add-m4-2-finished by Nett

คณิ ตศาสตร์เพิม เติม ชั นมัธยมศึกษาปี ที 4

เล่ม 2

สารบัญ บทที่ 1 ระบบสมการเชิงเสนและเมทริกซ ผลการเรียนรูที่คาดหวัง ขอเสนอแนะ กิจกรรมเสนอแนะ ตัวอยางแบบทดสอบ เฉลยตัวอยางแบบทดสอบ กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร เฉลยแบบฝกหัด 1.1 เฉลยแบบฝกหัด 1.2 เฉลยแบบฝกหัด 1.3 เฉลยแบบฝ หัด 1.4 กษาขัน ตามหลั กสูตกรการศึ ้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ เฉลยแบบฝกหัด 1.5

หนา 1 1 2 11 22 24 30 34 46 56 73

จัดทําโดย บทที่ 2 ฟงกชัน ผลการเรียนรูที่คาดหวัง สถาบั นสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ขอเสนอแนะ กิจกรรมเสนอแนะกระทรวงศึกษาธิการ ตัวอยางกิจกรรม เฉลยแบบฝกหัด 2.1ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 เฉลยแบบฝกหัด 2.2 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม เฉลยแบบฝกหัด 2.3.1 ก เฉลยแบบฝกหัด 2.3.1 ขพ.ศ. ๒๕๔๗ เฉลยแบบฝกหัด 2.3.2 เฉลยแบบฝกหัด 2.3.3 องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย เฉลยแบบฝกหัด 2.3.4 มพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว เฉลยแบบฝกหัดพิทบทวน

85 85 86 94 102 103 106 110 114 117 132 146 149

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒ ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

บทที่ 3 เรขาคณิตวิเคราะห ผลการเรียนรูที่คาดหวัง ขอเสนอแนะ กิจกรรมเสนอแนะ เฉลยแบบฝกหัด 3.1.1 เฉลยแบบฝกหัด 3.1.2 เฉลยแบบฝกหัด 3.1.3  ดสาระการเรี ยนรูค ณิตศาสตร เฉลยแบบฝกลุ กหัม 3.1.4 เฉลยแบบฝกหัด 3.1.5 เฉลยแบบฝกหัด 3.1.6 เฉลยแบบฝ หัด 3.1.7กษาขัน ตามหลั กสูตกรการศึ ้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ เฉลยแบบฝกหัด 3.2.1 เฉลยแบบฝกหัด 3.2.2 เฉลยแบบฝกหัด 3.2.3 จัดทําโดย เฉลยแบบฝกหัด 3.2.4 เฉลยแบบฝ กหัดม3.2.5 สถาบั นสงเสริ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี เฉลยแบบฝกหัดทบทวน

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒ ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

กระทรวงศึกษาธิการ

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม พ.ศ. ๒๕๔๗ องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

หนา 156 156 157 171 189 197 203 208 212 217 223 226 232 248 257 270 285

เฉลยแบบฝกหัด 1.1 1. x + 3y = 8 x – 2y = 3 วิธีทํา

x + 3y = 8 x – 2y = 3 นําสมการ (1) ลบดวยสมการ (2) จะได 5y = 5 y = 1 กลุจะได ม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร แทนคา y ในสมการ (2) x = 5 ดังนั้น คําตอบของระบบสมการคือ (x, y) = (5, 1)

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

---------- (1) ---------- (2)

คณิตศาสตร เลม ๒ ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ 2. x – y ตามหลั = – 4 กสูตรการศึกษาขัน 2x + 3y = 22 วิธีทํา x–y = –4 ---------- (1) 2x + 3y จัดทํ=าโดย 22 ---------- (2) นํา 2 คูณสมการ (1) จะได – 2y =ทยาศาสตร –8 สถาบันสงเสริม2xการสอนวิ และเทคโนโลยี---------- (3) นําสมการ (2) ลบดวยสมการ (3) จะได กระทรวงศึ 5y = กษาธิ 30การ y = 6 แทนคา y ในสมการ (1) จะได ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 x = 2 พิ ม พ ค รั ง ้ ที ห ่ นึ ง ่ ๑๐,๐๐๐ เลม ดังนั้น คําตอบของระบบสมการคือ (x, y) = (2, 6) พ.ศ. ๒๕๔๗

3. x + y + z = 6 x–y+z = 2 x+y–z = 0

องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

31 x+y+z = 6 x–y+z = 2 x+y–z = 0 นําสมการ (3) บวกสมการ (2) จะได 2x = 2 x = 1 นําสมการ (1) บวกสมการ (2) จะได 2x + 2z = 8 แทนคา x ในสมการ (4) จะได z =ยนรูค กลุม สาระการเรี  3ณิตศาสตร แทนคา x และ z ในสมการ (3) จะได y = 2 ดังนั้น คําตอบของระบบสมการ คือ (x, y, z) = (1, 2, 3) วิธีทํา

---------- (1) ---------- (2) ---------- (3)

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

---------- (4)

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔

4. x + 2y – z = 3 3x + y = 6 2x + y = 1 วิธีทํา

จัดทําโดย

x + 2y – z = 3 ---------- (1) 3x + y = 6 ---------- (2) สถาบันสงเสริมการสอนวิ ท ยาศาสตร แ ละเทคโนโลยี 2x + y = 1 ---------- (3) นําสมการ (2) ลบดวยสมการ (3)กระทรวงศึ จะได กษาธิการ x = 5 แทนคา x ในสมการ (3) จะได ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 y = –9 พิม(1)พคจะได รัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม แทนคา x และ y ในสมการ –zพ.ศ. ๒๕๔๗ = 16 z = –16 ดังนั้น คําตอบของระบบสมการคือ (x, y, z) = (5, –9, –16)

32 5. 2x – 3y + z = 8 –x + 4y + 2z = – 4 3x – y + 2z = 9 วิธีทํา

2x – 3y + z = 8 ---------- (1) ---------- (2) –x + 4y + 2z = –4 3x – y + 2z = 9 ---------- (3) นําสมการ (3) ลบสมการ (2) จะได 4x – 5y = 13 ---------- (4) นํา 2 คูณสมการ (1) จะได 6y + 2z =ยนรูค ---------- (5) กลุ4xม –สาระการเรี  16ณิตศาสตร นําสมการ (5) ลบดวยสมการ (2) จะได 5x – 10y = 20 ---------- (6) นํา 2 คูณสมการ (4) จะได 8x –ก10y ตามหลักสูตรการศึ ษาขัน้ พื= น้ ฐาน26 พุทธศักราช ๒๕๔๔---------- (7) นําสมการ (7) ลบดวยสมการ (6) จะได 3x = 6 x จัดทํ=าโดย 2 แทนคา x ในสมการ (4) จะได y = –1 สถาบั น ส ง เสริ ม การสอนวิ ท ยาศาสตร และเทคโนโลยี แทนคา x และ y ในสมการ (1) จะได z = กษาธิ 1 การ กระทรวงศึ ดังนั้น คําตอบของระบบสมการคือ (x, y, z) = (2, –1, 1)

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒ ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

6. x – y + 2z = –3 y – 3z = 5 x + 4y – 8z = 17 วิธีทํา

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม พ.ศ. ๒๕๔๗

x – y + 2z = –3 y – 3z = 5 + 4y – 8z องคกx ารค าของคุรุส=ภาจัด17พิมพจําหนาย จากสมการ (2) จะได y = 5 + 3z มพท(3)ี่โรงพิ แทนคา y ลงในสมการ (1) พิและ จะไดมพคุรุสภาลาดพราว ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

---------- (1) ---------- (2) ---------- (3)

33 x–z = 2 x + 4z = –3 นําสมการ (4) ลบดวยสมการ (5) จะได –5z = 5 z = –1 แทนคา z ในสมการ (2) จะได y = 2 แทนคา y และ z ในสมการ (1) จะได x–2–2 = –3 x =ยนรูค กลุม สาระการเรี  1ณิตศาสตร ดังนั้น คําตอบของระบบสมการคือ (x, y, z) = (1, 2, –1)

---------- (4) ---------- (5)

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒ ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

7. x + y = 2 x + 3y +ตามหลั z = 5 กสูตรการศึกษาขัน ้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ 3x + y – z = 3 วิธีทํา x+y = 2 ---------- (1) x + 3y + z ---------- (2) จัดทํ=าโดย 5 3x + y – z = 3 ---------- (3) จากสมการ (1) จะได x = 2 – y แทนคาลงในสมการ (2) และ (3) จะได สถาบัน2ส+ง2yเสริ + z ม=การสอนวิ 5 หรือ ท 2yยาศาสตร + z = 3 และเทคโนโลยี และ 6 – 2y – z =กระทรวงศึ 3 หรือ 2yกษาธิ + z =การ 3 ดังนั้น ระบบสมการนี้มีไดหลายคําตอบ คือ (x, y, z) = (2 – y, y, 3 – 2y) เมื่อ y ∈ R 8. 2x + 2y + 3z + 2t x + y + 2z + 2t 2y + 5z + 2t x + y + 3z + 4t วิธีทํา

= = = =

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9

11 ่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม 6 พิมพครัง้ ทีห 5 พ.ศ. ๒๕๔๗ 1 2x + 2y + 3z + 2t = 11 x + y + 2z + 2t องค การคาของคุรุส=ภาจัด6พิมพจําหนาย 2y + 5z + 2t = 5 พท+ี่โ4tรงพิมพ=คุรุสภาลาดพร าว x + yพิ+ม3z 1 ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

---------- (1) ---------- (2) ---------- (3) ---------- (4)

34 นํา 2 คูณสมการ (2) จะได 2x + 2y + 4z + 4t = 12 นําสมการ (5) ลบดวยสมการ (1) จะได z + 2t = 1 นํา 2 คูณสมการ (4) จะได 2x + 2y + 6z + 8t = 2 นําสมการ (7) ลบดวยสมการ (1) จะได 3z + 6t = –9 หรือ z + 2t = –3 เห็นไดชัดวา ไมมี z, tกลุ ที่ทม สมการ (6), (8)ยเปนรู นจริค น  ําใหสาระการเรี  งณิพรตอมกัศาสตร ดังนั้น ระบบสมการที่กําหนดไมมีคําตอบ

---------- (5) ---------- (6)

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

---------- (7)

---------- (8)

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

ตามหลักสูตรการศึกเฉลยแบบฝ ษาขัน้ พืน้ กฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ หัด 1.2 1. (1) 2C – 3E

⎡ 3 −1 ⎢ 2⎢ 4 1 ⎢ 2 1 ⎣

จัดทําโดย 03 ⎤⎥ – 3 ⎡⎢ ⎥ ⎢ 3 ⎥⎦

2 −4 1 1

⎢⎣ 2

5 ⎤ − 1 ⎥⎥ 0 ⎥⎦

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ⎡ 0 10 − 9 ⎤ ⎢ 5 −1 = กระทรวงศึ กษาธิ3 ก⎥⎥ าร ⎢ ⎢⎣− 2 − 4

(2) AB

6 ⎥⎦

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 ⎡ 1 0⎤ เลม พิมพครัง้ ⎡ ที1 ห่ 2นึง่ 0⎤ ๑๐,๐๐๐ ⎥ ⎢ = ⎢2 1 4⎥ ⎢2 1⎥ ⎣ ⎦ ⎢ 3 2⎥ พ.ศ. ๒๕๔๗ ⎦ ⎣ =

⎡ 5 ⎢16 ⎣

2⎤ 9⎥⎦

35 BA

⎡ 1 0⎤ ⎢2 1⎥ ⎡ 1 2 0⎤ ⎥ ⎢ 2 1 4⎥ ⎢ ⎦ ⎢⎣ 3 2⎥⎦ ⎣

⎡ 1 2 0⎤ ⎢ 4 5 4⎥ ⎥ ⎢ ⎢⎣7 8 8⎥⎦

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

(3)

คณิ= ตศาสตร เลม ๒ ⎡ 3 − 2⎤ ⎡ 3 − 2⎤ ⎢2 0⎥⎦ 0⎥⎦ ⎢⎣2 ⎣

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร =

⎡ 5 − 6⎤ ⎢6 − 4⎥ ⎣ ⎦

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ ⎡ 5 2⎤ ⎡ 5 − 6⎤ 2 + ⎢ AB + D = ⎢ ⎥ ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุ⎥ทธศักราช ⎣16 9⎦

⎣6 − 4 ⎦

๒๕๔๔

⎡10 − 4⎤ ⎢22 5⎥⎦ ⎣

จัดทําโดย

(4)

3⎤ ⎡ 3 − 1 3แ⎤ ละเทคโนโลยี ⎡ 3 − 1ทยาศาสตร สถาบั น ส ง เสริ ม การสอนวิ ⎢ 2C 2 ⎢4 1 0⎥⎥ ⎢⎢4 1 0⎥⎥ = ⎢⎣2 1 3⎥⎦ ⎢⎣2 กระทรวงศึ กษาธิการ1 3⎥⎦ 2

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม 0⎤ ⎡22 − 2 36⎤ ⎡ 1 2 ๒๕๔๗ พ.ศ. ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ =

BA – 2C2

⎡22 − 2 36⎤ ⎢32 − 6 24⎥ ⎥ ⎢ ⎢⎣32 4 30⎥⎦

⎢4 5 4⎥ − ⎢32 − 6 24⎥ ⎢⎣32 ⎢⎣7 8 8⎥⎦ 4 30⎥⎦

− 36⎤ ⎡ − 21รุส4ภาจั องคการคาของคุ ดพิ⎥ มพจําหนาย ⎢

⎢− 28 11 − 20⎥ ⎢⎣− 25 4 − 22⎥⎦

พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

36 (5) t t

⎡1 2 ⎤ ⎢2 1 ⎥ ⎡1 2 3⎤ ⎥ ⎢0 1 2⎥ ⎢ ⎦ ⎢⎣0 4⎥⎦ ⎣

⎡1 4 7 ⎤ ⎢2 5 8 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢⎣0 4 8 ⎥⎦

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิ= ตศาสตร เลม ๒ ⎡4 − 8 10 ⎤ ⎢2 2 − 2⎥⎥ ⎢ ⎢⎣4 4 0 ⎥⎦

t t

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

A B + 2E

ชั=น้ มัธยมศึกษาป ที่ ๔ +

⎡4 − 8 10 ⎤ ⎢2 2 − 2⎥⎥ ⎢ ⎢⎣4 4 0 ⎥⎦

⎡1 4 7 ⎤ ⎢2 5 8 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢⎣0 4 8 ⎥⎦

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ =

⎡5 − 4 ⎢4 7 ⎢ ⎢⎣4 8

17⎤ 6 ⎥⎥ 8 ⎥⎦

จัดทําโดย

(6)

⎡ 5 2⎤ ⎡ 3 − 2⎤ (AB)D ⎢ ยาศาสตร ⎢16 9⎥ ท สถาบั นสงเสริม= การสอนวิ และเทคโนโลยี 0 ⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎣2 กระทรวงศึ กษาธิการ 10 ⎤ ⎡19

(7) C+E

⎢66 − 32⎥ ⎣ ⎦

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ⎡3ทีห่ −นึ1 ง่ 3๑๐,๐๐๐ เลม ⎤ ⎡2 − 4 5 ⎤ ⎢4 1๒๕๔๗ 0⎥⎥ + ⎢⎢1 1 − 1⎥⎥ = ⎢ พ.ศ. ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎣2

3⎦

⎣2

0⎦

⎡5 − 5 8 ⎤ ⎢5 2 − 1⎥⎥ ⎢ ⎢⎣4 3 3 ⎥⎦

องคก=ารคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

37 BA(C + E)

2. (1)

ABC BC

⎡1 2 0 ⎤ ⎡ 5 − 5 8 ⎤ ⎢ 4 5 4⎥ ⎢5 2 − 1⎥⎥ ⎥⎢ ⎢ ⎢⎣7 8 8 ⎥⎦ ⎢⎣4 3 3 ⎥⎦

⎡ 15 − 1 ⎢ 61 2 ⎢ ⎢⎣107 5

6⎤ 39⎥⎥ 72 ⎥⎦

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม =

A(BC)

คณิ= ตศาสตร เลม ๒ 2⎤ ⎡− 1 ⎡ − 1 3 2⎤ ⎢ 1 ⎥⎥ ⎢ 1 3 0⎥ ⎢ 0 ⎣ ⎦ ⎢ 3 − 2⎥ ⎦ ⎣

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

ชั=น้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ ⎡ 7 − 3⎤ ⎢− 1 5⎥⎦ ⎣

ตามหลั กสูตรการศึ กษาขั ้ พื3⎤⎥น้ ⎡⎢ ฐาน 7 − 3พุ ⎤ ทธศักราช ๒๕๔๔ ⎡1 น A(BC) = ⎥ ⎢ ⎣ 2 − 1⎦ ⎣− 1

(2)

5⎦

12 ⎤ ⎡ 4 ⎢ 15 − 11⎥ ⎣ ⎦

จัดทําโดย

สถาบันสงเสริมการสอนวิ ทยาศาสตรและเทคโนโลยี 3⎤ ⎡− 1 3 2⎤ ⎡1 AB = ⎢ 2 − 1⎥ ⎢ 1 3 0⎥ ⎣ ษาธิการ ⎦ ⎣ ⎦ก กระทรวงศึ

ACt

⎡ 2 12 2⎤ ⎢ − 3 3 4⎥ ⎣ ⎦

⎡ 5 ⎢− 4 ⎣

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ⎡ ที1 ห่ นึ3ง่ ⎤ ⎡๑๐,๐๐๐ เล3ม⎤ −1 0 = ⎢ 2 − 1⎥ ⎢ 2 1 − 2⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎣ พ.ศ. ๒๕๔๗ 3 −1

− 3⎤ 8 ⎥⎦

38 AB + ACt

(3)

⎡ 2 12 2⎤ ⎢ − 3 3 4⎥ ⎦ ⎣

⎡ 7 ⎢− 7 ⎣

3 − 3⎤ ⎡ 5 ⎢− 4 − 1 8⎥⎦ ⎣

15 − 1⎤ 2 12⎥⎦

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม =

3⎤ ⎡1 3⎤ ⎡1 ⎢2 − 1⎥ ⎢2 − 1⎥ ⎦⎣ ⎣ ⎦

คณิ= ตศาสตร เลม ๒ ⎡7 0 ⎤ ⎢0 7 ⎥ ⎦ ⎣

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร A2 – 2BC

⎡7 0 ⎤ ⎢0 7 ⎥ ⎦ ⎣

–

⎡− 7

6⎤

⎡ 14 − 6⎤ ⎢− 2 10 ⎥ ⎦ ⎣

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

= กษาขั ⎢ 2น ตามหลักสูตรการศึ ้ ⎥⎦ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ − 3น ⎣ ้ พื 3.

⎡1 2⎤ ⎡ 2 − 1⎤ ⎢3 2⎥ ⎢ − 3 4 ⎥ ⎦ ⎣ ⎣ ⎦

จัดทําโดย

⎡− 4 ⎢ 0 ⎣

7⎤ 5⎥⎦

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 1 2⎤ การ ⎡ 2 − 1⎤ก⎡ษาธิ BA = กระทรวงศึ ⎢− 3 4 ⎥ ⎢3 2⎥ ⎣

⎦ ⎣

⎦

1 2-⎤01 - 3820 - 9 ISBN⎡−974 ⎢ 9 2⎥ ⎦ ⎣ พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม พ.ศ. ๒๕๔๗ AB ≠ BA

∴

39 4. (1)

2At

1 3⎤ ⎥ ⎣− 1 2⎦

2 ⎡⎢

⎡ 2 6⎤ ⎢ − 2 4⎥ ⎦ ⎣ ⎡1 − 1⎤ ⎢3 2⎥⎦ ⎣

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

2At – A

⎡ 2 ⎢− 2 ⎣

6⎤ 4⎥⎦

–

คณิ= ตศาสตร เลม ๒ ⎡ 1 ⎢− 5 ⎣

7⎤ 2⎥⎦

 วกกั สาระการเรี นรูกซค ณิ2Aตt ศาสตร ∴ เมทริกกลุ ซที่บม บ A แลวไดเยมทริ คือ ⎡⎢ 1

7⎤ 2⎥⎦

⎣− 5

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

(2)

⎡1 − 1⎤ ⎡1 − 1⎤ ⎢3 2⎥⎦ ⎢⎣3 2⎥⎦ ⎣

⎡− 2 − 3⎤ ⎢ 9 1⎥⎦ ⎣

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔

A –A

จัดทําโดย ⎡1 –

⎢3 ⎣

− 1⎤ 2⎥⎦

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ⎡ − 3 − 2⎤ = ⎢ 6 − 1⎥ ⎣ กระทรวงศึ ก⎦ ษาธิการ ∴ (3)

เมทริกซที่บวกกับ A แลวไดเมทริกซ A2 คือ

⎡− 3 ⎢ 6 ⎣

− 2⎤ − 1 ⎥⎦

⎡x ⎢z ⎣

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม y ⎤ ⎡1 −1⎤ x −1 y +1⎤ –⎢ = ⎡⎢ เมื่อ x, y, z, t เปนจํานวนจริง ⎥ ⎥ t ⎦ ⎣3 2⎦ พ.ศ. ⎣๒๕๔๗ z −3 t − 2⎥⎦

∴

เมทริกซที่บวกกับ A แลวไดเมทริกซ

⎡x ⎢z ⎣

y⎤ t ⎥⎦

คือ

⎡ x −1 ⎢z − 3 ⎣

y +1⎤ t − 2⎥⎦

40 5. (1)

A+X = 2X = X = ∴

2A – X A 1 A 2

เมทริกซ X ที่ทําให A + X = 2A – X เปนจริงคือ X =

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม (2)

⎡ 1 ⎢ 2 ⎢ ⎢− 1 ⎣ 2

1 2 1 2

⎤ 1⎥ ⎥ 3⎥ 2⎦

คณิตศาสตร เลม ๒

AAt X 2I2

= 2I2 + X = 2I2 – AAt 0⎤ ⎡2 ⎢ ⎥ยนรูค กลุม =สาระการเรี  ณิตศาสตร ⎣0

2⎦

ชั=น้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ ⎡ 1 ⎢− 1 ⎣

⎡6 ⎢6 ⎣

⎡1 2⎤ ⎢ 1 3⎥⎦ ⎢ ⎢⎣2

1 1

− 1⎤ 1⎥⎥ 3⎥⎦

6⎤ 11⎥⎦

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ ∴ (3)

เมทริกซ X ที่ทําให AAt = 2I2 + X เปนจริง คือ X =

2AtA X

= =

X –จัIด3 ทําโดย 2AtA + I3

⎡ 4 ⎢ 0 ⎢ ⎢⎣− 2

⎡ − 4 − 6⎤ ⎢ − 6 − 9⎥ ⎣ ⎦

⎡1 − 1 ⎤ สถาบั นสงเสริม= การสอนวิ ทยาศาสตรและเทคโนโลยี 2A A 2 ⎢⎢1 1⎥⎥ ⎡⎢ 1 1 2 ⎤⎥ −1 1 3⎦ ⎢⎣2 3⎥⎦ ⎣ กระทรวงศึกษาธิการ t

− 2⎤ 10 ⎥⎥ 26 ⎥⎦

0 4

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 10 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม 0 0⎤ ⎡1 พ.ศ. ๒๕๔๗ ⎢ 0 1 0⎥ = ⎢ ⎢⎣0

⎥ 1⎥⎦

มพนจริจํางหน ∴ เมทริองค กซ Xการค ที่ทําาใหของคุ 2AtAรุส= ภาจั X – ดI3 พิเป คือาXย = พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

⎡ 5 ⎢ 0 ⎢ ⎢⎣− 2

0 5 10

− 2⎤ 10 ⎥⎥ 27 ⎥⎦

41 6. (1)

A+B

⎡1 − 1⎤ ⎢0 2 ⎥ ⎣ ⎦

⎡2 − 1⎤ ⎢1 4 ⎥⎦ ⎣

⎡1 0⎤ ⎢1 2⎥ ⎣ ⎦

⎡2 − 1⎤ ⎡2 − 1⎤ ⎢1 4 ⎥⎦ 4 ⎥⎦ ⎢⎣1 ⎣

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

(A + B)2

คณิ= ตศาสตร เลม ๒ ⎡3 − 6 ⎤ ⎢6 15⎥ ⎣ ⎦

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร A2

⎡1 − 1⎤ ⎡1 − 1⎤ ⎢0 2 ⎥ ⎢0 2 ⎥ ⎦ ⎣ ⎦⎣

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ ⎡1 − 3⎤

= กษาขั ⎢0 น ⎥น ตามหลักสูตรการศึ ⎣ ้ 4พื ⎦ ้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ B2

⎡1 0⎤ ⎡1 0⎤ ⎢1 2⎥ ⎢1 2⎥ ⎦ ⎣ ⎦⎣

จัดทําโดย

⎡1 0⎤ ⎢3 4⎥ ⎣ ⎦

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 0⎤ การ 2AB = กระทรวงศึ 2 ⎡⎢1 − 1⎤⎥ ก⎡⎢1ษาธิ 0 2 1 2⎥ ⎣

⎦⎣

⎦

ISBN⎡0974− 4-⎤01 - 3820 - 9 ⎢4 8 ⎥⎦ ⎣ พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม ⎡1 − 3๒๕๔๗ ⎤ ⎡0 − 4⎤ ⎡1 พ.ศ. A2 + 2AB + B2 = ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ + ⎢ =

⎣0

4⎦

⎣4

8⎦

0⎤ ⎥ ⎣3 4⎦

⎡2 − 7 ⎤ ⎢7 16⎥ ⎣ ⎦

องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว

∴ (A + B)2 ≠ A2 + 2AB + B2 ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

42 (2)

A–B

⎡1 − 1⎤ ⎢0 2 ⎥ ⎣ ⎦

⎡ 0 − 1⎤ ⎢− 1 0⎥ ⎣ ⎦

⎡1 0⎤ ⎢1 2⎥ ⎣ ⎦

–

⎡2 − 1⎤ ⎡ 0 − 1⎤ ⎢1 4 ⎥⎦ ⎢⎣ − 1 0 ⎥⎦ ⎣

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

(A + B)(A – B) =

คณิ= ตศาสตร เลม ๒ ⎡ 1 − 2⎤ ⎢− 4 − 1 ⎥ ⎣ ⎦

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร A2 – B2

⎡1 − 3⎤ ⎢0 4 ⎥⎦ ⎣

–

⎡1 0⎤ ⎢3 4⎥ ⎣ ⎦

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ ⎡ 0 − 3⎤

= กษาขั ⎢− 3น ตามหลักสูตรการศึ ้ ⎥⎦ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ ⎣ ้ พื0น ∴ (A + B)(A – B) 7.

≠

A2 – B2

⎡0 ⎢0 ⎢ ⎢⎣0

a 0

⎢0 ⎢⎣0

จัดทําโดย 1⎤ b ⎥⎥ 0 ⎥⎦

⎡0 ⎢0 ⎢ ⎢⎣0

1⎤ b ⎥⎥ 0 ⎥⎦

a 0

0 0 และเทคโนโลยี สถาบันสงเสริมการสอนวิ ทยาศาสตร 0 ab⎤กษาธิการ ⎡0กระทรวงศึ ⎥ ⎢

0⎥ ≠ 0 ⎥⎦

0 เพราะ ab ≠ 0

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 0 ab⎤ ⎡0 พิAม2⋅Aพครั=ง้ ทีห่ นึง่ ⎡⎢00 ๑๐,๐๐๐ เล ม⎥ ⎢0 0 0 ⎥ ⎢ ⎢ ⎢⎣0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 พ.ศ. ๒๕๔๗ =

⎡0 ⎢0 ⎢ ⎢⎣0

0 0

a 0 0

0⎤ 0⎥⎥ 0⎥⎦

องคการคาของคุรุสภาจัดพิ0มพจําหนาย พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว

∴ n = 3 คือ จํานวนเต็มบวกที่นอยที่สุด ที่ทําให An = 0 ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

1⎤ b ⎥⎥ 0 ⎥⎦

43 8. (1)

ให B =

⎡b 11 ⎢ ⎣b 21

b 12 ⎤ ⎥ b 22 ⎦

โดยที่ b11, b12, b21 และ b22 เปนจํานวนจริง

AB = 0 ⎡1 ⎢2 ⎣

2⎤ 4⎥⎦

⎡b 11 ⎢ ⎣b 21

b 12 ⎤ ⎥ b 22 ⎦

⎡0 ⎢0 ⎣

0⎤ 0⎥⎦

คูม อื ครูสาระการเรี ยนรูเ พิม่ เติม =

⎡b11 + 2b 21 ⎢ ⎣2b11 + 4b 21

b12 + 2b 22 ⎤ ⎥ 2b12 + 4b 22 ⎦

⎡0 ⎢0 ⎣

0⎤ 0⎥⎦

คณิตศาสตร เลม ๒

จากบทนิยามของการเทากันของเมทริกซ จะได

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

= 0 b11 + 2b21 2b11 + 4b21 = 0 b + 2b22 = 0 ตามหลัก2bสู12ตรการศึ ก ษาขั น ้ พื น้ ฐาน = 0 12 + 4b22 ∴

b11 b12

= =

พุทธศักราช ๒๕๔๔

–2b21 –2bจั22ดทําโดย

− 2b 22 ⎤ ⎡− 2b 21 ทยาศาสตร ดังสถาบั นั้น นสBงเสริม = การสอนวิ ⎢ ⎥ และเทคโนโลยี ⎣

b 21

b 22 ⎦

กระทรวงศึกษาธิการ (2)

ให

C CA ⎡c11 ⎢ ⎣c 21

⎡c11 ⎢ ⎣c 21

c12 ⎤ ⎥ c 22 ⎦

โดยที่ c11, c12, c21 และ c22 เปนจํานวนจริง

ISBN0 974 - 01 - 3820 - 9 = เลม⎡⎢0 พิccมพ⎤⎥ ค⎡⎢12รัง้ 24ที⎤⎥ ห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ ⎣0 ⎦ ⎦ ⎣ พ.ศ. ๒๕๔๗ =

⎡c11 + 2 c12 ⎢ ⎣c 21 + 2c 22

2c11 + 4c12 ⎤ ⎥ 2c 21 + 4c 22 ⎦

0⎤ 0⎥⎦

⎡0 0⎤ ⎢0 0⎥ ⎣ ⎦

44 จากบทนิยามของการเทากันของเมทริกซ จะได c11 + 2c12 = 0 = 0 2c11 + 4c12 c21 + 2c22 = 0 2c21 + 4c22 = 0 ∴

คูมc อื ครู= สาระการเรี ยนรูเ พิม่ เติม –2c 11

c21

–2c คณิ= ตศาสตร เลม ๒ 22

⎡ 12  =สาระการเรี ยนรู12 ค ⎤⎥ ณิตศาสตร C กลุม ⎢ − 2c

ดังนั้น 9. ให A =

⎣− 2c 22

⎡a ⎢ dc ⎣ ⎡1 ⎢0 ⎣

b⎤ d ⎥⎦ 1⎤ 0 ⎥⎦

c 22 ⎦

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ มีสมบัติวา AB = BA ทุกเมทริกซ B ที่มีมิติ 2 × 2

ตามหลักสูตรการศึ กษาขัน้ พืน้ 0ฐาน0⎤พุทธศักราช ๒๕๔๔ และ B = ⎡

ให B1 =

เนื่องจาก AB1 = B1A ⎡a ⎢c ⎣

a⎤ c ⎥⎦

⎢1 ⎣

1 ⎥⎦

จึงไดวา =

⎡a + c ⎢ 0 ⎣

b + d⎤ ⎥ ⎦

จัดทําโดย0

ฉะนั้น a = b + d และ c = 0 ---------- (1) เนื่องจากสถาบั AB2 น = สB2งAเสริม จึงการสอนวิ ไดวา ทยาศาสตรและเทคโนโลยี ⎡b ⎢d ⎣

b⎤ d ⎥⎦

⎡ ⎤ =กระทรวงศึ ⎢ กษาธิ⎥ การ 0 ⎣a + c

0 b + d⎦

ฉะนั้น b = 0 และ d = a + c ---------- (2) จาก (1) และ (2) จึงสรุปไดวา ISBN a = d 974 และ- 01b -=3820 c = 0- 9 ดังนั้น A =

⎡a ⎢0 ⎣

0⎤ a ⎥⎦

นจํานวนจริเลงใด พิ=มพคaIรั2 ง้ ทีเมืห่ ่อ นึa ง่ เป๑๐,๐๐๐ มๆ พ.ศ. ๒๕๔๗

45 10. จะแสดงวา ไมมีเมทริกซ A, B ที่มีมิติ 2 × 2 ซึ่ง AB – BA = I2 พิสูจน

สมมติวา มีเมทริกซ A, B ที่มีมิติ 2 × 2 ซึ่ง AB – BA = I2 ให A =

b⎤ d ⎥⎦

⎡a ⎢c ⎣

B =

⎡w ⎢y ⎣

x⎤ z ⎥⎦

โดยที่ a, b, c, d, w, x, y, z

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

เปนจํานวนจริง AB =

คณิตศาสตร เลม ๒

⎡aw + by ⎢cw + dy ⎣

ax + bz ⎤ cx + dz ⎥⎦

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

BA =

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

⎡ wa + xc ⎢ ya + zc ⎣

wb + xd ⎤ yb + zd ⎥⎦

จากที ่สมมุตกิไวสูตรการศึกษาขัน ตามหลั ้ พืน้ ฐาน AB – BA = I2 ⎡by − xc ⎢(cw + dy) − ( ya + zc) ⎣

(ax + bz) − ( wb + xd )⎤ ⎥ cx − yb ⎦

จัดทําโดย

พุทธศักราช ๒๕๔๔ =

⎡1 ⎢0 ⎣

0⎤ 1 ⎥⎦

จะไดวา

by – xc = 1 ---------- (1) yb ม = การสอนวิ 1 ---------(2) และเทคโนโลยี สถาบันสcxง-เสริ ทยาศาสตร สมการ (1) = (2) กระทรวงศึกษาธิการ by – xc = cx – yb 2by = 2cx by = cx ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 แทนคา by = cx พิ ลงในสมการ มพครัง้ ที(1) ห่ นึจะได ง่ ๑๐,๐๐๐ เลม 0 = 1 เปนไปไมได พ.ศ. ๒๕๔๗ ดังนั้น แสดงวา ไมมีเมทริกซ A, B ที่มีมิติ 2 × 2 ซึ่ง AB – BA = I2

เฉลยแบบฝกหัด 1.3 ⎡1 ⎢0 ⎣

1. ให A =

2⎤ 3⎥⎦

และ

A–1

⎡1 ⎢0 ⎣

0⎤ 1⎥⎦

⎡x 1 ⎢ ⎣x 3

x2 ⎤ ⎥ x4 ⎦

เนื่องจาก A–1A = I ดังนั้น

⎡x 1 ⎢ ⎣x 3

หรือ

⎡x 1 ⎢ ⎣x 3

x2 ⎤ ⎥ x4 ⎦

⎡1 ⎢0 ⎣

2⎤ 3⎥⎦

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม =

คณิตศาสตร เลม ๒ =

2 x 1 + 3x 2 ⎤ ⎥ 2 x 3 + 3x 4 ⎦

⎡1 ⎢0 ⎣

0⎤ 1⎥⎦

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

จากบทนิยามของการเทากันของเมทริกซ จะได x1 = 1 = 0 2x1 + 3x2 x3 กษาขั = น ตามหลักสูตรการศึ ้ พื0น้ ฐาน พุทธศักราช 2x3 + 3x4 = 1 ∴ x1 = 1, x2 = − 23 , x3 = 0 และ x4 = 13

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

–1

ดังนั้น

ให

⎡ ⎢1 ⎢ ⎢0 ⎣

๒๕๔๔

2⎤ − ⎥ 3 ⎥ 1⎥ 3⎦

จัดทําโดย

ตอบ

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ⎡y ⎡ 1 2⎤ B = กระทรวงศึ และ B = ⎢y ⎥ ษาธิ ⎢−1 0ก การ ⎦ ⎣ ⎣ –1

ISBNI 974 - 01 - 3820 - 9 พิyมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม 2⎤ ⎤⎡ 1 ⎡1 = ⎥⎢ ⎥ ⎢0 y ⎦ ⎣−1 พ.ศ.0⎦๒๕๔๗ ⎣

เนื่องจาก

B–1B =

ดังนั้น

⎡ y1 ⎢ ⎣y3

หรือ

⎡ y1 − y 2 ⎢ ⎣y3 − y 4

2 y1 ⎤ ⎥ 2y 3 ⎦

⎡1 ⎢0 ⎣

องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย

0⎤ 1⎥⎦ 0⎤ 1⎥⎦

y2 ⎤ y 4 ⎥⎦

47 จากบทนิยามของการเทากันของเมทริกซ จะได y1 – y2 = 1 = 0 2y1 y3 – y4 = 0 2y3 = 1 y2 = –1 y3 = 12 ∴ y1 = 0,

1 2

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

ดังนั้น

B–1

และ

y4 =

คณิ= ตศาสตร เลม ๒ −1 ⎤ 1 ⎥⎥ 2⎦

⎡0 ⎢1 ⎢ ⎣2

ตอบ

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร ให

และ ที่ ๔ C ชั=น้ มัธยมศึกษาป 1⎤ 2⎥⎦

⎡2 ⎢1 ⎣

–1

เนื่องจากตามหลักCสู–ต1Cรการศึ = กษาขั I น ้ พืน้ ฐาน ดังนั้น หรือ

⎡x 1 ⎢ ⎣x 3

x 2 ⎤ ⎡2 ⎥ x 4 ⎦ ⎢⎣1

⎡2 x 1 + x 2 ⎢ ⎣2 x 3 + x 4

1⎤ 2⎥⎦

x2 ⎤ ⎥ x4 ⎦

พุทธศักราช ๒๕๔๔

⎡1 ⎢0 ⎣

0⎤ 1⎥⎦

⎡1 ⎢0 ⎣

0⎤ 1⎥⎦

จัดทําโดย

x 1 + 2x 2 ⎤ ⎥ x 3 + 2x 4 ⎦

⎡x 1 ⎢ ⎣x 3

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี กระทรวงศึ จากบทนิยามของการเทากันของเมทริ กซ จะได กษาธิการ 2x1 + x2 = 1 x1 + 2x2 ISBN= 974 - 001 - 3820 - 9 = 0 2x3 + x4 พิ ม พ ค รั ง ้ ที ห ่ นึ ง ่ ๑๐,๐๐๐ เลม x3 + 2x4 = 1

พ.ศ. ๒๕๔๗

แกระบบสมการเพื่อหาคา x1, x2, x3 และ x4 ซึ่งได x1 = 23 , x2 = − 13 , x3 = − 13 ดังนั้น

⎡ 2

1⎤

⎢ ⎢− 1 ⎣ 3

⎥ 2⎥ 3⎦

และ x4 =

− ⎥ ดพิมพจําหนาย องค ก ารค า ของคุ ⎢ 3 รุสภาจั –1 3 C =

พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

2 3

ตอบ

48 ให

เนื่องจาก

D–1D =

ดังนั้น

⎡ y1 ⎢ ⎣y3

−1⎤ 2⎥⎦

⎡ 3 ⎢−1 ⎣

และ

D–1

⎡1 ⎢0 ⎣

0⎤ 1⎥⎦

⎡1 ⎢0 ⎣

0⎤ 1 ⎥⎦

⎡ y1 ⎢ ⎣y3

y2 ⎤ ⎥ y4 ⎦

I −1⎤ 2⎥⎦

y2 ⎤ ⎡ 3 ⎥ y 4 ⎦ ⎢⎣−1

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม ⎡3y1 − y 2 ⎢3y − y 4 ⎣ 3

หรือ

− y1 + 2 y 2 ⎤ − y 3 + 2 y 4 ⎥⎦

คณิตศาสตร เลม ๒

จากบทนิยามของการเทากันของเมทริกซ จะได ม สาระการเรี ย1 นรูค ณิตศาสตร = 3yกลุ 1 – y2 –y1 + 2y2 = 0 3y3 – y4 = 0 –y3 + 2y4 = 1

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔

แกระบบสมการเพื่อหาคา y1, y2, y3 และ y4 ซึ่งจะได y2 = 15 , y3 = 15 y1 = 52 , ดังนั้น

ให

D–1

และ

y4 =

จัดทําโดย

⎡2 ⎢5 ⎢ ⎢1 ⎣5

3 5

1⎤ 5⎥ ⎥ 3⎥ 5⎦

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี กระทรวงศึ กษาธิการ 2⎤ ⎡x ⎡1

เนื่องจาก E–1E = ดังนั้น

⎡x 1 ⎢ ⎣x 3

หรือ

⎡ x 1 +3x 2 ⎢ ⎣ x 3 + 3x 4

x2 x4

⎢3 ⎣

4⎥⎦

E–1

และ

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม 0⎤ 2⎤ ⎤ ⎡1 ⎡1 = ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1⎥⎦ 4⎦ พ.ศ. ๒๕๔๗⎣0 ⎦ ⎣3 I

2x 1 + 4x 2 ⎤ ⎥ 2x 3 + 4x 4 ⎦

⎡1 ⎢0 ⎣

0⎤ 1⎥⎦

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

⎢ ⎣x 3

ตอบ

x2 ⎤ ⎥ x4 ⎦

49 จากบทนิยามของการเทากันของเมทริกซ จะได x1 + 3x2 = 1 = 0 2x1 + 4x2 x3 + 3x4 = 0 2x3 + 4x4 = 1

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

แกระบบสมการเพื่อหาคา x1, x2, x3 และ x4 ซึ่งจะได

x = เลมและ คณิx ต= 1,ศาสตร ๒

x1 = –2,

ดังนั้น

E–1

ให

3 2

x4 =

−

1 2

1 ⎤ ยนรูค ⎡− 2 กลุม สาระการเรี  ณิตศาสตร ⎢ 3 1⎥ ⎢ ⎣ 2

− ⎥ 2⎦

⎡− 2 ⎢ 1 ⎣

−1⎤ 3 ⎥⎦

ตอบ

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

⎡ y1 ⎢ ⎣y3

และ

F–1

⎡1 ⎢0 ⎣

0⎤ 1⎥⎦

y2 ⎤ ⎥ y4 ⎦

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔

เนื่องจาก F–1F ⎡ y1 ⎢ ⎣y3

หรือ

y 2 ⎤ ⎡− 2 ⎥ y 4 ⎦ ⎢⎣ 1

⎡ − 2 y1 + y 2 ⎢− 2 y + y 3 4 ⎣

−1⎤ 3 ⎥⎦

จัดทําโดย

− y 1 + 3y 2 ⎤ − y 3 + 3y 4 ⎥⎦

⎤ ⎡ = ⎢ สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ⎥ละเทคโนโลยี 1 ⎣0

0 1⎦

กระทรวงศึ จากบทนิยามของการเทากันของเมทริ กซ จะได กษาธิการ –2y1 + y2 = 1 –y1 + 3y2 ISBN= 974 - 001 - 3820 - 9 = 0 –2y3 + y4 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม –y3 + 3y4 = 1 พ.ศ. ๒๕๔๗

แกระบบสมการเพื่อหาคา y1, y2, y3 และ y4 ซึ่งจะได y2 = − 15 , y3 = y1 = − 53 ,

1 5

และ y4 =

2 5

องคการค าของคุ รุสภาจัดพิมพจําหนาย 1⎤ ⎡ 3 ดังนั้น

–1

= ๒๒๔๙

− ⎥ ⎢− 5 5 ⎢ ⎥ 2⎥ ⎢ 1 5าว⎦ ⎣ 5 ถนนลาดพร

พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

ตอบ

50 2. จากโจทยตองแสดงวา AB = I AB

⎡2 ⎢1 ⎢ ⎢⎣3

1 0 1

−1⎤ 2⎥⎥ −1 ⎥⎦

⎡ ⎢−1 ⎢ 7 ⎢ ⎢ 2 ⎢ 1 ⎢⎣ 2

0 1 2 1 2

⎤ 1⎥ 5⎥ − ⎥ 2⎥ 1⎥ − ⎥ 2⎦

คูม= อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม ⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢⎣0

0⎤ 0⎥⎥ 1 ⎥⎦

คณิตศาสตร เลม ๒

∴

B เปนตัวผกผันของ A

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

3. ให A =

⎡a ⎢c ⎣

b⎤ d ⎥⎦

ชัโดยที น้ มั่ ธa, b,ยมศึ กนษาป ทงี่ ๔และ A = 0 c, d เป จํานวนจริ 2

⎡ a 2 + bc

⎤⎡ ⎤ 2 ้ พืน้ ฐาน Aตามหลั = ⎡⎢ กสูต = ⎢น ⎥ รการศึ ⎥ กษาขั ⎢ a ⎣c

b a d ⎦ ⎣c

b d⎦

⎢⎣ ca + dc

⎤ พุทabธศั+ กbdราช ⎥ ๒๕๔๔ bc + d 2 ⎥⎦

เนื่องจาก A2 = 0 จะไดวา a2 + bc = 0 จัดทํ--------าโดย (1) b(a + d) = 0 --------- (2) c(a +นd)ส=งเสริ 0 มการสอนวิ--------(3) สถาบั ท ยาศาสตร และเทคโนโลยี 2 d + bc = 0 --------- (4)

กระทรวงศึกษาธิการ

จาก (2) จะไดวา b = 0 หรือ a + d = 0 กรณี b=0 ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 เมื่อแทน b = 0 ลงใน (1) และ (4) จะไดวา a = d = 0 ∴

พิ=มพครัง้ ⎡ที0 ห่ นึง่ 0⎤๑๐,๐๐๐ เลม ⎢c 0 ⎥⎦ ⎣ พ.ศ. ๒๕๔๗

กรณี a + d = 0 จะได d = –a จาก (1) จะไดวา bc = –a2 ถา

องคการค จําหนแรก าย b = 0 แลวจะได A = า⎡⎢ของคุรุส⎤⎥ภาจัดพิดัมงพในกรณี 0 ⎣c

0 0⎦

51 ถา

≠

0 แลว ⎡a ⎢c ⎣

สรุปไดวา A = ⎡0 ⎢c ⎣

c = b⎤ d ⎥⎦

⎡ a 0⎤ ⎢ 2 , 0 ⎥⎦ ⎢ −a ⎢⎣ b

−a 2 b

ทําให A =

⎡ a ⎢ 2 ⎢ −a ⎣⎢ b

b⎤ ⎥ −a ⎥ ⎦⎥

ซึ่ง A2 = 0 ทั้งหมดคือ

b⎤ ⎥ −a ⎥ ⎥⎦

เมื่อ a, b, c R ยและ คูม อื ครูสาระการเรี นรูbเ พิ0 ม่ เติม

4. ให A = 2

A =

⎡a ⎢c ⎣

∈

≠

คณิตศาสตร เลม ๒

b⎤ d ⎥⎦

โดยที่ a, b, c, d เปนจํานวนจริง และ A2 = I2

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

⎡ a 2 + bc ⎢ ⎣⎢ ca + dc

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ ab + bd ⎤ ⎥ bc + d 2 ⎦⎥

้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช เนื่องจากตามหลั A2 = กIสู2 ตรการศึ จะไดกวาษาขัน a2 + bc = 1 ---------- (1) b(a + d) = 0 ---------- (2) c(a + d) = 0 จัดทํ---------าโดย (3) 2 ---------- (4) d + bc = 1

๒๕๔๔

สถาบันน2สกรณี งเสริคือมกรณี การสอนวิ แยกพิจารณาเป a+d ≠ ท 0 ยาศาสตร และกรณี a + แd ละเทคโนโลยี =0 กรณี a + d ≠ 0 กระทรวงศึกษาธิการ จาก (2) และ (3) จะไดวา b = c = 0 และจาก (1) และ (4) จะไดวา a = ±1, d = ±1 ดังนั้น A =

⎡ 1 0⎤ ⎢0 1⎥ , ⎦ ⎣

กรณี a + d = 0

ISBN 974 - 01, ⎡-−3820 1 0-⎤ 9 ⎢ 0 − 1⎥ ⎦ ⎣ พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม พ.ศ. ๒๕๔๗

⎡ 1 0⎤ ⎡ − 1 0⎤ ⎢0 −1⎥ , ⎢ 0 1⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

จาก (1) และ (4) จะไดวา a2 = d2 = 1 – bc เนื่องจาก 0 ≤ a2 ฉะนั้น bc ≤ 1 และทําใหไดวา a = ± องค 1 − bcก,ารคdาของคุ = ± 1ร−ุสbcภาจัเมื 1 าย ดพิ่อ มพbcจํา≤หน

52 แต a+d = 0 หรือ a = –d ฉะนั้น (a, d) = ( 1 − bc , − 1 − bc ) , ( − ⎡ 1 − bc ⎢ ⎢⎣ c

ดังนั้น A =

⎤ b ⎥ − 1 − bc ⎥⎦

⎡a ⎢c ⎣

⎡

, ⎢− ⎢⎣

b⎤ d ⎥⎦

1− bc

b ⎤ ⎥ 1 − bc ⎥⎦

1 − bc c

)

เมื่อ bc

≤

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

สรุปไดวา เมทริกซ A =

ซึ่ง A2 = I2 ทั้งหมด คือ

คณิตศาสตร เลม, ๒

⎡ 1 0⎤ ⎡ 1 0⎤ ⎡− 1 0⎤ ⎡− 1 0⎤ ⎡ 1 − bc ⎢0 1⎥ , ⎢0 −1⎥ , ⎢ 0 1⎥ , ⎢ 0 − 1⎥ , ⎢ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣⎢ c ⎣

เมื่อ bc

≤

5. จาก จะได

⎤ ⎡− 1 − bc b ⎥ ⎢ − 1 − bc ⎦⎥ ⎣⎢ c

⎤ b ⎥ − 1 − bc ⎦⎥

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

ชั=น้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ 1⎡ 3 3 ⎢⎣−1

A+B

1⎤ 2 ⎥⎦

⎤ 1⎡ น ตามหลั ้ 3 พืน้ 1ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ 3A + ก3Bสูตรการศึ = กษาขั ⎢ ⎥ 3 ⎣−1

และ 3A + 3B + (3A – 3B) = หรือ

2⎦

6A ⎡ 3 ⎢−1 ⎣

1⎤ 2⎥⎦

จัดทําโดย

⎡ 2

⎡−1 ⎢−1 ⎣

−1⎤ 0⎥⎦

0⎤

1 สถาบันสAงเสริม= การสอนวิ และเทคโนโลยี 6 ⎢⎣− 2 ทยาศาสตร 2 ⎥⎦ กระทรวงศึ กษาธิ⎡ก1าร ⎤ 1⎤ ⎡

⎢ 1 ⎢ ⎢− 1 ⎣ 3

3⎥ ⎥ 2⎥ 3⎦

⎢0 ⎣

⎥ 3⎦

–

⎢ 3 ⎢ ⎢− 1 ⎣ 3

0⎥ ⎥ 1⎥ 3⎦

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ⎡ 2ทีห่ นึง่ 1 ⎤๑๐,๐๐๐ เลม ⎢3 3⎥ = ⎢พ.ศ. ๒๕๔๗ ⎥ 1

53 ให

A–1

เนื่องจาก

A–1A =

ดังนั้น

⎡x 1 ⎢ ⎣x 3

x2 ⎤ ⎥ x4 ⎦

และ

B–1

⎡1 ⎢0 ⎣

0⎤ 1⎥⎦

⎡ y1 ⎢ ⎣y3

I ⎡ 1 ⎢ 3 ⎢ ⎢− 1 ⎣ 3

x2 ⎤ ⎥ x4 ⎦

⎤ 0⎥ ⎥ 1⎥ 3⎦

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เล ม ๒ =

1 ⎡1 ⎢ 3 x1 − 3 x 2 ⎢ ⎢1 x 3 − 1 x 4 3 ⎣3

หรือ

1 ⎤ x 3 2⎥ ⎥ 1 ⎥ x 3 4⎦

⎡1 ⎢0 ⎣

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

0⎤ 1⎥⎦

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

จากบทนิยามของการเทากันของเมทริกซ จะได 1 1 = 1 x1 − x 2 3 3

ตามหลักสู1 ตx รการศึกษาขั น้ พื0น้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ = 3 2 1 1 x − x 3 3 3 4 1 x 3 4

∴ x1 = 3,

จัดทํ1าโดย

= 0, x = 3 และ x = 3 สถาบันสงเสริมx การสอนวิ ทยาศาสตรและเทคโนโลยี กษาธิการ เนื่องจาก B B = กระทรวงศึ I 2

–1

ดังนั้น

⎡ y1 ⎢ ⎣y3

หรือ

⎡2 ⎢ 3 y1 ⎢ ⎢ 2 y3 ⎣3

ISBN 97413 -⎤⎥ 01 - 3820 - 9 ⎡1 = ⎥ ⎢ พิมพครัง้ ทีห่ 13นึ⎥⎦ง่ ๑๐,๐๐๐ เลม⎣0 พ.ศ. ๒๕๔๗ ⎡2 y2 ⎤ ⎢3 ⎥ ⎢ y4 ⎦ ⎢ 0 ⎣

1 ⎤ 1 y + y 3 1 3 2⎥ ⎥ 1 1 y3 + y4 ⎥ 3 ⎦ 3

⎡1 ⎢0 ⎣

0⎤ 1⎥⎦

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

y2 ⎤ ⎥ y4 ⎦

54 จากบทนิยามของการเทากันของเมทริกซ จะได 2 y = 1 3 1 1 1 y1 + y 2 3 3 2 y 3 3 1 1 y + y 3 3 3 4

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม ∴ y1 =

y = 0 และ y = 3 คณิตศาสตร เลม ๒

3 , 2

y2 =

−

3 , 2

กลุม =สาระการเรี  และ ณิตศาสตร 0ย⎤ นรูค ⎡3 B =

A–1

ดังนั้น

⎢3 ⎣

–1

3 ⎥⎦

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

⎡3 ⎢2 ⎢ ⎣0

6. เนื่องจาก A–1 + B–1 + 2A–1 – B–1 = 3A–1

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔

จะได

⎡ 2 ⎢−1 ⎣

3A–1 = =

2⎤ 3⎥⎦

+ ⎡⎢

1 ⎣4

1⎤ 3⎥⎦

จัดทําโดย

⎡3 ⎢3 ⎣

3⎤ 6⎥⎦

⎡x 1 ⎢ ⎣x 3

x2 ⎤

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 1⎤ ⎡1 A = ⎢1 2⎥⎦ กษาธิการ ⎣ กระทรวงศึ –1

ให

⎥ - 01 - 3820 - 9 ISBNx 974 ⎦ พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม I พ.ศ. ๒๕๔๗

เนื่องจาก A–1A = ดังนั้น

⎡1 ⎢1 ⎣

1⎤ 2⎥⎦

⎡x 1 ⎢ ⎣x 3

x2 ⎤ ⎥ x4 ⎦

⎡1 ⎢0 ⎣

0⎤ 1⎥⎦

องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย

หรือ

⎡x 1 + x 3 ⎢ ⎣ x 1 + 2x 3

x2 +x4 ⎤ ⎥ x 2 + 2x 4 ⎦

⎡1

0⎤

⎢0 พิมพที่โรงพิมพค= ุรุสภาลาดพร าว1⎥⎦ ⎣

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

3⎤ − ⎥ 2 ⎥ 3⎦

55 จากบทนิยามของการเทากันของเมทริกซ จะได x1 + x3 = 1 = 0 x1 + 2x3 x2 + x4 = 0 x2 + 2x4 = 1

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

แกระบบสมการเพื่อหาคา x1, x2, x3 และ x4 ซึ่งจะได

คณิตศาสตร เลม ๒ x = –1 และ x = 1

x1 = 2,

x2 = –1,

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร ⎡ 2 ⎢−1 ⎣ ⎡ 2 ⎢−1 ⎣

2⎤ 3⎥⎦

⎡ 1 ⎢− 2 ⎣

1⎤ 1⎥⎦

⎡ y1 ⎢ ⎣y3

y2 ⎤ ⎥ y4 ⎦

จาก A–1 + B–1 = จะได B

–1

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ 2⎤ 3⎥⎦

– ⎡⎢

1 ⎣1

1⎤ 2⎥⎦

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔

ให

จัดทําโดย

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี เนื่องจาก B B = I กระทรวงศึกษาธิการ –1

1⎤ 1⎥⎦

ดังนั้น

⎡ 1 ⎢− 2 ⎣

หรือ

⎡ y1 + y 3 ⎢ ⎣− 2 y1 + y 3

⎡ y1 ⎢ ⎣y3

y2 ⎤ ⎥ y4 ⎦

⎡1 ⎢0 ⎣

0⎤ 1⎥⎦

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 0⎤ ⎡1 เลม พิy ม+พyครัง้⎤⎥ ทีห่ นึง่ = ๑๐,๐๐๐ ⎢ 1⎥⎦ − 2y + y ⎦ ⎣0 พ.ศ. ๒๕๔๗ 2

จากบทนิยามของการเทากันของเมทริกซ จะได = 1 y1 + y3 องค การคาของคุ –2y = รุส0ภาจัดพิมพจําหนาย 1 + y3 y2 + y4 พิมพที่โรงพิ = มพค0 ุรุสภาลาดพราว –2y2 + yถนนลาดพร = าว วังทองหลาง 1 4 ๒๒๔๙ กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

56 แกระบบสมการเพื่อหาคา y1, y2, y3 และ y4 ซึ่งจะได y3 = 23 และ y4 = y1 = 13 , y2 = − 13 , ⎡ 2 ⎢−1 ⎣

∴ A=

−1⎤ 1⎥⎦

และ

⎡1 ⎢3 ⎢ ⎢2 ⎣3

1 3

1⎤ − ⎥ 3 ⎥ 1⎥ 3⎦

คูม อื ครูสาระการเรี ยนรูเ พิม่ เติม เฉลยแบบฝกหัด 1.4

คณิตศาสตร เลม ๒

1. ให A แทนเมทริกซในแตละขอ (1)

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

2 4 4

–1 2 2

0 1 1

2 4 4

–1 2 2

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

ตามหลั กสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ det (A) = (4 – 4 + 0) – (0 + 4 – 4) = 0 (2)

(3)

–2 1 0

2 –1 1

3 0 4

–2 2 1 จัดทํ–1 าโดย 0 1

สถาบั นสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี det (A) = (8 + 0 + 3) – (0 + 0 + 8) = 3 กระทรวงศึกษาธิการ –2 1 3

1 4 6

4 –2 –6

–2 1 1 4 ISBN3974 - 016 - 3820 - 9

ครั–ง้ (48 ทีห่ +นึ24ง่ – ๑๐,๐๐๐ det (A) = (48 –พิ6ม+พ24) 6) = 0 เลม (4)

2 0 0

3 5 0

1 –2 –2

พ.ศ. ๒๕๔๗ 2 0 0

3 5 0

องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย

det (A) = (–20 พิ + ม0 พ+ ท0)ี่โ–รงพิ (0 +ม0พ+ค0) –20 าว ุรุส=ภาลาดพร ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

57 (5)

ใชสมบัติของดีเทอรมิแนนต กระจายตามหลักที่ 4 จะได det (A) = = =

⎡− 3 2 ⎢⎢ 2 ⎢⎣− 4

3⎤ 0⎥⎥ 3⎥⎦

8 3 5

2(–27 – 48 + 66) –18

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

(6) det (A) =

⎡ 1 −1 ⎢ 0 1 ⎢ ⎢ −1 0 ⎢ ⎣− 2 − 1

2 − 2⎤ 2 3⎥⎥ 1 2⎥ ⎥ 0 1⎦

⎡ 1 −1 ⎢ 0 1 ⎢ ⎢ 0 −1 ⎢ ⎣− 2 − 1

2 − 2⎤ 2 3⎥⎥ 3 0⎥ ⎥ 0 1⎦

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

ตามหลั ้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ = กสูตรการศึกษาขัน นําแถวที่ 1 ไปบวกกับแถวที่ 3

จัดทําโดย ⎡1 −1 ⎢0 1 ⎢ ⎢0 − 1 ⎢ ⎣0 − 3

2 − 2⎤ 2 3⎥⎥ 3 0⎥ ⎥ 4 − 3⎦

สถาบั=นสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี คูณแถวที่ 1 ดวย 2 แลวนําไปบวกกับแถวที่ 4 กระทรวงศึกษาธิการ =

⎡ 1 ⎢ −1 ⎢ ⎢⎣− 3

3⎤ 0⎥⎥ 4 − 3⎥⎦

2 3

สมบัติของดีเทอรมิแนนต กระจายตามหลักที่ 1 ISBN 974 - 01ใช- 3820 -9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม = –9 – 6 + 15 พ.ศ. ๒๕๔๗

58 2. (1)

adj (A)

–

5 –3

6 1

2 –3

1 1

2 5

1 6

4 – 2

6 1

–3 2

1 1

–3 4

1 6

–

4 2

5 –3

–3 2

2 –3

–3 4

2 5

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒ =

–

กลุม สาระการเรี ย−นรู22⎤ค tณิตศาสตร 8 ⎡23 ⎢− 5 ⎢ ⎢⎣ 7

− 5 ⎥⎥ − 23 ⎥⎦

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ −5

−5 7⎤ ⎡ 23กษาขั ตามหลัก=สูตรการศึ น ้ พื น ้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ ⎢ 8 −5 22 ⎥ ⎢ ⎢⎣ − 22

(2)

3 –7

−5

⎥ − 23⎥⎦

จั1ดทําโดย 6 –8

–

1 –8

6 4

3 –7

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 4 2 –3 2 –3 4 adj (A) = – กระทรวงศึกษาธิการ – –7 –8 4 –8 4 –7

ISBN - 3820 -29 –3 4 974 2 - 01–3 – 6 1 เลม 6 พิมพค3 รัง้ ที1ห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ 52 ๒๕๔๗ − 54 ⎤ t ⎡− 17 พ.ศ. ⎢ 18 ⎢ ⎢⎣− 2

16 15

− 5 ⎥⎥ − 33⎥⎦

18 − 2⎤ ⎡−17 องค ก ารค า ของคุ ร ุ ส ภาจั ดพิมพจําหนาย ⎢ 52 16 15 ⎥ = ⎢

⎥

− 5มพ− พิ⎢⎣ม−พ54ที่โรงพิ ค33 ุรุส⎥⎦ภาลาดพราว

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

4 3

59 (3)

12 6 adj (A)

–

4 1 – 3 1

4 3

1 6

–3 3

5 1

–3 3

1 12

–3 5 – 4 1

–3 4

1 1 –

12 6

5 1

1 6

5 1

1 12

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

1 −6 ⎤ ⎡ 12 กลุ ม  สาระการเรี ย นรู ค ณิตศาสตร ⎢ = − 21 18 − 29⎥ ⎢ ⎢⎣ 40

⎥ 59 ⎥⎦

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ ⎡ 12 ⎢ 1 ⎢ ⎢⎣ − 6

− 23

− 21 18 − 29

40 ⎤ − 23 ⎥⎥ 59⎥⎦

ตามหลัก=สูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ (4)

0 10 30 10 จัดทํ–าโดย 10 1 0 1

30 0

0 10

สถาบันสงเสริมการสอนวิ –5 5 ทยาศาสตร 10 5 และเทคโนโลยี 10 –5 adj (A) = – – 10 1 กษาธิ 0 ก1าร 0 10 กระทรวงศึ –5

ISBN 974 - –01 -30382010- 9 30 0 10 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม − 30 300⎤ t ⎡− 100 ⎢ 55 พ.ศ. 10 ๒๕๔๗ − 100 ⎥⎥ ⎢ ⎢⎣ − 50

150 ⎥⎦

⎡ − 100

− 50 ⎤

⎢ 300

− 100

150⎥

⎢ − 30 าของคุร10ุสภาจัดพิ50 มพ⎥⎥ จําหนาย =องคการค ⎢ ⎦ พิ⎣มพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพร าว

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

–5 0

60 3. (1)

เนื่องจาก det (A) = (8 + 0 + 3) – (0 + 0 + 8) = 3 ดังนั้น A มีตัวผกผัน 1 A–1 = adj(A) det(A) –1 1

0 1 – 4 0

≠

0 4

1 0

–1 1

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม =

คณิต2ศาสตร 3 –2 เล3ม ๒–2 1 3

–

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร0 3 ก–2 ชัน้ มั2 ธยมศึ ษาป3ที่ ๔ –2 –1

0 – 1

2 1 2 –1

ตามหลักสูตรการศึ กษาขั− 4น้ พืน้ ฐาน tพุทธศักราช ๒๕๔๔ 1⎤ ⎡− 4 =

1 ⎢ −5 3 ⎢

⎢⎣ 3

⎡− 4

−5 −8

⎢⎣ 1

1 ⎢ −4 3 ⎢

2 ⎥⎥ 0⎥⎦

−8

จัดทําโดย3 ⎤ 3 ⎥⎥ 0⎥⎦

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี −5 ⎡− 4 ⎤ 1⎥ ⎢ กระทรวงศึ 3 3 ⎢ ⎥กษาธิการ =

(2)

⎢− 4 ⎢ 3 ⎢ 1 ⎢ ⎣ 3

−8 3 2 3

1⎥ ⎥ ⎥ 0⎥ ⎦

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม det (A) = (– 44พ.ศ. + 0 – 33) – (0 – 42 – 34) = –1 ≠ 0 ๒๕๔๗

เนื่องจาก ดังนั้น A มีตัวผกผัน

61 11 –7 –1 – 3 –2 0 A–1

= – –

–17 11 3 –2

–7 –2

2 0

11 –2

–17 11 2 – 11 –7 –1

11 –7

–1 0

11 3

2 –17 0 3

–

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

2 –17 –1 11

คณิตศาสตร เลม ๒

− 2 ยนรู − 3ค ⎡−1 ⎤ ณิตศาสตร กลุ ม  สาระการเรี  ⎢ − −1 −4 − 6⎥ = t

⎢ ⎢⎣− 2

⎥ 5 ⎥⎦

⎡−1 − ⎢⎢− 2 ⎢⎣− 3

−1 −4 −6

− 2⎤ 3 ⎥⎥ 5⎥⎦

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

ตามหลัก=สูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ ⎡1 ⎢2 ⎢ ⎢⎣3

2⎤ − 3⎥⎥ − 5 ⎥⎦

จัดทําโดย

4 6

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

(3)

เนื่องจาก det (A) = (9 – 3 + 32) – (36 – 4 + 6) = 0 ดังนั้น A ไมมีตัวผกผันกระทรวงศึกษาธิการ

(4)

เนื่องจาก det (A) = ISBN (6 + 0 +974 0) –- (–4 0 + 0)- 9= 10 01 -+3820 ดังนั้น A มีตัวผกผัน

≠

พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม –2 พ.ศ. 0 ๒๕๔๗ 1 0 1 0

–1

–

0 2 –1 2 –1 องค 1 การคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย = – – 10

พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว

–2 0 0 0

๒๒๔๙ ถนนลาดพร 0 า2ว วังทองหลาง –1 กรุ2 งเทพมหานคร –1 0 มี–2ลขิ สิทธิ0ต์ ามพระราชบั ญ ญั ต ิ 1 0 1 –2

62 =

⎡− 6 1⎢ 0 10 ⎢ ⎢⎣ 4

−3 −5

⎡− 6 1⎢ −3 10 ⎢ ⎢⎣ 2

2⎤ 0 ⎥⎥ 2⎥⎦

4⎤ 2 ⎥⎥ 2⎥⎦

−5 0

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม (5)

คณิตศาสตร เลม ๒

เนื่องจาก det (A) = 1 ≠ 0 ดังนั้น A มีตัวผกผัน หา Cij(A) ทุก i, j จะได C11(A) = 1 กลุ, ม C12(A) = 1 ยนรู , ค = 3  สาระการเรี  Cณิ13(A)ตศาสตร C21(A) = 0 , C22(A) = 1 , C23(A) = 1 C31(A) = 0 , C32(A) = 0 , C33(A) = 1 C41(A) = 0 , C42(A) = 0 , C43(A) = 0

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

, , , ,

C14(A) C24(A) C34(A) C44(A)

= = = =

8 3 1 1

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศั t กราช ๒๕๔๔ A–1

1 0 0 0

1 3 1 1 0 1 จั0ดทําโดย 0

8 3 1 1

สถาบันสงเสริมการสอนวิ 1 0 ทยาศาสตร 0 0 และเทคโนโลยี 1 1 ก0ษาธิการ 0 กระทรวงศึ = 3 8

1 3

1 1

0 1

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 ่ นึง่ ดังนั๑๐,๐๐๐ มน (6) เนื่องจาก det (A) พิ=มพ1ค≠รัง้ 0ทีห ้น A มีตัวเลผกผั หา Cij(A) ทุก i, j จะได พ.ศ. ๒๕๔๗ C11(A) C21(A) C31(A) C41(A)

= –1 = 2 = –1 = –1

, C12(A) = – 4 , C13(A) = 0 , , C22(A) = 9 , C23(A) = 1 , , C (A) = –5 , C (A) = –1 , องคการค32 าของคุรุสภาจัดพิ33มพจําหนาย , C42(A) = – 6 , C43(A) = –1 ,

พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

C14(A) C24(A) C34(A) C44(A)

= 3 = –5 = 3 = 3

A–1

–1 2 –1 –1

–4 9 –5 –6

0 1 –1 –1

3 –5 3 3

2 –1 ยนรู – 1 เ พิม คูม อื ครูส– 1าระการเรี ่ เติม –4 0 3

9 1 –5

–5 –1 3

–6 –1 3

คณิตศาสตร เลม ๒

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

4. ให A แทนเมตริกซในแตละขอ (1)

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

1 2 3 1 2 – 4 กษาขั 0 น 0 ก5สูตรการศึ ตามหลั ้ พืน้ 5 ฐาน 2 8 x 2 8

พุทธศักราช ๒๕๔๔

det (A)

= (5x – 16 + 0) – (30 – 32 + 0) = 5x – 14 จัดทําโดย ให det (A) = 0 ดัสถาบั งนั้น น5xส–ง14เสริม = การสอนวิ 0 ทยาศาสตรและเทคโนโลยี x = 145

กระทรวงศึ กษาธิการ 14

∴ x เปนจํานวนจริง โดยที่ x (2)

x 1 0

–1 x 1

≠

x ISBNx974 - 01 –1 - 3820 - 9 พิ0มพครัง้ 1ทีห่ นึง่ x๑๐,๐๐๐ เลม –1 0 1

พ.ศ. ๒๕๔๗

= (–x2 + 0 + x) – (0 + 0 + 1) = –x2 + x – 1 ให det (A) =องค 0 การคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย 0 มพคุรุสภาลาดพราว ดังนั้น –x2 + x – 1พิม=พที่โรงพิ 2 x๒๒๔๙ – x + 1 ถนนลาดพร = 0 าว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร

det (A)

มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

64 จากสูตร

x =

จะได

x =

− b ± b 2 − 4ac 2a 1± 3i 2

∴ x เปนจํานวนจริง (3)

x–1 x–1 x 2 1 1 2

x 1 2

x–1 x

x–1 2 1

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

det (A)

1 2

คณิตศาสตร เลม ๒ =

1 1 x− 2 2 9 7 x – 2 2

(4x – 4 +

+ x2) – (x + x – 1 + 2x2 – 2x)

กลุม สาระการเรี ย–xนรู+ ค ณิตศาสตร = 2

ให det (A) ดังนั้น –x2 +

ชัน้ มัธ=ยมศึ0กษาปที่ ๔

9 x 2

–

7 2

ตามหลัก2xสูต2 –รการศึ ้ พื0น้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ 9x + 7 กษาขั = น (2x – 7)(x – 1) = x =

0 7 , 2

โดย x ∴ x เปนจํานวนจริง โดยที่ x จั≠ด1ทําและ (4)

≠

7 2

x+2 ท0ยาศาสตรและเทคโนโลยี สถาบัx+2นส0งเสริมx การสอนวิ –2 x –1 –2 x ก1 ษาธิการ 1 1 x กระทรวงศึ 1 = (x3 + 2x2 + 0 – 2x) – (x2 – x – 2 + 0) ISBN 974 - =01 - 3820 -9 x3 + x2 – x + 2 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ = ๑๐,๐๐๐ ให det (A) 0 เลม ดังนั้น x3 + x2 – x + 2 พ.ศ. ๒๕๔๗ = 0 = 0 (x + 2)(x2 – x + 1) ∴ x เปนจํานวนจริง โดยที่ x ≠ –2 det (A)

5. เพราะวา det (A) ≠ 0องคดังกนัารค ้น Aาของคุ มีตัวผกผัรุส น ภาจัดพิมพจําหนาย จาก A–1 = 1พิมadj พท(Aี่โ)รงพิมพคุรุสภาลาดพราว det(A) ถนนลาดพร จะได adj (A) ๒๒๔๙ = det(A) A–1 าว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

65 ดังนั้น

det (adj (A))

= = =

det (det(A) A–1) (det (A))n det (A–1) , n ≥ 2 และ det (A) เปนคาคงตัว –1 Q det (A) det(A ) = 1 (det (A))n det(1A)

= =

(det (A))n–1 det (A)n–1

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม 2

⎡4 ⎢4 ⎢ ⎢⎣6

9⎤ 7 ⎥⎥ 13⎥⎦

7 7

, B

คณิตศาสตร เลม ๒ 11

2 − 4⎤ ⎡1 ⎢0 11 − 4⎥⎥ ⎢ ⎢⎣0 − 10 19 ⎥⎦

1 3⎤ ค −นรู ⎡ 4 ⎡− 13 กลุ ม  สาระการเรี ย  ณิ ต ศาสตร ⎥ ⎢ 1 1 , adj (B) −2 = = ⎢ 0

adj (A)

⎢ ⎢⎣ 0

⎥ 1 ⎥⎦

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ −1

⎡ 14 ⎢− 10 ⎢ ⎢⎣ 2

adj (A )

8 −2

− 14⎤ 8 ⎥⎥ 0 ⎥⎦

⎢ ⎢⎣

⎡169 ⎢ 0 ⎢ ⎢⎣ 0

2 −3 −5 − 17 19

, adj (B ) = ตามหลัก=สูตรการศึกษาขั น ้ พื น ้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔10 −2 t

A (1)

⎡1 ⎢1 ⎢ ⎢⎣2

1 2 1

1⎤ 2⎥⎥ 3 ⎥⎦

จัดทําโดย

det (2A–1B)

= 23det(A–1)det(B) สถาบันสงเสริมการสอนวิ ทยาศาสตรและเทคโนโลยี 1 = 8( )(−13) 2

กษาธิการ = กระทรวงศึ –52

(2)

(3)

det (Atadj(B))

t = ISBNdet(A 974)det(adj(B)) - 01 - 3820 - 9 = 2(169) พิ=มพครั338 ง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม

det (BA adj(A))

= = =

พ.ศ. ๒๕๔๗

det(B) det(At) det(adj(A)) (–13)(2)(4) –104

องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย (4)

23det(adj(A det (2adj(A2)B) พิ=มพที่โรงพิ มพคุรุส2))det(B) ภาลาดพราว = 8(16)(–13) ๒๒๔๙ ถนนลาดพร าว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร ทธิต์ ามพระราชบัญญัติ = มีลขิ สิ–1664

− 3⎤ − 2 ⎥⎥ 1 ⎥⎦ 32 ⎤ 4 ⎥⎥ 11 ⎥⎦

66 (5)

det(A2adj(B2))

= = =

det(A2)det(adj(B2)) 4(28561) 114,244

(6)

det (–A–1Badj(A))

= =

–det(A–1)det(B)det(adj (A)) 1 − ( ) (–13)(4) 2

คูม อื ครู= สาระการเรี ยนรูเ พิม่ เติม 26 7. วิธีที่ 1

คณิตศาสตร เลม ๒

ให l เปนเสนตรงที่ผานจุด P(a, b) และ Q(c, d)

l สาระการเรี นรูค ณิYตศาสตร กรณี a = c จะไดกลุ วา ม เปนเสนตรงที่ขยนานแกน และผานจุด P(a, b) ฉะนั้นเสนตรง l มีสมการเปน x = a

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

x a c

y b d

1 1 1

x a a

y b d

1 1 1

c พิจารณาตามหลั สมการ กสูตรการศึกษาขั=น ้ พื0น้ ฐานเมืพุ่อ ทธศัa =กราช

จะได

จั=ดทํ0าโดย เมื่อ

≠

๒๕๔๔

(bx + ayสถาบั + ad) – (ab + ay)มการสอนวิ = 0 นส+งdxเสริ ทยาศาสตรและเทคโนโลยี (b – d)x – a(b – d) = 0 (x – a)(b – d) กระทรวงศึ = 0 ∴กษาธิ x – a ก=าร0 เพราะ b – d ≠ 0 หรือ x = a ซึ่งคือสมการของเสนตรง l กรณี a ≠ c ถา b = d แลว l ฉะนั้นเสนตรง l

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม เปนเสนตรงที่ขนานกับแกน X และผานจุด (a, b) มีสมการเปน y =พ.ศ. b ๒๕๔๗

เมื่อ b = d สมการ

x a

y b

1 1

= 0

องคc การคb าของคุ1 รุสภาจัดพิมพจําหนาย พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว

คือสมการ (bx + cy + ab) – (bc + bx + ay) = 0 าว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร หรือ (c – a)y + b(a๒๒๔๙ – c) = ถนนลาดพร 0 มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

67 หรือ y–b = 0 เพราะ a – c ≠ 0 ฉะนั้น ไดสมการ y = b ซึ่งคือสมการของเสนตรง l พิจารณากรณี b ≠ d เราทราบมาแลววาเสนตรง l ตองมีสมบัติเปน Ax + By = C ---------- (1) เมื่อ A, B, C เปนคาคงตัว และ A, B ไมเปน 0 พรอมกัน เนื่องจากเสนตรง l ผานจุด (a, b) และ (c, d) เราจึงไดวา Aa + Bb = C ---------- (2) Ac + Bd = C ฉะนั้น A(a – c) + กลุ B(b ม = 0 ----------ย(3)นรูค  – d)สาระการเรี  ณิตศาสตร เนื่องจาก a – c ≠ 0 และ b – d ≠ 0 ฉะนั้น A = 0 ก็ตอเมื่อ B = 0 แตเนื่องจาก A, B ไมเปน 0 พรอมกัน ฉะนั้น A, B ≠ 0

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒ ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ A C x+y = B B A d−b = B a −c A C a+b = B B

จาก (1)

จะไดวา

จาก (2)

ไดวา

ฉะนั้น

C = ⎛⎜ d − b ⎞⎟ a + b = B ⎝ a −c ⎠ A = d − b และ C B a −c B d−b ad − bc x+y = a −c a −c

----------(4)

้ พืน้ ฐาน จาก (3) ตามหลั จะไดวกา สูตรการศึกษาขัน

แทน

พุทธศักราช ๒๕๔๔

ad − ab + ab − bc

จัดทําโดยa − c =

ad − bc a −c

ลงใน (4) จะไดสมการ

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ดังนั้น สมการของเสนตรง l กระทรวงศึ คือ กษาธิการ (d – b)x + (a – c)y = ad – bc จากสมการ

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 1 = 0 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม 1 พ.ศ. ๒๕๔๗

จะได (bx + cy + ad) – (bc + dx + ay) = 0 (b – d)x + (c – a)y = –ad + bc หรือ (d – b)x + (a – c)y = ad + bc องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย ซึ่งก็คือสมการของเสนตรง l นั่นเอง

พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

68 วิธีที่ 2

ความชันของเสนตรง PQ =

Y d b

สมการเสนตรงที่ผานจุด P(a, b) และมีความชัน • •

Q (c, d)

P (a, b)

คือ y – b =

(

b −d )( x − a ) a −c

b −d a −c

(y – b)(a – c) = (b – d)(x – a) ay – ab – cy + bc = bx – ab – dx + ad ay – cy + bc – bx + dx – ad = 0 ---------- (1)

คูม อื ครูสาระการเรี ยนรูเ พิม่ เติม X a

จาก

b −d a −c

x a c

คณิตศาสตร เลม ๒

y 1  1สาระการเรี ย0 นรูค ณิตศาสตร b กลุม = d 1

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

จะได bx + cy + ad – bc – dx – ay = 0 ตามหลั ้ 0พื---------น้ ฐาน(2)พุทธศักราช ๒๕๔๔ หรือ ay – cyก+สูbcต–รการศึ bx + dxก–ษาขั ad = น x y 1 เพราะวา สมการ (1) เทากับสมการ (2) ดังนั้น สมการของเสนตรงที่ผานจุด P และ Q คือ a b 1 = 0 จัดทําโดย c d 1 8.

Y มการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี สถาบันสงเสริ ,c) c กระทรวงศึC(cกษาธิ การ 1

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 B(b1, b2) พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม a2 A(a , a ) 1 2 พ.ศ. ๒๕๔๗

P a1 พื้นที่ ∆ ABC

R b1

รุส+ภาจั พจําหน =องคกพืารค ้นทีา่ ของคุ APQC พื้นทีด่ พิมCQRB – พืา้นยที่ APRB 1 1 1 c 2 )(cม1 พ a 1ุร)ุส+ภาลาดพร (b 2 + c 2า)(วb1 − c1 ) − (a 2 + b 2 )(b1 − a 1 ) −ค = พิม(พa 2ท+ี่โรงพิ ๒๒๔๙ =

2 2 2 1 ถนนลาดพร งเทพมหานคร [a 2 c1 − aา1วa 2วั+งทองหลาง c1c 2 − a 1cกรุ 2 + b 1 b 2 − b 2 c1 + b 1 c 2 − c 1 c 2 2

มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

−a 2 b 1 + a 1 a 2 − b 1 b 2 + a 1 b 2 ]

69 พื้นที่ ∆ ABC

= =

a1 1 b1 2 c1

a2 1 b2 1 c2

1 [ a 2 c 1 − a 1 c 2 − b 2 c1 + b 1 c 2 − a 2 b 1 + a 1 b 2 ] 2 1 [ a 1 b 2 + a 2 c1 + b 1 c 2 − a 1 c 2 − a 2 b 1 − b 2 c1 ] 2

1 [ a 1 b 2 + a 2 c1 + b 1 c 2 − b 2 c 1 − a 1 c 2 − a 2 b 1 ] 2

1 [ a 1 b 2 + a 2 c1 + b 1 c 2 − a 1 c 2 − a 2 b 1 − b 2 c1 ] 2

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

เพราะวา สมการ (1) เทากับสมการ (2)

a1 1 b1 2 c1

a2 1 b2 1

ดังนั้น พื้นที่ของรูปสามเหลี ม ABC เทากับ ยนรูค กลุม ่ยสาระการเรี  ณิตศาสตร c2

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ 9. วิธีที่ 1 ให A, B, C เปนจุดในระนาบ XY ถามีจุด 2ตามหลั จุดใน A, กB,สูCตเป นจุดเดียกวกั น แล รการศึ ษาขั น้ วพืน้ ฐาน a1 b1 c1

a2 b2 c2

1 1 1

จัดทําโดย

พุทธศักราช ๒๕๔๔

เพราะดีเสถาบั ทอรมิแนนต รากฏจะเป นดีเทอรมิแนนต ของเมทริกซแทละเทคโนโลยี ี่มี 2 แถวเหมือนกัน นสทงี่ปเสริ มการสอนวิ ทยาศาสตร เชน ถา A(a1, a2) = B(b1, b2) แลว a1 = b1 และ a2 = b2 ดังนั้น

a1 b1 c1

a2 b2 c2

1 1 1

กระทรวงศึกษาธิการ

a1 a2 1 a2 ISBN= 974 - a011 - 3820 -9 1 c1 c2 1

= 0

พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม สมมติวา A, B, C แตกตางกันทั้งหมดพ.ศ. ๒๕๔๗

จากขอ 7 จะไดวา สมการเสนตรง l ที่ผานจุด B,C คือ

x y 1 องค ก ารค า ของคุ รุส=ภาจัดพิ0 มพจําหนาย b1 b2 1 พิc2มพที่โรงพิ c1 1 มพคุรุสภาลาดพราว ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

---------- (1)

---------- (2)

70 ถาเสนตรง l ผานจุด A(a1, a2) (นั่นคือ A, B, C อยูในแนวเสนตรงเดียวกัน) แลว เมื่อแทน x ดวย a1 และ y ดวย a2 ลงในสมการของเสนตรง l สมการจะยังคงเปนจริง ดังนั้น

a2 b2 c2

a1 b1 c1

1 1 1

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม a2 b2 c2

a1 ตอไปจะแสดงวา ถา b1 c1

1 1 = 0 แลว A, B, C อยูในแนวเสนตรงเดียวกัน 1

คณิตศาสตร เลม ๒

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

โดยการแสดงวา ถา A, B, C ไมอยูในแนวเสนตรงเดียวกัน แลว

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

a2 1 a1 b2 กษาขั 1 น ตามหลักbสู1 ตรการศึ ้ พื≠น้ ฐาน0 พุทธศักราช c1 c2 1

๒๕๔๔

เพราะขอความทั้งสองสมมูลกัน ทําโดย สมมติวา A, B, C ไมอยูในแนวเสจันดตรงเดี ยวกัน ฉะนั้น รูปสามเหลี่ยม ABC มีพื้นที่ (มากกวา 0) เทากับ ครึ่งหนึ่งของคาสัมบูรณของ

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี a a 1 กษาธิจากข การอ 8 b b กระทรวงศึ 1

ดังนั้น

วิธีที่ 2

a1 b1 c1

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9

a2 1 พิbม2 พครั1ง้ ทีห่ นึง่ ≠ ๑๐,๐๐๐ 0 เลม c2 1พ.ศ. ๒๕๔๗

ใหแสดงวา จุด A, B, C อยูในแนวเสนตรงเดียวกัน ก็ตอเมื่อ

องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย

a1 a2 1 พิbม2 พที่โรงพิ าว b1 1 มพค= ุรุสภาลาดพร 0 ๒๒๔๙ ถนนลาดพร c1 c2 1 าว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

71 a1 b1 c1

ถาจุด A, B, C อยูในแนวเสนตรงเดียวกันแลว

a2 1 b2 1 = 0 c2 1

จุด A, B, C อยูในแนวเสนตรงเดียวกัน นั่นคือ ความชันของเสนตรง AB เทากับความชันของ เสนตรง AC

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม a2 − a1 − a2 − a1 −

ความชันของเสนตรง AB =

b2 b1 c2 c1

---------- (1)

คณิตศาสตร เลม ๒

ความชันของเสนตรง AC =

สมการ (1) เทากับสมการ (2)

---------- (2)

จะได (a2 – b2)(a1 – c1) = (a2 – c2)(a1 – b1)

กลุม สาระการเรี ยนรูค ณิตศาสตร aa –ac –ab +bc = aa –ab –ac +bc 1 2

2 1

1 2

2 1

1 2

2 1

1 2

2 1

1 2

b + a c ก+ ษาป b c – bท c –ี่ ๔ ac –ab ชัน้ มัธaยมศึ

จาก

a2 1 a1 ตามหลั ้ 0 พืน้ ฐาน b1 กbสู2 ตรการศึ 1 กษาขั = น c1 c2 1

1 2

2 1

= 0

1 2

---------- (3)

พุทธศักราช ๒๕๔๔

0 จะได a1b2 + a2c1 + b1c2 – b2c1 – a1c2 – a2จัbด1 ทํ=าโดย สมการ (3) เทากับสมการ (4)

---------- (4) a1

a2 1

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ดังนั้น ถาจุด A, B, C อยูในแนวเสนตรงเดียวกันแลว b b 1 = 0 กระทรวงศึกษาธิกcาร c 1 ถา

a1 b1 c1

a2 b2 c2

1 ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 1 = 0 แลวจุด A, B, C อยูในแนวเสนตรงเดียวกัน พิ1มพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม

พ.ศ. ๒๕๔๗ จาก

a1 b1 c1

a2 b2 c2

1 1 1

1 2

= 0

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

72 จะได

= a1b2 + a2c1 + b1c2 – b2c1 – a1c2 – a2b1 a1b2 + a2c1 + b1c2 – b2c1 – a1c2 – a2b1 + a1a2 – a1a2 = (a1a2 – a1b2 – a2c1 + b2c1) – (a1a2 – a1c2 – a2b1 + b1c2) = (a1 – c1)(a2 – b2) – (a1 – b1)(a2 – c2) = a 2 −b2 a 1 − b1 a 2 −b2 a 1 − b1 a 2 −c 2 a 1 − c1

0 0 0 0 a 2 −c 2 a 1 − c1

---------- (5)

---------(6) เ พิม คูม อื ครูสาระการเรี ยนรู ่ เติม

แตความชันของเสนตรง AB =

---------- (7) คณิ ต ศาสตร เล ม ๒ จากสมการ (5) สมการ (6) และสมการ (7) ความชันของเสนตรง AC =

กลุนตรง ม สาระการเรี นรูค นณิตรงตAC ศาสตร จะไดวา ความชันของเส AB = ความชันยของเส ดังนั้น จุด A, B, C อยูในแนวเสนตรงเดียวกัน a2 1 a1 b2 1 เทากับ 0 และจุด A, B, C อยูในแนวเสนตรงเดียวกัน นั่นคือ ถา b1 ตามหลัc1 กสูตcรการศึ ้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ 1กษาขัน 2

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

จากที่แสดงมาขางตนสรุปไดวา จุด A, B, C อยูในแนวเสนตรงเดียวกันก็ตอเมื่อ

จัดทําโดย

a2 1 a1 b1 b2 1 = 0 สถาบั น ส ง เสริ ม การสอนวิ ทยาศาสตรและเทคโนโลยี c1 c2 1

กระทรวงศึกษาธิการ

เฉลยแบบฝกหัด 1.5 การแกระบบสมการในแบบฝกหัดนี้ ผูสอนอาจจะใหผูเรียนใชกฎของคราเมอร แตสําหรับเฉลยในคูมือครูเลมนี้จะใชการดําเนินการตามแถว

หรือวิธีการใดก็ได

1. จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติมและใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้ 2 3

คูม4 อื ครู–2สาระการเรี ย1นรูเ พิ2 ม่ เติ–1ม 0 5

∼

1 3 ม 5๒ คณิ0 ตศาสตร เล

2 –1 กลุม สาระการเรี∼ยนรูค 1ณิตศาสตร 0

–1

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

0 1

1 R 2 1

0 1 R2–3R1

1 2 –1 0 –1 –R2 ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน0 พุทธศั1กราช–3๒๕๔๔ ∼ ∼

จัดทําโดย

1 0

0 1

5 –3

2 R1 – 2R2 –1

เราไดวา x + 5z = 2 และ y – 3z = –1 ดังนั้น เซตคําตอบของระบบสมการที่กําหนด คือ {(x, y, z)⏐x + 5z = 2, y – 3z = –1} สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตร และเทคโนโลยี = {(2 – 5c, –1 + 3c, c) ⏐c ∈ R}

กระทรวงศึกษาธิการ

2. จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติม และใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้ 1 3

2 7

1 ISBN8 974 - 01 - 3820 1 -9 2 ∼ 0 เล1ม พิ6มพครั26ง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐

พ.ศ. ๒๕๔๗1 ∼

0 1

1 3

8 2 R2–3R1

–5 3

4 R1–2R2 2

เราไดวา x – 5z = องค 4 และ 3z = ร2ุสภาจัดพิมพจําหนาย การคyา+ของคุ ดังนั้น เซตคําตอบของระบบสมการที่กําหนด คือ {(x, y, z)⏐x – 5z = 4, y + 3z = 2} พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพร = {(4 + 5c,าว2 – 3c, c) ⏐c ∈ R} ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

74 3. จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติม และใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้ ⎡ 1 ⎢−1 ⎢ ⎢⎣ 2

−2 3 −5

3 0 5

9⎤ − 4 ⎥⎥ 17 ⎥⎦

∼

⎡ 1 ⎢ 0 ⎢ ⎢⎣ 0

−2 1 −1

3 3 −1

9⎤ 5 ⎥⎥ −1⎥⎦

⎡ 1 ⎢ 0 ⎢ ⎢⎣ 0

0 1 0

9 3 2

19⎤ 5 ⎥⎥ 4 ⎥⎦

⎡ 1 ⎢ 0 ⎢ ⎢⎣ 0

0 1 0

9 3 1

19⎤ 5 ⎥⎥ 2 ⎥⎦

R2 + R1 R3 – 2R1 R1 + 2R2

∼ คูม อื ครูสาระการเรี ยนรูเ พิม่ เติมR + R

คณิตศาสตร เลม ๒ ∼

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ ∼

⎡ 1 ⎢ 0 ⎢ ⎢⎣ 0

0 1 0

0 0 1

1⎤ −1 ⎥⎥ 2 ⎥⎦

1 R 2 3

R1 – 9R3 R2 – 3R3

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔

คําตอบของระบบสมการที่กําหนด คือ x = 1, y = –1, z = 2

4. จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติม และใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้ 1 0 –3 –2 จัดทําโดย 1 0 –3 –2 3 1 –2 5 ∼ 0 1 7 11 R2 – 3R1 2 นส2 งเสริม1การสอนวิ 4 0 2และเทคโนโลยี 7 8 R3 – 2R1 สถาบั ทยาศาสตร

กระทรวงศึกษาธิ1 การ 0 ∼

0 0

1 0

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 1 0 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ∼ ๑๐,๐๐๐ เล ม 0 1 พ.ศ. ๒๕๔๗0 0

–3 7 –7

–2 11 –14 R3 – 2R2

–3 7 1

–2 11 2

1 0 0 ∼ 0 1 0 องคการคาของคุรุสภาจัดพิ0 มพจํา0หนาย 1 มพทอี่โรงพิ คําตอบของระบบสมการที่กําพิหนดคื x =มพ 4,คุรyุสภาลาดพร = –3, z า=ว2 ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

1 − R3 7

4 R1 + 3R3 –3 R2 – 7R3 2

75 5. จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติมและใชการดําเนินตามแถวไดดังนี้ 1 1 2 3

–1 0 –3 2

2 1 5 –1

4 6 4 1

2 –1 1 –7

4 2 R2 – R1 – 4 R3 – 2R1 –11 R4 – 3R1

1 0 1 0 1 –1 ∼ 0 0 0 กลุม สาระการเรียนรูค 0ณิตศาสตร 0 –2

6 R1 + R2 2 –2 R3 + R2 –21 R4 – 5R2

∼

1 0 0 0

–1 1 –1 5

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒ ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

ในแถวที่ 3 ของเมทริกซแตงเติมจะพบวา 0x + 0y + 0z = –2 กสูเพราะว ตรการศึ น้ พืง น้ x,ฐาน ธศักองกัราช ๒๕๔๔ ซึ่งไมมีทตามหลั างเปนไปได าไมมกีจษาขั ํานวนจริ y, z ทีพุ่สทอดคล บสมการ 0x + 0y + 0z = –2 ดังนั้น ระบบสมการนี้ไมมีคําตอบ 6. จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซจัแดตทํ งเติามโดย และใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้ 3 1 4 2 –1 2 8 4 R12 สถาบั ทยาศาสตร –1 นส2 งเสริม 8 การสอนวิ 4 3 แ1ละเทคโนโลยี 4 2 2 5 20 10 ∼ 2 5 20 10 กระทรวงศึ ก ษาธิ ก าร 2 8 32 16 2 8 32 16

ISBN 974 - 01 - 38201- 9 –2 3 1 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม ∼ 2 5 พ.ศ. ๒๕๔๗ 2 8

–8 4 20 32

1 –2 –8 7 องคการคาของคุรุสภาจัดพิม0 พจําหน าย 28 ∼ 0 9 36 พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพร า ว 0 12 48 ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

– 4 –R1 2 10 16 –4 14 R2 – 3R1 18 R3 – 2R1 24 R4 – 2R1

∼

1 0

–2 1

–8 4

–4 2

คูม อื ครูสาระการเรีย1นรูเ พิ0ม่ เติม0 0 0 0

1 0 0

คณิตศาสตร เลม ๒ ∼ กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

4 0 0

1 R 7 2 1 R 9 3 1 R 12 4

0 R1+ 2R2 2 0 R3 – R2 0 R4 – R2

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

เราไดวา x = 0 , y + 4z = 2 ดังนั้น เซตคําตอบของระบบสมการที่กําหนด คือ {(x, y, z)⏐x = 0, y + 4z = 2} = {(0, c, 2−4 c )⏐c ∈ R}

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔

7. จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติม และใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้ 1 5 2 6 จัดทําโดย 1 5 2 6 2 10 2 6 0 0 –2 – 6 R2 – 2R1 1 นส5งเสริม 1 การสอนวิ 3 ∼ทยาศาสตร 0 0และเทคโนโลยี –1 –3 R3 – R1 สถาบั 4 20 5 15 0 0 –3 –9 R4 – 4R1

กระทรวงศึกษาธิการ 1 0

5 0

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 ∼ 0 0 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม 0 0 พ.ศ. ๒๕๔๗

1 5 0 0 องคการคาของคุรุส∼ภาจัดพิ0มพจําหน 0 าย 0 าว0 พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพร

2 1

6 3

1 1

3 3

0 1 1 1

0 R1 – 2R2 3 3 3

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

1 − R2 2

−R 3 1 − R4 3

77 เราไดวา z = 3, x + 5y = 0 ดังนั้น เซตคําตอบของระบบสมการที่กําหนดคือ {(x, y, z)⏐z = 3, x + 5y = 0} = {(–5c, c, 3)⏐c ∈ R} 8. จากสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติม และใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้ 2 3 1 5

1 4 5 2

–1 0 2 –1

2 1 6 –1

–16 1 –3 3

1 3 2 5

5 4 1 2

2 0 –1 –1

6 1 2 –1

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม ∼

คณิตศาสตร เลม ๒

กลุม สาระการเรีย1 นรูค 5ณิตศาสตร 2 0กษาป –11 ที่ ๔ –6 ชัน้ มัธยมศึ ∼ 0 –9 –5 0

–23

–11

1 5 0 1 ∼ จัดทํ0าโดย –9 0 –23

2 –1 –5 –11

–3 R13 1 –16 3

6 –3 –17 10 R2 – 3R1 –10 –10 R3 – 2R1 –31 18 R4 – 5R1

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ 6 –3 –10 –31

–3 2 2R2 – R4 –10 18

0 21 –13 R – 5R สถาบันสงเสริมการสอนวิ1ทยาศาสตร แ7ละเทคโนโลยี 0 1 –1 –3 2 ∼ กระทรวงศึ0 กษาธิ0 การ–14 –37 8 R + 9R 0

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9

–34

–100

64 R4 + 23R2

จากเมทริกซแตงเติม จะไดวา มพครั---------ง้ ทีห่ นึง่ (1)๑๐,๐๐๐ เลม x + 7z + 21t = พิ–13 y – z – 3t = 2 ---------(2) พ.ศ. ๒๕๔๗ –14z – 37t = 8 ---------- (3) –34z – 100t = 64 ---------- (4) จากสมการ (3) และ (4) จะได z = 11.041, t = – 4.394 องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย แทนคา z และ t ในสมการ (1) และ (2) จะได x = 1.986, y = –0.141 พิมพ่กทําหนดคื ี่โรงพิมอ พxคุร=ุส1.986, ภาลาดพร ∴ คําตอบของระบบสมการที y =าว– 0.141, z = 11.041 และ t = – 4.394 ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

78 9. จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติมและใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้ 4

–7

–20

–5

–28

∼

– 74

–5

11 2

–5

–28

−

–5

11 2 27 2

7 4

∼ คูม อื ครูสาระการเรี ่ เติ–13ม 0 ย0นรูเ พิม 1 4

1 R 4 1

R2 – 3R1

คณิตศาสตร เล 1 3 ม๒ ∼

–5

3 ที่ ๔ 0 ชัน้ มัธ∼ยมศึ1กษาป

–96

100 R1 +

–52

−

7 4

1 –52 กลุม สาระการเรีย0 นรูค 0ณิตศาสตร 0

11 2

54 4R2 7 R 4 2

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔

เราไดวา z – 52t = 54 และ x + 3y – 96t = 100 ดังนั้น เซตคําตอบของระบบสมการที่กําหนด คือ {(x, y, z, t)⏐z – 52t = 54, x + 3y – 96t = 100} 10. จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมตริกซจัแดตงทํเติามโดย และใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้ 1 3

2 สถาบั2นสง4เสริม11การสอนวิ1ทยาศาสตร 2 2และเทคโนโลยี 4 11 6 5 12 30 ∼ 0 0 –1 0 –3 R2 – 3R1

กระทรวงศึกษาธิการ ∼

1 0

2 0

2 1

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 2 เล0ม พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ 1 ๑๐,๐๐๐ ∼ 0 0 1 พ.ศ. ๒๕๔๗

4 0 4 0

11 3 –R2 5 R1 – 2R2 3

เราไดวา z = 3 และ x + 2y + 4w = 5 ดังนั้น เซตคําตอบของระบบสมการที่กําหนดคือ {(x, y, z, w)⏐z = 3, x + 2y + 4w = 5}

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

79 11. จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติม และใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้ 2 1 1 1

1 2 0 1

–3 2 –2 1

4 10 12 6

1 1 1 2

∼

1 2 0 1

1 2 –2 –3

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม 1 1 1 0 1 1 –1 –3 กลุม สาระการเรีย∼นรูค 00ณิตศาสตร –1 –5

คณิตศาสตร เลม ๒ ชัน้ มัธยมศึกษาป ที่ ๔0 1

6 R14 10 12 4 6 4 R2 – R1 6 R3 – R1 –8 R4 – 2R1

0 2 R1 – R2 0 1 1 4 ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พื∼น้ ฐาน0 พุทธศั0กราช–2๒๕๔๔ 10 R3 + R2 0 0 – 4 – 4 R4 + R2

จัดทําโดย 1

0 1 0

0 1 1

2 4 –5

1 0 0 ISBN 974 - 01 - 3820 -9 1 ∼ 0 0 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เล ม 0 0

0 0 0 1

2 3 R2 – R4 – 6 R3 – R4 1

∼

0 0

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 0 0 1 1 กระทรวงศึกษาธิการ

พ.ศ. ๒๕๔๗

ในแถวที่ 3 ของเมตริกซแตงเติม จะพบวา 0x + 0y + 0z = – 6 ซึ่งไมมีทางเปนไปได องค เพราะว าไมมาีจของคุ ํานวนจริ x, y,ดzพิทีม่สพอดคล องกัาบยสมการ การค รุสง ภาจั จําหน 0x + 0y + 0z = – 6 ดังนั้น ระบบสมการนี้ไมมีคําตอบ

พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

1 − R3 2 1 − R4 4

80 12. จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติม และใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้ 2

1 3 1

0 –2 1

3 0 1

9 4 8

1 3 1

0 –2 1

3 0 1

9 4 8

∼

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม 1 2 คณิตศาสตร เล ม ๒ 0 –2

–8 กลุม สาระการเรีย∼นรูค 0ณิตศาสตร 0

–1

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

1 2 –3 0

1 R 2 1

5 4 R2 – R1 –11 R3 – 3R1 3 R4 – R1

1 2 1 5 4 ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน0 พุทธศั–2กราช2๒๕๔๔ ∼ 0 –8 –3 –11 0 1 0 –3 –R4

จัดทําโดย 1

0 1 11 R1 – 2R4 0 0 2 –2 R2 + 2R4 0 –3 –35 R3 + 8R4 สถาบันสงเสริมการสอนวิ∼ทยาศาสตร แ0ละเทคโนโลยี 0 1 0 –3

กระทรวงศึกษาธิการ

1 0 0 -9 0 974 - 01 - 3820

ISBN 0 เลม0 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ∼ ๑๐,๐๐๐ 1 พ.ศ. ๒๕๔๗0

1 0 0 0 องคการคาของคุรุส∼ภาจัดพิ0 มพจําหน 0 าย 0 พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพร าว1

1 1

11 –1

–3 0

–35 –3

0 1 0 0

12 R1 – R2 –1 –38 R3 + 3R2 –3

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

1 R 2 2

81 ในแถวที่ 3 ของเมทริกซแตงเติม จะพบวา 0x + 0y + 0z = –38 ซึ่งไมมีทางเปนไปได เพราะวาไมมีจํานวนจริง x, y, z ที่สอดคลองกับสมการ 0x + 0y + 0z = –38 ดังนั้น ระบบสมการนี้ไมมีคําตอบ

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

13. จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติม และใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้ 0 1 2 1

1 2 4 –4

1 –1 1 –7

คณิ ตศาสตร เล ม–1๒ –2 –3 1 2

0 2 0  1ณิตศาสตร 1 –2 กลุ0ม สาระการเรี ∼ ยนรูค –3 –2 2 4 1 –3 –1 –19 1 –4 –7 –1

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

2 R12 –3 –2 –19

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พื1น้ ฐาน2 พุทธศั–1กราช0 ๒๕๔๔ 2 0 1 0 0 จัดทํ0าโดย – 6

∼

1 3 –6

–2 –3 –1

–3 – 6 R3 – 2R1 –21 R4 – R1

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 1 0 –3 4 8 R – 2R กระทรวงศึ0 กษาธิ1 การ 1 –2 –3 1

∼

0 0 3 0 -9 0 974 - 001 - 3820

ISBN พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม พ.ศ. ๒๕๔๗ 1 0 –3 ∼

0 0

1 0

1 1

–3 –13

4 –2 –1

องคการคาของคุรุส0ภาจัดพิ0 มพจํา0หนาย 1 พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

–6 –39 R4 + 6R2

8 –3 –2 3

1 R 3 3 1 − R4 13

∼

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

1 –1 –1 1

2 R1 + 3R3 –1 R2 – R3 –2 3

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

–1 R1 – R4 2 R2 + R4 1 R3 + R4 3

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม ∼

คณิตศาสตร เลม ๒ กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

คําตอบของระบบสมการที่กําหนดคือ x = –1, y = 2, z = 1, w = 3

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

14. จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติม และใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้ 4 1 2

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ 4 2 0

2 3 –4

1 4 –7

4 2 –1

∼

1 4 2

2 4 0

3 2 –4

4 1 –7

จัดทําโดย

2 R12 4 –1 2

สถาบันสงเสริมการสอนวิ0ทยาศาสตร และเทคโนโลยี – 4 –10 –15 – 4 R – 4R ∼ กระทรวงศึ0 กษาธิ– 4การ–10 –15 –5 R – 2R 1

ISBN 974 - 001 - 3820 -9 – 4 –10 พิมพครัง้ ที∼ห่ นึง่ 0 ๑๐,๐๐๐ 0 เลม0 พ.ศ. ๒๕๔๗

4 –15 0

ในแถวที่ 3 ของเมทริกซแตงเติมจะพบวา 0x + 0y + 0z + 0t = –1 ซึ่งไมมีทางเปนไปได เพราะวาไมมีจํานวนจริง x, y, z, t ที่สอดคลองกับสมการ องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย 0x + 0y + 0z + 0t = –1 มพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว ดังนั้น ระบบสมการนี้ไมมีคพิําตอบ ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

2 –4 –1

R3 – R2

83 15. จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติม และใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้ 1 0 0 0

6 1 1 0

0 1 –1 0

0 0 1 1

4 3 –1 5

–2 1 1 2

∼

1 0 0 0

0 1 0 0

–6 1 –2 0

0 –14 0 3 1 –4 1 5

1 0 0

0 1 0

–6 1 1

0 –14 0 3 1 − 2 2

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒ ∼

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

1 0 0 –3 ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ 0ฐาน 1พุทธศั0กราช1 2 ∼

จัดทําโดย

−

–8 R1 – 6R2 1 0 R3 – R2 2 –8 1 0

−

1 R 2 3

–2 –8 R1 + 6R3 ๒๕๔๔ 1 1 R2 – R 3

1 2

1 0 0 0 13 –2 R1 + 3R4 0 1 แ0ละเทคโนโลยี 0 − 32 0 R2 – 12 R4 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตร ∼

9 2

1 R3 + 12 R4

กระทรวงศึกษาธิการ

จากเมทริกซแตงเติม จะไดวา ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 x1 + 13x5 = –2 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม x2 – 32 x 5 = 0 พ.ศ. ๒๕๔๗ x3 + 92 x 5 = 1 x4 + 5x5 = 2 x4พ , xจ5)ํา⏐หน x1 +า13x ดังนั้น เซตคําตอบของสมการที ่กําหนด คือรุส {(xภาจั องคการค าของคุ ย 5 = –2, x2 – 1, x2,ดxพิ 3, ม x3 + 92 x 5 = 1, x4 + 5x5 = 2}พิม=พท{(–2 – 9 c , 2 –า5c, ี่โรงพิ– มc,พ32คcุร,ุส1ภาลาดพร ว c)⏐c ∈ R} 2 ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

3 x 2 5

= 0,

84 16. จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติม และใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้ 1 2 0

3 6 0

–2 –5 5

0 –2 10

2 4 0

0 0 0

2 0 0

0 0 0 คูม 4อื ครู2 สาระการเรี ยนรู เ พิ2ม่ เติ4ม

0 0 R2 – 2R1 0 15 R3

0 R4 – R1

คณิตศาสตร เลม ๒

2 0 0 0

0 R1 + 2R3 0 R2 + R 3 0 0 R4 – 2R3

∼

1 0 0

3 0 0

–2 –1 1

0 –2 2

1 3 0 4 0 0 0 0 ∼ ยนรู 0 ค 1 2 กลุม สาระการเรี  ณิ0ตศาสตร 0 0 0 0

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

จากเมทริกซแตงเติมจะไดวา x1 + 3x2 + 4x4 + 2x5 = 0, x3 + 2x4 = 0 ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ ดังนั้น เซตคําตอบของระบบสมการที่กําหนด คือ {(x1, x2, x3, x4, x5)⏐x1 + 3x2 + 4x4 + 2x5 = 0, x3 + 2x4 = 0}

จัดทําโดย

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม พ.ศ. ๒๕๔๗ องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

103

เฉลยแบบฝกหัด 2.1 1. (1) (2) (3) (4)

A×B A×B A×B A×B

= = = =

{(1, 3), (1, 6), (1, 7), (2, 3), (2, 6), (2, 7)} {(–1, 0), (–1, 1), (–1, 2), (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2)} {(a, e), (a, f), (b, e), (b, f), (c, e), (c, f)} {(–3, 1), (–3, 2), (–3, 3), (–2, 1), (–2, 2), (–2, 3), (–1, 1), (–1, 2), (–1, 3)}

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

2. จํานวนสมาชิกของเซต A เทากับ n และจํานวนสมาชิกของเซต B เทากับ m ดังนั้น จํานวนสมาชิกของ A × B เทากับ n⋅m = nm A ม ากับ m⋅n = ย mnนรูค จํานวนสมาชิกของ B ×กลุ  เทสาระการเรี  ณิตศาสตร 2 จํานวนสมาชิกของ A × A เทากับ n⋅n = n จํานวนสมาชิกของ B × B เทากับ m⋅m = m2

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

3. (1) (2) (3) (4)

(M × N) ∪ (M × P) = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5)} ้2),พื(1,น้ 3),ฐาน ทธศั กราช (N ∪ P)กสูตรการศึ = กษาขั {(1, น (1, 4),พุ(1, 5), (2, 2), (2,๒๕๔๔ 3), (2, 4), (2, 5)} M ×ตามหลั M × (N ∩ P) = M×∅ = ∅ (M × N) ∩ (M × P) = ∅

จัดทําโดย

4. เปน 5. (1) r (2) r 6.

= นส{(2, 0), (2, 1), (4, 0), (4, 1),ท(4, 2)} สถาบั งเสริ มการสอนวิ ยาศาสตร และเทคโนโลยี = {(x, y) ∈ A × B⏐x > y} กระทรวงศึกษาธิการ = =

{(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)} {1, 2, 3, 4, 5}

R r1

{1, 2, 3, 4, 5}

r2 Dr2

= =

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม {(3, 3), (4, 3), (5, 3)} พ.ศ. ๒๕๔๗ {3, 4, 5}

R r2

{3}

r3 Dr3

= =

∅

R r3

∅

r1 Dr1

องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย

∅

พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

104 Rr = {0, 1, 4, 9} 7. (1) Dr = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3} (2) Dr = {–2, –1, 0, 1, 2} Rr = {0, 1, 2 } Rr = {x⏐x ∈ R} (3) Dr = {x⏐x ∈ R} (4) Dr = {x⏐x ∈ I} Rr = {x⏐x ∈ I} (5) Dr = {x⏐x ∈ R} Rr = {x⏐x ≥ 0} (6) Dr = {x⏐x ∈ R, x ≥ 0} Rr = {x⏐x ∈ R} Rr = {x⏐x = 2 } (7) Dr = {x⏐x ∈ R} (8) Dr = {x⏐x ∈ R} Rr = {x⏐x ∈ R} (9) Dr = {x⏐x ∈ R} จาก y = x2 + 1 เมื่อกลุ x เป จํานวนจริงใด ๆยนรู x2 มีค ่สุดเมื่อ x = 0 ม นสาระการเรี  คาณินอตยทีศาสตร ดังนั้น y มีคานอยที่สุดเมื่อ x = 0 นั่นคือ y ≥ 1 จะได Rr = {x⏐x ≥ 1} (10) Dr = {x⏐x ≥ 0} Rr = {x⏐x ≤ 0} (11) Dr ตามหลั = {x⏐xก∈สูI}ตรการศึกษาขัน = {xพุ ⏐xทธศั ≥ 0,กxราช ∈ I} ๒๕๔๔ ้ พืRน้ r ฐาน (12) Dr = {x⏐x ∈ R} Rr = {x⏐x ≥ 0}

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒ ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

(13) จากสมการ y = x 2 + 2 จะเห็นวา x2 + 2 ≥ 2 เสมอไมวา x จะเปนจํานวนจริงใด ๆ จัดทําโดย ดังนั้น Dr = {x⏐x ∈ R} เพราะวา x2 + 2 ≥ 2 จะได y ≥ 2 สถาบั น ส ง เสริ ม การสอนวิ และเทคโนโลยี ดังนั้น Rr = {x⏐x ≥ ท2ยาศาสตร } (14) จากสมการ นั่นคือ จะได ดังนั้น จาก จะได ดังนั้น

กระทรวงศึกษาธิการ

y = x −1 จะเห็นวา x2 – 1 ตองไมนอยกวาศูนย x2 – 1 ≥ 0 ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 (x + 1)(x – 1) ≥ 0 มพอ คxรัง้ ≤ที–1 ห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม x ≥ 1 พิหรื Dr = {x⏐x ∈ Rพ.ศ.ยกเว น –1 < x < 1} ๒๕๔๗ y = x 2 −1 เมื่อ x เปนจํานวนจริงยกเวน –1 < x < 1 y≥0 Rr = {x⏐x ≥ 0} 2

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

105 (15) จากสมการ นั่นคือ

จะได ดังนั้น จาก ดังนั้น

y = 1− x 2 จะเห็นวา 1 – x2 ตองไมนอยกวาศูนย 1 – x2 ≥ 0 x2 – 1 ≤ 0 (x – 1)(x + 1) ≤ 0 –1 ≤ x ≤ 1 Dr = {x⏐–1 ≤ x ≤ 1} y = 1− x 2 เมื่อ –1 ≤ x ≤ 1 จะได 0 ≤ y ≤ 1 Rr = {x⏐0 ≤ x ≤ 1}

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

(16) จากสมการ

จะเห็นวา xยนรู เปนค งใด ๆ ก็ไดยกเวน 1 y กลุ = ม  1สาระการเรี  จําณินวนจริ ตศาสตร 1− x

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

ดังนั้น จาก

Dr = {x⏐x ≠ 1} y = 1 เพราะวา 1− x

⏐1 – x⏐ > 0

= {x⏐xกษาขั > 0} น ดังนัตามหลั ้น กRสูrตรการศึ ้ พืน้ ฐาน

เสมอจะได y > 0 เสมอ

พุทธศักราช ๒๕๔๔

(17) Dr = {x⏐x ≠ 2} การหาเรนจของความสัมพันธนั้นอาจหาไดจากการจัดสมการใหมโดยหาคาของ x จัดทําโดย ในรูปของ y จาก

y =

1 x −2

จะได

x =

1+ 2 y y

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี จะเห็นวา y มีคาใด ๆ ก็ไดยกเวนศูนย ดังนั้น R = {x⏐x ≠ 0}กระทรวงศึกษาธิการ r

(18) จากสมการ ดังนั้น จาก

3x x +5

นจํานวนจริ ISBNจะเห็ 974นว-า01x -เป3820 - 9 งใด ๆ ก็ไดยกเวน –5 Dr = พิ{xม⏐พxค≠รัง้ –5} ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม 3x y = x + 5 จะได x = 35−yy พ.ศ. ๒๕๔๗ y =

จะเห็นวา y มีคาใด ๆ ก็ไดยกเวน 3 ดังนั้น Rr = {x⏐x ≠ 3}

106 (19) จากสมการ

นั่นคือ

จะได ดังนั้น จาก

1 9− x

จะเห็นวา 9 – x2 ตองมากกวาศูนย

x –9 < 0 (x – 3)(x + 3) < 0 –3 < x < 3 Dr = {x⏐–3 < x < 3} 1 จะเห็นวา y = 2

มากทีม่สุดเมื่อ x = 0 คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิมีม่ คาเติ 9− x

9− x 2

คณิตศาสตร เลม ๒

นั่นคือ y จะมีคานอยที่สุด เมื่อ x = 0 จะได y ≥ ดังนั้น

Rr = {x⏐x

≥

1 3

1 } 3

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ เฉลยแบบฝกหัด 2.2

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔

1. (1) Dr = {1, 2, 3, 4} Rr = {1, 2, 3} r–1 = {(2, 1), (3, 4), (2, 2), (1, 2), (1, 3)}

จัดทําโดย

Rr = {2, 3, 4} (2) Dr = {1, 2, 3} r–1 = {(2, 2), (3, 2), (4, 1), (2, 3), (3, 3)} (3)

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี D = {x⏐x ∈ R} กระทรวงศึRกษาธิ = {xก⏐าร x ∈ R} 1− x

r –1

= {(x, y) ∈ R × R⏐y =

}

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 Rr = {x⏐x ∈ R} พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม r–1 = {(x, y) ∈ R × R⏐y = 2 − x } 3 พ.ศ. ๒๕๔๗

(4) Dr = {x⏐x ∈ R}

Rr = {x ∈ R⏐x (5) Dr = {x ∈ R⏐x ≥ 0} –1 2 r = {(x, y) ∈ R × R⏐y = x , x ≥ 0}

≥

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

107 2. (1) r–1 = {(3, 1), (4, 2), (7, 3), (7, 6), (10, 6)} โดเมนของ r–1 = {3, 4, 7, 10} เรนจของ r–1 = {1, 2, 3, 6} (2) s–1 = { ..., (4, –5), (2, –3), (0, –1), (2, 1), (4, 3), (6, 5), ...} โดเมนของ s–1 = {0, 2, 4, 6, ...} เรนจของ s–1 = {..., –5, –3, –1, 1, 3, 5, ...}

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

(3) t–1 = {(x, y) ∈ R × R⏐y = x – 2} เรนจของ t–1 = {x⏐x ∈ R} โดเมนของ t–1 = {x⏐x ∈ R} –1

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

(4) u = {(x, y) ∈ R × R⏐xy = 1} โดเมนของ u–1 = {x⏐x ≠ 0}

ชัน้ มัธยมศึเรนจ กษาป ของ ท u ี่ ๔ = {x x –1

⏐ ≠ 0}

้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ (5) v–1 ตามหลั = {(x,กy)สูต ∈ รการศึ R × R⏐yก<ษาขั x} น เรนจของ v–1 = {x⏐x ∈ R} โดเมนของ v–1 = {x⏐x ∈ R} 3. (1) r = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4),ทํา(3,โดย 4)} จั ด ดังนั้น r–1 = {(2, 1), (3, 1), (4, 1), (3, 2), (4, 2), (4, 3)} หมายเหตุ สําหรับการเขียนแจกแจงสมาชิกของ r และ r–1 (ในกรณีที่เขียนแจกแจงได) สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตร และเทคโนโลยี –1 จะชวยใหไมสับสน และเขียนกราฟของ r และ r ไดงายขึ้น

กระทรวงศึกษาธิการ

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 พิ4 มพครัง้ ทีrห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม พ.ศ. ๒๕๔๗r–1 6

2 X

2 รุสภาจั4 ดพิมพ6จําหนาย องคก0ารคาของคุ

108 (2) r = {(–1, –3), (0, –2), (1, –1), (2, 0), (3, 1)} r–1 = {(–3, –1), (–2, 0), (–1, 1), (0, 2), (1, 3)} Y 4

r–1

2 คูม อื ครูสาระการเรี ยนรู เ พิม่ เติม r X 0 คณิต–2 ศาสตร 4 ๒ 2 เลม

–4

–2 กลุม สาระการเรี ยนรูค ณิตศาสตร –4 ชัน้ มัธยมศึ กษาปที่ ๔

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔

(3) ถา r = {(x, y) ∈ I × I⏐y2 = x} r–1 = {(x, y) ∈ I × I⏐y = x2} หมายเหตุ สําหรับขอนี้ยังมีสมาชิกของ r และ r–1 อีกมาก แตเฉลยเฉพาะสมาชิกใน จัดทําโดย โดเมนของ r เมื่อ x ∈ I และ x ≤ 9 และสมาชิกในโดเมนของ r–1 เมื่อ x ∈ I และ x ≤ 3 เทานั้น

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี Y กระทรวงศึกษาธิการ 12

r–1

ISBN 8 974 - 01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม 4 พ.ศ. ๒๕๔๗ r –4

องคการค– 4าของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

109 (4) ถา r = {(x, y) ∈ R × R⏐y = 2x} r–1 = {(x, y) ∈ R × R⏐y = x2 } Y

คูม อื ครูสาระการเรี ่ r เติม 2 ยนรูเ พิม –1

คณิตศาสตร ม๒X 0 เล –2 2 กลุม สาระการเรี–2ยนรูค ณิตศาสตร

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ สูตy)รการศึ ้ –พื1}น้ ฐาน (5) ถา ตามหลั r = ก{(x, ∈ R × Rก⏐ษาขั y < xน r–1 = {(x, y) ∈ R × R⏐y > x + 1}

พุทธศักราช ๒๕๔๔

จัดทําYโดย 4

r–1

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแr ละเทคโนโลยี กระทรวงศึ0กษาธิการ X –4

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 –4 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม พ.ศ. ๒๕๔๗ องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

110

เฉลยแบบฝกหัด 2.3.1 (ก) 1. (1) {(1, a), (2, b), (3, b), (5, c)} เปนฟงกชัน เพราะไมมีคูอันดับที่มีสมาชิกตัวหนาซ้ํากันเลย (2) {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d), (4, e)} ไมเปนฟงกชัน เพราะมีคูอันดับ (4, d), (4, e) ที่มีสมาชิกตัวหนาซ้ํากัน แตสมาชิกตัวหลังตางกัน (3) {(1, a), (2, a), (3, a), (4, a)} เปนฟงกชัน เพราะไมมีคูอันดับใดที่สมาชิกตัวหนาซ้ํากันเลย (4) ให r = {(x, y) ∈ A × A⏐y ≥ x} ; A = {1, 2, 3} ม สาระการเรี  (2,ณิ2),ตศาสตร 1), (1, 2), (1, 3),ย(2,นรู 1),ค (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)} A × A =กลุ{(1, ดังนั้น r = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)} ไมเปนฟงกชัน เพราะมีคูอันดับ (2, 2), (2, 3) ที่มีสมาชิกตัวหนาซ้ํากัน แตสมาชิกตัวหลังตางกัน (5) {(x, y) ∈ B × B⏐y = x – 2} ; B = {–2, –1, 0, 1, 2} กสูตรการศึ น้ พืกน้ ตัวฐาน ธศักราช ๒๕๔๔ เปนตามหลั ฟงกชัน เพราะไม มีคูอันดักบษาขั ที่มีสมาชิ หนาซ้ําพุกัท นเลย (6) {(x, y)⏐x = 3} ไมเปนฟงกชัน เพราะมีคูอันดับ เชน (3, 1), (3, 2) ที่มีสมาชิกตัวหนาซ้ํากัน แตสมาชิกตัวหลังตางกัน (7) {(x, y)⏐y = –2} จัดทําโดย เปนฟงกชัน เพราะไมมีคูอันดับที่มีสมาชิกตัวหนาซ้ํากันเลย (8) {(x, y)⏐y = x } สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี เปนฟงกชัน เพราะไมมีคูอันดับที่มีสมาชิกตัวหนาซ้ํากันเลย (9) ให r = {(x,กระทรวงศึ y) ∈ A × B⏐yก<ษาธิ x} ; การ A = {0, 1}, B = {–1, 1} A × B = {(0, –1), (0, 1), (1, –1), (1, 1)} ดังนั้น r = {(0,ISBN –1), (1,974 –1)}- 01เป-น3820 ฟงกช-ัน9เพราะไมมีคูอันดับใดที่มีสมาชิกตัวหนา ซ้ํากันเลย

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒ ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

(10) {(x, y)⏐y

พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม 1 เมื่อ x ≥ 0 พ.ศ. ๒๕๔๗ }

–1 เมื่อ x

≤

ไมเปนฟงกชัน เพราะมีคูอันดับ (0, 1) และ (0, –1) ที่มีสมาชิกตัวหนาซ้ํากัน แตสมาชิก ตัวหลังตางกัน

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

111 2. f1 f3 f5 f7

= = = =

{(x, 1), (y, 1), (z, 1)} {(x, 1), (y, 0), (z, 1)} {(x, 1), (y, 1), (z, 0)} {(x, 0), (y, 0), (z, 1)}

f2 f4 f6 f8

= = = =

{(x, 0), (y, 0), (z, 0)} {(x, 1), (y, 0), (z, 0)} {(x, 0), (y, 1), (z, 1)} {(x, 0), (y, 1), (z, 0)}

3. (1) (2) (3) (4) (5)

เปนฟงกชัน เปนฟงกชัน (a) ไมเปนฟงกชัน (b) เปนฟงกชัน (a) เปนฟงกชัน (b) ไมเปนฟงกชัน (a) เปนฟงกชัน กลุม (b) ไมยเปนรู นฟงค  สาระการเรี  กณิชันตศาสตร

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

ชัน้ มัธยมศึกษาปทx ี่+๔2xb + b + 3x + 3b – 5,

4. –5, –7, 13, a2 + 3a – 5, a2 + 2ab + b2 + 3a + 3b – 5, 5. 1, 1, 1, 1, 3 , 2, − h1 เมือ่ h > 0

้ ไมพืเน้ ทาฐาน 6. (1) ไมเตามหลั ทากัน กสูตรการศึกษาขั (2) น กัน

พุทธศักราช ๒๕๔๔

จัดทําโดย

2x + 3 + h

112 8. ถา h(x) = x2 – 6 และโดเมนของ h คือ {x⏐– 4 < x < 3} จะได เรนจของ h คือ {y⏐– 6 ≤ y < 10} วิธีคิด เนื่องจาก h(x) = x2 – 6 จะเห็นไดวา x2 ≥ 0 เสมอไมวาจะแทนดวยจํานวนใดในโดเมน ดังนั้น 1) x2 – 6 มีคาต่ําสุด เมื่อ x2 = 0 แต x2 = 0 เมื่อ x = 0 ดังนั้น คาต่ําสุดของจํานวน ที่เปนสมาชิกของเรนจของ h คือ h(0) = 0 – 6 = –6 2) x2 – 6 มีคาสูงสุด เมื่อ x2 มีคาสูงสุด แต x2 มีคาสูงสุดเมื่อ ⏐x⏐ มีคาสูงสุดในโดเมน พิจารณาโดเมนของ h จะพบวา ไมมี x ซึ่งมีคาสัมบูรณสูงสุด แตทราบวา คาสัมบูรณของ สมาชิกทุกตัวในโดเมนมี คาไมเกิน 4 เพราะโดเมนคื อต{x ⏐– 4 < x < 3} กลุม สาระการเรี ย นรู ค  ณิ ศาสตร ดังนั้น คาของ h(x) ตองนอยกวา 42 – 6 หรือ 10 ไมวาจะแทน x ดวยจํานวนใดในโดเมน ดังนั้น จะเห็นวา จํานวนที่จะเปนสมาชิกของเรนจของ h ได ตองเปนจํานวนที่อยูในเซต A = {y⏐– 6 ≤ y < 10}

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒ ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔

พิจารณาสมการ h(x) = x2 – 6 จะไดวา x2 = h(x) + 6 จะเห็นไดวา ไมวาแทน h(x) ดวยจํานวนใดในเซต A จะเกิดสมการซึ่งหาสมาชิกของโดเมน จัดทําโดย ของ h ที่ทําใหสมการเปนจริงไดเสมอ ดังนั้น สรุปไดวาเรนจของ h คือ A หรือ {y⏐– 6 ≤ y < 10} สถาบั น ส เสริมวการสอนวิ ทยาศาสตร ละเทคโนโลยี นอกจากวิธีดังกลงาวมาแล อาจหาเรนจของฟ งกชัน h ไดโแดยการเขี ยนกราฟของ –6 h(x) = x2 กระทรวงศึ กษาธิการ 9. (1) ฟงกชันจาก A ไป B มี f1, f2, f4, f5 และ f6 ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 (2) ฟงกชันจาก A ไปทั่วถึง B มี f2 และ f5 ครัง้ ทีf7 ห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม (3) ฟงกชันจาก B ไป A พิมี มf3พและ (4) ฟงกชันจาก B ไปทั่วถึง B ไมมพ.ศ. ี ๒๕๔๗ (5) ฟงกชันจาก A ไป A มี f4 และ f6 (6) ฟงกชันจาก 1 – 1 มี f2, f5 และ f7 (7) ฟงกชันจาก B ไปทั่วถึง A มี f7 องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย หมายเหตุ การเขี ย นแผนภาพแสดงการจับคูระหวางสมาชิกของเซต 2 เซต จะชวยใหผูเรีย น พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว มองฟงกชันไดงายขึ้น ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

113 f(x) = x2 + x f(x1) = x 12 + x1 f(x2) = x 22 + x2 ถา f(x1) = f(x2) จะได x 12 + x1 = x 22 + x2 x 12 – x 22 = x2 – x1 (x1 – x2)(x1 + x2) = –(x1 – x2) ถา x1 ≠ x2 จะได x1 + x2 = –1 x1 = –1 – x2 = –(1 + x2)ยนรูค กลุม สาระการเรี  ณิตศาสตร ถาให x2 = 0 จะได x1 = –1 ซึ่งทําให f(0) = 0 = f(–1) แต 0 ≠ –1 นั่นคือ f ไมเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง

10. (1) จาก จะได

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒ ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔

(2) จาก จะได

g(x) = 2x + 5 = 2x1 + 5 g(x1) g(x2) = 2x2 + 5 จัดทําโดย ถา g(x1) = g(x2) จะได 2x1 + 5 = 2x2 + 5 สถาบันสx1งเสริมการสอนวิ ทยาศาสตรและเทคโนโลยี = x2 ดังนั้น ถา g(x1) กระทรวงศึ = g(x2) แลกวษาธิx1การ = x2 นั่นคือ g เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง

(3) จาก จะได

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9

h(x) = ⏐2x – 1⏐ ่ นึง่ ⏐2x๑๐,๐๐๐ เลม h(x1) พิมพครั=ง้ ทีห 1 – 1⏐ h(x2) =พ.ศ. ๒๕๔๗ ⏐2x2 – 1⏐ ถา h(x1) = h(x2) จะได ⏐2x1 – 1⏐ = ⏐2x2 – 1⏐ (ยกกําลังสองทั้งสองขางของสมการ) องคการคาของคุรุสภาจั2 ดพิมพจําหนาย 4x 12 – 4x1 + 1 = 4x 2 – 4x2 + 1 าว x 12 – x1พิมพที่โรงพิ = มพคxุร22ุส–ภาลาดพร x2 2 ๒๒๔๙ x 12 – x ถนนลาดพร = าว วังทองหลาง x1 – x2 กรุงเทพมหานคร 2 มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

114 = x1 – x2 (x1 – x2)(x1 + x2) จะได x1 + x2 = 1 = 1 – x2 x1 ถาให x2 = 0 จะได x1 = 1 ซึ่งทําให h(0) = 1 = h(1) แต 0 ≠ 1 นั่นคือ h ไมเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง

ถา x1

≠

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิเฉลยแบบฝ ตศาสตร เล ม ๒ กหัด 2.3.1 (ข)

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

1. (1) ให x1, x2 ∈ (0, ∞) ถา x1 < x2 จะได –3x1 > –3x2 –3x1 + 7 > –3x2 + 7 ดังนัตามหลั ้น > f(x กf(x สูต1)รการศึ กษาขั น้ พืน้ ฐาน 2) นั่นคือ f เปนฟงกชันลดบนเซต (0, ∞)

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ พุทธศักราช ๒๕๔๔

(2) ให x1, x2 ∈ (–∞, 0] ถา x1 < x2 จะได x 12 > x 22 จัดทําโดย – x 12 < – x 22 2 สถาบันส–งxเสริ ม<การสอนวิ – x 22 + 5 ทยาศาสตรและเทคโนโลยี 1 +5 ดังนั้น f(x1) < f(x2) กระทรวงศึกษาธิการ นั่นคือ f เปนฟงกชันเพิ่มบนเซต (–∞, 0] (3) f(x) = พิจารณา

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 f(2) พิ=มพค2 รัง้ ทีห ่ = นึง่ 2 ๑๐,๐๐๐ เลม f(–1) = −1 = 1 พ.ศ. ๒๕๔๗ f(–2) = − 2 = 2

จะเห็นวา –1 < 2 และ f(–1) < f(2) –2 < –1 แต f(–2) > f(–1) ของคุเปรนุสฟภาจั พิมพจําหน ดังนั้น f ไมเปนองค ฟงกกชันารค เพิ่มาและไม งกชันดลดบนเซต [–2,าย2]

115 (4) f(x) = x2 + 1 พิจารณา f(–5) = (–5)2 + 1 = 26 f(–3) = (–3)2 + 1 = 10 f(6) = 62 + 1 = 37 จะเห็นวา –5 < –3 แต f(–5) > f(–3) –3 < 6 และ f(–3) < f(6) ดังนั้น f ไมเปนฟงกชันเพิ่มและไมเปนฟงกชันลดบนเซต R

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

2. (1) กราฟของฟงกชันที่กําหนดใหมีคาเพิ่มขึ้นบนชวง [–1, 1] และบนชวง [2, 4] กราฟของฟงกชันกลุ ที่กําม มีคาลดลงบนช หนดให สาระการเรี ยนรูวง ค [1,ณิ2]ตศาสตร

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

(2) กราฟของฟงกชันที่กําหนดใหมีคาเพิ่มขึ้นบนชวง [0, 1] กราฟของฟงกชันที่กําหนดใหมีคาลดลงบนชวง [–2, 0] และบนชวง [1, 4]

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔

(3) กราฟของฟงกชันที่กําหนดใหมีคาเพิ่มขึ้นบนชวง [–2, –1] และบนชวง [1, 2] กราฟของฟงกชันที่กําหนดใหมีคาลดลงบนชวง [–3, –2] , [–1, 1] และบนชวง [2, 4]

จัดทําโดย

(4) กราฟของฟงกชันที่กําหนดใหมีคาเพิ่มขึ้นบนชวง [–1, 1] กราฟของฟงกชันที่กําหนดใหมีคาลดลงบนชวง [–3, –1) และบนชวง (1, 3]

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ตัวอยางกราฟที่มีสมบัติตามที่โจทย กําหนด กระทรวงศึ กษาธิการ

(1) f เปนฟงกชันเพิ่ม และ f(x) > 0

สําหรับทุกคาของ x

ISBN 974 -Y01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม พ.ศ. ๒๕๔๗

116 (2) f เปนฟงกชันลด และ f(x) > 0

สําหรับทุกคาของ x Y

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ Xเติม

คณิตศาสตร เลม ๒ กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

(3) f เปนฟงกชันเพิ่ม และ f(x) < 0

สําหรับทุกคาของ x

ชัน้ มัธยมศึYกษาปที่ ๔

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ X

จัดทําโดย

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ

(4) f เปนฟงกชันลด และ f(x) < 0

สําหรับทุกคาของ x

ISBN 974 - 01 Y - 3820 - 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม พ.ศ. ๒๕๔๗ X

117

เฉลยแบบฝกหัด 2.3.2 1. (1) โดเมนของ f และ g คือ R โดเมนของ f + g, f – g และ fg คือ R โดเมนของ gf คือ {x⏐x ≠ 2} (f + g)(x) (f – g)(x) (fg)(x) f ( )( x ) g

g(x) = ยxนรู + xเ –พิ 2ม คูม= อื ครูf(x)ส+าระการเรี ่ เติม 2

= =

f(x) – g(x) f(x)g(x)

= =

x2 – x + 2 x3 – 2x2

f (x) g( x )

x2 x −2

คณิตศาสตร เลม ๒ กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

(2) โดเมนของ f คือ {x⏐–3 ≤ x ≤ 3} และโดเมนของ g คือ {x⏐x ≥ 2 ∪ x ≤ − 2 } โดเมนของ f + g, f – g และ fg คือ Df ∩ Dg = {x⏐–3 ≤ x ≤ − 2 ∪ 2 ≤ x ≤ 3} ตามหลัgfกสูคืตอ รการศึ น้ g พืและน้ ฐาน {x⏐x ∈กDษาขั g(x) ≠พุ0}ทธศั = {xก⏐ราช –3 ≤๒๕๔๔ x < − 2 ∪ 2 < x ≤ 3} โดเมนของ f∩ D

(3)

(f + g)(x) (f – g)(x) (fg)(x)

= = =

f(x) + g(x) = f(x) – g(x) = f(x)g(x) จัดทํ=าโดย

9−x 2 + x 2 −2

f ( )( x ) g

f (x) g( x )

9−x2 x2 −2

9 − x 2 − x 2 −2

− x 4 + 11x 2 − 18

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี โดเมนของ f และ g คือ กระทรวงศึ R กษาธิการ โดเมนของ f + g, f – g, fg และ (f + g)(x) (f – g)(x) (fg)(x)

= = =

f ( )( x ) g

f g

คือ R

f(x)ISBN + g(x) 974 - =01 - 3820 x3 +- 7x 92+1 f(x) – g(x) = x3 + x2 – 1 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม f(x)g(x) = 3x5 + 12x4 + x3 + 4x2 f (x) g( x )

พ.ศ. ๒๕๔๗ x =

+ 4x 2 3x 2 +1

118 (4) โดเมนของ f คือ {x⏐x ≠ 0} และโดเมนของ g คือ {x⏐x ≠ –2} โดเมนของ f + g, f – g และ fg คือ Df ∩ Dg = {x⏐x ∈ R – {–2, 0}} โดเมนของ gf คือ {x⏐x ∈ Df ∩ Dg และ g(x) ≠ 0} = {x⏐x ∈ R – {–2, 0}} (f + g)(x)

f(x) + g(x)

(f – g)(x)

f(x) – g(x)

(fg)(x) f ( )( x ) g

− 2x + 4 x 2 + 2x 6x + 4 x 2 + 2x −8 2 x + 2x

คูม= อื ครูf(x)g(x) สาระการเรี ยนรูเ พิม่ เติม = =

= คณิตศาสตร เลม ๒ − ( x + 2) 2x

f (x) g( x )

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

(5) โดเมนของ f คือ R และโดเมนของ g คือ {x⏐x ≤ 1} โดเมนของ f + g, f – g และ fg คือ Df ∩ Dg = {x⏐x ≤ 1} โดเมนของ gf คือ {x⏐x ∈ Df ∩ Dg และ g(x) ≠ 0} = {x⏐x < 1}

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

ษาขัน้ พื=น้ ฐาน (f +ตามหลั g)(x) ก=สูตรการศึ f(x) +กg(x) (f – g)(x) = f(x) – g(x) = (fg)(x) = f(x)g(x) = f ( )( x ) g

f (x) g( x )

จัดทํ=าโดย

พุx ท+1ธศั+ กราช 1− x ๒๕๔๔ 2

x 2 +1

–

1− x

− x 3 + x 2 − x +1 x 2 +1 1− x

สถาบัfนคืสอ ง{xเสริ ทยาศาสตร (6) โดเมนของ ⏐x ม ≠ การสอนวิ –2} และโดเมนของ g คือ {xแ⏐ละเทคโนโลยี x ≠ 1} โดเมนของ f + g, f – g และ fg คือ Df ∩ Dg = {x⏐x ∈ R – {–2, 1}} กระทรวงศึกษาธิการ โดเมนของ gf คือ {x⏐x ∈ Df ∩ Dg และ g(x) ≠ 0} = {x⏐x ∈ R – {–2, 1, 0}} 2

(f + g)(x)

x + 3x −1 f(x)ISBN + g(x) 974 - =01 - 3820 2- 9

(f – g)(x)

(fg)(x)

พิf(x) มพ–คg(x) รัง้ ทีห่ นึง่ = ๑๐,๐๐๐ เลม f(x)g(x) พ.ศ. ๒๕๔๗ =

f ( )( x ) g

f (x) g( x )

x + x −2 − x 2 − x −1 x 2 + x −2 x 2 x + x −2 x −1 2 x + 2x

119 2. (1) โดเมนของ f(x) = (2) โดเมนของ g(x) =

x+2 −

3. (1) f(g(0)) g(f(0))

คือ {x⏐0 ≤ x ≤ 2} คือ {x⏐x ≥ –2 และ x ≠ 0}

2− x 1 x 1

(3) โดเมนของ h(x) = (4) โดเมนของ

( x + 2) 2 ( x − 4) 4

k(x) =

x +5 x −1

คือ {x⏐x

คือ {x⏐x ≥

≥

–5 และ x ≠ 1}

คูม= อื ครูf(1)สาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

= –2 = g(–5) = กลุม  –24 สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

(2) f(f(4))

= f(7) = 16 g(g(1)) g(0) กษาขัน ตามหลัก=สูตรการศึ ้ พืน้ ฐาน = 1

พุทธศักราช ๒๕๔๔

(3) (f°g)(–2)

= f(g(–2)) จัดทําโดย = f(–3) = –14 การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี (g°สถาบั f)(–2) นส=งเสริม g(f(–2)) = g(–11) กระทรวงศึกษาธิการ = –120

(4) (f°f)(–1)

(g°g)(2)

= = = = = =

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 f(f(–1)) พิf(–8)) มพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม –29 พ.ศ. ๒๕๔๗ g(g(2)) g(–3) –8

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

120 (5) (f°g)(x)

(g°f)(x)

= = = = = = = = =

f(g(x)) f(1 – x2) 3(1 – x2) – 5 –3x2 – 2 g(f(x)) g(3x – 5) 1 – (3x – 5)2 1 – (9x2 – 30x + 25) –9x2 + 30x – 24

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม (6) (f°f)(x)

คณิตศาสตร เลม ๒ กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

= f(f(x)) = f(3x – 5) = 3(3x – 5) – 5 9x – 20 ตามหลัก=สูตรการศึ กษาขัน้ พืน้ ฐาน (g°g)(x) = g(g(x)) = g(1 – x2) = 1 – (1 – x2)2 จัดทําโดย = 1 – (1 – 2x2 + x4) = –x4 + 2x2

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ พุทธศักราช ๒๕๔๔

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี โดเมนของ f คือ {–3, 0, 2} และโดเมนของ g คืกอษาธิ {–3, ก1,าร 2} กระทรวงศึ ฉะนั้น โดเมนของ f + g คือ Df

∩ Dg

= {–3, 2}

- 9 (–3, 3) อยูใน f + g (1) (f + g)(–3) = f(–3) + g(–3)ISBN = 1974 + 2 - =013- 3820 จะได (f + g)(2) = f(2) + g(2) 6 จะได เล(2, พิมพค=รัง้ 0ที+ห่ 6นึง่ = ๑๐,๐๐๐ ม 6) อยูใ น f + g ดังนั้น f + g = {(–3, 3), (2, 6)} พ.ศ. ๒๕๔๗

(2) (f – g)(–3) = f(–3) – g(–3) = 1 – 2 = –1 จะได (–3, –1) อยูใน f – g (f – g)(2) = f(2) – g(2) = 0 – 6 = –6 จะได (2, –6) อยูใ น f – g ดังนั้น f – g = {(–3, องคก–1),ารค(2,า–6)} ของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย

121 (3) โดเมนของ ⎛g⎞ ⎜ ⎟(−3) ⎝f ⎠ ดังนั้น gf

(4) โดเมนของ ⎛f ⎞ ⎜ ⎟(−3) ⎝g⎠ ⎛f ⎞ ⎜ ⎟(2) ⎝g⎠ ดังนั้น gf

g f

คือ {x⏐x ∈ Df g (−3) f (−3)

∩ Dg

และ f(x) ≠ 0} = {–3}

2 1

= 2

และ g(x)

จะได (–3, 2) อยูใน

g f

= {(–3, 2)} f g

คือ {x⏐x ∈ Df

∩ Dg

f (−3) g (−3)

1 2

f ( 2) g( 2)

≠

0} = {–3, 2}

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม =

จะได

1⎞ ⎛ ⎜ − 3, ⎟ 2⎠ ⎝

คณิ=ตศาสตร เล = 0 จะไดม (2,๒ 0) 0 6

= {(–3, ), (2, 0)} กลุม 12สาระการเรี ยนรูค ณิตศาสตร

อยูใน

f g

อยูใน

f g

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔จะได

(5) (fg)(–3) = f(–3)g(–3) = 1⋅2 = 2 (fg)(2) = f(2)g(2) = 0⋅6 = 0 รการศึ ษาขัน้ พืน้ ฐาน ดังนัตามหลั ้น fg =กสูต {(–3, 2), (2,ก0)} (6) (g – f)(–3) = g(–3) – f(–3) = 2 – 1 = 1 (g – f)(2) = g(2) – f(2) = 6 – 0 = 6 จัดทําโดย ดังนั้น g – f = {(–3, 1), (2, 6)}

(–3, 2) อยูใน fg จะได (2, 0) อยูใน fg

พุทธศักราช ๒๕๔๔

จะได (–3, 1) อยูใน g – f จะได (2, 6) อยูใ น g – f

สถาบันส=งเสริมการสอนวิ (7) f°g(–3) f(2) = 0 ทยาศาสตรและเทคโนโลยี f°g(1) = f(2) = 0 กระทรวงศึ กษาธิการ = f(6) แต 6 ไมอยูในโดเมนของ f f°g(2) ฉะนั้น 2 ไมอยูในโดเมนของ f°g ดังนั้น f°g = {(–3, 0), (1,ISBN 0)} 974 - 01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม g(1) = 2 พ.ศ. ๒๕๔๗ g(4) แต 4 ไมอยูในโดเมนของ g

= (8) g°f(–3) = g°f(0) ฉะนั้น 0 ไมอยูในโดเมนของ g°f g°f(2) = g(0) แต 0 ไมอยูในโดเมนของ g การคาของคุ ฉะนั้น 2 ไมอยูองค ใ นโดเมนของ g°f รุสภาจัดพิมพจําหนาย ดังนั้น g°f = {(–3, 2)}พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

122 = f(4) แต 4 ไมอยูในโดเมนของ f (9) f°h(2) ฉะนั้น 2 ไมอยูในโดเมนของ f°h = f(0) = 4 f°h(1) ดังนั้น f°h = {(1, 4)} = h(1) = 0 (10) h°f(–3) h°f(0) = h(4) แต 4 ไมอยูในโดเมนของ h ฉะนั้น 0 ไมอยูในโดเมนของ h°f h°f(2) = h(0) แต 0 ไมอยูในโดเมนของ h ฉะนั้น 2 ไมอยูในโดเมนของ h°f กลุม {(–3, สาระการเรี ยนรูค ณิตศาสตร ดังนั้น h°f = 0)}

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒ ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

= h(2) = 4 (11) h°g(–3) h°g(1) = h(2) = 4 ตามหลั ก สู ต รการศึ ้ 6พืไมน้ อฐาน พุทธศักhราช h°g(2) = h(6)กษาขั แต น ยูในโดเมนของ ฉะนั้น 2 ไมอยูในโดเมนของ h°g ดังนั้น h°g = {(–3, 4), (1, 4)}

จัดทําโดย

๒๕๔๔

(12) g°h(2) = g(4) แต 4 ไมอยูในโดเมนของ g ฉะนั้น 2 ไมอยูในโดเมนของ g°h สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี g°h(1) = g(0) แต 0 ไมอยูในโดเมนของ g กระทรวงศึ กษาธิการ ฉะนั้น 1 ไมอยูในโดเมนของ g°h ดังนั้น g°h = ∅ 5. (1)

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 f(x) = 3x + 2, g(x) = 4x – 1 พิf(g(x)) มพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม f°g(x) = = f(4x – 1)พ.ศ. ๒๕๔๗ = 3(4x – 1) + 2 = 12x – 1 โดเมนของ f°g คือ R g°f(x) =องคกg(f(x)) ารคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย = g(3x + 2) พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว = 4(3x + 2) – 1 = 12x + 7 ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

123 โดเมนของ g°f คือ R f°f(x) = f(f(x)) = f(3x + 2) = 3(3x + 2) + 2 โดเมนของ f°f คือ R g°g(x) = g(g(x)) = g(4x – 1) = 4(4x – 1) – 1 โดเมนของ g°g คือ R

9x + 8

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม = 16x – 5 คณิตศาสตร เล ม๒

(2)

กลุม สาระการเรี ยนรูค ณิตศาสตร x

f(x) = 5x – 6, g(x) = f°g(x)

ชัf(g(x)) น้ มัธยมศึ=กษาปที่ ๔ 3

x f( ) 3 x 5( ) − 6 3

5x −6 3

5x −2 3

ตามหลั กสูfต°gรการศึ ้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ โดเมนของ คือ Rกษาขัน g°f(x)

g(f(x))

= =

จัดทําโดย

g(5x – 6) 5x − 6 3

โดเมนของ g°f คือ R f°f(x) นส=งเสริม f(f(x)) f(5x – 6)และเทคโนโลยี สถาบั การสอนวิ=ทยาศาสตร = 5(5x – 6) – 6 = 25x – 36 กษาธิการ R โดเมนของ f°f คือ กระทรวงศึ

(3)

g°g(x)

g(g(x))

f°g(x)

f(g(x))

ISBN 974 - =01 - 3820g( 3- )9 โดเมนของ g°g คือ R พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม f(x) = x2, g(x) = x + 5 พ.ศ. ๒๕๔๗ = =

f(x + 5) (x + 5)2

x ( ) 3 3

x2 + 10x + 25

โดเมนของ f°g คือ R องคการคาของคุรุสภาจัดพิม2พจําหนาย g°f(x) = g(f(x)) = g(x ) = โดเมนของ g°f คืพิอมพRที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

x2 + 5

x 9

124 f(f(x)) f°f(x) = โดเมนของ f°f คือ R g(g(x)) g°g(x) = โดเมนของ g°g คือ R (4)

f(x2)

g(x + 5) =

x4 (x + 5) + 5 = x + 10

f(x) = x3 + 1, g(x) = x + 2 f°g(x) = f(g(x))

คูม อื ครูสาระการเรี นรู+ 2)เ พิม่ เติม = ยf(x =

(x + 2)3 + 1

คณิตศาสตร เลม ๒

x3 + 6x2 + 12x + 9

โดเมนของ f°g คือ R g°f(x) = g(f(x))

= g(x3 + 1) กลุม สาระการเรีย= นรูค xณิ3 +ต1ศาสตร +2 = x3 + 3 โดเมนของ g°f คือ R f°f(x) = f(f(x)) = f(x3 + 1) 3 3 ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พื=น้ ฐาน(xพุ+ท1)ธศั+ ก1 ราช ๒๕๔๔ โดเมนของ f°f คือ R g°g(x) = g(g(x)) = g(x + 2) = x+2+2 = x+4 จัดทําโดย โดเมนของ g°g คือ R

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

(5)

f(x) = น1x ส, งg(x) 2x + 3 สถาบั เสริ=มการสอนวิ ทยาศาสตรและเทคโนโลยี f°g(x) = f(g(x)) กระทรวงศึ= กษาธิf(2xก1าร+ 3) =

โดเมนของ f°g คือ g°f(x)

2x + 3

{x⏐x ≠ − 32 }

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 1 g(f(x)) = g( ) x เลม พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ 2 +3 = x พ.ศ. ๒๕๔๗

โดเมนของ g°f คือ {x⏐x ≠ 0} f(f(x)) = f°f(x) =

f ( 1x )

โดเมนของ f°f ประกอบดวยจํานวนจริง x ซึ่งอยูในโดเมน f และ f(x) อยูในโดเมนของ f องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย ดังนั้น โดเมนของ f°f คือ {x⏐x ≠ 0}

พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

125 g°g(x)

g(g(x))

= =

g(2x + 3) 2(2x + 3) + 3

4x + 9

โดเมนของ g°g คือ R (6)

f(x) = x2, g(x) = x − 5 f°g(x) = f(g(x))

= f( x − 5 ) = ( x − 5 )2 = x–5 โดเมนของ f°g ประกอบดวยจํานวนจริง x ซึ่งอยูในโดเมนของ g และ g(x) อยูในโดเมนของ f ดังนั้น โดเมนของ f°g คือ {x⏐x ≥ 5} g°f(x) = g(f(x)) = g(x2) = x 2 −5 กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร โดเมนของ g°f คือ {x⏐x2 – 5 ≥ 0} = {x⏐x ≤ − 5 หรือ x ≥ 5 } g°g(x) = g(g(x)) = g( x − 5 ) 5 −5 ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พื=น้ ฐาน พุxท−ธศั กราช ๒๕๔๔ โดเมนของ g°g ประกอบดวยจํานวนจริง x ซึ่งอยูในโดเมนของ g และ g(x) อยูใน โดเมนของ g x อยูในโดเมนของ g ก็ตอเมื่อ x ≥ 5 จัด่อ ทําโดย x −5 ≥ 5 g(x) อยูในโดเมนของ g ก็ตอเมื หรือ x ≥ 30 สถาบั สงเสริมg°การสอนวิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี ดังนั้น น โดเมนของ g คือ {x⏐x ≥ท30}

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒ ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

(7)

กษาธิการ f(x) = x , g(x) = กระทรวงศึ 2x – 5 f°g(x) = f(g(x)) = f(2x – 5) = โดเมนของ f°g คือ ISBN R 974 - 01 - 3820 - 9 g( x ) g°f(x) = พิg(f(x)) มพครัง้ ทีห่ นึง่ = ๑๐,๐๐๐ เลม = โดเมนของ g°f คือ R พ.ศ. ๒๕๔๗ f°f(x) = f(f(x)) = f(x ) = โดเมนของ f°f คือ R g°g(x) = g(g(x)) = g(2x – 5) องคการคาของคุรุส=ภาจัดพิ2(2x มพ–จ5)ําหน – 5 าย = โดเมนของ g°g คืพิอมRพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

2x − 5

2 x −5

4x – 15

126 (8)

f(x) = x + 4, g(x) = x − 4 f°g(x) = f(g(x)) โดเมนของ f°g คือ R g°f(x) = g(f(x)) โดเมนของ g°f คือ R f°f(x) = f(f(x)) โดเมนของ f°f คือ R g°g(x) = g(g(x)) โดเมนของ g°g คือ R

f(⏐x – 4⏐)

x−4 +4

g(x + 4)

x+4−4

f(x + 4)

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม = g( คณิตศาสตร เล ม) ๒

(9)

x−4

x+4+4 = x+8 x−4 −4

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

f(x) =

x +1 , x

f°g(x)

g(x) = 2x – 3

ชัf(g(x)) น้ มัธยมศึ กษาปที่ ๔ = f(2x – 3) =

โดเมนของ f°g คือ {x⏐x

≠

2x − 3 + 1 2x − 3

3 } 2

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ xฐาน พุทธศักราชx + 1๒๕๔๔ +1 g°f(x)

g(f(x))

)

x +1 +1 x x +1 x

)−3

2x − 2 2x − 3

−x + 2 x

โดเมนของ g°f คือ {x⏐x ≠ 0} f°f(x)

f(f(x))

จั=ดทําf โดย x +1 ) ( x

2x + 1 x ⋅ x x +1

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี= 2xx++11 โดเมนของ f°f ประกอบดวยจํานวนจริง x ซึ่งอยูในโดเมนของ f และ f(x) อยูใน กระทรวงศึกษาธิการ โดเมนของ f x อยูในโดเมนของ f ก็ตอเมื่อ x ≠ 0 974่อ - x01+1- 3820 -9 ≠ 0 f(x) อยูในโดเมนของISBN f ก็ตอเมื x

่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม นั่นคือ x ≠ –1 พิมพครัง้ ทีห ดังนั้น โดเมนของ f°f คือ พ.ศ. {x⏐x ๒๕๔๗ ≠ –1 และ x ≠ 0} g°g(x) = g(g(x)) = g(2x – 3) = 2(2x – 3) – 3 = 4x – 9 โดเมนของ g°g(x) คือ R องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

127 (10)

1 x

f(x) = f°g(x)

, g(x) = x2 + 4x

f(g(x))

f(x2 + 4x)

x + 4x

x อยูในโดเมนของ f°g ก็ตอเมื่อ x + 4x > 0 นั่นคือ x(x + 4) > 0 หรือ x > 0 หรือ x < – 4 ดังนั้น โดเมนของ f°g คือ {x⏐x > 0 หรือ x < – 4} g°f(x) = g(f(x)) = g( 1 ) =

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

1 2 1 ) + 4( ) x x 1 4 + x x

(

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

โดเมนของ f°g คือ {x⏐x > 0} f°f(x)

ชัf(f(x)) น้ มัธยมศึ = กษาปท=ี่ ๔ f(

1 ) x

โดเมนของ f f คือ {x⏐x > 0} °

= (x2 + 4x)2 + 4(x2 + 4x) = x4 + 8x3 +20x2 + 16x จัดทําโดย โดเมนของ g°g คือ R f(x) = x , g(x) = x สถาบั นสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี f°g(x) = f(g(x)) = f( x ) = x โดเมนของ f°g คือ กระทรวงศึ {x⏐x ≥ 0} กษาธิการ 3

g°f(x) = g(f(x)) = g(3 x ) = โดเมนของ g°f คือ {xISBN ⏐x ≥ 0} 974 - 01 - 3820 - 9 f(f(x)) = f (3 x ) = f°f(x) = พิ ม พ ค รั ง ้ ที ห ่ นึ ง ่ ๑๐,๐๐๐ เล ม โดเมนของ f°f คือ R g°g(x) = g(g(x)) พ.ศ. = ๒๕๔๗ g( x ) = โดเมนของ g°g คือ {x⏐x ≥ 0}

° ตามหลั ก สู ต รการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ g g(x) = g(g(x)) = g(x2 + 4x)

(11)

128 (12)

f(x) = f°g(x)

2 x

x−2 x

, g(x) = =

f(g(x))

x−2 ) x

2x x−2

โดเมนของ f°g ประกอบดวยจํานวนจริง x ซึ่งอยูในโดเมนของ g และ g(x) อยูในโดเมนของ f x อยูในโดเมนของ g ก็ตอเมื่อ x ≠ 0 g(x) อยูในโดเมนของ f ก็ตอเมื่อ x x− 2 ≠ 0

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

นั่นคือ x ≠ 2 โดเมนของ f°g คือ {x⏐x ≠ 0 และ x ≠ 2} g°f(x)

2 −2 กลุ ม  สาระการเรี ย นรู ค  ณิ ต ศาสตร = g(f(x)) = g( 2 ) = x x

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

2 x

2 − 2x x ⋅ x 2

= 1–x โดเมนของ g°f ประกอบดวยจํานวนจริง x ซึ่งอยูในโดเมนของ f และ f(x) อยูใน ตามหลั กสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ โดเมนของ g ดังนั้น โดเมนของ g°f คือ {x⏐x ≠ 0} f°f(x) = f(f(x)) = f ( x2 ) = 22 = 22x = x ( ) จัดทําโดย x

โดเมนของ f°f ประกอบดวยจํานวนจริง x ซึ่งอยูในโดเมนของ f และ f(x) นโดเมนของ f สถาบั นสอยูงใเสริ มการสอนวิ ทยาศาสตรและเทคโนโลยี ดังนั้น โดเมนของ f°f คือ {x⏐x ≠ 0}

กระทรวงศึ กษาธิx −ก2 าร −2 x −2

g°g(x) = g(g(x)) =

)

x x −2 x

x − 2 − 2x x ⋅ x x −2

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 = − 2 − x x −2 พิ ม พ ค รั ง ้ ที ห ่ นึ ง ่ ๑๐,๐๐๐ เล ม โดเมนของ g°g ประกอบดวยจํานวนจริง x ซึ่งอยูในโดเมนของ g และ g(x) อยูในโดเมนของ พ.ศ. g ๒๕๔๗ x อยูในโดเมนของ g ก็ตอเมื่อ x ≠ 0 g(x) อยูใ นโดเมนของ g ก็ตอเมื่อ x x− 2 ≠ 0

นั่นคือรุสภาจั x ≠ ด2พิมพจําหนาย องคการคาของคุ

โดเมนของ g°g คือ {x⏐x ≠ 0 และ x ≠ 2}

พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

129 6. (1)

f(x) = x + 1, g(x) = x , h(x) = x – 1 f°(g°h)(x) (f°g)°h(x) = (f°g)(h(x)) = (f°g)(x – 1) = f (g( x −1) ) = f ( x −1) = x −1 +1

= = = = =

f(g°h(x)) f(g(h(x))

= = = =

f(g°h(x)) f(g(x2 + 1)) f((x2 + 1)3)

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

(2)

f(x) =

1 x

คณิ ตศาสตร เลf ม(g h)(x)๒ = (f g)(x + 1)

f (g( x −1) f ( x −1) x −1 +1

, g(x) = x3, h(x) = x2 + 1

(f°g)°h(x)

° °

f(g(x + 1)) ยนรูค กลุ= ม สาระการเรี  ณิตศาสตร 2

= =

f((x2 + 1)3)

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ 1 ( x +1) 3 1 6 4 x + 3x + 3x 2 +1 2

1 ( x +1) 3 1 6 4 x + 3x + 3x 2 +1 2

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ (3)

(4)

f(x) = x4 + 4, g(x) = x – 5, h(x) = x f°(g°h) (x) = f(g°h(x)) (f°g)°h(x) = (f°g)( x ) = f(g( x )) = f(g( x ))จัดทําโดย = f( x –5) = f( x –5) = ( x − 5) 4 + 4 = มการสอนวิ ( x − 5) 4 + 4 ทยาศาสตรและเทคโนโลยี สถาบันสงเสริ f(x) =

(f°g)°h(x)

g(x) = = =

กระทรวงศึ h(x) = กxษาธิการ

x , x −1

(f°g)( 5 x ) f°(g°h)(x) 5 f(g( x )) ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 ⎛

⎞

พิมพf ⎜⎜ครัxง้ x−1ทีห่ ⎟⎟ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม ⎝ ⎠ xพ.ศ. ๒๕๔๗ =

x −1

= =

f(g°h(x)) f(g( 5 x ))

⎛ 5x ⎞ ⎟ f ⎜⎜ ⎟ 5 ⎝ x −1 ⎠

5 5

x x −1

130 7. ขอสังเกต คําตอบสําหรับขอนี้ฟงกชัน f และ g มีคําตอบมากกวา 1 ชุด (1)

h(x) = (x – 9)8 เชน ให f(x) = x8, g(x) = x – 9 f°g(x) = f(g(x)) = f(x – 9) = (x – 9)8 = h(x)

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

(2)

คณิตศาสตร เลม ๒

h(x) = x + 5 เชน ให f(x) = x + 5, g(x) = x กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร f°g(x) = f ( x ) = x + 5 = h(x)

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

(3)

h(x) =

x2 x2 +2

เชน

ให f(x) =

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ f°g(x)

x2 x2 +2

จัด=ทําh(x) โดย

h(x) =นxส+1ง10เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี สถาบั เชน ให f(x) = 1x , = x + 10 กระทรวงศึg(x)กษาธิ การ f°g(x)

(5)

g(x) = x2

= f(x2) =

(4)

x , x+2

= f(x + 10) = x +110 = h(x)

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 ่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม h(x) = 1− x พิมพครัง้ ทีห เชน ให f(x) = x พ.ศ. , g(x) = 1 – x5 ๒๕๔๗ 5

f°g(x)

= f(1 – x5) = 1− x 5 = h(x)

131 (6)

h(x) =

2+ x

ให f(x) = f°g(x) = = 8. A(x) = 1.05x A°A(x)

2+ x

, g(x) =

f( x) 2+ x

h(x)

คูม อื ครู= สาระการเรี ยนรูเ พิม่ เติม A(A(x))

คณิตศาสตร เลม ๒

= A(1.05x) = (1.05)2x = A(A°A(x)) A°A°A( x) A((1.05)ย2x)นรูค (1.05)3x กลุม =สาระการเรี  =ณิตศาสตร A°A°A°A ( x) = A(A°A°A (x)) = A((1.05)3x) = (1.05)4x ดังนั้น ฟงกชันประกอบของฟงกชัน A จํานวน n ฟงกชัน คือ (1.05)nx ซึ่งแทนจํ านวนเงิ ่จะไดกเมืษาขั ่อครบกํ n ป พุทธศักราช ๒๕๔๔ ตามหลั กสูนตรวมที รการศึ น้ พืาหนด น้ ฐาน

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

9. h(x) = 4x2 + 4x + 7 = (4x2 + 4x +จั1)ด+ทํ6าโดย = (2x + 1)2 + 6 = (g(x))2 + 6 สถาบั นส=งเสริมx2 การสอนวิ ทยาศาสตรและเทคโนโลยี ให f(x) +6 2 ดังนั้น f°g(x) = f(g(x)) = (g(x)) + 6การ= h(x) กระทรวงศึ กษาธิ 10. f°g(x) = h(x) = 3x2 + 3x + 2 ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 ดังนั้น 3g(x) + 5 = f(g(x)) = 3x2 + 3x + 2 ∴ g(x) = =

พิ3มxพ+ค3รัxง้ +ที2ห่ − 5นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม 3 2 x + x – 1พ.ศ. ๒๕๔๗ 2

132

เฉลยแบบฝกหัด 2.3.3 1. (1) (2) (3) (4) (5)

f–1(10) f(– 4) f–1(18) f(3) f(x) ให ∴

= = = = = =

f–1(f(3)) f(f–1(3)) f–1(f(10)) f(f–1(4)) 5 + 2x 5 + 2x

y− 5 2

= = = =

3 3 10 4

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

y x

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

เปลี่ยน x เปน y และ y เปน x x −5 y = 2

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

ดังนั้น

f–1(x) =

x −5 2 10− 5 2

ตามหลั รการศึ ้ พืน้ =ฐาน52พุทธศักราช ๒๕๔๔ ∴ กfสู1ต(10) = กษาขัน –

(6)

2. (1)

g(x) = x2 + 4x เมื่อ x ≥ –2 ให x ที่ทําให g(x) = 12 2 x + 4x = 12 จัดทําโดย 0 x2 + 4x – 12 = (x + น 6)(xส–ง2) 0 สถาบั เสริม= การสอนวิ ทยาศาสตรและเทคโนโลยี ∴ x = 2, – 6 กษาธิการ Q x ≥ กระทรวงศึ –2 ∴ x = 2 จะไดวา g(2) = ISBN12974 - 01 - 3820 - 9 ดังนั้น g–1(12) พิ=มพครั2ง้ ทีห ่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม f(x) = x + 5, g(x) = x – 5พ.ศ. ๒๕๔๗ f(g(x)) = f(x – 5) f°g(x) = = x–5+5 = x ารคาของคุ= รุสg(x ภาจั+ ด5)พิมพจําหนาย g°f(x) =องคกg(f(x)) – 5 = าวx พิมพที่โรงพิ=มพคx ุร+ุส5ภาลาดพร ดังนั้น f ๒๒๔๙ และ g ถนนลาดพร เปนตัวผกผัานว ของกั นและกันกรุงเทพมหานคร วังทองหลาง มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

133 (2)

f(x) = 3x, g(x) = f°g(x)

−

x 3

f(g(x))

= =

g°f(x)

g(f(x))

x f (− ) 3 x 3(− ) 3

g(3x)

(−3x ) 3

–x

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

ดังนั้น f และ g เปนตัวผกผันของกันและกัน (3)

คณิตศาสตร เลม ๒

f(x) = 2x + 5, g(x) = f°g(x)

x −5 2

x − 5ค  f(g(x)) สาระการเรี  ) ณิตศาสตร = กลุม = ยf (นรู 2

= กษาปที่ ๔ ชัน้ มัธยมศึ 2(

x −5 )+5 2

= x–5+5 = x g°f(x) ก=สูตรการศึ g(f(x))กษาขั=น + 5) พุทธศักราช ตามหลั ้ พืg(2x น2้ xฐาน + 5−5 = x = 2

๒๕๔๔

ดังนั้น f และ g เปนตัวผกผันของกันและกัน (4)

f(x) =

3− x 5

จัดทําโดย

, g(x) = 3 – 5x

f°g(x) = = f(3 – 5x) สถาบั นสงเสริมf(g(x)) การสอนวิ ท3−ยาศาสตร และเทคโนโลยี (3 − 5x ) = = x 5 กระทรวงศึกษาธิการ g f(x) = g(f(x)) = g( 3− x ) °

(5)

3 – 5 ( 3−5 x )

1 f( ) x 1 1 ( ) x

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 ดังนั้น f และ g เปนตัวผกผันของกันและกัน พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม f(x) = 1x , g(x) = 1x พ.ศ. ๒๕๔๗ f°g(x)

f(g(x))

134 g°f(x)

g(f(x))

= =

1 g( ) x 1 1 ( ) x

ดังนั้น f และ g เปนตัวผกผันของกันและกัน (6)

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

f(x) = x5, g(x) = 5 x f°g(x) = f(g(x)) = f (5 x ) = (5 x ) 5 = กลุม  xสาระการเรียนรูค ณิตศาสตร g°f(x) = g(f(x)) = g(x5) 5 x5 = ตามหลัก=สูตรการศึ ้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช x กษาขัน ดังนั้น f และ g เปนตัวผกผันของกันและกัน

คณิตศาสตร เลม ๒ ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

(7)

๒๕๔๔

f(x) = x2 – 4 , x ≥ 0 ; g(x)จัด=ทําโดย x+4 , x ≥ –4 ถา x ≥ –4 f°g(x) = f(g(x)) สถาบั นส=งเสริมf( การสอนวิ ทยาศาสตรและเทคโนโลยี x+4 ) = ( กระทรวงศึ x + 4)2 − 4 กษาธิการ = x+4–4 = x ถา x≥0 ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 g°f(x) = g(f(x)) พิg(xมพ2 –ค4)รัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม = = x 2 − 4 +พ.ศ. 4 ๒๕๔๗ = x2 = x = x ดังนั้น f และ g เปนตัวผกผันของกันและกัน

135 (8)

f(x) = x3 + 3, g(x) = (x − 3) 3 f°g(x) = f(g(x)) 1 f (( x − 3) 3

g°f(x)

= = = =

)

1 (( x − 3) 3 ) 3

x g(f(x)) g(x3 + 3)

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒ 1

( x 3 + 3 − 3) 3 = = กลุม  xสาระการเรียนรูค ณิตศาสตร ดังนั้น f และ g เปนตัวผกผันของกันและกัน

(9)

f(x) =

1 x −3

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

, x

≠

g(x) =

1 +3 x

, x ≠0

ถา 0 ตามหลั กxสูต≠ รการศึ กษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ f°g(x)

= =

f(g(x))

1 f ( + 3) x 1 1 + 3−3 x

จัดทํ=าโดย x

ถา x ≠3 สถาบั การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี g°f(x) นส=งเสริม g(f(x)) 1 g(กระทรวงศึ ) = กษาธิการ x −3 1 +3 1 ( ) x −3

x–3+3 = x

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม , 0 ≤ x ≤ 2 ; g(x) = 4 − x , 0 ≤ x ≤ 2 พ.ศ. ๒๕๔๗

ดังนั้น f และ g เปนตัวผกผันของกันและกัน (10)

f(x) = ถา f°g(x)

4− x 2

0 = =

≤

2 f(g(x)) f( 4 − x 2 ) ≤

าของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย =องคการค 4 − ( 4 − x 2 )2 พิม4พ−ท(4ี่โ−รงพิ = x 2 )มพคุรุสภาลาดพราว ๒๒๔๙ ถนนลาดพร = x 2 = าว วังทองหลาง x = กรุงเทพมหานคร x มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

136 g°f(x)

= =

g(f(x)) g( 4 − x 2 )

= 4−( 4− x 2 )2 = 4 − (4 − x 2 ) = x2 = x = ดังนั้น f และ g เปนตัวผกผันของกันและกัน

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

3. (1)

f(x) = 3x + 1 ให y ∴

คณิ= ตศาสตร เลม ๒ 3x + 1

y −1 ยนรูค  =สาระการเรี  ณิตศาสตร x กลุม 3

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

เปลี่ยน y เปน x และเปลี่ยน x เปน y x −1 y = 3 x −1

–1

ดังนั้น กfสูต (x)รการศึ = กษาขั ตามหลั ้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ 3 น (2)

(3)

f(x) = 5 – x ให y = 5–x จัดทําโดย ∴ x = 5–y เปลี่ยน y เปน x และเปลี่ยน x เปน y สถาบันสyงเสริม= การสอนวิ 5 – x ทยาศาสตรและเทคโนโลยี ดังนั้น f–1(x) = กระทรวงศึ 5 – x กษาธิการ f(x) = 5x + 7 ให y

∴

ดังนั้น

f–1(x) =

ISBN5x974 - 01 - 3820 - 9 +7 พิ=มพครัง้ yที−ห่ 7 นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม ∴ x 5 พ.ศ. เปลี่ยน y เปน x และเปลี่ยน x เป๒๕๔๗ นy x −7 5 x −7 5

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

137 (4)

f(x) = 5 – 3x ให y 3x x

= =

5 – 3x 5–y

5− y 3

เปลี่ยน y เปน x และเปลี่ยน x เปน y 5− x ∴ y = 3 ดังนั้น (5)

f(x) = ให

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม 5− x 3

f–1(x) =

คณิตศาสตร เลม ๒

x 5

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

x 5

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

∴ x = 5y เปลี่ยน y เปน x และเปลี่ยน x เปน y ตามหลักyสูตรการศึ ้ พืน้ ฐาน = กษาขั 5x น 5x ดังนั้น f–1(x) = (6)

f(x) =

1 x2

พุทธศักราช ๒๕๔๔

จัดทําโดย

, x>0

เมื่อ x>0 1 สถาบั ทยาศาสตรและเทคโนโลยี ให นสy งเสริ=มการสอนวิ 2 2

∴

x 1 y

กระทรวงศึกษาธิการ 1 ± y

ISBN 9741 - 01 - 3820 - 9 เนื่องจาก x > 0 ดังนั้น x = พิมพครัง้ ทีห่ นึyง่ ๑๐,๐๐๐ เลม เปลี่ยน x เปน y และเปลี่ยน y เปน x พ.ศ. ๒๕๔๗ 1 y

ดังนั้น

f–1(x) =

x 1 x

138 (7)

f(x) = ให

1 x+2

1 x+2 1 y 1 –2 y

x+2 = ∴

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

เปลี่ยน x เปน y และเปลี่ยน y เปน x 1 ∴ y = –2 x ดังนั้น (8)

f(x) = ให

–2 คณิตศาสตร เลม ๒ 1 x

f–1(x) =

กลุ, ม xสาระการเรี ยนรูค ณิตศาสตร ≠2

x+2 x−2

ชั=น้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ x+2 x−2

y(x – 2) = x+2 ตามหลัxyก–สู2yตรการศึ ้ พืน้ ฐาน = กษาขั x + 2น xy – x = 2 + 2y x(y – 1) = 2y + 2 ∴

พุทธศักราช ๒๕๔๔

2y + 2 y −1

จัดทําโดย

เปลี่ยน x เปน y และเปลี่ยน y เปน x 2x + 2 ∴ นสy งเสริ=มการสอนวิ สถาบั ทยาศาสตรและเทคโนโลยี x −1 ดังนั้น (9)

f(x) =

f–1(x) = 5 − 2x 1+ 3x

2x + 2 x −1

x ≠ 1การ กระทรวงศึ,กษาธิ

, x

≠ − ISBN 3 974 - 01 - 3820 - 9 5 − 2x ให y พิ=มพครัง้ ที1+ห่ 3xนึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม y(1 + 3x) = 5 – 2x พ.ศ. ๒๕๔๗

y + 3xy = 3xy + 2x = x(3y + 2) =

∴

5 – 2x 5–y 5–y

5−ร y ุสภาจัดพิมพจําหนาย x องคก=ารคาของคุ 3y + 2

พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

139 เปลี่ยน y เปน x และเปลี่ยน x เปน y 5− x ∴ y = 3x + 2 f–1(x) =

ดังนั้น (10)

f(x) = 3 – 4x5 ให y 4x5

5− x 3x + 2

, x

≠ −

2 3

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม x

3 – 4x5 3–y

คณิ= ตศาสตร เลม ๒ 3− y 4

x5 ∴

= = =

3− y 4

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร 5

เปลี่ยน y เปน x และเปลี่ยน x เปน y ∴

ชั=น้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

ดังนั้น f–1(x)

3− x 4 3− x

= ตามหลักสูตรการศึ กษาขัน้ 4 พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ (11)

f(x) = ให

2− 5x

y y2

= =

2− 5x

2 จั– ด5xทําโดย 2− y2 5

สถาบั มการสอนวิ เปลี่ยน นy สเปงนเสริ x และเปลี ่ยน x เปนทyยาศาสตรและเทคโนโลยี 2−x ∴ y = กระทรวงศึ กษาธิการ 5 2

f–1(x) =

ดังนั้น (12)

2−x 2 5

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 f(x) = x + x, x ≥ − 12 พิมพครัง้ ที2 ห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม ให y = x +x พ.ศ. 0 ๒๕๔๗ x2 + x – y = 2

∴

เนื่องจาก x ดังนั้น

= ≥−

−1− 1− 4 y 2

1 2

องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย −1+ 1− 4 y

พิ= มพที่โรงพิมพ2คุรุสภาลาดพราว

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

140 เปลี่ยน x เปน y และเปลี่ยน y เปน x

(13)

∴

ดังนั้น

f–1(x) =

−1+ 1− 4x 2 −1+ 1− 4x 2

f(x) = 5 – x2 , x ≥ 0 ให y = 5 – x2 x2 = 5–y ∴ x = ± 5− y เนื่องจาก x ≥ 0 ดังนั้น x = 5− y กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร เปลี่ยน x เปน y และเปลี่ยน y เปน x จะได y = 5− x ดังนั้น f–1(x) = 5− x

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒ ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

(14)

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ f(x) = ให

2 x +1

y y2

= =

2 x +1

2x + 1

จัดทําโดย

y 2 −1 2

เปลี่ยน y เปน x และเปลี่ยน x เปน y สถาบั นสงเสริมการสอนวิ ทยาศาสตรและเทคโนโลยี x −1 ∴ y = 2 กระทรวงศึ x −1 กษาธิการ ดังนั้น f (x) = 2

–1

(15)

f(x) = ให

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 พิ=มพครั5+ ง้ ทีห่ xนึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม y (y – 5)3 = xพ.ศ. ๒๕๔๗

5+ 3 x

เปลี่ยน y เปน x และเปลี่ยน x เปน y ∴ y = (x – 5)3 ดังนั้น f–1(x) = (x – 5)3

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

141 (16)

f(x) = (4 – x3)5 ให y = (4 – x3)5 5 y = 4 – x3 x3 = 4− 5 y 3 4− 5 y ∴ x = เปลี่ยน y เปน x และเปลี่ยน x เปน y 3 4− 5 x ∴ y = 3 ดังนั้น f–1(x) = 4− 5 x

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

(17)

f(x) = ให

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

1+ x +1

y = 1+ x +1 y–1 = x +1 x +1 = (y – 1)2 ตามหลักxสูตรการศึ ้ 2พื– 1น้ ฐาน = กษาขั (y – 1)น ∴ x = y2 – 2y เปลี่ยน x เปน y และเปลี่ยน y เปน x ∴ y = x2 –จั2xดทําโดย x2 – 2x ดังนั้น f–1(x) = (18)

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ พุทธศักราช ๒๕๔๔

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี f(x) = 16−x , 0 ≤ x ≤ 4 ให y = กระทรวงศึ 16− x กษาธิการ 2

y2 x2 x

= = =

16 – x2 – y2 - 01 - 3820 - 9 ISBN16 974 ± 16− y 2

พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม ๒๕๔๗ เนื่องจาก x ≥ 0 ดังนั้น xพ.ศ. = 16− y 2

เปลี่ยน y เปน x และเปลี่ยน x เปน y ∴ y = 16− x 2 1 2 ดังนั้น f–องค (x) ก=ารคาของคุ 16−รxุส ภาจัดพิมพจําหนาย

142 f(x) = x6 , x ≥ 0 ให y = x6 x = ±6 y เนื่องจาก x ≥ 0 ดังนั้น x = 6 y เปลี่ยน y เปน x และเปลี่ยน x เปน y 6 ∴ y = x –1 6 ดังนั้น f (x) = x

(19)

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

f(x) = 3 – x3 ให yกลุม =สาระการเรี 3 – x3 ยนรูค   ณิตศาสตร 3 x = 3–y 3 3− y ∴ x = เปลี่ยน y เปน x และเปลี่ยน x เปน y ตามหลั ้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช 3− xน ∴ กสูyตรการศึ = ก3ษาขั 3 ดังนั้น f–1(x) = 3− x

(20)

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

y=x

4. (1) f(x) = 3x + 6

๒๕๔๔

จัดทําโดย 6

4 สถาบันสงเสริมการสอนวิ ทยาศาสตรและเทคโนโลยี f(x) 2 กระทรวงศึกษาธิการ f (x) –1

–6 – 4

ให

∴ x

–2

ISBN 974–2- 01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึ–ง่ 4 ๑๐,๐๐๐ เลม พ.ศ. ๒๕๔๗ 3x + 6 y− 6 3

เปลี่ยน x เปน y และเปลี่ยน y เปน x องคการค าของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย x −6 ∴ y = 3

พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

143 ดังนั้น f–1(x) = (2) f(x) =

x −6 3

Y x +3

f–1(x)

y=x f(x)

คูม อื ครูสาระการเรี ยนรูเ พิม่ เติม –3

คณิตศาสตร–3 เลม ๒

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

ให y = x +3 ∴ x = y2 – 3 รการศึ่ยนกyษาขั ้ xพืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ เปลีตามหลั ่ยน x เปนกสูy ตและเปลี เปนน ∴ y = x2 – 3 ดังนั้น f–1(x) = x2 – 3 Y จัดทําโดย 9 y=x (3) f(x) = 9 – x2, x ≥ 0 f(x) สถาบันสงเสริมการสอนวิ6ทยาศาสตรและเทคโนโลยี

กระทรวงศึ3 กษาธิการ ISBN 974 - 01 - 38203- 9 6 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม 9 – x2 พ.ศ. ๒๕๔๗

ให y = ∴ x = ± 9− y เนื่องจาก x ≥ 0 ดังนั้น x = 9− y เปลี่ยน x เปน yองค และเปลี ่ยนาของคุ y เปน รxุสภาจัดพิมพจําหนาย การค ∴ y = พิม9−พทx ี่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว

ดังนั้น f–1(x) ๒๒๔๙ = 9− x ถนนลาดพร าว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

f–1(x) 9

144 (4) f(x) = x3 – 2 Y

f(x)

y=x

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม –2 คณิตศาสตร เลม ๒ –2

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔

y = x3 – 2 = y+2 x3 3 y+ 2 ∴ x = จัดทําโดย เปลี่ยน x เปน y และเปลี่ยน y เปน x 3 ∴y = x+2 สถาบั น ส ง เสริ ม การสอนวิ ทยาศาสตรและเทคโนโลยี 3 ดังนั้น f–1(x) = x+2

ให

กระทรวงศึกษาธิการ

5. f°I (x) I°f (x) f–1°f (x) f°f–1(x)

= = = =

f(I(x)) = f(x) I(f(x)) = f(x) ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 –1 f (f(x)) = x = I(x) ่ นึง่ x ๑๐,๐๐๐ ม f(f–1(x))พิมพครั=ง้ ทีห = เลI(x)

6. h°g–1 (x)

= = = = =

h(g–1(x)) f°g(g–1(x)) –1 f(g(g องคก(x))) ารคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย f(I(x)) พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว f(x) ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

พ.ศ. ๒๕๔๗

f–1(x) X

145 7. (1) ให

2x + 1

∴

y −1 2

เปลี่ยน x เปน y และเปลี่ยน y เปน x x −1 ∴ y = 2 ดังนั้น

g–1(x) =

x −1 2

คูม อื ครู= สาระการเรี ยนรูเ พิม่ เติม h(g (x))

f(x) = h°g–1 (x)

–1

คณิ= ตศาสตร เลม ๒ =

x −1 ) 2 4( x − 1) 2

4( x − 1) +7 2

2 กลุม =สาระการเรี  –ณิ2 ต+ 7ศาสตร x – 2x +ย1นรู + 2xค 2

+ 6 กษาปที่ ๔ ชั=น้ มัธxยมศึ 2

(2) f–1°h (x)

= f–1°f°g (x) ตามหลักสูตรการศึ กษาขั น้ พืน้ ฐาน = f–1(f(g(x))) = g(x) ดังนั้น g = f–1°h ให y = 3x จั+ด5 ทําโดย =

y −5 3

f–1(x) =

x −5 3

พุทธศักราช ๒๕๔๔

เสริมการสอนวิ เปลีสถาบั ่ยน x เปนนสyงและเปลี ่ยน y เปน x ทยาศาสตรและเทคโนโลยี x −5 ∴ y = กระทรวงศึ กษาธิการ 3 ดังนั้น

g(x)

= ISBNf–1974 °h(x)- 01 - 3820 - 9 = f–1(h(x)) พิมพครัง้ –ที1 ห่ 2นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม = f (3x + 3x + 2) = =

พ.ศ. 3x + 3๒๕๔๗ x + 2−5 2

x +x–1

146

เฉลยแบบฝกหัด 2.3.4 1. กราฟของฟงกชันในแตละขอเขียนไดดังนี้ (1)

คูม อื ครูสาระการเรีf(x)ย=นรู1เ พิม่ เติม x −1

คณิตศาสตร เลม ๒

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

ชัน้ f(x)มั=ธยมศึ กษาปที่ ๔ 1

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ จัดทําโดย (2)

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 g(x) = พิม1พค+2รัง้ ทีห ่ นึง่ g(x) ๑๐,๐๐๐ x −1 = 1 เลม x พ.ศ. ๒๕๔๗ องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

147 Y

(3)

h(x) =

x+3

h(x) =

–3 คูม อื ครูสาระการเรี ยนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒ (4)

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

ชัน้ มัธยมศึYกษาปที่ ๔ k(x) =

3 +3

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ 3

k(x) =

จัดทําโดย

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ

2. (1) f(x) = (x – 3)2 + 2 จะไดจากการเลื่อนกราฟขึ้นบน 2 หนวย แลวเลื่อนไปทางขวาอีก 3 หนวย Y ISBN 974 8 - 01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ที6ห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม พ.ศ.4 ๒๕๔๗ 2

องค –5การคาของคุรุสภาจัดพิมพ5จําหนาย –2มพคุรุสภาลาดพราว พิมพที่โรงพิ ๒๒๔๙ ถนนลาดพร–าว4 วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

148 (2) f(x) = (x + 5)3 – 1 จะไดจากการเลื่อนกราฟลงขางลาง 1 หนวย แลวเลื่อนไปทางซายอีก 5 หนวย Y 5 4 3 2 1 X –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 –1 –2 –3 –4 กลุม สาระการเรี  ณิตศาสตร –5 ยนรูค –6

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒ ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

(3) f(x) =

1 x − −2 2

จะไดจากการเลื่อนกราฟไปทางขวา 12 หนวย แลวเลื่อนกราฟลงขางลาง 2 หนวย

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ Y

จัดทําโดย –6 – 4 –2 0

สถาบันสงเสริมการสอนวิ–2ทยาศาสตรและเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ (4) f(x) =

x +1 + 5

จะไดจากการเลื่อนกราฟไปทางซาย 1 หนวย แลวเลื่อนกราฟขึ้นขางบน 5 หนวย

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 Y พิมพครัง้ ที10 ห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม พ.ศ.8 ๒๕๔๗ 6 4

องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย 2

พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว

6 8 X –8๒๒๔๙ –6 ถนนลาดพร – 4 –2 าว 0วังทองหลาง 4 งเทพมหานคร 2 กรุ มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

149

เฉลยแบบฝกหัดทบทวน สําหรับแบบฝกหัดทบทวนขอ 1 – 4 ขอไมเฉลยในคูมือครูเลมนี้เนื่องจากเปนการทบทวน บทนิยามตาง ๆ ซึ่งสามารถดูไดจากเนื้อหาในหนังสือเรียน

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

5. f(x) = x2 + 3x – 2 , g(x) = 5 – 3x (1) (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x2 +3x – 2 + 5 – 3x = x2 + 3

คณิตศาสตร เลม ๒

(2) (f – g)(x)

= = =

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร f(x) – g(x) x2 +3x – 2 – 5 + 3x x2 + 6x – 7

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

ตามหลัก=สูตรการศึ กษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ f(x)g(x)

(3) (fg)(x)

= = = (4)

(x2 +3x – 2)(5 – 3x) 5x2 + 15x – 10 – 3x3 – 9x2 + 6x ดทํ–าโดย –3x3 – 4x2 +จั21x 10

f (x) x 2 + 3x − 2 = = x≠ 5 5 − 3x สถาบันgส(xง) เสริมการสอนวิ ท, ยาศาสตร และเทคโนโลยี 3

f ( )( x ) g

(5) (f°g)(x)

(6) (g°f)(x)

= = = = =

f(g(x)) กระทรวงศึกษาธิการ f(5 – 3x) (5 –3x)2 + 3(5 – 3x) – 2 ISBN 9742 - 01 - 3820 - 9 25 – 30x + 9x + 15 – 9x – 2 พิ9xม2พ–ค39x รัง้ +ที38ห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม

พ.ศ. ๒๕๔๗

= g(f(x)) = g(x2 + 3x – 2) = 5 – 3(x2 + 3x – 2) =องคก5ารค – 3xา2ของคุ – 9x +ร6ุสภาจัดพิมพจําหนาย พิ–3x มพ2 ท– ี่โ9xรงพิ + 11มพคุรุสภาลาดพราว = ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

150 6. f(x) = x2 + 1, (1) f°g(x)

g(x) = x − 2 = f(g(x))

= = = =

f ( x −2) ( x − 2 ) 2 +1

x–2+1 x–1

คูม= อื ครูg(f(x)) สาระการเรี ยg(xนรู+เ 1)พิม่ เติม = 2

(2) g°f(x)

คณิตศาสตร เลม ๒ = =

x 2 +1− 2

x 2 −1

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

(3) f°g(2) = หรือ เนื่องจาก ∴

f(g(2)) f°g(x) f°g(2)

= = =

f(0) = x–1 2–1 = 1

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

0+1 =

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔

(4) f°f(x)

f°f(2)

(5)

f(f(x))

= = จัดทํ=าโดย = 16 + 2(4) + 2 =

f(x2 + 1) (x2 + 1)2 + 1 x4 + 2x2 + 1 + 1 x4 + 2x2 + 2 26

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี = f(g(f(x))) f°g°f(x) กระทรวงศึ= กษาธิf(g(x การ+ 1)) 2

= f ( x 2 +1− 2 ) = f ( x 2 −1) ISBN 974 - =01 - 3820( x- 29−1) 2 +1 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ = ๑๐,๐๐๐ x2 – 1 เล + 1ม =

(6) g°f°g(x)

พ.ศ. ๒๕๔๗

g(f(g(x)))

= g(f ( x − 2 )) = g(( x − 2 ) 2 +1) = g(x – 2 + 1) องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย = g(x – 1) พิมพที่โรงพิมพค= ุรุสภาลาดพร x −1−า2ว = ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

x −3

151 7. (1) f(x) = 3x + 1, g(x) = 2x – x2 f°g(x) = f(g(x)) = f(2x – x2) = 3(2x – x2) + 1 = –3x2 + 6x + 1 โดเมนของ f°g คือ R g°f(x) = g(f(x)) = g(3x + 1) = 2(3x + 1) – (3x + 1)2 = 6x + 2 – (9x2 + 6x + 1) = –9x2 + 1 โดเมนของ g°f คืกลุ อ Rม  สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร f°f(x) = f(f(x)) = f(3x + 1) = 3(3x + 1) + 1 = 9x + 4 R โดเมนของ ตามหลัf°กf สูคืตอรการศึ กษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ g°g(x) = g(g(x)) = g(2x – x2) = 2(2x – x2) – (2x – x2)2 = 4x – 2x2 – (4x2 – 4x3 + x4) จัดทําโดย 2 2 3 4 = 4x – 2x – 4x + 4x – x = –x4 + 4x3 – 6x2 + 4x สถาบันg°สg งคืเสริ โดเมนของ อ R มการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒ ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

(2) f(x) = f°g(x)

g(x) =

f(g(x))

กระทรวงศึ กษาธิการ 1 x −4 1

) -9 f ( - 3820 ISBN= 974 - 01 x −4 1 พิมพครั=ง้ ทีห่ นึง่ x๑๐,๐๐๐ เลม −4 1 =พ.ศ. ๒๕๔๗ x −4

โดเมนของ f°g คือ {x⏐x > 4} g°f(x) = g(f(x)) = g( x ) 1 = รุสภาจั องคการคาของคุ ดพิมพจําหนาย x −4

152 โดเมนของ g ° f ประกอบด ว ย จํานวนจริ ง x ที่ อ ยู ใ นโดเมนของ f และ f(x) อยู ใ น โดเมนของ g x อยูในโดเมนของ f ก็ตอเมื่อ x ≥ 0 f(x) อยูในโดเมนของ g ก็ตอเมื่อ x ≠ 4 นั่นคือ x ≠ 16 ดังนั้น โดเมนของ f°g คือ {x⏐x ≥ 0 และ x ≠ 16} = f(f(x)) = f( x) f°f(x) = x = 4x โดเมนของ f°f คือ {x⏐x ≥ 0} = กลุม ) g°g(x)  g(g(x)) สาระการเรีย= นรูค ณิg( xต1−ศาสตร 4

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒ ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ 1 1 −4 x −4 x −4 1− 4x +16 x −4 − 4x +17

= =

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พื=น้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ โดเมนของ g°g ประกอบดวยจํานวนจริง x ที่อยูในโดเมนของ g และ g(x) อยูในโดเมนของ g x อยูในโดเมนของ g ก็ตอเมื่อ x ≠ 4 1 ≠ 4 g(x) อยูในโดเมนของ g ก็จัตอดเมืทํ่อาโดย x −4 นั่นคือ

≠

17 4

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตร และเทคโนโลยี 17 ดังนั้น โดเมนของ g°g คือ {x⏐x ≠ 4 และ x ≠ } กระทรวงศึกษาธิก4าร 8. f°g°h(x)

= = = = = = = = =

f(g(h(x))) f(g(2 + x ISBN )) 974 - 01 - 3820 - 9 f(1 – (2พิ+มพxค) 2รั)ง้ ทีห ่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม f(1 – 4 – 4 x – x) พ.ศ. ๒๕๔๗ f(–3 – 4 x – x) 1+ 3 + 4 x + x 4+ 4 x + x

องค (2 + กxารค ) าของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย 2

x +2

= มพคh(x) พิมพที่โรงพิ ุรุสภาลาดพราว

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

153 9. เชน ให

h(x)

∴ f°g°h(x)

= = = =

, g(x) = 2 + x และ f(x) =

1 x

f(g(h(x))) f(g( x )) f(2 + x ) 1

T(x)

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม 2+ x

10. (1) f(x) = 4 + x3 สมมติวามีจํานวนจริง x1 , x2 ที่ทําให f(x1) = f(x2) จะได 4 + x 13 = 4 + x 32 กลุม =สาระการเรี ยนรูค (ลบด ณิตศาสตร x 13 x 32 วย 4) 3 ∴ x1 = x 32 = x2 3 หรือ x2 = x 13 = x1 ดังนั้น f(x) เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง

คณิตศาสตร เลม ๒ ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔

(2) h(x) =

1 x4

เนื่องจาก

h(1)

h(–1)

1 14

จั1 ดทําโดย

(−1) 4

ดังนั้น h ไมเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง

(3)

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี g(x) = 3 – 3x + x กระทรวงศึกษาธิการ เนื่องจาก g(1) = 3 – 3(1) + 1 = 1 2

g(2) = 3 – 3(2) + 22 = 1 ดังนั้น g ไมเปนฟงกชันหนึISBN ่งตอหนึ974 ่ง - 01 - 3820 - 9

พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม

(4) r(x) = 3 + x + 2 สมมติมี x1, x2 ที่ทําให r(x1) =พ.ศ. ๒๕๔๗ r(x2) จะได 3+ x 1 + 2 = 3+ x 2 + 2 x1 + 2 = x2 +2 (ลบดวย 3) + 2 การคาของคุ = รุสxภาจั x1องค 2 + 2ดพิมพจํา(ยกกํ หนาาลัยงสอง) = x2 (ลบดวย 2) ∴ x1

พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว

ดังนั้น r เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

154 11. (1) f(x) = 2x – 3 ให y = ∴ x

2x – 3 y+ 3 2

เปลี่ยน y เปน x และเปลี่ยน x เปน y x +3 y = 2

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

ดังนั้น f–1(x) =

x +3 2

คณิตศาสตร เลม ๒

(2) f(x) = (x + 2)3 ให y = (x + 2)3 กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร 3 y = x+2 3 y −2 ∴ x = เปลี่ยน y เปน x และเปลี่ยน x เปน y 3 y ก=สูตรการศึ x −2 ตามหลั กษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช –1 3 ดังนั้น f (x) = x −2

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

3x +1 2

(3) f(x) = ให

3x +1 2

๒๕๔๔

จัดทําโดย

2y นส=งเสริม 3xการสอนวิ +1 สถาบั ทยาศาสตรและเทคโนโลยี 2 y −1 ∴ x = 3 กระทรวงศึ กษาธิการ เปลี่ยน y เปน x และเปลี่ยน x เปน y y

ดังนั้น f–1(x) =

2 x −1 3 2 x −1 3

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม พ.ศ. ๒๕๔๗

(4) f(x) = 1+ 3 x − 2 ให y = 1 + 3 x −2 3 y–1 = x −2 3 x – 2 =องคก(y – 1)าของคุ =ภาจัดพิy3ม–พ3yจ2ํา+หน 3y –าย1 ารค ร ุ ส ∴ x = y3 – 3y2 + 3y + 1

พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

155 เปลี่ยน y เปน x และเปลี่ยน x เปน y y = x3 – 3x2 + 3x + 1 ดังนั้น f–1(x) = x3 – 3x2 + 3x + 1 12. (1) – (2)

y=x

f(x) คูม อื ครูสาระการเรี ยนรูเ พิม่ เติม 6 Y

4 คณิตศาสตร เลม ๒

f–1(x)

2 กลุม สาระการเรี ยนรูค ณิตศาสตร –6

–4

ชัน้ –2มัธยมศึก2 ษาป4 ที่ ๔6

–2

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้– 4พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ –6

จัดทําโดย y = x2 – 3 , x ≥ 0 สถาบั y + 3นส=งเสริม x2 การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ∴ x = ± กระทรวงศึ y+ 3 กษาธิการ เนื่องจาก x ≥ 0 จะไดวา x = y+ 3 เปลี่ยน x เปน y และเปลี่ยน y เปน x ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 y = x +3 พิมxพ+ค3 รัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม ดังนั้น f–1(x) =

(3) ให

พ.ศ. ๒๕๔๗ องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

189 Loran เปนระบบคนหาตําแหนงซึ่งประกอบดวย สถานีสงสัญญาณที่รูตําแหนงแนนอนตั้งแต 2 สถานีขึ้นไป สงสัญญาณคลื่นวิทยุที่มีความถี่เทากันออกมาพรอมกันไปยังตัวรับสัญญาณที่เคลื่อนที่ ตัวรับสัญญาณ Loran จะวัดความแตกตางของเวลาของสัญญาณที่มาถึงจากสถานีตาง ๆ ความแตกตาง คงตัวของเวลาที่มาถึงของสัญญาณจากสถานีสงคูหนึ่งจะกําหนดเปนโคงไฮเพอรโบลา ซึ่งตัวรับสัญญาณ จะตองอยูบนโคงนี้ โดยปกติสถานีสงสัญญาณจะใชตั้งแต 3 สถานีขึ้นไปเพื่อขจัดความไมแนนอนของ ตําแหนงของตัวรับสัญญาณ

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม 3.1.1 คณิตเฉลยแบบฝ ศาสตรกหัด เล ม๒

1. ให จุด O แทนจุกลุ ดกําม ด (0, 0)  เนิสาระการเรี ยนรูค ณิตศาสตร จุด P แทนจุดที่โจทยกําหนดให

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

(1) (3, 4) OP =

(3 − 0) 2 + ( 4 − 0) 2

หนวย

(2) (0, 3) OP =

(0 − 0) 2 + (3 − 0) 2

หนวย

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔

(3) (–1, –3) OP =

จัดทําโดย (−1− 0) 2 + ( −3 − 0) 2

หนวย

นสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี (4) (s, สถาบั t) (s − 0) 2 + ( t − 0) 2 = s2 +t 2 หนวย OP = กระทรวงศึกษาธิการ

2. (1) (2, 5) และ (9, 5) ให P แทนจุด (2, 5) ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 Q แทนจุด (9,พิ5)มพครัง้ ทีห ่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม เพราะวา P และ Q มีคาพิกัดหลังเทากัน พ.ศ. ๒๕๔๗ ดังนั้น PQ = ⏐2 – 9⏐ = 7 หนวย (2) (– 4, 7) และ (6, 7) ให P แทนจุ 4, า7)ของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย องคดก(–ารค Q แทนจุด (6, 7) พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว เพราะวา P และ Q มีคาพิกัดหลังเทากัน ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร ⏐– 4 – 6⏐ = 10 หนวย ดังนั้น PQ = ๒๒๔๙ มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

190 (3) (–5, 6) และ (–5, –3) ให P แทนจุด (–5, 6) Q แทนจุด (–5, –3) เพราะวา P และ Q มีคาพิกัดแรกเทากัน ดังนั้น PQ = ⏐6 – (–3)⏐ = 9 หนวย

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

(4) (– 4, –8) และ (– 4, –2) ให P แทนจุด (– 4, –8) Q แทนจุด (– 4, –2) เพราะวา P และ กลุ Q มีม พิกัดแรกเทากัน ยนรูค  คาสาระการเรี  ณิตศาสตร ดังนั้น PQ = ⏐–8 – (–2)⏐ = 6 หนวย

คณิตศาสตร เลม ๒ ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

3. (1) (3, 4) และ (2, 2) ให ตามหลั P กแทนจุ ด (3, 4)กษาขัน สูตรการศึ ้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ Q แทนจุด (2, 2) (3 − 2) 2 + (4 − 2) 2 = 5 หนวย PQ =

จัดทําโดย

(2) (–1, –2) และ (3, – 4) ให P แทนจุด (–1, –2) สถาบั น ส งเสริด ม(3,การสอนวิ ทยาศาสตรและเทคโนโลยี Q แทนจุ – 4) PQ = (−1− 3) 2 กระทรวงศึ + (−2 − (−4)) 2 กษาธิ = การ 20 = 2 5 หนวย (3) (0, s) และ (t, 0) ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 ให P แทนจุด (0, s) ่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม Q แทนจุดพิ(t,มพ0)ครัง้ ทีห 2 PQ = (0 − t ) 2 + (s − 0) พ.ศ. t 2 +s 2 ๒๕๔๗= (4) (0, s + t) และ (s + t, 0) ให P แทนจุด (0, s + t) องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย Q แทนจุด (s + t, 0) าว 2(s + t) 2 PQ = (0 − (sพิ +ม t ))พ2ท+ี่โ((รงพิ s + t )ม−พ0ค ) 2ุรุสภาลาดพร = ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง= กรุงเทพมหานคร 2 (s + t ) มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

หนวย

191 (5) (2, 13) และ (8, 5) ให P แทนจุด (2, 13) Q แทนจุด (8, 5) (2 − 8) 2 + (13 − 5) 2 PQ =

(6) (–5, 3) และ (0, 8) ให P แทนจุด (–5, 3) Q แทนจุด (0, 8) PQ = (−5 − 0) 2 + (3 − 8) 2

หนวย

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เล ม๒ =

หนวย

5 2

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

(7) (–6, 4) และ (–6, 17) ให P แทนจุด (–6, 4) Q แทนจุด (–6, 17) 2 PQตามหลั = กสู(ต−รการศึ 6 − (−6)) 2ก+ษาขั (4 −17น = 13 ้ ) 2พืน้ ฐาน= พุทธศั13กราช ๒๕๔๔

หนวย

(8) (–2, –1) และ (–7, –6) ให P แทนจุด (–2, –1) จัดทําโดย Q แทนจุด (–7, –6) PQ = (−2 − (−7)) 2 + (−1− (−6)) 2 =

หนวย

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

4. (1)

52 +52

5 2

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี พิกัดของจุด C กระทรวงศึกษาธิการ

กําหนดให C มีพิกัดเปน (x, 4) ( จากรูป ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ที่มีดาน BC ขนานกับดาน AD และขนานกับ ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 แกน X)

พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม Y พ.ศ. ๒๕๔๗ B (–1, 4)

องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย A(– 4, 0) O

พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

192 จากโจทย BC = 8 หนวย และ B มีพิกัดเปน (–1, 4) จะได BC 8 8 x

= = = =

( x − ( −1)) 2 + (4 − 4) 2 ( x +1) 2 x +1

7, –9

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

แตจากรูป C อยูในจตุภาคที่ 1 ดังนั้น จุด C มีพิกัดเปน (7, 4)

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

(2) ความยาวของสวนของเสนตรง AB จากโจทย A มีพิกัดเปน (– 4, 0) และ B มีพิกัดเปน (–1, 4) จะได 2 = กษาขั (−น + (0 −พุ 4)ท2 ธศักราช ตามหลักAB สูตรการศึ ้4 −พื(−น้ 1))ฐาน = 32 + 4 2 AB = 5 หนวย

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

๒๕๔๔

จัดทําโดย

(3) พิกัดของจุด D กําหนดให D มีพิกัดเปน (x, 0) นสอยูงเสริ มการสอนวิ ทยาศาสตรและเทคโนโลยี (เนืสถาบั ่องจาก AD บนแกน X) จากโจทย A มีพิกัดเปน (–กระทรวงศึ 4, 0) จะได กษาธิการ AD = ( x − ( −4)) 2 + (0 − 0) 2 AD = ( x + 4) 2 ISBNx 974 - 01 - 3820 - 9 AD = +4 ---------- (1) ่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม หา AD ไดจากสูตร พิมพครัง้ ทีห พื้นที่

ABCD =

1 × 2

พ.ศ. ๒๕๔๗ สูง × ผลบวกของดานคูขนาน

ความสูงของ ABCD คือ ความยาวของเสนที่ลากจากจุด B มาตั้งฉากกับแกน X ที่จุด (–1, 0) องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย ดังนั้นความสูงของ ABCD มีขนาดเทากับ (−1− (−1)) 2 + (4 − 0) 2 = 4 หนวย

พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

193 48

48 48 32 AD

= = = =

1 × 4 × (BC + AD) 2 1 × 4 × (8 + AD) 2

2(8 + AD) 16 + 2AD 2AD 16 หนวย

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

แทนคา AD = 16 หนวย ใน (1) จะได 16 = x+4  =สาระการเรี  ณิตศาสตร x กลุม 12, –20 ยนรูค แตจากรูป D อยูบนแกน X ทางดานบวก ดังนั้น จุด D มีพิกัดเปน (12, 0)

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔

A ( -4, 2 ) -5

จะได นั่นคือ ดังนั้น นั่นคือ

2 0

จากรูป AB = B ( 1, 1 ) จัดทําโดย BC = X AC =

(− 4 − 1) 2 + (2 − 1) 2

(1+1) 2 + (1+1) 2 (− 4 + 1) 2 + (2 + 1) 2

= = =

C (-1,น-1 สถาบั ส-2ง) เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ = ( 8 ) 2 + ( 18 ) 2 = 26 หนวย BC2 + AC2 = ISBN 974 BC2 +- 01 AC-2 3820 - 9 AB2 ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม (1, 1), (–1, –1) และ (– 4, 2) เปนจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

พ.ศ. ๒๕๔๗

26 8 18

หนวย หนวย หนวย

194

6. P ( -3 , 0 )

ระยะระหวางจุด (–3, – 4) กับแกน X คือ ระยะระหวางจุด Q(–3, – 4) และ P(–3, 0) ดังนั้น PQ = [−3 − (−3)] 2 + (− 4 − 0) 2 = 4 หนวย

Q ( -3 , -4 ) -5

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒ 7. ความยาวของเสนรอบรูกลุ ปสามเหลี ่ยม ABC = AB + AC ม สาระการเรี ยนรู ค ณิ+ BCตศาสตร

ชัน้ มัธยมศึABกษาป = ที่ ๔

(7 − 3) 2 + (8 − 4) 2

= 32 วย ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน= พุทธศั4 ก2ราชหน๒๕๔๔ A(3, 4) 5 AC = (3 − (−1)) 2 + (4 − (−2)) 2 = 52 X 0 = 2 13 หนวย -5 5 10 จั ด ทํ า โดย C (-1, -2) BC = (7 − (−1)) 2 + (8 − (−2)) 2 = 164 = 2 41 หนวย สถาบั น ส ง เสริ ม การสอนวิ ท ยาศาสตร แ ละเทคโนโลยี ดังนั้น ความยาวของเสนรอบรูปสามเหลี่ยม ABC = AB + AC + BC = 4 2 + 2 13 + 2 41 หนวย B (7, 8)

กระทรวงศึกษาธิการ

8. สมมุติใหจุด A มีพิกัด (0, y1) ซึ่งอยูบนแกน Y หางจากจุด B(2, 5) และ C(3, –7) เปนระยะเทากัน เพราะวา AB = AC (0 − 2) 2 + ( y1 − 5) 2 = ISBN (974 0 − 3-) 201 +[ -y13820 − ( −7-)]92 4 + ( y1 − 5) 2 =มพครัง้ ที9 +ห ( y 1 + 7) 2 พิ ่ นึง่ 2๑๐,๐๐๐ เลม 2 4 + (y1 – 5) = 9 + (y1 + 7) พ.ศ. ๒๕๔๗ 4 + y12 −10 y1 + 25 = 9 + y12 +14 y1 + 49 y12 −10 y1 + 29 = y 12 +14 y 1 + 58 –24y1 = 29 29 − รุสภาจัดพิมพจําหนาย y1องคก=ารคาของคุ 24 ดังนั้น A มีพิกัด (0,

−

29 ) 24

พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

195 9. ให A(4, 6), B(6, 8) และ C(–2, –2) เปนจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม จะได AB = (4 − 6) 2 + (6 −8) 2 = 2 2 Y BC = (−2 − 6) 2 + (−2 −8) 2 = 2 41 10 B (6, 8) CA = (−2 − 4) 2 + (−2 − 6) 2 = 10 A (4, 6) 5

คูม อื ครู5สาระการเรี ยนรูเ พิม่ เติม X 10

0 5 C (-2, -2) -5

คณิตศาสตร เลม ๒

ความยาวของ AB, BC กลุ และม ไมมีคูใดที่เทายกันรู นเลยค  ACสาระการเรี  ณิตศาสตร ดังนั้น รูปสามเหลี่ยมซึ่งมีจุดสามจุดนี้เปนจุดยอด จึงไมเปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

10. ให P(–3, 2) เปนจุดศูนยกลางของวงกลมที่ผานจุด Q(7, 4) 2 รัศมีของวงกลมคื (−3 − 7ก) ษาขั + (2 น 2 26พุหน วย กราช ตามหลัอ กPQสูต=รการศึ ้− 4พื) 2น้ =ฐาน ทธศั

๒๕๔๔

Y 20

จัดทําโดย

สถาบันสงเสริPม(-3,การสอนวิ ทQยาศาสตร และเทคโนโลยี (7, 4) 2) X 0 -20 20 กระทรวงศึกษาธิการ -10 11.

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม Y พ.ศ. ๒๕๔๗

C (-8, 8) 10 8 6 4 องค ก ารค า ของคุ ร ุ ส ภาจั าย 0) D (-8, 0) 2 ดพิมพจําหนA(10, B (-12, 0) -5 มพคุรุสภาลาดพร -15 พิ-10 5 าว 10 X มพที่โรงพิ -2 ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

196 จากรูป จากจุด C(–8, 8) ลากเสนตรงขนานแกน Y ตัดแกน X ที่จุด D จะไดพิกัดของจุด D คือ D(–8, 0) ----------- (1) พื้นที่ของสามเหลี่ยม = 12 × ฐาน × สูง ถาให AB เปนความยาวฐาน ดังนั้น CD จะเปนความสูงของรูปสามเหลี่ยม ABC [10 − (−12)] 2 + (0 − 0) 2 = 22 ความยาวฐานคือ AB = ความสูงคือ CD = [−8 − (−8)] 2 + (8 − 0) 2 = 8 = 88 ตารางหนวย ดังนั้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC = 12 × 22 × 8

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

12. ให A(0, 0), B(8, 18) และ C(12, 27) เปนจุดสามจุด (0 − 8) 2ย+นรู (0 −ค = 2 97 ABกลุม  =สาระการเรี  18ณิ) 2 ตศาสตร BC = (8 −12) 2 + (18 − 27) 2 = 97 AC = (0 −12) 2 + (0 − 27) 2 = 3 97 จะไดวา AC = AB + BC ดังนั้น ตามหลั (0, 0), (8,กสู18)ตรการศึ และ (12,กษาขั 27) อยูน นตรงเดีพุยวกั น กราช ๒๕๔๔ ้ บพืนเสน้ ฐาน ทธศั

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

13. เงื่อนไขที่ทําใหจุด P1, P2 และ P3 ใด ๆ อยูบนเสนเดียวกันคือ P1P2 + P2P3 = P1P3

จัดทําโดย

14. ให A(3, 4) เปนจุดศูนยกลางของวงกลมที่ผานจุด B(6, 8) ให C มีพสถาบั กิ ัดเปน น (0,ส0)งเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี AB = (3 − 6) 2 + ( 4 − 8) 2 = 9 +16 = 5 หนวย กระทรวงศึ AC = (3 − 0) 2 + ( 4 − 0) 2กษาธิ = การ 9 +16 = 5 หนวย จุด C(0, 0) อยูบนวงกลม เพราะอยูหางจากจุดศูนยกลางเทากับความยาวของรัศมีของ วงกลม ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 Y พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ 15. ใหแกนเลXม สัมผัสวงกลมที่จุด B(x, 0) พ.ศ. ๒๕๔๗เมื่อแกน X สัมผัสกับวงกลมรัศมี AB B (x, 0) ยอมตั้งฉากกับแกน X X 0 10 จะได x = 4 ดังนั้น จุดสัมผัสคือ (4, 0) A องค (4, -3)การคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย -5

พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

197

เฉลยแบบฝกหัด 3.1.2 1. (1) ใหจุด P1 มีพิกัด

1 ( , 2) 2

ใหจุด P2 มีพิกัด (3, –1) และจุดกึ่งกลางระหวาง P1 และ P2 คือ P(x, y)

คูมx อื ครู= สาระการเรีย=นรูเ พิม่ เติม y

1 ( + 3) 2 2 (2 + (−1)) 2

7 4 1 2

คณิ= ตศาสตร เล = ม๒

ดังนั้น จุดกึ่งกลางระหวางจุด P1 และ P2 คือ ( 74 ,

1 ) 2

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

(2) ใหจุด P1 มีพิกัด (–1, –3) ใหจุด P2 มีพิกัด (5, 3) และจุ ดกึ่งกลางระหว าง P1 และ P2 น y) ตามหลั กสูตรการศึ กษาขั ้ คือพืP(x, น้ ฐาน x

( −1+ 5) 2 ( −3 + 3) 2

พุทธศักราช ๒๕๔๔

จัดทํP2าโดย ดังนั้น จุดกึ่งกลางระหวางจุด P1 และ คือ (2, 0) 5 (3) ใหจสถาบั ุด P1 มีนพส − การสอนวิ ิกัดงเสริ (3, ม ) ทยาศาสตรและเทคโนโลยี 2

ใหจุด P2 มีพิกัด (–3, –9) กระทรวงศึกษาธิการ และจุดกึ่งกลางระหวาง P1 และ P2 คือ P(x, y) x

(3 + ( −3)) 2 5 (− + ( −9)) 2 2

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 = เลม− 23 y พิ=มพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ 4 23 ดังนั้น จุดกึ่งกลางระหวางจุด P1 พ.ศ. และ P๒๕๔๗ 2 คือ (0, − 4 ) (4) ใหจุด P1 มีพิกัด (–3, –2) ใหจุด P2 มีพิกัดองค (–1,การค –1) าของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย และจุดกึ่งกลางระหวาง P1 และ P2 คือ P(x, y)

พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

198 x

(−3 + (−1)) 2 (−2 + (−1)) 2

ดังนั้น จุดกึ่งกลางระหวางจุด P1 และ P2 คือ 2. (1) ใหจุด P มีพิกัด (x, y) จะได 1 =

–2

−

3 2

3 (−2, − ) 2

คูม อื ครูสาระการเรียนันรู ่ = เติ ่นคือเ พิ xม –1 ม

และ

3+ x 2 4+ y 2

นั่นคืม อ y๒ =0 คณิ= ตศาสตร เล

ดังนั้น พิกัดของจุด P คือ (–1, 0)

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

ชัน้ มัธยมศึกษาป ที่ ๔ นั่นคือ x = –5

(2) ใหจุด P มีพิกัด (x, y) จะได 5 =

x +15 2 y− 4 2

16 และตามหลัก6สูตรการศึ = กษาขัน ้ พืน้ ฐานนั่นพุคืทอ ธศัy ก=ราช ดังนั้น พิกัดของจุด P คือ (–5, 16)

๒๕๔๔

3. ให AC และ BD เปนเสนทแยงมุมสองเสน

จัดทําโดย 2+9

1+ 3 ) , 2 2 ( 7 +2 4 , 1 +2 3 )

จุดกึ่งกลางของเสนทแยงมุม AC คือ

(

11 , 2) 2 11 = ( , 2) 2 เปนจุดเดียวกันคือ (11 , 2) 2

(

จุดกึสถาบั ่งกลางของเส ทแยงมุ BD คือ ทยาศาสตรและเทคโนโลยี นสงนเสริ มมการสอนวิ

ดังนั้น จุดกึ่งกลางของเสนทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยม ABCD

กระทรวงศึกษาธิการ

4. ให O เปนจุดกึ่งกลางระหวาง P(2, 1) และ Q(6, 5) ดังนั้น O =

(

2 + 6 1+ 5 , ) 2 2

ISBN 974 - 01(8 −- 43820 -9 ) + (2 − 3) = 17 หนวย พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม ( x + 3x ) ( y + 3y ) ⎞ ๒๕๔๗ 5. จุดกึ่งกลางของสวนของเสนตรง คือ ⎛⎜พ.ศ. , ⎟ = (2x1, 2y1) 2 2 ระยะระหวางจุด O(4, 3) กับจุด A(8, 2) คือ 1

⎝

6. พิกัดของจุดศูนยกลางคือ

(

1+ 7 3 +11 ) , 2 2

⎠

= (4, 7)

องคการค าของคุราุสงจุภาจั หน3)ายเทากับ 5 ความยาวของรัศมีของวงกลม = ระยะระหว ด (4,ด7)พิมกับพจุจดํา(1, พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

= (4, 3)

199 7. เสนมัธยฐานคือ เสนที่ลากจากจุดยอดมุมมาแบงครึ่งฐาน ดังนั้น จุดปลายของเสนมัธยฐานคือ จุดที่แบงครึ่งดานของรูปสามเหลี่ยม ให P1(x1, y1) เปนจุดปลายเสนมัธยฐานของรูป ∆ ABC ที่มี AB เปนฐาน จะได x1 = 4 +2 3 = 72 y1 = ดังนั้น

9+8 2

17 2 17 ) 2

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

p1 มีพิกัดเปน ( 72 ,

คณิตศาสตร เล ม๒ = 1

ให P2(x2, y2) เปนจุดปลายเสนมัธยฐานของรูป ∆ ABC ที่มี BC เปนฐาน จะได

x2 y2

3 + (−1) 2 8+ 2 2

 สาระการเรีย= นรูค 5ณิตศาสตร = กลุม

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

ดังนั้น P2 มีพิกัดเปน (1, 5) ให P3(x3, y3) เปนจุดปลายเสนมัธยฐานของรูป ∆ ABC ที่มี AC เปนฐาน จะได

4 + (−1) 2 9+ 2 2 3 11 ( , ) 2 2

3 2 11 2

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔

ดังนั้น P3 มีพิกัดเปน

จัดทําโดย

8. ให R มีพิกัด (4, y) A มีพิกัด (–5, 2) สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี C มีพิกัด (13, –6) โดยพิกัดจุด R อยูหางจากจุด A กระทรวงศึ และจุด C เปนระยะทางเท ากัน กษาธิการ จะได RA = RC (4 + 5) 2 + ( y − 2) 2 = ISBN (974 4 −13) 2 + ( y + 6) 2 - 01 -2 3820 - 9 2 81+ ( y − 2) = 81+ ( y + 6) พิ ม พ ค รั ง ้ ที ่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม y = –2 ห

พ.ศ. ๒๕๔๗

9. หาจุดกึ่งกลางของดานของรูปสี่เหลี่ยม ABCD ไดดังนี้ จุดกึ่งกลางของดาน AB คือ P( − 42+ 4 , 3 +2 5 ) หรือ P(0, 4)

4 + 8 5 +11 ร)ุสภาจั พิมพ8)จําหนาย จุดกึ่งกลางของดาน BCองค คือ การค หรือ ดQ(6, , Q( าของคุ 2 2

200 จุดกึ่งกลางของดาน CD คือ จุดกึ่งกลางของดาน DA คือ

8 − 8 11+ 7 , ) 2 2 −8 − 4 7 + 3 ) , S( 2 2 R(

หรือ R(0, 9) หรือ S(–6, 5)

หาความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยม PQRS ไดดังนี้ PQ = (0 − 6) 2 + (4 − 8) 2 QR = (6 − 0) 2 + (8 − 9) 2 RS = (0 + 6) 2 + (9 − 5) 2 SP = (−6 − 0) 2 + (5 − 4) 2 นั่นคือ ความยาวของเสนรอบรูป PQRS = 2 13 +

= = = =

2 13

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติ=ม 52 37

คณิตศาสตร เล+ม ๒+ 37

2 13

4 13

กลุ่ยมมุม สาระการเรี  ณิตศาสตร 10. ให ABC เปนรูปสามเหลี มฉากโดยที่ ยนรูค

ชัน้ มัธยมศึA,กBษาป ที่ ๔ และ C มีพิกัดเปน (x, y), (0, 0) และ (x, 0)

Y P(

x y , ) 2 2

ตามลําดับ

A(x, y)

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืPน้ เปฐาน ทธศักราช นจุดกึพุ่งกลางของ AB ๒๕๔๔ C(x, 0)

B(0, 0)

ดังนั้น จุด P มีพิกัด

x y ( , ) 2 2

จัดทํปาสามเหลี โดย ่ยมมุมฉาก หาระยะระหวางจุด P กับจุดยอดทั้ง 3 จุดของรู PA = = PB = = PC = =

สถาบั x นสงyเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ( − x ) + ( − y) 2 2 y กระทรวงศึกษาธิการ x + 2

y x ( − 0) 2 + ( − 0) 2 2 2

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 y x + 4 4 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม y x ( − x ) + ( − 0) พ.ศ. ๒๕๔๗ 2 2 2

2 x2 y + 4 4

จะไดวา PA = PB = PC ารคาของคุ รุสภาจั พิมพจําปหน าย ่ยมมุมฉากกับจุดยอด ดังนั้น ระยะระหวาองค งจุดกึก่งกลางของด านตรงข ามมุดมฉากของรู สามเหลี ทั้งสามมีความยาวเท พิามกัพนที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

201 11. ให ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน Y

AC และ BD เปนเสนทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยม ดานขนาน ABCD ให P(x, y) เปนจุดกึ่งกลางของเสนทแยงมุม AC

C(x1+ x2, y2)

D(x2, y2)

P(x, y) มีพิกัด

(

x1 + x 2 y 2 , ) 2 2

X คูม B(xอื , ครู ยนรูเ พิม่ เติม 0) สาระการเรี

A(0, 0)

คณิ ต ศาสตร เล ม ๒ ให Q(x′, y′) เปนจุด กึ่งกลางของเสนทแยงมุม BD

y  ( xสาระการเรี ยนรูค ณิตศาสตร 1 +x2 , 2) Q(x′, y′) มีพิกัดเปกลุ นม 2 2

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

จะเห็นวา P(x, y) และ Q(x′, y′) มีพิกัดเดียวกัน ดังนั้น P(x, y) เปนจุดเดียวกันกับ Q(x′, y′) นั่นคือ เสนทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมดานขนานยอมแบงครึ่งซึ่งกันและกัน

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔

12.

ให A(x, y) เปนจุดกึ่งกลางของ R(–7, –5) T(6, 1) ดังนั้น จุดกึ่งกลางของ RT คือ A(− 12 , − 2)

Y 8

S(3, 7)

จัดทําโดย

หาความยาวของเสนมัธยฐาน SA ไดโดย

1 (3 + ) 2 + (7 + 2) 2 SA = T(6, 1) 2 สถาบัน0 สง4เสริม8 การสอนวิ X ทยาศาสตรและเทคโนโลยี 8 -4 373 = หนวย หรือ 4 -4 กระทรวงศึกษาธิการ R(-7, -5)

13.

ISBN 974 - 01 -Y3820 - 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม 10 พ.ศ. ๒๕๔๗ T

R S

B(-5, 6)

A(2, 7)

องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย X 0 -10พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพร าว

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

373 2

หนวย

202 วิธีที่ 1

แบงสวนของเสนตรง AB ใหเปน 4 สวน จุดที่แบงกําหนดใหเปนจุด R, S, T ซึ่งมีพิกัด (x, y), (x1, y1), (x2, y2) ตามลําดับ จากรูป จุด R คือจุดที่อยูหางจากจุด A เทากับ

3 4

ของระยะระหวาง A และ B

หาพิกัดของจุด R โดย 1.

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

หาพิกัดของจุด S ซึ่งจุด S เปนจุดกึ่งกลางของสวนของเสนตรง AB − 5+ 2 3 x1 − = = 2 2 y1

คณิตศาสตร เลม ๒ =

13 2

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

ดังนั้น จุด S มีพิกัด 2.

6+ 7 2 3 13 (− , ) 2 2

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

หาพิกัดของจุด R ซึ่งจุด R เปนจุดกึ่งกลางของสวนของเสนตรง BS 3 10 3 (−5) น (− )ก+ษาขั (− ก))ราช ๒๕๔๔ (−พุท + ธศั ตามหลักสูตรการศึ ้ พื น ้ ฐาน 13 2 2 2

13 ( + 6) 2 y = 2 13 25 ดังนั้น จุด S มีพิกัด (− 4 , 4 ) ระหวาง A และ B คือ (− 134 , 25 ) 4

วิธีที่ 2

2 13 +12 ) ( 2 2

−

25 4 อยู 34

จันัด่นคืทํอาโดย พิกัดของจุดซึ่งอยูหางจาก A

ของระยะ

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ให C(x, y) เปนจุดทีกระทรวงศึ ่อยูบนสวนของเสกนษาธิ ตรง A(2, การ7) B(–5, 6) ซึ่งทําให CA = Y

10 A′(-5, 7) C′(x, 7) B(-5, 6) C(x, y)5 -10

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม A(2, 7) พ.ศ. ๒๕๔๗

Y 10 A(2, 7) D(2, y) A′(2, 6)

C(x, y) B(-5, 6) 5

องค X รุสภาจัดพิมพจําหนาย 0 การคาของคุ -10

3 AB 4

203 ลาก CD และ BA′ ขนานกับแกน X ตัดกับ AA′ ซึ่งลากขนานกับแกน Y ที่จุด D และ A′ ตามลําดับ จะไดพิกัดของจุด D คือ (2, y) พิกัดของจุด A′ คือ (2, 6) ∆ AA′B คลายกับ ∆ ADC AC = ดังนั้น AAD A′ AB

ลาก CC′ และ BA′ ขนานกับแกน Y ตัดกับ AA′ ซึ่งลากขนานกับแกน X ที่จุด C′ และ A′ ตามลําดับ จะไดพิกัดของจุด C′ คือ (x, 7) พิกัดของจุด A′ คือ (–5, 7) ∆ AA′B คลายกับ ∆ AC′C AC ดังนั้น AAAC′′ = AB

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

แต

AC AB

จะได

AC′

คณิตศาสตร เลแตม ๒

AC AB

AD = กลุม  สาระการเรียนรูค ณิจะได ตศาสตร

⏐2 – x⏐

4 – 4x + x2 =

3 4 3 AA ′ 4 3 ⏐2 – (–5)⏐ 4 441 16

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

(4x + 13)(4x – 29) = 0 ตามหลั ก สู ต รการศึ ษาขัน้ พืน้ ฐาน 13 ก29 − , x = 4 4

แต ดังนั้น

(

⏐7 – y⏐

= =

พุทธศักราช ๒๕๔๔

จัดทําเปโดย นจุดอยูนอกสวนของเสนตรง

29 25 13 31 29 31 , ) , (− , ), ( , ) 4 4 4 4 4 4 พิกัดของจุด C คือ ( − 134 , 25 ) 4

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี กระทรวงศึ การ เฉลยแบบฝกกษาธิ หัด 3.1.3

1. (1) m = (2) m = (3) m = (4) m = (5) m = (6) m =

6−0 2−0 6−0 − 2−0 7 −3 12 − 5 −4−0 −3− 0 7 − (−8) −5−3 s −3−s 2 t − ( t +1)

ISBN 3 974 - 01 - 3820 - 9 พิ=มพ–3 ครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม = 4 พ.ศ. ๒๕๔๗ =

= =

7 4 3 15 − 8 −3 t −1

องคการคาของคุรุสภาจัดพิม3 พจําหนาย =

1− t พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพร าว

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

3 4 3 AA ′ 4 3 ( 7 −6 ) 4 25 31 , 4 4

204 2. (1) P(5, 2) และ Q(x, 6) ; m = 4 m

4(x – 5) 4x – 20 4x x

= = = =

( y 2 − y1 ) (x 2 − x 1 ) ( 6 − 2) ( x − 5)

4 4 24 6

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

(2) P(4, x) และ Q(–3, ; m = 12 ยนรูค กลุม 1)สาระการเรี  ณิตศาสตร m 1 2 1 2 7 − 2

( y 2 − y1 ) (x 2 − x 1 ) (1− x ) (−3 − 4) (1− x ) −7

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ =

= กษาขัน ตามหลักสูตรการศึ ้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ =

1–x

7 2

จั9ดทําโดย 2

นสQ(9, งเสริx)ม; การสอนวิ (3) P(6,สถาบั –3) และ m = − 23 ทยาศาสตรและเทคโนโลยี m

( y 2 − y1 ) กษาธิการ = กระทรวงศึ (x − x ) 2

2 − 3

–2 x

( x − (−3)) (9 − 6)

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 ๑๐,๐๐๐ เลม พ.ศ. ๒๕๔๗

= x+3 พิ=มพครัง้ ที–5ห่ นึง่

(4) P(x, 12) และ Q(5, 12) ; m = 0 m 0

( y 2 − y1 ) (x 2 − x 1 ) (12 −12) (5 − x )

องคก=ารคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย

ี่โรงพินม5พคุรุสภาลาดพราว ดังนั้น x คือ จํานวนจริพิงมใดพๆทยกเว ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

205 (5) P(1, x) และ Q(4, 3) ; m =

m m

4 3

4 x

= =

= = =

4 3 ( y 2 − y1 ) (x 2 − x 1 ) (3 − x ) ( 4 −1)

3–x –1

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

( y 2 − y1 ) (x 2 − x 1 )

b a ( − ) a b b−a ⎛ b2 −a 2 ⎜⎜ ⎝ ab

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ ⎞ ⎟⎟ ⎠

(b − a ) (b − a )(b + a ) ab(b − a ) b+ a ab

= ตามหลั กสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ = 4.

จัดทําโดย A(2, 10) 10

B(5, แ7)ละเทคโนโลยี สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตร 5 กระทรวงศึกC(2, ษาธิ4)การ 0

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม พิจารณาดาน AB พ.ศ. (5 − 2๒๕๔๗ ) + (7 −10) ความยาวของ AB = 2

= 9+9 = 18 3 2 รุสหน องคก=ารคาของคุ ภาจัวยดพิมพจําหนาย ความชันของ AB

(7 −10) (5 − 2)

= พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพร า–1 ว

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

206 พิจารณาดาน BC ความยาวของ BC

= = = =

(5 − 2) 2 + (7 − 4) 2 9+9 18

หนวย

3 2 ( 7 − 4) (5 − 2)

= คูม อื ครูสาระการเรี ย1นรูเ พิม่ เติม

ความชันของ BC

พิจารณาดาน AC ความยาวของ AC

คณิตศาสตร เลม ๒

(2 − 2) 2 + (10 − 4) 2 = กลุม =สาระการเรี  ณิตศาสตร 0 + 36 ยนรูค = 6 หนวย

ความชันของ AC

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ =

(10 − 4) (2 − 2) 6 0

= กษาขัน ตามหลักสูตรการศึ ้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ ดังนั้น เสนตรง AC ไมมีความชัน เพราะไมนิยาม 5.

จัดYทําโดย 5

4) 4) สถาบันสงเสริP(-6, มการสอนวิ ทQ(1, ยาศาสตร และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ -10

S(-8, -1)

0 R(-1, -1)

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม จะไดวา สี่เหลี่ยม PQRS เปนรูปพ.ศ. สี่เหลี่ย๒๕๔๗ มดานขนาน

ดังนั้น เสนตรงที่แบงพื้นที่สี่เหลี่ยมดานขนาน PQRS ออกเปน รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีพื้นที่เทากัน คือ เสนทแยงมุม PR และ QS 5 −1− 4 ความชันของ PRองคก=ารคาของคุ = − ร ุ ส ภาจั ด พิ ม พ จ ํ า หน าย = −1− (−6) 5

ความชันของ QS

4 − ( −1)

= พิ=มพที่โรงพิ 1− ( −ม8พ) คุรุสภาลาดพราว 9

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

–1

207 6.

Y 5 D(-6, 2) C(-2, 2)

คูม -10A(-6, อื ครู-2)สาระการเรียนรูB(2, เ พิม่ -2)เติม X

คณิตศาสตร-5 เลม ๒

D(-6, -6) C(-2,ยนรู -6) ค กลุม สาระการเรี  ณิตศาสตร

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

จากโจทย พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD = 24 ตารางหนวย 1 × ผลบวกของดานคูขนาน พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู = 2

สูง

ตามหลักสูตรการศึ ้ พื1น้ ×ฐาน ทธศั× กADราช---------๒๕๔๔ 24 กษาขั = น (AB +พุCD) (1) 2

ความยาวของ AB = (− 6 − 2) 2 + (−2 − (−2)) 2 = 64 = จากโจทย ดาน AB เปนฐานที่ยาวเปน 2 เทาของดานคูขนาน DC จัดทํ=าโดย 8 จะไดวา AB = 2DC หนวย ดังนั้น DC = 4 หนวย แทนค า นสAB 8 หน วย และ DC = 4 หนวย สถาบั งเสริม= การสอนวิ ทยาศาสตร และเทคโนโลยี 1 × (8 + 4) × AD จะได 24 = 2 24

กระทรวงศึ กษาธิการ 1 2

× 12 × AD

หนวย

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 ่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม ใหจุด D มีพิกัด (– 6, y)พิมพครัง้ ทีห ดังนั้น AD = (− 6 +๒๕๔๗ 6) + ( y + 2) พ.ศ. 2

4 = ( y + 2) 2 y = 2, – 6 ดังนั้น จุด D มีพิกัด (– 6, 2) หรือ (– 6, – 6) องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย ดังนั้น จุด C มีพิกัด (–2, 2) หรือ (–2, – 6)

พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

8 หนวย

ลงใน (1)

208 หาความชันของ BC ไดโดย − 6 − (−2) (−2 − 2) −4 −4

กรณีที่ 1 C มีพิกัด (–2, –6) ความชันของ BC = = =

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม −2−2 2 − (−2) −4 4

กรณีที่ 2 C มีพิกัด (–2, 2) ความชันของ BC =

= คณิตศาสตร เล ม ๒ = –1

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร ด 3.1.4 ชัน้ มัเฉลยแบบฝ ธยมศึกกหัษาป ที่ ๔ 3 7 1. ความชันของเส นตรงที ด (–2, ก–ษาขั 4) และ 3) คือ พุ−−ท42 −−ธศั = ตามหลั กสู่ผตานจุ รการศึ น้ พื(3,น้ ฐาน ก ราช ๒๕๔๔ 3 5

ความชันของเสนตรงที่ผานจุด (1, –2) และ (6, 5) คือ

− 2−5 1− 6

7 5

จะเห็นวา ความชันของเสนตรงทั้งสองเทากัน แสดงวา เสนตรงทั้งสองขนานกัน

จัดทําโดย 2. เนื่องจากเสนตรงสองเสนขนานกันความชันจึงเทากัน เทากับ 3.

y 2 − y1 x 2 − x1

, x1

≠

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี เนื่องจากเสนตรงสองเสนขนานกันความชันจึงเทากัน กระทรวงศึกษาธิการ −2−7 −4−2 − 3− k

k =

1− 3

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 พิมดพ(–2, ครัง้ –1)ทีห่ และ นึง่ (1,๑๐,๐๐๐ 4. ใหความชันของเสนตรงที่ผานจุ 0) เปน เล m1ม −1− 0 1 m1 = = พ.ศ. ๒๕๔๗ − 2 −1 3 ใหความชันของเสนตรงที่ผานจุด (4, 3) และ (1, 2) เปน m2 3− 2 1 m2 = = 4 −1 3

Y 4 (1, 2) 2 (-2, -1) -2

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

(1, 0)

(4, 3) 5

209 ใหความชันของเสนตรงที่ผานจุด (1, 0) และ (4, 3) เปน m3 0 −3 m3 = = 1 1− 4 ใหความชันของเสนตรงที่ผานจุด (–2, –1) และ (1, 2) เปน m4 −1− 2 m4 = = 1 − 2 −1 จะเห็นวา m1 = m2 และ m3 = m4 ดังนั้น (–2, –1), (1, 0), (4, 3) และ (1, 2) เปนจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม= ๒1

5. ความชันของเสนตรงที่ผานจุด (1, 2), (6, 7) เทากับ ความชันของเสนตรงที่ผานจุด (1, 2), (–3, 4) เทากับ

7−2 6 −1 4−2 − 3 −1

1 2

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร −

จะเห็นวาความชันของเสนตรงทั้งสองไมเทากัน ดังนั้น จุด (1, 2), (6, 7) และ (–3, 4) ไมอยูบนเสนตรงเดียวกัน

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

6. จุดทั้งสามจะอยู บนเส ยวกันกไดษาขั เมื่อน ของเสพุนท ตรงที 6), (–1, 4) และ ตามหลั กนสูตรงเดี ตรการศึ ้ความชั พืน้ นฐาน ธศั่ผกานจุ ราชด (b,๒๕๔๔ ความชันของเสนตรงที่ผานจุด (–1, 4), (– 4, 2) มีคาเทากัน ดังนั้น จะไดวา 4−2 6−4 = จัดทําโดย b − (−1) − 1 − (− 4)

b 7.

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี เสนตรงที่ผานจุด (p, q + r) และ (q, r + p) มีความชันเทากับ (q + r ) − ( r + p ) q−p กษาธิ=การ p − q = กระทรวงศึ = p−q

p −q

− (p − q)

–1

เสนตรงที่ผานจุด (p, q + r) และ (r, p + q) มีความชันเทากับ

p - 01 - 3820 - 9 r−p ISBNr −974 = p−r − ( r − p) พิ ม พ ค รั ง ้ ที ห ่ นึ ง ่ ๑๐,๐๐๐ เล ม เสนตรงที่ผานจุด (q, r + p) และ (r, p + q) มีความชันเทากับ ( r + p) − ( p + q ) r − q ๒๕๔๗ r −q พ.ศ. = = (q + r ) − ( p + q ) p−r

q−r

− (r − q)

ดังนั้น จุด (p, q + r) + (q, r + p) และ (r, p + q) อยูบนเสนตรงเดียวกัน

–1

210 8. ความชันของเสนตรง AB = ความชันของเสนตรง CD = ความชันของเสนตรง BC = ความชันของเสนตรง AD =

6−6 6 − (−6) 0 − (−6) 12 − 6 0−6 12 − 6 −6−6 6 − (−6)

= 0 = 1

A(-6, 6)

= –1

B(6, 6)

= –1

-10 จะเห็นวา เสนตรง BC และเสนตรง AD มีความชันเทากัน ดังนั้น มีดาน BC ขนานกับดาน AD เพียงคูเดียว นั่นคือ A(–6, 6), B(6, 6), C(12, 0) และ D(6, –6) เปนจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติ-5 ม

คณิตศาสตร เลม ๒-10

C(12, 0) X

D(6, -6)

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

9. ใหจุด A, B, C และ D เปนจุดกึ่งกลางของดาน PQ, QR, RS และ SP ดังนั้น หาพิกัดของจุดกึ่งกลางทั้งสี่ไดดังนี้ (–1, 4) A = ( − 32+1 , 2 +2 6 ) =

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

ตามหลั ้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช 8๒๕๔๔ 1+ 5 6ก + 4สูตรการศึกษาขัน ( , ) = (3, 5) 2 2 5+ 3 4+ 0 ( , ) 2 2 3− 3 0 + 2 ( , ) 2 2

ความชันของดาน AB เทากับ

(4, 2)

(0, 1)

4−5 −1− 3 5− 2 3− 4 2 −1 4−0 1− 4 0 +1

6 A(-1, 4)

จัดทําโดย 1 4

P(-3, 2)

Q(1, 6) B(3, 5) R(5, 4)

4 2

C(4, 2)

1) ความชันของด าน น BCสเท ากับ มการสอนวิ = –3 ทยาศาสตรแD(0, สถาบั งเสริ ละเทคโนโลยี -5 S(3, 0) 5 ความชันของดาน CD เทากับ = 14 กระทรวงศึกษาธิการ -2 ความชันของดาน DA เทากับ = –3

จะเห็นวา ความชันของดาน AB ISBN = ความชั CD - 9 974นของด - 01 า-น3820 และ ความชันของดาน BC = ความชันของดาน DA พิม้งสีพ่ขคองรู รัง้ ปทีสีห่ ่เหลี นึง่ ่ยม๑๐,๐๐๐ ดังนั้น จุดกึ่งกลางของดานทั PQRS เปนเลจุดมยอดของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน

พ.ศ. ๒๕๔๗

10.

ให ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีดาน AB // DC เพื่อความสะดวกใหจุด A มีพิกัดเปน (0, 0) D(d , c) C(b, c) จุด B อยูบนแกน X มีพิกัดเปน (a, 0) องคการค a + b าcของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย d c ( , ) ( , ) จุด C มีพิกัด (b, c) 2 2 2 2 พิมพที่โรงพิมพคจุดุรุสDภาลาดพร าว มีพิกัด (d, c) X A(0, 0) ๒๒๔๙B(a, 0) ถนนลาดพร าว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

211 เนื่องจากความชันของดาน AB เทากับ 0 และ AB // DC ดังนั้น ความชันของดาน DC เทากับ 0 จะได จุดกึ่งกลางระหวางจุด A(0, 0) และ D(d, c) คือ

d c ( , ) 2 2 จุดกึ่งกลางระหวางจุด B(a, 0) และ C(b, c) คือ ( a +2 b , 2c ) ความชันของเสนตรงที่ผานจุด ( d2 , 2c ) และ ( a +2 b , 2c ) เทากับ

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

นั่นคือ เสนตรงที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของดานที่ไมใชดานคูขนานของสี่เหลี่ยมคางหมูจะขนานกับดาน คูขนาน

คณิตศาสตร เลม ๒

11.

A(0, 0), B(x , 0), C(x , y ) และ D(x , y ) กลุม สาระการเรียให นรู ค ณิตศาสตร เปนจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ 1

Y D(x3, y3)

ชัC(xน้ มั, yธ) ยมศึPกเปษาป ี่ ๔ าน AB มีพิกัดเปน นจุดกึ่งท กลางของด

Q เปนจุดกึ่งกลางของดาน BC

้ พืน้ ฐาน Sตามหลักสูตรการศึกษาขัน X P A(0, 0) B(x1, 0)

พุทธศักราช ๒๕๔๔

x2 + x3 y2 + y3 , ) 2 2 x y3 ( 3, ) 2 2 (

นสงานเสริ S เปนจุดสถาบั กึ่งกลางของด ADมมีการสอนวิ พิกัดเปน ทยาศาสตรและเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ ความชันของเสนตรง PQ

y2 − 0 2 x x1 + x 2 − 1 2 2

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม y + y y − 2 พ.ศ.2 ๒๕๔๗ ความชันของเสนตรง RS = = x x + x 2

ดังนั้น

−

y2 x2

เสนตรง PQองค ขนานกั บเสานของคุ ตรง RS การค รุสภาจัดพิมพจําหนาย

x1 , 0) 2 มีพิกัดเปน ( x 1 +2 x 2 , y22 )

จัดทําโดย R เปนจุดกึ่งกลางของดาน CD มีพิกัดเปน

(

212 ความชันของเสนตรง QR

ความชันของเสนตรง PS

y2 + y3 − 2 x2 + x3 x − 1 2

y3 − 0 2 x3 x − 1 2 2

y2 2 + x2 2

y3 x 3 − x1

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

ดังนั้น เสนตรง PS ขนานกับเสนตรง QR แสดงวา P, Q, R และ S เปนจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน PQRS

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

ชัน้ มัเฉลยแบบฝ ธยมศึกกหัษาป ที่ ๔ ด 3.1.5 สูตรการศึ ้ บเสพืนน้ ตรง ฐานl 1. ให m เปตามหลั นความชันกของเส นตรงที่ตกั้งษาขั ฉากกัน จะได 34 × m = –1 m

−

4 3

พุทธศักราช ๒๕๔๔

จัดทําโดย

2. ให m1 เปนความชันของเสนตรงที่ตั้งฉากกับเสนตรง l k จะได สถาบั × m1นส =งเสริม–1การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี m m1

−

m k

กระทรวงศึกษาธิการ

3. ใหเสนตรงซึ่งผานจุด (3, 4) และ (–3, –5) มีความชันเทากับ m m

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 −9 พิ−−ม53พ−−ค43รัง้ ทีห่ นึง่ = ๑๐,๐๐๐ เลม= −6 พ.ศ. ๒๕๔๗

3 2

ใหความชันของเสนตรงที่ตั้งฉากกับเสนตรงที่ผานจุด (3, 4) และ (–3, –5) คือ m1 ดังนั้น m⋅m1 = –1 3 ⋅m = –1 2 1 m1

องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย

−

2 3

พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

213 4. ใหความชันของเสนตรงซึ่งผานจุด (4, 3) และ (–3, –5) คือ m −5−3 −8 = = m = −3− 4 −7

8 7

ใหความชันของเสนตรงซึ่งผานจุด (–2, –3) และ (–8, 2) คือ m1 − 3− 2 −5 m1 = = − 2 − (−8) 6

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

ดังนั้น

m⋅m1

จะเห็นวา m⋅m1

= ≠

8 ⎛ 5⎞ ⎜− ⎟ 7 ⎝ 6⎠

40 42

คณิดังนัต้น ศาสตร เลม ๒ เสนตรงสองเสนนี้ไมตั้งฉากกัน −

20 21

–1

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

5. ความชันของเสนตรงที่ผานจุด O (0, 0) และ P(a, b) คือ m1 =

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

ความชันของเสนตรงที่ผานจุด O (0, 0) และ Q(–b, a) คือ m2 = จะได

−

b a a −b

m ⋅m = –1 แสดงวา สวนของเสนตรง OP ตั้งฉากกับสวนของเสนตรง OQ

1 2 ตามหลั กสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔

6. ให P1(1, 6), P2(8, 8) และ P3(–7, 2) เปนจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม 6 −8 = ความชันของ P1P2 = = m1 1− 8

จัดทําโดย =

ความชันของ P2P3

ความชันของ P1P3

5 2 2 1 × 7 2

8− 2 8+ 7 6−2 1+ 7

= =

2 7 6 15 4 8

สถาบันสงเสริม2 การสอนวิ ทยาศาสตรและเทคโนโลยี 2 4 พิจารณา m m = = 35 ≠ –1 × 7 5 2 กระทรวงศึ 1 mm × = = 1 ก≠ษาธิ –1 การ 1 2 2 3

m1m3

5 1 7

≠

–1

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม 7. ให m เปนความชันของเสนตรง ซึ่งผาพ.ศ. นจุด (k, 7) และ (–3, –2) ๒๕๔๗

แสดงวา จุด (1, 6), (8, 8) และ (–7, 2) ไมเปนจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

= =

−2−7 − 3− k −9 −3− k

องคกนารค ุสภาจั ดพิม(1,พจ–ํา4)หนาย ให m1 เปนความชันของเส ตรงซึา่งของคุ ผานจุดร(3, 2) และ −4−2 −6 = = 3 m1 พิม1−พ3ที่โรงพิมพค=ุรุสภาลาดพร − 2 าว ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

= =

2 5 1 2

214 เนื่องจากเสนตรงทั้งสองเสนตั้งฉากกันดังนั้น m⋅m1 = –1 −9 ⋅3 = –1 −3− k − 27 − (3 + k )

–1

–27 k

= =

3+k –30

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

8. เสนทแยงมุมทั้งสองของรูปสี่เหลี่ยม คือ เสนตรงที่ผานจุด (2, 5) และ (6, 9) กับเสนตรงที่ผานจุด (2, 9) และ (6, 5) ดังรูป Y

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร (2, 9)กษาป (6,ท9)ี่ ๔ ชัน้ มั10ธยมศึ 8

6 น ตามหลักสูตรการศึกษาขั ้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ 4

(2, 5)

(6, 5)

2 0

จัดทําโดย 2

ใหความชัสถาบั นของเสน นทแยงมุ นจุด (2, 5) และ (6, 9) เปน mแ1ละเทคโนโลยี ซึ่งเทากับ 69 −− 52 = 1 สงเสริมทีม่ผาการสอนวิ ทยาศาสตร ใหความชันของเสนทแยงมุมที่ผกระทรวงศึ านจุด (2, 9) และกษาธิ (6, 5)กเปาร น m2 ซึ่งเทากับ

จะเห็นวา m1⋅m2 = –1 ดังนั้น เสนทแยงมุมทั้งสองตั้งฉากซึ่งกันและกัน

5−9 6−2

= –1

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 พิมพครัปง้ ทีสี่เห่ หลีนึ่ยง่ มซึ๑๐,๐๐๐ ม 1), (6, 4), (3, 8) และ (–1, 5) 9. ให A, B, C และ D เปนจุดยอดของรู ่งมีพิกัดเปนเล(2, ตามลําดับ พ.ศ. ๒๕๔๗ AB = (2 − 6) 2 + (1− 4) 2 = 5 BC = (6 − 3) 2 + (4 − 8) 2 = 5 (3 +1) 2 + (8 − 5) 2 CD = องคการคาของคุ รุส2 ภาจัดพิ2 มพจํา=หนาย 5 AD = (2 +1) + (1− 5) = 5

พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

215 ดังนั้น ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมดานเทา = ความชันของดาน AB = m1 ความชันของดาน BC = m2 m1m2 =

3 4 (− ) 4 3

4 −1 6−2 8− 4 3− 6

3 4 4 − 3

= =

= –1

นั่นคือ AB ⊥ BC ในทํานองเดียวกันจะแสดงไดวา BC ⊥ CD , CD ⊥ AD และ ดังนั้น ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส พื้นที่ของ ABCD = 5 × 5 = 25 ตารางหนวย

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

DA ⊥ AB

คณิตศาสตร เลม ๒

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

10. (1) กําหนดจุด A(–5, 4), B(4, 9), C(9, 0) และ D(0, –5) AB = (−5 − 4) 2 + (4 − 9) 2 = 106 BC = (9 − 4) 2 + (0 − 9) 2 = 106 CD ก=สูตรการศึ (9 − 0) 2 + (0 + 5) 2 = พุทธศั106 ตามหลั กษาขั น ้ พื น ้ ฐาน กราช 2 2 AD = (0 + 5) + (−5 − 4) = 106 ดังนั้น ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมดานเทา (2) ความชันของดาน AB = m1 = 4 −9 −(−45) = 95

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

ความชันของดาน BC = m2 =

๒๕๔๔

จัดทําโดย

0−9 9−4

−

9 5

m m น=สง95เสริ ( − 95 ม) การสอนวิ = –1 สถาบั ทยาศาสตรและเทคโนโลยี ดังนั้น AB และ BC ตั้งฉากกัน กระทรวงศึกษาธิการ ในทํานองเดียวกัน จะแสดงไดวา BC ⊥ CD , CD ⊥ AD และ DA ⊥ AB 1 2

เนื่องจาก ABCD มีดานทั้ง 4 ยาวเทากัน และมีมุมทุกมุมเปนมุมฉาก ISBN ดังนั้น ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมจั ตุรัส 974 - 01 - 3820 - 9

พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม 11. (1) กําหนดจุด A(6, 8), B(5, 4), C(3, 6) และ D(4, 10) พ.ศ. ๒๕๔๗8 − 4 ให m1

ความชันของดาน AB =

ความชันของดาน CD =

ความชั ของดาาของคุ น BC รุส= ภาจัดพิมพจํา=หนาย องคกนารค

ความชันพิของด ADมพ=คุรุสภาลาดพรา=ว มพทาี่โนรงพิ

6 −5 6 −10 3− 4 4−6 5−3 8 −10 6−4

−4 −1 −2 2 −2 2

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

–1

216 จะได AB ขนานกับ CD และ BC ขนานกับ ดังนั้น ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน (2) เพราะ m1m3 = 4(–1) = – 4 ดังนั้น AB ไมตั้งฉากกับ BC นั่นคือ ABCD ไมเปนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก

คูม อื ครูสาระการเรี ยนรูเ พิม่ เติม จากรูป

12.

ใหพิกัดของจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส คณิตศาสตร เล ม๒ ABCD คือ A(0, 0), B(x , 0), C(x , y ) และ D(0, y )

, y) นั้น ค นของเสนทแยงมุม AC = กลุC(xม สาระการเรี ยดังนรู  ความชั ณิตศาสตร

D(0, y1)

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ A(0, 0)

B(x , 0)

และ ความชันของเสนทแยงมุม BD =

1 ตามหลักสูตรการศึ กษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ =

y1 − y1 ( x1 x1

m1m2 =

) =

0 − y1 0 −x1 y1 = x1

y1 − 0 0 − x1 − y1 = x1

− y12 x 12

แต y1 = x1 เพราะ ABCD เปนรูปสี่เหลี ุรัส จัด่ยมจั ทําตโดย ดังนั้น m1m2 = –1 นั่นคือ สถาบั เสนทแยงมุ หลี่ยมจัตุรัส ABCD ตัดกันเปนแ มุมละเทคโนโลยี ฉาก นสมงของรู เสริปมสี่เการสอนวิ ทยาศาสตร Y

กระทรวงศึใหกษาธิ การB(a, 0) และ C(b, c) เปนจุดยอดของ A(0, 0),

13. C(b, c) E(x2, y2) A(0, 0)

รูปสามเหลี่ยม และ D(x1, y1), E(x2, y2) เปนจุดกึ่งกลาง าน BC,- 9AC ตามลําดับ 974 - ของด 01 - 3820 เพราะวา x1 = a +2 b , y1 = 2c

ISBN D(x พิม1, พy1ค) รัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม ดังนั้น D มีพิกัดเปน พ.ศ. ๒๕๔๗ B(a , 0)

x2 =

b , 2

ดังนั้น E มีพิกัดเปน

a +b c , ) 2 2 y2 = 2c b c ( , ) 2 2 (

แตเสนมัธยฐานของรูปองค สามเหลี ่ยมเทาาของคุ กัน 2 เสรนุสภาจั นั่นคืดอพิAD การค มพ=จําBE หนาย หรือ

(

a+b 2 c 2 ) +( ) 2 2

= มพคุร(ุส2 ภาลาดพร − a ) + ( ) าว พิมพที่โรงพิ 2 2

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

217 จะได ดังนั้น

a 2

AC =

b2 +c2

BC =

(b − a ) 2 + c 2

a2 2 +c 4

a ( −a) 2 + c 2 2

a2 2 +c 4

จะเห็นวา สามเหลี่ยม ABC มีดานยาวเทากัน 2 ดาน ดังนั้น ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒ เฉลยแบบฝยนรู กหัดค ณิ 3.1.6 กลุม สาระการเรี ตศาสตร

ชัน้ มัธยมศึ (3) เปนกษาปท (4)ี่ ๔ เปน

1. (1) ไมเปน (2) ไมเปน 2. (1) {(x, y) ∈ R × R⏐y = 73 }

้ พืน้ ฐาน (2) {(x,ตามหลั y) ∈ R ×กRสู⏐ตx รการศึ = − 23 }กษาขัน

(5) ไมเปน

พุทธศักราช ๒๕๔๔

(3) {(x, y) ∈ R × R⏐y = 7 หรือ y = –1} (4) {(x, y) ∈ R × R⏐x = 3 หรือ x = –7}

จัดทําโดย

3. ความชัน (1) (2) (3) (4)

ระยะตัดแกน X

ระยะตัดแกน Y

7 7 − สถาบัน23 สงเสริมการสอนวิ ทยาศาสตร และเทคโนโลยี 3 2 5 2 1 − กระทรวงศึ ก ษาธิ ก 4 5 2 าร

–5

1 4 3 − 2

7 ISBN − 974 - 01 - 3820 - 9 3 พิมพค11รัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ –11 เลม 5 32พ.ศ. ๒๕๔๗–18

(5)

(6)

9 16

(7) (8)

1 0

(9) (10)

ไมมีความชัน −

2 3

5 4 7 − 2

0 ไมตัดแกน X

0 −

3 2

องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย 4

ไมตัดแกน Y

พิมพที่โ7รงพิมพคุรุสภาลาดพร าว 7

2 3 ๒๒๔๙ ถนนลาดพร าว วังทองหลาง กรุ งเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

218 4. เสนตรง 3y = 2x – 6 มีความชันเทากับ 2 x +1 3

เสนตรง y = ดังนั้น

มีความชันเทากับ

2 3 2 3

เสนตรง 3y = 2x – 6 ขนานกับเสนตรง y =

2 x+1 3

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

5. ใหเสนตรง 2x + y = 8 มีความชันเทากับ –2 ใหเสนตรง y = 12 x − 5 มีความชันเทากับ 12

คณิตศาสตร เลม ๒

แต (–2)( 12 ) = –1

 สาระการเรี  12ณิx −ต5ศาสตร ดังนั้น เสนตรง 2x + yกลุ = 8ม ตั้งฉากกับเสนตรงยนรู y =ค

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

6. เสนตรง x + 2y + 12 = 0 มีความชันเทากับ

−

1 2

ดังนั้น สมการเสนตรงที่ผานจุด (7, 5) และขนานกับเสนตรง x + 2y + 12 = 0 คือ ตามหลักสูตรการศึกษาขั1 น้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ (y – 5) = − ( x − 7) 2 x 2

y–5

−

x +y 2 x +y 2

7 +5 2 17 2

7 2

จัดทําโดย

สถาบั ทยาศาสตรและเทคโนโลยี x + 2yน–ส17งเสริม = การสอนวิ 0 กระทรวงศึ3กษาธิการ

7. เสนตรง 3x – 2y + 12 = 0 มีความชันเทากับ

ดังนั้น สมการเสนตรงที่ผานจุด (3, 2) และตั้งฉากกับเสนตรง 3x – 2y + 12 = 0 จะมีความชัน ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 เทากับ m พิ–1มพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม = โดยที่ m⋅ 32 m และมีสมการคือ

−

(y – 2) = y–2 =

2 3

พ.ศ. ๒๕๔๗

2 − ( x − 3) 3 2x − +2 3

องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย

3y – 6 = –2x + 6 2x + 3y – 12 พิ=มพท0ี่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

219 8. จุดที่เสนตรง 2x – 3y + 1 = 0 ตัดแกน X คือจุด (− 12 , จุดที่เสนตรง 2x – 3y + 1 = 0 ตัดแกน Y คือจุด (0,

1 ) 3

จุดที่เสนตรง x + y – 2 = 0 ตัดแกน X คือจุด (2, 0) จุดที่เสนตรง x + y – 2 = 0 ตัดแกน Y คือจุด (0, 2) เขียนกราฟไดดังนี้ Y

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิต4 ศาสตร เลม ๒

2x - 3y + 1 = 0 กลุม สาระการเรี ย นรู ค ณิตศาสตร 2 -4

ชัน้ มัธยมศึ กษาป ที่ ๔X 2 4

-2

= 0 กราช ๒๕๔๔ ตามหลักสูตรการศึ-2กษาขัน้ พืน้ ฐานx + พุy -ท2ธศั หาจุดตัดของเสนตรงทั้งสองโดยการแกสมการไดดังนี้ จัดทํา(1)โดย 2x – 3y + 1 = 0 ---------x+y–2 = 0 ---------- (2) จาก (2) สถาบันxสง=เสริ 2–ม y การสอนวิ ---------- ท (3)ยาศาสตรและเทคโนโลยี แทนคา (3) ลงใน (1) กษาธิการ 2(2 – y) – 3y + 1 = กระทรวงศึ 0 4 – 2y – 3y + 1 = 0 4 – 5y + 1 = ISBN 0 974 - 01 - 3820 - 9 y พิ=มพค1 รัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม แทนคา y = 1 ลงใน (2) จะได พ.ศ. ๒๕๔๗ x+1–2 = 0 x = 1 ดังนั้น จุดตัดของเสนตรงทั้งสองคือ จุด (1, 1)

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

220 9. (1) เสนตรงที่ผานจุด (1, 2) และ (–3, 4) มีความชัน 4−2 m = − 3 −1 =

−

1 2

ดังนั้น สมการเสนตรงที่ผานจุด (–1, 0) และมีความชันเทากับ (y – 0)

−

1 2

คือ

1 − ( x +1) 2 x 1 − − 2 2

คูมy อื ครู= สาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

x + 2y + 1 = 0 เขียนความสัมพันธไดดังนี้ {(x, y)⏐x + 2y + 1 = 0}

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

(2) ใหความชันของเสนตรงที่ตั้งฉากกับเสนตรงที่ผานจุด (–1, 3) และ (–2, –2) มีความชันเปน m1 m = −−22−+13 = 5

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

m⋅m

5⋅m

–1

1 1 ตามหลั ก สู ต รการศึ ก ษาขั ้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ 1น = − ∴ m 1

ดังนั้น สมการเสนตรงที่ผานจุด (–1, – 4) และมีความชันเทากับ − 15 คือ (y + 4)

y+4

1 (x + 1) 5 x 1 − − 5 5 −

จัดทําโดย

20 มการสอนวิ = –x – 1 ทยาศาสตรและเทคโนโลยี สถาบันส5yง+เสริ x + 5y +21 = 0 กษาธิ เขียนความสัมพันธไดดังนีกระทรวงศึ ้ {(x, y)⏐x + 5y + 21 =การ 0} (3)

ISBNY 974 - 01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม พ.ศ. ๒๕๔๗ X (2, 0) (6, 0) องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย

221 ดังนั้น จุดทุกจุดบนเสนตรงที่อยูหางจากจุด (6, 0) และ (2, 0) เปนระยะทางเทากัน คือ เสนตรงที่ขนานกับแกน Y และตัดแกน X ที่จุด (4, 0) เขียนความสัมพันธไดดังนี้ {(x, y)⏐x = 4} 10. จากโจทย เสนตรงที่ตองการ ตั้งฉากกับเสนตรง x – 7y – 11 = 0 หาความชันของเสนตรงที่ตองการไดโดย A 1 −1 m = − = = B −7 7

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

m⋅m1 1 ⋅m 7 1

= =

คณิ–1–1 ตศาสตร เลม ๒

 –7สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร m1 = กลุม ดังนั้น ความชันของเสนตรงที่ตองการคือ –7 จุดที่เสนตรงนี้ผานคือจุดตัดระหวางเสนตรง x – 7y – 11 = 0 กับเสนตรง 3x + 5y – 7 = 0 x – 7y – 11 = 0 ---------- (1) ตามหลั ก สู ต รการศึ ก ษาขั น ้ พื น้ ฐาน(2)พุทธศักราช ๒๕๔๔ 3x + 5y – 7 = 0 ---------(1) × 3 3x – 21y – 33 = 0 ---------- (3) (2) – (3) 26y + 26 = 0 ---------- (4) y = –1 จัดทําโดย แทนคา y = –1 ลงใน (1) จะได x + 7 –น 11สงเสริม = การสอนวิ 0 สถาบั ทยาศาสตรและเทคโนโลยี x = 4 กษาธิการ ดังนั้น จุดที่เสนตรงนี้ผานคือ จุดกระทรวงศึ (4, –1) ดังนั้น สมการเสนตรงที่ตองการคือ (y + 1) = ISBN–7(x 974– 4)- 01 - 3820 - 9 y+1 พิ=มพครั–7x ง้ ทีห่ + นึ28ง่ ๑๐,๐๐๐ เลม 7x + y – 27 = 0

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

พ.ศ. ๒๕๔๗

222 Y 11.

A 0

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม 4

คณิตศาสตร เลม ๒

จากรูป ใหระยะระหวางจุกลุ ด (0, 0) และ (4, 0) ยเปนรู นฐานของรู ปสามเหลี่ยม ฐานของรูปสามเหลี่ยม ม สาระการเรี ค ณิตศาสตร ยาว 4 หนวย พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม = 12 × ฐาน × สูง

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

1 × 4⏐y⏐ 2

ตามหลัก⏐สูyต⏐รการศึ= กษาขั ้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ 2 น y = 2 หรือ –2 คูอันดับที่ตองการคือ สมาชิกของเซต {(x, y)⏐y = –2 หรือ y = 2, x ∈ R}

จัดทําโดย

12. ความชันของเสนตรง 5x – 3y + 17 = 0

คือ

m1 =

5 3

สถาบันตรง นสง3xเสริ ความชันของเส + 5yม–การสอนวิ 6 = 0 คืทอยาศาสตร m2 = −แ53 ละเทคโนโลยี ความชันของเสนตรง 5x – 3y กระทรวงศึ – 8 = 0 คือกษาธิmก3 าร = 53 ความชันของเสนตรง 3x + 5y + 4 = 0

คือ

m4 = −

3 5

จะเห็นวา m1 = m3 และ m2 =ISBN m4 974 - 01 - 3820 - 9 พิมนพค5xรั–ง้ ที3yห่ +นึ17ง่ =๑๐,๐๐๐ เลม– 3y – 8 = 0 ขนานกัน แสดงวา เสนตรงซึ่งมีสมการเป 0 กับ 5x และเสนตรงซึ่งมีสมการเปน 3x + 5y –พ.ศ. 6 = 0๒๕๔๗ กับ 3x + 5y + 4 = 0 ขนานกัน พิจารณา m1m2 = ( 53 )(− 53 ) = –1 ในทํานองเดียวกัน จะได m2m3 = m3m4 = m4m1 = –1 แสดงวา เสนตรงที่มีความชั m3 ตัา้งของคุ ฉากกับรเสุสนภาจั ตรงที m2าและ องคนการค ด่มพิีคมวามชั พจํานหน ย m4 เสนตรงที่มีความชัน m1 ตั้งฉากกับเสนตรงที่มีความชัน m2 และ m4 พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว ดังนั้น 5x – 3y + 17 = 0, 3x + 5y – 6 = 0, 5x – 3y – 8 = 0 าว วังปทองหลาง และ 3x + 5y +๒๒๔๙ 4 = 0 ถนนลาดพร เปนดานของรู สี่เหลี่ยมผืกรุ นผงาเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

223 13. เสนตรง ax + by = d1 มีความชันเทากับ เสนตรง ax + by = d2 มีความชันเทากับ

a b a − b −

ดังนั้น เสนตรง ax + by = d1 ขนานกับเสนตรง ax + by = d2

คูม อื ครูสเฉลยแบบฝ าระการเรี ่ เติม กหัย ด นรู 3.1.7เ พิม 1. (1) d = = (2) d =

คณิตศาสตร เลม ๒

6(2) − 8( −3) + 4

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

6 2 + (−8) 2

4 หนวย

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

4(0) + 3(6) − 8 4 2 + 32

ตามหลั สูตวยรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ = 2 กหน (3) d = =

2(0) + 3(0) −13 2 2 + 32

13 13

จัดทํหน าโดย วย

นสง2เสริ2 มการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี (4) d สถาบั = 7(8) − 5(11) −1 7 +5

= (5) d =

กระทรวงศึกษาธิการ

0 หนวย 1−1

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 = 0 หนวย พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม 2. (1) เลือกจุดบนเสนตรง 3x + 4y – 7พ.ศ. = 0 ๒๕๔๗ มาหนึ่งจุด เชน (1, 1) 12

หาระยะทางระหวางเสนตรง 3x + 4y + 3 = 0 กับจุด (1, 1) d

3(1) + 4(1) + 3

องคการคาของคุ3รุส+ 4ภาจัดพิมพจําหนาย =

หนวย

224 (2) เลือกจุดบนเสนตรง 3x – 4y – 7 = 0 มาหนึ่งจุด เชน (1, –1) หาระยะทางระหวางเสนตรง 6x – 8y + 16 = 0 กับจุด (1, –1) d

= =

6(1) − 8(−1) +16 6 2 + (−8) 2

หนวย

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

(3) เลือกจุดบนเสนตรง 5x + 12y – 15 = 0 มาหนึ่งจุด เชน (3, 0) หาระยะทางระหวางเสนตรง 10x + 24y + 9 = 0 กับจุด (3, 0) d

คณิ= ตศาสตร เลม ๒ 10(3) + 24(0) + 9 10 2 + 24 2

กลุม =สาระการเรี ยหนนรู  ณิตศาสตร 3 วย ค 2

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

(4) เลือกจุดบนเสนตรง x – y – 3 = 0 มาหนึ่งจุด เชน (3, 0) หาระยะทางระหวางเสนตรง 3x – 3y + 7 = 0 กับจุด (3, 0)

ตามหลักสูตรการศึกษาขั น้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ 3(3) − 3(0) + 7 d

3 2 + (−3) 2 16 3 2

จัดทําโดย

8 2 3

หนวย

(5) เลือกจุดบนเสนตรง 3x + y + 5 = 0 มาหนึ่งจุด เชน (0, –5) สถาบันสงาเสริ หาระยะทางระหว งเสนม ตรงการสอนวิ 7 – 3x – y =ท0ยาศาสตร กับจุด (0, –5)และเทคโนโลยี d

= กระทรวงศึ กษาธิ การ 2 2 7 − 3(0) − (−5) (−3) + ( −1)

12 10

6 10 5

หนวย

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม 3. ให y = mx + c เปนสมการของเสนตรงที่ตองการหา แตเสนตรงนี้ขนานกับเสนตรง 3x – 4yพ.ศ. – 5 =๒๕๔๗ 0 จะได m = 3 4

ดังนั้น สมการของเสนตรงนี้คือ y =

3 x +c 4

หรือ

จากสมการ 3x – 4y – 5 = 0 เมื่อ y = 0 จะได

3 x − y+c 4 x = 53

= 0

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

225 จะได

( 53 , 0) เปนจุดอยูบนเสนตรง 3x – 4y – 5 = 0

ดังนั้นจุด ( 53 , 0) อยูหางจากเสนตรง จากสูตร ในที่นี้

d = 1, A =

3 , 4

3 x − y+c = 4 Ax 1 + By1 + C

0 เปนระยะ 1 หนวย

A 2 + B2

B = –1,

x1 =

5 , 3

y1 = 0

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม จะได

3 5 ( )( ) + (−1)(0) + c 4 3

คณิ= ตศาสตร เลม ๒

9 +1 16

5 กลุม =สาระการเรี  ณิตศาสตร + c ยนรูค 4

5 4

ชั=น้ มัธ0,ยมศึกษาปที่ ๔ −

ดังนั้น สมการเสนตรงที่ตองการคือ y =

5 2

3 x 4

หรือ y =

3 5 x − 4 2

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ 4. สมการเสนตรงที่ขนานกับเสนตรง 4x – 3y + 26 = 0 คือ 4x – 3y + c = 0 หาคา c โดย 2

4(8) − 3(8) + c

จัดทําโดย

4 2 + (−3) 2

10 = 8+ c นส=งเสริม2 การสอนวิ ดังนั้น สถาบั c หรือ –18 ทยาศาสตรและเทคโนโลยี ดังนั้น สมการเสนตรงที่ตองการคื อ 4x – 3y + 2 ก=ษาธิ 0 หรืกอาร4x – 3y – 18 = 0 กระทรวงศึ 5. สมการเสนตรงที่ตั้งฉากกับเสนตรง 12y = 5x – 7 คือ 12x + 5y + c = 0 ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 หาคา c โดย 3

พิ12 มพ(−ค1)รั+ง้ 5ที(2ห่ ) +นึcง่ ๑๐,๐๐๐ เลม (12) + 5 พ.ศ. ๒๕๔๗ −2+c 2

39 = c = -37 หรือ 41 ดังนั้น สมการที่ตองการคือ 12x + 5y – 37 = 0 หรือ 12x + 5y + 41 = 0

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

226 6. สมการของเสนขนานคูนั้นคือ 12x – 5y + c = 0 และ 12x – 5y + c1 = 0 ซึ่งอยูหางกัน 8 หนวย จากโจทย เสนตรง 12x – 5y – 10 = 0 อยูกึ่งกลางระหวางเสนขนาน ดังนั้น เสนขนานคูนั้นจะหางจากเสนตรง 12x – 5y – 10 = 0 เปนระยะทาง 4 หนวย เลือกจุดที่อยูบนเสนตรง 12x – 5y – 10 = 0 มาหนึ่งจุด เชน (0, –2) หาคา c ไดโดย 4

12(0) − 5(−2) + c

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม =

12 2 + (−5) 2

คณิตศาสตร เลม ๒

52 = 10 + c ดังนั้น c = 42, –62 ดังนั้น เสนขนานคูนั้นมีสมการเปน 12x – 5y + 42 = 0 และ 12x – 5y – 62 = 0

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ เฉลยแบบฝกหัด 3.2.1

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ 1. (1) แทนคา r = 3 h = 2 และ k = –1 ลงในสมการมาตรฐาน จะได (x – 2)2 + (y + 1)2 = 9

จัดทําโดย

(2) แทนคา (h, k) = (0, 0) จะได x2 + y2 = r2 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี แทนคา (x, y) = (7, 4) จะได r2 = 49 + 16 = 65กระทรวงศึกษาธิการ ดังนั้น สมการวงกลมที่ตองการคือ x2 + y2 = 65

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 ครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม (3) แทนคา (h, k) = (–1,พิ5)มพจะได (x + 1)2 + (y – 5)2 = r2 พ.ศ. ๒๕๔๗

แทนคา (x, y) = (– 4, – 6) จะได r2 = (– 4 + 1)2 + (– 6 – 5)2 = 130 ดังนั้น สมการวงกลมที ่ตารค องการคื อ รุสภาจัดพิมพจําหนาย องค ก า ของคุ (x + 1)2 + (y – 5)2 = 130

พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

227 (4) ดังนั้น จุดศูนยกลาง คือ (h, k) =

⎛ −1+ 7 3 + (−5) ⎞ , ⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2

= (3, –1)

ดังนั้น จะไดสมการ (x – 3)2 + (y + 1)2 = r2 แทนคา (x, y) = (–1, 3) จะได r2 = (–1 – 3)2 + (3 + 1)2 = 32 ดังนั้น สมการวงกลม คือ (x – 3)2 + (y + 1)2 = 32

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

(5) เนื่องจากรัศมีของวงกลมคือ ระยะหางระหวางเสนสัมผัส y = 0 กับจุดศูนยกลางของวงกลม 0(7) +1(−3) + 0

∴ r =

= 3 กลุ1 ม + 0สาระการเรี ยนรูค ณิตศาสตร 2

จะได สมการวงกลมที่ตองการคือ (x – 7)2 + (y + 3)2 = 9

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

สูตรการศึ กษาขัาน้งระหว พืน้ าฐาน (6) เนื่อตามหลั งจากรัศมีขกองวงกลมคื อ ระยะห งเสนสัพุ มผัทสธศั xก = ราช 0 กับจุ๒๕๔๔ ดศูนยกลางของวงกลม (h, k) 1(h ) + 0(k ) + 0 12 + 0 2

= 5

∴ h = 5 จัดทําโดย เนื่องจากวงกลมอยูในควอดรันตที่ 1 จะได h = h = 5

สถาบั 0(h )น + 1ส (kง) เสริ + 0 มการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี = 5 0 +1 กษาธิการ ∴ k = k = กระทรวงศึ 5

และ

ดังนั้น สมการวงกลมคือ (x – 5)2 + (y – 5)2 =ISBN 25

974 - 01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม 2 2 2. (1) x + y + 4x – 2y + 1 = 0 (x2 + 4x) + (y2 – 2y) = –1 พ.ศ. ๒๕๔๗ (x2 + 4x + 4) + (y2 – 2y + 1) = –1 + 4 + 1 (x + 2)2 + (y – 1)2 = 4 การคเาปของคุ รุสภาจัดพิม่มพีจจุดําศูหน ย (–2, 1) และรัศมี 2 หนวย จะไดวา สมการทีองค ่กําหนดให นสมการของวงกลมที นยกาลาง

228 (2) x2 + y2 + y = 0 x2 + (y2 + y) = 0 x2 + (y2 + y + 14 ) = x2 + (y + 12 )2 =

1 4

จะไดวา สมการที่กําหนดใหเปนสมการของวงกลมที่มีจุดศูนยกลาง (0, – 12 ) และรัศมี 2

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

1 2

หนวย

(3) x + y + 10x – 4y + 13 = 0 (x2 + 10x) + (y2 – 4y) = –13 (x2 + 10x + 25) + (y2 – 4y + 4) = –13 + 25 + 4 กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร (x + 5)2 + (y – 2)2 = 16 จะไดวา สมการที่กําหนดใหเปนสมการของวงกลมที่มีจุดศูนยกลาง (–5, 2) และรัศมี 4 หนวย

คณิตศาสตร เลม ๒ ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

(4) x2 + y2 + x + 2y + 1 = 0 ้ พืน้ ฐาน (x2 ตามหลั + x) + (y2 ก+ สู 2y)ตรการศึ = –1 กษาขัน (x2 + x + 14 ) + (y2 + 2y + 1) = –1 + 14 + 1 (x + 12 )2 + (y + 1)2 =

1 4

พุทธศักราช ๒๕๔๔

จัดทําโดย

จะไดวา สมการที่กําหนดใหเปนสมการของวงกลมที่มีจุดศูนยกลาง (− 12 , −1) และรัศมี 12 หนวย

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

(5) x2 + y2 + 6x + 2 = 0 (x2 + 6x) + (y2) = –2 กระทรวงศึกษาธิการ (x2 + 6x + 9) + y2 = –2 + 9 (x + 3)2 + y2 = 7 ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 จะไดวา สมการที่กําหนดใหเปนสมการของวงกลมที่มีจุดศูนยกลาง (–3, 0) และรัศมี

พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม (6) x2 + y2 – 12 x + 12 y – 18 = 0 พ.ศ. ๒๕๔๗ (x2 – 12 x) + (y2 + 12 y) =

หนวย

1 8

(x2 – 12 x + 161 ) + (y2 + 12 y + 161 ) = (x –

1 + 1 8 16

+ 161

องคก= ารค 1 าของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย

1 2 1 2 ) + (y + ) 4 4

พิมพเทปี่โนรงพิ มพคุรุสภาลาดพร จะไดวา สมการที่กําหนดให สมการของวงกลมที ่มีจุดาศูวนยกลาง ( 14 , – 14 ) และรัศมี 12 หนวย ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

229 3. หารัศมีของวงกลมโดยหาระยะทางจากจุด (–1, 1) ถึงเสนตรง 3x – 2y + 18 = 0 r

3(−1) − 2(1) +18

3 2 + (−2) 2

= 13 หนวย ดังนั้น สมการวงกลม คือ (x + 1)2 + (y – 1)2 = 13

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

---------- (1) 4. x2 + y2 – x – 3y = 0 x+y = 1 ---------- (2) กลุม ---------สาระการเรี  ณิตศาสตร x = 1–y (3) ยนรูค แทนคา (3) ลงใน (1) (1 – y)2 + y2 – (1 – y) – 3y = 0 1 – 2y + y2 + y2 – 1 + y – 3y = 0 ้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ 2y2 – 4y ตามหลักสูตรการศึ = กษาขั 0 น 2y(y – 2) = 0 y = 0, 2 แทนคา y = 0 ใน (3) ได x =จัด1 ทําโดย y = 2 ใน (3) ได x = –1 2 ดังนั้น จุดสถาบั ตัดระหวนางกราฟ = 1 และ xท +ยาศาสตร y2 – x – 3y =แ0ละเทคโนโลยี คือ (1, 0) และ (–1, 2) สงเสริx ม+ yการสอนวิ

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

5. (1) {(x, y)⏐x2 + y2 ≤ 4}

กระทรวงศึกษาธิการ Y

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ที(0,ห่ นึ2)ง่ ๑๐,๐๐๐ เลม พ.ศ. ๒๕๔๗ (2, 0) (-2, 0)

(0, -2)

230 (2) {(x, y)⏐x2 + y2 > 9}

(0, 3)

คูม อื ครู เ พิ0)ม่ เติมX (-3,ส0)าระการเรียนรู(3,

คณิตศาสตร เลม ๒ (0, -3)

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

6. x2 + y2 – 4y – 12 = 0 x2 + (y2 – 4y) = 12 x2 + (y2 –ตามหลั 4y + 4) ก= สูต 12รการศึ + 4 กษาขัน ้ พืน้ ฐาน 2 2 Y x + (y – 2) = 16

พุทธศักราช ๒๕๔๔

จัดทําโดย (0, 6)

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตร และเทคโนโลยี (0, 2) x + y – 4y – 12 = 0 กระทรวงศึกษาธิการ X 2

(-2, 0)

พื้นที่ที่ตองการ

= = =

(2, 0) (0, -2)

ISBN = 4 - 01 - 3820 - 9 x2 + y2 974 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม พ.ศ. ๒๕๔๗ – π(2)2 π(16 – 4) 12 π ตารางหนวย π(4)

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

231 7.

(0, 3)

y= x

คูม อื (-3,ครู0)สาระการเรียนรู เ พิม่ เติXม (3, 0)

คณิตศาสตร xเล+ yม= 9๒ 2

(0, -3)

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ 2 9 = กษาขั π น วย พื้นที่ที่ตอตามหลั งการ = กสู14 ตπ(3) รการศึ ้ ตารางหน พืน้ ฐาน 4

พุทธศักราช ๒๕๔๔

8. สมการเส น สั ม ผั ส วงกลม x 2 + y 2 – 10x = 0 ณ จุ ด ที่ ว งกลมนี้ ตั ด กั บ เส น ตรง 4x + 3y = 20 คือ สมการเสนตรงที่ตั้งฉากกับสมการเสจันดตรง 4x + 3y = 20 และมีระยะหางจากจุดศูนยกลางของ ทําโดย วงกลม (5, 0) เปนระยะทาง 5 หนวย 3x – 4y + c = 0

สถาบั นสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 3(5) − 4(0) + c = 5 3 +4 กระทรวงศึกษาธิการ 2

= 25 c = 10, – 40 - 9 3x – 4y – 40 = 0 ดังนั้น สมการเสนตรงที่ตองการคืISBN อ 3x –974 4y +- 01 10 -=3820 0 และ 15+ c

พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม พ.ศ. ๒๕๔๗

232

เฉลยแบบฝกหัด 3.2.2 1. (1)

x 2 y2 + = 1 9 25

เนื่องจากตัวหารของ y2 มากกวาตัวหารของ x2 ดังนั้นวงรีมีแกนเอกอยูบนแกน Y a2 = 25, b2 = 9 ∴ c2 = 25 – 9 = 16 จะได a = 5, b = 3 และ c = 4 จุดยอดของวงรีคือ (0, ±5) โฟกัสของวงรีคือ (0, ±4)

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

กลุม สาระการเรี ยนรูค ณิตศาสตร 4

ความเยื้องศูนยกลางคือ

ชัน้ อ มัธ10ยมศึกษาปที่ ๔ ความยาวแกนเอกคื ความยาวแกนโทคือ

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ Y

จัดทําโดย (0, 5) (0, 4) สถาบันสงเสริมการสอนวิทFยาศาสตร และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิก(3,าร0) (-3, 0) 1

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 2(0, -4) พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ F๑๐,๐๐๐ เลม (0, -5) พ.ศ. ๒๕๔๗ องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

233 (2)

x 2 y2 + = 1 25 16

เนื่องจากตัวหารของ x2 มากกวาตัวหารของ y2 ดังนั้นวงรีมีแกนเอกอยูบนแกน X a2 = 25, b2 = 16 ∴ c2 = 25 – 16 = 9 จะได a = 5, b = 4 และ c = 3 จุดยอดของวงรีคือ (±5, 0) โฟกัสของวงรีคือ (±3, 0)

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

ความเยื้องศูนยกลางคือ

3 5

ความยาวแกนเอกคือ 10 กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร ความยาวแกนโทคือ 8

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ Y พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ (0, 4)

จัดทําโดย (-5, 0)

F2(–3, 0)

F1(3, 0) (5, 0)

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี กระทรวงศึ (0, ก-4)ษาธิการ ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม พ.ศ. ๒๕๔๗ องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

234 (3) 9x2 + 4y2 = 36 หารดวย 36 ตลอดทั้งสมการจะได x 2 y2 + = 1 4 9

เนื่องจากตัวหารของ y2 มากกวาตัวหารของ x2 ดังนั้นวงรีมีแกนเอกอยูบนแกน Y a2 = 9 และ b2 = 4 ∴ c2 = 9 – 4 = 5 จะได a = 3, b = 2 และ c = 5 จุดยอดของวงรีคือ (0, ±3) โฟกัสของวงรีคือ (0, ± 5 )

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

กลุม สาระการเรี ยนรูค ณิตศาสตร 5

ความเยื้องศูนยกลางคือ

ชัน้ มัธ6ยมศึกษาปที่ ๔

ความยาวแกนเอกคือ ความยาวแกนโทคือ

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ Y

จัดทําโดย (0, 3)

0, 5 ) สถาบันสงเสริมการสอนวิFท1 ( ยาศาสตร และเทคโนโลยี (-2, 0)กระทรวงศึกษาธิ(2, การ0) X

ISBN 974 -F01 - 3820 - 9 2 ( 0, − 5 ) พิมพครัง้ ทีห่ นึ(0,ง่ -3) ๑๐,๐๐๐ เลม พ.ศ. ๒๕๔๗ องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

235 (4) 4x2 + 25y2 = 100 หารดวย 100 ตลอดทั้งสมการจะได x 2 y2 + = 1 25 4

เนื่องจากตัวหารของ x2 มากกวาตัวหารของ y2 ดังนั้นวงรีมีแกนเอกอยูบนแกน X a2 = 25 และ b2 = 4 ∴ c2 = 25 – 4 = 21 จะได a = 5, b = 2 และ c = 21 จุดยอดของวงรีคือ (±5, 0) โฟกัสของวงรีคือ (± 21 , 0)

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

กลุม สาระการเรี  ณิตศาสตร 21 ยนรูค

ความเยื้องศูนยกลางคือ

ชัน้ มัธ10ยมศึกษาปที่ ๔

ความยาวแกนเอกคือ ความยาวแกนโทคือ

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ Y

2) จัดทํ(0,าโดย (-5, 0)

(5, 0) X F ( 21 , 0 ) สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตร1 และเทคโนโลยี F2 ( − 21 ,0 )

(0, -2) กระทรวงศึ กษาธิการ

236 (5) x2 + 4y2 = 16 หารดวย 16 ตลอดทั้งสมการจะได x 2 y2 + = 1 16 4

เนื่องจากตัวหารของ x2 มากกวาตัวหารของ y2 ดังนั้นวงรีมีแกนเอกอยูบนแกน X a2 = 16 และ b2 = 4 ∴ c2 = 16 – 4 = 12 จะได a = 4, b = 2 และ c = 2 3 จุดยอดของวงรีคือ (±4, 0) โฟกัสของวงรีคือ (± 2 3 , 0)

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

กลุม สาระการเรี ยนรูค ณิตศาสตร 3

ความเยื้องศูนยกลางคือ

ชัน้ มัธ8ยมศึกษาปที่ ๔

ความยาวแกนเอกคือ ความยาวแกนโทคือ

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ Y

จัดทํา(0,โดย2) 0) 0) มการสอนวิทยาศาสตรแ(4, สถาบันส(-4,งเสริ ละเทคโนโลยี X F (2 3 , 0 ) F (−2 3 , 0 ) กระทรวงศึกษาธิการ 1

(0, -2)

237 (6) 4x2 + y2 = 16 หารดวย 16 ตลอดทั้งสมการจะได x 2 y2 + = 1 4 16

เนื่องจากตัวหารของ y2 มากกวาตัวหารของ x2 ดังนั้นวงรีมีแกนเอกอยูบนแกน Y a2 = 16 และ b2 = 4 ∴ c2 = 16 – 4 = 12 จะได a = 4, b = 2 และ c = 2 3 จุดยอดของวงรีคือ (0, ±4) โฟกัสของวงรีคือ (0, ± 2 3 )

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

กลุม สาระการเรี ยนรูค ณิตศาสตร 3

ความเยื้องศูนยกลางคือ

ชัน้ มัธ8ยมศึกษาปที่ ๔

ความยาวแกนเอกคือ ความยาวแกนโทคือ

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ Y

จัดทํา(0,โดย4)

F1 ( 0 , 2 3 )

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี (-2,กระทรวงศึ 0) กษาธิก(2,าร0) X ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 ( 0 , − 2 3เล) ม พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ F2๑๐,๐๐๐ (0, -4) พ.ศ. ๒๕๔๗ องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

238 (7) 2x2 + y2 = 3 หารดวย 3 ตลอดทั้งสมการจะได y2 x2 + = 1 ⎛3⎞ 3 ⎜ ⎟ ⎝2⎠

เนื่องจากตัวหารของ y2 มากกวาตัวหารของ x2 ดังนั้นวงรีมีแกนเอกอยูบนแกน Y

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

a2 = 3 และ b2 = ∴ c2 = 3 –

3 2

จะได a =

3 2

3 2 3 2

คณิตและศาสตร เลม ๒ c= 3 2

กลุม คือสาระการเรี  ณิตศาสตร จุดยอดของวงรี (0, ± 3ย) นรูค

ชัน้ มัธ(0,ยมศึก) ษาปที่ ๔

โฟกัสของวงรีคือ

ความเยื้องศูนยกลางคือ

3 2

1 2

ตามหลั กสูตรการศึ ้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ ความยาวแกนเอกคื อ กษาขั 2 3น ความยาวแกนโทคือ

จัดทําโดย Y

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี (0, 3 ) กระทรวงศึกษาธิ3การ F1 ( 0,

(−

)

ISBN 974 - 01 - 3820 -( 93 , 0 ) 2 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม 3 พ.ศ. ๒๕๔๗ F ( 0, − )

3 ,0) 2

( 0 ,− 3 )

239 (8) 5x2 + 6y2 = 30 หารดวย 30 ตลอดทั้งสมการจะได x 2 y2 + = 1 6 5

เนื่องจากตัวหารของ x2 มากกวาตัวหารของ y2 ดังนั้นวงรีมีแกนเอกอยูบนแกน X a2 = 6 และ b2 = 5 ∴ c2 = 6 – 5 = 1 จะได a = 6 , b = 5 และ c = 1 จุดยอดของวงรีคือ (± 6 , 0) โฟกัสของวงรีคือ (±1, 0)

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

กลุม สาระการเรี ยนรูค ณิตศาสตร 1

ความเยื้องศูนยกลางคือ

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

ความยาวแกนเอกคือ ความยาวแกนโทคือ

2 6 2 5

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ Y

จัดทํา(โดย 0, 5 ) 2

สถาบันสงเสริมการสอนวิ F1 ( 1, 0 ) และเทคโนโลยี F2 ( −1, 0 )ทยาศาสตร X ( 6 , 0) ( − 6 , 0กระทรวงศึ ) กษาธิการ -2

ISBN 974 - 01( 0 -, −38205 -) 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม พ.ศ. ๒๕๔๗ องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

240 (9) x2 + 4y2 = 1 จะได

x2 +

y2 = 1 ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝4⎠

เนื่องจากตัวหารของ x2 มากกวาตัวหารของ y2 ดังนั้นวงรีมีแกนเอกอยูบนแกน X a2 = 1 และ b2 =

1 4

คูม อื =ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

∴ c2 = 1 –

1 4

3 4

คณิ ต ศาสตร เล ม ๒ จุดยอดของวงรีคือ ( 1, 0)

จะได a = 1, b =

1 2

3 2

และ c =

กลุคม ือสาระการเรี  ณิตศาสตร 0)นรูค โฟกัสของวงรี (± 3 , ย 2

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

ความเยื้องศูนยกลางคือ

3 2

ความยาวแกนเอกคือ 2 ตามหลั กสูตรการศึ ้ พืน้ ฐาน ความยาวแกนโทคื อ กษาขั 1 น

พุทธศักราช ๒๕๔๔

จัดทําโดย Y

1 สถาบันสงเสริมการสอนวิ(ท0,ยาศาสตร และเทคโนโลยี ) 2 3 3 F (− , 0) F( , 0) 2 กระทรวงศึกษาธิการ 2 2

(–1, 0)

(1, 0)

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 1 − ) พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ (0,๑๐,๐๐๐ เลม 2 พ.ศ. ๒๕๔๗

241 (10) 9x2 + 4y2 = 1 จะได

y2 x2 + = 1 ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝9⎠ ⎝4⎠

เนื่องจากตัวหารของ y2 มากกวาตัวหารของ x2 ดังนั้นวงรีมีแกนเอกอยูบนแกน Y a2 = ∴ c2 = จะได a =

1 4 1 4 1 , 2

1 9

และ b2 =

คูม – อื ครู= สาระการเรียนรูเ พิม่ เติม 1 9

5 36

คณิตศาสตร เลม ๒

1 3

5 6 1 ± ) 2 5 ± 6

และ c =

จุดยอดของวงรีคือ

(0,

โฟกัสของวงรีคือ

(0,

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร )

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ 5 3

ความเยื้องศูนยกลางคือ ความยาวแกนเอกคือ

ตามหลักสูตรการศึกษาขั ้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ 2 น ความยาวแกนโทคือ

จัดทําโดย 1 ( 0, ) 2

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 5 F ( 0, ) กระทรวงศึ กษาธิการ 6 1

1 (− , 0 ) 3

1 ( ,0) 3

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 5 F ( 0, − ) 6 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม 1 พ.ศ. ๒๕๔๗ ( 0, − ) 2

242 (11)

1 2 1 2 x+ y 2 8

1 4

คูณดวย 4 ตลอดทั้งสมการจะได y2 x2 + = 1 ⎛1⎞ 2 ⎜ ⎟ ⎝2⎠

เนื่องจากตัวหารของ y2 มากกวาตัวหารของ x2 ดังนั้นวงรีมีแกนเอกอยูบนแกน Y

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

a2 = 2 และ b2 = 1 2

∴ c2 = 2 – จะได a =

1 2

คณิตศาสตร เลม ๒ 3 2 1

3 2

และ c =

2 กลุ ม  สาระการเรี ยนรูค ณิตศาสตร จุดยอดของวงรีคือ (0, ± 2 )

ชัน้ มัธ(0,ยมศึก) ษาปที่ ๔

โฟกัสของวงรีคือ

3 2

3 ตามหลักสูตรการศึกษาขั2 น้ พืน้ ฐาน ความยาวแกนเอกคือ 2 2 ความยาวแกนโทคือ 2

ความเยื้องศูนยกลางคือ

พุทธศักราช ๒๕๔๔

จัดทําโดย Y

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ( 0 , 2 ) กษาธิการ กระทรวงศึ F1 ( 0,

3 ) 2

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 X 1 1 ( , 0 ) ( − , 0 ) พิมพค2 รัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม 2 3 F ( 0, − ) พ.ศ. ๒๕๔๗ 2 2

(0, − 2 )

243 (12) x2 = 4 – 2y2 หารดวย 4 ตลอดทั้งสมการ จะได 2 x2 y + 4 2

เนื่องจากตัวหารของ x2 มากกวาตัวหารของ y2 ดังนั้น วงรีมีแกนเอกอยูบนแกน X a2 = 4 และ b2 = 2 ∴ c2 = 4 – 2 = 2 จะได a = 2, b = 2 และ c = 2 จุดยอดของวงรีคือ (±2, 0) โฟกัสของวงรีคือ ( ± 2 , 0)

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

กลุม สาระการเรี ยนรูค ณิตศาสตร 2

ความเยื้องศูนยกลางคือ

ชัน้ มัธ4ยมศึกษาปที่ ๔

ความยาวแกนเอกคือ ความยาวแกนโทคือ

2 2

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ Yฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ (0, 2 ) F2 ( − 2 ,จั0 )ดทําโดย (-2, 0)

F1 ( 2 , 0 ) (2, 0)

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตร ( 0 , − 2 ) และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ (13) y2 = 1 – 2x2

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม วหารของ x2 ดังนั้น วงรีมีแกนเอกอยูบนแกน Y เนื่องจากตัวหารของ y2 มากกวาตัพ.ศ. ๒๕๔๗ จะได

x2 y + 1 1 ( ) 2

= 1

a2 = 1 และ b2 =

∴ c2 = 1 –

1 2

จะได a = 1, bองค = ก1 ารคและ c =รุส1ภาจัดพิมพจําหนาย าของคุ 2

244 จุดยอดของวงรี คือ

(0, ±1)

โฟกัสของวงรี คือ

(0,

2 2

)

2 2

ความเยื้องศูนยกลาง คือ ความยาวแกนเอก คือ ความยาวแกนโท คือ

(0, 1)

2 F1 ( 0,

2 ) 2

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

(

คณิตศาสตร เลม ๒ 2 (− ,0) 2

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

(14) 20x2 + 4y2 = 5 หารด วย 5 ตลอดทั สมการ กจะได ตามหลั กสูต้งรการศึ ษาขัวาน้ พืน้ ฐาน y2 x2 + 1 5 ( ) ( ) 4 4

= 1

F2 ( 0, −

2 ,0) 2

2 ) 2

(0, -1)

พุทธศักราช ๒๕๔๔

เนื่องจากตัวหารของ y2 มากกวาตัวหารของ x2 ดังนั้น วงรีมีแกนเอกอยูบนแกน Y จัดทําโดย a2 = 54 และ b2 = 14 Y 2 5 1 ∴ c = 4– 4 = 1

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 5 ( 0, ) 2 จะได a = 25 , b = 12 และ c = 1 กระทรวงศึ5 กษาธิการ F1 ( 0 ,1) จุดยอดของวงรีคือ

(0,

)

1 ( ,0) 2

1 โฟกัสของวงรีคือ ±1) ISBN(0,2974 - 01 - 3820(−- 92 ,0) ความเยื้องศูนยกลางคือ

พิมพครัง้ ที5ห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม ความยาวแกนเอกคือ 5 พ.ศ. ๒๕๔๗ ความยาวแกนโทคือ 1

F2 ( 0 , − 1 )

( 0, −

5 ) 2

245 2. (1) จากกราฟจะไดวา a = 5, b = 4 และแกนเอกอยูบนแกน X ดังนั้น สมการวงรีที่ตองการคือ

y2 x2 + 16 25

= 1

(2) จากกราฟจะไดวา a = 4 , c = 3 และแกนเอกอยูบนแกน Y ∴ b2 = a2 – c2 = 16 – 9 = 7

คูม อื ครูสาระการเรี= ย1นรูเ พิม่ เติม

ดังนั้น สมการวงรีที่ตองการคือ

y2 x2 + 16 7

คณิตศาสตร เลม ๒

(3) จากกราฟจะไดวา b = 2, c = 2 และแกนเอกอยูบนแกน Y ∴ a2 = b2 + c2กลุ =ม +4 = 8  4 สาระการเรี ยนรูค ณิตศาสตร ดังนั้น สมการวงรีที่ตองการคือ

y2 x2 + 8 4

= 1

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

(4) จากกราฟจะไดวา (x, y) = (8, 6), a = 16 แกนเอกอยูบนแกน X ตามหลั ตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ แทนค า (x, y)กสูลงในสมการมาตรฐานจะได ( 6) 2 (8) 2 + 2 256 b 36 2

b 36 b2

1–

3 4

64 256

จัดทําโดย

∴สถาบั b2 นสงเสริม = การสอนวิ 48 ทยาศาสตรและเทคโนโลยี

ดังนั้น สมการวงรีที่ตองการคือ

y2 x2 + 48 256

= 1

กระทรวงศึกษาธิการ

3. (1) จากเงื่อนไขจะไดวา c = 4, a = 5 และแกนเอกอยูบนแกน X ∴ b2 = a2 – c2 = 25ISBN – 16 =9749 - 01 - 3820 - 9

มพคอรัง้ xทีห่ +นึง่y ๑๐,๐๐๐ ดังนั้น สมการวงรีที่ตอพิงการคื = 1 เลม 2

พ.ศ. ๒๕๔๗ (2) จากเงื่อนไขจะไดวา c = 3, a = 5 และแกนเอกอยูบนแกน Y ∴ b2 = a2 – c2 = 25 – 9 = 16 2

x ดังนั้น สมการวงรีองค ที่ตอกงการคื + ารคาอของคุ รุสyภาจั=ด1พิมพจําหนาย

246 (3) จากเงื่อนไขจะไดวา

a = 2, b = 1 และแกนเอกอยูบนแกน Y

ดังนั้น สมการวงรีที่ตองการคือ (4) จากเงื่อนไขจะไดวา

y2 x2 + 4 1

= 1

a = 3, b = 2 และแกนเอกอยูบนแกน X

ดังนั้น สมการวงรีที่ตองการคือ

y2 x2 + 4 9

= 1

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

(5) จากเงื่อนไขจะไดวา c = 2, b = 3 และแกนเอกอยูบนแกน Y ∴ a2 = b2 + c2 = 9 + 4 = 13

คณิตศาสตร เลม ๒

ดังนั้น สมการวงรีที่ตองการคือ

y2 x2 + 13 9

= 1

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

(6) จากเงื่อนไขจะไดวา c = 5, a = 6 และแกนเอกอยูบนแกน X ∴ b2 = a2 – c2 = 36 – 25 = 11 ดังนั้น สมการวงรีที่ตองการคือ

y2 x2 + 11 36

= 1 ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔

(7) จากเงื่อนไขจะไดวา a = 10, c = 3 และแกนเอกอยูบนแกน X ∴ b2 = a2 – c2 = 100 – 9 = 91 ดังนั้น สมการวงรีที่ตองการคือ

จัดทําโดย= 1

y2 x2 + 91 100

สถาบั นสงวเสริ ทยาศาสตรบนแกน และเทคโนโลยี (8) จากเงื ่อนไขจะได า ม b การสอนวิ = 3, c = 4 และแกนเอกอยู X ∴ a2 = b2 + c2 = 9กระทรวงศึ + 16 = 25 กษาธิการ ดังนั้น สมการวงรีที่ตองการคือ

y2 x2 + 9 25

= 1

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9

(9) จากเงื่อนไขจะไดวา a = 5, (x, y) = ( 5 , 2) และแกนเอกอยูบนแกน X พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม แทนคา (x, y) ลงในสมการมาตรฐานจะได ( 5)2 25

∴

( 2) 2 b2 4 b2

พ.ศ. ๒๕๔๗

= 1 = 1–

5 25

4 5

= 5

องคการคาของคุ รุสyภาจัดพิมพจําหนาย x

ดังนั้น สมการวงรีที่ตองการคือ

= 1

พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

247 (10) จากเงื่อนไขจะไดวา 2 a

c a

1 , 9

c = 2 และแกนเอกอยูบนแกน Y

1 9

∴ a = 18 ∴ b2 = a2 – c2 = 324 – 4 = 320 y2 x2 + 320 324

ดังนั้น สมการวงรีที่ตองการคือ

= 1

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม = 0.8, c = 1.5 และแกนเอกอยูบนแกน X คณิ ต ศาสตร เล ม ๒ = 0.8

(11) จากเงื่อนไขจะไดวา 1 .5 a

c a

 สาระการเรี ย15นรูค ณิตศาสตร 1 .5 = กลุม = 0 .8 8

∴a

= ที่ ๔ ชัน้ –มัธ=ยมศึกษาป

225 64

∴ b2 = a2 – c2 =

225 − 144 64 2 64 y 2 64x + 225 81

9 4

ดังนั้น สมการวงรีที่ตองการคือ

81 64

= 1

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔

(12) จากเงื่อนไขจะไดวา c 2

c a

3 2

, a = 2 และแกนเอกอยูบนแกน Y

3 2

จัดทําโดย

∴c = 3 ∴ b2 = a2 – c2 = 4 – 3 = 1

สถาบันสงเสริมการสอนวิ ทยาศาสตรและเทคโนโลยี y x ดังนั้น สมการวงรีที่ตองการคือ 1 + 4 = 1 กระทรวงศึกษาธิการ 2

4. จากโจทยจะไดวา ∴ และ

(1.47 + 1.53) × 108 กิโลเมตร

10 - 01 - 3820 - 9 8 ISBN3×974 = 1.5 × 10 กิโลเมตร 2 8 พิ=มพครั(1.5 ง้ ทีห่ –นึ1.47) ง่ ๑๐,๐๐๐ เลม × 108 กิโลเมตร c × 10 = 0.03 0.0009) × 1016 = 2.2491 × 1016 b2 = a2 – c2 = (2.25 พ.ศ. –๒๕๔๗ 8

∴ ดังนั้น สมการวงโคจรของโลกรอบดวงอาทิตย คือ x2 2.25 × 1016

y2 2.2491× 1016

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

248 c a

5. จากโจทยจะไดวา

= 0.25 และ 2b = 1 × 1010 กิโลเมตร

∴ b = 5 × 109 กิโลเมตร = b2 + c2 a2 a2 = (25 × 1018) + (0.25a)2 625 ⎞ 2 ⎛ ⎟a ⎜1− 10 ,000 ⎠ ⎝

∴ a2

25 × 1018

คูม =อื ครูสาระการเรีย=นรูเ พิม่ เติม 10000 × 25 × 1018 9375 9 80 ×10 9 ≈ 5.16 × 10 3

80 ×1018 3

คณิตศาสตร เลกิโมลเมตร๒

∴ a

∴ c

80 ×10 9 ≈ 3

0.25

1.29 × 109 กิโลเมตร

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

ระยะทางระหวางดาวพลูโตกับดวงอาทิตย ที่ perihelion เทากับ a–c

– 1.29) ชัน้ มัธยมศึก(5.16ษาป ที่ ๔10

ที่

กิโลเมตร 9 ≈ 3.87 × 10 กิโลเมตร 9 aphelion บ a + cน × 10 กิโลเมตร ตามหลักเทสูตากัรการศึ กษาขั ้ ≈พืน้ (5.16 ฐาน+ 1.29) พุ9ทธศั กราช ๒๕๔๔ ≈ 6.45 × 10 กิโลเมตร ≈

จัดทําโดย เฉลยแบบฝกหัด 3.2.3

สถาบันสxงเสริ มการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี = 14 y กระทรวงศึกษาธิการ จะได 4p = 1

1. (1) จากสมการ

∴ p =

4 1 16

> 0

9 ดังนั้น พาราโบลามีแกนอยูISBN ในแนวตั974 ้งซึ่ง-โค01งเป- 3820 ดขึ้นด-านบน ่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม โฟกัส คือ (0, 161 ) พิมพครัง้ ทีห

ไดเรกตริกซ คือ y =

−

พ.ศ. ๒๕๔๗

1 16

ความยาวของเลตัสเรกตัม คือ

1 4

249 Y 0.4 0.2

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม 1 1 (− , ) 8 16

-0.5

F( 0 ,

1 ) 16 ( 1 , 1 ) 8 16

คณิตศาสตร เลม ๒

y=−

1 16

0.5

กลุม สาระการเรี  ณิตศาสตร -0.2 ยนรูค

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ (2) จากสมการ x ตามหลักyสู2 ต=รการศึ กษาขัน้ พืน้ ฐาน จะได 4p = 1 1 > 0 ∴ p = 4

พุทธศักราช ๒๕๔๔

ดังนั้น พาราโบลามีแกนอยูในแนวนอนซึ จัดทํา่งโค โดยงเปดไปทางขวา โฟกัส คือ ( 14 , 0)

ไดเรกตริ = −ม14การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี สถาบักซนคืสอ งxเสริ Y ความยาวของเลตัสเรกตัม คือ 1 กระทรวงศึกษาธิก1าร

ISBN 974 - 01 - 3820 0.5- 9 ( 1 , 1 ) 4 2 1 พิมพครัง้ ทีห่ นึxง่ = −๑๐,๐๐๐ เล ม 4 1 F( , 0 ) 4 -1 พ.ศ. ๒๕๔๗ -0.5

1 1 ( ,− ) 4 2

องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย -1 าว พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพร ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

250 (3) x2 = 9y จะไดวา ∴

4p p

= =

9 9 4

ดังนั้น พาราโบลามีแกนอยูในแนวตั้งซึ่งโคงเปดขึ้นทางดานบน โฟกัส คือ (0, 94 )

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติ4ม

ไดเรกตริกซ คือ y =

−

9 4

ความยาวของเลตัสเรกตัม คือ 9

คณิตศาสตร เลม ๒ 9 9 (− , ) 2 4

9 F( 0 , ) 4

กลุม สาระการเรียนรูค -5ณิตศาสตร

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

9 9 ( , ) 2 4

-2

y=−

-4

9 4

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ (4) x2 =

1 y 3

จะไดวา

∴

1 3 1 12

จัดทําโดย >0

ดังนัสถาบั ้น พาราโบลามี แกนอยู ในแนวตั้งซึ่งโคทงยาศาสตร เปดขึ้นทางดานบน นสงเสริ มการสอนวิ และเทคโนโลยี 1 โฟกัส คือ (0, 12 ) ไดเรกตริกซ คือ y =

−

กระทรวงศึ กษาธิการ 1

ความยาวของเลตัสเรกตัม คือ

1 3

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ 1 ๑๐,๐๐๐ เลม 1 (− , ) 6 12 พ.ศ. ๒๕๔๗ 0.2

F( 0,

1 ) 12

1 1 ( , ) 6 12

-0.5

0.5

y=− -0.2

1 12

251 (5) y2 = 5x จะไดวา ∴

4p p

= =

5 5 4

ดังนั้น พาราโบลามีแกนอยูในแนวนอนซึ่งโคงเปดทางขวา Y โฟกัส คือ ( 54 , 0 ) 4 ไดเรกตริกซ คือ x = − 5

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม 4

ความยาวของเลตัสเรกตัม คือ 5

คณิตศาสตร เลม ๒2 x =−

5 5 ( , ) 4 2

5 4

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

5 F ( ,0 ) 4

-2

5 5 ( ,− ) 4 2

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ -4

จัดทําโดย (6) y2 = –2x จะไดวา 4p = –2 1 − < 0 ทยาศาสตรและเทคโนโลยี ∴สถาบันสpงเสริม = การสอนวิ Y 2 ดังนั้น พาราโบลามีแกนอยูกระทรวงศึ ในแนวนอนซึ่งโค งเปดทางซ าย ก ษาธิ ก าร โฟกัส คือ ( − 12 , 0) ไดเรกตริกซ คือ x =

1 2

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 ความยาวของเลตัสเรกตัม คือ 2 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม พ.ศ. ๒๕๔๗

1 (− ,1) 2 1 F(− ,0) 2 1 ( − , −1) 2

1 2

252 (7) x2 = –8y จะไดวา 4p = –8 ∴ p = –2 < 0 ดังนั้น พาราโบลามีแกนอยูในแนวตั้งซึ่งโคงเปดดานลาง โฟกัส คือ (0, –2) ไดเรกตริกซ คือ y = 2 Y ความยาวของเลตัสเรกตัม คือ 8

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม 4

y=2

คณิตศาสตร เลม ๒ 2

กลุม สาระการเรี ยนรูค ณิตศาสตร F(0, –2) (–4, –2) -5

-2

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

(4, –2)

-4

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ -6

-8

(8) y2 = 2x จะไดวา ∴

4p p

= =

2 1 2

จัดทําโดย >0

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ดังนั้น พาราโบลามีแกนอยูในแนวนอนซึ่งโคงเปดทางดานขวา กระทรวงศึกษาธิการY โฟกัส คือ ( 12 , 0) ไดเรกตริกซ คือ x =

−

1 2

ความยาวของเลตัสเรกตัม คืISBN อ2

974 - 01 - 3820 - 9 1 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม( 2 , 1 ) พ.ศ. ๒๕๔๗ x=−

1 2

1 F( ,0 ) 2 1

, −1) 2 าย องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจํา(หน

253 (9) y2 = – 16 x จะไดวา

∴

1 6 1 − 24 −

ดังนั้น พาราโบลามีแกนอยูในแนวนอนซึ่งโคงเปดทางซาย 1 , 0) โฟกัส คือ ( − 24 Y ไดเรกตริกซ คือ x = 1

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม 24

คณิตศาสตร เลม ๒

ความยาวของเลตัสเรกตัม คือ

0.6

1 6

กลุม สาระการเรี  ณิตศาสตร 1 ค 1ยนรู F(− , ) 24 12

1 24

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

-1

-0.5

F( −

1 ,0) 24

0.5

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ (−

1 1 ,− ) 24 12

จัดทําโดย -0.6

(10) x2 = 7y จะได วา นส4pงเสริม = การสอนวิ 7 สถาบั ทยาศาสตรและเทคโนโลยี 7 >0 ∴ p = 4

กระทรวงศึกษาธิการ

ดังนั้น พาราโบลามีแกนอยูในแนวตั้งซึ่งโคงเปดขึ้นทางดานบน Y โฟกัส คือ (0, 74 )

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 ่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม ความยาวของเลตัสเรกตัพิมมคืพอครั7 ง้ ทีห พ.ศ. ๒๕๔๗

ไดเรกตริกซ คือ y =

−

7 4

8 6 4

7 7 (− , ) 2 4

7 F(0, ) 4

7 7 ( , ) 2 4

องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย -5

พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพรา-2ว

y=−

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

7 4

254 (11) x2 =

3 − y 5

จะไดวา

∴

3 5 3 − 20 −

ดังนั้น พาราโบลามีแกนอยูในแนวตั้งซึ่งโคงเปดดานลาง 3 ) โฟกัส คือ (0, − 20

Y ม คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติ y=

ไดเรกตริกซ คือ y =

3 20

คณิตศาสตร เลม ๒

ความยาวของเลตัสเรกตัม คือ

3 5

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ (−

3 3 ,− ) 10 20

3 F (0, − 20 )

•

(

3 3 ,− ) 10 20

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔

(12) y2 =

−

2 x 3

จะไดวา

∴

จัดทําโดย

2 3 1 − 6

−

5 − x2 3

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ดังนั้น พาราโบลามีแกนอยูในแนวนอนซึ่งโคงเปดทางดานซาย โฟกัส คือ ( − 16 , 0) กระทรวงศึกษาธิการ ไดเรกตริกซ คือ x =

1 6

ความยาวของเลตัสเรกตัม คืISBN อ 23

974 - 01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม(− 16 , 13 ) พ.ศ. ๒๕๔๗ F(− 1 ,0)

-1

1 1 ( − ,− ) 6 3

-1

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

1 6

255 2. (1) จากเงื่อนไขจะได p = 2 และพาราโบลามีแกนอยูในแนวนอน ดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ y2 = 8x (2) จากเงื่อนไขจะได p =

−

1 2

และพาราโบลามีแกนอยูในแนวนอน

ดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ y2 = –2x

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

(3) จากเงื่อนไขจะได p = –8 และพาราโบลามีแกนอยูในแนวตั้ง ดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ x2 = –32y

คณิตศาสตร เลม ๒

(4) จากเงื่อนไขจะได p = 5 และพาราโบลามีแกนอยูในแนวตั้ง = 20y ดังนั้น สมการพาราโบลาที ่ตองการคือ xย2 นรู กลุม สาระการเรี ค ณิตศาสตร

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

(5) จากเงื่อนไขจะได p = –2 และพาราโบลามีแกนอยูในแนวตั้ง ดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ x2 = –8y

ตามหลั กสูตpรการศึ กษาขัน้ พืน้ ฐาน ธศักราช (6) จากเงื ่อนไขจะได = – 6 และพาราโบลามี แกนอยูพุใท นแนวนอน ดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ y2 = –24x

๒๕๔๔

(7) จากเงื่อนไขจะได p = 10 และพาราโบลามีแกนอยูในแนวนอน จัดทําโดย ดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ y2 = 40x

สถาบั นสงเสริ ทยาศาสตร และเทคโนโลยี และพาราโบลามี แกนอยูในแนวตั ้ง (8) จากเงื ่อนไขจะได p = ม12การสอนวิ ดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ x2 = 2y

กระทรวงศึกษาธิการ

(9) จากเงื่อนไขจะได 2p = 2 และพาราโบลามีแกนอยูในแนวนอน ∴p=1 ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 2 ดังนั้น สมการพาราโบลาที 4x พิมพ่ตอคงการคื รัง้ ทีห่ อ นึyง่ =๑๐,๐๐๐ เลม (10) จากเงื่อนไขจะได p = – 6 และพาราโบลามี แกนอยูในแนวตั้ง พ.ศ. ๒๕๔๗ ดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ x2 = –24y (11) จากเงื่อนไขจะได p = 8 และพาราโบลามีแกนอยูในแนวตั้ง องคการค่ตอางการคื ของคุอรุสx2ภาจั ดพิมพจําหนาย ดังนั้น สมการพาราโบลาที = 32y

256 (12) จากเงื่อนไขจะได 4(–p) = 8 และพาราโบลามีแกนอยูในแนวตั้ง ∴ p = –2 ดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ x2 = –8y 3. (1) จากกราฟจะได p = –3 และพาราโบลามีแกนอยูในแนวตั้ง ดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ x2 = –12y

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

(2) จากกราฟจะได p = 2 และพาราโบลามีแกนอยูในแนวนอน ดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ y2 = 8x

คณิตศาสตร เลม ๒

(3) จากกราฟจะได pกลุ =ม และพาราโบลามี แกนอยู  –2สาระการเรี ย2 นรู ค ณิในแนวนอน ตศาสตร ดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ y = –8x

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

(4) จากกราฟจะได p = 1 และพาราโบลามีแกนอยูในแนวตั้ง ดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ x2 = 4y

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔

(5) จากกราฟจะได p = 2 และพาราโบลามีแกนอยูในแนวนอน ดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ y2 = 8x

จัดทําโดย (6) จากกราฟจะได p = – 4 และพาราโบลามี แกนอยูในแนวตั้ง ดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ x2 = –16y 4. (1)

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี = 4px พิจารณาสมการ y 2กษาธิ 15 การ ( , ) ลงไปในสมการ จะได แทนคา (x,กระทรวงศึ y) = 2

15 ( )2 2

2 2 4 p( ) 3 675 32

ISBN= 974 - 01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ x ๑๐,๐๐๐ เลม ดังนั้น สมการพาราโบลาคือ y2 = 675 8 พ.ศ. ๒๕๔๗ ∴

(2) การติดตั้งอุปกรณรวมสัญญาณไวที่จุดโฟกัส คือ หางจากจุดยอด

675 32

(

675 , 0) 32

ฟุต

257

เฉลยแบบฝกหัด 3.2.4 1. (1) x2 –

y2 9

สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ x เทากับ 1 เปนจํานวนบวก ดังนั้น ไฮเพอรโบลามีแกนตามขวางในแนวนอน ในที่นี้จะไดวา a2 = 1 และ b2 = 9 ∴ a = 1 และ b = 3 3 ∴ c = a 2 + b 2 = 1+ 9 = 10 ดังนั้น จะไดวา F1 Fศาสตร กลุ ม  สาระการเรี ย นรู ค  ณิ ต 2 จุดยอดคือ (±1, 0) 1 ( 10 , 0 ) (−– 10 , 0 ) -1 โฟกัสคือ ( ± 10 , 0) เสนกํากับคือ y = ±3x -3

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒ ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔

(2)

y2 x2 − 16 4

จัดทําโดย

สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ y2 เทากับ

1 4

นจํานวนบวก สถาบันสงเสริมการสอนวิทเปยาศาสตร และเทคโนโลยี ดังนั้น ไฮเพอรโบลามีแกนตามขวางในแนวตั้ง กระทรวงศึ b = 16 กษาธิการ ในที่นี้จะไดวา a = 4 และ 2

∴ a = 2 และ b = 4 Y b 2 = 974 4+-16 2 5- 9 ∴ c = a 2 +ISBN 01 -=3820 ดังนั้น จะไดวา พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม F1 (0 , 2 5 ) จุดยอดคือ (0, ±2) 2 โฟกัสคือ (0, ± 2 5 ) พ.ศ. ๒๕๔๗ เสนกํากับคือ y = ± 1 x -4 4 2 -2

องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนFาย (0 , −– 2 พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

258 (3) y2 – x2 = 1 สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ y2 เทากับ 1 เปนจํานวนบวก ดังนั้น ไฮเพอรโบลามีแกนตามขวางในแนวตั้ง Y ในที่นี้จะไดวา a2 = 1 และ b2 = 1 ∴ a = 1 และ b = 1 ∴ c = a 2 + b 2 = 1+1 = 2 (0, 2 ) ดังนั้น จะไดวา F1 จุดยอดคือ (0, ±1) –1 1 F 2 โฟกัสคือ (0, ± 2 ) (0,− 2 ) เสนกํากับคือ y กลุ = ±ม x สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ (4) x2 – 4y2 – 8 = 0 ∴

y2 x2 − 2 8

สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ x2 เทากัจับดทํ18 าโดย เปนจํานวนบวก ดังนั้น ไฮเพอรโบลามีแกนตามขวางในแนวนอน ในทีสถาบั ่นี้จะไดวนา สa2ง=เสริ 8 มการสอนวิ และ b2 =ท2ยาศาสตรและเทคโนโลยี Y ∴ a = 2 2 และ b = 2 กระทรวงศึกษาธิการ ∴ c = a 2 + b 2 = 8+ 2 = 10 ดังนั้น จะไดวา 2 จุดยอดคือ (±2 2 , 0)ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 ( − 10 ,0 )เล−ม2 2 2 2 ( 10 ,0 0)พครัง้ ทีห โฟกัสคือ ( ± 10 พิ, ม ่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ F F1 2 เสนกํากับคือ y = ± 1 x พ.ศ. ๒๕๔๗ 2 − 2

259 (5)

y2 − x2 4

สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ y2 เทากับ

1 4

เปนจํานวนบวก

ดังนั้น ไฮเพอรโบลามีแกนตามขวางในแนวตั้ง Y 2 2 ในที่นี้จะไดวา a = 4 และ b = 1 ∴ a = 2 และ b = 1 ∴ c = a 2 + b 2 = 4+1 = 5 ดังนั้น จะไดวา (0, 5 ) F1 จุดยอดคือ (0, ±2) 2 โฟกัสคือ (0, ± 5 ) กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร 1 -1 เสนกํากับคือ y = ±2x -2 F2 ( 0 ,− 5 )

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔

(6)

y2 x2 − 9 16

จัดทําโดย

สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ x2 เทากับ

1 9

นจํานวนบวก สถาบันสงเสริมการสอนวิทเปยาศาสตร และเทคโนโลยี ดังนั้น ไฮเพอรโบลามีแกนตามขวางในแนวนอน Y กระทรวงศึ b = 16 กษาธิการ ในที่นี้จะไดวา a = 9 และ 2

∴ a = 3 และ b = 4 ∴ c = a 2 +ISBN b 2 = 974 9+-16 5 -9 01 -=3820 ดังนั้น จะไดวา พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม จุดยอดคือ (±3, 0) F2 พ.ศ. ๒๕๔๗ โฟกัสคือ (±5, 0) (-5 , 0) -3 เสนกํากับคือ y = ± 4 x 3

4 F1 3 (5 , 0) -4

260 (7) 9y2 – 4x2 = 36 ∴

y2 x2 − 4 9

สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ y2 เทากับ

1 4

เปนจํานวนบวก

ดังนั้น ไฮเพอรโบลามีแกนตามขวางในแนวตั้ง ในที่นี้จะไดวา a2 = 4 และ b2 = 9 ∴ a = 2 และ b = 3 ∴ c = a 2 + b 2 = 4+ 9 = 13 ดังนั้น จะไดวา -3 จุดยอดคือ (0, ±2) กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร โฟกัสคือ (0, ± 13 ) เสนกํากับคือ y = ± 23 x

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม F

คณิตศาสตร เลม ๒ ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

(8) y2 –ตามหลั 2x2 = 3 กสูตรการศึกษาขัน ้ พืน้ ฐาน ∴

y 2x − 3 3

( 0 , 13 )

2 3 -2

(0,− 13 )

พุทธศักราช ๒๕๔๔

สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ y2 เทากับ

1 3

เปนจํานวนบวก

จัดทําโดย้ง ดังนั้น ไฮเพอรโบลามีแกนตามขวางในแนวตั ในที่นี้จะไดวา a2 = 3 และ b2 = 32

สถาบั นสa งเสริ มการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ∴ = 3 และ b = 32 3 กษาธิก ∴ c = a กระทรวงศึ +b = = 3 าร= 3 2 3+ 2

ดังนั้น จะไดวา จุดยอดคือ (0,

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 ± 3) ่ นึง่ ๑๐,๐๐๐3 เล2ม โฟกัสคือ (0, ± 3พิ22มพ ) ครัง้ ทีห (0, ) F 2 เสนกํากับคือ y = ± 2 x พ.ศ. ๒๕๔๗ 1 3

−

3 2

องคการคาของคุรุสภาจัดพิ−มพ3จําหนาย F2 า ว พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพร 3 2

(0,− ) ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุง2เทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

261 (9) 16x2 – y2 = 144 ∴

y2 x2 − 144 9

= 1

สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ x2 เทากับ

1 9

เปนจํานวนบวก

ดังนั้น ไฮเพอรโบลามีแกนตามขวางในแนวนอน ในที่นี้จะไดวา a2 = 9 และ b2 = 144 ∴ a = 3 และ b = 12 ∴ c = a 2 + b2 = 9 + 144 = 3 17 F2 ดังนั้น จะไดวา -3 (−3 17 , 0) จุดยอดคือ (±3, 0) กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร โฟกัสคือ ( ± 3 17 , 0) เสนกํากับคือ y = ±4x

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

F1 (3 17 , 0)

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

-12

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ (10)

x2 −

y2 25

= 1 2

จัดทําโดย

สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ x เทากับ 1 เปนจํานวนบวก Y ดังนั้น ไฮเพอรโบลามีแกนตามขวางในแนวนอน สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ในที่นี้จะไดวา a2 = 1 และ b2 = 25 ∴ a = 1 และ b = 5 กษาธิการ 5 กระทรวงศึ ∴ c = a 2 + b 2 = 1+ 25 = 26 ดังนั้น จะไดวา ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 จุดยอดคือ (±1, 0) F2 F1 พิ ม พ ค รั ง ้ ที ห ่ นึ ง ่ ๑๐,๐๐๐ เลม -1 1 โฟกัสคือ ( ± 26 , 0) (− 26 , 0) ( 26 , 0) พ.ศ. ๒๕๔๗ เสนกํากับคือ y = ±5x -5

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

262 (11) 25y2 – 9x2 = 225 ∴

y2 x2 − 25 9

สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ y2 เทากับ

1 9

เปนจํานวนบวก

ดังนั้น ไฮเพอรโบลามีแกนตามขวางในแนวตั้ง ในที่นี้จะไดวา a2 = 9 และ b2 = 25 Y ∴ a = 3 และ b = 5 ∴ c = a 2 + b 2 = 9+ 25 = 34 F1 (0, ดังนั้น จะไดวา 3 จุดยอดคือ (0, ±3) กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร โฟกัสคือ (0, ± 34 ) -5 เสนกํากับคือ y = ± 53 x

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

34 )

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

-3

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช F2 (0,๒๕๔๔ − 34 ) (12) y2 – 4x2 + 1 = 0 ∴ 4x2 – y2 = 1 จัดทําโดย สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ x2 เทากับ 4 เปนจํานวนบวก ดังนั้น ไฮเพอรโบลามีแกนตามขวางในแนวนอน สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี Y ในที่นี้จะไดวา a2 = 14 และ b2 = 1 ∴

a =

∴

c =

กระทรวงศึ และ b = 1 กษาธิการ

1 2

a 2 +b2

1 +1 4

5 2

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 5 ( − ,0เล)Fม2 ๑๐,๐๐๐ 2 พ.ศ. ๒๕๔๗ ( ± 25 , 0)

ดังนั้น จะไดวา ่ นึง่ จุดยอดคือ ( ± 12 , 0)พิมพครัง้ ทีห โฟกัสคือ

−

1 2

เสนกํากับคือ y = ±2x

-1

F1 ( 5 , 0 ) X 2

263 (13) 9y2 – 25x2 = 225 y2 x2 − 25 9

∴

= 1

สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ y2 เทากับ

1 25

เปนจํานวนบวก

ดังนั้น ไฮเพอรโบลามีแกนตามขวางในแนวตั้ง ในที่นี้จะไดวา a2 = 25 และ b2 = 9 ∴ a = 5 และ b = 3 ( 0, F34 ) 2 2 1 ∴ c = a + b = 25 + 9 = 34 5 ดังนั้น จะไดวา 3 -3 จุดยอดคือ (0, ±5) กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร โฟกัสคือ (0, ± 34 ) -5 เสนกํากับคือ y = ± 53 x F2

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒ ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

(0,− 34 )

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ (14)

y2 − x2 2

จัดทําโดย

สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ y2 เทากับ

1 2

เปนจํานวนบวก

ดังนัสถาบั ้น ไฮเพอร ้ง นสโบลามี งเสริแกนตามขวางในแนวตั มการสอนวิทยาศาสตร และเทคโนโลยี Y ในที่นี้จะไดวา a2 = 2 และ b2 = 1 กระทรวงศึกษาธิการ ∴ a = 2 และ b = 1 ∴ c = a 2 + b 2 = 2 +1 = 3 ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 ดังนั้น จะไดวา (0, 3 ) จุดยอดคือ (0, ± พิ2 ม) พครัง้ ทีห F1 ่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม 2 โฟกัสคือ (0, ± 3 ) พ.ศ. ๒๕๔๗ –1 1− 2 เสนกํากับคือ y = ± 2 x F2 (0 ,− 3 )

264 (15) y2 – x2 – 4 = 0 ∴

y2 x2 − 4 4

สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ y2 เทากับ

1 4

เปนจํานวนบวก

ดังนั้น ไฮเพอรโบลามีแกนตามขวางในแนวตั้ง ในที่นี้จะไดวา a2 = 4 และ b2 = 4 ∴ a = 2 และ b = 2 ( 0,2 2 ) F1 ∴ c = a 2 + b2 = 4+4 = 2 2 2 ดังนั้น จะไดวา -2 2 จุดยอดคือ (0, ±2) -2 กลุ ม  สาระการเรี ย นรู ค  ณิ ต ศาสตร F2 โฟกัสคือ (0, ± 2 2 ) (0,−2 2 ) เสนกํากับคือ y = ±x

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ จัดทําโดย (16) 9y2 – 16x2 = 1 สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ y2 เทากับ 9 เปนจํานวนบวก Y นสโบลามี งเสริแกนตามขวางในแนวตั มการสอนวิทยาศาสตร และเทคโนโลยี ดังนัสถาบั ้น ไฮเพอร ้ง ในที่นี้จะไดวา a2 = 19 และ b2 = 161 ∴

a =

∴

c =

กระทรวงศึ1 กษาธิการ

1 3

4 1 1 + 9 16

(0,

เสนกํากับคือ y =

a +b

5 12

ISBN= 974 - 01 - =3820 - 9 ดังนั้น จะไดวา พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม 1 จุดยอดคือ (0, ± 3 ) พ.ศ. ๒๕๔๗

โฟกัสคือ

(0,

และ b =

−

5 ) 12

1 4

5 ) 12 4 ± x 3

1 4

F2 (0,−

5 ) 12

265 2. (1) จากกราฟ จะได a = 2, c = 4 และไฮเพอรโบลามีแกนตามขวางอยูในแนวนอน ∴ b = c2 −a 2 = 16 − 4 = 12 ดังนั้น สมการไฮเพอรโบลาที่ตองการคือ

y2 x2 − 4 12

= 1

(2) จากกราฟ จะได a = 12, c = 13 และไฮเพอรโบลามีแกนตามขวางอยูในแนวตั้ง 169 −144 = 5 ∴ b = c2 −a 2 =

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

ดังนั้น สมการไฮเพอรโบลาที่ตองการคือ

y2 x2 − 144 25

= 1

คณิตศาสตร เลม ๒

(3) จากกราฟ จะได กลุ a =ม (x, y) = (3, –5)  4,สาระการเรี ยนรูและแกนตามขวางอยู ค ณิตศาสตร ในแนวตั้ง แทนคา (x, y) ลงในสมการมาตรฐานจะได ( −5) 2 ( 3) 2 − 2 = 1 b 16 9 9 25 = กษาขั −1 = ตามหลักสูต2 รการศึ น ้ พื น ้ ฐาน พุ ท ธศั 16กราช ๒๕๔๔ 16

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

∴

ดังนั้น สมการไฮเพอรโบลาที่ตองการคือ

y2 x2 − 16 16

= 1

จัดทําโดย

(4) จากกราฟ จะได a = 2 3 , (x, y) = (4, 4) และแกนตามขวางอยูในแนวนอน แทนค า (x, น y) ส ลงในสมการมาตรฐานจะได สถาบั งเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี (4) 2

−

(2 3 ) 2

(4) 2

= 1 กระทรวงศึ กษาธิการ

16 b2

16 −1 12

4 12

1 3

ISBN48974 - 01 - 3820 - 9 y x ดังนั้น สมการไฮเพอรโพิบลาที − =1 มพค่ตรัอง้งการคื ทีห่ นึอง่ 12๑๐,๐๐๐ 48 เลม พ.ศ. ๒๕๔๗ ∴

(5) จากกราฟ จะได ∴

b a

b =

1 , 2 3 2

a = 3 และแกนตามขวางอยูในแนวนอน

y x ดพิ4ม องคกโบลาที ารคา่ตของคุ พจ=ําหน ดังนั้น สมการไฮเพอร องการคืรอุสภาจั − 1 าย 2

266 a = 3, a = 3 และแกนตามขวางอยูในแนวตั้ง b b = 1

(6) จากกราฟ จะได ∴

ดังนั้น สมการไฮเพอรโบลาที่ตองการคือ

y2 − x2 9

3. (1) จากโจทย จะได c = 5, a = 3 และแกนตามขวางอยูในแนวตั้ง ∴ b2 = c2 – a2 = 25 – 9 = 16

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม= 1 ๒

ดังนั้น สมการไฮเพอรโบลาที่ตองการคือ

y2 x2 − 9 16

 10,สาระการเรี ยนรูค ณิตศาสตร (2) จากโจทย จะได กลุ c =ม a = 8 และแกนตามขวางอยู ในแนวนอน ∴ b2 = c2 – a2 = 100 – 64 = 36

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

ดังนั้น สมการไฮเพอรโบลาที่ตองการคือ

y2 x2 − 64 36

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔

(3) จากโจทย จะได c = 2, a = 1 และแกนตามขวางอยูในแนวนอน ∴ b2 = c2 – a2 = 4 – 1 = 3 ดังนั้น สมการไฮเพอรโบลาที่ตองการคือ

x2 −

จัดทําโดย

y2 3

(4) จากโจทยจะไดวา c = 6, a = 2 และแกนตามขวางอยูในแนวตั้ง 2 สถาบั ∴ นสb2งเสริ = c2 –มaการสอนวิ = 36 – 4 = ท32ยาศาสตรและเทคโนโลยี x ดังนั้น สมการไฮเพอรโบลาที ่ตองการคือ กy ษาธิ − การ =1 กระทรวงศึ

(5) จากโจทยจะไดวา a = 1,

= 5974และแกนตามขวางอยู ISBN - 01 - 3820 - 9 ในแนวนอน a ∴ b = 5 พิมพครัง้ ทีห ่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม ดังนั้น สมการไฮเพอรโบลาที่ตองการคือ x − y = 1 พ.ศ. ๒๕๔๗25 2

(6) จากโจทยจะไดวา a = 6, ∴

a b

1 3

และแกนตามขวางอยูในแนวตั้ง

b = 18

องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย

ดังนั้น สมการไฮเพอรโบลาที่ตองการคือ

y2 x2 − 36 324

พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

267 (7) จากโจทยจะไดวา c = 8,

a b

1 2

และแกนตามขวางอยูในแนวตั้ง

∴

a2 + b2

∴

c2 b2 64 b2

a ( ) 2 +1 b 1 +1 = 4

∴ ∴

4 64 ( ) = 5 2 b = 4

5 4

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม b2

256 5

คณิ ต ศาสตร เล ม ๒ ดังนั้น สมการไฮเพอรโบลาที่ตองการคือ =1 ∴

64 5 5y 2 5x 2 − 64 256

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

(8) จากโจทยจะไดวา a = 6, (x, y) = (–5, 9) และแกนตามขวางอยูในแนวตั้ง แทนคา (x, y) ลงในสมการมาตรฐาน (9) 2 (−5) 2 − 36 b2 81 25 − 2 36 b 25

= ตามหลักสูตรการศึกษาขั น้ พื1น้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ ∴ ∴ ∴

81 −1 = 36 25×36 = 45 y2 x2 − 36 20

จัดทําโดย

ดังนั้น สมการไฮเพอรโบลาที่ตองการคือ (9)

45 36

20 =1

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี กระทรวงศึ และการ (x, y) = (5, 3) ลงในสมการมาตรฐาน ถาแกนตามขวางอยูในแนวตั ้งแทนคา ab =ก1ษาธิ

จะได a 2 – (5)2 (974 ) - 01 = - 3820 9 – 25- 9 = –16 a2 = (3)2ISBN b

ซึ่งเปนไปไมได

ดังนั้น แกนตามขวางอยูพิใมนแนวนอน พครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม b แทนคา = 1 และ (x, (5, 3) ลงในสมการมาตรฐาน จะได พ.ศ.y) =๒๕๔๗ a

∴

b2 = (5)2 ( ba ) 2 − 3 2

∴

a2 = b2 = 16

25 – 9 =

x ดังนั้น สมการไฮเพอร องการคืรอุสภาจั − องคกโบลาที ารคา่ตของคุ ดพิy มพ=จํา1หนาย 2

268 (10) จากโจทยจะได c = 3, (x, y) = (4, 1) และแกนตามขวางอยูในแนวนอน แทนคา (x, y) ลงในสมการมาตรฐานจะได ( 4) 2 a2

−

(1) 2 b2

∴

= (ab)2 ---------- (*) 16b2 – a2 a2 + b2 = c2 = 9 = 9 – b2 ∴ a2 แทนคา a2 ลงใน (*) (9 – b2)b2 16b2 – (9 – b2) = 16b2 – 9 + b2 = 9b2 – b4  2สาระการเรี ย0 นรูค ณิตศาสตร 4 ม ∴ bกลุ + 8b –9 = ∴ (b2 + 9)(b2 – 1) = 0 = 1 ∴ b2 8 ∴ a2 = 9 - 1 =

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒ ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ x ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ 2

ดังนั้น สมการไฮเพอรโบลาที่ตองการคือ

− y2

= 1

(11) จากโจทยจะไดวา c = 5, a = 3 และแกนตามขวางอยูในแนวนอน จัดทําโดย ∴ b2 = c2 – a2 = 25 – 9 = 16 y2 x2 − 9 16

ดังนั้น สมการไฮเพอรโบลาที่ตองการคือ

=1 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตร และเทคโนโลยี กษาธิการ ในแนวตั้ง (12) จากโจทยจะไดวา c = 1, กระทรวงศึ a = 12 และแกนตามขวางอยู ∴

b2 = c2 – a2 = 1 –

1 4

3 4

ISBN 974 - 01 - 382016x- 9 = 1 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม พ.ศ. ๒๕๔๗ = 1

ดังนั้น สมการไฮเพอรโบลาที่ตองการคือ 4y2 – 4. (1) ∴

y2 x2 − 4 4

สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ x2 เทากับ

1 4

เปนจํานวนบวก

ดังนั้น ไฮเพอรโบลามีแกนตามขวางอยูในแนวนอน = กb2ารคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย ∴ a2 = 4องค ∴ a = 2 = bพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

269 จะได เสนกํากับ คือ y = x และ y = –x ∴ m1m2 = 1(–1) = -1 ดังนั้น เสนกํากับทั้งสองเสนตั้งฉากกัน (2) เนื่องจากเสนกํากับตั้งฉาก ดังนั้น

b b ( )(− ) a a

= –1

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

∴ b2 = a2 ∴b =a ∴ c2 = a2 + a2 ∴ a2 =

c 2

คณิตศาสตร เลม ๒

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

จากโจทย จะไดวา ไฮเพอรโบลามีแกนตามขวางอยูในแนวนอน

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ =๔1

ดังนั้น สมการไฮเพอรโบลาที่ตองการคือ 5.

2x 2 c2

−

2y 2 c2

ตามหลั=ก–1สูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔

⎛ b ⎞⎛ b ⎞ ⎜ − ⎟⎜ ⎟ ⎝ a ⎠⎝ a ⎠

∴ ∴

b2 = a2 b = a c2 = a2 +จัbด2ทําโดย = 2a2 ∴ c = 2a )a ม = การสอนวิ c - a ทยาศาสตร = 2 × 10แ9 ละเทคโนโลยี ไมล สถาบั( น2ส−ง1เสริ a = 4.83 × 109 ไมล การ× 1018 ไมล ∴ b2 = กระทรวงศึ a2 = กษาธิ23.33

ISBNอ สมการไฮเพอรโบลาที่ตองการคื

974 -x01 - 3820 – -9 y = 1 23.33×10 23.33×10 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม พ.ศ. ๒๕๔๗ 2

270

เฉลยแบบฝกหัด 3.2.5 1. (1)

( y − 2) 2 ( x − 1) 2 + =1 9 4

เนื่องจากตัวหารของ (y – 2)2 มากกวาตัวหารของ (x – 1)2 Y ดังนั้น แกนเอกอยูในแนวตั้ง เนื่องจาก a2 = 9 และ b2 = 4 (1,5) ∴ a = 3 และ b = 2 ∴ c2 = a2 – b2 = 9 – 4 = 5 (-1,2) (1,2) (3,2) ∴ c = 5 กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร จุดศูนยกลางคือ (1, 2) โฟกัสคือ (1, 2± 5 ) จุดยอดคือ (1, 5), (1, –1) (1,-1) ความยาวแกนเอกคื 6 ตามหลักสูตอรการศึ กษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ ความยาวแกนโทคือ 4

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒ ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

(2)

( y + 3) 2 +

( x − 3) 2 =1 16 2

จัดทําโดย

เนื่องจากตัวหารของ (x – 3) มากกวาตัวหารของ (y + 3)2 ดังนั้น แกนเอกอยูในแนวนอน สถาบันสa2งเสริ มการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี เนื่องจาก = 16 และ b2 = 1 Y กระทรวงศึ ∴ a = 4 และ b = 1 กษาธิการ ∴ c2 = a2 – b2 = 16 – 1 = 15 ∴ c = 15ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 จุดศูนยกลางคือ (3, –3) พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม (3,-2) โฟกัสคือ (3, ± 15 , –3) (-1,-3) (3,-3) จุดยอดคือ (7, –3), (–1, –3)พ.ศ. ๒๕๔๗ ความยาวแกนเอกคือ 8 (3,-4) ความยาวแกนโทคือ 2

X (7,-3)

271 (3)

( x + 5) 2 y2 + 25 9

= 1

เนื่องจากตัวหารของ (x + 5)2 มากกวาตัวหารของ y2 ดังนั้น แกนเอกอยูในแนวนอน เนื่องจาก a2 = 25 และ b2 = 9 ∴ a = 5 และ b = 3 ∴ c2 = a2 – b2 = 25 – 9 = 16 (-5,3) ∴ c =4 จุดศูนยกลางคือ (–5, 0) (-10,0) (-5,0) โฟกัสคือ (–1, 0), (–9, 0)  (–10, สาระการเรี ยนรูค ณิตศาสตร จุดยอดคือ (0,กลุ 0),ม 0) (-5,-3) ความยาวแกนเอกคือ 10 ความยาวแกนโทคือ 6

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

(0,0)

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ (4)

x2 +

( y + 2) 2 4

= 1

จัดทําโดย

เนื่องจากตัวหารของ (y + 2)2 มากกวาตัวหารของ x2 Y ดังนั้น แกนเอกอยูในแนวตั้ง การสอนวิ เนื่อสถาบั งจาก นสa2งเสริ = 4 มและ b2 = 1 ทยาศาสตรและเทคโนโลยี (0,0) ∴ a = 2 กระทรวงศึ และ b = 1 กษาธิการ ∴ c2 = a2 – b2 = 4 – 1 = 3 ∴ c = 3 (0,-2) (1,-2) ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 (-1,-2) จุดศูนยกลางคือ (0, –2) ่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม โฟกัสคือ (0, − 2±พิม3พ)ครัง้ ทีห จุดยอดคือ (0, 0), (0, – 4) พ.ศ. ๒๕๔๗ (0,-4) ความยาวแกนเอกคือ 4 ความยาวแกนโทคือ 2

272

2. (1) (x – 3) = 8(y + 2) สังเกตวา 4p = 8 ∴ p=2>0 ดังนั้น พาราโบลา เปนโคงเปดทางดานบน จุดยอดคือ (3, –2) โฟกัสคือ (3, 0) เสนไดเรกตริกซคือ y = – 4

(3,0)

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม(3,-2)

y = -4

คณิตศาสตร เลม ๒

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร Y x=

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

(2) (y – 5)2 = –6(x – 2) สังเกตวา 4p = – 6 < ต0 รการศึกษาขัน ∴ตามหลั p = −23กสู ้ พืน้ ฐาน

พุทธศัก1ราช ๒๕๔๔ ( ,5) 2

ดังนั้น พาราโบลา เปนโคงเปดทางดานซาย จุดยอดคือ (2, 5) โฟกัสคือ ( 12 , 5) จัดทําโดย เสนไดเรกตริกซคือ y =

7 2

(2, 5)

7 2

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ 1 1

(3) ∴(x + 2 )2 = สังเกตวา 4p =

− y 4 1 − 4

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 ∴ p= <0 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐(−เล1 ม, 0) ดังนั้น พาราโบลา เปนโคงเปดลงดานลาง 2 พ.ศ. ๒๕๔๗ จุดยอดคือ ( − 1 , 0) −1 16

1 1 ( − ,− ) 2 16

โฟกัสคือ ( − 12 ,

−

1 16

)

เสนไดเรกตริกซคือ y =

16าของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย องคการค

Y 1 16

273 (4) y2

= 16(x + 12 )

สังเกตวา 4p = 16 ∴ p = 4 >0 ดังนั้น พาราโบลา เปนโคงเปดไปทางขวา จุดยอดคือ ( − 12 , 0) X= โฟกัสคือ ( 72 , 0)

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม −

9 2

( − 12 , 0)

( 72 , 0)

คณิตศาสตร เลม ๒

เสนไดเรกตริกซคือ x = 3. (1)

−

9 2

( y + 3) 2 ( x − 1) 2 − =1 16 9

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ (x – 1)2 เทากับ

1 9

ซึ่งเปนจํานวนบวก ชั น ้ มั ธ ยมศึ ก ษาป ที่ ๔ ดังนั้น แกนตามขวางอยูในแนวนอน

จะได a2 = 9 และ b2 = 16 สูตรการศึ ้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ ∴ตามหลั a = 3กและ b = ก4ษาขัน ∴ c = a 2 +b2 = 9+16 = 5 ดังนั้น จุดศูนยกลางคือ (1, –3) จัดทําโดย F2(-4,-3) โฟกัสคือ (6, –3), (– 4, –3) (1,-3) จุดยอดคือ (4, –3), (–2, –3) สมการเส อ yม + 3การสอนวิ = ± 43 (x – 1)ทยาศาสตรและเทคโนโลยี สถาบันกํนากัสบงคืเสริ (2) ( x + 8) 2 − ( y − 6) 2 = 1 กระทรวงศึกษาธิการ สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ (x + 8)2 เทากับ 1 ซึ่งเปนจํานวนบวก ดังนั้น แกนตามขวางอยูในแนวนอน ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 = ค1รัง้ ทีห จะได a2 = 1 และ พิbม2 พ ่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม ∴ a = 1 และ b = 1 พ.ศ. ๒๕๔๗ ∴ c = a 2 +b2 = 1+1 = 2 (-8,6) ดังนั้น จุดศูนยกลางคือ (–8, 6) F1 ( −8 − 2 ,6 ) F2 ( −8 + 2 ,6) โฟกัสคือ ( −8± 2 , 6) องค6),การค จุดยอดคือ (-7, (–9, า6)ของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย สมการเสนกํากับ คือ พิyม–พ6ท=ี่โรงพิ ±(x + มพ8)คุรุสภาลาดพราว ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร Y มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

X F1(6,-3)

X F1 (1, 5 )

274 (3)

y2 −

( x − 1) 2 =1 4

สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ y2 เทากับ 1 ซึ่งเปนจํานวนบวก ดังนั้น แกนตามขวางอยูในแนวตั้ง จะได a2 = 1 และ b2 = 4 ∴ a = 1 และ b = 2 ∴ c = a 2 + b 2 = 1+ 4 = 5 ดังนั้น จุดศูนยกลางคือ (1, 0) โฟกัสคือ (1, ± 5 ) จุดยอดคือ (1, ±1)  yสาระการเรี  ณิตศาสตร สมการเสนกํากับ กลุ คือ ม = ± 12 (x −1) ยนรูค

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

(4)

( y − 1) 25

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

− ( x − 3) 2

1 ตามหลั กสูตทรการศึ น้ าพืกับน้ ฐาน กราช ๒๕๔๔ สังเกตว า สัมประสิ ธิ์ของ (yก–ษาขั 1)2 เท ซึพุ ่งเปทนธศั จํานวนบวก 25

ดังนั้น แกนตามขวางอยูในแนวตั้ง Y 2 2 จะได a = 25และ b = 1 ∴ a = 5 และ b = 1 จัดทําโดย ∴ c = a 2 + b 2 = 25+1 = 26 ดังนัสถาบั ้น จุดศูนนยส กลาง 1) งเสริคือม(3,การสอนวิ ทยาศาสตรและเทคโนโลยี(3 , 1 + 26 ) โฟกัสคือ (3, 1± 26 ) กษาธิการ จุดยอดคือ (3, 6), (3,กระทรวงศึ – 4) (3 , 1) สมการเสนกํากับ คือ y – 1 = ±5(x – 3)

( 3 , 1 − 26 )

275 4. (1) จากกราฟ จะได (h, k) = (0, 4), (x, y) = (1, 0) และพาราโบลาเปนโคงเปดลงดานลาง แทนคา (x, y) ลงในสมการมาตรฐานจะได 4p (0 – 4) (1 – 0)2 = 1 − ∴p = 16 ดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ x2 =

1 − ( y − 4) 4

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

(2) จากกราฟ จะได (h, k) = (– 6, 0), p = 6 และพาราโบลาเปนโคงเปดไปทางดานขวา ∴p = 6 ดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ y2 = 24(x + 6)

คณิตศาสตร เลม ๒

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

(3) จากกราฟ จะได 2a = 10 , 2b = 8 และแกนเอกอยูในแนวแกน X ∴ a = 5, b = 4 (h, k) = ( 10+2 0 , 0 ) = (5, 0)

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔

ดังนั้น สมการวงรีที่ตองการคือ

y2 ( x − 5) 2 + 16 25

(4) จากกราฟ จะได (h, k) = (2, –3) จัและ = 6, 2b = 4 และแกนเอกอยูในแนวแกน Y ดทํา2aโดย ∴ a = 3 และ b = 2 2

( x − 2) = แ1 ละเทคโนโลยี ดังนัสถาบั ้น สมการวงรี ี่ตองการคื อ ( y + 3) ท+ยาศาสตร นสงทเสริ มการสอนวิ 9

กระทรวงศึกษาธิการ

(5) จากกราฟ จะได (h, k) = (0, 1) และ 2a = 2 และแกนตามขวางอยูในแนวตั้ง ดังนั้น ab = 1

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9

∴ a = 1 และ b = 1 มพค่ตรัอง้งการคื ทีห่ นึอง่ (y๑๐,๐๐๐ = ม1 ดังนั้น สมการไฮเพอรโพิบลาที – 1)2 – x2 เล

276 (6) จากกราฟ จะได 2a = 6 – 2 = 4, (x, y) = (8, 4), (h, k) = (4, 0) และแกนตามขวางอยูใน แนวนอน ∴a = 2 แทนคา (x, y) ลงในสมการมาตรฐาน 2

( 4 − 0) 2 = 1 b2 16 ∴ = −1 = 3 4 16 = ∴ b2 3 2 2 สมการไฮเพอรโบลาที่ตองการคือ (x − 4) − 3y 4 16

∴

(8 − 4) 4 16 b2

–

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

ดังนั้น

คณิตศาสตร เลม ๒

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

5. (1) 9y2 – 36y + 4x2 = 0 ∴ 9(y2 – 4y + 4) – 36 + 4x2 = 0 36 ∴ 9(y – 2)2 + 4x2 =

ตามหลักสูตรการศึ กษาขัxน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ ( y − 2) ∴

เปนสมการวงรี

เนื่องจากตัวหารของ x2 มากกวาตัวหารของ (y – 2)2 ดังนั้น แกนเอกอยูในแนวนอน จัดทําโดย ∴ a2 = 9 และ b2 = 4 = 3 และ b = 2 สถาบันส∴งเสริมa2 การสอนวิ ทยาศาสตรและเทคโนโลยี ∴ c = a2 – b2 = 9 – 4 = 5 Y กษาธิการ ∴ c กระทรวงศึ = 5 จุดศูนยกลางคือ (0, 2) (0, 4) โฟกัสคือ ( ± 5 , 2) ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 (3, 2) (-3, 2) จุดยอดคือ (±3, 2) (0, 2) พิ ม พ ค รั ง ้ ที ห ่ นึ ง ่ ๑๐,๐๐๐ เล ม ความยาวแกนเอกคือ 6 พ.ศ. ๒๕๔๗ ความยาวแกนโทคือ 4 (0, 0)

277 (2)

∴ ∴

= 4y + 8x x2 x2 – 8x + 16 = 4y + 16 (x – 4)2 = 4(y + 4) สังเกตวา 4p = 4 ∴ p = 1>0 ดังนั้น พาราโบลาเปนโคงเปดขึ้นดานบน จุดยอดคือ (4, – 4) โฟกัส คือ (4, –3) ไดเรกตริกซคือ y = –5

เปนสมการพาราโบลา Y

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

X (4, -3)

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

(4, -4)

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ (3) y2 – 2y – 4x2 + 16x = 20 สูต2 –รการศึ ้ พื20น้ +ฐาน – 2y + 1) –ก4(x 4x + 4) กษาขั = น 1 – 16พุทธศักราช (y2 ตามหลั (y – 1)2 – 4(x – 2)2 = 5 ∴

4( x − 2) 2 ( y − 1) 2 − 5 5

y = -5

๒๕๔๔

เปนสมการไฮเพอรโบลา

1 สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ (y – 1)2 จัเทดาทํกับาโดย ซึ่งเปนจํานวนบวก 5 Y ดังนั้น แกนตามขวางอยูในแนวตั้ง

2 สถาบั เสริมbการสอนวิ ทยาศาสตรและเทคโนโลยี = 54 จะได a2 = น5สงและ

กษาธิการ และ bกระทรวงศึ = 25

∴ a =

∴ c =

a 2 +b2

5 4

5 2

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 ดังนั้น จุดศูนยกลางคือพิ(2, มพ1)ครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม โฟกัสคือ (2, 72 ), (2, − 32 ) พ.ศ. ๒๕๔๗ จุดยอดคือ (2, 1 ± 5 ) เสนกํากับคือ (y – 1) =

7 F1 ( 2 , ) 2 (2 ,1 + 5 )

(1 , 2) X ( 2 ,1 − 5 )

±2(x – 2)

องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย F (2 , − 32 ) 2

278 12y (4) x2 + 6x + 9 = ∴ (x + 3)2 = 12y เปนสมการพาราโบลา สังเกตวา 4p = 12 ∴ p = 3 ดังนั้น พาราโบลาเปนโคงเปดขึ้นดานบน จุดยอดคือ (–3, 0) โฟกัสคือ (–3, 3) ไดเรกตริกซคือ y = –3

(-3,3)

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

(-3,0) y = -3

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

(5) 4x2 – 24x + 25y2 + 250y = –561 4(x2 – 6x + 9) + 25(y2 +10y + 25) = –561 + 36 + 625 2 2 4(xตามหลั – 3) + 25(y กสู+ต5)รการศึกษาขัน้ พื=น้ ฐาน100พุทธศักราช ∴

( x − 3) 2 ( y + 5) 2 + 25 4

๒๕๔๔

เปนสมการวงรี

เนื่องจากตัวหารของ (x – 3)2 มากกวาตัวหารของ (y + 5)2 ดังนั้น แกนเอกอยูในแนวนอน จัดทําโดย Y 2 2 a = 25 และ b = 4 ∴สถาบั a = น 5 สงเสริม และการสอนวิ b = 2 ทยาศาสตรและเทคโนโลยี ∴ c2 = a2 – b2 = 25 – 4 = 21 กระทรวงศึกษาธิการ ∴ c = 21 (3,-3) จุดศูนยกลางคือ (3, –5) (-2,-5) (3,-5) ISBN 974 01 3820 9 โฟกัสคือ (3 ± 21 , –5) (3,-7) จุดยอดคือ (8, –5), (–2,พิม–5)พครัง้ ทีห ่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม ความยาวแกนเอกคือ 10 ความยาวแกนโท คือ 4

พ.ศ. ๒๕๔๗

(8,-5)

279 (6) x2 – 2x + 2y2 = 1 x2 – 2x + 1 + 2y2 = 2 (x – 1)2 + 2y2 = 2 ∴

( x −1) 2 2

+ y2 = 1

เปนสมการวงรี

สังเกตวา ตัวหารของ (x – 1)2 มากกวาตัวหารของ y2 ดังนั้น แกนเอกอยูในแนวนอน Y 2 2 a = 2 และ b = 1 ∴ a = 2 และ b = 1 (1,1) ∴ c2 = a2 – b2 = 2 – 1 = 1  สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร ∴ c = 1 กลุม (1,0) จุดศูนยกลางคือ (1, 0) (1 − 2 ,0 ) โฟกัสคือ (0, 0), (2, 0) จุดยอดคือ (1 ± 2 , 0) ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศั( 1ก, ราช -1 ) ความยาวแกนเอกคือ 2 2 ความยาวแกนโทคือ 2

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒ ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

(1 + 2 ,0 )

๒๕๔๔

(7) 16x2 – 96x – 9y2 = –288 จัดทําโดย 16(x2 – 6x + 9) – 9y2 = –288 + 144 2 9yส –144 16(xสถาบั – 3)2 –น งเสริม= การสอนวิ ทยาศาสตรและเทคโนโลยี ∴

( x − 3) 2 y2 − 16 9

เปนสมการไฮเพอรโบลา

กระทรวงศึ1 กษาธิการ

สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ y2 เทากับ

ซึ่งเปนจํานวนบวก

ดังนั้น แกนตามขวางอยูในแนวตั้ง Y 2 2 ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 Q a = 16 และ b =9 ่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม ∴ a = 4 และ พิbมพ = ค3รัง้ ทีห ∴ c = a 2 + b 2 = 16+ 9 พ.ศ. = 5 ๒๕๔๗ F1 ( 3,5) (3,4) จุดศูนยกลางคือ (3, 0) โฟกัสคือ (3, ±5) (3,0) จุดยอดคือ (3, ±4) องค4การคาของคุรุสภาจัดพิมพจํา(3,-4) หนาย เสนกํากับคือ y = ± (x − 3) 3 พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพร F2า(ว3,−5) ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

280 (8) 4y2 – 4y 1 4( y 2 − y + ) 4 1 2 4( y − ) 2 1 2 (y − ) 2

สังเกตวา ∴ p

= =

8x – 9 8x – 9 + 1

8(x – 1)

2(x – 1) เปนสมการพาราโบลา

= =

คูม อื ครูสาระการเรียนรู=เ พิม่ เติม 1 > 0 2

1 2

คณิตศาสตร เลม ๒

ดังนั้น พาราโบลาเปนโคงเปดไปทางขวา จุดยอดคือ (1, 12 ) โฟกัสคือ

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

3 1 ( , ) 2 2

ไดเรกตริกซคือ x =

1 (1, ) 2

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ 1 2

3 1 ( , ) 2 2

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ (9) x2 – 4(y2 + 2x) = –16 Y จั ด ทํ า โดย 2 2 x – 8x – 4y = –16 x2 – 8x + 16 – 4y2 = 0 2 สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี (x –สถาบั 4)2 – 4yน = 0 ∴ y = ± 12 (x – 4)กระทรวงศึกษาธิการ ( 4 , 0)

281 (10) x2 – 10x – y2 + 10y = 1 x2 – 10x + 25 – (y2 – 10y + 25) = 1 + 25 – 25 (x – 5)2 – (y – 5)2 = 1 เปนสมการไฮเพอรโบลา สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ (x – 5)2 เทากับ 1 เปนจํานวนบวก ดังนั้น แกนตามขวางอยูในแนวนอน Y ∴ a2 = 1 = b2 ∴ a =1=b ∴ c = a 2 +b2 = 1+1 = 2 ( 5 −ตศาสตร 2 ,5) (4,5) (6,5) ( 5 + 2 ,5) จุดศูนยกลางคือ (5, กลุ5)ม สาระการเรียนรูค ณิ (5,5) โฟกัสคือ (5 ± 2 , 5) จุดยอดคือ (6, 5), (4, 5) เสนกํากับคือ y – 5 = ± (x – 5)

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒ ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔

จัดทําโดย

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

(11) 3x2 – 6x + 4y2 – 24y = –39 3(x2 – 2x + 1) + 4(y2 – 6y กระทรวงศึ + 9) = –39 + 3 +ก36 ษาธิการ 2 2 3(x – 1) + 4(y – 3) = 0 (y – 3)2 = − 34 (x −1) 2 ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 เนื่องจาก (y – 3)2

(1, 3)

≤ 0 พิมพครัง้ −ที4ห่ (xนึ–1ง่ )๑๐,๐๐๐ เลม 2 3 ดังนั้น (y – 3) = 0 = − 4 (x −1) พ.ศ. ๒๕๔๗ ≥

0 และ

∴ x = 1 และ y = 3

282 (12) x2 + 20x + 4y2 – 40y = –300 x2 + 20x + 100 + 4(y2 – 10y + 25) = –300 + 100 + 100 = –100 (x + 10)2 + 4(y – 5)2 ซึ่งเปนไปไมได เนื่องจาก –100 < 0 แต (x + 10)2 + 4(y – 5)2 ≥ 0 ดังนั้น สมการไมมีกราฟในระนาบจํานวนจริง

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิ ต ศาสตร เล ม ๒ =

6. (1) 2y2 – 4y + x + 5 = 0 ∴ y

− (− 4) ± (− 4) 2 − 4(2)( x + 5)

= =

2( 2) กลุม สาระการเรี ยนรูค ณิตศาสตร 4 ± 16 − 8( x + 5)

ชั1น้ ± มั1 ธ4ยมศึ กษาปที่ ๔ − 2 x − 10 4

2 1 1 ± กษาขั − 2 xน ตามหลัก=สูตรการศึ ้ −พื6 น้ ฐาน 2 ใชเครื่องคํานวณเขียนกราฟของ 1 1+ − 2x − 6 y = 2

และ y

1−

พุทธศักราช ๒๕๔๔

จัดทําโดย

1 − 2x − 6 2

2 งเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี (2) 9y2สถาบั – 36y + น 4xส =0

∴ y

กระทรวงศึกษาธิการ

− (−36) ± (−36) 2 − 4(9)(4 x 2 ) 2(9)

36 ± (36) 2 −36( 4x 2 ) 18 6( 2) 9− x 2 2± 18 2 2± 9− x 2 3

= =

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม พ.ศ. ๒๕๔๗

ใชเครื่องคํานวณเขียนกราฟของ 2 2+ 9− x 2 y = 3 และ y

2−

2 9− x 2 3

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

283 (3) 9y2 – 36y + 36 – 6x – x2 = 0 ∴ y

− (−36) ± (−36) 2 − 4(9)(36 − 6 x − x 2 ) 2(9)

36 ± (36) 2 − 36(36 − 6 x − x 2 ) 18 6 2± 36 − 36 + 6x + x 2 18 1 2 ± x 2 + 6x 3

คูม= อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม ใชเครื่องคํานวณเขียนกราฟของ 1 2 ± x 2 + 6x y = 3

คณิตศาสตร เลม ๒

1 = กลุม 2 − x 2 + 6x ยนรูค  สาระการเรี  ณิตศาสตร 3

และ y

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

(4) –4y2 + 8y + x2 + 4x = 0 ∴ y

− 8 ± 82 − 4(−4)( x 2 + 4x ) 2( −4)

− 8 ± 64 +16( x 2 + 4x ) −8 4 1± 4 + (x 2 + 4x ) 8 1 1± 4 + 4x + x 2 2

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ = =

จัดทําโดย

ใชเครื่องคํานวณเขียนกราฟของ 1 สถาบั 1+การสอนวิ 4 + 4 x + x 2ทยาศาสตรและเทคโนโลยี y นส=งเสริม 2 =

1 4 + 4x + x กษาธิการ กระทรวงศึ 2

1−

7. 4x2 + 4x + y2 – 8y = –F ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 4(x2 + x + 14 ) + y2 – 8y + 16 = –F + 1 + 16 4(x +

1 2 ) + (y – 4)2 2

(1) ถาสมการเปนวงรี ∴ 17 – F > 0 ∴ F < 17

พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม 17 – F พ.ศ. ๒๕๔๗

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

284 (2) ถาสมการเปนจุดจุดเดียว ∴ 17 – F = 0 ∴ F = 17 (3) ถาสมการเปนเซตวาง ∴ 17 – F < 0 ∴ F > 17

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

y ∴ y2 สังเกตวา ∴p

คณิ ต ศาสตร เล ม ๒ = – x + 100

 สาระการเรี  ณิตศาสตร = กลุม – (x – 100) ยนรูค 4p = –1 1 − < 0 = 4

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

ดังนั้น พาราโบลาเปนโคงเปดทางดานซาย ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน ∴ จุดยอดคือ (100, 0) , 0) และโฟกัสคือ ( 399 4

พุทธศักราช ๒๕๔๔

เนื่องจากโฟกัสอีกจุดคือ จุดกําเนิด ดังนั้น แกนเอกอยูในแนวแกน X จัดทําโดย 399 ∴ 2c = 4

สถาบันส=งเสริม399การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 8 399 จุดศูนยกลางคือ ( 12 ( 399 +กระทรวงศึ 0), 0) = ( กษาธิ , 0) การ 4 8 ∴ c ∴ a

∴ b2

100 −

399 8

401 8

974 - 01 - 3820 - 9 พิ⎛⎜ม401 พค⎞⎟ รัง้−ที⎛⎜ ห่ 399นึ⎞⎟ง่ ๑๐,๐๐๐ เลม ⎝ 8 ⎠ ⎝ 8 ⎠ พ.ศ. ๒๕๔๗ 160801 159201 −

a2 –ISBN c2 2

399 2 ) y2 8 + 160801 25

64( x −

1 าย ดังนั้น สมการวงรีองค ที่ตอกงการคื ารคาอของคุรุสภาจัดพิมพจ=ําหน

285

แบบฝกหัดทบทวน 1. (x – h)2 + (y – k)2 = r2

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

2. (1) วงรี คือ เซตของจุดทัง้ หมดในระนาบซึง่ ผลบวกของระยะทางจากจุดใด ๆ ไปยังจุด 2 จุด ซึง่ ตรึงอยูก ับที่ มีคาคงตัว และเรียกจุดคงที่ซึ่งตรึงอยูกับที่ทั้งสองวา โฟกัส (2) จุดยอด คือ (±a, 0) โฟกัส คือ (±c, 0) โดยที่ c = a 2 − b 2 กลุม นสาระการเรี ยนรูค ณิตศาสตร แกนเอก คือ สวนของเส ตรงที่เชื่อมจุดยอด แกนโท คือ สวนของเสนตรงที่เชื่อมจุด (0, b) กับจุด (0, – b)

คณิตศาสตร เลม ๒ ชัน้ มัธยมศึ กษาปที่ ๔ Y

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ (0,พืน้ b)ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ (–a, 0)

F2(–c, 0) จัดทําFโดย 1(c, 0)

(a, 0)

สถาบันสงเสริมการสอนวิ(0,ท–b)ยาศาสตรและเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ (3) ความเยื้องศูนยกลาง คือ อัตราส วน c974 ตอ -a01ใช- 3820 วัดความรี ISBN - 9 ของวงรี ถาความเยื้องศูนยกลางเขาพิใกล มีความรีมเล ากม มพ1ครัแสดงว ง้ ทีห่ นึา ง่ วงรี๑๐,๐๐๐ ถาความเยื้องศูนยกลางเขาใกล 0 แสดงวา วงรีมีความรีนอย พ.ศ. ๒๕๔๗ คํานวณโดย e = ac โดยที่ c = a 2 − b 2 (4)

x2 b2

y2 a2

= 1, a > b > 0

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

286 3. (1) พาราโบลา คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งหางจากจุดจุดหนึ่งที่ตรึงอยูกับที่และเสนตรง ที่ตรึงอยูกับที่เสนหนึ่งเปนระยะทางเทากัน เราจะเรียกจุดที่ตรึงอยูกับที่วาโฟกัส Y และเรียกเสนตรงที่ตรึงอยูกับที่วาไดเรกตริกซ

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

(2) จุดยอด คือ (0, 0) โฟกัส คือ (0, p) ไดเรกตริกซ คือ y = –p

คณิตศาสตร เลม ๒

F(o, p) X

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

y = -p

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ ถา p < 0 กราฟของพาราโบลาจะมีลักษณะเปนโคงเปดลงดานลาง

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ Y พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ y =p

จัดทําโดย

F(o, -p)

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ Y

(3) จุดยอด คือ (0, 0) ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 โฟกัส คือ (p, 0) = -p ่ นึง่ x ๑๐,๐๐๐ เลม ไดเรกตริกซ คือ x = –pพิมพครัง้ ทีห

พ.ศ. ๒๕๔๗

F(p , 0 )

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

287 ถา p < 0 พาราโบลาจะเปนโคงเปดไปทางดานซาย Y

คูม อื ครูสาระการเรียนรูx =เ pพิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

X กลุม F(-p สาระการเรี ยนรูค ณิตศาสตร ,0)

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ 4. (1) ไฮเพอรโบลา คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบ ซึ่งผลตางของระยะทางจากจุดใด ๆ ไปยังจุด 2 จุด ซึ่งตรึงอยูกับที่มีคาคงตัว จุด 2 จุดดังกล กวาโฟกัส จัดาวเรี ทํายโดย (2) จุดยอด คือ (±a, 0) สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี โฟกัส คือ (±c, 0) โดยที่ c = a 2 + b 2 เสนกํากับ คือ y = ± ba x กระทรวงศึกษาธิการ แกนตามขวาง คือ สวนของเสนตรงที่เชื่อมจุดยอดทั้งสอง

ISBN 974 -Y01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม b b ๒๕๔๗ y = − พ.ศ. x y= x a a

(-a,0)รุสภาจั (a,0)ดพิFม2(c,0) องคกFารค าของคุ พจําหนาย 1(-c,0)

288 (3)

y2 a2

–

x2 b2

= 1

(4) วิธีเขียนกราฟของไฮเพอรโบลา 1) วาดรู ป สี่ เ หลี่ ย มมุ ม ฉากศู น ย ก ลาง ซึ่ ง เป น รู ป สี่ เ หลี่ ย มมุ ม ฉากมี จุ ด กําเนิ ด เป น ศู น ย ก ลาง มีแตละดานขนานกับแกนพิกัดและตัดแกนพิกัดที่ ±a และ ±b 2) ลากเสนกํากับ ซึ่งเปนเสนตรงที่เกิดจากการตอเสนทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิ ต ศาสตร เล ม ๒ จุดที่ระยะตัดแกน Y ทั้งสอง (y = ) ของ =1

3) ลงจุดยอด คือ จุดที่ระยะตัดแกน X ทั้งสองที่จุด (x = ±a

−

±a )

ของ

x2 a2

−

y2 b2

หรือ

กลุม สาระการเรี ยนรูดยอดที ค ณิลตะจุศาสตร 4) เขียนกราฟของไฮเพอร โบลา เริ่มตนจากจุ ด แลวลากเสนโคง ลูเขาหาเสนกํากับ a2

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

5. (1) แทน x ดวย x – h กราฟจะเลื่อนไปทางขวา h หนวย แทน x ดวย x + h กราฟจะเลื่อนไปทางซาย h หนวย ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช (2) แทน y ดวย y – k กราฟจะเลื่อนขึ้นบางบน k หนวย แทน y ดวย y + k กราฟจะเลื่อนลงขางลาง k หนวย

๒๕๔๔

จัดทําโดย 6. กราฟจะเปนวงกลม ถา A = C กราฟจะเปนวงรี ถา A และ C มีเครื่องหมายเหมือนกัน กราฟจะเปนสถาบั พาราโบลา าAม หรืการสอนวิ อ C เปน 0 แค ตัวใดตัวหนึ่ง และเทคโนโลยี นสงถเสริ ทยาศาสตร กราฟจะเปนไฮเพอรโบลา ถา A และ C มีเครื่องหมายตรงกันขาม

กระทรวงศึกษาธิการ

7. (x – 2)2 + (y + 5)2 = 4

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 8. (h, k) = (–5, 1) และ (x, y) พิ= ม(0, พค0)รัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม แทนคา (x, y) ลงในสมการมาตรฐานจะได พ.ศ. ๒๕๔๗ (0 + 5)2 + (0 – 1)2 = r2 ∴ r2 = 26 ดังนั้น สมการวงกลมที่ตองการคือ (x + 5)2 + (y – 1)2 = 26

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

289 9. จากโจทยจะไดจุดศูนยกลาง คือ 2r = = ∴ r =

(

2 + ( −1) 3 + 8 ) , 2 2

1 11 ( , ) 2 2

(2 − (−1)) 2 + (3 − 8) 2

9+ 25

34 2

คูม อื ครูสาระการเรีย=นรูเ พิม่ เติม

ดังนั้น สมการวงกลมที่ตองการคือ

17 2

11 1 (x − ) 2 + ( y − ) 2 2 2

คณิตศาสตร เลม ๒

10. (1) x2 + 2x + y2 – 6y = –9 x2 + 2x + 1 + y2 – 6yกลุ + 9ม = –9ย+นรู 1 +ค  สาระการเรี  9 ณิตศาสตร ∴ (x + 1)2 + (y – 3)2 = 1 เปนสมการวงกลม จุดศูนยกลาง คือ (–1, 3) รัศมี คือ 1 หนวย

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔

(2) 2x2 – 2x + 2y2 + 8y

2 1 2( x 2 − x + ) + 2(y + 4y + 4) 4 ∴ 2( x − 12 ) 2 + 2( y + 2) 2 ∴ (x − 12 ) 2 + ( y + 2) 2 จุดศูนยกลาง คือ ( 12 , − 2) รัศมี คือ 3 หนวย 2

1 2

1 1 + +8 2 2

9 2

= จัด9ทําโดย

เปนสมการวงกลม

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ

(3) x2 – 12x + y2 = ISBN –72 974 - 01 - 3820 - 9 x2 – 12x + 36 + y2 =พิมพค–72 รัง้ ที+ห่ 36นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม = –36พ.ศ. ๒๕๔๗ ∴ (x – 6)2 + y2 ซึ่งเปนไปไมได เนื่องจาก –36 < 0 ดังนั้น ไมมีกราฟในระนาบจํานวนจริง

290 = –34 (4) x2 – 6x + y2 – 10y 2 2 x – 6x + 9 + y – 10y + 25 = –34 + 9 + 25 = 0 (x – 3)2 + (y – 5)2 = – (y – 5)2 ∴ (x – 3)2 เนื่องจาก (x – 3)2 ≥ 0 และ – (y – 5)2 ≤ 0 ดังนั้น (x – 3)2 = 0 = – (y – 5)2 ∴ x = 3 และ y = 5 ดังนั้น กราฟนี้ คือ จุด 1 จุด

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

11. (1) ∴

y2 x2 + 4 16

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

= 1

สังเกตวา ตัวหารของ x2 มากกวาตัวหารของ y2 ดังนั้น แกนเอกอยูในแนวนอน ตามหลักสูตรการศึกษาขั น้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ b2 = 4 ∴ a2 = 16 และ ∴ a = 4 และ b =2 ∴ c2 = a2 – b2 = 16 – 4 = 12 จัดทําโดย ∴ c = 2 3 จุดศูนยกลาง คือ (0, 0) สถาบั จุดยอด คือ (±น4,ส0)งเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี โฟกัส คือ (± 2 3 , 0) กระทรวงศึกษาธิYการ ความยาวแกนเอก คือ 8 ความยาวแกนโท คือ 4

ISBN 974 - 01 - 3820(-09,2 ) พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม ( -4 ,0 ) ( −2 3 ,0 ) พ.ศ. ๒๕๔๗

( 2 3 ,0 ) ( 4 ,0 )

( 0 ,-2 )

291 (2) ∴

y2 x2 + 1 1 ( ) ( ) 9 4

เนื่องจากตัวหารของ y2 มากกวาตัวหารของ x2 ดังนั้น แกนเอกอยูในแนวตั้ง Q a2 = 14 และ b2 = 19 1 ∴ a = 12 และ b = 3 ∴ c = a 2 − b 2 = 1 − 1 = 65

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

1 (0, ) 2 5 ) 6

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร 4

จุดศูนยกลาง คือ (0, 0) จุดยอด คือ (0, ± 12 ) โฟกัส คือ (0,

5 6

(0,

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

1 ( ,0) 3

1 (− ,0) 3

)

ตามหลักสูคืตอรการศึ กษาขัน้ พืน้ ฐาน ความยาวแกนเอก 1 ความยาวแกนโท คือ 23

5 ,− ๒๕๔๔ ) พุทธศัก(0ราช 6

1 (0,− ) 2

จัดทําโดย (3) 4x2 + 9y2 – 36y = 0 4x2 + 9 (y2 – 4y + 4) = 36 2 + 9(yน – 2) 36 ∴ 4x สถาบั ส2งเสริ= มการสอนวิ ทยาศาสตรและเทคโนโลยี ∴

( y − 2) 2 x2 + 9 4

1 กระทรวงศึ กษาธิการ

สังเกตวา ตัวหารของ x2 มากกวาตัวหารของ (y – 2)2 ดังนั้น แกนเอกอยูในแนวนอน ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 Y ∴ a2 = 9 และ b2 = 4 ่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม ∴ a = 3 และ bพิม= พ2 ครัง้ ทีห (0,4) ∴ c = a 2 − b 2 = 9 − 4 พ.ศ. = 5๒๕๔๗ จุดศูนยกลาง คือ (0, 2) ( -3 , 2 ) ( − 5 , 2 ) ( 5 , 2) ( 3 , 2 ) จุดยอด คือ (±3, 2) (0,2) โฟกัส คือ ( ± 5 , 2) องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนา(ย0 , 0 ) ความยาวแกนเอก คือ 6 ความยาวแกนโท คือ 4 พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

292 (4) 2x2 – 4x + y2 + 4y = 2 2(x2 – 2x + 1) + (y2 + 4y + 4) = 2 + 2 + 4 2(x – 1)2 + (y + 2)2 = 8 ∴

( y + 2) 2 ( x − 1) 2 + 8 4

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

เนื่องจากตัวหารของ (y + 2)2 มากกวาตัวหารของ (x – 1)2 ดังนั้น แกนเอกอยูในแนวตั้ง ∴ a2 = 8 และ b2 = 4 (-1,-2) ∴ a = 2 2 และ b = 2 กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร ∴ c = a 2 − b 2 = 8− 4 = 2 จุดศูนยกลาง คือ (1, –2) จุดยอด คือ (1, − 2 ± 2 2 ) โฟกัส คือ (1, 0), (1, – 4) ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราชY ความยาวแกนเอก คือ 4 2 ความยาวแกนโท คือ 4

(1,−2 + 2 2 )

คณิตศาสตร เลม ๒

(1,0)

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

(1,-4)

(1,-2)

(3,-2)

(1,−2 − 2 2 )

๒๕๔๔ y =2

(0,0) จัดทําโดย = –8y 12. (1) ∴ x2 สังเกตวา 4p = –8 (0,-2) ∴ สถาบั p น=สงเสริ –2ม<การสอนวิ 0 ทยาศาสตรและเทคโนโลยี ดังนั้น พาราโบลาเปนโคงเปดลงดานลาง กระทรวงศึกษาธิการ จุดยอด คือ (0, 0) โฟกัส คือ (0, –2) Y ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 ไดเรกตริกซ คือ y = 2

= (2) ∴ y2 สังเกตวา 4p = ∴ p =

พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม พ.ศ. ๒๕๔๗

2x 2 1 2

x=−

1 2

ดังนั้น พาราโบลาเปนโคงเปดทางขวา จุดยอด คือ (0, 0)องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย โฟกัส คือ ( 12 , 0) พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว ไดเรกตริก๒๒๔๙ ซ คือ xถนนลาดพร = − 12 าว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

1 ( ,0) 2

293 = (3) y2 – 4y ∴ y2 – 4y + 4 ∴ (y – 2)2 สังเกตไดวา 4p ∴ p =

x–2 = x–2+4 = (x + 2) = 1 >0

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม 1 4

ดังนั้น พาราโบลาเปนโคงเปดไปทางขวา จุดยอด คือ (–2, 2) โฟกัส คือ (− 74 , 2) x = −9

คณิตศาสตร เลม ๒

กลุม 9สาระการเรี4ยนรูค ณิตศาสตร

ไดเรกตริกซ คือ x =

−

ชัน้ มัธยมศึ (-2, 2) ก( ษาป , 2) ที่ ๔ 4

−

7 4

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔

จัดทําโดย (4) 2x2 + 6x = –5y – 10 สถาบั น ส ง เสริ ม การสอนวิ ทยาศาสตรและเทคโนโลยี = –5y – 10 + 92 2(x2 + 3x + 94 ) 3 2( x + ) 2 2 3 2 (x + ) 2

สังเกตวา 4p =

−

กระทรวงศึ กษาธิการ –5y – 11 2 11 5 − (y + ) 10 2

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 พิมพ< ค0รัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ 19 เลม (− 3 , − 11 ) ∴ p = y=− 2 10 40 3 69 พ.ศ. ๒๕๔๗ ดังนั้น พาราโบลาเปนโคงเปดลงดานลาง ( − ,− ) 2 40 จุดยอด คือ

โฟกัส คือ

5 2 5 − 8

3 11 (− , − ) 2 10 69 3 (− , − ) 40 2

ารคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย ไดเรกตริกซ คือ yองค = −ก19 40 พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

294 13. (1) ∴

x 2 y2 − 16 8

สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ x2 เทากับ

1 16

ซึ่งเปนจํานวนบวก

ดังนั้น ไฮเพอรโบลามีแกนตามขวางอยูในแนวนอน ∴ a2 = 16 และ b2 = 8 ∴ a = 4 และ b = 2 2 ∴ c = a 2 + b 2 = 16+ 8 = 2 6 Y จุดศูนยกลาง คือ (0, 0) จุดยอด คือ (±4, 0) 2 y=− x โฟกัส คือ ( ± 2 6 , 0) y= 2 2 2) (0,ศาสตร กลุม สาระการเรี ย นรู ค  ณิ ต เสนกํากับ คือ y = ± 22 x

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒ ชัน้ มัธ(−ยมศึ กษาปที่ ๔ 2 6 ,0 ) ( -4 , 0 )

2 x 2

( 4 , 0 ) ( 2 6 ,0 ) F1

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ (0, – 2

(2) ∴

y x − 4 16

จัดทําโดย =1

สถาบั สงเสริ และเทคโนโลยี สังเกตว า สัมนประสิ ทธิ์ขม องการสอนวิ y2 เทากับ 14 ทซึยาศาสตร ่งเปนจํานวนบวก ดังนั้น แกนตามขวางอยูในแนวตั ้ง กระทรวงศึ กษาธิการ ∴ a2 = 4 และ b2 = 16 ∴ a = 2 และ b = 4 ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 ∴ c = a 2 +b2 ่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม = 4 +16 พิ=มพ2ครั5ง้ ทีห (-4,0) จุดศูนยกลาง คือ (0, 0) พ.ศ. ๒๕๔๗ จุดยอด คือ (0, ±2) โฟกัส คือ (0, ± 2 5 ) เสนกํากับ คือ y = ± 12 x

F1 ( 0 ,2 5) (0,2) (4,0) (0,-2)

องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย F2 (0,−2 พิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

295 (3) 9y2 + 18y – (x2 + 6x) = 18 9(y2 + 2y + 1) – (x2 + 6x+ 9) = 18 + 9 – 9 9(y + 1)2 – (x + 3)2 = 18 ∴

( y + 1) 2 ( x + 3) 2 − 2 18

สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ (y + 1)2 เปนจํานวนบวก ดังนั้น แกนตามขวางอยูในแนวตั้ง ∴ a2 = 2 และ b2 = 18 ∴ a = 2 และ b = 3 2 ∴ c = a 2 + b 2 = 2 +18 = 2 5  –1)สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร จุดศูนยกลาง คือ กลุ (–3,ม จุดยอด คือ (–3, −1± 2 ) โฟกัส คือ (–3, −1± 2 5 ) เสนกํากับ คือ y = ± 13 x

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒ ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ Y

F1 ( −3,จั−1ด+ทํ2าโดย 5)

สถาบันสงเสริมการสอนวิ และเทคโนโลยี ( −3,−1 + ท2ยาศาสตร ) X ( −3 − 3 2 ,−1) กระทรวงศึ กษาธิการ( −3 + 3 2 ,−1) (-3,-1) ( −3,−1 − 2 )

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 พิมพFค(รั−ง้3,ที−1ห่ −นึ2 ง่ 5 )๑๐,๐๐๐ เลม พ.ศ. ๒๕๔๗ 2

296 (4) y2 – 6y – x2 y2 – 6y + 9 – x2 ∴

= 0 = 9

( y − 3) 2 x2 − 9 9

สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ (y – 3)2 เทากับ

1 9

ซึ่งเปนจํานวนบวก

ดังนั้น แกนตามขวางอยูในแนวตั้ง Y ∴ a2 = 9 = b2 ∴ a =3=b ∴ c = a 2 + b 2 = 9+ 9 = 3 2 F1 (0 ,3 + 3 2 ) จุดศูนยกลาง คือ (0, 3) กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร (0,6) จุดยอด คือ (0, 0), (0, 6) (-3,3) (0,3) (3,3) โฟกัส คือ (0, 3± 3 2 ) เสนกํากับ คือ y = ±x (0,0)

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒ ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักFราช ๒๕๔๔ 3 2) 2 ( 0 ,3 − จัดทําโดย 14. (1) ∴ y2 = –12(x – 1) เปนสมการพาราโบลา Y สถาบั นส=งเสริ–12มการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี สังเกตว า 4p ∴ p = –3 <กระทรวงศึ 0 กษาธิการ ดังนั้น พาราโบลาเปนโคงเปดทางซาย x=4 จุดยอด คือ (1, 0) ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 โฟกัส คือ (–2, 0) พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลมF(-2,0) (1,0)

297 (2) ∴ ∴ ∴ ∴

y2 − y x2 + 12 144 1 y2 − y + 2 4 + x 12 144 1 2 (y − ) x2 2 + 12 144 1 2 (y − ) 2 2 + x 1 3 ( ) 4

1 48

คูม อื ครูส= าระการเรี ยนรูเ พิม่ เติม 1 เปนสมการวงรี

คณิตศาสตร เลม ๒ 1 (y − ) 2 2

สังเกตวา ตัวหารของ x2 มากกวาตัวหารของ

ดังนั้น แกนเอกอยูกลุ ในแนวนอน ม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร 2 และ b2 = 14 ∴ a =3 ∴ a =

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

∴ c =

1 2 1 3− 4

และ b =

= 2 ตามหลักaสู−ตbรการศึ กษาขัน้ =พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ 2

จุดศูนยกลาง คือ (0, จุดยอด คือ ( ± โฟกัส คือ

(±

11 , 2

1 ) 2 1 ) 2 1 ) 2

จัดทําโดย

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี 1 0, ) กระทรวงศึ 11 ก 1 ษาธิก(าร 1 11 1 2 , ) (− 3 , ) F (− , ) F( 2

1 ( 3, ) 2

298 (3) x2 – y2 = –144 ∴

y2 144

x – 144 = 1

เปนสมการไฮเพอรโบลา

สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ y2 เทากับ

1 144

ซึ่งเปนจํานวนบวก

ดังนั้น แกนตามขวางอยูในแนวตั้ง ∴ a2 = 144 = b2 ∴ a = 12 = b ∴ c = a 2 + b 2 = 144 +144 = 12 2 จุดยอด คือ (0, ±12) โฟกัส คือ (0, ± 12 2 ) เสนกํากับ y = ±x

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

ชัน้ มัธยมศึYกษาปที่ ๔ ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ F1 (0 ,12 2 )

(0,12)

จัดทําโดย (-12,0)

(12,0)

X สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี กระทรวงศึก(0,-12) ษาธิการ

ISBN 974 - 01F -(3820 0, −12- 92 ) พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม พ.ศ. ๒๕๔๗ 2

299 (4) x2 + 6x – 9y2 = 0 x2 + 6x + 9 – 9y2 = 9 ∴ (x + 3)2 – 9y2 = 9 ∴

( x + 3) 2 − y2 9

= 1

เปนสมการไฮเพอรโบลา

สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ (x + 3)2 เทากับ

1 9

ซึ่งเปนจํานวนบวก

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

ดังนั้น แกนตามขวางอยูในแนวนอน ∴ a2 = 9 และ b2 = 1 ∴ a = 3 และ b = 1 ∴ c = a 2 + b 2 = 10 กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร จุดยอด คือ (0, 0), (–6, 0) เสนกํากับ y = ± 1 (x + 3) โฟกัส คือ (–3 ± 10 , 0 )

คณิตศาสตร เลม ๒ ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ 3

Y พุทธศักราช ๒๕๔๔ ตามหลักสูตรการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน

จัดทําโดย (−3 − 10 , 0)

(-6,0)

(-3,0)

(0,0)

(−3 + 10 , 0)

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม = 0พ.ศ. ๒๕๔๗

(5) 4x2 – 8x + y2 – 8y 4(x2 – 2x + 1) + y2 – 8y + 16 4(x – 1)2 + (y – 4)2 = ( x −1) 2 5

( y − 4) 2 20

= 20

4 + 16

1 รุสเปภาจั นสมการวงรี องคก=ารคาของคุ ดพิมพจําหนาย

สังเกตวา ตัวหารของ (yพิม– พ4)ท2 ี่โมากกว (x – า1)ว2 รงพิมพาตัควุรหารของ ุสภาลาดพร ๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

300 ดังนั้น แกนเอกอยูในแนวตั้ง ∴ a2 = 20 และ และ ∴ a = 2 5 ∴ c = a 2 −b2 = จุดศูนยกลาง คือ (1, 4) จากยอด คือ (1, 4 ± 2 5 ) โฟกัส คือ (1, 4 ± 15 )

Y 2

b =5 b= 5 20 − 5 =

(1,4 + 2 5 )

F1 (1, 4 + (1 − 5 ,4 )

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม (1,4 )

คณิตศาสตร เลม ๒

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

15 )

(1 + 5 ,4)

F2 (1, 4 −

15 )

(1,4 − 2 5 )

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ (6) 3x2 – 6x – 6y = 10 2 ้ 10พื+น้ 3 ฐาน – 2x + 1)กสูตรการศึ = กษาขั 6y +น 3(xตามหลั 13 = 2( y + ) ∴ (x – 1)2 6 สังเกตวา ∴

4p p

= =

พุทธศักราช ๒๕๔๔

2 1 2

จั>ด0ทําโดย

ดังนั้น พาราโบลาเปนโคงซึ่งเปดขึ้นดานบน Y 13 สถาบั สง−เสริ )มการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี จุดยอด คือ น(1, 6 โฟกัส คือ

5 (1, − ) 3

กระทรวงศึกษาธิการ ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม พ.ศ. ๒๕๔๗ (1, − 53 ) (1, − 136 )

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

301 (7) y2 – 16y + 64 ∴ (y – 8)2 สังเกตวา 4p ∴ p

= = = =

x + 64 x + 64 1 1 >0 4

257 x=− 4

ดังนั้น พาราโบลาเปนโคงซึ่งเปดไปทางขวา จุดยอด คือ (– 64, 8) (-64,8) 255 โฟกัส คือ (− 4 , 8)

F(−

255 ,8) 4

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

คณิตศาสตร เลม ๒

เสนไดเรกตริกซ คือ x =

−

257 4

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ (8) 2x2ตามหลั – 4x – y2 ก= สู–ต4รการศึกษาขัน ้ พืน้ ฐาน 2 2 = –4+2 2(x – 2x + 1) – y 2(x – 1)2 – y2 = –2 ∴

y2 − ( x − 1) 2 2

พุทธศักราช ๒๕๔๔

เปนสมการไฮเพอรโบลา

จัดทําโดย

สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ y2 เทากับ

1 2

ซึ่งเปนจํานวนบวก

Y ดังนัสถาบั ้น แกนตามขวางอยู ในแนวตั ้ง น ส ง เสริ ม การสอนวิ ท ยาศาสตร แ ละเทคโนโลยี ∴ a2 = 2 และ b2 = 1 กระทรวงศึ ∴ a= 2 และ b = 1 กษาธิการ ∴ c = a 2 +b2 = 2 + 1 = 3 จุดศูนยกลาง คือ (1, 0) ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 F1(1, 3 ) จุดยอด คือ (1, ± 2 )พิมพครัง้ ทีห ่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม (1, 2 ) โฟกัส คือ (1, ± 3 ) (1,0) พ.ศ. ๒๕๔๗ เสนกํากับคือ y = ± 2 (x −1) (1,− 2 ) F2(1,- 3 )

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

302 (9) 2x2 – 12x + y2 + 6y 2(x2 – 6x) + y2 + 6y 2(x2 – 6x + 9) + y2 + 6y + 9

= = =

–26 –26 –26 + 18 + 9

( x − 3) 2 + ( y + 3) 2 1 ( ) 2

∴

เปนสมการวงรี

สังเกตวา ตัวหารของ (y + 3)2 มากกวาตัวหารของ (x – 3)2 ดังนั้น แกนเอกอยูในแนวตั้ง ∴ a2 = 1 และ b2 = 12

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

∴ a =1 ∴ c =

คณิ ต ศาสตร เล ม ๒ และ b = 1 2

กลุม สาระการเรี ยนรูค ณิตศาสตร 1 =

a 2 −b2

้ มัธยมศึกษาปที่ ๔ จุดศูนยกลาง คือ (3, ชั –3)น 2

จุดยอด คือ (3, –2), (3, – 4) 1 ตรการศึ ้ พืน้ ฐาน โฟกัตามหลั ส คือ (3,กสู− 3± ) กษาขัน

พุทธศักราช ๒๕๔๔

จัดทําโดย

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตร และเทคโนโลยี X (3, –2) กระทรวงศึกษาธิF ก(3าร 1 , − 3+ ) 1 ,−3) (3 − 2

(3,-3)

(3 +

1 ,−3) 2

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ ม1) F2 (3, เล − 3− 2 พ.ศ. ๒๕๔๗(3,-4)

303 = (10) 36x2 – 36x – 4y2 – 8y 36(x2 – x + 14 ) – 4(y2 + 2y + 1) = 1 36( x − ) 2 − 4( y + 1) 2 2 2 ∴ (x − 1 ) 2 − ( y + 1) 2 9

31 31 + 9 – 4 =

เปนสมการไฮเพอรโบลา

สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ (x – 12 )2 เทากับ 1 ซึ่งเปนจํานวนบวก

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

ดังนั้น แกนตามขวางอยูในแนวนอน ∴ a2 = 1 และ b2 = 9 ∴ a = 1 และ b = 3  =สาระการเรี  ณิตศาสตร + b 2ม 1+ 9 = 10ยนรูค ∴ c = a 2 กลุ จุดศูนยกลาง คือ ( 12 , –1)

คณิตศาสตร เลม ๒

จุดยอด คือ

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

( − 12 , –1), ( 32 , 1 ( ± 10 , −1) 2

–1)

โฟกัตามหลั ส คือ กสูตรการศึกษาขัน ้ พืน้ ฐาน เสนกํากับคือ (y + 1) =

พุทธศักราช ๒๕๔๔

1 ± 3( x − ) 2

จัดYทําโดย

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ X

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9( 12 + 10 ,−1) พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม พ.ศ. ๒๕๔๗

1 1 3 ( − 10 ,−1) (− ,−1) 1 ( ,1) 2 2 ( ,−1) 2 2

304 –27 (11) 9x2 – 15x + 8y2 + 8y = 25 ) + 8( y 2 + y + 14 ) = 9(x2 – 53 x + 36 5 1 9( x − ) 2 + 8( y + ) 2 6 2

ซึ่งเปนไปไมได เนื่องจาก

− −

− 27 +

25 +2 4

75 4

< 0 แต 9(x – 56 )2 + 8(y + 12 )2

75 4

≥

ดังนั้น ไมมีกราฟในระนาบจํานวนจริง

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

(12) x2 – 4x + 4y2 x2 – 4x + 4 + 4y2 (x – 2)2 + 4y2 ( x − 2) 2 y2 + 12 3

คณิตศาสตร เลม ๒ = = =

8 8+4 12

กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร เปนสมการวงรี

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

สังเกตวา ตัวหารของ (x – 2)2 มากกวาตัวหารของ y2 ดังนั้น แกนเอกอยูในแนวนอน ้ 3พืน้ ฐาน พุทธศักราช และ กษาขั b2 =น ดังนัตามหลั ้น a2 = 12กสูตรการศึ b= 3 ∴ a = 2 3 และ ∴ c = a 2 − b 2 = 12− 3 = 3 จุดศูนยกลาง คือ (2, 0) จัดทําโดย จุดยอด คือ (2 ± 2 3 , 0) โฟกัส คือ (5, 0), (–1, 0)

๒๕๔๔

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี Y กระทรวงศึ กษาธิการ ISBN 974 ( 2, - 01 3 ) - 3820 - 9 พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม (5, 0) ( 2 + 2 3 ,0 ) ( 2 − 2 3 ,0 ) (–1, 0) (2, 0) X พ.ศ. ๒๕๔๗ F1 F2 ( 2,− 3 )

305 15. (1) จากโจทย จะไดวา พาราโบลาเปนโคงเปดขึ้นดานบน ∴ 2p = 1 – (–1) = 2 ∴ p = 1 ∴ จุดยอด คือ (0,

1+ (−1) ) 2

= (0, 0)

ดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการ คือ x2 = 4y

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

(2) จากโจทย จะไดวา แกนเอกอยูในแนวตั้ง 8− 0 = 4 ∴ c = 2 ∴ 2a ∴ a ∴ b2

คณิตศาสตร เลม ๒

= 10 =กลุม 5  สาระการเรี ยนรูค ณิตศาสตร 2 2 = a –c = 25 – 16 = 9

ชัน้ มัธยมศึกษาป=ท1ี่ ๔ ( y − 4) 2 x2 + 9 25

ดังนั้น สมการวงรีที่ตองการ คือ

(3) จากโจทย จะได แกนตามขวางอยู ้ง ตามหลั กสูวาตรการศึ กษาขัใน้ นแนวตั พืน้ ฐาน (h, k)

∴ a

a b

∴ b

∴

พุทธศักราช ๒๕๔๔

2 + (−2) ) (0, 2 2 − (−2) 2 1 2

(0, 0)

จัดทําโดย

y x นสงเสริโบลาที มการสอนวิ ดังนัสถาบั ้น สมการไฮเพอร ่ตองการ คือทยาศาสตร − = แ1ละเทคโนโลยี 2

กษาธิกในแนวตั าร ้ง (4) จากโจทย จะไดวา ไฮเพอรกระทรวงศึ โบลามีแนวตามขวางอยู 7−1 = 3 ∴ c = 2 6 −ISBN 2 974 - 01 - 3820 - 9 = 2 ∴ a = 2 พิม2 พค2 รัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม = c –a = 9–4 = 5 ∴ b2 พ.ศ. ๒๕๔๗ ( y − 4) – 4

ดังนั้น สมการไฮเพอรโบลาที่ตองการคือ

( x − 2) 2 5

(5) จากโจทย จะไดวา วงรีมีแกนเอกอยูในแนวตั้ง 3−1 = 1 ∴ c =องคการค 2 าของคุรุสภาจัดพิมพจําหนาย (h, k)

1+1 1+ 3

) = (1, 2) พิ(ม2พท, ี่โรงพิ 2 มพคุรุสภาลาดพราว

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วังทองหลาง กรุงเทพมหานคร มีลขิ สิทธิต์ ามพระราชบัญญัติ

306 เนื่องจากจุดยอดจุดหนึ่งอยูบนแกน X ดังนั้น จุดยอดจุดนั้น คือ (1, 0) ∴ a = 2–0 = 2 ∴ b2 = a2 – c2 = 4–1 = 3 ดังนั้น สมการวงรีที่ตองการคือ

( x − 1) 2 ( y − 2) 2 + 3 4

= 1

คูม อื ครูสาระการเรียนรูเ พิม่ เติม

(6) จากโจทย จะไดวา พาราโบลาเปนโคงเปดดานขวา ∴ p = 5–0 = 5 ดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ (y – 5)2 = 20(x – 5)

คณิตศาสตร เลม ๒

(7) จากโจทย จะไดวา วงรีมีแกนเอกอยูในแนวตั้ง กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร ∴ 2a = 12 – (–8) = 20 ∴ a = 10

ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ ๔

∴ (h, k)

(

7 + 7 12 + (−8) ) , 2 2

(7, 2)

ตามหลั น้ พืน้ ฐาน พุทธศักราช ๒๕๔๔ แทนค า (x, y)กสู=ตรการศึ (1, 8)กษาขั ลงในสมการมาตรฐาน (1 − 7) 2 (8 − 2) 2 + = 1 100 b2 36 ∴ 362 + 100 = 1 b จัดทําโดย 64 36 = ∴ 100 b2 225 3600 = 2 ∴สถาบั b นสงเสริม = การสอนวิ ท ยาศาสตร และเทคโนโลยี 64 4 2 2 ดังนั้น สมการวงรีที่ตองการ คือ 4(x − 7) + ( y − 2) = 1 225 กษาธิ100 กระทรวงศึ การ

(8) จากโจทย พาราโบลาเปนโคงเปดทางขวา Y x = -2 (-1,0)

(0,0)

ISBN 974 - 01 - 3820 -9 สมการมาตรฐานคื อ y2 = 4p(x + 1) ------ (1) แทนคเล า ม(x, y) = (0, 2) ลงในสมการ (1) พิมพครัง้ ทีห่ นึง่ ๑๐,๐๐๐ 4 = 4p(0 + 1) พ.ศ. ๒๕๔๗p = 1 X

ดังนั้น สมการมาตรฐานที่ตองการคือ y2 = 4(x + 1)