add-m5-1-finished by Nett

คณิ ตศาสตร์เพิม เติม ชั นมัธยมศึกษาปี ที 5

เล่ม 1

สารบัญ หนา บทที่ 1 ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและฟงกชันลอการิทึม ผลการเรียนรูที่คาดหวัง ขอเสนอแนะ กิจกรรมเสนอแนะ ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท เฉลยตัวอยางแบบทดสอบ เฉลยแบบฝกหัด 1.1 เฉลยแบบฝกหัด 1.2 เฉลยแบบฝกหัด 1.3 เฉลยแบบฝกหัด 1.4 เฉลยแบบฝกหัด 1.5 เฉลยแบบฝกหัด 1.6 เฉลยแบบฝกหัด 1.7 เฉลยแบบฝกหัด 1.8 เฉลยแบบฝกหัด 1.9

1 2 11 20 21 24 24 25 30 36 39 41 41 48

บทที่ 2 ฟงกชันตรีโกณมิติ ผลการเรียนรูที่คาดหวัง ขอเสนอแนะ กิจกรรมเสนอแนะ ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท เฉลยตัวอยางแบบทดสอบ เฉลยแบบฝกหัด 2.2 ก เฉลยแบบฝกหัด 2.2 ข เฉลยแบบฝกหัด 2.3 เฉลยแบบฝกหัด 2.4

51 52 63 78 79 83 84 86 90

เฉลยแบบฝกหัด 2.5 เฉลยแบบฝกหัด 2.6 เฉลยแบบฝกหัด 2.7 เฉลยแบบฝกหัด 2.8 เฉลยแบบฝกหัด 2.9(1) เฉลยแบบฝกหัด 2.9(2) เฉลยแบบฝกหัด 2.10 เฉลยแบบฝกหัด 2.11 บทที่ 3 เวกเตอรในสามมิติ ผลการเรียนรูที่คาดหวัง ขอเสนอแนะ กิจกรรมเสนอแนะ ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท เฉลยตัวอยางแบบทดสอบ เฉลยแบบฝกหัด 3.1 เฉลยแบบฝกหัด 3.2 ก เฉลยแบบฝกหัด 3.2 ข เฉลยแบบฝกหัด 3.2 ค เฉลยแบบฝกหัด 3.3 ก เฉลยแบบฝกหัด 3.3 ข เฉลยแบบฝกหัด 3.4 เฉลยแบบฝกหัด 3.5

หนา 93 95 99 114 130 140 147 152

159 160 169 175 176 179 180 182 183 186 192 196 201

คําชี้แจง สาขาคณิ ต ศาสตร มั ธ ยมศึ ก ษา สถาบัน สงเสริมการสอนวิ ทยาศาสตรและเทคโนโลยี (สสวท.) ได รั บ มอบหมายจากกระทรวงศึ ก ษาธิ ก ารให พั ฒ นาหลั ก สู ต รกลุ ม สาระการเรี ย นรู คณิตศาสตร ชวงชั้นที่ 3 (มัธยมศึกษาปที่ 1–3) และชวงชั้นที่ 4 (มัธยมศึกษาปที่ 4–6) ในหลักสูตร การศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2544 นอกจากนั้นยังไดพัฒนาสื่อการเรียนการสอนคณิตศาสตร เพื่อใชประกอบหลักสูตรของชวงชั้นที่ 3 และ 4 อีกดวย คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม คณิตศาสตรของชวงชั้นที่ 4 จะมีดวยกันทั้งหมด 6 เลม โดยที่เลมที่ 1 ถึง 6 เรียกวา คูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติม คณิตศาสตร เลม 1 ชั้นมัธยมศึกษา ปที่ 4 เลม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 เลม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5 เลม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 และเลม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 ตามลําดับ ทั้งนี้สถานศึกษาสามารถ นําไปปรับใชใหเหมาะสมกับหลักสูตรของสถานศึกษาในภาคการศึกษาใดก็ได คูมือครูคณิตศาสตรเลมนี้จัดทําขึ้นเพื่อใชประกอบการเรียนการสอนควบคูกับหนังสือเรียน สาระการเรียนรูเพิ่มเติม คณิตศาสตร เลม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5 ซึ่งในแตละบทนั้นไดนําเสนอ ขอเสนอแนะเกี่ยวกับเนื้อหาสาระ กิจกรรมเสนอแนะ ตัวอยางแบบทดสอบประจําบทพรอมเฉลย รวมทั้งเฉลยแบบฝกหัดในหนังสือเรียน คณะผู จั ด ทําหวั ง ว า คู มื อ ครู เ ล ม นี้ จ ะเป น ประโยชน ต อ การเรี ย นการสอนคณิ ต ศาสตร อยางไรก็ดีหากทานผูใชคูมือครูเลมนี้มีขอเสนอแนะประการใด โปรดแจงใหสาขาคณิตศาสตร มัธยมศึกษา สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีทราบ เพื่อปรับปรุงเอกสารให สมบูรณยิ่งขึ้นตอไป

(นางสาวจารุวรรณ แสงทอง) หัวหนาสาขาคณิตศาสตรมัธยมศึกษา สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

24 เฉลยแบบฝกหัด 1.1 1. 1)

1 23

3) 16x10 5) 7) 9)

1 a7 16x12 y8

2) เท็จ เพราะ

6x7y5

4 b2 2 ab5 9a 4 b6

6) 8)

1 3 10 x y

2. 1) เท็จ เพราะ

10) 1 1 ⋅ xm xn xm = x −n

z3 x 7 y6

= x–m⋅x–n = x(–m)+(–n) = x–(m+n) xm 1 xn 1 1 xn

= xm⋅xn = xm+n

3) จริง เพราะ

1 x −n

4) เท็จ เชน

ถา x = 1, xm+xn = 1m + 1n = 2 แต xm+n = 1(m + n) = 1

= xn

5) จริง

เฉลยแบบฝกหัด 1.2 1. 1) 2 3) 4 5)

2) 4)

–1 4

1 2

2. 1)

10 2

35 5

15 10 6 4

25 3. 1) 30 3) 6

2) 4)

4. 1) 15 2 + 30 3) 7 + 4 3 5) 5

2) 4)

1 12 – 5

2 6

เฉลยแบบฝกหัด 1.3 1. 1) 9 3) 0.125 5)

1 25

1 2

0.09

−

7) 9

9) 4

10)

2. 1)

1 2x 2 y3 13

5 3 x y 3

3. 1) 6 2 3) 5 2 5) (2x – 4x2 + x4) 4. 1)

2 2− 3 5

3) 8 – 5)

36 5 + 20 7 23

1 5 27 64 1 4

9x 2 y4

x 2 y3

2) 4)

63 4

2 2+ 3 5 153 + 5 30 91

43 3

26 5. 1) 4 3) 1

6(5 3 − 2)

6. 1) 2(p + p2 − q 2 ) 3) 6x + 11 + 4 2x 2 + 5x − 3

13a2 + 5b2 – 12

7. 1) 0.5620 3) 117.8897

4.2361

8. 1)

m −8 m

m 2)

5x + 1 + 6 5x + 1

5x + 1 = x

= = =

0 8 64

= = 16 =

10 4 3

= r = r2 r2 + 5 ไมมีจํานวนจริงใดเปนคําตอบของสมการ

= x–5 x+7 = (x – 5)2 x+7 = x2 – 10x + 25 x2 – 11x + 18 = 0 (x – 2)(x – 9) = 0 x = 2, 9 เนื่องจากเมื่อแทนคา x = 2 ลงในสมการจะได 2+7 = 3 และ 2 – 5 = –3 3 ≠ –3 ดังนั้น คําตอบของสมการคือ x = 9

r2 + 5

x+7

a 4 − b4

27 5)

= = = =

x+7

x+7 2x x 6)

3x + 1

3x + 1 6 3

= 2 x +1 = 2+ x ยกกําลังสองทั้งสองขางจะได x+1 = 4+4 x + x –3 = 4 x x +1 − x

−

3 4

ยกกําลังสองทั้งสองขางจะได 9 16

ตรวจสอบคําตอบ x +1 − x

= = =

9 9 +1 − 16 16 5 3 − 4 4 1 ≠2 2

แสดงวา คา x ที่ไมสอดคลองกับสมการที่กําหนดให ดังนั้น เซตคําตอบคือ { } 7)

= x −3 ยกกําลังสองทั้งสองขางจะได x–3 = x −6 x +9 –12 = −6 x 2 = x 4 = x ตรวจสอบคา x ที่ไดวาสอดคลองกับสมบัติที่กําหนดใหหรือไม x −3 = 4−3 = 1 = x −3 = 4 −3 = 2–3 = x −3

1 –1 ≠

x −3

28 แสดงวา คา x ที่ไดไมสอดคลองกับสมการที่กําหนดให ดังนั้น เซตคําตอบคือ { } 8)

= 2 x + 12 = 2− x ยกกําลังสองทั้งสองขางจะได 4−4 x + x x + 12 = 8 = −4 x –2 = x ยกกําลังสองทั้งสองขางจะได 4 = x ตรวจสอบคําตอบ x + 12 + x = 4 + 12 + 4 = 16 + 4 = 4+2 = 6 ≠2 แสดงวา คา x ที่ไดไมสอดคลองกับสมการที่กําหนดให ดังนั้น เซตคําตอบคือ { }

= x+3 ยกกําลังสองทั้งสองขางจะได x2 + 21 = x2 + 6x + 9 6x = 12 x = 2 ตรวจสอบคําตอบ − x 2 + 21 = − 22 + 21 = − 25 = –5 x+3 = 2+3 = 5 ≠ − แสดงวา คา x ที่ไดไมสอดคลองกับสมการที่กําหนดให ดังนั้น เซตคําตอบคือ { }

x + 12 + x

− x 2 + 21

x 2 + 21

29 10)

3x + 4

3x + 4 = 4 – 81 + 5 –72 4 16 3x x 11)

= 9 – 3x − 5 81 – 18 3x − 5 + 3x − 5 = −18 3x − 5 = −18 3x − 5 = 3x − 5 = 3x – 5 = 21 = 7

4x + 1 2x x x2 0 x

= = = = = = = =

(x + 3)(x – 2) x–6 6

x+7 + x+2

6x + 13

4x + 1 − x − 2 4x + 1

12)

x+3 x+3 + x−2 x +3+ 2 x +3 x − 2 + x − 2 2 2+3 x −2 x+3 x−2

x+7+2 x+7 x+2 +x+2 2 x+7 x+2 x+7 x+2

(x + 7)(x + 2) x2 + 9x + 14 3x2 – x – 10 (3x + 5)(x – 2) x เนื่องจากเมื่อแทนคา x = x+7 + x+2

−

5 3

= = = = = = =

6x + 13 4x + 4 2x + 2 4x2 + 8x + 4 4x2 + 8x + 4 0 0

5 − , 2 3

ลงในสมการจะได 5 5 − +7 + − +2 3 3

30 16 1 + 3 3 5 3

= =

5 6(− ) + 13 3 29 ≠ 5 3 3

6x + 13

ดังนั้น คําตอบของสมการคือ x = 2

เฉลยแบบฝกหัด 1.4 1. 1) y = 5x เปนฟงกชันเพิ่ม

Y 5 4 3 2 1 1

–2 –1

–1

2) y =

1 ( )x 2

เปนฟงกชันลด

Y 6 4 2

–5

31 3) y = 3–x =

1 3x

1 ( )x 3

เปนฟงกชันลด

8 6 4 2

–5

4) y = 42x เปนฟงกชันเพิ่ม

Y 6 4 2 5

5) y =

1 ( )x 4

เปนฟงกชันลด

Y 6 4 2

–5

32 6) y =

4 ( )x 3

เปนฟงกชันเพิ่ม

Y 6 4 2

–5

7) y =

1 ( ) 2x 3

เปนฟงกชันลด

Y 6 4 2

–5

8) y =

3 ( )x 4

เปนฟงกชันลด

Y 6 4 2

–5

33 2. 1) {2}

{–3}

3) { 1 }

{–4}

5) {3} 7) {xx ≤ 3}

6) 8)

{–3} {xx < –4}

1 4

3) 2

1295 16 1 8 1 72

3. 1)

5) 7)

3 2

หรือ

1 2

6) 8)

หรือ

15 16

4. ธาตุเรเดียมมีครึ่งชีวิต (half – life) 1,600 ป หมายความวา เมื่อเวลาผานไป 1,600 ป ธาตุเรเดียมซึ่งหนัก q0 มิลลิกรัม จากสมการ

q = q0 2kt

เมื่อ t = 1,600

จะได

จะมีน้ําหนักเหลือ

q0 2

q021600k

(2)–1 ดังนั้น 1600 k

= =

21600k –1

จะได

−

q0 2

1 1600

y = ax y = 9 และ x = 2 จะได 9 = a2 a=3 ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลของกราฟในขอนี้คือ y = 3x

5. 1) จาก แทนคา

2) จาก แทนคา

y y= 1 5

= 1 5

และ x = –1 จะได =

a–1

มิลลิกรัม

34 a = 5 ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลของกราฟในขอนี้คือ y = 5x 3) จาก แทนคา

y y=

= 1 16

ax และ x = 2 จะได

1 16

1 4

ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลของกราฟในขอนี้คือ y = 4) จาก แทนคา

1 ( )x 4

y = ax y = 8 และ x = –3 จะได 8 = a–3 a

1 2

ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลของกราฟในขอนี้คือ y = 6. 1) ค 3) จ 5) ง

2) 4)

1 ( )x 2

ก ข

7. 1) y = 2x - 3 6 4 2 –5

5 –2 –4

35 2) y = 2x - 3

Y 6 4 2 -5

-2

1 3) y = 4 +   2

Y 6 4 2

-5 -2

4) y = 10x + 3

Y 6 4 2 -5

5 -2

36 5) y = 10-x

Y 6 4 2 -5

-2

เฉลยแบบฝกหัด 1.5 1. 1) 3)

log279 =

1 4

log 0.0001 = –4

= –4

log 2

log 1 2

2 3

log416 = 2

log 1 16 2

= –3

log 4 0.125

2. 1) 102 = 100

25 = 32

3) 50 = 1

4–3 =

5) 10–3 = 0.001

1 3

–2

3) 2 5) 24 7) 4

4) 6) 8)

–1 –2 2

3. 1)

log

1 100

10000

= –2

27 8

1 64 3

−

3 2

37 4. 1) y =

log 1 x 3

Y 6 4 2 -5

-2 -4

2) y = log3x

Y 6 4 2 5

-5

-2 -4

3) y = log4x

Y 2 -5

5 -2 -4 -6

38 4) y = 2 + log3x

Y 4 2

-5 -2 -4 -6

5) y = log3(x – 2)

Y 4 2 5

-5

-2 -4 -6

6) y = log3(x – 1) – 2

Y 4 2 5

-5 -2 -4 -6

39 5. 1) 32 3) 10 5) 36

2) 4)

100 2

เฉลยแบบฝกหัด 1.6 1. 1) 4.5694 3) 2.9201

2) 4)

–2.4306 –1.0799

2. 1) 2.56 3) 0.256

2,560

3. 1) ถา t = 0 ชั่วโมง, q = 2(30) = 2 พันตัว ดังนั้น จํานวนเดิมของแบคทีเรียเทากับ 2,000 ตัว 2) ถา t = log q =

1 10 ชั่วโมง, q = 2(36 ) 60 1 log 3 + log 2 = 1 × 0.4771 + 0.3010 6 6

จากตารางจะได คาลอการิทึมตางกัน

log 2.4 = 0.3802 log 2.41= 0.3820 0.0018 จํานวนจริงตางกัน 0.01

คาลอการิทึมตางกัน 0.00031 จํานวนจริงตางกัน log 2.40172 = log q = q = ดังนั้น จํานวนแบคทีเรียเมื่อเวลาผานไป 10 นาที 3) วิธีที่ 1 ถา t = log q =

1 2 1 2

ชั่วโมง,

log 3 + log 2 =

จากตารางจะได

= 0.38051

0.01× 0.00031 0.0018

0.38051 log 2.40172 2.4017 พันตัว เทากับ 2,401 ตัว

2(3 2 )

1 × 0.4771 + 0.3010 2

log 3.46 log 3.47=

= 0.53955

= 0.5391 0.5403

= 0.00172

40 คาลอการิทึมตางกัน

0.0012

จํานวนจริงตางกัน 0.01

คาลอการิทึมตางกัน 0.00045 จํานวนจริงตางกัน ดังนั้น

log 3.46375 log q q

วิธีที่ 2 จาก

= = =

0.01× 0.00045 0.0012

= 0.00375

0.53955 log 3.46375 3.46375 พันตัว

q = 2(3t) t

แทนคา t จะได

1 2

ชั่วโมง

1 2

ชั่วโมง 1

= 2(3 2 ) = 2 3 = 3.464 พันตัว = 3,464 ตัว ดังนั้น จํานวนแบคทีเรียเมื่อเวลาผานไป 30 นาที เทากับ 3,464 ตัว 4) ถา t = 1 ชั่วโมง,

= 2(3) = 6 พันตัว ดังนั้น จํานวนแบคทีเรียเมื่อเวลาผานไป 1 ชั่วโมง เทากับ 6,000 ตัว

4. วิธีที่ 1 0.83 เมตร, จะได T = 2 × 3.14

ถา L

log T =

(log 2 + log 3.14) + =

1 2

0.83 9.78

log 0.83 – 1 log 9.78

0.3010 + 0.4969 +

2 1 (–1 + 0.9191 – 0.9903) 2

= 0.2623 จากตาราง log 1.82= 0.2601 log 1.83= 0.2625 คาลอการิทึมตางกัน 0.0024 จํานวนจริงตางกัน 0.01 คาลอการิทึมตางกัน 0.0002 จํานวนจริงตางกัน

0.01× 0.0002 0.0024

= 0.00083

41 ดังนั้น

log 1.82917 log T T

= = =

0.2623 log 1.82917 1.829

วิธีที่ 2 L =

0.83

เมตร

จากสูตร

2π

2(3.14)

L 9.78 0.83 9.78

= 1.829 ดังนั้น คาบของการแกวงเทากับ 1.829 วินาที

เฉลยแบบฝกหัด 1.7 1. 1) 3) 5) 7) 9)

2.3223 3.4828 6.5901 4.7361 4.6728

2) 4) 6) 8) 10)

2.5239 0.4929 6.0472 4.5949 –1.8139

2. 0.4491 3. 0.9206

เฉลยแบบฝกหัด 1.8 1. 1) 2x = 32 วิธีที่ 1 2x ∴

= = =

32 25 5

วิธีที่ 2 จาก 2x = จะได log2x = x log 2 = x

32 log32 5 log 2

5log 2 log 2

42 2) 3x = 36 จาก จะได

3x = x = log3 x log 3 =

36 log 36 log 36

log 36 log 3 1.5563 0.4771

= = =

3.2619

3) 9x = 32x 32x = 32x x คือ จํานวนจริงใด ๆ 4) 23x+1 log 23x+1 (3x+1)log 2 3x log 2 + log 2 x log 3 – x log 8

= = = = =

3x–2 log 3x–2 (x – 2)log 3 x log 3 – 2 log 3 log 2 + 2 log 3

5) 5x x log 5 x log 5 x(log 5 – log 4)

= = = =

4x+1 (x + 1) log 4 x log 4 + log 4 log 4

log 4 log 5 − log 4 0.6021 0.6990 − 0.6021

= = 2. 1) x22x – 2x 2x(x2 – 1) ดังนั้น x2 x

= = = =

0 0 1 ±1

6.2136

หรือ

2x = 0

ซึ่งไมเปนจริง

43 2) 4x3e–3x – 3x4e–3x x3e–3x (4 – 3x) = ดังนั้น x3e–3x ถา 4 – 3x

= 0 = =

4 3

= =

0 0

ถา

x3e–3x

ดังนั้น x มีคา 0 หรือ

0 0

หรือ

4 – 3x = 0

4 3

3) e2x – 3ex + 2 = x x (e – 1)(e – 2) = 0 ดังนั้น e x = 1 หรือ ถา ex = 1 x log e = log 1 x =

0 ex = 2 ถา x log e =

log1 log e

x =

=0 ดังนั้น x มีคา 0 หรือ 0.6931 0 4) e4x + 4e2x – 21 = (e2x – 3)(e2x + 7) = ดังนั้น e2x = 3 หรือ 2x ถา e = 3 2x log e = log 3 x = =

log 3 2 log e 0.4771 2(0.4343)

= 0.5493 ดังนั้น x มีคา 0.5493

0 e2x = –7

หาคาไมได

ex = 2 log 2 log 2 log e

0.3010 0.4343

0.6931

44 5) 22x+2 – 9(2x) + 2 (2x – 2)(22⋅2x – 1) ดังนั้น ถา

2x = 2

= =

0 0

หรือ

2x =

1 4

2x = 2

x log 2 =

ถา log 2

x = 1

2x =

1 4 1 4

x log 2 =

log

x log 2 =

–2 log 2

x =

−2 log 2 log 2

= –2 ดังนั้น x มีคา 1 หรือ –2 6) 32x+1 + 9 32x+1 – 28(3x) + 9 (3x – 9)(3⋅3x – 1) ดังนั้น 3x = ถา 3x x =

= = = = 9 2

28(3x) 0 0 9

หรือ 3⋅3x = ถา 3⋅3x = log3⋅3x = log 3 + x log 3 = x log 3 = x

ดังนั้น x มีคา 2 หรือ –1 3. 1) e10

3) 500 5) 31.67 4. 1) 122–5x⋅8x+3 32–5x⋅22(2–5x)⋅23(x+3)

= =

16 24

1 100 105

1 1 log 1 0 – log 3

− log 3 log 3

–1

45 (2 – 5x)log 3 + 2(2 – 5x)log 2 + 3(x + 3)log 2 = 4 log 2 2log 3 – 5x log 3 + 4 log 2 – 10x log 2 + 3x log 2 + 9 log 2 – 4 log 2 = 0 2 log 3 – 5x log 3 – 7x log 2 + 9 log 2 = 0 –5x log 3 – 7x log 2 = –9 log 2 – 2 log 3 x(5 log 3 + 7 log 2) = 7 log 2 + 2 log 3 x

9 log 2 + 2 log 3 5log 3 + 7 log 2

= 0.8154 2) 22x+1⋅32x+2 = 54x (2x + 1)log 2 + (2x + 2) log 3 = 4x log 5 2x log 2 + log 2 + 2x log 3 + 2 log 3 = 4x log 5 4x log 5 – 2x log 2 – 2x log 3 = log 2 + 2 log 3 x(4 log 5 – 2 log 2 – 2 log 3) = log 2 + 2 log 3 x

log 2 + 2 log 3 4 log 5 − 2 log 2 − 2 log 3

= 1.0121 3)

52x 2x −4

33x–7

2x log 5 – (x – 4) log 2 = (3x – 7) log 3 2x log 5 – x log 2 + 4 log 2 = 3x log 3 – 7 log 3 2x log 5 – x log 2 – 3x log 3 = –7 log 3 – 4 log 2 x(2 log 5 – log 2 – 3 log 3) = –7 log 3 – 4 log 2 x 5. 1) log(3x + 5) + 3 = log(2x + 1) – log(3x + 5)

−7 log 3 − 4 log 2 2 log 5 − log 2 − 3log 3

= 13.6018 log (2x + 1) = 3

(2x + 1) 3x + 5 2x + 1 3x + 5

103

2x + 1 –4999

= =

3000x + 5000 2998x

log

46 x

2) log(x + 2) – log(x + 1) =

–1.6674 3

(x + 2) (x + 1) x+2 x +1

1000

x+2 –998

= = =

1000x + 1000 999x –0.999

log

3) log(2x – 1) + log(x – 3)= log(2x – 1)(x – 3) = (2x – 1)(x – 3) = 2x2 – 7x + 3 – 100 = 2x2 – 7x – 97 = x =

2 2 100 0 0 8.93, –5.43

4) log (x – 1) + log (x + 1)= log (x – 1)(x + 1) = log (x2 – 1) = = x2 – 1 x2 – 2x – 2 = x =

log (2x + 1) log (2x + 1) log (2x + 1) 2x + 1 0 2.73, – 0.73

5) log x = 1 – log (x – 9) log x + log (x – 9) = log x (x – 9) = x(x – 9) = x2 – 9x – 10 = (x – 10)(x + 1) = x =

1 1 10 0 0 10, –1

47 6) log23 + log2x log23x 3x 2x x

= = = = =

7) log5(x + 1) – log5(x – 1)= log 5

x +1 x −1

x +1 x −1 x+1 24x

= =

25x – 25 26 26 24 1.08

8) log9(x – 5) + log9(x + 3) = log9(x – 5)(x + 3) = (x – 5)(x + 3) = = x2 – 2x – 15 x2 – 2x – 24 = (x – 6)(x + 4) = x = 9)

2 log5 x

log25 + log2(x – 2) log2(5x – 10) 5x – 10 10 5

1 1 9 9 0 0 –4, 6

1 16

2–4

2 log5 x

–4

–4 log5x

log5x

−

2 2

2 log5 x

1 2

48 x

= =

10) log2(log3x) log3x x

= = =

−

5 2 1 25

4 16 316

แบบฝกหัด 1.9 1. 1)

= 500e0.45(3) = 500 × e1.35 = 1928.7128 เมื่อเวลาผานไป 3 ชั่วโมง จํานวนแบคทีเรียจะมีประมาณ 1,929 ตัว n(3)

2) ใหเวลานาน x ชั่วโมง จึงจะมีแบคทีเรีย 10,000 ตัว จะได 500 × e0.45(x) = 10,000 e0.45x = 20 0.45x log e = log 20 x

= =

log 20 0.45log e 1.3010 0.1954

7 เปนเวลานานประมาณ 7 ชั่วโมง จึงจะมีแบคทีเรีย 10,000 ตัว 2. 1) จากนิยามการเติบโตของจํานวนประชากร n(t) = n0ert ในปนี้ n0 = 112,000 4 = 0.04 r = 100 ดังนั้น n(t) = 112,000e (แทนคา e = 2.718) เมื่อเวลาผานไป t ป จํานวนประชากรของจังหวัดนี้จะมีประมาณ 304,416 คน ≈

49 = 112,000e0.04(3) = 112,000e0.12 = 126279.6474 หลังจากเวลาผานไป 3 ป จะมีจํานวนประชากรประมาณ 126280 คน 3) ใหเมื่อผานไป x ป มีจํานวนประชากร 200,000 คน จะได 200,000 = 112,000e0.04x 200,000 0.04x = e 112,000 1.7857 = e0.04x 0.04x log e = log 1.7857

n(3)

log1.7857 0.04 log e

≈ 15 จังหวัดนี้จะมีจํานวนประชากร 200,000 คน เมื่อผานไป 15 ป moe–rt 10 ln2 r = 30 ≈ 0.0231 ดังนั้น จํานวนซีเซียมที่เหลือเมื่อเวลาผานไป t ป คือ 10e–0.0231t 2) จากสมการ m(t) = 10e–0.0231t m(80) = 10e–0.0231(80) = 1.5753 ดังนั้น จํานวนซีเซียมที่เหลือเมื่อเวลาผานไป 80 ป คือ 1.5753 กรัม 3) ใหเวลานาน x ป จึงมีซีเซียมเหลืออยู 2 กรัม = 2 จะได 10e–0.0231x

3. 1) จากสมการ ในปนี้

m(t) m0

= =

1 5

e–0.0231x

–0.0231x log e

log 1

−0.6990 −0.0231(0.4343)

≈ 70 ดังนั้นจํานวนซีเซียมจะเหลืออยู 2 กรัม เมื่อเวลาผานไป 70 ป

50 4. จากสมการ ในที่นี้

m0e–rt 250 48 200 250 e–48r

m(t) m0 t m(t) 200

= = = = =

e–48r

–48r log e

log 0.8

−0.0969 −20.8464

.0046

จากความสัมพันธ r

จะได

l n2 r

ln 2 h

จะได

200 250

.6930 .0046

≈ 151 ครึ่งชีวิตของสารนี้คือ 151 ชั่วโมง

– log [H+] – log (H+) log (H+) 10–6.5

5. จากสมการ

pH 6.5 –6.5 H+

= = = =

6. จากสมการ

10 log I

10 log

I 10−2

9.8 = log I – log 10–2 log I = log 10–2 + 9.8 log I = 7.8 I = 107.8 ดังนั้น รถไฟฟามีความเขมเสียง 107.8 วัตต / ตารางเมตร

83 เฉลยแบบฝกหัด 2.2 ก 1. 1) 3) 5) 7) 9) 11) 13) 15)

0, –1 0, –1 –1, 0 –1, 0 1, 0 0, –1 0, –1 –1, 0

2) 4) 6) 8) 10) 12) 14) 16)

0, 1 0, 1 1, 0 1, 0 –1, 0 0, –1 0, –1 1, 0

2. θ

2π 3 3π 4 5π 6 7π 6 5π 4 4π 3 5π 3 7π 4 11π 6

sin θ

cos θ

3 2 2 2 1 2 1 − 2 2 − 2 3 − 2 3 − 2 2 − 2 1 − 2

1 2 2 − 2 3 − 2 3 − 2 2 − 2 1 − 2 1 2 2 2 3 2 −

84 3. 1) 0, π, 2π, 3π, –π 2) 3)

ฯลฯ

π 5π 9π 3π 7 π , , ,− ,− 2 2 2 2 2 π 3π 5π π −3π , , ,− ,− 2 2 2 2 2

ฯลฯ ฯลฯ

4) 0, 2π, 4π, 6π, –2π 5)

ฯลฯ

3π 7π 11π π 5π , , ,− ,− 2 2 2 2 2

ฯลฯ

6) π, 3π, 5π, –π, –3π

ฯลฯ

π 5π 13π 7π 11π , , ,− ,− 6 6 6 6 6 3π 5π 11π 3π 5π , , ,− ,− 4 4 4 4 4 4π 5π 10π π 2π , , ,− ,− 3 3 3 3 3

ฯลฯ

7) 8) 9) 4. 1) 3)

ฯลฯ ฯลฯ

2 2 , − 2 2

2 , 2

2 2

2 , 2

2 2

2 2 , − 2 2

−

3 , 2

1 2

1 3 , − 2 2

−

3 , 2

1 2

3 1 , 2 2

1 , 2

10)

3 1 , − 2 2

3 2

5. ไมมี เพราะ –1 ≤ sin θ ≤ 1

เฉลยแบบฝกหัด 2.2 ข 1. ควอดรันตที่ 1 และ 2 2. ควอดรันตที่ 2 และ 3 3. cos2x – sin2x cos2x – (1 – cos2x)

= =

1 2 1 2

85 2cos2x – 1

cos2x

cos x

4. 1) sin 13π cos 2)

12 13π 12

= =

5π 3 5π cos 3

7π 6 7π cos 6

7π 10 7π cos 10

9π 5 9π cos 5

16π ) 7 16π cos(− ) 7

sin

sin(−

5. 1) จาก sin2θ + cos2θ cos2θ ∴ cos θ

1 2 3 4 −

3 2

π ≤x ≤ π 2

π ) 12 π cos(π + ) 12

π sin(2π − ) 3 π cos(2π − ) 3

− sin

cos

π sin(π + ) 6 π cos(π + ) 6

− sin

3π ) 10 3π cos(π − ) 10

π sin(2π − ) 5 π cos(2π − ) 5

− sin

cos

16π 7 16π cos 7

2π ) 7 2π cos(2π + ) 7

sin(π +

sin(π −

− sin

= =

1 1 – sin2θ

cos θ = 1 − sin 2 θ = 1 − (0.4848) 2 = 0.8746

π 12 π − cos 12 − sin

π 3

π 6 π − cos 6 3π 10 3π − cos 10

sin

π 5

− sin(2π +

= =

2π 7 2π cos 7 − sin

86 2) sin (π – θ)

= =

sin θ 0.4848

3) cos (π + θ) = =

–cos θ –0.8746

4) sin (–θ)

–sin θ –0.4848

= =

5) cos (θ – 2π ) = =

cos θ 0.8746

6) sin (3π – θ) = =

sin θ 0.4848

sin(θ − π)

= =

– sin(π − θ) –sin θ

−

3 5

7. 1) เท็จ 2) จริง 3) จริง

เฉลยแบบฝกหัด 2.3 1. 1) 2) 3) 4)

ควอดรันตที่ 1 ควอดรันตที่ 3 ควอดรันตที่ 2 ควอดรันตที่ 2

87 2.

sin

cos

1) 0

–

π 2 π 4 3π 4 2π 3

–

2 2 2 2 3 2

2 2 2 − 2 1 − 2

–1

7π 4 4π 3 7π 2 5π 2

2 2 3 − 2

2 2 1 − 2

–1

–

–1

–

11) 2π

–

2 2 2 2 3 − 2

2 2 2 − 2 1 2

− 2

ฟงกชัน จํานวนจริง

2) 3) 4) 5)

8) 9) 10)

−

12) − 3π

−

4 13) − 5π 4 14) − π 3

tan

cosec

sec

2 2

− 2

− 3

2 3 3

–2

–

−

–1 − 3

−

–1 1

−

–1

− 2 −

–1

– –1

2 3 3

−2

− 2

2 3 3

1 –1 −

1 3

15) –π

–1

–

–1

–

16) − 5π

–1

–

–1

–

2 17) − 7π 2

18) –2π

3. cos θ

1 − sin 2 θ

= ≈

1 − 0.482

0.88

cot

88 tan θ

sin θ cos θ 1 sin θ 1 cos θ cos θ sin θ

cosec θ = sec θ

cot θ

= = = =

0.48 0.88 1 0.48 1 0.88 0.88 0.48

วิธีที่ 1 sec θ + cosec θ =

= θ

≈ 0.55 ≈

2.08

≈

1.14

≈

1.83

5 5 + 3 4 20 + 15 12

วิธีที่ 2

cos θ

1 − sin 2 θ

1−

35 12

≈ 2.92

= จะได sec θ =

9 25 5 3

16 25

3 5

ดังนั้น sec θ + cosec θ

5 5 + 3 4

20 + 15 12

≈ 2.92 5.

วิธีที่ 1 2 cos θ + cot θ = = 10

= θ

 3  2 +3  10  6 +3 10 3 10 +3 5  10 + 5  3    5 

วิธีที่ 2 sec2θ = 1 + tan2θ = sec θ =

1 9

10 9

10 3

ดังนั้น 2 cos θ + cot θ = = =

 3  2 +3  10  3 10 +3 5  10 + 5  3    5 

89 6. 1) 2) 3) 4)

4 3 +1 3 1 3 6 + − 2 3 4 1 − + 3 2 2+ 3 2

= = =

4 3 +3 3 6+ 4 3 −3 6 12 2 3 −1 2

5) 2 7. 1) ไมจริง เพราะ

π π cos  +  2 3

5π 6

cos

cos (π – π )

6 π − cos 6 3 − 2 1 0+ 2 π π cos + cos 2 3

= = π π cos + cos 2 3 ∴ cos( π + π ) 2 3

π π + sin 6 3 π sin 2 π ∴ sin + sin π 6 3 π π cos + 2 cos 6 3 5π cos 6

1 3 + 2 2

≠

sin

≠

2) จริง 3) ไมจริง เพราะ

4) ไมจริง เพราะ

sin

3 +1 2

= = = =

∴

π π cos + 2 cos 6 3

π 2

≠

π cos(π − ) 6 π − cos 6 3 − 2 5π cos 6

1 2

90 5) ไมจริง เพราะ

π π cos + sin 4 4

2 2 + 2 2

= =

π 2 π π cos + sin 4 4

sin

∴

≠

sin

π 2

เฉลยแบบฝกหัด 2.4 1. 1) 120° 3) 396° 5) 171.89° หรือ 171° 53′ 5π 3 7π − 4 25π − 9

2. 1) 3) 5) 3. 4.

2) 4)

–150° 720°

−

169π 270 44π 9

2π 15

ฟงกชัน มุม

1) 150° 2) 120° 3) 315° 4) –315° 5) 930°

sin 1 2 3 2 2 − 2 2 2 1 − 2

cos 3 2 1 − 2 2 2 2 2 3 − 2 −

−

tan

cosec

3 3

− 3

−

2 3 3

sec

cot

2 3 3

− 3

–2

–

3 3

–1

− 2

–1

3 3

–2

2 3 3

−

91 3 tan 2 135° − sec2 300° 2sin 330°

5. 1)

= =

tan(−480°) − sin(−840°) cos(−390°)

3(−1) 2 − (2) 2  1 2 −   2 3− 4 −1 3 3+ 2 3 2 2 3 3 + 2 2 3 2

3 3 2 × 2 3

12 = 2 61 cos A = 10 = 2 61 tan A = 12 = 10 10 sin B = = 2 61 12 cos B = = 2 61 tan B = 10 = 12 ดังนั้น CD = 10 × 6 = 60 61 61 ดังนั้น BD = 12 × 6 = 72 61 61

6 61 5 61

sin A =

A D2

10 C

จาก sin A = cos B =

CD 10 DB 12

7 33

6 5 5 61 6 61 5 6

หนวย ≈ 7.68 หนวย หนวย ≈ 9.22 หนวย

กําหนด cos A =

4 7

ดังนั้น

33 7 33 4 7 33 33 7 4 4 33 33

sin A = tan A =

cosec A = sec A

cot A

92 8. เนื่องจาก –1 ≤ cos ≤ 1 หรือ

จะไดวา ไมมีจํานวนจริง

0 ≤ cos θ ≤ 1 1 ≤ sec θ  1 ≤ sec θ

0≤ 

0≤

ดังนั้น sec θ ≥ 1 ใด ที่ทําให sec θ < 1

9. มี เพราะเรนจของฟงกชัน tangent เปนเซตของจํานวนจริง 10. เนื่องจาก tan2x =

sec2x – 1

จะได sec2x + sec2x – 1 2sec2x

9 2

sec x

π <x<π 2

แต

7 2

ดังนั้น sec x = จะได cos x =

11.

32 = a2 + 12 a2 = 9–1 = 8 a = 2 2 เนื่องจาก θ อยูในควอดรันตที่ 2

วิธีที่ 1

1 a

3 2 3 − 2 2 − 3

จะได tan θ =

วิธีที่ 2 เพราะวา sec θ < 0

−

1 2 2

−

2 4

−

ดังนั้น cos θ < 0 ดวย

จาก

sin θ =

ดังนั้น

tan θ

1 3

จะทําให cos θ = = = =

sin θ cos θ 1 3 × 3 −2 2 −

2 4

1 1 − ( )2 3

2 2 3

93 12.

วิธีที่ 1

เพราะวา จาก

วิธีที่ 2

จะได cos θ =

a2 = 12 + 52 a = 26 เนื่องจาก θ อยูในควอดรันตที่ 3

sin θ < 0 cot θ = 5

−

5 26

−

5 26 26

ดังนั้น cosec θ < 0 ดวย จะได cosec2θ = 1 + cot2θ = 1 + 25 cosec θ = − 26 จาก

1 26

sin θ

cot θ

= cos θ

cos θ 1 − 26

cos θ

−

5 26 26

เฉลยแบบฝกหัด 2.5 1. 1) 2) 3) 4) 5) 2.

ควอดรันตที่ 1 ควอดรันตที่ 2 ควอดรันตที่ 2 ควอดรันตที่ 1 ควอดรันตที่ 1

หรือ หรือ หรือ หรือ หรือ

ควอดรันตที่ 2 ควอดรันตที่ 3 ควอดรันตที่ 4 ควอดรันตที่ 3 ควอดรันตที่ 2

BC AB

BC = 10 (0.342) = 3.42 เซนติเมตร

10 C

= sin 20°

AC AB

20° A

= cos 20°

AC = 10 (0.9397) = 9.397 เซนติเมตร

94 B

5 A 70°

50° C

AP = AB cos 70° PC = BC cos 50° AC = AP + PC

= 5(0.3420) = = 6.1338 × 0.6428 = = 1.71 + 3.9428 =

BP AB

sin 70°

= =

5(0.9397) 4.6985 เซนติเมตร

BP sin 50°

6.1338 เซนติเมตร

4.6985 0.7660

1.71 เซนติเมตร 3.9428 เซนติเมตร 5.6528 เซนติเมตร

= AB cos 40° = 6(0.7660) = 4.5960 เซนติเมตร AD = AB sin 40° = 6(0.6428) = 3.8568 เซนติเมตร 6.680 เซนติเมตร

A 110°

B 40°

30°

DC = AD cot 30° = 3.8568 × 1.7321 = CA =

AD sin 30°

= 2 × 6.680

BC = BD + DC

13.360 เซนติเมตร

= 4.5960 + 6.680 =

11.276 เซนติเมตร

70°

D 40″

จากสมบัติของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว จะได BD = DC = 20″

70°

BD AB

= cos 70°

AB =

BD cos 70°

20 0.3420

= 58.4795 นิ้ว

∴ เสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วยาว 58.4795 + 58.4795 + 40 = 156.959 นิ้ว

95 D

B 40 ฟุต A

40°

60 ฟุต

จาก

จากรูป

60°

= sin 60°

15° 15°

C D

เนื่องจาก

AC AB

เฉลยแบบฝกหัด 2.6

คาบ 2) แอมพลิจูด คาบ 3) แอมพลิจูด คาบ

คือ

1 2 2π 1

2π

4π

เทากับ 3 คือ

2π 1

เทากับ 3 คือ

50 ×2 3

x = AD – AC AE = AD = AB = 90 เซนติเมตร

x เซนติเมตร

เทากับ

จากรูป และ

นั่นคือ

1. 1) แอมพลิจูด

BC sin 60°

∴ ระยะทางที่นักวายน้ําวายขามฝง เทากับ

BC AB

AB =

50 เมตร A

= tan 40°

DE = 60(0.8391) = 50.346 ∴ ตึกที่สูงกวา สูง 40 + 50.346 = 90.346 ฟุต

DE BE

2π 1 2

100 3 3

= cos 15°

AC = 90 cos 15° = 86.931 x = 90 – 86.931 = 3.069 เซนติเมตร

เมตร

96 4) แอมพลิจูด คาบ

คือ

5) แอมพลิจูด คาบ

เทากับ คือ

6) แอมพลิจูด คาบ

เทากับ คือ

7) แอมพลิจูด คาบ 8) แอมพลิจูด คาบ

2. 1) y =

เทากับ 4

1 sin 2θ 2

เทากับ คือ เทากับ คือ

2π 3 1 − 2 2π 4 −2 2π 1 2

= =

1 2 π 2

4π

1 2π 3 2π

2) y =

1 cos θ 2

97 3) y =

1 sin(−2θ) 2

4) y =

1 − sin(−2θ) 2

5) y =

1 −2sin θ − 1 2

98 6) y =

1 −2 cos θ + 1 2

7) y =

2sin 2θ + 1

8) y =

2 cos 2θ − 1

99 3. 1) 3) 5) 7) 9)

จ ก ซ ค ง

2) 4) 6) 8)

ฉ ฌ ข ช

เฉลยแบบฝกหัด 2.7 1. 1) cos (60° + 45°)

cos 60° cos 45° – sin 60° sin 45°

 1  2   3  2  −       2   2   2   2  2 6 − 4 4 2− 6 4 1 ( 2 − 6) 4

= = = 2) cos ( 3π − π ) 2

= =

3) cos 165°

3π π 3π π cos + sin sin 2 3 2 3  3 0 + (−1)    2  cos

3 2

−

= =

cos (120° + 45°) cos 120° cos 45° – sin 120° sin 45°

 1  2   3  2  −    −    2   2   2   2 

−

2 6 − 4 4 1 − ( 2 + 6) 4

100 4) cos 225°

5) sin 105°

= =

cos (180° + 45°) cos 180° cos 45° – sin 180° sin 45°

(–1) 

−

= =

sin (60° + 45°) sin 60° cos 45° + cos 60° sin 45°

 3  2       2  2 

6 2 + 4 4 1 ( 6 + 2) 4

= 6) sin 135°

 2   2   2 

+  1  

 2 (1)   + 0  2  2 2

= =

tan 105°

2 2

sin (90° + 45°) sin 90° cos 45° + cos 90° sin 45°

–0

= =

= 7) tan 75°

 2   2 

tan (30° + 45°) tan 30° + tan 45° 1 − tan 30° tan 45° 3 +1 3  3 1−   (1)  3  3 +3 3 × 3 3− 3

3+ 3 3− 3

= =

tan (60° + 45°) tan 60° + tan 45° 1 − tan 60° tan 45°

101

9) sin 17π 12

3 +1 1 − ( 3)(1)

1+ 3 1− 3

 3π π  sin  −   2 12  3π π 3π π sin cos − cos sin 2 12 2 12 π π (−1) cos  −  − 0 3 4 π π π π  − cos cos + sin sin  3 4 3 4   1   2   3   2   −     +       2   2   2   2   1 − ( 2 + 6) 4

= = = = = 10) cos

7π 12

= = = = = =

11)

tan

19π 12

= = = =

π π  cos  +   2 12  π π π π cos cos − sin sin 2 12 2 12 π π 0 − (1) sin  −  3 4 π π π  π − sin cos − cos sin  4 3 4  3  3   2   1   2   −     −       2   2   2   2   1 ( 2 − 6) 4 tan(π +

7π ) 12

7π 12 7π 1 − tan π tan 12 1+ 3 0+ 1− 3 1− 0 1+ 3 1− 3 tan π + tan

102 12)

13)

tan

7π 12

 π sin  −   12 

tan 105°

1+ 3 1− 3

π − sin    12    π π  − sin  −     3 4 

= = = = 14)

 π sec  −   12 

= = = = = = = = =

π π π  π − sin cos − cos sin  4 3 4  3  3   2   1   2   −     −       2   2   2   2   1 ( 2 − 6) 4 1  π cos  −   12  1 π cos    12  1 π π cos  −  3 4 1 π π π π cos cos + sin sin 3 4 3 4 1  1  2   3  2  +      2  2   2  2  4 2+ 6

4 2− 6 ⋅ 2+ 6 2− 6 4( 2 − 6) 2−6 6− 2

103 15)

 5π  cot  −   12 

= = =

= =

1  5π  tan  −   12  1  7π  tan  − π  12  1  7π  tan   − tan π  12   7π  1 + tan   tan π  12  1 1+ 3 −0 1− 3 1− 3 1+ 3

π π  5π   5π  sin  −  sin + cos cos  −  2 2  2   2 

(–1)(1) + 0

π  π π  π sin sin  −  + cos  −  cos 3 3  4  4

 3  2   2  1     −  +     2 2     2  2 

−

1 ( 2 − 6) 4

6 2 + 4 4

4. 1) sin 20° cos 10° + cos 20° sin 10° = = =

sin (20° + 10°) sin 30°

2) cos 70° cos 20° – sin 70° sin 20° = = =

cos (70° + 20°) cos 90° 0

1 2

–1

104 3)

tan 20° + tan 25° 1 − tan 20° tan 25°

sin

π 7π π 7π cos − cos sin 12 12 12 12

tan (20° + 25°)

= =

tan 45° 1

π 7π sin( − ) 12 12 π sin(− ) 2

sin

π 5π 5π π cos − sin cos 12 12 12 12

–1

π 5π sin( − ) 12 12 π sin(− ) 3 3 − 2

= = 5. 1) 5

3 4 sin (α + β) = = = cos (α + β) = = =

1 α

sin α cos β + cos α sin β  3  2      5  5  2 = 5 5

+  4   −  5 

1   5

6 5 5

−

2 5 25

cos α cos β – sin α sin β  4  2   3  1     −   −  5  5  5   5  8 3 11 = + 5 5 5 5 5 5

11 5 25

4 5 5

105 sin (α – β) =

sin α cos β – cos α sin β

 3  2   4  1     −   −  5  5  5   5  6 4 = + 5 5 5 5

tan α − tan β 1 + tan α tan β 3  1 −−  4  2  3  1  1+   −   4  2  5 5 8 4 = × 5 4 5 8

tan (α – β) = = =

4 3 sin (α + β) =

 4  1   3  3       +  −    5   2   5   2 

4 3 3 − 10 10

= =

sin α cos β + cos α sin β

cos (α + β) =

3 α

10 5 5

1 (4 − 3 3) 10

cos α cos β – sin α sin β  3  1   4  3    −    −     5   2   5   2  3 4 3 1 − − − (3 + 4 3) = 10 10 10

2 5 5

106 sin (α – β) =

sin α cos β – cos α sin β

 4  1   3  3       −  −    5   2   5   2 

4 3 3 + 10 10 tan α − tan β 1 + tan α tan β  4 − − 3  3  4 1 +  −  ( 3)  3

tan (α – β) = =

−4 − 3 3 3 3− 4 3 3 4+3 3 4 3 −3

= =

48 + 25 3 39

= 3)

12 sin (α + β) =

1 (4 + 3 3) 10

1 sin α cos β + cos α sin β

 5   1   12   3      −  +  −    13   2   13   2 

−

5 12 3 − 26 26 1 − (5 + 12 3) 26

107 cos (α + β) = =

 12   1   5   3    −   −  −     13   2   13   2 

12 5 3 − 26 26 1 (12 − 5 3) 26

= sin (α – β) =

 5   1   12   3      −  −  −    13   2   13   2 

−

tan (α – β) = = = = π  sin  + θ  2 

π 2

5 12 3 + 26 26 1 (12 3 − 5) 26

tan α − tan β 1 + tan α tan β  5  −  − (− 3)  12   5 1 +  −  (− 3)  12  12 3 − 5 12 12 + 5 3 12 12 3 − 5 5 3 + 12

π π sin cos θ + cos sin θ 2 2

cos θ

2) cos  + θ  = 

= π 2

sin α cos β – cos α sin β

6. 1)

cos α cos β – sin α sin β

3) sin  − θ  = 

π 2

cos cos θ – sin sin θ – sin θ π 2

π 2

sin cos θ – cos sin θ cos θ

108 4)

sin(π + θ)

= =

3π  −θ =  2 

5) cos  6)

 3π  sin  + θ   2 

sin π cos θ + cos π sin θ – sin θ cos

3π 3π cos θ + sin sin θ 2 2

– sin θ

sin

= 7) tan (π – θ) = =

3π 3π cos θ + cos sin θ 2 2

– cos θ tan π − tan θ 1 + tan π tan θ 0 − tan θ 1+ 0

= – tan θ 8) sin (α + β) + sin (α – β) = = 9)

sin(α + β) sin α cos β

= =

10)

cos(α + β) cos α cos β

sin(α + β) sin(α − β)

sin α cos β + cos α sin β sin α cos β cos α sin β 1+ sin α cos β

1 + cot α tan β

cos α cos β − sin α sin β cos α cos β sin α sin β 1− cos α cos β

11)

sin α cos β + cos α sin β + sin α cosβ – cos α sin β 2 sin α cos β

1 − tan α tan β

sin α cos β + cos α sin β sin α cos β − cos α sin β sin α cos β cos α sin β + sin α cos β − cos α sin β sin α cos β − cos α sin β 1 1 + 1 − cot α tan β tan α cot β − 1

= =

109 = = = 7. 1) tan (α – β) = = = = 2) 2 cos α sin β = = =

1 1 + tan β tan α −1 1− tan α tan β tan α tan β + tan α − tan β tan α − tan β tan α + tan β tan α − tan β sin(α − β) cos(α − β) sin α cos β − cos α sin β cos α cos β + sin α sin β sin α cos β cos α sin β − cos α cos β cos α cos β cos α cos β sin α sin β + cos α cos β cos α cos β tan α − tan β 1 + tan α tan β

cos α ≠ 0, cos β ≠ 0

cos α sinβ + cos α sin β sin (α + β) – sin α cos β – sin (α – β) + sin α cos β sin (α + β) – sin (α – β)

3) 2 cos α cos β = cos α cosβ + cos α cos β = cos (α + β) + sin α sin β + cos (α – β) – sin α sin β = cos (α + β) + cos (α – β) 4) 2 sin α sin β = sin α sinβ + sin α sin β = cos (α – β) – cos α cos β + cos α cos β – cos (α + β) = cos (α – β) – cos (α + β) 5) เนื่องจาก sin (x + y) – sin (x – y) = 2 cos x sin y ให α = x + y, β = x–y จะได x = α +β , y = α −β 2

∴ sin α – sin β = 2 cos

2 α + β     sin  2 

 α −β     2 

110 6) เนื่องจาก cos (x + y) + cos (x – y) = 2 cos x cos y α = x + y, β = x–y ให จะได x = α +β , y = α −β 2

∴ cos α + cos β = 2 cos

2  α+β  α −β    cos    2   2 

7) เนื่องจาก cos (x + y) – cos (x – y) = –2 sin α sin β ให α = x + y, β = x–y จะได x = α +β , y = α −β 2

∴ cos α – cos β = 8) จาก

จาก ∴

9) จาก

จาก

α α + cos 2 2 2 α sin 2 = 2 α sin = 2 sin 2

2 –2 sin  α + β  sin  α − β   2   2 

1 − cos 2

α 2

± 1 − cos 2

α 2

α cos 2   + 1 2 2

± 1−

2 − cos α − 1 2

1 − cos α 2

α α + cos 2 2 2 α cos = 2

= 1

α cos 2   2 α sin 2

sin 2

α sin 2   2

cos α + 1 2

1 − cos α 2

cos α + 1 2

α 2 α 1 − cos 2   2 2 ± 1 − sin 2

111 ∴

10)

cos

α 2

α tan 2

± 1−

2 − 1 + cos α 2

1 + cos α 2

= =

8. 1) sin (90° – A) 2) tan (90° – A)

= = = = = =

3) cot (90° – B)

= =

4) sec (90° – A)

1 − cos α 2

α 2 α cos 2 1 − cos α ± 2 1 + cos α ± 2 sin

sin 90° cos A – cos 90° sin A cos A tan 90° − tan A 1 + tan 90° tan A 1 1 − cot 90° cot A 1 1+ cot 90° cot A cot A − cot 90° cot 90° cot A cot 90° cot A + 1 cot 90° cot A cot A − 0 = 0 +1 1 tan(90° − B) 1 cot B

cot A

= =

tan B

1 cos 90° cos A + sin 90° sin A 1 = csc A sin A

1 cos(90° − A)

1 − cos α 1 + cos α

112 5) csc (90° – B)

1 sin(90° − B)

1 sin 90° cos B − cos 90° sin B 1 = sec B cos B

= 6) sin (90° + A) 7) cos (270° – A) 8) tan (270° – A)

= = = = = = =

9. 1) cos (x – 30°) – cos (x + 30°)

2) cos (x + 45°) + cos (x – 45°)

3) sin (x – 30°) + sin (x + 30°)

sin 90° cos A + cos 90° sin A cos A cos 270° cos A + sin 270° sin A – sin A sin(270° − A) cos(270° − A) sin 270° cos A − cos 270° sin A cos 270° cos A + sin 270° sin A − cos A = cot A − sin A

= =

2 sin x sin 30°

= =

sin x 2 cos x cos 45°

2 2 2

= = =

4) sin (x + y) sin (x – y) = = = = =

2sin x 2

cos x

2 cos x

2 sin x cos 30° 2 3 2

sin x

3 sin x = (sin x cos y + cos x sin y)(sin x cos y – cos x sin y) sin2x cos2y – cos2xsin2y sin2x (1 – sin2y) – (1 – sin2x) sin2y sin2x – sin2x sin2y – sin2y + sin2x sin2y sin2x – sin2y

113 10.

cos 2x

2 cos2x – 1

3 2   −1 7  9  2   −1  49  31 − 49

= = 11.

tan 2x

= =

12.

13.

cos 32°

sin 0.52

1 + 0.44 2

1 1− 4

0.25

4 3

 α 1 + cos α   cos = ±  2 2  

32° อยูในควอดรันตที่ 1 0.72

1.04 2 1 − cos1.04 2 1 − 0.5 2

sin (x + y) = 5 = −

sin

64° 2

cos (x + y) =

cos

1 + cos 64° 2

15.

2 tan x 1 − tan 2 x 1 2  2 2 1 1−   2

14.

0.5

cos x cos y – sin x sin y  3   12   4   5   −  −  −   −   5   13   5   13  36 20 56 = + 65 65 65

sin x cos y + cos x sin y 3 4 cos y + sin y 5 5

= 0.849

114 1)

เพราะวา 0 < x <

π 2

เพราะวา

ดังนั้น

cos (x + y) =

− 1 − sin 2 (x + y)

sin (x + y) = 5 = −

sin x cos y + cos x sin y 3 4 ---------- (*) cos y + sin y

cos (x + y) = 12 = −

cos x cos y – sin x sin y 4 3 ---------- (**) cos y − sin y

1 − sin 2 x

< x+y <

3π , 2

(*) × 4 – (**) × 3

จะได

ดังนั้น

16 65

tan (x + y)

1−

sin (x + y)

5 25 5

4 5 5 − 13 12 − 13

cos x =

sin y =

9 25

ดังนั้น

3 5

sin x =

= =

sin y

−20 + 36 13

sin(x + y) cos(x + y) 5 − 13 12 − 13 5 12

= = =

เฉลยแบบฝกหัด 2.8 1. 1) arcsin 0 ให หาคา θ

arcsin 0 = θ เมื่อ − π ≤ θ ≤ π

จะได sin θ = 0 และ sin θ = 0

จะพบวา

เมื่อ

จะมี

ดังนั้น

arcsin 0 = 0

2 2 π π − ≤θ≤ 2 2

= 0 เพียงคาเดียวที่ sin θ = 0

115 2) arccos 1 ให หาคา θ จะพบวา ดังนั้น

arcsin 0 = θ เมื่อ 0 ≤ θ ≤ π เมื่อ 0 ≤ θ ≤ π arccos 1 = 0

จะได cos θ = 1 และ cos θ = 1 จะมี θ = 0 เพียงคาเดียวที่ cos θ = 1

3) arcsin (–1) ให arcsin (–1) = θ เมื่อ − π ≤ θ ≤ π หาคา θ 2 2 π π − ≤θ≤ 2 2

จะพบวา

เมื่อ

ดังนั้น

arcsin (–1) =

−

จะได sin θ = –1 และ sin θ = –1 จะมี

π 2

−

π 2

เพียงคาเดียวที่ sin θ = –1

4) arccos –1 ให หาคา θ จะพบวา ดังนั้น

arccos (–1) = θ เมื่อ 0 ≤ θ ≤ π เมื่อ 0 ≤ θ ≤ π arccos (–1) = π

จะได cos θ = –1 และ cos θ = –1 จะมี θ = π เพียงคาเดียวที่ cos θ = –1

5) arctan 0 ให หาคา θ

arctan 0 = θ เมื่อ − π < θ < π

จะได tan θ = 0 และ tan θ = 0

จะพบวา

เมื่อ

จะมี

ดังนั้น

arctan 0 = 0

2 2 π π − <θ< 2 2

6) arctan (–1) ให arctan (–1) =

= 0 เพียงคาเดียวที่ tan θ = 0

จะได tan θ = –1

116 π <θ< 2 π − <θ< 2

π 2 π 2

หาคา θ

เมื่อ

จะพบวา

เมื่อ

ดังนั้น

arctan (–1) =

−

π 4

 2   2 

7) arcsin

−

arcsin 

หาคา θ

π π ≤θ≤ 2 2 เมื่อ − π ≤ θ ≤ π 2 2 arcsin 2 = π 2 4

เมื่อ

จะพบวา ดังนั้น

−

π 4

เพียงคาเดียวที่ tan θ = –1

จะได sin θ =

2 2

และ sin θ =

2 2

จะมี

π 4

เพียงคาเดียวที่ sin θ =

2 2

3 3  3   3 

จะได tan θ =

3 3

π π <θ< 2 2 เมื่อ − π < θ < π 2 2 arctan 3 = π 6 3

และ tan θ =

3 3

arctan 3 = θ เมื่อ − π < θ < π

จะได tan θ = และ tan θ =

ให

arctan 

หาคา θ

เมื่อ

จะพบวา ดังนั้น 9) arctan ให หาคา θ จะพบวา ดังนั้น

จะมี

2 2

ให

8) arctan

และ tan θ = –1

−

จะมี

π 6

เพียงคาเดียวที่ tan θ =

3 3

2 2 π π เมื่อ − < θ < 2 2 π arctan 3 = 3

จะมี

π 3

3 3

เพียงคาเดียวที่ tan θ =

117 10) arcsin (−

3 ) 2

arcsin (−

หาคา θ

π π ≤θ≤ 2 2 เมื่อ − π ≤ θ ≤ π 2 2 arcsin (− 3 ) = − π 2 3

เมื่อ

จะพบวา ดังนั้น 11) arccos (−

−

3 2 3 − 2

จะได sin θ =

−

และ sin θ = จะมี

−

π 3

เพียงคาเดียวที่ sin θ = −

3 2

3 ) 2 3 ) 2

ให

arccos (−

หาคา θ

เมื่อ

0≤θ≤π

และ cos θ =

จะพบวา

เมื่อ

0≤θ≤π

จะมี

ดังนั้น

arccos (−

12) arcsin (−

3 ) 2

5π 6

2 ) 2

จะได cos θ =

θ=

5π 6

3 2 3 − 2 −

เพียงคาเดียวที่ cos θ = −

3 2

2 ) 2

ให

arcsin (−

หาคา θ

π π ≤θ≤ 2 2 เมื่อ − π ≤ θ ≤ π 2 2 arcsin (− 2 ) = − π 4 2

จะพบวา ดังนั้น

เมื่อ

2. 1) 81° 10′ 4) 26° 50′ 3. 1)

3 ) 2

ให

−

2) 5)

cos(arcsin(−

3 )) 2

ให

arcsin  −

 

−

และ sin θ = จะมี

54° 50′ 20° 10′ 3  2 

2 2 2 − 2

จะได sin θ =

−

π 4

เพียงคาเดียวที่ sin θ = −

55° 40′

จะได sin θ =

−

3 2

2 2

118 3 2

หา θ

ที่ sin θ = −

แต

3  π sin  −  = − 2  3   arcsin  − 3  = − π 3  2    cos (arcsin  − 3  ) =  2 

จะได ดังนั้น

และ

1 2

1 sin(arcsin(− )) 2

ให

arcsin  − 1  =

หา θ

ที่ sin θ =

แต

 π sin  −  =  6 arcsin  − 1   2

จะได ดังนั้น

 2

−

cos(arccos(−

จะได sin θ =

1 2

และ −

−

1 sin(arcsin(− )) 2

3 )) 2 

3  2 

หา θ

3 2 5π = − 3 cos 6 2   arccos  − 3  = 5π 6  2 

ดังนั้น

π π ≤ θ ≤ 2 2

π sin(− ) 6 1 − 2

arccos  −

จะได

1 2

π 6

ให

แต

−

1 2

= 3)

π π ≤ θ ≤ 2 2

π cos(− ) 3

= 2)

−



ที่ cos θ =

จะได cos θ =

และ 0

−

cos(arccos(−

3 )) 2

= =

5π 6 3 − 2 csc

−

≤ θ ≤ π

3 2

119 4)

1 tan(arcsin ) 3

ให หา

arcsin 1 =

จะได sin θ =

ที่ sin θ =

1 3

และ

เนื่องจาก

sin θ > 0

และ

1 3 π π − ≤θ≤ 2 2 π π − ≤θ≤ 2 2

ใชรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และทฤษฎีบทพีทาโกรัส หาคําตอบไดดังนี้ จากรูป sin θ = 1 3 ( 2 2 , 1) และ tan θ = 1 = 2 4 2 2 3 1 1 ดั ง นั น ้ tan(arcsin ) = tan θ θ 3

2 2

1 tan(arccos ) 3

ให

arccos 1 =

จะได cos θ =

หา θ

ที่ cos θ =

1 3

และ 0

1 3

≤ θ ≤ π

เนื่องจาก cos θ > 0 และ 0≤θ≤π ใชรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และทฤษฎีบทพีทาโกรัส หาคําตอบไดดังนี้ จากรูป cos θ = 1 (1, 2 2 ) 3

3 θ

และ ดังนั้น

2 2

tan θ =

2 2

1 tan(arccos ) 3

= tan θ =

1 tan(arctan ) 2 1 2

ให

arctan

หา θ

ที่ tan θ =

เนื่องจาก

tan θ > 0

θ 1 2

จะได tan θ = และ และ

π 2 π − 2 −

1 2

π 2 π 2

2 2

2 4

120 1 tan(arctan ) 2

ดังนั้น 7)

= tan θ =

1 2

2 ) 3

cos(arcsin

2 3

ให

arcsin

หา θ

ที่ sin θ =

เนื่องจาก

sin θ > 0

2 3

จะได sin θ =

2 3

และ และ

π ≤θ≤ 2 π − ≤θ≤ 2 −

π 2 π 2

ใชรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และทฤษฎีบทพีทาโกรัส หาคําตอบไดดังนี้ 2 3 cos θ = 7 3 3 cos(arcsin ) 3

จากรูป sin θ = ( 7, 2)

และ

ดังนั้น

θ 7

= cos θ 7 3

cot(arcsin(−

2 )) 3

ให

arcsin (−

หา θ

ที่ sin θ =

เนื่องจาก

sin θ < 0

2 ) 3 −

= 2 3

2 3 π π − ≤ θ ≤ 2 2 π π − ≤ θ ≤ 2 2

จะได sin θ = และ และ

−

ใชรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และทฤษฎีบทพีทาโกรัส หาคําตอบไดดังนี้ จากรูป sin θ =

7 θ

3 (

และ

cot θ =

ดังนั้น

cot(arcsin(−

7, − 2)

2 3 7 − 2

−

2 ) 3

−

14 2

= cot θ =

−

14 2

121 9) csc (arctan 1 ) 2

1 2

ให

arctan

หา θ

ที่ tan θ =

เนื่องจาก

tan θ > 0

จะได tan θ =

1 2

และ และ

π 2 π − 2 −

1 2

π 2 π 2

ใชรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และทฤษฎีบทพีทาโกรัส หาคําตอบไดดังนี้ จากรูป tan θ = 1 (2, 1)

5 θ

และ ดังนั้น

1 2

10) sin (arctan (–3)) ให arctan (–3) = θ ที่ tan θ = –3 หา θ เนื่องจาก

csc θ = 5 csc (arctan 1 ) = csc θ 5

จะได tan θ = –3 และ − π < θ < π

tan θ < 0

และ

2 π − 2

2 π 2

ใชรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และทฤษฎีบทพีทาโกรัส หาคําตอบไดดังนี้ จากรูป tan θ = –3 1 และ sin θ = − 3 θ 10 3 ดังนั้น sin (arctan (–3)) = sin θ 10 (1, –3) = − 3 10 10

11)

cot(arccos(−

3 )) 3

ให

arccos  −

หา

 

3  3 

ที่ cos θ =

−

= 3 3

จะได cos = และ 0

−

3 3

≤ θ ≤ π

เนื่องจาก cos θ < 0 และ 0 ≤ θ ≤ π ใชรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และทฤษฎีบทพีทาโกรัส หาคําตอบไดดังนี้

122 (− 3,

จากรูป cos θ =

3 3 3 − 6

−

และ

cot θ =

ดังนั้น

cot(arccos(−

3 )) 3

sec(arcsin

−

2 2

2 5 ) 5

ให หา

2 2

= cot θ

12)

−

arcsin

2 5 5

ที่ sin θ

เนื่องจาก

2 5 5 π π − ≤θ≤ 2 2 π π − ≤θ≤ 2 2

จะได sin θ =

2 5 5

และ

sin θ > 0

และ

( 5, 2 5)

2 5

และ

sec θ =

ดังนั้น

sec(arcsin

2 5 5 5 5 2 5 ) 5

= sec θ =

13)

1 csc(arccos ) 3

ให หา

arccos 1 =

จะได cos θ =

ที่ cos θ =

1 3

และ 0

1 3

≤ θ ≤ π

เนื่องจาก cos θ > 0 และ 0 ≤ θ ≤ π ใชรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และทฤษฎีบทพีทาโกรัส หาคําตอบไดดังนี้ 1 θ = จากรู ป cos (1, 2 2 ) 3

2 2

และ ดังนั้น

3 csc θ = 3 2 2 1 csc(arccos ) 3

= csc θ

123 =

3 2 2

14) tan (arcsin 0.7030) ให arcsin 0.7030 = θ จะได sin θ = 0.7030 ที่ sin x = 0.7030 และ − π ≤ θ ≤ π หา θ 2

เปดตารางได θ = 44° 40′ ดังนั้น tan (arcsin 0.7030) = tan 44° 40′ = 0.9884 15) tan (arcsin (cos π ) ) = tan (arcsin 6

ให หา

arcsin θ

3 2

π 3

3 2 π ) 6

3 2 π π − ≤θ≤ 2 2

จะได sin θ =

ที่ sin θ =

3 ) 2

3 2

และ

แต

sin

จะได

arcsin (cos

ดังนั้น

tan (arcsin (cos π ) = tan

π 3

16) cos (arctan 3.2709) ให arctan 3.2709 = θ หา θ ที่ tan θ = 3.2709

π 3

จะได tan θ = 3.2709 และ − π < θ < π 2

เปดตารางได tan 73° = 3.2709 จะได arctan 3.2709 = 73° ดังนั้น cos (arctan 3.2709) = cos 73° = 0.2924 17) cos2(arcsin 0.9261) ให arcsin 0.9261 =

จะได sin θ = 0.9261

3 2 4

124 หา

ที่ sin θ = 0.9261

และ

−

π π ≤θ≤ 2 2

เปดตารางได sin 67° 50′ = 0.9261 จะได arcsin 0.9261 = 67° 50′ ดังนั้น cos2(arcsin 0.9261) = cos2 67° 50′ = (0.3773)2 = 0.1424 18) sin (arctan 2) ให arctan 2 = θ หา θ ที่ tan θ = 2 เนื่องจาก

tan θ > 0 (1, 2) 5

2 1

จะได tan θ = 2 และ − π < θ < และ

2 π − 2

π 2 π 2

จากรูป

tan θ = 2

และ

sin θ =

ดังนั้น

sin (arctan 2) = sin θ

2 5

2 5 5

19) sin (2 arccos a) , a > 0 ให arccos a = θ , จะได cos θ = a หา θ ที่ cos θ = a และ 0 ≤ θ ≤ π เนื่องจาก cos θ > 0 และ 0 ≤ θ ≤ π ใชรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและทฤษฎีบทพีทาโกรัสหาคําตอบไดดังนี้ sin θ = 1 − a 2 cos θ = a ดังนั้น sin (2 arccos a) = sin 2θ = 2 sin θ cos θ = 2 1− a2 a = 2a 1 − a 2 1 2 1− a

2 5 5

125 20)

3 3 sin(arccos + arcsin(− )) 5 5 3 ให arccos = α 5 หา α ที่ cos α = 3 5

จะได cos α = และ 0

3 5

≤ α ≤ π

เนื่องจาก cos α > 0 และ 0 ≤ α ≤ π ใชรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และทฤษฎีบทพีทาโกรัส หาคําตอบไดดังนี้ จากรูป sin α = 5 α

cos β =

4 3

ให arcsin (− 3 ) = 5

3 5

และ

เนื่องจาก sin β < 0

และ

หา β ที่ sin β =

−

3 5 π π − ≤β≤ 2 2 π π − ≤β≤ 2 2

จะได sin β =

−

ใชรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และทฤษฎีบทพีทาโกรัส หาคําตอบไดดังนี้ จากรูป sin β = − 3 β

cos β = 3

5 4 5

ดังนั้น sin (arccos 3 + arcsin (– 3 ) = sin (α + β) 5

= sin α cos β + cos α sin β = ( 4 )( 4 ) + ( 3 )(− 3 ) =

5 5 5 16 9 − = 25 25

5 7 25

4 5 3 5

126 4. 1) ให จะได จาก ดังนั้น 2) ให

arcsin θ = x sin x = θ

และ

−

cos 2x = 1 – 2 sin2x = 1 – 2θ2 cos (2 arcsin θ) = cos 2x = 1 – 2θ2 arcsin

4 5

π π ≤x≤ 2 2

= x 4 5

และ

π π ≤x≤ 2 2

ดังนั้น

sin x =

จะได

cos x =

ให

arccos 12 = y

ดังนั้น

cos y =

จะได

sin y =

ให

arcsin 16 = z

ดังนั้น

sin z =

จะได

cos z =

เพราะวา

sin (x + y + z) = sin (x + (y + z)] = sin x cos (y + z) + cos x sin (y + z) = sin x (cos y cos z – sin y sin z) + cos x (sin y cos z + cos y sin z) = 4 (12 ⋅ 63 − 5 ⋅ 16 ) + 3 ( 5 ⋅ 63 + 12 ⋅ 16 )

1−

16 25

− 3 5

12 13 1−

และ 144 169

0≤y≤π 5 13

16 65 1− (

และ 16 2 ) 65

5 13 65 13 65

−

π π ≤z≤ 2 2

63 65

5 13 65 13 65

นั่นคือ

sin (x + y + z) = 1 จะได x + y + z =

ดังนั้น

4 12 16 arcsin + arccos + arcsin 5 13 65

π 2

127 3) arcsin 1 + arcsin 2

– arcsin (–1) =

ดังนั้น arcsin 1 + arcsin 2

4) ให จะได

π π + 6 3

3 2

= – arcsin (–1)

3 2 π 2

arctan x = tan θ = x

และ

−

π π <θ< 2 2

sec (arctan x) = sec θ = 1 + tan 2 θ = 1+ x2 5) ให

arctan 1 = 3

1 3

tan θ =

เนื่องจาก

tan θ > 0

จะได 0

เพราะวา

tan 2θ =

2 tan θ 1 − tan 2 θ 2 3 1 1− 9 3 4

และ

= = เนื่องจาก

0 < 2θ <

จะได

2θ = arctan 3

6) ให จะได ดังนั้น

(sec2θ = 1 + tan2θ)

ดังนั้น

นั่นคือ

π 2

−

π π <θ< 2 2 π < θ< 2

และ tan 2θ > 0

นั่นคือ 0 < 2θ <

จะได 0 < 2θ <

2 arctan

1 3

= arctan

arcsin x = θ sin θ = x cos θ =

3 4

และ

1− x2

−

π π ≤θ≤ 2 2

π 2

128 เพราะวา ดังนั้น 5. 1) ให จะได ดังนั้น จะได นั่นคือ

sin 2θ = 2 sin θ cos θ = 2x 1 − x 2 sin (2 arcsin x) = 2x 1 − x 2 arctan x = θ tan θ = x

และ

– tan θ = –x

และ

tan(–θ) = –x

และ

arctan (–x) = –θ arctan x + arctan (–x) =

อีกวิธีหนึ่ง ให arctan x = เพราะวา

tan (θ + β)

tan θ + tan β 1 − tan θ tan β x + (− x) 1 − x(− x)

= =

ดังนั้น นั่นคือ

−

π π <θ< 2 2

และ

จะได tan β = –x และ =

จาก

θ + (–θ)

จะได tan θ = x

ให arctan (–x) =

π π <θ< 2 2 π π − < −θ < 2 2 π π − < −θ < 2 2 −

−

π <θ< 2 π − <β< 2 −

0 π π <β< 2 2

จะได

=0 arctan x + arctan (–x) = 0 θ+β

2) ให arcsin x = y sin y = x

และ

−

ให arccos x = z cos z = x

และ

0≤z≤π

π π ≤y≤ 2 2

−π < θ + β < π

π 2 π 2

129 ดังนั้น sin y = cos z จะได

โดยที่

= z

0≤y≤

π 4

นั่นคือ arcsin x + arccos x = y + z =

π 2

และ

π π + 4 4

0≤z≤

π 2

3) ให arctan x = A

จะได tan A = x

และ

ให arctan y = B

จะได tan B = y

และ

เมื่อ

−

π π <A< 2 2

และ

−

แต arctan x + arctan y < − π นั่นคือ

–π < A + B <

2 π − 2

0 < π + (A + B) < จาก

−

นั่นคือ arctan x + arctan y =

= =

tan (A + B)

tan A + tan B 1 − tan A tan B x+y = 1 − xy arctan x + y 1 − xy –π + arctan x + y 1 − xy –π + arctan x + y 1 − xy

4) ให arctan x = A

จะได tan A = x

และ

ให arctan y = B

จะได tan B = y

และ

เมื่อ

−

π π <A< 2 2

แต arctan x + arctan y > นั่นคือ

π 2

+ (A + B) =

A+B

π π <A< 2 2 π π − <B< 2 2 −

จะได –π < A + B < π

จะได A + B <

tan (π + (A + B))

จะได

π π <B< 2 2

π 2

π π <B< 2 2

และ

−

π 2

จะได A + B >

π <A+B<π 2 π − < −π + (A + B) < 0 2

π π <A< 2 2 π π − <B< 2 2 −

จะได –π < A + B < π π 2

130 จาก

จะได

tan (–π + (A + B))

= =

tan (A + B)

tan A + tan B 1 − tan A tan B x+y = 1 − xy = arctan x + y 1 − xy x+y = π + arctan 1 − xy x+y π + arctan 1 − xy

–π + (A + B) A+B

นั่นคือ arctan x + arctan y =

เฉลยแบบฝกหัด 2.9 (1) 1. 1) csc θ ⋅ cos θ

= =

2) 1 + tan2(–θ)

cos θ

cot θ

cos 2 (−θ) + sin 2 (−θ) cos 2 θ 1 cos 2 θ

= = 3) cos θ (tan θ + cot θ)

1 sin θ cos θ sin θ

sin 2 (−θ) cos 2 (−θ)

sec2θ = = = = =

cos θ tan θ + cos θ cot θ sin θ cos θ ) + cos θ( ) cos θ sin θ sin 2 θ + cos 2 θ sin θ 1 sin θ

cos θ(

csc θ

131 4) tan θ cot θ – cos2θ

5) (sec θ – 1)(sec θ + 1) 6) (sec θ + tan θ)(sec θ – tan θ) 7) sin2θ (1 + cot2θ)

sin θ cos θ − cos 2 θ cos θ sin θ

= =

1 – cos2θ sin2θ

= =

sec2θ – 1 tan2θ sec2θ – tan2θ 1

= =

sin2θ + sin2θ

= =

sin2θ + cos2θ 1

cos 2 θ sin 2 θ

8) (sin θ + cos θ)2 + (sin θ – cos θ)2 = sin2θ + 2 sin θ cos θ + cos2θ + sin2θ – 2 sinθ cos θ + cos2θ = 2 sin2θ + 2 cos2θ = 2 (sin2θ + cos2θ) = 2 9) sec4θ – sec2θ

= = =

sec2θ (sec2θ – 1) (tan2θ + 1)tan2θ tan4θ + tan2θ

10) sec θ – tan θ

1 – sin θ cos θ cos θ 1 − sin θ (1 + sin θ) × cos θ (1 + sin θ)

= =

1 − sin 2 θ cos θ(1 + sin θ)

cos 2 θ cos θ(1 + sin θ) cos θ 1 + sin θ

132 11) 3 sin2θ + 4 cos2θ

12)

cos 2 θ 1− 1 + sin θ

= = =

3(1 – cos2θ) + 4 cos2θ 3 – 3 cos2θ + 4 cos2θ 3 + cos2θ

1 + sin θ 1 − sin 2 θ − 1 + sin θ 1 + sin θ 1 + sin θ − 1 + sin 2 θ 1 + sin θ sin θ(1 + sin θ) 1 + sin θ

= = = 13)

1 + tan θ 1 − tan θ

= = = = =

14)

sec θ sin θ + csc θ cos θ

= = =

15)

1 + sin θ 1 − sin θ

= =

sin θ sin θ cos θ sin θ 1− cos θ cos θ + sin θ cos θ cos θ − sin θ cos θ cos θ + sin θ cos θ − sin θ cos θ +1 sin θ cos θ −1 sin θ cot θ + 1 cot θ − 1

sin θ sin θ + cos θ cos θ 2sin θ cos θ

2 tan θ 1 sin θ + sin θ sin θ 1 sin θ − sin θ sin θ csc θ + 1 csc θ − 1

133 16)

1 − sin θ cos + cos θ 1 − sin θ

1 − 2sin θ + sin 2 θ + cos 2 θ cos θ(1 − sin θ)

1 − 2sin θ + sin 2 θ + 1 − sin 2 θ cos θ(1 − sin θ) 2(1 − sin θ) cos θ(1 − sin θ) 2 cos θ

= = 17)

sin θ sin θ − cos θ

= = =

18)

1 − sin θ 1 + sin θ

= = = =

19)

cos θ sin θ + 1 − tan θ 1 − cot θ

1 − sin θ 1 − sin θ 1 + sin θ 1 − sin θ 1 − 2sin θ + sin 2 θ 1 − sin 2 θ 1 − 2sin θ + sin 2 θ cos 2 θ 2sin θ + tan 2 θ sec2 θ − 2 cos θ

sec2θ – 2 sec θ tan θ + tan2θ (sec θ – tan θ)2

cos θ sin θ + sin θ cos θ 1− 1− cos θ sin θ 2 cos θ sin 2 θ + cos θ − sin θ sin θ − cos θ cos 2 θ − sin 2 θ cos θ − sin θ (cos θ − sin θ)(cos θ + sin θ) cos θ − sin θ

= = cot θ tan θ + 1 − tan θ 1 − cot θ

1 sin θ − cos θ sin θ 1 1 − cot θ

= =

20)

2 sec θ

sin θ + cos θ

cot θ tan 2 θ + 1 − tan θ tan θ − 1 1 − tan 2 θ tan θ 1 − tan θ

134

2. 1)

cos x sin x + sec x csc x

1 − tan 3 θ tan θ(1 − tan θ)

(1 − tan θ)(1 + tan θ + tan 2 θ) tan θ(1 − tan θ)

1 + tan θ + cot θ

cos2x + sin2x

2) cot θ cos θ + sin θ = =

3) csc x – sin x

cos 2 θ sin 2 θ + sin θ sin θ 1 sin θ

csc θ

1 sin 2 x − sin x sin x 1 − 1 + cos 2 x sin x

= =

cos x cot x

4) sin2α cot2α + tan2α cos2α =

5) sec θ – sec θ sin2θ

= = =

sin 2 α

cos 2 α sin 2 α

sin 2 α cos 2 α 2 cos α

cos 2 α + sin 2 α

1 sec θ (1 – sin2θ)

1 − sin 2 θ cos θ

cos θ

6) 2 sin2α – 1

= = =

2(1 – cos2α) – 1 2 – 2 cos2α – 1 1 – 2cos2α

7) tan2θ – cot2θ

= =

(sec2θ – 1) – (csc2θ – 1) sec2θ – csc2θ

135 8) tan2θ – sin2θ

= = = =

sin 2 θ − sin 2 θ cos 2 θ cos 2 θ sin 2 (1 − cos 2 θ) cos 2 θ sin 2 θ sin 2 θ cos 2 θ

tan2θ sin2θ

3. 1) sin2θ tan θ + cos2θ cot θ + 2 sinθ cos θ = (1 – cos2θ) tan θ + (1 – sin2θ) cot θ + 2 sin θ cos θ = tan θ – cos2θ sin θ + cot θ – sin2θ

cos θ sin θ

cos θ

+ 2 sinθ cosθ

= tan θ + cot θ 2)

2sin θ cos θ − cos θ 1 − sin θ + sin 2 θ − cos 2 θ

= = =

4. 1) cos (α + β) cos (α – β)

cot θ

(cos α cos β – sin α sin β)(cos α cos β + sin α cos β) cos2α cos2β – sin2α sin2β cos2α – cos2α sin2β – sin2β + sin2β cos2β cos2α – sin2β

= = = 2) cos (45° – θ) – sin (45° + θ)

cos θ(2sin θ − 1) 1 − sin θ + sin 2 θ − 1 + sin 2 θ cos θ(2sin θ − 1) 2sin 2 θ − sin θ cos θ(2sin θ − 1) sin θ(2sin θ − 1)

cos 45° cos θ + sin 45° sin θ – sin 45° cos θ – cos 45° sin θ 2 2

= =

(cos θ + sin θ – cos θ – sin θ)

136 3) tan (45° – α)

= =

4) cot 2θ + tan θ

= = = = = = =

5. 1)

tan(α − β) + tan β 1 − tan(α − β) tan β

sin 2θ 1 + cos 2θ

= =

csc 2θ tan (α – β + β)

tan α

2sin θ cos θ 1 + 2 cos 2 θ − 1 sin θ cos θ

= 2) cot α – tan α

tan θ

cos α sin α − sin α cos α cos 2 α − sin 2 α sin α cos α 2 cos 2α sin 2α

= = 3)

θ θ (sin − cos ) 2 2 2

t an 45° − tan α 1 + tan 45° tan α 1 − tan α 1 + tan α cos 2θ + sin θ sin 2θ cos θ 2 cos θ − sin 2 θ + sin θ 2sin θ cos θ cos θ cos θ sin θ sin θ − + 2sin θ 2 cos θ cos θ cos θ sin θ + 2sin θ 2 cos θ 2 cos 2 θ + 2sin 2 θ 4sin θ cos θ 2(cos 2 θ + sin 2 θ) 2(2sin θ cos θ) 1 sin 2θ

2 cot 2α

sin 2

1–

1 – sin θ

θ θ θ θ − 2sin cos + cos 2 2 2 2 2 θ sin 2( ) 2

137 4)

sin 2θ + sin θ cos 2θ + cos θ + 1

= = =

2sin θ cos θ + sin θ 2 cos 2 θ − 1 + cos θ + 1 sin θ(2 cos θ + 1) cos θ(2 cos θ + 1)

tan θ

6. 1) cos 3θ

= = = = = =

cos (2θ + θ) cos 2θ cos θ – sin 2θ sin θ (cos2θ – sin2θ) cos θ – 2 sinθ2 cos θ cos3θ – (1 – cos2θ) cos θ – 2 cosθ (1 – cos2θ) cos3θ – cos θ + cos3θ – 2 cos θ + 2 cos3θ 4 cos3θ – 3cos θ

2) cos 4θ

= = = = = =

cos (2θ + 2θ) cos 2θ cos 2θ – sin 2θ sin 2θ (2 cos2θ – 1)2 – 4 sin2θ cos2 θ 4 cos4θ – 4 cos2θ + 1 – 4 cos2θ (1 – cos2θ) 4 cos4θ – 4 cos2θ + 1 – 4 cos2θ + 4 cos4θ 8 cos4θ – 8 cos2θ + 1

3) tan 3θ

= =

tan (2θ + θ)

= = = 7. 1) sin A

= =

tan 2θ + tan θ 1 − tan 2θ tan θ 2 tan θ + tan θ 1 − tan 2 θ 2 tan 2 θ 1− 1 − tan 2 θ 2 tan θ + tan θ(1 − tan 2 θ) 1 − tan 2 θ − 2 tan 2 θ 3 tan θ − tan 3 θ 1 − 3 tan 2 θ

sin (180° – (B + C)) sin (B + C)

138 = cos (180° – (B + C)) = – cos (B + C) A+B A−B 2sin cos + sin C 3) sin A + sin B + sin C =

2) cos A

2 2 A+B A−B 2sin cos + sin[180° − (A + B)] = 2 2 A+B A−B 2sin cos = + sin(A + B) 2 2 A+B A−B A+B A+B 2sin cos + 2sin cos = 2 2 2 2 A+B A−B A+B = 2sin (cos + cos ) 2 2 2 A−B A+B A−B A+B ( + ) ( − ) 180° − C 2 2 2 2 2sin( )2 cos cos = 2 2 2 C A B 4sin(90° − ) cos cos = 2 2 2 C C A B 4(sin 90° cos − cos 90° sin ) cos cos = 2 2 2 2 A B C 4 cos cos cos = 2 2 2 A+B A−B 2 cos cos + cos C cos A + cos B + cos C = 2 2 180° − C A−B C 2 cos( ) cos + (1 − 2sin 2 ) = 2 2 2 C A−B C = − 2sin 2 1 + 2sin cos 2 2 2 C A−B 180° − (A + B) 1 + 2sin (cos − sin ) = 2 2 2 C A−B A+B 1 + 2sin (cos − sin(90° − ) = 2 2 2 C A−B A+B = 1 + 2sin (cos − cos ) 2 2 2  A−B A+B   A−B A+B   2 + 2   2 − 2  C = 1 + 2sin [−2sin   sin  ] 2 2 2         C A B = 1 + 2sin [−2sin sin(− )] 2 2 2 C A B 1 + 2sin [−2sin (− sin )] = 2 2 2 A B C 1 + 4sin sin sin = 2 2 2

139 8. 1)

sin 8θ + sin 2θ cos8θ + cos 2θ

= = =

sin(5θ + 3θ) + sin(5θ − 3θ) cos(5θ + 3θ) + cos(5θ − 3θ) 2sin 5θ cos 3θ 2 cos 5θ cos 3θ

tan 5θ

2) sin θ + sin 3θ + sin 5θ + sin 7θ = sin (2θ + θ) + sin (2θ – θ) + sin (6θ + θ) + sin (6θ – θ) = 2 sin 2θ cos θ + 2 sin 6θ cosθ = 2 cos θ (sin 2θ + sin 6θ) = 2 cos θ [sin(4θ + 2θ ) + sin (4θ – 2θ)] = 2 cos θ 2 sin 4θ cos 2θ = 4 cos θ sin 4θ cos 2θ 3)

sin θ + sin 3θ + sin 5θ cos θ + cos 3θ + cos 5θ

= = = =

sin 3θ + [sin(3θ + 2θ) + sin(3θ − 2θ)] cos 3θ + [cos(3θ + 2θ) + cos(3θ − 2θ)] sin 3θ + 2sin 3θ cos 2θ cos 3θ + 2 cos 3θ cos 2θ sin 3θ[1 + 2 cos 2θ] cos 3θ[1 + 2 cos 2θ]

tan 3θ

4) cos2A + cos2(60° + A) + cos2(60° – A) = cos2A + cos (60° + A) cos (60° + A) + cos (60 – A) cos (60 – A) = cos2A + [cos 60° cos A – sin 60° sin A]2 + [cos 60° cos A + sin 60° sin A]2 2

1  1  3 3 cos A +  cos A − sin A  +  cos A + sin A  2 2 2  2 

cos2A + 1 cos2A – 4

+ 3 sin2A 4

= = =

3 3 cos 2 A + sin 2 A 2 2 3 (cos 2 A + sin 2 A) 2 3 2

3 cos A sin A + 3 2 4

sin2A + 1 cos2A + 4

3 cos A sin A 2

140 5) cos 20° cos 40° cos 80°

= = = = = = =

1 cos 20°[2 cos80° cos 40°] 2 1 cos 20°[cos120° + cos 40°] 2 1 1 − cos 20° + [2 cos 20° cos 40°] 4 4 1 1 − cos 20° + [cos 60° + c os 20°] 4 4 1 1 1 − cos 20° + cos 60° + c os 20° 4 4 4 1 1 × 4 2 1 8

เฉลยแบบฝกหัด 2.9 (2) 1. 1) 2 cos2θ + cos θ = 0 cos θ (2 cos θ + 1) = 0 cos θ = 0 และ π 3π , θ = 2

2 cos θ + 1 = 0 cos θ = − 1 =

ดังนั้น

π 2π 4π 3π , , , 2 3 3 2

2) 2 sin2θ – sin θ – 1 = 0 (2 sin θ + 1)(sin θ – 1) = 0 2 sin θ + 1 = 0 และ sin θ = − 1 ดังนั้น

2 7π 11π , 6 6 π 7π 11π , , 2 6 6

2 2π 4π , 3 3

sin θ – 1 = 0 sin θ = 1 θ

π 2

141 3) tan θ = 2 sin θ sin θ − 2sin θ cos θ  1  sin θ  − 2  cos θ 

sin θ = 0

และ

ดังนั้น

= 0,

= 0, π , π, 3

2. 1) 4 sin2x – 3 = 0 ดังนั้น

1 −2 cos θ 1 cos θ

= 0

cos θ

5π 3

จะได sin x =

π 2π 4π 5π , , , 3 3 3 3

= 2 1 2 π 5π , 3 3

3 2

2) tan x ( sin x + 1) = 0 ถา tan x = 0 จะได x = 0, π ถา sin x + 1 = 0 นั่นคือ sin x = –1 แต tan 3π หาคาไมได 2

ดังนั้น

x = 0,

3) cos x (2 cos x – 3 ) = 0 ถา cos x = 0 จะได x = ถา 2 cos x – ดังนั้น

นั่นคือ cos x =

π π 3π 11π , , , 6 2 2 6

4) sin x ( 4 sin2x – 1) = 0 ถา sin x = 0 ถา 4 sin2x – 1 = 0

π 3π , 2 2 3 2

จะได x =

จะได x = 0, π

π 11π , 6 6

142 sin x

1 จะได 2 0, π , 5π , π, 7π , 11π 6 6 6 6

ดังนั้น

x =

π 5π 7 π 11π , , , 6 6 6 6

5) sin2x – cos x + 5 = 0 1 – cos2x – cos x + 5 = 0 cos2x + cos x – 6 = 0 จะได (cos x + 3)(cos x – 2) = 0 ถา cos x + 3 = 0 จะได cos x = –3 ถา cos x – 2 = 0 จะได cos x = 2 แต cos θ ≤ 1 เสมอ ดังนั้น จึงไมมีคา x ใดที่สอดคลองกับสมการ 6) 3 sec x – cos x + 2 = 0 3 − cos x + 2 = 0,

cos x

≠

นั่นคือ (cos x – 3)(cos x + 1) = 0 3 – cos2x + 2 cos x = 0 ถา cos x – 3 = 0 ไมมีคา x ใดที่สอคคลองกับสมการนี้ ถา cos x + 1 = 0 นั่นคือ cos x = –1 จะได x = π ดังนั้น x = π 7)

3 csc 2 x + 2 csc x 3 sin 2 x

2 sin x

3 + 2sin x

ดังนั้น

= 0 = 0,

sin x ≠ 0

= 0,

sin x ≠ 0

sin x

8) cos 2x + 2cos2 x

3 2 4π 5π , 3 3

−

จะได x =

2 cos2x – 1 + (2 cos2 x – 1) =

2 cos2x – 1 + cos x (2 cos x – 1)(cos x + 1)

0 0

= =

4π 5π , 3 3

143 ถา 2 cos x – 1 = 0

จะได x = π , 5π

1 2

นั่นคือ cos x =

ถา cos x + 1 = 0 นั่นคือ cos x = –1 จะได x = ดังนั้น x = π , π, 5π 3

ถา cos x + 1 = 0 ดังนั้น x = 2π , π, 4π

= 0 = 0 = 0 = 0 นั่นคือ cos x =

จะได x =

2π 4π , 3 3

นั่นคือ cos x = –1

จะได x =

= 1 , sin x ≠ 0 = 0 = 0 นั่นคือ cos x = − 1

จะได x =

2π 4π , 3 3

−

1 2

10) cot x + 2 sin x = csc x cos x + 2 sin2x 2cos2x – cos x – 1 (2 cos x + 1)(cos x – 1 ) ถา 2 cos x + 1 = 0

ถา cos x – 1 = 0 นั่นคือ cos x = 1 แต x = 0 ทําให sin x = 0 ดังนั้น x = 2π , 4π 3

3. 1) 2 sin θ – 1 = 0

9) 2sin2x – 3 cos x – 3 2(1 – cos2x) – 3 cos x – 3 2 cos2x + 3 cos x + 1 (2 cos x + 1)(cos x + 1) ถา 2 cos x + 1 = 0

จะได x = 0

นั่นคือ sin θ =

1 2

ดังนั้น เซตคําตอบ คือ {30°, 150°} 2) 3 tan2θ – 1 = 0 นัน่ คือ tan θ = ±

1 3

จะได

= 30°, 150°

จะได

= 30°, 150°, 210°, 330°

ดังนั้น เซตคําตอบ คือ {30°, 150°, 210°, 330°} 3) 3 csc2θ + 2 csc θ = 0 จะได csc θ ( 3 csc θ + 2) = 0 ถา csc θ = 0 ไมมีคา θ ที่ทําให csc θ = 0

144 ถา

csc θ + 2 = 0

หรือ sin θ =

−

3 2

นั่นคือ csc จะได

−

2 3

= 240° , 300°

ดังนั้น เซตคําตอบ คือ {240° , 300°} 4) 4 tan2θ – 3 sec2θ = 0 4 tan2θ – 3 (1 + tan2θ) = 0 จะได tan2θ = 3 นั่นคือ tan θ = ± 3 จะได θ = 60°, 120°, 240°, 300° ดังนั้น เซตคําตอบ คือ {60°, 120°, 240°, 300°} 5) 2 cos2θ + 2 cos 2θ = 1 นั่นคือ 6 cos2θ – 3 = 0 นั่นคือ cos θ =

1 2

หรือ 2 cos2θ + 2(2 cos2θ – 1) = 1 หรือ cos2θ = 1 2

จะได

= 45°, 135°, 225°, 315°

ดังนั้น เซตคําตอบ คือ {45°, 135°, 225°, 315°} 6) sin 2θ – cos2θ + 3 sin2θ = 0 2 sin θ cos θ – cos2θ + 3 sin2θ = 0 (3 sin θ – cos θ)(sin θ + cos θ) = 0 ถา 3 sin θ – cos θ = 0 จะได tan θ =

1 ≈ 3

0.3333

จากตาราง tan 18° 30′ = 0.3346 และ tan 18° 20′ = 0.3314 คาของฟงกชันเพิ่มขึ้น 0.0032 คาของมุมเพิ่มขึ้น 10 ลิปดา คาของฟงกชันเพิ่มขึ้น 0.0019 คาของมุมเพิ่มขึ้น 10 × 0.0019 = 5.94 ลิปดา 0.0032

จะได tan 18° 25.9′ = 0.3333 จะได ดังนั้น ถา tan θ = 1 3

θ ≈

18° 26′, 198° 26′

ถา sin θ + cos θ = 0 นั่นคือ tan θ = –1 จะได ดังนั้น เซตคําตอบ คือ {18° 26′, 135° , 198° 26′, 315°} 7) 4 csc θ – 4 sin θ = 2 2 cot θ นํา sin θ คูณตลอดจะได 4 – 4sin2θ =

2 2 cos θ

= 135°, 315°

145 2 – 2 + 2 cos2θ = 2 cos θ 2 cos2θ – 2 cos θ = 0 นั่นคือ cos θ (2 cos θ – ถา cos θ = 0 จะได θ = 90° , 270° ถา 2 cos θ –

= 0 นั่นคือ cos θ =

2 2

= 0

จะได

= 45°, 315°

ดังนั้น เซตคําตอบ คือ {45°, 90°, 270°, 315°} 8) cos θ + 4 sin θ – sin 2θ = 2 cos θ + 4 sin θ – 2 sin θ cos θ – 2 = cos θ – 2 – 2 sin θ (cos θ – 2) = (cos θ – 2)(1 – 2 sin θ) = ถา cos θ – 2 = 0 นั่นคือ cos θ = ถา 1 – 2 sin θ = 0 นั่นคือ sin θ =

0 0 0 2 ซึ่งไมมีคา θ ที่สอดคลองกับสมการนี้ 1 จะได θ = 30°, 150° 2

ดังนั้น เซตคําตอบ คือ {30°, 150°} 9) 4 cos4θ = (sin 2θ)2 หรือ 4 cos4θ นั่นคือ 4 cos4θ – 4 sin2θ cos2θ = ดังนั้น 4 cos2θ (cos2θ – sin2θ) = นั่นคือ ถา 4 cos2θ = 0 ถา cos2θ – sin2θ = 0 นั่นคือ นั่นคือ ดังนั้น sin2θ = 1 2

– (2 sin θ cos θ)2 = 0 0 0 cos θ = 0 จะได θ = 90°, 270° 1 – 2 sin2θ = 0 sin θ = ± 1 2

จะได θ = 45°, 135°, 225°, 315° ดังนั้น เซตคําตอบ คือ {45°, 90°, 135°, 225°, 270°, 315°} 10) sin 5θ + sin 3θ = 0 2sin

(5θ + 3θ) (5θ − 3θ) cos 2 2

= 0 นั่นคือ 2 sin 4θ cos θ = 0

ถา cos θ = 0 จะได θ = 90°, 270° ถา sin 4θ = 0 จะได 4θ = 0°, 180°, 360°, 540°, 720°, ..., 1260° θ = 0°, 45°, 90°, 135°, 180°, 225°, 270°, 315° ดังนั้น เซตคําตอบ คือ {0°, 45°, 90°, 135°, 180°, 225°, 270°, 315°}

146 11) sin 3θ cos θ – cos 3θ sin θ = cos θ sin (3θ – θ) = cos θ 2 sin θ cos θ = cos θ (2 sin θ – 1) cos θ = 0 ถา cos θ = 0 จะได θ = 90°, 270° ถา 2 sin θ – 1 = 0 นั่นคือ sin θ =

1 2

จะได

= 30°, 150°

ดังนั้น เซตคําตอบ คือ {30°, 90°, 150°, 270°} 4. 1) 4 sin2θ = 1 นั่นคือ

จะได sin θ = π 5π 7 π 11π , , , 6 6 6 6

คาทั่วไปของ

1 2

ที่จะทําใหสมการเปนจริง คือ π 5π 7π 11π 2nπ + , 2nπ + , 2nπ + , 2nπ + เมื่อ n เปนจํานวนเต็ม θ

หรืออาจเขียนคําตอบรวมกันเปน

nπ ±

2) tan2x – 3 = 0 จะได tan x = x = π , 2π , 4π , 5π 3 3

π 6

เมื่อ n เปนจํานวนเต็ม

± 3

คาทั่วไปของ x ที่ทําใหสมการนี้เปนจริง คือ π 2π 4π 5π เมื่อ n เปนจํานวนเต็ม 2nπ + , 2nπ + , 2nπ + , 2nπ + 3

หรืออาจเขียนคําตอบรวมกันเปน 3) tan θ sin θ + tanθ = 0 ถา tan θ = 0 ถา sin θ + 1 = 0 แตถา

3π , 2

nπ ±

π 3

เมื่อ n เปนจํานวนเต็ม

นั่นคือ tan θ (sin θ + 1) = 0 จะได θ = 0, π นั่นคือ sin θ = –1 จะได θ =

3π 2

tan θ ไมอาจจะหาคาได

ดังนั้น คาทั่วไปของ θ ที่ทําใหสมการนี้เปนจริงคือ 2nπ + 0°, 2nπ + π เมื่อ n ∈ I หรือ θ = nπ เมื่อ n เปนจํานวนเต็ม

147 4) sec2θ – 2 tan θ = 0 นั่นคือ 1 + tan2θ – 2 tan θ = 0 จะได (tan θ – 1)2 = 0 นั่นคือ tan θ = 1 จะได θ = π , tan θ – 1 = 0

4 π , 2nπ + 5π 4 4

ดังนั้น คาทั่วไปของ θ ที่ทําใหสมการนี้เปนจริงคือ 2nπ + เมื่อ n เปนจํานวนเต็ม หรือ 5) cos 2θ = sin θ 1 – 2 sin2θ = sin θ ถา 2 sin θ – 1 = 0 ถา sin θ + 1 = 0

nπ +

π 4

5π 4

เมื่อ n เปนจํานวนเต็ม

นั่นคือ (2 sin θ – 1) (sin θ + 1) = 0 นั่นคือ sin θ = 1 จะได θ = π , 5π 2

นั่นคือ sin θ = –1 จะได

คาทั่วไปของ θ คือ 2nπ + π , 2nπ + 6

5π , 6

2nπ +

3π 2

6 6 3π 2

เมื่อ n ∈ I

เฉลยแบบฝกหัด 2.10 1.

a2 = = = a =

จากกฎของโคไซน

2) 3) 4)

ดังนั้น 2 19 254.34 จากกฎของโคไซน cos B

= =

b2 + c2 – 2bc cos A (40)2 + (60)2 – 2 × 40 × 60 cos 60° 2800 20 7

a 2 + c2 − b2 2ac 2 12 + 82 − 7 2 2 × 12 × 8

= 0.8281

= 0.8290 และ cos 34° 10′ = 0.8274 จากตาราง cos 34° คาของโคไซนเพิ่มขึ้น 0.0016 คาของมุมลดลง 10 ลิปดา × 0.0007 คาของโคไซนเพิ่มขึ้น 0.0007 คาของมุมลดลง 100.0016 = 4.4 ลิปดา

148 cos (34° 10′ – 4.4′) = 0.8274 + 0.0007 cos 34° 5.6′ = 0.8281 ดังนั้น B = 34° 5.6′ 5) จากกฎของโคไซน cos A

= =

b 2 + c2 − a 2 2bc (3.7) 2 + (5.2) 2 − (8.4) 2 2 × 3.7 × 5.2

= –0.7752

= 0.7753 และ cos 39° 20′ = 0.7735 จากตาราง cos 39° 10 ′ คาของโคไซนเพิ่มขึ้น 0.0018 คาของมุมลดลง 10 ลิปดา × 0.0001 = 0.56 ลิปดา คาของโคไซนเพิ่มขึ้น 0.0001 คาของมุมลดลง 100.0018 ดังนั้น cos 39° 10.56′ cos (180° - 39° 10.56′) cos 140° 49.44′ ดังนั้น A

= = = =

0.7752 –cos 39° 10.56′ = –0.7752 –0.7752 140° 49.44′

2. 1) A = 45°, C = 60°, b = 20 จงหา c เนื่องจาก A + B + C = 180° ดังนั้น B = 180° – A – C = 180° – 45° – 60° = 75° sin B sin C จากกฎของไซน = c b ดังนั้น c =

sin 75° 20 20sin 60° sin 75°

sin 60° c 20 × 0.8660 0.9659

= =

= 17.93

2) 16.06 3) 14.93, 13.39 3. 1) a = 15, b = 20 และ C = 65° พื้นที่รูปสามเหลี่ยม ABC = 12 ab sin C = 150

0.9063

1 × 2

15 × 20 sin 65°

= 135.9450 ตารางหนวย

149 2) 213.9280 ตารางหนวย 3) 179.107 ตารางหนวย ∧

∧

4. 1) A = 25° , B = 30.74 , c = 20.36 ∧

2) C = 37° , a = 85.82 , b = 57.56 ∧

∧

3) B = 60° , C = 90° , c = 2 4) A = 45° , C = 75° , a = 2

∧

หรือ B = 120° , C = 30° , c = 1 3

หรือ A = 15° , C = 105° , a = 3 –

5) A = 75° , C = 60° , a = 3.86 หรือ A = 15° , C = 120° , a = 1.035 5.

ให ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน A BC = 135° C AB = 10 ซม. AD = 5 ซม. D A B = 180° – 135° = 45° ∧

∧

135° B

A ใน

∆

BD2 = AD2 + AB2 – 2AD⋅AB cos 45° = 25 + 100 – 2 × 5 × 10 × 0.707 = 54.3 BD = 7.36

ABD,

ให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว มีฐาน BC ยาว 60 หนวย BA C = 30° ดังนั้น A BC = 180° 2− 30° = 75°

∧

30°

∧

B 60 C

sin BA C BC sin 75° × 60 sin 30°

∧

sin A BC AC

= 0.9659 × 60 × 2 = 115.908 ดังนั้น AB + AC + BC = (2 × 115.908) + 60 = 291.816 หนวย 7.

ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผา AB = 32 เซนติเมตร , BC = 24 เซนติเมตร ใน ∆ ABC, AC2 = AB2 + BC2 = 1024 + 576

150 AC = 40 แต ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผา ดังนั้น AC = BD = 40 จะได AO = OD = 402 = 20 ใน

∆

AO 2 + OD 2 − AD 2 2 ⋅ AO ⋅ OD 400 + 400 − 576 2 × 20 × 20

AOD , cos A O D = ∧

= จากตาราง

= 73° 45′

∧

AOD

ABCD เปนที่ดินรูปสี่เหลี่ยมของกลา ซึ่งมี AD = DC , A BC = 30° , BC = 20 , AB = 40 พื้นที่ของ ABCD = พื้นที่ของ ∆ ADC + พื้นที่ของ ∆ ABC CE = BC sin 30° = 20 × 12 = 10 ∧

30°

จะได พื้นที่

∆

ABC

AC2 พื้นที่ ∆ ADC

ดังนั้น พื้นที่

∆

ADC

พื้นที่ ABCD ดังนั้น กลามีที่ดิน ข

= AD2 + DC2 = 12 AC2 = =

ก

1 × 2 2

CE =

1 × 2

10 = 200 ม.2

= BC + AB2 - 2AB⋅BC cos 30° = 2000-800 = 12 × AD × DC = 12 AD2

แต AC2 จะได AD2

= 0.28

1 2 1 4

AD2

= 2 AD2 =

1 4

AC2

(2000-800 3 ) = 500 – 200

= 500 – 200 3 +200 = 700 – 200 × 1.732 เทากับ 353.6 ตารางเมตร 45°

ค

ก ข ค และ จ เปนตําแหนงที่บานของแกว ขวัญ คนึง และจิต ตั้งอยูตามลําดับ ∧

∧

ขค = 50 เมตร, ก ค จ = 45° , ข จ ค = 30° ∧

30° จ

ค ข จ = 180° – 30° – 45° = 105°

151 ใน ∆ คขจ sin 30° 50

∧

sin ข จ ค

ขค

sin 105° = จค

50sin 75° sin 30°

จค =

∧

sin ค ข จ

จค

= 50 × 2 × 0.9659 = 96.59

ใน ∆ กจค, กจ = จค sin 45° = 96.59 × 0.7071 แมน้ํากวาง 68.3 เมตร 10. จงพิสูจน Hero’s Formula ที่กลาววาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ = s (s − a)(s − b)(s − c) เมื่อ a, b หรือ c เปนดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมและ s = a + 2b + c พื้นที่รูปสามเหลี่ยมใด ๆ

1 2

sin A

1 − cos 2 A

ดังนั้น พื้นที่รูปสามเหลี่ยม

= 12 bc =

1 2

bc sin A

และ cos A =

1 − cos 2 A

= 12 bc

b2 + c2 − a 2 2 ) 2 bc

1 bc ⋅ (2 bc − b 2 − c 2 + a 2 ) (2 bc + b 2 + c 2 − a 2 ) 2 2 bc 1  a 2 − (b 2 − 2 bc + c 2   (b 2 + 2 bc + c 2 ) − a 2  4  1 a 2 − (b − c) 2   (b + c) 2 − a 2  4 1 (a − b + c)(a + b − c)(b + c − a) (b + c + a) 4 (a + b + c a + b + c a+b+c a +b+c ( )( − a) ( − b) ( − c) 2 2 2 2

= = =

กําหนดให s =

1− (

(2bc) 2 − (b 2 + c 2 − a 2 ) 2 (2 bc) 2

พื้นที่รูปสามเหลี่ยม =

b 2 + c2 − a 2 2 bc

a +b+c 2

ดังนั้น พื้นที่รูปสามเหลี่ยมใด ๆ =

s (s − a)(s − b)(s − c)

152

เฉลยแบบฝกหัด 2.11 1.

BC เปนความสูงของตึก CD เปนความสูงของเสาอากาศ A เปนจุดที่มองยอดตึกและยอดเสาอากาศ มุมเงย BAC = 30° และมุมเงย BAD = 60° ใน ∆ ABD , BD = AB tan 60° = 18 3 เมตร ใน ∆ ABC , BC = AB tan 30° = 18 = 6 3 เมตร

C 30°60°

B 2.

ดังนั้น DC

–6

= 12

เมตร

AB เปนประภาคารหลังหนึ่ง C และ D เปนตําแหนงที่เรือสองลําจอดอยูหางกัน 60 เมตร มุมเงย ACB = 45° และมุมเงย ADB = 30° ใน ∆ ABC, BC = tanAB45° จะได BC = AB

A 45° 30° B C D

ใน เพราะวา นั่นคือ

= 18

∆

ABD, BD =

AB tan 30°

BD – BC = CD AB – AB = 60 จะได AB ≈

60 0.732

ดังนั้น เรือลําที่อยูใกลประภาคารอยูหางจากประภาคาร 81.96 เมตร 3.

AB2 = = = AB ≈ ดังนั้น บึงกวาง 3.47 เมตร E

F 200 100

AC2 + BC2 – 2 AC⋅BC cos 75° (3.2)2 + (2.4)2 – 2 × 3.2 × 2.4 × 0.2588 10.24 + 5.76 – 3.98 3.47

ให EF เปนเสาอากาศของสถานีโทรทัศนแหงหนึ่ง H และ G เปนจุดที่พิชัยยืนหางจากเสาอากาศ 100 และ 200 เมตร ตามลําดับ θ

153 เพราะวา θ + α = 90° EF ใน ∆ EHF, FH = tan

มุมเงย EHF = จะได α = 90° – θ

= 200

= tan (90° – θ) =

…………… (2)

tan θ ดังนั้น เสาอากาศสูง 100 ×

= 2 = 141.4 เมตร

sin (90°− θ) cos (90° − θ)

cos θ sin θ 200 tan θ

…………… (1)

(1) = (2) จะได 100 tan θ

และมุมเงย EFG =

EF = 100 tan θ FF ใน ∆ EGF, FG = tan EF

= 47° – 32° = 15° A C D = 90° – 47° = 43° BC E = 90° – C BE = 90° – 77° = 13° ดังนั้น A C B = A C D – BC E = 43° – 13° = 30° และ A BC = 180° – C A B – A C B = 180° – 15° – 30° = 135° C = sin 100 ∧

CAB ∧

100

77°

47° 32°

ใน

∧

ABC,

∧

D ∆

∧

sin B AC

AC = ใน ∆ ACD, CD = =

∧

100sin B 100sin135° 100sin 45° sin C sin 30° sin 30° ACsin 47° 100sin 45° sin 47° sin 90° sin 30° sin 90° 1 × 0.731 100 × 2 ≈ 1 ×1 2

103.36

ดังนั้น ความสูงของเนินดินจากพื้นราบ 103.36 เมตร E 6. F

60°

30°

G เปนปอมยามซึ่งอยูทางทิศตะวันออกของตึก H เปนรถบรรทุกซึ่งจอดอยูทางทิศใตของปอมยาม EF เปนตึกสูง 15 ชั้น E G F = 60° , E H F = 30° ∧

∧

154 ตึกหลังนี้สูง 15 × 4 = 60 เมตร ใน ∆ EFG, GF = tanEF60° = 20 3 ใน ∆ EFH, FH =

EF tan 30° 2

= 60

ใน ∆ FGH, GH2 = HF – FG2 = (60 3 )2 – (20 3 )2 รถบรรทุกอยูหางจากปอมยาม 40 6 เมตร 7.

ให EF เปนภูเขาลูกหนึ่ง G เปนจุดที่สุดายืนอยูทางทิศตะวันออกเฉียงใตของภูเขา GH เปนระยะที่สุดาเดินไปทางทิศตะวันตกเฉียงใต 500 เมตร ดังนั้น GF ตั้งฉากกับ GH

E เหนือ ตก

35°

ออก

65°

H ใต

ใน ∆ EFH, FH = ใน ∆ EFG, FG =

EF tan 35° EF tan 65° 2

= =

EF 0.7002 EF 2.1445

ใน ∆ FGH, GH2 = FH – FG2 EF EF ) – ( ) 5002 = ( 0.7002 2.1445 2

EF2 = 250000 × 0.5488 = 137200 EF ≈ 370.4 ดังนั้น ภูเขาสูง 370.4 เมตร A

h C

45°–α

ใน

∆

ABD, BD =

ใน

∆

ABC, BC =

45°+α

D CD

B = BC – BD = h  tan (451 °− α) − tan (451°+ α)  



h tan (45° + α) h tan (45° − α)

155 = h  tantan(45(45°+°−αα) )−tantan(45(45° +°−αα) )  

= h

 tan 45° + tan α  1− tan 45° tan α   tan 45° − tan α  1+ tan 45° tan α

 tan 45° − tan α  − 1+ tan 45° tan α   tan 45°+ tan α  × 1 − tan 45° tan α 

α) − (1− tan α ) (1− tan α )  = h  (1+ tan α)(1(1++tan  tan α )(1− tan α)

= h

  (1 + tan α ) 2 − (1− tan α) 2     (1 + tan α) (1 − tan α ) 



α) (1+ tan α −1+ tan α )  = h  (1+ tan α +(11+− tan  tan α )(1− tan α)

= h

  2 × 2 tan α    2  1− tan α 



= 2h tan 2α ดังนั้น วัตถุทั้งสองหางกัน 2h tan 2α เมตร 9.

A เปนจุดที่ชายคนนี้ยืนอยู BC แทนความสูงของภูเขา CD แทนหอคอย

D 60 เมตร

จากรูป จะได ∧

BCA

49° 37°

∧

จากกฎของไซน

จะได

= =

sin 37° BC

= 12°,

∧

= 127° ,

DCA

= 41°

∧

sin D A C DC

จาก

∧

CDA

= 53°

∧

DAC

= =

sin C D A AC 60sin 41° sin12° 60(0.7156) 0.2079

206.52 BC AC

= 206.52 (0.6018) = 124.28 ดังนั้น ชายคนนี้อยูหางจากฐานหอคอย 206.52 เมตร และ ภูเขาสูง 124.28 เมตร

156 10.

จากรูป XY แทนความสูงของประภาคาร X

เพราะวา Z

40° 30°

∧

XAB

∧

X BY

∧

= 10° ,

ZXA ZXB

จะได

AXB

∧

= 30°

∧

= 40°

∧

B 100 เมตร A

จากกฎของไซน sin B X A AB sin10° จะได = 100 BX

∧

จากกฎของไซน จะได

= = =

∧

= sin X A B BX sin 30° BX 100(0.5) 0.1736

288.02

sin B X A AB sin10° 100 100(0.6428) 0.1736

370.28

sin X B Y XY sin 40° XY

∧

จะได

= 140°

∧

sin X B A AX sin140° AX

AX จากกฎของไซน

∧

X BA

∧

sin X Y B BX sin 90° 288.02

= 288.02 (0.6428) = 185.14 ดังนั้น ยอดประภาคารอยูหางจากจุด A เทากับ 370.28 เมตร ยอดประภาคารอยูหางจากจุด B เทากับ 288.02 เมตร ประภาคารสูงเทากับ 185.14 เมตร ∧

11. 4 กิโลเมตร

2 2 2 B จากกฎของโคไซน AB = OB + OA – 2(OB)(OA) cos BO A จะได AB2 = 42 + 62 – 2(4)(6) cos 30°

= 16 + 36 - 48 (

30° 6 กิโลเมตร

3 ) 2

= 52 – 24(1.7321)

157 = 10.4296 AB = 3.23 ดังนั้น A และ B อยูหางกันประมาณ 3.23 กิโลเมตร ∧

∆ AOB, AB2 = OA2 + OB2 – 2(OA)(OB) cos A O B

12. O

7.5

A 8

∧

82 = 7.52 + 7.52 – 2(7.5)(7.5) cos A O B 82 = 2(7.5)2(1 – cos AOB)

จะได O′ ∧

cos A O B

1−

82 2(7.5) 2

= 0.4311 จากการเปดตาราง cos 64° 20′ = 0.4331 cos 64° 30′ = 0.4305 คาของฟงกชันโคไซนตางกัน 0.002 มุมตางกัน จะได นั่นคือ

10 × 0.002 0.0026

= 7.7′

cos 64° 27.7′ = 0.4311 ∧

AOB

64° 27.7′

---------- * ∧

∆ AO′B , AB2 = O′A2 + O′B2 – 2(O′A)(O′B) cos A O′ E จะได

∧

82 = 62 + 62 – 2(6)(6) cos A O′ B ∧

cos A O′ E

1−

82 2(6) 2

= 0.1111 จากการเปดตาราง cos 83° 40′ = 0.1103 cos 83° 30′ = 0.1132 คาของฟงกชันโคไซนตางกัน 0.0008 มุมตางกัน 10 × 0.0008 = 2.8 0.0029

จะได

cos 83° 37.2′ =

นั่นคือ

A O′ E

∧

0.1111 83° 37.2′

---------- **

158 13.

H E 6 A

จาก AC2 จะได AC2 AC จาก EC2 จะได EC2

G F

5 B

= = = = = = =

AB2 + BC2 122 + 52 13 AE2 + AC2 62 + 132 205 14.3 ∧

AE2 = AC2 + EC2 – 2(AC)(EC) cos A C E

จากกฎของโคไซน

∧

= 169 + 205 – 2(13)(14.3) cos A C E

∧

cos A C E = 0.9091 ∧

จะได ACE = 24° 37.5′ ---------- * เพราะวา HF = EG = AC = DB = 13 DF = EC = 14.3 จากกฎของโคไซน

HD2 + DF2 – 2(HD)(DF) cos H D F

169

36 + 205 – 2(36)(14.3) cos H D F

∧

cos H D F = จะได จาก จะได

∧

HDF

∆ HCG,

HC2 HC2 HC

จากกฎของโคไซน

= = = = =

∧

0.0699 86° CG2 + HG2 36 + 144 180 13.4

---------- **

∧

EH2 =

EC2 + HC2 – 2(EC)(HC) cos E C H

205 + 180 – 2(14.3)(13.4) cos E C H

∧

0.5349

∧

57° 40′

cos E C H จะได

∧

HF2 =

ECH

∧

---------- ***

179

เฉลยแบบฝกหัด 3.1 1. B(3, 5, 0) E(3, 5, 3)

C(1, 5, 0) G(1, 2, 3)

2. 1) E(3, 0, 0) 3) A(0, 0, 1) 5) B(0, 3, 1) 3. 1) 2) 3) 4) 5) 6)

D(1, 2, 0) H(3, 2, 3) 2) 4) 6)

จุดบนแกน X จุดบนแกน Y จุดบนแกน Z จุดในระนาบ XY จุดในระนาบ YZ จุดในระนาบ XZ

มีพิกัดเปน มีพิกัดเปน มีพิกัดเปน มีพิกัดเปน มีพิกัดเปน มีพิกัดเปน

G(0, 3, 0) F(3, 3, 0) D(3, 0, 1) (x, 0, 0) (0, y, 0) (0, 0, z) (x, y, 0) (0, y, z) (x, 0, z)

B(1, -1, 2) A(1, 1, 1) D(–1, –1, –2)

C(3, 2, -1)

180 5. ภาพฉายของจุด ภาพฉายของจุด ภาพฉายของจุด ภาพฉายของจุด ภาพฉายของจุด ภาพฉายของจุด 6. PQ = = =

P(3, –4, 8) บนระนาบ XY คือ จุด (3, –4, 0) P(3, –4, 8) บนระนาบ YZ คือ จุด (0, –4, 8) P(3, –4, 8) บนระนาบ XZ คือ จุด (3, 0, 8) Q(7, –2, 8) บนระนาบ XY คือ จุด (7, –2, 0) Q(7, –2, 8) บนระนาบ YZ คือ จุด (0, –2, 8) Q(7, –2, 8) บนระนาบ XZ คือ จุด (7, 0, 8)

(−2 − 1) 2 +(−1 + 2) 2 + (0 − 7) 2

9 + 1 + 49 59

7. AB = 16 + 25 + 64 = 105 AC = 100 + 4 + 1 = 105 BC = 196 + 9 + 49 = 254 รูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดที่ A(1, 2, 1), B(–3, 7, 9) และ C(11, 4, 2) เปน รูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว

เฉลยแบบฝกหัด 3.2 ก 1. ตัวอยางปริมาณสเกลาร ไดแก อัตราเร็ว ตัวอยางปริมาณเวกเตอร ไดแก ความเร็ว

ระยะทาง

มวล

การกระจัด

แรง

181 2.

F A

เวกเตอรที่มีทิศทางเดียวกัน คือ เวกเตอรที่อยูในแนวเสนตรงเดียวกันหรือเสนตรงที่ ขนานกัน และมีหัวลูกศรไปทางเดียวกัน ในรูปเชน AF กับ BE เวกเตอรที่มีทิศทางตรงกันขาม คือ เวกเตอรที่อยูในแนวเสนตรงเดียวกันหรือ เสนตรงที่ขนานกัน แตหัวลูกศรไปทางตรงกันขาม ในรูปเชน AF กับ DC และ BE กับ DC ทิศเหนือ

3. 1) 120 เมตร ไปทางทิศเหนือ มาตราสวน 1 ซม. : 60 เมตร

120 เมตร

2) 30 เมตร ไปทางทิศ 060° มาตราสวน 1 ซม. : 15 เมตร

060°

3) 80 กิโลเมตร ไปทางทิศ 300° มาตราสวน 1 ซม. : 40 กม.

80 กิโลเมตร 300°

4) 10 กิโลเมตร ไปทางทิศตะวันออกเฉียงเหนือ มาตราสวน 1 ซม. : 5 กม.

4. 1) DC, –CD, –BA 3) –AD, CB 5) –EB, –DE

30 เมตร

2) 4) 6)

10 กิโลเมตร

–CE, –EA AD, –CB, –DA CE, –EC

182 5. 1) เชน AD กับ HE 2) เชน AD กับ HE 3) เชน BA กับ DC 6.

−u

BA กับ HG DC กับ HG BA กับ HG

CB กับ FG CB กับ FG AD กับ CB

แทนการเดินทาง 300 กิโลเมตร ในทิศ 180° + 075° = 255° C

ใหชายคนนี้เดินทางจากจุด A ไปถึงจุด B เปนระยะทาง 3 กิโลเมตร ในทิศตะวันออก เฉียงเหนือ แลวเขาเดินตอไปถึงจุด C เปน ระยะทาง 3 กิโลเมตร ไปทางทิศ 315°

3 B 3

A ดังนั้น ระยะทางที่เขาอยูหางจากจุดเริ่มตน AC = และอยูหางจากจุดเริ่มตนในทิศเหนือ

32 + 32

3 2

กิโลเมตร

เฉลยแบบฝกหัด 3.2 ข 1. AB CA BD DB AF

= = = = =

CD + DA BC + CD DA + AB AD + DF

= = = =

c−f

f −e

หรือ หรือ หรือ หรือ

FA = FD + DA =

e−f

หรือ FA

AE = AD + DE =

f +c

หรือ AE หรือ AE หรือ AE

b+c −f + a

CA BD DB AF

= CB + BA = −b − a = BA + AD = −a + f = DC + CB = −c − b = AB + BC + CD + DF = a +b+c−e = FD + DC + CB + BA = e−c−b−a = AD + DF + FE = f − e − d = AB + BC + CE = a + b + 2c = AB + BC + CD + DF + FE = a +b+c−e−d

183 EA = FD + DA =

2. 1) PQ + (QS + SP) 2) (OR – QS) + RO 3) (PQ + QR) – SR

−e − f

= = =

หรือ EA = EF + FD + DA = d + e − f หรือ EA = EC + CB + BA = −2c − b − a หรือ EA = EF + FD + DC + CB + BA = d+e−c−b−a PQ + QP –QS + (OR + RO) PR - SR

3. 1) BA 2) EH 3) เชน AD + DE + EA , BC + CF + FG + GB 4. AD FD BD FC

= = = =

AB + BC + CD FE + ED BC + CD FD + DC

= = = =

−u + v − w −u + v v−w −u + v + w

เฉลยแบบฝกหัด 3.2 ค 1. 1) 2) 2.

u u

= =

1 − w 3

= (3a + 12b) u + (6a + 3b + 3) v 2s = (2b – 4a + 4) u + (4a – 6b – 2) v เนื่องจาก 3w = 2s 3w

= = =

–QS = SQ PR + RS = PS

184 ดังนั้น

3a + 12b 7a + 10b และ 6a + 3b + 3 2a + 9b แกสมการไดคา a = 2 3. 4) 2AE =

= = = = และ

2b – 4a + 4 4 4a – 6b – 2 –5 b = –1 และ

u+v

---------- (1) ---------- (2)

AE =

u w − 2 2

เปนจริง

1 b 2

4. AX =

AZ = AG + GZ = (AB + BG) + 1 GF = (AB + AH) + 1 AD = 3

EY = EF + FY = DC + 1 FC = AB + 1 HA 2

XZ = XD + DC + CF + FZ =

2 1 AD + AB + AH + 2

5. OP = OB + 1 BA = OB +

1 (OA + OB) 2

= 6.

2 1 (BO + OA) 2

v u

O จากรูป จะได OA = v , OB = AB = AO + OB AB = – v + u ---------- (1)

1 a+c+ b 3

3 = a−1c 2 2 FG = 1 b + a + c − 2 b 2 3 3 1 = a− b+c 6

185 และ OC = OA + AC = v + m AB OC = OC = OC = OC =

m+n m v+ (u − v) m+n m m v− v+ u m+n m+n n m v+ u m+n m+n 1 (nv + mu) m+n

A จาก AB = AB =

AM + MB 1 u + CB 2

1 CB 2

AB + u

= = =

3 AB 2

---------- (1)

และ u

+ NM v + NC + CM 1 1 v + AB + CB

2 2 1 AB + (AB – u ) 2 3 AB – u 2

2u–v 4 2 = u− v 3 3

จาก (1)

186

เฉลยแบบฝกหัด 3.3 ก 1) AB =

3 − (−2)  2 − 1   

 5 1   

2) AB =

 −1 − 0     4 − 0

 − 1  4  

3) AB =

 −1 − (−2)     2 − (−8) 

1  10   

4) AB =

 2 −1   −1 − (−1)     0 − 2 

 1  0   −2

5) AB =

 −1 − 7   8 − 3    3 − 1 

6) AB =

 0 −1   0 −1     0 − (−1) 

2. 1)

a − 5b

= = =

2) นิเสธของ

a − 5b

   

 −8   5     2   −1   −1     1 

, ,

BA =

 −2 − 3  1− 2   

BA =

 0 − (−1)   0−4   

 1  − 4  

BA =

 − 2 − (−1)   −8− 2   

 −1   − 10   

BA =

 1− 2   −1 − (−1)     2 − 0 

BA =

 7 − (−1)   3−8     1 − 3 

BA =

 1− 0  1− 0    − 1 − 0 

16  17   

 −1 3   3 − 5  4       −1 − 15   3 − 20     −16   −17   

 −16  −   −17 

 −5  −1  

 −1  0   2

   

 8  −5     − 2 

 1  1   − 1

   

187

–d

1 2  2   3   2  4 +    6 

= =

4) นิเสธของ

3. 1)

u+v

= = = =

λ (u + v)

–d

 −1  −  0   −7  1  0  =    7 

a  c   b  + d      a + c  b + d    c + a  d + b    c  a  d  +  b     

v+u

 a  c   λ  +     b  d   a + c  λ  b + d 

= = = = =

 λa + λ c   λb + λ d     λa   λ c   λb  +  λ d      a  c  λ +λ  b d  λu + λ v

3 −  4  13

3 4   13

 −3   −4     − 13

188

λ (µ v)

= = = =

(λ + µ)u

(λµ)v

a  (λ + µ)   b  λa + µa   λb + µb     λa  µa   λb  + µb      a  a  λ +µ  b b

= =

(u + v) + w

 λµc   λµd    c  λµ   d 

 c   λµ     d    µc   λ   µd  

λ u + µu

 a  c   e    +  +     b  d   f  a + c  e   b + d  + f     

= = =

a + c + e    b + d + f  a  c + e   b  + d + f     

a   c  e    b  +  d  + f         

u + (v + w)

189

4. ให 1)

a  b ,    c 

u+v

= = =

λ (u + v)

a  b +    c  a + d  b + e     c + f  d + a  e + b     f + c 

d  e     f 

v+u

= = = = =

d  e  ,    f  d  e     f 

a  b    c 

 a + d     λ   b + e    c + f      λa + λ d   λb + λ e     λc + λf   λa   λ d   λb  +  λ e       λc  λf  a  d    λ  b  + λ  e  c   f  λu + λ v

g  h    i 

190 3)

λ (µ v)

= = =

(λ + µ)u

 d     λ  µ  e    f       µd     λ  µe    µf      λµd   λµe     λµf 

d  (λµ) e  f 

(λµ)v

= = = = =

a  (λ + µ)  b   c   λa + µa   λb + µb     λc + µc   λa  µa   λb  + µb       λc  µc  a  a    λ  b  + µ  b  c   c 

λ u + µu

191 5)

(u + v) + w

= = = = = =

 a  d   g          b  + e   +  h    c   f   i        a + d  g  b + e  + h       c + f  i  a + d + g    b + e + h   c + f + i  a  d + g   b  + e + h       c  f + i  a   d  g    b  +  e  +  h          c   f  i  

u + (v + w)

จาก 1) – 5) แสดงวา สมบัติในขอ 3 เปนจริงใน 3 มิติ 5. เวกเตอรที่ขนานกันคือ 1)

 2   −8  6  1  ,  −4  , 3       

1   2 ,   1 

 −2   −4     −2 

และ

1   2   2 , 4    

และ

 7  8  0  , 0     

192

เฉลยแบบฝกหัด 3.3 ข 1. 1) OA = 2) OS = 3) AB = 4) CD = 5) PQ = 6) MN =

2. 1)

1   4  

 1  3    −4   −4 − 3   1 − 2   1 − (−3)   −2 − 4    3 − 1   2 − (−1)     6 − 2   −1 − 0   −1 − 1     2 − 1 

1   2  

i + 2j

 3  −4   

3i − 4 j

 −1   −4   

−i − 4 j

3   2  

3i + 2 j

1  0  = 1  + 4   0 1  1  0 0     = i + 3j − 4k 1 0  + 3 1  − 4 0  0  0  1 

= = = =

1  0  0 +  4    

 −7   −1     4  −6   

 2 3     4   −1   −2     1 

= = =

1  0  −7   + (−1)   0  1  1  0 4  – 6  0 1 

1  0 0     2 0  + 3 1  + 4 0   0  0  1  1  0  0    −1 0  − 2 1  + 0  1  0  1 

i + 4j

−7i − j

4i − 6 j

2i + 3j + 4k

−i − 2 j + k

i + 2j 12 + 22

9 + 16

1 + 16

9+4

3i − 4 j 32 + (−4) 2

i − 4j (−1) 2 + (−4) 2

3i − 2 j 32 + 22

193 2)

1  1    3

i + j + 3k

 3  −1     2 

3i − j + 2k

 −4   0    −1 

−4i − k

3) AB

4) RS

(3) – (2)

1  3  x + y  2 4

x + 3y 2x + 4y 2x + 6y 2y

3i − j + 2k 32 + (−1) 2 + 22

9 +1+ 4

16 + 1

−4i − k (−4) 2 + (−1) 2

5 − 1  7 − 2  

4 2 + 52

 −1 − 7     3 − 4  5 − 1 

−8i − j + 4k

(1) × 2,

12 + 12 + 32

4i + 5j

3. 1)

i + j + 3k

 4 5   

16 + 25

(−8) 2 + (−1) 2 + 4 2

= 7 = 8 = 14 = 6

7  8   

--------- (1) --------- (2) --------- (3)

ดังนั้น x = –2, y = 3

 −8  −1    4 

64 + 1 + 16

1   −1 x + y   3  1

8i − j + 4k 81 3   2  

x – y = 3 -------- (1) 3x + y = 2 -------- (2) 4x = 5 x = 5

y = 3 x = –2

4i + 5j

ดังนั้น x = 5 , y = 4

4 7 − 4 7 − 4

194 3)

1  3  1      x 1  + y  2  + z 1  3 1   2 

 3  7    −1 

x + 3y + z = x + 2y + z = 3x + y + 2z = (1) – (2), (3) – 2 × (2),

3 ----------- (1) 7 ----------- (2) –1 ----------- (3) y = –4 x – 3y = –15 x – 3(–4) = –15 x = –27 ∴ z = 3 – (–27) – 3(-4) z = 42 x = –27, y = –4, z = 42 4. 1)

 2 1    22 + 12

∴ เวกเตอร 1 หนวย ที่มีทิศทางเดียวกันกับ u คือ 2)

1 2   5 1 

2 1 i+ j 5 5

 1  −3    −1 12 + (−3) 2 + (−1) 2

∴ เวกเตอร 1 หนวย ที่มีทิศทางเดียวกันกับ a คือ  1 1   −3 11    −1

3) AB AB

1 3 1 i− j− k 11 11 11

 −4 − 1   5 − (−3)   

 −5  8  

(−5) 2 + 82

∴ เวกเตอร 1 หนวย ที่มีทิศทางเดียวกันกับ AB คือ

1  −5   89  8 

−5 8 i+ j 89 89

195 4) QC =

 0 −1   −3 − 5    1 − 8 

 −1   −8     −7 

(−1) 2 + (−8) 2 + (−7)2

∴ เวกเตอร 1 หนวย ที่มีทิศทางเดียวกันกับ QC คือ  −1  1   −8 114    −7 

5. 1) 2) 3) 4)

−

1 8 7 i− j− k 114 114 114

8 4 i+ j 5 5 4 12 4 i− j− k 11 11 11 20 32 − i+ j 89 89 4 32 28 − i− j− k 114 114 114

6. ก) PQ =

 3− 2  5−5    −1 − 3 

 1  0    −4 

= 12 + (−4) 2 = 17 ∴ โคไซนแสดงทิศทางของ PQ คือ PQ

ข) RS =

 2 − (−1)   −4 − 4     7 − (−2) 

= 32 + (−8) 2 + 92 = ∴ โคไซนแสดงทิศทางของ RS คือ ค) TV =

−4 17

 3  −8    9 

 4 − (−3)  2 − 1    8 − 0 

1 , 0, 17

   

154 3 , 154

−8 , 154

9 154

7 , 114

1 , 114

8 114

7 1  8 

= 7 2 + 12 + 82 = 114 ∴ โคไซนแสดงทิศทางของ TV คือ TV

114

196

7. ก)

 −2 − 1   0 − 4    1 − 3 

 −3   −4     −2 

= (−3) 2 + (−4) 2 + (−2) 2 โคไซนแสดงทิศทางของ PQ คือ −

ข)

3 4 2 , − , − 29 29 29

3   4    2 

32 + 42 + 22

โคไซนแสดงทิศทางของ

ค)

= คือ

29 3 , 29

= 52 + 2 2 = โคไซนแสดงทิศทางของ OP คือ จะไดวา PQ และ

u⋅v u⋅v u⋅v

= = = =

10 5 1 –3

2 29

5 , 0, 29

2 29

ขนานกัน โดยมีทิศทางตรงกันขาม

เฉลยแบบฝกหัด 3.4 u⋅v

4 , 29

5  0     2 

1. 1) 2) 3) 4)

197 2. 1) 2) 3) 4)

3. 1) 2) 3) 4)

10 40 22 –4

4. 1) 2) 3) 4)

–52 94 80 –66

θ θ θ

= = = =

0° 90° 90° 132° 20′ 2

5. 1) มุมแหลม 2) มุมฉาก 3) มุมปาน

6. 1) 2) 3) 4)

เวกเตอรตั้งฉากซึ่งกันและกัน เวกเตอรตั้งฉากซึ่งกันและกัน เวกเตอรไมตั้งฉากซึ่งกันและกัน เวกเตอรไมตั้งฉากซึ่งกันและกัน

7. 1) m = –1, 4 2) m = −3 +

10 ,

−3 − 10

198 8. ให จะได

จาก

= v = u⋅v = u+v = 2 u = 2 v = 2 u+v = u

ดังนั้น และให

u v

จะได

u– v

u⋅v

จาก

ดังนั้น

= = = = = =

u−v u−v

u−v

ai + b j ci + d j

ac+ bd (a + c) i + (b + d) j a 2 + b2 c 2 + d2 u + v u + v = ( (a + c)2 + (b + d) 2 )( (a + c) 2 + (b + d)2 ) = (a + c)2 + (b + d)2 = a2 + 2ac + c2 + b2 + 2bd + d2 = (a2 + b2) + 2(ac + bd) + (c2 + d2) 2 2 = u + 2u ⋅ v + v 2 2 2 u+v = u + 2u ⋅ v + v ai + b j ci + di

(a − c)i + (b − d) j

a 2 + b2 ac + bd c 2 + d2 = = = = =

( (a − c) 2 + (b − d) 2 ( (a − c) 2 + (b − d) 2

a2 – 2ac + c2 + b2 – 2bd + d2 a2 + b2 – 2(ac + bd) + c2 + d2 2

u − 2u ⋅ v + v u − 2u ⋅ v + v

199 9.

ตั้งฉากกับ v 2 u+v = =

โดยที่

u ≠ 0, v ≠ 0

u + 2u ⋅ v + v 2

u +v

โดยที่

u − 2u ⋅ v + v

11.

B a C

12.

= 5,

( u + v )2

16 7 2u ⋅ v

( u − v )2

( u − v )2 u−v

≈ ≈

= BA + AC 2 BC = ( BA + AC )2 2 BC = BA 2 + 2 ⋅ BA ⋅ AC + AC 2 เพราะวา BA ตั้งฉากกับ AC จะได BA⋅AC = 0 ดังนั้น a2 = c2 + b2

= 3, u + v = 4 2 2 = u + 2u ⋅ v + v = 25 + 2u ⋅ v + 9 = 25 + 2u ⋅ v = –18 = = = =

u⋅v

จาก BC

ดังนั้น

c b

u ≠ 0, v ≠ 0

u⋅v

10. u ตั้งฉากกับ v 2 u−v = =

u +v

ดังนั้น

u − 2u ⋅ v + v

25 + 18 + 9 52 2 13

2(3.605) 7.21

200 13.

และ

( u − v )2 2

u − 2u ⋅ v + v u − 2u ⋅ v + v −2u ⋅ v

u v cos θ cos

π 5

π cos(π − ) 5 θ

14.

OA = i + 3j ,

u−v

v+w

= = = = =

( v + w )2

– cos θ

cos θ

4π 5

OB =

4i + j

v + 2v ⋅ w + w 2

u + 2v ⋅ w + v

2vw

− v w cos θ

AB i + 3j

3i − 2 j

4i + j

OA⋅OB 4+3 7 10 ×17

0.537 θ

= = =

cos θ

= =

cos θ cos–1(0.537)

OA OB

cos θ

( 10)( 17) cos θ

= = = = =

OB – OA 4i + j − (i + 3j) 3i − 2 j 9+4 13

201 จาก cos θ

(0.537)( i + 3 j ) 0.537 i + 1.611 j

= = = = = = = =

OD OD

จาก

10 DA

พื้นที่รูป ∆ OAD

OD OD 0.537 2 + 1.6112

1.698 2

OD + DA

2.883 + 7.117 2.668

2 2

1 × ฐาน × สูง 2 1 × OD × AD 2 1 × 1.698 × 2.668 2

= = =

= 2.265 พื้นที่รูปสามเหลี่ยม OAD ประมาณ 2.27 ตารางหนวย

เฉลยแบบฝกหัด 3.5 1. 1)

u×v

v×u

2i + 3k ,

= i+2j – k

i 2 1

j 0 2

i 1 2

j 2 0

k 3 −1 k −1 3

−6i + 5j + 4k

6i − 5j − 4k

202 2)

u×v

v×u

u×v

v×u

i + j− k

i 1 0

i 0 1

2i + 7 j ,

j 1 1 j 1 1

j 7 4

i 5 2

j 4 7

k −1 0

i + 0j+ k

k 0 −1

−i + 0 j − k

21i + 6 j − 27k

−21i − 6 j + 27k

5i + 4 j − 3k

i 2 5

5i − 3j + 4k , u×v

i 5 0

j k −3 4 1 −1

k 0 −3 k −3 0

j− k

2) u × v = (−1)2 + (5)2 + (5)2 = 3) จาก u = 25 + 9 + 16 = 50 และ v = 1 + 1 = 2 เนื่องจาก u × v = u v sin θ sin θ =

51 100

sin θ = 0.714

−i + 5j + 5k

203 3. ให

u v

= =

ai + b j + ck di + e j + f k

จงแสดงวา = =

u−v u+v

(u − v) × (u + v)

(a + d)i + (b + e) j + (c + f )k

= =

∴ จะไดวา 4. 1) 2) 3) 4) 5)

(u ⋅ v) ⋅ r (u ⋅ v)r (u × v) × r (u ⋅ v) × r u ⋅ (v × r)

(2u) × v

(a − d)i + (b − e) j + (c − f )k

2u × v

(u − v) × (u + v)

i 2a d

i (a − d) (a + d)

j (b − e) (b + e)

k (c − f ) (c + f )

[(b – e)(c + f) – (b + e)(c – f)] i – [(a – d)(c + f) – (a + d)(c – f)] j + [(a – d)(b + e) – (a + d)(b – e)] k [bc + bf – ec – ef – (bc – ef + ec – bf)] i – [ac – dc – df + af – (ac – df + dc – af)] j + [ab + ae – db – de – (ab – ae + db – de)] k 2(bf – ec) i – 2(af – dc) j + 2(ae – db) k j 2b e

k 2c f

(u − v) × (u + v)

= (2bf – 2ec) i – (2af – 2dc) j + (2ae – 2bd) k 2u × v

ไมมีความหมายเพราะสเกลารไมสามารถ Dot กับเวกเตอรได มีความหมายเปนเวกเตอร มีความหมายเปนเวกเตอร ไมมีความหมายเพราะสเกลารไมสามารถ Cross กับเวกเตอรได มีความหมายเปนสเกลาร

204 5.

2i − j + k

u⋅v u×v

−i + j − 2k

−2 − 1 − 2

i 2 −1

−1 1

j −1 1

= 5 k 1 −2

1 2 1 2 i− j+ −2 −1 − 2 −1

−1 k 1

= i + 3j + k เวกเตอรขนาด 1 หนวย ที่มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร 1 1 คือ (i + 3j + k) = (i + 3j + k) 1+ 9 +1

u×v

ดังนั้น เวกเตอรขนาด 5 หนวย ที่มีทิศทางตั้งฉากกับระนาบที่ประกอบดวย 5 5 u และ v คือ (i + 3j + k) และ − (i + 3j + k) 11

6. พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน PORS = PO × PS = =

i 3 0

j −2 3

−2 3

PO × PS

k 0 4

0 3 i− 4 0

0 3 j+ 4 0

−2 k 3

= (−8) 2 + 122 + 92 = 17 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน PORS เทากับ 17 ตารางหนวย PO × PS

7. พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC = AB = AC =

 8−0   8−2     −2 − 2   9−0   12 − 2     6 − 2 

= =

 8  6    −4   9   10     4 

1 AB × AC 2

8i + 6 j − 4k

9i + 10 j + 4k

205 ดังนั้น AB × AC = =

i 8 9

j k 6 −4 10 4

6 −4 8 i− 10 4 9

−4 8 j+ 4 9

6 k 10

= (24 + 40) i – (32 + 36) j + (80 – 54) k = 64i − 68j + 26k AB × AC = 642 + 682 + 262 = 9396 = 18 29 ∴ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC คือ 1 AB × AC = 1 ×18 2

ตารางหนวย 8. 1) ปริมาตรของรูปสี่เหลี่ยมดานขนานทรงตันเทากับ v×r

ดังนั้น

i 1 0

j 1 1

1 1

i − j+ k

u ⋅ (v × r)

k 0 1

0 1 i− 1 0

0 1 j+ 1 0

1 k 1

= (i + k) ⋅ (i − j + k) = (1)(1) + 0(−1) + (1)(1) = 2 = 2 ∴ ปริมาตรของรูปสี่เหลี่ยมดานขนานทรงตัน เทากับ 2 ลูกบาศกหนวย u ⋅ (v × r)

206 2)

v×r

ดังนั้น

i 1 1

j −1 1

k 1 2

−1 1 1 i− 1 2 1

1 1 j+ 2 1

(−2 − 1)i − (2 − 1) j + (1 + 1)k

−3i − j + 2k

−1 k 1

= (2i + 3j − 4k) ⋅ (−3i − j + 2k) = −6−3−8 = −17 = 17 ∴ ปริมาตรของรูปสี่เหลี่ยมดานขนานทรงตันเทากับ 17 ลูกบาศกหนวย u ⋅ (v × r)