MATEMATICAS I ANTOLOGIA: Compendio de lecturas correspondiente a la asignatura Matemáticas I (Aritmética)
1-5-2014
ANTOLOGIA ARITMETICA
NUMEROS NATURALES
OPERACIONES DE LOS NUMEROS NATURALES
El conjunto de los números naturales se representa por la letra N, y está formado por:
SUMA DE NUMEROS NATURALES
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...} Los números naturales sirven para contar los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien para expresar la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (número ordinal). Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos números naturales: 7 > 2; 5 es mayor que 3. 2 < 7; 3 es menor que 5. Los números naturales son ilimitados, si a un número natural le sumamos 1, obtenemos otro número natural. Representación de los Números Naturales Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor
a+b=c Los términos que intervienen en una suma a + b = c se denominan: a y b se denomina sumandos. El resultado (c) se denomina suma. Propiedades de la suma de números naturales Operación interna Como ya se vio el resultado de sumar dos números naturales es otro número natural. Estas son las propiedades de la suma de números naturales Asociativa El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado. (a + b) + c = a + (b + c) Ejemplo: (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) 5+5=2+8 10 = 10 Conmutativa El orden de los sumandos no varía la suma a+b=b+a Ejemplo: 2+5=5+2 7=7 Elemento neutro El 0 es el elemento neutro de la suma, porque todo número sumado con él da él mismo número. a+0=0+a Ejemplo: A+0=a 3+0=3
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MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES Multiplicar dos números naturales consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas veces como indica el otro factor. Por ejemplo, la multiplicación 2·5 consiste en sumar el número 2 cinco veces. A · b = c Los términos que intervienen en una multiplicación se denominan: a y b se denomina factores El resultado (c) se denomina producto Propiedades de la multiplicación de números naturales Operación interna El resultado de multiplicar dos números naturales es otro número natural. Estas son las propiedades de la multiplicación de los naturales, observa cuidadosamente Asociativa El modo de agrupar los factores no varía el resultado (A · b) · c = a · (b · c) Ejemplo: (2 · 3) · 5 = 2 · (3 · 5) 6 · 5 = 2 · 15 30 = 30 Conmutativa El orden de los factores no varía el producto. A·b=b·a Ejemplo:
2·5=5·2 10 = 10 Elemento neutro El 1 es el elemento neutro de la multiplicación de números naturales porque todo número multiplicado por él da el mismo número. a·1=1·a=a Ejemplo: 3·1=1·3=3 Distributiva La multiplicación de un número natural por una suma es igual a la suma de las multiplicaciones de dicho número natural por cada uno de los sumandos. a · (b + c) = a · b + a · c Ejemplo: 2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5 2 · 8 = 6 + 10 16 = 16 Sacar factor común Es el proceso inverso a la propiedad distributiva. Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor. a · b + a · c = a · (b + c) Ejemplo: 2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5) 6 + 10 = 2 · 8 16 = 16
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NUMEROS ENTEROS Los números enteros son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los opuestos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al cero, 0. El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}, que proviene del alemán Zahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]). En la matemática moderna el conjunto de los números enteros al abarcar todos los enteros tanto negativos como positivos, representándolos en una recta numérica "llega" hasta el infinito hacia ambos lados, en rigor no existe un comienzo ni un final. La situación no cambiaría en el caso de usar el cero como "origen" para su localización. Los números enteros se pueden subdividir en dos categorías, los Pares y los Impares. Números Pares Los números enteros se pueden subdividir en dos categorías, una de ellas, la de los números pares está formada por los números enteros
Múltiplos de 2, es decir, un número entero m es número par si y solo si existe otro número entero n tal que: m = 2 x n. La cifra final de los números pares puede ser: 0, 2, 4, 6 u 8. Números Impares Los números enteros se pueden subdividir en dos categorías, una de ellas, la de los números impares está formada por los números enteros que no son múltiplos de 2, es decir, un número entero m es número impar si y solo si existe otro número entero n tal que: m = 1 + 2 x n. Los números impares siempre terminan con un dígito 1,3,5,7, o 9. Así que 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31 son números impares. SUMA DE NÚMEROS ENTEROS REGLAS 1. Si los números enteros tienen el mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le coloca el signo común. 3+5=8 (−3) + (−5) = − 8 2. Si números enteros son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le coloca el signo del número de mayor valor absoluto. −3+5=2 3 + (−5) = − 2
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
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ANTOLOGIA ARITMETICA La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.
Regla de los signos
2 + (− 5) = (− 5) + 2 −3=−3 4. Elemento neutro: a+0=a (−5) + 0 = − 5 5. Elemento opuesto a + (-a) = 0 5 + (−5) = 0 −(−5) = 5
EJEMPLO 2 · 5 = 10 (−2) · (−5) = 10 2 · (−5) = − 10 (−2) · 5 = − 10
Propiedades de la suma de números enteros
RESTA DE NÚMEROS ENTEROS La diferencia de los números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo. a - b = a + (-b) 7−5=2
1. Interna:
7 − (−5) = 7 + 5 = 12
a+b
Propiedades de la resta de números enteros
3 + (−5) 2. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) ·
1.Interna: a−b 10 − (−5)
(2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)] 2. No es Conmutativa: 5 − 5 = 2 + (− 2) 0=0
a-b≠b-a 5−2≠2−5
3. Conmutativa: a+b=b+a
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ANTOLOGIA ARITMETICA
Propiedades de la multiplicación de números enteros
6. Sacar factor común:
1. Interna:
(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)
a·b 2 · (−5)
a · b + a · c = a · (b + c)
División de números enteros
(2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)]
La división de dos números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el cociente de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.
6 · (−5) = 2 · (−15)
10 : 5 = 2
-30 = -30
(−10) : (−5) = 2
3. Conmutativa:
10 : (−5) = − 2
a·b=b·a
(−10) : 5 = − 2
2. Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c)
2 · (−5) = (−5) · 2 -10 = -10 4. Elemento neutro:
Propiedades de la división de números enteros 1. No es una operación interna:
a ·1 = a
(−2) : 6
(−5)· 1 = (−5)
2. No es Conmutativo:
5. Distributiva:
a:b≠b:a
a · (b + c) = a · b + a · c
6 : (−2) ≠ (−2) : 6
(−2)· (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5 (−2)· 8 =- 6 - 10 -16 = -16
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NUMEROS RACIONALES Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Se representa por
.
La unidad fraccionaria es cada una de las partes que se obtienen al dividir la unidad en n partes iguales.
a numerador , indica el número de unidades fraccionarias elegidas. Representación de fracciones Para representar fracciones dividimos la unidad en las partes que nos indique el denominador y tomamos las partes que nos indique el numerador
El todo se toma como la unidad. La fracción expresa un valor con relación a ese todo. Ejemplo: Un depósito contiene 2/3 de gasolina
Concepto de fracción Una fracción es el cociente de dos números enteros a y b, que representamos de la siguiente forma:
b denominador , indica el número de partes en que se ha dividido la unidad.
El todo es el depósito. La unidad equivale a 3/3, en este caso. En general, el todo sería una fracción con el mismo número en el numerador y el denominador de la forma n/n. Ejemplo:
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2/3 de gasolina expresa la relación existente entre la gasolina y la capacidad del depósito. De sus tres partes dos están ocupadas por gasolina. Fracciones propias Las fracciones propias son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. Su valor está comprendido entre cero y uno. Ejemplo:
Fracciones impropias Las fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Su valor es mayor que 1.
Ejemplo:
Para pasar una fracción impropia a número mixto: 1 Se divide el numerador por el denominador. 2 El cociente es el entero del número mixto. 3 El resto es el numerador de la fracción. 4 El denominador es el mismo que el de la fracción impropia. Ejemplo: Pasar
13/5
a
número
mixto
Ejemplo:
Número mixto El número mixto o fracción mixta está compuesto de una parte entera y otra fraccionaria.
Suma y resta denominador
con
el
mismo
Se suman o numeradores y denominador.
se restan los se mantiene el
Ejemplo:
Para pasar de número mixto a fracción impropia: 1 Se deja el mismo denominador 2 El numerador se obtiene de la suma del producto del entero por el denominador más el numerador, del número mixto.
Suma y resta denominador
con
distinto
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ANTOLOGIA ARITMETICA
En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.
Ejemplo: Prioridad en combinadas
las
1 Pasar a fracción mixtos y decimales.
Ejemplo:
operaciones
los
números
2 Calcular las potencias y raíces. 3 Efectuar las operaciones paréntesis, corchetes y llaves.
4 Efectuar los productos y cocientes.
Multiplicación de fracciones La multiplicación de dos fracciones es otra fracción que tiene: 1Por numerador numeradores.
el
producto
entre
5 Realizar las sumas y restas. Ejemplo:
de
2 Por denominador el producto de denominadores.
Ejemplo: División de fracciones La división de dos fracciones es otra fracción que tiene: 1 Por numerador el producto de los extremos. 2 Por denominador el producto de los medios. 1 Primero operamos con los productos y números mixtos dentro de los paréntesis.
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ANTOLOGIA ARITMETICA
2 Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el tercero y operamos en el último. 3 Realizamos simplificamos.
el
producto
y
lo
4 Realizamos las operaciones del paréntesis. 5 Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el resultado.
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Razón
y
proporción
cantidad de harina se multiplica por 4 el precio
Regla
Razón Dados dos números a y b una razón es el cociente entre esos números
de
tres
simple
directa
Dadas dos magnitudes, se conocen la equivalencia entre un valor de una y el valor de la otra. Entonces para cada nuevo valor que se dé a una magnitud calculamos el valor proporcional de la segunda magnitud
Proporción Dadas
dos
razones
y
diremos
que están en proporción si Los términos a y d se denominan extremos mientras que b y c son los medios. En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios a·d = b·c Proporcionalidad directa Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar una, aumenta la otra en la misma proporción. Un kilo de harina cuesta 0.5 € si compramos 4 Kilos de harina nos costarán 2 € luego las magnitudes kg. de harina y precio son dos magnitudes directamente proporcionales, al aumentar una aumenta la otra en la misma proporción. Al multiplicarse por 4 la
El precio de tres bolígrafos es de 4.5 € ¿Cuánto cuestan 7 bolígrafos?
Proporcionalidad inversa Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una, disminuye la otra en la misma proporción. Tres pintores tardan 10 días en pintar una tapia. ¿Cuánto tardarán seis pintores en hacer el mismo trabajo? . Al aumentar el número de pintores disminuye el tiempo que se tarda en pintar la tapia, como el número de pintores se multiplica por 2, el número de días que s emplean en pintar se divide por 2. Así tardarán 5 días.
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ANTOLOGIA ARITMETICA
Regla
de
tres
simple
inversa
Dadas dos magnitudes, se conocen la equivalencia entre un valor de una y el valor de la otra. Entonces para cada nuevo valor que se de a una magnitud calculamos el valor proporcional inverso de la segunda magnitud
En una granja avícola hay 300 gallinas que se comen un camión de grano en 20 días. Si se compran 100 gallinas más ¿En cuanto tiempo comerán la misma cantidad de grano?
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PORCENTAJES Conoce qué es un porcentaje. El porcentaje es una manera de expresar un número como parte de un total, nosotros consideramos el total como 100%.
Por tanto, el 20% de 240 alumnos = 48 alumnos. Para calcular el porcentaje de una cantidad, multiplicamos la cantidad por la expresión decimal de dicho porcentaje. Ejemplo: Observa esta igualdad:
Por ejemplo, digamos que tienes 10 manzanas (=100%). Si te comes 2 manzanas, entonces te comes 2/10 x 100% = 20% de tus manzanas y te quedas con el 80% de la cantidad inicial de manzanas.
Para calcular el 20% de 240, basta con multiplicar 240 por 0,2: 240 · 0,2 = 48 Para obtener un Incremento o interés
La palabra “percent” del inglés proviene del italiano “per cento” o del francés “pour cent”, que literalmente significa “por ciento”. Para obtener un porcentaje Existen dos formas para hallar un porcentaje o tanto por ciento Para calcular el porcentaje de una cantidad, multiplicamos la cantidad por el número que indica el porcentaje y dividimos el resultado entre 100. Ejemplo: El 20% de los estudiantes de un colegio, que tiene 240 alumnos, practica deporte. ¿Cuántos estudiantes practican deporte? Para hallar la respuesta multiplicamos 240 por 20 y dividimos el resultado entre 100:
Un incremento se produce cuando a una cantidad se le suma un porcentaje de la misma para obtener una cantidad mayor. Ejemplo: Si una camiseta, sin el 1% de IGV, cuesta 12,00 para saber cuánto cuesta con IGV hay que: Calcular el incremento que sufre el precio de la camiseta. Para ello, hallamos el porcentaje de la cantidad (19% de 12,00): 12 x 0,19 = 2,28 (0,19 es la expresión decimal del porcentaje 19%) Sumar la cantidad (12,00) y su incremento (2,28) para obtener el precio final: 12,00 + 2,28 = 14,28 El precio de la camiseta tiene un incremento debido al IGV y, por tanto, es necesario disponer de un total de 14,28 soles para comprarla. Para obtener un Descuento
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ANTOLOGIA ARITMETICA
Como se ha visto, el tanto por ciento representa una cierta cantidad con respecto a 100. Si en lugar de tomar como referencia 100, se toma la unidad 1, se llama tanto por uno.
Si se hace un 15 % de descuento, por el jersey se paga el 85 % de su valor (100 - 15 = 85), es decir:
Si se divide un tanto por ciento entre 100 dará el tanto por uno correspondiente. Si t es un tanto por ciento, t/100 es el tanto por uno correspondiente Por ejemplo, si de cada 100 unidades se consideran 35, de una unidad se considerará 35/100 = 0,35. 0,35 es el tanto por uno correspondiente al 35 %. Para realizar operaciones, es más práctico y rápido utilizar el tanto por uno correspondiente en lugar del tanto por ciento. Ejercicio: 1. El precio de un jersey es de 5 800 pesos y sobre este precio se hace un 15 % de descuento. ¿Cuánto se pagará por él? Resolución: Se calcula el 15 % de 5 800 pesos:
Se resta el descuento del precio del jersey: 5 800 - 870 = 4 930; 4 930 pesos · También se puede razonar de esta forma:
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SUCESIONES PROGRESIONES
NUMÉRICAS
Y
Sucesiones numéricas Es una secuencia ordenada de números, dispuestos entre sí por una ley de formación, la cual se obtiene empleando las operaciones básicas de: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. Solo se requiere habilidad para observar y relacionar los números y hallar la ley de formación.
Ejemplo
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Progresiones Son las sucesiones que mayor interés tienen para nosotros, existen dos tipos: PROGRESIONES ARITMÉTICAS Una progresión aritmética, es una sucesión en la que cada término (menos el primero) se obtiene a partir del anterior sumándole una cantidad constante (d) que llamamos diferencia. De ellas podemos decir también, que si restamos dos términos consecutivos,
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siempre obtenemos un mismo valor, la diferencia (d). Fórmulas para las progresiones: La fórmula que nos da el valor del término en todas las progresiones aritméticas es: an = a1+(n-1)d
dados, y por muchos que estos sean, si conocemos el primer término (a1) el último (an) y el número de términos que intervienen (n) Ejemplo.La suma de los diez primeros términos de la progresión {4; 12; 20; 28;…}, la obtenemos calculando primero el término 10
siendo: a10 = a1 + (10-1)8 = 4 + 9 . 8 = 76 an el término n-esimo a1 el primer término n la posición que ocupa el término d la diferencia (valor que separa a dos términos consecutivos)
Ejemplo.{4; 12; 20; 28;…} La sucesión es una progresión aritmética, ya que la diferencia (d) entre términos consecutivos es un valor constante 12 – 4 = 8 20 – 12 =8 28 – 20 = 8 es decir, la diferencia d = 8 Podríamos razonar también que cada término se obtiene sumando una cantidad (d) constante al anterior 12 = 4 + 8 20 = 12 +8 28 = 20 + 8 SUMA DE LOS n PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA La expresión nos permite conocer la suma de todos los términos entre dos
S10 = (4 S10 = 400
+
76
)
.
10
/
2
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Una progresión geométrica, es una sucesión en la que cada término (menos el primero) se obtiene a partir del anterior multiplicando por una cantidad constante (r) que llamamos razón. De ellas podemos decir también, que si dividimos dos términos consecutivos, siempre obtenemos un mismo valor, la razón (r). TÉRMINO GENERAL La fórmula que nos da el valor del término en todas las progresiones geométricas es: an = a1 rn-1siendo an el término nesimo a1 el primer término n la posición que ocupa el término
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r
la razón (valor que es el resultado de dividir dos términos consecutivos)
S10 = 511
Ejemplo.{2; 4; 8; 16;…} La sucesión es una progresión geométrica, ya que al dividir dos términos consecutivos obtenemos siempre el mismo valor constante 4 / 2 =2 8 / 4 =2 16 / 8 = 2 es decir, la razón es r = 2 Podríamos razonar también que cada término se obtiene multiplicando por una cantidad (r) constante al anterior 2. 2 = 4 4. 2 = 8 8. 2 = 16 SUMA DE LOS n PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA La expresión nos permite conocer la suma de todos los términos entre dos dados, y por muchos que estos sean, si conocemos el primer término (a1), el último (an) y la razón (r) además del número de términos que intervienen (n), o como muestra la segunda expresión, si conocemos el primer término (a1) la razón (r) y el número de términos que intervienen (n) Ejemplo.La suma de los diez primeros términos de la progresión {1; 2; 4; 8;…}, la podemos obtener con el primer término y conociendo la razón (r =2) S10 = (1 . 29 – 1) / (2 – 1) = 511
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