AULA_MATEMÁTICAI_MÓDULO3 by Jorge Mangueira

AULA 01: ANÁLISE COMBINATÓRIA

PERMUTAÇÕES SIMPLES FATORIAL Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n!) como sendo: n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1 Para n = 0 , teremos : 0! = 1. Para n = 1 , teremos : 1! = 1

- Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos. Exemplo: com os elementos A,B,C são possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA. - O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto é Pn = n!, onde n! = n(n-1)(n-2)... .1 .

Exemplos: a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 b) 4! = 4.3.2.1 = 24 c) observe que 6! = 6.5.4! d) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 e) 10! = 10.9.8.7.6.5! f ) 10! = 10.9.8!

QUESTÕES RESOLVIDAS

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM – PFC

Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não significado na linguagem comum.

a) P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 b) Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares. P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120

Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por: T = k1. k2 . k3 . ... . kn

QUESTÕES RESOLVIDAS Os possíveis anagramas da palavra REI são: REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER.

QUESTÕES RESOLVIDAS PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPETIDOS 01. O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado? Solução: Usando o raciocínio do PFC, imaginemos uma placa genérica do tipo MNZ-1527 Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que se no país existissem 175.760.001 veículos, o sistema de códigos de emplacamento teria que ser modificado, já que não existiriam números suficientes para codificar todos os veículos. 02. Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salão pode estar aberto? Para a primeira porta temos duas opções: aberta ou fechada Para a segunda porta temos também, duas opções, e assim sucessivamente. Para as seis portas, teremos então, pelo Princípio Fundamental da Contagem - PFC: N = 2.2.2.2.2.2 = 64 Lembrando que uma dessas opções corresponde a todas as duas portas fechadas, teremos então que o número procurado é igual a 64 - 1 = 63. Resposta: o salão pode estar aberto de 63 modos possíveis.

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- Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos formar é dado por:

a ;b;c ;... n

n! a!b! c!...

QUESTÕES RESOLVIDAS Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA. (não considere o acento) Temos 10 elementos, com repetição. Observe que a letra M está repetida duas vezes, a letra A três , a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n = 10, a = 2, b = 3 e c = 2. Sendo k o número procurado, podemos escrever:

k

10!  151200 (2!2!3!)

Resposta: 151200 anagramas.

MATEMÁTICA I

QUESTÕES PROPOSTAS

01. O conjunto solução de

08. O número de placas com três letras, repetidas ou não, e sem a letra A, no início, que o DETRAN pode formar com as letras A, B, C, D, E e F é igual a a) 100 b) 120 c) 160 d) 170 e) 180

(n  1)!  210 é: (n  1)!

a) { } b) {210} c) {14; -15} d) {-15} e) {14}

02. Se

09. Considere formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtêm permutando os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9. O número 75 391 ocupa, nessa disposição, o lugar a) 21° b) 64° c) 88° d) 92° e) 120°

n!(n  1)! 6  , então: (n  1)!n! 25

a) n = 3 b) n = 4 c) n = 5 d) n = 6 e) n = 7 03. Dentre todos os números de quatro algarismos distintos formados com algarismos pertencentes ao conjunto {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, quantos são divisíveis por 2? 04. Quantos são os inteiros positivos, menores que 1000, que têm seus dígitos pertencentes ao conjunto {1; 2; 3} ? a) 15 b) 23 c) 28 d) 39 e) 42

10. O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal é a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 144

05. Num determinado país, todo rádio amador possui um prefixo formado por 5 símbolos assim dispostos: um par de letras, um algarismo diferente de zero, outro par de letras; por exemplo: PY6-CF. O primeiro par de letras é sempre PY, PT ou PV; o segundo par só pode ser constituído das 10 primeiras letras do alfabeto, não havendo letras repetidas. Nesse país o número de prefixos disponíveis é: a) 270 b) 1230 c) 2430 d) 2700 e) 1200 06. Tem-se 12 livros, todos diferentes, sendo 5 de Matemática, 4 de Física e 3 de Química. De quantos modos podemos dispô-los sobre uma prateleira, devendo os livros de cada assunto permanecer juntos? a) 103680 b) 17280 c) 150 d) 12 e) 6 07. Dos 6! números formados com as permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos estão entre 450000 e 620000? a) 96. b) 120. c) 168. d) 192. e) 240.

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MATEMÁTICA I

QUESTÕES RESOLVIDAS

AULA 2: ANÁLISE COMBINATÓRIA

Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões?

ARRANJOS SIMPLES - Dado um conjunto com n elementos , chama-se arranjo simples de taxa k , a todo agrupamento de k elementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos. Assim, no conjunto E = {a; b; c}, teremos:

Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de um problema de combinação de 15 elementos com taxa 10. Aplicando simplesmente a fórmula chegaremos a:

a) arranjos de taxa 2 (agrupados dois a dois) : ab, ac, bc, ba, ca, cb. b) arranjos de taxa 3 (agrupados três a três): abc, acb, bac, bca, cab, cba. - Representando o número total de arranjos de n elementos tomados k a k (taxa k) por An;k , teremos a seguinte fórmula: An;k ou

C15;10 =

15! 15! = 10!(15  10)! 10!5!

= 3003

ANOTAÇÕES

n! (n  k )! QUESTÕES RESOLVIDAS

Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre é marcado por uma seqüência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer(no máximo) para conseguir abri-lo? As sequências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de arranjos, mas pelo princípio fundamental de contagem, chegaremos ao mesmo resultado: 10.9.8 = 720. Observe que 720 = A10;3 COMBINAÇÕES SIMPLES - Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados k a k (taxa k) aos subconjuntos formados por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados. QUESTÕES RESOLVIDAS No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar: a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd. b) combinações de taxa 3: abc, abd,acd,bcd. c) combinações de taxa 4: abcd. - Representando por Cn;k o número total de combinações de n elementos tomados k a k (taxa k) , temos a seguinte fórmula:

Cn;k ou

k n

n! k!(n  k )!

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QUESTÕES PROPOSTAS

01. Pretende-se formar uma comissão de 5 membros a partir de um grupo de 10 operários e 5 empresários, de modo que nessa comissão haja pelo menos 2 representantes de cada uma classe. O total de diferentes comissões que podem ser assim formadas é: a) 1000 b) 185 c) 19400 d) 1750 e) 1650 02. Sobre uma reta marcam-se 3 pontos e sobre outra reta, paralela à primeira, marca-se 5 pontos. O número de triângulos que obtemos unindo 3 quaisquer desses 8 pontos é: a) 26 b) 90 c) 25 d) 45 e) 42 03. Num Determinado setor de um hospital trabalham 5 médicos e 10 enfermeiros. Quantas equipes distintas, constituída cada uma de 1 médico e 4 enfermeiros, podem ser formadas nesse setor ? 04. Para mostrar aos seus clientes alguns dos produtos que vende, um comerciante reservou um espaço em uma vitrine, para colocar exatamente 3 latas de refrigerante, lado a lado. Se ele vende 6 tipos diferentes de refrigerante, de quantas maneiras distintas pode expô-los na vitrine? a) 144 b) 132 c) 120 d) 72 e) 20 05. Em um campeonato de tênis de mesa, com dez participantes, em que todos jogam contra todos, um dos participantes vence todas as partidas, as classificações possíveis para os três primeiros colocados é a) 72 b) 78 c) 82 d) 90

07. O conselho administrativo de um sindicato é constituído por doze pessoas, das quais uma é o presidente deste conselho. A diretoria do sindicato tem quatro cargos a serem preenchidos por membros do conselho, sendo que o presidente da diretoria e o do conselho não deve ser a mesma pessoa. De quantas maneiras diferentes esta diretoria poderá ser formada? a) 40. b) 7920. c) 10890. d) 11!. e) 12!. 08. 10 livros diferentes, incluindo 2 de português e 3 de matemática, deverão ser colocados em uma estante, em qualquer ordem. Entretanto os dois livros de português deverão estar juntos, o mesmo acontecendo com os 3 livros de matemática. O número de diferentes maneiras de se fazer esta arrumação é a) 3 628 800 b) 60 480 c) 2 520 d) 5 040 e) 1 440 09. Os polígonos de k lados (k múltiplo de 3), que podemos obter com vértices nos 9 pontos da figura, são em número de a) 83 b) 84 c) 85 d) 169 e) 76

10. Num banco de automóvel, o assento pode ocupar 6 posições diferentes e o encosto 5 posições, independente da posição do assento. Combinando assento e encosto, este banco assume: a) 6 posições diferentes. b) 30 posições diferentes. c) 90 posições diferentes. d) 180 posições diferentes. e) 720 posições diferentes.

06. Para efetuar suas compras, o usuário que necessita sacar dinheiro no caixa eletrônico deve realizar duas operações: digitar uma senha composta por 6 algarismos distintos e outra composta por 3 letras, escolhidas num alfabeto de 26 letras. Se essa pessoa esqueceu a senha, mas lembra que 8, 6 e 4 fazem parte dos três primeiros algarismos e que as letras são todas vogais distintas, sendo E a primeira delas, o número máximo de tentativas necessárias para acessar sua conta será a) 210 b) 230 c) 2.520 d) 3.360 e) 15.120

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MATEMÁTICA I

AULA 3 :PROBABILIDADE Chama-se experimento aleatório aquele cujo resultado é imprevisível, porém pertence necessariamente a um conjunto de resultados possíveis, denominado espaço amostral. Qualquer subconjunto desse espaço amostral é denominado evento. Se este subconjunto possuir apenas um elemento, o denominamos evento elementar. Nota: O espaço amostral é também denominado espaço de prova.

Trataremos aqui dos espaços amostrais equiprováveis, ou seja, aqueles onde os eventos elementares possuem a mesma chance de ocorrerem. Por exemplo, no lançamento de um dado, supõe-se que sendo o dado perfeito, as chances de sair qualquer número de 1 a 6 são iguais. Temos então um espaço equiprovável. Em oposição aos fenômenos aleatórios, existem os fenômenos determinísticos, que são aqueles cujos resultados são previsíveis, ou seja, temos certeza dos resultados a serem obtidos. Normalmente existem diversas possibilidades possíveis de ocorrência de um fenômeno aleatório, sendo a medida numérica da ocorrência de cada uma dessas possibilidades, denominada Probabilidade. CONCEITO DE PROBABILIDADE

a solução de muitos problemas aparentemente complicados. Em muitos casos, é mais fácil calcular a probabilidade do evento complementar e, pela propriedade acima, fica fácil determinar a probabilidade do evento. EXEMPLOS: 01. Numa caixa há 10 etiquetas, numeradas de 1 a 10, retirando-se, simultaneamente, duas etiquetas, calcule a probabilidade de se obter um par de números primos ou um par de múltiplos de 2.

02. Numa urna existem 100 bolas numeradas de 1 a 100. Calcule a probabilidade de, retirando-se uma bola, ela estar numerada com um múltiplo de 3.

OBSERVAÇÃO: No exemplo anterior, a probabilidade de não ocorrer o evento A é igual a 67%. p( A ) = 1 – p(A)

Seja U um espaço amostral finito e equiprovável e A um determinado evento, ou seja, um subconjunto de U. A probabilidade p(A) de ocorrência do evento A será calculada pela fórmula p(A)=n(A)/n(U) onde n(A) = número de elementos de A e n(U) = número de elementos do espaço de prova U.

p( A ) = 1 – 33

100 33 p( A ) = ou p( A ) ou p( A ) = 67% 100 P5: Sendo A e B dois eventos, podemos escrever:

EXEMPLOS: 01. Calcular a probabilidade de ocorrer número ímpar no lançamento de um dado.

p(A U B) = p(A) + p(B) – p(AB) Observe que se A  B= Ø (ou seja, a interseção entre os conjuntos A e B é o conjunto vazio), então p(A U B) = p(A) + p(B).

02. Calcular a probabilidade de ocorrer a face cara no lançamento de uma moeda.

EXEMPLO: Considere uma urna contendo 30 bolas numeradas de 1 a 30. Calcule a probabilidade de se retirar, ao acaso, uma bola numerada com um número par ou com um número múltiplo de 3.

PROPRIEDADES PROBABILIDADE CONDICIONAL P1: A probabilidade do evento impossível é nula. Por exemplo, se numa urna só existem bolas brancas, a probabilidade de se retirar uma bola verde (evento impossível, neste caso) é nula. P2: A probabilidade do evento certo é igual a unidade. Por exemplo, se numa urna só existem bolas vermelhas, a probabilidade de se retirar uma bola vermelha (evento certo, neste caso) é igual a 1. P3: A probabilidade de um evento qualquer é um número real situado no intervalo real [0, 1]. Esta propriedade, decorre das propriedades 1 e 2 acima. P4: A soma das probabilidades de um evento e do seu evento complementar é igual a unidade. Seja o evento A e o seu complementar A'. Sabemos que A U A' = U. n(A U A') = n(U) e, portanto, n(A) + n(A') = n(U). Dividindo ambos os membros por n(U), vem: n(A)/n(U) + n(A')/n(U) = n(U)/n(U), de onde conclui-se: p(A) + p(A') = 1

Considere que desejamos calcular a probabilidade da ocorrência de um evento A, sabendo-se de antemão que ocorreu um certo evento B. Pela definição de probabilidade vista anteriormente, sabemos que a probabilidade de A deverá ser calculada, dividindo-se o número de elementos de elementos de A que também pertencem a B, pelo número de elementos de B. A probabilidade de ocorrer A, sabendo-se que já ocorreu B, é denominada Probabilidade condicional e é indicada por p(A/B) – probabilidade de ocorrer A sabendo-se que já ocorreu B – daí, o nome de probabilidade condicional.

Teremos então: p(A/B) =

n( A  B ) n( B )

onde AB = interseção dos

conjuntos A e B. Esta fórmula é importante, mas pode ser melhorada. Vejamos: p(AB) = p(A/B).p(B)

Nota: esta propriedade simples, é muito importante pois facilita

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MATEMÁTICA I

Esta fórmula é denominada Lei das Probabilidades Compostas. Esta importante fórmula, permite calcular a probabilidade da ocorrência simultânea dos eventos A e B, sabendo-se que já ocorreu o evento B. Se a ocorrência do evento B, não mudar a probabilidade da ocorrência do evento A, então p(A/B) = p(A) e, neste caso, os eventos são ditos independentes, e a fórmula acima fica: p(AB) = p(A) . p(B) Podemos então afirmar, que a probabilidade de ocorrência simultânea de eventos independentes, é igual ao produto das probabilidades dos eventos considerados.

c) 1

5 06. Oito pessoas, sendo 5 homens e 3 mulheres, serão organizados em uma fila. A probabilidade das pessoas do mesmo sexo ficarem juntas é:

PRODUTO DAS PROBABILIDADES Se um evento é composto de várias etapas sucessivas e independentes, a probabilidade de ocorrência é o produto das probabilidades de cada etapa, p(A) = p1 . p2 . p3 . (...). pn

1 28 1 b) 18

d) 5

18 1 e) 38

c) 3 28

onde, p1, p2,. (...). pn são as probabilidades nas etapas 1,2,...,n. EXEMPLOS:  Nos lançamentos consecutivos de três moedas, calcule a probabilidade de ocorrência de cara nos três resultados.

 No lançamento de um dado e uma moeda, calcule a probabilidade de obtermos um número ímpar no dado e coroa na moeda.

QUESTÕES PROPOSTAS 01. Em uma prova caíram dois problemas, A e B. Sabendo-se que 200 alunos acertaram A, 90 erraram B, 120 acertaram os dois e 100 acertaram apenas um problema. Qual a probabilidade de que um aluno escolhido ao acaso não tenha acertado nenhum problema? 02. Um fichário tem 25 fichas etiquetadas de 11 a 35. a) Retirando-se uma ficha ao acaso, qual probabilidade é maior: de ter etiqueta par ou ímpar? Por quê? b) Retirando-se ao acaso duas fichas diferentes, calcule a probabilidade de que suas etiquetas tenham números consecutivos. 03. Num grupo de 400 homens e 600 mulheres, a probabilidade de um homem estar com tuberculose é de 0,05 e de uma mulher estar com tuberculose é de 0,10. a) Qual a probabilidade de uma pessoa do grupo estar com tuberculose? b) Se uma pessoa é retirada ao acaso e está com tuberculose, qual a probabilidade de que seja homem? 04. Lançando-se simultaneamente, um dado e uma moeda, determine a probabilidade de se obter 3 ou 5 no dado e cara na moeda.

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05. Se um certo casal tem 3 filhos, então, a probabilidade de os 3 serem do mesmo sexo, dado que o primeiro filho é homem, vale: a) 1 d) 1 4 3 1 b) e) 3 . 4 2

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07. No estoque de uma loja há 33 calças, das quais 4 apresentam defeito. Qual é a probabilidade de se escolher duas calças ao acaso e as duas apresentarem defeito? a) 1 d) 6 33 88 b) 4 e) 34 33 363 c) 2 33

08. Um vestibulando arrumou numa prateleira, de forma aleatória, seus 5 livros de matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Trigonometria e Combinatória.) Qual a probabilidade dos livros de Aritmética e Combinatória não estarem juntos? a) 3 b) 2 c) 3 d) 2 e) 1 5 3 5 4 3 09. Em certo ano de uma faculdade, 25% dos estudantes são reprovados em Matemática, 15% são reprovados em Economia e 10% reprovados em ambas. Um estudante é selecionado ao acaso nessa faculdade. A probabilidade de que ele não seja reprovado em Economia, sabendo-se que foi reprovado em Matemática, é: a) 0,10 b) 0,15 c) 0,21 d) 0,50 e) 0,60 10. Um instituto de pesquisa colheu informações para saber as intenções de voto no segundo turno das eleições para governador de um determinado estado. Os dados estão indicados no quadro abaixo: Intenção de voto Candidato A Candidato B Votos nulos Votos brancos

Percentual 26 40 14 20

Escolhendo aleatoriamente um dos entrevistados, verificou-se que ele não vota no candidato B. A probabilidade de que este eleitor vote em branco é: a) 1 d) 1 6 3 1 b) e) 2 5 5 1 c) 4

MATEMÁTICA I

Exemplo com uma Distribuição Contínua. AULA 04 : ESTATÍSTICA Gráfico em Barra da frequência acumulada crescente para a FREQUÊNCIAS

variável altura dos alunos da Escola Despertar em 2006

Frequência absoluta de cada variável é o número de vezes que essa variável aparece Frequência relativa de cada variável é a razão entre a frequencia absoluta e o número total de elementos. GRÁFICOS GRÁFICOS DO TIPO COLUNA E BARRA Os gráficos do tipo Coluna ou Barra podem ser representados para as distribuições discretas ou contínuas. A diferença básica é que na representação de distribuição discreta as Colunas ou Barras não estão justapostas, como na representação das distribuições contínuas.

GRÁFICO DO TIPO SETOR OU PIZZA São representados por meio de um círculo e têm a mesma

GRÁFICO EM COLUNAS

finalidade que os de colunas, ou seja, representar um fato nas

Representamos no eixo “X” as classes e no eixo “Y” os valores das

partes que o compõe.

freqüências Fi ou FAC ou FAD. As colunas são construídas pela

A construção leva em consideração uma operação de regra de três

projeção dos dois limites das classes até o valor da freqüência

simples, tomando como base 100% ou 3600 para o círculo completo.

associada à referida classe.

Exemplo:

Exemplo 1. Utilizando uma Distribuição Discreta. Gráfico em Coluna da quantidade produzida para a variável, produtos no ano de 2003.

MEDIDAS DE TENDÊNCIAS CENTRAL MÉDIAS Consideraremos apenas as médias aritméticas, que podem ser Exemplo 2: Utilizando uma Variável Contínua.

simples e ponderada. MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES

Gráfico em Coluna da freqüência simples para salários de 50

É utilizada quando a freqüência de cada variável é 1 e tem como

executivos da empresa Beta. fórmula:

x

 x ,onde n é o número de elementos de que se n

deseja obter a média. Exemplo: GRÁFICO EM BARRAS Neste caso, apenas fazemos a inversão dos dados, ou seja, no eixo “X” colocamos as freqüências (Fi ou FAC ou FAD) e no eixo “Y” as classes.

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Determinar a média aritmética simples dos valores: 2, 5, 7, 9, 13, 15, 19,22, 28, 32 e 35 A média aritmética simples será:

x

2 + 5 + 7 + 9 + 13 + 15 + 19 + 22 + 28 + 32 + 35 = 187 / 11 = 17 11

MATEMÁTICA I

MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA (MAP) 02. As notas de um candidato em suas provas de um concurso foram: 8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 8,7 e 7,2. A nota média, a nota mediana e a nota modal desse aluno, são respectivamente: a) 7,9; 7,8; 7,2 d) 7,2; 7,8; 7,9 b) 7,2; 7,8; 7,9 e) 7,8; 7,9; 7,2 c) 7,8; 7,8; 7,9

É utilizada quando a freqüência das variáveis é diferente de 1. Com processo normal: =

 xi  fi  fi

Exemplo: Seja a distribuição: Nota (Xi)

2,5

5,5

Alunos(Fi)

03. A tabela adiante apresenta o levantamento das quantidades de peças defeituosas para cada lote de 100 unidades fabricadas em uma linha de produção de autopeças, durante um período de 30 dias úteis. Considerando S a série numérica de distribuição de freqüências de peças defeituosas por lote de 100 unidades, julgue os itens abaixo.

Determinar a MAP. A MAP é: = (2,5  7)  (4  5)  (5,5  10)  (8  9)  (9  4)  (10  5) 250,5   6,26 (2.5. 40 40

MEDIANA Corresponde ao elemento central da série. É representada pela sigla Md ou x . A mediana para variáveis discretas será sempre o elemento central da série, quando a série for ímpar, ou será a média dos dois elementos centrais da série, quando ela for par. Exemplos: a) 6, 9, 12, 15, 21. Aqui temos Md = 12 (série ímpar) b) 5, 7, 10, 16, 25, 32. A Md será igual a Md = (10 + 16)/2 = 13 (série par) MODA Corresponde ao valor mais freqüente na distribuição, ou seja, aquele que aparece com maior freqüência na distribuição. É simbolizado pela sigla Mo. Atenção! A moda não é a freqüência, e sim o valor da variável x indicado por essa maior freqüência.

a) A moda da série S é 5. b) Durante o período de levantamento desses dados, o percentual de peças defeituosas ficou, em média, abaixo de 3,7%. c) Os dados obtidos nos 10 primeiros dias do levantamento geram uma série numérica de distribuição de freqüências com a mesma mediana da série S. 04. O histograma ao lado apresenta a distribuição de freqüência das faixas salariais numa pequena empresa. Com os dados disponíveis, pode-se concluir que a média desses salários é, aproximadamente:

Nas distribuições discretas, representa o valor da variável x associado à maior freqüência. QUESTÕES PROPOSTAS 01. Observe no gráfico a seguir uma representação para as notas de 50 alunos do primeiro semestre de Ciências Econômicas numa determinada prova.

a) b) c) d) e)

R$ 420,00 R$ 536,00 R$ 562,00 R$ 640,00 R$ 708,00

05. A tabela a seguir apresenta a distribuição de freqüências dos salários de um grupo de 50 empregados de uma empresa, num certo mês. Número da classe

A mediana das notas dos 50 alunos de Ciências Econômicas nesta prova é igual a a) 3.

d) 6.

b) 4.

e) 7

c) 5.

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Salário do mês em Número de reais empregados 1 1 000 → 2 000 20 2 2 000 → 3 000 18 3 3 000 → 4 000 9 4 4 000 → 5 000 3 O salário médio desses empregados, nesse mês, foi de: a) R$ 2 637,00 d) R$2.420,00 b) R$ 2 520,00 e) R$2.400,00 c) R$ 2 500,00

MATEMÁTICA I

AULA 05 : MEDIDAS DE DISPERSÃO DESVIO é a diferença entre um valor obtido ao se medir uma grandeza e um valor adotado que mais se aproxima do valor real. Na prática se trabalha na maioria das vezes com desvios e não erros.

Para entender o que é dispersão, vamos pegar as notas de quatro alunos em cinco provas diferentes. Alunos Antonio Daniela Vanessa Carlos

DESVIO MÉDIO  VALOR MÉDIO Quando um mesmo operador efetua uma série de medidas de uma grandeza, utilizando um mesmo instrumento, as medidas obtidas terão valores que poderão não coincidir na maioria das vezes, isso devido aos erros experimentais inerentes a qualquer processo de medida. A teoria demonstra que o valor que mais se aproxima do valor real da grandeza é a média aritmética dos valores ( a ), denominado valor médio. Suponha que um experimentador realize 10 vezes a medida do comprimento L de uma barra. Essas medidas foram realizadas com uma régua cuja menor divisão era 1 cm, de modo que os milímetros foram avaliados (é costume fazer estimativas com aproximações até décimos da menor divisão da escala do instrumento). Em qualquer das medidas efetuadas encontraram-se, como comprimento da barra, 5 cm completos mais uma fração avaliada da menor divisão, de modo que as flutuações, neste caso, residem nas diferentes avaliações da menor divisão. A tabela ao lado mostra os valores obtidos nas dez medidas realizadas.

Calculando-se a média aritmética das medidas efetuadas tem-se

X

5,7 + 5,8 + 5,5 + 5,6 + 5,5 + 5,7 + 5,8 + 5,7 + 5,9 + 5,8 57 = = 5,7 cm 10 10

que é o valor mais provável para o comprimento da barra. O valor médio é mais preciso e exato quanto maior for o número N de medidas. Define-se o desvio de uma medida do conjunto pela diferença entre o valor medido (Xn ) e o valor médio ( X ). Xn = (Xn 

O desvio de cada medida, no caso do exemplo, está indicado na tabela. Desse conjunto deve-se extrair a incerteza que afeta o valor adotado ( valor médio ). Considera-se, para esse fim, a média aritmética dos valores absolutos dos desvios denominada desvio médio

Dm =

 Xn = 0,0 + 0,1 + 0,2 + 0,1 + 0,2 + 0,0 + 0,1 + 0,0 + 0,2 + 0,1 = 1,0 = 0,1 cm N

Esse desvio significa que o erro que se comete ao adotar o valor médio ( x = 5,7 cm) é de 0,1 cm. Em outras palavras, o valor real deve estar entre 5,6 e 5,8 cm. Dessa maneira, o comprimento da barra pode ser expresso como: X = ( X  X ) ou seja X = (5,7 ± 0,1)cm As medidas de dispersão servem para verificar a representatividade das medidas de posição, pois é muito comum encontrarmos séries que, apesar de terem a mesma média, são compostas de maneira distinta.

Notas da provas 5–5–5–5–5 6–4–5–4–6 10 – 5 – 5 – 5 – 0 10 – 10 – 5 – 0 – 0

Média 5 5 5 5

Variação Nula Menor que Vanessa Maior dispersão

Todos os alunos obtiveram média igual a 5, mas a dispersão ou variabilidade das notas em torno da média não é a mesma. Existem vários parâmetros para medir dispersão em torno da Tabela 1.1 n

Xn (cm)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5,7 5,8 5,5 5,6 5,5 5,7 5,8 5,7 5,9 5,8

N = 10

Xn = 57 cm

Xn = (Xn 

X ) (cm)

0,0 + 0,1  0,2  0,1  0,2 0,0 + 0,1 0,0 + 0,2 + 0,1 n Xn = 1,0 cm

média, porém vamos concentrar nossos estudos em apenas dois deles: a variância e o desvio-padrão. VARIÂNCIA Para entendermos melhor o conceito de variância, vamos analisar a seguinte amostra de dados: 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. A média desses valores é 5,38. Observe que cada um desses valores tem uma distância ou um desvio em relação a essa média, que pode ser determinado pela fórmula di = xi – x . Esses desvios representam a dispersão de cada valor em relação à referida média. Pela fórmula observamos que os desvios podem ser negativos, quando têm valor menor que a média, e valor positivo, quando for maior que ela. Mas a média obedece a uma propriedade matemática em que  d i = 0 ou  x1  x  0 , o que acarreta um problema para determinarmos a média dos desvios. O problema pode ser solucionado considerando-se o cálculo dos desvios de cada valor em relação à média ao quadrado. Assim podemos finalmente definir o conceito de variância como sendo a média aritmética dos quadrados dos desvios. A variância 2 pode ser utilizada para amostra com o símbolo de S e para 2 população com σ , e tem as seguintes fórmulas de cálculo pelo processo normal: Para amostra:

S =

2  (xi  x)  Fi ou

 ( xi  Fi )2  2 s = 1   xi2  Fi   N N 

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

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2  (xi  x)  Fi ou

Para população: σ =

2 1   x2  F  ( xi  Fi )  onde N indica o    i i N  N 

tamanho da amostra. A variância mede a dispersão dos dados em torno da média, considerando os valores dos dados ao quadrado. DESVIO-PADRÃO Para termos a variabilidade ou dispersão dos dados na mesma unidade que os dados da amostra e não ao quadrado, utilizamos o conceito de desvio-padrão, que manterá os mesmos símbolos sem o quadrado, ou seja, S quando for amostra e σ quando se tratar de população. Suas fórmulas de cálculo são: Para amostra: S(x) = S(x)2 e para população: σ (x) =

(x)2

O desvio-padrão só pode assumir valores positivos. Quanto maior for o valor, maior será o grau de dispersão ou a variabilidade dos pontos em torno da média. Os dados amostrais dispostos numa curva normal correspondem ao seguinte entendimento em relação ao conceito de desviopadrão: em  1 desvio-padrão em relação à média aritmética, temos 68,26% dos dados da amostra; em  2 desvios-padrão em relação à média aritmética, temos 95,44% dos dados; e em  3 desvios-padrão, temos 99,78% dos dados amostrais. QUESTÕES PROPOSTAS

02. A tabela mostra que, no período de 65 anos, o número total de tratores no Brasil cresceu 382 vezes. Brasil: número de tratores por região, no período de 1920 a 1985 Região 1920 1960 1985 Incremento no período Norte 07 430 6.082 869 Nordeste 72 3.130 38.278 532 Sudeste 619 34.135 236.580 382 Sul 1.006 21.456 281.295 280 Centro-Oeste 02 2.194 89.814 44.907 Total 1.706 61.345 652.049 382 Fonte: Sinopse Preliminar do Censo Agropecuário 1985, IBGE. a) Calcule a média do número de tratores nos anos de 1920, 1960 e 1985. b) Calcule o desvio médio desses valores no ano de 1920 e 1985. 03. Participação da eletricidade de origem nuclear no total do consumo País Porcentagem de eletricidade de origem nuclear no total França 74,5 Bélgica 60,1 Coréia do Sul 49,1 Suécia 45,9 Suíça 42,6 Espanha 35,9 Alemanha 33,1 Fonte: World Almanac – 1992. Calcule a média, desvio médio, variância e desvio padrão desses valores. 04. A distribuição dos salários de uma empresa é dada na tabela abaixo. Salário (em R$) R$ 500,00 R$ 1.000,00 R$ 1.500,00 R$ 2.000,00 R$ 5.000,00 R$ 10.500,00 Total

01. O gráfico mostra as exportações de alguns países e grupos de países em 1992, em bilhões de dólares.

Número de funcionários 10 5 1 10 4 1 31

b) c)

Cite aqueles que tiveram participação acima de 600 bilhões de dólares no conjunto das exportações mundiais, naquele ano. Qual foi a média da exportação mundial em bilhões de dólares em 1992? Calcule o desvio médio desses valores.

Qual é a média e qual é a mediana dos salários dessa empresa? b) Suponha que sejam contratados dois novos funcionários com salários de R$ 2.000,00 cada. A variância da nova distribuição de salários ficará menor, igual ou maior que a anterior? 05. Dada a distribuição relativa a 100 lançamentos de 5 moedas simultaneamente: Nº de Caras

Calcule o desvio padrão. a) 2,5 b) 1,52 c) 1,31

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5 3

d) 3,11 e) 1,13

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CÁLCULO DO SENO, COSSENO E TANGENTE DE 30°, 45° E 60° AULA 06: RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO



Temos a seguinte tabela que lhe será muito útil na resolução de alguns problemas.

Os triângulos retângulos ABC e ADE são semelhantes, e em relação ao ângulo a, comum aos dois triângulos, observamos que a razão entre os catetos opostos e as respectivas hipotenusas é uma constante. A essa constante damos o nome de se no do ângulo . Seno de um ângulo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa. DE BC sen  =  AE AC Podemos verificar, em relação ao ângulo , que a razão entre os catetos adjacentes e as respectivas hipotenusas é também uma constante. A essa constante damos o nome de cosseno do ângulo . Cosseno de um ângulo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa. cos  =



AD AB  AE AC

Do mesmo modo, podemos verificar que a razão entre os catetos opostos ao ângulo  e os respectivos catetos adjacentes é também uma constante. A essa constante damos o nome de tangente do ângulo .

Ângulos

30°

45°

60°

Seno

1/2

2 /2

3 /2

Co-seno

3 /2

2 /2

1/2

Tangente

3 /3

Observação Dado um triângulo ABC de lados BC=a, AC=b e o ângulo C=α, podemos determinar uma fórmula para o cálculo de sua área em função de a, b e do ângulo α.

Resolução Traçamos a altura AH=h Temos sen α=h/b  h=b.sen α (I) Sabemos que a área de um triângulo é igual ao semiproduto da base pela altura, ou seja, A=1/2. (base.altura) = a.h/2 (II). Substituindo-se (I) em (II), temos A = 1/2 . a . b sen α Essa fórmula que acabamos de deduzir será muito útil na resolução de uma série de problemas sobre triângulos. QUESTÕES RESOLVIDAS

Tangente de um ângulo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida do cateto adjacente. O seno, o cosseno e a tangente denominam-se razões trigonométricas de um ângulo agudo, uma vez que são definidos como quocientes entre medidas de segmentos. Em relação ao triângulo retângulo a seguir, temos

01. O triângulo abaixo é isósceles. Sabendo-se que o segmento BD mede 5 cm, calcular a) a altura h; b) a área do triângulo ABC. Resolução

a) tg 30° = h/5 = 

3 /3 = h/5  h = 5 3 /3 cm

b) BC = a = 2(BD) = 2  (5) = 10 c) A = 1/2  (base  altura) = a  h/2 A = 10  (5 3 /3) / 2 = 50 3 / 6 = 25 3 / 3 cm

02. Calcular a área do triângulo abaixo, sabendo-se que os ângulos  e  somam 150°.

Observações importantes

Resolução  +  = 150°  C = 30° A = 1/2  a  b  sen C A = 1/2  (42)  (30)  sen 30° = 1/2  (42)  (30)  1/2 = 315 u.a.

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QUESTÕES PROPOSTAS

01. Considere os triângulos retângulos PQR e PQS da figura a seguir. Se RS = 100, quanto vale PQ? a) 100 3 b) 50 3 c) 50 d) 50 3 / 3 e) 25

02. Na figura a seguir, o se no do ângulo a é 2/3. Então o valor de xé a) 6 b) 8 c) 9 d) 7 e) 10 03. Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos A e B. O comandante, quando o navio está no ponto A, observa um farol num ponto C e calcula o ângulo   ACB = 30°. Sabendo-se que o ângulo ABC é reto e que a distância entre os pontos A e B é de 6 milhas, de quantas milhas é a distância entre o farol e o ponto B? a) 6 3 milhas

b) 18 3 milhas

d) 3 3 milhas

e) 5 3 milhas

05. A seguir está representado um esquema de uma sala de cinema, com o piso horizontal. De quanto deve ser a medida de AT para que um espectador sentado a 15 metros da tela, com os olhos 1,2 metro acima do piso, veja o ponto mais alto da tela, que é T, a 30° da horizontal? Dados: sen 30° = 0,5 sen 60° = 0,866 cos 60° = 0,5 cos 30° = 0,866

2 = 1,41

3 b) 8,66 m e) 4,58 m

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08. Em uma rua plana, uma torre AT é vista por dois observadores X e Y sob ângulos de 30° e 60° com a horizontal, como mostra a figura a seguir Se a distância entre os observadores é de 40m qual é, aproximadamente, a altura da torre? Se necessário. Utilize 2 = 1,4 e a) 30 m b) 32 m c) 34 m d) 36 m e) 38 m

3 = 1,7.

09. Uma pessoa encontra-se num ponto A, localizado na base de um prédio, conforme mostra a figura abaixo.

Se ela caminhar 90 metros em linha reta, chegará a um ponto B, de onde poderá ver o topo C do prédio, sob um ângulo de 60°. Quantos metros ela deverá se afastar do ponto A, andando em linha reta no sentido de A para B, para que possa enxergar o topo do prédio sob um ângulo de 30°? a) 150 b) 180 c) 270 d) 300 e)310

3 = 1,73 tg 30° = 0,577

a) 15,0 m d) 9,86 m

07. Um disco voador é avistado, numa região plana, a uma certa altitude, parado no ar. Em certo instante, algo se desprende da nave e cai em queda livre, conforme mostra a figura. A que altitude se encontra esse disco voador? Considere as afirmativas: I- a distância d é conhecida; II- a medida do ângulo a e a tg do mesmo ângulo são conhecidas. Então, tem-se que a) a I sozinha é suficiente para responder a pergunta, mas a II, sozinha, não. b) a II sozinha é suficiente para responder a pergunta, mas a I, sozinha, não. c) a I e II, juntas, são suficientes para responder a pergunta, mas nenhuma delas, sozinha, não é. d) ambas são, sozinhas, suficientes para responder a pergunta. e) a pergunta não pode ser respondida, por falta de dados.

c) 2 3 milhas

04. O ângulo de elevação do pé de uma árvore ao topo de uma encosta é de 60°, Sabendo-se que a árvore está distante 100 m da base da encosta, que medida deve ter um cabo de aço para ligar a base da árvore ao topo da encosta? a) 100 m b) 50 m c) 300 m d) 200 m e) 400 m

tg 60° =

06. Uma escada rolante de 10m de comprimento liga dois andares de uma loja e tem inclinação de 30°. A altura h entre um andar e outro, em metros, é tal que a) 3 < h < 5 b) 4 < h < 6 c) 5 < h < 7 d) 6 < h < 8 e) 7 < h < 9

c) 12,36 m

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AULA 07: LEI DOS SENOS

QUESTÕES RESOLVIDAS

Em todo triângulo, as medidas dos seus lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos.

1. Determinar o perímetro de um triângulo obtusângulo cujos lados são números naturais consecutivos. Resolução Façamos a = x, b = x + 1 e c = x + 2 Como estamos considerando c o maior lado, temos 2

c > a + b (Triângulo obtusângulo) 2

(x + 2) > x + (x + 1)  x – 2x – 3 < 0  –1 < x < 3 Importante Se um triângulo ABC qualquer está inscrito num círculo de raio R, então:

Como x é natural, temos as seguintes possibilidades: x = 0 ou x = 1 ou x = 2 Se x = 0, teremos a = 0, b = 1 e c = 2  x = 0 não convém ao problema, pois não existe triângulo com um lado de medida nula. Se x = 1, teremos a = 1 , b = 2 e c = 3  x = 1 também não convém ao problema, pois só existe triângulo se a medida de cada lado for menor que a soma das medidas dos outros dois e, neste caso, 3 < 1 + 2 é falso.

Lei dos cossenos

Se x = 2, teremos a = 2, b = 3 e c = 4 Em todo triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo por eles formado. Considerando-se o ângulo A (A < 90°), temos 2

2p = 2 + 3 + 4 = 9 u.c. Observação: 2p = perímetro

a = b + c – 2  b  c  cos A 2

Como o problema está pedindo o perímetro, temos:

Podemos, a título de curiosidade, observar:

 Só existe um triângulo obtusângulo cujos lados são expressos por números naturais consecutivos (2, 3, 4).

 Só existe um triângulo retângulo cujos lados são expressos por números naturais consecutivos (3, 4, 5).

 Existem infinitos triângulos acutângulos cujos lados são expressos por números naturais consecutivos (4, 5, 6), (5, 6, 7), (6, 7, 8),......... Do mesmo modo, temos que b = a + c – 2  a  c  cos B 2

c = a + b – 2  a  c  cos C 2

Observações Lembrando que num triângulo qualquer ao maior lado se opõe o maior ângulo e considerando um triângulo ABC em que o 2 2 ângulo A é o maior, podemos, através da lei dos cossenos (a = b 2 + c – 2  b  c  cos A), obter as condições para que, conhecendo as medidas de seus lados, determinemos se um triângulo é acutângulo, retângulo ou obtusângulo.

3. Calcular o valor de x no triângulo abaixo.

 0° < A < 90°  cos A > 0  2

2. Os lados de um triângulo são 3, 4 e 6. O cosseno do maior ângulo interno desse triângulo vale a) 11/24 b) –11/24 c) 3/8 d) –3/8 e) –3/10 Resolução Pela lei dos cossenos, temos 2 2 2 6 = 3 + 4 – 2  3  4  cosC  cosC = – 11/24 Resposta: letra b

a < b + c  O triângulo é acutângulo.

 A = 90°  cos A = 0  2

a = b + c  O triângulo é retângulo em A.

 90° < A < 180°  cos A < 0  2

Resolução Pela lei dos senos, temos

a > b + c  O triângulo é obtusângulo.

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QUESTÕES PROPOSTAS 01.

Os vértices de um triângulo ABC, no plano cartesiano,

são: A = (1, 0), B = (0, 1) e C = (0, mede a) 60° b) 45° d) 18 ° e) 15°

09.Deseja-se medir a distância entre duas cidades B e C sobre um mapa, sem escala. Sabe-se que AB = 80 km e AC = 120 km, e que A é uma cidade conhecida, como mostra a figura abaixo,

3 ). Então o ângulo BÂC

c) 30°

02. No triângulo ABC, os lados AC e BC medem 8 cm e 6 cm, respectivamente, e o ângulo A vale 30°. O seno do ângulo B vale a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4 d) 4/5 e) 5/6 03. Um triângulo T tem lados iguais a 4, 5 e 6. O cosseno do maior ângulo de T é a) 5/6 b) 4/5 c) 3/4 d) 2/3 e) 1/8 04. Um navegador devia viajar durante duas horas, no rumo nordeste, para chegar a certa ilha. Enganou-se, e navegou duas horas no rumo norte. Tomando, a partir daí, o rumo correto, em quanto tempo, aproximadamente, chegará à ilha? a) 30 min d) 2 h b) 1 h e) 2h 15min c) 1 h 30 min

Logo a distância entre B e C, em km, é a) menor que 90. b) maior que 90 e menor que 100. c) maior que 100 e menor que 110. d) maior que 110 e menor que 120. e) maior que 120. 10.Para o triângulo retângulo BAC, a relação CORRETA é  a) sen B = b/a  b) cos B = b/a  c) tg B = c/b  d) tg C = b/c  e) sen C = b/a

05. Se em um triângulo ABC o lado AB mede 3 cm, o lado BC mede 4 cm e o ângulo interno formado entre os lados AB e BC mede 60°, então o lado AC mede a)

37 cm

d) 3 3 cm 06.

13 cm

c) 2 3 cm

e) 2 2 cm

Os lados de um triângulo medem 2 3 ,

Determine o ângulo oposto ao lado que mede

6 e3+

07. Os lados de um triângulo são 3, 4 e 6. O cosseno do maior ângulo interno desse triângulo vale a) 11/24 b) –11/24 c) 3/8 d) –3/8 e) –3/10 08. Um holofote está situado no ponto A, a 30 metros de altura, no alto de uma torre perpendicular ao plano do chão. Ele ilumina, em movimento de vaivém, uma parte desse chão, do ponto C ao ponto D, alinhados à base S, conforme demonstra a figura abaixo.

Se o ponto B dista 20 metros de C e 150 metros de D, a medida do ângulo CÂD corresponde a a) 60° b) 45° c) 30° d) 15°

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AULA 08:ARCOS E ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA

CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA

A figura a seguir mostra uma circunferência de centro O. Os pontos A e B, pertencentes à circunferência, dividem na em dois arcos: o menor é o azul; o maior, o vermelho. As semirretas OA e OB são lados de dois ângulos centrais da circunferência. Cada um deles intercepta um dos arcos considerados. O ângulo convexo intercepta o arco menor; o ângulo côncavo, o arco maior.

Consideremos, associada a um sistema de coordena das cartesianas xOy, uma circunferência de raio unitário (r = 1) e cujo centro é a origem do sistema. Ela corta os eixos coordenados nos pontos A, B, A' e B', conforme figura a seguir. Nela definimos

Quando os pontos A e B coincidem, o maior arco determinado é a própria circunferência, também chamada arco completo ou arco de uma volta. O ângulo central correspondente é o ângulo completo. No caso, a outra parte é o arco nulo, e corresponde ao ângulo nulo.

 o ponto A como origem de todos os arcos;  o sentido anti-horário como positivo e o sentido horário como negativo. A essa circunferência damos o nome de ciclo trigonométrico ou circunferência trigonométrica O sistema cartesiano divide a circunferência trigonométrica em quatro quadrantes, numerados como mostra a figura anterior. A todo número real a, vamos associar um ponto da circunferência trigonométrica. Ao número real  = 0, associamos a origem A dos arcos. A um número real  0, associamos um ponto P, obtido da seguinte forma:  partimos de A, origem dos arcos;  efetuamos, na circunferência, um percurso de medida  , seguindo o sentido anti-horário, se  > 0, e o sentido horário, se  < 0;  o final do percurso é o ponto P, associado a .

As duas figuras a seguir mostram dois casos particulares importantes:

 o ângulo raso, ao qual está associada uma semicircunferência ou um arco de meia-volta;

 o ângulo reto, ao qual está associado um quadrante.

MEDIDAS DE ARCOS E ÂNGULOS Existe uma correspondência um a um entre arcos e ângulos centrais de uma circunferência. Por isso, eles são medidos pelas mesmas unidades. São elas o grau (símbolo: º) e o radiano (símbolo: rad). O arco de 1 ° corresponde a 1/360 do arco completo. Portanto o arco (ângulo) completo mede 360° Um arco mede 1 rad quando tem o mesmo comprimento do raio da circunferência.

Podem-se efetuar, no ciclo, tantas voltas quantas forem necessárias. Observe ainda que, sendo o raio unitário, o número  corresponde à medida do arco em radianos. Uma boa referência para facilitar a localização de números reais no ciclo é observar os casos dos números da primeira volta positiva e da primeira volta negativa, associados aos pontos A, B, A' e B'. Veja na figura a seguir. Em cada caso, aparecem a medida em radianos e o correspondente em graus.

ARCO TRIGONOMÉTRICO A cada ponto da circunferência trigonométrica correspondem infinitos números reais. Suponhamos   IR tal que 0   < 2. A ele está associado um ponto P do ciclo trigonométrico, obtido na primeira volta positiva, conforme figura.

Como o perímetro da circunferência de raio r mede 2, podemos concluir que o arco (ângulo) completo mede 2 rad TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES A conversão de uma medida de ângulo ou arco de uma unidade para a outra é feita mediante a correspondência relativa ao arco completo ou, por questões práticas, ao arco de meia-volta. 360º  2 rad ou 180º   rad

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Como 2 representa uma volta completa no ciclo, ao ponto P estão associados infinitos números reais, obtidos adicionando-se, a , um número inteiro de voltas. Assim, os infinitos números

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estão todos associados ao ponto P do ciclo. Dizemos, por isso, que eles são números côngruos ou congruentes. O conjunto de todos esses números é, por definição, o arco trigonométrico de extremidade P. Cada um daqueles números é uma determinação desse arco trigonométrico, sendo , da 1ª volta, sua determinação principal ou 1ª determinação positiva. Se k é uma variável no conjunto dos inteiros (k  Z), a expressão geral do arco trigonométrico de extremidade P é dada pela variável x definida por x = 2k +  ou x = 360º  +  ( em radianos) (a em graus)

QUESTÕES PROPOSTAS 01. Transforme para a unidade radianos ou para a unidade graus as medidas seguintes. 0 a) 210 b) 108° 4 c) rad 5 11 d) rad 6 02. Calcule o raio de uma circunferência em que um ângulo central de 72° intercepta um arco de 30 cm.

Fazendo k = 0, 1, 2, 3, ..., obtemos cada uma das infinitas determinações do arco trigonométrico.

03. Numa circunferência de 20 cm de raio, um arco mede

2 5

rad. Calcule a medida desse arco, em centímetros. QUESTÕES RESOLVIDAS 01. Uma das determinações de um arco trigonométrico é 1650°. Obter a 1ª determinação positiva do arco e sua expressão geral. Resolução: Vamos dividir 1 650° por 360°, que representa uma volta completa. 1 650º 360º 210º 4 Portanto 1 650° = 4  360° + 210° = 4 voltas + 210° Como 210° é da 1ª volta positiva, ele é a 1ª determinação positiva do arco. Sua expressão geral é, portanto, x = 360°  k + 210° 43 . 6 Encontrar sua determinação principal e identificar o quadrante da extremidade do arco. Resolução:

04. Numa circunferência de 18 m de raio, um arco mede 30 m. Calcule, em graus e radianos, a medida desse arco.

05. Encontre a 1ª determinação positiva (ou determinação principal) de cada um dos arcos trigonométricos, dada uma de suas determinações. 59 0 a) 2210 d) 7 31 0 b) –560 e) – 6 06. O Valor da expressão é um número se é positiva ou negativa a expressão abaixo. Justifique sua resposta.

02. Uma das determinações de um arco trigonométrico é

Vamos decompor o número dado em duas parcelas: uma delas correspondente a um número completo de voltas (2, 4, 6, etc.) e a outra contida na 1ª volta.

07. Marque a alternativa CORRETA. Se sen x < 0 e tg x > 0, x é um arco do 0 a) 1 quadrante. 0 b) 2 quadrante. 0 c) 3 quadrante. 0 d) 4 quadrante. 08.

7 (equivalente a 210°) é da 1ª volta positiva, ele é a 6 determinação principal do arco trigonométrico, cuja extremidade é, portanto, do 3º quadrante (ponto P da figura a seguir).

Como

O perímetro de um setor circular de raio R e ângulo central medindo a radianos é igual ao perímetro de um quadrado de lado R. Então  é igual a  a) b) 2 c) 1 3 2  d) e) 3 2

09.

Se o ponteiro dos minutos de um relógio mede 12 centímetros, o número que melhor aproxima a distância em centímetros percorrida por sua extremidade em 20 minutos é (considere  = 3,14) a) 37,7 cm b) 25,1 cm c) 20 cm d) 12 cm e) 3,14 cm 10. Se o ponteiro menor de um relógio percorre um arco  rad, o ponteiro maior percorre 12    a) rad b) rad c) rad 6 3 4  d) rad e)  rad 2

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MATEMÁTICA I