Capitolo campione - Math for life (Scientifica SS1) by Mondadori Education

Unità

LA DIVISIBILITÀ STEAM MOBILITÀ URBANA SOSTENIBILE Un efficiente sistema di mezzi pubblici consente di muoversi in modo sostenibile e migliora la qualità delle aree urbane. Per pianificare gli orari di autobus e metropolitane si possono prevedere corse che rispettano tempi multipli tra loro. Utilizzate i mezzi pubblici per muovervi nel vostro Comune?

Matematica Tecnologia Ingegneria

Il Piano Urbano della Mobilità Sostenibile (PUMS) è uno strumento di pianificazione attuato dai Comuni per migliorare i trasporti cittadini a livello ambientale, economico e sociale. Una organizzazione efficiente e ottimale degli orari dei mezzi pubblici è indispensabile per questo miglioramento. La frequenza delle corse alle fermate di autobus e metropolitana dipendono per esempio dal numero di persone che vivono nella zona e dalla fascia oraria considerata. Nelle aree con maggiore densità abitativa e nelle fasce orarie di più intenso utilizzo, gli intervalli di tempo tra le corse sono minori. Stazione della metropolitana a Roma

247

LEZIONE

I multipli

in preparazione

VIDEO

ATTIVAMENTE

Completa la tabella inserendo nelle celle gli opportuni prodotti. ⋅ 0 1 2

0 0

10 0

Quale caratteristica hanno tutti i numeri che sono scritti su una stessa riga? I multipli di un numero naturale si ottengono moltiplicando il numero per ciascun numero naturale. ESEMPIO

I multipli di 3 si ottengono moltiplicando 3 per la sequenza dei numeri naturali, 0 compreso.

{

3 ⋅ 0 3 ⋅ 1 3 ⋅ 2 3 ⋅ 3 3 ⋅ 4 3 ⋅ 5 ... 0 3 6 9 12 15

Per indicare l’insieme dei multipli di 3 si scrive: M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ...} OSSERVA • Lo 0 ha un solo multiplo, se stesso. M(0) = {0} • I multipli di 1 sono tutti i numeri naturali. M(1) = {0, 1, 2, 3, 4, ...} • I multipli di un numero maggiore di zero sono infiniti. • I primi due multipli di un numero maggiore di 0 sono 0 e se stesso. ESEMPIO

Determiniamo i multipli di 50 maggiori di 0 e minori di 300. Abbiamo 50 ⋅ 1 = 50 50 ⋅ 3 = 150 50 ⋅ 5 = 250 50 ⋅ 7 = 350

50 ⋅ 2 = 100 50 ⋅ 4 = 200 50 ⋅ 6 = 300 ...

I multipli di 50 maggiori di 0 e minori di 300 sono 50, 100, 150, 200, 250.

248

Puoi prelevare solo multipli di 50 €, fino a un massimo di 250 €

La divisibilità | Unità 6

PROVA TU! 1

Continua a esercitarti a pag. 266

Vero o falso? a. Lo 0 ha un solo multiplo. b. Il più piccolo multiplo di 5 è 10. c. I multipli di 20 sono infiniti. d. I multipli di 1 sono tutti i numeri naturali.

8 X V F V X F X V F X V F

X Il prodotto dei punteggi dei tre dadi è un multiplo di 3.

Completa scrivendo i primi cinque multipli. a. M(6) = 0 , 6 , 12 , 18 , 24 , ...

{ } b. M(10) = { 0 , 10 , 20 , 30 , 40 , ...} c. M(15) = { 0 , 15 , 30 , 45 , 60 , ...} d. M(100) = { 0 , 100, 200, 300, 400, ...}

L a somma dei punteggi dei tre dadi è un multiplo di 3. X Il prodotto dei punteggi dei tre dadi è un multiplo di 4.

Per ogni numero, devi cercare i numeri che compaiono nella sua tabellina. Ricordati di partire da 0!

X La somma dei punteggi dei tre dadi è un multiplo di 2.

In ciascun gruppo cerchia i multipli del primo numero.

a. 5 b. 8 c. 9 d. 12

12 1 0 3

35 24 9 6

36 40 35 12

40 70 45 24

Vero o falso? a. 12 è multiplo di 2. b. 49 è multiplo di 7. c. 26 è multiplo di 3. d. 45 è multiplo di 6. e. 54 non è multiplo di 9.

Osserva i tre dadi. Quali affermazioni sono vere?

45 80 74 35

X V X V V V V

Tra i seguenti numeri sottolinea i multipli sia del 2 sia del 3. 0

10 Tra i seguenti numeri sottolinea i multipli sia del 3 sia del 5. 1

F F X F X F X F

11 Le banconote erogate da un bancomat sono in tagli da 20 € e da 50 €. Quali dei seguenti importi non è possibile prelevare? X 10 €

90 €

110 €

60 €

X 30 €

130 €

Scrivi i multipli di 2 compresi tra 20 e 40, cioè maggiori di 20 e minori di 40. 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38

Quanti sono? 9 6

Quanti sono i multipli di 10 minori di 100? 8

X 10

Quali nomi hanno un numero di lettere che è un multiplo di 3? Alberto

X Giampaolo

Elisabetta

X Chiara

Bartolomeo

Osserva questo frammento di carta: si riferisce all’insieme dei multipli di un numero. Quale? 7

56, 63,

77, 84, 91

X Lia

249

LEZIONE

I divisori

in preparazione

GEOGEBRA

ATTIVAMENTE Quali divisioni hanno come risultato un numero naturale? X 136 : 2

Accedi all’animazione dal QR in alto o dal libro digitale

X 136 : 4

136 : 5

136 : 10

Un numero naturale b è divisore di un numero naturale a se il quoziente a : b è un numero naturale. 54 : 3 = 18 con resto 0 24 0 La divisione ha resto 0, quindi 3 è divisore di 54. Si dice anche che 54 è divisibile per 3.

ESEMPI

X 136 : 8

71 : 2 = 35 con resto 1 11 1 La divisione ha resto diverso da 0, quindi 2 non è divisore di 71.

Per indicare l’insieme dei divisori di 6 si scrive D(6) = {1, 2, 3, 6}. OSSERVA • Tutti i numeri naturali, tranne lo 0, sono divisori di 0. D(0) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} • Lo 0 non è divisore di alcun numero, perché la divisione di un numero per 0 non ha significato. • L’1 ha solo un divisore, se stesso. D(1) = {1} • L’1 è divisore di tutti i numeri. • Qualunque numero maggiore di 1 ha almeno due divisori, 1 e se stesso. Questi due divisori sono detti divisori banali. • I divisori di un numero, diverso da 0, sono finiti e compresi tra 1 e il numero stesso. Solo lo 0 ha infiniti divisori.

divisori banali

ESEMPIO

D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

divisori banali

altri divisori

:3 4

12 ⋅3

250

a ⋅b

Osserviamo nello schema la relazione tra multipli e divisori. Abbiamo che 3 è divisore di 12 perché 12 : 3 = 4 con resto 0. q Quindi 3 ⋅ 4 = 12 e 12 è un multiplo di 3. In generale se un numero b è divisore di a allora a è multiplo di b.

La divisibilità | Unità 6

PROVA TU! 1

Continua a esercitarti a pag. 268

Vero o falso? a. Il numero 2 è divisore del numero 24, perché la divisione 24 : 2 ha come X V resto 0. b. Il numero 3 è divisore del numero 10, V perché 10 : 3 = 3 con resto 1. X V c. Il numero 21 è divisibile per 7. X V d. L’1 è divisore di qualsiasi numero. e. Ogni numero diverso da 0 ha infiniti V divisori.

X F F F X F

Nessuno

X Solo 1

Almeno due

Infiniti

Quanti sono i divisori di un numero maggiore di 1? Nessuno

Solo 1

X Almeno due

Infiniti

Individua i divisori dei numeri indicati. X1 X2 a. 14 0 3 X7 5 6 8

4 X 14

X1 X 10

X4 X 20

X2 12

3 15

} } }

1, 2, 3, 4, 6, 12 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 ,36

3 X 4

Tutti

a. In quanti modi può essere suddivisa in parti formate dallo stesso numero di quadratini? 5

b. Per ciascuna suddivisione, scrivi da quanti quadratini è formata una delle parti. 2 pezzi

Segna le scritture corrette. D(10) = {0, 10, 20, 30, 40}

da 14, 14 pezzi da 2, 4 pezzi da 7, 7 pezzi da 4, 28 pezzi da 1

X D(17) = {1, 17}

X D(16) = {1, 2, 4, 8, 16}

Alcuni studenti stanno parlando dei divisori di 136. Chi ha ragione?

D(15) = {1, 2, 3, 5, 15}

Inserisci il numero opportuno all’interno dei quadratini.

: 6

: 3

· 6

} } }

12 Osserva la tavoletta di cioccolato in figura.

X Il 4 ha tre divisori.

{ D(24) = { D(36) = { 1

X Il 2 ha due soli divisori.

{ { {

11 Quanti dei divisori di 12 sono anche multipli di 2?

Il 6 ha infiniti divisori.

Scrivi l’insieme dei divisori di ciascun numero. 1, 2, 4, 8 a. D(8) = 1, 2, 5, 10 b. D(10) = 1, 3, 5, 15 c. D(15) =

D(12) =

Quali affermazioni sono corrette?

0 X5

10 Scrivi l’insieme dei divisori del numero di matite di ogni confezione in figura.

Quanti sono i divisori di 1?

b. 20

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64

Lo 0 è divisore di ogni numero.

Il numero 64 è il più piccolo numero che ha 7 divisori. Quali sono?

Sono solo tre: 2, 4, e 8.

Paolo

Sono esattamente cinque.

Laura

Sono almeno cinque.

X Carlotta

· 3 251

LEZIONE

I criteri di divisibilità ATTIVAMENTE Quali numeri sono divisibili per 2, cioè hanno il numero 2 come divisore? X 40 X 86 101 X 248 327 X 1084 Puoi stabilire se un numero è divisibile per 2 senza fare la divisione? I criteri di divisibilità sono delle regole che permettono di stabilire se un numero è divisore di un altro numero senza dover eseguire la divisione.

ESEMPIO

Criterio di divisibilità per 2 Un numero è divisibile per 2 se l’ultima cifra, quella delle unità, è 0, 2 , 4, 6 oppure 8. 458 → l’ultima cifra è 8 → 458 è divisibile per 2.

ESEMPIO

Criterio di divisibilità per 3 Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è 3 o un qualsiasi altro multiplo di 3. 231 → 2 + 3 + 1 = 6 → 231 è divisibile per 3.

ESEMPI

ESEMPO

ESEMPIO

Criterio di divisibilità per 5 Un numero è divisibile per 5 se l’ultima cifra, quella delle unità, è 0 o 5. 945 → l’ultima cifra è 5 → 945 è divisibile per 5. 280 → l’ultima cifra è 0 → 280 è divisibile per 5. Criterio di divisibilità per 7 Un numero è divisibile per 7 se la differenza tra il numero ottenuto eliminando la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità (o viceversa) è 0, 7 o un qualsiasi altro multiplo di 7. 84 → 8 − 2 ⋅ 4 = 0 → 84 è divisibile per 7. 119 → 2 ⋅ 9 − 11 = 18 − 11 = 7 → 119 è divisibile per 7. Criterio di divisibilità per 11 Un numero è divisibile per 11 se la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e la somma delle cifre di posto pari (o viceversa) è 0, 11 o un qualsiasi altro multiplo di 11. 671 → (6 + 1) − 7 = 0 → 671 è divisibile per 11. 3729 → (7 + 9) − (3 + 2) = 16 − 5 = 11 → 3729 è divisibile per 11. Criterio di divisibilità per 10, 100, ... Un numero è divisibile per 10 se l’ultima cifra è 0, per 100 se le ultime due cifre sono 0, … 1800→ le ultime due cifre sono 0 → 1800 è divisibile per 100. OSSERVA Tutti i numeri pari sono divisibili per 2. Un numero che termina per 0 è divisibile sia per 2, sia per 5 e sia per 10.

252

La divisibilità | Unità 6

PROVA TU! 1

Indica i numeri divisibili per 2. X0

X 98

X 106

X 111

112

X 555

X 70

13 Cerchia le cifre che si possono inserire nel quadratino in modo che il numero sia divisibile per 2 e 3.

Indica i numeri divisibili per 5. X0

12 Indica quali numeri sono divisori di 855.

Indica i numeri divisibili per 3. 1

Continua a esercitarti a pag. 270

X 95

Quali mesi hanno un numero di giorni divisibile per 5? Aprile, giugno, settembre e novembre

14 Moltiplicando il numero del giorno del tuo compleanno per il numero del mese in cui sei nato ottieni un numero che ha come divisori: 2

11 5

17 6

X 147

251

X 273

703

Indica i numeri divisibili per 11. X 275

nessuno dei precedenti numeri

Indica i numeri divisibili per 7.

X 341

101

211

15 Considera la somma dei numeri nelle palle da biliardo e individua l’affermazione corretta.

X 561

Indica i numeri divisibili per 10. X 20

X 120

X 300 È divisibile per 2, per 3 e per 5.

Indica i numeri divisibili per 100. 150

X 200

220

X È divisibile per 2, per 3 e per 7.

X 400

450

Competa la tabella inserendo una crocetta dove opportuno. Numero 40 66 120 343

2 X X X

È divisibile per ... 3 5 7 X X X X X

11 X

11 Indica quali numeri sono divisori di 429. 2

È divisibile per 2, per 3, per 7 e per 11. 16 Quanti numeri di due cifre sono divisibili sia per 2, sia per 3, sia per 11? Per prima cosa trova tutti i numeri di due cifre divisibili per 11. Uno solo, il 66

10 Indica quali numeri sono divisori di 854. X2

È divisibile per 2, per 3 e per 11.

X 11

Trova il numero intruso.

90 150

15 30

105 95 75 60 45 120

Tutti i numeri sono divisibili per 3 e per 5 a parte il 95

253

LEZIONE

Numeri primi e numeri composti

in preparazione

VIDEO

ATTIVAMENTE

Individua nella tabella i numeri che hanno solo due divisori. Quali sono i due divisori di questi numeri? 1 e il numero stesso.

Un numero è primo se ha solo due divisori: 1 e se stesso. Un numero diverso da 0 che ha almeno un altro divisore oltre a 1 e se stesso è detto composto.



numeri primi

11 3 5 13 ... 7

numeri pari numeri dispari 0 1 9 6 8 15 12 4 10 21 ... ... numeri composti

D(13) = {1, 13} → 13 è un numero primo D(4) = {1, 2, 4} → 4 è un numero composto

ESEMPIO

OSSERVA • Lo 0 e l’1 non sono né numeri primi né numeri composti. • Il più piccolo numero primo è 2 e il più piccolo numero composto è 4. • Tutti i numeri pari maggiori di 2 sono numeri composti. • Tutti i numeri primi, escluso 2, sono dispari, ma non tutti i numeri dispari sono numeri primi. Per esempio, il 9 è un numero dispari, ma non è primo. Infatti, oltre che per 1 e per 9, è divisibile anche per 3. • I numeri composti sono infiniti. Euclide, matematico dell’antica Grecia, ha provato che anche i numeri primi sono infiniti.

Sulle tavole numeriche, in fondo al testo, sono riportati i numeri primi minori di 5000. Nella tabella sono cerchiati i numeri primi minori di 50. 2

254

Cerchia il 2 e colora tutti i numeri pari. Cerchia il 3 e colora tutti i numeri divisibili per 3, che non hai ancora colorato. Ripeti questo passaggio con i numeri divisibili per 5 e per 7. Cerchia i numeri che non hai colorato e ottieni tutti i numeri primi minori di 50. Questo procedimento è chiamato Crivello di Eratostene.

La divisibilità | Unità 6

PROVA TU! 1

Continua a esercitarti a pag. 274

Quanti divisori ha un numero primo? X Due

Uno Tre 2

Non ha divisori

Vero o falso? a. Un numero composto ha più di due divisori. b. Lo 0 e l’1 non sono né numeri primi né numeri composti. c. I numeri primi sono finiti. d. Il numero 2 è l’unico numero primo pari.

Tra 6 anni (13 e 17)

X V F

Cerchia i numeri primi presenti nella cartella della tombola.

X V F V X F

LA TOMBOLA

X V F

1 3

Cerchia i numeri primi. 0 1 2 6 7 8 9 11

Quest’anno Stella compie 7 anni mentre Sofia festeggerà il suo undicesimo compleanno. Tra quanti anni le due sorelle avranno entrambe ancora un’età espressa da due numeri primi?

La scatola contiene un numero primo o un numero composto di cioccolatini?

10 Inserisci i numeri nel fiore, come nell’esempio: al centro i numeri primi, su ogni petalo il numero composto dato dal prodotto dei primi corrispondenti. 2

143

221

323

Numero composto (18) 38

Considera la tabella dei numeri primi minori di 50 riportata alla fine della pagina a fianco. a. Quanti numeri primi ci sono tra 1 e 20? 8 b. Quanti numeri primi ci sono tra 20 e 40? 4

323 19

2 3

221

Determina l’insieme dei divisori di 28.

{

5 11

}

143

1, 2, 4, 7, 14, 28 D(28) = a. Quali divisori di 28 sono numeri primi? 2, 7 b. Quali divisori di 28 sono numeri composti?

35 77

4, 14, 28

Quale tipo di dolcetto non può essere suddiviso in confezioni uguali che contengano più di I macarons un elemento?

Inserisci correttamente i numeri nelle celle dell’alveare. 17 143 169 49 11 19 123 3 54 13 48 121 7 2 111 29 5 53 Numeri primi 2

11 13 17 19 29 53

Numeri composti 48 49 54 111 121 123 143 169

255

LEZIONE

La scomposizione in fattori primi

in preparazione

GEOGEBRA

ATTIVAMENTE Individua le uguaglianze corrette e sottolinea quelle in cui i fattori sono tutti numeri primi. X 40 = 2 ⋅ 4 ⋅ 5 X 24 = 8 ⋅ 3 X 21 = 3 ⋅ 7 56 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7 X 40 = 5 ⋅ 8 X 24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 X 56 = 2 ⋅ 4 ⋅ 7 21 = 4 ⋅ 8

La scomposizione in fattori primi di 12 è 2 ⋅ 2 ⋅ 3. Puoi raggruppare i fattori uguali usando l’elevamento a potenza. 12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 22 ⋅ 3 ESEMPIO

Scomponiamo il numero 252 in fattori primi.

quozienti

252

126

⎧ ⎨ ⎩

divisori primi

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

Per scomporre un numero in fattori primi possiamo procedere nel modo seguente. • Dividiamo il numero per il più piccolo numero primo che è suo divisore. Nell’esempio a lato → 252 : 2 = 126 • Dividiamo il quoziente ottenuto per il più piccolo numero primo che è suo divisore. Nell’esempio a lato → 126 : 2 = 63 • Procediamo in questo modo fino a ottenere come quoziente 1. • Scriviamo i divisori trovati (che sono tutti numeri primi) moltiplicati tra loro. • Usiamo l’elevamento a potenza se sono presenti fattori uguali. Il teorema fondamentale dell’aritmetica afferma che la scomposizione in fattori primi di un numero composto è unica. La sola cosa che può cambiare è l’ordine con cui scriviamo i fattori, per la proprietà commutativa della moltiplicazione.

252 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 7 = 22 ⋅ 32 ⋅ 7 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

ESEMPIO

La scomposizione in fattori primi, o fattorizzazione, di un numero composto è la scrittura del numero composto come prodotto di soli numeri primi.

⎧ ⎨ ⎩

Accedi all’animazione dal QR in alto o dal libro digitale

numero

fattorizzazione

OSSERVA Non è obbligatorio iniziare la scomposizione con il divisore primo più piccolo: puoi iniziare con il divisore primo che preferisci. 75 3 25 5 5 5 1

256

75 5 15 3 5 5 1

75 5 15 5 3 3 1

75 = 3 · 52

La divisibilità | Unità 6

Se il numero da scomporre termina con uno o più zeri è utile velocizzare la procedura iniziando a dividere per 2 · 5 (la fattorizzazione di 10), elevato all’opportuno esponente. divisibile per 10

fattorizzazione di 10

divisibile per 100

fattorizzazione di 100

140 2 ⋅ 5

140 = 2 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 7

1400 22 ⋅ 52

1400 = 22 ⋅ 52 ⋅ 2 ⋅ 7

14 2

= 22 ⋅ 5 ⋅ 7

14 2

= 23 ⋅ 52 ⋅ 7

7 7

PROVA TU! 1

Continua a esercitarti a pag. 277

Individua le scomposizioni in fattori primi corrette. 16 = 2 ⋅ 8

L’insegnante ha chiesto a due suoi studenti di eseguire delle scomposizioni alla lavagna.

18 = 2 ⋅ 9

X 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5

Carla:

60 = 2 ⋅ 3 ⋅ 10

X 36 = 22 ⋅ 32 2

Individua la scomposizione in fattori primi del numero 50. 5 ⋅ 10

22 ⋅ 5

2⋅3⋅5

210

4 ⋅ 52

X 22 ⋅ 52

22 ⋅ 52 ⋅ 11 è la scomposizione in fattori primi di X 1100

1010

110

110 000

Completa la scomposizione in fattori primi del numero 396. 396 2 198 2 99 3

33 3 11 11

1 396 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 11 = 22 ⋅ 3 2 ⋅ 11

24 = 2 · 3 · 3

a. Solo uno dei due studenti ha svolto correttamente l’esercizio assegnato. Chi? Carla b. Correggi gli errori nell’altro svolgimento. 24 = 23 · 3

22 ⋅ 3 ⋅ 5

Individua la scomposizione in fattori primi del numero 100. 102

2 ⋅ 25

X 2 ⋅ 32 ⋅ 5

Antonio: 24 2 12 2 6 2 3 3 1

36 = 22 · 32

Individua la scomposizione in fattori primi del numero 90. 2

X 2 ⋅ 52

36 3 12 2 6 2 3 3 1

Giusy e Omar hanno scomposto il numero 780 in fattori primi. Giusy: 780 2 Omar: 780 2 · 5 390 2 78 2 195 3 39 3 65 5 13 13 13 13 1 1 Chi dei due ha svolto correttamente l’esercizio? Nessuno dei due Solo Omar

Solo Giusy X Tutti e due

Individua le scomposizioni in fattori primi corrette e correggi quelle errate. 45 = 9 ⋅ 5 32 · 5 X 144 = 24 ⋅ 32 2500 = 22 ⋅ 252

39 = 13 ⋅ 32 13 · 3 X 750 = 2 ⋅ 3 ⋅ 53 22 · 54

257

LEZIONE

Il Massimo Comune Divisore ATTIVAMENTE Quali divisori hanno in comune i numeri 20 e 30? 1; 2; 5; 10 10 Qual è il divisore comune più grande? Esistono coppie di numeri che non hanno nessun divisore in comune? No, l’1 è sempre divisore comune Il Massimo Comune Divisore (M.C.D.) fra due o più numeri, diversi da 0, è il più grande tra i loro divisori comuni.

ESEMPIO

Per calcolare il M.C.D. tra 10 e 15 troviamo tutti i loro divisori, individuiamo quelli comuni e prendiamo il più grande tra questi. D(10) D(15) D(10) = {1, 2, 5, 10} 10 1 15 D(15) = {1, 3, 5, 15} 5 3 2 Il M.C.D è 5 e si scrive M.C.D.(10, 15) = 5 La rappresentazione grafica è utile per visualizzare i divisori comuni. ESEMPIO

Si può calcolare il M.C.D. tra due o più numeri utilizzando la scomposizione in fattori primi. • Scomponiamo i numeri in fattori primi.

Calcoliamo il M.C.D. (980, 168).

• Moltiplichiamo solo i fattori comuni, presi con l’e-

22 ⋅ 7 = 28

sponente minore con cui compaiono. • Il prodotto ottenuto è il M.C.D. dei numeri.

980 = 22 ⋅ 5 ⋅ 72 168 = 23 ⋅ 3 ⋅ 7

M.C.D.(980, 168) = 28

Nel caso i numeri non abbiano nessun fattore primo in comune, il loro M.C.D. è uguale a 1. ESEMPIO

Calcoliamo il M.C.D.(7, 40). Il numero 7 è primo, quindi non devi scomporlo. Considera 7 come un solo “fattore primo”, con esponente uguale a 1. La scomposizione in fattori primi di 40 è 40 = 23 ⋅ 5. I due numeri non hanno fattori primi in comune, quindi M.C.D.(7, 40) = 1. Due numeri si dicono primi tra loro o coprimi se il loro Massimo Comune Divisore è 1.

258

OSSERVA Due numeri primi sono sempre anche primi fra loro. Per esempio M.C.D.(7, 11) = 1. Anche due numeri composti possono essere primi tra loro. Per esempio M.C.D.(8, 15) = 1.

La divisibilità | Unità 6

PROVA TU! 1

Cerchia il M.C.D. tra 28 e 40. D(28) 2

La professoressa ha chiesto di calcolare il M.C.D. tra 126 e 120. Chi ha risposto correttamente? Stefania

10 40 20

Completa il grafico e cerchia il M.C.D. tra 15 e 30. D(15) D(30) 2

1 3 5 15

GAIA

Qual è il M.C.D. tra 6 e 12? 1

Completa il procedimento per calcolare il M.C.D.(64, 80) con il metodo della scomposizione in fattori primi. 64 = 2 6 80 = 2 4 ⋅ 5 M.C.D.(64, 80) = 2 4 = 16

D(40)

Continua a esercitarti a pag. 281

Qual è il M.C.D. tra 7 e 17? X1

119

GIORGIO

STEFANIA

Quali coppie sono formate da numeri primi tra loro? 5 e 20

9 e 36

X 7 e 11

X 8e9

X 10 e 19

2 e 16

10 Considera il numero di giorni di gennaio e il numero di giorni del mese più corto, in un anno non bisestile. I due numeri: sono entrambi primi

Qual è il M.C.D. tra 9 e 15? 1

sono entrambi composti 9

Calcola il M.C.D. tra il numero dei cani e quello dei biscotti. 3

X sono primi tra loro hanno M.C.D. uguale a 2 11 Sul libro di Carlo c’è una macchia di inchiostro. M.C.D.(48,

)=8

Quale dei seguenti numeri è nascosto dalla macchia? 4

X 40

12 Completa il grafico e cerchia il M.C.D. tra 8, 16 e 23. D(8)

D(16)

2 8 4

D(23)

Calcola il M.C.D. tra 20, 30 e 55.

259

LEZIONE

PROBLEMI CON...

il M.C.D.

ATTIVAMENTE Calcola il M.C.D. tra 40, 50 e 65. M.C.D.(40, 50, 65) = 5 Dividi ciascun numero per il M.C.D. 40 : 5 = 8 50 : 5 = 10 65 : 5 = 13 Vediamo come risolvere un problema utilizzando il M.C.D. Ci sono 12 mele gialle, 20 mele rosse e 8 mele verdi. Vogliamo confezionare il maggior numero di cassette in modo che in ognuna ci sia lo stesso numero di mele di ciascuna varietà e in modo da sistemare tutte le mele nelle cassette senza avanzarne. Quante cassette possiamo preparare? Quante mele di ciascun tipo ci saranno in ogni cassetta?

Se i vari tipi di mele devono essere suddivisi in modo che in ogni cassetta ci sia sempre lo stesso numero di mele di ciascuna varietà, il numero di cassette deve essere un divisore comune di 12, 20 e 8. Vogliamo, inoltre, che il numero di cassette sia il maggiore possibile e per questo serve calcolare il M.C.D. tra il numero di mele di ogni tipo. Fattorizziamo i tre numeri: 12 = 22 ⋅ 3 20 = 22 ⋅ 5 8 = 23 Considerando i fattori comuni con il minimo esponente abbiamo: M.C.D.(12, 20, 8) = 22 = 4 Occorre quindi preparare 4 cassette. Ogni cassetta conterrà 12 : 4 = 3 mele gialle, 20 : 4 = 5 mele rosse e 8 : 4 = 2 mele verdi.

PROVA TU! 1

Risolvi il problema completando i passaggi. Giorgia ha 105 confetti alla mandorla e 70 al cioccolato. Li vuole disporre in sacchettini, in modo tale che in ogni sacchettino ci sia lo stesso numero di confetti di ciascun tipo, e che il numero dei sacchettini sia il massimo possibile. Quanti sacchettini potrà realizzare? a. La soluzione del problema è il M.C.D. tra 70 e 105.

260

b. Esegui il calcolo richiesto utilizzando il metodo della fattorizzazione. 105 = 3 ⋅ 5 ⋅ 7 70 = 2 ⋅ 5 ⋅ 7 M.C.D. (105, 70) = 35

c. Giorgia potrà realizzare 35

sacchetti.

La divisibilità | Unità 6

PROVA TU! 2

Luca ha scaricato 30 canzoni di cantanti italiani e 45 di cantanti stranieri. Vuole creare il maggior numero di playlist, tutte con lo stesso numero di canzoni italiane e straniere, in modo da usare tutti i pezzi a sua disposizione senza mai ripeterli. Quante playlist può creare? 2

Continua a esercitarti a pag. 283

X 50

Devi dividere 72 caramelle alla fragola e 156 al lampone in confezioni tutte uguali in modo da inserire in ciascuna lo stesso numero di caramelle per gusto. Quante confezioni al massimo puoi preparare? X 12 8 10 18 Quante caramelle alla fragola conterrà ciascuna confezione?

X 15

Un grossista ha nel magazzino 150 kg di pomodori e 250 kg di melanzane. Vuole confezionare il maggior numero di cassette tutte uguali, ognuna contenente la stessa quantità di ciascun ortaggio. Quante cassette potrà preparare? 20

100

Una scuola organizza un torneo di pallavolo che vede coinvolti 330 alunni, di cui 210 maschi. Per organizzare il torneo si vogliono formare squadre tutte uguali numericamente, con lo stesso numero di maschi e di femmine, estraendo a sorte gli allievi che possono essere anche di classi diverse. Quante squadre al massimo si possono formare? Quanti maschi e quante femmine formeranno ogni squadra? Numero squadre: 30

Un fioraio ha a disposizione 35 rose, 42 calle e 21 margherite. Se vuole preparare il maggior numero di mazzetti in modo che siano tutti uguali, quanti ne riesce a realizzare? 5

Con 200 fogli, 300 matite e 400 penne un cartolaio vuole preparare il maggior numero di confezioni aventi ciascuna lo stesso numero di fogli, matite e penne. Quante ne riesce a preparare? 10 50 X 100

Maschi per squadra: 7 Femmine per squadra: 4 8

Stella ha scelto tre rotoli di nastro di stoffa di diverso colore: uno blu lungo 240 cm, uno giallo lungo 280 cm e uno rosso lungo 300 cm. Desidera tagliare i nastri in modo da ottenere pezzi della stessa lunghezza, la maggiore possibile, utilizzando tutto quanto ha a disposizione. Quale sarà la lunghezza dei pezzi e quanti in tutto riesce a ottenerne? 20 cm; 41 Michele deve disporre degli ulivi su tre diversi filari paralleli tra loro, che si sviluppano in lunghezza per 24 m, 30 m e 42 m. Vuole fare in modo che le piante siano poste alla stessa distanza, la maggiore possibile. A quale distanza deve porre gli alberi e quanti ne pianterà considerato che intende porne uno all’inizio e uno alla fine di ogni filare? 6 m; 19 alberi

120

261

LEZIONE

Il minimo comune multiplo ATTIVAMENTE Trova i primi cinque multipli che hanno in comune i numeri 20 e 30. 0; 60; 120; 180; 240

Qual è il multiplo comune più piccolo, escluso lo 0? 60 Il minimo comune multiplo (m.c.m.) tra due o più numeri, diversi da 0, è il minore dei loro multipli comuni, escluso lo 0. ESEMPIO

Per calcolare il m.c.m. tra 10 e 15 troviamo alcuni loro multipli in ordine crescente e individuiamo, escludendo lo zero, il primo che hanno in comune. M(10) = {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, ...} M(15) = {0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, ...} M(10) M(15) 10 15 30 20 45 40 60 90 75 50 80 ... 105 0 70 ... ... Il m.c.m. è 30 e si scrive m.c.m.(10, 15) = 30. La rappresentazione grafica è utile per visualizzare i multipli comuni. ESEMPIO

Si può calcolare il m.c.m. tra due o più numeri utilizzando la scomposizione in fattori primi. • Scomponiamo i numeri in fattori primi.

Calcoliamo il m.c.m.(40, 48).

• Moltiplichiamo tutti i fattori, comuni e non comu-

24 ⋅ 3 ⋅ 5 = 240

ni, quelli comuni presi una volta sola con l’esponente maggiore con cui compaiono. • Il prodotto ottenuto è il m.c.m. dei numeri.

40 = 23 ⋅ 5 48 = 24 ⋅ 3

m.c.m.(40, 48) = 240

OSSERVA Il m.c.m. tra due o più numeri primi o tra due o più numeri primi tra loro è dato dal loro prodotto. ESEMPIO

Calcoliamo il m.c.m.(5, 8). Il numero 5 è primo, quindi non devi scomporlo. La scomposizione in fattori primi di 8 è 8 = 23. I due numeri sono primi tra loro: M.C.D.(5, 8) = 1. Il m.c.m. tra 5 e 8 è m.c.m.(5, 8) = 5 ⋅ 23 = 5 ⋅ 8 = 40.

262

La divisibilità | Unità 6

PROVA TU! 1

Continua a esercitarti a pag. 286

Cerchia il m.c.m. tra 3 e 12.

10 Completa il procedimento per calcolare il m.c.m.(12, 14) con il metodo della scomposizione in fattori primi.

M(3) M(12) 6 3 12 15 24 9 18 ... 36 0 21 ...

12 = 2 2 ⋅ 3 14 = 2 ⋅ 7 m.c.m.(12, 14) = 2 2 ⋅ 3 ⋅ 7 = 84 11 Qual è il m.c.m. tra 8 e 30?

Scrivi nella rappresentazione grafica alcuni multipli dei numeri e cerchia il m.c.m.

M(10) 20

...

Emma 18

...

X 12

X 20

Qual è il m.c.m. tra 5 e 10? 5

X 10

X 63

X 24

ELENA

LORENZO

EMMA

270

X 945

700

14 Calcola il m.c.m. tra il giorno e il numero del mese del tuo compleanno.

X 100

) = 48

m.c.m.(16,

Quale dei seguenti numeri può essere nascosto dalla macchia? 120

Qual è il m.c.m. tra 6 e 8? 0

Qual è il m.c.m. tra 20 e 100? 10

180

15 Sul libro di Lucia c’è una macchia di inchiostro.

56 Qual è il m.c.m. tra 7 e 9?

13 Qual è il m.c.m. tra 27 e 35?

Qual è il m.c.m. tra 4 e 5? 8

240

Qual è il m.c.m. tra 4 e 6? 4

X 120

12 Il professore ha chiesto di calcolare il m.c.m. tra 45 e 12. Chi ha risposto correttamente?

M(6) 30

10 40

16 Completa il grafico e cerchia il m.c.m. 32

Calcola il m.c.m. tra il numero di pennelli e il numero di colori sulla tavolozza. 33

M(1) 3

... 1 7

...

M(5)

5 10

...

... 0

...

M(2)

Calcola il m.c.m. tra 4, 7 e 6.

263

LEZIONE

PROBLEMI CON...

il m.c.m.

ATTIVAMENTE

Oggi Mattia e Ilenia si trovano entrambi a Verona per motivi di lavoro. Mattia vi ritorna regolarmente ogni 2 giorni e Ilenia ogni 3 giorni. Tra quanti giorni si troveranno di nuovo insieme a Verona? 2 giorni 3 giorni X 6 giorni 7 giorni Vediamo come risolvere un problema utilizzando il m.c.m. All’ingresso di un porto ci sono due fari, uno rosso e uno verde. La luce del faro verde si accende una volta ogni 4 secondi, mentre la luce del faro rosso si accende una volta ogni 10 secondi. Se in questo momento i due fari hanno illuminato il mare contemporaneamente, tra quanti secondi questo accadrà di nuovo?

Il primo faro si accende dopo 4 secondi la prima volta, dopo 8 secondi la seconda volta e così via. Il faro verde illumina il mare ogni multiplo di 4 secondi. M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ...} Il secondo faro si accende dopo 10 secondi la prima volta, dopo 20 la seconda volta e così via. Il faro rosso illumina il mare ogni multiplo di 10 secondi. M(10) = {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, ...} I fari si accenderanno nello stesso momento dopo un numero di secondi che è il più piccolo multiplo comune tra 4 e 10, escluso lo 0. Per rispondere al problema è quindi necessario calcolare il m.c.m. tra 4 e 10. Fattorizziamo i due numeri: 4 = 22 10 = 2 ⋅ 5 Considerando i fattori comuni e non comuni con il massimo esponente abbiamo: m.c.m.(4, 10) = 22 ⋅ 5 = 20 I due fari illumineranno di nuovo contemporaneamente il mare tra 20 secondi.

PROVA TU! 1

Rispondi ai quesiti per risolvere il problema. Anna e Carlo sono iscritti in uno stesso centro sportivo. Anna va a nuotare in piscina ogni 10 giorni mentre Carlo ogni 18 giorni. Se oggi si sono trovati a nuotare assieme, fra quanti giorni si ritroveranno? a. La soluzione è il m.c.m. tra 10 e 18.

264

b. Esegui il calcolo richiesto utilizzando il metodo della fattorizzazione. 10 = 2 ⋅ 5 18 = 2 ⋅ 3 2 m.c.m. (10, 18) = 2 · 32 · 5 = 90

c. Anna e Carlo si ritroveranno tra 90 giorni.

La divisibilità | Unità 6

PROVA TU! 2

Il menù giornaliero di una trattoria prevede lasagne al forno ogni 7 giorni e crostata alla marmellata ogni 5 giorni. Oggi nel menù sono disponibili entrambi i piatti. Tra quanti giorni i due cibi saranno di nuovo insieme sul menù? 12

Continua a esercitarti a pag. 288

X 35

Michele utilizza nel suo frutteto un fertilizzante naturale, che somministra ogni 21 giorni ai ciliegi e ogni 28 giorni ai peschi. Oggi ha dato il fertilizzante a entrambi i tipi di albero. Tra quanti giorni si ripeterà questo evento?

Entrambi 6 volte.

Valentino 3 volte, Paolo 2 volte. 7

X 84 588 4

Due navi partono contemporaneamente dal porto di Genova per una crociera e vi ritornano regolarmente, la prima ogni 20 giorni e la seconda ogni 15 giorni. Dopo quanti giorni le due navi si troveranno di nuovo insieme a Genova? 30

X 60

Francesca, Pietro e Alberto portano i rispettivi cani dallo stesso veterinario. Il cane di Francesca fa una visita di controllo ogni 30 giorni, quello di Pietro ogni 24 giorni e quello di Alberto ogni 20 giorni. Oggi i tre amici si sono incontrati dal veterinario: tra quanti giorni succederà di nuovo? 2

Un display informativo cambia la scritta proiettata ogni 28 secondi, un altro display ogni 35 secondi. I due display hanno appena effettuato il cambio contemporaneamente. Tra quanto tempo cambieranno nuovamente la scritta nello stesso momento? 140 secondi, pari a 2 minuti e 20 secondi

Entrambi 5 volte.

X Valentino 2 volte, Paolo 3 volte.

49 56

Valentino e Paolo partono assieme dall’inizio di una pista ciclabile e la percorrono più volte, tornando ogni volta al punto di partenza. Per percorrere la pista una volta, Valentino impiega 18 minuti, mentre Paolo ne impiega 12. a. Dopo quanto tempo si ritroveranno insieme al punto di partenza? 36 minuti b. Quante volte ognuno di loro avrà percorso la pista ciclabile?

X 120

Le cicale del genere Magicicada vivono per molti anni sotto terra allo stato di ninfa, per poi sbucare tutte insieme in superficie, riprodursi nel giro di qualche mese e tornare a ripopolare il terreno. Una specie di Magicicada riemerge ogni 13 anni, un’altra ogni 17 anni. Se un anno le due specie di cicale sbucassero dal terreno contemporaneamente, dopo quanti anni si ripeterebbe questo fenomeno? 221

Quattro studenti si recano regolarmente a Pisa per seguire alcune lezioni all’università: Martina ogni 3 giorni, Lucia ogni 2 giorni, Jacopo ogni 5 giorni e Thomas ogni 4 giorni. Oggi si sono trovati tutti e quattro in pausa pranzo sotto la torre pendente. Tra quanti giorni potranno ripetere questo incontro? 60

265

IL LINGUAGGIO DELLA MATEMATICA 1

Quale parola è stata coperta sulla ricevuta del parcheggio?

Nel vassoio ci sono in tutto 20 biscotti, disposti su 4 file. Di quale vassoio stiamo parlando?

RICEVUTA PARCHEGGIO 05/12/2023 da: 8:00 a 12:15

8,50 € X

Somma

X Totale

Differenza

Resto

Sullo scontrino ci sono delle macchie che lo rendono in parte illeggibile. Quale valore corrisponde al resto? 1,80 5,00 X 3,20

Descrizione Prezzo (€)

*********** Spaghetti 500 g

0,95

Passata di pomodoro 250 g

0,85 1,80

----------CONTANTE

5,00

3,20

Osserva la promozione in figura. Per 40 € acquisti un paio di guanti del valore di 12,50 € e una sciarpa.

12,50 € Costano di più i guanti o la sciarpa? I guanti

47.449999999999

= 40 €

X La sciarpa

Hanno lo stesso prezzo 4

Dopo aver calcolato lo sconto su un maglione, un negoziante osserva il risultato ottenuto sulla calcolatrice. Come scriveresti il prezzo approssimato al valore che più gli si avvicina?

47,50 €

X 47,45 €

48,00 €

47,44 €

Associa a ogni operazione il simbolo corretto. Fai attenzione: a un’operazione possono essere associati più simboli. Addizione

: ⋅

Nel vaso della foto ci sono…

Sottrazione

−

X 3 file da 4 lattughe

Moltiplicazione

3 file da 12 lattughe X 4 file da 3 lattughe X 12 lattughe

+ Divisione

120

06/11/23 10:24

Le quattro operazioni | Unità 4

Associa a ogni operazione il nome del proprio risultato. Addizione

Differenza

11 Alberto ha preparato due pizze. Ogni pizza è stata divisa in 4 fette uguali e ogni fetta in altre due fette uguali. Quale disegno rappresenta la situazione? X

Sottrazione

Quoziente

Moltiplicazione

Somma

Divisione

Prodotto

Quale procedura reale è commutativa? Mettersi le calze e poi le scarpe. Sbucciare una banana e poi mangiarla Arare il terreno e seminare. X Mettere la bustina del tè in una tazza e poi versare l’acqua.

12 Leggi il dialogo e individua quanti anni ha Camilla. Ho 20 anni, mio zio Paolo ne ha il triplo.

Ho la metà degli anni di Paolo.

10 In quale situazione esegui la divisione 12 : 3? Tagli la torta in dodici parti uguali.

Sara X Distribuisci in parti uguali tutte le caramelle a tre bambini.

Camilla

10 X 30

13 Un autobus parte vuoto dal capolinea per iniziare la sua corsa. Quale situazione è assurda?

Tagli ciascun panino in 3 parti uguali.

Alla prima fermata salgono 5 persone e alla seconda altre 2. X Alla prima fermata salgono 2 persone e alla seconda ne scendono 5. Alla prima fermata salgono 3 persone e alla seconda ne scendono 2.

Fai a metà della tavoletta di cioccolato con un tuo amico.

Alla prima fermata salgono 6 persone e alla seconda ne scendono 6. Alla prima e alla seconda fermata nessuno sale sull’autobus. Alla prima fermata salgono 10 persone e alla seconda non scende nessuno.

121

06/11/23 10:24

ESERCIZI LEZIONE PER LEZIONE

1 1

I multipli Vai a p. 248 per la teoria

Completa la mappa. MULTIPLI

Ogni numero naturale n ha

12 è multiplo di 3 perché 12 = 3 ⋅ 4

insieme dei multipli M(n) M( 3 ) = {3 ⋅ 0, 3 ⋅ 1, 3 ⋅ 2, 3 ⋅ 3, ...}

Completa. a. I primi quattro multipli di 5 sono: 5 ⋅ 0 = 0 , 5 ⋅ 1 = 5 , 5 ⋅ 2 = 10 , 5 ⋅ 3 = 15 . b. Il primo multiplo di 5 è 0, il secondo multiplo di 5 è 5 , il terzo multiplo di 5 è 10 , il quarto multiplo di 5 è 15 . c. L’insieme dei multipli di 5 è M(5) = { 0 , 5 , 10 , 15, ...}.

11 2

infinito se n ≠ 0

0, 2, 4, 6, 8, 10 0, 6, 12, 18, 24, 30 0, 8, 16, 24, 32, 40 0, 10, 20, 30, 40, 50

12 0

0, 11, 22, 33, 44, 55

0, 0 ,0, 0, 0 ,0 0, 12, 24, 36, 48, 60 0, 15, 30, 45, 60, 75 0, 20, 40, 60, 80, 100

0, 25, 50, 75, 100, 125

Trovami! 3

Sono il terzo multiplo di 8. 32 40 1 16 0 48 8 24

13 1 Sono il quarto multiplo di 9. 45 27 0 1 90 36 18 9

Qual è il terzo multiplo di 4? 8

Qual è il secondo multiplo di 10? 10

Qual è il quarto multiplo di 3? 9

Qual è l’ottavo multiplo di 1? 7

Scrivi i primi sei multipli di ciascuno dei seguenti numeri. 10 3

0, 3, 6, 9, 12, 15 0, 7, 14, 21, 28, 35

266

0, 4, 8, 12, 16, 20 0, 5, 10, 15, 20, 25 0, 9, 18, 27, 36, 45

0, 1, 2, 3, 4, 5 0, 13, 26, 39, 52, 65 0, 30, 60, 90, 120, 150 0, 50, 100, 150, 200, 250 0, 64, 128, 192, 256, 320

14 Di quale numero puoi scrivere tutti i multipli? Perché? 0, il suo unico multiplo è 0, perché il prodotto

5 Qual è il primo multiplo di 17? 0 6

di qualunque numero per 0 è uguale a 0.

Completa le tabelle segnando con una crocetta se il numero a è multiplo di b. 15 b

a 3 5 10

3 X

X X

16 b

a 4 9 15

2 X

La divisibilità | Unità 6

17 Un fioraio ha nel suo negozio 5 dozzine di rose rosse. Quali delle seguenti affermazioni sono corrette?

22 I multipli di 6 compresi tra 40 e 70. 42, 48, 54, 60, 66

23 I multipli di 9 compresi tra 50 e 100.

X Il numero di rose nel negozio è un multiplo di 12.

54, 63, 72, 81, 90, 99

X Il numero di rose nel negozio è un multiplo di 5. Il numero di rose nel negozio non è un multiplo di 10. X Il numero di rose nel negozio è un multiplo di 6. 18 Un cuoco prepara 3 vassoi, come nella figura, tutti con lo stesso numero di tortellini. Quali affermazioni sono corrette, riguardo al numero complessivo di tortellini preparati? X È un multiplo di 42.

È un multiplo di 10.

24 I multipli di 15 compresi tra 50 e 160. 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150

Scrivi il numero coperto dalla macchia d’inchiostro. COMPETENZE

25 M(

) = {0, ..., 40, 60, 80, ...} 20

26 M(

) = {0, ..., ..., 126, 168, ...} 42

27 Nell’espressione letterale (31 + a) ⋅ 2, se si sostituisce a con un numero naturale qualsiasi, il risultato sarà: COMPETENZE

X È un multiplo di 3. X È un multiplo di 6.

sempre un numero multiplo di 31 sempre un numero multiplo di a X sempre un numero multiplo di 2 sempre un numero dispari

19 Spiega perché il prodotto tra due numeri è multiplo di ognuno di essi. COMPETENZE

28 Disponi tutte le tessere del domino in un’unica fila, in modo che due numeri affiancati siano multipli di uno stesso numero. Confrontati con i compagni per stabilire se sono possibili differenti soluzioni.V

I multipli di un numero si ottengono come prodotto

81 28

tra un numero naturale e il numero stesso.

6 45 2

7 33 1

Scrivi i multipli indicati. 20 I multipli di 4 compresi tra 10 e 30.

12, 16, 20, 24, 28

34 35

13 27

49 2 5

Soluzione non univoca; per esempio: 45|26 – 13|27

21 I multipli di 5 compresi tra 11 e 31.

81|28 – 8|15 – 3|44 – 33|17 – 34|35 – 5|14 – 49|25

15, 20, 25, 30

29 SFIDA FINALE Il numero vincente è dato dalla sequenza ordinata dei risultati di tutte le celle. Il secondo multiplo di 5.

Il primo multiplo di 8.

Il ventesimo multiplo di 1.

Numero vincente di 9 cifre:

I primi 3 multipli di 17, scritti uno di seguito all’altro. 0

267

ESERCIZI

LEZIONE PER LEZIONE

I divisori Vai a p. 250 per la teoria

30 Completa la mappa. DIVISORI

Ogni numero n ha

3 è divisore di 12 perché 12 : 3 = 4 con resto r = 0

insieme dei divisori D(n) D(12) = { 1 , 2 , 3 , 4, 6, 12}

31 Completa la tabella segnando con una crocetta se il numero a è divisore di b. b 2 6 16 a 2 3 4

X X

36 Qual è il più piccolo divisore di un qualsiasi numero? 1

38 Qual è il più grande divisore di 6? 6

Trova il divisore del numero indicato.

39 Qual è il numero che ha un solo divisore? 1

32 Prendi l’autobus con il divisore di 100.

Calcola il quoziente e il resto della divisione di ogni coppia di numeri. Stabilisci se il più piccolo dei due numeri è un divisore del più grande.

finito se n ≠ 0

37 Qual è il numero che ha infiniti divisori? 0

40 SVOLTO X 140 e 14

145 e 15

145 : 15 = 9 con resto 10 ≠ 0 → 15 non è divisore di 145 33 Quale numero è divisore di 99? 10 X 11

140 : 14 = 10 con resto 0 → 14 è divisore di 140, fai una crocetta sul quadratino corrispondente.

34 Quale numero è divisore di 111? X 3

35 Vero o falso? V a. Il numero 1 ha infiniti divisori. V b. Il numero 1 è divisore di ogni numero. X V c. Il numero 0 non ha divisori. d. Ogni numero maggiore di 0 ha infiniV ti divisori. e. Tutti i numeri naturali hanno almeno X V un divisore.

resto 6 X 135 e 15 9 resto 0 136 e 13 10

41 42

X 280 e 20 14 resto 0

X F F X F

resto 0 X 420 e 21 20 124 e 14 8 resto 12

resto 8 X 243 e 27 9 resto 0 170 e 18 9

X F

Scrivi l’insieme dei divisori dei seguenti numeri.

45 8

1, 2, 4, 8;

268

145 e 24 6 resto 1

1, 2, 5, 10;

1, 13;

1, 5, 25

La divisibilità | Unità 6

46 9

47 11

48 16

1, 3, 9; 1, 2, 7, 14;

1, 3, 5, 15;

59 Un numero si dice perfetto se è uguale alla somma di tutti i suoi divisori escluso se stesso, si dice abbondante se è minore di questa somma, difettivo se è maggiore. Scrivi accanto a ogni numero P se è perfetto, D se è difettivo, A se è abbondante. COMPETENZE

1, 2, 4, 5, 10, 20

1, 11; 1, 2, 3, 6, 9, 18; 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30; 1, 2, 4, 8, 16, 32 1, 2, 4, 8, 16; 1, 2, 11, 22; 10, 25, 50

49 19

1, 19;

1, 3, 7, 21;

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24; 1, 2, 5,

1, 3, 11, 33;

8 D

1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40

C 7

D 8

Sono il quarto divisore di 12. 2 0 4 1 12 3 24 6

) = {1, 2, 5, 10, 25,

54 D(

) = {1, 3, 7,

55 D(

) = {1, 2, 4, 8, 16,

36 A

49 D 51 D

21 14 5 3 63 24

28 84 0 9 14 55 12 1

62 INVALSI Quanti dei divisori di 75 sono anche multipli di 5? 3

Sono il sesto divisore di 30. 0 5 2 1 10 3 6 12 15

63 INVALSI L’insieme A contiene tutti i numeri che sono divisori di 30. L’insieme B contiene tutti i numeri che sono multipli di 5. Quanti sono gli elementi in comune all’insieme A e all’insieme B? COMPETENZE A 0 B 2 C 3 X D 4 E 6

Scrivi il numero coperto dalla macchia d’inchiostro. 53 D(

7 2

X E 9

Trovami! 51

28 P

In ciascun biglietto cerchia i divisori del numero in rosso e sottolinea i suoi multipli.

50 GIOCHI MATEMATICI Quanti divisori diversi fra loro (inclusi 1 e 100) ha il numero 100? A 3 B 6 (Kangourou)

15 D

} 50

64 NELLA REALTÀ Pierre De Coubertin è considerato il fondatore dei Giochi olimpici moderni.

} 21

Durante il Congresso internazionale di Parigi del 1894, De Coubertin suggerì di disputare i Giochi ogni quattro anni e che la sede fosse scelta di volta in volta dal Comitato Olimpico Internazionale (CIO) tra differenti città candidate. Sapendo che le Olimpiadi di Roma si sono svolte nel 1960, individua quali città hanno ospitato i Giochi olimpici, basandoti sul presunto anno di svolgimento riportato. COMPETENZE

} 32

56 Scrivi tutti i numeri compresi tra 20 e 37 che sono divisibili per 3. 21, 24, 27, 30, 33, 36 57 Scrivi tutti i numeri compresi tra 45 e 85 che sono divisibili per 7. 49, 56, 63, 70, 77, 84 58 Un numero di Harshad è un numero naturale divisibile per la somma delle proprie cifre. Quali dei seguenti numeri sono numeri di Harshad? COMPETENZE 10 12 14 15 18 20 21 22 24 25 27 30 32 34 36

Montréal 1976 X

Caracas 2001

Il Cairo 1975

Mosca 1980 X

Barcellona 1992 X

Manila 2006

New York 1966

Pechino 2008 X

Tokyo 1964 X

65 SFIDA FINALE Il numero vincente è dato dalla sequenza ordinata dei risultati di tutte le celle. I divisori di 3 scritti uno di seguito all’altro.

I divisori di 17 scritti uno di seguito all’altro.

Numero vincente di 13 cifre:

Il terzo divisore di 26. 1

I divisori di 26 scritti uno di seguito all’altro. 1

269

ESERCIZI

LEZIONE PER LEZIONE

I criteri di divisibilità Vai a p. 252 per la teoria

66 Completa la mappa.

CRITERI DI DIVISIBILITÀ

Divisibilità per 2 L’ultima cifra è 0, 2, 4, 6, 8. è 32 divisibile per 2. 85 non è divisibile per 2.

Divisibilità per 7 161 → 16 − 2 ∙ 1 = 14 è multiplo di 7 → 161 è divisibile per 7.

Divisibilità per 3

Divisibilità per 11

La somma delle cifre è un multiplo di 3. 43 non è divisibile per 3. è 57 divisibile per 3.

231 → (2 + 1) − 3 = 0 è multiplo di 11 → 231 è divisibile per 11.

Divisibilità per 5 L’ultima cifra è 0 o 5. è 65 divisibile per 5. 96 non è divisibile per 5.

Divisibilità per 10, 100, … Termina con 1, 2, … zeri. 45 non è divisibile per 10. è 450 divisibile per 10.

67 Un numero è divisibile per 2 quando:

72 Quando un numero è pari?

X la divisione tra il numero e 2 ha resto 0

Quando l’ultima cifra a destra è 1, 2, 4, 6 o 8.

la divisione tra il numero e 2 ha resto 1

Quando la somma delle sue cifre è 2, 4, 6 o 8.

la cifra delle decine è 0, 2, 4, 6, 8

X Quando l’ultima cifra a destra è 0, 2, 4, 6 o 8.

X la cifra delle unità è 0, 2, 4, 6, 8

Quando la prima cifra a sinistra è 1, 3, 5 o 7.

Sottolinea i numeri divisibili per 2. 68

7 49

11 35

99 101 86

70 137

172

103

169

180

136

101

106

71 151

143

157

158

152

195

174

155

270

18 6

73 Vero o falso? a. Un numero dispari può essere divisibile per 2. b. Un numero dispari non è divisibile per 2. c. Un numero pari è divisibile per 2. d. Un numero è divisibile per 2 solo quando è pari.

DISPARI

PARI

V X F X V F X V F X V F

La divisibilità | Unità 6

Inserisci una cifra sui puntini in modo da ottenere un numero divisibile per 2. Soluzioni non univoche; ogni cifra inserita deve essere 0, 2, 4, 6, o 8.

74 1

75 9

76 44

101

77 50

205

488

Inserisci una cifra al posto della macchia di inchiostro, in modo che il numero sia divisibile per 3.

Soluzioni non univoche; la somma delle cifre deve essere un multiplo di 3

85 3

86 4

31 49

X Quando la divisione tra il numero e 3 ha resto 0. Quando la sua ultima cifra è 3.

Se un numero è dispari allora è divisibile per 3. ROBERTO

Quando è pari. X Quando la somma delle sue cifre è un multiplo di 3. Sottolinea i numeri divisibili per 3. 79 SVOLTO b. 724

c. 799 776

Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è un multiplo di 3. a. 612 → 6 + 1 + 2 = 9 è multiplo di 3 → 612 è divisibile per 3. b. 724 → 7 + 2 + 4 = 13 non è multiplo di 3 → 724 non è divisibile per 3.

Se un numero non è dispari allora non può mai essere divisibile per 3.

RON

NADIRA

SOFIA

Se un numero è divisibile per 3 allora è dispari. Se un numero non è divisibile per 3 può essere dispari.

a. Chi ha ragione? Sofia b. Motiva la tua risposta usando degli esempi. Roberto: 7 dispari, ma non divisibile per 3; Nadira: 6 divisibile per 3, ma pari; Ron: 6 non dispari, ma divisibile per 3; Sofia: 7 non divisibile per 3 e dispari.

Sottolinea i numeri divisibili sia per 2 sia per 3.

c. Se necessario, puoi ripetere il procedimento di somma delle cifre.

89 42

799 776 → 7 + 9 + 9 + 7 + 7 + 6 = 45 → 4 + 5 = 9 è multiplo di 3 → 799 776 è divisibile per 3.

90 186

204

258

201

164

91 3055

1800

2898

3051

1969

15 33 8

81 17 9

23 41

31 18 30

88 Quattro ragazzi confrontano le loro idee sulla divisibilità per 3. COMPETENZE

78 Quando un numero è divisibile per 3?

a. 612

92 Qual è il più grande numero di due cifre divisibile per 2? 98 93 Qual è il più piccolo numero di tre cifre divisibile per 3?

82 426

910

1038

849

846

83 804

525

1120

543

740

94 Qual è il più piccolo numero di due cifre divisibile sia per 2 sia per 3? 12

84 855 947

867 528

766 955

3222

1111

95 Qual è il numero compreso tra 40 e 45 che è divisibile sia per 2 sia per 3? 42

102

271

ESERCIZI

LEZIONE PER LEZIONE

Inserisci una cifra sui puntini in modo da ottenere un numero divisibile per 2 e per 3. Soluzioni non univoche; sono indicati degli esempi. 67 2 45 6 96 8 4

Sottolinea i numeri contemporaneamente divisibili per 2, per 3 e per 5. Cerchia i numeri divisibili per 3 e per 5 ma non per 2. 107 435

500

463

489

510

540

469

423

581

432

108 5598

5468

3931

5994

3183

4472

5985

3342

6585

3330

11 4

27 6

12 6

97 9 0

51 0

55 2

66 6

70 2

91 2

98 9 4 2

3 72

32 4

1 32

9 21 0

1 14 0

99 145 1 1 0

11 3 11 2

12 2 7 0

a. 147

1 996 0 2

2 7231 0

328 1 1 0

Un numero è divisibile per 7 se la differenza tra il numero ottenuto eliminando la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità (o viceversa) è un multiplo di 7.

Sottolinea i numeri divisibili per 7. 109 SVOLTO

100 Quando un numero è divisibile per 5? X Quando la divisone tra il numero e 5 ha resto 0. X Quando l’ultima cifra a destra è 0 o 5.

b. 538 → 53 − 2 ⋅ 8 = 53 − 16 = 37 non è multiplo di 7 → 538 non è divisibile per 7.

Quando la somma delle sue cifre è un multiplo di 5.

c. Se necessario, puoi ripetere il procedimento. 2961 → 296 − 2 ⋅ 1 = 294 → 29 − 2 ⋅ 4 = 21 è multiplo di 7 → 2961 è divisibile per 7.

Sottolinea i numeri divisibili per 5. 102

8 35

110

7 49

103 279

553

210

550

294

770

753

720

509

565

104 2336

5232

2035

2375

2354

2410

2532

2543

1530

1800

Scrivi una cifra al posto di ogni macchia di inchiostro, in modo da ottenere un numero divisibile per 3 e per 5.

111

14 17

120

106 5 145

0; 5

240

0 3; 0

1; 0

1; 0 697 3; 5 1 02 12 7 Soluzioni non univoche; sono indicati degli esempi.

272

41 50 52 63 35 77

112 84

111

196

113 315

476

259

343

737

114 1150

7350

6055

1312

4921

115 Completa la tabella mettendo una crocetta nelle caselle opportune. Numero

105 42

c. 2961

a. 147 → 14 − 2 ⋅ 7 = 0 è multiplo di 7 → 147 è divisibile per 7.

Quando la divisione tra il numero e 0 ha resto 5.

101

b. 538

102 144 280 385 725

2 X X X

È divisibile per 3 5 X X X X X

X X

La divisibilità | Unità 6

Sottolinea i numeri divisibili per 11.

Sottolinea i numeri divisibili per 3 e per 10.

116 SVOLTO

125 40 30 320 195 150 240

2332 Un numero è divisibile per 11 se la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e la somma delle cifre di posto pari (o viceversa) è un multiplo di 11. 2332 → (3 + 2) − (2 + 3) = 0 è multiplo di 11 → 2332 è divisibile per 11. 117

14 110 77 68 33 41 111

133 156 165 143 101

307

2343

303

1045

120 4785

2035

2310

1811

2772

121 2013

1606

1144

1056

2057

210 770 1000 2079 2310 MATE

PER APPROFONDIRE

1710

1800

2500

6430

Altri criteri di divisibilità

Criterio di divisibilità per 4. Un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono 00 o un multiplo di 4.

È divisibile per 3 5 7 X X X X X X X X X X X

1200 → le ultime due cifre sono 00 → 1200 è divisibile per 4. 1416 → le ultime due cifre sono 16 → 1416 è divisibile per 4. Criterio di divisibilità per 9. Un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è un multiplo di 9. ESEMPIO

513 → 5 + 1 + 3 = 9 → 513 è divisibile per 9. Criterio di divisibilità per 25. Un numero è divisibile per 25 se le ultime due cifre sono 00 o un multiplo di 25.

122 Completa la tabella mettendo una crocetta nelle caselle opportune. 2 X X X

1350

ESEMPIO

118

119 1804

Numero

126 1305

11 X X X

STORIA

ESEMPIO

2700 → le ultime due cifre sono 00 → 1200 è divisibile per 25. 4275 → le ultime due cifre sono 75 → 4275 è divisibile per 25. Sottolinea i numeri divisibili per 4, cerchia i numeri divisibili per 9 e barra con una croce quelli divisibili per 25. 127 X 1300 X 9000 X 225 X 39 050

Nel settembre 1962 il matematico statunitense Martin Gardner ha spiegato e fatto conoscere i criteri di divisibilità a un vasto pubblico, parlandone nella sua rubrica Mathematical Games sulla rivista Scientific American.

X 924 000

16 101

X 315 000

128 Osserva il punteggio ottenuto lanciando i sei dadi nella foto e stabilisci se le affermazioni sono vere o false.

Sottolinea i numeri divisibili per 10. 123

35 18 40 15 120 5 60

124 105

100 98 70 124 30 55

V a. Il risultato è un numero pari. V b. Il risultato è un numero divisibile per 3. X c. Il risultato è un numero divisibile per 5. V V d. Il risultato è un numero divisibile per 7. X

X F F X F F

273

ESERCIZI

LEZIONE PER LEZIONE

129 Qual è il numero maggiore di 80 e minore di 90 divisibile per 2 e per 11? 88

131 I numeri che finiscono a destra con 0 sono sempre divisibili per: COMPETENZE 0

X 10

132 GIOCHI MATEMATICI Il risultato di 200013 – 2013 NON è divisibile per

130 Qual è il numero maggiore di 175 e minore di 200 divisibile per 2, per 3 e per 5? 180

A 2

B 3

X D 7

C 5

E 11

COMPETENZE

(Kangourou)

133 SFIDA FINALE Il numero vincente è dato dalla sequenza ordinata dei risultati di tutte le celle. Il più piccolo numero di due cifre divisibile per 2, 3 e 5.

Il più grande numero di tre cifre divisibile per 3.

Numero vincente di 11 cifre:

Il numero divisibile per 7 tra: 273 251 104 3

Il maggior numero di tre cifre divisibile per 11. 2

Numeri primi e composti Vai a p. 254 per la teoria

134 Completa la mappa. NUMERO NATURALE

In base al numero di divisori, può essere numero primo Ha solo due divisori. D(5) = {1, 5 }

→ 5 è un numero primo.

numero composto Ha più di due divisori, è diverso da 0. D(10) = {1, 2 , 5, 10} → 10 è un numero composto.

0 e 1 non sono né primi né composti

135 Individua l’affermazione vera. Un numero primo è divisibile solo per se stesso. X Un numero primo è divisibile solo per 1 e per se stesso. Un numero primo è divisibile solo per 1. Un numero primo non ha divisori.

274

Scrivi l’insieme dei divisori di ogni numero. In base agli elementi dell’insieme, barra la lettera P se il numero è primo o la lettera C se il numero è composto. 136 D(6) = { 1, 2, 3, 6 D(2) = {

1, 2

D(9) = {

1, 3, 9

} } }

P X C X P C P X C

La divisibilità | Unità 6

137 D(7) = {

} D(8) = { 1, 2, 4, 8 } 1, 13 } D(13) = {

X P C X P C

138 D(15) = { 1, 3, 5, 15 }

{0, 1, 2, 3, 4, 5} X B {2, 3, 5, 7, 11, 13}

P X C

(INVALSI, prova nazionale)

1, 7

D(17) = {

P X C

} D(21) = { 1, 3, 7, 21 }

P X C

X Lo 0 e l’1 sono numeri composti.

147 Qual è il più piccolo numero composto di due cifre? 10

Un numero composto è diverso da 0.

148 Qual è il più grande numero composto di due cifre? 99

Cerchia i numeri primi. 141

149 Qual è il più grande numero primo minore di 30?

10 7

14 4

142 Quale affermazione è corretta? 5 e 105 sono ambedue numeri primi. Non esistono numeri primi pari. X I numeri primi sono infiniti. Tutti i numeri primi sono dispari.

MATE

Rispondi ai quesiti.

146 Qual è il più piccolo numero primo dispari?

X Il numero 1 è un numero primo.

{2, 4, 6, 8, 10, 12} D {3, 5, 7, 9, 11, 13} C

145 Qual è il più piccolo numero primo? 2

X Lo 0 è un numero primo.

X P C

1, 17

139 Individua le affermazioni FALSE.

140

144 INVALSI Quale dei seguenti insiemi è composto solo da numeri primi?

STORIA

Il matematico greco Euclide (IV secolo a.C.- III secolo a.C.) dimostrò che i numeri primi sono infiniti nella sua opera Elementi, nel Libro IX alla Proposizione 20.

150 Qual è la somma dei primi nove numeri primi? 100

151 Qual è la somma dei primi cinque numeri composti? 37 152 Qual è il prodotto dei primi tre numeri primi? 30

153 Colora le parti del disegno come indicato. • Numeri divisibili per 2 in marrone. 8, 16 • Numeri divisibili per 3 in giallo. 9, 27 • Numeri divisibili per 5 in rosso. 25, 125 • Numeri divisibili per 7 in azzurro. 7; 49 • Numeri divisibili per 11 in viola. 121 • Numeri primi in verde. 17, 31, 29

143 INVALSI Individua quale sequenza riporta i primi 10 numeri primi. A 0, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 B 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 X C 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 D 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 21, 23, 29

275

ESERCIZI

LEZIONE PER LEZIONE Numeri parenti

159 Trova i 15 numeri primi palindromi di 3 cifre.

Lo sapevi che anche tra i numeri ci sono legami di parentela? Ci sono numeri gemelli e numeri cugini. Due numeri si dicono gemelli se sono primi e la loro differenza è uguale a 2. Due numeri si dicono cugini se sono primi e la loro differenza è uguale a 4.

101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383,

PER APPROFONDIRE

727, 757, 787, 797, 919, 929

160 Il numero composto 22 è il più piccolo numero che può essere espresso come somma di due primi in tre modi diversi (senza contare l’ordine degli addendi). Trova i tre modi. COMPETENZE

154 Sottolinea la coppia di numeri gemelli e cerchia la coppia di numeri cugini. 8 6

7 5

3 7

4 8

3 + 19; 11 + 11; 5 + 17

17 15

161 La somma di due numeri primi è 74. Individua il prodotto dei due numeri primi con questa caratteristica. COMPETENZE 3; 71

155 Scrivi altre tre coppie di numeri cugini e altre tre coppie di numeri gemelli. Soluzione non

133

univoca; per esempio numeri cugini 7 e 11, 13 e 17,

143

X 213

134

19 e 23; numeri gemelli 3 e 5, 11 e 13, 17 e 19. CURIOSITÀ

MATE

156 Scoppia, apponendo una croce, i palloncini che riportano un numero primo. Utilizza le tavole dei numeri primi riportate in fondo al testo.

La congettura di Goldbach afferma che ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi, anche uguali. Si pensa che questa proprietà sia vera ma nessun matematico è ancora riuscito a dimostrare che vale per tutti gli infiniti numeri primi!

162 È possibile realizzare un quadrato magico 3 × 3 usando il numero 1 e i numeri primi 7, 13, 31, 37, 43, 61, 67 e 73. Questo quadrato ha la minor costante possibile tra i quadrati magici primi e venne scoperto dal matematico britannico Dudeney. Calcola la costante magica e completa il quaCOMPETENZE drato. Costante magica 111.

Rispondi ai quesiti consultando le tavole dei numeCOMPETENZE ri primi. 157 Scrivi tutti i numeri primi compresi tra 100 e 150. Quanti sono?

101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149; dieci

158 Ci sono 7 numeri primi minori di 77 che hanno un 7 tra le proprie cifre. Quali sono? 7, 17, 37, 47, 67, 71, 73

163 SFIDA FINALE Il numero vincente è dato dalla sequenza ordinata dei risultati di tutte le celle. Il numero primo tra i numeri: 111, 113, 115, 117.

Numero vincente di 12 cifre:

276

Il minore numero composto a tre cifre tutte diverse tra loro.

Il numero primo più vicino a 40. 1

Il più piccolo numero primo di quattro cifre (utilizza le tavole). 0

La divisibilità | Unità 6

La scomposizione in fattori primi

in preparazione

Vai a p. 256 per la teoria

ESERCIZI SVOLTI ONLINE

164 Completa la mappa. SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI (o FATTORIZZAZIONE) procedimento

Scrittura di un numero composto come prodotto di soli numeri primi. 12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 22 ⋅ 3

60 30 15 5 1

2 2 3 5

60 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = = 22 ⋅ 3 ⋅ 5

Teorema fondamentale dell’algebra La scomposizione in fattori primi di un numero composto è unica ; la sola cosa che può cambiare è l’ordine con cui scriviamo i fattori. 12 = 3 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2 ⋅ 3 ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 22 ⋅ 3

165 Vero o falso? a. La scomposizione in fattori primi X V di 30 è 2 ⋅ 3 ⋅ 5. b. La scomposizione in fattori primi di 30 è 15 ⋅ 2 perché 2 è un numero primo. V c. 12 = 2 ⋅ 6 e 12 = 4 ⋅ 3, quindi 12 ha due distinte scomposizioni in fattori primi. V d. La fattorizzazione di 21 è 7 ⋅ 3 o anche 3 ⋅ 7, non importa l’ordine con cui X V scriviamo i fattori.

Scrivi il numero che corrisponde alle fattorizzazioni. F

169 22 ⋅ 3 ⋅ 5 60 22 ⋅ 52 ⋅ 13 1300

2 ⋅ 7 ⋅ 52 350 23 ⋅ 52 ⋅ 11 2200

X F

170 32 ⋅ 5 ⋅ 7 315 23 ⋅ 52 ⋅ 17 3400

22 ⋅ 32 ⋅ 17 612 2 ⋅ 5 ⋅ 112 1210

171 22 ⋅ 32 ⋅ 11 396 3 ⋅ 5 ⋅ 29 435

2 ⋅ 5 ⋅ 23 230 23 ⋅ 7 ⋅ 11 616

X F

166 Leggi la scomposizione in fattori primi e raccogli la carota con il numero corrispondente. 32 ⋅ 22

3 ⋅ 5 ⋅ 7

2 ⋅ 3 ⋅ 52 X 53

167 Quale numero corrisponde alla scomposizione in fattori primi 23 ⋅ 32? X 72

172 Qual è la scomposizione in fattori primi di 125?

173 Indossa la sciarpa con la scomposizione in fattori primi di 350.

3⋅5⋅7 22 ⋅ 52 ⋅ 72 4

168 Quale numero corrisponde alla scomposizione in fattori primi 32 ⋅ 52? 60

2 ⋅ 52 ⋅ 7

125 X 225

277

ESERCIZI

LEZIONE PER LEZIONE

Completa le seguenti fattorizzazioni scrivendo i numeri che sono stati coperti dalle macchie d’inchiostro. 174

240 120

15 5

720

2 360

180 45

2⋅5

260

144

162

245

2 · 34

5 · 72

Puoi consultare le tavole dei numeri primi presenti in fondo al libro di testo.

3 184 SVOLTO ONLINE

2⋅5

168 23 · 3 · 7

24 · 32

309

2960

175

3 · 103

2 · 5 · 37

52 · 7

120

188

180

2 ·3·5

2 · 47

22 · 32 · 5

808

195

930

2 · 101

3 · 5 · 13

2 · 3 · 5 · 31

250

120 23 · 3 · 5

125

175

60 22 · 3 · 5

23 · 32

183 72

185 110 2 · 5 · 11

810

270

400

990

2 · 34 · 5

2 · 33 · 5

24 · 52

2 · 32 · 5 · 11

1 186 630 2 · 32 · 5 · 7

176 Qual è la scomposizione in fattori primi di 77?

240

625

750

24 · 3 · 5

2 · 3 · 53

138

570

574

999

2 · 3 · 23

2 · 3 · 5 · 19

2 · 7 · 41

33 · 37

7 · 11

187 266

177 Qual è la scomposizione in fattori primi di 117? 32 · 13

2 · 7 · 19

178 Qual è la scomposizione in fattori primi di 440? 23 · 5 · 11

23 · 32 · 13

363

462

3 · 112

2 · 3 · 7 · 11

765

805

612

561

32 · 5 · 17

5 · 7 · 23

22 · 32 · 17

3 · 11 · 17

188 1056 25 · 3 · 11

179 Qual è la scomposizione in fattori primi di 936?

315 32 · 5 · 7

1690

3630

2024

2 · 5 · 132

2 · 3 · 5 · 112

23 · 11 · 23

1044

2016

2220

1488

22 · 32 · 29

25 · 32 · 7

22 · 3 · 5 · 37

24 · 3 · 31

189 SVOLTO 140 000 Scomponi in fattori primi i seguenti numeri.

divisibile per 10 000 fattorizzazione di 10 000

180 SVOLTO ONLINE 1260 2 · 3 · 5 · 7 2

181 44 22 · 11

2 · 13

22 · 32

24 · 5

32 · 11

2 · 52

128

23 · 7

23 · 11

182 66 2 · 3 · 11

278

2 · 43

2·5·7

2 · 32 · 5

22 · 3 · 7

140 000 24 ⋅ 54 14 2 7 7 1 190 500 22 · 53

191 44 000

140 000 = 25 ⋅ 54 ⋅ 7

600

3000

1200

9000

23 · 3 · 52

23 · 3 · 53

24 · 3 · 52

23 · 32 · 53

25 000

14 400

22 000

23 · 55

26 · 32 · 52 24 · 53 · 11

14 000

25 · 53 · 11 24 · 53 · 7

La divisibilità | Unità 6

192 120 000 210 000 350 000 360 000 125 000 26 · 3 · 54 MATE

24 · 3 · 54 · 7 24 · 55 · 7

26 · 32 · 54 23 · 56

STORIA

Il sistema di crittografia a chiave pubblica RSA, che prende il nome dalle iniziali dei matematici Rivest, Shamir e Adleman che lo inventarono nel 1977, si basa proprio sulla difficoltà di fattorizzare numeri molto grandi.

Nelle seguenti fattorizzazioni ci sono degli errori. Trovali e correggili. 193

194 464 2 232 2 116126 2 58 63 2 29 21 3 1 7 7

408 2 204 2 102 2 51 51 3 1 17 17 1

408 = 23 ⋅ 51 3 · 17

Completa i grafi ad albero in modo da ottenere la scomposizione dei numeri dati. 197 SVOLTO Per scomporre in fattori primi un numero composto possiamo usare un grafo. Nel grafo in figura, ogni coppia di numeri sullo stesso livello dà come prodotto il numero soprastante e ogni ramo termina in corrispondenza di un numero primo. Osserviamo che 495 è divisibile per 5 e 495 : 5 = 99. Scriviamo il divisore primo 5 e il quoziente 99 sullo stesso livello del grafo, sotto 495, come in figura. Applichiamo lo stesso procedimento partendo da 99, fino a trovare come quoziente un numero primo. 495

495

495 = 32 ⋅ 5 ⋅ 11

464 = 24 ⋅ 3 ⋅ 7 29

198255 =255 = 255 =

39 = 13 ⋅ 3 13 ⋅ 3 2

6 2

150 = 2 ⋅ 32 ⋅ 5 2 ⋅ 3 ⋅ 52

5 5

7 7

539 =539 =72 · 11 539 =

546 =546 = 546 = 2 · 3 · 7 · 13 6 91 91 6 91

144 = 2 ⋅ 3 2 ⋅ 3 4

3 · 5 · 17

85 85

45 = 2 ⋅ 32 32 ⋅ 5 2

Indica le fattorizzazioni corrette. Per quelle errate, scrivi la scomposizione corretta.

3 85

195

77 77 11

330 =330 = 330 = 2 · 3 · 5 · 11 33 33 10 33 52 2

5 5

X 2500 = 22 ⋅ 54 X 3740 = 22 ⋅ 5 ⋅ 11 ⋅ 17 196 X 36 = 22 ⋅ 32

199 288 288 == 2 2 144 144

378 = 2 ⋅ 32 ⋅ 7 2 ⋅ 33 ⋅ 7

2 2 26

2 2 3636

X 20 = 22 ⋅ 5

2 1818

X 78 = 2 ⋅ 3 ⋅ 13

175 = 2 ⋅ 5 ⋅ 7 52 ⋅ 7 STORIA

Un numero di Fermat è un numero naturale esprin mibile come 22 + 1. Fermat credeva, erroneamente, che tutti i numeri di questa forma fossero 5 primi. Nel 1732 Eulero dimostrò che 22 + 1 non è primo ma è dato da 232 + 1 = 641⋅ 6 700 417

23 · 13

5252

82 = 2 ⋅ 33 2 ⋅ 41

MATE

104 104 ==

25 · 32

200 Scomponi in fattori primi i seguenti numeri, usando i grafi ad albero. 60

210

140

380

22 · 3 · 5

2·3·5·7

22 · 5 · 7

22 · 5 · 19

372

440

117

935

2 · 3 · 31

2 · 5 · 11

3 · 13

5 · 11 · 17

279

ESERCIZI

LEZIONE PER LEZIONE

Esegui le seguenti divisioni come nell’esercizio svolto. 201 SVOLTO 729 : 81 Scomponiamo in fattori primi le due basi.

COMPETENZE

202 645 : 167

6255 : 259

[4; 25]

729 = 36 e 81 = 34

203 24013 : 496

5129 : 3216

[1; 2]

Sostituiamo le potenze trovate nell’espressione iniziale e applichiamo le proprietà delle potenze.

204 2434 : 98

13313 : 1214

[81; 11]

7295 : 817 = (36 )5 : (34 )7 = = 330 : 328 = 330 − 28 = 32 = 9

205 40963 : 645

77762 : 2163

[64; 6]

PER APPROFONDIRE

Il criterio generale di divisibilità

Attraverso la scomposizione in fattori primi è possibile stabilire se un numero è divisibile per un altro e determinare il quoziente di due numeri divisibili, grazie al criterio generale di divisibilità. Criterio generale di divisibilità. Un numero è divisibile per un altro numero se nella scomposizione del primo numero compaiono almeno tutti i fattori che compaiono nella fattorizzazione del secondo, con esponente maggiore o uguale. Il quoziente di due numeri divisibili è dato dal prodotto di tutti i fattori primi del dividendo, ciascuno elevato alla differenza tra l’esponente con cui compare nel dividendo e nel divisore. ESEMPIO

Verifichiamo che 19 404 è divisibile per 294, poi calcoliamo il quoziente tra i due numeri. 19 404 = 22 ⋅ 32 ⋅ 72 ⋅ 11 294 = 2 ⋅ 3 ⋅ 72 = 21 ⋅ 31 ⋅ 72 19 404 : 294= = ( 22 ⋅ 32 ⋅ 72 ⋅ 11) : ( 21 ⋅ 31 ⋅ 72 ) = = 22 – 1 ⋅ 32 – 1 ⋅ 72 – 2 ⋅ 11 = 2 ⋅ 3 ⋅ 1 ⋅ 11 = 66 Utilizza il criterio generale di divisibilità per stabilire in quali coppie di numeri il maggiore è divisibile per il minore.

Utilizza il criterio generale di divisibilità per trovare il risultato delle seguenti operazioni. 209 (25 ⋅ 34) : (24 ⋅ 33)

[6]

210 (73 ⋅ 52 ⋅ 11) : (72 ⋅ 52)

[77]

206 X 36 e 12

X 60 e 12

X 225 e 15

625 e 16

207 X 252 e 21

X 510 e 34

X 1350 e 27

X 1232 e 14

X 1188 e 54

1340 e 48

211 528 : 22

735 : 35

[24; 21]

208 X 7952 e 14

X 4656 e 12

212 1875 : 125

5292 : 36

[15; 147]

X 3690 e 82

X 1440 e 72

2744 e 63

1053 e 64

213 5950 : 350

2496 : 48

[17; 52]

Esegui le seguenti divisioni utilizzando il criterio generale di divisibilità.

214 SFIDA FINALE Il numero vincente è dato dalla sequenza ordinata dei risultati di tutte le celle. L’esponente della base 2 della scomposizione in fattori primi di 14 400.

Il numero che corrisponde alla fattorizzazione di 22 ⋅ 33 ⋅ 72. Numero vincente di 6 cifre:

280

L’esponente della base 5 della scomposizione in fattori primi di 500 000. 6

La divisibilità | Unità 6

Il Massimo Comun Divisore Vai a p. 258 per la teoria

215 Completa la mappa. MASSIMO COMUNE DIVISORE (M.C.D.)

con la rappresentazione grafica D(24)

Si può calcolare

È il più grande dei divisori comuni a due o più numeri, diversi da 0.

D(15)

24 6

2 12

1 3

M.C.D.(24, 15) = 3

Caso particolare

con la scomposizione in fattori primi 24 = 23 ∙ 3 15 = 3 ∙ 5 M.C.D.(24, 15) = 3

numeri primi tra loro Il loro M.C.D. è uguale a 1. 14 e 25 sono primi tra loro, infatti M.C.D.(14, 25) = 1

216 Individua l’affermazione corretta. Il M.C.D. è il più grande tra i multipli comuni a due numeri. X Il M.C.D. tra 6 e 8 è 2, perché 2 è il più grande divisore comune a 6 e 8. Il M.C.D. tra 10 e 20 è 2 perché 2 è un divisore comune a 10 e a 20.

Trova i divisori dei numeri di ciascuna coppia e, usando la rappresentazione grafica, trova il M.C.D. 219 SVOLTO 8 e 6 Rappresentiamo l’insieme dei divisori di 8 e quello dei divisori di 6. D(8) D(6) 4

Il M.C.D. tra 10 e 15 è 15, perché 15 è più grande di 10. Completa ciascuna rappresentazione grafica e cerchia il M.C.D. 217

D(7)

D(21) 1 3

218

3 6 12

1 8 16

Il M.C.D. è il più grande divisore comune, quindi M.C.D.(8, 6) = 2. 220 15 e 12 14 e 8

40 e 35

6 e 18

221 20 e 36 22 e 18

39 e 26

15 e 25 [4; 2; 13; 5]

222 15, 21 e 24

30, 25 e 15

[3; 5]

12, 48 e 60

70, 14 e 28

[12; 14]

[3; 2; 5; 6]

D(16)

D(12)

1 2

Trova il numero coperto dalla macchia d’inchiostro. 223 M.C.D.(20, 4) = 224 M.C.D.(18, 13) =

4 1

281

ESERCIZI

LEZIONE PER LEZIONE

Calcola il M.C.D. dei numeri indicati con il metodo della scomposizione. 225 SVOLTO M.C.D. (42, 140) Scomponiamo in fattori primi i due numeri: 42 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7

140 = 22 ⋅ 5 ⋅ 7

Il M.C.D. è dato dal prodotto dei fattori comuni, presi una volta sola, con il minimo esponente con cui compaiono.

243 M.C.D.(486, 729, 891, 1215) M.C.D.(308, 364, 420, 504)

[81] [28]

244 M.C.D.(1890, 2160, 3150, 1710) M.C.D.(1440, 3072, 4704, 9736)

[90] [8]

245 Completa la tabella.

M.C.D. (42, 140) = 2 ⋅ 7 = 14 226 M.C.D.(26, 28)

M.C.D.(24, 45)

[2; 3]

M.C.D.(a, b)

a e b sono primi tra loro?

5 15 9 7 12

8 35 32 11 14

sì

227 M.C.D.(27, 36)

M.C.D.(54, 36)

[9; 18]

228 M.C.D.(28, 63)

M.C.D.(50, 39)

[7; 1]

229 M.C.D.(72, 27)

M.C.D.(24, 80)

[9; 8]

230 M.C.D.(60, 40)

M.C.D.(56, 42)

[20; 14]

231 M.C.D.(70, 80)

M.C.D.(81, 99)

[10;9]

X Il numero di fette di pane è un multiplo del numero di fette di prosciutto.

232 M.C.D.(120, 132)

M.C.D.(26, 52)

[12; 26]

Il numero di fette di prosciutto è un divisore del numero di fette di formaggio.

233 M.C.D.(150, 75)

M.C.D.(98, 154)

[75; 14]

234 M.C.D.(24, 56, 78)

M.C.D.(44, 88, 132) [2; 44]

X Il numero di fette di pane e il numero di fette di formaggio sono primi fra loro.

235 M.C.D.(14, 35, 21)

M.C.D.(99, 72, 27)

[7; 9]

236 M.C.D.(42, 45, 21)

M.C.D.(40, 28, 32)

[3; 4]

246 NELLA REALTÀ Quattro amici comprano il necessario per fare i toast. Ogni toast è composto da una fetta di formaggio, una di prosciutto e due fette di pane. Preparando 8 toast finiscono le fette di pane e di prosciutto, ma restano 7 fette di formaggio. Quali delle seguenti affermazioni sono vere? COMPETENZE

Rispondi ai quesiti. 237 M.C.D.(70, 100, 280) M.C.D.(108, 120, 200) [10; 4] 238 M.C.D.(152, 120, 176) M.C.D.(315, 360, 900)

[8] [45]

239 M.C.D.(630, 504, 560) M.C.D.(240, 800, 560)

[14] [80]

240 M.C.D.(648, 792, 1008) M.C.D.(690, 966, 1104)

[72] [138]

241 M.C.D.(456, 627, 1140) M.C.D.(408, 1360, 3570)

[57] [34]

242 M.C.D.(380, 552, 594, 632) M.C.D.(672, 528, 588, 468)

[2] [12]

282

247 Qual è il M.C.D. tra due numeri primi? 1 248 Qual è il M.C.D. tra il prodotto di due numeri primi minori di 10 e il prodotto di due numeri primi maggiori di 10? 1 249 Qual è il M.C.D. tra un numero e un suo multiplo diverso da 0? Il numero minore Per rispondere alla domanda prova a considerare alcuni esempi, come M.C.D.(5, 15), M.C.D.(12, 36), … 250 Qual è il M.C.D. tra due numeri pari minori di 8? 2

COMPETENZE

La divisibilità | Unità 6

Indica quali affermazioni sono corrette.

COMPETENZE

251 X Esiste sempre il M.C.D. di due o più numeri naturali diversi da 0. Il M.C.D. di due numeri coincide sempre con il numero minore. Il M.C.D. di due o più numeri è sempre minore di ciascuno di essi. X Il M.C.D. di due o più numeri può essere uguale al minore di essi.

252

Se M.C.D. (a, b) = a allora il numero a è multiplo di b. Se M.C.D. (a, b) = 1 allora i numeri a e b sono numeri primi. X Se M.C.D. (a, b) = b allora il numero b è un divisore di a. X Ogni divisore comune di due numeri a e b è divisore di M.C.D. (a, b)

253 SFIDA FINALE Il numero vincente è dato dalla sequenza ordinata dei risultati di tutte le celle. Il M.C.D. tra 36 e 90.

Il M.C.D. tra 760 e 456. Numero vincente di 7 cifre:

Il M.C.D. tra 2112 e 3080. 1

Problemi con il M.C.D. in preparazione

Vai a p. 260 per la teoria

ESERCIZI SVOLTI ONLINE

PROBLEMI CON METODO Rispondi ai quesiti per risolvere il seguente problema. Una sarta ha a disposizione tre pezze di stoffa lunghe 18 m, 48 m e 72 m. Se vuole tagliarle in parti tutte uguali e della massima lunghezza possibile, quanto sarà lunga ciascuna parte? COMPRENSIONE DEL TESTO

254 Leggi il testo del problema e rispondi alle domande. a. Quanto è lunga la pezza di maggiori dimensioni? A 3 C 48 m X B 72 cm D 72 m b. Quante pezze di stoffa possiede la sarta? A 3 m X B 3 C 18 m D 18 c. I pezzi che vuole ottenere devono essere tutti della stessa lunghezza? X A Sì B No

PROCEDIMENTO

255 Quale procedimento consente di risolvere il problema? A M.C.D.(3, 18, 48, 72) X B M.C.D.(18, 48, 72) C (18 + 48 + 72) : 3 D M.C.D.(18, 48) CALCOLO

256 Quanto sarà lungo ciascun pezzo di stoffa? A 2m

B 3m

X C 6m

D 18 m

Puoi guardare la soluzione online di ogni esercizio per correggere eventuali errori.

283

ESERCIZI

LEZIONE PER LEZIONE

Risolvi i problemi. 257 SVOLTO Un fioraio ha 24 rose, 60 tulipani e 84 camelie. Se vuole comporre il maggior numero di mazzetti in modo che ciascun mazzetto contenga lo stesso numero di rose, tulipani e camelie, quanti mazzetti potrà realizzare? Quale sarà la composizione di ciascun mazzetto? Se in ogni mazzetto ci deve essere la stessa quantità di fiori di ogni tipo, il numero dei mazzetti deve essere un divisore sia di 24, sia di 60, sia di 84. Poiché vogliamo che il numero dei mazzetti sia massimo, bisogna calcolare M.C.D. (24, 60, 84). 24 = 23 ⋅ 3 60 = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 84 = 22 ⋅ 3 ⋅ 7

262 Si vogliono dividere tre scampoli di stoffa lunghi 24 m, 36 m e 54 m nel minor numero di parti uguali. Quale sarà la misura di ciascuna parte? [6 m] Se il numero di parti uguali deve essere il minimo possibile, la misura di ogni parte sarà la massima possibile.

263 Un apicoltore ha tre tipologie differenti di miele che pesano 35 kg, 49 kg e 56 kg. Vuole riempire confezioni tutte uguali della massima capacità possibile, in modo da non mescolare tipi diversi di miele. Quanti kg di miele conterrà ciascun barattolo e quanti barattoli gli serviranno? [7 kg; 20 barattoli]

M.C.D.(24, 60, 84) = 22 ⋅ 3 = 12 Il fioraio potrà comporre 12 mazzetti e in ciascuno ci saranno 24 : 12 = 2 rose

60 : 12 = 5 tulipani

84 : 12 = 7 camelie

258 Un fioraio ha a disposizione 54 rose e 72 margherite. Se vuole confezionare mazzetti tutti uguali, qual è il numero massimo di mazzetti che può preparare? Quante rose e quante margherite conterrà ciascun mazzetto? [18; 3; 4] 259 Un pasticcere ha a disposizione 15 colombe pasquali, 10 uova di Pasqua e 20 cioccolatini e vuole preparare il massimo numero di cestini tutti uguali. Quanti cestini riesce a preparare e quanti prodotti per ogni tipo contiene ciascuna confezione? [5; 3, 2, 4] 260 Per una festa si hanno a disposizione 250 caramelle, 150 cioccolatini e 50 confetti, da suddividere in pacchetti che contengano tutti lo stesso numero di ogni tipo di dolce. Quanti pacchetti al massimo si possono confezionare? Quanti dolci di ogni tipo contiene ciascuna confezione? [50; 5, 3, 1] 261 Un fruttivendolo vuole confezionare dei cestini uguali con lo stesso numero di frutti di tre qualità diverse. Se ha a disposizione 80 pesche, 20 mele e 40 kiwi, qual è il numero massimo di cestini che può confezionare? Quante pesche, mele e kiwi contiene ogni cestino? [20; 4, 1, 2]

284

264 Pierpaolo ha la passione per la fotografia. Ha 84 fotografie di paesaggi, 72 fotografie di persone e 24 fotografie di monumenti italiani. Vuole disporle nel maggior numero di raccoglitori possibile, in modo che questi abbiano lo stesso numero di fotografie per ogni soggetto. Quanti raccoglitori potrà preparare e quante fotografie di ciascun tipo ci saranno in ciascun raccoglitore? [12; 7, 6, 2] 265 Un volontario deve suddividere in pacchi tutti uguali 144 giocattoli da devolvere in beneficenza. Ha a disposizione 60 orsetti, 48 trenini e 36 giochi di scacchi. Quanti pacchi può preparare al massimo e quale sarà il loro contenuto? [12; 5, 4, 3] 266 Per il suo compleanno Stella acquista 48 pizzette, 60 dolcetti e 72 cioccolatini. Qual è il numero massimo di piatti che riesce a comporre, in modo che ciascuno contenga lo stesso numero di pizzette, dolcetti e cioccolatini? Quale sarà il contenuto di ogni piatto? I piatti saranno sufficienti per 11 persone? [12; 4, 5, 6; Sì]

La divisibilità | Unità 6

267 SVOLTO ONLINE Una casa editrice desidera pubblicare tre romanzi rispettivamente di 308, 198 e 220 pagine in fascicoli settimanali. Tutti i fascicoli, indipendentemente dal romanzo pubblicato, devono avere lo stesso numero di pagine che deve essere il massimo possibile. Da quante pagine deve essere formato ciascun fascicolo? In quanti fascicoli sarà pubblicato ciascun romanzo? [22; 14, 9, 10] 268 Per una festa a scuola si hanno a disposizione tre nastri lunghi rispettivamente, 108 cm, 144 cm e 180 cm. Si devono tagliare in parti uguali in modo da ottenere il minor numero possibile di pezzi. Quanto sarà lungo ogni pezzo e quanti pezzi si otterranno da ciascun nastro? [36 cm; 3, 4, 5] 269 Un magazziniere deve spedire 432 bottiglie di vino e 360 bottiglie di acqua confezionate in casse di solo vino o sola acqua, ciascuna contenente lo stesso numero di bottiglie. Qual è il minimo numero di casse necessarie? [11] 270 Un caseificio ha prodotto 5880 mozzarelle di latte di bufala e 6300 mozzarelle di latte vaccino. Intende preparare per i negozi delle confezioni con entrambi i formaggi in modo che ciascuna contenga lo stesso numero di mozzarelle della medesima qualità. Qual è il numero massimo di confezioni che possono essere preparate? Quante mozzarelle di bufala conterrà ogni confezione? [420; 14] Puoi utilizzare la calcolatrice.

271 NELLA REALTÀ In un’industria dolciaria che assembla scatole di cioccolatini in catena di montaggio, un operaio ha a disposizione 9525 cioccolatini al latte, un altro 5080 ripieni al caffè e una terza operaia ha 7620 cioccolatini fondenti. Devono realizzare il massimo numero di scatole possibili, facendo in modo che esse siano tutte uguali e contengano ciascuna tutti e tre i tipi di cioccolatini. Quanti cioccolatini al caffè dovrà inserire in ogni scatola il secondo operaio? [8] 272 GIOCHI MATEMATICI Ogni mese un grossista spedisce a un negoziante 24 litri, 32 litri e 40 litri di tre varietà diverse di vino utilizzando il minimo numero possibile di recipienti tutti uguali e completamente riempiti, ovviamente senza mescolare qualità diverse di vino nello stesso recipiente. Quanti recipienti riceverà il negoziante in un anno? A 36

B 72

X C 144

D 288

E I dati sono insufficienti (Giochi di Archimede)

273 SFIDA FINALE Il numero vincente è dato dalla sequenza ordinata dei risultati di tutte le celle. In un negozio di dolci ci sono 650 caramelle gommose, 585 caramelle al miele e 520 caramelle alla liquirizia. Qual è il massimo numero di sacchetti tutti uguali che potranno essere preparati, ognuno contenente tutti e tre i tipi di caramelle?

In un ufficio postale sono presenti 6300 buste, 1260 francobolli e 700 marche da bollo. Qual è il maggior numero di pacchetti di uguale composizione che si possono preparare utilizzando tutte le buste, i francobolli e le marche da bollo?

Un ferramenta ha a disposizione 816 viti e 510 bulloni. Vuole confezionare con questi prodotti il maggior numero di sacchetti di uguale composizione. Quanti sacchetti potrà preparare? Numero vincente di 8 cifre:

285

ESERCIZI

LEZIONE PER LEZIONE

Il minimo comune multiplo Vai a p. 262 per la teoria

274 Completa la mappa. MINIMO COMUNE MULTIPLO (m.c.m.) È il più piccolo dei multipli comuni a due o più numeri, diversi da 0, escluso lo 0.

con la rappresentazione grafica M(45)

M(18)

Si può calcolare

54 18

0 90

...

Caso particolare

m.c.m.(18, 45) = 90 numeri primi tra loro Il loro m.c.m. è dato dal prodotto dei numeri. 4 e 15 sono primi tra loro, m.c.m.(4, 15) = 4 ⋅ 15 = 60

275 Individua l’affermazione corretta. Il m.c.m. è il più grande tra i multipli comuni a due numeri. X Il m.c.m. tra 2 e 3 è 6 perché 6 è il più piccolo multiplo comune a 2 e 3, diverso da 0. Il m.c.m. tra due numeri può essere uguale a 0.

con la scomposizione in fattori primi 18 = 2 ∙ 32 45 = 32 ∙ 5 m.c.m.(18, 45) = 2 ∙ 32 ∙ 5 = 90

Trova alcuni multipli dei numeri di ciascuna coppia e, usando la rappresentazione grafica, trova il m.c.m. 278 SVOLTO 4 e 6 Rappresentiamo l’insieme dei multipli di 4 e quello dei multipli di 6.

4 Scrivi nella rappresentazione grafica alcuni multipli dei numeri e cerchia il m.c.m. 276

M(5)

M(8)

...

0 ...

... 32

24 12 30 36 ... ...

18 42

10 30

...

Il m.c.m. è il più piccolo multiplo comune diverso da 0, quindi m.c.m.(4, 6) = 12.

M(6)

M(4)

Il m.c.m. tra 2 e 4 è 8, perché 8 è un multiplo comune a 2 e 4.

279 6 e 8

5 e 12

12 e 21 15 e 25 [24; 60; 84; 75]

280 14 e 35 18 e 45 12 e 32 21 e 15 [70; 90; 96; 105] 277 3

...

9 12

286

M(3)

M(7)

15 18

...

21 28

...

281 27 e 30 24 e 56 70 e 90 32 e 120 [270; 168; 630; 480] 14

282 Qual è il m.c.m. tra 1 e la tua età? La tua età

La divisibilità | Unità 6

Trova il numero coperto dalla macchia d’inchiostro. 283 m.c.m.(5, 6) =

m.c.m.(100, 144) [700; 3600]

302 m.c.m.(8, 9, 12)

m.c.m.(9, 18, 36)

[72; 36]

303 m.c.m.(4, 6, 32)

m.c.m.(5, 10, 15)

[96; 30]

284 m.c.m.(6, 9) =

285 Il numero coperto dalla macchia è maggiore del primo numero. COMPETENZE m.c.m.(15,

301 m.c.m.(70, 100)

) = 45 45

Calcola il m.c.m. dei numeri indicati con il metodo della scomposizione. 286 SVOLTO m.c.m. (42, 140) Scomponiamo in fattori primi i due numeri: 42 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7 140 = 22 ⋅ 5 ⋅ 7 Il m.c.m. è dato dal prodotto dei fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, con il maggiore esponente con cui compaiono. m.c.m.(42, 140) = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 420

304 m.c.m.(160, 64, 16) m.c.m.(12, 28, 50) [320; 2100] 305 m.c.m.(15, 21, 35)

m.c.m.(27, 45, 72) [1 105; 080]

306 m.c.m.(3, 28, 29)

m.c.m.(9, 17, 34) [2436; 306]

307 Qual è il prodotto tra il M.C.D. e il m.c.m. di 18 e 21? 378 308 Completa la tabella. a

10 11 12 10 30

13 19 15 21 42

a e b sono primi tra loro?

m.c.m.(a, b)

sì

130

sì

209

sì

210

287 m.c.m.(12, 15)

m.c.m.(6, 4)

[60; 12]

288 m.c.m.(14, 6)

m.c.m.(10, 15)

[42; 30]

289 m.c.m.(24, 36)

m.c.m.(50, 75)

[72; 150]

290 m.c.m.(36, 27)

m.c.m.(12, 40)

[108; 120]

291 m.c.m.(55, 25)

m.c.m.(18, 45)

[275; 90]

292 m.c.m.(28, 35)

m.c.m.(18, 24)

[140; 72]

293 m.c.m.(24, 60)

m.c.m.(16, 36)

[120; 144]

X Due numeri, uno multiplo dell’altro, hanno come m.c.m. il maggiore dei due.

294 m.c.m.(8, 56)

m.c.m.(14, 15)

[56; 210]

X Il m.c.m. tra due numeri primi è uguale al loro prodotto.

295 m.c.m.(42, 63)

m.c.m.(90, 120)

[126; 360]

296 m.c.m.(350, 700)

m.c.m.(124, 100) [700; 3100]

297 m.c.m.(200, 120)

m.c.m.(140, 210) [600; 420]

298 m.c.m.(54, 180)

m.c.m.(72, 108)

[540; 216]

299 m.c.m.(135, 81)

m.c.m.(72, 126)

[405; 504]

300 m.c.m.(104, 156)

m.c.m.(124, 186)

[312; 372]

309 Qual è il m.c.m. tra un numero e un suo divisoCOMPETENZE re? Il numero maggiore Per rispondere alla domanda prova a considerare alcuni esempi, come m.c.m.(20, 5), m.c.m.(12, 3), … 310 Individua le affermazioni corrette.

COMPETENZE

Il m.c.m. tra due o più numeri può essere minore di uno di essi. 311 Trova il numero di gara della macchina blu sapendo che le auto in gara sono numerate dall’1 al 12 e che il m.c.m. tra il suo numero e quello della macchina rossa è 84. COMPETENZE

287

ESERCIZI

LEZIONE PER LEZIONE

PER APPROFONDIRE

Il legame tra M.C.D. e m.c.m.

Il M.C.D. e il m.c.m. di due numeri sono collegati tra loro dalla seguente proprietà. Dati due numeri a e b, il loro prodotto è uguale al prodotto tra il loro M.C.D. e il loro m.c.m. a ⋅ b = M.C.D.(a, b) ⋅ m.c.m.(a, b) Questo significa che puoi calcolare il m.c.m. tra due numeri conoscendo il loro M.C.D., o calcolare il M.C.D. tra due numeri conoscendo il loro m.c.m. Valgono infatti le formule: m.c.m.(a, b) = (a ⋅ b) : M.C.D.(a, b) M.C.D.(a, b) = (a ⋅ b) : m.c.m.(a, b) 312 Usando la formula appena vista, calcola il m.c.m. tra i numeri delle seguenti coppie. 48 e 60 20 e 16 36 e 48 24 e 27

[240; 80; 144; 216]

313 SFIDA FINALE Il numero vincente è dato dalla sequenza ordinata dei risultati di tutte le celle. Il m.c.m. tra 7 e 37.

Il prodotto tra il M.C.D. e il m.c.m. di 160 e 280.

Il m.cm. tra 240 e 420.

Numero vincente di 12 cifre:

Problemi con il m.c.m. in preparazione

Vai a p. 264 per la teoria

ESERCIZI SVOLTI ONLINE

PROBLEMI CON METODO Rispondi ai quesiti per risolvere il seguente problema. Michela ha tre vasi di piante che devono essere innaffiate in modo regolare. La prima pianta deve essere innaffiata ogni 4 giorni, la seconda ogni 6 giorni e la terza ogni 9 giorni. Se oggi Michela ha innaffiato tutte e tre le piante, tra quanti giorni dovrà di nuovo innaffiarle insieme?

COMPRENSIONE DEL TESTO

314 Leggi il testo del problema e rispondi. a. Quante piante possiede Michela? X A 3 C 4 B 6 D 9 b. Ogni quanti giorni deve essere innaffiata la prima pianta? X A 3 C 4 B 6 D 9 c. Le piante devono essere sempre innaffiate contemporaneamente? X A Sì B No

PROCEDIMENTO

315 Quale procedimento consente di risolvere il problema? A (4 + 6 + 9) : 3 B (4 + 6 + 9) ⋅ 3 C M.C.D.(4, 6, 9) X D m.c.m.(4, 6, 9) CALCOLO

316 Tra quanti giorni Michela innaffierà contemporaneamente le tre piante? A 12

B 24

X C 36

D 54

Puoi guardare la soluzione online di ogni esercizio per correggere eventuali errori.

288

La divisibilità | Unità 6

Risolvi i problemi. 317 SVOLTO Due aerei partono contemporaneamente dall’aeroporto di Verona. Vi ritorneranno il primo dopo 12 giorni e il secondo dopo 14 giorni. Se continuano a effettuare le stesse tratte con le stesse frequenze, tra quanti giorni i due aerei saranno per la prima volta di nuovo tutti e due all’aeroporto di Verona? Il numero di giorni che deve passare, prima che i due aerei si ritrovino di nuovo all’aeroporto di Verona, deve essere sia un multiplo di 12 sia un multiplo di 14. Poiché vogliamo stabilire quando si incontreranno di nuovo la prossima volta, calcoliamo m.c.m.(12, 14). 12 = 22 ⋅ 3 14 = 2 ⋅ 7 → → m.c.m.(12, 14) = 22 ⋅ 3 ⋅ 7 = 84 I due aerei si ritroveranno per la prima volta di nuovo all’aeroporto di Verona tra 84 giorni.

321 Due pescherecci partono dallo stesso porto e vi ritornano il primo ogni 9 giorni e l’altro ogni 15 giorni. Se oggi sono salpati assieme, tra quanti giorni rientreranno in porto contemporaneamente? [45 giorni] 322 Due rappresentanti si recano abitualmente a Roma per lavoro, il primo una volta ogni 18 giorni, il secondo una volta ogni 24 giorni. Se oggi si sono trovati a Roma assieme, tra quanti giorni si ritroveranno ancora? [72 giorni] 323 Una cometa appare ogni 140 anni e un’altra ogni 210 anni. Se quest’anno sono apparse entrambe, fra quanti anni saranno di nuovo visibili assieme? [420 anni] 324 A una corsa campestre, Paolo impiega 20 minuti per compiere un giro, mentre Antonio percorre lo stesso giro in 15 minuti. Se partono insieme, dopo quanto tempo si troveranno insieme di nuovo? Quanti giri avrà compiuto Paolo e quanti Antonio? [60 minuti; 3; 4] 325 SVOLTO ONLINE Tre amici oggi si trovano in biblioteca per studiare insieme. Sapendo che Luca ci va ogni 8 giorni, Marco ogni 12 e Carlo ogni 10, tra quanti giorni si incontreranno nuovamente tutti e tre? [120 giorni]

318 INVALSI Michele e Giampaolo percorrono in bicicletta la pista di un velodromo. Michele impiega 6 minuti per ogni giro, mentre Giampaolo impiega 8 minuti per ogni giro. Partendo nello stesso momento e mantenendo una velocità costante, dopo quanti minuti passeranno assieme per la linea di partenza? A 12

B 16

X C 24

D 32

319 L’autobus numero A21 passa dalla fermata di piazza Gialla ogni 8 minuti e il numero B24 si ferma nello stesso punto ogni 12 minuti. Se sono passati in questo momento da piazza Gialla tutti e due, fra quanti minuti ripasseranno entrambi di nuovo a questa fermata? [24 minuti] 320 Un albero di Natale è stato decorato con due gruppi di luci. Le luci del primo gruppo cambiano colore ogni 30 secondi, quelle del secondo gruppo ogni 25 secondi. Se i due gruppi vengono accesi contemporaneamente, dopo quanti secondi i colori delle luci cambieranno nello stesso momento? [150 secondi]

326 EDUCAZIONE FINANZIARIA Una persona paga l’affitto bimestralmente, la corrente elettrica ogni 3 mesi e l’acqua condominiale ogni 4 mesi. Se in questo mese ha effettuato i tre pagamenti, dopo quanti mesi dovrà effettuarli nuovamente tutti insieme? COMPETENZE [12 mesi] 327 NELLA REALTÀ In una centrale idroelettrica il responsabile del personale ha organizzato i turni notturni per tre addetti alla sicurezza. Il primo lavora una notte ogni 3, il secondo una notte ogni 4 e il terzo una notte ogni 8. Se lavorano tutti e tre in contemporanea la notte del 10 novembre, dopo quanti giorni si ritroveranno assieme nello stesso turno? [24 giorni] 328 Tre operai sono pagati in tempi diversi per un lavoro: il primo ogni 10 giorni, il secondo ogni 12 e il terzo ogni 15. Se oggi sono stati pagati tutti, fra quanti giorni riceveranno nuovamente la paga contemporaneamente? [60 giorni]

289

ESERCIZI

LEZIONE PER LEZIONE

329 La mia automobile deve fare il controllo dell’olio ogni 5000 km, cambiare il filtro ogni 10 000 km e cambiare le pastiglie dei freni ogni 35 000 km. Oggi sono state effettuate tutte e tre le manutenzioni, fra quanti km i tre interventi verranno di nuovo effettuati contemporaneamente? [70 000 km]

332 NELLA REALTÀ Un centro congressi di una città ospita in maggio, ogni cinque anni, il congresso nazionale di pediatria e in settembre, ogni sei anni, il congresso internazionale di cardiologia. Se nel 2022 si sono svolti entrambi i congressi, in che anno la città ospiterà nuovamente entrambi gli eventi? COMPETENZE [2052]

330 I tram di tre linee partono assieme dal centro per raggiungere i loro capolinea e ritornare. Se impiegano nel percorso di andata e ritorno 45, 60 e 72 minuti, dopo quanto tempo si ritroveranno contemporaneamente in centro? Quante volte ogni tram avrà compiuto il suo percorso completo? [6 ore; 8, 6; 5] 331 Una cometa passa in prossimità della Terra ogni 540 anni, una seconda ogni 630 anni e una terza ogni 810 anni. Gli astronomi hanno previsto che quest’anno saranno tutte e tre visibili. Tra quanti anni saranno di nuovo visibili contemporaneamente le tre comete? [11 340 anni] Puoi utilizzare la calcolatrice.

Risolvi i problemi di riepilogo con il M.C.D. e il m.c.m.

333 NELLA REALTÀ Nella Repubblica italiana il Presidente viene eletto ogni 7 anni e il Parlamento ogni 5. Nell’anno 2022 hanno avuto luogo entrambe le elezioni: in che anno dovrebbe ripetersi questa doppia elezione? [2057] COMPETENZE

334 Un medico ha prescritto due medicine da assumersi la prima ogni 3 ore e la seconda ogni 4 ore per due giorni. Se le due medicine vengono assunte la prima volte assieme, quante altre volte durante il periodo di cura si prenderanno conCOMPETENZE temporaneamente? [4]

COMPETENZE

335 In un paese ogni 3 mesi viene organizzata una festa di beneficenza e ogni 4 mesi si svolge il mercatino dell’antiquariato. Se oggi si sono svolte in paese entrambe le manifestazioni, tra quanti mesi i due eventi si svolgeranno nuovamente in contemporanea? [12 mesi] 336 Un veterinario visita un allevamento di bovini una volta ogni 6 giorni e un allevamento di suini ogni 14 giorni. Se oggi ha effettuato le visite a entrambi gli allevamenti, tra quanti giorni rivedrà contemporaneamente i due allevamenti? [42 giorni]

337 Zia Franca si reca dalla parrucchiera ogni 8 settimane per tagliare i capelli e ogni 6 settimane per fare la tinta. Se oggi è andata dalla parrucchiera per fare sia il taglio sia la tinta, tra quante settimane farà nuovamente i due trattamenti assieme? [24 settimane] 338 Per Pasqua Greta decide di regalare alle amiche alcuni sacchettini di ovetti di cioccolato. Acquista 40 ovetti al latte e 50 fondenti. Qual è il numero massimo di sacchettini uguali tra loro che può preparare, utilizzando tutti i dolci? Quanti ovetti ci saranno in ogni sacchetto? [10 sacchetti; 9 ovetti]

290

La divisibilità | Unità 6

339 Un agricoltore deve spedire 450 limoni e 500 arance confezionandoli in ceste tutte uguali. Qual è il numero massimo di ceste che si possono preparare? Quanti frutti ci saranno in ciascuna cesta? [50 ceste; 19 frutti] 340 NELLA REALTÀ In un quartiere è prevista la raccolta differenziata della carta ogni 8 giorni, quella del vetro ogni 10 giorni e quella della plastica ogni settimana. Oggi sono state effettuate le raccolte di carta, vetro e plastica. Tra quanti giorni verrà fatta contemporaneamente la prossima raccolta differenziata delle tre tipologie? [280 giorni] 341 Lungo una strada rettilinea sono installati tre semafori che regolano il flusso dei veicoli. In questo momento si è accesa la luce verde di tutti e tre i semafori, che ha la stessa durata in ogni semaforo. Sapendo che nel primo semaforo la luce verde si accende ogni 2 minuti, nel secondo ogni 3 minuti e nell’ultimo ogni 5 minuti, tra quanti minuti i tre semafori diventeranno di nuovo contemporaneamente verdi? [30 minuti] 342 Elisa e Giulia hanno raccolto durante una passeggiata 48 margherite, 42 viole e 66 narcisi. Qual è il massimo numero di mazzi tutti uguali che possono confezionare? [6 mazzi] 343 Un rappresentante di abbigliamento visita quattro negozi rispettivamente ogni 5, 9, 10 e 12 giorni. Se oggi ha visitato tutti e quattro i negozi, tra quanti giorni li visiterà ancora nella stessa giornata? [180 giorni] 344 Una pasticceria propone una degustazione di dolci tipici preparando 180 cannoli, 900 babà e 315 bignè. Se si vogliono preparare vassoi uguali, ciascuno contenente tutti i tipi di dolci, quale sarà il numero massimo di vassoi che si potranno ottenere? Quanti dolci di ogni tipo ci saranno in ciascun vassoio? [45 vassoi; 4 cannoli, 20 babà, 7 bignè] 345 Un negozio di alimentari riceve il rifornimento di frutta a giorni alterni, il rifornimento di uova una volta alla settimana, quello di latticini ogni 5 giorni, quello di pasta ogni 15 giorni e quello di scatolame ogni 30 giorni. Oggi il negozio ha ricevuto tutti e cinque i rifornimenti. Tra quanti giorni il negozio riceverà nuovamente i cinque rifornimenti tutti lo stesso giorno? [210 giorni] 346 NELLA REALTÀ Un collezionista di minerali ha raccolto 308 pezzi di pirite, 364 di quarzo e 112 di salgemma. Vuole suddividerli in gruppi uguali in modo che in ogni gruppo ci sia lo stesso numero di minerali di ciascun tipo. Quanti gruppi potrà fare al massimo? Quanti minerali formeranno ciascun gruppo? [28 gruppi; 28 minerali]

347 SFIDA FINALE Il numero vincente è dato dalla sequenza ordinata dei risultati di tutte le celle. Un’automobilista cambia l’olio ogni 6000 km e il filtro ogni 15 000 km. Se oggi ha effettuato entrambi i tipi di manutenzione, tra quanti km dovrà eseguirli nuovamente assieme?

Andrea, Lucas e Zeno frequentano la stessa scuola di pittura rispettivamente ogni 6, 3 e 9 giorni. Se oggi si sono incontrati alla scuola di pittura, tra quanti giorni si ritroveranno nuovamente assieme?

Tre amiche si recano al supermercato una ogni 4 giorni, la seconda ogni 5 giorni e la terza ogni 6 giorni. Se si sono incontrate oggi, tra quanti giorni si ritroveranno assieme al supermercato?

Numero vincente di 9 cifre:

291

RIPASSIAMO INSIEME

SINTESI PERSONALIZZABILE

AUDIO in preparazione

I multipli La multipresa serve per inserire più spine nella stessa presa.

3 fori

OSSERVA L'IMMAGINE

Quanti fori ci sono nella multipresa in figura?

3 fori

3 ∙ 3 = 9 fori I multipli di un numero naturale si ottengono moltiplicando il numero per ciascun numero naturale.

PROVA TU! 1

Quali numeri sono multipli di 3? X 3 1 2 4 X 6 X 9 X 0 5 X 12 X 30 10 11

Scrivi i primi 6 multipli dei seguenti numeri. a. 1 → M(1) = {0, 1, 2 , 3 , 4, 5, ... } b. 5 → M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25, ... } c. 11 → M(11) = {0, 11, 22, 33, 44, 55, ...} d. 20 → M(20) = {0, 20, 40, 60, 80, 100 ... }

ESEMPIO

Scriviamo i primi 4 multipli di 3. 3 ⋅ 0 = 0 3 ⋅ 1 = 3 3 ⋅ 2 = 6 3 ⋅ 3 = 9 M(3) = {0, 3, 6, 9, ...} I multipli di un numero diverso da 0 sono infiniti. L’unico multiplo di 0 è 0. M(0) = {0}

I divisori Un numero naturale b è divisore di un numero naturale a se il quoziente a : b è un numero naturale. In questo caso si dice anche che a è divisibile per b. ESEMPI

• •

ESEMPIO

Scriviamo l’insieme dei divisori di 30. D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} I divisori di 0 sono invece tutti i numeri naturali diversi da 0 e quindi sono infiniti.

292

PROVA TU! 3

Quali numeri sono divisori di 9? X 1 X 3 2 4 X 9 5 6 0

Per ogni numero scritto in verde indica quali sono i suoi divisori. 35 2 X 5 X 7 10 X 1 X 2 X 3 X 5 60 X 7 X 8 56 0 11 X 2 X 3 48 5 X 6

Scrivi i divisori dei seguenti numeri. 8 → D(8) = {1, 2, 4, 8 } 1, 2, 3, 4, 6, 12 } 12 → D(12) = { 17 → D(17) = {1, 17 } 1, 3, 7, 21 21 → D(21) = { } 1, 5, 25 25 → D(25) = { }

30 : 5 = 6 con resto 0 → 5 è divisore di 30 e 30 è divisibile per 5. 21 : 2 = 10 con resto 1 → 2 non è divisore di 21.

I divisori di un numero diverso da 0 sono finiti e compresi tra 1 e il numero stesso.

3 fori

La divisibilità | Unità 6

La divisibilità per 2, per 3 e per 5 Un numero è divisibile: • per 2 se l’ultima cifra è 0, 2, 4, 6, o 8; • per 3 se la somma di tutte le cifre è un multiplo di 3; • per 5 se l’ultima cifra è 0 o 5.

PROVA TU! 6

ESEMPIO

1245 → l’ultima cifra è 5 → 1245 NON è divisibile per 2, è divisibile per 5. 1245 → 1 + 2 + 4 + 5 = 12 è multiplo di 3 → 1245 è divisibile per 3.

Quali numeri sono divisibili per 2? X 6

X 30

X 56

Quali numeri sono divisibili per 3? X 27

X 36

X 45

X 90

Quali numeri sono divisibili per 5? X 40

X 55

X 75

X 90

I numeri primi Un numero è primo se ha solo due divisori: 1 e se stesso. Un numero diverso da 0 che ha più di due divisori si dice composto. ESEMPIO

D(19) = {1, 19} → 19 è primo D(15) = {1, 3, 5, 15} → 15 è composto

La scomposizione in fattori primi Un numero composto si può scrivere come prodotto di potenze di numeri primi. Questa scrittura del numero si chiama scomposizione in fattori primi o fattorizzazione. ESEMPIO

Scomponiamo in fattori primi il numero 84. 84 2 • il più piccolo numero primo che 42 2 divide 84 è 2 e 84 : 2 = 42 21 3 • il più piccolo numero primo che 7 7 divide 42 è 2 e 42 : 2 = 21 1 Si procede in questo modo fino a ottenere 1 come quoziente. 84 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7 = 22 ∙ 3 ∙ 7

PROVA TU! 9

Cerchia i numeri primi. 7

10 3

6 9

8 4

PROVA TU! 10 Qual è la scomposizione in fattori primi di 45? X 32 ∙ 5 3 ∙ 5 3 ∙ 52 32 ∙ 52 11 Indica le fattorizzazioni corrette. X 100 = 22 ∙ 52 X 70 = 2 ∙ 5 ∙ 7 X 42 = 2 ∙ 3 ∙ 7 X 81 = 34 X 56 = 23 ∙ 7 48 = 23 ∙ 3 X 99 = 32 ∙ 11 50 = 22 ∙ 5 12 Scomponi in fattori primi i numeri. a. 20 = 22 · 5 b. 55 = 11 · 5 c. 60 = 22 · 3 · 5 d. 180 = 22 · 32 · 5

293

RIPASSIAMO INSIEME Il Massimo Comune Divisore Il Massimo Comune Divisore (M.C.D.) fra due o più numeri è il più grande tra i divisori comuni. Per trovare il M.C.D. dobbiamo: • scomporre i numeri in fattori primi; • moltiplicare i fattori comuni delle scomposizioni, ciascuno preso una sola volta con l’esponente più basso con cui compare. ESEMPIO

Troviamo il M.C.D. tra 24 e 18. Scomponiamo in fattori primi i due numeri. 24 = 23 ⋅ 3 18 = 2 ⋅ 32 M.C.D.(24, 18) = 2 ⋅ 3 = 6

PROVA TU! 13 Qual è il M.C.D. tra 9 e 12? X 3 1 2

14 Qual è il M.C.D. tra 3 e 25? X 1 0 3

15 Qual è il M.C.D. tra 7 e 21? X 7 1 3

16 Trova il M.C.D. tra le seguenti coppie di numeri. a. M.C.D.(15, 10) = 5 b. M.C.D.(6, 24) = 6 c. M.C.D.(20, 30) = 10 d. M.C.D.(42, 140) = 14 e. M.C.D.(40, 100) = 20

Il minimo comune multiplo Il minimo comune multiplo (m.c.m.) fra due o più numeri è il più piccolo tra i multipli comuni, escluso lo 0. Per trovare il m.c.m. dobbiamo: • scomporre i numeri in fattori primi; • moltiplicare i fattori comuni e non comuni delle scomposizioni, presi una sola volta e con l’esponente più alto con cui compaiono. ESEMPIO

Troviamo il m.c.m. tra 24 e 18. Scomponiamo in fattori primi i due numeri. 24 = 23 ⋅ 3 18 = 2 ⋅ 32 m.c.m.(24, 18) = 23 ⋅ 32 = 72

PROVA TU! 17 Qual è il m.c.m. tra 10 e 15? X 30 15 45 60 18 Qual è il m.c.m. tra 4 e 7? X 28 4 14 16 19 Qual è il m.c.m. tra 8 e 24? X 24 8 16 48 20 Trova il minimo comune multiplo tra le seguenti coppie di numeri. a. m.c.m.(6, 10) = 30 b. m.c.m.(11, 5) = 55 c. m.c.m.(14, 49) = 98 d. m.c.m.(104, 65) = 520

RIPASSA CON Svolgi gli esercizi autocorrettivi. Esercizio 1

Numeri primi e composti

Esercizi 2 e 3

Il calcolo del Massimo Comune Divisore (M.C.D.)

Esercizi 4 e 5

Il calcolo del minimo comune multiplo (m.c.m.)

294

in preparazione

La divisibilità | Unità 6

PROBLEMI CON METODO 21

Rispondi ai quesiti per risolvere il seguente problema.

Carla e Luca sono fratelli. Carla gioca a tennis ogni 3 giorni mentre Luca gioca a calcio ogni 4 giorni. Sul calendario in figura hanno annotato i loro impegni sportivi nei primi sette giorni del mese. Qual è la prima data del mese in cui Carla e Luca faranno sport lo stesso giorno?

COMPRENSIONE DEL TESTO Leggi il testo del problema e rispondi.

4 a. Ogni quanti giorni Luca gioca a calcio? 3 b. Ogni quanti giorni Carla gioca a tennis? c. Quante volte Carla ha giocato a tennis nei primi 7 giorni del mese?

PROCEDIMENTO GRAFICO Completa il calendario. Inserisci per tutto il mese i simboli

degli impegni sportivi di Carla e Luca.

TC T

C TC T

Cerchia nel calendario le date in cui Carla e Luca giocano lo stesso giorno. Indica quale tra le date cerchiate è la soluzione del problema. il 12 PROCEDIMENTO ARITMETICO E CALCOLO Quale procedimento matematico puoi utilizzare

per rispondere alla domanda del problema? A m.c.m.(3, 4, 31) B M.C.D.(3, 4) X C m.c.m.(3, 4) D 31 – (3 + 4) Qual è la prima data in cui Carla e Luca faranno sport lo stesso giorno? il 12

295

MAPPA

GLOSSARIO MULTILINGUE

MAPPA MODIFICABILE in preparazione

DIVISIBILITÀ Multipli

I multipli di un numero naturale si ottengono moltiplicando il numero per ciascun numero naturale. I primi 4 multipli di 6 sono 6 ∙ 0 = 0

6 ∙ 1 = 6

6 ∙ 2 = 12

6 ∙ 3 = 18

M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, ...} I multipli di un numero diverso da 0 sono infiniti.

Divisori

Un numero naturale b è divisore di un numero naturale a se il quoziente a : b è un numero naturale. In questo caso diciamo anche che a è divisibile per b. 6 e 8 sono divisori di 48 perché 48 : 6 = 8 con resto r = 0 e 48 : 8 = 6 con resto r = 0.

Numeri primi e composti

Un numero è primo se ha solo due divisori: 1 e se stesso. Un numero diverso da 0 che ha più di due divisori si dice composto. 13 è un numero primo, infatti D(13) = {1, 13}.

D(48) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 48}

12 è un numero composto, infatti D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.

L’insieme dei divisori di un numero diverso da 0 è finito.

0 e 1 non sono né primi né composti.

L’insieme dei divisori di 48 è

Criteri di divisibilità

• • • 296

per 2 (il numero finisce per 0, 2, 4, 6, 8): 98 → ultima cifra 8 → 98 divisibile per 2. per 3 (la somma delle cifre del numero è un multiplo di 3): 72 → 7 + 2 = 9 multiplo di 3 → 72 divisibile per 3. per 5 (il numero finisce per 0 o 5): 105 → ultima cifra 5 → 105 divisibile per 5.

La divisibilità | Unità 6

Minimo comune multiplo m.c.m. Il minimo comune multiplo (m.c.m.) tra due o più numeri, diversi da 0, è il minore dei multipli comuni, escluso lo 0. Calcoliamo m.c.m.(8, 20). Rappresentazione grafica M(8) M(20) 24

8 32

16 48

...

80 0

...

20 60 100 ...

Metodo della scomposizione Si fattorizzano i due numeri. 8 = 23 20 = 22 ⋅ 5 Il m.c.m. è dato dal prodotto dei fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, con il maggiore esponente con cui compaiono. m.c.m.(8, 20) = 23 ⋅ 5 = 40

Scomposizione in fattori primi o fattorizzazione È la scrittura di un numero composto come prodotto di potenze di numeri primi. Scomponiamo in fattori primi il numero 60. Metodo standard 60 30 15 5 1

Metodo veloce

2 2 3 5

60 2 ⋅ 5 6 2 3 3 1

Fattorizzazione

60 = 22 ⋅ 3 ⋅ 5

Massimo Comune Divisore M.C.D. Il Massimo Comun Divisore (M.C.D.) tra due o più numeri, diversi da 0, è il maggiore tra i divisori comuni. Calcoliamo M.C.D.(12, 20). Rappresentazione grafica D(12) D(20) 6 3

1 2

5 20

4 10

Metodo della scomposizione Si fattorizzano i due numeri. 12 = 22 ⋅ 3 20 = 22 ⋅ 5 Il M.C.D. è dato dal prodotto dei fattori comuni, presi una sola volta, con il minimo esponente con cui compaiono. M.C.D.(12, 20) = 22 = 4

297

RIEPILOGO

CAPISCO I MIEI ERRORI Fai gli esercizi per l’autovalutazione di questa sezione. Verificane poi i passaggi con la versione svolta online che puoi aprire dal codice QR.

in preparazione

SVOLTI PER L’AUTOVALUTAZIONE

Inserisci i numeri mancanti. 1

PER L’AUTOVALUTAZIONE M(7) = { 0 , 7 , 14, 21, 28 , 35, 42 , ...}

INVALSI Il più grande divisore di un numero è 16. Qual è il numero?

X B 16

A 2

C 32

D 17

M(20) = {0, 20, 40, 60 , 80 , 100, 120 , ...}

M(30) = { 0 , 30 , 60 , 90, 120 , 150, 180 , ...}

M(16) = {0, 16 , 32 , 48, 64 , 80, 96, ...}

INVALSI Carlos ha chiesto a un suo amico di

pensare un numero e di dirgli il più piccolo multiplo, maggiore di 0, del numero che ha pensato. L’amico gli risponde 20. Qual è il numero pensato dall’amico di Carlos?

105

100

500

A 2 6

298

B 5

Esegui le divisioni con resto e individua l’affermazione corretta. a. 141 : 5 = 28 resto 1 X 5 non è divisore di 141 5 è divisore di 141 b. 348 : 3 = 116 resto 0 3 non è divisore di 348 X 3 è divisore di 348 c. 167 : 2 = 83 resto 1 X 2 non è divisore di 167 2 è divisore di 167 d. 182 : 7 = 26 resto 0 7 non è divisore di 182 X 7 è divisore di 182 PER L’AUTOVALUTAZIONE

Individua i divisori

PER L’AUTOVALUTAZIONE

Scrivi tutti i numeri compresi tra 61 e 79 che sono divisibili per 2. 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78

10 Sottolinea i numeri divisibili sia per 2 sia per 5.

X D 20

C 10

dei numeri indicati. a. 90 0 X1 X5 X6

X2 7

X3 8

4 X 10

b. 25

0 X5

X1 6

2 7

3 8

4 10

c. 7

0 5

X1 6

2 X7

3 8

4 10

11 Sottolinea i numeri divisibili sia per 2 sia per 5, ma non per 3. 70

111

100

108

130

Scomponi in fattori primi i seguenti numeri. 12 PER L’AUTOVALUTAZIONE 324 1320 528 2 4 3 4 2 ·3

240

2 · 3 · 5 · 11 2 · 3 · 11 24 · 3 · 5

312

122

23 · 3 · 13 2 · 61

13 490 2

500

195

130

3 · 5 · 13

2 · 5 · 13

250

315

392

23 · 72

475

52 · 19

992

2·5·7

22 · 53

2 · 53

32 · 5 · 7

25 · 31

2 · 7 · 29

3 · 7 · 19

5 · 83

24 · 33

33 · 11

1092

2068

5929

1950

5400

4900

406

14 504 3 2

2 ·3 ·7

930

399

415

432

22 · 3 · 7 · 13 22 · 11 · 47 72 · 112

297

1768

23 · 13 · 17

3600

2 · 3 · 5 · 31 2 · 3 · 52 · 13 23 · 33 · 52 22 · 52 · 72 24 · 32 · 52

15 Completa i seguenti grafi ad albero in modo da ottenere le fattorizzazioni dei numeri dati. 52 =

150 =

22 · 13

10 13

2 · 3 · 52

La divisibilità | Unità 6

Individua le fattorizzazioni corrette e correggi quelle errate.

Calcola il m.c.m. dei numeri indicati con il metodo della scomposizione.

16 PER L’AUTOVALUTAZIONE

22 PER L’AUTOVALUTAZIONE m.c.m.(10, 15) m.c.m.(9, 30) m.c.m.(8, 40) m.c.m.(6, 21)

72 = 2 ⋅ 3 2

80 = 2 ⋅ 5 3

72 = 2 · 3

80 = 2 · 5

X 42 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7

X 1000 = 23 ⋅ 53

X 124 = 22 ⋅ 31

X 700 = 22 ⋅ 52 ⋅ 7

180 = 2 ⋅ 32 ⋅ 5 180 = 2 · 3 · 5 2

X 352 = 25 ⋅ 11

336 = 32 ⋅ 52 ⋅ 7 336 = 24 · 3 · 7

23 m.c.m.(13, 26) m.c.m.(33, 12)

m.c.m.(40, 25) m.c.m.(12, 125)

[26; 200] [132; 1500]

24 m.c.m.(22, 66) m.c.m.(13, 7)

m.c.m.(9, 42) m.c.m.(75, 35)

[66; 126] [91; 525]

[168; 60] 25 m.c.m.(7, 8, 12) m.c.m.(5, 10, 12) m.c.m.(21, 30, 50) m.c.m.(17, 34, 30) [1050; 510]

306 = 2 ⋅ 52 ⋅ 17 306 = 2 · 32 · 17

X 189 = 33 ⋅ 7

[30; 90] [40; 42]

480 = 24 ⋅ 32 ⋅ 5

Calcola il M.C.D. e il m.c.m. dei numeri delle seguenti coppie.

480 = 25 · 3 · 5

Calcola il M.C.D. dei numeri indicati con il metodo della scomposizione. 18 PER L’AUTOVALUTAZIONE M.C.D.(27, 63) M.C.D.(45, 90) M.C.D.(120, 48) M.C.D.(6, 11)

[9; 45] [24; 1]

19 M.C.D.(14, 70) M.C.D.(100, 20)

M.C.D.(30, 4) M.C.D.(18, 15)

[14; 2] [20; 3]

20 M.C.D.(77, 144) M.C.D.(10, 12, 30)

M.C.D.(204, 300) M.C.D.(50, 40, 15)

[1; 12] [2; 5]

M.C.D.(72, 36, 90) [1; 18] 21 M.C.D.(33, 35, 26) M.C.D.(520, 104, 78) [26] M.C.D.(1260, 294, 490) [14]

26 PER L’AUTOVALUTAZIONE 20 e 25 27 e 57

[5, 100; 3, 513]

27 48 e 32 60 e 36

[16, 96; 12, 180]

28 128 e 416 450 e 360

[32, 1664; 90, 1800]

29 112 e 210 225 e 325

[14, 1680; 25, 2925]

Tabella di autovalutazione Accedi dal codice QR per riflettere sugli errori che hai commesso con più frequenza.

in preparazione

Agire per competenze 30 VERSO L’ORIENTAMENTO... Sei il gestore di un’azienda di catering: ti occupi di organizzare il rifornimento di cibi pronti e bevande consumati in occasione di conferenze, raduni, cerimonie ed eventi in genere. Hai fatto preparare 140 pizzette, 200 panini e 60 pezzi di focaccia per il ricevimento d’inaugurazione di una mostra. Vuoi allestire sui tavoli il maggior numero di vassoi tutti contenenti lo stesso numero di pizzette, panini e pezzi di focaccia. Quanti ne dovrai preparare? Quante pizzette, panini e pezzi di focaccia conterrà ogni vassoio? [20 vassoi; 7 pizzette, 10 panini e 3 pezzi di focaccia.] Sei interessato alla gastronomia? Ti piace organizzare feste con banchetti?

299

RIEPILOGO Risolvi i problemi sulla divisibilità. 31 Il numero 9 234 121 non è divisibile per 3. Se possibile, modifica solo la sua cifra delle unità in modo che diventi divisibile per 3. Esiste una sola soluzione? No, vanno bene 0, 3, 6, 9. 32 GIOCHI MATEMATICI Il numero 36 ha la proprietà di essere divisibile per la sua cifra delle unità: infatti 36 è divisibile per 6. Quanti numeri compresi tra 20 e 30 hanno questa proprietà? (Kangourou) 4: 21, 22, 24, 25 33 Un numero di tre cifre ha le cifre di posto dispari uguali tra loro, l’altra cifra diversa dalle precedenti e nessuna delle sue cifre è 0. Quali possono essere le cifre di questo numero in modo tale che sia divisibile sia per 3 sia per 5? 525 e 585

37 I numeri primi di Mersenne sono numeri primi che possono essere scritti nella forma 2n – 1. Individua quali delle seguenti operazioni restituiscono dei numeri primi di Mersenne.

X 22 − 1

X 23 − 1

26 − 1

X 27 − 1

24 − 1

X 25 − 1

28 − 1

20 − 1

38 Anna deve fare visita a Giulia. Giulia, che ama i giochi di parole e con i numeri, indica la via e suggerisce all’amica di trovare il numero civico, di due cifre, basandosi sulle informazioni del biglietto in figura. Tre delle quattro indicazioni sono vere e una falsa. Qual è il numero civico cercato? [56]

Il numero è pari. Il numero è primo. Il numero è divisibile per 7. Una delle cifre del numero è 5.

34 Sono una combinazione di tre cifre multipla di 7 e non inizio per 7. Se mi dividi per 2, 3, 4, 5 o 6 otterrai sempre resto 1. Chi sono? 301

39 GIOCHI MATEMATICI Quale dei seguenti numeri termina con il maggior numero di zeri? 35 Completa il seguente quadrato magico con i numeri da 1 a 9. 2

a. I numeri che erano già inseriti nel quadrato sono primi o composti? Tutti composti b. Il numero che hai inserito nella terza colonna è primo o composto? Nè primo né composto c. La costante magica (la somma su ogni riga e su ogni colonna del quadrato) è un numero primo o composto? 15, composto 36 Un numero primo circolare è un numero primo da cui si ottengono altri numeri primi ruotando le cifre. Ne sono un esempio il numero primo 1193 e i numeri 1931, 9311 e 3119 che sono tutti primi. Aiutati con le tavole numeriche e scrivi tutti i numeri primi circolari di due cifre. Controlla poi di averli trovati tutti con una ricerca. 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97

300

23 ⋅ 33 ⋅ 55

23 ⋅ 35 ⋅ 52

25 ⋅ 53 ⋅ 32

X 45 ⋅ 56 ⋅ 64

46 ⋅ 65 ⋅ 54

Risolvi i problemi. 40 A una fermata passa un tram ogni 12 minuti, dalle 8:30 alle 22:00. Se un controllore arriva alla fermata alle 14:45, per quanti minuti dovrà attendere il passaggio del tram supponendo che non sia in ritardo? [9 minuti] 41 Due hostess partono oggi dallo stesso aeroporto e vi ripassano rispettivamente ogni 35 e ogni 25 giorni. A quando il prossimo incontro? [Tra 175 giorni]

42 In un giardino si vuole comporre il numerato massimo di aiuole tutte uguali sistemando al loro interno lo stesso numero di piante di tulipani e di margherite. Con 40 margherite e 56 tulipani quante aiuole si possono ricavare? Quante margherite e quanti tulipani verranno sistemati in ciascuna aiuola? [8; 5, 7]

La divisibilità | Unità 6

43 Una sarta deve tagliare due scampoli di stoffa in parti uguali e della massima lunghezza. Se gli scampoli sono lunghi 70 dm e 28 dm, quale sarà la lunghezza di ciascun pezzo? Quanti pezzi si potranno ottenere? [14 dm; 7]

49 In un parco divertimenti sono disponibili tre percorsi a cavallo della durata di 36, 24 e 54 minuti. Se i conduttori partono assieme la mattina, dopo quanto riusciranno a ritrovarsi alla base di partenza per la pausa pranzo? [3 ore 36 minuti]

44 L’allenamento di un atleta di triathlon prevede ogni 2 giorni 10 km di corsa, ogni 4 giorni 2 ore di nuoto e ogni 7 giorni 40 km in bicicletta. Se oggi l’atleta ha effettuato tutti e tre gli allenamenti, tra quanti giorni eseguirà nello stesso giorno un allenamento completo di corsa, bicicletta e nuoto? [28] 45 In una mensa di un ospedale, aperta tutto l’anno, il cuoco prepara una volta ogni 6 giorni come primo il riso, una volta ogni 20 giorni come secondo lo spezzatino e una volta ogni 30 giorni come dolce la macedonia. Se oggi sono presenti tutti e tre questi piatti, tra quanti giorni si potranno di nuovo mangiare riso, spezzatino e macedonia assieme? [60] 46 Un grossista ha acquistato 180 kg, 200 kg e 400 kg di pomodori di qualità diversa, da rivendere ad alcuni ristoranti in modo che ognuno riceva la stessa quantità di pomodori di ciascun tipo. Quale sarà il numero massimo di ristoranti che potrà servire? [20] 47 Karim possiede 144 francobolli italiani, 108 francobolli francesi e 210 francobolli inglesi. Vuole disporli in raccoglitori contenenti ognuno lo stesso numero di francobolli di ciascuna nazionalità. Quanti raccoglitori al massimo può confezionare? Quanti francobolli di ogni tipo conterrà ciascun raccoglitore? [6; 24, 18, 35] 48 Un commerciante prepara dei cesti regalo. Dispone di 1260 confezioni di pasta assortita, 630 bottiglie di vino rosso e 252 di vino bianco. Se in ogni cesto deve esserci lo stesso numero di prodotti di ciascun tipo, quanti cesti può preparare al massimo e qual è la loro composizione? [126; 10, 5, 2]

50 Un impresario edile acquista a rate alcuni materiali necessari alla propria attività. In particolare acquista con 15 rate quadrimestrali una betoniera e con 12 rate semestrali un furgone. Se inizia a pagare nello stesso mese entrambe le prime rate, dopo quanti mesi dovrà versare contemporaneamente le due rate? [12] 51 In un centro storico ci sono due campanili e una torre con l’orologio. Il primo campanile suona ogni quarto d’ora, mentre l’altro campanile e la torre con l’orologio rintoccano ogni mezz’ora. Se i rintocchi iniziano alle ore 7:00 e proseguono sino a mezzanotte, quante volte al giorno suoneranno tutti e tre assieme? [35] 52 Due satelliti artificiali percorrono orbite diverse intorno alla Terra. Il primo per compiere un’orbita completa impiega quattro ore mentre il secondo impiega sei ore. Se partono assieme, quante volte in un giorno si incontrano? [2 volte] 53 In un ufficio c’è una macchina per il caffè che utilizza cialde di colori diversi. In questo ufficio, 5 impiegati usano ciascuno una 1 cialda gialla al giorno. Si consumano poi sempre 2 cialde verdi al giorno. Ogni confezione di cialde ne contiene 10. Ogni volta che finiscono le cialde di un colore vengono ricomprate il giorno stesso. Oggi sia le cialde gialle sia le cialde verdi sono terminate. Tra quanti giorni entrambi i colori saranno di nuovo esauriti? [10 giorni]

301

AUTOVALUTAZIONE

HUB TEST

Verifica per la classe con Moduli Google 1

Stabilisci le situazioni in cui è possibile dividere in parti uguali ciascuna quantità di alimenti per il numero di persone.

A 24 cioccolatini tra 5 amici B 42 biscotti tra 3 bambini X 8

C 27 panini tra 7 fratelli 2

Vero o falso? V a. Lo 0 ha infiniti divisori. X V b. L’1 ha come divisore solo se stesso. X c. Lo 0 è divisore di tutti i numeri naturali. V V d. L’1 è divisore di ogni numero. X V e. Lo 0 è multiplo di tutti i numeri. X

A 10 ⋅ 35

C 2 ⋅ 52 ⋅ 7 X

B 22 ⋅ 5 ⋅ 7

D 2 ⋅ 5 ⋅ 72

Scomponi i numeri in fattori primi. a. 80 = 24 ∙ 5 c. 1575 = 32 ∙ 52 ∙ 7 b. 192 = 26 ∙ 3 d. 36 000 = 25 ∙ 32 ∙ 53

. 9 Osserva il grafico e individua il M.C.D. D(18)

a. 6 9

18 b. 7

Individua le scritture corrette. A M(6) = {1, 6, 12, ...}

B M(6) = {0, 6, 12, ...} X

F D(3) = {1, 3} X

D M(0) = {1, 2, 3, ...}

H D(4) = {1 4}

5 35

G D(4) = {1, 2, 4} X

10 Completa il grafico con alcuni multipli e indica il m.c.m.

Scrivi i divisori di 20 nel diagramma. D(20)

D(24) 1 4 8 6 3 12 2 24

D(35)

E D(3) = {0, 1, 2, 3}

C M(0) = {0} X

F F F X F F

Individua la scomposizione in fattori primi di 350.

D(42) 1 7

2 3 6 14 42 21 M(10)

M(4)

2 5

11 Per ciascuna coppia di numeri calcola il M.C.D. e il m.c.m. a. M.C.D.(288, 512) = 32 m.c.m.(288, 512) = 4608 b. M.C.D.(204, 300) = 12 m.c.m.(204, 300) = 5100

Individua le affermazioni corrette. A Un numero è divisibile per 2 se è pari. X B Un numero è divisibile per 3 se è dispari. C Un numero è divisibile per 10 se una delle sue cifre è 0. D Un numero è divisibile per 5 se l’ultima cifra X è 0 o 5. E Un numero è divisibile per 7 se la somma delle sue cifre è un multiplo di 7.

302

In ciascun gruppo di numeri cerchia i numeri primi. a.

12 Tre guardie notturne hanno il turno di riposo rispettivamente dopo 15 giorni, 12 giorni e 8 giorni di lavoro. Oggi è giorno di riposo per tutti. Tra quanti giorni saranno tutti e tre di nuovo a riposo? 120 13 Un agricoltore ha tre terreni che misurano 4200 m2, 4400 m2 e 5400 m2. Vuole suddividerli in appezzamenti tutti della stessa estensione e con la massima superficie. Quale sarà l’area di ogni appezzamento e quanti ne otterrà? 200 m2; 70

Confronta le tue risposte con le soluzioni a p. 442. Quanti errori hai commesso? Più di 20 errori

Da 10 a 20 errori

Meno di 10 errori

COMPITO DI REALTÀ STEAM Matematica Tecnologia

Muoversi in metropolitana La stazione della metropolitana è un luogo ideale per... “dare i numeri”! È possibile stimare e calcolare l’orario di arrivo dei convogli, i tempi di attesa e il numero di mezzi che transitano durante l’intera giornata.

Linea verde ora

minuti

6 00 05 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 22 00 05 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 Linea rossa ora

minuti

6 00 06 12 18 24 30 36 42 48 54 22 00 06 12 18 24 30 36 42 48 54

In una stazione della metropolitana aperta dalle 6:00 alle 23:00 passano la linea verde e la linea rossa. I convogli della linea verde passano ogni 5 minuti, mentre quelli della linea rossa ogni 6 minuti. Dividetevi in squadre di quattro o cinque studenti e svolgete le attività proposte. Ogni squadra deve avere le tabelle parzialmente completate relative agli orari delle due linee della metropolitana. Ogni squadra deve compilare le tabelle relative agli orari dei passaggi delle due linee nelle fasce orarie indicate. Terminato il punto precedente, ciascuna squadra deve rispondere alle seguenti domande.

• •

– Arrivando con la linea rossa alle ore 12:18, quanti minuti bisogna aspettare per l’arrivo della metropolitana verde? 2 minuti – Quanti convogli di entrambe le linee passano nella stazione durante l’intero orario di apertura? 374 – Ogni quanto tempo arrivano contemporaneamente un convoglio della linea rossa e uno della linea verde? 30 minuti

• Vince la squadra che per prima completa correttamente le tabelle degli orari e risponde in modo esatto a tutti i quesiti.

• • •

Analizzate l’esperienza, seguendo le domande guida. Quale nozione matematica, appresa in questa unità, avete utilizzato per completare le tabelle degli orari? Se i convogli della linea verde passassero ogni 7 minuti, sarebbe più o meno difficoltoso stabilire gli orari di arrivo dei mezzi a ogni ora? Perché? Quale quesito avete trovato più complesso? Perché?

Autovalutazione Quando hai terminato le attività, vai a p. VI e rispondi alle domande che ti indicherà il tuo insegnante.

IL TUO PUNTO DI VISTA Ripensa all’esperienza del gioco e rispondi. Non ci sono risposte giuste o sbagliate, lasciati andare e libera la fantasia! Tu sei una mela e la foto rappresenta la tua squadra. Quale scegli? Perché?

303

CODING

SCRATCH • Codici impostati da completare

Iterazioni e cicli Nei linguaggi di programmazione, la ripetizione di una serie di istruzioni è chiamata ciclo o iterazione.

in preparazione

• Indicazioni per realizzare i codici passo per passo

Un ciclo è di tipo definito quando si conosce sin da subito il numero di ripetizioni da eseguire. Per esempio: durante un allenamento, ripetere per 5 volte una serie di addominali. Un ciclo è di tipo indefinito se la serie di istruzioni va ripetuta sino al verificarsi di una data condizione. Per esempio: ripetere l’azione “un passo avanti” fino a raggiungere un oggetto da raccogliere. Vediamo come realizzare un ciclo con Scratch. I comandi si trovano nella categoria Controllo.

Ciclo definito Si utilizza il blocco ripeti … volte. Nell’apposito spazio va inserito il numero delle ripetizioni.

Ciclo indefinito Si utilizza il blocco ripeti fino a quando. Nell’apposito spazio va inserita la condizione da raggiungere. Vediamo due esempi di codici che utilizzano cicli.

Ciclo definito

Ciclo indefinito

PROVA TU 1

304

Inquadra il codice QR e apri i codici d’esempio impostati. Completa i codici e prova i programmi. Che cosa realizzano? Ciascuno calcola i multipli di 2, da 2 a 20

CODING

SCRATCH

Alla ricerca dei divisori di un numero Il programma calcola tutti i divisori di un numero n inserito da tastiera.

Il programma su Scratch

Che cosa fa il programma 1. Si avvia.

2. Prepara la lista dei divisori di n, che all’inizio è vuota.

3. Ti chiede di inserire da tastiera il numero n di cui vuoi calcolare i divisori e memorizza la risposta inserita.

4. Inizia con d = 1.

5. Se il resto della divisione tra n e d è uguale a 0, allora inserisce d nella lista dei divisori di n.

7 – ciclo

6. Cambia d di 1, cioè al primo passaggio d = 1 diventa d = 2; al secondo passaggio d = 2 diventa d = 3 ecc.

5 6

7. CICLO. Ripete il procedimento dentro al ciclo fino a quando d diventa più grande di n (d > n).

8. Visualizza sullo schermo accanto allo Sprite la lista dei divisori di n.

ESEMPIO

Ecco cosa visualizzi sullo Stage se inserisci da tastiera n = 15. Passo (3)

Passo (8)

PROVA TU 2

Inquadra il codice QR e apri l’attività Scratch impostata. Completa il codice e prova il programma.

Quale tipo di ciclo viene utilizzato nel programma? Prova a spiegare il suo funzionamento

Prova a modificare il programma in modo che inserisca subito nella lista dei divisori di n i numeri 1 e n, prima di eseguire le istruzioni del ciclo.

305

CODING

FOGLIO DI CALCOLO

Ricerca del M.C.D. e del m.c.m. I fogli di calcolo consentono di trovare il M.C.D. e il m.c.m. tra due o più numeri. Si usano le funzioni MCD(num1; num2; ...) e mcm(num1; num2; ...). Per esempio, per calcolare il M.C.D.(6, 15) scriviamo =MCD(6; 15) che restituisce come risultato 3. Per calcolare m.c.m.(6, 15) scriviamo =mcm(6; 15) che restituisce come risultato 30. È possibile sia indicare direttamente i numeri, sia fare riferimento a celle o a un intervallo di celle. Fai attenzione: se inserisci un numero decimale, la relativa parte decimale verrà troncata. Il sistema si attende, infatt,i numeri naturali. ESEMPI

Inseriamo nelle celle i valori e le formule indicate.

Otteniamo il seguente risultato.

Nella cella D1 abbiamo inserito un comando testuale, tra le virgolette e sempre preceduto dal segno =. Le scritture “&A1&”, “&B1&” e “&C1&” fanno comparire nel testo i valori presenti nelle celle di riferimento (se cambia il valore nella cella indicata, cambia anche il testo). Nella cella E1 abbiamo inserito la funzione che calcola il M.C.D. Nel caso del m.c.m. si utilizza la stessa procedura sostituendo alla sigla MCD la sigla mcm.

PROVA TU 1

Calcola il M.C.D. tra 28; 49 e 70 utilizzando l’impostazione dell’esempio. Esegui una verifica del M.C.D. ottenuto. 7

Prova a calcolare il M.C.D. tra i numeri decimali 2,5, 4,6 e 16,1 con il foglio di calcolo. Che risultato restituisce il programma e perché? Cambia i valori decimali e verifica il comportamento del programma. Tronca i numeri alle unità e restituisce M.C.D.(2, 4, 16) = 2

Calcola il m.c.m. tra 9, 15 e 20 utilizzando l’impostazione dell’esempio. Esegui una verifica del m.c.m. ottenuto. 180

Cambia i valori nelle celle A1, B1 e C1 ed esegui una verifica del m.c.m. ottenuto.

Prova a calcolare il m.c.m. tra i numeri decimali 3,5, 7,4 e 8,1 con il foglio di calcolo. Che risultato restituisce il programma e perché? Cambia i valori decimali e verifica il comportamento del programma. Tronca i numeri alle unità e restituisce m.c.m.(3, 7, 8) = 168

Prova a indicare due soli valori e a lasciare vuota la cella C1. Come si comporta il foglio di calcolo nel caso del M.C.D? E nel caso del m.c.m.? Prova a spiegare il perché.

306