AULA_MATEMÁTICAII_MÓDULO3

AULA 01 - CILINDRO





 CILINDRO Sejam dois planos paralelos  e , e um segmento de reta MN, com M   e N  . Considere, também, um círculo C de centro 0 e raio r, C  . A reunião de todos os segmentos de reta, paralelos e congruentes ao segmento MN, tendo uma extremidade em C e outra em , formam um sólido chamado CILINDRO CIRCULAR.

ÁREAS E VOLUME Área da base – é a área do círculo de raio r

Ab = r² Área lateral – é a área do paralelogramo de base 2r e altura h

AL = 2rh Área total – é a soma das áreas das bases com a área lateral

ELEMENTOS DO CILINDRO

AT = AL + 2.Ab Volume – pelo princípio de CAVALIERE, temos que o volume é dado pelo produto da área da base pela altura.

V = Ab.h = r

N

r

O’ ANOTAÇÕES

 g

h

r M

O

C

 Na figura, temos:  base  círculo de centro O e raio r e círculo de centro O’ e raio r.  eixo  é a reta que contém os centros das bases.  altura (h)  é a distância entre os planos  e .  geratriz (g)  são os segmentos paralelos aos eixos e cujas extremidades são pontos das circunferências das bases.



CLASSIFICAÇÃO ( I ) CILINDRO RETO: é aquele em que as geratrizes são perpendiculares às bases. Neste caso, a altura tem a mesma medida da geratriz. ( II ) CILINDRO OBLÍQUO: é aquele em que as geratrizes não são perpendiculares às bases. ( III ) CILINDRO TRUNCADO: é aquele em que as bases não são paralelas



SECÇÃO MERIDIANA É a figura geométrica formada pela intersecção do cilindro com o plano que contém seu eixo.

A área da secção meridiana é a área do retângulo de base 2r e altura h.

A = 2rh



SECÇÃO TRANVERSAL É a figura geométrica formada pela intersecção do cilindro com o plano paralelo as bases. A secção transversal é um círculo congruente às bases.



CILINDRO EQUILÁTERO É o cilindro cuja secção meridiana é um quadrado.

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133

MATEMÁTICA II

Exercícios de sala Exercícios de casa 01 - (Cesgranrio) Um recipiente com a forma de um cilindro reto, cujo diâmetro da base mede 40 cm e altura 100/ cm, armazena um certo líquido, que ocupa 40% de sua capacidade. O volume do líquido contido nesse recipiente é, em litros, aproximadamente, igual a: a) 16 b) 18 c) 20 d) 30 e) 40

02 - (UFRS) Um pedaço de cano de 30 cm de comprimento e 10cm de diâmetro interno encontra-se na posição vertical e possui a base inferior vedada. Colocando-se dois litros de água em seu interior, e água. a) ultrapassa o meio do cano. b) transborda. c) não chega ao meio do cano. d) enche o cano até a borda. e) atinge exatamente o meio do cano.

03 - (UFPB – 2003) Depois de desistir de retirar a pipa do poste, João foi jogar futebol no quintal da casa. Ao chutar a bola com muita força, fez com que a mesma caísse num reservatório de água com a forma de um cilindro circular reto, cujo diâmetro é de 96 cm. Maria percebeu que exatamente a metade da bola ficou submersa, o que elevou o nível da água do reservatório em 0,5 cm (ver desenho). O raio dessa bola é: a)10 cm b) 12 cm c) 14 cm d)11 cm e) 13 cm

(QUESTÃO_CASA – 01) Um líquido que ocupa uma altura de 10cm num determinado recipiente cilíndrico será transferido para outro recipiente, também cilíndrico, com diâmetro 2 vezes maior que o primeiro. Qual será a altura ocupada pelo líquido nesse segundo recipiente? a) 1,5 cm b) 2 cm c) 2,5 cm d) 4,5 cm e) 5 cm

(QUESTÃO_CASA – 02) Qual das propostas a seguir pode ser utilizada para duplicar o volume de um cilindro modificando seu raio da base e sua altura? a) Duplicar o raio e manter a altura. b) Aumentar a altura em 50% e manter o raio. c) Aumentar o raio em 50% e manter a altura. d) Duplicar o raio e reduzir a altura à metade. e) Duplicar a altura e reduzir o raio à metade.

(QUESTÃO_CASA – 03) Um tanque para depósito de combustível tem a forma cilíndrica de dimensões: 10m de altura e 12m de diâmetro. Periodicamente é feita a conservação do mesmo, pintando-se sua superfície lateral externa. Sabe-se que com uma lata de tinta pintam-se 14m2 da superfície. Nessas condições, é verdade que a menor quantidade de latas que será necessária para a pintura da superfície lateral do tanque é: a) 14 b) 23 c) 27 d) 34 e) 54

(QUESTÃO_CASA – 04) Um contêiner, na forma de um cilindro circular reto, tem altura igual a 3m e área total (área da superfície lateral mais áreas da base e da tampa) igual a 20m2. Calcule, em metros, o raio da base deste contêiner.

04 - (UFPB – 2002) O Sr. Martins foi encarregado de pintar a lateral de uma caixa d’água cilíndrica, com 6 m de raio e altura de 10 m.

Devido ao mau tempo, conseguiu, apenas, pintar a parte sombreada mostrada na figura ao lado. Assim sendo, desse trabalho ele executou somente: a)

5%

b) 15% c)

25%

d) 10% e)

20%

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134

MATEMÁTICA II



RELAÇÕES MÉTRICAS NUMA PIRÂMIDE REGULAR

AULA 02 - PIRÂMIDE V 

PIRÂMIDE Sejam ABCDE uma região poligonal contida num plano  e V   um ponto. A reunião de todos os segmentos VP, com P um ponto da superfície poligonal ABCDE forma um sólido chamado de PIRÂMIDE.



ELEMENTOS DA PIRÂMIDE: V

h

g F



E

D

A

0

D r

E C 

M m

A

B B 

Considerando o polígono ao lado, temos:  base – é o polígono ABCDE.  arestas da base – são os segmentos AB, BC, CD, DE, EA.  arestas laterais – são os segmentos VA, VB, VC, VD, VE.  vértice – é o ponto V.  altura – é a distância ente o vértice e a base.  faces laterais – são os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE, VEA.  área lateral – é a soma das áreas das faces.  área total – é a soma da área lateral com a área da base.  volume – é a quantidade de espaço que a pirâmide ocupa. 



g² = h² + m² ( VOM) 2



 = h² + r² ( VOC)



a  2 = g² +   ( VDM) 2



r² = m² +

2

2

a   ( COM) 2

onde:  g é o apótema da pirâmide.  h é altura da pirâmide.  m é o apótema da base.  l é a aresta lateral.  r é o raio do polígono da base.  a é a aresta da base.

CLASSIFICAÇÃO: a) Da mesma forma dos prismas, as pirâmides são denominadas de acordo com o polígono da base. b) Pirâmide reta é aquela em que o polígono da base é circunscritível e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro da base. c) Pirâmide regular é aquela que é reta e a base é um polígono regular.  I. II.

C a



OBSERVAÇÃO: Denomina-se TETRAEDRO a pirâmide de base triangular.

OBSERVAÇÕES: Numa pirâmide as faces laterais são triangulares.

Embora uma pirâmide possua outros vértices, a denominação especial de vértice da pirâmide é dado ao único vértice que não pertence à base.



SECÇÃO TRANSVERSAL DE UMA PIRÂMIDE É a secção obtida por um plano paralelo á base. A secção transversal divide a pirâmide em duas partes: a que contém o vértice, que é também uma pirâmide, e a que contém a base, que é chamada de TRONCO DE PIRÂMIDE.

DESTACA-SE NUMA PIRÂMIDE REGULAR: a) Apótema da pirâmide (g) – é a altura de qualquer uma de suas faces laterais. b) Apótema da base (m) – é o apótema do polígono da base. c) As faces laterais são triângulos isósceles congruentes. d) As arestas laterais são congruentes.



VOLUME Usando o principio de Cavaliere, mostra-se que o volume de uma pirâmide é dado pela terça parte do produto da área da base pela altura.

V=



1 . Ab . h 3

TETRAEDRO REGULAR É o tetraedro em que todas as suas faces são triângulos eqüiláteros. Área da base: A b 

2 3 4

Área total: A T   2 3 Volume: V 

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135

2 2 ,  é a medida da aresta 12

MATEMÁTICA II



PIRÂMIDES SEMELHANTES A secção transversal determina duas pirâmides semelhantes, que verificam duas relações muito importantes:

h1 V1 V2

A1

04 - (Unirio) Um prisma de altura H e uma pirâmide têm bases com a mesma área. Se o volume do prisma é a metade do volume da pirâmide, a altura da pirâmide é: a) H/6 b) H/3 3 V1  h1  c) 2H    d) 3H V2  h2  e) 6H

h2 A2



03 - (Cesgranrio) Uma folha de papel colorido, com a forma de um quadrado de 20 cm de lado, será usada para cobrir todas as faces e a base de uma pirâmide quadrangular regular com altura de 12 cm e apótema da base medindo 5 cm. Após se ter concluído essa tarefa, e levando-se em conta que não houve desperdício de papel, a fração percentual que sobrará dessa folha de papel corresponde a: a) 20 % 2 b) 16 % A1  h1  c) 15 %    d) 12 % A 2  h2  e) 10 %

TRONCO DA PIRÂMIDE A área total (AT) e o volume (V) do tronco são dados por: Exercícios de casa (QUESTÃO_CASA – 01) Uma pirâmide regular de base hexagonal h2

é tal que a altura mede 8cm e a aresta da base mede 2 volume dessa pirâmide, em centímetros cúbicos, é

b h1 h B Área total:

AT = AL + Ab + AB h Volume: V  AB  Ab  AB . Ab 3





OBSERVAÇÃO: O volume do tronco também pode ser calculado por V = V1 – V2, onde V1 é o volume da pirâmide de altura h1 e V2 é o volume da pirâmide de altura h2

a) 24

3

b) 36

3

c) 48

3

d) 72

3

e) 144

3 cm. O

3

(QUESTÃO_CASA – 02) Leia os quadrinhos:

Exercícios de sala 01 - (Unesp – 2002) O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de base quadrada feita de concreto maciço, como mostra a figura.

Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3 m e que a altura da pirâmide será de 4 m, o volume de concreto (em m 3) necessário para a construção da pirâmide será a) 36. b) 27. c) 18. d) 12. e) 4.

02 - (Unirio) Uma pirâmide está inscrita num cubo, como mostra a figura anterior. Sabendo-se que o volume da pirâmide é de 6 m 3, então, o volume do cubo, em m3, é igual a: a) 9 b) 12 c) 15 d) 18 e) 21

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Suponha que o volume de terra acumulada no carrinho-de-mão do personagem seja igual ao do sólido esquematizado na figura 1, formado por uma pirâmide reta sobreposta a um paralelepípedo retângulo.

Assim, o volume médio de terra que Hagar acumulou em cada ano de trabalho é, em dm3, igual a: a) 12 b) 13 c) 14 d) 15

MATEMÁTICA II



ÁREAS E VOLUME

AULA 03 - CONE Área da base – Ab = r²



CONE Considere um círculo C contido num plano  e V   um ponto.

A reunião de todos os segmentos VP, com P  C formam um sólido chamado de CONE.



Área da lateral - AL = rg Área total - AT = AL + Ab

ELEMENTOS DO CONE

Volume – V  V 

g

1 1 A bh =  r 2h 3 3

TRONCO DE CONE O tronco de cone de bases paralelas é a parte do cone limitada pela base e pela secção transversal.

h

r

r

r

h

O R

C  Na figura, temos:  base  é o círculo de centro O e raio r.  vértice  é o ponto V.   

( I ) Áreas    

eixo  é a reta OV . geratriz (g)  é qualquer segmento VQ, onde Q é um ponto da circunferência da base. altura (h)  é a distância do ponto V ao plano da base.

(II)



CLASSIFICAÇÃO: (I) Cone reto: é quando seu eixo é perpendicular à base.

(II) Cone oblíquo: é quando seu eixo é oblíquo à base. 



Volume: V =

h . (AB + Ab + 3

AB  A b )

CONES SEMELHANTES A secção transversal determina dois cones semelhantes, que verificam três relações muito importantes.

OBSERVAÇÃO 1) O cone reto também é chamado de cone de revolução, pois ele é formado pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um dos catetos.

OBSERVAÇÃO 2) No cone reto, as geratrizes são congruentes entre si.



Área da base maior  AB = R² Área da base menor  Ab = r² Área lateral  AL =  . (R + r) . g Área total  At = AL + Ab + AB

Ab

h V1



SECÇÃO DE UM CONE



SECÇÃO TRANSVERSAL É a figura geométrica formada pela intersecção de um plano paralelo ao plano da base. A secção transversal de um cone é um círculo.



r

SECÇÃO MERIDIANA É a figura geométrica formada pela intersecção do cone com um plano que contém seu eixo. A secção meridiana de um cone circular reto é um triângulo isósceles.

A área da secção meridiana de um cone reto é dado por: As = rh

H

AB

V2 R

I.

h r  H R

II.

Ab  h    AB  H 

2

III.

V1  h    V2  H 

3

 CONE EQÜILÁTERO É o cone cuja secção meridiana é um triângulo eqüilátero IMPORTANTE !!!  

No cone eqüilátero, temos g = 2r e h = r 3 No cone reto, temos que g² = h² + r²

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MATEMÁTICA II

Exercícios de sala

1) Um cone circular reto de altura 8cm e geratrizes medindo 10cm , terá como volume: a) 126cm³ d) 106cm³

b) 36cm³ e) 96cm³

c) 66cm³

2) Uma taça de sorvete tem a forma de um cone com 15cm de altura. Qual o diâmetro da boca dessa taça sabendo que seu volume é de 1250 cm³ ? a) 56cm d) 200cm

b) 25cm e) 100cm

d) 27/4

Determine o volume de líquido quando o nível está em h/2.

4) A figura ao lado representa uma seção meridiana de um cone circular reto. Calcule o volume desse cone.

c) 120cm

3) (MacK) Na figura, a base do cone reto está inscrita na face do cubo. Supondo  =3, se a área total do cubo é 54, então o volume do cone é: a) 81/2

3) (UFRJ) Um recipiente em forma de cone circular reto de altura h é colocado com vértice para baixo e com eixo na vertical, como na figura. O recipiente, quando cheio até a borda, comporta 400 mL.

5cm

5cm

6cm

b) 27/2 c) 9/4 e) 81/4

ANOTAÇÕES

3 4) (Cefet-RJ) Considere um cone cujo volume vale 7 , inscrito num cilindro, como mostra a figura. A diferença entre os volumes do cilindro e do cone vale: a)7/3 cm3 b) 7/2 cm3 c) 7 cm3 d) 14 cm3 e) 21 cm3

Exercícios de casa

1) (MACK) Um prisma e um cone retos têm bases de mesma área. Se a altura do prisma é 2/3 da altura do cone, a razão entre o volume do prisma e o volume do cone é: a) 2 b) 3/2 c) 3 d) 5/3 e) 5/2 2) (UFR-RJ) Considerando um lustre de formato cônico com altura e raio da base igual a 0,25 m, a distância do chão (H) em que se deve pendurá-lo para obter um lugar iluminado em forma 2 de círculo com área de 25 , é de: a) 12 m b) 10 m c) 8 m d) 6 m e) 5 m

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MATEMÁTICA II

AULA 04 - ESFERA 

ANOTAÇÕES

ESFERA Consideremos um ponto O do espaço e um número positivo R. Chama-se esfera de centro O e raio R ao conjunto dos pontos P do espaço tais que a distância OP seja menor ou igual a R. Podemos, também, considerar que a esfera é um sólido gerado pela rotação completa de um semicírculo em torno do eixo que contém o seu diâmetro.

R O



SUPERFÍCIE ESFÉRICA A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos P do espaço tais que a distância OP seja igual a R. Esta superfície é gerada pela rotação completa de uma semicircunferência em torno do eixo que contém o seu diâmetro.



SECÇÃO DE UMA ESFERA É a interseção da esfera com um plano secante. Esta secção é um círculo.

O’ d O



r R

RELAÇÃO IMPORTANTE R² = r² + d² , onde: R → raio da esfera r → raio da secção(círculo) d → distância do centro da esfera à secção



ÁREA DA ESFERA A área da superfície esférica de raio R é dada por A = 4R²



VOLUME DE UMA ESFERA Usando o princípio de Cavaliere, mostra-se que o volume de uma esfera de raio R é dado por: V=

4 R³ 3

. 

PARTES DE UMA ESFERA (I) Cunha e fuso  Cunha esférica  é o sólido gerado pela rotação incompleta de um semicírculo em torno do diâmetro.  Fuso esférico  é cada uma das superfícies limitadas pelos dois planos que determinam uma cunha esférica.

Numa laranja podemos dizer que o “gomo da laranja” é a cunha esférica e a “casca do gomo” é o fuso esférico.

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MATEMÁTICA II

Exercícios de sala

Exercícios de casa

1) (UNESP – 2003) Em um tanque cilíndrico com raio de base R e altura H contendo água é mergulhada uma esfera de aço de raio r, fazendo com que o nível da água suba 1/6 R, conforme mostra a figura.

a) Calcule o raio r da esfera em termos de R. b) Assuma que a altura H do cilindro é 4R e que antes da esfera ser mergulhada, a água ocupava 3/4 da altura do cilindro.

Calcule quantas esferas de aço idênticas à citada podem ser colocadas dentro do cilindro, para que a água atinja o topo do cilindro sem transbordar.

2) (UFSM – 2003) A área da superfície de uma esfera e a área total de um cone circular reto são iguais. Se o raio da base do cone mede 4 cm e o volume do cone é 16 cm3, o raio da esfera é dado por a) 31/2 cm b) 2 cm c) 3 cm d) 4 cm e) 4 + 21/2 cm 3) (UFPE – 2003) Derretendo uma peça maciça de ouro de forma esférica, quantas peças da mesma forma se pode confeccionar com este ouro, se o raio das novas peças é um terço do raio da anterior? Admita que não houve perda de ouro durante o derretimento. a) 3 b) 9 c) 18 d) 21 e) 27 4) (UFRJ) Na famosa cidade de Sucupira, foi feito um monumento de concreto com pedestal em forma de uma esfera de raio igual a 5m, em homenagem ao anti-herói "Zeca Diabo".

O cidadão "Nézinho do Jegue" foi informado de que, apesar de o preço do metro cúbico do concreto ser 260 reais, o custo total do concreto do pedestal, feito com dinheiro público, foi de 500 mil reais. Nézinho do Jegue verificou, então, que houve um superfaturamento a) menor que 50 mil reais. b) entre 50 e 200 mil reais. c) entre 200 e 300 mil reais. d) entre 300 e 400 mil reais. e) acima de 400 mil reais.

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1) (Vunesp) Um copinho de sorvete, em forma de cone, tem 10 cm de profundidade, 4 cm de diâmetro no topo e tem aí colocadas duas conchas semi-esféricas de sorvete, também de 4 cm de diâmetro. Se o sorvete derreter para dentro do copinho, podemos afirmar que: a) não transbordará b) transbordará c) os dados são insuficientes d) os dados são incompatíveis e) todas as afirmações anteriores são falsas 2) (Cesgranrio) No desenho a seguir, dois reservatórios de altura H e raio R, um cilíndrico e outro cônico, estão totalmente vazios e cada um será alimentado por uma torneira, ambas de mesma vazão. Se o reservatório cilíndrico leva 2 horas e meia para ficar completamente cheio, o tempo necessário para que isto ocorra com o reservatório cônico será de: a) 2 h b) 1 h e 30 min c) 1 h d) 50 min e) 30 min 3) (Fempar) Uma bola de sorvete tem 6 cm de diâmetro. Ao ingerir 20 bolas de sorvete, uma pessoa consumirá, em litros, aproximadamente: (Obs.: Considerar que: 1) a bola de sorvete é perfeitamente esférica.

2)  3) o volume fundido é 50% menor que o volume da bola do sorvete) a) 9,04 b) 0,904 c) 3,4 d) 1,13 e) 0,0113 4) (UFSM) Bolas de tênis são vendidas, normalmente, em embalagens cilíndricas mínimas contendo 3 unidades, conforme figura abaixo: Supondo-se que as bolas têm raio a em centímetros e tangenciam as paredes internas da embalagem, o espaço interno dessa embalagem que NÃO é ocupado pelas bolas é, em cm3: a) 2  a3 d) a3

b) (4  a3)/3 e) (2  a3)/3

c) (  a3)/3

MATEMÁTICA II

AULA 05 – POLINÔMIOS



I. POLINÔMIOS É toda expressão do tipo P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + ... + a1x + a0, onde a1, a2, ..., an  C e n  IN



VALOR NUMÉRICO P(a) é o valor numérico de P(x) para x = a

ANOTAÇÕES

OBSERVAÇÃO: Quando P(a)= 0, dizemos que a é raiz ou zero de P(x).

Exemplo: P(x) = x³ – 2x² – 5x + 6  P(–2) = 0  –2 é raiz



GRAU DE UM POLINÔMIO: É o maior expoente da variável de coeficiente não nulo



POLINÔMIO IDENTICAMENTE NULO Um polinômio P(x) é identicamente nulo, indicamos por P(x) = 0, quando todos os seus coeficientes são iguais a zero.

OBSERVAÇÃO: Não se define grau de P(x) = 0



POLINÔMIOS IDÊNTICOS Dois polinômios de mesmos graus são idênticos se os coeficientes dos termos de mesmos graus são iguais.

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141

MATEMÁTICA II

Exercícios de sala

Exercícios de casa

1) Considerando o polinômio 2x3 - 3x2 + 5x - 1. Determine os

1) Sejam os polinômios f(x) + 2, g(x) = 2x³ + 4x² - 3x – 5 e h(x) = x² - 1. Determine:

2.

valores numéricos de p(x) em 0, 1 e

a) f(x) + g(x) 2

2) Dados os polinômios P(x) = (a – 1)x – (a – b)x + (2a – b + c) e q(x) = 4x2 – 5x + 1, determine a, b, e c para que:

b) g(x) – h(x) c) f(x) . h(x)

a) se tenha p(x) = q(x); b) p(x) seja um polinômio nulo;

2) Determine o quociente q(x) e o resto r(x) da divisão de f(x) por g(x) em cada caso:

c) p(x) seja um polinômio do 1º grau

a) f(x) = 2x² - 5x + 3 e g(x) = 2x – 1

3) Sabendo que x = 1 é raiz de p(x) = x³ - mx² + 2, determine o valor de m.

b) f(x) = -x³ - 4x² + 3 e g(x) = x² - 2x

4)

Determine

m

e

m n 2x  7   2 . x  2 x 1 x  x  2

n

que

verificam c) f(x) = 6x³ - x² - 2x + 4 e g(x) = 3x – 2 3) Determine a para que a divisão do polinômio x²+ ax – 5 por x – 3 seja exata.

ANOTAÇÕES

4) Dividindo o polinômio f(x) = x³ + x² + x + 1 por g(x), obtemos o quociente q(x) = 1 + x e o resto r(x) = x + 1. Determine g(x).

ANOTAÇÕES

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142

MATEMÁTICA II

AULA 06 – POLINÔMIOS 

OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS A adição e multiplicação procede-se de maneira usual



DIVISÃO DE POLINÔMIOS Sejam os polinômios P(x) e D(x) não identicamente nulos.

ANOTAÇÕES

Dividir P(x) por D(x) é encontrar dois polinômios Q(x) (quociente) e R(x) (resto), tais que: P(x)

D(x) P(x) = D(x) . Q(x) + R(x)

R(x)

Q(x) gr(R) < gr(D) ou R(x) ≡ 0

OBSERVAÇÕES: 1) Se R(x) = 0, a divisão é exata e assim, P(x) é divisível por D(x).

2) gr(P/D) = gr(P) – gr(D) 3) Numa divisão, o quociente e o resto são únicos.



TEOREMA DO RESTO O resto da divisão de P(x) por ax + b é dado por R = P (–b/a)



TEOREMA DE D’ALEMBERT Um polinômio P(x) é divisível por ax + b, se e somente se, P(–b/a) = 0



EXTENSÃO DO TEOREMA DE D’ALEMBERT P(x) é divisível por (x – a).(x – b), se e somente se, P(x) é divisível por (x – a) e por (x – b), com a ≠ b.

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143

MATEMÁTICA II

Exercícios de sala

Exercícios de casa

1) (UFPB) Os polinômios f(x) = (a-1)x2 + bx + c e g(x) = 2ax2 + 2bx - c são idênticos, quando: a) a = -1, b = c = 1 b) a = -1, b = c = 0 c) a = b = c = 1 d) a = 0, b = 1, c = -1 e) a = 2, b = c = 0

1) (UFPB) Determine a relação entre a, b e c, para que o polinômio

p( x )  a x 2  b x  c seja o quadrado do polinômio do primeiro grau q( x )  d x  e . do segundo grau

2) (UFPB-2001) Suponha que

2) (UFPB) Os valores de A e B, para os quais a igualdade

x3 x2  x

=

A x

+

B x 1

onde

é valida para todo x  0 e x  -1

são: a) A = 3, B = -2 b) A = 3, B = 2 c) A = B = 1 d) A = 0, B = 1 e) A = 2, B = 1 3) (UFPB) Sejam A e B números reais tais que a identidade abaixo seja verdadeira, para x  - {1, -1}

Ax  B x2 1

=

1 2( x  1)

+

3 2( x  1)

p( x )  ( x  1 )( x 2  3 )  r( x ) ,

r( x )  ax 2  bx  c , com a ,

b , c  R,

a  0 . Sabendo-se

que as raízes de p são 0 , 1 e 2 , calcule o valor da expressão 5a  3b  c .

3) (UFPB) q(x) é o quociente da divisão de p(x) = x3 - 5x + 1 por d(x) = x + 3, então q(x + 1) vale: a) x2 -5x - 4 b) x2 + 5x + 2 c) x2 + 5x + 8 d) x2 - 3x + 8 e) x2 - x + 2 4) (UFPB – 97) Seja

p( x )  x 2  ax  b

um polinômio.

Determine os valores de a e b tais que P(x) seja divisível por x + 2 e que os restos da divisão de P(x) por x - 1e por x + 1 sejam iguais.

O valor de A + B é: a) -1 b) 1 c) 0 d) 2 e) –2

ANOTAÇÕES

4) (UFPB) Se 1 (um) é raiz do polinômio 2 p(x) = x + ax + b, então o valor de a + b é a) 1 b) –1 c) 0 d) 2 e) –2 ANOTAÇÕES

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MATEMÁTICA II

AULA 07 – EQUAÇÕES POLINOMIAIS ANOTAÇÕES 

II. EQUAÇÕES POLINOMIAIS São equações do tipo P(x) = 0, onde P(x) é um polinômio, ou seja, anxn + an –1xn – 1 + an – 2xn –2 + . . . + a1x + a0 = 0

OBSERVAÇÃO: Define-se como o grau da equação P(x) = 0, ao grau do polinômio P(x).



RAIZ OU ZERO DE UMA EQUAÇÃO POLINOMIAL a é raiz de P(x) = 0  P(a) = 0



TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA Toda equação polinomial de grau n(n  1) tem pelo menos uma raiz complexa.



TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO Todo polinômio de grau n, P(x) = anxn + an–1xn – 1 + . . . + a1x + a0, pode ser escrito na forma P(x) = an . (x – 1).(x – 2). ... .(x – n), onde a1, a2, a3, . . . , an são as raízes de P(x).



CONSEQÜÊNCIA DO TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO Toda equação polinomial de grau n(n  1) tem exatamente n raízes reais ou complexas, que podem ser distintas ou não.



MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ A quantidade de vezes que um número for raiz de uma equação será chamada de MULTIPLICIDADE.

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Exercícios de sala

Exercícios de casa

1) Considere, em C, a equação x² - 4x + 13 = 0.

1) Escreva uma equação polinomial cujas raízes 3 – 2i, 3 + 2i e 1, cada uma com multiplicidade 1.

a) Determine suas raízes. b) Fatore x² - 4x . 13

2) Escreva uma equação algébrica em que i e –i sejam raízes duplas, e 2 seja raiz simples.

2) Escreva uma equação do 3º grau cujas raízes são -1, 1 e 2.

3) A respeito da equação (x – 2) determine:

5

(x – 1)² (x + 3)

4

= 0,

3) Escreva uma equação de coeficientes reais, com grau mínimo, de modo que 2, 3 e 2-i sejam raízes simples.

4) Qual o menor grau que pode ter uma equação de coeficientes reais que admite como raízes 1, 2, 3 – i e 2i?

a) suas raízes e as respectivas multiplicidades;

b) seu grau; ANOTAÇÕES

c) seu conjunto solução.

4) Escreva uma equação polinomial cujas raízes são i e -1, cada uma com multiplicidade 1.

ANOTAÇÕES

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AULA 08 – EQUAÇÕES POLINOMIAIS ANOTAÇÕES 

TEOREMA DAS RAÍZES COMPLEXAS Se uma equação polinomial de COEFICIENTES REAIS admitir a raiz z = a + bi (b ≠ 0), admitirá também como raiz seu conjugado

z = a – bi, com a mesma multiplicidade.



CONSEQÜÊNCIAS DO TEOREMA: 1) Todo equação algébrica de coeficientes reais e grau ímpar terá pelo menos uma raiz real.

2) O número de raízes não reais de uma equação polinomial de coeficientes reais é PAR.



RELAÇÕES DE GIRARD São fórmulas que relacionam as raízes de uma equação polinomial com seus coeficientes .

Exemplos : a)

Para uma equação do 2º grau ax² +bx + c = 0 b  x  x2     1 a  c x  x  1 2  a 

b)

Para uma equação do 3º grau ax³ + bx² + cx + d = 0 b  x1  x 2  x 3   a  c  x1x 2  x1x 3  x 2 x 3  a   d x1  x 2  x 3   a 



TEOREMA DAS RAÍZES RACIONAIS Seja P(x) = anxn + an –1xn – 1 + . . . + a1x + a0 com a0, a1, ..., an  Z. Sejam p e q números inteiros primos entre si com q ≠ 0. p Se é raiz de P(x), então: q a) p é divisor de a0 b) q é divisor de an

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Exercícios de sala

Exercícios de casa

1) Sabendo que 2 é raiz da equação x³ + 2x²- 5x + c = 0, calcule o valor de c e o conjunto solução da equação .

1) Pesquise as possíveis raízes inteiras da equação x³ + 2x² - x – 2 = 0.

2) Resolva s equação x4 – 2x³ + x² + 2x – 2 = 0, sabendo que duas de suas raízes são -1 e 1.

3) Sejam r1 , r2 as raízes da equação 3x² - x + 5 = 0. Determine: a) r1 + r2 2) Pesquise as possíveis raízes racionais da equação 2x 4 – 9x³ + 4x² + 21x – 18 = 0. b) r1 r2

c)

1 1  r1 r2

4) Seja a equação 4x³ - 19x² + 28x + m = 0. Determine: m, sabendo que 2 é raiz dupla dessa equação; a outra raiz.

ANOTAÇÕES

3) Resolva a equação x³- 5x²+ 9x – 5 = 0.

4) Resolva a equação 3x³ + 5x² + 4x – 2 = 0.

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