AULA 01: SENO e COSSENO
Se o número real é uma das determinações de um arco de extremidade P, temos as seguintes definições: seno de (sen ) é a ordenada de P; cosseno de (cos a) é a abscissa de P.
Os eixos x e y passam a ser chamados eixo dos cossenos e eixo dos senos, respectivamente. A figura a seguir mostra as coordenadas dos pontos A, B, A' e B'. À direita, os valores do seno e do cosseno de arcos com aquelas extremidades, considerando-se a 1ª volta positiva.
Em outra seção à frente, vamos analisar como obter os valores dos se nos e cossenos de arcos com extremidades em outros quadrantes. Das definições de seno e cosseno, podemos deduzir, por enquanto, os sinais de sen a e cos a, para cada quadrante em que possa estar a extremidade de a. Veja no esquema a seguir.
Pode-se observar, também, que tanto o seno quanto cosseno de um arco variam de um mínimo –1 até um máximo 1. Portanto, qualquer que seja o arco , –1 sen 1 e –1 cos 1 Observações: 2
2
1) sen + cos = 1 2) A partir dos valores de sen e cos , define-se, sob certas condições, o valor da tangente: tg =
sen (cos 0) cos
Exemplos: Números congruentes têm o mesmo seno e o mesmo cosseno, já que são determinações de um mesmo arco. sen(2k + ) = sen
Determinar o sinal a expressão sen a)
cos(2k + ) = cos
É importante lembrar os valores dos senos e cossenos de alguns arcos importantes, já deduzidos utilizando-se o triângulo retângulo. ou 30º 6
ou 45º 4
sen
1 = 0,5 2 2 0,707 2
ou 60º 3
b)
cos 3 0,866 2 2 0,707 2 1 = 0,5 2
3 0,866 2 Veja como os valores dos senos desses arcos, por exemplo, aparecem no ciclo trigonométrico.
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7 49 5 10
7 , equivalente a 252°, tem extremidade no 3° quadrante, 5 7 logo sen <0 5
49 40 9 9 9 4 2 voltas + 10 10 10 10 9 equivalente a 162º, é a 1ª determinação positiva do 10 arco e sua extremidade está no 2º quadrante. 9 49 Logo cos = cos <0 10 10
c) Como os dois fatores são negativos, o produto deles é 7 49 positivo, ou seja, sen cos >0 5 10
MATEMÁTICA I
QUESTÕES PROPOSTAS
01.
Sendo x número real, o menor e o maior valores possíveis 42 da expressão são, respectivamente, 5 2sen(10 x ) a) 6 e 14 42 b) –21 e 5 14 42 c) e 5 25 d) –42 e 42 e) –14 e –6
02. Verifique se é positiva ou negativa a expressão abaixo. Justifique sua resposta.
09. Se x está no segundo quadrante e cos(x)=-12/13, o valor de sen(x) é: a) 5/13 b) -5/13 c) 5/12 d) 12/13 e) -5/12 10. Os valores de m que satisfazem à igualdade cos(x)=2m-1 pertencem ao intervalo: a) 0 < m < 1 b) 0 < m < 1 c) 0 < m < 1 d) 1 < m < 2 e) 0 < m < 2 ANOTAÇÕES
03. Marque a alternativa CORRETA. Se sen x < 0 e tg x > 0, x é um arco do 0 0 a) 1 quadrante. b) 2 quadrante. 0 0 c) 3 quadrante. d) 4 quadrante. 04. Calcule os possíveis valores de m para que exista um arco x tal que cos x = 2m – 1.
05. Sabendo que sen x =
2 e que x está no 2º quadrante, então 3
o valor de tg x é a) – 6
b) –
d) 2 2
e) n.d.a.
c)
2
3
06. Seja x a medida de um arco em radianos. O número real a que satisfaz as sentenças a2 sen x = 3 a e cos x = é tal que 2 a) a 7 b) 5 a < 7 c) 3 a < 5 d) 0 a < 3 e) a < 0 07. Se 0 < x e 3cos x + sen x = 3, pode se afirmar que: 1 a) tgx < –1 d) tg x < 1 2 b) –1 tg x < – c) –
1 2
e) tg x 1
1 1 tg x 2 2
08. Se x é um arco do III Quadrante e cosx = -4/5, então tgx é igual a: a) -5/3 b) -3/4 c) 3/4 d) 4/5 e) 5/3
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MATEMÁTICA I
A partir dos valores conhecidos do seno e do cosseno, podemos fazer uma tabela com os valores das demais funções trigonométricas de alguns arcos importantes.
AULA 02:TANGENTE e COTANGENTE , SECANTE e COSSECANTE
A partir dos valores de sen e cos , definem-se, sob certas condições, os seguintes números:
tangente de (tg );
(30º) 6
(45º) 4 (60º) 3
co-tangente de (cotg ); secante de (sec ); co-secante de (cossec ).
tg
cotg
sec
cossec
3 3
3
2 3 3
2
1
1
2
2
3
3 3
2
2 3 3
Veja a definição e a condição de existência de cada um deles.
REDUÇÃO AO 1º QUADRANTE
sen (cos 0) cos cos cotg = (sen 0) sen 1 sec = (cos = 0) cos 1 cossec = (sen 0) sen
Suponhamos que seja um arco com extremidade no 1º quadrante tal que 0 < < . Pode-se observar, analisando a 2 figura a seguir, que
tg =
é do 1º quadrante – é do 2º quadrante + é do 3º quadrante 2 – é do 4º quadrante
Os números sen , cos , tg , cotg, sec e cossec são as funções trigonométricas de Como números congruentes têm senos iguais e cossenos iguais, eles têm também as demais funções trigonométricas iguais. Portanto, supostas definidas as funções, tg(2k + ) = tg sec(2k + ) = sec
cotg(2k + ) = cotg cossec(2k + ) = cossec
Exemplos
Calcular, caso sejam definidos, os números tg 60°, cotg 765°, sec
13 e cossec 2 2
Os quatro pontos associados a esses quatro arcos são vértices de um retângulo inscrito na circunferência trigonométrica, de lados paralelos aos eixos do seno e do cosseno. Por isso, as abscissas dos quatro pontos têm módulos iguais, o mesmo acontecendo com as ordenadas. Podemos dizer, portanto, que os senos desses quatro arcos são iguais ou simétricos, o mesmo acontecendo com seus cossenos e, conseqüentemente, com todas as outras funções trigonométricas. Vamos chamar esses quatro arcos de "arcos amigos". Valem para eles, portanto, as seguintes igualdades (acompanhe na figura).
Tudo que foi dito significa, na prática, que o cálculo das funções trigonométricas de um arco qualquer se reduz, na verdade, ao cálculo das funções trigonométricas de um arco do 1º quadrante.
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MATEMÁTICA I
Exemplo
Calcular cotg 855º
07. Sabendo que sem x =
Por divisão, concluímos que 855º = 2.360º + 135º. Logo a 1ª determinação positiva do arco é 135°, do 2º quadrante. Ele é, então, do tipo (180º – ), sendo a o "arco amigo" do 1º quadrante. Portanto 180º – 135º = 45º
então o valor de tg x é a) – 6
b) –
d) 2 2
e) n.d.a.
08. O valor da expressão
No 2º quadrante, o cosseno é negativo e o seno é positivo, logo a co-tangente é negativa. Assim sendo,
2 e que x está no 2º quadrante, 3
a) –1 d) 1
c)
2
2 sen2 x cos2 x b) –2 e) 0
3
2
– tg x é c) 2
cotg 855º = cotg 135º = –cotg 45º = – 1 1 sec x cos sec x , cos x = e x pertencente ao 5 1 cot gx 4° quadrante, então
09. Sendo M = PROPOSTOS
01.
O valor de tg 150º + 2sen 120º – cos 330º é igual a a)
3 6
d) 02.
03.
3 2
c)
2 6
b)
3 2 2
10. A expressão
3 3
e)
5 5
d) M = 5
3 6
igual a a) 2 sem x d) 2 tg x
b) M = 5 5
c) M =
5
e) M = 25
1 + cossec x 1 + cos x) é cos sec x (1 cos x ) b) 2 cos x e) 2 sec x
c) 2 cossec x
ANOTAÇÕES
Calculando-se o valor da 3 5 sen cos tg 2 4 3 , obtém-se 2 sec 2 cos sec cot g 2 3
d)
05.
e)
3 2
Para = 89°, conclui-se que a) tg < sem < cos b) cos < sem < tg c) sem < cos < tg d) cos < tg < sem e) sem < tg < cos
a)
04.
b)
3
a) M =
c)
expressão
2 6
2 3 3
Sejam a = sem 1290°, b = cos (–170°) e c = cos (–20°). É CORRETO afirmar que a) a < b < c b) a < c < b c) b < c < a d) b < a < c e) c < a < b A expressão a) d) 2 +
1 sen 300º é igual a tg 540º cos(-120º )
3 3
b) 3
3 4
e) –2 +
c)
2 3 4
3
2 e x é do 1º quadrante, então 2 2 a) 1 – tg x = 1
06. Se cos x =
b) 2 cos x sen x = c) cotg x – 1 = 2
2
d) sec x + cossec x = 2 2 2 e) 1 – cossec x = 0
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MATEMÁTICA I
AULA 03: GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO
Vamos analisar e construir o gráfico da função seno, expressa pela igualdade y = f(x) = sen x Todo arco tem seno, ou seja, sen x é definido para todo x real. Logo o domínio da função seno é IR. Vamos construir o gráfico da função, considerando a 1ª volta positiva. Veja a tabela abaixo, em que tomamos, para x, alguns valores importantes.
O conjunto imagem da função cosseno é, também, o intervalo [– 1, 1], ou seja, cos x tem –1 como valor mínimo e 1 como valor máximo. Ela é, também, uma função periódica, de período 2, porque a cossenóide se repete nos intervalos [–2, 0], [0, 2], [2, 4], ... , todos de amplitude 2. Na 1ª volta positiva, a função cosseno é decrescente para 0 x e crescente para x 2. A função cosseno é função par, porque f(–x) = f(x), isto é, cos(–x) = cos x para todo x real. FUNÇÕES COMPOSTAS DE SENO E COSSENO COM FUNÇÕES DE 1º GRAU
A figura a seguir mostra parte do gráfico da função seno, chamado senóide.
Vamos analisar questões relativas ao gráfico, período e conjunto imagem de funções compostas, envolvendo as funções seno e cosseno e funções de 1º grau. Exemplo
1 3 cos 2x o 2 gráfico pode ser construído a partir do quadro a seguir, Observe que tomamos, como ponto de partida, o arco (2x), ao qual atribuímos os valores notáveis da 1ª volta positiva, iniciando em 0 e terminando em 2. Isso garante que o arco, do qual o cosseno está sendo calculado, percorra uma volta completa no ciclo,
Construir o gráfico da função y = f(x) =
O conjunto imagem da função seno é o intervalo [–1, 1], ou seja, sen x tem –1 como valor mínimo e 1 como valor máximo. Trata-se de uma função periódica, de período 2, porque a senóide se repete nos intervalos [–2, 0], [0, 2], [2, 4], ... , todos de amplitude 2. Na 1ª volta positiva, a função seno é crescente para 0 x 2 3 3 ou x 2 e decrescente para x 2 2 2 A função seno é função ímpar, porque f(–x) = –f(x), ou seja, sen(– x) = –sen x para todo x real. GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSENO
y= Vamos analisar e construir, agora, o gráfico da função cosseno, expressa pela igualdade y = f(x) = cos x Todo arco tem cosseno, isto é, cos x é definido para todo x real. Por isso o domínio da função cosseno é IR. Vamos construir seu gráfico, tomando, para x, valores importantes da 1 a volta positiva. Veja a tabela a seguir.
2x
0
2
3 2
2
x
0
4
2
3 4
cos 2x
1
0
–1
0
1
3cos 2x
3
0
–3
0
3
–1 + 3cos 2x
2
–1
–4
–1
2
1 3 cos 2x 2
1
1 2
–2
1 2
1
–
–
O gráfico da função pode ser construído, tomando-se os pares ordenados (x, y) da função, correspondentes às duas linhas em destaque no quadro.
Observe que, nessa função, Na figura a seguir, temos parte do gráfico da função cosseno, chamado cossenóide.
o conjunto imagem é o intervalo [–2, 1]; o período é , amplitude do intervalo [0, ]. Existem regras práticas para se obter o conjunto imagem e o período de funções desse tipo. Os extremos do conjunto imagem podem ser obtidos, na prática, atribuindo-se, a sen ou cos , o seu valor mínimo (–1) e o seu valor máximo (1).
1 3 cos 2x , exemplificada anteriormente, 2 obteríamos os extremos do conjunto imagem assim: Assim, na função y =
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MATEMÁTICA I
Para cos 2x = –1, y = Para cos 2x = 1, y =
1 3 ( 1) 2 2
02.
Considerando as funções trigonométricas definidas por f(x) = 2sen x, g(x) = sen 2x e h(x) = 2 + sen x, tem-se a) f(x) > h(x), para todo x real. b) g(x) h(x), para todo x real. c) f(x) e g(x) têm períodos iguais. d) f(x) e h(x) têm períodos diferentes. e) g(x) sen x f(x), para todo x real.
03.
Se k e p são naturais não-nulos tais que o conjunto imagem da função f(x) = 3k + p cos(px + k) é [–2, 8], então o período de f(x) é 2 2 a) b) c) 3 7 7 2 d) e) 5 5
04.
A figura abaixo representa o gráfico da função y = a sen(bx), onde a 0 e b > 0.
1 3 1 1 2
Portanto o conjunto imagem daquela função é o intervalo fechado [–2, 1], conforme já havíamos observado a partir do gráfico. O período de funções desse tipo pode ser obtido, dividindo-se 2, período das funções elementares seno e cosseno, pelo módulo do coeficiente da variável x na função dada. 1 3 cos 2x Ainda considerando a função y = , observe que o 2 2 coeficiente de x é igual a 2. Logo o período da função é = , 2 valor já constatado a partir da construção do gráfico. Veja o caso de uma outra função. Exemplo
Obter o conjunto imagem e o período da função definida por y 5 x . 2 Primeiro, vamos obter o conjunto imagem. 5 x Para sen = –1, y = 5 – 4 (–1) = 9 2 5 x Para sen = 1, y = 5 – 4 1 = 1 2 Portanto o conjunto imagem é o intervalo [1, 9]. Vamos, agora, obter o período da função. O coeficiente de x 5 x no arco é . Logo o período da função é 2 2 = 5 – 4 sen
Para o menor valor possível de b, os valores de a e b são, respectivamente 1 1 a) –3 e 2 c) 3 e b) 3 e 2 d) –3 e 2 2 05.
Na figura a seguir, tem-se parte do gráfico da função f, de IR em IR, dada por f(x) = k cos (tx), com t > 0.
01.Considere a função real y = f(x) = a + bsen(kx), em que a, b e k são constantes reais, com b < 0 e k > 0. Calcule a, b e k, sabendo que o conjunto imagem da função é o intervalo [3, 5] e seu período é . 3 02. Seja a função f: IR IR, dada por f(x) = sen x. Considere as afirmações seguintes: i.
A função f(x) é uma função par, isto é, f(x) = f(–x) para todo x real.
ii.
A função f(x) é periódica de período 2, isto é, f(x + 2) = f(x), para todo x real.
iii.
A função f(x) é sobrejetora.
iv.
f(0) = 0, f(π/3) = √3/2 e f(π/2) = 1.
São verdadeiras as afirmações a) 1 e 3, apenas. d) 1, 2 e 3, apenas. b) 3 e 4, apenas. e) 1,2,3 e 4. c) 2 e 4, apenas. 03.Se f é a função real dada por f(x) = 2 – cos(4x), então é CORRETO afirmar que a) f(x) 3 e f(x) 1, para todo x real. b) o gráfico de f intercepta o eixo dos x. c) f(x) 2 para todo x real. d) f(2) < 0. 3 e) f(x) para todo x real. 2
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Nessas condições, calculando-se k – t, obtém-se 3 a) b) –1 c) 0 2 5 3 d) e) 2 2 06.
Se f(x) = a + b senx tem como gráfico
MATEMÁTICA I
AULA 04: REVISÃO ENEM
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MATEMÁTICA I
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MATEMÁTICA I
AULA 05: REVISÃO ENEM
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MATEMÁTICA I
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MATEMÁTICA I
AULA 06: REVISÃO ENEM
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MATEMÁTICA I
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MATEMÁTICA I
REVISÃO I : UFPB/UEPB 1)Na fabricação de certo tipo de fertilizante, são utilizados apenas dois produtos, A e B, em quantidades que obedecem à proporção A:B=1:4 . A quantidade desse fertilizante que pode ser produzida com apenas 30kg do produto A e 160kg do produto B é: a) 150kg d) 160kg b) 170kg e) 180k c) 190kg 2)Uma porção de certa substância com 512g de massa será fragmentada da seguinte forma. Na primeira etapa da fragmentação, a porção será dividida em duas partes de massas iguais. A partir da segunda etapa, cada parte obtida na etapa anterior será dividida em duas com massas iguais. Sabendo-se que na fragmentação de cada parte será utilizada uma quantidade de, no máximo, 2 Joules (J) de energia, é correto afirmar que, quando a massa de cada parte for de 2g, a quantidade total de energia, utilizada em todo o processo de fragmentação, será de no máximo: a) 498J d) 906J b) 682J e) 824J c) 510J
3)Em uma reserva ambiental, habitam 40 predadores que têm predileção por presas dos tipos A, B ou por nenhuma delas. Sabendo-se que desses predadores 18 preferem presas do tipo A, 22 preferem do tipo B e 6 preferem dos dois tipos, a quantidade de predadores que não têm predileção por nenhum dos dois tipos de presas é: a) 3 b) 5 c) 7 d) 4 e) 6
4)Uma amostra contendo 1210 bactérias é submetida a um choque térmico. Estudos experimentais mostram que, t segundos após o início do choque, morrem x bactérias e que as variáveis t e x relacionam-se de acordo com a expressão
Com base nessas informações, é correto afirmar que o tempo necessário para que morram 20% das bactérias inicialmente presentes na amostra é: a) 6s b) 7s c) 8s d) 9s e) 10s 5)Em certa cidade litorânea, a altura máxima (H ) permitida para edifícios nas proximidades da orla marítima é dada pela função H(d) = md - n, onde m e n são constantes reais e d representa a distância, em metros, do edifício até a orla marítima. De acordo com essa norma, um edifício localizado exatamente na orla marítima tem a altura máxima permitida de 10 metros, enquanto outro edifício localizado a 500 metros da orla marítima tem a altura máxima permitida de 60 metros. Com base nessas informações, é correto afirmar que a altura máxima permitida para um edifício que será construído a 100 metros da orla marítima é de: a)18m b) 20m c) 22m d)19m e) 21m 6)Duas cidades, A e B, estão interligadas por uma rodovia reta que mede 24 km. O lixo recolhido dessas cidades é depositado em um aterro sanitário distante, em linha reta, 13 km de ambas as cidades. O acesso a esse aterro, a partir da rodovia que liga as duas cidades, é feito por uma estrada, também reta, que cruza essa rodovia perpendicularmente. Com base nessas informações, é correto afirmar que para ir de uma dessas cidades até o aterro, fazendo todo o percurso pela rodovia e pela estrada de acesso, é necessário percorrer no mínimo: a) 17 km b) 16 km
c) 15 km d) 14 km
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e) 13 km
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MATEMÁTICA I
7)Uma determinada indústria constatou que o gás expelido na fabricação dos seus produtos continha o poluente alfa em quantidade acima do recomendado, que é de no máximo 4mg/l. Visando resolver esse problema, instalou filtros para purificação do gás. Estudos mostram que, com esses filtros, a quantidade (q ) do poluente alfa presente no gás, t horas após o processo de purificação ter sido iniciado, é dada por Com base corretas:
nessas
informações, identifique as afirmativas
8)Para acompanhar o nível da água (H ) do reservatório que abastece certa cidade, foram feitas medições desse nível em um período de 12 dias, com apenas uma medição em cada dia. Após essas medições, constatou-se que esse nível, medido em metros, podia ser calculado por meio da função
onde t é o número de dias decorridos a partir do início do período de observação. Com base nessas informações, identifique as afirmativas corretas:
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MATEMÁTICA I
REVISÃO II : UFPB/UEPB 1)Antes da realização de uma campanha de conscientização de qualidade de vida, a Secretaria de Saúde de um município fez algumas observações de campo e notou que dos 300 indivíduos analisados 130 eram tabagistas, 150 eram alcoólatras e 40 tinham esses dois vícios. Após a campanha, o número de pessoas que apresentaram, pelo menos, um dos dois vícios sofreu uma redução de 20 %. Com base nessas informações, é correto afirmar que, com essa redução, o número de pessoas sem qualquer um desses vícios passou a ser:
2)O reservatório de água que abastece certa cidade está com 6000m3. de água e, durante os próximos 40 dias, receberá 25 m3 de água por hora. Durante esse período, o reservatório perde diariamente 720 m3 de água. Com base nessas informações, é correto afirmar que o volume de água do reservatório se reduzirá a 3000 m3. em: a) 20 dias c) 25 dias e) 30 dias b) 24 dias d) 28 dias 3)Em seus trabalhos de campo, os botânicos necessitam demarcar áreas de mata onde farão observações. Essas áreas são denominadas parcelas e, geralmente, usa-se corda para demarcálas. Nesse contexto, se uma parcela retangular for demarcada com 60m de corda, sua área será, no máximo, de: a) 100 m2 c) 200 m2 e) 300 m2 2 2 b) 175 m d) 225 m 4)A vigilância sanitária, em certo dia, constatou que, em uma cidade, 167 pessoas estavam infectadas por uma doença contagiosa. Estudos mostram que, pelas condições sanitárias e ambientais dessa cidade, a quantidade ( Q ) de pessoas infectadas por essa doença pode ser estimada pela função
onde t é o tempo, em dias, contado a partir da data da constatação da doença na cidade. Nesse contexto, é correto afirmar que, 360 dias depois de constatada a doença, o número estimado de pessoas, nessa cidade, infectadas pela doença é de: a) 520 c) 480 e) 440 b) 500 d) 460
5)Um navio petroleiro sofreu uma avaria no casco e estava derramando óleo que se acumulava no oceano, formando uma mancha circular. Exatamente às 8 h do dia em que ocorreu a avaria, verificou-se que o raio da mancha media 20 metros e que, a partir daquele instante, a medida do raio (r), em metros, variava conforme a função r(t) = 20 + 0,2 t, onde t é o tempo decorrido, medido em horas a partir das 8 h desse dia. Nesse contexto, é correto afirmar que, exatamente às 18 h do mesmo dia, a mancha estava ocupando uma área de:
6)Uma empresa de reflorestamento fez um plantio de mudas de árvores nativas em uma grande área desmatada. Para essa tarefa, empregou operários, que plantaram, cada um, 100 mudas por dia. No primeiro dia de plantio, trabalharam 50 operários e, nos dias subsequentes até o 15º dia, o número de operários em cada dia foi 50 a mais do que no dia anterior. A partir do 16° dia, o número de operários, em cada dia, foi igual ao do 15° dia. Sabendo-se que esses operários plantaram 1.200.000 mudas, é correto afirmar que esse plantio foi feito em: a) 21 dias c) 23 dias e) 25 dias b) 22 dias d) 24 dia
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8)
7)
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