Appunti Matematici 29

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Patrizio Gravano

APPUNTI MATEMATICI

IL CAMPO ELETTROMAGNETICO numero 29 - maggio 2017

Introduzione Questo fascicolo contiene ulteriori appunti di elettromagnetismo e segue due precedenti brevi saggi introuttivi dedicati, rispettivamente al campo elettrico e al campo magnetico. La teoria e’ ben consolidata ed eventuali errori sono solo a me imputabili. Anche in questo caso ho intervallato le parti fisiche con parti matematiche, utili credo, a meglio comprendere aspetti della fisica, innegabilmente non semplici. Nella elaborazione, cercando una via originale e plastica, mi sono, non poteva essere altrimenti, limitato agli aspetti piu’ generali, introducendo anche alla teoria dell’effetto Hall, seppure in forma semplificata, che poteva anche essere introdotto in precedenza, ma che lo spazio e il tempo tiranni non ne hanno consentito l’inserzione nel numero dedicato al campo B.

Patrizio Gravano patrizio.gravano@libero.it

Il campo elettromagnetico Premessa Due precedenti elaborati hanno avuto ad oggetto il campo elettrico e al campo magnetico. Questo terzo fascicolo completa le nozioni fondamentali del campo elettromagnetico. Esso e’ costituito da alcune sezioni preparatorie utili per gli sviluppi. La prima sezione rigurda le nozioni fondamentali della teoria dei circuiti, mentre la seconda riguarda le forme d’onda. Infatti si dovra’ a un certo punto considerare il circuto che genera le onde elettromagnetiche. La parte conclusiva e’ riservata alla teoria del campo elettromagnetico nel vuoto, che sostanzialmente e’ la conclusione di Fisica 2.

Prima parte – Nozioni di base sui circuiti elettrici piu’ semplici

1. Nozione di circuito elettrico In termini intuitivi un circuito elettrico e’ costituito da uno o piu’ generatori di corrente e/o di tensione e da uno o piu’ elementi passivi, quali, ad esempio, resistori, condensatori e induttori. E’ bene fare una breve tassonomia dei componenti circuitali di base, limitandosi peraltro ai tratti essenziali utili per gli sviluppi della trattazione. In prima battuta saranno considerati i generatori di tensione, quindi quelli di corrente.

2. Generatori ideali e reali di tensione. Convenzione dei generatori. Per generatore di tensione si fa riferimento ad un elemento circuitale bipolare per il quale si determina ai capi di esso (morsetti) una diffrenza di potenziale V che deve ritenersi nota, ovvero V = �0. L’unita’ di misura della differenza di potenziale elettrico e, come noto, il volt (V). I generatori di tensione sono cosi’ schematizzati:

Quello rappresentato e’ un generatore ideale di tensione. La differenza di potenziale ai morsetti A e B e’ đ?‘‰0 ed in formule si scrive: đ?‘‰đ??ľ − đ?‘‰đ??´ = đ?‘‰0 đ?‘ƒđ?‘’đ?‘&#x; la convenzione dei generatori si ammette che la corrente circolante (quando il circuito e’ chiuso) abbia il medesimo verso della tensione. In buona sostanza si ammette, a circuito chiuso, che la corrente circoli da A a B. Detto verso di percorrenza e’ convenzionale ed opposto a quello reale. In realta’ i generatori di d.d.p. hanno una resistenza interna, modesta ma non trascurabile, e la rappresentazione del generatore reale di tensione e’ la seguente.

A morsetti aperti si ha đ?‘‰đ??ľ − đ?‘‰đ??´ = đ?‘‰đ??ľđ??´ = đ?‘‰0

Quando si dovesse chiudere il circuito, ad esempio inserendo un carico đ?‘…đ??ż , si avrebbe questa situazione:

In questo caso si evidenzierebbe sperimentalmente che đ?‘‰đ??ľđ??´ < đ?‘‰0 . Per i calcoli si diera’ piu’ oltre quando verranno presi in considerazione in principi di Kirchhoff.

3. Generatori ideali e reali di corrente Un generatore ideale di corrente e un elemento bipolare che soddisfa la condizione descritta dal disegno sottostante.

A circuito chiuso sul lato XB circola una corrente data đ??ź0 detta corrente impressa. E’ questo il caso del generatore ideale di corrente. La realta’ impone il caso pratico del generatore reale di corrente. La situazione e’ cosi’ schematizzabile.

Collegando un carico đ?‘…đ??ż si avrebbe la situazione sotto rappresentata.

Si avra’ modo di evidenziare che la corrente che passa per il punto A, ovvero la corrente impressa đ??ź0 , si ripartisce tra le due resistenze in modo tale che đ??ź0 = đ??źđ?‘– + đ??źđ??ż .

La lettera L a deponente sta per load (carico). Il calcolo delle due correnti e’ possibile tenendo conto di quanto si dira’ piu’ oltre.

4. Elementi passivi. Resistori, condensatori e induttanze. Leggi costitutive. 4.1 I resistori I precedent semplici circuiti sono stati caratterizzati da generatori di corrente e di tensione e da altri elementi detti resistori. I resistori sono caratterizzati dal seguente simbolo.

Nella ipotesi che nel considerate elemento circuitale circoli una corrente I la convenzione degli utilizzatori e’ descritta come segue: Se il verso convenzionale della corrente e’ da A a B risulta che đ?‘‰đ??´ > đ?‘‰đ??ľ . Quindi e’ đ?‘‰đ??´ > đ?‘‰đ??ľ quando circoli una corrente I.

La relazione di coordinamento e’ la prima legge di Ohm per la quale risulta: đ?‘‰đ??´ −đ?‘‰đ??ľ = RI đ?‘‰đ??´ = RI +đ?‘‰đ??ľ đ??źđ?‘› pratica si dimostrache quando si fa passare una corrente I in un resistore si misura una d.d.p. ai morsetti per la quale: đ?‘‰ đ??ź

= costante.

đ??ˇđ?‘’đ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ž costante e’ la resistenza, intesa coma la proprieta’ fisica preminente dei resistori. Misurando le tensioni in volt e le correnti in ampere la resistenza e’ misurata in đ?‘Łđ?‘œđ?‘™đ?‘Ą đ?‘Žđ?‘šđ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘’

.

L’unita’ di misura della resistenza elettrica e’ detta ohm (Ί). Per i circuiti considerati in questo elaborato si considerano resistori la cui resistenza e’ costante nel tempo.

Nota bene – Quando si considerano circuiti assegnati la corrente circolante in un resistore si ricava dalla seconda relazione di Kirchhoff di cui si dira’ piu’ oltre.

In relazione ai resistori si dmostra che la resistenza R (misurata in ohm) e’ ben definite dalla seguente equazione: đ??ż

R=đ?œŒđ?‘

per una data temperatura T

In essa đ?œŒ e’ una costante dipendente dal materiale, di cui e’ costituito il resistore, detta resistivita’, L e’ la lunghezza, misurata in metri, mentre s e’ la sezione del conduttore, convenzionalmente misurata in đ?‘šđ?‘š3 . Risulta che đ?œŒ = đ?œŒ(đ?‘‡). Detta relazione e’ legata alla struttura atomica del materiale che via via si considera. La relazione V = RI e’ la legge costitutiva del resistore.

4.2 I condensatori Il secondo elemento passivo e’ il condensatore il cui simbolo circuitale e’ il seguente:

In relazione ai condensatori viene introdotta una grandezza fisica detta capacita’. In termini matematici si scrive: �

C=�

Misurando la carica in coulomb e la tensione in volt la grandezza corrispondente viene misurata in

đ?‘?đ?‘œđ?‘˘đ?‘™đ?‘œđ?‘šđ?‘? đ?‘Łđ?‘œđ?‘™đ?‘Ą

.

Nel S.I. la capacita’ viene misurata in farad (F). A circuito chiuso sulle armature di depositano le cariche + Q e − Q rispettivamente. Anche per i condensatori si applica la convenzione dell’utilizzatore e la figura seguente schematizza la situazione (riferita al caso di circuito chiuso).

Va precisato che all’interno del condensatore non circola corrente. Infatti al suo interno vi e’ un isolante (dielettrico) o il vuoto. Nella pratica si utilizzano capacita’ di 10−6 , 10−9 , 10−12 farad.

C deve intendersi alla stregua di una costante costitutiva. La relazione introdotta puo’ essere scritta come: Q = CV. Detta relazione e’ derivabile avendosi che: � ��

đ?‘‘

Q = đ?‘‘đ?‘Ą CV đ?‘‘

đ?‘– = Cđ?‘‘đ?‘Ą V đ?‘œđ?‘Łđ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ: đ?‘‘

đ?‘–(đ?‘Ą) = Cđ?‘‘đ?‘Ą v(t) Applicando la separazione delle variabili si ha: i(t)dt = Cv(t) Integrando definitamente si ha: đ?œ?>0

âˆŤ0

đ?œ?>0

âˆŤ0

�

đ?‘–(đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą = đ??ś âˆŤđ?‘‰ đ?œ? đ?‘‘đ?‘Ł 0

đ?‘–(đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą = đ??ś(đ?‘‰đ?œ? − đ?‘‰0 )

Solitamente si ha �0 = 0 V. In questo caso si ha:

đ?œ?>0

đ?‘‰đ?œ? =

âˆŤ0

đ?‘–(đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą đ??ś

4.3 L’induttore Il terzo elemento passivo solitamente presente nei circuiti elettrici e’ l’induttore di induttanza L. L viene, come noto, misurata in henry (H). La legge costitutiva dell’induttore e’: �

đ?‘‰đ??ż = đ??ż đ?‘‘đ?‘Ąi(t) Vale la convenzione dell’utilizzatore.

Quando la corrente circolante e’ continua (in termini matematici, costante nel tempo) allora risulta đ?‘‰đ??ż = 0 cio’ coerementemente con il fatto che la derivata di una costante vale zero. In questo caso particolare si ammette che detto elemento circuitale si comporti come un bipolo cortocircuito ideale.

Si puo’ partire dalla legge costitutiva dell’induttore di induttanza data, ovvero dalla relazione: �

đ?‘‰đ??ż = đ??ż đ?‘‘đ?‘Ąi(t) per ottienere, applicando il principio della separazione delle variabili quanto segue: đ?‘‰đ??ż đ?‘‘đ?‘Ą = đ??ż d i(t) đ??¸đ?‘ đ?‘ đ?‘Ž e’ integrabile definitamente come segue: đ?œ?

đ?‘–(đ?œ?)

âˆŤ0 đ?‘‰đ??ż đ?‘‘đ?‘Ą = LâˆŤđ?‘–(đ?‘œ) đ?‘‘ đ?‘–(đ?‘Ą) Ma si puo’ porre i(0) = 0 Pertanto e’ lecito scrivere đ?œ?

L( i(đ?œ?) − đ?‘–(0) ) = âˆŤ0 đ?‘‰đ??ż đ?‘‘đ?‘Ą đ?œ?

L i(đ?œ?)= âˆŤ0 đ?‘‰đ??ż đ?‘‘đ?‘Ą đ?œ?

i(đ?œ?)=

âˆŤ0 đ?‘‰đ??ż đ?‘‘đ?‘Ą đ??ż

Vorrei ricordare, come ampiamente noto ⌋Halliday, Resnick, WalkerâŚŒ , che in relazione alle bobine la variazione di corrente in essa circolante genera una forza elettromotrice autoindotta, in coerenza con la legge di Lentz.

Il fenomeno e’ detto autoinduzione. ��

In termini fisici la relazione viene scritta come đ??¸đ??ż = −đ??ż đ?‘‘đ?‘Ą. Il testo citato da la chiave interpretativa che, a grandi linee, ho ampliato e schematizzato come segue. đ?‘‘đ?‘–

a) caso banale i(t) = cost ⇒ đ?‘‘đ?‘Ą = 0 ⇒đ??¸đ??ż = 0 (in questo caso il solenoide si comporta come un bipolo cortocircuito ideale). b) la corrente i(t) varia strettamente nel tempo in senso crescente, come da figura.

La curva in blu indica la corrente nel tempo (strettamente crescente) mentre le rette evidenziano l’andamento della derivata nel tempo. ��

Essa e’ crescente e quindi đ?‘‘đ?‘Ą > 0. Cio’ conduce a đ??¸đ??ż < 0. La figura proposta ⌋Halliday, Resnick, WalkerâŚŒ e’ precisabile come segue.

đ?‘‘

Essa e’ interpretabile nel senso che per đ?‘‘đ?‘Ą i(t) > 0 0 si ha đ??¸đ??ż < 0 Dal punto di vista dei circuiti tra i punti A e B si ha una differenza di potenziale positivo đ?‘‰đ??ż = đ?‘‰đ??´ −đ?‘‰đ??ľ = |đ??¸đ??ż | > 0 ovvero tale che đ?‘‰đ??´ > đ?‘‰đ??ľ . c) caso di corrente circolante decrescente strettamente nel tempo. In questo caso la corrente viene rappresentata nel grafico seguente e le tangenti danno il senso della variazione positiva della derivata.

In questo caso

đ?‘‘đ?‘– đ?‘‘đ?‘Ą

< 0 conduce a đ??¸đ??ż > 0

In questo caso si ha đ?‘‰đ??ľ − đ?‘‰đ??´ = đ??¸đ??ż > 0 ovvero đ?‘‰đ??ľ > đ?‘‰đ??´ La diminuzione di corrente fa si che la tensione sia maggiore in B che in A.

La discussione puo’ essere fatta con un circuito elementare nel quale per le finalita’ che si considerano deve essere non costante nel tempo (quindi un reostato o un potenziometro). Nota - La conclusione del paragrafo andrebbe letta dopo aver esaminato i paragrafi seguenti di questa sezione.

Il circuito e’ il seguente:

Il cursore mobile consente di variare R, e quindi anche i, coerentemente con il principio di Kirchhoff. Quando la resistenza e’ completamente cortocircuitata il circuito risulterebbe banalmente il seguente.

Cio’ in quanto la corrente sarebbe costante e il solenoide sarebbe equiparabile ad un cortocircuito ideale, intendendo con cio’ un conduttore il cui effetto resistivo si considera trascurabile. Rispetto ad una condizione di equilibrio per far variare la corrente circolante occorre far variare la resistenza, spostando opportuamente il cursore Si deve ammettere che si parta da una condizione di equilibrio nella quale la corrente đ??¸

i e’ costante e data dalla relazione i = � . �

E’ immediato constatare che la variazione della resistenza conduce ad una variazione a regime della corrente. Ad esempio, un aumento di R (spostamento verso destra del cursore) conduce ad una diminuzione a regime della corrente, pure quantificabile dalla legge di Ohm. Tra questi due istanti la corrente non e’ costante nel tempo. Nel caso prospettato la corrente diminuisce đ?‘–đ?‘“ < đ?‘–đ?‘– in quanto đ?‘…đ?‘“ > đ?‘…đ?‘– . Gia’ a occchio si intuisce che ha rilevanza il ∆t per il quale si ha la variazione di R.

Occorre studiare la corrente i(t) in t ∈ (đ?‘Ąđ?‘– , đ?‘Ąđ?‘“ ) tenendo conto che deve trattarsi di una corrente decrescente nel tempo con condizioni iniziali e finali per essa date (e dipendenti da đ?‘…đ?‘– đ?‘’đ?‘‘ đ?‘…đ?‘“ ). Dal punto di vista operativo deve ritenersi che i(t) vari con continuita’ secondo una legge monotona quando ad esempio si ammetta costante

đ?‘‘đ?‘… đ?‘‘đ?‘Ą

=

đ?‘…đ?‘“ −đ?‘…đ?‘– đ?‘Ąđ?‘“ −đ?‘Ąđ?‘–

.

In ogni t ∈ (đ?‘Ąđ?‘– , đ?‘Ąđ?‘“ ) deve valere la legge di Kircchoff delle maglie per la quale si ha: đ?‘‘

E – i(t)R(t) − Lđ?‘‘đ?‘Ąi(t) = 0 Anche in questo caso si potrebbe pensare di sviluppare le argomentazioni.

5. La potenza elettrica Per i tre elementi circuitali viene definita la potenza elettrica. Essa viene usualmente misurata in watt (W). Fisicamente la potenza e’ il rapporto tra l’energia e un tempo, quindi si misura in đ?‘—đ?‘Žđ?‘˘đ?‘™đ?‘’ đ?‘ đ?‘’đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘‘đ?‘œ

, ovvero in watt.

Dal punto di vista delle grandezze elettriche la potenza nel dominio del tempo si scrive come:

p(t) = v(t) i(t) ove v(t) e’ la differenza di potenziale elettrico e i(t) e’ la corrente (intensita’ di corrente). In generale si avra’ modo di evidenziare che v(t) e i(t) variano nel tempo secondo una data legge. Quando i(t) e’ costante nel tempo si ha il caso di una corrente continua unidirezionale.

In ogni circuito elettrico si ammette la conservazione della potenza nel senso che la potenza dissipata dagli elementi passivi eguaglia la potenza erogata dai generatori. Per quanto riguarda i resitori e’ ben noto l’effetto Jaule per il quale la potenza si trasforma in calore in quanto “i ripetuti urti che gli elettroni subiscono durante il loro movimento hanno l’effetto di esaltare lo stato di agitazione termica di tutte le particelle che costituiscono la struttura cristallina del conduttore” con la coseguenza che “aumenta la corrispondente energia cinetica e percio’ aumenta la temperatura” ⦋Olivieri, Ravelli⦌. Questo riscaldamento dei circuiti e’ un limite per il loro finzionamento, a volte viene utilizzato a fini pratici e industriali.

Le formule della Potenza sono immediatamente ottenibili e ben note.

p = vi = Rđ?‘– 2 =

đ?‘Ł2 đ?‘…

6. I principi di Kirchhkoff Nella teoria dei circuiti rivestono fondamentale importanza due principi dovuti al fisico tedesco Kirchhkoff. Il primo principio e’ detto anche legge dei nodi. In un circuito elettrico un nodo e’ essenzialmente costituito dalla intersezione di piu’ conduttori o comunque ogni punto compreso tra due elementi circuitali. Si ammette che in ogni nodo di un qualuque circuito la somma delle correnti entranti, convenzionalmente assunte positive, sia eguale alla somma delle correnti uscenti, convenzionalmente assunte negative. Si dice che un nodo non e’ ne’ una sorgente ne’ un posso. La semplice figura qui sotto presente da una adeguata idea della situaazione.

Nel nodo N confluiscono due correnti (quindi positive), ovvero đ??ź1 đ?‘’ đ??ź2 , e da esso defluiscono tre correnti. In questo caso si ha: đ??ź1 +đ??ź2 −đ??ź3 −đ??ź4 −đ??ź5 = 0 ⇔ đ??ź1 +đ??ź2 = đ??ź3 +đ??ź4 +đ??ź5 đ?‘„đ?‘˘đ?‘Žđ?‘›đ?‘‘đ?‘œ al nodo N sono associate n correnti, entranti o uscenti, vale la seguente condizione, che generalizza quanto detto, con riferimento ad un caso concreto. ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ??źđ?‘– = 0 La legge dei nodi “altro non e’ se non una nuova formulazione del principio di conservazione del principio di conservazione della carica elettricaâ€? ⌋Focardi, Massa, UguzzoniâŚŒ. In pratica e’ necessario utilizzare un secondo principio, sempre dovuto al Kirchhkoff comunemente detto legge delle maglie o delle tensioni. đ?‘„đ?‘˘đ?‘’đ?‘™đ?‘™đ?‘œ sotto rappresentato e’ un circuito ad una maglia costituito da una pila, da un resistore e da una lampadina. Il percorso chiuso che lo definisce e’ detto maglia o maglia semplice o anello.

Trattandosi di una pila si ammette che E sia costante nel tempo (finche’ essa non si scarichi…). In realta’ i cuircuiti reali sono ben piu’ complessi e costituiti da un certo numero di maglie semplici… come nel caso sotto evidenziato.

Ho

tratto

questo

esempio

di

ciircuito

dalla

migliore

manualistica

⦋Halliday, Resnick, Walker⦌ che lo propone come esercizio. In questa sede lo voglio citare solo come esempio di circuito costituito da tre maglie elementari facilmente individuabili dai punti con le lettere a, b, c, etc. I punti a ed f definiscono lo stesso nodo.

Infatti essi giacciono su un cortocircuito ideale. A qusto punto si deve ipotizzare di poter misurare la differenza di potenziale tra due punti di una maglia elementare. Cio’ si realizza con uno strumento detto voltmentro. Si dimostra sperimentalmente che pero ogni maglia elementare (anello) vale il principio per il quale: ∑ đ?‘‰đ?‘– = 0 đ?‘†đ?‘– consideri un circuito semplice costituito da un generatore di ddp e da alcuni resistori, come in figura.

Con riferimento a questo semplice circuito il principio delle maglie evidenzia che la tensione del generatore (misurabile con un voltmetro tra i punti A e B) e’ eguale alla somma delle cadute di tensione misurare ai capi dei tre resistori presenti.

E −đ?‘‰đ??ľđ??ś − đ?‘‰đ??śđ??ˇ − đ?‘‰đ??ˇđ??´ = 0 O, equivalentemente: E = đ?‘‰đ??ľđ??ś + đ?‘‰đ??śđ??ˇ + đ?‘‰đ??ˇđ??´ Il principio ha portata generale e si applica a circuiti comunque contenenti induttori e/o condensatori. Esso vala anche quando E vari nel tempo avendo in questo caso che per ogni istante t risulta: E(t) = đ?‘‰đ??ľđ??ś (đ?‘Ą) + đ?‘‰đ??śđ??ˇ (đ?‘Ą) + đ?‘‰đ??ˇđ??´ (t)

In senso fisico va osservato che si hanno le cadute di tensione solo quando circola corrente. Uno dei punti importanti da considerare a breve sara’ proprio costituito dal calcolo della intensita’ di corrente circolante nel circuito. E’ anche possibile ragionare (per via logica, quindi) sui punti del circuito, considerando quindi il potenziale in un punto, dato a meno di una costante. Con riferimento al caso pratico considerato possiamo scrivere che: đ?‘‰đ??´ = 0

đ?‘‰đ??ľ = E đ?‘‰đ?‘? = đ??¸ − đ?‘–đ?‘…1 đ?‘‰đ??ˇ = đ??¸ − đ?‘–đ?‘…1 - đ?‘–đ?‘…2 đ?‘‰đ??´ = đ??¸ − đ?‘–đ?‘…1 - đ?‘–đ?‘…2 - đ?‘–đ?‘…3 Ma si era posto VA = 0 Pertanto: đ??¸ − đ?‘–đ?‘…1 - đ?‘–đ?‘…2 - đ?‘–đ?‘…3 = 0 In queste condizioni e’ immediato il calcolo della corrente circolante i. Si puo’ infatti riordinare e raccogliere i a fattore comune avendo: E = i (đ?‘…1 + đ?‘…2 + đ?‘…3 ) da cui si ottiene:

i=đ?‘…

đ??¸

1 +đ?‘…2 +đ?‘…3

Si deve ammettere sia i(t) = i(E(t) , ��≤� ) Deve ritenersi che la caduta di tensione ai capi di un resistore dipenda dal valore della resistenza, ovvero da R, ma per la legge di Ohm pure da i (corrente circolante), ma in realta’ i dipende da E quindi si puo’ affermare che:

đ?‘‰đ?‘… (đ?‘Ą) = V(E(t), R) La legge delle maglie “non esprime affatto una nuova proprieta’ fisica, ma semplicemente la proprieta’ conservative del campo elettrostaticoâ€? ⌋Focardi, Massa, UguzzoniâŚŒ. Quando nel calcolo di una corrente circolante si ottiene una valore di i negativo, allora si deve intendere che essa circola in senso (convenzionale) opposto rispetto a quello pure convenzionale ipotizzato sulla base delle convenzioni utilizzate e introdotte in relazione agli elementi passivi e ai generatori.

7. Serie e paralleli di bipoli passivi Due elementi circuitali passivi, quali i resistori, si dicono essere in serie quando sono attraversati dalla stessa corrente. Due elementi circuitali passivi si dicono in parallelo (o in derivazione) quando ai capi di essi si misura la medesima differenza di potenziale elettrico. Gia’ si e’ considerato il caso delle resistenze in serie. La resistenza equivalente đ?‘…đ?‘’ di n resistori in serie e’ semplicmente đ?‘…đ?‘’ = ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘…đ?‘– . Va ora considerato il caso di due resistori in derivazione.

La situazione e’ ben schematizzata come segue.

In questo caso la corrente đ??ź0 si ripartisce tra i due resistori in modo tale che ai capi delle due resistenze si misuri la medesima differenza di potenziale elettrico. In definitiva risulta che V = đ?‘…1 đ??ź1 = đ?‘…2 đ??ź2 Le due correnti sono inversamente proporiziali ai valori delle resistenze sotto il vincolo đ??ź1 + đ??ź2 = đ??ź0. Si ha: đ?‘…1 đ?‘…2

đ??ź

= đ??ź2 1

đ??śđ?‘– si deve chiedere: quale valore deve avere una unica resistenza đ?‘…đ?‘’ che sositituita alle due consenta il passaggio di una corrente đ??ź0 risultando V la d.d.p. ? đ??ˇđ?‘’đ?‘Łđ?‘’ risultare V = đ?‘…đ?‘’ đ??ź0

đ??ťđ?‘œ gestito la situazione coi seguenti passaggi: đ?‘‰

�

1

2

1

1

V = đ?‘…đ?‘’ đ??ź0 = đ?‘…đ?‘’ (đ??ź1 + đ??ź2 ) = đ?‘…đ?‘’ (đ?‘… + đ?‘… ) = đ?‘…đ?‘’ V( đ?‘… + đ?‘… ) 1

1

2

1

Da V = �� V( � + � ) dividendo per V ≠0 si ha: 1

1

2

1

1 = đ?‘…đ?‘’ ( đ?‘… + đ?‘… ) 1

2

Immediatamente si ricava che:

đ?‘…đ?‘’ =

1 1 1 + đ?‘…1 đ?‘…2

đ?‘… đ?‘…

ovvero đ?‘…đ?‘’ = đ?‘… 1+đ?‘…2 1

2

In termini fisici la sostituzione delle resistenze đ?‘…1 đ?‘’ đ?‘…2 con la resistenza

đ?‘…1 đ?‘…2 đ?‘…1 +đ?‘…2

fa si

che la tensione sia sempre V e in essa circoli la corrente đ??ź1 + đ??ź2 = đ??ź0. Con riferimento al caso di n resistori in parallelo si ha che:

đ?‘…đ?‘’ =

1 ∑đ?‘–≤đ?‘›

1 đ?‘…đ?‘–

1

đ??ża grandezza fisica đ?‘… = đ??ş e’ detta conduttanza e la sua unita’ di misura nel S.I. e’ il siemens (S≥ đ?›ş −1).

Va ora considerato il caso dei condensatori in serie. Per gli scopi di questo elaborato C e’ da intendersi come una costante, legata alla forma geometrica della capacita’ che si considera. C deve considerasi costante anche nel dominio del tempo. I seguenti due condensatori sono in serie

La parte sottostante evidenzia la situazione equivalente con il condensatore đ?‘„

đ?‘„

1

1

1

2

1

2

equivalente di capacita’ đ??śđ?‘’ per la quale đ?‘‰đ??śđ?‘’ = đ?‘‰đ??ś1 + đ?‘‰đ??ś2 = đ??ś + đ??ś = Q(đ??ś + đ??ś ). đ?‘„

Ma đ?‘‰đ??śđ?‘’ = đ??ś e pertanto: đ?‘’

đ?‘„ đ??śđ?‘’

1

1

1

2

= Q(đ??ś + đ??ś ). 1

Moltiplicando tutto per � ≠0 si ha:

1 đ??śđ?‘’

=

1 đ??ś1

+

1 đ??ś2

.

đ??źđ?‘› generale per n capacita’ in serie si ha che quella equivalente vale 1 đ??śđ?‘’

1

= ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘?

đ?‘–

Bisogna tenere conto che quando si collegano in serie i condensatori su di essi di depositano le cariche + Q e – Q.

Quando i condensatori sono in parallelo il vincolo e’ dato dalla commune differenza di potenziale ai capi di essi. Se V indica la commune d.d.p. allora risulta che: đ?‘„1 = đ??ś1V đ?‘„2 = đ??ś2 V đ??źđ?‘™ condensatore equivalente ha una capacita’ equivamente đ??śđ?‘’ tale che: đ?‘„1 + đ?‘„2 = đ??śđ?‘’ V đ??ś1 V +đ??ś2 V = đ??śđ?‘’ V (đ??ś1 +đ??ś2 )V = đ??śđ?‘’ V

Dividendo per V ≠0 si ha: đ??ś1 +đ??ś2 = đ??śđ?‘’ In generale quando si considerino n condensatori in derivazione si ha: đ??śđ?‘’ = ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ??śđ?‘–

Vanno ora considerati gli induttori in serie. Due induttori sono in serie quando sono attraversati dalla medesima corrente.

L’induttore equivalente e’ un induttore attraversato dalla medesima corrente che scorre in đ??ż1 đ?‘’ đ??ż2 e tale che đ?‘‰đ??żđ?‘’ = đ?‘‰đ??ż1 + đ?‘‰đ??ż2 . Dalle leggi costitutive delle induttanze date si ha: đ?‘‘

đ?‘‘

đ?‘‘

đ??żđ?‘’ đ?‘‘đ?‘Ąi(t) = đ??ż1 đ?‘‘đ?‘Ąi(t)+ đ??ż2 đ?‘‘đ?‘Ąi(t)

đ?‘œđ?‘Łđ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ: đ??żđ?‘’ = đ??ż1 + đ??ż2 Se le induttanze in serie sono n si generalizza come segue: đ??żđ?‘’ = ∑đ?‘–≤đ?‘› đ??żđ?‘–

Con riflssioni analaoghe si possono prendere in considerazione il caso delle induttanze in parallelo.

8. Energia immagazinata nel condensatore e nell’induttore Il condensatore e l’induttore sono elementi circuitali che possono immagazinare energia. 8.1 Energia immagazzinabile nel condensatore E’ utile quantificare l’energia immagazinabile a partire dal condensatore. Nel caso del condensatore si puo’ partire dalla definizione di potenza elettrica data dalla formula: ��

đ?‘‘ 1

p = vi = Cv đ?‘‘đ?‘Ą = đ?‘‘đ?‘Ą(2Cđ?‘Ł 2 )

Vorrei osservare, anche sulla falsariga di quanto ho rinvenuto ⌋Edminister, NahviâŚŒ, che si puo’ determinare la energia immagazzinata coi seguenti passaggi formali: đ?‘Ą

�

0

đ?‘Ąđ?‘œ

đ?‘‘đ?‘Ł

�

1

W = âˆŤđ?‘Ą 1 đ?‘?đ?‘‘đ?‘Ą = âˆŤđ?‘‰ đ?‘Ą1 đ??śđ?‘Ł đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą = âˆŤđ?‘‰ đ?‘Ą1 đ??śđ?‘Łđ?‘‘đ?‘Ł = 2 đ??ś(đ?‘‰đ?‘Ą1 )2 đ?‘Ąđ?‘œ

Si suppone che inizialmente il condensatore sia scarico e quindi sia đ?‘‰đ?‘Ąđ?‘œ = 0. Quindi l’energia al tempo đ?‘Ą0 vale 0. đ?‘‰

đ?‘‘đ?‘Ł

đ?‘Ą âˆŤđ?‘‰ 1 đ??śđ?‘Ł đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą e’ una forma inelegante ma comunque‌ đ?‘Ąđ?‘œ

8.2

Energia immagazzinabile in un induttore

E’ nota la formula della potenza elettrica valida per un induttore di induttanza L. La formula della potenza risulta essere: ��

p = pi = L�� L’energia immagazzinata nell’induttanza vale: �

đ?‘–(đ?‘Ą )

0

0

đ?‘‘đ?‘–

đ?‘–(đ?‘Ą )

1

W = âˆŤđ?‘Ą 1 đ?‘?đ?‘‘đ?‘Ą = âˆŤđ?‘–(đ?‘Ą 1) đ??ż đ?‘‘đ?‘Ądt = âˆŤđ?‘–(đ?‘Ą 1) đ??żdi = 2L(đ?‘–(đ?‘Ą1 )2 ) in quanto si ammette sia đ?‘–(đ?‘Ą0 )= 0.

0

Seconda parte – Forme d’onda e segnali

1. Funzioni periodiche e segnali periodici Come e’ noto i segnali periodici sono descritti da funzioni matematiche periodiche per le quali f(t) = f(t + kT) per ogni valore di t, ove k e’ un intero relativo. T e’ il periodo della funzione. Sono tipicamente periodici i segnali di tensione e di corrente che variano nel dominio del tempo. Sono sicuramente di pertinenza i segnali sinusoidali, che con riferimento alle tensioni possono essere definiti come segue: V(t) =đ?‘‰0sin( ωt + đ?œƒ) La grandezza θ e’ detta fase. đ?‘‰0 e’ comunemente detta ampiezza e corrisponde al massimo che la funzione assume quando sin( ωt + đ?œƒ) =1. Un ulteriore esempio di segnale periodico e’ sicuramente rappresentato dall’onda quadra, rappresentabile nel dominio del tempo come segue.

.

Nella figura e’ ben evidenziato anche il periodo T. Questo segnale ha una ulteriore proprieta’, quella di essere un segnale alternato. La caratteristica dei segnali alternati e’ quella di avere un valore medio pari a 0 nel periodo. Cio’ si realizza ammettendo, come solitamente avviene nel calcolo integrale, che le aree al di sopra dell’asse delle x siano positive e quelle al di sotto siano negative. E’ evidente che non esiste una correlazione stretta tra segnali periodici e segnali alternate, nel senso che non necessariamente un segnale periodico e’ anche alternato. Se si disegna un segnale periodico come quello seguente si comprende che dalla sua periodicita’’ non discende l’essere un segnale alternato.

Basta confrontare le aree positive e negative per capire‌ La condizione per la quale una funzione f(t) sia associabile ad un segnale alternato di periodo T e’ che: đ?œ?+đ?›ź

âˆŤđ?œ?

đ?œ?+đ?‘‡

đ?‘“(đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą =| âˆŤđ?œ?+đ?›ź đ?‘“(đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą |

đ??źđ?‘› essi si ammette sia f(t) non negativa per t ∈ (đ?œ?, đ?œ? + đ?›ź) e non positiva per t ∈ (đ?œ? +đ?›ź, đ?œ? + đ?‘‡) Per una ampia parte dei segnali (sinusoidale e onda quadra, ad esempio) risulta đ?›ź =

� 2

.

Cio’ non e’ vero in generale come accade nel caso di certi segnali alternati rettangolari. Vanno considerate le grandezze sinusoidali definite dalla relazione: V(t) =đ?‘‰0sin( ωt + đ?œƒ)

La grandezza ωt e’ misurata in

đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘ đ?‘ đ?‘’đ?‘?

sec, ovvero in radianti, quindi e’ adimensionata.

Valgono semplici relazioni che e’ utile ricordare. In particolare l’inverso del periodo di una funzione e’ comunemente detto frequenza, risultando che:

f=

1 �

L’unita’ di misura della frequenza e’ detto hertz (Hz) in onore del fisico Hertz che scopri’ sperimentalmente le onde elettromagnetiche, previste teoricamente da Maxwell. Essa e’ il numero dei cicli di oscillazione nell’unita’ di tempo. Tra le grandezze interessate sussiste questa fondamentale relazione: ωT = 2đ?œ‹ Per i segnali periodici viene definito con rigore il valore medio. 1

�

E = â&#x;¨f(t)â&#x;Š = đ?‘‡ âˆŤđ?‘œ đ?‘“(đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą Per i segnali alternati risulta â&#x;¨f(t)â&#x;Š = 0. Il valore efficace di un segnale periodico viene definito come segue:

2

1

�

đ?‘Łđ?‘’đ?‘“đ?‘“ = √đ?‘‡ âˆŤđ?‘œ đ?‘“ 2 (đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą

�� tratta sostanzialmente di esercizi di Analisi. Nel caso delle tensioni sinusoidali si dimostra che sussiste questa ben nota relazione:

���� =

đ?‘‰đ?‘œ √2

indipendentemente dalla fase e dalla frequenza ⦋Edminister, Nahvi⦌. Vi sono alcune importanti funzioni canoniche che vanno considerate. La prima di esse e’ la funzione gradino unitario.

La funzione che si considera e’ u(t) =0 per t ∈ (−∞, 0) e u(t)= 1 per t ∈ ( 0, +∞) e non e’ definita per t =0. La funzione ha quindi una discontinuita’ a salto. Esiste una ulteriore funzione detta rampa unitaria, ben rappresentata dalla figura sottostante.

Essa e’ di immediata interpretazione.

La funzione rampa e’ derivabile. Nei tratti in cui detta funzione e’ costante la sua derivata risulta nulla, mentre nell’intervallo ⌋0, TâŚŒ si ha un segmento di retta per ∆đ?‘Œ

1−0

1

cui la derivata vale ∆đ?‘‹ =đ?‘‡âˆ’0 = đ?‘‡. La situazione puo’ essere graficata come segue:

L’area azzurrina vale 1. Per T → 0 si ottiene la funzione impulso unitario detta anche δ(t) di Dirac. Nella figura e’ evidenziato un impulso unitario nell’istante đ?‘Ą0 Si ha δ(t - đ?‘Ą0 )

Detta area smilza vale 1 e cio’ viene formalizzato come segue: +∞

âˆŤâˆ’âˆž đ?›ż(đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą = 1 đ?‘†đ?‘’ l’impulso dura dt secondi si puo’ considerare un intervallo infinitesimo centrato in 0 definito come âŚ‹âˆ’

đ?‘‘đ?‘Ą 2

,

đ?‘‘đ?‘Ą 2

âŚŒ o equivalentemente l’intervallo di pari ampiezza ⌋0 ,

dtâŚŒ. 1

1

L’altezza del rettangolo ideale vale đ?‘‘đ?‘Ą in quanto dtđ?‘‘đ?‘Ą = 1. Questo spiega l’asserzione δ(t) =+∞ per t = 0. Molte volte si considerano impulsi di area A ovvero impulsi di ampiezza A definiti come Aδ(t). L’impulso in istanti diversi da 0 sono cosi’ rappresentati.

I due impulsi sono assunti per comodita’ entrambi unitari.

Da ultimo vanno considerati i segnali il cui andamento nel dominio del tempo e’ modellizzato dalla funzione esponenziale, ovvero ad andamento esponenziale. Anche in questo caso la funzione esponenziale viene considerata nel dominio del tempo, ovvero la si considera come: y(t) = � �� . L’esponenziale deve essere adimensionato. Pertanto a, che e’ solitamente un numero reale, ha le dimensioni di una frequenza.

La grandezza

1 đ?‘Ž

viene solitamente chiamata costante di tempo e viene usualmente

indicata con la lettera đ?œ?. Esiste una particolare funzione esponenziale, detta decrescente, che ha la seguente forma: y(t) = đ?‘’ −đ?‘Žđ?‘Ą Per essa si ha dom (đ?‘’ −đ?‘Žđ?‘Ą ) = ⌋0, +∞).

Il codominio di detta funzione e’ (0, 1âŚŒ. Un esempio particolare e’ la cosidetta funzione esponenziale normalizzata, che ha la seguente rappresentazione formale:

y(t) = đ?‘’ −đ?‘Ą

Negli studi di elettotecnica

⌋Edminister, NahviâŚŒ viene spesso utilizzata una

particolare funzione esponenziale posta nella forma seguente: f(t) =A đ?‘’ −đ?‘Žđ?‘Ą + B In essa a e’ l’inverso della costante di tempo. Credo sia utile osservare che il valore iniziale sia dato da f(0) che risulta essere eguale a A + B. La ragione e’ immediata in quanto đ?‘’ 0 = 1. Quello che nell’ottimo testo citato viene indicato come valore finale lo si ottiene semplicemente con una operazione di passaggio al limite, come di seguito indicato: lim (−đ?‘Žđ?‘Ą)

f(t→+∞) =A đ?‘’ đ?‘Ąâ†’+∞

+ B = A0 + B

In modo conciso si e’ usi scrivere f(∞) = B. Un segnale particolarmente frequente e’ quello sinusoidale smorzato. Nel dominio del tempo detto segnale viene scritto nel modo seguente: v(t) = A đ?‘’ −đ?‘Žđ?‘Ą sin(ωt + đ?œƒ)

Terza parte – Circuiti del primo e del secondo ordine

1. I circuiti RC Si considerano due distinti circuiti, il primo dei quali e’ detto circuito RC, che, come ben si comprende, e’ costituito da un resistore di resistenza R e da un condensatore di capacita’ C. Si considera un circuito costituito da un generatore di fem V in continua che eroga per t ≥ 0. In termini equivalenti, adattando quanto noto ⦋Edminister, Navhi⦌ si puo’ pensare di condiderare la funzione che definisce il generatore del tipo Vu(t), ove u(t) e’ una funzione a gradino tale che u(t) =0 per t < 0 e u(t) =1 per t ≥ 0. Solitamente si ammette che il generatore eroghi per t > 0. Ragionare con la funzione u(t) ha un equivalente molto piu’ noto, ovvero ammettere che viene chiuso un interruttore al tempo t =0 (convenzionale).

Le due situazioni (equivalenti) sono le seguenti.

Per tempi positivi (ogni istante successivo alla chiusura del circuito) deve valere il secondo principio di Kirckkoff per il quale risulta: V − đ?‘–(đ?‘Ą)đ?‘… – v(t) = 0 i(t) indica la corrente circolante. v(t) indica la differenza di potenziale ai capi del condensatore. Essa non e’ costante nel tempo. Si ammette che il condensatore sia scarico (non siano accumulate cariche, Âą Q, sulle armature di esso) e che quindi sia v(0) = 0. Detta relazione esprime una condizione iniziale. Detta condizione iniziale si esprime ammettendo che in un intervallo simmetrico e infinitesimo di t = 0 sia v(đ?œ€) = 0 ∀ đ?œ€ đ?œ– (−đ?œ€0 , đ?œ€0 ).

A rigore il II principio andrebbe riferito a t ≼ đ?œ€0 > 0. Fisicamente e’ ben evidente che la corrente i(t) che circola nel resistore di resistenza R e’ la medesima che sarebbe misurabile con un amperometro nel tratto XY del circuito. E’ poi ben noto in relazione al condensatore di capacita’ C che vale la relazione i(t) đ?‘‘

= Cđ?‘‘đ?‘Ą v(t) Bisogna, a questo punto, impostare l’equazione differenziale che definisce la tensione istantanea. V − đ?‘–(đ?‘Ą)đ?‘… – v(t) = 0 consente di scrivere V = đ?‘–(đ?‘Ą)đ?‘… – v(t). Per t > 0 V deve essere considerato costante e strettamente positivo. Vale come detto la condizione iniziale v(0) = 0 Con una banale sostituzione si ottiene: đ?‘‘

V = Cđ?‘‘đ?‘Ą v(t) đ?‘… – v(t) Dividendo poi ambo i membri per RC ≠0 si ottiene: đ?‘‰ đ?‘…đ??ś

đ?‘‘

= đ?‘‘đ?‘Ą v(t) -

đ?‘Ł(đ?‘Ą) đ?‘…đ??ś

Dalla teoria delle equazioni differenziali ordinarie risulta che la funzione v(t) che soddisfa il problema (soluzione generale) e’: �

v(t) = V + Ađ?‘’ −đ?‘…đ??ś ove RC e’ la costante di tempo del circuito RC. Dalla soluzione generale dell’equazione differenziale considerata si ottiene anche la condizione iniziale, ovvero v(t : t →0+ ) = V+A = 0 â&#x;ş V = - A.

Questo consente di ottenere i valori istantanei di corrente e di tensione per t > 0 nella forma ben nota, ovvero: đ?‘Ą

v(t) = V(1 - đ?‘’ −đ?‘…đ??ś )

�

đ?‘Ą

i(t) = đ?‘… đ?‘’ −đ?‘…đ??ś Il passaggio dal transitorio al regime si ha per t ≼ 5RC. In questo caso (t ≼ 5RC) la tensione v(t≼ 5RC) ≅ V e non circola corrente con la conseguenza che deve ritenersi non esistetente ai capi di R alcuna caduta di tensione. In astratto deve ritenersi che si ha questo equivalente circuitale.

Questa figura e’ coerente con il II principio di Kirchhkoff per il quale si ha: đ?‘‰đ??´ = 0 đ?‘‰đ??ľ = đ?‘‰đ??´ + E = đ?‘‰đ??ś đ?‘‰đ??ˇ = đ?‘‰đ??´ =đ?‘‰đ??ś - E = E – E.

2. I circuiti RL Un secondo importante circuito del primo ordine contiene oltre al generatore in continua un resistore di resistenza R ed un induttore di induttanza L, note. Si tratta del cosiddetto circuito RL. đ?‘…

Si vedra’ che in questo caso la costante di tempo viene indicata come đ??ż . Il circuito contiene, come detto una resistenza e una induttanza note, secondo lo schema seguente:

In parole povere la situazione fisica e’ la seguente. In un certo istante t =0 si decide di chiudere il circuito. Ovviamente per t < 0 non circola corrente (condizione di circuito aperto). Chiuso il circuito (nell’istante t = 0) comincera’ a circolare corrente non istantaneamente ma dopo un tempo đ?œ€0 molto piccolo. Ma per ogni đ?œ€ < đ?œ€0 si puo’ ammettere che non circoli corrente nel circuito. Pertanto in questi termini si puo’ porre la condizione iniziale i(0+ ) =0 o equivamentemente i(0≤ đ?œ€ < đ?œ€0 ) =0. In realta’ data la condizione di cirucito aperto la condizione iniziale, vera per t < 0, e’ vera ∀đ?œ€ âˆś đ?œ€ đ?œ– (−∞, đ?œ€0 ). In condizione di circuito chiuso si puo’ agevolmente applicare la condizione di Kirckkoff alla maglia avendo che: E – i(t)R - đ?‘Łđ??ż (t) = 0

Cio’ che interessa conoscere e’ l’andamento di đ?‘Łđ??ż (t) e di i(t). Vi e’ una ragione pratica per la quale e’ essenziale conoscere l’andamento di i(t). Cio’ e’ dovuto essenzialmente alla circostanza che đ?‘Łđ??ż (t) dipende da i(t).

Piu’ rigorosamente si sa che đ?‘Łđ??ż (t) = đ??ż

đ?‘‘ đ?‘–(đ?‘Ą) đ?‘‘đ?‘Ą

.

Con la teoria delle equazioni differenziali ordinarie si dimostra che: đ?‘Ąđ?‘…

đ??¸

i(t) = Ađ?‘’ − đ??ż + đ?‘…

La condizione iniziale puo’ essere riscritta come segue:

i(t→0+ ) = A�

đ?‘Ąđ?‘… đ?‘Ąâ†’0 + đ??ż

− lim

đ??¸

đ??¸

đ??¸

+đ?‘… =A+đ?‘… =0 â&#x;şA=-đ?‘…

Questo risultato sulla condizione iniziale consente di ottenere i(t) e đ?‘Łđ??ż (t) avensosi, rispettivamente che: đ?‘Ąđ?‘…

đ??¸

i(t) = đ?‘… (1 −đ?‘’ − đ??ż )

đ?‘Łđ??ż (t) = đ??ż

đ?‘‘ đ?‘–(đ?‘Ą) đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘Ąđ?‘…

= Eđ?‘’ − đ??ż

đ?‘…

đ?‘…

đ??ż

đ??ż

đ??ˇđ?‘œđ?‘?đ?‘œ un t ≼ 5 il transitorio si e’ esaurito e si passa al regime con i(t ≼ 5 ) = đ?‘–đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘” = costante. đ?‘…

Pertanto, a regime, essendo la corrente circolante costante, risulta đ?‘Łđ??ż (t≼ 5 đ??ż ) = 0. Il circuito considerato, a regime, e’ equivalente al seguente puramente ohmico, cui si applica la legge di Ohm.

Nella pratica non si ha a che fare con una tensione costante E, quale quella di una pila bensi’ con in generatore la cui tensione varia nel dominio del tempo. In buona sostanza il problema si generalizza sostituendo alla costante E una funzione nel dominio del tempo E(t) che nel linguaggio elettrotecnico viene chiamata funzione forzante. Essa descrive in termini matematici il cosidetto segnale di ingresso.

Sia per il circuiti RL che per i circuiti RC, comunemente detti circuiti del primo ordine, si ottiene una equazione differenziale ordinaria del primo ordine (ovvero contenente una funzione incognita e la sua derivata prima). La modellizzazione in termini di equazione differenziale ordinaria del primo ordine ben giustifica il fatto che essi vengano chiamati circuiti del primo ordine!

3. I circuiti del secondo ordine Vanno fatti cenni a circuiti piu’ complessi, detti del secondo ordine costituiti da un resistore di resistenza R, da un condensatore di capacita’ C e da un induttore di induttanza L. Quando viene chiuso il generatore si puo’ applicare il II principio di Kirckkhoff alla maglia avendo che: đ?‘Łđ?‘… +đ?‘Łđ??ż +đ?‘Łđ?‘? = 0 đ?‘‘đ?‘–

1

đ?‘Ą

đ?‘…đ?‘– + đ??ż đ?‘‘đ?‘Ą + đ??ś âˆŤ0 đ?‘–(đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą = 0 Detta relazione e’ differenziabile, avendosi che: đ?‘‘đ?‘–

đ?‘‘

đ?‘‘đ?‘–

1 đ?‘‘

đ?‘Ą

Rđ?‘‘đ?‘Ą + L đ?‘‘đ?‘Ą (đ?‘‘đ?‘Ą) +đ??ś đ?‘‘đ?‘Ą âˆŤ0 đ?‘–(đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ą = 0

đ?‘‘2

đ?‘‘đ?‘–

1

Rđ?‘‘đ?‘Ą + Lđ?‘‘đ?‘Ą 2 i(t) +đ??ś i(t) = 0 Dividendo per L ≠0 si ottiene che: đ?‘‘2 đ?‘‘đ?‘Ą 2

i(t) +

đ?‘… đ?‘‘đ?‘–

1

+ i(t) = 0 đ??ż đ?‘‘đ?‘Ą đ??ś

�� tratta di una equazione omogenea del II ordine cui corrisponde la seguente equazione caratteristica: �

1

đ?‘Ľ 2 + đ??ż đ?‘Ľ +đ??ś đ?‘Ľ 0 = 0

đ?‘…

2

đ?‘…

1

đ??żđ?‘’ due soluzioni sono đ?‘Ľ1,2 = − 2đ??ż Âą √(2đ??ż)2 − đ??żđ??ś đ?‘…

La quantita’ 2đ??ż e’ detta fattore di smorzamento e viene indicate con la lettera đ?›ź.

La quantita’

1 đ??żđ??ś

viene indicata come đ?œ”02 e solitamente se ne considera la radice

quadrata, ovvero si scrive đ?œ”0 = 2

1

√đ??żđ??ś

misutata in

đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘ đ?‘ đ?‘’đ?‘?

.

Affinche’ le due soluzioni siano reali e distinte occorre ed e’ sufficiente che sia 1 2

√đ??żđ??ś

.

Nel caso indicato la soluzione generale e’: i(t)= đ?‘’ −đ?›źđ?‘Ą (đ??´1 đ?‘’ đ?›˝đ?‘Ą +đ??´2 đ?‘’ − đ?›˝đ?‘Ą )

đ?‘… 2đ??ż

>

2

đ?‘…

1

In essa si e’ posto đ?›˝ = √(2đ??ż)2 − đ??żđ??ś

I parametri đ??´1 e đ??´2 sono determinati a partire dale condizioni iniziali. Quella riferita all’induttore presuppone nella la corrente in un intervallo infinitesimo simmetrico dello 0 mentre la seconda deve tenere conto della carica iniziale Q del condensatore che potrebbe essere non nulla, imponendo quindi đ?‘Łđ??ś (0) ≠0.

Vi e’ un caso particolare detto smorzamento critico che si ha per

R 2L

=

1 2

.

√LC

In questo caso la soluzione generale assume una forma piu’ semplice, del tipo: i(t) = đ?‘’ −đ?›źđ?‘Ą (đ??´1 + đ?‘Ąđ??´2 ) Nel caso ultimo possibile, quello del comportamento oscillatorio risulta che 2

đ?‘…

1

√( )2 − e’ un numero immaginario. 2đ??ż đ??żđ??ś

La soluzione viene solitamente scritta in forma complessa, ovvero: i(t) = đ?‘’ −đ?›źđ?‘Ą (đ??´1 đ?‘’ đ?‘–đ?›˝đ?‘Ą +đ??´2 đ?‘’ −đ?‘–đ?›˝đ?‘Ą ), ove i ≥ (0, 1).

Con considerazioni analoghe si studiano i circuiti RCL parallelo ovvero ciruciti schematizzati come segue.

4. La frequenza complessa E’ bene ricordare che un numero complesso (a, b) e’ ponibile in notazione esponenziale e in notazione complessa come segue: đ?‘’ đ?‘–đ?œ‘ = cosđ?œ‘ + đ?‘–đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ‘ đ?‘?

In esse đ?œ‘ = đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘”(đ?‘Ž ). Utilizzando le notazioni contenenti la fase đ?œ— đ?‘’ ′ possibile scrivere che: đ?‘’ đ?‘–(đ?œ”đ?‘Ą+đ?œ—) = cos(đ?œ”đ?‘Ą + đ?œ—) + đ?‘–đ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?œ”đ?‘Ą + đ?œ—) Il numero complesso considerato ha una parte reale eguale a cos(đ?œ”đ?‘Ą + đ?œ—) e si scrive Re(z) = cos(đ?œ”đ?‘Ą + đ?œ—).

Dette parte reale ⌋Edminister, NahviâŚŒ viene moltiplicata per una costante reale A ed il fattore esponenziale reale đ?‘’ đ?œŽđ?‘Ą . Re(z) = cos(đ?œ”đ?‘Ą + đ?œ—) = đ?‘…đ?‘’ ( đ?‘’ đ?‘–(đ?œ”đ?‘Ą +đ?œ—) ) Ađ?‘’ đ?œŽđ?‘Ą Re(z) = Ađ?‘’ đ?œŽđ?‘Ą cos(đ?œ”đ?‘Ą + đ?œ—) = đ??´đ?‘’ đ?œŽđ?‘Ą đ?‘…đ?‘’ ( đ?‘’ đ?‘–(đ?œ”đ?‘Ą+đ?œ—) ) Il generico segnale di questa forma viene scritto come: v(t) = đ?‘‰đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ đ?‘’ đ?œŽđ?‘Ą cos(đ?œ”đ?‘Ą +đ?œ— ) = Ađ?‘’ đ?‘ đ?‘Ą , essendo s = Ďƒ +jđ?œ”.

Quarta parte – Regime permanente sinusoidale 1. Circuiti puramente resistivi, capacitivi e induttivi Si possono considerare circuiti nei quali il segnale e’ sinusidale, ovvero caratterizzati da un generatore che determina una tensione sinusoidale per il quale risulta E(t)=đ??¸đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ cos(đ?œ”đ?‘Ą + đ?œ‘) L’angolo đ?œ‘ viene comunemente detto fase della tensione. Per t = 0 si ha E(0)=đ??¸đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ cos(đ?œ”0 + đ?œ‘) =đ??¸đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ cos(đ?œ‘) đ??¸(0)

đ?œ‘ = arccos (đ??¸

đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ

)

�� rimarcato che la fase e’ caratteristica della grnadezza che si considera, e quindi, e’ bene riscrivere la relazione data nel modo seguente:

E(t)=đ??¸đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ cos(đ?œ”đ?‘Ą + đ?œ‘đ??¸ ) Il tipo piu’ semplice di circuito sinusoidale e’ quello puramente resistivo, costituito da un generatore si segnale sinusoidale e da un resistore di resistenza R. Al circuito si applica banalmente la legge di Ohm scritta tenendo conto che la tensione e la corrente circolante variano periodicamente secondo la legge data, ovvero risulta:

i(t) =

đ??¸(đ?‘Ą) đ?‘…

=

đ??¸đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?œ”đ?‘Ą+ đ?œ‘đ??¸ ) đ?‘…

La corrente i(t) ha un andamento sinusoidale descritto dalla relazione seguente: i(t) = đ??źđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?œ”đ?‘Ą + đ?œ‘đ??ź ) Si osservi che gli angoli đ?œ‘đ??¸ đ?‘’ đ?œ‘đ??ź sono eguali. Si dice, al riguardo, che la tensione e la corrente sono in concordanza di fase. Questa asserzione non e’ vera nel caso di circuiti capacitivi o induttivi, ovvero costituiti da un generatore di segnale sinusoidale e da una capacita’ oppure da una induttanza. Il secondo caso di circuito elementare e’ quello puramente induttivo, costituito da un generatore di corrente alternata sinusoidale E(t) e da una induttanza L. Se l’induttanza L e’ attraversata da una corrente i(t) = Icos( ωt + φI ) dalla legge costitutiva del solenoide si ha đ?‘Łđ??ż (t) = L

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

i(t)= −đ??żđ?œ” Isin(ωt + φI ) = đ?œ”LI cos(

đ?œ‹

ωt + φI + 2 ) Pertanto data la corrente si potrebbe misurare la tensione generata dal generatore di tensione risultanto, per la legge di Kirchhkoff, che l’equazione di maglia e’: E(t) −đ?‘Łđ??ż (t) = 0 ed equivalentemente si ha:

Emax cos(ωt + φE ) = đ?‘Łđ??ż (t) = L

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

i(t)

Se e’ data la corrente si ricava đ?‘Łđ??ż (t) e quindi E(t). đ?œ‹

La corrente e’ in ritardo di fase di 2 . Il terzo caso di circuito elementare e’ quello puramente capacitivo per il quale si ha.

Si puo’ ammettere che nel circuito passi una corrente i(t) = I cos( ωt + φI ). �

La legge costitutiva del condensatore impone i(t) = C ��v(t) Sia v(t) = Vcos( ωt + φv )

Derivando detta funzione si ottiene đ?œ‹

φV + 2 ). Quindi la corrente e’: đ?œ‹

i(t) = CVωcos( ωt + φV + 2 )

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

v(t) = -Vđ?œ” sin( ωt + φV ) = Vđ?œ” cos( ωt +

Si e’ rinvenuta una relazione che nel testo (ottimo!) utilizzato ⌋Edminister, NahviâŚŒ viene data in una forma semplificata per la quale đ?œ‘đ?‘‰ = 0.

Per quello che conosco dei circuiti l’approccio di considerare la corrente circolante e’ interessante in quanto, note le componenti passive e note quindi le leggi constitutive, consente di determinare la tensione erogata dal generatore. Schematicamente si ha questa situazione.

Si possono considerare i due punti A e B evidenziando anche logicamente che: đ?‘‰đ??ľ (đ?‘Ą)−đ?‘‰đ??´ (t) = E(t) = đ?‘Łđ?‘… (đ?‘Ą) + đ?‘Łđ??ż (đ?‘Ą) + đ?‘Łđ?‘? (t)

In detti circuiti la corrente circolante i(t) dipende dalla tensione E(t) ma anche da R, C ed R. Noto i(t) e noti R, C ed L si ottiene E(t). Noto E(t) e noti i valori di R, L e C posti in serie occorre partire dalla relazione di Kirchhoff avendosi che: E(t) − đ?‘Łđ?‘… (đ?‘Ą) − đ?‘Łđ??ż (đ?‘Ą) − đ?‘Łđ?‘? (t) = 0 Viene osservato molto opportunamente ⌋Focardi, Massa, UguzzoniâŚŒ che “per rendere piu’ semplice lo studio dei circuiti in tensione alternataâ€? “la tensione alternata (‌) puo’ essere come la parte reale della grandezza complessa V = đ?‘‰0 đ?‘’ đ?‘—đ?œ”đ?‘Ą . Detta grandezza e’ rappresentabile nel piano di Gauss Argand come un vettore di modulo đ?‘‰0 che ruota con velocita’ angolare đ?œ”. La generalizzazione della legge di Ohm conduce alla definizione della grandezza fisica detta impedenza. La impedenza resistiva coincide con la resistenza e si scrive đ?‘?đ?‘… =R.

Nel caso della impedenza induttiva si utilizza la relazione đ?‘?đ??ż =jđ?œ”L.

Nel caso della impedenza capacitiva si utilizza la relazione đ?‘?đ??ś = −

đ?‘— đ?œ”đ??ś

.

Nei circuiti reali le impedenze in serie si comportano come le resistenze in serie. Si consideri ad esempio il circuito seguente RLC serie.

Nei circuiti in alternata deve valere in ogni istante t la convenzione di segno dell’utilizzatore. E’ il caso del resistore di resistenza R. Nel caso del circuito che si considera si hanno tre impedenze in serie đ?‘?đ?‘… , đ?‘?đ??ż , đ?‘?đ??ś e una impedenza equivalente Z tale che Z = đ?‘?đ?‘… + đ?‘?đ??ż + đ?‘?đ??ś . đ?‘‰

La corrente i vale i = đ?‘? . L’impedenza Z e’ una grandezza complessa e quindi studiabile nel piano di Gauss Argand Wessel. La parte reale del numero Z e’ sicuramente la resistenza R.

Sull’asse immaginario viene collocata la componente immaginaria di Z ovvero il 1

numero đ?œ”L − đ?œ”đ??ś . E’ calcolabile l’angolo tra il vettore Z e l’asse reale. Detto angolo đ?œ‘ misura la differenza di fase tra la tensione e la corrente. Un circuito RLC serie puo’ essere equiparato ad uno puramente ohmico quando đ?œ”L =

1 đ?œ”đ??ś

.

1

Cio’ equivale a scrivere đ?œ”2 đ??żC = 1 ovvero đ?œ” = √đ??żđ??ś .

Se sono dati L e C detto circuito deve equipararsi ad uno ohmico quando si utilizzi 1

una tensione alternata di frequenza đ?œ” = √đ??żđ??ś .

Nel caso di un circuito LR il grafico della impedenza Z e’ il seguente:

Nel caso del circuito RC la rappresentazione grafica diviene la seguente.

La tensione e’ in ritardo di fase rispetto alla corrente. Nel caso delle impedenze in parallelo le correnti circolanti in esse si ripartiscono tra esse in modo che sia đ?‘–đ?‘˜ đ?‘?đ?‘˜ = V. In termini di impedenza equivalente V = đ?‘–đ?‘?đ?‘’đ?‘žđ?‘˘đ?‘–đ?‘Ł

Occorre notare che đ?‘–đ?‘˜ =

đ?‘‰ đ?‘?đ?‘˜

1

e ovviamente i = V ∑đ?‘˜â‰¤đ?‘› đ?‘? in quanto il complesso delle đ?‘˜

impedenze puo’ essere considerato un nodo.

Ma si ha i = đ?‘?

� �����

.

Eguagliando le due espressioni della i trovate si ha: đ?‘‰ đ?‘?đ?‘’đ?‘žđ?‘˘đ?‘–đ?‘Ł

1

= V ∑đ?‘˜â‰¤đ?‘› đ?‘?

đ?‘˜

Moltiplicando ambo i membri per

1 �

≠0 si ottiene la ben nota relazione della

impedenza equivalente alle impedenze in derivazione, ovvero: 1 đ?‘?đ?‘’đ?‘žđ?‘˘đ?‘–đ?‘Ł

1

= ∑đ?‘˜â‰¤đ?‘› đ?‘?

đ?‘˜

E′ utile ricordare che Z e’ un vettore il cui modulo si ottiene immediatamente ricordando che |Z| = √đ?‘…đ?‘’(đ?‘?)2 + đ??źđ?‘š(đ?‘?)2 Evidentemente risulta Re(Z) = R. La differenza di fase tra la tensione e la corrente viene definita come đ?œ‘ = đ??źđ?‘š(đ?‘?)

đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘” đ?‘…đ?‘’(đ?‘?) . Per come viene data la definizione deve essere R ≠0. La rappresentazione del circuito RLC parallelo, e’, come gia’ anticipato, la seguente.

La corrente i si ripartisce tra i tre utilizzatori in modo tale che 1

V= đ??ź1 R = đ??ź2 jđ?œ”L = −đ??ź3 đ?œ”đ??ś j L’impedenza equivalente si ottiene da 1 đ?‘?đ?‘’đ?‘žđ?‘˘đ?‘–đ?‘Ł

1

1

= đ?‘—đ?œ”đ??ż + đ?‘… +

1 1 đ?‘— đ?œ”đ??ś

1

1

= đ?‘—đ?œ”đ??ż + đ?‘… +

đ?œ”đ??ś đ?‘—

=

1

1 1

+ j (đ?œ”đ??ż + đ?œ”đ??ś) đ?‘…

�� puo’ lavorare su

1 j

1đ?‘—

1 j

razionalizzzandolo, ovvero avendo che:

đ?‘—

= đ?‘— đ?‘— = −1 = −đ?‘—

Quindi, sostituendo in formula si ha: 1 đ?‘?đ?‘’đ?‘žđ?‘˘đ?‘–đ?‘Ł

1

1

= đ?‘… −j(đ?œ”đ??ż + đ?œ”đ??ś) = đ?›ź + đ?‘—đ?›˝

1

đ?›ź −đ?‘—đ?›˝

đ?›ź −đ?‘—đ?›˝

đ?‘?đ?‘’đ?‘žđ?‘˘đ?‘–đ?‘Ł = đ?›ź+đ?‘—đ?›˝ đ?›ź −đ?‘—đ?›˝ = đ?›ź2 +đ?›˝2 =

1 1 +đ?‘—( + đ?œ”đ??ś) đ?‘… đ?œ”đ??ż 1 1 ( )2 +( + đ?œ”đ??ś)2 đ?‘… đ?œ”đ??ż

đ?‘ƒđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ il modulo di Z risulta essere eguale a:

1 1 + đ?œ”đ??ś)| đ?‘… đ?œ”đ??ż 1 2 1 ( ) +( + đ?œ”đ??ś)2 đ?‘… đ?œ”đ??ż

|Z| =

| +đ?‘—(

=

1 1 + đ?œ”đ??ś)2 đ?‘… đ?œ”đ??ż 1 1 ( )2 +( + đ?œ”đ??ś)2 đ?‘… đ?œ”đ??ż

√( )2 +(

đ?‘?đ?‘’đ?‘žđ?‘˘đ?‘–đ?‘Ł =

1 1 +đ?‘—( + đ?œ”đ??ś) đ?‘… đ?œ”đ??ż 1 1 ( )2 +( + đ?œ”đ??ś)2 đ?‘… đ?œ”đ??ż

đ?‘?đ?‘’đ?‘žđ?‘˘đ?‘–đ?‘Ł =

1 đ?‘… 1 1 ( )2 +( + đ?œ”đ??ś)2 đ?‘… đ?œ”đ??ż

=

1 1 1 √( )2 +( + đ?œ”đ??ś)2 đ?‘… đ?œ”đ??ż

puo’ essere scritto in modo equivalente come segue:

+đ?‘—

1 + đ?œ”đ??ś đ?œ”đ??ż 1 1 ( )2 +( + đ?œ”đ??ś)2 đ?‘… đ?œ”đ??ż

La differenza di fase tra la tensione e la corrente vale đ?œ‘ = arctang

đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘”

đ?œ”đ??ś)

1 + đ?œ”đ??ś đ?œ”đ??ż 1 2 1 ( ) +( + đ?œ”đ??ś)2 đ?‘… đ?œ”đ??ż 1 đ?‘… 1 1 ( )2 +( + đ?œ”đ??ś)2 đ?‘… đ?œ”đ??ż

= đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘”

1 + đ?œ”đ??ś đ?œ”đ??ż 1 1 ( )2 +( + đ?œ”đ??ś)2 đ?‘… đ?œ”đ??ż

1 đ?‘…

1 + đ?œ”đ??ś)2 đ?œ”đ??ż 1 đ?‘…

( )2 +(

đ??źđ?‘š(đ?‘?) đ?‘…đ?‘’(đ?‘?)

1

=

= arctang R(đ?œ”đ??ż +

2. Definizione di alcune grandezze fisiche dei circuiti in alternata 1

Puo’ essere utile ricordare che la grandezza đ?œ”đ??ś e’ comunemente chiamata reattanza capacitiva ed e’ tipica del condensatore. 1

Solitamente si scrive đ?‘‹đ??ś = ωC Relativamente all’induttore di induttanza L viene definite la reattanza induttiva XL =ω L.

Quinta parte – Transitori di carica e di scarica 1. Il transitorio di carica e di scarica del condensatore 1.1

Fase di carica del condensatore

La carica e la scarica di un condensatore vengono studiati a partire da un circuito molto semplice, quale e’ quello disegnato in figura.

In condizione di circuito chiuso, ovvero quando nel tratto AD circola corrente, si applica l’equazione della maglia, ovvero: E – iR −đ?‘Łđ??ś = 0 đ?‘„

Anche in questo caso sovvengono le semplici relazioni đ?‘Łđ??ś = đ??ś e i = Con queste due sostituzioni si ha:

E–

đ?‘‘đ?‘„ đ?‘‘đ?‘Ą

R −

đ?‘„ đ??ś

=0

Questa, mediante la separazione delle variaibli, assume la forma:

đ?‘‘đ?‘„ đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘đ?‘„ đ??śđ??¸âˆ’đ?‘„

đ?‘‘đ?‘Ą

=

đ?‘…đ??ś

đ?‘„(đ?‘Ą) đ?‘‘đ?‘„

âˆŤ0

ln

đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą

= âˆŤ0 đ?‘…đ??ś đ??śđ??¸âˆ’đ?‘„

đ??śđ??¸ −đ?‘„ đ??śđ??¸

=−

đ?‘Ą đ?‘…đ??ś

đ?‘Ą

CE – Q(t) = CEđ?‘’ −đ?‘…đ??ś , Ovvero di ha: đ?‘Ą

Q(t) = CE(1 - đ?‘’ −đ?‘…đ??ś ) Il calcolo della corrente i(t) e’ immediato ed e’ ottenuto devivando Q(t) nel dominio del tempo. đ?‘‘

đ??¸

đ?‘Ą

đ??¸

đ?‘Ą

i(t) = đ?‘‘đ?‘ĄQ(t) =0 +đ?‘… đ?‘’ −đ?‘…đ??ś = đ?‘… đ?‘’ −đ?‘…đ??ś

1.2

La fase di scarica del condensatore

Caricato il condensatore ai cui capi si misura una tensione E, solitamente per t ≼ 5RC e’ possible studiare la fase di scarica collengando B a D, in pratica scollegnado il generatore E. In termini equivalenti il circuito diviene semplicemente quello seguente.

Esso obbedisce ad una condizione iniziale particolarmente semplice, ovvero đ?‘Łđ??ś (0) = E. Nel punto X la tensione si suppone nulla. La legge di Kirckkhoff si puo’ riscrivere operando in senso antiorario come segue: 0 + đ?‘Łđ?‘? (t) + i(t)R = 0 Esplicitando si ha: đ?‘ž đ??ś

= -R

đ?‘‘đ?‘ž đ?‘‘đ?‘Ą

Separando le variabili si ottiene: đ?‘‘đ?‘ž đ?‘ž

đ?‘‘đ?‘Ą

= − đ?‘…đ??ś

Analogamente a quanto fatto per la fase di carica e’ possibile integrare definitamente e arrivare alla soluzione: �

q(t) = CEđ?‘’ −đ?‘…đ??ś

đ??¸

đ?‘Ą

e alla soluzione i(t) = - đ?‘… đ?‘’ −đ?‘…đ??ś

2.2.

Carica e scarica dell’induttore

Anche nel caso della carica dell’induttore si utilizza il medesimo circuito utilizzato per lo studio della carica e della scarica del condensatore, sostituendo al condensatore un induttore di induttanza L. In buona sostanza ci si riconduce al seguente circuito.

Al tempo t < 0 il circuito e’ aperto e non circola in esso alcuna corrente. Non vi sono cadute di tensione, e, in particolare, si ha đ?‘Łđ??ż (0) = 0. Quando si chiude il circuito si avra’ i(đ?œ€ < đ?œ€0 ) la corrente si considera nulla (in un intorno simmetrico dello 0).

Per t ≼ đ?œ€0 si avra’ una corrente in generale diversa da zero il cui andamento nel tempo deve essere studiato. Nella fase di carica dell’induttore si ragiona sul seguente circuito.

Si ammette che in ogni istante t ≼ đ?œ€0 valga la seguente be nota. E - đ?‘Łđ?‘… (t) - đ?‘Łđ??ż (t) = 0 Sovvengono le leggi costitutive dei due utilizzatori, avendosi che: đ?‘‘

E – i(t)R − đ??ż đ?‘‘đ?‘Ąi(t) = 0 Con ragionamenti analitici simili a quelli utilizzati per il condensatore si ottiene la corrente circolante i(t) del tipo: đ??¸

đ?‘…đ?‘Ą

i(t) = đ?‘…(1 − đ?‘’ − đ??ż )

đ?‘…

Il rapporto e’ detta costante di tempo del circuito LR. đ??ż

đ??¸

đ?‘…

La corrente raggiunge il valore đ?‘… quando t ≼ 5 đ??ż . đ?‘‘

In questo caso đ?‘‘đ?‘Ąi(t) = 0.

Pertanto a regime si ha come circuito equivalente quello seguente.

Nella fase del transitorio ottenuta la corrente circolante i(t) e’ immediatamente �

ottenibile đ?‘Łđ??ż (t)= −đ??ż đ?‘‘đ?‘Ąi(t). Risulta che: đ?‘…đ?‘Ą

đ?‘Łđ??ż (t)= −đ??¸đ?‘’ − đ??ż

Si dimostra agevolmente che nella fase di scarica del condensatore circola una đ??¸

đ?‘…

corrente i(t) = đ?‘… đ?‘’ − đ??ż đ?‘Ą

Sesta parte − Campo elettromagnetico 1. Il circuito LC e le oscillazioni elettromagnetiche La peculiarita’ del circuito LC e’ che la corrente i(t) e la tensione v(t) non variano esponenzialmente bensi’ con una legge di tipo sinusoudale. Rispetto a dette grandezze fisiche si definisce quindi un periodo T e una pulsazione đ?œ”. La schematizzazione tipica di detto circuito e’ la seguente.

Sono parimenti note le energie dovute al campo elettrico per il condensatore e l’energia dovuta al campo magentico immagazzinata nell’induttore. Le formule, che si riportano per comodita’ sono: �2

đ??¸đ?‘? = 2đ??ś

đ??¸đ??ż =

đ??żđ?‘– 2 2

Le lettere q e i indicano rispettivamente la carica depositata e la corrente i. Dette lettere sono riferite a valori istantanei, ovvero e’: i = i(t) q = q(t) I valori massimi si scrivono come segue: đ?‘–đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ = I đ?‘žđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ = Q Anche in questo caso si puo’ utilmente applicare uno dei piu’ fondamentali principi della fisica, quello di conservazione dell’energia. L’essenza di questo circuito consiste nel fatto che ⌋AgenoâŚŒ “l’energia elettromagnetica passa alternativamente dal campo elettrico del condensatore al campo magnetico dell’induttanza e viceversaâ€?. Dal principio di conservazione dell’energia si

puo’ pervenire all’equazione

differenziale delle oscillazioni del circuito LC, privo del resistore R. Il principio di consiervazione dell’energia e’ valido in ogni istante t, quindi si ha:

E(t) = đ??¸đ?‘? (t) + đ??¸đ??ż (t) =

đ?‘ž(đ?‘Ą)2 2đ??ś

+

đ??żđ?‘–(đ?‘Ą)2 2

La costanza di E(t) deriva dalla assenza di dissipazione non essendo presente il resistore di resistenza R. đ?‘‘

Se E(t) = costante allora đ?‘‘đ?‘Ą E(t) = 0 ovvero: đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą 1 2

E(t) =

2đ?‘–(đ?‘Ą)đ??ż

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘ž(đ?‘Ą)2

(

đ??żđ?‘–(đ?‘Ą)2

+

2đ??ś

2

1 đ?‘‘

đ?‘–(đ?‘Ą) = đ?‘ž(đ?‘Ą)

đ??ś đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘ž(đ?‘Ą)2

1 đ?‘‘

) = 2 đ?‘‘đ?‘Ą (

q(t) + đ?‘–(đ?‘Ą)đ??ż

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

đ??ś

+ L(đ?‘–(đ?‘Ą)2 )) =

1 2

1 đ?‘‘

2đ?‘ž(đ?‘Ą) đ??ś đ?‘‘đ?‘Ąq(t) +

đ?‘–(đ?‘Ą)

đ?‘‘

đ?‘†đ?‘œđ?‘Łđ?‘Łđ?‘–đ?‘’đ?‘›đ?‘’ una relazione fondamentale, ovvero i(t) = đ?‘‘đ?‘Ąq(t) da cui immediatamente đ?‘‘

đ?‘‘2

si ottiene đ?‘‘đ?‘Ąi(t) = đ?‘‘đ?‘Ą 2 q(t). Con queste osservazioni possiamo scrivere che: 1 đ?‘‘

đ?‘‘

1

đ?‘‘2

đ?‘ž(đ?‘Ą) đ??ś đ?‘‘đ?‘Ąq(t) + đ?‘–(đ?‘Ą)đ??ż đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘–(đ?‘Ą) = đ??ś đ?‘ž(đ?‘Ą)+ đ??ż đ?‘‘đ?‘Ą 2 q(t)

đ??śon riflessioni analitiche note si giunge al calcolo della pulsazione đ?œ” =

In realta’ l’aver posto

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

1 √đ??żđ??ś

E(t) = 0 e’ solo teoria in quanto ⌋AgenoâŚŒ “la resistenza

ohmica della bobina e dei fili di collegamento per quanto piccola non e’ mai nulla, di guisa che una parte dell’energia viene progressivamente dissipata in calore per effetto Joule�.

Ma ulteriormente va ricordato ⌋AgenoâŚŒ che “il campo magnetico variabile della bobina e il campo elettrico pure variabile del condensatore si propagano nello spazio sotto forma di onde elettromagneticheâ€? ragione per cui “l’energia disponibile (‌) diminuisce (‌) perche’ una parte di essa viene irradiataâ€?. Nella pratica si considerano circuiti LC contenenti anche un resistore di resistenza R. La presenza di R rende evidenti i fenomeni dissipativi quantificati dalla relazione đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

E(t) = − đ?‘– 2 R.

In buona sostanza il circuito riversa nell’ambiente � 2 R. J/ sec. di energia. L’equazione differenziale ordinaria che descrive il circuito RLC serie viene scritta come segue: 1

đ?‘‘2

đ?‘‘

đ?‘ž(đ?‘Ą)+ đ??ż đ?‘‘đ?‘Ą 2 q(t) + Rđ?‘‘đ?‘Ąq(t) = 0 đ??ś đ?‘…đ?‘Ą

La soluzione generale e’ q(t) = Qđ?‘’ −2đ??ż cos(đ?œ”′đ?‘Ą + đ?œ‘)

đ?‘…

La pulsazione e’ đ?œ”′ = √đ?œ” 2 − (2đ??ż)2 , essendo đ?œ” =

1 √đ??żđ??ś

Questi aspetti meriterebbero ulteriori approfndimenti‌

2. I trasformatori Poiche’ nelle pagine seguenti si considera un circuito contenente un trasformatore riporto un breve paragrafo contenuto in un mio elaborato precedente (Appunti matematici n. 22). “1.11 Trasformatore ideale Il trasformatiore e’ un elemento circuitale essenziale costituito da due induttori affiancati, spesso contenenti nel suo interno un materiale ferromagnetico. Si rimanda alla teoria della mutua induttanza. La rappresentazione del trasformatore con traferro e’ la seguente

La relazione che lo descrive e’ immediata. Essa, ricavata dal principio della costanza della potenza, p =iv, nel primario e nel secondario (ipotesi del trasformatiore ideale), e’ la seguente

đ?’Šđ?’‘ đ?’Šđ?’”

=

đ?’—đ?’” đ?’—đ?’‘

=

đ?’?đ?’” đ?’?đ?’‘

=

đ?&#x;? đ?’?

Ove i pedici p e s indicano i valori relativi all’induttanza a sinistra (detta primario) e quelli dell’induttanza a destra, il cosiddetto secondario. Il numero n e’ detto rapporto di trasformazione.�

Rispetto a quanto scritto vorrei ricordare ⌋Focardi, Massa, UguzzoniâŚŒ che la relazione tra le tensioni viene scritta nella forma

đ?’—đ?’” đ?’—đ?’‘

đ?’?

= − đ?’? đ?’” ad indicare chele tensioni đ?’‘

di ingresso e di uscita sono sfasate di đ?œ‹.

3. Effetto Hall classico La corrente elettrica nei conduttori metallici e’ dovuto al moto degli elettroni periferici. Si ammetta di avere un conduttore sottile laminare attraversato da una corrente i. Il campo di induzione magnetica B e’ ortogonale alla lamina percorsa dalla corrente i. Si applica l’equazione vettoriale di Lorentz per la quale F = qv∧ đ?‘Š

Quando, in un precedente numero dedicato al campo elettrostatico, introducevo l’operazione di prodotto vettoriale, riferivo della importanza di introdurre una rotazione antioraria minima. Questa medesima logica ho rinvenuto nella teoria elementare dell’effetto Hall classico ⌋Focardi, Massa, UguzzoniâŚŒ. Il campo E che viene rappresentato nelle figure e’ quello non conservativo che si genera. Per B assegnato dal verso di v si desume se si tratta di una corrente dovuta a cariche positive o a cariche negative. A fronte sono messe le due situazioni, a sinistra a muoversi sono cariche negative (elettroni, con una velocita’ di deriva v) oppure cariche positive.

Deve essere đ?œ— = đ?œ—′. Dalla relazione B = E ∧ v ben si comprende che considerando il prodotto vettoriale (−1)E ∧ (−1) v = (−1)(−1) (E ∧ v) = 1(E ∧ v) = E ∧ v = B

Solitamentesui testi il campo E non conservativo si indica come đ?‘Źđ?‘Ż . đ?‘ą

E’ immediato riscrivere detto campo come đ?‘Źđ?‘Ż = đ?‘ đ?‘žâˆ§ B La differenza di potenziale che si determina e’ data da una formula elementare ben nota, ovvero:

∆đ?‘‰đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘– = Âą |đ??¸đ?‘ |d =

đ??˝đ??ľ đ?‘ đ?‘ž

d

In pratica si crea un campo đ?‘Źđ?’” = −đ??„đ??‡ dovuto “allo spostamento trasversale dei portatori di caricaâ€? ⌋Focardi, Massa, UguzzoniâŚŒ.

4. Nozioni generali sui fenomeni ondulatori Lo studio dei fenomeni fisici ondulatori a livello elementare si avvia con l’introduzione di un concetto fondamentale, quello di forma d’onda, formalizata matematicamente dalla cosiddetta funzione d’onda. Quanto si dira’ vale in generale per i fenomeni ondulatori e anche per le conde elettromagnetiche, oggetto di questa parte. La funzione che si considera ha una sembianza abbastanza complessa del tipo: y(x, t) =đ?‘Œđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ sen(kx −đ?œ”t)

Da y(x, t) si comprende che si tratta di una funzione riferita ad un punto x ed ad un dato istante t di tempo. La quantita’ đ?‘Œđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ viene solitamente chiamata ampiezza dell’onda. La quantita’ kx −đ?œ”t viene definite fase dell’onda. La fase e’ sviscerabile come segue: k e’ detto numero d’onda angolare, x e’ la posizione,

ω e’ la frequenza angolare, misurata in

đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘ đ?‘ đ?‘’đ?‘?

.

t indica il tempo. Per le onde viene definita una grandezza detta lunghezza d’onda ed indicate con la lettera đ?œ† . I punti đ?‘Ľđ?‘– e đ?‘Ľđ?‘– + Îť sono tali che hanno la medesima ordinata ovvero risulta: y( đ?‘Ľđ?‘– , t) = y( đ?‘Ľđ?‘– + Îť, t + T) E’ poi noto che la funzione sin(.) e’ periodica con periodo 2đ?œ‹ . Pertanto si puo’ scrivere che: sen(kx −đ?œ”t) = sen(kx −đ?œ”t +2đ?œ‹)

Detta relazione e’ vera ∀đ?‘Ą e quindi anche per t = 0. In questo caso si ha: y( đ?‘Ľđ?‘– , 0) = đ?‘Œđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ sen(kđ?‘Ľđ?‘– ) = y( đ?‘˜(đ?‘Ľđ?‘– + Îť), T) = đ?‘Œđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ sen(k( (đ?‘Ľđ?‘– + Îť), T) ). Gli angoli k( (đ?‘Ľđ?‘– + Îť) e kđ?‘Ľđ?‘– differiscono di 2đ?œ‹ rad. (per la periodicita’ della funzione sin(.)), avendosi quindi che k(đ?‘Ľđ?‘– + Îť) - kđ?‘Ľđ?‘– = kđ?‘Ľđ?‘– + đ?‘˜ Îť - kđ?‘Ľđ?‘– = đ?‘˜ Îť = 2đ?œ‹. Questi passaggi, forse troppo pedanti, conducono ad un risultato ben noto ⌋ 2đ?œ‹

Halliday, Resnick, WalkerâŚŒ ovvero alla equazione k = đ?œ† . Detta grandezza e’ detta numero d’onda angolare. Dal numero d’onda angolare si ottiene il numero d’onda come segue: 2đ?œ‹ 1 đ?œ† 2đ?œ‹

misurato in đ?‘šâˆ’1 inteso come il numero di onde nell’unita’ di lunghezza. 1

Esso vale quindi đ?œ†. Dal formalismo sopra riportato si evince che il period e’ il tempo, inteso ocme intervallo temporale, nel quale la funzione assume il medesimo valore. Deve risultare sen(kx −đ?œ”t) = sen(kx −đ?œ”(t + T)).

Ma per la periodicita’ della funzione seno deve risultare che: kx −đ?œ”(t + T) - kx −đ?œ”t = kx −đ?œ”t + ωT - kx + đ?œ”t = 2đ?œ‹. Questa relazione ovvero ωT= 2đ?œ‹ conduce alla definizione formale di pulsazione per la quale ω =

2đ?œ‹ đ?‘‡

.

La pulsazione ha le dimensioni fisiche di una velocita’ angolare e si misura in

1

đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘ đ?‘ đ?‘’đ?‘?

.

đ?œ”

La frequenza e’ notoriamente l’inverso del periodo e quindi f = đ?‘‡ = 2đ?œ‹ . Viene quindi definita una una ulteriore grandezza detta costante di fase. Detta grandezza viene misurata in rad. Incorporandola si ottiene la seguente relazione: y( x, t) = đ?‘Śđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ sen(kx −đ?œ”t +đ?œ‘) đ?œ‘ e’ un valore dato e solitamente si calcola il valore di y( 0, 0) per un dato đ?œ‘.

đ??żđ?‘Ž velocita’ di propaganzione dell’onda e’

đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ą

.

La quantita’ costante kx −đ?œ”t esprime la posizione di un punto dato. Essa e’ costante e risulta eguale a zero la sua derivata. đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

(kx −đ?œ”t) = 0

đ?‘‘

đ?‘‘

kx − đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘

đ?‘‘

đ?‘‘đ?‘Ą

đ?œ”t = 0

kx = đ?‘‘đ?‘Ą đ?œ”t

đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘˜ đ?‘‘đ?‘Ą = đ?œ” đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?‘˜ đ?‘‘đ?‘Ą = đ?œ” đ?œ”

kv = đ?œ” → v = đ?‘˜ =

đ?œ” 2đ?œ‹ đ?œ†

đ?œ†

đ?œ†

= đ?œ” 2đ?œ‹ = đ?‘‡ =Îťf

Quando l’onda si muove nella direzione delle x decrescenti, bisogna nel fare i calcoli, considerare che risulta: �� ��

đ?œ”

=−đ?‘˜

đ??ź risultati della teoria ammettono che ogni onda possibile debba avere una forma del tipo: đ?‘Ś(đ?‘Ľ, đ?‘Ą) = h( kx Âąđ?œ”t) Il doppio segno Âą indica i due casi , quello di moto della direzione delle x crescenti (caso con il segno meno) e quello del moto nella direzione delle x decrescenti (quando deve mettersi nell’espressione analitica il segno meno). h indica una generica funzione e la scrittura kx Âąđ?œ”t ne definisce l’argomento.

Ad esempio h potrebbe essere la funzione seno a avremmo l’onda di equazione y(x,t) = sin (kx Âąđ?œ”t) A contrariis, non ogni funzione del tipo sin(.) e’ la formalizzaizone di un’onda. Lavorando con le funzioni che definiscono onde inevitabilmente fanno la loro comparsa de derivate parziali. La velocita’ di un elemento e’ semplicemente: đ?œ• đ?œ•đ?‘Ą

h( kx Âąđ?œ”t)

che derivata ulteriormente conduce alla accelerazione. Si dimostra che ogni onda e’ descrivibile dalla seguente equazione differenziale alle derivate parziali: đ?œ•2 đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ľ 2

1 đ?œ•2 đ?‘Ś

= đ?‘Ł2 đ?œ•đ?‘Ą 2

Essa e’ comunemente detta equazione d’onda di Laplace. Questa equazione meriterebbe di essere approfondita e studiata nei dettagli ma gia’ da quanto si evidenzia dall’ottimo testo consultato ⌋Halliday, Resnick, WalkerâŚŒ, che pure propone una dimostrazione, risulta che la velocita’ v e’ una costante.

Quindi sembra ragionevole ritenere che un approccio dimostrativo potrebbe essere quello dato come segue: 1) y( x, t) deve essere una funzione d’onda 2) si calcolano le due derivate

đ?œ•2 đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ľ 2

e

đ?œ•2 đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ą 2

,

3) si verifica che l’equazione e’ identicamente verificata per ∀ (x, t) con t > 0.

(inserisco queste riflessioni in forma ancora dubitativa)

Anche per le onde trova applicazione il principio di sovrapposizione degli effetti.

5. La propagazione delle onde elettromagnetiche E’ sicuramente utile partire dal circuito cui, almeno didatticamente, viene fatto riferimento in relazione alla generazione di un’onda elettromagnetica. In buona sostanza si ha un circuito RLC (comunemente detto oscillatore LC) la cui bobina L e’ il primario di un trasformatore cui segue una linea di trasmissione e quindi una antenna a dipolo elettrico, costituita da due aste conduttrici. Il momento di dipolo elettrico dell’asta varia sinusoidalmente.

La variaizone, pure sinusoidale, della corrente induce una variazione periodica di B(x, t). Parimenti varia il campo elettrico E(x, t) nel punto x dovuto al dipolo elettrico. Questa situazione e’ descritta nei temini di una onda elettromagnetica che si propaga alla velocta’ c della luce (~ 3*108 mđ?‘ đ?‘’đ?‘? −1). I vettori B(x, t) e E(x, t) sono sempre mutuamente ortogonali e il loro prodotto vettoriale definisce la direzione di popagazione dell’onda, ortogonale ad entrambi. Detti vettori sono del tipo: B(x, t) = đ??ľđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ đ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?‘˜đ?‘Ľ – đ?œ”t) E(x, t)= đ??¸đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ đ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?‘˜đ?‘Ľ – đ?œ”t) đ??¸(đ?‘Ľ,đ?‘Ą)

Risulta che đ??ľ(đ?‘Ľ,đ?‘Ą) = c La velocita’ c della luce nel vuoto e’ legata a due costanti ben note dalla segunte relazione:

c=

1 √ đ?œ‡0 đ?œ€ 0

Al tempo đ?‘Ą0 si ha:

Le onde elettromagnetiche trasportano energia e la fisica utilizza per la quantificazione dell’energia associata all’onda elettromagnerica una grandezza detta vettore di Poynting. 1

Esso si indica con la lettera S e risulta S = đ?œ‡ (E Ă— B ) 0

Poiche’ i campi B(x, t) = đ??ľđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ (đ?‘˜đ?‘Ľ – đ?œ”t) e E(x, t)= đ??¸đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ (đ?‘˜đ?‘Ľ – đ?œ”t) variano istantaneamente pure S varia istantaneamente. Ma dai valori vettoriali si perviene a quelli scalar, ovvero, immediatamente al valore istantaneo di S, ovvero:

S(x,t) =

1 đ?œ‡0

đ??¸(đ?‘Ľ, đ?‘Ą)đ??ľ(x, t)

Quello che rileva e’ che finsicamente S indica la potenza sull’unita’ di superficie all’istante t. đ??¸(đ?‘Ľ,đ?‘Ą)

I campi sono uno dipendente funzuonalmente dall’altro in quanto đ??ľ(đ?‘Ľ,đ?‘Ą) = c. Questo da conto di una nota relazione, ovvero che:

S(x,t) =

1 đ?‘?đ?œ‡0

đ??¸((đ?‘Ľ, đ?‘Ą))2

Solitamente viene definito il valore medio di S(x, t) correttamnte definite come intensita’ dell’onda.

2 1 đ??¸đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ

Per oscillazioni sinusoidali detta intensita’ I risulta I = đ?‘?đ?œ‡

0

2

.

Settima parte – Sintesi conclusiva sulle equazioni di Maxwell E’ possibile fare una sintesi a ritroso degli sviluppi che hanno condotto alla sintesi di Maxwell. Il punto di partenza delle teorie elettriche e’ stata la legge di Coulomb dalla quale discende il teorema di Gauβ.

Il teorema di Gauβ del campo elettrostatico e’ la prima legge del campo elettromagnetico. Esso, come noto, viene scritto come segue: 1

ÎŚ = đ?œ€ ∑ đ?‘„đ?‘– 0

Relativamente alla prima legge del campo elettromagnetico esiste una formulazione equivalente che coinvolge il vettore induzione elettrica D. Essa e’ notoriamente la seguente: đ?›ˇđ?‘ (đ??ˇ) = q đ?‘œđ?‘Łđ?‘’ q indica la carica (intesa in senso di somma algebrica, tenendo conto che le cariche hanno “convenzionalmenteâ€? il segno‌) presente entro la linea chiusa che delimita S.

La seconda legge del campo elettromagnetico e’ quella data dal teorema della circuitazione. Disegnata una linea chiusa il vettore che definisce il campo variera’ da punto a punto di detta curva in direzione e modulo. Il concetto e’ applicabile ad una corrente data concatenata con una curva chiusa. Si applica la sovrapposizione nel senso che la circuitazione del campo H e’ la somma algebrica delle circuitazioni dei singoli campi magnetici creati dale single correnti concatenate. Anche in questo caso si applica un criterio convenzionale ben sintetizzato ⌋AgenoâŚŒ per il quale “la circuitazione dell’intensita’ del campo magnetico creato da una corrente rettiliena indefinita, lungo una qualsiasi linea chiusa, orientataâ€? e’ positiva ed eguale all’intensita’ della corrente “se un osservatore percorso dalla corrente i nel senso piedi-testa vede antiorario il verso positive di circolazione lungo la linea (‌)â€? che “gira intorno alla correnteâ€?. Dette correnti sono dette isoorientate. Altrimenti la circuitazione vale l’opposto di i, ovvero − đ?‘–. Non danno contributo alla circuitazione le correnti non concatenate rispetto alla linea chiusa che si considera.

La terza legge del campo elettromagnetico e’ il teorema di Gauβ riferito al campo magnetico, definito dal vettore B induzione magnetica. Esso e’ compendiato dalla formula đ?›ˇđ?‘† (B ) = 0 La quarta relazione fondamentale del campo elettromagnetico e’ dovuta al genio di Faraday ed e’ rappresentata dalla induzione elettromagnetica. ∆đ?›ˇ

Essa ha la nota formula V = − ∆đ?‘Ą

V puo’ essere intesa come la circuitazione del campo elettrico indotto đ?‘Źđ?’Š . E’ stato rimarcato che il teorema della circuitazione non e’ valido per campi variabili nel tempo. E’ stato da Maxwell, come noto, introdotto il termine addizionale della corrente di spostamento che dipende dalla variazione di D concatenato alla linea chiusa. E’ stato ricordato ⌋AgenoâŚŒ che “Maxwell riusci’ a formulare le quattro leggi fondamentali (‌) mettendo semplicemente in relazione i valori istantanei dei campi in un punto con i valori di tali campi in punti infinitamente vicini e in istanti immediatamente precedenti o seguentiâ€?.

APPENDICI

1. Integrazione di un paragrafo del n. 28 del mese di aprile 2017 (in progress) Riporto in caratteri piu’ piccolo il paragrafo oggetto di integrazione e precisazioni. 29. Estrazioni da un’urna

Avrei voluto avere tempo di sintetizzare, magari con qualche osservazione le pagg. 19 e seguenti del testo di Guido Castelnuovo (cui paraltro si rimanda), ma alla fine, per esigenze di tempo davvero sempre tiranno, ho optato per alcune riflessioni piu’ dimesse…

Non va sottaciuto che ⦋Caravenna, Dei Pra⦌ le estrazioni da una urna possono essere utile strumento per i problemi di campionamento.

Voglio limitarmi ad una spiegazione elementare dello schema bernouilliano (con reinserimento quindi dell’oggetto estratto via via…).

Come ben noto, il problema e’ rappresentabile come segue:

Date n palline di due colori (bianche e nere, p.e.) se sono m le bianche saranno n – m le nere con l’evidente vincolo n > m.

Il quesito e’, come noto, il seguente:

Calcolare la probabilita’ che in x successive estrazioni siano k bianche le palline estratte.

Le modalita’ risulutive di dette questioni sono ben note, vorrei pero’ fare alcune riflessioni a partire da un caso per cosi’ dire empirico.

Ammettiamo che il numero delle estrazioni sia 3.

Sono possibili 23 eventi a prescindere dal numero delle palline.

Ove non vi fosse reimbussolamento allora si ragionerebbe sotto la condizione che sia m ≼ 3 ed anche n – m ≼ 3 (infatti, e si avessero solo due bianche la sequenza BBB non sarebbe possibile). Cio’ e’ alquanto intuitivo.

Nel caso piu’ generale con reibussolamento quindi i possibili eventi sono:

BBB

BBN

BNB

NBB

oltre a quelli riflessi

BNN

NBN

NNB

NNN

La chiave di lettura delle sequenze e’ ovvia.

La stringa BBB vuol dire che sperimentalmente si e’ ottenuta la sequenza di uscita di tre palline bianche, etc.

Schematicamente b e m indichi il numero delle palline bianche e nere rispettivamente.

Va rimarcato che in generale gli 8 eventi considerati non possono ritenersi equiprobabili.

đ?‘?

đ?‘š

đ?‘›

đ?‘›

Ad esempio si avrebbe P(BBB) = ( )3 ma P(NNN) = ( )3 .

Dette probabilita’ non sono eguali essendo in generale b ≠m.

Vi saranno comunque eventi diversi equiprobabili come BNN e NNB e NBN

Con queste argomentazioni si puo’ arrivare elementarmente alla formula di Bernuoilli, ben nota. Infatti, ad esempio, gli eventi equiprobabili BNN, NBN, NNB sono riconducibili all’evento “escono due palline nere e una biancaâ€?. 3 In questo caso particolare si avrebbe P(escono due palline nere e una bianca)= ( ) 2 (đ?‘?đ?‘›đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Ž )2 đ?‘?đ?‘?đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘?đ?‘Ž . Nella logica del reimbussolamento la probabilita’ in k prove dell’evento P(escono x palline bianche ed y nere) e’: đ?‘Ľ+đ?‘Ś P(escono x palline bianche ed y nere) = ( ) đ?‘?max(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?‘ž min(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) max(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)

2. Una semplice applicazione cinematica della conservazione dell’energia Un corpo puntiforme si muove sul vincolo indicato in figura nel campo g. Nel tratto rettilineo ad altezza â„Ž1 la velocita’ costante nel tempo (si suppone non vi sia attrito) e’ đ?’—đ?&#x;? . La particella percorre il tratto di lunghezza L e quindi continua il suo moto rettilineo nel tratto ad altezza costante â„Ž2 < â„Ž1 . Essa si muove con velocita’ costante đ?’—đ?&#x;? .

Finche’ la massa si muove nel tratto rettilineo di altezza â„Ž1 avra’ una energia potenziale costante di valore mgâ„Ž1 . Si ammette che essa si muova di moto rettilineo uniforme o che, comunque, la particella abbia nel punto A una velocita’ istantanea |đ?’—đ?&#x;? |. Quindi si muove nel segmento AB di lunghezza L percorrendo la distanza d(A,B ) = L.

Quando la particella giunge in B essa avra’ una energia potenziale di valore mgâ„Ž2 . Si ammette che nel nuovo tratto rettilineo essa si muova con velocita’ costante (assenza di attrito). E’ immediato calcolare la differenza tra l’energia potenziale nei punti A e B avendo che: ∆đ??¸đ?‘? (A, B ) = mg∆h o anche: ∆đ??¸đ?‘? (B, A ) = −mg∆h A cio’, per la conservazione dell’energia, deve corrispondere una variazione positiva dell’energia cinetica, ovvero deve essere: ∆đ??¸đ?‘? (B, A ) = − ( −mg∆h) = mg∆h Infatti una modalita’ di descrizione della conservazione dell’energia potrebbe banalmente essere la seguente: ∆đ??¸đ?‘? (B, A ) + ∆đ??¸đ?‘? (B, A ) = 0 Una formulazione notevole della variazione dell’energia cinetica di traslazione e’: 1

1

1

∆đ??¸đ?‘? (B, A ) = 2mđ?‘Ł22 - 2mđ?‘Ł12 = 2m(đ?‘Ł22 - đ?‘Ł12 ) Eguagliando le due espressioni trovate si ha: 1

1

m(đ?‘Ł22 - đ?‘Ł12 ) = mg∆h ⇔ 2(đ?‘Ł22 - đ?‘Ł12 ) = g∆h ⇔ đ?‘Ł22 - đ?‘Ł12 = 2g∆h ⇔ đ?‘Ł22 = đ?‘Ł12 + 2g∆h

2

Da questa ultima si ottiene che:

2

đ?‘Ł2 = √đ?‘Ł12 + 2đ?‘”∆ℎ > đ?‘Ł1 Detta velocita’ non dipende da m. In buona sostanza la velocita’ del corpo nel tratto AB varia finitamente dal valore minimo đ?‘Ł1 al valore massimo đ?‘Ł2 . E’ possibile graficare ponendo nell’asse delle ascisse il tempo t e nell’asse delle ordinate la velocita’ v(t) considerata in senso meramente scalare.

đ?‘Ąđ??´ đ?‘’ đ?‘Ąđ??ľ indicano rispettivamente gli istanti di tempo in cui la particella si trova in A e B. A detti istanti corrispondono le velocita’ istantanee đ?‘Łđ??´ e đ?‘Łđ??ľ . Diviene rilevante calcolare t = đ?‘Ąđ??ľ − đ?‘Ąđ??´ ovvero l’intervallo di tempo che la particella impiega a percorrere il tratto L. Si ragiona facilmente in termini di equivalente medio nel senso che detta situazione corrisponde a quella di un corpo che si muove ad una velocita media v = đ??ż

đ??ż

đ?‘Ł2 +đ?‘Ł1 2

Dalla relazione del moto rettilineo e uniforme si ottiene che t = đ?‘Ł = đ?‘Ł2 +đ?‘Ł1 = đ?‘Ł 2

. 2đ??ż

2 +đ?‘Ł1

.

Sotto queste condizioni e’ possibile calcolare il tasso di variazione di v quando la particella percorre il tratto inclinato AB. Si puo’ scrivere che: �

∆đ?‘Ł

v(t) = ∆đ?‘Ą = đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘Ł2 −đ?‘Ł1 2đ??ż đ?‘Ł2 +đ?‘Ł1

=

(đ?‘Ł2 −đ?‘Ł1 )(đ?‘Ł2 +đ?‘Ł1 ) 2đ??ż

=

đ?‘Ł22 −đ?‘Ł12 2đ??ż

=costante.

Detta derivata e’ l’accelerazione scalare che ho graficato come segue:

In definitiva nel tratto AB il corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato. Quando si muove nel piano orizzontale la velocita’ diviene costante. Le cose si complicano quando si rimuove il vincolo del piano inclinato. In buona sostanza va trovata la velocita’ per la quale il punto materiale che stacca in A cada in B descrivendo una traiettoria parabolica.

La traiettoria e’ sicuramente parabolica in quanto il corpo si muove nel campo g. Pertanto sovvengono le relazioni del moto uniformemente accelerato. In particolare rispolverando un bel libro di fisica ⌋AgenoâŚŒ ho ritrovato due formule molto utili, ovvero le seguenti: đ?‘Łđ?‘Ą = đ?‘Ł0 + đ?‘Žđ?‘Ą 1

đ?‘ đ?‘Ą = đ?‘Ł0 đ?‘Ą + ađ?‘Ą 2 2

per a = g si ha il caso di caduta nel campo g. Graficamente la soluzione del problema e’ la seguente.

La curva verde e’ un arco di parabola e l’interzezione con l’asse delle x definisce tramite la seconda coordinate la quota 0. Detta intersezione e’ dipendente da ℎ� e da �1 , ovvero dalla velocita’ di stacco. Le rette parallele ℎ1 , ℎ2 , ℎ3 definiscono altrettanti livelli.

E’ immediatamente calcolabile la velocita’ di impatto alle varie quote, quando si ammetta che successivamente il moto sia rettilineo. La velocita nel punto (�� , ℎ� ) e’ immediatamente calcolabile e coerente con la conservazione dell’energia. Va osservato che esiste una distinta curva verde per ogni valore della velocita’ iniziale.

BIBLIOGRAFIA ESSENZIALE

Ageno, Elementi di fisica, Boringhieri, 1976

Edminister, Nahvi, Elettrotecnica, parte prima, McGraw-Hill, 1997

Focardi, Massa, Uguzzoni, Fisica generale. Elettromagnetismo, Casa Editrice Ambrosiana, 2003

Hallyday, Resnick, Walker, Fondamenti di fisica, VI edizione, Casa editrice Ambrosiana, 2006

Morris, Elementi di elettronica teorica e pratica, Hoepli, 1979

Olivieri, Ravelli, Fondamenti di elettrotecnica ed electronica, Cedam, 1992

PROPRIETA’ LETTERARIA

Questo saggio non ha finalita’ commerciali o lucrative. Ne e’ autorizzata la divulgazione, anche totale, a condizione che essa non abbia finalita’ commerciali o lucrative purche’ essa avvenga con la citazione dell’autore e del soggetto diffusore dell’opera.

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