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Matemática 4

Guía básica

Unidad 4

Distribución normal Si una variable distribuye N(μ, σ), entonces:

Selección de una muestra Paso 1: Definir la población de estudio.

Paso 2: Identificar los elementos que pueden pertenecer a la muestra.

Paso 3: Determinar el tamaño de la muestra.

Paso 4: Seleccionar una técnica de muestreo.

Paso 5: Seleccionar la muestra.

68,3 % μ

μ+σ

Distribución binomial Si n es el número de ensayos y p es la probabilidad de éxito, entonces: P(Y = y) = ( ny )py(1 − p)n − y n! con k ∈ ℕ ∪ {0} y n ≥ k.

Además, ( ny ) = ______ y!(n − y)!

Una distribución ___ binomial B(n, p), se puede aproximar a una normal N( np, √npq ), con q = 1 – p, si np ≥ 5 y n(1 – p) ≥ 5.

95,4 % μ − 2σ

μ

μ + 2σ

99,7 % μ − 3σ

μ

μ + 3σ

Distribución normal estándar Cualquier variable aleatoria continua X que se distribuya N(μ, σ) es posible transformarla a una variable Z de distribución N(0, 1) mediante la siguiente relación: X−μ Z = ____ σ Intervalos de confianza Un intervalo de confianza de (1 – α) · 100 % para la media poblacional μ, con σ dada es: _ σ_ , _x + z · ___ σ_ ; donde n es el IC(μ) = x − z1 − _α · ___ 1 − _α √ n 2 √n 2 _ tamaño de la muestra y x es su promedio.

]

- Conceptos básicos.

- Fórmulas.

- Tabla de tipificación para distribuciones normales.

Tabla de tipificación para distribuciones normales (P(Z < z))

[

Corrección de Yates • P(Y = y) = P(y – 0,5 < x < y + 0,5) • P(Y ≤ y) = P(x < y + 0,5) • P(Y < y) = P(x < y – 0,5) • P(Y ≥ y) = P(x > y – 0,5) • P(Y > y) = P(x > y + 0,5)

Z 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9

0,00 0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7257 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192 0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713 0,9772 0,9821 0,9861 0,9893 0,9918 0,9938 0,9953 0,9965 0,9974 0,9981 0,9987 0,9990 0,9993 0,9995 0,9997 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 1,0000

0,01 0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591 0,6950 0,7291 0,7611 0,7910 0,8186 0,8438 0,8665 0,8869 0,9049 0,9207 0,9345 0,9463 0,9564 0,9649 0,9719 0,9778 0,9826 0,9864 0,9896 0,9920 0,9940 0,9955 0,9966 0,9975 0,9982 0,9987 0,9991 0,9993 0,9995 0,9997 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 1,0000

0,02 0,5080 0,5478 0,5871 0,6255 0,6628 0,6985 0,7324 0,7642 0,7939 0,8212 0,8461 0,8686 0,8888 0,9066 0,9222 0,9357 0,9474 0,9573 0,9656 0,9726 0,9783 0,9830 0,9868 0,9898 0,9922 0,9941 0,9956 0,9967 0,9976 0,9982 0,9987 0,9991 0,9994 0,9995 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,03 0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664 0,7019 0,7357 0,7673 0,7967 0,8238 0,8485 0,8708 0,8907 0,9082 0,9236 0,9370 0,9484 0,9582 0,9664 0,9732 0,9788 0,9834 0,9871 0,9901 0,9925 0,9943 0,9957 0,9968 0,9977 0,9983 0,9988 0,9991 0,9994 0,9996 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,04 0,5160 0,5557 0,5948 0,6331 0,6700 0,7054 0,7389 0,7704 0,7995 0,8264 0,8508 0,8729 0,8925 0,9099 0,9251 0,9382 0,9495 0,9591 0,9671 0,9738 0,9793 0,9838 0,9875 0,9904 0,9927 0,9945 0,9959 0,9969 0,9977 0,9984 0,9988 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,05 0,5199 0,5596 0,5987 0,6368 0,6736 0,7088 0,7422 0,7734 0,8023 0,8289 0,8531 0,8749 0,8944 0,9115 0,9265 0,9394 0,9505 0,9599 0,9678 0,9744 0,9798 0,9842 0,9878 0,9906 0,9929 0,9946 0,9960 0,9970 0,9978 0,9984 0,9989 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,06 0,5239 0,5636 0,6026 0,6406 0,6772 0,7123 0,7454 0,7764 0,8051 0,8315 0,8554 0,8770 0,8962 0,9131 0,9279 0,9406 0,9515 0,9608 0,9686 0,9750 0,9803 0,9846 0,9881 0,9909 0,9931 0,9948 0,9961 0,9971 0,9979 0,9985 0,9989 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,07 0,5279 0,5675 0,6064 0,6443 0,6808 0,7157 0,7486 0,7794 0,8078 0,8340 0,8577 0,8790 0,8980 0,9147 0,9292 0,9418 0,9525 0,9616 0,9693 0,9756 0,9808 0,9850 0,9884 0,9911 0,9932 0,9949 0,9962 0,9972 0,9979 0,9985 0,9989 0,9992 0,9995 0,9996 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,08 0,5319 0,5714 0,6103 0,6480 0,6844 0,7190 0,7517 0,7823 0,8106 0,8365 0,8599 0,8810 0,8997 0,9162 0,9306 0,9429 0,9535 0,9625 0,9699 0,9761 0,9812 0,9854 0,9887 0,9913 0,9934 0,9951 0,9963 0,9973 0,9980 0,9986 0,9990 0,9993 0,9995 0,9996 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,09 0,5359 0,5753 0,6141 0,6517 0,6879 0,7224 0,7549 0,7852 0,8133 0,8389 0,8621 0,8830 0,9015 0,9177 0,9319 0,9441 0,9545 0,9633 0,9706 0,9767 0,9817 0,9857 0,9890 0,9916 0,9936 0,9952 0,9964 0,9974 0,9981 0,9986 0,9990 0,9993 0,9995 0,9997 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,

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Material desarrollado como apoyo para el estudiante que contiene:

Tabla de tipificación para distribuciones normales (P(Z< z))

Estadística y probabilidad

μ-σ

Matemática 4

Unidad 1 Funciones Función potencia • Sea f(x) = axn, con n ∈ ℕ. Si n es par: a>0

a<0

y

y

x

a<0

y

y x

x

• Sea f(x) = ax –n, con n ∈ ℕ. Si n es par: y y x

a>0

x

• Si n es impar: y

a<0

y x

x a>0

a<0

(

)

Progresión aritmética an = a1 + d(n – 1); con n ∈ 핅 y d ∈ 핉 – {0} Sn = _n ( 2a1 + ( n − 1 )d ) 2 n _ Sn = ( a1 + an ) 2 Tres números a, b y c están en PA si 2b = a + c.

x • Si n es impar: a>0

Interés compuesto k·n C = C0 1 + _i k Con C capital final, C0 capital inicial, i tasa de interés, n período y k veces que se capitalizan los intereses por período.

Progresión geométrica an = a1 · rn – 1; con n ∈ 핅 y r ∈ 핉 – {0, 1} 1 − rn S = a · ____ 1 1−r a1 –1 < r < 1 ⇒ S = ____ 1−r

Tres números a, b y c están en PG si b2 = a · c.

Crecimiento aritmético Si Pn: población final, P0: población inicial, n: período de proyección de la población en unidad de tiempo y ra: tasa de crecimiento aritmético (Tca), entonces: ra · n Pn = P0 1 + ____ 100 Pn − P0 ra = ______ · 100 P0 · n

(

(

)

)

Crecimiento geométrico Si Pn: población final, P0: población inicial, n: período de proyección de la población en unidad de tiempo y rg: tasa de crecimiento geométrico (Tcg), entonces: rg n ___ Pn = P0 1 + 100

(

rg =

(√ ) n

__

)

Pn __ − 1 · 100 P0

Función inyectiva Si x1, x2 ∈ dom(f), f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2, o bien, x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2).

Función sobreyectiva La función f: A ⊆ 핉 → C definida por y = f(x) es sobreyectiva, si ∀ y ∈ C, ∃ x ∈ A / f(x) = y.

Es decir, rec(f) = C. Función biyectiva Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. Es decir, ∀ y ∈ B, ∃! x ∈ A / y = f(x).

Función inversa La función g es inversa de f si: (g o f)(x) = (f o g)(x) = x.

Matemática 4

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Unidad 2

Unidad 3

Inecuaciones

Geometría espacial

Intervalos en IR Si a, b, x ∈ 핉 con a < b, se definen: • Intervalo abierto: ]a, b[ = {x ∈ 핉 / a < x < b} • Intervalo cerrado: [a, b] = {x ∈ 핉 / a ≤ x ≤ b} • Intervalo no acotado: [a, ∞[ = {x ∈ 핉 / a ≤ x} • Intervalo no acotado: ]–∞, b] = {x ∈ 핉 / x ≤ b} Lógica y conjuntos • y ⇔ ∧, o ⇔ ∧ • I∩⌀=⌀ • I∩핉=I • I∪⌀=I • I∪핉=핉 Propiedades de las desigualdades Si x, y, z, w ∈ 핉, entonces: • x<y∧y<z⇒x<z • x<y⇒x+z<y+z y • x < y ∧ z > 0 ⇒ x · z < y · z ∨ _xz < _z y • x < y ∧ z < 0 ⇒ x · z > y · z ∨ _xz > _z • x · y > 0 ∧ _yx > 0 ⇔ x, y > 0 ∨ x, y < 0 • x < y (x, y > 0 ∧ x, y < 0) ⇒ _1x > _1y

{ {

x<y • z<w ⇒x+ z < y+ w x<y • z < w ⇒ x · z < y · w, con x, y, z, w ∈ 핉+ _ _ < √y < √x

•0< y< x⇒0 • 0 < y < x ⇒ 0 < y2 < x2 • x > 1 ⇒ 0 < _1x < 1 • 0 < x < 1 ⇒ _1x > 1

Valor absoluto x si x ≥ 0 |x| = −x si x < 0

{

Propiedades del valor absoluto Sean x, y ∈ 핉: • |x| ≥ 0 • | x | = | −x | • −| x | ≤ x ≤ | x | • |x| = 0 ⇔ x = 0 • |x · y| = |x| · |y| • | x | ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a, con a ∈ 핉 +0 • | x + y | ≤ | x | + | y | (Desigualdad triangular) • | x | ≥ a ⇔ x ≥ a ∨ −x ≥ a, con a ∈ 핉 +0 Inecuaciones con valor absoluto | x | ≤ a ⇒ x ≥ –a ∧ x ≤ a | x | ≥ a ⇒ x ≤ –a ∨ x ≥ a

Puntos en el espacio • Si (x, y, z) ∈ 핉3, entonces x se denomina abscisa, y ordenada y z cota.

• Si a, b ∈ 핉, entonces: (a, 0, 0) ∈ eje x (0, a, 0) ∈ eje y (0, 0, a) ∈ eje z (a, b, 0) ∈ plano xy (0, a, b) ∈ plano yz (a, 0, b) ∈ plano xz Distancia entre dos puntos Dados P(x1, y1, z1) y Q(x2, y2, z2): ___________________ d(P, Q) = √ (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 Punto medio __ Sea PQ, con P(x1, y1, z1) y Q(x2, y2, z2): x1 + x2 _____ y + y2 _____ z + z2 , 1 , 1 M__PQ = _____ 2 2 2 Vectores _› _› Si λ ∈ 핉, a = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2) y α es el ángulo

(

)

_›

_›

comprendido entre p y q , entonces: _›

_›

• p + q = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) _›

• λ · p = (λ x1, λx2, λx3) _› _›

• p · q = x1 · x2 + y1 · y2 + z1 · z2 _› _› p ·q __________ cos(α) = _› _› ‖ ‖ ‖ p · q‖ _› _› p × q = ( y1 z2 − y2 z1, x2 z1 − x1 z2, x1 y2 − x2 y1 ) _

_

_

_

‖ p› × q› ‖ = ‖ p› ‖ · ‖ q› ‖ · sen(α)

Forma de la ecuación de la recta en el plano • Ecuación general Ax + By + C = 0 • Ecuación principal y = mx + n • Ecuación vectorial –_›Si L contiene al punto A(a1, a2), su dirección es la del vector d = ( d1, d2 ) y P(x, y) es un punto cualquiera de la recta: __›

_›

L: AP = λ · d ,

λ ∈핉

L: (x − a1, y − a2) = λ · (d1, d2),

λ∈핉

L: (x, y) = ( a1, a2 ) + λ · (d1, d2), λ ∈ 핉 _› – Si L contiene un punto A y tiene vector normal n : __› _›

L: AP · n = 0 • Ecuaciones paramétricas x = a1 + λd1 y = a2 + λd2 • Ecuación continua x − a1 _____ y − a2 _____ = d1 d2 Forma de la ecuación de la recta en el espacio • Ecuación vectorial L ›contiene al punto A(a1, a2, a3), su dirección es la del vector _ d __ = ( d1, d2,_d3 ) y P(x, y, z) es un punto cualquiera de la recta: › › L: AP = λ · d , λ ∈ 핉 L: ( x − a1, y − a2, z − a3 ) = λ( d1, d2, d3 ), λ ∈ 핉 L: ( x, y, z ) = ( a1, a2, a3 ) + λ( d1, d2, d3 ), λ ∈ 핉 • Ecuaciones paramétricas x = a1 + λd1 y = a2 + λd2 z = a3 + λd3 • Ecuación continua z − a3 y − a2 _____ x − a1 _____ _____ = = d1 d2 d3

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{

{

Forma de la ecuación del plano • Ecuación vectorial –Si _›el plano π contiene al punto A(a1, a2, a3), tiene vector normal n = (n1, n2, n3) y P(x, y, z) __ es un punto cualquiera del plano: › _› π: AP · n = 0 π: (x − a1, y − a2, z − a3) · (n1, n2, n3) = 0 –Si el plano π contiene tres puntos no colineales A, B y C: __› __› __› π: AP · (AB × AC) = 0 –Si el plano contiene al punto P(p1, p2, p3)_y es_paralelo al plano › › que contiene a los vectores no paralelos u y v : _› _› π: (x, y, z) = (p1, p2, p3) + t u + k v , donde t, k ∈ 핉.

• Ecuación canónica π: n1(x − a1) + n2(y − a2) + n3(z − a3) = 0 • Ecuación general π: n1x + n2y + n3z + d = 0, con d = –n1a1 – n2 a2 – n3a3 _› π: ax + by + cz + d = 0, con n = (a, b, c) vector normal a π.

• La ecuación del plano que interseca a los ejes coordenados en (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c), con a ≠ 0, b ≠ 0 y c ≠ 0 es: _x + _y + _z = 1 a b c Relaciones entre rectas _› _› Dos rectas con direcciones de los vectores d1 y d2 , respectivamente, son: _› _› d · d = 0.

• Perpendiculares si _› _›1 2 • Paralelas si d1 = k d2 , k ∈ 핉.

Relaciones entre planos _› _› Dos planos π1 y π2 en ℝ3, con vectores normales n1 y n2 , respectivamente, son: _› _› • Perpendiculares si n1 · n2 = 0. _› _› • Paralelos si n1 = k n2 , k ∈ 핉.

Área (A) y volumen (V) de un prisma Si Ab es el área de la base, Al es el área lateral y h es la altura, entonces: A = 2Ab + Al V = Ab · h Área (A) y volumen (V) de una pirámide Si Ab es el área de la base, Al es el área lateral y h es la altura, entonces: V = _1 Ab · h A = Ab + Al 3 Área (A) y volumen (V) de un cilindro Si r es el radio y h es la altura, entonces: A = 2πr2 + 2πrh V = πr2h Área (A) y volumen (V) de un cono Si r es el radio, h es la altura y g es la generatriz, entonces: A = πr2 + πrg V = _1 πr2h 3 Área (A) y volumen (V) de un cono truncado Si el cono truncado tiene radios basales R y r, altura H y generatriz G, entonces: A = πG(R + r) + πR2 + πr2 V = _1 πH(R2 + r2 + Rr) 3 Área (A) y volumen (V) de una esfera Si r es el radio, entonces: A = 4πr2 V = _4 πr3 3