La congettura di Collatz

La congettura di Collatz testi di Patrizio Gravano

Indice 1.

2.

3.

4.

Osservazioni preliminari sulla congettura di Collatz Congettura di Collatz. Un breve approfondimento Riflessioni empiriche sulla congettura 3n + 1 Sintesi della congettura di Collatz, per n intero dispari Estate 2014

Osservazioni preliminari sulla congettura di Collatz di Patrizio Gravano Arrivato il 16 agosto a Nizza ho trovato il tempo di andare a comprare una copia in francese del libro di Cédric Villani, “Théorème vivant”, consigliatomi recentemente. L’ho sfogliato con una certa avidità e la mia attenzione, stante il fatto che alcune parti sono “stratosferiche”, è stata rapita da una semplice precisazione circa l’inquietante presenza di un “mostro matematico” chiamato “congettura di Collatz” per la quale per ogni numero del tipo 3n + 1 se esso è pari lo si divide per due mentre se esso è dispari lo si moltiplica per 3 quindi si aggiunge l’unità. Questo modo di procedere viene iterato con il nuovo numero ottenuto, secondo lo stesso criterio. Procedendo ulteriormente alla fine si perviene a sequenza del tipo 4, 2, 1 e ciò avviene indefinitamente. Ho constatato che lo pseudocodice che descrive l’algoritmo è ben evidenziato anche in Wikipedia.

Riporto in calce il corrispondente diagramma di flusso (flow chart) che, ovviamente, non è dimostrativa ma è comunque indicativa della procedibilità operazionale. Tanto premesso, reputo opportuno formulare alcune osservazioni sui numeri 3n+1, al variare di n in N, che, come evidente, possono essere sia pari che dispari. Partendo da questa “ovvia” osservazione vengono definite due distinte progressioni aritmetiche, ottenute nel modo seguente. 3n+1 è dispari ∀ n:n∈P⊂N, ove P è l’insieme dei numeri pari, solitamente scritti come 2n ∀ n ∈ N (infatti, sotto queste condizioni 3n è pari e 3n+1 è dispari). Il numero 3*2x + 1 = 6x +1 è sempre dispari al variare di x in N∪{0}, perché in essi il fattore due è contenuto nel primo termine almeno una volta ad esponente 1. I numeri 6x +1 sono sempre dispari e definiscono una progressione aritmetica di ragione 6 e di primo termine 1 i cui termini infiniti sono 1, 7, 13, 19, 25... Ma è stato già ricordato che il numero 3n +1 può essere pari, avendosi tale evenienza quando 3n è dispari, ovvero quando n non contiene il fattore 2, se non ad esponente zero. Tali numeri possono essere riscritti nella forma 3(2k +1) + 1 = 6k + 4. Tale esito è accettabile per ∀ k ∈ N∪{0}. I numeri 6k+4 costituiscono una progressione aritmetica di primo termine 4 (ottenuto per k = 0) e di ragione 6. Tali numeri, in corrispondenza biunivoca con N, sono 4, 10, 16, 22, 28, ... Tale congettura è lungi dall’essere dimostrata in generale. Pur tuttavia è bene concentrare l’attenzione sui numeri del tipo β* Tale numero è pari ∀τ : τ ∈ N/ { 0 } e β ∈ N/{0}. Nell’ipotesi β dispari l’algoritmo di Collatz consente per τ assegnato di ottenere τ -1 successi numeri pari. E’ possibile introdurre una restrizione su β e considerare solo numeri dispari del tipo ρ. Nel qual caso è ammissibile scrivere ρ essendo ρ intero non nullo. Tali numeri non sono alieni alla congettura in oggetto in quanto 16 = 1( ) ove 1 = ρ e 4 = σ +τ. Il numero 16 è successivamente diviso per due ottenendo 8, 4, 2, 1. È interessante osservare che tutti i numeri ρ soddisfano le condizioni del problema di Collatz a prescindere dalla circostanza che siano generati da 3n+1. Di fronte al numero ρ l’algoritmo prevede τ+σ-1 numeri pari generati giungendo infine al numero ρ dispari. A questo punto l’algoritmo genera il numero 3ρ +1 che per la condizione posta per ρ = dispari è sicuramente pari. Ma pure (3ρ +1)/2 è un numero pari. Tale numero è riscrivibile come (3/2)ρ + ½ . Per ρ = 1 si ottiene 3/2 + ½ = 4/2 = 2. Ma 2/2 = 1 questo giustifica il loop infinito 4, 2, 1, ad calculam aeternam come ci si può facilmente convincere facendo i calcoli successivi. Per i numeri considerati, al di là della congettura di Collatz, viene definita una condizione di loop, ovvero una condizione di loop infinito è definita anche per numeri non definiti con l’algoritmo di Collatz. Ma il caso generale (sottocaso della congettura) presuppone la trattazione del caso sia ρ dispari > 1. Dopo che, ai sensi dell’algoritmo di Collatz, sono state condotte le τ+σ-1 divisioni per due si perviene al numero ρ e quindi a 3ρ+1 sicuramente pari ma pure a (3ρ+1)/2, sulla cui natura occorre indagare. A questo punto non è più possibile procedere in via generale. Sorge una complicazione ben evidente di natura computazionale legata al fatto che un numero pari, per esempio 28, del tipo 3n + 1, è scomponibile come 7 e dividendolo due volte si arriva a 7, quindi a 22, quindi a 11 e a 4, etc.

Si rende ora necessario ampliare, seppure in sostanziale continuità, alcuni aspetti della congettura 3n+1. Resta ferma la parte relativa ai numeri ρ . Vanno però ampliate le argomentazioni relative all’inquadramento generale della congettura. Siano al variare di i, i numeri che si ottengono con l’algoritmo di Collatz. Per n pari il numero è un numero dispari, in

quanto 3n è pari e il successivo di un pari è dispari. Il numero = ) – nel senso che il valore di esso dipende da - è pari. Il successivo numero di Collatz è = /2 intero. Algebricamente si ottiene 9x + 2. Tale numero è pari per x pari e dispari per x dispari. Si ammetta per ipotesi che sia x pari. Allora sotto tale condizione si ha che = (9/2)x + 1 = 9t +1 con t = n/4. Il numero t deve essere del tipo β( ) con τ≥2. Quando è verificata questa condizione è dispari. Per t dispari il numero è pari. Si ammetta ora che il numero 9x + 2 sia dispari. Ciò si ha per x dispari. Da questa ipotesi si ottiene il numero 18ξ +11, dispari ∀ ξ∈N. Ciò è vero in particolare per ξ = (x-1)/2. Dal fatto che tale numero sia dispari esso è ponibile come 2u+1. Dopo un passaggio algebrico, che si omette, ho ottenuto la seguente relazione: u = 5 + 9ξ. Mi sono posto il problema di determinare le coppie (u, ξ(u)) ∈ X | u = 5 + 9ξ, ove comprende lo zero. Tale equazione ammette infinite soluzioni. Esse sono le coppie (n, ) ove n = 0, 1, 2, …, e è il termine n-esimo di una progressione aritmetica di primo termine = 5 e di ragione + 9. Il successivo termine è ottenuto da do le regole dell’algoritmo. Questo metodo di discesa deve portare, per un qualche k, a = 4. A questo punto si sarebbe potuto dimostrare la congettura nel sottocaso n = pari, ovvero 3n+1 = dispari. Dimostrare la congettura equivale a colmare lo iato → … → , dovendo ritenersi che k =k(n). La dimostrazione della congettura presuppone poi la dimostrazione che esiste un = 4 per il caso n = dispari, ovvero per il caso 3n+1 = pari. Pertanto sarebbe = 3(2t +1)+1 in quanto n=2t+1 essendo n dispari per ipotesi e ponibile in tale forma ∀ t naturale. Ne consegue che = (6t+4)/2 = 3t + 2. Pertanto per t = pari il numero è sicuramente pari e per t = dispari è sicuramente dispari. Ma noto n (dispari) si ricava la relazione tra n e t. Essa è la seguente: t = (n-1)/2. E’ evidente che noto n è pure noto t , potendo per questa via stabilire se è pari o dispari. Nel caso in cui sia pari si ottiene immediatamente = (3/2)t+1. Tale numero è ottenuto da pari e pertanto sono ammissibili solo t pari. Per t = 2 si ottiene = 3 + 1= 4. In generale è dispari e questo è vero nel caso notevole sia del tipo = 3( )m + 1, con m = dispari, restrizione ammissibile per una banale riflessione che si può fare sulle potenze del 2 (vedi quanto scritto su tali numeri nella precedente comunicazione) e con τ≥ 2.

In forma standard si può scrivere = 3z+1, risultando esso pari per z dispari e dispari per z pari. z=z(t(n)).

Flow chart naive 1.0 Entra n intero ≥ 0 2.0 Per n assegnato definisci k = 3n+1 3.0 Se k è pari vai a 4.0 altrimenti vai a 5.0 4.0 k = k/2 4.1 stampa k 4.2 assegna n = k/2 4.3 vai a 2.0 5.0 k = 3k + 1 5.1 stampa k 5.2 assegna n = 3k +1 5.3 vai a 2.0

Nizza (Francia) – Vado Ligure, agosto 2014

Congettura di Collatz. Un breve approfondimento di Patrizio Gravano

Ho già formulato alcune considerazioni introduttive sulla congettura 3n+1. Esse vanno integrate con le seguenti. Ove – utilizzando l’algoritmo di Collatz – si pervenga ad n dispari il successivo step conduce a 3n+1. Tale numero è pari (infatti 3n è sicuramente dispari e il suo successivo, ovvero 3n+1, è pari).

Pertanto per = dispari si ha = pari. È cruciale lo step successivo, perché dalla condizione di parità di un numero nulla di può dire del numero in termini di parità o di disparità. Se = 3n+1 – che come detto è un numero pari – il numero successivo è esprimibile come = (3n+1)/2 = a, ove a è un numero intero. È possibile scrivere (3/2) n + (1/2) = a da cui 3n + 1 = 2 a, ovvero 2 a - 3n = 1. È immediato determinare a(n). A titolo esemplificativo posso notare che per n = 0, 1, 3, … si ottengono i valori a(o) = ½, a(1) = 2, a(3) = 5, a(5) = 8 ... Pertanto per n dispari viene definita una funzione a valori interi i cui elementi costituiscono una progressione aritmetica di primo termine a(1) = 2 e di ragione 3. Formalmente è definita una funzione di variabile reale (successione a valori interi del codominio) f: D → N : dom f = D e cod f = { = 3 ∀k : k ∈ D }. Pertanto noto un numero ottenuto con l’algoritmo di Collatz – sia esso = dispari è possibile, oltre ad affermare che = pari, se il successivo numero di Collatz è pari il che avviene quando n appartiene alla progressione aritmetica di primo termine 1 e di ragione 4, oppure dispari, il che si realizza quando n è termine di una progressione aritmetica di primo termine 3 e di ragione 4. Giova osservare che, in ambedue i casi, le posizioni fatte impongono di considerare sempre che n sia dispari. Queste considerazioni ampliano le argomentazioni relative a cod f che risulta costituito da valori interi alternativamente pari e dispari.

Tanto premesso, possono essere fatte ulteriori e distinte considerazioni per n pari. In buona sostanza nell’algoritmo di Collatz ad un certo punto si potrebbe pervenire ad un numero = pari (ma le medesime considerazioni si possono fare per . In generale un numero pari può èssere scritto nella forma β con D e τ ∈ N / {0}. Pertanto se = β , come già comunicato nella precedente nota il numero di λ di Collatz pari dipende da τ. Per τ = 1 il numero di Collatz è dispari. Nel caso più generale = β . Pertanto, assegnato τ (ovvero essendo tale esponente noto) è possibile determinare l’indice del corrispondente numero di Collatz per il quale si ha = β = dispari. Ma, a prescindere dall’indice x(τ) del corrispondente numero λ di Collatz si perviene a = dispari. A questo punto il successivo numero di Collatz = 3β + 1, per la limitazione posta su β = dispari, è un numero pari. Per tale numero valgono le considerazioni svolte per il caso n = dispari. Ma vanno indagati i nessi tra i numeri (pari) del tipo β e i loro nessi con la congettura in esame. È ben evidente che ipotizzandosi essi come tipicamente ricavati con l’algoritmo di Collatz (il nesso va dimostrato e precisato!) la loro presenza consente di ottenere in sequenza (τ -1) numeri pari. Il nesso si fa stringente per il caso sia β = 1. Per essi il pervenire ∀τ ≥ 3 alla sequenza 4,2,1 e al conseguente loop infinito è immediato. Vanno, per coordinare correttamente le condizioni, ricavati i valori di n (dispari) per i quali è verificata la condizione 3n+1 = β con β = 1 ovvero 3n+1 = da cui 3n = = - 1 dalla quale si evince che n = dispari. Si ottiene che n = - 1)/3 . È immediato constatare che n(τ) ∈ N ∀τ | τ ∈ P, ove P è l’insieme dei numeri pari. È evidenziato, quindi, il nesso tra i numeri n(τ) e la congettura. In particolare da n(τ) = - 1)/3 ∈ Λ ⊂ D, ove D è l’insieme dei numeri dispari. L’insieme Λ è ben definito in quanto è assegnata con rigore una proprietà caratteristica. È quindi possibile porre n(τ) = che definisce il termine iniziale di una possibile successione di numeri di Collatz. È immediato osservare che il successivo numero di Collatz è = con il vincolo di parità per τ. Per questi numeri il metodo delle successive divisioni per 2 conduce alla sequenza 4,2,1 e al conseguente loop infinito. Ma nella generazione del loop infinito è cruciale “giungere” al numero 4. Mi sono formato la convinzione, credo ben fondata, che esistano diverse vie per giungere al valore 4. Una delle quali è stata ampiamente dibattuta in questa nota. Una è ancora più immediata. È sufficiente risolvere in N la seguente equazione lineare nell’incognita n: 3n + 1 = 4, verificata per n = 1. Credo che il passo successivo sia quello di verificare la ammissibilità (o meglio la compatibilità con la congettura e coi suoi numeri) del caso β ≠ 1, facendo una ricognizione di tutte le “strade” che portano al numero 4.

Nota. I numeri β sono un oggetto già “raffinato” e la restrizione su β (che si ammette dispari) non inficia la generalità delle riflessioni in quanto tale numero, come peraltro già argomentato nella prima comunicazione relativa a tale questione, deve considerarsi ottenuto dal caso generale ρ con ρ genericamente intero (e potenzialmente quindi anche pari, e quindi del tipo ρ = con ω sicuramente dispari.

Riflessioni empiriche sulla congettura 3n + 1 di Patrizio Gravano Nelle due precedenti comunicazioni ho tentato, consapevole delle asperità che si frappongono ad una risoluzione generale della questione, di elaborare ulteriori passi verso una meta che appare per molti versi ancora lontana e che forse non verrà raggiunta completamente. Come noto, nella precedente comunicazione, dal titolo “Congettura di Collatz. Un breve approfondimento” furono formulate precise osservazioni sui numeri 3n+1 = β ) considerati nel caso particolare β = 1. Ora bisogna rimuovere questa ipotesi. Una buona dose di empirismo, qualcuno potrebbe dire di “nasometria”, mi ha indotto a esplorare il caso sia β = 3 oppure β= 3k, con k intero (trattasi, quindi, in questo caso dei multipli di 3). Si avrebbe, nel primo caso, che 3n+1 = 3( ) ovvero 3n = 3( ) – 1. Si osserva che al variare di τ in (naturali con lo zero) il numero 3( ) è un multiplo di 3. Per conseguenza il numero 3( ) – 1 non può essere un multiplo di 3. Risulta, pertanto, al variare di n nei naturali, che 3n = 3( ) – 1 è una relazione di eguaglianza palesemente assurda, risultando per essa che un multiplo di 3, quale è 3n, al variare di n in N, è eguale a un numero che non può essere multiplo di 3, quale, appunto, il numero 3( ) – 1. Si dimostra, altrettanto agevolmente che a conclusioni simili si giunge per β multiplo di 3, ovvero per β = 3ξ, al variare di ξ nei naturali. Basti osservare che 3n = 3( ξ) - 1, che conduce ad affermare che ∀ (τ , ξ) ∈ N X N si produrrebbe la eguaglianza, palesemente assurda, tra un numero multiplo di 3 e un numero che non può essere multiplo di 3. Pertanto le successive riflessioni dovranno tenere conto che deve essere β ≠ 3k al variare di k nei naturali, ovvero | k ∈ N. Non resta che discutere il caso generale 3n+1 = β ). Tale relazione è ponibile nella forma β ) – 3n = 1. È evidente che è possibile far variare n nei numeri dispari. Con banalissimi calcoli ho ricavato la seguente tabella, che mette in relazione n (sotto la condizione che esso sia dispari) con la coppia (unica) di naturali (τ, β) che soddisfa la condizione β ) – 3n = 1. n β τ 1 1 2 3 5 1 5 1 4 7 11 1 9 7 2 11 17 1 ……………………

Giova osservare che i numeri β ) possono essere messi in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei dispari, denotato con la lettera D. Ho deciso di indicizzarli, nel senso di attribuire alla scrittura β il significato di numero pari (esso, infatti, contiene il fattore 2 all’esponente τ) che per n assegnato (essendo n dispari) verifica la relazione β ) – 3n = 1. È immediato constatare che i numeri β - al variare di n nei dispari – costituiscono una progressione aritmetica di primo termine β = 4 e di ragione 6. Pertanto noto β è immediatamente determinabile β ove con (n+1) si intende il successivo numero dispari e non il successivo di n, per la restrizione assegnata per n. Forse sarebbe utile usare in luogo di n la lettera d, per denotare i dispari (d∈D). Per esempio si ha che β = 10 e β = 16 β = 22, β = 28 e β = 34, etc. Definito il numero β è possibile ricavare l’unica coppia di naturali (β , τ) che verifica unicamente le condizioni poste. In generale per n = pari ∄ (β , τ) ∈ N X N che verifica le condizioni poste. Per n = 2, ad esempio, si avrebbe la relazione β =7 che in N non ammette soluzioni, non esistendo alcuna coppia (β , τ) di interi che la verifica.

D’altronde è rilevante solo il caso n dispari in quanto dal numero di Collatz = dispari → = 3( ) + 1 = pari. Ma da β si ricava anche β . Osservo ulteriormente che dal valore di τ è pure possibile conoscere quanti successivi λ di Collatz sono pari (e procedere quindi, ex algoritmo, alle divisioni per due).

Tutte le “strade” portano a 4 e forse vedere numeri di Collatz via via minori per τ > 1 è cosa interessante. La situazione peggiore si ha per τ =1. Questa forse è la chiave di qualche ulteriore riflessione.

Sintesi della congettura di Collatz, per n intero dispari

di Patrizio Gravano

Fermo restando il contenuto delle precedenti tre comunicazioni sulla congettura di Collatz, vorrei ora concentrare (concludendo, almeno per ora, le mie riflessioni), la mia attenzione sul caso n = dispari ovvero = 3n+1 = α , con α ∈ D e τ ∈ N/{0}. La quantità è il numero ottenuto in prima battuta dall’ingresso n dispari. I successivi numeri di Collatz sono così definiti =α per i = 1, 2, …, τ. È immediato constatare che = α (dispari!). Da ciò (per ragioni ampiamente dibattute nelle precedenti comunicazioni) si ottiene il numero pari = 3α + 1 = β( ) con (in generale) ≠ τ.

Noto α (dispari) è determinabile (univocamente) la coppia ordinata di interi (β, ) che definisce la relazione di eguaglianza 3α + 1 = β( ) . Nella peggiore delle ipotesi = 1. In questo caso si ha = β (dispari). In questo caso β > α in quanto (3/2)α + ½ > α. La condizione β < α si ottiene quando ≥ 2. A tale numero β non si perviene immediatamente ma dopo passaggi (prima dei quali si ottengono altrettanti numeri pari). Sarebbe = (3α+1) / . In questo caso < α. Ciò è vero anche per = 2. Infatti in tal caso (3/4) a + ¼ < a → 3 a + 1 < 4 a, ovvero 1 < a sicuramente vera per a > 1. Per a = 1 si avrebbe una eguaglianza. Tale condizione non rileva. Siano la sequenza estratta, costituita da soli numeri dispari, dalla sequenza dei numeri di Collatz ottenuta dallo step iniziale n = pari. Si è evidenziata quale deve essere la condizione ( ) per la quale > per k intero il problema è dimostrare se esiste un ψ, dipendente da n, tale che = 1. Con ciò dimostrato sarebbe pure dimostrata la congettura per n = pari qualunque. Giova osservare che nel formalismo non si intende il “precedente” dispari, assegnato = dispari, bensì un “dispari” minore di , non quindi, necessariamente, quello immediatamente minore. Questa è una prima modesta sistemazione. È la stessa idea di una precedente comunicazione al numero 4 si può pervenire nazionalmente, quando il numero iniziale è una potenza del due. In questo caso la sequenza dei è banale e si giunge a 4, 2. 1 e quindi al loop infinito. Altra via è quella del caso n = 1 e quindi alla costruzione della sequenza 4, 2, 1 e al loop infinito.

Queste comunicazioni, che non pretendono di essere una dimostrazione della congettura in via generale, realizzate utilizzando le conoscenze di teoria elementare dei numeri, mi sono state molto utili per inquadrare il problema. Vorrei sperare di potere in futuro dimostrare che si arriva, per le condizioni poste da questo speech, sempre ad un = 1, con ciò provando che due solo sono le “strade” che conducono a = 4 quella delle potenze di 2 (ovvia) e quella di = 1.

pubblicazione a cura di Pascal McLee

2014 Š mclee consulting | web solutions. all rights reserved. web www.pascalmclee.com - mail pas.meli@gmail.com - mob. +39 335 6856486