Appunti Matematici 34

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Patrizio Gravano

APPUNTI MATEMATICI

STUDIO DI FUNZIONI MATEMATICHE numero 34 - ottobre 2017

INTRODUZIONE

Questo numero di Appunti matematici e’ dedicato allo sviluppo della parte applicativa dell’Analisi matematica 1 e 2, essendo, in gran parte, dedicato allo studio delle funzioni.

La prima parte riguarda lo studio delle funzioni reali di una variabile reale e ricomprende tutte le funzioni matematiche usualmente studiate nei corsi di Analisi 1, dalle successioni numeriche, alle funzioni polinomiali, a quelle razionali fino alle esponenziali (e alla funzione inversa, quella logaritmica) oltre alle funzioni trigonometriche circolari e alle funzioni iperboliche e relative funzioni inverse. La seconda parte dell’elaborato riguarda le funzioni di � � → R mente la terza parte introduce le funzioni vettoriali e le loro applicazioni alla fisica.

L’elaborato essendo nato da una mia esigenza personale di ripasso della materia non e’ un testo che contiene la materia nel suo sviluppo storico ne’ tantomeno e’ strutturato come testo di apprendimento.

Non ne avevo la pretesa‌ Esso piuttosto puo’ risultare utile per ripassare la materia.

Ho ritenuto comunque utile pubblicarlo sperando che possa essere di qualche utilita’ a qualche lettore‌

In alcune parti credo di essere stato anche originale nelle impostazioni.

Mi sono ripromesso di elaborare un testo sugli integrali, che pubblichero’ nel prossimo numero di Appunti matematici (novembre-dicembre) e un successivo testo sui limiti che ho deciso di mettere in cantiere proprio in questi giorni quando, rivedendo le dimostrazioni đ?›ż − đ?œ€

ho pensato a qualche approccio originale che ho condensato,

seppure con una certa rapidita’ nell’ultimo paragrafo dell’elaborato.

Patrizio Gravano

patrizio.gravano@libero.it

FUNZIONI REALI DI UNA O PIU’ VARIABILI REALI 1. Le funzioni polinomiali Esse sono funzioni matematiche della forma y = ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘Žđ?‘– đ?‘Ľ đ?‘– . đ?‘“

In termini formali si scrive f : R → R | x → ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘Žđ?‘– đ?‘Ľ đ?‘– . Il grado della funzione polinomiale e’ k se đ?‘Žđ?‘˜ ≠0 e đ?‘Žđ?‘˜+đ?‘› = 0 ∀n intero assoluto. In definitiva il grado del polinomio e’ il piu’ grande intero assoluto k tale che per i > k allora risulta sempre đ?‘Žđ?‘– = 0. Le funzioni lineari e affini sono casi particolari di funzioni polinomie. Si tratta, infatti, di funzioni polinomie di primo grado nella indeterminata x. Le funzioni del tipo y =đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? sono funzioni polinomie di secondo grado. Queste funzioni sono ben note e oggetto di riflessioni in precedenti elaborati e non saranno oggetto di considerazioni senon in via incidentale, se necessario. A questo punto si ripropongono le riflessioni contenute in appendice nel numero di luglioagosto di Appunti matematici. Esse attendono alle funzioni polinomie di III grado.

APPENDICE SULLE FUNZIONI POLINOMIALI ED IN PARTICOLARE SU QUELLE DI TERZO GRADO

Le funzioni polinomiali di terzo grado sono del tipo p(x) = ađ?‘Ľ 3 + đ?‘?đ?‘Ľ 2 +đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘‘. La funzione polinomiale e’ una funzione per la quale dom p(x) = Re Im p(x) = R.

E’ una suriezione.

Le intersezioni con gli assi sono cosi’ ottenute: 1) intersezione con l’asse delle ascisse, ponendo y = 0, ovvero risolvendo l’equazione ađ?‘Ľ 3 + đ?‘?đ?‘Ľ 2 +đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘‘ = 0. 2) intersezione con l’asse delle ordinate ponendo x = 0, ovvero p(0) = d. Passaggio per l’origine

Pertanto la funzione polinomiale di III grado passa per l’origine quando d = 0. In

questo caso si ha (0, p(0)) ≥ (0, 0) � origine del sistema di riferimento.

Limiti all’infinito

lim đ?‘?(đ?‘Ľ) = Âąâˆž a seconda che sia a > 0 oppure sia a < 0.

đ?‘Ľâ†’+∞

lim đ?‘?(đ?‘Ľ) = ∓ ∞ a seconda che sia a > 0 oppure sia a < 0.

đ?‘Ľâ†’−∞

Derivata del primo ordine

p’(x) = 3ađ?‘Ľ 2 + 2đ?‘?đ?‘Ľ 1 +đ?‘? + 0 =3ađ?‘Ľ 2 + 2đ?‘?đ?‘Ľ +đ?‘?

(In generale una derivata prima di una funzione polinomiale p(x) di grado n puo’ essere scritta come p’(x) = ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘–đ?‘Žđ?‘– đ?‘Ľ đ?‘–−1 .)

Le funzioni polinomiali di terzo grado sono derivabili ovunque.

Ricerca dei punti stazionari di una polinomiale di III grado

I punti stazionari sono le coppie (x, f’(x)) tali che f’(x) = 0.

Punti di discontinuita’

Non sono presenti. Infatti per ogni x del dominio di essa si puo’ scrivere che lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘“(đ?‘?) ∈ đ?‘…. đ?‘Ľâ†’đ?‘?

Studio delle relazioni p(x) = đ?’‘(−đ?’™) e p(x) =− đ?’‘(−đ?’™).

Con riferimento alla prima relazione, ovvero p(x) = đ?‘?(−đ?‘Ľ) si ottiene una eguaglianza palesemente assurda, ovvero ađ?‘Ľ 3 +đ?‘?đ?‘Ľ = (−1)( ađ?‘Ľ 3 +đ?‘?đ?‘Ľ) non vera in generale. Sarebbe vera solo per x = 0.

Oltre a questo valore si puo’ discutere 2ađ?‘Ľ 3 +2đ?‘?đ?‘Ľ = 0 ovvero ađ?‘Ľ 3 +đ?‘?đ?‘Ľ = 0 cioe’ đ?‘Žđ?‘Ľ 2 =−đ?‘? e quindi dopo brevi passaggi si ottengono i particolari ammessi, ovvero x =Âą √−

đ?‘? đ?‘Ž

che per la condizione di realta’ del

radicale impone siano c ed a discordi e sia a ≠0.

Lo studio della seconda relazione conduce p(x) =− đ?‘?(−đ?‘Ľ) per x = 0 e per x =Âąâˆšâˆ’

đ?‘‘ đ?‘?

Per la condizione di realta’ del radicale deve risultare che d e b sono discordi con b ≠0.

Asintoti

Non esistono asintoti ne’ orizzontali ne’ verticali.

Metodo della derivata prima

Si pone p’(x) = 0

Si ha p’(x) = 3ađ?‘Ľ 2 + 2đ?‘?đ?‘Ľ +đ?‘? = 0

Dalla teoria delle equazioni di II grado si puo’ scrivere che:

x=

−2đ?‘?Âąâˆš(2đ?‘?)2 −12đ?‘Žđ?‘? 6đ?‘Ž

E’ possibile introdurre la condizione per la quale una funzione polinomiale di III grado non ha punti stazionari.

Essa e’ priva di punti stazionari quando (2đ?‘?)2 − 12đ?‘Žđ?‘? < 0 ovvero 4đ?‘? 2 < 3đ?‘Žđ?‘?.

La p(x) ha un punto stazionario (ed uno solo) quando (2đ?‘?)2 − 12đ?‘Žđ?‘? = 0 .

In questo caso il punto stazionario e’ ( −

1 3đ?‘Ž

, p(−

1 3đ?‘Ž

))

Quando (2đ?‘?)2 − 12đ?‘Žđ?‘? > 0 la funzione p(x) ha due distinti punti stazionari.

Se �0 e’ uno zero di p’(x) allora il punto (�0 p(�0 ) ) e’ un punto stazionario di p(x).

Derivata seconda di p(x)

Il calcolo della derivate seconda di p(x) e’ immediate quando la si intenda come la derivate prima di p’(x).

Immediatamente per le regole di derivazione si ottiene:

p’’(x) = 6ax + 2đ?‘?

Se risulta per x = �0 che p’’(x) > 0 allora il punto (�0 p(�0 ) ) e’ un punto di minimo della funzione di p(x).

Si ha p’’(x) > 0 quando e’ 6ađ?‘Ľ0 + 2đ?‘? > 0 ovvero 6ađ?‘Ľ0 > −2đ?‘? ovvero 3ađ?‘Ľ0 > −đ?‘? .

Con osservazioni analoghe si puo’ agevolmente dimostrare che 3ađ?‘Ľ0 > −đ?‘? e’ la condizione per un punto di massimo di p(x), essendo il punto (đ?‘Ľ0 p(đ?‘Ľ0 ) ) un punto stazionario di p(x).

Un punto stazionario che non e’ di minimo relativo o di massimo assoluto e’ un punto di flesso della p(x).

La condizione di flesso e’ 6ađ?‘Ľ0 + 2đ?‘? = 0 â&#x;ş 6ađ?‘Ľ0 = −2đ?‘? â&#x;ş 3đ?‘Ž đ?‘Ľ0 = −đ?‘? ⇒ đ?‘Ľ0 = −

đ?‘? 3đ?‘Ž

La conseguenza e’ che se esiste un punto di flesso e’ unico.

Non possono esistere flessi a tangente verticale in quanto p’(x) e’ definita ovunque.

Considero ora alcuni casi concreti di funzioni polinomiali di grado diverso.

Molte volte le funzioni polinomiali sono scritte in una forma non standard quale il caso seguente che ho rielaborato a partire da una funzione contenuta in un testo liceale di analisi matematica.

Ho considerato questo caso generale:

y = đ?‘Ľ 2 (x− đ?‘Ž) ove a ∈ đ?‘… +

La si puo’ mettere in forma polinomiale osservando che y = đ?‘Ľ 2 (x− đ?‘Ž) â&#x;ş y = đ?‘Ľ 3 −đ?‘Žđ?‘Ľ 2

Che si tratti della stessa funzione lo si evidenzia osserando che per le due forme il campo di esistenza e’ il medesimo, ovvero l’intervallo (−∞ , +∞).

Determiniamo subito le intersezioni con l’asse delle y ponendo x = 0 nell’espressione analitica della funzione.

Risulta immediatamente che f(0) = đ?‘Ľ 2 (x− đ?‘Ž) = 0 (legge di annullamento del prodotto).

Quindi la curva passa per l’origine dei sistema di assi cartesiani. Risolvendo l’equazione đ?‘Ľ 2 (x− đ?‘Ž) = 0 si ottiene per quali valori di x si ha f(x) = 0.

Detta equazione ha una soluzionedi molteplicita’ algebrica due , costituita dal valore x = 0 e una soluzione x = a | a ∈ đ?‘… + .

Quanto al segno della funzione si deve osservare che f(x) > 0 quando x− đ?‘Ž > 0 â&#x;ş x > a.

Con riferimento invece alla determinazione dei punti stazionari e’ sicuramente piu’ utile ragionare sulla funzione scritta in forma standard, ovvero su:

y = đ?‘Ľ 3 −đ?‘Žđ?‘Ľ 2 .

E’ piu’ agevole, in questa forma, calcolare la funzione derivata prima.

Usando la notazione di Cauchy si puo’ scrivere che: đ??ˇđ?‘Ľ (đ?‘Ľ 3 −đ?‘Žđ?‘Ľ 2 ) = 3đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Žđ?‘Ľ.

Questa funzione ha un dominio esteso a tutto R.

I punti stazionari della funzione f(x) = 3đ?‘Ľ 2 −đ?‘Žđ?‘Ľ 2 sono i punti per i quali risulta che e’:

đ??ˇđ?‘Ľ (đ?‘Ľ 3 −đ?‘Žđ?‘Ľ 2 ) = 3đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Žđ?‘Ľ = 0. đ??´ questo punto e’ possibile risolvere l’equazione 3đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Žđ?‘Ľ = 0.

Si tratta di una equazione di secondo grado spuria per la quale si puo’ scrivere: 3đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Žđ?‘Ľ = đ?‘Ľ(3đ?‘Ľ − 2đ?‘Ž) = 0.

In buona sostanza (0 , 0) e’ un punto stazionario in quando x = 0 ⇒ y = 0.

Il secondo punto stazionario si ha per (3đ?‘Ľ − 2đ?‘Ž) = 0 đ?‘œđ?‘Łđ?‘Łero per 3x = 2a da cui x =

Sostituendo x =

2đ?‘Ž 3

2đ?‘Ž

2đ?‘Ž

2đ?‘Ž

2đ?‘Ž 3

2đ?‘Ž

nella f(x) si ha y = đ?‘Ľ 2 (x− đ?‘Ž) =( 3 )2 ( 3 −đ?‘Ž) = ( 3 )3 − ( 3 )2a. 2đ?‘Ž

2đ?‘Ž

2đ?‘Ž

Il secondo punto stazionario si ha in ( 3 , ( 3 )3 − ( 3 )2a).

Per stabilire se si tratta di un minimo o di un massimo si utilizza il metodo della derivata seconda.

đ??ˇđ?‘Ľ (3đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Žđ?‘Ľ) = 6đ?‘Ľ − 2đ?‘Ž. Sia đ?‘Ľ0 l’ascissa di un punto stazionario di f(x). Se al variare di a in đ?‘… + si ha 6đ?‘Ľ0 − 2đ?‘Ž > 0 allora (đ?‘Ľ0 f(đ?‘Ľ0 ) e’ un punto di minimo di f(x).

Nel caso đ?‘Ľ0 = 0 − 2đ?‘Ž > 0 non e’ ammissibile per la limitazione su a (positivo).

In definitiva e’ vero il contrario, ovvero −2đ?‘Ž < 0 ∀đ?‘Ž | đ?‘Ž ∈ đ?‘… + .

La funzione f(x) = đ?‘Ľ 3 −đ?‘Žđ?‘Ľ 2 ha immediati limiti all’infinito del tipo:

lim đ?‘Ľ 3 − đ?‘Žđ?‘Ľ 2 = Âąâˆž in quanto đ?‘Ľ 3 − đ?‘Žđ?‘Ľ 2 âˆż đ?‘Ľ 3 .

đ?‘Ľâ†’Âąâˆž

La derivata prima offre lo spunto per ricercare gli intervalli nei quali la funzione e’ crescente e quelli per i quali la funzione e’ decrescente. đ??ˇđ?‘Ľ (đ?‘Ľ 3 −đ?‘Žđ?‘Ľ 2 ) = 3đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Žđ?‘Ľ. đ??şđ?‘™đ?‘– x per i quali 3đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Žđ?‘Ľ > 0 sono quelli per i quali la funzione cresce.

Occorre risolvere l’equazione 3đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Žđ?‘Ľ = 0. Gli zeri sono immediati e sono:

2đ?‘Ž

x=0ex=3 .

Per x ∈ ( 0,

2đ?‘Ž 3

) si ha che f’(x) < 0 pertanto in detto intervallo la funzione f(x) e’ decrescente.

Per x ∈ (−∞, 0) la funzione f(x) e’ crescente.

Ci si coordina bene con il limite per x →−∞ in quanto la funzione passa da detto limite negativ0 al valore f(0) = 0.

La funzione e’ poi crescente per x >

2đ?‘Ž 3

.

Puo’ essere utile lo studio della concavita’ e della convessita’ delle funzioni.

Molto banalmente lo studio della concavita’ e della convessita’ delle funzioni polinomiali (e delle funzioni in generale) e’ ricondotto al segno della derivata seconda.

La derivata seconda della funzione considerata vale: đ??ˇđ?‘Ľ (3đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Žđ?‘Ľ) = 6đ?‘Ľ − 2đ?‘Ž.

đ?‘ƒđ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘œ 6đ?‘Ľ − 2đ?‘Ž = 0 si ottiene 6x = 2đ?‘Ž â&#x;ş x =

đ?‘Ž

2đ?‘Ž 6

đ?‘Ž

=3.

đ?‘Ž

đ??źđ?‘™ punto (3 , f(3) ) e’ un possibile punto di interflessione.

Per verificare se detto punto e’ di interflessione (o punto di flesso) si puo’ dire che se detto punto e’ anche un punto stazionario, allora il punto e’ un punto di flesso a tangente orizzontale.

Resta la questione dei flessi in generale.

Occorre cioe’ verificare gli intervlli in cui la derivata prima e’ positiva e quello in cui e’ negativa.

Occorre cioe’ risolvere la seguente disequazione di primo grado.

6đ?‘Ľ − 2đ?‘Ž > 0 â&#x;ş 6x > 2đ?‘Ž â&#x;ş x >

đ?‘Ž

2đ?‘Ž 6

đ?‘Ž

= 3.

đ?‘Ž

đ??źđ?‘™ đ?‘?đ?‘˘đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ (3 , f(3)) e’ un flesso discendente. đ??ź punti di flesso discendente o ascendente sono collocati in un tratto monotono della funzione f(x).

Un flesso discendente (ascendente) e’ collocato sulla curva tra un punto di massimo (minimo) relativo e un punto di minimo (massimo) relativo.

In altri termini se e’ data una restrizione di f(x), detta r(x), in (a, b) tale che r(x) e’ monotona se r’’(�0 ) = 0 allora (�0 , r(�0 )) e’ un punto di flesso di f(x).

Detto flesso non puo’ essere a tengente orizzontale.

2. Le funzioni razionali fratte

Una importante classe di funzioni algebriche e’ quella rappresentata dale funzioni razionali fratte.

đ??´(đ?‘Ľ)

Esse hanno la forma f(x) = đ??ľ(đ?‘Ľ).

Le funzioni A(x) e B(x) sono funzioni polinomiali (dette anche razionali intere).

Relativamente ai gradi non sono date limitazioni dei gradi delle funzioni a numeratore e a denominatore.

Quando il grado di A(x) e’ maggiore del grado di B(x) e’ ammessa la divisione dei polinomi, ma le considerazioni sul risultato devono tenere conto che il dominio di f(x) inteso come ratio deve corrispondere al dominio del quoziente in x, di grado pari alla differenza tra i gradi di A(x) e di B(x).

Per esempio si potrebbe studiare la seguente funzione razionale fratta. đ?‘Ž

f(x) = đ?‘Ľ(đ?‘˜âˆ’đ?‘Ľ 2 ) ove a e k sono due parametri reali con a ≠0 e k ≼ 0.

Deve risultare đ?‘Ľ(đ?‘˜ − đ?‘Ľ 2 ) ≠0.

Cio’ si ha se sono verificate entrambe le seguenti condizioni đ?‘Ľ ≠0, e đ?‘˜ − đ?‘Ľ 2 ≠0 ovvero đ?‘Ľ 2 ≠đ?‘˜ ovvero x â‰ Âąâˆšđ?‘˜.

Questo passaggio impone palesemente una ulteriore restrizione, quella relativa al parametro k per il quale (condizione di realta’ del radicale) deve essere k ≼ 0. �

đ?‘Ž

đ?‘Ž

Da f(x) = đ?‘Ľ(đ?‘˜âˆ’đ?‘Ľ 2 ) si evince immediatamente che f(−đ?‘Ľ) = −đ?‘Ľ(đ?‘˜âˆ’đ?‘Ľ 2 ) = − đ?‘Ľ(đ?‘˜âˆ’đ?‘Ľ 2 )

La funzione e’ dispari.

(Questa rappresentazione delle funzioni dispari non e’ riferita a quella considerata.)

Occorre quindi dire che il dominio di definizione della funzione e’ costituito dal continuo reale cui vanno tolti i punti per i quali la funzione non e’ definita.

Detti punti sono sostanzialmente tre, ovvero −√đ?‘˜ , o e +√đ?‘˜.

Si ha che Dom f(x) = ( −∞, −√đ?‘˜ ) ⋃ (−√đ?‘˜ , 0 ) ⋃ (0 , +√đ?‘˜) ⋃ ( √đ?‘˜ , +∞)

Gli asintoti orizzontali sono tre e si hanno nei punti −√đ?‘˜ , o e +√đ?‘˜.

E’ possibile definire il comportamento asintotico della funzione f(x) =

si puo’ scrivere

đ?‘Ž đ?‘Ľ(đ?‘˜âˆ’đ?‘Ľ 2 )

đ?‘Ž đ?‘Ľ(đ?‘˜âˆ’đ?‘Ľ 2 )

per la quale

đ?‘Ž

âˆż − đ?‘Ľ 3 con i limiti all’infinito eguali a zero consente di affermare

che l’asse delle ascisse e’ un asintoto orizzontale per la funzione assegnata.

Vanno ricercati gli eventuali punti di massimo e di minimo.

All’uopo occorre calcolare la funzione derivata prima e verificare per quali valori x del dominio della funzione assegnata risulti f’(x) = 0. �

Data la funzione f(x) = đ?‘Ľ(đ?‘˜âˆ’đ?‘Ľ 2 ) occorre utilizzare il teorema della derivate del rapporto di due funzioni.

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ľ

f(x) =

(đ??ˇđ?‘Ľ đ?‘Ž )đ?‘Ľ(đ?‘˜âˆ’đ?‘Ľ 2 )−đ?‘Žđ??ˇđ?‘Ľ (đ?‘Ľ(đ?‘˜âˆ’đ?‘Ľ 2 )) (đ?‘Ľ(đ?‘˜âˆ’đ?‘Ľ 2 ))2

=−

đ?‘Ž(đ?‘˜âˆ’3đ?‘Ľ 2 ) (đ?‘Ľ(đ?‘˜âˆ’đ?‘Ľ 2 ))2

đ?‘‘

La condizione per la quale sia đ?‘‘đ?‘Ľ f(x) = f’(x) = 0 e’ che sia đ?‘Ž(đ?‘˜ − 3đ?‘Ľ 2 ) = 0.

In definitiva deve essere ak = 3đ?‘Ľ 2 da cui di ha đ?‘Ľ 2 =

đ?‘Žđ?‘˜ 3

đ?‘Žđ?‘˜

ovvero x =Âąâˆš 3

Dovendo essere đ?‘˜ ≼ 0 si ha a > 0 . Il caso a = 0 e’ degenere.

Con il metodo della derivate seconda si evincono agevolmente massimo e minimo.

La curva non puo’ avere asintoti obliqui in quanto 0 − 3 ≠1.

I numeri 0 e 3 sono rispettivamente I gradi delle polinomiali a numeratore e a denominatore.

La determinazione degli intervalli nei quali la funzione e’ crescente si hanno per

đ?‘‘

đ?‘Ž(đ?‘˜âˆ’3đ?‘Ľ 2 )

f(x) = − (đ?‘Ľ(đ?‘˜âˆ’đ?‘Ľ 2 ))2 > 0 đ?‘‘đ?‘Ľ

Detta condizione e’ immediatamente verificata per đ?‘Ž(đ?‘˜ − 3đ?‘Ľ 2 ) < 0.

Su a opera una restrizione per la quale a > 0 .

Deve pertanto essere ak < 3đ?‘Ľ 2 ovvero 3đ?‘Ľ 2 > ak ovvero đ?‘Ľ 2 > đ?‘Žđ?‘˜

đ?‘Žđ?‘˜ 3

e in definitiva per x tale

đ?‘Žđ?‘˜

che x ∈ (−∞, −√ 3 ) ⋃ (√ 3 , +∞)

Qui occorre ancora coordinare e verificare i risultati ottenuti.

La curva non puo’ intersecare l’asse delle x in quanto y = 0 impone sia a = 0.

Poiche’ x= 0 ∉ đ?‘‘đ?‘œđ?‘š f(x) allora la curva f(x) non taglia l’asse delle y.

La curva non ha quindi intersezioni con gli assi e non passa per l’origine del sistema di riferimento cartesiano.

Quanto al segno di f(x)=

đ?‘Ž đ?‘Ľ(đ?‘˜âˆ’đ?‘Ľ 2 )

si ha

f(x) > 0 quando per a > 0 e’ đ?‘Ľ(đ?‘˜ − đ?‘Ľ 2 ) > 0 Poiche’ deve essere k ≼ 0 allora per x > 0 deve essere đ?‘˜ − đ?‘Ľ 2 > 0 , ovvero đ?‘Ľ 2 > đ?‘˜ e per la limitazione su x deve essere x > √đ?‘˜.

Per x negativo f(x) > 0 quando đ?‘˜ − đ?‘Ľ 2 < 0, ovvero k < đ?‘Ľ 2 ed anche đ?‘Ľ 2 > đ?‘˜ e per la limitazione su x (posto negativo) allora x < −√đ?‘˜.

In definitiva f(x) > 0 per x ∈ dom f | x ∈ (−∞, −√đ?‘˜) ⋃ (√đ?‘˜, +∞).

f(x) > 0 per x ∈ dom f â‹‚ {(−∞, −√đ?‘˜) ⋃ (√đ?‘˜, +∞)}.

2.1 Ricerca di un asintoto obliquo di una funzione razionale fratta

Sia data una funzione quale la seguente:

f(x) =

đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ľ − 2 đ?‘Ľ −1

Questa funzione razionale fratta si caratterizza per il fatto che la differenza tra il grado del polinomio a numeratore e il grado del polinomio a denominatore e’ 1.

L’interesse e’ rivolto alla determinazione dell’asintoto obliquo di essa.

Si ha che:

m = lim

đ?‘“(đ?‘Ľ)

đ?‘Ľâ†’Âąâˆž đ?‘Ľ

= lim

1 đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ľ − 2

đ?‘Ľâ†’Âąâˆž đ?‘Ľ

đ?‘Ľ −1

= lim

đ?‘Ľâ†’Âąâˆž

đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ľ − 2 đ?‘Ľ 2 −đ?‘Ľ

đ?‘Ľ2

~ đ?‘Ľ2 = 1

Si procede ora al calcolo di q.

q

= lim ⌋đ?‘“(đ?‘Ľ) − đ?‘šđ?‘ĽâŚŒ đ?‘Ľâ†’Âąâˆž

2 lim

đ?‘Ľ −1

đ?‘Ľâ†’Âąâˆž đ?‘Ľâˆ’1

= lim

đ?‘Ľâ†’Âąâˆž

đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ľ − 2 đ?‘Ľâˆ’1

− đ?‘Ľ = lim

đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ľ − 2 −đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ

đ?‘Ľâ†’Âąâˆž

đ?‘Ľâˆ’1

= 2.

L’asintoto obliquo ha quindi equazione y = mx + đ?‘? = x +2.

2.2 Ulteriori casi di funzioni razionali fratte

Si consideri, ad esempio, la seguente funzione, ove k e’ un reale positivo.

đ?‘˜+đ?‘Ľ

f(x) =đ?‘˜âˆ’đ?‘Ľ Deve essere x ≠đ?‘˜

Verifica delle simmetrie.

đ?‘˜âˆ’đ?‘Ľ

f(−đ?‘Ľ) = đ?‘˜âˆ’(−đ?‘Ľ) =

đ?‘˜âˆ’đ?‘Ľ đ?‘˜+đ?‘Ľ

La funzione non e’ pari in quanto in generale

đ?‘˜+đ?‘Ľ

≠đ?‘˜âˆ’đ?‘Ľ

đ?‘˜âˆ’đ?‘Ľ đ?‘˜+đ?‘Ľ

La funzione neppure puo’ essere dispari in quanto si avrebbe che:

f(−đ?‘Ľ) = đ?‘“(đ?‘Ľ)

= lim

2đ?‘Ľ − 2

đ?‘Ľâ†’Âąâˆž đ?‘Ľâˆ’1

=

đ?‘˜âˆ’đ?‘Ľ đ?‘˜ +đ?‘Ľ

=−

đ?‘˜+đ?‘Ľ đ?‘˜âˆ’đ?‘Ľ

(đ?‘˜ − đ?‘Ľ)2 = −(đ?‘˜ + đ?‘Ľ)2

Questa eguaglianza e’ palesemente assurda in quanto un numero positivo, al primo membro, sarebbe eguale ad un numero negativo, al secondo membro.

La funzione, quindi, non e’ ne’ pari ne’ dispari.

Verifica dell’intersezioni con gli assi.

Intersezione con l’asse delle ordinate.

đ?‘˜+0

Si pone x = 0 avendo che f(0) = đ?‘˜âˆ’0 =

đ?‘˜ đ?‘˜

= 1.

La curva passa per (0, 1).

L’intersezione con l’asse delle ascisse si pone ponendo y = 0.

Deve essere k +đ?‘Ľ = 0 da cui si ottiene che l’intersezione con l’asse delle ascisse si ha nel punto x = −đ?‘˜ < 0 per la condizione posta su k.

Va ora considerate il segno della funzione.

Affinche’ sia f(x) > o deve essere che:

k +đ?‘Ľ > 0

k−đ?‘Ľ >0

Da k +đ?‘Ľ > 0 si ha x > −đ?‘˜ mentre da k − đ?‘Ľ > 0 si ottiene − đ?‘Ľ > −đ?‘˜ ovvero x < đ?‘˜.

Gli x ammissibili sono x đ?œ– (−đ?‘˜, đ?‘˜).

Vi e’ un secondo caso astrattamente possibile, quello per il quale risulti contemporaneamente vero che

k +đ?‘Ľ < 0

k−đ?‘Ľ <0

Dalla prima si ha x < −đ?‘˜ mentre dalla seconda relazione si ha x > đ?‘˜.

Si evince che le due condizioni non sono compatibili.

Infatti si ha che, posto đ??´1 = {đ?‘Ľ |đ?‘Ľ < −đ?‘˜} e đ??´2 = {đ?‘Ľ |đ?‘Ľ > đ?‘˜} e’ vero che đ??´1 â‹‚ đ??´2 =∅.

La funzione considerata ammette l’inversa.

Basta provare la monotonia.

Si considerino due distinti punti di essa e siano essi đ?‘Ľ1 đ?‘’ đ?‘Ľ2 . đ?‘˜+đ?‘Ľ

đ?‘˜+đ?‘Ľ

Si ammetta per assurdo che sia đ?‘“(đ?‘Ľ1 )= f( đ?‘Ľ2 ) â&#x;ş đ?‘˜âˆ’đ?‘Ľ1 = đ?‘˜âˆ’đ?‘Ľ2 â&#x;ş (đ?‘˜ + đ?‘Ľ1 )( đ?‘˜ − đ?‘Ľ2 ) = 1

(k−đ?‘Ľ1 )( đ?‘˜ + đ?‘Ľ2 ) â&#x;şâ€Śâ€Ś..â&#x;ş 2đ?‘˜đ?‘Ľ1 −2đ?‘˜đ?‘Ľ2 = 2k(đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ2 ) = 0.

2

Detta relazione non e’ vera in quanto k ≠o e anche (đ?‘Ľ1 − đ?‘Ľ2 )≠0. In pratica se (x , y) sono punti di f i punti della funzione inversa đ?‘“ −1 sono, riferendosi al medesimo sistema di riferimento cartesiano, sono (y, x).

Esiste una semplice regola pratica che consente di ricavare la funzione inversa di una funzione data.

đ?‘˜+đ?‘Ľ

Sia y = đ?‘˜âˆ’đ?‘Ľ

Si ha che

y(đ?‘˜ − đ?‘Ľ) = đ?‘˜ + đ?‘Ľ

yk – đ?‘Śđ?‘Ľ = đ?‘˜ + đ?‘Ľ

– đ?‘Śđ?‘Ľ − đ?‘Ľ = đ?‘˜ − đ?‘˜đ?‘Ś

đ?‘Ľ(đ?‘Ś + 1) = đ?‘˜đ?‘Ś − đ?‘˜

x=

đ?‘˜(đ?‘Śâˆ’1) đ?‘Ś+1

e quindi đ?‘“ −1 (x) =

đ?‘˜(đ?‘Ľâˆ’1) đ?‘Ľ+1

In generale vi e’ un nesso tra monotonia e invertibilita’.

Una funzione nonotona non e’ invertibile.

Ma una funzione puo’ essere monotona a tratti. E con riferimento ad ogni tratto di monotonia e’ data una funzione inversa della funzione data considerate rispetto al cmapo di variazione ove essa risulta monotona.

Va pero’ precisato che f(x) definisce distinte funzioni quando si considerino distinti I tali che I ⊆ dom f.

3. Funzioni contenenti radicali

In generale le funzioni contenenti radicali possono essere viste come f(x)= đ?‘›âˆšđ?‘”(đ?‘Ľ) ove g(x) e’ una funzione reale di una variabile reale ed n un numero intero positivo.

Un esempio e’ il seguente:

y = √đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘? +√đ?‘Ľ − đ?‘?

Si tratta di una funzione irrazionale, in quanto contiene radicali, nel caso di specie, quadratici.

Deve essere garantita la condizione di realta’ di entrambi i radicali, dovendo, quindi, risultare che:

đ?‘Ľ − đ?‘? ≼ 0 ovvero x ≼ đ?‘?

Deve intendersi b dato.

Si osservi che b puo’ essere negativ0.

Per esempio si puo’, ad esempio, porre b =− 3.

In questo caso particolare si ha:

√đ?‘Ľ − (−3) = √đ?‘Ľ + 3 che impone sia đ?‘Ľ + 3 ≼ 0 ovvero x ≼ −3.

Va ora studiata la condizione di realta’ del radicale √đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘?.

Si puo’ partire dalla risoluzione dell’equazione đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘? = 0 da cui si ha đ?‘Žđ?‘Ľ 2 = −đ?‘? ovvero đ?‘?

x =Âąâˆšâˆ’ đ?‘Ž .

đ?‘?

Poiche’ deve essere − đ?‘Ž ≼ 0 allora c ed a devono essere discordi. Deve essere a ≠0.

Quanto al segno della funzione g(x) = đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘? si puo’ dare la seguente rappresentazione grafica.

La condizione dei realta’ del primo radicale impone che x sia tale che:

đ?‘?

đ?‘?

x ∈ (−∞, −√− đ?‘Ž âŚŒ ⋃ âŚ‹âˆšâˆ’ đ?‘Ž , +∞)

Per il secondo radicale si era detto che doveva essere x ≼ đ?‘?.

Intersezioni con gli assi cartesiani.

L’intersezione con l’asse delle ascisse di ottiene ponendo y = 0.

Risulterebbe 0 = √đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘? +√đ?‘Ľ − đ?‘?

E quindi si avrebbe che √đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘? = −√đ?‘Ľ − đ?‘?

Essa e’ assurda perche’ renderebbe eguali una quantita’ positiva e una negativa.

La curva non interseca l’asse delle ascisse.

Non e’ legittimo porre x = o in f(x) ovvero determinare f(o) in quanto o ∉ dom f.

La f(.) non passa per l’origine (0, o) del sistema di riferimento dato.

La funzione considerata e’ monotona in I ove I ⊂ R e’ il dom f.

Infatti e’ la somma di due funzioni monotone crescenti quali h(x) = √đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘? e g(x) = √đ?‘Ľ − đ?‘Ž.

đ?‘?

đ?‘?

La funzione considerata ha un minimo min f(.) = (max (√− đ?‘Ž , b) , f( (max (√− đ?‘Ž , b) ).

In funzioni di questo genere (considerazione generalizzabile ado gni tipo di funzione del tipo r(x) + s(x) ) il dom ( r(x) + s(x) ) = dom r(x) â‹‚ đ?‘‘đ?‘œđ?‘š đ?‘ (đ?‘Ľ) .

Non necessariamente le funzioni contenenti radicali hanno una funzione razionale sotto il segno di radicale.

E’ ben giustificata una funzione quale la seguente:

g(x) = √đ?‘’ đ?‘Ľ − đ?‘˜

Si vedra’ piu’ oltre che đ?‘’ đ?‘Ľ > 0 ∀ x | x đ?œ– ( −∞ , +∞).

La condizione di realta’ del radicale inpone che sia: đ?‘’đ?‘Ľ − đ?‘˜ ≼ 0 â&#x;ş đ?‘’đ?‘Ľ ≼ đ?‘˜ .

Applicando la nozione di logaritmo e utilizzando un teorema sui logaritmi si ha:

x ln đ?‘’ ≼ ln đ?‘˜

x ≼ ln đ?‘˜

Deve ovviamente essere k > 0.

Esiste un unico limite all’infinito che e’ del tipo (+∞) + (+∞) .

Si ha lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = +∞ đ?‘Ľâ†’∞

Va osservato che la osservazione preliminare sulla condizione di realta’ del radicale e necessaria solo se si hanno funzioni del tipo x → 2đ?‘›âˆšđ?‘”(đ?‘Ľ)

In questi casi va posta la condizione g(x) ≼ 0.

Tale studio preliminare non e’ necessario in relazione a funzioni del tipo x →

2đ?‘›+1

√đ?‘”(đ?‘Ľ)

5

come ad esempio f(x) = √sin(đ?‘Ľ) − đ?‘˜.

4. Funzioni contenenti valori assoluti

Occorre sicuramente partire dalla funzione valore assoluto che puo’ essere facilmente considetata come il caso di una funzione composta. Si tratta evidentemente di una funzione da R a � + .

La formalizzazione della funzione composta puo’ essere data come segue:

đ?‘“1

đ?‘“2

x → đ?‘“1 (x) → đ?‘“2 (đ?‘“1 (x)) ≥ đ?‘“2 °đ?‘“1 .

Non ogni x soddisfa le condizioni formali.

Si consideri ora il caso sia đ?‘“1 = ln đ?‘Ľ.

Come si vedra’ piu’ ampiamente in seguito deve essere x > 0.

Quindi in generale la funzione composta considerata e’ una funzione da � + → � + .

In termini generali per la funzione valore assoluto si puo’ scrivere che: f : I ⊆ đ?‘… → đ??źâ€˛ ⊆ đ?‘…+

E’ possibile considerare qualche esempio concreto, tipo il seguente.

f(x) = |ađ?‘Ľ 2 +đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? | + |đ?‘’đ?‘Ľ + â„Ž|

Il dominio della funzione e’ il continuo reale, ovvero si ha dom f = (−∞, +∞).

La funzione non passa per l’origine in quanto sarebbe:

f(0) = | đ?‘? | +| â„Ž | ≠0.

Intersezioni con gli assi.

La condizione per la quale si deve ottenere l’intersezione con l’asse delle ascisse, deve essere y = 0.

Deve essere vero che:

|ađ?‘Ľ 2 +đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? | = − |đ?‘’đ?‘Ľ + â„Ž|

Tale relazione e’ in generale impossible salvo che per gli x per i quali sia ađ?‘Ľ 2 +đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? = 0 e pure đ?‘’đ?‘Ľ + â„Ž = 0.

Dalla seconda relazione deve essere x = −

â„Ž đ?‘’

La prima relazione e’ gestibile con la formula risolutiva delle equazioni di II grado in x.

Si tratta di verificare se i parametri contenuti nella funzione sono tali che sia:

−đ?‘?Âąâˆšđ?‘? 2 −4đ?‘Žđ?‘? 2đ?‘Ž

â„Ž

= −đ?‘’

đ??żâ€˛đ?‘Ľ tale che f(x) = 0 se esiste e’ unico.

Non esiste un x tale che sia f(x) = 0 quando đ?‘? 2 − 4đ?‘Žđ?‘? ≤ 0.

Quando e’ dato đ?‘? 2 − 4đ?‘Žđ?‘? ≤ 0 esiste sicuramente un x tale che g(x) = đ?‘”(đ?‘Ľ)đ?‘šđ?‘–đ?‘› > 0. Si e’ posto g(x) = |ađ?‘Ľ 2 +đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? |

La ricerca del minimo e’ ottenibile con gli strumenti delle derivate.

Un approccio alternativo potrebbe basarsi sui seguenti elementi.

La funzione ha un minimo non nullo quando esistendo un x tale che f(x) = �(�)��� > 0 detto x e’ tale che g(x) = �(�)��� > 0 e’ tale che sia |�� + ℎ| = 0.

Simmetricamente si puo’ dire che x e’ tale che f(x) = �(�)��� > 0 se per esso si ha |�� + ℎ| = 0 e per esso si ha g(x) = �(�)��� > 0.

Ci si deve porre il seguente quesito.

Quale dei due x e’ tale che la funzione abbia valore minore ?

L’x per il quale si annulla |đ?‘’đ?‘Ľ + â„Ž| oppure quello per il quale g(x) = đ?‘”(đ?‘Ľ)đ?‘šđ?‘–đ?‘› > 0 o quello che minimizza |ađ?‘Ľ 2 +đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? | ?

Sia đ?‘Ľ0 il valore di x per il quale |ađ?‘Ľ 2 +đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? | = đ?‘šđ?‘–đ?‘› ≠0.

Allora si puo’ scrivere che: f(đ?‘Ľ0 ) = |ađ?‘Ľ02 +đ?‘?đ?‘Ľ0 +đ?‘?| + |đ?‘’đ?‘Ľ0 +đ?‘“|

Sia đ?‘Ľ1 l’x per il quale sia |đ?‘’đ?‘Ľ1 +đ?‘“| = 0 ovvero đ?‘Ľ1 = −

đ?‘“ đ?‘’

(incidentalmente si ricordi che qui e e’ un numero reale non il numero di Nepero).

Pertanto si puo’ scrivere che:

đ?‘“

đ?‘“

đ?‘’

đ?‘’

f(đ?‘Ľ1 ) = |a(− )2 + đ?‘?(− ) +đ?‘?|

Evidentemente il problema va trattato in generale.

La funzione considerata e’ comunque la somma di due funzioni entrambe positive, data la presenza dei valori assoluti.

Si ha che f(x) = �1 (�) + �2 (�) ove ��=1,2(x) ≼ 0.

Si procede con la ricerca dei punti stazionari, ovvero imponendo nulla la derivata prima della funzione.

In buona sostanza i punti stazionari, al variare dei parametri, si ottengono ordinariamente e sono tali che:

đ??ˇđ?‘Ľ f(x) = đ??ˇđ?‘Ľ (đ?‘“1 (đ?‘Ľ) + đ?‘“2 (đ?‘Ľ)) = 0 e quindi, in definitiva:

đ?‘“′1 (đ?‘Ľ) = −đ?‘“′2 (đ?‘Ľ)

Si puo’ ora considerare una ulteriore funzione contenente valori assoluti.

Essa e’ la seguente:

f(x) =

| đ?‘Ľ 3 |−8 đ?‘Ľ2

Si osservi primariamente che il dominio di essa e’ l’insieme R −{0} .

Si puo’ scrivere f(x) =

| đ?‘Ľ 3 |−8 đ?‘Ľ2

=

|đ?‘Ľ|3 −8 |đ?‘Ľ|2

8

8

= |đ?‘Ľ|3−2 − đ?‘Ľ 2 = |x| − đ?‘Ľ 2

Si osservi che il punto (o ,f(o) ) e’ un punto di discontinuita’ della funzione f.

Lo studio della simmetria e’ immediato:

Infatti di puo’ scrivere che:

8

8

|x| − đ?‘Ľ 2 =|−x| − (−đ?‘Ľ)2 Cio’ in quanto |x| =|−x| e đ?‘Ľ 2 = (−đ?‘Ľ)2 ∀ x | x đ?œ– dom f.

Questo prova che f(x) = f(−đ?‘Ľ).

Se una funzione e’ pari essa non puo’ essere dispari e non e’ necessario studiare l’altra eventuale simmetria.

Poiche’ x = 0 non e’ un elemento di dom f allora la curva considerate non passa per (0, f(o)) e essa non interseca l’asse delle ordinate.

Vanno ora calcolati gli zeri della funzione, ponendo y = 0.

8

Occorre risolvere l’equazione |x| =đ?‘Ľ 2 â&#x;ş |x|đ?‘Ľ 2 = 8.

I valori che verificano la condizione sono due, potendosi scrivere che: −đ?‘Ľ(−đ?‘Ľ 2 ) = 8 quando x < 0

đ?‘Ľ(đ?‘Ľ 2 ) = 8 quando x > 0.

3

3

đ?‘Ľ 3 = 8 â&#x;ş đ?‘Ľ = √8 = √23 = 2

đ?‘†đ?‘– osservi che anche il valore x=−2 verifica le condizioni del problema.

Per la funzione data puo’ essere calcolato il limite all’infinito positive, ovvero il seguente limite:

8

lim |đ?‘Ľ| − (đ?‘Ľ)2 đ?‘Ľâ†’0

avendosi i seguenti passaggi formali:

8

lim |đ?‘Ľ| − (đ?‘Ľ)2 =lim |đ?‘Ľ| − lim đ?‘Ľâ†’0

�→0

�→0

8 (đ?‘Ľ 2 )

=0+ −8 lim

1

.

�→0 (� 2 )

A questo punto si puo’ osservare che i due limiti destro e sinistro sono tali che:

lim

1

đ?‘Ľâ†’0− đ?‘Ľ 2

1

= lim+ đ?‘Ľ 2 = +∞ đ?‘Ľâ†’0

La f in prossimita’ dello zero e’ ben rappresentata nella precedente figura.

L’asse delle y e’ un asintoto verticiale.

Calcolo della derivata prima.

8

Da f(x) = |x| − đ?‘Ľ 2 si ottiene la funzione derivata prima, ovvero f’(x) = đ??ˇđ?‘Ľ |x| − 8 đ??ˇđ?‘Ľ đ?‘Ľ −2.

Dalla nozione di funzione valore assoluto si puo’ ricavare la derivate nei due casi possibili, ovvero f’(x) = đ??ˇđ?‘Ľ |x| − 8 đ??ˇđ?‘Ľ đ?‘Ľ −2 quando x > 0 che conduce a f’(x) = đ??ˇđ?‘Ľ x −16 đ?‘Ľ −3 = 1 − 16 đ?‘Ľ −3 .

Nel caso x < 0 deve essere ricordato che |x| =−đ?‘Ľ.

Conseguentemente si ha f’(x) = đ??ˇđ?‘Ľ x −16 đ?‘Ľ −3 = −1 − 16 đ?‘Ľ −3.

Calcolo dei punti stazionari per x < 0.

In questo caso si ha f’(x) = 1 − 16 đ?‘Ľ −3. Detta relazione va eguagliata a zero, avendosi

16

1 − 16 đ?‘Ľ −3 = 0 â&#x;ş 1 = 16 đ?‘Ľ −3 â&#x;ş 1 = đ?‘Ľ 3 â&#x;şđ?‘Ľ 3 = 16. 3

In definitiva il punto (√16 , f(√16) e’ un punto stazionario della f.

3

Poiche’ la funzione e’ pari pure il punto (− √16 , f(−√16) e’ un punto stazionario della f. E’ possibile considerare il segno della funzione.

Si ha y > 0 quando |x| >

8 đ?‘Ľ2

. Se x > 0 allora x >

8 đ?‘Ľ2

ovvero đ?‘Ľ 3 > 8, đ?‘œđ?‘Łđ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘Ľ > 2.

8

Per x < 0 si ha −đ?‘Ľ − đ?‘Ľ 2 > 0 e dopo passaggi simili a quelli fatti appena sopra si ha che la funzione e’ positiva (quando x < 0) per x < 2.

Occorre ora studiare la derivate seconda avendosi che:

y’’ = đ??ˇđ?‘Ľ ( 1 + 16 đ?‘Ľ −3 ) quando si ponga x > 0. In questo caso si ha y’’ = đ??ˇđ?‘Ľ ( 1 + 16 đ?‘Ľ −3 ) = 0 +16 ∗ 3đ?‘Ľ −4 = 0 +48đ?‘Ľ −4 = 48đ?‘Ľ −4. Analogamente si dimostra che la derivata seconda vale y’’ = 48đ?‘Ľ −4 .

48

In forma piu’ usuale si scrive che y’’ = đ?‘Ľ 4 ∀ đ?‘Ľ | đ?‘Ľ ≠0.

5. Le funzioni logaritmiche

Occorre partire dalla nozione di funzione logaritmica intesa come una funzione f tale che ad un valore reale positivo corrisponda un valore reale detto logaritmo secondo una certa base.

La base dei logaritmi, come e’ noto, puo’ essere un qualunque numero reale positivo non nullo.

Formalmente si scrive come segue:

đ?‘“

f : đ?‘… + → đ?‘… per la quale x → log đ?‘˜ đ?‘Ľ.

Si osservi che deve porsi x ≠0.

Il numero k e’ detto base dei logaritmi e solitamente si usa la base e detta dei logaritmi naturali.

Si consideri una funzione contenenente log đ?‘˜=đ?‘’ (x)= ln(đ?‘Ľ).

Un esempio potrebbe essere il seguente.

y=

1−ln(đ?‘Ľ) đ?‘Ľ2

Deve porsi x ≠0 per non annullare il denominatore.

Deve poi essere x > 0 per la definizione di logaritmo di un numero reale.

Immediatamente si evince il dominio di definizione (o campo di esistenza della funzione) che risulta essere dom f = ( 0, +∞ ) .

Con un passaggio algebrico si puo’ scrivere che:

1

y = đ?‘Ľ2 −

2ln(đ?‘Ľ) đ?‘Ľ2

Dovendo calcolare il limite per x → 0+ si ottiene una forma indeterminata del tipo ∞ − ∞.

Il limite per x → −∞ non esiste per la presenza di ln(.) nella formula.

E’ facile invece calcolare il lmite per x → +∞.

Si ha infatti che lim đ?‘“(đ?‘Ľ)= lim

1

đ?‘Ľâ†’+∞ đ?‘Ľ 2

đ?‘Ľâ†’+∞

−2 lim

ln(đ?‘Ľ)

đ?‘Ľâ†’+∞ đ?‘Ľ 2

= 0 +2 ∗ đ?‘œ = 0 + 0 = 0.

Occorre fare alcune precisazioni sul secondo limite, ovvero su lim

ln(đ?‘Ľ)

đ?‘Ľâ†’+∞ đ?‘Ľ 2

che lim

ln(đ?‘Ľ)

đ?‘Ľâ†’+∞

đ?‘Ľ2

lim ln(đ?‘Ľ)

= đ?‘Ľâ†’+∞ lim

đ?‘Ľâ†’+∞

đ?‘Ľ2

potendo scrivere

∞

=∞.

Si tratta di una forma indeterminate che richiede l’applicazione del teorema di Bernnoulli De l’Hôpital.

Si puo’ pertanto scrivere la seguente successione di passaggi formali:

lim

ln(đ?‘Ľ)

đ?‘Ľâ†’+∞ đ?‘Ľ 2

lim ln(đ?‘Ľ)

= đ?‘Ľâ†’+∞ lim

đ?‘Ľâ†’+∞

đ?‘Ľ2

=

lim ( ln(�))′

đ?‘Ľâ†’+∞

lim ( � 2 )′

đ?‘Ľâ†’+∞

=

1 lim đ?‘Ľâ†’+∞ đ?‘Ľ

lim 2đ?‘Ľ

đ?‘Ľâ†’+∞

= lim

1 1

đ?‘Ľâ†’+∞ đ?‘Ľ 2đ?‘Ľ

= lim

1

đ?‘Ľâ†’+∞ 2đ?‘Ľ 2

=0+ .

L’asse delle ordinate e’ un asintoto orizzontale per la funzione assegnata.

Occorre ora calcolare la derivata prima della funzione considerata.

Da y = đ?‘Ľ −2 −2

ln(đ?‘Ľ) đ?‘Ľ2

si ottiene immediatamente che y’ = −2đ?‘Ľ −3 −2đ??ˇđ?‘Ľ (

ln(đ?‘Ľ) đ?‘Ľ2

).

Il primo termine non si annulla mai in quanto x ≠0 e occorre verificare quando si annulla il secondo termine ovvero −2đ??ˇđ?‘Ľ (

ln(đ?‘Ľ) đ?‘Ľ2

).

Si puo’ utilizzare il teorema della derivata del rapporto di due funzioni.

đ??ˇđ?‘Ľ (

ln(đ?‘Ľ) đ?‘Ľ2

)=

2

(ln(�)′� +(� 2 )′ln(�) (� 2 )2

1 2 đ?‘Ľ −2đ?‘Ľđ?‘™đ?‘›(đ?‘Ľ) đ?‘Ľ đ?‘Ľ4

=

1

= đ?‘Ľ3 −

2ln(đ?‘Ľ) đ?‘Ľ3

Coordinando i risultati si ha che:

1

y’ = −2đ?‘Ľ −3 − 2 đ?‘Ľ 3 +2

2ln(đ?‘Ľ) đ?‘Ľ3

= −4đ?‘Ľ −3( 1 + ln(đ?‘Ľ)).

Detta quantita’ non si annulla mai quando x ≠0 e non e’ definita per x ≤ 0.

La curva non ha punti stazionari.

6. Le funzioni esponenziali

Considero il caso della seguente funzione esponenziale ottenuta a partire da una nota.

Si consideri la seguente funzione esponenziale:

đ?‘Ą

y = đ?‘’ −đ?‘Ľ

t đ?œ– đ?‘…+

Deve essere x ≠0 .

Il dominio della funzione e’ dom f = ( −∞, 0 ) âˆŞ ( 0 , −∞)

La funzione considerata non passa per l’origine in quanto x = 0 non appartiene a dom f.

Vanno ora esaminate le simmetrie.

Verificare se f(x) = f(−đ?‘Ľ) per ogni x.

đ?‘Ą

đ?‘Ą

đ?‘Ą

đ?‘Ą

Allora sarebbe đ?‘’ −đ?‘Ľ = đ?‘’ −−đ?‘Ľ ovvero đ?‘’ −đ?‘Ľ = (đ?‘’)đ?‘Ľ e applicando i logaritmi naturali sarebbe

đ?‘Ą

đ?‘Ą

− đ?‘Ľ = đ?‘Ľ palesemente assurda. Quindi deve ammettersi che f(x) ≠f(−đ?‘Ľ).

Occorre ora verificare l’altra possibile simmetria, ovvero f(−đ?‘Ľ) = −đ?‘“(đ?‘Ľ).

đ?‘Ą

Gia’ si era evidenziato che f(−đ?‘Ľ) = (đ?‘’)đ?‘Ľ .

đ?‘Ą

đ?‘Ą

Si ha che sarebbe (đ?‘’)đ?‘Ľ = −đ?‘’ −đ?‘Ľ .

đ?‘Ą

Dividendo ambo i membri per đ?‘’ −đ?‘Ľ ≠0.

đ?‘Ą

Si ricava immediatamente

(đ?‘’)đ?‘Ľ đ?‘Ą − đ?‘’ đ?‘Ľ

đ?‘Ą

đ?‘Ą

= −1 â&#x;ş đ?‘’ đ?‘Ľâˆ’(−đ?‘Ľ) = −1. Tale eguaglianza non e’ vera.

Con alcuni ragionamenti si puo’ dimostrare la monotonia.

đ?‘Ą đ?‘Ľ1

đ?‘Ś1 = đ?‘’

−

đ?‘Ś2 = đ?‘’

−

đ?‘Ą đ?‘Ľ2

�� ammetta sia �1 ≠�2 e si verifichi se e’ possibile che sia f(�1 ) = �(�2 ).

�� hanno i seguenti passaggi.

đ?‘’

−

đ?‘Ą đ?‘Ľ1

=đ?‘’

−

đ?‘Ą đ?‘Ľ2

đ?‘Ą

đ?‘Ą

đ?‘Ą

đ?‘Ą

â&#x;ş − đ?‘Ľ ln(đ?‘’) = − đ?‘Ľ ln ( e) â&#x;ş − đ?‘Ľ = − đ?‘Ľ 1

2

1

2

Detta relazione non e’ vera quando sia �1 ≠�2 .

Quindi �1 ≠�2 ⇒ �(�1 ) ≠�(�2 ). La funzione e’ monotona.

La funzione monotona e’ pure descescente.

L’andamento della funzione puo’ essere studiato ulteriormente calcolando i limiti di essa per x → 0Âą e per x → Âąâˆž.

A rigore andrebbero calcolati i limiti quando x tende a 0, ma si tratta di limiti semplici da determinare. Gli altri due limiti saranno esaminati piu’ oltre.

Possono considerarsi ora le intersezioni con gli assi.

L’intersezione con l’asse delle ascisse si ottiene ponendo y = 0.

đ?‘Ą

(đ?‘’)đ?‘Ľ = 0 . Cio’ non e’ possibile in quanto đ?‘’ đ?›ź ≠0 ∀ đ?›ź đ?œ€ (−∞, +∞).

Anche per � = 0 sarebbe � � = 1 ≠0.

Poiche’ x = 0 non e’ un valore ammissibile per la funzione si puo’ affermare che non si hanno intersezioni di essa con l’asse delle ordinate.

Vanno ora considerati i limiti agli estremi del campo di definizione e gli asintoti.

đ?‘Ą

lim đ?‘’ −đ?‘Ľ .

đ?‘Ľâ†’+∞

đ?‘Ą

Si puo’ studiare il seguente limite: lim − đ?‘Ľ = −đ?‘Ą lim

1

đ?‘Ľâ†’+∞ đ?‘Ľ

đ?‘Ľâ†’+∞

= 0 −.

đ?‘Ą

Coordinando si ha lim đ?‘’ −đ?‘Ľ = 1− đ?‘Ľâ†’+∞

đ?‘Ą

E’ poi possibile calcolare il secondo limite quello per x → −∞, đ?‘œđ?‘Łđ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ lim đ?‘’ −đ?‘Ľ . đ?‘Ľâ†’+∞

đ?‘Ą

1

Si puo’ studiare il seguente limite: lim − đ?‘Ľ = lim −đ?‘Ą đ?‘Ľ = 0 + . đ?‘Ľâ†’−∞

đ?‘Ą

Coordinando si ha lim đ?‘’ −đ?‘Ľ = 1+ . đ?‘Ľâ†’−∞

Non e’ necessario ricercare asintoti obliqui.

đ?‘Ľâ†’−∞

Calcolo della derivata prima.

đ?‘Ą

La funzione y = đ?‘’ −đ?‘Ľ e’ intendibile come una funzione composta.

đ?‘Ą

đ?‘Ą

đ?‘Ą

đ?‘Ą

La funzione derivata di y ovvero y’ e’ y’ = (đ?‘’ −đ?‘Ľ ) đ??ˇđ?‘Ľ (− đ?‘Ľ) = đ?‘’ −đ?‘Ľ đ??ˇđ?‘Ľ (−đ?‘Ąđ?‘Ľ −1) = −đ?‘Ąđ?‘’ −đ?‘Ľ đ?‘Ą

(−1)đ?‘Ľ −2 = đ?‘Ąđ?‘’ −đ?‘Ľ đ?‘Ľ −2 .

Si evidenzia che il dominio della funzione derivata coincide con il dominio della funzione.

Si puo’ scrivere dom y = đ?‘‘đ?‘œđ?‘š đ?‘Śâ€˛.

Ricerca dei punti critici. Calcolo delle ascisse di essi.

Deve porsi eguale a zero la derivata prima della funzione avendosi che:

đ?‘Ą

đ?‘Ąđ?‘’ −đ?‘Ľ đ?‘Ľ −2 = 0

đ?‘Ą

�� avrebbe pertanto che

− đ?‘Ąđ?‘’ đ?‘Ľ

đ?‘Ľ2

= 0 ovvero deve risultare nullo il numeratore:

đ?‘Ą

đ?‘Ą

tđ?‘’ −đ?‘Ľ = 0, inpossibile dovendo risultare t > 0, dovendo risultare đ?‘’ −đ?‘Ľ ≠0.

La funzione non ha punti stazionari.

Assodata la monotonia di detta funzione se ne ipotizza la stretta decrescenza.

La conferma si puo’ ottenere con il seguente ragionamento:

Sia đ?‘Ľ1 > đ?‘Ľ2 e si consideri la ratio seguente: đ?‘Ą

r=

− đ?‘’ đ?‘Ľ1 đ?‘Ą − đ?‘’ đ?‘Ľ2

=đ?‘’

−

đ?‘Ą đ?‘Ą −(− ) đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2

đ?‘Ą

= (đ?‘’)đ?‘Ľ2

−

đ?‘Ą đ?‘Ľ1

đ?‘Ą

đ?‘Ą

Occorre considerare la quantita’ đ?‘Ľ − đ?‘Ľ osservando che quando si ha đ?‘Ľ2 > đ?‘Ľ1 risulta essere 2

1

1

2

1

1

che đ?›ź(đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 ) = đ?‘Ľ − đ?‘Ľ đ?œ– ( −1, 0). Pertanto si puo’ scrivere che r = đ?‘’ đ?‘Ąđ?›ź < 1

In coordinamento con la monotonia si evince la decrescenza di f(x) quando t > 0.

Si osservi che per t < 0 la funzione nonotona e’ crescente in quanto t� > 0.

Si puo’ considerare un ulteriore caso di funzione esponenziale quale la seguente:

f(x) = đ?‘’ |đ?‘Ľâˆ’1|

Il dominio di f e’ il continuo reale, ovvero (−∞, +∞).

Quanto al segno possiamo affermare che f(x) > 0 in quanto l’esponente della funzione e’ un valore assoluto, quindi un numero reale non negativ0.

Vanno verificate le simmetrie.

f(x) = f(−đ?‘Ľ)

Se cosi’ fosse allora sarebbe |x −1| = | − đ?‘Ľ − 1| .

Occorre lavorare sul II membro per avere | − đ?‘Ľ − 1| = |(−1) (đ?‘Ľ + 1)| = |(đ?‘Ľ + 1)|

Si comprende immediatamente che deve essere |x −1| ≠|(đ?‘Ľ + 1)|

La funzione considerata e’ monotona e non pari.

Se ne verifica ora la eventuale disparita’, ovvero se e’ f(−đ?‘Ľ) = −đ?‘“(đ?‘Ľ).

f(−x) = đ?‘’ |−đ?‘Ľâˆ’1| =đ?‘’ |đ?‘Ľ+1| > 0

−đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘’ |đ?‘Ľâˆ’1| < 0.

Dal che si desume che f(−x)≠−đ?‘“(đ?‘Ľ).

Ma per evidenziare la impossibilita’ della condizione per la quale la funzione considerata non puo’ essere dispari e’ che essa deve sempre essere positiva per la presenza del valore assoluto nell’argomento dell’esponenziale.

Quanto ai limiti all’infinito si osserva che essi sono legati al limite della quantita’ |đ?‘Ľ − 1|.

In particolare si puo’ scrivere che lim đ?‘’ |đ?‘Ľâˆ’1| = +∞. đ?‘Ľâ†’Âąâˆž

I due limiti sono eguali ma la funzione non e’ simmetrica rispetto all’asse delle ordinate.

La funzione e’ illimitata superiormente ad ammette un minimo per |x −1| = 0 in corrispodenza di x = 1.

Il punto di minimo della funzione e’ (1, f(1)) ≥ (1, � 0 ) ≥ (1 , 1).

In buona sostanza sup f(x) = +∞ mentre inf f(x) = min đ?‘“(đ?‘Ľ) in (1 , 1).

Va ricardato che specie nella manualistica avanzata la funzione esponenziale viene indicate con il formalismo y = exp(x).

Si ricordi quindi che: y = � � ≥ exp(x).

7. Teoremi sulle funzioni pari e dispari.

E’ ben noto che una funzione f e’ pari se f(x) = f(−đ?‘Ľ) e’ identicamente vera, ovvero se e’ vera per ogni x tale che x appartiene al dominio della funzione.

Come noto, una funzione pari e’ simmetrica rispetto all’asse delle ordinate.

Si dimostra che la somma di due (o piu’) funzioni pari e’ una funzione pari.

Si ammetta in prima ipotesi che le due funzioni f e g siano tali che dom f = dom g.

Siano f e g due funzioni pari.

Occorre dimostrare che la funzione f(x) ¹ g(x) e’ una funzione pari.

Dalle due relazioni

f(x) = f(−đ?‘Ľ)

g(x) = g(−đ?‘Ľ)

sommando e sottranedo membro a membro si ottengono le due relazioni condensate in una unica relazione, quale la seguente:

f(x) Âą g(x) = f(−x) Âą g(−x) â&#x;ş f(x) − đ?‘“(−đ?‘Ľ) =Âąđ?‘”(−đ?‘Ľ) ∓ đ?‘”(đ?‘Ľ) â&#x;ş f(x) − đ?‘“(−đ?‘Ľ) = Âą1⌋đ?‘”(−đ?‘Ľ) − đ?‘”(đ?‘Ľ)âŚŒ â&#x;ş 0 = Âą1 ∗ 0 ovvero 0 = 0.

In generale la somma di n funzioni pari e’ una funzione pari.

La funzione F(x) = (∑ đ?‘“đ?‘– (đ?‘Ľ)) +đ?‘˜ e’ pari se le đ?‘“đ?‘– sono pari.

Le funzioni pari hanno un dominio simmetrico rispetto alla origine del sistema di assi cartesiani ortogonali.

Riflessioni analoghe possono essere fatte per le funzioni dispari, ovvero per le funzioni per le quali si ha f(−đ?‘Ľ) = −đ?‘“(x).

Dette funzioni sono simmetriche rispetto all’origine del sistema di riferimento cartesiano ortogonale.

8. Le funzioni goniometriche

Si consideri la seguente funzione contenente sin(.) e cos(.). đ?œ‹ 3đ?œ‹

y = sin(x) − cos(x) +1 da studiare nell’intervallo chiuso âŚ‹âˆ’ 2 ,

2

âŚŒ.

Si osserva che la funzione e’ continua e derivabile in ogni punto del dominio.

La funzione e’ limitata.

La funzione passa per l’origine del sistema cartesiano. Infatti, per x = 0 si ha f(0) =sin(0) − cos(0) + 1 = 0 − 1 + 1 = 0.

(o, f(o)) e’ un punto del luogo.

Verifica delle simmetrie.

Deve essere ricordato che cos(x) =cos(−đ?‘Ľ) e che sin(x)=− sin(−đ?‘Ľ).

Incidentalmente da esse si ottiene una proprieta’ della funzione tangente tg(x).

Infatti, dividendo membro a membro le due relazioni trovate si ottiene che:

sin(đ?‘Ľ) cos(đ?‘Ľ)

=

− sin(−đ?‘Ľ) cos(−đ?‘Ľ)

Si ottiene una ben nota relazione, ovvero:

tg(x) =−đ?‘Ąđ?‘”(−đ?‘Ľ)

Dovendo essere cos(¹�) ≠0.

Si imponga f(x)= f(−đ?‘Ľ) â&#x;ş sin(x) − cos(x) +1 = sin(−x) − cos(−x) +1 â&#x;ş sin(x) − cos(x) +1 −sin(−x) + cos(−x) −1 = 0 â&#x;ş sin(x) − cos(x) + sin(x) + cos(đ?‘Ľ) = 0 â&#x;ş 2sin(đ?‘Ľ)= 0.

Tale relazione non e’ identicamente vera per ogni x del dominio di f.

Pertanto la funzione non puo’ essere pari.

In parti ulteriori di questo breve elaborato sono contenute altre osservazioni elementari relative alle funzioni pari e dispari.

Procediamo ora al calcolo della derivata prima.

y’ = đ??ˇđ?‘Ľ sinx +đ??ˇđ?‘Ľ cosx +đ??ˇđ?‘Ľ 1 = cosx +đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľ + 0 = cosx +đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľ

Sono state applicate due derivate fondamentali, cioe’:

đ??ˇđ?‘Ľ sinx = cosx

đ??ˇđ?‘Ľ cosx = −đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľ

Ricerca dei punti stazionari.

Deve essere che cosx +đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľ = 0.

In definitiva cosx =−đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľ

Si puo’ utilizzare la nozione di tangente goniometrica di un angolo, avendo che

đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľ đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ľ

= −1 = tgx e in definitiva x = arctg ( −1)

đ?œ‹ 3đ?œ‹

Nel dominio di f, ovvero l’intervallo chiuso âŚ‹âˆ’ 2 , đ?œ‹

đ?œ‹

quali e’ x = − 4 e x = − 4 + đ?œ‹ =

−đ?œ‹+4đ?œ‹ 4

=

3đ?œ‹ 4

.

2

âŚŒ i punti stazionari sono quelli per i

9. Osservazione sulla periodicita’ di funzioni goniometriche

Come noto, le funzioni goniometriche sono periodiche.

Alcune particolari funzioni goniometriche, studiate nel dominio del tempo, ovvero considerando t quale variabile indipedente in luogo della x, sono particolarmente utili per gli sviluppi fisici che hanno ⌋Bramanti, Salsa, PaganiâŚŒ.

Si tratta delle seguenti:

t → Asin(đ?œ”đ?‘Ą)

t → Bcos(đ?œ”đ?‘Ą) .

Di dette funzioni e’ possibile calcolare il periodo minimo T.

Una modalita’ alternativa per detto calcolo potrebbe essere la seguente.

Una prima osservazione deriva dalla periodicita’ del seno.

Si puo’ infatti scrivere che:

sin(đ?œ”đ?‘Ą) = sin(đ?œ”đ?‘Ą + 2đ?‘˜đ?œ‹) ben potendo porre ad esempio k = 1, quindi avendo che:

sin(đ?œ”đ?‘Ą) = sin(đ?œ”đ?‘Ą + 2đ?œ‹) .

Ma e’ possibile anche scrivere che sin(đ?œ”(đ?‘Ą + đ?‘‡)) = sin(đ?œ”đ?‘Ą + 2đ?œ‹).

Si puo’ proporre una riflessione del tipo: se si ammette che sia vera detta relazione allora sono eguali gli angoli, o forse e’ meglio fare il ragionamento alternativo e dire che due angoli eguali hanno lo stesso seno. Vi e’ una evidente ragione di univocita’ che giustifica cio’.

Cio’ non va inteso pero’ che angoli diversi possano avere lo stesso valore del seno.

In buona sostanza occorre stabilire per quale T risulti:

(đ?œ”(đ?‘Ą + đ?‘‡)) = (đ?œ”đ?‘Ą + 2đ?œ‹) â&#x;ş đ?œ”đ?‘Ą + đ?œ”đ?‘‡ = đ?œ”đ?‘Ą + 2đ?œ‹ â&#x;ş đ?œ”đ?‘‡ = 2đ?œ‹ → T =

2đ?œ‹ đ?œ”

Il simbolo → e’ qui utilizzato nel significato di “ottengo�.

E’ stato quindi determinato il periodo minimo della funzione.

Analoghe considerazioni possono essere fatte in relazione alla funzione cos(đ?œ”đ?‘Ą) .

1

La grandezza đ?‘‡ e’ detta frequenza, mentre A e’ detta ampiezza e đ?œ” e’ detta pulsazione. Si tenga presente che in generale la relazione sin(đ?›ź) = sin(đ?›˝) non implica necessariamente sia đ?›ź = đ?›˝.

Vi e’ un esempio elementare, che si impara negli studi di Trigonometria, che evidenzia đ?œ‹

questa non necessaria implicazione, ovvero la relazione vera sin(�) = sin(� + 2 ).

La figura e’ peraltro incompleta richiedendo di disegnare la circonferenza di raggio unitario.

Nelle applicazioni e’ bene ricordare che le funzioni goniometriche del tipo y =Asin(kx), quando k e’ intero assoluto o razionale ha periodo minimo T =

2đ?œ‹ đ?‘˜

.

Se sono date due funzioni goniometriche di periodi minimi �1 � �2 allora la funzione f ≥ �1 +�2 ha period minimo T eguale al piu’ piccolo multiplo di �1 � �2 .

Esistono quindi due interi �1 �� �2 tali che T = �1 �1 = �2 �2 e in definitive si ha: �1 �2

đ?‘›

= đ?‘›2 1

đ??źđ?‘™ periodo della funzione f e’ T = đ?‘›1 đ?‘‡1 se đ?‘›1 < đ?‘›2 . Ma il periodo della funzione f e’ T = đ?‘›2 đ?‘‡2 se đ?‘›2 < đ?‘›1 .

Un esempio aiuta a chiarire‌..

2

2

3

5

Sia data la funzione f(x) = ksin( x) + 2sin( x), dovendo dimostrare che T = 15đ?œ‹.

2

Si considera la prima funzione, cioe’ �1 = ksin(3x). Il periodo di essa non dipende dall’apmpiezza k.

Si ha che �1 =

2đ?œ‹ 2 3

3

= 2đ?œ‹ 2 = 3đ?œ‹.

Il periodo della seconda funzione non dipende dalla ampiezza 2 e si puo’ srivere che:

�2 =

2đ?œ‹ 2 5

5

= 2đ?œ‹ 2 = 5đ?œ‹.

�

đ?‘›

3đ?œ‹

3

Dalla formula đ?‘‡1 = đ?‘›2 si ottiene 5đ?œ‹ = 5 Essendo 3 < 5 si utilizza đ?‘›2 . 2

1

Pertanto il periodoT vale T = đ?‘›2 đ?‘‡2 = 3∙ 5đ?œ‹ = 15đ?œ‹.

10. Alcuni teoremi fondamentali del calcolo differenziale

10.1 Il teorema di Fermat

Sia data una funzione f(x) derivabile in un intervallo aperto (a , b), cioe’ derivabile in ogni punto dell’intervallo considerato.

Il teorema di Fermat dice che se (đ?‘Ľ0 , đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘œ )) e’ un punto di massimo (o di minimo) della funzione data allora in detto punto si ha đ??ˇđ?‘Ľ (đ?‘“(đ?‘Ľ)đ?‘Ľ|đ?‘Ľ0 ) = 0.

Il teorema di Fermat non e’ una condizione necessaria e sufficiente in quanto la condizione f’(đ?‘Ľ0 ) non implica necessariamente che il punto (đ?‘Ľ0 , đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘œ ) ) sia un punto di massimo o di minimo per la funzione assegnata.

Esiste infatti il controesempio rappresentato dal flesso a tangente orizzontale.

10.2 Il teorema di Rolle

E’ data (ipotesi) una funzione f continua in ⌋ a, b âŚŒ e derivabile in (a, b) per la quale sia f(a) = f(b). Verificate queste condizioni si ha che esiste almeno un punto đ?‘Ľ0 đ?œ– (a, b) tale che f ’(đ?‘Ľ0 ) = 0

Va precisato che detto punto non necessariamente e’ unico.

E’ quindi utile con riferimento ad una data funzione reale di una variabile reale verificare se essa soddisfa o meno le condizioni del teorema di Rolle.

Un esempio di funzione che verifica le condizioni del teorema di Rolle e’ y = 4đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľ quando essa viene studiata in ⌋ 0, đ?œ‹âŚŒ.

Per contro si dimostra che la funzione y = đ?‘Ľ 2 + |x| in ⌋ −1, 1âŚŒ non verifica le condizioni del teorema di Rolle.

A titolo di esempio si consideri la funzione y = 4đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľ studiata in ⌋ 0, đ?œ‹âŚŒ.

Verifichiamo che agli estremi e’ soddisfatta una delle condizioni del teorema di Rolle.

Vediamo se y(0) = y(đ?œ‹). Tale condizione e’ verificata immediatamente in quanto risulta che sin(0) = sin(đ?œ‹) = 0.

La funzione y = 4đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľ e’ continua in ogni punto dell’intervallo considerato.

Infatti e’ continua anche g(x) = sin(x).

La funzione e’ parimenti derivabile in ⌋ 0, đ?œ‹âŚŒ.

Ne calcolo la derivata prima. Una complicazione nasce dal datto che in luogo di e qui si trova la costante 4.

La regola di derivazione e’ la seguente:

đ??ˇđ?‘Ľ đ?‘Ž đ?‘“(đ?‘Ľ) = f’ (x) đ?‘Ž đ?‘“(đ?‘Ľ) ln(a).

Nel caso di specie si ha a = 4 e conseguentemente si puo’ scrivere che la derivata vale

đ??ˇđ?‘Ľ 4sin(đ?‘Ľ) = cos(x) 4sin(đ?‘Ľ) ln(4).

La derivata prima esiste in ogni punto dell’intervallo ( 0, đ?œ‹ ).

Occorre trovare un valore per il quale risulti cos(x) 4sin(đ?‘Ľ) ln(4) = 0.

Poiche’ e’ ln(4) ≠0 allora la condizione di annullamento della derivata prima e’ legata all’annullamento del prodotto cos(x) 4sin(�) . Non esistono valori di x che annullano il termine 4sin(�) . Pertanto il valore di x che annulla l’espressione e’ x tale che cos(x) = 0. Nell’intervallo considerato la funzione si annulla per x =

đ?œ‹ 2

.

Tolta la restrizione nel dominio di f la nuova funzione che si esamina si annulla per x = đ?œ‹ 2

+ đ?‘˜đ?œ‹ ove k e’ un elemento di Z.

10.3 Il teorema di Cauchy

Siano date due funzioni f(x) e g(x) continue in un dato intervallo ⌋a , bâŚŒ e derivabili in (a , b) con g’(x) ≠0 in ogni x ∈ (a , b).

Esiste almeno un punto đ?‘Ľ0 contenuto in (a , b) tale che sia verificata la seguente eguaglianza:

đ?‘“(đ?‘?)−đ?‘“(đ?‘Ž) đ?‘”(đ?‘?)−đ?‘”(đ?‘Ž)

�′(� )

= �′(�0 ) 0

Si puo’ considerare il seguente esempio relativo alle seguenti funzioni.

f(x) = đ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ľ con k intero positiv0 ≼ 2

g(x) = 1 + đ?‘’ đ?‘Ľ

Esse vanno studiate in un intervallo ⌋a , b âŚŒ.

Le funzioni sono continue in R e quindi continue in ⌋a , bâŚŒâŠ† R.

Le due funzioni sono derivabili in R e se ne calcolano le derivate.

đ?‘‘

Risulta đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ľ = đ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ľ

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ľ

kx = (đ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ľ )k > 0 ∀ đ?‘˜ ≠0, ∀đ?‘Ľ ∈ đ?‘‘đ?‘œđ?‘š đ?‘“.

Analogamente si deriva anche la seconda funzione avendo che:

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?‘‘

đ?‘‘

(1 + đ?‘’ đ?‘Ľ ) = đ?‘‘đ?‘Ľ (1) + đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘’ đ?‘Ľ = 0 + đ?‘’ đ?‘Ľ = đ?‘’ đ?‘Ľ > 0 ∀đ?‘Ľ ∈ đ?‘‘đ?‘œđ?‘š đ?‘”.

Si imposta il primo membro della relazione di Cauchy avendo che:

đ?‘“(đ?‘?)−đ?‘“(đ?‘Ž)

đ?‘’ đ?‘?đ?‘˜ −đ?‘’ đ?‘Žđ?‘˜

= 1 +đ?‘’ đ?‘?−1 −đ?‘’ đ?‘Ž = đ?‘”(đ?‘?)−đ?‘”(đ?‘Ž)

đ?‘’ đ?‘?đ?‘˜ −đ?‘’ đ?‘Žđ?‘˜ đ?‘’ đ?‘? −đ?‘’ đ?‘Ž

Sia x il punto che verifica la condizione del teorema di Cauchy.

Allora sarebbe:

đ?‘’ đ?‘?đ?‘˜ −đ?‘’ đ?‘Žđ?‘˜ đ?‘’ đ?‘? −đ?‘’ đ?‘Ž

=

(đ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ľ )k đ?‘’đ?‘Ľ

= k đ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ľ = kđ?‘’ đ?‘Ľ(đ?‘˜âˆ’1)

La quantita’ a primo membro e’ nota e la si indica con la lettera đ?œ‘ avendosi che:

đ?œ‘ = kđ?‘’ đ?‘Ľ(đ?‘˜âˆ’1)

Applicando i logartimi in base e ad ambo i membri si ha:

Ln(đ?œ‘) = đ??żđ?‘›( kđ?‘’ đ?‘Ľ(đ?‘˜âˆ’1))

Ln(đ?œ‘) = đ?‘Ľ(đ?‘˜ − 1)ln(ke)

ln(đ?œ‘)

Si ottiene x =(đ?‘˜âˆ’1)ln(đ?‘˜đ?‘’)

10.4 Il teorema di Lagrange

Il teorema di Lagrange si enuncia come segue.

Una funzione f(x) continua in un intervallo ⌋a, bâŚŒ e derivabile in (a, b) ha almeno un punto (đ?‘Ľ0 , đ?‘“(đ?‘Ľ0 )) tale che sia

đ?‘“(đ?‘?)−đ?‘“(đ?‘Ž) đ?‘?−đ?‘Ž

= đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ0 ) con đ?‘Ľ0 đ?œ– (a, b).

Detto teorema e’ detto teorema del valore medio di una funzione.

In buona sostanza

đ?‘“(đ?‘?)−đ?‘“(đ?‘Ž) đ?‘?−đ?‘Ž

indica il coefficient angolare della retta passante per i punti (a,

f(a)) e (b , f(b)).

Detta retta ammette almeno un parallela tangente la retta passante per i punti (a, f(a)) e (b , f(b)). Questa seconda retta e’ tangente la curva f(x) nel punto (�0 , f(�0 )).

Un esempio potrebbe essere quello della funzione y =√2đ?‘Ľ + 1 da studiare in ⌋o, 4âŚŒ.

La funzione considerata e’ continua in ⌋o, 4âŚŒ.

La condizione di realta’ del radicale impone sia 2đ?‘Ľ + 1 ≼ 0 ovvero 2x ≼ −1 đ?‘œđ?‘Łđ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘Ľ ≼ 1

− 2.

Nell’intervallo considerato la funzione e’ definita e ivi continua e strettamente crescente, quindi monotona.

2

2

2

Si ha che f(0) = √2 ∗ 0 + 1 = 1 e risulta che f(4) = √2 ∗ 4 + 1 = √9 = 3.

Occorre ora calcolare il primo membro avendo che:

đ?‘“(4)−đ?‘“(0) 4−0

=

3−1 4

2

1

=4=2

La funzione y =√2đ?‘Ľ + 1 e’ una funzione composta.

Si puo’ porre 2� + 1 = �.

Quindi si puo’ scrivere y =√đ?‘˘ e applicare il teorema della derivata di una funzione composta.

La derivata e’ scritta come segue:

1

1

đ??ˇđ?‘Ľ √đ?‘˘ f’(2đ?‘Ľ + 1) = 2đ?‘˘2 = √2đ?‘Ľ+1

Occorre ora porre

1

1

√2đ?‘Ľ+1

= 2 da cui si ha che: 2 = √2đ?‘Ľ + 1. Da cio’ si ricava che f(x) vale 2.

Si deve pertanto determinare il valore di x per il quale sia che che f(x) vale 2.

Si ha 2 =√2đ?‘Ľ + 1.

3

Elevando al quadrato si ha 4 = 2đ?‘Ľ + 1 â&#x;ş 2x +1 = 4 â&#x;ş 2đ?‘Ľ = 3 → đ?‘Ľ = 2.

10.5 Il teorema di Bernoulli-De l’Hôpital

Siano date due funzioni f(x) e g(x) derivabili in un intervallo simmetrico di centro �0 con derivate continue in detto intorno tali che g’(x) ≠o e infinitesime.

Risulta che: lim

đ?‘“(đ?‘Ľ)

�→�0 �(�)

= lim

�′(�)

�→�0 �′(�)

�′(� )

= �′(�0 ) . 0

Come esempio di applicazione del teorema in oggetto si puo’ considerare il seguente limite.

1

đ?‘Ľ

1 −đ?‘Ľ

lim ln(đ?‘Ľ) − ln(đ?‘Ľ) =lim ln(đ?‘Ľ) lim

�→1

�→1

�→1

1−đ?‘Ľ 1 đ?‘Ľ

0

= 1 = 0.

Un ulteriore esempio potrebbe essere il seguente:

đ?‘’ đ?‘Ľ −1

lim sin(đ?‘Ľ)

�→0

0

Si tratta di una forma indeterminata del tipo 0 in quanto applicando i teoremi noti sui limiti si avrebbe questa situazione:

đ?‘’ đ?‘Ľ −1

lim đ?‘’ đ?‘Ľ −1

�→0 lim sin(�) = lim = sin(�)

�→0

�→0

đ?‘’ 0 −1 sin(0)

0

= 0.

Calcolo le due derivate prime avendo che đ??ˇđ?‘Ľ (đ?‘’ đ?‘Ľ − 1) = đ?‘’ đ?‘Ľ e đ??ˇđ?‘Ľ sin(đ?‘Ľ) = cos(x).

Le due devitate prime hanno campo di esistenza tutto R e sono ovunque derivabili.

Quindi sono derivabili pure in un intorno simmetrico di x = 0.

đ?‘’0

1

Sono verificate le condizioni del teorema e il limite vale đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?‘œ) = 1 = 1.

Pertanto si puo’ scrivere che:

đ?‘’ đ?‘Ľ −1

lim sin(đ?‘Ľ) = 1.

�→0

10.6 Teorema fondamentale delle funzioni crescenti e decrescenti

Sia f(x) definita in un intervallo I di estremi a e b (aperto o chiuso) e ivi derivabile.

Se ∀đ?‘Ľ đ?œ– đ??ź đ??ˇđ?‘Ľ f(x) > 0 â&#x;ş đ?‘“(đ?‘Ľ) e’ crescente in I

Se ∀đ?‘Ľ đ?œ– đ??ź đ??ˇđ?‘Ľ f(x) < 0 â&#x;ş đ?‘“(đ?‘Ľ) e’ decrescente in I.

Si tratta di condizioni necessarie e sufficienti.

Si deve precisare che vanno tenuti distinti i punti di massimo (minimo) relativo dal punto di massimo (minino) assoluto.

La nozione di massimo relativo e’ rimessa alla valutazione del valore di una funzione in un intorno di un punto �0 .

Il punto (đ?‘Ľ0 , f(đ?‘Ľ0 ) ) e’ un punto di massimo relativo se ∀đ?‘Ľ | (đ?‘Ľ ≠đ?‘Ľ0 , x đ?œ–(đ?‘Ľ0 − đ?‘&#x;, đ?‘Ľ0 + đ?‘&#x;) risulta che f(x) ≤ đ?‘“(đ?‘Ľ0 ).

In modo analogo si puo’ determinare il minimo relativo di una funzione alegebrica o trascendente.

La nozione di minimo relativo e’ rimessa alla valutazione del valore di una funzione in un intorno di un punto �0 .

Il punto (đ?‘Ľ0 , f(đ?‘Ľ0 ) ) e’ un punto di minimo relativo se ∀đ?‘Ľ | (đ?‘Ľ ≠đ?‘Ľ0 , x đ?œ–(đ?‘Ľ0 − đ?‘&#x;, đ?‘Ľ0 + đ?‘&#x;) risulta che f(x) ≼ đ?‘“(đ?‘Ľ0 ).

10.7 Teorema fondamentale sui massimi e sui minimi di una funzione

Data una funzione f(x) definita e continua in ⌋a, bâŚŒ e ivi derivabile.

Condizione necessaria ma non sufficiente affinche’ il punto (đ?‘Ľ0 , đ?‘“(đ?‘Ľ0 )) sia o un massimo o un minimo relativo e’ che đ??ˇđ?‘Ľ đ?‘“(đ?‘Ľ)|đ?‘Ľ =đ?‘Ľ0 = 0.

Non si tratta di una condizione necessaria e sufficiente in quanto đ??ˇđ?‘Ľ đ?‘“(đ?‘Ľ)|đ?‘Ľ =đ?‘Ľ0 = 0 non implica che il punto (đ?‘Ľ0 , đ?‘“(đ?‘Ľ0)) sia o un massimo o un minimo relativo.

Come gia’ detto esiste il caso dei flessi a tangente orizzontale.

La questione dei massimi e dei minimi va completata con punti di massimo o di minimo corrisondenti a punti di non derivabilita’.

La questione sara’ affrontata nelle pagine successive. Si tratta dei cosiddetti punti singolari.

10.8 Teorema di Bolzano−đ?‘Šđ?‘’đ?‘–đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?›˝

Data una funzione f(x) continua in ⌋a, bâŚŒ.

Tale funzione ammette un massimo assoluto e un minimo assoluto in ⌋a, bâŚŒ.

Se max f(x) < +∞ la funzione e’ limitata superiormente.

Se min f(x) > −∞ la funzione e’ limitata inferiormente.

Una funzione limitata inferiormente e superiormente e’ limitata.

In questo caso Im f ⊂ �.

Nel caso di funzione limitata inferiormente si ha che Im f = (đ?‘˜, +∞) ove k đ?œ– đ?‘….

Nel caso di funzione limita superiormente si ha che Im f = (−∞, â„Ž) ove h đ?œ– đ?‘….

Una funzione limitata e’ una funzione per la quale Im f = (a , b), ove a e b sono due numeri reali.

Un esempio tipico di funzione limitata e continua e’ la funzione y = sin(x).

In essa, come noto, si ha Im f = âŚ‹âˆ’1, 1âŚŒ.

Ulteriori importanti teoremi del calcolo differenziale saranno esaminati nei paragrafi successivi.

11. Alcune funzioni poco utilizzate

11.1 La funzione parte intera

La funzione parte intera viene formalizzata come segue:

y =⌋xâŚŒ

Questa funzione istituisce una corrispondenza tra un numero reale x e la sua parte intera indicata con il formalismo ⌋xâŚŒ.

Qualche esempio potrebbe essere utile a chiarire.

Si ha che:

⌋2,339393939âŚŒ = 2, ed anche âŚ‹âˆ’10,44944949âŚŒ =−10 ed anche per elementi di Q (insieme dei đ?‘Ž

razionali) si ha che ⌋đ?‘?âŚŒ= q.

Dom f = R.

Im f = Z.

Sia Z l’insieme degli interi relativi. Se z’ e z’’ sono due successivi interi relativi allora ∀đ?‘Ľ | đ?‘Ľ đ?œ– ⌋đ?‘§ ′ , đ?‘§â€˛â€˛âŚŒ si ha che ⌋xâŚŒ= min (z’, z’’).

11.2 La funzione mantissa mant(x)

La funzione mantissa viene scritta come segue:

mant(x) = x −[đ?‘Ľ]

Essa indica, quindi, la differenza tra la x e la sua parte intera.

Il dominio della funzione e’ l’insieme R dei numeri reali, mentre l’immagine della funzione e’ l’intervallo ⌋0, 1).

La funzione mat(x) assume il valore 0 quando x = ⌋1âŚŒ ed ha periodo 1.

11.3 La funzione caratteristica

La funzione caratteristica assume il valore 1 in un determinato intervallo ed assume il valore 0 in ogni altro punto del continuo reale.

Essa si indica con il seguente formalismo:

đ?œ‘⌋đ?‘Ž,đ?‘?âŚŒ (x) = 1 se x đ?œ– ⌋a, bâŚŒ

đ?œ‘⌋đ?‘Ž,đ?‘?âŚŒ (x) = 0 se x đ?œ– R âˆ’âŚ‹a, bâŚŒ.

Si ricordi che R âˆ’âŚ‹a, bâŚŒ = (−∞, đ?‘Ž) âˆŞ (đ?‘? , +∞).

Va precisato che dom đ?œ‘⌋đ?‘Ž,đ?‘?âŚŒ (x) = đ?‘… mentre Im đ?œ‘⌋đ?‘Ž,đ?‘?âŚŒ (x) = {0, 1}.

11.4 La funzione segno di x

La funzione y =sign(x) viene definita come segue.

sign(x) = 1 per x | x đ?œ– (0, +∞)

sign(x) = 0 per x = 0

sign(x) = −1 per x ∈ (−∞, 0).

Dom sign(x) e’ il continuo reale.

Im sign(x) = {−1, 0, 1}.

11.5 Osservazione

Una funzione definita in (−∞ , +∞) continua e nonotona e’ suriettiva.

In questo caso Im f = (−∞ , +∞).

Essa definisce una applicazione di R in se’.

12. Sottoinsiemi di R e successioni reali.

Per i sottoinsiemi di R sono possibili definizioni riconducibili a quelle date per le funzioni. E’ infatti possibile stabilire se essi sono limitati o meno e se per essi vale il teorema di Bolzano-Weierstraβ.

Sia dato ad esempio il seguente esempio.

1

Studiare l’insieme {(− 2)đ?‘› ∀đ?‘› ∈ đ?‘ }

Esso e’ sicuramente un insieme infinito in quanto N, insieme dei numeri naturali, e’ illimitato superiormente.

Si possono agevolmente calcolare i primi termini ottenibili al variare di n in N.

1

n

(− )đ?‘›

1

−2

2

1

1

2

4

1

−8

3

etc.

Nella sequenza si alternano valori positivi e valori negativi.

Ragionando sui valori positivi si osserva che al variare di n in N si puo’ scrivere che:

1

1

(− 2)2đ?‘› > (− 2)2(đ?‘›+1) .

1

1

1

Pertanto max{(− 2)đ?‘› ∀đ?‘› ∈ đ?‘ } = (− 2)min(2đ?‘›â€˛) ovvero per n’ = 1 cioe’ max{(− 2)đ?‘› ∀đ?‘› ∈ đ?‘ } =

1

.

4

Si osservi che per n pari la sottosuccessione associata converge al valore 0 da destra, quindi per valori via via decrescenti che per n pari arbitrariamente grande tende a 0+ .

1

Per n dispari si ha che al variare di n dispari crescente il valore negativo(− )2đ?‘›â€˛+1 tende al 2

valore 0− đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x; đ?‘›â€˛ → +∞.

1

1

1

I punti (− 2)đ?‘› sono tutti interni all’intervallo âŚ‹âˆ’ 2 , 4âŚŒ

1

1

1

1

Si puo’ affermare che sup{(− 2)đ?‘› ∀đ?‘› ∈ đ?‘ } = max {(− 2)đ?‘› ∀đ?‘› ∈ đ?‘ } = 4 e che inf {(− 2)đ?‘› 1

1

∀đ?‘› ∈ đ?‘ } = min {(− 2)đ?‘› ∀đ?‘› ∈ đ?‘ } = − 2 .

Al riguardo si puo’ ricordare il teorema di Bolzano-Weierstraβ per il quale:

Ogni insieme limitato e infinito di numeri reali ha almeno un punto di accumulazione.

Al riguardo e’ utile ricordare la nozione di punto di accumulazione.

Un punto di accumulazione per un insieme e’ un punto, non necessariamente appartenente all’insieme, tale che esiste almeno un intorno cadono punti dell’insieme.

Con riferimento all’insieme dato ad esempio il numero 0 e’ un punto di accumulazione dell’insieme considerato.

1

0 ∉ {(− 2)đ?‘› ∀đ?‘› ∈ đ?‘ } ma esistono intorni dello zero che contengono elementi di detto insieme, come evidenziato.

Si puo’ considerare un ulteriore semplice esempio, quello costituito dall’insieme {

đ?‘› đ?‘›+1

|n

đ?œ–đ?‘ }.

Questo esempio offre lo spunto di introdurre un ulteriore concetto proprio dell’analisi, ovvero quello di successione reale.

Una successione reale e’ una relazione, o piu’ precisamente, una funzione che associa ad un numero intero un numero reale secondo una data legge.

Possiamo ad esempio scrivere che:

f: N → R tale che n →

đ?‘› đ?‘›+1

La relazione considerata associa al numero intero assoluto n il numero razionale

đ?‘›

.

đ?‘›+1

đ?‘›

Si tratta di una funzione iniettiva nel senso che a distinti n corrispondono distinti đ?‘›+1. đ?‘›

Si tratta di una biiezione in quanto ad un dato đ?‘›+1 corrisponde un unico intero n.

Le successioni numeriche vengono indicate con un particolare formalismo, quale ad esempio il seguente:

đ?‘›

đ?‘Žđ?‘› = đ?‘›+1

Sono ottenibili i vari termini della successione, cioe’:

1

1

2

2

đ?‘Ž1 = 1+1= 2

đ?‘Ž2 = 2+1= 3

Anche in relazione alle successioni numeriche e’ possibile considerare l’operazione di passaggio al limite ovvero dare significato alla scrittura lim

đ?‘›

đ?‘›â†’+∞ đ?‘›+1

= 1.

1

La succesione e’ quindi limitata e si ha che min �� = 2 e sup �� = 1.

La successione e’ monotona e strettamente crescente.

In alcune circostanze le successioni vengono assegnate per ricorrenza.

Nella manualistica se ne trovano molte, quali ad esempio la seguente, detta frazione di Cataldi.

1

2

đ?‘Ž1 = 4 e đ?‘Žđ?‘›+1 = 8+đ?‘Ž . đ?‘›

Vorrei indicare i primi termini di essa che sono:⌋

đ?‘Ž2 =

2 8+

1 4

=

2 33 4

8

= 33 , đ?‘Ž2 =

2 8+

8 33

etc‌..

Per le successioni numeriche e’ di fondamentale importanza la nozione di limite.

Ho rinvenuto nella manualistica ⌋Galligani, Lagana’, MazzoneâŚŒ due nozioni preliminari utili alla definizione di limite. Esse sono quelle di “trappolaâ€? e di “tanaâ€?.

Un intervallo (a, b) si dice trappola per la successione đ?‘Žđ?‘› se i valori di essa ad un certo punto stanno definitivamente in (a, b) cioe’ se esiste un intero đ?‘›0 tale che ∀ n > đ?‘›0 allora đ?‘Žđ?‘›>đ?‘›0 đ?œ– (a, b).

Viene data anche la nozione di tana. Un insieme (a, b) e’ una tana per la successione {đ?‘Žđ?‘› } se ∀n ∃ đ?‘›0 đ?œ– (a, b). Si dice che gli đ?‘Žđ?‘› stanno frequentemente in (a, b).

Da queste nozioni si perviene a quelle di punto limite. Un punto limite e’ un punto tale che ogni suo intorno e’ una tana per la successione {�� }.

Si perviene quindi alla nozione di successione limitata.

Si scrive che esite finito ed eguale ad L il seguente limite:

lim �� = L se un qualsiasi intorno di L e’ una trappola per la successione {�� } .

đ?‘›â†’+∞

In termini formali si puo’ scrivere che ∀đ?œ€ > 0 esiste un đ?‘›đ?œ€ tale che ∀đ?‘› > đ?‘›đ?œ€ risulta essere

|đ?‘Žđ?‘› − đ??ż| < đ?œ€.

E’ ben evidente che si presuppone noto L.

Tale assunzione non e’ in generale vera.

Viene quindi data la definzione di successione di Cauchy per la quale si ha:

Una successione reale e’ detta di Cauchy se dato un đ?œ€ > 0 esiste un đ?‘›đ?œ€ tale che presi due interi m ed n maggiori di esso allora risulta |đ?‘Žđ?‘› − đ?‘Žđ?‘š | < đ?œ€.

In genere il calcolo del limite delle successioni e’ agevole.

Si consideri, ad esempio, il caso seguente.

lim

đ?‘Ľâ†’+∞

1−đ?‘›3

1−đ?‘›3

đ?‘›2 sin(đ?‘Ľ)+3đ?‘›3

1 −1 đ?‘›3

đ?‘›2 3đ?‘›3 sin(đ?‘Ľ)+ 3 đ?‘›3 đ?‘›

=

. E’ possibile manipolare �2 sin(�)+3�3 avendo la seguente espressione

1 −1 đ?‘›3

1 3đ?‘›3 sin(đ?‘Ľ)+ 3 đ?‘› đ?‘›

=

1 −1 đ?‘›3 sin(đ?‘›) +3 đ?‘›

.

Con questi passaggi algebrici si puo’ calcolare il limite per n →+∞ .

1 −1 đ?‘›3 sin(đ?‘›) n →+∞ +3 đ?‘›

Si ha lim

=

1 lim −1 đ?‘›â†’+∞đ?‘›3 đ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?‘›) lim +3 đ?‘›â†’+∞ đ?‘›

0−1

1

= 0+3 =− 4.

(Incidentalmente va ricordato che

lim

đ?‘›â†’+∞

đ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?‘›) đ?‘›

= 0. Intuitivamente questo limite si

evidenzia ricordando che sin(n) e’ limitata mentre lim

1

đ?‘›â†’+∞ đ?‘›

= 0.)

Ad esempio si puo’considerare la seguente successione il cui termine generale e’:

đ?‘Žđ?‘› =

1 7+1

+

1 72 +2

+ â‹Ż.+

1

1 7đ?‘› +đ?‘›

1

1

Si ha �1 = 7+1 e �2 = 7+1 + 72 +2 . Si osserva che �2 < �1 . In generale risulta ��+1 < �� Occorre dimostrare che tale successione e’ limitata.

Una successione converge solo se e’ di Cauchy. 1

1

Basta osservare che | 7đ?‘›+1 +(đ?‘›+1) − 7đ?‘›+đ?‘› | < đ?œ€.

Un esempio di successione riconducibile ad un limite noto e’ la seguente: 1

đ?‘Žđ?‘› = đ?‘›2 đ?‘ đ?‘–đ?‘› đ?‘› per n → +∞ . Occorre ricondursi ad una espressione riconducibile ad un limite noto.

Si puo’ infatti scrivere che:

1

đ?‘›2 đ?‘ đ?‘–đ?‘› đ?‘› = đ?‘›3

đ?‘ đ?‘–đ?‘› 1 đ?‘›

1 đ?‘›

.

Per un noto teorema si puo’ scrivere che lim đ?‘›3 đ?‘›â†’+∞

đ?‘ đ?‘–đ?‘› 1 đ?‘›

1 đ?‘›

= lim đ?‘›3 lim đ?‘›â†’+∞

đ?‘›â†’+∞

đ?‘ đ?‘–đ?‘› 1 đ?‘›

1 đ?‘›

.

Il primo limite vale infinito positivo, mentre il secondo vale 1, quindi detto limite vale +∞.

13. Funzioni composte e derivazione

In alcuni esercizi sono state considerate le funzioni composte ed e’ stato utilizzato il teorema della derivata di una funzione composta. In buona sostanza occorre dare significato al seguente formalismo y = f(g(x)).

Esso e’ sintetizzabile come segue: �

đ?‘“

x → g(x) → f(g(x)) Mentre il formalismo y = g(f(x)) e’ sintetizzabile come segue: �

đ?‘”

x → f(x) → g(f(x))

Questi due formalismi hanno un senso quando valgono le seguenti eguaglianze: Im g = dom f Im f = dom g

nei due casi considerati.

Va osservato che in generale f(g(x)) ≠g(f(x)) In luogo di f(g(x)) si scrive (f ⃘g)(x).

La composizione di funzioni non gode della proprieta’ commutativa.

In alcuni esercizi si e’ fatto uso del teorema della derivata di una funzione composta per il quale:

la derivata di una funzione composta e’ eguale al rapporto delle derivate delle singole funzioni che la costituiscono.

In formule si scrive: đ??ˇđ?‘Ľ f(g(x)) = f’ (g(x)) g’ (x). Un esempio di funzione composta e’ la seguente (adattamento di una funzione rinvenuta nella manualistica): y = (5 − 2 sin(đ?‘Ľ))đ?‘˜

Secondo le formalizzazioni note possiamo scrivere che đ?‘“

đ?‘”

x → 5 − 2 sin(đ?‘Ľ) → (5 − 2 sin(đ?‘Ľ))đ?‘˜

Il dominio di f e’ tutto R, parimenti il codominio di essa.

La funzione composta ha dominio eguale al codominio di f.

Di essa e’ possibile calcolare dal derivata prima, avendosi che: � ��

đ?‘‘

đ?‘‘

(5 − 2 sin(đ?‘Ľ))đ?‘˜ = k(5 − 2 sin(đ?‘Ľ))đ?‘˜âˆ’1 đ?‘‘đ?‘Ľ (5 − 2 sin(đ?‘Ľ)) = k(5 − 2 sin(đ?‘Ľ))đ?‘˜âˆ’1 đ?‘‘đ?‘Ľ −

2 sin(đ?‘Ľ)) = −2 k(5 − 2 sin(đ?‘Ľ))đ?‘˜âˆ’1 cos(x) con k intero.

Un ulteriore esempio di funzione composta e’ la seguente.

y =√1 + 7đ?‘Ľ 2

In questo caso si puo’ scrivere: �

đ?‘”

x → 1 + 7đ?‘Ľ 2 → √1 + 7đ?‘Ľ 2

Il dominio della funzione composta coincide con il dominio di f.

Infatti deve essere garantita la condizione di esistenza del radicale, ovvero deve risultare 1

che 1 + 7đ?‘Ľ 2 ≼ 0 ovvero 7đ?‘Ľ 2 ≼ −1 da cui đ?‘Ľ 2 ≼ − 7 sempre verificata. Si puo’ calcolare la derivata di f(x)= 1 + 7đ?‘Ľ 2 che banalmente vale f ’(x) )= 14x. 1

Posto 2 =√đ?‘˘ 1

1

1

Si puo’ scrivere che đ??ˇđ?‘˘ (đ?‘˘)2 = 2 (đ?‘˘)−2

Pertanto la derivata prima della funzione considerata e’:

14x

1

1

2 √1+7đ?‘Ľ 2

14. La funzione inversa di una funzione data

Una funzione strettamente monotona nel suo dominio e’ invertibile, ovvero ammette la funzione inversa. In altra parte del testo si e’ osservato che le due funzioni f e đ?‘“ − sono simmetriche rispetto alla bisettrice del primo quadrante, ovvero alla retta y = x.

Quando una funzione non e’ monotona vanno ricercati gli intervalli di monotonia e la determinazione della funzione inversa e’ riferita a tali restrizioni.

Le funzioni periodiche vengono studiate, ai fini della invertibilita’, in un periodo. đ?œ‹ đ?œ‹

Ad esempio, la funzione y = sin(x) viene studiata a tale fine nella invertibilita’ in âŚ‹âˆ’ 2 , 2 âŚŒ. Uno dei prossimi paragrafi sara’ dedicato allo studio delle funzioni inverse di una funzione data.

In realta’, questo studio e’ gia avvenuto in relazione alla funzione esponenziale e a quella logaritmica, una inversa dell’altra.

Lo studio della invertibilita’ a volte e’ banale altre volte meno‌.

Un esempio banale di funzione invertibile e’ la funzione affine (che e’ rappresentata nel piano cartesiano da un a retta). Ad esempio la funzione y = 4x +5.

La funzione e’ iniettiva in quanto a distinti valori di x corrispondono distinti valori di y.

Essa e’ una funzione da R ad R (di R in se’), ovvero una suriezione.

La determinazione del valore della funzione inversa si ottiene come segue: đ?‘Ś

5

y = 4x +5 â&#x;ş y −5 = 4đ?‘Ľ â&#x;ş 4x =y −5 â&#x;ş x = 4 − 4 đ?‘Ľ

5

1

5

Pertanto la funzione inversa e’: đ?‘“ − (đ?‘Ľ) = 4 − 4 = 4 đ?‘Ľ − 4

Si consideri ad esempio la funzione y = sin √đ?‘Ľ − 1 Deve essere sicuramente đ?‘˘ = đ?‘Ľ − 1 ≼ 0 ovvero x ≼ 1.

La funzione e’ limitata in quanto |sin √đ?‘Ľ − 1 | ≤ 1.

Al fine di calcolare l’invertibilita’ si puo’ procedere come segue.

Si considera la derivata prima e si vede in quale intervallo essa e’ positiva e in quale intervallo essa e’ negativa.

Si deve usare il teorema della derivata della funzione composta.

Un ulteriore semplice esempio e’ il seguente. 1

y =1+|đ?‘Ľ| Si osservi che poiche’ |x| = |−đ?‘Ľ| la funzione e’ invertibile quando x > 0 oppure quando x < 0.

La funzione y =

1 1+|đ?‘Ľ|

con la restrizione dom f= ⌋ 0, +âˆžâŚŒ e’ invertibile.

1

1

Per la restrizione data si puo’ scrivere 1+|�| = 1+� 1

1−đ?‘Ś

Pertanto si puo’ scrivere y = 1+đ?‘Ľ â&#x;ş y(1+đ?‘Ľ) = 1 â&#x;ş y +đ?‘Ľđ?‘Ś = 1 â&#x;ş xy = 1 −đ?‘Ś â&#x;ş x =

đ?‘Ś

1

= đ?‘Ś − 1.

15. Le funzioni goniometriche inverse

Le funzioni goniometriche ammettono funzioni inverse quando vengono studiate in un intervallo corrispondente ad un periodo. đ?œ‹ đ?œ‹

Ad esempio la funzione y = sin(x) studiata in âŚ‹âˆ’ 2 , 2 âŚŒ ammette la funzione inversa, detta funzione arcoseno.

Detta funzione si indica nel modo seguente:

x = arcsin y.

Nel medesimo riferimento cartesiano le due funzioni sono simmetriche rispetto alla bisettrice del I quadrante.

Si puo’ scrivere che y = arcsin(x).

In modo analogo si definiscono le funzioni inverse delle altre funzioni goniometriche, sempre riferite ad un periodo.

Ai fini del calcolo delle derivate e’ utile il teorema della derivata della funzione inversa.

Ci si puo’ aiutare con la seguente rappresentazione che evidenzia graficamente il senso del formalismo che verra’ introdotto.

Questa schematizzazione e’ riferita ad una funzione f invertibile, ovvero una iniezione e suriezione su un dato insieme (corrispondenza biunivoca).

Un elemento x tramite f diviene f(x) e tramite la funzione đ?‘“ −1 , inversa di f, torna ad essere x. E’ noto che si puo’ scrivere y = f(x) da cui si ha đ?‘“ −1 (y) = đ?‘“ −1 ( f(x) ) =(đ?‘“ −1 f )(x) = x. Solitamente la đ?‘“ −1 viene indicata con la lettera g.

Comunque e’ stato ricostruito l’iter logico relativo alla funzione inversa.

Il calcolo della derivata della funzione inversa tiene conto che si puo’ ragionare in termini di funzione composta. Infatti si puo’ scrivere che g(f(x)) = x consente đ??ˇđ?‘Ľ g(f(x)) = đ??ˇđ?‘Ľ x ovvero f ’(x) g’(y) = 1. 1

In definitiva si puo’ scrivere che g’(y) = �′ (�).

16. Studio di funzioni goniometriche inverse

Il primo esempio di funzione contenente funzioni goniometriche inverse e’ il seguente. y = ln arcsin(x)

Si tratta di una funzione composta. Si puo’ porre arcsin(x) = �.

1

Dalla teoria si ha che đ??ˇđ?‘Ľ arcsin(x) = √1−đ?‘Ľ 2 . 1

Poiche’ la funzione contiene anche ln(.) allora deve essere verificata la condizione √1−đ?‘Ľ 2 > 0.

In altri termini deve risultare √1 − đ?‘Ľ 2 > 0, ovvero, equivalentemente, 1 − đ?‘Ľ 2 > 0. Ma scrivere 1 − đ?‘Ľ 2 > 0 conduce a −đ?‘Ľ 2 > −1 ovvero đ?‘Ľ 2 < 1. Questa ultima condizione e’ verificata per −1 < đ?‘Ľ < 1. 1

E’ poi noto che đ??ˇđ?‘˘ = ln(đ?‘˘) = đ?‘˘ Applicando il teorema della derivata della funzione composta si puo’ scrivere che:

y’ =

1

1

�

√1−đ?‘Ľ 2

1

1

= đ?‘Ľ √1−đ?‘Ľ 2

Si osservi che la funzione di partenza e’ definita per x ∈ (−1, 1).

Stessa osservazione vale per la funzione derivata sotto la ulteriore condizione che sia arcsin(x) ≠0, ovvero per x ≠0 + đ?‘˜đ?œ‹ con k elemento di Z.

Un ulteriore esempio di funzione contenente una funzione goniometrica inversa e’ la seguente, ovvero:

y = arcsin(� � ) Si puo’ porre � � = �. Il dominio della funzione e’ il continuo reale, in quanto � � e’ definito per ogni x reale.

Si tratta di una funzione composta la cui derivata e’:

y’ = � �

1 √1−(đ?‘’ đ?‘Ľ )2

Il primo termine đ?‘’ đ?‘Ľ deriva dal fatto che đ??ˇđ?‘Ľ đ?‘’ đ?‘Ľ = đ?‘’ đ?‘Ľ .

La seguente funzione contiene arcocoseno. Si consideri infatti y = arccos(đ?‘Ľ đ?‘˜ ) con k ≼ 2 e intero.

Si tratta, anche in questo caso, di una funzione composta per la quale si puo’ scrivere che e’: đ??ˇđ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘˜ = kđ?‘Ľ đ?‘˜âˆ’1 đ??ˇđ?‘Ľ arccos(đ?‘Ľ đ?‘˜ ) = −

1 √1−đ?‘Ľ 2đ?‘˜

Molto semplicemente, applicando il teorema della derivata della funzione composta si ha:

y’ = −

đ?‘˜ √1−đ?‘Ľ 2đ?‘˜

đ?‘Ľ đ?‘˜âˆ’1

E’ utile ricordare le proprieta’ delle potenze ove a e’ un numero reale e x ed y sono interi. � � � � = � �+� �� ��

= đ?‘Ž đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś

(đ?‘Ž đ?‘Ľ )đ?‘Ś = đ?‘Ž đ?‘Ľđ?‘Ś

La seguente funzione contiene arctg(.).

Si ha y = đ?‘’ đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘Ąđ?‘”√đ?‘Ľ Preliminarmente si deve osservare che deve risultare x ≼ 0, ovvero si ha che dom f =đ?‘… +

La funzione e’ composta e l’iter logico che conduce alla funzione composta e’ il seguente: �

đ?‘”

â„Ž

x → √đ?‘Ľ → arctg(√đ?‘Ľ) → đ?‘’ arctg(√đ?‘Ľ) e in termini sintetici la funzione e’ y = â„Ž(đ?‘”(đ?‘“(đ?‘Ľ))) .

1

Si puo’ ora considerare la funzione y = arccot( đ?‘Ľ) √

Deve essere x > 0.

đ??ˇđ?‘Ľ

1

1 √

1

1

1

3

1 1 3

= đ??ˇđ?‘Ľ (đ?‘Ľ)−2 = − 2 (đ?‘Ľ)−2−1 = − 2 (đ?‘Ľ)−2 = − 2 (đ?‘Ľ)2 đ?‘Ľ 1

đ??ˇđ?‘Ľ arccot( đ?‘Ľ) = √

1 1 1+( )2 √đ?‘Ľ

=

1 1 1+ đ?‘Ľ

đ?‘Ľ

= đ?‘Ľ+1

1 1 3 đ?‘Ľ

Pertanto si ha che y’ = − 2 (đ?‘Ľ)2 đ?‘Ľ+1

Infine si puo’ considerare una funzione piu’ impegnativa quale la seguente. y = arctg(ln(x)) + ln(arctg(x))

E’ possibile considerare separatamente i due termini ed applicare il teorema della linearita’ della derivata per il quale si ha: đ??ˇđ?‘Ľ kf(x) + hg(x) = đ??ˇđ?‘Ľ kf(x) + đ??ˇđ?‘Ľ hg(x) = đ?‘˜ đ??ˇđ?‘Ľ f(x) + â„Žđ??ˇđ?‘Ľ g(x) ove h e k sono due scalari e f(x) e g(x) sono due funzioni differenziabili. Si consideri f(x) = arctg(ln(x))

Si tratta di una funzione composta secondo lo schema seguente. đ?‘“1

đ?‘“2

x → ln(x) → arctg(ln(x)) 1

Si ha che đ??ˇđ?‘Ľ ln(x) = đ?‘Ľ

Posto ln(x) = u si puo’ scrivere che đ??ˇđ?‘˘ =

1 1+�2

ed equivalentemente đ??ˇđ?‘Ľ =

1 1+(ln(đ?‘Ľ))2

Quindi si ha: 1

1

đ??ˇđ?‘Ľ f(x) = đ?‘Ľ 1+(ln(đ?‘Ľ))2

Si puo’ quindi considerare il secondo termine, ovvero: g(x) = ln(arctg(x))

Anche in questo caso si ha a che fare con una funzione composta secondo lo schema seguente: đ?‘”1

đ?‘”2

x → arctg(x) → ln(arctg(x)). 1

đ??ˇđ?‘Ľ ln(arctg(x)) = đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘Ąđ?‘”(đ?‘Ľ) 1

đ??ˇđ?‘Ľ arctg(x) =1+đ?‘Ľ 2 Applicando il teorema della derivata di funzione composta si ha: 1

1

g’(x) = đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘Ąđ?‘”(đ?‘Ľ) 1+đ?‘Ľ 2

Pertanto la derivata della funzione y e’: 1

1

1

1

y’ = đ?‘Ľ 1+(ln(đ?‘Ľ))2 + đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘Ąđ?‘”(đ?‘Ľ) 1+đ?‘Ľ 2

17. Le funzioni di piu’ variabili

Nei termini piu’ semplici possibili si puo’ introdurre una funzione di piu’ variabili indipendenti đ?‘Ľđ?‘– nel modo seguente: f : đ?‘…đ?‘› → R in modo che ad una tupla di numeri reali ( đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , ‌ . . , đ?‘Ľđ?‘› ) viene fatto corrispondere, tramite la f, un numero reale y = y( đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , ‌ . . , đ?‘Ľđ?‘› ). E’ possibile porre n = 2 e considerare due sole variabili indipendenti, ovvero đ?‘Ľ1 đ?‘’ đ?‘Ľ2 , che per comodita’ possono essere indicate con le lettere x ed y. In questo particolare caso si hanno funzioni da đ?‘… 2 a R , in ragione delle quali ad una coppia ordinata (x, y) corrisponde un solo elemento z ∈ R tale che z = đ?‘§(đ?‘Ľ, đ?‘Ś). L’insieme D ⊆ đ?‘… Ă— đ?‘… per i quali la funzione e’ definita definiscono il dominio della funzione. L’insieme degli z reali per i quali e’ vero che z = z(x, y) e’ detta immagine della funzione.

A titolo di esempio possono essere considerate le seguenti funzioni di due variabili indipendenti di cui si chiede di determinare il dominio di definizione.

z=

2đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś đ?‘Ľâˆ’đ?‘Śâˆ’đ?‘˜

con k > 0.

Deve risultare đ?‘Ľ − đ?‘Ś − đ?‘˜ ≠0. Si osservi che đ?‘Ľ − đ?‘Ś − đ?‘˜ = 0 â&#x;ş đ?‘Ľ − đ?‘Ś = k â&#x;şâˆ’đ?‘Ś = đ?‘˜ − đ?‘Ľ â&#x;ş đ?‘Ś = đ?‘Ľ − đ?‘˜ E’ opportuno ricordare che đ?‘Ś = đ?‘Ľ − đ?‘˜ rappresenta, al variare di k, un fascio di rette parallele, di coefficiente angolare 1. Si puo’ scrivere che dom f ={ (x, y) ∊ R Ă— đ?‘… | đ?‘Ľ − đ?‘Ś − đ?‘˜ ≠0} .

Un ulteriore esempio di funzioni di due variabili indipendenti potrebbe essere il seguente: đ?‘˜đ?‘Ś

z = đ?‘Ľ 2đ?‘›âˆ’đ?‘Ś con k intero non nullo. Deve essere đ?‘Ľ 2đ?‘› − đ?‘Ś ≠0 ovvero đ?‘Ľ 2đ?‘› ≠đ?‘Ś e, in definitiva, x â‰

Il seguente esempio e’ banale.

Da z = đ?‘ đ?‘–đ?‘›

1+đ?‘Ś đ?‘? đ?‘Ľđ?‘?

deve essere x ≠0.

Infine, come ulteriore esempio, puo’ essere proposto il seguente:

2đ?‘›

√đ?‘Ś .

z = ln

1−đ?‘Ľ 3 đ?‘Śâˆ’2

Per la condizione di esistenza del logaritmo deve essere

1−đ?‘Ľ 3 đ?‘Śâˆ’2

> 0.

Questa condizione e’ garantita in due casi.

Il primo di essi e che sia: 1 − đ?‘Ľ 3 > 0 â&#x;ş 1 > đ?‘Ľ 3 â&#x;ş đ?‘Ľ 3 < 1 ovvero x < 1 đ?‘Śâˆ’2 >0 â&#x;şy>2

Cosi’ facendo si e’ definita una prima porzione di dominio, quella delle coppie ordinate (x, y) tali che x < 1 e y > 2.

La seconda porzione di dominio e’ costituita dai punti (x, y) che verificano il seguente sistema. 1 − đ?‘Ľ 3 < 0 â&#x;ş 1 < đ?‘Ľ 3 â&#x;ş đ?‘Ľ 3 > 1 ovvero x > 1 đ?‘Śâˆ’2 <0 â&#x;şy<2 In buona sostanza il dominio della funzione e’ costituito da tutti i punti di đ?‘… 2 salvo quelli delle rette di equazione x = 1 e y = 2.

Per le funzioni di piu’ variabili sono spesso calcolate le derivate prime e seconde.

Va ricordato che una funzione di piu’ variabili indipendenti ha tante derivate parziali quante sono le variabili indipendenti.

Un esempio semplice chiarisce la situazione.

Sia data, ad esempio, la seguente funzione di due variabili indipendenti. z = kx + â„Žđ?‘Ś ove k e h sono due parametri reali.

La funzione considerata e’ derivabile rispetto alla variabile indipendente x.

In questo caso si considera l’altra variabile indipendente, nel caso di specie y, alla stregua di una costante.

Si ha: đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

kx + â„Žđ?‘Ś =

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•

đ?œ•

đ?œ•

kx + đ?œ•đ?‘Ľ â„Žđ?‘Ś = kđ?œ•đ?‘Ľ x+â„Ž đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘Ś = k +0.

đ?œ•

đ?œ•

Il termine â„Ž đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘Ś vale 0 in quanto đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘Ś = 0 poiche’ y e’ trattata come una costante. Come detto, esiste anche una derivata parziale rispetto alla y quando si ammetta che la x sia una costante.

In questo caso si ha:

đ?œ•

kx + â„Žđ?‘Ś = đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•

đ?œ•

đ?œ•

đ?œ•

kx + đ?œ•đ?‘Ś â„Žđ?‘Ś = kđ?œ•đ?‘Ś x+â„Ž đ?œ•đ?‘Ś đ?‘Ś = 0 +â„Ž = â„Ž đ?œ•đ?‘Ś

�i osservi che anche l’operatore derivata parziale e’ lineare.

Questo ulteriore esempio chiarisce la situazione. z = 3đ?‘Ľ đ?‘˜ +2đ?‘Ľđ?‘Ś + đ?‘Ś đ?‘˜âˆ’1 đ?‘Ľ −3đ?‘˜ con k intero positivo.

Si ha: đ?œ•

đ?œ•

đ?œ•

đ?œ•

3đ?‘Ľ đ?‘˜ +2đ?‘Ľđ?‘Ś + đ?‘Ś đ?‘˜âˆ’1 đ?‘Ľ −3đ?‘˜ = đ?œ•đ?‘Ľ 3đ?‘Ľ đ?‘˜ + đ?œ•đ?‘Ľ 2đ?‘Ľđ?‘Ś + đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘Ś đ?‘˜âˆ’1 đ?‘Ľ −3đ?‘˜ = 3kđ?‘Ľ đ?‘˜âˆ’1 + 2đ?‘Ś − đ?œ•đ?‘Ľ 3đ?‘˜đ?‘Ś đ?‘˜âˆ’1 đ?‘Ľ −3đ?‘˜âˆ’1

Analogamente si puo’ calcolare la seconda derivata prima, quella rispetto alla variabile y. đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•

đ?œ•

đ?œ•

3đ?‘Ľ đ?‘˜ +2đ?‘Ľđ?‘Ś + đ?‘Ś đ?‘˜âˆ’1 đ?‘Ľ −3đ?‘˜ = đ?œ•đ?‘Ś 3đ?‘Ľ đ?‘˜ + đ?œ•đ?‘Ś 2đ?‘Ľđ?‘Ś + đ?œ•đ?‘Ś đ?‘Ś đ?‘˜âˆ’1 đ?‘Ľ −3đ?‘˜ = 0 + 2đ?‘Ľ đ?‘Ľ −3đ?‘˜ (k−1) đ?‘Ś đ?‘˜âˆ’2 =

2đ?‘Ľ + (đ?‘˜ − 1)đ?‘Ľ −3đ?‘˜ đ?‘Ś đ?‘˜âˆ’2 .

E’ ora possibile accedere alle derivate seconde di una funzione di piu’ variabili.

A questo punto si puo’ infatti comprendere che una funzione f puo’ essere derivata rispetto đ?œ•

đ?œ•

alla x oppure rispetto alla y, avendo, quindi, le due derivate đ?œ•đ?‘Ľ f(x,y) e đ?œ•đ?‘Ś f(x,y).

Le due funzioni ottenute possono essere derivate a loro volta rispetto alla x e rispetto alla y avendo le seguenti funzioni derivate seconde parziali. đ?œ•

La prima funzione đ?œ•đ?‘Ľ f(x,y) ammette (o piu’ correttamente puo’ ammettere‌) le seguenti due funzioni derivate: đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•

( đ?œ•đ?‘Ľ f(x,y)) = đ?‘“đ?‘Ľđ?‘Ľ đ?œ•

( đ?œ•đ?‘Ľ f(x,y)) = đ?‘“đ?‘Ľđ?‘Ś đ?œ•

La seconda funzione, ovvero đ?œ•đ?‘Ś f(x,y) ammette le seguenti due derivate: đ?œ•

đ?œ•

đ?œ•

đ?œ•

( f(x,y)) =đ?‘“đ?‘Śđ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ś

( f(x,y)) =đ?‘“đ?‘Śđ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś Data una funzione f(x,y) avente derivate parziali prime finite si ha che đ?‘“đ?‘Ľđ?‘Ś = đ?‘“đ?‘Śđ?‘Ľ finito. Il vettore (đ?‘“đ?‘Ľ , đ?‘“đ?‘Ś ) e’ detto gradiente della funzione f(x,y). Se risulta (đ?‘“đ?‘Ľ , đ?‘“đ?‘Ś ) = (o, o) allora il punto (x, y) | (đ?‘“đ?‘Ľ , đ?‘“đ?‘Ś ) = (o, o) puo’ essere di minimo o di massimo.

La ricerca dei massimi e dei minimi e’ rimessa all’utilizzo della matrice hessiana.

H (f(x,y)) = [

đ?‘“đ?‘Ľđ?‘Ľ đ?‘“đ?‘Śđ?‘Ľ

đ?‘“đ?‘Ľđ?‘Ś ] =đ?‘“đ?‘Ľđ?‘Ľ đ?‘“đ?‘Śđ?‘Ś − (đ?‘“đ?‘Ľđ?‘Ś )2 đ?‘“đ?‘Śđ?‘Ś

Sia data una funzione f(x,y) di cui sia dato il dominio. Si consideri un punto (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) interno a dom f(x,y) tale che le derivate prime siano continue in detto intorno e siano nulle in (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ). Verificate queste condizioni si calcola H (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ). Se H (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) > 0 si ha: un massimo in (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) se đ?‘“đ?‘Ľđ?‘Ľ (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) < 0 đ?‘’ đ?‘“đ?‘Śđ?‘Ś (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) < 0 un minimo in in (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) se đ?‘“đ?‘Ľđ?‘Ľ (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) > 0 đ?‘’ đ?‘“đ?‘Śđ?‘Ś (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ś0 ) > 0.

E’ sicuramente utile considerare un caso completo fino alla ricerca di eventuali massimi e minimi. �

Data la funzione z = đ?‘’ đ?‘Ľđ?‘Ś +đ?‘™đ?‘› đ?‘Ś si inizia con il calcolo delle derivate prime che sono: đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

đ?‘Ľ

1 1

� �� +�� � = y� �� + �

đ?‘Ľ

đ?‘Ľ đ?‘Ś

1

= yđ?‘’ đ?‘Ľđ?‘Ś + đ?‘Ľ

đ?‘Ś

đ?‘’ đ?‘Ľđ?‘Ś +đ?‘™đ?‘› đ?‘Ś = xđ?‘’ đ?‘Ľđ?‘Ś − đ?‘Ľđ?‘Ś −2 đ?‘Ľ = xđ?‘’ đ?‘Ľđ?‘Ś −

Il vettore gradiente della funzione e’:

1 đ?‘Ś

1

1

đ?‘Ľ

đ?‘Ś

(yđ?‘’ đ?‘Ľđ?‘Ś + , xđ?‘’ đ?‘Ľđ?‘Ś − )

Deve essere x ≠0 e y ≠0. Detto gradiente non puo’ annullarsi in quanto sarebbe contemporaneamente đ?‘’ đ?‘Ľđ?‘Ś =Âą1 . đ?‘’ đ?‘Ľđ?‘Ś =1 si avrebbe per xy = 0, mentre đ?‘’ đ?‘Ľđ?‘Ś = −1 non e’ mai verificata.

Giunti a questo punto vanno fatti alcuni approfondimenti relativi alla continuita’, alla derivabilita’ e ai punti di non derivabilita’ che si riscontrano in alcune funzioni.

18. Le funzioni continue

Va ora fatta qualche riflessione sulla continuita’ delle funzioni di due variabili indipendenti, ovvero le funzioni da � 2 a R.

Si consideri ad esempio la seguente funzione di due variabili per le quali alla coppia (x, y) corrisponde il numero reale z = z(x, y). đ?‘Ś2

z = đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś2

Ci si chiede se essa possa prolungata per continuita’ nel punto (0 , 0).

In detto punto la funzione non e’ definita in quanto sarebbe � 2 + � 2 = 0. Equivalentemente sarebbe x = � = 0.

Ma in questo caso la funzione non e’ definita.

Il prolungamento per continuita’ presuppone che esista finito il seguente limite:

lim

đ?‘Ś2

(�,�)→(0,0) � 2 +� 2

=đ?‘™

Si pone proprio che la funzione che si ottiene abbia valore l per x = đ?‘Ś = 0.

Vediamo ora se sussistono le condizioni del prolungamento per continuita’. Si puo’ far tendere (x, y) alla coppia (0, 0) su una retta di equazione y = mx . Calcoliamo quindi il limite della funzione per (x, y) → (0 , o) avendo che:

lim

(x,y) → (0 ,0)

đ?‘Ś2

= đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś 2

lim

(x,y) → (0 ,0)

(đ?‘šđ?‘Ľ)2

= đ?‘Ľ 2 +(đ?‘šđ?‘Ľ)2

lim

(x,y) → (0 ,0)

(đ?‘šđ?‘Ľ)2

= đ?‘Ľ 2 (1+đ?‘š2 )

lim

(x,y) → (0 ,0)

(đ?‘š)2

= (1+đ?‘š2 )

Si osservi che detto limite dipende da m. đ?‘Ś2

Possiamo concludere che la funzione z = đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś 2 non e’ prolungabile per continuita’. đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś

In modo del tutto analogo si puo’ studiare la funzione z = �+� .

(đ?‘š)2 (1+đ?‘š2 )

La funzione non e’ definita nel punto (0, 0) in quanto per detta coppia sarebbe nullo il denominatore. Pertanto il dominio della funzione e’ � 2 – (0, o).

Occorre verificare se in detto punto la funzione e’ o meno prolungabile per continuita’. Occorre in altri termini calcolare il limite della funzione per (x, y) → (0 , o).

Anche in questo caso si parte dall’ipotesi che ci si avvicini al punto (o, 0) lungo una retta di equazione y = ��.

lim

đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś

(x,y) → (0 ,0) �+�

=

lim

đ?‘Ľâˆ’đ?‘šđ?‘Ľ

(x,y) → (0 ,0) �+��

=

lim

đ?‘Ľ(1−đ?‘š)

(x,y) → (0 ,0) �(1+�)

=

lim

(1−đ?‘š)

(x,y) → (0 ,0) (1+�)

=

1−đ?‘š 1+đ?‘š

Anche in questo caso la dipendenza del limite da m evidenzia che detta funzione non puo’ essere prolungata per continuita’.

Un ulteriore esempio di funzione da studiare puo’ essere la seguente: � 3 +�3

z = đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś2

Anche in questo caso la funzione non e’ definita in (0, o) in quanto per detta coppia ordinata essa non e’ definita. E’ possibile studiare il limite della funzione per (x, y) → (0 , o) partendo dall’ipotesi che ci si avvicini al punto (o, 0) lungo una qualunque retta di equazione y = ��.

lim

(x,y) → (0 ,0)

đ?‘Ľ 3 +đ?‘Ś3 đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś2

=

lim

(x,y) → (0 ,0)

đ?‘Ľ 3 +(đ?‘šđ?‘Ľ)3 đ?‘Ľ 2 +(đ?‘šđ?‘Ľ)2

=

lim

đ?‘Ľ 3 (1 +đ?‘š)

(x,y) → (0 ,0) � 2 (1+�)

=

lim

(x,y) → (0 ,0)

đ?‘Ľ = 0.

Il fatto che la funzione abbia un limite non dipendente da m non consente comunque di affermare che detto limite per la funzione sia quello indicato e che, conseguentemente, la funzione sia prolungabile per continuita’.

La continuita’ della funzione si prova in modo piu’ ampio, cioe’ muovendosi da (x,y) verso (0, 0) su qualunque curva e dimostrando che cosi’ facendo si ottiene sempre lo stesso limite.

E’ necessario ricordare le relazioni tra le coordinate rettangolari e quelle polari, date dalle seguenti formule:

Le relazioni sono ben note:

2

đ?œŒ = √đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 đ?‘Ľ = đ?œŒđ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ— đ?‘Ś = đ?œŒđ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?œ—

In questo contesto si ammette che

lim

(�,�) →(0,0)

đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘™ se esiste una funzione, data in

coordinate polari, tale che essa dipenda esclusivamente da đ?œŒ e non da đ?œ— e tale che g(đ?œŒ) → 0 đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x; đ?œŒ → 0.

Deve risultare che: |f(đ?œŒ, đ?œ—) − đ?‘™ | ≤ đ?‘”(đ?œŒ)

Pertanto la funzione viene ridefinita come segue: đ?‘Ľ 3 +đ?‘Ś3

z = đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś2 ∀(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ≠(0, 0). z = 0 đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x; (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = (0, 0).

Ovviamente si tratta di una funzione distinta da quella assegnata.

L’uso delle coordinate polari puo’ risultare utile per lo studio di una funzione quale

đ?‘Ľ 3 +đ?‘Ś 5 đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś 4

non definita in (0, o).

Si deve calcolare

lim

đ?‘Ľ 3 +đ?‘Ś 5

(�,�)→(0,0) � 2 +� 4

.

Si puo’ scrivere che da f(x,y) si ottiene, per sostituzione, la funzione đ?œ‘(đ?œŒ) = đ?œŒ3 (cos(đ?œ—)3 +đ?œŒ2 sin(đ?œ—)5 đ?œŒ2 (cos(đ?œ—)2 +đ?œŒ2 sin(đ?œ—)4 )

= đ?œŒ đ?œŽ(đ?œŒ, đ?œ—).

Ma la funzione đ?œŽ(đ?œŒ, đ?œ—) e’ una funzione limita. Inoltre e’ immediato constatare che đ?œŒ → 0 per definizione.

Dal che si deduce il limite proposto che vale zero.

Altri esempi di funzioni studiate con lo stesso metodo sono ampiamente trattate nei manuali ⌋BoellaâŚŒ.

In relazione alle funzioni di piu’ variabili e’ possibile procedere al calcolo dei massimi e dei minimi raccordandosi con lo strumento della derivata direzionale. Sia P (x,y,z) un punto della superficie z = z(x,y).

Sia P’(x,y,0) la proiezione di P sul piano Oxy. Si consideri il piano đ?›ź passante per P e P’. Si ammetta che detto piano formi un angolo đ?œ— con l’asse positivo delle x. đ?‘‘đ?‘§

La derivata direzionale đ?‘‘đ?‘ viene definita come segue: đ?‘‘đ?‘§

��

��

= đ?‘‘đ?‘Ľcosđ?œ— + đ?‘‘đ?‘Śsinđ?œ— đ?‘‘đ?‘

Per il resto gli sviluppi, ai fini della ricerca dei punti di massimo e di minino, sono quelli gia’ noti.

Si puo’ considerare un esempio semplice di calcolo di una derivata direzionale.

I dati del problema sono i seguenti: z = đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ľđ?‘Ś + đ?‘Ś 2

đ?œ—=

đ?œ‹ 3

nel punto ( 3, 1).

��

��

��

Consideriamo la derivata direzionale nella forma đ?‘‘đ?‘ = đ?‘‘đ?‘Ľcosđ?œ— + đ?‘‘đ?‘Śsinđ?œ— avendo che risulta:

đ?‘‘đ?‘§ đ?‘‘đ?‘

đ?‘‘

đ?œ‹

đ?‘‘

đ?œ‹

= đ?‘‘đ?‘Ľ (đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľđ?‘Ś + đ?‘Ś 2 ) cos3 + đ?‘‘đ?‘Ś (đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľđ?‘Ś + đ?‘Ś 2 )sin 3 = (2x +đ?‘Ś)

√3 2

1

+(đ?‘Ś + 2đ?‘Ś) 2

Il calcolo in (3, 1) si ottiene sostituendo in formula, avendo quindi che:

đ?‘‘đ?‘§ đ?‘‘đ?‘

= (2x +đ?‘Ś)

√3 2

1

√3

3

1

+(đ?‘Ś + 2đ?‘Ś) 2 = 7 2 + 2 = 2(7√3 +3).

Calcolo di alcune derivate seconde di alcune funzioni, rielaborate a partire dalla manualistica ⌋ đ??´đ?‘–đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ??˝đ?‘&#x;. âŚŒ z = kđ?‘Ľ đ?‘› −ℎđ?‘Ľđ?‘Ś + đ?‘ đ?‘Ś đ?‘š

Calcolo delle derivate prime.

đ?œ•

z= đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•

đ?œ•

đ?œ•

đ?œ•

kđ?‘Ľ đ?‘› −ℎđ?‘Ľđ?‘Ś + đ?‘ đ?‘Ś đ?‘š = đ?œ•đ?‘Ľ kđ?‘Ľ đ?‘› − đ?œ•đ?‘Ľ â„Žđ?‘Ľđ?‘Ś + đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘Ś đ?‘š = knđ?‘Ľ đ?‘›âˆ’1 − â„Žđ?‘Ś +0 = knđ?‘Ľ đ?‘›âˆ’1 − đ?œ•đ?‘Ľ

â„Žđ?‘Ś

La prima derivata seconda e’ ��� =

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

knđ?‘Ľ đ?‘›âˆ’1 − â„Žđ?‘Ś = đ?‘˜đ?‘›(đ?‘› − 1) đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’2 − 0 = đ?‘˜đ?‘›(đ?‘› −

1) đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’2.

La seconda derivata seconda e’ ��� =

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

knđ?‘Ľ đ?‘›âˆ’1 − â„Žđ?‘Ś = 0 −ℎ = − h.

Dalla teoria sappiano che đ?‘“đ?‘Ľđ?‘Ś = đ?‘“đ?‘Śđ?‘Ľ = Da ultimo si calcola đ?‘“đ?‘Śđ?‘Ś đ?œ•đ?‘§

Il primo passo e’ il calcolo di đ?œ•đ?‘Ś avendo che: đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•

đ?œ•

kđ?‘Ľ đ?‘› −ℎđ?‘Ľđ?‘Ś + đ?‘ đ?‘Ś đ?‘š = đ?œ•đ?‘Ś kđ?‘Ľ đ?‘› − đ?œ•đ?‘Ś â„Žđ?‘Ľđ?‘Ś +

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

đ?‘ đ?‘Ś đ?‘š

= 0 −ℎđ?‘Ľ + đ?‘ đ?‘šđ?‘Ś đ?‘šâˆ’1 = −ℎđ?‘Ľ +

đ?‘ đ?‘šđ?‘Ś đ?‘šâˆ’1 . đ?œ•

đ??´ questo punto e’ possibile scrivere che đ?‘“đ?‘Śđ?‘Ś = đ?œ•đ?‘Ś (−ℎđ?‘Ľ + đ?‘ đ?‘šđ?‘Ś đ?‘šâˆ’1 )= 0 +đ?‘ đ?‘š(đ?‘š − 1)đ?‘Ś đ?‘šâˆ’2= đ?‘ đ?‘š(đ?‘š − 1)đ?‘Ś đ?‘šâˆ’2 .

19. Differenziali e derivate totali

Vanno ricordate alcune relazioni fondamentali. In particolare, le seguenti:

đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ

= đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ) â&#x;ş đ?‘‘đ?‘Ś = đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ

đ??ź diffferenziali possono essere introdotti anche in relazione alle funzioni z = f(x, y). Risulta banalmente che: đ?œ•đ?‘§

đ?‘‘đ?‘Ľ z =đ?œ•đ?‘Ľdx đ?œ•đ?‘§

đ?‘‘đ?‘Ś z =đ?œ•đ?‘Śdy

Il differenziale totale della funzione z(.) e’: đ?œ•đ?‘§

đ?œ•đ?‘§

dz = đ?œ•đ?‘Ľ dx + đ?œ•đ?‘Ś dy

Ove si consideri una funzione di n variabili indipendenti, il differenziale totale e’ dato dalla formula seguente: đ?œ•đ?‘§

dz = ∑ đ?œ•đ?‘Ľ dđ?‘Ľđ?‘– đ?‘–

Sia data una funzione z = �(�, �) tale che sia x = x(t) e y = y(t) di ha che: �� ��

đ?œ•đ?‘§ đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?œ•đ?‘§ đ?‘‘đ?‘Ś

= đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ą + đ?œ•đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘§

La funzione �� e’ detta derivata totale di z rispetto a t. E’ possibile considerare qualche semplice esempio di calcolo di differenziali totali.

Sia, ad esempio, data la seguente funzione z =đ?‘Śđ?‘Ľ đ?‘› + đ?‘˜đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 3

Il differenziale di detta funzione e’:

=

dz

đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•đ?‘§

đ?œ•

+ đ?œ•đ?‘Śdy= đ?œ•đ?‘Ľ (đ?‘Śđ?‘Ľ đ?‘› + đ?‘˜đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 3 )đ?‘‘đ?‘Ľ

dx

đ?œ•

+ đ?œ•đ?‘Ś (đ?‘Śđ?‘Ľ đ?‘› + đ?‘˜đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 3 )đ?‘‘đ?‘Ś

= (đ?‘›đ?‘Śđ?‘Ľ đ?‘›âˆ’1 +

2đ?‘Ś 3 2đ?‘Ľ )đ?‘‘đ?‘Ľ + (đ?‘Ľ đ?‘› + 2đ?‘Ľ 2 3đ?‘Ś 2 )đ?‘‘đ?‘Ś

đ?‘Ś

Un secondo esempio di differenziale totale potrebbe essere dđ?œ— quando đ?œ— = đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘Ąđ?‘”(đ?‘Ľ ). In questo caso conviene procedere per passi. đ?‘Ś

1

đ??ˇđ?‘Ľ (đ?‘Ľ ) = đ?‘Śđ??ˇđ?‘Ľ (đ?‘Ľ) = đ?‘Śđ??ˇđ?‘Ľ đ?‘Ľ −1 = −đ?‘Śđ?‘Ľ −2 đ?œ•đ?œ— đ?œ•đ?‘Ľ

= −đ?‘Śđ?‘Ľ −2

1 đ?‘Ś 1+( )2 đ?‘Ľ

đ?‘Ś

= − đ?‘Ľ2

1

đ?‘Ś

đ?‘Ľ2 +đ?‘Ś2 đ?‘Ľ2

=− đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś2

đ?œ•đ?œ—

đ??´ questo punto occorre calcolare đ?œ•đ?‘Ś . đ?‘Ś

1

1

Si ha che đ??ˇđ?‘Ś (đ?‘Ľ ) = đ?‘Ľ đ??ˇđ?‘Ś (y) = đ?‘Ľ. Quindi si puo’ scrivere che: đ?œ•đ?œ— đ?œ•đ?‘Ś

1

đ?‘Ľ

1

= đ?‘Ľ đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś 2 = đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś 2

Riunendo i risultati si ottiene il differenziale totale della funzione assegnata.

Si ha che: đ?œ•đ?œ—

đ?œ•đ?œ—

đ?‘Ś

1

dđ?œ— = đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?œ•đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ś = − đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś 2 đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ś 2dy.

Infine, possiamo considerare un ultimo esempio. Data la funzione z = đ?‘’ đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘§

=(đ?‘’ đ?‘Ľ

đ?‘› +đ?‘Ś đ?‘›

)nđ?‘Ľ đ?‘›âˆ’1

=(đ?‘’ đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ľ

đ?‘› +đ?‘Ś đ?‘›

)nđ?‘Ś đ?‘›âˆ’1

đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•đ?‘§

đ?‘› +đ?‘Ś đ?‘›

si puo’ scrivere che:

A questo punto si puo’ calcolare dz, avendo che: đ?œ•đ?‘§

đ?œ•đ?‘§

dz =đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?œ•đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ś =(đ?‘’ đ?‘Ľ

đ?‘› +đ?‘Ś đ?‘›

)nđ?‘Ľ đ?‘›âˆ’1 đ?‘‘đ?‘Ľ + (đ?‘’ đ?‘Ľ

đ?‘› +đ?‘Ś đ?‘›

)nđ?‘Ś đ?‘›âˆ’1 dy =nz(ydx+đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś)

E’ ora il caso di considerare un caso di derivata totale quando ad esempio sia data la funzione z = đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ś 2 essendo x ed y due variabili dipendenti da s e da t secondo le due seguenti leggi: x = 3đ?‘ + 2đ?‘Ą y = 3đ?‘ − 2đ?‘Ą.

E’, ad esempio, possibile determinare

��

đ?œ•đ?‘§ đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?‘Ą

.

đ?œ•đ?‘§ đ?‘‘đ?‘Ś

Si ha che đ?‘‘đ?‘Ą = đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ą + đ?œ•đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ą

Si puo’ calcolare

��

đ?œ•đ?‘§ đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ą

= 0+2= 2e

đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ą

= 0 − 2 = −2.

đ?œ•đ?‘§ đ?‘‘đ?‘Ś

= đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ą + đ?œ•đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ą = 2x2 +(−4đ?‘Ś)(−2) = 4(đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś). đ?‘‘đ?‘Ą

20. Funzioni implicite Le funzioni implicite vengono poste nella forma f(x, y) = 0. Sia data una funzione f(x, y) continua in D ⊆ � 2 contenente un punto (�0 , �0 ) | f(�0 , �0 )= 0.

đ?‘‘đ?‘Ś

Esiste un intorno (x, y) tale che risulti definito đ?‘‘đ?‘Ľ = −

đ?œ•đ?‘“ đ?œ•đ?‘Ľ ∂f ∂y

.

Ove si consideri una funzione F(x,y,z) di cui siano esistenti in D ⊆ đ?‘… 3 le derivate parziali đ?œ•đ??š đ?œ•đ??š đ?œ•đ??š

,

,

đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§

Se

đ?œ•đ??š đ?œ•đ?‘§

.

e’ diversa da zero in (�0 , �0 , �0 ) allora esiste un intorno di (�0 , �0 , �0 ) in cui si ha

F(�0 , �0 , �0 ) = 0 per il quale risulta essere:

đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?‘Ś

=−

đ?œ•đ??š đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ??š đ?œ•đ?‘§

=−

đ?œ•đ??š đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ??š đ?œ•đ?‘§

đ?‘‘đ?‘Ś

A questo punto e’ possibile calcolare đ?‘‘đ?‘Ľ della funzione đ?‘Ľ 3 − đ?‘Śđ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľđ?‘Ś 2 − đ?‘Ś 3 = 1 Si ha:

đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?œ•đ??š

3đ?‘Ľ 2 −2đ?‘Ľđ?‘Ś +đ?‘Ś2

3đ?‘Ľ 2 −2đ?‘Ľđ?‘Ś +đ?‘Ś 2

đ?œ•đ?‘Ľ = − đ?œ•đ??š = − 0−đ?‘Ľ 2 +2đ?‘Ľđ?‘Ś −3đ?‘Ś2 −0 = đ?‘Ľ 2 −2đ?‘Ľđ?‘Ś +3đ?‘Ś 2 đ?œ•đ?‘Ś

Un ulteriore esempio potrebbe essere il seguente. đ?‘‘đ?‘Ś

Calcolare đ?‘‘đ?‘Ľ della funzione assegnata in forma implicita xy −đ?‘’ −đ?‘Ľ siny = 0. Possiamo scrivere che:

đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ

=−

đ?œ•đ??š đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ??š đ?œ•đ?‘Ś

=−

đ?‘Śâˆ’(−1)đ?‘’ −đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ś đ?‘Ľâˆ’đ?‘’ đ?‘Ľ đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ś

=−

đ?‘Ś+đ?‘’ −đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ś đ?‘Ľâˆ’đ?‘’ đ?‘Ľ đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ś

21. I casi di discontinuita’

Va preliminarmente osservato che una funzione definita in un intervallo non e’ per conseguenza necessariamente continua in esso.

Un esempio eclatante di questo stato di cose e’ la cosiddetta funzione di Dirichelet che e’ definita in R, quindi per ogni numero reale, ovvero si ha đ?‘‘đ?‘œđ?‘š đ?‘“đ??ˇ = (−∞, +∞). Essa e’ definita nel modo seguente: đ?‘“đ??ˇ (đ?‘Ľ) = 1, quando x e’ razionale e đ?‘“đ??ˇ (đ?‘Ľ) = 0 quando x e’ irrazionale. E’ quindi necessario definire la continuita’ di una funzione.

Se si considerano le funzioni di una variabile reale, ovvero le f per le quali ad un numero đ?‘“

reale corrisponde, un numero reale f(x) tale che f(x) â†? x | x ∈ đ??´ ⊆ đ?‘….

Va introdotta una condizione necessaria e sufficiente affinche’ una funzione f(.) sia continua in un punto x. Deve risultare che x ∈ dom f. Quindi se x ∉ dom f allora la funzione f non e’ ivi continua. La condizione necessaria e sufficiente affinche una funzione f sia continua in un punto đ?‘Ľ0 ∈ dom f e che sia lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘“(đ?‘Ľ0 ). đ?‘Ľâ†’đ?‘Ľ0

Una funzione f e’ continua in un intervallo (a, b) se e’ continua in ogni punto di (a, b). Analogamente f e’ continua in un intervallo ⌋a, bâŚŒ se e’ continua in ogni punto di ⌋a, bâŚŒ.

Un ulteriore caso di discontinuita’ e’ costituito dalla discontinuita’ a salto.

Si tratta di una discontinuita’ non eliminabile.

Un esempio di funzione discontinua a salto e’ offerto dalla funzione gradino unitario, detta anche funzione di Heavidise, definita come segue: H : R → � | H(x) = 1 per x ≼ 0 � H(x) = 0 per x < 0. Dom H(x) = �.

Nelle applicazioni, specie in elettronica, si hanno scritture del tipo: H(x +đ?›ź) đ?‘?đ?‘œđ?‘› đ?›ź đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Žđ?‘™đ?‘’.

In casi del genere si ha: H(x + đ?›ź) = 1 đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x; đ?‘Ľ ≼ đ?›ź H(x + đ?›ź) = 0 đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x; đ?‘Ľ < đ?›ź. In questo caso la discontinuita’ si ha per x = đ?›ź. La funzione H(x) ha una discontinuita’ a salto per x = 0.

Possiamo affermare che una funzione non continua in un punto e’ ivi discontinua.

Una funzione non definita in un punto e’ ivi discontinua.

Se đ?‘Ľ0 ∉ dom f allora f e’ discontinua in đ?‘Ľ0 . Ma potrebbe accadere da questa condizione ( đ?‘Ľ0 ∉ dom f) che possa comunque esistere il limite lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘™. đ?‘Ľâ†’đ?‘Ľ0

Affinche’ questo limite esiste deve risultare: lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = lim− đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘™

�→�0+

đ?‘Ľâ†’đ?‘Ľđ?‘œ

Il numero l e’ un numero reale. Si dice che il limite esiste finito.

In casi del genere si introduce una nuova funzione detta prolungata per continuita’.

A questo punto e’ possibile fornire una tabella riassuntiva dei possibili casi di discontinuita’.

Tipo di discontinuita’

Caratteristiche

La funzione non e’ definita in �0 e risulta Discontinita’ di prima specie (a salto)

lim �(�) ≠lim+ �(�)

đ?‘Ľâ†’đ?‘Ľ0−

�→�0

| lim− đ?‘“(đ?‘Ľ) − lim+ đ?‘“(đ?‘Ľ)| e’ detto salto đ?‘Ľâ†’đ?‘Ľ0

Discontinuita’ di seconda specie

�→�0

Almeno uno dei due limiti in đ?‘Ľ0 (sinistro o destro) non esiste oppure non finito.

Discontinuita’ di terza specie Sono possibili due sottocasi:

(eliminabile)

đ?‘Ľ0 ∉ đ?‘‘đ?‘œđ?‘š đ?‘“ đ?‘Ľ0 đ?œ– đ?‘‘đ?‘œđ?‘š đ?‘“ ma f(đ?‘Ľ0 ) ≠lim đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘Ľâ†’đ?‘Ľ0

In entrambi i casi deve esistere il limite, ovvero

deve

risultare

lim �(�) ≠lim+ �(�) = �

đ?‘Ľâ†’đ?‘Ľ0−

�→�0

Esempio di funzione discontinua di seconda specie. đ?‘ƒ(đ?‘Ľ)

f(x) =(đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ž)2 con P(a) ≠0 essendo P(x) un polinomio di grado superiore al II. Il numero đ?›ź e’ positivo. Deve essere x ≠đ?‘Ž . đ?‘ƒ(đ?‘Ľ)

1

Si puo’ scrivere che lim (đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ž)2 = đ?‘ƒ(đ?‘Ž) lim (đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ž)2. đ?‘Ľâ†’đ?‘Ž

�→�

P(a) e’ un numero reale, mentre diventa rilevante

1 lim (đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ž)2

đ?‘?he vale infinito in quanto

�→�

lim (đ?‘Ľ − đ?‘Ž)2 = 0.

�→�

Il punto (a, f(a)) e’ un punto di discontinuta’ non eliminabile in quanto si ha:

đ?‘ƒ(đ?‘Ľ)

1

lim (đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ž)2 = đ?‘ƒ(đ?‘Ž) lim (đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ž)2 = +∞.

�→�

�→�

Per la gestione di questo limite si e’ reso necessario studiare

1 lim (đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ž)2

.

�→�

E’ utile ricordare un limite piu’ semplice ma sempre utile riferimento. 1

Il limite e’ lim � �→0

1

E’ ben evidente che in R la scrittura 0 non ha significato. La rappresentazione grafica meglio di ogni altra evidenzia cosa accade in prossimita’ dello zero.

Si comprende che i due limiti, desto e sinistro, non esistono finiti, essendo essi Âąâˆž. 1

Alquanto diversa e’ la soluzione quando si considera la funzione y = (�)2� ove n e’ intero.

In questo caso i due limiti per đ?‘Ľ → 0 valgono entrambi +∞.

22. Funzioni definite a tratti. Nessi con la continuita’.

Una funzione f(x) e’ definita a tratti se e’ del tipo: f(x) = đ?‘“1 (x) per a < x ≤ đ?‘? f(x) = đ?‘“2 (x) per b < x ≤ đ?‘? ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌. avendo che dom f = âˆŞ dom đ?‘“đ?‘– E’ possibile concentrarsi su una funzione semplice costituita da đ?‘“1 đ?‘’ đ?‘“2 . Con riferimento al formalismo introdotto e agli intervalli ivi deifniti, si puo’ dire che la funzione f e’ continua in x = b se risulta: lim đ?‘“1 (x) = lim+ đ?‘“2 (x) = đ?‘“2 (b).

đ?‘Ľâ†’đ?‘? −

đ?‘Ľâ†’đ?‘?

E’ possibile considerare un esmepio concreto.

Sia data la seguente funzione definita a tratti e contenente un parametro a.

đ?‘Žđ?‘Ľ 2

Si ha f(x) = đ?‘Ľ 4 + 2đ?‘Ľ 3 + 6đ?‘Ľ + đ?‘Ž per x ≤ −4 e f(x) = đ?‘Ľ+5 per x > −4. Il quesito e’ stabilire per quali valori di a la funzione definita a tratti e’ continua in x =−4.

E’ possibile calcolare il limite sinistro, avendo che: lim � 4 + 2� 3 + 6� + � ottenibile banalmente per sostituzione, ovvero:

đ?‘Ľâ†’−4−

lim đ?‘Ľ 4 + 2đ?‘Ľ 3 + 6đ?‘Ľ + đ?‘Ž

đ?‘Ľâ†’−4−

= lim −(−4)4 + 2(−4)3 + 6(−4) + đ?‘Ž đ?‘Ľâ†’−4

= 256 + 2(−64) −

24 + đ?‘Ž = 102 + đ?‘Ž

Il seocndo limite e’ pure facile, avendosi che: �� 2

đ?‘Žđ?‘Ľ 2

lim + đ?‘Ľ+5 calcolabile pure per sostituzione avendosi che lim + đ?‘Ľ+5 =

đ?‘Ľâ†’−4

đ?‘Ľâ†’−4

đ?‘Ž(−4)(−4) −4+5

= 16đ?‘Ž

La sostituzione e’ tale che si possa dire che lim + =f(-4). đ?‘Ľâ†’−4

Affinche’ la funzione sia continua in ( −4, đ?‘“(−4)) deve risultare che:

102 + đ?‘Ž = 16 đ?‘Ž â&#x;ş 102 = 15 đ?‘Ž → đ?‘Ž =

102 15

.

Il valore di a che soddisfa il problema e’ unico.

Sostituendo in formula per x = −4 đ?‘’ đ?‘Ž =

102 15

nella đ?‘“1 si ottiene il valore đ?‘“(−4).

Quando si dovessero introdurre due parametri a e b con a ≠b si otterrebbe una relazione del tipo:

102 +đ?‘Ž = 16đ?‘?

Cio’ presuppone dove introdurre un a e determinare un b dipedente da a, o viceversa.

23. La derivabilita’ delle funzioni di una variabile

La derivabilita’ di una funzione e’ una condizione piu’ stringente della continuita’.

Una funzione continua in un punto non necessariamente e’ ivi derivabile.

L’esempio tipico di funzione definita in un punto ma non derivabile in esso e’, ad esempio, rappresentato dalla funzione y = |x|. Vanno quindi considerate le condizioni di derivabilita’ di una funzione f in un punto đ?‘Ľ0 . Sia f(x) definita e continua in un intorno simmetrico di đ?‘Ľ0 ovvero in (đ?‘Ľ0 − đ?›ż, đ?‘Ľ0 + đ?›ż). In definitiva di ammette che la f sia definita e continua in ogni x tale che |x −đ?‘Ľ0 | ≤ đ?›ż. Verificata questa condizione e data la f(x) si determina la sua derivata prima, cioe’ la đ?‘‘

funzione f’(x) = đ?‘‘đ?‘Ľ f(x). La funzione f(x) e’ derivabile in un punto đ?‘Ľ0 se e solo se: lim đ?‘“′(đ?‘Ľ) = lim+ đ?‘“′(đ?‘Ľ) = l | l ∈ đ?‘….

đ?‘Ľâ†’đ?‘Ľ0−

�→�0

L’esistenza di detti limiti eguali e finiti consente di sintetizzare scrivendo che: lim đ?‘“′(đ?‘Ľ) = lim+ đ?‘“′(đ?‘Ľ) = lâ&#x;ş lim đ?‘“′(đ?‘Ľ) = l

đ?‘Ľâ†’đ?‘Ľ0−

�→�0

�→�0

A questo punto di afferma che che la f(x) e’ derivabile in �0 . Una funzione f(x) e’ derivabile in (a, b) se e’ derivabile in ogni punto di (a, b).

Un esempio di funzione da studiare ai fini della continuita’ e della derivabilita’ e’ la seguente funzione, contenente due parametri reali h e k. f(x) = ln(x+â„Ž) + |đ?‘Ľ − đ?‘˜|

Dominio di definizione della funzione. Per la realta’ del logaritmo deve essere x+ℎ > 0 da cui x > −ℎ. In definitiva dom f = ( − ℎ, +∞).

Continuita’ della funzione. La funzione e’ definita e continua per x ∊ ( − ℎ, +∞).

Derivabilita’ della funzione.

Si considerano le derivate prime delle due funzioni componenti.

đ??ˇđ?‘Ľ ln(đ?‘Ľ + â„Ž) =

1 ln(đ?‘Ľ+â„Ž)

đ??ˇđ?‘Ľ (x+â„Ž) =

1 ln(đ?‘Ľ+â„Ž)

La derivata contenente il valore assoluto e’ scindibile come segue: đ??ˇđ?‘Ľ |x−đ?‘˜| = đ??ˇđ?‘Ľ (x−đ?‘˜) = 1 quando x > đ?‘˜. đ??ˇđ?‘Ľ |x−đ?‘˜| = đ??ˇđ?‘Ľ (k−đ?‘Ľ) = −1 quando x < đ?‘˜. đ??żđ?‘Ž funzione non e’ derivabile per x = đ?‘˜. đ??źđ?‘› altri termini la derivata della funzione considerata puo’ scriversi come: 1

đ??ˇđ?‘Ľ f(x) = ln(đ?‘Ľ+â„Ž) Âą 1. đ??żđ?‘Ž funzione derivata non e’ definita per x = k in quanto si puo’ scrivere che |đ?‘Ľ − đ?‘˜| = |đ?‘Ľ − đ?‘Ľ| = |0| e la funzione derivata prima non e’ definita, avendosi nel caso considerato un punto angoloso. Coerentemente deve sempre risultare x > −ℎ.

24. Punti di non derivabilita’. Cuspidi e punti angolosi. Si consideri la funzione y = | x |.

Distinguendo i due casi possibili si ha:

f(x) = x per x > 0 e f(x) = x per x < 0. La funzione passa per l’origine, risultando f(0) = 0. La determinazione della derivata prima e’ immediata, avendosi che per x > 0 đ?‘’ ′ : đ??ˇđ?‘Ľ x = 1 mentre per x < 0 si ha đ??ˇđ?‘Ľ (−x) = −1 . đ?‘ƒđ?‘’đ?‘&#x; đ?‘Ľ = 0 la funzione non e’ derivabile.

Usando la notazione di Fourier della derivata si ha:

lim

đ?‘“(đ?‘Ľ+â„Ž)−đ?‘“(đ?‘Ľ)

ℎ→0

â„Ž

= lim

ℎ→0

đ?‘“(â„Ž)−đ?‘“(0) â„Ž

= lim

|â„Ž|

ℎ→0 ℎ

â„Ž

Si osserva che per h→ 0+ si ha che lim ℎ = 1 mentre per h→ 0− detto limite vale −1 in ℎ→0

quanto

−ℎ ℎ

= −1.

La funzione definita e continua in x = 0 e’ ivi non derivabile.

Essa e’ cosi’ rappresentata.

Un secondo interessante punto di non derivabilita’ e’ il punto di cuspide. Come esempio didattico di cuspide ⌋Bramanti, Pagani, SalsaâŚŒ si puo’ utilizzare la seguente, che ho deciso di sviluppare.

3 f : x →√|đ?‘Ľ|

La funzione considerata puo’ essere studiata approfonditamente.

3

Essa passa per l’origine in quanto per đ?‘Ľ = 0 si puo’ scrivere y = √|0| = 0.

Si tratta di una funzione composta rappresentabile come segue. đ?‘“

đ?‘”

x → | x | → 3√|đ?‘Ľ| Per x > 0 si puo’ scrivere: đ?‘“

đ?‘” 3

1

x → x → √đ?‘Ľ ≥ đ?‘Ľ 3

E’ immediato calcolare la derivata prima, avendo che:

1

1

1

1

2

đ??ˇđ?‘Ľ đ?‘Ľ 3 =3 đ?‘Ľ 3−1 =3 đ?‘Ľ −3 đ??´ questo punto si puo’ calcolare la derivata quando x →0+ .

1

2

2

1

1 2

1

1 2

lim+ 3 đ?‘Ľ −3 = 3 lim+ đ?‘Ľ −3 = 3 lim+ ( đ?‘Ľ)3 =+∞ in quanto lim+( đ?‘Ľ)3 =+∞

x →0

x →0

x →0

x →0

Va calcolato l’altro limite. Per x < 0 la funzione composta viene formalizzata come segue: �

đ?‘” 3

x → −đ?‘Ľ → √−đ?‘Ľ .

L’ultima scrittura ha senso in R in quando il radicando e’ dispari.

Al fine della determinazione di detto limite ho ritenuto utile utilizzare la seguente sostituzione che ancorche’ non nota mi e’ sovvenuta. 3

3

√−đ?‘Ľ ≥ (−1) √|đ?‘Ľ|

đ??´ questo punto risulta immediato calcolare il limite per x → đ?‘œâˆ’ . đ??żđ?‘Ž presenza della costante (−1) che premoltiplica il radicale consente di affermare che:

1

2

1

2

lim+ 3 đ?‘Ľ −3 = − lim− 3 đ?‘Ľ −3 .

x →0

x →0

1

2

In altri termini, si puo’ dire che lim− 3 đ?‘Ľ −3 = −∞. x →0

Il punto (0 ,0) e’ un punto di cuspide, oltreche’ di minimo per la funzione assegnata.

A questo punto e’ possibile dare una definizione formale di punto di cuspide. Un punto (�0 , �(�0 ) tale che risulti: lim �(�) = f(�0 )

�→�0

lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = Âąâˆž

đ?‘Ľâ†’đ?‘Ľ0−

lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = ∓∞

�→�0+

e’ detto punto di cuspide della funzione f(x).

25. Sviluppi in serie di Taylor e di McLaurin. Relazioni di Eulero.

Sia data una funzione f(.) definita e continua in un insieme A, detto dominio di definizione, essendo A ⊆ đ?‘…, ove R e’ l’insieme dei numeri reali. Sia dato un punto đ?‘Ľ0 tale che đ?‘Ľ0 ∈ A.

L’espressione f(x) = f(đ?‘Ľ0 ) + (đ?‘Ľ − đ?‘Ľ0 ) f’(đ?‘Ľ0 ) + fn(đ?‘Ľ0 ) +‌‌. .

1 2!

1

(đ?‘Ľ − đ?‘Ľ0 ) 2 f’’(đ?‘Ľ0 ) +‌‌ + đ?‘›! (đ?‘Ľ − đ?‘Ľ0 ) đ?‘›

Va in primis precisato che lo sviluppo in serie di Taylor e’ ammissibile quando la funzione che si considera e’ definita e continua in un dato intervallo e quando ammette la derivata di ordine n, al variare di n in N. In đ?‘Ľ0 il valore della funzione e’ noto. Deve quindi ritenersi che sia noto f(đ?‘Ľ0 ). Lo sviluppo in serie di Taylor consente di calcolare con approssimazione a piacere il valore di f(x) quando x e’ nelle vicinanze di đ?‘Ľ0 . Un caso particolare della serie di Taylor e’ lo sviluppo in serie di MacLaurin che si ottiene dalla relazione di Taylor ponendo đ?‘Ľ0 = 0. Le esemplificazioni che verranno condotte consentiranno di ottenere le importanti formule di Eulero. Consideriamo il seguente esempio di funzione y = sinkx, ove k e; un intero assoluto đ?œ‹

considerata nel punto �0 = 2 . Lo sviluppo in serie di Taylor e’ il seguente:

f(x) = f(đ?‘Ľ0 ) + (đ?‘Ľ − đ?‘Ľ0 ) f’(đ?‘Ľ0 ) + đ?œ‹

đ?œ‹

1 2!

sin(k 2 ) + (đ?‘Ľ − 2 )kcos(k 2 ) +

đ?œ‹

1

1

1

đ?œ‹

đ?œ‹

đ?œ‹

(đ?‘Ľ − đ?‘Ľ0 ) 2 f’’(đ?‘Ľ0 ) +‌‌ + đ?œ‹ 2

đ?œ‹

1

1 đ?‘›!

(đ?‘Ľ − đ?‘Ľ0 ) đ?‘› fn(đ?‘Ľ0 ) +‌‌. = đ?œ‹

đ?œ‹

(đ?‘Ľ − 2 ) (−đ?‘˜ 2 sin(đ?‘˜ 2 ) + 6 (đ?‘Ľ − 2 ) 3(−đ?‘˜ 3 )cos(k2 ) 2 đ?œ‹

(đ?‘Ľ − 2 ) 4 đ?‘˜ 4sin(k 2 ) + 5! (đ?‘Ľ − 2 ) 5 đ?‘˜ 5 đ?‘?đ?‘œđ?‘ (k 2 ) 4!

+

Questa e’ una formula abbastanza generale.

Volendo si potrebbero considerare i due possibili casi ovvero che sia k pari, oppure k sia dispari.

Sia k pari. In questo caso la formula di Taylor diviene la seguente:

đ?œ‹

đ?œ‹

đ?œ‹

đ?œ‹ 2

1

đ?œ‹

1

đ?œ‹

đ?œ‹

f(x) = sin(k 2 ) + (đ?‘Ľ − 2 )kcos(k 2 ) + 2 (đ?‘Ľ − 2 ) (−đ?‘˜ 2 sin(đ?‘˜ 2 ) + 6 (đ?‘Ľ − 2 ) 3(−đ?‘˜ 3 )cos(k 2 ) +

1

đ?œ‹

đ?œ‹

1

(đ?‘Ľ − 2 ) 4 đ?‘˜ 4 sin(k 2 ) 4! đ?œ‹ 2

1

đ?œ‹

đ?œ‹

đ?œ‹

+ 5! (đ?‘Ľ − 2 ) 5 đ?‘˜ 5 đ?‘?đ?‘œđ?‘ (k 2 ) = sin(k’đ?œ‹) + (đ?‘Ľ − 2 )2cos(k’đ?œ‹) + 1

đ?œ‹

(đ?‘Ľ − 2 ) (−đ?‘˜ 2 sin(k’đ?œ‹) + 6 (đ?‘Ľ − 2 ) 3(−đ?‘˜ 3 )cos(k’đ?œ‹) + 2

1 4!

đ?œ‹

1

(đ?‘Ľ − 2 ) 4 đ?‘˜ 4sin(k’đ?œ‹) + 5! (đ?‘Ľ −

đ?œ‹ 5 5 ) đ?‘˜ đ?‘?đ?‘œđ?‘ (k’đ?œ‹) 2

In essa k’ e’ un intero in quanto k e’ pari e quindi multiplo di 2.

In detta relazione si annullano tutti i termini contenenti il seno e si ha:

đ?œ‹

đ?œ‹ 2

1

1

đ?œ‹

f(x)=sin(k’đ?œ‹) + (đ?‘Ľ − 2 )kcos(k’đ?œ‹)+ 2 (đ?‘Ľ − 2 ) (−đ?‘˜ 2 sin(k’đ?œ‹) + 6 (đ?‘Ľ − 2 ) 3 (−đ?‘˜ 3 )cos(k’đ?œ‹) + 1 6

1 4!

đ?œ‹

(đ?‘Ľ − 2 ) 4 đ?‘˜ 4 sin(k’đ?œ‹)

1

đ?œ‹

+ 5! (đ?‘Ľ − 2 ) 5 đ?‘˜ 5 đ?‘?đ?‘œđ?‘ (k’đ?œ‹)

đ?œ‹

1

đ?œ‹

2

5!

2

=

(đ?‘Ľ − ) 3 (−đ?‘˜ 3 )cos(k’đ?œ‹) + 0 + (đ?‘Ľ − ) 5 đ?‘˜ 5 đ?‘?đ?‘œđ?‘ (k’đ?œ‹).

Ma al variare di k’ negli interi assoluti si ha che đ?‘?đ?‘œđ?‘ (k’đ?œ‹)=−1.

Pertanto si puo’ scrivere che:

đ?œ‹

0 + (đ?‘Ľ − 2 )kcos(k’đ?œ‹)+ 0 ) +

đ?œ‹

1

đ?œ‹

đ?œ‹ 5

1

đ?œ‹

f(x) = + (đ?‘Ľ − 2 )k (−1) + 6 (đ?‘Ľ − 2 ) 3(−đ?‘˜ 3 )(−1) + 5! (đ?‘Ľ − 2 ) đ?‘˜ 5 (−1) = − (đ?‘Ľ − 2 )k 1

đ?œ‹

đ?œ‹ 5

1

+ 6 đ?‘˜ 3 (đ?‘Ľ − 2 ) 3 − 5! (đ?‘Ľ − 2 ) đ?‘˜ 5 . In modo del tutto analogo si studia il caso k dispari, al variare di k nell’insieme dei dispari.

In questo caso ad annullarsi sono tutti i termini che contengono cos(.). đ?œ‹

Infatti cos(k 2 ) = 0 per ogni k dispari. In questo caso si ha:

đ?œ‹

đ?œ‹

đ?œ‹

+

1 4!

đ?œ‹ 2

đ?œ‹

đ?œ‹

1

đ?œ‹

đ?œ‹

đ?œ‹

+ 5! (đ?‘Ľ − 2 ) 5 đ?‘˜ 5 đ?‘?đ?‘œđ?‘ (k 2 ) đ?œ‹

1

đ?œ‹

đ?œ‹

(đ?‘Ľ − 2 ) (−đ?‘˜ 2 sin(đ?‘˜ 2 ) + 6 (đ?‘Ľ − 2 ) 3(−đ?‘˜ 3 )cos(k 2 ) 2 1

(đ?‘Ľ − 2 ) 4 đ?‘˜ 4 sin(k 2 ) đ?œ‹

đ?œ‹ 2

1

f(x) = sin(k 2 ) + (đ?‘Ľ − 2 )kcos(k 2 ) +

đ?œ‹

= 1

đ?œ‹

sin(k 2 ) +0 + đ?œ‹ 2

1 2

1

(đ?‘Ľ − đ?œ‹

) (−đ?‘˜ 2 sin(đ?‘˜ 2 ) + 0 + 4! (đ?‘Ľ − 2 ) 4 đ?‘˜ 4sin(k 2 ) + 0 = 1 −đ?‘˜ 2 2 (đ?‘Ľ − 2 ) + 4! đ?‘˜ 4 (đ?‘Ľ − 2 ) 4 2

Analoghe riflessioni possono farsi per il caso della funzione y = cos(kx), con k intero đ?œ‹

assoluto quando si studi lo sviluppo per �0 = 2 . Ed eccoci all’esponenziale complesso e alle conseguenti formule di Eulero.

L’esponenziale complesso ha una forma molto semplice, potendo essere scritto come: y = � ��

ove i = √−1 e’ l’unita’ immaginaria.

Sviluppando in serie si ha: 1

đ?‘–

1

y = đ?‘’ đ?‘–đ?‘Ľ = 1 + đ?‘–đ?‘Ľ − 2! đ?‘Ľ 2 + 3! đ?‘Ľ 3 − 4! đ?‘Ľ 4 + â‹Ż .. Nello sviluppo e’ bene tenere conto che đ?‘– đ?‘› = đ?‘– quando n = 4đ?‘˜ + 1, đ?‘– đ?‘› = 1 quando n = 4đ?‘˜ + 2, đ?‘– đ?‘› = −đ?‘– quando n = 4đ?‘˜ + 3 mentre đ?‘– đ?‘› = 1 quando n = 4đ?‘˜ + 4 cioe’ e’ un multiplo di 4. E’ possibile poi considerare la funzione y = đ?‘’ −đ?‘–đ?‘Ľ .

Per essa si puo’ scrivere che: 1

đ?‘–

1

y = đ?‘’ −đ?‘–đ?‘Ľ = 1 − đ?‘–đ?‘Ľ − 2! đ?‘Ľ 2 + 3! đ?‘Ľ 3 − 4! đ?‘Ľ 4 + â‹Ż .. Noti, vedi piu’ sopra, gli sviluppi di sin(x) e cos(x) si evince immediatamente che: đ?‘’ đ?‘–đ?‘Ľ = cos(đ?‘Ľ) + đ?‘–sin(đ?‘Ľ) đ?‘’ −đ?‘–đ?‘Ľ = cos(đ?‘Ľ) − đ?‘–sin(đ?‘Ľ)

Le relazioni diEulero si ottengono sommando e sottraendo membro a membro dette relazioni.

Esse sono, come noto, le seguenti:

sin x =

đ?‘’ đ?‘–đ?‘Ľ −đ?‘’ −đ?‘’đ?‘Ľ 2đ?‘–

cos x =

đ?‘’ đ?‘–đ?‘Ľ + đ?‘’ −đ?‘’đ?‘Ľ 2đ?‘–

26. La funzione đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘”(đ?‘Ľ)

Detta funzione e’ comunemente detta funzione composta esponenziale. Essa e’ definita per f(x) > 0.

Pertanto dom y e’ costituito da tutti gli x reali per i quali f e’ definita e sotto l’ulteriore condizione che f(x) sia maggiore di zero.

Occorre poi ricordare che la derivata prima di detta funzione e’ data dalla formula seguente:

y’ = (�(�) �(�) ) (g’(x)ln(f(x)) +

�(�)�′(�) �(�)

)

La relativa dimostrazione e’ reperibile in ogni testo di Calcolo.

Al rigurado e’ possibile considerare una funzione quale y = (đ?‘šđ?‘Ľ + đ?‘›)đ?‘Ľ . Deve essere garantita la condizione f(x) > 0 cioe’ đ?‘šđ?‘Ľ + đ?‘› > 0 e quindi mx > −đ?‘› con m ≠0.

Detta relazione e’ immediatamente discutibile come segue:

mx > −đ?‘› → đ?‘Ľ > −

đ?‘› đ?‘š

per m positivo.

đ?‘›

mx > −đ?‘› → đ?‘Ľ < − đ?‘š per m negativo. A questo punto e’ utilizzabile la formula della derivata prima, cioe’:

y’ = (�(�) �(�) ) (g’(x)ln(f(x)) +

�(�)�′(�) �(�)

)

Si calcolano quindi le derivate di f e di g. đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?‘‘

(x)= 1

đ?‘‘

đ?‘‘

(mx+�)= �� (mx) + �� (�)= m+0 = � �� A questo punto si puo’ scrivere che:

y’ = (�(�) �(�) ) (g’(x)ln(f(x)) +

�(�)�′(�) �(�)

đ?‘šđ?‘Ľ

)= (đ?‘šđ?‘Ľ + đ?‘›)đ?‘Ľ ((1)ln(đ?‘šđ?‘Ľ + đ?‘›) + đ?‘šđ?‘Ľ+đ?‘›).

Un ulteriore esempio potrebbe essere il seguente: y = (đ?‘Ľ + đ?‘Ľ đ?‘˜ )ln(đ?‘Ľ)

Questa funzione me la sono creata ad hoc, ma forse nella sterminata manualistica e’ pure possibile che sia gia’ nota‌

Poiche’ essa contiene ad esponente la funzione g(x) = ln(x) occorre porre sia x > 0 (condizione di esistenza del logaritmo reale).

L’aver introdotto della funzione ad esponente paradossalmente semplica la trattazione della condizione che deve valere su f(x). Infatti deve essere f(x) > 0 dovendo quindi discutere la condizione đ?‘Ľ + đ?‘Ľ đ?‘˜ > 0. Detta relazione e’ sempre vera quando x > 0.

In generale e’ possibile introdurre funzioni g(x) tali che non esistano restrizioni per x, quale potrebbe essere il seguente caso: y = (đ?‘Ľ + đ?‘Ľ đ?‘˜ )sin(đ?‘Ľ) In questo caso diviene rilevante lo studio della relazione đ?‘Ľ + đ?‘Ľ đ?‘˜ > 0 quando sia x < 0. Al riguardo vorrei osservare che đ?‘Ľ + đ?‘Ľ đ?‘˜ > 0 â&#x;ş đ?‘Ľ đ?‘˜ > −đ?‘Ľ. Detta relazione va studiata sotto la condizione x < 0. Pertanto la stenografia −đ?‘Ľ va intesa quale numero positivo.

Cio’ premesso, discende in modo immediato che la coerenza formale della relazione d’ordine e’ data quando đ?‘Ľ đ?‘˜ > 0 , đ?‘–đ?‘™ đ?‘?â„Žđ?‘’, per la condizione posta su x (x < 0) impone sia k = 2n, al variare di n in N.

Una ulteriore condizione formale che deve essere garantita e’ che sia x đ?œ– ( −∞, 1).

E’ ben evidente che per x positivo non si pongono problemi.

27. Funzioni iperboliche e loro derivazione

Sono di particolare interesse le tre funzioni iperboliche.

Si definisce seno iperbolico la funzione che fa corrispondere al numero reale x il numero sinh(x)=

đ?‘’ đ?‘Ľ −đ?‘’ −đ?‘Ľ 2

Analogamente si definisce il coseno iperbolico cosh(x)=

đ?‘’ đ?‘Ľ + đ?‘’ −đ?‘Ľ 2

.

La tangente iperbolica tgh(x) e’ definita come il rapporto tra il seno iperbolico e il coseno iperbolico, cioe’ si ha:

sinh(đ?‘Ľ)

tgh(x) = cosh(đ?‘Ľ) =

đ?‘’đ?‘Ľ −đ?‘’−đ?‘Ľ 2 đ?‘’đ?‘Ľ + đ?‘’−đ?‘Ľ 2

đ?‘’ đ?‘Ľ −đ?‘’ −đ?‘Ľ

= đ?‘’ đ?‘Ľ + đ?‘’ −đ?‘Ľ

Sono date tre semplici regole di derivazione.

Infatti, risulta che: đ??ˇđ?‘Ľ sinh(x) = cosh(x) đ??ˇđ?‘Ľ cosh(x) = sinh(x)

đ??ˇđ?‘Ľ tgh(x) =

1 (cosh(x))2

Come noto le funzioni iprboliche ammettono l’inversa.

Le funzioni iperboliche inverse sono cosi’ definite: đ?‘ đ?‘–đ?‘›â„Žâˆ’1 (x) = ln( x+√1 + đ?‘Ľ 2 ) per ogni x reale. đ??żđ?‘Ž scrittura đ?‘ đ?‘–đ?‘›â„Žâˆ’1 (x) e’ equivalente a arcsenh x. đ??´đ?‘›đ?‘Žlogamente si definiscono le funzioni inverse di cosh(x) e cosh(x).

Le funzioni inverse si scrivono rispettivamente come:

đ?‘?đ?‘œđ?‘ ℎ−1 (x) = ln( x+√đ?‘Ľ 2 − 1) dovendo porsi x ≼ 1. 1

1+đ?‘Ľ

đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘”ℎ−1 (x) = 2 đ?‘™đ?‘› 1−đ?‘Ľ quando si ponga đ?‘Ľ 2 < 1. đ?‘ƒđ?‘’đ?‘&#x; completezza occorre ricordare che sono definite anche le funzioni coth(x), sech(x), e cosech(x) e le relative inverse. đ??źđ?‘› questo elaborato queste ulteriori funzioni non sono prese in considerazione.

La derivazione delle funzioni iperboliche e delle loro inverse non presenta, in linea generale, particolari difficolta’.

Si possono considerare gli esempi seguenti, frutto di piccole modifiche apportate a funzioni correntemente proposte quali esercizi nella manualistica. 1

y = sinh(đ?‘›x) Si tratta evidentemente di una funzione composta, secondo lo schema seguente: đ?‘“

1

đ?‘”

1

x → x → sinh( x) �

đ?‘›

1

Si puo’ porre �x = u. E’ possibile applicare il teorema della derivata di una funzione composta.

Si puo’ scrivere che: 1

1

1

đ??ˇđ?‘Ľ đ?‘›x = đ?‘› đ??ˇđ?‘Ľ x = đ?‘› đ??ˇđ?‘˘ sinh(đ?‘˘) = cosh(u) 1

1

1

Riunendo i risultati si ha che y’ = � cosh(u) = � cosh(�x).

Un ulteriore esempio e’ il seguente. Si consideri la funzione y = đ?‘?đ?‘œđ?‘ â„Žđ?‘˜ (nx).

Anche in questo caso si ha a che fare con una funzione composta secondo lo schema seguente: đ?‘“

đ?‘”

â„Ž

x → nx → cosh(nx) → đ?‘?đ?‘œđ?‘ â„Žđ?‘˜ (nx). Si puo’ porre cosh(nx) = u e applicare il teorema della derivata composta tenendo conto che: đ??ˇđ?‘˘ đ?‘˘đ?‘˜ = kđ?‘˘đ?‘˜âˆ’1 . đ??ˇđ?‘Ľ nx = n. Riunendo i risultati si ha: y’ = 2u*3 = 6u = 6 sinh(x).

Un ulteriore esempio e’ il seguente: y = ln(cosh(x))

In questo caso si puo’ scrivere che: �

đ?‘”

x → cosh(x) → ln(cosh(x)). Posto cosh(x) = u si puo’ ovviamente scrivere che g(u) = ln(u).

E’ possibile scrivere che: 1

đ??ˇđ?‘˘ ln(u) = đ?‘˘ đ??ˇđ?‘Ľ cosh(x) = sinh(x). đ??¸â€˛ quindi possibile applicare il teorema della derivata composta, avendo che: 1

1

sinh(đ?‘Ľ)

� ′ = sinh(x)� = sinh(x)cosh(�) = cosh(�) = tangh(x).

E’ possibile ora considerare qualche caso di derivazione di funzioni iperboliche inverse.

Anche in questo caso la derivazione, almeno negli argomenti piu’ semplici, e’ priva di particolari difficolta’.

Si puo’ considerare il seguente caso, rielaborato a partire da un esercizio proposto e rinvenuto nella manualistica consultata. 1

y = đ?‘ đ?‘–đ?‘›â„Žâˆ’1 (đ?‘›x) Si tratta anche in questo caso di una funzione composta, spiegabile secondo il seguente schema: 1

đ??ˇđ?‘Ľ đ?‘ đ?‘–đ?‘›â„Žâˆ’1 (đ?‘›x) =

1 1 đ?‘›

√1+( đ?‘Ľ)2

đ?‘‘

1

1

( đ?‘Ľ) =đ?‘› đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘›

1 1 đ?‘›

√1+( đ?‘Ľ)2

=

1 1 đ?‘›

√đ?‘›2 +đ?‘›2 ( đ?‘Ľ)2

=

1 √đ?‘›2 +đ?‘Ľ 2

28. Rappresentazione parametrica di curve

Vi sono casi nei quali una curva y = f(x) viene data in forma parametrica.

In casi del genere le coordinate (x, y) del luogo di equazione y = f(x) vengono espresse in funzione di un parametro, quale ad esempio t, che evoca il tempo.

Questo modo di intendere ha una qualche utilita’ in cinematica quando si studiano le leggi orarie del moto. In questi casi si puo’ considerare la funzione y = f(x) come un insieme di coppie ordinate (x, y) | x = x(t) , e y = y(t).

Alcuni esempi banali chiariscono la situazione.

Siano date le due seguenti relazioni in funzione di t. x(t) = 2 + đ?‘Ą y(t) = 1 +đ?‘Ą 2

Da queste relazioni si potrebbe evidenziare la relazione esistente tra la x e la y.

Esiste una modalita’ algebrica manipolativa che consente di evidenziare detta relazione. Da x = 2 + đ?‘Ą si ottiene immediatamente che t = x −2.

La seconda relazione e’ manipolabile come segue:

y = 1 +đ?‘Ą 2 = 1 + (đ?‘Ľ − 2)2 = 1 +đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ľ + 4 = đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ľ + 5.

Vista in questi termini la relazione sottende una relazione per la quale esiste una relazione funzionale tra le coordinate (x, y).

Questo e’ astrattamente vero anche se essa esprime la sintesi riferita a due leggi indipendenti, date dalle due equazioni parametriche.

Questa osservazione sara’ sviluppata nel paragrafo relativo alle funzioni vettoriali. ��

Una modalita’ assai semplice di calcolare �� e’ il seguente. Dalle relazioni x(t) = 2 + � e y(t) = 1 +� 2 si ha: �

đ?‘‘

(2 + đ?‘Ą) = đ?‘‘đ?‘Ą 2 + đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘

(1 +đ?‘Ą 2 ) =

đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

1+

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘Ą = 0 +1 = 1

đ?‘Ą 2 = 0 +2đ?‘Ą = 2đ?‘Ą.

Una banale osservazione consente il calcolo della derivata.

Infatti si puo’ scrivere che: �� ��

=

đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ľ

=2t*1 = 2t

đ??¸â€˛ immediato calcolare la derivata seconda, avendo che: đ?‘‘

đ?‘‘

( 2t)) = 2

đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ

Un esempio leggermente piu’ complesso e’ il seguente. x = x(đ?œƒ) = đ?‘?đ?‘œđ?‘ 3 (đ?œƒ) y = y(đ?œƒ) = đ?‘ đ?‘–đ?‘›3 (đ?œƒ) Incidentalmente si ricordi che đ?‘?đ?‘œđ?‘ 3 (đ?œƒ) ≥ (cos(đ?œƒ))3. Si evince chiaramente che x(đ?œƒ) = đ?‘?đ?‘œđ?‘ 3 (đ?œƒ) e y(đ?œƒ) = đ?‘ đ?‘–đ?‘›3 (đ?œƒ) sono due funzioni composte. E’ in questo caso possibile derivare rispetto a đ?œƒ.

Si ha che: đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?œƒ

đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?œƒ

đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ

= 3đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 (đ?œƒ) (−sin(đ?œƒ)) = −3đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 (đ?œƒ)sin(đ?œƒ)

= 3đ?‘ đ?‘–đ?‘›2 (đ?œƒ)đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?œƒ)

đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?œƒ

3đ?‘ đ?‘–đ?‘›2 (đ?œƒ) đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?œƒ)

sin(đ?œƒ)

= đ?‘‘đ?œƒ đ?‘‘đ?‘Ś =−3sin(đ?œƒ)đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 (đ?œƒ) = − cos(đ?œƒ) = −tang(đ?œƒ).

29. Funzioni a valori vettoriali Sono funzioni che da R a � � anche se in generale e’ possibile considerare funzioni � � → � � con n ≠m. In genere nelle applicazioni fisiche si considera il caso m = 3.

In questo caso le funzioni vettoriali f : R →đ?‘… 3 vengono solitamente scritte in una notazione detta vettoriale. r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k La funzione vettoriale e’ definita in un I ⊆ R e solitamente I = ⌋ 0 , +∞).

Questo modo di intendere ha un significato fisico alquanto evidente.

Le tre funzioni scalari x(t), y(t), z(t) definiscono altrettante leggi orarie del moto lungo le tre direzioni (assi cartesiani ortogonali).

Dette funzioni scalari sono dette componenti della funzione vettoriale r(t). Se si ragiona in termini cinematici la funzione r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k definisce il moto risultante studiato nello spazio euclideo. Se z(t) ≥ 0 identicamente in I allora il moto avviene nel piano xy.

Il moto avviene lungo una sola direzione se due funzioni scalari sono identicamente nulle. Assegnata una funzione vettoriale r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k essa e’ doppiamente derivabile quando sono doppiamente derivabili le funzioni scalari componenti.

Questo permette di ricavare, in successione, la velocita’ vettoriale e la accelerazione vettoriale.

E’ sufficiente derivare rispetto al tempo t. �

r(t) =

đ?’…đ?’•

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

( x(t)i + y(t)j + z(t)k )

Il calcolo e’ immediato solo che si consideri la terna i, j, k come delle costanti. �

r(t) = x’(t)i + y’(t)j + z’(t)k = �(t)

đ?’…đ?’•

Il modulo della velocita’ vettoriale ovvero | �(t)| si ottiene applicando il Teorema di Pitagora, avendosi che:

| đ?’—(t)| = √đ?‘Ľâ€˛(đ?‘Ą)2 + đ?‘Śâ€˛(đ?‘Ą)2 + đ?‘§â€˛(đ?‘Ą)2

Detta grandezza e’ detta velocita’ scalare istantanea.

Il passo successivo e’ la definizione della accelerazione istantanea vettoriale, che si formalizza come segue: �2

a(t) = �� 2 ( x(t)i + y(t)j + z(t)k ) = x’’(t)i + y’’(t)j + z’’(t)k. L’accelerazione istantanea scalare si ricava immediatamente e si puo’ scrivere che:

| a(t)| = √đ?‘Ľâ€˛â€˛(đ?‘Ą)2 + đ?‘Śâ€˛â€˛(đ?‘Ą)2 + đ?‘§â€˛â€˛(đ?‘Ą)2

Per la accelerazione vettoriale si potrebbe anche proporre una formula compatta ma poco operativa quale:

a(t) = lim+ ��→0

đ??Ż(t+dt)−đ?’—(đ?‘Ą) đ?‘‘đ?‘Ą

30. Alcune nozioni elementari ma comunque utili

30.1 Estremi inferiore e superiore Sia dato un insieme limitato A ⊂ R del tipo (a, b) con a < đ?‘?. ∀ x ≤ đ?‘Ž tale quindi che x ∉ A e’ detto minorante di A. đ??żâ€˛insieme dei minoranti e’ X = { x ≤ đ?‘Ž | đ?‘Ľ ∉ đ??´}. Il numero a e’ detto estremo inferiore di A. Si osservi che a ∉ A. ∀ y ≼ đ?‘? tale quindi che y ∉ A e’ detto maggiorante di A. L’insieme del maggioranti si indica come Y = { y ≼ đ?‘? | đ?‘Ś ∉ đ??´ }.

Gli estremi inferiore e superiore di A si indicano rispettivamente come: inf(A) = đ?‘Ž sup(A) = đ?‘?. Quando si considera l’intervallo ⌋ a, bâŚŒ si puo’ scrivere che: inf(A) = min(đ??´) = đ?‘Ž

sup(A) = max(đ??´) = đ?‘?.

L’intervallo (a, bâŚŒ e’ un insieme avente: inf(A) = đ?‘Ž sup(A) = max(đ??´) = đ?‘?. Infine, l’insieme ⌋ a, b) e’ tale che: inf(A) = min(đ??´) = đ?‘Ž sup(A) = đ?‘?.

30.2 Punti di accumulazione e punti isolati Si consideri un insieme A tale che A ⊂ R. Sia �0 un punto di R. Il punto �0 e’ un punto di accumulazione di A se e’ verificata una delle tre seguenti condizioni. Il punto �0 e’ tale che ogni intorno completo di �0 contiene infiniti punti di A. Il punto �0 e’ detto punto interno di A.

In questo caso si ha che đ?‘Ľ0 ∈ đ??´. Il punto đ?‘Ľ0 e’ tale che solo ogni intorno sinistro (destro) di đ?‘Ľ0 contiene infiniti punti di A. In questo caso il punto đ?‘Ľ0 e’ detto punto di frontiera. Nel caso degli insiemi (a, b) e ⌋a , bâŚŒ i punti a e b, e solo essi, sono di frontiera per A. I punti di ⌋a , bâŚŒ sono di accumulazione per (a, b). Si osservi che non necessariamente il punto đ?‘Ľ0 di accumulazione per A, secondo la definizione data e’ tale che đ?‘Ľ0 ∊A. Rispetto ad un insieme A un punto đ?‘Ľ0 puo’ essere di accumulazione, oppure un punto isolato.

Un esempio di punto isolato si evidenzia a partire da un esempio semplice ma istruttivo, quale quello offerto dal seguente insieme H = (a, b) âˆŞ {đ?‘? } con c > đ?‘?.

Si osservi che c appartiene a H per la definizione stessa di H. Si tratta di un punto isolato in quanto ogni infinito intorno di raggio đ?›ż di c tale che sia đ?›ż < |c −đ?‘?| non contiene alcun punto di H.

31. Nozione di limite. Dimostrazioni đ?›ż − đ?œ€ Si ammette che lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘™ se per ogni đ?œ€ > 0 esiste un đ?›ż = đ?›ż(đ?œ€) > 0 tale che per ogni x đ?‘Ľâ†’đ?‘Ľ0

∊ Dom f per |x −đ?‘Ľ0 | < đ?›ż si ha |f(x) −đ?‘™ | < đ?œ€.

Ho rinvenuto nella manualistica consultata un tipo di esercizio quale il seguente: lim(2đ?‘Ľ + 3) = 7

đ?‘Ľâ†’đ?‘?

richiedendo per quale valore di c, se esite, tale limite vale 7. Al solito si parte fissando 0 < đ?œ€ < 1. La sostanza della dimostrazione consiste nell’affermare che dalla relazione | (2đ?‘Ľ + 3) − 7| < đ?œ€ si ottiene vera la relazione |x −đ?‘?| < đ?›ż(đ?œ€) > 0. Da | (2đ?‘Ľ + 3) − 7| < đ?œ€ si ottiene −đ?œ€ < 2đ?‘Ľ − 4 < đ?œ€ ed anche −đ?œ€ + 4 < 2đ?‘Ľ < đ?œ€ +4 ed anche

−đ?œ€+4 2

<đ?‘Ľ <

đ?œ€+4 2

.

E’ quindi definito un intorno simmetrico di x che verifica le condizioni della definizione di limite.

Ho poi osservato che per đ?œ€ → 0+ le diseguaglianze 4

−đ?œ€+4 2

<đ?‘Ľ <

đ?œ€+4 2

possono riscriversi

4

come 2 < � < 2 ovvero 2 < � < 2 che equivale a scrivere x = 2. A questo passaggio al limite puo’ essere dato il significato di x → c, ammettendo che, al limite, sia x = c.

Le diseguaglianze −đ?œ€ 2

−đ?œ€+4 2

<đ?‘Ľ <

đ?œ€

+ 2 < đ?‘Ľ < 2 + 2 ed anche

−đ?œ€ 2

đ?œ€+4 2

possono essere scritte in forma equivalente come segue: đ?œ€

đ?œ€

< đ?‘Ľ − 2 < 2 risultando in definitiva che | đ?‘Ľ − 2 | < 2 e in

đ?œ€

sintesi | đ?‘Ľ − 2 | < đ?›ż ≤ 2.

Non mancano neppure gli approcci ⌋Ayres Jr.âŚŒ che consentono di dimostrare il valore del limite di funzioni di secondo grado.

Un esempio proposto e’ il seguente: lim(đ?‘Ľ 2 + 3đ?‘Ľ − 2) = −2 , cioe’ dimostrare che il limite della funzione per x → 0 vale −2.

�→0

Ho ritenuto alternativamente di ragionare come segue. Si puo’ scrivere che |(đ?‘Ľ 2 + 3đ?‘Ľ − 2 − (−2) | < đ?œ€.

Piu’ semplicemente si puo’ scrivere che |đ?‘Ľ 2 + 3đ?‘Ľ | < đ?œ€ e quindi −đ?œ€ − đ?‘Ľ 2 < 3đ?‘Ľ < +đ?œ€ − đ?‘Ľ 2 da cui

−đ?œ€âˆ’đ?‘Ľ 2 3

<đ?‘Ľ <

đ?œ€âˆ’đ?‘Ľ 2 3

.

L’intorno della x e’ ben definito in quanto ogni x distinto da 0 e’ nel dominio di h(x)=� 2 .

Ponendo đ?œ€ → 0+ si ha che

−đ?‘Ľ 2 3

<đ?‘Ľ <

−đ?‘Ľ 2 3

da cui si ha 0 < đ?‘Ľ +

đ?‘Ľ2 3

< 0 verificata per x = 0.

Nei casi considerati i punti le funzioni sono continue anche nei punti limite. Cio’ non e’ vero in generale potendo essere lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘™ ma potendo la funzione non essere đ?‘Ľâ†’đ?‘?

definita in c, risultanto cioe’ non determinato il valore reale f(c).

Vanno considerati alcuni limiti particolari, quantunque la trattazione della nozione di limite trascenda dagli obiettivi del presente elaborato, pur presupponendo noti i limiti notevoli.

Una prima casistica di limiti poco trattati e’ il seguente: 1

lim(đ?‘˜)đ?‘Ľ essendo k un numero reale positivo.

�→0

Occorre distinguere i casi sia x →0− e x →0+ .

Si consideri il caso x →0− . In questo caso si puo’ scrivere la seguente successione di passaggi: 1

lim

1

1

1

lim(đ?‘˜)đ?‘Ľ = đ?‘˜ đ?‘Ľâ†’0−đ?‘Ľ = đ?‘˜ −∞ = (đ?‘˜)+∞ = đ?‘˜ +∞ = 0+ .

�→0

Si tenga conto che si e’ abusato di notazione in quanto Âąâˆž non sono numeri reali. 1

1

Va ricordato che se in generale si puo’ scrivere che đ?‘Ľ = đ?‘Ľ −1 ma la relazione 0 = 0−1 non ha significato. Il secondo casoda considerare, e quindi x →0+ conduce ai seguenti passaggi:

1

lim

1

lim+ (đ?‘˜)đ?‘Ľ = đ?‘˜ đ?‘Ľâ†’0+đ?‘Ľ = đ?‘˜ +∞ = +∞.

�→0

Un ulteriore esmepio di limite potrebbe essere il seguente:

lim

đ?‘˜ đ?‘Ľ −đ?‘˜ −đ?‘Ľ

đ?‘Ľâ†’+∞ đ?‘˜ đ?‘Ľ +đ?‘˜ −đ?‘Ľ

ove k ∈ đ?‘… + .

1

E’ bene dare un significato alla scrittura đ?‘˜ −đ?‘Ľ risultando che đ?‘˜ −đ?‘Ľ = (đ?‘˜)đ?‘Ľ . đ?‘˜0

1

La dimostrazione e’ evidente quando si ponga đ?‘˜ −đ?‘Ľ =đ?‘˜ 0−đ?‘˜ = đ?‘˜ đ?‘Ľ = đ?‘˜ đ?‘Ľ c.v.d..

Il limite vale banalmente 1 in quanto

1 đ?‘˜đ?‘Ľ

→ 0 quando đ?‘Ľ → −∞ e gli infiniti al numeratore e

al denominatore sono lo stesso infinito, quindi sono dello stesso ordine. La quantita’ đ?‘˜ đ?‘Ľ → +∞ quando x → +∞.

Con abuso di notazione si puo’ scrivere che:

lim

đ?‘Ľâ†’+∞

đ?‘˜ đ?‘Ľ −đ?‘˜ −đ?‘Ľ đ?‘˜ đ?‘Ľ +đ?‘˜ −đ?‘Ľ

+∞−0

+∞

+∞+0

+∞

=

=

=1

Si osservi che la semplificazione

+∞ +∞

= 1 non e’ in generale possibile, essendo ammessa

quando si hanno infiniti dello stesso ordine.

E’ possiible fare il punto della situazione e ricordare che la condizione per la quale una funzione sia continua in un punto �0 e’ che sia f(�0 ) data e che esista finito il limite seguente: lim �(�) = �

đ?‘Ľâ†’đ?‘Ľđ?‘œ

Quando il limite esiste ma la funzione non e’ definita in detto punto allora si impone che sia f(x) = �.

Possiamo considerare qualche ulteriore esempio. Si puo’, ad esempio, dimostrare che lim ln(đ?‘Ľ) = ln(k) con k > 0. đ?‘Ľâ†’đ?‘˜

Sia dato un đ?œ€ | 0 < đ?œ€ < 1.

Si puo’ scrivere che: | ln(x) − ln(đ?‘˜) | < đ?œ€ â&#x;ş −đ?œ€ < ln(x) − ln(đ?‘˜) < đ?œ€ đ?œ€ â&#x;ş −đ?œ€ + ln(đ?‘˜) < ln(x) < đ?œ€ +ln(đ?‘˜).

A questo punto e’ necessario trovare un intorno di k.

E’ possiible utilizzare la definizione elementare di logaritmo, avendo che: ln(x) = đ?‘Ž â&#x;ş đ?‘’ đ?‘Ž = đ?‘Ľ cioe’ x = đ?‘’ ln(đ?‘Ľ) .

Tanto premesso, il precedente sitema di diseguaglianze diviene: đ?‘’ −đ?œ€+ln(đ?‘˜) < đ?‘Ľ < đ?‘’ đ?œ€+ln(đ?‘˜) đ??¸â€˛ stato definito un intorno simmetrico di x = đ?‘’ ln(đ?‘Ľ) rappresentabile come segue:

I punti a e b sono al variare di đ?œ€ gli estremi inferiore e superiore di un intorno centrato in x. Il punto x e’ il punti limite che conincide con đ?‘Ľ0 solo come condizione di limite. La coincidenza dei punti si avrebbe per đ?œ€ = 0 . Si ha che a =−đ?œ€ + ln(đ?‘˜) e che b = đ?œ€ + ln(đ?‘˜).

Un ulteriore esempio di studio potrebbe essere il seguente: lim 2−đ?‘Ľ = 1

�→0

Puo’ essere utile ricordare che:

2−đ?‘Ľ = 20−đ?‘Ľ =

20 2đ?‘Ľ

=

1 2đ?‘Ľ

1

= ( )đ?‘Ľ 2

Cio’ premesso, si puo’ scrivere che: 1

1

|(2)đ?‘Ľ − 1| đ?œ€ e quindi −đ?œ€ + 1 < (2)đ?‘Ľ < đ?œ€ + 1. Occrorre mettere in evidenza la x utilizzando la definizione elementare di logaritmo, avendo cioe’ che: 1

1

(2)đ?‘Ľ = đ?‘Ž â&#x;ş xln(2) = đ?‘™đ?‘›(đ?‘Ž) In definitiva si puo’ scrivere che:

đ?‘™đ?‘›(1−đ?œ€) 1 ln( ) 2

<x<

đ?‘™đ?‘›(1+đ?œ€) 1 2

ln( )

Si puo’ porre k =

1 1 2

ln( )

e definire il seguente intorno (k đ?‘™đ?‘›(1 − đ?œ€), k đ?‘™đ?‘›(1 + đ?œ€) ).

Facendo tendere đ?œ€ a 0+ si ottiene x →đ?‘Ľ0 cioe’ x → ln(1) = o.

Un ulteriore esempio da conto delle modalita’ che ho introdotto.

E’ richiesto di dimostrare che: lim log 2 (đ?‘Ľ − 3) = 0

�→4

0 <|log 2 (đ?‘Ľ − 3) | < đ?œ€ â&#x;ş −đ?œ€ < log 2 (đ?‘Ľ − 3) < đ?œ€ â&#x;ş −đ?œ€ < đ?‘Ž < đ?œ€. Da questo ultimo insieme di disequazioni si puo’ scrivere: 2−đ?œ€ < đ?‘Ľ − 3 < 2đ?œ€ Senza perdita di generalita’ si puo’ considerare đ?œ€ đ?œ– (0, 1) ed anche assegnare un indice ad đ?œ€ secondo il seguente schema đ?œ€0 = 1 ed essendo đ?œ€đ?‘–+1 < đ?œ€đ?‘– e al limite đ?œ€đ?‘› → 0+ per n →+∞. 1 <đ?‘Ľ −3 <1 Ne consegue che al limite deve essere đ?‘Ľ − 3 = 1 cioe’ x = 4.

Ho utilizzato un teorema applicabile ai numeri reali, ovvero che e’:

( a > đ?‘? , đ?‘? > đ?‘Ž â&#x;ş a = b) Detti passaggi vanno intesi nel senso che quanto đ?œ€ → 0 đ?‘Žđ?‘™đ?‘™đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘Ľ → đ?‘Ľ0 . Detta altrimenti i punti possono considerarsi coincidenti anche se‌.

La ammissibilita’ di questo modo di procedere si evidenzia ampiamente nel seguente esempio proposto. lim 32�+1 = 27

�→1

|32đ?‘Ľ+1 − 27| < đ?œ€

In altri termini si puo’ scrivere che: 27 − đ?œ€ < 32đ?‘Ľ+1 < 27 + đ?œ€ log 3 (27 − đ?œ€) < (2đ?‘Ľ + 1) log 3 3 < log 3 (27 + đ?œ€) Si puo’ far tendere đ?œ€ a zero da destra. Per conseguenza si puo’ scrivere che: log 3 (27) < (2đ?‘Ľ + 1) < log 3 (27 ) Si tenga conto che log 3 3 = 1 e che in generale per k razionale positivo si ha log đ?‘˜ đ?‘˜ = 1. Dalle precedenti disequazioni si ha che: 3 < (2đ?‘Ľ + 1) < 3

In definitiva si ha: 2đ?‘Ľ + 1 = 3 e quindi x = 2.

Questa modalita’ dimostrativa che ho abbozzato e’ anche utile a dimostrare che una relazione del tipo lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘˜ | k ∊ R non e’ vera. đ?‘Ľâ†’đ?‘Ľ0

lim 3đ?‘Ľ 2 + 1 = 3

�→1

Che detta asserzione sia falsa lo si evince usando un noto strumento dell’analisi, cioe’ scrivendo: lim 3đ?‘Ľ 2 + 1 = 3 (lim đ?‘Ľ 2 ) + 1 = 3∙ 1 + 1 = 4 ≠3.

�→1

�→1

Mi propongo di evidenziare come il metodo che ho sintetizzato e’ utile a evidenziare la non fondatezza di una relazione di limite.

Coerentemente con quanto detto e’ possibile scrivere che: | 3đ?‘Ľ 2 + 1 − 3| < đ?œ€ â&#x;ş | 3đ?‘Ľ 2 − 2| < đ?œ€ e quindi: −đ?œ€ + 2 < 3đ?‘Ľ 2 < đ?œ€ + 2 −đ?œ€+2 3

< đ?‘Ľ2 <

đ?œ€+2 3

−đ?œ€+2

√

3

đ?œ€+2

<đ?‘Ľ<√

3

Per đ?œ€ → 0+ si ha, al limite, che:

2

2

√ <đ?‘Ľ<√ 3 3

2

In definitiva la relazione lim 3đ?‘Ľ 2 + 1 = 3 e’ vera per x = √3. đ?‘Ľâ†’đ?‘?

2

Piu’ formalmente si dovrebbe porre x → √3.

2

Corrispondentemente sarebbe 3đ?‘Ľ 2 +1 → 3 quando x → √3.

2

2

3

3

Scrivere 3đ?‘Ľ 2 +1 = 3 quando x = √ e’ ammesso in quando x = √ ∈ dom f(x).

Con riferimento ai numeri reali va spiegato il significato di a → b (a tende a b).

Si puo’ ammettere che a → b consenta anche di dire che b → a (relazione simmetrica).

Ci si chiede se possa dirsi a → a. Si potrebbe dire che a → b sottende a ≠đ?‘?.

E’ lecito, con una forzatura, porre a → a. Infatti a → b equivale a dire che |a −đ?‘?| → 0.

Se a > đ?‘? allora a → b equivale a scrivere a −đ?‘? → 0 cioe’ a scrivere a −đ?‘? = đ?‘? + đ?‘‘đ?‘Ľ − đ?‘? = đ?‘‘đ?‘Ľ.

1

Si puo’ pensare di ammettere dx = 0 anche se ordinariamente dx < ≠0 �� variare di n in N. �

Si puo’ ammettere che valga la proprieta’ transitiva, e quindi sia:

( a → b, b → c ⇒ a → c)

Una variazione infinitesima di una grandezza e’ assimilabile ad un infinitesimo.

Nei termini piu’ generali un infinitesimo e’ una proprieta’ locale di una funzione f(x), quando sia vera la relazione:

lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = 0.

�→�0

Si puo’ sostenere che a −đ?‘? → 0 ⇒ đ?‘Žđ?‘› − đ?‘? đ?‘› → 0.

ANTICIPAZIONE

Il numero di novembre e dicembre sara’ dedicato al calcolo integrale.

La copertina sara’ dedicata ad Evangelista Torricelli, allievo di Galilei.

BIBLIOGRAFIA

Ayres Jr., Calcolo differenziale ed integrale, Etas Libri, 1973

Boealla, Analisi matematica 2, Esercizi, Pearson Educational, 2008

Bramanti, Pagani, Salsa, Matematica, Calcolo infinitesimale e algebra lineare, II edizione, Zanichelli, 2009

Campitelli, Campodonico, Galdi, Analisi infinitesimale 2, Societa’ Editrice Dante Alighieri, 2007.

Fico, Cariani, Mattina, Il paesaggio matematico, rosso, 5, Loecher, 2008.

Galligani, Lagana’, Mazzone, Esercitazioni di analisi matematica, ECIG, 1987.

PROPRIETA’ LETTERARIA

Questo elaborato non ha finalita’ commerciali o lucrative. Ne e’ autorizzata la divulgazione, anche totale, a condizione che essa non abbia finalita’ commerciali o lucrative purche’ essa avvenga con la citazione dell’autore e del soggetto diffusore dell’opera.

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