Appunti Matematici 45

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Patrizio Gravano

APPUNTI MATEMATICI

ONDE numero 45 - settembre 2018

INTRODUZIONE

Questo elaborato contiene una sintesi della fisica dei fenomeni ondulatori, che, in generale, sono caratterizzati dal trasporto nello spazio di energia, senza che si abbia anche un contestuale trasporto di materia. Nel considerare, per quanto possibile, tutti gli aspetti della materia, invero assai vasta e complessa, sono stati privilegiati gli aspetti matematici senza mai perdere di vista il significato fisico della teoria. Partendo dagli elementi basici della materia – tipicamente quelli del primo biennio universitario – l’elaborato giunge all’equazione differenziale delle onde e alla trattazione di alcuni argomenti avanzati, quali le onde elettromagnetiche e la teoria de De Broglie delle onde associate alle particelle elementari. Spero che questa sintesi possa essere utile a quanti gia’ conoscendo la materia debbano rivederla in parte o in toto. Poiche’ la materia e’ delicata e complessa sono grato a quanti dovessero indicarmi eventuali imprecisioni o errori contenuti nella stesura del testo.

Patrizio Gravano patrizio.gravano@libero.it

ONDE

I fenomeni ondulatori. Le onde trasversali e le onde longitudinali. La fisica delle onde studia i fenomeni ondulatori, che si caratterizzano quali perturbazioni ondose che si trasmettono nel piano o nello spazio tridimensionale con trasmissione di energia senza che vi sia trasferimento di materia, ma, solo, eventualmente “movimento di materia�. La propagazione ondosa (Mencuccini, Silvestrini) “si propaga nello spazio circostante con modalita’ che dipendono di norma dal tipo di perturbazione e dalle caratteristiche del mezzo che riempie lo spazio�.

Il tipico esempio di perturbazione ondosa e’ quello generato dalla caduta di un sasso entro uno stagno e dalle onde che si propagano radialmente e uniformemente in tutte le direzioni a formare i caratteristici anelli comunemente chiamati fronti d’onda. I vari fronti d’onda si allontanano dal centro tutti alla medesima velocita’, detta velocita’ di propagazione. In condizioni ordinarie (isotropia e assenza di ostacoli) si hanno onde piane e la rappresentazione del fenomeno avviene con circonferenze concentriche di raggi đ?‘&#x;0 + đ?‘›đ?‘˜ ove n e’ un intero ≼ 0. A distanze sufficientemente grandi dal centro di irradiazione della perturbazione ondosa e’ ammessa la approssimazione di considerare il fronte d’onda come rettilineo. Analogamente e’ possibile considerare un punto x dello spazio come centro di irradiazione di una perturbazione ondosa. In questo caso si ha un’onda sferica. Anche in questo caso e’ ammessa la approssimazione del fronte rettilineo (a grande distanza da x) .

Le onde che si considerano solitamente sono elastiche e quindi presuppongono l’esistenza di un mezzo elastico idoneo alla propagazione. Tale propagazione e’ sempre accompagnata da fenomeni dissipativi che danno luogo a onde smorzate. Le onde acustiche sono modellizzate come onde elastiche che si propagano in un mezzo, l’atmosfera, ritenuta un mezzo elastico. Non ogni fenomeno perturbativo ondulatorio necessita di un mezzo per propagarsi. E’ il caso delle onde elettromagnetiche, che, come noto, si propagano anche nel vuoto.

Una prima fondamentale distinzione e’ quella tra onde trasversali e onde longitudinali. E’ utile ricordare il caso solitamente utilizzato della corda tesa ad un estremo per comprendere la distinzione, avuto riguardo a come viene trasmesso l’impulso. Nel caso dell’onda longitudinale l’impulso e la velocita’ di propagazione dell’onda hanno la medesima direzione (sono collineari). impulso v

Per contro, nel caso si un’onda trasversale le due grandezze (impulso e velocita’ di propagazione) sono ortogonali. La deformazione si propaga con velocita’ v.

Impulso

v

La direzione di propagazione del moto ondoso e’ detta raggio d’onda.

Ad esempio con riferimento alle onde meccaniche si possono presentare entrambi i casi, avendosi onde trasversali quando il raggio d’onda e’ ortogonale (cioe’ perpendicolare) al raggio d’onda che ha la direzione di v, oppure onde longitudinali (di compressione e dilatazione) della molla quando il raggio d’onda e il vettore v hanno la medesima direzione. Va subito precisato che il modulo di v dipende dalla elasticita’ del mezzo nel quale l’onda si propaga.

La funzione delle forme d’onda. Caso monodimensionale. Da un punto di vista analitico la funzione matematica che descrive la perturbazione ondosa e’ una funzione di due variabili indipendenti, la coordinata x e il tempo t. La funzione f(x, t) e’ comunemente chiamata funzione

y = �(�, �) e’

comunemente detta funzione della forma dell’onda o anche funzione d’onda. Le onde che si propagano nella direzione delle x positive sono dette onde progressive. Le funzioni d’onda delle onde monodimensionali progressive hanno la seguente forma generale: f(x, t) = đ?‘“(đ?‘Ľ − đ?‘Łđ?‘Ą) Le funzioni d’onda delle onde monodimensionali regressive hanno la seguente forma generale:

f(x, t) = �(� + ��) . In definitiva l’equazione generale delle onde monodimensionali e’: f(x,t) = �(� ¹ ��).

E’ stato dimostrato che una funzione f(x,t) descrive matematicamente la forma di un’onda monodimensionale se tale funzione verifica la seguente equazione differenziale alle derivate parziali, detta equazione di D’Alembert delle onde: đ?œ•2 đ?‘“ đ?œ•đ?‘Ľ 2

=

1 đ?œ•2 đ?‘“ đ?‘Ł 2 đ?œ•đ?‘Ą 2

Dire se una f(x,t) e’ l’equazione di una possibile forma d’onda equivale ad accertare se f(x, t) e’ soluzione dell’equazione delle onde. Vanno calcolate le due derivate parziali del secondo ordine e verificare che i due membri sono eguali. Cio’ verificato si puo’ affermare che f(x,t) e’ la descrizione di un fenomeno ondulatorio, cioe’ e’ una forma d’onda descrittiva di una perturbazione ondosa.

Nel novero delle forme d’onda un ruolo di fondamentale importanza assumono le forme d’onda di tipo sinusoidali, dette anche armoniche.

La funzione delle forme d’onda. Caso tridimensionale. Le grandezze fisiche tipicamente associate alle onde L’equazione d’onda puo’ essere data in forma trigonometrica, utilizzando quindi la funzione sin(.). In questa forma si puo’ scrivere che:

y(x, t)= đ?‘Œđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ sin(đ?‘˜đ?‘Ľ − đ?œ”đ?‘Ą).

Per semplicita’ nel corso del paragrafo si fara’ sempre riferimento all’equazione dell’onda progressiva, come appena introdotta. E’ pero’ opportuno ricordare che esiste, ovviamente, anche la possibilita’, relativamente ad un’onda monodipensionale, di considerare il caso che essa sia modellizzata con un’onda sinusoidale regressiva, ben espressa dalla seguente relazione: y(x, t)= đ?‘Œđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ sin(đ?‘˜đ?‘Ľ + đ?œ”đ?‘Ą).

A questo punto e’ opportuno utilizzare un piccolo glossario di nozioni di base, particolarmente utili nello studio delle onde. La funzione y(x, t)= đ?‘Œđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ sin(đ?‘˜đ?‘Ľ − đ?œ”đ?‘Ą) e’ una funzione di due variabili indipendenti cioe’ la posizione x e il tempo t. La grandezza đ?‘Œđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ e’ detta ampiezza dell’onda. đ?‘Œđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ e’ una costante sperimentale, quindi un valore finito. La funzione y(x, t)= đ?‘Œđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ sin(đ?‘˜đ?‘Ľ − đ?œ”đ?‘Ą) e’ limitata in quanto |sin(đ?‘˜đ?‘Ľ − đ?œ”đ?‘Ą) | ≤ 1. L’argomento di sin(.) cioe’ la quantita’(đ?‘˜đ?‘Ľ − đ?œ”đ?‘Ą) e’ detta fase dell’onda. Si avra’ modo di evidenziare che la funzione y(x, t)= đ?‘Œđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ sin(đ?‘˜đ?‘Ľ − đ?œ”đ?‘Ą) e’ periodica. Al tempo t = 0 l’equazione y(x, t)= đ?‘Œđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ sin(đ?‘˜đ?‘Ľ − đ?œ”đ?‘Ą) assume la forma y(x, 0)= đ?‘Œđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ sin(đ?‘˜đ?‘Ľ). Una ulteriore grandezza fisica ordinariamente caratterizzante le perturbazioni ondose e’ la cosiddetta lunghezza d’onda, indicata solitamente con la lettera Îť .

La lunghezza d’onda e’ misurata in metri (m), e nei suoi sottomultipli. Sono elementari i seguenti passaggi formali: y(x, 0)= đ?‘Œđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ sin(đ?‘˜đ?‘Ľ) = đ?‘Œđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ sin(đ?‘˜(đ?‘Ľ + đ?œ†)) In questo passaggio si e’ ammesso che nei punti x e (x+đ?œ†) si ha y(x, 0)= y(x+đ?œ†, 0). Questo e’ vero per ogni n intero avendosi che y(x, 0)= y(x+đ?‘›đ?œ†, 0). Questo e’ vero non solo per t = 0 ma in generale per ogni t | t∈ ( −∞, +∞) . Da đ?‘Œđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ sin(đ?‘˜(đ?‘Ľ + đ?œ†)) si ottiene đ?‘Œđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ sin(đ?‘˜đ?‘Ľ + đ?‘˜đ?œ†). Ma la funzione sin(.) ha periodo fondamentale eguale a 2đ?œ‹ . Ne consegue immediatamente che vede essere kđ?œ† = 2đ?œ‹ giungendo per questa via a dare la formula del cosiddetto numero d’onda angolare, indicato con la lettera k, avendo che k =

2đ?œ‹ đ?œ†

.

Data la adimensionalita’ del numeratore della frazione, la grandezza introdotta viene misutata in đ?‘šâˆ’1. In termini fisici esso indica il numero di onde in ogni metro lineare. Sia data l’equazione d’onda sinusoidale progressiva y(x, t)= đ?‘Œđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ sin(đ?‘˜đ?‘Ľ − đ?œ”đ?‘Ą). E’ possibile determinare y(0, t) che immediatamente risulta essere

y(0, t)=

đ?‘Œđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ sin(− đ?œ”đ?‘Ą) = −đ?‘Œđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ sin( đ?œ”đ?‘Ą).

L’ultimo passaggio si giustifica per una nota proprieta’ della funzione sin(.) per la quale sin(đ?›ź) = −sin(−đ?›ź), come comprova che nella circonferenza trigonometrica le ordinate dei due punti sono simmetriche rispetto all’asse delle x.

A questo punto e’ possibile calcolare il periodo dell’onda. Da

y(0,

t)= đ?‘Œđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ sin(− đ?œ”đ?‘Ą) = −đ?‘Œđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ sin( đ?œ”đ?‘Ą)

= −đ?‘Œđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ sin( đ?œ”(đ?‘Ą + đ?‘‡)) =

−đ?‘Œđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ sin( đ?œ”đ?‘Ą + đ?œ”đ?‘‡)) . Ma la funzione sin(.) e’ periodica di periodo 2đ?œ‹. Pertanto si puo’ scrivere che đ?œ”đ?‘‡ = 2đ?œ‹. Il periodo della funzione e’ T =

2đ?œ‹ đ?œ”

.

Sempre da đ?œ”đ?‘‡ = 2đ?œ‹ si ottiene il valore della pulsazione cioe’ đ?œ” =

2đ?œ‹ đ?‘‡

.

1

La grandezza đ?‘‡ e’ detta frequenza, solitamente indicata con la lettera f, oppure con la lettera greca đ?œˆ. Tale grandezza, misurata in đ?‘ đ?‘’đ?‘? −1, cioe’ in Hertz, e’ collegata alle altre grandezze fisiche introdotte dalle seguenti relazioni: 1

đ?œ”

ν= đ?‘‡ = 2đ?œ‹ Si avra’ modo di constatare che la funzione d’onda sinusoidale progressiva contiene un ulteriore parametro, đ?œ‘, adimensionato e angolare, misurato in radianti, e viene scritta nel modo che segue: y(x, t)= đ?‘Œđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ sin(đ?‘˜đ?‘Ľ − đ?œ”đ?‘Ą + đ?œ‘).

La relazione fondamentale v = đ??‚đ??€

Tale relazione e’ vera dimensionalmente e la dimostrazione di cio’ e’ immediata. Usando le equazioni dimensionali si puo’ scrivere che: ⌋đ??ż1 , đ?‘‡ −1 , đ?‘€0 âŚŒ = ⌋đ??ż0 , đ?‘‡ −1 , đ?‘€0 âŚŒâŚ‹đ??ż1 , đ?‘‡ 0 , đ?‘€0 âŚŒ ⌋đ??ż1 , đ?‘‡ −1 , đ?‘€0 âŚŒ = ⌋đ??ż1+0 , đ?‘‡ −1+0 , đ?‘€0+0 âŚŒ ⌋đ??ż1 , đ?‘‡ −1 , đ?‘€0 âŚŒ = ⌋đ??ż1 , đ?‘‡ −1 , đ?‘€0 âŚŒ Nel Sistema Internazionale di misure (S.I.) le velocita’ sono misurate in metri al secondo (

đ?‘š đ?‘ đ?‘’đ?‘?

) , le frequenze in Hetz (Hz) e le lunghezze d’onda in metri.

Questa relazione (v = đ?œˆđ?œ†) che collega le tre grandezze fondamentali delle onde, discussa dimensionalmente, puo’ essere dimostrata agevolmente come segue. Si ammetta che si abbia un’onda progressiva, da sinistra verso destra. In un intervallo di tempo ∆đ?‘Ą la curva che descrive l’onda si sara’ sposata di un ∆đ?‘Ľ e le due grandezze sono collegate alla velocita’ dell’onda |v| dalla seguente relaione: ∆đ?‘Ľ ∆đ?‘Ą

=|v|

La condizione per la quale ogni punto mantenga la posizione y costante e’ che sia (kx−đ?œ”đ?‘Ą) = costante. Questa ultima relazione puo’ essere derivata rispetto al tempo, e, usando la notazione di Cauchy, si ha: đ??ˇđ?‘Ą (kx−đ?œ”đ?‘Ą) = đ??ˇđ?‘Ą (costante). đ??ˇđ?‘Ą (kx) − đ??ˇđ?‘Ą (đ?œ”đ?‘Ą) = 0.

Tale ultima relazione puo’ essere reiscritta altrimenti, con il piu’ popolare simbolo della derivata, cioe’ come segue: ��

đ?‘‘đ?‘Ą

k đ?‘‘đ?‘Ą − đ?œ” đ?‘‘đ?‘Ą = 0 đ?‘‘đ?‘Ľ

k đ?‘‘đ?‘Ą − đ?œ” = 0

Prima di procedere e’ utile osservare che x non puo’ essere considerata una costante (altrimenti ��

sarebbe

đ?‘‘đ?‘Ą

= 0 cioe’ đ?œ” = 0).

Non potendo essere

đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ą

= 0 allora deve essere x= đ?‘Ľ(đ?‘Ą) dovendo essere tale funzione, per quanto

osservato fino a questo momento, derivabile almeno una volta.

Cio’ premesso, e’ possibile procedere ulteriormente osservando che risulta essere: ��

k đ?‘‘đ?‘Ą = đ?œ” A questo punto si ammette che sia

đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ą

= v (v indica la velocita’ scalare che si

ammette sia costante nel tempo).

Questa ipotesi consente di ammettere che sia x = đ?‘Ľ(đ?‘Ą) una retta.

đ?‘‘đ?‘Ľ

Si ha che k đ?‘‘đ?‘Ą = đ?œ” con le sostituzioni k= 2đ?œ‹ đ?œ†

v=

2đ?œ‹ đ?‘‡

1

1

đ?œ†

đ?‘‘đ?‘Ľ

, đ?‘‘đ?‘Ą = v e đ?œ” =

cioe’ đ?œ† v = đ?‘‡ ed in definitiva đ?œ† v = đ?œˆ.

Da essa discende che: v =Νν.

1

2đ?œ‹

2đ?œ‹ đ?‘‡

diviene:

Si avra’ modo di osservare che tale relazione e’ vera anche per le onde elettromagnetiche solo che si ponga v = đ?‘?, essendo c la velocita’ della luce nel vuoto ( c ≅ 3 ∗ 108 mđ?‘ đ?‘’đ?‘? −1 )

E’ possibile rappresentare il vettore v sia nel caso di un’onda progressiva che nel caso di una regressiva.

Il caso dell’onda progressiva e’ il seguente.

v x

Nel caso di onda regressiva la rappresentazione e’ la seguente.

v

In questo caso (onda regressiva) si ha che (kx +đ?œ”đ?‘Ą)e’ costante.

đ?œ”

L’equazione d’onda e’ y(x, t) = đ?‘Œđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ sin(đ?‘˜đ?‘Ľ + đ?œ”đ?‘Ą) e v = − đ?‘˜ .

Equazione generale delle onde piane. Formula generale. Equazione di d’Alembert. Nelle pagine precedenti sono stati offerti esempi di onde che si propagano in una dimensione. In particolare, sono state considerate onde sinusoidali, sia progressive che progressive. Non ogni fenomeno ondulatorio e’ rappresentato da una forma d’onda di tipo sinusoidale. Non ogni funzione di due variabili x e t, puo’ modellizzare un’onda sinusoidale. Si puo’ dimostrare che ogni funzione del tipo y(x, t) = â„Ž(đ?‘˜đ?‘Ľ Âą đ?œ”đ?‘Ą) definisce una perturbazione ondosa. Solitamente viene utilizzata una equazione, detta di D’Alembert, valida per ogni tipo di onde. Quella che viene ora introdotta e’ relativo alla propagazione ondosa in una dimensione. L’equazione di D’Alembert delle onde, come gia’ detto, e’ un’equazione alle derivate parziali del secondo ordine. In una dimensione essa e’ la seguente: đ?œ•2 đ?‘“ đ?œ•đ?‘Ľ 2

1 đ?œ•2 đ?‘“

= đ?‘Ł2 đ?œ•đ?‘Ą 2

La funzione f e’ del tipo f = �(�, �) .

Non ogni funzione di due variabili x e t, da considerarsi variabili indipendenti, e’ l’equazione di un’onda.

Dimostrazione della relazione di D’Alembert per funzioni del tipo y(x, t)= đ?‘“(đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą) . Solo le funzioni periodiche del tipo đ?‘“(đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą) possono essere soluzioni dell’equazione di D’Alembert e quindi possono rappresentare forme d’onda. In una dimensione, come piu’ volte ricordato, si ha: đ?œ•2 đ?‘“ đ?œ•đ?‘Ľ 2

1 đ?œ•2 đ?‘“

= đ?‘Ł2 đ?œ•đ?‘Ą 2

E’ evidente che đ?‘“(đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą) descrive il caso di onde progressive (con velocita’ v ) e onde regressive con velocita’ (- v). Si puo’ considerare il primo membro dell’equazione e calcolare la derivata parziale prima rispetto alla x, considerando quindi t costante. đ?œ• đ?‘“(đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ľ

¹ ��) = �′(� ¹ ��)

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

(� ¹ ��) = �′(� ¹ ��)⌋

đ?œ• đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ľ

Âą

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

(đ?‘Łđ?‘Ą)âŚŒ = đ?‘“′(đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą)⌋ 1 +

0âŚŒ = đ?‘“′(đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą). In questi passaggi sono stati applicati il teorema della derivazione di una funzione composta e la regola per la quale quando si deriva rispetto ad una variabile si deve considerare l’altra quale fosse una costante. Si possono fare banali esempi. đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

(� 2 + �) =

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

(đ?‘Ľ 2 ) +

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

sin(2x) = đ??ˇđ?‘Ľ (sin(2đ?‘Ľ))

(đ?‘§) = 2x +0 =2x đ?œ• (2x) đ?œ•đ?‘Ľ

= cos(2đ?‘Ľ) ∗ 2 = 2cos(2đ?‘Ľ)

Nel caso considerato in questa dimostrazione la composizione delle funzioni, a definire una funzione composta e’ del tipo: x → đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą → đ?‘“(đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą) Ad esempio, come ordinariamente avviene e’ đ?‘“(đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą) ≥ đ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą). La derivata parziale prima rispetto al tempo puo’ essere nuovamente derivata, ad ottenere una nuova funzione derivata parziale detta derivata parziale seconda. Si puo’ scrivere che: đ?œ• đ?œ• ( đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ľ

�′(� ¹ ��) ) Tale e’ una forma conveniente della derivata parziale seconda rispetto

alla x. Poiche’ đ?‘“′(đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą) )= đ?‘Ž(đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą) consierando quindi đ?‘Ž(đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą) una funzione composta rispetto alla quale puo’ utilmente essere utilizzato il teorema della derivata di una funzione composta. đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

�(� ¹ ��) = �′(� ¹ ��)

đ?œ• (đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ľ

¹ ��) = �′(� ¹ ��)(

đ?œ• (đ?‘Ľ) đ?œ•đ?‘Ľ

Âą

đ?œ• (đ?‘Łđ?‘Ą) đ?œ•đ?‘Ľ

) = �′(� ¹

đ?‘Łđ?‘Ą)(1 + 0) = đ?‘Žâ€˛(đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą). đ?‘€a poiche’ e’ stato posto đ?‘“′(đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą) )≥ đ?‘Ž(đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą) allora đ?‘“′′(đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą) )≥ đ?‘Žâ€˛(đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą). đ?œ•

đ?œ•

In definitiva si ha che đ?œ•đ?‘Ľ (đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘“′(đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą) ) = đ?‘“′′(đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą). Il primo membro viene scritto nella forma

đ?œ•2 đ?‘“ đ?œ•đ?‘Ľ 2

= �′′(� ¹ ��).

Si ammetta che si abbia la funzione y(x,t) = sin(đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą). Allora la funzione derivata prima di essa e’ y’(x,t) = cos(đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą)(1) = đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą). La derivata seconda e’ y’’(x, t) = −sin(đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą).

In modo del tutto analogo si ragiona sul secondo membro quando va studiata la derivata parziale seconda rispetto al tempo, cioe’

đ?œ•2 đ?œ•đ?‘Ľ 2

⌋ đ?‘“(đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą)âŚŒ.

Il secondo membro dell’equazione di D’Alembert e’ ordinariamente posto nella forma 2

1 đ?œ• đ?‘Ł 2 đ?œ•đ?‘Ą2

f. 1

Quindi esso contiene il fattore costante đ?‘Ł 2 e la derivata seconda di f(x, t), considerando quale variabile la t. La funzione y(x, t) = đ?‘“ (x−đ?‘Łđ?‘Ą) deve essere intesa, come gia’ detto, quale funzione composta secondo lo schema: x → đ?‘Ľ − đ?‘Łđ?‘Ą → đ?‘“(đ?‘Ľ − đ?‘Łđ?‘Ą) Per esempio potrebbe essere f(.)≥ đ?‘˜đ?‘ đ?‘–đ?‘›(. ). Occorre derivare una prima volta đ?‘“(đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą) rispetto al tempo, avendo che: 2

1 đ?œ• đ?‘Ł 2 đ?œ•đ?‘Ą2

đ?‘“(đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą) = đ??ˇđ?‘Ą (đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą)( đ?‘“′(đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą)) đ?‘‘

dove si e’ posto f ’= đ?‘‘đ?‘Ąf. đ?œ•

In definitiva đ?œ•đ?‘Ą đ?‘“(đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą) = (Âąđ?‘Ł) đ?‘“′(đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą). Il valore (Âąđ?‘Ł) e’ stato ottenuto ricordando che đ??ˇđ?‘Ą (đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą) = đ??ˇđ?‘Ą (đ?‘Ľ) Âą đ??ˇđ?‘Ą (đ?‘Łđ?‘Ą) = 0 Âą đ?‘Ł = Âąđ?‘Ł. La derivata parziale seconda della funzione e’ banalmente: đ?œ• đ?œ•đ?‘Ą

⌋(Âąđ?‘Ł)đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą)âŚŒ = (Âąđ?‘Ł)

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ą

⌋ đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą)âŚŒ.

A questo punto occorre considerare

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ą

⌋ đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą)âŚŒ. Ovviamente anche đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą) deve

essere intesa quale funzione composta secondo lo schema seguente:

x → đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą → đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą) Pertanto, usando il teorema della derivata di una funzione composta, si puo’ scrivere che: đ?œ• đ?œ•đ?‘Ą

⌋ đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą)âŚŒ = (Âąđ?‘Ł)đ?‘“′′(đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą)

đ??źđ?‘› tale ultima relazione đ?‘“′′(đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą) indica la derivata parziale seconda della funzione đ?‘“(đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą). Piu’ precisamente, ad esempio posto che l’argomento sia (đ?‘Ľ + đ?‘Łđ?‘Ą) si pone đ?‘Ľ + đ?‘‘2

đ?‘Łđ?‘Ą = đ?œ allora si ha f(Îś) e đ?‘“′′(đ?œ ) =đ?‘‘đ?œ 2 f(Îś). đ??´ questo punto ricordando che si era scritto che

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ą

đ?œ•

⌋(Âąđ?‘Ł)đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą)âŚŒ = (Âąđ?‘Ł) đ?œ•đ?‘Ą

⌋ đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą)âŚŒ si possono scrivere i seguenti conseguenti passaggi: đ?œ• đ?œ•đ?‘Ą

đ?œ•

⌋(Âąđ?‘Ł)đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą)âŚŒ = (Âąđ?‘Ł) ⌋ đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą)âŚŒ = (Âąđ?‘Ł)(Âąđ?‘Ł) đ?‘“ ′ (đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą) = đ?‘Ł 2 đ?‘“ ′ ′(đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą). đ?œ•đ?‘Ą

đ??żâ€˛equazione di D’Alembert puo’ essere riscritta e quindi verificata, osservando che: đ?‘“ ′ ′(đ?‘Ľ Âą đ?‘Łđ?‘Ą) =

1 2 ′ � � ′(� �2

¹ ��) cioe’ 1 = 1 .

Ad esempio se f(.) = cos(đ?‘Ľ) si ha đ?‘“ ′ (. ) = −sin(. ) e đ?‘“ ′′ (. ) = −cos(. ). Ho realizzando questa sintesi tenuto conto che nella manualistica si hanno trattazioni abilmente sintetiche (Mencuccini, Silvestrini) e forme molto formali (Salamito e altri). In generale l’equazione d’onda deve contenere l’argomento (xÂąđ?‘Łđ?‘Ą) . Una utile osservazione (Mencuccini, Silvestrini) e’ sicuramente quella per la quale nelle onde sinusoidali (in condizioni ideali), l’ampiezza đ?‘Œđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ non dipedente da x e non varia nel corso del tempo, non essendo data una relazione funzionale col tempo. Relativamente alle onde sinusoidali una forma d’onda convenientemente utilizzata e’ la 2đ?œ‹

seguente: a(x, t) = đ??´đ?‘ đ?‘–đ?‘›âŚ‹ đ?œ† (xÂąđ?‘Łđ?‘Ą)âŚŒ .

L’argomento della funzione sin(.) e’ adimensionato e cio’ e’ dovuto alla presenza del fattore 2đ?œ‹ đ?œ†

(dimensionato in ⌋đ??żâˆ’1âŚŒ ) essendo (xÂąđ?‘Łđ?‘Ą) dimensionato ⌋đ??ż1 âŚŒ .

Questa parte con sfondo grigio e’ inserita in forma dubitativa Ma gia’ da tale formula si evince che vi sono alcune condizioni necessarie affinche’ f(x,y) sia una funzione che descrive un’onda. Occorre che y = đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ą) sia definita, continua e derivabile due volte, sia rispetto alla variabile x che rispetto alla variabile t, in ogni punto, cioe’ per ogni x | x ∈ (−∞, +∞), e per ogni t . Le due derivate parziali seconde

đ?œ•2 đ?‘“ đ?œ•đ?‘Ľ 2

đ?‘’

đ?œ•2 đ?‘“ đ?œ•đ?‘Ą 2

coinvolte possono essere considerate

funzioni di due variabili x e t potendo scriversi che: đ?œ•2 đ?‘“ đ?œ•đ?‘Ľ 2 đ?œ•2 đ?‘“ đ?œ•đ?‘Ą 2

= a(x, t)

= đ?‘?(đ?‘Ľ, đ?‘Ą)

L’equazione puo’ quindi essere riscritta nella forma a(x,t) = đ?‘Ł −2b(x, t). L’unita’ di misura della grandezza definita dalla funzione in corrispondenza dei valori (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ą0 ) e’ đ?‘šâˆ’1. E’ immediato osservare che l’unita’ di misura che definisce la seconda funzione e’ m∗ đ?‘ đ?‘’đ?‘? −2 . Si puo’ ragionare sul primo membro della relazione come riscritta e osservare che a(x, t) puo’ essere integrata. La funzione primitiva che si ottiene non e’ riconducibile ad una grandezza fisica dotata

di dimensioni, ma e’ adimensionata. Assegnata essa l’ulteriore applicazione dell’operatore integrale dimensiona la grandezza fisica a ⌋đ??ż1 âŚŒ e pertanto il valore di essa calcolato in (đ?‘Ľ0 , đ?‘Ą0 ) e’ misurato in metri, coerentemente con il significato fisico di y. La sequenza e’ la seguente: âˆŤâ€Ś..đ?‘‘đ?‘Ľ

a(x, t) →

âˆŤâ€Ś..đ?‘‘đ?‘Ľ

âˆŤ đ?‘Ž(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ = đ??´(đ?‘Ľ) + đ?‘˜ →

âˆŤ đ??´(đ?‘Ľ, đ?‘Ą)đ?‘‘đ?‘Ľ = y(x, t)

Si puo’ ammettere per le costanti di integrazione che siano, come per k eguali a 0. Analogamente si puo’ ragionare per il secondo membro nel quale compare la funzione b(x, t). Ragionando in modo analogo si potrebbe pervenire a: âˆŤâ€Ś..đ?‘Ąđ?‘Ľ

b(x, t) →

âˆŤâ€Ś..đ?‘‘đ?‘Ą

âˆŤ đ?‘?(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ą = đ??ľ(đ?‘Ľ) + đ?‘˜ →

âˆŤ đ??ľ( đ?‘Ľ, đ?‘Ą) = y(x, t)

Il principio di sovrapposizione degli effetti Si enuncia tale importante principio ricordando che se si hanno piu’ perturbazioni ondose descritte dall’equazione đ?‘Śđ?‘– (đ?‘Ľ, đ?‘Ą) allora l’effetto in treno d’onda e’ descritto dall’equazione y(x,t) = ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘Śđ?‘– (đ?‘Ľ, đ?‘Ą) . Si tratta di una conseguenza immediata della linearita’ dell’equazione delle onde. In buona sostanza se si hanno, ad esempio, due perturbazioni ondose descritte da due distinte funzioni d’onda si scrivono le equazioni di D’Alembert e si somma membro a membro applicando la proprieta’ di linearita’ della derivata parziale. Ad esempio si puo’ scrivere che đ?œ•2 đ?œ•đ?‘Ľ 2

đ?œ•2

đ?œ•2

đ?œ•2 đ?œ•đ?‘Ą 2

đ?œ•2

đ?œ•2

a(x,t) + đ?œ•đ?‘Ą 2 b(x,t) = đ?œ•đ?‘Ą 2 ⌋ a(x,t) + b(x,t)âŚŒ ed anche

a(x,t) + đ?œ•đ?‘Ľ 2 b(x,t) = đ?œ•đ?‘Ľ 2 ⌋ a(x,t) + b(x,t)âŚŒ .

E’ sicuramente utile precisare che la grandezza (¹�) di propagazione della perturbazione ondosa e’ una caratteristica del mezzo e quindi da intendersi quale una costante sperimentale. Questa e’ la ragione per la quale la quantita’

1 đ?‘Ł2

puo’

essere raccolta a fattor comune, definendo l’equazione d’onda come segue: đ?œ•2 đ?œ•đ?‘Ľ 2

⌋ a(x,t) + b(x,t)âŚŒ=

1 đ?œ•2 đ?‘Ł 2 đ?œ•đ?‘Ą 2

⌋ a(x,t) + b(x,t)âŚŒ

Il teorema di Fourier Da questa trattazione e’ tenuta fuori l’analisi di Fourier che e’ applicabile anche ai fenomeni ondulatori reali e alla teoria dei segnali. Tali profili saranno oggetto di un successivo elaborato sull’analisi di Fourier.

L’equazione delle onde che si propagano nello spazio tridimensionale Come detto, la funzione d’onda descrive una perturbazione ondosa. Si tratta di una funzione dello spazio e del tempo. Si puo’ considerare il caso di un’onda che si propaga nello spazio. In questo caso si scrive che f = �(�, �), ove r denota la posizione, essendo r ≥ (�, �, �). Nel novero delle onde tridimensionali si hanno anche particolari perturbazioni, dette impulsive per le quali risulta �(�, �) ≠0 per particolari piccoli intervalli spaziali e temporali. In generale, nel caso di un’onda che si propaga nello spazio tridimensionale, l’equazione di D’Alembert si scrive come segue:

đ?œ•2 đ?œ•đ?‘Ľ 2

�(�, �, �) +

đ?œ•2 đ?œ•đ?‘Ś 2

�(�, �, �) +

đ?œ•2 đ?œ•đ?‘§ 2

�(�, �, �) =

1 đ?œ•2 đ?‘Ł 2 đ?œ•đ?‘Ą 2

�(�, �, �)

La perturbazione (Gettys) puo’ essere sia di tipo scalare (p.e. pressione di un gas e quindi portare alle relazioni tipiche dell’acustica) sia di tipo vettoriale (come avviene con il campo elettromagnetico). L’equazione di D’Alembert puo’ essere scritta in modo piu’ conciso all’uopo utilizzando le notazioni dell’algebra vettoriale. Si puo’ scrivere: div(grad(f)) -

1 đ?œ•2 đ?‘Ł 2 đ?œ•đ?‘Ą 2

đ?‘“ = ∇2 đ?‘“ -

1 đ?œ•2 đ?‘Ł 2 đ?œ•đ?‘Ą 2

đ?‘“ =0

Onde sferiche Un caso particolare di onde sferiche e’ costituito dalle onde sferiche. Per semplicita’ di trattazione solitamente si impone che la sorgente sia posta nell’origine ovvero nel punto O ≥ (0, 0, 0). Pertanto dato đ?’“ = đ?’“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) si ha, come noto, r = √đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 + đ?‘§ 2 , dove r = |đ?’“| . Sotto queste premesse l’equazione d’onda diviene: 1 đ?œ• đ?œ•đ?‘“ đ?œ•2 (đ?‘&#x; đ?œ•đ?‘Ą ) − đ?œ•đ?‘Ą 2 đ?‘&#x; 2 đ?œ•đ?‘&#x;

đ?‘“ = 0 dove f = đ?‘“(đ?‘&#x;, đ?‘Ą) .

Cenni sui fenomeni tipici dei fenomeni ondulatori Due onde sinusoidali (armoniche) sono dette coerenti se la differenza di fase tra esse resta costante nel tempo.

Si ammette che la sovrapposizione di onde armoniche e’ un’onda armonica. Si e’ avuto modo di dire che un’onda armonica puo’ essere rappresentata come f(x, t) = đ??´đ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?‘˜đ?‘Ľ Âą đ?‘¤đ?‘Ś + đ?œ‘). Si pone sia đ?‘˜đ?‘Ľ + đ?œ‘ = đ?›ˇ . Pertanto l’equazione d’onda viene descritta in questo modo: f(x, t) = đ??´đ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?›ˇ Âą đ?‘¤đ?‘Ś ). Si ammetta di avere due armoniche distinte entrambe progressive, ponendo che le ampiezze di esse, indicate con đ??´1 đ?‘’ đ??´2 , rispettivamente eguali tra loro e indicate con A. Si considerino le rispettive funzioni d’onda: đ?‘Ś1 (đ?‘Ľ, đ?‘Ą) = đ??´đ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?›ˇ1 − đ?œ”đ?‘Ą) đ?‘Ś2 (đ?‘Ľ, đ?‘Ą) = đ??´đ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?›ˇ2 − đ?œ”đ?‘Ą) La grandezza ∆đ?›ˇ = đ?›ˇ2 − đ?›ˇ1 e’ comunemente chiamata differenza tra le fasi, o differenza di fase. Se ∆đ?›ˇ = 0 rad. le due onde sono in fase. Se ∆đ?›ˇ = đ?œ‹ rad. le due onde sono in opposizione di fase. L’onda risultante e’ descritta dalla seguente relazione: y(x, t) = đ??´ ⌋ đ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?›ˇ1 − đ?œ”đ?‘Ą) + đ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?›ˇ2 − đ?œ”đ?‘Ą)âŚŒ . Si pone đ?›ˇ1 − đ?œ”đ?‘Ą = đ?›ź e đ?›ˇ1 − đ?œ”đ?‘Ą = đ?›˝ e si applica la formula di prostaferesi che trasforma una somma si seni in un prodotto, piu’ facilmente elaborabile.

Cio’ fatto si scrive: ∆đ?›ˇ

y(x, t) = 2đ??´(cos( 2 )sin(đ?›ˇ1 − đ?œ”đ?‘Ą +

∆đ?›ˇ 2

)

A partire da tale relazione discendono due casi particolari. Il primo di essi e’ quello per il quale sia ∆đ?›ˇ = 0 rad. (onde in fase). ∆đ?›ˇ

Per tale caso si ha y(x, t) = 2đ??´(cos( 2 )sin(đ?›ˇ1 − đ?œ”đ?‘Ą +

∆đ?›ˇ

0

) = 2đ??´(cos(2)sin(đ?›ˇ1 − 2

0

đ?œ”đ?‘Ą + 2) = 2đ??´(cos(0)sin(đ?›ˇ1 − đ?œ”đ?‘Ą) Da essa si evince che per

∆đ?›ˇ 2

= 0 đ?‘?đ?‘–đ?‘œđ?‘’ ′ đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x; ∆đ?›ˇ = 0 si ha cos(0) = 1.

Pertanto la precedente funzione diviene y(x, t) = 2đ??´sin(đ?›ˇ1 − đ?œ”đ?‘Ą). In altri termini si ha, sotto le condizioni poste, che y(x, t) = 2đ?‘Ś1 (đ?‘Ľ, đ?‘Ą). Il caso considerato e’ detto interferenza costruttiva. Resta da considerare il caso, detto dell’opposizione di fase, nella quale vale la relazione âˆ†ÎŚ= Âą đ?œ‹ . La relazione generale trovata in precedenza, cioe’ : ∆đ?›ˇ

y(x, t) = 2đ??´(cos( 2 )sin(đ?›ˇ1 − đ?œ”đ?‘Ą +

∆đ?›ˇ 2

)

conduce a y(x, t) = 0, quando, per la legge di annullamento del prodotto, risulta ∆đ?›ˇ

vero che cos( 2 ) = 0 verificata per ∆đ?›ˇ = Âąđ?œ‹ + đ?‘˜đ?œ‹ con k ∈ đ?‘?. In questo caso si parla di interferenza distruttiva.

Onde stazionarie Le onde cosiddette stazionarie sono confinate da ostacoli fisici. v -v L Si ammette si tratti di armoniche una progressiva e l’altra regressiva di pari ampiezza. Le equazioni d’onda di esse sono le seguenti: đ?‘Ś1 (đ?‘Ľ, đ?‘Ą) = đ??´đ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?‘˜đ?‘Ľ − đ?œ”đ?‘Ą) đ?‘Ś2 (đ?‘Ľ, đ?‘Ą) = đ??´đ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?‘˜đ?‘Ľ + đ?œ”đ?‘Ą) L’onda risultante y(x, t) = đ?‘Ś1 (đ?‘Ľ, đ?‘Ą) + đ?‘Ś2 (đ?‘Ľ, đ?‘Ą) = đ??´âŚ‹đ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?‘˜đ?‘Ľ − đ?œ”đ?‘Ą) + đ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?‘˜đ?‘Ľ + đ?œ”đ?‘Ą)âŚŒ . Anche in questo caso l’uso delle formule di prostaferesi (quella della somma dei seni, in particolare) consente di ottenere la seguente relazione funzionale piu’ facilmente discutibile: y(x, t) = 2Asin(đ?‘˜đ?‘Ľ)cos(đ?œ”đ?‘Ą). cos(đ?œ”đ?‘Ą) = 1 per đ?œ”đ?‘Ą = 0 + đ?‘šđ?œ‹ = đ?‘šđ?œ‹ đ?‘?đ?‘œđ?‘› đ?‘š ∈ đ?‘?.

y(x, t) = 2Asin(đ?‘˜đ?‘Ľ) = 0 quando sin(đ?‘˜đ?‘Ľ) = 0. Questa ultima equazione trigonometrica elementare e’ verificata per kx = đ?‘šâ€˛đ?œ‹ ove m’ ∈ đ?‘? = {−đ?‘›, ‌ , 0, ‌ . . , +đ?‘›} . Gli x | kx = đ?‘šâ€˛đ?œ‹ sono detti nodi. Tali punti sono esplicitati immediatamente come segue: x=

đ?‘šâ€˛đ?œ‹ đ?‘˜

đ?œ†

= �′ 2

I punti per i quali si ha y(x,t) = max y(x, t) sono detti antinodi. Affinche’ sia y(x,t) = max y(x, t) occorre, ed e’ sufficiente, che sia y(x, t) = 2Asin(đ?‘˜đ?‘Ľ) cos(đ?œ”đ?‘Ą) = 2đ??´. sin(đ?‘˜đ?‘Ľ) = 1 . Anche in questo caso si ha a che fare con una semplice equazione goniometrica đ?œ‹

verificata per đ?‘˜đ?‘Ľ = 2 + đ?‘ đ?œ‹ đ?‘œđ?‘Łđ?‘’ đ?‘ đ?œ– đ?‘?. Da cui si ottiene la relazione che consente di determinare i nodi, cioe’: 1

đ?œ†

x = (s + 2) 2. Nel caso delle onde stazionarie e’ ben evidente che non ogni lunghezza d’onda e’ ammissibile ma vale la relazione Ν =

2đ??ż đ?‘›

. In essa L e’ la distanza di confinamento

o, a seconda del caso, ad esempio, la lunghezza di una corda di chitarra.

Principio di Huygens-Fresnel

Ogni punto raggiunto da una perturbazione ondosa si comporta come una sorgente di onde sferiche secondarie non isotrope. Al tempo �1 (successivo a �0 ) l’onda si puo’ ritenere come ottenibile per sovrapposizione di tutte le onde secondarie riferite al tempo a �0 . Le onde secondarie sono anche dette onde elementari. Il fronte d’onda al tempo �1 e’ data dall’inviluppo di tutte le onde elementari. Il principio di Huygens-Fresnel consente di giustificare la circostanza che entro certi limiti le onde, riescono ad aggirare un ostacolo di dimensioni comparabili con la lunghezza d’onda. Il caso tipico di applicazione del principio di Huygens-Fresnel e’ costituito dalla diffrazione, fenomeno che si realizza quando un ostacolo con una piccola apertura viene centrato da un fronte d’onda. Oltre la fenditura si propagano onde circolari. I fronti d’onda sono semicircolari con centro nel centro della fenditura. Come si vedra’ il principio di Huygens-Fresnel offre la possibilita’ di descrivere ulteriori fenomeni tipicamente ondulatori, quali la riflessione, la rifrazione, e l’interferenza.

Si avra’ modo di constatare che il principio di Huygens-Fresnel consente, tra l’altro, di spiegare due note leggi dell’ottica, cioe’ la legge della riflessione, per la quale l’angolo di incidenza e l’angolo di riflessione sono eguali tra loro e la legge della rifrazione per la quale il rapporto tra i seni degli angoli di incidenza e di rifrazione sono eguali al rapporto tra le velocita’ di propagazione dell’onda nei mezzi considerati.

L’effetto Doppler L’effetto Doppler consiste nel fatto che la frequenza di un’onda percepita da un osservatore non coincide con la frequenza dell’onda emessa da una sorgente quando osservatore e sorgente sono in moto relativo l’uno rispetto all’altra, dovendosi distinguere il caso che a muoversi sia la sorgente oppure l’osservatore. Per spiegare la relazione tra frequenza emessa e frequenza osservata occorre introdurre un insieme di variabili, quali sono le seguenti: v = velocita’ dell’onda, per esempio, velocita’ del suono; đ?‘Ł0 = đ?‘Łđ?‘’đ?‘™đ?‘œđ?‘?đ?‘–đ?‘Ąđ?‘Žâ€˛ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™đ?‘™ ′ đ?‘œđ?‘ đ?‘ đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Łđ?‘Žđ?‘Ąđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘’; đ?‘Łđ?‘ = đ?‘Łđ?‘’đ?‘™đ?‘œđ?‘?đ?‘–đ?‘Ąđ?‘Žâ€˛ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™đ?‘™đ?‘Ž đ?‘ đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’; đ?‘“đ?‘ = đ?‘“đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘žđ?‘˘đ?‘’đ?‘›đ?‘§đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’đ?‘™đ?‘™đ?‘Ž đ?‘ đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’; đ?‘“0 = đ?‘“đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘žđ?‘˘đ?‘’đ?‘›đ?‘§đ?‘Ž đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘’đ?‘?đ?‘–đ?‘Ąđ?‘Ž đ?‘‘đ?‘Žđ?‘™đ?‘™ ′ đ?‘œđ?‘ đ?‘ đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Łđ?‘Žđ?‘Ąđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘–đ?‘› đ?‘šđ?‘œđ?‘Ąđ?‘œ đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘™đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘–đ?‘Łđ?‘œ; đ?‘‚đ?‘ đ?‘ đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Łđ?‘Žđ?‘Ąđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘’ đ?‘–đ?‘› đ?‘šđ?‘œđ?‘Ąđ?‘œ đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘ đ?‘?đ?‘’đ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘œ đ?‘Žđ?‘™đ?‘™đ?‘Ž đ?‘ đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’ Osservatore in avvicinamento đ?‘“0 = đ?‘“đ?‘ +

đ?‘Ł0 đ?œ†

đ?‘Ł

=đ?œ†+

đ?‘Ł0 đ?œ†

1

= đ?œ† (đ?‘Ł + đ?‘Ł0 ) đ?‘Ł

1

đ??´ questo punto da v = đ?œ†đ?‘“đ?‘ si ha đ?œ† = đ?‘“ da cui đ?œ† = đ?‘

đ?‘“0 =

đ?‘“đ?‘ đ?‘Ł

(đ?‘Ł + đ?‘Ł0 ) = đ?‘“đ?‘

đ?‘Ł+đ?‘Ł0 đ?‘Ł

đ?‘“đ?‘ đ?‘Ł

quindi si puo’ scrivere che:

.

đ?‘ đ?‘’đ?‘™ caso dell’avvicinamento

đ?‘Ł+đ?‘Ł0 đ?‘Ł

> 1 quindi đ?‘“0 > đ?‘“đ?‘ .

Fermo restando quanto detto, si puo’ ritenere interpretabile nella formula data convenzionalmente come positiva la velocita’ di avvicinamento di un osservatore ad una sorgente in quiete. Si tenga pero’ conto che le velocita’ di propagazione dell’onda v e �0 pur avendo, per semplicita’ espositiva, la stessa direzione hanno versi opposti, quando intese in senso vettoriale.

Nel caso dell’allontanamento la relazione diviene đ?‘“0 = đ?‘“đ?‘

đ?‘Ł+đ?‘Ł0 đ?‘Ł

.

In questo caso si ha đ?‘“0 > đ?‘“đ?‘ đ?‘œ meglio đ?‘“đ?‘ < đ?‘“0 .

Occorre ricordare che nel caso dell’allontanamento dell’osservatore O rispetto alla sorgente S se tale allontanamento avviene con una velocita’ maggiore della velocita’ dell’onda, per esempio del suono nell’aria, nel mezzo elastico considerato l’onda non raggiungera’ mai l’osservatore, per cui deve essere đ?‘Łđ?‘ < đ?‘Ł .

Nel caso che sorgente e osservatore siano in quiete relativa uno rispetto all’altra si pone đ?‘Ł0 = 0 e si ha đ?‘“0 = đ?‘“đ?‘ .

đ?‘†đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’ đ?‘–đ?‘› đ?‘šđ?‘œđ?‘Ąđ?‘œ đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘ đ?‘?đ?‘’đ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘œ đ?‘Žđ?‘‘ đ?‘˘đ?‘› đ?‘œđ?‘ đ?‘ đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Łđ?‘Žđ?‘Ąđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘’ Sorgente in avvicinamento Se v e’ la velocita’ di propagazione dell’onda nel mezzo elastico in un secondo l’onda percorre un segmento di v metri. Sempre in un secondo la sorgente che si muove a velocita’ đ?‘Łđ?‘ metri al secondo percorre un segmento di lunghezza đ?‘Łđ?‘ metri. Conseguentemente le đ?‘“đ?‘ onde emesse in un secondo sono concentrate in un

segmento (v −đ?‘Łđ?‘ ) cui corrisponde una lunghezza d’onda ridefinita đ?œ†â€˛ =

v −đ?‘Łđ?‘ đ?‘“đ?‘

. Tale

relazione e’ valida per v > đ?‘Łđ?‘ . đ?‘Ł

La frequenza percepita dall’osservatore risulta đ?‘“0 = đ?œ†â€˛ =

đ?‘Ł v −đ?‘Łđ?‘ đ?‘“đ?‘

.

đ?‘Ł

In definitiva si ha đ?‘“0 = đ?‘“đ?‘ v −đ?‘Ł . đ?‘

Nel caso di sorgente in allontanamento rispetto all’osservatore la formula diviene �

đ?‘“0 = đ?‘“đ?‘ v +đ?‘Ł . đ?‘

Nel caso di movimento di osservatore e sorgente rispetto al mezzo la formula da đ?‘ŁÂąđ?‘Ł

utilizzare e’ đ?‘“0 = đ?‘“đ?‘ v ∓đ?‘Ł0 . đ?‘

Le onde elettromagnetiche Le equazioni del campo elettromagnetico di Maxwell conducono alla previsione dell’esistenza delle onde elettromagnetiche. Le equazioni, come noto, sono le seguenti: đ?œŒ

div(E) =đ?œ€

0

div(B) =0 đ?œ•đ?‘Š

rot(E)=− đ?œ•đ?‘Ą

��

rot(B) = đ?œ‡0 ⌋đ?‘ą + đ?œ€0 đ?›żđ?‘Ą âŚŒ

Il campo elettromagnetico sussiste anche per đ?œŒ = 0 e per J = đ?&#x;Ž, quindi in assenza si cariche e di correnti nelle vicinanze. In questo caso le equazioni di Maxwell possono essere scritte convenientemente come segue: div(E) = 0 div(B) =0 đ?œ•đ?‘Š

rot(E)=− đ?œ•đ?‘Ą

��

rot(B) = đ?œ‡0 đ?œ€0 đ?›żđ?‘Ą

I campi elettrici e magnetici possono variare nel tempo per cui il formalismo che ne consegue impone che si scriva: E = đ?‘Ź(đ?’“, đ?‘Ą) B = đ?‘Š(đ?’“, đ?‘Ą) . I campi considerati non sono indipendenti. In definitiva i campi non costanti E = đ?‘Ź(đ?’“, đ?‘Ą) e B = đ?‘Š(đ?’“, đ?‘Ą) inducono i campi indotti đ?‘Šđ?’Š (đ?’“, đ?‘Ą) đ?‘’ đ?‘Źđ?’Š (đ?’“, đ?‘Ą) . Questo e’ particolarmente rilevante in assenza di cariche e di correnti da intendersi come assenze nelle vicinanze. Operando in una sola dimensione, ad esempio con riferimento alla x, le prime due equazioni del campo di Maxwell divengono semplicemente: đ?œ•đ??¸đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ľ

= 0 quando E = (đ??¸đ?‘Ľ , 0, 0)

đ?œ•đ??ľđ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ľ

= 0 quando B = (đ??ľđ?‘Ľ , 0, 0)

E’ da ritenere che l’aver posto đ??¸đ?‘Ľ ≠0 impone đ??ľđ?‘Ľ = 0. Si puo’ considerare il vettore đ?‘Ź = (đ??¸đ?‘Ľ , đ??¸đ?‘Ś , đ??¸đ?‘§ ) ed applicare ad esso il rotore, scritto con il determinante simbolico di Laplace. đ?’Š rot

E

=(

đ?’‹

đ?’Œ

đ???

đ???

đ???đ?’™ đ???đ?’š

đ???đ?’›

đ???

đ???

) =

Ex Ey Ez đ??? đ???đ?’›

đ???

đ???

đ???

đ?’Š | đ???đ?’š

Ey

đ???

đ???

đ???đ?’› | +

Ez

đ?’‹ | đ???đ?’™ Ex

đ???

đ???

đ???

đ?’Œ | đ???đ?’™

đ???đ?’š

đ??? đ???đ?’› |

Ez

+

Ex

Eđ?‘Ś

đ???

| = (đ???đ?’š Ez −

∂đ??

Ey )i +(đ???đ?’› Ex − đ???đ?’™ Ez )đ?’‹ +(đ???đ?’™ Eđ?‘Ś − đ???đ?’š Ex )đ?’Œ = − ∂t . ∂đ??

Anche il secondo membro, e quindi la quantita’ − ∂t puo’ essere sviluppata nelle ∂đ??

đ?œ•đ??ľ

componenti avendo quindi che: − ∂t = −( đ?œ•đ?‘Ąđ?‘Ľ +

đ?œ•đ??ľđ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ą

+

đ?œ•đ??ľđ?‘§ đ?œ•đ?‘Ą

).

Pertanto ragionando sulle componenti scalari dei due vettori si ottengono le tre note relazioni contenenti le derivate parziali: đ??? đ???đ?’š

đ??? đ???đ?’› đ??? đ???đ?’™

đ???

Ez − đ???đ?’› Ey = − đ???

Ex − đ???đ?’™ Ez = − đ???

Eđ?‘Ś − đ???đ?’š Ex = −

đ?œ•đ??ľđ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ??ľđ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ??ľđ?‘§ đ?œ•đ?‘Ą

In modo del tutto analogo si esplicitano le relazioni scalari relative alla quarta đ?œ•đ?‘Ź

equazione del campo elettromagnetico, cioe’ : rot(B) = đ?œ‡0 đ?œ€0 đ?œ•đ?‘Ą ponendo per semplicita’ che đ?œ‡0 đ?œ€0 = đ?›ź = đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ą..

đ?’Š Rot(B) = (

đ?’‹

đ?’Œ

đ???

đ???

đ???đ?’™ đ???đ?’š

đ???đ?’›

đ???

Bx By Bz đ??? đ???đ?’›

đ???

đ???

đ???

) = đ?’Š | đ???đ?’š By đ???

đ???

đ???

đ???đ?’›

| + đ?’‹ | đ???đ?’™ Bz Bx đ???

đ???

đ???

| + đ?’Œ | đ???đ?’™ Bz Bx

đ??? đ???đ?’š

đ???đ?’›

đ?œ•đ?‘Ź

đ?œ•đ??¸

By )i +(đ???đ?’› Ex − đ???đ?’™ Bz )đ?’‹ +(đ???đ?’™ Bđ?‘Ś − đ???đ?’š Bx )đ?’Œ = Îą đ?œ•đ?‘Ą = đ?›ź( đ?œ•đ?‘Ąđ?‘Ľ +

Bđ?‘Ś đ?œ•đ??¸đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ą

đ???

| = (đ???đ?’š Bz −

+

đ?œ•đ??¸đ?‘§ đ?œ•đ?‘Ą

)

Eguagliando le componenti si ha: đ??? đ???đ?’š

đ??? đ???đ?’› đ??? đ???đ?’™

đ???

Bz − đ???đ?’› By = đ?›ź Ex −

đ??? đ???đ?’™ đ???

Bz = �

Bđ?‘Ś − đ???đ?’š Bx = đ?›ź

đ?œ•đ??¸đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ??¸đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ??¸đ?‘§ đ?œ•đ?‘Ą

All’equazione di D’Alembert delle onde si giunge per riflessioni algebriche sulle relazioni contenenti le derivate parziali (Gettys) dovendosi precisare che le funzioni utilizzate per E e per B sono tali che sia

đ?œ•

đ?œ•

đ?œ•

đ?œ•

( f(đ?œ?, đ?‘Ą)) = đ?œ•đ?‘Ą(đ?œ•đ?œ?f(đ?œ?, đ?‘Ą)) ove đ?œ•đ?œ? đ?œ•đ?‘Ą

đ?œ? = đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§.

Si e’ dimostrata da parte di Maxwell che le sue equazioni di campo conducono alla previsione della propagazione nello spazio di onde che verificano l’equazione di D’Alembert e, quindi, inquadrabili come una perturbazione ondulatoria. Si dimostra che in ogni istante i due campi E e B sono mutuamente perpendicolari. Piu’ precisamente e’ verificata la seguente relazione vettoriale che collega i due campi con il vettore v, velocita’ di propagazione dell’onda:

đ?‘Ź=đ?‘ŠĂ—đ?’— Non ho rinvenuto nella manualistica a disposizione (Gettys e Halliday, Resnick, Walker) sviluppi operativi di tale prodotto vettoriale. Ma, in ogni caso, deve doversi imporre |đ?’—| = đ?‘? , dove c e’ la velocita’ della luce il vettore velocita’ deve essere inteso come avente due componenti nulle e la terza eguale a c, essendo, appunto c la velocita’ della luce. Tale orientamento sembra desumersi ampiamente dalla rappresentazione di un’onda polarizzata secondo una direzione assegnata. I vettori E e B variabili nel tempo ma sono costantemente ortogonali quindi il loro prodotto scalare vale 0, potendo, quindi, scrivere che: đ??¸đ?‘Ľ đ??ľđ?‘Ľ + đ??¸đ?‘Ś đ??ľđ?‘Ś + đ??¸đ?‘§ đ??ľđ?‘§ = 0 .

Si puo’ ad esempio considerare il caso di un’onda polarizzata in una direzione, quale la y del tipo đ??¸đ?‘Ś (đ?‘Ľ, đ?‘Ą) = đ??¸0 cos(đ?‘˜đ?‘Ľ − đ?œ”đ?‘Ą) e conseguentemente si ha đ??¸đ?‘Ľ = đ??¸đ?‘§ = 0. In particolare si puo’ scrivere che

đ?œ•đ??¸đ?‘§ đ?œ•đ?‘Ľ

=−

đ?œ•đ??ľđ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ą

= 0 quando đ??ľđ?‘Ś e’ una costante . Questa condizione discende dalla trattazione delle

equazioni del campo di Maxwell. Infatti se fosse đ??ľđ?‘Ś (đ?‘Ľ, đ?‘Ą) = đ?‘“(đ?‘˜đ?‘Ľ − đ?œ”đ?‘Ą) sarebbe che tale funzione per soddisfare l’equazione delle onde di D’Alembert sarebbe −

đ?œ•đ??ľđ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ą

= 0 al limite per particolari valori ma non identicamente.

E’ possibile dare una rappresentazione schematica di un’onda polarizzata come segue.

La relazione vettoriale consente di ottenere il valore di E quando sia noto il valore di B riferito ad una delle tre componenti.

đ?’Š đ?’‹ đ?‘Ź = đ?‘Š Ă— đ?’— = ( đ?‘Šđ?’™ đ?‘Šđ?’š đ?’— đ?’—

đ?’Œ đ?‘Šđ?’› ). đ?’—

đ??ťđ?‘œ dato a questa forma un significato simbolico. Ove si ipotizzi che solo đ??ľđ?‘Ś sia diverso da 0 e sia đ??ľđ?‘Ľ = đ??ľđ?‘§ = 0 đ?‘–đ?‘‘đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘?đ?‘Žđ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’ e si ipotizzi che l’onda si propaghi nella direzione delle x allora si avrebbe che: đ?’Š đ?‘Ź=đ?‘ŠĂ—đ?’— = ( đ?&#x;Ž đ?’„

đ?’‹ đ?‘Šđ?’š đ?&#x;Ž

đ?’Œ đ??ľ đ?&#x;Ž) = | đ?‘Ś 0 đ?&#x;Ž

0 0 0 0 |đ?’Š + | |đ?’‹ + | đ?‘? 0 0 đ?‘?

đ??ľđ?‘Ś |k = 0

Le equazioni delle onde elettromagnetiche nel vuoto possono essere scritte in forma concisa come segue: 1 đ?œ•2

∇2 đ?‘Ź = = đ?‘? 2 đ?œ•đ?‘Ą 2 đ??„ 1 đ?œ•2

∇2 đ?‘Š = = đ?‘? 2 đ?œ•đ?‘Ą 2 đ?? đ?œ•2

đ?œ•2

đ?œ•2

In esse si ha ∇2 = (đ?œ•đ?‘Ľ 2 + đ?œ•đ?‘Ś 2 + đ?œ•đ?‘§ 2) e c =

1 √ đ?œ‡0 đ?œ€ 0

.

Le grandezze đ?œ‡0 đ?‘’ đ?œ€0 sono note dall’elettromagnetismo.

APPENDICE MATEMATICA Funzioni di piu’ variabili e funzioni a valori vettoriali Date n variabili indipendenti đ?‘Ľđ?‘– con i ≤ đ?‘› una funzione scalare f(đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , ‌ . . , đ?‘Ľđ?‘› ) e’ una legge che associa ad un elemento (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , ‌ . . , đ?‘Ľđ?‘› ) di X ⊆ đ?‘… đ?‘› uno ed uno solo elemento di R cioe’ un y tale che (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , ‌ . . , đ?‘Ľđ?‘› ) → đ?‘Ś. Una funzione a valori vettoriali mette in relazione univoca elementi di X ⊆ đ?‘… đ?‘› , quindi vettori del tipo (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , ‌ . . , đ?‘Ľđ?‘› ) con elementi di Y ⊆ đ?‘… đ?‘š cioe’ vettori del tipo (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , ‌ . . , đ?‘Ľđ?‘š ) con, nel caso piu’ generale, m ≠đ?‘›. Formalmente si ha: ∀(đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , ‌ . . , đ?‘Ľđ?‘› ) ∈ đ?‘‹ ⊆ đ?‘… đ?‘› ∃! (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , ‌ . . , đ?‘Ľđ?‘š ) ∈ đ?‘… đ?‘š |(đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , ‌ . . , đ?‘Ľđ?‘› ) đ?‘“

→(đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , ‌ . . , đ?‘Ľđ?‘š ). Come caso particolare si ha n = 1 ed m ≼ 2 cioe’ una funzione del tipo t → đ?œ¸(đ?‘Ą) il cui significato cinematico e’ ben noto come l’essere la traiettoria di una particella che in ogni t tale che t đ?œ– đ??ź e đ?œ¸(đ?‘Ą) ≥ (đ?›ž1 (đ?‘Ą), đ?›ž2 (đ?‘Ą), ‌ . , đ?›žđ?‘š (đ?‘Ą)). Solitamente si pone m = 2 (moto nel piano) oppure m = 3 (moto nello spazio). Nelle applicazioni m ed n assumono valori elevati. Nelle semplici applicazioni di tali tipologie di funzioni puo’ essere utile dover definire il dominio naturale delle funzioni e la presenza di punti di accumulazione. Ad esempio data la funzione di due variabili indipendenti x ed y seguente z =

1 đ?‘Ľ+đ?‘Ś

ha come dominio naturale

tutte le coppie (x, y) | x+đ?‘Ś ≠0 cioe’ x ≠−đ?‘Ś . Pertanto dom f(x,y) = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ đ?‘…2 | đ?‘Ľ ≠−đ?‘Ś}.

Nel piano (x,y) la funzione e’ definita in ogni punto di esso ad eccezione dei punti della retta y = −đ?‘Ľ. Si tratta della retta disegnata in carattere grigio nella figura sottostante. Detta retta individua la frontiera dell’insieme di definizione della funzione data. Un punto (x, y) di X ⊂ đ?‘…2 e’ di accumulazione per X ogni intorno di detto punto contiene almeno un punto di X distinto da (x, y) Anche in questo caso per le funzioni scalari di piu’ variabili si utilizza la nozione di punto di accumulazione. Un punto di accumulazione per X non vi appartiene necessariamente. Un punto di accumulazione x per X (non di X) e’ ogni punto – nel caso di specie di đ?‘…2 – x tale che ogni intorno di esso contenga un punto di X diverso da x.

I punti della frontiera (che nel caso considerato sono i punti di y = −đ?‘Ľ) pur non appartenendo ad X sono di accumulazione per la funzione considerata in quanto ogni intorno di ognuno di essi (che non appartengono al dominio di f(x,y)) contiene punti del dominio naturale della funzione. Ad esempio, il punto (1, −1) che non e’ elemento del dominio di definizione della funzione considerata e’ di accumulazione per essa in quanto ogni intorno di detto punto contiene un elemento del dominio di detta funzione. In realta’ ogni intorno di detto punto contiene infiniti intorni simmetrici di raggio r | 0 < đ?‘&#x; < +∞ . Si ricordi che ha dignita’ di lemma l’asserzione che “ogni intorno di un punto di accumulazione per X contiene infiniti punti di Xâ€?. Tale argomentazione e’ vera per ogni punto della retta y = −đ?‘Ľ. Ove si introduca l’elemento infinito, rappresentato dal simbolo ∞ , l’insieme dei punti di accumulazione per detta funzione sono dati dal seguente insieme (unione di insiemi) {−∞}âˆŞ {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ đ?‘…2 | đ?‘Ľ ≠−đ?‘Ś} âˆŞ {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ đ?‘…2 | đ?‘Ś = −đ?‘Ľ} âˆŞ{+∞}.

Nel novero delle funzioni vettoriali vi sono le funzioni che ad un dato insieme di definizione (un dominio costituito da numeri reali X ⊆ đ?‘…)corrisponde un insieme di vettori (detto codominio). Nella realta’ cinematica il dominio e’ un intervallo di tempo e il codominio e’ ordinariamente costituito da punti di đ?‘… 3 . Tali funzioni vengono formalizzate come segue: r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t)đ??˘ + y(t)đ??Ł + z(t)đ??¤ Evidentemente sono ammissibili i soli valori di t per i quali le tre funzioni componenti cioe’ x(t), y(t) e z(t) sono definite. In altri termini il dominio di r(t) e’ intendibile come dom r(t) = đ?‘‘đ?‘œđ?‘š đ?‘Ľ(đ?‘Ą) ∊ đ?‘‘đ?‘œđ?‘š đ?‘Ś(đ?‘Ą) ∊ đ?‘‘đ?‘œđ?‘š đ?‘§(đ?‘Ą). La determinazione del lim đ??Ť(t) e’ rimesso al calcolo dei limiti delle funzioni scalari đ?‘Ąâ†’đ?œ?

componenti e quindi si puo’ scrivere che: lim đ??Ť(t) = (lim x(t) , lim y(t) , lim z(t)). đ?‘Ąâ†’đ?œ?

đ?‘Ąâ†’đ?œ?

đ?‘Ąâ†’đ?œ?

đ?‘Ąâ†’đ?œ?

Neppure la derivazione delle funzioni vettoriali pone particolari problemi. Infatti, data una funzione a valori vettoriali r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t)đ??˘ + y(t)đ??Ł + z(t)đ??¤ si puo’ scrivere che: đ?‘‘

đ?‘‘

đ?‘‘

đ?‘‘

đ?‘‘

đ?‘‘

đ?‘‘

r(t) = (đ?‘‘đ?‘Ľx(t), đ?‘‘đ?‘Ľy(t), đ?‘‘đ?‘Ľz(t)) = ⌋đ?‘‘đ?‘Ľx(t)âŚŒđ??˘ + ⌋đ?‘‘đ?‘Ľ y(t)âŚŒđ??Ł + ⌋đ?‘‘đ?‘Ľ z(t)âŚŒđ??¤ đ?‘‘đ?‘Ľ Detta funzione derivata viene usualmente indicata con r’(t) che quindi deve essere inteso come r’(t)=

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ľ

r(t).

E’ possibile fare un semplice esempio.

Data la seguente funzione X ⊆ đ?‘… → đ?‘…3 r(t) = (đ?‘Ą đ?‘› , √2 − đ?‘Ą, đ?‘’ đ?‘Ą ) si definisca il dominio di definizione di essa, il limite per t → 0 e la funzione derivata di essa, calcolando poi il valore di essa in t = 1. Le funzioni scalari x(t) = đ?‘Ą đ?‘› e z(t)= đ?‘’ đ?‘Ą sono ovunque definite, il loro dominio naturale coincidendo con R, insieme dei numeri reali. La funzione y(t) = √2 − đ?‘Ą deve soggiacere alla condizione 2 −đ?‘Ą ≼ 0 e quindi 2 ≼ đ?‘Ą cioe’ t ≤ 2 . In altri termini dom y(t) = (−∞, 2âŚŒ. Pertanto per tale funzione si ha dom r(t) = (−∞, 2âŚŒ. Dal punto di vista cinematico occorre introdurre una restrizione del dominio e quindi considerare una distinta funzione h(t) tale che sia h(t) = (đ?‘Ą đ?‘› , √2 − đ?‘Ą, đ?‘’ đ?‘Ą ) quando si ammetta che dom x(t) =dom y(t) =dom z(t) = ⌋0, 2âŚŒ.

Nozioni di algebra vettoriale Campo scalare E’ data una relazione per la quale ad ogni punto di đ?‘… đ?‘› , per esempio ad ogni elemento di X ⊆đ?‘… 3 corrisponde univocamente un elemento di R. In altri termini ∀(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) ∈ đ?‘‹ ⊆ đ?‘… 3 ∃! r ∈ đ?‘… | (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) → đ?‘&#x;(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) . Molte volte il punto (x,y,z) viene indicato con la lettera x (scritta, quindi in grassetto). Campo vettoriale Si tratta di una relazione che fa corrispondere ad un elemento di uno spazio vettoriale un vettore. La corrispondenza per quanto qui interessa e’ univoca. In termini formali si scrive: ∀(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) ∈ đ?‘‹ ⊆ đ?‘… 3 ∃! v ∈ đ?‘‰ 3 | (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) → đ??Ż(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) . Il campo e’ uniforme quando v = →

đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ą

∀(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) ∈ đ?‘‹ ⊆ đ?‘… 3 .

Il campo oltre che uniforme e’ anche costante se v = →

đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ą

∀(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) ∈ đ?‘‹ ⊆ đ?‘… 3 per ogni t

(costante, quindi, anche nel tempo‌.).

Gradiente di un campo scalare Data una funzione scalare U= đ?‘ˆ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) viene definito un particolare tipo di campo (vettoriale) detto campo di gradiente. Alla funzione scalare U= đ?‘ˆ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) viene associato un operatore vettoriale definito come segue: đ?œ•

đ?œ•

đ?œ•

grad đ?‘ˆ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) = đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘ˆ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§)đ?’Š + đ?œ•đ?‘Ś đ?‘ˆ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§)đ?’‹ + đ?œ•đ?‘§ đ?‘ˆ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§)đ?’Œ L’applicazione manda un valore di đ?‘ˆ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) in un vettore le cui componenti sono i valori delle derivate parziali prime della funzione scalare assegnata. In altri termini, formalmente si puo’ scrivere che: đ?’ˆđ?’“đ?’‚đ?’…

U(x,y,z) →

v ∈ đ?‘‰3 | v ≥

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

đ?‘ˆ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§)đ?’Š +

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

đ?‘ˆ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§)đ?’‹ +

đ?œ• đ?œ•đ?‘§

đ?‘ˆ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§)đ?’Œ

Data U(x,y,z) e’ possibile calcolare dom U(x,y,z) = đ?‘‹ ⊆ đ?‘…3 . A questo punto si determinano le derivate parziali prime della funzione dom U(x,y,z) in X e si trovano quindi le funzioni đ?‘ˆđ?‘Ľ , đ?‘ˆđ?‘Ś đ?‘’ đ?‘ˆđ?‘§ . Quanto al formalismo deve intendersi, ad esempio, che đ?‘ˆđ?‘Ľ ≥

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

U(x,y,z).

Sono quindi definite tre distinte funzioni đ?‘ˆđ?‘Ľ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§), đ?‘ˆđ?‘Ś (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§)đ?‘’ đ?‘ˆđ?‘§ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) con tre, al limite, distinti domini di definizione detti domđ?‘ˆđ?‘Ľ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§), đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘ˆđ?‘Ś (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§)đ?‘’ đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘ˆđ?‘§ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§). Ma il vettore v ≥

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•

đ?œ•

đ?‘ˆ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§)đ?’Š + đ?œ•đ?‘Ś đ?‘ˆ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§)đ?’‹ + đ?œ•đ?‘§ đ?‘ˆ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§)đ?’Œ e’ definito quando sono

definite le tre componenti (cioe’ le tre derivate parziali prime) e puo’ essere scritto in forma đ?œ•

equivalente come v ≥ ( đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘ˆ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§),

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

đ?‘ˆ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§),

đ?œ• đ?œ•đ?‘§

đ?‘ˆ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§)) .

L’insieme rilevante D e’ D = domđ?‘ˆđ?‘Ľ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) ∊ đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘ˆđ?‘Ś (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) ∊ đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘ˆđ?‘§ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§). In termini sintetici ∃U(x,y,z) | ∀(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) ∈ đ??ˇâˆƒ! v ∈ đ?‘˝đ?&#x;‘ | v ≥ ( đ?œ• đ?œ•đ?‘§

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

đ?‘ˆ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§),

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

đ?‘ˆ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§),

đ?‘ˆ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§)) .

Divergenza di un vettore Dato un vettore v | v ∈ đ?‘… 3 la divergenza di tale vettore, solitamente indicata con div(v) viene definita come segue: đ?œ•

đ?œ•

div(v)= đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?œ•đ?‘Ś đ?‘Žđ?‘Ś +

đ?œ• đ?œ•đ?‘§

��

Quindi, si tratta di un operatore che manda un vettore v nella quantita’ đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

đ?‘Žđ?‘Ś +

đ?œ• đ?œ•đ?‘§

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

đ?‘Žđ?‘Ľ +

�� .

Se �� , �� � �� sono costanti allora div(v)= 0. Si tratta evidentemente di un operatore scalare che puo’ essere inteso con riferimento al formalismo del prodotto scalare, cioe’ del tipo: div(v) = (

đ?œ•

,

đ?œ•

đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś

,

đ?œ• đ?œ•đ?‘§

đ?œ• đ?œ• ) (đ?‘Žđ?‘Ľ , đ?‘Žđ?‘Ś , đ?‘Žđ?‘§ ) = đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?œ•đ?‘Ś đ?‘Žđ?‘Ś +

đ?œ• đ?œ•đ?‘§

�� .

In essa si e’ posto v = (đ?‘Žđ?‘Ľ , đ?‘Žđ?‘Ś , đ?‘Žđ?‘§ ) = đ?‘Žđ?‘Ľ đ?’Š + đ?‘Žđ?‘Ś đ??Ł + đ?‘Žđ?‘§ đ??¤.

Rotore di un campo vettoriale đ?œ•

Dato un vettore a di đ?‘… 3 ∃! b | b =

đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•

( đ?œ•đ?‘§ )

đ??˘ đ?‘Žđ?‘Ľ đ?œ• â‹€ (đ?‘Žđ?‘Ś ) = det đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘Žđ?‘§ đ?‘Ž

đ?‘Ľ

đ??Ł

đ??¤

đ?œ•

đ?œ•

đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•đ?‘§

đ?‘Žđ?‘Ś

��

Questo ultimo e’ il determinante simbolico di Laplace.

Gli operatori di Laplace L’operatore scalare (laplaciano scalare) Tale operatore e’ indicato come ∆đ?‘ˆ = đ?‘‘đ?‘–đ?‘Ł(đ?? đ??Ťđ??šđ???đ?‘ˆ). In buona sostanza e’ data una funzione scalare U alla quale viene applicato l’operatore gradiente e al risultato ottenuto la divergenza che operando su un vettore determina una grandezza scalare, detta laplaciano scalare di U(x,y,z). U(x,y,z) → grad U(x,y,z) → div(grad U(x,y,z)) In altri termini si puo’ scrivere che: đ?? đ??Ťđ??šđ??? đ?œ•

U(x,y,z)→ đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•đ?‘Ľ

đ?‘ˆ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§)đ?’Š +

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

đ?‘‘đ?‘–đ?‘Ł đ?œ•2 đ?œ•đ?‘Ľ 2

đ?‘ˆ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§), đ?‘ˆ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§)) →

đ?‘ˆ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§)đ?’‹ +

đ?œ• đ?œ•đ?‘§

đ?œ•2

đ?œ•

đ?‘ˆ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§)đ?’Œ ≥(đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘ˆ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§), đ?œ•2

đ?‘ˆ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) + đ?œ•đ?‘Ś2 đ?‘ˆ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) + đ?œ•đ?‘§2 đ?‘ˆ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§).

Il laplaciano vettoriale L’operatore vettoriale di Laplace, applicato al vettore a, viene definito come segue: ∆đ?‘Ž = grad (div(a)) – rot(rot(a)). đ?‘†đ?‘– omette l’espressione cartesiana dell’operatore vettoriale di Laplace.

L’operatore vettoriale nabla (nel)

Tale operatore viene definito come segue: đ?œ•

đ?œ•

đ?œ•

đ?› ≥ i đ?œ•đ?‘Ľ + k đ?œ•đ?‘Ś + j đ?œ•đ?‘§ . Tale operatore e’ utilissimo perche’ permette di ottenere gli altri operatori in forma concisa e immediata. L’uso dell’operatore nabla consente di scrivere che: grad(U) =đ?› đ?‘ˆ div(a)= đ?› đ??š rot(a) =∇⋀đ?’‚

Anche il laplaciano scalare puo’ essere espresso mediante l’operatore đ?› risultando essere ∆đ?‘ˆ = (∇ ∙ ∇)U. Quello tra parentesi tonde e’ un prodotto scalare e usando una terminologia simile a quella del prodotto scalare tra vettori si puo’ ragionare sulle componenti, ponendo che sia: đ?œ•

đ?œ•

∇ ∙ ∇ = (đ?œ•đ?‘Ľ , đ?œ•đ?‘Ś ,

đ?œ•

đ?œ•

đ?œ•

) (đ?œ•đ?‘Ľ , đ?œ•đ?‘Ś , đ?œ•đ?‘§

đ?œ•

đ?œ•

đ?œ•

đ?œ•

đ?œ•

)= (đ?œ•đ?‘Ľ (đ?œ•đ?‘Ľ) , đ?œ•đ?‘Ś (đ?œ•đ?‘Ś) , đ?œ•đ?‘§

đ?œ•2

đ?œ•2

đ?œ•

đ?œ•

đ?œ•2

đ?œ•2

đ?œ•2

( )) =(đ?œ•đ?‘Ľ2 , đ?œ•đ?‘Ś2 , đ?œ•đ?‘§2 ). đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?‘§

đ?œ•2

Pertanto (∇ ∙ ∇)U = đ?œ•đ?‘Ľ 2 đ?‘ˆ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) + đ?œ•đ?‘Ś2 đ?‘ˆ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§) + đ?œ•đ?‘§2 đ?‘ˆ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§).

Linearita’ dell’operatore nabla L’operatore vettoriale đ?› e’ lineare, pertanto sono valide le seguenti due identita’ vettoriali: ∀ đ?’–, đ?’— ∈ đ?‘… 3 , ∀ đ?‘Ž, đ?‘? ∈ đ?‘…

đ?› (aU) = đ?‘Žđ?› (U) đ?› (ađ?‘ˆ1 + đ?‘?đ?‘ˆ2 ) = đ?› (ađ?‘ˆ1 ) + đ?› (bđ?‘ˆ2 ) Le dimostrazioni sono laboriose ma non difficili. Possiamo iniziare dalla prima, osservando che:

Poiche’, per definizione, si ha đ?› = i anche ađ?› U = a(i

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

đ?‘ˆ+k

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

đ?‘ˆ+j

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ• đ?œ•đ?‘§

+k

U)= i

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

+j

đ?œ• đ?œ•đ?‘§

si ottiene đ?› U = i

đ?‘Žđ?‘ˆ + k

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

đ?‘Žđ?‘ˆ + j

đ?œ• đ?œ•đ?‘§

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

đ?‘ˆ+k

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

đ?‘ˆ+j

đ?œ• đ?œ•đ?‘§

U ed

đ?‘ŽU = đ?› (aU).

Passando alla seconda si puo’ partire dal II membro ed osservare che: đ?œ• đ?œ• đ?œ• đ?œ• đ?œ• đ?œ• đ?› (ađ?‘ˆ1 ) + đ?› (bđ?‘ˆ2 ) = (i đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘Žđ?‘ˆ1 + k đ?‘Žđ?‘ˆ1 + j đ?‘Žđ?‘ˆ1 )+( i đ?‘?đ?‘ˆ2 + k đ?‘?đ?‘ˆ2 + j đ?‘?đ?‘ˆ2 )= (i đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§ đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

(đ?‘Žđ?‘ˆ1 + đ?‘?đ?‘ˆ2 ) + k

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

(đ?‘Žđ?‘ˆ1 + đ?‘?đ?‘ˆ2 ) + j

đ?œ• đ?œ•đ?‘§

(đ?‘Žđ?‘ˆ1 + đ?‘?đ?‘ˆ2 ) da cui il I membro.

La linearita’ dell’operatore nabla e’ una immediata conseguenza della linearita’ dell’operatore derivata parziale. E’ altrettanto immediato dimostrare che anche l’operatore rot(.) comunque siano presi due vettori A e B e’ lineare e quindi, vale la relazione r∙ đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Ą(đ??´) = đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Ą(đ?‘&#x;đ??´), per ogni numero reale r, oltre alla seguente: rot(xA+đ?‘Śđ??ľ) = đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Ą(đ?‘Ľđ??´) + đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Ą(đ?‘Śđ??ľ), dove x ed y sono due scalari reali qualunque. A titolo di esempio puo’ essere richiesto di dimostrare che div(rotA)= đ?&#x;Ž .

Per definizione si ha che rot(A)=

đ?’Š

đ?’‹

đ?’Œ

∂

∂

∂

∂x

∂y

∂z

ax

ay

az

∂

=

đ?’Š ( ∂y

ay

∂ ∂z )

az

∂

− đ?’‹ ( ∂x ax

∂

∂ ∂z )

az

+

đ?’Œ ( ∂x

ax

∂ ∂y ).

ay

In realta’ il determinante simbolico imporrebbe scrivere +� ma ho preferito scriverlo in questo modo e operare di conseguenza nel suo sviluppo‌.

∂

A questo punto al vettore ( ( ∂y ay ∂ ∂ a ), ( a z ∂z x ∂x

−

∂ a ) ∂y x

∂ ∂ ∂z ) , ( ∂x

az

∂

∂

ax

∂y ))

ay

∂ a ∂y z

−

∂ ∂ a ), ( a z ∂z y ∂x

−

∂ ∂ a ), ( a z ∂z y ∂x

−

∂ ∂ a ), ( a z ∂z x ∂x

−

= ((

) puo’ essere applicato l’operatore div(.).

Si puo’ scrivere che div(rot(A)) = ∇(rot(A)) = (

đ?œ•

,

đ?œ•

,

đ?œ•

đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘§

∂ a ) ∂y x

∂

∂z ) , ( ∂x az ax

) ((

∂ a ∂y z

−

) = 0.

Ulteriormente ci si puo’ chiedere a quali condizioni e’ verificata la relazione vettoriale rot(grad(U))= đ?&#x;Ž .

ALLEGATO 1 (stesura provvisoria)

Si consideri il caso di un corpo puntiforme di massa m che si muove nel vuoto con velocita’ v. La sua energia 1

cinetica e’ m� 2 . Si ammetta che il medesimo corpo si muova in un mezzo che oppone una resistenza. Il corpo 2

1

di massa m non si muovera’ a velocita’ v e non potra’ avere energia cinetica m� 2 . Tale corpo si muovera’ a 2

velocita’u < �. In questo caso sarebbe poi

�� ��

< 0. In questo caso sarebbe E(t) non costante nel tempo ed

1

espresso dalla relazione “classicaâ€? E(t) = đ?‘šđ?‘˘(đ?‘Ą)2 . 2

u= �(t) indica la funzione velocita’ del corpo nel mezzo. In altri termini sarebbe

1

1

2

2

mđ?‘Ł 2 − đ?‘„(đ?‘Ą) = đ?‘šđ?‘˘(đ?‘Ą)2

(conservazione dell’energia riferita al sistema particella e mezzi 1 e 2). Le condizioni iniziali u(0)= đ?‘Ł e Q(0) sono condizioni coerenti ma la prima condizione presuppone che u(0) sia costante e pari a v in un intorno simmetrico di t = 0 . Detto istante e’ inteso in senso convenzionale di istante dal quale il corpo inizia ad attraversare il mezzo che oppone resistenza. Ho ipotizzato di modificare la condizione iniziale ammettendo che la velocita’ istantanea in un intorno destro dello zero, quindi per 0+ , ammettendo che sia u(0+ ) = đ?‘Ł − . Ho posto đ?‘Ł − = đ?‘Ł − đ?‘‘đ?‘Ł . Conseguentemente, e in coerenza con il principio di conservazione dell’energia, si puo’ scrivere che: 1

1

1

2

2

2

Q (0+ ) = mđ?‘Ł 2 − đ?‘š(đ?‘Ł − )2 = m(đ?‘Ł 2 − (đ?‘Ł − )2 ) . A questo punto ho utilizzato una sostituzione algebrica ponendo (đ?‘Ł − )2 = (đ?‘Ł − đ?‘‘đ?‘Ł)2 = đ?‘Ł 2 − 2đ?‘Łđ?‘‘đ?‘Ł + (đ?‘‘đ?‘Ł)2 . Ho quindi ipotizzato di trascurare il termine (đ?‘‘đ?‘Ł)2 . 1

1

1

2

2

2

Con questa approssimazione ho potuto scrivere che: Q (0+ ) = mđ?‘Ł 2 − đ?‘š(đ?‘Ł − )2 = m(đ?‘Ł 2 − (đ?‘Ł − )2 )= đ?‘šđ?‘Łđ?‘‘đ?‘Ł, essendo dv una quantita’ infinitesima e positiva .

Per determinare il valore di Q al tempo đ?œ?| đ?‘˘(đ?œ?) = 0 e’ sufficiente ragionare sull’integrale Q(đ?œ?) = âˆŤ đ?‘šđ?‘Łđ?‘‘đ?‘Ł = đ?‘š âˆŤ đ?‘Łđ?‘‘đ?‘Ł. Tale integrale puo’ essere calcolato come integrale definito tenendo conto che l’estremo inferiore di integrazione e’ đ?‘Ł − mentre l’estremo superiore di integrazione e’ 0. Pertanto si ha:

0

1

Q(đ?œ?) = đ?‘š| âˆŤđ?‘Ł − đ?‘Łđ?‘‘đ?‘Ł| = đ?‘š(đ?‘Ł − )2 . In realta’ il passaggio da v a đ?‘Ł − avviene in un dt che 2

seguendo la definizione formale di infinitesimo e’ 0 < �� <

1 đ?‘›

∀đ?‘› .

La condizione iniziale u(0) = 0 dovrebbe essere scissa nelle due seguenti u(0− ) = đ?‘Ł e u(0+ ) = đ?‘Ł − = đ?‘Ł − đ?‘‘đ?‘Ł essendo dv un infinitesimo, quindi una quantita’ positiva minore di Posto đ?’—−

1 đ?‘›

∀đ?‘› . đ?&#x;?

= đ?’— − đ?’…đ?’— đ?’†â€˛ đ?’‘đ?’?đ?’”đ?’”đ?’Šđ?’ƒđ?’Šđ?’?đ?’† đ?’“đ?’‚đ?’ˆđ?’Šđ?’?đ?’?đ?’‚đ?’“đ?’† đ?’”đ?’–đ?’?đ?’?đ?’‚ đ?’“đ?’†đ?’?đ?’‚đ?’›đ?’Šđ?’?đ?’?đ?’† Q(Ď„) = đ?’Žđ?’—đ?’…đ?’— + đ?’Ž(đ?’—− )đ?&#x;? scrivendo đ?&#x;?

đ?&#x;?

che Q(Ď„) = đ?’Žđ?’—đ?’…đ?’— + đ?’Ž(đ?’— − đ?’…đ?’—)đ?&#x;? . Anche in questo caso si puo’ applicare il teorema del đ?&#x;?

binomio avendo che

(đ?’— − đ?’…đ?’—)đ?&#x;? = đ?’—đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?’—đ?’…đ?’— + (đ?’…đ?’—)đ?&#x;? dove si puo’ considerare trascurabile il

valore (đ?’…đ?’—)đ?&#x;? . Sotto queste condizioni e’possibile riformulare la relazione data mediante i passaggi seguenti: 1

1

1

2

2

2

Q(Ď„) = đ?‘šđ?‘Łđ?‘‘đ?‘Ł + đ?‘š(đ?‘Ł − )2 = đ?‘šđ?‘Łđ?‘‘đ?‘Ł + đ?‘š(đ?‘Ł 2 − 2đ?‘Łđ?‘‘đ?‘Ł + (đ?‘‘đ?‘Ł)2 ) = đ?‘šđ?‘Łđ?‘‘đ?‘Ł + đ?‘š(đ?‘Ł 2 − 2đ?‘Łđ?‘‘đ?‘Ł) = đ?‘šđ?‘Łđ?‘‘đ?‘Ł + 1 2

1

1

1

2

2

2

đ?‘š(đ?‘Ł 2 − 2đ?‘Łđ?‘‘đ?‘Ł) = đ?‘šđ?‘Łđ?‘‘đ?‘Ł + đ?‘šđ?‘Ł 2 − 2đ?‘Łđ?‘‘đ?‘Ł =

đ?‘šđ?‘Ł 2 .

Il risultato e’ coerente con la conservazione dell’energia. Caso particolare per il quale in un dt infinitesimo la velocita’ si dimezzi. Una stravaganza‌.. Sarebbe dv = 1 2

đ?‘Ł − . Ma si puo’ ragionare su variazioni discrete quando vale la condizione

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

u(t)= đ?‘˜, cioe’ costante.

1

Sotto questa condizione sarebbe Q(Ď„) = đ?‘šđ?‘Łâˆ†đ?‘Ł + đ?‘š(đ?‘Ł − ∆đ?‘Ł)2 ove ∆đ?‘Ł misura la variazione di v (caso di 2

brusca decelerazione) in un dt. Tale argomentazione e’ fondata quando la densita’ del mezzo e’ costante. In altri termini si puo’ ritenere che la variazione della velocita’ sia proporzionale alla densita’ del mezzo e allora sarebbe

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

u(t) âˆ? đ?œŒ, cioe’ proporzionale alla densita’ del mezzo dovendo introdursi una costante relativa

al mezzo che determina la resistenza al moto misurata in

đ?‘š4 đ??žđ?‘”đ?‘ đ?‘’đ?‘? 2

.

Ho impostato due distinte rappresentazioni grafiche per cercare di dare conto da un punto di vista pratico della nozione di infinitesimo di tempo. L’asse orizzontale denota i tempi con la convenzione che l’istante 0 sia quello nel quale la particella sia sulla superficie di separazione tra i due mezzi, 1 e 2 di cui solo il secondo oppone una resistenza al moto. In altri termini occorre dare un senso a

đ?‘Ł(0+ )−đ?‘Ł(0) đ?‘‘đ?‘Ą

intesa come variazione istantanea della velocita’.

Nelle figure seguenti l’intorno simmetrico dello 0 e’ ingigantito per mere ragioni visive. L’asse verticale denota la frontiera, il confine tra i due mezzi. Ho considerato dt quale un infinitesimo quindi come una grandezza positiva piccola a piacere. La prima rappresentazione e’ la seguente.

-

- t

0

dt

Secondo questa prima modalita’ nell’intervallo (0, dt) la velocita’ decresce costantemente in ogni istante di esso, come da segmento decrescente tratteggiato. In buona sostanza assegnato dt e’ sempre possibile ritenere che esistano infiniti istanti e che quindi u(t) vari con continuita’.

Una seconda modalita’ interpretativa potrebbe essere poggiata sulla seguente argomentazione. Poiche’ dt e’ per definizione un infinitesimo e minore di

1 đ?‘›

la si potrebbe postualare la piu’ piccola parte reale, quindi i vari istanti

potrebbero essere pensati come i punti isolati nella retta del tempo‌‌.. In altri termini dt dovrebbe essere considerato il massimo valore per il quale dv deve ritenersi costante.

Graficamente la situazione sarebbe la seguente, sempre riferita ad un intorno dello 0.

| dv|

-

-dt

0

dt

dv e’ evidentemente ingigantita per ragioni visive. Per come e’ stata definita la quantita’ dv (infinitesimo e quindi non negativo) si rende necessario ridefinire conseguentemente la funzione derivata prima. Nel caso concreto risulta

đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘Ą

u(t)= đ?‘˜ < 0. Solo formalmente si tratta di una ridefinizione in quanto ho

introdotto la derivata destra (riferita ad un intorno destro di 0) che ho formalizzato come segue: đ??ˇđ?‘Ą+ đ?‘˘(đ?‘Ą)⎪đ?‘Ą=0 = −

đ?‘‘đ?‘Ł đ?‘‘đ?‘Ą

< 0, come deve essere e coerentemente con quanto posto, ovvero dv > 0.

Tale posizione e’ coerente con i seguenti passaggi: đ?‘˘(0+ )−đ?‘Ł đ?‘‘đ?‘Ą

=

đ?‘Łâˆ’đ?‘‘đ?‘Łâˆ’đ?‘Ł đ?‘‘đ?‘Ą

=−

Tale grandezza −

đ?‘‘đ?‘Ł đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘‘đ?‘Ł đ?‘‘đ?‘Ą

.

< 0 e’ una costante del mezzo quando esso ha densita’ costante.

Nelle prime righe si evidenziava che si era ipotizzato di “sdoppiare� la condizione iniziale. Ma anche a prescindere da tale argomentazione le riflessioni che sono state fatte possono essere fatte per t successivi al tempo t = 0 , potendocisi riferire a istanti successivi e ammettendo che u(0) = v .

In altri termini lo stato di moto al tempo t = 0 sarebbe rappresentabile come segue.

superficie di separazione tra i due mezzi

asse dei tempi

-dt 0

dt

In questo caso la velocita’ varia dopo un dt dal passaggio del corpo alla frontiera (superficie di separazione tra i due mezzi). Nel caso di un mezzo con densita’ costante la curva Q(t) ha il seguente andamento.

đ?œ? indica l’istante nel quale il corpo conclude il suo moto nel mezzo che oppone resistenza e’ in quiete. La retta consente di determinare in ogni istante t | t đ?œ– (0 , đ?œ?) la quantita’ di calore prodotto fino a quel momento. 1

La quantita’ complessivamente ottenuta e’ K = �� 2 in coerenza con la conservazione dell’energia. 2

Cio’ premesso, vanno sviluppate argomentazioni sulla natura della funzione derivata di una funzione assegnata. La funzione considerata indica la quantita’ di calore sviluppatosi fino a che il corpo non si arresta. Oltre il tempo di arresto la curva e’ orizzontale perche’ non si sviluppa ulteriore calore. E’ da itendersi come una funzione che definisce valori cumulati. Una osservazione critica ed elementare sulla rappresentazione geometrica della derivata e sulla natura di dy.

Si ammette che sia data una funzione f(x), definita in x = � e ivi derivabile. In altri termini �′(�) e’ un numero reale. Per semplicita’ si considera una rappresentazione grafica nella quale viene considerata la sola derivata destra. In realta’ ci si riferisce alla derivabilita’ in x = �, quindi le derivate destra e sinistra esistono finite e sono eguali. La rappresentazione al solito deve intendersi con l’artificio dell’ �ingrandimento�.

đ?œ•đ?‘Ś

In altri termini la nozione di derivata introduce una approssimazione accettabile del valore della funzione in un punto a +đ?‘‘đ?‘Ľ distinto da a. Poiche’ in generale la funzione f(x) non e’ una retta nel punto a +đ?‘‘đ?‘Ľ non vale f(a) + dy ma, nel caso di specie, vale f(a) + dy +đ?œ•đ?‘Ś. La quantita’ positiva dx deve intendersi infinitesima in senso proprio quando đ?œ•đ?‘Ś possa essere trascurata. In prima approssimazione, ampiamente intuitiva, salvi gli sviluppi, si puo’ affermare che dx e’ un infinitesimo se đ?œ•đ?‘Ś ≪ đ?‘‘đ?‘Ś . E’ ipotizzabile ritenere che dx sia un infinitesimo in senso proprio con riferimento alla singola f(.). Questi aspetti andranno valutati anche con riferimento e a partire dall’analoga rappresentazione che spesso si trova nei testi di Analisi Da un punto di vista intuitivo la valutazione puo’ sempre essere pensata con riferimento a due distinte derivate destre riferite a due distinte funzioni. Quando cio’ si possa ipotizzare che un dato dx sia infinitesimo per una funzione e non infinitesimo per l’altra, rispetto alla quale sarebbe đ?œ•đ?‘Ś ≈ đ?‘‘đ?‘Ś . Queste argomentazioni sembrano pero’ ancora approssimative e forse bisognose di un approfondimento.

ALLEGATO 2 (gli sviluppi saranno contenuti nel prossimo numero)

E’ dato un campo E dovuto a due particelle cariche positive la cui carica vale +Q coulomb poste a distanza d tra di loro, supposte puntiformi. E’ richiesta la condizione per la quale un corpo carico negativamente di carica − đ?‘ž per effetto delle forze su di esso esercitate si trovi in quiete e in quanto tempo (e dove). Si, quando la carica −đ?‘ž si trova al tempo t= 0 in un punto di una retta ortogonale alla retta congiungente le due due cariche e non sussiste un vincolo che la trattenga in quiete per t > 0 (convenzionalmente). Se al tempo t = 0 la carica −đ?‘ž non e’ in quiete ma si muove con velocita’ đ?‘Ł0 e inizia a subire l’influenza del campo non potra’ rimanere in quiete nel punto sopra indicato. In queste ipotesi la velocita’ puo’ intendersi come la la somma di una componente costante đ?‘Ł0 e di una componente variabile dovuta alla accelerazione dovuta al campo. Ipotesi ideale di un elettrone che viene espulso da un atomo e che si muove nel vuoto con velocita’ đ?‘Ł0 đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’ e che entra in una regione dello spazio dove gli effetti del campo sono apprezzabili.

BIBLIOGRAFIA

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Ageno, Elementi di fisica, Boringhieri, 1976

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Bernardini, Fisica generale, Parte I, XIV edizione, Veschi Editore

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Davoli, Fisica per i licei scientifici, vol. 2, Cedam, 1982

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Gettys, Fisica 2, Elettromagnetismo . Onde, IV Edizione, 2016

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Hallyday, Resnick, Walker, Fondamenti di fisica, VI edizione, Ambrosiana, 2010

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Mencuccini, Silvestrini, Fisica I. Meccanica – Termodinamica, Liguori Editore, 2004

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Spiegel, Analisi di Fourier, MCGrawHill, 1974

•

Salamito, Sanz, Vandenbrouck, Tuloup, Physique tout-en-un, Dunod, 2014

ANTICIPAZIONE DEL PROSSIMO NUMERO

Il prossimo numero sara’dedicato alla meccanica razionale.

La copertina sara’ dedicata al fisico matematico irlandese Hamilton

NOTA LEGALE

Questo saggio non ha, neanche indirettamente, finalita’ commerciali o lucrative. Ne e’ autorizzata la divulgazione, anche totale, a condizione che essa non abbia finalita’ commerciali o lucrative purche’ essa avvenga con la citazione dell’autore e del soggetto diffusore dell’opera. Non sono ammesse limitazioni alla diffusione dell’opera nello spazio e nel tempo.

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