basic-m3-2-finished by Nett

คณิ ตศาสตร์พ นื ฐาน ชั นมัธยมศึกษาปี ที 3

เล่ม 2

สารบัญ หนา คําชี้แจง คําชี้แจงการใชคูมือครู กําหนดเวลาสอนโดยประมาณ บทที่ 1 อสมการ ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป แนวทางในการจัดการเรียนรู 1.1 อสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว จุดประสงค ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1.2 การแกอสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว จุดประสงค ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1.3 โจทยปญหาเกีย่ วกับอสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว จุดประสงค ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม บทที่ 2 ความนาจะเปน ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป แนวทางในการจัดการเรียนรู 2.1 ความนาจะเปน จุดประสงค ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 2.2 การทดลองสุมและเหตุการณ จุดประสงค ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 2.3 ความนาจะเปนของเหตุการณ จุดประสงค ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน

ก ง 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 11 11 12 12 12 12 13 13 13 14 14 15

2.4 ความนาจะเปนกับการตัดสินใจ จุดประสงค ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม บทที่ 3 สถิติ ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป แนวทางในการจัดการเรียนรู 3.1 ขอมูลและการนําเสนอขอมูล จุดประสงค ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 3.2 คากลางของขอมูล จุดประสงค ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม บทที่ 4 ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป แนวทางในการจัดการเรียนรู 4.1 กิจกรรมพัฒนาทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร จุดประสงค ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 4.2 ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรกบั ตรีโกณมิติ จุดประสงค ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม คณะกรรมการจัดทําสื่อการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร ระดับมัธยมศึกษาตอนตน

16 16 16 17 25 25 26 26 26 26 28 28 28 30 43 44 45 45 45 45 48 48 48 49

5 2. เมื่อนักเรียนแกอสมการและหาคําตอบได ครูควรฝกใหนักเรียนตรวจสอบคําตอบที่ไดวาตรง กับเงื่อนไขในโจทยหรือไม และควรชี้ใหนักเรียนเห็นวาคําตอบของโจทยปญหาอาจเปนเพียงบางคําตอบ ของอสมการที่หาได ทั้งนี้ขนึ้ อยูกับเงื่อนไข เชน ถาเปนความยาวจะเปนจํานวนบวก นักเรียนตอง ตรวจสอบคําตอบและความสมเหตุสมผลของคําตอบตามเงื่อนไขของโจทยแตละขอ 3. กิจกรรม “คิดหนอย” เปนโจทยเชื่อมโยงความรูเรือ่ งอัตราสวนกับอสมการเชิงเสน ตัวแปรเดียว 4. กิจกรรม “อสมการอิงรูปสามเหลี่ยม” เปนกิจกรรมที่แสดงถึงการเชื่อมโยงความรูเรื่อง อสมการไปใชในการแกปญหาทางเรขาคณิต ความรูเรือ่ งอสมการอิงรูปสามเหลี่ยมจะนําไปใชมากใน คณิตศาสตรระดับสูงขึ้นไป

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม คําตอบแบบฝกหัด 1.1 1. 1) 3x + 6 < 20 2) 3x < 18 3) x + 7 > 25 4) 157 x ≠ 105 5) 43 (x – 2) < 40

6) 2(x – 4) < 5(x + 8) 7) 43 x + 8 < 15 2. 1)

-18

-9

-6

-3

-12

-6

6 4)

-10

-6

3. 1) 2) 3) 4) 5) 6)

จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวา -2 จํานวนจริงทุกจํานวนที่นอยกวาหรือเทากับ 8 จํานวนจริงทุกจํานวนที่นอยกวา 15 จํานวนจริงทุกจํานวนยกเวน -6 จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวา 10 แตนอยกวาหรือเทากับ 30 จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวาหรือเทากับ -150 แตนอยกวาหรือเทากับ 50

คําตอบกิจกรรม “นาคิด” 1. ไมถูกตอง 2. ไมถูกตอง 3. ไมถูกตอง 4. ถูกตอง

5. ไมถูกตอง 6. ไมถูกตอง

ตัวอยางเชน a = 1, b = 2 และ c = -5 จะได 1 < 2 แต (1)(-5) > (2)(-5) หรือ -5 > -10 ตัวอยางเชน a = -10 และ b = 3 จะได -10 < 3 แต (-10)2 > 32 หรือ 100 > 9 ตัวอยางเชน a = 2 และ b = -3 จะได 22 < (-3)2 หรือ 4 < 9 แต 2 > -3 เนื่องจากเมือ่ a, b และ c แทนจํานวนจริงใด ๆ ถา a < b แลว -a > -b (สมบัติการคูณของการไมเทากัน) -a + c > -b + c (สมบัติการบวกของการไมเทากัน) หรือ c–a > c–b ตัวอยางเชน a = -2, b = 1 และ c = 0 จะได -2 < 1 แต (-2)2 – 02 > 12 – 02 หรือ 4 > 1 ตัวอยางเชน a = -5 และ b = 5 จะได -5 ≠ 5 แต (-5)2 = 52 หรือ 25 = 25

คําตอบแบบฝกหัด 1.2 1. 1) จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวาหรือเทากับ 7 5 า2 6 2) จํานวนจริงทุกจํานวนที่นอยกว -1

3) จํานวนจริงทุกจํานวนที่นอยกวาหรือเทากับ 12 -6

-7

4) จํานวนจริงทุกจํานวนที่ยกเวน 4 0

5) จํานวนจริงทุกจํานวนที่นอยกวา 7 -14

6) จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวาหรือเทากับ 13 11

111

148

7) จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวา 5 -5

8) จํานวนจริงทุกจํานวนยกเวน 111 0

15 9) จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวา 14 2

1 15

10) จํานวนจริงทุกจํานวนยกเวน 5 -5

8 2. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12)

จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวา 26 จํานวนจริงทุกจํานวนที่นอยกวา -2 จํานวนจริงทุกจํานวนที่นอยกวาหรือเทากับ 5 จํานวนจริงทุกจํานวนที่นอยกวาหรือเทากับ -3 จํานวนจริงทุกจํานวนที่นอยกวา 1 จํานวนจริงทุกจํานวนยกเวน -83 จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวาหรือเทากับ 31 จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวาหรือเทากับ 72 จํานวนจริงทุกจํานวนที่นอยกวาหรือเทากับ 3 จํานวนจริงทุกจํานวนที่นอยกวา 15 79 จํานวนจริงทุกจํานวนยกเวน -4 จํานวนจริงทุกจํานวนยกเวน 0

คําตอบกิจกรรม “บอกหนอยซิ” 1) ไมมีจํานวนจริงใดเปนคําตอบ ตัวอยางแนวคิด จํานวนใดจํานวนหนึ่งลบดวย 2 ยอมมากกวาจํานวนนัน้ ลบดวย 3 ดังนั้น ไมมจี ํานวนใดลบดวย 2 แลวยังนอยกวาจํานวนนั้นลบดวย 3 2) จํานวนจริงทุกจํานวน ตัวอยางแนวคิด สองเทาของจํานวนใดจํานวนหนึ่ง ยอมมากกวาสองเทาของจํานวนนัน้ ลบดวย 1 3) จํานวนจริงทุกจํานวน ตัวอยางแนวคิด จํานวนใดจํานวนหนึ่งลบดวย 2 ยอมนอยกวาจํานวนนัน้ บวกดวย 1 4) จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวา 0 ตัวอยางแนวคิด สองเทาของจํานวนบวก ยอมมากกวาจํานวนนัน้ หรือ 2y > y 2y – y > 0 ดังนั้น y > 0

คําตอบแบบฝกหัด 1.3 1. 2. 3. 4. 5.

249 หนา 48 เหรียญ 11 และ 12 135 ตารางเซนติเมตร จํานวนนักเรียนหอง ก ที่เปนไปไดคือ 24, 30, 36, ..., 48 ( 23 ของจํานวนนักเรียนหอง ก และ 12 ของนักเรียนหอง ข ตองเปนจํานวนนับ) 6. ควรบรรจุมะมวงใสลังอยางนอยลังละ 55 ผล อยางมากลังละ 75 ผล

คําตอบกิจกรรม “คิดหนอย” คําตอบ แนวคิด

เดิมแชมเลีย้ งสัตวไวทั้งหมดเปนจํานวนใดจํานวนหนึ่งในจํานวนตอไปนี้ 1002, 1008, 1014, ..., 1398 ใหแชมเลี้ยงสัตวไวทั้งหมด x ตัว ขายเปดไป 500 ตัว ขายไกไป 200 ตัว ดังนั้น ขายสัตวไปทั้งหมด 700 ตัว นั่นคือ จะเหลือสัตวทั้งหมด x – 700 ตัว แตเหลือสัตวไมถึงครึ่งหนึ่งของจํานวนสัตวเดิม จะได x – 700 < x2 ดังนั้น x < 1400 --------------- (1) จากอัตราสวน เปด : ไก : กระตาย = 3 : 2 : 1 นั่นคือ เมื่อมีสัตวทั้งหมด 6 ตัว จะเปนเปด 3 ตัว ไก 2 ตัว และกระตาย 1 ตัว ดังนั้น ถามีสัตว x ตัว จะเปนเปด 63 x ตัว ไก 26 x ตัว และกระตาย x6 ตัว เนื่องจากขายเปดไป 500 ตัว แสดงวามีเปดอยางนอย 500 ตัว 3 ดังนั้น 6 x > 500 x > 1000 --------------- (2) และขายไกไป 200 ตัว 2 x > 200 ดังนั้น 6 x > 600 --------------- (3)

10 จาก (1), (2) และ (3) จะได 1000 < x < 1400 และจากอัตราสวนของจํานวนเปด ไก และกระตาย เปน 3 : 2 : 1 ดังนั้น จํานวนสัตวทั้งหมดคือ x ตองหารดวย 6 ลงตัว ซึ่งจํานวนทีอ่ าจเปนไปได ไดแก 1002, 1008, 1014, ..., 1398 นั่นคือ แชมเลีย้ งสัตวไวทั้งหมดเปนจํานวนใดจํานวนหนึง่ ดังขางตน

คําตอบกิจกรรม “อสมการอิงรูปสามเหลี่ยม” 1. (1) สวนของเสนตรงในขอ 1) และ 3) สามารถประกอบเปนรูปสามเหลี่ยมได เพราะผลบวกของ ความยาวของดานสองดานใด ๆ จะยาวกวาความยาวของดานที่เหลือ (2) สวนของเสนตรงในขอ 2) และ 4) ไมสามารถประกอบเปนรูปสามเหลี่ยมได เพราะมีผลบวก ของความยาวของดานสองดาน บางคูไมยาวกวาความยาวของดานที่เหลือ ดังนี้ ในขอ 2) ผลบวกของความยาวของดานที่ยาว 7 และ 9 ซึ่งเทากับ 16 เซนติเมตร สั้นกวาความยาวของดานที่เหลือซึ่งยาว 17 เซนติเมตร ในขอ 3) ผลบวกของความยาวของดานที่ยาว 4 และ 11 ซึ่งเทากับ 15 เซนติเมตร ไมยาวกวาความยาวของดานที่เหลือซึ่งยาว 15 เซนติเมตร 2. 1) 6 < AB < 24 2) 23 < AB < 196

17 7. กิจกรรม “ลีลาวดีลูกผสม” มีเจตนาเพื่อใหนักเรียนเห็นตัวอยางของการเชื่อมโยงที่นํา ความรูเรื่องความนาจะเปนมาอธิบายปรากฏการณทางวิทยาศาสตร ครูอาจใหนักเรียนรวมกันอภิปรายและ ตอบคําถามในกิจกรรม

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม คําตอบกิจกรรม “คิดอยางไร” สถานการณ 1 สถานการณ 2 สถานการณ 3 สถานการณ 4

กองคิดวามีโอกาสที่จะขึ้นรถเมลที่ปายตรงจุด C ไดมากกวาที่ปา ยตรงจุด B แกวคิดวามีโอกาสที่ฝนจะตกในเวลาอันใกล ออคิดวามีโอกาสที่จะเขาเรียนไดในโรงเรียน ข มากกวาในโรงเรียน ก คนเมาแลวขับรถมีโอกาสเกิดอุบัติเหตุสูง

คําตอบกิจกรรม “ไดเปรียบหรือไม” 1. 2. 3. 4.

ถุงที่สาม เพราะในถุงมีลูกแกวสีแดงมากกวาลูกแกวสีเขียว ถุงที่สอง เพราะในถุงมีลูกแกวสีเขียวอยางเดียว ถุงที่สอง ถุงที่หนึ่ง

คําตอบกิจกรรม “เปนหรือไม” 1. 2. 3. 4. 5. 6.

เปน เปน ไมเปน เปน เปน ไมเปน

คําตอบแบบฝกหัด 2.2 1. 1) ชาย ชาย, ชาย หญิง, หญิง ชาย และ หญิง หญิง

18 2) เตาสวน บัวลอย, เตาสวน ถั่วดํา, เตาสวน กลวยบวชชี, บัวลอย ถั่วดํา, บัวลอย กลวยบวชชี และ ถั่วดํา กลวยบวชชี 3) ไทย พมา, ไทย ลาว, ไทย บรูไน, ไทย มาเลเซีย, พมา ลาว, พมา บรูไน, พมา มาเลเซีย, ลาว บรูไน, ลาว มาเลเซีย และ บรูไน มาเลเซีย 2. ผลลัพธทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการโยนเหรียญ 1 เหรียญ 3 ครั้ง คือ HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH และ TTT 1) ออกกอย 1 ครั้ง มีผลลัพธ คือ HHT, HTH และ THH 2) ออกหัวนอยกวาออกกอย มีผลลัพธ คือ HTT, THT, TTH และ TTT 3) ออกกอยมากกวา 2 ครั้ง มีผลลัพธ คือ TTT 4) ไมมีผลลัพธของเหตุการณออกหัวและออกกอยจํานวนครั้งเทากัน 3. ผลลัพธทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการหมุนแปน 2 แปนพรอมกัน คือ (-1, -4), (-1, +5), (-1, +6), (+2, -4), (+2, +5), (+2, +6), (-3, -4), (-3, +5) และ (-3, +6) 1) ผลบวกเปนจํานวนลบ มีผลลัพธ คือ (-1, -4), (+2, -4) และ (-3, -4) 2) ผลบวกเปน 8 มีผลลัพธ คือ (+2, +6) 3) ไมมีผลลัพธของเหตุการณผลบวกเปน 1 4. เพื่อนจะไดรับลูกอมรสตาง ๆ คือ นม สม, นม องุน, นม สละ, สม องุน, สม สละ และ องุน สละ

คําตอบแบบฝกหัด 2.3 1.

1) 16 2) 63 หรือ 12 3) 63 หรือ 12 4) 46 หรือ 23 1) 158 2) 156 หรือ 25 3) 151 4) 150 หรือ 0

19 3.

1) 87 2) 18 3) 08 หรือ 0 4) 48 หรือ 12 1) 366 หรือ 16 8 หรือ 2 2) 36 9 3) 1 4) 30 36 หรือ 5) 366 หรือ 2 หรือ 1 12 6

5 6 1 6

คําตอบกิจกรรม “คาดการณอยางไร” ตัวอยางคําตอบ สถานการณ 1

สถานการณ 2

สถานการณ 3

จุรีนาจะไดรับประทานสมโชกุน เนื่องจากจํานวนสมโชกุนมากกวาจํานวนสมอื่น ๆ แตละชนิด ทําให ความนาจะเปนที่ลูกชายของจุรีจะหยิบไดสมโชกุนมากกวาความนาจะเปนที่จะ หยิบไดสมสายน้ําผึ้ง และมากกวาความนาจะเปนที่จะหยิบไดสมบางมด เนื่องจากความนาจะเปนที่จะจับฉลากไดเรียนในโรงเรียน ก เทากับ 120 200 หรือ 6 300 10 มากกวาความนาจะเปนที่จะจับฉลากไดเรียนในโรงเรียน ข ซึ่งเทากับ 600 หรือ 105 จากขอมูลเกี่ยวกับรายงานอากาศและเหตุการณที่เห็น ทําใหสรุปไดวา มี ความนาจะเปนสูงที่ฝนจะตกในวันนัน้ ดังนั้นวันเพ็ญควรเตรียมรมหรือเสื้อกันฝน ติดตัวไปโรงเรียน และควรออกจากบานเร็วขึ้นเพื่อเผื่อเวลาในการเดินทาง เพราะ อาจมีปญหาการจารจร หรืออุปสรรคอื่น ๆ

20 สถานการณ 4

สถานการณ 5

สถานการณ 6

ปาละเมียดนาจะเตรียมอาหารมาขายเพิ่มขึน้ เนื่องจากมีความนาจะเปนสูงที่ ผูมาสอบจะตองรับประทานอาหารกลางวันที่โรงเรียน เพราะมีการสอบทั้ง ชวงเชาและชวงบาย เมื่อ 2 ปกอนชัยคาดการณทหี่ วังร่ํารวยจากการผลิตผลแกวมังกรออกมาขายและ เปนการตัดสินใจที่ไมถูกตอง ทั้งนี้เนื่องจากชัยไมไดคิดถึงความนาจะเปนที่ ผลแกวมังกรจะลนตลาด เพราะมีชาวสวนคนอื่น ๆ ตางก็ผลิตผลแกวมังกรออก มาดวย เนื่องจากการผลิตสินคาใด ๆ มีโอกาสเกิดความผิดพลาดในการผลิตดวยเหตุ จากชิ้นสวนดอยคุณภาพ หรือฝมือการประกอบสินคาไมไดมาตรฐาน ดังนั้น มีความนาจะเปนที่รถยนตใหมบางคันจะเกิดปญหาในการใช จนตองสงเขาซอม บอย ๆ

คําตอบกิจกรรม “ชวยกันรณรงค” โครงการรณรงคตาง ๆ ของรัฐบาลมีการนําความรูเกีย่ วกับความนาจะเปนมาใชเปนประโยชน เนื่องจากไดวิเคราะหมาแลววา ถาไมมีการรณรงคก็มีความนาจะเปนสูงที่จะทําใหสังคม หรือ สิ่งแวดลอมเกิดปญหา และการรณรงคตาง ๆ เปนการใหความรูความเขาใจกับประชาชน เมื่อ ประชาชนมีโอกาสไดฟงไดเห็นบอย ๆ ทําใหมีความนาจะเปนสูงที่ประชาชนจะคลอยตาม และ ปฏิบัติตามการรณรงคนั้น ตัวอยางโครงการรณรงค เชน โครงการปลูกปาถาวรเฉลิมพระเกียรติ และโครงการ ทูบีนัมเบอรวนั

คําตอบกิจกรรม “หวยทอง” 1. คาคาดหมายเทากับ 50 บาท แนวคิดและตัวอยางคําอธิบาย คาคาดหมาย = (ผลตอบแทนที่ถูกรางวัล × ความนาจะเปนของเหตุการณที่ถูกรางวัล) + (ผลตอบแทนที่ไมถกู รางวัล × ความนาจะเปนของเหตุการณทไี่ มถูกรางวัล) 2 ) + ( 0 × 98 ) = ( 2,500 × 100 100 = 50 บาท

21 ดังนั้น คาคาดหมายที่ผซู ื้อจะไดเงินจากการซื้อสลากสองหมายเลขเทากับ 50 บาท แสดงวา ในการซื้อหวยทองหมายเลขละ 100 บาทสองหมายเลข มีคาคาดหมายที่จะไดเงิน 50 บาท ซึ่งเสียเปรียบอยู 200 – 50 = 150 บาท นั่นคือ ถาซื้อหวยทองสองหมายเลขหลาย ๆ ครั้ง โดยเฉลี่ยแลวแตละครั้งผูซื้อจะเสียเปรียบหรือผูขาย มีกําไร 2. ผูขายยังจะไดกําไร แนวคิดและตัวอยางคําอธิบาย คาคาดหมาย = (ผลตอบแทนที่ถูกรางวัล × ความนาจะเปนของเหตุการณที่ถูกรางวัล) + (ผลตอบแทนที่ไมถกู รางวัล × ความนาจะเปนของเหตุการณทไี่ มถูกรางวัล) 1 ) + ( 0 × 99 ) = ( 2,500 × 100 100 = 25 บาท ดังนั้น คาคาดหมายที่ผซู ื้อจะไดเงินจากการซื้อสลาก ราคา 50 บาทเทากับ 25 บาท แสดงวา ในการซื้อหวยทองหนึ่งหมายเลขราคา 50 บาท มีคาคาดหมายทีจ่ ะไดเงิน 25 บาท ซึ่ง เสียเปรียบอยู 50 – 25 = 25 บาท นั่นคือ ถาซื้อหวยทองหมายเลขละ 50 บาทหลาย ๆ ครั้ง โดยเฉลี่ยแลวแตละครั้งผูซื้อจะเสียเปรียบหรือ ผูขายมีกําไร 3. ผูขายยังจะไดกําไร แนวคิดและตัวอยางคําอธิบาย คาคาดหมาย = (ผลตอบแทนที่ถูกรางวัล × ความนาจะเปนของเหตุการณที่ถูกรางวัล) + (ผลตอบแทนที่ไมถกู รางวัล × ความนาจะเปนของเหตุการณทไี่ มถูกรางวัล) 1 ) + ( 0 × 99 ) = ( 5,000 × 100 100 = 50 บาท ดังนั้น คาคาดหมายที่ผซู ื้อจะไดเงินจากการซื้อสลากราคา 100 บาท โดยมีรางวัลเปนสรอยทองคําหนัก สองสลึงหนึ่งเสนราคา 5,000 บาทเทากับ 50 บาท แสดงวา ในการซื้อหวยทองที่มีการขายสลากราคาเดิม แตเพิ่มรางวัลเปนสรอยทองคําหนักสองสลึง หนึ่งเสนราคา 5,000 บาท มีคาคาดหมายที่จะไดเงิน 50 บาท ซึ่งเสียเปรียบอยู 100 – 50 = 50 บาท นั่นคือ ถาซื้อหวยทองหลาย ๆ ครั้ง โดยเฉลี่ยแลวแตละครั้งผูซื้อจะเสียเปรียบหรือผูขายมีกําไร

คําตอบกิจกรรม “ไดหรือไม” 1. 1) 82 หรือ 14 2) 86 หรือ 43

3) คาคาดหมาย เทากับ 5 บาท ตัวอยางคําอธิบาย แสดงวา ในการซื้อตั๋วหมุนวงลอเสี่ยงโชคราคา 10 บาท มีคาคาดหมายที่จะไดเงิน 5 บาท ซึ่งเสียเปรียบอยู 10 – 5 = 5 บาท นั่นคือ ถาแกวซื้อตั๋วหมุนวงลอเสี่ยงโชคหลาย ๆ ครั้ง โดยเฉลี่ยแลวแตละครั้งแกวตาจะ เสียเปรียบหรือผูขายมีกําไร 4) คาคาดหมาย เทากับ 10 บาท ตัวอยางคําอธิบาย แสดงวา ในการซื้อตั๋วหนึ่งใบหมุนวงลอเสี่ยงโชคสองครั้งราคา 10 บาท มีคาคาดหมายที่ จะไดเงิน 10 บาท ซึ่งเสียเปรียบอยู 10 – 10 = 0 บาท นั่นคือ ถาแกวตาซื้อตั๋วหมุนวงลอเสี่ยงโชคหลาย ๆ ใบ โดยเฉลี่ยแลวแตละใบแกวตาจะ เสมอตัว 2. 1) คาคาดหมาย เทากับ 180,000 บาท แนวคิด คาคาดหมาย = (ผลตอบแทนที่ไดงานและมีกาํ ไร × ความนาจะเปนของเหตุการณที่ไดงาน และมีกําไร) + (ผลตอบแทนที่ไมไดงาน × ความนาจะเปนของเหตุการณ ที่ไมไดงาน) = ( 300,000 × 0.6 ) + ( -200,000 × 0.4 ) = 100,000 บาท 2) ตัวอยางคําตอบ บริษัทชาญชัยกอสรางควรเขาประมูลราคา เพราะมีคาคาดหมายทีจ่ ะไดกําไร 100,000 บาท ทั้งทําใหคนงานมีงานทํา ซึ่งถาไมมีงาน อาจตองปลดออก โดยบริษัทอาจ ตองเสียคาใชจายในการปลดออกเปนเงินจํานวนหนึง่ และไมมีรายไดเขามา สวนในกรณี บริษัทเขาประมูลและไมไดงานดวยความนาจะเปน 0.4 ก็ควรจะถือเปนความเสี่ยงทางธุรกิจที่ จะเสียเงินคาใชจายในการเตรียมขอมูล 200,000 บาท

คําตอบกิจกรรม “สลากกินแบงรัฐบาล” คําตอบในตารางเปนดังนี้ เหตุการณ

ผลตอบแทน (บาท)

ถูกรางวัลเลขทาย 2 ตัว

1,000

ถูกรางวัลเลขทาย 3 ตัว

2,000

ถูกรางวัลขางเคียง รางวัลที่หนึ่ง

50,000

ถูกรางวัลที่ 5

10,000

ถูกรางวัลที่ 4

20,000

ถูกรางวัลที่ 3

40,000

ถูกรางวัลที่ 2

100,000

ถูกรางวัลที่ 1

2,000,000

ไมถูกรางวัลเลย

ความนาจะเปน 10,000 1,000,000 4,000 1,000,000 2 1,000,000 100 1,000,000 50 1,000,000 10 1,000,000 5 1,000,000 1 1,000,000 985,832 1,000,000

ผลตอบแทน × ความนาจะเปน

1,000 × 10,000

1,000,000 2,000 × 4,000 1,000,000 50,000 × 2 1,000,000 10,000 × 100 1,000,000 20,000 × 50 1,000,000 40,000 × 10 1,000,000 100,000 × 5 1,000,000 2,000,000 × 1 1,000,000 0 × 985,832 1,000,000

คาคาดหมายของการซื้อสลากหนึ่งฉบับ เทากับ ดังนั้น ถาซื้อสลากกินแบงรัฐบาลไปเรื่อยๆ จะขาดทุนฉบับละ 40 – 23 = 17 บาท

= 10 = 8 = 0.1 = 1 = 1 = 0.4 = 0.5 = 2 = 0 23

คําตอบกิจกรรม “ลีลาวดีลูกผสม” 1. 1 2. 0 3.

ลีลาวดีดอกสีชมพู RW 4. 42 หรือ 12 5. 42 หรือ 12

R W

ลีลาวดีดอกสีชมพู RW R W RR RW RW WW

30 9. ความคลาดเคลื่อนในการใชสถิติ ในสวนนี้เปนเพียงตัวอยางสถานการณที่เนนเฉพาะความ คลาดเคลื่อนที่เกิดจากการเก็บรวบรวมและการนําเสนอขอมูล ดังปรากฏในกิจกรรม “เชื่อถือไดเพียงใด” และกิจกรรม “ภาพลวงตา” สวนความคลาดเคลื่อนในแงอื่น ๆ เชน ความคลาดเคลื่อนจากการวิเคราะห ขอมูลอันเนื่องจากการใชคากลางที่ไมเหมาะสม ไดมีการสอดแทรกมากอนหนาแลวในหัวขอ 3.2 นี้ 10. กิจกรรม “ประชากรของประเทศไทย” มุงใหนักเรียนไดเห็นการนําเสนอขอมูลในรูป แผนภูมแิ ทงทีม่ ีลักษณะพิเศษ แตกตางจากที่นักเรียนคุน เคย และเพื่อเปนการฝกการวิเคราะหแปล ความหมาย ตลอดจนฝกการคาดการณในอนาคตเกีย่ วกับจํานวนของประชากร ครูอาจใหนักเรียนรวมกัน อภิปรายและตอบคําถามตามที่เสนอไวหรือคําถามอื่น ๆ เพิ่มเติมตามความเหมาะสม

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม คําตอบกิจกรรม “มีขั้นตอนอยางไร” ตัวอยางคําตอบ : สุดาและเพื่อนอาจดําเนินการตามลําดับ ดังนี้ 1. สํารวจความคิดเห็นของสมาชิกดวยการถามทุกคนโดยตรง 2. จําแนกจํานวนตามแบบที่เลือก 3. แบบที่มีคนเลือกมากที่สุด คือ แบบที่คนสวนใหญพอใจ

คําตอบกิจกรรม “บอกไดไหม” 1. 2. 3. 4. 5.

ขอมูลเชิงปริมาณ ขอมูลเชิงคุณภาพ ขอมูลเชิงคุณภาพ ขอมูลเชิงปริมาณ ขอมูลเชิงคุณภาพ

คําตอบกิจกรรม “ตารางบอกอะไร” 1. จํานวนครัวเรือนเกษตรและเนื้อที่ถือครองทําการเกษตร เฉลี่ยตอครัวเรือน จําแนกตามภาค ป 2536 ป 2541 และป 2546 2. 5,787,774 ครัวเรือน 19.7 ไร

31 3. ครัวเรือนเกษตรในป 2541 ลดลงจากป 2536 67,447 ครัวเรือน และในป 2546 เพิ่มขึ้นจากป 2541 210,513 ครัวเรือน 4. เนื้อที่ถือครองทําการเกษตรเฉลี่ยตอครัวเรือนเกษตรในป 2541 ลดลงจากป 2536 0.9 ไร และในป 2546 ลดลงจากป 2541 0.2 ไร 5. 17,863,500 ครัวเรือน 6. ภาคตะวันออกเฉียงเหนือ รอยละ 45.60

คําตอบกิจกรรม “หมวกกันน็อก” 1. 2. 3. 4.

กลุมอายุ 0 – 14 ป คิดเปนรอยละ 65.8 กลุมอายุ 15 – 24 ป คิดเปนรอยละ 64.2 รอยละของกลุมอายุ 60 ปขึ้นไป และมากกวากันรอยละ 38.7 ลําดับที่ 1 กลุมอายุ 0 – 4 ป (คิดเปนรอยละ 5.5) ลําดับที่ 2 กลุมอายุ 60 ปขึ้นไป (คิดเปนรอยละ 9.4) ลําดับที่ 3 กลุมอายุ 15 – 24 ป (คิดเปนรอยละ 17.2) ลําดับที่ 4 กลุมอายุ 40 – 59 ป (คิดเปนรอยละ 20) ลําดับที่ 5 กลุมอายุ 25 – 39 ป (คิดเปนรอยละ 22.6)

คําตอบกิจกรรม “ตอบไดไหม” 1. ภาคตะวันออกเฉียงเหนือ 2. รอยละ 9 3. 0.5 ลานคน หรือ 5 แสนคน

คําตอบกิจกรรม “ขาวหอมมะลิ” 1. 2. 3. 4.

พ.ศ. 2544 ป 2545 กรกฎาคม สิงหาคม และ ธันวาคม พฤศจิกายน ป พ.ศ. 2546 ประมาณ 290,000 ตัน

คําตอบกิจกรรม “วันสงกรานต” 1. ตัวอยางคําตอบ 1) แผนภูมแิ ทง หรือกราฟเสน เพราะ ตองการแสดงการเปรียบเทียบจํานวนผูเสียชีวิต จากอุบัตเิ หตุจราจรในเทศกาลสงกรานต โดยจําแนกตามป พ.ศ. เพียงอยางเดียว 2) นําเสนอดวยแผนภูมิแทง ดังนี้ แผนภูมิแสดงจํานวนผูเสียชีวิตจากอุบัติเหตุจราจรในเทศกาลสงกรานต ป 2544 – 2548 จํานวนผูเสียชีวิต (คน) 800 700 600 500 400 300 200 100 0

530

2544

606

2545

668

654 522

2546

2547

2548

ป

ที่มา : ขอมูลป 2544 – 2546 จากศูนยนเรนทร กระทรวงสาธารณสุข : ขอมูลป 2547 – 2548 จากหนังสือพิมพมติชน ฉบับวันที่ 19 เมษายน 2548 2. ตัวอยางคําตอบ 1) แผนภูมแิ ทง หรือกราฟเสน เพราะ ตองการแสดงการเปรียบเทียบจํานวนผูเสียชีวิตจาก อุบัติเหตุจราจร โดยจําแนกตามเพศและวันที่ที่เกิดอุบัติเหตุจราจร 2) นําเสนอดวยแผนภูมิแทง ดังนี้

33 แผนภูมิแสดงจํานวนผูเสียชีวิตจากอุบัติเหตุจราจร แยกตามเพศในชวงเทศกาลสงกรานต ตั้งแตวันที่ 11 – 17 เมษายน 2546 จํานวนคน 200

รวม ชาย หญิง

150 100 50 0

วันที่

ที่มา : ศูนยนเรนทร กระทรวงสาธารณสุข 3. ตัวอยางคําตอบ 1) กราฟเสน หรือแผนภูมิแทง เพราะ ตองการแสดงการเปรียบเทียบจํานวนผูเสียชีวิตจาก อุบัติเหตุจราจร ในชวงเทศกาลสงกรานตโดยจําแนกตามป พ.ศ. และวันที่ที่เกิดอุบัติเหตุ 2) นําเสนอดวยกราฟเสน ดังนี้ กราฟเสนแสดงจํานวนผูเสียชีวิตจากอุบัติเหตุจราจรในชวงเทศกาลสงกรานต ตั้งแตวันที่ 11 – 17 เมษายน 2544 – 2546 จํานวนคน 200 150

2544 2545

100 50 0

2546 11

ที่มา : ศูนยนเรนทร กระทรวงสาธารณสุข

วันที่

คําตอบกิจกรรม “แรงงานขั้นต่ํา” 1. 42 บาท 2. 7 + 1 = 8 อันตรภาคชั้น 3. คาจางขัน้ ต่าํ (บาท)

รอยขีด

136 – 141 142 – 147 148 – 153 154 – 159 160 – 165 166 – 171 172 – 177 178 – 183

11 47 8 1 2 – – 7

4. 1) 2) 3) 4)

142 – 147 บาท 67 จังหวัด 9 จังหวัด ไมมี

คําตอบกิจกรรม “เอดส” 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

ความถี่

ไมเทากัน อายุต่ํากวา 15 ป และอายุ 60 ปขึ้นไป 5 ชวง 30 – 34 ป และมีจํานวน 439 คน 403 คน 992 คน 419 คน บอกไมได

คําตอบแบบฝกหัด 3.1 1. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

10 คน ชวงเวลา 25 – 30 นาที 13 คน บอกไมได บอกไมได บอกไมได ใช

2. ชวงอายุ (ป)

รอยขีด

ความถี่ (คน)

รวม

11 10 11 18 13 12 5 80

10 – 19 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 1) 2) 3) 4)

ชวงอายุ 40 – 49 ป 32 คน 17 คน 50 คน

1) 2) 3) 4) 5) 6)

10 คะแนน 64.5 คะแนน 50 – 59 คะแนน 20 คน 85 คน 55 คน

36 7) จํานวน (คน) 90 80 70 60 50 40 30 20

99.5 104.5

89.5

79.5

69.5

59.5

49.5

39.5

24.5 29.5

10 คะแนนสอบ

4. สรางฮิสโทแกรมและรูปหลายเหลี่ยมของความถี่ ไดดังนี้ จํานวนหลังคาเรือน 50 40 30 20

100.5

90.5

80.5

70.5

60.5

50.5

40.5

30.5

20.5

10 พื้นที่ (ตารางวา)

37 จํานวนหลังคาเรือน 50 40 30 20

100.5 105.5

90.5

80.5

70.5

60.5

50.5

40.5

30.5

15.5 20.5

10 พื้นที่ (ตารางวา)

คําตอบกิจกรรม “แบบไหนดี” ตัวอยางคําตอบ 1. แผนภูมิรูปวงกลม เพราะตองการแสดงการเปรียบเทียบการใชจายในการจัดนิทรรศการทางวิชาการ ของโรงเรียน โดยจําแนกตามประเภทการใชจายเพียงอยางเดียว 2. แผนภูมแิ ทง เพราะตองการแสดงการเปรียบเทียบจํานวนผูโดยสารรถไฟฟาบีทีเอส โดยจําแนกเปน รายวันใน 1 สัปดาหเพียงอยางเดียว 3. ตารางแจกแจงความถี่ เพราะปริมาณของขอมูลมีมากและซ้ํา ๆ กัน 4. กราฟเสน เพราะตองการแสดงการเปรียบเทียบมูลคาการสงออกขาวไทยเปนรายไตรมาส โดย จําแนกตาม พ.ศ. ที่กําหนด 5. ตารางแจกแจงความถี่ เพราะปริมาณของขอมูลมีมากและซ้ํา ๆ กัน

คําตอบแบบฝกหัด 3.2 ก 1. 1) 2) 3) 4)

ประมาณ 7.9 3.2 75.5 246

2. 1) 15 ครั้ง

38 2) 1 ชั่วโมง 3) 40 ชั่วโมง 4) ประมาณ 17.5 ชั่วโมง 3. 1) 510 คะแนน 2) 54 คะแนน 4. ในวันที่ 7 ตองเก็บเงิน 34 บาท 5. ผลการเรียนเฉลี่ย 5 ภาคเรียน ประมาณ 3.46

คําตอบแบบฝกหัด 3.2 ข 1. 1) 2) 3) 4)

25 5.8 72 12

2. 1) 7 2) ไมมีฐานนิยม 3) 11 3. 1) เบอร 12 2) ประมาณ 7 ตัว 4. คาเฉลี่ยของผลรวมของแตมที่ปรากฏ ประมาณ 6.9 มัธยฐานของผลรวมของแตมที่ปรากฏ คือ 7 ฐานนิยมของผลรวมของแตมที่ปรากฏ คือ 7 5. 1) มัธยฐาน 2) ฐานนิยม 3) มัธยฐาน 4) คาเฉลี่ยเลขคณิต

39 6. 1) คาเฉลี่ยเลขคณิตของรายไดตอเดือนเทากับ 15,840 บาท มัธยฐานของรายไดตอเดือนเทากับ 12,000 บาท ฐานนิยมของรายไดตอเดือนเทากับ 10,000 บาท 2) เจาของบริษัทนาจะเลือกคาเฉลี่ยเลขคณิตซึ่งเทากับ 15,840 บาท โดยจะอางวาเฉลี่ยแลว บริษัทจายคาจางพนักงานสูงถึงเดือนละ 15,840 บาท ตัวแทนพนักงานนาจะเลือกฐานนิยม โดยจะอางวาพนักงานสวนใหญไดรับเงินเดือนจาก บริษัทเพียงเดือนละ 10,000 บาท คนกลางผูไกลเกลี่ยนาจะเลือกมัธยฐาน โดยจะอางหลักการทางสถิติ เพราะรายไดตอเดือน ของพนักงานมีความแตกตางกันมาก

คําตอบกิจกรรม “ตัดสินอยางไร” แนวคิด สีมวง

มีนักวิ่ง 3 คน ใชเวลาวิ่ง 14 วินาที 2 คน และ 15 วินาที 1 คน คิดเวลาวิ่งโดยเฉลี่ยประมาณ 14.33 วินาที สีเหลือง มีนักวิ่ง 3 คน ใชเวลาวิ่ง 14 วินาที 2 คน และ 16 วินาที 1 คน คิดเวลาวิ่งโดยเฉลี่ยประมาณ 14.67 วินาที สีเขียว มีนักวิ่ง 3 คน ใชเวลาวิ่งคนละ 13, 15 และ 16 วินาที ตามลําดับ คิดเวลาวิ่งโดยเฉลี่ยประมาณ 14.67 วินาที สีแดง มีนักวิ่ง 3 คน ใชเวลาวิ่ง 15 วินาที 2 คน และ 16 วินาที 1 คน คิดเวลาวิ่งโดยเฉลี่ยประมาณ 15.33 วินาที สีมวง ควรเปนทีมชนะเลิศ เพราะใชเวลาวิ่งโดยเฉลี่ยนอยที่สุด

คําตอบกิจกรรม “หาไดเชนเดียวกัน” คะแนนกลุม B

สวนเบี่ยงเบน

กําลังสองของสวนเบี่ยงเบน

8 16 27 33 34 36 38 38 50 60

-26 -18 -7 -1 0 2 4 4 16 26

676 324 49 1 0 4 16 16 256 676

รวม

2018

คาเฉลี่ยเลขคณิตของกําลังสองของสวนเบี่ยงเบนเทากับ 2018 10 = 201.8 สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนกลุม B เทากับ 201.8 ≈ 14.2 คําตอบแบบฝกหัด

1. 1) พิสัยเทากับ 11 คะแนน และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานประมาณ 3.6 2) พิสัยเทากับ 8 คะแนน และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 3 3) พิสัยเทากับ 0 คะแนน และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 0 4) พิสัยเทากับ 12 คะแนน และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานประมาณ 3.4 5) พิสัยเทากับ 7 คะแนน และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานประมาณ 2.4 2. คาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 85.5 คะแนน มัธยฐานเทากับ 87.5 คะแนน ฐานนิยมเทากับ 90 คะแนน พิสัยเทากับ 25 คะแนน สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานประมาณ 7.7 คะแนน

คําตอบปญหา “คิดแลวสนุก” 1. ไมได เพราะสวนเบีย่ งเบนมาตรฐานหาไดในกรณีใดกรณีหนึ่งดังตอไปนี้ 1) ถาคาเฉลีย่ เลขคณิตของกําลังสองของสวนเบี่ยงเบนเปนจํานวนบวก สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะเทากับรากที่สองที่เปนบวกของคาเฉลีย่ เลขคณิต นั้น 2) ถาคาเฉลี่ยเลขคณิตของกําลังสองของสวนเบี่ยงเบนเปนศูนย สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 0 2. ได ในกรณีที่ทกุ ๆ ขอมูลของขอมูลชุดหนึ่งมีคา เทากันหมด

คําตอบแบบฝกหัด หนา 140 1. 1) 68.2% 2) 2.3% 2. 1) 3,410 ตัว 2) มี และมี 1,590 ตัว แนวคิด จากโจทย มีคาเฉลี่ยเลขคณิตของความยาวของเข็มหมุด (µ) เทากับ 1.30 นิ้ว และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของความยาวของเข็มหมุด (σ) เทากับ 0.03 นิ้ว จํานวนเข็มหมุดที่มีความยาวตามที่โรงงานคํานวณหาไดจากการหาพื้นที่ ใตเสนโคงปกติระหวาง µ – 1σ และ µ + 1σ

คําตอบกิจกรรม “เชื่อถือไดเพียงใด” ตัวอยางคําตอบ แตละสถานการณจะพิจารณาตามขั้นตอนของการดําเนินการทางสถิติ ดังนี้ สถานการณ 1 ขอมูลที่ไดยังไมนาเชื่อถือ เนื่องจากขอมูลที่เก็บรวบรวมได อาจไมใหขอเท็จจริง เพียงพอ เพราะผูตอบคําถามอาจฟนผุอยูก อนใชยาสีฟน ของบริษัทนี้ หรืออาจเพิ่งใชไดเพียงครั้งเดียวเมื่อถูกถาม หรืออาจใชยาสีฟนยีห่ ออื่นดวย สถานการณ 2 ขอมูลที่ไดยังไมนาเชื่อถือ เนื่องจากหญิงสาวเหลานั้นไมสามารถเปนตัวแทน ของผูใชแชมพูยี่หอตาง ๆ กัน และการตัดสินความนุมของผมที่ใชการสัมผัสดวย มือเปนความรูส ึกสวนบุคคล ถือวาไมใชเกณฑวัดทีเ่ ปนมาตรฐาน

42 สถานการณ 3 ขอมูลที่ไดยังไมนาเชื่อถือ เพราะอาจมีความลําเอียงในการกําหนดตัวเลือกให เลือกตอบ และกลุมของผูใหขอมูลไมสามารถเปนตัวแทนของประชาชนทั้งหมด สถานการณ 4 ขอมูลที่ไดมีความนาเชื่อถือ เพราะการตรวจสอบกระทําโดยหนวยงานของ ทางการที่รับผิดชอบโดยตรง การตรวจสอบเปนไปตามมาตรฐานที่กําหนด สถานการณ 5 ขอมูลที่ไดยังไมนาเชื่อถือ เพราะไมทราบขอมูลเกี่ยวกับความจุของถังน้ํามัน การปรับแตงเครื่องยนต อัตราเร็ว และน้ําหนักบรรทุกของรถยนต

คําตอบกิจกรรม “ภาพลวงตา” ขอดีและขอเสียของการนําเสนอขอมูลแบบแผนภูมแิ ทงทัง้ สองแบบเปนดังตัวอยางคําตอบ ดังนี้ แบบที่หนึ่ง ขอดี แสดงขอมูลที่เปนจริงในภาพรวม ขอเสีย ในกรณีที่ตองการทราบเฉพาะรายละเอียดของความแตกตางของ งบประมาณทีแ่ ตละหนวยงานไดรับ จะไมไดขอมูลที่ชัดเจน แบบที่สอง ขอดี สามารถแสดงการเปรียบเทียบสวนที่แตกตางกันของงบประมาณที่ แตละหนวยงานไดรับอยางชัดเจน ขอเสีย อาจทําใหเขาใจผิดวางบประมาณที่แตละหนวยงานไดรับแตกตางกันมาก ทั้งที่ในความเปนจริงเมื่อเปรียบเทียบกับงบประมาณทั้งหมด จะตางกัน เปนสัดสวนทีน่ อยมาก

คําตอบกิจกรรม “ประชากรของประเทศไทย” 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

กลุมอายุ 0 – 4 ป ประมาณ 18% กลุมอายุ 10 – 14 ป ประมาณ 14% ประชากรกลุมอายุในขอ 2 ไดมาจากประชากรกลุมอายุในขอ 1 ลดลงในทุก ๆ 10 ป เพิ่มขึ้นในทุก ๆ 10 ป ตัวอยางคําตอบ : ในชวงอายุ 45 – 49 ป เพศหญิง ตัวอยางคําตอบ : จํานวนประชากรในวัยทารกและวัยเด็กมีแนวโนมลดลง สวนวัยสูงอายุมีแนวโนม เพิ่มขึ้น ทั้งนี้เพราะมีอายุยืนขึ้น สืบเนื่องมาจากความเจริญทางการแพทยและการดูแลสุขภาพที่ดีขึ้น

49 4. กิจกรรม “ลองหาดู” เปนกิจกรรมเพื่อฝกทักษะหาความยาวของดานและขนาดของมุมของ รูปสามเหลี่ยมมุมฉากตามทีก่ ําหนด เพื่อเปนพื้นฐานในการทํากิจกรรม “ลองคิดดู” ซึ่งมีเจตนาให นักเรียนฝกใชความรูเรื่องอัตราสวนตรีโกณมิติแกปญหาที่มักพบในชีวิตจริง เชน การหาความสูงของ ตนไม ความสูงของกําแพงและความกวางของแมน้ํา ครูควรใหนักเรียนแตละคนคิดหาวิธีแกปญ  หาของ ตนเอง อาจเปนรายบุคคลหรือกลุมเพื่อนักเรียนจะไดฝกฝนการสื่อสารกับผูอื่นดวย 5. กิจกรรม “คิด” มีเจตนาใหนักเรียนฝกแกปญหาเกี่ยวกับพืน้ ที่โดยเชื่อมโยงความรูตรีโกณมิติ กับเรขาคณิต ครูอาจใหนกั เรียนชวยกันทําและนําเสนอหนาชั้นเรียน 6. กิจกรรม “หอเอนเมืองปซา (Tower of Pisa)” มีเจตนาใหเปนความรูเพิ่มเติมสําหรับ นักเรียนและเชื่อมโยงความรูตรีโกณมิติกบั วิทยาศาสตร ครูอาจใหนกั เรียนหาผลงานของกาลิเลโอเพิ่มเติม และครูอาจชี้ใหนักเรียนเห็นคุณลักษณะของกาลิเลโอ นักวิทยาศาสตรเรืองนามของโลกไดใชทักษะ กระบวนการทางคณิตศาสตรมาชวยในการคนควางานสําคัญตาง ๆ ทางวิทยาศาสตรทเี่ ปนประโยชนกับ ชาวโลก

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม กิจกรรมชุดที่ 1 คําตอบกิจกรรม “มีอยูเทาไร” คําตอบปญหาหนา 154 3. ตัวอยางแนวคิดที่แตกตางจากในหนังสือเรียน จํานวนดินสอที่แจกกลุมที่หนึ่ง อาจเปน 4, 7, 10, 13, 16, 19 , ... จํานวนดินสอที่แจกกลุมที่สอง อาจเปน 7, 11, 15, 19 , 23, ... จํานวนดินสอที่แจกกลุมที่สาม อาจเปน 9, 14, 19 , 24, ... จะไดจํานวนดินสอ 19 แทง สอดคลองกับเงื่อนไขทั้งหมดของปญหา

50 4. 1) จํานวนดินสอ (แทง)

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

เศษที่ไดจากการหารจํานวนดินสอดวยตัวหาร ตัวหาร 3

ตัวหาร 4

ตัวหาร 5

0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1

1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3

4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4

2) บวรมีดนิ สออยางนอย 19 แทง 3) ตรวจสอบไดโดยนําคําตอบที่ไดแทนในความสัมพันธจากโจทยซึ่งจะพบวา 19 เปนจํานวนที่ นอยที่สุดที่หารดวย 3, 4 และ 5 เหลือเศษ 1, 3 และ 4 ตามลําดับ 5. 1) จากเงื่อนไขที่วาแจกใหเด็กกลุมที่หนึ่งคนละ 3 แทงแลวเหลือเศษ 1 แทง จะไดวาจํานวน ดินสอที่บวรมีอาจเปนไดทั้งจํานวนคูแ ละจํานวนคี่ ดังนี้ ถาจํานวนเด็กที่ไดรับแจกกลุมนี้มีเปนจํานวนคู จะไดวาบวรมีดนิ สอเปนจํานวนคี่ ถาจํานวนเด็กที่ไดรับแจกกลุมนี้มีเปนจํานวนคี่ จะไดวาบวรมีดนิ สอเปนจํานวนคู 2) จากเงื่อนไขที่วาแจกใหเด็กกลุมที่สองคนละ 4 แทง แลวเหลือเศษ 3 แทง จะไดวาบวรมี ดินสอเปนจํานวนคี่เทานั้น ไมวาจํานวนเด็กกลุม นี้จะเปนจํานวนคูหรือจํานวนคี่ก็ตาม 3) จากเงื่อนไขที่วาแจกใหเด็กกลุมที่สามคนละ 5 แทง แลวเหลือเศษ 4 แทง จะไดวาจํานวน ดินสอที่บวรมีอาจเปนไดทั้งจํานวนคูแ ละจํานวนคี่ ดังนี้ ถาจํานวนเด็กที่ไดรับแจกกลุมนี้มีเปนจํานวนคู จะไดวาบวรมีดนิ สอเปนจํานวนคู ถาจํานวนเด็กที่ไดรับแจกกลุมนี้มีเปนจํานวนคี่ จะไดวาบวรมีดนิ สอเปนจํานวนคี่

51 4) ใช 5)

จํานวนดินสอ (แทง)

9 11 13 15 17 19

เศษที่ไดจากการหารจํานวนดินสอดวยตัวหาร ตัวหาร 3

ตัวหาร 4

ตัวหาร 5

0 2 1 0 2 1

1 3 1 3 1 3

4 1 3 0 2 4

6) บวรมีดนิ สออยางนอย 19 แทง

คําตอบกิจกรรม “มีอยูก ี่จํานวน” 1. เลขโดดในหลักพันมีไดหนึ่งตัว คือ 4 เทานั้น เนื่องจากเลขโดดตัวอื่น ๆ ทําใหจํานวนนับทีเ่ กิดขึน้ ไมอยูระหวาง 4,000 กับ 5,000 2. เลขโดดในหลักรอยอาจเปน 5, 6, 7, 8, 9 เนื่องจากเปนเลขโดดที่มากกวา 4 ซึ่งสอดคลองตาม เงื่อนไขในโจทย 3. ถาเลขโดดในหลักรอยเปน 5 เลขโดดในหลักสิบ อาจเปน 6, 7, 8, 9 เนื่องจากเปนเลขโดดที่ มากกวา 5 ซึง่ สอดคลองตามเงื่อนไขในโจทย 4. ถาเลขโดดในหลักสิบเปน 6 เลขโดดในหลักหนวย อาจเปน 7, 8, 9 เนื่องจากเปนเลขโดดที่ มากกวา 6 ซึง่ สอดคลองตามเงื่อนไขในโจทย

52 5. หลักพัน

หลักสิบ

หลักรอย

6 5

7 8

7 8 9 8 9 9 8

9 9

6 7

หลักหนวย

6. 10 จํานวน คือ 4567, 4568, 4569, 4578, 4579, 4589, 4678, 4679, 4689 และ 4789

กิจกรรมชุดที่ 2 คําตอบกิจกรรม “พื้นที่เปนเทาไร” 1. 4) (1)

PQRS เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เพราะสามารถพิสูจนไดวามีมุมทั้งสี่เปนมุมฉาก และมีดานทั้งสี่ยาวเทากัน D

53 แนวการพิสูจน เนื่องจาก ∆ APS ≅ ∆ BPQ ดังนั้น PS = PQ

(ด.ม.ด.) (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน)

∧

และ

A PS = BPQ

(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) เนื่องจาก ∆ APS และ ∆ BPQ แตละรูปเปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและ รูปสามเหลี่ยมหนาจัว่ (มีดานประกอบมุมยอดยาวเทากัน)

ดังนั้น

A PS = BPQ = 45o (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมีขนาด เทากัน)

∧

SPQ = 180 – (2 × 45) = 90o (ขนาดของมุมตรง) จะได ในทํานองเดียวกันจะสามารถพิสูจนไดวา PS = SR = RQ = QP ∧

∧

พื้นที่ของ

PQRS

พื้นที่ของ

ABCD = (2x)2 = 4x2 ตารางหนวย PQRS = 12 × พื้นที่ของ ABCD

และ SPQ = PQR = QRS = R SP = 90o นั่นคือ PQRS เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส (2) พื้นที่ของ PQRS = 12 × พื้นที่ของ ABCD เนื่องจาก ถาให ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรสั ที่ยาวดานละ 2x หนวย พิจารณาจากรูปขางลางนี้

ดังนั้น

พื้นที่ของ D

(

x C 2x x Q

2x A

(3) 2 ตารางหนวย

2 x ) = 2x2 ตารางหนวย

54 2. 1) จะตองหาพื้นที่ของรูปเรียงลําดับกันดังนี้ จากพื้นที่ของรูป 6 คูณดวย 2 จะไดพนื้ ที่ของรูป 5 จากพื้นที่ของรูป 5 คูณดวย 2 จะไดพนื้ ที่ของรูป 4 และทําเชนนี้ไปเรื่อย ๆ จนไดพนื้ ทีข่ องรูป 1 ดังแผนภาพ คูณดวย 2

คูณดวย 2

2) 160 ตารางหนวย แนวคิด พื้นที่ของ

คูณดวย 2

ABCD = 5 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 160 ตารางหนวย

3) 64 ตารางหนวย แนวคิด หาจากความสัมพันธดังตอไปนี้ C

กําหนด ∆ DEF เกิดจากลากสวนของเสนตรงเชื่อมตอ จุดกึ่งกลางของดานทั้งสามของ ∆ ABC จะพิสูจนไดวา พื้นที่ของ ∆ ABC เทากับ 4 เทาของพื้นที่ของ ∆ DEF ดังนี้

เนื่องจาก ∆ ADF ≅ ∆ BDE จะได DF = DE ในทํานองเดียวกัน ∆ CEF ≅ ∆ BDE จะได EF = DE ดังนั้น DF = DE = EF เนื่องจาก AB = BC = AC จะได AD = AF

(สมบัติของการเทากัน) (กําหนดให) (ตางมีความยาวเปนครึ่งหนึ่งของความยาวของ ดานที่ยาวเทากัน)

55 ดังนั้น

∧

ADF = A FD ∧

เนื่องจาก DAF = 60o

(มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจัว่ มีขนาด เทากัน)

(มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมดานเทา มีขนาด เทากับ 60 องศา)

ดังนั้น ∆ ADF เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา จะได DF = AD = AF ดังนั้น ∆ ADF ≅ ∆ DEF (ด.ด.ด.) จะได ∆ ADF, ∆ BDE, ∆ CEF และ ∆ DEF เปนรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการทุกคู นั่นคือ พื้นทีข่ อง ∆ ABC = 4 เทาของพื้นที่ของ ∆ DEF จากเหตุผลดังกลาวขางตน จึงสามารถหาพื้นที่ของ ∆ ABC ได จะไดพื้นที่ของ ∆ ABC = 4 × 4 × 4 × 1 = 64 ตารางหนวย

คําตอบกิจกรรม “ไดเทาไร” 1 หนอยจะเปนผูเขียนจุดในครั้งที่ 100 และจํานวนที่เขียนคือ 100 2 แนวคิด พิจารณาจากแบบรูปดังนี้ ครั้งที่ 1 นิดเขียนจุดที่แทน 12 ครั้งที่ 2 หนอยเขียนจุดทีแ่ ทน 14 หรือ 12 2 ครั้งที่ 3 นิดเขียนจุดที่แทน 18 หรือ 13 2 1 ครั้งที่ 4 หนอยเขียนจุดทีแ่ ทน 16 หรือ 14 2 . . .

จะเห็นวานิดเขียนจุดในครั้งที่เปนจํานวนคี่ และหนอยเขียนจุดในครัง้ ที่เปนจํานวนคู ดังนั้น หนอยจึงเขียนจุดในครั้งที่ 100 จากแบบรูปจะสังเกตไดวาตัวสวนของเศษสวนที่เขียนจะมีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเดียวกัน กับจํานวนครั้งที่เขียนจุด 1 ดังนั้น จํานวนที่หนอยเขียนจึงเปน 100 2

กิจกรรมชุดที่ 3 คําตอบกิจกรรม “นับอยางไร” 3. รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่ควรแจงนับตอไปคือ รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีขนาด 1 × 3 ตารางหนวย ดังแผนภาพ

4. รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่ตองพิจารณาอีก คือ รูปที่มีขนาด 1 × 4, 1 × 5, 1 × 6 และ 1 × 7 ตารางหนวย ขนาด (ตารางหนวย)

จํานวนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก

1×1 1×2 1×3 1×4 1×5 1×6 1×7 รวม

7 6 5 4 3 2 1 28

5. ใชความรูเกี่ยวกับลักษณะของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก และแจงนับรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากแตละขนาด 7. 55 รูป 8. 5050 รูป 9. 1 + 2 + 3 + … + n หรือ n(n2+ 1) รูป

คําตอบกิจกรรม “นับไดเทาไร” 1. 16 รูป 2. แผนภาพแสดงการแจงนับรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 2 × 2 ทั้งหมดที่ซอนอยูในรูปที่กําหนดให

3. ผลบันทึกจากการแจงนับรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดตาง ๆ ขนาด (ตารางหนวย)

จํานวนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

1×1 2×2 3×3 4×4 รวม

16 9 4 1 30

4. 100 + 81 + 64 + 49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 385 รูป 5. 12 + 22 + 32 + ... + n2 รูป

กิจกรรมชุดที่ 4 คําตอบกิจกรรม “กี่ตัวกันแน” เขียนคําตอบตามวิธีคิดของแจวไดดังนี้

มาลาย นกกระจอกเทศ

แจวนับมาลายได 12 ตัว และนับนกกระจอกเทศได 35 ตัว

คําตอบกิจกรรม “คิดตามจี๊ด” 1. ตัวอยางคําตอบ ถามาลายมี 30 ตัว จะไดจํานวนขาทั้งหมดของมาลายเปน 120 ขา ซึ่งมากกวาจํานวน ที่โจทยกําหนด ทั้ง ๆ ที่ยังไมไดรวมขาของนกกระจอกเทศอีก 17 ตัว จึงเริ่มเดาใหมีมาลายลดลงเปน 20 ตัว เพื่อใหจํานวนขาที่เกินอยูลดลง 2. ได ตัวอยางคําตอบ อาจเดาครั้งแรกใหมนี กกระจอกเทศ 46 ตัว จะไดขาเพียง 92 ขา เมื่อรวมขาของมาลายอีก 1 ตัว จะไดขาทั้งหมด 96 ขาเทานั้น ซึ่งนอยเกินไป จึงควรเพิ่มจํานวนมาลายและลดจํานวน นกกระจอกเทศ

59 3. เดาครั้ง มาลาย นกกระจอกเทศ ที่ (ตัว) (ตัว) 1 20 27 2 15 32 3 13 34 4 12 35

ขามาลาย

20 × 4 15 × 4 13 × 4 12 × 4

= = = =

ขานกกระจอกเทศ

80 60 52 48

27 × 2 32 × 2 34 × 2 35 × 2

= = = =

54 64 68 70

รวมขา ทั้งหมด 134 124 120 118

ผลสรุป

จากผลในตารางจะไดคําตอบของจี๊ดตรงกับคําตอบของแจว จี๊ดและแจวอาจใชระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร หรือสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว หาคําตอบ ตามตัวอยางแนวคิด ดังนี้ 1) ใชระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร ใหจํานวนมาลายมี x ตัว จํานวนนกกระจอกเทศมี y ตัว จะไดระบบสมการเชิงเสนเปน x + y = 47 4x + 2y = 118

--------------- 1 --------------- 2

เมื่อแกระบบสมการและตรวจสอบคําตอบ จะได จํานวนมาลาย 12 ตัว และจํานวนนกกระจอกเทศ 35 ตัว 2) ใชสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว ใหจํานวนมาลายมี x ตัว จะไดจํานวนนกกระจอกเทศ 47 – x ตัว และจะไดสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เปน 4x + 2(47 – x) = 118 เมื่อแกสมการและตรวจสอบคําตอบ จะได จํานวนมาลาย 12 ตัว และจํานวนนกกระจอกเทศ 35 ตัว

× × × /

คําตอบกิจกรรม “คิดไดหลายวิธี” 1. มีเหรียญบาท 7 เหรียญ เหรียญหาบาท 8 เหรียญ เหรียญสิบบาท 9 เหรียญ หรือ มีเหรียญบาท 2 เหรียญ เหรียญหาบาท 17 เหรียญ เหรียญสิบบาท 5 เหรียญ ตัวอยางแนวคิด 1. ใชการคาดเดาและตรวจสอบคําตอบโดยใชตารางวิเคราะห ดังนี้ เหรียญสิบบาท จํานวน จํานวน เหรียญ เงิน 10 1 100 10 100 10 90 9 80 8 70 7 60 6 50 5

เหรียญหาบาท จํานวน จํานวน เหรียญ เงิน 10 2 20 4 30 6 40 8 50 10 65 13 75 15 85 17

เหรียญบาท จํานวน จํานวน เหรียญ เงิน 21 21 10 10 8 8 7 7 6 6 4 4 3 3 2 2

รวมเงินทั้งหมด

10 + 10 + 21 100 + 20 + 10 100 + 30 + 8 90 + 40 + 7 80 + 50 + 6 70 + 65 + 4 60 + 75 + 3 50 + 85 + 2

= = = = = = = =

41 130 138 137 136 139 138 137

นอยไป นอยไป มากไป พอดี นอยไป มากไป มากไป พอดี

2. สรางแบบจําลองทางคณิตศาสตรโดยใชสมการ ให x แทนจํานวนเหรียญบาท y แทนจํานวนเหรียญหาบาท z แทนจํานวนเหรียญสิบบาท จะไดระบบสมการ x+y+z = 24 -------------- 1 x + 5y + 10z = 137 -------------- 2 จากสมการ 2 พิจารณาไดวา จาก 5y ไมวา y จะเปนจํานวนนับใด เลขโดดที่อยูในหลักหนวยของผลคูณจะตอง เปน 5 หรือ 0 เทานัน้ และจาก 10z ไมวา z จะเปนจํานวนนับใด เลขโดดทีอ่ ยูในหลักหนวยของผลคูณจะตอง เปน 0 เสมอ

61 ดังนั้น ผลบวก x + 5y + 10z จะเทากับ 137 ได ก็ตอเมื่อ เหรียญบาทจะตองเปน 2 เหรียญ หรือ 7 เหรียญเทานัน้ 1) จากการวิเคราะหขางตน ในกรณีมีเหรียญบาท 2 เหรียญ เมื่อแทน x ดวย 2 ในสมการ 1 และ 2 จะไดระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรเปน 2+y+z = 24 --------- 3 2 + 5y + 10z = 137 --------- 4 จาก 3 ; y + z = 22 --------- 5 จาก 4 ; 5y + 10z = 135 --------- 6 จากการแกระบบสมการที่ประกอบดวยสมการ 5 และ 6 จะได y = 17 และ z = 5 จากการตรวจสอบ จะไดคําตอบของระบบสมการเปนเหรียญบาท 2 เหรียญ เหรียญหาบาท 17 เหรียญ และเหรียญสิบบาท 5 เหรียญ 2) จากการวิเคราะหขางตน ในกรณีมีเหรียญบาท 7 เหรียญ เมื่อแทน x ดวย 7 ในสมการ 1 และ 2 จะไดระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรเปน 7+y+z = 24 --------- 3 7 + 5y + 10z = 137 --------- 4 จาก 3 ; y + z = 17 --------- 5 จาก 4 ; 5y + 10z = 130 --------- 6 จากการแกระบบสมการที่ประกอบดวยสมการ 5 และ 6 จะได y = 8 และ z = 9 จากการตรวจสอบ จะไดคําตอบของระบบสมการเปนเหรียญบาท 7 เหรียญ เหรียญหาบาท 8 เหรียญ และเหรียญสิบบาท 9 เหรียญ 2. เผือกฉาบราคาถุงละ 25 บาท ทุเรียนทอดราคาถุงละ 75 บาท ตัวอยางแนวคิด 1. สรางแบบจําลองทางคณิตศาสตรโดยใชสมการ ให เผือกฉาบราคาถุงละ x บาท ทุเรียนทอดราคาถุงละ y บาท

62 จะไดระบบสมการ 5x + 10y = 875 10x + 5y = 625

------------- 1 ------------- 2

เมื่อแกระบบสมการและตรวจสอบคําตอบจะได เผือกฉาบราคาถุงละ 25 บาท และทุเรียนทอดราคาถุงละ 75 บาท 2. ใชการคาดเดาและตรวจสอบโดยพิจารณาจํานวนถุงและจํานวนเงินที่จารุวรรณซื้อมา ดังนี้ เผือกฉาบ จํานวน ราคา ถุง ถุงละ 30 5 30 5 30 5 25 5

รวม เงิน 150 150 150 125

ทุเรียนทอด จํานวน ราคา รวม ถุง ถุงละ เงิน 600 60 10 700 70 10 750 75 10 750 75 10

รวมเงินทั้งหมด

150 + 600 150 + 700 150 + 750 125 + 750

= = = =

750 850 900 875

นอยไป นอยไป มากไป พอดี

ตรวจสอบคําตอบกับจํานวนถุงและจํานวนเงินที่นวลจันทรซื้อมา จะได (10 × 25) + (5 × 75) = 250 + 375 = 625 บาท ซึ่งสอดคลองกับเงื่อนไขในโจทย ดังนัน้ ราคาเผือกฉาบถุงละ 25 บาท และทุเรียนทอดราคาถุงละ 75 บาท

กิจกรรมชุดที่ 5 คําตอบกิจกรรม “ลัดขัน้ ตอน” 1. 2. 3.

3 20 115

≈ ≈ ≈

1.732 4.472 10.72

กิจกรรมชุดที่ 6 คําตอบกิจกรรม “พื้นที่ใตกราฟ” 7. จํานวนสวนแบงระยะ 2 หนวยบนแกน X 4 8 16

พื้นที่ของแทงสี่เหลี่ยมมุมฉากทั้งหมด (ตารางหนวย) 1.75 2.1875 2.422

8. ประมาณ 2.422 ตารางหนวย ( เมื่อแบงระยะ 2 หนวยบนแกน X ออกเปน 16 สวน เทา ๆ กัน) 9. ประมาณ 10.156 ตารางหนวย (เมื่อแบงระยะ 0 ถึง 2 บนแกน X ออกเปน 16 สวน เทา ๆ กัน) แนวคิด เนื่องจากพาราโบลาที่กําหนดใหเปนรูปสมมาตรและมีแกน Y เปนแกนสมมาตร จึงคํานวณหาพื้นที่สวนทีแ่ รเงาเพียงครึ่งรูปทางขวาของแกนสมมาตรกอน โดยแบงระยะ 0 ถึง 2 บนแกน X ออกเปน 16 สวน Y เทา ๆ กัน จะไดจุดแบงบนระยะ 0 ถึง 2 4 15 จุด และไดคูอันดับ (x, y) ที่สอดคลองกับสมการ y = -x2 + 4 y = -x2 + 4 ดังนี้ -2

0 x y = 4 – x2 9 8 175 64

10 8 156 64

1 8 255 64

3 8 247 64

2 8 252 64 11 8 135 64

12 8 112 64

5 8 231 64

4 8 240 64 13 8 87 64

14 8 60 64

6 8 220 64 15 8 31 64

เนื่องจากแทงสี่เหลี่ยมมุมฉากแตละแทงมีความกวางเปน 18 หนวย

7 8 207 64

8 8 192 64

64 จะไดพนื้ ที่สวนทีแ่ รเงาทั้งหมดเทากับ 2 ×  18 × 641 (255 + 252 + 247 + 240 + 231 + 220 + 207 + 192 + 175 + 156 + 135 + 112 + 87 + 60 + 31) 1 × 2,600 = 256 ≈

10.156 ตารางหนวย

คําตอบกิจกรรม “ใจเย็น ๆ คอย ๆ คิด” 1. ปุยขนาด 5 กิโลกรัม 3 ถุง และปุยขนาด 3 กิโลกรัม 1 ถุง แนวคิด ใชการคาดเดาและตรวจสอบโดยใชตารางวิเคราะหดังนี้ ขนาด 5 กิโลกรัม

ขนาด 3 กิโลกรัม

รวม

จํานวนกิโลกรัม

จํานวนเงิน

จํานวนกิโลกรัม

จํานวนเงิน

จํานวนกิโลกรัม

จํานวนเงิน

1×5 = 5 3 × 5 = 15 2 × 5 = 10

20 60 40

4 × 3 = 12 1×3 = 3 3×3 = 9

60 15 45

17 18 19

80 75 85

จากตาราง จะเห็นวาถาซื้อปุย 17 กิโลกรัม จะตองจายเงิน 80 บาท ซึ่งเปนเงินที่มากกวา ซื้อปุย 18 กิโลกรัม โดยจายเงินนอยที่สดุ เพียง 75 บาท (ไดของมากกวา แตจายเงินนอยกวา) 2. 6, 9, 12, 15, 17, 20, 23, 24, 27, 28, 30, 31, 35, 38, 39, 42, 45, 46, 53 และ 60 แนวคิด โดยใชการแจงนับคะแนน ดังนี้ 2+2+2 = 6 2+2+5 = 9 2 + 2 + 13 = 17 2 + 2 + 20 = 24 2+5+5 2 + 5 + 13 2 + 5 + 20

= 12 = 20 = 27

2 + 13 + 13 2 + 13 + 20 2 + 20 + 20

= 28 = 35 = 42

65 5+5+5 5 + 5 + 13 5 + 5 + 20

= 15 = 23 = 30

5 + 13 + 13 5 + 13 + 20 5 + 20 + 20

= 31 = 38 = 45

13 + 13 + 13 = 39 13 + 13 + 20 = 46 13 + 20 + 20 = 53 20 + 20 + 20 = 60 3. 9 แบบ แนวคิด

แยกพิจารณาเปนกรณีดังนี้ 1. แลกธนบัตรเปนเหรียญแบบเดียวกัน 2. แลกธนบัตรเปนเหรียญสองชนิดที่ตางกัน 3. แลกธนบัตรเปนเหรียญสามชนิดที่แตกตางกัน ผลพิจารณาไดดังตาราง จํานวนเหรียญสิบบาท

จํานวนเหรียญหาบาท

จํานวนเหรียญบาท

2 1 1 1 0 0 0 0 0

0 2 1 0 4 3 2 1 0

0 0 5 10 0 5 10 15 20

66 4. ความยาวของริบบิ้นที่ตัดเปนสามสวนที่เปนไปได คือ 6, 3, 1 ฟุต 6, 2, 2 ฟุต 5, 4, 1 ฟุต 5, 3, 2 ฟุต 4, 4, 2 ฟุต 4, 3, 3 ฟุต 5. 1) เปนไปได ผูที่วางแผนตองการชนะจะตองใหฝายตรงขามเปนผูเลนคนแรกที่หยิบกอน โดยผูเลนคนแรกจะหยิบตุก ตา 1 ตัวหรือ 2 ตัว ก็ได แตผูวางแผนจะตองหยิบ ตุกตาใหครบเปนตัวที่สามของแตละรอบที่หยิบ ตัวอยางการหยิบ

แนวคิด

ตุกตาตัวที่

ผูวางแผน ผูเลน

แพ

ในกรณีที่ผูวางแผนตองหยิบเปนคนแรก ผูวางแผนจะตองพยายามหยิบใหไดตุกตาตัวที่ 3 หรือตัวที่ 6 ซึง่ จะทําใหหยิบไดตัวที่ 9 จึงจะชนะ 2) แนวคิด

ผูวางแผนจะตองเลนเปนคนแรกโดยหยิบตุกตาเพียง 1 ตัวในครั้งแรก และ ตองพยายามใหเหลือตุกตาเปนจํานวนที่ 3 หารลงตัว เชน หลังจากผูวางแผน หยิบตุก ตาตัวแรกแลว เมื่อฝายตรงขามหยิบตุกตา 1 ตัว ผูวางแผนตองหยิบ 2 ตัว เพื่อใหไดผลรวมของตุกตาเปน 3 ตัว และเหลือตุกตาอีก 6 ตัว

67 ตัวอยางการหยิบ ตุกตาตัวที่

ผูวางแผน

10 ชนะ

ผูเลน ในกรณีที่ผูวางแผนตองหยิบเปนคนที่สอง ผูวางแผนจะตองพยายามหยิบใหไดตุกตาตัวที่ 4 หรือตัวที่ 7 ซึง่ จะทําใหหยิบไดตัวที่ 10 จึงจะ ชนะ 6. -31 กับ -21 หรือ 21 กับ 31 7. 7 ขอ แนวคิด ใหจํานวนขอที่ทําถูกมี x ขอ ดังนั้นคะแนนที่ไดคือ 5x จํานวนขอที่ทาํ ผิดมี y ขอ ดังนั้นคะแนนที่ไดคือ -2y จากโจทยจะไดระบบสมการ x + y = 10 ---------------- 1 5x - 2y = 29 ---------------- 2 8. หมายเลข 27 ไดรับหมวก หมายเลข 41 ไดรับเสื้อยืด หมายเลข 62 ไดรับกระเปา 9. ปอเลนระนาด จิมเลนขิม แจคเลนจะเข ปองเลนซอ การพิจารณาอาจใชขอมูลประกอบกับตารางวิเคราะหหาคําตอบดังนี้

ชื่อ

เครื่องดนตรี ที่เลน

ปอ จิม แจค ปอง

ขิม

ซอ

จะเข

ระนาด

คําตอบกิจกรรม “ลองทําดู” B

∧

BC AB

AC AB

BC AC

30o

1 2

3 2

3 3

45o

2 2

60o

3 2

1 2

B 2 A

B 2

45o

1 1

C B

60o

คําตอบกิจกรรม “บอกไดไหม” 1. 1) 2) 3) 4) 5) 6)

0.309 0.866 1.664 0.995 0.906 3.078

1) 2) 3) 4) 5) 6)

35o 75 o 60 o 45 o 37 o 58 o

คําตอบกิจกรรม “ลองหาดู” 1. 2.5 หนวย 2. BC ยาว 3.125 หนวย และ AC ยาว 5.076 หนวย ∧

∧

3. X = 20 o, Z = 70 o และ XY = 9.4 หนวย

คําตอบกิจกรรม “ลองคิดดู” 1. AB ยาว 13.848 เซนติเมตร และ CE ยาว 10.152 เซนติเมตร 2. 18.64 เมตร 3. บันไดทํามุมกับพื้นดินประมาณ 52 องศา กําแพงสูงประมาณ 5.12 เมตร 4. ประมาณ 101.43 เมตร

คําตอบกิจกรรม “คิด” ประมาณ 6.763 ตารางหนวย แนวคิด

∧ ∧ ∧ เนื่องจาก DAF = FAE = EAB = 903 = 30o จะไดวา ∆ ABE ≅ ∆ ADF (ม.ด.ม.) ดังนั้น พืน้ ที่ของรูป AFCE = พื้นทีข่ องสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD – 2 (พื้นที่ของ ∆ ABE) ∧

เนื่องจาก BE = AB ( tan EAB ) = 4 tan 30o = 4 × 33 = 4 3 3 หนวย ดังนั้น พืน้ ที่ของ ∆ ABE = 12 × 4 × 4 3 3 = 83 3 ตารางหนวย และ

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD = 4 × 4 = 16 8 ดังนั้น พื้นที่ของรูป AFCE = 16 – 2  2 3    = 16 – 163 3 ตารางหนวย  16  ≈ 16 –  × 1.732  3  ≈ 6.763 ตารางหนวย นั่นคือ สวนที่แรเงามีพนื้ ที่ประมาณ 6.763 ตารางหนวย

คําตอบกิจกรรม “หอเอนเมืองปซา (Tower of Pisa)” ประมาณ 5 องศา

ตารางหนวย