L'equazione di Fermat nel caso particolare di N=3

Patrizio Gravano

DIMOSTRAZIONE

NEL CASO PARTICOLARE N=3 aprile 2020

PATRIZIO GRAVANO

L’equazione di fermat neL caso particolare n=3

Gia’ nel XVIII secolo (Euler, 1753) fu affrontato e risolto il teorema di Fermat nel caso n = 3, essendo stato evidenziato che non esistono terne costituite da numeri interi assoluti (a,b,c) che verificano l’equazione đ?‘Ž3 + đ?‘? 3 = đ?‘? 3 Il caso piu’ generale (riferito a n = 3) presuppone đ?‘Ž ≠đ?‘? ≠đ?‘? ≠0 .

Vi sono casi particolari che non sono soluzioni di đ?‘Ž3 + đ?‘? 3 = đ?‘? 3 quali ad esempio l’ipotesi đ?‘Ž = đ?‘? per il quale si ha 2đ?‘Ž3 = đ?‘? 3 da cui

đ?‘?3 đ?‘Ž3

=2

Pertanto deve essere vera la condizione đ?‘Ž = đ?‘? = 2đ?›ź (cioe’ un numero pari ). Risultando incompatibile la condizione đ?‘Ž = đ?‘? con l’essere tali numeri dispari.

Si puo’ scrivere (2đ?›ź)3 + (2đ?›ź)3 = đ?‘? 3 da cui 2(2đ?›ź)3 = đ?‘? 3 e quindi 16đ?›ź 3 = đ?‘? 3 o anche 42 đ?›ź 3 = đ?‘? 3 .

Si osservi che comunque sia la scomposizione in fattori il primo membro non puo’ mai essere il cubo di un intero. Pertanto in ogni caso (a, a, c) non soddisfa l’equazione nel caso n= 3.

A conclusione negativa si perviene anche nel caso in cui (a,b,c) siano una terna pitagorica.

In questo caso infatti da đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 = đ?‘? 2 (vera per definizione) seppur in modo laborioso si puo’ moltiplicare tale relazione per a, per b e per c e sommare le tre relazioni membro a membro.

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Sviluppati i calcoli ed elisi i termini eguali si ottiene la relazione đ?‘? 3 = đ?‘Ž2 đ?‘? + đ?‘? 2 đ?‘? .

Dati a e b i numeri đ?‘Ž2 đ?‘? đ?‘’ đ?‘? 2 đ?‘? potrebbero essere cubi di un numero intero ad esempio se đ?‘Ž = đ?‘? = đ?‘? che conduce ad un risultato palesemente assurdo.

Questo non e’ l’unico caso possibile. E’ noto che se (x, y, z) e’ una terna pitagorica elementare anche (2x, 2y, 2z) e’ una terna pitagorica, come e’ immediato desumere.

E’ utile ricordare che una terna elementare non puo’ essere costituita da tre numeri pari. Sia b il numero pari elemento di una terna pitagorica. Si puo’ scrivere đ?‘? = đ?œ‡2đ?œ— (per una opportuna coppia (đ?œ‡, đ?œ—) di interi assoluti).

Quindi si ha đ?‘? 2 = đ?œ‡22đ?œ— . Poiche’ c e’ dispari, per ipotesi, esso nella scomposizione non puo’ contenere il fattore 2 ad esponente maggiore di 1 quindi il numero đ?‘? 2 đ?‘? non puo’ essere il cubo di un intero .

A questo punto non e’ piu’ neppure rilevante indagare sulla natura del numero đ?‘Ž2 đ?‘?.

In definitiva ∀(đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?) ∈ đ?‘ 3 ⎚ đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 = đ?‘? 2 l’equazione đ?‘Ž3 + đ?‘? 3 = đ?‘? 3 non ammette soluzioni intere.

In realta’ e’ noto dal XIX secolo che comunque si prendano tre interi assoluti l’equazione đ?‘Ž3 + đ?‘? 3 = đ?‘? 3 non ammette soluzioni intere.

Occorre partire da una osservazione di carattere generale. Dati tre numeri interi assoluti a, b, e c comunque presi la terna (a, b, c) e’ una terna pitagorica oppure non e’ una terna pitagorica. Tertium non datur.

In termini formali una terna pitagorica puo’ essere vista come una corrispondenza che associa una coppia non ordinata di numeri interi (a, b) (d’altronde đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 = đ?‘? 2 + đ?‘Ž2 ) un numero naturale c tale che đ?‘Ž2 + đ?‘?2 = đ?‘?2 .

Nella prima parte della breve trattazione si e’ osservato che đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 = đ?‘? 2 ⇒ đ?‘Ž3 + đ?‘? 3 ≠đ?‘? 3 .

2

Occorre considerare il caso per il quale đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 ≠đ?‘? 2 cioe’ il caso in cui tre interi assoluti a, b, c non sono membri di una terna pitagorica.

Se đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;? 2 â&#x2030; đ?&#x2018;? 2 sono possibili due ipotesi alternative cioeâ&#x20AC;&#x2122; đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;? 2 < đ?&#x2018;? 2 oppure đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;? 2 > đ?&#x2018;? 2 .

Ammettiamo, per assurdo, sia đ?&#x2018;&#x17D;3 + đ?&#x2018;? 3 = đ?&#x2018;? 3 quando sia vero đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;? 2 < đ?&#x2018;? 2 .

La diseguaglianza đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;? 2 < đ?&#x2018;? 2 puoâ&#x20AC;&#x2122; essere moltiplicata per c > 0 risultando đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? 2 < đ?&#x2018;? 3 = đ?&#x2018;&#x17D;3 + đ?&#x2018;? 3 . đ?&#x2018;&#x17D;<đ?&#x2018;?<đ?&#x2018;?

Tale diseguaglianza eâ&#x20AC;&#x2122; assurda quando eâ&#x20AC;&#x2122; verificata una delle seguenti condizioni { in altri đ?&#x2018;?<đ?&#x2018;&#x17D;<đ?&#x2018;? termini quando c> max (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?) .

In questo caso infatti la diseguaglianza đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? 2 < đ?&#x2018;? 3 in quanto deve per le condizioni poste deve essere 2 3 vero che {đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;2 > đ?&#x2018;&#x17D;3 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? > đ?&#x2018;?

da cui sommando membro a membro si ha đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? 2 > đ?&#x2018;? 3 contro lâ&#x20AC;&#x2122;ipotesi

conseguente alle condizioni date. (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;?)đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013; Questo secondo caso copre il secondo possibile caso { đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;? 2 â&#x2030; đ?&#x2018;? 2 . đ?&#x2018;? > max (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?)

Dati (a,b,c) terna di interi eâ&#x20AC;&#x2122; possibile un caso ulteriore, cioeâ&#x20AC;&#x2122; sia đ?&#x2018;? < max (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?). In questo caso da đ?&#x2018;&#x17D; > đ?&#x2018;? si ottiene đ?&#x2018;&#x17D;2 > đ?&#x2018;? 2 quindi a fortiori đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;? 2 > đ?&#x2018;? 2 poicheâ&#x20AC;&#x2122; đ?&#x2018;? 2 > 0 .

Ma tale osservazione eâ&#x20AC;&#x2122; estensibile al variare dellâ&#x20AC;&#x2122;esponente n, quindi per quanto qui interessa da đ?&#x2018;&#x17D; > đ?&#x2018;? si ottiene đ?&#x2018;&#x17D;3 > đ?&#x2018;? 3 .

A fortiori si ha đ?&#x2018;&#x17D;3 + đ?&#x2018;? 3 > đ?&#x2018;? 3 in contrasto con lâ&#x20AC;&#x2122;ipotesi possa essere đ?&#x2018;&#x17D;3 + đ?&#x2018;? 3 = đ?&#x2018;? 3 , per le condizioni poste.

Se la scrittura (a,b,c) definisce una terna pitagorica eâ&#x20AC;&#x2122; ben evidente che anche (b,a,c) definisce una terna pitagorica. Le due terne sono la stessa terna. Per le terne pitagoriche vale la relazione di ordine stretto per đ?&#x2018;&#x17D;<đ?&#x2018;?<đ?&#x2018;? la quale { . đ?&#x2018;?<đ?&#x2018;&#x17D;<đ?&#x2018;?

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Per certi aspetti una terna pitagorica associa ad una coppia di interi assoluti (a,b) lâ&#x20AC;&#x2122;intero assoluto c > max (đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?) tale che đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;? 2 = đ?&#x2018;? 2 .

Una complicazione nasce dal fatto che sia da studiare il caso di una terna (a, c, b) che quando c > đ?&#x2018;? non puoâ&#x20AC;&#x2122; essere pitagorica. Ma da đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;? 2 â&#x2030; đ?&#x2018;? 2 non puoâ&#x20AC;&#x2122; dichiararsi ex se đ?&#x2018;&#x17D;3 + đ?&#x2018;? 3 â&#x2030; đ?&#x2018;? 3 . Ma dimostrare đ?&#x2018;&#x17D;3 + đ?&#x2018;? 3 â&#x2030; đ?&#x2018;? 3 equivale a dimostrare che â&#x2C6;&#x20AC;(đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?, đ?&#x2018;?) di interi assoluti con c> đ?&#x2018;? lâ&#x20AC;&#x2122;equazione đ?&#x2018;&#x17D;3 + đ?&#x2018;? 3 = đ?&#x2018;? 3 non ammette soluzioni intere cioeâ&#x20AC;&#x2122; non esistono tre interi (đ?&#x2018;&#x17D;0 , đ?&#x2018;?0 , đ?&#x2018;?0 ) con đ?&#x2018;?0 > đ?&#x2018;?0 che verificano la condizione đ?&#x2018;&#x17D;3 + đ?&#x2018;? 3 = đ?&#x2018;? 3 .

Se (a,b,c) eâ&#x20AC;&#x2122; una terna pitagorica allora (a,c,b) e (c,a,b) non lo possono essere. Cioâ&#x20AC;&#x2122; eâ&#x20AC;&#x2122; immediato percheâ&#x20AC;&#x2122; applicando il teorema di Pitagora e sommando membro a membro dopo aver eliso si otterrebbe lâ&#x20AC;&#x2122;assurdo 2đ?&#x2018;&#x17D;2 = 0 quando a â&#x2030; 0.

Occorre peroâ&#x20AC;&#x2122; concentrarsi sul caso (a, b, c) che quando b > đ?&#x2018;? che non puoâ&#x20AC;&#x2122; essere pitagorica.

Occorre cioeâ&#x20AC;&#x2122; dimostrare che đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;? 2 â&#x2030; đ?&#x2018;? 2 , đ?&#x2018;? > đ?&#x2018;? , â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;3 + đ?&#x2018;? 3 â&#x2030; đ?&#x2018;? 3 . Questo caso si gestisce ricordando che , đ?&#x2018;? > đ?&#x2018;? conduce ad affermare che đ?&#x2018;? 3 > đ?&#x2018;? 3 (e in generale anche đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x203A; > đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x203A; quando n > 0) e a fortiori đ?&#x2018;&#x17D;3 + đ?&#x2018;? 3 > đ?&#x2018;? 3 â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x17D; intero assoluto.

Vi sono poi dei casi particolari per lo studio di đ?&#x2018;&#x17D;3 + đ?&#x2018;? 3 = đ?&#x2018;? 3 che evidenziano pure la non esistenza soluzioni per tale equazione.

Assurdo eâ&#x20AC;&#x2122; il caso đ?&#x2018;&#x17D; = đ?&#x2018;? in quanto per esso si ha đ?&#x2018;&#x17D;3 + đ?&#x2018;? 3 = đ?&#x2018;&#x17D;3 vera solo per đ?&#x2018;? = 0 .

Altrettanto assurdo eâ&#x20AC;&#x2122; il caso đ?&#x2018;&#x17D; = đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;? che conduce al caso assurdo 2đ?&#x2018;&#x17D;3 = đ?&#x2018;&#x17D;3 mai vera per ogni aâ&#x2030; 0 .

A conclusioni assurde si giunge anche ponendo đ?&#x2018;&#x17D; = đ?&#x2018;? â&#x2030; đ?&#x2018;? .

Sotto queste condizioni deve porsi sia 2đ?&#x2018;&#x17D;3 = đ?&#x2018;? 2 .

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Questo caso si bipartisce in due sottocasi, il primo dei quali ammette sia c un numero dispari, e come tale privo, nella scomposizione in fattore 2. Quindi si avrebbe che il primo membro pari (2đ?&#x2018;&#x17D;3 ) eâ&#x20AC;&#x2122; eguale al secondo che per contro eâ&#x20AC;&#x2122; posto dispari per ipotesi. Tale eâ&#x20AC;&#x2122; una assurditaâ&#x20AC;&#x2122;.

Se c contiene (per ipotesi) il fattore due allora il numero c puoâ&#x20AC;&#x2122; essere scritto nella forma c= đ?&#x153;&#x2018;2đ?&#x203A;ź essendo đ?&#x153;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x203A;ź due interi assoluti. Pertanto si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere đ?&#x2018;? 3 = đ?&#x153;&#x2018; 3 23đ?&#x203A;ź . Se a contiene il fattore 2 allora si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere đ?&#x2018;&#x17D; = đ?&#x203A;ž2đ?&#x203A;˝ da cui đ?&#x2018;&#x17D;3 = đ?&#x203A;ž 3 23đ?&#x203A;˝ Pertanto si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere 2đ?&#x2018;&#x17D;3 = đ?&#x203A;ž 3 23đ?&#x203A;˝+1 . Dovrebbe quindi aversi đ?&#x203A;ž=đ?&#x153;&#x2018; che đ?&#x203A;ž 3 23đ?&#x203A;˝+1 = đ?&#x153;&#x2018; 3 23đ?&#x203A;ź che eâ&#x20AC;&#x2122; verificata qualora risulti {3đ?&#x203A;˝ + 1 = 3đ?&#x203A;ź .

La condizione eâ&#x20AC;&#x2122; che si tratti di numeri interi assoluti. Non eâ&#x20AC;&#x2122; possibile che 3đ?&#x203A;˝ + 1 = 3đ?&#x203A;ź per una coppia (đ?&#x203A;ź , đ?&#x203A;˝) di interi. Infatti, sarebbe đ?&#x203A;˝ =

3đ?&#x203A;źâ&#x2C6;&#x2019;1 3

intero, il che eâ&#x20AC;&#x2122; assurdo â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x203A;ź intero assoluto. Il numero intero

(3đ?&#x203A;ź â&#x2C6;&#x2019; 1) non puoâ&#x20AC;&#x2122; mai essere multiplo di 3.

Occorre considerare il cao che lâ&#x20AC;&#x2122;intero a non contiene il fattore 2. In questo caso si puoâ&#x20AC;&#x2122; scrivere che đ?&#x2018;&#x17D; = đ?&#x153;?20 da cui si ha 2đ?&#x2018;&#x17D; = 2đ?&#x153;?20 Pertanto possiamo scrivere 2đ?&#x2018;&#x17D;3 = 2đ?&#x153;? 3 .

Dovrebbe, quindi, risultare vero che 2đ?&#x153;? 3 = đ?&#x203A;ž 3 23đ?&#x203A;˝ . Tale eguaglianza eâ&#x20AC;&#x2122; vera se đ?&#x153;? = đ?&#x203A;ž e se 2 = 23đ?&#x203A;˝ e, in ultima analisi, 3đ?&#x203A;˝ = 1 che non ammette soluzioni in đ?&#x2018;? + .

Patrizio Gravano Roma, 7 aprile 2020

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