basic-m5-2-finished by Nett

คณิ ตศาสตร์พ นื ฐาน ชั นมัธยมศึกษาปี ที 5

เล่ม 2

สารบัญ

บทที่ 1 สถิติและขอมูล ผลการเรียนรูที่คาดหวัง ขอเสนอแนะ กิจกรรมเสนอแนะ การประเมินผล เฉลยแบบฝกหัด เฉลยแบบฝกหัด 1 บทที่ 2 การวิเคราะหขอ มูลเบื้องตน ผลการเรียนรูที่คาดหวัง ขอเสนอแนะ กิจกรรมเสนอแนะ ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจําบท เฉลยแบบฝกหัด เฉลยแบบฝกหัด 2.1 เฉลยแบบฝกหัด 2.2.1 เฉลยแบบฝกหัด 2.2.2 เฉลยแบบฝกหัด 2.3 เฉลยแบบฝกหัด 2.4 เฉลยแบบฝกหัด 2.5 เฉลยคําถามเพิ่มเติม

หนา 1 1 1 3 8 8 8 9 9 9 11 18 20 22 22 29 32 35 37 41 48

บทที่ 3 การสํารวจความคิดเห็น ผลการเรียนรูที่คาดหวัง ขอเสนอแนะ กิจกรรมเสนอแนะ การประเมินผล ตารางเลขสุม

50 50 50 51 62 63

การประเมินผล เนื่องจากในการเรียนการสอนเรื่อง สถิติและขอมูลใหความสําคัญเกี่ยวกับความ เขาใจพื้นฐานและการนําไปใช ดังนั้น ในการประเมินผลผูสอนอาจจะประเมินจาก ผลงานที่ผูเรียนแตละกลุมไปทํากิจกรรมมาโดยพิจารณาจากความถูกตอง ความนาสนใจ ของผลงาน การนําเสนอ การสื่อความหมายใหผูอื่นไดรับรูเรื่องราวที่นําเสนอไดอยาง ถูกตองชัดเจน แทนการใชขอสอบ

เฉลยแบบฝกหัด เฉลยแบบฝกหัด 1 1.

1) 3) 5) 7)

เชิงปริมาณ เชิงคุณภาพ เชิงปริมาณ เชิงคุณภาพ

2) 4) 6) 8)

1) 5)

2) 6)

3) 7)

ข

ค

ก

ข

เชิงปริมาณ เชิงคุณภาพ เชิงคุณภาพ เชิงปริมาณ 4)

6. ขอ 4) 65% ของนักเรียนที่เขาสอบไดคะแนนนอยกวาหรือเทากับคะแนนของนัท 7. คะแนน 84 คะแนนคือคะแนนในตําแหนง P75 นั่นคือ ถามีนักเรียน 100 คน จะมี 75 คนที่ไดคะแนนนอยกวาหรือเทากับ 84 ดังนั้น เมื่อมีนักเรียน 280 คน จะมีนักเรียน 75 × 280 = 210 คนที่ไดคะแนน 100

นอยกวาหรือเทากับ 84 คะแนน

เฉลยแบบฝกหัด เฉลยแบบฝกหัด 2.1 1.

1) ยอดเงินที่จาย (บาท) ต่ํากวา 100 100 – 199 200 – 299 300 – 399 400 – 499 500 – 599 600 – 699 2) 3) 4)

จํานวนลูกคา 2 4 11 13 14 5 1

400 – 499 บาท มากกวา 1 คน ประมาณจํานวนเงินในชวงต่ํากวา 100 ใหเทากับ 50 บาท หาคากึ่งกลางของ แตละอันตรภาคชั้นและประมาณจํานวนเงินที่ลูกคาจายโดยใชจุดกึ่งกลาง

จุดกึ่งกลาง 50 149.5 249.5 349.5 449.5 549.5 649.5

จํานวนลูกคา 2 4 11 13 14 5 1 รวม

จํานวนเงิน 50 × 2 149.5 × 4 249.5 × 11 349.5 × 13 449.5 × 14 549.5 × 5 649.5 × 1 17,676

ลูกคาทั้ง 50 คนใชเงินในการซื้อสินคาประมาณ 17,676 บาท 2. จากตารางแจกแจงความถี่สะสมที่กําหนดให จะไดตารางแจกแจงความถี่ดังนี้ อายุ (ป) 10 – 19 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 รวม

ความถี่ (คน) 2 15 10 5 0 3 35

1) จากตารางแจกแจงความถี่ที่ได คนที่มีอายุอยูในชวง 10 - 19 ป มี 2 คน ชวง 20 – 29 ป มี 15 คน ชวง 30 – 39 ป มี 10 คน ชวง 40 – 49 ป มี 5 คน ไมมีคน ที่มีอายุอยูในชวง 50 – 59 ป และคนที่มีอายุอยูในชวง 60 – 69 ป มี 3 คน 2) 20 – 29 ป

3. 1) 80 – 89 คะแนน มี 8 คน 60 – 89 คะแนน มี 49 คน 2) 3 คน 3) 70 – 79 คะแนน 4) 31 คน 4. 1) เนื่องจากคาต่ําสุดของขอมูลคือ 345 คน และสูงสุดคือ 730 คน สรางตารางแจกแจงความถี่ใหมี 10 อันตรภาคชั้นไดดังนี้ จํานวนประชากร 341 – 380 381 – 420 421 – 460 461 – 500 501 – 540 541 – 580 581 – 620 621 – 660 661 – 700 701 – 740

รอยขีด // //// // //// //// //// //// //// //// / //// //// / //// //// / /// / /

จํานวนหมูบาน 2 7 5 14 11 11 11 3 1 1

2) อันตรภาคชั้น 341 – 380 381 – 420 421 – 460 461 – 500 501 – 540 541 – 580 581 – 620 621 – 660 661 – 700 701 – 740

ความถี่ 2 7 5 14 11 11 11 3 1 1

ความถี่สะสม 2 9 14 28 39 50 61 64 65 66

(1) 28 หมูบาน (2) 48 หมูบาน (3) จํานวนหมูบ านที่มีประชากรอาศัยอยูเกิน 660 คน เทากับ 66 – 64 หรือ 2 หมูบาน ซึ่งคิดเปนรอยละ 2 ×100 หรือประมาณรอยละ 3 66

5. 1) เวลา (t 0<t 5<t 10 < t 15 < t 20 < t 25 < t

นาที) ≤5 ≤ 10 ≤ 15 ≤ 20 ≤ 25 ≤ 30

รอยขีด / //// //// //// //// //// //// / / รวม

ความถี่ 1 5 9 10 6 1 32

2) จากตารางนักเรียนจํานวนมากที่สุดใชเวลาเดินทางมากกวา 15 นาที แตไมเกิน 20 นาที 3 ) จากขอมูลขางตนนาจะสรุปไดวา ที่พักของนักเรียนเหลานี้ไมไกลจากโรงเรียน มากนั ก (ครู กั บ ผู เ รี ย นอาจอภิ ป รายเพิ่ ม เติ ม จากข อ มู ล ก็ ไ ด โดยคํ า ตอบและ คําอธิบายที่ ใ หควรสมเหตุสมผล และอาจเปนประเด็น ใหทํ าการสํ ารวจข อมูล ตอไป) 6. 1) จํานวนเด็ก (คน) รอยขีด ความถี่ (ครอบครัว) 5 //// 1 6 //// / 2 19 //// //// //// //// 3 7 //// // 4 7 //// // 5 2 // 6 3 /// 7 0 8 1 / 9 รวม 50 2) (1) 19 ครอบครัว (3) 11 ครอบครัว (5 + 6) (5) 20 ครอบครัว (50 – 30) 3) (1) (3)

20 × 100 50 20 × 100 50

(2) 25 ครอบครัว (6 + 19) (4) 30 ครอบครัว (19 + 6 + 5) (6) 30 ครอบครัว (19 + 6 + 5)

หรือ รอยละ 40

(2)

หรือ รอยละ 40

(4)

30 ×100 50 13 ×100 50

หรือ รอยละ 60 หรือ รอยละ 26

7. 1) คะแนน 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99 2) 3) 4) 5)

ความถี่ 2 0 6 6 10 13 8

ความถี่สัมพัทธ 4.44 0 13.33 13.33 22.22 28.89 17.78

ความถี่สะสม 2 2 8 14 24 37 45

ชวงคะแนน 80 – 89 คะแนน 13.3% 37 คน 17.8%

8. 1) (1) 2,467,839 คน (3) 4,954,109 คน 2) (1) 16.53% (3) 24.32% (5) 31.75%

(2) (4)

38,074 คน 3,794,796 คน

(2) (4)

1.73% 33.24%

9. 1) นักเรียนที่ไดคะแนนวิชาคณิตศาสตรตั้งแต 80 ถึง 89 คะแนน มี 8 คน นักเรียนที่ไดคะแนนวิชาคณิตศาสตรตั้งแต 60 ถึง 89 คะแนน มี 58 – 9 = 49 คน 2) นักเรียนที่ไดคะแนนวิชาคณิตศาสตรต่ํากวา 50 คะแนน มี 3 คน 3) ชวงคะแนนที่มีจํานวนนักเรียนไดมากที่สุด คือ ชวง 70 – 79 คะแนน 4) นักเรียนที่ไดคะแนนวิชาคณิตศาสตรตั้งแต 70 คะแนนขึ้นไป มี 60 – 29 = 31 คน

10. 1) ระดับคะแนน 4 3 2 1 ไมผาน รวม

จํานวนนักเรียน 8 13 10 12 2 45

2) ระดับคะแนน 3 11. 1) คะแนนสอบ 701 – 800 601 – 700 501 – 600 401 – 500 301 – 400 201 – 300

ความถี่ 4 10 15 18 11 2

ความถี่สะสม 60 56 46 31 13 2

2) จํานวนนักเรียนที่ไดคะแนนมากกวา 700 คะแนน มี 4 คน จํานวนนักเรียนที่ไดคะแนนต่ํากวา 301 คะแนน มี 2 คน จํานวนนักเรียนทั้งสองกลุมเทากับ 6 คน คิดเปนรอยละ 6 × 100 หรือ 10% 60

ของจํานวนนักเรียนทั้งหมด

กิจกรรม กิจกรรมนี้ผูสอนใหผูเรียนแบงกลุมกันกําหนดระดับคะแนนและใหแตละกลุม มานําเสนอความคิดเห็นของตน เพื่อฝกทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร โดยใชความรู สถิติในเรื่องที่เรียนมา ทั้งนี้อาจใชคะแนนในโจทยขอ 11 หรือนักเรียนกําหนดคะแนนขึ้น เองก็ได

เฉลยแบบฝกหัด 2.2.1 1. 1) ตารางแจกแจงความถี่ของจํานวนบุหรี่ที่ผูปวยสูบในแตละวัน จํานวนบุหรี่ (มวน) 7–9 10 – 12 13 – 15 16 – 18 19 – 21

รอยขีด / //// //// //// //

จํานวนผูปวย (คน) 1 5 4 4 2

2) ฮิสโทแกรมแสดงจํานวนบุหรี่ที่ผูปวยสูบในแตละวัน จํานวนผูปวย (คน) 5 4 3 2 1 0

จํานวนบุหรี่ (มวน)

2. 1) ตารางแจกแจงความถี่ของน้ําหนักนักเรียน 50 คน น้ําหนัก 40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64

รอยขีด /// //// //// //// //// //// //// / //// //// /// ////

ความถี่ 3 9 21 13 4

2) ฮิสโทแกรมแสดงน้ําหนักนักเรียน จํานวนนักเรียน (คน) 21 18 15 12 9 6 3 0

น้ําหนัก (กิโลกรัม)

3. 1) นักเรียนที่สูงที่สุด สูง 175 เซนติเมตร นักเรียนที่เตี้ยที่สุด สูง 151 เซนติเมตร ทั้งสองคนมีความสูงแตกตางกัน 24 เซนติเมตร 2) ตารางแจกแจงความถี่แสดงความสูงของนักเรียน ความสูง รอยขีด จํานวนนักเรียน 7 //// // 150 – 156 18 //// //// //// /// 155 – 159 10 //// //// 160 – 164 6 //// / 165 – 169 8 //// /// 170 – 174 1 / 175 – 179

3) ฮิสโทแกรมแสดงความสูงของนักเรียน จํานวนนักเรียน (คน) 21 18 15 12 9 6 3 0

152 157

162

167

172

177

ความสูง (ซม.)

4. 1) 50 ผล 2) 36 ผล คิดเปน 72% ของจํานวนผลสมทั้งหมด 3) จํานวนผลสม (ผล)

12 10 8 6 4 2 0

64.5 74.5 84.5 94.5 104.5 114.5 124.5 134.5

น้ําหนัก (กรัม) / ผล

เฉลยแบบฝกหัด 2.2.2 1. 1) จากขอมูลที่กําหนดใหนํามาจัดเรียงใหมไดดังนี้ 19 24 24 24 23 31 35 36 38 34 38 44 43 47 44 42 49

33 48

จากขอมูลที่จัดเรียงขางตนนํามาเขียนแผนภาพตน-ใบ ไดดังนี้ 1 9 2 3 4 4 4 3 1 3 4 5 6 6 8 8 4 2 3 4 4 7 8 9 2) จากแผนภาพตน-ใบ พบวา ในชวง 30 – 39 คะแนนมีจํานวนนักเรียนมากที่สุด 2. 1) จากขอมูลที่กําหนดใหเขียนแผนภาพตน-ใบ ไดดงั นี้ 0 7 8 9 1 1 2 3 4 6 7 8 8 9 2 2 2 4 5 3 0 2 2 3 4 5 4 1 3 5 6 5 1 6 6 6 1 2) อายุต่ําสุดของผูเขาชมนิทรรศการ คือ 7 ป อายุสูงสุดของผูเขาชมนิทรรศการ คือ 61 ป 3) ผูเขาชมนิทรรศการมีอายุอยูในชวง 10 – 19 ป มากที่สุด

3. 1)

12 13 14 15 16 17 18 19 20

3 1 4 0 0 0 0 8 6

9 2 8 1 0 5 3

9 5 7 1 3 4 4 8 9 1 6 6 5 9

2) คนไขมีความดันโลหิตในชวง 150 – 159 มากที่สุด 4. 1)

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

20 00 20 40 00 00 20 10 20

20 40 40 40 30 30 50 80

40 00 90

60 80 90 50 60 50 60 60

70 60 70 60 60 80 70 9 20 แทน 920 10 00 แทน 1000

2) พนักงานไดรับเงินสมทบในชวง 900 – 990 บาท 1200 – 1290 บาท และ 1300 – 1390 บาท ชวงละ 5 คนเทากัน จึงอาจกลาวไดวาไมมีชวงจํานวนเงินใดที่ มีพนักงานจํานวนมากที่สุดไดรับเงินในชวงนั้น 3) พนักงานที่ไดรับเงินสมทบในชวงต่ําสุด มี 5 คน ซึ่งมากกวาพนักงานที่ไดรับเงิน สมทบในชวงสูงสุด 3 คน 5. 1) 25 คน 2) เวลาทีน่ อยที่สุด 41 นาที เวลาที่มากที่สุด 90 นาที 6. มี 11 คน หรือคิดเปน 7. 1)

0 1 2 3 4

5 0 0 0 0

11 ×100 25

หรือ 44%

5 0 0 0 5

5 5 0 0 0 0 0 0 5 5 5 5 5 5 5 5 0 0 5 5

5 4 2 2 2

8 5 3 3 3

2) 20 – 29 นาที 8. 1)

2) มี

9 10 11 12 13

0 4 1 2 1

14 ×100 25

6 7 4 5 8 8 4 5 9 9

หรือ 56%

9. 1) คาประมาณของความสูงของตนไมที่ประมาณไวสูงมากที่สุด คือ 6.6 เมตร คาประมาณของความสูงของตนไมที่ประมาณไวสูงนอยที่สุด คือ 2.4 เมตร 2) จํานวนนักเรียนที่ประมาณความสูงของตนไมต่ํากวา 4 เมตร มี 12 ×100 = 40% 30

เฉลยแบบฝกหัด 2.3 1. เนื่องจากมีนักเรียน 9 คน ที่ไดคะแนนสอบนอยกวาหรือเทากับ 25 คะแนน และ คะแนน 25 คะแนนเปนคะแนนในตําแนง P25 ดังนั้น นักเรียน 9 คน คิดเปนรอยละ 25 ของจํานวนนักเรียนที่เขาสอบทั้งหมด ถาใหจํานวนนักเรียนทั้งหมด คือ N คน จะได 25 × N = 9 ซึ่งได N = 36 100

นั่นคือ มีนักเรียนเขาสอบครั้งนี้ทั้งหมด 36 คน หมายเหตุ อาจมีนักเรียนบางคนคิดวา P25 คือคะแนนของนักเรียนในตําแหนงที่ 9 แลว ใชสูตร เขียนสมการ 25(N +1) = 9 จะไดวา N = 35 และตอบวามีนักเรียนเขาสอบทั้งหมด 100 35 คน การตอบเชนนี้ก็ถือวาเปนคําตอบที่ถูกตองเชนกัน เพราะคะแนน 25 ซึ่งเปน คะแนนของตําแหนง P25 อาจเปนคะแนนของนักเรียนคนที่ 9 หรืออยูร ะหวาง คะแนนของคนที่ 9 และคนที่ 10 ก็ได และถาคะแนน 25 เปนคะแนนของคนที่ 9 ก็ จะไดวามีนกั เรียนเขาสอบ 35 คน แตถาคะแนนนั้นเปนคะแนนระหวางคนที่ 9 และ คนที่ 10 ก็จะไดวามีนกั เรียนเขาสอบ 36 คน ดังนั้นเมื่อนักเรียนตอบ 35 หรือ 36 คน ก็ถือวาตอบถูกตองทั้งคู ขึ้นอยูวานักเรียนมีกระบวนการคิดเชนไร

2. คะแนนในตําแหนงเปอรเซ็นไทลที่ 40 เทากับ 78 คะแนน และมีนักเรียน 8 คนที่ ไดคะแนนเทากับหรือนอยกวา 78 คะแนน 40 × N = 8 จะได N = 20 จาก 100

ดังนั้น จะมีนักเรียนที่ไดคะแนนมากกวา 78 คะแนน อยู 20 – 8 หรือ 12 คน 3. เนื่องจาก ดังนั้น

20 ×100 25

= 80%

คะแนน 92 คะแนนอยูในเปอรเซ็นไทลที่ 80

4. 80% ของคนที่สอบวิชาภาษาไทยเหมือนเตาไดคะแนนนอยกวาหรือเทากับคะแนน ที่เตาได 5. 6 คน 6. เนื่องจากรอยละ 68 ของนักเรียนที่เขาสอบทั้งหมด 25 คน เทากับ

68 × 25 100

หรือ 17

คน ดังนั้น คะแนนที่อยูในตําแหนงเปอรเซ็นไทลที่ 68 คือ 88 คะแนน 7. จากขอมูลที่กําหนดให สรางแผนภาพตน-ใบไดดังนี้ 3 0 4 9 4 0 7 9 5 0 0 1 2 2 3 4 4 4 4 5 6 7 8 8 9 6 0 1 3 4 4 9 9 9 7 0 1 จากแผนภาพตน-ใบ 1) นักเรียนตองสอบได 52 คะแนน จึงจะมีนักเรียนที่ไดคะแนนนอยกวาคะแนนนี้ ประมาณรอยละ 30 หรือประมาณ 10 คน จาก 32 คน นักเรียนตองสอบได 56 คะแนน จึงจะมีนักเรียนที่ไดคะแนนนอยกวาคะแนนนี้ ประมาณรอยละ 55 หรือประมาณ 18 คน จาก 32 คน 2) นักเรียนตองสอบได 54 คะแนน จึงจะมีนักเรียนที่ไดคะแนนนอยกวาคะแนนนี้ ประมาณ 4 ใน 10 หรือประมาณ 13 คน จาก 32 คน นักเรียนตองสอบได 69 คะแนน จึงจะมีนักเรียนที่ไดคะแนนนอยกวาคะแนนนี้ ประมาณ 9 ใน 10 หรือประมาณ 29 คน จาก 32 คน 3) นักเรียนตองสอบได 63 คะแนน จึงจะมีนักเรียนที่ไดคะแนนนอยกวาอยู 3 ใน 4 หรือประมาณ 24 คน จาก 32 คน

เฉลยแบบฝกหัด 2.4 1. คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 8 มัธยฐาน คือ 8 ฐานนิยม คือ 8 ขอความที่เปนจริงสําหรับขอมูลชุดนี้คือ ขอความ 2) และขอความ 4) 2. คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 40 มัธยฐาน คือ 40 ดังนั้น ขอความ 2) ถูกตอง 3. ขอมูลทั้งหมด 7 จํานวน มีคาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 81 จะได ผลรวมของขอมูลทั้ง 7 จํานวน คือ 81 × 7 = 567 ตัดขอมูลออกไป 1 จํานวน คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 78 จะไดผลรวมของขอมูล 6 จํานวน คือ 78 × 6 = 468 นั่นคือ ขอมูลที่ถูกตัดออกไปมีคา 567 – 468 = 99 4. 1) X = 3 มัธยฐาน = 3 ฐานนิยม = 3 2) X = 3 มัธยฐาน = 2 ฐานนิยม = 1 มัธยฐาน = 1 ฐานนิยม = 1 3) X = 2 4) X = 4 มัธยฐาน = 3 ฐานนิยม = 1 จะได ขอมูลชุด 1) ที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยมเทากัน 5. คาเฉลี่ยเลขคณิตของน้ําหนักนักเรียนสามคน คือ 38 กิโลกรัม จะไดผลรวมของน้ําหนักของนักเรียนสามคน เทากับ 38 × 3 = 114 กิโลกรัม มีนักเรียนหนึ่งคนในกลุมนี้หนัก 46 กิโลกรัม ดังนั้น อีกสองคนที่เหลือมีน้ําหนักรวมกัน 114 – 46 = 68 กิโลกรัม แตสองคนที่เหลือมีน้ําหนักเทากัน จะไดวา แตละคนมีน้ําหนัก 68 = 34 กิโลกรัม 2

6. ตองการคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบ 4 ครั้งเปน 85 คะแนน จะไดผลรวมของคะแนนสอบ 4 ครั้ง เทากับ 85 × 4 = 340 คะแนน สอบ 3 ครั้ง เจี๊ยบไดคะแนน 78, 89 และ 82 คะแนน ดังนั้น สอบครั้งที่ 4 เจี๊ยบตองไดคะแนน 340 – (78 + 89 + 82) = 91 คะแนน 7. มัธยฐาน คือ 87 ซึ่งตองอยูเปนอันดับที่ 3 ของขอมูลที่เรียงคะแนนจากนอยไปมาก ฐานนิยมคือ 80 ซึ่งนอยกวามัธยฐาน ดังนั้นขอมูลมี 80 อยู 2 จํานวน คาเฉลี่ยเลขคณิตเปน 86 จะไดผลรวมของขอมูลทั้ง 5 จํานวนเปน 86 × 5 = 430 คะแนน นั่นคือ ขอมูลอีก 2 จํานวน ตองมีผลรวมเปน 430 – (87 + 80 + 80) = 183 คะแนน ขอมูลที่อยูถัดจากมัธยฐานไปจะมีคานอยที่สุดที่เปนไปไดคือ 88 คะแนน ดังนั้น คะแนนสอบสูงสุดที่เปนไปไดคือ 183 – 88 = 95 คะแนน 8. คาเฉลี่ยเลขคณิตของจํานวนเต็มบวกหาจํานวน คือ 360 จะได ผลรวมของจํานวนเต็มบวกหาจํานวน เทากับ 360 × 5 = 1800 สองจํานวนสุดทาย คือ 102 และ 99 นั่นคือ ผลรวมของจํานวนเต็มบวกอีกสามจํานวน ที่เหลือจะเปน 1800 – (102 + 99) = 1599 และมีการเรียงลําดับจํานวนจากมากไปนอย นั่นคือ สองจํานวนกอนหนา คะแนนสูงสุด จะมีคานอยสุดที่เปนไปไดคือ 102 กับ 102 ดังนั้น จํานวนมากที่สุดที่เปนไปไดคือ 1599 – (102 + 102) = 1395 9. คาเฉลี่ยเลขคณิตของหาวิชา ตองได 90 เปนอยางนอย จะไดผลรวมของคะแนนหาวิชา อยางนอยตองเทากับ 90 × 5 = 450 คะแนน ผลการสอบ 4 ครั้ง เกงสอบได 85, 89, 87 และ 96 คะแนน ดังนั้น ครั้งที่ 5 เกงตองไดคะแนนอยางนอย 450 – (85 + 89 + 87 + 96) = 93 คะแนน 10. 1) คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 8 จะได ตัวเลขที่สุมไดที่มากกวาคาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 10 กับ 13 ดังนั้น ความนาจะเปน เทากับ 2 = 1 6

2) มัธยฐานเทากับ

7+8 2

= 7.5

จะไมมีตัวเลขที่สุมไดที่มีคาเทากับมัธยฐาน ดังนั้น ความนาจะเปนที่จะสุมไดตัวเลขที่เทากับ มัธยฐานจึงเปน 0 11. คาเฉลี่ยเลขคณิต เทากับ

17 + 14 + 11 + 6 + x 5

48 + x 5

แยกกรณีพิจารณาคา x กรณีที่ 1 ถา x ≤ 11 มัธยฐานคือ 11 จะได 48 + x = 11 5

x = 55 – 48 = 7 กรณีที่ 2

ถา 11 < x < 14 มัธยฐานคือ x จะได 48 + x = x 5

48 + x = 5x x = 12 กรณีที่ 3

ถา x ≥ 14 มัธยฐานคือ 14 จะได 48 + x = 14 5

x = 70 – 48 = 22 นั่นคือ x มีคาเทากับ 7, 12 และ 22 จะทําใหคาเฉลี่ยเลขคณิตและมัธยฐานของ ขอมูลมีคาเทากัน 12. 1) ควรใชมัธยฐานเปนตัวแทนของขอมูลชุดนี้ เพราะจากแผนภาพขอมูลสวนใหญ อยูในชวง 3 – 29 และขอมูลมีการกระจายมาก 2) คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 28 มัธยฐาน คือ 22

13. 1) แผนภาพตน-ใบ 12 13 14 15 16 17 18 19 20

3 1 4 0 0 0 0 8 6

9 2 8 1 0 5 3

9 5 7 1 3 4 4 8 9 1 6 6 5 9

2) จากแผนภาพควรใชคาเฉลี่ยเลขคณิตเปนคากลางแทนขอมูลชุดนี้ เพราะขอมูล ไมกระจายมาก 3) คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 158.23 มัธยฐาน คือ 154 + 158 = 156 2

ขอสังเกต ขอมูลชุดนี้ไมกระจายมาก ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิต และมัธยฐาน จึงไมแตกตางกันมาก 14. 1) คาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนที่คาดวาจะไดควรจะสูงกวาคาเฉลี่ยเลขคณิตของ คะแนนจริง เนื่องจากคะแนนสวนใหญ (16 จาก 21 จํานวน) มีคาอยูระหวาง 30 – 48 คะแนน ในขณะนี้คะแนนจริงที่มีคาระหวาง 30 – 50 คะแนน มี 13 จํานวน จาก 21 จํานวน 2) คาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนที่คาดวาจะได คือ 36.43 คะแนน คาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนที่นักเรียนไดจริง คือ 33.05 คะแนน ซึ่งคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนที่คาดวาจะไดมีคาสูงกวาคะแนนที่นักเรียนไดจริง

15. 1) จํานวนนักเรียนทั้งหมดที่ทําแบบทดสอบ มี 25 คน 2) เวลาที่มากที่สุดที่ใชทําแบบทดสอบ 90 นาที เวลานอยที่สุดที่ใชทําแบบทดสอบ 41 นาที 3) มัธยฐาน คือ 65 นาที ฐานนิยม คือ 71 นาที 16. 1) นักเรียนที่สูงที่สุดสูง 172 เซนติเมตร 2) คาเฉลี่ยเลขคณิตของความสูง คือ 157.6 เซนติเมตร มัธยฐาน คือ 159 เซนติเมตร 3) นักเรียนที่สูงมากกวา 169 เซนติเมตร มี 20% ของจํานวนนักเรียนทั้งหมด 17.

= 25.04 กิโลกรัม มัธยฐาน = 22 กิโลกรัม ฐานนิยม = 22 กิโลกรัม X

เฉลยแบบฝกหักหัด 2.5 1. 1) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s X

≈

20 5

พิสัย 4

7−2 4

= 1.25

= 4 n

∑ (X

หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s = จะได

s =

4 +1+1+ 9 +1 4

i =1

− X) 2

n −1 4

2) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s X

≈

150 5

พิสัย 4

37 − 20 4

= 4.25

= 30 n

หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s = s = ≈

∑ (X i =1

− X) 2

n −1 100 + 25 + 9 + 1 + 49 4

6.78

3) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s

≈

6 −1 4

= 1.25 X

33 11

= 3

หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s = ≈

4 + 0 +1+ 4 +1+ 9 +1+ 4 +1+ 0 +1 10

2.60 ≈

1.61

4) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈ 12 − 2 = 2.5 4

60 12

= 5

หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s = ≈

4 + 49 + 0 + 1 + 4 + 9 + 1 + 0 + 1 + 0 + 0 + 1 11

6.3636

≈

2.52

5) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈ 15 − 5 = 2.5 4

60 6

= 10

หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s = ≈

25 + 9 + 1 + 1 + 9 + 25 5 14 ≈

3.74

6) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈ 95 − 74 = 5.25 4

588 7

= 84

หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s = ≈

16 + 25 + 121 + 4 + 16 + 64 + 100 6

57.67

≈

7.59

7) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈ X

580 10

75 − 42 = 8.25 4

= 58

หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s= =

256 + 169 + 100 + 100 + 16 + 4 + 36 + 144 + 256 + 289 9

152.22 ≈

12.34

8) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈ X

110 10

21 − 3 4

= 11

หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s= =

9 + 100 + 4 + 16 + 25 + 16 + 64 + 9 + 36 + 1 9

31.11 ≈

5.58

= 4.5

9) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈ 116 − 99 = 4.25 4

763 7

= 109

หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร

s = ≈

64 + 36 + 25 + 100 + 9 + 9 + 49 6

48.67 ≈

6.98

10) หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใชการประมาณจากพิสัย จะได s ≈ 2.5 − 1.6 = 0.225 4

14.7 7

= 2.1

หาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตร s= = 2. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

0 + 0.01 + 0.04 + 0.25 + 0.16 + 0.01 + 0.09 6

0.0933 ≈

0.306

a c d g b e f

3. พิจารณาความแตกตางคาจากการสังเกตกับคา 1) ขอมูล 0, 10, 20, 30, 40 มี X = 20 ×

ของขอมูลแตละชุดดังนี้

∑X i =1

−X

= 20 + 10 + 0 + 10 + 20 = 60

2) ขอมูล 0, 0, 20, 40, 40 มี × ×

×××

∑X i =1

−X

= 20 + 20 + 0 + 20 + 20 = 80

3) ขอมูล 0, 19, 20, 21, 40 มี ×

= 20

× ×

= 20 5

∑X i =1

−X

= 20 + 1 + 0 + 1 + 20 = 42

พิจารณาจากคา ∑ X i =1

−X

ของขอมูลแตละชุด พบวา ขอมูลในขอ 2) ควรมี

การกระจายมากที่สุด และขอมูลในขอ 3) ควรมีการกระจายนอยที่สุด และเมื่อหาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากสูตรพบวา สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ ขอมูลในแตละขอมีดังนี้ 1) s = 15.81 2) s = 20 3) s = 14.16 4. 1) ขอมูล 5, 5, 5, 5, 5, 5 มี X = 5 จะเห็นวา ขอมูลแตละตัวไมแตกตางจากคาเฉลี่ยเลขคณิต ดังนั้น สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุดนี้จะเทากับ 0 2) ขอมูล 10, 10, 10, 20, 20, 20 มี X = 15 จะเห็นวา ขอมูลแตละตัวตางจากคาเฉลี่ยเลขคณิต เทากับ 5 และ 6

พิจารณาคา

∑X i =1

−X

ของขอมูลชุดนี้ซึ่งเทากับ

6×5 6

Xi − X

หรือ 5

แสดงวา สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุดนี้ควรมีคาใกลเคียง 5 จากการหาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน จากสูตรพบวา s = 5.47

3) ขอมูล 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22 มี 9

พิจารณาคา

∑X i =1

−X

= 14

ของขอมูลชุดนี้ ซึ่งเทากับ

9 8+6+4+ 2+0+ 2+ 4+6+8 ≈ 9

4.4

แสดงวา สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุดนี้ควรมีคาใกลเคียง 5 จากการหาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน จากสูตรพบวา s = 5.47 4) ขอมูล 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 มี 9

พิจารณาคา

∑X i =1

−X

= 25

ของขอมูลชุดนี้ ซึ่งเทากับ

9 20 + 15 + 10 + 5 + 0 + 5 + 10 + 15 + 20 9

100 ≈ 9

11.11

แสดงวา ขอมูลชุดนี้ไมควรมีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานใกลเคียงกับ 5 จากการหาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน จากสูตรพบวา s = 13.69 5. ขอมูลชุดแรก 16, 23, 34, 56, 78, 92, 93 มี X = 56 ขอมูลชุดที่สอง 20, 27, 38, 60, 82, 96, 97 มี X = 60 พิจารณาความแตกตางคาจากการสังเกตกับคา X ของขอมูลแตละชุดดังนี้ ชุดแรก

X = 56

× ×

15 25

××

95 105

X = 60

ชุดที่สอง

× ×

19 29

××

99 109

จากแผนภาพจะเห็นวา ขอมูลทั้ง 2 ชุด มีการกระจายจากคาเฉลี่ยเลขคณิต ( X ) ในลักษณะที่ใกลเคียงกัน ดังนั้น ถาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุดแรกมีคา 30 (โดยประมาณ) สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุดที่สองควรจะมีคา 30 (โดยประมาณ) ดวย หาคาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลทั้งสองชุด โดยใชสูตรไดดังนี้ n

ขอมูลชุดแรก

∑ (X

s =

i =1

− X) 2

n −1 1600 + 1089 + 484 + 0 + 484 + 1296 + 1369 6

s =

6322 6

≈

ขอมูลชุดที่สอง

∑ (X

s =

i =1

32.46

− X) 2

n −1 1600 + 1089 + 484 + 0 + 484 + 1296 + 1369 6

s =

6322 6

≈

32.46

จากการคํานวณคาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานพบวา สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ ขอมูลทั้งสองชุดนี้เทากัน 6. 1)

201 10

= 20.1 n

2) s =

∑ (X i =1

− X) 2

n −1

0.01 + 0.01 + 1.21 + 0.81 + 0.81 + 4.41 + 0.01 + 3.61 + 8.41 + 9.61 9

28.9 9

≈

1.79

3) ถาขอมูลชุดนี้มีคาเฉลี่ยเลขคณิตและมัธยฐานเทากัน ขอมูลชุดนี้ควรจะมีการ กระจายแบบสมมาตร 7. 1) X = 51 และ s = 2.26 2) เนื่องจากการสุมชั่งน้ําหนักมันสําปะหลัง 15 กระสอบ พบวา คาเฉลี่ยเลขคณิตของน้ําหนักมันสําปะหลังหนึ่งกระสอบ คือ 51 กิโลกรัม ดังนั้น ถาใหน้ําหนักของมันสําปะหลังหนึ่งกระสอบ คือ 51 กิโลกรัม รถบรรทุกซึง่ บรรทุกน้ําหนักไดไมเกิน 5 ตัน (5,000 กิโลกรัม) จึงควรบรรทุก มันสําปะหลัง ไดไมเกินคันละ 5000 หรือ 98 กระสอบ 51

เฉลยคําถามเพิ่มเติม 1. 1) จากแผนภาพกลองของนักเรียนหอง ม.5/1 60 88

100

คาต่ําสุด คือ 60 คาสูงสุดคือ 100 และ Q1 = 67, Q2 = 75 และ Q3 = 88 ดังนั้น 25% ของนักเรียนหอง 5/1 ที่ไดคะแนนอยูในกลุมต่ําสุด อยูในชวง คะแนน 60 – 67 โดยมีคะแนนต่ําสุด 60 และคะแนนสูงสุด 67 คะแนน 2) จากแผนภาพกลองของนักเรียนหอง ม.5/2 64

คาต่ําสุดคือ 64 คาสูงสุดคือ 98 และ Q1 = 77, Q2 = 85 และ Q3 = 91 ดังนั้น นักเรียนหอง ม. 5/2 ที่ไดคะแนนมากกวาหรือเทากับ 91 คะแนน มีประมาณ 25% 3) มีนักเรียนหอง ม. 5/1 อยู 50% ที่ไดคะแนนนอยกวาหรือเทากับ 75 คะแนน 4) มีนักเรียนหอง ม. 5/2 อยู 75% ที่ไดคะแนนมากกวาหรือเทากับ 77 คะแนน 5) ถาผูสอนใหระดับคะแนน 4 แกผูสอบที่ไดคะแนนตั้งแต 80 คะแนนขึ้นไป จากแผนภาพกลองพบวา นักเรียนหอง ม.5/2 มีผูที่สอบไดคะแนน 80 คะแนน ซึ่งไดระดับคะแนน 4 เกิน 50% ในขณะที่หอง ม.5/1 มีนักเรียนที่ไดคะแนน ตั้งแต 80 คะแนนขึ้นไป ไมถึง 50% (เนื่องจาก Q2 เทากับ 75 คะแนน) ดังนั้น หอง ม.5/2 ควรจะมีผูที่ไดระดับคะแนน 4 มากกวาหอง ม.5/1 2. เป น ไปไม ไ ด ที่ แ ผนภาพที่ ส ามจะแทนคะแนนเฉลี่ ย จากการสอบทั้ ง สองครั้ ง ของ นักเรียนแตละคนในกลุมนี้ เพราะคะแนนสูงสุดของแผนภาพที่สาม ไมใชคะแนน เฉลี่ยสูงสุดของนักเรียนกลุมนี้ ถึงแมวานักเรียนที่ไดคะแนนสูงสุดจากการสอบทั้งสอง ครั้งเปนคนเดียวกันก็ตาม หมายเหตุ ผูสอนอาจใหผูเรียนอภิปรายรวมกันวาถาคะแนนเต็มของการสอบแตละ ครั้งไมเทากัน เหตุผลขางตนยังเปนไปไดหรือไม