Appunti Matematici 49 - 50 - 51

Patrizio Gravano

APPUNTI MATEMATICI

ANALISI DI FOURIER numeri 49 / 50 / 51 - gennaio / febbraio / marzo 2019

Preface

This paper contains a summary of the contents usually called Fourier Analysis.

Chapter 1 is dedicated to improper integrals and related convergence criteria.

The second one takes into the gamma and beta functions.

The third chapter examines the differential equations to partial derivatives.

The following chapters introduce the Fourier series, the orthogonal functions, the Fourier integrals and the Bessel and Legendre functions.

The last chapter introduces the Hermitte and Laguerre polynomials.

January, 2019 Patrizio Gravano patrizio.gravano@libero.it

Analisi di fourier

1.

INTEGRALI IMPROPRI Questo capitolo contiene una breve sintesi della teoria degli integrali impropri e dei relativi criteri di convergenza e di convergenza uniforme. E’ introdotta la funzione trasformata di Laplace per una funzione f(x).

La nozione di integrale improprio. đ?‘?

Ordinariamente lâ&#x20AC;&#x2122;integrale â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ presuppone che gli estremi di integrazione a e b siano reali con a < b e la funzione integranda sia definita e continua in ogni x | x â&#x2C6;&#x2C6; âŚ&#x2039;đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?âŚ&#x152;.

A questo caso piuâ&#x20AC;&#x2122; semplice seguono casi di integrabilitaâ&#x20AC;&#x2122; di una funzione secondo Riemann che presumono lâ&#x20AC;&#x2122;esistenza di una funzione limitata ma non definita in tutto lâ&#x20AC;&#x2122;intervallo quando essa non eâ&#x20AC;&#x2122; definita per un numero discreto di punti.

Una funzione continua in âŚ&#x2039;đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?âŚ&#x152; eâ&#x20AC;&#x2122; ivi limitata.

Se la funzione eâ&#x20AC;&#x2122; per ipotesi continua in âŚ&#x2039;a, bâŚ&#x152; allora eâ&#x20AC;&#x2122; definita per a e per b cioeâ&#x20AC;&#x2122; f(a) ed f(b) esistono e sono numeri reali. Poicheâ&#x20AC;&#x2122; la funzione eâ&#x20AC;&#x2122; continua sono vere le due relazioni seguenti: lim đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x17D;)

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D; +

lim đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;?)

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;

La continuitaâ&#x20AC;&#x2122; presuppone che â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x153;? â&#x2C6;&#x2C6; (đ?&#x2018;&#x17D; , đ?&#x2018;? ) sia limâ&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = lim+ đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x153;?) đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x153;?

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x153;?

In un intervallo dato una funzione puoâ&#x20AC;&#x2122; essere continua a tratti. In questo caso esistono intervalli contenuti in âŚ&#x2039;a, bâŚ&#x152; per i quali la funzione eâ&#x20AC;&#x2122; continua e limitata.

Sono possibili ulteriori considerazioni che sfociano nella nozione di integrabilitaâ&#x20AC;&#x2122; impropria.

Sono infatti possibili i seguenti ulteriori casi: a = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; e đ?&#x2018;? reale; a reale e b = +â&#x2C6;&#x17E;; a= â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; e b = +â&#x2C6;&#x17E;.

Sotto queste ipotesi si ha un integrale improprio di I specie. In questo caso la funzione integranda f(x) eâ&#x20AC;&#x2122; definita e continua nellâ&#x20AC;&#x2122;intervallo considerato (una delle tre possibili situazioni prospettateâ&#x20AC;Ś.) ed eâ&#x20AC;&#x2122; ivi limitata. đ?&#x2018;?

Un secondo caso particolare eâ&#x20AC;&#x2122; costituito da integrali del tipo â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ quando a e b sono due numeri reali e la funzione mentre la funzione integranda f(x) eâ&#x20AC;&#x2122; non limitata in almeno un punto. Tali integrali sono detti integrali impropri di II specie.

Qualora sussista una delle condizioni (riferite agli estremi di integrazione) degli integrali impropri di I specie e la funzione integranda sia non limitata per almeno un punto x dellâ&#x20AC;&#x2122;intervallo avente per estremi gli estremi inferiore e superiore di integrazione si ha un integrale improprio di III specie.

Gli integrali impropri di I specie sono cosiâ&#x20AC;&#x2122; definiti: +â&#x2C6;&#x17E;

â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ = lim â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;?â&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

+â&#x2C6;&#x17E;

Lâ&#x20AC;&#x2122;integrale â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ eâ&#x20AC;&#x2122; convergente se lim â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ esiste ed eâ&#x20AC;&#x2122; finito. đ?&#x2018;?â&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

Altrimenti tale integrale eâ&#x20AC;&#x2122; detto divergente.

đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;?

â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ = lim â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x17D;â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;?

Lâ&#x20AC;&#x2122;integrale â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ eâ&#x20AC;&#x2122; convergente se lim â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ . Altrimenti tale integrale eâ&#x20AC;&#x2122; đ?&#x2018;&#x17D;â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

detto divergente. +â&#x2C6;&#x17E;

Ha significato anche la scrittura â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ .

In questo caso â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;Ľ0 | đ?&#x2018;Ľ0 â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201C;(.) o recte â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;Ľ0 | đ?&#x2018;Ľ0 â&#x2C6;&#x2C6; R, ove R eâ&#x20AC;&#x2122; lâ&#x20AC;&#x2122;insieme dei numeri reali si scrive : +â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;Ľ

+â&#x2C6;&#x17E;

0 â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;Ľ

0

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ .

Il punto đ?&#x2018;Ľ0 eâ&#x20AC;&#x2122; un punto qualunque di dom f(.).

In tutti questi casi si ipotizza di avere una funzione f(x) continua in ogni intervallo limitato a â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;¤ đ?&#x2018;? . Tale intervallo eâ&#x20AC;&#x2122; illimitamente â&#x20AC;&#x153;dilatabileâ&#x20AC;? e quindi del tipo a â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;¤ đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x2DC; , â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x2DC; | đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x2026; +. In altri termini dom f(.) = (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, +â&#x2C6;&#x17E;) .

Nel caso degli integrali impropri di prima specie la funzione f(x) eâ&#x20AC;&#x2122; continua nel considerato intervallo di integrazione.

Esempi particolari di integrali impropri di prima specie sono i seguenti: +â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ľ

â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;&#x2019;

dx (detto integrale esponenziale);

+â&#x2C6;&#x17E; 1 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;?

â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D;

(detto integale p di prima specie, essendo p una costante e a > 0). +â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x;? dx đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2018;

Lo studio dellâ&#x20AC;&#x2122;integrale â&#x2C6;Ťđ?&#x2019;&#x201A;

+â&#x2C6;&#x17E; 1 dx đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;?

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D;

con a> đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2018;? 1 dx đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;?

= lim â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?â&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;Ľ 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;Ľ 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?

= lim âŚ&#x2039; 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? âŚ&#x152;+â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x17D; = lim âŚ&#x2039; 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? âŚ&#x152; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

Per p = 1 si annullano i denominatori e le frazioni non hanno senso.

đ?&#x2018;&#x17D; 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?

1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?

Se 1 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? > 0 allora 1 > đ?&#x2018;? cioeâ&#x20AC;&#x2122; p < 1 e conseguentemente đ?&#x2018;Ľ 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? eâ&#x20AC;&#x2122; illimitata đ?&#x2018;Ľ 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;&#x17D; 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;&#x17D; 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?

1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?

superiormente quindi lim âŚ&#x2039; 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? âŚ&#x152; â&#x2C6;&#x2019; 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? = â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

= â&#x2C6;&#x17E; e conseguentemente per p <

1 tale integrale eâ&#x20AC;&#x2122; divergente non esistendo un limite finito. đ?&#x2018;Ľ 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? âŚ&#x152; đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?

Se 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? < 0 cioeâ&#x20AC;&#x2122; per p > 1 lim đ?&#x2018;Ľ 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? = 0 ed anche lim âŚ&#x2039; đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;Ľ 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;&#x17D; 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?

si ha lim âŚ&#x2039; 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? âŚ&#x152; â&#x2C6;&#x2019; 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? = 0 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

+â&#x2C6;&#x17E; 1 dx đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;?

Lâ&#x20AC;&#x2122;integrale â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;&#x17D; 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?

1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?

= 0 conseguentemente

đ?&#x2018;&#x17D; 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?

= â&#x2C6;&#x2019; 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? .

con a> 0 converge al valore â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;&#x17D; 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?

1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?

+â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2122;

La convergenza dellâ&#x20AC;&#x2122;integrale geometrico â&#x2C6;Ťđ?&#x2019;&#x201A;

đ?&#x2019;&#x2020;

quando p > 1 .

dx

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; utilizzare la sostituzione u = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ľ che differenziata conduce a du = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ da cui 1

+â&#x2C6;&#x17E;

1

si ricava đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ . Tale integrale diviene â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;˘ du . +â&#x2C6;&#x17E;

1

Applicando il corollario del calcolo integrale si ottiene â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;˘ du 1

1

=

1

â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ą ( lim âŚ&#x2039;(đ?&#x2018;&#x2019;)đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;&#x2019;)đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ą âŚ&#x152;). đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

Per t = 0 lâ&#x20AC;&#x2122;integrale non eâ&#x20AC;&#x2122; calcolabile in quanto 1

+â&#x2C6;&#x17E;

1 đ?&#x2018;Ą

1

non ha significato per t = 0.

1

1

1

Se t < 0 si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;˘ du = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ą ( lim âŚ&#x2039;(đ?&#x2018;&#x2019;)đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;&#x2019;)đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ą âŚ&#x152;)= â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ą ( lim âŚ&#x2039;(đ?&#x2018;&#x2019;)â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

1

(đ?&#x2018;&#x2019;)â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ą âŚ&#x152;= â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ą ( lim âŚ&#x2039;(đ?&#x2018;&#x2019;)đ?&#x203A;˝đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;&#x2019;)đ?&#x203A;˝đ?&#x2018;&#x17D; âŚ&#x152; essendo đ?&#x203A;˝ un parametro reale positivo dipendente đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

1

+â&#x2C6;&#x17E;

da t negativo. In altri termini â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;˘ du

1

= â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ą ( lim âŚ&#x2039;(đ?&#x2018;&#x2019;)đ?&#x203A;˝đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;&#x2019;)đ?&#x203A;˝đ?&#x2018;&#x17D; âŚ&#x152; đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

. La

impossibilitaâ&#x20AC;&#x2122; della convergenza per t < 0 si comprende immediatamente dal limite lim âŚ&#x2039;(đ?&#x2018;&#x2019;)đ?&#x203A;˝đ?&#x2018;Ľ âŚ&#x152; = +â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

1 đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

e dalle conseguenti immediate conseguenze su â&#x2C6;&#x2019; ( lim âŚ&#x2039;(đ?&#x2018;&#x2019;)đ?&#x203A;˝đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;&#x2019;)đ?&#x203A;˝đ?&#x2018;&#x17D; âŚ&#x152; .

Ad esiti opposti si perviene quanto t > 0 . Eâ&#x20AC;&#x2122; infatti immediato osservare che afficheâ&#x20AC;&#x2122; la 1

+â&#x2C6;&#x17E;

1

1

1

quantitaâ&#x20AC;&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;˘ du = â&#x2C6;&#x2019; ( lim âŚ&#x2039;( )đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; ( )đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ą âŚ&#x152;) sia finita eâ&#x20AC;&#x2122; necessario e sufficiente đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

1

1

che sia finito il limite lim âŚ&#x2039;(đ?&#x2018;&#x2019;)đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ľ . Cioâ&#x20AC;&#x2122; eâ&#x20AC;&#x2122; immediatamente vero per t > 0 atteso che đ?&#x2018;&#x2019; < đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

1.

1

1

lim đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ľ

In particolare si ha lim âŚ&#x2039;(đ?&#x2018;&#x2019;)đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ľ = (đ?&#x2018;&#x2019;)đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

= 0+ quando t > 0 .

In particolare, per t = 1 si evince immediatamente la convergenza dellâ&#x20AC;&#x2122;integrale +â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ

â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;&#x2019;

+â&#x2C6;&#x17E; 1

+â&#x2C6;&#x17E; 1 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ. đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ

dx â&#x2030;Ą â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; ( )đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2019;

Possono, ora, essere enunciati i criteri di convergenza degli integrali impropri di prima specie. +â&#x2C6;&#x17E;

Il primo di tali criteri eâ&#x20AC;&#x2122; il criterio del confronto. Se g(x)â&#x2030;Ľ 0 â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;Ľ|đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ľ đ?&#x2018;&#x17D; e â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; +â&#x2C6;&#x17E;

converge ad un limite finito allora â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ converge sicuramente ad un limite

finito se eâ&#x20AC;&#x2122; vero che 0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;Ľ| đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2C6; âŚ&#x2039;đ?&#x2018;&#x17D;, +â&#x2C6;&#x17E;âŚ&#x152;.

Ad esempio, avendo posto g(x)= +â&#x2C6;&#x17E;

positivo eâ&#x20AC;&#x2122; vero che â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D;

1 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ +đ?&#x2018;&#x2DC;

1 đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ

risulta che essendo f(x)=

1 đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ +đ?&#x2018;&#x2DC;

con k reale

converge ad un valore finito.

Un secondo criterio di convergenza utilizzato eâ&#x20AC;&#x2122; quello del quoziente.

Al riguardo si pone sia f(x) â&#x2030;Ľ 0 e g(x) â&#x2030;Ľ 0 per ogni x del dominio di esse.

Se

lim

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)

+â&#x2C6;&#x17E;

= đ??´ â&#x2030; 0. Gli integrali â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D;

+â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ e â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ sono entrambi

convergenti o entrambi divergenti. +â&#x2C6;&#x17E;

Dato lim đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ??´ â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x2026; lâ&#x20AC;&#x2122;integrale â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

+â&#x2C6;&#x17E;

Per definizione â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; convergente.

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ converge per p > 1 . +â&#x2C6;&#x17E;

eâ&#x20AC;&#x2122; assolutamente convergente se â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D;

|đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)|đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ eâ&#x20AC;&#x2122;

Si deve precisare che non si ha a che fare con una condizione necessaria e sufficiente. +â&#x2C6;&#x17E;

Infatti, puoâ&#x20AC;&#x2122; benissimo risultare che â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D;

+â&#x2C6;&#x17E;

|đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)|đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ sia divergente e risulti â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

convergente. +â&#x2C6;&#x17E;

Vale comunque la seguente implicazione: se â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; +â&#x2C6;&#x17E;

â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D;

|đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)|đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

converge allora

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ converge.

Vanno ora esaminati gli integrali impropri di seconda specie.

Il primo caso presuppone che si consideri una funzione f(x) â&#x2030;Ľ 0â&#x2C6;&#x20AC; đ?&#x2018;Ľ|đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2C6; (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?âŚ&#x152; .

Tale funzione eâ&#x20AC;&#x2122; non limitata solo in x = đ?&#x2018;&#x17D; .

Il grafico illustra una possibile situazione.

đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;?

In questo caso si scrive â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ = lim+ â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D;+đ?&#x153;&#x20AC; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ . â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ eâ&#x20AC;&#x2122; convergente se il đ?&#x153;&#x20AC;â&#x2020;&#x2019;0

limite scritto a destra esiste ed eâ&#x20AC;&#x2122; finito.

Un secondo caso eâ&#x20AC;&#x2122; il seguente.

x= đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x20AC;

In questo caso si scrive â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ = lim+ â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x153;&#x20AC;â&#x2020;&#x2019;0

đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ . â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ eâ&#x20AC;&#x2122; convergente se il

limite scritto a destra esiste ed eâ&#x20AC;&#x2122; finito.

Esiste un ulteriore caso, il terzo per il quale la funzione eâ&#x20AC;&#x2122; definita in âŚ&#x2039;a, bâŚ&#x152;â&#x2C6;&#x2019;{đ?&#x2018;Ľ0 } essendo đ?&#x2018;Ľ0 â&#x2C6;&#x2C6; âŚ&#x2039;đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?âŚ&#x152;.

Il seguente grafico illustra intuitivamente la situazione.

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; considerare il caso di una funzione che sia definita e continua in ogni punto compreso tra a e b ma non nel punto đ?&#x2018;Ľ0 nel quale sono, con riferimento al caso qui considerato verificate le due seguenti relazioni limâ&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = lim+ đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0

+â&#x2C6;&#x17E; . đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x20AC;0

In casi del genere si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; 0

đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) + â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;Ľ

0 +đ?&#x153;&#x20AC;1

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) quando

le quantitaâ&#x20AC;&#x2122; đ?&#x153;&#x20AC;0 đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x153;&#x20AC;1 đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x17D; 0+ . đ?&#x2018;?

Lâ&#x20AC;&#x2122;esistenza dei due limiti a destra giustifica la convergenza dellâ&#x20AC;&#x2122;integrale â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) .

Con riferimento a tali integrali puoâ&#x20AC;&#x2122; capitare che tali limiti non esistano mentre, come ha rilevato L.A. Cauchy, risulta essere finito il limite posto al secondo membro, đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x20AC;

avendo quindi che â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = lim+( â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; 0 đ?&#x153;&#x20AC;â&#x2020;&#x2019;0

đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) + â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;Ľ

0 +đ?&#x153;&#x20AC;

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ))

Tale limite, se esiste, eâ&#x20AC;&#x2122; detto valore principale di Cauchy.

Anche sotto questa particolare condizione (cioeâ&#x20AC;&#x2122; đ?&#x2018;Ľ0 â&#x2C6;&#x2030; dom f(.)) eâ&#x20AC;&#x2122; possibile studiare +â&#x2C6;&#x17E;

lâ&#x20AC;&#x2122;integrale â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ .

Gli integrali p di seconda specie Tali integrali sono del tipo đ??&#x203A;

đ?&#x;? đ???đ??ą (đ??ąâ&#x2C6;&#x2019;đ??&#x161;)đ??Š

đ??&#x203A;

đ?&#x;? đ???đ??ą (đ??&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;đ??ą)đ??Š

â&#x2C6;Ťđ??&#x161; â&#x2C6;Ťđ??&#x161;

Tali integrali convergono per p < đ?&#x;? e divergono per p â&#x2030;Ľ đ?&#x;? .

Con riferimento al primo caso si puoâ&#x20AC;&#x2122; affermare che đ?&#x2019;&#x192;

â&#x2C6;Ťđ?&#x2019;&#x201A;

đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122; (đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x201A;)đ?&#x2019;&#x2018;

đ?&#x2019;&#x192;

= đ??Ľđ??˘đ??Ś+ â&#x2C6;Ťđ?&#x2019;&#x201A;+đ?&#x153;ş đ?&#x153;şâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x;&#x17D;

đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122; (đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x201A;)đ?&#x2019;&#x2018;

Si osservi che deve essere x â&#x2030; đ?&#x2019;&#x201A; in quanto

đ?&#x;? (đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x201A;)đ?&#x2019;&#x2018;

non ha senso in R quando il

denominatore eâ&#x20AC;&#x2122; nullo.

Da đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x201A; = đ?&#x2019;&#x2013;, đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;? la condizione posta (x â&#x2030; đ?&#x2019;&#x201A;) si ha đ???đ??ą â&#x2C6;&#x2019; đ???đ??&#x161; = đ???đ??Ž, ed essendo đ???đ??&#x161; = đ?&#x;&#x17D;, si puoâ&#x20AC;&#x2122; affermare che đ???đ??ą = đ???đ??Ž .

Con la sostituzione đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; đ??&#x161; = đ??Ž si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere: đ?&#x2019;&#x192;

đ??Ľđ??˘đ??Ś+ â&#x2C6;Ťđ?&#x2019;&#x201A;+đ?&#x153;ş

đ?&#x153;şâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x;&#x17D;

đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2018;

đ?&#x2019;&#x192;

= đ??Ľđ??˘đ??Ś+ â&#x2C6;Ťđ?&#x153;ş đ?&#x2019;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2013; , pâ&#x2030; đ?&#x;?.

đ??&#x203A;

đ?&#x153;şâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x;&#x17D;

đ??Žđ?&#x;?â&#x2C6;&#x2019;đ??Š

Quindi đ??Ľđ??˘đ??Ś+ â&#x2C6;Ťđ?&#x203A;&#x2020; đ??Žâ&#x2C6;&#x2019;đ??Š đ???đ??Ž = âŚ&#x2039; đ?&#x;?â&#x2C6;&#x2019;đ??Š âŚ&#x152;đ??&#x203A;đ?&#x203A;&#x2020; = đ?&#x203A;&#x2020;â&#x2020;&#x2019;đ?&#x;&#x17D;

(đ??&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;đ??&#x161;)đ?&#x;?â&#x2C6;&#x2019;đ??Š đ?&#x;?â&#x2C6;&#x2019;đ??Š

â&#x2C6;&#x2019;

(đ?&#x203A;&#x2020;)đ?&#x;?â&#x2C6;&#x2019;đ??Š đ?&#x;?â&#x2C6;&#x2019;đ??Š

con p â&#x2030; đ?&#x;? .

In effetti la criticitaâ&#x20AC;&#x2122; riguarda il limite inferiore di integrazione in quanto la funzione eâ&#x20AC;&#x2122; definita in (a, bâŚ&#x152; in quanto da đ??ą â&#x2C6;&#x2019; đ??&#x161; = đ??Ž per sostituzione si ottiene a + đ?&#x153;ş â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x201A; = đ?&#x153;ş e, forse, a parte la critica di ineleganza, ben si evidenzia che đ?&#x153;ş eâ&#x20AC;&#x2122; lâ&#x20AC;&#x2122;estremo inferiore di integrazione.

Per lâ&#x20AC;&#x2122;estremo superiore di integrazione si pone x = đ?&#x2019;&#x192; nellâ&#x20AC;&#x2122;equazione di trasformazione (đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x201A; = đ?&#x2019;&#x2013;) e si ricava lâ&#x20AC;&#x2122;estremo superiore di integrazione b â&#x2C6;&#x2019;đ??&#x161; = đ??Žđ?&#x;? .

đ?&#x2019;&#x2013;

đ?&#x2019;&#x192;

In altri termini, formalmente si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che â&#x2C6;Ťđ?&#x2019;&#x2013; đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2013; = đ??Ľđ??˘đ??Ś+ â&#x2C6;Ťđ?&#x153;ş đ?&#x2019;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2013; . đ?&#x153;şâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x;&#x17D;

đ?&#x;?

La convergenza del dato integrale si evidenzia studiando lâ&#x20AC;&#x2122;espressione (đ?&#x153;ş)đ?&#x;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x153;şâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2018;

â&#x2C6;&#x2019; đ??Ľđ??˘đ??Ś+

(đ?&#x2019;&#x192;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x201A;)đ?&#x;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2018;

con p â&#x2030; đ?&#x;? .

Risulta ben evidente che per p = đ?&#x;? tale espressione non eâ&#x20AC;&#x2122; definita, quindi neppure puoâ&#x20AC;&#x2122; esistere un limite finito.

Il primo termine dellâ&#x20AC;&#x2122;espressione eâ&#x20AC;&#x2122; sicuramente una quantitaâ&#x20AC;&#x2122; finita. Occorre, quindi (đ?&#x153;ş)đ?&#x;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x153;şâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2018;

concentrare lâ&#x20AC;&#x2122;attenzione sul limite đ??Ľđ??˘đ??Ś+

al fine di verificare a quali condizioni

(recte, per quali valori di p) tale limite esiste finito.

Attesa la condizione p â&#x2030; đ?&#x;? occorre ed eâ&#x20AC;&#x2122; sufficiente limitarsi a studiare la condizione per la quale (đ?&#x153;ş)đ?&#x;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2018; eâ&#x20AC;&#x2122; una quantitaâ&#x20AC;&#x2122; finita quando đ?&#x153;ş â&#x2020;&#x2019; đ?&#x;&#x17D;+ .

Il caso p = đ?&#x;? che condurrebbe a đ?&#x153;şđ?&#x;&#x17D; = đ?&#x;? ma non eâ&#x20AC;&#x2122; di interesse.

Se p < đ?&#x;? si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere (đ?&#x153;ş)đ?&#x;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2018; = đ?&#x153;şđ?&#x153;ś essendo đ?&#x153;ś đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;?tero positivo in quanto p varia negli interi negativi. Poicheâ&#x20AC;&#x2122; si puoâ&#x20AC;&#x2122; anche dire che đ?&#x153;ş > đ?&#x;&#x17D; allora si puoâ&#x20AC;&#x2122; dire che đ?&#x;&#x17D; < đ?&#x153;şđ?&#x153;ś < đ?&#x153;ş. đ?&#x;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2018;

In termini formali la quantitaâ&#x20AC;&#x2122; đ?&#x153;ş|đ?&#x2019;&#x2018;<đ?&#x;? eâ&#x20AC;&#x2122; un infinitesimo.

In definitiva la quantitaâ&#x20AC;&#x2122;

(đ?&#x2019;&#x192;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x201A;)đ?&#x;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2018;

(đ?&#x153;ş)đ?&#x;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x153;şâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2018;

â&#x2C6;&#x2019; đ??Ľđ??˘đ??Ś+

â&#x2020;&#x2019;

(đ?&#x2019;&#x192;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x201A;)đ?&#x;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2018; đ?&#x;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2018;

quando p < đ?&#x;?

Per p â&#x2030;Ľ đ?&#x;? lâ&#x20AC;&#x2122;integrale diverge.

Anche per gli integrali di seconda specie sono dati una serie di teoremi che illustrano le condizioni di convergenza. Per la loro disamina e per le relative dimostrazioni si rimanda alla manualistica in circolazione.

Assegnato un intervallo âŚ&#x2039;a, bâŚ&#x152; della retta reale possono presentarsi tre distinti casi: â&#x20AC;˘

la funzione f(x) eâ&#x20AC;&#x2122; illimitata solo in x = đ?&#x2018;&#x17D;, quindi il dominio di essa eâ&#x20AC;&#x2122; lâ&#x20AC;&#x2122;intervallo (a, bâŚ&#x152;

â&#x20AC;˘

la funzione f(x) eâ&#x20AC;&#x2122; illimitata solo in x = đ?&#x2018;?, quindi il dominio di essa eâ&#x20AC;&#x2122; lâ&#x20AC;&#x2122;intervallo âŚ&#x2039;a, b)

â&#x20AC;˘

la funzione f(x) eâ&#x20AC;&#x2122; definita e continua in ogni punto di âŚ&#x2039;đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?âŚ&#x152; ad eccezione di un punto đ?&#x2018;Ľ0 | đ?&#x2018;Ľ0 đ?&#x153;&#x2013;(đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?) .

Per tali integrali sono particolarmente utili i due seguenti criteri di convergenza, che in questa sintesi introduttiva sono riferiti al caso che la funzione in esame sia illimitata in x = đ?&#x2018;&#x17D; , cioeâ&#x20AC;&#x2122; risulti la funzione limitata, definita e continua in (a, bâŚ&#x152;. đ?&#x2018;?

Criterio del confronto. Se g(x) â&#x2030;Ľ 0 in (a, bâŚ&#x152; e se â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ eâ&#x20AC;&#x2122; convergente, allora đ?&#x2018;?

sicuramente â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ converge qualora risulti f(x) â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) per ogni x in (a, bâŚ&#x152; . đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;

Criterio del rapporto. Se f(x) â&#x2030;Ľ 0 in (a, bâŚ&#x152; se g(x) â&#x2030;Ľ 0 in (a, bâŚ&#x152; e se lim+ đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)

=đ??´â&#x2030; 0

đ?&#x2018;?

oppure se lim+ đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x17E; allora â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ e â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ sono entrambi convergenti o đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;

divergenti. đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;

Nel caso risulti lim+

= 0 allora se un integrale converge , pure lâ&#x20AC;&#x2122;altro converge.

Eâ&#x20AC;&#x2122; di grande importanza il seguente teorema: đ?&#x2018;?

se lim+(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;)đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ??´ allora â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ converge se p < 1 e il valore A eâ&#x20AC;&#x2122; un numero đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;

reale, cioeâ&#x20AC;&#x2122; una quantitaâ&#x20AC;&#x2122; finita. ⧞⧞⧞ Nei termini piuâ&#x20AC;&#x2122; generali e non infrequentemente capita di osservare integrali del tipo đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;?

â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; |đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)|đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ che possono essere o meno convergenti. Se â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; |đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)|đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ eâ&#x20AC;&#x2122; convergente allora đ?&#x2018;?

necessariamente â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ eâ&#x20AC;&#x2122; convergente.

La convergenza assoluta implica la convergenza semplice. Non eâ&#x20AC;&#x2122; necessariamente vero đ?&#x2018;?

il contrario. In altri termini â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; |đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)|đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ potrebbe essere divergente quando invece đ?&#x2018;?

â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; |đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)|đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ risulta essere convergente. ⧞⧞⧞ Eâ&#x20AC;&#x2122; utile fare cenno agli integrali impropri di terza specie, caratterizzati dalla coesistente particolaritaâ&#x20AC;&#x2122; degli integrali impropri di prima specie e degli integrali impropri di seconda specie.

Nel caso piuâ&#x20AC;&#x2122; generale f(x) eâ&#x20AC;&#x2122; definita in (a, b) quindi la funzione non eâ&#x20AC;&#x2122; finita in corrispondenza dei punti estremi a e b. Ulteriormente tale funzione non eâ&#x20AC;&#x2122; finita in đ?&#x2018;Ľ0 â&#x2C6;&#x2C6; âŚ&#x2039;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;ĽâŚ&#x152; . Il dominio di f(.) eâ&#x20AC;&#x2122; pertanto (a, b) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ0 â&#x2C6;&#x2C6; âŚ&#x2039;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;ĽâŚ&#x152; . Risulta che lim đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ0 ) = +â&#x2C6;&#x17E; .

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0

Eâ&#x20AC;&#x2122; il caso di questo grafico sottostante, illustrativo che espone uno dei casi possibili trattabili.

In generale si hanno integrali impropri di terza specie nei quali la funzione f(x) eâ&#x20AC;&#x2122; definita e continua in (a, bâŚ&#x152; ma non in đ?&#x2018;Ľ0 | đ?&#x2018;Ľ0 â&#x2C6;&#x2C6; (đ?&#x2018;&#x17D; + â&#x2C6;&#x2020;, đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ). Questa particolare indicazione del punto đ?&#x2018;Ľ0 impone che â&#x2C6;&#x2020; sia un reale positivo mentre dx sia una quantitaâ&#x20AC;&#x2122; infinitesima.

Se per esempio la funzione f(.) fosse definita e continua in (a, b) allora per avere una funzione riconducibile a quelle degli integrali di terza specie sarebbe necessario considerare un đ?&#x2018;Ľ0 | đ?&#x2018;Ľ0 â&#x2C6;&#x2C6; (đ?&#x2018;&#x17D; + â&#x2C6;&#x2020;, đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ??ť) per il quale f(đ?&#x2018;Ľ0 ) non eâ&#x20AC;&#x2122; finita, essendo â&#x2C6;&#x2020; đ?&#x2018;&#x2019; đ??ť sono due numeri reali positivi. Deve, ad esempio, essere đ?&#x2018;&#x17D; + â&#x2C6;&#x2020; < đ?&#x2018;? cioeâ&#x20AC;&#x2122; â&#x2C6;&#x2020; < đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D; .

Queste considerazioni sono solo osservazioni astratte volte a precisare condizioni ipotetiche. ⧞⧞⧞ Eâ&#x20AC;&#x2122; utile un cenno agli integrali dipendenti da un parametro đ?&#x153;ś . +â&#x2C6;&#x17E;

Tali integrali sono formalizzati come segue ÎŚ( đ?&#x203A;ź) = â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x203A;ź)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ . Rispetto ad essi eâ&#x20AC;&#x2122;

stata introdotta la nozione di convergenza uniforme. Si ipotizza che sia convergente in âŚ&#x2039;đ?&#x203A;ź1 , đ?&#x203A;ź2 âŚ&#x152; cioeâ&#x20AC;&#x2122; sia convergente per ogni đ?&#x203A;ź| đ?&#x203A;ź1 â&#x2030;¤ đ?&#x203A;ź â&#x2030;¤ đ?&#x203A;ź2 .

Eâ&#x20AC;&#x2122; stata introdotta la seguente definizione di integrale uniformemente convergente in âŚ&#x2039;đ?&#x203A;ź1 , đ?&#x203A;ź2 âŚ&#x152; . Se per ogni đ?&#x153;&#x20AC; > 0 eâ&#x20AC;&#x2122; possibile determinare un N =N(đ?&#x153;&#x20AC;) non dipendente da đ?&#x203A;ź tale +â&#x2C6;&#x17E;

che |ÎŚ( đ?&#x203A;ź) â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x203A;ź)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ| < đ?&#x153;&#x20AC; â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;˘ > đ?&#x2018; al variare di đ?&#x203A;ź in âŚ&#x2039;đ?&#x203A;ź1 , đ?&#x203A;ź2 âŚ&#x152;. +â&#x2C6;&#x17E;

In altri termini si scrive |ÎŚ( đ?&#x203A;ź) â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D;

+â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x203A;ź)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ|=|â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x203A;ź)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ|.

Sono dati due criteri di convergenza uniforme. Essi vengono enunciati con riferimento agli integrali impropri di prima specie.

Criterio di Weierstraβ . Se esiste una funzione M(x) tale che |f(x, đ?&#x203A;ź)| â&#x2030;¤ |đ?&#x2018;&#x20AC;(đ?&#x2018;Ľ)| al variare +â&#x2C6;&#x17E;

di đ?&#x203A;ź in âŚ&#x2039;đ?&#x203A;ź1 , đ?&#x203A;ź2 âŚ&#x152; e per x > đ?&#x2018;&#x17D; tale che â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D;

+â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;&#x20AC;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ eâ&#x20AC;&#x2122; convergente allora â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x203A;ź)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ eâ&#x20AC;&#x2122;

convergente .

Criterio di Dirichelet. Sia assegnata una funzione đ?&#x203A;š(đ?&#x2018;Ľ) | đ?&#x203A;š(đ?&#x2018;Ľ) eâ&#x20AC;&#x2122; decrescente tendente allo +â&#x2C6;&#x17E;

zero per x allâ&#x20AC;&#x2122;infinito, cioeâ&#x20AC;&#x2122; tale che lim đ?&#x203A;š(đ?&#x2018;Ľ) = 0+ e sia |â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x203A;ź)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ | < đ?&#x2018;&#x192; â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;˘ > đ?&#x2018;&#x17D; al

+â&#x2C6;&#x17E;

variare di đ?&#x203A;ź in âŚ&#x2039;đ?&#x203A;ź1 , đ?&#x203A;ź2 âŚ&#x152;. Sotto queste condizioni â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x203A;ź)đ?&#x203A;š(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ eâ&#x20AC;&#x2122; uniformemente

convergente per ogni đ?&#x203A;ź in âŚ&#x2039;đ?&#x203A;ź1 , đ?&#x203A;ź2 âŚ&#x152;.

Poicheâ&#x20AC;&#x2122; questo elaborato non eâ&#x20AC;&#x2DC; specificatamente indicato agli integrali impropri si rimanda â&#x20AC;&#x201C; specie per i teoremi sulla convergenza uniforme degli integrali allâ&#x20AC;&#x2122;ottima manualistica in circolazione. â&#x2013; â&#x2013; â&#x2013; Da ultimo occorre considerare la nozione di trasformata di Laplace.

Per definizione la trasformata di Laplace di una funzione f(x) eâ&#x20AC;&#x2122; : +â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ľ

f(s) = đ??żâŚ&#x2039;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)âŚ&#x152; = â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;&#x2019;

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ .

Vi eâ&#x20AC;&#x2122; una evidente analogia con la serie di potenze posto đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;Ą da cui si ottiene đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ľ .

Ordine esponenziale di una funzione Sia data una funzione reale di una variabile reale f(x) tale che â&#x20AC;˘

f(x) eâ&#x20AC;&#x2122; definita in 0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ľ < +â&#x2C6;&#x17E;

â&#x20AC;˘

f(x) eâ&#x20AC;&#x2122; continua a tratti

Si dice che f(x) eâ&#x20AC;&#x2122; di ordine esponenziale đ?&#x203A;ź se đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x203A;źđ?&#x2018;Ľ |f(x)|â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x20AC; â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;Ľ|đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ľ đ?&#x2018;Ľ0 essendo đ?&#x203A;ź, đ?&#x2018;&#x20AC; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ0 tre costanti.

Per esempio per discutere lâ&#x20AC;&#x2122;ordine esponenziale della funzione đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = cos(7đ?&#x2018;Ľ) si deve osservare che tale funzione eâ&#x20AC;&#x2122; limitata.

Si deve evidenziare che đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x203A;źđ?&#x2018;Ľ |cos(7đ?&#x2018;Ľ)| â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x20AC;.

1

Per đ?&#x203A;ź > 1 e x > 1 posto đ?&#x2018;Ľ0 = 1 puoâ&#x20AC;&#x2122; anche osservarsi che đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x203A;źđ?&#x2018;Ľ = (đ?&#x2018;&#x2019;)đ?&#x203A;źđ?&#x2018;Ľ â&#x2020;&#x2019; 0+ quando đ?&#x203A;ź>1 . Pertanto, attesa la limitatezza di đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = cos(7đ?&#x2018;Ľ) e quindi anche di |đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)| = { đ?&#x2018;Ľ â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; |cos(7đ?&#x2018;Ľ)|, risulta che

lim

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;,đ?&#x203A;ź>1

đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x203A;źđ?&#x2018;Ľ | cos(7đ?&#x2018;Ľ) |= 0 < đ?&#x2018;&#x20AC; |đ?&#x2018;&#x20AC; > 0

+â&#x2C6;&#x17E;

Divergenza dellâ&#x20AC;&#x2122;integrale â&#x2C6;Ťđ?&#x;?

đ?&#x;?

đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;? dx

Tale integrale puoâ&#x20AC;&#x2122; essere facilmente ricondotto allâ&#x20AC;&#x2122;integrale elementare â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;Ľ đ?&#x203A;ź dx , dove đ?&#x203A;ź eâ&#x20AC;&#x2122; un intero relativo o un razionale relativo comunque đ?&#x203A;ź â&#x2030; â&#x2C6;&#x2019;1 .

Sotto queste condizioni eâ&#x20AC;&#x2122; noto che â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;Ľ đ?&#x203A;ź dx=

đ?&#x2018;Ľ đ?&#x203A;ź+1 đ?&#x203A;ź+1

+ đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ą.

1

1

2

1

Per đ?&#x203A;ź = â&#x2C6;&#x2019; 2 risulta immediatamente che â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;2 dx= 3 đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ą.

Applicando il corollario del teorema fondamentale del calcolo si ha 1

2

1

2 â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; 3

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;Ľ 2 dx= âŚ&#x2039;3 đ?&#x2018;Ľ 2 âŚ&#x152;1+â&#x2C6;&#x17E; = lim

2

2

â&#x2C6;&#x2019; 3 = +â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x2019; 3 = +â&#x2C6;&#x17E; .

Tale integrale diverge, non avendo esso un limite finito.

+â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2122;

Studio delle condizioni di convergenza per lâ&#x20AC;&#x2122;integrale â&#x2C6;Ťđ?&#x;&#x17D;

đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2122;

Per lo studio di questo integrale si puoâ&#x20AC;&#x2122; partire dalla sostituzione sx = đ?&#x2018;˘ che differenziata conduce a đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ = 1

1

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;

. Con semplici passaggi elementari si

1

ottiene â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018; â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;˘ + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ą. = đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ą. Applicando il corollario del +â&#x2C6;&#x17E;

teorema fondamentale del calcolo integrale si ha â&#x2C6;Ť0 đ?&#x2018;&#x2019;

đ?&#x2018; lim đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0

) =

1 đ?&#x2018; lim đ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;

1

1

đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018; âŚ&#x2039;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ľ âŚ&#x152;+â&#x2C6;&#x17E; 0 = đ?&#x2018; (đ?&#x2018;&#x2019;

đ?&#x2018; lim đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019; 0) â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; quando s > 0, e pertanto per s > 0 tale integrale 1 đ?&#x2018;

diverge. Deve escludersi đ?&#x2018; = 0 in quanto non ha senso per đ?&#x2018; = 0 .

1

1

1

1

1 |𝑠| lim 𝑥

|𝑠|𝑥 +∞ Se s e’ negativo allora si puo’ scrivere che 𝑠 ⦋𝑒 𝑠𝑥 ⦌+∞ ⦌0 = 𝑠 ⦋(𝑒) 0 ≡ 𝑠 ⦋(𝑒 ) 1 |𝑠| lim 𝑥

(𝑒)

𝑥→0

1

1

1

1

1

1

⦌ = 𝑠 (0 − (𝑒)|𝑠|0 ⦌ = 𝑠 (0 − (𝑒)0 ⦌ = 𝑠 (0 − 1 ⦌ = − 𝑠 .

𝑥→+∞

−

2. FUNZIONI gamma e BETA La funzione gamma +â&#x2C6;&#x17E;

Tale funzione viene definita come segue: đ?&#x203A;¤(đ?&#x2018;&#x203A;) = â&#x2C6;Ť0

đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ . Tale integrale eâ&#x20AC;&#x2122;

convergente per n > 0.

Tale funzione gode della seguente proprietaâ&#x20AC;&#x2122; fondamentale : đ?&#x203A;¤(đ?&#x2018;&#x203A; + 1) = đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x203A;¤(đ?&#x2018;&#x203A;).

1

Valgono le seguenti relazioni fondamentali đ?&#x203A;¤(1) = 1 , đ?&#x203A;¤(đ?&#x2018;&#x203A; + 1) = đ?&#x2018;&#x203A;! e đ?&#x203A;¤(2) = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x153;&#x2039; .

Per valori di n molto grandi la funzione gamma eâ&#x20AC;&#x2122; difficilmente calcolabile . đ?&#x153;&#x192;

Eâ&#x20AC;&#x2122; stato dimostrato che đ?&#x203A;¤(đ?&#x2018;&#x203A; + 1) = â&#x2C6;&#x161;2đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2019; 12(đ?&#x2018;&#x203A;+1) con 0 < đ?&#x153;&#x192; < 1 . đ?&#x153;&#x192;

Poicheâ&#x20AC;&#x2122; đ?&#x2018;&#x2019; 12(đ?&#x2018;&#x203A;+1) â&#x2030;&#x2C6; 1 si utilizza la cosiddetta approssimazione fattoriale di Stirling per la quale si pone n! = â&#x2C6;&#x161;2đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; . ⧞⧞⧞ Definizione di sviluppo asintotico di una funzione f(x) Sia data la serie infinita S(x) = đ?&#x2018;&#x17D;0 +

đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;&#x17D;

+ đ?&#x2018;Ľ22 + â&#x2039;Ż . + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; +..â&#x20AC;Ś e si consideri la somma parziale

dei primi n termini cioeâ&#x20AC;&#x2122; la quantitaâ&#x20AC;&#x2122; đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x17D;0 +

đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;&#x17D;

+ đ?&#x2018;Ľ22 + â&#x2039;Ż . + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x203A;2 .

Se la quantitaâ&#x20AC;&#x2122; đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;Ľ) eâ&#x20AC;&#x2122; tale che per ogni valore di n intero risulta lim đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x203A; | đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;Ľ)| = 0 .

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

Se tale relazione eâ&#x20AC;&#x2122; vera allora si afferma che S(x) eâ&#x20AC;&#x2122; lo sviluppo asintotico della funzione f(x).

In questo caso si scrive f(x) ~đ?&#x2018;&#x2020;(đ?&#x2018;Ľ).

3.

Equazioni differenziali alle derivate parziali. Problemi

al contorno.

In questo capitolo introduttivo saranno prese in considerazioni le equazioni differenziali alle derivate parziali. Si tratta di equazioni la cui incognita eâ&#x20AC;&#x2122; costituita da una funzione reale di due o piuâ&#x20AC;&#x2122; variabili indipendenti.

Rispetto ad esse eâ&#x20AC;&#x2122; utile premettere che lâ&#x20AC;&#x2122;ordine di una equazione differenziale alle derivate parziali eâ&#x20AC;&#x2122; lâ&#x20AC;&#x2122;ordine massimo delle derivate parziali presenti nellâ&#x20AC;&#x2122;equazione.

Si consideri, ad esempio, lâ&#x20AC;&#x2122;equazione differenziale

đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x2018;Ś đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ 2

=

đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x2018;Ś đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą 2

+ đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ą 2 . Si tratta di una equazione differenziale in

cui lâ&#x20AC;&#x2122;incognita eâ&#x20AC;&#x2122; la funzione y(x,t). In essa sono presenti due variabili indipendenti x e t.

La funzione che soddisfa identicamente la relazione eâ&#x20AC;&#x2122; detta soluzione (o integrale). In altri termini tale funzione per ogni valore ammesso delle variabili indipendenti soddisfa lâ&#x20AC;&#x2122;equazione proposta.

Lâ&#x20AC;&#x2122;integrale generale eâ&#x20AC;&#x2122; una soluzione che contiene un numero di funzioni indipendenti pari allâ&#x20AC;&#x2122;ordine dellâ&#x20AC;&#x2122;equazione (Spiegel).

Dallâ&#x20AC;&#x2122;integrale generale eâ&#x20AC;&#x2122; possibile ottenere un integrale particolare scegliendo opportunamente le funzioni arbitrarie.

Un integrale singolare eâ&#x20AC;&#x2122; una soluzione che non puoâ&#x20AC;&#x2122; essere ottenuta dallâ&#x20AC;&#x2122;integrale generale con una scelta opportuna della funzioni arbitrarie.

Verificare se una funzione y(â&#x20AC;Ś.) eâ&#x20AC;&#x2122; una soluzione della equazione differenziale equivale a verificare con una sostituzione in formula se si ottiene una eguaglianza identicamente vera. Si consideri, ad esempio,

lâ&#x20AC;&#x2122;equazione differenziale

đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x2018;Ś đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ 2

=

đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x2018;Ś đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą 2

+ đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ą 2 . In questo caso per dire che la funzione đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2014; (x,t) eâ&#x20AC;&#x2122; soluzione di tale

equazione eâ&#x20AC;&#x2122; necessario e sufficiente dimostrare che

đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ 2

=

đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą 2

+ đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ą 2 .

Un problema associato ad una equazione differenziale alle derivate parziali consta di una equazione differenziale alle derivate parziali che deve essere risolta tenendo conto delle condizioni al contorno o delle condizioni parziali.

Eâ&#x20AC;&#x2122; possibile fare un esempio di problema considerando il caso della equazione seguente e della condizione al contorno assegnata: đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘

đ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

+đ?&#x2018;?

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś

= 0 u(x, 0) = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ

Nel novero delle equazioni differenziali alle derivate parziali sono ricomprese le equazioni lineari del secondo ordine (contenenti, quindi, derivate parziali seconde) del tipo: đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x2018;˘

đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x2018;˘

đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x2018;˘

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘

Ađ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ 2 + đ??ľ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľđ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś + Cđ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś2 +đ??ˇ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ + đ??¸ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś +đ??šđ?&#x2018;˘ = đ??ş Le grandezze A, B, C, D, E, F, e G non possono dipendere da đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;˘(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) .

Ad escludendum, le equazioni differenziali del secondo ordine che non sono della forma A đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x2018;˘

C

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś 2

+đ??ˇ

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

+đ??¸

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś

đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x2018;˘ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ 2

+đ??ľ

đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x2018;˘ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľđ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś

+

+đ??šđ?&#x2018;˘ = đ??ş sono dette non lineari.

Eâ&#x20AC;&#x2122; possibile che G sia identicamente nulla. Nel qual caso lâ&#x20AC;&#x2122;equazione eâ&#x20AC;&#x2122; detta omogenea, altrimenti lâ&#x20AC;&#x2122;equazione eâ&#x20AC;&#x2122; detta non omogenea.

Le equazioni lineari del secondo ordine vengono divise in: â&#x20AC;˘

equazione ellittica se đ??ľ2 â&#x2C6;&#x2019; 4đ??´đ??ś < 0

â&#x20AC;˘

equazione iperbolica se đ??ľ2 â&#x2C6;&#x2019; 4đ??´đ??ś > 0

â&#x20AC;˘

equazione parabolica se đ??ľ2 â&#x2C6;&#x2019; 4đ??´đ??ś = 0.

Un esempio di equazione differenziale lineare del secondo ordine eâ&#x20AC;&#x2122; la seguente đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x2018;˘ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ 2

đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x2018;˘

â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś2 = 0

Che si tratti di una equazione differenziale lineare del secondo ordine lo si desume dal fatto che essa puoâ&#x20AC;&#x2122; essere ricondotta al caso delle equazioni differenziali lineari del secondo ordine solo che si ponga

đ??ľ

đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x2018;˘ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľđ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś

=đ??ˇ

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

=đ??¸

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś

= đ??šđ?&#x2018;˘ = đ??ş = 0

Tale equazione eâ&#x20AC;&#x2122; pure omogenea.

Risulta đ??ľ2 â&#x2C6;&#x2019; 4đ??´đ??ś = 0 â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;1â&#x2C6;&#x2014; 1) = +1 > 0 .

Pertanto tale equazione eâ&#x20AC;&#x2122; iperbolica.

Lâ&#x20AC;&#x2122;operatore laplaciano in coordinate cartesiane Sia assegnata una funzione u(x,y,z,t) contenente le variabili indipendenti x, y, z e t .

Lâ&#x20AC;&#x2122;operatore scalare di Laplace, detto laplaciano, indicato con la notazione â&#x2C6;&#x2021;2 đ?&#x2018;˘ eâ&#x20AC;&#x2122; in đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x2018;˘

đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x2018;˘

đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x2018;˘

coordinate cartesiane ortogonali, per definizione, tale che â&#x2C6;&#x2021;2 đ?&#x2018;˘ = đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś2 + đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§2 .

Occorre peroâ&#x20AC;&#x2122; precisare che lo sviluppo del laplaciano eâ&#x20AC;&#x2122; dipendente dal sistema di coordinate che si utilizza e, quindi, tenuto conto delle formule di trasformazione delle coordinate (cartesiane â&#x2020;&#x2019; cilindriche, oppure cartesiane â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2019;) esistono modalitaâ&#x20AC;&#x2122; alternative di sviluppo di tale operatore.

Tale operatore, come si vedraâ&#x20AC;&#x2122; , eâ&#x20AC;&#x2122; presente in molte equazioni, quali lâ&#x20AC;&#x2122;equazione della conduzione del calore e nellâ&#x20AC;&#x2122;equazione di Laplace.

Risoluzione dei problemi al contorno o alle condizioni iniziali â&#x20AC;˘

Ricerca degli integrali generali â&#x2013;Ş

Teorema della sovrapposizione. Data una equazione differenziale alle derivate parziali omogenea se đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2013;â&#x2030;¤đ?&#x2018;&#x203A; sono soluzioni allora anche â&#x2C6;&#x2018; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2013;â&#x2030;¤đ?&#x2018;&#x203A; con đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013; costanti eâ&#x20AC;&#x2122; una soluzione di tale equazione.

â&#x2013;Ş

Integrale generale di una equazione differenziale alle derivate parziali non omogenea. Eâ&#x20AC;&#x2122; la somma di un integrale particolare dellâ&#x20AC;&#x2122;equazione differenziale non omogenea e dellâ&#x20AC;&#x2122;integrale generale dellâ&#x20AC;&#x2122;equazione omogena associata.

â&#x2013;Ş Metodo della separazione delle variabili Tale metodo consente di ottenere gli integrali particolari.

La soluzione viene intesa come il prodotto di funzioni incognite ognuna delle quali dipendente da una unica variabile indipendente. Il primo membro contiene una funzione di una sola variabile, il secondo le funzioni delle rimanenti variabili, con la conseguente costanza dei membri.

Tipologie di esercizi da affrontare Eâ&#x20AC;&#x2122; possibile introdurre una breve sintesi delle varie tipologie di esercizi e di problemi che devono essere affrontati.

đ?&#x153;ś) verificare se una data funzione eâ&#x20AC;&#x2122; soluzione di un dato problema al contorno.

Tale verifica eâ&#x20AC;&#x2122; riconducibile a sostituzioni in formula, al calcolo di derivate parziali, prime o seconde, e alla loro sostituzione nel corpo dellâ&#x20AC;&#x2122;equazione differenziale alle derivate parziali onde verificare che si ottenga una identitaâ&#x20AC;&#x2122;, cioeâ&#x20AC;&#x2122; una relazione di eguaglianza identicamente vera.

Un esempio potrebbe essere il seguente. Dire se per quale valore di k la funzione đ?&#x2018;§ = đ?&#x2018;§(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) = 4đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ cos2y eâ&#x20AC;&#x2122; una soluzione di

đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x2018;§ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ 2

đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x2018;˘

đ?&#x153;&#x2039;

+đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ 2 = 0 date le condizioni z(x, 2 ) = â&#x2C6;&#x2019;4đ?&#x2018;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ e z(x, 0) = 4đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ .

In prima battuta occorre verificare le condizioni al contorno. Risulta che 4đ?&#x2018;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ (â&#x2C6;&#x2019;1) = â&#x2C6;&#x2019;4đ?&#x2018;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ . Quanto alla seconda risulta z(x,

z(x,

đ?&#x153;&#x2039; ) 2

đ?&#x153;&#x2039;

= 4đ?&#x2018;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ cos22 =

0) = 4đ?&#x2018;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ cos0= 4đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ , essendo cos 0 = 1 .

Entrambe le condizioni sono verificate. Occorre ora calcolare le derivate, partendo dalle derivate prime. đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§ (4đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ cos2y) = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 2đ?&#x2018;Ś đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ (4đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ )= 4đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 2đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;(â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ) = 4đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 2đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ (â&#x2C6;&#x2019;3) = â&#x2C6;&#x2019;12đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 2đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ . đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

A questo punto si deve calcolare la derivata seconda â&#x2C6;&#x2019;12đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 2đ?&#x2018;Ś

đ?&#x153;&#x2022; (đ?&#x2018;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ ) đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§ đ?&#x153;&#x2022; ( )= (â&#x2C6;&#x2019;12đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 2đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ ) đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

=

=) = â&#x2C6;&#x2019;12đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 2đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ (â&#x2C6;&#x2019;3) = 36đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 2đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ .

đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x2018;§

Quindi đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ 2 = 36đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 2đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ .

A questo punto deve essere calcolata la derivata prima rispetto alla y, avendo che đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§ đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś (4đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ cos2y) = 4đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś (cos2y) = 4đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;2đ?&#x2018;Ś)2 atteso che đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś (2đ?&#x2018;Ś) = 2 = 2 . đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś

A questo punto eâ&#x20AC;&#x2122; possibile calcolare la derivata seconda

đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś

8đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;2đ?&#x2018;Ś) = 8đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ

8đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 2đ?&#x2018;Ś)2 = â&#x2C6;&#x2019;16cos2yđ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ .

Pertanto

đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x2018;§ = â&#x2C6;&#x2019;16cos2yđ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ . đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś 2

Quindi 36đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 2đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ = kâ&#x2C6;&#x2019;16cos2yđ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ da cui k = â&#x2C6;&#x2019;

36đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 2đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ 16cos2yđ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ

=

36 16

6

3

9

4

2

4

= ( )2 = ( )2 = .

đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś

(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;2đ?&#x2018;Ś) =

đ?&#x153;ˇ) verificare se un integrale generale eâ&#x20AC;&#x2122; una soluzione di una equazione differenziale alle derivate parziali.

In questo caso eâ&#x20AC;&#x2122; data una funzione ed eâ&#x20AC;&#x2122; necessario verificare se tale funzione eâ&#x20AC;&#x2122; una soluzione di una data equazione differenziale.

Eâ&#x20AC;&#x2122; possibile portare un esempio consistente nel verificare che la funzione v(x,y) = đ?&#x2018;Ľđ??š(2đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś) eâ&#x20AC;&#x2122; una soluzione (eâ&#x20AC;&#x2122; un integrale generale) della seguente equazione differenziale alle derivate parziali x

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ł đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ł đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś

=đ?&#x2018;Ł .

La funzione v(x,y) = đ?&#x2018;Ľđ??š(2đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś) = đ?&#x2018;Ľđ??š(đ?&#x2018;˘) eâ&#x20AC;&#x2122; il prodotto di due funzioni.

Si ha

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ł đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

=x

đ?&#x153;&#x2022;đ??š đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

+ đ??š(đ?&#x2018;˘)

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; ora calcolare

Da cui si ha

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ł đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x153;&#x2022;đ??š đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś

=đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x153;&#x2022;đ??š đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

+ đ??š(đ?&#x2018;˘) = đ?&#x2018;Ľđ??š â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;˘)2 + đ??š(đ?&#x2018;˘) = 2đ?&#x2018;Ľđ??š â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;˘) + đ??š(đ?&#x2018;˘) .

avendo che

đ?&#x153;&#x2022;đ??š đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś

=

đ?&#x153;&#x2022;đ??š đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś

= đ??š â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;˘)1 = đ??šâ&#x20AC;˛(đ?&#x2018;˘).

= đ?&#x2018;Ľđ??š â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;˘).

Occorre procedere ora alla verifica con le necessarie sostituzioni in formula. x

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ł đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ł đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś

=đ?&#x2018;Ł

đ?&#x2018;ĽâŚ&#x2039;2đ?&#x2018;Ľđ??š â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;˘) + đ??š(đ?&#x2018;˘)âŚ&#x152; â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;ĽâŚ&#x2039;đ?&#x2018;Ľđ??šâ&#x20AC;˛(đ?&#x2018;˘)âŚ&#x152; = đ?&#x2018;Ł 2đ?&#x2018;Ľ 2 đ??š â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;˘) + đ?&#x2018;Ľđ??š(đ?&#x2018;˘) â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ 2 đ??š â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;˘) = đ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;Ľđ??š(đ?&#x2018;˘) = đ?&#x2018;Ł c.v.d..

Fatta la verifica eâ&#x20AC;&#x2122; possibile imporre una condizione giungendo per questa via a ricavare un integrale particolare coerente con la condizione posta.

Îł) assegnata una funzione (quindi un integrale generale) determinare unâ&#x20AC;&#x2122;equazione alle derivate parziali che lo abbia come una soluzione.

Si potrebbe, ad esempio, voler determinare lâ&#x20AC;&#x2122;equazione differenziale alle derivate parziali avente la funzione h(x , y) =đ??š(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ś) + đ??ş(2đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś) .

đ?&#x153;š) metodo di separazione delle variabili.

Il metodo di separazione delle variabili permette di ricavare non tutte le soluzioni bensiâ&#x20AC;&#x2122; le soluzioni stazionarie. Assegnata una funzione đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) la si esprime considerando due funzioni g(x) e h(y) tali che đ?&#x2018;&#x201C;(x,y)= đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľ) .

Un esempio fisico di fondamentale importanza eâ&#x20AC;&#x2122; costituito dalla equazione del calore, dovuta a Fourier, scritta come segue: đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x153;&#x2022;2

â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś2 f(x,y) = 0

Poicheâ&#x20AC;&#x2122; vi sono due variabili indipendenti la funzione đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) eâ&#x20AC;&#x2122; tale che đ?&#x2018;&#x201C;(x,y)= đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ś) . Le due funzioni considerate sono derivabili due volte nellâ&#x20AC;&#x2122;aperto I Ă&#x2014; đ??˝ â&#x160;&#x201A; đ?&#x2018;&#x2026; 2 .

Lâ&#x20AC;&#x2122;equazione puoâ&#x20AC;&#x2122; essere riscritta come đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ś) đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x153;&#x2022;2

= đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś2f(x,y)

e, per quanto posto,

đ?&#x153;&#x2022;2

= đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś2 đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ś) . Poicheâ&#x20AC;&#x2122; il primo membro contiene la derivata prima rispetto

alla x e il secondo membro contiene la derivata seconda rispetto alla y allora h(y) al primo membro e g(x) al secondo membro possono essere considerati quali costanti.

Pertanto si ha h(y)

đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

= đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)

đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś 2

â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ś) e quindi â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ś)đ?&#x2018;&#x201D;â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)â&#x201E;&#x17D;â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ)

â&#x2C6;&#x20AC;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) â&#x2C6;&#x2C6; I Ă&#x2014; đ??˝ â&#x160;&#x201A; đ?&#x2018;&#x2026; 2 .

Per una soluzione stazionaria â&#x2C6;&#x192;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x153; , đ?&#x2018;Ś0 ) â&#x2C6;&#x2C6; I Ă&#x2014; đ??˝ | f(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x153; )đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ś0 ) â&#x2030; 0 cioeâ&#x20AC;&#x2122; f(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x153; ) = 0 e đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ś0 ) â&#x2030; 0 .

Se f non eâ&#x20AC;&#x2122; nulla e verifica â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ś)đ?&#x2018;&#x201D;â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)â&#x201E;&#x17D;â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ) allora eâ&#x20AC;&#x2122; possibile scrivere che đ?&#x2018;&#x201D;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ) =

â&#x201E;&#x17D;â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ś0 ) đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ś0 )

per ogni x â&#x2C6;&#x2C6; I .

â&#x201E;&#x17D;â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ś) =

đ?&#x2018;&#x201D;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ0 ) đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ś) đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ0 )

per ogni y â&#x2C6;&#x2C6; J .

Risulta

â&#x201E;&#x17D;â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ś0 ) â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ś0 )

=

đ?&#x2018;&#x201D;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ0 ) đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ0 )

=đ?&#x2018;?.

Da đ?&#x2018;&#x201D;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che

đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

g(x) = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) Applicando lâ&#x20AC;&#x2122;integrale indefinito

đ?&#x2018;&#x2018;

si ottiene â&#x2C6;Ť âŚ&#x2039;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ g(x)âŚ&#x152; dx = â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ e quindi g(x) = â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ ed immediatamente g(x) = đ?&#x2018;? â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ . Per verificare che g(x)= đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ verifica la condizione si puoâ&#x20AC;&#x2122; procedere come segue, scrivendo đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;? â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ .

Occorre quindi gestire lâ&#x20AC;&#x2122;integrale indefinito â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ . Tale integrale eâ&#x20AC;&#x2122; immediatamente risolubile con la sostituzione đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;˘ che differenziata porta a đ?&#x2018;&#x2018;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ da cui đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ e quindi dx =

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;?

. Sostituendo nellâ&#x20AC;&#x2122;integrale di ha â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ą â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;˘

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;?

1

= đ?&#x2018;? â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ da cui

1

đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;? đ?&#x2018;? â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ e quindi đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;˘ .

Occorre ora considerare â&#x201E;&#x17D;â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ś) =

đ?&#x2018;&#x201D;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ0 ) đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ś) đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ0 )

per ogni y â&#x2C6;&#x2C6; J .

Dalla manualistica (Verschueren) sono note â&#x20AC;&#x201C; al variare di c â&#x20AC;&#x201C; le soluzioni stazionarie di â&#x201E;&#x17D;â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ś) = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ś) . đ???

đ???đ?&#x;?

Osservazione su đ???đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;, đ?&#x2019;&#x161;) â&#x2C6;&#x2019; đ???đ?&#x2019;&#x161;đ?&#x;?f(x,y) = 0 (stesura provvisoria) Tale equazione puoâ&#x20AC;&#x2122; essere riscritta come

đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

=

đ?&#x153;&#x2022;2 f(x,y) đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś 2

La funzione f(x,y) = exp(đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś) eâ&#x20AC;&#x2122; una soluzione dellâ&#x20AC;&#x2122;equazione. Infatti, exp(đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś) â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ+đ?&#x2018;Ś .

Eâ&#x20AC;&#x2122; possibile trovare la funzione a primo membro scrivendo che đ?&#x153;&#x2022;

đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ś đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ś .

đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x153;&#x2022;

= đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ś =

Il secondo membro puoâ&#x20AC;&#x2122; ottenersi osservando che

đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś

đ?&#x153;&#x2022;

đ?&#x153;&#x2022;

= đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ś =

đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ś . Derivando nuovamente rispetto alla y, ad ottenere la derivata seconda richiesta, essendo

đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x153;&#x2022; f(x,y)= đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś(đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ś ) đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś 2

= đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Ś .

Banalmente anche la funzione f(x,y) = đ?&#x2018;&#x2DC;1 exp(đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś) + đ?&#x2018;&#x2DC;2 eâ&#x20AC;&#x2122; una soluzione dellâ&#x20AC;&#x2122;equazione, quando đ?&#x2018;&#x2DC;1 đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;2 sono due numeri reali.

Occorre chiedersi se f(x,y) = đ?&#x2018;&#x2DC;1 exp(đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś) + đ?&#x2018;&#x2DC;2 (đ?&#x2018;Ľ) e f(x,y) = đ?&#x2018;&#x2DC;1 exp(đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś) + đ?&#x2018;&#x2DC;2 (đ?&#x2018;Ś) possano essere soluzioni. đ?&#x2018;&#x2DC;2 (đ?&#x2018;Ľ) non puoâ&#x20AC;&#x2122; essere soluzione dellâ&#x20AC;&#x2122;equazione proposta. Si rileva che đ?&#x2018;&#x2DC;2 (đ?&#x2018;Ś) puoâ&#x20AC;&#x2122; essere soluzione . đ?&#x153;&#x2022;

đ?&#x153;&#x2022;2

đ?&#x153;&#x2022;2

đ?&#x153;&#x2022;

Infatti, da đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) = đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś2 f(x,y) deve risultare che đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2DC;2 (đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś2 đ?&#x2018;&#x2DC;2 (đ?&#x2018;Ľ) cioeâ&#x20AC;&#x2122; đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x20AC;˛2 (đ?&#x2018;Ľ) = 0 Ma allora sarebbe đ?&#x2018;&#x2DC;2 (đ?&#x2018;Ľ) contro lâ&#x20AC;&#x2122;ipotesi sia đ?&#x2018;&#x2DC;2 = đ?&#x2018;&#x2DC;2 (đ?&#x2018;Ľ) . đ?&#x153;&#x2022;2

đ?&#x153;&#x2022;

Pertanto f(x,y) = đ?&#x2018;&#x2DC;1 exp(đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś) + đ?&#x2018;&#x2DC;2 (đ?&#x2018;Ľ) non eâ&#x20AC;&#x2122; soluzione di đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) = đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś2 f(x,y) .

Occorre verificare se f(x,y) = đ?&#x2018;&#x2DC;1 exp(đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś) + đ?&#x2018;&#x2DC;2 (đ?&#x2018;Ś) eâ&#x20AC;&#x2122; una soluzione di đ?&#x153;&#x2022;2 f(x,y) đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś 2

đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

=

. đ?&#x153;&#x2022;2

đ?&#x153;&#x2022;

In questo caso evidentemente dovrebbe risultare đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2DC;2 (đ?&#x2018;Ś) = đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś2 đ?&#x2018;&#x2DC;2 (đ?&#x2018;Ś) da cui immediatamente sarebbe 0 = đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛2 (đ?&#x2018;Ś) sarebbe quindi đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x20AC;˛2 (đ?&#x2018;Ś) =costante, dovendo essere đ?&#x2018;&#x2DC;2 (đ?&#x2018;Ś) = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;? (funzione affine).

Un semplice esempio applicativo del metodo della separazione delle variabili Data U(x, y) tale che sia U(x,y)= đ?&#x2018;&#x2039;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x152;(đ?&#x2018;Ś) e data la seguente equazione differenziale đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x2C6;(đ?&#x2018;Ľ,đ?&#x2018;Ś) đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

alle derivate parziali k đ?&#x153;&#x2022;

đ?&#x153;&#x2022;

â&#x2C6;&#x2019;â&#x201E;&#x17D;

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x2C6;(đ?&#x2018;Ľ,đ?&#x2018;Ś) đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x2C6;(đ?&#x2018;Ľ,đ?&#x2018;Ś) đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

= 0 o, alternativamente, k

=â&#x201E;&#x17D;

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x2C6;(đ?&#x2018;Ľ,đ?&#x2018;Ś) đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś

e

quindi kđ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2039;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x152;(đ?&#x2018;Ś) = â&#x201E;&#x17D; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2039;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x152;(đ?&#x2018;Ś) da cui si ha kY(y)Xâ&#x20AC;&#x2122;(x) =) = â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2039;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x152;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ś) e piuâ&#x20AC;&#x2122;

sinteticamente kYXâ&#x20AC;&#x2122; = â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2039;đ?&#x2018;&#x152;â&#x20AC;˛ . Dividendo successivamente ambo i membri per X e per đ?&#x2018;&#x2039;â&#x20AC;˛ đ?&#x2018;&#x2039;

Y si ottiene k

=â&#x201E;&#x17D;

đ?&#x2018;&#x152;â&#x20AC;˛ đ?&#x2018;&#x152;

= đ?&#x2018;? , essendo c una quantitaâ&#x20AC;&#x2122; costante reale.

Pertanto si perviene alle due seguenti equazioni differenziali ordinarie kXâ&#x20AC;&#x2122;= đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2039;

e hYâ&#x20AC;&#x2122;= đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x152; .

Le equazioni differenziali alle derivate parziali piuâ&#x20AC;&#x2122; elementari Le equazioni differenziali alle derivate parziali nelle quali lâ&#x20AC;&#x2122;incognita eâ&#x20AC;&#x2122; la funzione f(x,y) vengono studiate su un aperto A â&#x160;&#x201A; đ?&#x2018;&#x2026; 2 .

Eâ&#x20AC;&#x2122; sicuramente utile ricordare la nozione di aperto A â&#x160;&#x201A; đ?&#x2018;&#x2026;2 . La seguente figura evidenzia di che si tratta.

Gli intervalli aperti (a ,b) e (c, d) consentono di costruire un insieme di coppie ordinate, quindi un insieme, sottoinsieme proprio di đ?&#x2018;&#x2026;2 , descritto formalmente come (a, b) Ă&#x2014; (đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;&#x2018;). La figura ben evidenzia un rettangolo i cui lati sono tratteggiati. Lâ&#x20AC;&#x2122;aperto A â&#x2030;Ą (a, b) Ă&#x2014; (đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;&#x2018;) eâ&#x20AC;&#x2122; lâ&#x20AC;&#x2122;insieme dei punti interni al rettangolo individuato. I punti che individuano i lati del rettangolo (punti della frontiera) non appartengono ad A, che altrimenti non sarebbe un aperto.

đ?&#x153;&#x2022;

Un primo caso eâ&#x20AC;&#x2122; dato dallâ&#x20AC;&#x2122;equazione differenziale đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) = 0 đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A; A = (a, b) Ă&#x2014; (đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;&#x2018;).

Eâ&#x20AC;&#x2122; richiesto di trovare le funzioni derivabili una volta rispetto alla x sullâ&#x20AC;&#x2122;aperto che si considera.

đ?&#x153;&#x2022;

Per ogni đ?&#x2018;Ś0 | đ?&#x2018;Ś0 â&#x2C6;&#x2C6; (đ?&#x2018;&#x17D; , đ?&#x2018;?) risulta che đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś0 ) = 0. In altri termini â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;Ś0 | đ?&#x2018;Ś0 â&#x2C6;&#x2C6; (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?)la funzione đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś0 ) eâ&#x20AC;&#x2122; derivabile e tale derivata eâ&#x20AC;&#x2122; nulla. Pertanto da

đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś0 ) đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

= 0 si

evince che đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś0 ) = â&#x201E;&#x17D;0 â&#x2C6;&#x20AC; đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2C6; (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?) quando eâ&#x20AC;&#x2122; dato y = đ?&#x2018;Ś0 | đ?&#x2018;Ś0 â&#x2C6;&#x2C6; (đ?&#x2018;&#x17D; , đ?&#x2018;?) .

In altri termini deve essere f(x, y) = â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ś). Tale funzione deve essere derivabile in (c,d).

A volte gli intervalli aperti a destra e a sinistra vengono rappresentati come âŚ&#x152;a , bâŚ&#x2039; .

Le scritture (a , b) e âŚ&#x152;a , bâŚ&#x2039; devono intendersi equivalenti.

đ?&#x153;&#x2022;

La funzione f(x, y) eâ&#x20AC;&#x2122; soluzione di

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) = 0 đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A; đ??´ = (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?) Ă&#x2014; (đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;&#x2018;) se e solo se esiste una funzione

h(y)= đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) tale che â&#x2C6;&#x20AC;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) â&#x2C6;&#x2C6; đ??´ essa sia derivabile a derivata nulla in (c, d).

Usando la separazione delle variabili si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) = đ??´(đ?&#x2018;Ľ)đ??ľ(đ?&#x2018;Ś) da cui si ha đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) =

đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

đ??´(đ?&#x2018;Ľ)đ??ľ(đ?&#x2018;Ś) = đ??ľ(đ?&#x2018;Ś)

đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

đ??´(đ?&#x2018;Ľ) = 0. Poicheâ&#x20AC;&#x2122; in generale la relazione đ??ľ(đ?&#x2018;Ś)

đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

đ??´(đ?&#x2018;Ľ) = 0

non puoâ&#x20AC;&#x2122; essere vera nasce una contraddizione dallâ&#x20AC;&#x2122;avere posto đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) = đ??´(đ?&#x2018;Ľ)đ??ľ(đ?&#x2018;Ś).

Eâ&#x20AC;&#x2122; bene procedere ordinatamente, e atteso che trattasi di una condizione necessaria e sufficiente, si puoâ&#x20AC;&#x2122; impostare la prima parte della dimostrazione enunciabile come â&#x20AC;˘

se f(x,y) = â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ś) allora

â&#x20AC;˘

se

đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) =

đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ś) = 0, immediatamente.

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) = 0 allora f(x,y) = â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ś). Fermo restando quanto detto, allâ&#x20AC;&#x2122;uopo utilizzando

il metodi di separazione delle variabili, si osserva che đ??ľ(đ?&#x2018;Ś)

đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

đ??´(đ?&#x2018;Ľ) = 0 vera quando

đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) =

đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

đ??´(đ?&#x2018;Ľ)đ??ľ(đ?&#x2018;Ś) =

đ??´(đ?&#x2018;Ľ) = 0 cioeâ&#x20AC;&#x2122; quando A(x) eâ&#x20AC;&#x2122; una costante.

Il caso A(x) = đ?&#x2018;&#x2DC; essendo k una costante reale eâ&#x20AC;&#x2122; un caso particolare.

Pertanto se h(y) eâ&#x20AC;&#x2122; una soluzione allora pure soluzioni sono le funzioni kf(y) al variare di k in R.

4. sERIE DI FOURIER Prima di introdurre la serie di Fourier eâ&#x20AC;&#x2122; sicuramente utile ricordare qualche semplice nozione basica.

Funzioni periodiche. Una funzione eâ&#x20AC;&#x2122; detta periodica se f(x) = đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x2021;) , essendo T il piuâ&#x20AC;&#x2122; piccolo numero reale che rende vera tale relazione. In generale risulta f(x) = đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2021;) al variare di k negli interi relativi. T eâ&#x20AC;&#x2122; ordinariamente detto periodo minimo.

Occorre ricordare che le funzioni sin(x) e cos(x) sono periodiche di periodo 2đ?&#x153;&#x2039; .

Si scrive che sin(đ?&#x2018;Ľ) = sin(đ?&#x2018;Ľ + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x153;&#x2039;) e đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľ + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x153;&#x2039;) .

La funzione tang(x) eâ&#x20AC;&#x2122; periodica di periodo đ?&#x153;&#x2039; e si scrive che đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x153;&#x2039;) .

A volte si ha a che fare con funzioni trigonometriche il cui argomento eâ&#x20AC;&#x2122; del tipo nx, cioeâ&#x20AC;&#x2122; si deve studiare una funzione del tipo sin(nx). In questo caso per calcolare il periodo si ragiona in questo modo. sin(đ?&#x2018;&#x203A;(đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x2021;)) = sin(đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ľ + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x153;&#x2039;) da cui đ?&#x2018;&#x203A;(đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x2021;)) = (đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ľ + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x153;&#x2039;) cioeâ&#x20AC;&#x2122; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2021; = đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ľ + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x153;&#x2039; e quindi nT =2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x153;&#x2039; . Pertanto T =

2đ?&#x153;&#x2039; đ?&#x2018;&#x203A;

.

Analogamente si opera per lo studio di funzioni quali cos(nx) e tang(nx) . â&#x2013; â&#x2013; â&#x2013; Funzioni continue a tratti. Una funzione f(x) eâ&#x20AC;&#x2122; generalmente continua in (a, b) se esiste un numero finito di punti nei quali la funzione non eâ&#x20AC;&#x2122; continua. In tali punti, detti đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013; ,non risulta finito il valore f(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013; ) e risulta lim+ đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013; ) â&#x2030; limâ&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013; ) . đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013;

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013;

Questa eâ&#x20AC;&#x2122; una spiegazione concisa ma sostanzialmente equivalente a quella rinvenuta nella manualistica (Spiegel), cui si rimanda.

Funzioni generalmente continue. Continuitaâ&#x20AC;&#x2122; a tratti.

Come esempio di funzione definita a tratti e generalmente continua puoâ&#x20AC;&#x2122; essere proposto il seguente. đ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ľ 2 đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = {4 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x; 0 < đ?&#x2018;Ľ < 2 đ?&#x2018;Ľ + 1 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;¤ 0 Evidenziarne la continuitaâ&#x20AC;&#x2122; a tratti in âŚ&#x2039;-1 , 5âŚ&#x152; .

La rappresentazione grafica della funzione definita a tratti eâ&#x20AC;&#x2122; la seguente.

La funzione f(x) eâ&#x20AC;&#x2122; definita e continua in (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, 0) đ?&#x2018;&#x2019; conseguentemente in âŚ&#x2039;-1 , 0).

Per đ?&#x2018;Ľ = 0 si ha una discontinuitaâ&#x20AC;&#x2122; a salto in quanto limâ&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = 1 â&#x2030; lim+ đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = 4 con đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0

un salto đ?&#x203A;ż = 3 .

La funzione f(x) in oggetto eâ&#x20AC;&#x2122; continua in (0, 2) risultando definita e costante in detto intervallo.

La funzione eâ&#x20AC;&#x2122; poi continua in âŚ&#x2039;2, +â&#x2C6;&#x17E;) in quanto, ancora piuâ&#x20AC;&#x2122; ampiamente đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľ 2 eâ&#x20AC;&#x2122; definita e continua in (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, +â&#x2C6;&#x17E;) .

Per đ?&#x2018;Ľ = 2 si ha lim+ đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = limâ&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = 4. đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2

Eâ&#x20AC;&#x2122; poi utile ricordare le due identitaâ&#x20AC;&#x2122; di Eulero đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x153;&#x192; = cos(đ?&#x153;&#x192;) + đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;(đ?&#x153;&#x192;) đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x153;&#x192; = cos(đ?&#x153;&#x192;) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;(đ?&#x153;&#x192;) essendo đ?&#x2018;&#x2013; lâ&#x20AC;&#x2122;unitaâ&#x20AC;&#x2122; immaginaria. â&#x2013; â&#x2013; â&#x2013;

Nozione di serie di Fourier Sia assegnata una funzione f(x), definita e continua in (â&#x2C6;&#x2019;đ??ż, đ??ż) periodica di periodo 2L, cioeâ&#x20AC;&#x2122; tale che in (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, â&#x2C6;&#x2019;đ??ż) e in (L, +â&#x2C6;&#x17E;) risulti essere f(x+2đ??ż) = đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) .

A tale funzione eâ&#x20AC;&#x2122;, per definizione, associato il seguente sviluppo, comunemente detto serie di Fourier đ?&#x2018;&#x17D;2 2

+ â&#x2C6;&#x2018;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x203A;=1(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; cos

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ đ??ż

+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; sin

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ ). đ??ż

đ??ź valori đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; e đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; sono detti coefficienti di Fourier, risultando che 1

đ??ż

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ đ??ż

dx

1

đ??ż

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ đ??ż

dx

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;đ??ż đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) cos đ??ż đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; = đ??ż â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;đ??ż đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) sin

con n â&#x2030;Ľ 0 đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;.

Attesa la periodicitaâ&#x20AC;&#x2122; 2L delle funzioni trattate i coefficienti di Fourier solitamente vengono scritti nella forma 1

đ?&#x2018;?+2đ??ż

1

đ?&#x2018;?+2đ??ż

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;? đ??ż đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; = đ??ż â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;?

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ đ??ż

dx

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ đ??ż

dx

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) cos

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) sin

con n â&#x2030;Ľ 0 đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x2019; c un numero reale qualunque.

La quantitaâ&#x20AC;&#x2122;

đ?&#x2018;&#x17D;0 2

1

đ??ż

=2đ??ż â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;đ??ż đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

Esiste un caso particolare nel quale L, cioeâ&#x20AC;&#x2122; il semiperiodo della funzione, vale đ?&#x153;&#x2039; .

In questo caso posto L = đ?&#x153;&#x2039; ed immediatamente si ha đ?&#x2018;&#x17D;2 2

+ â&#x2C6;&#x2018;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x203A;=1(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; cos

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2039;

+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; sin

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ ) đ?&#x153;&#x2039;

=

đ?&#x2018;&#x17D;2 2

đ?&#x2018;&#x17D;2 2

+ â&#x2C6;&#x2018;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x203A;=1(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; cos

+ â&#x2C6;&#x2018;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x203A;=1(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; cos đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ľ +đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; sin đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ľ).

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ đ??ż

+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; sin

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ )= đ??ż

Il teorema di Dirichlet Le condizioni di convergenza della serie di Fourier associata ad f(x) sono state ricavate da Dirichelet.

Data una funzione f(x), periodica di periodo 2L, tale che sia dom f(x) = (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, +â&#x2C6;&#x17E;) e sia definita e continua in â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;Ľ| đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2C6; (â&#x2C6;&#x2019;đ??ż, đ??ż) / đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013; con i intero assoluto con derivata prima continua in â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;Ľ| đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2C6; (â&#x2C6;&#x2019;đ??ż, đ??ż) / đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013; la serie di Fourier converge al valore f(x) â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;Ľ| đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2C6; (â&#x2C6;&#x2019;đ??ż, đ??ż) / đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013; e converge al valore

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013;+ )+đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019; ) 2

â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013; | đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013; eâ&#x20AC;&#x2122; un punto di discontinuitaâ&#x20AC;&#x2122; della f(x).

In altri termini se x eâ&#x20AC;&#x2122; un punto di continuitaâ&#x20AC;&#x2122; per f(x) verificate queste condizioni (teorema di Dirichelet) si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere f(x) =

đ?&#x2018;&#x17D;2 2

+ â&#x2C6;&#x2018;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x203A;=1(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; cos

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ đ??ż

+đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; sin

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ ), đ??ż

essendo đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; e đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; i cosiddetti coefficienti di

Fourier.

Nei punti đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013; di discontinuitaâ&#x20AC;&#x2122; della f(x) si ammette f(x) =

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013;+ )+đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019; ) 2

. In altri termini in

detti punti la funzione converge al valore medio tra đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013;+ ) + đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019; ) .

La manualistica (Spiegel) rileva che il teorema di Dirichelet non esprime una condizione necessaria e sufficiente a garantire la convergenza.

In ogni caso le citate condizioni (teorema di Dirichlet) garantiscono la convergenza, risultando possibile la convergenza in ipotesi distinte rispetto a quelle del teorema citato. ⧞⧞⧞ Una ulteriore semplificazione dello sviluppo in serie di Fourier di una funzione f(x) eâ&#x20AC;&#x2122; possibile avuto riguardo al fatto che una funzione f(x) sia pari oppure sia dispari.

Sviluppo in serie di Fourier di una funzione pari Se f(x) eâ&#x20AC;&#x2122; pari, cioeâ&#x20AC;&#x2122; se f(x) = f(-x) (e quindi simmetrica rispetto allâ&#x20AC;&#x2122;asse delle ordinate), risulta che đ??ż

1

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;đ??ż đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ??ż

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ đ??ż

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; = 0

Sviluppo in serie di Fourier di una funzione f(x) dispari Nel caso di funzioni dispari, simmetriche rispetto allâ&#x20AC;&#x2122;origine di un sistema di riferimento cartesiano, per le quali vale, quindi, la relazione f(-x) = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) i coefficienti di Fourier risultano essere đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = 0 đ??ż

1

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; = đ??ż â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;đ??ż đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ đ??ż

.

đ?&#x2018;łâ&#x20AC;˛eguaglianza di Parseval Assegnata una funzione f(x) che soddisfa le condizioni del teorema di Dirichlet se đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; e đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; sono i coefficienti di Fourier della serie associata risulta verificata la seguente relazione 1 đ??ż â&#x2C6;Ť (đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ))2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ??ż â&#x2C6;&#x2019;đ??ż

=

đ?&#x2018;&#x17D;0 2

2 2 + â&#x2C6;&#x2018;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x2013;=1(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013; )

Convergenza uniforme Una serie â&#x2C6;&#x2018;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x2013;=1 đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;Ľ) eâ&#x20AC;&#x2122; detta convergente se â&#x2C6;&#x192;đ?&#x153;&#x20AC; > 0| |đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2026; (đ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)| < đ?&#x153;&#x20AC; â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x2026; > đ?&#x2018; | N= đ?&#x2018; (đ?&#x153;&#x20AC;, đ?&#x2018;Ľ) .

La funzione f(x) eâ&#x20AC;&#x2122; ordinariamente detta somma della serie.

Nel caso particolare risulti N= đ?&#x2018; (đ?&#x153;&#x20AC;), cioeâ&#x20AC;&#x2122; quando N non sia dipendente da x si dice che la serie converge uniformemente al valore f(x).

La convergenza uniforme puoâ&#x20AC;&#x2122; essere provata a partire dalla definizione. In ogni caso giova ricordare che eâ&#x20AC;&#x2122; dovuto a Weierstrađ?&#x203A;˝ un criterio di convergenza detto criterio M. ⧞â&#x2013; ⧞ Le serie assolutamente convergenti godono di particolari utilissime proprietaâ&#x20AC;&#x2122;, esprimenti condizioni sufficienti. â&#x20AC;˘

Se ogni termine della serie eâ&#x20AC;&#x2122; continuo in (a, b) e se la serie eâ&#x20AC;&#x2122; uniformemente convergente allora f(x) eâ&#x20AC;&#x2122; continua in (a, b) e la serie eâ&#x20AC;&#x2122; integrabile termine a termine.

â&#x20AC;˘

Se ogni termine della serie eâ&#x20AC;&#x2122; derivabile e se la serie delle derivate eâ&#x20AC;&#x2122; convergente la serie eâ&#x20AC;&#x2122; derivabile membro a membro.

Notazione complessa della serie di Fourier Nella modalitaâ&#x20AC;&#x2122; complessa la funzione di Fourier viene scritta come segue

f(x) = â&#x2C6;&#x2018;+â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x203A;=â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2019;

đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ đ??ż

ove i = â&#x2C6;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;1 1

đ??ż

risultando che đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; = 2đ??ż â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;đ??ż đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ đ??ż

.

Devono essere verificate le condizioni del teorema di Dirichlet con f(x) continua in x.

Nei punti di discontinuitaâ&#x20AC;&#x2122; risulta

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013;+ )+đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019; ) 2

= â&#x2C6;&#x2018;+â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x203A;=â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2019;

đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ đ??ż

Approfondimento sulla serie di Fourier con i numeri complessi Eâ&#x20AC;&#x2122; stato osservato (Bolzern, Scattolini, Schiavoni) che per funzioni periodiche di periodo minimo T, per ogni Tâ&#x20AC;&#x2122;< đ?&#x2018;&#x2021; risulta f(t +đ?&#x2018;&#x2021;â&#x20AC;˛) â&#x2030; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ą) per ogni t salvo il caso in cui sia f(t)= đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ą. . In tale ultimo particolare caso ogni numero reale puoâ&#x20AC;&#x2122; essere inteso quale il periodo minimo della funzione.

Viene definita pulsazione del segnale periodico la grandezza đ?&#x153;&#x201D;0 = Eâ&#x20AC;&#x2122;

possibile

(Bolzern,

Scattolini,

Schiavoni)

considerare

2đ?&#x153;&#x2039; đ?&#x2018;&#x2021;

.

lâ&#x20AC;&#x2122;integrale

đ??šđ?&#x2018;&#x203A; =

â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x2021; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ą)đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x201D;0 đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;?.

La lettera T collocata a latere della sigma di integrale eâ&#x20AC;&#x2122; riconducibile e interpretabile alla stregua seguente đ?&#x2018;Ą +đ?&#x2018;&#x2021;

â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x2021; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ą)đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x201D;0 đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą = â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;Ą 0 0

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ą)đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x201D;0 đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą

La successione i cui elementi sono i đ??šđ?&#x2018;&#x203A; cioeâ&#x20AC;&#x2122; lâ&#x20AC;&#x2122;insieme {đ??šđ?&#x2018;&#x203A; } eâ&#x20AC;&#x2122; detta spettro di f(t). đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x201D;0 đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;Ą| đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ą)đ?&#x2018;&#x2019; â&#x20AC;˛ continua e derivabile si ha f(t) = â&#x2C6;&#x2018;+â&#x2C6;&#x17E; detta serie di Fourier â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ??šđ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2019;

esponenziale.

In genere si utilizzano funzioni reali di una variabile reale e risulta essere đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x201D;0 đ?&#x2018;Ą f(t) = â&#x2C6;&#x2018;+â&#x2C6;&#x17E; + đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x201D;0 đ?&#x2018;Ą ) cui corrisponde la serie di Fourier in forma đ?&#x2018;&#x203A;=1 đ??šđ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;&#x2019;

trignometrica.

I numeri complessi Per gestire tutti i passaggi e le relative equivalenze formali eâ&#x20AC;&#x2122; sicuramente utile partire dalle relazioni fondamentali che riguardano i numeri complessi a partire dalla loro definizione.

Credo che si possa procedere sommariamente atteso che tali nozioni, per chi legge questo elaborato, dovrebbero essere ben note.

Un numero complesso eâ&#x20AC;&#x2122; ordinariamente scritto in forma algebrica come đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;? , essendo a e b due numeri reali e i = â&#x2C6;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;1 . Tale numero puoâ&#x20AC;&#x2122; essere visto formalmente come la coppia (a, b) di un piano, detto complesso, o piano di Gauđ?&#x203A;˝, Argand, Wessel.

Esiste per essi una trattazione assiomatica per la quale si rimanda allâ&#x20AC;&#x2122;ottima manualistica in circolazione.

La rappresentazione del piano complesso eâ&#x20AC;&#x2122; la seguente.

Im ib a

Re

Sono immediate le seguenti relazioni đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019;(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?)

đ?&#x2018;?

sin(đ?&#x153;&#x192;) = |đ?&#x2018;&#x17D;+đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?| = |đ?&#x2018;&#x17D;+đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?| đ?&#x2018;&#x17D;

cos(đ?&#x153;&#x192;) = |đ?&#x2018;&#x17D;+đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?| essendo |a+đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?| = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;? 2 đ?&#x2018;&#x17D;

tang(đ?&#x153;&#x192;) = đ?&#x2018;? .

Solitamente si pone |a+đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?| = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;? 2 = đ?&#x153;&#x152;, detto modulo del numero complesso (a, b)â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x2026; Ă&#x2014; đ?&#x2018;&#x2026; â&#x2030;Ą đ??ś .

C= {(đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?)|đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x2026; , đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x2026;} .

Dalle

relazioni

trigonometriche

ricavate

dal

piano

complesso

si

ottiene

immediatamente la relazione trigonometrica che definisce il numero complesso per mera sostituzione, cioeâ&#x20AC;&#x2122; đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;? = đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x153;&#x192; + đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x192; = đ?&#x153;&#x152;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x153;&#x192; + đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x192;).

Come eâ&#x20AC;&#x2122; noto, dei numeri complessi eâ&#x20AC;&#x2122; data anche una notazione esponenziale, allâ&#x20AC;&#x2122;uopo utilizzando le formule di Euler.

Non infrequentemente, specie in elettronica, in luogo della lettera i si usa la lettera j con il significato j = â&#x2C6;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;1 .

In altri termini si puoâ&#x20AC;&#x2122; considerare (Prati), solo che si ponga, come ovvio đ?&#x153;&#x192; = đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą , un segnale esponenziale complesso definito, nel dominio del tempo, come segue đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą = cos(đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą) + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;(đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą) risultando immediatamente, ex identitaâ&#x20AC;&#x2122; pitagorica, che |đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą | = 1 .

Ulteriormente si ha đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą = cos(đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;(đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą) .

Tassonomia di base dei segnali Una distinzione fondamentale tra segnali eâ&#x20AC;&#x2122; quella che scrimina quelli continui da quelli discreti considerandoli nel dominio del tempo. â&#x20AC;˘

scalino discreto. Si pone đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A; = {

0 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x203A; < 0 . Il segnale non eâ&#x20AC;&#x2122; definito â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;Ľ|đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2030; 1 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ľ 0

đ?&#x2018;?. â&#x20AC;˘

impulso discreto. Si pone đ?&#x203A;żđ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 ponendo đ?&#x203A;żđ?&#x2018;&#x203A; = 1 per n = 0 e đ?&#x203A;żđ?&#x2018;&#x203A; = 0 per n â&#x2030; 0, mentre đ?&#x203A;żđ?&#x2018;&#x203A; non eâ&#x20AC;&#x2122; definita â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;Ľ|đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2030; đ?&#x2018;?.

â&#x20AC;˘

scalino tempo continuo. La funzione scalino tempo continuo puoâ&#x20AC;&#x2122; essere 0 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Ą < 0 utilmente definita come segue u(t)=

1 {2

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Ą = 0 (Prati) . Altrimenti tale 1 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Ą > 0

funzione viene definita come segue u(x) = {

0 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Ľ < 0 (Bronson) e secondo 1 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ľ 0

questa modalitaâ&#x20AC;&#x2122; viene rappresentata graficamente come segue.

â&#x20AC;˘

â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;?| đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x2026; đ?&#x2018;&#x2019; â&#x20AC;˛ possibile definire la funzione u(xâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?) = {

0 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Ľ < đ?&#x2018;Ľ .

1 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ľ đ?&#x2018;?

Ad esempio, se c eâ&#x20AC;&#x2122; positivo (c > 0) allora si ha la seguente rappresentazione. u(x- c)

â&#x20AC;˘

Assegnata una funzione f(x) | dom f = âŚ&#x2039;0 , +â&#x2C6;&#x17E;) eâ&#x20AC;&#x2122; possibile definire 0 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Ľ < đ?&#x2018;? u(x-c) f(x-c) = { che indica una traslazione positiva quando đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?) đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ľ đ?&#x2018;? c eâ&#x20AC;&#x2122; un reale positivo.

â&#x20AC;˘

impulso tempo continuo. Tale segnale eâ&#x20AC;&#x2122; definito da una particolare relazione 1

đ?&#x2018;Ą

cioeâ&#x20AC;&#x2122; da đ?&#x203A;ż(đ?&#x2018;Ą) = lim đ?&#x2018;&#x2021; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ą (đ?&#x2018;&#x2021;). Tale segnale merita ulteriori approfondimenti, a đ?&#x2018;&#x2021;â&#x2020;&#x2019;0

partire dalla sua nozione matematica intesa come limite di successione di funzioni Al momento eâ&#x20AC;&#x2122; possibile ricordare che esso viene solitamente rappresentato da un segmento di area unitaria, come segue.

Per đ?&#x153;? positivo lâ&#x20AC;&#x2122;espressione đ?&#x203A;ż(đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;?) ha la corrispondente rappresentazione.

.

â&#x20AC;˘

la funzione rect(x). Una funzione che definisce un segnale particolarmente đ?&#x2018;Ą

utile eâ&#x20AC;&#x2122; la funzione rect(x) anche indicato con il formalismo rect(đ?&#x2018;&#x2021;) la cui area đ?&#x2018;Ą

vale convenzionalmente 1. Per T = 1 si ha rect(đ?&#x2018;&#x2021;)= đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ą(đ?&#x2018;Ą) .

In questo caso particolare la rappresentazione grafica eâ&#x20AC;&#x2122; immediatamente la seguente.

Eâ&#x20AC;&#x2122; immediato comprendere che lâ&#x20AC;&#x2122;area del rettangolo in giallo eâ&#x20AC;&#x2122; unitaria.

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; lavorare molto sulla funzione rect(.) facendo variare T ma ragionando sotto la condizione che lâ&#x20AC;&#x2122;area che si considera sia unitaria. Risulta evidente che per T maggiore di 1 si riduce proporzionalmente lâ&#x20AC;&#x2122;altezza, dovendo lâ&#x20AC;&#x2122;area della superficie rimanere costantemente unitaria.

In casi del genere eâ&#x20AC;&#x2122; come studiare le funzioni del tipo f(ax) quando sia nota la funzione f(x)

solo

che

si

ponga

a

=

1

,

đ?&#x2018;&#x2021;

con

a

â&#x2030; 0, đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030; 1,

đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2019;, riportandosi, quindi, al caso della dilatazione o della compressione lungo lâ&#x20AC;&#x2122;asse che designa la variabile indipendente.

Eâ&#x20AC;&#x2122; ben noto che â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;Ľ0 | đ?&#x2018;Ľ0 â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x201C; la scrittura f(đ?&#x2018;Ľ0 ) denota lâ&#x20AC;&#x2122;ordinata . Considerando la funzione f(ax) nel punto

đ?&#x2018;Ľ0 đ?&#x2018;&#x17D;

si ha f(a

đ?&#x2018;Ľ0 đ?&#x2018;&#x17D;

) = đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ0 ) quando đ?&#x2018;Ľ0 appartiene al dominio di f.

Pertanto nel punto ađ?&#x2018;Ľ0 la funzione f(ax) assume lo stesso valore che la funzione f(x) assume nel punto đ?&#x2018;Ľ0 .

Per esempio data la funzione g(x) = đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ľ) e data la funzione f(x) per k > 1 concentrandosi su un solo punto detto đ?&#x2018;Ľ0 si evince quanto riportato nel grafico seguente, che puoâ&#x20AC;&#x2122; essere esteso a costruire la funzione đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ľ) data la funzione f(x) solo che si considerino tutti i punti {đ?&#x2018;Ľ0 } = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x201C; .

Il punto in viola eâ&#x20AC;&#x2122; un punto di f(x) mentre il punto in nero eâ&#x20AC;&#x2122; un punto di g(x).

Tali argomentazioni possono essere applicate alla funzione rect(.) tenuto conto che deve preservata unitaria lâ&#x20AC;&#x2122;area della sua superficie. â&#x20AC;˘

đ?&#x;?

đ?&#x2019;&#x2022;

1

đ?&#x2018;ť

đ?&#x2018;ť

đ?&#x2018;&#x2021;

il segnale đ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x2022; ( ). Tale segnale ha ampiezza costante

đ?&#x2018;&#x2021; đ?&#x2018;&#x2021;

per T â&#x2C6;&#x2C6; (â&#x2C6;&#x2019; , ) e valore 2 2

nullo fuori da detto intervallo simmetrico di t = 0 e di lunghezza T. Per T â&#x2020;&#x2019; 0 si ha lâ&#x20AC;&#x2122;impulso đ?&#x203A;ż(đ?&#x2018;Ą) di Dirac. â&#x20AC;˘

sono date due fondamentali proprietaâ&#x20AC;&#x2122; dellâ&#x20AC;&#x2122;impuso che sono compendiate dai

seguenti passaggi formali 1

đ?&#x2018;Ą

1

đ?&#x2018;&#x2021;

đ?&#x2018;&#x2021;

đ?&#x2018;&#x2018;

đ?&#x2018;&#x2021;â&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;&#x2021;

đ?&#x2018;&#x2021;

đ?&#x2018;&#x2021;â&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;&#x2021;

2

2

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą

đ?&#x203A;ż(đ?&#x2018;Ą) = lim đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ą ( ) = lim (đ?&#x2018;˘ (đ?&#x2018;Ą + ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;˘ (đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; )) =

đ?&#x2018;Ą

đ?&#x2018;˘(đ?&#x2018;Ą) da cui u(t)= â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x203A;ż(đ?&#x153;?)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;?

đ?&#x153;&#x20AC;

+â&#x2C6;&#x17E;

â&#x2C6;Ť+â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x203A;ż(đ?&#x153;?)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;? = 1 ed anche â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x153;&#x20AC; đ?&#x203A;ż(đ?&#x153;?)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;? = 1 quando đ?&#x153;&#x20AC; â&#x2020;&#x2019; 0+ .

2

â&#x20AC;˘

il segnale rampa ramp(t). Tale segnale eâ&#x20AC;&#x2122; ottenuto elementarmente per integrazione đ?&#x153;?

đ?&#x153;?

del segnale scalino. Si ha â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;˘(đ?&#x2018;Ą)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą = â&#x2C6;Ť0 đ?&#x2018;˘(đ?&#x2018;Ą)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą = ramp(t) . Tale segnale eâ&#x20AC;&#x2122; rappresentato nel piano come segue.

Integrando tale segnale si ottiene un ulteriore segnale detto parabola, indicato come par(t).

E via via possono ricavarsi ulteriori segnali canonici.

Formalizzazione dei segnali complessi.

In termini sintetici, tenuto conto della teoria dei numeri complessi, eâ&#x20AC;&#x2122; possibile rappresentare i segnali complessi (esponenziali) come segue x(t)= đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą = cos(đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą) + đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;(đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą) ricordando che |đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x153;&#x201D;đ?&#x2018;Ą | = 1 (ricavabile immediatamente dalla identitaâ&#x20AC;&#x2122; pitagorica).

Puoâ&#x20AC;&#x2122; quindi essere definita la forma esponenziale della serie di Fourier đ?&#x2018;&#x203A;

1

đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x203A;

0

0

0

0

x(t) = â&#x2C6;&#x2018;â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; exp(đ?&#x2018;&#x2014;2đ?&#x153;&#x2039; đ?&#x2018;&#x2021; đ?&#x2018;Ą) dove risulta đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x2021; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;?(đ?&#x2018;&#x2014;2đ?&#x153;&#x2039; đ?&#x2018;&#x2021; đ?&#x2018;Ą) . Le quantitaâ&#x20AC;&#x2122; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; exp(đ?&#x2018;&#x2014;2đ?&#x153;&#x2039; đ?&#x2018;&#x2021; đ?&#x2018;Ą).

Usando le coordinate polari si ha đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;&#x203A; exp(đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x153;&#x2018;đ?&#x2018;&#x203A;) .

Il passaggio dalle coordinate cartesiane a quelle polari eâ&#x20AC;&#x2122; dato dalle due seguenti relazioni đ?&#x2018;?

Ď n = â&#x2C6;&#x161;(an )2 + (bn )2 e đ?&#x153;&#x2018;đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; ) . đ?&#x2018;&#x203A;

Il treno di impulsi Il treno di impulsi, rappresentato nel piano t, đ?&#x203A;ż(. ) con una sequenza di impulsi di Dirac di area unitaria per n da meno infinito allâ&#x20AC;&#x2122;infinito positivo, viene formalizzato matematicamente come segue â&#x2C6;&#x2018;+â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x2DC; =â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2021;)

Sviluppi in serie di Fourier Funzioni regolari a tratti Una funzione f(x) eâ&#x20AC;&#x2122; detta regolare a tratti in intervalli del tipo âŚ&#x2039;a, bâŚ&#x152; se f(x) e fâ&#x20AC;&#x2122;(x) sono definite e continue in detti intervalli e se sono verificate le seguenti condizioni lim đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ0 )â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;Ľ|đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2C6; (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?)

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0

lim đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x17D;) đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D; +

limâ&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;?) đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;? { đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;?

Analogamente per la funzione derivata prima deve risultare lim đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ0 )â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;Ľ|đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2C6; (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?)

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0

lim đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;&#x17D;) đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D; +

limâ&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;?) đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;? { đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;?

Esempio di funzione non regolare a tratti su un dato intervallo

Data la funzione f(x) =ln|x| in âŚ&#x2039;â&#x2C6;&#x2019;2, 3âŚ&#x152; .

Si tratta di una funzione composta che risulta pure simmetrica rispetto allâ&#x20AC;&#x2122;asse delle y, trattandosi, quindi, di una funzione pari. La funzione non eâ&#x20AC;&#x2122; definita per đ?&#x2018;Ľ = 0 .

Quindi non puoâ&#x20AC;&#x2122; essere regolare nellâ&#x20AC;&#x2122;intervallo considerato che contiene lo 0.

Eâ&#x20AC;&#x2122; poi noto che lim ln|x| = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; . đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0

Esempio di funzione regolare a tratti. đ?&#x2018;Ľ 3 đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;Ľ < 0 Sia data la funzione f(x)= {sin(đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153; 0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;¤ 1 đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 5đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;Ľ > 1 Occorre verificare la continuitaâ&#x20AC;&#x2122; a tratti. Possiamo partire da (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, 0) avendo che la funzione đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľ 3 eâ&#x20AC;&#x2122; definita e continua in (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, 0) e che in particolare lim đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x201C;(0). Tale funzione eâ&#x20AC;&#x2122; ivi derivabile đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;Ľ) =

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;&#x2018; 3 đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

= 3đ?&#x2018;Ľ 2 . Tale derivata

limâ&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x201C;(0) = 0 esiste finita in detto intervallo risultando in particolare che {đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 . lim đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

Occorre ora studiare la funzione in âŚ&#x2039;0, 1âŚ&#x152; avendosi che đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)|đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2C6;âŚ&#x2039;0,1âŚ&#x152; = sin(đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ).

La funzione eâ&#x20AC;&#x2122; limitata dovendo risultare |sin(đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ) | â&#x2030;¤ 1 . Sono evidenti i due seguenti lim+ sin(đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A; ( lim+đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A; 0 = 0 đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 limiti {đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 . limâ&#x2C6;&#x2019; sin(đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A; ( limâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x153;&#x2039; = 0 đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1

La funzione đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)|đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2C6;âŚ&#x2039;0,1âŚ&#x152; = sin(đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ) eâ&#x20AC;&#x2122; derivabile in âŚ&#x2039;0, 1âŚ&#x152; risultando che

đ?&#x2018;&#x2018; sin(đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

=

đ?&#x153;&#x2039;cos(đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ) in quanto si tratta pur sempre di una funzione composta (đ?&#x2018;Ľ â&#x2020;&#x2019; đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ â&#x2020;&#x2019; sin(đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ)).

Per x â&#x2C6;&#x2C6; (0 ,1) la derivata prima esiste finita e si ha lim đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ0 ) = đ?&#x153;&#x2039;cos(đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ) . Per đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0

x = 0+ si ha đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x201C;(0) = đ?&#x153;&#x2039;cos(đ?&#x153;&#x2039;0) = đ?&#x153;&#x2039; in quando cos(0) = 1.

Poicheâ&#x20AC;&#x2122; đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ0 ) = đ?&#x153;&#x2039;cos(đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ) si ha limâ&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ0 ) = đ?&#x153;&#x2039;cos(đ?&#x153;&#x2039;) = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x2039; . đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1

Da ultimo, occorre studiare đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 5đ?&#x2018;Ľ

quando đ?&#x2018;Ľ > 1. Occorre studiare

lim đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 5đ?&#x2018;Ľ = 12 â&#x2C6;&#x2019; 5 â&#x2C6;&#x2122; 1 = â&#x2C6;&#x2019;4 ed in generale risulta lim đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ0 ) â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;Ľ| đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2C6;

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1+

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0

(1, +â&#x2C6;&#x17E;, ) .

A questo punto occorre studiare la derivabilitaâ&#x20AC;&#x2122; di tale funzione in (1, +â&#x2C6;&#x17E;, ) . đ?&#x2018;&#x2018;

Immediatamente si ha đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = 2đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 5 che esiste in (1, +â&#x2C6;&#x17E;, ) . In particolare si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che lim+ đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = 2đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 5 = 2 â&#x2C6;&#x2122; 1 â&#x2C6;&#x2019; 5 = â&#x2C6;&#x2019;3 ed anche lim đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = 2đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1

5 = +â&#x2C6;&#x17E; .

Tale funzione eâ&#x20AC;&#x2122; quindi regolare a tratti negli intervalli considerati.

Data una funzione f(x) regolare a tratti sia {đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;Ľ)} lâ&#x20AC;&#x2122;insieme delle autofunzioni del problema di Sturm-Luoiville allora f(x) = â&#x2C6;&#x2018;+â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x203A;=1 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;Ľ)

per x â&#x2C6;&#x2C6; (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?), risultando

đ?&#x2018;?

â&#x2C6;Ť đ?&#x153;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;?

â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x153;&#x201D;(đ?&#x2018;Ą)đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;2 (đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

.

Esempi di applicazione delle serie di Fourier seno e coseno Serie di Fourier seno đ?&#x2018;Śâ&#x20AC;˛â&#x20AC;˛ + đ?&#x153;&#x2020;â&#x20AC;˛ = 0 đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ Dato il problema di Sturm-Louiville { đ?&#x2018;Ś(0) = 0 con L > 0 avendo che đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; = đ??ż che đ?&#x2018;Ś(đ??ż) = 0 conduce a f(x) =â&#x2C6;&#x2018;+â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x203A;=1 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A; đ??ż

â&#x2C6;Ť0 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;2

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ??ż

đ??ż

2

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ . Ponendo đ?&#x153;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) đ??ż đ??ż

= 2 e đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; = đ??ż â&#x2C6;Ť0 đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ. đ??ż

Conseguentemente, lo sviluppo di Fourier

seno per la funzione f(x) in (0, L) risulta essere 2

đ??ż

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2018;+â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x203A;=1( đ??ż â&#x2C6;Ť0 đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A; đ??ż đ??ż

.

đ?&#x2018;?

â&#x2030;Ą 1, đ?&#x2018;&#x17D; = 0 , đ?&#x2018;? = 1 si ha â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x153;&#x201D;(đ?&#x2018;Ą)đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;2 (đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ =

đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; caso dello sviluppo in serie di Fourier seno si ha, come detto, che 2 đ??ż đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A; đ??ż đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ??ż 0

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; =

.

đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;, per esempio, essere richiesto di trovare una serie di Fourier seno per la funzione đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = 1 nellâ&#x20AC;&#x2122;intervallo (0, 1). đ??ˇđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;â&#x20AC;˛đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x153; considerato si evince che L = 1 e pertanto si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; = đ??ż

2â&#x2C6;Ť0 sin(đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ . A questo punto occorre lavorare sullâ&#x20AC;&#x2122;argomento della funzione seno đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘

osservando che da đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;˘ si ottiene immediatamente đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ e quindi đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039; da 1

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘

1

1

1

đ?&#x2018;Ľ=1 cui si ottiene đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; = 2â&#x2C6;Ť0 sin(đ?&#x2018;˘) đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039; = 2âŚ&#x2039;â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039; cos(đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;ĽâŚ&#x152;đ?&#x2018;Ľ=0 = 2âŚ&#x2039;â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039; cos(đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;) â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039; cos(0)âŚ&#x152; =

2âŚ&#x2039;â&#x2C6;&#x2019;

cos(đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;) 1 + âŚ&#x152; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;

=

2 (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;

cos( đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;)) .

đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019; concentrarsi su cos( đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;) da studiare al variare di n in N. đ?&#x2018;&#x192;er n =1 si ha cos( đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;) = cos(đ?&#x153;&#x2039;) = â&#x2C6;&#x2019;1, per n = 2 si ha cos( 2đ?&#x153;&#x2039;) = cos(0) = 1 , per n = 3 si ha cos( 3đ?&#x153;&#x2039;) = cos(đ?&#x153;&#x2039;) = â&#x2C6;&#x2019;1, in assoluta coerenza con la circostanza che la funzione coseno eâ&#x20AC;&#x2122; una funzione periodica di periodo 2đ?&#x153;&#x2039; .

Eâ&#x20AC;&#x2122; altrettanto immediato osservare che, al variare di n in N, si ha cos( đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;) = (â&#x2C6;&#x2019;1)đ?&#x2018;&#x203A; ricordando che per definizione (â&#x2C6;&#x2019;1)0 = 0.

2

1

đ?&#x2018;&#x203A; Pertanto si puoâ&#x20AC;&#x2122; legittimamente scrivere che 1 = đ?&#x153;&#x2039; â&#x2C6;&#x2018;+â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x203A;=1 2 (1 â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;1) )sin(đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ).

Evidentemente, i vari successivi termini dello sviluppo in serie di Fourier seno si possono ottenere sostituendo ad n i valori 1, 2, 3, 4, â&#x20AC;Ś.. .

Ad esempio, per sostituzione si puoâ&#x20AC;&#x2122; ottenere il termine per n =1 che risulta 21 (1+1)đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;(đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x153;&#x2039;1

21 (1+1)đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;(3đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x153;&#x2039;3

intero â&#x20AC;Śâ&#x20AC;Ś .

4

21

= đ?&#x153;&#x2039; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;(đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ). Per n = 2 risulta đ?&#x153;&#x2039; 2(1â&#x2C6;&#x2019;1)đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;(2đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ) = 0. Per n = 3 risulta =

4 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;(3đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ) 3đ?&#x153;&#x2039;

. Si puoâ&#x20AC;&#x2122; procedere, sempre per sostituzione, per ogni

Lo sviluppo in serie di f(x) eâ&#x20AC;&#x2122; valido per â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;Ľ | đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2C6; (0, 1).

Serie di Fourier coseno Eâ&#x20AC;&#x2122; possibile partire dal problema di Sturm-Louiville đ?&#x2018;Śâ&#x20AC;˛ + đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x2018;Ś = 0 e yâ&#x20AC;&#x2122;(0)= 0 e yâ&#x20AC;&#x2122;(L)= 0 dovendo porre L > 0 e đ?&#x2018;&#x2019;0 (đ?&#x2018;Ľ) = 1 e per n â&#x2030;Ľ 1 đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;Ľ) = cos đ?&#x2018;?

Sotto queste condizioni si ha {

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ , đ??ż

đ??ż

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ đ??ż đ??ż 2 đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; â&#x2C6;Ť0 đ??ż

â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x153;&#x201D;(đ?&#x2018;Ą)đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;2 (đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;Ť0 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 2 đ?&#x2018;?

â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x153;&#x201D;(đ?&#x2018;Ą)đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;2 (đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ =

1

đ?&#x2018;¤(đ?&#x2018;Ľ) = 1, a = 0 đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;? = đ??ż .

=đ??ż =

đ??ż 2

.

đ??ż

đ?&#x2018;?0 = đ??ż â&#x2C6;Ť0 đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che {đ?&#x2018;? = 2 â&#x2C6;Ťđ??ż đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) cos đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ . đ?&#x2018;&#x203A; đ??ż 0 đ??ż đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2030;Ľ1 Esempio di sviluppo di Fourier coseno della funzione y = đ?&#x2018;Ľ 2 in (0 , đ?&#x153;&#x2039;). Si puoâ&#x20AC;&#x2122; iniziare 1

đ??ż

1

đ?&#x153;&#x2039;

1

a calcolare đ?&#x2018;?0 = â&#x2C6;Ť0 đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ avendo che đ??ż = đ?&#x153;&#x2039; e quindi đ?&#x2018;?0 = â&#x2C6;Ť0 đ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ = âŚ&#x2039;đ?&#x2018;Ľ 3 âŚ&#x152;đ?&#x153;&#x2039;0 = đ??ż đ?&#x153;&#x2039; 2đ?&#x153;&#x2039; 1 (đ?&#x153;&#x2039; 3 2đ?&#x153;&#x2039;

đ?&#x153;&#x2039;3

â&#x2C6;&#x2019; 03 ) = 2đ?&#x153;&#x2039; =

đ?&#x153;&#x2039;2 2

.

2

đ??ż

A questo punto si puoâ&#x20AC;&#x2122; procedere al calcolo di đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; = â&#x2C6;Ť0 đ?&#x2018;Ľ 2 cos đ?&#x153;&#x2039; 2 đ?&#x153;&#x2039; 2 â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;Ľ cos đ?&#x153;&#x2039; 0

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2039;

=

( đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2039;

A questo punto si deve calcolare â&#x2C6;Ť0 đ?&#x2018;Ľ 2 cos ( đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ . Un buon metodo elementare per il calcolo di tale integrale potrebbe essere quello di applicare il metodo della integrazione per parti, ricordando che da

đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

= đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) + đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201D;â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;Ľ) che integrata

indefinitamente porta a đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201D;â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ . Nel caso di specie 1

puoâ&#x20AC;&#x2122; essere utile ammettere che đ?&#x2018;Ľ 2 = đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ) da cui f(x) = 3 đ?&#x2018;Ľ 3 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ą. ed anche g(x) = cos(đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ľ) da cui gâ&#x20AC;&#x2122;(x) = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;(đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ľ).

Quando si opera definitamente da đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201D;â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ si puoâ&#x20AC;&#x2122; đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;?

scrivere che âŚ&#x2039;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)âŚ&#x152;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D; = â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201D;â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ. Nel caso di specie (a, b)= (0, đ?&#x153;&#x2039;). Gli sviluppi sono di puro calcolo.

Serie di Fourier â&#x20AC;&#x201C; un esempio elementare 8 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x; 0 < đ?&#x2018;Ľ < 2 Data la funzione đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = { . La funzione non eâ&#x20AC;&#x2122; definita per đ?&#x2018;Ľ = 0, đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019;8 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x; 2 < đ?&#x2018;Ľ < 4 2, đ?&#x2018;Ľ = 4 ed eâ&#x20AC;&#x2122; una funzione periodica di periodo minimo 4. Essa non eâ&#x20AC;&#x2122; definita per 1 2

ogni x tale che sia đ?&#x2018;Ľ = 0 + đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2021; ove k â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;? e T eâ&#x20AC;&#x2122; il periodo minimo della funzione.

1

đ??ż

Si scrive đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = đ??ż â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;đ??ż đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) cos 1

1

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ??ż

.

1

Si ha L = 2 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2021; = 2 đ?&#x2018;&#x2021; = 2 4 = 2 quando k = 1. đ??ż

1

Con i dati del problema si ha đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = 2 â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;đ??ż đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) cos 4

+ â&#x2C6;Ť2 (â&#x2C6;&#x2019;8) cos

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ) 2

2

= 4(â&#x2C6;Ť0 cos

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ??ż

4

-â&#x2C6;Ť2 cos

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ) 2

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ??ż

.

Ci si deve concentrare su un integrale indefinito quale â&#x2C6;Ť cos cui đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ = 2đ?&#x2018;˘ ed anche đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ = 2đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ da cui dx = indefinito â&#x2C6;Ť cos đ?&#x2018;˘

2đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;

đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;

2 â&#x2C6;Ť cos đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;

=

2đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;

2 1 đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ (â&#x2C6;Ť 8 cos 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ 2 0

=

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ.

2

Posto

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ 2

= đ?&#x2018;˘ da

che conduce al seguente integrale

2 sin(đ?&#x2018;˘) + đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ą.

(Un metodo mnemonico, ma fino ad un certo puntoâ&#x20AC;Ś. , per ricordare che â&#x2C6;Ť cos đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ = sin(đ?&#x2018;˘) + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ą eâ&#x20AC;&#x2122; ricordare che

đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘

(sin(đ?&#x2018;˘) + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ą) = cos(đ?&#x2018;˘) eâ&#x20AC;&#x2122; integrare avendo che â&#x2C6;Ť

đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘

(sin(đ?&#x2018;˘) + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ą)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ = â&#x2C6;Ť cos(đ?&#x2018;˘) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ da

cui (sin(đ?&#x2018;˘) + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ą) = â&#x2C6;Ť cos(đ?&#x2018;˘) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ e quindi â&#x2C6;Ť cos(đ?&#x2018;˘) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ = sin(đ?&#x2018;˘) + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ą. .)

2

Da 4(â&#x2C6;Ť0 cos

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ 2

4

-â&#x2C6;Ť2 cos 1

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ) 2

2

si ottiene 4đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039; âŚ&#x2039;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;

4

puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = 2 â&#x2C6;Ť0 đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) cos

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ??ż

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ 2 âŚ&#x152; 2 0

2

=4đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039; âŚ&#x2039;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;

2

â&#x2C6;&#x2019; 4 đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039; âŚ&#x2039;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ 2 âŚ&#x152; 2 0

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ 4 âŚ&#x152; 2 2

2

â&#x2C6;&#x2019; 4 đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039; âŚ&#x2039;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;

. Pertanto si

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ 4 âŚ&#x152; 2 2

= 0 se nâ&#x2030;

0.

2

Se đ?&#x2018;&#x203A; = 0 allora si ha đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x17D;0 = 4 (â&#x2C6;Ť0 cos 4(2 â&#x2C6;&#x2019; 0 â&#x2C6;&#x2019; 4 + 2) 4

8 â&#x2C6;Ť2 sin

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ 2

da 2

=4(â&#x2C6;Ť0 sin

cui đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ 2

0đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ??ż

đ?&#x2018;&#x17D;0 = 0.

4

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;Ť2 sin

4

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;Ť2 cos

Calcolo

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ 2

)=

0đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ) 2

dei

2

4

= 4 (â&#x2C6;Ť0 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;Ť2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ ) = 1

2

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; = 2 (â&#x2C6;Ť0 8 sin

8 đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ {âŚ&#x2039;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 2 đ?&#x2018; âŚ&#x152;20 đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;

â&#x2C6;&#x2019;âŚ&#x2039;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ 2

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ľ 4 đ?&#x2018; âŚ&#x152;2 } 2

â&#x2C6;&#x2019; .

5.

le principali applicazioni delle serie di Fourier

Anche da un punto di vista â&#x20AC;&#x153;storicoâ&#x20AC;? le piuâ&#x20AC;&#x2122; importanti applicazioni delle serie di Fourier sono legate: â&#x20AC;˘

alla conduzione termica (flusso termico);

â&#x20AC;˘

allâ&#x20AC;&#x2122;equazione di Laplace;

â&#x20AC;˘

allo studio dei sistemi vibranti.

Prima di esporre una breve sintesi dei risultati giaâ&#x20AC;&#x2122; esposti eâ&#x20AC;&#x2122; sicuramente utile fare qualche cenno alle funzioni di una variabile complessa.

La nozione di funzione olomorfa Sia assegnato un aperto A â&#x160;&#x2020; đ??ś, essendo C lâ&#x20AC;&#x2122;insieme dei numeri complessi. f : A â&#x2020;&#x2019; đ??ś eâ&#x20AC;&#x2122; una legge di corrispondenza che associa al numero complesso a +ib il đ?&#x2018;&#x201C;

numero complesso c +đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018; econdo lo schema (a+đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?) â&#x2020;&#x2019; c+đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2018; intendibile anche come đ?&#x2018;&#x201C;

(a, b) â&#x2020;&#x2019; (đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?), đ?&#x2018;&#x2018;(đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?)) .

Solitamente la coppia (a, b) viene indicata con la lettera đ?&#x2018;§ e in questi termini si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che f(z) = đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2018; .

Se al numero complesso z corrisponde un solo numero complesso f(z) si dice che la funzione eâ&#x20AC;&#x2122; â&#x20AC;&#x153;ad un solo valoreâ&#x20AC;?, cioeâ&#x20AC;&#x2122; eâ&#x20AC;&#x2122; monodroma.

Generalmente, salva diversa indicazione, ci si riferisce a funzioni monodrome. đ?&#x2018;&#x201C;

Da z â&#x2020;&#x2019; f(z) eâ&#x20AC;&#x2122; possibile considerare la funzione đ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019;1, detta funzione inversa della funzione f, tale che đ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019;1 (đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;§) = đ?&#x2018;§ .

Relativamente alle funzioni di una variabile complessa eâ&#x20AC;&#x2122; utile dare conto della rappresentazione che necessita di due piani, uno per i punti del dominio {z â&#x2C6;&#x2C6; đ??ś| đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;&#x2019; â&#x20AC;˛ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;} ed uno per i punti f(z) denotati come {đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;§)}.

Posto f(đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;Ś) = đ?&#x2018;˘ + đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;Ł il punto P nel piano complesso tale che Pâ&#x2030;Ą (đ?&#x2018;Ľ0 + đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;Ś0 ) viene â&#x20AC;&#x153;trasformatoâ&#x20AC;? nel punto Pâ&#x20AC;&#x2122; â&#x2030;Ą (đ?&#x2018;˘0 + đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;Ł0 ) del secondo piano. La f definisce il criterio di corrispondenza.

La rappresentazione grafica eâ&#x20AC;&#x2122; la seguente.

trasformazione

Si afferma che P eâ&#x20AC;&#x2122; trasformato in Pâ&#x20AC;&#x2122; mediante la mappa f.

Tale trasformazione ovviamente interessa un insieme di punti (x, y) del primo piano, cioeâ&#x20AC;&#x2122; i punti đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;Ś

che appartengono a dom f (dominio della funzione f) e fa

corrispondere ad ognuno di essi un punto corrispondente sul secondo piano secondo la funzione f.

Si eâ&#x20AC;&#x2122; detto che al numero complesso (x, y) corrisponde univocamente il numero (u, v).

Il sistema {

đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;˘(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) eâ&#x20AC;&#x2122; detto sistema di trasformazione e le considerate funzioni sono đ?&#x2018;Ł = đ?&#x2018;Ł(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś)

dette coniugate.

Per la tassonomia delle funzioni complesse si rimandaa alla nutrita manualistica (per esempio, Spiegel).

Per quanto di utilitaâ&#x20AC;&#x2122; occorre ricordare ricordare la funzione esponenziale complessa definita come segue đ?&#x153;&#x201D; = đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;+đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ś) essendo e la base dei logaritmi naturali.

Limiti e derivabilitaâ&#x20AC;&#x2122; di funzioni complesse. Nozioni basiche.

Una funzione complessa di una variabile complessa eâ&#x20AC;&#x2122; detta olomorfa se essa eâ&#x20AC;&#x2122; derivabile.

Lâ&#x20AC;&#x2122;insieme C eâ&#x20AC;&#x2122; costituito da coppie ordinate di numeri reali (a, b) per i quali sia (a, b)â&#x2030;Ą đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;? .

Eâ&#x20AC;&#x2122; possibile definire un intorno sferico di un numero complesso đ?&#x2018;§0 formalizzato come đ??ľđ?&#x2018;&#x; (đ?&#x2018;§0 ) = {đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2C6; đ??ś â&#x2C6;ś |đ?&#x2018;§ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;§0 | < đ?&#x2018;&#x;}

Si osservi che nella definizione di intorno di un punto đ?&#x2018;§0 si fa riferimento ad un aperto in quanto si utilizza il simbolo < e non il simbolo â&#x2030;¤ .

Si tratta di un aperto di centro đ?&#x2018;§0 .

Si ammetta sia đ?&#x2018;§0 un punto di accumulazione di dom f. Si ha lim đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;§) = đ?&#x2018;&#x2122; â&#x2021;&#x2019; {

đ?&#x2018;§â&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;§0

lim

đ?&#x2018;˘(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) = đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019;(đ?&#x2018;&#x2122;)

lim

đ?&#x2018;Ł(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś) = đ??źđ?&#x2018;&#x161;(đ?&#x2018;&#x2122;)

(đ?&#x2018;Ľ,đ?&#x2018;Ś)â&#x2020;&#x2019;(đ?&#x2018;Ľ0 ,đ?&#x2018;Ś0 )

(đ?&#x2018;Ľ,đ?&#x2018;Ś)â&#x2020;&#x2019;(đ?&#x2018;Ľ0 ,đ?&#x2018;Ś0 )

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; ora fare un cenno alla derivabilitaâ&#x20AC;&#x2122; di una funzione complessa.

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere f : A â&#x2020;&#x2019; đ??ś essendo A un aperto tale che A â&#x160;&#x2020; đ??ś risultando đ?&#x2018;§0 â&#x2C6;&#x2C6; đ??´.

Si definisce la derivata di f(z) come segue đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;§)â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;§0 ) đ?&#x2018;§â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;§0 đ?&#x2018;§â&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;§0

fâ&#x20AC;&#x2122;(z) lim

quando tale limite esiste finito, al limite (0, 0).

In altri termini una funzione f(z) eâ&#x20AC;&#x2122; analitica nel punto đ?&#x2018;§0 se esiste un intorno |z - đ?&#x2018;§0 | < đ?&#x203A;ż > 0 tale che fâ&#x20AC;&#x2122;(z) esiste finita nellâ&#x20AC;&#x2122;intorno đ??ľđ?&#x203A;ż (đ?&#x2018;§).

I matematici Cauchy e Riemann hanno enunciato la condizione affincheâ&#x20AC;&#x2122; la funzione f(z) sia olomorfa in A â&#x160;&#x2020; C, essendo A un aperto.

Deve risultare che đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

= đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ł

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś

= â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ł

in ogni z | z â&#x2C6;&#x2C6; A. Una importante classe di funzioni olomorfe eâ&#x20AC;&#x2122; costituita dalle cosiddette funzioni armoniche. đ?&#x2018;&#x201C;

Data una f : a+đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;? â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;˘ + đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;Ł avente derivate parziali seconde di u e di v rispetto alla x ed alla y continue in A, per esse risulta essere đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x2018;˘ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ 2

+ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś2 = 0

đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x2018;˘

đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x2018;Ł đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ 2

+ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś2 = 0

đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x2018;Ł

Lâ&#x20AC;&#x2122;operatore di Laplace in coordinate cartesiane ortogonali Eâ&#x20AC;&#x2122; preliminare la nozione di operatore laplaciano. Tale operatore puoâ&#x20AC;&#x2122; essere espresso in coordinate cartesiane, in coordinate cilindriche o in coordinate sferiche.

Al momento risulta sufficiente la sua espressione in coordinate cartesiane ortogonali.

Lâ&#x20AC;&#x2122;operatore di Laplace, detto laplaciano, in coordinate cartesiane ortogonali eâ&#x20AC;&#x2122; đ?&#x153;&#x2022;2

đ?&#x153;&#x2022;2

đ?&#x153;&#x2022;2

â&#x2C6;&#x2021;2 â&#x2030;Ą đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś2 + đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§2 Esso eâ&#x20AC;&#x2122; applicabile convenientemente ad una funzione đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;˘(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś, đ?&#x2018;§).

In altri termini si scrive đ?&#x153;&#x2022;2

đ?&#x153;&#x2022;2

đ?&#x153;&#x2022;2

â&#x2C6;&#x2021;2 â&#x2030;Ą đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;˘ + đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś2 đ?&#x2018;˘ + đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;§2 đ?&#x2018;˘

Nel proseguo della trattazione, seppure entro i limiti elementari di essa, si daraâ&#x20AC;&#x2122; conto della formulazione del laplaciano in coordinate cilindriche o sferiche, a seconda delle esisgenze.

â&#x2C6;&#x17D;â&#x2C6;&#x17D;â&#x2C6;&#x17D; Il flusso termico Si considera lâ&#x20AC;&#x2122;equazione della conduzione del calore nella forma

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą

= đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x2021;2 đ?&#x2018;˘, essendo

k la costante di diffusivitaâ&#x20AC;&#x2122;, mentre đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;˘(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś, đ?&#x2018;§, đ?&#x2018;Ą) eâ&#x20AC;&#x2122; la temperatura nel punto (x,y,z) dello spazio al tempo t.

In condizioni stazionarie lâ&#x20AC;&#x2122;equazione assume la forma â&#x2C6;&#x2021;2 đ?&#x2018;˘ = 0.Posto

đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą

= 0 deve

essere necessariamente â&#x2C6;&#x2021;2 đ?&#x2018;˘ = 0 in quanto k â&#x2030; 0 .

Relativamente a â&#x2C6;&#x2021;2 đ?&#x2018;˘ = 0 lo studio che tenga conto dei valori di u sulla frontiera eâ&#x20AC;&#x2122; detto problema di Dirichlet .

Con riferimento alla propagazione del calore la temperatura iniziale, al tempo t = 0, eâ&#x20AC;&#x2122; f(x), quindi una funzione della coordinata. Gli estremi sono ad una data assegnata temperatura. Nel caso piuâ&#x20AC;&#x2122; semplice (quello unidimensionale) si ha la seguente equazione differenziale che descrive il fenomeno đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą

=đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x2018;˘ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą 2

con le ovvie limitazioni 0 < đ?&#x2018;Ľ < đ??ż e t > 0 .

đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019; gli estremi 0 ed L sono mantenuti alle temperature costanti đ?&#x2018;&#x2021;0 đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2021;đ??ż si scrive đ?&#x2018;˘(đ?&#x2018;&#x153;, đ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018;&#x2021;0 đ?&#x2018;˘(đ??ż, đ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018;&#x2021;đ??ż đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2013; temperature sono assunte constanti nel tempo.

La temperatura iniziale varia al variare della x in (0, L) e, atteso che eâ&#x20AC;&#x2122; riferita per ogni x, al tempo iniziale viene formalizzata come segue

u(x, 0)= đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) con x â&#x2C6;&#x2C6; (0, đ??ż).

Eâ&#x20AC;&#x2122; fisicamente coerente ammettere che la temperatura sia limitata e si scrive |u(x, t)|< đ?&#x2018;&#x20AC; Nel caso che L sia tenuto costantemente nel tempo a temperatura pari a 0 allora si scrive u(L, t)= 0 . đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś

Nel caso in cui il punto L sia isolato il flusso diviene nullo e si scrive â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ

| đ?&#x2018;Ľ =đ??ż

= 0.

Un caso particolare eâ&#x20AC;&#x2122; quello dellâ&#x20AC;&#x2122;irraggiamento. Si ammette che il punto đ?&#x2018;Ľ = đ??ż irraggi e che lâ&#x20AC;&#x2122;ambiente circostante sia a temperatura costante đ?&#x2018;˘0 . La legge che lo descrive eâ&#x20AC;&#x2122; quella di Stefan per ila quale il flusso di calore đ?&#x203A;ź(đ?&#x2018;˘14 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;˘04 ) = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;Ľ (đ??ż, đ?&#x2018;Ą) essendo đ?&#x2018;˘1 = đ?&#x2018;˘(đ??ż, đ?&#x2018;Ą) . â&#x2C6;&#x17D;â&#x2C6;&#x17D;â&#x2C6;&#x17D; Sistemi vibranti Si dimostra (Spiegel, Analisi di Fourier) che lâ&#x20AC;&#x2122;equazione della corda vibrante un una dimensione eâ&#x20AC;&#x2122; data dalla seguente equazione differenziale del secondo ordine đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x2018;Ś đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą 2

đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x2018;Ś

= đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ 2

đ??żđ?&#x2018;&#x17D; funzione đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;Ś(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ą) indica lo spostamento del punto x allâ&#x20AC;&#x2122;istante t mentre đ?&#x2018;&#x17D;2 eâ&#x20AC;&#x2122; đ?&#x153;?

una costante tale che a = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x153;&#x2021; dove đ?&#x153;? eâ&#x20AC;&#x2122; la tensione costante della corda e đ?&#x153;&#x2021; eâ&#x20AC;&#x2122; la massa lineare (massa in una unitaâ&#x20AC;&#x2122; lineare di lunghezza, nel S.I. misurata in

đ??žđ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x17D; ). đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;

La

vibrazione della corda eâ&#x20AC;&#x2122; dovuta alla sua elasticitaâ&#x20AC;&#x2122;. đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D; corda elastica eâ&#x20AC;&#x2122; nel campo g lâ&#x20AC;&#x2122;equazione eâ&#x20AC;&#x2122; modulo della accelerazione di gravitaâ&#x20AC;&#x2122;.

đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x2018;Ś đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą 2

đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x2018;Ś

= đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201D; nella quale g eâ&#x20AC;&#x2122; il

đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122; caso delle vibrazioni di una membrana elastica la modellizzazione conduce alla seguente equazione differenziale alle derivate parziali đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x2018;Ś đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą 2

đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x2018;Ś đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ 2

= đ?&#x2018;&#x17D;2 (

+

đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x2018;Ś ) đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ś 2

Va approfondito il caso delle corde vibranti considerando il caso canonico di una corda elastica di lunghezza L tesa e vincolata agli estremi (0, 0) e (L,0) .

Al tempo t= 0 espresso anche con đ?&#x2018;Ą0 la configurazione eâ&#x20AC;&#x2122; data da f(x) â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;Ľ | đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2C6; (0, đ??ż).

Si deve studiare lo spostamento di ogni punto x nellâ&#x20AC;&#x2122;istante t +đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą . Come eâ&#x20AC;&#x2122; noto đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x2018;Ś

đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x2018;Ś

lâ&#x20AC;&#x2122;equazione che modellizza la situazione sperimentale eâ&#x20AC;&#x2122; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ą 2 = đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;Ľ | đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2C6; (0, đ??ż) e â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;Ą | đ?&#x2018;Ą > 0.

Occorre osservare che y = đ?&#x2018;Ś(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ą) indica â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;Ą lo spostamento di un punto x della corda dallâ&#x20AC;&#x2122;asse delle x.

La figura sottostante indica una possibile configurazione istantanea riferita ad un dato istante t = đ?&#x153;?0

Per il vincolo posto sugli estremi fissi si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che

{

đ?&#x2018;Ś(0, đ?&#x2018;Ą) = 0 â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;Ą > 0 đ?&#x2018;Ś(đ??ż, đ?&#x2018;Ą) = 0

La configurazione al tempo iniziale eâ&#x20AC;&#x2122; nota e risulta y(x, 0) = đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;Ľ | đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2C6; (0, đ??ż).

Solitamente viene introdotta una ulteriore grandezza, detta velocitaâ&#x20AC;&#x2122; della corda al tempo 0 data da đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ą (đ?&#x2018;Ľ, 0) = 0 â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;Ľ | đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2C6; (0, đ??ż).

Anche questo problema puoâ&#x20AC;&#x2122; essere risolto utilizzando il metodo della separazione đ?&#x2018;&#x2039;đ?&#x2018;&#x2021;â&#x20AC;˛ = đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;&#x2039;"đ?&#x2018;&#x2021; delle variabili. Si pone đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x2039;đ?&#x2018;&#x2021; e conseguentemente si puoâ&#x20AC;&#x2122; porre { đ?&#x2018;&#x2021;â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛ đ?&#x2018;&#x2039;â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛ = đ?&#x2018;&#x2039; đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;&#x2021; đ?&#x2018;&#x2021;â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛ + đ?&#x153;&#x2018; 2 đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;&#x2021; = 0 Introdotta la costante di separazione -đ?&#x153;&#x2018;2 si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere { da cui si đ?&#x2018;&#x2039;â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛ + đ?&#x153;&#x2018; 2 đ?&#x2018;&#x2039; = 0 đ?&#x2018;&#x2021; = đ??´1 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ą + đ??ľ1 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x153;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ą ottiene { . Poicheâ&#x20AC;&#x2122; y(0,t) = 0 đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018; đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D; đ??´2 = 0 . đ?&#x2018;&#x2039; = đ??´2 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ą + đ??ľ2 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ą Una soluzione eâ&#x20AC;&#x2122; data da y(x, t) = đ?&#x2018;&#x2039;đ?&#x2018;&#x2021; = (đ??´1 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ą + đ??ľ1 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x153;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ą)( đ??´2 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ą + đ??ľ2 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ą).

Essendo đ??´2 = 0 si ha la soluzione y(x, t) = đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ(đ??´đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ą + đ??ľđ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x153;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ą) .

Poicheâ&#x20AC;&#x2122; y(L ,t) = 0 â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;Ą si ricava y(L ,t) = đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2018;đ??ż(đ??´đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ą + đ??ľđ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x153;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ą) = 0 .

Poicheâ&#x20AC;&#x2122; đ??´đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ą + đ??ľđ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x153;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ą â&#x2030; 0 deve essere đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2018;đ??ż = 0 e quindi đ?&#x153;&#x2018;đ??ż = đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x153;&#x2039; da cui đ?&#x153;&#x2018; = đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x153;&#x2039; đ??ż

.

Da y(x, t) si ricava đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ą (đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ą) e dalla condizione đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ą (đ?&#x2018;Ľ, 0) = 0 si ricava đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ą (đ?&#x2018;Ľ, 0) = (sin Ď&#x2020;x)(AĎ&#x2020;a) = 0 da cui risulta in modo immediato che A = 0 .

Si ha che y(x,t)= đ??ľđ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ľđ?&#x153;&#x2039; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ľđ?&#x153;&#x2039; cos đ??ż đ??ż

e dovendo essere y(x,0) = đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) deve essere applicato

il teorema di sovrapposizione e quindi si ha y(x,t)= â&#x2C6;&#x2018;+â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x2DC;=1 đ??ľđ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A; y(x,0) = đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2018;+â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x2DC;=1 đ??ľđ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A; 2

đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ľđ?&#x153;&#x2039; đ??ż

đ??ż

đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ľđ?&#x153;&#x2039; dx đ??ż

.

Operando la sostituzione in formula in y(x,t)= â&#x2C6;&#x2018;+â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x2DC;=1 đ??ľđ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A; đ??ż

da cui

.

Come eâ&#x20AC;&#x2122; noto risulta đ??ľđ?&#x2018;&#x2DC; = đ??ż â&#x2C6;Ť0 đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;

2

đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ľđ?&#x153;&#x2039; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ľđ?&#x153;&#x2039; cos đ??ż đ??ż

risultato y(x,t)= â&#x2C6;&#x2018;+â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x2DC;=1 đ??ż â&#x2C6;Ť0 đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ľđ?&#x153;&#x2039; dx đ??ż

đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ľđ?&#x153;&#x2039; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ľđ?&#x153;&#x2039; cos đ??ż đ??ż

.

đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ľđ?&#x153;&#x2039; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;Ľđ?&#x153;&#x2039; cos đ??ż đ??ż

si ottiene il

6. funzioni ortogonali Si considera lâ&#x20AC;&#x2122; insieme {đ?&#x153;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2DC; (đ?&#x2018;Ľ)} delle funzioni đ?&#x153;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2DC; (đ?&#x2018;Ľ) con k intero tali che siano verificate le due seguenti condizioni: đ?&#x2018;?

â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x153;&#x2018;đ?&#x2018;&#x161; (đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x153;&#x2018;đ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ = 0 â&#x2C6;&#x20AC;(đ?&#x2018;&#x161;, đ?&#x2018;&#x203A;)| đ?&#x2018;&#x161; â&#x2030; đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;?

â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x153;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2DC; (đ?&#x2018;Ľ)2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ = 1 â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x203A; Se si verificano queste condizioni si dice che lâ&#x20AC;&#x2122;insieme {đ?&#x153;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2DC; (đ?&#x2018;Ľ)} eâ&#x20AC;&#x2122; un insieme ortonormato di funzioni.

Tali integrali, risultando (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?) â&#x160;&#x201A; đ?&#x2018;&#x2026; , sono sintetizzati dal seguente, con utilizzazione del đ?&#x2018;?

simbolo di Kronecker, â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x153;&#x2018;đ?&#x2018;&#x161; (đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x153;&#x2018;đ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ =đ?&#x203A;żđ?&#x2018;&#x161;,đ?&#x2018;&#x203A; .

Possiamo ora considerare la funzione đ?&#x153;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ľ 0 si puoâ&#x20AC;&#x2122; considerare lâ&#x20AC;&#x2122;integrale đ?&#x2018;?

â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x153;&#x2021;đ?&#x2018;&#x161; (đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x153;&#x2021;đ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x153;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ che definisce lâ&#x20AC;&#x2122;ortogonalitaâ&#x20AC;&#x2122; rispetto ad una funzione peso (đ?&#x153;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ľ 0) detta altrimenti funzione densitaâ&#x20AC;&#x2122; .

Vale la seguente relazione fondamentale đ?&#x153;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013; (đ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x153;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x153;&#x2021;đ?&#x2018;&#x2013; (đ?&#x2018;Ľ) . â&#x2013; Una funzione f(x) puoâ&#x20AC;&#x2122; essere intesa come una somma di funzioni ortonormate potendo quindi scrivere che f(x) = â&#x2C6;&#x2018;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x2013;=1 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x153;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013; (đ?&#x2018;Ľ) .

Tale serie eâ&#x20AC;&#x2122; detta ortonormale. đ?&#x2018;?

Se â&#x2C6;&#x2018;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x2013;=1 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x153;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013; (đ?&#x2018;Ľ) converge a f(x) si ha đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013; = â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x153;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013; (đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;?

I valori reali đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013; = â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x153;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013; (đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ sono detti coefficienti generalizzati di Fourier. đ?&#x2018;?

Si dimostra che se f(x) e fâ&#x20AC;&#x2122;(x) sono generalmente continue allora â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x153;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013; (đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ converge.

Problemi al contorno del secondo ordine. Problemi di Sturm â&#x20AC;&#x201C; Louiville I problemi del secondo ordine.

Data lâ&#x20AC;&#x2122;equazione differenziale đ?&#x2018;Ś â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛ đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ś â&#x20AC;˛ + đ?&#x2018;&#x201E;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ś = đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;Ľ) con le condizioni al contorno đ?&#x203A;ź đ?&#x2018;Ś(đ?&#x2018;&#x17D;) + đ?&#x203A;˝1 đ?&#x2018;Śâ&#x20AC;˛(đ?&#x2018;&#x17D;) = đ?&#x203A;ž1 { 1 đ?&#x203A;ź2 đ?&#x2018;Ś(đ?&#x2018;&#x17D;) + đ?&#x203A;˝2 đ?&#x2018;Śâ&#x20AC;˛(đ?&#x2018;&#x17D;) = đ?&#x203A;ž2

sotto

le

condizioni

che

le

funzioni

đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ), đ?&#x2018;&#x201E;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x153; continue in âŚ&#x2039;a, bâŚ&#x152; essendo đ?&#x203A;ź1 , đ?&#x203A;ź2 , đ?&#x203A;˝1 , đ?&#x203A;˝2 sono costanti reali tali che (đ?&#x203A;ź1 , đ?&#x203A;˝1 ) â&#x2030; (0, 0) e (đ?&#x203A;ź2 , đ?&#x203A;˝2 ) â&#x2030; (0, 0) .

Se đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 0, cioeâ&#x20AC;&#x2122; se đ?&#x153;&#x2018;(đ?&#x2018;Ľ) = 0 â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;Ľ|đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x201C; e se đ?&#x203A;ž1 = đ?&#x203A;ž2 = 0 il problema eâ&#x20AC;&#x2122; detto omogeneo.

Conseguentemente un problema al contorno omogeneo ha la seguente forma đ?&#x2018;Ś â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛ đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ś â&#x20AC;˛ + đ?&#x2018;&#x201E;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ś = 0 { đ?&#x203A;ź1 đ?&#x2018;Ś(đ?&#x2018;&#x17D;) + đ?&#x203A;˝1 đ?&#x2018;Śâ&#x20AC;˛(đ?&#x2018;&#x17D;) = 0 đ?&#x203A;ź2 đ?&#x2018;Ś(đ?&#x2018;&#x17D;) + đ?&#x203A;˝2 đ?&#x2018;Śâ&#x20AC;˛(đ?&#x2018;&#x17D;) = 0 Gli step necessari per risolvere il problema al contorno sono â&#x20AC;˘

risolvere lâ&#x20AC;&#x2122;equazione differenziale con uno dei metodi noti

â&#x20AC;˘

applicare le condizioni al contorno assegnate.

I sistemi in oggetto ammettono sempre la soluzione banale đ?&#x2018;Ś(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 0.

Esistenza di soluzioni non banali.

Siano esse đ?&#x2018;Ś1 (đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ś2 (đ?&#x2018;Ľ) e siano linearmente indipendenti.

Deve risultare |

đ?&#x203A;ź1 đ?&#x2018;Ś1 (đ?&#x2018;&#x17D;) + đ?&#x203A;˝1 đ?&#x2018;Ś1â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;&#x17D;) đ?&#x203A;ź1 đ?&#x2018;Ś2 (đ?&#x2018;&#x17D;) + đ?&#x203A;˝1 đ?&#x2018;Ś2â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;&#x17D;) |=0 đ?&#x203A;ź1 đ?&#x2018;Ś1 (đ?&#x2018;?) + đ?&#x203A;˝1 đ?&#x2018;Ś1â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;?) đ?&#x203A;ź1 đ?&#x2018;Ś1 (đ?&#x2018;?) + đ?&#x203A;˝1 đ?&#x2018;Ś1â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;?)

Se il problema omogeneo ammette la sola soluzione banale allora il problema non omogeneo ha parimenti una unica soluzione. I valori di Îť dellâ&#x20AC;&#x2122;equazione caratteristica cui corrispondono soluzioni non banali (linearmente indipendenti) sono detti autovalori, mentre le corrispondenti funzioni, soluzioni non banali dellâ&#x20AC;&#x2122;equazione differenziale, sono dette autofunzioni.

Esempio di determinazione di una problema al contorno Sia data lâ&#x20AC;&#x2122;equazione differenziale đ?&#x2018;Ś â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛ + đ?&#x2018;Ś = 0 con le condizioni al contorno đ?&#x2018;Ś(0) = đ?&#x153;&#x2039;

0 đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ś( 2 ) = 0 .

Il problema puoâ&#x20AC;&#x2122; essere ricondotto a quello canonico delineato precedentemente ponendolo quindi nella forma đ?&#x2018;Ś â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛ đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ś â&#x20AC;˛ + đ?&#x2018;&#x201E;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ś = 0 solo che sia đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 0 đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201E;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 0.

Occorre in primis trovare le due soluzioni linearmente indipendenti che la verifichino.

Si considera lâ&#x20AC;&#x2122;equazione caratteristica scrivendo đ?&#x153;&#x2020;2 + 0đ?&#x153;&#x2020; + 1đ?&#x153;&#x2020;0 = đ?&#x153;&#x2020;2 + 1 = 0 da cui immediatamente Îť= Âąâ&#x2C6;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;1 = Âąđ?&#x2018;&#x2013; .

Dalla teoria delle equazioni differenziali eâ&#x20AC;&#x2122; noto che y(x)= đ?&#x2018;?1 đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ cos(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ) + đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ sin(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ) .

A questo punto si considerano le condizioni al contorno per il primo caso Îť= đ?&#x2018;&#x2013; â&#x2030;Ą (0, 1) y(0) = đ?&#x2018;?1 đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;0 cos(1 â&#x2C6;&#x2014; 0) + đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;0 sin(1 â&#x2C6;&#x2014; 0) = 0 avendo che { Ď&#x20AC; đ?&#x153;&#x2039; đ?&#x153;&#x2039; y( ) = đ?&#x2018;?1 đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;0 cos(1 â&#x2C6;&#x2014; ) + đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;0 sin(1 â&#x2C6;&#x2014; ) = 0 2

2

da cui {

2

đ?&#x2018;?1 = 0 . Non eâ&#x20AC;&#x2122; đ?&#x2018;?2 = 0

necessario calcolare il determinante in quanto tale risultato conduce (legge di annullamento del prodotto) al risultato y(đ?&#x2018;Ľ)|đ?&#x153;&#x2020;=đ?&#x2018;&#x2013; â&#x2030;Ą 0 .

Per il caso che sia Îť= â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x2030;Ą (0, â&#x2C6;&#x2019; 1) si possono scrivere le condizioni al contorno come che {

y(0) = đ?&#x2018;?1 đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;0 cos(â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2014; 0) + đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;0 sin(â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2014; 0) = 0 Ď&#x20AC; đ?&#x153;&#x2039; đ?&#x153;&#x2039; y( ) = đ?&#x2018;?1 đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;0 cos(â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2014; ) + đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;0 sin(â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2014; ) = 0 2

2

2

đ?&#x2018;? =0 . Pertanto per đ?&#x153;&#x2020; = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2013; si ha y(đ?&#x2018;Ľ)|đ?&#x153;&#x2020;=â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x2030;Ą 0 . { 1 đ?&#x2018;?2 = 0

Problemi di Sturm-Louiville Si tratta di un problema omogeneo al contorno del tipo âŚ&#x2039;đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Śâ&#x20AC;˛âŚ&#x152;â&#x20AC;˛ + đ?&#x2018;&#x17E;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ś + đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x153;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ś = 0 đ?&#x203A;ź1 đ?&#x2018;Ś(đ?&#x2018;&#x17D;) + đ?&#x203A;˝1 đ?&#x2018;Śâ&#x20AC;˛(đ?&#x2018;&#x17D;) = 0 đ?&#x203A;ź2 đ?&#x2018;Ś(đ?&#x2018;&#x17D;) + đ?&#x203A;˝2 đ?&#x2018;Śâ&#x20AC;˛(đ?&#x2018;&#x17D;) = 0

da cui

đ?&#x2018;? =0 { 1 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?2 = 0

o anche

đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;Ľ) > 0 đ?&#x2018;?â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ) Per le funzioni considerate tutte continue in âŚ&#x2039;a, bâŚ&#x152; . đ?&#x2018;&#x17E;(đ?&#x2018;Ľ) {đ?&#x153;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) > 0 Gli autovalori di un problema di Sturm-Luoiville sono tutti positivi e risulta 0 â&#x2030;¤ đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2013; < đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2013;+1 essendo đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; quando nâ&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; .

Per ogni đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2013; tale esiste lâ&#x20AC;&#x2122;autofunzione linearmente indipendente. Lâ&#x20AC;&#x2122;insieme delle đ?&#x2018;?

funzioni linearmente indipendenti eâ&#x20AC;&#x2122; {đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2013; (đ?&#x2018;Ľ)} e risulta â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x153;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x161; (đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ = 0 quando mâ&#x2030; đ?&#x2018;&#x203A;.

Riconoscimento di un problema di Sturm-Louiville Data lâ&#x20AC;&#x2122;equazione differenziale ordinaria (2 + sin(đ?&#x2018;Ľ))đ?&#x2018;Śâ&#x20AC;˛â&#x20AC;˛ + cos(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Śâ&#x20AC;˛ + (1 + đ?&#x153;&#x2020;)đ?&#x2018;Ś = 0 con le condizioni al contorno seguenti {

đ?&#x2018;Ś(â&#x2C6;&#x2019;1) + 2đ?&#x2018;Śâ&#x20AC;˛(â&#x2C6;&#x2019;1) = 0 . In questo caso âŚ&#x2039;a, bâŚ&#x152;â&#x2030;Ą đ?&#x2018;Ś(1) + 2đ?&#x2018;Śâ&#x20AC;˛(1) = 0

âŚ&#x2039;â&#x2C6;&#x2019; 1, 1âŚ&#x152;.

Il problema enunciato (Bronson) viene scritto anche (Spiegel) come scritto anche nella đ?&#x2018;&#x2018;

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś

forma equivalente đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;ĽâŚ&#x2039;p(x)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;ĽâŚ&#x152;+âŚ&#x2039;đ?&#x2018;&#x17E;(đ?&#x2018;Ľ) + đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x2018;&#x;(đ?&#x2018;Ľ)âŚ&#x152;y = 0, per la quale se p(x) e q(x) sono reali allora gli autovalori sono reali. La funzione r(x)â&#x2030;Ľ 0 eâ&#x20AC;&#x2122; la funzione peso. đ?&#x2018;&#x2018;

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś

Si osservi che (2 + sin(đ?&#x2018;Ľ))đ?&#x2018;Śâ&#x20AC;˛â&#x20AC;˛ + cos(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Śâ&#x20AC;˛ = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;ĽâŚ&#x2039;p(x)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;ĽâŚ&#x152;. Ci si puoâ&#x20AC;&#x2122; convincere di cioâ&#x20AC;&#x2122; molto banalmente solo che si ponga đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;Ľ) = 2 + sin(đ?&#x2018;Ľ) e

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

= đ?&#x2018;Śâ&#x20AC;˛â&#x20AC;˛ nel secondo membro. Cioâ&#x20AC;&#x2122;

consente di ottenere il secondo membro eguale al primo e quindi a provare lâ&#x20AC;&#x2122;eguaglianza. Si evidenzia poi che đ?&#x2018;&#x17E;(đ?&#x2018;Ľ) + đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x2018;&#x;(đ?&#x2018;Ľ) = 1 + đ?&#x153;&#x2020; đ?&#x2018;&#x17E;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 1 e r(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 1. Tra le due formalizzazioni risulta e r(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą đ?&#x153;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) .

La costante Îť eâ&#x20AC;&#x2122; detta costante di separazione .

Metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt Sia {đ?&#x153;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013; (đ?&#x2018;Ľ)} un insieme di funzioni linearmente indipendenti in (a, b) incluso propriamente in R . Da esse si ottiene un insieme di funzioni ortonormate in (a, b). Si considerano quindi le funzioni đ?&#x203A;ˇ1 (đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;?11 đ?&#x153;&#x2018;1 (đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x203A;ˇ2 (đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;?21 đ?&#x153;&#x2018;1 (đ?&#x2018;Ľ) + đ?&#x2018;?22 đ?&#x153;&#x2018;2 (đ?&#x2018;Ľ) â&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Ś.. đ?&#x203A;ˇđ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A;1 đ?&#x153;&#x2018;1 (đ?&#x2018;Ľ) + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A;2 đ?&#x153;&#x2018;2 (đ?&#x2018;Ľ) + â&#x2039;Ż â&#x20AC;Ś + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x153;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2DC; (đ?&#x2018;Ľ) + â&#x2039;Ż â&#x20AC;Ś.

I coefficienti đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2014; sono scelti in modo che đ?&#x203A;ˇđ?&#x2018;&#x2013; (đ?&#x2018;Ľ) siano mutuamente ortogonali in (a, b).

Per questa via, per esempio, possono essere ricavati i polinomi di Legendre, contenuti nellâ&#x20AC;&#x2122;integrale generale della equazione differenziale di Legendre (vedi infra).

Come eâ&#x20AC;&#x2122; noto essi sono đ?&#x2018;&#x192;0 (đ?&#x2018;Ľ) = 1 đ?&#x2018;&#x192;1 (đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x192;2 (đ?&#x2018;Ľ) =

đ?&#x2018;&#x192;3 (đ?&#x2018;Ľ) =

đ?&#x2018;&#x192;4 (đ?&#x2018;Ľ) =

3đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019;1 2

5đ?&#x2018;Ľ 3 â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ 2

35đ?&#x2018;Ľ 4 â&#x2C6;&#x2019;30đ?&#x2018;Ľ 2 +3 8

.

Essi godono della interessante proprietaâ&#x20AC;&#x2122; che đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x203A; (1) = 1.

Eâ&#x20AC;&#x2122; noto (Stang) che eâ&#x20AC;&#x2122; possibile per una funzione introdurre la nozione di lunghezza ||f|| tale che ||đ?&#x2018;&#x201C;||2 = 2đ?&#x153;&#x2039;

â&#x2C6;Ť0 đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)2 dx = đ?&#x153;&#x2039; đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = sin(đ?&#x2018;Ľ). Viene anche definito il concetto di prodotto interno di due funzioni, indicato con il formalismo (f, g). Se (f, g)= 0 allora le funzioni sono dette ortogonali. Per definizione (f, g)= 1

â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ = 0, operando in un intervallo simmetrico dello 0. Infatti, nellâ&#x20AC;&#x2122;intervallo (- 1, 1) eâ&#x20AC;&#x2122; possibile 1

1

1

ottenere (1,x) = â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;1 1 â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ = 0 ed anche (x, đ?&#x2018;Ľ 2 ) = â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ = 0 cioeâ&#x20AC;&#x2122; (x, đ?&#x2018;Ľ 2 ) = â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľ 3 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ = 0 . La terza

funzione ortogonale risulta essere đ?&#x2018;&#x201C;2 (đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019;

(1,đ?&#x2018;Ľ 2 ) (1,1)

1â&#x2C6;&#x2019;

(đ?&#x2018;Ľ,đ?&#x2018;Ľ 2 ) (đ?&#x2018;Ľ,đ?&#x2018;Ľ)

1

đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; . Si tratta del polinomio di Legendre 3

di secondo grado. In modo analogo si ottengono gli altri polinomi di Legendre.

7.

funzioni speciali e sviluppi asintotici

Tale parte saraâ&#x20AC;&#x2122; oggetto di un numero di approfondimento.

8. Integrali di Fourier. trasformate. Antitrasformate.

Teorema integrale di Fourier Se per una assegnata funzione f(x) sono vere le due seguenti condizioni â&#x20AC;˘

f(x) e fâ&#x20AC;&#x2122;(x) sono generalmente continue in ogni (a, b) â&#x160;&#x201A; (â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, +â&#x2C6;&#x17E;)

â&#x20AC;˘

â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; |đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)|đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ converge

+â&#x2C6;&#x17E;

si ha +â&#x2C6;&#x17E;

â&#x20AC;˘

f(x) = â&#x2C6;Ť0 {đ??´(đ?&#x203A;ź)đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x203A;źđ?&#x2018;Ľ + đ??ľ(đ?&#x203A;ź)đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x203A;źđ?&#x2018;Ľ}đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x203A;ź

â&#x20AC;˘

f(x) =

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013;+ )+đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013;â&#x2C6;&#x2019; ) 2

â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;Ľ | đ?&#x2018;Ľ di continuitaâ&#x20AC;&#x2122;

per ogni đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2013; di discontinuitaâ&#x20AC;&#x2122;

risultando 1

+â&#x2C6;&#x17E;

1

+â&#x2C6;&#x17E;

â&#x20AC;˘

A(đ?&#x203A;ź) = â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x203A;źđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2039;

â&#x20AC;˘

B(đ?&#x203A;ź) = â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x203A;źđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2039;

Tasformate di Fourier Il teorema integrale di Fourier puoâ&#x20AC;&#x2122; essere reso nella forma complessa scrivendo che 1

+â&#x2C6;&#x17E;

+â&#x2C6;&#x17E;

f(x)= 2đ?&#x153;&#x2039; â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x203A;źđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x203A;ź â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;˘)đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x203A;źđ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ +â&#x2C6;&#x17E;

Si scrive F(đ?&#x203A;ź) = â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;˘)đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x203A;źđ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ â&#x2020;? trasformata di Fourier della funzione f(x).

Viene quindi definita lâ&#x20AC;&#x2122;antitraformata (detta anche trasformata inversa) di Fourier 1

+â&#x2C6;&#x17E;

f(x) = 2đ?&#x153;&#x2039; â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ??š(đ?&#x203A;ź)đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x203A;źđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x203A;ź

Nel caso delle funzioni pari o delle funzioni dispari le trasformate di Fourier sono rispettivamente le seguenti â&#x2013;Ş

â&#x2013;Ş

per le funzioni pari +â&#x2C6;&#x17E;

â&#x2013;Ş

F(đ?&#x203A;ź) = â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;˘)đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x203A;źđ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ â&#x2020;? trasformata coseno di Fourier

â&#x2013;Ş

f(x) = đ?&#x153;&#x2039; â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ??š(đ?&#x203A;ź)đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x203A;źđ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x203A;ź

2

+â&#x2C6;&#x17E;

per le funzioni dispari +â&#x2C6;&#x17E;

â&#x2013;Ş

F(đ?&#x203A;ź) = â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;˘)đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ â&#x2020;? trasformata seno di Fourier

â&#x2013;Ş

f(x) = â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ??š(đ?&#x203A;ź)đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x203A;źđ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x203A;ź đ?&#x153;&#x2039;

2

+â&#x2C6;&#x17E;

Il formalismo F{f} denota la trasformata di Fourier della funzione f nellâ&#x20AC;&#x2122;indeterminata x.

Eguaglianze di Parseval Date due funzioni f(x) e g(x) le cui trasformate di Fourier sono F(đ?&#x203A;ź) e G(đ?&#x203A;ź) si ha +â&#x2C6;&#x17E; 1 +â&#x2C6;&#x17E; Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x203A;ź â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ = 2đ?&#x153;&#x2039; â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; F(đ?&#x203A;ź)đ??ş(đ?&#x203A;ź)

Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; indica che si considera la trasformata di Fourier di g(x) e quindi si considera il đ??ş(đ?&#x203A;ź) complesso coniugato.

Il complesso coniugato del numero complesso (a, b) eâ&#x20AC;&#x2122; il numero complesso (a, â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?). In termini algebrici il numero complesso coniugato del numero a +đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;? eâ&#x20AC;&#x2122; il numero complesso a â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;? e solitamente si scrive a â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;? = Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; a + đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?. Due numeri complessi e coniugati sono simmetrici rispetto allâ&#x20AC;&#x2122;asse reale delle x.

Se le funzioni f(x) e g(x) sono entrambe pari si ha +â&#x2C6;&#x17E;

â&#x2C6;Ť0

2

+â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x153;&#x2039; â&#x2C6;Ť0

đ??š(đ?&#x203A;ź)đ??ş(đ?&#x203A;ź)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x203A;ź

essendo đ??š(đ?&#x203A;ź) đ?&#x2018;&#x2019; đ??ş(đ?&#x203A;ź) le serie coseno di Fourier delle due funzioni pari.

Nel caso le funzioni f(x) e g(x) sono entrambe dispari risulta +â&#x2C6;&#x17E;

â&#x2C6;Ť0

2

+â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x153;&#x2039; â&#x2C6;Ť0

đ??š(đ?&#x203A;ź)đ??ş(đ?&#x203A;ź)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x203A;ź

essendo đ??š(đ?&#x203A;ź) đ?&#x2018;&#x2019; đ??ş(đ?&#x203A;ź) le serie seno di Fourier delle due funzioni dispari.

Nel caso sia f(x) = đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;Ľ| đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2C6; dom f = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x201D; eâ&#x20AC;&#x2122; data la seguente identitaâ&#x20AC;&#x2122; +â&#x2C6;&#x17E;

2

+â&#x2C6;&#x17E;

â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x153; (đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ))2 dx = đ?&#x153;&#x2039; â&#x2C6;Ť0 ((đ??š(đ?&#x203A;ź))2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x203A;ź In questa identitaâ&#x20AC;&#x2122; đ??š(đ?&#x203A;ź) indica la trasformata seno o coseno di Fourier a seconda che la funzione f(x) sia dispari oppure sia pari.

Teorema della convoluzione +â&#x2C6;&#x17E;

Date due funzione f(x) e g(x) lâ&#x20AC;&#x2122;integrale â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;˘)đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;˘)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ eâ&#x20AC;&#x2122; detto integrale di convoluzione.

Per indicare la convoluzione di due funzioni eâ&#x20AC;&#x2122; stata introdotta una notazione molto concisa, cioeâ&#x20AC;&#x2122; fâ&#x2C6;&#x2014;g +â&#x2C6;&#x17E;

Quindi f â&#x2C6;&#x2014; g = â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;˘)đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;˘)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘ La convoluzione gode di particolari e utili proprietaâ&#x20AC;&#x2122; quali sono le seguenti: â&#x201E;ą{đ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201D;} = â&#x201E;ą{đ?&#x2018;&#x201C;}â&#x201E;ą{đ?&#x2018;&#x201D;} .

Il formalismo â&#x201E;ą{đ?&#x2018;&#x201C;} denota la trasformata di Fourier della funzione f nellâ&#x20AC;&#x2122;indeterminata x.

Date tre funzioni f(x), g(x) e h(x) possono essere dimostrate le seguenti ulteriori prâ&#x20AC;&#x2122;prieta' della convoluzione f â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201D; = đ?&#x2018;&#x201D; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201C; (commutativitaâ&#x20AC;&#x2122;) f â&#x2C6;&#x2014; (đ?&#x2018;&#x201D; â&#x2C6;&#x2014; â&#x201E;&#x17D;) = ( f â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201D; ) â&#x2C6;&#x2014; â&#x201E;&#x17D; (associativitaâ&#x20AC;&#x2122;) f â&#x2C6;&#x2014; (đ?&#x2018;&#x201D; + â&#x201E;&#x17D;) = đ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2014; đ?&#x2018;&#x201D; + đ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2014; â&#x201E;&#x17D; (distributivitaâ&#x20AC;&#x2122;).

Significato fisico della convoluzione Assegnato un sistema fisico la convoluzione eâ&#x20AC;&#x2122; lâ&#x20AC;&#x2122;uscita da intendersi come la convoluzione tra la risposta allâ&#x20AC;&#x2122;impulso h(t) e il segnale di ingresso x(t). In termini +â&#x2C6;&#x17E;

formali si scrive y(t) = đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;Ą) â&#x2C6;&#x2014; â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ą) = â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;?)â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x153;?)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;? .

Solitamente come segnale di ingresso si considera x(t)= đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2014;2đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x201C;0 đ?&#x2018;Ą , ove đ?&#x2018;&#x201C;0 eâ&#x20AC;&#x2122; la frequenza del segnale. Il valore j eâ&#x20AC;&#x2122; lâ&#x20AC;&#x2122;unitaâ&#x20AC;&#x2122; immaginaria j = â&#x2C6;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;1 .

Lâ&#x20AC;&#x2122;uscita viene posta in una forma standard quale la seguente y(t) = đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2014;2đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x201C;0 đ?&#x2018;Ą đ??ť(đ?&#x2018;&#x201C;0 ) ove si +â&#x2C6;&#x17E;

pone đ??ť(đ?&#x2018;&#x201C;0 ) = â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x153;?)đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2014;2đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x201C;0 đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;? (Prati).

Vigendo la proprietaâ&#x20AC;&#x2122; commutativa della convoluzione +â&#x2C6;&#x17E;

+â&#x2C6;&#x17E;

cheâ&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x153;?)â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;?)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;? = â&#x2C6;Ťâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x153;?)đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;?)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;?.

si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere

9. Funzioni di Bessel Prima di prendere in considerazione le funzioni di Bessel eâ&#x20AC;&#x2122; sicuramente utile introdurre il metodo di Frobeinus e quello di Sturm-Louiville per lo studio di particolari equazioni differenziali e di problemi al contorno.

Le schede seguenti introducono ai metodi citati, rilevanti in particolari ambiti.

Il metodo di Frobenius â&#x20AC;&#x201C; Nozioni preliminari Il metodo abbisogna di alcune nozioni preliminari.

Funzione analitica. Una funzionef(x) eâ&#x20AC;&#x2122; analitica in un punto đ?&#x2018;Ľ0 del suo dominio se lo sviluppo in serie di Taylor in un intorno (đ?&#x2018;Ľ0 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x203A;ż, đ?&#x2018;Ľ0 + đ?&#x203A;ż) cioeâ&#x20AC;&#x2122; â&#x2C6;&#x2018;+â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x203A;=0

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;&#x203A;) (đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0)đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x203A;!

converge a f(x) in (đ?&#x2018;Ľ0 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x203A;ż, đ?&#x2018;Ľ0 + đ?&#x203A;ż).

Punti ordinari e punti singolari. Data lâ&#x20AC;&#x2122;equazione differenziale ordinaria đ?&#x2018;?1 (đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ś â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛ + đ?&#x2018;?2 (đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ś â&#x20AC;˛ + đ?&#x2018;?2 (đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ś = 0 ponibile nella forma đ?&#x2018;Śâ&#x20AC;˛â&#x20AC;˛ + đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)yâ&#x20AC;&#x2122; +đ?&#x2018;&#x201E;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ś = 0 ottenuta dalla precedente dividendo per đ?&#x2018;?1 (đ?&#x2018;Ľ).

Il punto đ?&#x2018;Ľ0 eâ&#x20AC;&#x2122; un punto ordinario della data equazione differenziale se le due funzioni P(x) e Q(x) sono entrambe analitiche in đ?&#x2018;Ľ0 .

Il punto đ?&#x2018;Ľ0 eâ&#x20AC;&#x2122; un punto singolare regolare della data equazione differenziale se le funzioni (xâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0 ) P(x) e (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ0 )2Q(x) sono entrambe analitiche in đ?&#x2018;Ľ0 .

I punti singolari che non verificano questa condizione sono detti punti singolari irregolari.

Ad esempio eâ&#x20AC;&#x2122; possibile considerare la funzione y = đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = sin(đ?&#x2018;Ľ), e determinare lo sviluppo in serie di Taylor in un intorno simmetrico dello 0 , denotato come ( â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x203A;ż, đ?&#x203A;ż) .

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; utilizzare il criterio del rapporto per dimostrare che la serie di Taylor di tale funzione converge ovunque.

Possiamo scrivere che đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = sin đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;?â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;(0) = sin(0) = 0 đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ) = cos đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;?â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛(0) = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; (0) = 1 đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2019;sin đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;?â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛ (0) = â&#x2C6;&#x2019;sin(0) = 0 đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2019; cos đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;?â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛ (0) = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; (0) = â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;Ł (đ?&#x2018;Ľ) = sin đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;?â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;Ł (đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;(0) = 0 Lo sviluppo in serie di Taylor della funzione eâ&#x20AC;&#x2122; â&#x2C6;&#x2018;+â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x203A;=0 â&#x2C6;&#x2018;+â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x203A;=0

đ?&#x2018;&#x201C; (đ?&#x2018;&#x203A;) (đ?&#x2018;Ľ0 )(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x203A;!

=

0 0!

+

1đ?&#x2018;Ľ 1!

+

0đ?&#x2018;Ľ 2 2!

â&#x2C6;&#x2019;

1đ?&#x2018;Ľ 3 3!

+ â&#x2039;Ż â&#x20AC;Ś â&#x20AC;Ś = 0 + â&#x2C6;&#x2018;+â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x203A;=0

rapporto deve potersi evidenziare che lim |

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;+1 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;

Si ha |

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;+1 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;

|= |

(â&#x2C6;&#x2019;1)đ?&#x2018;&#x203A;+1 đ?&#x2018;Ľ2đ?&#x2018;&#x203A;+1+1 (2đ?&#x2018;&#x203A;+2)! (â&#x2C6;&#x2019;1)đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;Ľ2đ?&#x2018;&#x203A;+1 (2đ?&#x2018;&#x203A;+1)!

n â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E;. E quindi lim |

|= |

(â&#x2C6;&#x2019;1)đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; 2đ?&#x2018;&#x203A;+2

đ?&#x2018;&#x201C; (đ?&#x2018;&#x203A;) (đ?&#x2018;Ľ0 )(đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ0 )đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x203A;!

(â&#x2C6;&#x2019;1)đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;Ľ 2đ?&#x2018;&#x203A;+1 (2đ?&#x2018;&#x203A;+1)!

che per đ?&#x2018;Ľ0 = 0 si

. Applicando il criterio del

| < 1 al fine di verificare la convergenza.

(â&#x2C6;&#x2019;1)đ?&#x2018;&#x203A;+1 đ?&#x2018;Ľ 2đ?&#x2018;&#x203A;+1+1

(2đ?&#x2018;&#x203A;+1)!

(2đ?&#x2018;&#x203A;+2)!

(â&#x2C6;&#x2019;1)đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;Ľ 2đ?&#x2018;&#x203A;+1

|=|

(â&#x2C6;&#x2019;1)đ?&#x2018;&#x203A; 2đ?&#x2018;&#x203A;+2

| |đ?&#x2018;Ľ|. Ma |

(â&#x2C6;&#x2019;1)đ?&#x2018;&#x203A; 2đ?&#x2018;&#x203A;+2

| â&#x2020;&#x2019; 0+ quando

| |đ?&#x2018;Ľ| < 1 . â&#x2013; â&#x2013; â&#x2013;

Data la seguente equazione differenziale đ?&#x2018;Śâ&#x20AC;˛â&#x20AC;˛ + 3đ?&#x2018;Śâ&#x20AC;˛ + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś = 0 si puoâ&#x20AC;&#x2122;, ad esempio, studiare il punto đ?&#x2018;Ľ = 1. Le funzioni P(x) e Q(x) sono rispettivamente {

đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ) = 3 Poicheâ&#x20AC;&#x2122; almeno una di đ?&#x2018;&#x201E;(đ?&#x2018;Ľ) = 2đ?&#x2018;Ľ

esse non eâ&#x20AC;&#x2122; una costante si procede osservando che entrambe le funzioni sono ovunque analitiche .

Quindi x = 1 eâ&#x20AC;&#x2122; un punto ordinario. â&#x2013; â&#x2013; â&#x2013; 1

Sia ora data la equazione differenziale ordinaria (đ?&#x2018;Ľ + 1)đ?&#x2018;Ś â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛ + đ?&#x2018;Ś â&#x20AC;˛ + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś = 0 đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ = 0. đ?&#x2018;Ľ

Dividendo per (đ?&#x2018;Ľ + 1) si ha đ?&#x2018;Ś â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛ + Si osservi che đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201D;â&#x20AC;˛(đ?&#x2018;Ľ) (đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ))2 đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

=

1 đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;Ľ+1)

0â&#x2C6;&#x2019;(2đ?&#x2018;Ľ+1) (đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;Ľ+1))2

=

đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ)

1 đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;Ľ+1)

đ?&#x2018;Śâ&#x20AC;˛ +

đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľ+1

đ?&#x2018;Ś=0.

quando sia posto đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą 1 . Occorre calcolare

đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ) =

. In đ?&#x2018;Ľ = 0 tale derivata non eâ&#x20AC;&#x2122; definita. In altri termini

đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)|đ?&#x2018;Ľ=0 đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;. Tale punto eâ&#x20AC;&#x2122; quindi singolare .

Ulteriormente, volendo si potraâ&#x20AC;&#x2122; studiare se tale punto eâ&#x20AC;&#x2122; singolare regolare cioeâ&#x20AC;&#x2122; se risulti (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ0 )đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ) (đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ) che le funzioni { e per đ?&#x2018;Ľ0 = 0 ci si deve riferire alle funzioni { 2 . (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ0 )2 đ?&#x2018;&#x201E;(đ?&#x2018;Ľ) (đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201E;(đ?&#x2018;Ľ)

Lâ&#x20AC;&#x2122;essenza del metodo di Frobenius Eâ&#x20AC;&#x2122; data lâ&#x20AC;&#x2122;equazione differenziale omogenea đ?&#x2018;Śâ&#x20AC;˛â&#x20AC;˛ + đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Śâ&#x20AC;˛ + đ?&#x2018;&#x201E;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ś = 0. Sia đ?&#x2018;Ľ0 = 0 un punto singolare regolare. Lâ&#x20AC;&#x2122;equazione ha almeno una soluzione đ?&#x2018;&#x203A; della forma đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2020; â&#x2C6;&#x2018;+â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x203A;=0 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;Ľ essendo đ?&#x153;&#x2020; e đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; delle costanti. Tale soluzione eâ&#x20AC;&#x2122;

valida in 0 < đ?&#x2018;Ľ < đ?&#x2018;&#x; | đ?&#x2018;&#x; â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x2026;. Il metodo eâ&#x20AC;&#x2122; un sintetizzabile per punti.

1. Se lâ&#x20AC;&#x2122;equazione non lo eâ&#x20AC;&#x2122; giaâ&#x20AC;&#x2122; va ricondotta alla forma đ?&#x2018;Śâ&#x20AC;˛â&#x20AC;˛ + đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Śâ&#x20AC;˛ + đ?&#x2018;&#x201E;(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ś = 0.

2. Ottenute o date le funzioni đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201E;(đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013; accerta che almeno una delle due non sia analitica.

3. Si considerano le funzioni { alle funzioni {

(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ0 )đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ) e (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ0 )2 đ?&#x2018;&#x201E;(đ?&#x2018;Ľ)

per đ?&#x2018;Ľ0 = 0 ci si deve riferire

(đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľ) evidenziando che entrambe sono analitiche (đ?&#x2018;Ľ)2 đ?&#x2018;&#x201E;(đ?&#x2018;Ľ)

in đ?&#x2018;Ľ0 = 0. đ?&#x2018;&#x203A; 4. Poicheâ&#x20AC;&#x2122; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2020; puoâ&#x20AC;&#x2122; essere intesa come una costante da = đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2020; â&#x2C6;&#x2018;+â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x203A;=0 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;Ľ si +â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x153;&#x2020; đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x153;&#x2020;+đ?&#x2018;&#x203A; ottiene đ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2018;+â&#x2C6;&#x17E; . đ?&#x2018;&#x203A;=0 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľ e quindi đ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2018;đ?&#x2018;&#x203A;=0 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2020;+đ?&#x2018;&#x203A; 5. Si considera lo sviluppo infinito di đ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2018;+â&#x2C6;&#x17E; cioeâ&#x20AC;&#x2122; si pone đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x203A;=0 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2020; + đ?&#x2018;&#x17D;1 đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2020;+1 + đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2020;+2 + đ?&#x2018;&#x17D;3 đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2020;+3 + đ?&#x2018;&#x17D;4 đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2020;+4 + â&#x2039;Ż â&#x20AC;Ś â&#x20AC;Ś

quindi

si

considera la derivata prima cioeâ&#x20AC;&#x2122; đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x153;&#x2020;+đ?&#x2018;&#x203A; (â&#x2C6;&#x2018;+â&#x2C6;&#x17E; ) = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2020;â&#x2C6;&#x2019;1 + đ?&#x2018;&#x17D;1 (đ?&#x153;&#x2020; + 1)đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2020; + đ?&#x2018;&#x17D;2 (đ?&#x153;&#x2020; + 2)đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2020;+1 + đ?&#x2018;&#x17D;3 (đ?&#x153;&#x2020; + đ?&#x2018;&#x203A;=0 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;Ľ

3)đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2020;+2 + đ?&#x2018;&#x17D;4 (đ?&#x153;&#x2020; + 4 )đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2020;+3 + â&#x2039;Ż . . â&#x20AC;Ś â&#x20AC;Ś â&#x20AC;Ś

6. Ottenute le yâ&#x20AC;&#x2122;(x) e yâ&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122;(x) si sostituiscono le loro espressioni nellâ&#x20AC;&#x2122;equazione differenziale data.

7. Operando algebricamente si ottiene lâ&#x20AC;&#x2122;equazione indiciale che, nei casi piuâ&#x20AC;&#x2122; elementari ha soluzioni reali. Se si ammette che le soluzioni di detta equazione siano đ?&#x153;&#x2020;1 â&#x2030;Ľ đ?&#x153;&#x2020;2

allora una soluzione eâ&#x20AC;&#x2122; đ?&#x2018;Ś1 (đ?&#x2018;Ľ) =

đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2020;1 â&#x2C6;&#x2018;+â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x203A;=0 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x153;&#x2020;1 đ?&#x2018;Ľ . Esiste anche una seconda soluzione, linearmente

indipendente dalla prima đ?&#x2018;Ś2 (đ?&#x2018;Ľ) e conseguentemente la soluzione generale y(x) eâ&#x20AC;&#x2122; una combinazione lineare di esse, esistendo quindi due costanti đ?&#x2018;?1 đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;?2 tali che y(x)= đ?&#x2018;?1 đ?&#x2018;Ś1 (đ?&#x2018;Ľ) + đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;Ś2 (đ?&#x2018;Ľ).

8. Gli sviluppi operativi impongono poi di considerare tre possibili casi đ?&#x153;&#x2020;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x2020;1 â&#x2030; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;

in

conseguenza

del

quale

si

ha đ?&#x2018;Ś2 (đ?&#x2018;Ľ) =

đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2020;2 â&#x2C6;&#x2018;+â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x203A;=0 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x153;&#x2020;2 đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x153;&#x2020;2 = đ?&#x153;&#x2020;1

in

conseguenza

del

quale

si

ha đ?&#x2018;Ś2 (đ?&#x2018;Ľ) =

đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;Ś1 (đ?&#x2018;Ľ)ln(đ?&#x2018;Ľ)+đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2020;2 â&#x2C6;&#x2018;+â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x203A;=0 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x153;&#x2020;1 đ?&#x2018;Ľ dove đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; sono costanti opportune

đ?&#x153;&#x2020;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x2020;1 = đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;

in

conseguenza

del

quale

si

ha đ?&#x2018;Ś2 (đ?&#x2018;Ľ) =

đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x203A;źđ?&#x2018;Ś1 (đ?&#x2018;Ľ)ln(đ?&#x2018;Ľ)+đ?&#x2018;Ľ đ?&#x153;&#x2020;2 â&#x2C6;&#x2018;+â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x203A;=0 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x153;&#x2020;1 đ?&#x2018;Ľ ove đ?&#x203A;ź e đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x203A; sono costanti opportune.

Questa eâ&#x20AC;&#x2122; in estrema sintesi la sequenza utile per gestire la situazione nei casi piuâ&#x20AC;&#x2122; semplici, sicuramente utili per la gestione delle equazioni di Bessel.

Eâ&#x20AC;&#x2122; soprattutto, in questi casi, utile affrontare casi concreti, come quelli che sono solitamente riportati nella manualistica (Bronson, p.e.).

Lâ&#x20AC;&#x2122;equazione differenziale di Bessel Tale equazione differenziale omogenea per n non negativo (n â&#x2030;Ľ 0) la seguente đ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Ś â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛ + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś + (đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A;2 )đ?&#x2018;Ś = 0 .

Ai fini della ricerca delle soluzioni di tale equazione differenziale eâ&#x20AC;&#x2122; possibile utilizzare il metodo di Frobenius, ammettendo quindi che esista una soluzione del tipo y(x)= đ?&#x2018;&#x2DC;+đ?&#x153;&#x2020; â&#x2C6;&#x2018;+â&#x2C6;&#x17E; . Si ha lo stesso risultato precedentemente introdotto quando si ponga đ?&#x2018;&#x2DC;=â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC; = 0 â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x2DC;|đ?&#x2018;&#x2DC; < 0 .

Lâ&#x20AC;&#x2122;equazione differenziale di Bessel eâ&#x20AC;&#x2122; ottenuta dallâ&#x20AC;&#x2122;equazione di Laplace (â&#x2C6;&#x2021;2 đ?&#x2018;˘ = 0) in coordinate cilindriche.

Lâ&#x20AC;&#x2122;equazione di Laplace in coordinate cilindriche Coordinate cilindriche.

Rappresentazione grafica.

Formule di trasformazione.

Eâ&#x20AC;&#x2122; utile partire dalle formule di trasformazione seguenti đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x153;&#x2018; { đ?&#x2018;Ś = đ?&#x153;&#x152;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x2018; â&#x2020;? dalle coordinate cilindriche a quelle cartesiane. đ?&#x2018;§=đ?&#x2018;§ đ?&#x153;&#x152;â&#x2030;Ľ0 (sotto le condizioni { 0 â&#x2030;¤ đ?&#x153;&#x2018; < 2đ?&#x153;&#x2039; ) â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; < đ?&#x2018;§ < +â&#x2C6;&#x17E;

Dati đ?&#x153;&#x152; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x153;&#x2018; consentono di ottenere x ed y. đ?&#x153;&#x152; = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Ś 2 {đ?&#x153;&#x2018; = arcsin(

đ?&#x2018;Ś

â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľ 2 +đ?&#x2018;Ś 2

) = arccos(

đ?&#x2018;Ľ

â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľ 2 +đ?&#x2018;Ś 2

)

đ?&#x2018;§=đ?&#x2018;§ Equazione di Laplace in coordinate cilindriche â&#x2C6;&#x2021;2 đ?&#x2018;˘ = 0 â&#x2C6;&#x201A;2 u â&#x2C6;&#x201A;Ď 2

1 đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘

1 â&#x2C6;&#x201A;2 u

â&#x2C6;&#x201A;2 u

+ đ?&#x153;&#x152; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x152; + đ?&#x153;&#x152;2 â&#x2C6;&#x201A;đ?&#x153;&#x2018;2 + â&#x2C6;&#x201A;đ?&#x2018;§2 = 0

Lâ&#x20AC;&#x2122;equazione di Bessel đ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Ś â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛ + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ś + (đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A;2 )đ?&#x2018;Ś = 0 ammette come integrale generale đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;?1 đ??˝đ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;Ľ) + đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;&#x152;đ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;Ľ). Lâ&#x20AC;&#x2122;integrale đ??˝đ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;Ľ) eâ&#x20AC;&#x2122; detto funzione di Bessel di prima specie di ordine n. Esso ammette un limite finito per x â&#x2020;&#x2019; 0 , mentre il secondo integrale đ?&#x2018;&#x152;đ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;Ľ) eâ&#x20AC;&#x2122; detto integrale di Bessel di seconda specie di ordine n. Esso non ammette limite finito per x â&#x2020;&#x2019; 0.

Lâ&#x20AC;&#x2122;equazione di Bessel viene ottenuta a partire dalla equazione di Laplace in coordinate cilindriche.

10. Funzioni di Legendre I polinomi di Legendre di grado n indicati come đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;Ľ) sono contenuti nellâ&#x20AC;&#x2122;integrale generale soluzione della seguente equazione differenziale, detta di Legnedre.

Tale equazione differenziale eâ&#x20AC;&#x2122; la seguente (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ 2 )đ?&#x2018;Śâ&#x20AC;˛â&#x20AC;˛ â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Śâ&#x20AC;˛ + đ?&#x2018;&#x203A;(đ?&#x2018;&#x203A; + 1)đ?&#x2018;Ś = 0 ove si ammette che n sia un intero n â&#x2030;Ľ 0 .

Lâ&#x20AC;&#x2122;integrale generale soluzione di tale equazione eâ&#x20AC;&#x2122; đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;?1 đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;Ľ) + đ?&#x2018;?2 đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;Ľ) . Le funzioni đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;Ľ) sono comunemente dette funzioni di Legendre di seconda specie e risultano illimitate in un intorno dei punti Âą1 .

Tale equazione puoâ&#x20AC;&#x2122; essere ricavata dallâ&#x20AC;&#x2122;equazione di Laplace â&#x2C6;&#x2021;2 đ?&#x2018;˘ = 0 .

Prima di procedere eâ&#x20AC;&#x2122; utile studiare il laplaciano in coordinate sferiche.

Laplaciano in coordinate sferiche La seguente figura ben evidenzia le coordinate sferiche

Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x2026; = đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x203A;ˇ Le relazioni di trasformazione sono { đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x203A;ˇ đ?&#x2018;§ = đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x153;&#x192;

Il laplaciano in coordinate sferiche eâ&#x20AC;&#x2122; â&#x2C6;&#x2021;2 đ?&#x2018;˘ =

1 đ?&#x153;&#x2022; 2 đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘ 1 đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘ (đ?&#x2018;&#x; )+ 2 (sinđ?&#x153;&#x192; ) đ?&#x2018;&#x; 2 đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x192; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x192; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x192;

+

1 đ?&#x2018;&#x; 2 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;2 đ?&#x153;&#x192;

+

đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x2018;˘ đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x203A;ˇ 2

In coordinate sferiche, quindi, lâ&#x20AC;&#x2122;equazione di Laplace diviene 1 đ?&#x153;&#x2022; 2 đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘ 1 đ?&#x153;&#x2022; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;˘ (đ?&#x2018;&#x; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x; )+ đ?&#x2018;&#x;2 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x153;&#x192; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x192;(sinđ?&#x153;&#x192; đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x153;&#x192;) đ?&#x2018;&#x; 2 đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x2018;&#x;

1

đ?&#x153;&#x2022;2 đ?&#x2018;˘

+ đ?&#x2018;&#x;2 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;2 đ?&#x153;&#x192; + đ?&#x153;&#x2022;đ?&#x203A;ˇ2 =0 .

Premesso che esiste una formula generale che fornisce il polinomio di Legendre di grado n, indicato con đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;Ľ) , si eâ&#x20AC;&#x2122; avuto modo che i polinomi di Legendre possono essere ottenuti con il metodo di Gram â&#x20AC;&#x201C; Schmidt .

Lâ&#x20AC;&#x2122;equazione di Legendre puoâ&#x20AC;&#x2122; essere ottenuta a partire dallâ&#x20AC;&#x2122;equazione di Laplace in coordinate sferiche, supponendo che la funzione scalare u non dipenda da ÎŚ.

Per trovare le serie soluzioni di una equazione di Legendre puoâ&#x20AC;&#x2122; essere utilizzato il metodo di Frobenius.

11. Polinomi ortogonali di hermite e laguerre Una importante equazione differenziale eâ&#x20AC;&#x2122; la seguente đ?&#x2018;Ś â&#x20AC;˛â&#x20AC;˛ â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Śâ&#x20AC;˛ + 2đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ś = 0 essendo n un intero non negativo. đ??¸đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x17D; eâ&#x20AC;&#x2122; soddisfatta dai cosiddetti polinomi di Hermite đ??ťđ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;Ľ) = (â&#x2C6;&#x2019;1)đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ

2

đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;&#x2019; , đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x203A;

di

grado n. đ??ź đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2013; di Hermite sono mutuamente ortogonali utilizzando quale funzione peso 2

la đ?&#x153;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ . đ??żđ?&#x2018;&#x17D; formula đ??ťđ?&#x2018;&#x203A;+1 (đ?&#x2018;Ľ) = 2đ?&#x2018;Ľđ??ťđ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;&#x203A;đ??ťđ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 (đ?&#x2018;Ľ) consente di dimostrare che tali polinomi soddisfano lâ&#x20AC;&#x2122;equazione di Hermite. â&#x2013; â&#x2013; â&#x2013; Una ulteriore equazione differenziale di una certa importanza eâ&#x20AC;&#x2122; quella detta di Laguerre.

Si tratta della seguente đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Śâ&#x20AC;˛â&#x20AC;˛ + (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Śâ&#x20AC;˛ + đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ś = 0 essendo n un intero non negativo.

Tale equazione eâ&#x20AC;&#x2122; verificata dai seguenti integrali polinomiali, detti di Laguerre đ??żđ?&#x2018;&#x203A; (đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2019; . đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x203A;

BIBLIOGRAFIA

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Luc Verschueren, Toutes Mathématiques, Ellipses, 2014

ERRATA CORRIGE DI NUMERI PRECEDENTI

1. ERRATA CORRIGE RELATIVA AL NUMERO PRECEDENTE Con riferimento al precedente numero di Appunti matematici n. 46â&#x2C6;&#x2019;47â&#x2C6;&#x2019;48 eâ&#x20AC;&#x2122; necessario precisare che nel paragrafo â&#x20AC;&#x153;Criterio per la determinazione della condizione di urto tra due corpi e dellâ&#x20AC;&#x2122;istante in cui avviene la collisioneâ&#x20AC;? eâ&#x20AC;&#x2122; stata erroneamente posta la eguaglianza di due funzioni vettoriali.

Pertanto, in relazione allecitate funzioni đ?&#x2018;&#x201C;đ??´ đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ??ľ deve intendersi che esse non siano egualmente identiche, cioeâ&#x20AC;&#x2122; che sia đ?&#x2018;&#x201C;đ??ľ = đ?&#x2018;&#x201C;đ??ľ , dovendo opportunamente porsi đ?&#x2018;&#x201C;đ??ľ â&#x2030; đ?&#x2018;&#x201C;đ??ľ .

2. PRECISAZIONE RELATIVA AD ALCUNI PRECEDENTI NUMERI Eâ&#x20AC;&#x2122; necessario ricordare che nella formulazione ordinariamente utilizzata il determinante simbolico di Laplace, utile, ad esempio ad esprimere il prodotto vettoriale di due vettori a e b viene posto nella forma đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2019;&#x201A; Ă&#x2014; đ?&#x2019;&#x192; = ( đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;

đ?&#x2019;&#x2039; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2014;

đ?&#x2019;&#x152; đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; ) = | đ?&#x2018;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; | đ?&#x2019;&#x160; + |đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; | đ?&#x2019;&#x2039; + |đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2014; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2014; | đ?&#x2019;&#x152;

Tanto eâ&#x20AC;&#x2122; dovuto precisare in quanto in alcuni numeri ho utilizzato una notazione contenente un meno. In termini equivalenti una forma corretta eâ&#x20AC;&#x2122; la seguente đ?&#x2019;&#x160; đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2019;&#x201A;Ă&#x2014;đ?&#x2019;&#x192;=( đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;

đ?&#x2019;&#x2039; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2014;

đ?&#x2019;&#x152; đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; ) = | đ?&#x2018;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2014; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2DC; | đ?&#x2019;&#x160; â&#x2C6;&#x2019; |đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2DC;

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2019;&#x2039; + | | đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2014; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2014; | đ?&#x2019;&#x152;

ALLEGATO 1 1.

Velocitaâ&#x20AC;&#x2122; di impatto di un corpo nel campo g

Un corpo che cade nel campo g da una altezza h impatta il suolo ad una velocitaâ&#x20AC;&#x2122; scalare v = â&#x2C6;&#x161;2đ?&#x2018;&#x201D;â&#x201E;&#x17D; essendo g lâ&#x20AC;&#x2122;accelerazione di gravitaâ&#x20AC;&#x2122;.

Tale formula eâ&#x20AC;&#x2122; nota dalla cinematica elementare.

Un modo alternativo per ricavarla potrebbe essere il seguente, basato sul principio di conservazione dellâ&#x20AC;&#x2122;energia. Un corpo in quiete sospeso ad una altezza h dal suolo possiede una energia potenziale U = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201D;â&#x201E;&#x17D; , ove m eâ&#x20AC;&#x2122; la massa del corpo. Fincheâ&#x20AC;&#x2122; il corpo eâ&#x20AC;&#x2122; sospeso la sua energia cinetica eâ&#x20AC;&#x2122; nulla.

Ad un certo istante il corpo â&#x20AC;&#x201C; venuto meno il vincolo â&#x20AC;&#x201C; inizia a cadere verso il suolo.

Nellâ&#x20AC;&#x2122;istente di impatto tutta la sua energia potenziale si eâ&#x20AC;&#x2122; trasformata in energia cinetica.

Si ammette convenzionalmente che al suolo lâ&#x20AC;&#x2122;energia potenziale valga 0. In realtaâ&#x20AC;&#x2122; i valori delle energie potenziali sono espressi a meno di una costante.

Se đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x201C; eâ&#x20AC;&#x2122; la velocitaâ&#x20AC;&#x2122; di impatto per la conservazione dellâ&#x20AC;&#x2122;energia deve risultare che 1

1

đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x201D;â&#x201E;&#x17D; = 2 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x201C;2 da cui dividendo per m â&#x2030; 0 si ottiene đ?&#x2018;&#x201D;â&#x201E;&#x17D; = 2 đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x201C;2 cioeâ&#x20AC;&#x2122; 2đ?&#x2018;&#x201D;â&#x201E;&#x17D; = đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x201C;2 e quindi đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x201C; = Âąâ&#x2C6;&#x161;2đ?&#x2018;&#x201D;â&#x201E;&#x17D; . Si considera solo la soluzione positiva e quindi si eâ&#x20AC;&#x2122; ottenuto che đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x201C; = â&#x2C6;&#x161;2đ?&#x2018;&#x201D;â&#x201E;&#x17D; c.v.d..

Eâ&#x20AC;&#x2122; possibile trovare il tempo impiegato dal corpo a raggiungere il suolo utilizzando la definizione di accelerazione media, utilizzabile in quanto g si considera constante.

Risulta g =

đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2013;

. Poicheâ&#x20AC;&#x2122; il corpo eâ&#x20AC;&#x2122; inizialmente in quiete si puoâ&#x20AC;&#x2122; porre che đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2013; = 0 e đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2013; =

0. Cioâ&#x20AC;&#x2122; posto si ha g = ha che đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x201C; = â&#x2C6;&#x161;2đ?&#x2018;&#x201D;â&#x201E;&#x17D; .

đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x201C;

e quindi đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x201C; = đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x201C; . In altri termini ricordando che đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x201C; = â&#x2C6;&#x161;2đ?&#x2018;&#x201D;â&#x201E;&#x17D; si

In definitiva si ha đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x201C; =

â&#x2C6;&#x161;2đ?&#x2018;&#x201D;â&#x201E;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201D;

Eâ&#x20AC;&#x2122; stata quindi ricavata đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x201C; = đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x201C; (â&#x201E;&#x17D;) = đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x2C6;&#x161;â&#x201E;&#x17D; ove k eâ&#x20AC;&#x2122; una costante di proporzionalitaâ&#x20AC;&#x2122;.

2. Calcolo della velocitaâ&#x20AC;&#x2122; istantanea đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x;? (t(y)) sapendo che il corpo in moto cade rispetto al corpo inizialmente in quiete in anticipo di x unitaâ&#x20AC;&#x2122; di tempo.

Poicheâ&#x20AC;&#x2122; uno sperimentatore evidenziava che un secondo corpo al tempo đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2013; = 0 in moto si trovava alla medesima altezza h e nella sua caduta impattava il suolo x secondi prima del corpo inizialmente fisso ad altezza h si chiede di determinare la velocitaâ&#x20AC;&#x2122; istantanea di tale secondo corpo u(h)= đ?&#x2018;˘1 â&#x2030; 0 .

Non rileva in condizioni ideali la massa đ?&#x2018;&#x161;2 del secondo corpo.

Anche il secondo corpo eâ&#x20AC;&#x2122; soggetto allâ&#x20AC;&#x2122;accelerazione di gravitaâ&#x20AC;&#x2122; g. Eâ&#x20AC;&#x2122; sufficiente ragionare in termini scalari scrivendo che g =

đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;˘1 đ?&#x153;?2 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ą1

.

Senza perdita di generalitaâ&#x20AC;&#x2122; si puoâ&#x20AC;&#x2122; porre đ?&#x2018;Ą1 = 0 e đ?&#x153;?đ?&#x2018;&#x201C; = đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ , ove x deve considerarsi in questo caso una grandezza notaâ&#x20AC;Ś.

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che g =

đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;˘1 đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ

da cui đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;˘1 = đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ) .

Anche per il corpo 2 di massa đ?&#x2018;&#x161;2 vale il principio di conservazione dellâ&#x20AC;&#x2122;energia e risulta 1

1

1

1

đ?&#x2018;&#x161;2 đ?&#x2018;&#x201D;â&#x201E;&#x17D; + 2 đ?&#x2018;&#x161;2 đ?&#x2018;˘12 = 2 đ?&#x2018;&#x161;2 đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x201C;2 e dividendo per đ?&#x2018;&#x161;2 â&#x2030; 0 si ottiene đ?&#x2018;&#x201D;â&#x201E;&#x17D; + 2 đ?&#x2018;˘12 = 2 đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x201C;2 da cui si ottiene immediatamente che 2gh = đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x201C;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;˘12 = (đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x201C; + đ?&#x2018;˘1 )(đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;˘1 ) = (đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x201C; + đ?&#x2018;˘1 ) đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ) .

2gh đ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ)

Eâ&#x20AC;&#x2122; quindi possibile ricavare đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x201C; + đ?&#x2018;˘1 = đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ą 2h . (đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ)

ulteriormente semplificabile in đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x201C; + đ?&#x2018;˘1 =

Si ottiene quindi il seguente sistema đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x201C; + đ?&#x2018;˘1 = (đ?&#x2018;Ą

2h đ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ)

{ đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;˘1 = đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ) Il valore della velocitaâ&#x20AC;&#x2122; istantanea del corpo di massa đ?&#x2018;&#x161;2 che si trova alla altezza h quando il corpo đ?&#x2018;&#x161;1 inizialmente in quiete inizia la caduta arrivando al suolo x secondi dopo il corpo di massa đ?&#x2018;&#x161;2 puoâ&#x20AC;&#x2122; essere ottenuta dal considerato sistema sottraendo membro a membro e avendo quindi la seguente relazione đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x201C; + đ?&#x2018;˘1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x201C; + đ?&#x2018;˘1 = (đ?&#x2018;Ą

đ?&#x2018;˘1 =

2h â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ) (đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ)

2

.

2h đ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ)

â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ) da cui si ha 2 đ?&#x2018;˘1 = (đ?&#x2018;Ą

2h đ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ)

â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x201C; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ) e quindi

ALLEGATO 2

Un problema per i prossimi mesi ?

Nel numero 10 dei miei Appunti matematici avevo inserito anche una dimostrazione elementare dellâ&#x20AC;&#x2122;ultimo teorema di Fermat.

Sempre in una prospettiva elementare di riflessione sulla relazione đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x203A; che non ha soluzioni intere per n > 2 quando a, b e c sono tre numeri interi assoluti, si puoâ&#x20AC;&#x2122; anche ipotizzare di elaborare una dimostrazione alternativa riconducendo tale problema alla dimostrazione della assenza di soluzioni razionali dellâ&#x20AC;&#x2122;equazione seguente: â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x203A; = 1 .

In altri termini occorre dimostrare che nessuna coppia (h , k) â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x201E; Ă&#x2014; đ?&#x2018;&#x201E; eâ&#x20AC;&#x2122; soluzione di â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x203A; = 1 per h > đ?&#x2018;&#x2DC; quando đ?&#x2018;&#x203A; > 2 .

Equivalentemente occorre dimostrare che se min(h, k) â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x201E; allora per h > đ?&#x2018;&#x2DC; quando đ?&#x2018;&#x203A; > 2 max(h, k) â&#x2C6;&#x2030; Q, o, altrettanto equivalentemente che se max(h, k) â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x201E; allora per h > đ?&#x2018;&#x2DC; quando đ?&#x2018;&#x203A; > 2 si ha che min(h, k) â&#x2C6;&#x2030; Q In realtaâ&#x20AC;&#x2122; le riflessioni possono essere limitate a đ?&#x2018;&#x201E; + . â&#x201E;&#x17D;+đ?&#x2018;&#x2DC; =đ?&#x203A;ź Nel caso đ?&#x2018;&#x203A; = 2 si ha â&#x201E;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC; 2 = 1 da cui { â&#x201E;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC; = 1 che equivale a discutere il caso delle đ?&#x203A;ź

coppie di numeri razionali h e k per i quali la loro somma sia đ?&#x203A;ź e la loro differenza sia 1 đ?&#x203A;ź

> 0. Tali numeri razionali esistono !

Si puoâ&#x20AC;&#x2122; ipotizzare di elaborare una dimostrazione della assenza di soluzioni razionali dellâ&#x20AC;&#x2122;equazione â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x203A; = 1 cioeâ&#x20AC;&#x2122; dimostrare che nessuna coppia (h , k) â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x201E;+ Ă&#x2014; đ?&#x2018;&#x201E;+ eâ&#x20AC;&#x2122; soluzione di â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x203A; = 1 per h > đ?&#x2018;&#x2DC; quando đ?&#x2018;&#x203A; > 2 .

Un sottocaso evidente eâ&#x20AC;&#x2122; costituito dalla assenza di soluzioni intere (o di numeri naturali).

Lâ&#x20AC;&#x2122;assenza di soluzioni intere puoâ&#x20AC;&#x2122; essere acclarata anche per il caso n = 2 allorcheâ&#x20AC;&#x2122; la relazione da confutare eâ&#x20AC;&#x2122; ricondotta al caso đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? 2 = (đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?)(đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?) = 1 . Nel caso di đ?&#x2018;&#x17D;+đ?&#x2018;? =đ?&#x2018;˘ specie ci si riconduce alla trattazione del seguente semplice sistema algebrico { đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? = 1 đ?&#x2018;˘

Tale sistema conduce ad una assurditaâ&#x20AC;&#x2122; evidente in quanto essendo u un intero per la chiusura della somma (la somma di due numeri naturali eâ&#x20AC;&#x2122; un numero naturale). La seconda equazione conduce ad una evidente assurditaâ&#x20AC;&#x2122;, costituita dalla eguaglianza tra un numero naturale (il primo membro, eguale a đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?) e il secondo membro espresso da 1 đ?&#x2018;˘

un numero razionale proprio in quanto u eâ&#x20AC;&#x2122; un intero e conseguentemente eâ&#x20AC;&#x2122; un numero razionale non intero, e piuâ&#x20AC;&#x2122; specificatamente un numero razionale improprio.

Per reductio ad absurdum si evince che lâ&#x20AC;&#x2122;equazione di partenza non eâ&#x20AC;&#x2122; mai verificata quando h e k sono interi assoluti. Alla medesima considerazione si giunge per đ?&#x2018;&#x203A; > 2. Una delle due equazioni del sistema generato porterebbe alla eguaglianza assurda tra un numero naturale e un numero razionale improprio.

In conclusione â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x203A; = 1 non eâ&#x20AC;&#x2122; mai verificata â&#x2C6;&#x20AC;(h , k) â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018; Ă&#x2014; đ?&#x2018; .

Occorre quindi considerare il caso delle coppie (h , k) â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x201E;+ Ă&#x2014; đ?&#x2018;&#x201E;+ | (h , k) â&#x2C6;&#x2030; đ?&#x2018; Ă&#x2014; đ?&#x2018; .

Il primo sottocaso eâ&#x20AC;&#x2122; quello per il quale h â&#x2C6;&#x2C6; (0 , 1) e, đ?&#x2018;?onseguentemente, pure â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2C6; (0 , 1) â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x203A;| đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ľ 2 .

In questo caso una banale manipolazione algebrica conduce a scrivere â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x203A; + 1. Ma da questa relazione si deve concludere che sarebbe â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; > 1 contro lâ&#x20AC;&#x2122;ipotesi che fosse â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; < 1 . Anche in questo caso la reductio ad absurdum induce ad affermare che un razionale k â&#x2C6;&#x2C6; (0 , 1) non puoâ&#x20AC;&#x2122; essere dalla coppia (h, k) di razionali che verificano lâ&#x20AC;&#x2122;equazione studiata in đ?&#x2018;&#x201E; + .

â&#x201E;&#x17D;>1 A contraddizione insanabile si giunge anche nel caso particolare { o, đ?&#x2018;&#x2DC;<1 â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; > 1 equivalentemente, { đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x203A;| đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ľ 2 . đ?&#x2018;&#x2DC; <1 In questo caso particolare una quantitaâ&#x20AC;&#x2122; negativa â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x203A; < 0 sarebbe eguale a 1 !

Le eventuali soluzioni razionali (h, k) della data equazione andrebbero ricercate tra gli đ?&#x203A;ź â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x201E; â&#x2C6;&#x2014;|đ?&#x2018;&#x201E; â&#x2C6;&#x2014; = {(đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?) â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018; Ă&#x2014; đ?&#x2018; |đ?&#x2018;&#x17D; > đ?&#x2018;? | đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030; đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;?| đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018; }, essendo N lâ&#x20AC;&#x2122;insieme dei numeri naturali escluso lo 0.

Eâ&#x20AC;&#x2122; altrettanto immediato che lâ&#x20AC;&#x2122;equazione â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x203A; = 1 non ammette soluzioni razionali â&#x201E;&#x17D; â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x201E;| â&#x201E;&#x17D; > 1 đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x201E;|đ?&#x2018;&#x2DC; > 1 quando { đ?&#x2018;&#x2DC;>â&#x201E;&#x17D; đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2030;Ľ2 Infatti đ?&#x2018;&#x2DC; > â&#x201E;&#x17D; > 1 â&#x2021;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x203A; > â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2021;&#x2019; â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x203A; < 0 < 1 contra lâ&#x20AC;&#x2122;ipotesi â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x203A; = 1 .

Pertanto le possibili soluzioni razionali dellâ&#x20AC;&#x2122;equazione â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x203A; = 1 vanno ricercate sotto â&#x201E;&#x17D; â&#x2C6;&#x2C6; (đ?&#x2018;&#x201E; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018; )| â&#x201E;&#x17D; > 1 đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2C6; (đ?&#x2018;&#x201E; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018; )|đ?&#x2018;&#x2DC; > 1 le condizioni { đ?&#x2018;&#x2DC;<â&#x201E;&#x17D; đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2030;Ľ2 A questo punto eâ&#x20AC;&#x2122; â&#x20AC;&#x201C; sotto le date condizioni - forse utile considerare separatamente i due đ?&#x2018;&#x203A;=2 casi { . đ?&#x2018;&#x203A;>2 Il caso n= 2 ammette un interessante sottocaso, quello per il quale sia â&#x201E;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC; 2 = 1 .

Eâ&#x20AC;&#x2122; ben evidente che â&#x201E;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC; 2 = (â&#x201E;&#x17D; + đ?&#x2018;&#x2DC;)(â&#x201E;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC;) = 1 ed equivalentemente se h +đ?&#x2018;&#x2DC; = đ?&#x2018;&#x203A; 1

(intero) allora â&#x201E;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC; = đ?&#x2018;&#x203A; non intero. Da queste due relazioni eâ&#x20AC;&#x2122; possibile mettere in 1 đ?&#x2018;&#x203A;

evidenza h avendo che đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC; = + đ?&#x2018;&#x2DC; da cui đ?&#x2018;&#x203A;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2DC; = 1 + đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2DC; e quindi đ?&#x2018;&#x203A;2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2019; 1 = 0, che puoâ&#x20AC;&#x2122; avere solo una radice positiva. Risolta rispetto ad n si ha che đ?&#x2018;&#x203A; = â&#x2C6;&#x2019;(â&#x2C6;&#x2019;2k)Âąâ&#x2C6;&#x161;(â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;&#x2DC;)2 â&#x2C6;&#x2019;4(â&#x2C6;&#x2019;1) 2

=

2kÂąâ&#x2C6;&#x161;4đ?&#x2018;&#x2DC; 2 +4 2

=

2kÂą2â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; 2 +1 2

= đ?&#x2018;&#x2DC; Âą â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; 2 + 1 . Deve essere considerata la

sola soluzione intera positiva đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x2DC; + â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; 2 + 1 . Ove fosse k intero tale relazione non sarebbe mai verificata in quanto â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; 2 + 1 non puoâ&#x20AC;&#x2122; essere razionale atteso che â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; 2 + 1 sarebbe compreso tra due interi successivi, k e (k+1) . Assegnato k si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere la relazione che definisce i loro quadrati che sono đ?&#x2018;&#x2DC; 2 e (đ?&#x2018;&#x2DC; + 1)2 = đ?&#x2018;&#x2DC; 2 + 2đ?&#x2018;&#x2DC; + 1. Estraendo la radice quadrata aritmetica del successivo si ha â&#x2C6;&#x161;(đ?&#x2018;&#x2DC; + 1)2 = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; 2 + 2đ?&#x2018;&#x2DC; + 1 ed eâ&#x20AC;&#x2122; vero che â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; 2 < â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; 2 + 1 < â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; 2 + 2đ?&#x2018;&#x2DC; + 1 quadrando si avrebbe k < â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; 2 + 1 < đ?&#x2018;&#x2DC; + 1. Essendo ricompreso tra due interi successivi il numero â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; 2 + 1 non puoâ&#x20AC;&#x2122; essere intero.

Quando il numero k eâ&#x20AC;&#x2122; un razionale improprio non intero le cose si complicano alquanto.

Fuori dallâ&#x20AC;&#x2122;ipotesi h +đ?&#x2018;&#x2DC; = đ?&#x2018;&#x203A;, cioeâ&#x20AC;&#x2122; intero che pure conduce ad un caso attinente con le terne â&#x201E;&#x17D;+đ?&#x2018;&#x2DC; =đ?&#x203A;ź pitagoriche eâ&#x20AC;&#x2122; possibile ricondursi al caso {â&#x201E;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC; = đ?&#x203A;˝ = 1 đ?&#x203A;ź

e quindi allo studio

dellâ&#x20AC;&#x2122;equazione nellâ&#x20AC;&#x2122;indeterminata đ?&#x203A;ź del tipo đ?&#x203A;ź 2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x203A;ź â&#x2C6;&#x2019; 1 = 0 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x203A;ź = đ?&#x2018;&#x2DC; + â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; 2 + 1 dovendo considerarsi la sola soluzione positiva con k> 1.

Ma nei termini piuâ&#x20AC;&#x2122; generali (per đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ľ 2) il vincolo imposto (h e k sono razionali positivi impropri, quindi maggiori dellâ&#x20AC;&#x2122;unitaâ&#x20AC;&#x2122;) deve essere rafforzato da una ulteriore considerazione cioeâ&#x20AC;&#x2122; che h e k abbiano il medesimo denominatore.

đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x203A;

Infatti da h = â&#x2C6;&#x161;1 + đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x203A; = â&#x2C6;&#x161;1 + đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x203A; = â&#x2C6;&#x161;

đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x203A; +đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x203A;

=

â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x203A; +đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;

.

Per n = 2 le soluzioni vanno ricercate tra le coppie (h, k) di razionali impropri aventi il medesimo denominatore.

2

In questo caso la complicazione nasce dal fatto che se icto oculi â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; 2 eâ&#x20AC;&#x2122; razionale quando 2

4

lo eâ&#x20AC;&#x2122; k. Ma potrebbe essere â&#x2C6;&#x161;1 + đ?&#x2018;&#x2DC; 2 razionale per k razionale. Ad esempio per k = 3 .

In altri termini dato k, con i vincoli posti si ottiene đ?&#x203A;ź = đ?&#x2018;&#x2DC; + â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; 2 + 1 . Se đ?&#x203A;ź eâ&#x20AC;&#x2122; intero o razionale allora si ottiene h atteso che da â&#x201E;&#x17D; + đ?&#x2018;&#x2DC; = đ?&#x203A;ź đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x17D; â&#x201E;&#x17D; = đ?&#x203A;ź â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC; .

La relazione di collegamento tra la terna pitagorica (đ?&#x203A;˝, đ?&#x203A;ž, đ?&#x203A;ż) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013; e la coppia (h, k) eâ&#x20AC;&#x2122; del tipo h =

đ?&#x203A;ż đ?&#x203A;˝

ek=

đ?&#x203A;ž đ?&#x203A;˝

đ?&#x203A;˝< đ?&#x203A;ž< đ?&#x203A;ż . Si eâ&#x20AC;&#x2122; posto siano đ?&#x203A;˝, đ?&#x203A;ž, đ?&#x203A;ż tre naturali tali che { 2 . đ?&#x203A;˝ + đ?&#x203A;ž2 = đ?&#x203A;ż2

Sviluppi Per il caso n = 2 occorre verificare se eâ&#x20AC;&#x2122; possibile dire come si determinano i k razionali tali che â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; 2 + 1 .

Per il caso n > 2 đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019; partire dalla condizione che sia h > đ?&#x2018;&#x2DC; > 1 e che i denominatori đ?&#x2018;&#x17D;

siano eguali, indicati con lâ&#x20AC;&#x2122;intero b, per evidenziare che quando k = đ?&#x2018;? allora il numero đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2030;Ľ2

â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x203A; non puoâ&#x20AC;&#x2122; essere intero .

Ritornando al caso n = 2 occorre considerare lâ&#x20AC;&#x2122;evenienza che â&#x2C6;&#x161;1 + đ?&#x2018;Ľ 2 sia razionale non intero quando x sia razionale non intero ed improprio.

Se si ammette â&#x2C6;&#x161;1 + đ?&#x2018;Ľ 2 =

đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x203A;

quando m ed n sono interi e primi tra loro ed ulteriormente

risulta m > đ?&#x2018;&#x203A;. đ?&#x2018;&#x161;

Infatti, elevando al quadrato si avrebbe 1 + đ?&#x2018;Ľ 2 = ( đ?&#x2018;&#x203A; )2 ed anche 1 + đ?&#x2018;Ľ 2 =

đ?&#x2018;&#x161;2 đ?&#x2018;&#x203A;2

In termini equivalenti si ha đ?&#x2018;&#x203A;2 + đ?&#x2018;&#x203A;2 đ?&#x2018;Ľ 2 = đ?&#x2018;&#x161;2 e quindi đ?&#x2018;&#x203A;2 (1 + đ?&#x2018;Ľ 2 ) = đ?&#x2018;&#x161;2 . Traspare lâ&#x20AC;&#x2122;evidenza che deve essere (1 + đ?&#x2018;Ľ 2 ) â&#x2C6;&#x2030; đ?&#x2018; . E posto 1 + đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x201E; positivi maggiori di 1.

Da 1 + đ?&#x2018;Ľ 2 = đ?&#x203A;ź si ricava immediatamente (e considerando il solo valore positivo) che đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x161;2 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;2 đ?&#x2018;&#x203A;2

â&#x2C6;&#x161;đ?&#x203A;ź â&#x2C6;&#x2019; 1 o, equivalentemente, che đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x161;

=

â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;2 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;2 đ?&#x2018;&#x203A;

.

Occorre concentrarci con lâ&#x20AC;&#x2122;espressione al numeratore â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A;2 puoâ&#x20AC;&#x2122; essere riscritta come m = đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;Ą avendo â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A;2 = â&#x2C6;&#x161;(đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;Ą)2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A;2 = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x203A;2 + 2đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ą + đ?&#x2018;Ą 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A;2 = â&#x2C6;&#x161;2đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ą + đ?&#x2018;Ą 2 .

Occorre, quindi, verificare per quali valori di n e di t interi il numero â&#x2C6;&#x161;2đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ą + đ?&#x2018;Ą 2 eâ&#x20AC;&#x2122; un intero. Si puoâ&#x20AC;&#x2122; osservare che m = đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;Ą = đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A;. Si puoâ&#x20AC;&#x2122; ammettere (se non

esistesse si ricaverebbe una contraddizioneâ&#x20AC;Ś.. ) che sia

â&#x2C6;&#x161;2đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ą + đ?&#x2018;Ą 2 = đ?&#x2018;? | đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2C6;

đ?&#x2018; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;?â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2019;(đ?&#x2018;&#x203A;, đ?&#x2018;Ą) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013;.

In altri termini sarebbe đ?&#x2018;Ą 2 + 2đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? 2 = 0 da cui risolta rispetto a t si ha t = â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;&#x203A;Âąâ&#x2C6;&#x161;4đ?&#x2018;&#x203A;2 +4đ?&#x2018;?2 2

= â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; Âą 2â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x203A;2 + đ?&#x2018;? 2 . Tra le due radici puoâ&#x20AC;&#x2122; essere considerata accettabile la

sola soluzione positiva cioeâ&#x20AC;&#x2122; t = 2â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x203A;2 + đ?&#x2018;? 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A; > 0.

Per la restrizione su n e su b (per ipotesi interi) deve essere â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x203A;2 + đ?&#x2018;? 2 intero.

Si osservi che đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;? non verifica le condizioni del problema in quanto nâ&#x2C6;&#x161;2 non eâ&#x20AC;&#x2122; ovviamente intero e neppure razionale.

Puoâ&#x20AC;&#x2122; essere studiato il caso sia đ?&#x2018;? = â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; cioeâ&#x20AC;&#x2122; sia b multiplo di n secondo lâ&#x20AC;&#x2122;intero h.

In questo caso sarebbe â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x203A;2 + đ?&#x2018;? 2 = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x203A;2 + (đ?&#x2018;&#x203A;â&#x201E;&#x17D;)2 = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x203A;2 (1 + â&#x201E;&#x17D;2 ) = đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x161;1 + â&#x201E;&#x17D;2 . tale caso conduce ad una assurditaâ&#x20AC;&#x2122; in quanto â&#x2C6;&#x161;1 + â&#x201E;&#x17D;2 non puoâ&#x20AC;&#x2122; essere intero (in realtaâ&#x20AC;&#x2122; eâ&#x20AC;&#x2122; irrazionale) quando h eâ&#x20AC;&#x2122; intero. In definitiva đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x161;1 + â&#x201E;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2030; đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x20AC;â&#x201E;&#x17D; | â&#x201E;&#x17D; â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018; .

Eâ&#x20AC;&#x2122; peroâ&#x20AC;&#x2122; possibile scrivere b = đ?&#x203A;źđ?&#x2018;&#x203A; | đ?&#x203A;ź â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x201E; + đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;.

In questo caso si ha â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x203A;2 + đ?&#x2018;? 2 = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x203A;2 + (đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x203A;ź)2 = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x203A;2 (1 + đ?&#x203A;ź 2 ) = đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x161;1 + đ?&#x203A;ź 2 .

Si ammetta â&#x2C6;&#x161;1 + đ?&#x203A;ź 2 =

đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;Ł

con u e v interi e primi tra di loro.

Affincheâ&#x20AC;&#x2122; đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x161;1 + đ?&#x203A;ź 2 sia intero occorre che n sia un multiplo di v o che sia n= đ?&#x2018;Ł .

Gli sviluppi impongono di concentrarsi sul caso â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x203A;2 + đ?&#x2018;? 2 razionale. Tale evenienza eâ&#x20AC;&#x2122; impossibile in quanto â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x203A;2 + đ?&#x2018;? 2 puoâ&#x20AC;&#x2122; essere intero oppure irrazionale.

Eâ&#x20AC;&#x2122; dovuta a Euler la riflessione che consente di evidenziare le condizioni affincheâ&#x20AC;&#x2122; tre numeri interi costituiscano una terna pitagorica. introdurre una dimostrazione alternativa.

Al momento non mi eâ&#x20AC;&#x2122; dato di

Vorrei limitarmi ad introdurre la condizione affincheâ&#x20AC;&#x2122; due interi, detti n ed đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;&#x17D;, possano appartenere ad una terna pitagorica. Devono esistere due interi n e a tali che risulti â&#x2C6;&#x161;2đ?&#x2018;&#x203A;2 + 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; un numero intero . Si osservi che 2đ?&#x2018;&#x203A;2 + 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;&#x17D;2 puoâ&#x20AC;&#x2122; essere un quadrato perfetto ma 2đ?&#x2018;&#x203A;2 + 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2030; (đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;&#x17D;)2 .

A questa conclusione di puoâ&#x20AC;&#x2122; agevolmente pervenire con le argomentazioni seguenti.

Siano i numeri interi đ?&#x2018;&#x203A;, đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;? tre interi che costituiscono una terna pitagorica, cioeâ&#x20AC;&#x2122; risulti vera la relazione đ?&#x2018;&#x203A;2 + (đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;&#x17D;)2 = (đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;?)2 . Sviluppando i quadrati e semplificando si ottiene đ?&#x2018;? 2 + 2đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;? = (đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;&#x17D;)2 da cui đ?&#x2018;? 2 + 2đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;&#x17D;)2 = 0 . Tale relazione puoâ&#x20AC;&#x2122; essere considerata come una equazione di secondo grado nella indeterminata b da studiare in N, quindi considerando le sole soluzioni intere e positive.

Da b = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; Âą â&#x2C6;&#x161;2đ?&#x2018;&#x203A;2 + 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;&#x17D;2 , per la limitazione alle soluzioni positive e intere deve ammettersi accettabile solo đ?&#x2018;? = â&#x2C6;&#x161;2đ?&#x2018;&#x203A;2 + 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; .

Alcuni sviluppi hanno poco pregio. Infatti, si puoâ&#x20AC;&#x2122; porre (n , đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;?) â&#x2030;Ą (đ?&#x203A;ź, đ?&#x203A;˝, đ?&#x203A;ž) e quindi risulta per sostituzione che đ?&#x203A;ž = â&#x2C6;&#x161;2đ?&#x203A;ź 2 + 2(đ?&#x203A;˝ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x203A;ź)đ?&#x203A;ź + (đ?&#x203A;˝ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x203A;ź)2 .

Tale relazione eâ&#x20AC;&#x2122; testata valida per la terna (3, 4, 5) come eâ&#x20AC;&#x2122; facile verificare. Tale relazione eâ&#x20AC;&#x2122; verificabile in via generale elevando al quadrato ambo i membri ed ottenendo đ?&#x203A;ž 2 = đ?&#x203A;ź 2 + đ?&#x203A;˝ 2 . Ma il problema va trattato differentemente, ovvero studiando per quali interi (a, n) đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153; â&#x2C6;&#x161;2đ?&#x2018;&#x203A;2 + 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;&#x17D;2 sia intero.

Assegnare n significa avere un lato intero. Dato n deve ritenersi che lâ&#x20AC;&#x2122;eventuale n | â&#x2C6;&#x161;2đ?&#x2018;&#x203A;2 + 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;&#x17D;2 sia intero deve essere unico. Ricavato tale a si ha anche la misura del secondo lato. La misura intera del terzo lato (ipotenusa) eâ&#x20AC;&#x2122; â&#x2C6;&#x161;2đ?&#x2018;&#x203A;2 + 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;&#x17D;2

Mi limito ad una osservazione ancora abbastanza insoddisfacente per la quale due numeri interi a e b interi sono le misure dei cateti di un triangolo rettangolo pitagorico, avente i tre lati đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;

interi se = đ?&#x2018;&#x2DC; > 1 se e solo se â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; 2 + 1 eâ&#x20AC;&#x2122; un numero razionale.

Tra i numeri k ed h sussiste una relazione ricavabile ricordando che (đ?&#x2018;&#x2DC; + đ?&#x2018;&#x17E;)2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2DC; 2 = 1 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2DC; 2 + 2đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x17E; â&#x2C6;&#x2019; 1 = 0 che, assunto q incognito, conduce dopo banali passaggi a q= â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC; 2 + 1 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2DC;, tenendo conto che deve considerarsi la sola soluzione positiva.

Una ulteriore parziale riflessione attiene al caso della impossibilitaâ&#x20AC;&#x2122; di soluzioni intere per lâ&#x20AC;&#x2122;equazione di Fermat in un caso molto particolare.

Infatti, ammesso che (a, b, c) sia una terna pitagorica, ovvero che per i tre assegnati interi sia vera la relazione đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;? 2 = đ?&#x2018;? 2 non puoâ&#x20AC;&#x2122; essere vera la relazione đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x203A; quando đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;Ľ 3.

Infatti dalla relazione đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;? 2 = đ?&#x2018;? 2 eâ&#x20AC;&#x2122; possibile considerare le tre seguenti relazioni, ottenute đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;+1 + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;? 2 = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;? 2 moltiplicando ambo i membri, rispettivamente per đ?&#x2018;&#x17D; , đ?&#x2018;? , đ?&#x2018;? risulta { đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x203A;+1 = đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;? 2 . đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;?2 = đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x203A;+1 đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x203A;

đ?&#x2018;&#x203A;

Per dimostrare che đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;+1 + đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x203A;+1 â&#x2030; đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x203A;+1 eâ&#x20AC;&#x2122; necessario e sufficiente dimostrare che đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;? 2 + đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;? 2 â&#x2030; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;? 2 + đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;? 2. A questo punto si puoâ&#x20AC;&#x2122; raccogliere opportunamente a fattore comune scrivendo đ?&#x2018;? 2 (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x203A; ) + đ?&#x2018;&#x17D;2 (đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x203A; ) â&#x2030; đ?&#x2018;? 2 (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x203A; ) . Tale diseguaglianza eâ&#x20AC;&#x2122; vera in quanto se (a, b, c) costituiscono una terna pitagorica allora (ka, hb, tc) costituisce una terna pitagorica se e solo se đ?&#x2018;&#x2DC; = â&#x201E;&#x17D; = đ?&#x2018;Ą interi assoluti diversi da 0. Quindi đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;+1 + đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x203A;+1 â&#x2030; đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x203A;+1 eâ&#x20AC;&#x2122; vera.

A titolo esemplificativo dalla relazione đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;? 2 = đ?&#x2018;? 2 eâ&#x20AC;&#x2122; possibile considerare le tre seguenti relazioni, ottenute moltiplicando ambo i membri, rispettivamente per a b,c

risulta

đ?&#x2018;&#x17D;3 + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? 2 = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? 2 {đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;? 2 = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? 2 . đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? 2 = đ?&#x2018;? 3 Per dimostrare che đ?&#x2018;&#x17D;3 + đ?&#x2018;? 3 â&#x2030; đ?&#x2018;? 3 eâ&#x20AC;&#x2122; necessario e sufficiente dimostrare che ađ?&#x2018;? 2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? 2 â&#x2030; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? 2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? 2 . A questo punto si puoâ&#x20AC;&#x2122; raccogliere opportunamente a fattore comune scrivendo

đ?&#x2018;? 2 (a+c) + đ?&#x2018;&#x17D;2 (đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;?) â&#x2030; đ?&#x2018;? 2 (đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?) . Tale relazione eâ&#x20AC;&#x2122; vera quindi đ?&#x2018;&#x17D;3 + đ?&#x2018;? 3 = đ?&#x2018;? 3 eâ&#x20AC;&#x2122; falsa quando (a, b,c) sono membri di una terna pitagorica.

Si tratta di una sorta di ovvietaâ&#x20AC;&#x2122; equivalente ad affermare che đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;? 2 = đ?&#x2018;? 2 vera essendo a, b, c tre interi assoluti implica che per essi đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; + đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x203A; quando n â&#x2030;Ľ 3 .

Ma câ&#x20AC;&#x2122;eâ&#x20AC;&#x2122; un caso alquanto complesso nel quale i numeri (a, b, đ?&#x153;&#x2021;) non costituiscono una terna pitagorica, essendo a e b due interi e đ?&#x153;&#x2021; intero, razionale non intero od anche irrazionale ma tale che đ?&#x153;&#x2021;2 non sia il quadrato di un intero. Dato đ?&#x153;&#x2021; reale esiste sicuramente un intero c | c < đ?&#x153;&#x2021; | c > đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018; < đ?&#x153;&#x2021; . Allora si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;? 2 = (đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;Ľ)2 da cui si ha đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;? 2 = đ?&#x2018;? 2 + 2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ľ 2 . Moltiplicando ordinatamente i due membri di tale relazione per a, b e c rispettivamente si ha đ?&#x2018;&#x17D;3 + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? 2 = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? 2 + 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2 il seguente sistema di eguaglianze {đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;? 3 = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? 2 + 2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ 2 Sommando membro a đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;? 2 đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;? 3 + 2đ?&#x2018;? 2 đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ 2 membro si ha đ?&#x2018;&#x17D;3 + đ?&#x2018;? 3 + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? 2 + đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;? 2 đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;? 3 + 2đ?&#x2018;? 2 đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? 2 + 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? 2 + 2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ 2 .

Afficheâ&#x20AC;&#x2122; fosse đ?&#x2018;&#x17D;3 + đ?&#x2018;? 3 = đ?&#x2018;? 3 dovrebbe risultare đ?&#x2018;&#x17D;2 (đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;?) + đ?&#x2018;? 2(a+đ?&#x2018;?) =

2đ?&#x2018;? 2 đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? 2 + 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? 2 + 2đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ 2 . In altri termini occorre dimostrare che lâ&#x20AC;&#x2122;equazione (a+đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;?)đ?&#x2018;Ľ 2 + 2đ?&#x2018;?(a+đ?&#x2018;?)đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? 2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? 2 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? 2 đ?&#x2018;? = 0 non ha soluzione positiva sotto la conduzione c < đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;? dovendo la radice positiva non intera essere tale che đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? < đ?&#x2018;Ľ < đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? .

Tali argomentazioni andranno opportunamente riviste.

Ulteriore questione eâ&#x20AC;&#x2122; lo studio della condizione per la quale un triangolo qualunque abbia i lati interi. Risulta evidente che non esiste un triangolo qualunque i cui lati sono interi e di misura eguale ai membri di una terna pitagorica. Neppure puoâ&#x20AC;&#x2122; esistere un triangolo i cui lati siano le ipotenuse di due terne pitagoriche ed il terzo lato la somma dei lati (cateti) di terne pitagoriche risultando intera lâ&#x20AC;&#x2122;altezza riferita al lato la cui misura fosse la somma dei cateti di due terne aventi eguale un cateto, che non possono esistere.

ALLLEGATO 3 COSTANZA DI UN VETTORE PRODOTTO VETTORIALE DI DUE VETTORI DATI Dati due vettori del piano a= đ?&#x2019;&#x201A;(đ?&#x2018;Ą) đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2019;&#x192; = đ?&#x2019;&#x192;(đ?&#x2018;Ą) il vettore c = c(t) = đ?&#x2019;&#x201A;(đ?&#x2018;Ą) Ă&#x2014; đ?&#x2019;&#x192;(đ?&#x2018;Ą) eâ&#x20AC;&#x2122; costante se đ?&#x153;&#x192; = đ?&#x153;&#x192;(đ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ą., essendo đ?&#x153;&#x192; lâ&#x20AC;&#x2122;angolo orientato tra i vettori a e b sotto lâ&#x20AC;&#x2122;evidente ulteriore condizione che |đ?&#x2019;&#x201A;(đ?&#x2018;Ą)| |đ?&#x2019;&#x192;(đ?&#x2018;Ą)| sono costanti nel tempo.

Sotto queste condizioni (â&#x2C6;&#x2019;1)(a(t)Ă&#x2014; đ?&#x2019;&#x192;(đ?&#x2018;Ą)) = đ?&#x2019;&#x201A;(đ?&#x2018;Ą) Ă&#x2014; đ?&#x2019;&#x192;(đ?&#x2018;Ą) dove (â&#x2C6;&#x2019;1)(a(t)Ă&#x2014; đ?&#x2019;&#x192;(đ?&#x2018;Ą)) puoâ&#x20AC;&#x2122; essere intesa come una rotazione antioraria di đ?&#x153;&#x2039; rad. đ?&#x2019;&#x201A;(đ?&#x2018;Ą) Ă&#x2014; đ?&#x2019;&#x192;(đ?&#x2018;Ą)

Il vettore c eâ&#x20AC;&#x2122; perpendicolare al piano đ?&#x203A;ź che contiene i vettori a e b.

ANTICIPAZIONE DEL PROSSIMO NUMERO

Il prossimo numero di Appunti matematici sara’ dedicato all’analisi vettoriale e al calcolo tensoriale.

La copertina sara’ dedicata al matematico tedesco Hermann Günter Grassman, uno degli iniziatori di questa parte delle matematiche.

NOTA LEGALE

Questo saggio non ha, neanche indirettamente, finalita’ commerciali o lucrative.

Ne e’ consentita la divulgazione, anche totale, a condizione che essa non abbia finalita’ commerciali o lucrative purche’ essa avvenga con la citazione dell’autore e del soggetto diffusore dell’opera. Non sono ammesse limitazioni alla diffusione dell’opera nello spazio e nel tempo.