a>0 AULA 09: FUNÇÃO POLINOMIAL Função polinomial com uma variável ou simplesmente função polinomial é aquela cuja fórmula matemática é expressa por um polinômio. Grau de uma função polinomial Costuma-se falar em grau de uma função polinomial, conforme o grau do polinômio dado em sua fórmula matemática. O grau do polinômio corresponde ao maior expoente da variável considerada. Assim: y = 2x - 1; y = x/3 - 1; y = 8 - x são funções polinomiais do 1º grau; y = x2 - 3x; y = 1 - 8x2; Y = 3 + 2x - 5 são funções polinomiais do 2º grau;
F(x) é crescente a<0
Função constante Uma função polinomial cuja lei é do tipo f(x) = k, em que k E R, é chamada de função constante, pois para qualquer valor real atribuído à variável x sua imagem será sempre a mesma: k. f(x) é decrescente Zero de uma função polinomial do 1º grau Zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a 0, é o valor de x que anula a função, isto é, torna f(x) = 0.
Observe que o gráfico da função constante f(x) = k é uma reta paralela ao eixo das abscissas cortando o eixo das ordenadas no ponto (0, k). Estudo da função polinomial do 1º grau Denomina-se função polinomial do 1º grau toda função que pode ser reduzida à forma f(x) = ax + b, com a e b sendo números reais e a 0 (caso a = 0, tem-se f(x) = b, que representa a função constante). Os números representados por a e b são chamados coeficientes, enquanto x é a variável independente. Assim, são funções polinomiais do 1º grau: f(x) = 2x - 1 coeficientes: a = 2 e b = -1 f(x) = -3x + 4 coeficientes: a = -3 e b = 4 f(x) = 8x coeficientes: a = 8 e b = 0
Geometricamente, o zero da função polinomial do 1º grau é a abscissa do ponto em que a reta corta o eixo x.
Estudo do sinal da função polinomial do 1º grau
Em geral, o domínio da função polinomial do 1º grau é R, mas quando a função está vinculada a uma situação real, é preciso verificar o que representa a variável independente (x) para determinar o seu domínio.
Estudar o sinal de uma função y = f(x) significa determinar para que valores x do domínio da função a imagem f(x) será positiva, negativa ou nula. Em outras palavras, estudar o sinal de uma função f significa determinar para que valores de x temos f(x) > 0, f(x) < 0 ou f(x) = 0. f(x) = ax + b, a 0
Função linear
Zero da função: ax + b = O x =- b/a
Seja a função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b. No caso de b = 0, temos f(x) = ax e ela recebe o nome especial de função linear. Uma característica da função linear é que, quando atribuímos para x o número zero, sua imagem f(0) também será 0, pois se x = 0 então f(0) = a . 0 = 0. Usamos ainda um nome especial para a função linear f(x) = ax, em que a = 1. Essa função, dada por f(x) = x (ou y = x), chama-se função identidade.
a>0
Gráfico de uma função polinomial do 1º grau
a<0
O gráfico da função polinomial do 1º grau y = ax + b, com a 0, é uma reta que intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0, h). Podemos estabelecer as seguintes relações entre o sinal do coeficiente a e o crescimento e decrescimento dessa função: a > 0 f(x) = ax + b é crescente a < 0 f(x) = ax + b é decrescente
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115
MATEMÁTICA I
QUESTÕES PROPOSTAS
06 Sejam as funções x->y= x² + x -2 e
1)O gráfico da função f(x) = ax + b intercepta o eixo dos x no ponto de abscissa 4 e passa pelo ponto (1, –3), então a função f(x) é: a) f(x) = x – 3 d) f(x) = 3x – 6 b) f(x) = –2x – 1 c) f(x) = x – 4 e) f(x) = 2x – 5
f:IR -> IR g: IR -> IR x->y=x-1
O gráfico que melhor representa a função h: IR -> IR x y = f(x)/g(x) é:
2)Em uma certa cidade, os taxímetros marcam, nos percursos sem parada, uma quantia inicial de 4 UT (Unidade Taximétrica) e mais 0,2 UT por quilômetro rodado. Se, ao final de um percurso sem paradas, o taxímetro registrava 8,2 UT, o total de quilômetros percorridos foi: a) 15,5 b) 21 c) 25,5 d) 27 e) 32,5 3)O gráfico da função f(x) = mx + n passa pelos pontos A(1, –2) e B(4, 2). Podemos então afirmar que: a) m + n = – 2 b) m – n = –2
d) n =
3 4
e) m n = –1
3 c) m = 4 4)O gráfico abaixo mostra a relação entre o valor da conta de água e o volume de água consumida, em determinada residência.
07. Em uma experiência realizada com camundongos, foi observado que o tempo requerido para um camundongo percorrer um labirinto, na enésima tentativa, era dado pela função f(n) = (3 + 12/n) minutos. Com relação a essa experiência, pode-se afirmar que um camundongo: a) consegue percorrer o labirinto em menos de 3 minutos; b) gasta 5 minutos e 40 segundo para percorrer o labirinto na quinta tentativa; c) gasta 8 minutos para percorrer o labirinto na terceira tentativa; d) percorre o labirinto em 4 minutos na décima tentativa; e) percorre o labirinto, numa das tentativas, em 3 minutos e 30 segundos. 08. Ás vésperas das eleições, verificou-se que todos os 2 mil eleitores pesquisados tinham pelo menos 2 nomes em quem, com certeza, iriam votar. Nos 4 gráficos abaixo, o número de candidatos que cada eleitor já escolheu está indicado no eixo horizontal e cada „‟carinha‟‟ representa 100 eleitores.
Qual será o valor da conta quando o consumo for 24m3? a) R$ 46,00 d) R$ 49,00 b) R$ 47,00 e) R$ 50,00 c) R$ 48,00 O gráfico que está de acordo com os números da pesquisa é o de número: a) I b)II c)III d)IV e) I e II
5)O gráfico que representa a inversa da função f(x) = :
09. O gráfico dado é de y = ax + b, para: a) a = 0 b) 0 < a < 2 c) a < 0 d) a > 0 e) a = 3
10. O gráfico esboçado, da função y = ax + b, representa o custo unitário de produção de uma peça em função da quantidade mensal produzida. Para que esse custo unitário seja R$6,00, a produção mensal deve ser igual a: a) 930 b) 920 c) 940 d) 960 e) 980
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MATEMÁTICA I
Nesse caso o denominador não pode ser nulo, pois não existe divisão por zero na Matemática.
AULA 10 : INEQUAÇÕES DO 1º GRAU
x–1≠0
Resolvendo inequações e sistemas do 1º grau
x≠1
Denomina-se inequação do 1º grau na variável x toda desigualdade que pode ser reduzida a uma das formas: ax + b 0, ax + b > 0, ax + b 0 ou ax + b < 0 a 0)
Portanto, D(f) = {x Є R / x ≠ 1} = R – {1}.
(com a, b R e Exemplo 2
Em algumas situações, teremos de obter os valores de x que satisfazem duas ou mais inequações. Duas ou mais inequações consideradas simultaneamente formam o que denominamos sistema de inequações.
Inequação-produto Consideremos as seguintes desigualdades que apresentam um produto de polinômios do 1º grau:
Nos números reais, o radicando de uma raiz de índice não pode ser negativo. 4x – 6 ≥ 0 4x ≥ 6 x ≥ 6/4 x ≥ 3/2 Portanto, D(f) = {x Є R / x ≥ 3/2} Exemplo 3
O radicando de uma raiz de índice ímpar pode ser um número negativo, nulo ou positivo, isto é, 3x – 9 pode assumir qualquer valor real. Portanto, D(f) = R.
Desigualdades dessa forma são denominadas inequações-produto. Inequação-quociente Observe que as seguintes inequações apresentam um quociente de polinômios do 1º grau:
Exemplo 4
Nesse caso temos restrições tanto no numerador quanto no denominador. As restrições podem ser calculadas da seguinte maneira: I) 2 – x ≥ 0 → – x ≥ – 2 → x ≤ 2 II) x + 1 > 0 → x > – 1 Tais inequações são denominadas inequações-quociente. Para resolver uma inequação-produto ou uma inequação-quociente como as exemplificadas, fazemos o estudo dos sinais das funções polinomiais do 1º grau envolvidas. A seguir, determinamos o sinal do produto ou quociente dessas funções, lembrando as regras de sinais do produto e do quociente de números reais.
Executando a intersecção entre I e II, obtemos:
Restrições do Domínio de uma Função Portanto, D(f) = {x Є R / –1 < x ≤ 2} → ] –1, 2]. As funções devem ser caracterizadas de acordo com algumas condições de existência: Dois conjuntos: um denominado domínio e outro contradomínio.
É importante estar atento a determinadas situações envolvendo funções, o conhecimento e a habilidade em lidar com tais condições é consequência de muito estudo e dedicação por parte dos estudantes.
Uma expressão y = f(x) associando os valores de x e y, formando pares ordenados pertencentes aos conjuntos domínio e contradomínio. Através de alguns exemplos demonstraremos como determinar o domínio de uma função, isto é, descobrir quais os números que a função não pode assumir para que a sua condição de existência não seja afetada. Exemplo 1
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MATEMÁTICA I
QUESTÕES PROPOSTAS
08. O domínio de f(x) =
01. O número de soluções inteiras da inequação 4 é:
-3
a) [ 1, + ∞ ] b) (–∞, –1] c) (0, 1] d) (–1, 1 ] e) [ –1, 1 ]
+2
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 0 (x + 3) (x – 2)
02. O conjunto-solução da inequação ≤ 0 é:
1 x contém: 1 x
09.
No
universo
IR
o
conjunto
solução
da
inequação
é:
a) {x R x ≥ 3} b) {x R 2 ≤ x ≤ 3} c) {x R x ≤ 2 ou x ≤ 3} d) {x R -3 ≤ x ≤ 2} e) {x R -2 ≤ x ≤ 3} 03. O conjunto-solução da inequação
é:
a)
{x
IR / x > 2 }
b) c) d) e)
{x {x {x {x
IR / x > -1 e x 2} IR / -1 < x < 2 } IR / x < - 2 ou x > 2 } IR / x > -1 }
a) b) c)
10. O conjunto solução da inequação
em R é:
d) e) 04. Assinale a alternativa que indica o domínio da função real : a) b) c) d) e)
a) b) c) d) e)
[ -3, 5/2 ) ( -3, 5/2 ) [-3 , 5/2 ] ] -ºº , -3 ] ] -ºº, -3 ]
[ 5/2. ºº[
ANOTAÇÕES
05. Os valores de x que satisfazem a inequação x 1 < 1 são tais
x 1
que: a) x < –1 d) x > 0
c) x > –1
b) x < 0 e) x > 1
06. O conjunto solução da inequação x 1 3 é:
x 1
a) { x IR / 5 < x 7 } b) { x IR / x 0 } c) { x IR / –1 < x 2 } d) { x IR / –4 x < –1 } e) { x IR / –2 x < –1 }
07. O conjunto de todos os valores de x, para os quais
x 1 é x2
um numero real, e: a) {x IR / –1 < x < 2} b) {x IR / –1 x < 2} c) {x IR / x < –1 ou x > 2} d) {x IR / x –1 ou x > 2} e) {x IR / x 2}
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MATEMÁTICA I
<0 AULA 11 :Estudo da função polinomial do 2º grau A função f: R R dada por f(x) = ax2 + bx + c, com a, b e c reais e a 0 , denomina-se função polinomial do 2º grau ou função quadrática. Os números representados por a, b e c são os coeficientes da função. Note que, se a = O, temos uma função do 1º grau ou uma função constante.
1ª A concavidade de uma parábola que representa uma função quadrática f(x) = ax2 + bx + c do 2º grau depende do sinal do coeficiente a: a > 0: concavidade para cima
Assim, são funções polinomiais do 2º grau: f(x) = x2 - 3x + 4 coeficientes: a = 1, b = -3 e c = 4 f(x) = 8x2 - 1 coeficientes: a = 8, b = O e c = -1 3
a < 0: concavidade para baixo
f(x) = - X2 + 3/2x coeficientes: a = -1, b = 3/2 e c = 0
Em geral, o domínio da função quadrática é R ou um de seus subconjuntos. No entanto, quando essa função está ligada a uma situação real, é preciso verificar o que representa a variável independente x para determinar o seu domínio.
2ª As coordenadas do vértice V são: V (-b/2a, - /4a), em que xv = - b/2a e yv = - /4a
Zeros ou raízes
3ª Se a > 0, temos:
Os zeros ou raízes de uma função f(x) são os valores do domínio para os quais f(x) = 0.
Assim, os zeros ou raízes da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c são as raízes da equação do 2º grau ax2 + bx + c = O. Se > O, a função possui dois zeros reais distintos. Se = O, a função possui um zero real duplo. Se < O, a função não possui zeros reais.
a>0
4ª Se a < 0, temos:
Gráfico o gráfico da função polinomial do 22 grau é uma curva aberta chamada parábola. Podemos ter os seguintes casos:
o conjunto imagem é IM (f) = {y R |y - /4a} yv = - /4a é denominado valor mínimo da função f(x) é crescente para {x R |x - b/2a} f(x) é decrescente para {x R |x - b/2a}
o conjunto imagem é IM (f) = {y R |y - /4a} yv = - /4ª é denominado valor máximo da função f(x) é crescente para {x R |x - b/2a} f(x) é decrescente para {x R |x - b/2a}
5ª Geometricamente, os zeros ou raízes de uma função polinomial do 2º grau são as abscissas dos pontos em que a parábola intercepta o eixo x.
a<0 Se a função possui uma raiz dupla, o seu gráfico corta o eixo x num único ponto que, evidentemente, será o vértice. x = xv = - b/2a Se a função não possui zeros reais, a parábola não corta o eixo x. No entanto, mesmo nesse caso, continuam valendo as fórmulas que determinam o vértice da parábola.
>0
Estudo do sinal da função quadrática a>0
a<0 Você já sabe que estudar o sinal de uma função y = f(x) significa determinar os valores reais de x que tornam a função: positiva f(x) > 0 negativa f(x) < 0 nula f(x) = 0
=0 a>0
No estudo da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c (a, b, c E R e a 0), devemos considerar três casos, relacionandoos com os zeros da função.
a<0
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MATEMÁTICA I
1ª caso: > 0 Neste caso, a função admite dois zeros reais diferentes: x‟ e x” (com x‟ < x”) e o esboço do gráfico é o seguinte: a>0
QUESTÕES PROPOSTAS 01. Um valor de para que uma das raízes da equação x2 – 4kx + 6k = 0 seja o triplo da outra é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 02. Os valores de , para que a equação x2 – 3xm + m2 + 2x – 9m + 1 = 0 tenha raízes reais e iguais, são: a) m1 = 24; m2 = -5 d) m1 = m2 = 24/5 b) m1 = 0; m2 = 24 c) m1 = 5; m2 = 0 e) m1 = 0; m2 = -24/5 03. As dimensões de um retângulo são numericamente iguais às coordenadas do vértice da parábola de equação y = –128 x2 + 32x + 6. A área do retângulo é: a) 1 b) 8 c) 64 d) 128 e) 256
a<0
04. Dada a função f(x) = kx2 – 8x + 3, o valor de raiz da função é: a) -5 b) 5 c) -11 d) -2
2ª caso: = 0 Neste caso, a função admite um zero real duplo: esboço do gráfico é o seguinte: a>0
x‟ = x” e o
para que -1 seja e) -2
05. Sabe-se que -2 e 3 são raízes de uma função quadrática. Se o ponto (-1, 8) pertence ao gráfico da função, então: a) o seu valor máximo é 1,25 b) o seu valor mínimo é 1,25 c) o seu valor mínimo é 12,5 d) o seu valor máximo é 12,5 e) o seu valor mínimo é 0,25 06. A trajetória de um projétil foi representada no plano cartesiano por y = -x2/64 + x/16, com uma unidade representado um quilômetro. A altura máxima que o projétil atingiu foi: a) 40 m b) 64 m c) 16,5 m d) 32 m e) 62,5 m 07. A função f(x) = 3/2x – x(1 – x)/4 é crescente, para todo pertencente a: a) (-25/16, ) d) (-, 5/4) b) (-25/4, ) e) R c) (-5/2, )
a<0
3ª caso: < 0 Neste caso, a função não admite zero real e o esboço do gráfico é o seguinte: a>0
09. As coordenadas do vértice da função y = x2 – 2x + 1 são: a) (-1, 4) b) (1, 2) c) (-1, 1) d) (0, 1) e) (1, 0) 10. O lucro de uma empresa é dado por L(x) = 100(10 – x) (x - 2), onde é a quantidade vendida. Podemos afirmar que: a) o lucro é positivo qualquer que seja . b) o lucro é positivo para maior do que 10. c) o lucro é positivo para entre 2 e 10. d) o lucro é máximo para para igual a 10. e) o lucro é máximo para
a<0
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08. Dada a função f(x) = ax2 + bx +c, com a< 0 e c > 0, podemos concluir que o gráfico desta função: a) intercepta o eixo do em um único ponto. b) é tangente ao eixo horizontal. c) não intercepta o eixo do . d) é secante ao eixo horizontal e o intercepta em dois pontos de abscissas, ambas positivas. e) corta o eixo horizontal em dois pontos de abscissas positivas e negativas
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MATEMÁTICA I
Sinal: AULA 12 : Inequações do 2º grau Denomina-se inequação do 2º grau na variável x toda desigualdade que pode ser reduzida a uma das formas: ax2 + bx + c 0, ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c 0 ou ax2 + bx + c < 0, com a, b, c R e a 0. Como devemos ter –x2 + 3x + 10 ≤ 0 Exemplos:
(destacados
graficamente pela “minhoca”), então:
Inequação-produto e inequação-quociente Vamos estudar as chamadas inequações-produto e inequaçõesquociente, em que aparecem uma ou mais funções quadráticas. Para resolver inequações desse tipo, procedemos da seguinte maneira: 1ª Fazemos o estudo dos sinais de cada função separadamente. 2ª Colocamos os resultados em um quadro de sinais. 3ª Analisamos o sinal do produto ou do quociente das funções, levando em conta as regras dos sinais da multiplicação e divisão de números reais. Exemplos: Resolva as seguintes inequações: a)
( x2 + 2x + 7)(x2 – 7x +6) ≤ 0
b)
– x2 + 3x + 10 ≤ 0
Solução: b) –x2 + 3x + 10 ≤ 0 Raízes:
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MATEMÁTICA I
07. QUESTÕES PROPOSTAS 01. A FUNÇÃO
=
o
conjunto
solução
da
inequação
08. A solução da inequação (x – 3) (–x2 + 3x + 10) < 0 é: a) –2 < x < 3 ou x > 5 b) 3 < x < 5 ou x < –2 c) –2 < x < 5 d) x > 6 e) x < 3
2
x 4x 3 é real para: x2 d) 1 x 2 ou x 3 e) x 1 ou x 3
03. O domínio da função dada por f(x) =
IR,
a) x < 2 b) x –9 c) –9 x < 2 d) x –9 ou x > 2 e) x –9 e x 2
c) apresenta gráfico que não intercepta o eixo dos d) é sempre crescente e) assume todos os valores reais
a) nenhum x b) x 1 ou x 3 c) 2 x 3
universo
x 7x 18 0 é: x2
-
a) é sempre positiva b) nunca assume o valor -
02. A expressão
No 2
4 x 2 é o conjunto de todos os números reais x para 2x
os quais existe f(x) IR, ou seja: a) [ –2; 2] b) (–2; 2] c) [ –2; 2 ) d) (–2; 2) e) ( 2; + ∞)
09. A solução da inequação (x2 – 4) (5x2 + x + 4) 0 é: a) x 0 b) qualquer número real. c) –2 x 2 d) x –2 ou x 2 e) 1 x 2 10. Seja função f(x) = x2 – 3x, determine x real para o qual f(x-1) ≤ 0. a) x IR / 1 x 4 b) x IR / –1 < x < 4 c) x IR / x 1 ou x 4 d) x IR / 1 x < 4 e) x IR / x < 1 ou x 4
04. A solução da inequação (x2 – 4) (5x2 + x + 4) 0 é: a) x 0 b) qualquer número real. c) –2 x 2 d) x –2 ou x 2 e) 1 x 2
ANOTAÇÕES
05. O domínio de definição da função f(x) =
x 2 2x 3 com
valores reais é um dos conjuntos abaixo. Assinale-o. a) x IR / –1 x 3 b) x IR / –1 < x < 3 c) x IR / x –1 ou x 3 d) x IR / –3 x 1 e) x IR / x –3 ou x 1
06. O domínio da função f(x) =
x 2 7x 12 é: x 1
a) 1 < x 3 ou x 4 b) 1 < x < 3 ou x < 4 c) –1 < x 3 ou x 4 d) x < 1 ou x 4 e) –1 x 3 ou x > 4
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MATEMÁTICA I
Analisando os dois gráficos apresentados, podemos tirar as seguintes conclusões:
AULA 13 :FUNÇÃO EXPONENCIAL Sendo a uma constante real positiva e diferente de um, chama-se função exponencial de base a, a função real definida por
O expoente x pode assumir qualquer valor em IR. Domínio é IR. Sendo a x > 0 para x real, o conjunto imagem é IR* .
y = f(x) = a (a > 0 e a 1) x
A função y = 2x (a > 1) é crescente em todo o seu domínio. Assim, 2x aumenta quando x também aumenta.
Exemplos y = 7 x+2 y = (0,5)x y = 3–x = (1/3)x
base 7 base 0,5 base 1/3
A função y = (1/2)x (0 < a < 1) é decrescente em todo o seu domínio. Assim, (1/2)x diminui quando x aumenta.
Gráfico O gráfico de uma função exponencial é uma curva chamada curva exponencial.
O gráfico da função exponencial não toca o eixo x. Os gráficos de todas as funções exponenciais passam por um mesmo ponto (0, 1).
a) base maior que um (a > 1)
ANOTAÇÕES
x = –2
y = (1/2)–2 = 4
x = –1
y = (1/2)–1 = 2
x=0
y = (1/2)0 = 1
x=1
y = (1/2)1 = 1/2
x=2
y = (1/2)2 = 1/4
b) base compreendida entre zero e um (0 < a < 1)
x = –2
y = (1/2)–2 = 4
x = –1
y = (1/2)–1 = 2
x=0
y = (1/2)0 = 1
x=1
y = (1/2)1 = 1/2
x=2
y = (1/2)2 = 1/4
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MATEMÁTICA I
QUESTÕES PROPOSTAS 01. O gerente de produção de uma indústria construiu a tabela abaixo, relacionando a produção dos operários com sua experiência. Experiência (meses) Produção (unidades por hora)
0 200
de trabalho, após t meses do início das atividades na empresa. Sendo V(t) = A - B.3-kt, com A, B e k constantes obtidas experimentalmente, pede-se: a) determinar as constantes A, B e k, sabendo que o gráfico da função V é
6 350
Acredita o gerente que a produção Q se relaciona à experiência t, através da função Q(t) = 500 - A.e- k t, sendo e = 2,72 e k um número real, positivo. a) Considerando que as projeções do gerente de produção dessa indústria estejam corretas, quantos meses de experiência serão necessários para que os operários possam produzir 425 unidades por hora? b) Desse modo, qual será a máxima produção possível dos operários dessa empresa? 02. O número de bactérias em uma certa cultura dobra a cada hora. A partir da amostra inicial, são necessárias 24 horas para que o número de bactérias atinja uma certa quantidade Q. Calcule quantas horas são necessárias para que a quantidade de bactérias nessa cultura atinja a metade de Q. 03. Se a área do triângulo retângulo ABC, indicado na figura, é igual a 3n, conclui-se que f (n) é igual a
b) admitindo-se que um novo programa de treinamento básico introduzido na empresa modifique a função V para V(t) = 55 - 24.3-t, determinar t para V(t) = 50. Adote nos cálculos log2 = 0,3 e log3 = 0,5. 07. A função L(x) = aebx fornece o nível de iluminação, em luxes, de um objeto situado a x metros de uma lâmpada. a) Calcule os valores numéricos das constantes a e b, sabendo que um objeto a 1 metro de distância da lâmpada recebe 60 luxes e que um objeto a 2 metros de distância recebe 30 luxes. b) Considerando que um objeto recebe 15 luxes, calcule a distância entre a lâmpada e esse objeto. 08. Sob certas condições, o número de
bactérias B de uma
cultura, em função do tempo t, medido em horas, é dado por B(t) = 1
2 12 . Isso significa que 5 dias após a hora zero, o número de bactérias é: a) 1024
b) 1120
c) 512
d) 20
e)
3
2
09. Se f é uma função de IR em IR, definida por
a) 2.
x
b) 2
1 , é verdade que: 5
2
f(x) =
c) 3. d) 3
2
e) 4. 04. Um computador desvaloriza-se exponencialmente em função do tempo, de modo que seu valor y, daqui a x anos, será y = A.k x, em que A e k são constantes positivas. Se hoje o computador vale R$ 5000,00 e valerá a metade desse valor daqui a 2 anos, seu valor daqui a 6 anos será: a) R$ 625,00 b) R$ 550,00 c) R$ 575,00 d) R$ 600,00 e) R$ 650,00 05. Em alguns textos Matemáticos datados de cerca de 2000 a.C. encontramos um que tinha a seguinte perguntava “por quanto tempo deve-se aplicar uma determinada quantia de dinheiro a juros compostos de 20% ao ano para que ela dobre?”. Nos dias de hoje, qual equação seria utilizada para resolver tal problema? a) (1,2)t = 2
a) é crescente b) contém o ponto (–2, 5) c) contém o ponto (0, 1) d) tem a concavidade voltada para baixo e) intercepta o eixo das abscissas, para x = 1 10. Curva de aprendizagem é um conceito criado por psicólogos que constataram a relação existente entre a eficiência de um indivíduo e a quantidade de treinamento ou experiência possuída por esse indivíduo. Um exemplo de Curva de aprendizagem é dado pela expressão Q = 700 – 400 e–0,5t, em que: Q = quantidade de peças produzidas mensalmente por um funcionário T = meses de experiência ; e 2,718 a) De acordo com essa expressão, quantas peças um funcionário com dois meses de experiência deverá produzir mensalmente? b) E um funcionário, sem qualquer experiência, quantas peças deverá produzir mensalmente? Compare este resultado com o resultado do item a. Há coerência entre eles?
b) 2t = 1,2 c) (1,2)t = 2 d) 2t = 1,2 e) t2 = 1,2 06. Uma empresa estima que após completar o programa de treinamento básico, um novo vendedor, sem experiência anterior em vendas, será capaz de vender V(t) reais em mercadorias por hora
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AULA 14 : EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
ANOTAÇÕES
Equação exponencial é toda equação em que a incógnita x aparece no expoente. Exemplos a) 3x–2 = 81 b) 25–2x+4 = 125x c) 6x–2 = 1/36 O processo de resolução de uma equação exponencial baseia-se, de forma geral, em comparar duas potências de mesma base: ap = aq p = q (a > 0 e a 1)
Assim, obtendo-se nos dois membros da equação potências de mesma base, basta igualar os expoentes.
INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS O processo para resolver uma inequação exponencial passa pela análise gráfica da função exponencial f(x) = ax. Para tanto, vamos considerar os dois gráficos a seguir:
Assim sendo, o processo geral para resolução de uma inequação exponencial consiste em escrever os dois membros como potências de mesma base e, depois, comparar os expoentes.
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MATEMÁTICA I
QUESTÕES PROPOSTAS
09. A solução da inequação
01. Os valores de x que satisfazem à equação (43 – x)2 - x = 1 são dados por: a) -3 e -2 b) -1 e-6 c) 1 e 6 d) -1 e 6 e) nenhuma das respostas anteriores.
a) x ≤ 0 b) -5 ≤ x ≤ 0 c) x ≤ 0 d) x ≥ -5 ou x ≥ 0 e) nenhuma das alternativas
02. Seja m o menor número real que é solução da equação 5x2-2 : 25 = (1/125)-x. Então, m é um número: a) par b) primo c) não real d) irracional e) divisível por 3 03. A raiz da equação (7x - 210)(7x + 210) = 9 é um número: a) irracional negativo b) irracional positivo c) par d) inteiro negativo e) inteiro positivo 04. Se x1 e x2 são as raízes da equação 0,001. (103-x)2, então x12 + x22 é: a) 5 b) 10 c) 13 d) 34 e) 40
2x2 · 5x2 =
a) {x R -2 < x < 2} b) { x R x < -2 ou x > 2} c) { x R x < 0 ou x > 2} d) { x R 0 < x < 2} e) { x R x < -2 ou x > 0} 11. O conjunto solução da inequação 22x+2 - 0,75· 2x+2 < 1 é: a) { x R x > 0} b) c) { x R 1/4 < x < I} d) { x R x < 0} e) nenhuma das anteriores 12. Se x é um número real tal que 2-x .4x < 8x+1, então: a) -2 < x < 2 b) x = 1 c) x = 0 d) x < 3/2 e) x > -3/
05. A solução da equação 0,52x = 0, 251-x é um número x, tal que: a) 0 < X < 1 b) 1 < x <2 c) 2 < x < 3 d) x > 3 e) x < 0
13. Considere f: IR IR*
06. Uma das soluções da equação 22x – 6 · 2x + 5 = 0 é zero. A outra solução é um número compreendido entre: a) 0 e 1 b) 1 e 2 c) 2 e 3 d) 3 e 4 e) 4 e 5 07. Resolvendo a equação 4x + 4 = 5 · 2x, obtemos: a) x1 = 0 e x2 = 1 b) x1 = 1 e x2 = 4 c) x1 = 0 e x2 = 2 d) x1 = -1 e x2 = -2 e) x1 = -4 e x2 = -5
uma função cujo gráfico está
representado na figura abaixo. Então a função que MELHOR representa esse gráfico é a) y = log2 x b) y = (1/2)X c) y = –x d) y = 2x
14. A função real de variável real dada por f(x) = a 10bx é tal que f(0) = 20 e f(1) = 2 000. Os valores de a e b, bem como o de f(1/2), valem, respectivamente, a) 2; 2; 2 b) 2; 20; 20 c) 20; 20; 200 d) 20; 2; 200
08. Todas as raízes reais da equação x-1 - 4x-1/2 + 3 = 0 são:
15. Suponha que daqui a t anos, o valor de um certo carro seja dado por v(t) = v0 (0,9)1 , onde v0 é o valor atual do carro. A porcentagem de desvalorização deste carro em um ano (relativo ao ano anterior) é a) 0,1% b) 1% c) 10% d) 90%
a) x1 = 1 e x2 = 1 b) x1 = 1/3 e x2 = 1/3 c) x1 = 3 e x2 = 3 d) não tem raízes reais e) nenhuma das respostas anteriores
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10. O conjunto solução da desigualdade
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Mudança de base:
AULA 15 :LOGARITMOS Definição Denomina-se logaritmo do número b na base a o expoente x ao que se deve elevar a para se obter b.
log a b
log c b log c a
Consequências:
log a b x a b, a, b, R,0 a 1 e b 0 x
a) b)
lobab log c a log c b lobab 1 / log b a
Em loga b = x, temos: a é a base do logaritmo; b é o logaritmando; x é o logaritmo.
Comparação de logaritmos (inequações logarítmicas)
Exemplos
1º caso: a>1
Atenção: compare estes logaritmos com as tabelas constantes da introdução deste capítulo. a) log232 = 5 pois 25 = 32 b) log3 6561 = 8 pois 32 = 6561
log a x2 log a x1 x2 x1 (o sentido da desigualdade se conserva) 2º caso: 0 <a<1
log a x2 log a x1 x2 x1
Conseqüências da definição
(o sentido da desigualdade se inverte)
1.
log a 1 0 pois a 0 1
2.
log a a 1 pois a1 a
3.
log a a n n pois a n a n
4.
a loga b, pois a x b x log a b
ANOTAÇÕES
b
y
5.
log a x log a y a logx x y x
(Aplicamos
sucessivamente, a definição e a propriedade 3) Propriedades operatórias dos logaritmos 1.
log a x. y log a x log a y
2.
log a b n n. log a b
3.
log a x / y log a x log a y
Aplicação da propriedade
log a x. y log a x log a y
Calcular o produto 64 x 512, aplicando logaritmos. Resolução:
log a 64.512 log a 64 log a 512 6 9 15 64 x512 215 32768 Analise este exercício, comparando-o com a introdução: Facilitando cálculos trabalhosos. Cologaritmo: Denomina-se cologaritmo de um número o oposto do logaritmo desse número, na mesma base.
log a 1 / b log a b co log a b
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09. O número de soluções reais distintas da equação 2x - 4 = log2(x+4) é: a) zero b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
QUESTÕES PROPOSTAS 01. Resolver a equação log2(logx 16) = 3: a) 2 b) 1/2 c) 2 d) -22
10. A solução da equação log(x + 1) + log(x - 2) = 1 é: a) -3 b) -4 c) 3 d) 4 e) 5
02. Se logp 4/5 = -1, então o valor de p é: a) 3 b) 9/ 4 c) 2 d) 7/4 e) 5/4 03. Pode-se afirmar que o valor de log 18 é igual a: a) log20 -log2 b) 3 log 6 c) log3 + log6 d) log 36/ 2 e) (log 3) (log 6)
ANOTAÇÕES
04. Um professor propôs aos seus alunos o seguinte exercício: "Dada a função x y = log2 64x3 f: R*+ R determine a imagem de x = 1024" Qual não foi sua surpresa quando, em menos de um minuto, um aluno respondeu corretamente que a imagem era: a) 30 b) 32 c) 33 d) 35 e) 36 05. Se logx representa o logaritmo decimal do número positivo x, a soma das raízes de log2 x - log x2 = 0 é: a) -1 b) 1 c) 20 d) 100 e) 101 06. Se a equação x2 + 8x + 2log(a) = 0 possui duas raízes reais e iguais, então a é igual a: a) 10 b) 102 c) 104 d) 106 e) 108 07. Calcule x sabendo que log2 x2 + log2 x3 = 6. a) x = 2 b) x = 3 c) x = 4 d) x =-2 e) x = 1
08. Determine o valor de x que satisfaz a equação log10(x - 6) = 1 + log10(x - 4). a) 5 b) 4 c) 1 d) 6 e) 10
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log2 x +
log10(X + 5)+
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AULA 16 : FUNÇÃO LOGARÍTMICA Definição Dado um número real a, tal que função logarítmica de base a a função
0 a 1, denominamos f : R* R que associa
log a x .
a cada x o número
f x log
Indica-se:
Exemplo Construir o gráfico da função a)
2
X 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8
x a
Observação A função logarítmica é a função inversa da função exponencial.
y log x1
Y 3 2 1 0 -1 -2 -3
Observe:
y a 2 x log ay
y log
ou,
permutando
as
variáveis,
y log ax
x a
+
Domínio = R Contra domínio = R
Gráfico da função logarítmica
0 a 1 f.
1º caso A base a é maior que 1 (a > 1)
decrescente
Exemplo Construir o gráfico da função a) X 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8
y log ax Y -3 -2 -1 0 1 2 3
y log ax +
Domínio = R Contra domínio = R
a 1
f. crescente
2º caso A base a é maior que 0 e menor que 1 (a > 1)
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QUESTÕES PROPOSTAS
06. Se a e b são soluções do sistema: então ab vale: a) 16,9 b) 22,5 c) 62,5 d) 19,6 e) 20,1
01. A figura representa o gráfico da função f definida por f(x) = logx.
07. Se log3 a = x, então log9 a2 é igual a: a) 2x2 b) x2 c) x + 2 d) 2x e) x A medida do seguimento PQ é igual a: a) 6 b) 5 c) log2 5 d) 2 e) log 2
08. Se Ioga 2 = m e Ioga 3 = n, então log1/a (2/3) vale: a) 1 b) 0 c) m - n d) n - m e) m - n
02. Meia-vida ou período de semidesintegração de um isótopo radioativo é o tempo necessário para que sua massa se reduza à metade.
09. A solução da inequação log10(x2 - 2x + 1) < 2 é: a) -11 < x < 9 b) -9 < x < 11 c) -9 < x < 1 ou 1 < x < 11 d) 1 ≤ x < 11 e) O < x < 1 ou x > 1
A meia-vida de um isótopo radioativo pode ser calculada utilizandose equações do tipo A = C· ekt, em que: C é massa inicial; A é uma massa existente em t anos; k é uma constante associada ao isótopo radioativo. .
10. O conjunto solução da inequação a) R b) {x R x < 8} c) {x R x < 3} d) {x R x > 8} e) {x R x > 8} ANOTAÇÕES
Em um laboratório, existem 60 mg de 226 Ra, cujo período de semidesintegração é de 1600 anos. Daqui a 100 anos restará, da quantidade original desse isótopo, o correspondente, em mg, a: a) 40,2 b) 42,6 c) 50,2 d) 57,6
03. O conjunto solução para a equação 1/2 Ioga (x + 2) + 1/2 Ioga x = Ioga 3, sendo 0 < a - 1 é: a) {-1 + 10} b) {-9, 1} c) {-1, 9} d) {-I, - 10} e) {1, 9} 04. Se log 7x + 3 + log 4x + 5 = 1/2 + log 3, então: a) x = 0 b) x = log3 c) x = 1/2 d) x = 1 e) x = - 1 05. A raiz real da equação x + log(l + 2x) = x log5 + log6 pertence ao intervalo: a) [-3, -2] b) [-1, 0] c) [1, 2] d) [3, 4] e) [5, 6]
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