Patrizio Gravano
APPUNTI MATEMATICI
TERMODINAMICA STATISTICA numero 25 - gennaio 2017
INTRODUZIONE
Questo elaborato conclude un “trittico” chimico-fisico avviato nel n. 23 con le note di chimica e con il successivo elaborato, il n. 24, dedicato alla termodinamica teorica.
Rispetto a questi due importanti ambiti decisi di limitarmi alle parti essenziali, seppure cercando una certa originalita’ che, credo, presente in piu’ punti.
Negli
stessi
dedicato
termini
alla
ho
impostato
termodinamica
di
fare
statistica,
per
questo
numero
disciplina
di
fondamentale importanza negli studi fisici.
Mi sono limito agli elementi piu’ semplici della disciplina, spedando
che
questa
sintesi
possa,
a
qualcuno,
risultare
di
qualche utilita’.
Ho cercato anche in questa ardua occasione una sintesi originale e spero esaustiva, seppure entro i limiti che mi ero prefissato.
Una
parte
propagazione
conclusiva, del
invero
calore
e
sintetica, una
breve
e’
dedicata
nota
riguarda
alla la
conservazione della quantita’ di moto.
Patrizio Gravano www.patriziogravano.com patrizio.gravano@libero.it
1. Termodinamica statistica
La
termodinamica
statistica
e’
una
teoria
che
consente
di
prevedere le proprieta’ di un sistema termodinamico a partire dalle proprieta’ microscopiche degli elementi costituitivi della materia, ovvero atomi, molecole, etc..
E’
sicuramente
utile
fare
un
breve
excursus
su
nozioni
che
dovrebbero essere ben note, quali quelle relative alla teoria cinetica dei gas.
2. Sintesi sulle leggi dei gas
Si
riportano
per
comodita’,
in
sintesi,
alcune
nozioni
essenziali relativi alla teoria dei gas.
“13. Le leggi dei gas e l’equazione di stato
I gas possono essere descritti come sistema fisico conoscendo tre variabili fondamentali, la temperatura, la pressione e il volume.
Le leggi che vengono introdotte attengono a gas ideali, detti perfetti, caratterizzati da particelle (in genere molecole) che hanno,
complessivamente
rispetto
a
quello
perfettamente velocita’,
del
elastici,
dall’assenza
considerate,
un
contenitore,
caratterizzate
che di
volume
importano forze
lo
attrattive
trascurabile da
scambio o
urti delle
repulsive
intermolecolari.
Pressione, volume e temperatura sono le tre variabili cruciali e le
tre
leggi
dei
gasi
mettono
in
relazione
due
di
queste
grandezze, mantenendo costante la terza grandezza.
La prima legge, anche in ordine cronologico di scoperta, e’ la legge di Boyle, che mette in relazione pressione e volume a temperatura costante.
Si ha pV = costante per una data temperatura.
Una seconda modalita’ di scrittura della legge di Boyle riferita a T costante e a periodi di tempo diversi e’ la seguente =
Una
ulteriore
relazione
e’
quella
della
prima
legge
di
Gay
Lussac per la quale si ha =
(1 + t)
(…) si ammette sia costante la pressione.
La
grandezza
α
=
,
e’
una
costante
detta
coefficiente
di
dilatazione.
Piu’ concisamente la prima legge di Gay Lussac viene scritta cme segue V = kT
(p costante)
o, anche
=
Questa e’ nota anche come legge di Charles, colui che per primo la comprese… non pubblicandola.
Per
il
volume,
inteso
come
grandezza
distinte unita’ di misura, il litro L e il
La relazione e’ 1 L = 1
.
fisica, .
esistono
due
Astrattamente nel S.I. di misura l’unita’ di volume e’ il metro cubo,
.
Una relazione a volte utile negli esercizi e’ la seguente
1 mL = 1
.
Si ha, quindi, una seconda legge di Gay Lussac per la quale risulta = nche
(1 + t) la
seconda
legge
di
Gay
Lussac,
ha
una
formulazione
ulteriore ma equivalente, ovvero =
= k’
(V cost.)
Poiche’ per la pressione p esistono differenti unita’ di misura e’ bene indicare la corrispondenza tra le varie unita’ di misura in termini di equivalenza
1 atm = 101325 Pa = 1.013 bar = 760 mmHg
Essa
e’
particolarmente
utile
per
i
passaggi
di
unita’
di
misura.
Ad esempio per avere un bar bastera’ dividere le altre grandezze per
1,013
etc.,
per
avere
le
corrispondenze
tra
unita’
di
misura.
E’ opportuno considerare come unita’ di misura della pressione il pascal, Pa, in onore di B. Pascal, in quanto e’ l’unita’ di misura
della
pressione
nel
Sistema
internazionale
di
misura
(S.I.).
Si ha una pressione di un pascal quando viene esercitata una forza omogena di 1 newton su una superficie di un
.
Da una autorevole lettura ⦋Ageno⦌ ho rinvenuto una formulazione poco nota detta equazione di stato dei gas ideali nella seguente formula
=
(1 + t)
questa equazione si perviene per step.
In primis, si parte dalla legge di Boyle, quindi si fa variare la pressione come segue !"# $ %
&!'
" # ((!)*#)
!"# $
&!" % &!'
" #
,---------------------------. p’V ,-----------------------. p = p’(1 + t) ⇔ = p’V
Deve
⇔ p’ =
essere
0 %0
%
⇒ p =
0 %0
%
⦋Ageno⦌
ricordato
(1 + t)⇔
che
da
=
α
=
(1 + t)
,
si
ottiene
una
ulteriore, piu’ familiare, equazione di stato dei gas perfetti nella forma =
0 %0
,
(273,2 + t) =
0 %0
,
quando si utilizza per le temperature la scala termodinamica detta anche scala termometrica Kelvin.
Nella sua costruzione si tiene conto della relazione
T =273,2 + t
Ove T indica la misura in gradi Kelvin (K) e t indica la misura in gradi centigradi o Celsius (C).
Gia’ dalla relazione T =273,2 + t si evidenzia che per t =-273.2 risulta T = 0.
Detto valore e’ chiamato zero assoluto.
Risulta anche che ΔK = ΔC
Nel caso di raffreddamento gia’ prima di detto valore le leggi dei gasi perfetti cessano di avere valore di legge fisica.
Sovviene ora il fondamentale principio di Avogadro, per il quale “volumi
eguali
di
gasi
diversi,
nelle
stesse
condizioni
di
temperatura e di pressione, contengono sempre lo stesso numero di molecole”.
Una
grammomolecola
condizioni
di
di
un
pressione
gas e
di
reale
qualunque
temperatura
nelle
occupa
il
volume.
La conseguenza e’ immediata.
Si ha
0 %0
,
= 8,315
2
3 4!*
= R = costante dei gas.
Per una mole di gas si ha
PV = RT
Quando si hanno n moli di gas l’equazione assume la forma
PV = nRT
medesime medesimo
Questa
ultima
viene
scritta
contenente il parametro
4 5
in
una
forma
piu’
operativa
che indica un numero non intero di
moli in quanto rapporto tra la quantita’ di gas espressa in grammi e il peso molecolare in grammi.
Quando m e’ un multiplo di M allora si ha un numero intero di moli n (vedi la precedente equazione), mentre in genere detta ratio
potrebbe
essere
non
intera
e
al
limite
dovrebbe
poter
essere m < 7. Per una quantita’ assegnata, e quindi in relazione ad ognuna delle tre distinte formulazioni dell’equazione di stato dei gas perfetti e’ possibile scrivere l’equazione di stato come segue
=
Essa e’ riferita a due periodi 1 e 2 distinti.
La legge di stato dei gas ha un corollario evidente quando si imponga, come solitamente avviene, che la quantita’ di gas, n,
resti constante e parimenti costante sia il volume V entro cui e’ confinato il gas.
Da pV = nRT si ottiene p =
"9 %
9
= n T = kT %
Viene definito il concetto di stato di un gas.
Lo stato del gas e’ definito quando sono noti i valori delle tre grandezze, ovvero quando sono note (V, p, T).
A livello avanzato, come risulta dalla termodinamica, sono state introdotte ulteriori variabili di stato quali l’entalpia, l’entropia oltre alle funzioni di Gibbs e von Helmholtz.
Va sottolineato che delle tre e’ necessario conoscerne due, una delle quali resta costante, per ottenere univocamente la terza (ovvero il valore della terza).
Una
rappresentazione
grafica
ampiamente
utilizzata
e’
sicuramente l’isoterma, collocando il luogo dei punti in cui e’ costante
T
(da
cui
isoterma)
come
nel
grafico
seguente
indica una famiglia di isoterme per distinti valori di T.
che
Essa ha una spiegazione immediata.
Muovendosi su una curva la temperatura resta costante.
Ogni isoterma eâ&#x20AC;&#x2122; quindi il luogo dei punti (V,p) per i quali la temperatura eâ&#x20AC;&#x2122; costante (legge di Boyle).
La legge di Avogadro eâ&#x20AC;&#x2122; riferita sempre alle medesime condizioni di temperatura e di pressione. Quindi, una mole di un gas e una mole di un altero gas hanno lo stesso numero di particelle, in genere molecole, quando essi si trovano alle stesse condizioni di temperatura e pressione.
In realtaâ&#x20AC;&#x2122; quando si dice che una mole di un gas contiene un numero di Avogadro di molecole ci si riferisce ad un volume,
detto volume molare,
4,
che si trova alla temperatura di 0 gradi
centigradi alla pressione atmosferica.
In questi casi si parla di un gas alle condizioni normali di temperatura e di pressione.
Risulta sperimentalmente che
4
= 22,414
:
4!*
.
Il volume molare altro non e’ che il rapporto tra la massa molare e la massa volumica, nota anche come densita’.
La relazione e’ semplicemente la seguente
4
Una
=
5 ;
grandezza
ulteriore
da
tenere
presente
nello
studio
dei
gas
e’
la
densita’ relativa di un gas , intesa come il rapporto tra la massa di 22,414 litri di un gas e la massa di un eguale volume di aria (sempre misurata in litri).
Il
riferimento
e’
sempre
fatto
alle
condizioni
normali
di
temperatura
e
pressione.
Si tratta di una temperatura di 20 gradi Celsius alla pressione atmosferica di 1 atmosfera.
E’ ben riportata dai testi la relazione tra la massa molare di un gas e la densita’ relativa d.
Detta relazione e’ la seguente
M = 28,98 * d
Al riguardo vorrei osservare che per l’aria e per un gas ideale qualunque risulta
=
5< ;<
Considerando d =
=
e che
=
=
=
5> ;>
.
ovvero ponendo
5< ;<
=
5> ;>
e ponendo
?
= 1 si ottiene ?= =
5>
5<
Ove 7
indica il peso di una mole d’aria.
Questa e’ una sorta di generalizzazione del principio di Avogadro in quanto se si procede a misure nelle condizioni date di temperatura e pressione sia per
l’aria
che
per
il
gas
nota
comunque
la
massa
di
aria
e
nota
sperimentalmente la densita’ del gas si ottiene la corrispondente quantita’ di gas.
In coerenza con il principio di Avogadro dette masse (dell’aria e del gas) occuperanno un volume V = k
4
ove k e’ una costante positiva priva di
dimensioni.
E’ da ritenere che 4,
.
4
dipenda da p come da legge di Boyle, avendosi
4,
=
(…)”
Ai
fini
dei
DE C .
e’6,02*10C 6,02*10C
calcoli Una
molecole,
calcolo
il
mole
una
atomi,
di
elettroni
numero
di
sostanza a
Avogadro, contiene
seconda
del
@A ,
quindi
contesto
oggetto di studio.
3. Movimenti
molecolari
–
agitazione
termica.
Fluttuazioni.
Valori medi, varianza e scarto quadratico medio. ⦋questo paragrafo contiene anche parti estratte da precedenti Appunti matematici⦌
E’ bene partire dalla teoria cinetica.
“In effetti e’ stato ricordato che per i gas reali e ancor piu’ per i gas ideali le molecole sono caratterizzate da un numero elevatissimo
di
urti.
Si
e’
calcolato
che
a
pressione
atmosferica e alla temperatura di 25 gradi Celsius ogni molecola gassosa subisce 10
urti nell’unita’ di tempo.
Per
i
gas
ideali
detti
urti
sono
considerati
completamente
elastici.
E’ noto che negli urti elastici l’energia cinetica varia nel senso che
le due particelle si scambiano le velocita’.
Per i gas reali poi le cose si complicano ulteriormente per effetto delle attrazioni o delle repulsioni tra le particelle, non considerate nel caso dei gas ideali.
Anche in questo caso ideale ogni particella si muove con una propria
velocita’
avendo
traslazione che vale F& =
quindi
una
energia
cinetica
di
G
Per questa ragione e’ stato introdotto in concetto di velocita’ quadratica media.
In
pratica
detta
energia
relazione della
si
considera cinetica
dell’energia
velocita’
si
una
grandezza
media
definita
come
media cinetica
utilizzi
quando la
in
media
velocita’.
E’ bene fare un semplice e banale esempio.
rappresentativa ottenuta
luogo dei
del
dalla
quadrato
quadrati
delle
Si
ammetta
di
avere
un
gas
costituito
da
tre
sole
molecole
(ipotesi ovviamente del tutto irrealistica) e si ammetta che dette
particelle
abbiano
velocita’
distinte
G , G H G
rispettivamente.
Date queste tre velocita’ se ne fanno i quadrati, ovvero si hanno le seguenti velocita’ elevate al (G ) , Con
questi
dati
la
media
delle
III risulta essere III indicata con G G =
(G )
velocita’ (
) J (
) J ( K)
e (G ) .
delle
particelle,
.
Per un sistema costituito da n particelle generalizzando si puo’ scrivere III G =
∑N M O ( M) "
L’energia cinetica media di un sistema gassoso con n particelle e’ scritta come segue FI =
III G
< F > e’ un altro formalismo ampiamente utilizzato per indicare l’energia cinetica media.
F’
stato
dimostrato
(Boltzmann)
che
detto
valore
dipende
unicamente dalla temperatura, misurata in gradi Kelvin, secondo la relazione FI =
Q
ove k e’ una costante di proporzionalita’, detta di Boltzmann. Essa e’ dimensionata a JR C .
Negli
sviluppi
della
termodinamica
statistica
sara’
particolarmente utile il concetto di velocita’ quadratica media dato dalla formula N
III = T∑M O ( SG "
M)
“
“A livello macroscopico il sistema e’ definito dal suo stato e dalla
condizione
di
equilibrio
in
cui
si
trova
in
un
dato
istante t di tempo.
Quando un macro stato non varia nel tempo si dice che il sistema e’ in equilibrio termodinamico.
Vi e’ sicuramente un nesso tra uno stato termodinamico macro in equilibrio e i micro stati.
La relazione e’ nel senso della compatibilita’ dei microstati, in genere N distinti, con un dato stato di equilibrio.
Lo
studio
dei
microstati
e’
specifico
della
meccanica
statistica.
Un esempio numerico chiarira’ la situazione.
Si
ammetta
di
avere
k
particelle
indistinguibili
di
un
gas
collocabili in due celle di eguale volume.
Per ognuna delle k particelle la probabilita’ di trovarsi in uno scomparto piuttosto che nell’altro e’ la medesima.
La sequenza delle k+1 configurazioni sono del tipo
N1
N2
k
0
k-1
1
…
…
0
k
Se si hanno k possibili scelte nel collocare una particella, quindi le possibili scelte si riducono a k – 1, e in generale il numero delle possibili scelte e’ k!
A questo punto si considera una delle possibili configurazioni.
Si ammetta che n1 sia il numero delle molecole da collocare nel volume 1 e sia n2 il numero delle particelle da collocare nel volume 2.
Le prime possono essere scelte in n1! modi distinti mentre de seconde possono essere scelte in n2 ! distinti modi.
Dato k e dati n1 ed n2 il numero dei distinti microstati e’ Q! V !V ! Detta quantita’ e’ detta molteplicita’ di una configurazione.
Per
un
sistema
microstati
e’
configurazione.
costituito
dato
dalla
da somma
k
particelle delle
il
numero
molteplicita’
di
dei una
In buona sostanza il numero dei microstati e’ W!
W! (WC )! !
W! !
+
A
questo
+ … +
W! !(WC )!
punto
potrebbe
+
W!
!3!
=
essere
interessante
calcolare
detto
numero. XH k e’ un intero pari si potrebbe pensare di calcolare la somma fino a che n1 > n2 e indicare con S1 tale somma quindi calcolare W!
Y Y
! !
Per simmetria la somma complessiva dei microstati risulta essere eguale a 2S1+
W!
Y Y
! !
Nel caso k sia dispari occorre fare la somma fino a quando n2 n1 = 1.
Se S e’ detta somma allora il numero complessivo dei microstati risulta 2S.
Nel caso k pari detta somma vale S = 2⦋Q! (1 +
(WC )!
+
(WC )! !
+
(WC )! !
+
Y
Y
( J )!Z C [!
+
Y
Y
( )!Z [!
)⦌
La probabilita’ per il singolo microstato e’ (poiche’ vige la equiprobabilita’ degli stati) data da 1 X Nella realta’ k e’ arbitrariamente grande.
La probabilita’ di una configurazione e’ Q! V !V ! X \]
piu’
elevata
probabilita’
si
ha
in
riferimento
alla
configurazione n1 = n2 .
Per questa evenienza la relativa probabilita’ risulta essere
Y! Y ( )!
^
Moltiplicando per 100 tale valore si ottiene la percentuale in tempo
in
cui
il
sistema
si
trova
nella
configurazione
considerata.
“Vanno ora sviluppati i concetti della teoria cinetica dei gas.
Si ottiene la cosiddetta equazione di Joule-Clausius.
E’ noto ⦋Bernardini⦌ che un “gas perfetto corrisponde al caso in cui le molecole sono discoste tra loro, da trovarsi in genere ciascuna fuori dal raggio di azione dell’altra” per cui “una molecola e’ soggetta solo alle forze esterne al gas (…) che non dipendono dalla natura intima del gas”.
Le
singole
particelle
descrivono
traiettorie
rettilinee
che
vengono deviate solo per effetto di una collisione con un’altra molecola gassosa.
Si ammette che il sistema termodinamico sia in stato stazionario con conservazione dell’energia interna nel tempo.
Lo
stato
successione
stazionario di
stati
e’
in
pratica
microscopici
fra
corrispondente loro
ad
differenti.
una Detti
stati microscopici sono tra loro equivalenti per ricondurre ad uno stato macroscopico, detto anche termodinamico. Le variabili di stato p, T e V devono ⦋Bernardini⦌ considerarsi valori medi del sistema rispetto al tempo e allo spazio.”
E’
bene
osservare
che
uno
stato
di
equilibrio
termodinamico
corrisponde ad un numero molto grande di microstati compatibili con i parametri di stato.
Nel caso piu’ elementare possibile un sistema di N particelle per i quali son possibili due differenti stati e’ 2` . La probabilita’ di un microstato e’ definibile come
la probabilita’ di trovare il sistema in un dato microstato in un dato istante di tempo.
E’
stato
sistema
osservato
che
termodinamico,
le
grandezze
come
fisiche
l’energia
di
stato
interna
o
di
un
anche
l’entropia, non siano rigidamente costanti nel tempo, neppure quando il sistema e’ in equilibrio.
Pertanto, in termodinamica statistica per una generica variabile di stato A viene considerato il valore di essa, associato ad un dato microstato α,
b.
Allo stato α e’ associata una probabilita’
b.
(Valgono i postulati del calcolo delle probabilita’).
Va osservato che la probabilita’ di un microstato puo’ essere intesa come la frazione di tempo nel quale il sistema e’ un dato microstato, valutato in relazione
ad
una
durata
piu’
ampia
rispetto
alla
scala
microscopica
dei
tempi.
Sia data una grandezza fisica riferita ad un assegnato sistema termodinamico.
Puo’ trattarsi di una qualunque variabile di stato, ad esempio l’energia interna o l’entalpia.
Anche
in
condizione
di
equilibrio
termodinamico
i
valori
di
dette grandezze non sono rigorosamente costanti.
Sia
cVD stato termodinamico cui corrisponda un valore
probabilita’
b
b
con
viene definito il valore medio indicato con <
>
come < Piu’
utilmente
si
> ≝ ∑f ef gf
utilizza
la
varianza
ad
indicare
fluttuazioni rispetto al valore medio che per definizione e’ Var(A) ≝ < (g− <
>)i >
le
Questa definizione si “interpreta” nel modo seguente:
Si considera la differenza tra una grandezza e il suo valore atteso. Detta quantita’ viene elevata al quadrato e quindi si calcola il valore medio di essa.
Si dimostra che < ( −<
>) > = <
> - <
>
Non infrequentemente si utilizza la grandezza σ(A) ≝S ]k( )
E’
ben
noto
che
valgono
le
regole
note
del
semplice
illustra
gli
aspetti
salienti
calcolo
delle
probabilita’.
Un
esempio
del
calcolo
delle
probabilita’ applicato alla termodinamica.
La sostanza delle cose e’ ben esemplificabile come segue. Se N particelle hanno energie comprese tra F4 " e F4
l
ci si chiede quante
particelle hanno energia compresa tra F e F + dE. Per fare cio’ e’ possibile dividere l’intervallo (F4 " , F4 l ) in intervallini di eguale ampiezza di “lunghezza” ΔE e determinare la frequenza relativa, ovvero il numero di particelle gassose che hanno energia compresa tra (F , F + ΔE) diviso il numero N delle particelle che compongono il sistema. n (F , F + ΔE) =
"M (oM ,oM J po) `
ove V (F
, F
+ ΔE) indica la frequenza assoluta, ovvero in numero delle
particelle gassose che hanno una energia compresa tra F
e F + ΔE.
La precisione e’ maggiore quanto piu’ l’intervallo e’ piccolo. Se si indica con q la frazione di particelle che hanno una energia inferiore a F
e se si indica con q J
inferiore
a
FJ
compresa tra F e
allora FJ
e’
la
la frazione di particelle che hanno energia probabilita’
di
trovare
particelle
di
energia
= Δq = q J - q = n ΔE
Esigenze di precisione impongono di ammettere il caso ΔE → 0. Considerando un numero molto grande di particelle N, dell’ordine di grandezza dei 10
, di puo’ ammettere che l’energia vari con continuita’.
Puo’ considerarsi quindi la frazione di particelle aventi energia minore di h ovvero la funzione F(h) continua avente derivata prima f(h) =
$
$u
F(h).
La funzione f(h) e’ detta funzione di distribuzione normalizzata. La probabilita’ che una particella abbia energia compresa tra F H F o Co
e’
o
= vo n(ℎ) ℎ
Se N e’ il numero delle particelle che compongono il sistema allora il numero delle particelle che hanno energia compresa tra i livelli F H F y
xyzCyi = { vy i |(})~} z
e’
4. Fattore
di
Boltzmann.
Equazione
fondamentale
dell’idrostatica.
Si
ammette
di
avere
un
sistema
termodinamico
in
equilibrio
termico con un termostato di temperatura T.
Generalmente ci si riferisce ad un gas perfetto nel campo di gravita’ g.
Se
il
gas
e’
in
un
recipiente
cilindrico
esso
non
e’
in
equilibrio termodinamico in quanto la pressione in esso non e’ uniforme a causa della tendenza delle molecole a collocarsi in basso per effetto della forza peso mentre l’agitazione termica spinge le molecole in agitazione anche verso l’alto.
Si ammette che la densita’ e la pressione siano dipendenti dalla quota, ovvero sia
μ = μ(z)
p = p(z)
Si ammette che lo strato mesoscopico di gas tra la quota z e la quota z + dz
Viene cioe’ introdotta la condizione di equilibrio termodinamico locale.
In definitiva si ammette che sia
μ = μ(τ)= cost1
p = p(τ)= cost2 ∀ • ∈ ⦋z, z+dz⦌ Il volume mesoscopico dV e’ dV = Sdz La massa corrispondente e’ dm(z) = μ(z)dV = μ(z)Sdz La quantita’ di materia contenuta in detto volume mesoscopico e’
dn(z) =
$4( ) 5
=
„( )^$ 5
Poiche’ il gas e’ in equilibrio e’ applicabile l’equazione di stato
p(z)dV= dn(z)RT
ovvero
p(z)Sdz =
„( )^$ 9 5
Questo consente di ottenere la relazione che collega la massa volumica (o densita’) e la pressione p(z).
Si ha immediatamente …(z) = Occorre livello
ora
considerare
macroscopico,
5
9
p(z)
l’equilibrio quindi
di
meccanico sistema
che
vale
a
termodinamico
complessivamente considerato.
Si
e’
considerato
il
caso
il
caso
di
un
sistema
gassoso
contenuto in un contenitore cilindrico.
I vettori f1 e f2 rappresentano le forze di pressione esercitate sulle facce del cilindro mentre g indica che il fluido e’ nel campo di gravita’.
Una delle possibili convenzioni formali e’ quella di imporre positive
le
forze
dirette
verso
l’alto
e
negative
quelle
di
verso opposto.
Poiche’ si e’ in condizioni di equilibrio meccanico si ha f1 + f2 + mg = 0 la forza peso risulta dmg = -μ(z)Sdzgu‡ quanto alle due forze di pressione si ha n = -p(z+dz)S u‡ n = p(z)Su‡ Pertanto si ha -p(z+dz)S ˆ‰ + p(z)Su‡ -μ(z)Sdzgˆ‰ = 0 Il passaggio agli scalari e’ immediato solo che si ricordi che deve considerarsi il modulo di -p(z+dz)S ˆ‰ + p(z)Sˆ‰ -μ(z)Sdzgˆ‰ ovvero |-p(z+dz)S ˆ‰ + p(z)Sˆ‰ -μ(z)Sdzgˆ‰ | = |-p(z+dz)S + p(z)S μ(z)Sdzg| |ˆ‰ | = 0.
Poiche’ |ˆ‰ | = 1 la condizione di equilibrio si riduce al caso sia
-p(z+dz)S + p(z)S -μ(z)Sdzg = 0 Essa e’ divisibile per S ≠ 0 avendosi -p(z+dz) + p(z) = μ(z)dzg
o meglio
p(z) -p(z+dz) = μ(z)dzg
ma sapendo che dp(z) = p(z+dz) – p(z)
risulta anche che
-dp(z) = μ(z)dzg
ovvero
dp(z) = - μ(z)dzg
Dividendo
per
dz
≠
0
si
ottiene
la
ben
nota
equazione
fondamentale dell’idrostatica che viene scritta come segue $ ( ) $
= - μ(z)g
Nasce
ora
l’esigenza
di
coordinare
trovata con la precedente …(z) =
5
9
questa
ultima
relazione
p(z)avendosi per questa via a
dover considerare la seguente $ ( ) $
= -
5= 9
p(z)
La grandezza
5= 9
= cost.
Pertanto si ha la seguente equazione differenziale semplificata formalmente ponendo p(z) = p $
5=
$
= -9 p
$
= -(cost)p
$
Si tratta di una equazione differenziale che puo’ essere scritta come $
$
+(cost)p = 0
Si ha Œ
p(z) = p(0)H C•Ž•• Si ricava anche μ(z)=
5
9
Œ
Œ
p(0)H C•Ž•• = μ(z) H C•Ž••
5. Interpretazione probabilistica
L’interpretazione
probabilistica
consiste
nel
trovare
la
probabilita’ che una molecola di gas si trovi tra le quote z e z + dz. Si usa abbondantemente la notazione exp(x) ≡ H l . Si parte dal numero medio di molecole che si trovano tra z e z + dz.
Integrando dN(z) =
`’ “0 ^$ 5
⦋exp(− &!' )⦌dz si ottiene il numero delle
molecole contenute tra la quota 0 e la quota h, avendo N = v
u
@(”) =
`’ “0 ^$ 5
La probabilita’
u
v ⦋H• (− &!' )⦌ ” =
`’ “0 ^$ 5
( 1 – exp(-
u
&!'
)
dp(z) e’ eguale alla ratio tra dN(z) e il
numero N delle molecole presenti tra z e z + dz.
dp(z) =
$`( ) `
=
&!' ( C–—˜ (C
™ ) •Ž••
exp(-&!' )dz
Viene al riguardo introdotta la costante di Boltzmann Q( . Risultano logaritmo.
infatti
i
seguenti
passaggi
nell’argomento
del
exp(-
&!'
) = exp(-
ove m’ =
5= 9
4š=
) = exp(-
3›
)
5
`’
La costante di Boltzmann Q( =
9
`’
e’ 1,381*10C
JR C .
Il risultato e’ che la probabilita’ per una molecola di trovarsi tra le quote z e z + dz e’ proporzionale al fattore (peso) di Boltzmann
H
C
oœ ( ) 3›
6. Sistemi quantizzati
E’ dato un sistema a temperatura T in equilibrio.
Se sono possibili un numero discreto di stati di energia allora deve essere che ∑
(F ) = ∑
H
C
•M žŸ›
= A∑ H
C
•M žŸ›
detta funzione di partizione. Poiche’ deve essere ∑
(F ) = 1 allora risulta A =
La probabilita’ (F ) eš molto semplicemente e(y¦ ) =
z
§
y
exp(-¨©¦ ) ª
F
= AZ, ove Z e’
Va ora definito e calcolato il numero medio di particelle che si trovano in uno stato quantizzato di energia data Ei
Il numero delle particelle di energia E1 e’ un valore atteso < @i > = Np(F )= N exp(−
oM
3›
) .
Per indicare le particelle (molecole del gas) si usa il termine popolazione. @ (t) fluttua attorno al valore medio. N (numero delle molecole complessivamente presenti).
A distinti stati quantici corrispondono distinte energie e vale la relazione ¬`- ®
= ¬` ® M
(o- ) (oM )
= exp (−
o- CoM W›
)
La variabile pilota e’ T, ovvero la temperatura. Le “popolazioni” sono circa eguali quando | −
o- CoM W›
Va ora definita l’energia media di una particella <F
>
| = 1.
In
modo
canonico
si
definiscono
la
varianza
e
lo
scarto
standard.
In
termini
statistici
per
energia
interna
deve
intendersi
lâ&#x20AC;&#x2122;energia media del sistema. Si ammette che F' ' = â&#x2C6;&#x2018;` F
.
In termini di valori medi si ha < F' ' > = N < F
>
Le particelle hanno tutte la stessa energia media (definita dal valore atteso). In definitiva U = < F' ' > â&#x2030;&#x2026; F' '
7. Teorema di equipartizione dellâ&#x20AC;&#x2122;energia
Si parte da una ipotesi detta approssimazione classica per la quale i vari livelli energetici sono talmente ravvicinati da essere considerati continui, nel senso che dato un livello di energia F si ammette esistente un livello energetico F + F .
Boltzmann ha definito la probabilita’ che una particella abbia energia compresa tra F e F + F . Essa e’ dp(F ) = Aexp (−
oM
3›
)g(F )dF
A e’ una costante detta di normalizzazione.
Vanno quindi considerati i gradi di liberta’ e in particolare i gradi di liberta’ quadratici.
Nel caso della molecola monoatomica si hanno per una particella (punto
materiale)
particelle coordinate
6N
sei
gradi
di
cartesiane
gradi
di
liberta’ e
le
liberta’ (per
tre
e
ogni
nel
caso
particella
componenti
scalari
di le
N tre
della
velocita’ v lungo le tre direzioni ortogonali).
In questo contesto nel dominio del tempo la posizione del punto P e’ data dal vettore P ≡ x(t)i + y(t)j + z(t)k e il vettore velocita’ vettoriale ³´ ≡ •µ (¶)¦ + ·µ (¶)¸ + ”µ (¶)© L’energia cinetica della particella si scrive, come noto,
F& " = La
m(⦋•µ (¶)⦌ + ⦋·µ (¶)⦌ + ⦋”µ (¶)⦌ )
conservazione
dell’energia
cinetica
(sicuramente
vera
per
ogni particella del fluido tra due successivi urti elastici) e’ sicuramente garantita dalle seguenti condizioni $
$
•µ (¶) =
$
$
·µ (¶) =
$
$
”µ (¶) = 0
Questo passaggio formale ha un significato fisico evidente. Si ammette che la particella
si
nuova
di
moto
rettilineo
e
uniforme
risultante di tre moti rettilinei (per i quali
$
$
•µ (¶) =
¹
in $
$
inteso
·µ (¶) =
$
$
come
la
”µ (¶) = 0 ) lungo
le tre direzioni.
Affinche’ la energia cinetica sia costante e’ necessario e sufficiente che sia $
$
⦋•µ (¶)⦌ + ⦋·µ (¶)⦌ + ⦋”µ(¶)⦌ )= 0 ovvero |v| = costante, ma astrattamente con v ≠
cost.
Fuori dalla ipotesi basica e pregiata
condizione
$
$
$
$
•µ (¶) =
$
$
·µ (¶) =
$
$
”µ (¶) = 0
la predetta
(⦋•µ (¶)⦌ + ⦋·µ (¶)⦌ + ⦋”µ (¶)⦌ )= 0, per la linearita’ della derivata, e’
garantita ad esempio dalla immediata condizione
$
$
⦋•µ (¶)⦌ = −
$
$
(⦋·µ (¶)⦌ + ⦋”µ (¶)⦌ )
Questo
ragionamento
ha
un
che
di
artificioso
perche’
imporrebbe
di
considerare un moto come risultante di due moti (lungo le direzioni y e z), ad esempio e ciclicamente.
Si dovrebbe trattare di una imposizione alquanto “innaturale”.
Nell’urto elastico le particelle si scambiano le velocita’.
In termodinamica statistica acquistano particolare importanza i gradi di liberta’ quadratici.
Un grado di liberta’ e’ detto quadratico se F
= aº
La
grandezza
+ E’
a
e’
una
costante
le
cui
dimensioni
fisiche
dipendono da º . Ammesso
che
λ
sia
una
velocita’
e’
possibile
dimensioni fisiche di a nel modo seguente ⦋F ⦌ = ⦋a⦌⦋º ⦌ da cui ⦋a⦌ =
⦋oœ ⦌
⦋½ ⦌
=
⦋oœ ⦌ ⦋½⦌
determinare
le
La
corrispondente
unita’
internazionale di misura e’
di ¾ ¿*# (
À ) •Á•
=
misura 3=À<••< (
À •Á•
À ) •Á•
di 4
=QÂ4
a
''
nel À ) •Á• À ( ) •Á•
(
Sistema = QÂ4
''
A meno di un fattore numerico (adimensionato) la costante a e’ misurata in QÂ4
''
.
La grandezza E’ e’ funzione degli altri gradi di liberta’.
Nel
caso
della
molecola
biatomica
rigida
si
ha
questa
rappresentazione, ove A e B sono gli atomi che la costituiscono posti a distanza L tra di loro.
d(A, B) = L
Nel caso sia
A
=
(
allora il centro di massa e’ nel punto medio
del segmento AB.
A
Fuori da questa ipotesi particolare, ovvero quando
≠
(,
deve
essere che il punto G (del segmento di estremi A e B) soddisfa la condizione (anche semplicemente scalare) seguente
A
IIII Ã+
IIII = 0
( ÃÄ
La relazione e’ inversa in modulo nel senso che 4’
4›
IIII Å(
= |-IIII | AÅ
Si ammette che l’energia delle particelle sia pari all’energia cinetica di esse, considerando quindi nulla quella potenziale in assenza di interazioni tra particelle.
Condizione preliminare e’ determinare G, ovvero le coordinate del centro di massa.
Rispetto al moto di traslazione rigida della molecola si ammette che
l’energia
cinetica
traslazionale
di
essa
sia
in
forma
canonica,
riferita
alle
coordinate
del
centro
di
massa,
necessitando l’introduzione di un deponente G.
Rispetto
a
tale
componente
della
energia
cinetica
si
puo’
ammettere che tutta la massa sia concentrata in G si cui devono conoscersi le coordinate.
E’ ben evidente che deve intendersi noto il rapporto
4’
4›
= k tra
le masse della molecola biatomica (in genere si potrebbe porre k = 1).
Nel caso piu’ generale possibile le coordinate sono influenzate dal rapporto reale k.
Risulta k =
Questa
IIII Å(
IIII Å( IIII AÅ
|-IIII|= AÅ
riflessione
considerando
che
puo’ i
essere
segmenti
riferita
del
rapporto
alle sono
tre
dimensioni
proiettabili
direzioni ortonormali ad avere i segmenti Ãl Äl , Ã) Ä) , Ã Ä e In questa logica (Ãl , Ã) à )= (•Å , ·Å , ”Å )
l Ãl ,
spaziali nelle
) Ã) ,
tre
Ã,
Per quanto detto si ha k =
Si avrebbe, ad esempio, k =
ÅÆ (Æ , AÆ ÅÆ
=
ÅÆ (Æ , AÆ ÅÆ
ÅÇ (Ç
AÇ ÅÇ,
=
=
ÅŒ (Œ
AŒ ÅŒ
l› ClÈ lÈ Cl’
→ k =
l› ClÈ lÈ Cl’
In questa ultima relazione l’incognita e’ •Å e si ha k(•Å −•A ) = •( −•Å ⇔ k•Å −Q•A = •( −•Å ⇔ k•Å + •Å = •( + Q•A → •Å =
Nel caso particolare k = 1
si ha •Å =
l› J Wl’ J
=
l› J Wl’ WJ
l› Jl’
Questa e’ la ben nota formula del punto medio di un segmento.
Riferendosi alle altre due direzioni e’ possibile scrivere le coordinate del punto G, il centro di massa che sono ( •Å =
l› J Wl’ WJ
, ·Å =
)› J W)’ WJ
, Ӂ =
›J W ’
WJ
).
Per capire le proiezioni seppur nel piano e’ bene riferirsi alla figura seguente
Il centro di massa e’ una media le cui coordinate sono interne a detti segmenti proiettati.
Nel
caso
del
gas
monoatomico
la
questione
e’
abbastanza
sbrigativa in quanto si puo’ ammettere che una particella di energia cinetica sia in media
III = mG
III III III = mG l + mG) + mG
kT, ove k
tra
gradi
e’ la costante di Boltzmann.
L’energia
cinetica
e’
equipartita
i
distinti
di
liberta’.
Vanno ora considerati gli sviluppi legati al moto di traslazione e di vibrazione della molecola biatomica.
In effetti, nel caso della molecola biatomica vi sono ulteriori gradi di liberta’ di natura rotazionale.
Questo disegno evidenzia i gradi di rotazione.
I due assi devono intendersi ortogonali.
Una ulteriore “complicazione” nasce dal fatto che le molecole non possono essere considerate rigide.
Si hanno quindi forze di richiamo dovute agli scostamenti dalle posizioni di equilibrio, proporzionali rispetto agli scostamenti che generano oscillazioni armoniche.
L’energia cinetica associata allo scostamento e’
k• . La costante k e’ detta
elastica.
Anche in questi casi si opera nella logica della equipartizione dell’energia e pertanto nel caso piu’ generale l’energia cinetica complessiva e’
FÊ =
III + m ∑bËl,), G b
∑bËl,),
IIII Í + Ì b b
IIII (∑bËl,), •III b Q + m ∑bËl,), G′b )
Per Maxwell l’energia cinetica di una particella e’ eguale a FÊ = n kT, ove K e’ la costante di Boltzmann. Nel caso della particella gassosa (molecola)monoatomica vi sono solo i tre gradi di liberta’ traslazionali, pertanto risulta ∑bËl,),
IIII Í Ì b b
= 0
(∑bËl,), III •b Q + m ∑bËl,), IIII G′b ) =0
E quindi si avrebbe FÊ =
III =3 kT m ∑bËl,), G b
Nel caso della molecola biatomica rigida si avrebbe FÊ =
III + m ∑bËl,), G b
con
due
soli
∑bËl,),
assi
di
IIII Í Ì b b rotazione
(ovvero
due
gradi
di
liberta’
rotazionali, avendosi che per α=z si ha Íb = 0). In questo caso si hanno cinque gradi di liberta’ (3+2) e pertanto l’energia cinetica complessiva della molecola risulta essere FÊ = 5 kT Gli
sviluppi
saranno
considerati
nel
secondo
numero
dedicato
alla
meccanica quantistica.
8. Distribuzione delle velocita’ delle molecole di un gas
Nell’ipotesi classica si ammette che la quantita’ di molecole gassose
aventi
velocita’
comprese
tra
determinati
limiti
sia
costante nel caso di uno stato di equilibrio, quando cioe’ le variabili macroscopiche non variano.
Si ammettono urti perfettamente elastici.
Viene definito n =
` %
detto anche densitaâ&#x20AC;&#x2122; di molecole.
Eâ&#x20AC;&#x2122; possibile introdurre lo spazio delle velocitaâ&#x20AC;&#x2122;.
Ad ogni particella di gas corrisponde un v = v(t)scomponibile nelle tre componenti.
Sia P lâ&#x20AC;&#x2122;estremo del vettore indicato.
Quelli indicato in rosso sono gli spigoli di una componente di volume elementare dV = dy*dx*dz
In
distinti
istanti
le
molecole
che
hanno
medesima
v
sono
certamente diverse, in quanto la velocita’ delle molecole varia ad ogni turno.
Ma si ammette sia costante nel tempo il numero n delle molecole per le quali n = n(v).
Ma piu’ ampiamente si ammette che sia costante nel tempo il numero delle molecole che hanno velocita’ compresa tra v e v + dv.
Detto numero e’ formalizzato come segue n(v)dGl dG) dG . La probabilita’ di trovare nel volume elementare considerato dV risulta essere "(Ï) "
dGl dG) dG
= n5 (v)dGl dG) dG
Con considerazioni analitiche rigorose Maxwell dimostro’ che la legge di distribuzione delle velocita’ e’ ponibile come n(v)dv = aH CÐ4
4G dv
ove a e b sono due costanti opportune.
Per
detta
funzione
deve
determinarsi
il
massimo,
in
corrispondenza del quale si ha la velocita’ piu’ probabile.
La velocita’ piu’ probabile v* e’ quella per la quale n(v)= max n(v).
Pertanto venne dimostrato che la velocita’ piu’ probabile v* e’ v* = √2Q
C
mentre la velocita’ quadratica media risulta GÒ¿
$. 4#$
= √3Q
C
9. Capacita’ termica a volume costante
L’energia interna di un sistema termodinamico costituito da una mole di gas monoatomico e’ U = @A < F
.
> = RT, ove R e’ la costante dei gas.
Il calore specifico molare Ô Ô
=
Õ
Õ
U =
Õ
Õ
( RT) =
Õ
RÕ
=
R
e’ per definizione
Nel caso del gas costituito da molecole biatomiche rigide il valore
dell’energia
interna
consente,
sempre
per
derivazione
(parzialmente rispetto a T), consente di ottenere il valore noto Ô
=
R
10.
Capacita’ termica a pressione costante
Per i gas monoatomici la capacita’ termica a pressione costante Ô
e’ legata al calore specifico a volume costante dalla seguente
relazione Ô
= Ô% + R =
Ö
R ʜ
Nelle applicazioni torna utile il rapporto λ = Ê ≈ 1,666. ×
Dal valore Ô Ô
= R + R =
= Ú
R.
R valido per le molecole biatomiche si ottiene
11.
Capacita’ termica dei solidi. Legge di Dulong e Petit.
La legge di Dulong e Petit, enunciata nel 1818, e una legge sperimentale applicata ai solidi.
Per essa si ammette che per temperature abbastanza elevate il calore specifico a volume costante risulta essere 6
W& *
W4!* 3
.
Una mole di un solido ha un numero di Avogadro @A di atomi. Il numero di gradi di liberta’ e’ 3@A . In
questi
casi
conta
l’energia
di
oscillazione
degli
atomi
attorno ad una posizione di equilibrio di minimo energetico.
Si
ammette
che
le
elongazioni
siano
piccole
e
le
forze
di
spostamento proporzionali rispetto ad esse.
L’oscillazione puo’ essere intesa come la risultante di tre moti armonici secondo tre direzioni ortogonali.
Nello studio delle vibrazioni si ebbe a scrivere che l’energia associata alla vibrazione e’ costituita da due componenti
III m ∑bËl,), G b +
FÊ = =0
+
0
+
∑bËl,),
(∑bËl,), •III b Q
IIII Ìb Íb +
(∑bËl,), •III b Q
G′b ) + m ∑bËl,), IIII
+ m ∑bËl,), IIII G′b )
= 3( kT + kT) = 3kT.
Nelle formule considerate k e’ la costante di Boltzmann il cui valore corrente e’ k = 1,3805*10C
2
3
Se da un atomo si passa al solido complessivamente considerato l’energia complessivamente considerata vale U = Û + 3@A kT.
APPENDICE SULLA PROPAGAZIONE DEL CALORE
1. Propagazione del calore
E’ noto dalla termodinamica che il calore e’ una modalita’ di trasferimento di energia che si realizza quando tra due sistemi termodinamici si ha una differenza di temperatura.
Il flusso di calore in condizioni naturali e’ sempre diretto dal corpo
(o
sistema)
a
temperatura
piu’
altra
ad
un
corpo
(o
sistema) a temperatura piu’ bassa.
Il trasferimento di energia nella modalita’ calore avviene per conduzione termica, per convezione o per irraggiamento.
2. Conduzione
La legge della conduzione termica e’ dovuta al fisico matematico francese Joseph Fourier (1882).
Il
trasferimento
di
energia
per
conduzione
e’
dovuto
collisioni intermolecolari o delle molecole contro la parete.
alle
Dagli studi termodinamici e’ noto che a maggiori temperature corrispondono
energie
cinetiche
medie
maggiori
rispetto
a
sistemi a bassa temperatura.
E’ sempre opportuno misurare le temperature in gradi della scala assoluta, detta scala di Kelvin, (°K).
3. Convezione
La seconda modalita’ e’ costituita dalla convezione termica. Il fluido riceve energia dal sistema caldo e la cede al sistema freddo.
La convenzione e’ naturale quando il movimento del fluido e’ dovuto
alla
“naturale”
differenza
di
temperatura
tra
i
due
sistemi.
A volte il movimento del fluido, per esempio aria, puo’ essere dovuto
ad
una
causa
convezione forzata.
esterna.
In
questo
caso
si
parla
di
4. Irraggiamento
Vi
e’
un
ulteriore
modo
di
trasferimento
di
energia
nella
modalita’ calore, ovvero l’irraggiamento che puo’ avvenire anche nel vuoto. Esso e’ schematizzabile come segue emissione da un sistema 1 → propagazione dell’energia (anche nel vuoto) → assorbimento di energia da parte del sistema 2. Esso puo’ avvenire nei due sensi.
L’irraggiamento
elettromagnetico
dipende
“fortemente”
dalla
temperatura.
5. Corrente, densita’ flusso.
Occorre
partire
dalla
conduzione,
osservando
che
il
trasferimento di energia sotto forma di calore e’ spiegabile nei termini
di
una
corrente
termica
in
un
sistema
fisico
a
temperatura non uniforme. Il sistema termodinamico non e’ in equilibrio termico, quindi non e’ in equilibrio.
La notazione T(x, t) definisce la temperatura di un punto x al tempo t.
Assegnato
un
punto
x
e’
possibile
considerare
una
areola
elementare dSx .
E’ possibile considerare un vettore n normale a detta superficie elementare.
Viene definito un vettore j(x, t) detto densita’ di corrente termica.
Detto vettore indica la direzione del trasferimento del calore.
La quantita’ di calore che si trasferisce attraversando l’areola dSx la si indica con il formalismo Ý Q seguente prodotto scalare
ed e’ definita dal
Ý Q = j(x, t)* ndSxdt Ý Q = 0 se e solo se i due vettori sono perpendicolari tra loro Ý Q > 0 se il trasferimento dell’energia avviene nel senso del vettore n Ý Q < 0 se il trasferimento dell’energia avviene nel senso del vettore n.
Misurando il calore in jaule (J) con una elementare riflessione di analisi dimensionale si dimostra che il vettore densita’ di corrente termica di misura, nel S.I., in JÞH
C
C
≡ W
C
.
Detta in termini semplici questa grandezza indica quanti jaule fluiscono attraverso una superficie di un metro quadrato in un secondo.
Occorre
considerare
ora
una
ulteriore
grandezza
fisica
rilevante, il flusso termico.
Anche in questo caso si ha a che fare con una grandezza scalare.
Essa ha le dimensioni fisiche di una potenza.
Nel S.I. si misura in watt (W).
Il flusso termico si indica con la notazione dΦ =
à á $
= j(x,t)* ndSx
6. Legge di Fourier della conduttivita’ termica
La formulazione di questa legge fenomenologica e’ semplice e cosi’ sintetizzabile j(x, t) = - λgradT(X, t)
In essa compare l’operatore gradiente. Dato un campo scalare, quale e’ quello delle temperature il gradiente e’ un campo vettoriale.
Il
vettore
grad(.)
e’
ortogonale
alle
superfici
equipotenziali
del
campo
scalare ed orientato nel verso delle T crescenti.
Si dice che il gradiente e’ una funzione intrinseca, ovvero indipendente dalla scelta del sistema delle coordinate anche se la sua espressione varia a seconda del tipo di coordinate che si considerano.
Ci si limita, stanti i contenuti sintetici di questo elaborato, a considerare l’espressione del gradiente utilizzando le coordinate cartesiane ortogonali nello spazio ¹ .
Sia assegnata una funzione scalare U(x,y,z) per la quale si possa scrivere
dU =
Õâ
Õl
•+
Õâ
·+
Õ)
Õâ Õ
dz
Ragionando per componenti si ha Õâ
Õl
•+
Õâ Õ)
·+
Õâ Õ
dz = (Âãä~Ûl ) •
+ åæãä~Û) ç ·
+ (æãä~Û )dz
Il gradiente di una funzione e’ una grandezza vettoriale che, in coordinate cartesiane ortogonali, viene cosi’ definito
gradU =
Õâ
Õl
èé +
Õâ Õ)
èê +
Õâ Õ
èë
(èé , èê , èë ) sono i versori ortonormali di componenti (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1).
Poiche’ solitamente si opera nelle tre dimensioni dello spazio euclideo X deve essere inteso come un punto di esso e quindi X ≡ (x, y, z), essendo queste ultime le coordinate cartesiane di detto punto.
Trattandosi della legge di Fourier ci si riferisce ad un campo scalare di temperature T(X).
In un intorno I di X la legge di Fourier si scrive ì¨
j(I,t) = - λ ìé èé
In essa compare una grandezza positiva λ detta conduttivita’ termica tipica del dato materiale, misurata in í
In
essa
il
segno
meno
al
secondo
C
RC .
membro
formalizza
convenzionalmente l’evidenza empirica che il calore fluisce da regioni piu’ calde a regioni a T minore.
E’
stato
osservato
⦋1⦌
che
la
legge
di
Fourier
non
ha
un
fondamento teorico non e’ quindi dimostrabile e non e’ vera in generale.
Deve
osservarsi
che
λ
dipende
dal
materiale
che
si
considera
e
dalla
temperatura.
Solitamente la conduttivita’ termica non dipende dalla particolare direzione spaziale (isotropia) anche se non mancano eccezioni, quali la grafite.
La figura sottostante ben evidenzia gli ordini di grandezza per essa.
In viola e’ evidenziato l’ordine di grandezza della conduttivita’ termica dei metalli puri solidi. In azzurrino e’ evidenziato il range relativo ai solidi non metallici. Per i gas l’ordine di grandezza e’ dei 10C
í
C
RC .
Essa varia con la temperatura.
7. Bilancio termico locale in una dimensione
Per semplificare la trattazione matematica si ammette che il gradiente di temperatura sia riferito ad una sola direzione, ad esempio quella delle x.
Con riferimento ad un intorno del punto x si ha gradT =
Õ
Õl
èé .
Õ
Dalla legge di Fourier si ha j(I,t) = - λ Õl èé Riferiti alla direzione x i vettori j(x,t) e j(x+dx, t) hanno ovviamente la medesima direzione del vettore unitario (1,0,0).
Graficamente si ha la seguente situazione
Il trasferimento termico in ingresso attraverso la sezione di ascissa x Ýîl = j(x,t)ˆï Sx dt = |j(x,t)|Sxdt
Il trasferimento termico della faccia di uscita e’ ÝîlJ$l = j(x+dx,t)(-ˆï )Sx dt = - |j(x+dx,t)|Sxdt
Il trasferimento termico totale e’ Ýîl + ÝîlJ$l = (|j(x,t)|- |j(x+dx,t)|) Sxdt A questo punto e’ possibile osservare che
Ýîl + ÝîlJ$l = -
Quando
il
Õ
Õl
¸(•, ¶)Sdxdt
lavoro
e’
nullo,
il
primo
principio
termodinamica, come e’ noto, assume la forma semplice ∆U = ΔQ Per variazioni infinitesime si ha dU = ÝQ Poiche’ si ha dU = μc Dalla dU = ÝQ si ha
Õ (l, ) Õ
μc
Sdxdt
Õ (l, ) Õ
Sdxdt = -
Õ
Õl
¸(•, ¶)Sdxdt
ovvero
μc
Õ (l, ) Õ
= -
Õ
Õl
¸(•, ¶)
e in definitiva
μc
ì¨(é,ñ) ìñ
+
ì
ìé
¸(é, ñ) = 0
della
μ e’ la massa volumica (densita’), c e’ la capacita’ termica massica.
Questa ultima relazione e’ detta equazione locale del bilancio termico in una dimensione.
8. Equazione di diffusione termica in assenza di sorgenti
Dato un solido cui e’ associato un campo di temperatura T(I, t) riferito ad una sola dimensione x.
La precedente equazione μc
òó(—,ô)
ò
+
òô
ò—
j(x, t) = 0 e’ immediatamente
riscrivibile con la sostituzione della legge di Fourier in forma Õ
Õ (l, )
scalare j(x,t) = - λ Õl avendo μc ottiene agevolmente
μc
Õ (l, ) Õ
= λ
Õ
(
Õ
Õ
Õl Õl
+
Õ
Õ
(− º Õl ) = 0 da cui si Õl
).
Questa relazione viene solitamente scritta come segue ì¨(é,ñ) ìñ
=
ö ì
(
ì¨
÷ø ìé ìé
)
Questa equazione e’ detta equazione di diffusione termica.
La grandezza a =
½
„&
e’ detta diffusivita’ termica ed e’ tipica del dato
materiale.
Essa e’ misurata in
ÞH
C
.
Per gli sviluppi successivi e’ necessario introdurre la nozione di laplaciano scalare.
In coordinate cartesiane il laplaciano scalare e’ scritto come segue
L =
Se
ci
si
riferisce
ad
ùi ú ùéi
una
+
ùi ú ùêi
+
sola
ùi ú ùëi
coordinata
l’equazione
di
diffusione termica in una dimensione diviene ì¨(é,ñ) ìñ
Nel
caso
piu’
generale,
in
=
tre
ö ùi ¨
÷ø ùéi
dimensioni
diffusione termica viene scritta come segue
ì¨ ìñ
=
ö
ùi ¨
ùi ¨
ùi ¨
( + + ùëi ) ÷ø ùéi ùêi
l’equazione
della
9. Legge di Newton. Solido in contatto con un fluido.
Si considera il flusso termico elementare passante da un solido ad un fluido attraverso una superfice dS.
La relazione di Newton del raffreddamento e’ la seguente dΦ = h(T(t) - ¨| ) dS Il flusso e’ solido → liquido. La
costante
k
e’
una
costante
detta
coefficiente
di
trasferimento termico di superfice.
Essa viene misurata, nel S.I., in W In essa per h → +∞
10.
C
RC
.
si ammette immediatamente T(t) -
ü
→ 0.
Campo di temperatura in regime stazionario
Viene definito stazionario il regime nel quale
1) la temperatura T(x,t) non dipende dal tempo t; 2) il vettore densita’ di corrente termica j(x,t) non dipende dal tempo.
In regime stazionario si ha Õ (l, )
= 0
Õ¸(l, )
= 0.
In
un
Õ
Õ
campo
di
temperatura
in
regime
stazionario
trova
applicazione l’equazione di Laplace per la quale ùi ¨ ùéi
+
ùi ¨ ùêi
+
ùi ¨ ùëi
= 0
Se, con il solito intento semplificativo, si considera il caso
unidimensionale detta equazione diviene
sia
Õ
Õl
à
àl
= 0 il che impone
sia una costante, posta eguale ad A.
Poiche’ la temperatura dipende esclusivamente dalla coordinata allora si puo’ porre $
$l
= A.
Da
questa
derivata
indefinitamente
si
conduce
ottiene a
v
=
dT
=
v
•
Adx +
B,
che ove
integrata B
e’
la
con
un
costante di integrazione.
Si ha
v
v • + B
=
In termini di integrazione definita si ha (l ) 0)
v (l
(• ) -
l
= A vl
0
• ovvero
(• ) = A(•
-• )
Anche se inelegantemente si puo’ scrivere
T(x) -
(• ) = A(x -• ) ovvero
T(x) = A(x - • ) + Per x tale che •
La
relazione
tra
(• ) < x < x1 si ha
le
grandezze
(l) l
e’
= A
studiabile
semplice ragionamento geometrico.
Esso e’ desunto a partire dalla seguente figura.
anche
Da essa si ottiene
C 0
l Cl0
=
C 0
l Cl0
da cui
( − )( • −• ) = ( − ) L ( − )= T =
(
C 0 )( l Cl0 ) :
(¨z C¨ý )( é Céý ) þ
da cui
+ ¨ý
In essa T = T(x) per x ∈ (• , • )
In genere ⦋ 1⦌ la T = T(x) viene posta, ammettendo • seguente forma T(x) =
(¨z C¨ý ) þ
x + ¨ý
= 0 nella
(al di la’ del grassetto usato si tratta di grandezze scalari)
11.
Occorre
Resistenza termica
considerare
il
caso
di
due
sistemi
separati
da
un
conduttore termico di cui e’ nota λ. Il conduttore termico non contiene fonti di calore.
Si ammettono valide le condizioni di “tempo invarianza” tipiche del regime stazionario.
I due sistemi 1 e 2 sono a differente temperatura (condizione per la quale si possa avere uno scambio termico, attraverso il conduttore termico c.t..).
Lo scambio termico avviene da 1 a 2 quando la temperatura di 1 e’ maggiore di quella di 2.
Occorre a questo punto introdurre la definizione di resistenza termica nei seguenti termini
ó Có
¹u ≝
→
La resistenza termica viene misurata in í C K. Ulteriore
grandezza
utilizzata
e’
la
conduttanza
termica
definita come Ãu =
9•™
Il caso sicuramente piu’ semplice e’ costituito dal flusso ortogonale a due superfici piane parallele (come due pareti di un cubo, ad esempio…). La distanza tra esse e’ L.
I risultati ottenuti nei paragrafi precedenti consentono di scrivere
T(x) =
j = -λ
+
$
$l
essendo
C 0 x :
ˆï = λ >
C 0 ˆï :
.
Formalmente il flusso e’ formalizzato come segue Φ
→
= ∬
∈^
¸( )d (´z ) = λ
C 0 ˆï Sèé :
= λ
C 0 S :
Il flusso in questo caso e’ dato dalla formula seguente
Φ
→
=λ
C 0 S :
Per essa si ottiene il valore della resistenza termica, che risulta
¹
u
≝
ó Có →
12.
=
½^
C
ž
ž
=
:
½^
Serie e parallelo di resistenze termiche
Si puo’ partire dal primo caso ovvero quello costituito da due sistemi
a
distinta
temperatura
separati
da
due
conduttori termici in serie secondo lo schema seguente.
distinti
I due conduttori termici distinti A e B sono modellizzati come fossero due resistenze termiche in serie con un flusso termico dal sistema 1 al sistema 2 quando T1 > T2.
Tj e’ la temperatura della giunzione.
Dalla definizione di resistenza termica risulta immediatamente che − ¾−
¾
=¹
u,A
→
=¹
u,(
→
Sommando membro a membro si ottiene ( − ¾ ) + ( ¾ − )= ¹ − ¹
=
u ,#Ò¿
= ¹
→
(¹
u,A
u,A
+ ¹
u,A
+ ¹
→
+¹
u,(
→
u,( )
u,(
Il calcolo di Tj ovvero della temperatura della giunzione viene fatto ⦋1⦌ utilizzando il metodo del partitore di tensione. In
ogni
caso
un
approccio
“alternativo”
potrebbe
essere
il
seguente.
Per quanto sopra scritto e’ anche possibile pervenire al calcolo di detto valore con i passaggi seguenti
C -C 0
=
9’
9›
¹( ( − ¾ ) = ¹A ( ¾ − )
R T +R T =
Questa
2 (¹A
¹(
− ¹(
= ¹A
¾
− ¹A
¹(
+ ¹A
= ¹A
¾
+ ¹(
T =
ó J
+ ¹( )
rappresentazione
“circuitale”
¾
fisica
J
ó0
ha
il
seguente
equivalente
Le
resistenze
considerate
sono
idealitaâ&#x20AC;&#x2122;
che
esprimono
la
resistivitaâ&#x20AC;&#x2122; termicaâ&#x20AC;Ś
Sempre nel caso sia B
si
avrebbe
una
>
ma invertendo i conduttori termici A e
distinta
risulterebbe la seguente
rappresentazione
circuitale
che
In questo caso si e’ indicato con
′¾ la temperatura di giunzione.
In questo caso si puo’ scrivere
− ′¾ = ¹( ′¾ −
= ¹A
→ →
Anche in questo caso, dividendo dette relazioni membro a membro si ottiene − ′¾ ¹( = ′¾ − ¹A E quindi, dopo semplici passaggi, si ottiene
¨š¸ =
g ¨z J ª ¨ý gJ ª
Giova osservare che, in generale, risulta
¾
≠
š ¾.
Riflessioni analoghe possono farsi per il caso sia dato un Sarebbe il caso in cui
>
.
→
.
Occorre ora considerare il caso delle resistenze termiche in parallelo. Questa
semplice
rappresentazione
ben
illustra
i
contenuti
seguenti.
Il
flusso
temperature
termico sotto
dal la
sistema
1
condizione
al
sistema
>
puo’
2
a
distinte
essere
inteso
linearmente come la somma di due flussi uno passante per il conduttore termico A ed uno per il conduttore termico B. Detto
flussi,
inversamente A
+
denotati
rispettivamente
proporzionali
a
¹A H ¹(
come
sotto
(.
Per i dati vincoli di temperatura risulta che C 0
A
=
9’
(
=
9›
C 0
il
A
H
vincolo
(,
sono →
=
E’ possibile sommare membro a membro avendo
+
A
(
= (
−
)(
9’
+
9›
)
E’ anche possibile scrivere =
→
9Á
C 0
M×
Fino a questo punto ¹#Ò¿
deve intendersi alla stregua dia una
grandezza incognita. Giova osservare che =
→
+
A
(
⇔(
−
)( 9 + 9 ) = ’
›
9Á
C 0
M×
E’ possibile dividere ambo i membri per
9’
+
9›
=
9Á
9› J9’
=
Nel
caso
9’ 9›
9Á
−
≠ 0 avendo
M×
M×
⟹ ¹#Ò¿
si
=
9› 9’
9’ J9›
resistenze
termiche
in
parallelo
termica equivalente e’ data dalla seguente formula
la
resistenza 観
=
ª g
gJ ª
.
13. La
Interfaccia solido-fluido
situazione
e’
modellizzabile
a
partire
dal
caso
fisico
seguente.
Per le condizioni di temperatura poste si ha un flusso da 1 a 2 attraverso il solido S.
Si ammette nota la conduttivita’ λ del solido. →'!* $! →
quando
>
.
Entro il solido per x ∈ (0, L) si ammette sia L(x)= Ax + B Le costanti di Newton per i fluidi 1 e 2 sono, rispettivamente ℎ H ℎ
ragion per cui sono valide le seguenti condizioni al limite
j(0) = ℎ (
− (• = 0))
j(L) = ℎ (T(x = L)-
)
Credo sia utile considerare la relazione lineare T(x) = Ax + B da cui T(x) – B = Ax ovvero A =
Dall’ultimo
(l)C( l
graficabile in un sistema di ascisse come segue
passaggio
viene misurata in K
C
algebrico
si
evince
che
la
costante
A
. $
In generale risulta j(x) = -λ
$l
= - λA
quindi j(x) ben puo’
considerarsi una costante. Pertanto le due precedenti relazioni per j(0)e per j(L) possono essere riscritte come segue - λA =
ℎ (
− Ä ))
- λA = ℎ (AL + B -
)
Nella manualistica consultata ⦋1⦌ ho rinvenuto una formula per il valore di A < 0.
Essa risulta essere A = -
¨z C¨ý ö ö Jþ J }z }i
A tale risultato si puo’ pervenire esplicitando il valore B dato dalla
ℎ (
- λA =
− Ä ))
, ℎ ) e
e detto B = B(λ, A,
sostituito nella - λA = ℎ (AL + B -
).
Il testo citato ⦋1⦌ non lo dice esplicitamente ma la sostanza delle cose e’ quella rappresentata.
Dal
valore
→'!* $! →
™
di
A
e’
possibile
sapendo che
→'!* $! →
ricavare
il
valore
del
= j(0)S = - λAS = - λ(-
flusso C 0
™
J: J
)S =
™
C 0 J J
™
La
quantita’
u
:
+ ½^ + u ^
^
e’
la
resistenza
termica
equivalente
relativamente al flusso dal fluido 1 al fluido 2 passando per un dato solido. Va considerato entro quali limiti e’ accettabile la condizione → Ë
C 0 9
Detta relazione e’ ammissibile quando variano con τ ≥
:
e
lentamente
.
14.
Irreversibilita’ della trasmissione del calore
Il fenomeno della trasmissione del calore e’ irreversibile e come tale contestualmente alla trasmissione del calore si crea entropia. Si dimostra che l’entropia creata e’ δS =
½
Questo
Õ
( ) Adxdt Õl
punto
ulteriori
dovrebbe
nell’ipotesi
termodinamico.
essere di
un
oggetto
successivo
di piu’
approfondimenti ampio
elaborato
APPENDICE SULLA CONSERVAZIONE DELLA QUANTITA’ DI MOTO
1. Conservazione della quantita’ di moto in riferimento alla teoria cinetica dei gas
Nell’ambito della teoria cinetica dei gas ricordavo che “Gli urti tra le molecole del gas e tra queste e la parete sono perfettamente elastici. Se si ipotizza un urto centrale tra due particelle si ha questa situazione nella quale si conserva la quantita’ di moto.
La quantita’ di moto pre-urto e’ m(G
,
− G , ).
Dopo che e’ intervenuto l’urto si ha questa situazione
(ove il pedice f indica un valore finale, che perdura fino ai successivi urti…). La quantita’ di moto post-urto puo’ essere scritta come segue
,ü
m(G In
− Gb,ü ) applicazione
del
principio
di
conservazione
della
quantita’ di moto deve essere m(G
,
− G , ) = m(G
,ü
− Gb,ü ) ⟺ (G
,
− G , ) = m(G
,ü
− Gb,ü )
Risulta quindi che G, = G G
,ü
= Gb,ü
,
definisce la particella 2 che dopo l’urto si allontana. definisce la particella 1 nel post-urto.
Si e’ evidenziato che in detto urto elementare le particelle si scambiano le velocita’.”
Gli
urti
considerati
sono
perfettamente
elastici
e
assolutamente coerenti con la conservazione dell’energia. Questa, data la conservazione della quantita’ di moto, e’ conservata ex se in quanto le particelle del gas hanno la medesima massa.
Ove si ammettesse lo scambio delle velocita’ per corpi aventi distinta massa, non sarebbe conservata l’energia (cinetica) pre e post urto. Nell’elaborare (quello
il
relativo
riferimento
al
numero alla
caso
precedente
di
Termodinamica) piu’
ampio
di
Appunti
avevo
matematici
impostato
conservazione
con
della
quantita’ di moto per un urto tra particelle che si muovono nello spazio con velocita’ vettoriali ³g e ³ª . Se
si
considera
destrorsa
lo
un
urto
scambio
centrale delle
rispetto
velocita’
ad
una
puo’
terna essere
rappresentato come segue.
I vettori disegnati in blu rappresentano le velocita’ delle due particelle A e B prima dell’urto.
Si
ha
GA, =
(GA,l , GA,) , GA, )
e
G(, =
(G(,l , G(,) , G(, )
(prima
dell’urto). Il pedice i indica una condizione pre urto, mentre il pedice f indica una condizione post urto. Dopo l’urto le velocita’ sono scambiate. In effetto un urto in
tre
dimensioni
puo’
sempre
essere
pensato
come
la
composizione di tre urti secondo tre distinte direzioni, x, y e z. Pertanto si ha GA,ü = (G(,l , G(,) , G(, ) ed anche G(, = (GA,l , GA,) , GA, ) Se le masse delle particelle sono eguali la conservazione dell’energia consegue alla conservazione della quantita’ di moto lineare. Sono indicati in rosso i vettori delle velocita’ post urto.
Ritornando al caso di urto in una sola dimensione e’ coerente con la conservazione della quantita’ di moto il caso di un urto con scambio delle velocita’
con
velocita’
iniziali
che
hanno
presupposto che sia GA > G( o addirittura GA ≫ G( .
lo
stesso
verso
e
nel
La figura seguente evidenzia una situazione del genere.
Anche in questo caso la conservazione della quantitaâ&#x20AC;&#x2122; di moto e dellâ&#x20AC;&#x2122;energia sono coeve, per il fatto che le due particelle hanno la medesima massa.
BIBILIGRAFIA ESSENZIALE
Si rimanda alle indicazioni bibliografiche indicate nei numeri 22, 23 e 24 degli Appunti matematici, in quanto citati nella presente ricerca e, ulteriormente:
⦋1⦌ Physique tout-en-un, MP, MP*, Dunod, 2014, Paris
PROPRIETA’ LETTERARIA
Questo saggio non ha finalita’ commerciali o lucrative. Ne e’autorizzata la divulgazione, anche totale, a condizione che essa non abbia scopi commerciali o lucrativi e che avvenga con la
precisa
dell’opera.
citazione
dell’autore
e
del
soggetto
diffusore
pubblicazione a cura di Pascal McLee
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