1
ЛЕКЦІЯ з навчальної дисципліни ”Основи
№ 20
вищої математики та теорії
ймовірностей” напряму підготовки ”Соціологія” освітньо-кваліфікаційного рівня бакалавр спеціальності _____________________________________________________
Лекцію розроблено викладачем кафедри ВМ ДУІКТ (2011р) Омецінською О.Б.
Тема:
Випадкові величини дискретні і неперервні та різні способи
задання закону розподілу. Властивості функції розподілу ймовірностей та щільності розподілу випадкової величини. Основний зміст 1. Поняття дискретної і неперервної випадкової величини та її закону розподілу. 2. Різні способи задання закону розподілу випадкової величини: 1) ряд розподілу дискретної випадкової величини; 2) многокутник ймовірностей (полігон ймовірностей) дискретної випадкової величини; 3) функція розподілу ймовірності випадкової величини (інтегральна функція розподілу), її властивості у випадках дискретної та неперервної випадкової величини; 4)
щільність
розподілу
неперервної
випадкової
величини
(диференціальна функція розподілу), її властивості. 3. Обчислення ймовірності попадання випадкової величини в заданий проміжок.
2
Текст лекції 1. Поняття дискретної і неперервної випадкової величини та її закону розподілу. Поняття події в теорії ймовірностей становить абстрактну модель якісної ознаки, яка відбиває лише два альтернативні судження: є подія (відбулася)
або
немає
(не
відбулася).
Подальший
розвиток
теорії
ймовірностей потребував уведення такого нового поняття, як випадкова величина – абстрактної моделі кількісної ознаки. Поняття випадкової величини. Дискретні та неперервні випадкові величини Означення 1. Під випадковою величиною розуміють змінну величину, яка у випробуванні з випадковими наслідками набуває одного із своїх можливих значень, причому наперед, до випробування, невідомо, якого саме. Приклади випадкових величин приведено в Таблиці 1: Таблиця 1. № прик ладу 1 2 3 4 5 6
Випробування випадковими наслідками
з Випадкова величина
Відбір 5 зразків з партії товарів і реєстрація числа бракованих Реєстрація кількості дорожніх пригод на певній ділянці дороги протягом тижня Реєстрація денного попиту на машини Реєстрація кількості пострілів до першого влучення Реєстрація терміну роботи проданого телевізора до першого ремонту Вимірювання величини сили струму з округленням результату до найближчої поділки на шкалі амперметра
Значення випадкової величини Кількість бракованих зразків 0, 1, 2, 3, 4, 5 серед відібраних з партії 5 зразків Кількість дорожніх пригод за 0, 1, 2, 3, ... тиждень Кількість замовлень на машини 0, 1, 2, 3, ... протягом дня Кількість зроблених пострілів 1, 2, 3, ... до першого влучення Тривалість роботи телевізора до [0;+∞) першого ремонту Величина похибки вимірювання
(-µ/2;+µ/2), де µ – ціна поділки на шкалі
3
Означення 2. Дискретною випадковою величиною називають таку випадкову величину, множина можливих значень якої скінченна або, якщо ця множина нескінченна, то її елементи можна розмістити у певному порядку і перенумерувати натуральними числами (зліченна множина), причому всі можливі значення є окремими та ізольованими числами. Дискретними є випадкові величини наведені у прикладах 1, 2, 3, 4 Таблиці 1. Означення 3. Неперервною випадковою величиною називають таку випадкову величину, множина можливих значень якої неперервно (щільно) заповнює деякий числовий проміжок. Неперервними є випадкові величини наведені у прикладах 5 та 6 Таблиці 1. За
теоретико-множинного
трактування
основних
понять
теорії
ймовірностей можна дати наступне визначення випадкової величини. Означення 1′ . Випадковою величиною X називають числову функцію, задану на множині елементарних подій (елементарних наслідків), тобто X = f (ω) ,
де
ω∈ Ω
(ω
належить
простору
Ω
елементарних
подій
випробування). Якщо простір Ω елементарних подій дискретний, то випадкова величина
дискретна.
Неперервному
простору
елементарних
подій
відповідає неперервна випадкова величина. Випадкові величини позначають великими літерами латинського алфавіту X, Y, Z,…, а їх значення – відповідними маленькими літерами x, y, z, … Приклад 1. Задано множину цілих чисел Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}. Навмання беруть одне число. Елементарними подіями випробування будуть такі: поява одного з чисел ωi =1, 2, 3, …,10, 11. Нехай випадкова величина X – поява одного з непарних чисел. Множина ωi елементарних
4
наслідків є дискретною, а тому й випадкова величина X= f (ωi ) ={1, 3, 5, 7, 9, 11} буде дискретною. Приклад 2. Випробування полягає в перевірці 10-ти накладних. Нехай існує 11 можливих наслідків випробування: Таблиця 2. Номер наслідку
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Кількість правильних накладних
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Кількість правильно оформлених накладних – дискретна випадкова величина. Коли ми збираємось провести перевірку накладних, то наперед невідомо, який саме наслідок з одинадцяти можливих буде мати місце, але, за додаткових даних, можна підрахувати ймовірності кожного з них. Будемо позначати ймовірність того, що дискретна випадкова величина X набуде значення x (з-посеред своїх можливих значень) так: P(X=x). Тоді набір ймовірностей, що відповідають можливим значенням випадкової величини,буде називатись ймовірнісним розподілом X. Означення 4. Законом розподілу випадкової величини називають таке відношення, яке встановлює зв’язок між можливими значеннями випадкової величини (або множинами значень) та ймовірностями, що їм відповідають. Закон розподілу дає повний опис випадкової величини. 2. Різні способи задання закону розподілу випадкової величини 1) Ряд розподілу – таблична форма задання закону розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини X сукупністю двох векторів – вектором хі (і=1,2,… n) всіх можливих значень випадкової величини та
5
вектором ймовірностей рі (і=1,2,… n) для значень хі. Вектор хі задають у порядку зростання його координат, тобто хі<хі+1. X
х1
х2
х3
........
хn
Р
р1
р2
р3
........
рn
Згідно з Означенням 1 випадкової величини, події, яким відповідають числові значення випадкової величини X: х1, х2,…, хn, утворюють повну групу несумісних подій в одному і тому самому випробуванні, тому р1+р2+…+рn=1,
(1)
або якщо величина X набуває нескінченної зліченної множини значень, то ∞
∑p i =1
i
=1.
(1′ )
Рівність (1) чи (1′ ) називають умовою нормування для дискретної випадкової величини (одиниця розподілена між значеннями випадкової величини, звідси і термін „розподіл”). Цю форму закону розподілу не можна застосувати до неперервної випадкової величини. ЇЇ можливі значення неперервно (щільно) заповнюють деякий числовий проміжок, тому, по-перше, неможливо перерахувати всі її можливі значення, і по-друге, ймовірність набуття неперервною випадковою величиною окремого точкового значення на проміжку можливих значень випадкової величини дорівнює нулю (згідно з геометричним визначенням ймовірності випадкової події чи за Теоремою 2 (див. далі)), хоча ця подія можлива. Але є сенс розглядати ймовірність попадання неперервної випадкової величини в інтервал, що охвачує дану точку, нехай навіть скільки завгодно малий. 2) Многокутник ймовірностей (полігон ймовірностей) дискретної випадкової величини X – ламана, яка в прямокутній системі координат з’єднує точки (хі;рі) у порядку зростання значень хі, тобто це графічне
6
представлення ряду розподілу. Сума ординат ймовірнісного многокутника дорівнює одиниці, Рис.1.
Рис.1
3) Функція розподілу ймовірності випадкової величини X: F(х)=P{X<x},
(2)
яку ще називають інтегральною функцією розподілу. Геометрично величина F(х) функції розподілу при значенні аргумента х інтерпретується як ймовірність того, що випадкова величина X (випадкова точка) в результаті випробування попаде лівіше заданої точки x на числовій осі, Рис.2.
Pиc.2. Дo пoняття фyнкцii poзпoдiлy ймoвipнocтeй випaдкoвoї вeличини (iнтeгpaльнoї фyнкцiї)
Функція F(х) розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини є ступінчатою, а саме, – має розриви в кожній точці х=хі своїх можливих значень; при цьому вона неперервна зліва в точках розриву, Рис.4. Для неперервної випадкової величини – F(х) неперервна у кожній точці х∈(−∞;∞), Рис.5.
7
Теорема 1. Ймовірність попадання випадкової величини X в заданий проміжок [х1;х2) дорівнює приросту функції F(х) розподілу ймовірностей на цьому проміжку. Доведення. Подамо подію А={X<х2} сумою несумісних подій В={X<х1} і С={х1≤X<х2}, Рис.3. Застосуємо Аксіому аддитивності про ймовірність суми попарно несумісних подій: Р{X<х2}=Р{X<х1}+Р{х1≤X<х2}. Звідси на підставі означення інтегральної функції F(x) – формули (2), дістанемо: Р{х1≤X<х2}=F(х2)–F(х1),
(3)
що й потрібно було довести.
Рис.3. Пoдiя A є cyмою нecyмicниx пoдiй
A=B∪C
Теорема 2. Ймовірність набуття неперервною випадковою величиною окремого значення а дорівнює нулеві, тобто Р{X=а}=0. Доведення. Покладемо у формулі (3) х1=а, х2=а+∆х. Дістанемо: Р{а≤X<а+∆х}=F(а+∆х)–F(а).
(4)
Перейдемо в цій рівності до границі при ∆х→0. Оскільки для неперервної випадкової величини функція F(х) розподілу ймовірностей є неперервною, то нескінченно малим приростам ∆х її аргументу відповідає нескінченно малий приріст самої функції, і з рівності (4) випливає, що Р{X=а}=0, що й потрібно було довести. Зауваження 1. Оскільки ймовірність набуття неперервною випадковою величиною окремого точкового значення, в тім числі значення α чи значення
8
β, дорівнює нулеві, то для неперервної випадкової величини X справедливі рівності: P{α ≤ X < β} = P{α < X ≤ β} = P{α ≤ X ≤ β} = P{α < X < β} .
Отже, формула (3) у випадку неперервної випадкової величини має місце як для закритого проміжку [α;β], так і для відкритого чи напіввідкритого проміжку. Зауваження 2. Якщо кінці заданого проміжку не співпадають ні з одним із можливих значень дискретної випадкової величини, то формула (3) має місце також і для закритого проміжку [α;β] та для відкритого чи напіввідкритого проміжку. Наступні властивості функції розподілу ймовірностей випадкової величини X випливають із формули (2) її визначення і Аксіоми аддитивності про ймовірність суми попарно несумісних подій. 1). Функція розподілу ймовірностей випадкової величини – неспадна, а область її можливих значень є проміжок [0;1]. 2). Якщо можливі значення випадкової величини X належать інтервалу (a;b), то: F(x)=0, при x≤a; F(x)=1, при x>b. 3). Якщо можливі значення випадкової величини розміщені на всій F ( x) = 0 ; lim F ( x) = 1 . числовій осі, то: xlim →−∞ x →+∞
Наведемо більш строге визначення неперервної випадкової величини, ніж ми давали раніше. Означення 3′ . Випадкова величина Х називається неперервною, якщо її функція F(x) розподілу ймовірностей неперервна у кожній точці х∈(−∞;∞), і диференційовна скрізь, окрім, можливо, скінченного числа окремих точок (кусочно диференційовна). Приклад 3. Задано закон розподілу дискретної випадкової величини X у вигляді наступного ряду розподілу
9
X
−3
−1,5
2
4
5
Р
0,1
0,2
0,1
0,3
0,3
а). Знайти закон розподілу X у вигляді функції розподілу ймовірностей, F(x). б) Побудувати графік функції розподілу. в) Знайти ймовірність попадання випадкової величини в інтервал [−1;3,4]. ▼ а) Для знаходження функції розподілу ймовірностей, F(x), будемо задавати різні значення x і знаходити для них F(x)=P(X<x). 1. Якщо x≤−3, то відповідно до заданого ряду розподілу ймовірностей випадкової величини X, F(x)=P(X<−3)=0, в тому числі і при x=−3 F(−3)=P(X<−3)=0, отже, F(x)=0. 2. Якщо −3<x≤−1,5, то F(x)=P(X=−3)=0,1. 3. Якщо −1,5<x≤2, то F(x)=P(X=−3)+P(X=−1,5)=0,1+0,2=0,3. 4. Якщо 2<x≤4, то F(x)=P(X=−3)+P(X=−1,5)+P(X=2)=0,1+0,2+0,1=0,4. 5. Якщо 4<x≤5, то F(x)=P(X=−3)+P(X=−1,5)+P(X=2)+P(X=4)=0,1+0,2+ +0,1+0,3=0,7. 6. Якщо x>5, то F(x)=P(X=−3)+P(X=−1,5)+P(X=2)+P(X=4)+P(X=5)= =0,1+0,2+0,1+0,3+0,3=1. Отримали: 0, 0.1, 0.3, F ( x) = 0.4, 0.7, 1,
якщо x ≤ −3; якщо − 3 < x ≤ −1,5; якщо − 1,5 < x ≤ 2; якщо 2 < x ≤ 4; якщо 4 < x ≤ 5; якщо x > 5.
б) Згідно з побудованою функцією F(x) розподілу ймовірностей випадкової величини Х її графік має вигляд, вказаний на Рис.4.
10
Рис.4
в) Ймовірність попадання випадкової величини в заданий проміжок [−1;3,4] згідно з формулою (3) та відповідно до Зауваження 2 дорівнює приросту побудованої функції F(x) розподілу ймовірностей на цьому проміжку: P(−1≤X≤3,4)=F(3,4)−F(−1)=0,4−0,3=0,1. ▲ Зауваження 3. Функція F(x) розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х має розриви в кожній точці х=хі своїх можливих значень; при цьому вона неперервна зліва в точках розриву. Величина стрибка в точці розриву хі дорівнює ймовірності набуття випадковою величиною X значення хі, P(X=хі). 4) Щільність f(x) розподілу випадкової величини. Її ще називають диференціальною функцією розподілу. Цю форму задання закону розподілу можна застосовувати тільки до неперервних випадкових величин. Розглянемо довільну об’ємну фігуру. Ймовірність влучення дротиком у деяку точку цієї фігури рівна нулю, тому що об’єм цієї точки практично дорівнює нулю (див. геометричне визначення ймовірності події). Якби йшлося про масу речовини, неперервно і нерівномірно розподіленої в цьому об’ємі, то густина об’ємної фігури у довільній її точці виражається конкретним числовим значенням (гранична величина відношення маси
11
об’єму, виділеного в околі цієї точки, до величини цього об’єму, за умови, що максимальний діаметр об’єму прямує до нуля). Аналогічно, ймовірність набуття неперервною випадковою величиною окремого (точкового) значення практично рівна нулю, а ось щільність (густина) ймовірності в окремій точці може виражатись ненульовим числовим значенням. Якщо розглянути ймовірність попадання неперервної випадкової величини на проміжок [х;х+∆х], то гранична величина її відношення до розміру ∆х проміжку при його необмеженому звуженні, буде значенням густини
ймовірності
неперервної
випадкової
величини
в
точці
х.
Застосувавши формулу (3), за означенням похідної від функції дістанемо: P{x ≤ X ≤ x + ∆x} F ( x + ∆x) − F ( x) = lim = F ′( x) . ∆x →0 ∆x → 0 ∆x ∆x
f ( x) = lim
(5)
Про випадкову величину X кажуть, що вона розподілена з щільністю f(x) на деякому проміжку осі абсцис. Графік щільності розподілу випадкової величини називають кривою розподілу. Властивості щільності розподілу випливають із формули (5) для її визначення. 1). Щільність розподілу є функція невід’ємна ( f ( x) ≥ 0 ). 2). За формулою (5) f ( x) = ∆lim x →0
P{x ≤ X ≤ x + ∆x} , звідки дістанемо: ∆x
P{x ≤ X ≤ x + ∆x} ≈ f ( x ) ×∆x .
(6)
Отже, ймовірність попадання випадкової
величини
X
в
малий
проміжок ∆х в околі точки х, Рис.5, наближено
дорівнює
добутку
значення в точці х щільності f(x) розподілу випадкової величини на Рис.5. P{ X ∈ ∆x} ≈ f ( x) ×∆x
величину ∆х проміжку.
12
3). Згідно з формулою (5) функція розподілу ймовірностей F (x) є первісною для функції f(x) щільності розподілу. Тому на основі формули (3) та формули Ньютона – Лейбніца обчислення визначеного інтеграла дістанемо формулу для обчислення ймовірності попадання випадкової величини X в заданий проміжок (α;β) β
P{α ≤ x ≤ β} = ∫ f (x )dx .
(7)
α
Отже, ймовірність того, що неперервна випадкова величина попаде в інтервал [α;β], рівна площі криволінійної трапеції, яка обмежена графіком у=f(x) кривої розподілу, віссю ОX і прямими х=α, х=β. 4).
Для
P{−∞ < x < ∞} =
+∞
∫
щільності
розподілу
виконується
умова
нормування:
f ( x)dx =1 , оскільки в результаті випробування випадкова
−∞
величина обов’язково попадає на вісь ОX. Якщо неперервна випадкова величина X визначена на скінченному проміжку [а;b] (тобто, множина її можливих значень належить проміжку b
[а;b]), то умова нормування має такий вигляд: ∫ f ( x)dx = 1 . a
5). Якщо всі можливі значення випадкової величини X належать інтервалу (a;b), то для x зовні цього інтервалу, де функція розподілу ймовірностей F (x) набуває постійного значення (значення 0 зліва, при х≤a та значення 1 справа, при х>b), функція щільності розподілу випадкової величини має нульове значення, f(x)=F '(x)=0. Якщо можливі значення випадкової величини належать всій числовій f ( x) = 0 ; lim f ( x) = 0 . осі, то: xlim →−∞ x →+∞
6) Функція F(x) розподілу ймовірностей визначається через щільність f(x) розподілу випадкової величини Х за формулою:
13 x
F ( x) = P ( X < x) = P (−∞ < X < x) =
∫
f ( x)dx ,
(8)
−∞
що випливає із формул (3), (7). Зауваження 4. В геометричній інтерпретації відповідно до (8) функція розподілу ймовірностей F(x) в т. x (інтегральна функція розподілу) дорівнює площі фігури, що знаходиться лівіше точки х і обмежена згори кривою щільності розподілу f(x) (диференціальної функції розподілу). Повна площа, обмежена кривою розподілу f(x) та віссю абсцис, дорівнює 1. Приклад 4. Неперервна випадкова величина X задана функцією розподілу ймовірностей: якщо x ≤ 0, 0, F ( x) = sin(kxякщо ), x 0 < ≤ 2, 1, якщо х > 2.
а) Знайти щільність розподілу f(x) випадкової величини X і значення сталої k. б) Побудувати графіки функцій у=F(x) розподілу ймовірностей та у=f(x) щільності розподілу випадкової величини X. в) Обчислити ймовірність попадання випадкової величини X в інтервал (2/3; 1). ▼ а) За визначенням щільність розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини є першою похідною від функції розподілу: f ( x) = F ′( x) . Отже, дістанемо: якщо x ≤ 0, 0, f ( x) = kcos(kxякщо ), x0 < ≤ 2, 0, якщо х > 2. ∞
Сталий множник k знайдемо з умови нормування: ∫ f ( x )dx =1. − ∞
14
∞
У нашому випадку
∫
−∞
⇒ 2k =
2
2
sin(kx) f ( x)dx = ∫ k ×cos(kx)dx = − k = −[sin(2k ) − sin 0] = 1 k 0 0
π π ,⇒ k = . 2 4
б) Графіки функцій F(x) та f(x) побудуємо по точках, Рис.6, Рис.7. Так як вигляд функцій sin x ÷, cos x ÷ відомий, то обмежимось 4 4 π
π
обчисленням значень функцій F(x) та f(x) в деяких характерних точках: х=0, х=2,
х=(π/4),
з
урахуванням
того,
що
sin0=0;
сos0=1;
sin(π/4)=сos(π/4)=1/√2≈0,71; sin(π/2)=1, сos(π/2)=0.
якщо x ≤ 0, 0, π F ( x) = sin( xякщо ), x 0 < ≤ 2, 4 якщо х > 2. 1, Рис.6. Графік у=F(x) функції розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини
якщо x ≤ 0, 0, π π f ( x ) = cos( xякщо ), 0x < ≤ 2, 4 4 якщо х > 2. 0,
Рис.7. Графік у=f(x) функції щільності розподілу випадкової величини Х
в)
Ймовірність
попадання
випадкової величини X в інтервал (2/3;1) обчислимо за однією з формул:
15
(2 / 3),відома F x F (1) − Fякщо 1 P (2 / 3 < X < 1) = , відома f x ∫ f ( x) dxякщо 2/3
( ), (I) ( ).
(II)
Скориставшись формулою (І), знайдемо: π π 1 1 P (2 / 3 < X < 1) = F (1) − F (2 / 3) = sin ×1 ÷− sin ×2 / 3 ÷ = − ≈ 0, 21 .▲ 2 2 4 4
Приклад 5. Задано щільність розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини X: x ≤ 0, 0π</ x2,≤ x>
0, f ( x) = cos x, 0,π / 2.
Знайти інтегральну функцію розподілу F(x). x
▼ Скористаємось формулою (6), F ( x) =
∫
f ( x)dx . Так як щільність розподілу
−∞
задана різними формулами на окремих інтервалах, то і функцію розподілу ймовірностей будемо знаходити окремо для кожного інтервалу. Якщо x ≤ 0 , то f ( x) = 0 , тому 0
F ( x) =
∫ 0 ×dx = 0 .
−∞
Якщо 0π</ x2≤
, то F ( x) =
0
x
−∞
0
∫ 0 ×dx + ∫ cos xdx = sin x.
Якщо x > π / 2 , то 0π/2
F ( x) =
x
∫ 0 ×dx + ∫ cos xdx + ∫ 0dx = (sin x)
−∞
π/2 0
= 1.
0π/2
Отже, шукана функція розподілу ймовірностей має вигляд:
16
x ≤ 0, 0, sin x, 0π</ x2,≤ F ( x) = x> 1,π / 2.
▲
0,якщо x ≤1, 2 Приклад 6. Задано функцію F ( x ) = ax + bx,якщо 1 < x ≤4; 1,якщо x >4.
Довести, що можна дібрати такі значення a і b, при яких F(x) буде функцією розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини Х. Знайти P ( 2 < X ≤ 3) . ▼ Щоб знайти a і b, скористаємося неперервністю функції F(x) в точках х=1 і х=4. Дістанемо систему рівнянь: 1 b = − 12 , a + b = 0, a = −b, ⇒ ⇒ 16a + 4b = 1. −16b + 4b = 1. a = 1 12.
Отже, F ( x ) =
1 2 1 x − x якщо x ∈ ( 1; 4] . 12 12
Доведемо, що на цьому проміжку функція F(x) є неспадною. 1 6
Відшукуємо похідну функції: F ′ ( x ) = x − x=
1 . Похідна дорівнює нулю при 12
1 . На проміжку (1;4) похідна функції F(x) додатна, а значить, ця функція 2
зростає. Отже, F(x) задає закон розподілу випадкової величини Х. Обчислимо ймовірність попадання випадкової величини Х в заданий проміжок: P ( 2 < X ≤ 3) = F ( 3) − F (2) =
1 1 1 1 4 1 ×9 − ×3 − ×4 + ×2 = = .▲ 12 12 12 12 12 3