Antologia algebra by Patricia Herrera

MATEMATICAS II ANTOLOGIA: Compendio de lecturas correspondiente a la asignatura Matemรกticas II (ร lgebra)

1-6-2014

EXPRESIONES ALGEBRAICAS Conceptos algebraicos Constante. Es una cantidad cuyo valor no cambia al hacer cálculos u operaciones, generalmente es un número. Ejemplos: 2x + 3= 15 A = r2

2, 3, 15 son constantes.  es la constante.

Variable. Es una letra que se usa para representar valores numéricos por lo que su valor cambia al hacer cálculos u operaciones. Se le llama variable independiente a aquella cuyo valor no depende de la expresión y por lo tanto se le puede asignar diferentes valores. Por el contrario, una variable es dependiente cuando su valor está sujeto a la expresión (concretamente al valor de la variable independiente). Ejemplos: y = 3x2 + 5x – 2 v = r2h

x es la variable independiente y es la variable dependiente r, h son variables independientes v es la variable dependiente

Exponente. Es el número o letra escrito en la parte superior derecha de una constante o de una variable. Indica las veces que se debe multiplicar la base por sí misma.

2n 4a3b2c

“n” es el exponente 2 es la base 1, 2, 3 son los exponentes 4, a, b, c son la base

Término algebraico y sus partes. Un término algebraico es cada parte de la expresión algebraica separada por las operaciones de suma o resta (+, -). Ejemplo: 2x 5



6x2

Término cuadrático

Término lineal



Término independiente

Las partes de un término algebraico son: Coeficiente.- Es el primer factor de un término, generalmente es una constante (número).

Ejemplo: 5 x3 

2 2 2 x y   xy 3  y 4 3

Los coeficientes de cada término en esta expresión algebraica son 2 respectivamente 5, , ,1 . 3 Variable.- Es cada una de las letras que aparecen en la expresión, su valor puede ser cualquier número real.

A = r2 “r” es variable independiente, su valor puede ser cualquier número real positivo. “A” es variable dependiente, su valor depende del valor que tome “r”. Exponente.- Es el número o letra que se localiza en la parte superior derecha de la variable. x3 + 3x2 – 2x + 5 Así, los exponentes de la variable “x” en la expresión anterior son 3, 2, 1 y 0.

Clasificación de expresiones algebraicas. La clasificación de una expresión algebraica está dada por el número de términos que contiene, esto es: Monomio. Expresión que tiene un solo término. Ejemplos: 3 2 3 4 x y z w 2

 2 ; 3a,

Binomio. Expresión que tiene dos términos.

Ejemplos: a2 + b2

;

a2 - b 2

Trinomio. Expresión que tiene tres términos. Ejemplos: a+b+c

;

a2 + 2ab + b2

;

ax2 + bx + c

Polinomio. Expresión que tiene cuatro términos o más. Ejemplos: a3–3a2b+3ab2–b3 ; b2+c2-2bc CosA – a2 ;

x2+y2+Dx+Ey+F

Grado de una expresión algebraica. Es el valor del exponente mayor que contiene la variable a la que se hace referencia. El exponente de mayor orden de la variable se conoce como grado del polinomio. Para encontrar el grado de un polinomio, basta examinar cada término y hallar el exponente de mayor orden de la variable. Por lo tanto, el grado de 3x2 + 5x4 - 2 se halla examinando el exponente de la variable en cada término. El exponente en 3x2 es 2 El exponente en 5x4 es 4 El exponente en -2 es 0, porque -2=-2x0 (x0=1) Entonces el grado de variable en el polinomio.

es 4, el exponente de mayor orden de la

De manera semejante, el grado de es 5, puesto que 5 es el exponente de mayor orden de una variable presente en el polinomio. Por convención, un número como -4 o 7 se conoce como polinomio de grado 0, porque si a¹0, a=ax°. El grado de un polinomio puede ser “absoluto” o “relativo” a una literal. Grado absoluto: El grado absoluto de un polinomio se determina por el exponente mayor, de uno de sus términos. El grado absoluto es cuatro. El grado absoluto es sexto. El grado absoluto es quinto. Grado relativo a una literal: El grado relativo de un polinomio con respecto a una literal, es el mayor exponente que tiene la literal que se considere del polinomio. El grado con relación a x es séptimo, de quinto grado con relación a y. El grado con relación a a es tres, de segundo grado con relación a b. Polinomio cero El mismo número 0 se conoce como polinomio cero y no se le asigna grado. Se hace notar que 0×x4=0, 0×x2=0, 0×x3=0, y así sucesivamente de modo que los polinomios cero no pueden tener grado.

Ejemplos:

r2h 3 a6 – 3a4b + 3ª2b2 – b3

es de primer grado respecto a “h” es de segundo grado respecto a “r” es de sexto grado respecto a “a” es de tercer grado respecto a “b”

Ejemplos:

r 2 h 3 a6 – 3a4b3 + 3a2b2 – b3

es de tercer grado absoluto. es de séptimo grado absoluto.

Ejemplos:

r 2 h 3 a6 – 3a4b3 + 3a2b2 – b3

es de tercer grado absoluto. es de séptimo grado absoluto.

LENGUAJE COMÚN Y LENGUAJE ALGEBRAICO. Lenguaje común. Es aquel que nos permite expresarnos por medio de palabras y se le llama así porque lo utilizamos cotidianamente. Lenguaje algebraico. Es un lenguaje (simbólico) que utiliza números, letras y signos para expresar de manera convencional lo mismo que en el lenguaje común. Ejemplos: Lenguaje común

Lenguaje algebraico

a) Tres hermanos 3h Por dos tacos y un refresco 2t + 1r = 20 pagué 20 pesos b) Un automóvil se mueve a razón de noventa y cinco kilómetros por cada hora v = 95 km/h En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de c) la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos c2 = a2 + b2 d) Gas butano (gas LP) CH3-CH2- CH2- CH3 Aquí se presentan los siguientes ejemplos, son algunas de las situaciones más comunes que involucran los problemas de matemáticas con lenguaje algebraico; cualquier razonamiento extra o formulación de operaciones con este lenguaje se basa estrictamente en estas definiciones: Un número cualquiera Se puede denominar con cualquier letra del alfabeto, por ejemplo: a = un número cualquiera b = un número cualquiera c = un número cualquiera ... y así sucesivamente con todos los datos del alfabeto. La suma de dos números cualesquiera a+b = la suma de dos números cualesquiera x+y = la suma de dos números cualesquiera La resta de dos números cualesquiera a-b = la resta de dos números cualesquiera m-n = la resta de dos números cualesquiera La suma de dos números cualesquiera menos otro número cualquiera a-b+c =la suma de dos números cualesquiera menos otro número cualquiera

El producto de dos números cualesquiera ab = el producto de dos números cualesquiera El cociente de dos números cualesquiera (la división de dos números cualesquiera) a/b= el cociente de dos números cualesquiera La semisuma de dos números cualesquiera (a+b)/2= la semisuma de dos números cualesquiera El semiproducto de dos números cualesquiera (ab)/2= el semiproducto de dos números cualesquiera

Valor numérico. Se le llama valor numérico de una expresión algebraica a aquel número que resulta de sustituir la o las variables por su valor ya establecido y haber resuelto las operaciones indicadas. Ejemplos: Las edades de Humberto, Rolando y David son 8, 6 y 2 años respectivamente. Si estas edades las operamos en las siguientes expresiones algebraicas. ¿Cuántos años representa cada polinomio? h= 8; r= 6; d= 2 3hr2 + 2hrd2 – 5rd3 = 3(8)(6)2 + 2(8)(6)(2)2 – 5(6)(2)3 = 3(8)(36) + 2(8)(6)(4) – 5(6)(8) = 864 + 384 – 240 = 1008 El valor numérico es 1008.

2h 2 d 3hr 2 2(8) 2 (2) 3(8)(6) 2   hrd 3 =   (8)(6)(2)3 3 6 3 6 (2)(64)(2) (3)(8)(36)   (8)(6)(8) = 3 6 256 864 =   384 3 6 256 =  144  384 3 256 12 384 =   3 1 1 256  36  1152 = 3 1372 =  457.33 3

Leyes de los exponentes Un exponente es el número o letra colocado en la parte superior derecha de la base e indica las veces que ésta se debe multiplicar por sí misma. Cuando el exponente es un número entero, se dice que la operación representada es una potencia. Ejemplos: 53 = 5 x 5 x 5 =125 1 1 1    0.125 3 2 x2 x2 8 2-3 = 2 Cuando el exponente es un número racional, se dice que la operación representada es una radicación. Ejemplos:

4 2

3 

2 2 3

 2 43  64  8 

1 2

2 3



1 3



1 1   0.6299 4 1.5874

Exponentes enteros y su operatividad. Las principales leyes o propiedades de los exponentes enteros son las siguientes. Multiplicación de potencias de la misma base. En este caso los exponentes se suman, esto es: am  an  am n

Ejemplos:

53  52  53 2  55  3125 x7  x3  x7  ( 3)  x7 3  x 4

División de potencias de la misma base. En este caso los exponentes se restan, esto es:

am  amn an

Si a  0

Ejemplos:

45  45  2  43  64 2 4 x3 1  x35  x  2  2 5 x x Una potencia elevada a otra potencia. En este caso los exponentes se multiplican, esto es: (a m ) n  a m  n

Ejemplos: (52)3 = 5(2)(3) = 56 = 15625 1 ( x  4 )3  x ( 4)( 3)  x 12  12 x 2 5 ( 2 )( 5) 10 (w )  w w

El producto de dos bases distintas elevado a una potencia. En este caso el exponente afecta a ambas bases, esto es: (a  b)m  a m  bm

Ejemplos:

(5)(3)2  52  32  (25)(9)  225 ( xy )3  x3  y 3

Un racional (fracción) elevado a una potencia. En este caso el exponente afecta tanto al numerador como al denominador, esto es: m

am a    m b b

Si b  0

Ejemplos:

24 (2)(2)(2)(2) 16 2   0.1975    4  3 (3)(3)(3)(3) 81 3 3

 2x  23 x 3 8 x 3    3  3 y y  y 

Ahora bien, si la propiedad “2” es válida cuando m=n, entonces:

an  ann  a0 n a Esta división da como resultado un exponente nulo, sin embargo, todo número diferente de cero dividido por sí mismo es igual a la unidad. Esto define al exponente nulo de la siguiente manera: a0  1

con a  0

Por otro lado, si la propiedad “1” es válida para m=-n, entonces: a n  a n  a n  n  a0  1

Dividiendo a ambos miembros de la igualdad por “an”, tenemos:

an  an 1  n n a a  an 

1 an

con a  0

Exponentes racionales

a   Cuando en una potencia el exponente es racional b con “a”   y “b” es entero positivo, operación conocida como radicación.

1 De las leyes de los exponentes, (am)n = am.n, si ahora m = n

n  1n  a  an a    

n , es:

 1n  a  a     1 n

La ecuación muestra que la n-ésima potencia de a es igual a 1 n “a”, o bien, que a es una n-ésima raíz de “a”. Especificando esta raíz como la n-ésima raíz principal de “a”, tenemos, por definición :

an n a Ahora bien, la expresión a

, es: a 

1 m n

En cualquiera de estas expresiones, la base pude ser cualquier número real si “n” es impar, pero si “n” es par la base sólo puede ser positiva, ya que los números negativos no tienen raíz real cuando el índice es número par. Ejemplos: 3

4 2  2 43  64  8 

2 3

2 

1 2

2 3

1 6

2 3

3 5 2

1 2

3

x x x  x

1 1   0.6299 4 1.5874

2 1 5   3 6 2

x

10 3

 3 x10

(27) 2   27  N .E. 1 3

(27)  3  27  3

Porque no hay un R que multiplicado por sí mismo sea igual a –27 Porque (-3)3 = -27

Concluir entonces que de las leyes de los exponentes, se derivan las siguientes propiedades de los radicales.

an  a

Ejemplos: 5 5

3 3 3

x3  x 3  x

( 2 )( 3)

7( 2)( 4)  3 74  3 2401  13.39

( 5)( 3)

x( 4)( 3)  5 x 4

n m

a  m n a

Ejemplos:

ab  n a n b

2 4

(27)(8)  3 27  3 8  (3)(2)  6

x2  y3  4 x2  4 y3

a  b

n n

( 2 )( 4 )

256  8 256  2

( 3)( 3)( 2 )

am  a p 

33  4 3 

29  18 29  1.2057

a mq  np

3(3)( 4)  ( 2)(1)  8 312 2  8 314  4 37  6.8385

a b

Ejemplos: 16 16 4    0.8 25 25 5 9 9 3   5 5 5 cn

( 2 )( 4 )

29 

3 3

Ejemplos: 3

256 

Ejemplo:

3 2

1 4

12 2 8

3  3  3 3  3 3

14 8

7 4

 3  3  4 37  6.8385

a cm  n a m

Ejemplos:

OPERACIONES ALGEBRAICAS. Términos semejantes. En álgebra se les llama términos semejantes a aquellos cuya parte literal es idéntica, sin embargo su signo y su coeficiente puede no serlo. En una expresión algebraica se llaman términos semejantes a todos aquellos términos que tienen igual factor literal, es decir, a aquellos términos que tienen iguales letras (símbolos literales) e iguales exponentes. Por ejemplo: 6 a2b3 es término semejante con – 2 a2b3 porque ambos tienen el mismo factor literal (a2b3) 1/3 x5yz es término semejante con x5yz porque ambos tienen el mismo factor literal (x5yz) 0,3 a2c no es término semejante con 4 ac2 porque los exponentes no son iguales, están al revés. Reducir términos semejantes significa sumar o restar los coeficientes numéricos en una expresión algebraica, que tengan el mismo factor literal. Para desarrollar un ejercicio de este tipo, se suman o restan los coeficientes numéricos y se conserva el factor literal. Recordando cómo se suman los números enteros: Las reglas de suma se aplican únicamente a dos casos: números de igual signo y números con signo distinto. Las reglas a memorizar son las siguientes: a) Números de igual signo: Cuando dos números tienen igual signo se debe sumar y conservar el signo. – 3 + – 8 = – 11

(sumo y conservo el signo)

12 + 25 = 37

(sumo y conservo el signo)

– 7 + 12 = 5 (tener 12 es lo mismo que tener +12, por lo tanto, los números son de distinto signo y se deben restar: 12 - 7 = 5 b) Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar y conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto 5 + – 51 = – 46

( es negativo porque el 51 tiene mayor valor

absoluto) – 14 + 34 =

SUMA Y RESTA ALGEBRAICA Se suman o restan dos términos algebraicos siempre y cuando sean términos semejantes. Observa los ejemplos

EJEMPLO 1: (Suma de polinomios de igual grado) A = - 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 1/2 x B = -5x4 - 10 + 3x + 7x3 2x4 - x3 - 3x2 + 1/2 x - 8

(el polinomio A ordenado y completo)

+ -5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo) ______________________________ -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18 A + B = -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18

Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre sí los coeficientes de los términos del mismo grado El resultado de sumar dos términos del mismo grado, es otro término del mismo grado. Si falta algún término de alguno de los grados, se puede completar con 0, como en el ejemplo en el segundo polinomio se completó con 0x2. Y se los suele ordenar de mayor a menor grado, para que en cada columna queden los términos de igual grado.

EJEMPLO 2: (Suma de polinomios de distinto grado) A = -3x2 + 5x - 4 B = 4x3 - 5x2 + 2x + 1 0x3 - 3x2 + 5x - 4

(grado 2) (grado 3) (el polinomio A ordenado y completo)

+ 4x3 - 5x2 + 2x + 1 (el polinomio B ordenado y completo) ____________________ 4x3 - 8x2 + 7x - 3 A + B = 4x3 - 8x2 + 7x - 3

EJEMPLO 4: (No hay términos semejantes)

A = 4x3 + 5 B = -2x + x2 4x3 + 0x2 + 0x + 5 + 0x3 + x2 - 2x + 0 ____________________ 4x3 + x2 - 2x + 5 A + B = 4x3 + x2 - 2x + 5

Se llama términos "semejantes" a los que tienen el mismo grado (en los polinomios con un solo tipo de letra). Entre estos dos polinomios no hay términos semejantes. Se puede observar que el resultado es la suma de todos términos de los dos polinomios, sin modificarse ninguno, ya que a cada uno se le sumó cero, por no tener otro término semejante.

EJEMPLO 5: (Suma de polinomios de varias letras) A = -3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy B = 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y A + B = (-3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy) + (8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y) = -3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy + 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y = -3xy2 - 6x2y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy2 + 4x3y - 7x2y2 = -9xy2 + 14 + 3xy - 2xy2 + 4x3y - 7x2y2

Cuando los polinomios tienen varias letras, se suman los términos semejantes, que son los que tienen las mismas letras con los mismos exponentes (la misma "parte literal"). Para sumar estos polinomios, no es práctico usar el procedimiento de ordenarlos y sumarlos "en columnas", porque en general hay pocas coincidencias entre sus partes literales. Así que es mejor sumarlos "uno al lado del otro" y "juntar" los términos de igual parte literal.

Multiplicación de polinomios En esta operación multiplicar (término a término) primero los signos, después los coeficientes y al final la parte literal. Cuidar también que cada término de los productos parciales corresponda con su respectivo término semejante para poderlos sumar, así el resultado total será el producto polinomio. La multiplicación de polinomios cumple la propiedad distributiva. Es decir, que dados tres polinomios cualesquiera se cumplirá que . Esta ley acostumbra a enunciarse diciendo que los factores se pueden agrupar de cualquier manera. Asimismo, el producto de polinomios también cumplía la propiedad conmutativa. Es decir, que dados los polinomios cualesquiera , se cumplirá que . Esta ley acostumbra a enunciarse diciendo que el orden de los factores no altera el producto. Por lo que respecta al signo del producto de dos factores, pueden presentarse los cuatro puntos siguientes: a) Si dos factores tienen el mismo signo positivo, su producto también b)

tendrá signo positivo. Si el multiplicador tiene signo positivo y el multiplicando tiene signo

negativo, el producto tendrá signo negativo. c) Si el multiplicando tiene signo positivo y el multiplicador tiene signo d)

negativo, el producto tendrá signo negativo. Si dos factores tienen ambos signo negativo, su producto tendrá signo positivo.

Por lo que podemos concluir en la Regla de los Signos, siguiente: + × + =+ + × =- × + =- × - =+ En la multiplicación algebraica pueden considerarse los tres casos siguientes: a) Multiplicación de monomios. b) Multiplicación de un polinomio por un monomio c) Multiplicación de polinomios MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS. Para multiplicar monomios, se multiplican sus coeficientes y a continuación se escriben las letras diferentes de los factores ordenados alfabéticamente, elevadas a un exponente igual a la suma de los exponentes que cada letra tenga en los factores. El signo del producto será el que le corresponda al aplicar la regla de los signos.

EJEMPLO: Multiplicar SOLUCIÓN: EJEMPLO: Multiplicar Solución: EJEMPLO: Multiplicar SOLUCIÓN: EJEMPLO: Multiplicar SOLUCIÓN:

El producto es negativo por que hay un número impar de factores negativos. MULTIPLICACIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO Para multiplicar un polinomio por un monomio se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio, teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman todos los productos parciales así obtenidos. EJEMPLO: Multiplicar

SOLUCIÓN: EJEMPLO: Multiplicar: SOLUCIÓN:

EJEMPLO:

Multiplicar:

SOLUCIÓN:

EJEMPLO: Multiplicar:

por

SOLUCIÓN:

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Para multiplicar un polinomio por otro se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la regla de los signos, y a continuación se efectúa la suma algebraica de todos los productos parciales así obtenidos. EJEMPLO: Multiplicar:

EJEMPLO: Multiplicar: SOLUCIÓN: Se multiplican los dos primeros términos

A continuaci贸n el resultado obtenido lo multiplicamos por el otro polinomio.

División de polinomios De la misma manera que en aritmética, la división algebraica tiene por objeto obtener un cociente, dado el dividendo y el divisor. En esta operación destacan dos casos. La división algebraica es la operación que consiste en hallar uno de los factores de un

producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y el producto de ambos factores llamado dividendo. De la definición anterior se deduce que el dividendo coincide con el producto del divisor por el cociente. Así por ejemplo, si dividimos

, se

cumplirá que

Si el residuo no fuera igual a cero, entonces:

Para efectuar una división algebraica hay que tener en cuenta los signos, los exponentes y los coeficientes de las cantidades que se dividen. (+)÷(+)=+ (–)÷(–)=+ (+)÷(–)=– (–)÷(+)=–

Polinomio entre monomio. En esta operación, dividir (término a término) primero los signos, después los coeficientes y al final la parte literal. Ejemplos:

 32a 2b3c  el cociente es –8ab2 4abc ( )  (  )   (32)  4  8

Ejemplo

a 2b 3c  ab 2 abc  2 4  5 x yz  2 xy 3 z 2

( )  (  )   (5)  (2) 

Ejemplo

5 2

x 2 yz 4 xz 2 2 2  xy z  xy 3 z 2 y2

 el conciente es 

5 xz 2 2 y2

Ejemplo

12m3n 4 9m2 n3 7m3n3    3m2 n 2 3m2 n 2 3m2 n 2 7 4mn2  3n  mn 3

Ejemplo

9 x 4 y 3  8 x3 y 4  5 x3 y 3  6 xy = 2 xy 9 x 4 y 3 8 x3 y 4 5 x3 y 3 6 xy =    2 xy 2 xy 2 xy 2 xy 9 3 2 5 x y  4x2 y3  x2 y 2  3 2 2

DIVISIÓN DE UN MONOMIO POR OTRO Para dividir dos monomios se divide el coeficiente del dividiendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben las letras ordenadas alfabéticamente, elevando cada letra a un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene en el divisor. El signo del cociente será el que corresponda al aplicar la regla de los signos. EJEMPLO: Dividir SOLUCIÓN: EJEMPLO: Dividir SOLUCIÓN:

EJEMPLO: Dividir SOLUCIÓN: En ocasiones el cociente de dos monomios es fraccionario y, por consiguiente, la división propiamente dicha no puede efectuarse en los siguientes casos: a) Cuando una letra está elevada a un exponente menor al que se halla elevada dicha letra en el divisor. b) Cuando el divisor contiene alguna letra que no se halla en el dividendo. EJEMPLO: Dividir DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman los cocientes parciales así obtenidos. EJEMPLO: Dividir

SOLUCIÓN: EJEMPLO: Dividir

SOLUCIÓN:

DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN POLINOMIO Para dividir dos polinomios se procede de la manera siguiente: 1) Se ordena el dividendo y el divisor con respecto a una misma letra. 2) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniéndose así el primer término del cociente 3) Se multiplica el primer término del cociente por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, para lo cual se le cambia de signo y se escribe cada término de su semejante. En el caso de que algún término de este producto no tenga ningún término semejante en el dividendo, es escribe dicho término en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y del divisor. 4) Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, obteniéndose de este modo el segundo término del cociente. 5) El segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, cambiándole todos los signos. 6) Se divide el primer término del segundo resto entre el primer término del divisor y se repiten las operaciones anteriores hasta obtener cero como resto. EJEMPLO: Dividir:

Para resolver la operación anterior se procedió del modo siguiente: 1. En primer lugar se han ordenado dividendo y divisor en orden ascendente con respecto a la letra y y en orden descendente con respecto a la letra x. 2. A continuación se ha dividido el primer término del dividendo, el primer término del divisor,

, obteniéndose

, entre

, por cada uno de los

términos del divisor, obteniéndose como resultado , que se escribe debajo de los términos semejantes del dividendo cambiando los signos de todos los términos semejantes, obteniéndose como primer resto

3. Después

cociente

ha ,

que

Multiplicando

dividido es

entre

obteniéndose

segundo

término

del

como

cociente.

por todos los términos del divisor que se obtiene

como resultado , que se escribe debajo de los términos semejantes del primer resto cambiando los signos de todos sus términos para efectuar la resta. 4. A continuación se ha procedido a efectuar la reducción de términos semejantes, obteniéndose como segundo resto 5. Finalmente cociente

dividido

. Multiplicando

entre

obteniéndose

como

por todos los términos del divisor se

obtiene como producto , que se escribe debajo de los términos semejantes del segundo resto cambiando los signos de todos lo términos para efectuar la resta. A continuación se ha procedido a efectuar la reducción de términos semejantes, obteniéndose como tercer resto 0, con lo cual queda acabada la división. EJEMPLO: Dividir:

SOLUCIÓN: Ejemplos:

14x  10x



 23x2  3   3  2 x 

2 x  3 10 x3  23x 2  14 x  3

5x2 2 x  3 10 x3  23x 2  14 x  3

5x2 2 x  3 10 x3  23x 2  14 x  3 -10x3 +15x2 0 - 8x2

5x2 2 x  3 10 x3  23x 2  14 x  3 -10x3 +15x2

- 8x2 +14x

5x2 –14x 2 x  3 10 x3  23x 2  14 x  3 3

- 8x2 +14x + 8x2 – 12x 0 + 2x –

3 5x2 –14x + 1 2 x  3 10 x3  23x 2  14 x  3

-10x +15x 0 - 8x2 +14x

-10x3 +15x2 0 - 8x2 +14x + 8x2 – 12x 0 + 2x – 3 -2x + 3 0

5x2 –14x 2 x  3 10 x3  23x 2  14 x  3 -10x3 +15x2 EJEMPLO: Dividir:

, obteniéndose

, entre

, por cada uno de los

cociente Multiplicando

ha ,

que

dividido es

entre segundo

obteniéndose término

del

como

cociente.

por todos los términos del divisor que se obtiene

dividido

. Multiplicando

entre

obteniéndose

como

por todos los términos del divisor se

PRODUCTOS NOTABLES DEFINICIÓN DE PRODUCTO Y PRODUCTO NOTABLE

Se les llama productos notables o especiales a aquellas multiplicaciones que por medio de “reglas” ya establecidas, permiten abreviar la operación. Es conveniente memorizar y aplicar hasta obtener eficazmente productos de este tipo. Un producto es el resultado de multiplicar dos o más números. Los números que se multiplican se llaman factores o divisores del producto. Se llaman productos notables (o productos especiales) a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación. CUADRADO DE UN BINOMIO El cuadrado de la suma de dos números es igual al cuadrado del primer número, más el doble del producto del primer número multiplicado por el segundo, más el cuadrado del segundo. Consideremos que

. Tendremos que

. Por tanto

Es decir EJEMPLO: Desarrollar SOLUCIÓN: Tendremos que el cuadrado del primer número: El doble del producto del primer número por el segundo: El cuadrado del segundo número: Así pues EJEMPLO: Al desarrollar SOLUCIÓN: Tendremos que el cuadrado del primer número: El doble del producto del primer número por el segundo: El cuadrado del segundo número: Así pues EJEMPLO: Al desarrollar

SOLUCIÓN: El cuadrado de la diferencia de dos números es igual al cuadrado del primer número menos el doble del producto del primer número multiplicado por el segundo, más el cuadrado del segundo número. Consideremos que Tendremos que

. .

Por tanto Es decir EJEMPLO: Desarrollar SOLUCIÓN: EJEMPLO: Desarrollar SOLUCIÓN:

BINOMIOS CONJUGADOS El producto de dos números por su diferencia es igual al cuadrado del primer número menos el cuadrado del segundo número. Consideremos el producto: Es decir EJEMPLO: Multiplicar SOLUCIÓN:

Cuadrado del primer número:

Cuadrado del segundo número: Así pues,

BINOMIO CON UN TÉRMINO COMÚN El producto de dos binomios del tipo es igual al cuadrado del primer término, más el producto de la suma de los dos segundos términos por el primer término, más el producto de los segundos términos. Se trata de demostrar que

Tendremos que: Es decir

, tal como queríamos demostrar.

EJEMPLO: Comprobar que

SOLUCIÓN: Tendremos

CUBO DE UN BINOMIO El cubo de la suma de dos números es igual al cubo del primer número, más el triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo, más el triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo. Consideremos , por lo tanto

Es decir EJEMPLO: Desarrollar SOLUCIÓN: Cubo del primer número: Triple del producto del cuadrado segundo: Triple del

producto

del

primer

del número

primer por

número el

por

cuadrado

el del

segundo: Cubo del segundo número: Así pues

BINOMIO POR UN TRINOMIO CUYO PRODUCTO ES IGUAL A UNA SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS. La suma algebraica de dos términos, por un trinomio que consta del cuadrado del primer término menos el producto de los dos, más el cuadrado del segundo término, es igual a la suma de los cubos de los dos términos algebraicos. Se trata de demostrar que Tendremos:

Es decir

, tal como queríamos demostrar.

EJEMPLO: Comprobar que

SOLUCIÓN: EJEMPLO: Comprobar que SOLUCIÓN:

CUADRADO DE UN TRINOMIO El cuadrado de un polinomio es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los términos, más el doble producto de cada término por los que le siguen tomados de dos en dos.

EJEMPLO: Efectuar SOLUCIÓN:

FACTORIZACIÓN La factorización es el proceso inverso de los productos notables es decir, ahora se tendrá que obtener los factores dados el producto. Recordar como se factoriza un número. 12 6 3 1

2 2 3

La factorización de 12 es (22) (3) y es única. Como existe gran variedad de expresión algebraicas, se hace necesario conocer diferentes tipos de factorización. En el caso que ocupa, solo abordar siete de ellos. FACTOR COMÚN. Para comenzar, comparemos las multiplicaciones con los factores y veamos si podemos descubrir un patrón.

Usan

que:

propiedad

distributiva.

Cuando

. Cuando factorizamos

multiplicamos,

tenemos

Para factorizar un binomio, debemos hallar un factor (en este caso a) que sea común a todos los términos. El primer paso para tener una expresión completamente factorizada es seleccionar el máximo factor común, tenemos como hacerlo:

. Aquí

Máximo factor común (MFC).- El término , es el MFC de un polinomio sí: 1. a es el máximo entero que divide cada uno de los coeficientes del polinomio, y 2. n es el mínimo exponente de x en todos los términos del polinomio. De

este

modo

para

factorizar

podríamos

escribir Pero no está factorizado por completo por que puede factorizarse aún más. Aquí el mayor entero que divide a 16 y 8 es 6, y el mínimo exponente

de x en todos los términos es es

. Donde

. De esta manera la factorización completa es el MFC.

EJEMPLO: Factorizar EJEMPLO: Factorizar

DIFERENCIA DE CUADRADOS. Aquí tenemos un producto notable esta relación para factorizar

una

podemos utilizar diferencia de

cuadrados. EJEMPLO: Factorizar EJEMPLO: Factorizar EJEMPLO: Factorizar

TRINOMIOS CON TÉRMINO DE SEGUNDO GRADO. Del estudio de los productos notables sabemos que el cuadrado de un binomio es un trinomio; tales trinomios se llaman trinomios cuadrados perfectos.

Los trinomios cuadrados de un binomio.

, son trinomios cuadrados porque son

Los siguientes puntos ayudan a identificar un trinomio cuadrado. A. Dos de los términos deben de ser cuadrados y B. No debe haber signo de menos en o en C. Si multiplicamos A y B y duplicamos el resultado, obtenemos el tercer término 2AB o su inverso aditivo -2AB.

¿Es un trinomio cuadrado? La respuesta es no porqué solo hay un término al cuadrado (x2) y (11) no es cuadrado de algún número. Para factorizar trinomios cuadrados podemos utilizar las siguientes relaciones:

Hay que recordar que se deben de sacar primero los factores comunes, si es posible.

SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS. Es fácil verificar, mediante la multiplicación del segundo miembro de cada ecuación, las siguientes fórmulas de factorización para la suma y la diferencia de dos cubos.

EJEMPLO: Factorizar

, observemos primero que se puede escribir en otra

forma: Así, advertimos que se trata de la diferencia de dos cubos. Si aplicamos la fórmula de factorización y usamos los siguientes valores A=y, y B=3, obtenemos:

EJEMPLO: Factorizar EJEMPLO: Factorizar

FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN Podemos utilizar la propiedad distributiva para factorizar algunos polinomios con cuatro términos. Consideremos

. No hay ningún factor

diferente de 1. Sin embargo podemos factorizar a separado:

por

Por lo tanto . Podemos utilizar la propiedad distributiva una vez más y sacamos el factor común: x+1

Este método se llama factorización por grupos (o por agrupación). No todas las expresiones con cuatro términos se pueden factorizar con este método. EJEMPLO:

EJEMPLO: Factorizar

RACIONALIZACIÓN Existen fracciones que contienen en su numerador, denominador o en ambos radicales irracionales. En este caso se hace necesario transformar la expresión en otra equivalente de tal manera que convenga presentar a cualquiera de sus partes (numerador o denominador) como un racional. Para lograrlo se utiliza consiste en lo siguiente:

el proceso conocido como racionalización el cual

1) Se multiplica tanto al numerador como al denominado por el radical existente. 2) Se resuelven las operaciones indicadas. 3) Si es posible se simplifica. Ejemplos:

3 2

 

 3  3 3     =  2   3 2 3     

3 = 2

2 3

3 2 3

2 2 2 2 2 2  2   2  = =    2 =  2 2  2  2

 

2 = 2

Ejemplo 2 Racionalizar el denominador 3

 2 3     3 3 =    

6 2 = 3 3

6 3

 

6 3

Si el radical irracional es parte de un binomio. 1) Se multiplica tanto al numerador como al denominador por el conjugado del binomio que contiene al radical. 2) Se resuelven las operaciones indicados 3) Si es posible se simplifica. Ejemplos:

4 3 2 El conjugado de 3 +  4    3 2  

2 es 3 -

2 , entonces

3 2  4(3- 2 )    3  2  = (3+ 2 ) (3+ 2 )  



  

4 3 2 2 32  2



4 3 2 92



4(3  2 ) 4 = 7 3 2

Ejemplo 3 3 racionalizar el denominador 2 5

El conjugado de 2- 5 es 2+ 5 , entonces

3 3  2 5      2 5 2 5 =    

3  3 2  5  2  5 2  5 

3  3 2  5 



45

3  3 2  5  2   5 2

3  3 2  5  1

3 3 = -(3+ 3 ) (2+ 5 ) 2 5

DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Se llama fracción o quebrado al cociente indicado de dos expresiones algebraicas cualesquiera. El dividendo se llama numerador y el divisor se llama denominador y ambos se conocen como términos del quebrado. Así, a/bes una fracción algebraica porque es el cociente indicado de la expresión a (dividendo) entre expresión b(divisor). Fracción algebraica simple Es la que el numerador y denominador son expresiones racionales enteras. Son ejemplos de fracciones simples: . Fracción propia e impropia Una fracción simple se llama propia si el grado del numerador es menor que el grado del denominador; y se llama impropia si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador.

Por ejemplo, son fracciones propias, mientras que son fracciones impropias. Una fracción impropia puede escribirse como la suma de un polinomio y una fracción propia.

Fracción compuesta Una fracción compuesta es aquella que contiene una o más fracciones ya sea en su numerador o en su denominador, o en ambos. Son ejemplos de fracciones compuestas:

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Se dice que una fracción está reducida a sus términos más sencillos o totalmente simplificados, cuando no existe ningún factor común al numerador y denominador. Evidentemente una fracción dada puede reducirse a sus términos más sencillos dividiendo el numerador y el denominador entre los factores que tengan en común. Este proceso se llama también cancelación de factores comunes: Ejemplo Simplificar la fracción SOLUCIÓN: Primeramente factorizaremos el numerador y el denominador y luego cancelaremos los factores comunes a ellos:

Para reducir una fracción algebraica a expresión algebraica mixta o entera, se divide el numerador entre el denominador. Si la división es exacta la fracción equivalente es una expresión algebraica entera. Si la división no es exacta, se prosigue la división hasta que el primer término del resto sea de menor grado que el primer termino del divisor y al cociente así obtenido se le añada una fracción cuyo numerador es el resto cuyo denominador es el divisor. Ejemplo Reducir a expresión algebraica entera la fracción algebraica SOLUCIÓN: Dividamos el numerador entre el denominador. Tendremos xy 3

-18x y 12x2y2 6xy3 -6xy3

Así pues

Ejemplo

Reducir a expresión algebraica mixta la fracción algebraica SOLUCIÓN: Dividamos el numerador entre el denominador. Tendremos 2x 3x3-4x-3

-2x

-8x2 - 6x +1 8x2 6x +1 -6x +1 1

Como la división no es exacta tendremos Ejemplo Reducir a expresión algebraica mixta la fracción SOLUCIÓN: Dividamos el numerador entre el denominador. Tendremos

-3

Como la división es inexacta. Tendremos = Ejemplo Reducir a su mínima expresión

SOLUCIÓN: El m.c.d. de los dos términos del quebrado es

entonces:

Ejemplo Reducir a su más simple expresión

SOLUCIÓN:

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES COMPLEJAS Se le llama fracción compleja o compuesta, a cualquier forma fraccionaria que tenga fracciones en el numerador o el denominador. Con frecuencia es necesario representar una fracción compleja en la forma de fracción simple Se entiende por simplificación de una fracción compleja su transformación a una fracción simple, reducida en términos a sus términos más sencillos, que sea equivalente a ella. Pueden usarse dos métodos. Uno: Consiste en transformar el numerador y denominador en fracciones simples (si es necesario) y luego proceder como en la división de fracciones. Otro: Que generalmente es más sencillo, consiste en obtener una fracción simple multiplicando el numerador y el denominador originales por el menor denominador común de todas las fracciones. Ejemplo

Simplificar SOLUCIÓN: Utilizaremos el primer método, o sea la división de una fracción simple entre otra:

Ejemplo

Simplificar la misma fracción compleja SOLUCIÓN: Utilizaremos ahora el segundo método. Multiplicaremos el numerador y denominador por el denominador común de todas las fracciones:

Factorizamos los denominadores de la fracción m.c.d. (denominadores): (x+1)(x-1)(x+3)

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES Procedimiento 1) Poner el denominador común y sumar algebraicamente los numeradores. 2) Reducir la fracción que resulte. Al sumar algebraicamente los numeradores encerrar cada polinomio numerador en un paréntesis precedido del signo que corresponde a su fracción. Ejemplo

a) b) c)

Adición o sustracción de expresiones racionales con denominadores distintos.

Para sumar o restar fracciones con denominadores diferentes, primero las convertimos a fracciones que tengan el mismo denominador. Cuando los denominadores son opuestos multiplicamos una de ellas por 1, escrito en la forma

, para obtener un común denominador.

Ejemplo Sumar

SOLUCIÓN: Cuando los denominadores de dos o más fracciones son distintos, en ocasiones es necesario multiplicar una o más fracciones por 1, escrito en la forma adecuada, para obtener un común denominador. Ejemplo Sumar SOLUCIÓN: Ejemplo Sumar

SOLUCIÓN: Ejemplo Sumar

SOLUCIÓN:

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES Procedimiento para multiplicar fracciones cuyo producto es irreducible a) Multiplicar los numeradores, obteniéndose el numerador del producto. b) Multiplicar los denominadores, obteniéndose el denominador del producto. Ejemplo a) b) c) d) e) f) Procedimiento para multiplicar fracciones cuyo producto se puede simplificar 1) Descomponer en factores los polinomios que figuran en los numeradores y denominadores. 2) Dividir por los factores comunes del numerador y denominador. 3) Multiplicar los factores restantes. Ejemplo a) b) Ejemplo Calcula el producto de SOLUCIÓN: Multiplicamos entre sí los numeradores y los denominadores. A continuación simplificamos la fracción que resulte.

DIVISIÓN DE FRACCIONES Para dividir una fracción se multiplica por la fracción recíproca Ejemplo a) b)

h) Ejemplo Dividir

entre

SOLUCIÓN: Como se ha indicado, invertimos el divisor y luego procedemos como en la multiplicación.

ECUACIONES

Propiedades de las ecuaciones El axioma fundamental de las ecuaciones es que una ecuación se transforma en otra equivalente cuando se ejecutan operaciones elementales iguales en ambos miembros. Es decir  Si a los dos miembros de una ecuación se les suma una misma cantidad positiva o negativa, la igualdad subsiste.  Si a los dos miembros de una ecuación se les resta una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.  Si a los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.  Si a los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.

SOLUCIONES DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Para resolver una ecuación de primer grado se procede del modo siguiente: a) Se eliminan los radicales, en caso de que los haya. b) Se efectúan las operaciones indicadas en la ecuación, suprimiendo de este modo los paréntesis y los signos de agrupación. c) Se suprimen los denominadores, sí los hay. d) Se trasponen y reducen términos. e) Se despeja la incógnita, descomponiendo el primer miembro en dos factores. f) Se dividen ambos miembros por el coeficiente de la incógnita.

Ejemplo Resolver la ecuación Solución: Trasponemos el término

al primer miembro

A continuación trasponemos el término 5 al segundo miembro. 5 +x -5 = 7 -5 x=2 Comprobemos que x = 2 satisface la ecuación dada. 5 +4(2) = 3(2) +7 5 +8 = 6 +7

13 = 13, tal como queríamos comprobar Ejemplo Resolver la ecuación

2(x+1) +3(x-2) = x +3

Solución: Se suprimen los paréntesis 2x +2+3x-6= x +3 Trasponemos la x: 5x -4 –x = x –x +3 O sea, 4x -4 = 3, trasponemos el término -4 tendremos: 4x -4 +4 = 3 +4 O sea 4x = 7. Dividamos ambos miembros por 4:

. Es decir x = 7/4

Comprobemos que 7/4, satisface la ecuación dada.

PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Solución de una ecuación literal

Un trapezoide es una figura de cuatro lados en la cual sólo dos de ellos son paralelos: el área del trapezoide ilustrado es y b1 y b2 son las bases. Resolver para b2. 1.-

, donde h es la altura

Elimina las fracciones; el MCM 2

2.-

Elimina los paréntesis

3.4.-

No hay números que restar. Resta el mismo término, hb1, en ambos lados.

5.-

Divide ambos lados entre el coeficiente de b2, h

Ejemplo Comprobación

Comprobación

SOLUCIÓN GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS. Una manera de resolver un sistema de ecuaciones es graficar las ecuaciones y encontrar las coordenadas del punto o puntos de intersección. Ya que el punto o puntos de intersección están en ambas rectas, estas parejas ordenadas son soluciones del sistema. Ejemplo Resolver por graficación.

Graficamos las ecuaciones. El punto P de intersección tiene coordenadas (5,1). Sustituyendo x=5 y y=1.

x + 2y = 7 x =y+4 (5)+2(1)=7 (5) = (1) + 4 5+2=7 5=5 (5,1) es la solución del sistema. Cuando graficamos un sistema de dos ecuaciones lineales, se puede presentar una de tres situaciones: 1. Las rectas tienen un solo punto de intersección, y éste es la única solución del sistema. 2. Las rectas son paralelas. En este caso no existe un punto que satisfaga las dos ecuaciones. El sistema no tiene solución, es decir, es inconsistente. 3. Las rectas coinciden. Las ecuaciones tienen la misma gráfica y toda solución de una ecuación es solución de la otra. Existe un número infinito de soluciones.

Así, por ejemplo, si consideramos la ecuación , para eliminar los denominadores multiplicaremos ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, o sea por 8, tendremos: O sea 2x -16 = 3x que es una ecuación equivalente a la inicial y en la cual no aparecen los denominadores. Si se eleva a una misma potencia los dos miembros de una ecuación, la ecuación resultante tiene, generalmente, más soluciones que la ecuación inicial. En este caso se prescinde de aquellas soluciones que no satisfacen la primera ecuación..

SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

Se llama sistema de ecuaciones a un conjunto de dos o más ecuaciones que tienen idéntica solución, es decir, que las soluciones satisfacen a cada una de las ecuaciones dadas; también se les llama sistema de ecuaciones simultaneas. La Solución de un sistema de ecuaciones requiere de tantas ecuaciones independientes como incógnitas se tengan que determinar; así un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas constara de dos ecuaciones independientes; así un sistema de ecuaciones de primer grado con tres incógnitas constara de tres ecuaciones independientes; etc. Si un sistema tiene solución se dice que es un sistema posible o Compatible. Si la solución es única diremos que el sistema es Compatible y determinado. Si tiene infinitas soluciones diremos que el sistema es Compatible e indeterminado. Cuando el sistema no tiene solución, diremos que las ecuaciones y el sistema son incompatibles. Una expresión general de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos variables es:

Las ecuaciones simultáneas con dos o más incógnitas son simultáneas cuando las soluciones son las mismas. Las ecuaciones equivalentes son las que se obtienen al multiplicar o dividir una ecuación por un mismo número. x +y = 4 2x +2y = 8 Son equivalentes porque dividiendo por 2 la segunda ecuación se obtiene la primera. Las ecuaciones equivalentes tienen infinitas soluciones comunes. Ecuaciones independientes son las que no se obtienen una de la otra. Entendemos que un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones para las cuales buscamos una solución común. Una solución de un sistema de dos ecuaciones en dos variables es una pareja ordenada que hace que ambas ecuaciones sean verdaderas. Como la solución de un sistema satisface ambas ecuaciones simultáneamente, decimos que tenemos un sistema de ecuaciones simultáneas. Cuando encontramos todas las soluciones de un sistema, decimos que hemos resuelto el sistema.

MÉTODO DE SOLUCIÓN (ELIMINACIÓN Y POR DETERMINANTES) E INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA PROCEDIMIENTO Solución de un sistema de ecuaciones mediante el método de sustitución: 1. Resuelve una de las ecuaciones para x o y. 2. Sustituye la expresión resultante de la otra ecuación. (Ahora se tiene una ecuación con una variable). 3. Resuelve la nueva ecuación para la variable. 4. El valor de esa variable se sustituye en una de las ecuaciones originales y se resuelve esta ecuación para obtener el valor de la segunda variable. 5. La solución se comprueba sustituyendo los valores numéricos de las variables en ambas ecuaciones Ejemplo 1 Resuelve: SOLUCIÓN Utilicemos el procedimiento de los cinco pasos: 1. Resuelve una de las ecuaciones para x o y. Resolveremos aquí la primera ecuación para y). y = 8 - x 2. En la ecuación 2x – 3y = -9; escribe 8 – x en lugar de la y. 2x – 3(8 – x) = -9 3. Resuelve la nueva ecuación para la variable: 2x – 3(8 – x) = -9 2x – 24 +3x = -9 Simplificando 5x – 24 = -9 Combinando términos semejantes 5x = 15 Suma 24 a ambos lados x = 3 Divide entre 5 4. Sustituye el valor de la variable x=3 en una de las ecuaciones originales. (aquí lo hacemos en la ecuación x + y = 8. Luego resuelve para la segunda variable 3+y=8 Nuestra solución es el par ordenado (3, 5) ya que y = 5. 5. Comprobamos; cuando x= 3 y y=5; x + y = 8 se convierte en 3 + 5 = 8 y 8=8. Lo cual es verdadero. Luego para la segunda ecuación, 2x – 3y = -9 se convierte en 2(3) – 3(5) = -9 6 – 15 = -9 -9 = -9 Lo que también es cierto. De este modo nuestra solución (3,5) es correcta.

Ejemplo 2 Solución de un sistema inconsistente.

Resuelve el sistema SOLUCIÓN Utiliza el procedimiento de los cinco pasos 1. Resuelve la ecuación para una de las variables (resolveremos aquí la primera ecuación para x) x = 4 -2y 2. Sustituimos x = 4 -2y en la segunda ecuación 2(4 –2y) = -4y +6 8 –4y = -4y +6 8 –4y +4y = -4y +4y +6 8 = 6

Simplificamos Suma 4y

3. No hay ecuación que resolver. El resultado 8 = 6, nunca es verdadero. Es una contradicción. Puesto que nuestro procedimiento es incorrecto, concluimos que el sistema dado no tiene solución; es inconsistente. 4. No necesitamos el paso 4 5. Comprueba; nota que si se divide la segunda ecuación entre 2, obtienes x = -2y+3 o x+2y=3, lo que contradice a la primera ecuación, x +2y = 4. Ejemplo 3 Solución de un sistema dependiente

Resuelve el sistema SOLUCIÓN. Como antes, utilizaremos el procedimiento de los cinco pasos. 1. Resuelve la primera ecuación para x obteniendo: x=4 –2y 2. Sustituye x=4 –2y en 4y +2x= 8 4y +2(4 –2y) = 8 4y +8 –4y = 8 Simplifica 8 =8 3. No hay ecuación que resolver. Observa que en este caso obtuvimos la proposición verdadera 8 = 8, sin importar cual valor se le asigne a x o a y. 4. No necesitamos el paso 4 debido a que las ecuaciones son dependientes; es decir tienen un número infinito de soluciones.

5. Comprueba; si hacemos x=0 en la ecuación x +2y= 4, obtenemos 2y = 4, o y = 2. De manera semejante, si hacemos x=0 en la ecuación 4y +2x = 8, obtenemos 4y=8, o y = 2, de modo que (0, 2) es una solución para ambas ecuaciones. También puede demostrarse que x=2, y y = 1 satisface ambas ecuaciones. Por lo tanto (2, 1)es otra solución, y así sucesivamente. Nótese que si se divide la segunda ecuación entre dos y se vuelve a acomodar, se obtiene x +2y= 4, la que resulta idéntica para la primera ecuación. De este modo cualquier solución de la primera ecuación también es la solución de la segunda ecuación; es decir la solución consiste en todos los puntos de la ecuación x +2y= 4. Ejemplo 4 Simplificación y solución de un sistema por sustitución.

Resuelve la ecuación SOLUCIÓN. La segunda ecuación tiene x y constantes en ambos lados, de modo que primero se simplifica sumando 4x y restando 6 de ambos lados para obtener 6 –3x +y +4x –6 = -4x +5 +4x – 6 x + y = -1 Ahora tenemos el sistema equivalente: -2x = -y +2 x + y = -1 Al resolver la segunda ecuación para x obtenemos x= -y –1. Al escribir –y – 1 en lugar de x en -2x = -y +2 -2x -2–y –1 2y +2 3y y

= -y +2 = -y +2 = -y +2 =0 =0

Suma y, resta 2 Divide entre 3

Puesto que x= -y –1 y y = 0, tenemos que x

= 0 – 1= -1

De este modo el sistema es consistente y su solución es (-1, 0). Esto se comprueba escribiendo –1 en lugar de x y 0 en vez de y en las dos ecuaciones originales.

PROBLEMAS QUE CONDUCEN A UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS. Muchos problemas que requieren la determinación de dos o más cantidades desconocidas pueden ser resueltos por medio de un sistema de ecuaciones lineales. Las cantidades desconocidas se representan con letras, por ejemplo: x, y, etc. y se establece un sistema de ecuaciones que satisfagan las diversas condiciones del problema. La resolución de este sistema conduce a los valores de las incógnitas. Ejemplo 1 El costo total de 5 libros de texto y 4 lapiceros es de $32.00; el costo total de otros 6 libros de texto iguales y 3 lapiceros es de $33.00. Hallar el costo de cada artículo. SOLUCIÓN: Sea x= el costo de un libro en pesos, y y= el costo de un lapicero en pesos. Según el problema obtenemos las dos ecuaciones:

La solución de este sistema es de x=4, y y=3, es decir, el costo de cada libro de texto es $4.00 y el costo de cada lapicero es $3.00. Estos resultados pueden comprobarse fácilmente. Así, el costo de 5 libros de texto y 4 lapiceros es igual a 5(4) +4(3) = $32 y el costo de 6 libros de texto y 3 lapiceros es igual a 6(4) +3(3) = $33. Ejemplo 2 Hallar dos números tales que la suma de sus recíprocos sea 5, y que la diferencia de sus recíprocos sea 1. SOLUCIÓN: Sea x= el número menor y y= el número mayor. La suma y la diferencia de sus recíprocos son, respectivamente,

Este no es un sistema lineal pero puede ser tratado como tal utilizando como incógnitas 1/x y 1/y. Así, sumando las dos ecuaciones tenemos: de donde

Restando la segunda ecuación de la primera, obtenemos:

de donde

Por tanto, los dos números son 1/3 y ½ .

Ejemplo 3 Si a los dos términos de una fracción se añade 3, el valor de la fracción es 1/2 , y si a los dos términos se resta 1, el valor de la fracción es 1/3. Hallar la fracción. SOLUCIÓN: Sea x el numerador y y el denominador. Entonces x/y = la fracción. Añadiendo 3 a cada término, la fracción se convierte en

, y según las

condiciones del problema el valor de esta fracción es 1/2 ; luego:

Restando 1 a cada término, la fracción se convierte en

, y según las

condiciones del problema el valor de esta fracción es 1/3 ; luego: Reuniendo las dos ecuaciones tenemos el sistema de ecuaciones:

Quitando los denominadores:

Trasponiendo y reduciendo:

Restando:

CLASIFICACIÓN Y SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA

La ecuación parece complicada; pero en realidad es una ecuación de primer grado con una variable, ya que se puede transformar en esta ecuación equivalente: 7x-18=0 Hemos resuelto muchas ecuaciones de este tipo y hemos visto que siempre tienen una solución. Desde el punto de vista matemático, hemos resuelto esencialmente el problema de solucionar ecuaciones de primer grado con una variable. En este apartado consideraremos el siguiente tipo de ecuaciones polinomiales, que reciben el nombre de ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas. Una ecuación cuadrática con una variable es cualquier ecuación que se pueda escribir de la forma: , donde x es una variable, en tanto que a, b y c son constantes. Nos referiremos a esta forma como la forma general de la ecuación cuadrática.

RAÍZ CUADRADA Un tipo más sencillo de ecuación cuadrática, por su solución, corresponde a la forma especial en que falta el término con la variable de primer grado; o sea cuando está en la siguiente forma: El método de solución aprovecha directamente la definición de raíz cuadrada. El proceso se ilustra en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1 Resuelve por medio de la raíz cuadrada SOLUCIÓN:

Ejemplo 2 Resuelve por medio de la raíz cuadrada

SOLUCIÓN:

Ejemplo 3 Resuelve por medio de la raíz cuadrada SOLUCIÓN:

FACTORIZACIÓN Si los coeficientes a, b y c de la ecuación cuadrática

son tales

que la expresión puede escribirse como el producto de dos factores de primer grado con coeficientes enteros, dicha ecuación cuadrática podrá resolverse rápida y fácilmente. El método de resolución por factorización se basa en la siguiente propiedad de los números reales: Si a y b son números reales, entonces: a×b = 0 si y solo si a = 0 o b = 0 (o ambos valen cero) Esta propiedad se demuestra con facilidad: si a = 0, hemos concluido. Si a ≠ 0, multiplicamos ambos miembros de ab = 0 por 1/a, para obtener: b = 0. Ejemplo 1 Resuelve por factorización SOLUCIÓN:

Ejemplo 2 Resuelve por factorización SOLUCIÓN:

Ejemplo 3 Resuelve por factorización SOLUCIÓN: El polinomio no se puede factorizar con coeficientes enteros; por tanto, debe de usarse otro método para encontrar la solución.

COMPLETANDO EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO El método de compleción del cuadrado se basa en el proceso de transformar la cuadrática general para que quede así: . Donde A y B son constantes. Esta última ecuación se puede resolver fácilmente por medio de la raíz cuadrada, como se explicó en la sección anterior. Así:

Antes de estudiar cómo se resuelve la primera parte, haremos una pausa breve para analizar un problema relacionado con el nuestro: ¿Qué número se le debe de sumar a para que el resultado sea el cuadrado de una expresión lineal? Hay una sencilla regla mecánica para encontrar tal número: se basa en los cuadrados de los siguientes binomios:

En ambos casos, observemos que, en el miembro derecho, el tercer término es el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, que aparece en el segundo término. Esta observación nos lleva directamente a la regla: Para completar el cuadrado de una expresión cuadrática de la forma

se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, o sea:

o sea

Ejemplo 1 Completa el cuadrado de SOLUCIÓN: Sumamos el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, usamos la forma , por lo que obtenemos:

Ejemplo 2 Completa el cuadrado de

SOLUCIÓN: Sumamos

; o sea

, así:

La resolución de ecuaciones cuadráticas por el método de compleción del cuadrado se ilustra mejor con ejemplos

Ejemplo 3 Resuelve

por el método de compleción del cuadrado

SOLUCIÓN: Sumamos 2 a ambos miembros de la ecuación para eliminar -2 del miembro izquierdo. Para completar el cuadrado del miembro izquierdo, sumamos el cuadrado del coeficiente de x, en ambos miembros de la ecuación. Factorizamos el miembro izquierdo. Resolvemos por medio de la raíz cuadrada.

Ejemplo 4 Resuelve

por el método de compleción del cuadrado

SOLUCIÓN:

Observa que el coeficiente de x2 no es 1. En tal caso, dividimos todos los términos entre el coeficiente principal y proseguimos como en el ejemplo anterior.

FORMULA CUADRÁTICA Para obtener la formula para resolver ecuaciones de segundo grado, tomamos la ecuación general y resolvemos para x, en función de los coeficientes a, b y c, por el método de compleción del cuadrado; de esta manera obtenemos una fórmula que podremos memorizar y utilizar siempre que se conozca el valor de a, b y c. Para empezar haremos igual a 1 el coeficiente principal. Para ello, multiplicamos por 1/aambos miembros de la ecuación. Queda así:

Sumamos –c/a a ambos miembros de la ecuación para suprimir c/a del miembro izquierdo.

Ahora completamos el cuadro del miembro izquierdo; para ello, sumamos a cada miembro del cuadrado de la mitad del coeficiente de x;

Luego factorizamos el miembro izquierdo de la ecuación y la resolvemos por medio de la raíz cuadrada.

Obtenemos esto:

Está última ecuación se llama fórmula cuadrática. Es necesario memorizarla y emplearla para resolver ecuaciones cuadráticas, cuando no dan resultado métodos más sencillos. Observa que b2-4ac recibe el nombre de discriminante y nos proporciona la siguiente información útil respecto de las raíces: b2 - 4ac ax + bx + c = 0 2

Positivo Dos soluciones reales Cero Una solución real Negativo Dos soluciones complejas

Ejemplo 1 Resuelve

por la fórmula cuadrática

SOLUCIÓN: anotamos la fórmula cuadrática e identificamos a=2, b=-4 y c=-3.

Sustituimos la fórmula y simplificamos.

Ejemplo 2 Resuelve SOLUCIÓN: 1, b = -6 y c = 11

por la fórmula cuadrática escribimos en la forma general e identificamos a =

Sustituimos la fórmula y simplificamos.

DESPEJE DE TRES INCOGNITAS Para resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones con tres incógnitas existen varios métodos los cuales son: A. Eliminación (suma o resta). B. Determinantes. Utilizar el método de eliminación para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

Pasos

Procedimiento Inciso a:

Se debe elegir una variable a eliminar: en este caso vamos a elegir “x”.

A la ecuación se multiplicará por 2 y a la ecuación se multiplica por 3: Ahora se suman estos resultados:

Lo cual da como resultado una ecuación con dos incógnitas. De las tres ecuaciones originales no se ha utilizado una la cual es esta ecuación se multiplica por -1. Este resultado se suma con la ecuación:

El resultado es una ecuación con dos incógnitas. Las dos ecuaciones con dos incógnitas que se tienen se pueden resolver con cualquier método.

ECUACIÓN B La ecuación se multiplica por -3 y el resultado se suma a la ecuación Despejando la variable que se tiene que en este caso es “z”.

Este valor se sustituye en cualquiera de las dos siguientes ecuaciones: Elije la ecuación:

Sustituyendo el valor de “z” :

Despejando la variable que queda, la cual es “y”:

Ahora se cuenta con dos valores de las 3 incógnitas originales que se tenían; se sustituyen esos valores en cualquiera de las tres ecuaciones originales.

Se selecciona la ecuación:

Sustituyendo los valores de y=-1 y z=1

Despejando la variable “x”:

Resultado Por lo tanto el sistema se resuelve con los valores de:

Método de Determinantes: En este método se requiere calcular un valor que se conoce con el nombre de Determinante y se denota por el símbolo: Utilizar el método de Determinantes para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

Pasos

Procedimiento Inciso a:

Calculando el determinante:

Calcular “x”:

Calcular “y”:

Calculando “z”:

Resultado

Por lo tanto los valores que resuelven el sistema son:

Pasos

Procedimiento Inciso b:

Se calcula el determinante:

Calculando “x”

Calculando “y”

Calculando â&#x20AC;&#x153;zâ&#x20AC;?

Resultado

Por lo tanto los valores que resuelven el sistema son:

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