Appunti Matematici 14

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Patrizio Gravano

APPUNTI MATEMATICI

LA GEOMETRIA RAZIONALE IPOTESI DI RIDEFINIZIONE DEI POSTULATI

numero 14 – febbraio 2016

INTRODUZIONE

Questo breve elaborato di geometria razionale trae origine dalla lettura di alcune parti del testo, recentemente ripubblicato in lingua italiana, scritto dal noto matematico tedesco David Hilbert, dedicato ai fondamenti della geometria.

Ho deciso di impostare il breve elaborato in modo originale e sintetico, oltre che plastico e semplice, realizzando una versione “sperimentale”, della impostazione assiomatica, evitando, per questa via, di finire con l´elaborare una sintesi (nei limiti delle mie abilità !) del testo del matematico tedesco.

Ho evitato, parimenti, di introdurre una sintesi di qualunque altro testo di geometria elementare, tipo quelli liceali.

Il testo è sicuramente sperimentale, migliorabile, con ogni probabilità censurabile.

Ho in ogni caso deciso di licenziarlo.

Patrizio Gravano (patrizio.gravano@libero.it)

DAVID HILBERT (Königsberg, 23 gennaio 1862 – Gottinga, 14 febbraio 1943)

David Hilbert è stato uno dei più grandi matematici del secolo XIX, autore di una ben nota opera,

“I fondamenti della geometria”, nella quale questa importante parte della matematica è stata assiomatizzata.

IMPOSTAZIONE ASSIOMATICA DELLA GEOMETRIA

La geometria razionale è fondata su un sistema di assiomi, dai quali è possibile ricavare conseguenti verità geometriche, sotto forma di teoremi e di conseguenti corollari. È stato merito di David Hilbert aver assiomatizzato la geometria, introducendo un numero discreto di assiomi non contradditori e mutuamente coordinabili. Recentemente l’editore Franco Angeli e l’Università Bicocca di Milano hanno curato la ripubblicazione del testo di Hilbert. Ne ho tratto motivo di profondo interesse. Ne ho preso visione e riflettuto sulla sua impostazione assiomatica, ma, purtuttavia, ritenuto di ripensarla in senso critico, ho deciso di tentare di impostarla in modo autonomo, seppur coerente e certo non contestativo delle idee ivi contenute, anzi … Non mancherebbero motivi di riflessione neppure in relazione alla “polemica” Kant-Gauss, sull’ipotesi dello spazio inteso quale un a priori.

Mi aveva, specie nel passato, incuriosito la possiblità di considerare la geometria piana come un caso particolare della geometria dello spazio in tre dimensioni, considerando, quindi, l’ipotesi che in sede di definizione assiomatica si dovesse partire dallo spazio (sicuramente “concetto primitivo”, figlio dell’intuizione), per ricadere nel piano, ove vigono sicuramente gli assiomi della geometria piana. Questo modo di intendere non è infondato. Dirò alcune cose ma imposterò differentemente, seppur, almeno lo spero, coerentemente. Nella ipotesi prospettata più sopra vi sarebbero due concetti primitivi, per così dire privilegiati, lo spazio e il punto dello spazio. In particolare, si dovrebbe partire dallo spazio fisico ecuclideo nelle tre dimensoni sensibili, inteso, come detto, quale concetto primitivo intuitivo e astratto al contempo, peraltro non definito, nè altrimenti definibile, in modo rigoroso. Il secondo concetto primitivo privilegiato è il punto. Lo spazio è costituito da punti, o meglio da infiniti punti. Ho preferito non sviluppare le conseguenze.

Ho pertanto abbozzato una impostazione assiomatica particolare nei termini seguenti. Quello dello spazio è, per certi aspetti, un falso problema. A detto concetto si può, a mio sommesso parere, pervenire operativamente. Le nozioni primitive di partenza della geometria dovrebbero essere sostanzialmente due: il punto e la retta. I concetti di punto e di retta sono assunti come primitivi e, quindi, ad essi ci si riferisce in termini puramente intuitivi. Astrattamente, in luogo di parlare di rette si potrebbe introdurre un differente concetto, quello di curva continua e infinita. Ho constatato che spesso Hilbert si richiama a Camille Jordan. Per i miei modesti scopi si tratta di un appesantimento. Tra i due concetti (quelli di punto e di retta) è definito un modello di relazione, definito dal concetto di appartenenza. Dato un punto x ed una retta r è vera una ed una soltanto delle due condizioni seguenti: x∈r

x ∉ r, ove ∈ e ∉ sono gli ordinari simboli di appartenenza e di non appartenenza ben noti nella teoria assiomatica degli insiemi. Non è, come noto, possibile definire con rigore formale la retta. Purtuttavia, è possibile ammettere che essa sia costituita da un numero infinito di punti e che tra due di essi, arbitrariamente distanti, ve ne sia uno tra essi compresi, ovvero ve ne siano infiniti tra essi compresi. Tre punti distinti di una retta si dicono allineati. È possibile disegnare una retta e su di essa due punti A e B al limite a distanza infinita e individuare un punto C compreso tra di essi per i quali si può scrivere A⊰C⊰B ove il simbolo ⊰ è da intendersi come come precede, da leggersi come A precede C che precede B. Formalmente è possibile scrivere A ∈ r, B ∈ r, C ∈ r ma esiste un x tale che x ∉ r. È assumibile per postulato che

Un punto qualunque Y appartiene ad una retta r oppure non vi appartiene. Sia data una retta r e sia dato un punto H tale che H ∉ r. La coppia (r , H : H ∈ r) definisce un nuovo ente geometrico detto piano. Si consideri la condizione di allineamento di punti. Ăˆ noto che due punti distinti definiscono una retta. Assegnati due punti distinti A e B per essi passano infinite curve continue ma per essi passa una ed una sola retta, per la quale metricamente si ha che d(A, B) = đ?‘‘đ?‘šđ?‘–đ?‘› . Mutatitis mutandis, una riflessione analoga può essere fatta in relazione alla retta r e al punto H, nel senso della unicitĂ del piano cosĂŹ definito, salvo il caso di esistenza di ulteriori oggetti matematici. Un modo equivamente di definire il piano è quello di considerare tre punti non allineati, ovvero punti non appartementi ad una medesima retta. In questo caso detti punti definiscono tre rette. Una retta è definita da una coppia non ordinata di punti (A, B). Il non ordinamento attiene alla circostanza che non è previamente fissato un senso di percorrenza nel senso che non è stabilito se A precede B oppure il contrario.

Queste riflesisoni saranno comunque approfondite. Quando viene definito un ordinamento allora si distignue la retta definita da (A, B) dalla retta (B, A). Dette rette saranno dette orientate. Quindi un piano, solitamente indicato con la lettera π, può essere formalizzato nel modo seguente π = ((A, B), C : C ∉ (A, B)). Un piano è costuituito da un numero infinito di punti. Per un dato piano π è sempre possibile, rispetto ad un punto qualunque H, che sia vera una ed una soltanto delle due condizioni di apprtenenenza seguenti H∈π H ∉ π. Tali condizioni sono mutuamente esclusive. Un piano si compone di infiniti punti e di infinite rette. Per la mia impostazione risulta essenziale addivenire al concetto di ortogonalità di rette all’uopo introducendo il concetto di angolo.

Due rette del piano che si intersecano in un punto I sono dette rette incidenti, ed I è chiamato punto di incidenza. Il punto di incidenza di due rette, se esiste è unico. Il formalismo (r, s) : r ∈ π, s ∈ π ∃! I : I ∈ r , I ∈ s esplicita la condizione di rette incidenti. Due rette incidenti deifniscono un piano in modo univoco. Il piano che passa er due rette incidenti è unico. Rispetto alle rette incidenti viene definito un ben consolidato concetto, quello di angoli opposti al vertice, che, come si vedrà, sono conguenti (o eguali). Come caso particolare della condizione di incidenza diviene rilevante definire quando due rette del piano, che si intersecano in un punto I (unico) sono ortogonali (o perpendicolari). Tale condizione si verifica quando gli angoli definiti dalle due rette sono tutti e quattro eguali. Il concetto di grandezza angolare (o angolo) è connaturato al concetto di rotazione, anzi ne esprime una quantificazione. Date due rette indicenti in H.

Siano r ed s le due rette distinte, passanti entrambe per H. È possibile introdurre una rotazione antioraria che conduce la retta r a sovrapporsi alla retta s, fino a coincidere con essa. La condizione di ortogonalità (o perpendicolarità) si ha quando la retta r viene a sovrapporsi alla retta s e quindi con una successiva rotazione di colloca nella medesima posizione di partenza, sotto la condizione che le due rotazioni siano della medesima ampiezza. Ciò non è vero per il caso di rette incidenti non ortogonali. Due rotazioni sono eguali (o della stessa ampiezza) quando è definito un movimento rigido che consente di sovrapporre le rette. Ciò è vero quando date le rette r ed s che si intersecano in O e le rette r´ ed s´ che si intersecano in O´ per effetto di un movimento rigido di pura tralazione si possa avere O ≡ O´, risultando le rette coincidenti nel senso che r ≡ r´ e s ≡ s´ ove il simobolo ≡ deve intendersi nel senso di eguaglianza e coincidenza. È bene osservare che queste semplici riflessioni conducono de plano al concetto di parallelismo tra rette, nel senso che la condizione pre movimento è compatibile con quella di rette parallele, potendosi scrivere che r ∥ r´ e s ∥ s´.

Queste considerazioni esprimono anche, come già detto, la condizione di eguali rotazioni. Ricapitolando possiamo dire che due rotazioni sono eguali quando è definito un movimento rigido che consente di sovrapporre rette. Per un punto di un piano passano infinite rette (esse costiutisocno un fascio proprio di rette). Diviene rilevante considerare le mutue posizioni di due rette del piano (e rispetto ad un piano assegnato). Due rette di un piano si dicono parallele quando esse non hanno punti in comune. Esse sono rette parallele e distinte. Sussiste un secondo caso. Infatti, due rette sono parallele se sono la medesima retta. In questo caso si parla di rette parallele e coincidenti. Due rette di un piano si dicono incidenti quando hanno uno ed un solo punto in comune, esso è detto, come già ricordato, punto di incidenza. Questa asserzione può essere intesa alternativamente nel senso che due rette indicenti definisocno uno ed un solo piano.

Due rette di uno stesso piano o hanno un punto in comune oppure non ne hanno alcuno. Come caso particolare della incidenza di rette si ha quello della perpendicolaritĂ , come definita nelle righe che precedono. Dato un piano đ?œ‹ si ammette che esso sia costituito da infiniti punti (elementi del piano). Esiste comunque un x tale che x ∉ Ď€. PiĂš ampiamente esistono infiniti punti non appartementi al piano đ?œ‹. La coppia (Ď€ , x : x ∉ Ď€) definisce una piĂš ampia entitĂ geometrica detta spazio tridimensionale. Da un punto x tale che x ∉ Ď€ è possibile condurre una retta perpendicolare al piano Ď€. Essa è unica. Sia H il punto di intersezione di essa con il piano Ď€. Detto punto è elemento del piano Ď€. Ogni retta del piano passante per H (fascio proprio di rette) è ortogonale alla retta passante per i punti x ed H (che è unica). La ortogonalitĂ retta piano viene ricondotta alla ortogonalitĂ tra una retta incidente il piano e una retta del piano passante per il punto di incidenza.

Da detta condizione, assunta per ipotesi, discende la condizione di ortogonalità tra la retta incidente (passante per x e per H) e il piano π. Una retta r si dice del piano π quando ogni punto di r è anche punto del piano (non essendo vero il contrario, esistendo sempre un punto, quindi infiniti punti, del piano che non sono della retta). Con riferimento allo spazio tridimensionale vanno definite le rette sghembe. Nel piano le mutue relazioni tra rette si riconducono al caso della incidenza (uno ed uno solo punto in comune) e del parallelismo (nessun punto in comune, ovvero coincidenza). Nello spazio tridimensionale le cose si complicano leggermente, in quanto oltre a queste due tipologie si deve ammettere la esistenza di un ulteriore caso, quello delle rette sghembe. Due rette r ed s dello spazio si dicono sghembe se e solo se sono verificate le seguenti condizioni formali r∈π s ∉ π (con ciò escludendosi il parallelismo) r∩s=∅

Introdotto un sistema di coordinate cartesiane non necessariamente ortogonali riferite ad un piano Ď€ ogni punto di esso è posto in corrispondenza biunivoca con la coppia ordinata di numeri reali (x, y). Assegnato un punto Ď„ ∈ Ď€ per ogni Ď„ si ha la corrispondenza τ↔(đ?‘Ľđ?œ? , đ?‘Śđ?œ? ). Detta corrispondenza è biunivoca. Ciò premesso, un punto dello spazio tridimensionale può essere definito dalla terna (đ?‘Ľđ?œ? , đ?‘Śđ?œ? , đ?‘?đ?‘&#x; −1 (đ?‘Ľđ?œ? , đ?‘Śđ?œ? ) ). Con il formalismo đ?‘?đ?‘&#x; −1 ho inteso riferirmi all’antiproiezione del punto Ď„ ↔ (đ?‘Ľđ?œ? , đ?‘Śđ?œ? ) con riferimento alla retta ortogonale (non appartmenete a detto piano) a detto punto. Ăˆ bene osservare che per un punto del piano qualunque esistono infiniti punti che ne definiscono l’antiproiezione, ovvero tutti e soli i punti della retta ortogonale al piano e passante per il dato punto del piano. In Hilbert (opera citata) è assegnata la definizione di angolo. Per essa l’angolo è formalmente definito da una coppia di semirette distinte aventi origine in un punto A. Ăˆ ben evidente, quindi, che detta nozione discende da quella di rette indicenti. A ben può essere veduto come il punto di intersezione di esse.

La relazione che lega retta e semiretta è riconducibile, come peraltro si vedrà più avanti, a quella formale di inclusione propria della teoria degli insiemi. Fissato un punto A di una retta detto punto distingue i punti di essa in due sottoinsiemi propri della retta, le due semirette opposte di origine A. Ogni punto della retta data definisce una coppia di possibili semirette. A si ammette sia elemento di entrambe le semirette opposte. Fissata una direzione è possibile affermare che di una semiretta fanno parte tutti e soli i punti della retta che seguono A (oltre ad A stesso), essendo l’altra semiretta costituita dai soli punti che precedono A (oltre ad A stesso). Risulta quindi essenziale definire il concetto di direzione. Nel piano euclideo il concetto di direzione è legato a quello di parallelismo. Se si stabilisce che tra due punti di una retta, siano essi A e B, esite un criterio di precedenza, una relazione di precedenza quindi, è sicuramente definito un verso di percorrenza, o semlicemente un verso. Dal verso all’orientamento il passo è breve.

Dalle rette alle rette orientate la riflessione imortante è che data una retta assegnata esistono due e solo due rette orientate. Due rette parallele non orientate hanno la stessa direzione. Due rette parallele orientate hanno la medesima direzione, ma i loro versi possono essere concorde o discorde. Per il verso e quindi per l’orientamento (retta orientata) la discordanza di verso non è facilemnte formalizzabile, in quanto una formalizzazione astratta non è adatta a scriminare. Esisterebbe

almeno

una

formalizzaizone

che

non

da

conto

dell’orientamento. Un espediente cinematico dovrebbe annullare l’empasse. A precede B nel senso che vado da A a B. Ritornerei comuqnue sugli angoli. Il matematico tedesco utilizza una particolare notazione formale per gli angoli. Se h e k sono le semirette la regione angolare viene indicata con i formalismi ⦓(h, k) ovvero con ⦓ (k, h). I punti interni e i punti delle semirette costituiscono la regione angolare.

Con una semplice figura si possono disegnare due semirette h e k di comune origine A ed evidenziare i punti della regione. Vorrei comunque formulare alcune riflessioni. Rispetto a David Hilbert si potrebbe dare una interpretazione – che credo universalmente considerata nella manualistica elementare – per la quale sia possibile considerare che un sistema di semiette passanti per il punto A delimitano il piano in due distinte regioni angolari e che con riferimento ad una condizione di rotazioni nel piano asseganto (intese ad esempio esse come antiorarie) possa ammettersi che sia ⌓ (h, k) + ⌓ (k , h) = 2Ď€ (đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘“đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘›đ?‘‘đ?‘œđ?‘ đ?‘– đ?‘Žđ?‘™đ?‘™đ?‘’ đ?‘Žđ?‘šđ?‘?đ?‘–đ?‘’đ?‘§đ?‘§đ?‘’ đ?‘Žđ?‘›đ?‘”đ?‘œđ?‘™đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–) Ma è evidente che ammessa vera questa relazione nasce la questione della quantificazione (non data a priori) delle grandezze angolari e piĂš in generale la problematica della quantificazione del valore di Ď€, non introducibile in sede di assiomi. Quindi poggiare su detta relazione metrica tale relazione porta a evidenti criticitĂ . In generale però possiamo definire unitaria la somma delle due ampiezze.

In effetti la retta h può essere ruotata fino a sovrapporla alla retta k, quindi con distinta successiva rotazione riportarla nella direzione originaria della retta h. Ciò è immediato e intuitivo. L’intuito grafico evidenzia la differente impostazione delle ampiezze di ampiezza dissimile, come nel caso di rette incidenti non ortogonali. Due rotazioni di eguale ampiezza afferiscono, come più sopra evidenziato, al caso della condizione di ortogonalità. Le rotazioni di che trattasi comunque possono essere definite intere e unitarie. ∀ x : x ∈ h or x ∈ k or x ∈ h ∩ k allora x appartiene ad entrambe le regioni come definite. Va fatto qualche cenno alla condizione di parallelismo tra rette del piano. Due rette parallele non si intersecano. Esse, come noto, non hanno punti in comune. Ma in generale non ogni coppia di rette che non si intersecano sono parallele. È il caso delle rette dello spazio dette sghembe. In ogni caso due rette del piano che non si intersecano sono parallele.

Detta altrimenti si potrebbe dire che se due rette definiscono un piano e esse non hanno alcun punto in comune allora esse sono parallele. Si avrĂ modo di riflettere sulle rette parallele e sul fatto che la distanza tra esse è una costante. Questo è sicuramente vero. Vorrei osservare che non è vero il contrario. Curve che deifniscono distanze costanti non sono necessariamente rette. Per levarmi dall’impiccio vorrei fare un semplice esempio chiarificatore che non può condurre quindi ad una coimplicazione formale tra un dato premetrico ed uno metrico (legato alla distanza e quindi, nel caso di specie, alla sua costanza). Siano date due circonferenza del piano assegnato. Siano esse tali da avere in comune il centro. Siano esse di raggi distinti r ed R, con r < đ?‘… . Ăˆ ben evidente che ogni retta passante per il comune centro dei due luoghi stacca con riguardo alle considerate circonferenze segmenti di lunghezza costante R – r che definiscono la costante distanza tra punti corrispondneti delle date circonferenze.

Dette circonferenze non sono parallele, almeno nel senso euclideo del termine. Il concetto di parallelimo è importante e vanno fatte ulteriori riflessioni. Dal punto di vista grafico è possibile considerare un piano π e definire la relazione formale di parallelismo nel modo seguente. Siano x ed y i generici infiniti punti delle due rette r ed s del piano π. Allora si ha (( ∀ x : x ∈ r ⟹ x ∈ π and ∀ y : y ∈ s ⟹ y ∈ π ) : x ∉ s and y ∉ r ) ⟺ r ∥ s (ove il simbolo ∥ definisce formalmente la condizione di parallelismo). Una retta t, ortogonale ad una retta s è ortogonale ad ogni altra retta parallela alla retta s. In senso formale è possibile scrivere (r ∥ s , t ⊥ r ) ⟹ t ⊥ s ∀ s : s ∥ r Da un punto di vista metrico viene definita la distanza tra rette parallele quale una costante, HH’ definita come la misura del segmento staccato da una retta ortogonale alle date rette. Si ritorni su quanto detto in precedenza.

Si potrebbe obiettare che due rette parallele possano appartenere a due piani distinti đ?œ‹1 đ?‘’ đ?œ‹2 . Ma, anche in questo caso, esiste, salvo quanto si dirĂ piĂš oltre, un piano distinto da essi, ad esempio đ?œ‹3 che le contiene entrambe. Ho la convinzione che ciò è vero quando le due rette hanno la medesima direzione. Questo è vero per le rette del piano e il concetto di direzione è intimo con il concetto di tralazione rigida. Intendo riferirmi al fatto che con una traslazione rigida due rette, senza che intervengano rotazioni, divengono coincidenti, ovvero sovrapposte. Le successive osservazioni vanno epurate dal caso di rette di piani paralleli. Due rette di piani paralleli e distinti sono parallele.

Quindi per quanto detto, possiamo dire che due rette parallele definiscono un piano. La condizione di parallelismo si evidenzia con un particolare movimento rigido di pura traslazione rispetto al quale le due rette possono

considerasi sovrapposte portando alla condizione di identità delle due rette. Due rette parallele possono essere anche la stessa retta. Vorrei evidenziare quello che a mio parere costituisce un unto critico della impostazione del matematico Proclo ma anche di coloro che lo hanno per così dire censurato. Ricadiamo nella questione della finitezza della distanza tra due rette parallele e sul fatto che per definirne la finitezza di distanza si debba usare il postulato delle parallele. In buona sostanza date due rette parallele poste a distanza arbitrariamente grande, avuto riguardo alla infinità del piano, è sempre possibile pensare alla esistenza di una ulteriore retta parallela alle due ma posta a distanza arbitrariamente grande da esse. Questo ragionamento può essere iterato all’infinito.

Bisogna ora riferirsi al caso di rette giacenti su piani paralleli. In questo caso le questioni si complicano e il parallelismo delle rette dei due piani diviene più arduo.

Infatti, si ammette che ogni retta di un piano sia parallela ad ogni retta del secondo piano. Data una retta di un piano esiste ed è unica la retta del secondo piano tale che esista un movimento rigido che consenta ad una retta di essere considerata

coincidente,

mendiante

un

movimento

puramente

traslatorio. Ma è possibile dire pure altro. Assegnata una detta di uno dei due piani è possibile portarla con un movimento rigido di pura traslazione sul secondo piano. A questo punto, con un movimento di rotazione di un dato angolo, è possibile portarla a coincidenza, con un successivo eventuale moto di pura traslazione, con una qualunque retta del secondo piano. Ritornando, per un attimo, al piano e alle rette parallele di esso è possibile dire che tutte le rette parallele di un piano sono accumunate dalla caratteristica di avere una comune proprietà alla quale si è deciso di dare il nome di direzione. Essa è, quindi, una caratteristica tipica di una retta e di tutte (e sole) le rette del medesimo piano ad essa parallele. Rette del piano incidenti hanno distinte direzioni.

Quando ci si riferisce alle rette di due piani paralleli, come giĂ ricordato, si ammette che le rette di un piano siano parallele a quelle del secondo (e viceversa). Qui il concetto di direzione non è utilizzabile che in parte. Sicuramente una retta di un piano (e tutte quelle del piano medesimo ad essa parallle) hanno la medesima direzione di una retta ottenuta per proiezione della prima retta sul secondo piano (avendo medesima direzione ogni retta del secondo piano parallela alla retta proiezione sul secondo piano della retta data del primo piano). Ma tali riflesison inon esauriscono il complesso delle rette dei due piani, supposti paralleli. Ma è ben noto che la mutua posizione delle rette dello spazio non si eaurisce in queste riflessioni. Esiste, infatti, il caso delle rette sghembe. Una retta di un piano dato e una retta che ha un punto (ed uno solo) in comune con detto piano e tale che esso non coincida con un punto della retta del piano assegnata sono sghembe. Esse non hanno punti in comune (che peraltro potrebbe al piĂš essere solo uno‌).

Nel caso delle rette sghembe sono differenti le tipologie di movimenti rigidi che possono essere assunti a base della condizione di essere due rette sghembe. Sia r la retta del piano (con tale locuzione intendendo la retta giacente sul piano) e sia s la retta che interseca il piano di r in un punto A. Esso punto è l’unico comune tra il piano e la retta s. La retta s forma, con ogni retta del fascio per A, un angolo costante di assegnata ampiezza (anche ortogonale). Esiste una sequenza di movimenti rigidi che porta le due rette a coincidenza. Data la retta r essa è sottoponibile ad un movimento rigido di pura traslazione che la porta a coincidere con una retta del fascio per A sotto la condizione che la retta r e la retta del fascio siano parallele per coincidenza. Quindi con successiva rotazione di un angolo di ampiezza eguale alla ampiezza dell’angolo formato dalla retta s con ognuna delle rette del fascio passante per A si perviene alla coincidenza delle rette r ed s, sghembe. Ma esiste pure una seconda modalitĂ .

Preso un punto qualunque della retta r del piano è possibile condurre una rotazione in modo che la retta r assuma la posizione r’, essendo r’ una retta non del piano della retta r. Le rette r’ ed s sono parallele quando la rotazione della retta r che la manda nella retta r’ è tale che ⦓ (r, r’) = ⦓(z, s), ove z ∥ s.

Una retta del piano divide detto ente geometrico in due parti dette semipiani. La retta definice la frontiera di dette regioni, nomate semipiani. La retta è parte dei due semipiani. Sia x un punto qualunque della retta r del piano π. ∀ x : x ∈ r esiste un intorno circolare (quinidi infiniti) per il quale esistono punti del piano che appartengono ad un semipiano e punti che appartengono all’altro semipiano. Un punto di un semipiano (che non sia punto della retta che lo definisce) non può appartenere all’altro semipiano (e viceversa). Vanno ora considerate le reciproche relazioni tra due piani.

Due piani distinti possono essere: paralleli, come nel caso di piani che non hanno punti in comune; incidenti, quando la loro intersezione è una retta; ortogonali, come caso particolare della incidenza tra piani. I piani contenenti rette sghembe sono piani incidenti, quindi non paralleli, anche ortogonali. Il primo caso è costituito dalla condizione di parallelismo. In questo caso i due piani non hanno alcun punto in comune. Nel caso di piani incidenti esiste ed è unica la retta costituita da punti che appartengono ad entrambi i piani. Sezionando detti piani con un piano distinto da essi si realizza la costanza della regione angolare definita dalla sezione, avente come origine un punto della retta intersezione di detti piani. Ad esempio con riferimento a due piani ortogonali sia đ?‘Ľ0 un punto della retta r intersezione dei due piani. Per detto punto passando due rette, una di un piano e l’altra dell’altro, tali che l’angolo di origine đ?‘Ľ0 è un angolo retto. Il piano passante per detto punto e contenente le rette ortogonali passanti pure per esso è un piano ortogonale ad entrambi i piani dati.

Analoga riflessione può essere fatta in relazione al caso di piani incidenti non ortogonali. Per ogni punto della retta comune ai due piani (essa è unica) è possibile considerare due semirette per le quali risulta costante l’ampiezza della regione angolare così definita. Sia dato un piano π ed un punto d esterno ad esso. Siano a, b e c tre distinti punti che definiscono un piano (quindi siano essi non allineati). Formalmente a ∈ π, b ∈ π, c ∈ π e d ∉ π. Vengono definite tre rette non del piano ma aventi uno ed un solo punto in comune con detto piano. Dette rette definiscono precisi piani distinti da quello dato. Vorrei ora fare qualche breve riflessione a partire dai piani paralleli. Come detto, due piani dello spazio sono paralleli quando sono lo stesso piano (condizione di coincidenza dei piani) oppure quando detti piani non hanno alcun punto in comune. Vorrei osservare che per il caso di piani paralleli ogni retta di un piano ed ogni retta dell’altro piano non hanno punti in comune.

In senso ampio deve ritenersi che ogni retta di un piano sia parallela ad ogni retta dell’altro piano. Ma, rispetto al piano, o meglio al parallelismo nel piano, va fatta una precisazione. Data una retta di un piano è sicuramente vero che un movimento rigido di traslazione la può portare nell’altro piano con conservazione di una assegnata direzione. Ma è anche vero che tale evenianza non esaurisce ogni caso. Infatti, una retta di un piano può essere con un moto di pura traslazione portata nel secondo piano (parallelo a quello di partenza) e quindi essere ruotata di un dato valore angolare. Il caso della retta è solo intuitivamente semplice. Nella retta sicuramente c’è qualcosa di semplice e di enigmatico al contempo, sicuramente legato al muoversi senza ruotare su se stessi sulla destra o sulla sinistra. Interessante è anche il caso della circonferenza, essendo essa immediatamente costruibile con il compasso ad apertura costante.

Tutti sanno che si tratta di una conica e che essa viene immediatamente definita come un particolare luogo geometrico, intendo con tale locuzione l’insieme dei punti che godono di una determinata proprietà. In particolare, la circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano la cui distanza da un punto fisso, detto centro della circonferenza, è costante. Il concetto di circonferenza è ampiamente operativo. Si consideri una circonferenza di centro O. Le infinite rette passanti per O intersecano la circonferenza in punti H tali che OH è detto raggio della circonferenza. Lapalissianamente tutti i raggi una circonferenza sono eguali. Ognuna delle infinite rette passanti per il punto O staccano sulla circonferenza due punti H e K per i quali il segmento HK è detto diametro della circonferenza. Paradossalmente è più difficile dare una definizione di retta, seppure intuitiva. Essa è sicuramente una curva infinita nel senso che presi due punti di essa infinitamente distanti tra loro ne esistono altri due distinti da quelli dati che sono ancora più distanti.

Essa poi è sicuramente una curva continua nel senso che tra due punti infinitamente vicini ne esistono infiniti altri compresi tra essi. La retta evoca poi la sensazione di andare dritti, di non ruotare a destra o a sinistra. Retta come traiettoria rettilinea, priva di curvatura quindi‌.. La condizione di allineamento dei tre punti evoca bene questa situazione. Essa conduce anche ad una condizione di minimo nel senso che per andare da A a B e quindi nel punto C detta condizione è qualla che minimizza la distanza percorsa. A questo punto deve essere introdotta una nozione metrica. Nel senso che data una retta viene definito un punto arbitrario O, detto origine, rispetto al quale viene assunta una unitĂ di misura, quindi un punto A, a destra del punto O, tale che la distanza tra detti punti valga (arbitrariamente) 1. Formalmente si scrive Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘‚đ??´ = 1 Ăˆ ben noto che a ogni punto della retta corrisponde un numero reale e viceversa e che in generale la misura di una grandezza (nel caso di specie una distanza) indica il rapporto tra il valore della grandezza e l’unitĂ di misura.

Ăˆ ben noto che per valori positivi delle ascisse la distanza tra due punti A e B, quando A ⊰ B vale Ě…Ě…Ě…Ě… = đ??ľđ??´ Ě…Ě…Ě…Ě… = đ?‘‚đ??ľ Ě…Ě…Ě…Ě… - đ?‘‚đ??´ Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ľ Nel caso di punti per i quali sia B ⊰ O ⊰ A sorge qualche complicazione in relazione al fatto che la distanza tra i punti B ed O deve essere intesa in senso positivo, ovvero in valore assoluto pertanto si ha Ě…Ě…Ě…Ě… = đ??ľđ??´ Ě…Ě…Ě…Ě… = │đ?‘‚đ??ľ ̅̅̅̅│+ đ?‘‚đ??´ Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ľ Due punti distinti di una retta definiscono univocamente un ente geometrico detto segmento. Dati due punti A e B un segmento di estremi A e B è l’ente geometrico costituito da tutti e soli gli infiniti punti X, in coerenza quindi con la proprietĂ di continuitĂ della retta, per i quali risulta A ⊰ X ⊰ B. PiĂš oltre verrĂ presa in considerazione la congruenza (eguaglianza) tra segmenti, evidenziandosene il carattere di relazione di equivalenza. Eccoci quindi al punto di dover definire la eguaglianza (o congruenza) tra due segmenti. Due segmenti di retta AB e Ă€B’ sono eguali (o congrui) quando esiste un movimento rigido per il quale un segmento può essere sovrapposto

all’altro di guisa che i punti A e À coincidano e pure i punti B e B’ coincidano. La relazione di eguaglianza tra segmenti è una relazione di equivalenza nel senso che ogni segmento può essere considerato eguale a se stesso, ovvero AB = AB (proprietà riflessiva); quando vale la proprietà simmetrica per la quale AB = A’B’ ⟹ A’B’ = AB, e , infine, quando vale la proprietà transitiva per la quale si può scrivere (AB = CD , CD = MS ) ⟹ AB = MS. Per la proprietà simmetrica si può anche scrivere AB = A’B’ ⟺ A’B’ = AB Sul concetto di segmento si potranno formulare ulteriori considerazioni. È bene introdurre il concetto di triangolo e di poligono convesso di n lati. Si può partire dal caso del triangolo convesso del piano. Dati infatti tre punti non allineati del piano l’intersezione dei semipiani formati dalle tre rette distinte passanti per essi viene chiamata triangolo convesso del piano. Se A, B e C sono detti punti non allienati allora le rette per detti punti definiscono univocamente i tre lati AB, BC e CA del triangolo ABC (di vertici A, B e C).

I punti dei lati del triangolo ne costituiscono la frontiera. Rispetto ad un un triangolo i punti del piano possono essere esterni al triangolo, punti della frontiera (o del perimetro) e punti interni. Il triangolo è una figura piana convessa in quanto considerata ogni possibile coppia di punti del triangolo (punti interni o della frontiera) ogni segmento congiungente due distinti punti del luogo risulta punto del luogo. Altra figura piana tipicamente convessa è il cerchio. Data una circonferenza il cerchio è costituito da tutti e soli i punti del piano la cui distanza da un punto fisso, detto centro del cerchio, risulta essere minore a eguale ad una distanza assegnata e costante. Mi sia consentita una breve digressione sulle rette euclidee, rispetto alle quali avevo introdotto qualche rilevante proprietà razionale e metrica. Si è detto che data una retta è sicuramente definibile il segmento di retta ogni qual volta si considerino due distinti punti di essa. Specificatamente, una caratteristica saliente ed importante della retta è che presi due punti distinti di essa A e B, per esempio, il segmento AB è tale che AB ⊂ r (nel senso insiemistico dell’inclusione propria).

Questa relazione di inclusione propria non è vera quando quando si consideri un luogo diverso dalla retta. Data ad esempio una circonferenza ove si ocnsiderino su di essa due distinti punti A e B il segmento che li congiunge non è incluso propriamente nella circonferenza (lo sarebbe in relazione al cerchio ad essa associato). Nel caso di specie si avrebbe AB ⊈ crf. Questo modo di intendere vale in generale per ogni curva continua chiusa, ovvero per ogni curva continua infinita che non siano una retta. In tali generali casi se A e B sono distinti punti del luogo la relazione AB ⊂ luogo dato è falsa. Per come è definito AB la relazione AB ⊂ luogo è tipicamente vera solo per il caso luogo = retta. A questo punto sembra ammissibile la seguente ipotesi di definizione per la retta euclidea. Per essa potremmo dire che una retta è il luogo dei punti del piano tali che presi su di essa due punti qualunque A e B il segmento che li congiunge è incluso propriamente nel luogo assegnato.

A questi punto si prospetterebbe una evidente illogicità definitoria. Data la retta si definisce il segmento e una volta dato questo si utilizza il medesimo per definire la retta! La soluzione potrebbe essere abbastanza operativa. Si potrebbe pensare di definire come concetto primitivo il segmento, inteso come un ente geometrico sempre costruibile a partire da un righello di lunghezza arbitraria, un poco come si costruisce concretamente la circonferenza a partire dal compasso di assegnata apertura. L’esistenza di un righello teorico di lunghezza arbitraria ma finita L non risolve il problema perchè astrattamente potrebbe ammetterisi che per un righello teorico di lunghezza L + ΔL la relazione di inclusione propria non sia vera. Un poco come se un automobilista che percorre una distanza rettilinea dopo qualche centinaio di km si trovasse improvvisamente a percorrere una pericolosa curva… La retta non può essere che un atto di fede, un righello di lunghezza infinita. Data una retta, presi quindi su di essa due punti il segmento di retta è incluso propriamente in detta retta.

Quando per contro si è vincolati a muoversi su una curva non retta allora per detti punti è sempre immaginabile considerare esistente un righello teorico di lunghezza data ≤ alla lunghezza dell’arco di curva continua tra detti punti. In questo caso AB (ovvero il segmento congiungente i punti A e B del luogo) non è propriamente incluso nel luogo (non retta) in argomento. Data una retta e asseganto un punto A su di essa detta retta viene distinta in due semirette di eguale origine A. Quindi una semiretta è definita a partire da una retta e da un punto su di essa. Il punto A è elemento di entrambe le semirette. Dalla definizione formale di semiretta è possibile impostare ulterori osservazioni fondamentali. Si ammetta di operare nello spazio a tre dimensioni. Siano date k ≥ 3 semirette dello spazio costituento quindi un insieme di semirette passanti per uno stesso punto O tali che esse siano a tre a tre non complanari (due rette passanti per O necessariamente lo sono). Il punto O unico elemento comune delle assegnate semirette viene chiamato vertice.

La regione convessa dello spazio costituita dalla intersezione dei semispazi definiti dai piani passanti per due di dette rette delle k date viene chiamata angoloide. La regione convessa (piana) definita da due semirette passanti per O viene chiamata faccia dell’angoloide. Le semirette considerate costituiscono gli spigoli. Date due facce consecutive la figura dello spazio corrispondente viene detta diedro. Sezionando un angoloide con un piano che passa per tutti gli spigoli si ottiene un poligono di n lati (eguale al numero degli spigoli dell’angoloide). L’angoloide si compone di punti interni e di punti di frontiera (punti delle semirette, ovvero regioni angolari di origine O). Detti punti costituiscono la superficie piramidale. Un punto non appartenente all’amgoloide è detto esterno. È bene fare qualche ulteriore riflessione sul concetto di spazio a tre dimensioni. Dato lo spazio a tre dimensioni un piano di esso divide esso in due semispazi.

Il piano che lo definisce costituisce la frontiera dei due semispazi, originati dal piano Ď€. Un punto x ∉ Ď€ appartiene ad uno ed uno soltanto dei semispazi generati da Ď€. Per ogni x cosĂŹ definito esiste sicuramente un x’ tale che x’ ∉ đ?œ‹ che appartiene all’altro semipiano. In particolare ∀ x ∃! x’ : (x, x’) ∈ r : r ⊼π and d(x, đ?‘Ľđ?œ‹ ) = d(đ?‘Ľđ?œ‹ , x’) đ?‘Ľđ?œ‹ è la proiezione ortogonale del punto x sul piano Ď€. đ??ˇđ?‘˘đ?‘’ punti come quelli definiti sono detti simmetrici rispetto ad un punto dato. Con riferimento ad una retta qualunque due punti a e b di essa si dicono simmetrici rispetto ad un punto x quando x è intermedio tra a e b, ovvero quando d(a , x) = d (x , b). Il formalismo d(a, b) denota la distanza tra i punti a e b. Qualche osservazione sui criteri di eguaglianza dei triangoli. Ăˆ immediato constatare che la condizione necessaria e sufficiente affinchè due triangoli del piano siano congruenti (o eguali) è che, se essi sono indicati con le lettere ABC e A’B’C’ dei vertici, essendo đ?‘&#x;đ?‘‹đ?‘Œ la retta che passa per due punti distinti X e Y sia verificata la eguaglianza dei lati

e siano date le seguenti relazioni, ottenute con un movimento rigido nel piano đ?‘&#x;đ??´đ??ľ âˆĽ đ?‘&#x;đ??´â€˛đ??ľâ€˛ đ?‘&#x;đ??´đ??ś âˆĽ đ?‘&#x;đ??´â€˛đ??śâ€˛ đ?‘&#x;đ??ľđ??ś âˆĽ đ?‘&#x;đ??ľâ€˛đ??śâ€˛ PiĂš ampiamente esiste un movimento rigido che consente di sovrapporre i due triangoli per il quale i lati eguali coincidono unitamente alle ampiezze angolari. đ??źđ?‘› đ?‘žđ?‘˘đ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘œ caso è ben evidente il nesso con la definizione di ampiezze angolari eguali. Ăˆ poi utile ricordare che dati due distinti punti del piano e dato un terzo punto non ad esso appartenente le rette passanti per detti punti conducono ad un triangolo. Esso non è propriamente un traingolo del piano dato.

Le predette considerazioni sulla eguaglianza dei triangoli possono farsi al caso di triangoli non complanari considerati anche come figure convesse giacenti su piani distinti.

Il caso della conguenza dei triangoli non vĂ confuso con quello piĂš particolare della similitudine di essi. La congruenza è un caso particolare di similitudine. Per il caso della similitudine vengono ammesse eguali (o congrue) le relazioni angolari, con quello che ne segue in termini di parallelismo di particolari coppie di rette. Come ben noto le relazioni di congruenza non sono verificate per i componenti lineari. Per essi, essendo X ed Y, vertici qualunque di un triangolo, ed essendo X’ ed Y’ i vertici omologhi (riferiti alla condizione di parallelismo delle rette passanti per detti vertici omologhi) vale la seguente relazione metrica Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘‹đ?‘Œ Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘‹â€˛đ?‘Œâ€˛

= k ≠1 ≠0.

Ulteriormente il caso della congruenza non va confuso con quello della equivalenza di figure convesse. Con linguaggio improprio ma credo abbastanza efficace è possibile dire che due figure piane convesse hanno la stessa estensione superficiale quando occupano la stessa quantità di piano. Del concetto di superficie non viene data una definizione formale. Si tratta anche in questo caso, di un concetto intuitivo.

La quantificazione numerica dell’estensione superficiale conduce al concetto di area della superficie, concetto derivato da quello di misura, quindi riferita ad una preassegnata unitĂ di misura. Due figure aventi eguale estensione superficiale, ovvero eguale area della sueperficie, sono dette equivalenti. Due figure conguenti (o eguali) sono anche equivalenti, ma l’asserzione contraria non è necessariamente vera. đ??´ livello di manualistica elementare non ho rinvenuto una trattazione elementare ma soddisfacente di superfici equivalenti. Detti concetti possono essere riferiti pure a figure solide, ovvero a parti finite dello spazio tridimensionale infinito. Da un punto di vista metrico elementare definiamo equivalenti due figure del piano aventi la medesima area, espressa quindi dal medesimo numero reale, riferito alla data unitĂ di misura. In generale due figure diversissime come un triangolo e un quadrato, o un cerchio, possono avere la stessa area della superficie, ovvero possono essere, come si dice, equivalenti. Equivalenza non implica congruenza, ovviamente.

Esiste un criterio generale e astratto che consente di dire se due figure sono equivalenti. Due figure sono equivalenti tra loro se esiste una trasformazione che consente di deformarne una poi sovrapporla all’altra in modo tale che si possa dire che la figura deformata e la seconda figura sono congruenti. Un altro criterio potrebbe essere quello di ammettere la esistenza di due trasformazioni che applicate alle due figure le trasformino in una medesima ulteriore figura del piano (terza e distinita rispetto alle due date figure). Occorre però riflettere sulle proprietà che devono avere le trasformazioni per essere soluzione del problema. Non ogni trasformazione che mandi una figura in un’altra eguale è ammissibile. È un poco come se si disponesse di due quadrati di lati diversi e operando su uno di essi si agisse per modificare il lato di uno per renderlo eguale a quello del secondo e poi dire che tale trasformazione dimostra che i due quadrati sono equivalenti, oltre che eguali. Non ogni trasformazione è ammissibile, quindi. Questo appena fatto ne è un esempio ben evidente.

L’impostazione dei manuali elementari di geometria lascia intendere che non si possa procedere elementarmente. Ăˆ ragionevole ritenere che con riferimento alla seconda ipotesi di definizione date due figure diverse le trasformazioni ad esse applicate che conducono ad una medesima figura (di eguale area della superficie) siano in generale diverse. Si tratta di stabilire quali sono le condizioni di ammissibilitĂ delle trasformazioni che consentono di affermare che due figure sono equivalenti. Detto in altri termini se applico una trasformazione ammissibile ad una figura che mando nella seconda, rendendola eguale allora potrò dire che la figura originaria e e la seconda figura data sono equivalenti. Per esempio dati due triangoli una trasformazione cha manda uno di essi in uno simile non è ammissibile anche se il primo triangolo è divenuto per effetto della trasformazione, eguale al secondo. Per due figure equivalenti la quantificazione dell’area della loro estensione superficiale è data dallo stesso valore numerico, solitamente espresso in đ?‘š2 . Figure simili non sono equivalenti.

Nel caso di figure simili, non esiste alcuna trasformazione di una figura nell’altra che verifichi le condizioni. Figure eguali (o congrue) sono equivalenti. In questo caso l’equivalenza si giustifica per movimento rigido (traslazione pura).

ERRATA CORRIGE

Ho constatato che nel numero precedente di Appunti matematici (n. 13 del gennaio 2016) va sostituita la prima formula contenuta nell’appendice sulle forze centrali. La forma corretta risulta essere la seguente: R(t) = 2y(t)| f |e(t) coerentemente con il fatto che la forza varia nel dominio del tempo di direzione per effetto del moto di una delle particelle, essendo la forza diretta costantemente secondo la direzione definita dalla retta che congiunge le particelle, direzione che varia nel tempo. Ricordo che e(t) è un versore unitario la cui direzione non è, per quanto detto più sopra, costante. | f | è il modulo della forza al tempo iniziale.

PROPRIETÀ LETTERARIA

Questo elaborato non ha finalità commerciali o lucrative. Ne è autorizzata la divulgazione, anche totale, a condizione che essa non abbia finalità commerciali o lucrative purchè essa avvegna con la citazione dell’autore e del soggetto diffusore dell’opera.

pubblicazione a cura di Pascal McLee

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