add-m6-2-finished by Nett

คณิ ตศาสตร์เพิม เติม ชั นมัธยมศึกษาปี ที 6

เล่ม 2

สารบัญ หนา บทที่ 1 ลําดับอนันตและอนุกรมอนันต ผลการเรียนรูที่คาดหวัง ขอเสนอแนะ กิจกรรมเสนอแนะ ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจําบท เฉลยแบบฝกหัด 1.1 ก เฉลยแบบฝกหัด 1.1 ข เฉลยแบบฝกหัด 1.2 ก เฉลยแบบฝกหัด 1.2 ข

1 2 10 14 15 20 25 38 51

บทที่ 2 แคลคูลัสเบื้องตน ผลการเรียนรูที่คาดหวัง ขอเสนอแนะ กิจกรรมเสนอแนะ ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจําบท เฉลยแบบฝกหัด 2.1 ก เฉลยแบบฝกหัด 2.1 ข เฉลยแบบฝกหัด 2.2 เฉลยแบบฝกหัด 2.3 เฉลยแบบฝกหัด 2.4 เฉลยแบบฝกหัด 2.5 เฉลยแบบฝกหัด 2.6

61 62 75 97 99 102 106 113 115 119 126 131

หนา

เฉลยแบบฝกหัด 2.7 เฉลยแบบฝกหัด 2.8 ก เฉลยแบบฝกหัด 2.8 ข เฉลยแบบฝกหัด 2.9 เฉลยแบบฝกหัด 2.10 เฉลยแบบฝกหัด 2.11 เฉลยแบบฝกหัด 2.12 บทที่ 3 กําหนดการเชิงเสน ผลการเรียนรูที่คาดหวัง ขอเสนอแนะ ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจําบท เฉลยแบบฝกหัด 3.1 เฉลยแบบฝกหัด 3.2 เฉลยแบบฝกหัด 3.3

137 140 151 163 164 171 173

179 180 183 184 187 188 189

เฉลยแบบฝกหัด 1.1 ก 1. (1) a2 = a3 = a4 = a5 = ดังนั้น (2) a2 = a3 = a4 = a5 = ดังนั้น

a1 + 2 – 1 = 0 + 2 – 1 = 1 a2 + 3 – 1 = 1 + 3 – 1 = 3 a3 + 4 – 1 = 3 + 4 – 1 = 6 a4 + 5 – 1 = 6 + 5 – 1 = 10 5 พจนแรกของลําดับนี้คือ 0, 1, 3, 6, 10 1 + 0.05a1 = 1 + 0.05(1000) = 51 1 + 0.05a2 = 1 + 0.05(51) = 3.55 1 + 0.05a3 = 1 + 0.05(3.55) = 1.1775 1 + 0.05a4 = 1 + 0.05(1.1775) = 1.058875 5 พจนแรกของลําดับนี้คือ 1000, 51, 3.55, 1.1775, 1.058875

(3) a2 = 6a1 = 6(2) = 12 a3 = 6a2 = 6(12) = 72 a4 = 6a3 = 6(72) = 432 a5 = 6a4 = 6(432) = 2592 ดังนั้น 5 พจนแรกของลําดับนี้คือ 2, 12, 72, 432, 2592 (4) a3 = a2 + 2a1 = 2 + 2(1) a4 = a3 + 2a2 = 4 + 2(2) a4 + 2a3 = 8 + 2(4) a5 = ดังนั้น 5 พจนแรกของลําดับนี้คือ 1, 2, 4, 8, 16

= = =

4 8 16

(5) a3 = a2 + a1 = 0+2 a4 = a3 + a2 = 2+0 a5 = a4 + a3 = 2+2 ดังนั้น 5 พจนแรกของลําดับนี้คือ 2, 0, 2, 2, 4

= = =

2 2 4

2. (1) เปนลําดับเลขคณิต มีผลตางรวมเปน 2 (2) เปนลําดับเรขาคณิต มีอตั ราสวนรวมเปน –1 (3) เปนลําดับเลขคณิต มีผลตางรวมเปน –2 (4) เปนลําดับเรขาคณิต มีอัตราสวนรวมเปน

1 3

(5) ไมเปนทั้งลําดับเลขคณิตและลําดับเรขาคณิต

21 3. (1) d = 4 – (–2) = 6 เนื่องจาก an ∴ an

= = = พจนที่ n ของลําดับนี้คือ an

(2) d =

1 ⎛ 1⎞ −⎜− ⎟ 6 ⎝ 6⎠

เนื่องจาก ∴

1 3

an an

a1 + (n – 1)d –2 + (n – 1)6 6n – 8 = 6n – 8

= = = =

พจนที่ n ของลําดับนี้คือ an = (3) d =

1 13 − 11 2

เนื่องจาก ∴

an an

5 2

a1 + (n – 1)d 1 1 − + (n − 1) 6 3 3 n − + 6 3 2n − 3 6 2n − 3 6

= =

a1 + (n – 1)d

17 5n + 2 2 5n + 17 2 5n + 17 2

= พจนที่ n ของลําดับนี้คือ an =

11 + (n − 1)

5 2

(4) d = 22.54 – 19.74 = 2.8 เนื่องจาก an = = ∴ an = พจนที่ n ของลําดับนี้คือ an =

a1 + (n – 1)d 19.74 + (n – 1)(2.8) 2.8n + 16.94 2.8n + 16.94

(5) d = (x + 2) – x = 2 = เนื่องจาก an = ∴ an = พจนที่ n ของลําดับนี้คือ an =

a1 + (n – 1)d x + (n – 1)2 x + 2n – 2 x – 2 + 2n

22 (6) d = (2a + 4b) – (3a + 2b) = –a + 2b = a1 + (n – 1)d เนื่องจาก an = (3a + 2b) + (n – 1)(–a + 2b) ∴ an = 3a + 2b – na + 2nb + a – 2b = 4a – na + 2nb พจนที่ n ของลําดับนี้คือ an = 4a – na + 2nb 4. จะได

5p – p = 6p + 9 – 5p 4p = p+9 3p = 9 p = 3 จะได สามพจนแรกของลําดับนี้คือ 3, 15, 27 ลําดับนี้มีผลตางรวมเปน 12 ดังนั้น สี่พจนตอไปของลําดับนี้คือ 39, 51, 63, 75

5. ใหลําดับนี้มีสามพจนแรกคือ a – d, a, a + d จะได a–d+a+a+d = 12 ---------- (1) 3 3 3 และ (a – d) + a + (a + d) = 408 ---------- (2) จาก (1) 3a = 12 a = 4 จาก (2), a3 – 3a2d + 3ad2 – d3 + a3 + a3 + 3a2d + 3ad2 + d3 = 408 3a3 + 6ad2 = 408 3 2 = 408 3(4) + 24d 24d2 = 408 – 192 d2

216 24

= 9 d = 3 หรือ –3 ถา d = 3 แลว จะไดลําดับนี้คือ 1, 4, 7, 10, 13, ... ถา d = –3 แลว จะไดลําดับนี้คือ 7, 4, 1, –2, –5, ... 6. (1) r

−6 −3

เนื่องจาก an = a1rn–1 = (–3)2n–1 ∴ an พจนที่ n ของลําดับนี้คือ an = (–3)2n–1

23 −5 10

−

เนื่องจาก

a1rn–1

∴

⎛ 1⎞ 10 ⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠

n −1

⎛ 1⎞ 10 ⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠

n −1

(2) r

พจนที่ n ของลําดับนี้คือ an =

1 2

5 4 1 4

เนื่องจาก

a1rn–1

∴

⎛ 1 ⎞ n −1 ⎜ ⎟5 ⎝4⎠ ⎛ 1 ⎞ n −1 ⎜ ⎟5 ⎝4⎠

(3) r

พจนที่ n ของลําดับนี้คือ an = (4) r

5 3 5 6

เนื่องจาก

a1rn–1

∴

⎛ 5 ⎞ n −1 ⎜ ⎟ (2) ⎝6⎠ ⎛ 5 ⎞ n −1 ⎜ ⎟ (2) ⎝6⎠

พจนที่ n ของลําดับนี้คือ an = (5) r

1 12 2 − 9

−

3 8

เนื่องจาก

a1rn–1

∴

⎛ 2 ⎞⎛ 3 ⎞ ⎜ − ⎟⎜ − ⎟ ⎝ 9 ⎠⎝ 8 ⎠

n −1

⎛ 2 ⎞⎛ 3 ⎞ ⎜ − ⎟⎜ − ⎟ ⎝ 9 ⎠⎝ 8 ⎠

n −1

พจนที่ n ของลําดับนี้คือ an = (6) r

เนื่องจาก ∴

a 2 b2 ab3

an an

a b

a1rn–1

⎛a⎞ (ab ) ⎜ ⎟ ⎝b⎠ 3

n −1

24 = พจนที่ n ของลําดับนี้คือ an =

an b4− n an b4− n

7. (1) ให a1 = –15 และ a5 = –1215 จะได a5 = a 1r4 = –1215 –15r4 = –1215 r4 = 81 r = –3 หรือ r = 3 ดังนั้น สามพจนที่อยูระหวาง –15 กับ –1215 คือ 45, –135, 405 หรือ –45, –135, –405 (2) ให a1 =

4 3

และ a5 =

จะได a5 = a 1r4 = 4 4 r 3

r = r =

64 27

64 27 64 81 256 3 4

ดังนั้น 3 พจนที่อยูระหวาง

หรือ r = 4 3

กับ

−

27 64

3 4

คือ 1,

3 9 , 4 16

8. ให a เปนจํานวนทีน่ ําไปบวก จะได 3 + a, 20 + a, 105 + a เปนลําดับเรขาคณิต ดังนั้น

20 + a 3+ a

400 + 40a + a2 = 68a = a จํานวนที่นําไปบวกคือ

= 5 4

105 + a 20 + a

315 + 108a + a2 85 85 68

5 4

หรือ –1,

3 , −9 4 16

เฉลยแบบฝกหัด 1.1 ข 1. (1) ลูออก n an

1 1

2 0

3 –1

4 0

5 1

6 0

7 –1

8 0

9 1

10 0

an 1.5 1 0.5

0 1

4 0

5 0.2

7 –0.142

8 0

-0.5 -1 -1.5

(2) ลูเขา n an

1 1

2 0

3 –0.333

6 0

9 –0.111

an 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2

0 -0.2 0 -0.4

10 0

26 (3) ลูเขา n an

1 2 3 2.5 1.666 1.25

4 1

5 6 7 8 9 10 0.833 0.714 0.625 0.555 0.5 0.454

an 2.5 2 1.5 1 0.5 0

(4) ลูออก n an

1 2

2 2

3 2.666

4 4

5 6 7 8 9 10 6.4 10.666 18.285 32 56.888 102.4

an 60 50 40 30 20 10

0 0

27 (5) ลูออก n an

1 0

2 4

3 0

4 8

5 0

6 12

7 0

8 16

9 0

10 20

an 40 35 30 25 20 15 10 5

0 0

(6) ลูเขา n 1 an 3.5

2 3.75

3 4 5 6 7 8 9 10 3.875 3.937 3.968 3.984 3.992 3.996 3.998 3.999

an 4.1 4 3.9 3.8 3.7 3.6 3.5

3.4 0

28 (7) ลูเขา n 1 an 4

2 2

3 1

4 0.5

5 0.25

6 0.125

7 8 9 10 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125

an 9 8 7 6 5 4 3 2 1

0 0

(8) ลูเขา n 1 an 0.666

2 0.816

3 4 5 6 7 8 9 10 0.873 0.903 0.922 0.934 0.943 0.950 0.955 0.960

an 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2

0 0

29 (9) ลูออก n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an –1.333 1.777 –2.370 3.160 –4.213 5.618 –7.491 9.988 –13.318 17.757 an 20 15 10 5

0 -5

-10 -15

(10) ลูเขา .n an

1 0.25

0.35

2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.333 0.3 0.222 0.147 0.090 0.053 0.031 0.017 0.009

0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05

0 0

30 2. ไมเห็นดวย เพราะเปนการสรุปที่ไมถูกตอง ถา x n และ ⎛x ⎞ lim ⎜ n ⎟ n →∞ y ⎝ n⎠

lim x n

ไดนนั้ ขอตกลงเบือ้ งตนเกีย่ วกับ

n →∞

lim y n

เปนลําดับ การที่จะกลาววา

lim x n

n →∞

และ

lim y n

n →∞

จริงกอน ขอกําหนดเบื้องตนนั้นคือ

lim x n

n →∞

และ

lim y n

n →∞

ตองหาคาได

ในกรณีนี้ ตองจัดรูป an และ bn กอนการใชทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต ดังนี้ จาก

2n 4 − n 2

lim(2 −

n →∞

1 ) n2

lim

8 3n

= =

2 3

8 1 lim n →∞ 3 n 8 (0) 3

= =

ดังนั้น ลําดับ an =

8 3n

8n 7n

⎛8⎞ ⎜ ⎟ ⎝7⎠

จะได

8n n →∞ 7 n lim

⎛8⎞ lim ⎜ ⎟ n →∞ 7 ⎝ ⎠

เปนลําดับลูเขา n

⎛8⎞ lim ⎜ ⎟ n →∞ 7 ⎝ ⎠

หาคาไมได เพราะ

ดังนั้น ลําดับ an = (3)

1 ) n2 13 lim(3 + 4 ) n →∞ n

lim(2 −

n →∞

(2) จาก

n4 1 2− n2 lim n →∞ 13 3+ n4 n →∞

lim

n →∞

1 n2 13 3+ n4 2−

= 2 และ lim(3 + 13 ) = 3

2n 4 − n 2 n →∞ 3n 4 + 13

ดังนั้น

3. (1)

3n 4 + 13

และเนื่องจาก

1 ) n2 13 n 4 (3 + ) n4

n 4 (2 −

8n 7n

8 7

เปนลําดับลูออก

= 1 เมื่อ n เปนจํานวนคู และ (−1) = –1 เมื่อ n เปนจํานวนคี่ ดังนั้น ลําดับ an = (–1)n ไมมีลิมิต และเปนลําดับลูออก (−1) n

ตองเปน

31 (4)

⎛1⎞ lim 3 ⎜ ⎟ n →∞ ⎝2⎠

⎛1⎞ 3lim ⎜ ⎟ n →∞ 2 ⎝ ⎠

= =

3(0) 0 ⎛1⎞ 3⎜ ⎟ ⎝2⎠

ดังนั้น ลําดับ an = (5) เนื่องจาก จะได

เปนลําดับลูเขา

= 4 และ

lim 4

n →∞

1⎞ ⎛ lim ⎜ 4 + ⎟ n →∞ n⎠ ⎝

lim

n →∞

(6) จาก

6n − 4 6n

และเนื่องจาก จะได

n →∞

=0 1 n →∞ n

n →∞

4+0 4 1 n

เปนลําดับลูเขา

6n 4 − 6n 6n

= lim1

1 n

lim 4 + lim

= = ดังนั้น ลําดับ an =

= 1 และ

⎛ 6n − 4 ⎞ lim ⎜ ⎟ n →∞ ⎝ 6n ⎠

= =

ดังนั้น ลําดับ an =

1–

2 3n

⎛ 2 ⎞ lim ⎜ ⎟ = 0 n →∞ 3n ⎝ ⎠ 2 ⎞ ⎛ lim ⎜1 − ⎟ n →∞ ⎝ 3n ⎠ 2 lim1 − lim n →∞ n →∞ 3n

= =

1–0 1

6n − 4 6n

เปนลําดับลูเขา

(7) เมื่อ n มีคาเพิ่มขึ้น คาของพจนที่ n ของลําดับนี้จะเพิ่มขึ้น และไมเขาใกลจํานวนใด จํานวนหนึ่ง ดังนั้น ลําดับ an =

3n + 5 6

n n +1

(8) จาก

และเนื่องจาก จะได

⎛ ⎝

n ⎜1 +

lim1

n →∞

⎛ n ⎞ lim ⎜ ⎟ n →∞ n + 1 ⎝ ⎠

เปนลําดับลูออก

1⎞

⎟ n⎠

= 1 และ =

= lim

n →∞

1 n

= 0

⎛ ⎞ ⎜ 1 ⎟ lim ⎜ ⎟ n →∞ ⎜⎜ 1 + 1 ⎟⎟ n⎠ ⎝

1 n

32 lim1

n →∞

lim1 + lim

n →∞

ดังนั้น ลําดับ an = (9) เนื่องจาก

1 1+ 0

n n +1

4 5n = 0 และ nlim →∞ n 2 n2 ⎛ 4 + 5n ⎞ = lim ⎜ ⎟ 2 n →∞ ⎝ n ⎠

lim

= 0 lim

n →∞

= = ดังนั้น ลําดับ an = (10) จาก

2n − 1 3n + 1

lim

n →∞

เปนลําดับลูเขา

⎛ 1⎞ ⎟ n⎠ ⎝ = ⎛ 1⎞ n ⎜3 + ⎟ ⎝ n⎠ ⎛ 1⎞ lim ⎜ 2 − ⎟ = 2 n →∞ ⎝ n⎠

2n − 1 3n + 1

3n 2 − 5n 7n − 1

เปนลําดับลูออก

(12) จาก

7n 2 5n 2 − 3

จะได

lim 7

n →∞

7n 2 n →∞ 5n 2 − 3 lim

และ

7n 2 3 ⎞ ⎛ n2 ⎜ 5 − 2 ⎟ n ⎠ ⎝

⎛

1⎞

lim 3 + ⎟ n →∞ ⎜⎝ n⎠

7 5−

3 ⎞ ⎛ lim ⎜ 5 − 2 ⎟ n ⎠ ⎝ lim 7

= 7 และ =

เปนลําดับลูเขา

(11) an =

และเนื่องจาก

1⎞ ⎛ lim ⎜ 2 − ⎟ n⎠ ⎝ 1⎞ ⎛ lim ⎜ 3 + ⎟ n →∞ n ⎝ ⎠ 2 3

2n − 1 3n + 1

2−

n →∞

= ดังนั้น ลําดับ an =

4 5n + lim 2 2 →∞ n n n

0+0 0

n⎜2 −

และเนื่องจาก จะได

4 + 5n n2

1 n

เปนลําดับลูเขา

n →∞

จะได

n →∞

3 ⎞ ⎛ lim ⎜ 5 − 2 ⎟ n →∞ n ⎠ ⎝

3 n2

= 5

= 3

33 7

= ดังนั้น ลําดับ an = (13) จาก

4n 2 − 2n + 3 n2

และเนื่องจาก จะได

lim 4 =

n →∞

7n 2 5n 2 − 3

เปนลําดับลูเขา 2 3 + n n2 2 = lim n →∞ n

4−

⎛ 4n 2 − 2n + 3 ⎞ lim ⎜ ⎟ n →∞ n2 ⎝ ⎠

= = = =

ดังนั้น ลําดับ an = (14)

4n 2 − 2n + 3 n2

3 = n2 2 3 ⎞ ⎛ lim ⎜ 4 − + 2 ⎟ n →∞ n n ⎠ ⎝

0 และ

lim

n →∞

lim 4 − lim

n →∞

2 3 + lim 2 →∞ n n n

4–0+0 4 เปนลําดับลูเขา

1 ⎞ ⎛ 1 n2 ⎜ 3 − 2 ⎟ 3− 2 3n − 1 n ⎠ ⎝ n จาก = = 10 10n − 5n 2 ⎞ 2 ⎛ 10 −5 n ⎜ − 5⎟ n ⎝n ⎠ 1 ⎞ ⎛ ⎛ 10 ⎞ และเนื่องจาก nlim 3 − 2 ⎟ = 3 และ lim ⎜ − 5 ⎟ ⎜ n →∞ ⎝ n →∞ n ⎠ ⎠ ⎝ 1 ⎞ ⎛ lim ⎜ 3 − 2 ⎟ n →∞ ⎛ 3n 2 − 1 ⎞ n ⎠ ⎝ = จะได nlim ⎜ ⎟ →∞ 10n − 5n 2 ⎛ 10 ⎞ ⎝ ⎠ lim ⎜ − 5 ⎟ n →∞ n ⎝ ⎠ 3 − = 5 2 ดังนั้น ลําดับ an = 3n − 1 2 เปนลําดับลูเขา 10n − 5n 2

(15) เนื่องจาก จะได

1 1 = 0 และ nlim = 0 →∞ n n +1 1 1 1 ⎞ ⎛1 lim − lim = lim ⎜ − ⎟ n →∞ n n →∞ n + 1 n →∞ n n +1⎠ ⎝ lim

n →∞

= = ดังนั้น ลําดับ an =

1 1 − n n +1

0–0 0

เปนลําดับลูเขา

= –5

34 (16) จาก จะได

3n +1 5n + 2

3n +1 5 ⋅ 5n +1

3n +1 n →∞ 5n + 2 lim

1⎛ 3⎞ lim ⎜ ⎟ n →∞ 5 5 ⎝ ⎠

n +1

1 ⎛3⎞ lim ⎜ ⎟ →∞ n 5 ⎝5⎠ 1 (0) 5

n +1

(17) จาก

2n −1 + 3 3n + 2

และเนื่องจาก จะได

n +1

3 5n + 2

เปนลําดับลูเขา

⎛ 1 2 n −1 ⎞ ⎟ lim ⎜ ⎛⎜ ⎞⎟ ⎟ n →∞ ⎜⎝ 27 ⎝ 3 ⎠ ⎠

2n −1 + 3 n →∞ 3n + 2

= = = =

ดังนั้น ลําดับ an = (18) จาก

และเนื่องจาก จะได

lim

n →∞

n −1

+3 3n + 2

⎛ n ⎜1 − ⎝ = ⎛ n ⎜1 + ⎝ 1 lim(1 − ) n →∞ n n −1 n +1

ดังนั้น ลําดับ an =

n +1

2n −1 3 + n+2 n −1 27 ⋅ 3 3

lim

n −1 n +1

= ดังนั้น ลําดับ an =

1⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ 5⎝ 5⎠

= 1

n −1 +

1 n +1 3

⎛ 1 ⎞ ⎟ lim ⎜⎜ n →∞ ⎝ 3n +1 ⎟⎠

⎛ 1 2 n −1 1 ⎞⎟ lim ⎜ ⎛⎜ ⎞⎟ + ⎜ n n →∞ ⎝ 27 ⎝ 3 ⎠ 3 +1 ⎟⎠

1 ⎛2⎞ lim ⎜ ⎟ →∞ n 27 ⎝3⎠ 1 (0) + 0 27

n −1

+ lim

n →∞

1 n +1

0 เปนลําดับลูเขา 1 ⎞ ⎟ n⎠ 1 ⎞ ⎟ n⎠

= 1 และ

= =

n +1

และ

⎛ lim ⎜ 1 − ⎝ ⎛ lim 1 + n →∞ ⎜ ⎝

n −1

⎛2⎞ ⎜ ⎟ 27 ⎝ 3 ⎠ 1

n →∞

1 n 1 1+ n 1−

lim(1 +

n →∞

1 ⎞ ⎟ n⎠ 1 ⎞ ⎟ n⎠

เปนลําดับลูเขา

1 n

)

= 1

= 0

35 (19) จาก

n2 −1 4n

และเนื่องจาก จะได

= lim 1 −

n →∞

n2 −1 lim n →∞ 4n

1 n2

= 1 และ lim

n →∞

= n2 −1 4n

4n − 1 2

จะได

⎛ 1 ⎞ lim ⎜⎜ 4 − 2 ⎟⎟ n ⎠ ⎝

n →∞

4n − 1 2

lim

n →∞

( −1)n n

(22) an =

8n 2 + 5n + 2 3 + 2n

1 n2

4−

1 n2

⎛ 2 2 ⎞ 2 + 3 1+ 3 n⎜ 2 + 3 1+ 3 ⎟ n n ⎠ ⎝ ⎛ 2 ⎞ = 2 และ nlim ⎜ 2 + 3 1 + 3 ⎟⎟ = 3 →∞ ⎜ n ⎠ ⎝

(21) an =

เปนลําดับลูเขา

2n + 3 n 3 + 2

ดังนั้น ลําดับ an =

1 n2

n 4−

2n + 3 n 3 + 2

และเนื่องจาก

= 4

lim 4

1 1 ⎞ ⎛ lim ⎜1 − 2 ⎟ 4 n →∞ ⎝ n ⎠ 1 1 4 1 4

ดังนั้น ลําดับ an =

1 n2

4 n →∞

1−

(20) จาก

1 n2

n 1−

4n − 1 2

2n + 3 n 3 + 2

เปนลําดับลูเขา เปนลําดับลูออก

4− lim

n →∞

1 n2

2 + 3 1+

2 n3

⎛ 1 ⎞ lim ⎜ 4 − 2 ⎟ n ⎠ ⎝ ⎛ 2 ⎞ lim ⎜ 2 + 3 1 + 3 ⎟ n →∞ n ⎠ ⎝ n →∞

2 3

เปนลําดับลูเขา

36 4. (1) ไมจริง เชน ลําดับ an = n และ ลําดับ bn = –n เปนลําดับลูออก แตลําดับ (an + bn) = n – n = 0 เปนลําดับลูเขา (2) จริง การพิสูจนโดยขอขัดแยง (proof by contradiction) ทําไดดังนี้ สิ่งที่กําหนดใหคือ ลําดับ an เปนลําดับลูเขา และ ลําดับ bn เปนลําดับลูออก สมมติวา “(an + bn) เปนลําดับลูเขา” เนื่องจากลําดับ an และลําดับ (an + bn) เปนลําดับลูเขา จึงไดวา lim a และ n →∞

lim(a n + b n )

n →∞

พิจารณา และ ดังนั้น

หาคาได ให

lim a n

n →∞

lim(a n + b n − a n )

n →∞

lim b n

n →∞

= A และ

lim(a n + b n )

n →∞

lim b n

n →∞

lim(a n + b n ) – lim a n

n →∞

= B–A หาคาได ซึ่งทําให ลําดับ bn เปนลําดับลูเขา

เกิดขอขัดแยงกับสิ่งทีก่ ําหนดให จึงสรุปวา ขอความที่สมมติวา “(an + bn) เปนลําดับลูเขา” เปนเท็จ นั่นคือ (an + bn) ตองเปนลําดับลูออก 5. (1)

lim P(1 +

n →∞

r n ) 12

เนื่องจาก ดังนั้น an = (2) จาก an = กําหนด

P lim(1 + n →∞

r > 1 12

r ⎞ ⎛ P ⎜1 + ⎟ ⎝ 12 ⎠

ดังนั้น

r n ) 12

r ⎞ ⎛ lim ⎜1 + ⎟ n →∞ ⎝ 12 ⎠

หาคาไมได

ไมเปนลําดับลูเขา

1.5 100

0.015

สิ้นเดือนที่ 1 จะได a1 =

⎛ 0.015 ⎞ 9000 ⎜1 + ⎟ 12 ⎠ ⎝

สิ้นเดือนที่ 2 จะได a2 =

⎛ 0.015 ⎞ 9000 ⎜1 + ⎟ 12 ⎠ ⎝

สิ้นเดือนที่ 3 จะได a3 =

⎛ 0.015 ⎞ 9000 ⎜1 + ⎟ 12 ⎠ ⎝

สิ้นเดือนที่ 4 จะได a4 =

⎛ 0.015 ⎞ 9000 ⎜1 + ⎟ 12 ⎠ ⎝

สิ้นเดือนที่ 5 จะได a5 =

⎛ 0.015 ⎞ 9000 ⎜1 + ⎟ 12 ⎠ ⎝

สิ้นเดือนที่ 6 จะได a6 =

⎛ 0.015 ⎞ 9000 ⎜1 + ⎟ 12 ⎠ ⎝

9011.25

= 9022.51 = 9033.79 = 9045.08 = 9056.39 = 9067.71

37 สิ้นเดือนที่ 7 จะได a7 =

⎛ 0.015 ⎞ 9000 ⎜1 + ⎟ 12 ⎠ ⎝

สิ้นเดือนที่ 8 จะได a8 =

⎛ 0.015 ⎞ 9000 ⎜1 + ⎟ 12 ⎠ ⎝

สิ้นเดือนที่ 9 จะได a9 =

⎛ 0.015 ⎞ 9000 ⎜1 + ⎟ 12 ⎠ ⎝

สิ้นเดือนที่ 10 จะได a10 =

⎛ 0.015 ⎞ 9000 ⎜ 1 + ⎟ 12 ⎠ ⎝

= 9079.05 = 9090.39 = 9101.76

= 9113.13

ดังนั้น สิบพจนแรกของลําดับ คือ 9011.25, 9022.51, 9033.79, 9045.08, 9056.39, 9067.71, 9079.05, 9090.39, 9101.76, 9113.13 6. (1) ให an เปนงบรายจายปกติทถี่ ูกตัดลงเมื่อเวลาผานไป n ป A แทนงบรายจายปกติเปน 2.5 พันลานบาท สิ้นปที่ 1

จะได a1

A−

สิ้นปที่ 2

จะได a2

สิ้นปที่ 3

จะได a3

จะได an

100

A−

20 ⎛ 4

⎞

⎜ A⎟ 100 ⎝ 5 ⎠

= =

⎛4⎞ ⎜ ⎟ A ⎝5⎠

4 5

A 2

⎛4⎞ ⎜ ⎟ A ⎝5⎠

ดังนั้น เมื่อเวลาผานไป n ป งบรายจายเปน (2) งบรายจายเมื่อสิ้นปที่ 1 เปน

(A)

20 ⎛ 4 ⎞ ⎛4⎞ ⎜ ⎟ A− ⎜ ⎟ A 100 ⎝ 5 ⎠ ⎝5⎠

สิ้นปที่ n

4 5

⎛4⎞ 2.5 ⎜ ⎟ ⎝5⎠

(2.5) 2

งบรายจายเมื่อสิ้นปที่ 2 เปน

⎛4⎞ ⎜ ⎟ (2.5) ⎝5⎠

งบรายจายเมื่อสิ้นปที่ 3 เปน

⎛4⎞ ⎜ ⎟ (2.5) ⎝5⎠

งบรายจายเมื่อสิ้นปที่ 4 เปน

⎛4⎞ ⎜ ⎟ (2.5) ⎝5⎠

พันลานบาท

= 2

พันลานบาท

= 1.6

พันลานบาท

= 1.28 พันลานบาท

= 1.024 พันลานบาท

ดังนั้น งบรายจายในสี่ปแรก หลังถูกตัดงบเปน 2, 1.6, 1.28 และ 1.024 พันลานบาท ตามลําดับ (3) เนื่องจาก

4 5

< 1

จะได

⎛4⎞ lim 2.5 ⎜ ⎟ n →∞ ⎝5⎠

ดังนั้น ลําดับของงบรายจายนี้เปนลําดับลูเขา

= 0

เฉลยแบบฝกหัด 1.2 ก 1. (1) ผลบวกยอยของอนุกรมนี้มดี ังนี้ S1

1 2 1 1 + 2 6 1 1 1 + + 2 6 18

2 3 13 18

= =

n −1

1 1 1 1⎛1⎞ + + + ... + ⎜ ⎟ 2 6 18 2⎝ 3⎠ ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ 1 , 2 , 13 , 2 3 18

(2) ผลบวกยอยของอนุกรมนี้มดี ังนี้ S1 = 3 = 3+2 S2 S3 Sn

19 3

3+2+4

3 + 2 + 4 + ... + 3 ⎛⎜ 2 ⎞⎟ 3 ⎝3⎠

ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ 3, 5,

...,

3n − 1 4 ⋅ 3n −1

= 3n − 1 4 ⋅ 3n −1

, ...

⎛ ⎛2⎞ 9 ⎜1 − ⎜ ⎟ ⎜ ⎝3⎠ ⎝ ⎛ ⎛ 2 ⎞n ⎞ 9 ⎜ 1 − ⎜ ⎟ ⎟ , ... ⎜ ⎝3⎠ ⎟ ⎝ ⎠

n −1

19 , ..., 3

(3) ผลบวกยอยของอนุกรมนี้มดี ังนี้ S1

1 2 1 5 + 2 2 1 5 25 + + 2 2 2

31 2

1 5 25 1 1 + + + ... + (5) n −1 = − (1 − 5n ) 2 2 2 2 8 ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ 1 , 3, 31 , ..., − 1 (1 − 5n ) , .... 2 2 8

⎞ ⎟⎟ ⎠

39 (4) ผลบวกยอยของอนุกรมนี้มดี ังนี้ S1

1 2 1 1 + (− ) 2 4 1 ⎛ 1⎞ 1 +⎜− ⎟ + 2 ⎝ 4⎠ 8

1 4 3 8

= =

1 ⎛ 1⎞ 1 (−1) n −1 + ⎜ − ⎟ + + ... + 2 ⎝ 4⎠ 8 2n

ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ

2 + (–1) + (–4) + ... + (5 – 3n)

n (7 − 3n) 2

n (7 − 3n) , ... 2

(6) ผลบวกยอยของอนุกรมนี้มดี ังนี้ =

3 4 3 9 + 4 16 3 9 27 + + 4 16 64

(7) ผลบวกยอยของอนุกรมนี้มดี ังนี้ S1 = 0 = 0+3 S2

21 16 111 64

= =

3 9 27 ⎛3⎞ + + + ... + ⎜ ⎟ 4 16 64 ⎝4⎠

ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ

⎞ ⎟⎟ ⎠

1 –3

ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ 2, 1, –3, ...,

n 1 1 3 1⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎞ , , , ..., ⎜⎜1 − ⎜ − ⎟ ⎟⎟ , ... 2 4 8 3⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠

(5) ผลบวกยอยของอนุกรมนี้มดี ังนี้ = 2 S1 S2 = 2 + (–1) = S3 = 2 + (–1) + (–4) = Sn

1⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎜1 − ⎜ − ⎟ 3 ⎜⎝ ⎝ 2 ⎠

3 21 111 , , , ..., 4 16 64

⎛ ⎛ 3 ⎞n ⎞ 3 ⎜1 − ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝4⎠ ⎟ ⎝ ⎠ n ⎛ ⎛3⎞ ⎞ 3 ⎜ 1 − ⎜ ⎟ ⎟ , ... ⎜ ⎝4⎠ ⎟ ⎝ ⎠

40 S3

0+3+8

0 + 3 + + 8 + ... + (n2 – 1) = ∑ (i 2 − 1) =

11 n

i =1

ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ 0, 3, 11, ..., 2n (8) ผลบวกยอยของอนุกรมนี้มดี ังนี้ S1 = –1 S2 = –1 + 0 S3 = –1 + 0 + 9 Sn

= =

+ 3n 2 − 5n 6

2n 3 + 3n 2 − 5n 6

, ...

–1 8

n 3 3n 4 − 2n 3 − 9n 2 − 4n 2 ∑ (i − 2i ) = 12 i=1 4 3 2 –1, 8, ..., 3n − 2n − 9n − 4n , ... 12

–1 + 0 + 9 + ... +

ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ –1, (9) ผลบวกยอยของอนุกรมนี้มดี ังนี้ S1

1 10 1 1 − + 10 100 1 1 1 − + − 10 100 1000 −

−

1⎛ ⎛ 1⎞ ⎜1 − ⎜ − ⎟ 11 ⎜⎝ ⎝ 10 ⎠

⎞ ⎟⎟ ⎠

n 1 9 91 1⎛ ⎛ 1⎞ ⎞ − , − , − , ..., − ⎜⎜1 − ⎜ − ⎟ ⎟⎟ , ... 10 100 1000 11 ⎝ ⎝ 10 ⎠ ⎠

(10) ผลบวกยอยของอนุกรมนี้มดี ังนี้ S1 = 100 S2 = 100 + 10 S3 = 100 + 10 + 1 Sn

−

1 1 1 ⎛ −1 ⎞ + − + ... + ⎜ ⎟ 10 100 1000 ⎝ 10 ⎠

ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ

9 100 91 − 1000

= =

110 111 1000 ⎛ 1 ⎞ ⎜1 − n ⎟ 9 ⎝ 10 ⎠ 1000 ⎛ 1 ⎞ ⎜1 − n ⎟ , ... 9 ⎝ 10 ⎠

100 + 10 + 1 + 0.1 + ... + 103 – n =

ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ 100, 110, 111, ...,

41 (11) ผลบวกยอยของอนุกรมนี้มีดังนี้ S1 = 1 S2 = 1–2 = 1–2+3 S3 S4 = 1–2+3–4 S5 = 1–2+3–4+5 S6 = 1–2+3–4+5–6

= = = = =

–1 2 –2 3 –3

ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ 1, –1, 2, –2, 3, –3, ... 2. (1)

1 1 1 1⎛1⎞ + + + ... + ⎜ ⎟ 2 6 18 2⎝ 3⎠

n −1

+ ... เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี r = 1 2

ดังนั้น อนุกรมนี้จึงเปนอนุกรมลูเขาที่มีผลบวกเปน

1−

1 3

ซึ่ง | r | < 1

3 4

(2) อนุกรมลูเขา มีผลบวกเปน 9 (3) ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ

1 , 2

31 , ..., − 1 (1 − 5n ) , ... 2 8

ลําดับนี้ไมมีลิมิต

ดังนั้น อนุกรมที่กําหนดให ไมสามารถหาผลบวกได จึงเปนอนุกรมลูออก (4) อนุกรมลูเขา มีผลบวกเปน

1 3

(5) ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ 2, 1, –3, ...,

n (7 − 3n) , ... 2

ลําดับนี้ไมมีลิมิต

ดังนั้น อนุกรมที่กําหนดให ไมสามารถหาผลบวกได จึงเปนอนุกรมลูออก (6) อนุกรมลูเขา มีผลบวกเปน 3 (7) ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ 0, 3, 11, ..., 2n

+ 3n 2 − 5n 6

, ... ลําดับนี้ไมมีลิมิต

ดังนั้น อนุกรมทีก่ ําหนดให ไมสามารถหาผลบวกได จึงเปนอนุกรมลูออก (8) ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ –1, –1, 8, ...,

3n 4 − 2n 3 − 9n 2 − 4n 12

, ... ลําดับนี้

ไมมีลิมิต ดังนั้น อนุกรมที่กําหนดให ไมสามารถหาผลบวกได จึงเปนอนุกรมลูออก (9) อนุกรมลูเขา มีผลบวกเปน (10) อนุกรมลูเขา มีผลบวกเปน

1 11 1000 9 −

(11) ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ 1, –1, 2, –2, 3, –3, ... ลําดับนี้ไมมีลิมิต ดังนั้น อนุกรมทีก่ ําหนดให ไมสามารถหาผลบวกได จึงเปนอนุกรมลูออก

42 3. (1) จะได

4 + 1 8 + 1 16 + 1 + + + ... 9 27 81

1 ⎛ 4 8 16 ⎞ ⎛1 1 ⎞ + + ... ⎟ + ⎜ + + + ... ⎟ ⎜ + 9 27 81 9 27 81 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4 1 9 + 9 2 1 1− 1− 3 3 4 ⎛ ⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ (3) + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝9⎠ ⎝ 9 ⎠⎝ 2 ⎠ 4 1 + 3 6 3 2

= = = = =

(2) อนุกรม

จะได

3 3 3 3 1 + + + ... + n −1 + ... เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มีอัตราสวนรวมเทากับ 2 2 4 8 2 3 3 3 3 3 = 3 + + + + ... + n −1 + ... 1 2 4 8 2 1− 2 3 = 1 2

= (3) เมื่อ x เปนจํานวนจริง จะได

1 2+x

เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มีอัตราสวนรวมเทากับ เนื่องจาก x2

0 ดังนัน้ 2 + x2

≥

2 2 (2 + x )

6 1 2 3 (2 + x )

+ ... +

1 2 n (2 + x )

1 2+x

1 ≤ 2 2 2+x 1

2 ซึ่งทําให

<1 1

ดังนัน้

1 2+x

1 2 2 (2 + x )

1 2 3 (2 + x )

+ ... +

1 2 n (2 + x )

+ ...

= =

0.9

= =

ดังนั้น

0.9999... 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ...

9 9 9 9 + 2 + 3 + 4 + ... 10 10 10 10 9 9 9 1 + 2 + 3 + ... เปนอนุกรมเรขาคณิต ที่มีอัตราสวนรวมเทากับ 10 10 10 10 9 9 9 9 10 + + + ... = 1 10 102 103 1− 10 ⎛ 9 ⎞⎛ 10 ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 10 ⎠⎝ 9 ⎠

เนื่องจาก

2 2+x 1 1− 2 2+x 1 2 x +1

+ ...

จะได 5. (1)

0.9

= 1 = 1

i i

0.21

= =

0.212121... 0.21 + 0.0021 + 0.000021 + ...

21 21 21 + + + ... 102 104 106 21 102 1 1− 2 10 2 ⎛ 21 ⎞ ⎛ 10 ⎞ ⎟ ⎜ 2 ⎟⎜ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 99 ⎠

= =

(2)

0.610 4

21 99

= =

0.6104104... 0.6 + 0.0104 + 0.0000104 + 0.0000000104 + ...

6 104 104 104 + + + + ... 10 104 107 1010 104 4 6 + 10 10 1 − 1 103 6 104 + 10 9990 5994 + 104 9990 6098 9990

= = = = (3)

i i

7.256

7 33

= =

7.25656... 7 + 0.2 + 0.056 + 0.00056 + 0.0000056 + ...

2 56 56 56 + + + + ... 10 103 105 107 56 3 2 7 + + 10 10 1 − 1 102 2 56 7+ + 10 990 198 + 56 7+ 990

= = =

44 = = (4)

i i

4.387

= =

4.38787... 4 + 0.3 + 0.087 + 0.00087 + 0.0000087 + ...

3 87 87 87 + + + + ... 10 103 105 107 87 3 3 4 + + 10 10 1 − 1 102 3 87 4+ + 10 990 297 + 87 4+ 990 384 4 990 192 4 495

= = = = = (5)

i i

0.073

0.07373... 0.073 + 0.00073 + 0.0000073 + ...

73 73 73 + + + ... 103 105 107 73 103 1 1− 2 10 73 990

= i

2.9

= =

(6)

254 990 127 7 495 7

= =

2.999 ... 2 + 0.9 + 0.09 + 0.009 + ...

9 9 9 + 2 + 3 + ... 10 10 10 9 2 + 10 1 1− 10 9 2+ 9

= = =

45 6. เพราะวา 1 + x + x2 + x3 + ... + xn–1 + ... =

2 3

และเนื่องจาก a1 = 1 , r = x 2 3

1 1− x

2 – 2x

−

จะไดวา ∴

1 2

7. จาก a1 + a1r + a1r2 + a1r3 + ... = และ a1 – a1r + a1r2 – a1r3 + ... = จาก (1), จาก (2), (3) + (4), จาก (3) จะได

3 2 3 4

a1 1− r a1 1+ r

จะได จะได

3 2 3 4

= =

2a1 + 3r 4a1 – 3r 6a1 ∴ a1

= = = =

3 3 6 1

3− 2 3

---------- (1) ---------- (2) ---------- (3) ---------- (4)

1 3

25 2

5 2 2

8. (1) รูปสี่เหลี่ยมจัตรุ ัสรูปแรกมีดานยาว 5 หนวย ดานของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่สองยาว

⎛5⎞ ⎛5⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠

ดังนั้น รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่สองมีเสนรอบรูปยาว (2) ดานของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่สามยาว

10 2

หนวย

⎛5 2 ⎞ ⎛5 2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠

5 2

หนวย

รูปสี่เหลี่ยมจัตรุ ัสรูปที่สามมีเสนรอบรูปยาว 10 หนวย 2

⎛5⎞ ⎛5⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝4⎠ ⎝4⎠ รูปสี่เหลี่ยมจัตรุ ัสรูปที่สี่มีเสนรอบรูปยาว 5 2 หนวย

ดานของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่สี่ยาว

5 2 4

จะได ผลบวกของเสนรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเปน 20 + 10

หนวย 2

+ 10 + 5 20

2 2 20(2 + 2)

1−

= 9. ความยาวของเสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมรูปแรก เทากับ 30 นิ้ว ความยาวของเสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมรูปที่สอง เทากับ 15 นิ้ว ความยาวของเสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมรูปที่สาม เทากับ

15 2

นิ้ว

+ ...

46 ผลบวกของความยาวเสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมทั้งหมดคือ 30 + 15 + 15 + ... 2 30 1 1− 2

= 60 ∴ ผลบวกความยาวเสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมทั้งหมดมีคา 60 นิ้ว 10. การแกวงครั้งแรกจากจุดไกลสุดดานหนึ่งไปอีกดานหนึง่ ไดระยะทาง 75 เมตร การแกวงครั้งที่สองไดระยะทาง 75 ⎛⎜ 3 ⎞⎟ เมตร ⎝5⎠

การแกวงครั้งที่สามไดระยะทาง การแกวงครั้งที่สี่ไดระยะทาง

⎛3⎞ ⎛3⎞ ⎜ ⎟ 75 ⎜ ⎟ ⎝5⎠ ⎝5⎠

= 75 ⎛⎜ 3 ⎞⎟ เมตร ⎝5⎠ 3

= 75 ⎛⎜ 3 ⎞⎟ เมตร ⎝5⎠

ระยะทางที่ไดจากการแกวงครั้งใหมเปนเชนนี้ไปเรื่อย ๆ ดังนั้น เรือไวกิ้งจะแกวงไปมาตั้งแตเริ่มตนจากจุดสูงสุดเปนระยะทางเทากับ 2

⎛

3 ⎞ ⎛3⎞ + ⎜ ⎟ + ... ⎟ ⎟ 5 ⎝5⎠ ⎝5⎠ ⎠

75 + 75 ⎛⎜ 3 ⎞⎟ + 75 ⎛⎜ 3 ⎞⎟ + 75 ⎛⎜ 3 ⎞⎟ + ... = 75 ⎜1 + 3 + ⎛⎜ 3 ⎞⎟ ⎝5⎠

⎝5⎠

⎜ ⎝

⎝5⎠

⎛ ⎞ ⎜ 1 ⎟ 75 ⎜ 3 ⎟ ⎜⎜ 1 − ⎟⎟ ⎝ 5⎠

= 75 ⎛⎜ 5 ⎞⎟ ⎝2⎠

= 187.5

เมตร

11. (1) ให an เปนระยะทางที่สารพิษแพรกระจายตอจากตําแหนงเดิมเมื่อเวลาผานไป n ป กําหนด a1 = 1500 , a2 = 900 , a3 = 540 สังเกตวา 900 = 540 = 3 1500

900

สมมติให an เปนลําดับเรขาคณิตที่มีพจนแรกเปน 1500 และมีอัตราสวนรวมเปน ให S10 เปนผลบวกของระยะทางที่สารพิษแพรกระจายไปไดเมื่อสิ้นปที่สิบ จะได

S10

= =

1500 + 900 + 540 + ... + 1500 ⎛⎜ 3 ⎞⎟ ⎝5⎠ 10 ⎛ ⎛3⎞ ⎞ 1500 ⎜1 − ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝5⎠ ⎟ ⎝ ⎠ 3 1− 5

3 5

47 = =

10 ⎛ 5 3 ⎞ (1500 ) ⎜⎜1 − ⎜⎛ ⎟⎞ ⎟⎟ 2 ⎝ ⎝5⎠ ⎠

⎛

⎞ ⎟⎟ ⎝5⎠ ⎠ 10

3750 ⎜⎜1 − ⎜⎛ 3 ⎟⎞ ⎝

= 3727.325 เมื่อสิ้นปที่สิบ สารพิษจะแพรกระจายไปได 3727.325 เมตร (2) เพราะวา ผลบวกอนันตของอนุกรมนี้เทากับ

1500 3 1− 5

= 3750

ดังนั้น สารพิษจะแพรกระจายไปไดไกลทีส่ ุด 3,750 เมตร ซึ่งไปไมถึงโรงเรียน 12. ให Sn แทนผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรม Sn =

(

a1 1 − r n 1− r

) =

⎛ ⎛ 2 ⎞n ⎞ 1⎜1 − ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝3⎠ ⎟ ⎝ ⎠ 1−

S1 = 1 S3 = S5 = S7 = S9 = S11 =

2 ⎛2⎞ ⎛2⎞ 1 + + ⎜ ⎟ + ... + ⎜ ⎟ 3 ⎝3⎠ ⎝3⎠

9 211

81 2059 729 19171 6561 175099 59049

+ ...

⎛ ⎛ 2 ⎞n ⎞ 3 ⎜1 − ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝3⎠ ⎟ ⎝ ⎠

S2 =

n −1

= 2.1111

S4 =

= 2.6049

S6 =

= 2.8244

S8 =

= 2.9219

S10 =

5 3 65 27 665

243 6305 2187 58025 19683

= 1.6666 = 2.4074 = 2.7366 = 2.8829 = 2.9479

= 2.9653

เมื่อ Sn มีคานอยกวา 3 อยูไมเกิน 1 จะได 2 ≤ Sn < 3 เมื่อ Sn มีคานอยกวา 3 อยูไมเกิน 0.2 จะได 2.8 ≤ Sn < 3 เมื่อ Sn มีคานอยกวา 3 อยูไมเกิน 0.05 จะได 2.95 ≤ Sn < 3 จะได n ที่นอ ยที่สุด ตามเงือ่ นไขขางตนเปน n = 3, n = 7 และ n = 11 ตามลําดับ 13. ให Sn แทนผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรม โดยใชเครื่องคํานวณ จะได S1

3 2

1 1 1 1 + + + ... + + ... 2 3 n

1.500

48 S3

11 6

1.833

2.083

137

2.283

2.450

363

2.592

2.717

7129

2.828

S10

7381

2.928

S11

83711 27720

3.019

S12

86021 27720

3.103

S13

1145993 360360

3.180

S14

1171733 360360

3.251

S15

1195757 360360

3.318

S16

2436559 720720

3.380

S17

42142223 12252240

3.439

S18

14274301 4084080

3.495

S19

275295799 77597520

3.547

140 761 280

2520

ดังนั้น

n n n

S20

55835135 15519504

3.597

S21

18858053 5173168

3.645

S22

19093197 5173168

3.690

S23

444316699 118982864

3.734

S24

1347822955 356948592

3.775

S25

34052522467 8923714800

3.815

S26

34395742267 8923714800

3.854

S27

312536252003 80313433200

3.891

S28

315404588903 80313433200

3.927

S29

9227046511387 2329089562800

3.961

S30

9304682830147 2329089562800

3.994

S31

290774257297357 72201776446800

4.027

ที่นอยทีส่ ุด เมื่อ Sn มากกวา 2 คือ 4 ที่นอยทีส่ ุด เมือ่ Sn มากกวา 3 คือ 11 ที่นอยทีส่ ุด เมือ่ Sn มากกวา 4 คือ 31

14. (1) ไมถูกตอง เพราะ 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... เปนอนุกรมอนันตที่เปนอนุกรม เรขาคณิต อนุกรมนี้มีอัตราสวนรวมเปน 2 ซึ่ง | 2 | > 1 จึงไมสามารถหาผลบวกได (2) ไมถูกตอง เพราะ 1 – 2 + 4 – 8 + 16 – 32 + ... เปนอนุกรมอนันตที่เปนอนุกรม เรขาคณิต อนุกรมนี้มีอัตราสวนรวมเปน –2 ซึ่ง | –2 | > 1 จึงไมสามารถหาผลบวกได

50 15.

a1 (1 − r n ) 1− r

⎛ ⎛ 3 ⎞n ⎞ 160 ⎜ 1 − ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝2⎠ ⎟ ⎝ ⎠

2110 =

1−

n 16.

3 2

ใหพจนแรกของอนุกรมเรขาคณิตเปน a และมีอัตราสวนรวมเปน r จะได a + ar = –3 ar4 + ar5

และ

− 1

แกระบบสมการขางตน จะได r = ถา r =

1 2 1

ถา r = –

หรือ – 1

แลวจะได a = –2 แลวจะได a = –6

ผลบวก 8 พจนแรกของอนุกรมนี้เทากับ 18.

−

255

ทั้งสองกรณี

เดิมมีแบคทีเรีย 1000 ตัว เมื่อเวลาผานไป 1 ชั่วโมง จะมีแบคทีเรีย

120

เมื่อเวลาผานไป 2 ชั่วโมง จะมีแบคทีเรีย

⎛ 120 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 100 ⎠

เมื่อเวลาผานไป 3 ชั่วโมง จะมีแบคทีเรีย

⎛ 120 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 100 ⎠

100

(1000) = 1200 ตัว

ดังนั้น เมื่อเวลาผานไป t ชั่วโมง จะมีแบคทีเรีย เมื่อ t = 10 จะได a10 =

⎛ 120 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 100 ⎠

(1000)

≈

(1000) = 1440 ตัว (1000) = 1728 ตัว

⎛ 120 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 100 ⎠

(1000)

6191 ตัว

เฉลยแบบฝกหัด 1.2 ข 4

1. (1) ∑ 2i i =1 52

(2) ∑ ( i + 2 )

2+4+6+8

(1 + 2) + (2 + 2) + (3 + 2) + ... + (50 + 2) + (51 + 2) + (52 + 2)

i =1 4

(3) ∑ (10 − 2k ) =

(10 – 2) + (10 – 4 ) + (10 – 6) +(10 – 8)

(4) ∑ ( i

(12 + 4) + (22 + 4) + (32 + 4) + ... + (182 + 4) + (192 + 4) + (202 + 4)

k =1 20

i =1

+ 4)

2. (1) ∑ 3j = 3(1) + 3(2) + 3(3) + 3(4) + 3(5) j=1

= 3 + 6 + 9 + 12 + 15 = 45 = 8 + 8 + 8 + ... + 8

(2) ∑ 8 k =1

(3)

50 จํานวน = 8 x 50 = 400 12(1 – 3) + 22(2 – 3) + 32(3 – 3) + 42(4 – 3) ∑ i ( i − 3) = = –2 – 4 + 0 + 16 = 10 k+4 2+ 4 3+ 4 4+ 4 5+ 4 6+ 4 = + + + + ∑ 4

i =1

(4)

k =2

2 −1 3 −1 4 −1 7 8 9 6+ + + +2 2 3 4 197 12

k −1

= = (5)

∑(k k =1

(6)

+ 3)

i =1

(12 + 3) + (22 + 3) + (32 + 3) + (42 + 3) + (52 + 3)

= =

4 + 7 + 12 + 19 + 28 70

i =1 10

= ∑i i =1

6 −1

∑ (i − 2) = ∑ (i 3

5 −1

− 6i 2 + 12i − 8 ) 10

i =1

− 6∑ i 2 + 12∑ i − ∑ 8 i =1

⎛ 10 (10 + 1) ⎞ ⎛ (10 )(10 + 1) ⎞ ⎛ 10 ⎞ ⎜ ⎟ − 6 ⎜ (10 + 1)( 20 + 1) ⎟ + 12 ⎜ ⎟ − 80 2 2 ⎝6 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= 3025 – 2310 + 660 – 80 = 1295

52 (7)

∑ ( i + 5)

∑i

15(16)

195

i =1

(8)

+ ∑5

i =1

∑ ( 2i + 1)

i =1

∑ ( 2i + 1) – ∑ ( 2i + 1)

i =10

i =1 20

i =1

2∑ i i =1

(9)

+ 5(15)

i =1

+ ∑1 – 2 ∑ i – ∑1

2(20)(21)

= =

420 + 20 – 90 – 9 341

∑(k

∑ ( k + 5) (k − 5) k =1

k =1 15

− 25 ) 15

k =1

15(16)(31)

= =

1240 – 375 865

3. (1) 1⋅3 + 2⋅4 + 3⋅5 + ... + n(n + 2) + ... 1 1 1 1 + + + ... + 4 5 6 n

4. (1)

2+ 1

∑ 6i = i =1

1 3+ 2

∑ n ( n + 2) n =1 n

i=4 ∞

∑ ar

4+ 3

6∑ i i =1

⎛ n ( n + 1) ⎞ 6⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

3n(n + 1)

p+i

i =0 n

∑ 2i i =1 ∞

∑3 n =1

+ ... +

∑i

1 1 1 1 + + + ... + + ... 3 6 12 3 ( 2n −1 ) 1

∞

(4) 2 + 4 + 6 + ... + 2n

(6)

– 15(25)

(3) arp + arp + 1 + arp + 2 + ... + arp + q + ...

(5)

–9

∑ k – ∑ 25

(2)

2(9)(10)

+ 20 –

1 n + n −1

1 ( 2n −1 )

+ ...

∞

= ∑ n =2

1 n + n −1

53 (2)

∑ ( 2i + 1)

i =1

(3)

∑3⋅ 4

∑ (i i =1

− i)

i =1

⎛ k ( k + 1) ⎞ 2⎜ ⎟+k 2 ⎝ ⎠

= =

k2 + k + k k2 + 2k

3∑ 4i

i =1

3(4 + 42 + 43 + ... + 4m)

⎛ ( 4 ) (1 − 4m ) ⎞ ⎟ 3⎜ ⎜ 1− 4 ⎟ ⎝ ⎠

4m + 1 – 4 n

i =1

∑ i 2 −∑ i

n(n + 1)(2n + 1) – n(n + 1) 6 2 n(n + 1) ⎛ 2n + 1 ⎞ ⎜ 3 − 1⎟ 2 ⎝ ⎠ n(n + 1) ⎛ 2n + 1 − 3 ⎞ ⎜ ⎟ 2 3 ⎝ ⎠ n(n + 1)(2n − 2) 6 n(n + 1)(n − 1) 3 3 n −n 3

= = = = = 5. (1)

i =1

(4)

2∑ i + ∑ 1

1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 5 + ... + n(n + 1) + ...

∑ n ( n + 1) n =1 10

n =1

(2)

n =1

10(11)(12) 10 (11) + 6 2

= =

385 + 55 440

1 ⋅ 4 ⋅ 7 + 2 ⋅ 5 ⋅ 8 + 3 ⋅ 6 ⋅ 9 + ... + n(n + 3)(n + 6) + ...

= =

∑n + ∑n

∑ n ( n + 3)( n + 6 ) n =1 10

n =1

∑ n 3 + 9∑ n 2 + 18∑ n

(3)

⎛ 10 (11) ⎞ 9 (10 )(11)( 21) 18 (10 )(11) + ⎜ ⎟ + 6 2 ⎝ 2 ⎠

= =

3025 + 3465 + 990 7480

2 1(2 + 3) + 4(4 + 3) + 9(6 + 3) + 16(8 + 3) + ... + n (2n + 3) + ...

= =

∑ n ( 2n + 3) 2

n =1 10

2∑ n 3 + 3∑ n 2 i =1

(4)

⎛ 10 (11) ⎞ 3 (10 )(11)( 21) 2⎜ ⎟ + 6 ⎝ 2 ⎠

= =

6050 + 1155 7205

12 + 32 + 52 + 7 2 + ... + (2n − 1) 2 + ...

= = =

∑ ( 2n − 1) n =1 10

∑ (4n n =1 10

− 4n + 1) 10

n =1

4∑ n 2 − 4 ∑ n + ∑1 n =1

(5)

n =1

⎛ (10 )(11) ⎞ ⎛ 10(11)(21) ⎞ 4⎜ ⎟ + 10 ⎟ − 4⎜ 6 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= =

1540 – 220 + 10 1330

⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ 1⎜ 1 + ⎟ + 2 ⎜ 1 + ⎟ + 3 ⎜ 1 + ⎟ + ... + n ⎜ 1 + ⎟ + ... ⎝ 1⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ n⎠

= ∑ n ⎛⎜1 + 1 ⎞⎟ ⎝ n⎠ 10

n =1

= ∑ ( n + 1) n =1

n =1

= ∑ n + ∑1 =

10 (11)

= 65 6. (1)

1 ⋅ 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + 3 ⋅ 4 ⋅ 5 + ... + n(n + 1)(n + 2) + ... + 10 ⋅ 11 ⋅ 12

∑ n ( n + 1)( n + 2 ) n =1

+ 10

55 =

(2)

n =1

∑ n 3 + 3∑ n 2 + 2∑ n

⎛ 10 (11) ⎞ 3 (10 )(11)( 21) 2 (10 )(11) + ⎜ ⎟ + 6 2 ⎝ 2 ⎠

= =

3025 + 1155 + 110 4290

1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + ... + n(n + 1) + ... + 99 ⋅ 100

∑ n ( n + 1) n =1

= = = =

n =1

∑ n2 + ∑ n

99 (100 )(199 ) 6

99 (100 ) 2

328350 + 4950 333300

(3) จํานวนเต็มระหวาง 1 ถึง 100 ทีห่ ารดวย 4 แลวเหลือเศษ 3 คือ 7, 11, 15, ... , 99 24

อนุกรม 7 + 11 + 15 + ... + (4n + 3) + ... + 99 เขียนแทนดวย ∑ ( 4n + 3) n =1

จะได ∑ ( 4n + 3)

n =1

4∑ n + ∑ 3

n =1

4 ( 24 )( 25 )

+ ( 24 )( 3)

= 1200 + 72 = 1272 ผลบวกของจํานวนเต็มทัง้ หมดระหวาง 1 ถึง 100 ทีห่ ารดวย 4 แลวเหลือเศษ 3 เปน 1272 7. (1)

⎛1

1 ⎞

1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 ⎜ 1 − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ... + ⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 3⎠ ⎝3 4⎠ ⎝ n n +1⎠ n 1 = 1− n +1 n +1 20 21

i =1

= =

S20 = (2)

∑ i ( i + 1)

i =1

∑ ( 2i − 1)( 2i + 1) i =1

∑ ⎜⎝ i − i + 1 ⎟⎠

1 n ⎛ 1 1 ⎞ − ∑ ⎜ ⎟ 2 i =1 ⎝ 2i − 1 2i + 1 ⎠

1 ⎡⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎞⎤ ⎛ 1 − ⎜1 − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ... + ⎜ ⎟⎥ ⎢ 2 ⎣⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 5 ⎠ ⎝ 5 7 ⎠ ⎝ 2n − 1 2n + 1 ⎠ ⎦

56 = S20 =

1⎛ 1 ⎞ ⎜1 − ⎟ 2 ⎝ 2n + 1 ⎠ 20 41

(3) ให Sn

จะได a1

2n + 1

∑ i ( i + 1)( i + 2 ) i =1

1 1⋅ 2 ⋅ 3 1 2⋅3⋅ 4 1 3⋅ 4 ⋅5

= = =

1⎛ 1 1 ⎞ − ⎜ ⎟ 2 ⎝ 1⋅ 2 2 ⋅ 3 ⎠ 1⎛ 1 1 ⎞ − ⎜ ⎟ 2 ⎝ 2 ⋅3 3⋅ 4 ⎠ 1⎛ 1 1 ⎞ − ⎜ ⎟ 2 ⎝ 3⋅ 4 4⋅5 ⎠

a1 + a2 + a3 + ... + an =

= S20 = (4)

1 ∑ i =1 i ( i + 2 )

1 n ( n + 1)( n + 2 )

⎞ 1⎛ 1 1 − ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ n ( n + 1) ( n + 1)( n + 2 ) ⎟⎠

⎛ ⎞⎤ 1 ⎡⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 1 1 − ⎢⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ... + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ 2 ⎢⎣⎝ 2 6 ⎠ ⎝ 6 12 ⎠ ⎝ n ( n + 1) ( n + 1)( n + 2 ) ⎠ ⎥⎦

⎞ 1⎛1 1 ⎜⎜ − ⎟ 2 ⎝ 2 ( n + 1)( n + 2 ) ⎟⎠ 1⎛1 1 ⎞ ⎜ − ⎟ 2 ⎝ 2 21 ⋅ 22 ⎠

115 462

1 n ⎛1 1 ⎞ ∑ ⎜ − ⎟ 2 i =1 ⎝ i i + 2 ⎠

1 ⎡⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎞⎤ ⎛1 ⎜1 − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ... + ⎜ − ⎟⎥ ⎢ 2 ⎣⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 4 ⎠ ⎝ 3 5 ⎠ ⎝ n n + 2 ⎠⎦

1⎡ 1 1 1 ⎤ 1+ − − ⎢ 2 ⎣ 2 n + 1 n + 2 ⎥⎦

⎞ 1⎛3 2n + 3 ⎜⎜ − ⎟⎟ 2 ⎝ 2 ( n + 1)( n + 2 ) ⎠

S20 =

1⎛3 43 ⎞ ⎜ − ⎟ 2 ⎝ 2 21 ⋅ 22 ⎠

325 462

8. (1) ให Sn แทนผลบวกของอนุกรมนี้ Sn = 1 + 2⋅2 + 3⋅22 + 4⋅23 + ... + n⋅2n–1

---------- (1)

(1) × 1 , 2Sn =

1⋅2 + 2⋅22 + 3⋅23 + ... + (n – 1)⋅2n–1 + n⋅2n

(1) – (2), –Sn =

1 + (2 – 1)2 + (3 – 2)22 + (4 – 3)23 + … + (n – n + 1)2n-1 – n⋅2n

---------- (2)

57 =

1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2n–1 – n⋅2n

–Sn

1(1 − 2n ) − n ⋅ 2n 1− 2

–Sn Sn จะได S10

= = = = =

–1(1 – 2n) – n⋅2n (1 – 2n) + n⋅2n (1 – 210) + 10⋅210 –1023 + 10240 9217

(2) ให Sn แทนผลบวกของอนุกรมนี้ Sn

(1) × (2),

1 Sn = 5 4 Sn = 5

(1) – (2),

= 4 Sn 5

4 Sn 5

= S10 =

จะได 9. (1)

2n + 1 n ( n + 1) 2

ให Sn

1 1 1 1 ---------- (1) 1 ⋅ + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3 + ... + n ⋅ n 5 5 5 5 1 1 1 1 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + ... + (n − 1) ⋅ n + n ⋅ n +1 ---------- (2) 5 5 5 5 1 1 1 1 1 + (2 − 1) ⋅ 2 + (3 − 2) ⋅ 3 + ... + (n − (n − 1)) ⋅ n − n ⋅ n +1 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 + + + ... + n − n ⋅ n +1 5 52 53 5 5 n 1⎛ ⎛1⎞ ⎞ ⎜1 − ⎜ ⎟ ⎟ 5 ⎜⎝ ⎝ 5 ⎠ ⎟⎠ 1 − n ⋅ n +1 1 5 1− 5 1 1 1 (1 − n ) − n ⋅ n +1 4 5 5 5 1 1 (1 − n ) − n ⋅ 16 5 4 ⋅ 5n 5 1 1 (1 − 10 ) − 16 5 2 ⋅ 59

1 1 − 2 2 n ( n + 1)

3 5 7 2n + 1 + + + ... + 2 2 1 ⋅ 4 4 ⋅ 9 9 ⋅ 16 n ( n + 1)

⎛ 1 1 ⎞ ⎛1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ − + − + + − ... ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ n 2 ( n + 1)2 ⎟ ⎝1 4 ⎠ ⎝ 4 9 ⎠ ⎝ ⎠

1−

n 2 + 2n

( n + 1)

ผลบวก n พจนแรก เปน

n 2 + 2n

( n + 1)

58 2 −1 + 1⋅ 2 1 ⎞ ⎛ 1 ⎛ − ⎜1 − ⎟+⎜ 2⎠ ⎝ 2 ⎝ 1 1− n +1

(2) ให Sn = =

ผลบวก n พจนแรก เปน ∞

10. (1) เนื่องจาก ∑ e

−(n −1)

n =1

n +1

∞

⎛1⎞ ∑ ⎜⎝ e ⎟⎠ n =1

n −1

⎠

1 e

1 1− n lim e n →∞ 1 1− e

n →∞

1 1 1 1+ + + ... + 2 n e e e −1 1 ⎞ ⎛ 1⎜1 − n ⎟ e 1−

lim Sn

n +1 − n n n +1 1 1 ⎞ − ⎟ n n +1 ⎠

⎝

1−

3− 2 2− 3 + + ... + 2⋅ 3 3⋅2 1 ⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ − ⎟ + ... + ⎜ ⎟+⎜ 3⎠ ⎝ 3 2⎠ ⎝

e −1

e e −1

ดังนั้น อนุกรมนี้เปนอนุกรมลูเขา และมีผลบวกเทากับ (2) ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ 1, –1, 3, –5, 11, ... อนุกรมนี้เปนอนุกรมลูออก (3) Sn =

+ ... +

100 1002 1003 100n 9 ⎛ 1 ⎞ ⎜1 − n⎟ ⎠ = 1 ⎛1 − 1 ⎞ = 100 ⎝ 100 ⎜ ⎟ 1 11 ⎝ 100n ⎠ 1− 100 1⎛ 1 ⎞ 1 = lim Sn = lim ⎜ 1 − ⎟ n n →∞ 11 n →∞ 11 ⎝ 100 ⎠ 1

ดังนั้น อนุกรมนี้เปนอนุกรมลูเขา และมีผลบวกเทากับ (4) ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ เนื่องจาก

lim

n →∞

5n n +1

5 2

10 15 3

20 5

= 5

ดังนั้น อนุกรมนี้เปนอนุกรมลูเขา และมีผลบวกเทากับ 5

25 6

, ...,

5n n +1

, ...

59 (5)

∞ 2n + 1 ∑ n =1 n 2 (n + 1) 2

Sn = = lim Sn n →∞

⎞ ∞ ⎛ 1 1 − ∑ ⎜ ⎟ n =1⎜⎝ n 2 (n + 1) 2 ⎟⎠

⎛ 1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎛ 1 − + − + − + ... + − ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ n 2 (n + 1) 2 ⎟⎟ ⎝ 22 ⎠ ⎝ 22 32 ⎠ ⎝ 32 42 ⎠ ⎝ ⎠ 1−

1 (n + 1) 2

⎛ ⎞ 1 lim ⎜1 − 2 ⎟⎟ n →∞ ⎜ ⎝ (n + 1) ⎠

= 1

ดังนั้น อนุกรมนี้เปนอนุกรมลูเขา และมีผลบวกเทากับ 1 (6) Sn = = lim Sn n →∞

1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ ⎛ 1 − − − ⎜1 − ⎟+⎜ ⎟ ⎟+⎜ ⎟ + ... + ⎜ 2⎠ ⎝ 2 3⎠ ⎝ 3 4⎠ n +1 ⎠ ⎝ ⎝ n 1−

n +1

1 ⎞ ⎛ lim ⎜1 − ⎟ n →∞ n +1 ⎠ ⎝

= 1

ดังนั้น อนุกรมนี้เปนอนุกรมลูเขา และมีผลบวกเทากับ 1 (7) อนุกรมที่กําหนดใหเปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี a1 = เนื่องจาก | r | < 1 อนุกรมนี้จึงเปนอนุกรมลูเขา

16 5

และ r =

4 5

และมีผลบวกเทากับ

(8)

∞ 1 ∑ 2 n =1 4n − 1

Sn = = lim Sn

n →∞

a1 1− r

5 1−

= 16

1 ∞ 2 ∑ 2 n =1 (2n + 1)(2n − 1) ∞ = 1 ∑ ⎛⎜ 1 − 1 ⎞⎟ 2 n =1⎝ 2n − 1 2n + 1 ⎠ 1 ⎛⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎞⎞ ⎛ 1 − ⎜1 − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ... + ⎜ ⎟⎟ ⎜ 2 ⎝⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 5 ⎠ ⎝ 5 7 ⎠ ⎝ 2n − 1 2n + 1 ⎠ ⎠ 1⎛ 1 ⎞ ⎜1 − ⎟ 2 ⎝ 2n + 1 ⎠ 1⎛ 1 ⎞ 1 1− = lim = ⎜ ⎟ n →∞ 2 2 ⎝ 2n + 1 ⎠ 1

ดังนั้น อนุกรมนี้เปนอนุกรมลูเขา และมีผลบวกเทากับ

60 11. ใหอนุกรมนี้คอื a1 + a2 + a3 + ... + an + ... โดยที่ an = 2n – 5 15

จะได ผลบวกของ 15 พจนแรกของอนุกรมนี้ คือ ∑ a n = n =1

= =

15 ∑ (2n − 5) n =1 15 15 2 ∑ n– ∑ 5 n =1 n =1 ⎛ 15(16) ⎞ 2⎜ ⎟ –15(5) ⎝ 2 ⎠

= 240 – 75 = 165 12. (1) ลําดับของจํานวนเต็มระหวาง 9 กับ 199 ที่ 8 หารลงตัวคือ 16, 24, 32, ..., 192 เพราะวา an = a1 + (n – 1)8 จะได 192 = 16 + (n – 1)8 n

⎛ 192 − 16 ⎞ ⎜ ⎟ +1 8 ⎝ ⎠

จาก

จะได

S23

n (a1 + a n ) 2 23 (16 + 192) 2

= 2392 ดังนัน้ ผลบวกของจํานวนเต็มที่อยูระหวาง 9 กับ 199 ที่ 8 หารลงตัวเทากับ 2392 (2) ลําดับของจํานวนเต็มระหวาง 9 กับ 199 คือ 10, 11, 12, ..., 198 ซึ่งมี 189 จํานวน จะได

S189

189 (10 + 198) 2

= 19656 ผลบวกของจํานวนเต็มทีอ่ ยูระหวาง 9 กับ 199 เปน 19656 จะไดผลบวกของจํานวนเต็มที่อยูระหวาง 9 กับ 199 ที่ 8 หารไมลงตัวเปน 19656 – 2392 = 17264 13. (1) e (2) π (3) ln 2

102 จาก f ( x ) = x 2 + 4x ให A เปนพืน้ ที่ปดลอมดวยกราฟของ −4

∫ f (x ) dx −

A =

−5

–4

∫ f (x ) dx +

−4

3 x + 2x 2 ) – ( ( x + 2x 2 ) 3 –5 3 7 32 7 + + 3 3 3 46 ตารางหนวย 3

(

กับแกน X จาก x = –5 ถึง x = 1

y = x 2 + 4x

∫ f (x ) dx 0 0 x )+(

–4

+ 2x 2 )

1 0

เฉลยแบบฝกหัด 2.1 ก 1. (1)

x −2 x →4 x − 4 lim

x f(x) (2)

lim

3.9 0.25158 x−2

x →2 x 2 + x − 6

x f(x) (3)

x f(x) (4)

ex − 1 x →0 x lim

x f(x)

= 1

–0.1 0.95163

3.999 0.25002 1 5

= 0.2 หรือ 1.99 0.20040

= 0.33 หรือ

0.9 0.36900

ดังตาราง

3.99 0.25016

1.9 0.20408

x −1 lim 3 x →1 x − 1

1 4

= 0.25 หรือ

1 3

x f(x)

4.001 0.24998

4.01 0.24984

4.1 0.24846

ดังตาราง 1.999 0.20004

x f(x)

2.001 2.01 2.1 0.19996 0.19960 0.19608

ดังตาราง

0.99 0.33669

0.999 0.33367

x f(x)

1.001 0.33300

1.01 0.33002

1.1 0.30211

ดังตาราง –0.01 0.99502

–0.001 0.99950

x f(x)

0.001 1.00050

0.01 1.00502

0.1 1.05171

103 (5)

sin x x →0 x lim

x f(x) x f(x) (6)

lim x ln x

x →0 +

x f(x) 2. (1) (2)

0.5

0.1

0.05

0.01

0.84147

0.95885

0.99833

0.99958

0.99998

–1

–0.5

–0.1

–0.05

–0.01

0.84147

0.95885

0.99833

0.99958

0.99998

0.001 –0.00691

0.0001 –0.00092

0.00001 –0.00012

= 0 ดังตาราง

lim f (x)

= 2

lim f (x)

= 3

x →1− x →1+

ดังนั้น (4) เนื่องจาก ดังนั้น (5) f(5) 3. (1) เนื่องจาก ดังนั้น

(3)

ดังตาราง

0.1 –0.23026

(3) เนื่องจาก

(2)

0.01 –0.04605

lim f (x) ≠ lim f (x) x →1+

x →1−

lim f (x)

x →1

lim f (x)

= 4

x →5−

x →5

lim f (x)

= 3

x →0−

x →0

lim f (x)

x →3+

lim f (x)

x →5+

= 4

ไมนิยาม

lim f (x)

x →3−

หาคาไมได

lim f (x)

x →0+

= 3

104 (4) เนื่องจาก ดังนั้น

lim f (x) ≠ lim f (x)

x →3−

x →3+

lim f (x)

x →3

หาคาไมได

(5) f(3) = 3 4. (1) (2)

lim g ( t )

= –1

lim g( t )

= –2

t →0−

t →0+

(3) เนื่องจาก ดังนั้น (4) (5)

lim g ( t ) ≠ lim g(t)

lim g( t ) หาคาไมได

t→0

lim g(t) t →2−

= 2

lim g( t )

= 0

t →2+

t →0+

t →0−

(6) เนื่องจาก

lim g(t) ≠ lim g ( t )

t →2−

t →2 +

lim g ( t ) หาคาไมได

ดังนั้น

t→2

(7) g(2) = 1 (8) เนื่องจาก ดังนั้น 5. (1) (2)

lim g(t)

t →4−

lim g(t)

t →4

lim f (x)

–1

lim f ( x )

x →1−

x →1+

(3) เนื่องจาก ดังนั้น

lim f ( x )

x →1+

lim f ( x ) หาคาไมได

x→1

= 3

lim f (x) ≠

x →1−

lim g(t)

t →4+

105 6. (1) (2)

lim f (x) x →2−

lim f (x)

–2

x →2+

(3) เนื่องจาก ดังนั้น (4) (5)

lim f (x)

x →2

lim f ( x )

= 0

lim f ( x )

= 0

x →−2−

x →−2+

(6) เนื่องจาก ดังนั้น 7. (1)

lim f (x) ≠ lim+ x →2− x →2

หาคาไมได

lim f ( x )

x →−2−

x →−2

f(x)

lim f ( x )

x →−2+

lim (1 + x)

x →4−

เขียนกราฟของฟงกชัน f(x) = 1 + x ไดดังนี้ Y

y = 1+ x 4 2 -2

-2 จากกราฟ จะไดวา lim f (x)

x →4−

106 (2)

lim f (x)

x →2

เมื่อ

f(x)

x + 1, x ≤ 2 2, x>2

เขียนกราฟของฟงกชัน f(x) ไดดังนี้ 6

f(x)

2 0

-2

-2 จากกราฟ จะไดวา ดังนั้น

lim f (x) x →2−

= 3

lim f (x)

หาคาไมได

x →2

lim f (x)

x →2+

เฉลยแบบฝกหัด 2.1 ข 1. (1)

lim (3x 2 + 7x − 12)

x →0

= =

ดังนั้น (2)

lim (3x 2 + 7x − 12)

x →0

lim (x 5 − 2x)

x →−1

= = = = = =

lim 3x 2 + lim 7x − lim 12

x →0

3 lim x + 7 lim x − lim 12 2

x →0

3(0) + 7(0) – 12 –12 –12 lim x 5 − lim 2x

x →−1

lim x − 2 lim x 5

x →−1 5

(–1) – 2(–1)

x →−1

x →0

107

ดังนั้น (3)

lim (x 5 )(x − 2)

x →5

ดังนั้น (4)

lim (x + 3)(x 2 + 2)

x →−1

⎡ x +1 ⎤ lim x →3 ⎢⎣ 2x − 5 ⎥⎦

ดังนั้น (6)

lim (x 5 )(x − 2)

x →5

x →−1

ดังนั้น (5)

lim (x 5 − 2x)

x →−1

⎡ x +1 ⎤ lim ⎢ x →3 ⎣ 2x − 5 ⎥⎦

⎡ x 2 − 25 ⎤ lim ⎢ x →−5 ⎣ x + 5 ⎥⎦

= = = = = = = = = = = = =

(7)

⎡ x 2 − 25 ⎤ lim ⎢ x →−5 ⎣ x + 5 ⎥⎦

⎡ x +1 ⎤ lim ⎢ 2 x →1 ⎣ x − x − 2 ⎦⎥

lim x 5 ⋅ lim (x − 2)

x →5

(5 )(5 – 2) 9,375 9,375 lim (x + 3) ⋅ lim (x 2 + 2)

x →−1

(–1 + 3)((–1) + 2) (2)(3) 6 6 lim ( x + 1)

x →3

lim (2 x − 5)

x →3

3 +1 2(3) − 5

⎡ ( x − 5)( x + 5) ⎤ lim ⎢ x →−5 ⎣ ( x + 5) ⎥⎦

ดังนั้น

–1 + 2 1 1

lim (x − 5)

x →−5

= =

–5 – 5 –10

–10

x →1 lim (x 2 x →1

lim (x + 1)

− x − 2)

108

ดังนั้น (8)

lim

⎡

x →1 ⎢⎣ x 2

x +1

⎤ − x − 2 ⎦⎥

⎡ x2 − x − 2 ⎤ lim ⎢ ⎥ x →1 ⎢ x 2 + 4x + 3 ⎥ ⎣ ⎦

1+1 1 −1 − 2

2 (−2)

–1

ดังนั้น (9)

⎡1 − x ⎤ lim ⎢ ⎥ x →1 1 − x ⎣ ⎦

12 + 4(1) + 3

2 8

−1 4

⎡ 1− x ⎤ lim ⎢ ⎥ x →1 1 − ( x ) 2 ⎣ ⎦

⎡ ⎤ 1− x lim ⎢ ⎥ x →1 (1 − x )(1 + x ) ⎣ ⎦

(10)

12 − 1 − 2

−

x⎤ ⎥ ⎣ 1− x ⎦

lim (x 2 + 4x + 3)

⎡

lim (x 2 − x − 2)

x →1

⎡ x2 − x − 2 ⎤ lim x →1 ⎢ x 2 + 4x + 3 ⎥ ⎣ ⎦

⎡ 1 ⎤ lim ⎢ x →1⎣1 + x ⎥⎦ 1 1+ 1 1 2

1− ดังนั้น xlim ⎢ →1

1 2

⎡3 − x ⎤ lim ⎢ ⎥ x →9 9 − x ⎣ ⎦

⎡ 3− x ⎤ lim ⎢ ⎥ x →9 9 − ( x ) 2 ⎣ ⎦

⎡ ⎤ 3− x lim ⎢ ⎥ x →9 (3 − x )(3 + x ) ⎣ ⎦

⎡ 1 ⎤ lim ⎢ x →9 ⎣ 3 + x ⎥⎦

109 = = ดังนั้น (11)

⎡3 − x ⎤ lim ⎢ ⎥ x →9 9 − x ⎣ ⎦

⎡2− x +3 ⎤ lim ⎢ ⎥ x →1 ⎣ x −1 ⎦

1 6

⎡2 − x + 3 ⎤ ⎡2 + x + 3 ⎤ lim ⎢ ⎥⋅⎢ ⎥ x →1 ⎣ x −1 ⎦ ⎣2 + x + 3 ⎦

⎡ ⎤ 4 − ( x + 3) lim ⎢ ⎥ x →1 ( x − 1)(2 + x + 3 ) ⎣ ⎦

= = = ⎡

−

lim 3 ( x 2 − 1) 2

( lim ( x 2 + 1)) 2

(−1) 2

x →0

ดังนั้น 2. (1)

⎡ ⎤ 1− x lim ⎢ ⎥ x →1 ( x − 1)(2 + x + 3 ) ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ −1 lim ⎢ x →1⎣ 2 + x + 3 ⎥⎦ −1 = −1 4 2 + 1+ 3

2− ดังนั้น xlim ⎢ →1 ⎣

(12)

x+3⎤ ⎥ x −1 ⎦

1 3+ 9 1 6

lim 3 ( x 2 − 1) 2

x →0

= = =

1 4 lim ( x 2 + 1) 2

x →0

1 1

x+4 x →−4− x + 4 lim

เนื่องจาก x < –4 และ x เขาใกล –4 ดังนั้น

lim

x →−4−

x+4 x+4

= = =

lim

x →−4−

−(x + 4) (x + 4)

lim (−1)

x →−4−

–1

110 (2)

2x 2 − 3x x→1.5 2x − 3 lim

จาก f(x) =

2x − 3x 2x − 3

⎡ 2x 2 − 3x ⎤ จะไดวา lim − ⎢ ⎥ x→1.5 ⎣⎢ 2x − 3 ⎦⎥

2x 2 − 3x 2x − 3

เมื่อ

x≥

3 2

2x 2 − 3x −(2x − 3)

เมื่อ

3 2

⎡ − x(2x − 3) ⎤ lim ⎢ ⎥ x→1.5− ⎣ (2x − 3) ⎦

= =

⎡ 2x 2 − 3x ⎤ lim + ⎢ ⎥ x→1.5 ⎢⎣ 12x − 31 ⎥⎦

lim (− x)

x→1.5−

–1.5

⎡ − x(2x − 3) ⎤ lim + ⎢ ⎥ x→1.5 ⎣ (2x − 3) ⎦

lim x

x→1.5+

= 2x 2 − 3x x→1.5 2x − 3

ดังนั้น (3)

1.5

หาคาไมได

lim

⎡1 1 ⎤ lim ⎢ − ⎥ x⎦ x→0+ ⎣ x

เนื่องจาก x > 0 และ x เขาใกล 0 ⎡1 1 ⎤ lim ⎢ − ⎥ x→0+ ⎣ x x ⎦

ดังนั้น

⎡1 1⎤ lim ⎢ − ⎥ x→0+ ⎣ x x ⎦

= =

lim 0

x→0+

= (4)

lim x + 4

x→−4

x+4

lim x + 4

จาก f(x) =

x+4

เมื่อ

x ≥ −4

−(x + 4)

เมื่อ

x < −4

จะไดวา x→−4−

= =

lim − (x + 4)

x→−4−

–(–4 + 4) 0

111 lim

x → −4 +

ดังนั้น (5)

lim x + 4

x→−4

lim x + 4

x→−4+

= = =

–4 + 4 0 0

= =

− ( x − 2) x → 2 − ( x − 2) lim (−1)

–1

= =

x−2 x →2+ x − 2 lim 1

x−2 x →2 x − 2 lim

ดังนั้น

lim

x →2−

lim

x−2 x−2

x →−2+

ดังนั้น (6)

x+4

x−2 x−2

x−2 x →2 x − 2 lim

lim

x →2−

lim

x →2+

หาคาไมได

⎡1 1 ⎤ lim− ⎢ − ⎥ x →0 x x⎦ ⎣

เนื่องจาก x < 0 และ x เขาใกล 0 ดังนั้น

⎡1 1 ⎤ lim ⎢ − ⎥ x⎦ x →0− ⎣ x

⎡ 1 ⎛ 1 ⎞⎤ lim ⎢ − ⎜ − ⎟ ⎥ x →0− ⎣ x ⎝ x ⎠ ⎦ ⎡1 1⎤ lim ⎢ + ⎥ x →0− ⎣ x x ⎦ 2 lim x →0− x

= = =

ดังนั้น 3. (1)

⎡1 1 ⎤ lim ⎢ − ⎥ x⎦ x →0− ⎣ x

หาคาไมได

lim f (x)

x →2−

เนื่องจาก x < 2 ดังนั้น lim− f (x) x →2

= =

lim (x − 1)

x →2−

2–1

112 (2)

lim f (x)

x →2+

เนื่องจาก x > 2 ดังนั้น lim+ f (x)

x →2

lim (x 2 − 4x + 6)

x →2+

(2)2 – 4(2) + 6 2

= = (3) เนื่องจาก

lim f (x) ≠

ดังนั้น 4. (1)

lim f (x)

x →2−

x →2+

หาคาไมได

lim f ( x )

x →2

lim f (x)

x →0+

เนื่องจาก x > 0 และ x เขาใกล 0 ดังนั้น lim f (x) = lim x 2 + + x →0

x →0

02 0

= = (2)

lim f (x)

x →0−

(3) เนื่องจาก ดังนั้น (4)

lim f (x)

x →0+

lim f (x)

x →0−

lim f ( x ) = 0

lim f (x) x →2−

lim f (x)

x →2+

= = =

(6)

x →0

= = (5)

lim x

x →0−

lim x x →2−

22 4

lim 8 − x

x →2+

8–2 6

lim f (x)

x →2

เนื่องจาก ดังนั้น

lim f (x) ≠ lim+ f (x) x →2− x →2 lim f (x)

x →2

หาคาไมได

= 0

113

เฉลยแบบฝกหัด 2.2 1. (1) f(x) = 3x – 1 ที่ x=0 จะได f(0) = 3(0) – 1 = –1 lim f (x) = lim (3x − 1) = 3(0) – 1 = –1 และ x →0 x →0 นั่นคือ

= f(0)

lim f (x)

x →0

ดังนั้น ฟงกชนั f เปนฟงกชันตอเนื่องที่ x = 0 (2) f(x) =

x−4 x 2 − 16

ที่ x = 4

เนื่องจาก f(4) ไมนยิ าม ดังนั้น ฟงกชนั f เปนฟงกชันไมตอเนื่องที่ x = 4 (3) f(x) =

x2 −1 x3 −1

ที่ x = 1

เนื่องจาก f(1) ไมนยิ าม ดังนั้น ฟงกชนั f เปนฟงกชันไมตอเนื่องที่ x = 1 (4) f(x) = จะได

ที่ x = 0

f(x) =

เมื่อ x ≥ 0

–x

เมื่อ x < 0

จาก f(x) = x ดังนั้น f(0) = 0 ------------ (1) f (x) = lim+ f (x) = 0 เนื่องจาก xlim →0− x →0

ดังนั้น

lim f (x)

x →0

จาก (1) และ (2) จะไดวา

= 0 lim f (x)

x →0

------------ (2) = f(0)

ดังนั้น ฟงกชัน f เปนฟงกชันตอเนื่องที่ x = 0 (5) f(x) =

x +1 x +1

ที่ x = –1

เนื่องจาก f(–1) ไมนยิ าม ดังนั้น ฟงกชนั f ไมตอเนือ่ งที่ x = –1

114

2. (1) f(x) =

7x – 2

เมื่อ x ≤ 1

kx2

เมื่อ x > 1

พิจารณาที่จดุ x = 1 จะได f(1) = 7(1) – 2 = 5 = และ xlim f (x) →1−

= k(1)2 = k เนื่องจาก ฟงกชันนี้จะตอเนื่อง เมื่อ xlim f (x) = →1−

x →1+

lim+ f (x)

x →1

ดังนั้น

(2) f(x) =

7(1) – 2 lim+ kx 2

x →1

kx2

เมื่อ x ≤ 2

2x + k

เมื่อ x > 2

พิจารณาที่จดุ x = 2 จะได f(2) = f (x) และ xlim →2− lim f (x)

x →2+

= =

lim (7x − 2) x →1−

k(22) = 4k = lim kx 2 x →2− = =

4k lim (2x + k)

x →2+

= 4+k เนื่องจาก f เปนฟงกชันตอเนื่อง จะได 4k = 4+k 3k = 4 4 ดังนั้น k = 3

lim f (x)

= f(1)

115

เฉลยแบบฝกหัด 2.3 1. (1) y = x2 – 3x ที่จุด (3, 0) f (3 + h) − f (3) h →0 h 2 (3 + h) − 3(3 + h) − 0 lim h →0 h 9 + 6h + h 2 − 9 − 3h lim h →0 h 2 h + 3h lim h →0 h h(h + 3) lim h →0 h

ความชันของเสนโคงที่จุด (3, 0) เทากับ = = = =

lim

= 3 ดังนั้น ความชันของเสนโคงที่จุด (3, 0) เทากับ 3 สมการของเสนสัมผัสเสนโคงที่จุด (3, 0) คือ y–0 = 3(x – 3) y = 3x – 9 3x – y – 9 = 0 ดังนั้น สมการของเสนสัมผัสเสนโคงที่จุด (3, 0) คือ 3x – y – 9 = 0 (2) y = 5x2 – 6 ที่จุด (2, 14) f (2 + h) − f (2) h →0 h 2 5(2 + h) − 6 − 14 lim h →0 h 5(4 + 4h + h 2 ) − 20 lim h →0 h

ความชันของเสนโคงที่จุด (2, 14) เทากับ = = = =

lim

20 + 20h + 5h 2 − 20 h h →0 h (5h + 20) lim h h →0 lim

= 20 ดังนั้น ความชันของเสนโคงที่จุด (2, 14) เทากับ 20 สมการของเสนสัมผัสเสนโคงที่จุด (2, 14) คือ y – 14 = 20(x – 2) y – 14 = 20x – 40

116 20x – y – 26 = 0 ดังนั้น สมการของเสนสัมผัสเสนโคงที่จุด (2, 14) คือ 20x – y – 26 = 0 (3) y = x – x2 ที่จุดซึ่ง x = 1 2

1 2

1 1 1 − = 2 4 4 1 1 f ( + h) − f ( ) 2 2 ความชันของเสนโคงที่จุด ( 1 , 1 ) เทากับ hlim →0 h 2 4 1 1 1 ( + h) − ( + h) 2 − 2 4 lim 2 = h →0 h 1 1 1 ( + h) − ( + h + h 2 ) − 4 4 lim 2 = h →0 h 2 −h = lim h →0 h

เมื่อ x =

จะได y =

1 1 2 −( ) 2 2

ดังนั้น ความชันของเสนโคงที่จุด ( 1 , สมการของเสนสัมผัสเสนโคงที่จุด 1 4 –1 4

1 ) เทากับ 2 4 1 1 ( , ) คือ 2 4

1 0(x − ) 2

y–

= 0

ดังนั้น สมการของเสนสัมผัสเสนโคงที่จุดซึ่ง x = 1 คือ y – 2

(4) y =

x2 + 2 x

ที่จุดซึ่ง x = 1

เมื่อ x = 1

จะได y =

12 + 2 1

f (1 + h) − f (1) h →0 h 2 ⎡ (1 + h) + 2 ⎤ − 3⎥ ⎢ 1+ h lim ⎢ ⎥ h →0 h ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ (1 + h) 2 + 2 − 3(1 + h) lim h →0 h(1 + h)

ความชันของเสนโคงที่จุด (1, 3) เทากับ = =

= 3 lim

1 4

= 0

117 =

1 + 2h + h 2 + 2 − 3 − 3h h →0 h(1 + h)

h2 − h h →0 h(1 + h) h(h − 1) lim h →0 h(1 + h) h −1 lim h →0 1 + h

= =

lim

= –1 ดังนั้น ความชันของเสนโคงที่จุด (1, 3) เทากับ –1 สมการของเสนสัมผัสเสนโคงที่จุด (1, 3) คือ y – 3 = –1(x – 1) x + y–4 = 0 ดังนั้น สมการของเสนสัมผัสเสนโคงที่จุดซึ่ง x = 1 คือ x + y – 4 = 0 (5) y = 1 + 2x – 3x2 ที่จุด (1, 0) f (1 + h) − f (1) h →0 h 2 (1 + 2(1 + h) − 3(1 + h) ) − 0 lim h →0 h 1 + 2 + 2h − 3(1 + 2h + h 2 ) lim h →0 h

ความชันของเสนโคงที่จุด (1, 0) เทากับ = = = = =

lim

3 + 2h − 3 − 6h − 3h 2 lim h h →0 2 −4h − 3h lim h →0 h − h(3h + 4) lim h →0 h

= –4 ดังนั้น ความชันของเสนโคงที่จุด (1, 0) คือ – 4 สมการของเสนสัมผัสเสนโคงที่จุด (1, 0) คือ y – 0 = – 4(x – 1) 4x + y = 4 ดังนั้น สมการของเสนสัมผัสเสนโคงที่จุด (1, 0) คือ 4x + y – 4 = 0 (6) y =

6 x +1

ที่จุด (2, 2)

ความชันของเสนโคงที่จุด (2, 2) เทากับ

lim

h →0

f (2 + h) − f (2) h

118

ดังนั้น

6 −2 (2 + h ) + 1 lim = h h →0 6 − 2(h + 3) = lim h →0 h(h + 3) 6 − 2h − 6 = lim h →0 h(h + 3) −2 = lim h →0 h + 3 2 = − 3 ความชันของเสนโคงที่จุด (2, 2) คือ − 2 3

สมการของเสนสัมผัสเสนโคงที่จุด (2, 2) คือ y–2

2 − (x − 2) 3

3y – 6 = –2x + 4 2x + 3y – 10 = 0 ดังนั้น สมการของเสนสัมผัสเสนโคงที่จุด (2, 2) คือ 2x + 3y – 10 = 0 2. เนื่องจากเสนตรง y = ax มีความชันเทากับ a ถาเสนตรง y = ax ขนานกับเสนสัมผัสเสนโคง y = 3x2 + 8 แสดงวา เสนตรงกับเสนสัมผัสเสนโคงมีความชันเทากัน เนื่องจาก ความชันของเสนโคงที่จุด (1, 11) เทากับ = = = = =

3(1 + h) 2 + 8 − 11 h →0 h 3(1 + 2h + h 2 ) − 3 lim h →0 h 3 + 6h + 3h 2 − 3 lim h →0 h h(3h + 6) lim h →0 h lim (3h + 6) lim

h →0

= 6 ดังนั้น ความชันของเสนโคงที่จุด (1, 11) คือ 6 ดังนั้น a = 6

f (1 + h) − f (1) h →0 h lim

119

เฉลยแบบฝกหัด 2.4 1. (1) f(x) = f′(x) = = = =

3x2 f (x + h) − f (x) h 3(x + h) 2 − 3x 2 lim h →0 h 2 3x + 6xh + 3h 2 − 3x 2 lim h →0 h lim 6x + 3h lim h →0

h →0

= 6x ดังนั้น f′(x) = 6x (2) f(x) = f′(x) = = = =

x2 – x f (x + h) − f (x) h →0 h (x + h) 2 − (x + h) − (x 2 − x) lim h →0 h 2 2xh + h − h lim h →0 h lim 2x + h − 1 lim

h →0

= 2x – 1 ดังนั้น f′(x) = 2x – 1 (3) f(x) = x3 f′(x) = = = =

f (x + h) − f (x) h →0 h (x + h)3 − x 3 lim h →0 h 2 3x h + 3xh 2 + h 3 lim h →0 h 2 lim 3x + 3xh + h 2 lim

h →0

= 3x2 ดังนั้น f′(x) = 3x2 (4) f(x) = f′(x) =

2x3 + 1 f (x + h) − f (x) h →0 h

lim

120 = = =

2(x + h)3 + 1 − (2x 3 + 1) h →0 h 2 6x h + 6xh 2 + 2h 3 lim h →0 h 2 lim 6x + 6xh + 2h 2 lim

h →0

= 6x2 ดังนั้น f′(x) = 6x2 (5) f(x) = f′(x) = = = = = ดังนั้น f′(x) = (6) f(x) = f′(x) = = = = = ดังนั้น f′(x) = (7) f(x) = f′(x) =

1 x

f (x + h) − f (x) h 1 1 − (x + h) x lim h →0 h ⎞ 1⎛ h lim ⎜ − ⎟ h →0 h ⎝ x(x + h) ⎠ 1 lim − h →0 x(x + h) 1 − 2 x 1 − 2 x 1 x2 f (x + h) − f (x) lim h →0 h 1 1 − 2 2 (x + h) x lim h →0 h ⎞ 1⎛ 2xh + h 2 lim ⎜ − 4 ⎟ 3 2 2 h →0 h ⎝ x + 2x h + x h ⎠ 2x + h lim − 4 h →0 x + 2x 3 h + x 2 h 2 2 − 3 x 2 − 3 x lim h →0

lim h →0

f (x + h) − f (x) h

121 1 3

1 3

(x + h) − x h

lim

(x + h) 3 − x 3 (x + h) 3 + (x + h) 3 x 3 + x 3 lim ⋅ 2 1 1 2 h →0 h (x + h) 3 + (x + h) 3 x 3 + x 3 (x + h) − x lim 2 1 1 2 h →0 3 3 3 h[(x + h) + (x + h) x + x 3 ] 1 lim 2 1 1 2 h →0 3 3 3 (x + h) + (x + h) x + x 3 1

= = = ดังนั้น f′(x) =

h →0

3x 3 1 3x

2 3

2. สมการเสนสัมผัสเสนโคงที่จุด (2, 5) คือ y−5 f ′(2)( x − 2) = f ′(2)( x − 2) + 5 y = จากสมการเสนสัมผัสเสนโคงที่โจทยกําหนดให คือ 3x − y = 1 y = 3x – 1 f ′(2)( x − 2) + 5 = 3x − 1 ดังนั้น f ′(2)

3( x − 2) x−2

3. จุดสัมผัส คือ จุด (3, –1) ความชันของเสนโคง y = f(x) ที่จุด (3, –1) เทากับ f′(3) = 5 จะได สมการของเสนสัมผัสเสนโคง คือ y – (–1) = 5(x – 3) y+1 = 5x – 15 5x – y – 16 = 0 ดังนั้น สมการของเสนสัมผัสเสนโคง y = f(x) ที่จุด x = 3 คือ 5x – y – 16 = 0

122 4. ให f(r) = πr2 (1) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่วงกลมเทียบกับความยาวของรัศมี เมื่อความยาวของรัศมี เปลี่ยนจาก r เปน r + h คือ f (r + h) − f (r) h

= = =

1 π(r + h) 2 − πr 2 ) ( h 1 ⋅ π(2rh + h 2 ) h 2πr + πh ตารางเซนติเมตร / เซนติเมตร

(2) อัตราการเปลี่ยนแปลงของพืน้ ที่วงกลมเทียบกับความยาวของรัศมีขณะรัศมียาว r เซนติเมตร คือ f (r + h ) − f (r ) h h →0 lim

lim π(2r + h)

π lim 2r + h

2πr

h →0

ตารางเซนติเมตร / เซนติเมตร

5. ให f(x) แทนพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวของดานเทากับ x ดังนั้น f(x) = x2 (1) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเทียบกับความยาวของดาน ในชวงดานยาว x เซนติเมตร ถึงดานยาว x + h เซนติเมตร คือ

f (x + h) − f (x) h

= = =

(x + h) 2 − x 2 h 2xh + h 2 h

2x + h ตารางเซนติเมตร / เซนติเมตร

ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเทียบกับความยาวของดานในชวง x = 10 ถึง x = 12 เทากับ 2(10) + 2 = 22 ตารางเซนติเมตร / เซนติเมตร (2) อัตราการเปลี่ยนแปลงของพืน้ ที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเทียบกับความยาวของดาน ในขณะดานยาว x เซนติเมตร คือ

f (x + h) − f (x) h →0 h

lim

lim 2x + h h →0

= 2x ตารางเซนติเมตร / เซนติเมตร ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมเทียบกับความยาวของดาน ในขณะดานยาว 10 เซนติเมตร เทากับ 2(10) = 20 ตารางเซนติเมตร / เซนติเมตร

123 6. ให f(x) แทนพื้นที่รูปสามเหลี่ยมดานเทาที่มีความยาวของดานเทากับ x ดังนั้น

f(x) =

3 2 x 4

(1) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมดานเทาเทียบกับความยาวของดานใน ชวงดานยาว x เซนติเมตร คือ x + h เซนติเมตร คือ f (x + h) − f (x) h

1 3 3 2 ( (x + h) 2 − x ) h 4 4 1 3 ( (2xh + h 2 )) h 4 3 (2x + h) ตารางเซนติเมตร / เซนติเมตร 4

= = =

ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมดานเทาเทียบกับความยาวของดาน ในชวง x = 10 ถึง x = 9 เทากับ = =

3 (2(10) + (−1)) 4 3 (20 − 1) 4 19 3 ตารางเซนติเมตร / เซนติเมตร 4

(2) อัตราการเปลี่ยนแปลงของพืน้ ที่รูปสามเหลี่ยมดานเทาเทียบกับความยาวของดานในขณะ ดานยาว x เซนติเมตร คือ f (x + h) − f (x) h →0 h

lim

= =

lim h →0

3 (2x + h) 4

3 x 2

ตารางเซนติเมตร / เซนติเมตร

ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมดานเทาเทียบกับความยาวของดาน ในขณะดานยาว 10 เซนติเมตร เทากับ = 7. ให N = f(t) =

3 (10) 2 5 3 ตารางเซนติเมตร / เซนติเมตร

8 t +1

อัตราการเปลี่ยนแปลงในขณะเวลา t ใด ๆ คือ lim h →0

f (t + h) − f (t) h

= = =

8 8 − (t + h) + 1 t + 1 lim h →0 h ⎤ − 8h 1⎡ lim ⎢ ⎥ h → 0 h ⎣ t 2 + 2 t + ht + h + 1⎦

−

8 t + 2t + 1 2

124 ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงในขณะเวลา t = 3 เทากับ = 8. จากสมการ PV = 6000 จะได

P =

8 3 + 2(3) + 1 1 กรัม / นาที − 2

−

เมื่อ P เปนความดัน V เปนปริมาตร

6000 V

อัตราการเปลี่ยนแปลงของ P ขณะมีปริมาตร V ใด ๆ คือ f (V + h) − f (V) lim h →0 h

= = =

6000 6000 − V lim V + h h →0 h 1 −6000h lim [ ] h →0 h V(V + h) 6000 − 2 V

ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของ P ในขณะ V = 100 เทากับ =

−6000 1002

–0.6 กรัม / ตารางเซนติเมตร / ลูกบาศกเซนติเมตร

9. ให y = f(x) = 2x2 – 3 อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในชวง x ถึง x + h คือ f (x + h) − f (x) h

= =

2(x + h) 2 − 3 − (2x 2 − 3) h 2 4xh + 2h = 4x + 2h h

(1) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในชวง x = 2 ถึง x = 2.2 เทากับ 4(2) + 2(0.2) = 8.4 (2) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในชวง x = 2 ถึง x = 2.1 เทากับ 4(2) + 2(0.1) = 8.2 (3) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในชวง x = 2 ถึง x = 2.01 เทากับ 4(2) + 2(0.01) = 8.02 (4) อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ในขณะ x ใด ๆ lim

h →0

f (x + h) − f (x) h

lim 4x + 2h

h →0

= 4x ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ในขณะ x = 2 เทากับ 4(2) = 8

125 1 x

10. ให y = f(x) =

อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในชวง x ถึง x + h คือ f (x + h) − f (x) h

1⎡ 1 1⎤ − ⎥ ⎢ h ⎣ (x + h) x ⎦

1 ⎡ x − (x + h) ⎤ h ⎢⎣ x(x + h) ⎥⎦ 1 − 2 x + xh

(1) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในชวง x = 4 ถึง x = 5 เทากับ 1 − 2 4 + 4(1)

−

1 20

(2) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในชวง x = 4 ถึง x = 4.1 เทากับ 1 − 2 4 + 4(0.1)

−

5 82

(3) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในชวง x = 4 ถึง x = 4.01 เทากับ 1 − 2 4 + 4(0.01)

−

25 401

(4) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในขณะ x ใด ๆ คือ f (x + h) − f (x) h →0 h lim

= =

1 lim − 2 h →0 x + xh 1 − 2 x

ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ในขณะ x = 4 เทากับ 11. ปริมาตรของกรวยกลมตรง =

−

1 16

1 2 πx y 3

เมื่อ x เปนรัศมีของฐานของกรวยกลมตรง y เปนความสูงของกรวยกลมตรง (1) อัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรของกรวยกลมตรงเทียบกับรัศมีของฐาน (x) เมื่อสวนสูง (y) คงตัว คือ f (x + h) − f (x) lim h →0 h

= = = =

1 1 π(x + h)2 y − πx 2 y 3 lim − 3 h →0 h πy lim (2xh + h 2 ) h →0 3h πy lim (2x + h) h →0 3 2 πxy หนวยปริมาตร / หนวยความยาว 3

126 (2) อัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรของกรวยกลมตรงเทียบกับสวนสูง (y) เมื่อรัศมีของฐานคงตัว (x) คือ f (y + h) − f (y) h →0 h lim

1 2 1 πx (y + h) − πx 2 y 3 lim 3 h →0 h 2 πx ⋅h lim h →0 3h πx 2 lim h →0 3 πx 2 หนวยปริมาตร / หนวยความยาว 3

= = = =

12. จากสมการ r =

k s2

เมื่อ k > 0 เปนคาคงตัว

อัตราการเปลี่ยนแปลงของ r เทียบกับ s ในขณะ s ใด ๆ คือ lim

h →0

f (s + h) − f (s) h

k k − 2 2 (s + h) s lim h →0 h 2 1 ⎡ ks − k(s + h)2 ⎤ lim ⎢ 2 ⎥ h →0 h ⎢ s (s + h) 2 ⎥ ⎣ ⎦ 2 1 ⎡ −2skh − kh ⎤ lim ⎢ 4 ⎥ h →0 h ⎢ s + 2s3h + s 2 h 2 ⎥ ⎣ ⎦ −2sk − kh lim h →0 s 4 + 2s3h + s 2 h 2

= = =

เฉลยแบบฝกหัด 2.5 1. (1)

dy dx

(2)

dy dx

3x 2 +

(3)

dy dx

3x2 – 3

(4)

dy dx

–10x + 1 +

(5)

ds dt

20t4 – 6t + 1

1 3

1 x

1 2 x3

2k − 3 s

127 (6)

ds dt

12t2 + 18t + 1

(7)

dy dx

3x2 + 6x + 2

(8)

dy dx

–4x3 + 12x2 – 6x + 12

(9)

dy dx

3x2 + 1

(10)

dy dx

2 2x − 2 x

(11)

dy dx

−

(12)

dy dx

(13)

ds dt

1 12 + 2 t

(14)

dy dx

5 4 3x 2 − 2 + 3 x x

(15)

ds dt

55t 2 1 3 + 1+ 3 2 2t 2 2t 2

(16)

dy dx

6x + 3 –

(17)

dy dx

(18)

dy dx

2 15 12 − 2− 6− 7 x x x

(19)

dy dx

−

18x (3x 2 + 1)2 6

(1 − 3x) 2

(20)

dy dx

54 − 3 x x 2

−4x 2 − 2x − 20 (x 2 − 5)2

3 3 2x 2

+ 8x + 8x 2

14x 8 + 4x 7 − 14 x 6 − 2x 3 − 2x 2 + 2x ( x + 1) 2

128 2. (1) f(x)

2x 3 −

f′(x)

6x 2 +

1 x 1 3

2x 2

1 2

13 2

f′(1)

(2) f(x)

1 5 1 3 1 2 x − x + x − 4x + 5 5 3 2

f′(x) f′(1)

= =

x4 − x2 + x − 4

1–1+1–4

(3) f(x)

(2x2 – 3x + 1)(x – x2)

f′(x) = f′(–1) =

–8x3 + 15x2 – 8x + 1 8 + 15 + 8 + 1 =

f′(x)

f′(2)

3. (1) g(x)

xf (x)

g′(x)

x ⋅ f ′(x) + f (x) ⋅

g′(4)

(2) g(x)

g′(x)

g′(4)

2x − 1 x +1 3

(4) f(x)

–3

x 2 + 2x + 1 3 = 1 9 3

2 x 1 4 ⋅ f ′(4) + f (4) ⋅ 2 4 3 −10 + 4 37 − 4 f (x) x x ⋅ f ′(x) − f (x) x2 4 ⋅ f ′(4) − f (4)

−23 16

129 4. จาก จะได ดังนั้น 5. จาก จะได

x3 – 5x + 2

dy dx

3x2 – 5

–4x + 2x2 – 3x4

dy dx

–4 + 4x – 12x3

–x + x2

dy dx

–1 + 2x

ความชันของเสนสัมผัสโคงที่จุด (2, 0) เทากับ 3(2)2 – 5 = 7

นั่นคือ ความชันของเสนสัมผัสเสนโคงที่จุด (1, –5) เทากับ –4 + 4(1) – 12(1)3 = –12 ดังนั้น สมการของเสนตรงซึ่งสัมผัสเสนโคง ที่จุด (1, –5) คือ y – (–5) = –12(x – 1) y+5 = –12x + 12 12x + y – 7 = 0 6. จาก จะได

เนื่องจาก ความชันของเสนโคง ที่จุด (a, b) เทากับ 3 จะได 3 = –1 + 2a a = 2 จาก y = –x + x2 จะได ดังนั้น 7. จาก จะได

b = b = a = 2 และ

–2 + 22 2 b=2

t3 – 2t + 5

ds dt

3t2 – 2

นั่นคือ ความเร็วของวัตถุในขณะเวลา t ใด ๆ คือ 3t2 – 2 ดังนั้น ความเร็วของวัตถุในขณะเวลา t = 10 วินาที เทากับ 3(10)2 – 2 = 298 เมตร / วินาที 8. ถาเสนตรง y = mx + c ขนานกับเสนสัมผัสเสนโคง y = 3x2 – 5 ที่จดุ (1, –2) จะได m มีคาเทากับความชันของเสนสัมผัสเสนโคง y = 3x2 – 5 ที่จุด (1, –2) จาก

3x2 – 5

130 จะได

dy dx

นั่นคือ ความชันของเสนสัมผัสเสนโคงที่จุด (1, –2) เทากับ 6(1) = 6 ดังนั้น m=6 9. จาก จะได

dy dx

3x2

นั่นคือ ความชันของเสนสัมผัสเสนโคงที่จุด (1, 1) เทากับ 3(1)2 = 3 เนื่องจาก ความชันของเสนตรงที่ผานจุด (2, 3) เทากับ ความชันของเสนสัมผัสเสนโคงที่จุด (1, 1) ดังนั้น สมการเสนตรงที่ผานจุด (2, 3) คือ y–3 = 3(x – 2) y = 3x – 3 3x + y + 3 = 0 10. เนื่องจากเสนสัมผัสเสนโคงขนานกับแกน X ดังนั้น เสนสัมผัสเสนโคงมีความชันเทากับ 0 และ ความชันของเสนโคง y = x3 – 3x ที่จุดสัมผัสมีคาเทากับ 0 ดวย จะได

dy dx

4x3

3x2 – 3

จาก 3x2 – 3 = 0 จะได x = –1 หรือ x = 1 แทนคา x = –1 จะได y = 2 แทนคา x = 1 จะได y = –2 ดังนั้น จุด (–1, 2) และ (1, –2) อยูบนเสนโคง y = x3 – 3x ที่เสนสัมผัสเสนโคงที่จุดนี้ขนานกับ แกน X 11. จาก จะได

นั่นคือ ความชันของเสนโคง คือ 4x3 จะได เสนตรงที่มีความชันเทากับ ดังนั้น

4x3

จะได

1 2 1 2

1 2

และสัมผัสเสนโคงที่จุดสัมผัส

แทนคา x =

1 2

131 จะได

นั่นคือ

จุด ( 1 ,

1 ) 2 16

1 ( )4 2

1 16

อยูบนเสนโคงที่มีความชันเทากับ

1 2

ดังนั้น สมการเสนสัมผัสเสนโคงที่จุด ( 1 ,

1 ) คือ 2 16 1 1 (x − ) 2 2 1 1 x− 2 4

1 16 1 y− 16 x 3 −y− 2 16

8x – 16y – 3

y−

เฉลยแบบฝกหัด 2.6 1. (1) ให u จะได y โดยกฎลูกโซ จะได dy dx

= =

2x + 3 (2x + 3)5

dy du ⋅ du dx d 5 d (u ) ⋅ (2x + 3) du dx

ดังนั้น

dy dx

(2) ให u จะได y โดยกฎลูกโซ จะได dy dx

= =

(5u4)(2) 10u4

10(2x + 3)4

= =

1 – 3x (1 – 3x)3

dy du ⋅ du dx d 3 d (u ) ⋅ (1 − 3x) du dx 2 (3u )(−3)

= = = ดังนั้น

dy dx

−9u 2 −9(1 − 3x) 2

132 (3) ให u จะได y โดยกฎลูกโซ จะได dy dx

= =

3 – 4x2 (3 – 4x2)4

dy du ⋅ du dx d 4 d (u ) ⋅ (3 − 4x 2 ) du dx 3 (4u )(−8x)

ดังนั้น

dy dx

(4) ให u จะได y โดยกฎลูกโซ จะได dy dx

= =

–32xu3

−32x(3 − 4x 2 )3

= =

2 – 3x + 4x2 (2 – 3x + 4x2)3

dy du ⋅ du dx d 3 d (u ) ⋅ (2 − 3x + 4x 2 ) du dx 2 (3u )(−3 + 8x)

= = = ดังนั้น

dy dx

(5) ให u จะได y โดยกฎลูกโซ จะได dy dx

(6) ให

(24x − 9)u 2 (24x − 9)(2 − 3x + 4x 2 ) 2

= =

x3 – 2x (x3 – 2x)4

dy du ⋅ du dx d 4 d 3 (u ) ⋅ (x − 2x) du dx (4u 3 )(3x 2 − 2)

= =

(12x 2 − 8)u 3

dy dx

(12x 2 − 8)(x 3 − 2x)3

1 – 2x

จะได y โดยกฎลูกโซ จะได

ดังนั้น

1 − 2x

133 dy dx

= = = =

ดังนั้น (7) ให

dy dx

จะได y โดยกฎลูกโซ จะได dy dx

= =

(8) ให

dy dx

จะได y โดยกฎลูกโซ จะได dy dx

= = = = =

ดังนั้น

dy dx

3x2 + 2

ดังนั้น

dy du ⋅ du dx d 12 d (u ) ⋅ (1 − 2x) du dx 1 (−2) 1 2u 2 1 − u −1 1 − 2x

3x 2 + 2

dy du ⋅ du dx d 12 d (u ) ⋅ (3x 2 + 2) du dx 1 (6x) 1 2 2u 3x u 3x

3x 2 + 2

x2 – 3 3

x2 − 3

dy du ⋅ du dx d 13 d 2 (u ) ⋅ (x − 3) du dx 1 (2x) 2 3 3u 2x 3 3 u2 2x 3 3 (x 2 − 3) 2

134 (9) ให u จะได s โดยกฎลูกโซ จะได ds dt

= =

2t2 – 1

ds du ⋅ du dt d −3 d (u ) ⋅ (2t 2 − 1) du dt 3 − 4 (4t) u 12t − 4 u 12t − (2t 2 − 1)

= = = ดังนั้น (10) ให จะได

(2t 2 − 1) −3

u −3

ds dt

t2 – 3t + 2

1 (t − 3t + 2) 2

ds du ⋅ du dt d −2 d 2 (u ) ⋅ (t − 3t + 2) du dt 2 − 3 (2t − 3) u −4t + 6 u3 −4t + 6 2 (t − 3t + 2)3

u −2

โดยกฎลูกโซ จะได ds dt

= = = ดังนั้น (11) ให จะได

ds dt

x2 + 2x

โดยกฎลูกโซ จะได dy dx

= = = =

ดังนั้น

dy dx

x 2 + 2x

dy du ⋅ du dx d − 12 d 2 (u ) ⋅ (x + 2x) du dx 1 − 3 (2x + 2) 2u 2 −(x + 1) u3 −(x + 1) (x 2 + 2x)3

−

1 2

135 (12) ให จะได

x2 – 2x + 3 1 3

x 2 − 2x + 3

−

1 3

โดยกฎลูกโซ จะได dy dx

= = = =

ดังนั้น (13) ให พิจารณา

dy dx

dy = dx d (x − 3)3 dx

จะได s = โดยกฎลูกโซ จะได ds dx

= = = =

ดังนั้น นั่นคือ

ds dx d (x − 3)3 dx

dy du ⋅ du dx d − 13 d 2 (u ) ⋅ (x − 2x + 3) du dx 1 − 4 (2x − 2) 3u 3 2 − 2x 33 u4 2 − 2x

3 3 (x 2 − 2x + 3) 4

(x – 3)3(2x + 1) (x – 3)3(2) + (2x + 1) และ

d (x – 3)3 dx

u = x–3

u3 ds du ⋅ du dx d 3 d (u ) ⋅ (x − 3) du dx 2 (3u )(1)

3u2 =

3(x − 3) 2

แทนคา (2) ใน (1) จะได dy dx

----------- (1)

(x – 3)3(2) + (2x + 1)[3(x – 3)2]

= =

2(x – 3)3 + (6x + 3)(x – 3)2 8x3 – 51x2 + 90x – 27

----------- (2)

136 (14) ให

จะได

2x + 1 1 − 2x

⎛ 2x + 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 1 − 2x ⎠

dy du ⋅ du dx d 3 d 2x + 1 (u ) ⋅ ( ) du dx 1 − 2x (1 − 2x)(2) − (2x + 1)(−2) 3u 2 [ ] (1 − 2x) 2 ⎡ ⎤ 4 3u 2 ⎢ 2⎥ ⎣ (1 − 2x) ⎦

โดยกฎลูกโซ จะได dy dx

= = = = dy dx

ดังนั้น

(15)

y dy dx

2. ให จะได

12u 2 (1 − 2x) 2

⎛ 2x + 1 ⎞ 12 ⎜ ⎟ ⎝ 1 − 2x ⎠ (1 − 2x) 2

12(2x + 1) 2 1 ⋅ 2 (1 − 2x) (1 − 2x) 2

12(2x + 1) 2 (1 − 2x) 4

(2x + 3)3 (4x 2 − 1)8

d d (2x + 3)3 − (2x + 3)3 (4x 2 − 1)8 dx dx = (4x 2 − 1)16 d d (4x 2 − 1)8 (3)(2x + 3) 2 (2x + 3) − (2x + 3)3 (8)(4x 2 − 1)7 (4x 2 − 1) dx dx (4x 2 − 1)16 (4x 2 − 1)8

(4x 2 − 1)8 (3)(2x + 3) 2 (2) − (2x + 3)3 (8)(4x 2 − 1) 7 (8x) (4x 2 − 1)16

6(4x 2 − 1)(2x + 3) 2 − 64x(2x + 3)3 (4x 2 − 1)9

u = g( x ) และ y = F( x ) dy dy du = ⋅ dx du dx d = f ′(u ) ( 3x − 1) dx

= f (u )

137 = = = =

จาก ดังนั้น

⎛ 1 − u 2 ⎞⎛ ⎞ 3 ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ (u 2 + 1) 2 ⎟⎜⎝ 2 3x − 1 ⎟⎠ ⎠ ⎝ ⎛ 1 − (3x − 1) ⎞⎛ ⎞ 3 ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ((3x − 1) + 1) 2 ⎟⎝ 2 3x − 1 ⎟⎠ ⎠ ⎝ 2 − 3x 3 ⋅ 9 x 2 2 3x − 1 2 − 3x 6 x 2 3x − 1

F( x ) =

f (g( x ))

F′( x ) =

f ′(g( x )) ⋅ g ′( x )

F′(2) =

f ′(g(2)) ⋅ g ′(2)

นั่นคือ

F′(2)

f ′(4) ⋅ 5

= 9 ⋅ 5 = 45

เฉลยแบบฝกหัด 2.7 1. (1) จาก จะได ดังนั้น

f(x) = f′(x) = f′′(x) =

5x2 – 4x + 2 10x – 4 10

(2) จาก จะได ดังนั้น

f(x) = f′(x) = f′′(x) =

5 + 2x + 4x3 – 3x5 2 + 12x2 – 15x4 24x – 60x3

(3) จาก

f(x)

3x4 – 2x +

จะได

f′(x)

12x3 – 2 +

ดังนั้น

f′′(x) =

(4) จาก

f(x)

จะได

f′(x)

ดังนั้น

f′′(x) =

หรือ

f′′(x) =

36x2 – 3

x−

–5

2 x

1 4 x3 2 + 4x 2 x

1 − 23 x + 2x −2 + 8x 3 2 − 53 − x − 4x −3 + 8 9 −2 4 − 3 +8 9 3 x5 x

138 = = = f′′(x) =

(5x2 – 3)(7x3 + x) (5x2 – 3)(21x2 + 1) + (7x3 + x)(10x) 175x4 – 48x2 – 3 700x3 – 96x

f(x)

จะได

f′(x)

ดังนั้น

f′′(x) =

x +1 x 1 − 2 x 2 x3

(5) จาก จะได ดังนั้น (6) จาก

(7) จาก

f(x) f′(x)

f(x)

จะได

f′(x)

ดังนั้น

f′′(x) =

3x − 2 5x 2 25x 2 −4 25x 3

ดังนั้น

f(x) f′(x) f′′(x) f′′′(x)

= = = =

x–5 + x5 –5x–6 + 5x4 30x–7 + 20x3 –210x–8 + 60x2

หรือ

f′′′(x) =

−210 + 60x 2 8 x

f(x) f′(x) f′′(x) f′′′(x)

= = = =

5x2 – 4x + 7 10x – 4 10 0

ดังนั้น

f(x) f′(x) f′′(x) f′′′(x)

= = = =

3x–2 + 4x–1 + x –6x–3 – 4x–2 + 1 18x–4 + 8x–3 –72x–5 – 24x–4

หรือ

f′′′(x) =

2. (1) จาก จะได

(2) จาก จะได ดังนั้น (3) จาก จะได

−72 24 − x5 x 4

139 3. จาก จะได

ดังนั้น 4. จาก จะได

ดังนั้น

f(x) f′(x) f′′(x) f′′′(x) f′′′(2)

= = = = =

3x2 – 2 6x 6 0 0

dy dx d2 y dx 2 d3 y dx 3 d4 y dx 4

6 x4 −24 x5 120 x6 −720 x7 5, 040 x8

= = =

5. (1) จากวัตถุเคลื่อนที่ไดระยะทาง s = 16t2 เมตร ในเวลา t วินาที ดังนั้น ระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ไดหลังจากปลอยวัตถุไป 3 วินาที คือ s = 16(3)2 = 144 เมตร (2) จาก s = 16t2 ให v แทนความเร็วขณะเวลา t ใด ๆ จะได v =

ds dt

= 32t เมตร / วินาที

ดังนั้น ความเร็วขณะเวลา t ใด ๆ เทากับ 32t เมตร / วินาที นั่นคือ ความเร็วขณะเวลา t = 2 วินาที เทากับ 32(2) = 64 เมตร / วินาที (3) ให a แทนความเร็วขณะเวลา t ใด ๆ จาก (2) v = 32t เมตร / วินาที จะได

a =

dv dt

= 32 เมตร / วินาที

ดังนั้น ความเร็วขณะเวลา t ใด ๆ เทากับ 32 เมตร / วินาที2 (4) จาก (3) ความเร็วขณะเวลา t ใด ๆ เทากับ 32 เมตร / วินาที2 ดังนั้น ความเร็วขณะเวลา t = 5 วินาที เทากับ 32 เมตร / วินาที2

140 6. (1) ความเร็วเฉลี่ยในชวงวินาทีที่ t ถึงวินาทีที่ t + h คือ f (t + h) − f (t) h

= =

128(t + h) − 16(t + h) 2 − (128t − 16t 2 ) h 128h − 32th − 16h 2 h

= 128 – 32t – 16h ความเร็วเฉลี่ยในชวงวินาทีที่ 2 ถึงวินาทีที่ 3 เทากับ 128 – 32(2) – 16(1) = 48 เมตร / วินาที (2) จากวัตถุเคลื่อนที่ไดระยะทาง s = 128t – 16t2 เมตร ในเวลา t วินาที ดังนั้น ระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ไดหลังจากโยนวัตถุไปแลว 5 วินาที คือ s = 128(5) – 16(5)2 = 640 – 400 = 240 เมตร (3) จาก s = 128t – 16t2 ให v แทนความเรงขณะเวลา t ใด ๆ จะได v =

ds dt

= 128 – 32t เมตร / วินาที2

ดังนั้น ความเรงขณะเวลา t ใด ๆ เทากับ 128 – 32t เมตร / วินาที นั่นคือ ความเรงในการเคลื่อนที่ของวัตถุขณะวินาทีที่ 4 เทากับ 128 – 32(4) = 0 เมตร / วินาที (4) ให a แทนความเรงขณะเวลา t ใด ๆ จาก (3) v = 128 – 32t เมตร / วินาที จะได

a =

dv dt

= –32

เมตร / วินาที2

ดังนั้น ความเรงขณะเวลา t ใด ๆ เทากับ –32 เมตร / วินาที2 นั่นคือ ความเรงของวัตถุขณะเวลา t = 2 วินาที เทากับ –32 เมตร / วินาที2

เฉลยแบบฝกหัด 2.8 ก = 3 – 2x – x2 = –2 – 2x = –2(1 + x) ตรวจสอบเครื่องหมายของ f′(x) โดยเขียนเสนจํานวนและจุดแบงชวง ดังนี้

1. (1) จาก จะได

f(x) f′(x)

141

–

x < –1 –1 x > –1 จะได และ ดังนั้น และ

f′(x) > 0 บนชวง f′(x) < 0 บนชวง f เปนฟงกชนั เพิ่มบนชวง f เปนฟงกชนั ลดบนชวง

(–∞ , –1) (–1, ∞) (–∞ , –1) (–1 , ∞)

Y 4

f(x)

2 0

-4

-2 (2) จาก f(x) = 2x2 – x – 3 จะได f′(x) = 4x – 1 ตรวจสอบเครื่องหมายของ f′(x) โดยเขียนเสนจํานวนและจุดแบงชวง ดังนี้

– x<

1 4

จะได

f′(x) > 0

บนชวง

( 1 , ∞)

และ

f′(x) < 0

บนชวง

(–∞, 1 )

ดังนั้น

f เปนฟงกชนั เพิ่มบนชวง

และ

f เปนฟงกชนั ลดบนชวง

4 1 ( , ∞) 4 (–∞, 1 ) 4

142 Y 2 -2

f(x)

-2 -4 = x3 – x2 – 8x = 3x2 – 2x – 8 = (3x + 4)(x – 2) ตรวจสอบเครื่องหมายของ f′(x) โดยเขียนเสนจํานวนและจุดแบงชวง ดังนี้

(3) จาก จะได

f(x) f′(x)

–

+ x< −4 3

−

4 3

−

4 <x<2 3

+ x>2

จะได

f′(x) > 0

บนชวง

(–∞ , − 4 )

และ

f′(x) < 0

บนชวง

( − 4 , 2)

ดังนั้น

f เปนฟงกชนั เพิ่มบนชวง

(–∞ , − 4 )

และ

f เปนฟงกชนั ลดบนชวง Y

( − 4 , 2)

∪

(2, ∞)

∪

(2, ∞)

9 3 -3

0 -3 -9 -15

143 = 2x3 + 3x2 – 36x + 5 = 6x2 + 6x – 36 = 6(x + 3)(x – 2) ตรวจสอบเครื่องหมายของ f′(x) โดยเขียนเสนจํานวนและจุดแบงชวง ดังนี้

(4) จาก จะได

f(x) f′(x)

–

+ x < –3 จะได และ ดังนั้น และ

–3

+ 2

–3 < x < 2

x>2

(–∞ , –3) ∪ (2, ∞) (–3, 2) (–∞ , –3) ∪ (2, ∞) (–3, 2)

f′(x) > 0 บนชวง f′(x) < 0 บนชวง f เปนฟงกชนั เพิ่มบนชวง f เปนฟงกชนั ลดบนชวง Y 100 80 60 40 20

-5

-4

-3

-2

-1

0 -20

-40

(5) จาก จะได

f(x) f′(x)

= = =

x3 – 2x2 – 4x + 7 3x2 – 4x – 4 (3x + 2)(x – 2)

144 ตรวจสอบเครื่องหมายของ f′(x) โดยเขียนเสนจํานวนและจุดแบงชวง ดังนี้

–

+ x< −2 3

−

2 3

−

2 3

<x<2

จะได

f′(x) > 0

บนชวง

และ

f′(x) < 0

บนชวง

ดังนั้น

f เปนฟงกชนั เพิ่มบนชวง

และ

f เปนฟงกชนั ลดบนชวง

+ 2

x>2

(–∞ , − 2 ) ∪ (2, ∞)

3 2 ( − , 2) 3 (–∞ , − 2 ) ∪ (2, ∞) 3 2 ( − , 2) 3

0 -2

-5

2. (1) จาก จะได

f(x) f′(x)

= = = =

x2 – 8x+ 7 2x – 8 2(x – 4) 0

ถา f′(x) เพราะฉะนั้น x = 4 ดังนั้น คาวิกฤตของฟงกชัน f คือ 4 f′′(x) = 2 f′′(4) = 2>0 ดังนั้น f มีคาต่ําสุดสัมพัทธเทากับ f(4) = –9

จะไดวา

2(x – 4) = 0

145 Y

6 2 -1 0 -2

-6 -10 x3 – 3x + 6 3x2 – 3 3(x + 1)(x – 1) ถา f′(x) 0 จะไดวา 3(x + 1)(x – 1) = 0 เพราะฉะนั้น x = –1 หรือ x = 1 ดังนั้น คาวิกฤตของฟงกชัน f คือ –1 และ 1 f′′(x) = 6x f′′(–1) = –6 < 0 f′′(1) = 6>0 ดังนั้น f มีคาสูงสุดสัมพัทธเทากับ f(–1) = 8 และ f มีคาต่ําสุดสัมพัทธเทากับ f(1) = 4

(2) จาก จะได

f(x) f′(x)

= = = =

Y 12 8

f(x)

4 -4

-2

0 -4

146 x3 – 3x2 – 24x + 4 3x2 – 6x – 24 3(x – 4)(x + 2) ถา f′(x) 0 จะไดวา เพราะฉะนั้น x = –2 หรือ x = 4 ดังนั้น คาวิกฤตของฟงกชัน f คือ –2 และ 4

(3) จาก จะได

f(x) f′(x)

= = = =

3(x – 4)(x + 2) = 0

f′′(x) = 6x – 6 f′′(–2) = –18 < 0 f′′(4) = 18 > 0 ดังนั้น f มีคาสูงสุดสัมพัทธเทากับ f(–2) = 32 และ f มีคาต่ําสุดสัมพัทธเทากับ f(4) = –76 Y 60 40 20 -4

-3

-2

-1 0 -20

-40 -60 -80

x4 – 8x2 + 12 4x3 – 16x 4x(x + 2)(x –2) ถา f′(x) 0 จะไดวา 4x(x + 2)(x – 2) = 0 เพราะฉะนั้น x = –2 หรือ x = 0 หรือ x = 2 ดังนั้น คาวิกฤตของฟงกชัน f คือ –2, 0 และ 2

(4) จาก จะได

f(x) f′(x)

= = = =

147 f′′(x) = 12x2 – 16 f′′(–2) = 32 > 0 f′′(0) = –16 < 0 f′′(2) = 32 > 0 ดังนั้น f มีคาสูงสุดสัมพัทธเทากับ f(0) = 12 และ f มีคาต่ําสุดสัมพัทธเทากับ f(–2) = f(2) = –4 Y 20 f(x) 10 -4

-2

-10

= x4 – 4x3 + 8 = 4x3 – 12x2 = 4x2(x – 3) ถา f′(x) = 0 จะไดวา 4x2(x – 3) = 0 เพราะฉะนั้น x = 0 หรือ x = 3 ดังนั้น คาวิกฤตของฟงกชัน f คือ 0 และ 3 f′′(x) = 12x2 – 24x f′′(0) = 0 f′′(3) = 36 > 0 ดังนั้น f มีคาต่ําสุดสัมพัทธเทากับ f(3) = –19

(5) จาก จะได

f(x) f′(x)

148 Y 20 f(x) 10 0

-2

-4

-10 -20 = x2 – 4x + 3 = 2x – 4 = 2(x – 2) ถา f′(x) = 0 จะได 2(x – 2) = 0 เพราะฉะนั้น x = 2 ดังนั้น คาวิกฤตบนชวงปด [0, 5] คือ 2 คํานวณหาคาของฟงกชัน f ที่ x = 2 และจุดปลายของชวง [0, 5] คือ x = 0 และ x = 5 f(2) = –1 f(0) = 3 f(5) = 8 ดังนั้น คาสูงสุดสัมบูรณของ f เทากับ 8 ที่ x = 5 และ คาต่ําสุดสัมบูรณของ f เทากับ –1 ที่ x = 2 Y 6

3. (1) จาก f(x) จะได f′(x)

f(x)

4 2 -4

-2

0 -2

149 (2) จาก f(x) จะได f′(x) ถา f′(x)

x3 – 2x2 – 4x + 8 3x2 – 4x – 4 0 จะได (3x + 2)(x – 2) = 0

= = =

เพราะฉะนั้น x =

−

2 3

หรือ x = 2

ดังนั้น คาวิกฤตบนชวงปด [–2, 3] คือ

−

2 3

และ 2

คํานวณหาคาของฟงกชัน f ที่ x = − 2 , x = 2 และจุดปลายของชวง [–2, 3] คือ x = –2 3

และ x = 3 f( − 2 ) =

9.48

f(2) = f(–2) = f(3) =

0 0 5

ดังนั้น คาสูงสุดสัมบูรณของ f เทากับ 9.48 ที่ x = − 2 3

และ คาต่ําสุดสัมบูรณของ f เทากับ 0 ที่ x = –2 และ x = 2 Y 10 6 2 -2 0 -2

-6

-6 (3) จาก f(x) จะได f′(x) ถา f′(x)

x4 – 2x3 – 9x2 + 27 4x3 – 6x2 – 18x 0 จะได 2x(2x + 3)(x – 3) = 0

= = =

เพราะฉะนั้น x =

−

3 2

หรือ x = 0 หรือ x = 3

ดังนั้น คาวิกฤตบนชวงปด [–2, 4] คือ

−

3 , 2

0 และ 3

150 คํานวณหาคาของฟงกชัน f ที่ x = − 3 , x = 0, x = 3 และจุดปลายของชวง [–2, 4] 2

คือ x = –2 และ x = 4 f( − 3 ) = 2

18.56

f(0) = 27 f(3) = –27 f(–2) = 23 f(4) = 11 ดังนั้น คาสูงสุดสัมบูรณของ f เทากับ 27 ที่ x = 0 และ คาต่ําสุดสัมบูรณของ f เทากับ –27 ที่ x = 3 Y 30 20 10 -4

-2

-10 -20 -30 (4) จาก f(x) = x3 + 5x – 4 จะได f′(x) = 3x2 + 5 จากรูปสมการ f′(x) = 3x2 + 5 จะไดวา ไมมจี ํานวนจริง x ใด ๆ ที่ทําให f′(x) = 0 ดังนั้น ไมมีคาวิกฤตบนชวงปด [–3, –1] คํานวณหาคาของฟงกชัน f(x) ที่จุดปลายของชวง [–3, –1] คือ x = –3 และ x = –1 f(–3) = – 46 f(–1) = – 10 ดังนั้น คาสูงสุดสัมบูรณของ f เทากับ – 10 ที่ x = –1 และ คาต่ําสุดสัมบูรณของ f เทากับ – 46 ที่ x = –3

151 Y 40 20 0

-5

5 กราฟ f(–1) = –10 และ f(–3) = –46

-20

-40 -60

เฉลยแบบฝกหัด 2.8 ข 1. (1) จาก จะได ถา เพราะฉะนั้น

f(x) f′(x) f′(x) x =

2x2 + x – 6 4x + 1 0 จะได 4x + 1 = 0

= = = −

1 4

ดังนั้น คาวิกฤตของฟงกชัน f คือ f′′ (x) f′′ ( − 1 )

−

1 4

= =

ดังนั้น f มีคาต่ําสุดสัมพัทธเทากับ

4 4>0 1 f (− ) 4

−

49 8

Y 4 -2

-1

0 -4 -8

f(x)

152 (2) จาก จะได ถา เพราะฉะนั้น

f(x) f′(x) f′(x) x =

–x2 + 3x – 2 –2x + 3 0 จะได –2x + 3 = 0

= = = 3 2

ดังนั้น คาวิกฤตของฟงกชัน f คือ f′′ (x) = f′′ ( 3 ) =

3 2

–2 –2 < 0

ดังนั้น f มีคาสูงสุดสัมพัทธเทากับ

3 f( ) 2

1 4

Y 2 -2

-1

f(x) 1

-2 -4 (3) จาก f(x) = x3 – 3x2 จะได f′(x) = 3x2 – 6x ถา f′(x) = 0 จะได 3x(x – 2) = 0 เพราะฉะนั้น x = 0 หรือ x = 2 ดังนั้น คาวิกฤตของฟงกชัน f คือ 0 และ 2 f′′ (x) = 6x – 6 f′′ (0) = –6 < 0 f′′ (2) = 6>0 ดังนั้น f มีคาสูงสุดสัมพัทธเทากับ f(0) = 0 และ f มีคาต่ําสุดสัมพัทธเทากับ f(2) = –4

153 Y 2 -4

-2

f(x)

-4

2x3 – 3x2 – 12x + 5 6x2 – 6x – 12 6(x – 2)(x + 1) ถา f′(x) 0 จะได 6(x – 2)(x + 1) = 0 เพราะฉะนั้น x = –1 หรือ x = 2 ดังนั้น คาวิกฤตของฟงกชัน f คือ –1 และ 2 f′′ (x) = 12x – 6 f′′ (–1) = –18 < 0 f′′ (2) = 18 > 0 ดังนั้น f มีคาสูงสุดสัมพัทธเทากับ f(–1) = 12 และ f มีคาต่ําสุดสัมพัทธเทากับ f(2) = –15

(4) จาก จะได

f(x) f′(x)

= = = =

Y 20 10 -4

-2

0 -10 -20

f(x) 2

154 2. เนื่องจากรัว้ ยาว 200 เมตร จะได 6x + 4y = y =

200 3 50 − x 2

ให A(x) เปนพื้นที่ของที่ดนิ รูปสี่เหลี่ยมผืนผา 3 แปลง เมื่อ x เปนความยาวของดานกวางของทีด่ นิ รูปสี่เหลี่ยมผืนผาของแตละแปลง จะได

A(x)

3 3x(50 − x) 2 9 150x − x 2 2

= =

ถา

A′(x) A′(x)

= =

เพราะฉะนั้น

150 – 9x 0 50 3 50 3

ดังนั้น คาวิกฤตของฟงกชัน A คือ จาก จะได

A′(x) A′′ (x) A′′ ( 50 ) 3

จะได 150 – 9x = 0

= = =

150 – 9x –9 –9 < 0

นั่นคือ ฟงกชนั A มีคาสูงสุดสัมพัทธที่ x =

50 3

และมีคาเทากับ

50 ) 3

= 1,250

ดังนั้น รั้วจะลอมพื้นที่ไดมากที่สุด 1,250 ตารางเมตร 3. ให x เปนจํานวนจริงจํานวนหนึ่ง จะได f(x) = x – x2 f ′(x) = 1 – 2x ถา f ′(x) = 0 จะได 1 – 2x = 0 เพราะฉะนั้น

x =

1 2

ดังนั้น คาวิกฤตของฟงกชัน f คือ จาก จะได

1 2

f′(x) = f′′(x) =

1 – 2x –2

f′′( 1 ) =

–2 < 0

นั่นคือ ฟงกชนั f มีคาสูงสุดสัมพัทธที่ x = ดังนั้น จํานวนจริงจํานวนนั้นคือ

1 2

และมีคาเทากับ f( 1 ) = 2

1 4

155 4. ให x เปนจํานวนจริงจํานวนหนึ่ง และ y เปนจํานวนจริงอีกจํานวนหนึ่ง เนื่องจาก จํานวนจริงสองจํานวนบวกกันได 10 จะได x + y = 10 หรือ y = 10 – x ให f(x) เปนคาที่ไดจากผลคูณของจํานวนจริงทั้งสอง จะได f(x) = x(10 – x) = 10x – x2 f′(x) = 10 – 2x ถา f′(x) = 0 จะได 10 – 2x = 0 เพราะฉะนั้น x = 5 ดังนั้น คาวิกฤตของฟงกชัน f คือ 5 จาก f′(x) = 10 – 2x f′′(x) = –2 f′′(5) = –2 < 0 นั่นคือ ฟงกชนั f มีคาสูงสุดสัมพัทธที่ x = 5 และมีคาเทากับ f(5) = 25 จาก x = 5 จะได y = 5 ดังนั้น จํานวนจริงจํานวนหนึ่ง คือ 5 และอีกจํานวนหนึ่งคือ 5 5. ให x เปนจํานวนจริงจํานวนหนึ่ง และ y เปนจํานวนจริงอีกจํานวนหนึ่ง เนื่องจาก ผลคูณของจํานวนจริงสองจํานวนเปน –9 จะได

–9

หรือ

y =

−

9 x

ให f(x) เปนคาที่ไดจากผลบวกของกําลังสองของแตละจํานวนเมื่อ x เปนจํานวนจริงจํานวนหนึ่ง จะได

f(x)

= =

9 x 2 + (− )2 x 81 x2 + 2 x 162 2x − 3 x

f′(x)

ถา

f′(x)

จะได

2x −

162 x3

= 0

2(x2 – 9)(x2 + 9) = 2(x – 3)(x + 3)(x2 + 9) = เพราะฉะนั้น x = –3 หรือ ดังนั้น คาวิกฤตของฟงกชัน f คือ –3 และ

0 0 x=3 3

156 จาก

f′(x)

f′′(x) =

162 x3 486 2+ 4 x 2x −

f′′(3) = 8>0 f′′(–3) = 8>0 นั่นคือ ฟงกชนั f มีคาต่ําสุดสัมพัทธที่ x = –3 และ x = 3 มีคาเทากับ f(–3) = f(3) = 18 จาก x = –3 จะได y = 3 x = 3 จะได y = –3 ดังนั้น จํานวนจริงจํานวนหนึ่ง คือ –3 และอีกจํานวนหนึ่งคือ 3 6. ให C(t) เปนอุณหภูมิมีหนวยเปนองศาเซลเซียส เมื่อ t เปนเวลาหนวยเปนวินาที จะได C(t) = 10 + 4t – 0.2t2 C′(t) = 4 – 0.4t ถา C′(t) = 0 จะได 4 – 0.4t = 0 เพราะฉะนั้น t = 10 ดังนั้น คาวิกฤตของฟงกชัน θ คือ 10 จาก C′(t) = 4 – 0.4t จะได C′′(t) = –0.4 C′′(10) = –0.4 < 0 นั่นคือ ฟงกชนั C มีคาสูงสุดสัมพัทธที่ t = 10 และมีคาเทากับ C(10) = 30 ดังนั้น ในการเกิดปฏิกิริยาทางเคมีนี้อุณหภูมิจะขึน้ สูงสุดเมื่อ t = 10 วินาที และอุณหภูมิสงู สุดเปน 30 องศาเซลเซียส 7. ให V(x) เปนปริมาตรของกลอง เมื่อ x เปนความยาวของดานของรูปสีเหลี่ยมจัตุรสั ที่ตัดออก x

24 – 2x

จะได V(x) = (20 – 2x)(24 – 2x)x = 4x3 – 88x2 +480x V′(x) = 12x2 – 176x + 480 20 – 2x = 4(3x2 – 44x + 120) ถา V′(x) = 0 จะได 4(3x2 – 44x + 120) = 0

157 x =

44 − (−44) 2 − 4(3)(120) 2(3)

หรือ

x =

44 + (−44) 2 − 4(3)(120) 2(3)

x =

22 − 2 31 3

หรือ

x =

22 + 2 31 3

3.62

11.05

ดังนั้น คาวิกฤตของฟงกชัน V คือ 3.62 และ 11.05 จาก V′(x) = 12x2 – 176x + 480 จะได V′′(x) = 24x – 176 V′′(3.62) = –89.12 < 0 V′′(11.05) = 89.2 > 0 นั่นคือ ฟงกชนั V มีคาสูงสุดสัมพัทธที่ x = 3.62 ดังนั้น x เทากับ 3.62 เซนติเมตร กลองจึงจะมีปริมาตรมากที่สุด 8. ให c(f) เปนปริมาณผลผลิตที่ไดหนวยเปนถังตอไร เมื่อ f เปนจํานวนปุยที่ใช หนวยเปนกิโลกรัม ตอไร จะได c(f) = 20 + 24f – f2 c′(f) = 24 – 2f ถา c′(f) = 0 จะได 24 – 2f = 0 เพราะฉะนั้น f = 12 ดังนั้น คาวิกฤตของฟงกชัน c คือ 12 จาก c′(f) = 24 – 2f c′′(f) = –2 c′′(12) = –2 < 0 นั่นคือ ฟงกชนั c มีคาสูงสุดสัมพัทธที่ f = 12 และมีคาเทากับ c(12) = 164 ดังนั้น จะตองใชปุย 12 กิโลกรัมตอไร จึงจะไดผลผลิตมากที่สุด 9. ถาพอคาตั้งราคาขายสินคาอยางหนึ่งชิน้ ละ ในหนึ่งสัปดาหเขาจะขายสินคาได ถาเขาลดราคาลงชิ้นละ 1 บาท เขาจะขายได ถาเขาลดราคาลงชิ้นละ 2 บาท เขาจะขายได #

ถาเขาลดราคาลงชิ้นละ x บาท เขาจะขายได เขาขายสินคาราคาชิ้นละ 20 – x บาท

20 1,000 1,000 + 100 1,000 + 200 #

1,000 + 100x

บาท ชิ้น ชิ้น ชิ้น ชิ้น

158 ให f(x) เปนเงินที่ไดจากการขายสินคา เมื่อ x เปนเงินที่ลดราคาสินคา 1 ชิ้น จะได f(x) = (1,000 + 100x)(20 – x) = 20,000 + 1,000x – 100x2 f′(x) = 1000 – 200x ถา f′(x) = 0 จะได 1000 – 200x = 0 เพราะฉะนั้น x = 5 ดังนั้น คาวิกฤตของฟงกชัน f คือ 5 จาก f′(x) = 1000 – 200x จะได f′′(x) = –200 f′′(5) = –200 < 0 นั่นคือ ฟงกชนั f มีคาสูงสุดสัมพัทธที่ x = 5 และมีคาเทากับ f(5) = 22,500 ดังนั้น เขาควรจะตั้งราคาสินคาชิ้นละ 20 – 5 = 15 บาท จึงจะไดเงินจากการขายมากที่สุด 10. ให DECF เปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผาที่บรรจุในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีดานดานหนึง่ ยาว m หนวย และอีกดานหนึ่งยาว n หนวย ดังรูป A 150

F 90

150 F Y

รูป 1

m C

n 120 – a E a Z

รูป 2

จากรูป 1

∆ ADE คลายกับ ∆ ABC

จะได

AE AC 120 − m 120

120 – m E m

= = =

DE BC n 90 3 (120 − m) 4

ให S(m) เปนพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผา เมื่อ m เปนความยาวของดานดานหนึง่ ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผา

159 จะได

S(m)

= =

ถา

S′(m)

3 (120 − m)(m) 4 3 90m − m 2 4 3 90 − m 2

จะได

3 90 − m 2

= 0

เพราะฉะนั้น m = 60 ดังนั้น คาวิกฤตของฟงกชัน S คือ 60 จาก

S′(m)

S′′ (m)

S′′ (60)

3 90 − m 2 3 − 2 3 − < 0 2

นั่นคือ ฟงกชนั S มีคาสูงสุดสัมพัทธที่ m = 60 และมีคาเทากับ S(60) = 2,700 จาก

m = 60

จะได n =

จากรูป 2

∆ XDE คลายกับ ∆ XZY

จะได

n 90

m 150

3 (120 − 60) 4

= 45

120 − a 150

---------- (1)

a 120

---------- (2)

3 90a − a 2 4

∆ ZCE คลายกับ ∆ ZYX จะได

จาก (1) และ (2) จะได

ให S(a) เปนพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผา เมื่อ a เปนความยาวของ จะได

S(a)

3 90a − a 2 4 3 90 − a 2

S′(a) = ถา

S′(a) =

จะได

3 90 − a 2

0 =

เพราะฉะนั้น a = 60 ดังนั้น คาวิกฤตของฟงกชัน S คือ 60

160 จาก

S′(a)

S′′(a)

S′′(60) =

3 90 − a 2 3 − 2 3 − 2

ดังนั้น ฟงกชนั S มีคาสูงสุด นั่นคือ ฟงกชนั S มีคาสูงสุดสัมพัทธที่ a = 60 และมีคาเทากับ S(60) = 2,700 จาก a = 60

จะได

n =

90(120 − 60) 150

และ

(150)(60) 120

= 36 = 75 ดังนั้น รูปสี่เหลี่ยมผืนผา มีดานกวางยาว 45 หนวย และดานยาว 60 หนวย หรือมีดานกวางยาว 36 หนวย และดานยาวยาว 75 หนวย 11. ใหพอคาผลิตสินคาขายได x ชิ้นใน 1 สัปดาห ขายชิ้นละ p บาท ราคาและจํานวนสินคาที่ขายไดมีความสัมพันธในรูปสมการ p = 100 – 0.04x รายไดจากการขายสินคาใน 1 สัปดาห คือ xp = x(100 – 0.04x) บาท ลงทุน 600 + 22x บาท ให f(x) เปนกําไรจากการขายสินคา เมือ่ x เปนจํานวนสินคาที่ผลิตไดใน 1 สัปดาห จะได f(x) = x(100 – 0.04x) – (600 + 22x) = –0.04x2 + 78x – 600 f′(x) = –0.08x + 78 ถา f′(x) = 0 จะได –0.08x + 78 = 0 เพราะฉะนั้น x = 975 บาท ดังนั้น คาวิกฤตของฟงกชัน f คือ 975 จาก f′(x) = –0.08x + 78 จะได f′′(x) = –0.08 f′′(975) = –0.08 < 0 นั่นคือ ฟงกชนั f มีคาสูงสุดสัมพัทธที่ x = 975 และมีคาเทากับ f(975) = 37,425 ดังนั้น ตองผลิตสินคาออกขายสัปดาหละ 975 ชิ้น จึงจะไดกําไรมากที่สุด

161 12. รถบรรทุกวิ่งระยะทาง 500 กิโลเมตร ดวยอัตราเร็วเฉลี่ย x กิโลเมตรตอชั่วโมง ตองใชเวลา

500 x

ชั่วโมง

เสียคาน้ํามันลิตรละ 24 บาท และใชน้ํามันในอัตรา ดังนั้น เสียคาน้ํามัน

x 2 500 )( )(24) 150 x

(24 +

24 +

x2 150

ลิตรตอชั่วโมง

บาท

และเสียเบีย้ เลีย้ งคนขับชั่วโมงละ m บาท 500m x

จะตองเสียเบี้ยเลี้ยงคนขับ

บาท

ให f(x) เปนเงินที่บริษทั ตองจายในการสงสินคา เมื่อ x เปนอัตราเร็วเฉลี่ยหนวยเปนกิโลเมตร ตอชั่วโมง =

500m x 2 500 + (24 + )( )(24) x 150 x

500m 288000 + + 80 x x x

f′(x)

−

ถา

f′(x)

จะได

−

จะได

f(x)

500m 288000 − + 80 x2 x2

− 500m − 288000 + 80 x 2

x2 เพราะฉะนั้น

x =

−

25m + 3600 4

หรือ

ดังนั้น คาวิกฤตของฟงกชัน f บนชวงปด [25, 80] คือ จาก

f′(x)

f′′(x) = f′′ (

−

x = 25m + 3600 4

500m 288000 − + 80 x2 x2

1000m 576000 + x3 x3

25m + 3600 ) 4

1000m + 576000 ⎛ 25m ⎞ + 3600 ⎟ ⎜ 4 ⎝ ⎠

> 0

25m + 3600 4

162 25m + 3600 4

นั่นคือ ฟงกชนั f มีคาต่ําสุดสัมพัทธที่ x =

25m + 3600 4

ดังนัน้ บริษัทตองสั่งใหขับรถดวยอัตราเร็วเฉลี่ย

13.

กิโลเมตรตอชั่วโมง จึงจะประหยัดที่สดุ

เนื่องจาก s = kwd2 เมื่อ k เปนคาคงตัว จากรูป d2 = a2 – w2 จะได s = kw(a2 – w2) = kwa2 – kw3

ให s(w) เปนน้ําหนักสูงสุดที่คานรับได เมื่อ w เปนความกวางของคาน และ k เปนคาคงตัว จะได s(w) = wka2 – kw3 s′(w) = ka2 – 3kw2 ถา s′(w) = 0 = 0 จะได ka2 – 3kw2

เพราะฉะนั้น w =

ka 2 3k a2 3

− 3a 3

หรือ w =

3a 3

ดังนั้น คาวิกฤตของฟงกชัน s คือ

3a 3

จาก

= =

ka2 – 3kw2 –6kw

−2 3ka

s′(w) s′′(w) s′′ (

3a ) 3

นั่นคือ ฟงกชนั s มีคาสูงสุดสัมพัทธที่ w = จาก

w =

3a 3

จะได

<0 3a 3

d2 = d2 = d =

ดังนั้น ตองเลื่อยใหคานมีความกวาง

3a 3

2 3 3 ka 9 3a 2 a2 − ( ) 3 2 2 a 3 2 a 3

และมีคาเทากับ

เซนติเมตร และหนา

2 a 3

เซนติเมตร

163 14. ให P(f) เปนกําไรสุทธิหนวยเปนบาท เมื่อ f เปนปริมาณปุยทีใ่ ชหนวยเปนกิโลกรัมตอไร จะได P(f) = 400 + 20f – f2 P′(f) = 20 – 2f ถา P′(f) = 0 จะได 20 – 2f = 0 เพราะฉะนั้น f = 10 ดังนั้น คาวิกฤตของฟงกชัน p คือ 10 จาก P′(f) = 20 – 2f P′′(f) = –2 P′′(10) = –2 < 0 นั่นคือ ฟงกชนั P มีคาสูงสุดสัมพัทธที่ f = 10 และมีคาเทากับ P(10) = 500 ดังนั้น ตองใชปุย 10 กิโลกรัมตอที่ดิน 1 ไร จึงจะไดกําไรสุทธิสูงสุด และกําไรสุทธิสูงสุดจากผลผลิตตอไรเปน 500 บาท

เฉลยแบบฝกหัด 2.9 1. (1)

5 2 x +c 2

(2)

1 4 x +c 4

(3)

2 52 x +c 5

(4)

−

(5)

x2 + x + c

(6)

4 5 3 4 2 3 1 2 x + x + x + x +x+c 5 4 3 2

(7)

−

(8)

1 5 − x 5 + x 3 − 4x + c 5 3

(9)

2 x +c

(10)

−

2 3 − 2 +c x 2x

1 +c 4x 4

2 1 − +c x x

164

เฉลยแบบฝกหัด 2.10 1. (1) ∫ (x 4 + 3x 2 + 5x)dx

= =

∫ x dx + ∫ 3x dx + ∫ 5xdx ∫ x dx + 3∫ x dx + 5∫ xdx

x5 5x 2 + x3 + +c 5 2

(2) ∫ (2x 3 − 3x 2 + 6 − 2x −2 )dx = =

(3) ∫ (x10 − 13 )dx x

(4) ∫ ( 12 + 24 )dx x x

(5) ∫

xdx

∫ 2x dx − ∫ 3x dx + ∫ 6dx − ∫ 2x 2 ∫ x dx − 3∫ x dx + ∫ 6dx − 2∫ x 3

−2

x4 2 − x 3 + 6x + + c 2 x

∫x

x11 1 + 2 +c 11 2x

∫x

−

∫ x 2 dx

2x 2 +c 3 2x x +c 3

dx − ∫ x −3dx

dx + ∫

−2

2 dx x4

dx + 2∫ x −4 dx

1 2 − 3 +c x 3x 1

= (6) ∫ (x

3 2

2 3

− x )dx

3 2

∫x

2x 2 3x 3 − +c 5 5

1 1 1 − 12 −2 dx dx x dx − ∫ x2 ∫ 2 x ∫ ∫ 2 x dx 1 1 − − x2 + c x 1 − − x +c x

(7) ∫ ( 12 − 1 )dx x 2 x

2 3

dx − ∫ x dx 5

165 (8) ∫ x 2 (x − 3)dx

(9) ∫

x (x + 1)dx

(10) ∫ ( x −3 2 )dx x

(11) ∫ (x 2 + 5x + 1)dx

(12) ∫ (6

x + 15)dx

(13) ∫ (x 3 + 5x 2 + 6)dx

(14)

6 ∫ ( x + 8 x )dx

∫ x dx − ∫ 3x dx

x4 − x3 + c 4

∫ x 2 dx + ∫ x 2 dx

5 2

3 2

2x 2x + +c 5 3

= =

∫x ∫x

−

= =

∫ x dx + ∫ 5xdx + ∫ 1dx ∫ x dx + 5∫ xdx + ∫ 1dx

x 3 5x 2 + +x+c 3 2

∫ 6x 2 dx + ∫ 15dx

= =

4x 2 + 15x + c

= =

∫ x dx + ∫ 5x dx + ∫ 6dx ∫ x dx + 5∫ x dx + ∫ 6dx

x 4 5x 3 + + 6x + c 4 3

= = = =

−2

dx − ∫ 2x −3dx

−2

dx − 2∫ x −3dx

1 1 + +c x x2 2 2

4x x + 15x + c 3

∫ 6x

−

1 2

−

1 2

dx + ∫ 8x dx 1 2

6 ∫ x dx + 8∫ x dx 1 2

16x 2 +c 12x + 3 12 x + 16x x + c

166 (15) ∫ (x 4 − 12x 3 + 6x 2 − 10)dx = =

∫ x dx − ∫ 12x dx + ∫ 6x dx − ∫ 10dx ∫ x dx − 12∫ x dx + 6∫ x dx − ∫ 10dx

dy = f′(x) dx dy ∫ dx dx

จะได

= =

f(x)

x2 +c 2

เนื่องจาก f(2)

จะได

22 +c 2

f(x)

x2 2

ดังนั้น

= x

จะได

x5 − 3x 4 + 2x 3 − 10x + c 5

= 2. ให

∫ xdx ∫ xdx x2 +c 2

เมื่อ c เปนคาคงตัวใด ๆ

3. (1) เนื่องจากความชันของเสนสัมผัสโคงที่จุด (x, y) ใด ๆ คือ x2 – 3x + 2 นั่นคือ

dy dx

x2 – 3x + 2

จะได

∫ (x

ดังนั้น สมการเสนโคง คือ y

− 3x + 2)dx

x 3 3x 2 − + 2x + c 3 2 3 2 = x − 3x + 2x + c 3 2

แตเสนโคงนี้ผา นจุด (2, 1) นั่นคือ เมื่อ x = 2 จะได y = 1 แทนคา x = 2 และ y = 1 ในสมการเสนโคง จะได

ดังนั้น

23 3 2 − (2 ) + 2(2) + c 3 2 c = 1 3 3 2 สมการเสนโคงดังกลาวคือ y = x − 3x + 2x + 1 3 2 3

1 =

167 (2) เนื่องจากความชันของเสนสัมผัสโคงที่จุด (x, y) ใด ๆ คือ 2x3 + 4x นั่นคือ

dy dx

2x3 + 4x

จะได

∫ (2x

ดังนั้น สมการเสนโคง คือ y

+ 4x)dx

x4 + 2x 2 + c 2 4 = x + 2x 2 + c 2

แตเสนโคงนี้ผา นจุด (0, 5) นั่นคือ เมื่อ x = 0 จะได y = 5 แทนคา x = 0 และ y = 5 ในสมการเสนโคง จะได c = 5 x4 + 2x 2 + 5 2

ดังนั้น สมการเสนโคงดังกลาวคือ y =

(3) เนื่องจากความชันของเสนสัมผัสโคงที่จุด (x, y) ใด ๆ คือ 6 + 3x2 – 2x4 นั่นคือ

dy dx

6 + 3x2 – 2x4

จะได

∫ (−2x

−

+ 3x 2 + 6)dx

2x 5 + x 3 + 6x + c 5

แตเสนโคงนี้ผา นจุด (1, 0) นั่นคือ เมื่อ x = 1 จะได y = 0 แทนคา x = 1 และ y = 0 จะได

ดังนั้น

2 − (1)5 + (1)3 + (6)(1) + c 5 33 − c = 5 5 สมการเสนโคงดังกลาวคือ y = − 2x + x 3 + 6x − 33 5 5

168 dv dt

a(t)

∫ dt dt

∫ (6 − 2t)dt

4. (1) จาก จะได

6 – 2t

v = 6t – t2 + c1 จาก v(0) = 5 จะได c1 = 5 ดังนั้น ความเร็วขณะเวลา t ใด ๆ คือ 6t – t2 + 5 เมื่อ 0 ≤ t จาก จะได

ds dt ds ∫ dt dt

v(t)

∫ (6t − t

s = จาก

s(0)

−

+ 5)dt

t3 + 3t 2 + 5t + c 2 3

จะได c2 = 0 t3 − + 3t 2 + 5t 3

ดังนั้น ตําแหนงของวัตถุขณะเวลา t ใด ๆ คือ (2) จาก จะได

dv = dt dv ∫ dt dt =

a(t)

∫ (120t − 12t

จะได

ds dt ds ∫ dt dt

v(t)

∫ (60t

เมื่อ

)dt

0 ≤ t ≤ 10

60t2 – 4t3

− 4t 3 )dt

s = 20t 3 − t 4 + c 2 จาก s(0) = 4 จะได c2 = 4 ดังนั้น ตําแหนงของวัตถุขณะเวลา t ใด ๆ คือ 20t3 – t4 + 4 เมื่อ (3) จาก จะได

จาก

dv = dt dv ∫ dt dt =

a(t)

t 3 5t 2 + + 4t + c1 3 2

v(0)

–2

∫ (t

= 2

ดังนั้น ความเร็วขณะเวลา t ใด ๆ คือ

0≤t≤3

120t – 12t2

v = 60t2 – 4t3 + c1 จาก v(0) = 0 จะได c1 = 0 ดังนั้น ความเร็วขณะเวลา t ใด ๆ คือ 60t2 – 4t3 เมื่อ จาก

6t – t2 + 5

= 2

≤

0 ≤ t ≤ 10

t2 + 5t + 4

+ 5t + 4)dt

จะได c1 = –2 t 3 5t 2 + + 4t − 2 3 2

เมื่อ

0 ≤ t ≤ 15

169 จาก จะได

จาก

t 3 5t 2 + + 4t − 2 3 2

ds dt ds ∫ dt dt

v(t)

t 3 5t 2 + + 4t − 2)dt 3 2 t 4 5t 3 + + 2t 2 − 2t + c 2 12 6

s(0)

∫(

–3

จะได c2 = –3

ดังนั้น ตําแหนงของวัตถุขณะเวลา t ใด ๆ คือ

t 4 5t 3 + + 2t 2 − 2t − 3 12 6

5. (1) โยนวัตถุขึ้นไปบนอากาศในแนวดิ่ง a = –g = –9.8 เมตร / วินาที2 จะได

dv dt

–9.8

v = ∫ −9.8dt v = –9.8t + c1 โยนวัตถุขึ้นไปบนอากาศในแนวดิ่งดวยความเร็ว 98 เมตร / วินาที นั่นคือ ขณะ t = 0, v = 98 จาก v = –9.8t + c1 = 98 จะได c1 ดังนั้น v = –9.8t + 98 จาก

ds dt

v(t)

–9.8t + 98

จะได

s = ∫ (−9.8t + 98)dt s = –4.9t2 + 98t + c2 เมื่อ t =0 จะได s = 0 ดังนั้น c2 = 0 ดังนั้น สมการการเคลื่อนที่ของวัตถุ คือ s = –4.9t2 + 98t

(2) วัตถุขึ้นสูงสุด เมื่อ v = 0 จาก v = –9.8t + 98 จะได 0 = –9.8t + 98 t = 10 ดังนั้น วัตถุขึ้นไปสูงสุดเมื่อเวลาผานไป 10 วินาที

เมื่อ

0 ≤ t ≤ 15

170 (3) จาก (2) เมื่อ t = 10 จาก s = –4.9t2 + 98t จะได s = –4.9(10)2 + 98(10) s = 490 ดังนั้น ระยะทางสูงสุดที่วัตถุขึ้นไปไดคือ 490 เมตร (4) เมื่อ จาก จะได

s = 249.9 s = –4.9t2 + 98t 249.9 = –4.9t2 + 98t t2 – 20t + 51 = 0 (t – 17)(t – 3) = 0 นั่นคือ t = 3 หรือ t = 17 ดังนั้น วัตถุจะอยูสูง 249.9 เมตร เมื่อเวลาผานไป 3 วินาที และ 17 วินาที

6. รถไฟวิ่งดวยความเรง a =

dv dt

1 (20 − t) 4

t 4

จาก

dv dt

5−

จะได

∫ (5 − 4 )dt

5t −

ขณะ t = 0, v = 0 ดังนั้น

5−

t 4

t2 + c1 8

จะได c1 = 0 t2 8

5t −

(20) 2 5(20) − 8

ถา t = 20 จะได

v = 50 นั่นคือ วินาทีที่ 20 รถไฟกําลังแลนดวยความเร็ว 50 เมตร / วินาที จาก จะได

ds dt ds dt

5t −

∫ (5t −

= t2 8

t2 )dt 8 5t 2 t 3 − + c2 2 24

t2 5t − 8

171 ขณะ

t =0,

ดังนั้น

ถา

t = 20

จะได

จะได c2 = 0

s=0 =

5t 2 t 3 − 2 24

5 (20)3 (20) 2 − 2 24 2000 3

นั่นคือ เวลา 20 วินาที รถไฟแลนไดระยะทาง

2000 3

เมตร

ตอจากนั้นรถไฟแลนตอไปดวยความเร็วคงที่ 50 เมตรตอวินาที หลังจากออกจากสถานี 30 วินาที ก็คือ แลนดวยความเร็วคงที่ตอไปอีก 10 วินาที มีความเรง

ความเร็วคงที่ V = 50 10 วินาที

20 วินาที จาก

s = vt s = 50 × 10 s = 500 รถไฟแลนดวยความเร็วคงทีต่ อไปอีก 10 วินาที เปนระยะทาง 500 เมตร ดังนั้น หลังจากรถไฟออกจากสถานี 30 วินาที จะอยูห างจากสถานีเปน ระยะทาง เทากับ

2000 + 500 3

1166

2 3

เมตร

เฉลยแบบฝกหัด 2.11 4

1. ∫3 (x 3 + 3)dx

= = = =

4 x4 + 3x) 3 4 256 81 ( + 12) − ( + 9) 4 4 304 117 − 4 4 187 4 (

172 3

2. ∫1 (x 2 − 2x + 3)dx = = = = 1

3. ∫ −1 (4x 3 + 2x)dx = = = 4. ∫ −3 12 dx x −1

= = =

5. ∫ 2 (x 2 + 33 )dx x 4

= = = =

6. ∫ −1 (− x 4 + x 2 − 1)dx = = 1

7. ∫ 0 x(x 2 + 1)dx

3 x3 − x 2 + 3x) 1 3 1 (9 − 9 + 9) − ( − 1 + 3) 3 7 9− 3 20 3 (

(x 4 + x 2 )

1 −1

(1 + 1) – (1 + 1) 0 1 −1 (− ) x −3 1 1− 3 2 3 x3 3 4 − 2) 3 2x 2 64 3 8 3 ( − )−( − ) 3 32 3 8 2039 55 − 96 24 1819 96 (

1 x5 x3 + − x) −1 5 3 1 1 1 1 (− + − 1) − ( − + 1) 5 3 5 3 26 − 15

(−

∫

x4 x2 1 ( + ) 4 2 0 1 1 ( + )−0 4 2 3 4

= =

(x 3 + x)dx

173 1

8. ∫ 0 x 2 (x 2 + 1)2 dx =

∫

= 3

+ 2x)dx

2 x4 + x2 ) 0 12 16 ( + 4) − 0 12 16 3

(

= = 2

10. ∫ 0 x(x 2 + 1)2 dx

(x 6 + 2x 4 + x 2 )dx

(

x 7 2x 5 x 3 1 + + ) 7 5 3 0 1 2 1 ( + + )−0 7 5 3 92 105

9. ∫ 0 ( x 3

∫

(

2 0

(x 5 + 2x 3 + x)dx

x6 x4 x2 2 + + ) 6 2 2 0 32 ( + 8 + 2) − 0 3 62 3

= =

เฉลยแบบฝกหัด 2.12 1. พื้นที่ที่ตองการ แสดงไดดังนี้ 12

Y y = x2

8 4 -4

-2

174 ให A แทนพืน้ ที่ที่ปดลอมดวยเสนโคงของ y = x2 จาก x = –3 ถึง x = 0 เนื่องจาก f(x) ≥ 0 สําหรับทุก x ที่อยูใ นชวง [–3, 0] 0 2 จะได A = ∫−3 x dx =

x3 0 3 −3

= =

0 – (–9) 9 ตารางหนวย

2. พื้นที่ที่ตองการ แสดงไดดังนี้ Y 4 y=x+1 2 -4

-2

ให A แทนพืน้ ที่ที่ปดลอมดวยเสนโคงของ y = x + 1 จาก x = –1 ถึง x = 1 เนื่องจาก f(x) ≥ 0 สําหรับทุก x ที่อยูในชวง [–1, 1] 1 จะได A = ∫ −1 (x + 1)dx = = =

1 x2 + x) −1 2 1 1 ( + 1) − ( − 1) 2 2

(

ตารางหนวย

175 3. พื้นที่ที่ตองการ แสดงไดดังนี้

Y 8 y = 6 + x – x2 4

-4

-2

ให A แทนพืน้ ที่ที่ปดลอมดวยเสนโคงของ y = 6 + x – x2 จาก x = –1 ถึง x = 1 เนื่องจาก f(x) ≥ 0 สําหรับทุก x ที่อยูในชวง [–1, 1] 1 2 จะได A = ∫ −1 (6 + x − x )dx = = =

x2 x 3 1 (6x + − ) 2 3 −1 1 1 1 1 (6 + − ) − (−6 + + ) 2 3 2 3 34 ตารางหนวย 3

4. พื้นที่ที่ตองการ แสดงไดดังนี้ Y y = 9 – x2

8 4 -4

-2

176 ให A แทนพืน้ ที่ที่ปดลอมดวยเสนโคงของ y = 9 – x2 จาก x = –3 ถึง x = 3 เนื่องจาก f(x) ≥ 0 สําหรับทุก x ที่อยูในชวง [–3, 3] 3 2 จะได A = ∫ −3 (9 − x )dx =

x3 3 (9x − ) 3 −3

= =

(27 – 9) – (–27 + 9) 36 ตารางหนวย

5. พื้นที่ที่ตองการ แสดงไดดังนี้ Y 10 0

-5

-10 y = x 2 − 25

-20 -30 ให A แทนพืน้ ที่ที่ปดลอมดวยเสนโคงของ y = x2 – 25 จาก x = –1 ถึง x = 3 เนื่องจาก f(x) ≤ 0 สําหรับทุก x ที่อยูในชวง [–1, 3] 3 − ∫ (x 2 − 25)dx จะได A = −1 = = =

3 x3 − 25x) −1 3 1 −[(9 − 75) − (− + 25)] 3 272 ตารางหนวย 3

−(

177 Y

2 -1 0

-2

y = f(x)

พื้นที่ปดลอมดวยกราฟ y = f(x) กับแกน X จาก x = 0 ถึง x = 1 ซึ่งมีพื้นที่เทากับ 1 × 1× 2 2

= 1 ตารางหนวย

จากทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส จะไดวา 1 F(1) – F(0) = ∫ 0 f (x)dx

–1

ดังนั้น F(1) = –1 + 0 = –1 พื้นที่ปดลอมดวยกราฟ y = f(x) กับแกน X จาก x = 1 ถึง x = 2 ซึ่งมีพื้นที่เทากับ 1 × 1× (2 + 1) 2

3 2

ตารางหนวย

จากทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส จะไดวา ดังนั้น

F(2) – F(1)

∫

F(2)

3 − −1 2

f (x)dx

= =

3 2 5 − 2 −

พื้นที่ที่ปดลอมดวยกราฟ y = f(x) จาก x = 2 ถึง x = 3 ซึ่งมีพื้นที่เทากับ 1 × 1× 1 2

1 2

ตารางหนวย

จากทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส จะไดวา ดังนั้น

F(3) – F(2)

∫

F(3)

1 5 − − 2 2

f (x)dx

−

–3

1 2

พื้นที่ปดลอมดวยกราฟ y = f(x) กับแกน X จาก x = 3 ถึง x = 4 ซึ่งมีพื้นที่เทากับ 1 × 1× 1 2

1 2

ตารางหนวย

จากทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส จะไดวา ดังนั้น

F(4) – F(3)

∫

F(4)

1 −3 2

f (x)dx

1 2

−

5 2

178 พื้นที่ที่ปดลอมดวยกราฟ y = f(x) กับแกน X จาก x = 4 ถึง x = 5 ซึ่งมีพื้นที่เทากับ 1 × 1× 1 2

1 2

ตารางหนวย

จากทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส จะไดวา 5

F(5) – F(4)

∫

∴ F(5)

1 5 − 2 2

f (x)dx

1 2

–2

ดังนั้น F(b) มีคา –1, − 5 , –3, − 5 , –2 เมื่อ b = 1, 2, 3, 4, 5 ตามลําดับ 2

7. เนื่องจากพื้นทีป่ ดลอม F′(x) กับแกน X บน [0, 2] เทากับ 5 2 จะได 5 ∫ 0 F′(x)dx = จากทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส จะได F(2) – F(0) =

∫

2 0

F′(x)dx

F(2)

= 5+3 = 8 เนื่องจากพื้นทีป่ ดลอม F′(x) กับแกน X บน [2, 5] เทากับ 16 5 –16 จะได ∫ 2 F′(x)dx = จากทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส จะได F(5) – F(2) =

∫

5 2

F′(x)dx

F(5)

= –16 + 8 = –8 เนื่องจากพื้นทีป่ ดลอม F′(x) กับแกน X บน [5, 6] เทากับ 10 6 10 จะได ∫5 F′(x)dx = จากทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส จะได F(6) – F(5) = F(6)

= =

∫

6 5

F′(x)dx

10 – 8 2

187

เฉลยแบบฝกหัด 3.1 1. (1, 1)

อยูในกราฟของอสมการ 2x + y > 2

(–1, 3), ( 1 ,

1 ) 4 2

อยูในกราฟของอสมการ 2x + y < 2

(2, –2)

อยูบนเสนตรงซึ่งเปนกราฟของ 2x + y = 2

2. (1) x < 2

(2) Y

x=2

O (3) y

≤

y>3 Y

y=3 X

O (4)

≥

–1

x = –1 Y y=3 X

O (5) 2x + 2y < 4 Y

(7) 3y – x

(6)

(0, 2) (2, 0)

≤

y + 2x > 2 Y (0, 2)

(8)

≤

Y (–6, 0)

(1, 0) 2y – 2 Y

(0, 2) O

(–2, 0)

(0, 1)

188

เฉลยแบบฝกหัด 3.2 1. (1)

x = –1

(2)

x=1

Y y=2

O Y y – 2x = 2

(3)

O (4)

x+y=1

(0, 2) (–1, 0)

(5)

x + 3y = 3 2. (1) 2x + y x y (3) 2x + y 4x – y x (5)

3x + 2y x + 3y x y

≤ ≥ ≥ ≤ ≤ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥

(3, 0)

4 0 0 10 8 0 12 11 0 0

(6)

x=y 3 3 ( , ) 4 4

(0, 1) O

ไมมีบริเวณทีซ่ อนทับกันของ อสมการ 0 ≤ x ≤ 2 และ y ≥ 0 และ 2x – 3y ≥ 12

X (2) (4)

(6)

x–y x + 2y y 4x + y x + 3y x y 3x + y x+y 2x + 5y x y

(0, 1) (1, 0)

≥ ≤ ≥ ≤ ≤ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥

1 6 0 16 15 0 0 180 100 260 0 0

X y = –2

189

เฉลยแบบฝกหัด 3.3 1. (1)

P = 5x + 3y ≤ 80 2x + 4y 5x + 2y ≤ 80 ≥ 0 x y ≥ 0 กราฟของอสมการขอจํากัด คือ Y (0, 40) 5x + 2y = 80 (0, 20)

(10, 15)

(16, 0)

2x + 4y = 80 (40, 0)

จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ (0, 0), (0, 20), (10, 15) และ (16, 0) เมื่อแทนคาพิกดั ของจุดมุมขางตนในฟงกชนั จุดประสงค จะไดคา P ดังนี้ (x, y) (0, 0) (0, 20) (10, 15) (16, 0)

5x 0 0 50 80

3y 0 60 45 0

ดังนั้น จุดมุม (10, 15) ใหคา P มากที่สุด นั่นคือ คาสูงสุดของ P คือ 95 เมื่อ x = 10 และ y = 15

P = 5x + 3y 0 60 95 80

190 (2)

P = 15x + 10y 3x + 2y ≤ 80 2x + 3y ≤ 70 ≥ 0 x y ≥ 0 กราฟของอสมการขอจํากัด คือ Y (0, 40) 3x + 2y = 80 หรือ 15x + 10y = 400 (0, 23 13 ) (20, 10) O

2 (26 , 0) 3

2x + 3y = 70 (35, 0) X

จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ (0, 0), (0, 23 1 ), (20, 10) และ ( 26 2 , 0) 3

เมื่อแทนคาพิกดั ของจุดมุมขางตนในฟงกชนั จุดประสงค จะไดคา P ดังนี้ (x, y) (0, 0) (0, 23 1 ) 3

(20, 10) ( 26 2 , 0) 3

15x 0 0

10y 0 233.33

P = 15x +10y 0 233.33

300 400

100 0

400 400

ดังนั้น จุดมุม (20, 10) หรือ ( 26 2 , 0) จะใหคา P เทากันคือ 400 3

นั่นคือ คาสูงสุดของ P คือ 400 เมื่อ x = 20 และ y = 10 หรือ x = 26 2 3

และ y = 0 แตสังเกตวา เสนตรงที่ผานจุด (20, 10)

และจุด ( 26 2 , 0) 3

คือ

สมการ 3x + 2y = 80 หรือ 15x + 10y = 400 แสดงวายังมีอีกหลายจุดที่เปนคําตอบ

191 (3)

P = 35x1 – 25x2 2x1 + 3x2 ≤ 15 3x1 + x2 ≤ 12 ≥ 0 x1 x2 ≥ 0 กราฟของอสมการขอจํากัด คือ X2 (0, 12) 3x1 + x2 = 12 (0, 5)

(3, 3) (4, 0)

2x1 + 3x2 = 15 ( 152 , 0) X1

จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ (0, 0), (0, 5), (3, 3) และ (4, 0) เมื่อแทนคาพิกดั ของจุดมุมขางตนในฟงกชนั จุดประสงค จะไดคา P ดังนี้ (x1, x2) (0, 0) (0, 5) (3, 3) (4, 0)

35x1 0 0 105 140

25x2 0 125 75 0

ดังนั้น จุดมุม (4, 0) ใหคา P มากที่สุด นั่นคือ คาสูงสุดของ P คือ 140 เมื่อ x1 = 4 และ x2 = 0

P = 35x1 – 25x2 0 –125 30 140

192 (4)

P x+y 5x + 2y x y x y

2x + 3y 4 25 4 5 0 0

≥ ≤ ≤ ≤ ≥ ≥

กราฟของอสมการขอจํากัด คือ Y (0,

25 ) 2

5x + 2y = 25 x=4

(0, 5)

y=5

(3, 5)

(0, 4)

(4, 5 ) 2

x+y=4 O

(4, 0)

(5, 0)

จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ (0, 4), (0, 5), (3, 5), (4, 5 ) และ (4, 0) 2

เมื่อแทนคาพิกดั ของจุดมุมขางตนในฟงกชนั จุดประสงค จะไดคา P ดังนี้ (x, y) (0, 4) (0, 5) (3, 5) (4, 5 )

2x 0 0 6 8

3y 12 15 15 7.5

P = 2x + 3y 12 15 21 15.5

(4, 0)

ดังนั้น จุดมุม (3, 5) ใหคา P มากที่สุด นั่นคือ คาสูงสุดของ P คือ 21 เมื่อ x = 3 และ y = 5

193 (5)

P x + 2y 3x + 2y x y

= ≤ ≤ ≥ ≥

100x + 80y 800 1200 0 0

กราฟของอสมการขอจํากัด คือ Y (0, 600) (0, 400)

3x + 2y = 1200 (200, 300)

(400, 0)

x + 2y = 800 (800, 0)

จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ (0, 400), (200, 300), (400, 0), และ (0, 0) เมื่อแทนคาพิกดั ของจุดมุมขางตนในฟงกชนั จุดประสงค จะไดคา P ดังนี้ (x, y) (0, 0) (0, 400) (200, 300) (400, 0)

100x 0 0 20000 40000

80y 0 32000 24000 0

P = 100x + 80y 0 32000 44000 40000

ดังนั้น จุดมุม (200, 300) ใหคา P สูงสุด นั่นคือ คาสูงสุดของ P คือ 44000 เมื่อ x = 200 และ y = 300

194 (6)

P = 300x + 200y 6x + 6y ≤ 420 3x + 6y ≤ 300 ≤ 240 4x + 2y x ≥ 0 y ≥ 0 กราฟของอสมการขอจํากัด คือ 4x + 2y = 240

Y (0, 120)

6x + 6y = 420 (0, 70) 3x+ 6y = 300 (0, 50) (40, 30) (50, 20) O

(60, 0)

(70, 0)

(100, 0)

จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ (0, 50), (40, 30), (50, 20), (60, 0) และ (0, 0) เมื่อแทนคาพิกดั ของจุดมุมขางตนในฟงกชนั จุดประสงค จะไดคา P ดังนี้ (x, y) (0, 0) (0, 50) (40, 30) (50, 20) (60, 0)

300x 0 0 12000 15000 18000

200y 0 10000 6000 4000 0

P = 300x + 200y 0 10000 18000 19000 18000

ดังนั้น จุดมุม (50, 20) ใหคา P สูงสุด นั่นคือ คาสูงสุดของ P คือ 19000 เมื่อ x = 50 และ y = 20

195 2. (1)

C 3x + 4y x + 3y x y

= ≥ ≥ ≥ ≥

9x + 15y 25 15 0 0

กราฟของอสมการขอจํากัด คือ Y

(0,

25 ) 4

3x + 4y = 25 x + 3y = 15

(3, 4)

(0, 5)

(15, 0)

25 ( , 0) 3

จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ (0,

25 ), (3, 4) 4

และ (15, 0)

เมื่อแทนคาพิกดั ของจุดมุมขางตนในฟงกชนั จุดประสงค จะไดคา C ดังนี้ (x, y) (0,

25 ) 4

(3, 4) (15, 0)

9x 0

15y 93.75

C = 9x + 15y 93.75

27 135

60 0

87 135

ดังนั้น จุดมุม (3, 4) ใหคา C ต่ําสุด นั่นคือ คาต่ําสุดของ C คือ 87 เมื่อ x = 3 และ y = 4

196 (2)

C 2x1 + x2 2x1 + 3x2 x1 x2

28x1 + 35x2 110 170 0 0

≥ ≥ ≥ ≥

กราฟของอสมการขอจํากัด คือ X2

(0, 110)

(0,

2x1 + x2 = 110

170 ) 3

2x1 + 3x2 = 170 (40, 30)

(55, 0)

(85, 0)

จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ (0, 110), (40, 30) และ (85, 0) เมื่อแทนคาพิกดั ของจุดมุมขางตนในฟงกชนั จุดประสงค จะไดคา C ดังนี้ (x1, x2) (0, 110) (40, 30) (85, 0)

28x1 0 1120 2380

35x2 3850 1050 0

ดังนั้น จุดมุม (40, 30) ใหคา C ต่ําสุด นั่นคือ คาต่ําสุดของ C คือ 2170 เมื่อ x1 = 40 และ x2 = 30

C = 28x1 + 35x2 3850 2170 2380

197 (3)

C 6y1 + 2y2 2y1 + 2y2 4y1 + 12y2 y1 y2

= ≥ ≥ ≥ ≥ ≥

40000y1 + 32000y2 12 8 24 0 0

กราฟของอสมการขอจํากัด คือ Y2

(0, 6) (0, 4)

6y1 + 2y2 = 12

(1, 3)

(0, 2) O

2y1 + 2y2 = 8 (3, 1)

(2, 0)

(4, 0)

4y1 + 12y2 = 24 (6, 0)

จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ (0, 6), (1, 3), (3, 1) และ (6, 0) เมื่อแทนคาพิกดั ของจุดมุมขางตนในฟงกชนั จุดประสงค จะไดคา C ดังนี้ (y1, y2) (0, 6) (1, 3) (3, 1) (6, 0)

40000y1 0 40000 120000 240000

32000y2 192000 96000 32000 0

C = 40000y1 + 32000y2 192000 136000 152000 240000

ดังนั้น จุดมุม (1, 3) ใหคา C ต่ําสุด นั่นคือ คาต่ําสุดของ C คือ 136000 เมื่อ y1 = 1 และ y2 = 3

198 3. (1) 160000x + 80000y 90x + 54y หรือ 2x + y 5x + 3y

≤ ≤ ≤ ≤

2720000 1620

(เงินลงทุนซื้อเครื่องจักร) (พื้นที่สําหรับวางเครื่องจักร)

34 90

Y (0, 34) (0, 30)

2x + y = 34

(12, 10) O

(17, 0)

(18, 0)

5x + 3y = 90 X

(2) รายไดตอวัน P = 7500x + 4200y (x, y) (0, 0) (0, 30) (12, 10) (17, 0)

7500x 0 0 90000 127500

4200x 0 126000 42000 0

P = 7500x + 4200y 0 126000 132000 127500

โรงงานนี้ควรซื้อเครื่องจักรชนิด A และเครื่องจักรชนิด B อยางละ 12 เครื่อง และ 10 เครื่อง ตามลําดับ รายไดตอวันสูงสุดคือ 132000 บาท

199 4. (1)

x+y 10x + 30y

≤

x+y x + 3y

≤

10 180

(จํานวนพนักงาน) (เวลาที่ใชในการจัดกลองขึ้นรถ)

หรือ ≤

10 18

Y (0, 10) (0, 6)

x + y = 10 x + 3y = 18

(6, 4)

(18, 0)

(10, 0)

(2) จํานวนกลองที่ขนสงไดตอวัน P = 30x + 70y (x, y) (0, 0) (0, 6) (6, 4) (10, 0)

30x 0 0 180 300

70y 0 420 280 0

P = 30x + 70y 0 420 460 300

บริษัทควรใชรถบรรทุกขนาดเล็กและขนาดใหญอยางละ 6 คัน และ 4 คัน ตามลําดับ จึงจะขนสงผลิตภัณฑใหไดจาํ นวนกลองมากที่สุด

200 5. (1)

1 1 x+ y 5 10

800000x + 500000y หรือ 2x + y 8x + 5y

≤

(เนื้อที่โครงการ)

≤

40000000 90 400

(เงินทุนสรางบานทั้งสองแบบ)

≤ ≤

Y (0, 90) (0, 80)

2x + y = 90

(25, 40) 8x + 5y = 400 O

(45, 0)

(50, 0)

(2) กําไร P = 100000x + 70000y (x, y) (0, 0) (0, 80) (25, 40) (45, 0)

100000x 0 0 2500000 4500000

70000y 0 5600000 2800000 0

P = 100000x + 70000y 0 5600000 5300000 4500000

เจาของโครงการหมูบานจัดสรรควรตัดสินใจสรางทาวนเฮาสอยางเดียว จํานวน 80 หลัง จึงจะไดผลกําไรสูงสุด ผลกําไรสูงสุดคือ 5,600,000 บาท

201 6. ให P เปนกําไร x เปนจํานวนเกาอี้ขาสั้นที่ผลิตในแตละวัน และ y เปนจํานวนเกาอี้ขายาวที่ผลิตในแตละวัน จะเขียนฟงกชนั จุดประสงคและอสมการขอจํากัดไดดังนี้ P = 30x + 50y และ x + 2y ≤ 8 (เวลาที่ตองใชในการผลิตขั้นตน) 2x + 2y ≤ 10 (เวลาที่ตองใชในการผลิตขั้นที่สอง) ≥ 0 x y ≥ 0 โดยที่ x และ y เปนจํานวนเต็ม เขียนกราฟของอสมการขอจํากัดโดยใช x และ y เปนจํานวนจริงไดดงั รูป Y (0, 5) (0, 4)

2x + 2y = 10 (2, 3) x + 2y = 8

(5, 0)

(8, 0)

จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ จุด (0, 0), (0, 4), (2, 3) และ (5, 0) เมื่อแทนคาพิกดั ของจุดมุมขางตนในฟงกชนั จุดประสงค จะไดคา P ดังนี้ (x, y) (0, 0) (0, 4) (2, 3) (5, 0)

30x 0 0 60 150

50y 0 200 150 0

P = 30x + 50y 0 200 210 150

จุดมุม (2, 3) ใหคา P มากทีส่ ุด ดังนั้น ในแตละวันถาใหไดกําไรมากที่สุดควรจะผลิตเกาอี้ขาสั้น จํานวน 2 ตัว และเกาอี้ ขายาว จํานวน 3 ตัว และจะไดกําไร 210 บาท

202 7. ให P เปนกําไร x เปนจํานวนจอภาพธรรมดาทีค่ วรผลิตตอสัปดาห และ y เปนจํานวนจอภาพแบนที่ควรผลิตตอสัปดาห จะเขียนฟงกชนั จุดประสงคและอสมการขอจํากัดไดดังนี้ P = 1800x + 2200y และ x+y ≤ 300 (จํานวนจอภาพทั้งสองชนิดที่ผลิต) 3600x + 5400y ≤ 1,296,000 (ตนทุนการผลิต) ≥ 0 x y ≥ 0 โดยที่ x และ y เปนจํานวนเต็ม เขียนกราฟของอสมการขอจํากัดโดยใช x และ y เปนจํานวนจริงไดดงั รูป Y (0, 300)

x + y = 300

(0, 240) (180, 120) 3600x + 5400y = 1296000 O

(300, 0)

(360, 0) X

จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ จุด (0, 0), (0, 240), (180, 120) และ (300, 0) และเมื่อแทนคาพิกัดของจุดมุมขางตนในฟงกชันจุดประสงค จะไดคา P ดังนี้ (x, y) (0, 0) (0, 240) (180, 120) (300, 0)

1800x 0 0 324,000 540,000

2200y 0 528,000 264,000 0

P = 1800x + 2200y 0 528,000 588,000 540,000

จุดมุม (180, 120) ใหคา P มากที่สุด ดังนั้น ในแตละสัปดาหควรจะผลิตจอภาพธรรมดา จํานวน 180 ชิน้ และจอภาพแบนจํานวน 120 ชิ้น จึงไดกําไรมากที่สุดคือไดกําไร 588,000 บาท

203 8. ให P เปนกําไร x เปนจํานวนชุดกลางวันที่ควรจะตัด y เปนจํานวนชุดราตรีที่ควรจะตัด จะเขียนฟงกชนั จุดประสงคและอสมการขอจํากัดไดดังนี้ P = 300x + 500y และ 2x + y ≤ 16 (ผาสีพื้นที่ตองใช) x + 3y ≤ 15 (ผาลายดอกทีต่ องใช) ≤ 11 (ผาลูกไมที่ตองใช) x + 2y x ≥ 0 y ≥ 0 โดยที่ x และ y เปนจํานวนเต็ม เขียนกราฟของอสมการขอจํากัดโดยใช x และ y เปนจํานวนจริงไดดงั รูป Y (0, 16) 2x + y = 16 (0,

11 ) 2

(7, 2)

(0, 5)

x + 2y = 11

(3, 4) O

(8, 0)

x + 3y = 15 X (11, 0) (15, 0)

จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ จุด (0, 0), (0, 5), (3, 4), (7, 2) และ (8, 0) และเมื่อแทนคาพิกัดของจุดมุมขางตนในฟงกชันจุดประสงค จะไดคา P ดังนี้ (x, y) 300x 500y P = 300x + 500y (0, 0) 0 0 0 (0, 5) 0 2500 2500 (3, 4) 900 2000 2900 (7, 2) 2100 1000 3100 (8, 0) 2400 0 2400 จุดมุม (7, 2) ใหคา P มากทีส่ ุด ดังนั้น ชางตัดเสื้อควรจะตัดชุดกลางวัน 7 ชุด และชุดราตรี 2 ชุด จึงจะไดกําไรมากที่สุด คือมีกําไร 3,100 บาท

204 9. ให C แทนคาแรงทีต่ องจายใหคนงาน 2 คน x แทนจํานวนชัว่ โมงในการทํางานของคนงานคนแรก และ y แทนจํานวนชัว่ โมงในการทํางานของคนงานคนที่สอง จะเขียนฟงกชนั จุดประสงคและอสมการขอจํากัดไดดังนี้ C = 25x + 22y และ x+y ≥ 5 (จํานวนตู) 3x + 2y ≥ 12 (จํานวนโตะ) ≥ 18 (จํานวนชั้นวางหนังสือ) 3x + 6y x ≥ 0 y ≥ 0 โดยที่ x และ y เปนจํานวนเต็ม เขียนกราฟของอสมการขอจํากัดโดยใช x และ y เปนจํานวนจริงไดดงั รูป Y 3x + 2y = 12

(0, 6)

x+y=5

(0, 5) (0, 3)

(2, 3)

(4, 1)

(4, 0) (5, 0)

3x + 6y = 18 (6, 0) X

จุดมุมที่ไดจากอสมการขอจํากัดคือ จุด (0, 6), (2, 3), (4, 1) และ (6, 0) เมื่อแทนคาพิกดั ของจุดมุมขางตนในฟงกชนั จุดประสงค จะไดคา C ดังนี้ (x, y) 25x 22y C = 25x + 22y (0, 6) 0 132 132 (2, 3) 50 66 116 (4, 1) 100 22 122 (6, 0) 150 0 150 จุดมุม (2, 3) ใหคา C ต่ําที่สุด ดังนั้น ถาตองการใหเสียคาแรงนอยที่สุดเขาควรจะจางคนงานคนที่หนึง่ ทํางาน 2 ชั่วโมง และจางคนงานคนที่สองทํางาน 3 ชั่วโมง