AULA_MATEMÁTICAII_MÓDULO4

AULA 01: GEOMETRIA ANALÍTICA I 

(I) ESTUDO DO PONTO



SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL É um sistema formado por duas retas x e y, perpendiculares entre si no ponto 0 (origem) e que determinam um plano chamado PLANO CARTESIANO.



OBSERVAÇÃO: Como (a – b)² = (b – a)², a ordem em que aparecem as diferenças não altera a distância.



PONTO MÉDIO O ponto médio do segmento de extremos A(x1, y1) e B(x2 , y2) é dado por:

y abscissas negativas

 x  x 2 y1  y 2   M 1 , 2 2  

ordenadas. positivas x abscissas positivas

Veja que o ponto médio M é encontrado fazendo as médias aritméticas das abscissas e das ordenadas de A e B.

ordenadas negativas  



BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO O baricentro de um triângulo de vértices A(x1, y1), B(x2 , y2) e C(x3, y3) é dado por:

reta x: eixo das abscissas reta y: eixo das ordenadas

 x  x 2  x 3 y1  y 2  y 3   G 1 , 3 3  

Os eixos x e y dividem o plano em regiões chamadas de quadrantes (IQ, IIQ, IIIQ e IVQ) Todo ponto P do plano cartesiano é representado por um único par ordenado (a, b) tal que a é a abscissa de P e b é a ordenada de P. O par (a, b) é chamado de coordenadas do ponto P. Note que se a  b, então (a, b)  (b, a), e se (a, b) = (c, d), então a = c e b = d. 

Veja que o baricentro G de um triângulo de vértices A, B e C é encontrado fazendo as médias aritméticas das abscissas e ordenadas de A, B, e C. 

PROPRIEDADES

ÁREA DE UM TRIÂNGULO A área de um triângulo de vértices A(x1, y1), B(x2, y2) e y3) é dada por:

C(x3,

y bp

bi A

2º Q

1º Q

1 .|D | 2

x 3º Q

4º Q

1) 2) 3) 4)

P(a, b)  1º Q  a > 0 e b > 0 P(a, b)  2º Q  a < 0 e b > 0 P(a, b)  3º Q  a < 0 e b < 0 P(a, b)  4º Q  a > 0 e b < 0

5)

P(a, b)  OX  b = 0

6) 7) 8)

P(a, b)  OY  a = 0 P(a, b)  bi  a = b (bi bissetriz dos quadrantes ímpares) P(a, b)  bp  a = –b (bp bissetriz dos quadrantes pares)

9)

O ponto simétrico de P(a, b) em relação ao eixo OX é A(a, –b)

onde

x1 D  x2 x3

y1 1 y2 1  y3 1

x1

y1

x2

y2

x3

y3

x1

y1



OBSERVAÇÃO A ordem das linhas do determinante não tem importância, pois alteraria apenas o sinal de D, e D é dado em módulo.



CONSEQÜÊNCIA



CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS Três pontos A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3) são COLINEARES se D = 0.

10) O ponto simétrico de P(a, b) em relação ao eixo OY é B(–a, b) 11) O ponto simétrico de P(a, b) em relação a origem é C(–a, –b) 

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS A distância entre dois pontos A(x1, y1) e B(x2 , y2) é dada por

dA,B 

ou

x2  x12  y2  y12

dA,B 

x2  y2

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133

MATEMÁTICA II

EXERCÍCIOS DE CASA EXERCÍCIOS DE SALA 01. (UFPI) A medida do perímetro do triângulo cujos vértices são os pontos A = (1, 1), B = (1, 3) e C = (2, 3) é: a)

3+ 5

b)

3+2 5

c)

3+3 5

d)

3+4 5

e)

3+5 5

01. (FUVEST-SP) Se (m + 2n, m – 4) e (2 – m, 2n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então mn é igual a: a) –2 b) 0 c) 2 d) 1 e) 1/2

02. (UF Ouro Preto-MG) O ponto A(–a, b), com a  0 e b  0, pertence ao quarto quadrante. Sejam os pontos B(a, –b) e C(– a, –b). Então, necessariamente: a) a reta BC passa pelo segundo e pelo primeiro quadrantes b) a reta AB passa pelo quarto e pelo terceiro quadrantes c) a reta AC passa pelo quarto e pelo segundo quadrantes d) a reta BA passa pelo terceiro e pelo primeiro quadrantes 03. (PUC-RJ) Os pontos (0, 8), (3, 1) e (1, y) do plano são colineares. O valor de y é igual a: a) 5 b) 6 c) 17/3 d) 11/2 e) 5,3

02. (VUNESP-SP) O triângulo PQR, no plano cartesiano, de vértices P = (0, 0), Q = (6, 0) e R = (3, 5), é: a) equilátero b) isósceles, mas não equilátero c) escaleno d) retângulo e) obtusângulo   03. (UFRS) Em um sistema de coordenadas polares, P =  3,  e  6 Q = (12, 0) são dois vértices adjacentes de um quadrado. O valor numérico da área desse quadrado é: a) 81 b) 135 c) 153

d) 153 – 36 2 e) 153 – 36 3  1 1 04. (UFPE) Os pontos P1 = (1, t); P2 =  ,  e P3 = (0, –2) são 2 2 colineares se t for igual a: a) 1/2 d) 3 b) 2 e) 3/2 c) 5/2

05. (FEI-SP) Os pontos X, Y e Z possuem as seguintes coordenadas no plano cartesiano (0, 0), (m, 8), (n, n + 3). Se Z é o ponto médio do segmento XY , então: a) m = 2 b) m = 1 c) n = 3 d) m = 5 e) n = 2 06. (FEI-SP) O simétrico do ponto A = (1, 3) em relação ao ponto P = (3, 1) é: a) B = (5, –1) b) B = (1, –1) c) B = (–1, 3) d) B = (2, 2) e) B = (4, 0) 07. (PUC Campinas-SP) Sabe-se que os pontos A = (0, 0), B = (1, 4) e C = (3, 6) são vértices consecutivos do paralelogramo ABCD. Nessas condições, o comprimento de BD é: a)

2

d)

b)

3

e) 5

5

c) 2 2 08. Do triângulo ABC são dados: o vértice A(2, 4), o ponto M(1, 2) médio do lado AB e o ponto N(–1, 1) médio do lado BC. Calcule o perímetro do triângulo ABC. 09. O baricentro de um triângulo é G(5, 1) e dois de seus vértices são A(9, –3) e B(1, 2). Determine o terceiro vértice.  k 10. Os pontos (2, –3), (4, 3) e  5,  estão numa mesma reta.  2 Determine o valor de k.

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MATEMÁTICA II

AULA 02: GEOMETRIA ANALÍTICA II(ESTUDO DA RETA)

A equação fundamental da reta que passa pelo ponto P(x0, y0) e tem coeficiente angular m é dada por:



(II) ESTUDO DA RETA



INCLINAÇÃO () DA RETA E COEFICIENTE ANGULAR (m) A inclinação de uma reta é o ângulo  (0 ≤  < ) que ela forma

y – y0 = m(x – x0)

com o eixo OX no sentido anti-horário. A tangente do ângulo  é chamado de COEFICIENTE ANGULAR ou DECLIVIDADE DA RETA. y

A equação y – y0 = m(x – x0) representa também o feixe de retas que passam pelo ponto (x0, y0) II.

m = tg

EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA A equação reduzida da reta é dada por: y (0 , n)

 0

x

y = mx + n

 0





OBSERVAÇÕES: I. Se  = 0, temos que m = 0 II. Se  = 90º, não existe m III. Se 0º <  < 90º (agudo), temos que m > 0 IV. Se 90º <  < 180º (obtuso), temos que m < 0



m  coeficiente angular (m = tg ) n  coeficiente linear   OY   

COEFICIENTE ANGULAR DADOS DOIS PONTOS O coeficiente angular (m) de uma reta que passa pelos pontos A(x1, y1) e B(x2, y2), com x1  x2, é dado por:

m=

y 2  y1 x 2  x1

ou

m=

Veja que a equação reduzida da reta fornece duas informações importantes: o coeficiente angular e a intersecção com o eixo OY (coeficiente linear)

y x



OBSERVAÇÃO:

Escrevendo a equação geral da reta + by + c = 0 na forma reduzida, verificamos o coeficiente angular é dado por

TIPOS DE EQUAÇÕES DE UMA RETA I.

m

EQUAÇÃO GERAL DA RETA

É toda equação polinomial de 1º grau do tipo ax + by + c = 0, onde a, b e c  IR, sendo a e b não simultaneamente nulos É importante observar que dados dois pontos distintos A(x1, y1) e B(x2, y2) podemos encontrar a equação geral da reta que passa por esses dois pontos fazendo x y x1 y1  0 , onde (x, y) é um ponto genérico da reta. x2 y2 x y 

CASOS PARTICULARES

I) II) III) y

Se b = 0, a reta é paralela ao eixo OY Se a  0 e b  0, a reta intersecta os dois eixos y r y r

x

(a = 0) 



III.

0

x

(b = 0)

0

x

(a  0 e b  0)

INTERSECÇÃO DE DUAS RETAS Duas retas do plano cartesiano só podem ser paralelas ou concorrentes. Se forem concorrentes elas se intersectam em um ponto chamado de ponto de intersecção. Este ponto é encontrado quando resolvemos o sistema formado pelas equações das retas.

a b

x y  1 p q

p

x

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DAS RETAS As equações paramétricas da reta são dadas em função de parâmetro real t. x  f ( t )  y  f ( t ) 

0

ax que

EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DA RETA A equação segmentária da reta é dada por y q

IV.

Se a = 0, a reta é paralela ao eixo OX

r 0

x

OBSERVAÇÃO: A partir das equações paramétricas, encontramos a equação geral, bastando para isso, eliminar o parâmetro t nas duas equações.

É importante observar que para encontrar o coeficiente angular de uma reta existem três casos: I) Conhecendo-se a sua inclinação II) Conhecendo-se dois pontos III) Conhecendo-se sua equação É importante, também, observar que para encontrar a equação de uma reta existem, basicamente, dois casos: I) Conhecendo-se dois pontos II) Conhecendo-se um ponto e o coeficiente angular

EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA RETA

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MATEMÁTICA II

EXERCÍCIOS DE SALA

EXERCÍCIOS DE CASA

01. Dado os pontos A(1, 2), B(2, –2) e C(4, 3), obtenha a equação da reta que passa por A e pelo ponto médio do segmento BC.

01. Determine a equação das retas suportes dos lados do triângulo cujos vértices são A(0, 0), B(1, 3) e C(4, 0)

02. (PUC-RJ) O ponto de intersecção entre a reta que passa por (4, 4) e (2, 5) e a reta que passa por (2, 7) e (4, 3) é: a) (3, 5) b) (4, 4) c) (3, 4) 7  d)  , 4  2 

5 3 02. Determine a equação da reta definida pelos pontos A ,  e 3 4

 10 13  e)  ,   3 3 

03. (CEFET-MG) A distância entre os pontos A = (m, 5) e = (7, n) pertencentes à reta 4y – 3x = 11 é igual a : a) 5 b) 7 c) 11 d) 25 e)

5  3 B  ,   .

4  4

03. Dados A(–5, –5), B(1, 5), C(19, 0) e (r) 5x – 3y = 0, verifique se r passa pelo baricentro do triângulo ABC. 04. Determine a intersecção das retas x – 5y = 14 e 3x + 2y = –9.

B

05. Calcule o perímetro do triângulo cujos vértices são as intersecções das retas x + y = 6, x = 1 e y = 1.

06. (PUC-RJ) A reta x + y = 1 no plano xy passa pelos pontos:  1 1 a) (5, –4) e  ,  2 2

5

b) c) d) e)

 1 1 (0, 0) e  ,  2 2 (0, 0) e (1, 1) (1, 0) e (1, 1) (5, –4) e (4, –5)

07. (FATEC-SP) No plano cartesiano xOy, as equações x – 1 = 0 e y – 2 = 0 representam: a) duas retas, uma vertical e outra horizontal, que se intersectam no ponto (1, 2) b) duas retas, uma vertical e outra horizontal, que se intersectam no ponto (2, 1) c) uma reta que intersecta os eixos cartesianos nos pontos (1, 0) e (0, 2) d) dois pontos: (1, 0) e (0, 2), respectivamente e) dois pontos: (0, 1) e (2, 0), respectivamente.

08. (UFAM) As retas x – 2y + 6 = 0 e 2x – y + 3 = 0 intersectam-se: a) sobre o eixo das abscissas  3  b) no ponto   , 0   2  c) na origem dos eixos coordenados d) sobre o eixo das ordenadas e) no ponto (2, –4) 09. (PUC-RJ) As retas dadas pelas equações x + 3y = 3 e 2x + y = 1 intersectam-se: a) em nenhum ponto b) num ponto da reta x = 0 c) num ponto da reta y = 0 d) no ponto (3, 0) 1  e) no ponto  , 0  2  10. (PUC-SP) As equações das retas suportes dos lados de um triângulo são: x + 3y – 3 = 0, x – 3y – 3 = 0 e x = –1. Esse triângulo é: a) escaleno b) equilátero c) isósceles e não retângulo d) retângulo e não isósceles e) retângulo e isósceles

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MATEMÁTICA II

AULA 03: GEOMETRIA ANALÍTICA III (RETAS) 

RETAS Num plano, duas retas r e s são paralelas ou concorrentes. Um caso particular de muita importância de retas concorrentes é o PERPENDICULARISMO. I.

RETAS PARALELAS y

r



s

y

s



0

x

0

x  mr e  ms

mr = ms

II. y

r

RETAS PERPENDICULARES y r

s

s r

0

x

0

 ms e

mr . ms = –1

x mr = 0

5 D C 4 3 B 2 A 1 0 3 6

4 x

1 5

2

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MATEMÁTICA II

EXERCÍCIOS DE SALA

EXERCÍCIOS DE CASA

01. A reta y = mx – 5 é paralela à reta 2y = –3x + 1. Determine m.

02. Qual é a equação da reta que passa pelo ponto A(1, 1) e é paralela à reta y = –2x + 1?

03. Determine a equação da reta perpendicular à reta y = x e que passa pela intersecção das retas 2x – 3y – 1 = 0 e 3x – y – 2 = 0.

01. Qual é o valor de r para que a reta de equação x – 5y + 20 = 0 seja paralela à reta determinada pelos pontos M(r, s) e N(2, 1)?

02. Determine a equação da reta paralela à reta determinada pelos pontos de coordenadas (2, 3) e (1, –4) passando pela origem.

03. Determine a equação da reta que passa por P(–3, 7) e é  1 1 2 4 paralela à reta definida por A ,  e B  ,  .  3 7 3 7 04. Qual é o coeficiente angular da mediatriz do segmento que une os pontos (–2, –1) e (8, 3)?

05. Dê a equação da mediatriz do segmento que une os pontos A(0, 0) e B(2, 3).

06. Determine a equação da reta s que contém P(2, 1) e é perpendicular à reta 5x – 4y + 7 = 0 07. Seja r a reta que passa pelos pontos (0, 1) e (1, 0). Dê a equação da reta s que passa pelo ponto (1, 2) e é perpendicular à reta r.

08. (Unip-SP) Se as retas y + x/2 + 4 = 0 e my + 2x + 12 = 0 são paralelas, então o coeficiente m vale: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 09. (CEFET-MG) Um triângulo tem vértices nos pontos de coordenadas (0, 0), (12, 18) e (0, 26). O ponto de intersecção de suas mediatrizes tem abscissa igual a: a) –1 b) 0 c) 2 d) 4 e) 5 10.

(UFAL) As retas de equações y + 3x – 1 = 0 e y + 3x + 9 = 0 são: a) coincidentes b) paralelas entre si c) perpendiculares entre si d) concorrentes no ponto (1, –9) e) concorrentes no ponto (3, 0)

11. (UNIP-SP) A reta r é perpendicular à reta de equação 2x + y – 1 = 0 no ponto de abscissa –1. A equação da reta r é: a) x – 2y + 7 = 0 b) 2x + y – 7 = 0 c) –x + 2y + 7 = 0 d) 2x + y + 7 = 0 e) x + 2y – 1 = 0 12. (FGV-SP) A reta perpendicular à reta 2x – y = 5, e passando pelo ponto P(1, 2), intersecta o eixo das abscissas no ponto: 9  a)  , 0  2  b) (5, 0)  11  c)  , 0   2  d) (6, 0)  13  e)  , 0   2 

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MATEMÁTICA II

AULA O4: GEOMETRIA ANALÍTICA IV (ÂNGULO ENTRE RETAS E DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA 

ÂNGULO ENTRE RETAS Denomina-se ângulo  entre duas retas r e s ao menor ângulo formado por essas retas.

I. r e s não verticais y r s

II.

P não pertence à reta r y

y

II. r ou s vertical y s r

r

P

r P



0

x

0

x

 0

x

0

mr  ms tg   1  mr . ms

x

1 tg   mr

yo > axo + b

yo < axo + b

(P acima de r)

(P abaixo de r)

É imediato os casos em que a reta r é paralela ao eixo OX ou ao eixo OY . Vejamos: y

III. r e s vertical y

r

s

y

b

r(y = b)

0

x

y

b

r(y = b)

b

r(y = b)

  0º

0

0

dp,r

y > yo

(P pertence a r) y

DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA

dp , r 

r(x = a)

P

P 0

(P abaixo de r) y

r(x = a

x

0

P x

0

x

ax o  by o  c

x = xo

a2  b2

x < xo

(P pertence a r) 0

x > xo

(P à esq. de r)

(P à dir. de r)

x 

DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS A distância entre duas retas paralelas (r) ax + by + c 1 = 0 e (s) ax + by + c2 = 0 é dada por: y r s 

dr , s 

dr,s 

0



x y < yo

(P acima de r) y

r(x = a)

A distância de um ponto P(xo, yo) a uma reta (r) ax + by + c = 0 é definida como a menor distância de P a r e é dada por: y r



0

x y = yo



x

c1  c 2 a2  b2

REGRA PRÁTICA Considere r uma reta de um plano , A e B dois pontos distintos não pertencentes a r e 1 e 2 dois semi-planos definidos por r. Para sabermos em que semi-plano estão A e B faremos o seguinte:  se f(A) e f(B) possuírem o mesmo sinal, ou seja, f(A).f(B) > 0, A e B estarão no mesmo semi-plano.  se f(A) e f(B) possuírem sinais opostos, ou seja, f(A).f(B) < 0, A e B estarão em semi-planos opostos.

x

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO E RETA Existem três possíveis posições entre um ponto P(xo , yo) e uma reta (r) y = ax + b I. P pertence à reta r y r P yo = axo + b

0

x

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EXERCÍCIOS DE SALA

139

MATEMÁTICA II

01. Qual é a tangente do ângulo agudo formado pelas retas 3x + 2y + 2 = 0 e –x + 2y + 5 = 0?

02. Calcule o comprimento da altura AH, do triângulo de vértices A(–3, 0), B(0, 0) e C(6, 8) 03. O ponto P = (0, 0) é um vértice de um quadrado que tem um dos seus lados não adjacentes a P sobre a reta x – 2y + 5 = 0. Qual é a área do quadrado?

01. Calcule a cotangente do ângulo agudo formado pelas retas x = 3y + 7 e x = 13y + 9.

02. Calcule a distância entre as retas (r) 3x + 4y – 13 = 0 e (s) 3x + 4y + 7 = 0 03. (UFSE) O ângulo agudo formado pelas retas de equações x – y + 2 = 0 e 5x + y – 20 = 0 tem sua medida, em graus, compreendida entre: a) 0º e 30º b) 30º e 45º c) 45º e 60º d) 60º e 75º e) 75º e 90º 04. (UFPI) A medida do ângulo agudo formado pelas retas + y – 10 = 0 e –2x + y – 15 = 0 é: a) 15º b) 30º c) 45º d) 60º e) 75º

3x

05. Determine a equação da reta r que passa pelo ponto P(– 2, 8) e forma com a reta s: –x – 3y + 15 = 0 um ângulo de 45º.

06. Qual a medida de cada um dos ângulos internos do quadrilátero ABCD de vértices A(–4, 3), B(1, 6), C(5, –7) e D(– 8, –2)?

07. (UPM-SP) As retas 3 y  x  3 , y = –x + 1 e o eixo Ox determinam um triângulo cujo maior ângulo interno é: a) 90º b) 135º c) 105º d) 75º e) 120º 08. Qual a distância r: y = –2x + 10?

entre

o

ponto

A(–3,

7)

e

a

reta

09. Qual a altura relativa ao lado AC , no triângulo de vértices A(– 4, 5), B(9, –2) e C(1, 6) ?

10. (UNIFOR-CE) A distância do ponto P(0, –4) à reta bissetriz dos quadrantes pares é: a)

2 3

b)

2 2 5 2 3 2

c) d) e)

2

11. (CEFET-PR) Um ponto P tem abscissa positiva e pertence à reta r: x – y + 1 = 0. Esse ponto está a uma distância de 4 unidades da reta s: 3x + 4y + 2 = 0. A soma de suas coordenadas é igual a: a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 1 12. O ponto A(4, 2) é um dos vértices de um quadrado. Sabendo que dois vértices adjacentes desse quadrado estão sobre a reta s: x + y – 2 = 0, calcule sua área.

AULA 05: ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA

EXERCÍCIOS DE CASA

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140

MATEMÁTICA II

A equação geral da circunferência de centro C(a, b) e raio r é obtida ao desenvolver os quadrados da equação reduzida. Veja:

I)Equações da cir cunfe rên cia A circunferência como um lugar geométrico A circunferência é um conjunto de pontos caracterizado da seguinte maneira: todos os pontos estão a uma mesma distância de seu centro; além disso, todos têm essa propriedade e somente os pontos da circunferência têm essa propriedade. Por isso, a circunferência é um lugar geométrico., Lugar geométrico plano é um conjunto de pontos que tem uma propriedade de modo que: todos os pontos do conjunto têm a tal propriedade; somente os pontos desse conjunto têm a tal propriedade.

Definição de circunferência Em geometria analítica, associamos uma equação à circunferência a partir de sua definição como lugar geométrico de pontos.

Dados um ponto-fixo C e uma distância r, a circunferência  é o lugar geométrico dos pontos P do plano cartesiano que estão a uma mesma distância r de C.

(x - a)2 + (y - b)2 = r2  x2 - 2ax + a2 + y2 - 2by + b2 - r2 = 0 Portanto, a equação geral da circunferência é: x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0 Essa equação também é chamada de equação normal da circunferência.

Observe que essa equação pode ser escrita como x2 + y2 2ax - 2by + c = 0, em que c é o termo independente e c = a2 + b2 r2. Dessa forma, verificamos que ela é uma equação incompleta do 2º grau com duas variáveis. já que a completa é do tipo: Ax2 + Bx2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 Exemplo: Seja Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 uma equação completa do 2º grau. Determinar as condições que os coeficientes A, B, C, D, E e F devem cumprir para que a equação dada seja uma circunferência.

Solução Vamos transformar em 1 o coeficiente de x2. Para isso dividiremos a equação por

Alguns autores definem raio como o segmento que une o centro da circunferência a qualquer um de seus pontos.

A distância r é chamada de raio da circunferência.

Agora compararemos essa equação com a equação geral da circunferência:

Equação reduzida da circunferência Conhecendo alguns elementos do gráfico de uma circunferência, podemos determinar sua equação.

Podemos estabelecer uma relação para um ponto qualquer P(x, y) que pertence à circunferência de centro C(a, b) e raio r.

Observe a figura:

Observe que:

Portanto, concluímos que as condições são: A = B 0, C = 0 e D2 + E2 - 4AF > 0 o ponto P(x, y) pertence à circunferência se, e somente se, dcp = r.

II)Posições relativas Logo: Posição relativa entre um ponto e uma circunferência

A equação descrita acima é conhecida como equação reduzida da circunferência de centro C(a, b) e raio r.

As possíveis posições de um ponto P(x, y) do plano em relação a uma circunferência  de centro C e raio r são: extemo, interno ou pertencente à circunferência.

Para analisar a posição desse ponto em relação à circunferência, comparamos a distãncia d do ponto ao centro da circunferência, com o raio da circunferência.

Exemplo

Vejamos os quadros abaixo.

Elevando os dois membros da equação ao quadrado, temos: (x – a)2 + (y – b)2 = r2

Determinar a equação reduzida da circunferência de raio r = 3 e centro C( -2, 1).

Tomando um ponto P(x, y) qualquer da circunferência, temos: (x - a)2 + (y - b)2 = r2  (x + 2)2 + (y - 1)2 = 32 Logo, (x + 2)2+ (y - 1)2 = 9 é a equação reduzida dessa circunferência.

Equação geral da circunferência

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MATEMÁTICA II

EXERCÍCIOS DE SALA Posição relativa entre uma reta e uma circunferência A posição relativa entre as cordas e a boca do violão lembra retas secantes a uma circunferência.

Dadas uma reta s e uma circunferência  de centro C (x0, y0) e raio r, ambas no mesmo plano, há três casos possiveis para a posição relativa entre s e :

1.

Determine a equação de uma circunferência com centro no ponto O (-3,1) e raio 3.

2.

Determine a equação da circunferência com centro no ponto A(1, -2) e que passa pelo ponto P(2, 3).

3.

Verifique se a equação x2+ y2~ 4x - 8y +19 = 0 representa uma circunferência.

4.

A equação x2 + y2 + 2x - 2y + 6 = 0 representa uma circunferência? Em caso afirmativo, dê as coordenadas do centro e o raio.

Da observação dos três casos acima concluímos que: Se d = r, então s   = {A} (s é tangente à circunferência ).

Se d > r, então s   =  (s é exterior à circunferência ).

Se d < r, então s   = {A, B} (s é secante à circunferência ).

Posição relativa entre duas circunferências Veja a ilustração:

Observe que, em apenas uma engrenagem, já temos a ideia de duas circunferências: uma desenhada pelo topo dos dentes da engrenagem e outra pela base das cavas. Abstraindo as quatro circunferências da ilustração das duas engrenagens, podemos classificá-las, duas a duas, quanto a suas posições relativas.

Vejamos como proceder.

Considerando duas circunferências 1 e 2 distintas num mesmo plano, podemos analisar a posição relativa entre 1 e 2 comparando a distância d entre seus centros C1e C2, com os raios das circunferências, como vemos no quadro a seguir.

EXERCÍCIOS DE CASA 1)São dadas a reta r, de equação 2x + y - 1 = 0, e a circunferência de equação x2 + y2+ 6x - 8y = 0. Qual é a posição da reta r em relação à circunferência?

Para saber quantos e quais são os pontos comuns entre duas circunferências é preciso resolver o sistema formado pelas equações a elas associadas.

Observação: Quando d = 0, as circunferências 1 e 2. são concêntricas, ou seja, têm mesmo centro.

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2)Verifique a posição relativa das duas circunferências dadas.

Se forem secantes ou tangentes, determine os pontos comuns:

MATEMÁTICA II

Au la 06: As cônic as

3) Parábola de vértice V (x0, y0), x0 e y0 não simultaneamente nulos, concavidade para a direita e eixo de simetria horizontal: (y – y0)2 = 4c . (x – x0)

Elementos da elipse A figura abaixo representa alguns elementos importantes da elipse.

4) Parábola de vértice V (x0, y0), x0 e y0 não simultaneamente nulos, concavidade para a esquerda e eixo de simetria horizontal: (y – y0)2 = - 4c . (x – x0)

5) Parábola de vértice . V (x0, y0), x0 e y0 não simultaneamente nulos, concavidade para baixo e eixo de simetria vertical: (x – x0)2 = - 4c . (y – y0)

A parábola Elementos da parábola A figura abaixo representa uma parábola com alguns de seus elementos.

8) Parábola de vértice V (x0, y0), x0 e y0 não simultaneamente nulos, concavidade para cima e eixo de simetria vertical: (x – x0)2 = 4c . (y – y0) A hipérbole É o lugar geométrico (ou o conjunto) dos pontos de um plano cuja diferença, em módulo, de suas distâncias aos focos F1 e F2 é constante e menor que a distância entre eles, ou seja, 2a < 2c. *Foco: é o ponto F. *Diretriz: é a reta r. *Eixo de simetria: é a reta s, perpendicular a r, que passa pelo foco. *Vértice: é o ponto V, intersecção da parábola com o eixo de simetria. *Parâmetro da parábola: é a distância p entre o foco e a diretriz, isto é, p = FD.

Elementos da hipérbole A figura abaixo representa alguns elementos da hipérbole.

Equação da parábola com centro na origem Vamos considerar uma parábola com vértice V na origem do sistema cartesiano e foco F. Escolhemos um ponto P(x, y) qualquer sobre essa parábola. Sabemos que a distáncia entre F e P deve ser igual a distância entre P e r, ou seja, dpF = dpr Há dois casos para estudar a equação da parábola com vértice na origem.

1. Parábola com eixo de simetria sobre o eixo y e vértice na origem 2. Parábola com eixo de simetria sobre o eixo x e vértice na origem

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MATEMÁTICA II

Equação da hipérbole com centro na origem

EXERCÍCIOS DE SALA

Caso 1: os focos pertencem ao eixo das abscissas Considere uma hipérbole, com centro O na origem do sistema cartesiano, vértices em A1(-a, 0) e A2(a, 0) e focos F1(-c. 0) e F2(c, 0). Escolhemos um ponto P qualquer sobre essa hipérbole, com coordenadas (x, y).

1)Determine a equação da parábola de foco F(0, -5) e diretriz y = 5.

2)Determine a equação da elipse de focos F1(3, 0) e F2(-3, 0) e vértices, que são as extremidades do eixo maior, A1(5, 0) e A2(-5, 0).

3)Determine a equação da hipérbole de focos F1(5, 0) e F2(-5, 0) e de vértices A1(3, 0) e A2(-3, 0).

Sabemos que |PF2-PF2|=2 .

Logo, a equação reduzida da hipérbole de focos no eixo das abscissas e centro (0, 0) é:

Caso 2: os focos pertencem ao eixo das ordenadas Nesse caso, os focos têm coordenadas F1 = (0, -c) e F2 = (0, c). Fazendo cálculos análogos aos do caso anterior, obtemos:

Essa é a equação reduzida da hipérbole de focos no eixo das ordenadas e centro (0, 0).

3) Hipérbole de centro C (x0, y0) e eixo real horizontal: Sendo x0 e y0 não simultaneamente nulos, temos:

4) Hipérbole -de centro C(x0, y0) e eixo real vertical:

Assíntotas da hipérbole Observe o retângulo de lados 2a e 2b na hipérbole abaixo:

Ela terá a = b, ou seja, os comprimentos dos eixos imaginário e real coincidem.

As retas r1 e r2 que contêm as diagonais desse retângulo são chamadas de assíntotas da hipérbole. As assíntotas são retas que não interceptam a hipérbole.

As equações das retas assíntotas são dadas por: r1: bx - ay = 0 e ay = 0

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r2: bx +

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EXERCÍCIOS DE CASA 1)Determine o foco e a diretriz da parábola de equação y2 = 5x.

2)Uma elipse tem os focos nos pontos F1(0, 3) e F2(0, -3). Se o comprimento do eixo menor da elipse é 2, determine a equação dessa elipse.

3)Determine a equação da hipérbole de focos F1(6, 0) e F2( -6, 0) e de excentricidade igual a 3/2 .

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REVISÃO I : PSS/UEPB

1) (UFPB) Sendo A uma matriz quadrada de ordem 3, tal que aij = -2i2 + ij + 5j, qual a soma dos elementos da diagonal principal de A?

2) (UFPB)

Na equação matricial

1 2  x  0 3 4. y   2 , calcule x e y.     

3) (UFPB) Num livro muito velho e em péssimo estado de conservação, Maria notou que existia em um exercício, uma matriz 3 × 3 rasurada,

 . 1 . M   . . 5 , na qual se podia ler apenas os três 3 . .  elementos indicados em M. No enunciado do exercício, constava que a matriz M era igual à sua transposta e que a soma dos elementos de cada linha era igual à soma dos elementos da diagonal principal. O valor dessa soma era: a)9 b)8 c)6 d)4 e)3

4) (UFPB) Se A =

 2 1     6 4

e f(x) = -x2 + 3x + 2, então

f(det A) é igual a: a) 12 b) -4 c) 10 d) 0 e) -8

5) (UFPB) Na figura ao lado estão representadas as retas r, s e t. Sabendo-se que as retas r e s são paralelas, calcule, em graus, o valor de y.

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MATEMÁTICA II

6) (UFPB) Na figura ao lado, se o diâmetro do círculo mede 8 cm e os raios dos semicírculos medem 2 cm, a área e o perímetro da região hachurada valem, respectivamente,

 cm2 e 8 cm 2 b)16  cm e 8  cm 2 c)8  cm e 8  cm 2 d)16 cm e 8  cm 2 e)16  cm e 8 cm a)8

2

2

2

2

7) (UFPB – 2003) Depois de desistir de retirar a pipa do poste, João foi jogar futebol no quintal da casa. Ao chutar a bola com muita força, fez com que a mesma caísse num reservatório de água com a forma de um cilindro circular reto, cujo diâmetro é de 96 cm. Maria percebeu que exatamente a metade da bola ficou submersa, o que elevou o nível da água do reservatório em 0,5 cm (ver desenho). O raio dessa bola é: a)10 cm b)12 cm c)14 cm d)11 cm e)13 cm

8) (UFPB – 2002) O Sr. Martins foi encarregado de pintar a lateral de uma caixa d’água cilíndrica, com 6 m de raio e altura de 10 m. Devido ao mau tempo, conseguiu, apenas, pintar a parte sombreada mostrada na figura ao lado. Assim sendo, desse trabalho ele executou somente: a)5% b)15% c)25% d)10% e)20%

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MATEMÁTICA II

REVISÃO II : PSS/UEPB

1) (UFPB) A característica de Euler-Poincaré (P) de um poliedro P é definida por (P) = V – A + F, onde V, A e F são, respectivamente, os números de vértices, arestas e faces de P. Sendo assim, a característica de Euler-Poincaré de uma pirâmide de base triangular é: a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e)2

2) (UFPB – 2000) Um pai é 27 anos mais velho que o filho.

Sabendo-se que a idade do filho corresponde a ¼ da idade do pai, então a idade do filho é a) 8 anos b) 9 anos c) 10 anos d) 11 anos e) 12 anos

3) (UFPB) Os valores reais das constantes m, a e b para que o sistema m2x + 2y = a + 1 -4x + my = b - 2 seja homogêneo, compatível e determinado, são: a) m  2, a = -1, b = 2 b) m  -2, a = -1, b = 2 c) m = -2, a = -1, b = 2 d) m  -2, a = 1, b = 2 e) m = 2, a = -1, b = -2

4) (UFPB)Um empresário deseja presentear seus funcionários com cestas básicas. Se o empresário der 2 cestas básicas a cada um de seus funcionários, sobrarão 20 cestas. Se ele der 3 cestas a cada um, faltarão 30 cestas. O número total de cestas básicas oferecidas pelo empresário é a) 80 b) 90 c) 120 d) 100 e) 140 5) No protótipo antigo de uma bicicleta, conforme figura abaixo, a roda maior tem 55 cm de raio e a roda menor tem 35 cm de raio. O número mínimo de voltas completas da roda maior para que a roda menor gire um número inteiro de vezes é

a) 5 voltas. b) 7 voltas. c) 9 voltas. d) 11 voltas e) 12voltas.

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MATEMÁTICA II

6) Considere a equação cos x = cos(x +  ). Se 0  x<2  , esta equação a) não tem solução. b) tem apenas 1 solução. c) tem somente soluções 0 e  . d) tem somente as soluções  /2 e 3  /2. e) tem infinitas soluções.

7) Ache todas as soluções da equação sen 3 x cos x + senx cos 3 x = O no intervalo [0,2  ). a) {  /3,  , 5  /3} b) {  /6,  , 5  /6} c) {  /3,  /6,  } d) { 0 ,  /2,  , 3  /2, } e) {  /3, 2  /3,  , 4  /3, 5  /3, 2  }

8) . O conjunto-solução da equação cos 2x = 1/2, onde x é um arco da 1ª volta positiva, é dado por: a) {60°, 300°} b) {30°, 330°} c) {30°, 150°} d) {30°, 150°, 210°, 330°} e) {15°, 165°, 195°, 345°}

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MATEMÁTICA II