Carte di controllo by Nicola Focci

Il controllo statistico di processo: le carte di controllo

1. Introduzione Come tutti i fenomeni in natura, anche la produzione industriale è soggetta alla variabilità. Così come non esistono due individui perfettamente identici, non è possibile produrre due pezzi assolutamente identici. Esistono, però, due differenti tipi di variabilità:  Variabilità comune, o casuale, o controllata: è attribuibile a cause “casuali” o “comuni”, e generata dalla interazione tra i diversi fattori che costituiscono il processo produttivo: i materiali, i macchinari, la forza lavoro… questo genere di variabilità è sempre presente, ma in maniera stabile e costante nel tempo.  Variabilità speciale, o incontrollata: è attribuibile a cause “non casuali” o “non comuni”, come un macchinario non efficiente, differenze tra gli operatori, un materiale non idoneo… Questo genere di variabilità produce alterazioni instabili nel tempo ed imprevedibili. Il controllo statistico di processo fonda i suoi principi su questa affermazione: le ragioni che causano una variabilità speciale possono essere scoperte, e corrette. Lo strumento noto come “carta di controllo” fu introdotto negli anni ’20 ad opera di un ingegnere americano, Walther Shewhart. Tale strumento consente appunto, partendo da una rappresentazione temporale del processo produttivo, la rilevazione di variabilità incontrollate, onde permetterne l’eliminazione, individuando e rimovendo le cause. Per comprendere pienamente le basi teoriche di questa tecnica, è necessario introdurre alcune definizioni matematiche.

2. Definizioni 2.1 Popolazione E’ un insieme molto grande di dati, avente la stessa origine.

2.2 Campione E’ un limitato numero di dati prelevati da una popolazione.

2.3 Media E’ la somma dei valori di tutti i casi osservati, diviso il numero totale dei casi: n

Xi X1  X2  ......Xn  1 X  n n I simboli utilizzati sono: come media di una popolazione, e x come media di un campione (stima). NOTA: le lettere greche si riferiscono sempre alla popolazione.

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2.4 Mediana Si ottiene mettendo le osservazioni in ordine crescente di grandezza, e prendendo il valore della serie che sta nel mezzo, se il numero di osservazioni è dispari. Se è pari, si prende la media dei due valori che stanno nel mezzo. 80 80 85 88 90 95 98 102 102 110 112

2.5 Deviazione standard (o scarto tipo) E’ la radice quadrata della media dei quadrati degli scarti delle osservazioni dal loro valore medio.

s

(X1  X) 2  (X2  X) 2  . . . (Xn  X) 2  (n  1)

(Xi  X) 2 1 n  1 n

I simboli utilizzati sono: come scarto tipo di una popolazione, ed s come scarto tipo di un campione.

2.6 Varianza

E’ il quadrato della deviazione standard:

s2   1

(X i  X) 2 n 1

2.7 Errore standard E’ il rapporto fra la deviazione standard, e la radice quadrata del numero di misure effettuate. Se sx è lo scarto tipo di un campione:

sX n L’errore standard rappresenta una misura dell’incertezza relativa alla media delle misurazioni. All’aumentare della dimensione del campione (n), l’errore standard diminuisce, per cui l’errore standard su una popolazione (n= ) è zero. sX 

2.8 Frequenza E’ il numero di osservazioni relative ad un dato o gruppo di dati (classe).

2.9 Moda E’ il valore che si presenta con maggiore frequenza. Può essere facilmente stimata, ordinando i dati in una tabella di frequenza, ossia una tabella che riporti la frequenza di osservazione di ciascun dato o gruppo di dati.

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2.10 Istogramma di frequenza E’ un diagramma a barre, in cui la superficie di ogni barra è proporzionale alla frequenza con cui si presenta il gruppo di dati (classe) compreso dalla barra.

LEVA COMANDO VALVOLA - Diametro 25 45

Frequenza %

0 24,35

24,75

25,15

25,55

25,95

Diametro mm

3. La distribuzione normale L’istogramma di frequenza di un campione la cui variabilità è data unicamente da errori casuali, forma una spezzata che tende ad assumere l’aspetto di una campana:

Quando il numero di misure tende all’infinito (popolazione), l’istogramma di frequenza si avvicina ad una curva continua:

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Se si raccolgono sempre più dati, infatti, l’intervallo di classe (larghezza della barra) diventa sempre più piccolo, fino a che la linea spezzata ed irregolare dell’istogramma tende a diventare una linea continua. Questa curva a campana è detta “distribuzione normale” o “curva di Gauss” (dal nome del matematico che la scoprì):

-3

-2

-





2

3

68,3 % %% 95,4 99,7 %

La distribuzione normale ha alcune caratteristiche ben precise:  La curva è simmetrica rispetto alla media ().  I valori della media, della mediana, e della moda, coincidono. Ne consegue che la media è anche il valore più probabile.  I due punti di flesso della curva distano  dalla media.  L’area sottesa dalla curva è infinita, ma il 99,73% dei dati si trova in un intervallo di 3 attorno alla media.  Il 68,3% di dati si trova in un intervallo di  attorno alla media. Il 95,4% di dati si trova in un intervallo di 2 attorno alla media. Chiameremo LSC (Limite Superiore di Controllo) il valore +3 , e LIC (Limite Inferiore di Controllo) il valore -3

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4. Il teorema del limite centrale Si tratta di una formulazione estremamente importante, nell’ambito della matematica probabilistica. Il teorema è dimostrabile in forma analitica, ma noi ci occuperemo del solo enunciato, molto più interessante ai fini pratici. Da una popolazione P, estraiamo un campione C1 a numerosità n. Misurando una certa varabile quantitativa x (ad esempio, uno spessore), si otterrà una media x 1 ed uno scarto tipo s1.

La meda e la deviazione standard, calcolate sul campione C, sono stime della media e della deviazione standard della popolazione P.

Estraiamo ora da P un altro campione C2, sempre di numerosità n; potremmo calcolare la media x 2 e la deviazione standard s2. Anche queste saranno stima della meda e della deviazione standard della popolazione P. Se proseguiamo in quest’opera, otteniamo un grande numero k di medie campionarie: x 1, x 2, …, x k (che sarebbero le medie dei singoli campioni a numerosità n estratti da P); e, di queste, potremmo studiare la distribuzione di frequenza. Il Teorema del limite centrale afferma che: 1. La distribuzione delle medie campionarie sarà approssimabile alla distribuzione normale, indipendentemente dalla distribuzione dei valori nella popolazione d’origine da cui i campioni sono stati tratti. 2. La media di tutte le medie campionarie (“gran media”) coincide con la media della popolazione d’origine. 3. La deviazione standard delle medie campionarie coincide con l’errore standard della popolazione, diviso per n . Il teorema ci permette di riformulare LSC ed LIC:

LSC = + 3 LIC =  - 3



k j 1

k k j 1

+ 3s

- 3s

n n

5. La carta di controllo Shewhart concretizzò la teoria sul piano produttivo, elaborando un sistema basato sui seguenti step: 1. Estrazione di k campioni da una popolazione (produzione), ciascuno formato da un numero uguale n di prodotti; 2. Misurazione di una certa variabile x (ad es. uno spessore), per gli n prodotti di ciascun campione; 3. Calcolo della media di tale variabile, per ogni campione j: x j 4. Calcolo della “gran media”, ossia la media di tutte le medie:



k j 1

5. Calcolo dei valori LSC ed LIC, secondo il teorema del limite centrale, e le formule riportate al paragrafo precedente; 6. Rappresentazione grafica delle medie calcolate in (3), della “gran media” calcolata in (4), e dei limiti calcolati in (5): Nicola Focci

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0,9

LSC

0,8

0,7

0,6

LIC

0,5 1

Nel grafico:  L’asse y riporta la scala numerica relativa alla misura effettuata (in questo caso, potrebbe essere uno spessore in mm). 

Ogni punto del diagramma (linea spezzata blu) rappresenta x j per il campione jmo.  La linea tratteggiata centrale rappresenta invece la “gran media”.  Due linee continue, parallele all’asse delle x, incrociano l’asse y in corrispondenza dei valori LIC e LSC.  L’asse delle x è puramente temporale, e, quindi, tale grafico fornisce una rappresentazione nel tempo del processo produttivo. Come si vede, un punto della spezzata esce dal Limite Superiore di Controllo. Abbiamo visto che, qualora valga il teorema del limite centrale, il 99,7% delle nostre medie sarà collocato all’interno della zona compresa tra il limite LIC ed il limite LSC. Un valore fuori da tale intervallo, quindi, può presentarsi nello 0,3% dei casi: una percentuale estremamente bassa, ovvero una probabilità decisamente bassa . La presenza di punti all’esterno della zona LSC-LIC, quindi, deve fare pensare che, molto probabilmente, il processo è uscito dalla normalità, ossia è in atto una fonte di variabilità speciale. Qualche elemento estraneo (la macchina non regolata, il materiale non idoneo, ecc.) sta agendo sul nostro processo produttivo, deviando la sua performance dalla normalità. Si deve quindi pensare alla carta di controllo, come ad una spia sul cruscotto: si accende, per indicare che qualcosa non sta andando nel verso giusto. Ci avverte quando è necessario cercare la causa di variazione. Occorre comunque notare che questo strumento non ci dice QUALE sia la causa. Tra la rilevazione del problema e la sua scoperta/correzione, può passare molto tempo e lavoro. Si usa quindi dire che il controllo statistico di processo è per il 10% statistica, e per il 90% tecnologia di produzione. Un processo di produzione si dice “sotto controllo statistico”, quando sono atto solamente cause comuni (o casuali, o controllate) di variazione. In tale caso, la carta segnalerà che Nicola Focci

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non è necessario attivare azioni correttive: tutti i punti della spezzata saranno compresi all’interno dei limiti di controllo, o comunque non mostreranno andamenti anomali. Torneremo più avanti sull’interpretazione degli andamenti che la spezzata può presentare.

6. Variabili ed attributi Un controllo qualità “per variabili” valuta caratteristiche di un prodotto che possono essere misurate ed espresse in numeri. Ad esempio: uno spessore, un peso, una durezza in gradi Shore, eccetera. Un controllo qualità “per attributi”, invece, classifica il prodotto in due sole classi: accettabile, o non accettabile. Per esempio:  Utilizzando un calibro passa – non passa;  Verificando la presenza / assenza di una proprietà;  Verificando la conformità / non conformità al controllo visivo. Data la natura prettamente “per attributi” dei controlli qualità in Tecnodent, ci concentreremo soprattutto sulle carte di controllo per attributi. Si sappia, però, che esistono (e sono largamente usate) anche le carte di controllo per variabili, in cui vengono effettuate rilevazioni di dati misurabili. La trattazione esposta al paragrafo precedente, peraltro, ha preso in considerazione l’analisi di dati misurabili per rendere più semplice la comprensione del metodo. In questa dispensa, analizzeremo due tipi di carte di controllo per attributi:  Carta “p”, per frazione di elementi difettosi;  Carta “np”, per numero di elementi difettosi. “Difettoso” è un termine utilizzato per definire l’intera unità di prodotto non corrispondente alle specifiche relative ad una o più caratteristiche qualitative.

7. La carta “p” Si tratta della carta di controllo per attributi più largamente usata. Il grafico mostra l’andamento della frazione di prodotto rigettata in quanto difettosa . La “frazione di elementi difettosi”, p, viene definita come segue. numero di pezzi scartati in un controllo p= numero totale di pezzi controllati La frazione di elementi difettosi, p, può facilmente essere convertita in percentuale, moltiplicando il valore per 100. Contrariamente alla carta “np”, che prenderemo in considerazione al paragrafo 9, la carta “p” si basa sull’assunto che il numero n di pezzi che compongono i k campioni non è costante. La carta “p” dovrebbe quindi essere preferita quando, per ragioni pratiche o produttive, la dimensione del campione non può essere mantenuta costante. Vediamo quali sono i passi pratici per la realizzazione di questa carta di controllo.

7.1 La scelta del campione Il singolo campione dovrebbe essere scelto in modo da consentire una minima possibilità di variazione all’interno del campione stesso, ed una massima variazione da campione a campione. In genere, il campione è formato dai pezzi ispezionati in un giorno di produzione. Ma potrebbe anche essere formato dai pezzi ispezionati per un particolare tipo di prodotto fabbricato in quel giorno, oppure dai pezzi ispezionati e prodotti da uno stesso operatore. Il campione deve essere di dimensione tale da contenere almeno 4 pezzi non conformi.

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7.2 Calcolo della frazione di elementi difettosi, per ogni campione Supponiamo di ispezionare n pezzi. Se r è il numero di pezzi scartati in quanto difettosi, si ha: numero di pezzi scartati r p = numero totale di pezzi controllati = n

7.3 Calcolo della frazione media (“gran media”) di elementi difettosi Dopo almeno 20 campioni, si può procedere al calcolo della frazione media:



j 1

7.4 Calcolo dei limiti di controllo I limiti di controllo Inferiore e Superiore ci vengono forniti dalle seguenti formule matematiche, derivate dal teorema del limite centrale: LIC  p  3

p (1  p )

LSC  p  3

p(1  p )

ni ni Poiché la dimensione del campione non è costante, queste formule ci consentono di calcolare LIC e LSC per ogni campione i-esimo considerato. Potremmo quindi avere 20 valori di LIC, e 20 valori di LSC. Si veda anche il paragrafo 7.6.

7.5 Registrare i dati Per registrare opportunamente i dati, è possibile servirsi di un modulo analogo a quello presentato di seguito: FOGLIO DI CONTROLLO PER LA CARTA p Nome dell’articolo o della parte: Codice: Responsabile del controllo: Lotto/ Numero Numero Data p LIC LSC campione ispezionati scartati

Note

7.6 Tracciare la carta di controllo Si può quindi procedere a disegnare ogni punto, così come è stato ottenuto, e tracciare il grafico. Il lettore attento avrà comunque già notato come sia impossibile ottenere un grafico identico a quello di pagina 6, dal momento che i limiti LIC e LSC hanno valori diversi, e quindi non possono essere rappresentati con due linee rette parallele Nicola Focci

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all’asse x (vedi 7.4). Va quindi presa una decisione, circa la modalità con la quale i limiti verranno tracciati sulla carta p. Esistono tre possibilità: 1. Disegnare le linee LIC e LSC, come spezzate. I limiti di controllo avrebbero quindi una rappresentazione “fluttuante” sulla carta. 2. Fare una stima della dimensione media n del campione per l’immediato futuro, e calcolare i set di limiti sulla base di questa dimensione media. Ogni volta che tale dimensione è molto diversa da quella prevista, si possono calcolare e disegnare limiti separati per quel particolare campione. 3. Disegnare diversi set di limiti di controllo, corrispondenti a differenti dimensioni nei campioni. Ad esempio, tre coppie: una per la dimensione media attesa, una per quella che si prevede essere la maggiore, ed una per quella che si ritiene sarà la più bassa. Questo sistema implica però un’attenzione particolare nel valutare se i punti sono fuori limite, o meno.

7.7 Situazione di controllo Se la carta “p” non mostra carenze di controllo statistico (vedi paragrafo successivo), si può proseguire con il successivo set di campioni e la successiva carta “p”, ma considerando la “gran media” ottenuta per questo set come valida anche per il secondo set, senza bisogno di calcolarla nuovamente (vedi 7.3). Successivamente, si potrà procedere periodicamente al calcolo della “gran media”, ad esempio ogni 2 carte tracciate.

8. Interpretare la carta di controllo In generale, una situazione anomala (fuori controllo) potrebbe essere evidenziata da: uno o più punti fuori dai limiti di controllo, una disposizione anomala dei punti, una tendenza (trend) dei punti. Prima di analizzare questi tre casi, va detto che, qualora la carta preliminare mostri una mancanza di controllo apparentemente senza speranza, è in genere preferibile proseguire per qualche tempo senza tracciare i limiti di controllo. Ha infatti poco senso tracciare LSC ed LIC, se non si ha l’evidenza di poterli rispettare. In genere, però, la situazione è in qualche modo intermedia tra quella appena descritta, e quella di controllo statistico. In questo caso, è utile approfondire le situazioni anomale, di seguito descritte.

8.1 Uno o più punti fuori dai limiti di controllo La presenza di punti oltre LSC (“high spots” in gergo tecnico) deve portare alle analisi del caso, per risalire alla causa che ha generato questo effetto. Si tratta, spesso, di questioni puramente tecniche. I “low spots”, ovvero i punti al di sotto di LIC, devono richiamare l’attenzione su tematiche differenti. Spesso indicano controlli poco accurati, e quindi la necessità di addestramento o standard di controllo migliori. In altre situazioni possono essere utili per trovare le ragioni che hanno portato ad una qualità migliore in quel campione; una conoscenza di tali cause può infatti portare al miglioramento dell’intero standard qualitativo.

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8.2 Disposizione anomala dei punti Le seguenti disposizioni hanno probabilità molto bassa di manifestarsi in situazioni di controllo, e devono quindi essere analizzate. a) Serie di 7 o più punti consecutivi tutti collocati nella zona tra LSC e p b) Serie di 7 o più punti consecutivi tutti collocati nella zona tra LIC e p c) Più di 2/3 dei punti addossati nel terzo centrale della regione entro i limiti di controllo d) Meno di 2/3 dei punti addossati nel terzo centrale della regione entro i limiti di controllo Come esempio dei casi (c) e (d), si vedano le figure che seguono. Potrebbero indicare un errore nel calcolo di LSC ed LIC, o anche una manipolazione dei dati. 1

0,9

LSC

0,8

0,7

0,6

LIC 0,5 1

(esempio di 8.2.c)

0,9

LSC X

0,8

0,7

0,6

LIC

0,5 1

(esempio di 8.2.d)

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8.3 Trend Per trend, si intende una serie di 7 punti consecutivi, in cui il punto successivo è sempre maggiore o sempre minore del precedente.

0,9

LSC X

0,8

0,7

LIC

0,6

0,5 1

In questi casi, è necessario analizzare il processo fin dall’inizio della serie, per individuare la causa che ha portato alla variazione della sua media.

8.4 Situazione di controllo non desiderabile Può anche verificarsi il caso in cui la carta mostri controllo, ma al prezzo di una frazione di non conformi troppo elevata per risultare soddisfacente. In genere, questa situazione suggerisce che il miglioramento può essere ottenuto solo con interventi drastici: nuove macchine, modifiche nel processo, eccetera.

9. La carta np La carta di controllo np è anche detta “carta del numero di pezzi non conformi”. Valgono le stesse regole viste per la carta p, con la differenza che il numero n di pezzi che compongono i campioni è costante. La carta np, quindi, illustra l’andamento di n*p, ossia di r (si veda 7.2), il numero di pezzi scartati. In questo caso, la media (per m campioni) ha valore: I limiti di controllo si calcolano da: n p  3 n p  (1  p )

np 

(np)1  (np)2  . . .  (np)m m

L’uso della carta np ci risparmia un’operazione matematica, ossia quella descritta in 7.2, relativa al calcolo del rapporto tra r ed n. Ha quindi un uso più semplice. Molte persone, inoltre, trovano che la carta np sia di più facile lettura. Non sempre, però, è possibile ottenere una dimensione costante per tutti i campioni. E, quando essa varia, LSC ed LIC devono essere nuovamente tracciati.

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