UNIDAD I LA LÓGICA
LA LÓGICA
Objetivo: establecer condiciones necesarias para determinar si una proposición es verdadera o falsa
Presentación:
“La lógica se constituye como disciplina autónoma, a partir de Aristóteles, quien la elevo al grado de saber supremo” La lógica es la ciencia Formal que tiene como objeto de estudio los distintos Principios de Demostración que permitan comprobar que una afirmación pueda ser considerada como Válida, derivando del vocablo antiguo Logike, que se utilizaba para referir a todo aquel que cuenta con Intelecto, Razón, Dialéctica y Argumentos, a su vez proviniendo esta palabra de Logos, que es relativo a las Ideas, Argumentos, Razones y Palabras propiamente dichas. La metodología de trabajo de la Lógica consiste en la examinación de la Validez o Invalidez aplicando una sistematización en los Argumentos, analizando por ende su Estructura Lógica, sin tener en cuenta el contenido de lo que se ha argumentado, ni considerar siquiera el Lenguaje utilizado, además de no contemplar el estado de Realidad del contenido, por lo que se considera a la misma como una Ciencia Formal.
REFERENTES TEÓRICOS. En esta primera unidad te invitamos a diferenciar entre un enunciado y proposición, lo mismo a distinguir entre un valor de verdad, verdadero falso. Las proposiciones simples y compuestas, sus valores de verdad correspondiente. Proposición: veamos los siguientes ejemplos. a. Cartagena es la capital del departamento de Bolívar. b. 2 + 1 = 3 Las anteriores afirmaciones tienen un valor de verdad, verdadero. Observe: a. 5 es menor que 4 b. Cartagena tiene clima frio. Las anteriores proposiciones tienen un valor de verdad falso. Por lo tanto, las proposiciones son aquellas afirmaciones de las cuales se puede decir que tiene valor de verdad verdadero, o valor de verdad falso, quedando por fuera expresiones como las siguientes por no poder decir si son verdaderas o falsas a. b. c. d.
Caminar X menor que Y ¡Qué lindo! ¡hola!
En conclusión decimos que una proposición es una expresión que posee las siguientes propiedades: 1. es una afirmación. 2. Posee valor verdadero (v) o falso (f) 3. Este valor de verdad es único , es decir, a. Es independiente de la persona que lo juzgue. b. Es independiente del tiempo es decir de la hora, el día etc., en que se diga. Por lo tanto una proposición es una afirmación, con valor de verdad único. Proposiciones Simples:
Ej.: el Colegio Mayor de Bolívar esta ene centro de Cartagena y tiene el programa de promoción social este enunciado se puede descomponer en dos expresiones que son proposiciones El colegio Mayor de Bolívar está en el centro de Cartagena El Colegio Mayor de Bolívar tiene el programa de promoción social. Observe que la proposición simple, Medellín es una ciudad de Colombia, nos e puede descomponer en ningún otro enunciado del cual podemos decir que tenga valor de verdad verdadero (v) o falso (f). Las proposiciones Simples son enunciados que no pueden ser descompuestos en partes, que a su vez sea proposiciones. Notación de Proposiciones Simples: La notación o simbolización es un proceso que consiste en remplazar ciertas expresiones en otras de manejo o aplicación más sencillos, pero de igual significado a las proposiciones simples las podemos sustituir por letras minúsculas, así: p, q, r, s. Ej.: para notar las proposiciones, Madrid es la capital España procedemos: P: Madrid es la capital de España Valor de verdad de una proposición simple: Si p es una proposición simple, entonces: P, puede ser verdadera (v) P, puede ser falsa (f)
P
V F
P V F
Negación de de Proposiciones Simples.
p
≈p
Las palabras no, ni, nada, ninguno etc. representa expresión el símbolo ( ≈ ) se lee no, al ser proposición, representa su negación y hace que su cambie. Ej.: p: Madrid es la capital de España ≈
v f
f v
la negación de una antepuesto a una valor de verdad
P: Madrid no es la capital de España.
p v
≈p f
≈ ≈p v
Proposiciones Compuestas.
En la lógica existe símbolos que permite unir proposiciones simples, estos símbolos se llaman conectores o enlaces lógicos.
Conectivo No …y.. .. o .. Si…, entonces …si y solo si
Nombre lógico Negación Conjunción Disyunción Implicación o condicional Doble implicación Bi-condicional
Símbolo
≈ ^` ᵛ
Los puntos suspensivos indican que allí van las preposiciones. Las proposiciones compuestas so enunciados que pueden ser descompuestos en expresiones que a su vez, son proposiciones.
Valor de Verdad de una Preposición Compuesta: Estas proposiciones tienen único valor de verdad Ejemplo: Sea la proposición compuesta p. q cual será el valor de la verdad? La proposición p puede ser verdadera o falsa; lo mismo sucede con la proposición q. Analicemos todas las posibles combinaciones entre los valores de p y q Esto es:
P sea verdadero; q sea verdadera
p v
q v
P sea verdadero, q sea falsa
v
f
P sea falsa; q sea verdadera
f
v
P sea falsa; q sea falsa
f
f
P .q
Las dos proposiciones suceden únicamente las cuatro combinaciones anteriores. Cuál será el valor de verdad de la proposición compuesta: p. q? Para ello debemos utilizar los conectivos vistos. La Conjunción (^) La conjunción tiene un valor de verdad (v) cuando simultáneamente las dos proposiciones que la conforman son verdaderas (v) p
q
P^q
v
v
v
v
f
f
f
v
f
f
f
f
La conjunción es aquel conector que al actuar sobre dos proposiciones de lugar a una nueva proposición cuyo valor de verdad es “verdadero” solamente si cada proposición tiene valor de verdad “verdadero” La disyunción (v) La disyunción tiene valor de verdad (f) cuando dos proposiciones que la conforman son falsas (f)
Simbólicamente:
p
q
P ^ q
v v f f
v f v f
v v v f
Implicación o condicional. Veamos las siguientes expresiones “si Pedro es matemático, entonces, calcula” Puede suceder que: 1. Pedro es matemático, entonces ,calcula 2. Pedro es matemático , entonces, no calcula 3. Pedro no es matemático, entonces, calcula 4. Pedro no es matemático, entonces, no calcula Caso 1: Pedro es matemático, entonces calcula: esta afirmación es cierta. Caso 1: Pedro es matemático, entonces no calcula.; esta afirmación es falsa por que para los matemáticos es necesario que calcule. Caso 3: Pedro no es matemático, entonces calcula; esta afirmación es cierta, pues cualquiera puede calcular sin necesidad de ser matemático. Caso 4: Pedro no es matemático, entonces, no calcula; esta afirmación es cierta. Simbólicamente:
p
q
v v f f
v f v f
P
q v f v v
La implicación tiene valor de verdad falso únicamente cuando la primera proposición (antecedente) tiene valor de verdad verdadero y la segunda proposición (consecuente) tiene valor de verdad falso. Doble implicación o bicondicional (
)
Pedro es ciego, si y solo si, no ve. La anterior expresión, ¿Cuándo es cierta? Para que Pedro sea ciego, es necesario que no vea, y es suficiente que no vea, para que sea ciego, por lo tanto el conector …si y solo si…, es cierto, cuando ambas proposiciones son ciertas. Ahora, si Pedro no es ciego, es porque ve y si ve es porque no es ciego, por lo tanto la expresión, también es cierta, cuando ambas proposiciones tiene el mismo valor de verdad falso. Es falso decir que Pedro es ciego y ve, o que Pedro no ve y no es ciego. Simbólicamente: p
q
v f f v
v f v f
P
q v v f f
El enlace…si y solo si… es cierto cuando ambas proposiciones son ciertas o son cuando ambas proposiciones son falsas la doble implicación. o bi .condicional es aquel conector que al actuar sobre dos proposiciones, da lugar a una nueva proposición cuyo valor de verdad es verdadero solamente si ambas proposiciones tiene el mismo valor de verdad
Bibliografía Matemáticas constructivas. Editorial libros &libres S.A Gustavo Centeno Nelson Jiménez, Fernando González, Marco F Robayo.
Introducción Moderna a las Matemáticas Superior Segunda edición Care B Allen Doerfer, Cletus V Oakley 1967