1
ЛЕКЦІЯ з навчальної дисципліни ”Основи
№ 18
вищої математики та теорії
ймовірностей” напряму підготовки ”Соціологія” освітньо-кваліфікаційного рівня бакалавр спеціальності _____________________________________________________
Лекцію розроблено доцентом кафедри ВМ ДУІКТ (2011р) Омецінською О.Б. Тема:
Основні поняття комбінаторики, застосування до розв’язання
задач теорії імовірностей. Основні теореми теорії ймовірностей. Розрахунок надійності простих систем Основний зміст 1. Комбінаторика: правило підрахунку числа елементів суми 2-х множин; основне правило комбінаторики; переставлення, сполучення, розміщення,
із
різних
елементів
та
з
повторенням.
Застосування
комбінаторики до розв’язання задач теорії імовірностей. 2. Основні теореми теорії ймовірностей: 2.1.
Умовна ймовірність, формула обчислення
та властивості.
Незалежність випадкових подій. Теореми про ймовірність суміщення випадкових подій. 2.2. Теорема про ймовірність суми 2-х сумісних подій. 3. Застосування теорем теорії ймовірностей до розрахунку надійності простих систем.
2
Текст лекції 1. Комбінаторика: правило підрахунку числа елементів суми 2-х множин; правило множення; переставлення, сполучення, розміщення, із різних елементів та з повторенням. Застосування комбінаторики до розв’язання задач теорії імовірностей Щоб обчислити ймовірність випадкової події А за формулою класичної ймовірності для випробувань, елементарні події в яких є дискретною (зліченною) скінченною множиною рівноможливих подій, P ( A) =
m , n
(1)
потрібно знайти кількість n всіх елементарних подій у множині простору Ω даного випробування, а також кількість їх m у підмножині, яка відповідає події А. Для цього часто застосовують формули комбінаторики – одного з розділів дискретної математики, що набув важливого значення в зв’язку з його використанням в теорії ймовірностей, математичній логіці, теорії чисел, обчислювальній техніці, кібернетиці, теорії передачі дискретної інформації тощо. Часто зустрічаються задачі, в яких потрібно підрахувати кількість всіх можливих способів розташування деяких об’єктів або кількість всіх можливих способів реалізації деякої дії. Такі задачі носять назву комбінаторних. З ними мають справу фізики, хіміки, біологи, лінгвісти, спеціалісти з теорії кодів тощо. Комбінаторика є теорією скінченних множин. Нехай серед елементів множини G немає таких, що повторюються, і загальна кількість її елементів рівна n=N(G) (n-елементна множина різних елементів). Правило підрахунку кількості елементів суми множин А і В: N ( A U B ) = N ( A) + N ( B ) − N ( A I B ) ,
(2)
отже, у випадку спільних елементів, N ( A I B) ≠ ∅ , із загальної суми елементів N(А)+N(В) вони вилучаються, оскільки в неї ввійшли двічі. Якщо множини А
3
і В не мають спільних елементів, тобто N ( A I B) = ∅ , остання складова в (2) відсутня. Основне правило комбінаторики (правило множення) Нехай потрібно виконати k дій. Якщо першу дію можна виконати n1 способами, другу дію – n2 способами і так до k-тої дії, то всі k дій разом можуть бути виконаними кількістю способів, рівним числу n=n1∙n2∙n3…nk.
(3)
Існує низка задач, в яких для обчислення величин n і m у формулі (1) класичної
ймовірності
застосовують
елементи
комбінаторики:
переставлення, розміщення та сполучення. І. Переставлення Дамо допоміжне поняття: добуток із всіх натуральних чисел від 1 до n називають „n факторіал” і позначають: 1×2 ×3 ×... ×n = n ! Будемо вважати, що 0! =1, 1!=1. Означення 1. n-елементну множину називають упорядкованою, якщо кожному її елементу поставлено у відповідність натуральне число (номер елемента) від 1 до n. У протилежному випадку множина – невпорядкована. Кількість Pn переставлень із n різних елементів Множину,
що
містить
n
різних
елементів,
упорядкуємо,
пронумерувавши всі її елементи. Означення 2. n-елементні множини, що можуть бути одержані різним упорядкуванням однієї і тієї самої множини (інакше кажучи, відрізняються лише порядком розташування елементів), називаються переставленнями цієї множини. Формула підрахунку кількості Пn різних способів, якими можна упорядкувати n-елементну множину, безпосередньо випливає із основного правила комбінаторики, (3): якщо перше місце надати одному із n елементів, то 2-е місце можна надати одному із всіх інших (n-1) елементів і таких переставлень буде (n-1), 3-тє місце – одному із всіх інших (n-2) елементів і таких переставлень буде (n-1)∙(n-2), і т.д., – загальна кількість усіх
4
переставлень буде (n-1)∙(n-2)∙(n-3)…2. Але перше місце можна було надати не одному, а будь-якому із n елементів, тому для кількості переставлень із n різних елементів маємо формулу Пn=n∙(n-1)∙(n-2)∙(n-3)…2∙1=n!
(4)
Приклад 1. На кожній із шести карток розрізної абетки записано одну з літер Я, І, Р, Е, О, Т. Яка ймовірність того, що картки, навмання розкладені в рядок, утворять слово ТЕОРІЯ ?
Кількість
усіх
елементарних
рівноможливих
подій
даного
випробування (елементів множини Ω) – число переставлень із 6-ти різних елементів: n=6!=6 5 4 3 2 1=720, Лише одна з цих подій сприяє появі слова ТЕОРІЯ, m=1. Позначивши розглядувану подію через А, для її ймовірності дістанемо: P(А)=m/n=1/720. ♦ Приклад 2. Знайти ймовірність події А, яка полягає в тому, що двійко певних осіб виявляться поруч при випадковому розміщенні 8-ми гостей на 8ми місцях за столом, що має форму: 1) прямолінійного стояка; 2) круга. Множина Ω простору всіх елементарних рівноможливих подій даного випробування – переставлення із 8-ми різних елементів, їхня кількість n=П8=8! Виділимо із них ті m переставлень, що сприяють події А – розміщенню поруч двох певних осіб: 1) за розміщення на сидіннях вздовж прямолінійного стояка їхня кількість дорівнює числу П7 переставлень із 7-ми елементів (оскільки два фіксовані елементи із 8-ми переставляються разом), збільшеного вдвічі, адже в усіх П7 переставленнях два фіксовані елементи можуть помінятися місцями між собою; отже m=2П7, і для ймовірності події А дістанемо: P(А)=m/n=2П7/П8=2∙7!/8!=2/8=0,25; 2) за розміщення на сидіннях за круглим столом m=2П7+2П6, в чому неважко переконатись, уявивши, що попередній стояк “замикається сам на собі” в круглий стіл, тоді підраховане в попередній задачі число m=2П7 слід
5
збільшити на кількість П6 переставлень, в яких дві фіксовані особи розміщено на різних кінцях стояка, збільшивши це чисто вдвічі, адже ці особи можуть помінятися місцями між собою; для ймовірності події А дістанемо: P(А)=m/n=(2П7+2П6)/П8=2∙(7!+6!)/8!=2∙6!(7+1)/8!=2∙(7+1)/(7∙8)=2/7. Отже, опинитися двом зацікавленим особам поруч більш ймовірно при розміщенні за круглим столом. ♦ Кількість переставлень із повторенням елементів Кількість способів, якими можна упорядкувати n-елементну множину, в котрій k1 елементів належить типу В1 (або елемент В1 повторюється k1 разів), k2 елементів – типу В2, …, km елементів – типу Вm, обчислюється за формулою П П (k1 ; k 2 ;K km ) =
Пn n! = ; Пk1 ×П k 2 K Пkm k1 !k2 !K km !
k1+k2+…+km=n.
(41)
Доказ цієї формули очевидний, якщо скористатися формулою (4) для числа переставлень із n різних елементів та правила множення (3), уявивши, що в множині П П (k1 ; k2 ;K km ) переставлень із n елементів повторювані елементи стають різними і їх також можна переставляти: елементи типу В1 – k1! способами, елементи типу В2 – k2! способами …, елементи типу Вm – km! K П , звідки випливає (41). способами. Тоді маємо ПnП= П (k1 ; k2m;K k k ) ×Пk 1 ×П 2 km
Приклад 3. Із літер розрізного алфавіту було складено слово «АНАНАС», і після цього ці літери кинуто в скриньку і ретельно перемішано. Знайти ймовірність того, що, беручи літери одну за одною й укладаючи їх підряд, знову дістанемо це слово. Позначимо через В подію, що полягає в появі слова «АНАНАС». Підрахуємо кількість всіх елементарних подій випробування за формулою (41) для переставлень з повтореннями, позначивши в ній величину n через nп=6, k1=3 (число повторень літери А), k2=2 (число повторень літери Н), k3=1 (літера С не повторюється), k1+k2+k3=nп=6. Отже, для кількості n всіх елементарних подій дістанемо
6
n=6!/(3!∙2!∙1!)=720/(6∙2∙1)=60. Всі переставлення з n елементів з повтореннями серед них фіксованої кількості елементів одного типу є рівноможливими елементарними подіями випробування. Адже, поява слова АНАНАС чи іншого словапереставлення, скажімо НАНААС, із набором одних і тих самих 6-ти літер, – рівноможливі події. Лише одне із цих переставлень сприяє події В, m=1. Отже, маємо P(В)=m/n=1/60≈0,0167. ♦ Зауваження 1. Задачу можна розв’язати в інший спосіб, виокремивши кожну із 6-ти літер – надавши їм у відповідність числа-номери від 1 до 6 (для більш
наглядного
виділення
рівноможливих
елементарних
подій
випробування). Тоді кількість всіх рівноможливих елементарних подій випробування дорівнюваниме числу переставлень із 6-ти різних елементів і обчислюватиметься за формулою переставлень (4), n=6!=720. Із них сприятиме події В (появі слова АНАНАС) кількість переставлень, з урахуванням можливого переставлення: 3-х номерів, що відповідають літері А; 2-х номерів, що відповідають літері Н. За основним правилом комбінаторики дістанемо: m=3!⋅2!=12. Отже, P(В)=m/n=12/720=1/60. ІІ. Сполучення Невпорядковані підмножини n-елементної множини. Кількість сполучень із різних елементів Множину, що містить n різних елементів, розіб’ємо на невпорядковані підмножини, які містять по k елементів (k≤n) і різняться між собою принаймні одним елементом. Означення 3. Довільна k-елементна підмножина n-елементної множини називається сполученням із n різних елементів по k елементів; порядок елементів в підмножині не має значення. Кількість сполучень із n різних елементів по k обчислюється за формулою,
яку
комбінаторики (3):
неважко
вивести,
застосувавши
основне
правило
7
Cnk =
n! ; k !( n − k )!
k≤n, 0!=1.
(5)
Приклад 4. Партія складається з 10-ти стандартних (С) і 5-ти нестандартних (Н) деталей. Із партії навмання беруть групу із 5-ти деталей. Знайти
ймовірність
того,
що
серед
узятих
деталей
3
виявляться
стандартними. Подія А — «серед 5 деталей 3 – стандартні і 2 – нестандартні». Поначимо одну із можливих груп взятих деталей у такий спосіб
{ С , С , С , С , Н } , тобто: група містить 4 стандартні і 1 нестандартну деталі. Порядок у кожній з груп неістотний, тому вони належать до сполучень. Але, скажімо подія { Н , Н , Н , Н , Н }
та інша можлива подія { С , С , С , С , С}
–
нерівноможливі в даному випробуванні, а саме, остання можливіша від першої, оскільки в партії вдвічі більше стандартних деталей. Отже, сполучення з повтореннями елементів загалом не є рівноможливими. Для підрахунку кількості рівноможливих елементарних подій випробування виокремо кожну із 15-ти деталей, надавши їм у відповідність числа-номери від 1 до 15. Тоді кількість усіх елементарних подій (елементів множини Ω) – число сполучень із 15-ти різних номерів: n = C155 =
15! 15 ×14 ×13 ×12 ×11 = = 7 ×13 ×3 ×11 = 3003 . 5!×10! 5 ×4 ×3 ×2 ×1
Виділимо із цієї множини рівноможливих елементарних подій підміножину m подій, що становлять подію А. Міркуємо так: 3 стандартні деталі з 10 стандартних (прономерованих) можна вибрати C103 рівноможливими способами, а 2 нестандартні з 5 – C52 способами. Отже, за правилом множення комбінаторики дістанемо кількість елементарних подій в підмножині, яка становить подію А, m = C103 ×C52 =
10! 5! × = 120 ×10 = 1200 . 3!×7! 2!×3!
Для ймовірності події А дістанемо: P(А)=m/n=1200/3003=400/1001≈0,4.
8
Зауваження 2. Ймовірність події А не залежить від того беруться 5 деталей із партії навмання всі разом чи одна за одною. Це буде показано після викладу теореми про ймовірність добутку залежних подій. ♦ Кількість сполучень із повтореннями елементів Нехай є деяка множина із елементів різних типів (n типів), і елемент кожного типу в цій множині повторюється довільне число разів. Розглянемо сполучення із цих елементів, що містять k елементів, але з усіма можливими повтореннями серед цих k елементів (разом з можливою відсутністю повторень у випадку k≤n). На відміну від сполучень різних елементів, (5), для сполучень із повтореннями кількість k елементів в сполученні з повтореннями може бути більшою від числа n різних елементів. Для кількості f nk сполучень із n різних елементів по k елементів з повтореннями має місце формула f nk = Cnk+ k −1 .
(51)
Приклад 5. Всі можливі сполучення по 3 елемента із елементів А, Б із повтореннями серед них: ААА, БББ, ААБ, ББА. Кількість таких сполучень дорівнює 4. Це число збігається з підрахованим за формулою (51): f 23 = C23+3−1 =
4! = 4 .♦ 3!×(4 − 3)!
ІІІ. Розміщення Упорядковані підмножини n-елементної множини. Кількість розміщень із різних елементів Означення 4. Множину, що містить n різних елементів, розіб’ємо на впорядковані підмножини, які містять по k елементів (k≤n) і різняться між собою упорядкованістю елементів (порядком розташування) та (або) принаймні одним елементом (деякі з них при k≤n/2 можуть різнитися також і всіма елементами). Такі підмножини n-елементної множини називають роміщеннями із n різних елементів по k елементів.
9
Оскільки число різних неупорядкованих k-елементних підмножин nелементної множини дорівнює числу Сnk сполучень із n різних елементів по k елементів і обчислюється за формулою (5), і оскільки кожну із таких множин можна упорядкувавти Пk способами (число переставлень із k елементів), то застосувавши основне правило комбінаторики (3), дістаємо формулу підрахунку кількості розміщень із n елементів по k елементів: k Ank = CП n ×
k
=
n! = n ( n − 1) ( n − 2 ) ... ( n − k + 1) . (n − k )!
(6)
Кількість розміщень із повтореннями елементів Нехай є деяка множина із елементів різних типів (n типів), і елемент кожного типу в цій множині повторюється довільне число разів. Розглянемо розміщення із цих елементів, що містять k елементів з усіма можливими повтореннями серед цих k елементів (разом з можливою відсутністю повторень у випадку k≤n). На відміну від розміщень різних елементів, (6), для розміщень
із
повтореннями
число
k
елементів
в
розміщенні
з
повтореннями може бути більшим від числа n різних елементів. Для кількості розміщень із n елементів по k елементів з повтореннями елементів має місце формула g nk = n k .
(61)
Приклад 6. Кількість різних 8-значних двійкових слів, які можна побудувати за допомогою символів 1 та 0, є число розміщень з 2-х елементів по 8 із всіма можливими повтореннями серед цих 2-х елементів і обчислюється за формулою (61) при n=2, k=8: gnk=g28=28=256. Для прикладу, запишемо одне із 8-значних двійкових слів: 10000001. ♦ Приклад 7. Скількома різними способами можуть розподілитися семеро пасажирів ліфта при виході від 2-го до 5-го поверхів? Вкажемо таблицею один із можливих розподілів Пасажир 1 2 3 4 5 6 7 № поверху 5 5 5 5 2 3 4 Згідно з таблицею кожному розподілу пасажирів на поверхах 2, 3, 4, 5 відповідає певне семизначне число із 4-х символів – розміщення з
10
повтореннями із 4-х різних елементів по 7 елементів. Загальна кількість таких розміщень обчислюється за формулою (61) при n=4, k=7: gnk=g47=47=16384. ♦ Запитання. Чи є еквівалентними розв’язаній задачі наступні задачі: Скількома способами можуть розподілитися 7 однакових куль по 4-х лузах? Скількома способами можуть бути розподіленими 7 призів серед 4-х осіб? Означення 5. Множини, для елементів яких має місце взаємнооднозначна
відповідність,
називаються
еквівалентними.
Справедлива
теорема: для того, щоб множини були еквівалентними, необхідно і достатньо, що вони мали однакову кількість елементів. 2. Основні теореми теорії ймовірностей В багатьох задачах складні події, імовірності яких потрібно знайти, представляють у вигляді комбінацій інших, більш „простих” подій, при цьому
ймовірності
останніх
або
відомі,
або
легко
підраховуються
безпосередньо. В таких випадках можна використати формули (теореми), які виражають ймовірності суми та добутку подій через ймовірності відповідних доданків та співмножників. 2.1. Умовна ймовірність, формула обчислення та властивості. Незалежність випадкових подій. Теореми про ймовірність суміщення випадкових подій Ймовірність Р(А) як міра об’єктивної можливості появи події має смисл при виконанні певного комплексу умов. Якщо умови змінити, то ймовірність події А може змінитись. Так, коли до комплексу умов, при яких вивчалась ймовірність події А, додати нову умову – появу події В, то ймовірність події А, розраховану за умови, що має місце подія В (подія В здійснюється чи здійснилася), називають умовною ймовірністю події А відносно В і позначають Р(А/В) або РВ(А).
11
Випадкові події А і В називаються залежними, якщо поява однієї з них (А або В) впливає на ймовірність появи іншої. У протилежному випадку події А і В – незалежні (незалежні за ймовірністю). Умовна ймовірність обчислюється за формулою P ( A / B) =
P ( A IB ) ; P ( B) ≠ 0 . P ( B)
(7)
Цю формулу вважають визначенням умовної ймовірності випадкової події А або Аксіомою 4 теорії ймовірностей. Властивості умовної ймовірності 1. Р(А/В)=0, якщо А∩В=∅. 2. Р(А/В)=1, якщо А∩В=В. 3. У решті випадків 0<Р(А/В)<1. Аналогічно до формули (7) визначають умовну ймовірність події В: P ( B / A) =
P ( B I A) ; P ( A) ≠ 0 . P ( A)
(8)
Зауваження 3. В багатьох підручниках з теорії ймовірностей для випадків класичної чи геометричної ймовірності приводять наглядне виведення формули (7), яка за аксіоматичного підходу подається як визначення умовної ймовірності випадкової події (як Аксіома 4). Зауваження 4. Залежність подій А, В є взаємною. Зауваження 5. Якщо події А, В залежні, то залежними є також і пари подій: A, B; B, A; A, B . Доведемо цікаву властивість умовних ймовірностей. Подамо подію В сумою несумісних подій, B = ( B I A) U ( B I A) (адже B I A =В \ А, тобто В без А), і застосуємо до цієї суми аксіому аддитивності: P ( B) = P ( B I A) + P ( B I A) . Підставивши в цю рівність вираз величини Р(В∩А)
через умовну ймовірність згідно з формулою (7), дістанемо: P ( B ) = P( B ) ×P ( A / B ) + P ( B ) ×P ( A / B) ,
звідки випливає властивість умовних ймовірностей
12
P( A / B) + P( A / B) = 1 .
(9)
Приклад 8. Гральний кубик підкидають один раз. Подія А – на верхній грані появиться цифра “4”; подія В – на верхній грані появиться парне число. Обчислити безумовні ймовірності Р(А), Р(В) та умовні ймовірності Р(А/В),
P( A / B ) ,
P( A / B) ,
P( A / B ) ,
Р(В/А),
P ( B / A) ,
P ( B / A) ,
P ( B / A)
безпосередньо та за формулою (7). А={4}; В={2;4;6}; A ={1;2;3;5;6}; B ={1;3;5}; А∩В={4}; Р(А)=1/6,
Р(А/В)=1/3,
а
за
формулою
(7)
дістанемо
формулою
(7)
дістанемо
Р(А/В)=Р(А∩В)/Р(В)=(1/6)/(3/6)=1/3; P ( A / B ) =0/3=0, P ( A / B ) =2/3, P ( A / B ) =1.
Р(В)=3/6=1/2,
Р(В/А)=1,
а
за
Р(В/А)=Р(А∩В)/Р(А)=(1/6)/(1/6)=1; P ( B / A) =2/5, P ( B / A) =0, P ( B / A) =3/5. ♦
Теореми про ймовірність суміщення випадкових подій Із формул (7), (8) – означення за Аксіомою 4 умовної ймовірності випливає Теорема 1: ймовірність сумісної появи 2-х залежних подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої, обчислену за умови, що перша з цих подій здійснюється, тобто, P ( A I B ) = P ( A) ×P ( B / A)
(10)
P ( A I B ) = P ( B ) ×P ( A / B ) .
(11)
або
Якщо події А і В незалежні, то їхні умовні ймовірності дорівнюють безумовним ймовірностям. Тоді із формул (10), (11) дістанемо Теорему 2: ймовірність сумісної появи 2-х незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій, P ( A I B ) = P ( A) ×P ( B ) .
(12)
13
Формулу (12) інколи розглядають як умову незалежності 2-х подій. Послідовно застосовуючи для подій асоціативний закон множення А1∩А2∩…∩Аn=А1∩(А2∩…∩Аn)
та
використавши
формулу
(10)
для
ймовірності добутку двох залежних подій, приходимо до Теореми 3 про ймовірність добутку групи залежних подій P ( A1 I A2 I A3 IL An ) = P ( A1 ) P[ A2 / A1 ]P[ A3 / ( A1 I A2 )]L P[ An / ( A1 I A2 I A3 IL An −1 )] ,(13)
тобто ймовірність сумісної появи кількох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовні ймовірності усіх інших, обчислені за умови, що всі події, які “передують“ кожній з них у виразі добутку подій, відбуваються. Означення 6. Події А1, А2,…, Аn називаються незалежними в сукупності, якщо ймовірність сумісного здійснення довільної комбінації із довільної кількості цих подій дорівнює добутку ймовірностей подій, що входять в зазначену комбінацію. Із незалежності в сукупності випливає попарна незалежність групи подій, але не навпаки. Із формули (13) випливає Теореми 4 про множення ймовірностей для незалежних в сукупності подій: P ( A1 I A2 I A3 L An −1 I An ) = P ( A1 ) ×P ( A2 ) ×P ( A3 )L P ( An ) .
(14)
Приклад 9. Відомі значення: P( A / B ) = 0,3; P( B / A) = 0,3; P( A I B ) = 0,9 . З’ясувати, чи є залежними випадкові події А і В. Знайдемо P(A) і P(A/B). P ( A I B) = 1 − P ( A I B ) = 1 − 0,9 = 0,1 ; P ( A) = P( A I B ) + P ( A I B ) = 0,1 + 0,3 = 0, 4 ; P ( B ) = P( B I A) + P ( B I A) = 0,1 + 0, 4 = 0,5 ; P ( A / B ) =
P ( A I B ) 0,1 = = 0, 2 .♦ P( B) 0,5
Оскільки P(A/B)≠P(A), випадкові події А і В – залежні. Приклад 10. В лотареї 10 білетів: 5 виграшних і 5 – невиграшних. Знайти ймовірність події А – виграшу власника 2-х білетів.
14
Подамо
подію
А
сумою
3-х
попарно
несумісних
подій
A = ( A1 I A2 ) U ( A1 I A2 ) U ( A1 I A2 ) , де А1 – виграш за 1-м білетом, А2 – виграш за
2-м білетом (попарна несумісність в одному і тому самому випробуванні кожної пари із трьох вказаних подій випливає із постановки задачі). Згідно з Аксіомою 3 про ймовірність суми попарно несумісних подій, ймовірність події А дорівнює сумі ймовірностей кожної із трьох записаних подій. Однак, простіше обчислити цю ймовірність через ймовірність протилежної події: P ( A) = 1 − P ( A) = 1 − P( A1 I A2 ) = 1 − P( A1 ) ×P ( A2 / A1 ) = 1 − (5 /10) ×(4 / 9) = 1 − 2 / 9 = 7 / 9 . Тут
застосовано Теорему 1 про ймовірність сумісної появи 2-х залежних подій ♦ Приклад 11. Партія складається з 10-ти стандартних (С) і 5-ти нестандартних (Н) деталей. Із партії навмання беруть 5 деталей. Знайти ймовірність події А, яка полягає в тому, що серед узятих навмання 5-ти деталей 3 деталі виявляться стандартними (умова до Прикладу 4). Нехай 5 деталей беруть навмання одну за іншою без повернення. Подамо подію А сумою попарно несумісних подій A = (C1 IC2 ICН 3I 4НI
5
) ∪ (CС I 3НI 4CI 1 I 2Н
5
) ∪…,
де С1 – перша із взятих деталей є стандартною, Н4 – четверта із взятих деталей є нестандартною, тощо. Попарна несумісність в одному і тому самому випробуванні кожної пари із вказаних в цій сумі подій випливає із постановки задачі. Складувані тут події рівноможливі, в чому можна переконатися, підрахувавши ймовірність кожної з них за теоремою про ймовірність добутку залежних подій: P (C1 IC2 ICН 3I 4НI
5
= P (CС I 3НI 4CI 1 I 2Н
) = (10 /15) ×(9 /14) ×(8 /13) ×(5 /12) ×(4 /11) = 5
) = (10 /15) ×(9 /14) ×(5 /13) ×(4 /12) ×(8 /11) = K
Якщо одну з цих подій позначити як групу взятих деталей { С , С , С , H , Н } , то стає очевидним: їхня кількість дорівнює числу переставлень із 5-ти елементів, в кожному з переставлень один елемент поворюється тричі, а
15
інший – двічі. Застосувавши формулу (41), дістанемо кількість таких П
5!
5 переставлень: П П (3; 2) = П ×П = 3!2! = 10 . 3 2
За Теоремою 3 про ймовірність добутку групи залежних подій обчислимо ймовірність однієї із 10-ти складуваних подій, байдуже якої саме: P (C1 IC2 ICН 3 I 4НI
5
P ) =C ( P1 ) C × [ C2 / P1 ]C × [ C )] × H[ C 3 /( C 1 I 2P 4 /( C 1I C 2 I
3
)] ×
×P[ H 5 / (C1 IC2 IC3 I H 4 )] = (10 /15) ×(9 /14) ×(8 /13) ×(5 /12) ×(4 /11) = (4 ×10) / (7 ×13 ×11).
Згідно з Аксіомою 3 про ймовірність суми попарно несумісних подій та оскільки всі ці події рівноможливі, дістанемо: P(А)=10⋅(40/1001)≈0,4. Порівнявши отриману відповідь із відповіддю до Прикладу 4, переконуємося в тому, що ймовірність події А не залежить від того, беруться 5 деталей із партії навмання всі разом чи одна за одною (див. Зауваження 2 після Прикладу 4). Приклад 12. Із літер розрізного алфавіту було складено слово «АНАНАС», після цього ці літери кинуто в скриньку і ретельно перемішано. Знайти ймовірність того, що, беручи літери одну за одною й укладаючи їх підряд, знову дістанемо це слово (умова до Прикладу 3). Позначимо через В подію, що полягає в появі слова «АНАНАС». Для знаходження ймовірності Р(В) застосуємо теорему про ймовірність добутку 5-ти залежних подій. Відповідно до формули (13) дістанемо: Р(В)=(3/6)⋅(2/5)⋅(2/4)⋅(1/3)⋅(1/2)⋅1=1/60. Цю задачу розв’язано раніше із застосуванням поняття класичної ймовірності і підрахунку кількості всіх рівноможливих елементарних подій випробування. 2.2. Теорема про ймовірність суми 2-х сумісних подій Нехай подія А є сумою двох подій В і С. Тоді: P ( A ) = P ( B U C ) = P ( B ) + P ( C ) − P ( B IC ) ,
(15)
тобто, ймовірність появи принаймні однієї з 2-х подій дорівнює сумі ймовірностей кожної з них без ймовірності сумісної появи цих подій.
16
Доведення Подамо суму сумісних подій В∪С у вигляді суми несумісних подій: B U C = B U (C I B ) .
(16)
Наглядну ілюстрацію рівності (16) зображено на Рис.1, де подію C I B (С без В, тобто С \ В) подано у
вигляді сітки із горизонтальних ліній (подія B ) і вертикальних ліній (подія С).
Рис.1
Застосуємо
до
суми
2-х
несумісних подій аксіому аддитивності: P ( B U C ) = P ( B ) + P (C I B ) .
(17)
Другий доданок в (17), P(C I B ) , виразимо через ймовірність Р(С) у такий спосіб: подамо подію С сумою несумісних подій, C = (C I B) U (C I B ) , і застосуємо до цієї суми аксіому аддитивності: P (C ) = P (C I B ) + P (C I B ) .
(18)
Виразивши звідси величину P(C I B ) і підставивши відповідний вираз у рівність (17), дістанемо рівність P ( B U C ) = P ( B ) + P ( C ) − P ( B IC ) , ідентичний із формулою (15), що й треба було довести. Зауваження 6. Формулу (15) для ймовірності суми сумісних подій неважко довести для випадку геометричної чи класичної ймовірності. Зупинимося на останній. Із комбінаторики нам відоме правило підрахунку числа елементів суми кількох множин (див. формулу (2)): N ( A U B ) = N ( A) + N ( B ) − N ( A I B ) ,
тобто, у випадку спільних елементів із загальної суми елементів N(А)+N(В) спільні вилучаються, оскільки в суму ввійшли двічі. Якщо N(А), N(В) –
17
кількість елементарних подій, які сприяють відповідно кожній із подій А, В, то розділивши почленно обидві частини записаної рівності на загальну кількість рівноможливих подій простору Ω елементарних подій, дістанемо формулу (15) для ймовірності суми сумісних подій. Наслідок Теореми про ймовірність суми 2-х сумісних подій Для випадку трьох сумісних подій запишемо: Р(А+В+С)=Р[(А+В)+С]=Р(А+В)+Р(С)–Р[(А+В)⋅С]= =[Р(А)+Р(В)–Р(А⋅В)]+Р(С)–Р[А⋅С+В⋅С]= =Р(А)+Р(В)+Р(С)–Р(А⋅В)–Р(А⋅С)–Р(В⋅С)+Р(А⋅В⋅С), оскільки (А⋅С)⋅(В⋅С)=А⋅В⋅С. Отже,
формула
ймовірності
суми
сумісних
подій
швидко
ускладнюється зі збільшенням числа цих подій. У таких випадках доцільно застосовувати формулу, що пов’язує ймовірності протилежних подій: P ( A + B + C ) = 1 − P ( A ×B ×C )
3. Застосування теорем теорії ймовірностей до розрахунку надійності простих систем Означення 7. Надійністю роботи системи називається ймовірність р її безвідмовної роботи. В багатьох випадках деяку систему можна подати схематично у вигляді блоків із послідовного та паралельного з’єднання її елементів. Надійність кожного елемента визначається виробничою технологією і вважається відомою. Нехай блок системи складається із n елементів, що мають надійності рі, відповідно ймовірності відмови елементів дорівнюють: 1−рі (i=1,2,…,n). За послідовного з’єднання всіх елементів системи для безвідмовної роботи кожен її елемент має працювати без відмови, тому надійність системи обчислюється за формулою ймовірності добутку незалежних подій, р=р1р2…рn.
(19)
18
За паралельного з’єднання всіх елементів системи (задубльоване з’єднання) для безвідмовної роботи принаймні один із її елементів має працювати, тобто безвідмовна роботи системи є сумою n сумісних подій, тому для розрахунку ймовірності безвідмовної роботи системи доцільно застосувати формулу, що пов’язує ймовірності протилежних подій, і для надійності системи дістанемо: р=1-(1-р1)(1-р2)…(1-рn).
(20)