ES P A CI O VOLU MEN OR G A NIZ A GEGO CION
Esta reproducción digital del libro ESPACIOVOLUMENORGANIZACIÓN de GEGO, ha sido realizada por Arquitectura y Diseño Mobius, en noviembre de 2016. Leonel Vera y George Dunia, quienes participaron en el seminario de relaciones espaciales, dictado por la arquitecto y artista GEGO, en el Instituto de Diseño-Fundación Neumann-INCE, integran hoy Mobius C.A. y por este medio permiten el acceso de todos los interesados, a esta publicación. El Instituto de Diseño Fundación Neumann-INCE, fue creado en 1964 por iniciativa de Hans Neumann, con el apoyo del Instituto Nacional de Cooperación Educativa (INCE) y la participación de un grupo de artistas asesores entre los cuales se encontraban Gerd Leufert, Nedo Mion Ferrario y Gego. Fue el primer instituto de diseño que se creó en Venezuela y el tercero de Suramérica, después del Instituto Torcuato di Tella en Buenos Aires y el Instituto de la Escuela Superior de Diseño de Río de Janeiro. En sus aulas enseñaron los más destacados artistas venezolanos y se formaron las primeras promociones de diseñadores del país1. Producto del Seminario de Relaciones Espaciales se realizaron dos publicaciones. Espaciovolumenorganización, impresa dentro del IDD, y la segunda, Espaciovolumenorganización2 publicada por Monte Ávila Editores, C.A. El primer volumen realizado por Gego con asistencia de Leonel Vera y Pedro Mancilla; y el segundo, supervisado por Gego pero dejando a sus alumnos Leonel Vera, Pedro Mancilla y Ruth Auerbach como autores. El Seminario se convirtió en un hito dentro del Instituto, en ocasiones se trasladaba a la casa de Gego, en donde Gerd Leufert también participaba y aportaba ideas a las discusiones2. 1-2 Información sobre el Instituto de Diseño Fundación Neumann-INCE – Caracas Venezuela, tomado de Trabajo de grado para optar al título de Licenciada en Artes, Mención Artes Plásticas. Caracas, Julio 2012. La Relación Arte-Diseño a través del Instituto de Diseño Fundación Neumann-Ince 1964 -1995. Br. Leyla Ana Dunia Parra / Tutor: Prof. Freddy Carreño. UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCACIÓN ESCUELA DE ARTES DEPARTAMENTO DE ARTES PLÁSTICAS.
INSTITUTO DE DISEÑO
ESTA PUBLICACIÓN PROVIENE DEL SEMINARIO DE RELACIONES ESPACIALES DESARROLLADO EN EL INSTITUTO DE DISEÑO Y ES EL PRODUCTO DE UNA NECESIDAD SURGIDA EN LOS ESTUDIOS TANTO GRÁFICOS COMO TRIDIMENSIONALES. ENTRE SUS OBJETIVOS PRINCIPALES ESTÁ EL DE CAPACITAR EN EL ANÁLISIS DEL ESPACIO ORGANIZADO Y DAR “HERRAMIENTAS” DE TRABAJO PARA LOS CAMPOS DEL DISEÑO. EL PRIMER CUADERNO COMPRENDE DATOS DE VOLÚMENES REGULARES, SIGUIENDO EL ORDEN DE LAS ORGANIZACIONES MAS SENCILLAS A LAS MAS COMPLEJAS, PARTIENDO DEL TETRAEDRO REGULAR COMO VOLUMEN MAS SIMPLE, HASTA EL MAS COMPLEJO VOLUMEN SEMIREGULAR.
ES P A CI O VOL UM EN ORGA NIZA CION GEGO ELABORACION
DISEÑO Y DIAGRAMACIÓN: LEONEL VERA Y PEDRO MANCILLA
INSTITUTO DE DISEÑO FUNDACIÓN NEUMANN - INCE APARTADO DE CORREOS 61928 CARACAS
1976
ESPACIOVOLUMENORGANIZACIÓN Cada uno de los volúmenes tiene UNA esfera circunscrita que pasa por todos los vértices. Cada uno de los volúmenes tiene UNA esfera interescrita que pasa por todos los centros de arista. Cada uno de los volúmenes regulares tiene UNA esfera inscrita que pasa por todos los centros de cara. Cada uno de los volúmenes semiregulares tiene Una esfera inscrita por cada tipo de cara. Los ejes de simetría en los volúmenes regulares: Tetraedro Octaedro Cubo Icosaedro Dodecaedro
INDICACIONES GENERALES Todos los volúmenes tienen caras que son polígonos regulares: en los cinco volúmenes regulares: TRIÁNGULO CUADRADO PENTÁGONO en los trece volúmenes semiregulares: TRIÁNGULO - HEXÁGONO CUADRADO - OCTÁGONO PENTÁGONO - DECÁGONO
binario 3
terciario 4
6
4
15
10
cuaternario
quinario
3 6
Los ejes de simetría en los volúmenes semiregulares son idénticos a los de los pares de volúmenes regulares (duales entre si), que los originan. Son condiciones de dualidad, que las aristas de uno crucen las aristas de otro en ángulo recto y el radio de la esfera interescrita de ambos coincida. El dual del tetraedro es un tetraedro por la polaridad cara - vértice. El cubo y el octaedro son duales entre sí por la polaridad cara - vértice. El dodecaedro y el icosaedro son duales entre sí por la polaridad cara - vértice.
INDICE
PARA
VOLÚMENES
REGULARES
EN LAS PAGINAS SIGUIENTES APARECEN PROYECCIONES SEGÚN EJES DE SIMETRÍA BINARIO TERCIARIO CUATERNARIO QUINARIO
CON SUS RESPECTIVOS CORTES POR EL CENTRO DEL VOLÚMEN PERPENDICULAR A LOS EJES DE SIMETRÍA
A TETRAEDRO En los cuatro vértices de este volúmen se podrían ubicar cada uno de los demás volúmenes regulares, de ahi su posición en el centro del gráfico. B-C OCTAEDRO - CUBO D-E ICOSAEDRO - DODECAEDRO Las superficies adyacentes a cada dibujo de los volúmenes regulares indican el tipo de cara.
VÉRTICES ...................................
4
ARISTAS
...................................
6
CARAS
...................................
4
PROYECCIONES
ÁNGULO ENTRE CARAS
CORTES
TETRAEDRO A
cuadrado de lado igual a la mitad de la arista
triángulo de lado igual a tres cuartas partes de la arista
70º
32’
VÉRTICES ...................................
6
ARISTAS
...................................
12
CARAS
...................................
8
PROYECCIONES
ÁNGULO ENTRE CARAS
CORTES
OCTAEDRO B
rombo de lado igual a la altura de la cara triangular
hexágono regular de lado igual a la mitad de la arista
cuadrado de lado igual a la arista
0 º
2 ’
VÉRTICES ...................................
8
ARISTAS
...................................
12
CARAS
...................................
6
PROYECCIONES
ÁNGULO ENTRE CARAS
CORTES
CUBO C
rectángulo con dos lados igual a la arista y dos lados igual a la diagonal de la cara cuadrada
hexágono regular de lado igual a la mitad de la diagonal de la cara cuadrada
cuadrado de lado igual a la arista
90º
VÉRTICES ...................................
12
ARISTAS
...................................
30
CARAS
...................................
20
PROYECCIONES
ÁNGULO ENTRE CARAS
CORTES
ICOSAEDRO D
hexágono con dos lados igual a la arista y cuatro lados igual a la altura de la cara triangular
dodecágono de lado igual a la mitad de la altura de la cara triangular
decágono regular de lado igual a la mitad de la arista
3 º
’
VÉRTICES ................................... ...................................
30
CARAS
...................................
12
PROYECCIONES
ÁNGULO ENTRE CARAS
CORTES
DODECAEDRO E
hexágono con dos lados igual a la arista y cuatro lados igual a la altura de la cara pentagonal
hexágono regular de lado igual a la distancia del centro de una arista al centro de la arista opuesta de la cara pentagonal
decágono regular de lado igual a la mitad del vector de la cara pentagonal
20
ARISTAS
º
3 ’
INDICE
PARA
VOLÚMENES
SEMIREGULARES
EN LAS PAGINAS SIGUIENTES APARECEN CON LA MISMA NUMERACIÓN PROYECCIONES SEGÚN EJES DE SIMETRÍA BINARIO TERCIARIO CUATERNARIO QUINARIO
CON SUS RESPECTIVOS CORTES POR EL CENTRO DEL VOLUMEN PERPENDICULAR A LOS EJES DE SIMETRÍA HASTA EL Nº 7 APARECEN EN CADA PROYECCIÓN LAS DE LOS PARES DE DUALES, EN LOS SIGUIENTES NÚMEROS ÚNICAMENTE EN LA PROYECCIÓN BINARIA
1 RESULTADO DE LA INTERRELACIÓN TETRAEDRO TETRAEDRO en los doce vértices de este volumen se podrían ubicar cada uno de los demás volúmenes semiregulares, de ahí su posición en el centro del gráfico.
2-7 SERIE RESULTANTE DE LA INTERRELACIÓN CUBO OCTAEDRO 8 - 13 SERIE RESULTANTE DE LA INTERRELACIÓN DODECAEDRO ICOSAEDRO Las superficies adyacentes a cada dibujo de los semiregulares indican el crecimiento de un volumen regular en relación a su dual; en la serie 2-7 el octaedro permanece constante y el cubo crece. Las superficies negras que aparecen dentro de las anteriores corresponden a las caras de los volúmenes semiregulares resultantes de esta interrelación. En las dos series (cubo - octaedro y dodecaedro - icosaedro) existen volúmenes que se producen de una manera parecida; éstos aparecen en el gráfico a la misma altura.
VÉRTICES ...................................
12
ARISTAS
...................................
18
CARAS
...................................
8
ÁNGULO ENTRE 0 º
2 ’
CARAS hexagonales
70º
32’
PROYECCIONES
CARAS
CORTES
TETRAEDRO TRUNCADO 1
cuatro lados, un tamaño
seis lados, dos tamaños
seis lados, dos tamaños
VÉRTICES ...................................
24
ARISTAS
...................................
36
CARAS
...................................
14
PROYECCIONES
ÁNGULO ENTRE CARAS
2 º
CARAS hexagonales
90º
CORTES
CUBO TRUNCADO 2
ocho lados, tres tamaño
seis lados, un tamaño
cuatro lados, un tamaño
’
VÉRTICES ...................................
12
ARISTAS
...................................
24
CARAS
...................................
14
PROYECCIONES
ÁNGULO ENTRE CARAS
2 º
’
CORTES
DYMAXION (CUBOCTAEDRO) 3
seis lados, dos tamaños
seis lados, un tamaño
cuatro lados, un tamaño
PROYECCIONES
VÉRTICES ...................................
48
ARISTAS
...................................
72
CARAS
...................................
26
ÁNGULO ENTRE CARAS CARAS cuadradas y octagonales CARAS
º
’
135º 2 º
’
DYMAXION TRUNCADO
CORTES
(CUBOCTAEDRO TRUNCADO) 4
ocho lados, tres tamaños
doce lados, un tamaño
ocho lados, dos tamaños
PROYECCIONES
VÉRTICES ...................................
24
ARISTAS
...................................
60
CARAS
...................................
38
ÁNGULO ENTRE CARAS
3º
’
CARAS
2º
’
CORTES
CUBO GIRADO (SNUB) 5
catorce lados, tres tamaños
dieciocho lados, tres tamaños
doce lados, dos tamaños
PROYECCIONES
VÉRTICES ...................................
24
ARISTAS
...................................
48
CARAS
...................................
26
ÁNGULO ENTRE CARAS CARAS cuadradas
CORTES
ROMBICUBOCTAEDRO 6
ocho lados, tres tamaños
seis lados, un tamaño
ocho lados, un tamaño
º 135º
’
PROYECCIONES
VÉRTICES ...................................
24
ARISTAS
...................................
36
CARAS
...................................
14
ÁNGULO ENTRE CARAS
2 º
’
CARAS hexagonales
0 º
2 ’
CORTES
OCTAEDRO TRUNCADO 7
ocho lados, tres tamaños
seis lados, un tamaño
ocho lados, dos tamaños
PROYECCIONES
VÉRTICES ...................................
60
ARISTAS
...................................
90
CARAS
...................................
32
ÁNGULO ENTRE CARAS pentagonales y hexagonales CARAS hexagonales
CORTES
ICOSAEDRO TRUNCADO 8
diez lados, tres tamaños
dieciocho lados, dos tamaños
diez lados, un tamaño
2º
37’
3 º
’
PROYECCIONES
VÉRTICES ...................................
60
ARISTAS
...................................
120
CARAS
...................................
62
ÁNGULO ENTRE CARAS triangulares y cuadradas
º
’
CARAS cuadradas y pentagonales
º
7’
CORTES
ROMBICOSIDODECAEDRO 9
doce lados, tres tamaños
doce lados, dos tamaños
veinte lados, dos tamaños
VÉRTICES ...................................
60
ARISTAS
...................................
150
CARAS
...................................
92
PROYECCIONES
ÁNGULO ENTRE CARAS triangulares CARAS triangulares y pentagonales
º
’
2º
’
CORTES
DODECAEDRO GIRADO (SNUB) 10
veinte lados, cuatro tamaños
dieciocho lados, tres tamaños
treinta lados, tres tamaños
PROYECCIONES
VÉRTICES ...................................
120
ARISTAS
...................................
180
CARAS
...................................
62
ÁNGULO ENTRE CARAS
º
’
CARAS cuadradas y decagonales
º
7’
CARAS hexagonales y decagonales
2º 37’
CORTES
ICOSIDODECAEDRO TRUNCADO 11
doce lados, tres tamaños
doce lados, dos tamaños
veinte lados, dos tamaños
PROYECCIONES
VÉRTICES ...................................
30
ARISTAS
...................................
60
CARAS
...................................
32
ÁNGULO ENTRE CARAS
CORTES
ICOSIDODECAEDRO 12
ocho lados, dos tamaños
seis lados, un tamaño
diez lados, un tamaño
2º 37’
PROYECCIONES
VÉRTICES ...................................
60
ARISTAS
...................................
90
CARAS
...................................
32
ÁNGULO ENTRE CARAS CARAS decagonales
2º 37’ º 3 ’
CORTES
DODECAEDRO TRUNCADO 13
diez lados, tres tamaños
seis lados, un tamaño
diez lados, un tamaño
LOS CINCO VOLÚMENES REGULARES, CADA UNO DE LOS CUALES POSEE UN SOLO TIPO DE CARA
EL ÚNICO VOLUMEN SEMIREGULAR OBTENIDO A PARTIR DE DOS TETRAEDROS CUYAS SIMETRÍAS COINCIDEN
TETRAEDRO TRUNCADO 4 triángulos 4 hexágonos
TETRAEDRO
OCTAEDRO
CUBO
ICOSAEDRO
DODECAEDRO
4 triángulos
8 triángulos
6 cuadrados
20 triángulos
12 pentágonos
LOS SEIS VOLÚMENES SEMIREGULARES OBTENIDOS A PARTIR DEL CUBO Y DEL OCTAEDRO CUYAS SIMETRÍAS COINCIDEN
CUBO TRUNCADO
DYMAXION
DYMAXION TRUNCADO
CUBO GIRADO (SNUB)
ROMBICUBOCTAEDRO
OCTAEDRO TRUNCADO
6 octágonos
(CUBOCTAEDRO)
6 octágonos
6 cuadrados
18 cuadrados
8 hexágonos
8 triángulos
6 cuadrados
12 cuadrados
32 triángulos
8 triángulos
6 cuadrados
8 triángulos
8 hexágonos
dos posibilidades
En todos los dibujos se mantiene constante el tamaño del lado de los polígonos
DESARROLLO PLANO DE VOLÚMENES FORMADOS POR POLÍGONOS REGULARES
LOS SEIS VOLÚMENES SEMIREGULARES OBTENIDOS A PARTIR DEL DODECAEDRO Y DEL ICOSAEDRO, CUYAS SIMETRÍAS COINCIDEN
ICOSAEDRO TRUNCADO
ROMBICOSIDODECAEDRO
DODECAEDRO GIRADO (SNUB)
ICOSIDODECAEDRO TRUNCADO
ICOSIDODECAEDRO
DODECAEDRO TRUNCADO
20 hexágonos
12 pentágonos
12 pentágonos
12 decágonos
12 pentágonos
12 decágonos
12 pentágonos
30 cuadrados
80 triángulos
20 hexágonos
20 triángulos
20 triángulos
20 triángulos
En todos los dibujos se mantiene constante el tamaño del lado de los polígonos
30 cuadrados
DESARROLLO PLANO DE VOLÚMENES FORMADOS POR POLÍGONOS REGULARES