (a) y largo (b) y además, 1.764 = 422, entonces: a·b=A

→

a · 62 m = 422 m2

→

422 m = (42 : 6)2 m = 72 m a = _____ 62

Por lo tanto, el ancho de la piscina es 49 m. Ayuda Al dividir potencias recuerda que puedes utilizar la siguiente equivalencia: a a : b ⇔ __ b Con b ≠ 0.

b. Si el piso de una sala de clases es de forma cuadrada de lado 12 m y se debe cubrir con baldosas cuadradas de lado 30 cm, ¿cuántas baldosas se necesitan? ▷ Se debe dividir el área del piso de la sala ( As ) por el de cada baldosa ( Ab ), considerando que el lado del piso de la sala está expresado en metros, mientras que el de las baldosas está expresado en centímetros: As : Ab = 122 m2 : 302 cm2 = 1.2002 cm2 : 302 cm2 = (1.200 : 30)2 = 402 = 1.600 Es decir, se necesitan 1.600 baldosas.

c. La estrella Proxima Centauri, se encuentra aproximadamente a 40 · 1012 km Desafío ¿Cuántos días demora, aproximadamente, la luz solar en llegar a Proxima Centauri?

del Sol. Si la velocidad de la luz es 3 · 106 km/s aproximadamente, ¿cuántos segundos se demora en llegar la luz solar a dicha estrella? d , d = 40 · 1012 km y v = 3 · 106 km/s, entonces: ▷ Como v = __ t 40 1______ · 1012 d → t = __ d = 40 012 s = 13,_3 · 107s. ____________ _____ s = v = __ · 6 v t 3 105 3 · 10 _

Por lo tanto, aproximadamente la luz solar demora 13,3 · 107 s en llegar a Proxima Centauri.

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↘ Ejercicios propuestos 1. Resuelve los problemas. a. Un camión puede transportar 104 kg de carga.

¿Cuántos sacos de 52 kg puede transportarcomo máximo?

Taller de estrategias

Resolver operaciones combinadas de potencias

Practica esta estrategia. Para esto, considera el enunciado y sigue cada paso. Utiliza propiedades de potencias para resolver: 4 · 32 · 58 · 43 2___________________ 251 · 204 · 25

b. Considerando que una gota de agua tiene un

volumen de 5 · 102 mm3, ¿cuántas gotas tiene una botella de 1 L de agua? (1 L = 1.000.000 mm3)

c. Si el volumen de un cubo es 8 · 10 cm , ¿cuál es 3

al área de una de sus caras?

↘ Paso 1 Expresar como potencia cada número Cada uno de los números del ejercicio debe ser expresado como potencia de tal forma que se utilicen el mínimo de bases distintas: 4 24 · 25 · 58 · (22)3 2___________________ · 32 · 58 · 43 = ________________________ 1 4 25 · 20 · 25 (52)1 · (5 · 22)4 · 52

↘ Paso 2 Resolver las potencias de potencias Se aplica la propiedad de las potencias de potencias en la expresión según corresponda:

d. Un camión aljibe cargado con 39 L reparte agua a los hogares afectados por un corte generalizado entregando la misma cantidad a cada uno. Si reparte toda el agua en 81 hogares, ¿cuántos litros de agua recibió cada uno?

2. Analiza el Taller de estrategias y resuelve.

(

)

· 23 · 2 4 2 a. 4_____________ = 1 5 2 ·2

( 22 )2 · ( 33 )3 b. _______________ = ( 2 )3 ( 3 )4

· 2

( 8·5 ·

)

2 43 · 253 c. ________________ = 4 ( 5 )2

· 16 · 45 _______________ d. 64 = 4 2 4 :4

4 2 · 25 · 58 · (22)3 24 · 25 · 58 · 26 ________________________ = ___________________ 2 1 2 4 2 52 · 54 · 28 · 52 (5 ) · (5 · 2 ) · 5

↘ Paso 3 Multiplicar Se multiplica en el numerador y en el denominador las potencias según la propiedad del producto de potencias de bases iguales: 4 15 · 25 · 26 · 58 2_________ · 58 2___________________ = 52 · 54 · 52 · 28 58 · 28

↘ Paso 4 Dividir Se asocian las potencias del numerador y del denominador con igual base y se aplica la propiedad de la división de potencias de bases iguales: 15 15 5 · 58 2____ 2_________ ___8 7 8 8 = 8 · 8 =2 2 ·5 2 5

↘ Paso 5 Calcular Si no se pueden aplicar propiedades, se calcula el valor de cada potencia y se resuelve según corresponda. En este caso, se obtiene: 27 = 128

27 · 4 · 81 · 8 e. _____________________ = 7 3 2 3 · 2 · (9 ) · 12

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Lección 3: Potencias y raíces

Valor de una potencia El uso de potencias permite modelar matemáticamente ciertas situaciones en las que intervienen multiplicaciones de un mismo número. Por ejemplo, para calcular el número de ventanales que hay en total en un edificio de 6 pisos, con 6 departamentos por piso, y 6 ventanales por cada departamento.

El valor de una potencia corresponde al resultado de la o las multiplicaciones asociadas a esta.

Ejercicio resuelto 1. Resuelve.

a. 25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32

( )

c. 0,64 = 0,6 · 0,6 · 0,6 · 0,6 = 0,1296

3 8 2 · ___ 2 ·2 __ = ____ b. 2__3 = ___ 3

3 3

· 4 = 16 ____2 = 4 ______ ____ d. 4 5

Ejercicios propuestos 1. Calcula el valor de cada potencia. 6

e. 120 =

b. 1,23 =

c. 164 =

g. 28 =

k. 85 =

h. 2,34 =

3 l. 7__2 =

( )

9 d. 2__5 =

( 1__7 )

( ___56 )

a. 56 =

j. 2,13 =

( )

2. Calcula el exponente de cada potencia.

( )

4.096 4 x _________ f. ___ = 3 729

a. 3x = 81 x=

x 1 b. ( 1___ = __________ ) 4

16.384

x= 16

e. 5x = 125

g. 10x = 100.000

( )

36 6 x = ____ h. ___ 5 25

n. 17x = 17 x=

4.096 8 x = _________ j. ___ 9 x=

m. 1x = 1 x=

i. 12x = 35.831.808

( )

l. 0,3x = 0,027 x=

x 1 d. ( 1__2 ) = ____

c. 8,5x = 614,125

( )

x 32 k. 2__5 = ________ 3.125

6.561

ñ. 14x = 38.416 x=

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3. Calcula la base de cada potencia. a. x = 256

d. x = 243

1 b. x = ____ 32 c. x10 = 1.024

e. x = 10.000

8 g. x = ____ 27 h. x6 = 0,000001 ______ i. x4 = 256 625 3

f. x7 = 16.384

4. Resuelve las operaciones. a. b. c. d. e.

45 + 34 55 – 72 73 · 62 + 23 (23 + 32) · 52 73 – 33 + 82

f. g. h. i. j.

45 · 42 + 23 · 25 42 + 102 – 32 – 130 63 + 33 : 32 + 53 (121 + 42) + 32 · (43 – 26) (54 · (26 – 32) + 82) · 33

5. Resuelve los problemas. Para ello, plantea una potencia y calcula su valor. a. Si la longitud de cada lado de una plaza cuadrada es 20 m, ¿cuál es su área? b. Si cada cara de un cubo de cartón tiene 60 cm de perímetro, ¿cuál es su c. d. e. f.

volumen? En una feria hay 5 columnas formadas con cajas de manzanas. Si cada columna tiene 5 cajas y cada caja contiene 5 filas con 5 manzanas cada una, ¿cuántas manzanas hay en total? Para un campamento Jaime lleva 3 cajas con 3 paquetes de 3 velas cada uno. ¿Cuántas velas llevó Jaime en total? Un camión reparte 6 cajas con 6 botellas de jugo cada una, durante 6 días a la semana en 6 almacenes. ¿Cuántas botellas de jugo reparte en una semana? Don Manuel tiene en su taller 10 cajones con 10 cajas con 10 tornillos cada una. ¿Cuántos tornillos tiene don Manuel en total?

Ayuda Al resolver operaciones combinadas con potencias, primero se deben resolver las potencias; después las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha; y finalmente, las adiciones y sustracciones, de izquierda a derecha. Si hay paréntesis, recuerda que debes comenzar por las operaciones que están contenidas en ellos.

Ayuda • El área de un cuadrado de lado a es a2. a

• El volumen de un cubo de arista a es a3. a

↘

Taller de Matemática aplicada

Habilidad: analizar

Observa la ilustración:

¿Qué expresión permite calcular cuántas manzanas hay en total? A. 4 · 4 · 4 B. 4 + 4 + 4 C. 4 · 4 · 4 · 4 D. 4 + 4 + 4 + 4 SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

Lección 3: Potencias y raíces

Raíz cuadrada de un número natural Sé más Los números naturales cuya raíz cuadrada es un número natural se denominan cuadrados perfectos. Por ejemplo, 4 es un cuadrado perfecto, ya que __ √4 = 2, 9 es un cuadrado __ perfecto, ya que √9 = 3, etc.

Si a, b ∈ 핅 tal que b2 = a, entonces, b se llama raíz cuadrada de a. Esta relación se denota como: _

√ a = b ⇔ b2 = a

Además, el signo √ se llama radical, a radicando y b raíz cuadrada exacta.

Ejercicios resueltos 1. Determina las raíces cuadradas exactas de los siguientes números. __

___

a. √81 = 9, ya que 92 = 81.

d. √100 = 10, ya que 102 = 100.

___

b. √36 = 6, ya que 62 = 36.

e. √169 = 13, ya que 132 = 169.

___

c. √49 = 7, ya que 72 = 49.

f. √144 = 12, ya que 122 = 144.

2. Analiza la siguiente construcción. Luego, completa y responde. A partir de un triángulo rectángulo isósceles de lado 1 unidad, se construye otro triángulo rectángulo considerando como uno de sus catetos, la hipotenusa del triángulo anterior y el otro cateto Así sucesivamente se van constru_ de longitud 1 unidad. __ __ yendo más triángulos. La hipotenusa del primer triángulo mide √2 , la del segundo √3 , la del tercero √4 , etc. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 __ __ 1 _ __ √4 √3 √2 1 1 √5 1 1 __ 1 1 1 1 √6 _ 1 1 1 1 1 1 1 √7

a. ¿Cómo se llama la construcción? ▷ Se llama caracol de Pitágoras.

b. ¿Para qué sirve? ▷ Para representar las raíces cuadradas de números naturales. 3. Completa considerando que todos los cuadraditos son iguales en cada figura.

Figura

Desafío Investiga si existen más representaciones de las raíces cuadradas de los números naturales.

Cantidad de cuadraditos por fila

Cantidad total de cuadraditos

3·3=9

4 · 4 = 16

5 · 5 = 25

Potencia

32 = 9

42 = 16

52 = 25

Raíz cuadrada

√9 = 3

√16 = 4

√25 = 5 SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

4. Resuelve los problemas.

a. Un albañil utilizó 4.900 baldosas cuadradas de lado 20 cm para cubrir el piso de forma cuadrada de una habitación. ¿Cuántos metros mide el lado de la habitación? ▷ El área ( Ab ) de cada baldosa, expresada en metros cuadrados, se obtiene de: Ab = 0,2 · 0,2 = 0,04 m2

Luego, este valor se debe multiplicar por la cantidad de baldosas para obtener el área (A) del piso de la habitación: A = 0,04 m2 · 4.900 = 196 m2

___

Como el piso de la habitación es de forma cuadrada y √196 = 14, entonces, cada lado de la habitación mide 14 m.

b. Un granjero quiere cercar un terreno cuadrado de área 289 m2 con una valla que cuesta $7.500 por metro. ¿Cuánto dinero gastará en cercar el terreno? ▷ Como el área (A) del terreno es 289 m2, entonces, la medida (a) del lado del terreno se obtiene de: __

a = √A

→

A = a2

_____

a = √ 289 m2 = 17 m

→

Como son 4 los lados que se deben cercar: 4 · 17 · 7.500 = 510.000 Por lo tanto, el granjero gastará $510.000 en cercar el terreno.

Ejercicios propuestos 1. Completa la tabla utilizando el concepto de raíz cuadrada. Luego, comprueba. Radicando

121

225

256

400

625

900

2.500

Raíz cuadrada Comprobación

2. Resuelve los problemas. a. Calcula el perímetro de un cuadrado de área 256 cm2. b. En una colecta se reunió $1.000.000. La cantidad donada por cada persona

es igual a la cantidad de personas que donaron. ¿Cuántas personas donaron y cuánto dinero donaron en total? c. El cuadrado de un número natural excede en 31 unidades al cuadrado de 15. ¿Cuál es el número? d. Analiza la sucesión. Luego, responde. Radical Resta de radicandos

√16

√9

√4

√1

___

√36

√25 11

√49 13

___

√64 15

√81 17

___

√100 19

• ¿Cuál es el radicando que continúa en la sucesión? • ¿Qué puedes observar de las restas de los radicandos?

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Lección 3: Potencias y raíces

Propiedades de la raíz cuadrada Sé más Utilizando la propiedad II es posible reducir el radicando cuando este no es un cuadrado perfecto: • •

Sean p, q ∈ 핅. La raíz cuadrada tiene las siguientes propiedades: I. La raíz cuadrada de una potencia de exponente 2 es su base: __

√p

____

√8 = √4 · 2 _ _ __ = √ 4 · √ 2 = 2√ 2 __ ____ √18 = √9 · 2 __ _ _ = √ 9 · √ 2 = 3√ 2

Los números 2 y 3 reciben el nombre de coeficientes del radical. Así: __

____

IV. La potencia de una raíz es la raíz de la potencia:

II. El producto de dos raíces es la raíz del producto de los radicandos: __

√p : √q = √p : q

( √ p )m = √ pm

____

√p · √q = √p · q Ejercicios resueltos

1. Calcula cada resultado aplicando propiedades de raíz cuadrada.

√8 + √18

III. El cociente de dos raíces es la raíz del cociente de los radicandos:

= 2√ 2 + 3√ 2 = 5√ 3

Es decir, dos o más radicales se pueden sumar si sus radicandos son iguales. Para ello, se suman sus coeficientes y se mantiene el radicando.

a. √12 · √3

____

___

▷ Aplicando la propiedad II: √12 · √3 = √12 · 3 = √36 = 6. __

b. √75 : √3

▷ Aplicando la propiedad III: √75 : √3 = √75 : 3 = √25 = 5. __

c. √43

▷ Aplicando la propiedad IV: √43 = ( √4 )3= 23 = 8. __

d. √72

▷ Aplicando la propiedad I: √72 = 7. 2. Reduce los radicandos según corresponda. ___

____

___

____

a. √50 = √25 · 2 = √25 · √2 = 5√2

c. √24 = √4 · 6 = √4 · √6 = 2√6

b. √20 = √4 · 5 = √4 · √5 = 2√5

d. √48 = √16 · 3 = √16 · √3 = 4√3

3. Analiza la información del recuadro. Luego, responde. ◾

_____

√16 + 9 = √25 = 5

Por lo tanto:

_____

√16 + √9 = 4 + 3 = 7

◾

√16 + 9 ≠ √16 + √9

a. ¿Existe alguna propiedad para la raíz cuadrada de una suma? ▷ No, ya que de la información del recuadro se observa que la raíz de una suma es distinta a la suma de las raíces de los radicandos. ____

b. ¿Para qué valores se cumple √p + q = √p + √q ? ▷ Se cumple cuando a, b o ambos son 0.

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Ejercicios propuestos 1. Calcula el valor de x en cada igualdad. ____

a. √16 · x = 8 → x = ____

____

b. √25 · x = 35 → x =

g. √50 : x = 5 → x =

_____

c. √16 · 81 = 4 · x → x = __

____

√x : 9 = 3 → x =

h. √x : √8 = 2 → x =

d. √16 · √x = 32 → x = e. √x2 · √25 = 20 → x =

_____

√150 : x = 5 → x =

√x2 : 16 = 4 → x =

_____

2. Analiza la información del recuadro. Luego, resuelve los ejercicios. __

3√45 · 4√5 − 10√18 : 2√2 = (3 · 4)( √45 · √5 ) − (10 : 2)( √ 18 : √2 )

/ asociando radicales y números

___

= 12√225 − 5√9

/ calculando raíz cuadrada

= 12 · 15 − 5 ⋅ 3

/ multiplicando

= 165 __

___

b. √80 − √20 + √45 __

___

d. 2√12 + 4√48 − √3

a. √3 (√12 − √3 )

e. 3√2 (5√2 − √8 ) _

___

f. 15√50 : 3√2 + 8√8 · √4

c. √45 : √3 − √32 · √2

3. Analiza las afirmaciones. Luego, escribe V o F según corresponda. __

Si a, b ∈ 핅 con √a = √b , entonces a = b.

Todos los números naturales tienen raíz cuadrada exacta.

Si √a + √b = √c , entonces, a + b = c.

Si a < b, entonces, √a < √b .

El 0 es el único número cuya raíz cuadrada es el mismo número.

La desigualdad √p + q ≤ √p + √q es válida para cualquier p, q ∈ 핅.

Como (–2)2 = 4, entonces, √4 = −2.

____

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Desafío Demuestra la propiedad IV: __ __ ( √ p )m = √ pm Luego, explica por qué: __ √p2 = p

Lección 3: Potencias y raíces

Aproximaciones de la raíz cuadrada

Sé más Los decimales infinitos no periódicos forman el conjunto de los números irracionales, es decir, aquellos números que no son racionales. Por ejemplo: _

√2 , √3 , √7 , etc.

Si un número natural no es un cuadrado perfecto, su raíz cuadrada es un decimal infinito no periódico. Por ejemplo: _

√7 = 2,6457513110645905905016157536392604257102591830824501... Este valor se puede acotar utilizando los dos cuadrados perfectos más cercanos: __

4 < 7 < 9 ⇒ √4 < √7 < √9 ⇒ 2 < √7 < 3 Donde 2 es la cota inferior y 3 la cota superior. Además, se dice que 2 es la raíz entera de 7.

Ejercicios resueltos 1. Determina las cotas para cada raíz cuadrada y determina la raíz entera. __

a. √75 ___

___

→ 64 < 75 < 81 → √64 < √75 < √81 → 8 < √75 < 9. → La raíz entera es 8. ___

___

b. √159 → 144 < 159 < 169 → √144 < √159 < √169 → 12 < √159 < 13. ___

→ La raíz entera es 12.

c. √113 → 100 < 113 < 121 → √100 < √113 < √121 → 10 < √113 < 11. → La raíz entera es 10.

2. Analiza la información. Luego, aproxima el valor de √7 utilizando ambos métodos. I. El método de Bakhshali para aproximar la raíz de un número x utiliza la expresión: _ n4 + 6n2x + x2 √ x ≈ __________________ 4n3 + 4nx

II. El método iterativo de Newton para aproximar la raíz de un número x es: x + x 2n xn+1 = 1__ ________ 2 xn

(

)

Donde x1 se puede considerar como la raíz entera de x y cada xn+1 es una _ aproximación más cercana a √x .

Donde n es la raíz entera de x.

a. Método I. La raíz entera de 7 es 2, entonces, n = 2: _

+6·2 ·7+7 √7 ≈ 2______________________ 4 · 23 + 4 · 2 · 7 4

__ 16 + 168 + 49 233 = ___________________ = ______ = 2,64772 32 + 56 88

b. Método II. En este caso x1 = 2, la raíz entera de 7. Entonces: Ayuda Puedes comprobar los resultados de esta página con una calculadora científica.

( ) ( ) x+x 7 + (11/4) 233 = 1__ ______________ = ______ ≈ 2,64772 x = 1__ ( ________ 2 x ) 2 ( (11/4) ) 88 x+x 7 + (233/88) 108.497 = 1__ __________________ = ____________ ≈ 2,64575 x = 1__ ( ________ 2 x ) 2 ( (233/88) ) 41.008 x + x 12 7 + 22 ____ = 2,75 = 1__ ________ = 11 x2 = 1__ ________ 4 2 x1 2 2 2 2

2 3

▷ Utilizando 3 iteraciones se obtiene que √7 ≈ 2,64575 con una aproximación a la diezmilésima. 56

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↘ Ejercicios propuestos 1. Completa la tabla acotando el valor de la raíz. Cota inferior

Raíz

Cota superior

√3

Taller de estrategias

Utilizar una hoja de cálculo para realizar un proceso iterativo

Practica esta estrategia. Para esto, considera el enunciado y sigue cada paso.

Utiliza el método de Newton para aproximar la raíz cuadrada de 17.

_____

↘ Paso 1 Determinar la raíz entera de 17 __ __ __ Como 16__< 17 < 25 ⇒ √16 < √17 < √25 ⇒ 4 < √17 < 5. Así, la raíz entera de 17 es 4.

√23 __ √97

√3.559 _____ √4.201 2. Utiliza el método de Bakhshali para aproximar. Raíz

Aproximación

↘ Paso 2 Dar formato a la hoja de cálculo Copia la siguiente tabla en una hoja de cálculo:

√3

√23 __ √97

_____

√3.559 _____ √4.201 3. Analiza el Taller de estrategias y completa la tabla. Luego, responde.

Iteración Raíz

√3

√23 __ √97

↘ Paso 3 Crear la fórmula Ingresar =B1 en D2 y =1/2*(($B$2+D2*D2)/D2) en D3 y copiar hasta D11. ↘ Paso 4 Ingresar los valores Escribir 4 en B1 y 17 en B2:

_____

√3.559 _____ √4.201 a. Considerando la tabla del ejercicio 2, ¿qué

conclusión se puede obtener al compararla con la tablas de esta actividad? __ b. Consdiera x1 = 3 para aproximar √3 y compara con el resultado de la tabla. c. ¿Qué ocurre con las iteraciones si x1 es cercano a la aproximación de cada raíz? Comprueba con _____ x1 = 65 apara aproximar √4.201 .

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Como los valores desde x4 en adelante son similares en la hoja de cálculo, se puede considerar x4 = 4,1231056256 como una aproximación de la raíz cuadrada de 17.

Lección 3

Evaluación

Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos. 1. Expresa como potencia los números.

5. Según el valor de x, calcula el valor de la expresión:

1 = e. ______ 125 1 = f. __________ 1.000

a. x = 4

d. x = 7

1 = c. ____ 81

g. 343=

b. x = 5

e. x = 8

d. 32=

___= h. 1 4

c. x = 6

f. x = 9

a. 27 = b. 0,001 =

2. Ordena de menor a mayor las potencias según su valor.

2x−1 2x+1 4______ : 2______ 4x−2 2x−3

6. Aplica propiedades de potencias para resolver. a.

a. 23, 43, 24, 34, 21, 42

23 ∙ 9 ∙ 4 ∙ 273 b. _______________________ 182 ∙ (83 ∙ 271)2

b. 203, 104, 202, 103, 201, 102 c. 53, 510, 253, 25, 54, 255

d. 32, 94 ,310, 92, 33, 93 3. Calcula el valor de cada expresión considerando a = 2, b = 1 y c = 3.

81 ∙ 25 ∙ 5 ∙ 33 ________________________ 45 ∙ (33 ∙ 5)3

64 ∙ 1251 ∙ 5 ∙ 102 ____________________________ 203 ∙ 54 ∙ 32

14 ∙ 72 ∙ 49 ∙ 16 d. __________________________ (73 ∙ 4)2 ∙ 45 7.

Completa la tabla según corresponda.

a. a2 + b2 + c2 b. a3 – b2 –c3 c. 2a – 3b + 5c

Figura

Área

Cuadrado 23 cm

d. ab + bc + ca e. –ab + bc – ca 4. Expresa cada multiplicación como una potencia o como producto de potencias cuyas bases sean un número primo.

Rectángulo 43 cm 53 cm

a. 23 ∙ 24 ∙ 28 ∙ 21 b. 32 ∙ 37 ∙ 34 ∙ 38

Triángulo

c. 84 ∙ 50 ∙ 55 ∙ 810 d. 24 ∙ 453 ∙ 452 ∙ 25 e. 27 ∙ 9 ∙ 18 ∙ 36 ∙ 108

53 cm

62 cm

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8. Calcula x ∈ 핅 para que se cumpla cada igualdad.

√9 = x + 1

√x + 4 = 3

√81 − x = 6

____

_____

______

√151 + x = 25

√200 + x = 25

√100 + x = 11

______ ______

Estima entre qué números naturales se encuentra cada una de las siguientes raíces cuadradas: ___

√250

√65

√300

__ ___ ___

√160

√31

√461

√290

h. _

___ ___

√391 __

10. Reduce y considera √ 2 ≈ 1,41, √ 3 ≈ 1,73 y √ 5 ≈ 2,24 para aproximar las raíces. __

√6

√8

√10

√12

__ __ __

a. Un grupo de cubos de madera está dispuesto en igual número de filas y de columnas. Si se retiran 2 filas y 2 columnas y quedan 81 cubos, ¿cuántos había al principio? b. Se necesita cubrir el piso de forma cuadrada de una habitación con baldosas cuadradas de 20 cm de lado. Si el área a cubrir es de 22 m2, ¿cuántas baldosas como mínimo son necesarias? c. El área de un cuadrado es _20 cm2. Aproxima su perímetro considerando √5 ≈ 2,24.

___

11. Resuelve los problemas.

d. En una parcela un granjero va a plantar 2.000 rosas. Si quiere que la plantación tenga el mismo número de filas y columnas, ¿cuántas rosas le sobran? Si puede comprar más, ¿cuántas rosas debería adquirir como mínimo?

√15

√18

√20

√24

__ __

Me evalúo Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las siguientes categorías de desempeño: Por lograr (P.L.), Medianamente logrado (M.L.) y Logrado (L.). Indicador Representé y ordené potencias y su valor. (Preguntas 1 y 2)

Valoricé y calculé expresiones que involucran potencias. (Pregunta 3)

Utilicé propiedades de multiplicación y división de potencias. (Preguntas 4, 5 y 6)

Apliqué potencias en problemas de geometría. (Pregunta 7)

Relacioné los elementos de una radical. (Pregunta 8)

Aproximé raíces cuadradas de números naturales. (Preguntas 9 y 10)

Resolví problemas que involucran raíces cuadradas y potencias. (Pregunta 11)

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Lección

Thales de Mileto

Dicen que puedes medir la altura de la pirámide.

Variaciones porcentuales

Estás loco, necesitas a lo menos 100 hombres.

Sí, solo necesito una estaca, una cuerda y un ayudante. Jajaja, veo que no han leído mis escritos.

↘ Porcentajes

Porcentajes

↘ Variaciones porcentuales

El porcentaje corresponde a una razón cuyo consecuente es 100. De esta forma: a a % = ______ 100 Para realizar cálculos utilizando el concepto de porcentaje, se puede utilizar la proporcionalidad directa.

Ejercicios resueltos 1. Resuelve los ejercicios utilizando proporcionalidad directa. →

10 → ______ · 120 = 12. x → x = 10 10 = ______ ___________ 10 % = ______ 100 100 100 120 Entonces, el 10 % de 120 es 12.

b. ¿De qué valor 15 es su 20 %? →

100 · 15 15 20 → ______ 20 = ____ → x = ___________ = 75. 20 % = ______ 100 100 x 20 Entonces, 15 es el 20 % de 75.

a. Calcula el 10 % de 120.

David y Pamela quieren comprar un LED. En cierta tienda un vendedor les ofrece uno por $450.000 sin IVA. Si deciden comprarlo, ¿cuánto dinero deberán pagar?

Sé más El Impuesto al Valor Agregado (IVA) rige en casi todos los países del mundo, y en Chile representa un recargo del 19 % sobre un bien o servicio. Según lo que hoy establece la ley, toda venta igual o superior a $180 debe pagar el 19 % de IVA.

12 · 100 = 150. x = ____ 12 → x = ____________ c. ¿Qué porcentaje es 12 de 8? → ______ 100 8 8 Entonces, 12 es el 150 % de 8.

2. Analiza el enunciado. Luego, resuelve. Un curso está formado por 15 niños y 12 niñas, de los que 3 niños y 6 niñas son extranjeros.

a. ¿Cuál es el porcentaje de niñas extranjeras del curso? ▷ La cantidad total de estudiantes del curso es 27. El porcentaje de niñas extranjeras del curso se obtiene de: _

6 → x = ___________ 100 · 6 = 22,_2 x = ____ ______ 100 27 27

Por lo tanto, el 22,2 % de los estudiantes del curso corresponde a niñas extranjeras.

b. Si la cantidad de estudiantes del curso representa el 1,5 % del total de

estudiantes del colegio, ¿cuál es la cantidad de estudiantes del colegio? ▷ En este caso, el 100 % es el total de estudiantes del colegio, entonces: 1,5 27 100 · 27 ______ = ____ → x = ____________ = 1.800 1,5 100 x Por lo tanto, el total de estudiantes del colegio es 1.800.

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Un cálculo por aquí y por allá...Mmm…¡¡la tengo!! Es de 146,61 m.

No lo logrará, es imposible, nadie puede hacerlo.

¡Sorprendente!, creo que deberíamos leer más a fondo sus escritos.

De acuerdo a mis observaciones…

3. Resuelve los ejercicios aplicando porcentajes.

a. ¿Cuál es el 80 % de 150? Con proporciones

Con fracciones

Con decimales

80 = _____ x ______

4 80 = __ 80 % = ______ 100 5 4 x = __ · 150 = 120 5

80 = 0,8 80 % = ______ 100

100

150

80 · 150 x = ___________ = 120 100

x = 0,8 · 150 = 120

Por lo tanto, el 80 % de 150 es 120.

b. El valor de un pasaje es $150.000. Si aumenta un 15 %, ¿cuál es su nuevo precio? ▷ Como el precio aumenta un 15 %, el precio final se obtiene de: 150.000 + 15 % de 150.000 Utilizando la expresión decimal del 15 %: 150.000 + 15 % de 150.000 = 150.000 + 0,15 · 150.000

Thales de Mileto Filósofo y matemático griego. En su juventud viajó a Egipto, donde aprendió Geometría de los sacerdotes de Menfis, y Astronomía, que posteriormente enseñaría con el nombre de Astrosofía. Además, estudió Dinámica, Óptica, Estática, Álgebra lineal y Geometría espacial. Para obtener mayor información sobre este tema, ingresa el código SP8m061 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

Aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición: 150.000 + 0,15 · 150.000 = 150.000 · (1 + 0,15) Sumando y multiplicando: 150.000 · (1 + 0,15) = 150.000 · 1,15 = 172.500 Es decir, sumar el 15 % al valor del pasaje es equivalente a multiplicar por 1,15 dicho valor o calcular su 115 %. Por lo tanto, el valor final del pasaje es $172.500.

c. La profundidad de una piscina descendió un 5 % al final del día. Si al comienzo del día la profundidad era de 180 cm ¿qué profundidad tiene la piscina al término de la jornada? ▷ Como la profundidad inicial era de 180 cm, la profundidad al final del día se obtiene de:

Ayuda Recuerda que para transformar una fracción a decimal se debe dividir el numerador por el denominador: a⇔a:b __ b

180 cm – 5 % de 180 Expresando como decimal y aplicando propiedades se tiene: (180 – 0,05 · 180) = 180 · (1 – 0,05) = 180 · 0,95 Es decir, restar el 5 % de 180 al mismo valor es equivalente a calcular el 95 % de 180 cm: 180 cm · 0,95 = 171 cm Por lo tanto, la profundidad de la piscina al final del día es de 171 cm. SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

Desafío El valor de un producto con IVA incluido es $273.700. ¿Cuál es su valor sin considerar dicho impuesto?

Lección 4: Variaciones porcentuales Ejercicios propuestos 1. Escribe el porcentaje que representa cada situación.

¿Qué opinas de esto?

Según una encuesta de empleo en Chile realizada por la Universidad de Chile (agosto 2013), los hombres tienen un sueldo promedio de $621.000 y las mujeres uno de $430.000.

a. b. c. d. e. f. g.

De un libro de 120 páginas, he leído 60. En un condominio, 30 de los 120 departamentos no se han vendido. De los 32 pasteles vendidos, 8 eran de chocolate. Solo asistieron 8.000 personas a un estadio con capacidad para 40.000. Han transcurrido 15 minutos de los 75 disponibles para la evaluación. De los 200 pasajeros de un hotel, 120 son extranjeros. Solo 10 de los 80 trabajadores de una empresa son mujeres.

2. Calcula aplicando proporciones. a. ¿Cuál es el 15 % de 144?

d. ¿Cuál es el 119 % de 3.600?

b. ¿De qué valor 0,1 es el 25 %?

e. ¿De qué valor 27 es el 1,8 %?

c. ¿Qué porcentaje es 18 de 90?

f. ¿Qué porcentaje es 5 de 8?

3. Calcula directamente utilizando números decimales.

a. 80 aumentado un 20 %

e. 9 aumentado un 120 %

b. 5 disminuido un 50 %

f. 70 disminuido un 1,5 %

c. 40 aumentado un 75 %

g. 24 aumentado un 2 %

d. 12 disminuido un 15 %

h. 64 disminuido un 7 %

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4. Resuelve los problemas. a. Analiza el gráfico. Luego, contesta. Desafío

Frecuencia

Resultados de un equipo de fútbol 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

Asignando 3 puntos por partido ganado, 1 por empate y 0 por perdido, ¿qué porcentaje de los puntos posibles ha obtenido el equipo? Ganados

Perdidos Resultados

Empatados

• Si el equipo jugara 5 partidos más y los ganara, ¿cuál sería el porcentaje de partidos perdidos? • Si el equipo jugara dos partidos más, ganando uno y perdiendo el otro, ¿se mantendrían los porcentajes actuales? • Por problemas administrativos de un contrincante, un partido que el equipo había perdido se lo han otorgado como ganado, ¿cuánto aumenta el porcentaje de partidos ganados? ¿Qué ocurre con el porcentaje de partidos perdidos? b. Diego necesita imprimir sus fotografías. Para ello, tiene las opciones mostradas en la información lateral: • Si necesita imprimir 8 fotos en una misma tienda, ¿dónde le conviene imprimir? • Si puede imprimir en ambas tiendas, ¿qué es lo más conveniente? c. Un vendedor hace un descuento del 10 % a un cliente sobre el precio de venta de un producto. Si el cliente consigue un descuento adicional del 10 % sobre lo ofrecido por el vendedor, pagando $1.620, ¿cuál era el precio original del producto?

Tienda “LA SOLUCIÓN”

Costo de una impresión: $120 Por cada 5 impresiones 15 % de descuento.

Tienda “CERCA TUYO”

Costo de una impresión: $150 Por cada 3 impresiones 25 % de descuento.

d. Una empresa de importaciones compró en el extranjero un producto pagando un

8 % en impuestos de aduana. Luego, al venderlo en el país, obtiene una ganancia del 45 % correspondiente a $109.350. ¿Cuál es el precio original del producto?

e. Analiza la tabla y responde. Personal de una empresa Departamento

Hombres

Mujeres

Comercial

Administración

Operaciones

• ¿Qué porcentaje del personal de la empresa son mujeres? • En el área comercial, ¿qué porcentaje corresponde a hombres? • ¿Qué porcentaje del total de mujeres representan las empleadas de administración? • Si llegan 10 hombres más a trabajar en el departamento de operaciones, ¿varía el porcentaje de mujeres del área comercial? ¿Cambia el porcentaje de hombres de administración con respecto al total de empleados? Justifica.

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Lección 4: Variaciones porcentuales

Variaciones porcentuales La variación porcentual es el aumento o disminución de una cantidad en términos de porcentajes. Dicha variación se puede representar por: Cf = f · Ci Donde Cf es la cantidad final, Ci la cantidad inicial y f es el índice de variación que se obtiene de: f = 1 ± a% El promedio final de un 8.º Básico aumentó un 4,5 % el primer semestre de 2013, pero disminuyó un 7,5 % en el segundo, con respecto al 5,8 que promedió en el 2012. ¿Cuál fue su promedio final del año 2013?

El signo positivo (+) indica un aumento y el signo negativo (–) una disminución.

Ejercicios resueltos 1. Expresa cada enunciado como una variación porcentual. Luego, resuelve.

a. El precio de un libro aumenta un 15 % sobre su precio original. ▷ El índice de variación se obtiene de: f = 1 + 15 % = 1 + 0,15 = 1,15 Entonces, la variación porcentual del precio original Ci es:

Conectando con... Los niños de África Alrededor de 29.000 niños y niñas menores de cinco años -21 por minuto- mueren todos los días. Las tasas más elevadas se encuentran en África, donde por ejemplo, un recién nacido en Etiopía tiene 30 veces más probabilidades de morir antes de los 5 años que uno de Europa. Para obtener mayor información sobre este tema, ingresa el código SP8m065 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

Cf = 1,15 · Ci • Si el precio inicial del libro es $22.500, ¿cuál es su precio final? Cf = 1,15 · Ci = 1,15 · 22.500 = 25.875 ▷ Por lo tanto, el precio final del libro es $25.875.

b. El volumen de un globo disminuye un 24 % luego de una hora. ▷ El índice de variación se obtiene de: f = 1 – 24 % = 1 – 0,24 = 0,76 Entonces, la variación porcentual del volumen inicial Ci es: Cf = 0,76 · Ci • Si el volumen inicial es 300 cm3, ¿cuál es el volumen luego de una hora? Cf = 0,76 · Ci = 0,76 · 300 = 228 Por lo tanto, el volumen del globo luego de una hora es 228 cm3. 2. Analiza las situaciones. Luego, exprésalas como variación porcentual según corresponda.

a. La cantidad de asistentes al teatro aumenta un 12 %.

→

Cf = 1,12 · Ci

b. La mortalidad en un país es del 17,23 %.

→

Cf = 0,8277 · Ci

c. Se incrementa el número de vehículos un 7 %.

→

Cf = 1,07 · Ci

d. El volumen de un cubo de hielo se reduce un 35 %.

→

Cf = 0,65 · Ci

e. El precio de los combustibles baja un 3 %.

→

Cf = 0,97 · Ci

f. Las acciones experimentaron un crecimiento del 5,4 %. → 64

Cf = 1,054 · Ci SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

3. Analiza la información. Luego, exprésala como variación porcentual y contesta. Una casa que costaba 3.500 UF en enero fue rebajada un 5 %. En febrero su valor se incrementó un 12 %. ¿Cuál es el valor final? En enero

En febrero

Cf = 0,95 · Ci = 0,95 · 3.500 = 3.325

Cf = 1,12 · Ci = 1,12 · 3.325 = 3.724

Por lo tanto, el precio final es 3.724 UF. Por otro lado: 3.500 · 0,95 · 1,12 = 3.500 · 1,064 = 3.724 Entonces, el precio final se puede obtener también considerando el índice de variación compuesto (f) como el producto de los índices de cada etapa. Es decir: f = f1 · f2 = 0,95 · 1,12 = 1,064 Luego, Cf = 1,064 · Ci. Esta expresión corresponde a una variación porcentual.

¿Qué opinas de esto?

a. La venta de libros de ciencias el primer semestre de 2013 aumentó un 12 %,

mientras que el segundo semestre disminuyó un 21 % con respecto al año 2012. ▷ Los índices de variación de cada etapa se obtienen de: f1 = 1 + 0,12 = 1,12

f2 = 1 – 0,21 = 0,79

Luego, el índice de variación es f = f1 · f2 = 1,12 · 0,79 = 0,8848, es decir, la variación de la venta de libros de ciencias es Cf = 0,8848 · Ci. • Si el año 2012 se vendieron 12.500 libros de ciencias, ¿cuántos se vendieron en el año 2013? Cf = 0,8848 · Ci = 0,8848 · 12.500 = 11.060 Luego, en el año 2013 se vendieron 11.060 libros de ciencias.

b. Cierta cantidad de dinero se deposita 3 meses con un interés compuesto

Muchas personas en Chile piensan que al no aplicar el IVA a los libros se fomentaría la lectura y, con ello, la formación de las personas.

mensual del 2 % (el interés se le aplica al monto mensual reajustado). ▷ El índice de variación se obtiene de: f = (1 + 0,02) · (1 + 0,02) · (1 + 0,02) = 1,023 = 1,061208 Luego, la variación del capital inicial es Cf = 1,061208 · Ci.

• ¿Cuál es la cantidad final obtenida al depositar $100.000 por 3 meses? Cf = 1,061208 · Ci = 1,061208 · 100.000 = 106.120,8. Es decir, se tienen $106.121 luego de 3 meses.

c. El valor de un automóvil luego de 5 años se ha depreciado un 5 % por cada año. ▷ El índice de variación se obtiene de: f = (1 – 0,05)5 = 0,955 ≈ 0,7737809375 Luego, la variación del precio del automóvil es Cf = 0,773809375 · Ci. • Si un automóvil cuesta $6.500.000 nuevo, ¿cuál será su precio luego de 5 años de uso? Cf = 0,773809375 · Ci = 0,773809375 · 6.500.000 = 5.029.576,094 Entonces, luego de 5 años el precio del automóvil es $5.029.576. SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

Ayuda Como el número 5.029.576,094 representa un precio, se puede redondear a 5.029.576.

Lección 4: Variaciones porcentuales Ejercicios propuestos 1. Analiza cada situación. Luego, resuelve. Desafío Calcula el perímetro de cada cuadrado en el ejercicio 1a.

a. Un programa computacional entrega los siguientes cuadrados y sus respectivas áreas:

A = 4 cm2

A = 6 cm2

A = 9 cm2

A = 13,5 cm2

A = 20,25 cm2

• ¿Cuál es el índice de variación entre cada par de cuadrados consecutivos? • ¿Cómo se puede obtener el área del quinto cuadrado a partir del primero? • ¿Cómo calcularías el área del 10.° cuadrado? • Escribe una expresión que permita calcular el área de cualquier cuadrado de la secuencia. b. El siguiente gráfico representa la disminución de una especie de roedor en un parque nacional luego de aplicar un control de plagas: Roedores vivos en el parque

Los parques nacionales

Actualmente, 36 parques nacionales, 49 reservas nacionales y 15 monumentos naturales son protegidos por el Sistema Nacional de Áreas Silvestres Protegidas del Estado, creado y administrado por la CONAF. Para obtener mayor información sobre este tema, ingresa el código SP8m066 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

Cantidad de roedores

Conectando con...

12.000 10.000 10.000 9.000 8.100 8.000 7.290 6.000 4.000 2.000 0 1 2 3 4 Semana

6.561

• ¿Cuál es el índice de variación entre la primera y la tercera semana? • Continuando el patrón, ¿cuántos roedores vivos habrá luego de la 9.a semana? • ¿Qué porcentaje menos de roedores hay en la 5.a semana con respecto a la 2.a? • Escribe una expresión que permita calcular la cantidad de roedores vivos en cualquier semana. c. Una persona quiere depositar $2.000.000 en un banco por un año. Las dos opciones que tiene son: Banco Seguridad

Banco Confianza

Interés de un 0,7 % semestral por depósitos anuales.

Interés de un 0,07 % bimestral por depósitos anuales.

• ¿Cuál es el índice de variación de cada banco? • ¿En cuál de ellos le conviene depositar su dinero? • Al cabo de un año, ¿cuál es la ganancia obtenida al depositar en cada banco?

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2. Analiza la información del recuadro. Luego, contesta. El capital final Cf obtenido al depositar un capital inicial Ci con un interés i % por período durante n períodos se obtiene de:

(

i Cf = Ci 1 + ______ 100

a. b. c. d.

)

¿Qué similitud tiene la expresión anterior con una de variación porcentual? ¿Representa una variación porcentual compuesta? Justifica. ¿Qué representa el valor n para una variación porcentual compuesta? Un crédito de $5.000.000 con un interés anual del 7 % se pagará en 60 cuotas. ¿Cuál es el valor de cada cuota? ¿A cuánto asciende el total de intereses?

3. Resuelve los problemas. a. Si a un número se le resta su 10 % y luego al resultado se le suma su 10 %, ¿se obtiene el número inicial?

b. Un número es disminuido un 20 % y este resultado es aumentado un cierto

Ayuda Si Cf = f · Ci, entonces: C • f = ___f Ci C • Ci = ___f f

porcentaje. Si el resultado es igual al número inicial, ¿en qué porcentaje fue aumentado el valor?

c. El precio inicial de una bicicleta aumentó un 10 % durante diciembre y

disminuyó un 15 % en enero. Si el valor en enero fue $192.208, ¿cuál era el precio inicial?

↘

Taller de Matemática aplicada

Habilidad: analizar

A un cultivo de 106 bacterias se le aplica el producto químico de la imagen. ¿Cuál de las expresiones permite calcular la cantidad de bacterias (C) inmediatamente después de n horas de aplicado el químico? A. C = 10 · 0,12 6

B. C = 106 · 0,88n

Elimina un 12 % de las bacterias por hora.

C. C = 106 · 1,12n D. C = 106 · 1,88n

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Lección 4

Evaluación

Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos. 1. Calcula el porcentaje indicado de cada número. a. El 0,1 % de 250

4. Completa según corresponda. ___ es equivalente en porcentaje a a. 1 4 b. 15 % es equivalente en fracción a

b. El 1,5 % de 19.500

___ es equivalente en porcentaje a c. 1 8 d. 75 % es equivalente en fracción a

c. El 14,3 % de 200.000

e. 0,1 es equivalente en porcentaje a f. 1,5 % es equivalente en decimal a g. 125 % es equivalente en decimal a

2. Calcula el valor indicado. a. 3,4 es el 20% de:

3 h. 1 ___ 5 es equivalente en porcentaje a 5. Resuelve los problemas considerando el valor de las variables indicado.

b. 24,5 es el 17,5 % de:

c. 1,5 es el 150 % de:

a. El Hotel Extra Lux, con capacidad para 900 turistas, está completo. Si un día se va un A % de los turistas y llega un B % de la capacidad, ¿cuántos turistas faltan para completar el hotel nuevamente? Considera: • A = 50 % y B = 25 %

3. Responde cada pregunta. a. ¿Qué porcentaje es 5 de 12?

b. ¿Qué porcentaje es 7,5 de 1,2?

• A = 35 % y B = 10 % • A = 20 % y B = 5 % b. El A % de la longitud total de un poste del alumbrado público está enterrado. Si la parte no enterrada mide B metros, ¿cuál es la longitud total del poste? Considera: • A = 15 % y B = 7 metros

c. ¿Qué porcentaje es 36 de 0,9?

• A = 22 % y B = 12 metros • A = 8 % y B = 9 metros

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6 Analiza cada situación. Luego, responde. a. En el año 2012, el número de vehículos que salieron de Santiago fue de 370 mil durante el período de Fiestas Patrias. Para otro año se espera que aumente al menos un 8 % el total de vehículos que saldrá de Santiago durante esta festividad. • Determina una expresión para la variación porcentual que modele la situación. • Para el otro año, ¿cuántos vehículos saldrán, por lo menos, en total durante Fiestas Patrias? • ¿Cuál es la diferencia del total de vehículos entre los que salieron en 2012 y los que saldrán el otro período? • Si el índice de variación se mantuviera constante durante los próximos años, ¿qué cantidad de vehículos se esperaría que salgan de la capital durante las Fiestas Patrias 2 períodos posteriores al segundo año mencionado? • Considerando la información anterior, ¿en qué porcentaje aumentaría el número de vehículos que saldrían 2 períodos posteriores al segundo año mencionado con respecto al número de vehículos que salieron en el 2012?

b. El número de abonados de telefonía móvil en Chile alcanzó la cifra de 24,1 millones en diciembre de 2012, lo que supone un promedio de 1,38 teléfonos móviles por habitante, según un informe difundido por la Subsecretaría de Telecomunicaciones. Del total de abonados, 17,2 millones tenían un plan comercial de prepago, mientras que 6,8 millones tenían contrato. • ¿Cuál es el porcentaje de abonados que utilizó un teléfono prepago? • ¿Cuál es el porcentaje de abonados que tenía un contrato con una compañía de telefonía móvil en el año 2012? • ¿Qué porcentaje representó los abonados con prepago con respecto a los abonados con contrato? • Si para el año 2018 aumentaran un 5 % los prepagos y un 12 % los contratos, determina una expresión para la variación porcentual de la cantidad de prepagos y una para la de contratos. • Considerando la información anterior, ¿en qué cantidad aumentaría el número de planes de prepago y el número de contratos para el año 2018?

Me evalúo Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las siguientes categorías de desempeño: Por lograr (P.L.), Medianamente logrado (M.L.) y Logrado (L.). Indicador Resolví ejercicios de cálculo de porcentajes. (Preguntas 1, 2 y 3)

Expresé porcentajes en distintos formatos. (Pregunta 4)

Apliqué porcentajes para resolver problemas. (Pregunta 5)

Analicé situaciones que involucran variación porcentual y resolví. (Pregunta 6)

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UNIDAD

↘ Taller de Resolución de problemas

1. Analiza los pasos utilizados en la resolución del problema.

1 2 3

2010

Años

811.200

1.273.800

750.000

1.400.000 1.200.000 1.000.000 800.000 600.000 400.000 200.000 0

1.200.000

Determina cuál de ellas presenta el mayor índice de variación anual. Luego, estima su población para el año 2020 considerando el índice de variación constante para dicho período.

Gráfico comparativo de población

Habitantes

En el gráfico se compara la población de las ciudades A y B entre los años 2010 y 2012.

Ciudad A Ciudad B

2012

Paso

Comprende el enunciado Como el índice de variación es anual, la variación es compuesta ya que se aplicó dos veces dicho índice, de 2010 a 2011 y de 2011 a 2012.

Paso

Planifica lo que vas a realizar Utilizar una expresión de variación proporcional para la población de cada ciudad, obtener los índices de variación y compararlos.

Paso

Resuelve el problema Para la ciudad A se tiene que Cf = 1.273.080 y Ci = 1.200.000. Además, considerando que la variación es compuesta se tiene: Cf = Ci · f

→

C f = ___f → Ci 2

√

Cf ___ = Ci

________

_______________ = √1,0609 = 1,03 √ 1.273.080 1.200.000 ______

Para la ciudad B se tiene que Cf = 811.200 y Ci = 750.000, entonces: Cf = Ci · f

→

C f2 = ___f → Ci

√

Cf ___ = Ci

_______

_____________ = √1,0816 = 1,04 √ 811.200 750.000 _____

Por lo tanto, el índice de variación de la población de la ciudad B es mayor que el de la ciudad A. De esta forma, la población de la ciudad B estimada para el año 2020 se obtiene de: Cf = Ci · f20 = 750.000 · 1,0420 ≈ 1.643.342

4 Paso

Planifica lo que vas a realizar Considerando f = 1,04 y Ci = 750.000 se tiene que: Cf = Ci · f2 = 750.000 · 1,042 = 811.200 Por lo tanto, el valor de f = 1,04 para la población B es correcto.

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2. Resuelve los problemas. Para ello, guíate por los pasos estudiados en la página anterior. a. Analiza los datos de la tabla. Luego, contesta. Población según género en 1813, 1910 y 2010 en Chile, INE 2010 Género

1810

1910

2010

Hombres

393.322

1.658.200

8.461.327

Mujeres

430.363

1.668.825

8.632.948

Total

823.685

3.327.025

17.094.275

Si se considerara que el crecimiento de la población corresponde a una variación porcentual: • Entre 1910 y 2010, ¿los hombres o las mujeres presentaron un mayor índice de variación? • Respecto al crecimiento porcentual de la población femenina entre 1810 y 1910, ¿es mayor o menor que el de la población masculina? • ¿Cuál fue el índice de variación de la población total del país entre 1910 y 2010? ¿En qué porcentaje aumentó la población? • ¿En qué período y para qué género la población tuvo el menor índice de variación? b. Una persona depositó en un banco las siguientes cantidades de dinero: Año

Cantidad depositada

2009

2.000 euros

2010

2.500 euros

2011

3.000 euros

Si al inicio del año 2012 retiró todo el dinero, ¿cuánto dinero obtuvo por concepto de intereses pagados por el banco durante todo el período, si este fue de un 6 % anual? c. Una persona compró USD 8.000 a $500 el dólar al inicio de enero. Durante ese mes el precio del dólar cayó un 7 %. En el mes de febrero aumentó un 12 % su valor y finalmente en marzo volvió a caer un 2 %. En ese instante la persona decidió cambiar sus dólares por pesos. • ¿Cuál fue el índice de variación del precio del dólar para el período enero-marzo? • Al cambiar sus dólares por pesos, ¿la persona ganó o perdió dinero? ¿Cuánto?

Cantidad de público

d. El gráfico muestra la cantidad de público que lleva un equipo de básquetbol durante los 7 primeros partidos disputados como local: Público como local 2.880

3.000 2.000

1.600

2.400 1.920 1.120

1.000 0

2.080 1.760

3 4 Partido

• ¿Entre qué partidos se produce la mayor variación porcentual? ¿Y la menor? SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

UNIDAD

Modelamiento de pregunta tipo SIMCE® Analiza el siguiente ejemplo de una pregunta de alternativas tipo SIMCE®. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera? Esta pregunta involucra los conceptos de potencias y multiplicación de potencias.

A. 32 + 39 = 311 B. 32 · 39 = 311 C. 32 · 39 = 911 D. 32 · 39 = 318 Clave: B. Se aplica directamente la propiedad de la multiplicación de potencias con igual base, que establece que el producto de dicha multiplicación mantiene la base y suma los exponentes de los factores:

Si tienes dificultades para comprender la justificación, puedes reforzar este contenido, revisando la Lección 3 del Texto y las páginas respectivas de tu Cuaderno de ejercicios.

32 · 39 = 32 + 9 = 311 Distractores: A. Se confundió una multiplicación de potencias de igual base con una adición. De esta forma, la suma de 32 y 39 se calculó erróneamente, manteniendo la base y sumando los exponentes:

Los errores cometidos al inclinarse por alguno de estos distractores son:

32 + 9 = 311

• Aplicar una propiedad de multiplicación de potencias para una adición.

C. Se cometió el error de multiplicar las bases en la multiplicación de potencias de igual base. De esta forma, el producto entre 32 y 39 dio: (3 · 3)2 + 9 = 911 D. Al multiplicar las potencias de igual base 32 y 39 se mantuvo correctamente la base pero se cometió el error de multiplicar los exponentes, obteniendo como resultado:

• No reconocer la propiedad de la multiplicación de potencias. • Multiplicar las bases en una multiplicación de potencias de igual base.

32 · 9 = 318

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Ahora completa una pregunta de alternativas tipo SIMCE®. Para ello, resuelve cada sección según lo estudiado en la página anterior. Un estudio establece que el 30 % de los estudiantes ha tenido un accidente en el colegio. De ellos, solo el 3 % tiene carácter de urgencia y es derivado a algún centro clínico.

Esta pregunta involucra los conceptos de:

¿Qué porcentaje del total de los accidentes es derivado a un centro clínico de urgencia? A. 0,9 % B. 3 % C. 9 % D. 33 % Clave: A. Si tienes dificultades para comprender la justificación, puedes reforzar este contenido, revisando la Lección

de Texto y las páginas respectivas de tu

Cuaderno de ejercicios. Distractores: B. No se comprendió la pregunta del problema considerando que el total de estudiantes accidentados que son derivados a urgencia corresponde al 3 %, sin considerar que dicho porcentaje se debe calcular del 30 % de los accidentados.

Los errores cometidos al inclinarse por alguno de estos distractores son:

C. Se consideró de alguna forma que el porcentaje en cuestión corresponde al producto de 30 % y 3 %, se multiplicó de forma errónea sus expresiones decimales (0,30 y 0,03) respondiendo que dicho producto corresponde a 0,09. De esta forma, el porcentaje obtenido es 9 %. D. No se reconocen los conceptos de variación porcentual. De esta forma, se sumaron los porcentajes respondiendo que el porcentaje de accidentes derivados a urgencia corresponde a: 30 % + 3 % = 33 %

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UNIDAD

Evaluación final

Lee y responde las siguientes preguntas relacionadas con lo aprendido en esta unidad. I. Marca la alternativa que consideres correcta. 1. –[2 – (–2) –2– ((–2) + 2) –2] =

En la siguiente figura:

A. –2 B. 0 C. 2 D. 4 2. 5 · (–5) · 5 · (–5) · 5 = A. –3.125 B. –5

¿Qué parte representa la zona de color verde?

C. 5

A. La mitad del total.

D. 3.125

B. La cuarta parte del total. C. La octava parte del total.

3. Si a = 25 y b = –5, entonces a + (b – a) – (–a – b) = A. –15 B. 10 C. 15 D. 40

D. Los cinco octavos del total. 5 3 2 y c = ____ , ¿cuál de las siguientes se8. Si a = ___, b = ___ 11 9 8 cuencias está ordenada de menor a mayor? A. b, a, c B. a, b, c

4. 18 – (–45) : 9 + (–2) · (–1) =

C. a, c, b

A. –9

D. b, c, a

B. –5 C. 9 D. 25 5. Si a = –3, b = –2 y c = 5, entonces, al valorizar la expresión (a + b)(a – c)(b – c) se obtiene: A. 280 B. –30 C. –120 D. –280 6. –1 + (–2) – (3 – (–1 – 1))= A. –4 B. –8 C. 2

El decimal 0,18 escrito como fracción es: 1 A. ____ 18 2 B. ____ 11 1 C. ____ 11 9 D. ____ 11 _

10. 0,3 + 0,13 = _

A. 0,4

B. 0,16

C. 0,46 __

D. 0,43

D. 4

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3 1__ 1 __ − ___ 11. 2 + − __ = 3 4 2 3 27 A. − ____ 12 1 B. − ____ 12 1 C. ____ 12 27 D. ____ 12 ·b a:3 _______ 12. Si a ⊗ b = __ , entonces el resultado de 2 4 ___ ⊗ 1__ es: −1 4 2 3 A. − _____ 64 B. − 1___ 3 C. 1___ 3 3 D. _____ 64 2= ___ + ___ 13. 1 4 ___ 4 5 4 ____ A. 11 7 B. ____ 20 ____ C. 11 4 20 D. ____ 7

16. El resultado de 23 + 32 es: A. 55 B. 65 C. 17 D. 72 17. 32 · 30 · (33)2 = A. 36

( )

14. 32 + 42 + 52 + 122 = A. 194

B. 37 C. 38 D. 310 18. Al valorizar la expresión a9 : ( a6 : a2 ) considerando a = 2 se obtiene: A. 2 B. 8 C. 32 D. 64 19. Si __ a = 3 y__b = 2, entonces, el valor de la expresión √ a2 + √ b2 es: _

A. √5

B. √13 C. 5 D. 13 ___

20. La reducción de √108 es: __

A. 3√6

B. 29

B. 6√3

C. 292

C. 36√ 3 __

D. 294

D. 9√6

15. El valor de la potencia 74 es equivalente a: A. 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 B. 47

_ √2

D. 72 · 72

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+ √8 + √18 = __

A. √28 B. 6

C. 4 · 4 2

21.

C. 6√2 _

D. 3√2

UNIDAD Evaluación final 22. Para que sea válida la igualdad ______ √ x + 100 = 13 el valor de x debe ser:

27. El octavo básico tiene 40 estudiantes. En una prueba de Matemática el 55 % obtuvo buenas notas, el 35 % obtuvo notas regulares y el resto calificó con nota insuficiente. ¿Cuál es el número de estudiantes con nota insuficiente?

A. –69 B. 0 C. 59

A. 4

D. 69

B. 5

23. Un kilogramo de pan en el supermercado cuesta $1.200. Si aumenta un 10 %, ¿cuál es su nuevo precio? A. $120

D. 18 28. ¿Cuál es el número cuyo 30 % es 90? _

A. 33,3

B. $1.212

B. 270

C. $1.320

C. 300

D. $1.332 24. ¿Cual de las siguientes expresiones NO permite calcular el 12 % de k? ·k ________ A. 12 100 B. 0,12 · k 3 C. ____ · k 25 D. k – 0,88 25. En la tabla se muestra la cantidad de personas que asistió a un cine según la estación del año: Estación

C. 6

Verano

Otoño

Cantidad 15.000

8.500

Invierno Primavera 6.500

12.000

¿En qué estación asistió aproximadamente un 28 % del total de asistentes del año 2010? A. En verano.

D. 900 29. En enero, el valor de un producto era P. Si cada mes aumentó un 2 %, el precio al inicio de mayo se puede obtener de: A. 0,024 · P B. 0,08 · P C. 1,08 · P D. 1,024 · P 30. Una población de bacterias disminuyó de forma constante un 5 % por hora luego de aplicarle un producto químico. Si al inicio había B bacterias, ¿cuántas habrá luego de 10 horas? A. 0,5 · B B. 0,95 · B

B. En otoño.

C. 0,9510 · B

C. En invierno.

D. 0,959 · B

D. En primavera. 26. Tenía 40 caramelos. Si regalé el 30 % a Pepe, el 20 % a Juan y el 10 % a Camila, ¿con cuántos caramelos me quedé?

31. El monto final C f que se obtiene al depositar $100.000 con un interés mensual de 0,3 % durante 8 meses se obtiene de: A. Cf = 100.000 · (1 + 3)8

A. 12

B. Cf = 100.000 · (1 + 0,03)8

B. 14

C. Cf = 100.000 · (1 + 8)3

C. 16

D. Cf = 100.000 · (1 + 0,08)3

D. 24

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II. Resuelve los problemas. 32. Una persona pide un préstamo de $2.000.000 en un banco con una tasa de interés del 18 % anual en 48 cuotas. ¿Cuál es el valor de cada cuota? ¿Cuál será el interés pagado por el préstamo?

33. Un globo con 100 cm3 de aire aumenta un 8,5 % su volumen por segundo luego de comenzar a inflarlo. ¿Cuál será su volumen luego de 20 segundos?

Me evalúo Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las respuestas correctas que hayas conseguido. I. Preguntas de alternativas Apliqué operatoria de números enteros. (Preguntas 1, 2, 3, 4, 5 y 6)

Representé, comparé y apliqué operatoria de números racionales. (Preguntas 7, 8, 9, 10, 11, 12 y 13)

Representé potencias y apliqué sus propiedades. (Preguntas 14, 15, 16, 17 y 18)

Apliqué propiedades de raíz cuadrada. (Preguntas 19, 20, 21 y 22)

Calculé y utilicé porcentajes. (Preguntas 23, 24, 25, 26, 27 y 28)

Identifiqué los elementos de una variación porcentual. (Preguntas 29, 30 y 31)

de 6 de 7 de 5 de 4 de 6 de 3

II. Preguntas de desarrollo Resolví problemas de aplicación de variación porcentual. (Preguntas 32 y 33)

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de 2

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Unidad

Álgebra y funciones 5 Expresiones algebraicas 6 Ecuaciones e inecuaciones 7 Función lineal 8 Función afín

La energía eólica fue una de las primeras energías utilizadas por el hombre, en los barcos de vela, molinos de viento, etc. Es la energía que obtenemos del viento y es una variable de la energía solar, ya que la diferencia de temperaturas conlleva una circulación del aire. La forma de aprovechamiento consiste en transformar la energía eólica en energía eléctrica mediante los aerogeneradores. Su funcionamiento es sencillo, el viento mueve las hélices que están conectadas a un generador que transforma la energía mecánica en energía eléctrica. 1. Investiga de qué forma se relaciona una variación de temperatura y los vientos. 2. ¿Conoces algún lugar del país en el que hayan este tipo de aerogeneradores?

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UNIDAD

Evaluación inicial

Resuelve la siguiente evaluación para iniciar la unidad de Álgebra y funciones. 1. Identifica los términos semejantes en cada expresión. Luego, reduce.

4. Aplica propiedades de potencias para calcular. a. 23 =

a. x + 2x + 3x + 4x + 5x =

b. 22 · 23 =

b. 2x + 9y + 3x – 2y =

c. 22 · 32 =

c. 3x + y + z – 2x + 4y =

d. 101 · 102 · 103 · 104 =

d. 7x – 6y – z + 10y + 2z – 6x =

e. 23 + 22 + 2 + 1 =

e. 10x + 10y + 10z – 9x – 9y – 10z = 2. Analiza las operaciones con a, b y c números naturales. Luego, escribe las propiedad que corresponda.

f. (2 + 1)3 – (2 – 1)3 = 5. Calcula.

a. a + (b + c) = (a + b) + c

a. √16 =

b. a · (b + c) = a · b + a · c

b. √ 81 =

c. a · b = b · a

d. a + b = b + a

___

d. √144 =

___ √ 100

___

e. √169 = =

___ √ 100

___

+ √625 =

6. Resuelve las ecuaciones. a. x + 2 = 6

e. a · (b · c) = (a · b) · c

b. 2x + 1 = 6

3. Representa en lenguaje algebraico cada uno de los enunciados.

c. 3x + 9 = 6x

a. El doble de un número.

d. 5x + 2 – 3x = 12 – 8x e. x + 2x – 3 = 3x + 10 – x

b. La sexta potencia de un número.

f. 2x – 4x = 4x – 6 c. El cuádruple de la sexta parte de la mitad de la cuarta potencia de un número.

Resuelve las inecuaciones. a. x + 1 < 3

d. El doble del cuadrado de la suma de dos números.

b. x + 5 > 6 c. 2x + 10 < 20

e. La diferencia entre la séptima parte de la octava parte de un número y el 50 % del triple del cuádruple del mismo.

d. 5x + 2 – 3x > 12 e. 4x + 2x – 3 > 15 f. x + x + 2x + 5 < 21

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8. Resuelve los problemas. a. La edades de dos hermanos están en la razón 3 : 4. Si el mayor tiene 12 años, ¿qué edad tiene el menor?

10. Representa en el plano cartesiano los siguientes pares ordenados y responde: A(0, 0), B(1, 3), C(–2, 1), D(–3, –2), E(2, –3) 4

b. Tres números a, b y c son tales que a : b : c = 3 : 4 : 5, y se sabe que el doble de la suma de a, b y c es 240. Calcula cada número.

3 2

c. Los ángulos interiores de un triángulo están en la razón 2 : 3 : 4. Calcula la medida de los ángulos. d. El perímetro de un rectángulo es 220 cm. Si la razón entre el largo y el ancho es 5 : 6, ¿cuál es el área del rectángulo? 9.

1 –4

–3

–2

–1

a. 10 % de 1.000 =

–4

d. 75 % de 10.000 = e. 100 % de 12.345 =

4 X

–2 –3

c. 50 % de 900 =

–1

Calcula los porcentajes.

b. 25 % de 4.000 =

a. ¿Qué tipo de triángulo se forma al unir los puntos A, D y E? b. ¿Es cierto que el punto B está más cercano al origen que el punto C? Justifica.

Me evalúo Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las siguientes categorías de desempeño: Por Lograr (P.L.), Medianamente logrado (M.L.) y Logrado (L.). Indicador Identifiqué términos semejantes y propiedades, y representé en lenguaje algebraico.

(Preguntas 1, 2, y 3)

Calculé potencias y raíces. (Preguntas 4 y 5)

Resolví ecuaciones e inecuaciones. (Preguntas 6 y 7)

Resolví problemas de razones y proporciones. (Pregunta 8)

Calculé porcentajes. (Pregunta 9)

Representé puntos en el plano cartesiano. (Pregunta 10)

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Lección

Ada Lovelace Jean Ichbiah

Hola Jean, ¿qué haces?

Estoy haciendo un programa para calcular productos notables y factorizaciones basado en un lenguaje nuevo llamado como tú.

Expresiones algebraicas ↘ Reducción de expresiones algebraicas

Reducción de expresiones algebraicas

↘ Multiplicación de expresiones algebraicas

En álgebra, dos o más términos son semejantes si tienen la misma parte literal y cada letra con el mismo exponente.

↘ Factorización de expresiones algebraicas

Reducir expresiones algebraicas consiste en agrupar los términos semejantes, operando los coeficientes numéricos según las operaciones que los relacionan y conservando la parte literal.

↘ Aplicaciones

Ejercicios resueltos 1. Identifica los términos semejantes del recuadro para cada uno de los términos dados. 3x2y

9ab

–2,3x2y2

a. 7x2y

→

b. 0,1ab

→

c. 3__5 x2y2

→

d. ab2

→

e. –1,2xy3 →

4x2y2

–2ab2 5xy3

2x2y

7xy3

–x2y2

4 __ x2y 1 __ xy3 1,7xy3 ___ ab2 1 5 3 3 1 1 – __ ab ____ ab2 8,5x2y 3 10

0,2ab

3x2y; 8,5x2y; 1__ x2y; 2x2y. 3 9ab; 0,2ab; – 1__ ab. 3 2 2 2 2 4x y ; –2,3x y ; –x2y2. 4 1 ab2. –2ab2; ___ ab2; ____ 5 10 5xy3; 1,7xy3; 7xy3; 1__ xy3. 3

2. Reduce las expresiones algebraicas.

a. 7x5 + 8x5 + 3x5 = (7 + 8 + 3)x5 = 18x5 b. –3xy2 + 9xy2 – 2xy2 + 3xy2 = (–3 + 9 – 2 + 3)xy2 = 7xy2

(

)

3 2 2 3 __ 2 17 c. 1__2 a2b + ___ ba − __ ba2 = 1__ + ___ − 2 a b = ____a2b 4 5 2 4 5 20 d. (4x3 – 2x + 1) + (2 + x3 + x) = 4x3 – 2x + 1 + 2 + x3 + x

Ayuda x4y = yx4, ya que el orden de los factores no altera el producto: x4y = x4 · y = y · x4 = yx4

= (4 + 1)x3 + (–2 + 1)x + (1 + 2) = 5x3 – x + 3 3 2 3 e. (5x + 2x + 6x – 1) – (3x – 4x2 + x – 7) = 5x3 + 2x2 + 6x – 1 – 3x3 + 4x2 – x + 7 = (5 – 3)x3 + (2 + 4)x2 + (6 – 1)x + (–1 + 7) = 2x3 + 6x2 + 5x + 6

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Mi nuevo lenguaje se llama “Ada”, como tú, en tu honor… Ja, ja, es muy extraño ese nombre también, “como tú tú tú”.

Ja, ja, ¿por qué se llama “como tú”? Es muy raro ese nombre.

… ya que fuiste la primera programadora de la historia.

Ja, ja, ja, ¿cómo no entiendes? Ja, ja, ja

Nooo, se llama como tú, tú, tú.

Ada Lovelace El mayor reconocimiento que se le ha realizado a Ada Lovelace en toda la historia es el hecho de que un lenguaje de programación lleve su nombre: ADA. Fue diseñado en los Estados Unidos en 1979. Para obtener mayor información sobre este tema, ingresa el código SP8m083 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

Ejercicios propuestos 1. Reduce las expresiones algebraicas. a. 7x4 + 6x4 – 7x2

4 d. 1___ ab3 + 1__ ba3 − ___ ab3 4 5 2

b. –3y5 + 4y5 + 9y5

e. 9yz2 + 2yz2 – 7yz2 – 4yz2

c. 14xy2 – 3xy2 – 7xy2 + 4x2y2

f. (2x4 – 6x3 + 10x) – (3x + 1 – 6x4)

2. Reduce las expresiones algebraicas con los datos entregados. A = x3 + x

B = 2x3 – x + 7

a. A + B

b. A + B + C

C = 5x3

D = 4x + 1

d. (A + B) + (C + D)

c. B + C + D

3. Representa el perímetro (P) de las figuras geométricas. Cuadrado ABCD D

Rectángulo EFGH H

(x + y) cm F

Rombo EFHH

Triángulo equilátero ABC C

2x cm

a cm A

(3y – x) mm A

(a + 3b) m

F E

4. Resuelve los problemas. a. La edad de Fernanda se puede representar por la expresión (x + 5) años, donde

x es un número entero positivo. Si su amigo Diego es 4 años mayor: • ¿Cuál es la expresión que representa la edad de Diego? • Luego de 10 años, ¿cuál será la edad de Fernanda? b. La duración de la batería de un celular y la de un computador pueden expresarse como (8x2 + 4) min y (3x2 + 2) min, respectivamente; donde x representa un número racional positivo que varía entre 6 y 8 dependiendo de las condiciones climáticas. • ¿Cuál de los artefactos posee una batería de mayor duración? Justifica tu respuesta numéricamente. • ¿Qué expresión representa la cantidad de tiempo en que una supera a la otra? • ¿Cuál es la expresión algebraica que representa cuánto tiempo pueden durar en total ambas baterías? SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

¿Qué opinas de esto?

En Chile se botan anualmente 5 millones de celulares. El 96 % de ellos tiene un destino desconocido.

Lección 5: Expresiones algebraicas

Sé más Las expresiones algebraicas se pueden clasificar como: • Monomios: compuestas por solo un término algebraico • Binomios: compuestas por dos términos algebraicos. • Trinomios: compuestas por tres términos algebraicos. • Polinomios: compuestas por dos o más términos algebraicos. Los binomios y los trinomios son ejemplos de polinomios.

Desafío

Multiplicación de expresiones algebraicas Para multiplicar expresiones algebraicas se deben aplicar propiedades de potencias y considerar los siguientes casos: Monomio por monomio: se multiplican los coeficientes numéricos de los términos y las partes literales, aplicando producto de potencias de igual base.

Monomio por polinomios: se multiplica el monomio por cada término del polinomio, aplicando distributividad, y se operan los términos semejantes.

Polinomio por polinomio: se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio y se operan los términos semejantes.

Ejercicios resueltos 1. Calcula el producto de las multiplicaciones algebraicas. → Multiplicación de monomios:

a. 3x4 · 5x2

= (3 · 5) (x4 · x2) = 15x6 → Multiplicación de monomio por polinomio:

b. 7x6 · (2x3 – 4x)

= 7x6 · 2x3 + 7x6 · (–4x) = 14x9 – 28x7

c. (2z3 + 3y) · (5y3 – 4z2 + 2zy) → Multiplicación de polinomios: = (2z3 + 3y) · 5y3 + (2z3 + 3y) · (–4z2) + (2z3 + 3y) · 2zy = 2z3 · 5y3 + 3y · 5y3 + 2z3 · (–4z2) + 3y · (–4z2 ) + 2z3 · 2zy + 3y · 2zy = 10y3z3 + 15y4 – 8z5 – 12yz2 + 4yz4 + 6y2z 2. Expresa algebraicamente el área del triángulo dadas su base y su altura.

Vanesa sabe que el área de un rectángulo de lados a y b es a · b. Para una tarea debe aumentar y disminuir 2 unidades cada lado, respectivamente, y analizar qué ocurre con el área.

1__ xy 2 7 __ xy + 1 __ 4 2 b · h con ▷ Para calcular el área del triángulo se debe utilizar la expresión A = _______ 2 7 ___ y h = 1__ xy, entonces: b = __ xy + 1 4 2 2 7 __ xy + 1 ___ · 1__ xy 4 2 2 _____________________ A= 2

(

)

(

7 ___ · 1__ xy = 1__ · __ xy · 1__ xy + 1 4 2 2 2 2

)

7 1 xy = ___x2y2 + ____ 16 8 7 1 xy. Luego, el área del triángulo se expresa como ___x2y2 + ____ 16 8

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3. Analiza las figuras. Luego, representa lo pedido en términos de a y de b.

a. Área del cuadrado de lado a + b. a

b. Volumen del cubo de arista a + b.

a A4

ab2

a2b

b a

Ayuda

a3 a

Sea AT el área del cuadrado. Luego:

V1 a

ab2

El cubo de arista (a + b) de la figura está formado por 8 cuerpos, de los que solo se aprecian 7. El volumen, en términos de a y de b, del cuerpo que no se puede observar es a2b.

Para calcular el volumen del cubo, se pueden sumar los volúmenes dados de los cuerpos que lo forman. Así, según la figura:

At = A1 + A2 + A3 + A4 Al considerar las medidas dadas, se tiene:

V1 = a · a · b = a2b y V2 = a · b · b = ab2.

A1 = a · a = a2,

Así, el volumen del cubo de arista a + b es:

A2 = A3 = a · b = ab,

a3 + a2b + a2b + a2b + ab2 + ab2 + ab2 + b3

A4 = b · b = b2.

Finalmente:

Vt = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

At = a2 + 2ab + b2

4. Analiza el rectángulo, este ha sido dividido en varias regiones rectangulares. Luego, completa. a+b a–b a b

Área total del rectángulo:

Suma de las áreas de R1 y R2:

a · (a + b) = a2 + ab Área región achurada

ab + b2 Área total del rectángulo

Área de R1 y R2

R1 R1

(a + b) · (a – b) = a2 + ab – (ab + b2) = a2 + ab – ab – b2 = a2 – b2

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Lección 5: Expresiones algebraicas Ejercicios propuestos 1. Calcula el producto de las expresiones algebraicas. a. 11x6 · 8x2 b. 9z4 · (7zx3 + 4z2) c. (2y5 + 3x2) · (2y5 + 3x2)

d. (5y3 – 2x) · (2y3 – 6x2) e. (7a4 + 6y4) · (2a3 + 4y2 + 5y3a) f. (5b4 + 3b2 – 2y3a) · (2b + 4a + 5ab)

2. Calcula el producto de las expresiones considerando la información dada. A = 3x + 1

Ayuda Recuerda que para calcular el área de figuras compuestas es recomendable identificar cada figura, calcular sus áreas y sumarlas.

B = 4x – 5

C = x2 – 1

D = x2 + 2x + 1

a. A · B

c. C · D

e. (A + B) · (C + D)

b. D · (A + D)

d. B · (B – A)

f. A · C + B · C

3. Calcula el perímetro y área de cada figura. a. x

2x + 4y 4y

x x

a a 2b

2b 3b

Desafío Demuestra la igualdad dada en el ejercicio propuesto 4.

4. Analiza la información del recuadro. Luego, resuelve. (x + y + z)(x + y – z) = x2 + 2xy + y2 – z2

a. (2 + b + c)(2 + b – c)

d. (2x – y – z)(2x – y + z)

b. (5 + x + x2)(5 + x – x2)

e. (3a – 2b + 1)(3a + 1 + 2b)

c. (a – b + 1)(a + b + 1)

f. (z2 + y – 2x)(y + z2 + 2x)

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5. Expresa algebraicamente el área de las figuras. a. Rectángulo ABCD D

b. Triángulo rectángulo ABC

a+1

a+8

2x – 1

2x + 5

6. Resuelve los problemas. a. Se tiene un cuadrado de lado (x + 5) cm y un rectángulo de ancho(2x + 3) cm y

de largo (3x + 1) cm. • ¿Cuál es la expresión que representa la suma de las áreas de ambas figuras? • Si el lado del cuadrado aumenta en (x + 1) cm, ¿cuál es área de la nueva figura? • Si el largo del rectángulo aumenta en (2x + 1) cm y su ancho disminuye x cm, ¿cuál es el área de la nueva figura? b. Un marco de fotografías tiene la forma y las longitudes que se especifican en la imagen. Se sabe que los bordes superiores e inferiores miden 2 cm cada uno y los laterales 1 cm cada uno. y cm

• ¿Qué expresión representa la superficie disponible para la fotografía? • Si la fotografía utilizada cubre una superficie de 8 cm2, ¿cuánta superficie quedará vacía? c. Si Juan tiene (2x + 5) años y Matías es (x + 1) años mayor que Juan, ¿qué expresión representa el producto de sus edades?

↘

x cm

Taller de Matemática aplicada

Habilidad: analizar

Si el largo del rectángulo ABCD disminuye 3 unidades y su ancho aumenta 4 unidades, ¿cuál es la diferencia entre el área obtenida luego de aplicar dichas variaciones y el área inicial? A. 2x + 39

2x + 1

B. x + 41 x–6

C. 2x – 39 D. 5x + 10

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Lección 5: Expresiones algebraicas

Factorización de expresiones algebraicas Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como multiplicación de expresiones algebraicas. Esta multiplicación se llama forma factorizada, donde los factores pueden ser monomios o polinomios. Para verificar si una forma factorizada corresponde a una expresión algebraica basta con multiplicar los factores.

Si al área x2 del cuadrado negro se le resta el área y2 del cuadrado rojo se obtiene el área de un rectángulo de lados (x + y) y (x – y) ¿por qué?

Ejercicios resueltos 1. Verifica que la forma factorizada corresponda a la expresión algebraica en cada caso. ↔

a. 3x4y2 + 9x2y5 – 18xy2 ▷ Multiplicando:

3xy2(x3 + 3xy3 – 6)

3xy2(x3 + 3xy3 – 6) = 3xy2 · x3 + 3xy2 · 3xy3 – 3xy2 · 6 = 3x4y2 + 9x2y5 – 18xy2

b. a(x – 1) + b(x – 1) – c(x – 1) ▷ Multiplicando:

↔

(x – 1)(a + b – c)

(x – 1)(a + b – c) = (x – 1)a + (x – 1)b – (x – 1)c = a(x – 1) + b(x – 1) – c(x – 1) ↔

c. x2 + 7x + 12 ▷ Multiplicando:

(x + 3)(x + 4)

(x + 3)(x + 4) = x(x + 4) + 3(x + 4) = x2 + 4x + 3x + 12 = x2 + 7x + 12 2. Analiza cada enunciado. Luego, resuelve.

a. Expresa mediante figuras rectangulares el área total (At) expresada por 7x + 9x2. 7

Ayuda En el ejercicio 1a, el coeficiente numérico de 3xy2 corresponde al máximo común divisor de 3, 9 y 18; mientras que su parte literal corresponde a cada letra común de los términos considerada con el menor de los exponentes presentes. Además, en este caso, el término 3xy2 se llama factor común.

7 + 9x

A1 = 7x

A2 = 9x2

At = A1 + A2 = 7x + 9x2 = x(7 + 9x)

b. Expresa mediante figuras rectangulares el área total (At) expresada por 18x2y3 + 12x4y2 + 24x3y4. 3y 6x2y2

2x 6x2y2

A1 = 18x2y3

3y + 2x2 + 4xy2

4xy

6x2y2

A2 = 12x4y3

6x2y2 A3 = 24x3y4

At = A1 + A2 + A3 = 18x2y3 + 12x4y2 + 24x3y4 = 6x2y2(3y +2x2 + 4xy2)

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3. Identifica el factor común de cada una de las expresiones y factoriza.

a. 8xy + 12xz ▷ Como m.c.d.(8, 12) = 4 y el factor literal común en cada término es x, entonces, el factor común es 4x. De esta forma: 8xy + 12xz = 4x · 2y + 4x · 3z = 4x(2y + 3z)

b. 5xy2 + 15x3y2 – 10x2y2 ▷ Como m.c.d.(5, 15, 10) = 5 y el factor literal común en cada término es xy2, entonces, el factor común es 5xy2. De esta forma: 5xy2 + 15x3y2 – 10x2y2 = 5xy2 · 1 + 5xy2 · 3x2 – 5xy2 · 2x = 5xy2(1 + 3x2 – 2x)

Sé más El teorema fundamental de la aritmética establece que: Todo número entero mayor que 1 puede expresarse de forma única como producto de factores primos, (llamados números compuestos), o bien es un número primo.

4 3 8 a2b + ___ a bc c. ___ 3 9

▷ El coeficiente común, en este caso, tiene por numerador al m.c.d.(4, 8) = 4 y por denominador el m.c.d.(3, 9) = 3. 4 Así, el coeficiente común es ___ . Además, como el factor literal común es a2b, 3 4 entonces, el factor común es ___ a2b. Así: 3

(

4 3 4 4 4 8 a2b + ___ ___ a bc = ___ a2b · 2 + ___ a2b · 1__ ac = ___ a2b 2 + 1__ ac 3 3 3 3 3 3 9

)

4. Analiza la información del recuadro. Luego, factoriza cada trinomio. Si en un trinomio de la forma x2 + px + q se tiene que: a+b=pya·b=q Entonces, el trinomio se puede factorizar de la siguiente forma: x2 + px + q = (x + a)(x + b) Si a = b, entonces, x2 + px + q = (x + a)2.

a. x2 + 7x + 12 ▷ Como 3 + 4 = 7 y 3 · 4 = 12, entonces: x2 + 7x + 12 = (x + 4)(x + 3)

b. x2 + 3x – 10 ▷ Como 5 + (–2) = 3 y 5 · (–2) = –10, entonces: x2 + 3x – 10 = (x + 5)(x – 2)

c. x2 – 2x – 3 ▷ Como 1 + (–3) = –2 y 1 · (–3) = –3, entonces: x2 – 2x – 3= (x + 1)(x – 3)

d. x2 – 4x + 4 ▷ Como –2 + (–2) = –4 y –2 · (–2) = 4, entonces: x2 – 4x + 4= (x – 2)(x – 2) = (x – 2)2

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Lección 5: Expresiones algebraicas Ejercicios propuestos Conectando con... La historia de la geometría

Su origen se remonta al Medio Oriente, en particular al Antiguo Egipto. Los conceptos más antiguos de la geometría son consecuencia de las actividades prácticas donde se requería medir la tierra, longitudes, superficies y volúmenes. Para obtener mayor información sobre este tema, ingresa el código SP8m090 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

1. Identifica el factor común de cada una de las expresiones y factoriza. a. 25xy + 15xz + 10x

f. 6a – 216a2 + 72a3 – 36a4

5 2 ____ 10 xyz b. ____ x y – 10 x3z2 + ____ 7 14 21

4 2 ____ abc g. 2__3 a2bc − ___ a bc − 16 9

c. 27x2y – 18x3z + 9xz – xy

h. 125a4b5c3 + 625a2b4c7

d. 14x3y2z – 49x2y3z2 – 21x2yz

___x2z i. 1__2 xy + 1___ x2y3 − 1 4

5 2 ___ 5 1 x2y2 e. ____ xy + x3y2 – ____ 24

3 27 9 5 j. ____ a b + __ a2c − ____ a2bc 5 75 25

2. Utiliza los rectángulos para representar cada factorización. Luego, completa. a. 8x5y3 + 10x4y5 + 6x2y4 = 2x2y3 (4x3 + 5x2y2 + 3y)

A1 =

A2 =

A3 =

At =

b. 8x(2 + x) + 4(2 + x) + 3y(2 + x) = (2 + x)(8x + 4 + 3y)

A1 = 90

A2 =

A3 =

At = SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

3. Analiza los rectángulos y la información dada. Luego, completa. x

A1 =

A2 =

A3 =

A1 + A2 + A3 + A4 =

A4 = At =

Por lo tanto: x2 + 14x + 48 =

4. Representa la igualdad por medio de rectángulos y sus áreas. x2 + 12x + 35 = (x + 7)(x + 5) Desafío Representa la igualdad por medio de rectángulos y sus áreas: x2 + 2x – 8 = (x + 4)(x – 2)

5. Expresa como producto de binomios cada uno de los trinomios. a. x2 + 8x + 15 b. z2 + 10z + 9 c. b2 + 4b – 5

↘

d. y2 – 12y + 20 e. x2 + x – 72 f. a2 – 8x + 16

g. z2 + 11z – 42 h. y2 – 5y – 14 i. x2 + 8x – 20

Taller de Matemática aplicada

Habilidad: analizar

Dados los cuadrados ABCD y EBFG de aristas x y a respectivamente, el área de la región verde se puede expresar como: A. x – a

B. (x – a)(x – a) C. x(x – a) D. (x – a)(x + a)

a A

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Lección 5: Expresiones algebraicas

Aplicaciones Sé más El teorema del binomio, también llamado binomio de Newton, expresa la enésima potencia de un binomio como un polinomio. El desarrollo del binomio (a + b)n posee singular importancia, ya que aparece con mucha frecuencia en Matemática y tiene diversas aplicaciones en otras áreas del conocimiento.

Una aplicación importante de la multiplicación de expresiones algebraicas tiene que ver con la relación que se puede establecer entre el triángulo de Pascal y los desarrollos de las potencias enésimas de un binomio. Si el binomio (a + b) se multiplica sucesivamente por sí mismo se obtiene: (a + b)1 = a + b (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b)4 = (a + b)…(a + b) = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 4 veces (a + b)5 = (a + b)…(a + b) = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 5 veces (a + b)6 = (a + b)…(a + b) = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6 6 veces Y así sucesivamente.

Conectando con... El triángulo de Pascal

Ejercicios resueltos 1. Responde cada pregunta.

a. ¿Cuántos términos tiene el desarrollo de (a + b)3? ¿Y el de (a + b)6? Concluye a partir de tus respuestas. ▷ El desarrollo de (a + b)3 tiene 4 términos, el de (a + b)6 7 términos. Se puede concluir que el desarrollo de (a + b)n tiene n + 1 términos.

b. ¿Qué relación cumplen los exponentes de a y b en cada término? ▷ La suma de los exponentes de a y b en cada término corresponde al exponente del binomio. Por ejemplo: 4 4 + 0 = 4 3 + 1 =4

El triángulo de Pascal debe su nombre al filósofo y matemático Blaise Pascal (16231662). Sin embargo, su descubrimiento data de muchos años antes, en el siglo XII en China. Para obtener mayor información sobre este tema, ingresa el código SP8m092 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

2+2=4

1+3=4 0+4=4

(a + b)4 = a4 + 4a3b1 + 6a2b2 + 4a1b3 + b4

c. ¿Cuál es el orden que siguen los exponentes de a y b en el desarrollo de (a + b)5? ▷ Los exponentes de a disminuyen desde el 5 hasta el 0 5–4–3–2–1–0 (a + b) = a + 5a b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5a1b4 + b5 5

4 1

0–1–2–3–4–5 Los exponentes de b aumentan desde el 0 hasta el 5. 2. Comprueba que (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 (a + b)4 = (a + b)2(a + b)2 = (a2 + 2ab + b2)(a2 + 2ab + b2) = a2(a2 + 2ab + b2) + 2ab(a2 + 2ab + b2) + b2(a2 + 2ab + b2) = a4 + 2a3b + a2b2 + 2a3b + 4a2b2 + 2ab3 + a2b2 + 2ab3 + b4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

3. Analiza el desarrollo de las potencias de (a + b) y el triángulo de Pascal. Luego, concluye. Desarrollo de las potencias de (a + b)

Triángulo de Pascal

(a + b)0 = 1 (a + b)1 = a + b (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6 ⋮

1 6

1 5

1 4 15

3 10

1 2 6 20 ⋮

1 3 10

1 4 15

1 5

1 6

▷ A partir de la información anterior se puede concluir que los coeficientes del desarrollo de las potencias de (a + b) corresponden a los números del triángulo de Pascal. Por ejemplo: 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 +1b4

Del desarrollo de (a + b)4

Del triángulo de Pascal

Ayuda Recuerda que: a=1·a

Ejercicios propuestos 1. Responde las preguntas. a. ¿Existe relación entre el exponente de alguna potencia de (a + b) y alguno de los números de la fila respectiva del triángulo de Pascal?

b. ¿De qué forma se relacionan la suma de los números de una fila del triángulo de Pascal y el exponente de la potencia respectiva?

2. Identifica la potencia de (a + b) relacionada con la fila del triángulo de Pascal dada.

a. 1 7

↔

b. 1 10 45 120 210 252 210 120 45

(a + b) 10

Desafío 1

3. Utiliza al triángulo de Pascal para desarrollar cada potencia. a. (a + 3)4 =

↔

(a + b)

Investiga sobre el binomio de Newton y comenta con tus compañeros y compañeras.

b. (2x + 1)5 = c. (z – 3)6 = SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

Lección 5

Evaluación

Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos. 1. Considera las expresiones algebraicas definidas. Luego, calcula. A = 3xy – x2y + 5xy2

3. Calcula el producto de los monomios. a. 7a2 · 4ab5 b. x2 · 4x5 · 5x2

B = –3x2y + 7xy – 2xy2 3 3 C = __ xy – ___x2y – xy2 2 8

c. –a2b3 · a2b · 6ab5

b. B – (A – C) =

___ w3z4 · 27 ____ w2z d. 2 3 16 5 7 3 e. ___bc2d · ___ 4 cd e 6

c. B – A – C =

f. 0,5a2b · 1,25ab3

a. A + B – C =

2. Calcula el perímetro de las figuras geométricas. a. Cuadrado ABCD D

4. Expresa como potencia cada multiplicación de binomios. Luego calcula su producto. a. (3x – 2)(3x – 2) =

b. (8 + 5y)(8 + 5y) = 3x + 2y

c. (2a – 6b)(2a – 6b) = d. (x – 4)(x – 4)(x – 4) =

e. (a + 5)(a + 5)(a + 5) =

b. Rectángulo EFGH H

f. (2a + 3b)(2a + 3b)(2a + 3b) =

G 3a – 4b

5. Considera los siguientes polinomios. Luego calcula. A = 3a + 2b – 4ab

a + 2b

B = a – 3b + ab

C = –4a + 5b + 6ab

c. Triángulo rectángulo ABC

a. 3A + 4B + 5C

b. A · B + C · B

10z

c. a · A + b · B + ab · C d. A · B · C B

e. (a + b) · A + (a · b) · C f. (a + b)2 · B

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6. Calcula el área (A) y el perímetro (P) del rectángulo ABCD. Luego, resuelve. D

8 Calcula las medidas de los lados de las figuras considerando el área (A) dada. Luego, calcula su perímetro.

3x – 1 A

3x + 3

a. Cuadrado ABCD D

A = x2 – 6x + 9

A= P= Calcula el aumento o disminución del área y del perímetro si:

b. Rectángulo EFGH H

a. Los lados AB y CD aumentan en x + 1 unidades y los lados BC y DA disminuyen en x + 3 unidades. b. Los lados AB y CD disminuyen en 2x – 3 unidades y los lados BC y DA aumentan en 2x unidades. 7.

Expresa como producto de binomios las expresiones algebraicas.

A = x2 + 3x – 10 F

c. Triángulo rectángulo ABC C

a. x + 30x + 200 = 2

A = 2a2 + 6a – 8

b. a – 10a – 75 = 2

c. x2 + x – 56 = d. w2 – 25w + 100 =

a+4

Me evalúo Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las siguientes categorías de desempeño: Por lograr (P.L.), Medianamente logrado (M.L.) y Logrado (L.). Indicador Apliqué reducción de términos semejantes. (Preguntas 1 y 2)

Calculé el producto de expresiones algebraicas. (Preguntas 3, 4 y 5)

Apliqué el producto de expresiones algebraicas en geometría. (Pregunta 6)

Factoricé expresiones algebraicas. (Pregunta 7)

Apliqué factorización de expresiones algebraicas en geometría. (Pregunta 8)

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Lección

Diofanto

Aquí yacen los restos de Diofanto.

¡El padre del álgebra! ¿Y quién fue él?

A pesar de su importancia, dicen que nadie sabe a qué edad murió.

Ecuaciones e inecuaciones ↘ Ecuaciones con coeficientes racionales ↘ Modelación con ecuaciones ↘ representación gráfica de una ecuación ↘ inecuaciones con coeficientes racionales ↘ Modelación con inecuaciones

Ecuaciones con coeficientes racionales Una ecuación es una igualdad de expresiones algebraicas donde existen una o más incógnitas. Los valores que satisfacen esta igualdad son llamadas soluciones o raíces de la ecuación. Si cada uno de los coeficientes de la ecuación es un número racional, se dice que la ecuación es de coeficientes racionales.

Ejercicios resueltos 1. Verifica si el valor dado es solución o no de la ecuación. a. Dada la ecuación 5x + 4(x + 1) = 22. ¿Es x = 2 una solución o raíz de la ecuación? ▷ Reemplazando x = 2 en la ecuación para verificar si satisface la igualdad: 5 · 2 + 4(2 + 1) = 10 + 4 · 3 = 10 + 12 = 22 Se cumple la igualdad, por lo tanto, x = 2 es una solución o raíz de la ecuación. b. Sea la siguiente ecuación 3x + 4x + 5(x + 3) = 2(x – 7) – 1. ¿Es x = 5 una solución o raíz de la ecuación? ▷ Reemplazando x = 5 en cada miembro de la ecuación para verificar si satisface la igualdad. En el primero se tiene: 3 · 5 + 4 · 5 + 5(5 + 3) = 15 + 20 + 5 · 8 = 35 + 40 = 75

Sé más Usualmente, se designa como primer miembro la expresión algebraica que se encuentra al lado izquierdo de la ecuación, y como segundo miembro la expresión del lado derecho.

Reemplazando en el segundo miembro: 2(5 – 7) – 1 = 2 · (–2) – 1 = –4 – 1 = –5 No se cumple la igualdad, por lo tanto, x = 5 no es una solución o raíz de la ecuación.

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Ecuaciones… mmm… murió a los... 86 años.

¿Cómo?, ahí no aparece ninguna fecha.

Debes resolver e interpretar estas ecuaciones para saber su edad.

Aún no resuelvo x + 2 = 3… no estoy listo para esto.

2. Resuelve cada ecuación. Luego, concluye. a. 5x = 3 5x = 3 1__ · 5x = 1__ · 3 5 5 3 x = __ 5

/· 1__ 5

La solución de la ecuación ax = b es: b x = ___ a x = −8 b. ___ 4 x = −8 ___ /⋅ 4 4 x = 4 · (−8) 4 · ___ 4 x = –32

x La solución de la ecuación ___ a = b es: x = ab c. 7x – 2 = 1 7x – 2 = 1

/+ 2

7x – 2 + 2 = 1 + 2 1 /· ___ 7 1__ · 7x = 1__ · 3 7 7 3 x = __ 7 La solución de la ecuación ax + b = c es: c−b x = _______ a 7x = 3

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x −1=2 d. __ 5 __x − 1 = 2 /+ 1 5 __x − 1 + 1 = 2 + 1 5 __x = 3 /· 5 5 __x · 5 = 3 ⋅ 5 5 x = 15 x La solución de la ecuación ___ a + b = c es: x = a(c – b) e. –8x = 10 – 3x –8x = 10 – 3x

/+ 3x

–8x + 3x = 10 – 3x + 3x

( )

/ · − 1__ 5 − 1__ · (−5)x = − 1__ · 10 5 5 x = −2 –5x = 10

La solución de la ecuación ax = b + cx es: b x = _______ a−c f. 6(x + 7) = –24 6(x + 7) = –24

1 /· ___ 6 1 ___ · 6(x + 7) = −24 · 1 ___ 6 6 x + 7 = −4 /+ (−7) x + 7 − 7 = −4 − 7 x = −11

La solución de la ecuación a(x + b) = c es: c x = ___ a−b

Thales de Mileto Filosófo y matemático griego. Fue maestro de Pitágoras y Anaxímenes. Para obtener mayor información, ingresa el código SP8m097 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

Sé más Sean a, b, c ∈ ℚ. Para resolver una ecuación se pueden aplicar las siguientes leyes: • Ley de cancelación aditiva: a=b⇔a+c=b+c Es decir, si se suma una misma cantidad en ambos lados de una igualdad esta se mantiene. • Ley de cancelación multiplicativa: a = b ⇔ a · c = b · c, c≠0 Es decir, si se multiplican ambos lados de una igualdad por un número distinto de cero, esta se mantiene.

Ayuda a b recuerda __ y __ b a son inversos multiplicativos, con a y b distintos de cero.

Lección 6: Ecuaciones e inecuaciones Ejercicios propuestos 1. Verifica en cada una de las ecuaciones si el valor dado es su solución. a. 3x + 6(x + 3) = 36; x = 9

_______  ; x = 3    d.   2__3  x + 5(x − 3) =  x + 1 2

b. 2x + 1 = 8; x =  7__2  

____   e.   1___  x  2   −   2__5  x + 4 = x + 4; x =  42 5

c. –5(x + 1) = 4(x – 7) + 1; x = 4

f.   3__5  (2x + 1) + 5(2 + x) =  1__2  x + 3; x =  7__3  

Conectando con... El teorema fundamental del álgebra

Johann Carl Friedrich Gauss, es considerado uno de los tres matemáticos más importantes de todos los tiempos junto con Arquímedes y Newton. De su teorema fundamental del álgebra se desprende que una ecuación lineal de grado 1 tiene exactamente una y solo una solución. Para obtener mayor información sobre este tema, ingresa el código SP8m098 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

2. Resuelve las ecuaciones. a. 8x = 9

h. − __3x   + 1 = −5

b. –5x = 15

i. 12x = 10 – 3x

c. __   x   = −3 2

j. –4x = 1 – 8x

d. − __3x   = 5

k. 5(x – 9) = 2

e. 8x + 3 = 2

l. –8(x + 2) = 5

f. –5x + 4 = –2

m. x – 5 = 2x + 7

g. __   x   + 3 = 4 5

n. –7x + 3 = 3x + 9 x =

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3. Analiza la información. Luego, completa escribiendo el procedimiento aplicado. 2x + 3(x – 1) = 7 Multiplicando 2x + 3x – 3 = 7 Reduciendo términos semejantes 5x – 3 = 7 /+3 Sumando 3 en ambos miembros 5x – 3 + 3 = 7 + 3 Sumando __   Multiplicando por   1 __  ambos miembros 5x = 10 /· 1 5 5 __    · 5x =  1 __    · 10   1 Multiplicando 5 5 x=2 Por lo tanto, la solución de la ecuación es x = 2.

a. 4x + 5(x − 6) = 2(x + 3) + 4(1 + x) 4x + 5x − 30 = 2x + 6 + 4 + 4x

9x − 30 = 6x + 10

9x − 30 − 6x = 6x + 10 − 6x

3x − 30 = 10

3x − 30 + 30 = 10 + 30

3x = 40

__   = 40 ·   1 __   3x  ·   1 3 3 40 x =  _____   3

b.   2__3  (x + 1) +  2__5  (3 + x) = 2(x − 4) 6    +   2 __  x  +   2 __    +  ___ __  x = 2x − 8   2 3 3 5 5 ____  x  +   28 ____   = 2x − 8   16 15 15 ____  x  +   28 ____   − 2x = 2x − 2x − 8   16 15 15 14 ____   = −8 −  ____  x  +   28 15 15 14 ____    −   28 ____   = −8 −  28 ____   −  ____  x  +   28 15 15 15 15 14 148 −   ____  x  =  −  ______    15 15

14x = 148

74 x =  ____    7

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Sé más Dependiendo de su veracidad, una igualdad puede ser: • Una identidad si es siempre verdadera. Por ejemplo: x + x = 2x • Una contradicción si es siempre falsa. Por ejemplo: 1+x=x • Una ecuación si es verdadera para algunos valores: x+2=5

Lección 6: Ecuaciones e inecuaciones

Modelación con ecuaciones Existen diversas situaciones cotidianas que pueden ser modeladas mediante la utilización de ecuaciones, para esto es importante saber codificar desde el lenguaje verbal (usual) al lenguaje algebraico.

Ejercicios resueltos 1. Analiza la resolución de los siguientes ejercicios de modelamiento. El triple de la edad de Tomás es equivalente a su edad disminuida en diez unidades.

a. El doble de un número es igual a su triple disminuido en 8 unidades. ¿Cuál es el número? 2x = 3x – 8

Sé más Sea x un número: • El doble de un número: 2x. • El triple de un número: 3x. • La mitad de un x  . número:  __ 2 • La tercera parte de un número: __   x  . 3 • El doble de un número aumentado en k unidades: 2x + k. • El doble de la suma de dos números: 2(x + k). • Un número par: 2x. • Un número impar: 2x + 1 o 2x – 1. • Tres números consecutivos: x, x + 1, x + 2. • Tres números pares consecutivos: 2x, (2x + 2), (2x + 4). • Tres números impares consecutivos: (2x + 1), (2x + 3), (2x + 5).

Doble del número

El triple del número disminuido en 8 unidades

Basta resolver la ecuación para obtener la respuesta:

2x – 2x = 3x – 8 – 2x

0=x–8

0+8=x–8+8

x=8

Por lo tanto, el número es 8. b. La suma de tres números enteros consecutivos es 225. ¿Cuáles son los números? Considerando los números consecutivos como x, x + 1 y x + 2 y aplicando la información, se tiene:

x + (x + 1) + (x + 2) = 225

3x + 3 = 225

3x = 222

x = 74

/ ·   1__   3

Por lo tanto, los números son: 74, 74 + 1 = 75 y 74 + 2 = 76. c. La edad de María es el doble de la edad de Julián más 5 años. Si sus edades suman 35, ¿cuál es la edad de María? Considerando x: edad de Julián y 2x + 5: la edad de María y aplicando la informción se tiene:

2x + 5 + x = 35

3x + 5 = 35

3x = 30

x = 10

/ ·   1__   3

Luego 2x + 5 = 2 · 10 + 5 = 20 + 5 = 25. Así, la edad de María es 25 años.

100

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2. Expresa en lenguaje algebraico cada enunciado. a. La suma de dos números consecutivos aumentada en 5 unidades equivale al mayor de ellos aumentado en 4 unidades. x + (x + 1) + 5 = (x + 1) + 4 b. Un número equivale a la tercera parte entre su diferencia y dos unidades. – 2 x =  x_______      3 c. La cuarta parte de un número disminuida en 10 unidades equivale al triple del número. ___   x  – 10 = 3x 4 d. La suma de tres números impares consecutivos es 693. (2x + 1) + (2x + 3) + (2x + 5) = 693 e. La mitad de un número equivale al doble de la diferencia entre el número y tres unidades. __   x  = 2(x – 3) 2

Ayuda El sucesor impar de 2x + 1 se encuentra a 2 unidades. Así, el número: 2x + 1 + 2 = 2x + 3 Es el sucesor impar de 2x + 1.

3. Expresa en lenguaje verbal cada expresión algebraica. a. x + (x + 1) + (x + 2) = 66 ▷▷ La suma de tres números consecutivos es 66. b. 3x + 2 = 2(x + 3) ▷▷ El triple de un número aumentado en dos unidades es equivalente al doble de la suma del número y tres unidades. a  = 2a + 1 c. a +  __ 2 ▷▷ La suma entre un número y su mitad es equivalente al doble del número aumentado en una unidad. x  – 1 = –x d.  __ 3 ▷▷ La tercera parte de un número disminuida en una unidad equivalente al inverso aditivo del número. –   1  e. 8 – ___  z   =   z_______   4 3 ▷▷ Ocho unidades disminuidas en la cuarta parte de un número equivalen a la tercera parte de la diferencia entre el número y una unidad. (w + 5) f. 2  __________     = 3(2w + 1) 3 ▷▷ El doble de la tercera parte de la suma de un número y cinco unidades es equivalente al triple de la suma entre el doble del número y una unidad.

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101

Lección 6: Ecuaciones e inecuaciones Ejercicios propuestos 1. Plantea la ecuación correspondiente a cada situación. a. El triple de un número es igual al doble de este aumentado en dos unidades.

b. El triple de un número equivale al doble de la suma del número y 5 unidades.

c. La suma de tres números consecutivos es 273.

d. La suma de tres números pares consecutivos es 246.

e. La suma de tres números impares consecutivos es 117.

f. El triple de un número aumentado en 25 unidades equivalen a su cuádruple aumentado en dos unidades.

2. Identifica la ecuación que corresponde a cada una de las situaciones. a. Una persona compró cierta cantidad de kilogramos de papas a $250 el kilogramo, y gastó $1.250. x + 250 = 1.250

250x = 1.250

x – 250 = 1.250

b. La tercera parte del número de páginas de un libro es 300. 3x = 300

__  x = 300   1 3

x + 3 = 300

c. El triple de la altura de Matilde, más 50 cm es igual a 500 cm. 3x + 50 = 500

3(x + 50) = 500

3x = 550

d. Pedro lleva recorrido un cuarto del camino y le quedan 450 km por recorrer.

102

___  x = 450 x +  1 4

___   x   = 450 4

___  x = 450 x –  1 4

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3. Analiza el Taller de estrategias y resuelve los

↘

problemas.

Taller de estrategias

Resolver problemas que involucran ecuaciones

a. La suma de las edades de 4 amigos es 62. Si

las edades se ordenan de menor a mayor, estas difieren en un año, ¿cuál es la edad de cada uno?

Practica esta estrategia. Para esto, considera el enunciado y sigue cada paso. Un productor de aceite desea mezclar los aceites A y B que procesa para obtener 60 L de mezcla y venderlo a $1.300 por litro, manteniendo la ganancia. Si el precio de venta del aceite A es $1.200 por litro y el de B es $1.500 por litro, ¿cuánto aceite de cada tipo debe poner en la mezcla para obtener la misma ganancia?

b. El cuádruple de la masa corporal de una persona

es igual a su doble aumentado en 86 kg. ¿Cuál es la masa corporal de la persona?

↘ Paso 1 Identificar los datos Como necesita una mezcla de 60 L se puede considerar que x: cantidad de aceite A y 60 – x: cantidad de aceite B. De esta forma los datos son: Aceite A Aceite B

c. En un trayecto programado para tres días,

Mezcla

Precio por litro ($)

1.200

1.500

1.300

Cantidad de litros

60 – x

↘ Paso 2 Plantear una ecuación Como se debe mantener la ganancia, esta se iguala, considerando que los aceites se vendieran por separado, con la ganancia que se obtendría de la mezcla:

un turista recorrió el primer día un cuarto del trayecto y el segundo la mitad de lo que quedaba. Si el tercer día recorrió 80 km, ¿cuántos kilómetros recorrió en total?

1.200x + 1.500(60 – x) = 1.300 · 60 1.200x + 1.500(60 – x) = 78.000 ↘ Paso 3 Resolver la ecuación 1.200x + 1.500(60 – x) = 78.000 1.200x + 90.000 – 1.500x = 78.000 –300x + 90.000 = 78.000

d. La suma de las edades de Rodrigo y Pamela es

50 años. Si Rodrigo es 4 años mayor que Pamela, ¿qué edad tiene cada uno?

(

/– 90.000 1       –300x = –12.000 /⋅ −  ______ 300

)

(

)

1       = −12.000 ⋅  −  ______ 1       −300x ⋅  −  ______ 300 300

x = 40

)

↘ Paso 4 Interpretar la solución y responder Como x = 40, entonces, la cantidad de aceite A para la mezcla son 40 L y la de aceite B son 60 – 40 L = 20 L.

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103

Lección 6: Ecuaciones e inecuaciones

Representación gráfica de una ecuación Una ecuación lineal de dos incógnitas (x e y) con coeficientes racionales es una igualdad de la forma ax + by = c, con a, b, c ∈ ℚ. Esta ecuación tiene infinitas soluciones que se pueden representar en el plano cartesiano como pares ordenados (x, y). Para ello, se puede despejar una de las incógnitas y tabular los datos obtenidos. Al unir los pares se obtiene una línea recta. Ejercicios resueltos 1. Representa gráficamente las soluciones de cada ecuación. Luego, determina la intersección de la recta y el eje X. a. –x + y = –1 ▷▷ Despejando la incógnita y de la ecuación se obtiene y = x – 1. De esta forma se puede completar una tabla con algunos pares ordenados: Y x

y=x–1

Par ordenado

–2

–2 – 1 = –3

A(–2, –3)

–1

–1 – 1 = –2

B(–1, –2)

0 – 1 = –1

C(0, –1)

1–1=0

D(1, 0)

2–1=1

E(2, 1)

3 2 E

Representando los puntos y uniéndolos se obtiene la recta.

D –3 –2 –1 0 1 –1 C B –2 A

3 X

–3 –4

Para y = 0 se tiene que x = 1. Por lo tanto, la intersección de la recta y el eje X ocurre en el par ordenado (1, 0). 10   b. 2x + y =–  ____ 3 10 .  Luego, algunos ▷▷ Despejando la incógnita y de la ecuación se obtiene y = –2x –  ____ 3 de los pares ordenados que se pueden obtener son: Y

104

10   y = –2x –   ____ 3

Par ordenado

–1

4 10   =  −  ___    y = −2 · (−1) −  ____ 3 3

4 A −1,   ___    3

10   10    =  −  ____ y = −2 · 0 −  ____ 3 3

10    =  −   16 ____   y = −2 · 1 −  ____ 3 3

(  ) 10    B( 0,   ____ 3 )

(

)

____    C 1,   16 3

Representando los puntos y uniéndolos se obtiene la recta.

–3 –2 –1 0 –1 A –2

3 X

–3 B –4 –5

–6

5 Para y = 0 se tiene que x = –  __ . Por lo tanto,la intersección de la recta y el eje X 3 5 ocurre en el par ordenado –  __ , 0  . 3

(

)

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2. Identifica dos pares de soluciones de cada ecuación representada. a. 3x – y = 6

b. 2x + y = 2 Y

–3 –2 –1 0 –1

3 X

2 1

–2 –3 –4

–3 –2 –1 0 –1

–5

–2

–6

–3

De acuerdo al gráfico, dos soluciones son (0, −6) y (2, 0).

3 X

De acuerdo al gráfico, dos soluciones son (0, 2) y (1, 0).

Ejercicios propuestos 1. Representa gráficamente las soluciones de cada ecuación. a. 6x − 2y = 6

b. −   2__3  x  −   3__2  y = 2

–4 –3 –2 –1 0 –1

–2

–3

–4

2. Identifica la representación gráfica de las soluciones de cada ecuación. Y 5

4 3 2

Recta

1 –4 –3 –2 –1 0 –1

–2x – y = 4 2x – y = 4

–3 –4 –5 Sé Protagonista © Ediciones SM

Solución

2x + y = 4

–2

Ecuación

–2x + y = 4

105

Lección 6: Ecuaciones e inecuaciones

Inecuaciones con coeficientes racionales Sé más Sean x, y, z ∈ ℚ. Para resolver una inecuación se pueden aplicar las siguientes propiedades: I. x < y ⇔ x + z < y + z Es decir, si se suma una misma cantidad en ambos lados de una desigualdad esta se mantiene. II. x < y ⇔ x · z < y · z, z>0 Es decir, si se multiplican ambos lados de una desigualdad por un número positivo, esta se mantiene. III. x < y ⇔ x · z > y · z, z<0 Es decir, si se multiplican ambos lados de una desigualdad por un número negativo, esta se invierte. Análogamente para ≤, ≥ y >.

Una inecuación lineal de grado uno que se puede escribir de la forma: ax + b < 0 con a, b ∈ ℚ, a ≠ 0 y x la incógnita, recibe el nombre de inecuación con coeficientes racionales. Esta definición es análoga para ≤, ≥ y >. Ejercicios resueltos 1. Escribe una inecuación cuya solución sea la representada gráficamente. a.

–5 –4 –3 –2 –1 0

↔

x≤1

↔

x>3

↔

x < –1

↔

x ≥ –2

2. Expresa como una inecuación cada una de las representaciones. Considera cada equivalente a una unidad. c.

X X X X

x>3

X X

2x < 9

106

4x > 12

X X X

3x < 7

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3. Resuelve cada inecuación y representa la solución como intervalo y gráficamente. a. 4x ≤ –8

___  . Propiedad II. /⋅  1 4

4x ≤ –8

___    ⋅ 4x ≤ −8 ⋅   1 ___     1 4 4

x ≤ –2

Ayuda Recuerda que 4 ___  son inversos y   1 4 multiplicativos, es decir: ___    = 1 4 ⋅   1 4

▷▷ Su representación gráfica son todos los números a la izquierda de –2 en la recta numérica, considerando el –2:

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

b. 5x – 5 > 3x + 3

5x – 5 > 3x + 3

5x – 5 – 3x > 3x + 3 – 3x

2x – 5 > 3

2x – 5 + 5 > 3 + 5

/–3x. Propiedad I. /+5. Propiedad I. /⋅   1__  . Propiedad III. 2

2x > 8

  1__    ⋅ 2x >  1__    ⋅ 8 2 2

x>4 ▷▷ Su representación gráfica son todos los números a la derecha de 4 en la recta numérica, sin considerar el 4:

–2 –1 0

9 10

c. 8 – 3x ≥ 2

8 – 3x ≥ 2

8 – 8 – 3x ≥ 2 – 8 –3x ≥ –6

(  )

/–8. Propiedad I.

(  )

/⋅ −  1__    . Propiedad III. 3

(  )

−3x ⋅  –  1__     ≤  −6 ⋅  −  1__   3 3 x≤2

▷▷ Su representación gráfica son todos los números a la izquierda de 2 en la recta numérica, considerando el 2:

–4 –3 –2 –1 0

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107

Lección 6: Ecuaciones e inecuaciones Sé más Una desigualdad puede ser: • Verdadera: cuando se verifica para cualquier número. Por ejemplo: x+1<x+2 • Falsa: cuando no se verifica para ningún número. Por ejemplo: x<x–3 Si su veracidad depende del valor de la incógnita, se trata de una inecuación.

Ejercicios propuestos

1. Resuelve cada inecuación con coeficientes enteros y representa su solución gráficamente.

a. 2x > x + 1

c. 6x + 12 ≤ 4x – 2

b. 5x – 3 < 2x – 9

d. –12x + 13 ≥ 8x – 3

2. Representa cada inecuación utilizando X y

108

según corresponda.

a. 4x < 5

c. 5x < 4

b. 3x > 2

d. 2x > 3

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3. Representa gráficamente cada inecuación. 5 a. x ≤  ___    4

→

3 b. x > −  ___    8

→

8   c. x < −  ___ 3

→

d. x ≥ −  2__5  

→

–3

–2

–1

–3

–2

–1

–3

–2

–1

–3

–2

–1

4. Analiza la información. Luego, resuelve. Para resolver una inecuación con coeficientes racionales se puede multiplicar por el mínimo común múltiplo de los denominadores para transformarla en una inecuación con coeficientes enteros. Por ejemplo, como m.c.m.(4, 8, 2, 6) = 24, entonces: 3 3 5 5   ___  x  −   ___    ≥   __    −   ___  x 4 8 2 6 5 3 3 5 ___ ___ 24  ⋅     x − 24 ·      ≥ 24 ·   __   − 24 ·   ___  x 4 2 6 8 6 · 5x – 3 · 3 ≥ 12 · 3 – 4 · 5x

30x – 9 ≥ 36 – 20x

/+ 20x + 9 1    y simplificando /·  ____ 50

50x ≥ 45 9 x ≥  ____     10

/· 24

9 Por lo tanto, la solución corresponde a los números ubicados a la derecha de ____        10 9 en la recta numérica incluyendo al ____       . 10

a.   1__5  x + 1 < 10

5 2    −   ___ f.   2__3  x  ≤   ___   x 9 9

3 b.   ___   − x ≥ 12 4

7 1 g. 4 −  ___   x  ≥   ___  x  +   1__   4 2

c. 10x +  1___  x > 32 8

3 3 __  x  −   ____ h. −  1__7    +   ____     x  <   2      7 14 28

3 __ d.   2__5  x + 1 >  ____      +   x   10 5

3 e.   1__2  x +   ___   < 4

3 ____ 7 5 1    x +   ____ j.   ____      >       −   ___  x 12 9

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4 __   − 3x ≤  ____   1    x + 2 5 15

Desafío Investiga de qué forma puedes resolver: 2<x+1<5

109

Lección 6: Ecuaciones e inecuaciones

Modelación con inecuaciones En muchas situaciones para efectuar un modelamiento se necesita solo una estimación de los datos. Para ello, se puede aplicar inecuaciones, considerando lo importante de saber codificar desde el lenguaje usual al lenguaje algebraico. Ejercicios resueltos 1. Analiza los problemas de modelamiento con inecuaciones. a. Juan decide invitar a almorzar a sus amigos, Rodrigo y Matías, y cuenta con $12.500 para gastar. El menú escogido por él cuesta $4.200 y el de Rodrigo $3.900. ¿Entre qué valores debería estar el costo del menú de Matías? ▷▷ Datos: Dinero total

Costo menú de Juan

Costo menú de Rodrigo

$12.500

$4.200

$3.900

A partir de los datos anteriores se pueden establecer las siguientes relaciones: ◾◾ Total entre Juan y Rodrigo: $4.200 + $3.900 = $8.100. ◾◾ Dinero disponible para el menú de Matías: $12.500 – $8.100 = $4.400. Por lo tanto, Matías puede escoger un menú cuyo valor oscile entre los $0 y los $4.400, lo que se puede expresar como: 0 ≤ M ≤ 4.400. b. Carla planificó sus vacaciones y ahorró $200.000 para gastar en 2 semanas. Si durante los 10 primeros días ha gastado 140.000, ¿entre qué valores puede variar lo gastado en los 4 días restantes? ▷▷ Datos: Dinero total

Dinero gastado

Dinero disponible

$200.000

$140.000

$200.000 – $140.000 = $60.000

Por lo tanto, Carla puede gastar un máximo de $60.000 en los 4 días restantes, esto se puede expresar como: 0 ≤ G ≤ 60.000. c. La suma de tres números pares consecutivos es mayor que 24 y menor que 42. ¿Cuáles pueden ser los números? ▷▷ Datos: Primer número par

Segundo número par consecutivo

Tercer número par consecutivo

Suma de los números consecutivos

2x + 2

2x + 4

2x + (2x + 2) + (2x + 4) = 6x + 6

Por lo tanto, se establece la siguiente relación: 24 < 6x + 6 < 42 ⇒ 24 – 6 < 6x < 42 – 6 ⇒ 18 < 6x < 36 ⇒ 3 < x < 6 Luego, las posibilidades para x son 4 o 5. ◾◾ Si x = 4, los números son: 2 · 4 = 8, 2 · 4 + 2 = 10, 2 · 4 + 4 = 12, y la suma es 30. ◾◾ Si x = 5, los números son: 2 · 5 = 10, 2 · 5 + 2 = 12, 2 · 5 + 4 = 14, y la suma es 36.

110

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Ejercicios propuestos

1. Modela cada enunciado mediante una inecuación. a. El doble de un número aumentado en una unidad, es siempre menor o igual que el triple del número.

b. Un número aumentado en 3 unidades es a lo más el doble del número aumentado en 11 unidades.

c. Un número mayor o igual que cero y menor que 19. d. El cuádruplo de un número es a lo más 455. e. Cinco más el triple de un número no excede a 10 unidades. f. El 10 % de un número es mayor o igual que 95 y menor que 110. g. La tercera parte de un número disminuida en 5 unidades es como máximo el doble de la quinta parte de la suma entre el número y 2 unidades.

2. Resuelve los problemas. a. Un autobús permite transportar, en equipaje, un máximo de 300 kg. Si dos

tercios del equipaje total han sido subidos y corresponden a 195 kg, ¿qué inecuación representa la masa del equipaje que pueden agregar los pasajeros restantes? b. Se recomienda que por cada hora jugada de videojuegos, se tome un descanso de 10 a 15 minutos. Si una persona pretende jugar 4 horas, ¿entre qué valores debería oscilar su tiempo de descanso? c. Para el funcionamiento óptimo de ciertos artefactos se recomienda no exponerlos a temperaturas superiores a los 35 ºC ni inferiores a los 12 ºC. ¿Cuál es la inecuación que modela la situación? d. Se quiere construir un cuadrado que tenga como máximo 60 cm de perímetro. ¿Entre qué valores deberían estar las longitudes de sus lados? e. El informe climático señala que la temperatura de cierto día tendrá una mínima de 4 ºC y una máxima de 23 ºC. Si se mide la temperatura en el transcurso del día, plantea la inecuación que muestra los valores entre los cuales se encontrará la temperatura. f. El consumo diario de calorías para una persona de 170 cm es aproximadamente 2.200 calorías, según los nutricionistas. Si entre desayuno, almuerzo y once una persona ha alcanzado un consumo de 1.650 calorías, ¿entre qué valores debería oscilar el aporte energético de la cena para no superar lo sugerido por los nutricionistas? Sé Protagonista © Ediciones SM

¿Qué opinas de esto? Consecuencias en el abuso de videojuegos 1. Sedentarismo y obesidad. 2. Tendinitis y dolores musculares. 3. Sobre estimulación al sistema nervioso. 4. Irritación de ojos y dolor de cabeza. 5. Crisis convulsivas en niños con antecedentes de epilepsia. (Porcentaje reducido de niños).

111

Lección 6

Evaluación

Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos. 1. Comprueba si el valor dado es solución de la ecuación. Para ello, escribe Sí o No según corresponda. 7 a. x =  −  ___   → 3x + 2 = x – 5 2 3 b. a =  −  ___   → 8 – 3a = a + 5 4 3 ___  w + 1 = 5 −  1___  w c. w = 3 ___   →   2 7 3 2 d. b = 1,7 → 1,1b + 3 = 3b – 0,23 2. Escribe una ecuación para cada situación y utilízala para resolver. a. Si Rafaela gasta $2.500 del dinero que tiene ahorrado, la cantidad que le quedaría correspondería a la quinta parte de lo que tenía inicialmente. ¿Cuánto dinero tiene ahorrado?

3. Identifica cuál de las ecuaciones permite resolver el problema. Luego, responde. a. La suma de dos números es 16 y la diferencia de sus triples es 2. ¿Cuáles son los números si se considera que uno de ellos es x? 3(x – 3(16 – x)) = 2

3x – 3(x – 16) = 2

b. Las facturas de llamadas telefónicas de Laura durante dos meses se presentan en la tabla: Tipo de llamada

Marzo

Abril

Nacional

185 min

192 min

Internacional

47 min

36 min

Costo

$13.525

$12.225

¿Cuál es el valor del minuto de la llamada nacional si se considera que su valor es x?

(  ) 36 185x + 47(   ____________________        = 13.525 12.225 – 192x ) 12.225 – 192x       = 13.525 185x + 47   ____________________ 36

b. La séptima parte de la edad actual de Antonio es equivalente a la edad que tenía hace 30 años. ¿Cuántos años tiene Antonio?

4. Comprueba si el valor dado pertenece al conjunto solución de la inecuación. Para ello, escribe Sí o No según corresponda. 3 a. x =  −  ___   → x + 2 > 1 2

c. El largo de un rectángulo es el triple de su ancho. Si su perímetro es 120 cm, ¿cuál es la medida de su largo y la de su ancho?

1 b. a =  ___   → 1 – a ≤ a + 2 4 1 ___  w ≥ 1 −  1___  w c. w = 4 ___   →   1 2 4 8 d. b = 2,5 → 3,5b − 1 < –1,2

d. El precio de cierto producto con un descuento del 25 % equivale a $189.000. ¿Cuánto es el descuento aplicado al producto?

5. Clasifica cada desigualdad en verdadera, falsa o inecuación. Para ello, escribe en el recuadro. a. x + 4 < x + 2 b. 3x ≥ x + 1 c. 8 – 2x ≤ 2(6 – x)

112

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6. Representa gráficamente cada inecuación en una recta numérica. a. x ≥ 2

7. Resuelve las inecuaciones. a. 3x + 2 < x – 5 b. 4x – 7 ≥ 10 – 2x 3 c.   ___  x + 1 ≤ x −  1___   2 2 d. 4 – 7x > 1 – 2x

b. x ≤ 4

c. x < –3

d. x ≥ –1

3 e. x <  ___   4

8 Modela con una inecuación cada problema. Luego, resuelve. a. Un ascensor puede cargar como máximo 1.230 kg. Si ya está cargado con 750 kg, ¿cuál es la carga máxima que se puede agregar? b. Para mantener el equilibrio ecológico en un parque, la cantidad de abejas debe ser superior a 3.500 individuos y menor que 5.300. Si se contabilizaron 4.200, ¿cuántas abejas podrían ser incorporadas al parque sin alterar el equilibrio? ¿Cuántas podrían ser eliminadas como máximo? c. Para un recital se vendieron 1.200 entradas de platea y 8.300 de galería. La capacidad total del recinto es de 31.500 personas. Si la cantidad de entradas para platea disponibles es la tercera parte de las disponibles para galería, ¿cuántas entradas de cada tipo como máximo se pueden vender?

Me evalúo Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las siguientes categorías de desempeño: Por lograr (P.L.), Medianamente logrado (M.L.) y Logrado (L.). Indicador Resolví y planteé ecuaciones con coeficientes racionales. (Preguntas 1 y 2)

Analicé el uso y aplicación de una ecuación con coeficientes racionales. (Pregunta 3)

Comprobé la solución de una inecuación y reconocí desigualdades. (Preguntas 4 y 5)

Representé y resolví inecuaciones. (Preguntas 6 y 7)

Resolví y planteé inecuaciones para resolver problemas (Pregunta 8)

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UNIDAD

↘ Taller de Resolución de problemas

1. Analiza los pasos utilizados en la resolución del problema. Larga fue la vida de Diofanto. Su sexta parte constituyó su hermosa infancia. Había transcurrido una duodécima parte de su vida, cuando de vello se cubrió su barbilla. La siguiente séptima parte transcurrió en un matrimonio estéril. Pasó un quinquenio más y nació su hijo que vivió solo la mitad de la vida de su padre, que solo sobrevivió cuatro años más que su hijo. Halla la edad de Diofanto.

1 Paso

2 Paso

Comprende el enunciado Se debe hallar la edad de Diofanto al morir a partir de la duración de distintas etapas de su vida, expresadas como números racionales.

Planifica lo que vas a realizar x la de su x es la duración de su infancia, ____ Si x representa la edad de Diofanto, entones ___ 12 6 x la de su matrimonio y __ x la edad de su hijo. También se debe considerar que adolescencia, __ 7 2 pasarn 5 años antes de que naciera su hijo y que vivió 4 años más que su hijo. Así se genera la ecuación: x + ____ x + __ x +4=x x + 5 + __ ___ 2 6 12 7

3 Paso

Resuelve el problema Considerando que m.c.m.(6, 12, 7, 2) = 84: x + __ x + 9 = x /· 84 y simplificando x + __ x + ____ ___ 6 12 7 2 14x + 7x + 12x + 42x + 756 = 84x 9x = 756 x = 84

4 Paso

114

Revisa la solución Considerando x = 84 y reemplazando en la ecuación se tiene: 84 ____ 84 84 84 ____ ____ + + + 5 + ____ + 4 = 14 + 7 + 12 + 5 + 42 + 4 = 84 2 6 12 7 Por lo tanto, se verifica que la edad de Diofanto al morir era de 84 años.

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2. Resuelve los problemas. Para ello, guíate por los pasos estudiados en la página anterior. a. Un padre tiene 21 años y su hijo 3. ¿Al cabo de cuántos años la edad del padre será tres veces la edad del hijo?

b. Miguel compró un libro con las dos quintas partes del dinero que llevaba y una revista con la tercera parte de lo que le quedó. Al salir de la librería tenía $21.600. ¿Cuánto dinero tenía Miguel?

c. Calcula el valor de los tres ángulos del triángulo ABC, sabiendo que la medida del ángulo ABC es el doble que la del ángulo BCA, y que esta última es el triple que la del ángulo CAB.

d. El largo de un rectángulo supera en 12 m a su ancho. Si su perímetro es 124 m, ¿cuál es su largo y su ancho?

e. Un recién nacido aumentó, en su primer mes de vida, la cuarta parte de su masa corporal inicial y en el segundo mes aumentó las tres quintas partes de la masa corporal que tenía luego del primer mes. Si al terminar el segundo mes, tiene una masa corporal de 5.565 g, ¿cuál fue la masa corporal inicial del recién nacido?

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Lección

María Gaetana

Función lineal ↘ Función

Función

↘ Dominio y recorrido ↘ Representación en tablas ↘ Representación en gráficos

Sean A y B dos conjuntos numéricos. Una función f de A en B es una relación que asigna a todo elemento de A un único elemento de B. Esta relación se expresa: f: A → B

x → y = f(x)

↘ Reglas de formación ↘ Función de proporcionalidad directa ↘ Función lineal ↘ Representación gráfica de una función lineal

Ejercicios resueltos 1. Analiza cada situación. Luego, responde.

a. Un programa computacional representado por una máquina entrega el área (A)

de un cuadrado al ingresar la medida de uno de sus lados. La representación es: Ingreso

Egreso a

• ¿Cuál es el valor de egreso para a = 3? ▷ Si se ingresa a = 3, la máquina calcula 32 = 9 . Luego, egresa el valor 9. • ¿Qué valor se debe ingresar para que egrese 16? ▷ Como 16 = 42, para que de la máquina salga 16 se debe ingresar 4.

b. Al ingresar un valor a un proceso matemático este realiza la siguiente secuencia: Valor

(Valor)2

4·(Valor)2

Completa la tabla luego de ingresar los valores al proceso: Valor

–3

–1

–2

Egreso

100

• ¿Cuáles son los conjuntos que se relacionan en el proceso? El conjunto A = {–3, –2, –1, 0, 2, 4, 5} y el conjunto B = {0, 4, 16, 36, 64, 100}. • ¿Cuál es la relación entre los conjuntos A y B? ▷ Los elementos de B son el cuádruple del cuadrado de los elementos de A. • ¿Se puede considerar que la relación entre A y B es una función? ▷ Sí, ya que a cada elemento de A se relaciona solo con un elemento de B.

116

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“¡La curva está lista! ¡Hasta dormida soy seca en matemática!”

Ejercicios propuestos 1. Analiza cada una de las máquinas. Luego, completa la tabla y responde. a. Ingreso

Máquina 1

Egreso

3x + 1

Ingreso

–5

7 13

Egreso

–2

• ¿Qué operación realiza la máquina? • ¿Se puede ingresar cualquier número? • ¿Cuál es el valor ingresado si egresa 7? • ¿El proceso de la máquina representa una función? Explica.

Desafío

b. Ingreso

Máquina 2

Egreso

2 – 5x

Ingreso –4

6 11

Egreso

María Gaetana Matemática italiana. Desde pequeña destacó por su interés en la Ciencia y Filosofía. Uno de sus aportes más importantes fue en Geometría cartesiana. Para obtener mayor información sobre este tema, ingresa el código SP8m117 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

–8

• ¿Qué operación realiza la máquina? • ¿Se puede ingresar cualquier número? • ¿Cuál es el valor ingresado si egresa 10? • ¿El proceso de la máquina representa una función? Explica.

Si x = 4 se ingresa a la máquina 1 y su egreso se ingresa a la máquina 2, ¿cuál es el egreso en dicha máquina? Expresa en palabras este nuevo proceso completo.

2. Representa en tu cuaderno los enunciados utilizando una máquina de Ingreso y Egreso.

a. Una función f asigna a un número su quinta parte disminuida en tres unidades. b. La función g relaciona un número con su doble aumentado en siete unidades. c. Una función h relaciona un número con su cuadrado. 3. Considera las siguientes relaciones. Luego, calcula. f(x) = 4x – 3

g(x) = 2 + 5x

( )

a. f(0)

d. g − 2__5

g. f(0,3)

b. g(0)

e. f(–4)

h. g(–1,2)

3 c. f ___ 4

f. g(–1)

i. f(2,5)

( )

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117

Lección 7: Función lineal

Dominio y recorrido Sé más En la notación f: A → B, el conjunto B se llama codominio. Además: • Dom(f) = A • Rec(f) ⊆ B En algunos casos Rec(f) = B.

Para una función f se define: • El dominio de la función f (Dom(f)), es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente. • El recorrido de la función (Rec(f)), es el conjunto de todos valores que toma la variable dependiente.

Ejercicios resueltos 1. Analiza cada ejercicio. Luego, responde.

a. Los conjuntos A y B se relacionan por medio de la función f según el siguiente

f 2 3 5 7 11 13

1 6 12 18 24 36

Sé más Los elementos del conjunto A son las variables independientes y se llaman preimágenes y los del conjunto B son las variables dependientes llamados imágenes.

diagrama, conocido como diagrama sagital: • ¿Cuál es el dominio de la función f? ▷ Dom(f) = {2, 3, 5, 7, 11, 13}

• ¿Cuál es el recorrido de la función f? ¿Y el codominio de f? ▷ Rec(f) = {1, 6, 18, 24, 36}. El codominio de f es {1, 6, 12, 18, 24, 36}. • ¿Existen elementos de B que no pertenezcan a Rec(f)? ▷ Sí, el 12, ya que no es imagen de ningún elemento de A. • ¿Contradice la definición de función que 24 tenga dos preimágenes? ▷ No. Lo que no puede ocurrir es que un elemento de A tenga dos imágenes.

b. Considera la función f con Dom(f) = {–2, –1, 0, 1, 2} y f(x) = 2x + 1. Completa la tabla y responde.

• ¿Cuál es la imagen de x = 0?

y = f(x)

–2

y = f(–2) = 2 · (–2) + 1 = –3

▷ La imagen de x = 0 es y = 1.

–1

y = f(–1) = 2 · (–1) + 1 = –1

• ¿Cuál es la preimagen de y = 3?

y = f(0) = 2 · 0 + 1 = 1

y = f(1) = 2 · 1 + 1 = 3

y = f(2) = 2 · 2 + 1 = 5

▷ La preimagen de y = 3 es x = 1. • ¿Cuál es el recorrido de f? ▷ Rec(f) = {–3, –1, 1, 3, 5}

c. Felipe necesita calcular el volumen de cubos de arista 3 cm, 4 cm, 7 cm y 10 cm. Para realizar el trabajo decidió expresar su desarrollo utilizando el concepto de función. Identifica los elementos que Felipe escribió en su trabajo:

118

→

•

y = f(x) = x3

•

A = {3, 4, 7, 10}

•

B = {27, 64, 343, 1.000} →

→

y corresponde al volumen de un cubo de arista x. es el domino de la función y corresponde a la arista de cada cubo. es el recorrido de la función y corresponde al volumen de cada cubo.

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Ejercicios propuestos

Conectando con... Los modelos matemáticos

1. Determina el recorrido de cada función según la relación y el dominio dados. Luego, responde.

Dominio

Relación

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

f(x) = x + 2

{10, 20, 30, 40, 50, 60}

g(x) = 2x – 50

핅

h(x) = 2x

ℤ+

q(x) = –x

ℤ

Recorrido

p(x) = x2

a. ¿Cuáles funciones tienen un recorrido con una cantidad finita de elementos?

Las funciones son muy utilizadas para modelar matemáticamente situaciones y problemas de la vida real. Para ver algunso ejemplos, ingresa el código SP8m119 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

b. ¿Por qué crees que ocurre eso? c. ¿Reconoces los conjuntos numéricos que corresponden a dicho recorrido?

2. Analiza las funciones y sus dominios. Luego, responde en tu cuaderno. Función

Dominio

Relación

{2, 4, 6, 8, 10}

f(x) = 2x + 1

핅

g(x) = 2x + 1

ℤ

ℚ

a. b. c. d.

h(x) = 2x + 1 p(x) = 2x + 1

¿Cuál es el recorrido de cada una de las funciones? ¿Cuál de ellos tiene una cantidad finita de elementos? El valor y = –3, ¿a qué recorridos pertenece? Si x = 1__ , ¿a través de qué función tiene imagen? 2

3. Observa los diagramas sagitales de las funciones. Luego, resuelve en tu cuaderno.

g 1 2 3 4 5

2 4 6 8 10

1 2 3 4 5

h 1 5 10 15 20 25

–2 –1 0 1 2

0 1 4 9

a. Identifica el dominio, recorrido y codominio de cada función. b. ¿Para cuál o cuáles de las funciones se verifica que su recorrido es igual a su codominio?

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119

Lección 7: Función lineal

Representación en tablas Una función puede ser representada y analizada mediante una tabla de valores. En ella se registran pares de valores que corresponden a los elementos del dominio y sus respectivos elementos del recorrido.

Ejercicios resueltos 1. Analiza cada situación y resuelve.

a. Para un trabajo, Laura construyó cuadrados y calculó el perímetro de cada uno, registrando los valores en la siguiente tabla:

Perímetro de cuadrados Lado (cm)

Perímetro (cm)

• ¿Cómo se obtiene el perímetro de un cuadrado? ▷ El perímetro de un cuadrado se obtiene multiplicando por 4 la medida de su lado. • ¿Es una función la relación descrita anteriormente? ▷ Sí, ya que el perímetro de un cuadrado es único, es decir, no existe un cuadrado que tenga dos perímetros distintos. • ¿Cuál es el dominio y cuál es el recorrido de la función representada en la tabla? ▷ El dominio es {2, 4, 5, 8, 9, 12} y el recorrido es {8, 16, 20, 32, 36, 48}.

b. Una función f asigna a cada número x el producto de dicho número y tres, aumentado en 7 unidades. Completa la tabla. x

–8

f(x)

–17

2. Observa la tabla. Luego, responde. Nota

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

7,0

Número de estudiantes

a. ¿Qué representa la tabla? ▷ Representa la cantidad de estudiantes que obtuvieron una determinada nota.

b. ¿La situación corresponde a una función? ▷ Sí, ya que cada nota está solo relacionada con una y solo una cantidad de estudiantes.

c. ¿Cuál es la preimagen de 5? ▷ La preimagen de 5 es 4,5 y 6,5.

d. ¿Contradice la respuesta anterior la definición de función? ▷ No, ya que una imagen puede tener una o más preimágenes. Lo que no puede ocurrir es que una preimagen tenga dos o más imágenes.

120

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Ejercicios propuestos 1. Identifica cuál o cuáles de las tablas representan una función. Para ello,

considera que la variable independiente es x y la dependiente es y. Justifica. Tabla A

Tabla B

Tabla C

Tabla D

–5

–3

–1

–5

–1

–4

–3

–5

2. Completa cada tabla según la función dada. a. La función f asigna a cada número su quinta parte disminuida en 4 unidades. x

f(x)

3 – __ 5

0 8

9 ___ 2

–7

–3 19 ____ 5

b. La función g asigna a cada número x la diferencia entre 12 y su doble. x

3 – __ 2

g(x)

11 ____ 2

0 –6

___ –1 8

5,5

c. La función h asigna a cada número x la mitad de la diferencia entre su inverso aditivo y dos unidades. x

8 – ___ 5

h(x)

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1 –1

1 – ____ 10

4,5

121

Lección 7: Función lineal

Representación en gráficos Si f es una función con y = f(x), entonces el gráfico de f es la representación gráfica en el plano cartesiano de los pares ordenados (x, f(x)). De esta forma, en el eje X se representa el dominio de la función y en el eje Y su recorrido.

Ejercicios resueltos 1. Construye el gráfico de las funciones según corresponda.

a. El diagrama sagital de una función f es: Ayuda • a · a = a , con a, m y n ∈ ℤ. • – (a + b) = –a – b, con a y b ∈ ℚ. m

m+n

Pares ordenados

(1, 3)

3 5 8 10 12 13

1 2 3 4 5 6

Y 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

(2, 5) (3, 8) (4, 10) (5, 12) (6, 13)

1 2 3 4 5 6 7 X

b. Sea f una función cuyo dominio es {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}. Completa la tabla y grafica. Luego, responde.

Y x

y = f(x)

–3

–4

–2

–3

–1

–2

–1

3 2

1 –4 –3 –2 –1 0 –1

4 X

–2 –3 –4 –5

• ¿Cuál es la preimagen de y = –5? ▷ El valor y = –5 no pertenece al recorrido de la función. Por lo tanto, no tiene preimagen. • ¿El valor x = 4 tiene imagen? ▷ Como x = 4 no pertenece al Dom(f), entonces, no tiene imagen. • Si los puntos representados se unieran, ¿qué figura se formaría? ▷ Se formaría una línea recta.

122

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Ejercicios propuestos 1. Analiza la información. Luego, responde. Para graficar la función f: ℚ → ℚ, con f(x) = 2 – x se han considerado tres tablas de valores, cada una con su respectivo gráfico: x

0,5

0,25 0,5 0,75

1,5

1,75 1,5 1,25

–1

2 X

–1

a. ¿Qué ocurre con el gráfico a medida que se consideran más valores del dominio? b. ¿Cuál es la importancia de que ℚ sea denso? c. Si el dominio de f fuera ℤ o 핅, ¿ocurriría lo mismo con el gráfico de f? d. ¿Y si f(x) = 2x + 3?

2. Representa gráficamente las funciones. Luego, contesta. f: 핅 → ℚ, con f(x) = 3x – 2

g: ℤ → ℚ, con g(x) = 3x – 2

h: ℚ → ℚ, con h(x) = 3x – 2

a. ¿Cuál de los gráficos anteriores corresponde a una línea recta? b. Para graficar h, ¿bastaría con considerar solo dos pares ordenados? c. ¿Dónde ocurren las intersecciones de la gráfica de h con los ejes coordenados?

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123

Lección 7: Función lineal

Reglas de formación En una función f, la regla de formación y = f(x) corresponde a la relación de los elementos del dominio de f con los elementos de su recorrido. La regla de formación puede ser expresada algebraicamente o a partir de una tabla o de un gráfico.

Ejercicios resueltos 1. Verifica si la regla de formación dada corresponde a la función según la información propuesta.

a. La regla de formación de la función f que asigna a un número x su triple disminuido en 10 unidades es f(x) = 3x – 10.

▷ El triple de un número se representa por 3x. Además, disminuir este valor en 10 unidades se representa por 3x – 10. Luego, la representación algebraica de la regla de formación descrita es: f(x) = 3x – 10

b. La tabla muestra los elementos del dominio de la función g y sus imágenes: x

g(x)

–1

–3

–5

La regla de formación de g es g(x) = –2x + 5. ▷ Analizando los valores de la tabla y considerando g(x) = –2x + 5, se tiene que: g(1) = –2 · 1 + 5 = –2 + 5 = 3 g(2) = –2 · 2 + 5 = –4 + 5 = 1 g(3) = –2 · 3 + 5 = –6 + 5 = –1 g(4) = –2 · 4 + 5 = –8 + 5 = –3 g(5) = –2 · 5 + 5 = –10 + 5 = –5 Por lo tanto, la regla de formación de g, efectivamente es g(x) = –2x + 5.

c. El gráfico representa la función h, cuya regla formación está dada por h(x) = 3__2 x. Y

y = h(x)

4 3 2 1 0

–1

▷ La gráfica de h es una recta que pasa por los puntos (0, 0) y (2, 3), por lo que basta verificar que h(0) = 0 y h(2) = 3 para afirmar que la regla de formación dada es correcta. 3 3 3 Como h(0) = __ · 0 = 0 y h(2) = __ · 2 = 3, entonces, efectivamente h(x) = __ x 2 2 2 corresponde a la regla de formación de la función h. 124

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Ejercicios propuestos 1. Verifica si la regla de formación dada corresponde o no a la función tabulada. Para ello, escribe Sí o No en la casilla.

f(x)

100

g(x)

h(x)

–5

–1

p(x)

–2

f(x) = 2x

g(x) = x + 3

h(x) = 8 – x

p(x) = 1 – 3x

2. Relaciona cada gráfico con su regla de formación respectiva. Para ello, completa la tabla escribiendo la función que corresponda. 6

y = q(x)

5 4 y = h(x)

3 2 1

y = f(x) –6

–5

–4

–3

X –2

–1

y = r(x)

–2 –3

y = g(x)

–4 y = p(x)

–5 –6 Función

= –x

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x 11 = –__ + ____ 3 3

14 4 = ___ x – ____ 3 3

7 19 = __ x + ____ 3 3

__ x =2 5

= –4x

125

Lección 7: Función lineal

Función de proporcionalidad directa Si las variables X e Y están en proporción directa, con constante de proporcionalidad k, entonces la regla de la función que las relaciona es: y = f(x) = kx, k > 0.

Ejercicios resueltos 1. Reconoce la relación proporcional directa en cada situación. Luego, identifica la regla de formación asociada a la función y resuelve.

a. Una persona conduce su bicicleta, recorriendo 20 km en 2 horas, con una

rapidez constante de 10 km/h. ▷ Considerando las variables X: tiempo conduciendo la bicicleta e Y: distancia recorrida, se tiene que X e Y están en proporción directa con constante de proporcionalidad k = 10.

Sé más Si de una función solo se conoce su regla de formación y = f(x), entonces se considera que su dominio es el conjunto de todos los valores posibles que puede tomar la variable independiente.

De esta forma, la regla de formación asociada a la relación entre X e Y es y = f(x) = 10x, donde y es la distancia recorrida, x el tiempo empleado y 10 la constante de proporcionalidad. • ¿Cuántos kilómetros recorre en 5 horas? ▷ Como x = 5, entonces y = f(5) = 10 · 5 = 50. Es decir, en 5 horas recorre 50 km. • Si la persona recorrió 85 km a una rapidez constante de 10 km/h, ¿cuánto tiempo condujo su bicicleta? ▷ En este caso y = 85, entonces, f(x) = 10x = 85, por lo que, x = 8,5. Es decir, la persona condujo su bicicleta 8 horas y 30 minutos.

b. En un supermercado, por comprar 4 kg de tomates se pagan $3.600. ▷ Considerando las variables X: kilogramos de tomates comprados e Y: precio, se tiene que X e Y están en proporción directa, y su constante de proporcionalidad es: y 3.600 k = __x = _________ = 900 4 De esta forma, la regla de formación asociada a la relación entre X e Y es: y = f(x) = 900x

Desafío ¿Cuál es el dominio y recorrido de la función del ejercicio 1b?

Donde y representa el precio, x la cantidad de tomates y 900 el precio por 1 kg. • Completa la tabla y represéntala gráficamente. Precio($)

126

y = f(x)

0,5

450

900

1,5

1.350

1.800

2,5

2.250

2.700

2.700 2.250 1.800 1.350 900 450 0

0,5 1 1,5 2 2,5

3 Cantidad (kg)

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Ejercicios propuestos 1. Identifica cuáles de los pares de valores están en proporción directa. Luego, expresa su relación como una función.

a. b. c. d. e. f.

Un número y su inverso aditivo. Un número y su inverso multiplicativo. Un número y su cuarta parte. Un número y su doble disminuido en 1. Un número y su triple. Un número y su cuadrado.

2. Expresa como función las relaciones de proporción directa y contesta. a. Si una cañería en mal estado pierde 1,25 litros de agua por hora, ¿cuánta agua perderá en un día? b. Una lámina de acero se alarga debido a la temperatura. Observa la tabla: Temperatura (°C)

Alargamiento (mm)

Conectando con... La historia del hierro

Si la lámina se alargó 18,5 mm, ¿a qué temperatura se encontraba?

c. Al aplicar una fuerza de estiramiento de magnitud 10 N sobre un resorte este se estira 2 cm. ¿Qué fuerza se debe aplicar para estirarlo 5 cm? d. Un gráfico que representa una relación de proporcionalidad directa entre las variables X e Y contiene al punto (2, 1). Si x = –1, ¿cuál es el valor de y?

Los primeros utensilios de hierro descubiertos por los arqueólogos en Egipto datan del año 3.000 a. C. Los griegos ya conocían, hacia el 1.000 a. C., la técnica para endurecer armas de hierro mediante tratamiento térmico.

3. Analiza los gráficos. En ellos se modela la relación entre la cantidad de fotocopias (C) y su valor (V) en tres locales distintos. Luego, contesta. V($)

V($)

Local 1

V($)

Local 2

10 0

5 C

Local 3

5 C

a. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad asociada a cada gráfico? b. ¿Cuál es el precio de una fotocopia en cada local? c. ¿Cuál de los gráficos tiene una mayor inclinación con respecto al eje X? d. Expresa como una función cada una de las relaciones.

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127

Lección 7: Función lineal

Función lineal Sé más

Una función f es lineal si su regla de formación se puede expresar como:

Si f es una función lineal, entonces: • Dom(f) = Rec(f) • Si f(x1) = y1, entonces la pendiente (a) se obtiene de: y1 f(x1) ___ a = ______ x =x 1

f(x) = ax, con a ≠ 0. Donde a se denomina pendiente de la recta asociada a la función. Algunas funciones lineales son: ◾ Una función asociada a una proporción directa, donde la constante de

proporcionalidad k es la pendiente de la recta asociada a la función.

◾ Una variación porcentual es una función lineal, donde el índice de variación es la

pendiente de la recta asociada a la función.

Ejercicios resueltos 1. Explica si cada regla de formación corresponde a la de una función lineal.

a. b. c. d.

f(x) = 4x → g(x) = –2x → h(x) = x – 2 → p(x) = 3x + 5 →

Sí corresponde, ya que con 4 = a se puede escribir como f(x) = ax. Sí corresponde, ya que con –2 = a se puede escribir como g(x) = ax. No corresponde, ya que si 1 = a, entonces h(x) = ax – 2. No corresponde, ya que si 3 = a, entonces p(x) = ax + 5.

2. Representa cada situación como una regla de formación de una función lineal.

a. Las variables X e Y están en proporción directa, con constante de

proporcionalidad 5. y ▷ Como __x = 5, la regla de formación de la función lineal asociada es f(x) = 5x.

b. Una variable tiene una variación porcentual con índice de variación 1,2. ▷ Como Cf = 1,2Ci, entonces f(x) = 1,2x, con Cf = f(x) y Ci = x.

3. Completa las tablas considerando f(x) = 3x y g(x) = –3x. Luego, responde. x

y = f(x)

y = g(x)

–3

–6

–9

–12

–15

–18

–21

a. ¿Cuál es la diferencia entre los recorridos de las funciones f y g? ▷ Los elementos de sus recorridos son opuestos aditivos.

b. ¿Cuáles son las pendientes de las rectas asociadas a ambas funciones? ▷ Para f la pendiente es 3, mientras que para g la pendiente es –3.

c. ¿De qué forma varían las preimágenes según f y g? ▷ Las imágenes de f son el triple de los valores del dominio, mientras que las de g son el inverso aditivo de los triples de los elementos del dominio.

d. ¿Son constantes dichas variaciones? ▷ Sí, en el caso de f siempre se obtiene el triple, y en el de g siempre se obtiene el inverso aditivo del triple.

128

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Ejercicios propuestos 1. Determina la regla de formación de la función lineal considerando la información dada.

a. f(2) = 4

f(x) =

d. p(3) = 0,5

b. g(–5) = 1

g(x) =

e. q(–1,5) = 1 q(x) =

c. h(1) = –2

h(x) =

f. r(4) = –8

p(x) =

r(x) =

2. Identifica la función lineal asociada a cada tabla de valores. Para ello, completa la tabla y escribe su regla de formación.

a. –5

–2

1,2

2,5

f(x) =

–3

b. –0,4

–0,1

g(x) =

–10

c. 1

h(x) =

–1

3. Analiza los problemas. Luego, resuelve en tu cuaderno. a. Si el precio de 3 kg de semillas es $6.522, ¿cuál es la función lineal que permite calcular el costo C(x) de una cantidad x de kilogramos de semillas?

b. Un buzo desciende 4 m cada 3 s a rapidez constante. ¿Cuál es la función lineal que relaciona la profundidad P(t) con el tiempo t de descenso?

c. Una empresa pierde $17.500 por cada producto que no se vende al cabo de una semana. ¿Cuál es la función lineal que relaciona la pérdida P(x), cuando no se venden al cabo de una semana una cantidad x de dichos productos?

4. Analiza la información. En él se presenta una definición alternativa de función lineal. Luego, demuestra que las reglas de formación dadas corresponden a funciones lineales. Una función f es lineal si cumple las siguientes condiciones: • f(x + y) = f(x) + f(y)

a. f(x) = 2x b. g(x) = –5x

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• f(kx) = kf(x)

c. h(x) = 2__3 x

3 d. p(x) = – ___ x 4

129

Lección 7: Función lineal

Representación gráfica de una función lineal Sé más Si f(x) = ax es la regla de formación de una función lineal, entonces: • Si a > 0, se dice que f crece de forma constante. • Si a < 0, se dice que f decrece de forma constante. En ambos casos la tasa de variación es a.

La gráfica de una función lineal f(x) = ax es una recta que contiene al origen del plano cartesiano. Además: ◾ Si a > 0, se dice que f es una función creciente. ◾ Si a < 0, se dice que f es una función decreciente.

Para representar gráficamente una función lineal basta trazar la recta que contiene a un punto (x1, f(x1)) y al origen (0, 0) del plano cartesiano.

Ejercicios resueltos 1. Representa gráficamente cada función lineal dada su regla de formación. Luego, determina si es creciente o decreciente.

a. f(x) = 2x

b. g(x) = –3x

Si f(1) = 2, el punto (1, 2) pertenece a la recta. 3

c. h(x) = x

Si g(1) = –3, el punto (1, –3) pertenece a la recta.

Si h(2) = 2, el punto (2, 2) pertenece a la recta.

–3 –2 –1 0 –1

–2

–3

Como la pendiente es 2 > 0, la función es creciente.

Como la pendiente es –3 < 0 , la función es decreciente.

Como la pendiente es 1 > 0, la función es creciente.

2. Identifica la regla de formación de las funciones según el gráfico dado.

a. y = f(x)

b. y = g(x) 3

–3 –2 –1

–1

0 1

–3 –2 –1 0 –1

–3 –2 –1

–1

0 1

–2

–3

Como g(–1) = 2, entonces:

Como h(–1) = –1, entonces

Como f(3) = 1, entonces: f(3) __ a = ______ = 1 3 3 1 __ Luego, f(x) = x. 3

130

c. y = h(x)

g(–1) a = ________ = –2 –1 Luego, g(x) = –2x.

h(–1) a = ________ = 1 –1 Luego, h(x) = x.

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Ejercicios propuestos 1. Identifica si cada gráfico representa una función lineal. Para ello, escribe Sí o No según corresponda. 3

–3 –2 –1 0 –1

3 X

–3 –2 –1 0 –1

3 X

–3 –2 –1 0 –1

–2

–3

3 X

2. Representa con una recta las funciones. Luego, responde. b. g(x) = – 2__5 x

a. f(x) = 4x 4 3 2 1

–4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4

4 3 2 1 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4

1 2 3 4X

• ¿Cuál de las funciones es decreciente? • ¿Es necesario observar sus gráficos para responder la pregunta anterior?

3. Ordena de menor a mayor las pendientes de las rectas graficadas. a.

b. Y

y = a₂x y = a₃x

y = a₁x

y = a₃x

y = a₁x

y = a₄x

y = a₄x y = a₅x

y = a₂x

0 X

y = a₅x

Desafío Investiga sobre las funciones cuyas gráficas son rectas paralelas a los ejes coordenados.

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131

Lección 7

Evaluación

Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos. 1. Completa la tabla considerando la máquina de la figura:

4. Determina la regla de formación de la función de proporcionalidad directa en cada situación.

a. Si x = 20, entonces y = 10.

f(x) =

Ingreso

Máquina

Egreso

b. Si x = 8, entonces y = 2.

g(x) =

3x – 4

c. Si x = 9, entonces y = 27.

h(x) =

–5 –2

8 11

–1

5. Demuestra que cada regla de formación corresponde a la de una función lineal. a. f(x) = 8x

b. Ingreso

Máquina

Egreso

1 – 4x

–3 5

b. g(x) = –9x 0

–5

c. h(x) = x

2. Escribe la regla de formación de cada función según corresponda. a. f asigna a un número su mitad aumentada en 5 unidades.

6. Identifica la regla de formación de cada función lineal representada en el gráfico. 4

f(x) =

y = g(x)

b. g asigna a un número el resultado de restar su triple a 15 unidades. y = f(x)

c. h asigna a un número el inverso aditivo del triple de su diferencia con 8 unidades.

–5

–4

–3

–2

–1

132

4 X

–1 –2

3. Identifica si cada regla de formación representa una proporción directa. Para ello, escribe Sí o No según corresponda.

c. h(x) = –2x

y = p(x)

g(x) =

b. g(x) = 5x – 1

y = h(x)

3 2

g(x) =

a. f(x) = 3x

f(x) =

g(x) =

h(x) =

p(x) =

Completa la tabla según la regla de formación f(x) = –0,2x. x f(x)

–0,5 8

1,5 3,8

–0,5

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8. Representa gráficamente las funciones lineales según las reglas de formación dadas. a. f(–2) = 2

d. p(1) = 2

b. g(–3) = 1

e. q(–3) = –3

c. h(3) = 4

f. r(2) = –3 4

a. La función de ingresos, en miles de pesos, de una tienda está dada por I(x) = 25x donde x representa la cantidad de artículos vendidos e I(x) representa los ingresos por x artículos vendidos.

• ¿Cuál es el ingreso al vender 150 unidades de dicho artículo?

• ¿Qué cantidad de artículos se necesita vender para que el ingreso sea $1.400.000?

2 1 –4

–3

–2

–1

9 Analiza cada situación. Luego, determina una función lineal que modele la situación y responde.

4 X

–1 –2 –3 –4

b. El nivel de agua de un estanque es 14 cm a los 5 minutos, una vez comenzado su llenado, de forma constante. • ¿Cuál es la altura del nivel de agua luego de 15 minutos? • ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que el nivel de agua sea de 98 cm?

Identifiqué y apliqué función de proporcionalidad directa. (Preguntas 3 y 4)

Analicé las características de la regla de formación y el gráfico de una función lineal. (Preguntas 5 y 6)

Representé funciones lineales. (Preguntas 7 y 8)

Resolví problemas de aplicaciones de función lineal. (Pregunta 9)

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133

Lección

Fibonacci

Dime, si es de matemática mejor aún.

Leonardo, tengo un problema.

Función afín ↘ Traslación de una función lineal

Traslación de una función lineal

↘ Función afín ↘ Representación gráfica de una función afín ↘ Variación de una función

Observa las traslaciones de una recta asociada a una función lineal con f(x) = ax: I. h unidades a la izquierda se genera g(x) = a(x + h): g(x) = a(x + h) Y

↘ Crecimiento y decrecimiento

↘ Variación constante

III. k unidades hacia arriba se genera g(x) = ax + k:

f(x) = ax

g(x) = ax + k Y

X 0

II. h unidades a la derecha se genera g(x) = a(x – h):

IV. k unidades hacia abajo se genera g(x) = ax – k: Y f(x) = ax g(x) = ax – k

Y f(x) = ax g(x) = a(x – h)

0 0

Ejercicio resuelto 1. Analiza el gráfico. Luego, completa la tabla. Y f(x) = 3x 6 5 y = g(x) y = p(x) 4 A 3 2 1 A A A –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 X –1 –2 A y = q(x) –3 y = h(x) –4

134

Regla de formación f(x) = 3x g(x) = 3(x + 3) h(x) = 3x + 4 p(x) = 3x – 2 q(x) = 3(x – 2)

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Tengo una pareja de conejos, pero no sé si debo ampliar la jaula. Luego del primer mes serán 3, al segundo serán 5,…

¡Ah qué tranquilidad! A ese ritmo de crecimiento, no creo que deba ampliar la jaula.

Jajajajajajaja, vas a tener que ampliar tu granja, jajajajaja.

¿Por qué? ¿De qué te ríes?

Ejercicios propuestos 1. Expresa en palabras la traslación que se le aplicó a la función y = f(x) para obtener la función y = g(x) según corresponda.

a. f(x) = 5x → g(x) = 5x + 10 b. f(x) = –7x → g(x) = –7(x + 1) c. f(x) = 2x → g(x) = 2(x – 4) d. f(x) = –9x → g(x) = –9(x – 6) 2. Analiza la información. Luego, resuelve. Si la función f(x) = ax es trasladada simultáneamente de forma vertical y de forma horizontal se obtiene la función g(x) = a(x ± h) ± k, donde los signos dependen de la dirección de cada traslación.

Según mis cálculos, luego de un año serán 610 conejos.

Fibonacci Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, pasó la mayoría de su infancia en Argelia, donde recibió su primera formación matemática. Uno de sus aportes más importantes fue el promover y difundir por toda Europa el sistema de numeración indo arábigo, que es utilizado actualmente. Para obtener mayor información sobre este tema, ingresa el código SP8m135 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

Representa gráficamente cada una de las traslaciones aplicadas a la función lineal f, cuya regla de formación es f(x) = –2x. Para ello, indica la posición a la que se traslada el punto A según corresponda. g1(x) = –2(x – 3)

g2(x) = –2(x – 2) – 2

g3(x) = –2(x + 5) + 6 6 5 4 3 2 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6

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g4(x) = –2(x + 1) – 1

1 2 3 4 5 6X

135

Lección 8: Función afín

Sé más Si f es una función afín, entonces: • Dom(f) = Rec(f) • f(0) = b • Si f(x1) = y1 y f(x2) = y2, entonces: y 2 − y1 a = _________ x2 − x1

Función afín Una función f es afín si su regla de formación se puede expresar como: f(x) = ax + b, con a ≠ 0 y b ≠ 0. Donde a se llama pendiente de la recta y b, coeficiente de posición.

Ejercicios resueltos 1. Identifica la función afín asociada a cada situación.

a. Una cuenta de agua dice lo siguiente: Cargo fijo Consumo: 16 m3 Total a pagar

$ 2.500 $ 7.200 $ 9.700

¿Cuál es la función afín que relaciona el total a pagar y los m3 consumidos? ▷ Ya que se cobran $7.200 por 16 m3, entonces el valor de 1 m3 es $450. Luego, considerando que existe un cargo fijo de $2.500, se puede construir la siguiente tabla: Consumo (m3)

Total a pagar ($)

2.500

1 450 + 2.500 = 2.950

450 · 2 + 2.500 450 · 3 + 2.500 450 · 4 + 2.500 = 3.400 = 3.850 = 4.300

Como se puede observar, existe una variación constante igual a 450 y un valor constante igual a 2.500. Luego, la función afín asociada al problema es: f(x) = 450x + 2.500 Donde f(x) es el total de la cuenta y x es la cantidad de m3.

b. Tomás viaja en su bicicleta, a una rapidez constante de 100 m/min, desde su

casa al colegio, separados por 2 km. ¿Cuál es la función afín que relaciona la distancia entre su casa y el colegio, y la rapidez? ▷ Como la distancia inicial es 2.000 m y dicha distancia disminuye a medida que Tomás viaja en su bicicleta, se tiene la siguiente tabla:

Tiempo (min)

Distancia al colegio 2.000 (m)

1 2.000 – 100 = 1.900

2.000 – 100 · 2 2.000 – 100 · 3 2.000 – 100 · 4 = 1.800 = 1.700 = 1.600

Se puede observar que existe un valor inicial de 2.000 que comienza a disminuir, según una variación constante igual a 100. De esta forma, la función afín asociada al problema es: f(x) = 2.000 – 100x Donde f(x) es la distancia entre el colegio y la casa, y x es el tiempo de viaje.

136

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↘ Ejercicios propuestos

Taller de estrategias

Modela situaciones utilizando una función afín

1. Escribe la regla de formación de cada función afín según lo resuelto en el Taller de estrategias.

a. f(4) = 7 y f(0) = –2

f(x) =

Practica esta estrategia. Para esto, considera el enunciado y sigue cada paso. Dos de las escalas para medir la temperatura son la Celsius (C) y la Fahrenheit (F). Estas se relacionan de la siguiente forma: 0 ºC equivalen a 32 ºF y 100 ºC equivalen a 212 ºF. Determina una función que relacione dichas escalas.

b. g(0) = 2 y g(–2) = 3

g(x) =

c. h(0) = –3 y h(–3) = 0

h(x) =

d. p(1,5) = 1 y p(0) = –1

p(x) =

e. q(–3) = 5 y q(0) = 4

q(x) =

C: temperatura en grados Celsius con c1 = 0 y c2 = 100.

f. r(0) = 2 y r(2) = 1

r(x) =

F: temperatura en grados Fahrenheit con f1 = 32 y f2 = 212.

↘ Paso 1 Identificar las variables Se consideran las siguientes variables y sus valores:

2. Analiza el Taller de estrategias y resuelve los problemas.

a. Una olla con agua a 10 °C se coloca al fuego. La

temperatura del agua comienza a aumentar de forma constante 8 °C por minuto, hasta los 100 °C. Determina una función afín que modele la situación y contesta: • ¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función? • ¿Cuál es la temperatura del agua en la olla a los 7 minutos? • ¿Cuántos minutos después de colocar la olla al fuego el agua está a 82 °C? b. Una estación de bencina tiene cada día a las 06:00, 4.500 L de bencina de 95 octanos. Se venden de forma constante 550 L por hora. Determina una función afín que modele la situación y contesta: • ¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función? • ¿Qué cantidad de dicha bencina está disponible a las 15:00? • Si en un instante la cantidad de bencina disponible es de 1.475 L, ¿qué hora debería ser? • Si la estación cierra sus servicios a las 23:00, ¿falta o sobra bencina por día?

Para este problema se considera a C como la variable dependiente y F como la independiente. ↘ Paso 2 Formar la función afín La función afín f tiene regla de formación: f(x) = ax + b Como C es la variable dependiente y F la independiente, la función se puede expresar como: C(x) = ax + b Donde C(x) es la temperatura en grados Celsius y x la temperatura en grados Fahrenheit. ↘ Paso 3 Calcular la pendiente y el coeficiente de posición Como c1 = 0 y f1 = 32 son valores correspondientes, al igual que c2 = 100 y f2 = 212, entonces: C(0) = 0 · a + b = 32

⇒

b = 32

C(100) = 100 · a + b = 212 ⇒

100a + b = 212

↘ Paso 4 Resolver las ecuaciones Reemplazado b = 32 en 100a + b = 212 se tiene: 100a + 32 = 212

/+ (–32)

100a = 180 /: 100 180 = 1,8 a = ______ 100 ↘ Paso 5 Escribir la función afín Como a = 1,8 y b = 32, entonces la función afín que relaciona las escalas es: C(x) = 1,8x + 32

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137

Lección 8: Función afín

Representación gráfica de una función afín La gráfica de una función afín f(x) = ax + b es una recta que contiene al punto (0, b) del plano cartesiano. Para construirlo, basta con encontrar otro punto, (x1, f(x1)), y trazar la recta que lo contiene a él y al punto (0, b).

Ejercicios resueltos 1. Representa las funciones mediante su gráfico según la regla de formación dada.

a. f(x) = 2x + 1

b. g(x) = 5 – 3x

Si f(1) = 3, el punto (1, 3) pertenece a la recta, además del punto (0, 1).

c. h(x) = x – 3

Si g(2) = –1, el punto (2, –1) pertenece a la recta, además del punto (0, 5).

Si h(4) = 1, el punto (4, 1) pertenece a la recta, además del punto (0, –3).

5 Y

2 Y

–3 –2 –1 0 –1

–2

–1 0 –1

–2

–3 –2 –1 0 –1

–3

–3 –4

2. Identifica la regla de formación de las funciones según el gráfico dado.

a. y = f(x)

b. y = g(x)

4 Y

–2 –1 0 –1

–2

Como la multiplicación es conmutativa, entonces: ax = xa

–4 –3 –2 –1 0 –1

Ayuda

c. y = h(x)

Como (0, 3) y (3, –1) pertenecen a la recta, entonces: f(0) = 3 y f(3) = –1 Además, f(x) = ax + b, así:

3 Y 2 1

–2

–4 –3 –2 –1 0 –1

–3

–2

–4

–3

Como (0, 1) y (–3, –2) pertenecen a la recta: g(0) = 1 y g(–3) = –2 Además, g(x) = ax + b, así:

f(0) = 0 · a + b = 3 → b = 3 g(0) = 0 · a + b = 1 → b = 1 4 f(3) = 3 · a + 3 = –1 → a = − ___ g(–3) = –3 · a + 1 = –2 → a = 1 3 Entonces, la regla de formaEntonces, la regla de formación de g es: ción de f es: 4 f(x) = − ___ x + 3 3

138

g(x) = x + 1

Como (0, –2) y (–2, 2) pertenecen a la recta: h(0) = –2 y h(–2) = 2 Además, h(x) = ax + b, así: h(0) = 0 · a + b = –2 → b = –2 h(–2) = –2 · a – 2 = 2 → a = –2 Entonces, la regla de formación de h es: h(x) = –2x – 2

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Ejercicios propuestos 1. Representa gráficamente las funciones afines según la regla de formación dada. Luego, responde.

a. f(x) = 5x – 3

b. g(x) = –2x – 1 4

–4 –3 –2 –1 0 –1

4 X

–4 –3 –2 –1 0 –1

–2

–3

–4

4 X

• ¿Cuál de las funciones es creciente? ¿Cómo se infiere esto desde el gráfico? • ¿Cómo se puede obtener el punto de intersección de cada gráfico con el eje X? Determínalos.

2. Obtén la regla de formación de cada función afín considerando la información entregada.

a. Los puntos (–3, 1) y (1, –2) pertenecen al gráfico de f.

→ f(x) =

b. Los puntos (1, 1) y (–1, 3) pertenecen al gráfico de g.

→ g(x) =

c. Los puntos (2, –5) y (1, 0) pertenecen al gráfico de h.

→ h(x) =

Sé más Si los puntos (x1, y1) y (x2, y2) pertenecen a la gráfica de la función lineal f(x) = ax + b, con x2 ≠ x1, entonces: y2 – y1 a = _________ x –x 2

3. Analiza las representaciones gráficas del período de lactancia de una ballena

24 23 21 18 15 12 9 6 3

Longitud (metros)

Masa corporal (ton)

azul. Luego, responde en tu cuaderno.

2,5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 Tiempo (meses)

24 21 18 15 12 9 6 3 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 Tiempo (meses)

a. ¿Cuál es la función afín representada en cada gráfico? b. ¿Cuál es la masa corporal y la longitud de una ballena azul al momento de nacer? c. Al cabo de 4 meses, ¿cuál es la masa corporal y la longitud de una ballena azul?

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139

Lección 8: Función afín

Variación de una función La tasa de variación (4f) de una función f en el intervalo [a, b] es 4f = f(b) – f(a). Y

f(b1)

4f1 f(a1)

f(b2)

4f2

f(a2)

Donde: 4f1 = f(b1) – f(a1) es la variación de f en el intervalo [a1, b1] y, 4f2 = f(b2) – f(a2) es la variación de f en el intervalo [a2, b2].

Ejercicios resueltos 1. Calcula la variación de cada función según el intervalo dado. Luego, represéntala gráficamente y responde. a. f(x) = 1__2 x b. g(x) = 1 – x • 4g1 en [–2, –1]

• 4f1 en [–3, –1]

1 3 4f1 = f(–1) – f(–3) = − __ + __ = 1 2 2 • 4f2 en [1, 4] 1 3 4f2 = f(4) – f(1) = 2 – __ = __ 2 2

4g1 = g(–1) – g(–2) = 2 – 3 = –1

• 4g2 en [0, 3]

4g2 = g(3) – g(0) = –2 – 1 = –3

Desafío Investiga cuándo una función tiene una tasa de variación cero en un intervalo [a, b].

4f2 –4 –3

–2

–1

0 –1 –2

4f1

–3

–2

–1

4g2

0 –1

4g1

–2

c. ¿En cuál de los dos intervalos la función f tiene una mayor variación? Justifica. ▷ En el intervalo [1, 4], ya que la longitud es de 3 unidades y es mayor a la del intervalo [–3, –1], cuya longitud es de 2 unidades.

d. ¿Por qué la variación de la función g, en ambos intervalos, es negativa? ▷ Es negativa, ya que la pendiente de la función es negativa.

140

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Ejercicios propuestos 1. Completa la tabla. Para ello, calcula la variación de cada función en el intervalo y responde.

Intervalo Función

[–4, –1]

[–2, 1]

[0, 3]

[–1, 3]

[2, 7]

f(x) = 2x g(x) = –3x h(x) = x p(x) = x + 2 q(x) = –x + 3 r(x) = 2x – 4

a. De las rectas con pendiente positiva, asociadas a las funciones, ¿cuál es la función de mayor variación en el intervalo [0, 3]?

b. Si se considera otro intervalo en la pregunta anterior, ¿cambiaría tu respuesta? c. Considerando solo las rectas de pendiente negativa, asociadas a las funciones, ¿cuál es la función que tiene menor variación? ¿Se debe considerar el valor absoluto para responder?

2. Representa gráficamente las variaciones y completa. a. 4f1 en [0, 1] y 4f2 en [1,3]. Y

–2

–1

b. 4g1 en [–3, –1] y 4g2 en [1,3]. Y

f(x) = 2x + 1

–1 –2

5 X

–3

–2

–1

–1 –2

4f1 =

4g1 =

4f2 =

4g2 =

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g(x) =– 1 x + 2 2

141

Lección 8: Función afín

Crecimiento y decrecimiento Sea f una función lineal o una función afín: ◾ Si la pendiente de la recta que representa gráficamente a f es mayor que cero,

entonces f es creciente.

◾ Si la pendiente de la recta que representa gráficamente a f es mayor que cero,,

entonces f es decreciente.

Ejercicios resueltos 1. Identifica si las funciones son crecientes o decrecientes según la regla de formación dada.

a. f(x) = 5x – 7 ▷ Considerando [0, 1]: 4f = f(1) – f(0) = –2 + 7 = 5 > 0

Sé más Si f y g son dos funciones tales que: 4f > 4g > 0 en un intervalo [a, b], entonces se dice que f tiene mayor crecimiento o crece más rápido que g en [a, b].

Como 4f > 0, la pendiente de la recta asociada a f es positiva, luego, f es creciente. b. g(x) = − 5__2 x ▷ Considerando [–3, 0]: 15 15 4g = g(0) – g(–3) = 0 – ____ = − ____ < 0 2 2 Como 4g < 0, la pendiente de la recta asociada es negativa, luego, g es decreciente.

c. h(x) = 8 – 3x

▷ Considerando [2, 5]: 4h = h(5) – h(2) = –7 – 2 = –9 < 0

Como 4h < 0, la pendiente de la recta asociada es negativa, luego, h es decreciente. 2. Resuelve los problemas.

a. Si f(1) = 2 y 4f = 4 en [1, 2], ¿cuál es el valor de f(2)?

▷ Como 4f = f(2) – f(1) = 4, al reemplazar en esta igualdad f(1) = 2 se obtiene: f(2) – 2 = 4 Finalmente, al despejar f(2) se obtiene: f(2) = 4 + 2 = 6

b. Si g es una función lineal con 4g = 5 en [2, 3], ¿cuál es la regla de formación de g? ▷ Como g es lineal, tiene la forma g(x) = ax. Además: 4g = g(3) – g(2) = 5 Aplicando la expresión g(x) = ax se tiene: g(3) – g(2) = 3a – 2a = 5 ⇒ a = 5 Luego, g(x) = 5x.

c. Si h es una función lineal decreciente, ¿existe alguna relación entre su pendiente y la tasa de variación de cualquier intervalo? ▷ Si la función lineal es decreciente, entonces su pendiente y la tasa de variación en cualquier intervalo son ambas negativas.

142

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Ejercicios propuestos 1. Analiza la información del recuadro. Luego, responde. La representación gráfica de f(x) = x + 1 y g(x) = x – 1 es: Y

• En [–3, 1]:

4g = g(1) – g(–3) = 0 + 4 = 4 4f = f(1) – f(–3) = 2 + 2 = 4

3 2 f(x) = x + 1 –4

–3

–2

–1

Entonces, 4g = 4f en [–3, 1].

0 –1

g(x) = x – 1 1

• En [2, 5]:

4 X

4g = g(5) – g(2) = 4 – 1 = 3 4f = f(5) – f(2) = 6 – 3 = 3

–2

Entonces, 4g = 4f en [2, 5].

–3 –4

a. La tasa de variación de ambas funciones, ¿es siempre la misma para cualquier intervalo que se considere en ambas funciones?

b. Si el coeficiente de posición de g cambia a 2, ¿sus tasas de variación siguen siendo iguales a las de f en los mismos intervalos?

2. Representa gráficamente las funciones a partir de su regla de formación. Luego, completa con >, < o = según corresponda. f(x) = –x + 2

g(x) = 3x – 1

h(x) = 2x – 5

p(x) = 4x – 1

q(x) = –2x

r(x) = 3x + 3

Considerando el intervalo [–5, 5]

5 4 3 1

–2 –3 –4 –5 –6

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• 4g

• 4r

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1

• 4f

6 X

• 4h

• 4q

• 4h

• 4f

• 4p

143

Lección 8: Función afín

Variación constante Sé más Si f es una función lineal o una función afín: f(x + k) – f(x) = c representa una variación constante de un intervalo de longitud k unidades.

Si f es una función lineal o una función afín y c una constante, entonces f se puede expresar de la forma: f(x + 1) – f(x) = c Llamada variación constante. Gráficamente: Y

Considerando a = x y b = x + 1, la expresión anterior corresponde a la tasa de variación, es decir:

f(x+1) C f(x) 0

x x+1

c = 4f = f(b) – f(a)

Con intervalos de longitud de una unidad.

Ayuda Al hablar de variación constante, se asumirá que el intervalo considerado tiene una unidad de longitud, a menos que se entregue más información.

Ejercicios resueltos 1. Representa como una variación constante las funciones. Para ello, considera la variación en un intervalo de longitud una unidad.

a. f(x) = 5x + 4 ▷ f(x + 1) = 5(x + 1) + 4 = 5x + 5 + 4 = 5x + 9 f(x + 1) – f(x) = 5x + 9 – (5x + 4) = 5x + 9 – 5x – 4 = 5 Entonces: f(x + 1) – f(x) = 5.

b. g(x) = –3x ▷ g(x + 1) = –3(x + 1) = –3x – 3 g(x + 1) – g(x) = –3x – 3 – (–3x) = –3x – 3 + 3x = –3 Entonces: g(x + 1) – g(x) = –3. 2. Analiza los gráficos. Luego, identifica la variación constante representada.

y = g(x)

y = f(x) Y

–3 –2 –1 0 –1

2 X

–2

f(x + 1) – f(x) = f(–1) – f(–2) = 1 – 2 = –1.

144

y = h(x)

–1 0 –1

g(x + 1) – g(x) = 1.

4 X

–3 –2 –1 0 –1

2 X

h(x + 1) – h(x) = –1.

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Ejercicios propuestos 1. Analiza la información. Luego resuelve. Variación

f(–3)

f(–1)

f(0)

f(x + 1) – f(x) = 2

f(1)

f(4)

f(6)

f(x + 1) – f(x) = –3

–2

f(x + 1) – f(x) = 1

f(x + 1) – f(x) = –1

2. Determina la variación constante asociada a cada una de las funciones. Para ello, utiliza la regla de formación.

a. f(x) = 7x – 9

d. p(x) = –5x + 9

b. g(x) = 2__3 x – 5

3 e. q(x) = ___ x+1

c. h(x) = –0,7x

f. r(x) = 7x

3. Representa gráficamente cada una de las variaciones constantes. a. f(x + 1) – f(x) = 2

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b. g(x + 2) – g(x) = –3

145

Lección 8

Evaluación

Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos. 1. Identifica la regla de formación de cada función lineal representada en el gráfico. 4

a. Si f(–5) = 1 y f(3) = 9, entonces f(4) = y=h(x)

c. Si h(1) = 1 y h(2) = 5, entonces h(–6) =

1 –4

–3

b. Si g(–1) = –4 y g(0) = 3, entonces g(1) =

y=f(x)

–2

–1

3. Utiliza la información de cada función afín para calcular.

4. Analiza el gráfico. Luego responde.

y=p(x) 1

4 X

–1

–2

–4 g(x) =

–3 h(x) =

Precio 5.000 Producto A

4.000

–2

p(x) =

2. Analiza el gráfico. En él se representa el precio de dos productos con respecto al tiempo en venta:

3.000

–1 0 –1

Producto B

1.000

3 X

–2

a. ¿Cuál de ellas tiene variación positiva y cuál variación negativa? Considera cualquier intervalo. b. ¿El valor de 4f en [–5, –3] es igual a 4f en [1, 3]? ¿Por qué?

4p = –1 en [0, 2]

4q = 0,5 en [–1, 0] 4

7 Semana

b. ¿Cuál es el precio inicial de cada producto? c. ¿En qué semana los precios de los productos fueron iguales? d. ¿Cuál de los productos experimentó un crecimiento y cuál un decrecimiento en su precio? e. ¿Cuál será el precio de cada uno en la semana 8?

a. ¿Cuál es la regla de formación de las funciones afines representadas en el gráfico?

146

5. Representa gráficamente las funciones lineales p y q considerando la información y responde.

2.000

y=f(x)

y=g(x)

–3

f(x) =

2 1 –4

–3

–2

–1

4 X

–1 –2 –3 –4

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6. Responde cada pregunta.

8 Analiza la situación. Luego responde.

a. La pendiente de una función lineal creciente ¿es positiva o negativa? b. Si una función afín es decreciente, ¿su variación en cualquier intervalo es positiva? 7.

Identifica cada variación constante representada en el gráfico. Luego completa escribiendo en el recuadro. y₂

–5

y₃

1 –4

–3

–2

–1 0

donde V es la cantidad de productos vendidos y x el número de día del mes. a. ¿En cuántas unidades aumenta la venta en dos días consecutivos?

c. ¿En qué día le venta será de 81 productos?

y₄ 1

V(x + 1) – V(x) = 3

b. Si el 1 de diciembre se pueden vender solo 18 productos, ¿cuántos se venderán el 24 del mismo mes?

y₁

La expresión que representa las ventas diarias de una empresa durante el mes de diciembre es:

3 X

–1 –2

d. Si en lugar de 18 productos se hubiesen vendido 24 el 1 de diciembre, ¿cuántos productos más podrían haber vendido el 24 del mismo mes? 9 Representa como una variación constante cada situación. Define cada variable.

a. f(x + 1) – f (x) = 1___ 2

→

b. f(x + 1) – f (x) = –2

→

c. f(x + 1) – f (x) = 3

→

b. La cantidad (T) de turistas en un hotel disminuye en 10 personas cada 3 días.

d. f(x + 1) – f (x) = – 1___ 5

→

c. La cantidad (C) de pisos de un edificio en construcción aumenta en 3 cada 8 días.

a. El volumen (V) de un globo aumenta en 15 cc cada 5 minutos.

Me evalúo Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las siguientes categorías de desempeño: Por lograr (P.L.), Medianamente logrado (M.L.) y Logrado (L.). Indicador Analicé una función afín y su gráfico. (Preguntas 1, 2 y 3)

Identifiqué la variación de una función a partir de su gráfico. (Preguntas 4 y 5 )

Relacioné crecimiento y decrecimiento con la variación de una función. (Preguntas 6 y 7)

Resolví problemas de variación constante de una función. (Preguntas 8 y 9)

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147

UNIDAD

↘ Taller de TIC GeoGebra

Encontrar la ecuación de la recta que contiene dos puntos dados y la función asociada

1 2

Para encontrar la ecuación de la recta que contiene dos puntos dados y la función asociada a tal recta, se pueden llevar a cabo los siguientes pasos: Activa el programa GeoGebra.

En la casilla Entrada, que está en la parte inferior de la pantalla, ingresa los dos puntos conocidos A(x1, y1) y B(x2, y2). Por ejemplo, si los puntos son A(1, 2) y B(5, 6) debes escribir lo siguiente en la casilla: • A = (1, 2), luego presiona Enter. • B = (5, 6), luego presiona Enter. Es importante que A y B estén escritos con mayúsculas.

Buscar en los íconos superiores la aplicación: Recta que pasa por Dos Puntos.(

Selecciona ambos puntos, A y B. De esta forma se obtiene la recta que pasa por ellos.

4 148

Una vez dibujada la recta en el plano cartesiano, su ecuación se indica en la Vista Algebraica en el ítem Objetos Dependientes (zona izquierda de la pantalla). En este caso, la ecuación de la recta que contiene los puntos A(1, 2) y B(5, 6), como se observa en la imagen anterior, es –x + y = 1. Por lo tanto, al considerar y = f(x), se obtiene la regla de formación de la función asociada a la recta que contiene los dos puntos. En este caso, f(x) = x + 1. SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

1. Encuentra la ecuación de la recta que contiene los puntos dados y la regla de formación de la función asociada a ella. a. A(1, 5) y B(8, 10)

e. A(–10, –15) y B(17, –30)

b. A(–5, 1) y B(–3, –7)

f. A(12, –25) y B(16, –6)

c. A(0, 0) y B(3, 10)

g. A(3, 7) y B(18, –13)

d. A(–9, –5) y B(8, –3)

h. A(0, –15) y B(3, –16)

2. Representa gráficamente cada función lineal, considerando la información dada. a. f(2) = 7

e. j(12) = –15

b. g(4) = 10

f. k(8) = –7

c. h(–5) = 12

g. l(–10) = –8

d. i(–8) = 1

h. m(–12) = –13

3. Investiga en GeoGebra cómo puedes representar gráficamente una función de la forma y = f(x). Luego, representa cada función dada por las siguientes reglas de formación: a. y = 2x + 3

e. y = –3x + 2

b. y = 0,5x – 9

f. y = –7x – 9

c. y = 7x + 3

g. y = –4x + 5

d. y = x + 1

h. y = –0,2x + 10

4. Analiza la opción Intersección de Dos Objetos para determinar los puntos de intersección de las gráficas de cada función con los ejes coordenados. Interpreta cada resultado. a. y = x

e. y = –2x + 8

b. y = 2x – 9

f. y = –x – 10

c. y = 3x + 5

g. y = –4x + 2

d. y = 4x + 1

h. y = –5x + 15

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149

UNIDAD

Modelamiento de pregunta tipo SIMCE® Analiza el siguiente ejemplo de una pregunta de alternativas tipo SIMCE®. Si el siguiente gráfico representa una función lineal, ¿cuál es el valor de a? y

Esta pregunta involucra el concepto de función lineal.

9 0 3

A. 15 9 B. ___ 7 C. 27 D. 7 Clave: D. Se aplica directamente que la recta, por ser lineal, representa una proporcionalidad directa y el cociente de las cantidades es constante, esto es: 9 21 ___ = ____ a ⇒a=7 3

Si tienes dificultades para comprender la justificación, puedes reforzar este contenido, revisando la Lección 7 del Texto y las páginas respectivas de tu Cuaderno de ejercicios.

Distractores: A. Se cometió el error de considerar la diferencia de las cantidades constantes. De esta forma: 9 – 3 = 21 – a ⇒ a = 15 B. Se cometió el error de considerar que la recta, por ser lineal, representa una proporcionalidad inversa y el producto de las cantidades es constante, esto es: 9 9 · 3 = 21 · a ⇒ a = ___ 7 D. Se cometió el error de considerar la suma de las cantidades constantes. De esta forma:

Los errores cometidos al inclinarse por alguno de estos distractores son: • Considerar la suma o diferencia constante, en lugar del cociente. • Confundir la proporción directa con una inversa, considerando el producto constante en lugar del cociente.

9 + 21 = 3 + a ⇒ a = 27

150

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Ahora completa una pregunta de alternativas tipo SIMCE®. Para ello, resuelve cada sección según lo estudiado en la página anterior. Si la preimagen de 4 es 20, considerando una función de proporcionalidad directa f, ¿cuál es la preimagen de 2 considerando la función f?

Esta pregunta involucra los conceptos de:

A. 0,4 B. 10 C. 18 D. 40 Clave: B. Si tienes dificultades para comprender la justificación, puedes reforzar este contenido, revisando la Lección

del Texto y las páginas respectivas de

tu Cuaderno de ejercicios. Distractores: A. Se confundió el concepto de imagen y preimagen considerando f(20) = 4. De este modo, se consideró que f(2) = 0,4. Así, se contestó que el valor buscado es 0,4.

Los errores cometidos al inclinarse por alguno de estos distractores son:

C. Se cometió el error de considerar que la regla de formación de la función suma 16 unidades al elemento del dominio. De esta forma, se respondió que f(2) = 2 + 16 = 18. D. Se consideró de forma errónea que el concepto de proporcionalidad directa involucra productos constantes entre los elementos del dominio y los elementos del recorrido de la función. De esta forma, como 4 · 20 = 80, entonces, 2 · 40 = 80. Así, se contestó 40.

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151

UNIDAD

Evaluación final

Lee y responde las siguientes preguntas relacionadas con lo aprendido en esta unidad. I. Marca la alternativa que consideres correcta. 1. ¿Cuál de las expresiones es equivalente a (ab + x)2? A. ab2 + 2ab + x2

5 5 4 5 6. Si 1__ x + ___x − ___ = ___ x + ___, ¿cuál es el valor de x? 4 4 2 6 3 A. 5

B. (ab)2 + 4abx + x2

B. 8

C. x2 + 2ab + (ab)2

C. 10

D. 2abx + (ab)2 + x2

D. 15

2. ¿Cuál de las expresiones es equivalente a (a + b)2 – (a – b)2?

A. 0 B. 4b2 C. 4ab

A. $180.000

D. 2a2 + 4ab + 2b2

B. $280.000

3. ¿Cuál de las multiplicaciones corresponde a la expresión 3x2 + 4x + 1?

C. $300.000 D. $320.000

A. (3x – 1)(x – 1)

8. Si la diferencia entre la cuarta parte del triple de un número y el quíntuple de la diferencia entre el número y 1 es 4, ¿cuál es el número?

B. 3(x + 2)(x – 1) C. (3x + 1)(x – 1) D. (3x + 1)(x + 1)

(

)(

5. Si 3x – 4 = 6x – 10, entonces ¿cuál es el valor de x? B. 1 C. –1 D. –2

17 A. ____ 4 17 B. ____ 2 2 C. ____ 17 4 D. ____ 17

)

__ x − yz3 z3y + 2 __ x = 4. 2 3 3 ___ x2 − y2z6 A. 2 3 ___ x2 B. y2z6 − 2 3 4 C. ___x2 − y2z6 9 4 2 ___ D. x − y2z9 9 A. 2

Pedro necesita exactamente $900.000 para comprar 2 computadores que tienen igual precio y una impresora que cuesta la mitad de uno de los computadores más $100.000. ¿Cuál es el precio de cada computador?

Si x es un número entero, ¿cuál de los siguientes valores de x satisface la inecuación 1 + x > 4? 17 A. ____ 2 B. 4 C. 3 D. 2

__ x + 4 > 10, entonces: 10. Si 2 3 A. x < 9 B. x > 9 C. x < 6 D. x > 6

152

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1 , entonces: __ x + 1 ___ − 2 __ x > 1__ x + ____ 11. Si 1 4 5 3 2 10 9 A. x < ____ 34 4 B. x < ____ 17 9 C. x > ____ 34 4 D. x > ____ 17 5 4 12. Si 9x – __ ≤ ___ (2x – 1), entonces: 2 3 7 _____ A. x ≤ 38 4 ___ B. x ≤ 7 C. x ≤ 4 38 D. x ≥ _____ 7 13. Alberto tiene 10 años menos que Susana. Si las edades de ambos suman menos de 74 años, ¿cuál puede ser la edad máxima de Alberto? A. 25 años. B. 31 años. C. 32 años. D. 40 años. 14. La suma de los siete octavos de un número y los tres quintos de este es, a lo menos, 1. Los números que cumplen con esta condición se obtienen de: 40 A. x > _____ 59 _____ B. x < 20 59 31 C. x > _____ 5 3 D. x < ___ 2 15. Catalina tiene que transportar caballos y gallinas. Juan le dice que ha contado 60 cabezas y 180 patas, en total. ¿Cuántas gallinas va a transportar Catalina? A. 20 B. 30 C. 40

16. En la máquina, ¿cuál es el valor de y si x = 4? Ingreso

Máquina

Egreso

2x –7

A. –7 B. 1 C. 4 D. 8 17. En la máquina, ¿cuál es el valor de x? Ingreso

Máquina

6 – 2x

Egreso 10

A. –4 B. –2 C. 2 D. 10 18. ¿Cuál es la regla de formación de la función f que asigna a todo número entero su doble disminuido en la mitad de 12? A. f(x) = 2x – 6 B. f(x) = 6x – 2 C. f(x) = 2x – 12 D. f(x) = x – 6 19. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA respecto al diagrama sagital de la función f? A 0 1 2 3 4

B 0 2 4 6 8 10

A. f(2) + f(4) = 12. B. Si x ∈ A, entonces, f(x) = 2x.

C. El dominio de f es A = {0, 1, 2, 3, 4}. D. El recorrido de f es B = {0, 2, 4, 6, 8, 10}.

D. 50

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153

UNIDAD Evaluación final 20. El gráfico de la función f tiene asociada una proporcionalidad directa entre X e Y. ¿Cuál es el valor de la constante de proporcionalidad?

23. En la tabla, las variables A y B son directamente proporcionales. ¿Cuál es el valor de (a + b + c)2?

B. 144

C. 400

D. 625

5 4

24. ¿Cuál de las siguientes reglas de formación corresponden a una recta de pendiente 2 y coeficiente de posición 4?

3 2

A. f(x) = –2x – 4

1 1

7 X

A. 16

___ D. 1 4

A. –14

21. En la siguiente tabla, se muestran dos variables directamente proporcionales. x

¿Cuál es la función f que representa la proporcionalidad entre x e y? A. f(x) = 5x B. f(x) = 3x C. f(x) = x + 3 D. f(x) = 2x + 1 22. ¿Cuál es la función afín que contiene los puntos (0, 6) y (1, 2) en su gráfico? B. f(x) = 4x + 6 C. f(x) = –4x + 6 D. f(x) = 6x – 4

C. f(x) = –4x + 2

25. Si f es una función afín, tal que f(0) = 6 y f(2) = 10, ¿cuál es el valor de f(3) – f(–4)?

C. 2

A. f(x) = –4x – 6

B. f(x) = 2x + 4 D. f(x) = 4x – 2

B. 4

154

A. 100

B. –1 C. 1 D. 14 26. En un estacionamiento de automóviles se considera un cargo fijo de $1.000 y por cada minuto se deben pagar $20. ¿Cuál es la función que permite calcular el monto que se debe pagar al utilizar el estacionamiento exactamente por x minutos? A. f(x) = 1000x + 20 B. f(x) = 20x + 1.000 C. f(x) = 1000x – 20 D. f(x) = 20x – 1.000 27. ¿Cuál de los siguientes pares de valores se relacio__ x? nan considerando la función f(x) = 2 3 5 5 A. x = __ e y = __ 2 3 4 ___ B. x = ___ e y = 1 4 3 ___ C. x = 1__ e y = 1 2 6 __ e y = 1 __ D. x = 1 5 5

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II. Resuelve los problemas. 28. Multiplica y luego factoriza la expresión x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y).

29. En un puesto de verduras, un cliente pagó $6.000 por 4 kg de naranjas y 10 kg de palta. Otro cliente pagó $4.800 por 8 kg de naranjas y 4 kg de paltas. Calcula el precio de cada kilogramo de naranjas y de palta.

Me evalúo Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las respuestas correctas que hayas conseguido. I. Preguntas de alternativas Multipliqué y factoricé expresiones algebraicas. (Preguntas 1, 2, 3 y 4)

Resolví y apliqué ecuaciones con coeficientes racionales. (Preguntas 5, 6, 7, 8 y 9)

Resolví y apliqué inecuaciones con coeficientes racionales. (Preguntas 10, 11, 12, 13, 14 y 15)

Reconocí los elementos de una función. (Preguntas 16, 17, 18 y 19)

Representé, identifiqué y apliqué las funciones lineal y afín. (Preguntas 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 y 27)

de 4 de 5 de 6 de 4 de 8

II. Preguntas de desarrollo Resolví un problema de multiplicación y factorización. (Pregunta 28)

Resolví un problema de aplicación de ecuaciones. (Pregunta 29)

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de 1 de 1

155

156

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Unidad

Geometría

9 10

Geometría en el plano Geometría en el espacio

La geometría, en su forma más elemental, se preocupa del cálculo de áreas y perímetros de figuras planas y del área de la superficie y el volumen de cuerpos geométricos. Sus aplicaciones las podemos encontrar, por ejemplo, en la arquitectura desde tiempos muy remotos como también en algunas situaciones de la naturaleza. 1. ¿Reconoces alguna forma geométrica en la imagen? 2. ¿Qué transformación isométrica podrías asociar a la imagen? Explica.

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157

UNIDAD

Evaluación inicial

Resuelve la siguiente evaluación para iniciar la unidad de Geometría. 1. Calcula el valor de las raíces cuadradas: __

a. √16

__ √9

b. 60º

b. √36

e. √64

c. √25

___ √ 121

2. Clasifica cada triángulo según la longitud de sus lados.

a. 4 cm

70º

30º

4 cm

4. Calcula el área de cada triángulo. a.

4 cm

b. 7 cm 5 cm

5 cm 5 cm

3 cm

c. 9 cm 10 cm

5 cm

15 cm

7 cm

3. Calcula la medida del ángulo x en cada uno de los siguientes triángulos:

10 cm

7 cm

40º

158

60º

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5. Calcula el área y perímetro de cada figura. a.

Identifica las coordenadas de los puntos A, B, C, D y E representados en el plano cartesiano. Para ello, escríbelos como pares ordenados. Y

3 cm 6 cm

B 4 cm Centro

6. Responde las preguntas. a. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado de área 25 cm2? b. ¿Cuál es el largo de un rectángulo si su ancho es 3 cm y su área es 18 cm2? c. ¿Cuál es el perímetro de un círculo si su área es 49π cm2? d. ¿Cuál es el área de un círculo de perímetro 18π cm?

6 5 4 3 2 1

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 D –2

A E C 1 2 3 4 5 6 7

8. Representa en el plano cartesiano los puntos A(2, 5), B(5, –1), C(–2, 3), D(–6, –1) y E(0, 5). Y 6 5 4 3 2 1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2

1 2 3 4 5 6 7

(Pregunta 1)

Clasifiqué triángulos y calculé la medida de sus ángulos. (Preguntas 2 y 3)

Calculé el área de triángulos. (Pregunta 4)

Resolví problemas de área y perímetro de figuras. (Preguntas 5 y 6)

Identifiqué y representé puntos en el plano cartesiano. (Preguntas 7 y 8)

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159

Lección

Euclides He pensado mucho en su 5.° postulado.

Geometría en el plano ↘ Teorema de Pitágoras ↘ Recíproco del teorema de Pitágoras ↘ Transformaciones isométricas: traslación

Es muy claro, no hay nada que pensar.

Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo, la longitud del primer cateto al cuadrado más la del segundo cateto al cuadrado, es igual al cuadrado de la hipotenusa. Es decir: a2 + b2 = c2 El teorema se representa de la siguiente forma:

↘ Transformaciones isométricas: reflexión

a2 C b b

↘ Transformaciones isométricas: rotación ↘ Composición de transformaciones isométricas ↘ Simetría de polígonos

a y b: catetos c: hipotenusa

Donde el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. A partir de lo anterior, se puede establecer que: _____

a = √c2 − b2

_____

b = √c2 − a2

_____

c = √a2 + b2

Ejercicios resueltos Ayuda La ecuación c2 = 25 tiene dos soluciones: c = 5 o c = –5. En el contexto de la resolución de problemas que involucran el teorema de Pitágoras solo se considera la solución positiva, porque representa la longitud de un segmento.

160

1. Calcula la longitud desconocida de un triángulo rectángulo dadas las otras dos.

a. La longitud de los catetos es 3 cm y 4 cm. Si a = 3 cm y b = 4 cm, aplicando el teorema de Pitágoras y despejando: 32 + 42 = c2 ⇒ 25 = c2 ⇒ c = 5 o c = –5 Luego, c = 5 cm ya que corresponde a una longitud.

Aplicando la fórmula: _____

_____

c = √a2 + b2 ⇒ c =√32 + 42 __

c =√25 ⇒ c = 5

Luego, c = 5 cm.

b. La longitud de un cateto es 5 m y la de la hipotenusa es 13 m. Si b = 5 m y c = 13 m, entonces:

Aplicando la fórmula:

a2 + 52 = 132 ⇒ a2 = 132 – 52 ⇒ a2 = 144 ⇒ a =12 o a = –12 Luego, a = 12 cm ya que corresponde a una longitud.

c2 − b2 a =√______ ___ a =√132 − 52 =√144 = 12

_____

Luego, a = 12 cm.

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No lo creo, he pensado en una nueva geometría.

Creo que se podría omitir.

¿Conoce el concepto de relatividad?

Jajaja…nada es relativo… todo es absoluto.

Jajajaja...no me haga reír, ya está todo inventado, no servirá de nada.

¿Qué? ¿Está loco? Mis 5 postulados son fundamentales.

Ejercicios propuestos 1. Calcula la medida que falta, considerando a y b catetos y c hipotenusa. a. b. c. d.

e. f. g. h.

a = 6 cm y b = 8 cm. b = 24 cm y c = 26 cm. a = 18 cm y c = 30 cm. a = 12 m y b = 9 m.

a = 36 m y c = 60 m. a = 18 mm y b = 24 mm. b = 30 mm y c = 34 mm. a = 24 mm y c = 40 mm.

2. Analiza cada afirmación y escribe V si es verdadera o F si es falsa. Argumenta aquellas que sean falsas.

La hipotenusa siempre tiene una longitud mayor que los catetos.

Los catetos son los lados de un triángulo rectángulo que están frente al ángulo recto.

En un triángulo rectángulo, el ángulo recto está formado por los catetos.

Todos los triángulos tienen catetos.

Si la hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo miden respectivamente 3 cm y 5 cm, entonces, el otro cateto mide 8 cm.

Sé más

Existen triángulos rectángulos en los cuales uno de sus catetos tiene igual longitud que la hipotenusa.

3. Calcula la medida desconocida en cada triángulo. a.

6 cm

C y

e. 20 cm

10 cm

20 mm

15 cm

12 mm C

35 mm

28 mm

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40 m a

24 m C

x 32 m

Un trío pitagórico, es un trío de números naturales que satisface el teorema de Pitágoras. Algunos tríos pitagóricos se obtienen de: • (3k, 4k, 5k) • (5k, 12k, 13k) • (8k, 15k, 17k) Donde k ∈ ℕ. Por ejemplo,con k = 2 en (3k, 4k, 5k), se obtiene (6, 8, 10) con: 62 + 82 = 102 36 + 64 = 100 100 = 100

50 m

Euclides Es, sin lugar a dudas, el Matemático más famoso de la antigüedad y quizás el más nombrado y conocido de la historia de la Matemática. Su obra más importante es un tratado de geometría que recibe el título de "Los Elementos". Para obtener mayor información sobre este tema, ingresa el código SP8m161 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

Así, el trío obtenido es pitagórico.

161

Lección 9: Geometría en el plano Ayuda Los paralelogramos son las figuras 2D que tienen dos pares de lados paralelos. Estos se clasifican en: Cuadrado: Tiene todos los lados y los ángulos de igual medida. Rectángulo: Tiene dos pares de lados paralelos de igual longitud y todos sus ángulos son congruentes. Rombo: Tiene todos sus lados congruentes y tiene dos pares de ángulos congruentes. Romboide: Tiene dos pares de lados paralelos y dos pares de ángulos congruentes.

4. Calcula la medida desconocida en cada una de las figuras compuestas aplicando el teorema de Pitágoras.

f. D

60º

3 cm

60º C B

4 cm

50 mm

60º A

120 mm

g. D

3 cm 35 cm

13 cm

21 cm

x A

c. C

12 cm

16 cm

34 cm

15 cm D

d. D

Desafío

20 cm

60º 15 cm

40 m

e. C

x 60º D

120 m 60º A

A 30 m B

Utiliza el teorema de Pitágoras para demostrar que la diagonal de un cuadrado de lado a _ tiene longitud de a√ 2 .

9 cm

B C

50 cm

E x

30cm A A

162

30 cm

18 cm E x B

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5. Analiza el problema resuelto. Luego resuelve los ejercicios propuestos.

Sé más

Desde la entrada de un parque, Fernanda se desplaza 400 m al norte y luego 300 m hacia el este. ¿A qué distancia se encuentra de la entrada del parque? 300 m De los datos se tiene que: x2 = 3002 + 4002 ⇒ x2 = 90.000 + 160.000 ⇒ x2 = 250.000 Por lo tanto, Fernanda se encuentra a 500 m de la entrada, ya que:

400 m

Existen más de 6 demostraciones que verifican el teorema de Pitágoras. ¡Averígualas!

Entrada

5002 = 250.000

a. En un skate park construirán una rampa de 200 cm de alto y que ocupa, en el

suelo, una superficie de 480 cm de largo. ¿Cuánto mide de largo la superficie de deslizamiento de la rampa?

b. Juan sale del colegio y, para llegar a su casa, camina 15 cuadras en línea recta;

luego dobla a su derecha y recorre 8 cuadras más. Si la longitud de cada cuadra es 125 m, ¿a qué distancia está el colegio de su casa?

¿Qué opinas de esto?

6. Analiza el problema resuelto. Luego resuelve los ejercicios propuestos. Un resbalín de 200 cm de largo, ocupa en el suelo una superficie de 160 cm de largo. ¿Cuál debe ser la altura de la escalera del resbalín para que un niño pueda subir y deslizarse por él? Considerando la figura, se tiene que: _________

_____________

h = √2002 − 1602 → h = √40.000 ______ − 25.600 → h = √ 14.400 → h = 120

Por lo tanto, la altura de la escalera debe ser 120 cm.

200 cm

160 cm

a. A Francisco se le quedó enredado su volantín en la parte más alta de un árbol

cuya altura es 3 m. Si el hilo desenrollado mide 5 m y está completamente tenso, ¿cuántos metros tiene que caminar para llegar al árbol en el que se encuentra su volantín?

Algunas personas utilizan el hilo curado para encumbrar volantines o cometas. Esta práctica es muy peligrosa ya que puede causar desde cortes superficiales hasta lesiones más graves, incluso podría provocar la muerte.

b. Un poste de luz proyecta una sombra de 60 m de longitud. De la parte superior

del poste al suelo, hay un cable inclinado tenso de 75 m de longitud que conecta estos puntos. ¿Cuál es la altura del poste?

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163

Lección 9: Geometría en el plano

Recíproco del teorema de Pitágoras Si en un triángulo las medidas a, b y c satisfacen que a2 + b2 = c2, entonces, dicho triángulo es un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es de medida c y sus catetos miden a y b.

Ejercicios resueltos 1. Comprueba si los triángulos son triángulos rectángulos. Si lo son, indica las medidas de los catetos y de la hipotenusa.

40 cm

Según los datos de la figura: 402 + 302 = 1.600 + 900 = 2.500 = 502

50 cm

Por lo tanto, el triángulo es rectángulo. La longitud de la hipotenusa es 50 cm y la de los catetos 30 cm y 40 cm.

C 30 cm A

15 mm

Ayuda

Recuerda que:

( )

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 Ejemplo: (x + 5)2 = x2 + 2 · x · 5 + 52 = x2 + 10x + 25

152 + 362 = 225 + 1.296 = 1.521 Por otro lado: 452 = 2.025 ≠ 1.521

Ayuda

36 mm

45 mm

( )

__ 2= 1__ ⋅ 1__ = 1__ • 1 2 2 2 4 3 3 3 3 3 27 • __ = __⋅ __⋅ __ = ____ 4 4 4 4 64

Según los datos de la figura:

3 __ m 2

5 __ m 2 A

Por lo tanto, el triángulo no es rectángulo. B

Considerando las medidas de la figura:

( )

3 2 9 16 + 9 25 5 22 + __ = 4 + ___ = _________= ____ = __ 4 4 4 2 2

Por lo tanto, el triángulo es rectángulo de 3 5 hipotenusa __ m y de catetos 2 m y __ m. 2 2

2. Calcula el valor de x y las medidas del triángulo para que este corresponda a un triángulo rectángulo considerando: a = 8 m, b = (16 – x) m y c = (18 – x) m. ▷ Para que sean las medidas de un triángulo rectángulo, tienen que cumplir el teorema de Pitágoras, es decir: 82 + (16 – x)2 = (18 – x)2 Luego, aplicando los cuadrados de binomios: 64 + 256 – 32x + x2 = 324 – 36x + x2 64 + 256 – 32x = 324 – 36x –32x + 36x = 324 – 64 – 256 4x = 4 x=1 Por lo tanto, x = 1 y las medidas del triángulo rectángulo son 8 m, 15 m y 17 m.

164

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Ejercicios propuestos

Ayuda

1. Comprueba si los triángulos son triángulos rectángulos dadas las medidas de sus lados. Si lo son, indica las medidas de los catetos y de la hipotenusa.

a. a = 6 m, b = 8 m y c = 10 m.

d. a = 60 m, b = 80 m y c = 100 m.

Para resolver los ejercicios propuestos 1 y 2, considera el siguiente triángulo: c

b a

b. a = 15 cm, b = 8 cm y c = 17 cm.

e. a = 10 mm, b = 15 mm y c = 20 mm.

c. a = 10 m, b = 14 m y c = 18 m.

f. a = 34 m, b = 16 m y c = 30 m.

2. Calcula el valor de x y las medidas del triángulo para que este corresponda a un triángulo rectángulo.

a. a = 15 m, b = 20 m y c = (x + 5) cm.

c. a = (x – 10) m, b = 16 m y c = 34 m.

b. a = 20 m, b = 48 m y c = (x – 2) m.

d. a = 6 m, b = (16 – x) m y c = (x + 2) m.

3. Resuelve los problemas. a. Manuel construyó un corral rectangular para sus animales, y lo cercó con

alambre. Cuando terminó, midió algunas longitudes de la cerca: uno de sus lados medía 25 m y el lado adyacente 60 m. Luego, midió la longitud de la diagonal del corral rectangular y esta era de 70 m. ¿Es realmente rectangular el corral?

b. Maura está diseñando una tarjeta de Navidad, tal

como se muestra en la figura, con forma de triángulo rectángulo. ¿Cuál debe ser la altura de la tarjeta para que tenga la forma requerida?

51 cm

45 cm

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165

Lección 9: Geometría en el plano

Transformaciones isométricas: traslación Ayuda Una transformación isométrica es un movimiento que, aplicado a figuras 2D, conserva la forma y tamaño de la figura original; es decir, la figura original y la figura transformada (figura final) son congruentes.

Una traslación en el plano es una transformación isométrica que desplaza _› puntos o figuras según un vector de traslación ( u ).

C' A' _›

La figura que resulta de una traslación recibe el nombre de imagen.

Ejercicios resueltos 1. Aplica al triángulo _› ABC de vértices A(4, 1), B(2, –2) y C(1, 0) una traslación según el vector v = (–3, 1). Gráficamente:

Algebraicamente:

Como el vector es (–3, 1), cada punto del triángulo se traslada tres unidades hacia la izquierda y una hacia arriba.

A cada vértice del triángulo se le puede sumar el par (–3, 1). Esta adición se realiza coordenada a coordenada:

C' _› v –4 –3

–2 –1

(4, 1) + (–3, 1) = (1, 2)

(2, –2) + (–3, 1) = (–1, –1)

(1, 0) + (–3, 1) = (–2, 1)

C 0 –1

–2

–3

Los puntos (1, 2), (–1, –1) y (–2, 1) corresponden a los vértices del triángulo obtenido por la traslación, es decir, a la imagen.

2. Calcula los componentes del vector de traslación en el siguiente caso: se aplicó una traslación al punto A(–2, 1), resultando el punto imagen A’(1, –2). Gráficamente:

Algebraicamente:

Se representan ambos puntos en___ el›plano cartesiano y se grafica el vector AA' , que tiene origen en A y extremo final en A’. Y

Al realizar la traslación, al punto (–2, 1) se le sumó el punto (x, y), que representa al vector de traslación. Así:

(–2, 1) + (x, y) = (1, –2)

–3

–2

Luego, se puede resolver una ecuación por cada coordenada.

–1

–1 –2 –3

166

–2 + x = 1 ⇒ x = 3

1 + y = –2 ⇒ y = –3 Por lo tanto, las componentes del vector de traslación son x = 3 e y = –3. De esta forma, el vector de traslación es (3, –3).

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Ejercicios propuestos 1. Aplica una traslación al triángulo ABC a partir de los vectores dados. _›

_›

a. u = (2, 1)

b. v = (7, 1)

c. a = (–1, 3) Y

d. b = (–3, –1)

6 5 4 3

2 1

–8 –7

–6 –5

–4

–3

–2 –1

0 –1 –2

Desafío B

–3

2. Calcula las coordenadas de los vértices de la figura original, considerando la figura imagen y el vector de traslación.

1 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2

B' 3

E' 5 X

3 2 1

–5 –4 –3 –2 –1 0 –1

–3

5 X

–2

–4

La diagonal de un cuadrado tiene como coordenadas los puntos B(2, –2) y D(–1, 1). Si se traslada el cuadrado según el vector _› a = (5, –9), ¿cuáles son las coordenadas de los vértices del cuadrado imagen?

–3

Sé más

–4

3. Aplica las traslaciones pedidas. a. T( 1, 8 )(0, 0)

d. T( 7, 0 )(–5, 0)

g. T( 5, 3 )(1, 2)

b. T( -1, 0 )(5, 7)

e. T( −2, 5 )(6, –7)

h. T( −1, −1 )(–1, –1)

c. T( -8, -6 )(–2, 3)

f. T( 3, −1 )(0, 4)

i. T( −6, 5 )(4, 5)

La traslación en el plano cartesiano de un punto P(x, y) con respecto a un vector _› u = (u1, u2) puede ser definida como la función T_u›: T_u› (x, y) = (x + u1, y + u2)

4. Calcula los componentes del vector de traslación en cada caso. a. T_u (5, 8) = (–2, 3)

d. T_u (2, –7) = (5, 1)

g. T_u (4, –1) = (–5, 7)

b. T_u (–2, 6) = (5, –6)

e. T_u (–2, –2) = (8, 8)

h. T_u (0, 4) = (1, –2)

c. T_u (0, 2) = (–1, –7)

f. T_u (–3, 4) = (0, 0)

i. T_u (7, 9) = (–6, –2)

›

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›

167

Lección 9: Geometría en el plano

Transformaciones isométricas: reflexión Una reflexión respecto a una recta en el plano es una transformación isométrica que invierte la posición de un punto respecto a una recta.

C C'

E A

Ejercicios resueltos

El reflejo de las cebras en el agua se asemeja a una reflexión respecto a una recta.

1. Aplica una reflexión al segmento AB respecto a la recta L dada, con A(–1, 4) y B(0, 2). Para resolver, se puede graficar el segmento AB y la recta L. Luego, se grafica el punto A’, simétrico a A, a la misma distancia de la recta L que A y el punto B’, simétrico a B, a la misma distancia de la recta L que B. Por ___ simétrico a __ lo tanto, el segmento AB respecto a L es A’B’, con A’(5, 4) y B’(4, 2).

Ayuda Para reflejar una figura basta con reflejar sus vértices.

4 3 2

1 –2 –1

0 –1

6 X

2. Aplica a la figura ABCD una reflexión respecto al eje Y. Y D

3 2 1

–3 –2 –1 0 –1

–2 –3

3 2

1 1 2

–3 –2 –1 0 –1

Figura original

1 2

–2 –3

Figura imagen

3. El triángulo ABC fue reflejado respecto a una recta L y resultó el triángulo A’B’C’, como muestra la figura. Dibuja la recta L. Para dibujar la recta, se trazan segmentos que unan cada punto ___ ___ ___ con su imagen: AA’, BB’ y CC’.

Y B'

4 3 2

–5 –4 –3 –2 –1 0 –1 B

168

–2

C' –3

C 1

X La recta que pasa por todos los

puntos medios de los segmentos es el eje de reflexión y corresponde a la recta L solicitada.

4 3 2

Luego, se grafica el punto medio de cada segmento.

1 –6

–5 –4 –3 –2 –1 0 –1 B

C 1

–2

C' –3

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Ejercicios propuestos 1. Aplica una reflexión al triángulo ABC respecto a cada una de las rectas dadas. a. Eje X

b. Eje Y

c. y = x

6 5 4

3 2 1 –8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

2 A3

–1

8 X

–2

y=x

–3

2. Grafica el eje de reflexión en cada caso. Y

3 2

–5 –4 –3 –2 –1 0 –1

3 2

A' 1

1 2

5 X

–2

–5 –4 –3 –2 –1 0 –1 C

5 X

–2

C' –3

–4

–3

3. Aplica las siguientes reflexiones.

Sé más

a. Rx(6, 2)

d. Rx(–3, 4)

g. Ry(–1, –2)

b. Ry(–1, 5)

e. Ry(–7, 2)

h. Rx(–9, 0)

c. Rx(–2, –8)

f. Rx(10, 5)

i. Ry(3, –1)

4. Resuelve los problemas. a. Un rectángulo cuya diagonal tiene como extremos los vértices de coordenadas

La reflexión respecto al eje X es una función definida como: R x(x, y) = (x, –y) La reflexión respecto al eje Y es una función definida como: Ry(x, y) = (–x, y)

B(3, –1) y D(–2, 1) es reflejado con respecto al eje X. ¿Cuáles son las coordenadas de este último rectángulo? b. Si el punto (4, 6) es reflejado respecto al eje X y luego con respecto al eje Y, ¿qué punto se obtiene?

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169

Lección 9: Geometría en el plano

Transformaciones isométricas: rotación Una rotación en el plano es un movimiento que permite girar puntos del plano siguiendo un arco de circunferencia. Toda rotación se realiza bajo un centro de giro y un ángulo de giro.

D C'

Centro de giro: O Ángulo de giro: 90°

–1 0 –1

P 1

–2

Se traza el segmento AP y, como el ángulo de rotación es 90º, se construye una recta perpendicular __ a AP que pase por P.

–2

1. Aplica una rotación de 90º con centro en P(2, 1) al triángulo de vértices A(3, 0), B(–1, –3) y C(–2, 1).

–3

B D'

Ejercicios resueltos

El movimiento de un columpio puede asociarse a una rotación.

–3

3A 4

X Luego, se ubica el punto A’ sobre la

C –3

–1 0 –1

–2

recta a igual distancia de P que A. Lo mismo se realiza para todos los vértices del triángulo ABC.

–2

B' C'

–3

–4

2. Determina el ángulo de la rotación aplicada a la figura ABCD con centro en E(1, 0), si se obtuvo la figura A’B’C’D’. Sé más Sentido horario es el sentido en se mueven las manecillas del reloj y también es llamado sentido negativo. Sentido antihorario es el sentido opuesto al movimiento de las manecillas del reloj y también es llamado sentido positivo.

170

Se traza el segmento desde un vértice de la figura hasta E y otro desde la imagen de ese vértice hasta E.__ En este ___ caso, se trazaron los segmentos CE y C’E. Luego, se mide el ángulo que forman ambos segmentos.

Y 1

D' –4 –3

–2 –1 0 –1

240° E1

En este caso, se dice que el ángulo de rotación fue de 240° en sentido antihorario, o bien, 120° en sentido horario.

–2 –3

–4

3. Determina el centro de la rotación aplicada a la figura ABC con un ángulo de 90º, si se obtuvo la figura A’B’C’. Se los segmentos ___trazan ___ ___ AA’, BB’, CC’, y la recta perpendicular a cada segmento que pase por su punto medio (llamada simetral o mediatriz). El punto de intersección de las simetrales es el centro de la rotación y es independiente del ángulo de rotación.

Y 4

B –6

–5

–4

–3

–2

1 –1

C' 1

–1

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Ejercicios propuestos 1. Aplica una rotación al triángulo ABC según cada uno de los centros y ángulos de rotación dados.

a. 90º, centro en el origen.

b. 180º, centro en C. c. –90º, centro en (3, –1). Y

6 5 4

3 2 1 –8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

B 3

–1 –2 –3

2. Identifica el ángulo de rotación en cada caso, considerando que se realizó una rotación con centro en el origen.

a. A

3 2

B –2

C C'

–1 0 –1

–2

–3

A' 1

B 2

D' 4X

–3

–2

–1 0 –1

–2

B–3

3. Identifica el ángulo de rotación o el punto original según corresponda. a. R(O, α)(–7, 6) = (7, –6)

c. R(O, 180°)(x, y) = (–12, 3)

b. R(O, β)(5, –8) = (–8, –5)

d. R(O, 90°)(x, y) = (–4, 5)

4. Resuelve los problemas. a. Un triángulo de vértices A(–1, 3), B(–8, –6) y C(9, –3) fue rotado respecto al origen, con un ángulo de rotación de 270°. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo rotado? b. A un cuadrilátero se le aplicó una rotación de 90° respecto del origen en sentido antihorario, obteniéndose otro de vértices en los puntos M(–9, 1), N(–1, 0), O(2, –3) y P(5, 2). ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices del cuadrilátero original? SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

Sé más Una rotación en el plano con centro P y ángulo α se puede escribir de la forma R(P, α). En particular, R(O, α) corresponde al giro de un punto P(x, y), respecto al origen O(0, 0) y un ángulo de rotación α, en sentido antihorario. Para rotar un punto, puedes utilizar las siguientes expresiones: • R(O, 90°)(x, y) = (–y, x) • R(O, 180°)(x, y) = (–x, –y) • R(O, 270°)(x, y) = (y, –x) • R(O, 360°)(x, y) = (x, y)

171

Lección 9: Geometría en el plano

Composición de transformaciones isométricas Cuando se aplica una transformación isométrica y luego a la imagen obtenida se le aplica otra, se habla de una transformación isométrica compuesta.

Ejercicios resueltos 1. Aplica una traslación al segmento de extremos A(2, 2) y B(–1, 1) _ según el vector _› › u = (4, 1). Luego, traslada el segmento obtenido según el vector v = (−3, 1). ¿Es __ posible expresar ambas traslaciones como una sola aplicada a AB? Y 3

B''

B v –3

–2

u 1

Al trasladar AB según u ,___ se obtiene ___ A’B’ . Luego, al trasladar A’B’ según ____ _› v , se obtiene A’’B’’.

Este proceso __ es equivalente ____› _a› _› trasladar AB según u + v = u + v = 6 X (1, 2).

–1 0 –1

_›

A''

4 3

B''

B –3

–2

u +v

–1 0 –1

2. Aplica una rotación al triángulo de vértices A(3, 2), B(–2, 0) y C(5, –1) con centro en el origen y ángulo 90º. Luego, rota el triángulo imagen con centro en el origen y ángulo 60º. ¿Es posible expresar ambas rotaciones como una sola aplicada al triángulo ABC? Y

C''

4 3

–4 –3 –2 –1 0 A'' –1 –2

B''

Al rotar △ABC en 90º se obtiene △A’B’C’. Luego, al rotar △A’B’C’ en 60º se obtiene △A’’B’’C’’.

C''

Este proceso es equivalente a rotar △ABC en 90° + 60º = 150º, ya que ambas rotaciones tienen el mismo centro.

1 150° –4 –3 –2 –1 0 1 A'' –1

5 4 3

–2

B''

3. Aplica una reflexión al segmento de extremos A(1, 1) y B(2, 0) según la recta L1. Luego, refleja el segmento imagen según la recta L2. ¿Es posible expresar ambas reflexiones como una sola aplicada al segmento AB? 2 1 –3

–2

–1 0 –1

B 1

B''

A''

–2

–3 –4 –5

172

___

Al reflejar AB___ según L1 se obtiene A’B’ y____ al reflejar A’B’ según L2 se obtiene A’’B’’.

Como se puede observar en el gráfico, este proceso__no es equivalente a reflejar AB según alguna recta.

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Ejercicios propuestos 1. Describe la composición de transformaciones aplicadas en cada caso al

triángulo ABC, si: T1 se aplicó a 4ABC y se obtuvo 4A’B’C’; T2 se aplicó a 4A’B’C’ y se obtuvo 4A’’B’’C’’ y T es la composición expresada como una sola transformación aplicada a 4ABC, con la que se obtiene 4A’’B’’C’’.

b. B

–5

–6

C' C'' –4

–3

–2

C''

1 0

–1

–6

–5

–4

–3

–2

–3

B'' A'

–1

–2

B''

A''

–1

A''

B A

2. Aplica cada transformación compuesta, si T1 corresponde _a una reflexión ›

respecto al eje X y T2 es una traslación respecto al vector u = (–1, 2).

a. T1T2 sobre el punto A = (2, 3). b. T1T2 sobre el segmento de extremos A = (2, 3) y B = (1, 1). c. T2T1 sobre el segmento de extremos A = (–1, –1) y B = (1, 5).

–2 –3

Ayuda T2T1 indica que primero debes aplicar la transformación T2 y luego la T1.

d. T1T2 sobre el triángulo de vértices A = (–2, 1), B = (0, 1) y C = (–1, 3). e. T2T1 sobre el cuadrado de vértices A = (–2, 0), B = (–2, 2), C = (0, 2) y D = (0, 0).

3. Evalúa las siguientes afirmaciones. Para ello, escribe V si es verdadera o F si es falsa:

Aplicar una rotación con centro en (0, 0) y ángulo 180º y luego rotar con centro (2, 2) y ángulo 90º es equivalente a aplicar una rotación con centro en (1, 1) y ángulo 270º.

Al aplicar una reflexión respecto al eje X y luego una rotación en 180° en torno al origen, se obtiene siempre la figura inicial.

Si a un punto de coordenadas (x, y) se le aplica una reflexión respecto al eje X y luego una reflexión respecto al eje Y se obtiene un punto de coordenadas (x, –y).

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173

Lección 9: Geometría en el plano

Simetría de polígonos Un polígono (una figura) es simétrico si: ◾ Al dividirlo en dos partes por medio de un segmento, cada parte generada se puede considerar como una reflexión de la otra con respecto a dicho segmento. Un polígono puede no tener ningún eje de simetría o tener uno o más ejes de simetría.

Ejercicios resueltos 1. Analiza cada polígono. Luego dibuja los ejes de simetría de cada figura.

a. Rectángulo ABCD

c. Rombo ABCD C

C D

B A

b. Triángulo equilátero ABC

d. Cuadrado ABCD

2. Observa los polígonos regulares. Luego, concluye con respecto a la cantidad de lados y la cantidad de ejes de simetría. Triángulo equilátero

Cuadrado

Pentágono regular

Hexágono regular

3 ejes

4 ejes

5 ejes

6 ejes

▷ Se cumple la condición de que los polígonos regulares tienen tantos ejes de simetría como lados: • Si el número de lados es impar, los ejes de simetría son las rectas que unen cada vértice con el punto medio de su lado opuesto. • Si el número de lados es par, los ejes de simetría son las rectas que unen vértices opuestos y las que unen puntos medios de lados opuestos.

174

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Ejercicios propuestos 1. Observa las figuras. Luego, de tener, esboza sus ejes de simetría. a.

2. Completa cada figura para que la línea segmentada corresponda a un eje de simetría.

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175

Lección 9

Evaluación

Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos. 1. Calcula el valor de x en cada figura.

a. Calcula la medida del lado de un rombo cuyas diagonales miden 7,2 cm y 9,6 cm.

a. x

18 cm

3. Resuelve los problemas.

b. Una escalera de 325 cm de longitud está apoyada sobre una pared que es perpendicular al suelo. Si el pie de la escalera está a 1,25 m de la pared, ¿a qué altura se apoya la parte superior de la escalera en la pared?

24 cm

b. x

24 cm

c. Calcula el perímetro de un rectángulo cuya diagonal mide 5,8 cm y uno de los lados, 4 cm. 26 cm

12 cm x

9 cm

d. Una persona observa la cúspide de un árbol que está ubicado a 12 m de él. La distancia entre sus ojos y la cúspide es 13 m. Si la altura del hombre hasta sus ojos es 165 cm, ¿cuál es la altura del árbol? e. La base de un triángulo isósceles es 12 cm y sus lados miden 7,5 cm. ¿Cuál es el área del triángulo?

17 cm

d. 40 cm

4. Aplica la traslación sobre la figura, respecto a cada uno de los vectores que se indican. Y 8

32 cm

7 6

2. Comprueba si los siguientes triángulos son rectángulos:

4 3

2 1

26 cm

24 cm

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1

_›

10 cm

6 7X

–2

a. u = (5, 1) 8 cm

_›

b. v = (–1, 2)

12 cm 18 cm

176

5. Aplica una rotación sobre la siguiente figura, para cada una de las condiciones que se indican. Y 8 7 6 5 4 3 2 1

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8

Analiza cada una de las transformaciones isométricas. Luego responde utilizando el plano cartesiano dado. T1: Reflexión en torno al eje Y. T2: Rotación en 90° respecto al origen. _›

T3: Traslación respecto al vector v = (–2, 3). 1 2 3 4 5 6 7X

a. En torno al origen en 180°. b. En torno al origen en –270°. 6. Responde cada pregunta. a. Si a un punto en el primer cuadrante se le aplica una rotación en 180° respecto al origen, ¿en qué cuadrante queda ubicado su punto imagen? b. Al aplicar una reflexión a un punto con respecto al eje Y, su imagen queda ubicada en el segundo cuadrante, ¿en qué cuadrante está ubicado dicho punto? c. Aplicar una reflexión a un punto con respecto al eje X es equivalente a aplicarle una rotación en 270° con respecto al origen. ¿Es cierta esta afirmación? Justifica.

a. ¿Cuáles son las coordenadas del punto imagen que se obtiene al aplicar T3T1 al punto A(–5, –4)? b. ¿Cuáles son las coordenadas de la figura imagen que se obtiene al aplicar T2T1 sobre el cuadrado de vértices A(4, –1), B(4, –2), C(5, –1) y D(5, –2)? c. ¿Cuáles son las coordenadas de la figura imagen que se obtiene al aplicar T2T3 sobre el triángulo de vértices A(0, 0), B(–4, 0) y C(0, 3)? Y 8 7 6 5 4 3 2 1

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8

1 2 3 4 5 6 7X

Me evalúo Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las siguientes categorías de desempeño: Por lograr (P.L.), Medianamente logrado (M.L.) y Logrado (L.). Indicador Apliqué el teorema de Pitágoras y su recíproco. (Preguntas 1, 2 y 3)

Apliqué transformaciones isométricas. (Preguntas 4, 5 y 6)

Apliqué composición de transformaciones isométricas. (Pregunta 7)

177

UNIDAD

↘ Taller de TIC GeoGebra

Transformaciones isométricas con software de geometría dinámica GeoGebra es un software que da la posibilidad de construir figuras geométricas, experimentar, analizar, comprobar resultados, etc. Puedes descargarlo en forma gratuita en www.geogebra.org. Para realizar traslaciones en GeoGebra puedes seguir estos pasos. Recuerda que puedes seleccionar si trabajas con o sin los ejes y la cuadrícula, seleccionando la opción correspondiente en el menú Vista.

1 2 3 4 178

Construye el objeto que vas a trasladar. Punto

Segmento A

Presiona el ícono . Presiona el ícono . LueLuego, haz clic en algún lugar go, haz clic en dos lugares del plano. del plano.

Polígono Presiona el ícono . Luego, haz clic en distintos lugares del plano, estos serán los vértices del polígono. Finaliza la construcción haciendo clic en el primer vértice.

Construye el vector según el cual vas a trasladar. . Luego, haz Para ello, selecciona la opción clic en dos puntos del plano. El primero que selecciones será el extremo final del vector y el segundo el extremo inicial.

Traslada el objeto. Para ello, selecciona la opción . Luego, haz clic en el objeto que vas a trasladar y en el vector.

Modifica las condiciones de traslación. Para ello, de la barra de herramientas. presiona el botón Esta opción te permite mover elementos. Así, puedes seleccionar uno de los extremos del vector y observar cómo cambia la traslación.

1. Utilizando GeoGebra, realiza cada traslación y escribe las coordenadas resultantes. a. Traslada el segmento de extremos (–5, –2) y (–4, 0) respecto al vector de extremo inicial (0, 0) y extremo final (3, 1). b. Traslada un triángulo de coordenadas (–6, 0), (–5, 2) y (–3, 1) respecto al vector de extremo inicial (0, 4) y extremo final (2, 5). 2. Analiza la siguiente información. Luego, realiza las reflexiones y escribe las coordenadas resultantes. ◾ Para aplicar una reflexión respecto a una recta, grafica el objeto que quieras reflejar. Luego, utilizando la opción la opción

, grafica la recta respecto a la cual reflejarás. Finalmente, con

, realiza la reflexión.

a. Aplica una reflexión al segmento de extremos (–1, 1) y (1, 4) respecto a la recta que contiene a los puntos (0, 0) y (–1, 2) . b. Aplica una reflexión al polígono de vértices (1, 4), (1, 2), (3, 2) y (3, 4) respecto a la recta que contiene a los puntos (–3, –2) y (–4, 5). c. Aplica una reflexión al segmento de extremos (1, –1) y (3, 2) respecto a la recta que contiene a los puntos (0, 3) y (5, 3). d. Aplica una reflexión al polígono de vértices (–1, –1), (1, –2), (3, –2) y (3, 0) respecto a la recta que contiene a los puntos (3, 0) y (5, 0). 3. Analiza la información. Luego, realiza las rotaciones y escribe las coordenadas resultantes. ◾ Para aplicar una rotación, grafica el objeto que quieras rotar y el punto que será el centro y haz clic en el objeto y en el punto. Finalde la rotación. Luego, selecciona la opción mente, aparecerá una ventana en la que debes escribir la medida del ángulo según el cual vas a rotar y seleccionar el sentido (horario o antihorario). a. Rota un triángulo en torno a uno de sus vértices en 60º, en sentido horario. b. Rota un segmento en torno a su punto medio en 90º en sentido antihorario. c. Rota el polígono de vértices (2, 1), (–5, 1), (3, 4) y (0, 1) en torno al origen en 45º, en sentido antihorario.

179

Lección

Arquímedes Parece que mi corona no es solo de oro. Mmm…podría contener cobre o plata.

Geometría en el espacio ↘ Cilindro: redes y sus elementos

Cilindro: redes y sus elementos

↘ Área de un cilindro ↘ Volumen de un cilindro ↘ Prismas: redes y sus elementos

El cilindro es un cuerpo geométrico que tiene dos bases circulares y una superficie lateral. Al representar la red de construcción de un cilindro, la superficie lateral es un rectángulo de lados h y 2πr. Los elementos de un cilindro son: radio (r) y altura (h). r

↘ Área de un prisma ↘ Volumen de un prisma

r 2πr

↘ Aplicaciones ↘ Transformaciones isométricas en el espacio: traslación ↘ Transformaciones isométricas en el espacio: rotación

Ejercicios resueltos 1. Identifica las dimensiones de la red de construcción de un cilindro de radio 3 cm y de altura 7 cm. 3 cm

7 cm

6π cm 3 cm

3 cm

▷ El radio de los círculos es 3 cm y las medidas del rectángulo son 7 cm y 6π cm. 2. Identifica las dimensiones del cilindro dada su red de construcción. 2m

4π m 2m

▷ La altura del cilindro es 8 m y su radio es 2 m.

180

ΣURΣKA!

Como el cobre y la plata son más livianos que el oro.

Solo tendría que saber el volumen de la corona… pero es imposible…tiene una forma muy irregular…

Ejercicios propuestos 1. Identifica las dimensiones de la red de construcción que genera cada cilindro, dadas sus medidas.

6 cm 8m

18 cm

3 mm

5,5 mm

El tornillo de Arquímedes El tornillo de Arquímedes es de forma cilíndrica. Por dentro funciona con un helicoide y antiguamente se utilizaba para elevar agua, harina, material excavado, etc. Arquímedes (287 a. C.212 a. C.) fue el creador de este aparato, y se dice que a través del tornillo se extraía agua de los ríos para regar los jardines colgantes de Babilonia, una de las antiguas maravillas del mundo.

2. Identifica las medidas faltantes en cada caso, dados un cilindro y su red de construcción.

5 cm

2 cm 6π m

2 cm

181

Lección 10: Geometría en el espacio

Área de un cilindro El área de un cilindro de radio r y altura h se puede calcular del siguiente modo: r

Área basal (Ab)

Área total (At)

r 2πr

Ab = π · r2 Área lateral (Al) 2πr

At = 2Ab + Al At = 2 · π · r2 + 2 · π · r · h

Al = 2 · π · r · h Ayuda Cuando calcules áreas, recuerda escribir la unidad de medida elevada al exponente 2. Por ejemplo: en Ab = 2 · π · r2, si la medida del radio es 5 m, entonces el área basal resulta: Ab = 2 · π · (5 m)2 = 2 · π · 25 m2 = 50π m2 Luego, la unidad de medida queda elevada al cuadrado.

Ejercicios resueltos 1. Calcula el área total del cilindro dadas las dimensiones de su red. 8m

16π m

15 m

▷ El área total del cilindro es igual a la suma de las área de las figuras que componen la red: Área de un círculo de radio 8 m: π · 82 m2 = 64 π m2 Área de un rectángulo de lados 15 m y 16π m: 15 · 16π m2 = 240π m2 Luego, el área total es: 2 · 64π m2+ 240π m2= 368π m2 2. Calcula el área total de un cilindro de radio 5 cm y altura 12 cm. ▷ Para calcular el área total del cilindro, se debe calcular su área basal y su área lateral. Luego, sumar ambas medidas. 5 cm

Los datos son: h = 12 cm y r = 5 cm: Ab = π · 52 cm2 = 25π cm2

12 cm

Al = 2 · π · 5 · 12 cm2= 2 · π · 60 cm2 = 120π cm2 At = (2 · 25π + 120π) cm2 El área del cilindro es 170π cm2.

182

Ejercicios propuestos 1. Calcula el área basal y el área lateral de cada cilindro. Luego, calcula el área total.

5 cm 8 cm

7m 16 m

11 mm 45 mm

2. Calcula el área total de cada cilindro según las medidas dadas. a. 5 cm de radio y 8 cm de altura. b. 16 m de radio y 27 m de altura. c. 4 cm de radio y 16 cm de altura. d. 12 cm de diámetro y 28 cm de altura. e. 6 m de diámetro y 14 m de altura. 3. Resuelve los problemas. a. La altura de un cilindro es el doble de su radio. Si su área basal es 49π dm2, ¿cuál es el área lateral del cilindro?

b. Si el área lateral de un cilindro es 12π cm2 y el área total es 20π cm2, ¿cuál es la altura de este cilindro?

c. Un cilindro tiene un área total de 16π m . Si se sabe que la altura y el radio son 2

iguales, ¿cuál es el área lateral del cilindro?

d. Una caja con forma de cilindro de 3 m de altura y 1,5 m de radio basal tiene que ser forrada con papel lustre. ¿Cuál es la superficie que tendrá que ser forrada, si se sabe que la caja no tiene tapa?

↘

Taller de Matemática aplicada

Ayuda r2 = 1 ⇒ r = 1 o r = –1, ya que: • 1 · 1=1 • –1 · (–1) = 1 Así, r puede ser 1, o –1, pero se debe considerar el contexto. Si r es radio, no puede ser un número negativo.

Habilidad: aplicar

Se necesita etiquetar 500 tarros como el de la imagen. Si cada etiqueta cubre toda la superficie lateral de un tarro, ¿cuánto papel se necesita, aproximadamente, sabiendo que este no se superpone al pegarlo? Considera π = 3,14. A. B. C. D.

2.009,6 cm2. 125.600 cm2. 251.200 cm2. 1.004.800 cm2.

8 cm

10 cm

183

Lección 10: Geometría en el espacio

Volumen de un cilindro El volumen (V) de un cilindro de radio r y altura h se calcula mediante la siguiente expresión:

V = Ab · h

V = π · r2 · h

Ayuda Cuando calcules volúmenes, recuerda escribir la unidad de medida elevada al exponente 3. Por ejemplo: Si el radio es 2 m y la altura es 4 m, entonces el volumen del cilindro es: V = π(2 m)2 · 4 m = π · 4 m2 · 4 m = 16π m3 Luego, la unidad de medida queda elevada a 3.

Ejercicios resueltos 1. Calcula el volumen de un cilindro de radio 7 cm y altura 21 cm. ▷ Para calcular el volumen, se reemplazan los datos en la expresión V = πr2h. 7 cm

21 cm

Los datos son h = 21 cm y r = 7 cm. V = π · 72 · 21 cm3= π · 49 · 21 cm3= 1.029 π cm3 El volumen del cilindro es 1.029π cm3. 2. Calcula el radio de un cilindro de altura 12 m y volumen 768π m3. ▷ Se reemplaza h = 12 y V = 768 π en la ecuación V = πr2h: 768π = π · r2 · 12 ⇒ r2 = 64 ⇒ r = 8 Por lo tanto, el radio del cilindro es 8 m. 3. Calcula la altura de un cilindro de radio 4 mm y volumen 224π mm3. ▷ Se reemplaza r = 4 y V = 224π en la ecuación V = πr2h: 224π = π · 42 · h ⇒ h = 14 Por lo tanto, la altura del cilindro es 14 mm. 4. Calcula el volumen del cilindro que se puede construir con la siguiente red:

20π cm

La altura del cilindro es 20 cm y el radio es 10 cm, ya que 20π = 2πr. 20 cm

Reemplazando en V = πr2h, se tiene: V = π · 102 · 20 = 2.000π Por lo tanto, el volumen del cilindro es 2.000π cm3.

184

Ejercicios propuestos 1. Calcula el volumen de los cilindros. a.

6 cm

5 cm

20 cm

12 cm

2. Calcula el volumen de cada cilindro a partir de las medidas. Considera π = 3,14. a. 3 cm de radio y 8 cm de altura. b. 14 cm de diámetro y 5 cm de altura. c. 8 cm de diámetro y 7 cm de altura. d. 4 cm de radio y 20 cm de altura. e. 20 m de diámetro y 4 m de altura. 3. Resuelve los siguientes problemas. a. Un cilindro tiene un volumen de 12π cm3 y su base tiene un radio de 2 cm. ¿Cuál es su altura?

b. Un cilindro de volumen 40π m3 tiene un radio de 0,2 m. ¿Cuál es su área? c. Un cilindro tiene un volumen de 48π cm3 y su altura es 3 cm. ¿Cuál es el radio de su base?

d. La altura de un cilindro es el triple del radio de su base. Si el radio del cilindro es 5 cm, ¿cuál es su volumen?

e. Un cilindro tiene un área basal de 128π cm2. Si su altura es 6 cm, ¿cuál es su volumen?

f. El diámetro de una de las bases de un cilindro es 28 cm y el área total es 2.156π cm2. ¿Cuál es su altura?

g. Calcula el volumen del cilindro al cual corresponde la siguiente red de construcción.

Desafío A partir de la expresión que permite calcular el volumen de un cilindro, encuentra una expresión que permita calcular la altura de un cilindro dados su volumen y radio basal, y una expresión que permita calcula el radio de un cilindro dados su volumen y su altura.

12 cm 15 cm

185

Lección 10: Geometría en el espacio

Prismas: redes y sus elementos Sé más Prismas rectos: Son aquellos cuyas caras laterales son rectángulos o cuadrados. Sus aristas laterales son perpendiculares a las bases.

Un prisma es un cuerpo geométrico formado por dos bases congruentes y paralelas y caras laterales que son paralelogramos. Su nombre está asociado al polígono que forma la base. Cada prisma se puede asociar a una red de construcción. Red de construcción

Prisma Base Base Cara lateral

Altura

Caras laterales Altura

Base Prismas oblicuos: Son aquellos cuyas caras laterales son paralelogramos que no son rectángulos ni cuadrados. Sus aristas laterales no son perpendiculares a las bases.

Base

Ejercicios resueltos 1. Escribe el nombre de cada prisma.

Prisma de base triangular

Prisma de base pentagonal

Prisma de base cuadrada

2. Esboza el prisma a partir de la red de construcción e identifica sus dimensiones. 2 cm 2 cm 7 cm 7 cm

2 cm

186

2 cm

Ejercicios propuestos 1. Esboza la red de construcción de cada prisma identificando sus dimensiones. Considera que los prismas son rectos y regulares.

Sé más Prisma

Red de construcción

2 cm

Los prismas rectos se clasifican en: Prismas regulares: son aquellos cuyas bases son polígonos regulares. Triángulo equilátero

3 cm

6 cm

Prismas irregulares: son aquellos cuyas bases son polígonos irregulares.

2 cm

Triángulo escaleno

2. Esboza el prisma a partir de la red de construcción dada y escribe su nombre. Red de construcción

Prisma

Formada por cuadrados congruentes.

4 cm

Formada por rectángulos y triángulos equiláteros. 5 cm

7 cm

187

Lección 10: Geometría en el espacio

Área de un prisma El área lateral de un prisma es igual al producto del perímetro de la base por su altura. El área total de un prisma es la suma del área lateral más el área de las dos bases. Área total = Área lateral + 2 · Área basal

Ejercicio resuelto 1. Calcula el área del prisma cuya base es un triángulo rectángulo. ▷ Área lateral: considerando el perímetro del triángulo de la base: (3 + 4 + 5) cm ⋅ 8 cm = 96 cm2

3 cm

4 cm 8 cm

Área basal: si consideramos el triángulo rectángulo de base 3 cm y altura 4 cm, su área es: 3 ⋅4 2 ________ cm = 6 cm2 2

5 cm 3 cm

Área total: 96 + 6 ⋅ 2 = 108 cm²

4 cm

Ejercicios propuestos 1. Calcula el área de los prismas de base rectangular. b.

a. 12 cm

10 cm 10 cm

6 cm 5 cm

8 cm

◾ Modela una fórmula para el área de los prismas con base rectangular de lados a y b y altura h.

2. Calcula el área de los prismas cuya base es un triángulo rectángulo. b.

a. 12 cm 3 cm

4 cm 5 cm

10 cm 6 cm

8 cm 10 cm

◾ Modela una fórmula para el área de un prisma cuya base es un triángulo rectángulo de catetos a y b, hipotenusa c y de altura h

188

3. Calcula el área de los prismas de base triangular. b.

a. 5 cm

10 cm

5 cm 3 cm

15 cm 12 cm

8 cm

25 cm

20 cm 13 cm

10 cm

17 cm 8 cm

21 cm

10 cm

◾ Modela una fórmula para el área de un prisma de altura h2, cuya base es un triángulo de base b lados a y c y altura h1.

4. Resuelve los problemas. a. En un prisma, la base cuadrada de lado 5 cm aumenta al doble y su altura de b. c. d. e. f.

18 cm disminuye a la mitad, ¿cómo afecta a su área? Si los lados de un prisma de base rectangular de 5 cm y 8 cm, aumentan al doble y su altura de 10 cm se mantiene, ¿en cuánto varía el área? Si los lados de un cubo miden 10 cm y aumentan en un 20 %, ¿en qué porcentaje aumenta su área? Un prisma cuya base es un triángulo rectángulo de catetos 3 cm y 4 cm tiene altura 14 cm. Si los lados de su base y su altura se triplican, ¿cuánto varía el área total? Si un prisma de base cuadrada de lados 10 cm y altura 18 cm, aumenta sus lados basales en 2 cm y su altura disminuye en 2 cm, ¿en cuánto varía su área? El área total de un prisma de base cuadrada es 594 cm². Si su altura es 12 cm, ¿cuál es su área basal?

5. Calcula el valor de x en cada prisma, dada su área total (A). a.

A = 504 cm²

A = 840 cm²

x x 8 cm

10 cm 6 cm

15 cm 17 cm

A = 576 cm²

A = 1.620 cm²

x 9 cm 8 cm

40 cm

8 cm

41 cm

189

Lección 10: Geometría en el espacio

Volumen de un prisma El volumen (V) de un prisma se calcula multiplicando el área de una de las bases por la altura del prisma.

h = Altura

V = Ab ⋅ h

Ab = Área basal

Ejercicio resuelto 1. Calcula el volumen del siguiente prisma. ▷ Área basal: como la base es un rectángulo, entonces el área de la base es 5⋅ 3 cm2 = 15 cm² V = 15 ⋅ 10 cm3 = 150 cm³

10 cm

5 cm

3 cm

Ejercicios propuestos 1. Calcula el volumen de un prisma con base cuadrada. a.

b. 10 cm

4 cm

12 cm 6 cm

6 cm

5 cm

◾ Modela una fórmula para el volumen de los prismas con base cuadrada de lado a y altura h.

2. Calcula el volumen de los prismas de base rectangular. a.

b. 4 cm

8 cm

10 cm

6 cm

8 cm 5 cm

◾ Modela una fórmula para el volumen de los prismas con base rectangular de lados a y b y altura h.

190

3. Calcula el volumen de cada cubo. a.

3 cm

5 cm

6 cm

◾ Modela una fórmula para el volumen de un hexaedro o cubo de lado a. 4. Calcula el volumen de los primas cuya base es un triángulo rectángulo. b.

a. 12 cm 6 cm

20 cm

8 cm

18 cm

10 cm

7,5 cm

19,5 cm

◾ Modela una fórmula para el volumen de un prisma cuya base es un triángulo rectángulo de catetos a y b, hipotenusa c y de altura h.

5. Calcula el volumen de los prismas de base triangular según el área basal dada. b.

10 cm

Ab = 36 cm2

12 cm

30 cm

Ab = 14 cm2

Ab = 25 cm2

◾ Modela una fórmula para el volumen de un prisma si su base es un triángulo de base b y altura h1, y el prisma tiene altura h2.

6. Responde las preguntas. a. Si la base de un prisma de base cuadrada aumenta al doble y su altura b. c. d. e. f.

disminuye a la mitad, ¿en cuánto varía su volumen? Si los lados de un prisma de base rectangular de 5 cm y 8 cm, aumentan al doble y su altura de 10 cm se mantiene constante, ¿cómo afecta a su volumen? Si los lados de un cubo miden 10 cm y aumentan en un 20 %, ¿en qué porcentaje aumenta su volumen? Un prisma cuya base es un triángulo rectángulo de catetos 5 cm y 12 cm tiene altura 35 cm. Si los lados de su base y su altura se duplican, ¿cuánto varía el área total? Un cubo de volumen V reduce su arista a la tercera parte. ¿En qué porcentaje se reduce su volumen? Se necesita aumentar el volumen de un cubo al doble. ¿En cuánto se debe aumentar su arista?

191

Lección 10: Geometría en el espacio

Aplicaciones El cálculo de área y volumen de cilindros y prismas tiene aplicaciones directas; por ejemplo, en la solución de problemas cotidianos relacionados con superficies y capacidades. Además, estas aplicaciones pueden utilizarse en otras áreas del conocimiento, como la física y la química.

Ejercicios resueltos 1. Resuelve los problemas.

a. Roberto desea construir una caja de material reciclado con forma cilíndrica

cuya base tenga un radio de 4 cm y una altura de 12 cm. ¿Cuántos centímetros cuadrados de material necesita para construir dicha caja? Considera π = 3,14. ▷ Se debe calcular la medida de la superficie de la caja cilíndrica, ya que se pregunta por los centímetros cuadrados de material que se necesitarán para su construcción. Para esto, se reemplaza el radio de la base (4 cm) y la altura (12 cm) de la caja cilíndrica en las expresiones de cálculo del área lateral y basal, para luego sumar los resultados y determinar el área total. Las respectivas áreas se obtienen de:

Ayuda Utilizando una aproximación de π, como π = 3,14, el resultado obtenido no será exacto.

Ab = 2 · π · r2 = 2 · 3,14 · 42 = 100,48 cm2. Al = 2 · π · r · h = 2 · 3,14 · 4 · 12 = 301,44 cm2. Luego, sumando estos resultados se tiene: At = Ab + Al = 100,48 cm2 + 301,44 cm2 = 401,92 cm2. Por lo tanto, se necesitan aproximadamente 401,92 cm2 de material reciclado.

b. A una empresa constructora se le encargó la construcción de un prisma de

base cuadrada con acero y rellenarlo con hormigón. El prisma debe tener una arista basal interior de 8 m y altura de 5 m. Si 1 m3 de hormigón tiene un valor de $19.000, ¿cuánto tendrá que pagar la empresa por el hormigón con que rellenará el prisma? ▷ Se debe calcular el volumen del prisma. Luego, dicho resultado se multiplicará por el precio del metro cúbico de hormigón y así se sabrá el total que se debe pagar. Según la información entregada, la base del prisma es un cuadrado de lado 8 m. Luego, el área basal es 64 m2. De esta forma, y considerando que h = 5 m, el volumen del prisma es: V = Ab · h= 64 · 5 m3 = 320 m3 El volumen máximo de hormigón que puede contener el prisma es 320 m3. Luego, se calcula el dinero que tendrá que pagar la empresa por el hormigón: 320 · 19.000 = 6.080.000 Por lo tanto, la empresa constructora deberá pagar $6.080.000.

192

Ejercicios propuestos 1. Resuelve los problemas. a. Se quiere construir un tarro cilíndrico de radio basal de 6 cm y altura de 9 cm.

¿Cuáles deben ser las dimensiones de la lámina de aluminio que conformará el contorno lateral del tarro?

b. Se necesita cubrir completamente un cilindro con cartulina. La base del cilindro tiene un radio de 5 cm y una altura de 20 cm. ¿Cuánta cartulina se necesita?

c. Antonia desea construir una caja con forma de cubo y la quiere forrar con papel

de regalo por dentro y por fuera. ¿Qué cantidad de papel de regalo necesitará si la caja no tiene tapa?

¿Qué opinas de esto?

d. Camila quiere hacer un florero cilíndrico reutilizando una botella de vidrio.

Para ello, realizará un corte horizontal en la botella. El diámetro de la base de la botella es 10 cm y Camila realiza el corte a 15 cm de altura. ¿Cuál es el máximo volumen de agua que puede contener el florero? Reutilización de materiales Consiste en dar a un objeto un uso distinto al que tenía originalmente, logrando así generar menos desechos.

193

Lección 10: Geometría en el espacio

Transformaciones isométricas en el espacio: traslación Las transformaciones isométricas en el espacio pueden ser asociadas a la generación de figuras 3D o cuerpos geométricos de la siguiente forma: ◾ La traslación de un polígono en el espacio es posible asociarla a la generación de

prismas.

◾ La traslación de círculos en el espacio es posible asociarla a la generación de

cilindros.

Ejercicios resueltos 1. Traslada cada polígono situado en un plano. Luego identifica el cuerpo geométrico asociado a dicha traslación en el espacio.

a. Círculo de centro O. O

7 cm

▷ La traslación de un círculo “hacia arriba” del plano en 7 cm, se puede asociar a la generación de un cilindro de altura 7 cm.

b. Cuadrado ABCD de lado 5 cm. 5 cm

D A

C B

▷ La traslación de un cuadrado de lado 5 cm “hacia arriba” del plano 5 cm, se puede asociar a la generación de un cubo de lado 5 cm. 2. Responde las preguntas relacionadas al ejercicio anterior.

a. ¿Qué elemento del cuerpo generado se obtiene de la traslación? ▷ La “magnitud de la traslación” corresponde a la altura del cuerpo generado.

b. ¿A qué elemento del cuerpo generado corresponde el polígono trasladado? ▷ Corresponde a sus bases. 194

3. Identifica un polígono regular que se traslada asociado a la generación de cada prisma. Para ello, dibuja una flecha indicando el sentido de la traslación y anota su magnitud.

a. Cilindro

La figura trasladada es un círculo de radio 2 cm: 2 cm

2 cm

Según el sentido y magnitud del vector: 4 cm 4 cm

b. Prisma de base rectangular

La figura trasladada es un rectángulo: 2 cm 5 cm

7 cm

5 cm

Según el sentido y magnitud del vector:

2 cm

7 cm

4. Calcula el volumen y el área del cuerpo asociado a la traslación de cada polígono o círculo según la información entregada.

a. Un círculo de radio 5 cm es trasladado desde un plano “hacia arriba” en 10 cm. ▷ Como el círculo de radio 5 cm es trasladado 10 cm, esta traslación se puede asociar a la generación de un cilindro de radio (r) 5 cm y altura (h) 10 cm. El área (A) del cilindro generado es: A = (2πr2 + 2πrh) cm2 = (2π · 52 + 2π · 5 · 10) cm2= (50π + 100π) cm2 = 150π cm2 El volumen (V) del cilindro generado es: V = πr2h cm3 = (π · 52 · 10) cm3 = (π · 25 · 10) cm3 = 250π cm3

b. Un rectángulo de largo 4 cm y ancho 3 cm se traslada desde un plano “hacia

Desafío ¿A qué cuerpo se puede asociar la traslación de un círculo mediante un vector que no sea perpendicular al plano que lo contiene?

arriba” 12 cm. ▷ Como el polígono trasladado es un rectángulo, la traslación se puede asociar a un prisma de base rectangular de altura 12 cm. El área (A) del prisma generado es: A = 2(4 · 3 + 4 · 12 + 3 · 12) cm2 = 2(12 + 48 + 36) cm2 = 2 · 96 cm2 = 192 cm2 El volumen (V) del prisma generado es: V = 3 · 4 · 12 cm3 = 144 cm3

195

Lección 10: Geometría en el espacio Ejercicios propuestos 1. Esboza el prisma o cilindro que se puede asociar a cada traslación. Para ello considera el vector dado y su magnitud.

7 cm

8 cm

2. Calcula el área y el volumen del cuerpo asociado a cada traslación según la información dada.

a. Se traslada un rectángulo de largo 8 cm y ancho 5 cm mediante un vector de 7 cm de magnitud.

b. Se traslada un círculo de diámetro 9 cm mediante un vector de 12 cm de magnitud.

3. Identifica una traslación de un polígono o de un círculo que se puede asociar a la generación de cada cuerpo. Para ello, marca el polígono o círculo, dibuja el vector y escribe su magnitud.

b. 11 cm 4 cm 4 cm 6 cm 5 cm

196

Transformaciones isométricas en el espacio: rotación La rotación de un cuadrado y de un rectángulo en el espacio es posible asociarla a la generación de cilindros. Para ello, basta con definir el eje de rotación como uno de los lados de los polígonos antes mencionados.

Ejercicios resueltos 1. Rota cada polígono en el espacio según el eje de rotación dado. Luego identifica el cuerpo geométrico asociado a dicha traslación.

a. Rectángulo ABCD 3 cm D

5 cm

3 cm

▷ La rotación del rectángulo en torno a un eje de rotación coincidente con su lado BC, se puede asociar a la generación de un cilindro de radio 3 cm y altura 5 cm.

b. Cuadrado ABCD D

4 cm 4 cm

Desafío

4 cm

▷ La rotación del cuadrado en torno a un eje de rotación coincidente con su lado AB, se puede asociar a la generación de un cilindro de radio 4 cm y altura 4 cm.

¿A qué cuerpo se puede asociar la rotación de un rectángulo con un eje de rotación paralelo a cierta distancia de uno de sus lados?

197

Lección 10: Geometría en el espacio 2. Identifica un polígono cuya rotación se asocia a la generación de cada cilindro. Para ello, dibuja una flecha indicando el sentido y el eje de la rotación.

El polígono que se rota es un rectángulo y el eje de rotación coincide con su largo:

1 cm

6 cm

Eje de rotación

6 cm

1 cm

El polígono que se rota es un rectángulo y el eje de rotación coincide con su largo:

9 cm

9 cm 4 cm

4 cm

3. Calcula el volumen y el área del cilindro asociado a la rotación del rectángulo ABCD según la información entregada. D

C 3 cm

8 cm

a. Rota en torno a su lado CD. ▷ Entonces, el cilindro asociado tiene:

198

b. Rota en torno a su lado BC. ▷ Entonces, el cilindro asociado tiene:

r = 3 cm y h = 8 cm

r = 8 cm y h = 3 cm

De esta forma, el área (A) del cilindro generado es:

De esta forma, el área (A) del cilindro generado es

A = (2πr2 + 2πrh) cm2 = (18π + 48π) cm2= 66 cm2

A = (2πr2 + 2πrh) cm2 = (128π + 48π) cm2 = 176 cm2

Y el volumen (V) del cilindro generado es:

V = πr2h cm3 = π · 9 · 8 cm3 = 72π cm3

V = πr2h cm3 = π · 64 · 3 cm3 = 192π cm3

Ejercicios propuestos 1. Esboza el cilindro que se puede asociar a cada rotación. Para ello, considera el eje de simetría dado.

a. Un rectángulo de largo 8 cm y

ancho 2 cm rota en torno a un eje coincidente con su largo.

b. Un rectángulo de largo 5 cm y

ancho 3 cm rota en torno a un eje coincidente con su ancho.

2. Calcula el área y el volumen del cilindro asociado a la rotación del rectángulo EFGH según la información dada.

2 cm E

a. Rota en torno a su lado EF.

6 cm

b. Rota en torno a su lado FG.

3. Identifica una rotación de un rectángulo que se puede asociar a la generación de cada cilindro. Para ello, marca el rectángulo y dibuja el eje de rotación.

5 cm

8 cm

b. 12 cm

4 cm

199

Lección 10

Evaluación

Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos. 1. Identifica las dimensiones de la red de cada uno de los cilindros. Considera π = 3,14. a.

10 cm

2 cm

10 cm 4 cm

Área basal: Área lateral:

Volumen: 4 cm

3. Calcula el área basal y lateral, y el volumen de cada cuerpo a partir de la información entregada.

10 cm

a. Cubo de arista 12 cm. Área basal: 2. Calcula el área basal y lateral, y el volumen de cada cilindro. Considera π = 3,14. a.

Área lateral: Volumen: b. Prisma de base cuadrada de arista basal 5 cm y altura 10 cm.

9 cm

Área basal:

19 cm

Área lateral: Volumen: 4. Responde las preguntas.

Área basal: Área lateral:

a. Si un cilindro aumenta su volumen al doble, manteniendo su radio constante, ¿en cuánto debe aumentar su altura?

Volumen: b. 13 cm

Área basal: Área lateral: Volumen:

200

22 cm

b. Si la altura de un prisma disminuye a su tercera parte, ¿en qué porcentaje disminuye su volumen? c. Si el área de un cubo aumenta cuatro veces, ¿en qué porcentaje lo hace su volumen? d. Un cubo de arista x tiene volumen y área mayor que la de un cilindro de altura x y radio x. ¿Es cierta esta afirmación? Justifica.

5. Identifica la longitud del radio y la altura del cilindro que se genera a partir de cada uno de los rectángulos cuando se rotan respecto al lado de mayor longitud. a. 3cm 5cm

Radio: Altura: b. 4cm

3cm

Radio: Altura: 6. Calcula el área y el volumen del cuerpo geométrico asociado a cada transformación isométrica. a. Un círculo de radio 1 cm se traslada 3 cm de forma perpendicular al plano que lo contiene. b. Un cuadrado de arista 5 cm rota en torno a uno de sus lados. c. Un cuadrado de arista 6 cm se traslada 6 cm de forma perpendicular al plano que lo contiene.

Resuelve los problemas. Considera π = 3,14. a. Un recipiente cilíndrico de radio 10 cm y altura 100 cm contiene agua cuyo nivel tiene una altura de 40 cm. Si su contenido se necesita depositar en recipientes cúbicos de arista 5 cm, ¿qué volumen de agua falta para llenar por completo cada cubo? b. Una caja metálica con forma de prisma tiene base cuadrada de arista 60 cm y altura 90 cm. Dentro de él se depositará la arena contenida completamente en un recipiente cilíndrico de altura 50 cm y radio 10 cm. ¿Qué porcentaje del volumen de la caja ocupará la arena? c. El estanque de un camión aljibe tiene forma de cilindro de radio 1 m y altura 5 m. Por medidas de seguridad, debe transportar un 5 % menos de agua. ¿Cuál es la cantidad máxima de agua que puede transportar bajo estas condiciones? d. Una piscina de natación tiene 6 m de ancho por 18 m de largo con una profundidad constante de 1,90 m. Si se llena hasta 20 cm antes del borde, ¿cuál es el volumen, en metros cúbicos, que ocupa el agua que contiene? e. Con una lámina de aluminio de 40 cm de ancho por 60 de alto se desea construir el lateral de un envase cilíndrico. ¿Cuál será su capacidad si se enrolla a lo ancho? ¿Y a lo alto?

Me evalúo Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las siguientes categorías de desempeño: Por lograr (P.L.), Medianamente logrado (M.L.) y Logrado (L.). Indicador Calculé área y volumen de cilindros y prismas. (Preguntas 1, 2, 3 y 4)

Resolví problemas de traslación y rotación en el espacio. (Preguntas 5 y 6

Resolví problemas que involucran área y volumen de prismas y cilindros. (Pregunta 7)

201

UNIDAD

↘ Taller de Resolución de problemas

1. Analiza los pasos utilizados en la resolución del problema. La pileta de una plaza de 9 m de largo, 9 m de ancho y 1,8 m de alto está siendo reparada. Para ello, se cubrirá sus paredes y el fondo con azulejos de forma cuadrada de 30 cm de lado. ¿Cuántos azulejos se necesitan si aproximadamente se desperdicia un 5 %?

Comprende el enunciado La forma de la pileta corresponde a un prisma de base cuadrada de lado 9 m y altura 1,8 m. Para el problema solo se debe considerar las caras laterales y una de las bases.

Planifica lo que vas a realizar Calcular el área lateral, el área de una de las bases y el área de un azulejo. Luego se divide la suma entre el área lateral y el área de la base por el área de un azulejo. Finalmente se debe aumentar la la cantidad de azulejos considerando que se desperdicia un 5 % de ellos.

Resuelve el problema El área de una cara lateral de la pileta es: 9 · 1,8 m2 = 16,2 m2 y el área del fondo de la pileta es: 9 · 9 m2 = 81 m2. Por otro lado, el área, en metros, de cada azulejo es: 0,3 · 0,3 m2 = 0,09 m2. De esta forma el área total (At) de la pileta es:

Paso

At = 4 · 16, 2 + 81 m2 = 145,8 m2 Luego, al dividir el área total por el área de cada azulejo se obtiene: 145,8 m2 : 0,09 m2 = 1.620 Considerando que se pierde un 5 %, la cantidad calculada corresponde al 95 %. Así, la cantidad aproximada de azulejos que se necesitan son 1.705.

4 Paso

Revisa la solución El área lateral de un prisma corresponde al producto del perímetro de la base y su altura. Como la base es cuadrada su perímetro es 36 m. Luego, el área lateral del prisma es 1,8 · 36 m2 = 64,8 m2. Además, el área de una de sus bases es 81 m2. Por lo tanto: Área total = Área total + Área basal = 64,8 m2 + 81 m2 = 145,8 m2

202

2. Resuelve los siguientes problemas. Para ello, guíate por los pasos estudiados en la página anterior.

a. En un envase que tiene la forma de un prisma de base triangular se depositan 27 cm3 de sal, ocupando la tercera parte de su capacidad. Si se sabe que la base de este envase tiene un área de 9 cm2, ¿cuál es su altura? b. Se necesita construir un bloque de cemento de forma cúbica de 80 cm de lado para sostener un pilar de fierro. Por esta razón, se deja un espacio vacío con la forma de prisma pentagonal desde una de sus caras con una profundidad de 45 cm. Si el área de la base del pilar es de 100 cm2, ¿cuántos centímetros cúbicos de cemento se requieren para construir este bloque? c. Un vaso de plástico tiene forma cilíndrica. Su altura es 30 cm y su radio, 4 cm. Si se quiere vaciar en este vaso 1.000 cm3 de agua, ¿será suficiente la capacidad del vaso? d. Un recipiente con forma cilíndrica tiene radio basal igual a la mitad de su altura. Si su altura es 18 cm, ¿cuál es su volumen? e. En un colegio se comprará un vaso cilíndrico para cada uno de sus 300 estudiantes. La base de cada vaso debe tener 4 cm de diámetro y su altura debe ser 7,5 cm. Para adquirir estos vasos, el colegio le pide a una empresa que los fabrique y esta le cobrará $0,8 por cada centímetro cuadrado de plástico que se utilice para fabricar los vasos. ¿Cuál será el precio aproximado que deberá pagar el colegio por todos los vasos? f. Una industria fabrica cajas sin tapa con forma de prisma de base hexagonal de 39 cm de lado y 4,7 cm de alto. ¿Qué cantidad de cartón se necesita para cada caja? g. Se quiere renovar la fachada de dos depósitos con pintura antioxidante. Los depósitos tienen 9,8 m de altura y 5,8 m de radio. El precio de la pintura es 32 mil pesos cada metro cuadrado. ¿Cuál es el precio final de la pintura que se utilizará para esto? h. Para vaciar el contenido líquido de un cilindro de radio 1,5 m y altura 5 m en contenedores iguales con forma de prisma de base pentagonal de área basal 1,2 m2, ¿cuántos de estos contenedores de necesitan? i. ¿Qué altura debe tener un recipiente cilíndrico de área basal 144π cm2 para que pueda contener 1,8 L de agua? j. ¿Cuál es el volumen del espacio entre dos cilindros concéntricos de radios r y R y altura h? Considera que r < R. k. ¿Cuál es el el cilindro de mayor volumen que puede contener un cubo de arista 8 cm?

203

UNIDAD

Modelamiento de pregunta tipo SIMCE® Analiza el siguiente ejemplo de una pregunta de alternativas tipo SIMCE®. Un tarro de pintura cilíndrico tiene un volumen de 1.440 cm3. Si se sabe que la tapa y la base del tarro tienen un radio de 4 cm, ¿cuál es su altura? Considera π = 3. ____

A. √480 cm B. 30 cm

Esta pregunta involucra los conceptos de volumen de un cilindro.

C. 58 cm D. 60 cm Clave: B. Como se está entregando el volumen del tarro, se obtiene la siguiente ecuación: V = πr2h ⇒ 1.440 = 3 · 42 · h 1.440 = 3 · 16 · h ⇒ h = 30

Por lo tanto, la altura es 30 cm.

Si tienes dificultades para comprender la justificación, puedes reforzar este contenido, revisando la Lección 10 del Texto y las páginas respectivas de tu Cuaderno de ejercicios.

Distractores: A. Se asocia la capacidad con la cantidad de espacio que se dispone en la base del tarro, confundiendo la medida de la base con la altura. De esta forma se obtuvo erróneamente lo siguiente: 1.440 2 Ab = πr2 ⇒ 1.440 = 3h____ ⇒ h2 = ________ 3 ⇒ h2 = 480 ⇒ h = √ 480 C. Se confunde la cantidad de espacio con el área total del tarro, obteniendo erróneamente lo siguiente: AT = Ab + AL ⇒ 1.440 = 48 + 24h ⇒ 1392 = 24h ⇒ h = 58

Los errores cometidos al inclinarse por uno de estos distractores son: • Interpretar incorrectamente el concepto de volumen. • Confundir los conceptos de base y altura. • Confundir los conceptos de área y volumen.

Por tanto, se respondió que la altura es 58 cm. D. Se asocia el espacio que ocupa la pintura con el área lateral. De esta forma se obtuvo erróneamente: AL = 2 · π · r · h ⇒ 1.440 = 24h ⇒ h = 60

204

Ahora completa una pregunta de alternativas tipo SIMCE®. Para ello, completa cada sección según lo estudiado en la página anterior. José tiene un papel lustre con forma de rectángulo de largo 24 cm y de ancho 10 cm. José une los lados de menor longitud del rectángulo formando un cilindro. ¿Cuál es el radio del cilindro? Considera π = 3.

Esta pregunta involucra los conceptos de

A. 1,6 cm B. 4 cm C. 5 cm D. 8 cm Clave: B. Si tienes dificultades para comprender la justificación, puedes reforzar este contenido, revisando la Lección

del Texto y las páginas respectivas de tu

Cuaderno de ejercicios. Distractores: A. Se consideró de forma errónea los lados de mayor longitud para ser unidos. De esta forma el perímetro de la base es 10 cm = 2πr. Luego, con π = 3 se contestó _

Los errores cometidos al inclinarse por uno de estos distractores son:

r = 1,6 cm C. Se cometió el error de que al unir los lados de menor longitud, el perímetro de la base correspondía al diámetro, es decir, 2r = 10 cm. De esta forma se contestó: r = 5 cm D. Se unió de forma correcta los lados de menor longitud. De esta forma se obtuvo 24 cm = 2πr, pero al despejar r no se consideró el factor 2. Así, se obtuvo que r = 8 cm

205

UNIDAD

Evaluación final

Lee y responde las siguientes preguntas relacionadas con lo aprendido en esta unidad. I. Marca la alternativa que consideres correcta. 1. ¿Cuál es valor de x en el siguiente triángulo rectángulo? 15 cm

5. Los catetos de una lámina con forma de triángulo rectángulo aumentan su longitud al triple. ¿Cuántas veces aumenta su hipotenusa si mantiene la forma?

A. 3 veces B. 6 veces C. 9 veces

36 cm

D. 18 veces

A. 37 cm B. 39 cm

6. El largo de un rectángulo es (x + 2) cm y su ancho es 8 cm. ¿Cual es el valor de x si su diagonal mide 17 cm?

C. 41 cm D. 43 cm

A. 6

2. Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de 40 cm y uno de sus catetos mide 24 cm. ¿Cuánto mide el otro cateto? A.

B. 11 C. 13

__ √ 6 cm

D. 15

B. 8 cm

C. 32 cm

____

D. √2.176 cm

Si a la siguiente figura _› se le aplica una traslación respecto al vector v = (–2, 3), las coordenadas de sus extremos son: Y 8 7 6 5 4 3 2 1

3. Determina la medida del segmento x de la siguiente figura: A. 40 cm B. 44 cm C. 48 cm D. 60 cm

52 cm

20 cm 45°

36 cm x 45°

4. ¿Cuál es la longitud de la diagonal de un cuadrado de arista a?

A 1 2 3 4 5 6 7X

A. (4, –2) y (5, 1) B. (0, 4) y (1, 7) C. (5, –1) y (6, 2)

A. a B. a2

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3

C. a√ 2

D. a√ 3

D. (–4, 2) y (1, 5) 8. El punto simétrico de (2, 5) respecto al eje Y es: A. (–2, 5) B. (2, –5) C. (–2, –5) D. (5, 2)

206

Si a la siguiente figura se le aplica una traslación _› respecto al vector u = (2, –3) y luego una rotación en 90° respecto al punto (0, 0), se obtiene una figura con vértices:

B. Y 8 7 6 5 4 3 2 1

Y 8 7 6 5 4 3 2 1

A B

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8

1 2 3 4 5 6 7X

C' B'

C. A’’ = (1, –3) y B’’ = (2, –1) D. A’’ = (3, 1) y B’’ = (5, 2)

A. Y

8 7 6 5 4 3 2 1

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8

10. ¿Cuál de las siguientes transformaciones isométricas corresponde a una rotación en 90° respecto al punto (0, 0)?

1 2 3 4 5 6 7X

A' B'

B. A’’ = (–3, –1) y B’’ = (–1, –2)

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 A' B' –4 –5 –6 C' –7 –8

A. A’’ = (–2, –5) y B’’ = (–1, –3)

8 7 6 5 4 3 2 1

B A

1 2 3 4 5 6 7X

D. Y

B C

1 2 3 4 5 6 7X

8 7 6 5 4 3 2 1

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8

1 2 3 4 5 6 7X

C' B

207

UNIDAD Evaluación final 11. Considerando π = 3, el área total del cilindro es: 12 cm

16. ¿Cuál es el área de un prisma recto de altura 6 cm y de base cuadrada de arista 4 cm? A. 56 cm2 B. 112 cm2

30 cm

C. 128 cm2 D. 168 cm2 17. ¿Cuál es el volumen de un prisma regular recto de área basal 16 cm2 y altura 8 cm? A. 24 cm3

A. 216 cm2 B. 1080 cm2 C. 1.296 cm2 D. 3.240 cm2 12. Considerando π = 3, el volumen de un cilindro de radio de 8 cm y altura de 20 cm, es: A. 480 cm3

B. 64 cm3 C. 128 cm3 D. 192 cm3 18. Al rotar el siguiente rectángulo respecto a su lado de 20 cm, se obtiene un cilindro cuyos radio y altura miden respectivamente:

B. 1.280 cm3 C. 3.840 cm3

20 cm

D. 9.600 cm

13. El volumen de una pirámide de base cuadrada de lado 3 cm y de altura 5 cm es: A. 9 cm

8 cm

B. 15 cm3

B. 10 cm y 8 cm.

C. 18 cm3

C. 8 cm y 20 cm.

D. 45 cm3

D. 16 cm y 20 cm.

14. ¿Cuál de los siguientes polígonos tiene la mayor cantidad de ejes de simetría?

19. La trasformación isométrica asociada a la generación de un cubo a partir de un cuadrado es:

A. Un triángulo equilátero.

A. Una rotación.

B. Un cuadrado.

B. Una traslación.

C. Un rectángulo.

C. Una reflexión.

D. Un pentágono regular.

D. Una rotación y una traslación.

15. La red de construcción de un prisma regular recto de base pentagonal tiene: A. Dos pentágonos y diez rectángulos. B. Cinco pentágonos y dos rectángulos. C. Dos pentágonos y cinco rectángulos. D. Cinco pentágonos y diez rectángulos.

208

A. 4 cm y 20 cm.

20. La rotación de un rectángulo de largo 12 cm y ancho 5 cm en torno a uno de sus lados de mayor longitud se asocia a la generación de un cilindro de radio: A. 2,5 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 12 cm

II. Resuelve los problemas. 21. Un árbol se encuentra a 8 m de una casa cuyas paredes son perpendiculares con el suelo. Producto de un viento fuerte, el árbol cae y su extremo superior queda sostenido sobre el techo de la casa. Si la casa tiene una altura de 6 m, ¿cuál es la altura del árbol?

22. Un trozo de papel tiene la forma de un rectángulo de 30 cm de largo y 10 cm de ancho. Si se unen los lados de 10 cm y forma un cilindro, ¿cuánto mide el radio de la base de este cilindro, considerando π = 3?

Me evalúo Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las respuestas correctas que hayas conseguido. I. Preguntas de alternativas Apliqué el Teorema de Pitágoras. (Preguntas 1, 2, 3, 4, 5 y 6)

Resolví problemas de transformaciones isométricas. (Preguntas 7, 8, 9 y 10)

Calculé área y volumen de cilindros y prismas. (Preguntas 11, 12, 13, 14, 15, 16 y 17)

Relacioné transformaciones isométricas con generación de cuerpos. (Preguntas 18, 19 y 20)

de 6 de 4 de 7 de 3

II. Preguntas de desarrollo Resolví problemas de aplicación de teorema de Pitágoras. (Pregunta 21)

Resolví problemas de aplicación de cilindro. (Pregunta 22)

de 1 de 1

209

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Unidad

H ungr ía , Jap ón,

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Probabilidad y estadística 11 12

Representación de datos Probabilidad

Observa la imagen presentada en estas páginas. Luego, responde las siguientes preguntas: 1. ¿Qué factores aumentan la probabilidad de que un atleta gane una competencia? 2. ¿Qué porcentaje de las medallas obtenidas por los atletas franceses es de oro?

Medallero olímpico #

País

Total

Estados Unidos

104

China

Reino Unido

Rusia

Corea del Sur

Alemania

Francia

Italia

Hungría

Japón

Australia

211

UNIDAD

Evaluación inicial

Resuelve la siguiente evaluación para iniciar la unidad Probabilidad y estadística. 1. Analiza el gráfico. Luego, responde. Goles marcados por jugadores de un equipo durante un campeonato 6

Jugadores

Puntajes obtenidos en una prueba 10 – 15 – 12 – 23 – 17 – 36 – 31 – 19 – 41 – 8 – 26 9 – 20 – 46 – 42 – 6 – 14 – 33 – 24 – 3 – 45 – 37 26 – 41 – 50 – 38 – 27 – 8 – 13 – 18 – 25 – 34 – 45 36 – 26 – 22 – 17 – 5 – 44 – 35 – 29 – 18 – 50 – 42 33 – 31 – 28 – 12 – 19 – 26 – 38 – 19 – 42 – 29 – 12

8 4 2 0

3. Representa los datos en un diagrama de tallo y hojas. Luego, responde.

Diagrama de tallo y hojas

0 1 2 4 5 6 8 10 25 Goles

a. ¿Cuántos jugadores marcaron 6 goles?

b. ¿Cuántos jugadores marcaron 2 goles o menos?

c. ¿Cuántos goles marcó el goleador del equipo?

d. ¿Cuántos goles marcó en total el equipo en ese campeonato?

2. Ordena los datos. Luego, calcula.

b. ¿Cuántos estudiantes obtuvieron 20 o más puntos?

4. Completa la tabla de distribución de frecuencias según la información dada.

a. Cantidad de celulares por familia

Horas semanales dedicadas al deporte

1–2–4–5–4–3–3–4–4–4–4–5–5–4–1 6–3–2–2–1–4–5–6–6–6–6–5–4–3–2

2 – 13 – 6 – 7 – 8 – 10 – 12 – 5 – 7 – 9 – 8 – 7 – 10 12 – 11 – 9 – 8 – 8 – 9 – 6 – 4 – 5 – 6 – 7 – 11 – 12 10 – 8 – 9 – 5 – 8 – 10 – 12 – 10 – 5 – 3 – 13 – 4 – 3

Media x= _

Mediana Me =

Moda Mo =

Horas semanales dedicadas al deporte Cantidad

[2, 4[ Días de inasistencia

[4, 6[

10 – 2 – 14 – 5 – 8 – 9 – 13 – 6 – 0 – 4 – 9 – 8 – 2 – 3 16 – 7 – 6 – 2 – 1 –9 – 11 – 3 – 16 – 7 – 5 – 6 – 9 – 10

[6, 8[

Media _ x=

212

a. ¿Cuál fue el puntaje máximo? ¿Y el mínimo?

Mediana Me =

Moda Mo =

[8, 10[ [10, 12[ [12, 14[

5. Analiza la distribución. Luego, escribe V o F según corresponda.

6. Representa mediante un conjunto el espacio muestral de los experimentos. a. Elegir al azar dos números naturales del conjunto {1, 3, 4, 7, 10, 12, 15}

Edad de los asistentes en un cine Edad

[18, 22[

[22, 26[

100

[26, 30[

196

[30, 34[

122

318

[34, 38[

108

426

[38, 42[

471

Espacio muestral:

b. De una caja con bolitas rojas y verdes se extrae una de ellas. Espacio muestral:

La edad de 82 de los asistentes es mayor o igual que 22 y menor que 26.

426 personas tienen menos de 38 años de edad.

Asistieron en total 45 personas al cine.

Más de la mitad de los asistentes tiene 26 o más años de edad.

a. ¿Cuántos números distintos se pueden formar con los dígitos 1, 3 y 7?

Las personas que tienen 22 años o más de edad, pero menos de 38, son 408.

El rango de la muestra es 42 años.

b. Si de una caja que contiene 5 fichas, cada una con una vocal, se extrae una muestra de 3 de ellas, ¿cuántas muestras distintas contienen la vocal e?

En el histograma de la muestra, la barra de mayor altura corresponde al intervalo [38, 42[.

c. Lanzar tres veces una moneda. Espacio muestral:

Resuelve los problemas.

c. Una tienda tiene dos marcas de bicicletas, cada una en tres colores y con cinco tipos de amortiguación. ¿Cuántas bicicletas distintas puede ofrecer dicha tienda?

Me evalúo Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las siguientes categorías de desempeño: Por lograr (P.L.), Medianamente logrado (M.L.) y Logrado (L.). Indicador Analicé e interpreté la información de un gráfico.

(Pregunta 1)

Calculé medidas de tendencia central de una tabla de datos. (Pregunta 2)

Construí e interpreté un diagrama de tallo y hojas y una tabla de frecuencias. (Preguntas 3, 4 y 5)

Representé el espacio muestral de experimentos. (Pregunta 6)

Resolví problemas de técnicas de conteo. (Pregunta 7)

213

Lección

John Wilder Tukey ¿Por qué llevas tantas cajas?

Representación de datos

Es que me estoy preparando para su clase de mañana, señor Tukey.

Jajaja… ¡Pero, hombre, no se utilizan cajas de verdad!… Las llamé así porque su dibujo parece un cajón.

↘ Datos

Datos

↘ Representación de datos categóricos ↘ Representación de datos cuantitativos ↘ Medidas de posición: percentiles y cuartiles ↘ Medidas de posición e inferencia ↘ Diagrama de cajón ↘ Diagrama de cajón e inferencia

Los datos son valores que se obtienen de una muestra o población mediante procesos de observación o medición de atributos. Estos atributos se denominan variables. Entre los procesos de observación o medición de atributos se encuentran las encuestas, cuestionarios, entrevistas, etc. Los datos obtenidos pueden ser representados en tablas y gráficos, para luego ser comparados o interpretados. El dato como valor aislado no tiene sentido, ya que por sí solo no genera información; sin embargo, a partir de su procesamiento proporciona la información suficiente para luego ser leída, comparada o interpretada. Los datos se clasifican en dos grupos: datos cuantitativos (expresan cantidades mediante números) y datos cualitativos (expresan una categoría, cualidad o atributo).

Ejercicios resueltos 1. Identifica la variable estudiada y los datos obtenidos en cada medición.

a. En un colegio, al encuestar a 10 estudiantes para conocer el número de hermanos que tienen, se obtuvieron los siguientes resultados: 2–2–3–1–0–5–2–3–1–1

▷ La variable estudiada es “número de hermanos” y los datos recogidos fueron: 2, 2, 3, 1, 0, 5, 2, 3, 1 y 1. b. A la salida de un cine, al encuestar a un grupo de personas para conocer su género de películas preferido, se obtuvieron los siguientes resultados: Acción – Aventura – Comedia – Ciencia ficción – Terror – Romántica – Terror Comedia – Acción – Romántica – Terror – Terror – Acción – Acción – Musical

Sé más El censo permite realizar un conteo de los individuos que constituyen una población. Además, mediante una encuesta, permite recoger datos para conocer otras características de dichos individuos (nivel educacional, edad, género, etc.).

▷ La variable estudiada es “preferencia de género de película” y los datos recogidos fueron: acción, aventura, comedia, ciencia ficción, terror, romántica, terror, comedia, acción, romántica, terror, terror, acción, acción y musical. 2. Clasifica los siguientes conjuntos de datos en cuantitativos o cualitativos.

Medio – Bajo – Alto – Alto – Medio – Bajo – Bajo – Alto – Alto – Bajo – Medio Medio – Medio – Bajo – Alto – Alto – Bajo – Medio – Alto – Bajo

▷ Los datos de este conjunto son cualitativos, ya que expresan una cualidad.

7,0 – 1,0 – 2,5 – 6,5 – 3,2 – 5,8 – 6,3 – 4,8 – 6,0 – 5,1 – 6,8 – 4,1 – 5,0 – 3,7

▷ Los datos de este conjunto son cuantitativos, ya que se expresan numéricamente.

214

¡Ah!… y tengo muchas más en mi casa.

¿Y qué hiciste cuando te enseñé el diagrama de tallo y hojas?

Creo que mañana explicaré lentamente el diagrama de cajón.

Mmm…Lo riego todos los días…y aún no lo entiendo.

Ejercicios propuestos 1. Identifica la variable estudiada y los datos obtenidos en las siguientes mediciones.

a. En una entrevista de trabajo, se les preguntó a los postulantes por su estado civil. Los resultados fueron los siguientes:

Soltero – Soltero – Casado – Viudo – Casado – Casado – Soltero – Soltero – Casado Soltero – Casado – Casado – Casado – Soltero – Soltero

b. Una profesora preguntó a sus estudiantes de octavo básico cuántas horas al día,

John Wilder Tukey (1915-2000) ha sido uno de los grandes talentos estadísticos del siglo XX. Hizo importantes contribuciones a la topología, a la visualización de información y, en especial, a la estadística.

aproximadamente, veían televisión. Las respuestas fueron las siguientes:

1–2–2–3–4–4–1–2–5–3–4–5–2–1–3–4–5–3–2–4–1–2–3 4–5–3–2–2–1–1

c. Para realizar un estudio de vida saludable, se encuestó a un grupo de personas

sobre la cantidad de frutas incluidas en su ingesta diaria. Las respuestas fueron las siguientes: 2–1–1–1–1–2–3–0–0–2–1–0–0–2–1–1–0–0–1–1–1–1–0 0–0–0–0–2–0–0–1–1–0–0–1–2–1–1–1–0–1–0–1–0

2. Clasifica los conjuntos de datos en cuantitativos o cualitativos. a. b. c.

Blanco – Azul – Azul – Rojo – Rojo – Rojo – Blanco – Rojo – Azul – Azul – Blanco Blanco – Blanco – Rojo – Azul – Azul – Azul – Rojo – Blanco – Rojo – Blanco 2–4–3–5–7–2–2–3–4–1–1–3–3–3–4–1–2–3–1–1–1–2–3 4–5–5–5–6–1–1–2–2–3–1–1–5–3–4–3–1 159,3 – 160,1 – 170 – 154,2 – 166,3 – 152, 9 – 165,5 – 168,9 – 145,6 – 163,9 179,1 – 156,3 – 158,6 – 162,4 – 176,3 – 149,9 – 156,7 – 170,8 – 167,4

3. Reúnete con un compañero o compañera y discute sobre el tipo de datos que se obtendrán al realizar una encuesta con cada pregunta propuesta. Justifica dando 5 ejemplos de datos posibles.

a. ¿Cuál es el dígito verificador en tu número de RUN? b. ¿En qué región vives? c. ¿En qué curso vas?

Conectando con... La salud El programa Elige vivir sano busca generar en todos los chilenos hábitos y estilos de vida saludables para disminuir los factores y conductas de riesgo asociados a las enfermedades crónicas no trasmisibles. Además, invitar a los ciudadanos a incorporar en sus vidas 4 compromisos de acción. Para obtener mayor información sobre este tema, ingresa el código SP8m215 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

215

Lección 11: Representación de datos

Representación de datos categóricos ¿Recuerdas la última actividad de la página anterior sobre las variables “dígito verificador”, “región en la que vives” y “curso”? Revisa la formalización y comprueba tus respuestas.

Los datos categóricos son aquellos datos clasificados por categorías. Existen dos clasificaciones para este tipo de datos según el número de categorías: con solo dos categorías (dicotómicos) y con más de dos categorías, los que a su vez se clasifican en: ◾ Ordinales: las categorías tienen un orden o jerarquía. Por ejemplo, lugar obtenido:

primer lugar, segundo lugar, tercer lugar, etc.

◾ Nominales: las categorías no tienen un orden o jerarquía. Por ejemplo, ojos verdes,

marrones, negros, azules, etc.

Los datos categóricos se pueden representar en tablas de frecuencias y gráficos de barras, circulares o de puntos.

Ejercicios resueltos 1. Representa los conjuntos de datos en tablas de frecuencias, gráficos de barras, circulares y de puntos, inventando una variable de estudio. Identifica el tipo de dato categórico que representaste.

a. Sé más Un dato categórico también puede ser clasificado como cualitativo.

Alta – Media – Baja – Media – Media – Baja – Alta – Alta – Media – Alta – Baja

▷ Se puede considerar que los datos corresponden a la estatura de los estudiantes de un curso de 8.°, es decir, la variable de estudio es “estatura de los estudiantes”. De esta forma, los datos pueden representarse de las siguientes formas: Estatura de estudiantes de 8.° Estatura N.° de estudiantes Alta 4 Media 4 Baja 3

Estatura de estudiantes de 8.°

Alta

Media

Baja

= 1 estudiante Estatura de estudiantes de 8.°

Investiga sobre los datos categóricos dicotómicos. ¿Son ordinales o nominales?

27 % 36 %

37 %

Alta Media Baja

N.º de estudiantes

Desafío

Estatura de estudiantes de 8.° 5 4 3 2 1 0

Alta

Media

Baja

Estatura

Como los datos Alta, Media y Baja tienen un orden, corresponden a datos del tipo categóricos ordinales.

216

Buena – Mala – Mala – Buena – Buena – Buena – Mala – Mala – Mala – Mala – Buena Buena – Mala – Mala – Buena – Mala – Buena – Mala – Mala – Buena – Mala – Buena Buena – Mala

▷ Se puede considerar que los datos corresponden a la evaluación de una entrevista de postulación a un trabajo, es decir, la variable de estudio es “calidad de la entrevista”. De esta forma, los datos pueden representarse como: Calidad de las entrevistas para postular a un trabajo N.° de Calidad entrevistados Buena 11 Mala 13

Calidad de las entrevistas para postular a un trabajo

54 %

Buena

N.º de entrevistados

Calidad de las entrevistas para postular a un trabajo

Mala

= 1 entrevistado

15 12 9 6 3 0

46 %

Buena Mala

Calidad de las entrevistas para postular a un trabajo

Buena

Calidad

Mala

Como los datos Buena y Mala no tienen un orden, corresponden a datos del tipo categóricos nominales. 2. A partir de los gráficos, extrae los datos obtenidos y clasifica cada conjunto.

Preferencias deportivas de 17 personas 12 % 23 %

47 %

18 %

Fútbol Tenis Natación Vóleibol

Ayuda Para calcular a qué número corresponde un tanto por ciento, puedes utilizar la siguiente expresión: x · z , donde: y = ______ 100

Fútbol

Natación

Valores

Porcentajes

47 · 17 = 7,99 → x ≈ 8 x = __________ 100

⋅ 17 = 3,91 → x ≈ 4 __________ x = 23 100

z y

100 x

Tenis

Vóleibol

18 · 17 = 3,06 → x ≈ 3 x = __________ 100

12 · 17 = 2,04 → x ≈ 2 x = __________ 100

Conjunto de datos: Fútbol – Fútbol – Fútbol – Fútbol – Fútbol – Fútbol – Fútbol – Fútbol – Tenis – Tenis – Tenis – Natación– Natación – Natación – Natación – Vóleibol – Vóleibol.

217

Lección 11: Representación de datos b. N.º de personas

Preferencias de color en manzanas comunes 14 12 10 8 6 4 2 0

Roja Verde Color de manzana

Conjunto de datos: Roja – Roja – Roja – Roja – Roja – Roja – Roja – Roja Verde – Verde – Verde – Verde – Verde – Verde – Verde – Verde – Verde – Verde Verde – Verde

▷ Los datos son categóricos nominales.

Ejercicios propuestos 1. Identifica los conjuntos de datos categóricos. Luego, clasifica el tipo de dato categórico al cual corresponden.

Para identificar la cantidad de datos por categoría en un gráfico de barras, debes observar las alturas de las barras en cada categoría y asociarlas con el valor alcanzado en el eje vertical de la gráfica.

Siempre – Frecuentemente – Nunca – Algunas veces – Frecuentemente – Siempre Nunca – Nunca – Algunas veces – Nunca – Algunas veces – Siempre – Siempre Algunas veces – Frecuentemente – Siempre – Algunas veces

Verdadero – Falso – Verdadero – Falso – Falso – Verdadero – Verdadero – Falso Verdadero – Falso – Falso – Falso – Verdadero – Falso – Falso – Verdadero

Plátano – Naranja – Plátano – Uva – Uva – Durazno – Ciruela – Durazno – Naranja Cereza – Manzana – Durazno – Manzana – Manzana – Ciruela – Uva

2. A partir de los gráficos, extrae los datos obtenidos y clasifica cada conjunto. a. N.º de profesionales

Ayuda

Grado universitario de profesionales en una empresa

Nivel socioeconómico de los vecinos de un barrio

6 4 2 0

er or ller ciado ás t oc t chi D n M a e B Lic

Grado universitario

Bajo

Medio

Alto

= 3 vecinos

218

Representación de datos cuantitativos Los datos cuantitativos son aquellos que pueden ser representados mediante valores numéricos y se expresan en su correspondiente unidad de medida. Según su valor numérico, los datos cuantitativos se clasifican en: ◾ Discretos: los datos numéricos son enteros, ya que provienen de un conteo. Por

ejemplo, número de hermanos, ya sean 1, 2, 3, etc.

◾ Continuos: los datos numéricos son números decimales, ya que toman cualquier

valor de un intervalo. Por ejemplo, la masa corporal, ya sea 45,6 kg, 52,1 kg, 40,5 kg, etc.

Ejercicios resueltos 1. Representa los conjuntos de datos en tablas de frecuencias y en los gráficos asociados a su clasificación. Para ello, inventa una variable de estudio. Finalmente, identifica el tipo de dato cuantitativo que representaste.

5–4–3–2–1–2–3–2–4–5–5–4–2–3–3–1–3–3–5–4–2–1

▷ Se puede considerar que los datos corresponden a la cantidad de amigos de una persona, es decir, la variable de estudio es “cantidad de amigos”. N.° de amigos

N.° de personas

N.º de personas

De esta forma, los datos pueden representarse de las siguientes formas: Cantidad de amigos que tiene una persona 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 N.º de amigos Cantidad de amigos que tiene una persona

Cantidad de amigos que tiene una persona 18 % 14 % 23 %

18 % 27 %

1 2 3 4 5

Ayuda Para calcular el tanto por ciento de un número, puedes utilizar la siguiente expresión: y · 100 x =___________ z , donde: Valores

Porcentajes

z y

100 x

= 1 persona

▷ Como los datos son números naturales y no admiten valores de otro conjunto, corresponden a datos cuantitativos discretos.

219

Lección 11: Representación de datos b.

3,5 – 7,0 – 5,2 – 6,5 – 6,8 – 6,0 – 5,9 – 5,1 – 6,6 – 5,7 – 6,4 – 7,0 – 4,8

▷ Se puede considerar que los datos corresponden a una calificación en Matemática, es decir, la variable de estudio es “calificación en Matemática”. De esta forma, los datos pueden representarse de las siguientes formas: Calificaciones en Matemática Notas Frecuencia [3, 4[ 1 [4, 5[ 1 [5, 6[ 4 [6, 7] 7

Tallo

Calificaciones en Matemática

Hojas

1279

04568

7 6 5 4 3 2 1 0

Frecuencia

Calificaciones en Matemática 10 5 0

[3, 4[ [4, 5[ [5, 6[ [6, 7] Notas

[3, 4[ [4, 5[

[5, 6[

[6, 7]

Notas

▷ Datos cuantitativos continuos. 2. A partir de los gráficos, extrae los datos obtenidos y clasifica cada conjunto.

Puntajes de una prueba aplicada a 40 estudiantes 4% 7% 10 20 30 25 % 11 % 40 14 % 50 21 % 60 18 % 70

10 puntos 4 · 40 = 1,6 → x ≈ 2 x = __________ 100 40 puntos 14 · 40 = 5,6 → x ≈ 6 x = ___________ 100

20 puntos 7 · 40 = 2,8 → x ≈ 3 x = __________ 100 50 puntos 18 · 40 = 7,2 → x ≈ 7 x = ___________ 100

30 puntos 11 · 40 = 4,4 → x ≈ 4 x = ___________ 100 60 puntos 21 · 40 = 8,4 → x ≈ 8 x = ___________ 100

70 puntos 25 · 40 = 10 x = ___________ 100 Conjunto de datos: 10 – 10 – 20 – 20 – 20 – 30 – 30 – 30 – 30 – 40 – 40 – 40 – 40 – 40 – 40 – 50 – 50 – 50 – 50 – 50 – 50 – 50 – 60 – 60 – 60 – 60 – 60 – 60 – 60 – 60 – 70 – 70 – 70 – 70 – 70 – 70 – 70 – 70 – 70 – 70.

▷ Datos cuantitativos discretos. 220

Distancia recorrida en un maratón (km) por los competidores

Tallo

Hojas

079

15557

099

01127

Conjunto de datos: 1,8 – 1,9 – 2,0 – 2,7 – 2,9 – 3,1 – 3,5 – 3,5 – 3,5 – 3,7 – 4,0 – 4,9 4,9 – 5,0 – 5,1 – 5,1 – 5,2 – 5,7 – 6,3 – 6,4

▷ Datos cuantitativos continuos.

Ejercicios propuestos 1. Representa los conjuntos de datos en tablas de frecuencias y en gráficos de

barras, circulares, de puntos, de frecuencias, histogramas y diagramas de tallo y hojas. Para ello, inventa una variable de estudio. Luego, identifica el tipo de dato cuantitativo que representaste.

15 – 16 – 14 – 15 – 14 – 16 – 14 – 15 – 15 – 15 – 14 – 13 – 13 – 12 – 12 – 13 – 14 13 – 12 – 13 – 12 – 13 – 11 – 13 – 10 – 9 – 9 – 9 – 8 – 12 – 11 – 13 – 8 – 10 – 11 12 – 13 – 14 – 13 – 8 – 9 – 10 – 10 – 16 – 8 – 9 – 10 – 13 – 12 – 13 – 12

1,625 – 1,802 – 2,323 – 2,560 – 3,478 – 3,550 – 2,100 – 2,230 – 3,450 – 4,505 1,963 – 2,700 – 3,630 – 4,108 – 2,910 – 3,865 – 4,725 – 5 – 4,125 – 3,705 2,689 – 2,814 – 3 – 3,615 – 4,125 – 3,784 – 2,999 – 1,855 – 3,415 – 4,200

2. A partir de los gráficos, extrae los datos obtenidos y clasifica cada conjunto. a. N.º de participantes

Edades de los participantes en un concurso de talento

b. Temperaturas (°C) del mes de enero

Tallo

228

16788

0001289

05678

12399

08999

8 6 4 2 0

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Edad (años)

Hojas

Ayuda Para identificar los datos en un diagrama de tallo y hojas, debes componer el número formado por el tallo y por cada una de sus hojas.

221

Lección 11: Representación de datos

Medidas de posición: percentiles y cuartiles Sé más La mediana de una muestra de datos agrupados corresponde al percentil 50 y al segundo cuartil, es decir: Me = P50 = C2 Otras medidas de posición utilizadas son: • Deciles (D): son 9 valores que dividen la muestra en 10 subgrupos y corresponden a: D1 = P10; D2 = P20 , D3 = P30; ...; D9 = P90. • Quintiles (Q): son 4 valores que dividen la muestra en 5 subgrupos y corresponden a: Q1 = P20; Q2 = P40, Q3 = P60 y Q4 = P80.

Las medidas de posición son valores que dividen una muestra ordenada, de forma creciente o decreciente, en subgrupos de igual cantidad de elementos. ◾ Percentiles (P): son 99 valores que dividen la muestra en 100 subgrupos. Para

datos agrupados, se puede calcular el percentil k (Pk) identificando el intervalo i k · n en las frecuencias acumuladas y, luego, aplicar la al que pertenece el valor ______ 100 fórmula: k·n−F ______ ant ______________ Pk = L + a · 100 f

L es el límite inferior del intervalo i; a es la amplitud del intervalo i; k es el número del percentil; n es el total de los datos de la muestra; f es la frecuencia absoluta del intervalo i; y Fant es la frecuencia acumulada anterior al intervalo i. ◾ Cuartiles (C): son 3 valores (C1, C2 y C3) que dividen la muestra en 4 subgrupos y

corresponden a los percentiles 25, 50 y 75, es decir: C1 = P25

C2 = P50

C3 = P75

Ejercicios resueltos 1. Responde las preguntas.

a. ¿Qué porcentajes de una muestra se ubican por debajo y por sobre el percentil

35? ▷ Por debajo del percentil 35 (P35) se ubica el 35 % de la muestra ; mientras que por sobre él, se ubica el 65 % de la muestra.

b. ¿Cómo se puede obtener el tercer cuartil de una muestra? ▷ El tercer cuartil (C3) se obtiene calculando P75.

c. Si por debajo de un valor x de una muestra se ubica el 80 % de los datos, ¿a qué percentil debería corresponder dicho valor? ▷ Como el 80 % de los datos está por debajo de x, entonces dicho valor debe corresponder a P80.

2. Calcula el percentil 95 y el primer cuartil de los datos de la tabla. Respuestas correctas de 120 estudiantes

222

Respuestas

[0, 8[

[8, 16[

[16, 24[

[24, 32[

104

[32, 40]

120

• Para P95, se tiene que k = 95 y como n = 120, entonces: · 120 k · n = 95 ______ ____________ = 114 100 100 El dato número 114 pertenece al quinto intervalo (i = 5). Por lo tanto: 114 − 104 10 = 37 P95 = 32 + 8 · _______________ = 32 + 8 · ____ 16 16 • Para calcular C1 se debe considerar que C1 = P25. Como k = 25, entonces: · 120 k · n = 25 ______ ___________ = 30 100 100 El dato número 30 pertenece al segundo intervalo (i = 2). Por lo tanto: 30 − 11 19 C1 = P25 = 8 + 8 · ___________ = 8 + 8 · ____ = 14,08 25 25

Ejercicios propuestos 1. Calcula el percentil 55 y el tercer cuartil de la distribución. Puntaje de un test de conocimientos Puntaje

[38, 56[

[56, 74[

[74, 92[

[92, 110]

2. Analiza el histograma junto a un compañero o compañera. Luego, calcula la

Cantidad de días

temperatura mínima del 30 % de los días en que se registraron las máximas temperaturas. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 28

Temperatura máxima diaria

30 31 32 Temperatura en °C

3. Construye una tabla de frecuencias en tu cuaderno y calcula entre qué valores varía el 25 % inferior de la distribución.

Distancia recorrida para llegar al colegio (metros) 800 – 780 – 1.150 – 2.800 – 120 – 560 – 1.650 – 2.100 – 3.600 – 890 620 – 345 – 290 – 760 – 790 – 1.520 – 475 – 370 – 680 – 710 – 935 1.540 – 2.360 – 410 – 3.450 – 2.900 – 4.890 – 190 – 2.480 – 3.450 1.460 – 645 – 935 – 3.125 – 4.700 – 560 – 850 – 1.290 – 3.600

Desafío Investiga cómo se calcula un percentil para datos no agrupados. Luego, aplícalo en el ejercicio 3 y compara tus resultados.

223

Lección 11: Representación de datos

Medidas de posición e inferencia A diferencia de las medidas de tendencia central, la inferencia estadística sobre una población utilizando las medidas de posición se realiza no solo a partir de datos centrales, sino que también se pueden utilizar datos distribuidos en cualquier posición dentro de ella.

Ejercicio resuelto 1. Infiere la edad de los habitantes de una comuna utilizando una muestra representativa de tamaño 132 obtenida con muestreo en etapas múltiples, por un instituto de investigación. Edades de las personas El director del colegio le informa a Daniela que de los 100 estudiantes que se gradúan de 8.° Básico este año, su promedio final corresponde al percentil 5 de las notas ordenadas de forma decreciente. ¿Es Daniela una estudiante destacada en su colegio?

Edad en años

[0, 20[

[20, 40[

[40, 60[

[60, 80[

128

[80, 100]

132

▷ Para aplicar el muestreo en etapas múltiples, el instituto consideró como conglomerado el total de manzanas de la comuna, seleccionando al azar 132 de ellas por medio de fichas numeradas. De cada una de las manzanas, se eligió al azar una de las casas. Luego, se visitó dicha casa y a la primera persona en abrir la puerta se le registró su edad para la muestra. Para inferir la edad de la población, se calculan, por ejemplo, P10 y P50: · 132 k · n = 10 ___________ • Para P10, k = 10 y ______ = 13,2. Este valor pertenece al intervalo i = 1 100 100 como frecuencia acumulada. Entonces: 13,2 − 0 13,2 P10 = 0 + 20 · ___________ = 20 · ______ ≈ 18,86 14 14 Por lo tanto, P10 ≈ 18,86. · 132 k · n = 50 ___________ • Para P50, k = 50 y ______ = 66. Este valor pertenece al intervalo i = 3 100 100 como frecuencia acumulada. Entonces: 66 − 47 19 P50 = 40 + 20 · ___________ = 40 + 20 · ____ = 47,6 50 50 Por lo tanto, P50 = 47,6. A partir de los valores obtenidos, se puede inferir que el 10 % de la población de la comuna tiene como máximo 19 años (18,86). Por otro lado, el 50 % de la población mayor tiene como mínimo 47,6 años. Es decir, en la comuna viven pocos jóvenes menores de 19 años y muchos adultos por sobre los 47 años.

224

Ejercicios propuestos 1. Analiza la información. Luego, escribe V o F según corresponda. Justifica tus respuestas.

Conectando con... Energías renovables

Las dimensiones de las casas de una comuna varían entre los 70 m y 250 m . De una muestra de las dimensiones se obtuvo que P60 = 85 y P90 = 110. 2

La mayoría de las casas no supera los 85 m2.

La mediana se encuentra entre los 85 m2 y los 110 m2.

Pocas viviendas tienen dimensiones mayores a 110 m .

En un histograma las dimensiones de las barras de mayor tamaño se ubican a la derecha.

Aproximadamente un 30 % de las casas tienen entre 85 m2 y 110 m2.

2. Responde las preguntas. Para ello, analiza la tabla. Puntajes obtenidos en un colegio Mujeres

Hombres

[0, 15[

[15, 30[

[30, 45[

[45, 60[

[60, 75]

Puntaje

Gracias al subsidio estatal para favorecer el uso de energía renovable no convencional, 3.751 hogares de Santiago pueden ahorrar hasta un 80 % en la cuenta de gas y un 10 % en gastos comunes por medio de tecnología amigable con el medio ambiente. Para obtener mayor información sobre este tema, ingresa el código SP8m225 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

a. ¿El rendimiento de los mejores puntajes de las mujeres es superior que el de los hombres? b. Respecto al 20 % de los puntajes más bajos, ¿es inferior en las mujeres o en los hombres?

↘

Taller de Matemática aplicada

Habilidad: analizar

Los precios de los vehículos en una automotora varían entre $5.000.000 y $18.000.000. De una muestra se obtuvo que C1 = $7.000.000 y P70 = $12.000.000. Con respecto a la información anterior, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A. El percentil 25 es $7.000.000. B. Más del 25 % de los precios de vehículos no superan los $7.000.000. C. La mayoría de los precios de los vehículos es inferior a $12.000.000. D. La mediana de los precios de vehículos se encuentra entre $7.000.000 y $12.000.000.

225

Lección 11: Representación de datos

Diagrama de cajón Un diagrama de cajón es un resumen gráfico de una distribución. Su importancia radica en que utiliza la mediana (medida de tendencia central), el primer y tercer cuartil (medidas de posición) y el rango (medida de dispersión). Su representación gráfica es: Diego y Clara deben entregar un trabajo en el colegio sobre el análisis de una muestra. Diego propone calcular todas las medidas estadísticas aprendidas. Clara piensa que sería más fácil de entender su trabajo si elaboran un diagrama, es decir, una representación gráfica. ¿Qué habrán decidido?

xmín

xmáx

Con xmín: valor mínimo de la muestra; xmáx: valor máximo de la muestra; C1: primer cuartil; C2: segundo cuartil (mediana); y C3: tercer cuartil.

Ejercicio resuelto 1. Construye el diagrama de cajón para la distribución de edades de 20 personas. 25 – 19 – 18 – 36 – 45 – 21 – 39 – 17 – 25 – 33 – 41 – 25 – 23 – 24 – 37 47 – 18 – 21 – 23 – 22 ▷ Para calcular los cuartiles, se ordena la muestra: 17 – 18 – 18 – 19 – 21 – 21 – 22 – 23 – 23 – 24 – 25 – 25 – 25 – 33 – 36 – 37 – 39 41 – 45 – 47 Como los datos no están agrupados y n = 20, se tiene que: x5 + x6 • C1 = __________, con x5 = 21 y x6 = 21. Entonces: 2

Sé más Para construir un diagrama de cajón: • Se dibuja una caja con extremos C1 y C3. Esta caja contiene el 50 % de los datos, llamado recorrido intercuartil. • Se divide la caja con una línea vertical en la ubicación de la mediana C2. • Se dibujan segmentos desde los extremos de la caja hasta xmín por un lado, y hasta xmáx por el otro.

226

21 + 21 = 21 C1 = ___________ 2 x10 + x11 • C2 es la mediana, es decir: C2 = ___________ , con x10 = 24 y x11 = 25. Entonces: 2 24 + 25 C2 = ___________ = 24,5 2 x15 + x16 • C3 = ___________, con x15 = 36 y x16 = 37. Entonces: 2 36 + 37 C3 = ___________ = 36,5 2 Además, xmín = 17 y xmáx = 47. Por lo tanto, el diagrama de cajón es:

21 24,5

xmín

36,5 C3

47 xmáx

Ejercicios propuestos 1. Construye el diagrama de cajón considerando xmín = 0, xmáx = 100 y los datos entregados.

a. C1 = 15, C2 = 30, C3 = 65

c. C1 = 70, C2 = 75, P75 = 95

b. C1 = 35, Me = 50, C3 = 55

d. P25 = 10, C2 = 20, C3 = 90

2. Relaciona los diagramas con los datos de la tabla. Para ello, completa la tabla. Número de diagrama

Medidas xmín = 50, xmáx = 500,

Diagrama 1

Diagrama 3

C1 = 350, C2 = 430, C3 = 460 C xmín 1

xmín = 10, xmáx = 40, C1 = 12,

C2 C3 Mediana

xmáx

xmín

C2 = 18, C3 = 26 xmín = 0, xmáx = 60, C1 = 35,

Diagrama 2

C2C 3 xmáx Mediana

Diagrama 4

C2 = 45, C3 = 58 C xmín 1

xmín = 100, xmáx = 120,

C2 Mediana

C3 x

máx

xmín

C2 C3 Mediana xmáx

C1 = 102, C2 = 104, C3 = 117

3. Analiza los datos. Luego, construye un diagrama de cajón en tu cuaderno. a.

Precio

[2.000, 2.500[

[2.500, 3.000[

[3.000, 3.500[

[3.500, 4.000[

[4.000, 4.500[

[4.500, 5.000]

Cantidad de personas

Precios de casas nuevas en un condominio (UF)

16 14 12 10 8 6 4 2 0

Consumo de comida chatarra en una semana

2 3 4 5 Cantidad de veces por semana

227

Lección 11: Representación de datos

Diagrama de cajón e inferencia Conectando con... La actividad física

Un diagrama de cajón permite realizar inferencia estadística con respecto a la simetría y dispersión de una distribución. Otra utilidad de este tipo de diagramas es la comparación de dos o más muestras.

Ejercicio resuelto 1. Compara las muestras de datos utilizando los diagramas de cajón respectivos. Para llevar un estilo de vida saludable se recomienda cuidar la calidad de la alimentación y realizar actividad física con regularidad. Ambas acciones son de suma importancia para prevenir la obesidad. Para obtener mayor información sobre este tema, ingresa el código SP8m228 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

Pulsos por minuto de estudiantes en reposo

Pulsos por minuto de estudiantes después de trotar

68 – 76 – 84 – 80 – 76 – 72 60 – 68 – 68 – 80 – 68 – 80 64 – 64 – 72 – 76 – 72 – 68 56 – 88 – 80 – 76 – 68 – 56 64 – 60 – 92 – 72 – 84 – 72

148 – 136 – 157 – 151 – 121 139 – 137 – 129 – 127 – 129 155 – 141 – 133 – 153 – 161 153 – 127 – 135 – 144 – 146 136 – 131 – 133 – 159 – 127 142 – 133 – 150 – 164 – 161

▷ Analizando los datos de las tablas se tiene que: Para la muestra de pulsos de estudiantes en reposo: xmín = 56; xmáx = 92; Me = 72; C1 = 68; C3 = 80 Para la muestra de pulsos de estudiantes después de trotar: xmín = 121; xmáx = 164; Me = 140; C1 = 133; C3 = 153 Luego, los diagramas de cajón de las muestras son: En reposo Después de trotar

90 110 130 150 170

Pulsos de estudiantes

Desafío

Las inferencias que se pueden concluir a partir de los diagramas de cajón son:

Comprueba que las medidas calculadas para cada muestra en el ejercicio propuesto son correctas. Para ello, realiza en tu cuaderno los cálculos necesarios.

• El pulso mínimo después de hacer ejercicio es de casi 30 latidos por minuto más que el pulso máximo en reposo.

228

• Ambos conjuntos de datos están agrupados hacia la izquierda, es decir, los pulsos mayores que la mediana están más dispersos que los pulsos menores que la mediana. • La mediana de los pulsos después del ejercicio casi dobla los pulsos en reposo.

Ejercicios propuestos 1. Analiza el diagrama de cajón. Interpreta la información que presenta y responde las preguntas.

100

120

140

Minutos que tarda en hacer efecto un medicamento en una población

a. ¿La mayoría de los tiempos se ubica por sobre o por debajo de la mediana? b. ¿Entre qué valores de la caja se agrupa la mayoría de los casos? c. ¿Cuál es el valor máximo que tardaría el medicamento en hacer efecto en la

población? d. ¿Se puede inferir que después de 30 minutos es casi seguro que el medicamento haga efecto? e. ¿Se puede concluir que después de 100 minutos es bastante inusual que el medicamento no haya hecho efecto?

2. Compara los diagramas de cajón. Luego, responde. Tiempo marcado por estudiantes en una carrera de 150 metros con obstáculos Varones Damas 1

Tiempo en minutos

a. ¿La menor marca de tiempo la registró un varón o una dama? b. ¿Cuál de las dos cajas representa un menor rango de los datos? c. ¿Se infiere que las damas son más homogéneas en sus marcas? Justifica. 3. Relaciona cada diagrama de cajón con un histograma. Para ello, escribe el número en el recuadro.

229

Lección 11

Evaluación

Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos. 1. Analiza la información dada. Luego, clasifica el tipo de datos representado.

3. Responde las preguntas interpretando la información de la tabla. Quintiles de la población de Chile según ingresos per cápita del hogar

a. Masa de encomiendas (kg)

Quintil

Desde

Hasta

$70.966

4,3 – 5,5 – 6,1 – 8,5 – 8,9 – 7,5 – 6,3 – 4,5 – 5,5 8,5 – 4,1 – 6,8 – 6,9 – 7,2 – 7,1 – 7,8 – 7,9 – 8,6 7,2 – 8,3 – 5,1 – 5,5 – 3,5 – 4,9 – 9,2 – 3,5

$70.967

$118.854

III

$118.855

$182.793

$182.794

$333.909

$333.910

Sin tope

Frecuencia

Edad de integrantes de un grupo de danza 12 10 8 6 4 2 0

Considerando que la población estimada para el año 2014 es 17.711.004 de habitantes: a. ¿Cuántas personas tendrán ingresos per cápita inferiores a $182.794?

Edad en años

2. Interpreta la información de la tabla. Luego, resuelve.

b. ¿Cuál es el ingreso mínimo del 20 % de las personas de mayores ingresos? 4. Analiza la tabla. Luego, escribe V o F según corresponda y justifica. Temperaturas máximas en agosto

Antigüedad del personal de una empresa

Años

[0, 3[

850

La moda de la muestra es 17°C.

[3, 6[

380

1.230

[6, 9[

210

1.440

La mediana es mayor que la media aritmética de la muestra.

[9, 12[

110

1.550

[12, 15[

1.610

[15, 18[

1.640

El rango de la temperatura de la muestra fue de 20 °C.

La media aritmética de la muestra es 17 °C.

En el gráfico de la muestra, las barras de mayor tamaño se ubican hacia la derecha.

En el diagrama de cajón de la muestra, la caja varía entre los 16 °C y 18 °C.

La empresa entregará un bono por antigüedad de 20 UF al 10 % del personal más antiguo, 15 UF al siguiente 30 % más antiguo y 10 UF al siguiente 40 % más antiguo. Calcula la antigüedad que debe tener un empleado para recibir cada bono utilizando la información de la tabla.

230

T (°C)

5. Analiza los histogramas. Luego, responde.

6 Observa el diagrama de cajón. Luego, completa y responde.

Cantidad de clientes

Tiempo de compra en la tienda A 16 14 12 10 8 6 4 2 0

Nota de la prueba semestral de 40 estudiantes en Matemática

15 20 25 Tiempo (min)

3,2

3,6 4,0

xmín

xmáx

5,2

6,2

35 Me

Tiempo de compra en la tienda B

a. La mayoría de las notas, ¿está por sobre o por debajo de la mediana? Justifica.

Cantidad de clientes

12 10

b. Al construir un gráfico de barras, ¿en qué sector se ubicarían las barras de mayor tamaño?

8 6

c. ¿Qué porcentaje de notas es superior a 5,2?

4 2 0

15 20 25 Tiempo (min)

a. ¿Cuál de los histogramas muestra una mayor media aritmética? Justifica. b. Si pudieras elegir una de los tiendas para ir de compras, ¿cuál elegirías? ¿Por qué?

d. ¿Existe mayor cantidad de notas superior a 5,2 que inferior a 3,6? Justifica. e. ¿Cuántos estudiantes obtuvieron nota menor a 4,0? f. Si la nota de un estudiante corresponde al percentil 45, ¿es superior a 4,0? Justifica.

Resolví problemas de aplicación de medidas de tendencia central y de posición. (Preguntas 2, 3, 4 y 5)

Interpreté la información de un diagrama de caja. (Pregunta 6)

231

UNIDAD

↘ Taller de Resolución de problemas

1. Analiza los pasos utilizados en la resolución del problema. Tiempo de espera de los clientes

1 2 3

Cantidad de clientes

En el histograma se representa el tiempo que esperan los clientes de una tienda en ser atendidos un día de la semana. Calcula el intervalo de tiempo del 25 % de los clientes que más esperaron para ser atendidos.

36 30 24 18 12 6 0

15 20 25 Tiempo (min)

Paso

Comprende el enunciado Los límites del 25 % superior de la muestra corresponden al tercer cuartil (C3) y al valor máximo de la muestra.

Paso

Planifica lo que vas a realizar A partir de su histograma se puede construir la tabla de frecuencias. Luego, se utiliza la expresión del percentil 75 para calcular C3. El valor máximo se puede obtener directamente del histograma y corresponde a 40.

Paso

Resuelve el problema Para construir la tabla de frecuencias, se consideran los datos del histograma, como la amplitud de los intervalos y las frecuencias absolutas: Tiempo de espera de los clientes (min) i

Tiempo

[0, 5[

2,5

[5, 10[

7,5

[10, 15[

12,5

Para el cálculo de C3 se consideró k = 75 (ya que C3 = P75) y n = 168. Luego, se identificó el intervalo i al que · 168 k · n = 75 ____________ pertenece el valor: _______ =126 en 100 100 las frecuencias acumuladas.

Analizando la tabla, para este caso i = 5. Entonces: 5 [20, 25[ 22,5 24 132 k·n−F ______ 6 [25, 30[ 27,5 18 150 ant ______________ C3 = L + a · 100 f 7 [30, 35[ 32,5 12 162 − 108 = 23,75 8 [35, 40[ 37,5 6 168 ______________ C3 = 20 + 5 · 126 24 Por lo tanto, el 25 % de los clientes que más esperaron por ser atendidos debió hacerlo entre 23,75 y 40 minutos. 4

4 Paso

232

[15, 20[

17,5

108

Planifica lo que vas a realizar Como las frecuencias relativas acumuladas de los intervalos [15, 20[ y [20, 25[ son 0,64 y 079, respectivamente, entonces se espera que C3, que corresponde al valor ubicado en el 75 % de los datos, se encuentre en el intervalo [20, 25[, lo que se comprueba con los cálculos realizados.

2. Resuelve los problemas. Para ello, guíate por los pasos estudiados en la página anterior. a. Calcula la mediana de las edades de las personas considerando su género. Personas que visitaron una biblioteca municipal el sábado Intervalo de edad en años

Género

5 – 10

11 – 18

19 – 25

26 – 40

41 – 65

Femenino

Masculino

Cantidad de recién nacidos

b. Calcula la mediana de la masa corporal de los recién nacidos en un hospital. 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

Masa de recién nacidos

2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 Masa (kg)

c. A partir de la distribución, calcula el tiempo mínimo que demora el 10 % de las personas que más demoran en llegar a sus trabajos. Tiempo empleado en llegar al trabajo (min) i

Tiempo

[30, 50[

[50, 70[

[70, 90[

125

[90, 110[

100

[110, 130[

120

d. Los precios de los pasajes en bus de Santiago a Concepción varían entre $6.000 y $15.000 mil pesos durante agosto. Además, de una muestra representativa de ellos se observó que _ Mo = $13.500, Me = $11.150 y x = $11.060. Si se representa la población de estudio (los precios de los pasajes) en un histograma, ¿podrías describir su forma? Justifica. e. Un club de fútbol debe comprar el pase de un goleador. Los candidatos son: Jugador

Goles marcados por año 2009

2010

2011

2012

2013

Jugador 1

Jugador 2

Completa la tabla y explica cuál de los jugadores debería comprar el club.

233

Lección

Pierre Simon de Laplace La probabilidad de que anochezca es 1… y de que mañana amanezca también es 1.

Probabilidad

La probabilidad de que yo viva eternamente es 0… y la de que algún día moriré es 1.

↘ Ley de Laplace

Ley de Laplace

↘ Probabilidad de un evento simple ↘ Principio multiplicativo

En un experimento aleatorio equiprobable, la probabilidad de que un suceso A, denotado por P(A), ocurra se puede calcular utilizando la ley de Laplace:

↘ Probabilidad de un evento compuesto ↘ Aplicaciones de la ley de Laplace

Número de casos favorables al suceso A P(A) = _______________________________________________________ Número de casos totales El número de casos totales corresponde a la cardinalidad del espacio muestral E. Además, para todo suceso A se verifica que 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Ejercicios resueltos

Sé más Los resultados de un experimento aleatorio son equiprobables si cada uno de ellos tiene la misma probabilidad de ocurrir.

1. Calcula la probabilidad de los sucesos A: obtener un 5, y B: obtener un número mayor que 5; ambos asociados al experimento de lanzar un dado de seis caras no cargado. ▷ Como el dado no está cargado, el experimento es equiprobable. Además: E: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

→ →

A: {5}

→

B: {5}

Número de casos totales: 6. Número de casos favorables al suceso A: 1. Número de casos favorables al suceso B: 1.

Luego, aplicando la ley de Laplace se obtiene que: 1 1. P(A) = ___ → La probabilidad de obtener un 5 es ___ 6 6 1 1. → La probabilidad de obtener un número mayor que 5 es ___ P(B) = ___ 6 6 2. Completa el recuadro observando la figura. Considera que las 12 bolitas tienen el mismo tamaño y textura. Experimento: extraer al azar una bolita de la urna Suceso v v r

234

a r

Conjunto

Número de casos

Probabilidad

A: sacar una bolita azul

{a, a, a, a, a, a, a}

_ 7 P(A) = ____ = 0,583 12

B: sacar una bolita roja

{r, r, r}

3 1 = 0,25 P(B) = ____ = ___ 12 4

C: sacar una bolita verde

{v, v}

2 = ___ 1 = 0,1_ P(C) = ____ 6 12 6

D: sacar una bolita negra

0 =0 P(D) = ____ 12

Puedo hacer todas estas afirmaciones trascendentes,… pero no consigo inferir la simple probabilidad de obtener solo caras al lanzar estas monedas…

La probabilidad de que al lanzarme sienta dolor es 1, y la de vivir sin alimentarme es 0.

Ejercicios propuestos 1. Completa la tabla. Experimento

N.° de resultados posibles

Elegir al azar una niña de un grupo de 3 niños y 5 niñas. Lanzar una moneda dos veces y anotar sus resultados.

La probabilidad de crear una regla para este problema ciertamente debe ser 1…

Pierre Simon de Laplace (1749-1827) Matemático, astrónomo y físico francés. Para obtener mayor información sobre este tema, ingresa el código SP8m235 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

Invitar al cine a dos de mis amigos entre: Sofía, Matías, Ana y Lucas. Formar un número de dos cifras con los dígitos 1, 5 y 7. Lanzar un dado de ocho caras y anotar el resultado.

2. Expresa como conjunto el espacio muestral de cada experimento y calcula su cantidad de elementos.

a. Elegir al azar uno de los meses del año.

b. Adivinar la edad en años, de una persona que tiene más de 15 años y menos de 20 años.

c. Elegir al azar un número primo menor que 50.

d. Formar un número de dos dígitos considerando que el dígito de las decenas es un 5.

e. Elegir tres números naturales consecutivos tal que su suma sea menor que 10.

f. Elegir dos vocales distintas para utilizarlas en una clave.

235

Lección 12: Probabilidad

Probabilidad de un evento simple Cada uno de los posibles resultados de un experimento se denomina evento simple, es decir, si un experimento tiene espacio muestral: E = {e1, e2, e3,…, en} Entonces e1, e2, e3,… en son eventos simples. De la ley de Laplace se tiene que la probabilidad de que ocurra un evento simple e es 1 P(e) = ___ N Donde N es la cantidad de eventos posibles del experimento.

Ejercicios resueltos 1. Identifica los eventos simples de cada experimento y calcula su probabilidad.

a. Experimento: extraer al azar una tarjeta marcada con una de las siguientes letras.

▷ Los eventos simples son extraer cada una de las tarjetas. De esta forma, el espacio muestral del experimento es: E : {U, V, W, X, Y} Como son 5 los eventos simples, cada tarjeta tiene una probabilidad de 1__ de ser 5 extraída.

b. Experimento: adivinar el dígito verificador de la cédula de identidad de un

amigo. ▷ Los eventos simples son dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, además de la letra k. De esta forma el espacio muestral es: E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, k}

Como los posibles resultados son 11, la probabilidad de adivinar el dígito 1 . verificador es ____ 11 c. Experimento: predecir en qué día de una semana se registrará la mayor temperatura. ▷ Los eventos simples son cada uno de los días. Así, el espacio muestral es: E : {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo} Como los días de la semana son 7, la probabilidad de predecir en cuál de ellos se registrará la mayor temperatura es 1__ . 7

236

Ejercicios propuestos 1. Identifica todos los eventos simples de cada experimento. Luego, calcula la probabilidad de cada uno de ellos.

a. Experimento: elegir una persona al azar de un grupo de tres mujeres y dos hombres.

b. Experimento: adivinar la edad en años de un amigo si tiene más de 12 años y menos de 16 años.

c. Experimento: jugar tres partidos de tenis y anotar, en orden, si ganas (G) o pierdes (P).

2. Analiza las situaciones. Luego, identifica el espacio muestral E y calcula la probabilidad del evento dado.

a. De una caja con 5 bolitas azules, 2 rojas y 3 verdes se extrae una de ellas al azar. E: Evento

A: extraer una bolita azul.

B: extraer una bolita roja.

C: extraer una bolita verde.

Probabilidad

P(A) =

P(B) =

P(C) =

b. Se elige una carta de un naipe inglés (52 cartas) al azar. E: Evento

A: extraer un cuatro de trébol.

B: extraer un cinco rojo.

C: extraer una reina.

Probabilidad

P(A) =

P(B) =

P(C) =

Ayuda Para denotar los posibles resultados o eventos de un experimento, se pueden utilizar letras. Por ejemplo: N: niña, C: cara, S: Sofía, R: roja, etc.

3. Calcula la probabilidad de cada evento simple. Para ello, considera el experimento e identifica su espacio muestral.

Un experimento consiste en lanzar un dado y una moneda al mismo tiempo, y registrar los resultados.

237

Lección 12: Probabilidad

Principio multiplicativo Si una actividad de r pasos, en que el primer paso se puede realizar de n1 maneras, el segundo paso de n2 maneras y así sucesivamente hasta el r-ésimo paso de nr maneras; entonces, el principio multiplicativo establece que el número total de maneras distintas en que se puede realizar la actividad es: Para ir desde Valdivia a Villarrica se pueden tomar 4 rutas distintas; y desde Villarrica a Temuco existen 3 rutas diferentes. ¿Cuántas formas distintas existen para ir desde Valdivia hasta Temuco pasando por Villarrica?

n1 · n2 · … · nr Este principio también se puede relacionar con un árbol de probabilidades, donde el número total de maneras corresponde al número de ramas finales.

Ejercicios resueltos 1. Aplica el principio multiplicativo.

a. Observa la ropa que Luciano tiene disponible para ir al cine. ¿De cuántas

formas distintas se puede vestir? Luego, utiliza un árbol de probabilidades para comprobar tu resultado. ▷ La actividad de elegir la ropa se divide en tres etapas: elegir una polera (n1), un pantalón (n2) y un par de zapatillas (n3). Como son 4 poleras, 3 pantalones y 2 pares de zapatillas, entonces: n1 = 4

n2 = 3

n3 = 2

Luego, las formas distintas de vestirse de Luciano son: n1 · n2 · n3 = 4 · 3 · 2 = 24 Por otro lado, el árbol de probabilidades asociado a la actividad es:

Desafío Calcula la probabilidad de que al lanzar cuatro veces un dado se obtengan solo 6.

A partir del árbol se puede observar que Luciano puede vestirse de 24 maneras distintas que corresponden al número final de ramas.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que Luciano vaya al cine vestido con polera amarilla, pantalón verde y zapatillas negras? ▷ El suceso A: polera amarilla, pantalón verde y zapatillas negras tiene solo 1 caso favorable. Además, el número total de casos es 24, por lo tanto:

1 P(A) = ____ 24 c. Calcula la probabilidad de que Luciano asista al cine con pantalón azul, polera roja y zapatillas negras. ▷ El suceso B: pantalón azul, polera roja y zapatillas negras tiene solo 1 caso favorable. Por lo tanto: 1 P(B) = ____ 24 238

2. Resuelve los problemas aplicando el principio multiplicativo.

a. ¿Cuántos números de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos 3, 5, 7, 8 y 9 sin repetir ningún dígito en un mismo número? ▷ Como los números deben tener 4 cifras, las etapas pueden ser: →

n1: elegir un dígito para la unidad de mil

→

n2: elegir un dígito para la centena

→

n3: elegir un dígito para la decena

→

n4: elegir un dígito para la unidad

n1 = 5 n2 = 4 n3 = 3 n4 = 2

La cantidad de opciones de elegir un dígito va disminuyendo en una unidad ya que, al elegir uno de los dígitos para la unidad de mil, quedan cuatro opciones para elegir el dígito para la centena, y así sucesivamente. Además, los dígitos no se pueden repetir. Así, la cantidad de maneras de realizar la actividad se obtiene de: n1 · n2 · n3 · n4 = 5 · 4 · 3 · 2 = 120 Es decir, se pueden formar 120 números distintos.

b. Una casa puede ser construida con uno o dos pisos, las paredes pueden ser de ladrillo, madera o concreto, el techo puede ser de tejas o lámina galvanizada y, por último, puede tener 2 o 3 baños. ¿Cuántas casas distintas se pueden construir? ▷ Las etapas pueden ser: →

n1: elegir la cantidad de pisos

→

n2: elegir el tipo de pared n3: elegir el material para el techo n4: elegir el número de baños

→

n1 = 2 n2 = 3 n3 = 2 n4 = 2

De esta forma, la cantidad total de opciones que se tienen para realizar la actividad se calcula de: n1 · n2 · n3 · n4 = 2 · 3 · 2 · 2 = 24 Es decir, se pueden construir 24 casas distintas.

c. Para ir de una ciudad A a una ciudad B hay cuatro caminos diferentes y de la

ciudad B a la ciudad C hay tres caminos diferentes. ¿Por cuántas rutas distintas se puede ir desde la ciudad A a la ciudad C, pasando por la ciudad B? ▷ Las etapas pueden ser: n1: caminos distintos entre las ciudades A y B n2: caminos distintos entre las ciudades B y C

→

n1 = 4 n2 = 3

De esta forma, la cantidad total de formas distintas en que se puede realizar la actividad se calcula de: n1 · n2 = 4 · 3 = 12 Es decir, se puede ir de la ciudad A a la ciudad C, pasando por la ciudad B, por 12 rutas distintas.

239

Lección 12: Probabilidad Ejercicios propuestos 1. Analiza la información del recuadro. Luego, resuelve en tu cuaderno. Un juego consiste en lanzar un dado de seis caras, luego una moneda, y finalmente un dado de ocho caras.

a. b. c. d.

¿Cuántos resultados posibles tiene el juego? ¿Cuántos de los resultados corresponden a un número impar en ambos dados? ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 3, cara y un 8? Si se lanzara la moneda dos veces, ¿cuántos resultados posibles más tendría el juego?

2. Aplica el principio multiplicativo para resolver los problemas en tu cuaderno. a. En cierto país, la patente de los vehículos está formada por dos letras y tres

números. ¿Cuántas patentes distintas se pueden formar considerando los 10 dígitos y 27 letras del abecedario?

b. Para crear una clave de correo electrónico, Eliana decide utilizar 5 letras del

abecedario, mientras que Nicolás utiliza 7 dígitos. ¿Cuál clave es más segura?

↘

Taller de Matemática aplicada

Habilidad: aplicar

En un restaurante se ofrece un menú que incluye un plato de entrada, uno de fondo y un postre. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elija sopa, asado y flan? _

A. 0,05 B. 0,125 _

C. 0,16 D. 0,3

240

Menú del día Entrada: Sopa Ensalada Plato principal: Asado Pastas Salmón Postre: Flan Helado Fruta

Probabilidad de un evento compuesto Un evento compuesto está formado por dos o más de los posibles resultados de un experimento, es decir, por dos o más eventos simples. Si un experimento tiene espacio muestral: E = {e1, e2, e3,…,en} Entonces, algunos de los eventos compuestos son: {e1, e2}, { e2, e3}, { e1, e2, e3}, etc. La probabilidad de un evento compuesto se obtiene de la suma de las probabilidades de los eventos simples que lo componen. Por ejemplo: 1 + ___ 1 = ___ 2 P({e1, e2}) = P(e1) + P(e2) = ___ N N N Por otro lado, aplicando la ley de Laplace, la probabilidad de que ocurra el evento compuesto A es: n P(A) = ___ N Donde N es la cantidad de eventos posibles del experimento y n es la cantidad de eventos simples que componen el evento compuesto.

Ejercicios resueltos 1. Clasifica los eventos en simples o compuestos, según el experimento dado. Para ello, completa la tabla.

a. Experimento: lanzar un dado de seis caras Espacio muestral: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento

Tipo Simple

Obtener un número menor que 2: {1} Obtener un número par: {2, 4, 6}

Compuesto

Obtener un múltiplo de 3: {3, 6}

Compuesto

Obtener un número primo par: {2}

Simple

Obtener un número primo: {2, 3, 5}

Compuesto

b. Experimento: lanzar tres monedas Espacio muestral: {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS} Evento Obtener solo caras: {CCC}

Tipo Simple

Obtener exactamente dos caras: {CCS, CSC, SCC}

Compuesto

Obtener por lo menos dos sellos: {CSS, SCS, SSC, SSS}

Compuesto

Obtener más de dos sellos: {SSS} Obtener menos de dos caras: {CSS, SCS, SSC, SSS}

Simple Compuesto

241

Lección 12: Probabilidad 2. Calcula la probabilidad de los eventos compuestos. Para ello, identifica el experimento.

a. Experimento: lanzar un dado de seis caras. A : obtener un número par: {2, 4, 6}. ▷ Entonces: 3 1__ ___ + 1 ___ + 1 ___ = ___ = P(A) = P(2) + P(4) + P(6) = 1 6 6 6 6 2 Por otro lado, como el evento compuesto A está formado por 3 eventos simples, al aplicar la ley de Laplace se obtiene directamente que: 3 P(A) = ___ = 1__ 6 2

B : obtener un múltiplo de 3: {3, 6}. ▷ Entonces:

___ + 1 ___ = 2 ___ = 1__ P(B) = P(3) + P(6) = 1 6 6 6 3 Por otro lado, como el evento compuesto B está formado por 2 eventos simples, al aplicar la ley de Laplace se obtiene directamente que: ___ = 1__ P(A) = 2 6 3

b. Experimento: Lanzar tres monedas. A : obtener exactamente dos caras: {CCS, CSC, SCC}. ▷ Entonces: 3 ___ + 1 ___ + 1 ___ = ___ P(A) = P(CCS) + P(CSC) + P(SCC) = 1 8 8 8 8 Por otro lado, como el evento compuesto A está formado por 3 eventos simples, al aplicar la ley de Laplace se obtiene directamente que: 3 P(A) = ___ 8

B : obtener por lo menos dos sellos: {CSS, SCS, SSC, SSS}. ▷ Entonces: 4 1__ ___ + 1 ___ + 1 ___ + 1 ___ = ___ = P(B) = P(CSS) + P(CSC) + P(SCC) + P(SSS) = 1 8 8 8 8 8 2 Por otro lado, como el evento compuesto B está formado por 4 eventos simples, al aplicar la ley de Laplace se obtiene directamente que: 4 P(A) = ___ = 1__ 8 2

C : obtener como máximo una cara: {CSS, SCS, SSC, SSS}. ▷ Entonces: 4 1__ ___ + 1 ___ + 1 ___ + 1 ___ = ___ = P(c) = P(CSS) + P(SCS) + P(SSC) + P(SSS) = 1 8 8 8 8 8 2 Por otro lado, como el evento compuesto C está formado por 4 eventos simples, al aplicar la ley de Laplace se obtiene directamente que: 4 P(A) = ___ = 1__ 8 2 242

Ejercicios propuestos 1. Analiza la situación. Luego, resuelve. La tabla muestra la distribución de los integrantes de un taller literario: Género

Edad 12 años

13 años

Mujeres

Hombres

Si se define el experimento: elegir a uno de los integrantes del taller literario:

a. ¿Cuáles son los eventos compuestos que se pueden considerar? b. Calcula la probabilidad de los eventos compuestos determinados. 2. Resuelve los problemas aplicando el principio multiplicativo. Para ello, escribe el espacio muestral.

a. Al comprar una polera, Daniela puede elegir de colores azul, verde o amarillo, y con manga larga o corta. E= ¿Cuál es la probabilidad de que se compre una polera azul? ¿Cuál es la probabilidad de que sea azul con manga corta?

b. Javier puede salir de vacaciones en enero o febrero; ir a la playa, lago o río; e ir al norte o al sur del país. E= ¿Cuál es la probabilidad de que salga de vacaciones en febrero al sur? ¿Cuál es la probabilidad de que vaya de vacaciones a un río del norte del país en enero?

3. Resuelve los problemas utilizando la ley de Laplace. a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener, al lanzar tres monedas, dos caras y un sello?

b. Si se lanza dos veces un dado y se suman los números obtenidos, ¿cuál es la probabilidad de que dicha suma sea 7?

c. Una alcancía tiene $7.000 entre billetes de $1.000 y $2.000, pero no se sabe

cuántos hay de cada uno de ellos. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga solo un billete de $2.000?

243

Lección 12: Probabilidad

Aplicaciones de la ley de Laplace Las aplicaciones del triángulo de Pascal, árbol de probabilidades y principio multiplicativo, permiten resolver problemas de aplicación de la ley de Laplace, tanto en experimentos equiprobables como en no equiprobables. Ayuda

Ejercicios resueltos

Recuerda el triángulo de Pascal: 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 ⋮

1. Analiza los enunciados. Luego, resuelve.

a. En una evaluación, Matilde debe clasificar 6 afirmaciones como verdaderas o

falsas. Como no estudió, decide responder al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que acierte exactamente 4 correctas? ▷ El experimento asociado es dicotómico, ya que se trata de responder correctamente o incorrectamente cada afirmación. Como son 6 afirmaciones, se puede utilizar la fila 6 del triángulo de Pascal:

6 correctas

5 correctas y 4 correctas y 3 correctas y 2 correctas y 1 correcta y 6 incorrectas 1 incorrecta 2 incorrectas 3 incorrectas 4 incorrectas 5 incorrectas

Luego, los casos favorables son 15 de un total de 64 casos. Por lo tanto, la probabilidad del evento A: acierta exactamente 4 correctas es: 15 P(A) = ____ = 0,234375 64

b. Según un estudio meteorológico, la probabilidad de que en los siguientes

0,2 A 0,3 A

0,7 B

0,5 0,5 0,5 0,5 A B A B

tres días llueva es 0,2; 0,3 y 0,5, y de que no llueva es 0,8; 0,7 y 0,5 respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que llueva los siguientes dos días y el tercero no? ▷ El árbol de probabilidades considerando los sucesos A: llueve y B: no llueve es:

0,8 B 0,3 A

1.er día 0,7 B

2.do día

0,5 0,5 0,5 0,5 er A B A B 3. día

En el árbol de probabilidades se puede observar el suceso AAB: llueve los siguientes dos días y el tercero no. Por lo tanto, su probabilidad es: 0,2 · 0,3 · 0,5 = 0,03

c. Al comprar una bicicleta, Florencia puede elegir una con o sin amortiguación, de color azul, rojo o verde, y de 18, 21 o 24 velocidades. ¿Cuál es la probabilidad de que compre una con amortiguación, de color verde y con 21 velocidades? ▷ Las etapas de la compra son elegir con o sin amortiguación (n1), el color (n2) y la cantidad de velocidades (n3); donde n1 = 2, n2 = 3 y n3 = 3. Entonces, el número total de bicicletas que es posible comprar es: n1 · n2 · n3 = 2 · 3 · 3 = 18 Luego, la probabilidad del evento A: comprar una bicicleta con amortiguación, de color verde y con 21 velocidades es: 1 = 0,0_5 P(A) = ____ 18 244

Ejercicios propuestos 1. Resuelve los problemas en tu cuaderno utilizando la ley de Laplace y el triángulo de Pascal.

a. Para un experimento equiprobable dicotómico que se repite 12 veces, ¿qué fila

del triángulo de Pascal se puede utilizar? ¿Cuántos resultados posibles tendría dicho experimento? b. Martín y Paola se enfrentarán en 6 partidos de tenis en los que tienen la misma probabilidad de ganar. ¿Cuál es la probabilidad de que Paola gane exactamente tres de los partidos? ¿Y de que Martín gane todos los partidos? c. De una urna con fichas numeradas del 1 hasta el 10, se extraen con reposición 4 de ellas. ¿Cuál es la probabilidad de que las 4 correspondan a números pares? ¿Y de que solo tres de ellas correspondan a números menores o iguales que 5? d. En cierta tienda, la probabilidad de que se realice una compra con una tarjeta de crédito es la misma de que sea en efectivo. ¿Cuál es la probabilidad de que dos compras consecutivas se realicen con efectivo ?

¿Qué opinas de esto?

2. Resuelve los problemas en tu cuaderno utilizando la ley de Laplace y el árbol de probabilidades.

a. ¿Cuántas ramas finales tiene el árbol de probabilidades de un experimento que

se repite 5 veces? Considera un espacio muestral de 10 elementos. b. En un curso, 15 estudiantes tienen 12 años, 25 tienen 13 años y 5 tienen 14 años. Para formar una comisión de medio ambiente se elige al azar 3 estudiantes del curso. ¿Cuál es la probabilidad de elegir primero a uno de 12 años y luego a dos de 13 años? ¿La elección se debe realizar con o sin reposición? Justifica. c. De una caja que contiene 100 pilas AA y 150 AAA, se eligen 4 de ellas sin reposición para un control de calidad. ¿Cuál es la probabilidad de que solo la última escogida sea AA? ¿Cuál es la probabilidad de que solo las dos primeras sean AAA? d. En un dado cargado de seis caras, el número 4 tiene el doble de probabilidad de ocurrir y el 5 el triple, que los demás números. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos veces el dado se obtenga primero un 6 y luego un 4?

3. Resuelve los problemas en tu cuaderno utilizando la ley de Laplace y el principio multiplicativo.

a. En cierto país, las patentes vehiculares se componen de dos dígitos y tres letras,

sin considerar vocales. Si los dígitos y las letras se pueden repetir, ¿cuántas patentes distintas se puede generar en dicho país? b. ¿Cuál es la probabilidad de formar el número 4.312 seleccionando al azar los dígitos 1, 2, 3 y 4 sin repetir ninguno de ellos? c. Para ir de vacaciones, Isabel puede viajar en enero o febrero; hospedarse en una cabaña, hotel o resort; mientras que el lugar puede ser el Caribe, Isla de Pascua o las Torres del Paine. ¿Cuál es la probabilidad de que viaje en enero a las Torres del Paine y se hospede en una cabaña? d. Para una ceremonia de graduación en un colegio, se deben formar 3 estudiantes junto al pabellón patrio. Los estudiantes serán elegidos de entre un grupo de 25 niñas y 26 niños. ¿Cuál es la probabilidad de que la formación comience por una niña, siga con un niño y termine con una niña? SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

Hasta el año 2007 se emitieron en Chile alrededor de 23,5 millones de tarjetas de crédito, entre bancarias y de tiendas comerciales.

Desafío Calcula cuántos resultados posibles tiene una prueba de 75 preguntas con 5 alternativas cada una, como la PSU de Matemática.

245

Lección 12

Evaluación

Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos. 1. Observa la urna con bolitas y considera el experimento de extraer una de ellas. Luego, completa.

2 2

1 1

2 3

a. ¿Cuántos casos posibles tiene el experimento: lanzar una moneda 5 veces y registrar sus resultados?

1 4

b. Una familia quiere tener 5 hijos. ¿De cuántas formas es posible que tengan exactamente 2 niñas y 3 niños, sin importar el orden de nacimiento?

Extraer una bolita

3. Utiliza el triángulo de Pascal para resolver los problemas.

Probabilidad

Roja Azul Roja con un 2 Con un 3

c. Dos jugadores de tenis se enfrentarán en una serie de 7 partidos con iguales probabilidades de ganar. ¿Cuál es la probabilidad de que uno de ellos gane la serie por un partido? d. ¿Cuántos resultados posibles tiene el experimento de lanzar una moneda 10 veces y registrar sus resultados?

Con un 2 Azul con un 4 Roja con un impar

4. Observa el árbol de probabilidades del experimento: extracción de fichas de una caja con fichas negras (N) y blancas (B). Luego, resuelve.

Azul con un par Roja menor que 3

Cantidad de estudiantes por taller

24 55

20 25

1 ___ 4

Danza

Ciencia

Calcula la probabilidad de elegir un estudiante al azar: a. Perteneciente al taller de danza. b. Perteneciente al taller de teatro. c. Que no pertenezca al taller de deporte. d. Que no pertenezca al taller de danza ni al taller de ciencia.

246

Deporte Teatro

3 ___ 4

1 ___ 4

2. Analiza el gráfico. Luego, resuelve.

B 3 ___ 4

3 ___ 4

1 ___ 4

3 ___ 4

1 ___ 4

3 1 ___ ___ 4 4

3 ___ 4

1 ___ 4

3 ___ 4

B N

a. ¿En qué consiste el experimento? ¿Es con o sin reposición? b. ¿Es un experimento equiprobable? Justifica. c. ¿Se puede determinar la relación entre la cantidad de fichas negras y blancas? d. Escribe el espacio muestral. ¿Cuántos elementos tiene? e. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una ficha negra, luego una blanca y finalmente una negra?

5. Completa la tabla asociada al experimento: lanzar dos dados y sumar sus puntos. Luego, resuelve. 1

6. Aplica el principio multiplicativo para resolver.

1 2 3 4 5 6

a. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral del experimento? b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma igual a 7? c. ¿Cuál es la suma de mayor probabilidad? Justifica. d. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma mayor que 10? e. Si se repite el experimento, pero con tres dados, ¿cuántos elementos tendría el nuevo espacio muestral?

a. Si una clave se compone de 3 dígitos seguidos de 4 letras (los dígitos y las letras se pueden repetir), ¿cuál es la probabilidad de formar la clave 475BPBC? b. La gira de estudio de un curso puede tener como destino Chile, Brasil o Perú. El viaje se puede realizar en bus o en avión, en verano o en invierno. ¿Cuál es la probabilidad de que la gira se realice en Brasil, durante el verano y se viaje en avión? 7 Analiza la tabla. Luego, resuelve. Probabilidad de ser atendido en una tienda por intervalo de tiempo Intervalo de tiempo

Probabilidad

Menos de 10 minutos

0,1

Entre 10 y 20 minutos

0,4

Más de 20 minutos

0,5

a. Si dos personas entran a la tienda, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean atendidas antes de 10 min? b. Si 3 personas ingresan a la tienda, calcula la probabilidad de que las dos primeras sean atendidas en menos 10 min y la tercera, en más de 20 minutos.

Utilicé el triángulo de Pascal para el cálculo de probabilidad. (Pregunta 3)

Utilice el árbol de probabilidades para el cálculo de probabilidad. (Pregunta 4)

Utilicé el principio multiplicativo para el cálculo de probabilidad. (Pregunta 6)

Apliqué la ley de Laplace en experimentos no equiprobables. (Preguntas 5 y 7)

247

UNIDAD

↘ Taller de TIC

Hoja de cálculo

Obtener un número al azar desde una lista Para realizar cálculos de este tipo, puedes seguir estos pasos:

1 2

Ingresa una lista de datos en una hoja de cálculo. Por ejemplo:

Selecciona la celda en la cual deseas obtener el resultado y copia la expresión: =INDICE(A1:A6;ALEATORIO.ENTRE(1;6);1)

Donde A1:A6 corresponde a la matriz de los datos y los números (1;6);1 hacen referencia a que se consideran los datos desde la fila 1 hasta la fila 6 y solo en la columna 1.

Presionando F9 se obtiene de forma aleatoria un dato de la matriz. Por ejemplo, se obtuvo el 7 al teclear F9 una vez:

Tecleando reiteradamente F9, se obtienen de forma aleatoria más datos de la lista.

248

1. Utiliza una hoja de cálculo para elegir al azar un número de cada lista. a.

Número de boleta

N.°

1.256 – 4.563 – 8.622 – 9.752 – 2.366 – 5.121 – 8.526 – 8.478 – 1.289 6.542 – 2.789 – 6.236 – 4.589 – 3.742 – 2.473 – 4.588 – 1.655 – 3.564 7.863 – 4.526 – 4.589 – 8.456 – 7.211 – 2.354 – 2.788 – 9.422 – 3.456

Número de asiento en un cine

N.°

125 – 36 – 181 – 58 – 173 – 71 – 152 – 16 – 178 – 18 – 156 – 62 – 170 – 175 191 – 149 – 53 – 164 – 165 – 78 – 133 – 64 – 154 – 163 – 75 – 150 – 38 – 99 56 – 88 – 49 – 198 – 113 – 27 – 39 – 102 – 49 – 119 – 167 – 21 – 131 – 91

Número de departamento

N.°

205 – 306 – 209 – 308 – 213 – 301 – 215 – 316 – 203 – 308 – 207 – 302 – 211 204 – 101 – 109 – 309 – 104 – 115 – 307 – 103 – 312 – 114 – 108 – 315 – 150 408 – 409 – 406 – 105 – 113 – 407 – 412 – 102 – 401 – 200 – 100 – 501 – 505

2. Analiza los problemas. Luego, explica de qué forma se puede utilizar una hoja de cálculo para resolver cada uno de ellos. a. De un curso de 41 estudiantes se debe elegir al azar uno de ellos para participar en una ceremonia de fin de año.

b. En un concurso se sorteará un premio. Para ello, se va a considerar el RUN de cada participante del concurso.

c. Un grupo de amigos está decidiendo dónde ir el domingo. Tres de los amigos votan por ir al cine; otros tres votan por ir a un museo y uno vota por ir de compras. Como no se pueden poner de acuerdo, deciden elegir al azar considerando las preferencias.

249

UNIDAD

Modelamiento de pregunta tipo SIMCE® Analiza el siguiente ejemplo de una pregunta de alternativas tipo SIMCE®. En un curso de 36 estudiantes, la cantidad de niñas es el doble que la cantidad de niños. Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que corresponda a una niña? 1 A. ____ 24 1 B. ____ 12 __ C. 1 3 2 D. __ 3

La pregunta involucra los conceptos de probabilidad de un evento compuesto.

Clave: D. Como el total de estudiantes es 36 y la cantidad de niñas (m) es el doble de la cantidad de niños (h), entonces: h + m = 36 m = 2h Reemplazando: h + 2h = 36 → 3h = 36 → h = 12 De esta forma, la cantidad de niñas es:

Si tienes dificultades para comprender la justificación, puedes reforzar este contenido revisando la Lección 12 del Texto y las páginas respectivas de tu Cuaderno de ejercicios.

m = 2h = 2 · 12 = 24 Así, la probabilidad de elegir al azar a una niña 24 __ del curso es ____ = 2 . 36 3 Distractores: A. Como la cantidad de niñas es 24, se calculó la probabilidad de elegir una niña en particular y considerar un espacio muestral de 24 elemen1. tos. De esta forma se respondió: ____ 24 B. Se consideró elegir al azar a un niño en particu1 lar. Como el total de ellos es 12, se contestó ____ 12 C. Se calculó la probabilidad de elegir al azar a un niño del curso. De esta forma, y como son 12 ____ = 1 __ . los niños, se calculó 12 36 3

250

Los errores cometidos al inclinarse por uno de estos distractores son: • Interpretar incorrectamente la probabilidad de un evento. • No reconocer los elementos de un espacio muestral. • Confundir los casos favorables de un evento.

Ahora completa una pregunta de alternativas tipo SIMCE®. Para ello, completa cada sección según lo estudiado en la página anterior. Tomás irá durante sus vacaciones al museo de ciencia. Puede ir en la mañana o en la tarde de cualquiera de los días de cierta semana. ¿Cuál es la probabilidad de que vaya en la mañana del viernes de dicha semana?

La pregunta involucra los conceptos de

1 A. ____ 14 ___ B. 1 9 __ C. 1 7 D. 1__ 2 Clave: A.

Si tienes dificultades para comprender la justificación, puedes reforzar este contenido, revisando la Lección

del Texto y las páginas respectivas

de tu Cuaderno de ejercicios. Distractores: B. Como puede ir en la mañana o tarde (2 opciones) en cualquier día de una semana (7 opciones), se consideró de forma errónea que la cantidad total de opciones que tenía eran 2 + 7 = 9. De esta forma, se contestó que la ___. probabilidad de ir la mañana del viernes es 1 9 C. Se cometió el error de considerar que Tomás visitaría el museo un día viernes, omitiendo que lo haría en la mañana. De esta forma, el número de opciones corresponde a la cantidad de días __ . de la semana (7). Así, se respondió 1 7 D. No se comprendió el enunciado del problema, ya que solo se consideraron 2 opciones de visitar el museo: mañana o tarde. Así, se respondió 1__ . 2

Los errores cometidos al inclinarse por uno de estos distractores son:

251

UNIDAD

Evaluación final

Lee y responde las siguientes preguntas relacionadas con lo aprendido en esta unidad. I. Marca la alternativa que consideres correcta. 1. Fabián, Martina y David juegan al carioca y registran en una tabla el número de puntos ganados y perdidos, en cada una de las fases del juego. Respecto al enunciado anterior, ¿cuál es la variable de estudio? A. Número de puntos. B. Número de juegos. C. Número de jugadores.

2. Con respecto a la información de la tabla, ¿cuál de las afirmaciones es FALSA? Ventas de automóviles en un mes N.° de días

1–5

6 – 10

11 – 15

16 – 20

21 – 25

26 – 30

A. El total de automóviles vendidos en el mes fue 43. B. Los valores de b y c son 36 y 14, respectivamente. C. El mes de ventas representado tenía 30 días. D. La suma de los valores de a, b y c es 63. 3. ¿Cuál es el tipo de datos de un conjunto de números naturales? B. Cuantitativo continuo. C. Categórico nominal. D. Categórico ordinal.

Grado de obesidad de niños de 8 años Grado de obesidad

Delgado

Normal

Sobrepeso

Obeso

A. Cuantitativo discreto.

D. Número de fases del juego.

A. Cuantitativo discreto.

4. ¿Cuál es el tipo de datos representado en la tabla?

B. Cuantitativo continuo. C. Categórico nominal. D. Categórico ordinal. 5. ¿Cuál de los siguientes gráficos NO es conveniente usar para representar datos cuantitativos discretos? A. Histograma. B. Gráfico de barras. C. Gráfico de puntos. D. Diagrama de tallo y hojas. 6. Con respecto a la información de la tabla, ¿cuál de las afirmaciones es verdadera? Frutas preferidas Fruta

Naranja

Plátano

Pera

Manzana

A. La fruta menos preferida es la naranja. B. Los valores de la variable representada son {3, 5, 6, 9}. C. Los datos representados son del tipo categórico ordinal. D. Los valores de la variable representada son {Naranja, Plátano, Pera, Manzana}.

252

Con respecto al percentil 50 de una muestra de datos, es FALSO que:

11. ¿Cuál de los diagramas representa a la siguiente muestra?

A. Corresponde a la mediana de la muestra.

Tiempos de un deportista (segundos) 10,3 – 10,2 – 9,9 – 10,4 – 10,7 – 9,9 – 10,4 10,8 – 10,6 – 10,3 – 10,1 – 9,9 – 10,0 – 10,2 – 9,8

B. Divide la muestra en dos subgrupos. C. Es equivalente al segundo cuartil. D. Siempre es un dato de la muestra..

8. ¿En cuál intervalo de la tabla se ubica el tercer cuartil? 9,8 9,9 10 10,1 10,2 10,3 10,4 10,5 10,6 10,7 10,8

Estatura de deportistas Estatura (cm)

[150 – 160[

155

[160 – 170[

165

[170 – 180[

175

[180 – 190[

185

Segundos

9,8 9,9 10 10,1 10,2 10,3 10,4 10,5 10,6 10,7 10,8

Segundos

A. [150 – 160[

B. [160 – 170[ C. [170 – 180[ D. [180 – 190[ 9.

9,8 9,9 10 10,1 10,2 10,3 10,4 10,5 10,6 10,7 10,8

Segundos

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A. La mediana de una muestra de datos es menor que el tercer cuartil.

B. Los cuartiles de una muestra de datos son 3. C. El 80 % de los datos de una muestra se ubican por sobre el percentil 80.

9,8 9,9 10 10,1 10,2 10,3 10,4 10,5 10,6 10,7 10,8

Segundos

D. El 10 % de los datos de una muestra es menor que el primer cuartil.

12. ¿Cuál de los experimentos NO es aleatorio?

10. Con respecto al siguiente diagrama de cajón sobre las notas de un estudiante en Matemática:

A. Hacer girar una ruleta dividida en tres regiones congruentes y del mismo color. B. Lanzar un dado no cargado de ocho caras numeradas de 1 a 8. C. Extraer una bolita de una caja que contiene solo tres bolitas rojas.

2,0

3,0

4,0

Notas

5,0

6,0

Es verdadero que: A. La media de las notas es 4,5. B. Un 25 % de las notas es inferior a 2,5. C. La mayoría de la notas es superior a 3,5. D. El tercer cuartil es 6,5.

7,0

D. Lanzar tres monedas y registrar el número de caras que se obtiene. 13. Con respecto al lanzamiento de un dado, ¿cuál de los siguientes eventos NO es simple? A. Obtener un número menor que 2. B. Obtener un divisor de 6. C. Obtener un número primo par. D. Obtener un 5.

253

UNIDAD Evaluación final 14. Con respecto al experimento “lanzar dos dados y sumar sus puntos”, ¿cuál de los siguientes eventos NO es compuesto? A. Obtener una suma igual a 4.

A. Si se introduce una bolita negra a la urna, la probabilidad de extraer una bolita blanca no varía.

B. Obtener una suma mayor que 11.

B. Para igualar las probabilidades de extraer una bolita blanca y una bolita negra se pueden introducir dos bolitas blancas.

C. Obtener una suma igual a 7. D. Obtener una suma igual a 3. 15. ¿Cuántas claves distintas se pueden formar con una vocal seguida de un dígito? B. 10 C. 45 D. 50 16. La siguiente tabla muestra la distribución por género y edad de los integrantes de un taller: Integrantes del taller de Música Edad

Niñas

Niños

13 años

14 años

Con respecto a la información de la tabla, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A. La probabilidad de elegir al azar a una niña del taller es menor que la probabilidad de elegir al azar a un niño del taller. B. La probabilidad de elegir al azar a un integrante de 14 años del taller es mayor que la probabilidad de elegir al azar a un integrante de 13 años. C. La probabilidad de elegir al azar a una niña de 13 años del taller es igual a la probabilidad de elegir al azar un niño de 14 años del taller. D. La probabilidad de elegir al azar a una niña de 14 años del taller es igual a la probabilidad de elegir al azar a un niño de 13 años del taller. 17. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara y un sello al lanzar dos monedas simultáneamente? _

B. 0,3 C. 0,5 D. 0,75

C. La probabilidad de extraer de la urna una bolita negra es 0,6. D. La probabilidad de extraer una bolita blanca es menor que la probabilidad de extraer una bolita negra.

A. 5

A. 0,25

18. Una urna contiene 6 bolitas negras y 4 bolitas blancas. Si se extrae una bolita de la urna, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

19. Una urna contiene 10 bolitas de iguales dimensiones y cada una de ellas tiene impresa una letra de la palabra MATEMÁTICA. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bolita que tenga impresa una letra A? 3 A. ___ 4 3 B. ___ 8 3 C. _____ 10 D. 1___ 3 20. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número menor que 6 al lanzar un dado no cargado de ocho caras? ___ A. 1 4 1 B. ___ 2 5 C. ___ 8 3 D. ___ 4 21. Con respecto al experimento “lanzar simultáneamente una moneda y un dado de seis caras no cargado”, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A. El espacio muestral tiene 8 elementos. B. La probabilidad de obtener una cara y un número par es 0,5. C. Es más probable obtener una cara y un número par que obtener un sello y un número impar. D. La probabilidad de obtener un sello y un número primo es 0,25.

254

II. Resuelve los problemas. 22. Una urna contiene 30 fichas entre rojas y azules. La probabilidad de extraer al azar una ficha azul es 0,6. Si la mitad de las fichas rojas son retiradas de la urna, ¿en qué porcentaje aumenta la probabilidad de extraer una ficha azul?

23. Considera el experimento “lanzar dos dados simultáneamente y sumar sus puntos”. Determina su espacio muestral y calcula la probabilidad de obtener una suma mayor que 10.

Me evalúo Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las respuestas correctas que hayas conseguido. I. Preguntas de alternativas Analicé representaciones de datos cuantitativos y categóricos. (Preguntas 1, 2, 3, 4, 5 y 6)

Identifiqué características de las medidas de posición. (Preguntas 7, 8 y 9)

Analicé diagramas de cajón. (Preguntas 10 y 11)

Clasifiqué experimentos y eventos. (Preguntas 12, 13 y 14)

Calculé probabilidad de eventos simples y compuestos. (Preguntas 15, 16, 17, 18, 19, 20 y 21)

de 6 de 3 de 2 de 3 de 7

II. Preguntas de desarrollo Resolví problemas de cálculo de probabilidad. (Preguntas 22 y 23)

de 2

255

Evaluación tipo SIMCE® Instrucciones Antes de iniciar la prueba, lee las siguientes instrucciones. • Usa solo lápiz grafito para contestar la prueba. • Trata de contestar todas las preguntas de la prueba, incluso si no estás completamente seguro(a) de tu respuesta. • Completa la Hoja de respuestas tal como se indica a continuación:

Datos Escribe tu nombre, curso, edad y la fecha.

Preguntas de alternativas

Preguntas de desarrollo

Contesta cada pregunta marcando una en la alternativa que consideres correcta. debes marcar solo una de las alternativas.

Correcciones Borra la del cuadrado que marcaste erróneamente utilizando la goma de borrar. Luego, marca una en la alternativa que consideres correcta.

Contesta estas preguntas directamente en la Hoja de respuestas.

• si tienes alguna duda sobre cómo contestar, levanta la mano y pregunta al profesor o a la profesora.

Hoja de respuestas Nombre Curso

Fecha

Edad I. Preguntas de alternativas AĂąos

Marca una

en la alternativa que consideras correcta.

II. Preguntas de desarrollo 39 Al abrir la llave de un estanque con agua, este pierde 2 L luego de 3 minutos y a los 6 minutos ha perdido 15 L. Si la relación entre el tiempo y los litros perdidos se modela por una función afín, ¿qué cantidad de litros habrá perdido a los 27 minutos?

40 Con respecto al experimento “lanzar dos dados y multiplicar sus puntos”, ¿cuántos elementos tiene su espacio muestral?

I. Preguntas de alternativas 1 Observa la siguiente tabla: Turistas alojados en el hotel Amistad en 2012 Enero

Febrero

Variación

239

212

–27

En la tabla, el número –27 indica que:

A. La cantidad de turistas alojados en febrero aumentó en 27 con respecto a enero. B. Los turistas alojados en el hotel Amistad en febrero eran 27 menos que los alojados durante

enero. C. La cantidad de turistas alojados en enero fue inferior en 27 con respecto a lo que se esperaba. D. La cantidad de turistas alojados que dejaron el hotel a fin de febrero fue de 27. 2 Analiza la tabla: Registro de ganancias y pérdidas de un almacén ($) Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

Sábado

Domingo

35.000

–12.000

–5.000

27.000

35.000

39.000

–10.000

Según la tabla es correcto que:

A. B. C. D.

Lo ganado el fin de semana es mayor que lo ganado el viernes. En promedio, durante la semana el almacén produjo ganancias. El miércoles fue el día de mayor pérdida. La mayoría de los días de la semana se produjeron pérdidas en el almacén.

3 3 ¿Cuál número decimal es equivalente a  ____    ? 75 A. 0,04 B. 0,4 C. 3,75 D. 25 3 4 ¿A cuántos sacos de 10,5 kg de arroz son equivalentes en masa 350 bolsas de  __   de kg? 4 A. 7,875 B. 14 C. 25. D. 4.900

259

5 En la final de los 150 m planos de una competencia escolar los tres primeros lugares registraron los siguientes tiempos: Registro de tiempos (s) Clara

__ 24,56

Estefanía _ 24,5

Eliana _

24,56

Entonces, la diferencia entre el primer lugar y el segundo lugar fue de: 1     s A.   _____ 99 1     s B.   _______ 990

1     s   _____ 90

D.   1___9     s 6 El siguiente cuadrado está dividido en 4 partes iguales:

Entonces, la cuarta parte de la región negra corresponde a:

A. B. C. D.

Un octavo de la región de gris. El doble de la región gris. Dos cuartas partes de la región blanca. La mitad del área del cuadrado.

7 ¿En cuántos cubos de 1 cm3 se puede dividir el cubo de la figura?

A. B. C. D.

260

4 cm

4 42 43 44

8 El resultado de (122 · 123) : 35 es:

A. B. C. D.

4 45 85 365

9 El siguiente esquema muestra los receptores de una cadena de correos iniciada por Lucía: ← etapa 3 familiar

amiga

hermana

amigo

prima

tío

← etapa 2 ← etapa 1

Lucía

Si cada persona debe enviar dos correos, entonces la cantidad de receptores en la etapa 5 es:

A. B. C. D.

5 10 24 25

10 Para un trabajo de Geometría, Camilo necesita pegar fichas cuadradas de lado 5 cm en la cartulina de la imagen:

60 cm

Entonces, la cantidad de fichas que puede pegar se obtiene de:

A. B. C. D.

60 : 5 602 : 52 60 : 52 602 : 5

261

11 Observa la construcción, sobre la recta numérica, de las raíces cuadradas de algunos números utilizando regla y compás:

√ 2 

5   2 √

3 √ 10 

4 A

Según la representación, el valor de A es:

A. B. C. D.

√11   __ √ 12   __ √ 15   __ √ 17   __

12 Si x = √ 32  , ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A. B. C. D.

5<x<6 x2 = 32 _ x = 16√2   __ __ x =√8   · √4 

13 El siguiente gráfico representa la preferencia deportiva de un grupo de personas: básquetbol __     1 6

tenis __     1 3

vóleibol 1      ___ 6

fútbol __     1 3

Por lo tanto, el porcentaje de personas que no prefieren tenis es:

A. B. C. D.

262

16,6  % _ 33,3   % _ 66,6  % _ 83,3   %

14 Una tienda tiene los siguientes anuncios: POLERA DE MUJER ANTES: $8.000 AHORA: 20% de descuento

PANTALÓN DE MUJER ANTES: $15.000 AHORA: 10% de descuento

Si Josefa compró un pantalón y una polera en la tienda, ¿cuánto dinero ahorró con los descuentos?

A. B. C. D.

$3.100 $6.900 $19.900 $23.000

15 Observa el rectángulo ABCD: D

C (2X + 8) cm

Si el largo mide el doble que el ancho, ¿cuál es su área?

A. B. C. D.

(2x2 + 16x + 32) cm2 (2x2 + 32) cm2 (8x2 + 64x + 128) cm2 (8x2 + 128) cm2

16 La expresión algebraica x2 + 5x + 6 se puede representar geométricamente por:

5 x

263

17 Una pelota se deja caer de una cierta altura y en cada rebote alcanza tres cuartos de la altura del rebote anterior:

80 cm

2 Rebote

¿Cuál de las siguientes ecuaciones permite conocer la altura inicial x, si en el cuarto rebote alcanzó 80 cm? A.   3___4  x = 80 9 B.  ____    x = 80 16 _____   x = 80 C.   27 64 81   x = 80 D.   ______ 256 18 ¿Cuál de los siguientes enunciados NO se puede modelar matemáticamente utilizando la ecuación 6x + 6 = 60?

A. B. C. D.

La suma de tres números pares consecutivos es 60. La suma de tres números enteros consecutivos es 60. La suma de dos números impares consecutivos es 60. La suma de dos números pares consecutivos es 60.

2  x  −   __ 1    = x +  1 __   es: 19 La solución de la ecuación  __ 4 3 2 9 ___ A. −   4   B. −   3___4   C. −   1___4  

D. 2

264

20 Si una función f tiene Dom(f) = {2, 3, 4, 5} y Rec(f) = {–2, –1 , 0, 2}, entonces su diagrama sagital puede ser: f

–2

–1

–2

–1

21 Observa la representación gráfica de la función lineal y = f(x): y = f(x) Y 4 3 2 1 X –6

–5

–4

–3

–2

–1

–1 –2 –3 –4

¿Cuál de las siguientes tablas de valores se puede construir con la información del gráfico?

A. B.

–3

–5

–3

C. D.

–5

–3

–5

265

22 El diagrama sagital de la función lineal y = f(x) es: f –10 –5 0 5 10

–6 –3 0 3 6

¿Cuál de los siguientes gráficos representa de mejor manera a y = f(x)?

–3

–2

–1

266

–2

–1

–3

–2

–1

–2

–3

–2

–1

–3

–1

–2

–3

23 Observa el gráfico de la función afín y = g(x): y=g(x) Y 4 3 2 1 –4

–3

–2

–1

4 X

–1 –2 –3 –4

Entonces, la regla de formación de g es:

A. B. C. D.

g(x) = –x + 1 g(x) = x + 1 g(x) = x – 1 g(x) = –x – 1

24 La siguiente tabla muestra la población de conejos en un criadero al final de cada mes: Población de conejos Mes

Cantidad

Abril

160

Mayo

175

Junio

190

Julio

205

⋮

Si el aumento de la población es constante, ¿cuál de los siguientes modelos permite representar la relación entre la cantidad de conejos y el final de cada mes?

A. C(x + 1) – C(x) = 15 y C(1) = 160

C. C(x + 1) – C(x) = 160 y C(1) = 15

C: cantidad de conejos. x: número de mes. x = 1: corresponde a marzo.

B. C(x + 1) – C(x) = 15 y C(1) = 160

D. C(x + 1) – C(x) = 160 y C(1) = 15.

C: cantidad de conejos. x: número de mes. x = 1: corresponde a abril.

267

La siguiente figura está formada por el triángulo rectángulo ABC y tres cuadrados apoyados en cada uno de sus lados: C

Área = 144 cm2 A

5 cm

¿Cuál es el área del cuadrado apoyado en el lado BC?

A. B. C. D. 26

25 cm2 36 cm2 72 cm2 169 cm2 _›

El gráfico representa la traslación del triángulo ABC según el vector v : 5 4

Y C’

3 2 A’ 1

C –6

–5

–4

–3

–2

–1

B’ 1

X 4

–1

A B

–2 –3

Entonces, el vector de traslación es:

A. B. C. D. 27

v = (−5, − 3) v = (3, 5) _› v = (−3, −5) _› v = (5, 3) _›

Para aplicar una rotación a una figura se necesita conocer:

A. B. C. D. 268

_›

Un centro de giro y un ángulo de giro. Un eje de simetría y un ángulo de giro. Solo un ángulo de giro. Solo un centro de giro.

28 Observa la red de construcción de un cilindro: 3 cm

12 cm

¿Cuál es el área total del cilindro que se puede construir con la red anterior?

A. B. C. D.

36π cm2 81π cm2 84π cm2 90π cm2

29 Si el área de la base de un cilindro es 36π cm2, ¿cuál es su volumen si su altura es 6 cm?

A. B. C. D.

72 cm3 108 cm3 216 cm3 432 cm3

30 Observa el prisma regular:

24 cm

Si la base triangular tiene área de 72 cm2, entonces su volumen es:

A. B. C. D.

96 cm3 864 cm3 1.728 cm3 3.456 cm3

31 La calidad del aire de cierta ciudad se clasifica en: Bueno, Regular y Malo. ¿De qué tipo es la variable “calidad del aire”?

A. B. C. D.

Categórica nominal. Categórica ordinal. Cuantitativa discreta. Cuantitativa continua.

269

32 ¿En cuál de los siguientes gráficos se representa la cantidad de estudiantes que obtuvo nota final mayor o igual 6,5 en Matemática? Nota final de Matemática

Nota final de Matemática

Menor o igual a 5,5. 37% 42% 21%

A. B. C. D.

Entre 5,5 y 6,5. Mayor o igual a 5,5.

Solo en el gráfico 1. Solo en el gráfico 2. En el gráfico 1 y en el gráfico 2. En ninguno de ellos.

Menor o igual a 5,5

Entre 5,5 y 6,5 Mayor o igual a 6,5 = 1 estudiante

33 Si el 30 % de las estaturas de un grupo de estudiantes es inferior a 150 cm y un 45% de las estaturas es mayor que 160 cm, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

A. B. C. D.

La mediana de los datos corresponde a 155 cm. El tercer cuartil es menor que 160 cm. El percentil 45 es 160 cm. Un 55% de los estudiantes mide menos de 160 cm.

34 La hora de salida de los trabajadores de una oficina se representa en el diagrama de cajón: Hora de salida

17:30 17:45 18:00

18:30

19:00

A partir de la información del diagrama anterior, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A. B. C. D.

270

El primer trabajador en retirarse lo hace a las 17:45. El 25 % de los trabajadores se retira después de las 18:30. El 50 % de los trabajadores se retira antes de las 18:00. El percentil 37 de los datos se encuentra entre las 17:45 y las 18:00.

La probabilidad de que al lanzar un dado de seis caras se obtenga un 2 es:

A. B. C. D. 36

0,16 _ 0,3 0,6 _ 0,83

Analiza la tabla de los estudiantes de un curso: Edad Género

Mujeres

Hombres

Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál de los siguientes eventos es más probable?

A. B. C. D. 37

La probabilidad de que cierto jugador de tenis gane un encuentro en un torneo es 0,4. ¿Cuál es la probabilidad de que en dos encuentros consecutivos del torneo gane el primero y pierda el segundo?

A. B. C. D. 38

Elegir a una mujer de 13 años del curso. Elegir entre los estudiantes de 12 años a un hombre. Elegir entre las mujeres a una que tenga 14 años. Elegir a un hombre de 13 años del curso.

0,16 0,24 0,36 1

¿Cuál es la probabilidad de extraer una bolita negra de la caja 1 y una bolita gris de la caja 2?

A. 1___5

Caja 1

Caja 2

15 bolitas

12 bolitas

1 B. _____ 45

____ C. 13 27 ____ D. 14 15

271

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