L’AULA DI TECNOLOGIA
ANTONIO CONTI
STEAM
PROIEZIONI ORTOGONALI
HUB Disegno
Per lavorare su quest’Area puoi utilizzare anche HUB Disegno, lo spazio di apprendimento digitale che contiene:
• costruzioni delle figura step by step
• videotutorial
• solidi 3D in rotazione
• strumenti di base per disegnare
Lezione 1. Le Proiezioni ortogonali
Un progetto per la produzione industriale di una sedia deve contenere indicazioni precise e dettagliate.
Il disegno per informare
Se volessi far costruire a un falegname un mobile, per esempio una sedia, non basterebbe fornigli un disegno generico, di tipo “figurativo”; al falegname occorrerebbero infatti indicazioni costruttive precise.
Come ricavare le dimensioni? Qual è la forma esatta delle parti? Quali gli spessori? E le parti che non si vedono? Per rispondere a queste domande serve un tipo di disegno basato su convenzioni e simboli, con l’obiettivo di trasmettere precise informazioni. Eppure per secoli il disegno degli oggetti non si è distinto dalla rappresentazione figurativa, inadatta a rappresentare dettagliatamente gli oggetti, che è il fine invece di quello che oggi chiamiamo “disegno tecnico”.
D’altra parte fornire informazioni precise non appariva necessario in un mondo in cui la produzione era di tipo artigianale e il progettista era spesso anche il costruttore, che per esperienza sapeva come procedere.
La Geometria descrittiva
È nel XVIII secolo, il Settecento, che i disegni iniziano a riportare dettagli più precisi sulle caratteristiche degli oggetti. I motivi stanno nell’avvento della Rivoluzione industriale, con il suo corredo di macchine da costruire, e nell’affermazione di una nuova disciplina, la Geometria descrittiva, ideata dal matematico francese Gaspard Monge (1746-1818), che comprende diversi tipi di rappresentazione degli oggetti: le Proiezioni ortogonali, l’Assonometria , la Prospettiva . L’obiettivo della Geometria descrittiva è quello di rappresentare in modo inequivocabile, attraverso rigorose costruzioni geometriche, oggetti bidimensionali e tridimensionali. Questa disciplina è alla base del disegno tecnico e permette di realizzare disegni completi con le indicazioni necessarie alla rappresentazione e costruzione degli oggetti.
Figlio di un venditore ambulante, per le sue umili origini, Monge venne molto ostacolato nelle sue aspirazioni. Una pianta della sua città, disegnata ancora da ragazzino, capitò tra le mani di un ufficiale che propose alle autorità la sua ammissione a una scuola di formazione militare. Ebbene, la sua nascita gli impedì l’ammissione agli studi. Tuttavia il disegno della pianta di una fortezza, presentato in brevissimo tempo, rivelò indiscutibilmente le capacità di Monge, che venne così accettato.
Nel 1768, a soli ventidue anni, Monge fu nominato professore, ma a condizione che i risultati della sua Geometria descrittiva rimanessero un segreto militare.
Nel 1780 gli venne assegnata una cattedra di matematica all’Università di Parigi, nel 1796 fu inviato in Italia con la Commissione per le Scienze e le Arti. Soggiornò nel nostro paese due anni. Monge fu un rivoluzionario sia nella scienza sia, consapevole delle difficoltà patite, negli ideali, e aderì pienamente ai princìpi di egualitarismo della Rivoluzione francese.
Il suo nome e la sua fama sono legati soprattutto al metodo delle Proiezioni ortogonali, un sistema rigoroso che permette di rappresentare in modo inequivocabile gli oggetti tridimensionali su un piano bidimensionale; in pratica, il foglio da disegno. Nella pagina accanto sono riportati alcuni esempi di applicazione.
Gaspard Monge (1746-1818), matematico francese, fondatore della Geometria descrittiva.
Gaspard Monge
Che cosa sono le Proiezioni ortogonali
Il disegno tecnico è una forma di comunicazione simbolica utilizzata da progettisti, tecnici industriali e artigiani per rappresentare oggetti da realizzare o per rilevare oggetti già esistenti. Utilizza regole, simboli grafici e varie tecniche.
Le Proiezioni ortogonali sono un metodo usato per rappresentare in modo preciso su un piano a due dimensioni (il foglio da disegno) gli oggetti a tre dimensioni . Con le Proiezioni ortogonali gli oggetti vengono descritti con una o più immagini, dette viste; queste rappresentano gli oggetti “visti” da posizioni diverse, ma sempre perpendicolari (ortogonali) alle loro facce. Esse contengono tutte le informazioni geometriche da cui è possibile ricostruire l’oggetto a tre dimensioni. Ma che cosa significa esattamente osservare un oggetto da posizioni perpendicolari alle sue facce? E come si ottengono le viste? Il laboratorio delle pagine seguenti può aiutarti a capire meglio.
Pagina del trattato di Geometria descrittiva di Monge (Parigi, 1789). Al sistema di rappresentazioni di Monge venne subito riconosciuta una tale importanza che agli inizi venne coperto da segreto militare.
L’automobile sportiva è un oggetto con 3 dimensioni: per mostrarla con precisione su un foglio bisogna utilizzare almeno 3 differenti immagini, cioè 3 viste.
I meccanismi di un orologio, da l’ Encyclopédie di Diderot e D’Alembert, edita nel 1745-1772. I disegni settecenteschi cominciano a presentare riferimenti geometrici e particolari costruttivi.
S T E A M
Osserva e fotografa
Dalla realtà al foglio da disegno
Per comprendere a fondo il principio delle Proiezioni ortogonali, che può apparire un po’ “astratto”, prova questa esperienza. Scegli degli oggetti comuni, come per esempio il mouse, e scatta!
• Con lo smartphone fotografa l’oggetto dai tre punti di vista: di fronte, di lato, dall'alto. Fotografa le tre viste sempre dalla stessa distanza con uno sfondo uniforme (per esempio, un foglio di carta retto da un compagno).
• Con un’app per il collage (Canva, In Collage) monta le immagini secondo lo schema delle Proiezioni ortogonali.
• Condividi le tue “Proiezioni ortogonali” con i compagni tramite WhatsApp e valuta con il professore quali sono le migliori.
Usando le fotografie hai potuto riprodurre gli oggetti da viste diverse:
• la fotografia di fronte corrisponde alla vista sul Piano Verticale, o Prospetto Verticale;
• la fotografia di lato corrisponde alla vista sul Piano Laterale, o Prospetto Laterale;
• la fotografia dall’alto corrisponde alla vista sul Piano Orizzontale, o Pianta.
Fotografa di fronte
Fotografa dall’alto
Fotografa di lato
Costruisci il triedro
Ora proviamo a fare un passo in più attraverso la costruzione di un triedro con i tre piani di proiezione. Qui ti proponiamo la costruzione di un triedro in modo semplicissimo e veloce. Utilizzeremo i tre piani di proiezione: Piano Orizzontale, Piano Verticale, Piano Laterale.
1 Taglia con le forbici (o il taglierino) lungo l’asse minore inferiore fino al centro del foglio.
COSA SERVE?
• Foglio da disegno A4, squadrato o meno.
• Strumenti da disegno.
• Forbici (o taglierino)
• Colla.
PROCEDURA
• Traccia gli assi del foglio.
• Completa con le scritte necessarie.
• Vedi la figura e taglia fino al punto O.
2 Piega lungo la linea di terra (otterrai un risultato migliore se incidi leggermente il foglio lungo la linea di terra con il taglierino).
3 Ruota i piani fino a sovrapporli esattamente.
4 Elimina le parti eccedenti: il tuo triedro, con i tre piani di proiezione, è pronto per condurre le osservazioni.
5 Prova con i solidi delle pagine seguenti: osserva dall’alto, sul Piano Orizzontale, di fronte verso il Piano Verticale e di lato, verso il Piano Laterale.
Rileva le dimensioni e la posizione delle facce del solido dalla quadrettatura. Traccia sul foglio una cornice di 18 × 28 quadretti.
1 Inizia dal P.O.
Traccia la vista dall’alto del parallelepipedo (la posizione dei vertici la ricavi dalla quadrettatura). Innalza le linee di proiezione sul P.V.
2 Completa la vista sul P.V. e traccia le linee di proiezione da P.O. e P.V. verso il P.L.
3 Riporta la dimensione laterale del solido sulla linea di terra, tracciando delle linee a 45° (basta tracciare una linea lungo le diagonali dei quadretti del foglio).
2. Proiezioni ortogonali del parallelepipedo
Lavora con il foglio quadrettato
Segui le indicazioni e prova a disegnare la Proiezione ortogonale del parallelepipedo, utilizzando solo il foglio a quadretti.
4 Completa la vista laterale. Colora le facce del solido con i colori corrispondenti.
Lavora con squadra e compasso
Segui le indicazioni e prova a disegnare la Proiezione ortogonale del parallelepipedo, utilizzando il foglio squadrato.
Sul foglio: base = 4 × 5 cm, altezza = 7 cm, distanza dal P.O. = 1 cm.
Attenzione!
In questa figura, come nelle successive, questo è il perimetro della squadratura, non il bordo del foglio da disegno.
2 Completa la vista sul P.V. e traccia le linee di proiezione da P.O. e P.V. verso il P.L.
3 Puntando il compasso nel punto di intersezione degli assi della squadratura, trasporta fino alla linea di terra le linee di proiezione che hai tracciato dalla pianta al P.L.
4 Completa la vista laterale. Colora le facce del solido con i colori corrispondenti.
Tutorial dal vero
1 Inizia dal P.O. Traccia al centro del piano la faccia superiore del parallelepipedo. Innalza le linee di proiezione sul P.V. Usa correttamente le squadre.
L.T.
P.L.
P.V.
P.O.
P.V.
P.O.
L.T.
P.L.
Rileva le dimensioni e la posizione delle facce del solido dalla quadrettatura . Nota: traccia sul foglio una cornice di 18 × 28 quadretti.
1 Inizia dal P.O.
Traccia la vista dall’alto della piramide (la posizione dei vertici la ricavi dalla quadrettatura). Innalza le linee di proiezione sul P.V.
2 Completa la vista sul P.V. e traccia le linee di proiezione da P.O. e P.V. verso il P.L.
3 Riporta la dimensione laterale del solido sulla linea di terra, tracciando delle linee a 45° (basta tracciare una linea lungo le diagonali dei quadretti del foglio).
3. Proiezioni ortogonali della piramide a base quadrata
Lavora con il foglio quadrettato
Segui le indicazioni e prova a disegnare la Proiezione ortogonale della piramide a base quadrata, utilizzando solo il foglio a quadretti.
4 Completa la vista laterale. Colora le facce del solido con i colori corrispondenti.
Lavora con squadra e compasso
Segui le indicazioni e prova a disegnare la Proiezione ortogonale del piramide a base quadrata, utilizzando il foglio squadrato.
Sul foglio:
base = 6 × 6 cm, altezza = 7 cm, distanza dal P.O. = 1 cm.
2 Completa la vista sul P.V. e traccia le linee di proiezione da P.O. e P.V. verso il P.L.
3 Puntando il compasso nel punto di intersezione degli assi della squadratura, trasporta fino alla linea di terra le linee di proiezione che hai tracciato dalla pianta al P.L.
4 Completa la vista laterale. Colora le facce del solido con i colori corrispondenti.
Tutorial dal vero
1 Inizia dal P.O. Traccia al centro del piano la faccia inferiore della piramide, un quadrato.
Traccia le diagonali del quadrato di base che corrispondono agli spigoli delle facce superiori della piramide. L’incrocio delle diagonali è la proiezione sul P.O. del vertice della piramide. Innalza le linee di proiezione sul P.V. Usa correttamente le squadre.
L.T.
P.L.
P.V.
P.O.
P.V.
P.O.
L.T.
P.L.
Esercizi e tavole
1 Cubo sollevato sul P.O.
• Osserva che il cubo non giace sul piano orizzontale ma, come ti mostra il modello assonometrico, ne è sollevato.
Sul foglio: spigolo = 7 cm, distanza dal P.O. = 2 cm.
4. Proiezioni ortogonali di solidi elementari 1
2 Prisma a base triangolare
• Prima costruisci il triangolo sul P.O., quindi trova i prospetti.
Sul foglio: lato di base = 8 cm, altezza del solido = 7 cm.
SCALA 1:2 Sul foglio raddoppia le misure.
Tutorial dal vero
3 Prisma a base esagonale
• Prima costruisci la base del prisma al centro del P.O., quindi trova i prospetti
Sul foglio: circonferenza di base r = 4 cm, altezza del solido = 6 cm, distanza dal P.O. = 2 cm.
4 Prisma a base pentagonale
• Osserva che i due spigoli del solido, nella vista verso il P.V., sono nascosti dalle facce del prisma. Le linee che li rappresentano vanno disegnate marcate e tratteggiate.
• Prima costruisci la base del prisma al centro del P.O., quindi trova i prospetti
Sul foglio: circonferenza di base r = 4 cm, altezza del solido = 7 cm.
SCALA 1:2 Sul foglio raddoppia le misure.
Esercizi e tavole
PROCEDI CON METODO
Piramide a base esagonale appoggiata sul P.O.
Su foglio: circonferenza di base r = 4 cm, altezza = 7 cm.
5. Proiezioni ortogonali di solidi elementari 2
Tutorial dal vero
1 Traccia il poligono di base sul P.O.
1 Cono retto
• Traccia la circonferenza di base bene al centro del P.O.
Osserva: gli assi dei solidi di rotazione vanno rappresentati con linea a punti e tratti.
Su foglio: circonferenza di base r = 3,5 cm, altezza = 7 cm.
Misure non assegnate: a piacere.
2 Su P.V. e P.L. innalza il vertice della piramide all’altezza data.
3 Congiungi il vertice con i vertici di base e completa la tavola.
2 Cilindro retto
Sul foglio: circonferenza di base r = 4 cm, altezza = 6 cm.
3 Tronco di cono
• Procedi come se il cono fosse intero. Sui prospetti, all’altezza data, traccia la linea di proiezione parallela alla linea di terra, quindi riporta sulla pianta le intersezioni 1, 2, 3, 4 e troverai i punti 1’, 2’, 3’, 4’ per cui passa la circonferenza della base superiore del solido.
Sul foglio: circonferenza di base r = 3,5 cm, altezza cono = 8 cm, altezza tronco di cono = 4,5 cm.
4 Tronco di piramide a base quadrata
Sul foglio: lato di base = 7 cm, altezza piramide = 8 cm, altezza tronco di piramide = 5 cm.
SCALA 1:2
Sul foglio raddoppia le misure.
Esercizi e tavole
PROCEDI CON METODO
Prisma ottagonale con le basi parallele al P.V.
In questo caso inizia dalla proiezione sul P.V., quindi passa alla vista sul Piano Orizzontale e infine al Prospetto Laterale. Sul foglio: circonferenza di base r = 3,5 cm, altezza 6 cm.
6. Proiezioni ortogonali di solidi elementari 3
Tutorial dal vero
1 Traccia la circonferenza di base bene al centro del P.V., quindi costruisci il poligono di base.
3 Completa la vista sul P.O. e traccia le linee di proiezione dal P.O. verso il P.L., per trovare il Prospetto Laterale.
4 Punta il compasso nel centro del foglio (l’intersezione dei tre piani), e trasporta fino alla linea di terra le linee di proiezione che hai tracciato sul P.O.
2 Conduci le linee di proiezione sul P.O. e verso il P.L. Usa correttamente le squadre.
5 Completa la tavola con il Prospetto Laterale; ripassa i contorni e colora le facce del solido con i colori corrispondenti.
Puoi rilevare con il compasso le distanze dalla figura e riportarle raddoppiate, sul foglio da disegno.
SCALA 1:2
Sul foglio raddoppia le misure.
1 Prisma triangolare con base parallela al P.V.
• Costruisci il triangolo equilatero di base sul P.V. quindi trova le altre due viste.
2 Prisma pentagonale con base parallela al P.L.
• Costruisci il pentagono di base sul P.L., quindi trova le altre due viste.
Sul foglio: circonferenza di base r = 4 cm, altezza = 4 cm.
3 Prisma esagonale con base parallela al P.L.
• Costruisci l’esagono di base sul P.L., quindi trova le altre viste.
Sul foglio: circonferenza di base r = 3,5 cm, altezza = 6 cm.
Sul foglio: lato di base = 8 cm, altezza = 7 cm. SCALA 1:2 Sul foglio raddoppia le misure.
Esercizi e tavole
7. Proiezioni ortogonali di solidi ruotati o inclinati 1
Tutorial dal vero
I solidi di questa Scheda sono ruotati o inclinat i rispetto ai tre piani di proiezione, sono cioè in posizione accidentale. Pertanto è possibile che qualche spigolo sia nascosto alla vista. Tali spigoli vanno rappresentati con linea marcata a tratti. Per tracciare le basi occorre usare gli angoli 30°/60° della squadra e utilizzare le squadre in modo combinato.
PROCEDI CON METODO
Parallelepipedo appoggiato al P.O. e obliquo rispetto a PV. e P.L.
Sul foglio: base (ruotata di 30° rispetto a L.T.) = 4 × 8 cm, altezza = 7 cm.
Misure non assegnate: a piacere.
2 Costruisci la base superiore del parallelepipedo.
1 Posiziona le squadre come in figura e traccia una semiretta r inclinata di 30° rispetto alla L.T.
Su questa segna la misura del lato.
Ricorda: gli spigoli che restano “dietro” cioè non in vista , vanno tracciati con linea a tratti marcata.
3 Completa le proiezioni su P.V. e P.L. Osserva che uno spigolo resta nascosto e va pertanto rappresentato con linea a tratti.
SCALA 1:2
Sul foglio raddoppia le misure.
1 Prisma a base triangolare appoggiato sul P.O. e con le facce oblique rispetto a P.V. e P.L.
• Traccia r inclinata come in figura rispetto alla linea di terra.
• Costruisci il triangolo equilatero di base al centro del P.O., quindi trova i prospetti.
Sul foglio: lato di base = 7,5 cm, altezza = 7 cm.
2 Piramide con base ruotata rispetto a P.V. e P.L.
• Traccia la retta r inclinata di 30° rispetto alla linea di terra.
• Costruisci la base quadrata della piramide, quindi completa le proiezioni.
Sul foglio: base = 5,5 × 5,5 cm, altezza = 8 cm.
3 Prisma a base esagonale ruotato rispetto a P.V. e P.L.
• Descrivi la circonferenza traccia AB con inclinazione accidentale (non 60°) rispetto alla linea di terra.
• Costruisci la base del solido e i due Prospetti.
• Osserva che alcuni spigoli del solido, nella vista verso il P.V. e P.L., sono nascosti dalle facce del prisma e andranno rappresentati con linee marcate a tratti.
Sul foglio: circonferenza base r = 4 cm, altezza = 7,5 cm.
SCALA 1:2 Sul foglio raddoppia le misure.
Esercizi e tavole
PROCEDI CON METODO
8. Proiezioni ortogonali di solidi ruotati o inclinati 2
Prisma a base triangolare parallelo a P.O. e obliquo a PV. e P.L.
Sul foglio: lato di base = 4,5 cm, altezza = 7 cm, distanza dal P.O. = 3 cm.
2 Ora attento! Costruisci il triangolo di base ribaltato sul P.O.
Tutorial dal vero
3 Riporta l’altezza h sul P.V. e costruisci il Prospetto Verticale della base del prisma.
4 Completa con il Prospetto Laterale.
1 Traccia la retta r inclinata di 30° sulla linea di terra e costruisci la faccia inferiore del prisma parallela al P.O.
SCALA 1:2
Sul foglio raddoppia le misure.
1 Parallelepipedo con le basi parallele al P.V. e obliquo rispetto a P.O. e P.L.
• Traccia sul P.V. la retta r inclinata di 30 ° rispetto alla linea di terra
• Costruisci quindi il quadrato di base, poi trova le altre due viste del solido.
Sul foglio: lato quadrato base = 5,5 cm, altezza del solido = 3 cm. Misure non assegnate: a piacere.
2 Piramide a base quadrata con l’asse parallelo al P.V. e inclinato rispetto al P.O.
• Traccia r inclinata di 30 ° rispetto alla linea di terra.
• Su r fissa AB pari al lato di base; dal punto medio innalza la perpendicolare a r pari all’altezza data.
• Completa il Prospetto Verticale.
• Da A manda la perpendicolare alla linea di terra e fissa CD pari al lato di base.
• Ora puoi completare le proiezioni del solido.
Sul foglio: lato quadrato di base = 6 cm, altezza del solido = 7 cm.
3 Prisma a base esagonale con asse parallelo a P.O. e inclinato rispetto a P.V e P.L.
• Procedi come per l’esercizio precedente.
• Traccia r inclinata di 60° sulla linea di terra. Su r centra in O con il raggio dato e trova A e B.
• Costruisci l’esagono di base ribaltato sul P.O.
• Riporta i punti 1 e 2 su AB.
• Puoi completare la vista sul P.O. e i prospetti del prisma.
Sul foglio: circonferenza alla base r = 3,5 cm, altezza = 3,5 cm.
SCALA 1:2 Sul foglio raddoppia le misure.
Esercizi e tavole
9. Proiezioni ortogonali di gruppi di solidi
PROCEDI CON METODO
Ricorda: utilizza le squadre in modo combinato!
Perimetro della squadratura, non bordo del foglio.
Tutorial dal vero
Nelle Proiezioni ortogonali di più solidi può accadere che in una vista un solido copra , in tutto o in parte, un altro solido. In questi casi gli spigoli che restano “coperti” vanno rappresentati con linea al tratto
Parallelepipedo e cubo
Sul foglio: parallelepipedo base = 2 × 7 cm, h = 7 cm; cubo spigolo = 4 cm. Misure non assegnate: a piacere.
1 Disegna in posizione il gruppo di solidi, rispettando le misure e le distanze date.
2 Nelle proiezioni successive disegna per prime le viste dei solidi che sono “davanti”.
3 Rappresenta con linea a tratti gli spigoli che risultano “dietro”, o nascosti da altri solidi.
4 Completa la tavola, riportando le misure con squadra e compasso, e disegnando il Prospetto Laterale
Colora le superfici secondo il modello assonometrico. Colori non assegnati a piacere.
SCALA 1:2
Sul foglio raddoppia le misure.
1 Cubo e cilindro
Sul foglio: cubo lato = 4 cm; cilindro circonferenza di base r = 2 cm, altezza = 8 cm.
Nota Puoi utilizzare le quote esterne (espresse in cm) per posizionare i solidi sul Piano Orizzontale.
2 Prismi a base esagonale
Sul foglio: prisma minore, circonferenza di base r1 = 2,5 cm, altezza1 = 4 cm; prisma maggiore, circonferenza di base r2 = 3 cm, altezza2 = 7 cm.
3 Piramide e parallelepipedo a basi quadrate
Sul foglio: piramide lato base1 = 4 cm, altezza1 = 8 cm; parallelepipedo lato base2 = 6 cm, altezza2 = 2 cm.
Esercizi e tavole
10. Proiezioni ortogonali di gruppi ruotati o inclinati
PROCEDI CON METODO
Tutorial dal vero
In queste Proiezioni ortogonali i solidi possono essere ruotati o inclinati rispetto ai piani di proiezione. Imposta con attenzione la prima proiezione , avvalendoti delle misure date; distanze o altre dimensioni non date sono a piacere ma proporzionate, nella tua tavola, a quanto mostrano le figure.
Parallelepipedo e cubo obliqui rispetto a P.V. e P.L.
Sul foglio: parallelepipedo base = 4 × 4 cm, altezza = 8 cm; cubo spigolo = 4 cm; angolo della retta r con L.T. = 30°. Misure non assegnate: a piacere.
1 Utilizza sempre le squadre in modo accoppiato. Per iniziare traccia la retta r inclinata di 30° sulla L.T.
2 Alterna le inclinazioni delle squadre e traccia le basi dei solidi sul P.O.
3 Ricorda: disegna sempre per prime le viste dei solidi che sono “davanti”.
Usa il compasso per rilevare le dimensioni dalla figura e riportarle, raddoppiandole, sul foglio da disegno.
SCALA 1:2
Sul foglio raddoppia le misure.
1 Cilindro e parallelepipedo
Sul foglio: parallelepipedo, base = 4 × 6 cm, altezza1 = 2,5 cm, distanza dal P.O. = 2 cm; cilindro, circonferenza di base r = 2 cm, altezza2 = 8 cm.
Misure non assegnate: a piacere.
2 Piramide e parallelepipedo
Sul foglio: piramide quadrata lato di base = 4 cm, altezza 1 = 8 cm; parallelepipedo, base = 3 × 6 cm, altezza2 = 7 cm; angolo della retta r con L.T. = 30°. Misure non assegnate: a piacere.
3 Prismi a base esagonale con asse perpendicolare al P.V.
Sul foglio: prisma minore, circonferenza di base1 r = 2 cm, altezza1 = 5 cm; prisma maggiore, circonferenza di base2 r = 3 cm, altezza2 = 7 cm.
Attento!
Inizia dalla proiezione sul P.V.
SCALA 1:2 Sul foglio raddoppia le misure.
Esercizi e tavole
11. Proiezioni ortogonali di solidi sovrapposti
Tutorial dal vero
In questa Scheda i solidi sono sovrapposti tra loro. È quindi possibile che nella vista sul Piano Orizzontale i solidi che stanno “sopra” nascondano in parte, o del tutto, quelli che stanno sotto. Anche qui gli spigoli nascosti dalla vista vanno rappresentati con linea a tratti
PROCEDI CON METODO
Due parallelepipedi sovrapposti
Sul foglio: parallelepipedo inferiore, base = 8 × 3 cm, altezza1 = 3 cm; parallelepipedo superiore, base = 1,5 × 8 cm, altezza2 = 4 cm. Misure non assegnate: a piacere.
1 Inizia dal P.O. Distanze e altre misure non date a piacere.Nel caso di solidi sovrapposti traccia sempre per primi i solidi che stanno “sotto”.
2 Rappresenta con linea a tratti gli spigoli nascosti dai solidi che stanno “sopra”.
3 Completa con le proiezioni sul Piano Verticale e Laterale.
SCALA 1:2
Sul foglio raddoppia le misure.
1 Parallelepipedo con prisma e cono sovrapposti
Sul foglio: parallelepipedo, base = 9 × 4 cm, altezza1 = 2 cm; prisma triangolare, lato di base = 3 cm, altezza2 = 6 cm; cono raggio di base = 2 cm, altezza3 = 6 cm.
2 Due prismi esagonali sovrapposti
Sul foglio: prisma superiore circonferenza circoscritta di base1 r = 3 cm, altezza1 = 5 cm; prisma inferiore circonferenza circoscritta di base2 r = 3 cm, altezza2 = 2 cm, distanza dal P.O. = 1 cm.
3 Parallelepipedo con piramide e cubo sovrapposti
Sul foglio: parallelepipedo, lato di base = 6 × 6 cm, altezza1 = 2 cm; cubo spigolo = 4 cm; piramide quadrata, lato di base = 3 cm, altezza2 = 6 cm.
Realtà e disegno
12. Proiezioni ortogonali di oggetti comuni 1
Vediamo in pratica come si ottengono e disegnano le Proiezioni ortogonali di un oggetto semplice, a portata di mano. La procedura sarà sempre la stessa, anche per oggetti più complessi e per i solidi geometrici. Vista dall’alto, di fronte, di lato: sono questi i tre punti di vista per descrivere visivamente qualsiasi oggetto. Tre viste (ma a volte ne bastano due, a volte ne servono anche quattro) che costituiscono le proiezioni ortogonali. Le tre viste comunemente sono dette:
• Pianta
• Prospetto Verticale
• Prospetto Laterale.
Proiezioni ortogonali di una gomma
Un oggetto che hai a portata di mano è la tua gomma. Osservala bene: non è altro che un parallelepipedo.
Non hai con te la gomma? Nessun problema: guarda la foto d’esempio qui accanto e segui le indicazioni che seguono.
• Rileva le dimensioni. La prima cosa da fare per poterne tracciare le Proiezioni ortogonali è conoscerne le dimensioni: lunghezza, larghezza, altezza.
• Munito di righello prendi nota delle dimensioni della tua gomma: nell’esempio 65 x 23 x 13 mm.
Osservazione
• Disponi la gomma in modo opportuno nel triedro formato dai tre piani di proiezione.
• Osservala dall’alto, di fronte e di lato e “proietta” quello che vedi sui rispettivi piani di proiezione.
• Costruisci il triedro dei tre piani seguendo le indicazioni del Laboratorio all’inizio delle Proiezioni ortogonali per condurre al meglio le osservazioni.
Disegnare sul foglio
Sul foglio traccerai le Proiezioni ortogonali della tua gomma nelle sue dimensioni reali, cioè in Scala 1:1.
• Inizia dal P.O. Disponi le squadre in modo corretto e traccia il rettangolo di Pianta.
• Innalza le linee di trasporto verso il P.V. e completa il Prospetto Verticale.
• Traccia dalla Pianta e Prospetto le linee di trasporto verso il P.L. Usa il compasso.
• Completa con il Prospetto Laterale e colora.
1 Traccia la vista dall’alto sul P.O. e innalza le linee di trasporto sul P.V.
Concludi la tavola ripassando i contorni con tratto più marcato. Colora.
Osserva che i Prospetti sono sollevati dal P.O. di un’altezza a piacere.
2 Costruisci il Prospetto Verticale
3 Da P.O. e P.V. traccia le linee di trasporto verso il P.L. Utilizza il compasso.
4 Completa il Prospetto Laterale, aggiungi i dettagli e colora.
SCALA 1:2 Sul foglio raddoppia le misure.
Realtà e disegno
13. Proiezioni ortogonali di oggetti comuni 2
Proiezioni ortogonali di un temperamatite
Prendi il tuo temperamatite e rilevane le dimensioni. Se preferisci puoi comunque lavorare prendendo come modello quello della foto.
Qui sono date le dimensioni di massima: i dettagli rilevali sul tuo temperamatite.
1 Traccia la vista dall’alto sul P.O. e innalza le linee di trasporto sul P.V.
2 Costruisci il Prospetto Verticale.
Disegnare sul foglio
Sul foglio raddoppia le dimensioni del temperamatite, lavora cioè in Scala 2:1.
Concludi la tavola ripassando i contorni con tratto più marcato. Colora.
Osserva che i Prospetti sono sollevati dal P.O. di un’altezza a piacere.
3 Da P.O. e P.V. traccia le linee di trasporto verso il P.L. Utilizza il compasso.
4 Completa il Prospetto Laterale, aggiungi i dettagli e colora.
SCALA 1:2
Sul foglio raddoppia le misure.
Proiezioni ortogonali di una chiavetta USB
Procurati una chiavetta USB e rilevane le dimensioni. Se preferisci puoi comunque lavorare prendendo come modello quello della foto.
Disegnare sul foglio
Sul foglio raddoppia le dimensioni del temperamatite, lavora cioè in Scala 2:1.
Concludi la tavola ripassando i contorni con tratto più marcato. Colora.
Osserva che i Prospetti sono sollevati dal P.O. di un’altezza a piacere.
1 Traccia la vista dall’alto sul P.O. e innalza le linee di trasporto sul P.V.
2 Costruisci il Prospetto Verticale.
3 Da P.O. e P.V. traccia le linee di trasporto verso il P.L. Utilizza il compasso.
4 Completa il Prospetto Laterale, aggiungi i dettagli e colora.
SCALA 1:2 Sul foglio raddoppia le misure.
Esercizi e tavole
14. Proiezioni ortogonali di gruppi di solidi
2 Sul P.O. traccia per primi i solidi che stanno “sotto”.
Tutorial dal vero
Ecco come fare per rappresentare gruppi di solidi in Proiezioni ortogonali.
• Si valuta quale proiezione tracciare per prima , quasi sempre sul P.O.
• Sul P.L. e P.V. si tracciano prima i solidi che stanno “davanti” e, sul P.O., quelli che stanno “sotto”.
Nelle figure mancano una o due proiezioni: tocca a te trovarle e tracciarle. ?
Piramide tronca e parallelepipedo con sovrapposto un prisma ottagonale
Rileva e ricopia sul foglio raddoppiando le dimensioni.
Misure non assegnate: a piacere.
1 Nella maggior parte dei casi traccia per prima la proiezione sul P.O.
3 Completa la proiezione sul P.O. Sul P.V. costruisci per prima la proiezione dei solidi che stanno “davanti”.
4 Completa il prospetto sul P.V. e trova quindi il prospetto sul P.L. iniziando dalla piramide tronca.
SCALA 1:2
Sul foglio raddoppia le misure.
1 Prismi a base esagonale
Sul foglio: prisma minore, circonferenza circoscritta di base1 r = 2,5 cm, altezza1 = 4 cm; prisma maggiore, circonferenza circoscritta di base2 r = 3 cm, altezza2 = 7 cm.
Puoi utilizzare le quote esterne (espresse in cm) per posizionare i solidi sul Piano orizzontale.
2 Piramide a base ottagonale con parallelepipedo e cubo
Sul foglio: piramide, circonferenza circoscritta di base1 r = 3 cm, altezza1 = 8 cm; parallelepipedo, base = 3 × 3 cm, altezza2 = 6 cm; cubo spigolo = 3 cm.
3 Gruppo di piramidi
Sul foglio: piramide maggiore (ruotata di 30°/60° rispetto a L.T.), lato di base = 5 cm, altezza1 = 8 cm; piramidi minori, lato di base = 3 cm, altezza2 = 7 cm.
Esercizi e tavole
1 Esercizio
• In questo esercizio nella prima tavola sono date le tre viste, nella seconda la vista sul P. O. e P.V. con il solido disposto in modo diverso: trova le altre proiezioni.
2 Esercizio
• Qui lo stesso solido disposto in modo differente sul P.O. Completa le proiezioni.
15. Proiezioni ortogonali di solidi composti
In queste Proiezioni è dato un modello tridimensionale (assonometrico) in Scala 1:2 del solido e una o due viste in Proiezioni ortogonali per ogni tavola da disegnare.
• Per ogni modello esegui due tavole di Proiezioni, visto da posizioni differenti.
• Come dimensioni rileva quelle del modello Assonometrico e raddoppiale sul foglio.
SCALA 1:2
Sul foglio raddoppia le misure.
SCALA 1:2
Sul foglio raddoppia le misure.
3 Esercizio
• Qui è data una vista diversa sul Piano Verticale. Trova la vista sul P.O. e quindi sul P.L.
4 Esercizio
• Qui è data la vista sul P.L. Trova le altre due.
Per raddoppiare una dimensione puoi rapidamente rilevarla con il compasso e riportarla due volte sul foglio da disegno. Niente calcoli!
SCALA 1:2 Sul foglio raddoppia le misure.
SCALA 1:2 Sul foglio raddoppia le misure.
Esercizi e tavole
1 Esercizio
• Traccia le Proiezioni ortogonali dei solidi complessi qui rappresentati in modelli tridimensionali.
• Ricava le dimensioni dei solidi dalla quadrettatura sul modello, dove 1 quadretto = 1 cm sul foglio da disegno.
• Dimensioni non date a piacere.
• Imposta le proiezioni sul P.V. e P.L. sollevate di 1 o 2 cm rispetto al P.O.
16. Proiezioni ortogonali di solidi complessi
SCALA 1:2 Sul foglio raddoppia le misure.
• Procedi come per gli esercizi precedenti.
• Per ogni modello puoi tracciare una seconda tavola, immaginando il solido visto/ ruotato in posizioni differenti.
• Le parti non in vista, o che non possono essere determinate con certezza dall’osservazione del modello, tocca a te definirle come credi
Attenzione ai diversi colori delle diverse superfici, controlla sul modello assonometrico.
Realtà e disegno
17. Proiezioni ortogonali di giunzioni del legno
In falegnameria i modi per unire i pezzi di legname sono diversi, ognuno adatto a una giunzione specifica. Le giunzioni proposte in queste pagine sono artigianali comuni, che non richiedono necessariamente viti o chiodi, ma colla. Tenone e mortasa è l’incastro più famoso, ma anche l’incastro a coda di rondine è molto conosciuto e apprezzato. Però in falegnameria ne esistono moltissime e un falegname esperto deve conoscerle tutte.
1 Intaglio di testa a mezzo legno
• È un incastro semplice da realizzare. In genere si usa per telai e cornici e serve a collegare listelli o montanti alle loro estremità.
• Gli intagli sui pezzi sono perfettamente identici e speculari. Il taglio ha una profondità pari alla metà dello spessore dei pezzi.
• Questa giunzione non si regge da sola ed ha bisogno di uno strato di colla.
2 Unione a mezzo spessore
• È un incastro semplice da realizzare. In genere si usa per telai e cornici e serve a collegare listelli o montanti alle loro estremità. Gli intagli sui pezzi sono perfettamente identici e speculari. Il taglio ha una profondità pari alla metà dello spessore dei pezzi. Questa giunzione ha bisogno di uno strato di colla.
I modelli assonometrici sono in Scala 1:2. Puoi rilevare le dimensioni dal modello e raddoppiarle, oppure applica misure a piacere.
SCALA 1:2 Sul foglio raddoppia le misure.
Disegnare sul foglio
• Osserva attentamente la giunzione qui a destra.
• Stabilisci dimensioni e punti di vista e prova a tracciarne le Proiezioni ortogonali.
• Curiosità: la colla per il legno più usata dai falegnami è quella vinilica, la stessa che si dà ai bambini per fare i loro lavoretti.
3 Coda di rondine
• È forse l’incastro più difficile tra quelli presentati ed è quello con la resa estetica migliore. Da lasciare a vista.
• Viene infatti utilizzato per unioni ad angolo in cui il motivo della giunzione rimane ben visibile.
4 Tenone e mortasa
• Questa giunzione presenta diverse varianti. Il principio comune è che si intaglia un incastro maschio, il tenone, che si infila nella mortasa, cioè un incavo ottenuto per fresatura, con la stessa forma.
SCALA 1:2 Sul foglio raddoppia le misure.
Esercizi e tavole
1 Rampa
• La quadrettatura sul P.O. e sul P.V. (1 quadretto = 1 cm sul foglio) ti permette di ricavare le dimensioni del modello. Puoi anche rilevare le misure e raddoppiarle sul foglio da disegno. Oppure, se preferisci e rispettando le proporzioni, puoi attribuire tu le dimensioni del gruppo.
18. Elementi architettonici e costruttivi
2 Pensilina
• Ricava le dimensioni dalla figura e procedi come per l’esercizio precedente.
• Le linee a tratti mostrano come sono le superfici delle pareti non in vista.
• Puoi apportare le modifiche che preferisci, sempre rispettando le proporzioni complessive.
I modelli assonometrici sono in Scala 1:2. Puoi rilevare le misure e raddoppiarle.
SCALA 1:2 Sul foglio raddoppia le misure.
3 Pareti, porte, finestre
• Ricava le dimensioni dalla figura e procedi come per gli esercizi precedenti.
• Le linee a tratti mostrano le aperture delle porte. Puoi apportare le modifiche che preferisci, sempre rispettando le proporzioni complessive.
4 Pilastri, colonne, travi e architravi
• Ricava le dimensioni dalla figura e procedi come per l’esercizio precedente.
SCALA 1:2 Sul foglio raddoppia le misure.
Realtà e disegno
19. Design italiano anni Sessanta 1
Gli anni ‘60 vedono l’affermazione del design italiano. Il design degli anni '60 è quello della sperimentazione e della scoperta di materiali nuovi come la plastica: malleabili, colorati e perfetti per rappresentare uno stile di vita anticonformista e informale. I designer di quell’epoca sono Achille e Piergiacomo Castiglioni, Enzo Mari, Richard Sapper, Marco Zanuso, Gae Aulenti, Mario Bellini, Joe Colombo e tanti altri. Vengono introdotti nuovi materiali nel settore del furniture design , come il poliuretano e le plastiche (da ricordare il Premio Nobel a Giulio Natta per le sue scoperte nel campo della tecnologia dei polimeri); l’impiego di questi nuovi materiali permette di passare dalla produzione dell’arredo in bottega secondo i modi artigianali alla produzione seriale in fabbrica.
Qui ti proponiamo alcuni tra gli esempi più iconici del design di quegli anni. Le forme sono molto semplici e geometriche e puoi provare a riprodurli in Proiezioni ortogonali.
Eclisse
Si tratta di una lampada progettata dal designer italiano Vico Magistretti nel 1965 per l’azienda Artemide. È uno dei prodotti di disegno industriale più rilevanti del XX secolo, simbolo del design italiano nel mondo. Fa parte della collezione permanente del Triennale Design Museum di Milano e della collezione permanente del MoMA (Museum of Moder Art) di New York. Venne premiata con il Premio Compasso d'oro nel 1967 e viene venduta ancora oggi.
Procedura
Proponiamo qui una versione semplificata, pur mantenendo l’idea base.
• Traccia prima la proiezione sul P.V.
• Rileva la posizione del centro della “sfera” e il raggio; trasferisci sul foglio raddoppiando le misure.
• Traccia la semicirconferenza di base.
• Procedi con le viste sugli altri piani di proiezione.
SCALA 1:2
Sul foglio raddoppia le misure.
Tube chair
Si tratta di una seduta progettata dal designer italiano Joe Colombo nel 1969 e attualmente prodotta dall’azienda italiana Cappellini Cap Design. Si tratta di uno dei più famosi esperimenti di modularità applicati all'arredamento e uno dei più rilevanti oggetti di disegno industriale degli anni Sessanta e del design italiano.
La poltrona fa parte della collezione permanente di diversi musei fra cui il Triennale Design Museum di Milano, il MoMA e il Metropolitan Museum of Art di New York.
Procedura
• Procedi completando per prima la vista sul P.V.
• Rileva la posizione dei centri delle circonferenze. Raddoppia le misure sul foglio.
• Completa la vista sul P.O. e quindi trova la vista sul P.L.
SCALA 1:2
Sul foglio raddoppia le misure.
Realtà e disegno
Atollo
Questa lampada, ideata nel 1977 da Vico Magistretti, è diventata negli anni il prototipo della lampada da tavolo, vincendo il Compasso d’Oro nel 1979, e rivoluzionando completamente il modo di immaginare la classica abat-jour.
È composta da forme geometriche semplici, il cilindro, il cono e la semisfera, riunite in un prodotto decorativo e allo stesso tempo essenziale.
Questa lampada è divenuta nel tempo una delle icone del design italiano.
È tuttora prodotta da Oluce in metallo o vetro opale.
20. Design italiano anni Sessanta 2
Procedura
• Puoi iniziare dalla proiezione sul P.O.
• Posiziona il centro, traccia la circonferenza più esterna e tratteggiata quella più interna che rappresenta la base della lampada.
• Rileva le altezze e completa le viste sul P.V. e sul P.L.. SCALA 1:2 Sul foglio raddoppia le misure.
Componibili Kartell
I componibili Kartell sono stati ideati nel 1967 da Anna Castelli Ferrieri, architetto e designer. I componibili sono in linea con le tendenze del design dei primi anni ‘60: belli esteticamente e funzionali, rispondono alle esigenze della vita moderna. Sono piccoli mobili a base circolare, su rotelle, che si possono spostare per la casa divenendo complementi d’arredo a tutti gli effetti: elementi per il bagno, comodini o piccoli piani d’appoggio.
Ancora prodotti sono esposti nelle collezioni permanenti del Modern Museum of Art di New York e del Centre Georges Pompidou di Parigi.
Procedura
• Inizia dalla proiezione sul P.V. Per le “maniglie”, se ne disponi, usa un circoligrafo.
• È facile poi trovare le altre due proiezioni.
SCALA 1:2 Sul foglio raddoppia le misure.
Realtà e disegno
Nesso
Nesso, ideata da Giancarlo
Mattioli del Gruppo architetti urbanisti Città Nuova 1967, è un’icona del design italiano degli anni ’60, un decennio di conquista della modernità in cui il design ridisegna il paesaggio domestico attraverso le prime applicazioni delle materie plastiche. Il corpo lampada e il diffusore in policarbonato, con emissione di luce diretta e diffusa. Ancora oggi è proposta in varie tonalità.
21. Design italiano anni Sessanta 3
Procedura
Puoi iniziare dalla proiezione sul P.V. per poi trovare le altre proiezioni.
Nota
Per tracciare il sostegno della lampada usa un curvilinee. SCALA 1:2
La Conica Alessi
Caffettiera Espresso
La Conica firmata da Aldo Rossi per Alessi è una caffettiera espresso realizzata in acciaio inossidabile con fondo in rame.
È il primo progetto di caffettiera espresso dell'architetto Aldo Rossi, e nasce nei primi anni ‘80 da un gioco di forme geometriche semplici che formano una sorta di mini architettura.
Procedura
Proponiamo qui una versione semplificata nei dettagli della caffettiera.
• Inizia dalla proiezione sul P.V.
• È facile poi trovare le altre due proiezioni.
Esercizi e tavole
22. Sezioni di solidi: a cosa servono le sezioni
PROCEDI CON METODO
1 Per sezionare un oggetto si immagina di tagliarlo con un piano di sezione.
Come si disegnano le sezioni
• La traccia del piano di sezione va indicata con linea grossa mista (punto e linea).
• Alle estremità della traccia due frecce con due lettere maiuscole uguali indicano quale superficie sezionata verrà mostrata.
• La superficie sezionata, secondo le norme UNI, va indicata con un tratteggio di linee sottili e parallele, inclinate a 45°. Qui per semplicità di esecuzione viene colorata in grigio.
• Il disegno con la sezione va indicato con la scritta SEZIONE e le due lettere maiuscole.
Traccia i piani di sezione con le inclinazioni date e posizionati come in figura
Tutorial dal vero
Con le Proiezioni ortogonali puoi descrivere la forma e la superficie esterna di un solido, ma non puoi mostrare nulla del suo interno. Spesso però nel disegno tecnico questo è necessario, quando occorre descrivere oggetti con cavità o spessori differenti. In questi casi bisogna sezionare l’oggetto operando un taglio. Per svolgere questa operazione ci si serve di un piano, detto piano di sezione, che taglia il solido in due parti. L’immagine risultante viene messa in evidenza rimuovendo, idealmente, una delle due parti. A quel punto il tutto può essere descritto mediante le Proiezioni ortogonali.
Sezione di un cilindro cavo
Piano di sezione parallelo al P.L. e perpendicolare a P.V. e P.O.
Sul foglio: r1 circonferenza esterna = 4 cm, r2 circonferenza interna = 3 cm; altezza = 6 cm. Il solido è sollevato sul P.O. di 2 cm.
2 Si rimuove una delle due parti in cui il solido è sezionato.
3 Si pone in evidenza il disegno della sezione.
A-A
SCALA 1:2
Sul foglio raddoppia le misure.
SEZIONE
Piano di sezione
1 Sezione di un parallelepipedo
• Piano di sezione parallele al P.O. e perpendicolare al P.V. e P.L.
Sul foglio: base parallelepipedo = 4 × 8 cm, altezza = 8 cm.
2 Sezione di un parallelepipedo
• Piano di sezione perpendicolare al P.V. e inclinato di 45° sul P.O.
Sul foglio: base parallelepipedo = 4 × 8 cm, altezza = 6,5 cm.
3 Prisma a base esagonale
• Piano di sezione perpendicolare a P.O. e P.L. e parallelo al P.V.
Sul foglio: circonferenza circoscritta alla base r = 3,5 cm, altezza = 7 cm.
SCALA 1:2 Sul foglio raddoppia le misure.
Esercizi e tavole
23. Sezioni di solidi: piramidi e prisma 1
1 Piramide a base quadrata
• Piano di sezione parallelo al P.O. e perpendicolare a P.V. e P.L.
Sul foglio: lato di base = 7 cm, altezza = 8 cm, distanza del piano di sezione dal P.O. = 5 cm.
2 Piramide a base quadrata
• Piano di sezione perpendicolare al P.L. e inclinato di 45° sul P.O e sul P.V.
Sul foglio: lato di base = 7 cm, altezza = 8 cm.
Traccia i piani di sezione con le inclinazioni date e posizionati come in figura.
SCALA 1:2
Sul foglio raddoppia le misure.
SCALA 1:2
Sul foglio raddoppia le misure.
3 Prisma a base esagonale
• Piano di sezione perpendicolare al P.V. e inclinato di 45° sul P.O e sul P.L.
Sul foglio: circonferenza circoscritta r = 4 cm, altezza = 6 cm, distanza dal P.O. 1 cm
4 Piramide a base quadrata
• Piano di sezione perpendicolare al P.O. e inclinato di 45° sul P.V.
Sul foglio: lato di base = 7 cm, altezza = 8,5 cm.
SCALA 1:2 Sul foglio raddoppia le misure.
SCALA 1:2 Sul foglio raddoppia le misure.
Esercizi e tavole
1 Sezione di prisma esagonale ruotato rispetto a P.V. e P.L.
• Piano di sezione perpendicolare al P.V e inclinato di 45° sul P.O. Sul foglio: circonferenza circoscritta di base r = 4 cm, altezza = 8 cm.
24. Sezioni di solidi: prisma e piramide 2
Superficie sezionata.
PIANO VERTICALE
LINEA DI TERRA
Procedura
• Disegna le proiezioni del solido e la traccia del piano di sezione.
• Riporta le intersezioni del piano di sezione con gli spigoli del prisma dal Prospetto Laterale al Prospetto Verticale.
• Dal P.L. proietta verso il P.V. le intersezioni del piano di sezione con gli spigoli del prisma e trova i punti corrispondenti.
• Unisci quindi i punti trovati per avere il prospetto della superficie sezionata.
Il piano di sezione è perpendicolare al P.L. ma è inclinato rispetto a P.O. e P.V.
PIANOORIZZONTALE
L’intersezione del piano di sezione con P.O., P.V., P.L. si chiama Traccia del piano di sezione.
SCALA 1:2 Sul foglio raddoppia le misure.
PIANO LATERALE
2 Piramide ottagonale
Piano di sezione perpendicolare al P.V e inclinato di 45° sul P.O.
Sul foglio: circonferenza circoscritta alla base r = 3,5 cm, altezza = 9 cm.
Traccia del piano di sezione.
PIANO VERTICALE
PIANODISEZIONEA-A
PIANO LATERALE
Dal P.V. proietta sul P.O. le intersezioni del piano di sezione con gli spigoli del solido
Superficie sezionata.
LINEA DI TERRA
PIANOORIZZONTALE
Procedura
• Disegna le proiezioni del solido e la traccia del piano di sezione. Quest’ultimo taglia gli spigoli del solido nei punti 1, 2, 3, 4 e 5.
• Proietta questi punti sugli spigoli corrispondenti nelle viste sul P.O. e sul P.L.
In questo caso il piano di sezione è perpendicolare al P.V. ma è inclinato rispetto agli altri due piani.
• Unisci i punti trovati per disegnare pianta e Prospetto Laterale della sezione.
SCALA 1:2
Sul foglio raddoppia le misure.
Esercizi e tavole
25. Sezioni di solidi di rotazione: cilindro e cono
1 Cilindro retto sezionato da un piano inclinato
• Piano di sezione perpendicolare al P.V. e inclinato di 30° sul P.O. Sul foglio: circonferenza di base r = 4 cm, altezza = 8 cm.
Procedura
• Disegna le proiezioni del solido e la traccia del piano di sezione A-A.
• Dividi con quattro diametri la circonferenza di base in 8 parti uguali e segna i punti di intersezione 1, 2, 3, 4 e 5.
• Riporta questi punti sulla traccia del piano di sezione sul P.V.
• Proietta questi punti dal P.O. e dal P.V. sul P.L. e trova i punti dell’ellisse che unirai con un curvilinee.
Traccia del piano di sezione.
Tutorial dal vero
PIANODISEZIONEA-A
Superficie sezionata. Osserva: la superficie di sezione ottenuta sezionando un cilindro con un piano inclinato rispetto all’asse del solido è un’ ellisse
SCALA 1:2
Sul foglio raddoppia le misure.
2 Cono retto sezionato da un piano inclinato Piano di sezione perpendicolare al P.V. e inclinato di 30° sul P.O.
Sul foglio: circonferenza di base r = 3,5 cm, altezza = 8,5 cm.
Procedura
• Disegna le Proiezioni ortogonali del solido e la traccia A-A. sezione.
• Disegna i quattro diametri che dividono la circonferenza di base in 8 parti.
• Traccia su P.V e P.L le generatrici che corrispondono ai diametri: sul P.V. queste sono tagliate nei punti 1, 2, 3, 4, e 5.
• Proietta questi punti sulle generatrici nelle viste su P.O. e P.L. e unisci i punti trovati con l’aiuto di un curvilinee. La curva ottenuta è un’ellisse.
Traccia del piano di sezione..
PIANO VERTICALE
PIANO LATERALE
LINEA DI TERRA
PIANODISEZIONEA-A
PIANOORIZZONTALE
Generatrice: retta o curva che, muovendosi nello spazio, genera una superficie. La generatrice di una superficie di rotazione è una curva o una retta che, ruotata intorno all’asse di rotazione, determina tutti i punti della superficie. Le generatrici di un cono sono le infinite rette che passano per il vertice.
Superficie sezionata Come nel caso precedente, la superficie sezionata ha la forma di un’ ellisse
SCALA 1:2
Sul foglio raddoppia le misure.
Esercizi e tavole
1 Cono sezionato da un piano parallelo all’asse
• Piano di sezione perpendicolare al P.O. e P.L. e parallelo al P.V.
Sul foglio: circonferenza di base r = 4 cm, altezza = 8,5 cm.
Procedura
• Disegna le proiezioni del solido e la traccia del piano di sezione.
• Sul cerchio di base traccia cinque raggi che intersechino il piano di sezione in 2, 3, 4, 5 e 6.
• Traccia sul Prospetto Verticale le generatrici che corrispondono ai raggi.
• Dal P.O. proietta fino alla L.T. i punti 1 e 7, quindi proietta i punti 2, 3, 5, 6 sulle generatrici corrispondenti.
• Osserva: per ottenere il punto 4 sul Prospetto Verticale devi proiettarlo dal P.L.
• Unisci i punti trovati con un curvilinee: la curva ottenuta è un’ iperbole
26. Sezioni di solidi di rotazione: le coniche
del piano di sezione.
Le coniche: le sezioni sui solidi di rotazione danno luogo a figure piane che sono appunto definite sezioni coniche, o più semplicemente coniche, perché prodotte dall’intersezione di un piano con la superficie di un cono. Ecco quali sono:
• La circonferenza : il piano di sezione è perpendicolare all’asse del cono.
La superficie sezionata ha la forma di un’ iperbole
• L’ ellisse: il piano è obliquo rispetto alla base del cono.
• La parabola : il piano ha la stessa inclinazione di una generatrice del cono.
• L’ iperbole: qui il piano di sezione è parallelo all’asse del cono.
SCALA 1:2
Sul foglio raddoppia le misure.
Traccia
2 Cono sezionato da un piano parallelo a una generatrice
• Piano di sezione perpendicolare al P.V e inclinato di 45 ° sul P.O. Sul foglio: circonferenza di base r = 4 cm, altezza = 9 cm.
Traccia del piano di sezione.
PIANO VERTICALE
PIANO DI SEZIONE A-A
PIANO LATERALE
LINEA DI TERRA
Piano ausiliario.
Procedura
• Disegna le proiezioni del solido e la traccia del piano di sezione.
• Taglia il prospetto sul P.V. con 2 piani ausiliari paralleli al P.O. Segna i punti 1, 2, 3 e 4.
• Centra in V, vertice del cono, e traccia le due circonferenze di raggio V’’3’ e V’2’ che rappresentano l’intersezione dei piani ausiliari con la superficie del cono.
PIANOORIZZONTALE
• Sei ora in grado di trovare la posizione dei punti 1, 2, 3 e 4 sia sul P.O. sia sul P.L.
• Unisci i punti trovati con l’aiuto di un curvilinee. La curva ottenuta è una parabola
La superficie sezionata ha la forma di una parabola piani ausiliari
SCALA 1:2 Sul foglio raddoppia le misure.
Esercizi e tavole
27. Sezione di pezzi di lavorazione meccanica 1
Come sezionare un pezzo meccanico
Come hai visto, le sezioni sono molto utili per descrivere la forma dei solidi, specialmente se questi presentano cavità, parti nascoste o comunque non in vista. Ma come sezionare?
Dove far passare i piani di sezione?
In questa Scheda un semplice oggetto è sezionato da tre diversi piani di sezione, e i risultati sono molto diversi tra loro.
Puoi valutare tu stesso quali sezioni sono più utili per descrivere l’oggetto.
Il pezzo non sezionato.
Questa sezione è detta trasversale, e in questo caso pone bene in evidenza la “forma” complessiva del pezzo.
Qui il pezzo è sezionato con un piano perpendicolare al suo asse.
SCALA 1:2 Sul foglio raddoppia le misure.
PIANO DI A-ASEZIONE
Qui il piano di sezione è parallelo all’asse del pezzo. La sezione tuttavia non aggiunge niente a ciò che già si poteva sapere osservando il pezzo non sezionato.
PIANODISEZIONE
Anche in questo caso il piano di sezione è parallelo all’asse del pezzo.
PIANO DI SEZIONE A-A
Questo tipo di sezione è detta longitudinale e qui è utile per descrivere lo spessore dell’anima centrale del pezzo.
SCALA 1:2 Sul foglio raddoppia le misure.
Esercizi e tavole
28. Sezione di pezzi di lavorazione meccanica 2
Sezioni di oggetti cavi
Gli oggetti cavi o che presentano cavità sono quelli la cui rappresentazione tecnica corretta e completa richiede almeno una sezione. Il piano di sezione va immaginato in modo da ricavare le maggiori ed esaustive informazioni sulla forma dell’oggetto.
Asse di rotazione: è quella linea immaginaria attorno a cui ruota una figura piana (in questo caso dei rettangoli) generando un solido (in questo caso dei cilindri). L’asse di rotazione è anche asse di simmetria.
1 Piano di sezione passante per l’asse del pezzo
Osserva:
in generale per descrivere oggetti a “tubo” è sufficiente una sezione trasversale al loro asse, ma in questo caso è meglio una sezione longitudinale, poiché il diametro del foro interno dell’oggetto varia.
SEZIONE
SCALA 1:2
Sul foglio raddoppia le misure.
SEZIONE
2 Piano di sezione passante per gli assi dei fori del pezzo
SEZIONE A-A
Asse di simmetria : retta rispetto alla quale una figura è simmetrica.
Osserva la figura qui a lato
Si tratta di un disegno meccanico. Riesci a distinguere tra le Proiezioni ortogonali e l’Assonometria del pezzo?
Riesci a individuare la sezione?
Da cosa lo capisci?
SCALA 1:2 Sul foglio raddoppia le misure.
Ripasso
Ecco quattro tavole per verificare le competenze che hai raggiunto nel disegno delle Proiezioni ortogonali. Per ogni tavola sono proposte 2 varianti (di difficoltà diversa) nella disposizione sul Piano Orizzontale.
Attenzione!
Distanze e altre dimensioni non sono date e le figure non sono in Scala. Tocca a te stabilire le dimensioni dei solidi e la loro posizione nella tavola, osservando la figura dell’esercizio.
1 Piramide e solido con sezione a «L»
• Inizia normalmente dalla proiezione sul P.O.
2 Cilindro, piramide e parallelepipedo
Inclinazione a 45°. Usa le squadre in modo combinato.
• Sul P.O. traccia per primi i solidi che stanno “sotto”.
• Sul P.V. e P.L. traccia per primi i solidi che stanno “davanti”.
3 Prisma, parallelepipedo e cono
• Stabilisci le dimensioni dei solidi: puoi modificare le proporzioni, per esempio il cono può superare in altezza gli altri due solidi.
4 Prisma e solido a scala
• Per questa costruzione vedi la Scheda 8 es. 3.
Ripasso
5 Solido complesso e piramide tronca
Osserva : tutti i gruppi sono sollevati sul P.O.
Ricorda : sul P.O. meglio tracciare per primi i solidi che stanno “sopra”.
Quattro tavole di Proiezioni ortogonali che uniscono solidi elementari e solidi complessi.
Attenzione!
Distanze e altre dimensioni non sono date e le figure non sono in Scala. Tocca a te stabilire le dimensioni dei solidi e la loro posizione nella tavola, osservando la figura dell’esercizio.
6 Cubo sovrapposto a solido complesso ruotato rispetto a P.V. e P. L.
Osserva : si tratta del solido della tavola precedente, ruotato rispetto a P.V. e P.L.
Ricorda : nei prospetti traccia per primi i solidi che stanno “davanti”.
7 Solido complesso e cilindro
Osserva : i solidi sono sollevati a diverse altezze sul P.O.
8 Solido complesso ruotato rispetto a P.V. e P.L.
Osserva : si tratta del solido della tavola precedente, ruotato rispetto a P.V. e P.L.
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1 Le Proiezioni ortogonali sono un metodo usato per rappresentare in modo preciso su un piano a due dimensioni (come il foglio da disegno):
A gli oggetti a due sole dimensioni.
B gli oggetti a tre dimensioni.
C gli oggetti a una dimensione.
2 La proiezione di un oggetto sul Piano Orizzontale, mediante linee perpendicolari al piano stesso, si chiama:
A Prospetto Orizzontale
B Pianta
C Prospetto Laterale
3 La proiezione di un solido sul Piano Laterale, mediante linee perpendicolari al piano stesso, si chiama:
A Prospetto Verticale
B Pianta
C Prospetto Laterale
4 La proiezione ortogonale di un solido sul Piano Verticale, ottenute mediante la traccia di linee perpendicolari al piano stesso, si chiama:
A Prospetto Laterale
B Prospetto Verticale
C Pianta.
5 La linea data dell’intersezione del Piano Orizzontale con il Piano Verticale e il Piano Laterale si chiama:
A Linea di Base.
B Traccia di Terra.
C Linea di Terra.
6 Nella maggior parte dei casi il disegno delle Proiezioni ortogonali di un oggetto inizia dal:
A P.O. B P.V. C P.L.
7 Gli spigoli non in vista di un solido vanno rappresentati:
A con linea continua fine.
B con linea a tratti.
C con linea a punto e tratto.
8 Nel disegno delle Proiezioni ortogonali come si chiama l’intersezione di un eventuale piano di sezione con il P.O., il P.V. o il P.L.?
A Traccia del piano si sezione.
B Linea del piano di sezione.
C Non ha alcuna definizione, dato che è superflua.
9 Nel disegno delle Proiezioni ortogonali la traccia di un eventuale piano di sezione:
A va rappresentata con linea a tratti grossa.
B non va mai rappresentata.
C va rappresentata con linea mista a punti e tratti grossa.
10 L’intersezione del Piano Orizzontale con il Piano Verticale genera una linea detta:
A Linea Orizzontale.
B Linea di Base.
C Linea di Terra.
11 Che cosa rappresenta una sezione in un disegno?
A Una vista tridimensionale dell'oggetto.
B Un disegno che mostra la superficie esterna di un oggetto.
C Un taglio che permette di vedere l’interno dell'oggetto.
D Una descrizione scritta dell'oggetto.
Osserva e riconosci
12 Osserva attentamente la proiezione di due solidi sul Piano Orizzontale qui sotto. Quale tra le tre proiezioni sul P.V. potrebbe essere quella giusta?
13 Osserva il triedro e il solido della figura. Quale tra le tre figure sotto potrebbe rappresentare il Prospetto Laterale?
HUB Test
14 Osserva il triedro e il gruppo di solidi della figura. Quale tra le tre figure sotto potrebbe rappresentare la Pianta?
17 Filippo, Gaia e Lara hanno tracciato le tre tavole qui sotto. Solo una è corretta. Quale? A Filippo B Gaia C Lara
15 In quale direzione (A, B, C, D, E o F) occorre guardare l’oggetto per avere le viste mostrate più sotto? Scrivi la lettera sotto la vista corrispondente.
18 Osserva le figure. Quale solido complesso ha le proiezioni che vedi sui tre piani del triedro?
16 Osserva il solido complesso della figura. Solo una tra le proiezioni sotto può essere un prospetto. Quale?
19 Osserva le figure. Quale potrebbe rappresentare la proiezione sul P.O. del prospetto sopra?
Filippo
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Traccia le Proiezioni ortogonali
Puoi disporre i solidi come preferisci, ma rispetta attentamente le dimensioni e le eventuali indicazioni date. Tempo assegnato: 1 ora max.
1 Cilindro e parallelepipedo
Parallelepipedo: base 4 x 6 cm, h = 2,5. Cilindro: raggio base = 2 cm, h = 8 cm. Distanza delle base inferiore del parallelepipedo dal Piano Orizzontale = 2 cm.
2 Piramide e parallelepipedo
Piramide: l base = 4 cm, h = 8 cm. Parallelepipedo: base = 3x 6 cm, h = 7 cm. I solidi sono appoggiati sul Piano Orizzontale e ruotati rispetto al Piano Verticale e Laterale.
3 Piramide e parallelepipedo a basi quadrate
Piramide: l base = 4 cm, h = 8 cm. Parallelepipedo a basi quadrate: l base = 6 cm, h = 2 cm.
Distanza della base inferiore del parallelepipedo dal Piano Orizzontale = 2 cm.
4 Due prismi a base esagonale e piramide a base quadrata sovrapposta
Prisma: raggio circonferenza di base r = 3 cm, h = 8 cm.
Osserva e riconosci
9 A ogni assonometria di solido complesso, a sinistra nella figura, corrispondono a destra tre viste in Proiezioni ortogonali. Abbina ogni assonometria alle sue viste in proiezione. Per risolvere l’esercizio devi osservare con attenzione le figure.
Prisma: raggio circonferenza di base r = 3,5 cm, h = 2,5 cm. Piramide: lato base a piacere, h = 4 cm
5 Parallelepipedo con prisma a base ottagonale e cilindro sovrapposti
Parallelepipedo: base 4 x 8 cm, h = 2,5 cm. Prisma: raggio circonf. di base = 2 cm, h = 4,5 cm. Cilindro: raggio circonf. di base = 2,5 cm, h = 6 cm.
6 Parallelepipedo con piramide e cubo sovrapposti
Parallelepipedo: base 6 x 7 cm, h = 2,5 cm. Piramide a base quadrata l = 3 cm, h = 5 cm. Cubo l = 4,5 cm. Il parallelepipedo è appoggiato sul Piano Orizzontale.
7 Due prismi a base ottagonale con asse perpendicolare al Piano Verticale.
Prisma: raggio circonf. di base = 3,5 cm, h = 7 cm.
Prisma: raggio circonf. di base = 2 cm, h = 5 cm. I prismi sono distanti dai tre piani.
8 Piramide tronca e cono tronco sovrapposti a parallelepipedo
Parallelepipedo: base 4 x 8 cm, h = 2,5 cm. Piramide tronca: raggio circonf. di base = 2 cm, h = 4,5 cm. Cono tronco: raggio circonf. di base = 2,5 cm, h = 6 cm.
VERIFICA
10 Sai riconoscere le Proiezioni ortogonali di oggetti?
• Osserva le figure.
• Quali immagini possono essere proiezioni sul P.O.?
• Quali possono essere definite come Prospetti, cioè proiezioni su P.V. e P.L.?
• Quali sono Sezioni?
Prospetto (P.V.)
Prospetto (P.L.)
Pianta (P.O.)
Sezione
Sezione
Prospetto (P.V.)
Prospetto (P.L.)
Pianta (P.O.)
