Lekciya19 by nephalim-zmey Serg

ЛЕКЦІЯ з навчальної дисципліни ”Основи

№ 19

вищої математики та теорії

ймовірностей” напряму підготовки ”Соціологія” освітньо-кваліфікаційного рівня бакалавр спеціальності _____________________________________________________

Лекцію розроблено доцентом кафедри ВМ ДУІКТ (2011р) Омецінською О.Б. Тема: Формула повної ймовірності та формули Байєсса. Повторні

випробування за схемою Бернуллі, граничні випадки формули Бернуллі – локальна і інтегральна теореми Лапласа, формула Пуассона. Найпростіший потік подій Основний зміст 1. Формула повної ймовірності та формули Байєсса. 2. Схема повторних випробувань (схема Бернуллі). 2.1. Найімовірніше число появ випадкової події в схемі Бернуллі. 2.2. Кількість незалежних випробувань, необхідних для настання із заданою імовірністю принаймні однієї події в схемі Бернуллі. 3. Граничні теореми для схеми Бернуллі: 3.1. Локальна теорема Муавра-Лапласа. 3.2. Інтегральна теорема Лапласа. Відхилення відносної частоти від імовірності. 3.3. Гранична теорема Пуассона. 4. Математична модель найпростішого потоку подій. Текст лекції 1. Формула повної ймовірності та формули Байєсса Нехай подія А може відбутися тільки за умови настання однієї із попарно несумісних подій Ві (i=1,2,…,n), Вi∩Вj=∅ при i≠j, які утворюють

повну групу подій в даному випробуванні. Подамо подію А у вигляді суми попарно несумісних подій: А=(А∩В1)∪(А∩В2)∪…∪(А∩Вn). Застосувавши до ймовірності цієї суми Аксіому аддитивності про ймовірність суми попарно несумісних подій, а для ймовірності кожної подіїскладової – теорему множення ймовірностей залежних подій, дістанемо формулу повної ймовірності події А: n

P ( A) = ∑ P ( Bi ) ×P ( A/Bi ) , i =1

(1)

де Р(Ві) – імовірність події Ві, Р(А/Ві) – умовна ймовірність настання події А. Зауваження 1. З аналізу формули (1) випливає, що повна ймовірність Р(А) події А не менша від найменшої і не більша від найбільшої з-посеред її умовних ймовірностей Р(А/Ві), (i=1,2,…,n). А тепер розглянемо події Ві (i=1,2,…,n), що утворюють в даному випробувані повну групу попарно несумісних подій. Нехай подія А здійснюється. При цьому ми не можемо з певністю сказати, із якою саме подією із групи випадкових подій Ві (i=1,2,…,n) відбулася подія А. Тому події Ві називають гіпотезами. Оскільки гіпотези складають повну групу попарно несумісних подій, то для їхніх ймовірностей справджується рівність n

∑ P( B ) =1 , i =1

(2)

Нехай відомі ймовірності гіпотез Ві та умовні ймовірності настання події А, Р(А/Ві), (i=1,2,…,n). Відомо, що в результаті випробування подія А відбулась. Потрібно з огляду на це переоцінити ймовірності гіпотез Ві, тобто знайти умовні ймовірності гіпотез, Р(Ві/А). Застосуємо теорему множення ймовірностей до залежних подій А, Ві: Р(А∩Ві)=Р(А)⋅Р(Ві/А)=Р(Ві)⋅Р(А/Ві), де для Р(А) має місце формула (1). З останнього співвідношення дістанемо формули Байєсса переоцінки ймовірності гіпотез

P ( Bi / A ) =

P ( Bi ) P ( A/Bi ) n

∑ P ( B ) P ( A/B ) i =1

P ( Bi ) P ( A/Bi ) , (i = 1, 2,..., n) P ( A) .

(3)

Формули Байєсса (3) слугують уточненню початкових ймовірностей гіпотез, які досить часто задають на базі статистичної інформації. Зауваження 2. Після переоцінювання ймовірностей всіх гіпотез для їхніх умовних ймовірностей маємо n

∑ P ( B ) P ( A/B )

i =1

P ( A)

∑ P ( Bi / A) =

i =1

P ( A) =1, P ( A)

(4)

тобто сума умовних ймовірностей всіх гіпотез дорівнює 1. Приклад 1. На двох верстатах-автоматах виробляють однакові деталі, які надходять на транспортер. Продуктивність першого верстата втричі більша, ніж другого, причому перший верстат виробляє нестандартну деталь з імовірністю 0,15, а другий — з імовірністю 0,2. 1. Знайти ймовірність того, що навмання взята з транспортера деталь буде стандартною. 2. Виявилось, що навмання взята з транспортера деталь стандартна. Знайти ймовірність того, що цю деталь вироблено на першому верстаті.  Тут випробування – береться навмання одна деталь. Розглянемо події: В1 – «деталь виготовлено на першому верстаті»; В2 – «деталь виготовлено на другому верстаті»; А – «навмання взята деталь є стандартною». Події В1 і В2 є несумісними в одному і тому самому випробуванні й утворюють повну групу, що ж до події А, то вона може відбутись із кожною з цих подій-гіпотез. Згідно з умовою задачі продуктивність першого верстата втричі більша, ніж другого, тому Р(В1)=3/4=0,75, Р(В2)=1/4=0,25. Умовні ймовірності настання події А відомі: Р(А/В1)=1-0,15=0,85; Р(А/В2)=1-0,2=0,8. 1. За формулою повної ймовірності, (1), маємо: Р(А)=Р(В1)Р(А/В1)+Р(В2)Р(А/В2)=0,75⋅0,85+0,25⋅0,8=0,6375+0,2=0,8385.

Відповідь узгоджується із вказаною в Зауваженні 1 властивістю повної ймовірності: 0,8≤Р(А)≤0,85. 2. Переоцінимо початкову ймовірність гіпотези В1, з урахуванням додаткової інформації – навмання взята деталь виявилася стандартною, тобто за умови здійснення події А. Згідно з формулою Байєсса (3) для умовної ймовірності гіпотези В1 дістанемо: P ( B1 / A ) =

P( B1 ) P ( A/B1 ) = 0,75⋅0,85/0,8385≈0,760. P( A)

Отже, після переоцінки умовна ймовірність гіпотези В1 виявилась дещо більшою порівняно з її початковою ймовірністю Р(В1)=0,75. ♦ 2. Схема повторних випробувань (схема Бернуллі) Нехай проводяться n випробувань, у кожному з яких подія А може відбутись лише один раз з ймовірністю Р(А)=р або не відбутись з ймовірністю настання протилежної події

P ( A ) =1 − p = q.

Оскільки ймовірність

р події А у кожному з випробувань однакова, тобто не залежить від того, відбулась вона в інших випробуваннях чи ні, то такі випробування називають незалежними щодо події А. Зокрема, такі події мають місце у випадку повторення випробувань. Тому вживають термін – повторні випробування, а також і термін випробування за схемою Бернуллі. Знайдемо ймовірність Рn(k) появи події А k разів за проведення n повторних випробувань, 1≤k≤n. Подамо подію А сумою несумісних подій в одному і тому самому складеному випробуванні, яке полягає в проведенні n повторних випробувань: [( A1 I A2 I A3 LI Ak ) I Ak +1 I Ak + 2 ILI An ] ∪ [( A2 I A3 ILI Ak +1 ) I A1 I Ak + 2 ILI An ] ∪…

, де Аі, і=1,2,…n, – поява події А в і-тому випробуванні. Кількість таких подійскладових в записаній сумі дорівнює числу сполучень із n різних елементів по k елементів. Оскільки ймовірність кожної із подій-складових однакова і

дорівнює рkqn-k, то з урахуванням Аксіоми адитивності про ймовірність суми попарно несумісних подій, дістанемо формулу Бернуллі Pn (k ) = Cnk p k q n −k =

n! p k q n −k ; k !(n − k )!

0≤k≤n, 0!=1.

(5)

2.1. Найімовірніше число появ випадкової події в схемі Бернуллі Число m0 появ події А в n незалежних повторних випробуваннях називається найімовірнішою кількістю появи цієї події, якщо цьому числу відповідає найбільша ймовірність. Число m0 визначається одним із еквівалентних співвідношень np − q ≤ m0 ≤ np + p ⇔ (n − 1) p + 1 ≤ m0 ≤ (n + 1) p ,

(6)

які випливають з формули (5). Якщо (n+1)р – ціле число, то таких найімовірніших чисел буде не одне, а два, і одне з них – m0=(n+1)р, а різниця граничних значень в (6) складає величину: (n+1)р-[(n-1)р+1]=2р-1. Приклад 2. Знайти найімовірнішу кількість m0 влучень в серії з 9-ти пострілів, якщо ймовірність успіху при одному пострілі дорівнює 0,7. Обчислить ймовірність цієї події. 

Застосувавши

(6),

дістанемо:

m0=(n+1)р=(9+1)⋅0,7=7.

Отже,

найімовірніших чисел буде не одне, а два. Відповідно до (6) дістанемо подвійну нерівність: (n-1)р+1≤m0≤7 ⇔ (9−1)⋅0,7+1≤m0≤7 ⇔ 6,6≤m0≤7. Оскільки, найімовірніша кількість влучень є цілим числом, то m0 ={6;7}. Для обчислення ймовірностей Р9(6), Р9(7) застосуємо формулу (5): Р9(6)=С96р6q3=[9!/(6!3!)]0,760,33=84⋅0,760,33≈0,267;

Р9(7)=С97р7q2=[9!/(7!

2!)]0,770,32=36⋅0,770,32≈0,267. ♦ 2.2. Кількість незалежних випробувань, необхідних для настання із заданою імовірністю принаймні однієї події в схемі Бернуллі Імовірність настання події А принаймні один раз у n випробуваннях знаходимо за формулою Рn(1≤k≤n)=1-Рn(0)=1-qn, де q=1-р. Звідси для

кількості n випробувань, які необхідно провести, щоб з імовірністю Р можна було стверджувати, що подія А з’явиться принаймні один раз, маємо: Р=1-qn ⇔ qn=1-Р→ n>

ln(1 − P ) . ln(1 − p )

(7)

Приклад 3. За одну годину автомат виготовляє 20 деталей. За скільки годин імовірність виготовлення принаймні однієї бракованої деталі буде не меншою від 0,952, якщо імовірність браку будь-якої деталі дорівнює 0,01?  Застосувавши (7) при Р=0,952 і р=0,01, дістанемо: n≥ln(1-0.952)/ln(1-0.01)=ln(0,048)/ln(0,99)≈302. Отже, за час t=302/20≈15 годин автомат виготовить принаймні одну браковану деталь із ймовірністю не меншою від 0,952. ♦ 3. Граничні теореми для схеми Бернуллі Обчислення ймовірностей за формулою Бернуллі (5) при великих значеннях n пов’язане з труднощами розрахунку. Щоб уникнути їх, застосовують її асимптотичні вирази, які даються локальною та інтегральною теоремами Муавра – Лапласа. Ці вирази отримуються на основі закону великих чисел (див. далі) 3.1. Локальна теорема Лапласа. Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких Р(А)=р, подія А відбудеться k разів, подається наближеним виразом: x2 1 k − np − 1 Pn ( k ) ≈ ×φ( x) , де φ ( x ) = e 2 , x= npq npq 2π

(8)

де n – достатньо велике число, q=1-р, а функція ϕ(х) має назву функції Гаусса. Ця функція парна, ϕ(-х)=ϕ(х), і табулюється для х≥0 (див. ДОДАТОК 1) із зростанням х вона швидко спадає, за великих значень х функції Гаусса практично дорівнює 0. 3.2. Інтегральна теорема Лапласа. Імовірність того, що подія А відбудеться від k1 до k2 разів при проведенні n незалежних випробувань, у

кожному з яких подія А відбувається з імовірністю р, розраховується за наближеним виразом: Pn ( k1 , k2 )

x t k1 − np k − np − 1 2 , x2 = 2 ≈ Φ ( x2 ) − Φ ( x1 ) , де Φ ( x ) = e dt , , x1 = ∫ npq npq 2π 0 2

(9)

де n – достатньо велике число, q=1-р, а функція Ф(х) має назву функції Лапласа. Ця функція непарна, Ф(–х)=-Ф(х), і табулюється для х≥0 (див. ДОДАТОК 2), із зростанням х вона монотонно зростає від нульового значення при х=0 до граничного значення 0,5 при х→∝, для значень х≥4 функція Ф(х) практично не змінюється і наближено дорівнює 0,5. Відхилення відносної частоти від імовірності. Імовірність того, що при проведенні n незалежних випробувань відхилення відносної частоти події А, m/n, від ймовірності р цієї події за модулем не перевищить числа ε, визначається за наближеною формулою:  m  n  P  − p < ε ÷ ≈ 2Φ  ε ÷ ÷,  n   pq 

(10)

де Ф(х) – функціяЛапласа. 3.3. Формула Пуассона для малоймовірних випадкових подій за масових випробувань Точність асимптотичних формул для великих значень n (кількості незалежних випробувань за схемою Бернуллі) знижується з наближенням p до нуля. При n→∝ , p→0, за умови np=a=const, формула Бернуллі (5) переходить у формулу Пуассона Pn ( k ) ≈

ak −a e , a = np , k!

(11)

за якою обчислюється ймовірність появи малоймовірної випадкової події k разів в масових випробуваннях (за великого значення n). ak −a Функція P ( X = k ) = e табулюється для різних значень k та а (див. k!

ДОДАТОК 3).

Зауваження 3. В наступних лекціях буде показано, що величина np в повторних незалежних випробуваннях наближено дорівнює середньому арифметичному значенню спостережуваної кількості появ події А за проведення n випробувань. Зауваження 4. Хоча формулу (11) виводять граничним переходом у формулі Бернуллі (5) за умови np=a=const при переході від однієї серії випробувань до іншої (за збільшення кількості n випробувань в серії ймовірність p появи події А у кожному з випробувань зменшується), за цією формулою зручно обчислювати ймовірність появи події k разів в n випробуваннях також і у випадку звичайної схеми Бернуллі за значень p сталих і малих, та значень n великих. Приклад 4. Імовірність того, що під час епідемії грипу мешканець міста захворіє на цю хворобу, становить у середньому 0,03%. Яка ймовірність того, що серед навмання вибраних 300 мешканців міста хворих на грип виявиться не більше 3-х осіб?  За умовою: p=0,003; n=300; 0≤k≤3. Оскільки n велике, а р мале число, то для обчислення ймовірностей застосуємо формулу Пуассона (11). Обчислимо значення параметра а=np=300⋅0,003=0,9. Р300(0≤k≤3)=Р300(0)+Р300(1)+Р300(2)+Р300(3)=е-а(а0/0!+а1/1!+а2/2!+а3/3!)= =е-0,9(1+0,9/1+0,92/2+0,93/6)≈0,40657(1+0,9+0,405+0,1215)≈0,40657+0,36591+ 0,16466+0,04940≈0,9865.

Тут:

Р300(0)≈0,40657;

Р300(1)≈0,36591;

Р300(2)≈

0,16466; Р300(3)≈0,04940. Отже, достатньо високою є ймовірність того, що серед навмання вибраних 300 мешканців міста хворих на грип виявиться не більше 3-х осіб. ♦ 4. Математична модель найпростішого потоку подій Потоком подій називається послідовність подій, які відбуваються одна за одною у випадкові моменти часу. Наприклад, потік заявок, що

надходить до підприємства побутового обслуговування, потік викликів на автоматичній телефонній станції, послідовність відмов елементів деяких схем тощо. Середня кількість подій, які відбуваються за одиницю часу, називається інтенсивністю потоку. Потік називається найпростішим, якщо він має такі властивості: 1) стаціонарність – імовірність того, що за деякий проміжок часу t відбудеться та чи інша кількість подій, пропорційний довжині проміжку і не залежить від початку його відліку – отже, інтенсивність потоку стала; 2) відсутність післядії – імовірність настання кількості k подій на довільному проміжку часу не залежить від того, яка кількість подій відбулась до початку відліку цього проміжку; 3) ординарність – імовірність настання за малий проміжок часу t двох і більше подій суттєво менша від ймовірності того, що відбудеться одна подія. Якщо потік подій найпростіший, то ймовірність того, що за проміжок часу t настане k подій, визначається формулою: Pt ( k )

( λt ) =

e − λt

(12)

де λ – інтенсивність потоку. Формула (12) випливає із формули Пуассона (11), якщо в ній замість середнього значення np=a появи кількості подій в n випробуваннях (див. Зауваження 3) взяти величину λt, яка дорівнює середній кількості появ подій в потоці за проміжок часу t. Відповідно функція P ( X = k ) =

ak −a e , яка k!

табулюється для різних значень k та а (див. ДОДАТОК 3), може бути використана для підрахунку величини Pt ( k ) у формулі (12), якщо покласти а=λt.

Приклад 5. На автоматичну телефонну станцію надходить за 1 годину в середньому 300 викликів. Знайти ймовірність того, що за дану хвилину надійде: 1) рівно 2 виклики; 2) менш як 2 виклики; 3) не менше як 2 виклики.  Потік викликів найпростіший. Тому для розв’язування задачі застосуємо формулу (12), в якій λ=300/60=5, t=1, k=2, k<2, k≥2. Обчислимо відповідні ймовірності. 52 −5 25 e = 5 ≈ 0, 084 ; 2! 2e

P1хв ( 2 ) =

50 −5 51 −5 6 P1хв ( < 2 ) = P1хв ( 0 ) + P1хв ( 1) = e + e = e −5 (1 + 5) = 5 ≈ 0, 040 ; 0! 1! e

P1хв ( ≥ 2 ) = 1 − P1хв ( > 2 ) ≈ 1 − (0, 084 + 0, 040) = 0,876 .♦

ДОДАТОК 1 2

1 − x2 ТАБЛИЦЯ ЗНАЧЕНЬ ФУНКЦІЇ ГАУСА φ( x ) = e 2π х 0,0 0,1 0,2 0,3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0 0,3989 3970 3910 3814 3683 3521 3332 3123 2897 2661

1 0,3989 3965 3902 3802 3668 3503 3312 3101 2874 2637

2 0,3989 3961 3894 3790 3653 3485 3292 3079 2850 2813

3 0,3988 3956 3885 3778 3637 3467 3271 3056 2827 2589

4 0,3986 3951 3876 3765 3621 3478 3251 3034 2803 2565

5 0,3984 3954 3876 3752 3605 3429 3230 3011 2780 2541

6 0,3982 3939 3857 3739 3589 3410 3209 2989 2756 2516

7 0,3980 3932 3847 3726 3572 3391 3187 3966 2732 2492

8 0,3977 3925 3836 3712 3555 3372 3166 2943 2709 2468

9 0,3973 3918 3825 3697 3538 3352 3144 2920 2685 2444

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

0.2420 2179 1942 1714 1497 1295 1109 0940 0790 0656

2396 2155 1919 1691 1476 1276 1092 0925 0775 0644

2371 2131 1895 1669 1456 1257 1074 0909 0761 0632

2347 2107 1872 1647 1435 1238 1057 0893 0748 0620

2323 2083 1849 1646 1415 1219 1040 0978 0734 0608

2293 2059 1826 1604 1394 1200 1023 0863 0721 0596

2275 2036 1804 1582 1374 1182 1006 0848 0707 0584

2251 2012 1781 1561 1354 1163 0989 0833 0694 0573

2227 1989 1758 1539 1334 1145 0973 0818 0681 0562

2203 1965 1736 1518 1315 1107 0957 0804 0669 0551

2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

0.0540 0440 0355 0283 0224 0175 0136 0104 0079 0060

0525 0431 0347 0277 0219 0171 0132 0101 0077 0058

0519 0422 0339 0270 0213 0164 0129 0099 0075 0056

0508 0410 0332 0264 0208 0163 0126 0096 0073 0055

0498 0404 0325 0258 0203 0158 0122 0093 0071 0053

0488 0396 0317 0252 0198 0154 0118 0091 0069 0051

0478 0387 0310 0246 0194 0151 0116 0088 0067 0050

0468 0379 0303 0241 0189 0147 0113 0086 0065 0048

0459 0371 0279 0235 0184 0143 0110 0084 0063 0047

0449 0363 0290 0229 0180 0139 0107 0081 0061 0046

3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4,0

0.0040 0033 0024 0017 0012 0009 0006 0004 0003 0002 0001

0043 0032 0023 0017 0012 0008 0006 0004 0003 0002 0001

0042 0031 0022 0016 0012 0008 0006 0004 0003 0002 0001

0040 0030 0022 0016 0011 0008 0005 0004 0003 0002 0000

0039 0029 0021 0015 0011 0008 0005 0004 0003 0002 0000

0038 0028 0020 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 0000

0037 0027 0020 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 0000

0036 0026 0019 0013 0010 0007 0005 0003 0002 0002 0000

0035 0025 0018 0013 0009 0007 0005 0003 0002 0002 0000

0034 0025 0018 0013 0009 0006 0004 0003 0002 0001 0000

ДОДАТОК 2 x

t − 1 2 e dt ТАБЛИЦЯ ЗНАЧЕНЬ ФУНКЦІЇ ЛАПЛАСА Ф( x ) = 2π ∫0

х 0,0 0,1 0,2 0,3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0 0,00000 0,03983 0,07926 0,11791 0,15542 0,19146 0,22575 0,25804 0,28814 0,31594

1 0,00399 0,04380 0,08317 0,12172 0,15910 0,19497 0,22907 0,26115 0,29103 0,31859

2 0,00798 0,04776 0,08706 0,12552 0,16276 0,19847 0,23237 0,26424 0,29389 0,32121

3 0,01197 0,05172 0,09095 0,12930 0,16640 0,20194 0,23565 0,26730 0,29673 0,32381

4 0,01595 0,05567 0,09483 0,13307 0,17003 0,20540 0,23891 0,27035 0,29955 0,32638

5 0,01994 0,05962 0,09871 0,13683 0,17364 0,20884 0,24215 0,27337 0,30234 0,32894

6 0,02392 0,06356 0,10257 0,14058 0,17724 0,21226 0,24537 0,27637 0,30511 0,33147

7 0,02790 0,06749 0,10642 0,14431 0,18082 0,21566 0,24857 0,27935 0,30785 0,33398

8 0,03188 0,07142 0,11026 0,14803 0,18439 0,21904 0,25175 0,28230 0,31057 0,33646

9 0,03586 0,07535 0,11409 0,15173 0,18793 0,00040 0,25490 0,28524 0,31327 0,33891

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

0,34134 0,36433 0,38493 0,40320 041924 0,43319 0,44520 0,45543 0,46407 0,47128

0,34375 0,36650 0,38686 0,40490 0,42073 0,43448 0,44630 0,45637 0,46485 0,47193

0,34614 0,36864 0,38877 0,40658 0,42220 0,43574 0,44738 0,45728 0,46562 0,47257

0,34849 0,37076 0,39065 0,40824 0,42364 0,43699 0,44845 0,45818 0,46638 0,47320

0,35083 0,37286 0,39251 0,40988 0,42507 0,43822 0,44950 0,45907 0,46712 0,47381

0,35314 0,37493 0,39435 0,41149 0,42647 0,43943 0,45053 0,45994 0,46784 0,47441

0,35543 0,37698 0,39617 0,41308 0,42785 0,44062 0,45154 0,46080 0,46856 0,47500

0,35769 0,37900 0,39796 0,41466 0,42922 0,44179 0,45254 0,46164 0,46926 0,47558

0,35993 0,38100 0,39973 0,41621 0,43056 0,44295 0,45352 0,46246 0,46995 0,47615

0,36214 0,38298 0,40147 0,41774 0,43189 0,44408 0,45449 0,46327 0,47062 0,47670

2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

0,47725 0,48214 0,48610 0,48928 0,49180 0,49379 0,49534 0,49653 0,49744 0,49813

0,47778 0,48257 0,48645 0,48956 0,49202 0,49396 0,49547 0,49664 0,49752 0,49819

0,47831 0,48300 0,48679 0,48983 0,49224 0,49413 0,49560 0,49674 0,49760 0,49825

0,47882 0,48341 0,48713 0,49010 0,49245 0,49430 0,49573 0,49683 0,49767 0,49831

0,47932 0,48382 0,48745 0,49036 0,49266 0,49446 0,49585 0,49693 0,49774 0,49836

0,47982 0,48422 0,48778 0,49061 0,49286 0,49461 0,49598 0,49702 0,49781 0,49841

0,48030 0,48461 0,48809 0,49086 0,49305 0,49477 0,49609 0,49711 0,49788 0,49846

0,48077 0,48500 0,48840 0,49111 0,49324 0,49492 0,49621 0,49720 0,49795 0,49851

0,48124 0,48537 0,48870 0,49134 0,49343 0,49506 0,49632 0,49728 0,49801 0,49856

0,48169 0,48574 0,48899 0,49158 0,49361 0,49520 0,49643 0,49736 0,49807 0,49861

3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4,0 4,5 5,0

0,49865 0,49903 0,49931 0,49952 0,49966 0,49977 0,49984 0,49989 0,49993 0,49995 0,49996 0,49997 0,49999

0,49869 0,49906 0,49934 0,49953 0,49968 0,49978 0,49985 0,49990 0,49993 0,49995

0,49874 0,49910 0,49936 0,49955 0,49969 0,49978 0,49985 0,49990 0,49993 0,49996

0,49878 0,49913 0,49938 0,49957 0,49970 0,49979 0,49986 0,49990 0,49994 0,49996

0,49882 0,49913 0,49940 0,49958 0,49971 0,49980 0,49986 0,49991 0,49994 0,49996

0,49886 0,49918 0,49942 0,49960 0,49972 0,49981 0,49987 0,49991 0,49994 0,49996

0,49889 0,49921 0,49944 0,49961 0,49973 0,49981 0,49987 0,49992 0,49994 0,49996

0,49893 0,49924 0,49946 0,49962 0,49974 0,49982 0,49988 0,49992 0,49995 0,49996

0,49896 0,49926 0,49948 0,49964 0,49975 0,49983 0,49988 0,49992 0,49995 0,49997

0,49900 0,49929 0,49950 0,49965 0,49976 0,49983 0,49989 0,49992 0,49995 0,49997

ДОДАТОК 3 ТАБЛИЦЯ ЗНАЧЕНЬ ФУНКЦІЇ ПУАССОНА: P ( X = k ) =

k 0 1 2 3 4 5 6

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

0.1 0.9048 0.0905 0.0045 0.0002 -

1.0 0.3679 0.3679 0.1839 0.0313 0.0153 0.0081 0.0005 0.0001 -

0.2 0.8187 0.1638 0.0164 0.0011 -

2.0 0.1353 0.2707 0.2707 0.1804 0.0902 0.0361 0.0120 0.0034 0.0009 0.0002 -

0.3 0.7408 0.2222 0.0333 0.0033 0.0002 -

3.0 0.0498 0.1494 0.2240 0.2240 0.1680 0.1008 0.0504 0.0216 0.0081 0.0027 0.0008 0.0002 0.0001 -

0.4 0.6703 0.2681 0.0536 0.0072 0.0007 0.0001 -

4.0 0.0183 0.0733 0.1465 0.1954 0.1954 0.1563 0.1042 0.0595 0.0298 0.0132 0.0053 0.0019 0.0006 0.0002 0.0001 -

а 0.5 0.6065 0.3033 0.0758 0.0126 0.0016 0.0002 а 5.0 0.0067 0.0337 0.0842 0.1404 0.1755 0.1755 0.1462 0.1044 0.0655 0.0363 0.0181 0.0034 0.0013 0.0005 0.0002 -

0.6 0.5488 0.3293 0.0988 0.0198 0.0030 0.0004 -

6.0 0.0025 0.0149 0.0446 0.0892 0.1339 0.1606 0.1606 0.1377 0.1033 0.0688 0.0413 0.0225 0.0113 0.0052 0.0022 0.0009 0.0003 0.0001 -

ak −a e , k! 0.7 0.4966 0.3476 0.1217 0.0284 0.0050 0.0007 0.0001

7.0 0.0009 0.0064 0.0223 0.0521 0.0912 0.1277 0.1490 0.1490 0.1304 0.1014 0.0710 0.0452 0.0264 0.0142 0.0071 0.0033 0.0014 0.0006 0.0002 0.0001 -

( a > 0) 0.8 0.4493 0.3596 0.1438 0.0383 0.0077 0.0012 0.0002

8.0 0.0003 0.0027 0.0107 0.0286 0.0572 0.0916 0.1221 0.1396 0.1396 0.1241 0.0993 0.0722 0.0481 0.0296 0.0169 0.0090 0.0045 0.0021 0.0009 0.0004 0.0002 0.0001 -

0.9 0.4066 0.3696 0.1647 0.0494 0.0111 0.0020 0.0003

9.0 0.0001 0.0011 0.0055 0.0150 0.0337 0.0607 0.0911 0.1318 0.1318 0.1318 0.1180 0.0970 0.0728 0.0504 0.0324 0.0194 0.0109 0.0058 0.0029 0.0014 0.0006 0.0003 0.0001