Appunti Matematici 25

Patrizio Gravano

APPUNTI MATEMATICI

TERMODINAMICA STATISTICA numero 25 - gennaio 2017

INTRODUZIONE

Questo elaborato conclude un “trittico” chimico-fisico avviato nel n. 23 con le note di chimica e con il successivo elaborato, il n. 24, dedicato alla termodinamica teorica.

Rispetto a questi due importanti ambiti decisi di limitarmi alle parti essenziali, seppure cercando una certa originalita’ che, credo, presente in piu’ punti.

Negli

stessi

dedicato

termini

alla

ho

impostato

termodinamica

di

fare

statistica,

per

questo

numero

disciplina

di

fondamentale importanza negli studi fisici.

Mi sono limito agli elementi piu’ semplici della disciplina, spedando

che

questa

sintesi

possa,

a

qualcuno,

risultare

di

qualche utilita’.

Ho cercato anche in questa ardua occasione una sintesi originale e spero esaustiva, seppure entro i limiti che mi ero prefissato.

Una

parte

propagazione

conclusiva, del

invero

calore

e

sintetica, una

breve

e’

dedicata

nota

riguarda

alla la

conservazione della quantita’ di moto.

Patrizio Gravano www.patriziogravano.com patrizio.gravano@libero.it

1. Termodinamica statistica

La

termodinamica

statistica

e’

una

teoria

che

consente

di

prevedere le proprieta’ di un sistema termodinamico a partire dalle proprieta’ microscopiche degli elementi costituitivi della materia, ovvero atomi, molecole, etc..

E’

sicuramente

utile

fare

un

breve

excursus

su

nozioni

che

dovrebbero essere ben note, quali quelle relative alla teoria cinetica dei gas.

2. Sintesi sulle leggi dei gas

Si

riportano

per

comodita’,

in

sintesi,

alcune

nozioni

essenziali relativi alla teoria dei gas.

“13. Le leggi dei gas e l’equazione di stato

I gas possono essere descritti come sistema fisico conoscendo tre variabili fondamentali, la temperatura, la pressione e il volume.

Le leggi che vengono introdotte attengono a gas ideali, detti perfetti, caratterizzati da particelle (in genere molecole) che hanno,

complessivamente

rispetto

a

quello

perfettamente velocita’,

del

elastici,

dall’assenza

considerate,

un

contenitore,

caratterizzate

che di

volume

importano forze

lo

attrattive

trascurabile da

scambio o

urti delle

repulsive

intermolecolari.

Pressione, volume e temperatura sono le tre variabili cruciali e le

tre

leggi

dei

gasi

mettono

in

relazione

due

di

queste

grandezze, mantenendo costante la terza grandezza.

La prima legge, anche in ordine cronologico di scoperta, e’ la legge di Boyle, che mette in relazione pressione e volume a temperatura costante.

Si ha pV = costante per una data temperatura.

Una seconda modalita’ di scrittura della legge di Boyle riferita a T costante e a periodi di tempo diversi e’ la seguente =

Una

ulteriore

relazione

e’

quella

della

prima

legge

di

Gay

Lussac per la quale si ha =

(1 + t)

(…) si ammette sia costante la pressione.

La

grandezza

α

=

,

e’

una

costante

detta

coefficiente

di

dilatazione.

Piu’ concisamente la prima legge di Gay Lussac viene scritta cme segue V = kT

(p costante)

o, anche

=

Questa e’ nota anche come legge di Charles, colui che per primo la comprese… non pubblicandola.

Per

il

volume,

inteso

come

grandezza

distinte unita’ di misura, il litro L e il

La relazione e’ 1 L = 1

.

fisica, .

esistono

due

Astrattamente nel S.I. di misura l’unita’ di volume e’ il metro cubo,

.

Una relazione a volte utile negli esercizi e’ la seguente

1 mL = 1

.

Si ha, quindi, una seconda legge di Gay Lussac per la quale risulta = nche

(1 + t) la

seconda

legge

di

Gay

Lussac,

ha

una

formulazione

ulteriore ma equivalente, ovvero =

= k’

(V cost.)

Poiche’ per la pressione p esistono differenti unita’ di misura e’ bene indicare la corrispondenza tra le varie unita’ di misura in termini di equivalenza

1 atm = 101325 Pa = 1.013 bar = 760 mmHg

Essa

e’

particolarmente

utile

per

i

passaggi

di

unita’

di

misura.

Ad esempio per avere un bar bastera’ dividere le altre grandezze per

1,013

etc.,

per

avere

le

corrispondenze

tra

unita’

di

misura.

E’ opportuno considerare come unita’ di misura della pressione il pascal, Pa, in onore di B. Pascal, in quanto e’ l’unita’ di misura

della

pressione

nel

Sistema

internazionale

di

misura

(S.I.).

Si ha una pressione di un pascal quando viene esercitata una forza omogena di 1 newton su una superficie di un

.

Da una autorevole lettura ⦋Ageno⦌ ho rinvenuto una formulazione poco nota detta equazione di stato dei gas ideali nella seguente formula

=

(1 + t)

questa equazione si perviene per step.

In primis, si parte dalla legge di Boyle, quindi si fa variare la pressione come segue !"# $ %

&!'

" # ((!)*#)

!"# $

&!" % &!'

" #

,---------------------------. p’V ,-----------------------. p = p’(1 + t) ⇔ = p’V

Deve

⇔ p’ =

essere

0 %0

%

⇒ p =

0 %0

%

⦋Ageno⦌

ricordato

(1 + t)⇔

che

da

=

α

=

(1 + t)

,

si

ottiene

una

ulteriore, piu’ familiare, equazione di stato dei gas perfetti nella forma =

0 %0

,

(273,2 + t) =

0 %0

,

quando si utilizza per le temperature la scala termodinamica detta anche scala termometrica Kelvin.

Nella sua costruzione si tiene conto della relazione

T =273,2 + t

Ove T indica la misura in gradi Kelvin (K) e t indica la misura in gradi centigradi o Celsius (C).

Gia’ dalla relazione T =273,2 + t si evidenzia che per t =-273.2 risulta T = 0.

Detto valore e’ chiamato zero assoluto.

Risulta anche che ΔK = ΔC

Nel caso di raffreddamento gia’ prima di detto valore le leggi dei gasi perfetti cessano di avere valore di legge fisica.

Sovviene ora il fondamentale principio di Avogadro, per il quale “volumi

eguali

di

gasi

diversi,

nelle

stesse

condizioni

di

temperatura e di pressione, contengono sempre lo stesso numero di molecole”.

Una

grammomolecola

condizioni

di

di

un

pressione

gas e

di

reale

qualunque

temperatura

nelle

occupa

il

volume.

La conseguenza e’ immediata.

Si ha

0 %0

,

= 8,315

2

3 4!*

= R = costante dei gas.

Per una mole di gas si ha

PV = RT

Quando si hanno n moli di gas l’equazione assume la forma

PV = nRT

medesime medesimo

Questa

ultima

viene

scritta

contenente il parametro

4 5

in

una

forma

piu’

operativa

che indica un numero non intero di

moli in quanto rapporto tra la quantita’ di gas espressa in grammi e il peso molecolare in grammi.

Quando m e’ un multiplo di M allora si ha un numero intero di moli n (vedi la precedente equazione), mentre in genere detta ratio

potrebbe

essere

non

intera

e

al

limite

dovrebbe

poter

essere m < 7.

Per una quantita’ assegnata, e quindi in relazione ad ognuna delle tre distinte formulazioni dell’equazione di stato dei gas perfetti e’ possibile scrivere l’equazione di stato come segue

=

Essa e’ riferita a due periodi 1 e 2 distinti.

La legge di stato dei gas ha un corollario evidente quando si imponga, come solitamente avviene, che la quantita’ di gas, n,

resti constante e parimenti costante sia il volume V entro cui e’ confinato il gas.

Da pV = nRT si ottiene p =

"9 %

9

= n T = kT %

Viene definito il concetto di stato di un gas.

Lo stato del gas e’ definito quando sono noti i valori delle tre grandezze, ovvero quando sono note (V, p, T).

A livello avanzato, come risulta dalla termodinamica, sono state introdotte ulteriori variabili di stato quali l’entalpia, l’entropia oltre alle funzioni di Gibbs e von Helmholtz.

Va sottolineato che delle tre e’ necessario conoscerne due, una delle quali resta costante, per ottenere univocamente la terza (ovvero il valore della terza).

Una

rappresentazione

grafica

ampiamente

utilizzata

e’

sicuramente l’isoterma, collocando il luogo dei punti in cui e’ costante

T

(da

cui

isoterma)

come

nel

grafico

seguente

indica una famiglia di isoterme per distinti valori di T.

che

Essa ha una spiegazione immediata.

Muovendosi su una curva la temperatura resta costante.

Ogni isoterma eâ&#x20AC;&#x2122; quindi il luogo dei punti (V,p) per i quali la temperatura eâ&#x20AC;&#x2122; costante (legge di Boyle).

La legge di Avogadro eâ&#x20AC;&#x2122; riferita sempre alle medesime condizioni di temperatura e di pressione. Quindi, una mole di un gas e una mole di un altero gas hanno lo stesso numero di particelle, in genere molecole, quando essi si trovano alle stesse condizioni di temperatura e pressione.

In realtaâ&#x20AC;&#x2122; quando si dice che una mole di un gas contiene un numero di Avogadro di molecole ci si riferisce ad un volume,

detto volume molare,

4,

che si trova alla temperatura di 0 gradi

centigradi alla pressione atmosferica.

In questi casi si parla di un gas alle condizioni normali di temperatura e di pressione.

Risulta sperimentalmente che

4

= 22,414

:

4!*

.

Il volume molare altro non e’ che il rapporto tra la massa molare e la massa volumica, nota anche come densita’.

La relazione e’ semplicemente la seguente

4

Una

=

5 ;

grandezza

ulteriore

da

tenere

presente

nello

studio

dei

gas

e’

la

densita’ relativa di un gas , intesa come il rapporto tra la massa di 22,414 litri di un gas e la massa di un eguale volume di aria (sempre misurata in litri).

Il

riferimento

e’

sempre

fatto

alle

condizioni

normali

di

temperatura

e

pressione.

Si tratta di una temperatura di 20 gradi Celsius alla pressione atmosferica di 1 atmosfera.

E’ ben riportata dai testi la relazione tra la massa molare di un gas e la densita’ relativa d.

Detta relazione e’ la seguente

M = 28,98 * d

Al riguardo vorrei osservare che per l’aria e per un gas ideale qualunque risulta

=

5< ;<

Considerando d =

=

e che

=

=

=

5> ;>

.

ovvero ponendo

5< ;<

=

5> ;>

e ponendo

?

= 1 si ottiene ?= =

5>

5<

Ove 7

indica il peso di una mole d’aria.

Questa e’ una sorta di generalizzazione del principio di Avogadro in quanto se si procede a misure nelle condizioni date di temperatura e pressione sia per

l’aria

che

per

il

gas

nota

comunque

la

massa

di

aria

e

nota

sperimentalmente la densita’ del gas si ottiene la corrispondente quantita’ di gas.

In coerenza con il principio di Avogadro dette masse (dell’aria e del gas) occuperanno un volume V = k

4

ove k e’ una costante positiva priva di

dimensioni.

E’ da ritenere che 4,

.

4

dipenda da p come da legge di Boyle, avendosi

4,

=

(…)”

Ai

fini

dei

DE C .

e’6,02*10C 6,02*10C

calcoli Una

molecole,

calcolo

il

mole

una

atomi,

di

elettroni

numero

di

sostanza a

Avogadro, contiene

seconda

del

@A ,

quindi

contesto

oggetto di studio.

3. Movimenti

molecolari

–

agitazione

termica.

Fluttuazioni.

Valori medi, varianza e scarto quadratico medio. ⦋questo paragrafo contiene anche parti estratte da precedenti Appunti matematici⦌

E’ bene partire dalla teoria cinetica.

“In effetti e’ stato ricordato che per i gas reali e ancor piu’ per i gas ideali le molecole sono caratterizzate da un numero elevatissimo

di

urti.

Si

e’

calcolato

che

a

pressione

atmosferica e alla temperatura di 25 gradi Celsius ogni molecola gassosa subisce 10

urti nell’unita’ di tempo.

Per

i

gas

ideali

detti

urti

sono

considerati

completamente

elastici.

E’ noto che negli urti elastici l’energia cinetica varia nel senso che

le due particelle si scambiano le velocita’.

Per i gas reali poi le cose si complicano ulteriormente per effetto delle attrazioni o delle repulsioni tra le particelle, non considerate nel caso dei gas ideali.

Anche in questo caso ideale ogni particella si muove con una propria

velocita’

avendo

traslazione che vale F& =

quindi

una

energia

cinetica

di

G

Per questa ragione e’ stato introdotto in concetto di velocita’ quadratica media.

In

pratica

detta

energia

relazione della

si

considera cinetica

dell’energia

velocita’

si

una

grandezza

media

definita

come

media cinetica

utilizzi

quando la

in

media

velocita’.

E’ bene fare un semplice e banale esempio.

rappresentativa ottenuta

luogo dei

del

dalla

quadrato

quadrati

delle

Si

ammetta

di

avere

un

gas

costituito

da

tre

sole

molecole

(ipotesi ovviamente del tutto irrealistica) e si ammetta che dette

particelle

abbiano

velocita’

distinte

G , G H G

rispettivamente.

Date queste tre velocita’ se ne fanno i quadrati, ovvero si hanno le seguenti velocita’ elevate al (G ) , Con

questi

dati

la

media

delle

III risulta essere III indicata con G G =

(G )

velocita’ (

) J (

) J ( K)

e (G ) .

delle

particelle,

.

Per un sistema costituito da n particelle generalizzando si puo’ scrivere III G =

∑N M O ( M) "

L’energia cinetica media di un sistema gassoso con n particelle e’ scritta come segue FI =

III G

< F > e’ un altro formalismo ampiamente utilizzato per indicare l’energia cinetica media.

F’

stato

dimostrato

(Boltzmann)

che

detto

valore

dipende

unicamente dalla temperatura, misurata in gradi Kelvin, secondo la relazione FI =

Q

ove k e’ una costante di proporzionalita’, detta di Boltzmann.

Essa e’ dimensionata a JR C .

Negli

sviluppi

della

termodinamica

statistica

sara’

particolarmente utile il concetto di velocita’ quadratica media dato dalla formula N

III = T∑M O ( SG "

M)

“

“A livello macroscopico il sistema e’ definito dal suo stato e dalla

condizione

di

equilibrio

in

cui

si

trova

in

un

dato

istante t di tempo.

Quando un macro stato non varia nel tempo si dice che il sistema e’ in equilibrio termodinamico.

Vi e’ sicuramente un nesso tra uno stato termodinamico macro in equilibrio e i micro stati.

La relazione e’ nel senso della compatibilita’ dei microstati, in genere N distinti, con un dato stato di equilibrio.

Lo

studio

dei

microstati

e’

specifico

della

meccanica

statistica.

Un esempio numerico chiarira’ la situazione.

Si

ammetta

di

avere

k

particelle

indistinguibili

di

un

gas

collocabili in due celle di eguale volume.

Per ognuna delle k particelle la probabilita’ di trovarsi in uno scomparto piuttosto che nell’altro e’ la medesima.

La sequenza delle k+1 configurazioni sono del tipo

N1

N2

k

0

k-1

1

…

…

0

k

Se si hanno k possibili scelte nel collocare una particella, quindi le possibili scelte si riducono a k – 1, e in generale il numero delle possibili scelte e’ k!

A questo punto si considera una delle possibili configurazioni.

Si ammetta che n1 sia il numero delle molecole da collocare nel volume 1 e sia n2 il numero delle particelle da collocare nel volume 2.

Le prime possono essere scelte in n1! modi distinti mentre de seconde possono essere scelte in n2 ! distinti modi.

Dato k e dati n1 ed n2 il numero dei distinti microstati e’ Q! V !V !

Detta quantita’ e’ detta molteplicita’ di una configurazione.

Per

un

sistema

microstati

e’

configurazione.

costituito

dato

dalla

da somma

k

particelle delle

il

numero

molteplicita’

di

dei una

In buona sostanza il numero dei microstati e’ W!

W! (WC )! !

W! !

+

A

questo

+ … +

W! !(WC )!

punto

potrebbe

+

W!

!3!

=

essere

interessante

calcolare

detto

numero.

XH k e’ un intero pari si potrebbe pensare di calcolare la somma fino a che n1 > n2 e indicare con S1 tale somma quindi calcolare W!

Y Y

! !

Per simmetria la somma complessiva dei microstati risulta essere eguale a 2S1+

W!

Y Y

! !

Nel caso k sia dispari occorre fare la somma fino a quando n2 n1 = 1.

Se S e’ detta somma allora il numero complessivo dei microstati risulta 2S.

Nel caso k pari detta somma vale S = 2⦋Q! (1 +

(WC )!

+

(WC )! !

+

(WC )! !

+

Y

Y

( J )!Z C [!

+

Y

Y

( )!Z [!

)⦌

La probabilita’ per il singolo microstato e’ (poiche’ vige la equiprobabilita’ degli stati) data da 1 X Nella realta’ k e’ arbitrariamente grande.

La probabilita’ di una configurazione e’ Q! V !V !

X \]

piu’

elevata

probabilita’

si

ha

in

riferimento

alla

configurazione n1 = n2 .

Per questa evenienza la relativa probabilita’ risulta essere

Y! Y ( )!

^

Moltiplicando per 100 tale valore si ottiene la percentuale in tempo

in

cui

il

sistema

si

trova

nella

configurazione

considerata.

“Vanno ora sviluppati i concetti della teoria cinetica dei gas.

Si ottiene la cosiddetta equazione di Joule-Clausius.

E’ noto ⦋Bernardini⦌ che un “gas perfetto corrisponde al caso in cui le molecole sono discoste tra loro, da trovarsi in genere ciascuna fuori dal raggio di azione dell’altra” per cui “una molecola e’ soggetta solo alle forze esterne al gas (…) che non dipendono dalla natura intima del gas”.

Le

singole

particelle

descrivono

traiettorie

rettilinee

che

vengono deviate solo per effetto di una collisione con un’altra molecola gassosa.

Si ammette che il sistema termodinamico sia in stato stazionario con conservazione dell’energia interna nel tempo.

Lo

stato

successione

stazionario di

stati

e’

in

pratica

microscopici

fra

corrispondente loro

ad

differenti.

una Detti

stati microscopici sono tra loro equivalenti per ricondurre ad uno stato macroscopico, detto anche termodinamico.

Le variabili di stato p, T e V devono ⦋Bernardini⦌ considerarsi valori medi del sistema rispetto al tempo e allo spazio.”

E’

bene

osservare

che

uno

stato

di

equilibrio

termodinamico

corrisponde ad un numero molto grande di microstati compatibili con i parametri di stato.

Nel caso piu’ elementare possibile un sistema di N particelle per i quali son possibili due differenti stati e’ 2` .

La probabilita’ di un microstato e’ definibile come

la probabilita’ di trovare il sistema in un dato microstato in un dato istante di tempo.

E’

stato

sistema

osservato

che

termodinamico,

le

grandezze

come

fisiche

l’energia

di

stato

interna

o

di

un

anche

l’entropia, non siano rigidamente costanti nel tempo, neppure quando il sistema e’ in equilibrio.

Pertanto, in termodinamica statistica per una generica variabile di stato A viene considerato il valore di essa, associato ad un dato microstato α,

b.

Allo stato α e’ associata una probabilita’

b.

(Valgono i postulati del calcolo delle probabilita’).

Va osservato che la probabilita’ di un microstato puo’ essere intesa come la frazione di tempo nel quale il sistema e’ un dato microstato, valutato in relazione

ad

una

durata

piu’

ampia

rispetto

alla

scala

microscopica

dei

tempi.

Sia data una grandezza fisica riferita ad un assegnato sistema termodinamico.

Puo’ trattarsi di una qualunque variabile di stato, ad esempio l’energia interna o l’entalpia.

Anche

in

condizione

di

equilibrio

termodinamico

i

valori

di

dette grandezze non sono rigorosamente costanti.

Sia

cVD stato termodinamico cui corrisponda un valore

probabilita’

b

b

con

viene definito il valore medio indicato con <

>

come < Piu’

utilmente

si

> ≝ ∑f ef gf

utilizza

la

varianza

ad

indicare

fluttuazioni rispetto al valore medio che per definizione e’ Var(A) ≝ < (g− <

>)i >

le

Questa definizione si “interpreta” nel modo seguente:

Si considera la differenza tra una grandezza e il suo valore atteso. Detta quantita’ viene elevata al quadrato e quindi si calcola il valore medio di essa.

Si dimostra che < ( −<

>) > = <

> - <

>

Non infrequentemente si utilizza la grandezza σ(A) ≝S ]k( )

E’

ben

noto

che

valgono

le

regole

note

del

semplice

illustra

gli

aspetti

salienti

calcolo

delle

probabilita’.

Un

esempio

del

calcolo

delle

probabilita’ applicato alla termodinamica.

La sostanza delle cose e’ ben esemplificabile come segue.

Se N particelle hanno energie comprese tra F4 " e F4

l

ci si chiede quante

particelle hanno energia compresa tra F e F + dE. Per fare cio’ e’ possibile dividere l’intervallo (F4 " , F4 l ) in intervallini di eguale ampiezza di “lunghezza” ΔE e determinare la frequenza relativa, ovvero il numero di particelle gassose che hanno energia compresa tra (F , F + ΔE) diviso il numero N delle particelle che compongono il sistema. n (F , F + ΔE) =

"M (oM ,oM J po) `

ove V (F

, F

+ ΔE) indica la frequenza assoluta, ovvero in numero delle

particelle gassose che hanno una energia compresa tra F

e F + ΔE.

La precisione e’ maggiore quanto piu’ l’intervallo e’ piccolo.

Se si indica con q la frazione di particelle che hanno una energia inferiore a F

e se si indica con q J

inferiore

a

FJ

compresa tra F e

allora FJ

e’

la

la frazione di particelle che hanno energia probabilita’

di

trovare

particelle

di

energia

= Δq = q J - q = n ΔE

Esigenze di precisione impongono di ammettere il caso ΔE → 0.

Considerando un numero molto grande di particelle N, dell’ordine di grandezza dei 10

, di puo’ ammettere che l’energia vari con continuita’.

Puo’ considerarsi quindi la frazione di particelle aventi energia minore di h ovvero la funzione F(h) continua avente derivata prima f(h) =

$

$u

F(h).

La funzione f(h) e’ detta funzione di distribuzione normalizzata.

La probabilita’ che una particella abbia energia compresa tra F H F o Co

e’

o

= vo n(ℎ) ℎ

Se N e’ il numero delle particelle che compongono il sistema allora il numero delle particelle che hanno energia compresa tra i livelli F H F y

xyzCyi = { vy i |(})~} z

e’

4. Fattore

di

Boltzmann.

Equazione

fondamentale

dell’idrostatica.

Si

ammette

di

avere

un

sistema

termodinamico

in

equilibrio

termico con un termostato di temperatura T.

Generalmente ci si riferisce ad un gas perfetto nel campo di gravita’ g.

Se

il

gas

e’

in

un

recipiente

cilindrico

esso

non

e’

in

equilibrio termodinamico in quanto la pressione in esso non e’ uniforme a causa della tendenza delle molecole a collocarsi in basso per effetto della forza peso mentre l’agitazione termica spinge le molecole in agitazione anche verso l’alto.

Si ammette che la densita’ e la pressione siano dipendenti dalla quota, ovvero sia

μ = μ(z)

p = p(z)

Si ammette che lo strato mesoscopico di gas tra la quota z e la quota z + dz

Viene cioe’ introdotta la condizione di equilibrio termodinamico locale.

In definitiva si ammette che sia

μ = μ(τ)= cost1

p = p(τ)= cost2 ∀ • ∈ ⦋z, z+dz⦌ Il volume mesoscopico dV e’ dV = Sdz La massa corrispondente e’ dm(z) = μ(z)dV = μ(z)Sdz La quantita’ di materia contenuta in detto volume mesoscopico e’

dn(z) =

$4( ) 5

=

„( )^$ 5

Poiche’ il gas e’ in equilibrio e’ applicabile l’equazione di stato

p(z)dV= dn(z)RT

ovvero

p(z)Sdz =

„( )^$ 9 5

Questo consente di ottenere la relazione che collega la massa volumica (o densita’) e la pressione p(z).

Si ha immediatamente …(z) = Occorre livello

ora

considerare

macroscopico,

5

9

p(z)

l’equilibrio quindi

di

meccanico sistema

che

vale

a

termodinamico

complessivamente considerato.

Si

e’

considerato

il

caso

il

caso

di

un

sistema

gassoso

contenuto in un contenitore cilindrico.

I vettori f1 e f2 rappresentano le forze di pressione esercitate sulle facce del cilindro mentre g indica che il fluido e’ nel campo di gravita’.

Una delle possibili convenzioni formali e’ quella di imporre positive

le

forze

dirette

verso

l’alto

e

negative

quelle

di

verso opposto.

Poiche’ si e’ in condizioni di equilibrio meccanico si ha f1 + f2 + mg = 0 la forza peso risulta dmg = -μ(z)Sdzgu‡ quanto alle due forze di pressione si ha n = -p(z+dz)S u‡ n = p(z)Su‡ Pertanto si ha -p(z+dz)S ˆ‰ + p(z)Su‡ -μ(z)Sdzgˆ‰ = 0 Il passaggio agli scalari e’ immediato solo che si ricordi che deve considerarsi il modulo di -p(z+dz)S ˆ‰ + p(z)Sˆ‰ -μ(z)Sdzgˆ‰ ovvero |-p(z+dz)S ˆ‰ + p(z)Sˆ‰ -μ(z)Sdzgˆ‰ | = |-p(z+dz)S + p(z)S μ(z)Sdzg| |ˆ‰ | = 0.

Poiche’ |ˆ‰ | = 1 la condizione di equilibrio si riduce al caso sia

-p(z+dz)S + p(z)S -μ(z)Sdzg = 0 Essa e’ divisibile per S ≠ 0 avendosi -p(z+dz) + p(z) = μ(z)dzg

o meglio

p(z) -p(z+dz) = μ(z)dzg

ma sapendo che dp(z) = p(z+dz) – p(z)

risulta anche che

-dp(z) = μ(z)dzg

ovvero

dp(z) = - μ(z)dzg

Dividendo

per

dz

≠

0

si

ottiene

la

ben

nota

equazione

fondamentale dell’idrostatica che viene scritta come segue $ ( ) $

= - μ(z)g

Nasce

ora

l’esigenza

di

coordinare

trovata con la precedente …(z) =

5

9

questa

ultima

relazione

p(z)avendosi per questa via a

dover considerare la seguente $ ( ) $

= -

5= 9

p(z)

La grandezza

5= 9

= cost.

Pertanto si ha la seguente equazione differenziale semplificata formalmente ponendo p(z) = p $

5=

$

= -9 p

$

= -(cost)p

$

Si tratta di una equazione differenziale che puo’ essere scritta come $

$

+(cost)p = 0

Si ha Œ

p(z) = p(0)H C•Ž•• Si ricava anche μ(z)=

5

9

Œ

Œ

p(0)H C•Ž•• = μ(z) H C•Ž••

5. Interpretazione probabilistica

L’interpretazione

probabilistica

consiste

nel

trovare

la

probabilita’ che una molecola di gas si trovi tra le quote z e z + dz.

Si usa abbondantemente la notazione exp(x) ≡ H l .

Si parte dal numero medio di molecole che si trovano tra z e z + dz.

Integrando dN(z) =

`’ “0 ^$ 5

⦋exp(− &!' )⦌dz si ottiene il numero delle

molecole contenute tra la quota 0 e la quota h, avendo N = v

u

@(”) =

`’ “0 ^$ 5

La probabilita’

u

v ⦋H• (− &!' )⦌ ” =

`’ “0 ^$ 5

( 1 – exp(-

u

&!'

)

dp(z) e’ eguale alla ratio tra dN(z) e il

numero N delle molecole presenti tra z e z + dz.

dp(z) =

$`( ) `

=

&!' ( C–—˜ (C

™ ) •Ž••

exp(-&!' )dz

Viene al riguardo introdotta la costante di Boltzmann Q( .

Risultano logaritmo.

infatti

i

seguenti

passaggi

nell’argomento

del

exp(-

&!'

) = exp(-

ove m’ =

5= 9

4š=

) = exp(-

3›

)

5

`’

La costante di Boltzmann Q( =

9

`’

e’ 1,381*10C

JR C .

Il risultato e’ che la probabilita’ per una molecola di trovarsi tra le quote z e z + dz e’ proporzionale al fattore (peso) di Boltzmann

H

C

oœ ( ) 3›

6. Sistemi quantizzati

E’ dato un sistema a temperatura T in equilibrio.

Se sono possibili un numero discreto di stati di energia allora deve essere che ∑

(F ) = ∑

H

C

•M žŸ›

= A∑ H

C

•M žŸ›

detta funzione di partizione.

Poiche’ deve essere ∑

(F ) = 1 allora risulta A =

La probabilita’ (F ) eš molto semplicemente e(y¦ ) =

z

§

y

exp(-¨©¦ ) ª

F

= AZ, ove Z e’

Va ora definito e calcolato il numero medio di particelle che si trovano in uno stato quantizzato di energia data Ei

Il numero delle particelle di energia E1 e’ un valore atteso < @i > = Np(F )= N exp(−

oM

3›

) .

Per indicare le particelle (molecole del gas) si usa il termine popolazione. @ (t) fluttua attorno al valore medio.

N (numero delle molecole complessivamente presenti).

A distinti stati quantici corrispondono distinte energie e vale la relazione ¬`- ®

= ¬` ® M

(o- ) (oM )

= exp (−

o- CoM W›

)

La variabile pilota e’ T, ovvero la temperatura.

Le “popolazioni” sono circa eguali quando | −

o- CoM W›

Va ora definita l’energia media di una particella <F

>

| = 1.

In

modo

canonico

si

definiscono

la

varianza

e

lo

scarto

standard.

In

termini

statistici

per

energia

interna

deve

intendersi

lâ&#x20AC;&#x2122;energia media del sistema.

Si ammette che F' ' = â&#x2C6;&#x2018;` F

.

In termini di valori medi si ha < F' ' > = N < F

>

Le particelle hanno tutte la stessa energia media (definita dal valore atteso).

In definitiva U = < F' ' > â&#x2030;&#x2026; F' '

7. Teorema di equipartizione dellâ&#x20AC;&#x2122;energia

Si parte da una ipotesi detta approssimazione classica per la quale i vari livelli energetici sono talmente ravvicinati da essere considerati continui, nel senso che dato un livello di energia F si ammette esistente un livello energetico F + F .

Boltzmann ha definito la probabilita’ che una particella abbia energia compresa tra F e F + F .

Essa e’ dp(F ) = Aexp (−

oM

3›

)g(F )dF

A e’ una costante detta di normalizzazione.

Vanno quindi considerati i gradi di liberta’ e in particolare i gradi di liberta’ quadratici.

Nel caso della molecola monoatomica si hanno per una particella (punto

materiale)

particelle coordinate

6N

sei

gradi

di

cartesiane

gradi

di

liberta’ e

le

liberta’ (per

tre

e

ogni

nel

caso

particella

componenti

scalari

di le

N tre

della

velocita’ v lungo le tre direzioni ortogonali).

In questo contesto nel dominio del tempo la posizione del punto P e’ data dal vettore P ≡ x(t)i + y(t)j + z(t)k e il vettore velocita’ vettoriale ³´ ≡ •µ (¶)¦ + ·µ (¶)¸ + ”µ (¶)© L’energia cinetica della particella si scrive, come noto,

F& " = La

m(⦋•µ (¶)⦌ + ⦋·µ (¶)⦌ + ⦋”µ (¶)⦌ )

conservazione

dell’energia

cinetica

(sicuramente

vera

per

ogni particella del fluido tra due successivi urti elastici) e’ sicuramente garantita dalle seguenti condizioni $

$

•µ (¶) =

$

$

·µ (¶) =

$

$

”µ (¶) = 0

Questo passaggio formale ha un significato fisico evidente. Si ammette che la particella

si

nuova

di

moto

rettilineo

e

uniforme

risultante di tre moti rettilinei (per i quali

$

$

•µ (¶) =

¹

in $

$

inteso

·µ (¶) =

$

$

come

la

”µ (¶) = 0 ) lungo

le tre direzioni.

Affinche’ la energia cinetica sia costante e’ necessario e sufficiente che sia $

$

⦋•µ (¶)⦌ + ⦋·µ (¶)⦌ + ⦋”µ(¶)⦌ )= 0 ovvero |v| = costante, ma astrattamente con v ≠

cost.

Fuori dalla ipotesi basica e pregiata

condizione

$

$

$

$

•µ (¶) =

$

$

·µ (¶) =

$

$

”µ (¶) = 0

la predetta

(⦋•µ (¶)⦌ + ⦋·µ (¶)⦌ + ⦋”µ (¶)⦌ )= 0, per la linearita’ della derivata, e’

garantita ad esempio dalla immediata condizione

$

$

⦋•µ (¶)⦌ = −

$

$

(⦋·µ (¶)⦌ + ⦋”µ (¶)⦌ )

Questo

ragionamento

ha

un

che

di

artificioso

perche’

imporrebbe

di

considerare un moto come risultante di due moti (lungo le direzioni y e z), ad esempio e ciclicamente.

Si dovrebbe trattare di una imposizione alquanto “innaturale”.

Nell’urto elastico le particelle si scambiano le velocita’.

In termodinamica statistica acquistano particolare importanza i gradi di liberta’ quadratici.

Un grado di liberta’ e’ detto quadratico se F

= aº

La

grandezza

+ E’

a

e’

una

costante

le

cui

dimensioni

fisiche

dipendono da º .

Ammesso

che

λ

sia

una

velocita’

e’

possibile

dimensioni fisiche di a nel modo seguente ⦋F ⦌ = ⦋a⦌⦋º ⦌ da cui ⦋a⦌ =

⦋oœ ⦌

⦋½ ⦌

=

⦋oœ ⦌ ⦋½⦌

determinare

le

La

corrispondente

unita’

internazionale di misura e’

di ¾ ¿*# (

À ) •Á•

=

misura 3=À<••< (

À •Á•

À ) •Á•

di 4

=QÂ4

a

''

nel À ) •Á• À ( ) •Á•

(

Sistema = QÂ4

''

A meno di un fattore numerico (adimensionato) la costante a e’ misurata in QÂ4

''

.

La grandezza E’ e’ funzione degli altri gradi di liberta’.

Nel

caso

della

molecola

biatomica

rigida

si

ha

questa

rappresentazione, ove A e B sono gli atomi che la costituiscono posti a distanza L tra di loro.

d(A, B) = L

Nel caso sia

A

=

(

allora il centro di massa e’ nel punto medio

del segmento AB.

A

Fuori da questa ipotesi particolare, ovvero quando

≠

(,

deve

essere che il punto G (del segmento di estremi A e B) soddisfa la condizione (anche semplicemente scalare) seguente

A

IIII Ã+

IIII = 0

( ÃÄ

La relazione e’ inversa in modulo nel senso che 4’

4›

IIII Å(

= |-IIII | AÅ

Si ammette che l’energia delle particelle sia pari all’energia cinetica di esse, considerando quindi nulla quella potenziale in assenza di interazioni tra particelle.

Condizione preliminare e’ determinare G, ovvero le coordinate del centro di massa.

Rispetto al moto di traslazione rigida della molecola si ammette che

l’energia

cinetica

traslazionale

di

essa

sia

in

forma

canonica,

riferita

alle

coordinate

del

centro

di

massa,

necessitando l’introduzione di un deponente G.

Rispetto

a

tale

componente

della

energia

cinetica

si

puo’

ammettere che tutta la massa sia concentrata in G si cui devono conoscersi le coordinate.

E’ ben evidente che deve intendersi noto il rapporto

4’

4›

= k tra

le masse della molecola biatomica (in genere si potrebbe porre k = 1).

Nel caso piu’ generale possibile le coordinate sono influenzate dal rapporto reale k.

Risulta k =

Questa

IIII Å(

IIII Å( IIII AÅ

|-IIII|= AÅ

riflessione

considerando

che

puo’ i

essere

segmenti

riferita

del

rapporto

alle sono

tre

dimensioni

proiettabili

direzioni ortonormali ad avere i segmenti Ãl Äl , Ã) Ä) , Ã Ä e In questa logica (Ãl , Ã) à )= (•Å , ·Å , ”Å )

l Ãl ,

spaziali nelle

) Ã) ,

tre

Ã,

Per quanto detto si ha k =

Si avrebbe, ad esempio, k =

ÅÆ (Æ , AÆ ÅÆ

=

ÅÆ (Æ , AÆ ÅÆ

ÅÇ (Ç

AÇ ÅÇ,

=

=

ÅŒ (Œ

AŒ ÅŒ

l› ClÈ lÈ Cl’

→ k =

l› ClÈ lÈ Cl’

In questa ultima relazione l’incognita e’ •Å e si ha k(•Å −•A ) = •( −•Å ⇔ k•Å −Q•A = •( −•Å ⇔ k•Å + •Å = •( + Q•A → •Å =

Nel caso particolare k = 1

si ha •Å =

l› J Wl’ J

=

l› J Wl’ WJ

l› Jl’

Questa e’ la ben nota formula del punto medio di un segmento.

Riferendosi alle altre due direzioni e’ possibile scrivere le coordinate del punto G, il centro di massa che sono ( •Å =

l› J Wl’ WJ

, ·Å =

)› J W)’ WJ

, Ӂ =

›J W ’

WJ

).

Per capire le proiezioni seppur nel piano e’ bene riferirsi alla figura seguente

Il centro di massa e’ una media le cui coordinate sono interne a detti segmenti proiettati.

Nel

caso

del

gas

monoatomico

la

questione

e’

abbastanza

sbrigativa in quanto si puo’ ammettere che una particella di energia cinetica sia in media

III = mG

III III III = mG l + mG) + mG

kT, ove k

tra

gradi

e’ la costante di Boltzmann.

L’energia

cinetica

e’

equipartita

i

distinti

di

liberta’.

Vanno ora considerati gli sviluppi legati al moto di traslazione e di vibrazione della molecola biatomica.

In effetti, nel caso della molecola biatomica vi sono ulteriori gradi di liberta’ di natura rotazionale.

Questo disegno evidenzia i gradi di rotazione.

I due assi devono intendersi ortogonali.

Una ulteriore “complicazione” nasce dal fatto che le molecole non possono essere considerate rigide.

Si hanno quindi forze di richiamo dovute agli scostamenti dalle posizioni di equilibrio, proporzionali rispetto agli scostamenti che generano oscillazioni armoniche.

L’energia cinetica associata allo scostamento e’

k• . La costante k e’ detta

elastica.

Anche in questi casi si opera nella logica della equipartizione dell’energia e pertanto nel caso piu’ generale l’energia cinetica complessiva e’

FÊ =

III + m ∑bËl,), G b

∑bËl,),

IIII Í + Ì b b

IIII (∑bËl,), •III b Q + m ∑bËl,), G′b )

Per Maxwell l’energia cinetica di una particella e’ eguale a FÊ = n kT, ove K e’ la costante di Boltzmann.

Nel caso della particella gassosa (molecola)monoatomica vi sono solo i tre gradi di liberta’ traslazionali, pertanto risulta ∑bËl,),

IIII Í Ì b b

= 0

(∑bËl,), III •b Q + m ∑bËl,), IIII G′b ) =0

E quindi si avrebbe FÊ =

III =3 kT m ∑bËl,), G b

Nel caso della molecola biatomica rigida si avrebbe FÊ =

III + m ∑bËl,), G b

con

due

soli

∑bËl,),

assi

di

IIII Í Ì b b rotazione

(ovvero

due

gradi

di

liberta’

rotazionali, avendosi che per α=z si ha Íb = 0).

In questo caso si hanno cinque gradi di liberta’ (3+2) e pertanto l’energia cinetica complessiva della molecola risulta essere FÊ = 5 kT Gli

sviluppi

saranno

considerati

nel

secondo

numero

dedicato

alla

meccanica quantistica.

8. Distribuzione delle velocita’ delle molecole di un gas

Nell’ipotesi classica si ammette che la quantita’ di molecole gassose

aventi

velocita’

comprese

tra

determinati

limiti

sia

costante nel caso di uno stato di equilibrio, quando cioe’ le variabili macroscopiche non variano.

Si ammettono urti perfettamente elastici.

Viene definito n =

` %

detto anche densitaâ&#x20AC;&#x2122; di molecole.

Eâ&#x20AC;&#x2122; possibile introdurre lo spazio delle velocitaâ&#x20AC;&#x2122;.

Ad ogni particella di gas corrisponde un v = v(t)scomponibile nelle tre componenti.

Sia P lâ&#x20AC;&#x2122;estremo del vettore indicato.

Quelli indicato in rosso sono gli spigoli di una componente di volume elementare dV = dy*dx*dz

In

distinti

istanti

le

molecole

che

hanno

medesima

v

sono

certamente diverse, in quanto la velocita’ delle molecole varia ad ogni turno.

Ma si ammette sia costante nel tempo il numero n delle molecole per le quali n = n(v).

Ma piu’ ampiamente si ammette che sia costante nel tempo il numero delle molecole che hanno velocita’ compresa tra v e v + dv.

Detto numero e’ formalizzato come segue n(v)dGl dG) dG .

La probabilita’ di trovare nel volume elementare considerato dV risulta essere "(Ï) "

dGl dG) dG

= n5 (v)dGl dG) dG

Con considerazioni analitiche rigorose Maxwell dimostro’ che la legge di distribuzione delle velocita’ e’ ponibile come n(v)dv = aH CÐ4

4G dv

ove a e b sono due costanti opportune.

Per

detta

funzione

deve

determinarsi

il

massimo,

in

corrispondenza del quale si ha la velocita’ piu’ probabile.

La velocita’ piu’ probabile v* e’ quella per la quale n(v)= max n(v).

Pertanto venne dimostrato che la velocita’ piu’ probabile v* e’ v* = √2Q

C

mentre la velocita’ quadratica media risulta GÒ¿

$. 4#$

= √3Q

C

9. Capacita’ termica a volume costante

L’energia interna di un sistema termodinamico costituito da una mole di gas monoatomico e’ U = @A < F

.

> = RT, ove R e’ la costante dei gas.

Il calore specifico molare Ô Ô

=

Õ

Õ

U =

Õ

Õ

( RT) =

Õ

RÕ

=

R

e’ per definizione

Nel caso del gas costituito da molecole biatomiche rigide il valore

dell’energia

interna

consente,

sempre

per

derivazione

(parzialmente rispetto a T), consente di ottenere il valore noto Ô

=

R

10.

Capacita’ termica a pressione costante

Per i gas monoatomici la capacita’ termica a pressione costante Ô

e’ legata al calore specifico a volume costante dalla seguente

relazione Ô

= Ô% + R =

Ö

R ʜ

Nelle applicazioni torna utile il rapporto λ = Ê ≈ 1,666. ×

Dal valore Ô Ô

= R + R =

= Ú

R.

R valido per le molecole biatomiche si ottiene

11.

Capacita’ termica dei solidi. Legge di Dulong e Petit.

La legge di Dulong e Petit, enunciata nel 1818, e una legge sperimentale applicata ai solidi.

Per essa si ammette che per temperature abbastanza elevate il calore specifico a volume costante risulta essere 6

W& *

W4!* 3

.

Una mole di un solido ha un numero di Avogadro @A di atomi.

Il numero di gradi di liberta’ e’ 3@A .

In

questi

casi

conta

l’energia

di

oscillazione

degli

atomi

attorno ad una posizione di equilibrio di minimo energetico.

Si

ammette

che

le

elongazioni

siano

piccole

e

le

forze

di

spostamento proporzionali rispetto ad esse.

L’oscillazione puo’ essere intesa come la risultante di tre moti armonici secondo tre direzioni ortogonali.

Nello studio delle vibrazioni si ebbe a scrivere che l’energia associata alla vibrazione e’ costituita da due componenti

III m ∑bËl,), G b +

FÊ = =0

+

0

+

∑bËl,),

(∑bËl,), •III b Q

IIII Ìb Íb +

(∑bËl,), •III b Q

G′b ) + m ∑bËl,), IIII

+ m ∑bËl,), IIII G′b )

= 3( kT + kT) = 3kT.

Nelle formule considerate k e’ la costante di Boltzmann il cui valore corrente e’ k = 1,3805*10C

2

3

Se da un atomo si passa al solido complessivamente considerato l’energia complessivamente considerata vale U = Û + 3@A kT.

APPENDICE SULLA PROPAGAZIONE DEL CALORE

1. Propagazione del calore

E’ noto dalla termodinamica che il calore e’ una modalita’ di trasferimento di energia che si realizza quando tra due sistemi termodinamici si ha una differenza di temperatura.

Il flusso di calore in condizioni naturali e’ sempre diretto dal corpo

(o

sistema)

a

temperatura

piu’

altra

ad

un

corpo

(o

sistema) a temperatura piu’ bassa.

Il trasferimento di energia nella modalita’ calore avviene per conduzione termica, per convezione o per irraggiamento.

2. Conduzione

La legge della conduzione termica e’ dovuta al fisico matematico francese Joseph Fourier (1882).

Il

trasferimento

di

energia

per

conduzione

e’

dovuto

collisioni intermolecolari o delle molecole contro la parete.

alle

Dagli studi termodinamici e’ noto che a maggiori temperature corrispondono

energie

cinetiche

medie

maggiori

rispetto

a

sistemi a bassa temperatura.

E’ sempre opportuno misurare le temperature in gradi della scala assoluta, detta scala di Kelvin, (°K).

3. Convezione

La seconda modalita’ e’ costituita dalla convezione termica. Il fluido riceve energia dal sistema caldo e la cede al sistema freddo.

La convenzione e’ naturale quando il movimento del fluido e’ dovuto

alla

“naturale”

differenza

di

temperatura

tra

i

due

sistemi.

A volte il movimento del fluido, per esempio aria, puo’ essere dovuto

ad

una

causa

convezione forzata.

esterna.

In

questo

caso

si

parla

di

4. Irraggiamento

Vi

e’

un

ulteriore

modo

di

trasferimento

di

energia

nella

modalita’ calore, ovvero l’irraggiamento che puo’ avvenire anche nel vuoto. Esso e’ schematizzabile come segue emissione da un sistema 1 → propagazione dell’energia (anche nel vuoto) → assorbimento di energia da parte del sistema 2.

Esso puo’ avvenire nei due sensi.

L’irraggiamento

elettromagnetico

dipende

“fortemente”

dalla

temperatura.

5. Corrente, densita’ flusso.

Occorre

partire

dalla

conduzione,

osservando

che

il

trasferimento di energia sotto forma di calore e’ spiegabile nei termini

di

una

corrente

termica

in

un

sistema

fisico

a

temperatura non uniforme. Il sistema termodinamico non e’ in equilibrio termico, quindi non e’ in equilibrio.

La notazione T(x, t) definisce la temperatura di un punto x al tempo t.

Assegnato

un

punto

x

e’

possibile

considerare

una

areola

elementare dSx .

E’ possibile considerare un vettore n normale a detta superficie elementare.

Viene definito un vettore j(x, t) detto densita’ di corrente termica.

Detto vettore indica la direzione del trasferimento del calore.

La quantita’ di calore che si trasferisce attraversando l’areola dSx la si indica con il formalismo Ý Q seguente prodotto scalare

ed e’ definita dal

Ý Q = j(x, t)* ndSxdt Ý Q = 0 se e solo se i due vettori sono perpendicolari tra loro Ý Q > 0 se il trasferimento dell’energia avviene nel senso del vettore n Ý Q < 0 se il trasferimento dell’energia avviene nel senso del vettore n.

Misurando il calore in jaule (J) con una elementare riflessione di analisi dimensionale si dimostra che il vettore densita’ di corrente termica di misura, nel S.I., in JÞH

C

C

≡ W

C

.

Detta in termini semplici questa grandezza indica quanti jaule fluiscono attraverso una superficie di un metro quadrato in un secondo.

Occorre

considerare

ora

una

ulteriore

grandezza

fisica

rilevante, il flusso termico.

Anche in questo caso si ha a che fare con una grandezza scalare.

Essa ha le dimensioni fisiche di una potenza.

Nel S.I. si misura in watt (W).

Il flusso termico si indica con la notazione dΦ =

à á $

= j(x,t)* ndSx

6. Legge di Fourier della conduttivita’ termica

La formulazione di questa legge fenomenologica e’ semplice e cosi’ sintetizzabile j(x, t) = - λgradT(X, t)

In essa compare l’operatore gradiente. Dato un campo scalare, quale e’ quello delle temperature il gradiente e’ un campo vettoriale.

Il

vettore

grad(.)

e’

ortogonale

alle

superfici

equipotenziali

del

campo

scalare ed orientato nel verso delle T crescenti.

Si dice che il gradiente e’ una funzione intrinseca, ovvero indipendente dalla scelta del sistema delle coordinate anche se la sua espressione varia a seconda del tipo di coordinate che si considerano.

Ci si limita, stanti i contenuti sintetici di questo elaborato, a considerare l’espressione del gradiente utilizzando le coordinate cartesiane ortogonali nello spazio ¹ .

Sia assegnata una funzione scalare U(x,y,z) per la quale si possa scrivere

dU =

Õâ

Õl

•+

Õâ

·+

Õ)

Õâ Õ

dz

Ragionando per componenti si ha Õâ

Õl

•+

Õâ Õ)

·+

Õâ Õ

dz = (Âãä~Ûl ) •

+ åæãä~Û) ç ·

+ (æãä~Û )dz

Il gradiente di una funzione e’ una grandezza vettoriale che, in coordinate cartesiane ortogonali, viene cosi’ definito

gradU =

Õâ

Õl

èé +

Õâ Õ)

èê +

Õâ Õ

èë

(èé , èê , èë ) sono i versori ortonormali di componenti (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1).

Poiche’ solitamente si opera nelle tre dimensioni dello spazio euclideo X deve essere inteso come un punto di esso e quindi X ≡ (x, y, z), essendo queste ultime le coordinate cartesiane di detto punto.

Trattandosi della legge di Fourier ci si riferisce ad un campo scalare di temperature T(X).

In un intorno I di X la legge di Fourier si scrive ì¨

j(I,t) = - λ ìé èé

In essa compare una grandezza positiva λ detta conduttivita’ termica tipica del dato materiale, misurata in í

In

essa

il

segno

meno

al

secondo

C

RC .

membro

formalizza

convenzionalmente l’evidenza empirica che il calore fluisce da regioni piu’ calde a regioni a T minore.

E’

stato

osservato

⦋1⦌

che

la

legge

di

Fourier

non

ha

un

fondamento teorico non e’ quindi dimostrabile e non e’ vera in generale.

Deve

osservarsi

che

λ

dipende

dal

materiale

che

si

considera

e

dalla

temperatura.

Solitamente la conduttivita’ termica non dipende dalla particolare direzione spaziale (isotropia) anche se non mancano eccezioni, quali la grafite.

La figura sottostante ben evidenzia gli ordini di grandezza per essa.

In viola e’ evidenziato l’ordine di grandezza della conduttivita’ termica dei metalli puri solidi. In azzurrino e’ evidenziato il range relativo ai solidi non metallici. Per i gas l’ordine di grandezza e’ dei 10C

í

C

RC .

Essa varia con la temperatura.

7. Bilancio termico locale in una dimensione

Per semplificare la trattazione matematica si ammette che il gradiente di temperatura sia riferito ad una sola direzione, ad esempio quella delle x.

Con riferimento ad un intorno del punto x si ha gradT =

Õ

Õl

èé .

Õ

Dalla legge di Fourier si ha j(I,t) = - λ Õl èé Riferiti alla direzione x i vettori j(x,t) e j(x+dx, t) hanno ovviamente la medesima direzione del vettore unitario (1,0,0).

Graficamente si ha la seguente situazione

Il trasferimento termico in ingresso attraverso la sezione di ascissa x Ýîl = j(x,t)ˆï Sx dt = |j(x,t)|Sxdt

Il trasferimento termico della faccia di uscita e’ ÝîlJ$l = j(x+dx,t)(-ˆï )Sx dt = - |j(x+dx,t)|Sxdt

Il trasferimento termico totale e’ Ýîl + ÝîlJ$l = (|j(x,t)|- |j(x+dx,t)|) Sxdt A questo punto e’ possibile osservare che

Ýîl + ÝîlJ$l = -

Quando

il

Õ

Õl

¸(•, ¶)Sdxdt

lavoro

e’

nullo,

il

primo

principio

termodinamica, come e’ noto, assume la forma semplice ∆U = ΔQ Per variazioni infinitesime si ha dU = ÝQ Poiche’ si ha dU = μc Dalla dU = ÝQ si ha

Õ (l, ) Õ

μc

Sdxdt

Õ (l, ) Õ

Sdxdt = -

Õ

Õl

¸(•, ¶)Sdxdt

ovvero

μc

Õ (l, ) Õ

= -

Õ

Õl

¸(•, ¶)

e in definitiva

μc

ì¨(é,ñ) ìñ

+

ì

ìé

¸(é, ñ) = 0

della

μ e’ la massa volumica (densita’), c e’ la capacita’ termica massica.

Questa ultima relazione e’ detta equazione locale del bilancio termico in una dimensione.

8. Equazione di diffusione termica in assenza di sorgenti

Dato un solido cui e’ associato un campo di temperatura T(I, t) riferito ad una sola dimensione x.

La precedente equazione μc

òó(—,ô)

ò

+

òô

ò—

j(x, t) = 0 e’ immediatamente

riscrivibile con la sostituzione della legge di Fourier in forma Õ

Õ (l, )

scalare j(x,t) = - λ Õl avendo μc ottiene agevolmente

μc

Õ (l, ) Õ

= λ

Õ

(

Õ

Õ

Õl Õl

+

Õ

Õ

(− º Õl ) = 0 da cui si Õl

).

Questa relazione viene solitamente scritta come segue ì¨(é,ñ) ìñ

=

ö ì

(

ì¨

÷ø ìé ìé

)

Questa equazione e’ detta equazione di diffusione termica.

La grandezza a =

½

„&

e’ detta diffusivita’ termica ed e’ tipica del dato

materiale.

Essa e’ misurata in

ÞH

C

.

Per gli sviluppi successivi e’ necessario introdurre la nozione di laplaciano scalare.

In coordinate cartesiane il laplaciano scalare e’ scritto come segue

L =

Se

ci

si

riferisce

ad

ùi ú ùéi

una

+

ùi ú ùêi

+

sola

ùi ú ùëi

coordinata

l’equazione

di

diffusione termica in una dimensione diviene ì¨(é,ñ) ìñ

Nel

caso

piu’

generale,

in

=

tre

ö ùi ¨

÷ø ùéi

dimensioni

diffusione termica viene scritta come segue

ì¨ ìñ

=

ö

ùi ¨

ùi ¨

ùi ¨

( + + ùëi ) ÷ø ùéi ùêi

l’equazione

della

9. Legge di Newton. Solido in contatto con un fluido.

Si considera il flusso termico elementare passante da un solido ad un fluido attraverso una superfice dS.

La relazione di Newton del raffreddamento e’ la seguente dΦ = h(T(t) - ¨| ) dS Il flusso e’ solido → liquido.

La

costante

k

e’

una

costante

detta

coefficiente

di

trasferimento termico di superfice.

Essa viene misurata, nel S.I., in W In essa per h → +∞

10.

C

RC

.

si ammette immediatamente T(t) -

ü

→ 0.

Campo di temperatura in regime stazionario

Viene definito stazionario il regime nel quale

1) la temperatura T(x,t) non dipende dal tempo t; 2) il vettore densita’ di corrente termica j(x,t) non dipende dal tempo.

In regime stazionario si ha Õ (l, )

= 0

Õ¸(l, )

= 0.

In

un

Õ

Õ

campo

di

temperatura

in

regime

stazionario

trova

applicazione l’equazione di Laplace per la quale ùi ¨ ùéi

+

ùi ¨ ùêi

+

ùi ¨ ùëi

= 0

Se, con il solito intento semplificativo, si considera il caso

unidimensionale detta equazione diviene

sia

Õ

Õl

à

àl

= 0 il che impone

sia una costante, posta eguale ad A.

Poiche’ la temperatura dipende esclusivamente dalla coordinata allora si puo’ porre $

$l

= A.

Da

questa

derivata

indefinitamente

si

conduce

ottiene a

v

=

dT

=

v

•

Adx +

B,

che ove

integrata B

e’

la

con

un

costante di integrazione.

Si ha

v

v • + B

=

In termini di integrazione definita si ha (l ) 0)

v (l

(• ) -

l

= A vl

0

• ovvero

(• ) = A(•

-• )

Anche se inelegantemente si puo’ scrivere

T(x) -

(• ) = A(x -• ) ovvero

T(x) = A(x - • ) + Per x tale che •

La

relazione

tra

(• ) < x < x1 si ha

le

grandezze

(l) l

e’

= A

studiabile

semplice ragionamento geometrico.

Esso e’ desunto a partire dalla seguente figura.

anche

Da essa si ottiene

C 0

l Cl0

=

C 0

l Cl0

da cui

( − )( • −• ) = ( − ) L ( − )= T =

(

C 0 )( l Cl0 ) :

(¨z C¨ý )( é Céý ) þ

da cui

+ ¨ý

In essa T = T(x) per x ∈ (• , • )

In genere ⦋ 1⦌ la T = T(x) viene posta, ammettendo • seguente forma T(x) =

(¨z C¨ý ) þ

x + ¨ý

= 0 nella

(al di la’ del grassetto usato si tratta di grandezze scalari)

11.

Occorre

Resistenza termica

considerare

il

caso

di

due

sistemi

separati

da

un

conduttore termico di cui e’ nota λ.

Il conduttore termico non contiene fonti di calore.

Si ammettono valide le condizioni di “tempo invarianza” tipiche del regime stazionario.

I due sistemi 1 e 2 sono a differente temperatura (condizione per la quale si possa avere uno scambio termico, attraverso il conduttore termico c.t..).

Lo scambio termico avviene da 1 a 2 quando la temperatura di 1 e’ maggiore di quella di 2.

Occorre a questo punto introdurre la definizione di resistenza termica nei seguenti termini

ó Có

¹u ≝

→

La resistenza termica viene misurata in í C K. Ulteriore

grandezza

utilizzata

e’

la

conduttanza

termica

definita come Ãu =

9•™

Il caso sicuramente piu’ semplice e’ costituito dal flusso ortogonale a due superfici piane parallele (come due pareti di un cubo, ad esempio…). La distanza tra esse e’ L.

I risultati ottenuti nei paragrafi precedenti consentono di scrivere

T(x) =

j = -λ

+

$

$l

essendo

C 0 x :

ˆï = λ >

C 0 ˆï :

.

Formalmente il flusso e’ formalizzato come segue Φ

→

= ∬

∈^

¸( )d (´z ) = λ

C 0 ˆï Sèé :

= λ

C 0 S :

Il flusso in questo caso e’ dato dalla formula seguente

Φ

→

=λ

C 0 S :

Per essa si ottiene il valore della resistenza termica, che risulta

¹

u

≝

ó Có →

12.

=

½^

C

ž

ž

=

:

½^

Serie e parallelo di resistenze termiche

Si puo’ partire dal primo caso ovvero quello costituito da due sistemi

a

distinta

temperatura

separati

da

due

conduttori termici in serie secondo lo schema seguente.

distinti

I due conduttori termici distinti A e B sono modellizzati come fossero due resistenze termiche in serie con un flusso termico dal sistema 1 al sistema 2 quando T1 > T2.

Tj e’ la temperatura della giunzione.

Dalla definizione di resistenza termica risulta immediatamente che − ¾−

¾

=¹

u,A

→

=¹

u,(

→

Sommando membro a membro si ottiene ( − ¾ ) + ( ¾ − )= ¹ − ¹

=

u ,#Ò¿

= ¹

→

(¹

u,A

u,A

+ ¹

u,A

+ ¹

→

+¹

u,(

→

u,( )

u,(

Il calcolo di Tj ovvero della temperatura della giunzione viene fatto ⦋1⦌ utilizzando il metodo del partitore di tensione.

In

ogni

caso

un

approccio

“alternativo”

potrebbe

essere

il

seguente.

Per quanto sopra scritto e’ anche possibile pervenire al calcolo di detto valore con i passaggi seguenti

C -C 0

=

9’

9›

¹( ( − ¾ ) = ¹A ( ¾ − )

R T +R T =

Questa

2 (¹A

¹(

− ¹(

= ¹A

¾

− ¹A

¹(

+ ¹A

= ¹A

¾

+ ¹(

T =

ó J

+ ¹( )

rappresentazione

“circuitale”

¾

fisica

J

ó0

ha

il

seguente

equivalente

Le

resistenze

considerate

sono

idealitaâ&#x20AC;&#x2122;

che

esprimono

la

resistivitaâ&#x20AC;&#x2122; termicaâ&#x20AC;Ś

Sempre nel caso sia B

si

avrebbe

una

>

ma invertendo i conduttori termici A e

distinta

risulterebbe la seguente

rappresentazione

circuitale

che

In questo caso si e’ indicato con

′¾ la temperatura di giunzione.

In questo caso si puo’ scrivere

− ′¾ = ¹( ′¾ −

= ¹A

→ →

Anche in questo caso, dividendo dette relazioni membro a membro si ottiene − ′¾ ¹( = ′¾ − ¹A E quindi, dopo semplici passaggi, si ottiene

¨š¸ =

g ¨z J ª ¨ý gJ ª

Giova osservare che, in generale, risulta

¾

≠

š ¾.

Riflessioni analoghe possono farsi per il caso sia dato un Sarebbe il caso in cui

>

.

→

.

Occorre ora considerare il caso delle resistenze termiche in parallelo.

Questa

semplice

rappresentazione

ben

illustra

i

contenuti

seguenti.

Il

flusso

temperature

termico sotto

dal la

sistema

1

condizione

al

sistema

>

puo’

2

a

distinte

essere

inteso

linearmente come la somma di due flussi uno passante per il conduttore termico A ed uno per il conduttore termico B. Detto

flussi,

inversamente A

+

denotati

rispettivamente

proporzionali

a

¹A H ¹(

come

sotto

(.

Per i dati vincoli di temperatura risulta che C 0

A

=

9’

(

=

9›

C 0

il

A

H

vincolo

(,

sono →

=

E’ possibile sommare membro a membro avendo

+

A

(

= (

−

)(

9’

+

9›

)

E’ anche possibile scrivere =

→

9Á

C 0

M×

Fino a questo punto ¹#Ò¿

deve intendersi alla stregua dia una

grandezza incognita.

Giova osservare che =

→

+

A

(

⇔(

−

)( 9 + 9 ) = ’

›

9Á

C 0

M×

E’ possibile dividere ambo i membri per

9’

+

9›

=

9Á

9› J9’

=

Nel

caso

9’ 9›

9Á

−

≠ 0 avendo

M×

M×

⟹ ¹#Ò¿

si

=

9› 9’

9’ J9›

resistenze

termiche

in

parallelo

termica equivalente e’ data dalla seguente formula

la

resistenza 観

=

ª g

gJ ª

.

13.

La

Interfaccia solido-fluido

situazione

e’

modellizzabile

a

partire

dal

caso

fisico

seguente.

Per le condizioni di temperatura poste si ha un flusso da 1 a 2 attraverso il solido S.

Si ammette nota la conduttivita’ λ del solido. →'!* $! →

quando

>

.

Entro il solido per x ∈ (0, L) si ammette sia L(x)= Ax + B Le costanti di Newton per i fluidi 1 e 2 sono, rispettivamente ℎ H ℎ

ragion per cui sono valide le seguenti condizioni al limite

j(0) = ℎ (

− (• = 0))

j(L) = ℎ (T(x = L)-

)

Credo sia utile considerare la relazione lineare T(x) = Ax + B da cui T(x) – B = Ax ovvero A =

Dall’ultimo

(l)C( l

graficabile in un sistema di ascisse come segue

passaggio

viene misurata in K

C

algebrico

si

evince

che

la

costante

A

. $

In generale risulta j(x) = -λ

$l

= - λA

quindi j(x) ben puo’

considerarsi una costante.

Pertanto le due precedenti relazioni per j(0)e per j(L) possono essere riscritte come segue - λA =

ℎ (

− Ä ))

- λA = ℎ (AL + B -

)

Nella manualistica consultata ⦋1⦌ ho rinvenuto una formula per il valore di A < 0.

Essa risulta essere A = -

¨z C¨ý ö ö Jþ J }z }i

A tale risultato si puo’ pervenire esplicitando il valore B dato dalla

ℎ (

- λA =

− Ä ))

, ℎ ) e

e detto B = B(λ, A,

sostituito nella - λA = ℎ (AL + B -

).

Il testo citato ⦋1⦌ non lo dice esplicitamente ma la sostanza delle cose e’ quella rappresentata.

Dal

valore

→'!* $! →

™

di

A

e’

possibile

sapendo che

→'!* $! →

ricavare

il

valore

del

= j(0)S = - λAS = - λ(-

flusso C 0

™

J: J

)S =

™

C 0 J J

™

La

quantita’

u

:

+ ½^ + u ^

^

e’

la

resistenza

termica

equivalente

relativamente al flusso dal fluido 1 al fluido 2 passando per un dato solido.

Va considerato entro quali limiti e’ accettabile la condizione → Ë

C 0 9

Detta relazione e’ ammissibile quando variano con τ ≥

:

e

lentamente

.

14.

Irreversibilita’ della trasmissione del calore

Il fenomeno della trasmissione del calore e’ irreversibile e come tale contestualmente alla trasmissione del calore si crea entropia.

Si dimostra che l’entropia creata e’ δS =

½

Questo

Õ

( ) Adxdt Õl

punto

ulteriori

dovrebbe

nell’ipotesi

termodinamico.

essere di

un

oggetto

successivo

di piu’

approfondimenti ampio

elaborato

APPENDICE SULLA CONSERVAZIONE DELLA QUANTITA’ DI MOTO

1. Conservazione della quantita’ di moto in riferimento alla teoria cinetica dei gas

Nell’ambito della teoria cinetica dei gas ricordavo che “Gli urti tra le molecole del gas e tra queste e la parete sono perfettamente elastici.

Se si ipotizza un urto centrale tra due particelle si ha questa situazione nella quale si conserva la quantita’ di moto.

La quantita’ di moto pre-urto e’ m(G

,

− G , ).

Dopo che e’ intervenuto l’urto si ha questa situazione

(ove il pedice f indica un valore finale, che perdura fino ai successivi urti…).

La quantita’ di moto post-urto puo’ essere scritta come segue

,ü

m(G In

− Gb,ü ) applicazione

del

principio

di

conservazione

della

quantita’ di moto deve essere m(G

,

− G , ) = m(G

,ü

− Gb,ü ) ⟺ (G

,

− G , ) = m(G

,ü

− Gb,ü )

Risulta quindi che G, = G G

,ü

= Gb,ü

,

definisce la particella 2 che dopo l’urto si allontana. definisce la particella 1 nel post-urto.

Si e’ evidenziato che in detto urto elementare le particelle si scambiano le velocita’.”

Gli

urti

considerati

sono

perfettamente

elastici

e

assolutamente coerenti con la conservazione dell’energia.

Questa, data la conservazione della quantita’ di moto, e’ conservata ex se in quanto le particelle del gas hanno la medesima massa.

Ove si ammettesse lo scambio delle velocita’ per corpi aventi distinta massa, non sarebbe conservata l’energia (cinetica) pre e post urto.

Nell’elaborare (quello

il

relativo

riferimento

al

numero alla

caso

precedente

di

Termodinamica) piu’

ampio

di

Appunti

avevo

matematici

impostato

conservazione

con

della

quantita’ di moto per un urto tra particelle che si muovono nello spazio con velocita’ vettoriali ³g e ³ª .

Se

si

considera

destrorsa

lo

un

urto

scambio

centrale delle

rispetto

velocita’

ad

una

puo’

terna essere

rappresentato come segue.

I vettori disegnati in blu rappresentano le velocita’ delle due particelle A e B prima dell’urto.

Si

ha

GA, =

(GA,l , GA,) , GA, )

e

G(, =

(G(,l , G(,) , G(, )

(prima

dell’urto).

Il pedice i indica una condizione pre urto, mentre il pedice f indica una condizione post urto.

Dopo l’urto le velocita’ sono scambiate. In effetto un urto in

tre

dimensioni

puo’

sempre

essere

pensato

come

la

composizione di tre urti secondo tre distinte direzioni, x, y e z.

Pertanto si ha GA,ü = (G(,l , G(,) , G(, ) ed anche G(, = (GA,l , GA,) , GA, ) Se le masse delle particelle sono eguali la conservazione dell’energia consegue alla conservazione della quantita’ di moto lineare.

Sono indicati in rosso i vettori delle velocita’ post urto.

Ritornando al caso di urto in una sola dimensione e’ coerente con la conservazione della quantita’ di moto il caso di un urto con scambio delle velocita’

con

velocita’

iniziali

che

hanno

presupposto che sia GA > G( o addirittura GA ≫ G( .

lo

stesso

verso

e

nel

La figura seguente evidenzia una situazione del genere.

Anche in questo caso la conservazione della quantitaâ&#x20AC;&#x2122; di moto e dellâ&#x20AC;&#x2122;energia sono coeve, per il fatto che le due particelle hanno la medesima massa.

BIBILIGRAFIA ESSENZIALE

Si rimanda alle indicazioni bibliografiche indicate nei numeri 22, 23 e 24 degli Appunti matematici, in quanto citati nella presente ricerca e, ulteriormente:

⦋1⦌ Physique tout-en-un, MP, MP*, Dunod, 2014, Paris

PROPRIETA’ LETTERARIA

Questo saggio non ha finalita’ commerciali o lucrative.

Ne e’autorizzata la divulgazione, anche totale, a condizione che essa non abbia scopi commerciali o lucrativi e che avvenga con la

precisa

dell’opera.

citazione

dell’autore

e

del

soggetto

diffusore

pubblicazione a cura di Pascal McLee

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